Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия / пер. с нем. под ред. А. П. Юшкевича. — 2-е изд., [испр. и доп.] — М. : Наука, 1966. — 508 с. — Библиогр.: с. 471—492, имен. указ.: с. 495—507.

Г. ВИЛЕЙТНЕР

История математики от Декарта до середины XIX столетия

ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ

Перевод с немецкого

под редакцией А. П. ЮШКЕВИЧА

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»

Главная редакция физико-математической литературы

Москва 1966

51(09) В 44

УДК 510(09)

АННОТАЦИЯ

В книге содержится обзор развития математики, начиная с основоположных работ Декарта по алгебре и аналитической геометрии (1637) и кончая 1850 г. В изложении автор рассматривает по отдельности историю различных математических наук: арифметики, алгебры, теории чисел и т. д.; в тексте даются указания на все рассмотренные сочинения.

В литературе по истории математики на русском языке нет книги, посвященной специально восемнадцатому столетию, а развитие математики первой половины XIX в. освещено только частично. Перевод работы Г. Вилейтнера восполняет этот существенный пробел.

Книгой могут воспользоваться, помимо специалистов по истории науки, студенты университетов и педагогических институтов, учителя математики, научные работники и любители математики.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие к русскому переводу................. 7

Из предисловий автора..................... . 9

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ ОТ ДЕКАРТА ДО КОНЦА XVIII СТОЛЕТИЯ

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА, АНАЛИЗ

Глава I. Арифметика..................13

§ 1. Теоретическая арифметика ................13

§ 2. Арифметические вычисления............26

Глава II. Алгебра...................38

§ 1. Общая теория уравнений.................38

§ 2. Графическое и числовое решение уравнений.......61

1. Графические методы.................. 61

2. Числовые приближенные методы............65

Глава III. Теория чисел................. 74

§ 1. Общий обзор...................... 74

§ 2. Ферма и его современники ................ 74

§ 3. От Эйлера до Гаусса................. . 80

§ 4. Теоретико-числовые открытия Гаусса ........... 90

Глава IV. Комбинаторный анализ и теория вероятностей .... 97

§ 1. Комбинаторный анализ.................. 97

§ 2. Теория вероятностей и ее приложения ..........101

Глава V. Предыстория исчисления бесконечно малых......109

§ 1. Квадратуры и кубатуры.................109

§ 2. Задачи на проведение касательных и экстремумы; спрямление кривых и обратная задача о касательных ..... 119

Глава VI. Открытие и первоначальное развитие исчисления бесконечно малых. Бесконечные ряды.........126

§ 1. Метод флюксий Ньютона и введение рядов.......126

§ 2. Открытия Лейбница в области бесконечных рядов и его исчисление бесконечно малых...............136

Глава VII. Систематическая разработка исчисления бесконечно малых и период формального развития теории рядов 142

§ 1. Современники и ближайшие последователи Лейбница и Ньютона........................ 142

§ 2. Формальное развитие теории рядов......... 148

§ 3. Дальнейшая разработка дифференциального и интегрального исчисления ..... ............ ...... 166

Глава VIII. Дифференциальные уравнения.......... 182

§ 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения.......182

§ 2. Дифференциальные уравнения с частными производными 196

Глава IX. Вариационное исчисление. Исчисление конечных разностей и интерполирование ............. 215

§ 1. Вариационное исчисление................215

§ 2. Исчисление конечных разностей и интерполирование . . 221

ЧАСТЬ ВТОРАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ

Глава I. Аналитическая геометрия на плоскости, в частности теория конических сечений .......... ... 228

§ 1. Создание аналитической геометрии Ферма и Декартом . . 228

§ 2. Современники и последователи Декарта........ 239

§ 3. Развитие аналитической геометрии, начиная с систематического исследования высших кривых...........256

§ 4. Предыстория аналитической геометрии. Терминология . . 265

Глава II. Аналитическая геометрия в пространстве и поверхности 269

§ 1. Введение пространственных координат ..........269

§ 2. Поверхности второго и высших порядков.........275

Глава III. Общая теория кривых высшего порядка.......283

§ 1. От Декарта до Ньютона и его последователей......283

§ 2. Де-Гюа, Эйлер, Крамер и их последователи...... 292

Глава IV. Специальные кривые..............303

§ 1. Специальные плоские кривые........ .......303

1. Кривые 3-го порядка.................303

2. Кривые 4-го порядка...... . ......... 304

3. Алгебраические кривые высшего порядка....... 305

4. Трансцендентные кривые............... 306

5. Производные кривые ................309

§ 2. Специальные пространственные кривые ......... 310

1. Кривые на шаре............... . . 310

2. Винтовые линии................... . 311

Глава V. Дифференциальная геометрия...........313

§ 1. Геодезические линии ...................313

§ 2. Общие пространственные кривые и развертывающиеся поверхности....................... . 319

§ 3. Общие поверхности ...................315

Глава VI. Учение о перспективе и начертательная геометрия . . . 329

§ 1. Перспектива................... . . 329

§ 2. Начертательная геометрия ................337

Глава VII. Начало развития проективной геометрии ....... 339

Глава VIII. Тригонометрия................344

§ 1. Развитие тригонометрии до Эйлера............344

§ 2. Заслуги Эйлера в преобразовании и дальнейших успехах тригонометрии ........... ... ........ 361

§ 3. Современники и последователи Эйлера . . . ......366

1. Развитие тригонометрии................366

2. Таблицы. Дифференциальная тригонометрия ..... 373

3. Система тригонометрии к концу XVIII столетия .... 377

Глава IX. Элементарная геометрия.............380

§ 1. Издания классиков и словарей............. . 380

§ 2. Учебники........................ 382

§ 3. Отдельные исследования по элементарной геометрии . . . 384

§ 4. Начатки неевклидовой геометрии.............389

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ В ПЕРВОЙ ПОЛОВИНЕ XIX СТОЛЕТИЯ

Глава I. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей 395

§ 1. Введение........... ............395

§ 2. Арифметические вычисления...............397

§ 3. Буквенное исчисление. Комплексные величины......398

§ 4. Комбинаторика. Определители............. 401

§ 5. Теория вероятностей................... 403

§ 6. Теория чисел................... . 405

§ 7. Числовые уравнения ........ .......... 408

§ 8. Общая теория уравнений и групп........... . . 410

Глава II. Высший анализ................414

§ 1. Дифференциальное и интегральное исчисление. Ряды . . . 414

§ 2. Дифференциальные и функциональные уравнения.....418

§ 3. Вариационное исчисление. Исчисление конечных разностей.

Интерполирование ....... ........ .... 422

§ 4. Теория функций комплексного переменного........425

§ 5. Эллиптические функции.................426

§ 6. Алгебраические функции, их интегралы и обращения последних.......................430

Глава III. Геометрия..................433

§ 1. Аналитическая геометрия.................433

1. Общее развитие.................... 433

2. Отдельные факты.................. 435

§ 2. Проективная геометрия.................. 439

1. Общее развитие................... 439

2. Отдельные факты, в частности касающиеся конических сечений ..... ......... .......... 442

§ 3. Поверхности второго порядка..............446

§ 4. Системы поверхностей второго порядка. Пространственные кривые третьего и четвертого порядков........ 451

§ 5. Высшие плоские кривые .............. 453

§ 6. Дифференциальная геометрия .............. 456

1. Пространственные кривые ...............456

2. Поверхности...................... 457

§ 7. Начертательная геометрия ................459

§ 8. Элементарная тригонометрия...............461

§ 9. Элементарная геометрия................. 463

§ 10. Неевклидова геометрия.................466

Библиография.....................469

Именной указатель...................493

ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ПЕРЕВОДУ

В литературе по истории математики на русском языке до сих пор имеется серьезный пробел. У нас есть ряд книг по общей истории математики до XVII в. включительно и немало работ по отдельным вопросам развития математики в XVIII—XX вв., но нет сводного труда, специально посвященного последним двум с половиной столетиям. Отсутствие такого труда остро ощущается научными работниками, а особенно студентами и преподавателями университетов и педагогических институтов, где история математики входит в число обязательных или факультативных курсов. Глубокие «Лекции по истории математики в XIX столетии» Ф. Клейна (ч. I, М.—Л., 1937) ценны для всякого, изучающего математику этого времени, но, во-первых, в них не затронут XVIII в., и, во-вторых, оставлен в стороне ряд направлений и проблем, лежавших вне круга интересов Клейна. Предлагаемый перевод имеет целью отчасти восполнить указанный пробел.

Имя автора настоящей книги, выдающегося немецкого историка математики Генриха Вилейтнера (1874—1931)1), известно советским читателям по его «Хрестоматии» и популярной брошюре «Как рождалась современная математика». Данная книга составлена из трех частей, вышедших в разное время. Первая и вторая части содержат историю арифметики, алгебры, анализа и, соответственно, геометрии и тригонометрии от Декарта до 1800 г.2). Третью часть образует последний отдел 2-го тома другой работы Вилейтнера по общей истории математики3), посвященный пятидесятилетию с 1800 по 1850 год.

1) Некролог Г. Вилейтнера, написанный Ю. Рушка, см. в Isis, XVIII, 1, № 52 (1932). К некрологу приложена библиография работ Вилейтнера (около 150 названий).

2) Н. Wieleitner, Geschichte der Mathematik, II Teil. Von Cartesius bis zur Wende des 18. Jahrhunderts. I Hälfte. Arithmetik, Algebra, Analysis. II Hälfte. Geometrie und Trigonometrie. Leipzig, 1911—1921.

3) H. Wieleitner, Geschichte der Mathematik. II. Von 1700 bis zur Mitte des 19. Jahrhunderts. Berlin und Leipzig, 1923, стр. 53—147.

В книге Вилейтнера дано, вообще говоря, точное и вместе с тем краткое, особенно в третьей части, изложение развития отдельных математических дисциплин и их разделов. Автор сообщает сведения почти обо всех работах и результатах, оставивших сколько-нибудь заметный след в математике. В тексте всегда приводятся указания на первоисточники, а в конце книги имеется обширный список дополнительной литературы, в который включены общие работы, биографии, сочинения классиков, специальные монографии и статьи. В русском издании эта библиография значительно дополнена новой литературой на русском и иностранных языках. Богатство фактического материала и обилие библиографических справок — сильная сторона настоящей книги, которая не утратила ценности и к настоящему времени. Конечно, за время, прошедшее после появления книг Вилейтнера, был установлен ряд новых фактов: более детально изучена история некоторых наук (например, теории дифференциальных уравнений), впервые исследовано рукописное наследие некоторых ученых (например, Торричелли и Дж. Грегори). Указания на отдельные более важные пробелы изложения сделаны в подстрочных примечаниях редактора, с отсылкой к литературе вопроса. Некоторые устарелые мнения автора также отмечены в редакционных примечаниях.

Слабой стороной данной книги является отсутствие в ней широких обобщающих идей, невнимание автора к методологическим проблемам науки и ее истории. Вилейтнер ограничивается описанием постепенного накопления математических результатов. Он оставляет в стороне общественные условия развития математики, его движущие силы, связи математики с техникой, естествознанием и философией.

Заметим, наконец, что Вилейтнер был недостаточно знаком с историей математики в России и его изложение работ русских ученых, даже таких, как Н. И. Лобачевский и М. В. Остроградский, весьма неполно. Необходимые сведения читатель найдет в сочинениях советских историков науки, приведенных в списке литературы.

Первая и вторая части переведены мною, третья — Н. В. Леви. Перевод проверили И. Г. Башмакова и Л. А. Сорокина.

15VI 1958. А. П. Юшкевич

При подготовке второго издания я внес отдельные уточнения в текст и редакционные примечания, а также дополнил Библиографию.

29X11 1965. А. П. Юшкевич

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЙ АВТОРА1)

Для составления первой части была использована рукопись А. Браунмюля. Она заключала в себе, с некоторыми пробелами, историю арифметики, алгебры, теории чисел, исчисления бесконечно малых и дифференциальных уравнений. Для того чтобы получилась цельная первая часть, составителю пришлось добавить главы о комбинаторике и теории вероятностей, о конечных разностях, интерполировании и вариационном исчислении. Но и подготовка других глав представила больше трудностей, чем казалось первоначально. Некоторые отделы работы Браунмюля возникли еще до 1904 г., так что необходимо было привлечь материал, собранный с тех пор преимущественно Г. Энестремом в Bibliotheca mathemathica. Г. Энестрем сам бескорыстно предоставлял в мое распоряжение свои выдающиеся познания, за что я выражаю ему сердечную благодарность.

При указании источников я ограничился сообщением года издания соответствующей книги или выпуска журнала2). В последнем случае к году издания я присоединяю в скобках год действительного выхода в свет, если последний был указан на титульном листе. Для истории математики этот год выхода много важнее формального текущего года издания, который отличается часто на несколько лет, — важнее не только потому, что влияние какой-либо работы может

1) Первые две части настоящей книги в немецком издании составили вторую часть «Истории математики» в серии Шуберта, первую часть которой написал З. Гюнтер (S. Günter, Geschichte der Mathematik, I Teil. Von den ältesten Zeiten bis Cartesius. — Sammlung Schubert. Leipzig, 1908). Составление второй части было поручено А. Браунмюлю, который, однако, скончался, не доведя работу до конца. Вилейтнер, написавший эту часть, частично использовал посмертные материалы Браунмюля, о чем и говорится в предисловии. — Прим. ред.

2) Дату представления статьи ее автором я указываю лишь иногда. Все, что известно в этом отношении об Эйлере, содержится в Verzeichnis der Schriften Leonhard Eulers Г. Энестрема. (Указатель сочинений Эйлера помещен также в сб. «Рукописные материалы Л. Эйлера в Архиве Академии Наук СССР», т. I. Составители: Ю. X. Копелевич, М. В. Крутикова, Г. К. Михайлов и Н. М. Раскин, M. —Л,, 1962. — Прим. ред.)

начаться обычно лишь после публикации, но и потому, что год выхода является крайним пределом времени составления статьи (ср. стр. 189). Таким образом, хотя ссылки библиографически не полны, но на основании их все же можно, по большей части, проверить правильность сообщаемых сведений.

Если при указании источников удалось достичь известной полноты и точности, то это является заслугой главным образом того же Г. Энестрема.

На сочинения по истории математики в тексте ссылок не имеется. Поэтому в конце приложен указатель литературы и, в частности, той, которая была использована мною. Более подробные сведения можно найти в книге Ф. Мюллера: F. Müller, Führer durch die mathematische Literatur (Leipzig, 1909), в которой специально учтены сочинения, важные для истории математики.

Я нигде (за одним исключением) не занимаюсь критикой данных, приводимых в других исторических трудах. Но если изложение в этой книге в каких-нибудь пунктах отклоняется от предшествующих работ, то читатель может быть уверен, что на это у меня имелись достаточные основания (с той оговоркой, что человек вообще может ошибаться).

В заключение выражаю благодарность З. Гюнтеру и Ф. Мюллеру за дружескую помощь при чтении корректур.

Май 1911 г.

Вторая часть была составлена в согласии с теми же установками, что и первая. Там, где автор не мог основываться на собственных исследованиях, он обращался к наилучшим вторичным источникам.

Г. Энестрем любезно проверил правильность ссылок на источники при чтении корректур. Ему, как и Ю. Тропфке, который мне также помог в корректуре, я обязан рядом ценных замечаний и дополнений. Им обоим я выражаю сердечную благодарность.

Ноябрь 1920 г.

История

МАТЕМАТИКИ ОТ ДЕКАРТА ДО КОНЦА

XVIII

СТОЛЕТИЯ

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ

АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА, АНАЛИЗ

ГЛАВА ПЕРВАЯ

АРИФМЕТИКА

§ 1. Теоретическая арифметика

трогое различие между «видовой логистикой» и «числовой логистикой», алгебраическим и числовым вычислением проводил Ф. Виет (Цейтен, ч. III, стр. 111)1). Постепенно упрощая тяжеловесную систему записи и обозначений Виета, его последователи сначала попытались разработать законы буквенного исчисления, опираясь на исчисление рациональных чисел. Лишь позднее, когда алгебраическое исчисление достаточно окрепло и было распространено также на иррациональные числа, стало возможным рассматривать числовое исчисление только как частный случай алгебраического. Вместе с тем возникла возможность объяснить обыкновенные правила счета с помощью теоретической арифметики и тем самым способствовать прогрессу вычислений и коренной реформе школьного преподавания. Одним из первых связал элементарную арифметику с усовершенствованным буквенным исчислением Виета английский ученый У. Оутред, простой сельский священник, имя которого встречается в различных областях математики.

1) Здесь и далее так обозначены ссылки на книги: Г. Цейтен, История математики в древности и в средние века. Перев. П. С. Юшкевича, М.—Л., 1938 (Цейтен, ч. I); Г. Цейтен, История математики в XVI и XVII веках. Перев П. Новикова, обработка М. Я. Выгодского, М.—Л., 1938 (Цейтен, ч. II). — Прим. ред.

Действительно, в труде, опубликованном впервые в 1631, под названием «Ключ к математике» (Clavis mathematiсае)1) он сначала показывает, как производятся отдельные действия над определенными числами, а затем устанавливает правила исчисления с общими числовыми знаками. Например, в случае, когда Оутреду нужно вычесть из 6 —j13 сумму -rg- и 2-77)-, он, разобрав эту операцию, пишет: «Сложи у и Z, сумма есть —^—, из -g вычти -gr, останется — Bq 0 D ся —вс » и т. д. Выражение Bq, в котором виетовское «quadr.» сокращено до q, обозначает здесь В2. Подобным же образом вместо Л10 Оутред писал Aqqcc, вместо 10Л9£ у него стояло 10 АсссЕ и т. д. Последовательная запись знаков q (квадрат), с (куб) соответствовала, таким образом, сложению показателей. Аналогично было его обозначение корней: VrqqA это Y A, У ccccAcBqq это V Л354 и т.д. Впрочем, для У1000 У него имелась также запись V | 1211000 и для yïô обозначение 10. Пропорции он записывал в виде А • а : : В • ß, для уравнений же пользовался знаком равенства, предложенным Рекордом2). Оутреду обязан происхождением также знак умножения в виде креста, хотя он вместо АхВ часто писал просто AB. Знак умножения в виде точки встречается в 1631 у Гарриота (см. ниже) и в 1693 у Лейбница в одном письме к Лопиталю. Однако во всеобщее употребление в качестве знака умножения точка вошла лишь благодаря неоднократно переиздававшимся «Основаниям всех математических наук» (Anfangsgründe aller mathematischen Wissenschaften, 1-е изд., 4 тома, 1710) Христиана фон-Вольфа. В этом сочинении применено было также в качестве знака деления двоеточие, которым иногда пользовались в пропорциях еще Оутред в 1657 и Дж. Грегори в 16683) и которое Лейбниц предложил в Acta Erudi-

1) Заголовок первого издания начинается словами Arithmeticae etc. institutio. В 1647 вышел английский перевод под названием The Key of the Mathematicks.

2) Это различие между символами = и : : в Англии проводится и в настоящее время. Знак равенства Рекорда (1556) отличался от нынешнего лишь тем, что был несколько длиннее.

3) Оутред в «Таблицах синусов, тангенсов, секансов и логарифмов синусов и тангенсов» (Canones sinuum, tangentium, secantium et logarithmorum pro sinubus et tangentibus, Лондон, 1657); Грегори в «Геометрических этюдах» (Exercitationes geometricae, Лондон, 1668),

torum в 1684. Лейбниц же (в одной работе, опубликованной только в новейшее время) впервые стал записывать пропорцию в обычной для нас форме а : b = c \ d. Перед этим он, как еще раньше Ф. Дюлоран в «Математических примерах» (Specimina mathematica, Париж, 1667), применял для равенства знак I |.

Возведение в степень двучленов и извлечение квадратных и кубических корней Оутред также разъяснил на общих числовых знаках. Им были разобраны вычисления с десятичными дробями. Как мы увидим, он много занимался тригонометрией, а десятичные дроби применялись тогда именно в тригонометрии. Он даже впервые опубликовал способ сокращенного умножения и деления десятичных дробей, по которому производим эти действия и мы1); правда, еще до Оутреда этот способ был известен И. Бюрги (Цейтен, ч. II, стр. 136). Обозначение десятичных дробей у Оутреда ясно из следующего образца: вместо 3794,236 он писал 37941236.

Сочетание арифметических и алгебраических действий встречается также в первом (шеститомном) «Курсе» всех отделов математики, изданном французом П. Эригоном в 1634 и 1644 на латинском (Cursus mathematicus) и французском языках. Чтобы обойтись без употребительного ранее словесного изложения, Эригон создал специальный символический язык. Например,

IZZI6,71_142 2|2 6 + IZI6

у него обозначало 6 • 7 = 42 = 6 + 62.

Знак равенства представлялся, таким образом, в виде |__| или, чаще, в виде 2|2; место наших знаков для «больше» и «меньше» занимали символы 3|2 и, соответственно, 2|3. Для многократно применявшихся пропорций Эригон ввел обозначение

а я b 212 end,

которое имело, однако, меньший успех, чем обозначение Оутреда. С помощью своего богатого символического языка, страдавшего еще некоторой тяжеловесностью, но представлявшего несомненный прогресс по сравнению с прежним, Эригон сумел коротко и точно выразить теоремы всех областей математики, рассмотренных в его энциклопедическом труде.

1) Метод Оутреда позднее усовершенствовал Ж. Фурье в «Анализе определенных уравнений» (Analyse des équations déterminées, Париж, 1831). См. J. Lüroth, Vorlesungen über numerisches Rechnen, Лейпциг, 1900.

В то время как Оутред, подобно Виету, для обозначения числовых величин пользовался еще прописными буквами латинского алфавита, Т. Гарриот в книге «Применение аналитического искусства к решению алгебраических уравнений» (Artis analyticae praxis ad aequationes algebraicas resolvendas; издано посмертно в 1631 У. Уорнером) употреблял уже строчные буквы. С тех пор последние начали быстро входить в обиход, так как им отдали предпочтение Ренэ Декарт в знаменитой «Геометрии» (Géométrie, 1637), Эригон и Дж. Валлис в «Алгебре» («Исторический и практический трактат по алгебре», Treatise of Algebra both historical and practical, англ. изд. 1685, расширенное латинск. изд. в т. II Opera, 1693). Употребление букв было вскоре дополнено введением индексов. В форме 2С, ЗС индексы применялись еще в 1649 Ф. ван-Скаутеном в латин. издании «Геометрии» (Geometria) Декарта, а затем Лейбницем (Acta Erud., 1682 и след.) и Ньютоном в «Математических началах натуральной философии» (Philosophiae naturalis principia mathematica; 1687). В «Методе разностей» (Methodus differentialis, 1711) Ньютон неоднократно пользовался ими уже почти в современной форме Cl, С2. С усовершенствованием книгопечатания индексы начали постепенно ставить ниже строки, как это делал, быть может, в своих рукописях еще Лейбниц (ср. стр. 41—42).

Вместо обозначения степени, с которым мы познакомились у предшественника Гарриота — Оутреда, автор «Применения аналитического искусства» ввел запись аау ааа и т. д.1), которой Эригон придал затем более простой вид: а2, аЗ,.. . Быть может, именно последнее обстоятельство привело Декарта к созданию современной символики (1637). Впрочем, уже в 1636 один шотландский математик Дж. Юм опубликовал в Париже книгу «Новая алгебра Виета» (L'Algèbre nouvelle de Viète etc.), в которой римские цифры играли роль настоящих показателей степени; например, одно уравнение имеет у него вид Ат—ААН égal à X. Общие показатели степени встречаются кое-где у Валлиса (Mathesis universalis, Oxoniae, 1657, т. е. «Универсальная математика», Оксфорд), но более широкое распространение они получили лишь благодаря Ньютону и Лейбницу. Гарриоту мы обязаны еще нашими знаками > и < для отношений «больше» и «меньше».

В качестве показателей корня цифры и буквы употреблялись иногда Валлисом, который, например, писал VdRd = R.

1) Впрочем, уже М. Штифель в 1553 употреблял обозначения 1ААА, \ВВ и т. п. там, где мы пишем для х3, y2v„

Последовательное применение они получили у Ньютона. Наша теперешняя запись стала постепенно укореняться после того, как нашла регулярное употребление в «Трактате по алгебре» (Traité d'Algèbre, 1690) M. Ролля и в «Началах математики» (Elemens des Mathématiques, 1675) Ж. Престэ. Можно сказать, что, начиная с вышеназванного труда Декарта, буквенное исчисление приобрело тот самый облик, которым оно обладает и ныне. Правда, некоторые из приверженцев Декарта пользовались еще вместо рекордовского знака = декартовым знаком равенства эо, однако, первый вскоре получил общее распространение. Во второй половине XVII столетия во Франции вместо нашего знака = встречался еще знак ||, ибо символ = в выражении а = Ь обозначал у Виета и Декарта абсолютное значение \а—Ь\.

Виет и его последователи строили алгебраическое исчисление на геометрическом основании; вообще вся математика выросла из геометрических представлений. Положение вещей изменилось по выходе «Геометрии» Декарта (в оригинальном издании являвшейся лишь одним из трех приложений к столь же знаменитому Discours de la méthode etc. — «Рассуждению о методе»). Хотя уже Оутред излагал буквенное исчисление в тесной связи с числовой арифметикой, но только Декарт ясно понял, что буквенное исчисление должно быть построено на арифметической основе. Для этой цели он ввел произвольно выбираемый единичный отрезок и показал, как можно с его помощью вывести все основные действия арифметики из античной теории пропорций. Полученные таким образом определения действий оказывались поэтому справедливыми и для иррациональных чисел — обстоятельство, на которое Виет обратил внимание лишь случайно. Для Декарта не было уже теперь обязательным оперирование только однородными формулами, как делали Виет и соперник Декарта Ферма. Выбор определенной единицы делал возможными и неоднородные выражения, члены которых можно было рассматривать как числа. Первая попытка дать объяснение и обоснование действий, производимых над иррациональными числами, была предпринята лишь в XVIII столетии Кестнером (ср. стр. 22).

Важность шага, сделанного Декартом, была понята отнюдь не сразу. Так, например, знаменитый оксфордский профессор Дж. Валлис, из многочисленных сочинений которого два были посвящены вычислительной и теоретической арифметике, стоял еще почти целиком на почве Виета и Оутреда. В его «Универсальной математике» (1657) числовое и алгебраическое исчисление следуют все время рука об руку. Обозначения его были взяты главным образом у

Оутреда, например, для десятичных дробей, которые он, впрочем, иногда писал и в современной форме. Но Валлис имеет вместе с тем серьезные заслуги в арифметике. Он подверг подробному разбору различные числовые системы и исследовал представление чисел в троичной, четверичной и тому подобных системах. Он впервые дал безупречную математическую трактовку староиндусского способа проверки с помощью девяти и впервые же проанализировал все задачи, какие могут возникнуть в арифметической и геометрической прогрессиях; оперируя общими величинами, он расположил эти задачи в форме таблиц. Далее, в «Трактате по алгебре», (1685 и 1693) он исследовал приведение обыкновенных дробей к десятичным и изложил важнейшие свойства простых и смешанных периодических дробей, к которым пришел еще в 1657 в «Универсальной математике». Для него не осталось неизвестным и обратное превращение такой десятичной дроби в обыкновенную, так же как и то обстоятельство, что извлечение корней доставляет непериодические десятичные бесконечные дроби, образующие особый род чисел. От Валлиса исходит также употребление слова «мантисса» (т. е. дополнение), которое он применял для обозначения десятичных мест дроби.

Положительные и отрицательные числа Валлис определял как числа, друг другу противоположные (прибыль и потеря). Декарт, а ранее Штифель и Жирар характеризовали отрицательные числа как меньшие, чем «ничто». Однако в одном случае Валлис из неравенства ^ < — для натуральных чисел заключил, что

т. е. что отрицательные числа больше бесконечности. Эту же точку зрения позднее высказал и Эйлер [Nov. Comm. Petr., 1754/55 (1760)]. Исаак Ньютон, с 1673 по 1683 читавший в Кембридже лекции, опубликованные вопреки его желанию в 1707 У. Уистоном под названием «Всеобщая арифметика» (Arithmetica universalis), также определил отрицательные числа как меньшие, чем «ничто», понимая под последним нуль. Вскоре это определение перешло в учебники. В Германии оно получило распространение благодаря книгам Хр. фон-Вольфа (см. стр. 14) и удержалось надолго. Затем Эйлер в «Основаниях дифференциального исчисления» (Institutiones calculi differentialis, 1755) показал, что положительные и отрицательные числа связаны переходом через бесконечность, благодаря чему нашел объяснение па-

радокс Валлиса. После возникновения понятия предела стало применяться толкование нуля как предела дроби с произвольно возрастающим знаменателем, — точка зрения, не чуждая еще индусам. Это представление перешло в XVIII столетии в учебники алгебры; его можно найти в книге В. Карстена «Система математики» (Lehrbegriff der gesamten Mathematik, 8 томов, 1767/77).

Обратные значения степеней, вроде -i, Валлис в своей «Алгебре» рассматривал как степени с отрицательными показателями (лг2). Он, далее, индуктивно установил делимость двучлена ап±Ьп на а±Ь. Ньютон в «Арифметике» подробно рассмотрел деление двух многочленов, причем указал на необходимость располагать делимое и делитель по возрастающим или убывающим степеням одной и той же величины. Ньютон же привел новый способ определения делителей многочлена. Соответствующее доказательство, пропущенное у Ньютона, было сообщено в 1709 Лейбницу Николаем I Бернулли. Этим вопросом в том же году занимались в своей переписке сам Лейбниц и Я. Герман. Мы уже упоминали, что Ньютон применял общие показатели. Это позволило ему представить бином (а + Ь)п в общем виде. Так как его не смущали дробные показатели, то он смог найти разложение и для (а + Ь)™-'71 в бесконечный ряд, именно биномиальный ряд, о чем мы подробнее расскажем в истории учения о рядах. Значение дробных показателей, до Ньютона случайно применявшихся еще Оремом, Жираром и Стевином (Цейтен, ч. I—II), и вычисления с ними были детально исследованы в превосходных «Началах алгебры» (Elemens d'Algèbre, Париж, 1746) А. К. Клеро. В этой же книге Клеро показал, как извлекать квадратные и кубические корни из алгебраических многочленов1).

В построении своей алгебры, которому он предпослал полное изложение числовой арифметики, Валлис не двинулся дальше своих предшественников. Приводимые им доказательства правил алгебраических действий обладали лишь внешним правдоподобием. Во всяком случае, они уступали доводам одного более раннего сочинения, опубликованного под названием «Теория и практика арифметики» [Arithmeticae theoria et praxis, Lovanii (Лувен), 1656] бельгийским иезуитом А. Таке, имя которого пользовалось тогда в математическом мире большой популярностью. Хотя Таке

1) Впрочем, подобные извлечения корней встречались еще у алКараджи (около 1010, см. Цейтен, ч. I, стр. 200—201), М. Штифеля (1544 и 1553, см. Цейтен, ч. II, стр. 137).

оставил в стороне вычисления с буквенными величинами, зато он снабдил все свои теоремы и правила доказательствами. Как справедливо утверждал он сам, до него в таком объеме этого еще никто не предпринимал. В своем сочинении Таке особенно подчеркивает значение вычислений с десятичными дробями, видя их смысл и пользу в том, что они позволяют обходиться по существу без каких бы то ни было вычислений с дробями; вообще это обстоятельство тогда еще долго не замечали. Следует еще добавить, что в главе о прогрессиях он вывел сумму бесконечной убывающей геометрической прогрессии из суммы прогрессии с конечным числом членов путем предельного перехода1).

После того как Эригон положил начало, стали появляться различные сочинения, охватывавшие всю математику в целом. Таким был «Курс математики или полная энциклопедия всех математических дисциплин» [Cursus mathematicus sive absoluta omnium mathematicarum disciplinarum Encyclopaedia, Herbipoli (Вюрцбург), 1661, in folio] иезуита К. Шотта, затем широко распространенный «Курс или мир математики» (Cursus seu mundus mathematicus, Lugduni (Лион) 1674, 3 тома, in folio) Дешаля, «Курс математики» (Cours de mathématique, Париж, 1693, 5 томов, in 8°) Озанама и упомянутый на стр. 16 труд Престэ (Париж, 1675). Все эти авторы излагали и арифметику, но не предлагали заслуживающих внимания новинок; они, за исключением Престэ, даже не доказывали приводимых теорем и не устанавливали связи между числовой арифметикой и буквенным исчислением. По своему значению их курсы вследствие этого вовсе не стоят на одном уровне с работами Эригона, Оутреда, Валлиса и Таке. Лишь «Начала универсальной математики» (Elementa Matheseos universae, 1713/41, 5 томов) Вольфа, примыкающие к его «Основаниям всех математических наук» от 1710, вновь придали больший вес доказательствам и систематическому построению, оказавшись в силу этого на высшей арифметической ступени.

Своеобразную роль играли вплоть до середины XVIII столетия логарифмы. Известно (Цейтен, ч. II), что они возникли в результате сопоставления членов арифметической и геометрической прогрессий и применялись только в качестве вспомогательного средства, упрощающего сложные вычисления, встречающиеся в тригонометрии и астрономии. Конечно, свойства логарифмов были известны и излагались на

1) Этот вывод, как показал Э. Бортолотти (Bolletino délia Unione matematica italiana, 1939, стр. 361—370), в основном заимствован был у Торричелли. — Прим. ред.

числовых примерах. Однако точно сформулировал их впервые Оутред в приложении ко второму изданию своего труда «Ключ к математике» (1648), хотя и у него свойства логарифмов не были записаны еще с помощью буквенных величин. Лишь в XVIII столетии их начали записывать порознь в виде L. ab = L. a + L. бит. д.; в такой форме, например, они приводятся ради краткости во введении к «Таблицам логарифмов» (Tables of Logarithms, Лондон, 1742) Гардинера. Логарифмирование не причислялось тогда к алгебраическим действиям. Это произошло лишь после того, как Эйлер в своем «Введении в анализ бесконечных величин» (Introductio in Analysin infinitorum, 1748) определил логарифмирование как второе обращение действия возведения в степень и, значит, логарифм как некоторый показатель степени1). Благодаря Эйлеру вошел в употребление знак логарифма /, примененный им еще в 1729 в письмах к Гольдбаху, вместо использовавшихся ранее сокращений «Loga» или «Log». Широкое распространение этот знак получил после того, как попал в «Основания арифметики, геометрии и тригонометрии» (Anfangsgründe der Arithmetik, Geometrie und Trigonometrie, Геттинген, 1758) геттингенского профессора А. Г. Кестнера, в «Начала арифметики, геометрии и т. д.» (Elementa Arithmeticae, Geometriae etc., Галле, 1757/68) И. А. Зегнера, бывшего профессором сначала в Геттингене, а позднее в Галле, и в другие учебники для высшего образования. Строгое различие символов / и log для обозначения натуральных и бригсовых логарифмов было рекомендовано впервые Коши в «Курсе алгебраического анализа» (Cours d'Analyse algébrique, 1821).

Попытка упростить логарифмирование сумм и разностей впервые встречается в сочинении Б. Кавальери «Сто различных задач для демонстрации применения и легкости логарифмов и т. д.» (Centuria di varii Problemi per dimostrari l'uso e la facilita dei logarithmi etc., Болонья, 1639). Если a>b и ищутся \og(a + b) и log(a—b), то полагается sin гр = = — ; тогда

Подобным же образом, если взять

1) Уже Лейбниц применял правила логарифмирования к показательным уравнениям. В одном письме к Я. Бернулли от 1694 он вывел таким образом из хх=у уравнение х log *=log у.

Эти же формулы встречаются затем вновь у одного врача из Глаца, И. Мушеля, получившего их, вероятно, самостоятельно (1696). В 1715 Вольф сообщил в Acta Eruditorum формулу

log (а + b) = log а — 2 log sin a,

где log tga= y (log a — log о). Схожей формулой пользовался французский астроном Деламбр (1788). Действительно плодотворными оказались таблицы логарифмов сумм и разностей, построенные уже в XIX столетии Ц. Леонелли (1802/03) и опубликованные Гауссом в 1812.

В то время как в сочинениях Валлиса и Ньютона буквенное исчисление являлось еще лишь обобщением числовой арифметики, в названных выше книгах Кестнера, Зегнера, Карстена и других оно от последней уже отделилось. Математики начали стремиться, как это в скромной форме проступало уже в работах Вольфа, к научно-систематическому изложению алгебраического исчисления, для чего старались снабдить отдельные правила действий точными доказательствами. Последнее, естественно, не могло удаться, ибо тогдашняя теоретическая арифметика не обладала прочным фундаментом, который в первую очередь необходим для построения научной системы.

В восемнадцатом столетии, как во времена Декарта и Ньютона, на математику смотрели как на «науку о величинах». В соответствии с этим число определяли как отношение или, по выражению Вольфа, «как то, что относится к единице, как одна прямая к некоторой другой прямой». Такое определение было не чуждо уже Декарту и почти дословно содержалось в «Арифметике» Ньютона. Лишь немногие все еще предпочитали держаться евклидова определения числа как множества единиц. Тем не менее общее понятие иррационального числа проникло в более широкие круги математиков только во второй половине XVIII столетия; во Франции, начиная с 1750, этому значительно содействовал Даламбер.

Отрицательные числа рассматривали, по Валлису, как противоположные положительным величинам (см. стр. 18). В «Основаниях арифметики и т. д.» (1758) Кестнер определял их так: «противоположными величинами называются величины одного рода, рассматриваемые при таких условиях, что одна из них уменьшает другую». В этом, конечно, намечалось расширение понятия числа, хотя и в весьма несовершенном виде. Слепой английский математик Н. Саундерсон в «Началах алгебры» (Elements of Algebra, 1740; немецкий перевод Грюзона, 1798) также принял это определение, но затем он без дальнейшего обоснования рассматривал знаки + и — как знаки действий. Однако по большей части поступали обрат-

ным образом: определяли + и — как знаки действий, а затем молчаливо употребляли их для обозначения положительных и отрицательных чисел. Так, например, поступал в своей уже упоминавшейся книге Клеро. Подобным же образом действовал в «Трактате по алгебре в трех частях» (A Treatise of Algebra in three parts, Лондон, 1748), составленном в качестве комментария к ньютоновой «Всеобщей арифметике», К. Маклорен. На этот же путь встал знаменитый Леонард Эйлер в его широко известном «Полном введении в алгебру» (Vollständige Anleitung zur Algebra, С.-Петербург, 1770)1). Имелись, однако, представители и третьего направления, не признававшие ни отрицательных чисел, ни многократных корней, ни мнимых чисел. К ним относятся англичанин У. Френд с его «Принципами алгебры» (Principles of Algebra, 1796) и еще раньше проживавший в Англии француз Ф. Мазер с его «Рассуждением о применении отрицательного знака и т. д.» (Dissertation on the use of the negative sign etc., 1758). Их алгебру называли арифметической, в противоположность символической алгебре, развившейся в XIX столетии.

Однако в XVIII столетии еще не достигли ясного понимания того, что отрицательные числа представляют собой закономерное расширение числовой системы. С этим связано и то, что правила умножения не получили в это время нигде точного обоснования, даже в знаменитых лекциях Лапласа в Политехнической школе. Только в одной статье С. Клюгеля, появившейся в 1795 в Archiv der Mathematik Гинденбурга, сделана была попытка установить формальные законы алгебры, причем автор весьма близко подошел к правильной концепции.

Разумеется, математики того времени хорошо ощущали неудовлетворительность такого положения вещей. Однако лишь в XIX столетии появились люди, открыто настаивавшие на необходимости реформы оснований арифметики и указавшие ведущие к ней пути. Первым из них мы назовем М. Ома. В небольшом сочинении «Критическое освещение математики вообще и евклидовой геометрии в особенности» (Kritische Beleuchtung der Mathematik überhaupt und der Euklidischen Geometrie insbesondere, 1819) он с особенной остротой указал на необходимость такого преобразования. Свои мысли он попытался развить в «Опыте совершенно последовательной системы математики» (Versuch eines vollkommen konsequenten Systems der Mathematik, 1822). Но так как деятельность Ома

1) Первое издание этой книги Эйлера вышло в русском переводе с рукописи: «Универсальная арифметика», т. I—II, СПб., 1768—1769. Перевели ее П. Иноходцев и И. Юдин. — Прим. ред.

лежит уже за пределами рассматриваемого нами времени, то мы лишь назовем имена ученых, заложивших основания формальной алгебры. Это — англичане Дж. Пикок, У. Р. Гамильтон, А. де-Морган и особенно немец Г. Ганкель.

Нам следует еще обратиться к истории мнимых чисел. Мы знаем, что уже в XVI столетии математики натолкнулись на мнимые корни уравнений. Однако использовать их почти не умели, и еще Декарт в своей «Геометрии» говорил, что эти величины никак нельзя себе представить, почему и назвал их «мнимыми», т. е. воображаемыми (по-латыни — «radices imaginariae»). Ньютон также привлекал мнимые величины лишь постольку, поскольку они встречались в виде корней уравнений. Только Дж. Валлису пришла мысль смотреть на мнимую величину у—be как на среднюю пропорциональную между положительной и отрицательной величинами. Он попытался также в «Алгебре» (1685) дать различные геометрические толкования чисто мнимых и комплексных величин, которые хотя и не вполне ему удались, но все же могли бы послужить основой для последовательной интерпретации. Но на это не обратили никакого внимания. Только возникновение новой отрасли математики — исчисления бесконечно малых — дало толчок изучению мнимых величин. В ходе занятий интегрированием дробных рациональных функций Лейбниц дал разложение на мнимые множители двучлена л:4-Ьа4 (Acta Erud., 1702 и 1703). В это же время его друг Иоганн Бернулли сообщил [Acta Erud., 1703 и Mém. Ac. Paris, 1702 (1704) зависимость, найденную им между логарифмом мнимого числа и действительным арксинусом, несомненно бывшую известной тогда и Лейбницу. Оба они произвели интегрирование выражении вида + . по формальным правилам, справедливым для действительных выражений. С этого времени начали постепенно развиваться формальные вычисления с мнимыми числами, не сопровождавшиеся, однако, изучением вопроса об их обосновании. А. де-Муавр, английский ученый, являвшийся по рождению французом, нашел важную теорему, носящую его имя (Philos. Trans., 1707, 1722 и Miscellanea analytica, 1730); мы ею займемся в следующей главе (ср. стр. 46).

Уже в 1714 Р. Котес в одной статье в Philos. Trans., включенной позднее в его «Гармонию мер» (Harmonia mensurarum, 1722), установил фундаментальное соотношение между тригонометрическими функциями и показательной функцией. Не зная, очевидно, об этом открытии, Эйлер привел затем то же соотношение в письме к Иоганну Бернулли [см. также Comm. Ac. Petr., 1740 (1750) и Misc. Berol., 1743]; впослед-

ствии он разработал его в восьмой главе I книги «Введения в анализ» (1748). Вслед затем Даламбер в «Размышлениях об общей причине ветров» (Réflexions sur la cause générale des vents, Берлин, 1747) и несколько позже в Mém. Ac. Berl., 1746 (1748) доказал, что всякое алгебраическое выражение, образованное из любого числа мнимых величин, может быть приведено к виду А + Ш, где А и В — действительные величины. Он даже говорил об интеграле от функции переменной x + iy и высказал мнение, что дифференциал f(x + iy)d(x + iy) всегда можно представить в виде dp + idq. Хотя последнее утверждение осталось пока недоказанным, справедливость его была принята вскоре всеми. В Hist. Ac. Berl., 1749 (1751) Эйлер дал более полные доказательства теорем Даламбера, показав их истинность для всех известных в то время функций. Особенно обстоятельно исследовал он при этом логарифмы отрицательных и мнимых чисел. Его исследования положили конец многолетнему спору во-первых между Лейбницем и Иоганном Бернулли и затем между Даламбером и самим Эйлером; Эйлер именно показал, что log х обладает бесчисленным множеством значений, среди которых одно действительное имеется в том и только в том случае, если х>0. Обозначение V — 1 буквой i также встречается впервые в одной статье Эйлера от 1777, увидевшей свет в четвертом томе 2-го издания «Оснований интегрального исчисления» (Institutiones calculi integralis, 1794). Впрочем, в обиход буква i была введена лишь Гауссом.

Несмотря на широкое употребление мнимых величин, ценность и значение которых выступали все более, представления о их сущности оставались вплоть до XIX столетия совершенно не ясными. Датский землемер К. Вессель первый открыл способ геометрического представления комплексных величин на плоскости, приписываемый обычно Гауссу. На этой основе он разработал в 1797 полную теорию, которую опубликовал в 1799 (см. стр. 158). Однако сочинение Весселя оставалось совершенно неизвестным, пока его не нашли в недавнее время снова. Не лучшая участь постигла содержавший такую же интерпретацию «Опыт некоторого представления мнимых величин и т. д.» (Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires etc., 1806) Ж. Аргана. Затем Гаусс, в диссертации которого от 1799 уже было намечено это геометрическое представление, строго установил в «Теории биквадратных вычетов» (Theoria residuorum biquadraticorum, 1828/31) общее понятие комплексного числа и доказал правомерность всех производимых над ним действий. Он ввел в этой работе термин «комплексное число» и назвал выражение а2 + Ь2 «нор-

мой» числа a + bi. Ранее того, в 1821, Коши назвал "|/a2 + ô2 тоже весьма употребительным словом «модуль». Коши также принадлежит наименование чисел а + Ы и а — Ы «сопряженными».

§ 2. Арифметические вычисления

В этом параграфе мы рассмотрим развитие арифметических вычислений и вспомогательных средств, созданных для их облегчения. Все содержание школьных руководств сводилось в XVII столетии к собранию правил (иногда их насчитывалось около 240), которые давались ученикам без всякого обоснования или доказательства, так что механическое усвоение расцветало самым пышным образом. Такое положение вещей возникло в Германии уже в конце XV столетия. В XVII столетии за ней последовали Франция и Англия, с соответствующим опозданием открывшие двери перед реформой, начавшейся в Германии в XVIII столетии.

Сочинения коссиста А. Ризе и его обоих сыновей, центральное место в которых занимало тройное правило (Regeldetri), дошли в многочисленных переизданиях до 1656. Сменившие их книги отличались либо только формулировкой их правил, как, например, в «Практической арифметике» (Arithmetica practica, 1698) Вендлера, либо еще усиливали механичность изложения, приводя правила в стихах; так поступил, например, Т. Бейтель в изданном в 1663 (?) труде «Саксонский кедровый лес, арифметика или весьма полезное счетное искусство» (Chursächsischer Cedernwald, eine Arithmetik oder sehr nützliche Rechenkunst), выдержавшем много изданий (7-е изд., 1693).

Положение, которое занимал в Германии А. Ризе, во Франции выпало на долю парижского математика Ф. Баррема, опубликовавшего в 1677 книгу «Арифметика или же легкая книга для самостоятельного изучения арифметики» (L'Arithmétique ou le livre facile pour apprendre l'arithmétique soimême), также неоднократно издававшуюся вплоть до 1779.

В Англии также имелся математик, сыгравший не менее важную роль, чем А. Ризе в Германии. Это был Э. Кокер (умер в 1675). Шесть различных сочинений по арифметике, написанных этим автором, господствовали в английском школьном преподавании почти столетие. Одна лишь «Арифметика» (Arithmetick), вышедшая в 1678, уже после смерти Кокера, выдержала 112 изданий. У Кокера, так же как в Германии и Франции, главенствующим являлось тройное правило, из которого естественно получалось множество других частных правил. Цепное правило, бывшее известным еще индийцу Брахмагупте (Цейтен, ч. I) и весьма ценившееся в торговых кругах, также широко применялось в Англии, Гер-

мании и Франции. В XVIII столетии оно даже оттесняло всемогущее тройное правило на задний план. Особенно содействовала распространению этого приема книга по арифметике К. Ф. ван-Рееса, родившегося около 1690 в голландской провинции Лимбург. Он выпустил свою книгу в 1735 на голландском языке; в 1737 она была переведена на французский, а Л. М. Кале перевел ее с французского на немецкий и издал в 1739 под названием «Общее правило арифметики» (Allgemeine Regel der Rechenkunst). Содержащаяся здесь схема применения цепного правила получила поэтому также название «правила Рееса». Столь значительный успех этого приема объяснялся, с одной стороны, все более нараставшим стремлением арифметиков заменить множество частных правил одним общим правилом, применимым во всех случаях, и, с другой стороны, тем, что употребление названного правила требовало весьма незначительных умственных усилий1).

Среди различных важных нововведений в практической арифметике XVII столетия нам нужно отметить лишь одно, принадлежащее великому Лейбницу, интересовавшемуся всеми математическими вопросами, которые ему попадались. Мы имеем в виду усовершенствование вычисления сложных процентов, ставшее возможным благодаря употреблению логарифмов, и правильное обоснование вычисления рент. В своей статье об учете (Acta Erud., 1683) Лейбниц показал теоретическую необходимость производить при вычислении наличной ценности учет не с валюты векселя, а с валюты, увеличенной на учетный процент. Тогда наличная ценность платежа С с годичным сроком получалась равной

где пг = —— и р— процент. Чтобы определить наличную ценность на год назад, нужно поэтому при р = 5 от суммы С

1) В России обучение арифметике в XVII в. велось по рукописным сочинениям. Первой печатной книгой на русском языке по арифметике явилось «Краткое и полезное руковедение во аритметыку» И. Ф. Копиевского (Амстердам, 1699), где на 16 страницах описаны нумерация и первые четыре действия. В 1703 г. в Москве была издана «Арифметика, сиречь наука числительная» преподавателя Московской навигационной школы Л. Ф. Магницкого, по ней обучались около полустолетия. В книге подробно изложены правила арифметики (включая тройное и правила ложных положений), измерение основных геометрических фигур, начала алгебры, тригонометрии и навигации; дается решение очень большого числа задач; всего «Арифметика» содержит 662 страницы. Руководство Магницкого приобрело чрезвычайную популярность и широко использовалось как в школах, так и для самообразования. — Прим. ред.

отнять а не 2Q-, как принимали ранее, в частности, по указаниям знаменитого юриста Б. Карпцова (умер в 1666).Для n-летнего срока Лейбниц совершенно правильно нашел учетную сумму равной Гт ) .Однако эти несложные выкладки получили надлежащее признание в Германии только после страстного и длительного спора в XVIII столетии. В Голландии и Англии наличную ценность рент умели правильно вычислять еще раньше. Это видно из работ Я. деВитта (1671) и Э. Галлея (1693). Мы подробнее займемся ими в четвертой главе.

Дальнейшее обогащение материала практической арифметики принесло с собой начало XVIII столетия. В 1705 только что упомянутый Галлей выпустил маленькую работу «О сложных процентах» (Of Compound Interest), в которой дал отсутствовавшее до того систематическое изложение вычисления сложных процентов и рент. Эта работа составляет четвертую главу введения к таблицам логарифмов Шервина. Интересно отметить, что во всех случаях Галлей писал формулы в буквенном виде, а для случая вычисления рент, когда ищется размер процента, он при решении уравнения

относительно q ^где ^=1 + "Щ' с — капитал, г — рента, п — время и р — процент) разработал весьма целесообразный приближенный метод. К формулам Галлея Эйлер присоединил во «Введении в анализ» (1748) так называемое уравнение амортизации

и решил его относительно п. Карстен во втором томе своей «Системы математики» (1768) добавил еще решения этого уравнения относительно г и с. Укажем также, хотя это уже и не вполне элементарно, а главное, не получило практического приложения, — что Як. Бернулли вычислил (Acta Erud., 1690) величину долга а, непрерывно нарастающего из — % годовых, равную к концу года ае , в форме ряда

Реформа методики преподавания арифметики в немецких школах вышла из ученых кругов. Уже И. X. Штурм дал в

своих «Краткой математике» (Mathesis compendiaria, Альтдорф, 1670) и «Юношеской математике» (Mathesis juvenilis, 1699 и 1701) сочинения, благодаря которым обучение математике становилось доступным и неспециалистам. Его сын Л. X. Штурм в «Кратком изложении всей математики» (Kurzer Begriff der gesamten Mathesis, 1710) продолжил работу отца. В «Основаниях всех математических наук» (1710) Хр. Вольф со всей энергией выступил на защиту системы преподавания, на первый план выдвигающей понимание и логическую тренировку ума. «Недостаточно, — писал он,— чтобы учитель говорил истину, необходимо еще, чтобы ученики понимали, что это истина». И далее, «излагая арифметику, нужно не только показывать правила, по которым можно найти требуемые числа, но должно ясно уразуметь, почему искомые числа могут быть найдены с помощью этих правил».

С этого времени действительно наметился поворот к лучшему, и предисловия ко всем позднейшим руководствам арифметики XVIII столетия стали подчеркивать охарактеризованную только что точку зрения. Превосходнейшей из этих книг, не знавшей в течение всего века соперников, была «Доказательная арифметика» (Demonstrative Rechenkunst, Лейпциг, 1732) Хр. Клаусберга, объемом в 1520 страниц. Клаусберг снабдил все правила необходимыми пояснениями и доказательствами, тщательно и исчерпывающе разобрал весь теоретический и практический материал арифметики. Здесь впервые давалось цельное и полное исследование вычисления процентов, детальное изложение вексельных вычислений, систематическое рассмотрение задач на смеси и специальная глава о счетах за тару. Так как книга предназначалась для практических целей, то буквенного исчисления автор вообще избегал. Зато в ней были изложены правила простого и двойного ложного положения, а также нашли применение бригсовы логарифмы, таблицу которых от 1 до 100 сам автор вычислил с 32 десятичными знаками.

Наряду с выдающимся сочинением Клаусберга мы назовем еще отличную «Пфортскую арифметику» (Arithmetica Portensis, 1748) И. Гюбша, учителя княжеской школы в Пфорте. И он придает главное значение пониманию отдельных действий и приемов; приложения у него отходят при этом на более далекий план, чем у Клаусберга.

Внутреннее сочетание буквенного исчисления с арифметикой вновь встречается в «Основаниях арифметики, геометрии и тригонометрии» (1758) Кестнера, в которых также был рассмотрен весь арифметический материал, включая логарифмы, и к которым примкнуло в 1786 «Продолжение ариф-

метики в приложении к различным деловым вопросам» (Fortsetzung der Rechenkunst in Anwendung auf mancherlei Geschäfte). Сочинения Кестнера, предназначавшиеся, главным образом, для высшей школы, постепенно вытеснили книги Хр. Вольфа, которые они превосходили своей большей основательностью и глубиной, хотя пространность их часто действовала утомляюще1).

Те же цели, что «Основания» Кестнера, преследовала упоминавшаяся уже выше и превосходная для своего времени «Система математики» Карстена. В первой части, вышедшей в 1767 в Грейфсвальде, Карстен систематически рассмотрел обычную арифметику, проводя при этом строгое различие между вычислениями с именованными и с отвлеченными числами. В задачах на именованные числа он пользовался решением с помощью уравнений, что тогда было еще мало принято. Так, например, он вывел при помощи уравнений правило смешения, для которого Эригон давал еще геометрическое доказательство. Престэ, правда, выразил его с помощью буквенных величин, но зато не доказал. Главная ценность работы Карстена заключается, однако, в систематическом построении буквенного исчисления, проведенном автором в той мере, в какой это было тогда возможно.

И в Голландии, где возникло «правило Рееса», постепенно пришли к убеждению в необходимости при обучении обосновывать правила арифметики. Об этом свидетельствуют «Первые основания арифметики» и «Основание числового и буквенного исчисления» (Eerste Beginselen der ReekenKunde, Гаага, 1769, и Institution du calcul numérique et littéral, Гаага, 1770), изданные Ж. Блассиером. Он алгебраически обосновывает учение о пропорциях и на этом строит алгорифм Рееса.

1) В России Эйлер опубликовал Einleitung zur Rechenkunst (2 части, СПб., 1738—1740), вышедшее также под названием «Руководства к арифметике» в русском переводе В. Ададурова и В. Кузнецова в Петербурге в 1740—1760 годах. Эйлер стремился соединить ясность изложения с основательностью доказательств, что удалось ему во многом лучше, чем другим современникам. Однако Эйлер написал только отделы о действиях с целыми и дробями и об именованных числах; намерение дать в следующих частях изложение правил коммерческой арифметики, десятичных дробей и логарифмов осталось невыполненным. Наряду с «Арифметикой» Магницкого книга Эйлера оказала большое влияние на некоторые последующие руководства, например, на учебники Н. Г. Курганова «Универсальная арифметика» (СПб., 1757), «Арифметика или числовник» (СПб., 1771 и др. издания).

На русском языке вышел также ряд учебников арифметики С. Румовского, Д. Аничкова и др., примыкающих к сочинениям Вольфа и его немецких последователей. Подробнее см. в библиографическом труде В. В. Бобынина, указанном в списке литературы в конце настоящей книги. — Прим. ред.

Несколько раньше в Дании тоже появилась «Математика для детей или датская школьная математика» (Mathesis puerilis eller Dansk Skole Mathematik, Копенгаген, 1765) О. А. Борреби, выступавшего против механического усвоения. Впрочем, книга Борреби не встретила, по-видимому, особенного сочувствия, ибо обещанная вторая часть света не увидала.

Во французских школах предреволюционного времени в большом ходу были «Начальные уроки математики» (Leçons élémentaires de mathématiques) астронома H. Л. де-Лакайля, впервые опубликованные в 1741. Хотя в них входила и теоретическая арифметика, но доказательствами она была снабжена весьма скудно, а буквенное исчисление к ней не привлекалось: это был несомненный шаг назад. В позднейших изданиях 1770 и 1784, редактированных аббатом Ж. Мари, профессором в Колледже Мазарини, обоснованию правил также не было уделено внимания1). Если это сочинение в неоднократных переводах на латинский и итальянский языки (до 1796) получило чрезвычайное распространение в Италии, то это показывает, что и в Италии преподавание стояло тогда не выше, чем во Франции.

Впрочем, и выдающиеся французские математики включали в свои руководства арифметические главы. Так, «Курс математики для гардемаринов» и «Курс математики для артиллерийского корпуса» (Cours de mathématiques à l'usage des gardes du pavillon et de la marine, Париж, 1764/69 и Cours de mathématiques à l'usage du corps de l'artillerie, Париж, 1770/72) Э. Безу, вышедшие в нескольких изданиях, содержали арифметику, делавшую больший упор, чем сочинение Лакайля, на теоретическое обоснование, хотя нигде не пользовавшуюся буквенным исчислением. Вычислениям с десятичными дробями автор здесь обучал, непосредственно примыкая к вычислениям с целыми числами. Сказанное относится также к «Элементарному трактату по чистой математике» (Traité élémentaire de mathématiques pures) Э. Лемуана, выпущенному в 1790 в Париже и предназначенному для менее успевающих учеников.

Выдающееся влияние на педагогические реформы, произведенные во Франции в конце XVIII столетия, оказал С. Фр. Лакруа. Среди его многочисленных превосходных руководств имеется и «Трактат по арифметике» (Traité d'Arithmétique), вышедший в Париже в 1797 и предназначенный для Центральной школы.

1) Последующие издания выпустили Ш. Тевено и Ж. Лабей (еще в 1811).

Из названных выше сочинений видно, что в конце XVIII столетия, т. е. значительно позднее, чем в Германии, и во Франции укрепилось мнение, что не следует обучать одним лишь приводимым без доказательства правилам арифметики и что момент доказательства обладает важным педагогическим значением, по крайней мере для преподавания в высшей школе.

В английских книгах XVIII столетия это убеждение проступает менее выпукло. Здесь все еще переиздавались старые работы Кокера (см. стр. 26), Э. Уингета (Natural and artificial arithmetick — «Естественная и искусственная арифметика», первое издание, 1630) и других, с их механически заучиваемыми правилами; впрочем, последняя книга была выпущена Дж. Додсоном в 1760 в значительно улучшенном виде. На более высоком уровне стоял предназначавшийся в первую очередь для практиков «Полный трактат по практической арифметике и бухгалтерии» (A complete Treatise on practical Arithmetic and Book-Keeping) математика Ч. Геттона, выдержавший ряд изданий (8-е датировано 1788). В нем, в частности, было уделено большое внимание вычислениям с десятичными дробями. Однако в тогдашней Англии усиленно занимались и двенадцатеричными дробями, например, в «Лучшем товарище землемера» (The measurers Best Companion) Т. Сеттона, вышедшем в 1785 в Грит-Ярмуте. Научный подход лучше всего был выражен в «Путеводителе школьника по арифметике» (The Scholar's Guide to Arithmetic), опубликованном в 1780 в Лондоне Д. Бонникестлем, профессором математики Вульвичской военной академии. В этой книге содержались доказательства правил арифметики, частью представленные в алгебраической форме. Восемнадцатое издание этой книги появилось еще в 1851.

Мы уже отмечали, что в XVII столетии десятичные дроби применялись только в астрономически-тригонометрических вычислениях. Положение вещей не менялось до конца XVIII столетия, в силу чего десятичные дроби в обыкновенных учебниках арифметики затрагивались, как правило, лишь мимоходом и подробнее разбирались лишь в руководствах, предназначенных для высшего образования. Перемена наступила с введением метрической системы мер и весов, о которой мечтали уже давно и которая явилась одним из прогрессивных последствий французской революции. Еще в 1585 голландец С. Стевин обратил внимание правительств на необходимость и пользу такого нововведения, но ему не удалось осуществить свои планы. Только в 1790 Франция положила начало созданию новой системы денег, мер и весов, которая была бы приемлемой для всех народов. Какой контраст

с тем фактом, что главное парижское счетоводство вплоть до XVIII столетия держалось римских цифр! Конвент учредил комиссию, в которую среди других вошли крупнейшие ученые этого великого времени — Лагранж, Лаплас и Монж. В качестве единицы длины решено было принять одну десятимиллионную часть четверти земного меридиана. Все остальные меры должны были быть установлены в зависимости от этой единицы и повсюду должно было быть проведено исключительно десятичное деление. Для точного определения новой единицы длины, —метра, — было предпринято новое градусное измерение меридиана, и на основе полученных результатов 24 апреля 1799 была введена новая система мер и весов. В течение XIX столетия большинство европейских государств также приняло метрическую систему. Благодаря этому десятичные дроби, столь долго представлявшие лишь научный интерес, внезапно приобрели выдающееся практическое значение. И хотя арифметическое содержание теории десятичных дробей, по крайней мере обыкновенных, не могло уже быть обогащено чем-либо новым, но зато они проникли в XIX столетии в школы; благодаря их простоте стало непрерывно возрастать и их значение в методике преподавания.

Среди людей, которые много сделали для введения десятичной системы, элементарными отделами математики интересовался знаменитый Лагранж. В 1795 он прочитал в основанной Конвентом в Париже Нормальной школе курс лекций по арифметике и алгебре. В этих лекциях, опубликованных в Séances des Ecoles normales (год III, т. е. 1794/95)1), Лагранж вновь изложил метод десятичного дополнения при вычитании чисел, бывший известным, вероятно, уже индусам, рассмотрел периодические десятичные дроби, дал общее буквенное доказательство теоремы, что произведение вычетов двух чисел по модулю третьего (или вычет этого произведения вычетов) равно вычету произведения обоих чисел. Стремясь к углублению понимания предмета, он обратил внимание на условия, при которых только и может применяться тройное правило. Именно, это имеет место, когда приращение зависимой величины пропорционально приращению независимой. Он высказал также некоторые соображения о значении правила смещения и коснулся при этом таблиц смертности (см. главу IV). Наконец, в задачах на смеси с несколькими сортами он воспользовался для получения целочисленных решений собственным приемом,

1) Имеется немецкий перевод Г. Нидермюллера под названием Mathematische Elementar-Vorlesungen, Лейпциг, 1880.

основанным на применении цепных дробей, с которым мы встретимся в главе о теории чисел.

Объем и значение учения об арифметических цепных дробях, встречавшихся еще в XVI столетии у итальянца Бомбелли, а затем у Катальди и нюрнбержца Швентера (Цейтен, II, стр. 163—164), в XVII и XVIII столетиях значительно возросли. Валлис в «Арифметике бесконечных» (Arithmetica infinitorum, Оксфорд, 1656) рассмотрел цепные дроби с произвольными числителями и знаменателями и привел для них закон образования подходящих дробей, который Швентер дал только для дробей с числителями, равными единице. Гюйгенс, у которого при конструировании планетария появилась необходимость выразить возможно точнее с помощью возможно малых чисел отношения времен обращения мировых светил, также употребил для этой цели цепные дроби и с успехом изучил ряд их свойств. Впрочем, трактующее об этом сочинение «Описание планетарного автомата» (Descriptio automati planetarii) было опубликовано по оставшимся после него бумагам только в 1703. Гюйгенс нашел, что числители и знаменатели подходящей дроби всегда взаимно просты, что она дает лучшее приближение, чем любая дробь с меньшим знаменателем, и что последовательные подходящие дроби бывают попеременно то больше, то меньше самой непрерывной дроби. Запись Гюйгенса совпадала с нашей. Но более всего продвинул учение о непрерывных дробях Л. Эйлер, впервые создавший настоящую их теорию. С одной стороны, он снабдил теоремы своих предшественников доказательствами, с другой — дал ряд новых теорем. Так, например, мы обязаны ему основным равенством

теоремой, что каждую рациональную дробь можно обратить в конечную, а каждую иррациональную — в бесконечную непрерывную дробь, и методом преобразования таких дробей в сходящиеся ряды и обратно. Резюме своих исследований об элементарных свойствах непрерывных дробей, начатых еще в Comm. Ac. Petr., 1737 (1744), он изложил во «Введении в анализ» в 1748; затем он дополнил свои результаты в многочисленных позднейших работах. Лагранж, как упоминалось, тоже много занимался непрерывными дробями (см. также его «Приложения» к французскому переводу «Алгебры» Эйлера, вышедшему в 1774) и, в частности, исследовал также непрерывные дроби со знакопеременными знаменателями. Но так как другие его работы о непрерывных дро-

бях относятся к теории чисел, алгебре и теории функций, то мы их дальше разбирать здесь не будем.

Обратимся теперь к вспомогательным средствам, применявшимся для облегчения вычислений. Наиболее важные из них, таблицы логарифмов, мы здесь рассматривать не будем, а займемся их историей в главе о тригонометрии. Кроме логарифмов, постепенно вошли в употребление еще и другие числовые таблицы. К ним относится таблица произведений Г. Гогенбурга1), заново вычисленная Крелле и расположенная им столь остроумно, что эту обширную таблицу удалось опубликовать в двух томах (in octavo) в 900 страниц (1820). В «Таблицах произведений и степеней чисел» (Tables of the Products and Powers of Numbers, Лондон, 1781, 8°) Ч. Геттона приводилась таблица, в которой один из множителей принимал значения от 1 до 100, а другой — от 1 до 1000; другая таблица этой книги содержала квадраты всех чисел до 25 400 и кубы до 10 000.

Таблица квадратов всех чисел от 1 до 10 000 была приложена еще иезуитом П. Гульдином к его книге «О центре тяжести» (De centro gravitatis, Вена, 1635, 4°)2). Но наиболее значительным произведением такого рода было появившееся в 1690 в Лейпциге «Табличное измерение четырехугольников» (Tetragonometria tabularia) Иоганна Лудольфа, в котором были помещены квадраты всех чисел до 100 000; автор показывал также, как его таблицу использовать для перемножения двух чисел по формуле ab = -j(a~\-b)2 — ~(а — bf И. Г. Ламберт, с которым мы еще нередко будем встречаться, установил в «Дополнениях к логарифмически-тригонометрическим таблицам» (Zusätze zu den logarithmisch-trigonometrischen Tabellen, 1770) правила, позволяющие определять, является ли какое-либо число квадратом. Подобные правила были указаны также в многочисленных статьях Эйлера.

В большем числе появлялись значительно более важные таблицы простых и составных делителей чисел. Среди них мы отметим лишь некоторые, например, таблицу простых чисел от 1 до 10 000 Ф. ван-Скаутена младшего, появившуюся в 1657 в его «Математических этюдах» (Exercitationes mathematicae), и таблицу всех делителей чисел от 1 до 102 000 Ламберта во втором томе его труда «Об употреблении математики» (Beiträge zum Gebrauche der Mathematik, Берлин, 1770), продолженную А. Фелькелем до 408 000. Фелькель

1) Это «Универсальные арифметические ... таблицы» (Tabulae Arithmeticae... universales, Аугсбург, 1610). — Прим. ред.

2) Впрочем, таблицы Маджини, вышедшие в 1592, уже дошли до квадрата 100 100.

довел, по-видимому, свои вычисления до 2 000 000, но результаты труда в его «Таблицах» (Tafeln, Вена, 1776) не приведены. Сам Ламберт определил простые числа до 101 977 и для их отыскания указал ряд теорем. Марси (1772) продолжил их отыскание до 400 000, а Вега во втором издании своих «Логарифмически-тригонометрических таблиц» (Tabulae logarithmo-trigonometricae, Лейпциг, 1797) привел таблицы множителей до 102 000. За первый миллион перешагнул лишь в 1811 голландец Л. Чернак (он дошел до 1 020 000), а за третий (до 3 036 000) —Иоганн Буркхардт в «Таблицах делителей всех чисел 1-го, 2-го и 3-го миллионов вместе с простыми числами» (Tables des diviseurs pour tous les nombres du 1. 2. et 3. million avec les nombres premiers, Париж, 1814/17). Наименьшие делители чисел 7-го, 8-го и частично 9-го миллионов по предложению Гаусса определил вычислитель Ц. Дазе (опубликовано посмертно, Гамбург, 1862/65); для 4-го, 5-го и 6-го миллионов их впервые установил Дж. Глешер в 1879/83. Венская Академия обладает еще неопубликованной рукописью, в которой Я. Ф. Кулик вычислил наименьшие делители всех чисел от 3-го до 100-го миллиона — гигантский труд, который до сих пор не мог быть напечатан1).

Хотя палочки Непера2) представляли собой весьма неудовлетворительное пособие при более сложных вычислениях, ими все же, по-видимому, нередко пользовались. Если в случае применения шкалы Гунтера3) еще приходилось пользоваться циркулем, то У. Оутред внес радикальное усовершенствование, применив две одинаковые шкалы, скользящие одна вдоль другой4), а С. Партридж придал этой «счетной линейке» нынешний вид, заставив скользить одну шкалу, движок, в пазу другой (см. его «Описание и употребление при-

1) Впрочем, Д. Лемер, выпустивший новейшую таблицу множителей (Factor table for the first ten millions, Вашингтон, 1909), нашел в таблице Кулика 226 ошибок только в 10-м миллионе.

2) В «Двух книгах о рабдологии или счете с помощью палочек» (Rhabdologiae seu numerationis per virgulas libri duo, Эдинбург, 1617) Непер описал действия на счетном приборе из 10 палочек (греческое «рабдос» — значит прут, палочка), на боковых гранях которых в определенном порядке нанесены произведения от 1.1 до 9.9. — Прим. ред.

3) Э. Гунтер изобрел логарифмическую шкалу, лежащую в основе устройства логарифмической линейки. В России профессор Петербургской Морской Академии А. Фархварсон издал «Книжицу о сочинении и описании сектора, скал плоской и гунтерской со употреблением оных инструментов в решении различных математических проблем» (СПб., 1739). — Прим. ред.

4) Соответствующие труды Оутреда: «Круги отношения» (The circles of Proportion, Лондон, 1632) и «Дополнение к пользованию прибором» С приложением «Объяснения двух вычислительных линеек» (Addition unto the use of the instrument; The declaration of the two rulers for calculation, Лондон, 1633).

бора, называемого двойной шкалой отношений» — The Description and Use of an Instrument called the Double Scale of Proportion, Лондон, 1662). Это описание привел в своем «Арифметико-геометрическом обозрении» (Theatrum Arithmetico-Geometricurn, Лейпциг, 1727) Я. Лейпольд, благодаря чему счетная линейка впервые получила известность в Германии.

В силу тех же потребностей возникли счетные машины, изобретение которых было стимулировано открытием счетных палочек. Сомнительно, что подобным аппаратом обладал иезуит Иоганн Цирманс. Правда, в своих (вообще весьма малоценных) «Математических науках» (Disciplinae mathematicae, Лувен, 1640) он упоминает об изобретенном им приспособлении, снабженном колесами и позволявшем безошибочно производить любое умножение и деление. Но, скорее всего, ему было знакомо открытие Оутреда, и он имел в виду только счетную линейку. В 19-летнем возрасте, т. е. около 1642, знаменитый Блез Паскаль действительно построил такую машину. Описание ее дал Дени Дидро в Oeuvres Паскаля (1779), но тогдашним механикам не удалось восстановить хранящийся и по сию пору в Париже экземпляр так, чтобы его можно было применить практически, хотя теоретически он был задуман правильно. Такая же участь постигла машину Лейбница, изобретенную в 1671 и со значительными улучшениями построенную в 1673, хотя и она была вполне точной. Оригинал этой машины и ныне стоит в ганноверской библиотеке. Основатель первой немецкой фабрики счетных машин, инженер А. Буркхардт из Глазхютте, заново смонтировал машину Лейбница, так что ее можно было пустить в ход. Описание оригинала было опубликовано в Misc. Berol., 1710.

Усовершенствования в машину Лейбница внесли в XVIII столетии М. Кнутцен1), в 1774 пастор М. Ган, впервые построивший пригодную для употребления и ремесленного изготовления машину, и в 1783 инженер Иоганн Мюллер, счетная машина которого уже давала звонок, если от нее требовали чего-либо неподходящего. Замена руки вычислителя механическим приводом, которую имел в виду еще Лейбниц, была осуществлена в машине А. Штерна (1814), являвшейся настоящим автоматом.

Впрочем, широкое практическое применение счетные машины получили только в XIX столетии, ознаменовавшемся массой новых изобретений в этой области.

1) М. Кнутцен — кенигсбергский профессор, скончавшийся в 1751, был учителем И. Канта.

ГЛАВА ВТОРАЯ

АЛГЕБРА

§ 1. Общая теория уравнений

Открыв буквенное исчисление, Виет оказался в состоянии существенно расширить наши сведения о свойствах уравнений. Так, среди многого другого он установил зависимость между коэффициентами уравнения и его корнями в той мере, в какой это было возможно, если принимать только положительные корни. Отрицательные корни, как таковые, Виет еще не признавал (Цейтен, ч. II). Этот недостаток был устранен А. Жираром, который привлек отрицательные и даже мнимые корни и рассмотрел элементарные симметрические функции корней, а также привел формулы степенных сумм до четвертой степени включительно. Наконец, Т. Гарриот сделал уже серьезный шаг вперед по сравнению с несколько тяжеловесной символикой Виета. Он пользовался строчными буквами латинского алфавита, всегда обозначал неизвестную в уравнении через а и, например, вместо нашего

x3 — Жх = 2с* писал 0 . 0

ааа — 3 • boa = + 2 • ссс.

Здесь уже отчетливо проявилась все более возраставшая потребность в гибкой и пригодной для более сложных вычислений форме. Чем совершеннее становилась последняя, тем более алгебраическое исчисление выдвигалось на передний план, стремясь занять место геометрии, до того господствовавшей над всей математикой. Можно сказать, что построение математики на арифметико-алгебраической основе коренилось уже в работах Виета и его ближайших последователей. Однако лишь Декарт воспринял эту новую идею с глубоким пониманием ее значения и с подлинно творческой силой. Ее развитию он посвятил выпущенную им в 1637 знаменитую «Геометрию» (см. стр. 16), в которой содержались основы современной аналитической геометрии и которая составила эпоху также в алгебре и в математике вообще.

Осуществление плана Декарта — поставить алгебру на первое место и сделать ее пригодной для формулировки и исследования любых вопросов — принудительно требовало дальнейшего усовершенствования традиционной формы, теоретической и практической разработки учения об уравнениях. Первую задачу Декарт решил, как мы уже указывали в главе I, введя целесообразный способ записи степеней неизвестной величины и предложив ставить числовые коэффициенты впереди неизвестных. Так как благодаря введению единичного отрезка он избавился от необходимости соблюдать однородность выражений, то уравнения у него были вполне сходны с нынешними. Исключением является лишь знак равенства, который он писал в виде оо. Сходство это усиливалось тем, что для обозначения неизвестных Декарт вместо гарриотовой а стал употреблять последние буквы алфавита — сначала г, затем у и, наконец, х. Тот факт, что для обозначения первой из неизвестных стала преимущественно применяться буква л:, объясняется, возможно, наличием соответствующей литеры во французских типографиях в больших количествах. Во всяком случае, здесь не могло иметь места «смешение» коссического знака с буквой х, ибо недавно удалось показать, что Декарт не только знал коссические символы для х, х2, х3, но и сам пользовался ими в юности. Отсутствие членов в многочлене, стоящем в левой части уравнения (summa aequationis), Декарт первый стал обозначать с помощью звездочек. Так, например, он писал

zA * — 2 5 zz — 60 z — 3 б со 0.

Обозначения Декарта тотчас же вошли в повсеместное употребление, но только чаще пользовались давно известным знаком равенства Рекорда (см. стр. 14). Однако лишь Иоганн Гудде в одном письме от 1657 (см. стр. 40) стал обозначать одинаковым символом коэффициенты, имеющие положительные или отрицательные значения, не отмечая этого специально знаком + или —, и таким образом придал своему алгебраическому исчислению более общий характер.

Возможно, что во время своего пребывания в Голландии Декарт познакомился с сочинениями Жирара. Во всяком случае, и он подверг тщательному исследованию зависимость между корнями и коэффициентами. Это привело его к понижению степени уравнения посредством деления на разность X — а, где а — корень уравнения (чему, впрочем, учил еще в 1567 П. Нуньес), и к нахождению целочисленных корней путем разложения на множители постоянного члена уравнения. Истинные (положительные), ложные (отрицательные) и

мнимые корни уравнения Декарт различал еще в 1628, т. е. до выхода жираровского труда «Новое открытие в алгебре» (Invention nouvelle en l'algèbre, 1629). Термин «мнимый», ставший известным из «Геометрии», принадлежал также самому Декарту. Одним из важнейших открытий Декарта являлось называемое по его имени правило знаков, гласящее, что полное алгебраическое уравнение может иметь столько положительных корней, сколько имеется перемен знака у коэффициентов его членов, и столько отрицательных, сколько раз следуют подряд друг за другом два знака + или два знака —. Вывод этого правила, о котором довольно определенно догадывался еще Кардано (Цейтен, ч. II), Декарт, однако, не дал, и лишь в XVIII столетии его снабдили различными доказательствами (см. стр. 45 и 49).

Кроме того, Декарт открыл новый способ решения уравнений четвертой степени, представляя левую часть уравнения в виде произведения двух квадратных трехчленов. Для этого он принял коэффициенты обоих множителей неопределенными и сравнил их произведение с первоначальным уравнением. В результате он получил для одного из неопределенных коэффициентов (через который легко выражались другие) уравнение шестой степени, немедленно приводившееся к кубическому. Декарт и здесь не раскрыл свой метод, но уже голландец Ф. ван-Скаутен, издавший «Геометрию» на латинском языке в 1649 и 1659, восполнил в приложенных ко второму из названных изданий «Комментариях» (Commentarii), требуемые доказательством выкладки. Несколько иным путем пошел в доказательстве истинности декартова решения Ф. Дебон (уже 1649), «Краткие замечания» (Notae breves) которого также вошли в латинские издания «Геометрии».

Примененное Декартом разложение на множители побудило Гудде, впоследствии много лет состоявшего амстердамским бургомистром, детальнее заняться изучением разложения на множители многочленов, образующих уравнения. Попутно он пришел к известному, быть может, еще Сципиону дель Ферро (около 1510; см. Цейтен, ч. II) решению уравнения третьей степени, в котором для случая x3 = qx + r делают подстановку х = у + г, дающую для у или z трехчленное уравнение шестой степени, приводящееся к квадратному. О своих открытиях он письменно сообщил в 1657 Ф. ван-Скаутену. Такой же метод был открыт независимо, еще двумя годами ранее, Хр. Гюйгенсом, также рассказавшим о нем в письме к Скаутену. В том же и во втором письме от 1658 (опубликованы во втором латинском издании «Геометрии», 1659) Гудде впервые изложил известное правило отыскания двойных и многократных корней уравнения.

Великий соперник Декарта, П. де-Ферма, с которым нам еще предстоит познакомиться ближе, также занялся, в свойственной ему и примыкающей к Виету манере, важными алгебраическими исследованиями. Еще до 1638 он разработал очень простой и изящный прием исключения одного неизвестного из двух уравнений одинаковой степени. Он переносил в обоих уравнениях постоянные члены направо от знака равенства и затем производил деление на них. Приравнивание возникающих при этом двух выражений давало, после деления на неизвестное, уравнение со степенью на единицу ниже первоначальной. Повторение того же приема приводило в конце концов к уравнению первой степени относительно X] подстановка рационально выраженного отсюда значения х в одно из начальных уравнений давала результант1). Ферма наметил также способ приложения этого приема к нескольким уравнениям. Затем он свел к проблеме исключения задачу приведения уравнений к рациональному виду. С этой целью он вместо каждого из подлежащих устранению радикалов, кроме одного уединяемого радикала, вводил новую неизвестную. В возникающих таким образом уравнениях он удалял радикалы посредством возведения в степень и получал уравнения в числе, достаточном для исключения вспомогательных неизвестных.

Продолжая изложение дальнейшего развития чисто алгебраических исследований и оставляя пока в стороне применение Декартом и другими учеными геометрических приемов в алгебре, мы прежде всего остановимся на одном замечании Лейбница. Это замечание имело большое значение для позднейшей алгебры, и в нем следует видеть одно из непосредственных проявлений выдающейся одаренности Лейбница в формальном отношении. Исключение неизвестных из линейных уравнений было известно давно, но Лейбниц сумел придать ему особенно целесообразный вид. Уже в 1675 он впервые употребил индексы (см. стр. 16) для отличия принадлежащих в каком-либо смысле к одному роду точек кривой, обозначенных одной буквой. В одном письме к Лопиталю от 1693 он применил уже для составления результанта трех линейных уравнений многократную индексацию.

Уравнения эти он записал в виде

10+Н*+12# = 0, 20 + 21х + 22у = 0, 30 + 31jc + 32y = 0;

1) Выражение «результирующее уравнение» («aequatio resultans») происходит из «Всеобщей арифметики» Ньютона (1707).

мы, как известно, пишем теперь а10 + апх + а12у и т. п. Затем он приводит результант в форме

10 * 2i • 32 10 • 22 • Si

11 • 2г • 30 = 11 • 2q • 32 1г * 2о • 3] 1г • 2i • 30,

где подписанные друг под другом произведения подлежат сложению1). Лейбниц полностью сознавал важность такого способа, который, как видно, закладывал основы для создания теории определителей, но далее его не разработал2). Для исключения одного неизвестного из двух уравнений более высокой, но одинаковой степени, т. е. для задачи, изученной уже Ферма, Лейбниц предложил свой собственный прием. Каждое из уравнений умножается на многочлен степени на единицу ниже и с неопределенными коэффициентами. Затем коэффициенты уравнения, которое получится, если сложить оба эти произведения, приравниваются по отдельности нулю. Тогда уравнений получается на одно больше, чем введено неопределенных коэффициентов. Поскольку эти уравнения линейны, задача тем самым приведена к пре-

1) Мы следуем здесь перепечатке в Werke Лейбница, изданных Гергардтом. Мы не можем, однако, судить, точно ли соответствовала эта перепечатка рукописи Лейбница.

Подробнее об обозначении индексов у Лейбница см. у Д. Манке в Bibliotheca mathematica (3) 13, 1912—1913, стр. 250—260.

2) Регулярный прием решения системы с числовыми коэффициентами вида

путем сведения ее к системе

был разработан в Древнем Китае еще до начала н. э. Исключение неизвестных производится с помощью действий над рядами таблицы коэффициентов и правых частей системы по правилам, сходным с правилами современной теории определителей (см. Древнекитайский трактат «Математика в девяти книгах», перев. с примечаниями Э. И. Березкиной.— Историко-математические исследования, вып. X, М., 1957, стр. 564 и след.). Отправляясь от приема китайцев, японский математик Кова Секи в 1683 разработал правила решения систем линейных уравнений, еще более близкие к методу теории определителей (см. книгу Д. Смита и И. Миками в Библиографии). — Прим. ред.

дыдущей. Этот метод можно рассматривать, как предшествующий известному методу Безу (см. стр. 53).

В Париже Лейбниц познакомился с Э. фон-Чирнгаузом. Связанный тесной дружбой с Лейбницем, Чирнгауз, естественно, хорошо был знаком с его работами. Привлекаемый, как и Лейбниц, математическими исследованиями, он занялся главным образом теорией уравнений. В 1683 Чирнгауз опубликовал в Acta Eruditorum известное под его именем преобразование уравнения любой степени в другое уравнение той же степени, но с меньшим числом членов. Свой способ Чирнгауз письменно сообщил Лейбницу еще в 1677. Этот способ заключается в том, что сначала из уравнения

хп + а1хп'1 +а2хп-2+ ... +а„ = 0

и вспомогательного уравнения с неопределенными коэффициентами

y = bxx"-* + b2x»-*+ ...

исключают X. Если бы в возникающем при этом уравнении

yn + Clyn-l+C2yn-2+ ... +Сп = 0

можно было определить постоянные bkl входящие в коэффициенты С{ так, чтобы исчезли все Ci от С\ до сп-и т° главная проблема теории уравнений была бы решена таким способом, как это представляли себе Чирнгауз и многие его современники, т. е. в радикалах. Проведя требуемые выкладки при п = 3. Чирнгауз нашел новое решение уравнения третьей степени. Однако сделанное им отсюда заключение, что возможно произвести соответствующие вычисления и для всякого п, было опрометчивым. Такое же утверждение было выставлено еще раньше в «Математических примерах» (1667) Ф. Дюлораном, который, впрочем, устранил только один-единственный член с помощью обычной подстановки x = y + k. Лейбниц писал Чирнгаузу, что он располагает, как ему кажется, доказательством того, что для уравнений выше четвертой степени требуемые выкладки произвести невозможно. Тем не менее Лейбниц был уверен в разрешимости уравнения пятой степени в радикалах и предпринял в этом направлении некоторые попытки. То, что действительно можно извлечь для уравнений пятой степени из преобразования Чирнгауза, а именно, приведение его к форме х5+Ах + В = 0, нашел лишь шведский математик Э. Бринг в диссертации от 1786 (Лунд). Впрочем, Бринг не знал, что дальше предпринять с этой формой, и только Ш. Эрмит построил на ней в 1858 свое решение уравнения пятой степени с помощью эллиптических функций. Общее доказательство того, что

уравнения выше четвертой степени, вообще говоря, в радикалах неразрешимы, на что указывал в своей диссертации 1799 Гаусс и что многократно пытался доказать итальянец П. Руффини (в последний раз в 1813), — является одним из величайших достижений молодого норвежского математика Н. Абеля (1824 и 1826, ср. стр. 410).

В то самое время, на которое падают упомянутые успехи в алгебре немецких ученых, великий Ньютон читал в Кембридже лекции, из которых возникла уже известная нам и очень важная «Всеобщая арифметика» (см. стр. 18). Частично она стала известной ранее ее выхода (1707): с одной стороны, из самих лекций Ньютона, посещавшихся, впрочем, весьма умеренно, с другой стороны, из «Алгебры» (1685) Валлиса, в которую вошел кое-какой ее материал. Нам приходилось обращаться к «Всеобщей арифметике» уже в главе об арифметике. Здесь мы отметим то, что в этом сочинении обусловило дальнейший прогресс алгебры. Прежде всего, Ньютон сформулировал основную теорему алгебры о числе корней уравнения осторожнее, чем Жирар; имея в виду только действительные корни, он, подобно Декарту в его «Геометрии», писал: «Уравнение может иметь столько корней, каково его измерение, но не более». К Ньютону примкнул в своей «Алгебре» (1748) Маклорен, и лишь Эйлер в Misc. Berol. 1743 высказал эту теорему точно так, как это делают ныне, хотя и он не был в состоянии доказать ее безупречно. Впервые удалось это в 1797 Гауссу, опубликовавшему свое доказательство в диссертации «Новое доказательство и т. д.» (Demonstratio nova etc., Гельмштедт, 1799). Предшествующие попытки Даламбера — в Mém. Ac. Berl., 1746 (1748), Эйлера —там же, 1749 (1751), Лагранжа — в Nouv. Mém. Ac. Berl., 1772 (1774) и других не увенчались полным успехом. Несмотря на это, французы часто называют это предложение «теоремой Даламбера».

Для сумм степеней корней Ньютон установил называемые и теперь по его имени рекуррентные формулы, которые он, впрочем, ясно высказал только до пятой степени включительно1). Общий закон их образования был впервые доказан К. Маклореном в «Алгебре» и Эйлером во втором томе «Сочинений различного содержания» (Opuscula varii argumenti, 1750). Виттенбергский профессор Берманн2),

1) Ньютон ясно высказал правило образования этих формул для всех степеней, меньших степени уравнения (позднейшая поправка Г. Вилейтнера).

2) «Доказательство алгебраической теоремы» (Demonstratio theorematis algebraici, Виттенберг, 1745).

Лагранж1) и Грунерт2) позднее дали другие доказательства.

Декарт высказал свое правило знаков в весьма осторожной форме. Это побудило Ньютона произвести самостоятельное исследование вопроса. В результате он не только точно установил это правило для уравнений, все корни которых действительны, но и попытался впервые дать правило, позволяющее определить число мнимых корней. Оно гласило, что уравнение

а0хп-\-аххп-1-\~ ... -\-ап = 0

имеет по меньшей мере столько комплексных корней, сколько есть перемен знака в ряду

Позднее мы увидим, что это правило не дает вполне удовлетворительного критерия (см. стр. 52).

Наконец, Ньютон коснулся еще одного вопроса, который приобрел чрезвычайную важность в наше время, а именно — проблемы приводимости уравнений. Для случая линейных множителей он справился с ней вполне, а для множителей высшей степени дал первый намек на соответствующее правило. Способ Ньютона для линейных множителей совпадал по существу с приемом, данным еще Я. ван-Вессенером в первом латинском издании «Геометрии» Декарта (1649), и в нем можно видеть предшественника метода, примененного впоследствии Л. Кронекером и устанавливающего все вообще рассматриваемые делители. Следует упомянуть еще о его приеме исключения (exterminatio) одного неизвестного из двух уравнений. Этот прием, собственно говоря, восходит к Ферма, но Ньютон вместо того, чтобы исключить постоянные члены, устраняет высшие степени неизвестного, благодаря чему и получает уравнение более низкой степени. Это — тот же метод, который опубликовал во втором издании декартовой «Геометрии» (1659) Гудде и который вновь исследовал во «Введении в анализ» (1748) Эйлер, под именем которого он теперь общеизвестен [см. также Mém. Ас. Berl., 1764 (1766)]. Важно заметить, что Ньютон, подобно

1) Mém. Ac. Berl. 1768, (1770). Несмотря на утверждение Лагранжа, что его доказательство проще обычных, оно, по существу, совпадает с первым доказательством Эйлера в названной книге.

2) «Математические статьи» (Alathematische Abhandlungen, Альтона, 1822).

Лейбницу в случае уравнений первой степени, счел необходимым систематически оформить процесс элиминирования для высших уравнений и даже составил таблицу результантов любых двух уравнений первых четырех степеней.

Мы уже неоднократно упоминали английского математика Дж. Валлиса, профессора в Оксфорде, и, в частности, его «Трактат по алгебре» (1685 и 1693). Это сочинение имеет для нас значение главным образом потому, что оно объединило в органическое целое все известные тогда алгебраические методы и результаты и ознакомило современников как с ними, так и с некоторыми собственными интересными мыслями автора, часть которых мы уже отметили выше. Если бы национальное самомнение Валлиса и, в частности, предубеждение против Декарта не склонили его чрезмерно выпятить заслуги своих соотечественников, а среди них особенно Гарриота, то историческое предисловие, предпосланное им книге, также обладало бы большей ценностью в глазах историка математики. Впрочем в «Алгебре» имеется много важных исторических указаний.

Полную противоположность в отношении книжной эрудиции представлял собой тяжело и неясно написанный «Трактат по алгебре» француза М. Ролля, выпущенный в Париже в 1690. Наиболее интересные его результаты относились к приближенному решению уравнений, и мы еще к ним возвратимся в следующем параграфе (стр. 69). Здесь же отметим, что Ролль подробнее исследовал метод образования результанта посредством отыскания общего наибольшего делителя, метод, данный также еще Ньютоном, что он изобрел новые, хотя и громоздкие, способы решения уравнений третьей и четвертой степени и впервые точно сформулировал теорему: всякий корень п-й степени имеет п значений; при п нечетном все корни, кроме одного, мнимы; при п четном могут быть два корня действительны, а остальные мнимы.

Впрочем, сам Ролль вычислил лишь три корня уравнения х3 = —a3, a для уравнения х3 = 8 это сделал еще пятью годами ранее Валлис в своей «Алгебре» (ср. также работу Кольсона в Philos. Trans., 1707). В общем случае представление корня п-й степени из числа удалось найти Муавру (ср. стр. 24), занимавшемуся этим вопросом в Philos. Trans, за 1707, 1722 и 1738, а также в своих «Аналитических этюдах» (Miscellanea analytica, 1730) и установившему теорему, до сих пор сохранившую его имя. Муавр знал, согласно Виету, что неприводимый случай формулы Кардано можно обойти, отождествив уравнение третьей степени с формулой синуса трехкратного угла. Отсюда следовало, что сумма двух определенного вида кубических корней из комплексных чисел

дает действительное число. Чтобы распространить этот результат на корни п-и степени, Муавр исходил из формулы синуса n-кратного угла, которую для целого нечетного п выразил Ньютон в 1676 в одном письме к Лейбницу в форме:

При f/ = sincp, a = sinnq) мы тотчас узнаем здесь требуемое тригонометрическое уравнение. Корни его Муавр без вывода дал в виде

При этом он показал, сначала на примере, а позднее общим образом, что эта форма равнозначна такой:

он лишь не обладал еще нашей символикой. Уравнение

в скрытом виде также содержалось в его статье от 1722. В 1738 он снова возвратился к этим вещам и непосредственно вычислил корень уа-\- Y_b. Он положил его равным x-\-iYy, численно определил х и у для я = 3, 4, 5, 6, 7 и отсюда сделал заключение относительно любого п. Результат, приведенный им в словесной форме, содержит представление п значений для вышеуказанного корня, т. е. самую общую форму теоремы Муавра. В употребительном теперь виде ее привел только Эйлер во «Введении в анализ», 1748.

К тем же результатам, независимо от Муавра, пришел итальянский ученый граф Джулио Фаньяно де Фаньяни в 1738 [18-й том Raccolta Calogerà1)]. Более известный своими работами по анализу, Фаньяно занимался также и алгеброй. Например, во втором томе своих «Математических произведений» (Produzioni matematiche, Пезаро, 1750) он дал метод, позволяющий единообразным путем решать уравнения вплоть до четвертой степени; Грунерт вновь открыл его

1) Calogerà — фамилия издателя.

в 1863, не зная о работе Фаньяно. В случае, например, уравнения второй степени этот метод состоял в том, что тождество

(a~\-b + c)2 = {a + 2c){a + b-{-c) + b2 + ab — с1 — ас отождествлялось с уравнением

X2 = ПХ + /?.

Затем из

х= а-\-Ь-\-с, п = а-\-2с, p = b2-\-ab— с1 — ас

Фаньяно находил известную формулу. Из тождеств, возникающих при разложении (а + Ь + с)3 и (a + ft + c)4, он аналогичным образом получил решения уравнений третьей и четвертой степени. Другой способ, ведущий к той же цели, опубликовал среди прочих также Эйлер в Comm. Ac. Petr., 1732/33 (1738).

В тесной связи с теоремой Муавра стоит разложение выражения хк±ах на действительные множители. Высокоодаренный друг и ученик Ньютона, Р. Котес, который слишком рано умер для науки, оставил сочинение «Гармония мер». Оно было опубликовано в 1722 Р. Смитом и о нем мы будем еще говорить позднее. В этом издании Смит восстановил сохранившуюся в наследии его друга теорему о разложении выражения хк±ах. Хотя разложение это было представлено только в геометрической форме на чертеже, но в переводе на язык вычислений оно непосредственно дает формулы, известные теперь под именем его автора.

Тригонометрические функции впервые ввел в алгебру Виет при рассмотрении неприводимого случая формулы Кардано; Муавр сумел их использовать указанным образом для некоторых уравнений высших степеней. Довольно скоро их применили также для более удобного вычисления корней квадратных уравнений. Это сделал в «Геометрических лекциях» известный уже нам астроном Э. Галлей1); Вольф также наметил подобный прием в Acta Erud., 1715. После того астроном А. Д. дю-Сежур в «Аналитическом трактате о движениях и т. д.» (Traité analytique des mouvemens etc., 1786) впервые установил общую формулу решения для обеих форм X2 + 2ах±Ь2, которую Кестнер включил в 3-е издание своих «Оснований анализа конечных величин» (Anfangsgrün-

1) По одному указанию «Математического справочника» (Mathematical Repository, т. I, Лондон, 1748) Додсона эти «Геометрические лекции» (Geometrical lectures) представляли собой приложение к последнему изданию «Алгебры» (The elements of ... algebra) Дж. Керси (вероятно, изд. 1717).

de der Analysis endlicher Grössen, 1794). Единое для всех случаев решение дал Молльвейде в 1810.

Правило знаков Декарта (стр. 40) неоднократно привлекало внимание последователей Декарта и Ньютона. В письмах и в двух оставшихся рукописных статьях Лейбниц приписывал это правило Гарриоту, хотя в книге последнего нет ни одной относящейся к нему строки. Но так уж случилось, что вплоть до нашего времени это правило часто называли гарриотовым. Зегнер (ср. стр. 21), давший в своем «Рассуждении в письмах и т. д.» (Dissertatio epistolica etc., 1728) доказательство правила для случая, когда все корни действительные, — доказательство, основные идеи которого были мимоходом намечены еще Лейбницем в 1707 в переписке с Як. Германом и Хр. Вольфом, — также сначала допустил эту ошибку; при этом он опирался на «Начала универсальной математики» (1713/41) Вольфа. Указанное доказательство, как и доказательство, опубликованное Зегнером в Mém. Ac. Berl., 1756 (1758), а также вывод Т. Эпинуса [Mém. Ac. Berl., 1758 (1765)], исходили в основном из той же мысли, которую положил в основу своего доказательства, приведенного в мемуарах Парижской Академии за 1741, французский аббат Ж. П. де-Гюа де-Мальв. Де-Гюа умножал левую часть уравнения на линейный двучлен х±р и рассматривал возникающие при этом изменения в чередовании знаков. Если в двучлене стоит верхний знак, то сохраняется число перемен знака; если же нижний, то остается без изменения число последовательностей одинакового знака; отсюда немедленно получается правило знаков Декарта для случая, когда все корни действительные. Исходя из тех же идей, Гаусс в 1828 дал впервые общее доказательство правила. В другой статье, опубликованной в том же томе мемуаров (за 1741), де-Гюа подошел к определению числа действительных и мнимых корней уравнения ф(х)=0 с геометрической точки зрения. Вопрос о числе корней того или иного вида он привел к вопросу об отыскании максимумов кривой у = ц(х), пересекающей ось х в таком числе точек, дающих корни, которое не более чем на единицу превосходит число максимумов этой кривой. При этом «точками максимума» для него служили точки, в которых произведение yd2y отрицательно. Подобными соображениями воспользовался и Кестнер, когда попробовал доказать правило Декарта в сочинении «Доказательство теоремы Гарриота» (Demonstratio theorematis Harrioti, 1745).

Неудача попытки Чирнгауза с помощью своего преобразования решить уравнение выше четвертой степени отнюдь не смогла поколебать убеждения математиков XVIII столетия

о разрешимости всех алгебраических уравнений в обыкновенных иррациональностях. Великий Эйлер также держался этого взгляда. Comm. Ac. Petrop. за 1732/33 (1738) содержали первую статью Эйлера о решении уравнений. Он указывал, что решение уравнений второй, третьей и четвертой степеней приводится к уравнениям соответственно первой, второй и третьей степени; эти последние уравнения он называл «aequatio resolvens» («разрешающее уравнение»), откуда и возникло слово «резольвента». Эйлеру удалось образовать резольвенту уравнения третьей степени

х* = ах-\-Ь с помощью подстановки

з _ з _

а уравнения четвертой степени

x4 = ах2 + Ьх + с

с помощью подстановок

4 4 _ 4 _

или х= Уе-\- Уе-\- У о

(благодаря чему он нашел новое решение уравнения четвертой степени). На этом основании он счел правомерным заключить, что, по всей вероятности, и для уравнения

хп = ахп'2 + Ьхп-г+ ... +g должна существовать резольвента (п—1)-й степени, определить которую следует посредством подстановки х= У А +

+ ••• + к С/. Но уже при п = Ъ попытка, естественно, окончилась неудачей. Эйлер сумел достигнуть цели только в частном случае возвратных уравнений, на которые впервые натолкнулся Муавр в «Аналитических этюдах» (1730) и которые получили свое название от самого Эйлера. Спустя почти 30 лет [в Nov. Comm. Ac. Petr., 1762/63 (1764)] Эйлер вновь обратился к этому методу1). Он улучшил подстановку, придав ей вид

x = w + A Vv + BY<ü2-{-CVv*+ ... +Q1/V1-1,

и полагал, что нашел правильную форму, которая позволит отыскать решение общей задачи. Он оказался при этом

1) Эта работа была представлена уже в 1759.

в согласии с Варингом, применившим в «Аналитических этюдах» (Miscellanea analytica, 1762) такую же форму радикалов. Но именно от этой формы отправился Абель в своем доказательстве невозможности решения уравнения пятой степени в радикалах. Эйлер использовал также преобразование Чирнгауза, несколько видоизменив его. Полагая, что с его помощью можно найти решение любого уравнения, он приложил его к решению уравнений третьей и четвертой степеней. Такого же мнения держался и Э. Безу. В Mém. Ас. Paris, 1762 (1764) и 1765 (1768) он путем подходящей подстановки с неопределенными коэффициентами преобразовывал двучленное уравнение у11 — h = 0 так, чтобы результат можно было сравнить с первоначальным уравнением, что в свою очередь накладывало на неопределенные коэффициенты некоторые условия. Конечно, и этот метод, в сущности совпадающий с приемом Чирнгауза, привел к цели только при п = 3 и п = 4.

Рассказывая в главе I о развитии буквенного исчисления, мы уже упоминали (стр. 19) «Начала алгебры» Клеро (1746)—учебник, в свое время принадлежавший к числу наиболее известных и имевшийся на руках у всех, кто занимался математикой. Эту книгу стоит прочесть и ныне; она вполне достойна славного имени своего автора, которое встретится нам еще не раз.

В мастерски ясном стиле Клеро изложил в своем курсе почти все, что было известно тогда относительно алгебраических действий и решения уравнений; не приведены были в этой предназначенной для обучения книге только самые новые открытия. Нас интересует здесь прежде всего трактовка Клеро неприводимого случая формулы Кардано. Уже Лейбниц (в одном письме к Ольденбургу от 1677 и в письме к Валлису от 1698) предложил воспользоваться разложением кубических корней в бесконечные ряды. Этот замысел был осуществлен Фр. Николем в Mém. Ac. Paris за 1738. Клеро последовал за Николем и показал, как в этом случае представить с помощью бесконечных рядов все три корня в действительной и пригодной для вычислений форме. Доказательство существования трех корней несколько позднее дали также Мария Гаэтана Аньези в ее «Основаниях анализа» (Istituzioni analitiche, 1748) и Кестнер в одном сочинении от 17571). Но лишь в 1890 итальянец В. Молламе доказал, что

1) Сочинение носит заглавие «Доказательство А. Г. К., что формула Кардано заключает все корни кубического уравнения» (Formulam Cardani aequationum cubicarum radices omnes tenere ostendit A. G. К., Геттинген, 4°). Там приведена также дальнейшая литература вопроса.

невозможно чисто алгебраически представить три действительных корня, если не пользоваться комплексными величинами.

Через два года после выхода работы Клеро в Лондоне был издан несколько раз бегло упоминавшийся учебник не менее знаменитого Маклорена «Трактат по алгебре в трех частях» (A Treatise of Algebra in three parts, 1748). Опубликование его было задумано еще задолго до того, но осуществлено было только после смерти автора (1746) его вдовой. В основном книга представляла собой комментарий к «Всеобщей арифметике» Ньютона; она должна была восполнить доказательства, отсутствовавшие у Ньютона, и развить алгебру далее в его духе. Как мы уже отмечали (стр. 44), Маклорен дал общее доказательство ньютоновой формулы, выражающей суммы степеней корней через коэффициенты уравнения. Далее он распространил исследования Ньютона о приводимости уравнений на отыскание квадратичных и кубических множителей с рациональными коэффициентами, причем развил здесь собственный метод. Еще раньше он старался доказать данное Ньютоном правило определения числа мнимых корней. Хотя изыскания Маклорена, а также работа Дж. Кемпбелла, напечатанная в Philos. Trans, за 1728, осветили происхождение этого правила, но они не устранили всех трудностей; к тому же оба ученых не заметили причины недостаточности правила (ср. стр. 44) Маклорен привел еще два способа, позволяющих заключать о существовании мнимых корней.

В год появления «Алгебры» Маклорена вышло также знаменитое «Введение в анализ бесконечных величин» (Лозанна, 2 тома) Эйлера. В девятнадцатой главе второго тома этого сочинения к теории плоских алгебраических кривых примыкало рассмотрение проблемы исключения неизвестных. Уже Маклорен в «Органической геометрии» (Geometria organica, 1720), с которой мы еще познакомимся в дальнейшем, высказал теорему, что две кривые порядка шип могут пересекаться самое большее в m • п точках. Введя бесконечно удаленные и мнимые точки пересечения, Эйлер придал этой теореме несколько иной вид, а именно, что указанные кривые всегда пересекаются в m • п точках. Однако доказательство этой теоремы, одинаково важной для алгебры и для геометрии, не вполне удалось ни Эйлеру, ни Г. Крамеру, пытавшемуся провести его во «Введении в анализ кривых линий» (Introduction à l'analyse des lignes courbes, Женева, 1750). Оба математика определили при этом результант относительно X как произведение разностей корней уравнений, разрешенных относительно у. Крамер показал, как резуль-

тант образуется с помощью симметрических функций, что привело его в свою очередь к новым исследованиям этих функций. Оперируя, подобно Лейбницу, индексами, он старался выразить общие функции такого рода через коэффициенты уравнения. Почти одновременно этим занимался и Эйлер в Mém. Ac. Berl., 1748 (1750).

В том же сочинении Крамер, не зная о предварительной работе Лейбница, высказал в законченном виде закон образования решений системы любого числа линейных уравнений. Введя понятие «беспорядка» (dérangement) в перестановках индексов, он дал также правило определения знаков при отдельных членах, входящих в выражения для неизвестных. Поэтому Крамера обыкновенно называют изобретателем определителей', действительно, у него недоставало только удобного их обозначения.

Девятнадцатая глава второго тома «Введения» Эйлера содержала подробное изложение того метода исключения неизвестных, о котором мы уже неоднократно говорили и который смогли свести еще к работам Ферма. В ней приводился также второй прием, сходный со способом, предложенным раньше Лейбницем, но не опубликованным им (стр.41). Наконец, Эйлер излагал здесь метод образования результанта с помощью симметрических функций. Однако наибольшие заслуги в этой области приобрел Безу. В своем «Курсе математики для гардемаринов» (1764/69) он не только установил закон образования результанта системы линейных уравнений, чем наряду с Крамером содействовал возникновению теории определителей, но и усовершенствовал эйлеров метод исключения. Если уравнениями, из которых требуется исключить X, являются

f(x) = a0xn + alxn-l+ ... -f-an = 0

и

ф(^) = Мл+Мл"1+ +*„ = о,

то он умножает каждое из них соответственно на Ь0 и а0, затем на ЬоХ+Ь\ и а0х + аи потом на b0x2 + bix+b2 и а0х2-\+ а\Х+а2 и т. д. и всякий раз вычитает одно полученное произведение из другого. Благодаря этому он получает п уравнений (п — 1)-й степени и оказывается в состоянии линейно исключить однородные величины 1, х, х2, ..., хп~К Безу приводит механическое правило составления результата этого исключения, соответствующее способу образования определителей. Ему же впервые удалось дать, в основном удовлетворительно, доказательство теоремы о количестве общих решений двух уравнений ш-й и я-й степени,

Забегая несколько вперед, дабы не нарушать связность изложения, отметим еще, что в «Общей теории алгебраических уравнений» (Theorie générale des équations algébriques, Париж, 1779) Безу продвинул вперед вопрос об исключении неизвестных из системы уравнений высшей степени. Он предложил для этой цели новый замечательный метод, правда, не всегда пригодный. Более подробное рассмотрение этого метода увело бы нас здесь слишком далеко. Лагранж в Mém. Ac. Berl., 1769 (1771), также занимался проблемой исключения, но его громоздкий метод встретил мало сочувствия.

Англичанин Э. Варинг, благодаря своей неясной манере изложения, был оценен современниками менее, чем последующими учеными. Алгебре в основном был посвящен ряд его работ, как «Аналитические этюды» (Miscellanea analytica, Кембридж, 1762), «Алгебраические размышления» (Meditationes algebraicae, 1770 и 1782; это — второе и третье расширенные издания первой части Miscellanea) и «Аналитические размышления» (Meditationes analyticae), впервые выпущенные в 1775. Большая часть того, что внес Варинг нового, содержалась, впрочем, уже в «Аналитических этюдах». Наибольшую важность имели его работы по симметрическим функциям, в которых он, подобно Крамеру (стр. 53), ввел «exponentes litterarum», т. е. веса коэффициентов, и дал формулу, приводящую многотипные симметрические функции к однотипным. Далее он привел способ представления целой симметрической функции как целой функции от элементарных симметрических функций. Позднее (1815) к этому способу вновь пришел, по-видимому независимо, Гаусс, давший точное доказательство теоремы о возможности представления всякой целой рациональной симметрической функции через элементарные. В «Аналитических этюдах» Варинг впервые разрешил рекуррентную формулу, данную для уравнения м-й степени Ньютоном, как относительно сумм степеней sm, так и относительно коэффициентов ат, и выразил одни через другие при любом п. Упомянем еще, что Крамп в издававшемся им совместно с К. Гинденбургом «Первом собрании комбинаторно-аналитических статей» (Erste Sammlung kombinatorisch-analytischen Abhandlungen, 1796) вывел позднее обе формулы для sm и ат чисто комбинаторным путем, не пользуясь формулой Ньютона. Для установления границ действительных корней уравнения Варинг в «Смешанных статьях» воспользовался уравнением, корни которого представляют собой обратные величины разностей корней рассматриваемого уравнения. Он составил также уравнение, корни которого суть квадраты разностей корней данного уравнения, и по знакам членов первого уравнения

судил о действительности корней второго. В Philos. Trans, за 1763 он, кроме того, привел без доказательства критерии существования мнимых решений уравнений третьей, четвертой и пятой степеней, основывающиеся на некоторых зависимостях между коэффициентами1).

Большая часть последних результатов была вновь независимо найдена Лагранжем [Nouv. Mém. Ac. Berl., 1777 (1779)], лишь позднее познакомившимся с сочинениями Варинга. Лагранж несколько раз [например, Nouv. Mém. Ac. Berl., 1772 (1774)] принимался за поиски надежного признака, с помощью которого можно было бы a priori устанавливать существование и определять число мнимых корней уравнений. Однако цели он не достиг и решить этот вопрос удалось впервые в 1829 Ш. Штурму (опубликовано в 1835, см. стр. 409). Зато в своих исследованиях Лагранж открыл причину недостаточности правила Ньютона (ср. стр. 45 и 52). Именно, он показал, что правило Ньютона выведено из условий, которые обязательно выполняются, когда все корни действительны, но про которые нельзя утверждать обратного, т. е. того, что при их выполнении корни не могут быть мнимыми. Собственные критерии Лагранжа, как и Варинга, связывают наличие мнимых корней уравнения с появлением отрицательных корней у дискриминантного уравнения; кроме того, Лагранж привлек еще уравнение, корни ко* торого представляют собой квадраты разностей парных сумм корней данного уравнения. Посвященные этим вопросам статьи Лагранжа были помещены в Mém. Ac. Berl., 1767 (1769), 1768 (1770) и в Nouv. Mém. Ac. Berl., 1777 (1779).

Всем изложенным исследованиям по вопросу о мнимых корнях уравнений должно было предшествовать изучение той формы, в которой встречаются мнимости. Мы уже упоминали (стр. 25), что изучение этой формы начато было Даламбером в написанном на соискание премии сочинении «Размышления об общей причине ветров» (1747). Но еще в 1743 Ник. Бернулли письменно сообщил Эйлеру, что всякий мнимый корень уравнения и вообще всякое выражение, составленное из некоторого числа мнимых величин, может быть приведено к виду p + qi. Не вполне удовлетворительное доказательство этого факта, данное Даламбером, и последовавшие затем доказательства Эйлера [Mém. Ac. Berl., 1749 (1751)] и Фонсенэ (т. I Misc. Taur., 1759) восполнил позднее Лагранж [Nouv. Mém. Ac. Berl., 1772 (1774)]. Замечательно,

1) Ср. G. Junge, Zur Hauptaufgabe der symmetrischen Funktionen (Гиссен, 1917) и замечания П. Штекеля в Jahresber. Dtsch. Math.-Ver. 26, 1918, стр. 76—79.

что при рассмотрении степени (a + ib)z+ih Даламбер, с целью воспользоваться логарифмическим дифференцированием, принимал основание (a + ib) переменным. Это, вероятно, был один из первых случаев появления комплексной переменной.

Еще Гудде в упоминавшихся выше письмах о понижении степени уравнения путем нахождения его множителей (см. стр. 40) указывал, что такое понижение возможно при наличии некоторых простых соотношений между корнями. В 1762 эти мысли получили дальнейшее развитие у Варинга. Он существенно углубил их и впервые привлек к определению степени резольвент соображения общего комбинаторного характера. На примере различных методов решения уравнения четвертой степени он показал, что корни его кубических резольвент представляют собой трехзначные функции Х\Х2+х3х^ {xi+x2 — хъ — *4)2, (х\Х2 — хгх4)2 корней хи х2, *з, х± данного уравнения четвертой степени.

Этими же соображениями руководствовался, не зная работы Варинга, Лагранж в «Размышлениях о решении уравнений» [Reflexions sur la résolution des équations, в Nouv. Mém. Ac. Berl., 1771 (1773)]. Впрочем, он изложил новые идеи гораздо яснее и нагляднее, чем Варинг. В исследованиях Лагранжа, существенно развитых Гауссом в его теории уравнений деления круга, содержались ростки теории Галуа. Обширный трактат Лагранжа, распадающийся на две части, представлял собой самый значительный из трудов, появившихся в XVIII столетии по вопросу об уравнениях высших степеней. Стремясь во всех работах к установлению общих принципов, Лагранж и в этих превосходных изысканиях направил всю свою проницательность на поиски общего источника различных способов решения уравнений третьей и четвертой степеней. Он впервые с успехом применил здесь преобразование Чирнгауза к уравнению четвертой степени [см. также Nouv. Mém. Ac. Berl., 1770 (1772)]. Лагранж при этом надеялся обнаружить пути к решению уравнений высших степеней, что, однако, оказалось обманчивым. В частности, Лагранж твердо установил, что преобразование Чирнгауза дает вспомогательные уравнения, степень которых превосходит степень исходного уравнения. В тринадцатом замечании ко второму изданию своего «Трактата о решении числовых уравнений» (Traité de la résolution des équations numériques, 1808) Лагранж вновь возвратился к этим исследованиям, но ничего существенно нового уже не добавил.

Общий принцип, установленный Лагранжем, вкратце таков. Если t=f(Xu х2, ..., хп) есть данная рациональная функция корней Хи х2, ..хп уравнения, то при всех воз-

можных перестановках Xi она принимает п\ значений. Поэтому можно составить уравнение степени п\\

\t — f (хи х2, ..., хп)\ [t — f (х2, хи ..., хп)\ ... =0,

коэффициенты которого можно выразить (с помощью симметрических функций корней по способам Крамера и Варинга) через коэффициенты данного уравнения. Решение этой резольвенты (или, как вначале назвал ее Лагранж, «réduite») дало бы п\ корней t, а затем через последние нашлись бы х*. Однако этот метод действительно пригоден для решения уравнения п-и степени лишь в том случае, если уравнение, содержащее t, можно привести к степени меньшей, чем п. Последнее имеет место, когда выбираемая нами функция f(xu х2, .. ., хп) такова, что, например, некоторые из значений, принимаемых ею при перестановках *г-, совпадают. Так, при п = 3 резольвента имеет степень 1 -2-3 = 6, однако, если взять t = (х\ + оа2 + а2а'3)3, где а есть мнимый-кубический корень из единицы, то степень ее понижается до 2, ибо из шести значений, возникающих при перестановке хи три всегда совпадают.

Для уравнений третьей и четвертой степеней можно найти такие функции f(xu Xi, #3) и ]{х\, х2, х3, Х\)\ в зависимости от их выбора получаются различные способы решения. Но Лагранжу не представлялось вероятным, чтобы это было возможно также и для уравнения пятой степени. Таким образом, это исследование уже пошатнуло твердую веру Лагранжа в разрешимость уравнения пятой степени. Добавим, что Лагранж приложил свой метод к решению полного уравнения третьей степени и что Лаплас в лекциях, читанных в парижской Нормальной школе в 1795, излагал сходный по идее метод [опубликован в Séances des Ее. norm., год III (1794/95)].

В то же время, когда Лагранж докладывал о своих новых результатах в Берлинской академии, А. Вандермонд также представил Парижской академии мемуар о решении уравнений [Mém. Ac. Paris, 1771 (1774)]. Он исходил из представления отдельных корней уравнения а, Ь, с, ... в функциях самих корней, выражающихся с помощью симметрических функций через коэффициенты уравнения. При этом он получил теорему, что каждую симметрическую функцию можно представить в виде частного двух целых симметрических функций.

Для случая уравнения третьей степени Вандермонд положил

где Г\ и т2 суть мнимые кубические корни из единицы, и составил аналогичные выражения для Ь и с.

Он пробовал также приложить свой метод к уравнению пятой степени, но столь же мало успел в этом, как итальянец Дж. Мальфатти. Последний с помощью формы, предложенной для корней уравнений Эйлером (см. стр. 50), получил резольвенту шестой степени, давшую ему, однако, решение только в тех частных случаях, которые были уже рассмотрены как-либо иначе (Atti Accad. di Siena, 1771).

Вандермонд имеет заслуги и в теории исключения неизвестных [Mém. Ac. Paris, 1772, ч. II (1776)], ибо, предложив специальный символ определителя, он дал новый толчок развитию учения об определителях. Этот символ вновь появился почти в таком же виде в XIX столетии у Сильвестра. То, что мы теперь обозначаем а\2, Вандермонд записывал в форме у.

Свой символ он определял следующим образом:

и т. д. Вандермонд указал все важнейшие формальные свойства этих выражений, связанные с перестановкой элементов, с их равенством и т. д. Поэтому он мог дать в такой символике решение любой системы линейных уравнений.

В том же томе мемуаров Парижской Академии наук теорию определителей случайно затронул великий Лаплас. Рассматривая различные перестановки, он дал известное под его именем представление результанта (здесь впервые встретилось слово résultant) системы линейных уравнений в виде суммы произведений миноров и их адъюнкт. Затем вскоре [в Nouv. Mém. Ac. Berl., 1773 (1775)] Лагранж доказал, что сумма произведений элементов ряда на соответствующие адъюнкты равна результанту, а сумма произведений элементов ряда на адъюнкты, соответствующие элементам параллельного ряда, равна нулю. Запись определителя в виде квадратной схемы и двойная индексация элементов появились лишь в XIX столетии (см. стр. 402).

Распространению правила образования результанта системы линейных уравнений, данного Безу, содействовал основатель комбинаторной школы К. Ф. Гинденбург. В предисловии к «Аналитическому исследованию кривых второго порядка» (Specimen analyticum de lineis curvis secundi ordinis, 1784) К. Ф. Рюдигера он привел правило образования членов детерминанта и определения их знаков.

Другой представитель комбинаторной школы, с которым мы еще встретимся позднее, Г. Роте, дал подробное доказательство правила знаков Крамера во второй части издававшегося Гинденбургом «Собрания комбинаторно-аналитических статей» (1800). В своей содержательной статье он вполне удовлетворительно излагает тот факт, что все члены определителя получаются одинаковым образом как при перестановке первых индексов, так и при перестановке вторых. В заключение он приходит к решению системы г линейных уравнений, вполне соответствующему нынешнему, причем разлагает определители по минорам.

Слово определитель (детерминант — determinans) встречается впервые у Гаусса, придававшего ему, однако, не тот смысл, который ему придают теперь: он называл так в своих «Исследованиях» (1801, см. стр. 93) дискриминант квадратичной формы. В ныне употребительном значении этот термин ввел Коши (1815).

Развитие учения о решении уравнений получило в начале последней трети XVIII столетия известное завершение в работах Варинга, Лагранжа и Вандермонда. Действительно, за исключением работы Руффини, к которой мы вскоре обратимся, конец века дал мало примечательного. Молодой лейтенант флота Ж. Ж. де-Маргери еще в 1773 опубликовал в записках Морской Академии (Mémoires de l'Académie royale de marine) в Бресте выдающийся по своей простоте способ образования резольвент. Швед Фр. Маллет между 1777 и 1782 выпустил в Упсале три сочинения об уравнениях первых четырех степеней1). В частности, он по-новому решил уравнение четвертой степени: он увеличил его неизвестную на величину £, определяемую некоторым кубическим уравнением, так, чтобы начальное уравнение распалось на два квадратных множителя. Такой же мыслью воспользовался в книге «Аналитические открытия в преобразовании и решении высших уравнений» (Analytische Entdeckungen in der Verwandlungs- und Auflösungskunst der höheren Gleichungen, Штральзунд, 1794, 4°) А. Гульбе, давший, помимо того, целый ряд остроумных решений уравнений третьей и четвертой степеней.

Внимание математиков все еще продолжал привлекать неприводимый случай формулы Кардано. Подобно Николю и Клеро (см. стр. 51) его рассмотрели также Франсуа Мазер в Philos, Trans.,1778, ч. II (1779) и А. М. Лорньа, применивший при этом исчисление бесконечно малых (Верона, около

1) Именно: две диссертации (1777, 1782) и статью в Nov. Acta Soc. Scient, et Litt. Upsala, 1780.

1776)1). Другие, как Дж. Николаи из Падуи (1783)2), ссе еще старались доказать возможность алгебраического представления корня уравнения для этого случая в конечной и действительной форме. Однако их ошибки были обнаружены Кантерцани, Кальдани и другими [см. Antologia Romana, тт. X, XI (1784/85) и Giornale de'confini d'Italia, 1783 и 1784]. Только Лагранж произвел дельный анализ неприводимого случая (Séances Ее. norm., год III, ср. выше стр. 33), хотя и ему не удалось доказать невозможность алгебраического выражения трех существующих при этом действительных корней. Это впервые сделали, как упоминалось, Молламе в 1890, а затем иными путями О. Гельдер в 1891, А. Кнезер в 1893 и другие.

Более важными были работы о разложении многочленов на рациональные множители. Мы уже видели, что вопросом об определении линейных и квадратных множителей занимались Лейбниц, Ньютон, Вессенер, Гудде и Маклорен (стр. 45). Встречавшийся нам (стр. 22) кембриджский профессор Ник. Саундерсон в опубликованных посмертно «Началах алгебры» (Elements of Algebra, 1740) показал, что выделение квадратных множителей многочлена четвертой степени зависит от уравнения шестой степени, что, впрочем, непосредственно вытекало из решения уравнения четвертой степени, данного в 1637 в «Геометрии» Декарта. Вслед за тем Т. Лесер в «Мемуаре об интегральном исчислении» (Memoire sur le calcul intégral, Рим, 1748) нашел, что для многочлена д-й степени вспомогательное уравнение, соответствующее множителю степени m, имеет степень Этой проблемой занимался и Варинг. Лагранж подверг ее подробному исследованию, которое привело его к теоретически правильному, но с практической стороны слишком громоздкому способу отыскания множителей [«О решении числовых уравнений всех степеней», De la résolution des équations numériques des tous les degrés, Париж, год VI (1798), замечание X; ср. также Nouv. Mém. Ac. Berl., 1772 (1774)]. Наконец, астроном Фр. Т. Шуберт, воспользовавшись методами конечных разностей, дал практическое правило нахождения таких делителей в Nov. Act. Petr., 1793 (1798). Проблема была окончательно ре-

1) Соответствующее сочинение «О неприводимом случае и т. д.» (De casu irreductibili etc.) имеет на титульном листе пометку 1776. Но так как Лорньа в тексте упоминает одно сообщение Мальфатти, содержащееся впервые в одном письме от мая 1777, то ясно, что книга вышла позднее.

2) В отдельно изданном сочинении «О возможности действительного решения и т. д.» (Deila possibilité della reale soluzione etc.).

шена, как упоминалось, лишь Кронекером в 1886. Нельзя не признать некоторой связи метода Кронекера с первыми наметками Ньютона и выкладками Шуберта.

Достойным завершением столетия, богатого в области алгебры блестящими результатами, явились открытия итальянского врача и математика П. Руффини, которые вместе с тем подводят к великим алгебраическим открытиям XIX столетия. В 1799 Руффини выпустил учебник алгебры под названием «Общая теория уравнений, в которой доказывается невозможность алгебраического решения общих уравнений выше четвертой степени» (Teoria generale delle equazioni, in cui si dimostra impossibile la soluzione algebrica delle equazioni generali di grado superiore al quarto). Приведенное в нем доказательство невозможности решения уравнения пятой степени он все время пытался улучшить в последующих пяти работах от 1801, 1802, 1806 и 1813. Хотя ему и не удалось это осуществить с нашей точки зрения безупречно, но в названных работах он высказал ряд новых идей, на основе которых покоятся современные алгебраические теории. Непосредственно примыкая к воззрениям Варинга, Лагранжа и Вандермонда, Руффини подверг систематическому изучению проблему определения тех же перестановок, при которых меняют или не меняют свое значение рациональные функции от п величин, и доказал важную теорему, что не существует трех-или четырехзначных функций от пяти величин. При этом он впервые выявил основное понятие группы операций и рассмотрел важнейшие виды групп этой области. Затем он простейшим образом доказал теорему о невозможности решения уравнений высших степеней в радикалах, если используются лишь функции, рационально зависящие от корней. Наконец, Руффини обнаружил зависимость, существующую между приводимостью уравнения и интранзитивностью его группы, а также между разрешимостью уравнения посредством вспомогательных уравнений низшей степени и импримитивностью его группы, хотя он и не ввел подобной терминологии.

§ 2. Графическое и числовое решение уравнений

1. Графические методы. «Геометрия» Декарта не только выдвинула ряд новых идей, давших толчок развитию теоретической алгебры. Столь же важной ее заслугой явилось введение общих методов графического решения уравнений, которое покоилось на новой геометрической трактовке вопроса и отчасти возобновляло приемы, употреблявшиеся некогда греками и арабами. К вопросу о возникновении и развитии аналитической геометрии, давшей для этого

вспомогательные средства, мы обратимся в своем месте, а сейчас займемся только ее приложением к алгебре.

Уравнения решались с помощью геометрических построений и до Декарта. Так, например, Жирар, Ф. ван-Скаутен и др. привели решение некоторых числовых кубических уравнений к задаче о трисекции угла. Метод Декарта тем не менее был нов, а главное — общеприменим. Он заключался в том, что посредством введения второй неизвестной решаемое уравнение разбивалось на два. Эти два уравнения выражали в новой геометрии Декарта геометрические места, пересечение которых и доставляло искомые корни. Чтобы решить, например, уравнение четвертой степени

г4 = рг2 — qz + /*,

Декарт полагал z2 = x и легко получал уравнение окружности

x2-\-z2 — (/? + \)x-^-qz — r = 0,

которую можно вычертить непосредственно. Ординаты точек пересечения окружности с параболой z2 = x прямо давали корни уравнения; при этом парабола z2 = x в силу постоянства параметра оставалась одной и той же, каковы бы ни были числовые коэффициенты решаемого уравнения.

Согласно предложенной Декартом классификации кривых по «родам» кривые порядка 2п — 1 и 2п относились к одному роду, и трактовать их следовало одинаково. Поэтому приведенное построение давало в его глазах также решение кубического уравнения. В самом деле, достаточно заставить окружность пройти через начало координат, одновременно являющееся вершиной параболы, чтобы оказалось не более трех действительных точек пересечения, дающих корни. Следующий род обнимал кривые пятого и шестого порядка, и Декарт действительно дал графическое решение общего уравнения шестой степени. С этой целью он представил егс корни как ординаты точек пересечения окружности и одной кривой третьего порядка, для которой указал способ механического описания. Этот случай, труднейший из рассмотренных Декартом, не был затронут хотя бы мельком ни одним из его комментаторов — ни Дебоном в «Кратких замечаниях», ни Ф. ван-Скаутеном в «Комментариях, — сочинениях, присоединенных к латинским изданиям «Геометрии» 1649 и 1659/611). Отсюда видно, какие трудности представляла для современников новая концепция Декарта, к тому же намеренно изложенная им неясно.

1) Титульный лист помечен 1659, но печатание второго тома закончилось только в 1661.

С несомненной целью скрыть от других избранный им путь, Декарт нигде не показал, как находить по данным уравнениям кривые, с помощью которых он определял корни этих уравнений. Ферма был откровеннее Декарта и в работе, приложенной к «Введению в изучение плоских и телесных мест» (Isagoge ad locos pianos et solidos, написано еще до 1637), разъяснил, как можно составлять в каждом отдельном случае такие геометрические места. В другом сочинении «Рассуждение в трех частях ... о решении геометрических проблем» (De resolutione problematum geometricorum ... dissertatio tripartita, около 1660), полемизируя со своим соперником Декартом, Ферма показал, что при известных условиях, особенно в случае уравнений какого-либо специального вида, вроде, например, двучленных, можно обойтись кривыми низшей степени, чем рекомендовал Декарт. После Ферма составление таких геометрических мест было подробно изучено Р. Ф. де-Слюзом в «Мезолабии» (Mesolabum, 1659) и Маклореном в «Алгебре» (1748).

Интересно отметить, что уже тогда подвергались обсуждению подобные принципиальные вопросы, и, в частности, Декарт заметил, что с помощью циркуля и линейки можно построить лишь уравнения второй степени, хотя приведенное им доказательство не было, да и не могло быть, удовлетворительным.

В своих построениях Декарт и Ферма всегда подчеркивали, что следует пользоваться кривыми возможно более низкого порядка, например, коническими сечениями, а среди них — окружностью и параболой. К этому мнению присоединились ван-Скаутен в «Комментариях», названный выше бельгиец де-Слюз (1659), англичанин Т. Бекер в труде «Геометрический ключ» [Clavis geometrica (The geometrical key), 1684] и Галлей в Philos. Trans., 1687; эти авторы несколько усовершенствовали первоначальные приемы. Но Ньютон и в этом вопросе пошел своей собственной дорогой. В своей «Всеобщей арифметике» (1707) он заявил, что при выборе кривой для геометрического построения уравнения он считает нужным руководствоваться не степенью ее уравнения, а только легкостью ее образования с помощью какого-либо прибора. Поэтому он предпочел пользоваться вместо конических сечений конхоидой Никомеда. Среди конических сечений он отдал преимущество не параболе, а эллипсу в силу большей легкости и точности его построения, а также ограниченности его фигуры. При графическом решении уравнений третьей степени Ньютон употреблял конхоиду, при решении уравнения четвертой степени — эллипс. Чтобы при решении уравнений можно было применять еще циссоиду

Диоклеса, он изобрел некий механический прием ее вычерчивания.

В последующее время ученые примыкали то к Декарту, то к Ньютону. Требования, выставленные последним, привели И. Барроу (уже в 1670), а потом Як. Бернулли, Дж. Стирлинга и маркиза Лопиталя к мысли строить уравнение вида

а = Ьх + сх2 + dxz + ... + рхп

прямо посредством точек пересечения прямой у = а и кривой у = Ьх + сх2 + ... +рхп. В 1750 этот метод подробно изложил Г. Крамер в уже известном нам «Введении» (стр. 52). Несколько позднее его упростил Зегнер [Nov. Comm. Ac. Petr., 1758/59 (1761)], который стал искать точки пересечения линии

у = — а + Ьх -f- сх2 + ... + рхп

с осью X и указал сравнительно несложное построение такой кривой. Крамер усмотрел пользу этого приема также и в легкости определения с его помощью простых и двойных действительных корней уравнения и границ, между которыми они лежат.

Предложенное Зегнером построение этих параболических кривых по точкам привело англичанина Дж. Роунинга к изобретению аппарата, позволявшего механически вычерчивать кривую

у = — а + Ьх + сх2 + ... + рхп

(см. Philos. Trans., 1770). Мы не будем останавливаться на описании этого прибора, ибо в силу своей громоздкости он не получил никакого применения. Построение Зегнера и аппарат Роунинга основывались на представлении ординаты у в виде суммы

у=у'+у"+ ... +У{п'1К

где

у' — — а-\-Ьх> у" = сх2, у(п~1) = рхп.

Этим способом пользовался еще Ньютон в работе «Перечисление кривых третьего порядка» (Enumeratio linearum tertii ordinis, опубликовано в 1711). Распространение названия «параболических кривых» на линии, выражаемые приведенным общим уравнением, было тоже делом Ньютона («Метод разностей», 1-е изд. вышло также в 1711). Одна из этих кривых, так называемая кубическая парабола уг = 2т2(х—п), была позднее применена Г. Монжем (1814) для построения всех кубических уравнений.

2. Числовые приближенные методы. Первым ученым, которому пришла мысль систематически решать числовые уравнения приближенным путем, был Виет1). «Отец алгебры» сам придумал один подобный прием, но из-за своей сложности этот прием, даже после улучшений, внесенных Оутредом, Гарриотом и др., остался практически почти неприменимым2). Ньютон, во всех работах которого на первом плане стояли интересы практики, обратил внимание на этот вопрос еще в самом начале своей математической деятельности. Тогда же он разработал метод, носящий до сих пор его имя. В первом своем сочинении «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов» (Analysis per aequationes numéro terminorum infinitas), написанном не позднее 1669 и впервые частично изложенном в 1685 в 94-й главе «Алгебры» Валлиса, Ньютон пояснил свой прием на примере уравнения

у*-2у-5 = 0.

Пусть у = 2 представляет собой искомый корень с точностью до-^-. Примем в качестве точного значения выражение у = 2 + р и подставим его в уравнение. Тогда для определения р получится уравнение р3 + 6р2+Юр—1=0. Если пренебречь здесь высшими степенями р, то р = 0,1 - Подставив теперь в предыдущее уравнение р = 0,1+<7, мы при том же условии найдем, что q = —0,0054, и т. д. Таким образом, корень окажется представленным в виде ряда

^ = 2 + 0,1—0,0054 — ...

Ньютон применил этот способ и к решению буквенных уравнений с двумя неизвестными.

1) Об одном примере, решенном еще Леонардо Пизанским (1202), см. Цейтен, ч. I, стр. 212—213.

2) Разработка систематических приемов численного решения алгебраических уравнений высших степеней начата была задолго до Виета. В средневековом Китае был разработан способ, совпадающий с так называемым ныне способом Руффини — Горнера; подробное описание его применительно к уравнениям любой степени встречается в литературе XIII в., а возник он в развитие приема извлечения квадратных и кубических корней, описанного в «Математике в девяти книгах» (см. стр. 42); в VII в. этот способ применен был в Китае к уравнениям третьей степени. Прием Виета в некоторых отношениях сходен с древнекитайским. Численные методы решения кубических уравнений разрабатывались и в арабских странах; об одном из таких методов, примененных Джемшидом ал-Каши к весьма точному вычислению синуса Г по известному синусу 3°, см. в книге: Джемшид Гиясэддин ал-Каши, «Ключ арифметики. Трактат об окружности», перев. Б. А. Розенфельда с комментариями А. П. Юшкевича и Б. А. Розенфельда, стр. 311 и след. См. также книгу А. П. Юшкевича в Библиографии. — Прим. ред.

Пусть требуется, например, решить относительно у уравнение

у3 + а2у — 2а3 + аху — х3 = О

и пусть известно, что я — малая величина. Первое приближенное значение у = а мы найдем, полагая х = 0. Выражая затем у в виде у = а + р и подставляя это значение в уравнение, мы найдем

4а2р + 3ар2 + р3 + а2х + арх- х3 = 0.

Для определения погрешности р в последнем уравнении сначала учитываются только члены первой степени относительно X и р. Тогда 4а2р + а2х = 0 и, значит, р—^^-. Полагая

X -

теперь р= —4"~f~<7 и подставляя это значение в предыдущее уравнение, мы таким же путем получим, что q~ — , и т. д. В результате Ньютон пришел к ряду

— х 1 X2 131л:3 509л:4 У — а 4 64а ' 512а2 16 384а3

В случае, когда величина х велика, Ньютон видоизменяет свой метод и дает разложение в ряд, расположенный по отрицательным степеням х. Для определения начального члена таких разложений Ньютон в одном письме от 24 октября 1676, предназначенном для Лейбница, сообщил практическое правило, получившее название параллелограмма Ньютона и впервые ставшее общеизвестным из вышеупомянутой 94 главы валлисовой «Алгебры». Чтобы найти, например, первый член разложения в ряд для у, определяемого уравнением

у* + 5ху5 +^УА — 7а2х2у2 + 6а3х3 + Ь2хх = 0,

все члены бинарной формы, в которой х восходит до четвертой, а у до шестой степени, заносятся в прямоугольник, как это показано на рис. 1. Внутренние прямоугольники, содержащие члены предложенного уравнения, отмечаются затем звездочками (как это сделано на рис. 2). К левому нижнему углу левого нижнего отмеченного звездочкой прямоугольника прикладывается линейка, которую вращают

Рис. 1.

направо снизу вверх, пока она не коснется угла какого-нибудь другого отмеченного прямоугольника. Наконец, составляется уравнение из тех членов данного уравнения, которые соответствуют затронутым линейкой прямоугольникам:

баЪс3 — 7а2х2у2 -f- if = 0.

Это уравнение (считая, что а>0) имеет четыре действительных корня:

У = + Vгах, — У ах, + Y2ÔX, — У2ах,

каждый из которых, рассматриваемый как начальный член, порождает свой ряд для у. Остальные два корня уравнения — мнимые и поэтому не рассматриваются. В последующее время параллелограмм Ньютона пользовался большим успехом. Стирлинг применил его в своей работе «Ньютоновы кривые третьего порядка» (Lineae tertii ordinis Newtonianae, 1717); де-Гюа (1740) и Крамер (1750) в своих исследованиях высших кривых преобразовали его в «алгебраический» и соответственно «аналитический» треугольники. Свой «аналитический треугольник» Крамер использовал плодотворнейшим образом при исследовании течения отдельных ветвей кривой, о чем мы будем подробнее говорить во второй части. Кестнер пространно изложил метод Ньютона в сочинении «Ньютоново решение буквенных уравнений и т. д.» (Aequationum specios. resolutio Newtoniana etc., 1743), a Лагранж, исходя из некоторых теоретических соображений, попытался заменить этот практический прием чисто аналитическим способом (Nouv. Mém. Ac. Berl., 1776).

В применении к числовым уравнениям метод Ньютона несколько переработал уже Э. Галлей (Philos. Trans., 1687 и 1694; последняя статья была перепечатана в 1707 в «Универсальной арифметике» Ньютона). Однако в том виде, в каком им пользуются ныне, т. е. с применением для производства подстановок ряда Тейлора, его опубликовал впервые, по-видимому, Эйлер («Основания дифференциального исчисления», 1755). Еще ранее Эйлер применил его в таком виде в письме к Гольдбаху от 4 июля 1744. Недостатки метода Ньютона впервые заметил Галлей. Один из них он усматривал в том, что первое приближенное значение приходится

Рис. 2.

устанавливать с точностью до 1/10, а другой — в том, что метод не дает критерия точности для каждого из получаемых последовательно приближений, и, наконец, третий в том, что при некоторых обстоятельствах может возникнуть даже расходящийся ряд. В замечании V к своему неоднократно упоминавшемуся трактату «О решении числовых уравнений» (1798) Лагранж тщательно проанализировал метод Ньютона и нашел, что с полной уверенностью его можно применять только для вычисления наибольшего и наименьшего корней1).

Одной из важнейших задач, предшествующих применению большинства приближенных методов, являются определение границ, между которыми лежат положительные и отрицательные корни, и отделение корней. Понятно, что эта задача возникла перед математиками тотчас же, как только они начали заниматься приближенным решением уравнений высших степеней. Впервые вопрос о границах корней был поставлен в одном из дополнений Дебона к латинскому изданию «Геометрии» Декарта (1649 и 1659/61)2). После открытия своего метода приближенного решения уравнений этим вопросом, естественно, занялся Ньютон. В своей «Всеобщей арифметике» он выставил несколько формул для определения верхней границы корней, одну из которых можно и теперь встретить в учебниках. Комментатор Ньютона, Маклорен (см. стр. 52), присоединил к ньютоновым свой собственный прием. После того как Гудде (письма к ван-Скаутену от 1657/58, приложенные им к «Геометрии», изд. 1659) открыл, что уравнение //(х)=0 дает двойные корни уравнения f(x)=0, Ролль нашел, что корни уравнения /'(jt)=0 могут служить границами корней уравнения ;(л:)=0. Исходя из этой мысли, Ролль в «Трактате по алгебре» (1690) разрабо-

1) Важные добавления дал впоследствии Фурье в «Анализе определенных уравнений» (1831).

Впрочем, задолго до Лагранжа и Фурье метод Ньютона был точно исследован и улучшен Ж. Мурайлем в его «Трактате о решении любых уравнений» (Traité de la résolution des équations en général, ч. I, Марсель и Париж, 1768). См. литературу к главе II. Дж. Рафсон видоизменил метод Ньютона в своем «Общем анализе уравнений» (Analysis aequationum universalis, Лондон, 1690).

2) Постановка вопроса о границах действительных корней квадратных и кубических уравнений восходит к древности. Для одной задачи, выражающейся уравнением третьей степени, полный анализ условий возможности положительного корня дал еще Архимед. Для уравнений третьей степени систематическое исследование условий возможности положительных корней, не свободное, правда, от неточностей, произведено было рядом математиком Ближнего и Среднего Востока, особенно полно — Омаром Хайямом в XI в. (см. книгу А. П. Юшкевича в Библиографии).— Прим. ред.

тал метод, позволявший заключать корни в некоторые границы или же отделять корни, названный им «методом каскадов». В несколько отличной форме этот способ известен теперь под названием «теоремы Ролля». Пусть f(v)=0 представляет собой данное уравнение п-й степени. Если подставить в него u = z + x, то (в наших обозначениях) получится:

Уравнения

Ролль называл первым каскадом, вторым каскадом и т. д.

Для определения с помощью каскадов границ действительных корней уравнения Ролль пользовался следующей теоремой: «между двумя последовательными корнями а и Ъ какого-либо каскада может заключаться только один корень следующего каскада». Применение этой теоремы ко всем по порядку каскадам, начиная с первого, давало Роллю искомые границы.

Дж. Стирлинг и де-Гюа (Mém. Ac. Paris, 1741; ср. стр. 49) подошли к определению границ корней с геометрической точки зрения. Основываясь на течении параболических кривых третьего и четвертого порядков и расположении их максимумов и минимумов, они получили способ, который потом обобщил Эйлер («Основания дифференциального исчисления», 1755) и который в сущности приводится к способу Ролля, но распространяется и на мнимые корни.

Варинг и Лагранж (ср. стр. 54—55) позднее применили для установления границ корней уравнения другое уравнение, корни которого суть квадраты разностей корней предложенного уравнения. В замечании VIII к своему трактату «О решении числовых уравнений» (1798) Лагранж дал вывод различных методов определения границ корней, вытекающих из одного общего принципа; при этом он, между прочим, получил доказательство правила знаков Декарта (ср. стр. 49).

Другим приближенным методом, который покоился на совсем иной основе, чем способ Ньютона, и не нуждался в определении границ корней, был метод рекуррентных рядов, сообщенный Даниилом Бернулли в Comm. Ac. Petr., 1728 (1732). Возникновение этого метода было, впрочем, связано

с замечаниями Ньютона о применении к решению уравнений сумм степеней корней. Способ Бернулли заключался в следующем. Пусть требуется решить уравнение

хп + аххп-1 + а2хп-2-+ ... +ая = 0

и пусть выбраны п произвольных чисел Ри Р2, Я3, ... , Рп. Если теперь определить Pn+i, Рп+2, . .. рекуррентным законом

Рп+т~\~ а\Р пЛ-т-\^Г а2^ n+m-2"f" ••• + m = О

(т=1, 2, 3, ...), то отношение Д^1 с возрастанием m приближается к наибольшему по абсолютной величине корню уравнения. Даниил Бернулли высказал эту теорему без доказательства. Его друг Эйлер в 17-й главе «Введения» (1748) тщательно разобрал этот метод и привел отсутствовавший вывод. Методом Бернулли занялся также Лагранж (в замечании VI к трактату «О решении уравнений»). При этом он его несколько специализировал, предложив вместо произвольных Pi брать суммы степеней корней S{.

Кроме метода Бернулли, который сохранился до нашего времени в форме, сообщенной ему Лагранжем, XVIII столетие принесло еще два оригинальных метода И. Г. Ламберта. Оба они были изложены в статье «Различные замечания о чистой математике» (Observationes variae in mathesin puram в Acta Helvetica за 1758). Если в уравнении

О = а — Ьх + сх2 — dxz + ... + рхп

сделать подстановку x—k+y и пренебречь всеми степенями {/, кроме первой, то получится, что

Когда k представляет собой какое-либо число, эта формула, согласно Ламберту, дает приближенное значение для корня, ближайшего к k. Второй метод заключался в применении ряда, получившего название ламбертова, к трехчленным уравнениям вида a&+bx*=*d или, что то же, xm + px = q, по способу последовательных приближений. Ряд этот сходится при (m—l)m-1pm>mm^m_1, что и было без доказательства указано его автором.

Эйлер, которому Ламберт по приезде в Берлин в 1764 сообщил о своей работе, тотчас же сделал из нее отправной пункт новых изысканий. Полуиндуктивным способом он нашел ряды для решения уравнений более чем с тремя и даже с любым числом членов; впрочем, о сходимости этих рядов он по обыкновению не заботился [Nov. Comm. Ac. Petr., 1770 (1771)]. К этим замечательным рядам он затем возвращался в позднейших статьях [Nov. Comm. Ac. Petr., 1775 (1776), Act. Ac. Petr., 1779 (ч. II, 1783), а также Nov. Act. Petr., 1786 (1789) и 1794 (1801)], причем добавил недостававшее еще доказательство их справедливости. Он дал также ряды, с помощью которых можно выражать не только корни уравнений, но и их степени [Nov. Act. Petr., 1786 (1789) и 1794 (1801)].

Идеи Ламберта получили гениальное развитие и у Лагранжа, напечатавшего в Mém. Ac. Berl., 1768 (1770) статью «Новый метод решения буквенных уравнений посредством рядов» (Nouvelle Méthode pour résoudre les équations littéraires par le moyen des séries). В ней Лагранж привел носящую его имя формулу для обращения функции. В замечании XI к трактату «О решении числовых уравнений» (стр. 60) он вернулся к этой формуле и дал ее точный вывод, хотя изящные доказательства ее были уже сообщены Кондорсе в Misc. Taur., 1770/73 и Лапласом в Mém. Ac. Paris, 1777 (1780). Свою формулу Лагранж представил в следующем виде. Если а есть наименьший корень уравнения

то

где г — любое положительное или отрицательное число, а штрихи обозначают производные по х.

В применении к уравнению любой степени эта формула при г=\ сразу дает общий случай разложения Ньютона:

Лагранж занимался также определением области сходимости своего ряда, но успеха не достиг. Свой ряд он также применил в Mém. Ac. Berl., 1769 (1771) к решению задачи

Кеплера, выражающейся трансцендентным уравнением # = = t — е sin X. Отсюда стало ясно выдающееся практическое значение ряда, который многократно употреблялся и впоследствии. Так, например, Лаплас в 1798/99 в своей «Небесной механике» (Mécanique céleste) выразил с его помощью радиус-вектор планетной орбиты в явной зависимости от времени.

В первой из указанных статей Лагранж еще показал, как можно применить тот же метод к приближенному решению системы двух уравнений F(x, у)=0 и f(x, */)=0, если для х и у известны два первых приближения а и Ь. Положив х = = а + р и y = b + q, он не только получил первые приближения для р и qy которые дал еще Т. Симпсон в книге «Опыты о некоторых... вопросах и т. д.» (Essays on several... subjects etc., Лондон, 1740), но и нашел ряды, служащие для определения р и q с любой степенью точности.

Кроме открытия этого ряда, годившегося как для решения алгебраических и трансцендентных уравнений, так и для обращения рядов, Лагранжу принадлежало еще изобретение нового приближенного метода, основанного на излюбленном им разложении в цепные дроби [Hist. Ac. Berl., 1767 (1769)]. Если известно такое первое приближенное значение р корня je, что р<*<р+1, и если в уравнение подставить х = Р~\~-^, то возникает новое уравнение той же степени с неизвестным у. Так как 1 > ~ > 0, то новое уравнение во всяком случае имеет действительный корень, больший единицы. Если целая часть приближенного значения у есть q, то y = q-h~ и т.д.

Таким образом для х находится разложение

Когда цепная дробь на каком-либо месте обрывается, х является рациональным корнем, в противном случае он иррационален. Это обстоятельство, а также легкость, с которой определяется погрешность каждого последовательного при* ближения, сообщают методу цепных дробей теоретическое преимущество перед способом Ньютона. Напротив, практически он мало применим, ибо находить с его помощью приближенные значения слишком трудно.

В одной заметке в Mém. Ac. Berl., 1768 (1770), в которой Лагранж несколько улучшил свой метод, он показал, как разлагаются в цепные дроби корни квадратного уравнения,

и установил, что выражающая корень цепная дробь всегда должна быть периодической. До того было лишь без доказательства отмечено Эйлером, что в периодическую цепную дробь разлагается квадратный корень из целого числа.

В заключение укажем на приближенный метод, опубликованный уже известным нам знаменитым алгебраистом XVIII столетия Варингом в его «Аналитических этюдах» (1762). Это тот самый метод, который заново и самостоятельно открыл в 1837 Греффе1) и который с тех пор всюду известен как «метод Греффе». Принцип последнего у Варинга выражен совершенно отчетливо, однако английский математик не занялся практическим проведением вычисления, как это сделал впоследствии Греффе.

1) О так называемом методе Греффе см. далее на стр. 409. — Прим. ред.

ГЛАВА ТРЕТЬЯ

ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

§ 1. Общий обзор

В рамках нашего исследования историю теории чисел можно разделить на три периода. Первый период начался с восстановления сочинений Диофанта, благодаря К. Г. Баше де-Мезириаку, выпустившему их в подлиннике и с латинским переводом в 1621 (Цейтен, ч. II). Этот период дал ряд отдельных открытий, среди которых особенно яркими были знаменитые теоремы Ферма, сообщенные им, к сожалению, без доказательств. Поэтому методы, которыми, без сомнения, обладал этот великий математик, окутаны глубокой тьмой, прорезаемой лишь несколькими лучами света. Напротив, второй период, во главе которого мы поставим многочисленные и обширные работы Эйлера, был отмечен появлением некоторых методов, применимых к определенным группам задач. В конце XVIII столетия эти методы нашли ясное изложение в «Опыте теории чисел» (Essai sur la théorie des nombres, Париж, год VI, 1797/8) Лежандра. На третий период пришлись замечательные творения Гаусса. Его исследования, впервые исходившие из единой точки зрения, не только систематически объединили и гениально продолжили уже известные частные теории, но и содержали ростки, которые развились затем в современную теорию чисел. Только начиная с Гаусса можно по существу говорить о подлинной теории чисел.

§ 2. Ферма и его современники

Ферма, величайший французский математик XVII столетия, пришел к своим теоретико-числовым изысканиям, которые по значению далеко опередили свое время, в результате изучения Диофанта в издании Баше де-Мезириака (1621). Часть открытых Ферма важных теорем была обнаружена лишь после его смерти на полях его рабочего экземпляра книги Диофанта,

Сын математика, Самуил Ферма, опубликовал их в выпущенном им новом издании Диофанта (Тулуза, 1670). Первые 36 страниц этого издания Диофанта занимало «Новое открытие в аналитическом учении» (Doctrinae analyticae inventum novum), представлявшее собой переработку переписки Ферма с иезуитом Жаком де-Билли по теоретико-числовым вопросам; переработка принадлежала при этом самому корреспонденту Ферма. Другая часть результатов Ферма содержится в его «Различных сочинениях» (Varia Opera, 1679) и в переписке с различными современниками, как де-Сент-Круа, де-Сен-Мартеном, Паскалем и, особенно, Френиклем де-Бесси, а также с некоторыми английскими учеными.

Разумеется, здесь мы можем лишь охарактеризовать направления, в которых шли работы Ферма, и отметить только те результаты, которые получили особенное значение для позднейшего развития теории чисел. Прежде всего Ферма занялся вопросом о делимости чисел и дал способ систематического нахождения всех делителей какого-либо числа. По-видимому, эти исследования, наряду с изучением вопроса об образовании совершенных, дружественных и тому подобных чисел, привели его к столь важной теореме, которая впоследствии была названа его именем и которую он сообщил без доказательства Френиклю де-Бесси в письме от 18 октября 1640. Мы имеем в виду теорему, которая в обозначениях Гаусса ныне выражается так: для всякого а существует такое m, что

am=l(mod/?),

где р — постоянное число, не делящее а, и р=\ (mod m).

Столь же большое значение, как эта теорема, приобрела позднее проблема целочисленного решения уравнения ах2+ + 1=у2, где а есть данное неквадратное число. Ферма сначала поставил ее в 1657 перед Френиклем, а затем, согласно тогдашнему обычаю, предложил ее в открытом письме всем современным математикам. Найти ее решение, впрочем весьма сложное, удалось Валлису и лорду Броункеру; оно было опубликовано в 1658 в «Недавней переписке о некоторых математических вопросах» (Commercium epistolicum de quaestionibus quibusdam mathematicis nuper habitum). Вследствие одного недоразумения Эйлер приписал это решение математику Дж. Пеллю (умер в 1685). С тех пор проблема получила наименование «уравнение Пелля», которое сохранилось за ней и в современной литературе, хотя Пелль вовсе не занимался приведенным уравнением. Было бы справедливее присвоить ей имя Ферма. Он, несомненно, обладал ее общим решением, а также доказательством того, что уравнение

ах*+1=у2 всегда разрешимо1), ибо отметил, что последнее доказательство основывается на методе неограниченного спуска, о котором мы еще будем говорить ниже. Более подробные указания Ферма думал привести в сочинении, в котором, как он говорит в другом месте, намеревался замечательным образом обогатить арифметику. Однако такое сочинение, к сожалению, в свет не появилось. Частные случаи этой важной проблемы были изучены еще греками, а индусы дали гениальное ее решение (Цейтен, ч. I), в основном совпадающее с позднейшим способом Лагранжа. Но все это не умаляет славы Ферма, вновь открывшего проблему и оценившего ее значение.

Стремясь обобщить теоремы древних о составлении прямоугольных треугольников с рациональными сторонами, Ферма пришел к ряду теорем о невозможности некоторых равенств. Мы упомянем здесь лишь важнейшую из них, гласящую, что уравнение xn + yn = zn при п>2 неразрешимо в целых числах. Эта теорема, которая в начале XX столетия приобрела столь громкую известность благодаря учреждению Вольфскелем премии в 100 000 марок за ее решение, находилась среди замечаний, сделанных Ферма на полях книги Диофанта. Рядом стояли такие слова: «Для этого я располагаю поистине чудесным доказательством, но поля слишком узки, чтобы его можно было на них поместить». Общее доказательство предложения Ферма безуспешно искали величайшие математики до нашего времени. Уже доказательство для всех простых чисел п, 3<п<100, которое, наконец, удалось получить Куммеру, можно провести только с помощью средств, которые не могли быть известны в XVII столетии. Поэтому утверждение Ферма, что он располагал соответствующим доказательством, следует считать, по всей вероятности, ошибочным. Однако нам известно его доказательство для м = 4, которое содержится в некотором другом предложении и базируется на упоминавшемся методе бесконечного спуска. Предложение, о котором мы говорим, гласит: «не существует прямоугольного треугольника, стороны которого суть целые числа, а площадь — квадрат». Для доказательства этого предложения Ферма показал, что если допустить существование одного такого треугольника, то должен существовать другой треугольник, с площадью, выражающейся квадратом, и с меньшими целочисленными сторонами, а от

1) Доказательство, которое пытался дать в своей «Алгебре» (1685) Валлис, содержало ошибочное умозаключение, что отметили Лагранж [Misc. Taur. 1766/69 и § VIII его «Приложений» к «Началам алгебры» (Eléments d'algèbre, Лион, 1774) Эйлера] и Гаусс в § 202 «Арифметических исследований» (Disquisitiones arithmeticae, Лейпциг, 1801).

этого треугольника можно перейти к следующему и т. д. до бесконечности. Но так как бесконечного числа убывающих положительных целых чисел не существует, то принятое допущение ошибочно. Доказательство невозможности существования треугольника с описанными свойствами содержит в себе, если держаться рассуждений Ферма, невозможность существования квадрата, равного разности двух четвертых степеней ик — у4, откуда немедленно вытекает, что тем более не может существовать четвертая степень, равная разности и4 — ü4, и, следовательно, равенство uk — vk + w4 невозможно. Именно, если представить три целочисленные стороны прямоугольного треугольника в виде х2 + у2у х2—у2, 2ху и если допустить, что площадь (х2—у2) ху есть квадрат, то должно было бы быть х = и2 и y = v2\ значит, (и4 — v4)u2v2 также было бы квадратом, откуда следовало бы, что и4—v4 также есть квадрат.

Френикль де-Бесси, который был, разумеется, знаком с общим методом Ферма, дал основывающееся на нем доказательство «великой теоремы Ферма» при п = 4 уже в 1676 в «Трактате о числовых прямоугольных треугольниках» (Traité des triangles rectangles en nombres) и в Mém. Ac. Paris, 1666/69 (1729). Его доказательство было несколько растянуто, но по сути дела совпадало с тем, которое нашел Эйлер [Comm. Ac. Petr., 1738 (1747)].

Впрочем, как указывал Ферма, он применял свой метод доказательства к теоремам не только отрицательного, но и положительного характера, например, для вывода теоремы, что каждое простое число вида 4лг -h 1 представляет собой сумму двух квадратов, что, далее, каждое неквадратное число равно сумме 2, 3 или 4 квадратов, и, наконец, как мы уже сказали выше, для доказательства разрешимости в общем случае так называемого уравнения Пелля.

Мы не можем входить в рассмотрение многочисленных отдельных теорем и решений неопределенных уравнений, данных Ферма. Упомянем только, что во второй части «Нового открытия», вообще представляющего ключ ко многим замечаниям, сделанным Ферма на полях Диофанта, разбирались, в частности, так называемые «трехкратные равенства», которые Ферма считал собственным открытием. Речь шла о том, чтобы сделать квадратами сразу три выражения, что, впрочем, нередко встречалось и у Диофанта. Выражения эти имеют либо форму а2+Ьх (скажем, 1+х, 4 + 2х, 9 + бл:), либо форму а2х2 + Ьх (скажем, х2+х, х2+2х, х2Л-Ъх). Из других теорем мы в несколько сокращенном виде приведем ту, которая утверждает, что всякое число есть либо некоторое /1-угольное число, либо сумма не более чем п я-угольных

чисел. «Я не могу, — писал Ферма, — приложить здесь доказательство, которое берется из многочисленных разнообразных и таинственных свойств чисел». Только в 1815 Коши нашел доказательство теоремы для любого п.

По сравнению с теоретико-числовыми результатами Ферма, сохранившими руководящее значение для всего последующего развития учения о числах, открытия его современников совершенно отступают на задний план, так что при их изложении мы можем быть весьма краткими. В переписке с Ферма находился Блез Паскаль (умер в 1662), от которого до нас дошли две небольшие теоретико-числовые работы, возникшие, вероятно, в 1654, но опубликованные только в 1665. В одной Паскаль занимался факториальным выражением

а(а + \)(а + 2) ... (a + k— 1)

(а и k — целые числа) и установил семь относящихся к нему теорем. Возобновление в XVIII столетии его исследований Лагранжем, Вильсоном и Эйлером (см. ниже) показывает, что математическое остроумие Паскаля привело его к действительно важной области. Другая работа содержала обоснование правила для установления делимости какого-либо числа на любое данное число. На самом деле это «правило» представляет собой скрытое деление.

Мы уже говорили о важнейшем открытии Френикля де-Бесси. Кроме того, в вышеназванном сочинении он установил некоторые теоремы частного характера о прямоугольных треугольниках, вроде, например, такой: в каждом прямоугольном треугольнике с целочисленными сторонами одно из трех чисел, выражающих стороны, делится на 4 и одно — на 5.

Упомянем попутно собственные труды Жака де-Билли. В двух сочинениях, примыкающих к «Арифметике» Диофанта: «Геометр Диофант и т. д.» (Diophantus geometra etc., 1660) и «Первая и вторая части возрожденного Диофанта» (Diophanti redivivi pars prior et pars posterior, 1670), он подверг искусному алгебраико-геометрическому анализу задачи греческого математика, причем отчасти продолжил ход мыслей Ферма. Мы должны также отметить первое доказательство теоремы Ферма о сравнении am=l(mod т+ 1), найденное Лейбницем. Лейбниц самостоятельно открыл указанную теорему не позднее 1683 и сообщил ее вместе с точным доказательством Иоганну Бернулли.

Впрочем, опубликовано было это доказательство только в наше время. Остальные достижения Лейбница в теории чисел были незначительны; самое большее, можно еще указать на одно выставленное им предложение, в котором усматри-

вается и прообраз так называемой теоремы Вильсона (см. стр. 84).

Решением неопределенных уравнений первой степени с двумя неизвестными занимался М. Ролль. В уже известном нам «Трактате по алгебре» (1690) Ролль привел способ решения таких уравнений, по идее точно совпадающий с общеизвестным решением, которое дал впоследствии Эйлер в Comm. Ac. Petr., 1734/35 (1740) и которое с тех пор всегда приписывалось последнему.

В заключение мы коснемся другой области теории чисел — именно различных недесятичных систем счета. Двоичная система была весьма древней. Еще Леонардо Пизанский в начале XIII столетия, а затем Лука Пачиоли в своей Summa (1494) употребили двоичную систему для решения популярной задачи о минимальном числе разновесков, потребном для того, чтобы взвесить все тяжести, не превосходящие некоторого предела. Систематическое изложение бинарной системы счета впервые дал Дж. Непер в добавлении к своей «Рабдологии» (1617). Великий английский философ и государственный деятель Ф. Бэкон в книге «О достоинстве и прогрессе наук» (De dignitate et augmentis scientiarum, 1623) составил с помощью системы из двух букв специальный алфавитный шифр. Особенно много, однако, поработал над усовершенствованием и распространением в более широких кругах двоичной арифметики Лейбниц [см., например, Mém. Ас. Paris, 1703 (1705), а также ряд писем к Шуленбургу (уже в 1698), Як. Бернулли, Ник. Ремону и Я. Герману; последние были опубликованы в Mém. Ac. Berl., 1757 (1759)]. Поэтому Лейбница часто принимали за изобретателя этой системы1). На другие числовые системы обратил внимание во второй из названных выше статей Паскаль (Caractères de divisibilité des nombres — «Признаки делимости чисел»). Позднее ими занимались испанский иезуит епископ Иоганн Карамуель-и-Лобковиц в книге «Двоякая старая и новая математика» (Mathesis biceps vêtus et nova, 1670) и естествоиспытатель Бюффон, который, как, впрочем, еще Лобковиц и Паскаль, отвел в своем «Опыте нравственной арифметики» (Essai d'arithmétique morale, составлен около 1760, ср. стр. 108) особое место двенадцатеричной системе. Двенадца-

1) Согласно Клюгелю (Mathem. Wörterbuch, т. I, 1803, стр. 943), двоичной системой Лейбниц занимался уже в одном письме 1697 к брауншвейгскому герцогу Рудольфу-Августу. Сам Лейбниц полагал, что двоичная система была у китайцев. Однако это оказалось неверным. Любопытно также, что в возможности представления всех чисел с помощью знаков 0 и 1 Лейбниц видел математическое доказательство творения мира из ничего (бог=1, ничто = 0).

теричную систему энергичнейшим образом отстаивал в «Кратком изложении новой числовой... системы» (Kurze Darstellung eines neuen Zahlen ...Systems, 1798) Иог. Фр. Xp. Вернебург. Напротив, Лагранж не находил никакого преимущества в большом числе делителей у 12 [см. заметку Деламбра в Mém. (Hist.) Inst., Paris, 1812]. О Валлисе см. на стр. 18.

§ 3. От Эйлера до Гаусса

С конца XVII до тридцатых годов XVIII столетия мы не можем назвать какого-либо замечательного теоретико-числового открытия. Математики были слишком заняты разработкой возникших недавно исчисления бесконечно малых и аналитической геометрии. Только Эйлер, распространивший свою огромную активность на все области математики, уделил внимание этой отвлеченнейшей ее ветви и даже с особенной любовью занимался ею на протяжении всей жизни. Из многочисленных работ Эйлера мы, разумеется, можем выделить только важнейшие результаты и методы, не вдаваясь в частности. Как и до сих пор, мы здесь будем вести изложение в порядке разбора отдельных вопросов, причем всякий раз будем привлекать к рассмотрению соответствующие открытия Лагранжа, Лежандра и других ученых этого времени.

В целом ряде статей Эйлер занялся целочисленным решением неопределенных уравнений. Уже в раннем периоде своей деятельности он нашел упомянутый выше способ решений уравнений первой степени с двумя неизвестными [Comm. Ас. Petr., 1734/35 (1740)], который мы встретили у Ролля. В «Полном введении в алгебру» (1768/69) Эйлер применил тот же прием к линейным уравнениям с несколькими неизвестными. К последним он возвратился затем в статье, опубликованной уже после его смерти во втором томе «Аналитических сочинений» (Opuscula analytica, 1785). Лагранж в Mém. Ас. Berl., 1768 (1770) присоединил к методу Эйлера еще свой известный способ цепных дробей, весьма близкий, впрочем, к способу Баше (см. Цейтен, ч. II). Еще ранее Эйлер показал [Comm. Ac. Petr., 1732/33 (1738)], как получается бесконечно много целочисленных решений уравнения ах2 + Ьх + + с = у2, если известно одно такое решение. Несложное преобразование этого уравнения немедленно приводит задачу к более простой, именно к определению целочисленных решений уравнения A+By2 = z2. В Nov. Comm. Ac. Petr. за 1762/63 (1764) и 1773 (1774) Эйлер сумел также дать правила нахождения одного такого решения при положительном В. Однако его исследования вскоре были отодвинуты на

задний план результатами Лагранжа, который привел к виду A + Bt2 = u2 общее уравнение

ax2 + bxy + cy2 + dx + cy-\-f = 0

и в Mém. Ac. Berl., 1769 (1771) подробнейшим образом рассмотрел вопрос о решении первого уравнения. Прием Лагранжа заключался в том, что посредством подходящих преобразований он постепенно уменьшал коэффициенты, пока один из них не становился равным единице, после чего решение сводилось к решению задачи Ферма. Эйлер все же вернулся впоследствии к общей проблеме снова и сообщил два метода, позволявших по одному известному решению найти бесконечно много решений. Вместе с тем он нашел условия, при которых рациональные решения переходят в целочисленные [см. Nov. Comm. Ac. Petr., 1773 (1774) и «Аналитические сочинения», т. I, 1783]. Эйлер подошел к аналогичной задаче и для уравнений третьей и четвертой степеней. Последние исследования, в которых предшественником Эйлера был еще Ферма, рассмотревший две частные формы четвертой степени, относились к 1780, но появились много времени спустя после смерти Эйлера [например, в т. XI Mém. Pétersb. (1830)], когда они представляли уже почти лишь исторический интерес.

В круг своих занятий Эйлер включил также вопрос о целочисленном решении систем диофантовых уравнений высших степеней и систем более чем с двумя неизвестными, которому посвятил целый ряд статей. Однако они не оказали влияния на последующее развитие теории чисел, ибо не давали общих методов и содержали только искусные приемы в частных случаях.

Эйлер весьма обстоятельно занялся вышеупомянутым специальным случаем целочисленного решения так называемого уравнения Пелля, с которым, как мы видели, он встретился рано. Он установил, что для преобразования трехчлена ах2 + Ьх + с в квадрат у2 необходимо решение уравнения Пелля, и посвятил ему поэтому несколько статей. В последней из них, появившейся в Nov. Comm. Ac. Petr., 1765 (1767), он, наконец, привел общий способ его решения, показав, каким образом приводит к цели вычисление подходящих дробей разложения У а в Цепную дробь. Сам по себе его метод не оставлял желать ничего лучшего, но обоснование его страдало множеством недостатков. Лагранж, начавший тогда же работать над этим вопросом и вначале не знавший о статье Эйлера, дал в четвертом томе Misc. Taur. (1766/69) первое строгое доказательство того, что уравнение всегда разрешимо, и сообщил метод его решения. Ознакомившись с работой

Эйлера, он видоизменил и упростил свой способ в Mém. Ас. Berl., 1768 (1770) так, что в основном он уже несущественно отличался от приема Эйлера. Метод Лагранжа тот же, который употребляли еще индусы, не пытаясь, конечно, строго его обосновать. В самой ясной и простой форме метод Эйлера — Лагранжа был изложен затем Лежандром в его знаменитом «Опыте теории чисел» (Essai sur la théorie des nombres, Париж), впервые опубликованном в 1797/8.

Из сказанного видно, что систематическое изучение вопросов неопределенного анализа начато было только Эйлером и достигло известного завершения в его работах и работах Лагранжа. Эйлер поэтому поспешил сделать свои исследования в этой области доступными более широким кругам, включив их во вторую часть своего руководства по алгебре. Во французском переводе этого первого курса теории неопределенных уравнений, выпущенном в 1774 (см. стр. 76), Лагранж снабдил отдельные главы дополнениями, еще значительно увеличившими ценность и полезность книги.

До сих пор мы занимались проблемой решения неопределенных уравнений, интерес к которой возбудили Диофант и Баше. Теперь мы обратимся к задачам, возникшим, главным образом, из оставшихся без доказательства теорем Ферма. Эйлер неоднократно обращался к утверждению Ферма, что уравнение хп + уп = zn при п>2 неразрешимо в целых числах, и мы уже упоминали на стр. 77 о его доказательстве для случая п = 4. Эйлер сделал еще один шаг вперед, доказав с помощью того же метода справедливость теоремы при п = 3. Не вполне аккуратное доказательство для этого случая он сообщил еще в 1753 Гольдбаху. Точное доказательство им было впервые напечатано в Nov. Comm. Ac. Petr., 1760/61 (1763) и подробнее проведено в «Алгебре». Тщетно пытаясь найти доказательство теоремы в общем виде, Эйлер натолкнулся на ряд прекрасных теорем о делимости чисел, имеющих форму степенных двучленов; они находятся в Nov. Comm. Ac. Petr., 1747/48 (1750) и в 9-й главе посмертного «Трактата по теории чисел» (Tractatus de numerorum doctrina, опубликовано во 2-м томе Comment, arithmeticae, Петербург, 1849).

Другие утверждения Ферма привели Эйлера к исследованию чисел, которые могут быть представлены некоторыми специальными формами второй степени вида тх2 + пу2 [см. Comm. Ac. Petr., 1744/46 (1751), Mém. Ас. Pét., 1812 (1815) и Nov. Act. Ac. Petr., 1783 (1787)]. Так он доказал теорему Ферма, гласящую, что всякое простое число вида 4п+1 можно единственным образом представить как сумму двух квадратов, и теорему Баше о том, что всякое неквадратное чис-

ло можно представить как сумму двух, трех или четырех квадратов. Однако он не дал ни общей трактовки задачи о представлении числа в виде некоторой данной формы, ни метода, позволяющего a priori устанавливать свойства таких чисел.

Значительный шаг вперед в этом направлении сделал впервые Лагранж, систематически работавший над этим вопросом, ограничиваясь, правда, случаем квадратичных форм. Ему удалось найти прямые и общие методы для установления форм всех простых делителей чисел, представимых квадратичной формой t2+au2 [две статьи в Nouv. Mém. Ac. Berl., 1773 (1775) и 1775 (1777)]. Он нашел, что эти делители имеют вид 4ап + Ь, и вычислил таблицы соответственных значений величин а и Ъ. Благодаря этому Лагранж сумел свести в единый закон многочисленные частные теоремы, найденные Ферма и Эйлером, а вместе с тем сделать первый вклад в развившуюся позднее теорию квадратичных форм. К этой же области принадлежат несколько более ранние исследования Лагранжа о максимумах и минимумах форм т-го порядка, проведенные им с большим изяществом для случая m = 2 [Mém. Ac. Berl., 1769 (1771) и Nouv. Mém. Ac. Berl., 1770 (1772)]. Сама проблема впервые была поставлена Лагранжем. Данное им решение, а также опубликованное в тех же томах мемуаров Берлинской академии исследование вопроса о разложении на множители форм высшего порядка с несколькими переменными приобрели большое значение, ибо легли в основу позднейшего развития теории чисел в исследованиях Дирихле.

Теперь мы снова возвращаемся к Эйлеру. Мощным побудительным стимулом явилась для него так называемая теорема Ферма о сравнении ат=\ (modp), значение которой он оценил сразу. Эйлеру принадлежат два доказательства этой теоремы, покоящихся на разных основаниях. Первое [Comm. Ac. Petr., 1736 (1741)] использовало тот факт, что все биномиальные коэффициенты, соответствующие показателю степени р, деляется на р, и было проведено с помощью ин« дукции. Второе и третье доказательства появились в Nov. Comm. Ac. Petr. за 1758/59 (1761) и 1760/61 (1763).

В последней статье Эйлер обобщил теорему Ферма, установив (в обозначениях, ведущих свое происхождение от Гаусса), что

аФ(т)= J (mod m),

где q(tn) есть число чисел, взаимно простых с m и меньших т. Встречающееся здесь число ф(т), которое по предложе-

нию Гаусса называют теперь «функцией Эйлера», последний представил в той же работе в виде

Ф(т) = т(1--1-)(1-^)...,

где р, р', ... — простые делители числа т. Если m само есть простое число, то числа 1, 2, 3, (р—1) будут с ним взаимно простыми, и получается важная теорема, высказанная Дж. Вильсоном и опубликованная в 1770 Варингом в его «Алгебраических размышлениях». Теорема эта гласит, что величина 1- 2- 3... (р—1)-Ы делится без остатка на р, где р, как и всюду здесь, — простое число. Эта теорема, как и теорема Ферма, заключается в установленном Лагранжем [Mém. Ac. Berl., 1771 (1773)] общем сравнении

хр-1— i = i(jc+1)(jc + 2) ... (* + />—1)(mod/>)

при х = 0. Она была также доказана Эйлером («Аналитические сочинения», I, 1783) и Гауссом («Арифметические исследования», 1801). Упрощенное доказательство теоремы Ферма дал еще И. Г. Ламберт, охотно занимавшийся и теорией чисел (Nov. Acta Erud., 1769).

К важнейшим достижениям в исследовании целых чисел Эйлера привели старания доказать другую, упоминавшуюся уже, теорему Ферма о том, что всякое простое число вида 4п+1 разбивается на сумму двух квадратов. Эйлер многократно и с различных сторон подходил к этой теореме и при этом нашел ряд интересных предложений. Окончательно доказать ее Эйлеру удалось лишь в 1749 [Nov. Comm. Ac. Petr., 1754/55 (1760)], воспользовавшись тем ходом мыслей, которым он шел в первом доказательстве теоремы о сравнении ат=\ (modp). Это привело его к рассмотрению остатков от деления квадратов I2, 22, З2,..., (р—I)2 на простое число р. Эйлер немедленно увидел, что при этом получаются «многие замечательные свойства, изучение которых проливает немало света на природу чисел». Таким образом, он впервые поставил вопрос о квадратичных вычетах и понял их значение. Здесь уже встречаются и термины: вычеты (residua) и невычеты (поп residua). В том же месте и в позднейших статьях, в которых он занялся степенными вычетами вообще1) и рассмотрел полные и неполные системы вычетов, он установил важнейшие относящиеся к ним теоремы. В Nov. Comm. Ac. Petr., 1773 (1774) он ввел также понятие и слово «первообразный корень». Поэтому Эйлера справедливо на-

1) Эти термины были введены в Nov. Comm. Ac. Petr., 1758/59 (1761). — Прим. ред.

зывают творцом теории степенных вычетов, тем более, что ему принадлежит и открытие «закона взаимности» квадратичных вычетов, который Гаусс называл «основной теоремой» (theorema fundamentale) и который до недавнего времени приписывали Лежандру. Закон взаимности Эйлер установил еще в 1772, а опубликован он был, правда, без доказательства, в 1783 в первом томе «Аналитических сочинений».

Когда Лежандр для обозначения вычета от деления п~2~ на m, где m и п — нечетные простые числа, ввел впоследствии (1808) символ f («символ Лежандра»), он выразил закон взаимности в наглядном виде:

(±)_(_,p"T(i).

Лежандр дал также его доказательство, опубликованное в Mém. Ac. Paris, 1785 (1788) и в его «Опыте»; впрочем, оно было неполным. Мы увидим, что Гаусс потом привел семь точных доказательств этого закона.

Нам нужно еще добавить кое-что о разложении чисел на множители и о связанных с этим теоремах о простых числах. Уже Валлис в своем «Рассуждении о соединениях» (Discourse of Combinations, 1685) высказал теорему, гласившую, что всякое число можно разложить на простые множители единственным образом. Он выразил словесно важную формулу, согласно которой число делителей числа т = =р1 • qv • rv где р, q, /-,... — простые числа, равно (Х + + 1) (ц+1) (v+1)...1), и нашел, что сумма всех этих делителей равна

— 1 д»+1 — 1 rv+1 — 1 /7—1 ' q — \ r—\

благодаря этому Валлис решил некоторые задачи, поставленные перед ним Ферма. Для нахождения самих делителей, именно простых делителей больших чисел, Эйлер предложил метод, основанный на представлении этих делителей в виде квадратичной формы mx2 + ny2 [Nov. Comm. Ac. Petr., 1768 (1769) и Nouv. Mém. Ac. Berl., 1776 (1779)]. Упоминавшиеся выше (стр. 83) общие исследования Лагранжа о квадратичных формах также смогли быть применены к определению простых делителей. Ник. де-Бегелен разработал в Nouv.

1) По существу, эта формула имелась уже в «Математических этюдах» (1657) Ф. вач-Скаутена.

Mém. Ac. Berl., 1775 (1777) метод отыскания простых делителей вида 4х2+1. Эйлер в письме к Бегелену обратил его внимание на то, что эти делители можно получить из более общей формы пх2+у2, и указал правило подходящего выбора числа ft, давшее ему целый ряд больших простых чисел [Nouv. Mém. Ac. Berl., 1776 (1779)]. Наконец, десять лет спустя Эйлер указал общий признак, позволяющий решать, является данное число простым или составным [Nov. Act. Ac. Petr., 1797/98 (1805)].

Вместе с тем математики того времени тщетно искали общее аналитическое выражение для представления простых чисел. Лежандр, которому удалось доказать, что это выражение не может быть рациональным, потерял всякую надежду на то, что его когда-либо удастся найти. Вероятно, такое аналитическое выражение не существует вообще. Столь же мало вероятно существование функции л(х), составленной конечным образом и точно представляющей число простых чисел, не превосходящих числа х. Теорему о том, что эта функция п(х) при неограниченном возрастании х асимптотически приближается к (строго доказанную лишь Ж. Адамаром и Валле-Пуссеном в 1896), предвидел еще Лежандр, не имея, впрочем, никакого представления о ее доказательстве. Он именно нашел (в «Опыте», 1798 и, точнее, во втором издании 1808) эмпирическую формулу

71W = in* — 1,083661).

К разложению чисел на множители примыкает их разбиение на слагаемые, которые можно отнести к области аналитической теории чисел, т. е. к теоретико-числовым исследованиям, опирающимся на рассмотрения аналитического характера. Эйлер, посвятивший исследованиям этого рода 15-ю и 16-ю главы первого тома «Введения» (1748), и здесь опять указал путь вперед. Он исходил из разложения произведения

(1 + xaz) (1 + дА*)(1 + хУг) где а, ß, y — положительные целые числа, в ряд

\+Pz+Qz2-\-Rz*+ ... Отсюда немедленно следовало, что

Я == Xе+ + + Q = JCa+ß+JCa+Y-|- ...

1) Неудовлетворительность эмпирической формулы Лагранжа показал П. Л. Чебышев в работе 1848 г., о которой см. на стр. 408.— Прим. ред.

и т. д., и было видно, что если показатель одной и той же степени л: может представлять сумму двух или нескольких членов ряда а, ß, у» • • • различными способами, то такая степень имеет коэффициент, заключающий в себе столько единиц, сколько существует таких способов. Поэтому, если требуется узнать, сколькими способами можно представить число п в виде суммы m различных членов ряда а, ß, у, . . . , то это укажет коэффициент имеющегося в разложении члена хпгт Аналогичным образом Эйлер рассмотрел дробь

и вывел теорему, что коэффициент члена xnzm указывает, сколькими различными способами можно получить целое число п в виде суммы m разных или одинаковых чисел ряда а, ß, у... Из этих двух главных теорем при тех или иных частных значениях г был получен ряд отдельных теорем об аддитивном разбиении чисел. Эйлер построил также таблицу, продолженную затем в Nov. Comm. Ac. Petr. [1750/51 (1753), см. также 1769 (1770)], в которой можно было прочесть, сколькими способами можно представить число п в виде сумм чисел 1, 2, 3, . . ., т. В указанных томах Nov. Comm. Ac. Petr. [см. также 1754/55 (1760)] он вывел отсюда так называемую пентагональную теорему, гласящую, что число разбиений числа п на четное число различных слагаемых равно числу разбиений на нечетное число слагаемых, кроме случая /г = -^ (3/7i2 + m), когда для m четного (нечетного) оно на единицу больше (соответственно, меньше). Тот же метод дал Эйлеру важную формулу

1 • (l "2«)(* I1 ~~ 5й") ' ' ' ~ 1 + "з7Г + 1«'+

левая часть которой распространена на все простые, а правая на все натуральные числа; правая часть теперь известна как «дзетафункция Римана» (ср. гл. VII, § 2). Из этой формулы получается также, что ряд натуральных чисел содержит бесчисленное множество простых чисел, что, впрочем, было известно еще из доказательства Евклида. Но теорему о том, что всякая неограниченная арифметическая прогрессия, первый член и разность которой взаимно простые, также содержит бесчисленное множество простых чисел, Эйлер смог высказать лишь в качестве предположения («Аналитические сочинения», т. II, 1783). Это предположение высказал и Лежандр в Mém. Ac. Paris, 1785 (1788). Доказано оно было лишь Дирихле в 1837. Наконец, Эйлер занимался друже-

ственными и совершенными числами, известными еще древним, причем для обозначения суммы делителей числа п он ввел символ / (д), сохранившийся и в последующее время (Nov. Act. Erud., 1747 и «Сочинения различного содержания», т. II, 1750).

В своих «Алгебраических размышлениях» (1770) Варинг выдвинул еще одну важную теоретико-числовую теорему, определенно высказав ее, впрочем, лишь для п = 3 и п = 4. Теорема эта гласит: «Каждое положительное целое число можно представить в виде суммы п-х степеней положительных целых чисел, причем число слагаемых зависит только от показателя п». «Проблема Варинга» в ее общем виде была впервые решена лишь в 1909 Д. Гильбертом1).

К аналитической теории чисел относятся также исследования о природе чисел пне. Работы над периодическими десятичными дробями, принадлежавшие Валлису («Алгебра», 1685), Джону Робертсону (Phil. Trans., 1768), Эйлеру («Алгебра», 1770), Иоганну III Бернулли [Nouv. Mém. Ac. Berl., 1771 (1773)] и особенно Ламберту (Act. Helvet., 1758; Nov. Acta Erud., 1769), показали, что они всегда представляют собой рациональную дробь; с другой стороны, в десятичном разложении числа я, доведенном Т. де-Ланьи уже до 127 знаков (Mém. Ac. Paris, 1719), не обнаружилось никакой периодичности. Наконец, Эйлер дал для я многочисленные аналитические выражения в форме весьма сложных бесконечных рядов. В результате стало все более укрепляться давнее предположение, что это число должно принадлежать к области иррациональных чисел. Точное доказательство этого впервые удалось провести Ламберту. Действительно, о попытке найти это доказательство можно было начать думать лишь после того, как Эйлер в одной из своих ранних работ показал, что всякое рациональное число может быть представлено в виде конечной цепной дроби, и вместе с тем действительно выявил иррациональность е и е2 [Comm. Ас. Petr., 1737 (1744)]. Разложение числа е в цепную дробь, данное Эйлером, имелось, правда, уже в «Логометрии» Котеса (Logometria, Phil Trans., 1714), но Котес не сделал отсюда никаких умозаключений относительно его природы. В своем доказательстве Ламберт опирался на высказанную еще Ланьи (в указанной статье Mém. Ac. Paris), но не дока-

1) Метод Гильберта носит частный характер и дает чрезмерно большие значения для зависящего от показателя числа слагаемых. Значительно лучшие результаты были получены в этом направлении Г. Харди и Дж. Литлвудом в 1920—1925 годах и особенно И. М. Виноградовым в 1924—1937 годах. Подробнее см. книгу Б. Н. Делоне в Библиографии. — Прим. ред.

занную им теорему, утверждающую, что тангенс всякой рациональной дуги есть число иррациональное и, наоборот, всякая дуга, имеющая рациональный тангенс, иррациональна. Дав путем разложения tgx в цепную дробь строгий вывод этой теоремы, удовлетворяющий даже современным требованиям и стоявший особняком в те времена чисто формального развития математики, Ламберт смог доказать в 1767 иррациональность числа тс [Mém. Ac. Berl., 1761 (1768)]. С помощью разложения функции —j-в цепную дробь он там же доказал иррациональность ет для рационального показателя т. Он проник в существо вопроса еще глубже, о чем свидетельствует одно его замечание в письме от 1768 к фон-Голланду: «способ, которым я это доказал, можно распространить дальше на доказательство того, что круговые и логарифмические величины не могут быть корнями рациональных уравнений». Впрочем, он не дал такого распространения; как выяснилось впоследствии, оно потребовало бы гораздо более сложных изысканий1).

Наш второй период в развитии теории чисел получил завершение с выходом неоднократно упоминавшегося выдающегося сочинения А. Лежандра «Опыт теории чисел» (1797/8). В этой книге была впервые предпринята попытка систематически изложить в виде некоторой теории известные тогда исследования свойств целых чисел. Сочинение Лежандра было написано столь ясно и понятно и, особенно в последней переработке от 1830, содержало такую массу материала, что не потеряло своего значения и теперь2). Г. Мазер поступил совершенно правильно, переведя его на немецкий язык (1886, 2-е издание, Лейпциг, 1893). В последнем издании Лежандр, как и все исследователи того времени, начинает с неопределенного анализа. Затем он излагает общие свойства чисел, особенно подчеркивая вновь открытый им закон взаимности, и заканчивает первый том теорией разбиения чисел на сумму трех квадратов (тернарные формы). Второй том начинается с изложения разнообразных

1) В доказательстве Ламберта не доставало для полноты обоснования одного свойства бесконечных цепных дробей, которое с полной строгостью доказал А. Лежандр в одном из примечаний к своим «Началам геометрии» (Éléments de géométrie, 1 изд., Париж, 1794). См. сборник «О квадратуре круга» в списке литературы. Доказательство трансцендентности числа е дал Ш. Эрмит (1873), а числа я — Ф. Линдеман (1882).

2) Второе издание вышло под названием «Теория чисел» (Théorie des nombres, Париж, 1808); к нему были присоединены два дополнения в 1816 и 1825; третье издание вышло в 1830 под тем же названием в двух томах. Имеется переиздание 1900 г.

изысканий, из которых мы отметим доказательства некоторых теорем о невозможности тех или иных соотношений, а также решение неопределенных квадратных и кубических уравнений. За этим следует разбор уравнений деления круга, где передаются окончательно разрешившие эту проблему исследования Гаусса, к которым мы сейчас перейдем. Впрочем, Лежандр излагает открытия Гаусса в весьма оригинальной форме. Заключение второго тома составляют уравнения Абеля, принадлежащие всецело XIX столетию1).

§ 4. Теоретико-числовые открытия Гаусса

Новая эпоха в истории теории чисел началась с выходом «Арифметических исследований» (1801) К. Гаусса. Уже с 1795, т. е. с восемнадцатилетнего возраста, Гаусс занялся арифметическими исследованиями. Не зная еще работ своих предшественников, он тогда же пошел своими собственными путями. Поэтому сообщаемые им в первых главах «Исследований» результаты были в основном уже известны, но зато методы, созданные великим гением, оказались абсолютно новыми и в высшей степени важными для последующего развития теории чисел. По словам профессора П. Бахмана, одного из лучших знатоков теории чисел, этот научный первенец юного Гаусса представлял собой «по своей глубине и основательности, своей исчерпывающей полноте, своей прочной и систематической структуре, по богатству новых и плодотворных идей — поистине гигантское дело». Лишь после выхода «Исследований» появлеятся возможность говорить о теории чисел как о науке и, по выражению Кронекера, «их

1) Г. Вилейтнер оставил в стороне знаменитую «проблему Гольдбаха», выдвинутую в переписке этого математика с Эйлером (1742) в виде предположения, что всякое четное число есть сумма двух простых и всякое нечетное — сумма трех простых чисел. Доказать это предположение оказалось чрезвычайно трудно. Советский математик Л. Г. Шнирельман в 1930 установил, что всякое целое число является суммой некоторого ограниченного числа простых чисел, но число слагаемых, которое удается определить по методу Шнирельмана, значительно больше трех. В 1937 И. М. Виноградов, используя по существу тот же метод, который он применил к задаче Варинга, доказал, что все нечетные числа, начиная с некоторого, суть суммы трех простых. Подробнее см. в книге Б. Н. Делоне, указанной в Библиографии.

К «Введению в анализ» Эйлера (1748) восходит другая известная задача об арифметической природе чисел, вроде 2 ; в более общем виде эта задача была поставлена Д. Гильбертом и решена в 1929—1934 советским математиком А. О. Гельфондом. Именно, Гельфонд доказал, что всякое число ofß, где а — алгебраическое число, не равное 0 и 1, и ß — алгебраическая иррациональность, является трансцендентным. — Прим. ред.

содержание веками будет служить источником всех арифметических исследований».

По содержанию «Исследования» распадаются на три части. Первые две, обнимающие теорию сравнений и теорию квадратичных форм, изложены строго систематически, чего нельзя сказать о третьей, в которую вошли различные приложения учений, развитых в предыдущих частях.

Важнейшим орудием Гаусса, созданным им для обоснования его арифметической теории, было понятие сравнения. Хотя по существу это понятие имелось в математической литературе уже давно, но лишь Гаусс сумел оценить все его значение и сделать его общеприменимым благодаря введению подходящего обозначения, с помощью которого можно было производить вычисления. Место уравнений заняли теперь сравнения; так, например, сравнение ах=±\ (mod b) представляет неопределенное уравнение ax = by±l. Гаусс различал алгебраические и трансцендентные сравнения, а первые классифицировал еще по их степеням. В конце второго отдела он, в частности, доказал основную теорему об алгебраических сравнениях, гласящую, что сравнение т-й степени

Ахт + Вхт-1 + Сх?п-2+ ... + Мх + А=0,

модуль которого р есть простое число, не делящее Л, имеет не более чем m несравнимых по модулю корней. Впрочем, в другой форме это раньше нашел Лагранж [Mém. Ac. Berl., 1768 (1770)].

Теория сравнений позволила Гауссу систематически изложить в третьем отделе в основном уже известные теоремы о степенных вычетах и снабдить их точными, частью совсем новыми, частью облеченными в новую форму доказательствами. Он ввел здесь также важное понятие индекса, играющее в теории сравнений роль, аналогичную роли логарифмов в алгебраических операциях. Вычисления с этими индексами подчиняются точно тем же правилам, что вычисления с логарифмами. С их помощью Гаусс решил двучленное сравнение хп=А (mod р) (р — простое число) и построил для этой цели таблицу индексов простых чисел до 89, которую К. Якоби продолжил в «Математическом каноне» (Canon mathematicus, 1839) для всех простых чисел до 1000. Но Гаусс дал и прямой метод решения двучленных сравнений, основывающийся, подобно решению двучленных уравнений, на отыскании первообразных корней.

В четвертом отделе «Исследований» рассматриваются сравнения второй степени. Прежде всего здесь по порядку приводятся и строго доказываются теоремы о квадратичных

вычетах и невычетах. Эти предварительные исследования увенчиваются законом взаимности для квадратичных вычетов, для которого Гаусс, как мы говорили, нашел в разное время семь доказательств. Два доказательства приведены в «Исследованиях». Первое из них, более сложное, ибо Гаусс еще не знал символа Лежандра (см. стр. 85), являлось наиболее естественным, так как оно, опираясь на принцип полной индукции, не выходило за пределы области сравнений второй степени. Второе доказательство основывалось на теоремах из теории квадратичных форм и поэтому приведено было лишь в пятом отделе. Из пяти других доказательств четыре были опубликованы в Comment. Gotting., а одно сохранилось в литературном наследии Гаусса. Три из них основываются на более далекой теории деления круга, а два (третье и пятое) на известной лемме, которую можно выразить в виде

(*)-<-*■

где р — число отрицательных абсолютно наименьших вычетов чисел q, 2q, 3q, ..., р~1 q по модулю р.

Историческая роль этих доказательств заключается, главным образом, в том, что они возникли в новых отделах теории чисел, которые благодаря этому впервые продемонстрировали свое научное значение.

Исследования о квадратичных вычетах были далее применены Гауссом к квадратичным сравнениям, которые он разделил на неполные или двучленные сравнения вида

x2 = A(moâm)

и полные сравнения вида

ах2 + Ьх + с = 0 (mod m).

Последние могут быть приведены к первым, а нахождение корней двучленных сравнений всегда сводится к случаю, в котором m есть простое число. Для решения этого случая Гаусс предложил новый прямой метод, к которому он добавил еще в шестом отделе «Исследований» непрямой метод, основывающийся на исключении. Хотя второй способ ведет к пели быстрее, но, как писал Гаусс, «он не обладает красотой прямого метода».

Пятый отдел, теснейшим образом связанный с предшествующим, обнимает вторую часть важных исследований Гаусса, именно теорию квадратичных форм. Здесь по существу начинаются собственные творения Гаусса. В пятом отделе впервые появляются понятие и наименование «квадратичной»

формы для выражения ах2 + 2Ьху + су2 и разделение форм на бинарные, тернарные и т. д., в зависимости от числа переменных. На новых принципах здесь заново создается элементарная теория бинарных квадратичных форм, полностью включающая все результаты, полученные ранее Эйлером, Лагранжем и Лежандром и развивающая их в различных направлениях. На первый план выдвигаются «определитель» формы, т. е. выражение Ъ2 — ac = D, а также линейные преобразования квадратичной формы, приводящие к важным понятиям собственной и несобственной эквивалентности форм, и их разделение на формы с положительным, отрицательным и нулевым определителями. Гауссу удается доказать, что число приведенных форм данного положительного или отрицательного определителя всегда конечно и эти формы определяются двояким образом. К этому присоединяется решение задачи о нахождении всех представлений данного числа M данной формой ах2-\-2Ьху + су2. Эти исследования были внутренне связаны с известным решением общего уравнения второй степени, сводящегося к так называемому уравнению Пелля (см. стр. 75). Для уравнения Пелля Гаусс предложил новый способ решения, отличавшийся от ранее известных; в качестве исходного пункта им было взято преобразование квадратичных форм.

Наряду с этими бегло очерченными изысканиями пятый отдел содержит ряд новых открытий, «которые, — как сказал Дирихле, — отличаются глубиной методов, обилием и многообразием исследований» и которые легли в основу позднейшего развития теории чисел. Выдающееся значение имела гауссова классификация форм по классам, порядкам и родам, а также теория композиции форм; то же относится к его учению о тернарных квадратичных формах и приложению их к теории бинарных форм, которое позволило ему осуществить разбиение числа и бинарной формы на сумму трех квадратов. При этом получилось совершенно оригинальное доказательство теоремы Ферма о представлении любого числа в виде суммы трех треугольных чисел или четырех квадратов. По одному замечанию Гаусса в § 300 видно, что он уже тогда предпринял подробное исследование тернарных форм, которые в «Исследованиях», однако, было лишь намечено. Здесь же он привел без доказательства асимпотические формулы для среднего числа родов и классов квадратичных форм, а в его наследии нашлась даже формула, определяющая число неэквивалентных классов квадратичных форм данного определителя. Путь, каким он получил этот результат, был тот же, на который впоследствии вновь вступил Дирихле, когда начал в 1839 свои пролагающие новые

пути исследования по аналитической теории чисел, относящиеся к числу классов и к вопросу о числе действительно существующих родов квадратичных форм.

Из приложений новых теорий, приведенных в шестом отделе «Исследований», мы упомянем некоторые теоремы о периодических десятичных дробях. Ни одному из ученых, занимавшихся до того десятичными дробями, не удалось выяснить что-либо определенное относительно цифр периода. Гаусс показывает, что если число 10 является первообразным корнем по модулю р^ (р — простое число), то из периода дроби — можно тотчас же без вычислений получить период любой дроби вида —- . Напротив, если 10 не является первообразным корнем, то из указанного периода можно получить периоды только тех дробей, числители которых m сравнимы с какой-либо степенью числа 10 (mod pv). Гаусс приводит таблицу периодов всех дробей его со знаменателями р^<100, из которой с помощью таблицы индексов можно определить период для всякой дроби вида-^7.

Таблица Гаусса позволяет также находить периоды всех дробей, знаменатели которых суть произведения степеней простых чисел, содержащихся в таблице. Упомянем еще два новых, сообщаемых здесь Гауссом метода, с помощью которых можно различать простые и составные числа. По быстроте употребления способы Гаусса значительно превосходили им предшествующие.

Наконец, в седьмом отделе Гаусс исследовал древнюю задачу о делении круга, которая как сообщает он сам, привела его к занятиям математикой. Во времена Евклида проблема эта ставилась чисто геометрически, почему решение ее могло удаваться только в простейших случаях, а именно, когда требовалось разделить круг на 2ft, 3 • 2k, 5 • 2k, 15 -2k частей. Дальнейший успешный анализ задачи на чисто геометрическом пути был вряд ли мыслим, и на 2000 лет она застыла в одном положении, пока острый взор Гаусса не усмотрел внутренней связи этой задачи с его арифметическими размышлениями. Так как хорда п-и части окружности радиуса 1 равна 2 sin ^7f-»TO для деления круга на п частей требуется определить синус или какую-нибудь иную тригонометрическую функцию угла —. Чтобы получить простейший способ решения, Гаусс взял

тогда гл=1, и г является корнем уравнения хп — 1=0. После сокращения на действительный множитель х — 1 это уравнение переходит в уравнение деления круга

корни которого и требуется определить алгебраически. При этом п бралось нечетным простым числом, чего было вполне достаточно. Гаусс доказал неприводимость этого уравнения над полем рациональных чисел, как говорят теперь, и свел задачу о делении круга на п частей к решению уравнений, число которых равно числу множителей, на которые разлагается число п— 1. Так как с помощью циркуля и линейки можно строить корни только квадратных уравнений, то отсюда следовало, что деление круга на равные части с помощью названных средств можно выполнить лишь тогда, когда п — 1 есть степень 2, т. е. равно 2Ш; нетрудно увидеть, что и само m должно быть лишь степенью 2. Таким образом, задача может быть решена в смысле древних, если п является простым числом вида п = 22Г+1, что имеет место для д = 3, 5, 17, 257, 65 537.

Гауссовы исследования об уравнении деления круга были важны не только потому, что они дали решение древней задачи; еще важнее было то, что в них выступила совершенно новая концепция теории уравнений, которая легла в основу наших современных воззрений. Другой способ решения уравнений деления круга дал в XIII и XIV замечаниях ко второму изданию своего «Трактата» (1808) Лагранж. При этом он пользовался некоторой линейной функцией корней из единицы, которую теперь обыкновенно называют «резольвентой Лагранжа». Метод его в ряде отношений был позднее дополнен К. Якоби.

К этому сжатому резюме «Исследований» следует добавить, что в них, как и во всех других сочинениях, Гаусс предпочитал в изложении синтетический метод Евклида. Он намеренно сглаживает все следы, которые могли бы свидетельствовать о ходе мыслей, приведших автора к его открытиям. В этом заключалась причина того, что «Исследования» долго оставались непонятыми и первоначально не оказали плодотворного влияния на развитие теории чисел. Только П. Г. Лежен-Дирихле удалось проникнуть в дух труда Гаусса и раскрыть огромные таившиеся в нем сокровища.

Научный первенец Гаусса заключал в себе, впрочем, не все его открытия в области теории чисел. Пожалуй, наиболее значительные из них содержались в двух статьях 1828 и 1832, посвященных теории биквадратичных вычетов. Гаусс нашел, что для вычетов этого рода имеет место закон, подобный

закону взаимности квадратичных вычетов; однако понимание его требовало рассмотрения комплексных множителей простых чисел вида 4п+1.

Это побудило Гаусса дать набросок своей теории комплексных чисел, о которой мы уже говорили в первой главе, и создать в основных чертах арифметическую теорию целых комплексных чисел. Введение таких комплексных множителей бесконечно расширило, как говорит сам Гаусс, область теории чисел. Действительно, в этой идее таились первые ростки теории числовых полей, развившейся во второй половине XIX столетия из работ Дирихле (1841, 1842, 1846) и Э. Куммера (1844, 1845), появившихся еще при жизни Гаусса.

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ

КОМБИНАТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

§ 1. Комбинаторный анализ

О создании комбинаторики как некоторой научной дисциплины можно говорить, лишь начиная с XVII столетия. В 1634 Эригон, независимо от Тартальи, правильно определил в своей «Практической арифметике» (Arithmetica practica), составлявшей второй том «Курса математики», число сочетаний из п элементов по т. В 1656 это же нашел иезуит А. Таке, посвятивший сочетаниям и перестановкам небольшую главу в «Теории и практике арифметики», причем термины он понимал в том же смысле, что и мы. В 1654 Паскаль отправил Ферма «Трактат об арифметическом треугольнике» (Traité du triangle arithmétique, опубликовано посмертно, Париж, 1665). В этом сочинении и в «Трактате о числовых порядках» (Traité des ordres numériques), вышедшем впервые также в 1665, были приведены основные отношения между биномиальными коэффициентами, в которых Паскаль признал число сочетаний и с которыми оперировал как с таковыми. Свой «арифметический треугольник» Паскаль нашел независимо от Штифеля [Цейтен, II, стр. 115] и расположил его по-иному1). Послание Паскаля к Ферма встретилось в пути со статьей Ферма по родственному вопросу, именно о фигурных числах, которую последний отправил Паскалю. Эти «фигурные числа» (треугольные,

1) Треугольник Паскаля и аддитивный закон образования его элементов были известны в Индии примерно за два века до н. э. Таблица биномиальных коэффициентов до восьмой степени встречается в 1303 г. у китайского математика Чжу Ши-цзе, который имел предшественников в XII в. Общая теорема о разложении бинома в случае натурального показателя впервые встречается у Насир ад-Дина ат Туси (1265) и затем у Джемшида ал-Каши, но была известна, быть может, еще в XI в. Омару Хайяму. См. книгу А. П. Юшкевича в Библиографии. — Прим. ред.

четырехугольные, ..., многоугольные) рассматривались здесь как члены разностных рядов высших порядков (см. гл. IX) и были представлены Ферма с помощью произведений, нами теперь обозначаемых символом

Из результатов, полученных Ферма в теории магических квадратов (см. стр. 93), можно, по-видимому, заключить, что связь фигурных чисел с теорией соединений была ему известна.

Однако собственно научное основание теории сочетаний и перестановок дал лишь Лейбниц в «Рассуждении о комбинаторном искусстве» (Dissertatio de arte combinatoria, 1666). Отсюда и получила наименование эта область математики. В частности, Лейбниц систематически изучил перестановки и ввел при этом понятие «циклической перестановки». Перестановки с повторениями привлекли внимание Френикля деБесси (1676) в статье «Резюме теории соединений» [Abrégé des Combinaisons, Mém. Ac. Paris., 1693 (1729)] и Валлиса ъ «Рассуждении о сочетаниях, перестановках и т. д.» (Discourse of Combinations, Alternations etc., Лондон, 1685; латинский перевод во втором томе Opera, 1693). Завершением этого периода явилась часть II «Искусства предположений» (Ars conjectandi) Я. Бернулли, изданного в 1713 его племянником Николаем, и «Теория случая» (Doctrine of Chances, Лондон, 1718) Муавра. В своей книге Я. Бернулли впервые занялся изучением «размещений»; впрочем, это слово он применил к соответствующему математическому понятию лишь один раз и случайно. Слово «перестановка» он зато употреблял подобно нам. Термин «сочетание» применял в нашем смысле также Блез Паскаль. Все современные символы, вроде (М, п\ и т. п., принадлежат XIX столетию.

Что 0! следует принять равным 1, понял, между прочим, еще Валлис в «Арифметике бесконечных» (1656).

Важно заметить еще, что для доказательства своих теорем о биномиальных коэффициентах Паскаль ввел способ «полной индукции». Пока не удалось выяснить, оказал ли в этом отношении на Паскаля влияние Мавролико, воспользовавшийся этим методом доказательства уже в 1575 в работе «Две книги по арифметике» (Arithmeticorum libri duo). К этому приему, играющему в математике столь важную роль, самостоятельно пришел также Я. Бернулли (Acta Erud., 1686).

Новые понятия нашли благодарное поле для приложений в теореме о возведении полинома в степень. Заслуга первого

опубликования этой теоремы принадлежит Муавру, решившему с помощью способа неопределенных коэффициентов задачу о возведении в степень бесконечного ряда (Philos. Trans., 1697 и 1698). Но еще ранее, в 1678, теорема была, несомненно, известна Лейбницу; об этом он писал в 1695 Иоганну Бернулли. Рассуждения Лейбница, особенно важные благодаря примененному в них символическому способу индексации, были изложены около 1700 в статье «Новое распространение алгебры» (Nova algebrae promotio), опубликованной, впрочем, лишь в 1863 по бумагам, сохранившимся в его литературном наследии. В этой работе и в одной статье об обращении рядов, направленной против Фатио де-Дюилье (Acta Erud., 1700), заключались первые ростки комбинаторного метода, который расцвел в виде «комбинаторного анализа» в Германии второй половины XVIII столетия. Он сообщил здесь своеобразный характер всей математической деятельности, хотя и не принес особенно значительных плодов.

Основателем и руководителем этой комбинаторной школы был К. Гинденбург. Свои работы над теоремой о степени многочлена он привел к удовлетворительному концу в 1778/79. Ему предшествовал в этом Р. И. Бошкович, давший в 1747 самостоятельное представление коэффициентов разложения в Giorn. de'Letterati. Эйлерово «Введение» (1748; глава IV) содержало, однако, еще рекуррентные разложения. Характерно название сборника, выпущенного Гинденбургом в 1796: «Предложение о полиноме — важнейшая теорема всего анализа» (Der polynomische Lehrsatz, das wichtigste Theorem der ganzen Analysis). В той же книге Гинденбург напечатал статью о своем сложном способе обозначений в теории соединений, который, по словам самого автора, должен был оказать «в высшей степени важное влияние на анализ». Укажем еще на резюмирующий труд Гинденбурга «Основные черты ... новой системы перестановок» (Novi systematis permutationum ... primae lineae, 1781).

Все же формулы «комбинаториков» не были лишены некоторого изящества. Так, Г. Эшенбах комбинаторным путем получил особую формулу обращения рядов («Рассуждение об обращении рядов и т. д.» — Dissertatio de serierum reversione etc., Лейпциг, 1789). Его выводы были улучшены Гинденбургом (Problema solutum etc., Лейпциг, 1793) и еще более усовершенствованы в том же году Г. Роте («Доказательство формулы обращения рядов и т. д.» — Formulae de serierum reversione demonstratio etc., Лейпциг, 1793). Роте удалось также с помощью своей формулы вывести формулу для обращения функций, данную в 1770 без доказательства Лагранжем (том I основанного Гинденбургом Archiv für

reine und angewandte Mathematik, 1795; ср. выше стр. 71). Исследования эти были продолжены И. Ф. Пфаффом в его «Аналитических исследованиях и т. д.» (Disquisitiones analyticae etc., Гельмштед, 1797). Назовем еще имена комбинаториков Хр. Крампа, Г. С. Клюгеля, составителя известного словаря, и Г. А. Тепфера.

Эйлер также неоднократно занимался комбинаторными задачами. Так, например, он написал статью о связи между биномиальными коэффициентами [Act. Ac. Petr., 1781 (ч. I, 1784)], которой предшествовала, между прочим, сходная по содержанию статья Лагранжа (Misc. Taur., 1770/73). Упомянем затем задачу о переходе через ряд мостов, переброшенных над рукавами реки, причем каждый мост можно проходить только по одному разу, задачу, которую часто приводят теперь в книгах по занимательной математике и которую Эйлер рассмотрел еще в Comm. Ac. Petr. за 1736 (1741), а также вопрос о том, сколькими способами можно разбить с помощью диагоналей д-угольник на треугольники. В письме Гольдбаху от 1751 Эйлер дал решающую вопрос формулу, тогда как Зегнер разработал здесь лишь некоторый рекуррентный прием [Nov. Comm. Petr., 1758/59 (1761)].

Эйлер занимался еще задачей о ходе коня [Mém. Ас. Berl., 1759 (1766)], введенной тогда в большую моду «Математическими и физическими развлечениями» (Récréations math, et phys., выдержала много изданий, начиная с 1696) Ж. Озанама.

Позднее на эту задачу обратил внимание также Вандермонд [Mém. Ac. Paris, 1771 (1774)], обозначивший поля шахматной доски с помощью двойных индексов, которыми мы пользуемся для обозначения элементов определителей. И Монж не счел ниже достоинства применить свое математическое остроумие к одному карточному фокусу, в котором после подходящей перетасовки карт восстанавливалось их первоначальное расположение. По существу это была одна из частных задач теории подстановок, которую Монж подробно исследовал в Mém. prés. Ac. Paris, 1773 (1776). Впрочем, уже Валлис в латинском издании своей «Алгебры» (1693)1) разработал устройство одной игрушки, составленной из колец («меледа», француз. Baguenaudier, нем. Nürnberger Zankeisen), на которой мы здесь задерживаться не можем. А Лейбниц, охотно занимавшийся игрой в «солитер», в одном письме к Монмору от 1716 заявил, что необходимо создание математической теории игр.

1) В оригинальном издании 1685 соответствующая глава отсутствовала.

Упомянем в этой связи магические квадраты, хотя отчасти они принадлежат к теории чисел. Френикль де-Бесси предпринял колоссальный труд по составлению всех 880 магических квадратов с 42 ячейками. По оставшимся в его наследии бумагам эти и другие родственные исследования были опубликованы де-Лагиром в «Различных математических и физических работах гг. членов Королевской Академии наук» (Divers ouvraged de math, et de phys. par Mess, de l'académie royale des sciences, 1693). Этими вопросами занимался также Ферма, и нам известен магический квадрат с 142 ячейками, который он отправил в 1640 Мерсенну. Квадрат этот был даже окаймленным, т. е. после удаления из него определенного слоя ячеек всюду одинаковой ширины остаток в свою очередь оказывался магическим квадратом. Составлением магических квадратов в XVII столетии продолжали заниматься знаменитый янсенист А. Арно («Новые начала геометрии» — Nouv. élém. de Géométrie, 1667), Ж. Престэ («Новые начала математики» — Nouv. élém. de Math., 1689)1) и, разумеется, Озанам («Математические и физические развлечения» и «Математический словарь» — Dictionnaire math., 1691). В XVIII в. каноник Пуаньяр выпустил книгу «Трактат о магических квадратах» (Traité des quarrés magiques, Брюссель, 1704). Подробный реферат последней дал в Mém. Ac. Paris за 1705 де-Лагир, сам тоже произведший некоторые исследования по этому вопросу. Упомянем еще Ж. Совера (Mém. Ac. Paris, 1710) и особенно Л. Эйлера, статьи которого от 1776 и 17792) были помещены во втором томе Commentationes Arithmeticae (Петербург, 1849).

§ 2. Теория вероятностей и ее приложения

Теорию вероятностей трудно отделить от комбинаторики. Обе дисциплины одновременно (1654) получили подлинное обоснование в переписке Паскаля и Ферма. Исходным пунктом явилась встречающаяся при игре в кости задача, которую пытался решить еще Лука Пачиоли в своей Summa (1494). Речь шла о справедливом распределении между игроками ставки, которую должен получить один из них после того, как он наберет известное количество очков, в случае, если игра прекращается раньше достижения кем-либо из партнеров этого числа очков. Лука Пачиоли рассматривал подобные вопросы при слишком неопределенных предпосыл-

1) В первом издании 1675 глава о магических квадратах отсутствовала.

2) Вторая из названных статей была опубликована уже в 1782 в Verhandel. Genootsch. Vlissingen.

ках и трактовал их как задачи на правило товарищества. Кардано (1539) и Тарталья (1556) также не достигли серьезного успеха в изучении этой трудной проблемы, хотя первый из них уже заметил связь ее с комбинаторикой. Правильное, но хлопотливое решение Паскаля было подтверждено Ферма, получившим тот же результат с помощью совершенно отличного и более простого способа. Однако также удачно распространить задачу на случай более чем двух игроков Паскалю не удалось, ибо использовать здесь свой арифметический треугольник, с которым он все время оперировал, он мог лишь с большим трудом. Мы уже знаем, что исследования Паскаля были опубликованы только в 1665 (стр. 97), а соответствующие письма Ферма увидели свет лишь в 1779 в «Сочинениях» (Oeuvres) Паскаля, изданных Боссю.

В 1656 с изысканиями, некоторыми результатами и, наконец, методом французских ученых познакомился Гюйгенс. Однако он уже не нашел в присланных ему сообщениях ничего нового, ибо к указанному времени решил ту же задачу в самом общем виде. Свои исследования Гюйгенс изложил в работе «О расчетах при азартной игре» (De ratiocinas in ludo aleae), появившейся в качестве приложения к «Математическим этюдам» младшего Франца ван Скаутена (1657) и составившей затем первую часть «Искусства предположений» Якова Бернулли (1713). Однако в весьма подробном и ценном своем комментарии к сочинению Гюйгенса Як. Бернулли пошел гораздо дальше голландского математика. Во второй части своего труда он разработал для нужд исчисления вероятностей комбинаторный анализ (см. выше стр. 98) и показал его пользу на отдельных задачах в третьей части. Во время работы над четвертой частью, в которой Бернулли намеревался дать различные приложения теории вероятностей к вопросу о длительности человеческой жизни, его неожиданно постигла смерть. Тем не менее Бернулли успел сделать еще один огромный шаг вперед. Он первый вполне сознательно ввел наряду с вероятностями a priori, которые до того только и рассматривались, еще и вероятности a posteriori, а также доказал принадлежащий ему так называемый «закон больших чисел». Благодаря этому теория вероятностей, ранее изучавшая лишь азартные игры, смогла приобрести важнейшее значение в практической деятельности. Лейбниц в переписке с Як. Бернулли тоже проявил большой интерес к теоретико-вероятностным вопросам. Бернулли был обязан ему некоторыми стимулами, но сам Лейбниц не дал по теории вероятностей ни одной работы.

Укажем далее на остроумную трактовку азартных игр и пари, данную Карамуель-и-Лобковицем в уже упоминавшейся

«Двоякой математике» (1670, см. стр. 79), данную им в целях решения юридически-теологических споров о правомерности пари, об ответственности (в случае продажи или порчи) и т. д. Познания по комбинаторике этот ученый иезуит получил, главным образом, из «Маяка наук» (Pharus scientiarum, 1659) своего собрата по ордену С. Изкиердо. Независимое и безупречное изложение основ вычисления вероятностей дал также Френикль де-Бесси в принадлежащем ему «Резюме» (см. стр. 98).

В 1713 вышло также второе издание «Опыта анализа азартных игр» (Essay d'Analyse sur les Jeux de Hazard) деМонмора. Как и первое издание 1708, оно вышло анонимно, позволяя, впрочем, легко установить авторство по приложенным письмам. «Опыт» Монмора содержал многие вещи, которые автор почерпнул из сношений с Ник. Бернулли. Николай Бернулли уже в 1709 выпустил сочинение «Примеры искусства предположений в приложении к правовым вопросам» (Specimina Artis conjectandi ad quaestiones Juris applicatae), где применил исчисление вероятностей к вопросу о виновности обвиняемого, против которого имеется несколько свидетельств, к вопросу об объявлении умершими лиц, пропавших без вести и, к так называемой генуэзской игре, из которой возникло позднее нумерное лото. Теорией последнего занялись впоследствии среди других ученых Эйлер и Бегелен в Mém. Ac. Berl., 1765 (1767), а также Иоганн III Бернулли [там же, 1769 (1771)]. Этому вопросу была посвящена еще одна статья Эйлера, представленная им Берлинской Академии в 1763, но опубликованная лишь в «Посмертных сочинениях» (Opera posthuma, I, 1862). В 1713 Монмору была известна и появившаяся в Phil. Trans, за 1711 работа Муавра «О мере случая и т. д.» (De mensura Sortis etc.), ценная глубоким единством построения.

В своем «Опыте» Монмор выступил против некоторых замечаний, сделанных в этой статье Муавром по адресу первого издания его книги. Из статьи Муавра от 1711 выросла упоминавшаяся выше (стр. 98) «Теория случая», первым изданием вышедшая в 1718. Отметим, что в противовес общепринятому обычаю Муавр здесь впервые применил теоретико-вероятностные соображения для вывода чисел сочетаний. Второе издание (1738) им было значительно расширено. В него вошла статья «Пожизненные ренты» (Annuities upon Lives), напечатанная отдельно в 1724, и часть материала из «Аналитических этюдов» (1730), в которых Муавр отвел целый отдел исчислению вероятностей и опровержению возражений скончавшегося тем временем Монмора. Книгу, изданную Т. Симпсоном в 1740, «Природа и законы случая»

(The Nature and Laws of Chance) можно рассматривать как извлечение из труда Муавра.

Как видно из нашего изложения, исчисление вероятностей было вскоре применено в практической жизни. В связи с этим вопросом нам придется несколько возвратиться назад. Уже в 1669 Гюйгенс занялся в одном письме вопросом о построении таблицы смертности. Однако первую такую таблицу составил с целью правильного вычисления пожизненных рент упоминавшийся ранее Я. де-Витт (в сочинении Waerdije van lijf-renten etc., 1671). Результат де-Витта не был, впрочем, безупречен. Формула, применявшаяся им, была верной, но числовые значения, использованные им при выкладках, не согласовались с его статистическими данными. Возможно, что он сознательно стремился понизить стоимость ренты. Основоположное значение для всей теории приобрели выводы и таблицы, приведенные Эдмундом Галлеем в статье «Оценка степеней человеческой смертности» [An Estimate of the Degrees of the Mortality of Mankind, Phil. Trans., 1690/93 (1694)]. Галлей составил таблицу одновременно живущих людей по различным возрастным группам для случая стационарного населения и по ней определил для каждого возраста вероятность дожития. На этой основе он вычислил значения пожизненной ренты. Он совершенно точно исследовал даже вопрос о пережитии двух лиц различного возраста. На базе вычислений Галлея в Лондоне в 1699 была создана вдовья и сиротская касса. Определением стоимости пожизненных рент занялся в своей работе 1709 также Ник. Бернулли. Муавр, исходя из таблиц Галлея, нашел в статье за 1724, что уменьшение числа лиц, принадлежащих к различным возрастным группам, между 12 и 86 годами, должно следовать арифметической прогрессии. Опираясь на это, он вывел различные формулы и таблицы для пожизненных рент, но при исследовании стоимости совместных рент он исходил из произвольно принятой продолжительности жизни.

Большое значение приобрело сочинение И. П. Зюссмильха «Божественный порядок в переменах человеческого рода» (Göttliche Ordnung in den Veränderungen des Menschengeschlechts; выдержало ряд изданий, начиная с 1741), хотя по существу автор не преследовал практических целей. Случайно для самого себя Зюссмильх оказался даже одним из основателей демографической статистики.

В качестве занятного курьеза упомянем еще «Математические начала христианского богословия» (Theologiae Christianae Principia Mathematica, 1699) шотландца Дж. Крега. Предположив, что доверие убывает пропорционально квад-

рату расстояния, он вывел, что к 3150 году вера в истину христианской религии сохраниться уже не сможет. Так как, однако, светопреставление должно наступить ранее, то этого, по Крегу, следует ожидать еще до 3150.

Другой областью применения теории вероятностей явилось учение о выравнивании результатов наблюдений. Здесь в первую очередь нужно назвать Р. Котеса. В статье «Оценка ошибок и т. д.» (Aestimatio errorum etc.), опубликованной лишь после его смерти в «Гармонии мер» (1722), Котес указал на необходимость придавать веса различным наблюдениям, имея в виду сначала буквально веса. Если при наблюдении для местоположения предмета получаются четыре различных точки, то Котес в своем правиле предлагал присваивать им веса, обратно пропорциональные ошибкам наблюдения, а в качестве истинного места предмета брать центр тяжести этих четырех точек. Однако мысль, что всегда лучше выровнять несколько наблюдений, чем опираться на одно, как бы аккуратно ни было оно проведено, в то время еще не укрепилась. Симпсон энергично отстаивал это убеждение в одной статье в Phil. Trans, за 1755 (I, 1756), в которой он вместе с тем привел выражение вероятности того, что средняя ошибка нескольких наблюдений не превзойдет известной величины. Совершенно такие же соображения развил в Misc. Taur., 1770/73 Лагранж, не знавший, вероятно, работы Симпсона. При этом Лагранж ввел новое понятие вероятности ошибки, которую определил как частное от деления числа появлений соответствующей ошибки на общее число наблюдений. В это же время Даниил Бернулли занялся поисками закона распределения вероятностей ошибок, однако принятые им допущения привели его неудачным образом к полуокружности [Act. Ac. Petr., 1777 (ч. I, 1778)]. Функцию, выражающую закон ошибок, стремился найти также Лаплас. В одном случае он пришел к выражению у =-i те~тх (Mém. prés. Ac. Paris, 1774), но при этом частично нарушил поставленные им самим требования. Позднее, в объемистом «Мемуаре о вероятностях» [Mémoire sur les probabilités в Mém. Ac. Paris, 1778 (1781)] он предложил кривую г/ = In j-^-j, не обратив внимание ни на трудности, связанные со случаем # = 0, ни на то, что при |#|>а становится отрицательным у. Лишь Р. Эдрейн (1808) и Гаусс («Теория движения небесных тел»; Theoria motus corporum coelestium, 1809) вывели применяющийся с тех пор во многих случаях «нормальный» закон ошибок у = -т=-е

Значительный толчок развитию теории вероятностей сообщил Даниил Бернулли. Еще Гюйгенс ввел понятие «математического ожидания». Если игрок в р случаях может ожидать выигрыша a, a в q случаях — выигрыша Ь, то согласно Гюйгенсу ожидание игрока в каждом отдельном случае равно p\-q ' Таким образом, это математическое ожидание представляет собой в сущности сумму произведений отдельных выигрышей на их вероятности. В важной статье «Образец новой теории меры случая» [Specimen Theoriae novae de Mensura Sortis, в Comm. Ac. Petr., 1730/31 (1738)] Даниил Бернулли противопоставил математическому ожиданию «нравственное ожидание», учитывающее имущественное положение игрока. Для лица, обладающего состоянием а и ожидающего с вероятностью рг- получить сумму Хи нравственное ожидание равно

(а + л-,)"'(а + х2Г(а + хзУ*... -а.

Бернулли тотчас приложил новое понятие к «петербургской задаче», которую впервые поставил в 1713 Ник. I Бернулли и которую впоследствии прославили споры, связанные с ее решением1). Задача состояла в следующем: если монета упадет вверх гербом впервые после 1, 2, 3, 4, . . . бросания ее Петром, то Павел уплачивает Петру соответственно 1, 2, 4, 8, ... рублей2). Петербургской задачей занялся также Даламбер в статье «Герб или решка» [Croix ou pile, 1754, в издававшейся Дидро и Даламбером «Энциклопедии»3)]; он вернулся к ней еще в 1757 в статье «Пари» (Gageure). Однако ни эти, ни более поздние выступления Даламбера по вопросам теории вероятностей и ее приложений (особенно в т. II «Математических сочинений», Opusc. math., 1761/80) не отличались основательностью. Одни, как, например, Кондорсе, Лаплас и остроумный Г. X. Лихтенберг, их оспаривали, другие, вроде Эйлера, просто не принимали всерьез. Д. Бернулли применил впервые в теории вероятностей исчисление бесконечно малых. Это упростило многие задачи, представлявшие до того с комбинаторной точки зрения боль-

1) Название задачи объяснялось тем, что мемуар Д. Бернулли был напечатан в комментариях Петербургской Академии наук.

2) Парадоксальность задачи состоит в том, что математическое ожидание выигрыша Петра оказывается бесконечно большим и, значит, для безобидности игры Петр должен вначале выплатить Павлу за право играть бесконечно большую сумму. Введенное Д. Бернулли понятие нравственного ожидания в науке не сохранилось. См. Б. В. Гнеденко, Курс теории вероятностей, М.—Л., 1950, стр. 345—346. — Прим. ред.

3) Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers.

шие трудности; другие проблемы вообще стали доступны лишь с введением инфинитезимальных приемов. Подробно изложил свой метод Д. Бернулли в Nov. Comm. Petr., 1766/67 (1768) и 1769 (1770). В нескольких работах он приложил теорию вероятности к вопросам о длительности человеческой жизни, к вопросу о смертности от оспы и действии прививки, к изучению средней продолжительности браков и к взаимоотношению чисел новорожденных мальчиков и девочек. Отметим еще особо оригинальную по замыслу конкурсную работу, в которой Д. Бернулли рассмотрел, следует ли приписывать различия в наклонениях планетных орбит к эклиптике каким-либо определенным причинам («Работы, получившие двойную премию 1734» — Pièces qui ont remporté le prix double en 1734, Париж, 1735).

Мы можем перейти теперь к апостериорным вероятностям. Введены они были еще Я. Бернулли, но основная задача в этой области была впервые поставлена и решена англичанином Т. Бейесом. Бейес сформулировал ее в следующем точном виде: «Известна частота наступления и ненаступления события при некотором числе испытаний; требуется найти вероятность того, что вероятность наступления события при одном испытании лежит между двумя заданными границами». Работа Бейеса была опубликована лишь посмертно в Phil. Trans., 1763. Выводы и заключительная формула Бейеса были справедливы. Однако этот вопрос был много яснее изложен Лапласом (Mém. prés. Ac. Paris, 1774), познакомившимся со статьей Бейеса, несомненно, лишь позднее. С несколько иной точки зрения и в более общей форме этот вопрос решил Кондорсе. Он это сделал сначала в Mém. Ac. Paris, 1783 (1786), а затем в своем большом, но неясно написанном и не во всем безупречном «Опыте приложения анализа к вероятности решений, принятых большинством голосов» (Essai sur l'application de l'analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix, Париж, 1785). Это сочинение по замыслу автора должно было служить благу человечества, главным образом, посредством приложения теории вероятностей к общественно-политической жизни, например к выборам, голосованиям, установлению законов. Лаплас не раз еще возвращался к формуле Бейеса и весьма просто вывел ее, в частности, в «Мемуаре о приближениях формул, являющихся функциями очень больших чисел» [Mémoire sur les apporoximations des formules qui sont foncions de très-grands nombres, Mém. Ac. Paris, 1783 (1786)].

Как видно из названия последней работы, теория вероятностей нашла также применение в приближенном представлении выражений, содержащих очень большие числа,

в частности факториалы1). И здесь первый толчок дал еще Даниил Бернулли, — именно во второй из упоминавшихся на стр. 107 работ. Во всех вопросах этого рода получили широчайшее употребление инфинитезимальные методы. Но уже и тогда находились люди, которые, подобно Ж. Трамблею, старались каждый новый результат получить с помощью специального «элементарного» вывода, как бы сложен в действительности последний ни был.

Мы не можем останавливаться здесь на различных работах Эйлера, Лагранжа и Кондорсе, посвященных частью азартным играм, частью практическим приложениям теории вероятностей. Главный труд Лапласа «Аналитическая теория вероятностей» (Théorie analytique des probabilités, 1812) лежит слишком далеко за пределами рассматриваемого времени. Мы должны отметить лишь один, оставшийся пока незатронутым вопрос о применении понятия вероятности в геометрии. Впервые подобными задачами занялся естествоиспытатель Бюффон. Он рассмотрел вероятность того, что круглый диск, брошенный на прямоугольную полосу, разбитую на квадраты, упадет целиком внутри одного из квадратов. Бюффон брался и за более трудные задачи этого рода, в которых участвовали квадратная пластинка или же игла. Исследование Бюффона было впервые опубликовано в «Опыте нравственной арифметики» (Essai d'Arithmétique morale, 1777), составлявшем часть написанного в 1760 четвертого, дополнительного тома его «Естественной истории» (Histoire naturelle). Но отчет о сообщении Бюффона по этим вопросам имеется еще в Mém. Ac. Paris за 1733.

1) Лаплас определял здесь приближенным образом встречающиеся в теории вероятностей функции, в частности биномиальные коэффициенты, соответствующие очень большим показателям.

ГЛАВА ПЯТАЯ

ПРЕДЫСТОРИЯ ИСЧИСЛЕНИЯ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ

§ 1. Квадратуры и кубатуры

Еще Архимед занимался вычислением площадей поверхностей и объемов тел, причем привлек к исследованию некоторые простые тела вращения. Долгое время математики довольствовались результатами, унаследованными от греков, не добавляя к ним ничего нового. Объяснялось это тем, что достаточно строгим для публичного изложения считали только элементарный метод греков. Между тем, хотя последний и был пригоден для доказательства правильности уже произведенных определений размеров фигур, но не мог быть применен к отысканию размеров новых тел и площадей1). И Архимед обладал эвристическим методом, не совпадавшим с методом изложения, что, впрочем, было установлено только после открытия в 1906 рукописи одного его послания к Эратосфену (Цейтен, ч. I).

Поэтому формулировка, в которой Иоганн Кеплер представил свой знаменитый закон о пропорциональности площадей, описываемых радиусом-вектором планеты, и времени, потребного для прохождения соответствующих участков орбиты, оказалась совершенной новостью. В своей «Новой астрономии» (Astronomia nova, 1609) Кеплер утверждал, что «сумма радиусов-векторов», соответствующих дуге орбиты, относится к сумме радиусов-векторов всего эллипса как время, необходимое для прохождения этой дуги, ко времени полного обращения. Действительно, отношение обоих времен он нашел, просуммировав по возможности много радиусов-векторов, следовавших друг за другом по некоторому определенному правилу. В том же сочинении Кеплер

1) Такая оценка «элементарного метода греков» представляется спорной. См. статью А. П. Юшкевича «О методе исчерпывания древних математиков». — Труды совещания по истории естествознания 24—26 декабря 1946 г., М—Л., 1948. — Прим ред.

установил, что сумма синусов всех углов от 0 до некоторого определенного значения ф, приближенно вычисленная им с интервалом в один градус для различных значений ф, пропорциональна синус-верзусу ср. Таким образом он вывел, если воспользоваться нашими обозначениями, что

В урожайный для винограда 1612 год Кеплер, будучи в Линце, заинтересовался практическими правилами определения объемов винных бочек. При указанном характере предыдущих его работ было неудивительно, что, занявшись этим вопросом, он изобрел особый инфинитезимальный прием, который тотчас приложил к измерению разнообразных старых и новых тел вращения. В 1615 он опубликовал «Новое измерение винных бочек и т. д.» (Nova Stereometria Doliorum Vinariorum etc.), а в следующем году выпустил на немецком языке популярное издание этого труда под заголовком «Извлечение из древнего искусства измерения Архимеда и т. д.» (Sfojftug au$ ber uralten SKeSêefmrêt. Archimedis etc.). Хотя Кеплер не располагал разработанным представлением о бесконечно малом, но в названной книге он применил это понятие так же, как сто лет спустя в геометрии употребляли дифференциал. Он разбивал поверхности и тела на элементарные части и суммировал последние. Руководясь своей новой идеей, Кеплер впервые пошел дальше того, что было известно тогда от древних. В общем он определил размеры 87 новых тел. Кроме того, исследования Кеплера о форме бочек, обладающих наибольшей вместимостью при наименьшей затрате материала, привели его к задачам на максимумы и к изопериметрическим задачам, в рассмотрении которых он примкнул к книге V «Сборника» Паппа. Кеплер правильно увидел основной признак максимума в том, что, как писал он, разница между самим максимумом и непосредственно предшествующими или же последующими значениями незаметна.

На первых порах Кеплер с его инфинитезимальными исследованиями оказался в одиночестве, но поднятые им идеи не заглохли. Уже в 1621/22 Б. Кавальери сообщил своему учителю Галилею основные принципы изобретенной им новой концепции образования поверхностей и тел и определения их размеров. Воззрения Кавальери систематически были изложены лишь в 1635 в его книге «Геометрия, развитая некоторым новым способом при помощи неделимых частей непрерывных величин» (Geometria indivisibilibus continuorum nova

quadam ratione promota). Сочинение это, несмотря на свою неясность, долгое время оставалось наиболее значительным произведением в этой области; оно даже вышло по смерти автора вторым, улучшенным еще им самим изданием (1653).

Представления о бесконечно малом были у Кавальери много точнее, чем у Кеплера. Итальянский ученый воспользовался понятием «неделимых», известным, по крайней мере, со времен Брадвардина и точно определенным в схоластической философии Фомы Аквинского. Согласно этому учению «неделимое» представляет собой нечто разнородное по отношению к бесконечно делимому геометрическому континууму и обладает одним измерением меньше, чем последний. Так, например, точка является неделимым для линии, прямая — неделимым для плоскости и т. д. Каждое неделимое обладает способностью порождать при движении континуум ближайшего числа измерений. Основываясь на подобном понятии неделимого, которое, впрочем, сам он не разъяснил, Кавальери мыслил, что, скажем, площадь плоской фигуры представляется «совокупностью» всех пересекающих ее прямых, параллельных какой-либо касательной контура. Все такие прямолинейные сечения порождаются продвижением (течением)1) одной из них, так называемой régula (направляющей). Две площади равны, если равны между собой любые два сечения, находящиеся на одинаковых расстояниях от соответствующих касательных; если же такие сечения находятся в постоянном отношении, то площади подобны. Относительно сечений — неделимых — Кавальери установил два главных предложения, на которых и построены все его определения и сравнения размеров фигур.

I. «Совокупность неделимых одной и той же фигуры не зависит от выбора направляющей».

II. «Размеры двух геометрических фигур относятся как совокупности их неделимых, и эти совокупности обладают определенным отношением, если в таком же отношении находятся все соответствующие неделимые обеих фигур».

С современной точки зрения произведенные Кавальери сравнения размеров геометрических фигур сводятся к тому, что для каждой фигуры определяется ось и система прямых, образующих с осью постоянный угол. Условие подобия фигур тогда заключается в том, что между неделимыми прямыми для соответственных точек на обеих осях существует

1) Выражение «течь» встречается у Кавальери в опубликованных в 1647 «Шести геометрических этюдах» (Exercitationes geometricae sex) и в других местах; оно было получено, вероятно, из представлений Непера. Понятия, выставленные в первом издании «Геометрии неделимых», были выражены более четко уже в этих «Этюдах».

постоянное отношение. О бесконечно малых в смысле Кеплера и суммировании их у Кавальери нигде нет и речи.

Крупный шаг вперед, сделанный Кавальери по сравнению с Кеплером, состоял, не говоря о более систематической трактовке вопроса, в том, что он не ограничился применением совокупностей всех прямых плоской фигуры, а перешел к вычислению совокупности квадратов всех прямых. После того как Кавальери показал, что в подобных треугольниках эти суммы квадратов относятся как кубы сходственных сторон, он доказывает теорему: «совокупность квадратов всех отрезков параллелограмма, параллельных одной из его сторон, втрое больше совокупности таких же отрезков в треугольнике, отсекаемом в параллелограмме его диагональю». В переводе на наш язык это предложение с точностью до постоянного множителя выражало интеграл j x2dx = у- путем его сравнения с интегралом J* a2dx = a*. С помощью его Кавальери нашел объемы пирамиды и конуса, а также площадь параболического сегмента. Указанная теорема, выведенная на свой лад и использованная еще Архимедом, была открыта в 1629 также Ферма (см. его письмо к Робервалю от 22 сентября 1636), который распространил ее одновременно на параболы любого порядка. Отвечая на запрос Кавальери, Ферма еще до 1644 сообщил ему некоторые свои результаты. Кавальери дал доказательство этого обобщения, высказанного им, впрочем, уже в 1639, в «Этюдах». По содержанию названное обобщение совпадает с формулой

Кавальери провел доказательство лишь для первых девяти степеней. Эту важную теорему самостоятельно нашли еще Декарт и Валлис, первый в 1638, исходя, вероятно, из понятия совокупности Кавальери, а второй несколько позднее, иным путем. Кавальери заново произвел и квадратуру спирали Архимеда, открытую еще самим Архимедом. Здесь он воспользовался кругообразными неделимыми, т. е., говоря по-современному, интегрированием в полярных координатах с радиусом-вектором, как независимым переменным. Эта квадратура приведена была еще в одной работе, посланной Кавальери Галилею 9 апреля 1623. Тем самым исключается

возможность плагиата у иезуита Григория Сен-Винцента, устное сообщение которого о таком же методе могло быть сделано не ранее 1625 и который опубликовал его в 1647 в своем «Геометрическом труде» (Opus geometricum). Но нет также оснований думать, что Григорий Сен-Винцент заимствовал этот метод у Кавальери, ибо основная мысль имелась уже у самого Архимеда.

Среди некоторых инфинитезимальных рассмотрений, содержавшихся в «Геометрическом труде», особенно интересны кубатуры тел, способ образования которых мы можем передать следующим образом. Представим себе прямоугольную пространственную систему координат и два цилиндра y=f(x), z = y(x), соответственные образующие которых перпендикулярны друг к другу и к оси X. Оба цилиндра, плоскости ху и xz и плоскости х = а и х = Ь, ограничивают тогда тело, объем которого в наших обозначениях равен j yzdx.

Беря для у и z различные значения, при которых остается неизменным произведение yz, Григорий получил ряд красивых предложений. Если, например,

у= У а2 — х2, z=Va2 — X2,

то возникающее при этом тело имеет тот же объем, как и в случае, если вместо полуцилиндров взять плоскости у = а—х, z=a + x.

Случайное употребление инфинитезимальных величин встречалось уже в сочинениях Валерио, Лафайля и Гульдина (Цейтен, II), посвященных отысканию центров тяжести. Но бесконечно малые применялись здесь в форме, известной еще из работ Архимеда. Способ, которым Галилей в знаменитых «Беседах и математических доказательствах о двух новых науках» (Discorsi е dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze, 1638) вывел закон пути s = ygtf2 по известной скорости свободно падающего тела, v=gt, был, напротив, вполне в духе концепции Кавальери1). Таким образом, по времени и по существу он вполне относится к разбираемому нами вопросу, хотя и стоял у Галилея особняком. Галилей показал, что путь 5 равен площади прямоугольного треугольника, катетами которого являются время и конечная скорость. При доказательстве время и скорость выступали в качестве прямоугольных координат t, v некоторой прямой

1) Мы только записали в современной форме то, что Галилей выражал с помощью пропорций.

:v=gt); в этом Галилей близко примыкал к Аполлонию. Площадь треугольника рассматривалась как совокупность всех V, т. е. по-нашему как J vdt.

Совершенно в духе Кавальери применял неделимые и Жиль Персонье де-Роберваль, хотя определял он их как бесконечно малые величины того же измерения, что и соответствующий геометрический образ. Быть может, Роберваль поступал так, чтобы замаскировать свою зависимость от Кавальери, с методом которого он был, несомненно, знаком, когда начал в 1637 разрабатывать свое «Учение о бесконечном» (Doctrina infiniti). Впрочем, и здесь, и в «Трактате о неделимых»1) (Traité des indivisibles) Роберваль с большим искусством применил метод Кавальери к ряду трудных задач. С его помощью, например, он нашел в конце 1636 квадратуру циклоиды, которую затем вновь вывел в 1638 Декарт, тоже воспользовавшийся основным предложением Кавальери. Роберваль произвел также кубатуру тел вращения циклоиды вокруг ее основания и вокруг наибольшей ординаты.

Значительно последовательнее Роберваля поступал его знаменитый ученик Блез Паскаль. Метод доказательства, применявшийся Григорием Сен-Винцентом, с которым мы познакомимся ниже, побудил Паскаля преобразовать понятие совокупности Кавальери в понятие суммы. При этом Паскаль проводил отчетливое различие между неделимыми и элементарными частями. Паскаль, далее, существенно более общим образом толковал понятие равенства фигур, чем это позволяло употребительное до того определение Евклида. Именно, он считал равными две фигуры, если различие между ними меньше любой данной величины. Паскаль с полной ясностью проник в существо интеграционного процесса, заметив, что всякое интегрирование приводится к определению некоторых арифметических сумм. Уже в работе 1654 «Сумма степеней чисел» (Potestatum numericarum summa, опубликовано в Париже в 1665, ср. стр. 97) он заявил, что для всех, кто сколько-нибудь разобрался в учении о неделимых, должна быть ясна зависимость между суммами степеней и измерением криволинейных площадей. Действительно, в различ-

1) Сочинения Роберваля впервые вышли в 1693 в Divers ouvrages de mathématique et de physique par Mss. de l'Académie des Sciences, a затем в 1730 в парижском издании старой серии (1666/99) Mém. Ac. Paris, т. VI и в т. III (1731) гаагского издания. Разработку инфинитезимальных приемов Роберваль начал, по-видимому, в 1634 независимо от Кавальери. К 1634 относится, вероятно, и квадрирование Робервалем циклоиды,— Прим. ред.

ных своих работах Паскаль подошел к понятию определенного интеграла ближе всех своих современников. Напротив, он не располагал никакой символикой, а все выражал одними словами, и, следовательно, он ни в коей мере не думал о новом инфинитезимальном исчислении. Статьи Паскаля, выпущенные им в 1659 под псевдонимом А. Деттонвилля1), были весьма богаты разнообразными частными результатами. Они содержали вычисление интегралов многих тригонометрических функций и интегралов вида

Интеграл

определил еще Роберваль в связи с квадратурой конхоиды Никомеда. Паскаль доказал также ряд теорем, которые мы теперь относим к замене переменных и к интегрированию по частям. Так, например, он рассмотрел, подобно Григорию Сен-Винценту, тело, ограниченное тремя взаимно-перпендикулярными плоскостями, цилиндром y = f{x), отсекающим на осях отрезки а и ft, и цилиндром г = ф(;с), образующие которого параллельны оси у. Если z = (ç(x) есть плоскость, проходящая через ось у, то возникает так называемое цилиндрическое копыто, которое Паскаль называл onglet. Объем такого тела равен вообще J yzdx, где yz изображается на приложенном чертеже (рис. 3) прямоугольником с тремя пунктирными сторонами. Объем того же тела можно получить, произведя сечения, параллельные плоскости xz и

Рис. 3.

1) Amos Dettonville — анаграмма псевдонима Louis de Montalte, под которым Паскаль выпустил в 1656/57 свои знаменитые «Письма к провинциалу» (Lettres provinciales).

обладающие площадью j zdx. Это дает формулу

Наряду с методом неделимых Кавальери в рассматриваемое время из элементарных методов Архимеда возник еще другой прием. Мы имеем в виду метод пределов, тончайшим образом разработанный и твердо укрепившийся в современной математике. Само понятие предельной фигуры было уже давно известно в геометрии. Однако точная формулировка этого понятия и применение его к созданию метода квадратур и кубатур принадлежат только XVII столетию. Метод, употреблявшийся Архимедом, представлял собой по существу лишь косвенный способ доказательства результатов, найденных иным путем. Основывался он на следующем предложении: если при допущениях А>В или В>А можно установить, что разности А — В и соответственно В — А оказываются меньше всякой однородной с А и В величины, то геометрические величины А и В равны. Так как определение этих величин зависит от природы проблемы, то в каждой новой задаче его приходилось производить сначала. Впервые облегчил это определение Л. Валерио, предпославший в своей работе «О центре тяжести тел» (De centro gravitatis solidorum, 1604) целый ряд общезначимых теорем. В своем «Геометрическом труде» Григорий Сен-Винцент также стремился приспособить античный метод к сравнению размеров новых фигур с известными. Для этого он вписывал в те и другие столько параллелограммов или параллелепипедов, чтобы они «исчерпали» площадь или соответственно объем фигур. Благодаря употребленному им слову «исчерпывать» («exhauriге») преобразованный таким образом метод получил название метода исчерпывания, которое в свою очередь не вполне правильно было перенесено на чисто элементарный способ доказательства древних. В этом методе исчерпывания Григорий Сен-Винцент довольно близко подошел к понятию предела. В арифметическом отношении он даже определил предел, поскольку определил сумму прогрессии как ее конец («terminus»), которого нельзя достигнуть даже при бесконечном продолжении, но к которому можно подойти ближе, чем на любой данный интервал.

Первый подлинный переход к пределу встречается, однако, у собрата Григория по ордену, А. Таке, который вывел сумму бесконечной геометрической прогрессии из суммы ко-

нечной прогрессии («Начала плоской и телесной геометрий и т. д.» — Elementa Geometriae planae et solidae etc., 1654, 2-е изд., 16651)). Метод исчерпывания тоже приобрел в руках Таке более строгий математический характер. В книге «Четыре книги о цилиндриках и кольцах» (Cylindricorum et annularium libri quatuor, 1651) Таке применил его к кубатуре цилиндрических копыт и кольцеобразных тел, причем осуществлял предельные переходы для вписанных и описанных фигур с помощью специально предпосланных арифметических предложений.

Мы теперь должны возвратиться к Ферма. В одной работе, завершенной не ранее 16572), он распространил свою квадратуру парабол также на случай дробных и отрицательных показателей. Он чертил параболу в прямоугольной системе координат и разбивал квадрируемую площадь прямыми, параллельными оси у, на весьма узкие полоски, длины оснований которых убывали или же возрастали в геометрической прогрессии. Рассматривая эти полоски как прямоугольники, Ферма затем производил их суммирование. При этом, разумеется, он должен был суммировать бесконечный ряд и определять предел суммы, когда первая из полосок, а за ней и все остальные становятся бесконечно узкими. Для обыкновенной гиперболы ху = а2 Ферма нашел, что при его способе разбиения полосы оказываются одинаковой величины, что заметил еще Григорий Сен-Винцент в «Геометрическом труде».

Для Ферма и для Григория, несомненно, была ясна вытекающая отсюда связь гиперболических площадей с логарифмами, хотя предложение, что площадь гиперболы выражается логарифмом, было для них обоих еще совсем чуждым. Ферма также применял некоторые преобразования интегралов, хотя и в менее общей форме, нежели Паскаль. Он проинтегрировал

при нечетном п, вычислил площади декартова листа х3 + у3 = = аху и так называемого «локона Аньези», у(х2 + а2) =а3. Интегралы он приводил по большей части в неопределенной форме.

Полностью арифметизирован был предельный переход в «Арифметике бесконечных» (1656) Дж. Валлиса. Валлис рассматривал поверхности или тела как алгебраические

1) См. примечание на стр. 20. — Прим. ред.

2) Опубликовано впервые в Varia opera, 1679.

суммы элементарных частей и представлял отношение двух площадей или объемов в виде частного сумм расходящихся рядов. При этом искомое предельное значение было для него результатом бесконечного процесса, а бесконечное определялось через предел. В связи с этим Валлис впервые ввел для бесконечности особый знак оо: у него же появляются равенства -0-=оо и — = 0. Пользуясь своим методом, Валлис, как уже говорилось, самостоятельно открыл теорему Ферма об интеграле целой степени аргумента, а затем с помощью смелых заключений, опиравшихся на неполную индукцию, перенес ее на дробные и даже содержащие радикалы показатели. С помощью столь же смелых заключений, по аналогии проведенных им, однако, с большим математическим тактом, или, как выражался сам Валлис, с помощью «интерполяции», он выразил интеграл j Yx — х2 dx, дающий площадь полукруга с диаметром 1, через факториалы дробных величин. Это привело Валлиса к знаменитому бесконечному произведению

4 _ ЬЗ-3-5-5-7-7 ... я — 2.4.4-6.6.8.8

которое и теперь носит его имя. Валлис, между прочим, пришел к выводу, что точно произвести квадратуру круга посредством циркуля и линейки невозможно. В своем «Разборе гоббсовой геометрии» (Elenchus Geometriae Hobbianae, 1655) он даже заметил, что — нельзя представить с помощью корней, т. е., как выражаемся мы теперь, что это трансцендентное число. Разумеется, он не был в состоянии доказать это, как и Дж. Грегори в его «Истинной квадратуре круга и гиперболы» (Vera circuli et hyperbolae quadratura, 1667). Во введении к названному сочинению Грегори рассматривал уже предел как новое число, которое определяется как граница последовательности (series) и нахождение которого представляет собой исчисление нового рода.

Среди отдельных результатов, найденных Валлисом с помощью его своеобразного метода, упомянем еще квадратуру площади, заключенной между циссоидой Диоклеса и ее асимптотой. Эту задачу Валлису предложил Хр. Гюйгенс, сам решивший ее в 1658. Величину той же площади независимо нашел также около 1661 Ферма1). Еще важнее были рассуждения Дж. Грегори о том, как заменять участки кри-

1) Опубликовано впервые в Oeuvres, т. II (1894).

вой, лежащие в определенных интервалах, через параболы («Геометрические этюды» — Exercitationes geometricae, 1668). Используя ряд разностей второго порядка, Грегори дал формулу приближенных квадратур, лишь по внешности отличающуюся от правила, названного позднее именем Симпсона (см. главу VII, § 3). Грегори указывал также на возможность применения парабол высшего порядка. До того Грегори особым способом точно вычислил интеграл

J igxdx = In (sec*).

§ 2. Задачи на проведение касательных и экстремумы; спрямление кривых и обратная задача о касательных

В области задач, решаемых ныне посредством дифференцирования, древние сделали гораздо меньшую подготовительную работу, чем в области задач, относимых нами теперь к интегральному исчислению. Важные в этом отношении античные сочинения, вроде «Конических сечений» Аполлония, в пятой книге которых разбирались некоторые вопросы о максимумах и минимумах, еще не были опубликованы. Попытку восстановить содержание названной книги сделал ученик Галилея В. Вивиани в работе De maximis et minimis geometrica divinatio etc., вышедшей в 1659. Перевод труда Аполлония, изданный в 1661 Борелли при содействии одного ориенталиста и основывавшийся на арабской рукописи, блестяще подтвердил гипотезы Вивиани. Наоборот, попытка, предпринятая в том же направлении Мавролико, работа которого была напечатана только в 1654, должна быть признана неудачной.

Но уже в 1629 Ферма, как сообщал он Робервалю в письме от 22 сентября 1636, изобрел прославившийся впоследствии метод отыскания максимумов и минимумов. Через посредство М. Мерсенна работа Ферма попала в январе 1638 к Декарту. Опубликована она была лишь в 1679 в Varia opera под названием «Метод отыскания наибольших и наименьших значений» (Methodus ad disquirendam maximam et minimam). Тем не менее способ Ферма получил широкую гласность значительно раньше благодаря Эригону, включившему его в свое «Дополнение к курсу математики» (Supplementum Cursus mathematici, 1642). Независимо от Ферма этот же прием был открыт, правда слишком поздно, итальянцем А. ди Монфорте («Об определении проблем», —De Problematum determinatione, Неаполь, 1699). Пользуясь выражениями самого Ферма, его метод можно передать следующим образом. В выражении, которое должно получить экстремальное значение, вместо неизвестной величины А подста-

вляется А+Е, и оба выражения приближенно приравниваются друг другу. Затем в обеих сторонах равенства вычеркиваются одинаковые члены, производится деление на множитель Е и, наконец, Е полагается равным нулю. Остающееся в результате уравнение и дает значение Л, соответствующее экстремуму. Ни Л, ни Е не рассматривались при этом как переменные, так что о предельном переходе или же о производной в нашем смысле здесь не может быть и речи, хотя прием Ферма и был вполне равносилен образованию производной. То же самое относится к методу, предложенному Ферма для нахождения касательных, который опирался на такой же вычислительный прием и который Ферма сумел применить к ряду кривых, заданных неявными уравнениями (циссоида Диоклеса, декартов лист), и к циклоиде. Определяя максимум или минимум угла касательной с осью абсцисс, Ферма мог также разыскивать точки перегиба. В нескольких случаях Ферма использовал свой метод и для определения центров тяжести. Но подлинное обоснование метода у Ферма отсутствовало. Не был знаком он и с достаточными условиями экстремума вообще и максимума или минимума в частности1). Сказанное имеет силу и для исследований, о которых идет речь ниже.

Декарт, великий соперник Ферма, тоже занимался проблемами исчисления бесконечно малых. Однако сколь остроумным ни было декартово решение таких задач в каждом отдельном случае, методически разработал он лишь проблему проведения касательной. Алгебраическое решение ее он дал в своей «Геометрии». Для определения положения нормали в точке с абсциссой х Декарт описывал окружность из предполагаемой точки пересечения нормали с осью абсцисс и для определения этой точки выставлял условие, чтобы две точки пересечения окружности и кривой сливались в одну. Впрочем, уже в одном письме от мая 1638 Декарт заметил, что вместо окружности проще пользоваться секущей прямой. Подробнее эта мысль проведена была Ф. Дебоном в его «Кратких замечаниях» к латинскому изданию декартовой «Геометрии» (1649). Однако эти чисто алгебраические методы, вообще весьма громоздкие, не годились для трансцендентных или, как тогда говорили, «механических» кривых.

1) Из одного письма Ферма от 1643 г., опубликованного только в 1922 г., мы знаем теперь, что для целой рациональной функции он выводил необходимое условие экстремума так же, как это делаем мы теперь в общем случае с помощью формулы Тейлора, и по существу располагал достаточными признаками максимума и минимума. См. примечание на стр. 242 моего перевода «Геометрии» Декарта, указанного в Библиографии. — Прим. ред.

Поэтому при построении касательной к циклоиде Декарт пошел иной дорогой, а именно, воспользовался открытым им кинематическим свойством, что нормаль кривой, образуемой при качении, проходит через точку, в которой образующая кривая касается основания, по которому катится. Построение Декарта, как видно из письма к Мерсенну от 23 августа 1638, предшествовало построению, данному Ферма, и тем самым явилось первым решением этой задачи.

На механических представлениях покоился хорошо известный и ныне метод касательных Роберваля. Роберваль, поддерживавший дружеские связи с Ферма, принадлежал к кружку ученых, встречавшихся на научных собраниях у Мерсенна. Из этих собраний по распоряжению Ришелье создана была в 1635 Парижская Академия, заново преобразованная в 1666 Кольбером. Метод Роберваля, бегло изложенный впервые в 1644 в «Физико-математических размышлениях» (Cogitata Physico-Mathematica) Мерсенна, опирался на закон параллелограмма скоростей при равномерном движении. Одновременно с Робервалем его открыл ученик Галилея Э. Торричелли, исходивший из теории падения тел, созданной его учителем, и опубликовавший найденный им прием в сборнике «Геометрические труды» (Opera geometrica), изданном тоже в 1644. Наряду с методом касательных, книга Торричелли содержала еще ряд квадратур и кубатур. Способом Реберваля — Торричелли, который с большим искусством применял и Декарт, мы еще займемся подробнее в следующей части.

Методы касательных, которыми пользовались голландец Гудде в письмах от 1659, а начиная с 1662 бельгиец де-Слюз, представляли собой сочетание приемов Ферма и Декарта1). Гудде отправлялся от определения кратных корней уравнения (см. стр. 68) и для целых рациональных алгебраических уравнений открыл формальную процедуру, по существу тождественную с образованием производной, хотя сам Гудде руководствовался исключительно алгебраическими соображениями. Так же обстояло дело с методами для определения касательных, максимумов и минимумов, предложенными Хр. Гюйгенсом, исходившим из исследований Ферма (опубликованы они были только в 1693 в Divers ouvrages de math, et de phys.). Формальные операции, которые употребляли эти ученые, не остались без влияния на последующее развитие математики, поскольку могли подать мысль о возможности некоего нового исчисления.

1) Письмо Гудде к Скаутену было напечатано в 1713 в Journ. litéraire. Два соответствующих письма де-Слюза от 1673 были опубликованы в Phil. Trans, за 1672 и соответственно 1673. Вывод Слюза в них намечен лишь в общих чертах.

Задача о спрямлении кривых была для ученых того времени, естественно, еще труднее, чем рассмотренные выше вопросы исчисления бесконечно малых. Это объясняется уже тем, что долгое время считали вообще нелепым самое сравнение кривых линий с прямыми. Первое спрямление удалось произвести Торричелли, который около 1640 определил отрезок, равный длине логарифмической спирали, отсчитываемой от полюса. Первый же пример алгебраического спрямления алгебраической кривой дал У. Нейль. По свидетельству Валлиса (см. сочинение: «Два трактата о циклоиде и циссоиде»— Tractatus duo de cycloide et de cissoide, Оксфорд, 1659) Нейль в 1657 спрямил полукубическую параболу, носящую теперь его имя. В приведенном сочинении Валлис изложил также способ спрямления циклоиды, найденный в 1658 Кр. Реном. После этого Ферма, Валлис и ван Гейрет1) произвели ряд спрямлений, а Гюйгенс вычислил ряд площадей поверхностей тел вращения. Обе задачи эти ученые привели к квадратурам, доказав, что дуга кривой так относится к некоторому отрезку прямой, как площадь, определенной другой кривой к некоторому прямоугольнику. Таким путем, например, длина дуги параболы была измерена с помощью площади равносторонней гиперболы. С нашей современной точки зрения это обозначало преобразование одного определенного интеграла в другой известный интеграл посредством введения новой переменной; тогда это преобразование производилось чисто геометрически.

Еще Валлис в «Арифметике бесконечных» (1656) получил выражение, эквивалентное нашему элементу дуги, т. е. ds = = Ydx2 -\-dy2. Мы имеем в виду одно из наиболее богатых последствиями его открытий, а именно, по терминологии Лейбница, «характеристический треугольник» («traingulum characteristicum»), составленный из катетов dx, dy и гипотенузы ds. Однако Валлис не смог воспользоваться им для ректификации, ибо, очевидно, не умел преобразовывать, как этого требовал его метод, радикала ^dx2-\-dy2 в бесконечный ряд. Несколько позднее характеристический треугольник многократно применялся также Паскалем, допускавшим, что элемент дуги, который он рассматривал как отрезок прямой, совпадает с касательной. В своем «Трактате о синусах четверти круга» (Traité des sinus du quart du cercle, вышел, вероятно, в Париже, 1659) Паскаль, основываясь на характеристическом треугольнике (рис. 4), вывел равенство: DI • EE = RR • AB, которое определяет отношение двух беско-

1) Письмо Гейрета от 1659 приложено ко второму латинскому изданию «Геометрии» Декарта (1659).

Рис. 4.

нечно малых элементов -gg через отношение конечных величин -jg. Именно этот чертеж Паскаля привел Лейбница к изобретению дифференциального исчисления. Сам Лейбниц говорил, что увидел здесь свет, которого не различал автор.

Из нашего изложения видно, что взаимно обратный характер двух групп инфинитезимальных проблем, решаемых нами теперь с помощью дифференцирования и интегрирования, отнюдь еще не был ясен ученым того времени. Открыл это обстоятельство И. Барроу, учитель и друг Ньютона1). В своих «Лекциях по оптике и геометрии» (Lectiones opticae et geometricae, 1-е изд. 1669/70, 2-е изд. 1674) Барроу исходил из механических идей Галилея и Торричелли. Во главу исследования он поставил понятие движения и в одних случаях выводит путь, пройденный точкой, по времени и скорости ее движения, а в других по времени и пути выводит скорость движения. В такой форме у Барроу впервые были сопоставлены две взаимно обратные проблемы интегрирования и дифференцирования, причем для произвольных кривых, т. е., по-нашему, функций. Мы увидим далее, как на этом фундаменте построил свое исчисление флюксий Ньютон. Барроу, побуждаемый Ньютоном, опубликовал базирующийся на тех же идеях формальный прием определения касательных, в котором объединил употребление характеристического треугольника Валлиса с методом касательных Ферма. Пусть MN (рис. 5) есть бесконечно малая дуга кривой, МТ — касательная, MP и NQ — две перпендикулярные к оси АР ординаты и пусть NR\\AP, MR = a и NR = e. «Тогда a и e

Рис. 5.

1) Как показали новые исследования, взаимно обратный характер задач на касательные и задач на квадратуры был ясен по существу Торричелли и Дж. Грегори. См. об этом статью Э. Бортолотти в IV томе Opère Торричелли, сборник памяти Грегори под ред. Г. Тернболла, книгу Хр. Скриба, а также часть 2 «Истории математики» И. Э. Гофмана (см. Библиографию). В этих работах вообще дана значительно более полная оценка достижений Торричелли и Грегори, в большой мере основанная на изучении рукописного наследия. — Прим. ред.

будут связаны друг с другом уравнением; при этом следует отбросить все члены, содержащие степени а и е выше первой или же их произведения. После установления уравнения «откидывают», руководствуясь уравнением кривой, члены, не содержащие а и е. Если заменить теперь а через МР = т и е через TP = t, то получается уравнение, определяющее подкасательную /», к установлению которой стремился еще Ферма. Цитированное правило показывает, что Барроу полагал отношение бесконечно малых величин — равным отношению конечных величин -^р- = —, как поступал и Ньютон, метод которого прямо вытекал из приема Барроу.

Барроу занимался и так называемой обратной задачей о касательных. Под этим именем тогда понимали задачу об определении кривой или, по крайней мере, ее свойств на основании известных свойств касательных к кривой. Мы бы сказали, что речь шла об интегрировании дифференциального уравнения первого порядка. К проблемам этого рода относились данное приближенно еще П. Нуньесом (1546) представление шаровой локсодромы и определение логарифмической спирали, приведенное Декартом в одном письме к Мерсенну от 1638. Однако систематически начали заниматься проблемами этого рода только после того, как на них обратил внимание Дебон, известный своими «Краткими замечаниями» к изданию «Геометрии» Декарта 1649. В одном недошедшем до нас письме Дебона от 1638, пересланном Мерсенном Декарту, ставилась задача об определении кривой, для которой отношение ординаты к подкасательной равно отношению некоторого данного отрезка к разности ординаты и абсциссы. В своем ответе от 20 февраля 1639 Декарт тотчас признал важность подобных задач, но указал, что общее решение их с помощью данных им или Ферма правил для касательных он считает невозможным.

Барроу первый попытался принципиально свести обратную задачу о касательных к квадратуре. Начальный шаг к этому заключался уже в открытии им взаимно обратного характера проблемы определения касательной и проблемы квадратур. В самом деле, квадратура непосредственно позволяла определить кривую, для которой отношение ординаты к подкасательной зависит только от абсциссы, ибо тогда JL — É!L==f(x). Подобный пример встречается также в работе Дж. Грегори «Общая часть геометрии» (Geometriae pars universalis, 1668). Сведение вопроса к квадратурам удалось Барроу и в ряде более трудных случаев. В этом ему помог

открытый им и изложенный в одном приложении к «Лекциям» геометрический прием, заменявший наше разделение переменных. Новым было и сознательное применение Барроу правил, встречающихся при определении касательных (т. е. дифференцировании), к преобразованиям квадратур. Зная, что d sin (p = cos ср Лр, он получал в наших обозначениях формулу

Открытия Барроу заключали цепь предварительных работ, предшествовавших открытию исчисления бесконечно малых1). Содержавшееся в его работах возобновление и развитие механических идей Галилея и Торричелли, его сопоставление взаимно обратных инфинитезимальных задач, несомненно, оказали столь же направляющее влияние на Ньютона, как метод неделимых Кавальери и вычисления с бесконечно малыми величинами Паскаля на Лейбница. Но все еще недоставало систематического применения отношений двух исчезающих величин, ясной точки зрения на понятие функции и прежде всего особого вычислительного алгорифма, который мог бы, при подходящем определении его формальных операций, оттеснить на задний план лишнюю работу мысли, ранее необходимую при отдельных инфинитезимальных исследованиях. Введение всего этого в математику выпало на долю двух великих умов, деятельностью которых мы займемся в следующей главе.

1) В 1672 году Валлис опубликовал в VII т. Phil. Trans, еще один метод касательных, который, однако, явно примыкал к известным ранее.

ГЛАВА ШЕСТАЯ

ОТКРЫТИЕ И ПЕРВОНАЧАЛЬНОЕ РАЗВИТИЕ ИСЧИСЛЕНИЯ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ

§ 1. Метод флюксий Ньютона и введение рядов

Мы видели, что хотя Григорий из Сен-Винцента и Ферма заметили связь между площадью гиперболы и логарифмами, но они не могли сказать, что, как пишем мы, = in —.

Объяснялось это тем, что логарифмы представляли собой для них нечто совершенно новое. Они скорее склонны были рассматривать площадь гиперболы как геометрическую иллюстрацию понятия логарифма, чем, наоборот, определять ее через логарифм. Поэтому о квадратуре гиперболы можно говорить лишь с того времени, когда гольштинец Ник. Меркатор (первоначальная фамилия которого была Кауфман) в написанной и напечатанной в Лондоне «Логарифмотехнике») (Logarithmotechnia, 1668) пришел к мысли взять уравнение гиперболы в виде у = , . и путем простого деления разложить эту дробь в бесконечный ряд 1— х + х2—х3+... Благодаря этому, путем, как говорим мы, почленного интегрирования ряда была получена квадратура гиперболы в форме

Вместе с тем был найден ряд для ln(l-f-x) —первый бесконечный степенной ряд после геометрической прогрессии. Смелым здесь было не только применение бесконечного ряда при интегрировании, но и выполнение непрекращающегося де-

ления, хотя в одном случае такое деление употребил еще в 1657 в «Универсальной математике» Валлис1).

Впрочем, сам Меркатор не написал в «Логарифмотехнике» общий ряд, а привел только ряды для x = 0,l и л: = 0,21 и ряд

для частного значения # = 0,1. Но способ, которым он все это вывел, мог быть применен к любому 0<х<1. В том же 1668 лорд Броункер на основании геометрических соображений дал в Phil. Trans, квадратуру площади равносторонней гиперболы ху=1 от х=1 до х = 2 в виде ряда

(ln2=)Tl2 + 3i4 + 5ir+ •••

Он даже доказал, почти не сознавая значение этого, сходимость данного ряда и показал, как распространяется его способ на площади, лежащие между любыми рациональными абсциссами.

Слово «сходимость» часто употреблял незадолго до того Дж. Грегори в «Истинной квадратуре круга и гиперболы» (1667). В отзыве на «Логарифмотехнику», напечатанном в Phil. Trans, за 1668, Валлис впервые отметил, что логарифмический ряд можно непосредственно применять только при x^Cl. Затем он показал, что всякое число, большее единицы, можно представить в форме y^rj» где а: < 1, так что ряд Меркатора вновь оказывается применимым2).

Столь важным разложением функций в бесконечные ряды несколько ранее занимался также Ньютон. Он так искусно приложил при этом свой метод к решению геометриче-

1) Точнее говоря, Валлис только показал, что при произвольно большом t

Он не делил Л на 1 — R.

2) О бесконечных рядах у П. Менголи («Новые арифметические квадратуры» — Novae quadraturae arithmeticae, Болонья, 1650), в частности, о доказательстве расходимости ряда —I—3—I—4—I—g—h" •••• см. статью Г. Энестрема, Bibl. math. (3), 12, 1911/12, стр. 135—145. В книге «Видовая геометрия» (Geometria speciosa, Болонья, 1659) Менголи уже ввел в особой форме логарифмические ряды. Ср. G. Vacca, Rend. Асе. Line. (fis. mat.) 24, ser. 5a, 1916, стр. 617—620.

ских вопросов, что с ним, безусловно, необходимо связывать принципиальное введение в математику бесконечных рядов. Однако об этих ранних работах мы узнаем лишь по двум письмам 1676 к секретарю Королевского общества Г. Ольденбургу, предназначавшимся для передачи Лейбницу1). В этих письмах рассказывалось об открытии биномиального ряда для любых показателей. К теореме о биноме Ньютона привели предложенный Декартом сокращенный способ обозначения степеней с помощью показателей и распространение его на дробные показатели, принадлежавшее самому Ньютону, а также «интерполяционный» метод Валлиса (см. стр. 118)2). Впервые опубликован был биномиальный ряд в «Алгебре» Валлиса (1685) в виде

Появившийся в том же году «Метод определения ... квадратур фигур» (Methodus figurarum... quadraturas determinandi) упонимавшегося уже Дж. Крега (стр. 104) также содержал частные случаи бинома для показателей ^ и Т' но выведены они были там с помощью формул для извлечения корней.

Во втором из писем Ньютон говорит о сочинении, начатом им еще до появления чумы в Кембридже в 1665/66 и в 1669 попавшем через его учителя Барроу к Дж. Коллинсу3), а через последнего — лорду Броункеру, первому президенту Королевского общества. Это был трактат «Об анализе с помощью уравнений с бесконечным числом членов» (De analysi per aequationes numéro terminorum infinitas), опубликованный только в 1711.

Главной целью названной работы было показать, как можно производить квадратуры общим способом, разлагая для этого y=f(x) в степенной ряд и применяя к последнему из-

1) Лондонское Королевское общество (Royal society) было официально основано в 1662. Возникло оно, подобно французской Академии, из частного кружка ученых, начавшего работу в 1645.

2) Общую теорему о биноме независимо от Ньютона и примерно в одно время с ним открыл Дж. Грегори (ср. примечание на стр. 123).— Прим. ред.

3) Значение Коллинса в истории математики определяется покровительством, которое он оказывал издателям старых и новых сочинений, и его обширной научной перепиской.

вестный прием интегрирования. Для получения рядов Ньютон пользовался разными приемами: делением, как Меркатор, извлечением корней, теоремой о биноме (в случае целых положительных показателей) и приближенным представлением корней уравнений, коэффициенты которых суть рациональные функции одного переменного. В скрытом виде здесь заключалось понятие функции, не получившее, впрочем, у Ньютона явной формулировки. Во втором письме к Ольденбургу Ньютон высказал также мысль, что если подставляемый вместо функции бесконечный ряд недостаточно прост, то кривую можно заменить параболой высшего порядка, проходящей через произвольное число точек данной кривой (ср. стр. 119). Он писал там же, что располагает общим и удобным решением этой проблемы. Однако впервые две такие формулы, ныне называемые «интерполяционными», он привел в «Математических началах натуральной философии» (1687), а формулу, специально носящую его имя, доказал в «Методе разностей», опубликованном в 1711 (ср. главу IX). Примененный для решения уравнений метод неопределенных коэффициентов Ньютон использовал затем для обращения рядов и таким путем получил впервые целый ряд бесконечных рядов для простых трансцендентных функций. Так, обращая логарифмический ряд, он открыл ряд для ех\ с помощью теоремы о биноме и интегрирования нашел ряд для aresin х, обращение которого дало ему ряд для sin х\ в свою очередь отсюда, путем извлечения корня, он вывел ряд для cos х и т. д. Можно заметить также, что Ньютон ясно чувствовал потребность в исследовании сходимости рядов, хотя ему и не удалось установить ее общие условия.

Когда в 1670 Коллинс сообщил Дж. Грегори о некоторых результатах Ньютона, последний принялся выяснять способ их вывода. После множества тщетных усилий ему удалось в следующем году найти ряд для arctg ху с которым он ознакомил Коллинса в феврале 16711).

1) Латинский перевод этого письма был опубликован в «Переписке» (Commercium epistolicum, 1712).

(Помимо арктангенса Грегори разложил в степенные ряды и другие функции, например, sec*, lntg*, Insect, In \ __x- Что касается ряда для arctg je, то он впервые был получен индийскими математиками XV в., которые применили его к вычислению я. В частности, в Индии был известен так называемый ряд Лейбница для у и некоторые ряды, получающиеся из него с помощью тех или иных преобразований и сходящиеся быстрее. См. J. Е. Hоfmаnn, Über eine altindische Berechnung von rt und ihre allgemeine Bedeutung. Mathematisch-physikalische Semesterberichte, III, 3/4, 1953 и книгу А. П. Юшкевича, указанную в Библиографии. — Прим. ред.)

Ньютон умел применять свой метод не только к вычислению площадей. Он уже понимал, что спрямление линий, кубатуры и определение центров тяжести по существу не отличаются от проблемы квадрирования площадей, а, напротив, все они вытекают из одного общего метода, которым он, следовательно, уже обладал, когда писал трактат «Об анализе с помощью уравнений». Из различных мест этого сочинения непосредственно следует, что уже в самую раннюю пору своей научной деятельности Ньютон вполне ясно представлял себе связь между «флюксией» (производной) и «флюентой» (интегралом), хотя и не употреблял еще тогда приведенных терминов. Рукописи Ньютона, ставшие известными только позднее, показывают, что уже в 1665 или в 1666 он ввел свое обозначение флюксий посредством пунктирования букв (~-jjr = x, где t — время), хотя избегал еще пользоваться такой символикой в «Анализе с помощью уравнений».

Таким образом, судя по всем данным, открытие нового исчисления, «метода флюксий», пришлось на 1665. В первой же своей работе Ньютон применил его в ряде пунктов. Так, например, он использовал его при спрямлении окружности и при доказательстве основной теоремы, что если ордината кривой есть у=ахп, то площадь ее (area) будет ш^_п x =z. Для доказательства этого он, обратно, из площади г вывел дифференцированием ординату у.

В 1670/71 Ньютон изложил свои открытия по новому исчислению бесконечно малых в обширном труде «Метод флюксий и бесконечных рядов» (Methodus fluxionum et serierum infinitarum). Однако эта книга не увидела света при жизни автора. Она впервые вышла в английском переводе под названием The method of fluxions and infinite series в 1736, т. е. девять лет спустя после кончины Ньютона, когда ее появление представляло уже незначительный интерес. В этом сочинении обе задачи исчисления бесконечно малых были четко сформулированы в двух следующих предложениях:

I. «Длина проходимого пути постоянно (т. е. в каждый момент времени) дана; требуется найти скорость движения в предложенное время». Если обозначить путь через z, а время через t, то, выражаясь на нашем языке, требуется по г= =f(t) определить

II. «Скорость движения постоянно дана; требуется найти длину пройденного в предложенное время пути», т. е., зная — — çp(t), вычислить <z = J (ç(t)dt1).

Вместо времени, которое служило Ньютону только для придания наглядности вводимым понятиям, берется произвольная переменная величина, так называемая «соотнесенная величина» («quantitas correlata»), «посредством равномерного роста или течения которой выражается и измеряется время». Бесконечно малые приращения времени или соотнесенной величины (dt) Ньютон обозначает буквой о, отличной, впрочем, от нуля2). «Постепенно и неопределенно возрастающие величины называются флюентами (z), их бесконечно малые приращения (dz) суть моменты3), между тем как их скорости (-^г) суть флюксии, «с которыми возрастают вследствие порождающего их движения флюенты». Обозначается флюксия знаком z, а наш dz = --jj • dt, который записывается в форме £-о, выводится из пропорции (момент z) : о = z : 1.

Ньютон отнюдь не определил точнее постоянно употребляемое им здесь понятие бесконечно малого. Из приводимых им доказательств следует лишь, что члены, содержащие множителем о, он рассматривал, по сравнению с конечными членами, как нули.

В качестве первой проблемы Ньютон ставил следующую: «по данному соотношению между флюентами определить соотношение между флюксиями». Для этого он образует выражение

f(x-\-X-0, y-f-y-O, Z-\-Z'0, ...)=0,

из которого удаляет члены, входящие в данное уравнение: f(x, у, z, . . .) = 0.

Затем производится деление на о и, наконец, отбрасываются все члены, в которых еще сохранился множитель о, ибо «их можно считать за ничто в сравнении с другими». В резуль-

1) Точнее говоря, как указывает далее Г. Вилейтнер, в проблеме I речь идет о дифференцировании любого уравнения, а в проблеме II об интегрировании дифференциального уравнения первого порядка. — Прим. ред.

2) Подобным же образом этой буквой пользовался Дж. Грегори в своей «Геометрии», 1668. Однако Ньютон употреблял ее еще в «Анализе с помощью уравнений». Поэтому совпадение, должно быть, является случайным и основывается на сходстве о и 0.

3) Это выражение употреблялось в том же самом смысле и в «Анализе с помощью уравнений».

тате искомое уравнение получается в виде

F(x, у, г, i, у, z, .. .) = 0.

Когда в

f(x, у, z, .. .) = 0

встречаются радикалы или же дроби, Ньютон вводит вспомогательные флюенты, получая с их помощью новые целые рациональные уравнения: это было эквивалентно применению правила дифференцирования сложной функции

dy _ dy dz

dx dz dx

Вторая важнейшая проблема исчисления флюксий такова: по уравнению, существующему между флюксиями величин, Mx + Ny = 0, где M и N суть целые рациональные функции X и у, определить соотношение между флюентами. Так как эта проблема не может быть решена общим образом (в известных функциях или квадратурах), то в случае нужды Ньютон вновь обращается к методу разложения в бесконечные ряды, прилагая его к дроби, выражающей отношение флюксий -г-. Все получаемые им решения дифференциальных уравнений являются частными, так как он никогда не присоединяет к ним произвольную постоянную1). Относительно уравнений с несколькими переменными и их флюксиями Ньютон совершенно справедливо заметил и показал на примерах, что при их интегрировании следует вводить еще произвольные функции.

Решения обеих главных задач были применены затем к определению максимумов и минимумов, которые имеют место, когда скорость движения, т. е. флюксия, равна нулю, к проведению касательных, к отысканию центра кривизны и радиуса кривизны кривой и, наконец, к квадратурам площадей и спрямлениям дуг как в конечном виде, так и с помощью бесконечных рядов.

Для решения проблемы касательной Ньютон привел девять различных способов. Все они, однако, базировались на той идее, что отношение моментов обеих определяющих точку координат находится с помощью подобия из отношения двух соответствующих конечных величин фигуры. Различие методов заключается только в выборе различных систем координат. В частности, при рассмотрении спиралей находят применение полярные координаты. Круг кривизны в точке

1) На самом деле, в некоторых случаях Ньютон вводил произвольную постоянную в решения дифференциальных уравнений. — Прим. ред.

кривой Ньютон определил из условия, что он должен проходить через три последовательные точки кривой. При этом он получил общую формулу радиуса кривизны, совпадающую с нашей современной не только по существу, но почти точно даже по внешности. Впрочем, весьма сомнительно, что этот его вывод и еще более приводимые им здесь примеры, среди которых фигурировала циклоида, ее эволюта и циклоидальный маятник, были им найдены уже в 1670/71. Скорее всего, эти вещи были включены в «Метод флюксий» лишь при позднейшей частичной его переработке, после того как Ньютон познакомился с циклоидальным маятником у Гюйгенса, т. е. лишь по выходе гюйгенсовых «Маятниковых часов» (Horologium oscillatorium, 1673). Наконец, исследование радиуса кривизны привело Ньютона к рассмотрению точек перегиба, в которых радиус кривизны бесконечен; Ньютон их называл «точками прямизны» («puncta réctitudinis»)1).

Для облегчения интеграции Ньютон присоединил к своей работе некоторые таблицы, в которых собрал значения интегралов или, как выражался он сам, квадратуры ряда иррациональных функций, содержащих радикалы

Уе + № и Уе + fz^ + gz2*.

Однако он не подошел здесь к рассмотренным им частным случаям с общей точки зрения. Такой подход к интегрированию так называемых биномиальных дифференциалов мы встречаем впервые в известном уже письме от 24 октября 1676, где Ньютон утверждал, что f z° (е-\-fzrf dz принимает конечную и притом алгебраическую форму, если —*— или 6 -4- 1 --h h суть целые положительные числа. Это, насколько он может судить, единственные случаи такого рода. Тем самым Ньютон действительно установил два главных случая конечной интегрируемости биномиальных дифференциалов2).

1) Точки прямизны не обязательно бывают точками перегиба, как это отмечал сам Ньютон. Если у"=0, у"'=\=0, получается точка перегиба; если f/"=*/"'=0, #(JV)4=0, точка прямизны не является точкой перегиба. Условий, соответствующих различным случаям, Ньютон не указал. — Прим. ред.

2) Все случаи интегрируемости дифференциального бинома в элементарных функциях были полностью установлены Хр. Гольдбахом и Л. Эйлером в их письмах 1729—1730 (см. книгу L. Eu1er und Chr. Goldbach, Briefwechsel в Библиографии). Доказательство единственности этих случаев (при рациональных показателях), из которого вытекает необходимость условия Ньютона для алгебраической интегрируемости, дал П. Л. Чебышев (Journal de Liouville, XVIII, 1853). — Прим. ред.

Между прочим, отсюда можно сделать вывод, что таблицы интегралов, о которых только что шла речь, были составлены не позднее 1676. Ньютон вообще уже весьма рано занялся поисками общих критериев, позволяющих установить, является ли интеграл алгебраического выражения в свою очередь алгебраическим, или же показывающих, к каким простейшим интегралам он может быть приведен. При этом он встретился с трехчленными интегралами, т. е. интегралами, содержащими иррациональность

Z=Ye + f**-\-gz24 в одной из двух форм:

Г Г ,(я + 1)т1-1

I z'^-lZdz или J -^-dz.

Эти интегралы Ньютон и в «Методе флюксий», и в упомянутом письме представлял геометрически с помощью площадей, ограниченных осью абсцисс, двумя ординатами и дугой конического сечения. Другими словами, он заменял трансцендентную часть таких интегралов, представляющую собой логарифмические или же обратные круговые функции, через эти площади, аналитическое определение которых им было дано уже ранее с помощью бесконечных рядов. Необходимые приведения Ньютон осуществил с помощью рационализации и рекуррентных формул, полученных им посредством дифференцирования.

Еще в 1676 в письмах, предназначавшихся для Лейбница, Ньютон продолжал держать свой метод флюксий в тайне. Основной принцип его он сформулировал во втором письме, в совершенно не поддающейся расшифровке анаграмме. Лишь через три года после того как Лейбниц в 1684 опубликовал свою важную работу по дифференциальному исчислению, Ньютон впервые указал в печати на свой метод. В 1687 в бессмертных и прославивших его имя «Математических началах натуральной философии» он сделал в одиннадцати леммах, предпосланных без доказательства первой книге сочинения, несколько более понятные замечания о применении понятия предела в исчислениях с бесконечно малыми, а также о своем методе, причем совершенно случайно употребил слово «флюксия», тем самым впервые получившее гласность. После того, по просьбе Валлиса, Ньютон отправил ему в августе и сентябре 1692 два посвященных этому вопросу письма, извлечения из которых Валлис, чтобы не пропало их содержание, напечатал в 1693 при издании своих Opera. Благодаря этому исчисление флюксий впервые было изложено общепонятным образом. Сам Ньютон опубликовал изло-

жение своего метода лишь в 1704 во втором приложении1) к своей работе «Оптика, или рассуждение об отражениях, преломлениях и т. д.» (Opticks: or a treatise of the reflections, refractions etc.), носившем заглавие «Рассуждение о квадратуре кривых» (Tractatus de quadratura curvarum). Согласно указанию Ньютона в письме к Дж. Кейлю от 15 мая 1714 и это сочинение было составлено уже весьма давно; в самом деле, приводившиеся в нем методы были те же, что в более ранних работах. Напротив, введение в «Рассуждении о квадратуре кривых» было, несомненно, новым, ибо в нем Ньютон дал иное изложение принципов исчисления флюксий, в котором, вопреки прежним своим взглядам, полностью отверг вычисления с бесконечно малыми. Он подчеркивал, что рассматривает математические величины не как состоящие из мельчайших частиц, а как описываемые непрерывным движением. Скорости таких движений, флюксии, находятся почти в том же отношении, что и приращения флюент, произведенные в равные и мельчайшие частицы времени, или же находятся в первом отношении только лишь возникающих приращений. Однако, говорит Ньютон, флюксии можно представлять любыми пропорциональными им линиями. Наконец, дело сведется к тому же, если рассматривать флюксии, как находящиеся в последнем отношении исчезающих частиц величин.

Эти замечания были, очевидно, направлены против исчисления бесконечно малых Лейбница. Тем временем между обоими великими учеными успел разгореться ожесточенный спор о первенстве открытия; Ньютон желал противопоставить и уточнить свои взгляды на основы анализа, расходившиеся с воззрениями Лейбница. В «Рассуждении о квадратуре кривых», как, впрочем, еще в письмах к Валлису, Ньютон распространил свой способ обозначения флюксий на флюксии высших порядков X, X, X и т. д. (наши -372-. -щ-> d4x \ ^г*, ...I, кроме того, он предложил особый символ интеграла, записывая х вместо j х dz, х вместо j х dz и т. п. Последнее было сделано с явной целью не отстать от Лейбница, изобретшего знак интеграла еще в 1675 и опубликовавшего его в 1686 (см. ниже стр. 138). Обозначение Ньютона не укоренилось, однако, в математике, так же как и знак fi(x), предложенный для интеграла j f(x)dx Лагранжем в его «Теории аналитических функций» (1797, см. стр. 150—151).

1) Первым приложением являлось «Перечисление кривых третьего порядка», с которым мы познакомимся в следующей части.

Мы вынуждены отказаться от ближайшего разбора ньютоновых «Начал». Главные результаты их относились к динамике и, в частности, к установлению согласия законов Кеплера с движением планет по открытому Ньютоном закону всемирного тяготения, к определению притяжения шара, плотность которого изменяется лишь концентрическими слоями, и к движению в сопротивляющейся среде. Мы еще вернемся в соответствующем месте к дифференциальным уравнениям, возникающим в последней задаче. Несомненно, что при выводе своих основоположных механических теорем Ньютон применил метод флюксий или, лучше сказать, как раз в связи с этим его разработал. Однако при изложении небесной механики он им не воспользовался. На это имелись две причины. Во-первых, Ньютону пришлось бы разъяснять читателю не только метод флюксий, но и его приложение к механике, а кроме того, он, конечно, с полным правом сомневался в том, что законы, основанные на новом исчислении, окажут такое же влияние, как если он выведет их на старой геометрической основе.

§ 2. Открытия Лейбница в области бесконечных рядов и его исчисление бесконечно малых

Как математик Лейбниц был полностью самоучкой. Он сам рассказывал, что еще в 1673, когда в возрасте 27 лет впервые предпринял поездку в Англию, он располагал весьма скудными математическими знаниями.

Особенно сильной в математическом даровании Лейбница была формальная сторона. В соответствии с этим исходным пунктом его занятий оказались исследования по комбинаторике, опубликованные им еще в 1666 (см. стр. 98). После этого Лейбниц обратился к суммированию конечных арифметических рядов, суммированию, различные методы которого он самостоятельно открыл, исходя из некоторых тождеств, даже не подозревая, что в этом не было ничего нового. Однако он тотчас же сделал значительный шаг вперед, поставив, наряду с арифметическим треугольником Паскаля, гармонический треугольник, из величин, обратных биномиальным коэффициентам, и произведя с помощью его свойств суммирование некоторых бесконечных гармонических рядов.

Познакомившись затем в Англии с «Логарифмотехникой» Меркатора, он попытался применить меркаторов способ деления к разложению в ряд иррационального выражения, встречающегося при квадратуре круга. С этой целью он преобразовал интеграл J|/2/\x:— x2dx в интеграл рациональ-

ной дроби 8г5 J (rf_^*2y ; кроме того, он привел получающиеся по тому же способу ряды для площадей секторов круга, эллипса и гиперболы. Отсюда, в частности, получался известный ряд для , который он нашел уже в 1674, несколько позднее, впрочем, чем Дж. Грегори (см. стр. 129). Все изложенное содержалось в одном письме Лейбница к Ольденбургу от 1676. Опубликованы эти ряды были только в 1682 в статье «Об истинном отношении круга к описанному квадрату и т. д.» (De vera proportione circuli ad quadratum circumscriptum etc., Acta Erud.)1), которая показывает также, что Лейбницу был тогда уже известен его критерий сходимости знакочередующихся рядов. Этот критерий точнее исследован был много позднее в письмах Лейбница к Герману от 1705 и к Иоганну Бернулли от 1714. В том же письме к Ольденбургу (1676) Лейбниц привел, кроме ряда для -т, ряды для е~х и ех, для sinvers х (т. е. 1 —cosx), sin;!: и cos х, не снабдив их здесь, правда, выводами. По одной рукописи, найденной впоследствии, можно установить, что Лейбниц получил эти ряды методом неопределенных коэффициентов, который довел до сведения читателей в Acta Erud. за 1693. В рассматриваемое время Лейбниц уже обладал дифференциальным исчислением, к открытию которого мы скоро обратимся, и поэтому ему было нетрудно по дифференциальным свойствам соответствующих функций определить их с помощью бесконечных рядов. При этом Лейбниц дал первый пример интегрирования дифференциальных уравнений посредством бесконечных рядов.

В своем открытии исчисления бесконечно малых Лейбниц отправлялся не от квадратуры кривых, как Ньютон, а от проблемы касательных. В 1673 Гюйгенс преподнес Лейбницу экземпляр только что вышедших тогда «Маятниковых часов». Чтобы понять эту книгу, Лейбниц занялся изучением Декарта, Паскаля, Григория Сен-Винцента и др.

Изучение работ Паскаля, а также собственные прежние исследования конечных рядов разностей привели Лейбница к идее о «характеристическом треугольнике», катетами которого являлись разность ординат и разность абсцисс двух соседних точек кривой, а гипотенузой — бесконечно малый отрезок касательной или дуги кривой, рассматривавшейся им при этом как многоугольник с бесконечным числом сторон (см. стр. 123). Вопрос о построении касательной приводится

1) В Acta Erud., 1684 и 1691, Лейбниц опубликовал статьи, дополнявшие эту работу.

тогда к определению ординат по известным их разностям. В это же время Лейбниц открыл зависимость между прямой и обратной задачами о касательных, а год спустя пришел к убеждению, что «из обратного метода касательных следует квадратура всех фигур». В заметке от 29 октября 1675 был сделан первый шаг к созданию нового алгорифма. В сохранившейся в литературном наследии Лейбница и точно датированной указанным числом записи он уже перестает, как поступал вслед за Валлисом («Механика», Лондон, 1670) ранее, обозначать сумму бесконечно малых величин с помощью предшествующего им слова «Omnia» (все). Вместо Omn. / он пишет / /, а операцию, противоположную суммированию, обозначает, подписывая ниже строки под переменной букву d. Наконец, 11 ноября 1675 в одной неопубликованной тогда работе Лейбниц написал dx вместо -j и приложил свое новое исчисление к примерам на обратную задачу о касательных. Тогда же появляются записи вроде / ydy и т. п. Знак интеграла был впервые опубликован в Acta Erud., 1686, в статье «О глубокой геометрии и т. д.» (De Geometria recondita etc.).

12 мая следующего (1676) года, т. е. когда основы нового алгорифма Лейбница были уже заложены, он письменно обратился к Ольденбургу с просьбой известить его о методах, применявшихся англичанами, так как он узнал, что Коллинс располагает сообщенными ему (Коллинсу) Ньютоном рядами для arc sin х и sin х. Полученные Лейбницем через посредство Ольденбурга письма Ньютона (два наиболее важных от июня и октября 1676 нам уже известны) ничего не могли рассказать ему о новом методе великого британца, боязливо скрывшего в них свое исчисление флюксий от соперника. Таким образом, самостоятельность открытия Лейбница, глубоко отличавшегося по характеру от изобретения Ньютона, совершенно несомненна. На столь сдержанное второе письмо Ньютона Лейбниц ответил ясным и полным изложением решения проблемы касательных посредством дифференциального исчисления. При этом он сообщил правила дифференцирования произведения в форме

dxy П ydx-\-xdy

и степени, а также способ образования отношения дифференциалов в случае неявной рациональной или иррациональной функции двух переменных. Лейбниц отметил также возможность квадратуры всякой фигуры, которая может быть приведена к «дифференциальному уравнению». Этот термин, впервые здесь появившийся, обозначал, по определению.

уравнение, которое выражает значение dx и которое является «производным» (derivata) от другого уравнения, представляющего значение х. Выражаясь современным языком, Лейбниц утверждал, что кривая x=f(y) является квадрируемой, если известно, что

Свой метод Лейбниц опубликовал только в 1684, после того как В. Э. Чирнгауз, работавший вместе с ним в Париже, выдал в Acta Erud. за 1683 ряд мыслей Лейбница за свои собственные. В майском выпуске этого журнала за 1684 вышла статья Лейбница «Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для которого не служат препятствием ни дробные, ни иррациональные величины, и особый для этого род исчисления» (Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus). В этой работе Лейбниц привел простейшие правила дифференцирования и назвал свой алгорифм дифференциальным исчислением. Его особым преимуществом, по сравнению с прежними методами, Лейбниц считал то, что он может применяться к дробным и иррациональным выражениям так же, как и к целым. Здесь же было впервые установлено различие между максимумом и минимумом кривой и дан правильный признак точки перегиба, способы определения которой нашли еще де-Слюз и Ферма (см. стр. 120—121). Нельзя не признать, однако, что в «Новом методе» Лейбниц еще воздержался от точного изложения своей основной мысли, а также намеренно обошел молчанием интегральное исчисление, которым владел уже давно.

За этой основоположной статьей в Acta Erud. последовал ряд других работ Лейбница, в которых он рассмотрел круг кривизны, причем обратил внимание на «соприкасания» высших порядков («Новое размышление о природе угла касания» — Meditatio nova de natura anguli contactus, 1686), ввел знак интеграла и характеристический треугольник, установил различие между алгебраическими и трансцендентными кривыми и показал, что его исчисление применимо также к последним [«О глубокой геометрии и т. д.» (1686)]. В 1692 Лейбниц показал, как возникает огибающая семейства кривых и разъяснил, как находить огибающую посредством дифференцирования по переменному «параметру» («О линии, образующейся из бесконечного числа проведенных в определенном порядке и пересекающихся между собой линий и т. д.» — De linea ex lineis numéro infinitis ordinatim ductis

inter se concurrentibus formata etc.), а в 1694 в связи с одной обратной задачей на касательные привел пример огибающей («Новое приложение дифференциального исчисления ит. д.» —Nova calculi differentïalis applicatio etc.). В 1697 он использовал этот прием, названный им «дифференцированием кривой в кривую» (differentiatio de curva in curvam), для решения поставленной Иоганном Бернулли задачи о брахистохроне. Далее Лейбниц вывел дифференциал показательной функции и решил с помощью своего нового исчисления целый ряд актуальных задач математики и механики. В 1693 он опубликовал упомянутые выше первые образцы интегрирования дифференциальных уравнений с помощью бесконечных рядов и в связи с этим пришел к рассмотрению d2y : dx2. В одном письме к Лопиталю от конца 1694 встречается и частное дифференцирование; для -^г Лейбниц пользовался знаком ôm, а для -Щ- — знаком Ьт.

Высшими дифференциалами Лейбниц специально занялся в 1695 в связи с защитой своего исчисления от напавшего на его основания голландца Б. Ньювентиита. Критике нового анализа Ньювентиит уделил две специальные работы, в которых, однако, ни в коей мере не сумел сам помочь его усовершенствованию. В том же году Лейбниц заметил сходство в образовании выражений для dn (xyz...) и для (х + у + -f-2+...)n, (опублик. в Misc. Berol., 1710). Он увидел также, что подобную символику можно распространить на интегралы любого порядка и тем дал повод для установления единой точки зрения на процессы дифференцирования и интегрирования (см. стр. 222). Эту мысль развили дальше Эйлер в Comm. Acad. Petrop., 1730/31 (1738) и Лагранж в сочинении, изданном под названием «Письмо к графу Дж. К. да-Фаньяно» (Lettera al conte G. С. da Fagnano, Турин, 1754) и затем в Nouv. Mém. Ac. Berl., 1772 (1774).

В 1702/03 Лейбниц, несколько опередив Иоганна Бернулли [см. его статью от 1702 в Mém. Ac. Paris, 1702 (1704)], проинтегрировал в круговых и логарифмических функциях рациональные дроби посредством их разложения на элементарные дроби («Новый пример анализа и т. д.» — Specimen novum analyseos etc., Acta Erud., 1702, продолжение там же, 1703). Он не остановился даже перед встречающимися при этом мнимыми корнями, хотя и признавал, что здесь еще господствует глубокая тайна. Однако разложение выражений вроде дс4 + а4 еще представляло для Лейбница, по крайней мере вначале, трудности, которые были окончательно преодолены только в «Гармонии мер» (1722) Р. Котеса, друга и

ученика Ньютона (см. стр. 48). В эти же годы Лейбниц был принужден вновь ответить на ряд нападений на основания его исчисления бесконечно малых. В 1696 выступил с ответным сочинением Ньювентиит. Другим противником, не проявившим особенно глубокого понимания дела, явился М. Ролль. Это побудило Лейбница дать более точное разъяснение своих идей, которое вышло в Journal des Sçavans за 1702 под названием «Оправдание исчисления бесконечно малых и т. д.» (Justification du calcul des infinitésimales etc.).

Эти мысли Лейбница можно передать примерно следующим образом. После того как он постепенно составил ясное представление о функциональной зависимости двух переменных величин, он поставил во главу своего исчисления бесконечно малых «принцип непрерывности». Согласно названному принципу равенство следует понимать как частный (предельный) случай неравенства. Разность двух становящихся равными величин не есть уже ничто, а находится в состоянии исчезновения. И круг, говорит Лейбниц, не есть правильный многоугольник, но только заканчивает собой правильные многоугольники с бесконечным числом сторон. На одном геометрическом примере Лейбниц показывает, как две исчезающие величины могут иметь конечное отношение, так что, несмотря на их обоюдное исчезновение, между ними сохраняется различие в величине. При введении высших дифференциалов он замечает, что и в пределах какого-либо рода величин существует бесчисленно много различных порядков величин, причем отношение величины некоторого порядка к величине непосредственно предшествующего или последующего порядка может выражаться только нулем или же бесконечностью, между тем как отношение величин одного и того же порядка может принимать любые числовые значения. Из этой основной идеи исчисления Лейбница, в силу его «нового закона однородности», следует, что во всяком уравнении, содержащем члены различных порядков малости, должны быть отброшены все члены, которые нарушили бы однородность не только родов величин, но также их порядков; сохраняться должны только члены низшего порядка малости

ГЛАВА СЕДЬМАЯ

СИСТЕМАТИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ИСЧИСЛЕНИЯ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ И ПЕРИОД ФОРМАЛЬНОГО РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ РЯДОВ

§ 1. Современники и ближайшие последователи Лейбница и Ньютона

Основоположная статья Лейбница по дифференциальному исчислению, опубликованная в 1684, была столь сжатой и темной, а, кроме того, еще искаженной опечатками, что вряд ли могла немедленно возбудить живой интерес к новому методу со стороны современных математиков. Правда, уже в 1685 Дж. Крег в упоминавшейся ранее книге «Метод определения... квадратур фигур» (стр. 128) бегло коснулся метода Лейбница и даже употребил при этом знак дифференциала d. Но сколько-нибудь глубоко в его сущность он не проник. Лопиталь принялся за изучение новой теории только в 1688. Несколько ранее, в 1687, Яков Бернулли отправил Лейбницу письмо, в котором просил дать ближайшие разъяснения его метода, но письмо дошло до адресата только в 1690. Голландец Гюйгенс, сам прекрасно владевший исчислением бесконечно малых по методу древних и в своем сочинении о маятниковых часах (стр. 137) произведший ряд интеграций, познакомился с новым методом по прямому приглашению Лейбница также лишь в 1690. Старый Валлис еще ни разу не видел статьи Лейбница даже в 1696. Если, несмотря на это, новое исчисление вскоре проложило себе широкую дорогу, то причиной этого явилось убеждение в том, что оно таило в себе силы, отсутствовавшие в распоряжении старших математиков.

В девяностых годах XVII столетия убеждение это распространили, главным образом, братья Яков и Иоганн Бернулли, которые вслед за самим Лейбницем более всех других участвовали в создании исчисления бесконечно малых. Як. Бернулли постепенно самостоятельно овладел алгорифмом Лейбница. Это отняло у него от двух до трех лет, и лишь

в мае 1690 он напечатал в Acta Erud. статью, где применил метод дифференциалов к поставленной Лейбницем задаче об изохроне. Отвечая в сентябре 1690 на письмо Як. Бернулли от 1687, Лейбниц мог уже поэтому высказать желание привлечь его в качестве сотрудника к своему делу. Як. Бернулли познакомил с дифференциальным исчислением своего брата Иоганна, бывшего моложе его на 13 лет. В упомянутой статье от 1690, в которой Як. Бернулли принял символ / и впервые ввел для него наименование «интеграл», а также в различных позднейших работах он выставил ряд важных проблем, решенных затем Лейбницем, Гюйгенсом, Иоганном Бернулли и другими. Эти проблемы дали важный материал для постройки нового исчисления. Особенно следует отметить среди них задачу о цепной линии, возникшую еще у Галилея (который в «Беседах», 1638, высказал предположение, что эта кривая представляет собой параболу) и подхваченную Як. Бернулли. Задача эта имеет особый исторический интерес. Дело в том, что Лейбниц и Иоганн Бернулли решили ее с помощью нового исчисления, Гюйгенс же, который никогда не сумел как следует освоиться с ним, исследовал ее старым методом. При этом они пришли к одинаковому результату, и, таким образом, задача о цепной линии явилась первым пробным камнем для испытания правильности и применимости нового исчисления. Впрочем, уравнение цепной линии тогда еще не было приведено. Все решения были напечатаны в Acta Erud., 1691.

Яков Бернулли занимался также свойствами логарифмической спирали, упругой линии, открыл носящую его имя лемнискату, определил посредством нового исчисления площадь сферического треугольника (Acta Erud., 1691), вычислил площади коноидальных и сфероидальных поверхностей, произвел многочисленные квадратуры и спрямления. Он дал прекрасное решение поставленной его братом задачи о кривой быстрейшего спуска, брахистохроне, в решении которой приняли участие также Лейбниц и Ньютон (см. главу IX). Якову Бернулли принадлежат большие заслуги и в области нового тогда учения о рядах. Пять больших диссертаций его, вышедших в Базеле в 1689—1704 под заголовком «Арифметические предложения о бесконечных рядах и их конечных суммах» (Propositiones arithmeticae de seriebus infinitis earumque summa finita), явились первым руководством по этому вопросу. В своем труде Бернулли привел два новых метода суммирования числовых рядов. Один из них заключался в том, что бесконечный ряд разлагался на бесконечную сумму рядов, которые Як. Бернулли умел суммировать; другой способ не выдерживает серьезной критики. Кроме того,

Як. Бернулли пользовался уже известными методами, которые связно изложил, подобно Ньютону, применительно к решению разнообразнейших задач. Благодаря расходимости некоторых употреблявшихся им рядов у него вкрались при этом и отдельные ошибки.

Второй брат, Иоганн Бернулли, приобрел еще большие заслуги в разработке исчисления бесконечно малых Лейбница, а именно, интегрального исчисления. Уже во время пребывания в Париже в 1691/92 он составил «Математические лекции о методе интегралов и иных вещах» (Lectiones mathematicae de methodo integralium aliisque), опубликованные, впрочем, лишь в 1742 при издании его «Сочинений». Эти лекции по своему характеру менее всего представляли собой методический курс. Из них видно, что Иоганн Бернулли уже тогда рассматривал интеграл как неопределенный, содержащий произвольную постоянную, определяя его как функцию, получающуюся из данного дифференциала при обращении действия дифференцирования; эту идею мы, впрочем, встретили уже у Ньютона. Лекции Бернулли свидетельствовали также о возможности применения нового метода к многочисленным геометрическим и механическим задачам.

Начиная с 1693, между Лейбницем и Иоганном Бернулли завязалась обширная переписка, содержавшая важнейшие сообщения о деятельности обоих ученых и имеющая поэтому большое значение для истории построения анализа. В 1694 Иоганн Бернулли привел в Acta Erud. способ построения некоторых дифференциальных уравнений первого порядка (см. стр. 182). Здесь же, под влиянием статьи Лейбница об интегрировании с помощью бесконечных рядов, Бернулли своеобразно вывел носящий его имя ряд

который приложил к интегрированию. Написанный ряд напоминает ряд Тейлора, в который, действительно, может быть переведен с помощью одного преобразования. Вслед за этим, опять-таки побуждаемый Лейбницем, Бернулли правильно вычислил дифференциал логарифма, который ранее в своих лекциях по интегральному исчислению он рассмотрел совершенно неверно. В статье в Acta Erud., 1697, направленной отчасти против Ньювентиита, Иог. Бернулли занялся простыми и интерированными показательными функциями.

В 1696 Иоганн Бернулли поставил упомянутую выше задачу о брахистохроне, явившуюся исходным пунктом откры-

тия вариационного исчисления, сделанного позднее Эйлером и Лагранжем (см. главу IX). В связи с решением этой задачи, данным Иоганном Бернулли, напряженные отношения, установившиеся уже несколько ранее между ним и братом Яковом, перешли в весьма некрасивую ссору. Споры братьев закончились только со смертью старшего, Якова, в 1705, и единственной полезной стороной их явилось лишь то, что в их процессе было поставлено несколько задач, существенно содействовавших прогрессу науки. Так, например, в Journal des Sçavans за 1697 Иоганн Бернулли выдвинул шесть проблем, важнейшей из которых была проблема о кратчайшей линии на выпуклой поверхности (см. главу IX). Плодотворное влияние на дифференциальное исчисление оказала задача о траекториях, поставленная также Иоганном Бернулли (в одном письме к Лейбницу от 1697). Первое (геометрическое) решение ее в случае ортогональных траекторий семейства логарифмических кривых дал в Acta Erud. за 1698 Як. Бернулли1). В том же году Иоганн Бернулли, воспользовавшись одним правилом, данным уже Лейбницем, привел задачу к дифференциальному уравнению первого порядка. Правило Лейбница было несколько более точно сформулировано потом Як. Германом (Acta Erud., 1717); согласно Герману в дифференциальном уравнении семейства данных кривых нужно заменить dx на dy, a dy на — dx, после чего из полученного таким образом дифференциального уравнения и конечного уравнения семейства следует исключить переменный параметр. Проблема тракторий привела к изучению дифференцирования под знаком интеграла и к исследованию уравнений с переменным параметром, названных Германом модулярными уравнениями. Последнее в свою очередь оказало значительное влияние на разработку вопроса об условиях интегрируемости обыкновенных дифференциальных уравнений у Эйлера и его современников.

Наряду с братьями Бернулли мы должны еще обратиться к попутно упоминавшемуся уже третьему ученому — Лопиталю, приобретшему значительные заслуги в популяризации идей Лейбница. Маркиз Г. Ф. де-Лопиталь овладел новым исчислением отчасти самостоятельно, отчасти с помощью Иог. Бернулли, сношения с которым в Париже (1692) оказали на него большое влияние. Лопиталь задумал написать книгу по дифференциальному исчислению, которая позволила

1) Детальный анализ работ Я. Бернулли по исчислению бесконечно малых, основанный также на изучении его рукописного наследия, дан в специальной монографии И. Э. Гофмана, указанной в Библиографии (стр. 486). — Прим. ред.

бы легче усвоить воззрения Лейбница. В результате в 1696 появился первый и на долгое время единственно употребительный учебник дифференциального исчисления «Анализ бесконечно малых для изучения кривых линий» (Analyse des Infiniment petits pour l'intlligence des lignes courbes), неоднократно переиздававшийся после смерти автора, переведенный на английский и латинский языки, и вызвавший несколько комментаторских работ. Причина широкого распространения этого труда заключалась, главным образом, в его легкости для чтения, а также в том, что он излагал все важнейшие вопросы, рассматривавшиеся ко времени его возникновения, с помощью нового исчисления. Из нового материала Лопиталь добавил только раскрытие «неопределенных выражений» по употребительному и ныне «правилу Лопиталя», которое, однако, как это определенно известно, было ему сообщено Иоганном Бернулли, и разбор точек возврата, к которым он присоединил острия «второго рода»1).

Упомянув важнейшие работы, способствовавшие в первое время после изобретения дифференциального и интегрального исчислений их развитию, мы должны коснуться еще неприятного спора о приоритете, разгоревшегося между Ньютоном и Лейбницем, а также их приверженцами. Но так как этот спор мало принес пользы самой науке, то мы будем весьма кратки.

Одаренный швейцарский математик Фатио де Дюилье, проживавший в Лондоне и бывший более англичанином, нежели швейцарцем, уже давно испытывал скрытую злобу к школе Лейбница. Чувства Дюилье прорвались наружу после того, как Лейбниц в 1697 не назвал его в числе людей, которые могли бы, по его мнению, решить задачу о брахистохроне. Для того чтобы отомстить, Дюилье опубликовал в 1699 сочинение «Исследование линии кратчайшего спуска и т. д.» (Lineae brevissimi descensus investigate etc.), в котором привел два решения названной задачи и, резко нападая на Лейбница, объявил себя самостоятельным изобретателем диффе-

1) Уже после выхода в свет первой части «Истории математики» Вилейтнера П. Шафхайтлин обнаружил в 1920 г. рукопись «Лекций по дифференциальному исчислению» (Lectiones de calculo differentialium) Иоганна Бернулли, написанных в Париже в 1691/92 (опублик. в Verhandl. Nat. Ges. Basel 34, 1923). Содержание этих лекций почти целиком было включено (в переработанном виде) в книгу Лопиталя. Об определяющей роли Иоганна Бернулли в создании этой книги можно судить по его обширной переписке с Лопиталем в первом томе Der Briefwechsel von Joh. Bernoulli (см. Библиографию). В этой переписке обсуждается и вопрос о точках возврата второго рода, причем здесь Бернулли опятьтаки выступает в роли учителя; ему же принадлежит и сам термин «точка возврата». — Прим. ред.

ренциального исчисления. Вместе с тем он отстаивал первенство в открытии нового исчисления за Ньютоном и намекал на то, что Лейбниц позаимствовал свои знания у Ньютона. За этим последовала блестяще написанная защитительная статья Лейбница в Acta Erud., 1700, где он в подтверждение самостоятельности своего открытия сослался на самого Ньютона, признавшего ее в поучении ко второму отделу 2-й книги своих «Начал» (1687). Так как Ньютон не отозвался на эту ссылку, а также и в одном другом случае не вымолвил ни слова в пользу Лейбница, то последний, очевидно, заключил, что нападки на него были одобрены Ньютоном. В связи с этим Лейбниц начал, с одной стороны, преуменьшать заслуги Ньютона, а с другой, — не упускал ни одного повода, чтобы не подчеркнуть резко свои права на изобретение нового «анализа бесконечно малых». Вслед за тем шотландец Дж. Кейль, бывший, как и Дюилье, членом Королевского общества, в Phil. Trans, за 1710 прямо обвинил Лейбница в плагиате у Ньютона. Лейбниц, тоже являвшийся членом этого ученого общества, обратился к последнему с жалобой. Для расследования дела Королевское общество назначило в январе 1712 комиссию, поручив ей опубликовать соответствующие необходимые документы. Эти материалы были изданы в 1713 в книжке «Переписка»1) (Commercium epistolicum). Однако «Переписка» не только выражала одностороннюю точку зрения, благоприятную для Ньютона, с 1703 состоявшего президентом Королевского общества, но разбросанные повсюду примечания и заключавшийся между отдельными письмами рассказ содержали самые язвительные и оскорбительные нападки на Лейбница и прямо стремились доказать его вину. На поведение Ньютона в этом неприятном споре «Переписка» бросает весьма невыгодный свет. Она показала, что он, вместо того, чтобы выступить против Лейбница открыто, принял непосредственное участие в составлении этого обвинительного акта, т. е. спрятался за спины членов следственной комиссии. Лейбниц так и расценил положение вещей, и никто не может поставить ему в упрек, что он несколько грубо атаковал «Переписку» и представленную в ней точку зрения в двух анонимных сочинениях. За этим последовали еще более резкие оскорбления со стороны Кейля и самого Ньютона, который опять-таки безымянно, дал собственное изложение спора в Phil. Trans., 1715; позднее

1) При указании всех дат в основу было положено наше летоисчисление. Но старый английский год начинался в конце марта. Поэтому в январе 1713, когда были готовы к рассылке первые экземпляры «Переписки», в Англии еще считался 1712. Этим же годом помечен и титульный лист книжки.

Ньютон даже отрицал свое авторство. В 1714 Лейбниц, еще прежде чем он ознакомился со статьей Ньютона, написал оправдательное сочинение «История и возникновение дифференциального исчисления» (Historia et origo calculi differentialis). Опубликовать его Лейбницу уже не удалось, он скончался 14 ноября 1716. «История дифференциального исчисления» увидела свет лишь в 1846 благодаря К. Гергардту, после пересмотра литературного наследия Лейбница.

Можно было бы думать, что со смертью Лейбница злосчастный спор должен был закончиться. Но это не произошло. Наоборот, враги Лейбница продолжали спор тем энергичнее, что он принял для них уже характер борьбы английской национальности против немецкой. Применявшиеся средства были при этом тем грязнее, что опаснейшего противника более не имелось в живых. Не входя в детали, заметим лишь, что в третьем издании ньютоновских «Начал» (1726) упомянутое поучение, признававшее права Лейбница, было изменено в неблагоприятную для него сторону и что в 1722 вышло новое издание «Переписки», в которое внесен ряд изменений в пользу Ньютона. Лишь прошлое столетие принесло беспристрастное решение спора о приоритете со стороны ученых обеих стран, уже после того как поступательное развитие самой науки решило вопрос в пользу открытия Лейбница1).

§ 2. Формальное развитие теории рядов

Учение о бесконечных рядах выросло главным образом из потребности найти для некоторых функций или, как это представляли тогда, ординат кривых рациональные выражения, позволявшие производить интегрирование. При вычислении таких функций для отдельных значений переменных естественно чувствовалась необходимость в исследовании их схо-

1) Описание спора о приоритете между Лейбницем и Ньютоном А. Браунмюль взял из подробного рассказа М. Кантора в третьем томе его «Лекций». Однако, согласно Г. Энестрему, этот рассказ в ряде пунктов нуждается в существенных изменениях.

(Взаимная независимость основных открытий Ньютона и Лейбница в анализе бесконечно малых является ныне прочно установленным фактом. Ньютон пришел к методу флюксий ранее, чем Лейбниц к дифференциальному и интегральному исчислению, но первые важные публикации принадлежали Лейбницу. Идеи обоих ученых сначала становились известными в частном порядке узкому кругу специалистов. Обмен письмами между Ньютоном и Лейбницем во второй половине 70-х годов происходил уже после того, как оба они владели исходными понятиями и методами. Подробнее о первых открытиях Ньютона и Лейбница в этой области см. книгу Вавилова о Ньютоне, а также работы Манке и Гофмана, указанные в Библиографии. — Прим. ред.)

димости. Однако вскоре это чувство было утрачено, и парадоксы, возникавшие при стремлении сохранить применимость ряда для всех значений переменной, пытались устранить с помощью метафизических соображений, разумеется, не приводивших к цели. Среди немногих ученых, занявших более строгую математическую позицию, прежде всего следует назвать П. Вариньона. В одной статье в Acta Erud., 1715 он обратил внимание на то, что члены пригодного для вычислений ряда должны непрестанно убывать и, кроме того, остаток ряда должен в конце концов становиться сколь угодно малым. Однако предостережения Вариньона учтены не были. Эйлер, со своей баснословной предуктивностью господствовавший над математикой всего последующего периода, отвлек внимание математиков исключительно в сторону формальной разработки учения о рядах.

Важнейший метод, предложенный в XVIII столетии для разложения функции в ряд, был изобретен Б. Тейлором. В 1712 Тейлор письменно сообщил его Дж. Мэчину, а три года спустя опубликовал в «Прямом и обратном методе приращений» (Methodus incrementorum directa et inversa, Лондон, 1715). В этой книге был приведен тот знаменитый общий ряд, который уже в статье «Приближения» в Encyclopédie méthodique, т. 1, 1784 Кондорсе был назван «теоремой Тейлора»1). Тогда как в письме к Мэчину ряд был приведен без доказательства, в «Методе приращений» Тейлор дал вывод, опиравшийся на метод разностей и одновременно заключавший в себе лучшее представление интерполяционной формулы Ньютона. Тейлор в своей книге преследовал цель обосновать правила исчисления флюксий (в области алгебраических функций) с помощью конечных разностей, которые, как позднее у Эйлера, полагались в заключительном уравнении равными нулю (nihil, ничто). На этой недостаточной основе Тейлор и развил свой ряд, формально примыкая к интерполяционной формуле, данной Ньютоном в «Началах». Не располагая знаком функции, он выразил его следующим образом. Если независимая переменная г принимает значение z + v, то зависимая переменная х принимает значение

1) Рукописное наследие Дж. Грегори свидетельствует о том, что он уже в 1671/72 владел рядом Тейлора, хотя в явном виде последний в рукописях не встречается. См. об этом в сборнике памяти Грегори под ред. Тернболла, стр. 356—359 (ср. выше стр. 123). — Прим. ред.

В своей книге Тейлор вывел более просто и относительно более строго также ряд Бернулли (стр. 144), не назвав, однако, его автора. Связь между обоими рядами не заметили, впрочем, ни Тейлор, ни Бернулли, который справедливо заявил о приоритете в открытии своего ряда, но на ряд Тейлора не имел никаких прав. Тейлор же установил известный специальный вид своего ряда, ошибочно называемый теперь «рядом Маклорена». Однако он не дал ему никакого применения, очевидно, не сознавая как следует значения своего открытия. Только Маклорен, который по-новому вывел этот ряд1) в «Трактате о флюксиях» (A Treatise of Fluxions, Эдинбург, 1742), допуская, что всякая функция разлагается в степенной ряд, получил с его помощью бывшие тогда уже известными разложения для ах, $\п~ и cos — . При этом он отметил наличие своего ряда у Тейлора. Вывод ряда Тейлора, данный Эйлером в «Основаниях дифференциального исчисления» (1755), еще вполне совпадал с тейлоровским; Эйлер только ввел при этом для разностей символы А, А2 и т. д. Утверждение Эйлера, что каждая функция может быть разложена в такой ряд, основывалось только на индуктивном заключении. Незадолго до выхода «Оснований» Эйлера Даламбер в «Исследованиях о различных важных вопросах системы мира» (Recherches sur différents points importants du système du monde, I том, Париж, 1754) дал другой вывод ряда Тейлора. Способ Даламбера не корректен, но при последовательном проведении он ведет к формальному представлению остаточного члена в виде /г-кратного интеграла. Впрочем, эта цель была Даламберу совершенно чужда, хотя Лакруа во втором издании третьего тома своего «Трактата по дифференциальному и интегральному исчислению» (Traité du calcul différentiel et du calcul intégral, Париж, 1819) и приписывал эту форму остаточного члена Даламберу. Даже Лагранж, желавший дать чисто алгебраическое обоснование дифференциального исчисления, не пользующееся ни бесконечно малыми, ни пределами, лишь постепенно пришел к точному представлению ряда Тейлора. В первой своей статье по этому вопросу [Nouv. Mém. Ac. Berl., 1772 (1774)], в которой он впервые обобщил ряд Тейлора на случай п переменных, он еще целиком стоял на формальной точке зрения Тейлора. Еще в «Теории аналитических функций» (Théorie des fonctions analytiques, 1-е изд., 1797) существование разложения функции в степенной ряд он принимал a priori. Но здесь он дал уже иной вывод ряда, который позволил ему опреде-

1) По методу неопределенных коэффициентов. — Прим. ред.

лить последовательные дифференциальные частные — «производные»— для y=f(x) через коэффициенты разложения f(x) в ряд Тейлора. Для обозначения этих производных он, наряду с записью /'(x), f"' (х) и т. д., примененной случайно Эйлером в томе III «Оснований интегрального исчисления» (1770), употреблял обозначения у', у" и т. д. Однако Лагранж не ограничился формальным разложением. В «Теории аналитических функций» имеется и первое сознательное определение остаточного члена ряда Тейлора, который Лагранж сначала представил в виде определенного интеграла, а затем в известной под его именем форме. Последнюю он получил с помощью данного им обобщения «теоремы о среднем значении», известной уже из «Трактата по алгебре» Ролля (1690). В «Лекциях по исчислению функций» (Leçons sur le calcul des fonctions, опубликованы в начале в Séances Ее. norm., 1801), читанных им в Нормальной школе в Париже в 1799, Лагранж определенно заметил, что если какое-либо разложение в ряд служит не только для получения «производных функций», но должно представлять собой значение функции, то необходимо точно знать остаток ряда. Весь вывод он при этом построил на теореме о среднем значении, дав тем самым все существенное для точного обоснования ряда. Правда, условия применимости и сходимости рядов были точнее исследованы лишь Коши (1821, см. стр. 416).

Важную группу рядов, подвергнутых изучению в XVIII в., образовали так называемые «возвратные ряды», каждый член которых, начиная с некоторого, линейно выражается через несколько предыдущих членов. Важнейшие свойства возвратных рядов установил Муавр, давший им это название и почти полностью разработавший их теорию. Исходным пунктом Муавра при этом явилось исчисление вероятностей, которому, как мы знаем, он посвятил в 1718 книгу «Теория случая». В 1722 он опубликовал в Phil. Trans, первую работу о возвратных рядах1), значительно дополненную затем в «Аналитических этюдах» (1730). Названный сборник содержал также статью о возведении бесконечного ряда в целую степень и статью об извлечении корня из бесконечного ряда — то и другое с помощью метода неопределенных коэффициентов. Возвратными рядами пользовались позднее также Лагранж [Miscell. Taurin., 1759 и Nouv. Mém. Berl., 1775 (опубликовано в 1777)] и Лаплас (Mém. prés. div. sav. Ac. Paris, 1774). Большая работа Лапласа о «производящих функциях» [Mém. Ac. Paris, 1779 (1882)] тоже близко соприкасалась с этим вопросом; эти статьи, впрочем, посвящены

1) Представлена эта работа была уже в 1720.

в основном решению уравнений в конечных разностях и также возникли из теоретико-вероятностных изысканий.

В том же году, в котором Муавр издал «Аналитические этюды», его соотечественник Дж. Стирлинг выпустил «Метод разностей или трактат о суммировании и интерполировании бесконечных рядов» (Methodus differential sive tractatus de summatione et interpolatione serierum infinitarum). Кроме способа суммирования некоторых рядов, он дал здесь также решение задачи об определении суммы бригсовых логарифмов любого числа чисел, возрастающих в арифметической прогрессии. Он представил эту сумму в виде асимптотического ряда, называемого в честь его рядом Стирлинга. Впрочем, так нередко называют и частный случай, рассмотренный еще Муавром, когда последовательность чисел образует натуральный ряд, т. е. разложение In [(п+ 1 ) !]1). Подлинный характер этих рядов был, однако, раскрыт Эйлером при установлении одного разложения числа я [Comm. Ас. Petrop., 1739 (1750)]. Подобно исследованиям Стирлинга, первые открытия, сделанные в теории рядов великим Эйлером, имели отправным пунктом так называемый интерполяционный метод Валлиса (стр. 118), приведший еще Ньютона к обобщению теоремы о биноме. Этот метод навел Эйлера на мысль представлять общие члены бесконечных рядов через определенные интегралы [Comm. Ac. Petrop. 1730/31 (1738)]. Исходя отсюда, Эйлер, с одной стороны, пришел к созданию теории определенных интегралов, а с другой, открыл названные впоследствии по его имени интегралы, — бэта-функцию

и гамма-функцию

которые и подверг подробному исследованию2). Впрочем, первый интеграл был рассмотрен ранее уже Валлисом и Ньютоном, а затем, почти одновременно с Эйлером, Стирлингом в «Методе разностей». Представление гамма-функции

1) Ни Муавр, ни Стирлинг, однако, не думали еще об обобщенном ряде для 1пГ(п+1), который тоже часто называют рядом Стирлинга.

2) Употребляемые теперь названия были введены в XIX столетии: термин «бэта-функция» — Бине, «гамма-функция» — Лежандром.

через интеграл, содержащий логарифм, было первоначальным. Оно встречается уже в одном письме Эйлера к Гольдбаху от января 1730, между тем как вторая его форма была впервые опубликована лишь в томе IV «Оснований интегрального исчисления» (1794), хотя соответствующая работа была написана в 1781. Одним из первых результатов Эйлера была известная формула ^ (у) = Vя-

Эйлер установил также некоторые ряды, суммы которых выражаются определенными интегралами, и попутно вывел формулу суммирования [Comm. Ac. Petr., 1732/33 (1739)], несколько позже самостоятельно найденную снова Маклореном, опубликовавшим ее в «Трактате о флюксиях» (1742). Если s есть сумма первых п членов ряда и t есть п-й член, причем sut выражены через /г, то согласно Эйлеру

S — J tan-Y- 2 -h l2dn dns T 30240 dn* и т. д.,

где при n = 0 также ^ = 0 и 5 = 0. Это формула, ныне записываемая в ином виде, представляет собой вместе с тем распространение ряда Стирлинга на произвольную функцию /. Для случая, когда , п = х, Эйлер в одной более поздней работе [там же, 1736 (1741)] получил

1 I 1 I 1 j ,1 Г\\П v 1 1 1 j 1

Здесь С — «эйлерова постоянная», которую Эйлер уже ранее [Comm. Ac. Petr., 1734/35 (1740)] привел с шестью десятичными знаками одновременно с формулой

+ ^ = 1п(л+1) + С

Теперь, положив х=10, он нашел, что С = 0,5772156649015329.

Определить закон образования коэффициентов формулы суммирования Эйлеру удалось лишь в более поздней статье [там же, 1740 (1750)], установив их связь с суммами

J__, 1 ■__1_

%2к ~+~ 22ft З2*

Эйлер много занимался суммированием таких «обратных» рядов, как он назвал их в первой посвященной им работе [Comm. Ac. Petr., 1734/35 (1740)]. На ряд величин, обратных квадратам натуральных чисел, указал еще Як. Бернулли в своих «Арифметических предложениях о бесконечных рядах»

(1689), в которых ему удалось вычислить суммы обратных значений треугольных и некоторых других чисел. Однако определить сумму ряда

базельский математик не сумел. Лишь Эйлер в 1736 нашел, что сумма этого ряда равна -g- л2; для ряда

он одновременно получил сумму я4. Мы знаем это из одного письма Даниила Бернулли, которому Эйлер сообщил без доказательства свои результаты. Метод суммирования и значение сумм для некоторых других рядов Эйлер опубликовал в упомянутой работе в Comm. Ac. Petr., 1734/35 (1740). Он именно полагал равным нулю ряд для синуса и рассматривал получившееся выражение как уравнение бесконечно высокой степени. Это уравнение он разлагал соответственно на бесконечное число множителей, а затем применял теоремы о степенных суммах корней уравнения. Замечательно, что Иоганн Бернулли, узнав от своего сына Даниила о результате Эйлера для ряда

заново открыл сходный смелый прием. И вряд ли можно упрекать Иоганна Бернулли за то, что он уже после выхода работы Эйлера опубликовал свое исследование в IV томе Opera omnia (1742).

Эйлеру с разных сторон указывали на незаконность его способа, лишь случайно приведшего к правильному результату. В связи с этим в Comm. Ac. Petrop., 1740 (1750) он дал существенно отличный вывод, вычислил суммы до 2& = 24 и привел их в виде

Коэффициенты A2k здесь находятся в весьма простой зависимости как с числами, введенными уже Як. Бернулли при вычислении сумм

(«Искусство предположений», 1713) и названными Муавром «числами Бернулли», так и с коэффициентами эйлеровой

формулы суммирования. Зависимость последних от чисел Бернулли Эйлер опубликовал, по-видимому, лишь в «Основаниях дифференциального исчисления», 1755. Специально для ряда

Эйлер нашел еще два вывода, анонимно появившихся в Journal littéraire de l'Allemagne, 1743. Первый из них был сообщен Иоганну Бернулли Эйлером уже в 1737. Во втором особенно заслуживает упоминания, что Эйлер использовал здесь степенной ряд для (aresin х)2, который был ему известен также с 1737, но который замечательным образом встречается еще раньше у японского математика Кова Секи (умер в 1708; см. стр. 160).

Эйлер определил также суммы соответствующих знако-1 чередующихся рядов

Эти суммирования были изложены в труде «Введение в анализ бесконечных величин» (1748), в котором Эйлер собрал воедино множество сделанных им, начиная с 1730, открытий по так называемому ныне «алгебраическому анализу». Проникновенному дарованию Эйлера удалось тогда же (1749) найти две следующие формулы, доказать которые он, правда, оказался не в силах, а именно:

[опубликовано в Mém. Ac. Berl., 1761 (1788)]. Первая из них была вновь открыта и выведена лишь в 1859 Б. Риманом в качестве функционального уравнения для его ^-функции

Вторая формула была заново получена в XIX столетии даже двукратно: Мальмстеном в 1842 и О. Шлемильхом в 1849. Особенно важна первая из формул, играющая теперь большую роль в аналитической теории чисел.

Для создания алгебраического анализа в нашем смысле слова прежде всего необходимо было определение понятия

функции. Понятие о зависимости между двумя переменными величинами весьма постепенно проникало в математику благодаря развитию аналитической геометрии. Вначале оно вовсе не было ясно распознано и не получило ни названия, ни четкого определения. В более узком смысле слово «функция» стали уже употреблять с 1692 Лейбниц (Acta Erud. и переписка) и с 1694 Яков Бернулли (Acta Erud.), но в современном значении применил его лишь Иоганн Бернулли в одном письме к Лейбницу от 1698. За год до того (также в Acta Erud.) Иог. Бернулли определил уже понятие функции (не пользуясь еще этим термином) как выражение, составленное каким-либо образом из переменной величины и постоянных величин. Различие между алгебраическими и трансцендентными функциями Лейбниц установил еще в Acta Erud. за 1686. Определение функции как аналитического выражения, составленного из переменных и постоянных величин, последовательно провел в своем «Введении» (1748) Эйлер. В зависимости от характера этого аналитического выражения он говорил об алгебраических и о трансцендентных функциях. Он подразделил также функции на однозначные и многозначные, четные и нечетные, явные и неявные, а алгебраические функции — на рациональные и иррациональные1).

Символ f(x) также принадлежит Эйлеру, впервые употребившему его в статье Additamentum etc. в Comm. Ac. Petr., 1734/35 (1740). Ранее того символом ф*, без скобок, воспользовался Иог. Бернулли, называвший ср «характеристикой функции» (Mém. Ac. Paris, 1718). Одновременно с Эйлером Ал. Клеро применял знаки П и А, приписывая аргумент без скобок (Mém. Ac. Paris, 1734); Даламбер еще в 1747 аналогично употреблял буквы ф и A [Mém. Ac. Berl., 1748 (1750)]. Наряду с этим Клеро все еще пользовался для функций аргумента х обозначениями X и g, предложенными в 1698 Иог. Бернулли в письмах к Лейбницу.

Символика Эйлера приобрела впервые подлинное значение, когда Лагранж в «Теории аналитических функций» (1797) начал исследование общих свойств аналитических функций и заложил основы общей теории функций. Эйлер и Лагранж определили, подобно функциям одного аргумента, также функции двух и, наконец, многих переменных. Это произошло после того, как функции двух переменных были получены частью аналитическим путем, частью при изучении

1) Подробнее о развитии понятия функции, в частности в связи со спорами вокруг задачи о колеблющейся струне, см. в книге И. Ю. Тимченко и статье А. И. Маркушевича, указанных в Библиографии. — Прим. ред.

проблем, в которых встречался произвольный параметр, вреде, например, задачи о траекториях.

Для Ньютона представление алгебраических и трансцендентных функций с помощью бесконечных рядов являлось средством интегрирования. Эйлер уже сознавал, что такое представление дает нам ясное понимание сущности и свойств функций. Эта точка зрения была отчетливо выражена им во «Введении в анализ». Поэтому Эйлер поставил целью разложить элементарным образом в ряды все известные тогда функции. Для показательных величин, логарифмов и тригонометрических функций он исходил при этом из биномиального ряда; в случае логарифмического и показательного рядов таким путем пошел еще астроном Э. Галлей (Phil. Trans., 1695). В одной работе, посвященной «обратным» рядам и опубликованной в Miscell. Berol., 1743, Эйлер впервые указал также, что

ez=\im fl

л=00\ г п)

Тем самым он обобщил результат Дан. Бернулли, выразившего в 1728 предельное значение fl + с помощью числового ряда, соответствующего е=1. Во «Введении в анализ» Эйлер воспользовался этим рядом

1 + 1 + ТТ2 + 1 -2-3 ~1~ Ь2-3-4 + ' * '

для вычисления значения е с 23 десятичными знаками. Буква е была употреблена впервые в печати Эйлером во втором томе «Механики», изданном в 1736, а затем в приводившейся уже статье в Comm. Ac. Petr. за 1734/35 (1740). Но буква е встречалась у Эйлера и ранее в одном письме к Гольдбаху от 1731. Благодаря «Введению в анализ» это обозначение прочно вошло в обиход, сменив нередко применявшуюся ранее букву с.

Эйлеру принадлежит также отчетливое выяснение связи между тригонометрическими и показательной функциями. Правда, еще Р. Котес между прочим получил выраженное им словесно уравнение

In (cos x-\-i sin x) = ix

(Phil. Trans., 1714/16 и позднее в «Гармонии мер», 1722). Но аналитические формулы

появились впервые в упоминавшейся статье Эйлера в Misc. Berol. за 1743. Первое из приведенных соотношений он сообщил письменно Иоганну Бернулли уже в октябре 1740. Это открытие Эйлер сделал, получив в качестве решения одного дифференциального уравнения, с одной стороны, 2 cos X, а с другой, eix + e~ix, и установив затем тождество обоих решений с помощью разложения в ряд. Приведенные формулы косинуса и синуса неоднократно применялись во «Введении в анализ». Эйлер же первый ввел в анализ в качестве функций тригонометрические линии, рассматривавшиеся до него обязательно в связи с кругом. Наряду с тригонометрическими функциями плодотворное употребление получили у него и круговые функции. Ныне употребительная форма теоремы о возведении в степень комплексного числа cos x±i sin х, содержание которой открыл Муавр в 1707 и 1722 (см. стр. 47), тоже встречается впервые лишь у Эйлера. Зависимость между логарифмами и круговыми функциями в области мнимых величин, установленная Лейбницем и Иог. Бернулли в их переписке за 1702/04 для aresin х, Лейбницем в Acta Erud., 1712 для arctgх и намеченная Р. Котесом в 1714 (Phil. Trans.) и 1722 («Гармония мер») также была подробнее исследована во «Введении в анализ» Эйлера. Правда, «Введение в анализ» не содержало точной теории логарифмов. Но уже в процессе своего спора с Иог. Бернулли о логарифмах отрицательных величин, продолжавшегося с 1727, Эйлер совершенно безупречно уяснил положение вещей. Основные положения учения о логарифмах он высказал в нескольких письмах к Даламберу от 1747, не сумев, впрочем, убедить своего адресата. В блестящей статье в Mém. Ac. Berl. [1749 (1751)] Эйлер печатно изложил свою концепцию, что не помешало растянуться спорам на все столетие и даже за его пределы. Для окончательного решения их недоставало еще самой теории мнимых величин1). Теория эта была опубликована землемером К. Весселем как раз в конце рассматриваемого периода в пятом томе Nye Sämling danske Vidensk. Selskabs Skrifter (Копенгаген, 1799). Эта теория, по существу вполне сходная с геометрической интерпретацией комплексных величин, вновь найденной позднее Арганом и иногда называемой теперь по имени Гаусса, оставалась, однако, никому неизвестной в продолжении ста лет. Добавим, что обозначение У—1 буквой i было предложено Эйлером в работе 1777, опубликованной в IV томе

1) Следует упомянуть о попытке создания такой теории, предпринятой Г. Кюном в Comm. Ac. Petr., 1750/15 (1753). Она, однако, уступала по значению более ранней работе Валлиса (см. стр. 24).

второго издания «Основании интегрального исчисления» (1794).

В связи с самыми разнообразными обстоятельствами Эйлер занимался также вопросом о представлении отношения длины окружности к диаметру, т. е. числа я. Буква я была употреблена в этом смысле в 1706 У. Джонсом в «Обзоре достижений математики» (Synopsis palmariorum Matheseos), но навсегда в математику ее ввело постоянное употребление Эйлером, который еще в «Механике» (1736) заменил ею применявшуюся им ранее букву р, после чего он уже держался символа я довольно последовательно. Особенное значение Эйлер придавал установлению удобных разложений числа я в ряды. С этой целью он обратился к методу, опубликованному англичанином Дж. Мэчином еще в «Обзоре» Джонса (1706). Прием Мэчина заключался в том, что разбивалось на сумму или разность двух дуг, тангенсы которых суть простые рациональные дроби; так, например, Мэчин положил

f = 4arctgi-arctg^ и с помощью ряда

arctgx = x — \*ъ х^—

открытого Дж. Грегори и Лейбницем, вычислил я со 100 десятичными знаками. Несколько позднее, в 1717, де-Ланьи получил 127 знаков путем непосредственного вычисления vT ^30°=-^ [опубликовано в Hist. Ac. Paris, 1719 (1721)].

Эйлер подробнее разработал метод Мэчина [Comm. Ас. Petr., 1737 (1744)], указав, как можно находить любые такие разложения. Вслед за тем Эйлер показал, как применить к вычислению я упоминавшийся несколько выше асимптотический ряд [Comm. Ac. Petr., 1739 (1750)], облек в аналитическую форму один способ приближенной квадратуры круга, предложенный Декартом [Nov. Comm. Ac. Petr., 1760/61 (1763)], и представил у в виде непрерывной дроби [Comm. Ac. Petr., 1739 (1750)]. В «Основаниях дифференциального исчисления» (1755) Эйлер привел еще один весьма удобный для вычисления я ряд, позволивший ему найти в течение часа 20 знаков. Вопроса о теоретико-числовом характере числа я Эйлер коснулся лишь мельком; иррациональность я была строго доказана, как мы знаем, впервые его младшим современником Иоганном Ламбертом в 1767. Эйлер вновь

получил разложения числа я в бесконечные произведения, данные Виетом и Валлисом, исходя из иных идей, чем первые их авторы [Comm. Ac. Petr., 1730/31 (1738)].

Тот же Эйлер впервые выразил в виде бесконечных произведений тригонометрические и гиперболические функции, а отсюда получил, между прочим, формулы для вычисления их логарифмов. В 1742 он сообщил Ник. Бернулли более строгое обоснование упоминавшегося нами ранее разложения sin*. Это и другие бесконечные произведения были подвергнуты подробному исследованию во «Введении в анализ». В двух статьях в Comm. Ac. Petr. за 1737 (1744) и 1739 (1750), основное содержание которых было включено затем частично во «Введение в анализ», Эйлер значительно обогатил теорию цепных дробей, детально изучив разложение в цепные дроби бесконечных рядов и некоторых функций. Его разложения в цепные дроби чисел е, —-— и т. д. (первое было дано, впрочем, уже Р. Котесом) оказались весьма важными для исследования иррациональности е, предпринятого позднее Ламбертом (см. стр. 88). Значение содержащихся здесь же исследований Эйлера о зависимостях между определенными интегралами, произведениями и цепными дробями велико еще и потому, что они примыкают к его более ранним работам о гамма-функции.

Интересно отметить, что вычислением весьма точных значений числа я с успехом занимались издавна также японцы и притом, как можно считать ныне почти доказанным, независимо от европейских влияний. Несколько возвращаясь во времени назад, заметим, что первая книга по математике была опубликована в Японии в 1600, но она не сохранилась. Во втором математическом труде «Жинко-ки» Иошида (1627) для числа я было приведено значение 3, 16, выраженное дробью -sip В 1663/64 появилось значение 3, 14, но одновременно с помощью 215-угольника я было уже вычислено с восемью десятичными знаками. Как упоминалось выше, Кова Секи, преследуя ту же цель, гениальным образом установил ряд для (aresinл:)2, вывод которого показывает, что ему была известна теорема о биноме по крайней мере для показателя. Открытие Ньютона было опубликовано лишь в 1685 в английском издании «Алгебры» Валлиса, работа же Секи была готова самое позднее в 1700. Если принять во внимание медленность, с которой тогда распространялись научные сообщения, и язык, на котором была изложена теорема Ньютона, то самостоятельность Секи можно считать

почти несомненной. Секи дал для числа я 24 десятичных знака, а его последователи продолжили затем вычисления до 41 и соответственно 50 знаков. Кроме того, японцы дали своеобразную последовательность обыкновенных дробей, представляющих собой приближенные значения я. В этой последовательности встречаются и некоторые значения, употреблявшиеся китайцами. Так, седьмое значение, дробь у, впервые найденная Архимедом, называется «неточным значением» Цзу Чун-чжи, сто тринадцатое,-^, «точным значением» Цзу Чун-чжи. Согласно китайским источникам, использованным в самое недавнее время, этот математик жил в пятом столетии нашей эры. Не исключена возможность, что к приближению -гуд , до сих пор приписывавшемуся Адриану Антонисзоону, он пришел с помощью своего рода разложения в ряд1). Значительно более точные значения в виде обыкновенных дробей были даны для я и я2 позднее.

Вероятно, в середине XVIII столетия японцы обладали некоторыми разложениями в цепные дроби. Но мы удивляемся еще более, когда узнаем, что уже в начале того же столетия японцы, пользуясь методом, представлявшим собой настоящее интегрирование, получили ряды для aresin х и связанных с ним функций, дававшие при подстановке частных значений аргумента бесконечные разложения числа я. Для этой цели круг или его части разбивались параллельными прямыми на очень узкие полоски, границы которых считали прямолинейными. Площади полосок выражались через абсциссу, а возникавшее при этом выражение (1 —х2)±{/2 разлагалось в ряд, который затем интегрировался почленно. При интегрировании, подобно Кавальери и Валлису, пользовались пределом

вывод которого нам неизвестен. Четыре таких ряда дошли до нас под именем Наомару Ажима2), жившего приблизительно в 1737/98, он они, несомненно, более раннего происхождения. Отсюда, по-видимому, следует, что японцам в XVII—

1) То же приближение, независимо от Антонисзоона, получил в конце XVI столетия В. Ото. Что касается приближения Цзу Чун-чжи, то он получил его скорее всего с помощью вписанных правильных многоугольников. — Прим. ред.

2) Древние японские собственные имена сохранились только в виде китайских идеограмм, чтение которых часто сомнительно. Поэтому приводимые имена не достоверны. Так, вместо Кова читают также Такакацу, вместо Наомару — Хокуйен и вместо Ажима — Ясушима.

XVIII столетиях был известен и своего рода метод координат. Современные японцы приписывают Секи и его школе еще гораздо более глубокие познания, которые пока, правда, не засвидетельствованы, но тем не менее вполне возможны1). Во всяком случае, мы видим, как на Дальнем Востоке люди, не связанные с античностью и не получившие заметных стимулов с Запада, пришли к идеям, совершенно сходным с европейскими. Этот факт служит прекрасным доказательством общности мышления всего человечества.

Для решения уравнений бесконечные ряды были использованы еще Ньютоном. Выражения ординат у, определяемых неявными функциями, в явной функции абсцисс ему были необходимы, чтобы можно было производить квадратуры кривых. Мы уже говорили об этом, так же как о рядах Ламберта, работах Эйлера и, наконец, формуле обращения функций Лагранжа в § 2 главы II.

Несколько предвосхищая изложение истории дифференциальных уравнений с частными производными, упомянем еще о разложении функций в тригонометрические ряды, приобретшие впоследствии столь выдающееся значение. Математики пришли к тригонометрическим рядам от задачи о колеблющейся струне, впервые поставленной Б. Тейлором в 1713 в Phil. Trans, и в 1715 в «Методе приращений». Даламбер привел задачу [Mém. Ac. Berl., 1747 (1749)] к дифференциальному уравнению с частными производными

общий интеграл которого выразил с помощью двух произвольных функций. Несколько позднее Дан. Бернулли представил общее решение в форме ряда

[Mém. Ac. Berl., 1753 (1755)]. Это естественно привлекло внимание к таким рядам. Ими занялся также Эйлер [Mém. Ас. Berl., 1748 (1750)], в ряде пунктов оспаривавший даламберово понимание физического процесса колебания струны. Даламбер ответил Эйлеру в том же журнале в 1750 (1752). Вслед затем Эйлер в различных работах2) поставил перед

1) Подробнее см. книгу Д. Смита и И. Миками, указанную в Библиографии. — Прим. ред.

2) Например, Nov. Comm. Ac Petr., 1754/55 (1760), Nov. Act. Ac. Petr., 1789 (1793) и там же две статьи в томе за 1793 (1798).

собой задачу представить некоторые выражения, вроде sinm(p, cosw(p, с помощью рядов вида

ах sin ф + а2 sin 2ф + ... -Ь& + й1со8ф + о2с082ф +

а также занялся суммированием подобных рядов. Интересно отметить, что он разложил в тригонометрические ряды некоторые рациональные функции (см. первую из статей, указанных в сноске), хотя ранее, при рассмотрении задачи о струне, утверждал, что такое их представление невозможно. Несколько подобных разложений в тригонометрические ряды дал со своей стороны Дан. Бернулли [Nov. Comm. Ac. Petr., 1772 (1773)].

Одновременно с появлением последних работ Эйлера некоторые функции были разложены в тригонометрические ряды также Даламбером и Клеро. В томе II своих «Исследований о различных важных вопросах системы мира» (1754) Даламбер, исходя из теории возмущений планетной системы, получил разложение

и представил первые два коэффициента и в виде определенных интегралов1). Клеро в своих изысканиях 1757 о возмущениях Солнца [Mém. Ac. Paris, 1754 (1759)] пришел к выводу, что любая функция /(ф), которая может и не быть задана алгебраическим законом, а представлять собой лишь отдельные точки, разлагается в ряд:

Этот фундаментальный результат странным образом остался совершенно незамеченным. Только Эйлер, не упоминая Клеро, возвратился в двух статьях 1777 к исследованию этого вопроса и пришел к тому же результату [опубликовано в Nov. Act. Petr., 1793 (1798)].

Другая важная область учения о рядах была обнаружена при изучении притяжения эллипсоида и связанной с этим проблемы о фигуре равновесия вращающейся жидкой массы, подчиняющейся закону Ньютона. В 1783 Лежандр,

1) Эйлер применил это разложение в работах о движении Сатурна и Юпитера. Эти работы были премированы Парижской академией наук в 1748 и 1752 (опубл. соответственно в 1749 и 1769; ср. ниже стр. 186).— Прим ред.

желая получить компоненту силы притяжения эллипсоида вращения в направлении радиуса-вектора, выражавшуюся тройным интегралом, пришел к разложению функции 1 : У г2 — 2г/?|1 + /?2 в ряд по степеням ^ или —[Mém. prés. sav. étr. Ac. Paris, 1785; Mém. Ac. Paris, 1783 (1786)]. Коэффициенты ряда оказались при этом целыми рациональными функциями (i; это были так называемые «полиномы Лежандра». Год спустя Лежандр установил важнейшие их свойства [Mém. Ac. Paris, 1784 (1787)]. В 1789 в мемуарах Парижской Академии за тот же год (опубликован в году II, т. е. 1793/94) он привел также теорему сложения его полиномов. Лежандр заметил, что здесь необходимо исследование сходимости полученных разложений и постарался обеспечить их сходимость.

Исследование вопроса о притяжении любого эллипсоида привело в это же время Лапласа к шаровым функциям двух переменных1), которые он определил как решения дифференциального уравнения в частных производных:

^(o-rt^)+nb,T§F+»<M-»«'.-o

[Mém. Ac. Paris, 1782 (1785) и 1783 (1786)]. Постепенно Лаплас пришел к убеждению, что всякая функция может быть разложена в ряд по шаровым функциям. Это утверждение он впервые высказал в своей «Небесной механике» [Mécanique céleste, т. II, год VIII (1800)]. Он не произвел, однако, исследования сходимости, необходимого для точной формулировки его теоремы, и оно выпало уже на долю позднейшего времени, причем обнаружились границы, в которых теорема Лапласа справедлива.

Мы видели, что теория бесконечных рядов испытала в XVIII столетии мощный подъем, которым обязана была в немалой степени творческим силам гениального Эйлера, непрестанно находившего новые пути успешного изучения разнообразнейших вопросов этого отдела математики. Однако, как бы ни была плодотворна эта деятельность Эйлера, мы все же не должны упускать из виду, что направлена она была только в сторону формального развития. Найденное каким-либо способом разложение в ряд было, по мнению Эйлера, a priori справедливо при всех значениях переменного, даже если получался расходящийся ряд. Поэтому Эйлер обращался при 'выкладках с расходящимися рядами совершенно так же,

1) Термин «шаровые функции» принадлежит Гауссу (Göttinger gelehrte Anzeigen, 1828).

как со сходящимися. Его не смутили предостережения Ник. I Бернулли, племянника Иоганна, и он думал, что поможет делу, просто предложив вместо слов «сумма ряда» ставить «значение конечного выражения, из разложения которого он возник». Эта точка зрения была выражена уже в письме к Ник. I Бернулли от 1744 и в точно таком же виде изложена в «Основаниях дифференциального исчисления» (1755)1). После того как ученые XVIII столетия увидели, что методы, обладавшие в те времена весьма сомнительной правомерностью (скажем, вычисления с мнимыми величинами), давали большой успех, они вообще перестали предъявлять к анализу столь строгие требования, как к геометрии. Но как беззаботно ни обращался Эйлер с бесконечными рядами, он все же не отказывался вовсе от исследования сходимости. В противном случае он не высказал бы, в связи с занятиями гармоническими рядами, вообще начавшими снова несколько беспокоить совесть математиков в указанном отношении, предложения, по содержанию совпадающего с утверждением, что ряд расходится, если

lim \Skn — S„|>0,

где Sn — сумма первых п членов [Comm. Ac. Petr., 1734/35 (1740)]. В той же статье он заявил, что необходимое и достаточное условие сходимости состоит в том, что lim (Skn — Sn) = 0, но, как известно, справедлива лишь первая часть этого предложения.

Большая часть современников Эйлера придерживалась той же точки зрения на сходимость рядов, что и он. Потребность в исследовании сходимости сказывалась лишь у отдельных лиц. Это относится, например, к Маклорену и П. Вариньону (см. стр. 149). В своих «Основаниях анализа конечных величин» и «Основаниях анализа бесконечного» (Геттинген, 1760 и 1761; последняя книга — Anfangsgründe der Analysis des Unendlichen — была первым немецким учебником высшего анализа) Кестнер также постоянно подчеркивал,

1) Пользуясь расходящимися рядами, Эйлер искал пути, оправдывающие его вычислительные приемы. Хотя сам он не создал теории расходящихся рядов, но его более широкое понимание суммы ряда и методы обобщенного суммирования были глубоко развиты далее на рубеже XIX и XX столетий Э. Чезаро, Э. Борелем, Г. Ф. Вороным, Л. Фейером и др. См. Г. Харди, Расходящиеся ряды, М., 1951, а также статью Г. Фабера во второй части 16 тома первой серии Opera omnia Эйлера (Базель, 1935), содержащую подробный разбор всех работ великого математика по теории бесконечных рядов. — Прим. ред.

что нужно строго различать сходящиеся и расходящиеся ряды. Потребность в изучении сходимости рядов стала жизненнее, когда возникла полемика о рядах из синусов и косинусов. В ходе разгоревшегося между Даламбером, Дан. Бернулли, Эйлером и Лагранжем спора о возможности представить общее решение проблемы колеблющейся струны в виде таких рядов, Даламбер встретил случай уточнить свои воззрения по интересующему нас вопросу. В отличие от Эйлера, для него все вычисления с рядами, сходимость которых не была установлена или же которые нельзя было предполагать сходящимися, были весьма сомнительны. Однако Даламбер, примкнувший тем самым к упоминавшейся ранее концепции Вариньона, стоял довольно одиноко. Исключение составлял еще лишь Ламберт, стремившийся во всех своих работах к большой строгости. Его доказательство иррациональности я (ср. стр. 89) представляло пример исследования сходимости разложения в цепную дробь, удовлетворяющего наиболее современным требованиям строгости, и выделялось в XVIII столетии как единственная в своем роде редкость1). Заметим, что Лагранж в своих исследованиях об остаточном члене ряда Тейлора первоначально стремился лишь получить формулу для оценки погрешности, появляющейся, когда бесконечный ряд обрывают на каком-либо определенном месте. Только постепенно он пришел к более глубокому пониманию вопроса.

§ 3. Дальнейшая разработка дифференциального и интегрального исчисления

Первое время после выхода работ Лейбница вычислениями с бесконечно малыми величинами пользовались довольно некритически, пока в 1704, в процессе изложенного выше спора о приоритете, Ньютон не отверг полностью инфинитезимальные величины. Но и после этого перелом, вызванный авторитетом Ньютона, наступил лишь в Англии. Например, Дж. Крег, бывший ранее приверженцем лейбницевых идей (см. стр. 142 и Phil. Trans., 1701, 1703, 1704), в сочинении «Две книги об исчислении флюэнт» (De calculo fluentium libri duo, Лондон, 1718) пользовался исчислением флюксий. Впрочем, и в Англии этот период длился недолго. Например, в 1730 Стон издал «Метод флюксий» (A method of fluxions), у которого общим с исчислением флюксий был только заголовок, а первая часть являлась переводом курса Лопиталя.

1) О доказательстве Ламберта см. примечание на стр. 89.— Прим. ред.

Вопрос об основах как метода флюксий, так и дифференциального исчисления был снова поставлен сочинением Дж. Беркли «Аналист» (The Analyst, 1734). Беркли довольно резко напал на оба метода и дал их критику, которая не была лишена оснований, но которая вместе с тем показывала, что ясные определения понятий, принадлежавшие Лейбницу, к тому времени были уже позабыты1). «Аналист» принес ту пользу, что в борьбе за метод флюксий выступил его достойный защитник — Б. Робине. В своих четырех работах, вышедших в 1735/362), Робине прежде всего выставил концепцию, что метод флюксий является сокращенным вычислительным приемом. С этой целью он сначала строго доказал основную теорему Ньютона о дифференцировании степени по методу Архимеда, а затем показал, что исчисление флюксий приводит к тому же результату. Вслед затем Робине определил обобщенное еще Паскалем (стр. 114) понятие равенства в таких выражениях: «всякая постоянная величина, к которой приближается, никогда не переходя ее, непрерывно увеличивающаяся или уменьшающаяся переменная, рассматривается как величина, равной которой становится в конце концов или же напоследок переменная, если предположить, что разница между переменной и постоянным пределом при ее приближении к последнему может быть сделана менее любой как угодно малой данной величины». И далее: «точно так же могут приближаться к определенному пределу отношения; отношение при этом рассматривается, как совпадающее в конце концов с таким пределом; отсюда, однако, вовсе не следует, что и переменные, из которых составлено отношение, также должны приближаться к какой-либо конечной величине или пределу, которого они не могут превзойти».

Эти точные определения укрепили фундамент исчисления флюксий и принудили Беркли замолчать. Но заслуги Робинса вскоре были забыты, ибо уже в 1742 вышел знаменитый труд К. Маклорена «Трактат о флюксиях», неоднократно упоминавшийся нами. Трактат Маклорена, вызванный к

1) В оценке строгости и точности идей обоснования анализа, выдвинутых Ньютоном, Лейбницем и их преемниками, историки математики довольно значительно расходятся. Этой проблеме посвящен на русском языке ряд работ А. Н. Колмогорова, Н. Н. Лузина, С. Я. Лурье, К. А. Рыбникова, С. А. Яновской и др. (см. Библиографию).— Прим. ред.

2) Именно, в сочинении «Рассуждение о ... методе флюксий» (A discourse concerning the... methods of fluxions..., Лондон..., 1735) и в трех статьях в журнале Republick of letters, октябрь и декабрь 1735 и апрель 1736.— Более точное изложение взглядов см. в книге Ф. Кеджори, указанной в Библиографии. — Прим. ред.

жизни также критикой Беркли, тоже исходил из точно установленного понятия предела и излагал учение об образовании величин посредством движения. Маклорен выставил два основных принципа:

1. Если две порождаемые движением величины постоянно равны, то постоянно равными должны быть и порождающие движения.

2. Если, наоборот, постоянно равны порождающие движения, то равны будут всегда и величины, порожденные ими в одинаковое время.

На первом принципе покоился прямой, а на втором — обратный метод флюксий. С помощью движения Маклорен объяснил и флюксии высшего порядка, введя понятие об ускорениях различных порядков. Он также перекинул мост между исчислениями флюксий и бесконечно малых, указав, что инфинитезимальные рассуждения представляют собой лишь другой способ выражения при рассмотрении движущихся величин, и если пользоваться ими с должной осторожностью, то выдвигаемые против них возражения будут совершенно несостоятельны.

На континенте о необходимости исследования основ исчисления бесконечно малых думали в то время, по-видимому, гораздо меньше. Эйлер разделался с этим вопросом довольно просто. Для него исчисление бесконечно малых было методом определения отношения исчезающих приращений, приобретаемых функциями, когда их аргументы возрастают на исчезающие приращения. При этом Эйлер рассматривал исчезающие приращения как абсолютные нули, так что дифференциальное исчисление занимается не столько ими, сколько их отношениями. Фундаментальные «Основания дифференциального исчисления» (1755), систематически излагавшие все тогдашнее достояние дифференциального исчисления, Эйлер построил на вычислениях с конечными разностями. О самом исчислении конечных разностей см. главу IX.

Младший современник Эйлера, Даламбер, вновь обосновал дифференциальное исчисление на рассмотрении пределов отношений. Метод Даламбера лишь незначительно отличался от ньютонова метода первых и последних отношений. Но Даламбер приблизил эту концепцию к математикам континента Европы, тем более, что сам пользовался символикой Лейбница. Свои взгляды на бесконечность и понятие предела Даламбер подробно изложил в статьях «Дифференциал» (Différentiel) и «Предел (Limite) знаменитой Encyclopédie (т. IV, 1754 и соответственно т. IX, 1765).

К новой мысли дать чисто алгебраическое обоснование анализа первым пришел англичанин Дж. Ланден. В сочи-

нениях «Рассуждение об анализе вычетов» и «Анализ вычетов» (A discourse concerning the residual analysis, 1758 и The residual analysis, 1764) он для функции */=/(#) разлагал дробь 1 ;• __x в ряд так, чтобы делитель х —х сокращался. Полагая затем хг = х, он получал «особое значение» частного, а именно, дифференциальное частное, которое обозначал [х—у]. Рассуждения Ландена опирались, таким образом, на возможность, которую он допускал как самоочевидную, разложения произвольной функции f(x) в ряд по степеням х' — х.

В 1784 физико-математический класс Берлинской Академии, руководителем которой состоял тогда Лагранж, объявил конкурс на тему о ясной и точной теории математических бесконечно большого и бесконечно малого. При этом требовалось, чтобы вместо понятия бесконечности было предложено такое отчетливое и подлинно математическое начало, чтобы исследования не сделались затруднительными или долгими. Премию получил женевский математик С. Люилье, превосходно и последовательно развивший исчисление бесконечно малых на точных представлениях о пределе, данных Робинсом. Сочинение Люилье вышло в 1786 в Берлине под названием «Элементарное изложение начал высших исчислений» (Exposition élémentaire des principes des calculs supérieurs, год издания не указан); затем оно было издано по-латыни: Principiorum calculi differentialis et integralis expositio elementaris (Тюбинген, 1795). Люилье определенно заявлял, что -gj следует рассматривать не как дробь, а только как символ предела дроби, именно lim ( д *^ ) • Хотя работа Люилье была премирована, но той цели, которую имел в виду при постановке проблемы Лагранж, она не достигла. В противном случае Лагранжу не пришлось бы 13 лет спустя изложить собственные взгляды на проблему обоснования анализа (которых мы мельком коснулись выше; см. стр. 150) в своей «Теории аналитических функций». Тем не менее, в последующем развитии основ дифференциального исчисления утвердилась не алгебраическая концепция Лагранжа, а теория пределов. Мы не станем задерживаться на других попытках заменить или усовершенствовать метод Лейбница, вроде «calcul d'exposition» И. Грюзона [Nouv. Mém. Ac. Berl., 1798—1800 (1801/03)].

Для полноты правил дифференцирования после деятельности Лейбница и Бернулли оставалось лишь рассмотреть угловые и круговые функции. В явном виде дифференциалы

этих функций появляются после 1700, но неявно использовались они и раньше. Р. Котес, в частности, геометрически вывел правила для ds'mx, dtgx, dsecx (в приложенной к «Гармонии мер», 1722, статье «Оценка ошибок»). Такое положение вещей объяснялось тем, что до конца XVII столетия математики не располагали специальными обозначениями этих функций. В случае нужды искомое соотношение находили из характеристического треугольника. Только после того, как Эйлер ввел в анализ тригонометрические линии в качестве функций, смогли быть плодотворно применены формулы их дифференциалов. Эйлер же дал вывод и полный перечень этих формул в «Основаниях дифференциального исчисления» (1755).

Теорема о независимости значения частных производных от порядка дифференцирования была известна еще с 1721 (Ник. I Бернулли, Acta Erud., Suppl. VII). Первоначально ее считали аксиомой. Затем ее доказательство, впрочем, недостаточное, дал Эйлер в Comm. Ac. Petr., 1734/35 (1740). В «Основаниях дифференциального исчисления» он распространил эту теорему на высшие частные производные. Для обозначения частных производных Эйлер здесь и позднее употреблял символы (^£jr) » (*4f) и т* Дм междУ тем как Клеро, также применивший в 1739 (Mém. Ac. Paris) частное дифференцирование, писал еще просто-^-, Лежандр первый определенно противопоставил обозначению ■ , символы-^j-, ^ [Mém. Ac. Paris., 1786 (1788)].

Теорему об однородных функциях двух переменных Эйлер высказал в 1736 во втором томе «Механики». Доказательство ее было приведено в Comm. Ac. Petr. за 1734/35, вышедших только в 1740, и в «Основаниях дифференциального исчисления» (1755), в которых Эйлер распространил теорему на случай п переменных. Теорема об однородных функциях была самостоятельно найдена также А. Фонтеном. По его заявлению свое доказательство для случая п переменных он представил Парижской Академии еще в 1738, но опубликовано оно было лишь в изданных самим Фонтеном мемуарах, представленных Королевской Академии наук, но своевременно не напечатанных (Mémoires donnés à Г Académie royale des sciences, non imprimés dans leur temps, 1764).

Эйлер подверг дальнейшему исследованию с помощью дифференциального исчисления так называемые неопределенные выражения. Именно он рассмотрел случаи — t о • оо

и оо —оо и свел к ним еще некоторые другие. Впрочем, его трактовка вопроса с нашей теперешней точки зрения была лишена должной строгости, ибо он всегда смотрел на бесконечность как на число, с которым можно оперировать, как со всяким другим числом. Кроме того, дифференциальное исчисление получило у Эйлера многообразное применение в теории рядов. Так, не говоря уже о частом употреблении упоминавшейся нами ранее формуле суммирования Эйлера— Маклорена (см. стр. 153), Эйлер использовал его еще для вывода из уже известных рядов новых суммируемых рядов, для формального образования частного данных рядов, их степеней и т. д.

Дополнено было в XVIII столетии и учение о максимумах и минимумах. Точные правила определения экстремума функции y=f(x) в случае обращения в нуль ряда высших производных были даны первоначально Маклореном в его «Трактате о флюксиях». Соответствующие правила для функций двух переменных частично приведены впервые в «Основаниях дифференциального исчисления» (1755) Эйлера, а Лагранж в Misc. Taur. за 1759 показал, как отличать максимум от минимума для функций двух или многих переменных. В «Теории аналитических функций» (1797) Лагранж распространил теоремы Маклорена на функции любого числа переменных. Для исследования условных экстремумов он там же применил называемый по его имени метод неопределенных множителей.

Мы видели, что еще Ньютон распространил вычисление неопределенных интегралов на некоторые биномиальные дифференциалы и на дифференциалы, содержащие квадратный корень из квадратного трехчлена. Он приводил такие интегралы к квадратурам конических сечений. Эти работы были продолжены учеником Ньютона Котесом, который показал, как непосредственно вычислять результаты этих квадратур с помощью логарифмических и тригонометрических таблиц, т. е. свел их к логарифмическим и круговым функциям. С этой целью он, следуя неперову способу определения логарифмов, ввел в качестве меры отношения отрезков произведение некоторой постоянной на логарифм этого отношения. Это мероопределение было затем совершенно забыто и лишь в наше время вновь обрело все свое значение в неевклидовой геометрии. «Гармония мер» заключалась для Котеса в наличии зависимости между этой мерой и мерой угловой, или же, в случае мнимого аргумента, в переходе круговой функции в логарифм. У Котеса, правда, не было еще удобного обозначения круговых функций, но ему все же

удалось свести к ним или соответственно к логарифмам главнейшие биномиальные и трехчленные интегралы1). Издатель сочинений Котеса, Р. Смит, дополнил затем его результаты, воспользовавшись разложением ап±Ьп на действительные множители, которое он нашел в заметках Котеса и которое с правом носит имя своего автора. Но лишь Эйлеру мы обязаны обычной для нас формой вычисления интеграла

подробно разобранного им в «Основаниях интегрального исчисления» (три тома 1768/70; 2-е издание, четыре тома, 1792/94). Еще в «Трактате по интегральному исчислению» (Traité du calcul intégral, том I, 1754; том II, 1756) Л. А. де-Бугенвиля — сочинении, в котором следует видеть продолжение «Анализа бесконечно малых» Лопиталя, — обозначения были весьма громоздкими. Вычисление неопределенных интегралов тригонометрических функций также явилось в значительной мере заслугой Эйлера; в названном труде Бугенвиля не было еще и намека на эту группу интегралов. Наконец, Даламбер подошел к проблеме неопределенного интегрирования с общей точки зрения, поставив вопрос о том, каковы должны быть дифференциальные выражения, интегрируемые в конечном виде (Opuscules mathématiques, т. IV, 1768; Misc. Taur., 1766/69).

В первой трети XVIII столетия математики встретились с рядом задач, приводящих, как мы теперь говорим, к эллиптическим интегралам. К таким задачам пришел, правда, еще Паскаль, а Валлис исследовал некоторые из них посредством своих вычислительных методов. Однако лишь Як. Бернулли в Acta Erud. за 1691 впервые выразил в виде эллиптического дифференциала элемент дуги параболической спирали, уравнение которой в полярных координатах есть (р — а)2 = 2ар@\ отсюда он вывел даже возможность сравнения различных частей дуги. Работы Як. Бернулли и его брата Иоганна (1695 и 1698) привели графа Дж. К. де'Тоски ди-Фаньяно к исследованиям о дугах эллипсов, гипербол и лемнискат и к открытию формул сложения этих дуг, которые он опубликовал в Giorn. de'Letterati d'Italia, 1716. Фаньяно удалось также найти алгебраический способ деления на п частей квадранта лемнискаты, когда n = 2*2m, п = 3-2т, п = 5-2т, где m — целое число. Подобным же образом, только придерживаясь еще более геометрического пути, работал

1) Такая символика была впервые предложена Эйлером в «Механике» (1736), где arctg был обозначен At. Несколько позднее [Comm. Ac. Petr., 1737 (1744)] он стал обозначать наш aresin в виде Asia.

Маклорен, изучивший в «Трактате о флюксиях» (1752) вопрос о сравнении и сложении дуг гиперболы. В то же самое время Даламбер [Mém. Ac. Berl., 1746 (1748)] предложил, напротив, чисто аналитический прием исследования и привел ряд отдельных эллиптических интегралов к уже известным тогда формам. Эйлер впервые увидел, что формулы сложения Фаньяно представляют собой частные решения особых эллиптических дифференциальных уравнений; по их характеру он заключил, что и общий интеграл такого дифференциального уравнения должен представляться в алгебраически-рациональном виде. Руководствуясь своей гениальной интуицией, он вскоре действительно нашел — «potius tentando vel divinando» (скорее ощупью или догадываясь) — интеграл уравнения

где Р(х) = 1—хА. Продвигаясь последовательно вперед, он затем решил эту задачу для случая, когда Р представляет собой общий многочлен четвертой степени, для чего представил интеграл в форме с неопределенными коэффициентами, которые затем и определил. Исследования Эйлера начали публиковаться в Nov. Comm. Petr. за 1756/57 (1761) и были продолжены в следующих томах. В четвертом томе «Оснований интегрального исчисления» (1794) наряду с двумя статьями, вышедшими уже ранее, была помещена еще посмертная работа Эйлера на ту же тему. Позднейшие попытки Эйлера разработать прямой метод нахождения интеграла не удовлетворяли его самого. Это лучше удалось осуществить Лагранжу в Misc. Taur. за 1766/69, что вызвало живое восхищение со стороны Эйлера и побудило его заняться дальнейшим упрощением прямого метода Лагранжа [Act. Ac. Petr., 1778 (ч. I, 1780)]. Кроме того, Эйлер распространил свой прием на значительно более общее дифференциальное уравнение

Xdx Y dy VPjx) ~ VPJy) '

где X и Y — одинаковые рациональные функции х и соответственно г/, а

р (х) = 1 + тх2 + пх\ Р (у) = 1 + ту2 + пу4.

Благодаря этому Эйлер нашел теорему сложения эллиптических интегралов всех трех родов (см. стр. 176). Уже одного этого открытия было достаточно, чтобы увековечить его имя. Эйлер ясно понял, что теорема сложения может иметь место

только в случае, когда Р(х) не выше четвертой степени, т. е., что для гиперэллиптических интегралов она несправедлива [Nov. Comm. Ac. Petr., 1766/67 (1768)]. Мы вынуждены отказаться здесь от ближайшего рассмотрения теоремы и задачи, доказательство и соответственно решение которых Эйлер предложил найти математикам в анонимной статье в Nova Acta Erud. за 1754. В теореме речь шла об алгебраическом спрямлении разности двух дуг конического сечения, а в задаче требовалось алгебраически разделить пополам четверть дуги эллипса. Сын Джулио ди-Фаньяно, Джанфранческо, посвятил этим вопросам три немаловажные работы, в которых ему частично еще помог 80-летний отец (Nova Acta Erud., 1762, 1766/67, 1770). Точно так же мы можем лишь упомянуть изыскания Ш. Боссю и Э. Безу, посвященные задаче Эйлера (статьи обоих авторов появились в Mém. prés. div. sav. Ac. Paris, 1760).

Наряду с этими исследованиями, относившимися, выражаясь геометрически, к дугам одного и того же конического сечения и увенчавшимися открытием теоремы сложения, одновременно велись и другие, посвященные вопросу о том, можно ли выразить дугу любого конического сечения через дугу другого конического сечения, т. е. говоря аналитически, вопросу о преобразовании эллиптических интегралов. Подобными изысканиями занимались в приведенных выше трудах еще Маклорен и Даламбер; последний обратился к ним, кроме того, и позднее, в IV и VII томах Opuscules mathématiques (1768 и 1780) и в Misc. Taur., 1766/69. Но и здесь наиболее плодотворные теоретические идеи были внесены Эйлером. Он предложил включить в анализ дуги конических сечений на правах новых трансцендентных, подобно дугам окружностей. Эта мысль весьма близко подводила к открытию эллиптических функций, как и теорема сложения, сходство которой с соответствующей теоремой для круговых функций не ускользнуло ни от Эйлер, ни от Лагранжа. Уравнение основного конического сечения с полупараметром 1 Эйлер [Nov. Comm. Ac. Petr., 1764 (1766)] взял в виде

Длину дуги он выразил интегралом, который привел к нормальной форме

Эйлер различал двенадцать видов этого интеграла и для каждого из них показал, как можно выразить интеграл с помощью дуг конических сечений. Примыкая к исследованиям

Эйлера, классификацией этого интеграла занялся также Лексель [Act. Ac. Petr., 1778 (ч. I, 1780)]. Совершенно сходную с эйлеровой классификацию того же интеграла дал самостоятельно Дж. Мальфатти, не знавший работ Эйлера (Mem. Soc. Ital., 1784). Другие результаты в учении о преобразовании эллиптических интегралов получили Лагранж в Mém. Ас. Turin., 1784/85 (1786) и П. Феррони в сочинении «Математический этюд о вычислении интегралов» [De calculo integralium etc., Флоренция, 1792). Мысль о введении эллиптических дуг в вычисления наподобие дуг окружности была подхвачена Лежандром, и для более легкого вычисления этих дуг он дал их разложения в ряды [Mém. Ac. Paris., 1786 (1788)]. В некоторых посмертных статьях Эйлера также заключались ценные исследования о приведении интегралов к эллиптическим, а именно, были определены алгебраические кривые, которые могут быть спрямлены посредством дуг конических сечений [Nov. Act. Ac. Petr., 1787 (1789), составлено в 1776 (две статьи); Mém. Ac. Petr., 1830, составлено в 1781 (две статьи)]. Эйлер же вслед за Маклореном («Трактат о флюксиях», 1742) подробно рассмотрел в Приложении I к «Методу нахождения кривых линий и т. д.» (1744) упругую кривую, уравнение которой

содержит эллиптический интеграл; он возвратился к этому предмету и позднее [Act. Ac. Petr., 1782 (ч. I, 1786)]. Упругой кривой занимался еще Як. Бернулли (Acta Erud., 1694, 1695). Эйлер, далее, в Comm. Ac. Petr., 1732/33 (1738) разложил длину дуги эллипса в быстро сходящийся ряд [см. также Nov. Comm. Ac. Petr., 1773 (1774)].

Мы перейдем теперь к некоторым работам уже знакомого нам Дж. Ландена (Phil. Trans., 1771 и 1775; Mathematical Memoirs, I, 1780 и «Приложение» к ним). Сначала Ланден представил разность двух гиперболических дуг в виде отрезка, а затем, во второй статье, дал одно важное преобразование, с тех пор носящее его имя. Значение преобразования Ландена было надлежащим образом выявлено Лежандром; он это фактически сделал в вышеприведенной статье, еще не зная о работе Ландена, но в другой статье того же тома Mém. Ac. Paris это сделано им уже сознательно. Результат Ландена заключался в измерении любой гиперболической дуги с помощью разности дуг двух различных эллипсов.

В качестве последнего и вместе с тем важнейшего для последующего развития теории эллиптических интегралов

сочинения мы отметим «Мемуар об эллиптических трансцендентных и т. д.» (Mémoire sur les transcendantes elliptiques etc.) Лежандра, вышедший отдельным изданием в 1793/94 (год II). Свое влияние эта работа оказала, впрочем, лишь после того, как основное содержание ее было включено в лежандровы «Упражнения по интегральному исчислению» (Exercices de calcul intégral, т. I, 1811). В «Мемуаре» Лежандр дал в употребляемой ныне форме классификацию эллиптических интегралов по трем родам, получившую с тех пор фундаментальное значение. Если

то три рода эллиптических интегралов таковы:

Ко II роду принадлежат, в частности, эллиптические и гиперболические дуги.

Далее Лежандр привел формулы сложения и умножения интегралов I рода; он показал, что задача деления на п частей вообще зависит от алгебраического уравнения степени м2, и разобрал преобразования интегралов всех трех родов, когда между старыми и новыми k и соответственно ф имеются определенные отношения1).

Все тот же великий Эйлер установил в 1769 году в Nov. Comm. Petr. (ч. I, 1770) понятие двойного интеграла и на различных примерах показал, как его вычислять и применять. Вслед за тем Лагранж, занимаясь проблемой притяжения сфероидальных тел, пришел к тройным интегралам [Nouv. Mém. Ac. Berl., 1773 (1775)] и рассмотрел для них вопрос о преобразовании переменных. При этом он привел формулы для случая общих криволинейных координат, которые применил при исследовании той же проблемы Лаплас («Трактат о небесной механике», 1799).

Мы помним, что понятие определенного интеграла первоначально возникло из квадратуры площадей, и уже современник Ньютона, Дж. Грегори, сумел, исходя из этих воззрений,

1) Из дневника Гаусса, найденного П. Штекелем и опубликованного в 1901 Ф. Клейном в Festschrift d. Ges. d. Wiss. zu Göttingen, мы знаем, что уже в юношеском периоде Гаусс глубоко проник в теорию эллиптических интегралов. Но некоторые рукописные фрагменты Гаусса по этим вопросам были опубликованы лишь после его смерти.

вывести формулу приближенного вычисления определенных интегралов (см. стр. 119). Формула Грегори была впоследствии вновь открыта Т. Симпсоном в «Математических рассуждениях на физические и аналитические темы» (Mathematical Dissertations on Physical and Analytical Subjects, Лондон, 1743), и теперь ее везде называют «формулой Симпсона». В современных обозначениях она имеет вид

Эта формула представляет собой существенное обобщение другой формулы, тоже часто называемой симпсоновой, а именно:

которая по геометрическому содержанию восходит еще к Торричелли (1644) и которую рассмотрел в «Гармонии мер» Котес (1722). В «Основаниях интегрального исчисления» (т. I, 1768) Эйлер для приближенного вычисления интеграла предложил прием, основывавшийся, по существу, на первоначальном определении определенного интеграла как суммы элементов, совершенно оставленном в тот период формального развития интегрального исчисления. Однако ни Эйлер, ни ктолибо другой из его современников никогда не определяли понятие об определенном интеграле в таком духе. Для Эйлера интегральное исчисление было только методом отыскания соотношения между самими величинами по данному соотношению между их дифференциалами. Определенный интеграл он получал из неопределенного, подставляя фиксированные значения вместо переменных; поэтому он никогда не писал пределов интегрирования. Когда нужно было взять интеграл в определенных пределах, то это по большей части выражалось словами. В позднейшие годы жизни Эйлер писал также

что означало наш jPdx (ср., например, его Opuscula апаlytica, т. II, 1785, стр. 17).

Тем не менее Эйлер исследовал ряд настоящих определенных интегралов; мы уже видели это, когда речь шла о функциях бэта и гамма (стр. 152). Кроме того, в ряде статей, появившихся, главным образом, в Commentarii и в Acta Петербургской Академии, Эйлер вычислил множество труднейших определенных интегралов. Мы приведем для примера интеграл

который Эйлер сообщил в 1775 Лагранжу, чем дал последнему повод, со своей стороны, предложить Эйлеру два других подобных интеграла. Вычислением определенных интегралов занимался, правда, лишь при случае, и Лаплас. В известном нам уже «Мемуаре о вероятностях» [Mém. Ac. Paris, 1778 (1781), ср. стр. 105] он применил интеграл

При r= 1 и четном m он нашел, что

а значение последнего интеграла, играющего большую роль и в современной теории вероятностей, равное Vп> он получил путем приведения его к некоторому двойному интегралу1). Так как мы вынуждены отказаться даже от изложения соответствующих работ Эйлера, то отдельные результаты других математиков здесь не заслуживают упоминания. Мы должны особо остановиться на интеграле

1) Этот результат не был, собственно говоря, нов. В самом деле, при подстановке г=е~*2 он вытекает из равенства 1 _j_

установленного еще в первом томе «Механики» Эйлера (1736).

называемом со времени Зольднера (1811) «интегральным логарифмом». В «Основаниях интегрального исчисления» (т. I, 1768) Эйлер разложил Ii (е~х) в ряд

где С снова представляет собой так называемую постоянную Эйлера (ср. стр. 153). Л. Маскерони, именовавший интегральный логарифм «гиперлогарифмом», вычислил с помощью этого ряда в первой части своих «Примечаний к интегральному исчислению Эйлера и т. д.» (Adnotationes ad calculum integralem Euleri etc., 1790/92) 32 десятичных знака постоянной С, из которых, впрочем, правильными оказались только 19. Функция \\(х) очень важна потому, что разность

асимптотически выражает число простых чисел, меньших х.

В 1849 Гаусс сообщил астроному Энке, что мысль об этом возникла у него еще в 1792/93, когда он был мальчиком 15—16 лет. Эта догадка сходна с известным предположением Лежандра (см. стр. 86).

При вычислении различных определенных интегралов встретились некоторые затруднения, которые теперь разрешают с помощью комплексных переменных и интегрирования по пути в комплексной области. Как мы знаем, комплексные переменные при интегрировании применили уже Лейбниц и Иог. Бернулли (стр. 24), а Даламбер [Mém. Ac. Berl., 1746 (1748)] утверждал не только то, что всякое аналитическое выражение, зависящее от x + iyt можно привести к виду p + iq, но даже что дифференциал f(x+iy)d(x+iy) всегда можно представить в форме dp + idq. Мы говорили выше и об этом. Эйлер, несомненно, знавший работы Даламбера, указал как на основной в учении с мнимых величинах факт, что если y(x + iy) =M + iN, то ф(х — iy)=M — IN. Это свойство он использовал [см. четыре статьи от 1777 в Nov. Act. Petr., 1789 (1793, две статьи), 1792 (1797), 1797/98 (1805)], чтобы посредством подстановки z = x + iy и отделения действительной и мнимой частей получить из интеграла

где Z = M + iN и V=P + iQ, действительные интегралы

Его весьма поразило при этом, что он неизменно находил таким образом две функции М(х, у) и N(x, у), удовлетворяющие условиям

Впрочем, еще Даламбер в «Опыте новой теории сопротивления жидкостей» (Essai d'une nouvelle théorie de la résistance des fluides, Париж, 1752), занимаясь одной гидродинамической задачей, нашел, что если M и N образуют действительную и мнимую части комплексной функции, то обязательно имеют место уравнения (А). Эйлер применил этот метод интегрирования уже в своей фундаментальной работе по гидродинамике в Mém. Ac. Berl., 1755 (1757), а Лагранж использовал его для конформного отображения на плоскость поверхности вращения [Nouv. Mém. Ac. Berl., 1779 (1781)]. В первом томе своих «Математических сочинений» (1761) Даламбер заметил связь между комплексными функциями и уравнением

Хотя уже Клеро («Теория фигуры Земли и т. д.» — Théorie de la figure de la terre etc., 1743) рассмотрел интеграл f Pdx-\-Qdy, взятый вдоль кривой, a еще ранее того привел необходимые условия, чтобы Pdx+Qdy было полным дифференциалом [Mém. Ac. Paris, 1740 (1742)], Эйлер в названной работе не смог предпринять с этими уравнениями и интегралами ничего дальнейшего. Это объяснялось тем, что он, как мы уже говорили, не привык рассматривать интеграл как бесконечную сумму; подстановку z=v(cos ц + i sin ср) он производил собственно для того, чтобы получать интегралы функций одной переменной. В другой статье 1777 [опубликована в Nov. Act. Ac. Petr., 1794 (1801)] он разобрал примеры, в которых V(z) =ln (l±z) или In (1 — 22cos a + z2) или arctg . z 1П-, и для того, чтобы отделить здесь действительную часть от мнимой, ему пришлось применить «немало остроумия». Особенно плодотворным оказался этот метод, когда Эйлер положил в определяющем уравнении Г-функции x = ky, где k — комплексное число (опубликовано в «Основаниях интегрального исчисления», т. IV, 1794, но написано еще в 1781). Прежде всего он получил два довольно общих определенных интеграла, зависящих от Г-функции,

а затем вывел из них несколько более частных, среди которых отметим

найденный им посредством смелого предельного перехода.

Еще несколько ранее Лаплас [«Мемуар о приближениях формул, являющихся функциями очень больших чисел» — Mém. Ac. Paris, 1783 (1786)] пришел к интегралам с мнимыми пределами, которые он искусно свел к интегралам с действительными пределами. Лаплас определенно подчеркивал необходимость последующего доказательства, протекающего в области действительных величин. Теория функций комплексного переменного выросла из этих уже наличных ростков только в XIX столетии1).

1) Подробности см. в книге А. И. Маркушевича, указанной в Библиографии. — Прим. ред.

ГЛАВА ВОСЬМАЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

§ 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Различные проблемы, занимавшие математиков в конце XVII и начале XVIII столетий, привели к разнообразным дифференциальным уравнениям первого порядка. Интегрирование их прежде всего попробовали осуществить с помощью функций, выражающихся конечным числом алгебраических действий или уже содержащих элементарные трансцендентные. Именно так еще Ньютон в «Началах» (1687) решил одно линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Но вскоре нашли, что в таком виде проблема интегрирования дифференциальных уравнений вообще неразрешима и к делу привлекли также неопределенные интегралы, т. е. стали искать решение дифференциальных уравнений в квадратурах. Например, Эйлер в Comm. Ac. Petr., 1732/33 (1738) привел решение уравнения

аУ i У2 _ f dx ■ X ~ X2 — 1

к спрямлению эллипса. Первым приемом интегрирования дифференциальных уравнений, естественно, оказалось отделение переменных. В «Математических лекциях о методе интегралов» (1691/92, опублик. 1742; ср. Acta Erud., 1694) Иоганн Бернулли применил в отдельных случаях интегрирующий множитель, который он использовал также для решения одного линейного уравнения п-то порядка, о чем будет идти речь ниже. Ш. Рейно, познакомившийся с этим приемом по экземпляру лекций Бернулли, имевшемуся у Лопиталя, опубликовал его в своем «Доказанном анализе» (Analyse démontrée, 1708). С помощью подстановки y=xt И. Бернулли решил, далее, однородное уравнение первого порядка; эта подстановка, впрочем, была известна Лейбницу еще до 1693. Однако в опубликовании этого приема Лейбни-

ца и Бернулли опередил итальянец Г. Манфреди (Giorn. де'Letterti d'Italia, 1714). В Acta Erud., 1697 И. Бернулли проинтегрировал уравнение, часто называемое по его имени,

ady = ypdx + bynq dx,

где а и Ь — постоянные, а р и q — функции одного х. Для этого он представил у в виде произведения двух новых переменных и показал, что при подстановке yl~n = v это уравнение переходит в линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Лейбниц отметил это обстоятельство еще раньше, в марте 1696 (Acta Erud.).

В том же году (июльская тетрадь Acta Erud.) результат решения этого уравнения привел также Як. Бернулли. Прием Иоганна Бернулли по существу был тождествен с методом вариации постоянных. Наконец, уже к 1700 И. Бернулли решил линейное дифференциальное уравнение

последовательно понижая порядок с помощью интегрирующего множителя вида х?.

Итальянец граф Дж. Риккати присоединил к этим разрозненно применявшимся методам еще некоторые иные. Так, в одной работе в Giorn. de'Letterati d'Italia, 1715 он привел способ понижения порядка дифференциального уравнения второго порядка, содержащего явно лишь одну из переменных, посредством замены yf' на у' '• Еще ранее этот способ был, правда, употреблен Як. Бернулли, но соответствующая статья швейцарского математика увидела свет лишь в 1744, во втором томе его «Сочинений». Риккати, далее, впервые методически исследовал одно важное уравнение, которое носит его имя и которое он привел (Acta Erud., Suppl. VIII, 1724) в виде

хп dg _ du . и2 dx dx*~q*

Здесь и и q первоначально представляли собой любые функции X и у, но затем Риккати положил q = xn. К этому же уравнению он пришел, стараясь привести к уравнению первого порядка дифференциальное уравнение xnd2x = d2y + dy2; эту мысль развил затем в различных направлениях Даламбер [Mém. Ac. Berl., 1763 (1770)]. Тем же самым уравнением задолго до Риккати неоднократно, но безуспешно занимался в своей переписке с Лейбницем Як. Бернулли. Самому Риккати были хорошо известны случаи, в которых его уравнение

решается путем отделения переменных, хотя в опубликовании этого результата его опередил второй сын Иог. Бернулли— Даниил («Некоторые математические этюды» — Exercitationes quaedam mathematicae, Венеция, 1724). Уравнением Риккати занимались также отец Даниила — Иоганн, его двоюродный брат Ник. I Бернулли, его брат Николай II (см. Suppl. VIII к Acta Erud., 1724) и Хр. Гольдбах [Comm. Ас. Petr., 1726 (1728)]. Впрочем, они не добились чего-либо существенно нового. Лишь Эйлер нашел, что если известен частный интеграл v более общего дифференциального уравнения

^ = ц(х)у*+Ъ(х)у + г,(х)

[это уравнение Даламбером в письме к Лагранжу от июня 1769 было названо уравнением Риккати; ср. Mém. Ac. Berl., 1763 (1770)], то подстановка у — ^+4" переводит его в линейное дифференциальное уравнение [Nov. Comm. Ac. Petr., 1760/61 (1763), 1762/63 (1764)]. Эйлер же показал, что когда известны два частных решения, то интегрирование уравнения Риккати требует только квадратуры. Обобщенное уравнение Риккати встречалось у Эйлера еще в Comm. Ac. Petr., 1738 (1747). Решение простого уравнения Риккати с помощью рядов Эйлер дал там же еще в 1732/33 (1738).

С уравнения Риккати начинается методическая разработка теории дифференциальных уравнений. В 1732 вышла пролагавшая в этом направлении пути статья Эйлера о трех новых классах дифференциальных уравнений второго порядка (Comm. Ac. Petr., 1728). Эйлер изложил в ней новый метод, позволявший с помощью показательных функций понижать на единицу порядок некоторых однородных уравнений. Позднее этот прием привел Эйлера к единому алгорифму решения линейного дифференциального уравнения п-го порядка с постоянными коэффициентами. Решением однородных уравнений этого класса Эйлер обладал уже в 1739, как это видно из одного письма к Иоганну Бернулли. Получив решение, повидимому, почти одновременно с Дан. Бернулли [ср. Comm. Ac. Petr., 1741/43 (1751)], Эйлер обнародовал его, однако, только в 1743 в Miscell. Berol. При этом он впервые ввел здесь понятия частного и общего интегралов. В решении неоднородного линейного уравнения Эйлера опередил в некоторой мере Даламбер. Именно, в 1747 (опубликовано в 1750 в Mém. Ac. Berl. за 1748) Даламбер, в дополнение к своему важному исследованию систем дифференциальных уравнений, к которому мы обратимся позднее, очертил весьма общий метод, ведущий к цели и в случае неоднородного линейного

уравнения. Метод Даламбера состоял в приведении решения уравнения высшего порядка к решению системы совместных дифференциальных уравнений первого порядка. Вслед за тем Эйлер дал подробное решение неоднородного уравнения, в котором разработал все возможные здесь случаи [Nov. Comm. Ac. Petr., 1750/51 (1753)]. Прием Эйлера заключался в следующем. Он умножал уравнение, например,

X = Ay+By' + Cf

на еах, а затем принимал, что его интеграл имеет вид

где А' и В' — неопределенные коэффициенты. Дифференцируя последнее выражение и почленно сравнивая результат с данным дифференциальным уравнением, он определял три постоянные А', В', а. Тем самым задача сводилась к решению уравнения

е-ах ^e*xXdx=A'y-{-B'y\

порядок которого на единицу ниже, чем у начального. Таким же путем понижался порядок вновь возникшего уравнения и т. д. Исследование линейного дифференциального уравнения было завершено в работах Даламбера [Mise. Taurin., 1762/65 (1766)], Лагранжа [там же и Nouv. Mém. Ac. Berl., 1775 (1777)] и в одной статье Лапласа (Misc. Taur., 1766/69). В мемуаре 1775 Лагранж разработал так называемый метод вариации постоянных и, в частности, приложил его к решению неоднородного линейного дифференциального уравнения. Заметим, что метод вариации постоянных был известен Эйлеру, судя по одному его письму к Иог. Бернулли, еще в начале 1739 (ср. стр. 183). В конкурсном сочинении о приливах и отливах от 17401) Эйлер решил с его помощью уравнение

одновременно и независимо это сделал, как явствует из переписки, Дан. Бернулли. Эйлер применил метод вариации постоянных также в Comm. Ac. Petr., 1739 (1750), а в премированном в 1748 конкурсном сочинении о неравенствах в

1) «Физическое исследование причины морских приливов и отливов» (Inquisitio physica in causam fluxus ас refluxus maris). Помещено в томе Pièces qui ont remporté le prix... en MDCCXL (Париж, 1741) и в Recueil des pièces qui ont remporté etc. (четыре тома, 1752).

движении Юпитера и Сатурна решил с его помощью уравнение возмущенного движения1). Подробнее изложил этот прием Эйлер в Mém. Ac. Berl., 1747 (1749). В другой конкурсной работе о возмущениях планетных орбит2) (премированной в 1756, а опубликованной в 1771) Эйлер приложил тот же прием к исследованию вариации всех шести элементов, определяющих движение планеты. Совершенно сходный способ употребил Лаплас в Mém. Ac. Paris, 1772 (ч. 1, 1775).

В упомянутой работе в Misc. Taur. за 1762/65 (1766) Лагранж решил уравнение

X = y+A(x+h)%+A'{x+h?£$r+A"(x+h?^+ ....

где Л, Л, А', А", ... суть постоянные. Примыкая к этому решению, Лаплас (Misc. Taur., 1766/1769) занялся более общим уравнением вида

Х=„+Н%+Н'§+Н-%+...,

где X, Н, Н\ Я", ... суть функции х. Он показал, что если известны п — 1 частных решений некоторого другого, нелинейного уравнения, то общий интеграл приведенного уравнения тотчас получается с помощью квадратур. При п = 2 вспомогательное уравнение оказывается уравнением Риккати. Если, например, дано дифференциальное уравнение второго порядка

то достаточно знать лишь одно частное решение уравнения Риккати,

чтобы немедленно получить с его помощью общий интеграл первого уравнения посредством интегрирования двух линейных уравнений первого порядка.

Для дифференциального уравнения

1) «Исследования по вопросу о неравенствах в движении Сатурна и Юпитера и т. д.» (Recherches sur la question des inégalités du mouvement de Saturne et de Jupiter etc., Париж, 1749).

2) «Исследование возмущений, которые испытывает движение планет от их взаимодействия» (Investigate perturbationum quibus planetarum motus ob actionem eorum mutuam afficiuntur, в 8-м томе Recueil des pièces etc.).

где а не зависит от у, у\ ..., у(п\ Лагранж высказал теорему, что если известны m частных решений более простого уравнения

0 = сцу + а1у'+ ... +апуМ,

то решение первого уравнения приводится к интегрированию линейного дифференциального уравнения (п — m)-го порядка. Это приведение, возможность которого была указана Лагранжем, конкретно осуществил в названной выше работе Даламбер.

Возвращаясь к дифференциальным уравнениям первого порядка, которые мы оставили на уравнении Риккати, укажем, что метод интегрирующего множителя, примененный к решению их в отдельных случаях еще Иог. Бернулли, а затем и его сыном Николаем II (Acta Erud., 1720), был вновь открыт почти одновременно А. Клеро [Mém. Ac. Paris, 1739 (1741) и 1740 (1742)] и Эйлером [Comm. Ac. Petr., 1732/33 (1739) и 1734/35 (1740); Nov. Comm. Petr., 1760/61 (1763) и 1772 (1773)]. В своих «Основаниях интегрального исчисления» (тома I и II, 1768/69) Эйлер подверг его тщательной разработке. Доказательство существования интегрирующего множителя у всякого дифференциального уравнения первого порядка дали одновременно Эйлер и Даламбер в т. IV Opuscules mathématiques (1768). Главная же заслуга Эйлера заключалась в установлении классов дифференциальных уравнений, обладающих интегрирующим множителем заданной формы. С теорией интегрирующего множителя был, разумеется, тесно связан вопрос об условиях интегрируемости дифференциальных выражений от двух или многих переменных; этот вопрос возник, главным образом, из задачи о траекториях. Изучением этих условий занимались как Клеро, так и Эйлер; последний привел интегрирование таких дифференциальных выражений к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений.

В третьем томе «Оснований интегрального исчисления» (1770) Эйлер распространил понятие интегрирующего множителя на уравнения п-го порядка. Теория Эйлера основывалась на определении условий, при которых «дифференциальная функция п-го порядка» V(x, у, у', .., у^) является полной производной дифференциальной функции (п— 1)-го порядка W(x, у, у\ .., у(п-1)). Такие условия были найдены Эйлером с помощью вариационного исчисления еще в Nov. Comm. Ac. Petr., 1764 (1766), а независимо от него приведены в сочинении Кондорсе «Об интегральном исчислении» (Du calcul intégral, Париж, 1765). Позднее их получили прямым путем А. Лексель в Петербурге [Nov. Comm. Ac. Petr.,

1770 (1771) и др. При выполнении соответствующих условий W находится простой квадратурой. Хотя дифференциальные уравнения в частных производных, которым удовлетворяет интегрирующий множитель, довольно сложны, Эйлер все же дал некоторые применения интегрирующего множителя к уравнениям второго и третьего порядков. Это относится также к Лекселю [Nov. Comm. Petr., 1771 (1772)]. Приложение того же приема к линейным уравнениям п-то порядка привело Лагранжа к открытию «сопряженного уравнения» для интегрирующего множителя, сопряженным с которым в свою очередь является первоначальное уравнение [Misc. Taur., 1762/65 (1766)].

Замечательно, что дифференциальные уравнения с тремя переменными, не удовлетворяющие условию интегрируемости, долгое время считали нелепыми, пока Г. Монж не дал их геометрической интерпретации и не показал тем самым, что и они обладают реальным значением [Mém. Ac. Paris, 1784 (1787)]. Подобные уравнения рассматривал в своем «Методе флюксий» еще Ньютон, но затем его совершенно правильные взгляды были полностью забыты. Очень странно, что Эйлер, неоднократно занимавшийся интегрированием уравнения ds2 = dx2 + dy2 (решение которого в несколько отличном виде дал ранее Иоганн Бернулли в Acta Frud. за 1724), был твердо уверен в абсурдности дифференциальных уравнений вида Р dx+Q dy + R dz=0, когда они не удовлетворяют условию интегрируемости. Решение уравнения дифференциала дуги Эйлер дал еще в Comm. Ac. Petr., 1730/31 (1738), а вывод приведенных там формул сообщил в Nov. Comm. Ac. Petr., 1754/55 (1760).

Особое решение дифференциального уравнения впервые встречается в «Методе приращений» (1715) Тейлора. Тейлор хотя и получил его посредством дифференцирования данного дифференциального уравнения, однако не понял его значения. Данное Тейлором полученному решению название— «некоторое особое решение» («singularis quaedam solutio»), из которого позднее возник термин «особое решение», объяснялось просто тем, что решение казалось ему необыкновенным. После того Клеро, продифференцировав дифференциальное уравнение, носящее его имя, также нашел его особое решение [Mém. Ac. Paris, 1734 (1736)]. Он установил, что это решение не содержится в общем интеграле уравнения, но для него осталось еще неизвестным, как особое решение получается из общего. При этом Клеро все же видел, что прямые линии, представляющие общее решение, огибают кривую, соответствующую особому решению; это геометрическое свойство служило даже для него исходным пунктом.

Под влиянием статьи Клеро Даламбер вывел таким же путем особое решение более общего дифференциального уравнения

у=ху>(у')+Ъ(у')

[Mém. Ac. Berl., 1748 (1750) и Mém. Ac. Paris, 1769 (1772)]. Это уравнение, называемое уравнением Даламбера, было, как можно заключить по одному письму к Лейбницу, проинтегрировано еще в 1694 Иоганном Бернулли.

Эйлер рассмотрел ряд дифференциальных уравнений с особыми решениями еще во втором томе своей «Механики» (1736). После того он в 1756 специально занялся двумя парадоксальными, на его взгляд, обстоятельствами, заключавшимися в том, что такое решение уравнения можно получить путем дифференцирования и что оно не содержится в общем решении [Mém. Ac. Berl., 1756 (1758)]. Но хотя Эйлер геометрически построил ряд дифференциальных уравнений с особыми решениями, он не заметил, что последние дают огибающие семейств кривых, выражающихся общим решением, а просто считал получающееся в таких случаях общее решение недостаточным. Позднее, в первом томе «Оснований интегрального исчисления» (1768), Эйлер установил первый общий признак, позволяющий определить, принадлежит или нет данное решение дифференциального уравнения к числу частных решений. Но и тогда он не проник глубже в природу особых решений, все еще представлявшихся ему парадоксальными; он не имел для них и специального названия. Однако работы Эйлера возбудили к этому предмету общий интерес. Уже в одной работе, помещенной в Mém. prés. div. sav. Ac. Paris, 1774, a также в последующей1) статье в Mém. Ac. Paris, 1772 (ч. I, 1775), Лаплас привел еще два критерия для определения характера какого-либо данного решения дифференциального уравнения и предложил методы нахождения особых интегралов.

Лагранжа, по его собственным словам, побудили обратиться к этой актуальной тогда проблеме непосредственно исследования Лапласа. Уже в Nouv. Mém. Ac. Berl., 1774 (1776) Лагранж опубликовал обширную статью, которая впервые, насколько это было возможно в его время, исчерпывающе трактовала вопрос. Показав прежде всего, как можно найти особое решение либо прямо из дифференциального уравнения, либо из общего интеграла посредством дифференцирования по постоянной, он затем совершенно ясно проана-

1) Эта статья была более поздней, чем первая, на которую автор в ней ссылался.

лизировал геометрическую зависимость между частными интегральными кривыми и кривой особого решения. Тем самым он, наконец, связал дифференциальные уравнения с давно известной и подробно разработанной теорией огибающих. В другой статье того же журнала [1779 (1781)] Лагранж значительно расширил круг своих занятий, включив в него вопрос о геометрическом смысле особых решений дифференциальных уравнений высших порядков и уравнений с частными производными. Впоследствии выяснилось, что условия существования особого решения, выведенные им как из дифференциального уравнения, так и из уравнения его интеграла, являлись только необходимыми, но не достаточными. Напротив, парадоксы Эйлера получили у Лагранжа окончательное объяснение. Систематическое и основанное на единой точке зрения изложение всех тогдашних сведений об особых решениях обыкновенных дифференциальных уравнений Лагранж дал в «Лекциях об исчислении функций» (1801)1), в которых присоединил также кое-что новое. Так, Лагранж доказал здесь теорему, выставленную еще Кондорсе (Misc. Taur., 1766/69), а потом снова приведенную Эйлером («Основания интегрального исчисления»), о том, что для особого решения интегрирующий множитель дифференциального уравнения обращается в бесконечность. Он дал новое, получившее впоследствии большое значение правило нахождения особого решения (если таковое существует) уравнения первого порядка и показал, как можно распространить это правило на уравнения высших порядков. Далее, Лагранж развил метод получения дифференциального уравнения, для которого данная кривая у = у(х) является особым решением. При этом он получил обширный класс дифференциальных уравнений, обладающих заданными особыми решениями. Именно, он доказал следующую теорему: если F (х, у, a, ft, с,...) =0 представляет собой любую функцию с произвольными постоянными а, 6, с, ... и если подставить значения a, ft, с,..., определяемые уравнениями F(x, */)=0, F'(x, у)=0у F"(x, у)=0, ••• и выраженные через х, у, у', у",..., в любое уравнение Ф(а, 6, с,...)=0, то полученное таким образом дифференциальное уравнение будет иметь особое решение. Следует заметить, что «Лекции» Лагранжа ввели в математику термин «особое решение» в противоположность термину «частное решение»; только у Лагранжа это решение называлось «особое примитивное уравнение» («équation primitive singulière»).

1) Отдельное издание «Лекций» (Leçons sur le calcul des fonctions) вышло в 1806. Эти «Лекции» впервые были напечатаны в Séances Éc norm, и вторично в Journ. Éc. polyt., XII (1804).

Мы упоминали, что уже Даламбер свел решение неоднородного линейного дифференциального уравнения п~го порядка с постоянными коэффициентами к решению п совместных дифференциальных уравнений [Mém. Ac. Berl., 1748 (1750)]. К такой трактовке этих дифференциальных уравнений Даламбера привело, вероятно, рассмотрение дифференциальных уравнений динамики

d2x _ у d2y _у d2z_у

~dF~~~A' 1F~Ï% ~aW~^'

из которых первые два встречались еще в «Трактате о флюксиях» (1742) Маклорена. Действительно, в указанной статье Даламбер первый подверг исследованию такие уравнения. Он начал с простейшего случая линейной системы с постоянными коэффициентами

dx + (Cx-\-Dy)dt = 0% dy + (Kx + Ly)dt = 0,

затем перешел к трем уравнениям, построенным таким же образом, и, наконец, разобрал еще неоднородные уравнения

ТА dx + Г В dy + Г dt (Сх + Dy) + Qdt = 0,

T'Fdx+T'Q dy-\-r'dt(Kx + Ly) + Q'dt = 0,

в которых Т\ Т"6, 8' суть функции t Метод Даламбера, который он применил в одном частном случае еще в «Трактате по динамике» (Traité de dynamique, 1743) употребляется и теперь; он заключается в применении постоянных множителей. Даламбер увидел также возможность распространения этого метода на систему п уравнений. Тридцать лет спустя, в т. VII Opuscules mathématiques (1780) Даламбер еще раз обратился к тому же приему и показал, что если принять в качестве множителей произвольные функции, то при некоторых условиях прием приводит к цели и для более сложных уравнений. В «Трактате по динамике» Даламбер сообщил также способ интегрирования уравнений движения d2x

— Jraix-\-ßiy + yiz=Ti (/=1, 2, 3)

в случае, когда ai, ß*, у* суть постоянные, а Т{ — функции Примыкая к этому, Лексель показал, как решаются уравнения

■^-+a/-^- + ß/-§-+Y^+o^=7,/ (/=1, 2)

[Act. Ac. Petr., 1777 (ч. I, 1778)]; в Act. Ac. Petr. за 1779 (ч. II, 1783) он решил еще более общую систему.

Попытки применить основные уравнения механики к задачам теории планетных движений, именно, к задаче трех

тел, сразу привели к изобретению приближенных методов решения дифференциальных уравнений. Эксцентриситеты планетных орбит, наклон их к эклиптике и действия сил тяготения в теории возмущений представляют собой очень малые величины. Поэтому со времени выхода «Исследований о системе мира» (1754) Даламбера (см. стр. 163) пришли к мысли рассматривать в качестве приближенных решений круговые орбиты, а затем исправлять эти приближения с помощью рядов, расположенных по возрастающим степеням указанных малых величин. Бесконечные ряды такого характера вводились по-разному: либо пользовались способом, придуманным еще Ньютоном для приближенного решения алгебраических уравнений: так поступали сначала Даламбер, затем Эйлер в «Теории Луны» [Théorie de la Lune, в Recueil d. pièces cour, de Paris, 1770 (1777)] и Кондорсе в Mém. Ac. Paris, 1769 (1772), 1770 (1773), 1771 (1774), —либо же прямо вводили ряды с неопределенными коэффициентами, которые старались определить по дифференциальному уравнению. Эйлер разработал первый метод в указанном выше конкурсном сочинении о теории движения Луны и изложил его в первом томе «Оснований интегрального исчисления» (1768) следующим образом. Если

% = V(x,y)

есть дифференциальное уравнение первого порядка и у = Ь при х=а, то при х = а + ш, где со сколь угодно малая величина, - , dy « со2 d2y , со3 d3y .

^6 + °^ + -2Г^ + -зГ^+ •••

При этом в значения дифференциальных частных, получаемые из дифференциального уравнения, следует подставить величины х = а, у = Ь. Если обозначить найденное таким путем приближенное значение Ь' и положить а + со = а/, то при х = а' + ы' точно так же получается

»-*+"(£)+£(&)+••••

где в дифференциальные частные следует теперь подставить х = а\ у = Ь' и т. д. Эйлер получает, таким образом, последовательность приближенных значений у для х=а, а + со, а + 2ш и т. д. Он довольствуется при этом замечанием, что для достаточно малых значений ш ряды быстро сходятся. В другой главе того же труда (т. II, 1769) он показал, как распространить этот метод на общие дифференциальные уравнения

второго порядка, к частным случаям которых он применил его уже в вышеупомянутых астрономических работах.

Если дано дифференциальное уравнение второго порядка

&-v(*,j) (,_£)

и если р = с при х = а, у = Ь, то можно положить

X

р==с+(х—а)У— ( (x — a)dV

dV = Pdx+Qdy+Rdp = (P+Qp + RV)dx.

Если принять сначала, что множитель при dx есть постоянная, то

p=c+{x-a)Va-±(P+Qc+RVa)(x-a?>

а отсюда получается приближенное значение у для х = а + ы: y = b+(x- a)c+±Va(x-af-±(P+Qc+RVa) (x-af.

Здесь Va представляет собой значение, которое принимает V при х = а, у = Ь, р = с. Полагая теперь

дг = а + о) — а',

^==b + c(ù+^va(ù2_^ip+Qc + RVa)(ù3i

c' = c+Va<*-±(P+Qc + RVa) со*,

мы можем немедленно получить таким же образом приближенное значение у, соответствующее л: = а/ + со, и т. д. Эйлер рассматривает также исключения, которые могут встретиться при употреблении этого правила в некоторых случаях, и указывает, какие следует тогда соблюдать меры предосторожности.

Для решения уравнений возмущенного движения Лагранж применил в Misc. Taur., 1762/65 (1766) несколько иной метод, разработанный далее Кондорсе. Если при замене одной из упомянутых выше малых величин на нуль из данного дифференциального уравнения возникает линейное или какое-либо другое интегрируемое уравнение, то общий интеграл последнего дает первое приближение у = У\ для решения исходного уравнения. Подставляя затем в исходное уравнение y = ï/i + cû(//, мы после деления на со получаем дифференциаль-

ное уравнение того же порядка, служащее для определения у\ и т. д. В конце концов интеграл находится в виде y = yi + + со/// + со2(/"+ . . . Однако при пользовании этими методами в случае уравнений возмущенного движения интегралы получались в форме рядов, расположенных по степеням х, между тем как х вообще не входил явно в дифференциальные уравнения. Лагранж попытался устранить этот недостаток, приспособив к приближенному решению таких дифференциальных уравнений метод вариации постоянных. Сжато очертил он свой прием в Nouv. Mém. Ac. Berl., 1775 (1777). После того как Лаплас употребил без особого успеха этот способ в Mém. Ac. Paris, 1777 (1780), Лагранж в обширной статье в Nouv. Mém. Berl., 1781 (1783) приложил его к системе совокупных уравнений второго порядка, а в заключение дал подробное его обоснование в том же журнале за 1783 (1785). Но вскоре Ж. Трамблей показал, что старания обойти первоначальный метод с помощью вариации постоянных оказываются излишними, если воспользоваться показательными функциями с мнимыми показателями [Nouv. Mém. Berl., 1786/87 (1792)].

Второй названный нами способ приближенного решения дифференциальных уравнений посредством рядов с неопределенными коэффициентами многократно и чрезвычайно искусно применял Эйлер, например, в Nov. Comm. Ac. Petr., 1752/53 (1758), 1764 (1766) и в «Основаниях интегрального исчисления» (1768/69). За ним последовали Даламбер, Кондорсе, Лагранж и др. Эйлеру, между прочим, удалось найти с помощью этого приема и конечные интегралы различных специальных дифференциальных уравнений первого и высшего порядков. Он, именно, исследовал случаи, когда ряды обрываются или же когда их можно как-либо просуммировать, например, с помощью определенных интегралов. Применяя свой метод, Эйлер разложил в ряды также некоторые новые функции и среди них цилиндрические [Nov. Comm. Ac. Petr., 1764 (1766)], которые впоследствии назвали «бесселевыми функциями», так как их с успехом использовал астроном Бессель. Мы еще встретимся с ними в параграфе о дифференциальных уравнениях с частными производными.

Мысль представлять решения дифференциальных уравнений в виде определенных интегралов впервые возникла опять-таки у Эйлера. Еще в Comm. Ac. Petr., 1736 (1741) он выразил интеграл одного дифференциального уравнения с помощью дуги эллипса. Эйлер, собственно, ставил здесь обратную задачу, сформулированную затем весьма общим образом в главе X раздела I второго тома его «Оснований интегрального исчисления», носившей весьма характерный заго-

ловок «О построении дифференциальных уравнений 2-го порядка с помощью квадратур кривых». Именно, пусть y = f V dx, где V — функция х и и. Если составить

и найти такие функции L, M, N аргумента и, чтобы выражение

оказалось интегрируемым и равным U(и), то у= j V dx будет интегралом линейного дифференциального уравнения

Но так как проинтегрировать таким путем заданные дифференциальные уравнения невозможно, то в ряде случаев Эйлер представил интегралы данных уравнений в виде бесконечных рядов, а затем пытался, как мы указывали выше, найти сумму последних с помощью определенных интегралов. Так, например, ему удалось получить четырьмя способами решение дифференциального уравнения

x^a + bxn)^ + x{c + exn)^L + {f + gxn)y = 0

в виде определенного интеграла. Знаменитый метод, примененный Лапласом к решению носящего его имя дифференциального уравнения с частными производными (мы о нем еще будем говорить ниже), возник в развитие этой мысли Эйлера1).

Для приближенного представления интеграла обыкновенного дифференциального уравнения Лагранж, кроме описанного ранее, изобрел еще другой бесконечный процесс (Nouv. Mém. Ас. Beil., 1776 (1779)]. Это был метод разложения в цепную дробь. По мнению Лагранжа, он обладал тем преимуществом, что позволял сразу выяснить, представляет ли

1) Подробнее о работах Эйлера по дифференциальным уравнениям см. в статьях и книге Н. И. Симонова, указанных в Библиографии. — Прим. ред.

собой интеграл рациональную или иррациональную функцию, ибо в первом случае разложение обрывается, а во втором простирается в бесконечность. Чтобы найти такое разложение, прежде всего ищут для очень малой величины х первое приближенное значение g величины г/, выраженное в функции X, а затем подставляют в дифференциальное уравнение у = yqr^r. Это дает относительно хну' новое уравнение тех же порядка и степени, в котором очень малому х соответствует также очень малое у'. Если есть первый член для выражения у' в функции дс, то у' полагают равным -рр и т. д. В конце концов получается, что

Значения g при этом все получают форму аха, где должно быть а>0. Вся трудность состояла в определении показателей а и постоянных а, и преодолению ее Лагранж посвятил детальное исследование. Взяв в качестве примера некоторые дифференциальные уравнения, непосредственно интегрируемые в конечном виде, Лагранж попутно получил разложения в цепные дроби элементарных трансцендентных функций, часть которых была найдена уже иным путем Эйлером [Comm. Ac. Petr., 1737 (1744)] и Ламбертом [Mém. Ac. Berl., 1761 (1768)].

§ 2. Дифференциальные уравнения с частными производными

Некоторые задачи инфинитезимальной геометрии и среди них упоминавшаяся ранее задача о траекториях привели к рассмотрению кривых, уравнения которых содержат переменный «параметр». Приведенным термином пользовался еще Лейбниц при исследовании проблемы огибающих в Acta Erud., 1692; Як. Герман в своих статьях 1717/19 (Acta Erud.) называл эту величину «модулем». В соответствии с этим уравнения, содержащие параметры, Герман называл «модулярными»; это наименование сохранилось за ними у Эйлера и встречалось еще у Лагранжа [Nouv. Mém. Ac. Berl., 1785 (1787)]. Изучив одну частную задачу такого рода, Эйлер впервые встретился с дифференциальными уравнениями в частных производных вида

[Comm. Ac. Petr., 1734/35 (1740)]. Второе уравнение, записанное им в форме dz+Pdx = 0, он с помощью интегрирующего множителя R попробовал свести к точному, т. е. сразу же интегрируемому уравнению. Для этого ему пришлось определять R по линейному уравнению с частными производными первого порядка,

получающемуся из условия интегрируемости. В рассмотренном им специальном случае Эйлеру удалось найти решение по методу, который употребляется и ныне и который дал ему возможность установить, что

Наряду с приведенной геометрической проблемой и главным образом дифференциальные уравнения с частными производными обязаны возникновением многочисленным практически-физическим вопросам, непрестанно занимавшим, начиная с середины XVIII столетия, всех выдающихся математиков. Мы уже упоминали (стр. 162), что Даламбер привел знаменитую задачу о колеблющейся струне [затронутую ранее еще Тейлором в Phil. Trans., 1713/14 и в «Методе приращений», 1715; Иог. Бернулли в Comm. Ac. Petr., 1727 (1729) и 1728 (1732); Эйлером там же, 1734/35 (1740)] к дифференциальному уравнению

д2у _ д2у dt2 ~ дх2 *

«общее» решение которого он дал в форме

В споре, завязавшемся вокруг этого решения между Даламбером и Эйлером, выявилось различие их воззрений на понятие функции. Даламбер считал возможным допускать при решении дифференциальных уравнений только функции, разлагающиеся в ряд Тейлора, а Эйлер полагал, что дифференциальное и интегральное исчисление можно применять к совершенно произвольным функциям. Мы возвратимся ниже к этому спору (см. стр. 201—202).

Интегрирование только что приведенного важного уравнения второго порядка, а также разнообразные исследования о мнимых величинах, произведенные Даламбером и изложенные им в «Размышлениях об общей причине ветров» (премия Берлинской Академии 1746, Берлин, 1747) и в «Исследова-

ниях по интегральному исчислению» [Mém. Ac. Berl., 1746 (1748)], позволили ему в 1752 проинтегрировать с помощью функций комплексного аргумента два дифференциальных уравнения, возникающих в одной гидродинамической задаче,

др _ dg dp _ dq

ôz dx ' dx dz

Впоследствии эти уравнения, как известно, получили чрезвычайно важное значение в теории функций. Позднее (1761; ср. стр. 180) Даламбер пришел к выводу, что с помощью комплексных функций можно проинтегрировать также уравнение

dz2 "Г dx2 ~ и-

Однако на первых порах речь шла только об отдельных уравнениях, изучение которых было вызвано практическими вопросами. Систематическое интегрирование дифференциальных уравнений с частными производными было начато опять-таки Эйлером. В статье «Разыскание функций по данному дифференциальному условию» [Investigatio functionum ex data differentialium conditione в Nov. Comm. Ac. Petr., 1762/63 (1764)] он подверг исследованию уравнение

z=q>(p, q) (dz — pdx-\-q dy),

к которому затем добавил в третьем томе «Оснований интегрального исчисления» (1770) большое количество частных случаев. Но и Эйлер не обладал единым методом, а действовал от случая к случаю, опираясь на свою неисчерпаемую изобретательность. Ряд различных дифференциальных уравнений с частными производными проинтегрировал также Даламбер. Опубликовал он свои результаты позднее Эйлера, в 1768, хотя получил их, по собственному его указанию, еще в 1762. Так, в статье «Исследования по интегральному исчислению» (IV том Opuscules mathématiques) он прежде всего рассмотрел решение линейных дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами. Даламбер пользовался при этом двумя методами. Один заключался в приведении задачи к составлению интегрируемых обыкновенных дифференциальных выражений, которые он определял по способу множителей, развитому им в 1746/47 (ср. стр. 191). Во втором методе, который он применил к линейному уравнению 1-го порядка с постоянными коэффициентами

он воспользовался известной еще Эйлеру подстановкой z = e®, которая преобразовала уравнение в более простое:

ÈL-l..A — + C = 0 дх ^Л ду ^ ü "~ U-

Если к этому присоединить, что

d(ù = pdx-\- q dy,

то —(Aq + C)dx + qdy должно быть точным дифференциалом, откуда следует, что

q = q>(y — Ax) и р~— С— Лф(у~ Ах).

Эти уравнения позволяли найти сначала со, а затем г.

Отправляясь от этого результата, Даламбер перешел к интегрированию уравнения первого порядка, линейного относительно р, q и г:

/>+?ф(*> {/)+х(^. у)=о.

Он поставил его решение в зависимость от решения более простого уравнения

p-+-q<p(x, у) + ^(х, у) = 0,

последнее же на основании того, что

dz = pdx-\-q dy,

приводилось к

dz = q dy—[pq>(x, у) + $(х, y)\dx.

Вместе с тем Даламбер рассмотрел, в каких случаях (он различал три) это выражение является точным дифференциалом. Это исследование близко подвело Даламбера к общему методу, данному впоследствии Лагранжем в Nouv. Mém. Ac. Berl., 1774 (1776) и 1779 (1781). Изложенные изыскания Даламбера были определенно систематичнее работ Эйлера. Так, например, у него и для уравнений высшего порядка уже имелась, не высказанная, правда, ясно, наша классификация их на линейные и нелинейные, с постоянными или же с переменными коэффициентами. И все же Эйлер, почти не сознавая того, сделал важный шаг вперед по сравнению со своим современником. Занимаясь в «Основаниях интегрального исчисления» интегрированием многочисленных уравнений с частными производными 1-го порядка, он совершенно случайно показал (т. III, 1770), что дифференциальное

уравнение с тремя переменными всегда можно привести к линейному уравнению с четырьмя переменными,

р dz 4 dz ^ дх ду и'

которое он получил в качестве следствия из своего условия интегрируемости.

Общее линейное уравнение с частными производными 1-го порядка

+ У)% + ^(х, у, г) = 0

впервые решил в 1773 Лаплас, отправлявшийся прямо от работ Даламбера и Эйлера. Он ввел для этого вспомогательную переменную, которую затем определил подходящим образом [Mém. Ac. Paris, 1773 (1777)]. Лагранж разработал тогда же простой метод сведения этого уравнения к системе совместных обыкновенных дифференциальных уравнений, оказавший определяющее влияние на последующее развитие вопроса [Nouv. Mém. Ac. Berl., 1774 (1776)]. На линейные дифференциальные уравнения с произвольным числом переменных Лагранж распространил свой метод лишь в Nouv. Mém. Ac. Berl., 1779 (1781), а детальное обоснование его привел там же в 1785 (1787).

Выше говорилось, что уже Эйлер показал, как можно свести интегрирование нелинейного дифференциального уравнения с частными производными 1-го порядка к линейному уравнению, с большим на единицу числом переменных, не обратив, однако, на этот результат внимания. Но уже Лагранж в одной статье в Nouv. Mém. Ac. Berl., 1772 (1774), где подробно разбирался вопрос о сведении одного уравнения к другому, усмотрел в этом существенный шаг вперед. Тем более непонятно, что Лагранж, давно располагавший своим общим приемом интегрирования линейных дифференциальных уравнений, не заметил, что тем самым была также доведена до конца задача о решении нелинейных уравнений. Он не знал этого еще в 1785; то же относится к большой работе Монжа в Mém. Ac. Paris, 1784 (1787), хотя последний был хорошо знаком с исследованиями Лагранжа. Определенно обратил внимание на связь между решениями обоих видов уравнений только П. Шарпи. Соответствующая работа этого скончавшегося в молодых годах математика была им направлена Парижской Академии в 1784, но света не увидела. Лакруа сообщает о ней в своем «Трактате о дифференциальном и интегральном исчислении» (т. II, 2-е изд., Париж, 1814). В этой работе Шарпи попытался распростра-

нить метод Лагранжа и на уравнения с большим числом переменных, но встретился здесь с трудностями. Много времени спустя этим вопросом с успехом вновь занялся Якоби, после того как Пфафф уже разработал другой способ решения нелинейных уравнений 1-го порядка.

В работе 1772 (1774) Лагранж открыл, что для интегрирования уравнения 1-го порядка не обязательно иметь общий интеграл эйлерова уравнения условий интегрируемости, а достаточно иметь частное решение, содержащее произвольную постоянную. Вместе с тем он показал, как из него можно аналитически получить общее решение путем дифференцирования по постоянной и исключения последней. Эйлер странным образом не разглядел общеметодического значения этого приема, хотя фактически пользовался им во всех частных примерах. В Nouv. Mém. Ac. Berl., 1774 (1776) Лагранж назвал решение вида г = ф(х, у, а, 6), где а и b суть две произвольные постоянные, «полным» и показал, что если положить b равным произвольной функции г|?(а), а затем из уравнений z = y\x, у, а, я|)(а)] и -^- = 0 исключить а, то возникнет «общее решение».

Наконец, исключение а и b из уравнений

/ 1 \ dz ~ dz ~

г = ф(л:, у, а, ft), -^- = 0, -gj- = 0

дало Лагранжу решение, которое он сначала назвал «специальным», а позже, в «Теории аналитических функций» (1797), «особым». В той же статье Лагранж, правда, лишь в нескольких словах, охарактеризовал геометрический смысл подобных решений; позднее, в Nouv. Mém. Ac. Berl., 1779 (1781) он разъяснил это на некоторых примерах. Однако полное свое значение геометрическая интерпретация решения дифференциальных уравнений с частными производными получила у Монжа. Именно изучение геометрического образования поверхностей привело этого математика к его столь важным работам по теории уравнений с частными производными.

Тот результат, что при решении уравнений с частными производными 1-го порядка появляется одна произвольная функция, а при решении уравнений 2-го порядка — две, получился у Эйлера и Даламбера как бы сам собой. Однако на природу таких функций они смотрели совершенно по-разному. Эйлер считал необходимым допускать произвольные «смешанные или неправильные функции» [«functiones mixtae vel irreguläres», Misc. Taur., 1762/65 (1766)], и с этим воззрением соглашались многие другие современники, как, например, аббат Т. Вальперга ди-Калюзо [Mém. Ac. Turin,

1786/87 (1788)], исключавший, впрочем, функции, разрывные в нашем смысле слова. Даламбер, как говорилось ранее, придерживался мнения, что правомерно пользоваться лишь функциями, разлагающимися в ряд Тейлора. Монж склонялся более к идеям Эйлера. В ряде статей, содержавших подробный анализ вопроса о построении дифференциальных уравнений с частными производными, он выяснил, как можно геометрически построить их интегралы и в случае разрывных функций, т. е., согласно тогдашнему пониманию этого слова, — функций, управляемых различными законами на различных участках их области определения [Misc. Taur., 1770/73, Mém. prés. div. sav. Ac. Paris, т. 7 (1776) и т. 9 (1780), также добавления к «Приложению анализа и т. д.» (Париж, 1807)]. Наоборот, Арбогаст в сочинении на конкурсную тему 1790, выдвинутую Петербургской Академией в 1787, пришел к заключению, что должны быть допущены и «несмежные» — по-нашему — разрывные функции («fonctions discontiguës»). Он изложил эту точку зрения в «Мемуаре о природе произвольных функций, входящих в интегралы уравнений с частными дифференциалами» (Mémoire sur la nature des fonctions arbitraires, qui entrent dans les intégrales des équations aux différentielles partielles, Петербург, 1791). Разрывными в нашем смысле функциями занимался, впрочем, еще ранее Монж1).

Уже в названных работах Монж проявил себя выдающимся геометром, в качестве которого он и прославился. Геометрические же рассмотрения привели Монжа к его работам в области дифференциальных уравнений. Прежде всего, основываясь на геометрическом способе образования некоторых классов поверхностей, он вывел их дифференциальные уравнения, а затем, исходя из способа получения последних, разработал с помощью обратных умозаключений метод их интегрирования [Mém. Ac. Paris, 1784 (1787)]. Главную свою идею, высказанную им еще в 1771 [а опубликованную в Mém. prés. div. sav. Ac. Paris, т. 7 (1776)], Монж сформулировал следующим образом.

Если уравнение

дх 1 ду 9

где M и N суть функции у, z, интегрируемо при 2 = const. и его интеграл есть z=qo(V), то оно интегрируемо также, ко-

1) Подробное изложение спора о природе функций, служащих решениями уравнений с частными производными, см. в книгах И. Ю. Тимченко и К. Трусделла, указанных в Библиографии. — Прим. ред.

гда z рассматривается как переменная и его интеграл будет снова г = ф(У). Эти соображения привели Монжа в том же томе Mém. Ac. Paris, 1784 (1787), содержавшем целый ряд тесно связанных между собой его статей, к сведению задачи к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, что, как мы знаем, сделал также Лагранж (см. стр. 200). Затем Монжу легко удалось распространить тот же прием на интегрирование линейных уравнений с частными производными 1-го порядка с любым числом переменных.

Монж обратил внимание и на уравнения 1-го порядка с тремя переменными более высокой степени, которые разделил на класс уравнений, конечным интегралом которых является одно-единственное выражение, содержащее эти переменные, и класс уравнений, решение которых можно выразить лишь с помощью системы нескольких совокупных уравнений. Распространить свой метод на уравнения первого порядка и 2-й степени Монжу и здесь позволил обратный переход от интеграла к соответствующему дифференциальному уравнению. Продифференцировав последнее, Монж увидел, что если бы был найден интеграл получившегося таким образом уравнения, то в него должна была бы войти произвольная функция dx и dy. Отсюда следовало, что можно взять произвольное отношение уже между величинами dx и dy, участвующими в исходном дифференциальном уравнении. Но благодаря этому последнее распадается на два обыкновенных дифференциальных уравнения. Это рассуждение привело далее Монжа к установлению одного принципа, все значение которого было раскрыто лишь позднее, именно, к применению преобразований, которые мы, вслед за С. Ли, называем «касательными» и которые позволяют находить решение дифференциальных уравнений с помощью лишь дифференцирования. Хотя Эйлер и некоторые другие (например, П. Вариньон в Mém. Ac. Paris, 1704) в отдельных случаях уже применяли касательные преобразования, но лишь Монж построил на них метод интегрирования дифференциальных уравнений. Он установил также, что, когда удается найти такое преобразование, оказывается возможным проинтегрировать любое соответствующее уравнение с частными производными 1-го порядка, но заметил, с другой стороны, что систематическое получение преобразований, соответствующих дифференциальным уравнениям, не легче их непосредственного интегрирования. Наконец, он привел способ нахождения бесчисленного множества таких преобразований. Монжу была известна и возможность приложения этого метода к дифференциальному уравнению Клеро; он даже показал, что это и вообще всякое обыкновенное дифференциальное

уравнение, допускающее касательное преобразование, решается посредством дифференцирования.

С уравнениями в частных производных тесно связаны также упоминавшиеся на стр. 188 ообыкновенные уравнения с тремя переменными, не удовлетворяющие условию интегрируемости, к которым мы должны поэтому ненадолго обратиться. Геометрическое значение таких дифференциальных уравнений впервые открыл опять-таки Монж в том же томе Mém. Ac. Paris. В противовес обрисованной выше точке зрения Эйлера, он показал, что эти уравнения представляют собой наиболее общий случай и что их решение выражается с помощью двух уравнений, определяющих, таким образом, пространственную кривую. Выяснив, далее, что интегралы этих уравнений должны дополняться произвольными функциями входящих в них переменных, которыми до того пользовались только для уравнений с частными производными, он установил глубокую зависимость между обоими названными видами дифференциальных уравнений и указал, как сводить одни из них к другим. В частности, он рассмотрел линейные уравнения, впоследствии названные пфаффовыми. Общие уравнения вида

&(х, у, z, dx, dy, dz) = 0,

однородные относительно dx, dy, dz, Ли назвал уравнениями Монжа.

Из последних исследований выросла «теория характеристик» Монжа, изложенная им с чрезвычайной ясностью в «Приложении анализа к геометрии» (Application de l'analyse à la géométrie, 1807) и оказавшаяся столь важной впоследствии для изучения уравнений с частными производными. Заметим, что этому сочинению предшествовали «Листы анализа, приложенного к геометрии» (Feuilles d'analyse appliquée à la géométrie, 1795, 2-е издание, 1801) и написанная совместно с Ашеттом книга «Приложение алгебры к геометрии» (Application de l'algèbre à la géométrie, 1805). Теория характеристик основывается на следующих соображениях. Пусть f(x, у, z, а, ß)=0 есть полный интеграл (по терминологии Лагранжа) некоторого дифференциального уравнения 1-го порядка. Если постоянную ß заменить произвольной функцией а, например, взять ß = cp(a), то получается уравнение f[x, у, z, а, ф(а)] = 0, при переменном а представляющее собой семейство поверхностей, которые Монж называет «огибаемыми» («surfaces développées»). Исключая из / = 0 и -^- = 0 параметр а, мы получим касающуюся всех этих поверхностей «огибающую» (общий интеграл по Лагранжу),

Кривые, по которым пересекаются любые две последовательные поверхности семейства или же вдоль которых огибаемые касаются огибающей, т. е. кривые, заданные уравнениями f = 0 и ^ = 0 при фиксированных значениях а, называются «характеристиками». Монж дал этим линиям такое название потому, что только они представляют собой образующие всех бесчисленных огибающих, соответствующих различным видам произвольно выбираемой функции ф(а). Таким образом, как подробно разъясняет Монж, из всех образующих кривых только этим линиям присуще некоторое общее характерное свойство образования огибающих, находящее свое выражение в дифференциальном уравнении, общее решение которого заключает в себе все эти бесчисленные огибающие.

Применяя эти геометрические соображения к общему уравнению с частными производными 1-го порядка

F(x, у, z, р, = 0,

полный дифференциал которого есть

Pdp+Qdq + X dx + Y dy + Zdz = 0%

Монж пришел к системе уравнений:

dx _ dy dz dp dq

~p~~~Q~— Pp+Qg~~ x+pz —~r+qz-

Интегрирование последней давало ему уравнения характеристики, а геометрические свойства этой кривой позволяли непосредственно определять общий интеграл дифференциального уравнения. Благодаря этому разработанная Лагранжем и Монжем теория интегрирования дифференциальных уравнений 1-го порядка с тремя переменными приобрела крайне прозрачный характер, позволяющий непосредственно охватить всю геометрическую картину решения.

Переходя к истории уравнений с частными производными высшего порядка, мы прежде всего отметим, что они были обязаны своим происхождением физическим проблемам. Первым среди них явилось дифференциальное уравнение задачи о колеблющейся струне (см. стр. 197). Даламбер, Эйлер, Дан. Бернулли, Лагранж, Монж и др. посвятили ему исследования, оказавшие разнообразные и плодотворные влияния на математику, Работая над ним, математики впервые выяснили, сколько произвольных функций входит в интеграл уравнения с частными производными, а из обрисованного уже выше спора о природе этих произвольных функций в конце концов выросло учение о представлении произвольных

функций с помощью тригонометрических рядов, впоследствии названных рядами Фурье.

За проблемой о колеблющейся струне вскоре последовали другие, также приводившие к уравнениям с частными производными 2-го порядка. Так, в одном письме к Лагранжу от 1 января 1760 (см. Misc. Taur. II, 1760/61) и в Mém. Ac. Berl., 1759 (1766) Эйлер привел общие уравнения гидродинамики и вывел из них, что объемное расширение и удовлетворяет уравнению

dt2 ~~~ дх2 ~+~ ду2 "Г dz2 1

для которого он постарался найти частные интегралы. В одном специальном случае, когда движение везде направлено к фиксированному центру и скорости в точках, равноудаленных от центра, одинаковы, Эйлер после многих тщетных попыток получил даже общий интеграл. Общее решение для этого случая отыскал затем и Лагранж (Misc. Taur. II, 1760/61), применив метод, служивший ему ранее в задаче о колеблющейся струне.

Другое уравнение с частными производными 2-го порядка возникло в вопросе о поперечных колебаниях струн переменной толщины; его интегрирование Лагранж в только что указанной работе привел к решению одного обыкновенного уравнения 2-го порядка. К уравнениям с частными производными 2-го порядка привела и задача о колебаниях газа в цилиндрических и нецилиндрических трубах, которой занялся в своих гидродинамических исследованиях Эйлер [Nov. Comm. Ac. Petr., 1771 (1772)]. Для случая нецилиндрических труб он пришел к уравнению формы

d2v d2v . г г àv « ~

где U и T зависят только от х. Так как в частных случаях общий интеграл получался в виде

<ü=rPY(t ± x) + Qr'(t ± x)+RT"(t ± х) +

где Р, Q, /?, ... — определенные функции х, то Эйлер проанализировал вопрос о том, каким должно быть дифференциальное уравнение, чтобы его интеграл состоял из заданного числа членов такого рода.

Дифференциальное уравнение 4-го порядка,

Эйлер встретил при изучении колебаний пластинки. Эту задачу Дан. Бернулли поставил в письме к Эйлеру еще в октябре 1735. Эйлер не раз возвращался к ней, но получил написанное уравнение только в Nov. Comm. Ac. Petr., 1772 (1773). Он должен был, однако, признать, что не в состоянии отыскать общий интеграл с четырьмя произвольными функциями и поэтому рассмотрел лишь случай простых колебаний.

Мы видели, что математики того времени, с большей или меньшей полнотой исследуя эти задачи, ограничивались уравнениями, в которые кроме времени входила лишь одна пространственная координата. Действительно, в XVIII столетии мы встречаем лишь отдельные попытки решения уравнений с тремя независимыми переменными. Так, Эйлер уже в 1759 пришел к задаче о колеблющейся мембране1). В печати он занялся ею только в Nov. Comm. Ac. Petr., 1764 (1766), причем свел ее к уравнению с частными производными:

Рассматривая это уравнение, он получил трансцендентные функции, названные позднее цилиндрическими или бесселевыми (ср. стр. 194). Написанное уравнение Эйлер преобразовал к полярным координатам, что ему дало

и допустил, что решение имеет вид

z = и sin at sin ßcp.

Для определения величины и, которая берется зависящей лишь от г, он с помощью еще одной подстановки нашел уравнение типа Риккати. Решить последнее с помощью обыкновенных функций удавалось только в совершенно специальном случае. Поэтому Эйлер прибегнул к разложениям в ряды. В приведенной работе, а потом в Act. Ac. Petr., 1781 (ч. I, 1784) он нашел таким образом ряд

1) См. письмо к Лагранжу от 1 января 1760 [Mise. Taux., 1760/61 (1762)].

который с точностью до числового множителя совпадает с бесселевой функцией /ß(ar), частный случай которой, возникающий при ß = 0, открыл еще Д. Бернулли в Comm. Ас. Petr., 1732/33 (1738); см. еще там же, 1734/35 (1740).

Заслуживающая здесь упоминания попытка Лагранжа проинтегрировать общие уравнения гидродинамики привела его только к частным решениям. Вообще все перечисленные до сих пор исследования по уравнениям с частными производными 2-го порядка были лишены единого метода, который был бы применим к какому-либо определенному их классу. Создать такой метод поставил себе целью Лаплас. Он искал единый прием решения общего линейного уравнения с частными производными

где а, ß, у> о, к, Т обозначают какие-либо функции х и у, ибо в большинстве рассматривавшихся тогда практических задач встречались как раз уравнения такого рода [Mém. Ac. Paris, 1773 (1777)]. Введя две новые переменные, которые он затем определил подходящим образом, Лаплас сначала представил это уравнение (в случае a2>4ß) в виде

и затем приложил к нему метод, использованный им с успехом еще для дифференциального уравнения 1-го порядка (ср. стр. 200), а позднее развитый далее, на основе употребления определенных интегралов, в «Мемуаре о последовательностях» [Mémoire sur les suites, Mém. Ac. Paris, 1779 (1782)]. Если cp(s) и \|)(s) —две произвольные функции и если составить

<Pi(s)= f 4>(s)ds, <p2(s)= Г4>i(s)ds, .. . и J J

то и можно представить в виде ряда

й = Л0ф1(5) + Лф2(5) + Л2ф3(5)+ ... +

+ ВоЬ (*i) + Bfo (sx) + 52г|)3 (Sl) + ...

Коэффициенты Л0, Аи..., ß0, ßi,... определяются здесь следующими дифференциальными уравнениями, возникающими

при подстановке и в уравнение D(u)=0:

Когда в процессе образования решений этих уравнений случается, что при каком-либо определенном значении индекса (1 /1^=0 или Вц=0, то ряд для и обрывается и общий интеграл выражается в конечной форме. Если же этот случай, рассмотренный Лапласом еще в первой из названных статей, не имеет места, то Лаплас от представления решения с помощью рядов переходит к представлению его с помощью определенных интегралов. Он показал, что тогда и можно привести к форме

где р и Pi — частные интегралы для D(w)=0, имеющие вид

причем в этих интегралах

Заметим, что ни Лаплас, ни Эйлер, ни кто-либо другой из их современников еще не обозначали определенные интегралы с помощью указания пределов интегрирования около символа интеграла (ср. стр. 177).

Позднее дифференциальное уравнение D(u)=0 было названо «уравнением Лапласа», а его способ интегрирования — «методом каскадов». В случаях, когда /, га, п — постоянные числа и Г = 0, а также когда

Лаплас с помощью своего приема свел задачу к интегрированию обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка. Различные результаты, которые Эйлер получил с помощью гениальных догадок, Лаплас находил как частные случаи из своего метода. Лежандр в Mém. Ac. Paris, 1787 (1789) дополнил метод Лапласа, показав, что оно не нуждается в преобразовании общего линейного уравнения к лапласовой форме. Сам Лаплас затем (Journal de l'École Polyt., 1809) присоединил к этому решение уравнения

В то время, как метод интегрирования уравнений с частными производными, созданный Лапласом, возник в ответ на требования, предъявленные физическими задачами, результаты, полученные десятью годами позже Монжем, выросли на чисто геометрической почве. В тех же статьях, в которых Монж изложил способы интегрирования уравнений с частными производными 1-го порядка, достигшие вершины и завершения в его теории характеристик, он применил положенные в их основу идеи (см. стр. 204) также и к высшим уравнениям. Понимая под линейным дифференциальным уравнением с частными производными 2-го порядка уравнение вида

Ar+Bs + Ct + D = 0,

где коэффициенты суть произвольные функции х, у9 z, р и q, он с помощью уравнений

dp = rdx-\-sdy и dq = sdx-{-tdy

исключал две из трех величин г, s, Так как возникающие в результате исключения уравнения должны иметь место независимо от третьей из этих величин, Монж получал четыре уравнения относительно dx, dy, dp, dq, среди которых два являлись независимыми. Если общие интегралы этих двух обыкновенных уравнений суть V=a и U = b (а и b — постоянные), то V=(p(U) есть «первый интеграл» данного дифференциального уравнения. Позднее, в «Приложении анализа к геометрии» (1807), Монж нашел, что два из четырех уравнений, получающихся при исключении г, s, t, представляют собой дифференциальные уравнения характеристик. После того как он дал геометрическое определение последних, он привел способ образования их уравнений также в случае любого дифференциального уравнения 2-го порядка. Уже в работах, помещенных в Mém. Ac. Paris, 1784 (1787), Монж перенес свой метод на линейные уравнения в частных производных 2-го порядка с постоянными коэффициентами, а так-

же на некоторые другие и среди них на дифференциальное уравнение минимальных поверхностей, установленное, но не проинтегрированное Лагранжем в Misc. Taur., 1760/61 (1762) и Ж. Ш. де-Борда в Mém. Ac. Paris, 1767 (1770). Этот метод дал Монжу общий интеграл дифференциального уравнения указанного класса поверхностей, но в мало пригодном, а кроме того, и ошибочном виде. Ошибку свою Монж вскоре заметил и в «Приложении анализа к геометрии» смог дать правильное решение, опиравшееся на теорию характеристик. Еще до 1787 Монж познакомил со своей теорией Лежандра, который после того дал несколько более строгое математическое обоснование метода Монжа в Mém. Ac. Paris, 1787 (1789).

В указанной работе 1784 (1787) Монж приложил точно такой же способ к линейным дифференциальным уравнениям с частными производными 3-го порядка и на одном примере показал, что их можно свести к трем парам линейных уравнений; общности этого результата он, однако, не заметил.

Попытка Монжа приложить свой метод к линейным уравнениям в частных производных 2-го порядка с любым числом переменных, конкретно проведенная им для уравнений с четырьмя переменными, привела его к результату, по крайней мере в случае, когда дискриминант коэффициентов уравнения равен нулю. Обобщение на произвольное число переменных Монж лишь кратко наметил. Точнее разобраны были уравнения с четырьмя и пятью переменными Лежандром в Mém. Ac. Paris, 1787 (1789). В круг своих исследований Лежандр включил также одно специальное линейное уравнение 3-го порядка с тремя переменными, в котором искомая функция продифференцирована по одному из аргументов только один раз.

Нелинейные уравнения с частными производными 2-го порядка тоже были рассмотрены Монжем, правда, лишь бегло, еще в Mém. Ac. Paris, 1784 (1787). Он продифференцировал уравнение

W(x, у, z, р, q, г, 5, 0 = 0

и особо допустил, что дифференциал

Adr + Bds + C dt + Ddx + Edy = 0

распадается на два уравнения

Ddx + Edy = 0, Adr + Bds + Cdt = 0,

т. е., как говорим мы теперь, существует характеристика 2-го порядка. Эти два уравнения дали ему линейное дифференциальное уравнение 3-го порядка, которое доставило согласно

прежним его указаниям два обыкновенных дифференциальных уравнения, непосредственно приводящих к решению. Как ни сжаты были эти замечания Монжа, они все же содержали ростки разработанной впоследствии теории характеристик высшего порядка.

Следует, наконец, упомянуть о приеме, употребленном Лежандром в названной ранее статье Mém. Ac. Paris, 1787 (1789) в случае дифференциального уравнения

Г = /(5, t).

С помощью преобразования

xds-\-ydt = dv

он свел последнее к линейному уравнению d2v I ç d2v т d2v _p.

где S и T — функции s и t.

Среди различных изложенных нами приемов изучения уравнений с частными производными нам несколько раз встречалось интегрирование посредством бесконечных рядов. Задачи о колеблющейся струне и колеблющейся мембране привели даже к возникновению новых чрезвычайно важных классов рядов, именно рядов Фурье и цилиндрических функций (стр. 162 и 207). Однако ряды Фурье были получены из интеграла, определенного уже в конечной форме, а цилиндрические функции были найдены из одного обыкновенного дифференциального уравнения и для интегрирования уравнения с частными производными соответствующей задачи служили только косвенным образом. Но бесконечные ряды были и непосредственно применены к решению уравнений с частными производными, для которых не удавалось отыскать интеграл в конечной форме. В одних случаях с этой целью пользовались, как и для обыкновенных дифференциальных уравнений, представлением зависимой переменной в виде ряда, расположенного по степеням одной из независимых переменных, т. е. полагали искомую функцию ф равной ряду

ф = ф' + 2ф'' + г2ф'//+

где неопределенные коэффициенты ф', ф",... не содержат г, и определяли коэффициенты, подставляя ряд в данное дифференциальное уравнение. Так, например, поступил в своей «Аналитической механике» (1788) Лагранж при интегрировании уравнения Лапласа

дх2 ду2 dz2 ~ и*

Поступая указанным образом, он получил

где q/ и ср" обозначают две произвольные функции.

На этом же принципе основывалось употребление рядов более сложного вида, о характере которых можно было догадываться, например, по известным частным интегралам дифференциального уравнения. Этот способ неоднократно применялся Эйлером в третьем томе «Оснований интегрального исчисления» (1770); мы встретились с ним уже на стр. 192— 193. Ограничимся одним примером. Эйлер заметил, что уравнение

имеет частный интеграл z= (х + у)к. Поэтому он представил общий интеграл в виде ряда

z = A{x + yf f(x) + B(x+ yf+1r (x) + C(x + y)l+2r (*)+...

С помощью рекуррентных формул он выразил коэффициенты ß, С, ... через А и, при некоторых предположениях, получил конечный ряд. Определив затем случаи, в которых можно привести к указанному виду более общее уравнение

он нашел множество интегрируемых уравнений такого рода. Эта же мысль привела к интегрированию с помощью тригонометрических рядов. Иногда в ряд разлагали часть членов самого дифференциального уравнения, а затем для приближенного решения пользовались лишь несколькими первыми членами разложения, которые в некоторых случаях могли составить вместе с оставшейся группой членов новое, интегрируемое уравнение. Такой пример приводит Лагранж в Misc. Taur., 1760/61 (1762).

Большой теоретический интерес представлял способ Кондорсе, распространенный им на линейные уравнения 2-го и 3-го порядка [Mém. Ac. Paris, 1769 (1772) и 1772 (ч. I, 1775)]. Мы рассмотрим его на простом уравнении 1-го порядка, разобранном Кондорсе:

Сначала он взял ряд

а затем с помощью дифференциального уравнения получил, что z представляется рядом

с бесконечным множеством постоянных интегрирования, а, о, Су... Отсюда Кондорсе, наконец, заключил, что z можно приравнять произвольной функции от Впрочем, тогда еще не понимали ясно, что тем самым полагали одинаково общими представление решения как в форме произвольной функции, так и в форме бесконечного ряда с произвольными коэффициентами. В случае тригонометрических рядов эту концепцию оспаривал, в противовес мнению Д. Бернулли [Mém. Ac. Berl., 1753 (1755)], Эйлер.

На той же идее, что и описанный выше способ Эйлера, основывался метод интегрирования линейных уравнений с частными производными Лапласа (ср. стр. 200), который, согласно Лежандру [Mém. Ac. Paris, 1787 (1789)], можно прямо использовать для уравнений вида

где /?, Z — функции х и у. Для того времени весьма характерно, что о сходимости или расходимости получавшихся бесконечных рядов заботились только тогда, когда желали получить пригодные числовые результаты.

ГЛАВА ДЕВЯТАЯ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ИСЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ И ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ

§ 1. Вариационное исчисление

Мы видели ранее, что уже вскоре после открытия дифференциального исчисления его применили к отысканию экстремальных значений, принимаемых какими-либо данными функциями. Но великих деятелей того времени не отпугнула и гораздо более трудная задача об определении функций или же соответственно кривых или поверхностей, обладающих, по сравнению с другими кривыми или поверхностями, некоторыми максимальными или минимальными свойствами. Уже Ньютон поставил и решил в «Началах» (1687) задачу о проходящей через две данные точки кривой, тело вращения которой вокруг данной оси испытывает при движении в жидкости в направлении своей оси наименьшее сопротивление. Не сообщив способа решения, опиравшегося, во всяком случае, на исчисление флюксий, Ньютон привел пропорцию, которая позволяла построить искомую кривую по ее касательным и тем самым замещала дифференциальное уравнение задачи. Лопиталь и Иоганн Бернулли посвятили этой задаче статьи в Acta Erud., 1699 и 1700. Еще позднее множество вариантов ее дал в своей «Морской науке» (Scientia navalis, Петербург, 1749) Эйлер.

Подлинный толчок исследованию таких проблем сообщила, однако, знаменитая задача о брахистохроне или же кривой быстрейшего спуска, предложенная математиком И. Бернулли в Acta Erud. за 1696 и в одной программе, изданной в Гронингене в 1697. Точная формулировка задачи была такова: «среди всех проходящих через две данные точки кривых найти ту, падая по которой тяжелая точка пройдет дугу между обеими точками в кратчайшее время». Сам Бернулли дал в следующем году остроумное решение, бывшее, однако,

применимым только в этом случае. Большее значение имели решения Лейбница, сообщенные им Иог. Бернулли письменно в 1686, а особенно решение Як. Бернулли, опубликованное в том же томе Acta Erud. за 1697, что и решение младшего брата. В своем решении Як. Бернулли опирался на принцип, применимый во многих случаях, согласно которому максимальное или минимальное свойство может быть присуще всей кривой лишь тогда, когда им обладают и мельчайшие ее части. В рассматриваемой задаче искомой кривой являлась циклоида, уже хорошо известная в то время. Одновременно Як. Бернулли указал на первый пример с подвижным концом, поставив задачу о брахистохроне для случая, когда тяжелая точка должна возможно быстрее достигнуть некоторой вертикальной прямой. Як. Бернулли не дал решения этой задачи, но зато вместе с ней он поставил одну так называемую изопериметрическую проблему, которая гласила:

«Среди всех кривых BFN равной длины найти ту (рис. 6), произвольные степени или корни ординат PF или дуг BF которой образуют другую кривую BZN, для которой площадь BPNZB будет наибольшей или наименьшей».

Вполне удовлетворительное, хотя и громоздкое, решение этой задачи удалось тогда найти лишь самому Як. Бернулли (Acta Erud., 1700 и 1701)1). Бернулли первый увидел, что в таких задачах необходимо рассматривать три последовательных элемента кривой и, значит, варьировать сразу две последовательные ординаты. Позднее ту же задачу исследовали Тейлор в «Методе приращений», 1715, Иог. Бернулли в Mém. Ac. Paris, 1718 и подробнее всего Эйлер в Comm. Ас. Petr., 1732/1733 (1739). В одной работе в Comm. Ac. Petr., 1734/35 (1740) Эйлер разобрал некоторые задачи, содержавшие дополнительное условие, выраженное дифференциальным уравнением. Но так как Эйлер и здесь применил принцип Бернулли, то его решения были ошибочны. Он это признал в следующей работе, опубликованной также в Comm. Ac. Petr., 1736(1741), хотя в то время ему не удалось овладеть этой трудностью.

Рис. 6.

1) Эти тома содержат перепечатку результата и соответственно его вывода, появившихся сначала в виде листовки и соответственно диссертации в Базеле в 1700 и 1701.

Тогда же, т. е. в конце XVII столетия, возникла другая замечательная проблема вариационного исчисления. Речь шла о проведении на выпуклой кривой поверхности кратчайшей линии между двумя данными точками. Эту задачу поставил Иог. Бернулли в Journal des Sçavans в 1697. В следующем году его брат привел в Acta Erud. синтетически-геометрическое решение для поверхностей вращения 2-го порядка. Иоганн Бернулли уже тогда утверждал, что обладает общим решением вопроса. Действительно, как видно из одного его письма к Лейбницу от августа 1698, ему было известно геометрическое свойство кратчайших линий: в любой точке кривой соприкасающаяся плоскость содержит нормаль к поверхности. Мы не можем, однако, установить, знал ли он уже тогда характерное дифференциальное уравнение геодезических линий, которое опубликовал в собрании своих сочинений в 1742. Вероятно, оно еще не было тогда знакомо Иог. Бернулли, ибо в противном случае он должен был бы располагать аналитическим выражением поверхностей с помощью уравнений между тремя координатами, а никаких следов этого в его работах, относящихся к тому времени, не имеется. Впервые появилось уравнение поверхности в статье А. Парана, написанной в 1700, но опубликованной лишь в 1705, во втором томе «Математических и физических опытов и исследований» (Essais et recherches de mathématique et physique). Во всяком случае, первым опубликовал дифференциальное уравнение геодезических линий Эйлер в Comm. Ac. Petr., 1728 (1732). В 1733 Клеро сообщил Парижской Академии несколько интересных экстремальных задач, решение которых, однако, не содействовало прогрессу общей теории.

Непрестанно занимаясь в тридцатых годах XVIII столетия такого рода задачами (например, в «Механике», 1736) и исследуя их с помощью метода, приобретавшего все большую общность, хотя и покоившегося на отдельных рассмотрениях геометрического характера, Эйлер создал и обосновал вариационное исчисление, которому, между прочим, присвоил это наименование несколько позже. Систематическое изложение своих результатов Эйлер дал в большой (322 страницы ин-кварто) книге «Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума либо минимума, или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле» (Methodus inveniendi liieas curvas maximi minimive proprietate gaudentes sive solutio problematis isoperimetrici Iatissimo sensu accepti, Лозана и Женева, 1744). Прежде всего Эйлер определил здесь основную проблему вариационного исчисления. В простейшем случае она заключается в

нахождении такой зависимости между х и у, чтобы интеграл W— f Zdx, где Z есть функция х, у, у', у" и т. д., принимал экстремальное значение. Эйлер проводил различие между таким «абсолютным» экстремумом и «относительным» экстремумом, при котором должны выполняться еще дополнительные условия, например, требуется найти кривую, обладающую максимальным или минимальным свойством, среди линий, определяемых некоторым дифференциальным уравнением с переменными х, у. Если дополнительное условие заключается в том, что должен сохранять постоянное значение некоторый другой интеграл (скажем, в частности, интеграл дуги кривой), то получается обобщенная изопериметрическая задача. Затем Эйлер излагал методы решения таких проблем и, на этот раз правильно, исследовал случай, в котором принцип Як. Бернулли теряет силу. На множестве примеров он показал, как получать ответ в задачах, в которых кривая обладает экстремальным свойством, не присущим ее мельчайшим частям. К числу крупнейших достижений Эйлера относится также решение задач, в которых варьируемые величины определяются не интегралами, а дифференциальными уравнениями, как это имеет место для брахистохроны в сопротивляющейся среде. При этом несравненная аналитическая сноровка Эйлера служила ему для преодоления встречавшихся трудностей посредством искусственных приемов; как он признавал и сам, в этом заключался еще недостаток его способа, но устранить его он не мог.

Выполнить это удалось 24-летнему Лагранжу, первая же статья которого по вариационному исчислению, опубликованная в Misc. Taur., 1760/61 (1762), открыла новую эпоху в истории рассматриваемой нами дисциплины. Основная заслуга Лагранжа заключалась в создании алгорифма вариационного исчисления, который позволил дать общее аналитическое выражение громоздким геометрически-инфинитезимальным рассмотрениям Эйлера. Решающий шаг состоял в том, что для различия варьирования от дифференцирования Лагранж ввел новый символ б, с которым он производил вычисления, как со знаком дифференциала d. Это позволило Лагранжу рассматривать впоследствии пределы интегралов как переменные и распространить свои исследования на двойные интегралы. Основные черты своего исчисления Лагранж письменно сообщил Эйлеру уже в 1755. Эйлер правильно оценил и воспринял новые идеи и в Nov. Comm. Ac. Petr., 1764 (1766) дал подробное и снабженное примерами изложение исчисления Лагранжа. Впоследствии Эйлер также не

раз обращался к вариационному исчислению. В частности, в Nov. Comm. Ac. Petr., 1771 (1772) (перепечатано в виде дополнения XI к «Основаниям интегрального исчисления», т. IV, 1794) он высказал мысль, что варьируемую кривую следует рассматривать как член некоторого семейства кривых. Это была весьма важная идея, благодаря которой исчисление Лагранжа приводилось к проблеме дифференциального исчисления, и тем самым впервые ставилось на прочное основание. Конечно, тогда было легко прийти к ошибочному мнению, будто именно такова наиболее общая концепция понятия вариации. Так называемые «сильные вариации», при которых точка кривой перемещается бесконечно мало, но касательная поворачивается на конечный угол, при этом совершенно исключались. Эйлер вообще не представлял себе необходимым допускать подобные вариации, хотя Дан. Бернулли письменно обратил его внимание на один такой случай еще в 1736, да и сам он в одной статье о колеблющейся струне (Misc. Taur., т. III, 1762/65) встретился уже с такими возможностями. В работе 1779 [вышла в Mém. Ас. Pétersb., 1811 (1813)] Эйлер затем приложил вариационное исчисление к пространственным кривым с экстремальными свойствами, а в другой статье, опубликованной также после его смерти, занялся брахистохронами, удовлетворяющими некоторым специальным условиям [там же, 1817/18 (1822)].

Среди прочих работ, появившихся в этот промежуток времени, следует отметить статью старшего сына Леонарда Эйлера, Иоганна Альбрехта, написанную в 1757 и опубликованную в трудах Мюнх. Акад. 1764. Автор, пользуясь методами своего отца, определил здесь кривую, лежащую в основании конуса данной высоты и площади боковой поверхности, объем которого должен быть максимальным1).

Сам Лагранж несколько раз возвращался к вариационному исчислению. В статье 1770 (Misc. Taur., т. IV, 1766/69) он исправил ошибку, допущенную им при исследовании брахистохроны в случае, когда начальная точка движения лежит на данной кривой, — ошибка, за которую его упрекнул Борда в Mém. Ac. Paris, 1767 (1770). Кроме того, он расквитался здесь с некоторыми учеными, которые, несущественно изменив приемы, принадлежавшие ему и Эйлеру, выдавали их за свои собственные: так поступили Фонтен в только что цитированном томе Mém. Ac. Paris и минориты Т. Лесер и Ф. Жакье в не лишенных вообще достоинств «Началах

1) Задача об определении кривой, лежащей в основании конуса данной высоты, имеющего при данном объеме наименьшую боковую поверхность, была в 1758 рассмотрена другим учеником Эйлера — С. Я. Румовским [Nov. Comm. Ac. Petr., 1760/61 (1763)]. — Прим. ред.

интегрального исчисления» (Elémens du calcul intégral, Парма, 1768). В «Аналитическом механике» (1788) Лагранж существенно дополнил свои исследования, сведя вариационные задачи на условные экстремумы к безусловным экстремумам; он воспользовался для этого способом неопределенных множителей, введенным при изучении систем дифференциальных уравнений еще Даламбером и употребленным Эйлером в изопериметрических задачах. К детальному исследованию таких вариационных задач Лагранж впоследствии возвратился в «Теории аналитических функций» (1797) и «Лекциях об исчислении функций» (Séances Éc. norm., 1801; отдельное издание 1806), в которых ему представился случай связно изложить свою теорию, не пользуясь понятиями дифференциала и бесконечно малого. В 22-й главе «Лекций» он среди других образцов применения теории решил, между прочим, задачу о кратчайшей кривой, лежащей между двумя точками на произвольной поверхности, разбиравшуюся еще в «Методе нахождения кривых линий и т. д.» Эйлера, а также определил дифференциальное уравнение минимальных поверхностей, найденное раньше иным путем Менье (1776), Монжем (1784) и Лежандром (1787) (см. стр. 322, 326). Но и здесь он лишь мельком коснулся вопроса о различении максимума от минимума с помощью второй вариации. Разработка этой трудной проблемы вообще заставила себя ждать довольно долго. После неудачной попытки Лапласа (1770, опубликовано в Nov. Ac. Erud., 1772) первых заметных успехов в этом направлении достиг Лежандр в Mém. Ac. Paris, 1786 (1788). Ему удалось представить вторую вариацию с помощью произведения двух множителей, один из которых является квадратом, например в виде

Лежандр счел возможным поэтому заключить, что знак второй вариации зависит только от другого множителя, который для данной функции v(x, у, у\ yW) имеет вообще вид d v2 . Полученное отсюда условие существования экстремальных значений того или иного рода оказалось, однако, недостаточным. Уже Лагранж в «Теории аналитических функций» (1797) на примере

показал, что интеграл от произведения двух таких множителей может на данном отрезке менять знак, хотя подынтег-

ральная функция знакопостоянная, если последняя обращается в некоторых точках отрезка в бесконечность. Достаточные условия для определения знака второй вариации смог дать лишь Якоби в 1837.

В названной статье 1788 Лежандр, критически анализируя упомянутую выше задачу Ньютона о теле наименьшего сопротивления, говорит также о решениях, соответствующих сильным вариациям и формально удовлетворяющих задаче, так что экстремумы, получающиеся в отдельных случаях, оказываются лишь относительными. Однако этот вопрос был разъяснен только в новейшее время Л. Шеефером и К. Вейерштрассом. В общем, можно сказать, что к концу XVIII века было завершено лишь формальное изучение первой вариации. Только в XIX столетии были выяснены и снабжены доказательствами точные условия, при которых правомерны операции, беззаботно производившиеся математиками XVIII столетия, как перемена местами знаков d и б, варьирование под знаком интеграла и метод множителей, не вполне справедливо называемый исключительно по имени Лагранжа. Установление достаточных условий экстремума, изучение вариации кратных интегралов с переменными пределами также принадлежат XIX столетию.

§ 2. Исчисление конечных разностей и интерполирование

Исчисление конечных разностей состоит, по сути дела, в исследовании отношений между значениями, принимаемыми функциями, когда их аргумент или же аргументы изменяются на равноотстоящие интервалы. Поэтому названная математическая дисциплина и вместе с тем интерполирование возникли, как только начали составлять более значительные по объему числовые таблицы. Основные формулы ее содержались и применялись уже в «Логарифмической арифметике» (Arithmetica logarithmica) Г. Бригса (1624) и продолжавшей их «Британской тригонометрии» (Trigonometria britannica) Г. Геллибранда (1633), а также в таблицах солнечных склонений, приведенных Г. Мутоном в «Наблюдениях видимых диаметров Солнца и Луны» (Observation's diametrorum Solis et Lunae apparentium, 1670). Для Лейбница вычисления с конечными разностями явились отчасти исходным пунктом создания дифференциального исчисления, которое Тейлор в «Методе приращений» (1715) затем попытался построить прямо на этой основе. В Тейлоре следует видеть первого творца теории конечных разностей в собственном смысле слова.

В то время как Лейбниц всегда пользовался символом дифференциала с/, Тейлор обозначал приращения и уменьше-

ния, ставя под буквами точки или цифры, причем он употреблял также отрицательные индексы. Символ Тейлора х( = х) в нашем обозначении, предложенном Эйлером в «Основаниях дифференциального исчисления» (1755), есть, таким образом, А2*, х(=х)=Ах, х = х, а х представляет так что Ах равно X и т. д. Применение отрицательных индексов такого рода не было чуждым и Лейбницу. Он рассматривал интегрирование как дифференцирование с отрицательным индексом и задумывался даже над дифференцированием с дробным индексом. Эти идеи, изложенные им в письмах к Иог. Бернулли и Лопиталю от 1695, остались в свое время неопубликованными. Но Лейбниц действительно подготовил почву для символики разностного исчисления, указав, правда, сначала только для дифференциалов, на аналогию между разложениями dm(xy) и (х + у)т. Свои результаты, первоначально сообщенные И. Бернулли в 1695 и Валлису в 1697, Лейбниц опубликовал в первом томе Misc. Berol., 1710 в статье «Замечательный символизм и т.д.» (Symbolismus mirabilis etc.). Символические обозначения общей теории разностного исчисления разработали позднее Лагранж [Nouv. Mém. Berl., 1772 (1774), Mém. Ac. Berl., 1792/93 (1798)] и Лаплас [Mém. Ac. Paris, 1777 (1780) и 1779 (1782)].

Начатки подлинного исчисления конечных разностей можно видеть и в исследованиях арифметических рядов высших порядков, появившихся в XVI и XVII столетиях. После того как С. Якоб в арифметике 1565, составленной не позднее 1552, нашел сумму ряда1)

1+2 + 4 + 7+11 + 16 + 22 + 29,

М. Бернеггер в «Учебнике математики» (Manuale mathematicum, 1619) заметил постоянство третьих разностей ряда

13 + 23 + 33+

а И. Фаульгабер в «Продолжении нового чудесного искусства» (Continuatio seiner neuen Wunderkünste, 1617) привел суммы одиннадцати первых степенных рядов вида

lm + 2m + 3m+ ...

1) Правда, Якоб образовал этот ряд из ряда треугольных чисел 0, 1, 3, б, 10, 15, 21, 28, увеличив все члены последнего на единицу; суммирование же треугольных чисел произвел еще Никомах (II столетие нашей эры).

Хотя вывод у Фаульгабера отсутствовал, следует думать, что он составил ряды разностей по крайней мере для первых значений га, ибо, позднее, в «Школе алгебры» (1631), он определенно отметил постоянство A20 (x20)1). Согласно одному письму Ферма к Мерсенну от сентября 1636, и он открыл способ суммирования таких рядов, оставшийся, однако, до сих пор неизвестным. Аналогичное сообщение отправил в 1673 Ольденбургу Лейбниц, просуммировавший для примера ряд третьих степеней. Пользуясь повторным образованием разностей, Ньютон в «Началах» (1687) и в «Методе разностей» (1711) получил свои шесть интерполяционных формул, а именно, так называемые формулы для интерполирования вперед, назад и на середину, притом как для равноотстоящих, так и для неравноотстоящих абсцисс2). Заметим, кстати, что слово «интерполяция» впервые употребил Валлис в «Арифметике бесконечных» (1656). Стирлинг, именем которого часто называют одну интерполяционную формулу, не дал в действительности новых формул. Формулы Котеса, опубликованные в приложении к «Гармонии мер» (1772), также не были новыми, но были выведены из других соображений. Одну из формул Ньютона привел в неявном виде также Ж. Озанам в т. II своего «Курса математики» (1693).

Ф. Николь в Mém. Ac. Paris, 1717/19 (1720) поставил целью разъяснить и пополнить несколько трудное для понимания изложение Тейлора. Среди прочего материала он в явной форме привел разность и сумму так называемой «обобщенной степени» х(х + h) (x + 2h).. .(х+ (п—1)/*), а также ее обратного значения. Дробные рациональные функции он

1) В Acadernia algebrae (Ульм, 1631) Фаульгабер вычислил суммы степеней целых чисел до 1>п17 и при этом получил первые восемь чисел Бернулли.

2) «Метод разностей» был написан Ньютоном не позднее осени 1676, но интерполяционная формула

I (а + xh) = / (а) + хЦ (а) + Х (х~ 1} А2/ (а) + ...

была известна еще в 1670 Дж. Грегори. См. Э. Уиттекер и Г. Робинсон, Математическая обработка результатов наблюдений. Перев. под ред. Н. М. Гюнтера, Л.—М., 1933, стр. 15.

Интерполяционная формула Грегори — Ньютона с членами до второй степени впервые встречается у китайских астрономов VI столетия; на рубеже VII и VIII столетий она была распространена на случай неравноотстоящих значений аргумента; в XIV столетии к формуле для равноотстоящих значений аргумента был добавлен член, содержащий разности третьего порядка. Эти формулы получали применение в астрономических и календарных расчетах. См. Li Yen, The interpolation formulae of early Chinese mathematicians. Actes du VIII Congrès international d'histoire des sciences. Florence, 3—9 September 1956. — Прим. ред.

при этом разлагал на простые дроби с такими же «степенями» в знаменателях и постоянными числителями. Другая, позднейшая статья в том же томе Mém. Ac. Paris, написанная учителем Николя, де-Монмором, методически излагала прием Николя. Эта статья содержала также приложение, написанное Тейлором, в котором он применил разложение на простые дроби с линейными знаменателями к определению суммы дробной функции. В «Методе разностей» (1730) Стирлинг рассмотрел тот же вопрос, пользуясь по существу способом Николя. Впрочем, уже в Phil. Trans., 1719 Стирлинг внес серьезный вклад в исчисление конечных разностей, применив интерполяционный метод Ньютона к улучшению сходимости бесконечных рядов. Сам Николь в Mém. Ac. Paris, 1723, 1724 и 1727 опубликовал еще несколько статей, в которых приложил свой прием к суммированию бесконечных рядов, составленных из обобщенных отрицательных степеней. Упомянем еще две работы де-Ланьи в Mém. Ac. Paris, 1705 и 1722, в которых он воспользовался высшими разностями для решения уравнений. Можно сказать, что в 1730, после выхода «Метода разностей» Стирлинга, был заложен прочный фундамент исчисления конечных разностей. В дальнейшем построении его приняли участие крупнейшие математики XVIII столетия.

Прежде всего здесь следует назвать Эйлера. В первой главе «Оснований дифференциального исчисления» (1755) он дал полное изложение вычислений с конечными разностями и суммами, которые применил во второй главе к интерполированию рядов. В дальнейшем изложении Эйлер обращается к разностям для преобразования с их помощью одних рядов в другие, либо конечные, либо скорее сходящиеся. После того разностное исчисление аналогично применял Ф. Мазер (Phil. Trans., т. 67, ч. I, 1777). Эйлер занимался интересующей нас дисциплиной и позже. В Nov. Comm. Ac. Petr., 1762/63 (1764) он вычислил разность функции arctg (ax + b), а в 1776 написал небольшую статью о суммах рядов 1П + 2П+ ... ... +хп, опубликованную в Nov. Act. Ac. Petr., 1788 (1790). Так называемая формула суммирования Эйлера — Маклорена (см. стр. 153) относится, собственно говоря, тоже к исчислению конечных разностей. Укажем, кроме того, на статью Вандермонда в Mém. Ac Paris, 1772 (ч. I, 1775), посвященную обобщенным степеням и, в частности, разъясняющую сходство, существующее между ними и степенями.

Уравнения в конечных разностях неоднократно рассматривались попутно и сходно с соответствующими типами дифференциальных уравнений. В «Методе приращений» Тейлор привел первый метод решения общего линейного уравнения

в конечных разностях. Но разностные уравнения встречались и в связи с другими проблемами. Например, в первом томе Misc. Taur., 1759 Лагранж сообщил новый метод изучения возвратных рядов, основывавшийся на решении разностных уравнений1). Отправляясь от простейшего линейного уравнения в конечных разностях

где M и N суть постоянные или же зависят от х, он перешел к наиболее общему линейному разностному уравнению с постоянными коэффициентами

у + ААу + В№у+ ... =ХХ

и разработал метод решения последнего, сходный с методом неопределенных коэффициентов, примененным к дифференциальным уравнениям Даламбером.

Вслед за этой статьей Лагранжа в Mém. prés. Ac. Paris [т. VI, без указания даты (1774), и т. VII за 1773 (1776)] появились две работы Лапласа о возвратно-возвратных рядах, в которых автор обобщил идеи Лагранжа, опередив его в этом, как признал тот в следующей статье в Nouv. Mém. Ac. BerL, 1775 (1777). После того Лагранж постарался дать более простую и общую трактовку того же предмета. Во второй из названных статей Лаплас получил также разностные уравнения, исходя из функциональных уравнений, вроде f(x)2 = f (2х) +2; этот отправной пункт был затем использован Ж. Шарлем в Mém. Ac. Paris, 1786 (1788).

Впрочем, разностными уравнениями Лаплас занимался еще в Mise. Taurin, т. IV, 1766/69. В одной статье, написанной, по-видимому, лишь в марте 1771, он развил метод интегрирования общих линейных дифференциальных уравнений п-го порядка и перенес его на уравнения в конечных разностях. Прежде всего он нашел, что неоднородное линейное разностное уравнение

Хх = Ух+Нхух+1 + 'Нхух+2 + "Нхух+2 + ...

всегда разрешимо, если разрешимо соответствующее однородное уравнение (Хх = 0), как это показал для дифференциальных уравнений Лагранж.

К рассматриваемым здесь исследованиям Лапласа неоднократно приводили проблемы теории вероятностей. Других, как, например, Кондорсе, разобравшего сходные задачи

1) Для обозначения конечных разностей Лагранж пользовался не знаком Л, a d, а для конечных сумм не 2, а X, Лаплас же употреблял символику Эйлера.

разностного исчисления в книге «Об интегральном исчислении» (1765) и в Mém. Ac. Paris, 1771 (1774) и 1772 (ч. I, 1775), к разностным уравнениям привело определение произвольных функций, участвующих в решениях дифференциальных уравнений с частными производными и удовлетворяющих некоторым условиям. Работу такого характера опубликовал также Монж в Mém. prés. div. sav. Ac. Paris, 1773 (1776). В несколько более ранней работе в Mém. Ac. Paris., 1770 (1773), на которую опирался потом Лаплас, Кондорсе уже попытался перенести на конечные разности понятия полного диффернциала и вариации, а также разработать методы приближенного решения разностных уравнений. Шарль в Mém. Ac. Paris, 1786 (1788) исследовал особые решения разностных уравнений.

Случай, когда разность Ajc не постоянна, а является данной функцией je, впервые был рассмотрен Монжем (Mém. prés. div. sav. Ac. Paris, т. IX, 1780, прислано в 1774), но подробнее и более общим образом его изучил Лорньа в Mém. Mat. Soc. Ital., 1782.

Мы должны еще раз кратко обратиться к упомянутым выше статьям Лапласа. Определенные уже в первой из них возвратно-возвратные ряды зависели от двух параметров, а уравнение, выражавшее закон развития ряда, являлось уравнением в частных конечных разностях. Общее решение его, как и у дифференциальных уравнений с частными производными, содержало произвольную функцию. Лаплас свел решение этого уравнения к решению системы обыкновенных разностных уравнений. Мы уже говорили на стр. 151 об одной позднейшей работе Лапласа сходного содержания, вышедшей в Mém. Ac. Paris, 1779 (1782). Упомянем только еще, что в этой статье Лаплас рассмотрел уравнения, содержащие наряду с разностями, дифференциалы. Такие смешанные уравнения изучал также Лорньа в Mem. Mat. Soc. Ital., 1788.

Лагранж в Nouv. Mém. Ac. Berl., 1778 (1780), 1783 (1785) и в Mém. Ac. Berl., 1792/93 (1798) опубликовал также важные работы по интерполированию. В частности, следует упомянуть известную формулу, которая носит имя Лагранжа, приведшего ее без доказательства в «Элементарных лекциях по математике и т. д.» [Leçons élémentaires sur les mathématiques etc., год III (1795)], но которая задолго до того была сообщена в Phil. Trans., 1779 Варингом. Как и формула Ньютона, она соответствует проведению через данные точки некоторой параболической кривой. Ришь де-Прони в Journ. Ее. Polyt. [год IV (1796)] предложил вместо того употреблять сумму показательных функций. Однако гораздо большее рас-

пространение и значение, особенно в приложениях, приобрело тригонометрическое интерполирование. Основные формулы

установил Эйлер (Misc. Berol., 1743), рассматривая при этом левые стороны формул как возвратные ряды. Для случая а = 0 эти формулы восходят к Архимеду, a затем к В. Снеллю (1627).

Мы не будем останавливаться на разложениях в бесконечные тригонометрические ряды, о которых уже говорили (стр. 163) и которые сюда по существу не относятся, хотя отчасти они были выведены с помощью интерполирования. Из открытий XVIII столетия мы должны только отметить, что впервые определенным образом решил задачу о проведении через п точек с равноотстоящими абсциссами кривой, составленной из п синусоид, опять-таки Лагранж (Misc. Taur., 1759 и 1762/65). Если к этой работе его привел вопрос о колеблющейся струне, то задача об определении неравенств планетных орбит дала ему повод изучить тригонометрическое интерполирование гораздо более общим образом [Mém. Ac. Paris, 1772 (1, 1775)]. В связи с указанной задачей Лагранж определил также величины периодов отдельных компонент, для чего применил возвратные ряды в непрерывные дроби. В Berl. Astron. Jahrb., 1783 (1780) он добавил к этому статью, в которой для получения возвратных рядов с действительным рекурентным соотношением сначала образовал разностные ряды по данным значениям функций. Но как ни остроумен был этот прием Лагранжа, он все же обладал лишь теоретическим значением. Настоящее практическое применение тригонометрическое интерполирование получило только в XIX столетии.

ЧАСТЬ ВТОРАЯ

ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ

ГЛАВА ПЕРВАЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ, В ЧАСТНОСТИ ТЕОРИЯ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ

§ 1. Создание аналитической геометрии Ферма и Декартом

ервым краеугольным камнем аналитической геометрии явился трактат Ферма «Введение в изучение плоских и телесных мест» (Ad locos pianos et solidos isagoge). Хотя это сочинение стало известным в кругу парижских математиков еще до 1637, но впервые было опубликовано лишь после смерти автора в 1679 в Varia Opera. Чтобы правильно понять, в какой мере продвинулся здесь вперед Ферма, и чтобы суметь сравнить достижения его и Декарта, мы должны будем возможно точнее передать содержание этого небольшого сочинения. При этом мы только отчасти воспользуемся современными обозначениями1), в остальном же будем непосредственно следовать за Ферма.

Ферма прямо заявляет, что всякий раз, когда в заключительном уравнении имеются две неизвестные величины, то налицо имеется геометрическое место, которое описывает конечная точка одной из неизвестных2). Обе неизвестные вели-

1) Уже в Varia Opera не употреблялся способ записи самого Ферма, непрактичный и примыкавший к Виету. С ним, впрочем, можно познакомиться по перепечатке в первом томе «Сочинений» Ферма, подготовленном на основании одной старинной копии.

2) Под величиной Ферма понимает здесь прямолинейный отрезок. — Прим. ред.

чины целесообразно брать под определенным углом и для одной из них следует взять на какой-либо определенной прямой определенную начальную точку (TV). Эту первую неизвестную Ферма всегда обозначал NZ и называл ее Л, другую же, соответственно, ZI и Е. Мы заменим А и Е на х и у. Далее, с помощью подобных треугольников Ферма показывает, что в случае уравнения Dx = By точка / должна лежать на прямой, проходящей через N. При этом он начертил лишь верхнюю часть прямой. Коэффициенты здесь являлись отрезками, а если они должны были означать площади, то к ним добавлялось pl. (апит). Затем Ферма доказывает, что каждое уравнение вида Z pl. — Dx = By также представляет прямую, для чего полагает Z pl. = DR и вновь пользуется подобием треугольников. Так обстоит дело со всяким уравнением, содержащим только X и у. Здесь же Ферма приводит теорему, которую, обобщая одно предположение книги Аполлония «О плоских местах», формулирует так: «Допустим, что имеется какое-либо число данных по положению прямых и что к ним из некоторой точки проведены под заданными углами прямые (отрезки); если сумма произведений этих проведенных прямых на данные равна данной площади, точка находится на данной по положению прямой».

«Второй порядок» таких уравнений получается, когда xy = Zpl. Это уравнение представляет собой не что иное, как перевод на язык алгебры одного свойства гиперболы, встречавшегося уже в «Конических сечениях» Аполлония. Ферма вычерчивает прямой угол первого квадранта (как говорим мы) и расположенную в нем ветвь равносторонней гиперболы. Каждое уравнение, содержащее только х, у и ху, например, D pl.+xy = Rx + Sy можно привести к этому случаю. Ферма преобразует это уравнение в (х — S) (R — у) =D pl.— —RS и теперь может снова применить теорему Аполлония. Вычерчивается лишь кусок одной ветви гиперболы.

«Следующий порядок» заключает все уравнения, члены которых содержат лишь х2, у2 и ху. Ферма соединяет произвольно взятую точку / с начальной точкой N и, пользуясь пропорциональностью отрезков, показывает на одном примере, что такому уравнению удовлетворяют все точки прямой N1. Следовательно, точка / лежит на прямой. Недостаточность приема и неполнота результата здесь очевидны.

Иначе обстоит дело далее, когда Ферма полагает x2 = Dy, ибо, опираясь на Аполлония, он может здесь сразу сказать, что речь идет о параболе (рис. 7). Он сейчас же замечает, что уравнению y2 = Dx соответствует парабола, проведенная на фигуре штрихом. Вслед затем, полагая B2 = DR, он преобразует уравнение B2 — x2 = Dy к форме D(R — y)=x2,

которая оказывается тождественной с только что указанной, если только принять R — у за у. Подобным же образом можно рассмотреть все уравнения, содержащие х2 и у.

Однако может быть, что х2 входит в уравнение вместе с у2 и постоянными. Конечно, для Ферма легко было показать, что В2 — х2 = у2 представляет окружность; на чертеже была изображена лишь часть ее, немного большая первого квадранта. Но Ферма указывает также совершенно правильно общие условия, при которых уравнение выражает окружность, и рассматривает пример

В2 — 2Dx — X2 — у2 + 2Ry.

Он приводит это уравнение к форме, записываемой нами здесь несколько короче:

p2-(x + D)2 = (y + R)\

Беря затем снова х вместо х + D и у вместо y + R, он получает исходную форму. Пример одного геометрического места, приведенный в конце трактата, показывает, что Ферма хорошо знал, как построить центр и радиус такой произвольно расположенной окружности.

Но если В2 — X2 находится в данном отношении к у2> то точка лежит на эллипсе (чертеж отсутствует). Увидеть это было опять-таки легко, ибо, согласно Аполлонию, у эллипса отношение квадрата ординаты к прямоугольнику, построенному на отрезках диаметра В + х и В — х, должно быть постоянным. Ферма также определенно подчеркивает, что если привести пропорцию к виду уравнения, то при х2 и у2 должны стоять различные знаки и различные коэффициенты; последнее необязательно только тогда, когда выбранный угол отличен от прямого, — теорема Аполлония ведь относилась к любым сопряженным диаметрам. Уравнения, содержащие еще X и у, могут быть приведены к простейшей форме с помощью уже примененного выше преобразования.

Если в данном отношении к у2 находится х2 + В2у то точка / лежит на гиперболе. Приведение этого случая к соответствующей теореме Аполлония было для Ферма несколько труднее. Но если мы станем понимать слово «отрезок» в современном значении, то теорема о гиперболе будет формулироваться точно так же, как теорема об эллипсе. Поэтому, если только принять х за ординату в нашем смысле, как здесь и поступает Ферма, то в современном обозначении

Рис. 7.

а это будет тождественно с начальным требованием, коль скоро мы положим ка2 = В2. Здесь вычеркивались обе ветви гиперболы. Относительно уравнений, содержащих еще члены с X и следует иметь в виду вышеуказанное обстоятельство.

Наиболее трудным является, конечно, случай, когда наряду с X2 и у2 встречаются еще члены с ху. Ферма его так и квалифицирует. В качестве примера он берет уравнение В2 — 2х2 = 2ху + у2 и приводит его к виду

В2-х2 = (х + у)2;

поскольку теперь он берет NZ за х и ZI за х + у (рис. 8), точка / описывает окружность. Здесь возникает вопрос, какое геометрическое место описывает точка 1/, если взять IV=NZ. Ферма строит равнобедренный прямоугольный треугольник NMR и доказывает в обстоятельном античном стиле, что отношение V02 к NR2 — NO2 является тогда постоянным. Но согласно приведенной выше теореме точка V лежит в таком случае на эллипсе с полуосью NR, для которой сопряженным служит направление OV. Мы немедленно замечаем, что NR2 — N02 = 2(B2— X2) и так как VO = x + y, то указанное постоянное отношение равно 1/2. Аналогичным путем, говорит Ферма, можно исследовать также все прочие случаи. Это, разумеется, справедливо, но можно было бы пожелать, чтобы Ферма показал это на менее удобоприспособленном примере. В заключение Ферма говорит, что теперь изложено все, что оставили невыясненным относительно геометрических мест древние, а все прочее, что относится к этому предмету, можно будет отныне найти без труда. Высшие («линейные») места, как он уже сказал в начале своей работы, с помощью приведений можно легко свести к «плоским» (т. е. прямой и окружности) и «телесным» (т. е. эллипсу, параболе, гиперболе).

Мы не знаем, ознакомился ли Декарт с этим сочинением, или по крайней мере с содержащимися в нем результатами и методом Ферма, до публикации своей «Геометрии» (1637, ср. стр. 16). Во всяком случае, то, что Декарт сообщил в своем труде, было сделано настолько по-иному, что не может быть речи о том, чтобы Ферма послужил для него какой-либо опорой. В одном отношении Декарт дал в «Геометрии» меньше, чем Ферма, ибо у Декарта не было столь систематического изложения простейших уравнений и их

Рис. 8.

геометрических образов, но зато в другом — много, много больше, поскольку Декарт, как мы уже показали в различных местах первой части (особенно стр. 38—40), одновременно усовершенствовал и по форме, и по существу алгебру, а также обратил отношение между ней и геометрией, поставив на первое место алгебру с тем, впрочем, чтобы в заключение применить найденные с ее помощью геометрические места к графическому решению опять-таки алгебраических уравнений (см. стр. 61—64). Отсутствие систематического изложения простейших форм уравнений вообще не следует расценивать как подлинный научный недостаток Декарта в сравнении с Ферма. Во-первых, в ряде мест «Геометрии» и своей переписки Декарт указывал, что желал наметить лишь общие контуры своего нового метода, которые нередко оставлял туманными даже нарочно (ср. стр. 62). Во-вторых, даже для неслишком творчески одаренного математика было нетрудно, если только он был в состоянии понять «Геометрию», дать изложение и интерпретацию простейших форм уравнений. Действительно, вскоре после выхода «Геометрии» это осуществил друг Декарта Ф. Дебон (см. стр. 240).

Наше общее суждение мы желаем построить на точной передаче содержания этого величественного для своего времени труда. Декарт начинает с утверждения, что всякая геометрическая задача приводится в конце концов к определению длин или соответственно к построению некоторых отрезков. При этом он имеет в виду не что иное, как алгебраическое вычисление неизвестных отрезков (г, г/, х) по данным (a, ft, с, ...) и построение отрезка z по уравнению с одним неизвестным г, возникающему после удаления всех других неизвестных. Такое алгебраически-геометрическое решение геометрических задач ввел еще Виет в «Теоретическом разборе геометрических действий» — Effectionum geometricarum canonica recensio, около 15931), если не говорить о более ранних попытках Бенедетти («Книга о различных математических и физических размышлениях» — Diversarum speculationum math, et phys. liber, Турин, 1580). П. Катальди пошел по стопам Виета в третьей части своей «Дискурсивной алгебры» (Algebra discorsiva, Болонья, 1618). Но все эти авторы достигли лишь геометрического построения решений уравнений. Подробнее произвел алгебраический анализ некоторых настоящих задач М. Гетальди (Геталдич) в «Собрании различных задач» (Variorum problematum collectio, Венеция, 1607) и «О математическом анализе и синтезе» (De resolu-

1) Оригинал вышел без указания года и места издания, а также фамилии издателя.

lione et compositione mathematica, Рим, 1630). В терминологии и символике Гетальди присоединился к своему учителю Виету. Только что названный второй большой труд в 343 страницы (in folio) заключал довольно беспорядочный и неравномерный1) набор задач на деление отрезков, построение треугольников и вставки (Цейтен, ч. II). За Гетальди последовал У. Оутред («Ключ к математике», 1631, см. стр. 14), примкнувший в подборе задач к первому приведенному сочинению Гетальди, но сделавший существенный шаг вперед в их алгебраической трактовке.

Декарт не рассматривал подобные элементарные задачи, хотя его комментаторы неоднократно приводили примеры этого рода (стр. 241). Его внимание, напротив, привлекли задачи, в которых получается меньше уравнений, чем должно быть введено неизвестных. Это свидетельствует, говорит он, что задача — не вполне определенная, и в этом случае для всех неизвестных, которым не соответствует никаких уравнений, можно взять произвольные известные отрезки. Затем он обращается к задаче Паппа (около III столетия нашей эры, см. Цейтен, ч. 1), проходящей красной нитью через все сочинение. В названной задаче речь идет о «геометрическом месте к трем, четырем (или более) прямым», некоторые случаи которого рассмотрел еще Аполлоний. Дается некоторое число, три, четыре или более прямых; требуется найти геометрическое место точек, обладающих тем свойством, что от них можно провести к каждой из прямых по отрезку, образующему с ней данный угол, так, чтобы в случае трех прямых прямоугольник, построенный на двух этих отрезках, находился в данном отношении к квадрату третьего, чтобы в случае четырех прямых прямоугольник на двух отрезках находился в данном отношении к прямоугольнику на двух других, и т. д. Уже древние знали, что в случае трех или четырех прямых геометрическим местом является коническое сечение, хотя они и не дали более точных указаний относительно его рода и расположения. Однако в случае более шести прямых возникает то затруднение, что, как говорим мы и как это тотчас отметил Декарт, произведение четырех и больше отрезков не имеет уже никакого геометрического смысла. В связи с этим Папп указывал на необходимость пользоваться в подобных случаях «сложными отношениями», не сообщив, однако, каких-либо результатов.

1) Например, одна лишь задача о вставке между двумя полуокружностями, диаметры которых лежат на одной прямой, отрезка данной длины, продолжение которого проходит через конец одного из диаметров, занимает 130 страниц.

Декарт подходит к этой задаче следующим образом. Он берет четыре прямые AB, AD, EF, GH и допускает, что для некоторой точки С задача решена и что СВУ CD, CF, СИ представляют собой четыре отрезка, удовлетворяющих указанному условию, а углы при В, Dy F, H даны (рис. 9). Среди этого множества линий Декарт выбирает одну из данных и одну из искомых, именно AB и СВ, и относит к ним остальные. AB он называет х, а ВС через у, продолжает все остальные данные прямые до пересечения с прямыми отсчета и полагает AE = k, AG = l. Все углы треугольников на чертеже известны, так что все отрезки можно выразить через X, у, k, /. Но так как Декарт не употребляет теоремы синусов, то он принимает, выражая, впрочем, это словами:

Рис. 9.

так что все эти данные отношения имеют один и тот же предыдущий член г. Мы можем теперь предоставить читателю самому произвести последовательно выкладки и получить, что

Современный читатель заметит, что выражения для CD, CF, СН пропорциональны расстояниям точки С от прямых AD, EF, GH и, значит, левым частям уравнений этих прямых в системе координат, в которой осью абсцисс является АВУ началом координат служит А, а ось у направлена параллельно ВС.

Теперь Декарт может указать, что его способ вычисления расстояний CD и т. д. всегда и при любом числе данных прямых приводит к линейному, как коротко говорим мы, выражению относительно х, у. Поэтому в случае трех, четырех, а также и пяти прямых задача оказывается плоской, т. е. при любом значении у соответствующее х можно построить с помощью циркуля и линейки, ибо для х получается квадратное уравнение. Если, пишет Декарт, придавать отрезку у после-

довательно бесконечное множество различных значений, то найдется бесконечное множество значений и для отрезков х, и таким образом получится бесконечное множество точек С, с помощью которых можно описать искомую кривую. Декарт не упускает из виду, что в случае пяти параллельных прямых задача более не является плоской, и сообщает, каковы будут измерения уравнений при большем числе данных прямых. Этим заканчивается первая книга «Геометрии».

Здесь Декарт прерывает исследование задачи Паппа. Вторую книгу он открывает общими соображениями о типах и классификации кривых (см. ниже стр. 283—284). Мы отметим пока лишь его слова, что все точки каждой кривой находятся в каком-либо отношении ко всем точкам некоторой прямой и что это отношение может быть выражено (посредством двух «неопределенных величин») уравнением, одним и тем же для всех точек кривой. Чтобы все это стало более понятным, он рассматривает одно геометрическое место, являющееся гиперболой, выбирает для установления искомого уравнения прямую AB, дабы «отнеси к ее различным точкам точки искомой кривой», и начинает вычисления на прямой AB с точки А. Хотя прямая AB и точка А выбираются возможно более целесообразно, но Декарт дает понять, что он умеет доказать, что измерение кривой не изменилось бы при любом другом их выборе. Уравнение, которое он в конце концов получает, таково:

У2 = су — -^- + ау — ас.

Мы привели его как первое уравнение конического сечения, записанное в обычном для нас виде (здесь х и у даже взаимно перпендикулярны).

Лишь сделав еще ряд замечаний общего характера, Декарт возвращается к задаче Паппа. Допустив, что произведение СВ и CF должно быть равно произведению CD и СН% он находит уравнение „2 _ (cfg*£ — dckz2) у — (dez2 -f cfgz — bcgz) xy + bcfglx — bcfgx2

Это уравнение он немедленно приводит в более простой форме

и решает его относительно у:

затем, введя некоторые сокращенные обозначения, получает

Это выражение, говорит он, представляет длину линии ВСУ когда AB или х берется неопределенной.

Декарт весьма подробно исследует затем это уравнение, учитывая также знаки отрезков m, пу о, р. Впрочем, уже при выводе выражений для длин проводимых им наклонных отрезков он указал на различные возможные их расположения и обусловливаемые этим изменения знаков1). Метод Декарта, а также его последователей в XVII столетии и позднее заключается попросту в том, что отрезки, выражаемые величинами

принимаются за построенные и соединяются друг с другом соответственно их знакам. При этом Декарт замечает, что когда радикал есть нуль, точка С находится на прямой, соответствующей уравнению, в правой части которого имеются лишь два первых члена. В случае, если бы корень извлекался, точка находилась бы на некоторой другой прямой, найти которую было бы столь же легко. Поэтому неверно говорить, будто уравнение прямой совершенно отсутствовало в «Геометрии», хотя оно и не встречалось в ней самостоятельно как таковое. Теорему о том, что каждое уравнение, линейное относительно х, у, представляет прямую, впервые печатно высказал Дебон (см. стр. 240).

Когда подкоренное выражение не является ни нулем, ни полным квадратом, Декарт, опираясь на Аполлония, показывает, что геометрическое место точек С является коническим сечением. Один из диаметров его лежит на прямой, представленной уравнением у = т— — х, а квадратный радикал выражает собой ординату («appliquée par ordre», см. стр. 266), параллельную другому сопряженному диаметру. Декарт точно указывает, при каких знаках коэффициентов получаются парабола, эллипс и окружность или гипербола. Он находит положение центра, длины обоих сопряженных диаметров, т. е., коротко говоря, точное положение и размеры конического сечения. По существу, уравнение его выглядит так же, как

1) Замечание, что отрицательные решения уравнений следует наносить на фигурах в сторону, обратную положительным, определенно встречается в «Новом открытии в алгебре» (Амстердам, 1629) А. Жирара, но по существу оно более раннего происхождения.

то, которое записали бы в несколько более современном виде мы. Может лишь удивить, что Декарт так заботится о сохранении однородности, между тем как уже в начале первой книги он разъяснил, что под а2, Ь2 и подобными выражениями он понимает просто отрезки, ибо после введения единичного отрезка их можно построить как таковые (ср. стр. 17). Но сохранение однородности здесь объясняется тем, что он все время видит содержание своей задачи в алгебраически-геометрическом построении отрезка у, хотя, разумеется, воздерживается от конкретного проведения этого построения. Насколько мало интересует его в действительности однородность, которой до него придавалось величайшее значение, Декарт показывает сейчас же по окончании исследования, приводя числовой пример. Для Ферма, и вообще во всем круге идей Виета, такая мысль была абсолютно чуждой, ибо в алгебраических уравнениях они видели только символы геометрических операций. Декарт принимает

ЕА = 3, Ж? = 5, AB = BR, BS=^BE, ОВ = ВТ, CD=--^CR, CF = 2CS, CH = ^CT и ^ABR == 60°,

так что получается уравнение

у2 = 2у — ху + 5х — X2

или, по разрешении,

Таким образом, отдельные определяющие элементы конического сечения выражаются теперь числами и притом, вообще говоря, иррациональными числами.

Далее Декарт устанавливает еще уравнение кривой, представляющей собой геометрическое место точек С в случае пяти данных прямых, из которых четыре — параллельные эквидистанты, а пятая к ним перпендикулярна, и когда произведение расстояний от трех параллельных прямых должно быть равно произведению двух других расстояний и еще некоторого данного отрезка (кривая эта — третьего порядка и по терминологии Ньютона принадлежит к трезубцам). За этим следует объяснение способа построения нормалей (см. стр. 120), который применяется к конхоиде Никомеда (правда, вычисления здесь не приводятся) и к появляющимся здесь впервые овалам, носящим теперь имя Декарта (см. стр. 239 и 304). В последнем случае употребляется биполярная система координат. Третья книга содержит описанные

нами в первой части методы алгебраического и графического решения уравнений.

Как видно из подробно разобранного нами примера и некоторых других мест второй книги «Геометрии», Декарт рассматривает уравнение, содержащее х, у как выражение отношения точек кривой (которая мыслится в качестве простой ветви) к точкам некоторой прямой. Отношение это устанавливается с помощью параллельных между собой отрезков, которые в нашем примере назывались у и которые, вообще говоря, наклонны к прямой отсчета. На последней Декарт берет некоторую исходную точку для отсчета ху обозначаемую им обыкновенно через А. Но Декарт не проводит последовательного различия в употреблении х и у, у него нет какого-либо предпочтительного направления для прямой отсчета. В третьей книге, в которой, казалось бы, намерения Декарта должны были проявиться особенно отчетливо, он вообще не сообщает уравнений двух используемых там кривых и дает лишь их построение (см. стр. 62). Неизвестную величину алгебраического уравнения он при этом обыкновенно называет z и решения проводятся так, что z оказывается всегда, по нашей терминологии, ординатой. Точки пересечения получаются, естественно, с обеих сторон от прямой отсчета, и Декарт совершенно правильно принимает ординаты, расположенные с одной стороны, за истинные, а с другой — за ложные (т. е. отрицательные, см. стр. 39) корни уравнения.

Сравнивая координаты Декарта с координатами Ферма, мы хотя и найдем некоторое различие в их концепциях, но в основном встретим и здесь и там одинаковый результат, а именно, выражаясь по-современному, ось абсцисс с начальной точкой и систему параллельных, вообще наклонных, ординат. Правда, у Декарта встречается рис. 10, и он говорит, что полагает СВ или МА=уу СМ или АВ=х. Дебон, его первый комментатор, уже дошел, пользуясь сходным чертежом, до перемены местами х и у в уравнении х2 = Ьу (так же действовал Ферма, см. стр. 229). Но это применение второй оси являлось лишь случайным, поскольку вытекало непосредственно из чертежа. На самом деле отсутствие ее еще долгое время спустя затрудняло развитие аналитической геометрии (см. стр. 257 и след.).

Мы располагаем некоторыми данными относительно времени возникновения в уме Декарта всех этих нововведений, чреватых важнейшими последствиями. Уже в октябре 1628

Рис. 10.

он рассказывал своему другу И. Бекману, что в течение последних девяти лет сделал в арифметике и геометрии такие успехи, что ему уже нечего более желать, и сообщил ему правило построения всех уравнений третьей и четвертой степени с помощью параболы. В самом деле, примерно в это время Декарт открыл также закон преломления света и попытался установить с помощью математики наиболее целесообразную форму оптических линз. Рассмотрение этого вопроса привело его к овалам, носящим теперь его имя. Сохранился один отрывок, посвященный этим овалам и составленный тогда же [впервые опубликован в «Посмертных сочинениях» (Opusc. posthuma, Амстердам, 1701)]. В этом отрывке Декарт уже вводит абсциссу л:, употребляемая же им здесь ордината еще не имеет специального обозначения, а у служит символом некоторого параметра, который позднее в «Геометрии» был обозначен через z. Известно далее, что приблизительно в 1631 ориенталист Як. Гооль обратил внимание Декарта на задачу Паппа. В письме к Гоолю от января 1632 Декарт указывает ее решение, сообщая, что нашел его с помощью вычисления. Таким образом, становится понятным, как вся система алгебраически-аналитических идей сложилась у Декарта к 1637 столь полно, что он в неосновательном самомнении с пренебрежением смотрел на древних и, подобно Ферма, думал, будто все главное в этой области им уже выполнено.

§ 2. Современники и последователи Декарта

Для современников Декарта понимание «Геометрии» было весьма трудным. Поэтому уже в ближайшем году после ее выхода сам автор позаботился о распространении рукописи, которую он в своих письмах называл «Введением» (Introduction); нам известен лишь неполный экземпляр ее под названием «Исчисление г. Декарта» (Calcul de Monsieur Des Cartes, впервые опубликовано в 1896, см. т. X Oeuvres Декарта). Это «Исчисление» было составлено одним другом Декарта, личность которого точно установить не удалось. В рукописи содержалось краткое введение в алгебраический алгоритм Декарта, приводились три алгебраически-геометрические задачи на треугольники и аналитико-геометрическое определение одного места, восходящего к Аполлонию. Из переписки явствует, что сочинение должно было содержать еще алгебраическое решение задачи об определении шара, касающегося четырех данных шаров. Более подробное алгебраическое введение в «Геометрию» составил по указаниям Скаутена Э. Бартолин, выпустивший его в Лейдене в

1651 под названием «Начала универсальной математики Франца ван-Скаутена и т. д.» (Francisci â Schooten Principia Matheseos universae etc). Сочинение это было присоединено ко второму (1659/61) и следующим латинским изданиям (1683, 1695) «Геометрии»1).

Вследствие трудности декартовой «Геометрии» особо заслуживают серьезного внимания работы, специально комментировавшие ее. Одними из таких комментариев были «Краткие замечания» Дебона, которые мы нередко упоминали еще в первой части.

Скаутен приложил их, тоже в латинском переводе, к первому латинскому изданию «Геометрии» 1649; в остальных латинских изданиях они перепечатывались без изменений. Автор собственно не предназначал их к публикации, но Скаутен нашел, что они способны несколько осветить труд Декарта, и это назначение они в свое время, видимо, выполнили. Свои замечания Дебон уже в 1639 переслал Декарту, и мы знаем, что последний оценил их благожелательно. Прежде всего Дебон развил далее исходные идеи и построения Декарта, затем сразу перешел к общему уравнению второй степени и рассмотрел случаи, когда отдельные коэффициенты в нем равны нулю, например, гиперболу y2 = xy + xb, параболу у2 = —2dy + bxy окружность (или эллипс) у2 = Ьх — х2, причем угол между х и у все время предполагал произвольным. В качестве новых примеров он привел геометрическое место точек D, расстояния которых DA и DB от концов отрезка AB относятся как данные отрезки е и /, т. е. окружность Аполлония, и еще один вид уравнения гиперболы ху + Ьх + су — d/=0, лежащий в стороне от хода рассуждений Декарта. В зависимости от исчезновения коэффициентов Ь, с, d и изменения знаков при них Дебон установил здесь 17 случаев. Он заметил также, что когда в уравнении отсутствуют X2, у2 и ху, то линия тоже принадлежит к первому «роду» («genre», см. стр. 62 и 284), но является уже не кривой, а прямой. К геометрии в «Кратких замечаниях» относилось еще лишь определение касательной, проведенное на примере кривой Ьх-\-ух = у2 и сопоставленное с методом Декарта (см. стр. 120). У Дебона х и у также не имели характерных направлений. В двух местах он даже рассматривал х как зависимую переменную и писал вообще, что при случае переменные можно менять местами. В остальном Дебон тесно примыкал к своему образцу — Декарту.

1) В последнем издании (см. стр. 249) заглавие этого сочинения начинается словами: Renati des Cartes Principia Matheseos universae.

Наибольшие заслуги в распространении «аналитического искусства»1) Декарта приобрел все же Скаутен, во-первых, самим латинским переводом «Геометрии», вышедшим в XVII столетии в четырех изданиях, а, во-вторых, и, вероятно, еще в большей мере, тем, что он устно и письменно пропагандировал метод Декарта. После того как мы уже упомянули о его алгебраическом введении в «Геометрии» (стр. 239), мы прежде всего скажем несколько слов о его «Комментариях», приложенных им еще к латинскому изданию 1649 и довольно значительно расширенных затем в издании 1659 (см. стр. 40). Эти «Комментарии» были значительно больше по объему, чем «Замечания» Дебона, и давали кое-что новое, особенно во вторичной переработке. Вообще они дополняли и разъясняли неразвитые или темные пункты изложения Декарта. Например, Скаутен привел ряд алгебраически-геометрических задач, а также рассмотрел в аналитико-геометрической форме несколько мест и среди последних один способ образования эллипса, взятый из его книги «Органическое описание конических сечений на плоскости» (Organica conicarum sectionum in piano descriptio, Лейден, 1650). Он снабдил доказательством декартово построение нормали к конхоиде (стр. 237). Скаутен вычислил и построил точки перегиба конхоиды, примыкая к изложению Гюйгенса в добавлении к его сочинению «Открытия о величине круга» (De circuli magnitudine inventa, Лейден, 1654, ср. стр. 291) и опираясь на одно сообщение Г. ван-Гейрета.

В 1649 уравнение прямой у Скаутена еще не встречалось, хотя он и рассмотрел тогда задачу о «геометрическом месте к двум прямым» с алгебраически-конструктивной точки зрения. Но в издании 1659 в качестве уравнения геометрического места появилось и у = а— х. Во втором издании он вывел также основные уравнения трех видов конических сечении в форме гх — уу и —-—щ-= УУ непосредственно из рассмотрения конуса, хотя в этом его опередил Валлис (см. стр. 244). Скаутен показал также, как найти конус, на котором лежит данная парабола, эллипс или гипербола. Преобразование координат у Декарта было лишь намечено (см. стр. 235). Скаутен привел для прямоугольных координат формулы поворота с некоторым смещением начала вдоль оси абсцисс:

1) Выражение «ars analytica» исходило, конечно, еще от Виета.

(см. рис. 11, где АВ = х, ВС = у, DA = a, AF = b). Простое смещение начала вдоль оси ему также, конечно, было известно. Он применил и перенос начала, и поворот осей для преобразования уравнения гиперболы

вначале к виду

а затем к сопряженным диаметрам: у2 = -щ--ас. Он излагает еще, опять-таки данное Гюйгенсом, построение с помощью циркуля и линейки трех нормалей к параболе из данной точки. Кроме того, «Комментарии» содержали кое-какие сведения относительно обыкновенной и обобщенной циклоид, а затем много чисто алгебраического материала (см. стр. 62).

В своих «Математических этюдах» (Лейден, 1656/57) Скаутен также применял алгебраическое исчисление к арифметическим и геометрическим задачам. Например, в реставрации «Плоских мест» Аполлония, составившей содержание третьей книги «Этюдов» и в целом выдержанной в античном духе, наиболее трудные случаи он исследовал как раз с помощью метода Декарта. Особо отметим, что для одного геометрического места у него здесь попутно встретилось линейное уравнение, которое он определенно характеризовал как уравнение прямой. Четвертая книга представляла собой перепечатку упомянутого выше (стр. 241) сочинения об описании конических сечений посредством механизмов. Этот способ образования кривых (ср. также Б. Брамер, Apollonius Cattus, Кассель, 1634) получил большое развитие благодаря Декарту, к которому, между прочим, восходит ныне употребительный термин «построение эллипса у садовников» (Gärtnerkonstruktion) (в «Диоптрике», приложенной вместе с «Геометрией» к «Рассуждению о методе» — Discours de la méthode, Лейден, 1637)1). Хотя сочинение Скаутена об образовании конических сечений по характеру своему не было аналитическим, но

Рис. 11.

1) В действительности построение эллипса с помощью нити, закрепленной в фокусах, было дано уже византийцем Анфимием в VI столетии нашей эры. Соответствующее построение гиперболы восходит к Planisphaeriorum universalis theorica Гвидубальдо дель-Монте (Пезаро, 1579),

кое-что в нем все же заслуживает внимания. Такова, например, общая теорема, что при движении концов отрезка по двум прямым всякая жестко связанная с отрезком точка описывает коническое сечение1). Последняя пятая книга, в которую вошли разнородные исследования, тоже содержала аналитико-геометрический материал. Примыкая к сообщениям Гудде, Скаутен привел ряд коноидов, сечения которых дают кривые все более высоких порядков, и установил уравнения этих кривых. Однако, так как эти коноиды рассматривались как ограниченные тела (см. главу II, § 2). Скаутен, естественно, получил лишь части положенных в основу поверхностей и кривых, представляемых его уравениями. Он вывел также здесь по методу наибольших и наименьших значений Гудде максимальную ширину декартова листа (известную ему из сообщения самого Гудде), причем определенно заявил, что не видит, как можно было бы находить подобные вещи без алгебры. Еще в последнем сочинении Ф. Скаутена «Трактат о проведении геометрических доказательств с помощью алгебраического исчисления» (Tractatus de concinnandis demonstrationibus geometricis ex calculo algebraico), изданном его братом Петером и приложенном ко второму тому 2-го латинского издания «Геометрии» (1661), он стремился убедить тех лиц, которые еще не постигли алгебраической трактовки геометрии, в превосходстве ее над древним методом. Вместе с тем он старался показать, что по существу оба приема находятся между собой в полном согласии, ибо из алгебраического анализа задачи можно всегда получить синтетическое доказательство с помощью пропорций, обращая ход рассуждений и употребляя иную терминологию.

В относительно кратких рассуждениях об установлении уравнений геометрических мест, приведенных Робервалем в одной большой работе о геометрическом решении уравнений (ср. выше стр. 114), содержалось мало замечательного. И Роберваль примыкал к Декарту (строчные буквы, знак равенства, определение уравнения геометрического места), хотя обозначал абсциссу и ординату не х и у, а е и а. С помощью известных теорем Аполлония он вывел уравнения конических сечений относительно вершины (в том числе уравнение окружности). Преобразовывал он их только путем переноса начала координат, впрочем, и это было выражено не особенно отчетливо. Характерно, что Роберваль называл «уравнением» гиперболы также уравнение ае = Ь2> где awe

1) Для точек, лежащих на самом отрезке, теорема была известна уже в древности, по крайней мере, Проклу (V в. н. э.).

представляли собой отрезки секущих, лежащие между точкой гиперболы и асимптотами. Кроме уравнений конических сечений, Роберваль установил еще лишь уравнение конхоиды Никомеда, получив при этом для ее двух ветвей различные уравнения, ибо для одной ветви он считал а положительными кверху, а для другой книзу. Он дал превосходные чертежи всех трех видов конхоиды.

Еще до выхода второго издания «Геометрии» (1659/61) Дж. Валлис опубликовал «Трактат о конических сечениях, изложенных по новому способу» (Tractatus de sectionibus соnicis, nova methodo expositis, Оксфорд, 1655). Он неоднократно проводил здесь доказательства с помощью алгебраического исчисления, которому приписывал большую ясность и краткость и которое объявлял обладающим не меньшей доказательной силой, чем геометрический вывод, опирающийся на нагромождение линий. Он говорил также, что пропорции не столь геометричны, сколь арифметичны, «чтобы не сказать чисто арифметичны». Изучение конических сечений было ранее так трудно потому, что большинство геометров не осмеливалось употреблять алгебраическое исчисление. Правда, Кл. Мидорж и другие пытались кое-что облегчить, но достигли немногого1). Валлис, однако, недостаточно оттенил, что сильнейшие стимулы были получены им от Декарта. Мы не будем здесь останавливаться на многообразных применениях, которые получили уже в этом сочинении (т. е. до выхода «Арифметики бесконеченых», см. выше, стр. 118) слегка видоизмененные неделимые Кавальери2), и обратимся лишь к тому, что относится к коническим сечениям. В этом отношении заслуга Валлиса заключалась главным образом в том, что он заменил отрезки в фигурах рассеченного конуса, происходящих еще от Аполлония, буквами, так что смог выразить «симптомы» конических сечений посредством уравнений. Абсциссу, отмеряемую на произвольном диаметре (длины t) от вершины, он обозначил d («diameter intercepta», отсеченный диаметр), соответствующие ординаты (параллельные направлению, сопряженному с выбранным диаметром) параболы, эллипса и гиперболы соответственно р, е и А, «параметр»3) («latus rectum», поперечная сторона) /, а затем,

1) Прекрасная работа Мидоржа «Введение в катоптрику и диоптрику... и т. д.» (Prodromus catoptricorum et dioptricorum sive conicorum etc.) вышла в Париже в 1631. Издания, на которых указан более поздний год (1649), отличаются, очевидно, только заглавием. Опубликованные «4 первые книги» трактовали лишь о конических сечениях.

2) Здесь уже появился и знак оо-

3) Этот термин впервые употребил в названном выше сочинении Мидорж. В позднейшее время параметром стали называть величину -я- /.

исходя из рассмотрения трехмерных фигур, вывел уравнения f = ld, е2 = Ш— jd\ h? = ld+jd\

известные нам как уравнения конических сечений относительно вершины. После того как эти симптомы уже получены, говорит Валлис, можно обойтись совершенно без рассмотрения конуса и все прочее вывести путем вычисления. Это заявление было весьма замечательно, хотя прошло еще почти столетие, прежде чем содержащаяся в нем программа была осуществлена значительно полнее. У Валлиса алгебраическое вычисление представляло собой по большей части только перевод синтетических рассуждений. Однако он все же им владел, и несомненно, что его изложение весьма выигрывало в сравнении с изложением его предшественников. Прежде всего Валлис определил касательные и показал, что конические сечения обладают бесчисленным множеством пар «сопряженных диаметров», подобных по свойствам с той парой, которая служила для вывода уравнения. Он не доказал и даже не упомянул, что среди них имеется пара взаимно перпендикулярных диаметров. Вообще он выводил еще лишь отдельные основные теоремы. В одном приложении он для сравнения разобрал кубическую параболу ръ = 12а (ср. стр. 118), дал способ определения касательных и показал, что эта кривая не имеет параллельных диаметров, к которым можно было бы ее относить наподобие обыкновенной параболы. Так как Валлис занимался лишь одной ветвью кривой, он, ни о чем не подозревая, присоединил к ней другую ветвь так, что кривая в целом приняла вид обыкновенной параболы. Свою ошибку он, впрочем, заметил уже в следующем году. В посвящении к своему сочинению «Трактат, опровергающий диалог... М. Мейбома» (Adversus M. Meibomii ... dialogum tractatus elencticus), помеченном 5 декабря 1656, он пересек кубическую параболу сетью прямых, параллельных касательной, и, к своему большому удивлению, установил правильное положение второй ветви. Безупречно разобрав вопрос о знаках, он затем распространил свое наблюдение на форму парабол вроде p4 = l3d и т. д., с одной стороны, парабол типа pr° = l4d и т. д. — с другой. Мы должны поэтому видеть в Валлисе первого математика, введшего отрицательные абсциссы и правильно применившего их вместе с отрицательными ординатами. Однако непосредственно следовавшие за Валлисом ученые не обратили, повидимому, внимания на этот важный шаг вперед.

В 1659 де-Слюз выпустил в Льеже небольшую книжку «Мезолабий», в которой показал и доказал синтетическим

способом, что задача о вставке двух средних пропорциональных между двумя данными отрезками и вообще все так называемые «пространственные задачи» могут быть решены с помощью окружности и любого конического сечения (см. выше, стр. 63). Это сочинение вышло еще раз в учетверенном объеме (Льеж, 1668). Во втором издании Слюз впервые дал аналитическую трактовку своих решений. Обозначив данные отрезки b и d, а неизвестные е и а и приняв затем е за абсциссу, а — за ординату, он написал непрерывную пропорцию в виде b\a\e\d, а отсюда вывел уравнение Ье\\аау da\\ee, ae\\bd1). Из этих простых уравнений парабол и гиперболы он с помощью производных пропорций получил (в прямоугольных координатах) уравнения окружности и тех конических сечений, которые употреблял раньше. В простейшем виде конические сечения имели уравнения be — ее\\аа — da и соответственно

причем произвольность величины q обусловливала собой «бесчисленность» этих конических сечений. Воспользовавшись затем аффинными преобразованиями а||-у- и £ -у-,

Слюз смог в конце концов доказать, что он в состоянии для любого уравнения третьей или четвертой степени и произвольного данного конического сечения определить окружность, дающую решение задачи.

Задача о графическом решении уравнений, наряду с определением касательных, побудила применять координаты также И. Барроу (ср. стр. 123). Метод Барроу был своеобразен, но мало что принес аналитической геометрии («Лекции по геометрии», Лондон, 1670, объединенные затем в одну книгу с «Лекциями по оптике», 1674). В тринадцатой лекции он разделил уравнения на тринадцать групп, из которых в первую вошли а + о = /г, aa + ba = nn, as + baa = n3, аА + Ьа3 = п4 и т. д. Неизвестную а он принимал затем за абсциссу, п — за ординату, вычерчивая, однако, для каждой кривой только небольшую дугу. Кривые этой группы он называл гиперболообразными («hyperboliformes»). Насколько мало проник Барроу в аналитический дух математики Декарта, еще более показывают другие лекции, в которых он беспорядочно смешивал прописные и строчные буквы, обозначения Виета и символику Декарта. Так, в примерах к своему методу касательных (лекция X),желая обобщить уравнение окружности

1) О знаке равенства см. выше, стр. 14—17,

на более высокие показатели, он писал не *4 + */4 = с4, как поступил бы Декарт, a APqq + MPqq = AEqq. Иногда он обозначает, впрочем, абсциссу также через х, но для ординаты при этом снова употребляет большие буквы. Интересно, что при рассмотрении некоторых кривых производного характера, которые он вслед за Дж. Грегори («Общая часть геометрии», Падуя, 1668) называл «инволютами» и «эволютами», он, опять-таки примыкая к Грегори, применил преобразование прямоугольных координат в полярные, которое мы теперь выражаем уравнениями ау = х1 р = у и которое до сих пор приписывалось П. Вариньону [Mém. Ac. Paris, 1704 (1722)]. Барроу упоминал уже, что при этом прямой линии соответствует спираль Архимеда.

Теперь мы вновь обратимся ко второму латинскому изданию «Геометрии» Декарта. К этому изданию добавлены были «Начала кривых линий» (Elementa curvarum linearum, год публикации 1659) Я. де-Витта, представлявшие некоторый прогресс по сравнению с книгой Валлиса. В предисловии к первому тому своих «Сочинений» (1695) Валлис характеризовал работу Витта как подражание собственному учению о конических сечениях. Это во всех отношениях несправедливо и невероятно уже потому, что, согласно Скаутену, Витт составил свои заметки еще в 1649. Неудобство всех появившихся до того изложений теории конических сечений Витт видел прежде всего в том, что для развития последней пользовались пространством. Он привел поэтому в первой книге кинематические способы образования параболы, гиперболы и эллипса и геометрически доказал, что найденные места удовлетворяют симптомам Аполлония (которые в этом случае были равнозначны для гиперболы и эллипса уравнениям относительно центра), т. е. действительно представляют собой конические сечения древних. Витт считал замечательным, что при образовании гиперболы по его способу сразу получаются обе ее ветви, хотя он и называл еще их по-старому «противолежащими сечениями». Вслед за тем он дал для каждого конического сечения другой, тоже кинематический, способ образования. Отметим, что для эллипса он по существу совпадает с построением, соответствующим нашему параметрическому уравнению x = acosu1 y = b sin и1). Однако наиболее важно было в этой первой книге, выдержанной в чисто геометрическом духе, что Витт доказывал существование у

1) Построение, точно соответствующее этим уравнениям, так же как и вполне современный чертеж, дал еще Мидорж во «Введении», 1631. У практиков оно встречалось даже ранее, например в «Архитектуре» (Architettura, кн. I, Венеция, 1551, быть может, и в первом издании 1537) С. Серлио.

каждого конического сечения определенного диаметра, пересекающего соответствующие ординаты (т. е. хорды сопряженного направления) под прямым углом. Это ясно доказывало, что кривые, удовлетворяющие симптому какого-либо вида относительно взаимно перпендикулярных «осей», тождественны с образами, определенными сначала в качестве сечений конуса1).

До этого времени такое доказательство в аналитических сочинениях совершенно отсутствовало. Когда Витт перешел во второй книге к исследованию аналитических уравнений, он мог с полным правом предполагать координатный угол любым. Правда, Витт не выводил, как это делал Валлис, свойства конических сечений из уравнений. Для него важно было лишь начертить коническое сечение, представленное данным уравнением. Определение координат у Витта полностью совпадало с определением Ферма, которое, как мы показали, имел в виду и Декарт (см. стр. 238). Прежде всего Витт утверждал, что уравнение с х, у, содержащее только члены первой степени, представляет прямую. Он рассмотрел, сопровождая это чертежами, положения прямых, соответствующих уравнениям

Уже отсутствие уравнения у=—— с показывает, что Витт избегал отрицательных ординат и, разумеется, еще более чуждых, отрицательных абсцисс. Он вычерчивал также всегда только часть прямой, не выходящую далеко за границы области, в которой положительны обе координаты. Здесь же впервые приводились уравнения у = с и х = с. Вслед за тем Витт рассмотрел уравнения

г/2 = aXi yi — ax ± b2, у2 = — ах + Ь2

и, привлекая результаты первой книги, доказал, что каждое из них представляет параболу. Здесь сказался большой недостаток координатной системы Ферма — Декарта, заключавшийся в употреблении только одной оси. Витт счел необходимым по отдельности исследовать и вычертить кривые, определяющиеся каждым из уравнений вроде х2=--ау и т. д., получающихся из предыдущих простой взаимной переменой X и у. Здесь и дальше Витт также не перешел к отрицательным координатам. Он, например, определенно говорил, что уравнению у2 = Ь2— ах соответствует кусок кривой, который

1) Даже у Аполлония эта важная теорема выступала не особенно отчетливо.

мы называем расположенным в первом квадранте. Для гиперболы он взял в качестве основных формы

аналогичные уравнения рассматривал он и в случае эллипса. Посредством преобразования координат, всякий раз наглядно поясняемого чертежом, к этим основным формам приводились затем любые уравнения второй степени. Если отвлечься от ограничений, налагавшихся на знаки, то эти преобразования будут носить довольно общий характер. Если, например,

г = У + — +«

то прямая с уравнением z=0 (Витт, правда, выражался иначе) принимается за новую ось, а направление ординат сохраняется прежним. Затем, в случае надобности, Витт полагает еще v = x — h и в результате всегда приходит к двум сопряженным диаметрам. В длинной заключительной главе систематически сопоставлялись все встречающиеся возможности, и всякий раз специально разбирались случаи, которые мы решаем, взаимно заменяя координаты х и у. В начальных уравнениях Витт всегда принимал х за абсциссу, а у — за ординату, но в задачах иногда отклонялся от этого правила. Витт, между прочим, впервые решил здесь в аналитической и вполне современной форме задачу об определении геометрического места точек, сумма или разность расстояний которых от двух данных точек постоянна. Работу Витта можно охарактеризовать как первый самостоятельный курс аналитической геометрии. Правда, как мы уже говорили, в нем еще не было выражено стремление дать также аналитический вывод свойств конических сечений, из которых вообще встречались лишь немногие.

Вплоть до выхода «Введения в анализ» Эйлера (1748) аналитическая геометрия как таковая сделала лишь незначительные успехи. В 1695 Я. Бернулли анонимно издал в последний раз скаутеновский перевод «Геометрии» со всеми приложениями, добавив сам «Беглые замечания» (Notae et Animadversiones tumultuariae). Он привел в них некоторые, тем временем сделанные, геометрические открытия (см. главу III), но ни в коей мере не дополнил и не улучшил самого изложения Декарта. Небольшой прогресс в понимании координат можно все же заметить в объемистых «Комментариях к «Геометрии» господина Декарта» (Commentaires sur la Géométrie de M. Descartes, Лион, 1730), написанных иезуитом Кл. Рабюелем и изданных через два года после смерти ав-

тора одним его учеником. Из предисловия этого ученика видно, сколько потребовалось времени, чтобы новый метод смог проникнуть в более широкие круги. Он писал, что Скаутен в своем комментарии также, по-видимому, стремился к чести быть в свою очередь прокомментированным и что сама «Геометрия» представляет «почти непреодолимую трудность» («difficulté presqu'insurmontable»). Рабюель рисовал также вторую ось и говорил, что хотя ординаты у собственно отделены друг от друга, ибо идут параллельно, но их все-таки можно сначала брать на второй оси. Если затем известно, в какой точке первой оси должна быть «приложена» у, то ее следует провести из этой точки равной и параллельной отрезку, отмеренному на второй оси от общего начала х и у («origine»). Он называл х и у абсциссами и ординатами (последние иногда также апликатами) и определял их знаки так же, как мы. Эти понятия он применял довольно последовательно, особенно при анализе кривых третьего порядка, полученных им в качестве числовых примеров на «геометрическое место к пяти прямым» (см. стр. 233). Тем не менее для двух ветвей конхоиды он получил различные уравнения, ибо подобно Робервалю (стр. 244) не заметил, что направление оси у брал в этих случаях различным.

Некоторый вклад в аналитическую геометрию сделал еще в XVII столетии также Лагир, именно, во второй части книжки, название которой начинается словами «Новые начала конических сечений» (Nouveaux Élémens des Sections coniques, Париж, 1679). Первая часть явным образом представляла собой улучшенное изложение первой книги работы Витта (стр. 247). Лагир исходил из определений эллипса и гиперболы через сумму и разность радиусов-векторов и заметил, что оба они, если один из фокусов взять в бесконечности, переходят в определение параболы, согласно которому все точки последней равноудалены от фокуса и от некоторой неподвижной прямой. На этой основе, обладавшей тем преимуществом, что оси были уже даны, он затем доказал много употребительных теорем и прежде всего справедливость античных симптомов как для самих осей, так и для любых сопряженных диаметров. Первая часть книги носила чисто геометрический характер.

Во второй части, озаглавленной «Геометрические места», Лагир, после некоторых общих соображений, дал примеры исследования определенных и неопределенных задач с помощью «алгебраического анализа» (ср. стр. 241). Затем он определил геометрическое место как прямую или кривую линию или же поверхность и т. д., все точки которой имеют одно и то же отношение к точкам одной и той же прямой,

относительно некоторой точки последней. Это еше совершенно совпадало с концепцией Декарта (ср. стр. 235). Неподвижную точку Лагир называл О (начало, «Origine»), неподвижную прямую «la Tige» (ствол), точки на стволе обозначал буквой N («les Neuds», ботанические «колена», «узлы»), точки геометрического места — буквой L («Lieu» — место). Ординаты LN он называл «les Rameaux» (ветви), абсциссы — «les parties de la Tige» (части ствола). Это — первый случай, когда для абсцисс и ординат, понимаемых в общем смысле слова, были предложены особые наименования, впрочем, не удержавшиеся. Самые обозначения Лагира в основном происходили от Дезарга, которые он ввел еще в своем «Черновом наброске» (Brouillon project, 1639, см. стр. 339). Дезарг только говорил не «Tige», a «Tronc» (также ствол), a «Rameaux» у него вообще не были параллельны. Если в одной найденной в 1845 работе Лагир утверждал, что он впервые прочел «Черновой набросок» в 1679, после окончания печатания «Новых начал», то это не доказывает самостоятельности его терминологии, ибо отец Лагира был связан с Дезаргом тесной дружбой.

Подобно Витту, хотя и не так подробно, Лагир вначале давал нормальные формы уравнений, а затем правила «приведения» к ним более сложных уравнений. Свое изложение он считал лучшим, чем у Витта. Мы, однако, не можем усмотреть у него особенного прогресса. Если он и привел в заключение правила, позволяющие без преобразований определять, к какой из нормальных форм сведется в конце концов данное уравнение, то правила эти совсем не были ясны и основывались лишь на том, что при некотором упражнении становится возможным предвидеть результат. Хотя Лагир, подобно Дебону (ср. стр. 240), говорил о перемене местами X и у, но и здесь, так же как в вопросе о знаках координат, он подчинялся в общем тем же ограничениям, что и Витт. В одном случае он отметил, что из одного и того же уравнения могут получиться два различных значения у. Но эти значения не всегда бывают истинными или действительными; случается также, что одно из них «исчезает» или становится «ложным», как он показал на примере параболы, отнесенной к произвольному диаметру и начальной точке, лежащей вне параболы. Однако, он не имел правильного представления о переходе этого второго корня уравнения от положительных значений через нуль к отрицательным. Третья часть книжки была озаглавлена «Построение аналитических уравнений» и в соответствии с этим трактовала о применении геометрических мест к графическому решению уравнений. Валлис назвал это сочинение Лагира также подражанием его теории

конических сечений (ср. стр. 247); это было обосновано еще менее, чем аналогичное заявление его по адресу Витта.

В одной работе 1709 [Mém. Ac. Paris, 1710 (1732)] Лагир возобновил начатые им тридцатью годами ранее исследования о построении геометрических мест и уравнений. Главным образом он стремился здесь начертить высшие кривые. Иногда его метод был весьма искусен, но ему еще не удавалось последовательно использовать отрицательные абсциссы, чго привело к ряду неправильных результатов. Например, он совершенно справедливо считал, что уравнение а2у2 = хА обозначает две соприкасающиеся в вершине параболы, но уравнение вида х2 = —ау (у — абсциссы) для него не являлось настоящим геометрическим местом. Тем не менее подобными уравнениями, с которыми постоянно сталкиваешься при вычислениях, согласно Лагиру можно пользоваться, а кривая, удовлетворяющая приведенному уравнению, является здесь параболой, абсциссы которой суть —у. Вторая ось изображалась довольно часто, но по существу не применялась. В этой работе Лагир принял названия «абсцисса» и «ордината».

В 1687 Озанам выпустил в Париже книгу, построенную совершенно сходно с «Новыми началами» Лагира, только несколько более объемистую, составленную из трех томов, изданных по отдельности. Первый том назывался «Трактат о линиях первого рода» (Traité des Lignes du premier genre). Озанам исходил из античных симптомов и установил с их помощью уравнения конических сечений относительно вершины в виде у2 = рх±^— (р — параметр, d — диаметр;

парабола получается, когда диаметр бесконечно велик!). Однако при выводе обыкновенных свойств конических сечений, изложение которых являлось целью сочинения, он употреблял это уравнение («équation constitutive» — определяющее уравнение) и вообще алгебраическое исчисление только совершенно случайным образом. Второй том «Трактат о геометрических местах» (Traité des lieux géométriques) не содержал ничего нового по сравнению с Лагиром и Виттом в части, касающейся геометрических мест и их «построения». Любопытно лишь, что неопределенные арифметические задачи (из Диофанта) Озанам выражал графически. Мало оригинальное сочинение Озанама заканчивалось томом «Трактат о построении уравнений» (Traité de la construction des équations).

То же распределение материала, какое имели сочинения Озанама и Лагира, было у Лопиталя в «Аналитическом трактате о конических сечениях и т. д.» (Traité analytique des sections coniques etc., 1-е посмертное изд., Париж, 1707, 2-е из-

дание, 1720). Этот большой труд являлся для своего времени выдающимся курсом. Лопиталь исходил из того же способа образования конических сечений, что и Лагир, с тем лишь отличием, что выполнял эти построения с помощью механизмов. Он вывел уравнения

где / — большая, а с — малая полуоси, а затем доказал главные свойства конических сечений, отчасти с помощью этих уравнений и алгебры, но в гораздо большей мере посредством пропорций и рассмотрения геометрических фигур1). Для X он не имел специального названия, а слово «ордината» употреблял лишь в античном смысле (см. стр. 265). Определение координат («indéterminées» — неопределенные) х, у было очень близко к формулировке Ферма (ср. стр.228). Лопиталь также вводил иногда вторую ось и указывал на пользу, приносимую взаимной переменой х и у. Он даже верно трактует вопрос о знаках, говоря, что «геометрическое место должно проходить через концы всех истинных и ложных значений у, соответствующих истинным и ложным значениям х». Это заявление он весьма детально пояснил на примере прямой У = — и окружности у2 = а2— х2. Но Лопиталь тотчас же добавляет, что в дальнейшем всегда будет снова считать X и у положительными, и поэтому в общем остается на той же точке зрения, что Витт; сказанное относится и к его чертежам. Вследствие этого и у него отсутствовало уравнение прямой вида у — — — х— с.

Для исследования конических сечений Лопиталь пользовался способом, отличным от приемов его французских предшественников. Он познакомился с ним, очевидно, из последней части «Трактата о ... квадратурах . .. фигур и о геометрических местах» (Tractatus ... de figurarum ... quadraturis et locis geometricis, Лондон, 1693) Дж. Крега. Подобно Крегу он брал коническое сечение в возможно более общем положении относительно системы координат, причем все постоянные, участвующие в преобразовании, явно входили в коэффи-

1) Книга Лопиталя содержала 32 таблицы с 285 превосходно выполненными чертежами.

циенты уравнения. Так, например, для параболы с осью CG Лопиталь дал уравнение

где (см. рис. 12, заимствованный из «Трактата») ЛВ = т, ВЕ = п, AD = r, DC=sy СН=р (параметр, соответствующий оси) и АЕ = е, АР=ху РМ = у. После этого ему, конечно, было легко поставить в соответствие с этим уравнением более частное уравнение вроде

Рис. 12.

При исследовании параболы, представленной последним уравнением, сила вещей проявилась вновь, и (для а>с) Лопиталь оказался вынужденным составить параболу из трех кусков, лежащих в первом, втором и четвертом координатных углах и представленных одним и тем же уравнением. Совершенно сходно Лопиталь поступает в случае эллипса и гиперболы, выясняя характерные черты их уравнений; он правильно формулировал при этом условия, при которых уравнение выражает собой окружность. Однако мы не можем усмотреть у него существенного шага вперед по сравнению с Крегом.

Затем Лопиталь рассмотрел одиннадцать геометрических мест и среди них аполлониев круг, причем опять принимал во внимание все четыре квадранта. Мы отметим еще образование конических сечений на основании постоянства отношения расстояний их точек от некоторой фиксированной точки к расстоянию до некоторой фиксированной прямой; далее, образование геометрического места точек, обладающих тем свойством, что две касательные, проведенные от них к некоторой данной параболе, образуют всегда определенный угол (гипербола); затем образование геометрического места полюсов (как сказали бы мы) всех касательных к некоторой окружности относительно другой окружности. Наконец, упомянем следующий способ образования конических сечений: если два постоянных угла вращаются вокруг своих вершин так, что точка пересечения одной пары образующих их лучей движется по прямой, то точка пересечения другой пары лучей описывает коническое сечение1). Лопиталь затем изу-

1) Эту теорему высказал еще Ньютон в «Началах» (1687).

чил это коническое сечение. Следующая глава трактовала о построении уравнений1), а за ней шла еще глава со смешанными задачами определенного анализа.

Вольф в своих «Началах универсальной математики» (т. I, Галле, 1713), определенно ссылаясь на Крега, также применил его способ исследования конических сечений. В противовес этому Як. Герман [Comm. Ac. Petr., 1729 (1735)] указал, что наряду с другими заслуживает внимания забытый, по-видимому, первоначальный прием Декарта (см. стр. 234— 236), ибо он позволяет выводить все определяющие элементы конического сечения прямо из уравнения. Герман разработал этот прием дальше, ибо применил преобразования, сделанные Декартом в одном примере, к общему уравнению конического сечения. Он взял последнее в виде

и решил его относительно у:

Затем, положив подкоренное выражение равным нулю, он определил диаметр, лежащий на прямой и = — --— ; подобно Декарту он оказался вынужденным взять параметр из прежней аполлониевой сокровищницы. Хотя Герман правильно определил знаки для диаметральной прямой и даже продолжил ее в сторону отрицательных абсцисс, его понимание координат являлось столь же ограниченным, как и у предыдущих математиков. В дальнейшем изложении он все же установил для большинства видов конических сечений условия, определяющие их характер и выражающиеся через коэффициенты уравнений. В соответствии с двузначностью радикала он указал, что когда корень извлекается, уравнение может выражать две прямые, между тем как Декарт говорил в этом случае только об одной из них. Не были забыты и асимптоты.

Правда, Герман так же мало, как и Декарт, обратил внимания на самый трудный случай, возникающий, когда из подрадикального выражения получаются для х два мнимых значения, так что кривая является гиперболой, а принятый за основу диаметр — мнимой осью. В этом отношении его дополнил В. Риккати в одном письме от 1751 своему другу (опубликовано в первом томе его «Сочинений», Болонья

1) Упомянем, что Лопиталь еще до Крамера указал здесь на пользу этого способа при изучении характера корней уравнения (см. выше стр. 64).

1757), где он вообще точнее изложил метод Германа. Риккати помог делу тем, что отыскал на диаметральной прямой две абсциссы, которым соответствуют равные ординаты. Таким образом он нашел центр, а затем вывел из уравнения длину соответствующего действительного диаметра, после чего уже было «можно построить» гиперболу. Случай, когда корень извлекается, он совершенно справедливо характеризовал как предельный для обоих возможных расположений гиперболы. Риккати присоединил также разбор нетрудных случаев, когда в основном уравнении отсутствуют у2, или ху, или же оба вместе. В больших двухтомных «Основаниях анализа» (Institutiones analyticae, Болонья, 1765 и 1767), изданных им позднее при участии Дж. Саладини, Риккати возвратился к способу Витта, но в первом томе он ввел, в случае наличия ху, искусственный прием, немного облегчавший дело.

Гинэ выпустил хороший учебник по общей алгебраической геометрии «Приложение алгебры к геометрии и т. д.» (Application de l'algèbre à la géométrie etc., Париж, 1705, следующие издания 1733, 1753). Он отчетливо указал на важность «ложных» (отрицательных) корней уравнения и исследовал все возможные комбинации знаков координат в уравнении окружности уу = аа — хх, для чего ввел две перпендикулярные оси, на которые опустил из точки окружности M перпендикуляры MP и MQ. Эти перпендикуляры, а также отсекаемые ими на осях отрезки он определил как «координаты». Но уже в прямых ау = Ьх он рассматривал только положительные части; также поступает Гинэ и при изучении конических сечений. Тем не менее, кроме обилия материала, его книга выделялась еще тем, что содержала совершенно самостоятельное учение о конических сечениях. Правда, оно не являлось чисто аналитическим, но там, где это удавалось, автор наряду с подобными треугольниками и пропорциями применял также буквенное исчисление, которое предварительно излагалось на 66 страницах введения к его труду. Во всяком случае, учебник Гинэ был прогрессивнее и в большей мере проникнут аналитическим духом, чем почти одновременный с ним курс Лопиталя (стр. 252—254).

§ 3. Развитие аналитической геометрии, начиная с систематического исследования высших кривых

Величайшее влияние на развитие аналитической геометрии оказало небольшое сочинение Ньютона, изданное им в 1704 в качестве приложения к его книге «Оптика» (Opticks). Мы имеем в виду «Перечисление кривых третьего порядка»

(Enumeratio linearum tertii ordinis, см. выше стр.64)1). Свои рукописи Ньютон давал для ознакомления много ранее (старейшая из имеющихся налицо была составлена еще до 1676), благодаря чему некоторые его результаты приобрели известность. Выпуская «Перечисление кривых», Ньютон хотел, таким образом, лишь сохранить свой приоритет; этим объясняются опубликование этого сочинения в столь неподходящем соседстве2) и отсутствие в нем доказательств. Последнее было, впрочем, в большой части восполнено в книге «Ньютоновы кривые третьего порядка» (Оксфорд, 1717) Дж. Стирлинга (ср. стр. 67), самый заголовок который определенно характеризовал ее как «пояснение» к трактату Ньютона. В данной связи нас интересует не собственное содержание обоих сочинений (о нем см. стр. 284—288), а то обстоятельство, что координатный метод, применение которого за пределами, установленными концепцией Декарта, было малозначительным, внезапно с большой уверенностью завоевал ранее почти незнакомую область. Нельзя сказать, что понятие координат было при этом у Ньютона и Стирлинга иным, чем у Декарта. По-прежнему речь шла у них только о «начальной точке абсцисс», и то, что мы называем осью ординат, лишь иногда именовалось «первой» или «главной» ординатой. Но на ньютоновых таблицах чертежей рисовались обе оси, исследование вопроса о знаках координат всегда проводилось до конца и все квадранты были равноправны. Каждая кривая нарисована у Ньютона точно так, как вычерчиваем ее теперь мы. Перед современниками «Перечисление кривых» раскрывало неожиданное богатство совершенно новых форм, типы уравнений которых приводились при этом в тексте.

О конических сечениях книга Ньютона говорила лишь в той мере, в какой это было необходимо для обобщения некоторых понятий и свойств на кривые третьего порядка. Тем не менее в ней заключались ростки более свободной трактовки конических сечений с помощью координат. Начало этому положил уже Стирлинг. Прежде всего он показал, как всякое уравнение линии второго порядка может быть приведено, согласно некоторому общему предложению, к форме уу = = Ах2 + Вх+С (оси предполагаются все время косоугольными), а затем, смещая начало абсцисс, привел это уравнение

1) Это сочинение было приложено также к первому изданию латинского перевода «Оптики» (Лондон, 1706) В 1711 У. Джонс выпустил его в одном томе с «Анализом с помощью уравнений и т. д.» (ср. стр. 128).

2) Буквально все сказанное относится и к «Рассуждению о квадратуре кривых» (ср. стр. 135).

к виду уу = Ах2 + В или уу = В — Ах1). Затем, и это весьма замечательно, он принялся за определение положения и длины осей, исходя только из этих уравнений, т. е. совершенно не прибегая к теоремам Аполлония и лишь учитывая форму гиперболы или же эллипса. Со времен Валлиса (стр. 244) это была, по-видимому, первая попытка вывести свойства кривой из ее уравнения. Метод Стирлинга был вполне применим, хотя он и не дошел до каких-либо окончательных формул, ибо всегда лишь указывал на отдельные необходимые этапы приведений. Для параболы уу = Ах + В Стирлинг также определил главную вершину и главный параметр. С помощью этого метода, говорил он, становится яснее аналогия между геометрическими местами второго порядка и линиями третьего и высших порядков. Аналитическое доказательство так называемой теоремы Ньютона о секущих Стирлинг также дал сначала для конических сечений, а потом соответственно обобщил его на кривые третьего порядка.

В рассматриваемое время координатный метод употребляли преимущественно в дифференциально-геометрических исследованиях или же, если подчеркивали значение метода Декарта, применяли его к высшим алгебраическим кривым. Последним занялся, в частности, де-Гюа-де-Мальв в небольшой книге «Применения анализа Декарта» (Usages de l'analyse de Descartes, Париж, 1740), которая была богаче новыми идеями, чем аналитическими выводами, и о которой мы еще будем говорить подробнее (см. стр. 292 и след.). Но ясно, что эти исследования более высокого порядка могли быть с таким же успехом приложены к коническим сечениям, которые иногда и привлекались в качестве примеров. Так, например, де-Гюа впервые дал для конического сечения

ИУУ + гху + тхх + ау -f- ôjc + сс = 0

(т, /г, г обозначают числа, но а, 6, с — отрезки) уравнение, определяющее координаты центра, в виде

2пу-\-гх-\-а • dy-\-2mx-\-ry-\-b • dx = 0.

Быть может, уже здесь следует упомянуть, что для деГюа было вполне привычным представление о кривой, распадающейся на несколько других, т. е. кривой, уравнение которой в левой части разлагается на ряд множителей. Он даже называл уравнение у3 = х3 уравнением трех прямых, две из которых мнимые.

Сочинение Г. Крамера «Введение в анализ алгебраических кривых», опиравшееся во многих отношениях на работу

1) Сам Стирлинг каждый раз снова применяет одни и те же буквы.

де-Гюа и изданное десятью годами позднее (ср. выше, стр. 52), также ограничивалось высшими алгебраическими кривыми. Тем временем уже появился второй том «Введения в анализ» (1748) Эйлера, поднявший на существенно более высокую ступень и аналитическую теорию конических сечений. Эйлер целиком еще держался декартова понятия о координатах, между тем как Крамер, на сочинение которого книга Эйлера повлиять уже не могла, впервые равноправно определил две координаты и последовательно ввел ось ординат. Правда, в преобразованиях координат у Крамера ось ординат все еще играла несколько беспомощную роль. Со времен Витта (стр. 247) преобразования координат употреблялись всеми математиками и нередко принимали даже довольно сложные формы, ибо тогда часто переходили от одной косоугольной системы к другой, с новым началом и отличным координатным углом, не пользуясь при этом тригонометрическими функциями. Впервые последними воспользовался для этой цели Эйлер во «Введении в анализ». Он еще часто обозначал синус или косинус угла посредством какойлибо специальной буквы. Но у него имелись уже и такие формулы преобразования прямоугольной системы:

t = X cos • q — у sin • q, и —xsm - q-\-y cos • q.

Во второй главе II тома «Введения в анализ», посвященной преобразованию координат, Эйлер коротко останавливается на вопросе о прямой. Сначала он приводит ее уравнение в виде au + $t+b = 0, но затем, желая определить положение прямей, записывает его в виде ax+ßy— а = 0. Он не разбирает различные возможные комбинации знаков а и ß и упоминает лишь случаи а = 0, ß = 0 и а = а = 0, не касаясь, однако, случая ß = a = 0. Все эти возможности были впервые разобраны, по крайней мере в форме беглых замечаний, в упоминавшейся выше книге Риккати — Саладини (см. стр. 256).

В пятой главе II тома «Введения в анализ» речь идет об общих свойствах всех конических сечений, т. е. свойствах, которые можно вывести из общего уравнения второй степени. Хотя вначале Эйлер определенно заявляет, что из одного принципа вывести все свойства конических сечений нельзя и что одни получаются из способа образования этих линий на конусе, а другие из приемов их описания, но здесь он желает опираться только на уравнение. Последнее он записывает в виде

причем координатный угол в зависимости от обстоятельств берется то прямым, то отличным от прямого. Действуя вполне в духе Ньютона и Стирлинга, Эйлер в первую очередь выводит из этого уравнения на основании теоремы о сумме и произведении корней обычные свойства диаметров, секущих и касательных. К числу извлекаемых им следствий принадлежит также теорема, что коническое сечение можно рассматривать как геометрическое место к четырем прямым (стр. 233). Далее он определяет уравнение диаметра, делящего пополам хорды, параллельные ординатам, вначале в прямоугольной системе, а затем для того же конического сечения в системе с прежними осью абсцисс и началом, но с косоугольно расположенными ординатами. Точка пересечения обоих диаметров дает центр конического сечения, координаты которого не зависят от угла, образуемого направлением ординат с осью абсцисс. Затем Эйлер устанавливает отнесенные к «сопряженным диаметрам» уравнения

у у = а + ßx + у XX и уу = а — ßxx.

За этим следуют совершенно новые и оригинальные вещи. Именно, исходя из последнего уравнения (чертит он здесь лишь эллипсы), Эйлер посредством вычислений определяет другую пару сопряженных диаметров, для одного из которых дан угол с осью абсцисс. Эйлер вычисляет тангенс угла второго диаметра с осью абсцисс, тангенс угла между обоими новыми сопряженными диаметрами и, наконец, длины последних. В этих нелегких выкладках Эйлер применяет для обозначения функций известных углов как специальные буквы, так и их современные символы. В качестве следствий здесь получаются теоремы о постоянстве параллелограммов и сумм квадратов, построенных на сопряженных диаметрах, а также теорема о призведении отрезков касательных, лежащих между двумя фиксированными параллельными касательными.

Теперь Эйлеру нужно лишь выставить требование взаимной перпендикулярности новой пары диаметров, чтобы получить тем самым положение и длины главных осей. При этом он подчеркивает, что решение здесь существует всегда. В присоединенном к этому тому «Приложении о поверхностях» Эйлер действительно преобразовал уравнение

аасс = аии + 2$tu + ytt

в прямоугольной системе координат к главным осям. Аналитическая геометрия конических сечений впервые была поставлена на собственные ноги. Ведь прием Витта еще не был

чисто аналитическим (см. стр. 247), а беглые указания Стирлинга не были проведены вычислительным образом (стр.257).

В конце рассматриваемой главы определяются действительные фокусы. Эйлер определяет их, отыскивая на большой оси точки, для которых радиусы-векторы точек кривых могут быть рационально выражены через их координаты.

Следующая, шестая глава трактовала о классификации линий второго порядка. Эйлер различает здесь кривые только в зависимости от значения коэффициента y в уравнении

yy = a + ßx + yxx.

Затем он берет для эллипса уравнение относительно центра

bb , ч

уу = — (аа — хх)

vtf аа v

и, в частности, выводит из него фокальные свойства эллипса и его касательной. Далее, он вводит новые величины

с = — (полупараметр) и d — a—у (аа— bb)

(расстояние фокуса от вершины). Тогда уравнение эллипса относительно вершины принимает вид

Теперь Эйлер переходит от эллипса к параболе, полагая 2d = cy благодаря чему а и b становятся бесконечно большими. Насколько возможно, свойства параболы он выводит, исходя из понимания ее как бесконечно растянутого эллипса. Вслед за тем он переходит к уравнению гиперболы

уу = а + У хх

и устанавливает, что сопряженная ось в этом случае мнимая. Однако, чтобы сохранить сходство с уравнением эллипса, он полагает мнимую ось равной Ь]/—1, в результате чего уравнение гиперболы приобретает вид

bb л V

О свойствах гиперболы он умозаключает, представляя себе, что в соответствующих случаях для эллипса bb заменено через— bb. Установив для угла, образуемого касательной с большой осью, скажем, угла со, общее уравнение

Эйлер находит асимптоты, полагая х—оо (т. е. у = —у), что дает для тангенса угла асимптоты с осью значение —.

При выводе различных свойств асимптот он определенно отмечает, что они сохраняют силу, когда, например, секущая прямая пересекает не одну ветвь гиперболы, а обе. Само собою разумеется, Эйлеру было известно также определение асимптот с помощью разложения на множители совокупности старших членов уравнения кривой. Однако этот прием он применил лишь в последующих главах, вообще посвященных бесконечным ветвям высших кривых (см. ниже стр. 296). В главе VII Эйлер, между прочим, делает замечание, что если ßß больше, чем 4ау, то общее уравнение

иуу + №У + У xx + Ьу + гх + £ = О

представляет собой гиперболу, а если меньше, то эллипс. Но и у Эйлера отсутствовали еще подробно разработанные критерии классификации кривых по их коэффициентам.

Первым немецким учебником аналитической геометрии была, по-видимому, книжка М. Губе «Опыт аналитического трактата о конических сечениях» (Versuch einer analytischen Abhandlung von den Kegelschnitten, Геттинген, 1759), которую Кестнер снабдил длинным предисловием на тему о преимуществе аналитического метода по сравнению с синтетическим. Губе определенно поставил целью своего сочинения познакомить более широкий круг читателей с теорией конических сечений Эйлера, изложенной у последнего среди многих других вещей в большой и дорогой книге. В научном отношении Губе по сравнению с «Введением в анализ» не продвинулся, хотя кое в чем проявил самостоятельность. Губе хотя и вводил две оси, но имел дело лишь с началом абсцисс, и все относил лишь к оси абсцисс. Заметим еще, что Губе построил уравнение прямой вида

у + Ах + В = 0

при положительных А и В. Ему, как и Эйлеру, было ясно, что коническое сечение может состоять из пары прямых. Он даже приводил общее уравнение второй степени в форме

У = — -^2"^ ± Y[m2x<1 + nx+-êï±P)>

так что при рфО всегда имел коническое сечение в собственном смысле слова.

В основном популяризация аналитической геометрии и реформы в алгебре, произведенной Декартом, была осуще-

ствлена в энциклопедических курсах, содержавших обзоры всех отделов математики. Вовсе не следует думать, что обозначения Декарта вошли в общее употребление, начиная с 1637. Например, еще в третьем издании предназначенного для вюртембергских школ «Обзора математики» (Synopsis mathematica, Тюбинген, 1679, 1-е изд., 1653) И. Я. Гейнлина не имелось и следа декартовой символики. В большом фолианте «Курс математики» (1-е изд., 1661, за ним ряд других изданий, ср. стр. 20) К. Шотта, несмотря на общую пестроту содержания, о конических сечениях ничего не говорилось даже в издании, вышедшем во Франкфурте-на-Майне в 1699. О координатах не было здесь и речи; лишь случайно наряду с обозначениями Виета применялась символика Декарта. В «Курсе или мире математики» (четыре тома in folio, 2-е изд., Лион., 1690; 1-е изд., 1674, ср. стр. 20) Дешаля конические сечения, правда, рассматривались, но по античному способу; относительно изложения алгебры о нем можно сказать то же самое, что и о книге Шотта1). Для обозначения радикала Дешаль и Шотт пользовались еще символом R2).

Лишь в XVIII столетии аналитико-геометрические понятия получили доступ в учебные книги. Мы находим их уже в «Основаниях» (1-е изд., Галле, 1710/11) и в «Началах универсальной математики» (1 т., 1-е изд., 1713) Вольфа, затем в «Основаниях» (8 томов) А. Кестнера (III часть, 1 раздел, 1-е изд., Геттинген, 1760; 3-е изд., без существенных изменений, 1794, ср. стр. 21), в «Системе математики» Карстена (7-я часть, Грейфсальд, 1775, ср. стр. 19), в «Курсе математики» Зегнера (5 частей, часть II, Галле, 1758), в «Учебнике математики» (Mathematisches Lehrbuch) Клемма (1-е изд., Штуттгарт, 1764, 3-е изд., 1777) и в других. Если при определении координат здесь иногда вводились обе оси, как, например, у Клемма и Зегнера, то в дальнейшем изложении ось ординат никогда не являлась равноправной с осью абсцисс. И ни в одном из упомянутых сочинений нельзя усмотреть какого-либо прогресса по сравнению с Эйлером.

1) Здесь, как у Шотта и в упомянутом на стр. 239 рукописном «Введении», вместо а2 писалось еще а2 (ср. стр. 16).

2) Для того, чтобы представить себе, чего только не разумели в XVII и даже еще в XVIII столетии под «математикой», я приведу особенно богатое содержание второго издания «Курса» Дешаля. В него входили: т. I — историческое введение, 14 книг Евклида, сферика Феодосия, конические сечения, тригонометрия, алгебра, опровержение (философских) гипотез Декарта; т. II — практическая геометрия, механика, статика, география, магнетизм, гражданское зодчество, плотничное искусство, стереотомия; т. III — военное зодчество, гидростатика, гидрография, гидравлика, искусство мореплавания, оптика, перспектива, катоптрика и диоптрика; т. IV — музыка, пиротехника, астролябия, солнечные часы, астрономия, астрология, метеорология, календарь.

Шаг вперед был сделан только в работах Монжа и Лагранжа, имевших, однако, своим предметом в первую очередь геометрию пространства (см. стр. 272—273). Вслед затем С. Лакруа незадолго до конца столетия перенес новое расположение материала и новые обозначения в плоскую геометрию. Он осуществил это в своем «Элементарном курсе прямолинейной и сферической тригонометрии и приложений алгебры к геометрии» (Traité élémentaire de trigonométrie rectiligne et sphérique, et d'application de l'algèbre à la géométrie, Париж, an VII, 1798/99; 8-е изд., 1827). Преобладающая часть этой книги была посвящена аналитической геометрии, хотя она все еще содержала, следуя преемникам Декарта (стр. 241), введение, в котором решались алгебраически-геометрические задачи. Декартово понятие координат также не претерпело здесь еще изменения, хотя знаки в четырех квадрантах были введены совершенно правильно. Говоря о новом расположении материала, мы имеем в виду, что автор здесь систематично начал с задач на прямую. Здесь впервые разбиралась задача о проведении прямой через две данные точки и результат приводился в привычном для нас виде:

Далее определялись угол и точка пересечения двух прямых, заданных уравнениями

у = ах-\-Ь и y = a'x-rb\

и давались обычные формулы для расстояния точки (а, ß) от прямой у = ах + Ь и для расстояния между двумя точками (а, ß) и (а', ß')- Вслед затем в сохранившемся поныне обозначении, образцы которого мы привели, рассматривались треугольник и окружность. Лишь после этого Лакруа переходит к общему уравнению второй степени и выводит из него три канонические формы уравнений кривых второго порядка. Затем изучаются их специальные свойства. Лакруа устанавливает общее полярное уравнение всех конических сечений, имеющее у него, в частности, вид

z= с'И + е) 1 -f- е cos ф

Употребительное тогда приложение кривых к решению высших уравнений посредством отыскания их точек пересечений было здесь также налицо; при этом разбирался и способ применения линий вида

у = а + Ьх + сх1 + ...

Изложение Лакруа носило столь современный характер, что уже первое издание книги могло бы и теперь без изменений служить основой преподавания в высшем реальном училище. Действительно, 25-е издание учебника Лакруа вышло еще в 1897. За Лакруа последовал ряд авторов, например, Лефрансе с его «Опытами о прямой линии и о кривых второго порядка» (Essais sur la ligne droite et les courbes du second degré, Париж, an IX, 1801) и Био с широко распространенным тогда «Аналитическим трактатом о кривых и поверхностях второго порядка» (Traité analytique des courbes et des surfaces du second degré, Париж, 1802; 8-е изд., 1834). «Сборник различных геометрических предложений» (Recueil de diverses propositions de géométrie, Париж, 1801) Л. Пюиссана носил характер составленного в том же духе сборника упражнений. На пороге XIX столетия появилась статья Г. Монжа и Ашетта «Приложение алгебры к геометрии» (Application d'algèbre à la géométrie в Journ. Éc. Polyt., an. X, 1801/02), позднее не раз выходившая в виде отдельной книги (1805, 1807, 1809 и в значительно расширенном виде 1813). Ее можно рассматривать как введение к «Приложению анализа к геометрии» Монжа, посвященное разбору более элементарных предметов.

§ 4. Предыстория аналитической геометрии. Терминология

Несомненно, что и Ферма, и Декарт пришли к их аналитикогеометрическому методу, отправляясь от изучения древних, особенно Аполлония (Цейтен, ч. I). Однако аналитическая геометрия смогла возникнуть из учения о конических сечениях греков лишь после того, как алгебра уже получила достаточное развитие. Так как алгебра Ферма покоилась на несколько более старой концепции, чем алгебра Декарта, и, кроме того, Ферма явно привел также и простые виды уравнений конических сечений, то и связь его с античностью заметна особенно отчетливо. У Ферма можно даже в некоторой мере проследить, как он пришел к своему координатному методу, главным образом по его попытке восстановить утраченные «Плоские места» Аполлония. Но отсчет или измерение абсцисс от некоторого фиксированного пункта на некоторой фиксированной прямой впервые ввели Ферма и Декарт, причем, вероятно, независимо друг от друга. В «симптомах» греков, которые при переводе на язык алгебры переходят в наши уравнения конических сечений, как правило, участвовали, так сказать, две абсциссы (два отрезка одного диаметра) и одна ордината (сопряженная полухорда). Распространение такого приема на исследование высших кривых —дело не

простое и в античную эпоху даже не намечалось. Определение точек прямой посредством их расстояний от некоторой фиксированной точки представляется нам теперь весьма естественным. Однако мы не находим его следов ранее Ферма и Декарта.

Аполлоний не имел для частей диаметра какого-либо специального термина. Он говорил, например: «[отрезки,] отсеченные на диаметре до вершины». Первые переводчики, как, например, Коммандино (1566), применили для слова «отсекать» латинское «abscindere», и слово «abscissa» в смысле «отрезок» встречается позднее в «Геометрии неделимых» Кавальери (1635, см. выше стр. 110). В смысле, очень близком к Аполлонию, это слово впервые встречается в переводе книги Аполлония, данном Абрагамом Эккелензисом (и опубликованном Борелли, Флоренция, 1661). Однако Декарт, Ферма и их ближайшие последователи называли эти отрезки диаметра почти сплошь с помощью различных описательных оборотов.

В качестве настоящего технического термина слово абсцисса было применено в современном смысле Лейбницем (см., например, письма к Ольденбургу от 26 октября и 1 ноября 1675). До этого отрезок от начальной точки, если она не была вершиной конического сечения, до основания ординаты вообще не имел специального названия; х, у именовали просто «неопределенными величинами». Лишь случайно «абсцисса» появляется в качестве технического термина у Риччи в «Геометрическом этюде о максимумах и минимумах» (Exercitatio geometrica de maximis et minimis, Лондон, 1668).

Слово «ордината» тоже возникло в результате перевода с греческого. Выражение, применявшееся Аполлонием, передано было в средние века через «linea secundum ordinem» («линия, соответствующая порядку») или через «linea ordinis» («линия порядка»). Коммандино успешно ввел оборот «ordinatim applicata» («по порядку приложенная»), а позднее наряду с этим составным выражением стали употреблять его элементы в виде «ordinata» и «applicata» (или же, по-французски, «ordonnée» и «appliquée»). Первое из этих слов одержало верх не ранее второй половины XVIII столетия. Первоначально под ординатой понимали то всю хорду конического сечения, то ее половину; подобные колебания восходили к самому Аполлонию1). Еще Эйлер во «Введении в анализ»

1) Уже Ф. Мавролико, например, в сочинении «О часовых линиях» (De lineis horariis, опубликовано в Opuscula mathematica, Венеция, 1585), применял, не найдя в этом последователей, слово «ордината» в нашем смысле.

понимал под этим словом целую хорду, а наши ординаты называл «applicatae». Термин «координаты» придумал Лейбниц (Acta Erud., 1692), определенно подчеркнувший при этом равноправие «абсциссы» и «ординаты». Мы выше подробно показали, сколь незначителен был сначала практический эффект этой мысли Лейбница.

Начальную точку, когда ее вообще как-либо называли, по большей части именовали «principium abscissarum» или «initium abscissarum» («начало абсцисс»). Витт. (1659, ср. стр. 247) пользовался постоянно выражением «initium immutabile» («неподвижное начало»). Но уже Лагир в «Новых началах» (1679) применил слово «origine» («начало», ср. стр. 251). Ось абсцисс называли «linea abscissarum». Слово «ось» употреблено было самое позднее Барроу в «Лекциях по геометрии» (1670, ср. стр. 246). Однако следует иметь в виду, что все эти названия применялись наряду с другими, нами не приведенными (например, Риччи называл ординаты «parallelae» — «параллельными»). Лишь после 1750 начали постепенно выступать на первый план наши современные термины, а ось ординат, как неоднократно упоминалось, вошла в общее употребление только в XIX столетии.

Многие прежние исследователи утверждали, что в средневековом математике и философе Н. Ореме (Цейтен, ч. I) следует видеть предшественника Декарта в открытии аналитической геометрии. Однако новейшие изыскания показали, что эти утверждения содержали в себе, с одной стороны, слишком много, а с другой — слишком мало. Именно, выяснилось, что вся схоластическая философия представляла себе переменными, скажем во времени, ряд теологических понятий, вроде христианской любви, а наряду с этим — теплоту, холод и т. д. (понимаемые в аристотелевом смысле) и даже скорость какого-либо движения. Схоластики занимались метафизическими спекуляциями о характере изменения этих понятий и снабжали их числовыми (но не эмпирическими!) примерами. Орем первый, по-видимому, предложил воспользоваться в этой связи графическим изображением, весьма близким с нашим современным. Он это сделал в большом трактате, сохранившемся лишь в рукописном виде и названном им самим «О дифформности качеств» (De difformitate qualitatum, написано ранее 1371). Приписываемый обыкновенно ему «Трактат о широтах форм» (Tractatus de latitudinibus formarum) представлял собой сжатое изложение этого учения, но не принадлежал самому Орему. Существенное отличие графического приема Орема от современных воззрений заключается в том, что у него отсутствовали понятия начальной точки и абсциссы. Орем, как и все его

последователи, постоянно исходил лишь из некоторого «основного отрезка», который мог представлять собой, например, час. «Свойство» рассматривалось лишь в границах между перпендикулярами, восстановленными в концах этого отрезка; «latitudines» — «широты» являлись ординатами. «Фигуру» представляли себе ограниченной сверху линией, которая могла быть прямой, кривой или же составленной из каких угодно кусков. О кривых какого-либо определенного рода не было и речи1). Схоластики все же сумели очень хорошо исследовать таким образом, например, равномерно-ускоренное движение. Они понимали, что во всех таких случаях площадь «фигуры» служит мерой пути. Метод определения пути падающего тела, примененный Галилеем, как и его результат (см. стр. 113), действительно встречались уже у Орема (если отвлечься от внешней математической формы).

Недавно было установлено, что этот способ графического изображения дошел до времен Декарта и что Декарт знал его и иногда употреблял2). Однако и самое тщательное изучение высказываний Декарта не позволяет установить какуюлибо видимую связь между указанным графическим приемом и аналитической геометрией Декарта. Весьма вероятно, что общие элементы обоих приемов кажутся очевидными лишь нам, получившим уже твердо укрепившееся и гораздо более широкое представление о координатах. Нередко высказывалась также мысль о влиянии на Декарта или Ферма издавна применявшихся небесных координат, но это не может быть доказано и невероятно. Естественна лишь их связь с античной геометрией конических сечений.

1) Часто встречающееся мнение, будто у Орема имелось указание на то, что максимальной ординате соответствует минимальное изменение скорости описывающей точку кривой, основывается на одной ошибке Курде.

[Подробнее об Ореме см. в книге А. П. Юшкевича, указанной в Библиографии. — Прим. ред.]

2) Действительный график, именно, график ежедневного давления воздуха в 1684, впервые начертил по совету М. Листера Р. Плот (пунктирной ломаной; см. Philos. Trans., 1685).

ГЛАВА ВТОРАЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ И ПОВЕРХНОСТИ

§ 1. Введение пространственных координат

Нам кажется естественной мысль о представлении линий и поверхностей в пространстве с помощью трех неопределенных величин ху у, г, подобно тому как кривые на плоскости выражаются двумя такими координатами х, у. Однако эта мысль совершенно отсутствовала у Декарта, и лишь намеки на нее встречались у Ферма. В то время как Ферма пытался исследовать форму некоторых тел с помощью их плоских сечений (см. ниже, стр. 275), Декарт в конце второй книги своей «Геометрии» указал, как можно было бы аналитически изучать пространственные кривые. Он представлял себе, что такая кривая проектируется на две взаимно перпендикулярные плоскости, а обе проекции относятся затем к оси, являющейся линией пересечения этих плоскостей. К своим беглым замечаниям Декарт не присоединил ни одного примера, а то, что он говорил о нормалях к пространственным кривым, было неверно. Григорий из Сен-Винцента не раз применил эту мысль, правда, в геометрической форме, для определения линии пересечения двух цилиндров («Геометрический труд» составлен в 1625, опубликован в 1647).

Если не говорить о численном определении точек пространства с помощью трех перпендикулярных координат, данном Дезаргом, который совершенно не преследовал аналитических целей (Exemple de l'une des manières etc., т. e. «Образец одного из общих способов и т. д.», Париж, 1636, ср. ниже стр. 333), то последовательное распространение декартова понятия координат впервые получило в «Новых началах» (1679) Лагира (ср. выше, стр. 250), где были применены буквы Ху у, v. Хотя Лагир не пошел дальше в этом направлении и его «Новые начала» вообще были очень мало известны позднейшим математикам, но идея о координатах

в пространстве уже не была чуждой в конце XVII столетия. Ею должен был воспользоваться Иоганн Бернулли, устанавливая дифференциальное уравнение геодезических линий, о котором он сообщил Лопиталю 24 декабря 1697 (опубликовано оно было, правда, лишь в 1742, см. ниже, стр. 313). В промежутке между этими двумя сроками той же проблемой занялся Эйлер, давший в 1728/29 ясное решение ее, в котором применил отчетливо определенные пространственные координаты t, X, у [Comm. Ac. Petr., 1728 (1732)]. Но еще в 1715 Иоганн Бернулли определил в письме к Лейбницу пространственные координаты х, у, z как перпендикуляры на три взаимно перпендикулярные плоскости. Если добавить, что А. Паран и в своих «Математических и физических опытах», I (Париж, 1705), оставшихся, впрочем, довольно мало известными, вывел уравнение общей шаровой поверхности и некоторых других поверхностей, то будет видно, что с пространственными координатами мы встречаемся с самого начала XVIII столетия (об А. Пито см. стр. 312).

Уравнение шаровой поверхности Паран привел в виде

с2 + у2 — 2cy + b2 + x2 — 2bx+a2 + z2 — 2az = r2.

Он продифференцировал это уравнение при постоянном у и X, но к уравнению касательной плоскости все же не пришел, а привел лишь две лежащие в ней прямые, именно, касательные к круговым сечениям шара плоскостями, параллельными плоскостям xOz и yOz. Паран рассмотрел, кроме того, конхоидальную поверхность с уравнением

у = Ь + ^у/~ Щ±

и поверхность

— z% У x2-\-az

Он до некоторой степени исследовал обе эти поверхности, определив на них точки максимумов и минимумов, а также точки перегиба для сечений, параллельных координатным (как сказали бы мы) плоскостям. Он употреблял выражения «équation superficielle» («поверхностное уравнение») и «ligne solide» («пространственная линия»), а также термины «tige» и «neud»; последнее показывает, что Паран, подобно Лагиру, примыкал к кругу дезарговых идей (см. стр. 251).

В 1731 в Париже анонимно вышла книга средних размеров, уверенно трактовавшая о новых геометрических вопросах. Это были «Исследования о кривых двоякой кривизны» (Recherches sur les courbes à double courbure). Впрочем, фамилия автора, Клеро, была ясна из двух приложенных

отзывов и указа о праве издания. Название «кривая двоякой кривизны» не было совершенно новым. Оно было уже употреблено (правда, случайно) Пито [Mém. Ac. Paris, 1724 (1726)], высказавшим предположение, что, быть может, такие кривые станут некогда предметом исследований геометров. Подобно Лагиру, труда которого он, несомненно, не знал, Клеро ввел третью координату. Он представлял себе, что пространственная кривая задается как линия пересечения двух цилиндров, стоящих на двух «courbes de projection» («проекционных кривых») перпендикулярно к двум координатным плоскостям. Для Клеро было вполне ясно, что одно уравнение между ху у, z выражает поверхность. В качестве примеров он привел уравнения

аа-^ xx + yy + zz, ^-х= VuD + zz, yy-\-zz = ax.

Он вращал также параболу хх = аи вокруг касательной в ее вершине и получил поверхность вращения с уравнением

хА = аауу + CLCLzz.

Затем он вывел уравнения еще других поверхностей вращения, в частности, эллипсоид и однополостный гиперболоид вращения. При этом Клеро исходил из уравнений

в которых заменял потом ии на yy + zz.

Далее, Клеро излагал, как можно установить уравнение конуса с заданными вершиной и плоской на