НАУЧНО-БИОГРАФИЧЕСКАЯ ЛИТЕРАТУРА

В.М. Тихомиров

Андрей Николаевич КОЛМОГОРОВ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

СЕРИЯ «НАУЧНО-БИОГРАФИЧЕСКАЯ ЛИТЕРАТУРА» РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

Основана в 1959 году

РЕДКОЛЛЕГИЯ СЕРИИ И ИСТОРИКО-МЕТОДОЛОГИЧЕСКАЯ КОМИССИЯ ИНСТИТУТА ИСТОРИИ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ И ТЕХНИКИ им. СИ. ВАВИЛОВА РАН ПО РАЗРАБОТКЕ НАУЧНЫХ БИОГРАФИЙ ДЕЯТЕЛЕЙ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ И ТЕХНИКИ:

академик Н.П. Лаверов (председатель), академик Б.Ф. Мясоедов (зам. председателя), докт. экон. наук В.М. Орёл (зам. председателя), докт. ист. наук З.К. Соколовская (ученый секретарь), докт. техн. наук В.П. Борисов, докт. физ.-мат. наук В.П. Визгин, канд. техн. наук В Л. Гвоздецкий, докт. физ.-мат. наук С.С. Демидов, член-корреспондент РАН А.А. Дынкин, академик Ю.А. Золотов, докт. физ.-мат. наук Г.М. Идлис, академик Ю.А. Израэлъ, докт. ист. наук С.С. Илизаров, докт. фил ос. наук Э.И. Колчинский, академик С.К. Коровин, канд. воен.-мор. наук В.Н. Краснов, докт. ист. наук Б.В. Левшин, член-корреспондент РАН М.Я. Шаров, докт. биол. наук ЭМ. Мирзоян, докт. техн. наук А.В. Постников, академик Ю.В. Прохоров, докт. геол.-минерал. наук[И.А. Резанов], член-корреспондент РАН Л.П. Рысин, докт. геол.-минерал. наук Ю.Я. Соловьёв, академик И.А. Шевелёв

В. М. Тихомиров

Андрей Николаевич КОЛМОГОРОВ

1903-1987

Жизнь, преисполненная счастья

Ответственный редактор доктор физико-математических наук С.С. ДЕМИДОВ

МОСКВА НАУКА 2006

УДК 50(092) ББК 2г Т46

Рецензенты:

академик Е.Ф. Мищенко, член-корреспондент Российской академии образования А.М. Абрамов

Тихомиров В.М.

Андрей Николаевич Колмогоров, 1903-1987: жизнь, преисполненная счастья / В.М. Тихомиров ; отв. ред. С.С. Демидов. - М. : Наука, 2006. - 199 с. - (Научно-биографическая литература). - ISBN 5-02-035345-0 (в пер.).

Эта книга - научная биография великого ученого, одного из крупнейших математиков XX столетия, создателя крупнейших научных школ, Героя Социалистического Труда, лауреата Государственной и Ленинской премий, кавалера семи орденов Ленина академика Андрея Николаевича Колмогорова, члена наиболее престижных академий мира, почетного профессора множества университетов. В книге рассказывается о формировании личности А.Н. Колмогорова, его вкладе в математическую науку и естествознание, общественной деятельности, роли в развитии математического образования, о его научных и математических концепциях.

Для математиков и широкого круга читателей.

Темплан 2006-11-169

ISBN 5-02-035345-0

© Тихомиров В.М., 2006

© Российская академия наук и издательство «Наука», серия «Научно-биографическая литература» (разработка, оформление), 1959 (год основания), 2006

© Редакционно-издательское оформление. Издательство «Наука», 2006

Предисловие

Андрей Николаевич Колмогоров был из тех великих людей, чье прикосновение меняет направление и в науке и в жизни, кто закладывает первый камень в фундамент, на котором возводится огромное строение, кто сажает в землю росток, порождающий исполинское дерево. Он был гениальным математиком и одним из величайших русских ученых за всю историю отечественной науки.

О необычайной разносторонности Колмогорова как ученого замечательно сказал его друг, академик Павел Сергеевич Александров: «Необыкновенная широта творческих интересов А.Н. Колмогорова, огромный диапазон и разнообразие тех областей математики, в которых он работал в различные периоды своей жизни, выделяют Андрея Николаевича среди математиков не только нашей страны, но и всего мира, и можно прямо сказать, что в отношении этого свойства своего дарования он не имеет себе равных среди математиков нашего времени».

Вот неполный список тех областей математики, в которых работал Колмогоров: теория множеств, теория функций, математическая логика, классическая теория вероятностей, геометрия, математическая статистика, теория меры и интеграла, функциональный анализ, теория приближений, алгебраическая топология, теория случайных процессов, теоретико-множественная топология, дифференциальные уравнения, теория стрельбы, турбулентность, статистический контроль, теория алгоритмов, динамические системы, классическая механика, суперпозиции функций, теория информации, алгоритмическая теория вероятностей. И при этом ему принадлежат открытия во многих других, как близких, так и далеких от математики, областях знаний. Среди них физика, биология, геология, океанология, метеорология, кристаллография, а также история и стиховедение.

Обычно крупный ученый посвящает жизнь разработке лишь одной избранной им области знаний, редко бывает - двум или трем, а здесь - свыше двадцати только в математике, а еще -в естествознании и гуманитарных науках!

Колмогоров получил широчайшее международное признание. По числу академий, избравших его иностранным членом, и университетов, назвавших его почетным профессором, он уступает из наших ученых лишь И.П. Павлову и ПЛ. Капице. Он был членом Парижской академии наук и Лондонского Королевского общества, двух американских академий, академий Германии, Нидерландов, Финляндии, Польши, Румынии, Венгрии и многих научных обществ. Он стал лауреатом Международной премии Фонда Бальцана, получив ее вместе с Папой Римским Иоанном XXIII и еще тремя выдающимися представителями мира наук и искусств. Он был удостоен премии фонда Вольфа, которую присуждают лидерам математической науки. В нашей стране Колмогоров был лауреатом Сталинской и Ленинской премий, академических премий Чебышева и Лобачевского.

Нужно сказать, что для самого Колмогорова эти награды и почетные регалии не имели большого значения и никогда не были стимулом для творчества. Это так, но мне хотелось подчеркнуть, что в нашей стране жил и творил гениальный ученый, чей выдающийся вклад в науку признан во всем мире.

Приведу только один факт из научной биографии Колмогорова как иллюстрацию его необычайной творческой силы. Незадолго до войны он заинтересовался совершенно новой для себя областью науки, которая относится, собственно, не к математике, а к естествознанию, к физике, гидро- и аэродинамике - теорией турбулентности. Во времена Колмогорова турбулентность считалась одной из последних загадок классической физики. Однажды лекцию по теории турбулентности Колмогоров начал с вопроса, какова была бы скорость течения Волги, если бы не было турбулентности. Ответ, выводимый из уравнений гидродинамики, оказался поразительным: многие тысячи километров в час! Однако стремительность течения сдерживается именно турбулентностью потока, его «завихренностью» (от лат. turbulentus -бурный, беспорядочный).

До 1941 г. математической теории турбулентности не существовало, хотя ряд крупных ученых пытались дать феноменологические объяснения ее явлений. Среди них были Джефри Тейлор, Теодор фон Карман и Людвиг Прандтль. Однако именно Колмогоров первым постиг сущность турбулентных явлений. Три его небольшие заметки, опубликованные в 1941 г. в Докладах Академии наук, оказались теми ростками, вокруг которых поднялся целый лес исследований. В теорию турбулентности вписали яркие страницы многие ученые, в том числе такие как Вернер Гейзенберг, Ларе Онзаггер и Лев Ландау. Однако тот вклад, который

внес в эту теорию Колмогоров, остается не только первым по времени, но и несравнимым по глубине.

В 1998 г. в вышедшей в переводе на русский язык монографии Уриела Фриша «Турбулентность. Наследие Колмогорова» сказано: «Глубже всех проник в суть турбулентности именно Колмогоров - математик, обладавший страстным интересом к живой действительности». Библиография этой книги Фриша содержит более 600 работ последователей Колмогорова.

Один из учеников Андрея Николаевича - А. М. Яглом, известный специалист в теории турбулентности, взялся за написание многотомного обзора этой теории. «Сколько же ты будешь его писать?» - как-то спросил я его. И получил такой ответ: « Ты, наверное, слышал о нашумевшем процессе в Америке: некий человек был осужден на три пожизненных заключения и еще на тридцать лет. Я думаю, что такого срока мне бы хватило». Вот какую лавину исследований породили три маленькие заметки Андрея Николаевича Колмогорова.

Известный ученый, лауреат Нобелевской премии Илья Пригожин как-то с горечью высказался о том, что кандидатуры таких выдающихся ученых, как Н.Н. Боголюбов, Г.А. Гамов, Я.Б. Зельдович, А.Н. Колмогоров, не рассматривались Нобелевским комитетом. Он объяснял это тем, что русские ученые не выдвигают своих соотечественников в нобелевские номинанты. Пригожин сам выступил с предложением присудить Нобелевскую премию Колмогорову за работы в области турбулентности. Но случилось это слишком поздно, когда Андрею Николаевичу жить оставалось всего полгода.

Андрей Николаевич был необычайно глубоким и своеобразным человеком. О нем очень радостно вспоминать. Ему посвящено уже много очерков, статей и книг. Один из сборников о Колмогорове1 назван словами Гоголя, некогда сказанными о Пушкине: «Явление чрезвычайное». Эти два слова с полным основанием были отнесены и к нашему великому ученому. Гоголь, желая возвысить Пушкина, писал, что «при имени Пушкина нас осеняет мысль о русском национальном поэте». Мне же кажется, что и для нашего величайшего поэта, и для такого ученого как Колмогоров национальные рамки слишком узки. Оба они «явления чрезвычайные» мирового масштаба.

Андрей Николаевич Колмогоров был моим учителем и сыграл в моей жизни неоценимую роль. И вместе с тем он называл меня своим другом. Он как-то написал мне: «Я Вам неоднократно и упорно \...) объяснял, что для меня Вы сделались одним из

1 Явление чрезвычайное. Книга о Колмогорове. М.: Фазис, 1999.

очень немногих в таком абсолютном смысле слова близких людей. Как-то я Вам перечислял шестерых, в разные периоды жизни (...) занимавших в моем внутреннем мире сколько-нибудь сравнимое место (...)».

Сейчас из этих шестерых остался я один. И мой непременный долг ученика и друга - положить на бумагу то, что знаю и что помню о своем учителе.

Подзаголовок этой книги: Жизнь преисполненная счастья. В ноябре 1982 г. умер ближайший друг Андрея Николаевича Павел Сергеевич Александров. Когда я предложил Андрею Николаевичу написать его воспоминания о Павле Сергеевиче, он уже был тяжело болен, практически не мог передвигаться самостоятельно, речь его была затруднена. Он часами сидел в низком кресле, слушал музыку и молчал. Когда я приходил к нему, то спрашивал обычно: «Андрей Николаевич, как Вы?» Ему с трудом удавалось произнести одно лишь слово: «Живу...». Однажды я принес ручку, бумагу и сел рядом, чтобы записывать воспоминания о Павле Сергеевиче. И тогда я услышал: Вся моя жизнь в целом оказалась преисполненной счастья.

Андрей Николаевич обладал бесценным даром быть благодарным - своим близким, друзьям, учителям, науке, ученикам, молодому поколению. И всю его жизнь освещала любовь к науке, природе и искусству. В своей книге я хочу рассказать об этом.

Глава I

Жизнь

Как-то мне довелось услышать слова испанского философа Ортега-и-Гассета: «Я - это я и мои обстоятельства». Повторяю их со слуха. Возможно, в оригинале скрыто нечто еще более глубокое, но мне сейчас достаточно простой мысли: сущность человека складывается из его природной первоосновы и обстоятельств, которые оказывали влияние на течение его жизни.

Наиболее подробно и полно представлены в книге обстоятельства первых четырнадцати лет жизни Колмогорова, которые много раз и разным людям он называл основным периодом формирования своей личности. Описывая этот период, я использую в большинстве своем собранные мной тексты и документы, а также записанные мною беседы с Андреем Николаевичем. Отправными будут служить строки из его автобиографии1.

Детство и юность

(..)Родился в 1903 г. в г. Тамбове. После смерти [моей] матери Марии Яковлевны Колмогоровой (1903) воспитывался и был усыновлен ее сестрой Верой Яковлевной Колмогоровой. Отец мой, Катаев Николай Матвеевич, до революции был агрономом, затем чиновником в департаменте земледелия, после революции - сотрудником Народного комиссариата земледелия. Умер в 1919 г. В моем воспитании участия не принимал. (Из автобиографии А.Н. Колмогорова).

Андрей Николаевич Колмогоров родился 12 (25 по новому стилю) апреля 1903 г. в городе Тамбове, но прожил там, кажется, всего шесть дней.

В судьбе Андрея Николаевича много необычного, начиная с того, что хотя не растили его ни отец, ни мать, но он не ощущал

1 Явление чрезвычайное. Книга о Колмогорове / Под ред. В.М. Тихомирова. М.: Фазис, 1999.

сиротства. «Раннее детство, - писал он, благодарно вспоминая далекие годы, - я провел в родовом имении родителей моей матери и всегда был окружен даже избытком внимания». Вера Яковлевна заменила ему родную мать.

Отец Андрея Николаевича, Николай Матвеевич Катаев, был сыном сельского священника. О Николае Матвеевиче известно немногое. Он окончил Петровскую (ныне Тимирязевскую) академию, участвовал в народническом движении, был сослан й в начале века работал в Ярославле. Там, в Ярославле, и познакомились младшая дочь предводителя угличского дворянства и почетного попечителя народных училищ Ярославской губернии Якова Степановича Колмогорова, Мария Колмогорова и ссыльный земский статистик Николай Катаев. Они не были венчаны. Почему? Я спрашивал Андрея Николаевича об этом, но у меня создалось впечатление, что в его семье эта тема не обсуждалась.

За несколько лет до смерти Андрей Николаевич попросил своих учеников помочь ему с разборкой архива. Однажды, открыв крышку стола, стоявшего в музыкальной комнате в Комаровке - загородном доме, где значительную долю своего времени проводил и который очень любил Андрей Николаевич, - в шкатулке, принадлежавшей, по-видимому, Вере Яковлевне, я обнаружил стопку писем. Это была переписка двух молодых людей - Марии Яковлевны и Николая Матвеевича. Андрей Николаевич не подозревал о существовании этих писем. Он попросил меня прочитать что-нибудь. Письма были написаны мелким почерком и притом карандашом. Карандаш стерся от времени, и что-либо разобрать было почти невозможно. Я едва сумел прочесть несколько строк. Это было письмо из тех, что писались во все времена людьми, которые любят, но чувствуют себя несчастными. Горечь разлуки, недобрые предчувствия, тоска и вместе с тем надежда - вот что я запомнил из этих строк.

Мария и Николай прожили вместе несколько лет. У них родилась дочь Татьяна, но она умерла девяти месяцев. Весну 1903 г. Мария Яковлевна проводила в Крыму. По дороге домой в Ярославль к своим родителям, незадолго до даты предполагаемых родов она заехала в Тамбов к своей подруге Конкордии Климентьевне Коравко.

Вот что рассказывал мне об этом Андрей Николаевич: «В Тамбове были близкие друзья моей матери. Она к ним поехала, по-видимому, рассчитывая вернуться домой...». Андрей Николаевич сохранил на долгие годы связь с Конкордией Климентьевной, в тамбовском доме которой ему суждено

было родиться. Он много раз проявлял заботу об ее сыне и о ней самой.

Впоследствии лишь один раз он посетил город своего рождения. Из Тамбова в 1933 г. начиналось байдарочное путешествие Андрея Николаевича с его другом Павлом Сергеевичем Александровым.

В этой главе, помимо своих записей бесед с Колмогоровым, я буду пользоваться одним замечательным литературным источником. Так случилось, что вместе с Андреем Николаевичем провел свои детские годы Петр Саввич Кузнецов, впоследствии выдающийся советский лингвист, профессор Московского университета. Незадолго до смерти Петр Саввич начал писать воспоминания о своем детстве. По просьбе Андрея Николаевича я получил тетрадь с этими воспоминаниями у вдовы Петра Саввича и перепечатал ее. Здесь я приведу несколько отрывков из этих воспоминаний.

Петр Саввич, вспоминая апрель 1903 г., пишет, что «перед тем как должен был родиться второй ребенок, Вера поехала из Туношны - имения Колмогоровых - в Тамбов. Роды были неблагополучны, и Маня через полтора часа после рождения Андрея умерла. Она, однако, успела посмотреть на него (ей его поднесли) и сказала: “Не простудите”. Об этом потом рассказывала Вера. Андреем его назвали по желанию Мани. Еще до его рождения она говорила, что если будет мальчик, она его назовет Андреем (в честь Андрея Болконского, это был ее любимый литературный герой)».

В последние годы тамбовские математики стали проявлять большой интерес ко всему, что связано с жизнью Андрея Николаевича Колмогорова, которому суждено было появиться на свет в их родном городе. Профессор Тамбовского университета А.И. Булгаков любезно предоставил мне некоторые архивные материалы о рождении Андрея Николаевича и о смерти его матери.

В «Метрической книге из Тамбовской Духовной Консистории Варваринской города Тамбова Церкви имен родившихся, браком сочетавшихся и умерших за 1903 год» в книге первой «О родившихся» записано, что 12 апреля родился и 15 апреля крещен Андрей. В графе «Звание, имя, отчество и фамилия родителей и какого вероисповедания» записано: «потомственная дворянка девица Мария Яковлевна Колмогорова, православного вероисповедания». В графе «Звание, имя, отчество и фамилия восприемников» указаны «Потомственный дворянин Степан Яковлевич Колмогоров и потомственная дворянка София Яковлевна Колмогорова». В книге третьей «Об умерших» имеется скорбная запись, что 13 апреля умерла и 15 апреля погребена

«Потомственная дворянка девица Мария Яковлевна Колмогорова». В графе «От чего умер» сказано «от сильного послеродового кровотечения».

А вот что пишет об этом П.С. Кузнецов: «Я не знаю, где крестили Андрея (тогда ведь крестить детей, родившихся от православных родителей, хотя бы незаконных, было обязательно, без этого не могли выдать метрик), в Тамбове или уже в Туношне [как видно из приведенного выше отрывка из метрической книги, Колмогорова крестили в Тамбове - В.Т.] и не знаю, кто был крестной матерью [ею была сестра матери Софья - В.Т.], но крестным отцом был Степа или, полностью, Степан Яковлевич Колмогоров, единственный брат сестер Колмогоровых. Он жил постоянно в Петербурге (...) Возможно, что он лично и не участвовал в крещении. Тогда это можно было: держал на руках ребенка при крещении кто-нибудь другой, причем говорил: “Держу за такого-то”. В метрику официально записывали того, за кого держали. Конечно, с официальным крестным отцом предварительно согласовывали».

Судя по всему, произошло именно так. Вряд ли Степан Яковлевич за два дня добрался до Тамбова из Петербурга, скорее всего кто-то другой держал на руках дитя, родившееся три дня назад, держал и говорил: «Держу за Степана Яковлевича Колмогорова». А Соня, сестра умершей, судя по всему, приехала в Тамбов из Ярославля, чтобы похоронить младшую сестру и забрать новорожденного.

В Юбилейном издании, посвященном А.Н. Колмогорову, приведена телеграмма Николая Матвеевича Катаева, посланная из Севастополя, где он находился по служебным делам: «Его Высокоблагородию Священнику Церкви», в которой он просит «записать сына моего и Марии Яковлевны Колмогоровой при крещении в метрику как моего сына и меня как отца, т.е. в рубрике кто родители поставить мое имя и звание: Николай Матвеевич Катаев, Агроном 1 разряда, потомственный почетный гражданин»2. Но, как мы видим, просьба Николая Матвеевича не была удовлетворена.

«Поскольку мать умерла, - пишет далее П.С. Кузнецов, -а отцу было трудно выходить новорожденного (его пришлось бы поручить нанятой няньке или кормилице), Вера, после того как Маню похоронили, увезла Андрейчика в Туношну. Везла она его на поезде в маленькой корзиночке (я потом ее в Туношне видел). Весил он при рождении 6 фунтов, или по-теперешнему 2400 г., т.е. меньше, чем положено. Привезла она его

2 Колмогоров. Юбилейное издание. В 3-х кн. Кн. 1. «Истина - благо». Библиография. М.: Физматлит, 2003. С. 21.

в Туношну шести, а по другим данным десяти дней от роду. Возможно, что шести дней увезла из Тамбова, а десяти дней привезла (по дороге, вероятно, останавливались в Ярославле). Вера и заменила Андрею мать, и жила с ним все время. Умерла она в глубокой старости, когда он уже был академиком, через несколько лет после Великой Отечественной войны [в 1951 г.-Я.Г.].

Отец Андрея впоследствии (когда ему разрешен был въезд в столицу) - не помню, с какого времени, - жил в Петербурге и служил в департаменте земледелия (министерство земледелия было либеральное и принимало людей с политическим прошлым). Занимался он там чем-то по научной части, один раз ездил в командировку в Персию изучать там какие-то культуры. Перед революцией он имел чин коллежского асессора, по-тогдашнему чин не особенно высокий (...). Кроме службы, он писал рассказы и время от времени печатал их в журналах. Во время пребывания в Крыму (еще до рождения Андрея) он побывал у Чехова, который был еще жив, и тот предсказал ему хорошую будущность как беллетристу, но как-то это не пошло (.../. Андрея он всегда признавал как сына. Когда летом ехал в отпуск, он всегда заезжал на некоторое время в Туношну. Позднее, когда мы жили в Москве, он всегда заходил к нам, когда бывал в Москве. Бывал у нас и его брат Иван Матвеевич со своими детьми, когда приезжал в Москву (постоянно он жил и работал на Урале). Один раз был у нас и их отец, деревенский священник, весь седой. Он благословил Андрея, который в то время уже учился в гимназии, <...> и он, по-видимому, признавал Андрея как внука. После Октябрьской революции Николай Матвеевич сразу перешел на сторону Советской власти. Он стал заведовать учебным отделом Народного комиссариата земледелия». Николай Матвеевич Катаев пропал без вести в 1919 г.

Упомянутый в рассказе брат отца Иван Матвеевич Катаев был учителем истории. Его сын Иван Катаев стал известным советским писателем. Он погиб во времена сталинского лихолетья. Андрей Николаевич принимал участие в судьбе его сыновей, своих племянников - Георгия и Дмитрия. Георгий Иванович Катаев написал воспоминания3. В этих воспоминаниях рассказывается о братьях Катаевых, их отце, учителе истории, и деде - сельском священнике из Вятской губернии.

3 Катаев Г.И. Об А.Н. Колмогорове. Homo Universalis // Колмогоров в воспоминаниях. М.: Физматлит, ВО «Наука», 1993. В эпоху Возрождения (Homo Universalis) называли величайших творцов.

Туношна

Раннее детство я провел в родовом имении родителей моей матери в Ярославской губернии. (Из автобиографии А.Н. Колмогорова).

Родителями матери Колмогорова были Яков Степанович и Юлия Ивановна Колмогоровы. У них было семеро детей - шесть дочерей: Софья, Вера, Надежда, Любовь, Варвара, Мария и сын Степан. Туношна - одно из имений деда Андрея Николаевича. Сестер своей матери Андрей Николаевич ласково называл «мои тетушки».

Вот отрывок из воспоминаний П.С. Кузнецова, где он описывает то, что случилось в Туношне, когда ему было четыре года. «Важное событие произошло в конце первой зимы туношенского периода моей жизни, именно в апреле 1903 г. Около этого времени Вера уехала и мы остались с Соней. Потом, пока Веры еще не было, Соня говорила мне, что у нас скоро будет маленький Андрейчик. Я радовался этому и очень хотел, чтобы у меня был маленький товарищ для игр. Я так и представлял себе маленького мальчика, меньше меня, но не очень (так лет двух-трех на вид), в розовой рубашечке и черных штанишках, с соломенным картузиком на голове (тогда маленькие мальчики часто носили такие), и я представлял себе, как он прыгает и почему-то именно в зале. И я все ждал Андрейчика. Наконец, Вера приехала и привезла его. Я очень хотел к нему, но мне все под какими-то предлогами отказывали, не помню, под какими. Не помню также, сколько времени прошло - две, три недели, может быть, больше. Наконец, как-то под вечер мне сказали, что можно посмотреть Андрейчика, но только осторожно. В это время я жил в розовой комнате. Помню, как я обрадовался и быстро направился через столовую, длинный коридор, через девичью в зеленую комнату. Там были Вера и кто-то еще, не помню (...). Андрейчик был у стены за колоннами (...).

Теперь же там, среди белых простыней и подушек виднелась маленькая головка, а перед ней бутылочка с молоком и соской, и эта головка сосала из бутылочки молоко. И кто-то, не помню, Вера или Надя, (если она была там), или Соня тихо сказала: “Тихонько, не мешай ему, он сейчас кушает”. Я смотрел и был разочарован (...). Я понял, что ни о каких играх в зале не может быть и речи. Это был ныне известный всему миру, лауреат Ленинской и Государственной премий, академик, кавалер четырех орденов Ленина, лауреат Международной премии Бальцана, полученной

им одновременно с папой Иоанном XXIII, и пр. и пр. Андрей Николаевич Колмогоров».

Не знаю, что особенно меня трогает в этом рассказе - соломенный ли картузик или мальчик, прыгающий в зале в воображении Петра Саввича Кузнецова, или путь его четырехлетнего из розовой комнаты в зеленую через, столовую, большой коридор и девичью, или описание зеленой комнаты с колоннами, или вид грудного младенца среди простыней и подушек...

Как, в сущности, все это было недавно и как безвозвратно кануло в лету, ушло, исчезло...

Когда заходит речь о жизни выдающегося, много на своем веку совершившего человека, часто обсуждают его «корни» - социальные, генетические, национальные... И сам Андрей Николаевич был не прочь пофилософствовать на эти темы (проблема таланта очень его занимала), но по отношению к себе он не проявлял обычного для него «исследовательского» интереса. Он не занимался специально своей генеалогией и имел о ней очень отрывочные сведения. Когда я спрашивал его об этом, Андрей Николаевич говорил все, что он помнил, но это были очень немногочисленные сведения.

На мой вопрос: «Кто был Ваш дед?» Андрей Николаевич ответил так: «Яков Степанович, мой дед, был из очень крупных помещиков. Предводитель дворянства Угличского уезда, живший, правда, в Ярославле, в губернском городе. Часть его земель была в Угличском уезде. По-видимому, в Угличском уезде других помещиков того же уровня вообще не было. Он имел свои земли в разных уездах ярославской губернии. По-видимому, это было такое почетное положение крупного деятеля губернского масштаба. Я не знаток, почему угличанам могло быть интересно иметь его своим предводителем».

Когда-то в самом начале нашего знакомства речь зашла о «социальном происхождении» Андрея Николаевича. Он сказал мне, что в 20-е годы на этот вопрос - и письменно и устно - он отвечал с некоторой дерзостью, что один его дед был предводителем дворянства, а другой - отцом благочинным. И усмехнулся.

Как это часто с ним случалось, Андрей Николаевич переоценил возможности своего собеседника: я не знал в тот момент точного значения этих терминов и смысл фразы понял лишь в общих чертах. Ясно, что в 20-е годы афишировать дворянское и духовное происхождение было вызовом, тогда старались «предъявить» своих предков попроще. Но сами слова я запомнил. Потом не раз в литературе они встречались мне, и я вспоминал наш разговор. Предводитель дворянства избирался дворянским собранием (уезда или губернии) для защиты интересов своего сословия.

В последние годы ярославские математики по архивам проследили за деятельностью Якова Степановича; им было много совершено полезных и благородных деяний. Отец благочинный - священник, который осуществлял административные функции по отношению к нескольким приходам. И то и другое было почетное социальное положение, которым дети и внуки могли гордиться. И все же, зная Андрея Николаевича, я думаю, что в этом случае предметом его гордости было не столько высокое положение его предков в социальной иерархии, сколько то, что он не унижал себя в те годы сокрытием истины...

В «личном листке по учету кадров», заполненном вслед за автобиографией, фрагменты из которой я цитирую, в графе «бывшее сословие (звание) родителей» Андрей Николаевич написал: «Отец - почетный гражданин, мать - дворянка». Приведенная выше телеграмма подписана: «Катаев, потомственный почетный гражданин». Что это значит - потомственный почетный гражданин - мне неизвестно.

Андрей Николаевич помнил и своего деда Якова Степановича и свою бабушку Юлию Ивановну. Вот, что я записал со слов Андрея Николаевича о ней.

«Я помню ее хорошо. Она же жила с нами в Трубниковском переулке в начале 20-х годов еще. Она умерла очень странным образом. Мы жили в огромной квартире. Там, в Трубниковском переулке, был двухэтажный дом с очень большими квартирами. Сколько там было комнат? Шесть, по-моему, метров по 30 каждая, по крайней мере. Так что, естественно, это была коммунальная квартира. В силу каких-то обстоятельств, которых я не помню, одна из комнат была отдана мало нам знакомому военному человеку - не помню точно, какого военного ведомства. Бабушка моя как-то ночью направилась в уборную мимо его двери, повидимому, как-то ей не удавалось электричество зажечь, так что она довольно долго царапалась в его дверь, а он, Бог знает, в силу каких обстоятельств, совершенно нам не известных, страшно напугался и сквозь стену ее застрелил...».

Я спросил, кто из предков имел высшее образование - в нашем современном понимании этого слова. Ответ был таков: «Про деда я не знаю, но, поскольку его сын, мой дядя, Степан Яковлевич [крестный отец А.Н. - В.Т.] кончал институт Правоведения в Петербурге, не представляется невероятным, что и дед имел какое-то образование. А может, и не имел, потому что вкусы и взгляды либерального дворянина были проще. Они с удовольствием занимались винными откупами, например». Мать Андрея Николаевича и Вера Яковлевна помимо домашнего воспитания учились в Москве на женских курсах. «Какие-то "Коллек-

тивные уроки" это называлось», - пояснил Андрей Николаевич. По его мнению, это было не профессиональное, а общее образование. Единственная из сестер Колмогоровых - Надежда Яковлевна - получила высшее образование. Она закончила Петербургский Женский медицинский институт и всю жизнь работала врачом. Что же касается национальности, то все известные Колмогорову его предки были русскими.

У Якова Степановича Колмогорова был дом в Угличе и дом в Ярославле, на Проломной улице. В ярославском доме некогда жил Федор Григорьевич Волков - актер и театральный деятель. В 1748 г. он создал в Ярославле первую театральную труппу, на основе которой в Санкт-Петербурге в 1756 г. был создан первый русский профессиональный театр. На доме, где жили Ф.Г. Волков и Я.С. Колмогоров, помещены мемориальные доски, посвященные великому актеру и великому математику (колмогоровская доска была открыта к столетию со дня рождения А.Н. Колмогорова).

Кроме домов в Угличе и Ярославле, Якову Степановичу принадлежал загородный дом в Туношне в двадцати, примерно, километрах от Ярославля на речке Туношенке, впадающей в Волгу. Описание туношенского дома я заимствую из воспоминаний П.С. Кузнецова. «Старинный барский дом постройки, вероятно, начала XIX в. принадлежал деду Андрея Николаевича (...) Якову Степановичу Колмогорову. В то время, когда я появился там, и еще несколько лет все было в полном расцвете. В конюшне были лошади (не помню сколько), на скотном дворе - коровы (не помню сколько) и свой бык, которого звали Михей Потапыч; на дворе кудахтали куры, крякали утки и гоготали гуси. Не помню, какие звуки издавали индюшки, но индюк наливался багрово, распускал хвост и сердито бормотал. А в положенное время дня и ночи кричали два петуха, один молодой, другой старый.

Не был в запустении и сам дом, одноэтажный, но на высоком кирпичном фундаменте, с большими и маленькими комнатами с высокими окнами и высокими потолками (впрочем, это интересно для старых домов - потолки в разных комнатах одного и того же этажа были разной высоты), с полами, крашеными и некрашеными, по-разному в разных комнатах скрипевшими под ногами, с различными чуланами и кладовками. Особенно гулко звучали шаги, если шли по длинному темному коридору (в части его, по-видимому, были какие-то пустоты под полом), рассекавшему дом вдоль и шедшему от залы до девичьей. Название “девичья” многим теперь известно лишь по “Евгению Онегину”. А в колмогоровском доме были даже две девичьих. Впрочем, та комната, которую называли просто девичья, сохраняла, вероятно, назва-

ние от времен крепостного права, а в мое время там никаких девушек не было. При мне девушки-прислуги жили в комнате, соседней с этой девичьей, которую называли или “та девичья” или “маленькая девичья”. Из этой последней было три двери - в просто “девичью”, в “голубую комнату” (там были комнаты, называвшиеся просто по цветам их стен или занавесей - “голубая”, “розовая”, “зеленая”) и в комнату Юлии Ивановны - бабушки Андрея Колмогорова и жены Якова Степановича Колмогорова.

Дом обращен был фасадом на север. По северной стороне были расположены и более парадные комнаты - кабинет, зала, гостиная. И именно в комнатах по северной стороне были камины. Их было в туношенском доме три. В остальных комнатах были голландские печи, а в голубой комнате (она выходила на юг), кроме того, изразцовая лежанка. Три террасы примыкали к дому - на севере большая терраса, из нее вела стеклянная дверь из гостиной, на востоке маленькая терраса, соединявшаяся стеклянной дверью с маленькой комнатой (эта комната так и называлась, в ней жила Вера Колмогорова), и на юге столовая терраса, на которую выходила стеклянная дверь из столовой. Переднее крыльцо, через которое попадали в дом приходящие и приезжающие, помещалось на западной, узкой стороне дома, а заднее -на восточной, рядом с маленькой террасой. Через переднее крыльцо попадали в прихожую, а через заднее - в девичью. По четыре колонны возносились над большой и над столовой террасой до крыши мезонина, а между этими колоннами над обеими террасами шли балконы, на которые можно было выйти через стеклянные двери большой комнаты северной и большой комнаты южной стороны мезонина.

Летом, в жаркие дни, на большой террасе обедали - дом заслонял солнце. На запад от дома был флигель - длинное одноэтажное здание (и тоже с чердаком, на который мы любили лазать), отделенное от дома дорогой, по которой въезжали, если приезжали не с юга, через рощу, как я приехал впервые, а с севера, от села. Между концом флигеля и северо-западным углом большого дома были расположены ворота, на ночь запиравшиеся. Во флигеле помещались две кухни, большая и маленькая (большая для работников, маленькая для хозяев), где жили работники и работницы.

Вокруг дома и флигеля было два двора - передний и задний, -соединявшиеся воротами, три цветника, большой сад и огород. Передний двор был покрыт травой и не имел особенно парадного вида, задний же двор был совсем грязный: там было много навоза. На переднем дворе, помимо дома и флигеля, находились погреб, курятник (по восточной стороне), каретник и конюшня (по

западной). Впрочем, когда я приехал, конюшня представляла собой продолжение каретника. Лишь потом, несколько дальше на юг, на краю переднего двора было выстроено новое здание конюшни. Я помню, как любили мы (но это уже позднее) играть в каретнике в путешествия. Сколько там было интересных экипажей, помимо тех, что употреблялись на моей памяти: там была “колымага”, в которую следовало запрягать тройку, но на моей памяти запрягали лишь пару, и то ездили на ней очень редко; карета, в которой уже никогда не ездили на моей памяти; возок (я лишь потом узнал, что он так называется) - тоже как бы карета, но на полозьях и многое другое. Впрочем, как я узнал впоследствии от Ильи Ильича Толстого, игра в каретнике была любимым времяпровождением детей любой старой помещичьей семьи. На заднем дворе помещались амбар, скотный двор и баня. В амбаре были сусеки, куда ссыпалась мука различных сортов, различная крупа. Я помню вкусный запах муки, только что засыпанной после мельницы! Скотный двор, длинный, с низкими и широкими окнами вверху под крышей. Помню, как иногда Вера брала меня туда вечером, осенью или зимой, когда давали коровам корм. Она брала фонарь “летучая мышь” (я тогда не знал еще, как он называется), я помню, как вкусно пахло пойлом с отрубями, помню, как мычали на разные голоса коровы.

Маленький цветник примыкал к дому с юга и образовывал полукруг. В нем росли розы, а вдоль стены дома - шиповник. Розовые кусты укутывали на зиму, и они представляли собой какие-то соломенные чучела. Были и другие цветы, всех не помню, но помню ясно анютины глазки. Впрочем, там были не только цветы, но и деревья - вдоль дома большие тополя выше дома, а вдоль забора, отделявшего цветник от переднего двора, ясени.

А, кроме того, был большой сад. Его так и назвали, хотя никакого “маленького сада” не было. Большой сад представлял собой обширный четырехугольник, близкий к прямоугольнику. Когда я стал старше, научился читать и читал различные детские повести, переводные с французского и с английского, где при большом помещичьем доме или замке обязательно был парк, я спрашивал, почему сад в туношенском доме нельзя назвать парком, мне отвечали, что парк должен быть еще больше. Впрочем, достаточно велик был и этот сад, в нем можно было заблудиться. Ограничен он был по всем сторонам прямыми аллеями. Несколько прямых аллей рассекали его в различных направлениях, иногда от одной стороны до другой, чаще же не насквозь, а выходя на какую-нибудь другую аллею. Каждая аллея большей частью состояла из одной породы деревьев. Было там две березовых, две

еловых и две акациевых аллеи, была липовая аллея и различные другие. Названия аллей были порой условные. Липовую аллею иначе и нельзя было назвать, так как она была одна. Но березовой аллеей называли лишь ту, которая шла по восточной стороне сада. Шедшую по противоположной стороне, хотя ее тоже составляли березы, называли задней аллеей, так как она проходила вдоль заднего двора. И еловой аллеей называли самую длинную аллею сада, рассекавшую его насквозь, от юго-восточного угла, где была беседка, до середины задней аллеи. А если имели в виду другую еловую аллею, более короткую, где и елки были моложе и меньше, то говорили “та еловая аллея” или “маленькая еловая” и т.п. Рябиновой же аллеей называли ту, которая шла вдоль северной стороны сада, хотя рябины там были лишь в конце, а большую часть ее составляли тополя. Одна аллея называлась тигровой потому, что вдоль нее росли тигровые лилии. А вот как называлась аллея, где росли туи, я не помню. Только твердо знаю, что такого названия, как “туевая аллея”, не было. Между аллеями была глушь: лужайки, кустарники, заросли деревьев, сквозь которые было трудно продраться, а порой и отдельные большие деревья. Так, не образовывали аллеи очень крупные кедры.

Наконец, с юга от сада был большой огород. Я именно там узнал, что можно есть зеленый лук (помню, как он щипал мне язык) и сладкую морковь-каротельку».

Самые ранние впечатления Андрея Николаевича связаны с Туношной. Пожалуй, первое из них - об урагане. Андрей Николаевич говорил, что «это можно даже установить по каким-то метеорологическим данным. Кажется, это было в 1907 г. Я спал в голубой комнате, которая была обращена к ветру. И вдруг ко мне вбегают, хватают и переносят в гостиную, и как раз в это время бревно от сарая врывается в окно моей комнаты. Все население дома собралось в гостиной и там переждало ночь. А наутро мы пошли в сад смотреть на разрушения. Мне было тяжело пробираться через поваленные деревья, но я требовал, чтобы мы обошли весь сад и полностью увидели все беды, которые принес ураган».

Андрей Николаевич сохранил самые светлые, самые прекрасные воспоминания о своем детстве. «В моем раннем воспитании соединились, с одной стороны, обстановка богатого дворянского дома, а с другой - привычки либеральной интеллигенции. Скажем, я был обязан участвовать в «заготовке» дров. И мы ходили в лес, заготовляли вязанки дров, хотя дом был огромный и доля наших сучьев в отоплении была ничтожной. Привозили несколько подвод с огромными складами дров».

Сестры Колмогоровы принимали участие в революционном движении. В Туношне был гектограф, где печаталась запрещенная литература. И Вера Яковлевна, и Мария Яковлевна подвергались арестам. Вера Яковлевна пробыла в Петербургском доме предварительного заключения несколько месяцев. Ее арестовали летом 1903 г. «Взяли» ее на сенокосе, где она с бабами гребла и ворошила сено (на семейство Колмогоровых сильное влияние оказывали идеи толстовства, следуя которым, человек обязан был трудиться вместе с народом на его благо). При обыске дома становой попытался отворить дверь в зеленую комнату, где спал маленький Андрей (ему было три месяца). «Как можно, будет сквозняк, разбудите мальчика», - запротестовала Вера Яковлевна. Полицейские не решились нарушить покой ребенка, и при этом «какая-то подпольная литература была спасена, будучи положена в мою колыбель».

Сколько всего переплетено в этом маленьком эпизоде! Представительницы сословия, являющегося опорой существующей власти, противостоят этой власти; не терпевшие лжи, они позволяют себе солгать и потом гордятся этим, а полицейские, отстаивающие интересы ненавистной власти, верят им и ведут себя истинно благородно!

Как учили детей в богатом дворянском доме, какие были книжки, игры, игрушки - об этом можно написать целый роман. Ограничусь лишь тем, как в ранние годы учился маленький Андрей.

«Никакого букваря, - рассказывал он мне, - не было. Не было такого, чтобы сначала была буква “Б”, а потом “А”, потом слово, составленное из тех букв, которые изучались ранее. Я смотрел, как читают старшие, и научился читать. Среди первых книг были “Четыре книги для чтения” Л.Н. Толстого. Хорошо помню, как мне читали Сельму Лагерлёф “Рассказы о Христе”».

Сельма Лагерлёф, лауреат Нобелевской премии, сколько детских сердец напоила она добром своих книжек! Андрей Николаевич вспоминал рассказ о Христе и Иуде, которые по Сельме Лагерлёф были товарищами детства.

«...Они лепили птиц из глины на берегу озера. И вдруг Христос увидел в озере отражение зари, полил своих птиц водой, и они стали розовыми. Иуда попытался сделать то же самое, но у него, естественно, ничего не получилось. Тогда он стал топтать христовых птенцов. А Христос сказал им: “Летите”, и они полетели...».

Потом многие рассказы Лагерлёф Андрей Николаевич читал сам, очень рано прочел «Евангелие», вспомнились ему «Аленушкины сказки», «Каштанка», «Белый пудель»,

чуть позднее - «Маленькие дикари» Сетон-Томпсона. «Русские сказки Афанасьева были, но особенных воспоминаний у меня они не оставили. А вот былины русские - об Илье Муромце, Святозаре - начал воспринимать довольно рано. Ну, и сказки Андерсена, конечно. И, разумеется, пушкинские сказки».

Вера Яковлевна Колмогорова со своей подругой Матильдой Исидоровной Дубенской, заменившей мать Петру Саввичу Кузнецову, организовала в туношенском доме маленькую школу, где велось преподавание «по новейшим рецептам, педагогики того времени». Когда Андрею Николаевичу было 5-6 лет, дети под руководством Веры Яковлевны и Матильды Исидоровны стали издавать журнал «Весенние ласточки». Андрей Николаевич считал, что журналы могли сохраниться в семействе Кузнецовых. (Петр Кузнецов был самым энергичным «сотрудником» журнала: он вел литературный отдел, писал приключенческие рассказы в духе Жюля Верна.) Увы, по-видимому, этого не произошло: я наводил справки, мне сказали, что пытались разыскать, но тщетно. Для «Весенних ласточек» маленький Андрей поставлял математические задачки. В журнале «Весенние ласточки» было опубликовано первое математическое «открытие» Андрея Николаевича, подметившего закономерность:

и так далее. Он неоднократно говорил, что это доставило ему первую творческую радость. Среди задачек, придуманных маленьким мальчиком, была задача о пуговицах - сколькими способами можно пришить пуговицу. «Пуговицы должны были сами себе пришивать. Так что задача, так сказать, происходила “из практики”. Мне особенно нравились два способа - из двух параллельных черточек и крестиком. Вообще-то довольно много способов... Естественно, чтобы все дырочки были использованы: прямоугольный треугольничек с пустой дыркой, не признавался, конечно. Были и более стандартные задачи о встрече. Я помню, с картинкой было - о путниках, идущих навстречу. Но, по-видимому, не выходящая из пределов вполне стандартных задач: где два путника встретятся. Я запомнил потому, что картинка была. Я рисовал: два домика, речка, путники идут по дорожке. Потому так ясно и помню до сих пор. Кажется, была логически не интересная задача». В последней фразе - весь Андрей Николаевич - справедливость, прежде всего. По воспоминаниям Андрея Николаевича вышло четыре номера журнала.

Гимназия

С 1910 г. моя приемная мать В.Я. Колмогорова переселилась со мной в Москву (...). Я учился в Москве в частной гимназии Е.А. Репман, после революции преобразованной в 23 школу второй ступени. (Из автобиографии А.Н. Колмогорова).

Московские гимназии - тема, достойная труда историка. Как много давали они своим ученикам, как много прекрасных воспоминаний сохранили гимназисты и гимназистки о своих школьных годах! Мужские гимназии Попова, Поливанова, немецкая гимназия «Петер унд Пауль шуле», шелапутинская гимназия, женские гимназии Брюхоненко, Фишер и еще, и еще (я назвал лишь те, про которые хоть что-то слышал сам) - это целый мир, в котором зарождались основы мировоззрения, свободомыслие, творческий поиск, истинная интеллигентность.

Гимназия Репман была одним из самых необычных учебных заведений того времени. Она была организована двумя женщинами, энтузиастками просвещения - Евгенией Арнольдовной Репман и Верой Федоровной Федоровой. В этой гимназии было совместное обучение мальчиков и девочек (таковое было лишь в двух московских гимназиях) по программам мужских гимназий, отсутствовала «процентная норма» и осуществлялись многие педагогические эксперименты. Андрей Николаевич очень гордился своей гимназией. «Организация занятий была своеобразна, -вспоминал он, - одно время я мог заниматься математикой на класс старше, чем другими предметами». Петр Саввич Кузнецов писал, что, несмотря на то, что Колмогоров был на три класса моложе, он помогал ему решать арифметические задачи, а Кузнецов -лучший латинист в классе - помогал Колмогорову по латыни.

В гимназии работали очень хорошие учителя. Андрей Николаевич с благодарностью вспоминал преподавательницу литературы и русского языка Т.В. Сапожникову и ее сестру Н.В. Сапожникову, учительницу химии и географии. Математику преподавал Николай Александрович Глаголев (брат профессора Московского университета Нила Александровича Глаголева). Его сменила (после того как Николая Александровича призвали в армию) А.Н. Цветкова - ученица видного московского геометра А.К. Власова (одного из профессоров Московского университета, его Колмогоров причислял к числу своих учителей).

Очень много дала своим ученикам Н.А. Строганова, получившая образование в Париже и преподававшая французский язык. Она знакомила их с произведениями классической и современной французской литературы, учила художественному переводу, вела

философские и этические беседы на французском языке. Быть может, она привила своему ученику Андрею Колмогорову любовь к Франции, любовь, которую он пронес через всю свою жизнь. Историю преподавала ученица крупнейшего историка С.В. Бахрушина - Заозерская. «Желающим заниматься историей она давала очень много в смысле подлинно научного духа», - говорил о ней Андрей Николаевич. Софья Николаевна Нюберг, мать его школьного друга, преподавала латынь. Она не ограничивалась чтением текстов, а сопровождала их рассказами о римской культуре и истории, давала психологические портреты ее деятелей, поэтов и ученых.

В гимназии царил дух свободы, и преподаватели старались заметить и поддержать всякие ростки одаренности. Эта школа была у начальства на подозрении и все время находилась под угрозой закрытия. В силу этого «отличные успехи на экзаменах с представителями от округа воспринимались всеми нами, как дело долга и чести», - писал впоследствии Андрей Николаевич.

В гимназии Репман училось совсем немного учеников, просуществовала она недолго, но из нее вышло несколько видных ученых: академики А.Н. Колмогоров, В.А. Трапезников, Л.В. Черепнин, член-корреспондент АН СССР В.Г. Богоров, академик одной из американских академий Г. Кротков, профессора Д.Д. Ромашов, Н.Д. Нюберг и другие. В этой же школе училась Анна Дмитриевна Егорова (1903-1988) - дочь известного русского историка члена-корреспондента АН СССР Дмитрия Николаевича Егорова, ставшая в 1942 г. женой Андрея Николаевича.

Андрей Николаевич на всю жизнь сохранил чувство глубокой признательности к своей школе, своим учителям и особенно «семейству Репман». Он упоминал о своей школе в любой своей автобиографии и всякий раз, когда рассказывал о своих ранних годах. После смерти Андрея Николаевича среди его бумаг было найдено прошение в какую-то инстанцию оказать содействие брату Евгении Арнольдовны Репман и его жене, находившимся в бедственном положении. При этом Андрей Николаевич не преминул выразить свою признательность «семейству Репман», которому считал себя очень многим обязанным.

Хочу привести воспоминание жены Андрея Николаевича -Анны Дмитриевны. Андрей был очень сосредоточенным, постоянно о чем-то думающим мальчиком, сторонившимся шалостей и детских игр. Он был на вид неспортивным и бледным-бледным, так что сквозь кожу лица можно было разглядеть кровеносные сосудики. Тем более потряс Анну Дмитриевну вид Андрея Николаевича, когда они встретились через много лет. Он только что вернулся с юга, загорелый, стремительный и крепкий...

Впрочем, нельзя все-таки сказать, что Андрей совсем не принимал участия в школьных шалостях. В основном учителя гимназии Репман были очень опытными педагогами. За одним исключением - молоденькой учительницы физики Елены Николаевны Боковой, которая была едва старше своих учеников. Конечно, в понимании физики Андрей превосходил свою неопытную учительницу. И постоянно (к всеобщему удовольствию товарищей и к неописуемому огорчению учительницы) проделывал такой «аттракцион». Он поднимался и сообщал, что придумал вечный двигатель. (В школе царил дух свободы, и не дать гимназисту высказаться считалось недопустимым). Он выходил к доске и описывал свой «прибор», как правило, весьма хитроумный, и найти «ошибку» было очень затруднительно. Учительница что-то пробовала возражать, но ее аргументы легко разбивались. Время шло, ученики были в восторге, а учительница чуть не плакала, проклиная, должно быть, тот час, когда связала свою жизнь со школой.

Прошли годы, десятилетия... Бывшие ученики собирались у своей любимой, некогда молодой, а теперь уже постаревшей учительницы 3 июня, в день ее именин. Они приходили к ней в течение почти 60 лет, и она хранила их в своем сердце и не давала умереть памяти в них самих. Имя Андрея Николаевича произносилось там с благоговением, а старая учительница всегда с улыбкой рассказывала о переживаниях своей молодости, в которых он был «виновником».

В школьные годы начали складываться первые глубокие дружеские связи. И прежде всего - с братьями Селиверстовыми - Глебом и Николаем, в особенности с Глебом. Памяти Глеба Александровича Селиверстова Андрей Николаевич посвятил статью в журнале «Успехи математических наук», где вспомнил о своем друге в 25-ю годовщину окончания Великой Отечественной войны. Статья начинается так: «Глеб Александрович Селиверстов родился 24 июля 1905 года в г. Иркутске. Отец его, талантливый инженер Александр Николаевич Селиверстов, работал тогда на строительстве транссибирской железной дороги». Его более узкой специальностью была теория теплообмена, и Андрей Николаевич с удовольствием рассказывал об исследованиях Александра Николаевича, посвященных теплообмену человеческого тела с окружающей средой. Александр Николаевич ставил эксперименты на себе, измеряя температуру между телом и нижним бельем, между нижним бельем и сорочкой, между сорочкой и фуфайкой, между фуфайкой и жилеткой, между жилеткой и пиджаком, наконец, между пиджаком и пальто, и все это рассматривалось как функция от внешней температуры.

Сын Александра Николаевича Глеб в средней школе «проявлял хорошие способности, но более отличался живостью характера, мастерским умением лазать по водосточным трубам и шалостями». Прервем на время эту цитату.

Андрей Николаевич получил сугубо домашнее, и притом женское, воспитание и вел себя в детстве, как скромный домашний мальчик. И, наверное, потому он с таким восхищением всегда вспоминал о тех чертах личности Глеба Селиверстова, которых был лишен сам, - о его удали, озорстве, ловкости, спортивности. Вот несколько эпизодов.

Андрея Николаевича очень кутали в детстве, и он, разумеется, не мог ослушаться и ходил в шарфах, валенках, варежках, зимних пальто с меховыми воротниками. Глеб же приходил в гимназию раздетым - без шапки и пальто. Разумеется, он надевал их перед уходом, но в сенях в доме Селиверстовых был какой-то огромный сундук, и он тут же засовывал все свои одежки туда и убегал раздетый. Однажды он залез на крышу через чердак и строил рожи девочкам, учившимся в женской гимназии, расположенной в доме напротив. Это продолжалось довольно долго, и воспитательница женской гимназии успела не только заметить это, но и пожаловаться Е.А. Репман. Та вышла на улицу, убедилась в истинности происходящего, поднялась и села у двери, ведущей на чердак, - именно так попал на крышу Глеб Селиверстов, - по-видимому, чтобы прочитать ему нотацию. Но осуществить свой замысел Евгении Арнольдовне не удалось. Глеб увидел свою директрису и, предугадав ее дальнейшие действия, спустился по водосточной трубе на улицу. Евгения Арнольдовна обычно к концу уроков выходила во двор попрощаться со своими учениками. Она вышла и в этот раз. Ученики стояли и ждали, каков будет конец этой истории. И вот выходит Глеб - сама скромность, он идет, как примерный паинька, проходит мимо своей директрисы и с почтительным поклоном снимает свой картузик. Ученики едва сдерживают хохот. Но (старые времена!) и Евгения Арнольдовна оказалась достойной соперницей - ни движением глаза она не дала знать о своих чувствах и своих намерениях!

Одно из самых светлых воспоминаний моей жизни. Июнь 1960 г. Раннее утро. Только-только взошло солнце. Мы выбрались из палатки, стоящей среди цветущей черемухи на берегу волшебного Яндом-озера в Карелии. Разожгли костер. Поставили кипятить воду на суп и чай. Зашел спор литературе, о судьбе романа. Андрей Николаевич считал роман высшей формой прозы и предрекал ему светлое будущее, я возражал и говорил, что классическому роману уже не суждено возродиться и что вообще искусство имеет свои пределы. И тогда

Андрей Николаевич сказал: «А что Вы скажете о такой судьбе, разве она не роман? Я говорю о своем друге Глебе Селиверстове. Представьте себе живого мальчика из интеллигентной и высококультурной семьи. Далее шли рассказанные эпизоды с «водосточными трубами», затем - я частично буду использовать текст из упомянутой статьи в УМН - Глеб поступает в Университет и активно работает в исследовательском семинаре В.В. Степанова, «где сразу проявил способность не только разбираться в современной научной литературе, но и преодолевать значительные трудности как самостоятельный исследователь (...). И у меня, и, я думаю, у всех учеников В.В. Степанова и Н.Н. Лузина того времени сохранилось представление о Г.А. Селиверстове как о математике очень большой силы с несомненным крупным научным будущим. Но человеческие судьбы более капризны, чем такие прогнозы. Увлекающейся натуре Г.А. Селиверстова было тесно в рамках чистой математики. Одно время он занимался в студии киноактеров, что по тем временам в особенности требовало уменья прыгать через ряд стульев и тому подобных акробатических достижений. Потом он очень серьезно увлекся театром. Глубоко изучал философию. Необычным по нашим временам образом [писано, повторяю, в 1970 г. - В.Т.] имел очень горячие религиозные увлечения».

Глеб Селиверстов посещал кружок, в котором жаждал получить нравственную опору. Но это продолжалось недолго. Андрей Николаевич говорил тогда мне, что руководитель кружка, тот самый нравственный авторитет, на который желал опереться Селиверстов, оказался осведомителем. Глеба и других членов кружка арестовали. Это стало для Глеба страшным душевным потрясением. Годы пребывания в тюрьме. Освобождение перед самой войной. Попытка найти себя в инженерной деятельности. Затем фронт. Плен. Побег. Наш «проверочный» лагерь. И смерть там от дизентерии.

Так и соединились в моей памяти это прекрасное утро и эта трагическая судьба...

Среди других школьных друзей Андрея Николаевича -Сергей Мусатов, художник, Николай Нюберг (сын С.Н. Нюберг), ставший видным специалистом по цветному зрению, Дмитрий Ромашов, в будущем выдающийся биолог, Валентин Бочаров, Кристя Кроткова. В письме Александрову от 17 мая 1943 г. Колмогоров пишет, что «Кристя Кроткова, Валя Бочаров и я образовывали триумвират, господствующий всецело в классе». Сейчас уже некого спросить, что это могло означать.

Очень советую прочитать это письмо4. Чтобы заинтриговать читателя, приведу лишь строки: «... я вздул [курсив мой. -В.Т.] Борю Попова, а Кристя - Мишу Шмелькина».

«В 11-12 лет я затратил немало труда, - писал Андрей Николаевич, - на собирание сведений о необитаемых островах южных океанов, так как собирался навербовать выходцев из разных стран и организовать на этих островах идеальное государство, для которого мною была написана даже конституция».

В возрасте 13-14 лет по энциклопедии Брокгауза и Ефрона мальчик изучает высшую математику. Увлекается шахматами, ходит на шахматные кружки, начинает ощущать свою силу. Но вскоре бросает шахматы навсегда. Мечтает быть лесоводом.

В цитировавшемся выше письме Александрову есть еще и такие строки: «Весь период 1914-1917 годов вмещал, впрочем, еще:

чтение по энциклопедии Брокгауза о пантеизме, манихействе, Францизске Ассизском и т.п. соответственные молитвенные и экстатические состояния (весна 1915 года);

увлечение стихами Соловьева и Гамсуна (я пробовал тогда читать “Пана”, особенно по поводу пантеизма, но кроме описаний природы, там ничего не воспринял).

Первое увлечение наукой при чтении «Жизни растений» Тимирязева (осень 1915). Более раннее увлечение арифметическими задачами не рассматривалось как увлечение наукой, а просто, как род спорта. Увлечение историей с Колей Селиверстовым (1916-1917)».

Но вот наступил 1917 г., и, как пишет Андрей Николаевич, «мы все, товарищи по школе, вдруг стали взрослыми».

В 1917 г. Андрею Николаевичу исполнилось 14 лет. Очень много раз, говоря о себе, он называл эту цифру - 14. Так он обозначал ту стадию духовного развития, на которой он (так он про себя говорил) остановился (см. об этом также в воспоминаниях В.И. Арнольда в книге5; у Арнольда, впрочем, названа цифра 13). Этот год - это не только рубежный год мировой истории, но и знаменательнейший год в жизни Андрея Николаевича - год его духовного созревания. Андрей Николаевич говорил мне, что предвидел будущие трагические катаклизмы, но считал их неизбежной исторической данью, которое человечество платит (неизвестно, впрочем, кому) за движение вперед. В выборах в Учредительное Собрание, Колмогоров участвовал, агитируя за список № 6 - плехановское «Единство».

4 Колмогоров. Юбилейное издание. В 3-х кн. Кн. 2. «Этих строк бегущих тесьма». Избр. места из переписки А.Н. Колмогорова и П.С. Александрова. М.: Физматлит, 2003. С. 604-605.

5 Колмогоров в воспоминаниях учеников.

Поступление в МГУ

Первую половину 1920 г. работал на железной дороге Москва-Свердловск [так написано у Колмогорова, в 1920 г. город назывался Екатеринбургом - В.Т.]. Осенью 1920 г. поступил в Московский Гос. Университет на физико-математический факультет. (Из автобиографии А.Н. Колмогорова)

В начале 20-х годов жизнь была очень трудной. Андрей Николаевич вынужден был искать себе заработок. Он устроился работать на железной дороге библиотекарем (а заодно и истопником) в составе, курсировавшем по маршруту Казань-Екатеринбург. Вагон с библиотекой оставлялся на некоторое время на какой-нибудь станции, и там открывалась библиотека. Андрей Николаевич выдавал книги, убирал вагон, отапливал его. У него сохранилось множество воспоминаний о той поре. О том, как ему приходилось доставать дрова, о драках с мешочниками, атаковывавшими вагон... Во время своих поездок он продолжал при этом углубленно заниматься, готовясь сдать экстерном за среднюю школу.

Летом 1920 г. Колмогоров возвращается в Москву. Школа (23-я школа второй ступени - так называлась теперь гимназия Репман) была на выезде за городом. Андрей Николаевич отправился туда. Встретил учителей, выразил готовность сдавать экзамены. Ему сказали - после обеда. Пообедал. И тогда ему вручили справку об окончании школы, не задав ни единого вопроса. Это было для него разочарованием и огорчением: он не мог даже вообразить, что аттестат можно получить, не сдав никаких экзаменов.

Встал вопрос, куда пойти учиться. О колебаниях Андрея Николаевича в выборе профессии, о его первой работе по истории, много написано и им самим тоже.

Свою научную деятельность Колмогоров начинает как историк. Увлечение «историей было настолько сильным, - писал он впоследствии, - что первым научным докладом, который я сделал, был доклад на семинаре С.В. Бахрушина о новгородском землевладении. В докладе этом, впрочем, использовались (при анализе писцовых книг XV-XVI веков) некоторые приемы математической теории». Колмогоров смог извлечь из писцовых книг ту историческую информацию, которую историки не умели в них разглядеть. Во-первых, он показал, что писцы записывали в книги не только «глав семейств» (как считало тогда большинство историков), а категорию лиц, значительно более широкую. А во-вторых, им было (как он считал) доказано, что оброк писцами

налагался в значительной доле случаев не на отдельные дворы, а целиком на все поселение.

С.В. Бахрушин признал ценность этой работы и ободрил молодого исследователя. Но когда юноша спросил профессора, нельзя ли ему опубликовать итоги своих исследований, он получил такой ответ: «Ну что Вы, молодой человек! Вы же нашли пока только одно доказательство. Для историка этого мало. Нужно, по меньшей мере, пять доказательств». Возможно, что разочарование, испытанное в эту минуту, повлияло на его дальнейшую судьбу, и он стал заниматься математикой, где достаточно одного доказательства.

После кончины Андрея Николаевича в его архиве была найдена его рукопись по истории новгородского землевладения. Она была опубликована. В предисловии к этой книге известный историк академик В. Л. Янин дал очень высокую оценку этой работе Колмогорова. «Будь работа Андрея Николаевича издана вскоре после ее написания, наши знания сегодня были бы полнее, и главное, точнее (...). История потеряла гениального исследователя, математика навсегда приобрела его».

Андрей Николаевич мечтал стать ученым, но в те годы это не было, по его словам, массовой профессией, и он стремится подыскать себе на будущее какой-то род инженерной деятельности. Он долго обдумывал разные проекты и, наконец, остановился на том, чтобы избрать профессию металлурга. После долгих размышлений А.Н. решил поступить на физико-математический факультет Московского университета (куда принимали всех желающих) и одновременно на металлургический факультет Менделеевского химико-технологического института. Там нужно было проходить собеседование. Документы принимал ректор. Он спросил, чему равен логарифм единицы. Несколько опешив от тривиальности вопроса, Колмогоров ответил. Тогда последовал вопрос о решении треугольников. Когда Андрей Николаевич рассказывал мне об этом, он предполагал, что я знаю какие-то особые формулы решения треугольников при наличии малых углов, о которых он и стал рассказывать. Но я их не знал и потому не запомнил. Знал ли эти формулы ректор, осталось неясным, но он, не дав абитуриенту закончить, сказал, что принимает его. Никаких особенных воспоминаний о менделеевском институте у Андрея Николаевича не сохранилось. Он лишь раз рассказал мне о том, что честно выполнял физический практикум и намерил нечто далекое от истины и это привело к затруднениям при сдаче зачета, а его товарищи, зная ответ, писали этот ответ, ничего не измеряя, и получали зачет без всяких проблем. Прозанимался Андрей Николаевич в Менделеевском институте около двух

месяцев. «Интерес к математике перевесил сомнения в актуальности профессии математика». С 1920 г. вся деятельность Андрея Николаевича связана с Московским университетом.

Студенческая пора

В 1922 году под руководством В.В. Степанова и Н.Н. Лузина начал самостоятельные научные исследования. К окончанию университета имел около пятнадцати печатных научных трудов по теории функций действительного переменного. (Из автобиографии А.Н. Колмогорова)

Моими первыми руководителями в университете были, кроме В.В. Степанова, А.К. Власов, П.С. Александров, П.С. Урысон. Несколько позднее я стал учеником Н.Н. Лузина.

(Из статьи «Как я стал математиком»).

О своих первых университетских годах Андрей Николаевич рассказывал так:

«Я поступил в Московский университет с довольно большими знаниями по математике. Из книжек «Новые идеи в математике» я знал, в частности, начала теории множеств. Многие вопросы я изучал по энциклопедии Брокгауза и Ефрона, восстанавливая самостоятельно то, что в этих статьях написано слишком кратко. В те годы студенческая стипендия имела очень небольшую материальную ценность, но студенты второго курса получали, кроме стипендии, паек, состоящий из пуда (16 кг) печеного хлеба и килограмма масла (будет ли это масло растительным или коровьим, зависело от последнего слова науки - сначала было растительное масло, а потом сливочное). Поэтому первым делом, которым я занялся, была сдача минимума экзаменов, позволявшая перейти на второй курс (обязательного посещения лекций тогда не было).

Я выбрал для слушания в первый год курсы теории множеств Ивана Ивановича Жегалкина и проективной геометрии (занимавшей меня еще до университета), которую читал Алексей Константинович Власов».

Главным учителем Андрея Николаевича Колмогорова стал Николай Николаевич Лузин, родоначальник московской математической школы, но прежде чем рассказывать о нем, надо упомянуть нескольких математиков, оказавших влияние на начальный период творчества Колмогорова.

Первый доклад на студенческом математическом кружке был связан с любопытным эпизодом, случившимся в 1920 г., который уже в конце своей жизни А.Н. Колмогоров описал так:

«Теорию аналитических функций в тот год читали два лектора: Болеслав Корнелиевич Млодзеевский и Николай Николаевич Лузин. Лекции Николая Николаевича в принципе посещались всеми членами Лузитании (так называли себя ученики Лузина), включая старшекурсников и даже доцентов.

С курсом Лузина связано первое мое достижение, после которого на меня было обращено некоторое внимание. Николай Николаевич любил импровизировать на лекциях. На лекции, посвященной доказательству теоремы Коши, ему пришло в голову использовать такую лемму:

Пусть квадрат разделен на конечное число квадратов. Тогда для любой константы С найдется такое число С, что для всякой кривой длины, не большей С, сумма периметров, задевающих кривую квадратов, не больше С Через две недели я обратился к председателю студенческого математического кружка Семену Самсоновичу Ковнеру с небольшой рукописью, где это утверждение было опровергнуто».

В своей статье «Научный руководитель», посвященной П.С. Урысону, Андрей Николаевич пишет:

«Хотя мое достижение было довольно детским, оно сделало меня известным кругу лузитанцев, от которого я стоял, впрочем, несколько в стороне, колеблясь между культивировавшимися в их среде интересами, возникшим ранее увлечением проективной геометрией (которую старомодно, но подлинно талантливо читал Алексей Константинович Власов) и смутным желанием заниматься математикой, имеющей широкие выходы в физику и естествознание».

Рукопись, с построением контрпримера к лузинской гипотезе, датированная 4 января 1921 г., была найдена в бумагах Колмогорова6. На докладе Колмогорова на математическом кружке присутствовали некоторые лузитанцы, в частности Л.А. Люстерник и П.С. Урысон. Доклад Колмогорова понравился Урысону. Люстерник вспоминал, что тот во время доклада тихо произнес, обращаясь к Лазарю Ароновичу: «Молодец, чисто делает!» После доклада он подошел к Андрею Николаевичу и, сказав, что у Николая Николаевича сейчас слишком много учеников, предложил заниматься у него.

Павел Сергеевич Александров вспоминал другое: «На одной из лекций П.С. Урысона Андрей Николаевич заметил ошибку в сложных построениях П.С. в его доказательстве теоремы о размерности трехмерного пространства. Ошибку Урысон на другой же день исправил, но острота математического восприятия, про-

6 См.: Доклад математическому кружку о квадрильяже // Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005. С. 403-405.

явленная восемнадцатилетним студентом Колмогоровым, произвела на него большое впечатление».

Андрей Николаевич охотно согласился на предложение Урысона стать его научным руководителем. «Много раз, - пишет он, - приходил я к Павлу Самуиловичу в его комнату в Старопименовском переулке, где кроме кровати и маленького рабочего столика помещались лишь кресло и один стул. Беседы касались самых разных областей математики».

Жизнь Павла Самуиловича Урысона трагически оборвалась, когда ему было всего 26 лет, но имя его известно каждому математику - столь фундаментальным явился его вклад в науку. У Павла Урысона была сестра Лина. Их мать скончалась очень рано, и Лина Самойловна Нейман, впоследствии известная детская писательница, заменила мать своему младшему брату.

Павел очень рано стал проявлять интерес к науке. Будучи еще гимназистом, стал сотрудничать в лаборатории одного из крупнейших физиков того времени - П.П. Лазарева и сделал интересную работу, по которой опубликовал статью. Но поступить в Московский университет он не мог из-за процентной нормы. Лина Самойловна обратилась тогда с личным письмом к министру просвещения с просьбой учесть замечательные способности своего брата и его глубокий интерес к науке. Ее просьба была удовлетворена, и Павел Урысон стал студентом Московского университета. Лина Самойловна посвятила своему любимому брату книгу7. Туда она включила несколько статей математиков, в частности статью Колмогорова с воспоминаниями о Павле Самуиловиче. Оттуда я взял приведенную выше цитату.

После смерти Урысона отец, поселившись вместе с дочерью, передал квартиру, в которой жил до своей гибели Павел Самуилович вместе с сестрой, Павлу Сергеевичу Александрову. Впоследствии в этой квартире номер 5 дома 8 по Старопименовскому переулку стал жить и Андрей Николаевич Колмогоров. Мне посчастливилось побывать в этой квартире и видеть обстановку, сохранившуюся с тех самых времен, когда в этой квартире жил Павел Самуилович Урысон. Хорошо бы открыть на стене этого дома мемориальную доску в честь трех выдающихся математиков XX в.!

Андрей Николаевич не смог продвинуться в решении задач, поставленных П.С. Урысоном (речь шла о ряде вопросов вокруг проблемы Пуанкаре о трех геодезических). «Зато мои занятия абстрактной теорией множеств, - писал много позже Андрей Николаевич, - возбужденные слушанием лекций П.С. Александрова, привели меня к замыслу весьма общей "теории операций над

7 Нейман Л. Радость открытия. М.: Детская литература, 1972.

множествами". Убедившись, что это направление исследований занимает меня больше всего, Павел Самуилович отправил меня к П.С. Александрову». Тогда и произошло первое знакомство Александрова и Колмогорова.

Андрей Николаевич так вспоминал об их первой научной беседе: «Мне запомнились вытащенные откуда-то Павлом Сергеевичем огромные листы бумаги со схемами образования множеств все более высоких классов, созерцание которых, в конце концов, привело Павла Сергеевича к тому результату, что все В-множества любого класса являются А-множествами».

Теперь пришло время сказать о московской математической школе и ее основателях - Егорове и Лузине.

Егоров и Лузин

В середине второго десятилетия прошлого века родилась математическая школа Николая Николаевича Лузина, составившая ядро московской математической школы, а точнее, математической школы Московского университета.

Феномен этой школы поражает. В предшествующие ее рождению десятилетия в Москве развивалось только одно (причем достаточно узкое) математическое направление в дифференциальной геометрии - изгибание поверхностей (которое начал культивировать Карл Михайлович Петерсон8) и еще некоторые разделы классической механики. В становлении механики в нашей стране огромную роль сыграл Николай Егорович Жуковский. Дифференциальной геометрии принадлежали интересы, безусловно, самого крупного московского математика того времени - Дмитрия Федоровича Егорова. В начале 10-х годов прошлого столетия в Московском университете работал лишь один семинар. Это был семинар Д.Ф. Егорова, называвшийся «математический семинарий» (слово «семинар» получило права гражданства в Московском университете только в 20-е годы). В 30-е годы число семинаров исчислялось уже десятками, а в 50-е - перевалило за сотню!

В середине второго десятилетия прошлого века московское научное сообщество резко изменило область своих интересов и пошло по пути, намеченному французскими математиками -Э. Борелем, Р. Бэром и А. Лебегом. В течение каких-то семи лет выдвинулась целая плеяда выдающихся исследователей:

8 К.М. Петерсон приехал в Москву из Риги и преподавал в одной из московских гимназий; он был учеником Ф.Миндинга и принадлежал, по сути дела, немецкой школе дифференциальной геометрии.

П.С. Александров, H.K. Бари, А.Н. Колмогоров, М.А. Лаврентьев, Л.А. Люстерник, Д.Е. Меньшов, Л.В. Келдыш, П.С. Новиков, И.Г. Петровский, М.Я. Суслин, П.С. Урысон, А.Я. Хинчин, Л.Г. Шнирельман. Все, кроме Петровского, учителем которого был Егоров, являлись учениками Лузина. Под влиянием Лузина стали работать и математики старшего поколения - В.В. Голубев, И.И. Привалов, В.В. Степанов и другие.

Каждый из учеников Николая Николаевича выбрал затем свой собственный путь, стал обретать своих учеников (достаточно назвать имена И.М. Гельфанда, А.И. Мальцева, С.М. Никольского (учеников А.Н. Колмогорова), Л.С. Понтрягина и А.Н. Тихонова (учеников П.С. Александрова) и к середине 30-х годов математическая школа Московского университета (школа одного университета!), стала сравнимой с крупнейшими мировыми математическими школами. Не будет большим преувеличением сказать, что она заняла лидирующее положение во всем математическом мире: такого соцветия выдающихся математиков не было нигде.

Как же объяснить это беспрецедентное явление? Тому были и всемирные, так сказать, глобальные причины и причины, связанные с деятельностью одного только человека. Февральская революция 1917 г. была положительно воспринята многими представителями русской интеллигенции. Надежды на то, что осуществятся идеалы свободы и справедливости, воодушевляли и склоняли к творчеству, в частности, к научному творчеству.

Другая причина - сам Николай Николаевич Лузин. Но надо обязательно чуть подробнее рассказать и об учителе Лузина -Егорове.

Дмитрий Федорович Егоров родился в 1869 г. в Москве. Он окончил Московский университет в 1891 г., с 1893 г. преподавал в университете, в 1903 г. получил профессорское звание. Был президентом Московского математического общества с 1923 г. по 1930 г. (в 1930 г. Егоров был арестован, но оставался президентом Общества).

Д.Ф. Егоров был глубоко верующим человеком и носителем исключительно высоких нравственных принципов. Нет свидетельств тому, чтобы он когда-либо кривил душой; он твердо, не сгибаясь, отстаивал свои убеждения. Воспроизвожу несколько рассказов, слышанных лично мною.

В те годы не хватало помещений, и в некоторых вузах занятия велись в опустевших церквях. Егоров (он имел педагогическую нагрузку не только в Московском университете) отказался вести занятия в храмах божьих. И, как это ни удивительно, власти не посмели настаивать на своем.

Егоров вполне осознавал трагические последствия тоталитарной идеологии и всеми силами старался ей противостоять. В конце 20-х годов он подвергался жестокой критике за то, что не желал подчиниться новому режиму. На одном из публичных собраний ему был брошен упрек в том, что он реакционер и душитель свободы. Егоров бесстрашно возразил своим хулителям: «Это вы - душители свободы, свободы мысли!».

Как-то он среди других был вызван на собрание, специально устроенное для перевоспитания старых профессоров революционной молодежью. Все без исключения «перевоспитуемые» клялись в верности новой власти. Наконец, дошла очередь до Егорова. Ему был задан вопрос: «Каковы Ваши политические взгляды?» Егоров ответил: «Я не уверен, что буду понят этой аудиторией, но я считаю недостойным скрывать свои мысли. Я являюсь сторонником конституционной монархии». Можно представить себе реакцию аудитории, готовящейся к мировой революции!

(Последний рассказ я слышал от человека, обожженного войной, ревностного в прошлом члена партии. По всему предшествующему поведению этого человека можно было полагать, что он должен быть душою с ними, с молодыми, с вершителями «новой жизни». Но нет! В его тоне слышалось восхищение именно Егоровым, человеком, не сдавшимся, не согнувшимся, не предавшим своих убеждений).

Поведение Егорова было совершенно беспрецедентным, и трагический конец предрешен. В 1930 г. Егоров был арестован и вскоре сослан в Казань. В письме Александрову от 23 марта 1931 г. Колмогоров приводит лозунг на стене в университетской профессорской: «Долой егоровщину!»

Егоров умер 10 сентября 1931 г.

В доме Колмогорова в Комаровке висело несколько портретов в рамах, которые изготавливал он сам. Мне помнятся портреты Пушкина, Гёте, Гоголя, Анатоля Франса и Дмитрия Федоровича Егорова. (Портрета Лузина ни в Комаровке, ни в Москве и у Андрея Николаевича, и у Павла Сергеевича не было).

Егоров являл собой тип традиционного старого профессора. Он был сдержан, точен во всем, серьезен и замкнут. Его лекции, всегда тщательно продуманные, излагались в строгой манере.

Николай Николаевич Лузин, ученик Егорова, был человеком совсем другого склада. По строю своей личности он был романтиком и пророком. На лекциях часто импровизировал, давая возможность завороженной аудитории следить за свободным полетом своей мысли.

Лузин родился в 1883 г. в Томске. В гимназии математика была в числе нелюбимых им предметов. Родителям пришлось нанимать репетитора. Им оказался студент университета, увлеченный математикой. Этот юноша совершил переворот в душе своего ученика. Впоследствии Лузин писал: «Он приоткрыл передо мной математику не как систему механических знаний, заучиваемых наизусть, а как науку, поражающую воображение». Лузин поступает в Московский университет. «Блистательные лекции по чистой математике, - говорил он впоследствии, - оказали на меня огромное впечатление». Математика представилась ему как наука, полная заманчивых тайн. Он стал учеником Д.Ф. Егорова. В 1911 г. Егоров доказал одну из фундаментальных теорем теории функций, в которой развивалось учение Лебега. (Не привожу ее формулировку, она известна всем математикам). Егоров ознакомил Лузина с азами теории функций действительного переменного, и тот вывел из теоремы Егорова фундаментальное С-свойство измеримых функций. По окончании университета Лузин был оставлен «для подготовки к профессорскому званию», а затем Егоров направил его в заграничную командировку, сначала во Францию, а потом в Германию. В 1905-1906 и 1912-1914 гг. Лузин посещает Париж, в 1910-1912 гг. - Гёттинген. В Париже Лузин слушал лекции выдающихся математиков - А. Пуанкаре, Ж. Адамара, Э. Пикара, Г. Дарбу и многих других. Он имел плодотворные научные и личные контакты с Борелем, и особенно с Лебегом, к которому питал чувства благоговейного восхищения. Вернувшись в Москву, Лузин круто изменил стиль московской математической жизни.

Как же она начиналась - новая эра московской математики?

Вспоминается, как описывал это Дмитрий Евгеньевич Меньшов, один из выдающихся учеников Лузина первого поколения, крупнейший специалист в теории тригонометрических рядов. Как-то я присутствовал на встрече профессоров и преподавателей кафедры теории функций и функционального анализа со студентами в общежитии МГУ. Это случилось в год столетия со дня рождения Ленина. Дмитрия Евгеньевича (он был заведующим кафедрой) попросили рассказать о рождении Московской математической школы. Свой рассказ он начал так:

«Когда я поступил в Московский университет, Николай Николаевич Лузин был за границей. Но он договорился с Дмитрием Федоровичем Егоровым, что они вместе организуют семинарий для студентов. И в 1914 г. Дмитрий Федорович такой семинарий организовал. Он был посвящен числовым рядам. В следующем

году Николай Николаевич вернулся в Москву и начал руководить семинарием сам. В 1915 г. мы занимались функциональными рядами, а в 1916 г. - ортогональными рядами. А потом наступил тысяча девятьсот семнадцатый год. Это был очень памятный год в нашей жизни, в тот год произошло важнейшее событие, повлиявшее на всю нашу дальнейшую жизнь». Напрашивалась фраза о Ленине или о революции, но Меньшов закончил так: «Мы стали заниматься тригонометрическими рядами». Трудно вспоминать это без улыбки.

Лузин ввел совершенно новые методы работы с молодежью. Егоров на семинаре по числовым рядам раздавал литературу, студенты читали и потом рассказывали о прочитанном. Лузин же с самого начала стал ставить перед своими учениками проблемы высочайшего уровня, перед которыми пасовали маститые мировые ученые, ставил их перед юношами, едва переступившими порог университета.

Вот как описывает Павел Сергеевич Александров первую встречу со своим учителем, когда он был студентом 2-го курса. «Впечатление от этой встречи было, можно прямо это сказать, потрясающим, и я запомнил его на всю жизнь. Обратившись к нему после окончания лекции за советом, как мне заниматься математикой дальше, я был, прежде всего, поражен внимательностью и - не могу найти другого слова - уважением к собеседнику, - как ни странно звучит это слово, когда речь идет о беседе уже знаменитого, хотя и молодого еще, ученого с 18-летним студентом. Выслушав меня, Лузин посредством умело поставленных вопросов очень скоро разобрался в характере моих математических склонностей и сразу же в доступной мне форме обрисовал основные направления, которые он мог мне предложить для дальнейших занятий; очень осторожно он сам склонил меня к выбору одного из этих направлений и - как я могу теперь сказать - правильно».

Лузин поставил тогда перед Александровым проблему континуума для борелевских множеств - проблему, которая интересовала самого Лебега и которую тщетно пытались решать такие крупные математики, как У. Юнг и Ф. Хаусдорф. И летом 1915 г. студент Московского университета Павел Александров решил проблему, поставленную Лузиным. Об этом на закате своих дней П.С. Александров написал так: «Вообще же лето 1915 г. было одним из самых замечательных в моей жизни. Оно представляло собой один из моментов наивысшего жизненного подъема, который я когда-либо испытал. Дело в том, что в это лето я получил свой первый действительно замечательный результат: я решил проблему мощности бо-

релевских множеств и построил в связи с этим так называемую А-операцию»9.

Решение проблемы Лузина потребовало от Александрова предельного интеллектуального напряжения. Тогда и были созданы те «огромные листы бумаги», о которых вспоминал Колмогоров. Продолжим цитировать его слова: «Эти листы бумаги раскладывались по полу, и Павел Сергеевич вместе со мной ползал по ним, желая сделать наглядным получение ß-множеств». Впечатляющая картина!

В 1921 г., под воздействием курса П.С. Александрова и описанной встречи с ним, у 18-летнего юноши родился план по дескриптивной теории множеств, что послужило началом его творческой жизни.

Начальный этап творчества

Окончив в 1925 году университет, был оставлен в аспирантуре. Продолжая под руководством Н.Н. Лузина заниматься теорией функций действительного переменного, начал совместно с А.Я. Хинчиным работать в области теории вероятностей, сделавшейся моей основной узкой специальностью. (Из автобиографии А.Н. Колмогорова)

Андрей Николаевич Колмогоров учился в Московском университете с 1920 г. по 1925 г. Многие очевидцы вспоминали об этих годах как о мрачных и светлых одновременно. Нужда, неустроенность, голод, политический произвол и вместе с ними атмосфера творческого подъема, исканий и надежд.

Параллельно со своими занятиями с Урысоном и размышлениями о дескриптивной теории функций Андрей Николаевич занимается и метрической теорией функций. «В 1921-1923 гг. Вячеслав Васильевич Степанов вел семинар по теории тригонометрических рядов, в котором в качестве самых младших учеников занимались мы с Глебом Александровичем Селиверстовым.

9 Уточним: Александров фактически построил, но не определил самого понятия А-операции. Это сделал Суслин, который извлек из этого определения результат о существовании множеств, не являющихся борелевскими, результат, потрясший тогда всех и воспринимавшийся в Москве, по свидетельству Вячеслава Васильевича Степанова, как один из крупнейших математических результатов всемирного значения. Это историческое замечание пригодится нам в дальнейшем. Надо еще добавить, что одновременно с Александровым проблему мощности борелевских множеств решил и Хаусдорф. Подробно освещение этого круга вопросов см.: Тихомиров В.М. Рождение Московской математической школы и Франция // Историко-математические исследования, 2005. Вып. 9(44). С. 238-251.

Естественно, что особое внимание обращалось на проблемы, поставленные Николаем Николаевичем Лузиным. Среди таких проблем находилась и задача о том, сколь медленно могут убывать коэффициенты ряда Фурье-Лебега. Решение оказалось очень простым для рядов по косинусам10, так что мне неясно, почему оно не было найдено до меня. Однако, узнав об этом моем достижении, Н.Н. Лузин с некоторой торжественностью пригласил меня в число своих учеников».

Здесь разумно сказать о втором «изобретении» Лузина в области математического просвещения: он стал практиковать индивидуальные занятия с учениками. В неделе каждому ученику отводилось время для бесед с учителем. Андрею Николаевичу был выделен день посещения вместе с Игорем Николаевичем Хлодовским и Людмилой Всеволодной Келдыш.

И еще одно явление связано с именем Лузина. Он объединил своих учеников в замечательный, неповторимый коллектив. Вот что в 1977 г. написал об этом Павел Сергеевич Александров.

«Сформировавшаяся еще в 1914-1916 гг. группа старших учеников Н.Н. Лузина состояла из Д.Е. Меньшова, А.Я. Хинчина, М.Я. Суслина и меня. В 1919-1920 гг. она пополнилась рядом молодых математиков: П.С. Урысон, Л.А. Люстерник, М.А. Лаврентьев, Н.К. Бари, несколько других учеников и учениц Н.Н. Лузина. Так возник очень дружный коллектив, к которому вскоре присоединились два таких выдающихся математика, как А.Н. Колмогоров и Л.Г. Шнирельман. В этот коллектив сразу же включился из математиков более старшего поколения В.В. Степанов. Несколько позднее в этот коллектив вошли П.С. Новиков и Л.В. Келдыш. Так возникла знаменитая Лузитания - сообщество молодых математиков, спаянных не только тесными дружескими узами, но горячей любовью и живым бескорыстным интересом к математической науке. Лузитания сразу осознала себя как нечто целое и провозгласила себя “орденом” с “командором” Н.Н. Лузиным и “гроссмейстером” Д.Ф Егоровым. Лузитания была коллективом большого трудового, творческого и эмоционального подъема, отражавшего в “микрокосме” тогдашнего математического факультета Московского университета громадный и всеобъемлющий подъем, переживавшийся всей страной в те годы, в первые годы революции, годы становления новой жизни. Об этом особенно хочется вспомнить сейчас, в год 60-летия Великой Октябрьской социалистической революции.

Существенным элементом общения Н.Н. Лузина с учениками были встречи и беседы, которые Н.Н. Лузин имел с сов-

10 Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: С. 17-19.

сем небольшими группами (примерно 1-3 человека), занимавшимися какой-нибудь одной темой. Кроме того, был еженедельный общий приемный день для всех учеников Николая Николаевича. На этих еженедельных собраниях на дому Н.Н. Лузина, кроме непосредственных учеников Н.Н. Лузина, часто бывали В.В. Степанов и И.И. Привалов. Эти вечера Н.Н. Лузина состояли из двух частей: сначала была математическая часть в кабинете Николая Николаевича. (...) Никогда не забуду тех насыщенных самой живой математикой разговоров, которые тогда происходили. Эти разговоры иногда затягивались за полночь, но когда бы они ни кончались, за ними следовал чай с неизменным ореховым тортом. За этим чаем -уже не в кабинете, а в столовой квартиры Лузиных - разговоры принимали другой, нематематический характер и касались самых различных вопросов культурной жизни». Остановимся здесь.

Увы, в этих проникновенных словах сказана не вся правда. В статье П.С. Александрова «Лузинская математическая школа»11 восхитительно рассказано о рождении Лузитании, но нет ни намека на крушение лузитанского храма, под обломками которого оказался всенародно униженный его творец - Николай Николаевич Лузин.

Великая Октябрьская социалистическая революция не успела отпраздновать свой 62-летний юбилей, как Павел Сергеевич Александров в августе 1979 г. передал мне подготовленные к опубликованию в «Успехах математических наук» воспоминания о прожитой жизни12. Одно место в этих воспоминаниях настолько потрясло меня, что я всеми силами пытался по прочтении убедить Павла Сергеевича убрать его из статьи, но тщетно. Вот этот фрагмент:

«Узнав Лузина в эти самые ранние творческие годы, я узнал действительно вдохновенного учителя, жившего только наукой и только для нее. Я узнал человека, жившего в сфере, куда не проникает никакой тлетворный дух. Выйдя из этой сферы (а потом Лузин вышел из нее) человек попадает под влияние тех сил, о которых Гёте сказал:

Ihr fürst ins Leben uns hinein,

Ihr laßt den Armen Schuldig werden,

Dann überlaßt Ihr ihn der Pein,

Denn jede Schuld rächt sich auf Erden.

11 Квант. 1977. № 10. Эту во многих отношениях интересную статью можно найти в Интернете: http://kvant.minor0.vccvt.ru/rub/1.htm.

12 Они были опубликованы в: УМН. 1980. Т. 35. № 4.

Лузин в последние годы своей жизни до конца испил горькую чашу отмщения, о которой говорит Гёте». Дословный перевод стихотворения таков:

«Вы вводите нас в жизнь, Вы делаете беднягу виновным, Затем вы обрекаете его на муку, Ибо отмщается на Земле всякая вина».

Величественное здание, возведенное Октябрьской революцией, казалось, было построено на века, но спустя всего 13 лет после своего 60-летия, оно рухнуло даже не как Колосс на глиняных ногах, а как карточный домик. Так и воспетая Александровым Лузитания рухнула вскоре после своего рождения.

Я хочу высказать свою версию гибели Лузитании - это тоже урок, заслуживающий анализа, но и предварить этот анализ словами подзаголовка своей книги: Жизнь преисполненная счастья.

Надо сказать, что эти слова составляют лишь фрагмент текста, произнесенного Андреем Николаевичем. Здесь уместно воспроизвести полный текст: «Для меня эти пятьдесят три года нашей тесной и нерушимой дружбы явились основой того, что вся моя жизнь в целом оказалась преисполненной счастья, а основой моего благополучия явилась непрестанная заботливость со стороны Павла Сергеевича», Эти пронзительные слова обязывают меня (и всех, кому дорого имя Колмогорова) к сдержанности и осторожности в оценке слов и поступков Александрова, в частности касающихся Николая Николаевича Лузина.

Вернемся к словам Гёте. Можно верить в то, что великий поэт всегда прав, но ведь все мы были свидетелями многих судеб людей, совершавших тягчайшие преступления и при том удостоенных всевозможных наград и почестей, умерших в своей постели, не раскаявшихся и никак не отмщенных «auf Erden».

Оценивая поступки людей, стоит держать в голове гениальные строки Тютчева, любимого поэта Павла Сергеевича Александрова и Андрея Николаевича Колмогорова. Тютчев сказал об убийце Пушкина: «Будь прав или виновен он пред нашей правдою земною, навек он Высшим судиею в “цареубийцы” заклеймен».

Есть два суда, и поэт судит Дантеса от имени Высшего судии, допуская, что возможны аргументы в его пользу в суде земном. Так и здесь. Приведенные мною выше слова Александрова о своем учителе, по моему мнению, не совместимы с высшей моралью. Но я хочу выступить в его защиту, апеллируя к правде земной.

Между Лузиным и многими его учениками довольно скоро после первых успехов лузинской школы стали возникать нешу-

точные трения. Частично они были вызваны оборотной стороной тех методов, которыми Лузин стимулировал творчество своих учеников. Лузин культивировал в своей школе дух соперничества. Ученики Лузина стали получать выдающиеся результаты, и началось то, о чем П.С. Александров (в цитировавшейся выше статье) сказал так: «В недрах Московской (...) школы начался процесс формирования отдельных школ по различным областям математики. (...) Возникнув, они сразу, как новорожденные киты, зажили самостоятельной жизнью».

Таких «новорожденных китов» в природе не бывает. Мать долго вынашивает и потом, наверное, в муках, рождает свое единственное дитя, которое долго еще не может жить самостоятельной жизнью. У Лузина же «народилось» (и почти одновременно) множество научных детей, и они (тоже не сразу) но начинали следовать собственным личным и научным устремлениям. А Николай Николаевич, как мне представляется, упустил время отпустить своих детей в «свободное плавание». Он по инерции пробовал поучать и вразумлять свое «племя младое», и это стало вызывать их раздражение. Возможно, что одно из первых трагических столкновений такого рода произошло в Иваново-Вознесенске, куда в трудные годы Лузин с группой своих учеников, среди которых был Суслин, переехал из Москвы. Они стали преподавать в педагогическом институте. Лузин поручился в том, что Суслин выполнит некоторые обязательства перед институтом, а тот этого не сделал. А когда учитель стал в этом упрекать своего ученика, Суслин раздраженно сказал, что не нуждается в его нотациях, ибо не считает свой научный уровень ниже. Ученики, привыкшие к соперничеству, стали сравнивать свои достижения с достижениями своего учителя. Не в его пользу. Подобные сопоставления последовали и от других учеников (в «Деле Лузина»13 такие высказывания звучали многократно, и я сам слышал от Александрова: «А что собственно такого он [Лузин. - В.Т.] сделал?»).

По-видимому, особенно тягостно Лузину было ощущать недооценку своих усилий в осознании результата Суслина. Вот моя реконструкция этой психологической драмы.

Лузин предложил своему студенту Суслину изучить мемуары Лебега. Суслин обнаружил ошибку в рассуждении Лебега (который считал очевидным, что проекция борелевского множества - борелевское множество). Но Лузин был уверен в правоте лебеговой интуиции и попросил Суслина исправить ошибку математика, которого боготворил. Суслин, использовав конструкцию Александрова, доказал, что класс проекций

13 Дело академика Н.Н. Лузина. СПб.: РХГИ, 1999.

борелевских множеств шире класса борелевских множеств, опровергнув окончательно лебеговское утверждение. За новым классом множеств после некоторых перипетий (Суслин назвал их А-множествами, Лузин переименовал А-множества в аналитические множества) закрепилось имя их создателя: сейчас их именуют суслинскими множествами, Я уже упоминал о том, что этот результат Суслина стал восприниматься всеми московскими математиками как первый результат действительно международного класса, полученный в лузинской школе.

Первоначальное доказательство суслинской теоремы, изложенное в его дипломной работе, было, по-видимому, очень сложным. Лузин попробовал подойти к доказательству с другой стороны и преуспел в этом. Другой подход к теореме Суслина был опубликован одновременно со статьей автора этого результата. Но вклад Лузина не был оценен по достоинству, что привело к некоторому искажению представлений Лузина о сущности вещей. Он стал писать в своих сочинениях, что вообще и не Суслин и не он сам были авторами открытия нового класса множеств, а первым открыл его Лебег, который действительно задолго до Суслина построил некое множество, не подозревая о том, что оно может оказаться не борелевским, а оно таковым оказалось. Об этом лучше всех сказал сам Лебег в своем предисловии к книге Лузина «Проективные множества», изданной во Франции в 1929 г.14 Многие тексты Лузина 20-х и начала 30-х годов, касающиеся суслинского результата, производят действительно болезненное и тяжелое впечатление. Лузин как бы вычеркивает из истории достижения двух своих выдающихся учеников - М.Я. Суслина и П.С. Александрова.

В эти годы он нанес обиды и некоторым другим членам Лузитании, но особенно тяжело Лузин обидел Александрова, и это на протяжении последующих десятилетий порождало конфликтную ситуацию. И дело было не только в том, что Лузин в своих писаниях 20-х и 30-х годов не дал должной оценки первому и действительно выдающемуся результату Павла Сергеевича -все началось еще раньше.

Первое творческое достижение Александрова вызвало восхищение Лузина до такой степени, что он стал уверять Александрова в том, что тот избран судьбой решить величайшую мировую проблему, проблему континуума в ее самой общей постанов-

14 Читатель получит истинное удовольствие, если прочтет это предисловие или его перевод, опубликованный в УМН (1985. Т. 40. Вып. 3).

ке. Александров потратил невероятные усилия на то, чтобы доказать этот результат, но не добился успеха. Это повергло его в отчаяние настолько, что он бросил университет, уехал из Москвы и пробовал начать заниматься литературной и театральной деятельностью. Лузин никаким образом не поддержал своего ученика в тот тягчайший для него период депрессии и разочарования в своих возможностях, по сути дела вычеркнув его из числа близких к себе людей. Обо всем этом я слышал лично от самого Павла Сергеевича. Тогда я осознал, какой незаживающей раной для него было подобное отношение к нему учителя. Таково мое объяснение многому, случившемуся впоследствии, и потому земная правда не дает мне возможности оправдать одного из участников этой драмы, переложив всю вину на другого. Вернемся к Колмогорову.

В самом начале своего творческого пути А.Н. Колмогоров был целиком связан с кругом идей своего учителя. «Все мои первые работы, - писал он в конце жизни, - были посвящены темам, развивавшимся Николаем Николаевичем: тригонометрическим рядам, теории интегрирования, дескриптивной теории множеств и функций». Но распад Лузитании коснулся и его, и отношения Лузина с Колмогоровым также оказались нарушенными.

«В применении к своим ученикам, Н.Н. Лузин имел определенное представление о том, кто из них предназначен для работ по “метрике”, и кто для работ по дескрипции». Андрею Николаевичу было предназначено, по мнению его учителя, заниматься «метрикой». Однако начал он с дескрипции. В 1921 г., под воздействием курса лекций П.С. Александрова у Андрея Николаевича возникает план исследований по дескриптивной теории множеств. Он пишет большую работу, первую часть которой он завершает в январе, а вторую - в феврале 1922 г. Эти работы не были своевременно напечатаны. Возможно, это случилось потому, что Н.Н. Лузин счел неправильным, что юноша взялся за дескрипцию, а не за метрику, а возможно, еще и потому, что Лузин не оценил должным образом созданную Колмогоровым общую теорию. Работы Колмогорова по дескриптивной теории множеств были осознаны лишь в следующем десятилетии. Среди непосредственных продолжателей работ Колмогорова по дескриптивной теории множеств оказался Леонид Витальевич Канторович. (Во время одной из бесед со мной Леонид Витальевич назвал Андрея Николаевича в числе своих учителей). В 1930 г. Андрей Николаевич передал Канторовичу рукописи работ по дескриптивной теории функций. Ознакомившись с ними, Канторович пишет благодарственное письмо, в котором есть такие строки: «Вторая Ваша рукопись [1922 г. - В.Т.] произвела полный пере-

ворот в наших воззрениях на содержание проективных классов. (...) Особенно удивительно, что еще в 1922 году Вам были известны вещи, о которых совершенно не предполагал никто из занимавшихся этими вопросами»15.

В том же 1922 г. Андрей Николаевич начинает активно заниматься метрической теорией функций. Летом 1922 г. (рукопись датирована 2.6.1922) Колмогоров получает выдающийся результат - он строит почти всюду расходящийся ряд Фурье. Эта работа16 19-летнего юноши принадлежит к высшим достижениям лузинской школы. Она принесла ее автору всемирную известность.

Колмогоров занимается в студенческую пору также и теорией ортогональных рядов. «От всего периода занятий тригонометрическими и ортогональными рядами, - с благодарностью вспоминал Андрей Николаевич в конце своей жизни, - у меня остались самые светлые воспоминания о дружной работе коллектива, возглавлявшегося (после того как Н.Н. Лузин отошел от этой тематики) Дмитрием Евгеньевичем Меньшовым».

Альберту Эйнштейну принадлежат замечательные слова о Максе Планке, очень часто цитируемые. «Храм науки, - пишет Эйнштейн, - строение многосложное. Различны пребывающие в нем люди и приводящие их туда силы. Некоторые занимаются наукой с гордым чувством своего интеллектуального превосходства; для них наука является тем подходящим спортом, который должен им дать полноту жизни и удовлетворение честолюбия. Можно найти в храме и других: плоды своей мысли они приносят в жертву в утилитарных целях. Если бы посланный Богом ангел пришел в Храм и изгнал бы тех, кто принадлежит этим двум направлениям, то Храм катастрофически опустел бы. И все-таки кое-кто из людей, как прошлого, так и настоящего, в нем бы остался. К числу таких людей принадлежит наш Планк, поэтому мы его любим». Оглядываясь назад, невольно задумываешься о том, кто бы остался в Храме науки из твоих учителей и современников после того, как эйнштейновский ангел изгнал бы из него всех неверных. Большинство математиков моего поколения первым назовут Дмитрия Евгеньевича Меньшова, а некоторые не назовут вообще больше никого. Дмитрий Евгеньевич был рыцарем Науки, он и внешне (как будто мы можем это засвидетельствовать!) и всею сутью своей напоминал Дон Кихота, он был рыцарем, одухотворенным наукой.

15 Первая часть работы Колмогорова, написанной в 1922 г., была опубликована в 1928 г., а вторая - лишь в 1987 г.

16 Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. С. 13-17.

Возвращаясь к Колмогорову, разумеется, надо сказать, что, обучаясь на четвертом курсе, он начал исследования по теории вероятностей. Но прервемся на некоторое время с университетскими делами и расскажем о московской школе на Потылихе, где в студенческую пору преподавал Андрей Николаевич.

Потылиха (1922-1925)

С 1922 года параллельно с занятиями в университете преподавал математику в средней школе. (Из автобиографии А.Н. Колмогорова)

Много раз Андрей Николаевич рассказывал о годах своей юности. И всегда с особым удовольствием он описывал, как преподавал в школе. «В 1922-1925 годах потребность в дополнительном заработке к весьма маловесомой в то время стипендии привела меня в среднюю школу. Работу в Потылихинской опытно-показательной школе Наркомпроса РСФСР я вспоминаю теперь с большим удовольствием. Я преподавал математику и физику (тогда не боялись поручать преподавание двух предметов сразу девятнадцатилетним учителям) и принимал самое активное участие в жизни школы (был секретарем школьного совета и воспитателем в интернате)». Запомним: «был секретарем школьного совета».

Работа в потылихинской школе оказала очень большое влияние на всю последующую жизнь Андрея Николаевича. Ему было 19 лет, когда он начал преподавание, но ему сразу удалось завоевать признание и доверие своих школьников (в основном, детей фабричных рабочих) силой своего интеллекта. Он преподавал два труднейших предмета - математику и физику - и еще руководил кружком юных биологов. Андрей Николаевич рассказывал, что большое впечатление на своих школьников он произвел, принеся в школу номера «Comptes Rendus» и «Fundamenta Mathematicae» с напечатанными там своими статьями на иностранном языке.

Однако именно в потылихинской школе Андрею Николаевичу довелось испытать и очень большое огорчение. «В школьные годы я был довольно болезненным ребенком. На школьном дворе во время игр падал в обморок. Потылихинская школа, между прочим, оказала на меня в этом отношении некоторое действие. Молодому учителю очень хотелось быть популярным. Для этого мне не хватало именно физических возможностей. В те времена каждый класс школьников выбирал себе классного руководителя - такой был порядок в школе. И был у меня любимый класс,

про который я был совершенно уверен, что именно меня они выберут своим классным руководителем. И вдруг ко мне приходят и говорят, что они выбрали физкультурника! Потом педагогический совет им разъяснил, что физкультурник все-таки по положению не может быть классным руководителем. Тогда они второй раз собрались и выбрали меня. А на меня это произвело чрезвычайное впечатление и содействовало тому, что я постарался исправиться, побольше ходить на лыжах, плавать научился как следует и т.д.».

В 1924 г. Андрей Николаевич организует свой первый поход со школьниками - в Крым, и с той поры походы становятся важной частью всей его жизни.

В те годы проводилось множество экспериментов во всех областях жизни. Эксперименты в области образования («бригадный метод», «Дальтон-план» и другие) были впоследствии подвергнуты беспощадной критике и полностью отвергнуты. Как-то раз в нашей беседе речь зашла об этих педагогических опытах. Я ожидал сатирической критики, но этого не произошло: Андрей Николаевич находил в тех экспериментах и нечто положительное. Многое из того, что задумывалось в те первые послереволюционные годы, основывалось на убеждении, что коль скоро «бытие определяет сознание», и теперь вроде как «все принадлежит народу», можно рассчитывать на человеческую сознательность. Андрей Николаевич принадлежал к той части человечества, которой свойственны чувство долга, сознательность и ответственность. Для таких людей в тогдашних экспериментах можно было найти плодотворное зерно. Сам Андрей Николаевич не жаловал лекционную систему, предпочитая заниматься самостоятельно. Дальтон-план был предназначен для упорядочения такой самостоятельной работы. Но в целом такая система занятий не оправдала себя.

Я спрашивал Андрея Николаевича, что стало с его учениками из потылихинской школы. Он называл мне два имени. Это Юра Беклемишев, сын учительницы потылихинской школы, в будущем известный писатель Юрий Крымов, и Алеша Исаев. Родители Алеши и Юры и основали, собственно, школу, и молодой преподаватель Андрей Колмогоров был частым гостем в семействе Исаевых17. Чуть позже с Алешей Исаевым,

17 Об этом читатель может прочесть в книгах: Куприянов В.К., Чернышев В.В. И вечный старт. Сер. Творцы науки и техники. М.: Московский рабочий, 1988; Юрий Крымов в воспоминаниях, письмах, документах. М.: Советский писатель, 1988.

тогда уже студентом Горной академии, Петром Саввичем Кузнецовым и товарищем по университету Николаем Борисовичем Веденисовым (пропавшим без вести в 1941 г.) Андрей Николаевич совершил одно из интереснейших своих путешествий на русский Север, на реку Кулой, которую они прошли на долбленой лодке. Там, кстати, Колмогоров сделал одно открытие из области истории, высказав предположение, что колонизация верховьев Пинеги шла с Северной Двины на восток через водораздел, а не по реке от впадения ее через Северную Двину. Впоследствии это подтвердилось.

Как-то уже в 80-е годы, просматривая журнал «Новый мир», я наткнулся на фамилию «Колмогоров». Это были воспоминания Алексея Михайловича Исаева, советского конструктора авиационных и ракетных двигателей, сподвижника Королева, Героя Социалистического Труда, лауреата Ленинской и Государственных премий, человека, под руководством которого была разработана серия двигателей для космических кораблей «Восток», «Восход», «Союз» и автоматических межпланетных станций. Андрей Николаевич был, помню, обрадован этой информацией о своем ученике Алеше Исаеве, увы, в то время уже покойном.

След потылихинской школы в памяти Андрея Николаевича не стерся с годами. К первому тому Избранных трудов Колмогорова я подготовил биографическую справку о нем, где отобрал наиважнейшие, как мне виделось, факты его жизни18. Многими существенными деталями, в том числе очень лестными для Андрея Николаевича регалиями и званиями, ради краткости пришлось пожертвовать. Эти детали обсуждались, но Андрей Николаевич говорил: «Не надо». Но одно дополнение он все-таки сделал. Я упомянул о том, что он работал учителем в потылихинской школе (чтобы был естественный переход к его педагогической деятельности в 60-70-е годы). Андрей Николаевич вдруг с некоторой обидой на то, что я упустил нечто очень важное, воскликнул: «В школе, кроме того, руководил кружком юных биологов и являлся секретарем школьного совета!».

И еще. Осенью 1983 г. Александр Николаевич Марутян, снимавший в то время фильм «Рассказы о Колмогорове», брал интервью у Андрея Николаевича. Это интервью было потом опубликовано под названием, которое я не могу произносить без душевной скорби, - «Последнее интервью».

18 Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. С. 441.

В самом начале интервью речь заходит о выборе профессии, и Колмогоров говорит о том, что его увлекала перспектива стать директором школы. Этого не произошло, и интервьюер хочет уточнить: «Вы не рискнули, значит, испытывать себя в качестве директора школы?» «Да, - отвечает Андрей Николаевич и снова добавляет, - но я был секретарем школьного совета два с половиной года!»

Мне кажется, никакой своей премией и никаким административным постом он не гордился так, как этой должностью секретаря школьного совета.

Дальнейший жизненный путь Колмогорова мы разбиваем на десятилетия.

Глава II

Вехи жизненного пути

Десятилетие 1923 - 1932

Это было десятилетие восхождения к вершинам науки, и прежде всего это произошло в теории вероятностей, где к концу описываемого десятилетия Андрей Николаевич занял положение безусловного лидера в этой области математики.

Андрей Николаевич ступил на вероятностную стезю в 1924 г., когда началось его сотрудничество с Александром Яковлевичем Хинчиным. В 1925 г. была опубликована совместная работа Колмогорова и Хинчина «О сходимости рядов, члены которых определяются случаем»1. Уже в ней содержатся результаты, которые входят сейчас (по словам А.Н. Ширяева) «во все руководства по теории вероятностей». К числу таких результатов относится, например, такой критерий Колмогорова-Хинчина сходимости ряда:

Если величины случайны и независимы, их математические ожидания равны нулю, а ряд из их дисперсий сходится, то и сам ряд из случайных величин сходится почти наверное.

А затем на протяжении пятнадцати лет примерно раз в два года Колмогоров либо получает классический результат, либо открывает новое научное направление. Вот беглый обзор его исследований 1924-1932 гг.

1927 год. Получены во многом завершающие результаты в области закона больших чисел.

1929 год. Публикуется фундаментальная работа о применимости третьего из основных законов теории вероятностей - открытого в частных случаях А.Я. Хинчиным - закона повторного логарифма.

1930 год. Получен один из самых широко известных результатов Колмогорова по усиленному закону больших чисел, который через три года дополняется таким критерием: для того, чтобы для последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин арифметические средние сходились почти наверное, необходимо и достаточно, чтобы у ве-

1 Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 2. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Наука, 2005. С. 7-16.

личин было конечное математическое ожидание (если ожидание конечное, то средние сходятся к нему, если бесконечное - вообще расходятся).

1931 год. Выходит в свет знаменитая работа Колмогорова «Аналитические методы в теории вероятностей», о которой подробно рассказывается во второй части книги.

1932 год. Колмогоров описывает класс безгранично делимых случайных величин с конечной дисперсией. (Затем Поль Леви в 1934 г. освобождается от требования конечности дисперсии, а Хинчин в 1937 г. показывает, что результат Леви может быть получен методом Колмогорова, и теперь этот результат иногда называют формулой Колмогорова-Леви-Хинчина).

1932 год. Заканчивается работа над книгой «Основные понятия теории вероятностей». Эта книга совершила революцию в теории вероятностей. В 1933 г. она была издана в Германии, а через три года вышла на русском языке2.

В период между 1923 г. и 1932 г. Колмогоров опубликовал 35 работ. Это были работы, посвященные, в основном, дескриптивной и метрической теории множеств и функций и теории вероятностей3. Но хотелось бы выделить еще работу по математической логике «О принципе “tertium non datur”» и две работы по геометрии.

Статья «О принципе “tertium non datur”» (1925)4 - одна из советских работ по математической логике. Она заняла видное место в этой науке. Об этом можно судить, в частности, потому, что она была включена с высокой оценкой в известную хрестоматию ван Хейеноорта по логике «От Фреге до Геделя»5, в которой отмечается, что в колмогоровской статье дается «первое систематическое изучение интуиционистской логики». Колмогоров писал, что «построение в рамках интуиционистской логики различных разделов классической математики должно было служить для обоснования их непротиворечивости». Мне не доводилось разговаривать с Андреем Николаевичем по поводу этой работы и я не знаю, что послужило стимулом для нее. Можно полагать, что к этому его натолкнул некий общий широкий замысел продумать основания всей математики от ее логической базы до основных понятий, таких основополагающих как производная, мера, интеграл и т.п. Рабо-

2 Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005. С. 171-187; Мат. сб. 1936. Т. 1. С. 847-849.

3 Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика.

4 Там же. С. 51-73.

5 Heijenoort J. van. From Frege to Gödel Haward University Press, 1967.

ты Колмогорова по логике оказали впоследствии большое влияние на его ученика Анатолия Ивановича Мальцева.

Что же касается статей по геометрии (написанных по возвращении из командировки за границу и вышедших в 1932 г.), то на их создание оказал несомненное влияние гильбертовский подход к математике, основанный на аксиоматическом методе и думается, что сильное воздействие на направление мысли Андрея Николаевича оказало само пребывание в Геттингене.

В начале 30-х годов у Андрея Николаевича сложились тесные научные контакты со Львом Семеновичем Понтрягиным. Работа Колмогорова по проективной геометрии оставляла открытым очень интересный вопрос топологической алгебры, и Колмогоров поставил его перед Понтрягиным. «А.Н. Колмогоров оказал на меня существенное влияние, - пишет Лев Семенович в своих воспоминаниях, - прежде всего, как математик, как старший товарищ. Он поставил передо мной в 1930 г. одну интересную задачу из топологической алгебры, которой я к тому времени уже стал интересоваться в связи с теоремами двойственности типа Александера, которыми тогда занимался. А.Н. Колмогоров имел на этот раздел математики свой довольно общий взгляд, который он мне изложил. Колмогоров считал, что математические объекты, в которых определены одновременно алгебраические и топологические операции, должны быть сравнительно конкретными математическими объектами. На этом пути он пытался построить аксиоматику пространств постоянной кривизны6. Передо мной он поставил интересную конкретную задачу доказать, что локально-компактное, связное алгебраическое тело изморфно либо телу действительных чисел, либо телу комплексных чисел, либо телу кватернионов. Для случая коммутативных тел я решил задачу, к удивлению Колмогорова, очень быстро - за неделю или две. Но для случая некоммутативных тел мне потребовалось затратить около года. Однако работа была выполнена, и она принадлежит к числу лучших достижений моей молодости».

В описываемом нами десятилетии в жизни А.Н. Колмогорова произошли три важнейших события: по окончании аспирантуры он стал работать в Московском университете; в 1929 г. началась его дружба с Павлом Сергеевичем Александровым; в 1930-1931 гг. Андрей Николаевич был в девятимесячной заграничной командировке в Германии и Франции.

6 Речь идет о второй геометрической работе Колмогорова 30-х годов «О тополого-теоретико-групповом обосновании геометрии» (Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. С. 110-112); ее высоко оценил в своем докладе на конференции, посвященной столетию со дня рождения А.Н. Колмогорова, крупнейший немецкий математик второй половины прошлого столетия Ф. Хирцебрух.

По окончании аспирантуры сделался научным сотрудником НИИ математики и механики МГУ. По совместительству в 1929-1931 гг. заведовал кафедрой математики в Педагогическом институте им. Либкнехта. (Из автобиографии А.Н. Колмогорова)

Вопрос о месте работы оказался не столь простым. «В Институте математики и механики имелась на тот год одна вакансия старшего научного сотрудника. На эту вакансию, кроме меня, мог претендовать и один из математиков старшего поколения, а директор Института (Дмитрий Федорович Егоров), хотя и знал хорошо мои научные достижения, в вопросе о зачислении научных сотрудников считал обязательным следовать критерию старшинства. Мне лично представлялась привлекательной и другая возможность. В 1928 г. в Харькове был организован Украинский математический институт во главе с Сергеем Натановичем Бернштейном, находившемся тогда в зените своей международной славы и авторитета в СССР. Для этого института было выстроено уже специальное здание, но личный состав его еще надо было формировать. Я получил от Сергея Натановича предложение сделаться научным сотрудником этого института, причем по его плану началу моей работы должна была предшествовать годичная стажировка за границей, для чего он предпринял шаги для получения мной рокфеллеровской стипендии. Однако против такого решения с большой энергией восстал Павел Сергеевич, и в итоге ему удалось убедить Д.Ф. Егорова отдать предпочтение моей кандидатуре».

Сам Андрей Николаевич, рассказывая мне об этом событии, высказывал крайнее удивление тому, что Александрову удалось заставить Дмитрия Федоровича идти против своих убеждений. Из его слов следовало, что подобное было по плечу только Павлу Сергеевичу. Но, так или иначе, Андрей Николаевич остался в Москве, и можно лишь фантазировать, как сложилась бы жизнь учеников Андрея Николаевича, если бы он, такой легкий на подъем, сменил бы Москву на Харьков, Ленинград, Тбилиси или другое.

Начало дружбы с П.С. Александровым

После построения почти всюду расходящегося ряда Фурье «метрическая теория функций на этом перевесила, - пишет в своих воспоминаниях о Павле Сергеевиче Андрей Николаевич, - и в течение 1922-1925 гг. я занимался, по преимуществу, теорией тригонометрических и ортогональных рядов. Почва для научного общения с Павлом Сергеевичем была утеряна, а написанные в

1921-1922 гг. мои дескриптивные работы пролежали в письменном столе Н.Н. Лузина, находившего их методологически неправильными, безо всякого движения до 1928 г.».

Итак, особых контактов с Павлом Сергеевичем в то время не было, хотя доводилось встречаться и на факультете, и в Малом зале Консерватории. «По-видимому, - пишет А.Н., - меня несколько смущали крахмальные воротнички и некоторая чопорность Павла Сергеевича. Тем не менее, весь этот период я чувствовал его хорошее отношение ко мне и его заботу. Именно Павел Сергеевич добился того, что мои работы по дескриптивной теории были все же опубликованы».

В то время былые отношения Лузина с его учениками, в частности с Александровым и Колмогоровым, были нарушены, и Андрей Николаевич лично к Лузину по поводу своих работ не обращался. Но за истекшие годы произошли два события, имевшие прямое отношение к дескриптивным работам Колмогорова. С одной стороны, учеником Лузина Селивановским была опубликована работа, часть результатов которой вытекала из общих рассмотрений Андрея Николаевича, а с другой, сам общий его подход частично был опубликован во втором издании книги Ф. Хаусдорфа «Теория множеств». Колмогоров, раздосадованный всем этим, рассказал обо всем Александрову, а тот - Дмитрию Федоровичу Егорову. И тогда Дмитрий Федорович в достаточно резкой форме потребовал от Лузина вернуть рукопись для опубликования ее в «Математическом сборнике». Рукопись была опубликована в 1928 г.7 (Так рассказывал мне об этой истории сам Андрей Николаевич.)

А еще Павел Сергеевич настоял на том, чтобы Колмогоров остался в Москве, в университете. Но о дружбе говорить тогда не приходилось. Дружбу, продолжавшуюся 53 года, до самой кончины Павла Сергеевича, необыкновенно украсившую жизнь обоих, Андрей Николаевич и Павел Сергеевич исчисляли от своего первого лодочного похода.

«На лето 1929 года “Общество пролетарского туризма и экскурсий” объявило о возможности за очень небольшую плату в одном из приволжских городов (Ярославль, Нижний Новгород, Казань и др.) получить лодку, парус и палатку, чтобы сплавляться с этим оборудованием до какого-нибудь нижележащего города. Например, получив оборудование в Ярославле, сдать его в Самаре.

Имея уже некоторый опыт лодочных плаваний, я решился стать организатором подобного путешествия. Я считал, что ра-

7 Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. С. 91-98.

зумное число участников в таком плавании - три человека. В первую очередь я пригласил моего близкого друга Глеба Александровича Селиверстова. Выяснилось, однако, что отплыть вместе со мной в наиболее желательный для меня срок он не может (меня особенно увлекала возможность провести это путешествие довольно рано, в период белых ночей). Договорились, что Селиверстов присоединится к нам позже. Другим участником был намечен знакомый еще по средней школе Николай Дмитриевич Нюберг. Мне до сих пор не совсем ясно, как я решился предложить быть третьим компаньоном Павлу Сергеевичу. Однако он согласился сразу. 16 июня 1929 г. мы отплыли вниз по Волге из Ярославля. (...) Со дня отплытия - 16 июня 1929 года мы с Павлом Сергеевичем и исчисляем нашу дружбу, продлившуюся, как уже было сказано, пятьдесят три года».

Андрей Николаевич очень вдохновенно описывает это свое с Павлом Сергеевичем первое лодочное путешествие. Приведу несколько отрывков.

«Типичный пейзаж побережий больших среднерусских рек, будь то Ока, Днепр, Дон или Волга, довольно однообразен. Река обычно разбивается на несколько рукавов, которые текут посреди зеленых заливных лугов и обтекают песчаные острова, заросшие ивняком. Пески на Волге отмыты до почти полной белизны. (...) Пейзаж этот не лишен своеобразного величия. Он сразу стал близким Павлу Сергеевичу. (...) В первые дни путешествия мы часто плыли и ночью: в летние белые ночи особенно захватывающее впечатление производит скольжение вдоль заросших ивняком берегов, наполненных птичьим пением. Хотелось, чтобы это продолжалось бесконечно. (...) Конечно, мы не пренебрегали тем, чтобы погулять по Костроме с ее торговыми рядами или побродить по Нижегородскому кремлю, или вылезти на высокие обрывы волжских берегов, или посетить дом Ульяновых в Ульяновске. Но надо всем этим доминировало непрерывное движение».

В Казани путешественников покидает Нюберг, Селиверстов к месту назначенной встречи не прибыл, и Андрей Николаевич с Павлом Сергеевичем отправляются дальше вдвоем «мимо высоких берегов, покрытых яблоневыми садами», и на двадцать первый день с момента отплытия прибывают в Самару, где сдают свою лодку. Но путешествие на этом не заканчивается.

Их путь лежит на Кавказ. Сначала в каютах первого класса до Астрахани, потом, купив билеты 4 класса и расстелив на палубе полог палатки, они плывут до Баку, далее поездом, автобусом и пешком «с пишущей машинкой и складным столиком» добираются до Севана, где живут на острове в кельях пустовавшего мо-

настыря. (Настоятель монастыря ежедневно совершал в одиночестве все церковные службы). На Севане друзья много трудились: Александров писал отдельные главы своей совместной с X. Хопфом монографии по топологии, Андрей Николаевич -свою статью по теории интеграла, готовясь показать ее Каратеодори. На острове они провели около трех недель и потом отправились в Эривань, где провели несколько дней в студенческом общежитии. «Стояла сорокоградусная жара, небо было мглисто-синее, и только после захода солнца неожиданно появлялся конус Арарата, висящий в этой синеве». Потом был Эчмиадзин, восхождение на обе вершины Алагеза, далее Тифлис. Здесь Павел Сергеевич и Андрей Николаевич расстались. Павел Сергеевич отправился поездом на побережье, а Андрей Николаевич в одиночку путешествовал по кавказским горам, забрался на самую высокую по ходу его путешествия гору Зильгу-Хох (3840 м), поднялся на Цейский ледник. «Это было мое первое соприкосновение с миром вечных снегов, произведшее на меня большое впечатление», - пишет Андрей Николаевич. Путешественники воссоединились в Гаграх и наслаждались там морскими купаниями. Вернувшись из Гагр, они решили поселиться вместе где-нибудь под Москвой.

Они нашли в дачном поселке Клязьма недавно отстроенный дом, состоявший из двух половин по три комнаты в каждой, и сняли одну из половин. С ними поселилась Вера Яковлевна. В другой половине жила хозяйка - Вера Архиповна Пономарева. Вскоре друзья окажутся за границей, и Вера Архиповна станет объектом их сатиры.

Упомяну еще здесь о важном событии в жизни Павла Сергеевича, случившемся в 1929 г. Тогда состоялись выборы в Академию наук СССР, и Павел Сергеевич был избран членом-корреспондентом Академии.

Заграничная командировка

В 1930-[19]31 годах был в девятимесячной командировке во Франции. (Из автобиографии А.Н. Колмогорова)

Я люблю цитировать слова Давида Гильберта: «Математика не знает рас. Для математики весь культурный мир представляет собой единую страну».

Поездки ученых за границу сыграли весьма положительную роль в истории математики в России, и это во многом способствовало тому, что в середине 30-х годов наша математическая школа стала одной из ярчайших «во всем культурном мире».

Правда, при этом надо учитывать, что крупнейшая германская школа была растерзана Гитлером, французская переживала смену поколений, а американская находилась лишь в стадии становления.

С июня 1930 г. по март 1931 г. Андрей Николаевич находился в своей первой заграничной командировке - Геттинген, Мюнхен, Париж.

Заграничная командировка Колмогорова оказалась очень плодотворной. Вместе П.С. Александровым Андрей Николаевич провел сначала три дня в Берлине, а потом они переехали в Геттинген. В 20-е и в начале 30-х годов в Геттингене побывали почти все наиболее крупные молодые математики, начиная с Дж. фон Неймана и Н. Винера.

Колмогоров впоследствии так описывал свое пребывание в Геттингене. «Геттинген в те годы воспринимался как первый математический центр Германии и как достойный конкурент Парижа во Франции и Принстона в США. Такое положение Геттингена достигалось при очень ограниченном постоянном составе сотрудников. Ординарных профессоров-математиков было всего четверо: Гильберт, Курант, Э. Ландау и, кажется, Ф. Бернштейн (достигший 66-летнего возраста Гильберт должен был перейти на пенсию, и на его место был приглашен Герман Вейль). На положении ассистентов находились многочисленные молодые сотрудники Куранта (Фридрихе, Реллих, Ганс Леви и др.) Не имела постоянной профессуры сама Эмми Нетер, уже воспринимавшаяся как глава общей алгебры. Ее ученики - Ван-дер-Варден и Дёринг - тоже находились на положении ассистентов (...) Основной состав геттингенских математиков группировался вокруг Гильберта, Куранта, Э. Ландау и Эмми Нетер. Это был очень дружный коллектив, и Павел Сергеевич рассматривался в нем как человек, органично ему принадлежавший».

Все они тогда размышляли о грядущем, но никто, конечно, не мог предвидеть того, что произойдет в самом скором времени. Р. Курант описывал будущее так: сначала ненадолго придут к власти национал-социалисты, а потом надолго - коммунисты, и тогда Александров прибудет в Геттинген комиссаром...Но не прошло и пяти лет, как Куранта, Ландау и Нетер стали вышвыривать из той страны, в которой они родились и работали. А коммунисты в Геттинген так и не пришли.

Андрей Николаевич имел в Геттингене разносторонние научные контакты «с Р. Курантом и его учениками - по линии предельных теорем, где диффузионные процессы оказываются пределами для дискретных случайных процессов; по интуиционистской логике - с Г. Вейлем, по вопросам теории функций - с

Э. Ландау». Он беседовал с Гильбертом, имел научные контакты с Э. Нетер, Г. Леви, В. Орличем и многими другими.

Александров и Колмогоров посетили Мюнхен и были приняты К. Каратеодори (сохранилась тетрадь посещений, которую вел Каратеодори, в ней есть подписи Павла Сергеевича и Андрея Николаевича).

Андрей Николаевич возлагал большие надежды на встречу с Каратеодори (который был профессором Мюнхенского университета), желая обсудить «с ним свои идеи, касающиеся теории меры и интеграла. Эти надежды оправдались не полностью». Каратеодори оценил работу по теории меры, а работу по теории интеграла оставил без комментариев.

В отличие от большинства работ Колмогорова, его статья «Untersuchungen über den Integralbegriff»8 оказалась не очень востребованной (по причинам, которые не вполне ясны). Эту работу очень ценил Владимир Михайлович Алексеев, замечательный человек и выдающийся математик, мой близкий друг, ушедший из жизни в возрасте 48 лет 1 декабря 1980 г. У меня сохранилось последнее письмо Владимира Михайловича из больницы, написанное 5 октября 1980 г. В нем есть такие строки: «Передай привет А.Н. Порадуй его, что определение интеграла «по Колмогорову» дважды читалось [В.М. Алексеевым. - В.Т.] на мехмате в общем курсе анализа». Из этого следует, что идеология этой работы настолько естественна и красива, что Владимир Михайлович отдал ей предпочтение перед традиционными и апробированными определениями интеграла из классических учебников. Можно надеяться, что идеи Колмогорова относительно интегрирования, еще будут востребованы.

Затем Колмогоров посетил Париж. Там Андрей Николаевич наладил плодотворные научные контакты с М. Фреше (который в те годы интересовался цепями Маркова) и особенно с П. Леви. Он встречался также с А. Лебегом и Э. Борелем.

Несколько раз я спрашивал Андрея Николаевича, что почерпнул он из общения с крупнейшими математиками того времени, что дали они ему? Андрей Николаевич как-то затруднялся ответить. Похоже, что он всегда следовал своим путем и в. те годы сам был так перенасыщен идеями, что отдавать мог больше, чем брать. Но он много раз подчеркивал и исключительное значение для него самой научной атмосферы, в которой ему довелось вращаться в те годы, и важность установления личных контактов между учеными разных стран.

8 Там же. С. 113-153.

О своем путешествии 1929 г. с Павлом Сергеевичем по Волге из Ярославля и о заграничной поездке 1930-1931 гг. Андрей Николаевич подробно и ярко рассказал в своих воспоминаниях о Павле Сергеевиче9.

В эти годы Колмогоров ведет большую педагогическую работу. Помимо преподавания в университете, он по совместительству заведует кафедрой в Индустриальном педагогическом институте им. К. Либкнехта. В 1931 г. А.Н. Колмогоров становится профессором МГУ. Педагогическая нагрузка в те годы в университете была очень велика - 40-60 часов в декаду.

В начале 30-х годов восстанавливается индивидуальное руководство аспирантами и начинается работа Колмогорова с учениками. Первым его аспирантом был А. Н. Тулайков, потом к нему присоединились Б.М. Юнович и А.Н. Двойченков. В одном из писем Александрову Колмогоров пишет: «Были у меня Тулайков, Юнович и Двойченков (теперь аспиранты, кончившие в октябре 1930) - трое молодых людей, воспитанных Д.Е. [Дмитрием Евгеньевичем Меньшовым. - В.Т.] и Н.К. [Ниной Карловной Бари. - В.Т.] на тригонометрических рядах».

Юнович и Двойченков погибли на войне, Александр Николаевич Тулайков долгие годы был преподавателем Физтеха. От него осталась работа, вошедшая в анналы теории функций и функционального анализа. Колмогоров опубликовал в 1931 г. работу, в которой содержался необычный критерий компактности в Lp при р > 1. Случай р = 1 оставался неисследованным, и Колмогоров предложил разобраться с ним А.Н. Тулайкову. Тот справился с этой задачей, а Андрей Николаевич позаботился о том, чтобы эта статья была опубликована за границей. И теорема Тулайкова не осталась незамеченной, она цитируется во многих монографиях по функциональному анализу.

Осень 1932 г. Колмогоров проводит в Днепропетровске -Андрей Николаевич и Павел Сергеевич любили этот город, где можно кататься на лодке по Днепру и по его притокам, плавать в чистой днепровской воде, гулять по окрестностям города. Колмогоров читал лекции в Днепропетровском университете, устраивал там семинары. В Днепропетровске он обрел выдающегося ученика - Сергея Михайловича Никольского.

Тогда же происходит формирование механико-математического факультета и Института математики и механики Московского университета (в 1932 г. директором Института был А.Я. Хинчин; в следующем году им становится Колмогоров) и оп-

9 Колмогоров А.Н. Воспоминания о П.С. Александрове // УМН. 1986. Т. 41. Вып. 6. С. 187-203.

ределяются основные направления будущего факультета и ученые, которые будут их возглавлять. Это дифференциальные и интегральные уравнения (В.В. Степанов), теория функций действительного переменного (Д.Е. Меньшов), нелинейный анализ (Л.А. Люстерник), теория функций комплексного переменного (М.А. Лаврентьев, И.И. Привалов), алгебра (О.Ю.Шмидт, Л.С. Понтрягин), топология (П.С. Александров), статистика и теория вероятностей (А.Н. Колмогоров).

Многие детали жизни тех лет удивят современного читателя. Лектору полагается проводить пятиминутную гимнастику во время лекции; еще не отменена карточная система, но сотрудникам Института математики дают карточку высшей категории - рабочую; в профессорской висит плакат (я уже упоминал о нем) «Долой егоровщину в математике! Математику - на службу социализму!» В Институте Либкнехта занимаются бригадами (по 3-4 человека). Бригада живет в одной комнате и занимается по всем предметам вместе. «Психология такого “коллективизированного студента” мне не очень понятна, - пишет Колмогоров, - но любопытна. А насколько уж система хороша, решит будущее» (из письма Александрову 26 марта 1931 г.).

Будущее наступило довольно скоро. 21 сентября 1932 г. вышло постановление ЦК ВКП(б) о высшей школе. В нем высшему образованию были приданы формы, сохранившиеся и по сей день: восстановлены лекции, дипломные работы, вступительные экзамены, индивидуальные планы работы аспирантов и т.п. В Постановлении говорилось и о восстановлении ученых степеней. Бригадные методы отошли в прошлое. Одним из тех, кто готовил это постановление, был Отто Юльевич Шмидт.

Упомяну еще о двух событиях того же 1932 г. В сентябре 1932 г. в Цюрихе состоялся Международный математический конгресс. В работе Конгресса участвовала немногочисленная советская делегация, в составе которой был П.С. Александров10.

В ноябре 1932 г. обсуждалось «Положение об университетах», согласно которому образовывался факультет математики и механики в составе отделения математики, отделения механики и Института математики и механики. Тогда же было принято решение об издании математических журналов, в числе которых были реформированный «Математический сборник» и «Успехи математических наук».

10 После Цюриха советская делегация приняла участие в Математическом конгрессе лишь спустя 22 года (пропустив два Конгресса - 1936 г. в Осло и 1950 г. в Кэмбридже (США)).

Таким образом, к концу рассматриваемого десятилетия университетская математическая жизнь стала приобретать формы, сохранившиеся и поныне.

Десятилетие 1933-1942

Десятилетие 1933-1942 гг. было для Колмогорова творчески еще более блистательным, чем предшествующее. В течение этих десяти лет Андрей Николаевич опубликовал сорок пять (!) статей, по самым разнообразным проблемам классического анализа, топологии, геометрии, теории приближений, функционального анализа и, разумеется, теории вероятностей. Едва ли не каждый год он открывал какое-то новое направление в науке или получал выдающийся результат; очень много занимался и приложениями. Одним из крупнейших достижений Колмогорова этого периода было построение начал теории турбулентности, где он стал прижизненным классиком наряду с величайшими механиками XX века - Дж. Тейлором и Т. фон Карманом. Об этом уже было сказано во введении. Во всех названных мною областях Андрей Николаевич находит выдающихся учеников и последователей.

В первой половине 30-х годов в нашей стране произошло рождение нового направления в математике - функционального анализа. В 1931 г. по-польски и в 1932 г. в переводе на французский язык вышла книжка Стефана Банаха «Теория линейных операций». Колмогорову прислали эту книгу для рецензирования. Еще один экземпляр книги имелся у Абрама Иезекииловича Плеснера, эмигрировавшего в СССР из Германии. Плеснер передал экземпляр этой книги в библиотеку, и его стали штудировать аспиранты факультета. Очень быстро среагировали на появление книги Банаха Колмогоров и Люстерник. Уже в 1934 г. появились их статьи, где Колмогоровым было определено понятие топологического векторного пространства и дан критерий его нормируемости, а Люстерником было получено фундаментальное бесконечномерное обобщение правила множителей Лагранжа. Люстерник и Плеснер организуют семинар по книге Банаха, куда начинают ходить два ученика Андрея Николаевича - Израиль Моисеевич Гельфанд и Сергей Михайлович Никольский. В 1935 г. они защитили первые кандидатские диссертации по функциональному анализу.

Прошло всего 20 с небольшим лет и в 1956 г. в Московском университете состоялась первая конференция по функциональному анализу. Огромная аудитория 02 Московского университета до отказа забита представителями московской школы И.М. Гельфанда, ленинградской школы Л.В. Канторовича, одес-

ской школы М.Г. Крейна, киевской школы, где выдающуюся роль сыграл ученик Гельфанда Г.Е. Шилов, воронежской школы М.А. Красносельского и С.Г. Крейна. Функиональный анализ тогда воспринимался как одно из важнейших направлений в математике.

Гельфанд вскоре после защиты своей кандидатской диссертации начал создавать теорию нормированных колец (позднее ее стали называть теорией банаховых алгебр). Циклу его публикаций предшествовала совместная работа Гельфанда и Колмогорова11. Она интересна во многих отношениях. Насколько я могу судить - это первая совместная публикация Израиля Моисеевича (а всего у него таковых неисчислимое количество), и одна из очень немногих совместных работ Андрея Николаевича. В ней содержится зародыш основной идеи общей теории Гельфанда банаховых алгебр на примере пространства непрерывных функций.

Упомянутые две статьи (работа по нормированию топологических пространств и статья с Гельфандом) были лишь эпизодами в исследованиях Колмогорова 30-х годов (и когда спустя много лет как-то зашла речь о высказывании Винера, что в области функционального анализа они с Колмогоровым «наступали друг другу на пятки», Андрей Николаевич крайне удивился и сказал, что у него работ по функциональному анализу вообще нет).

Важнейший, прошедший через все десятилетие цикл его исследований был связан с развитием теории вероятностей. Основным семинаром тех лет для Колмогорова был его совместный с А.Я. Хинчиным семинар по теории вероятностей, в котором и зарождалась советская вероятностная школа.

В 1933 г. выходит в свет воистину великая книга Колмогорова «Основные понятия теории вероятностей»12. В том же году он публикует доказательство одной из самых фундаментальных теорем математической статистики; затем он разрабатывает теорию марковских цепей со счетным множеством состояний; развивая идеи Шредингера выводит необходимые и достаточные условия статистической обратимости; в работе «Преобразование Лапласа в линейных пространствах» открывает дорогу развитию теории вероятностей в бесконечномерных пространствах. Наконец, незадолго до войны появляются классические работы Кол-

11 Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. С. 264-269.

12 В 1982 г. в Болгарии была издана книга под названием: «Бернулли, Лаплас, Колмогоров. Вероятность». В ней были опубликованы работы Бернулли о законе больших чисел, Лапласа о центральной предельной теореме и работа Колмогорова «Основные понятия теории вероятностей», составившие этапы развития теории вероятностей.

могорова по кривым в гильбертовом пространстве и стационарным последовательностям, их экстраполировании и интерполировании.

Он обретает в те годы одного из самых близких своих друзей - Бориса Владимировича Гнеденко. Борис Владимирович становится соратником Колмогорова в области теории вероятностей. Ими была написана замечательная книга «Предельные распределения для сумм независимых случайных величин», изданная в 1949 г. и удостоенная в том же году премии им П.Л. Чебышева АН СССР.

Во время одного из своих посещений Днепропетровска Андрей Николаевич читал цикл лекций и вел семинар о теории приближений. Возможно, что это дало ему повод самому сосредоточиться на проблемах этой теории. Колмогоров придал несколько иную форму одному результату Лебега, а также ввел новую величину, характеризующую приближение бесконечномерного объекта, получившую название поперечника по Колмогорову. Эти результаты были опубликованы в двух небольших заметках 1935 г. и 1936 г. Заметка 1935 г. послужила исходным пунктом для последующих исследований Сергея Михайловича Никольского.

В конце 30-х годов был восстановлен (или создан заново?) институт докторантуры. Сергей Михайлович стал докторантом Стекловского института, а Андрей Николаевич - научным консультантом Никольского.

Сергей Михайлович завершил работу над докторской диссертацией в 1941 г. Он передал отпечатанную в одном экземпляре диссертацию Колмогорову для просмотра и обсуждения. В это время началась война. Никольский вместе со Стекловским институтом был эвакуирован в Казань. Андрей Николаевич еще долгое время оставался в Москве. Когда он приехал в октябре в Казань, он привез (вместе с очень небольшим числом личных вещей) и диссертацию Никольского. Сергей Михайлович много раз выражал восхищение этим поступком своего учителя. Колмогоров одобрил труд Никольского и сказал, что тот может представлять его к защите. Успешная защита состоялась в начале 1942 г.

В середине 30-х годов Колмогоров обрел еще одного ученика и близкого человека. В 1934 г. он получил по почте статью по алгебре неизвестного ему ассистента педагогического института в Иванове А.И. Мальцева. Андрей Николаевич вызвал его телеграммой для беседы, после которой предложил Мальцеву стать его аспирантом. Анатолий Иванович учился в аспирантуре МГУ с 1934 г. по 1937 г. Первоначально Андрей Николаевич планировал работу для Мальцева по логике, и они обсуждали некоторые проблемы, но встретились трудности, и Колмогоров посоветовал

Мальцеву продолжить его алгебраические исследования. Мальцев защитил диссертацию в 1937 г., а через два года поступил в докторантуру института им. В.А. Стеклова. (Анатолий Иванович был докторантом особого рода - так называемым «сталинским докторантом» - это было нововведение: сталинские докторанты отбирались по всесоюзному конкурсу).

Первую лекцию в университете я слушал первого сентября 1952 г. Читал ее Александр Геннадиевич Курош. Это была вводная лекция, посвященная, как мы сейчас говорим, «гуманитарным темам». На этой лекции я услышал: «Анатолий Иванович Мальцев является одним из крупнейших алгебраистов нашего времени». А спустя некоторое время Анатолий Иванович сделал выдающиеся открытия в логическом осмыслении алгебры - колмогоровский импульс не пропал даром.

Оба они - и Анатолий Иванович и Сергей Михайлович - стали близкими людьми для Колмогорова, и он очень дорожил их дружбой. Дважды Колмогоров, Александров, Мальцев и Никольский вчетвером совершали длительные походы на весельной лодке по Волге: первый от истоков Белой до Саратова, второй -от села Юрино до Астрахани.

Мне хотелось этими заметками насытить содержанием термин прикосновение, с которого я начал эту книгу.

Андрей Николаевич преклонялся перед гением Микельанджело. В Комаровке Колмогоров повесил фрагмент из росписи Сикстинской Капеллы Микельанджело, в котором тянутся друг к другу две руки, готовые вот-вот коснуться друг друга - рука Бога и рука Адама. Этот символ я отношу и к Андрею Николаевичу Колмогорову.

Вот он протянул руку девятнадцатилетнему юноше, родившемуся в поселке под Одессой под названием Красные Окны, потом еще двум молодым людям - одному из Днепропетровска, другому из Иванова, и эти его прикосновения привели к тому, что по прошествии немногих лет, первый - Израиль Моисеевич Гельфанд - занял лидирующие позиции в области функционального анализа, другой - Сергей Михайлович Никольский - в области теории приближений, а Анатолий Иванович Мальцев стал крупным алгебраистом.

Андрей Николаевич был «индивидуалистическим» математиком: у него совсем немного совместных публикаций, почти нет работ, явившихся следствием совместного решения какой-то проблемы и тем более таких, где было бы много соавторов. «В наибольшей мере мне удавалось работать вдвоем, - рассказывает он в «Последнем интервью». Таким «напарником» в одном случае был П.С. Александров».

Постоянно общаясь с Павлом Сергеевичем, Андрей Николаевич был в курсе развития топологии и сам иногда включался в решения проблем, которые обсуждал с ним Александров.

Так, некоторое время они думали вместе над проблемой возможного повышения размерности при открытых отображениях. «Некоторое время мы вместе трудились над доказательством невозможности повышения размерности. В этих поисках постепенно выяснились причины наших неудач. Этот анализ неудач и привел, в конце концов, к контрпримеру».

Владимир Андреевич Успенский как-то спросил Колмогорова, бывали ли случаи, что кто-то его обогнал в науке. Колмогоров отнесся к вопросу серьезно, задумался, а потом сказал: «Когда я понял, что Людмила Всеволодовна Келдыш глубже меня понимает проблематику открытых отображений, я перестал этим заниматься». Вот что стоит за этим признанием. В 50-е годы в результате огромных усилий Л.В. Келдыш построила открытое отображение одномерного компакта на квадрат. Эта работа произвела тогда очень большое впечатление. Само построение занимало множество страниц. Это был действительно очень трудный результат. Статью Людмилы Всеволодовны пробовали обсуждать на нескольких топологических семинарах, но мне не доводилось слышать, что в этой работе разобрались до конца. Однако спустя некоторое время молодой математик И.М. Козловский построил открытое отображение одномерного компакта на квадрат весьма прозрачным и простым методом, используя в качестве основного элемента конструкцию примера А.Н. Колмогорова!

С 1931 года состою профессором Московского Гос. Университета, где заведую кафедрой теории вероятностей. С 1933 по 1939 и с 1950 по 1953 - директором научного института математики и механики (позднее математики, а затем вновь механики и математики) при МГУ. [...]В 1939 году избран действительным членом АН СССР. С этого времени работаю в Математическом институте АН СССР, где заведую отделом теории вероятностей. В 1939-1942 годах работал членом Президиума АН СССР и академиком секретарем ее физико-математического отделения. (Из автобиографии А.Н. Колмогорова).

В этом десятилетии в жизни А.Н. Колмогорова произошли многие знаменательные события, некоторые из них названы в приведенном выше автобиографическом отрывке.

В декабре 1933 г. Андрей Николаевич назначается директором Института математики и механики МГУ. На этом посту он работает до 1939 г. (а потом еще короткий период с 1951 г. по 1953 г.).

Главной заботой директора Института в те годы была аспирантура механико-математического факультета, и Андрей Николаевич участвовал в создании самого института аспирантуры в тех формах, которые фактически сохранились до наших дней.

Один из первых наборов в аспирантуру при его директорстве состоялся в конце лета 1934 г. Экзамен по математике каждый раз принимали трое, при обязательном присутствии Колмогорова. Кроме него участвовали Л.Г. Шнирельман, И.Г. Петровский, В.И. Гливенко, А.Н. Тихонов и В.А. Ефремович. В тот год аспирантами стали Б.В. Гнеденко и А.И. Мальцев. Все математики, прошедшие аспирантуру до войны, с кем мне довелось беседовать, отмечали выдающуюся роль А.Н. Колмогорова в их собственной научной судьбе. Андрей Николаевич по нескольку раз в течение аспирантского срока находил возможность поговорить с каждым аспирантом. Он обсуждал индивидуальные планы, давал советы и почти каждому (вне зависимости от тематики занятий аспиранта) давал возможность осознать свою собственную работу, комментировал ее, направлял, ставил задачи. Все вспоминали свой аспирантский предвоенный период как очень счастливый и плодотворный. Причиной тому была замечательная научная атмосфера в Московском университете тех лет, во многом определявшаяся деятельностью и личностью А.Н. Колмогорова.

Окончательное выделение механико-математического факультета из физико-математического произошло в 1933 г. На новом факультете в 1935 г. была открыта кафедра теории вероятностей, и Андрей Николаевич Колмогоров стал заведовать ею (это продолжалось до 1966 г., когда Колмогоров передал заведование Борису Владимировичу Гнеденко). В эти годы сформировалась большая теоретико-вероятностная школа в нашей стране, завоевавшая авторитет во всем мире.

Сначала кафедра теории вероятностей была очень маленькой. Даже спустя 12 лет, в 1957 г., когда я стал аспирантом Колмогорова по этой кафедре, на ней работали на полную ставку, кроме заведующего, профессор Е.Б. Дынкин и доценты Л.Н. Большев (ученый секретарь) и Б.А. Севастьянов.

Наверное, историки точнее скажут, сколько было в середине 50-х годов математиков, защитивших докторские диссертации по теории вероятностей и математической статистике. А.Н. Колмогоров, Е. Е. Слуцкий, В.И. Романовский и А.Я. Хинчин, получили свои докторские степени «по совокупности работ», Ю.В. Линник и Е.Б. Дынкин, создавшие замечательные школы по теории вероятностей, писали диссертации на другие темы - первый по теории чисел, второй по алгебре. Собственно по теории вероятностей за 20 лет - с 1936 г. по 1956 г. защитили диссертации

H.B. Смирнов, T.A. Сарымсаков, Б.В. Гнеденко, О.В. Сарманов, Н.А. Сапогов, И.И. Гихман и Ю.В. Прохоров. Возможно, я кого-то не назвал, но мне кажется, что докторов по теории вероятностей к середине 50-х годов было совсем немного. Но всего лишь за десятилетие 1952-1962 гг. на кафедре Колмогорова выросла целая плеяда выдающихся математиков: Р.Л. Добрушин, Н.Н. Ченцов, А.А. Боровков, В.М. Золотарев, Ю.К. Беляев, Л.Д. Мешалкин, И.В. Гирсанов, Ю.А. Розанов, Я.Г. Синай, А.Д. Соловьев, А.Н. Ширяев, В.П. Леонов, А.Д. Вентцель, В.Н. Тутубалин, М.И. Фрейдлин, Ю.Н. Тюрин и др. Влияние Андрея Николаевича на каждого из них было огромным.

Масштаб личности Андрея Николаевича, его научная щедрость, богатство идей, которые он раздаривал своим ученикам, его научная взыскательность и высочайший авторитет, то, что он считал своим долгом поддерживать людей творческих и инициативных, боролся за таких людей, защищал их, предоставляя им в то же время творческую свободу - все это и предопределило необычайные достижения колмогоровской школы по теории вероятностей и по другим направлениям математики.

В 1935 г. А.Н. Колмогоров и П.С. Александров приобрели в свое владение часть загородного дома (в прошлом принадлежавшего родственникам К.С. Станиславского), расположенного на берегу реки Клязьмы, недалеко от подмосковной станции Болшево. В этом доме, в основном, протекала их творческая жизнь. Об этом замечательном доме, с которым знакомо несколько поколений математиков, писали в своих воспоминаниях в УМН Андрей Николаевич и Павел Сергеевич13. Комаровский дом, комаровский сад и окружение Комаровки еще в большей мере заслуживают обстоятельного и поэтического описания, подобного описанию Петром Саввичем Кузнецовым туношенского дома, что я привел в этой книге. В комаровском доме провели прекрасные часы многие друзья и ученики Александрова и Колмогорова. Но это особый сюжет, о котором есть еще, кому поведать, и можно надеяться, что индивидуально ли, коллективно ли будет подробно рассказано об этом доме, о его истории, окружении, хозяевах, домочадцах и посетителях, о саде, который я не могу назвать иначе как еще одним творением Андрея Николаевича. В садоводстве Андрей Николаевич был столь же удачлив, как и в науке. Все у него приживалось, цвело и благоухало.

Весной 1935 г. состоялась первая Московская математическая олимпиада. В ее организационный комитет вошли П.С. Александров в качестве председателя и А.Н. Колмогоров в качестве

13 УМН. 1986. Т. 41. Вып. 6. С. 131-157; УМН. 1980. Т. 35. № 4.

члена оргкомитета. На первой олимпиаде задачи были разделены на три группы. Первую группу составляли геометрические задачи, вторую алгебраические, третью комбинаторные. Возможно, это было связано с пожеланием Колмогорова, который выделял три вида математических способностей: геометрические, логические и алгебраические. На протяжении последующего полувека Андрей Николаевич принимал активнейшее участие в организации и проведении олимпиад. В последний раз он был среди организаторов Всесоюзной олимпиады, проводившейся в Одессе в 1982 г., и сам приехал в Одессу, хотя был уже тяжко болен.

Осенью (с 4 по 10 сентября) 1935 г. в Москве под эгидой Института математики при МГУ проходила Международная топологическая конференция, замечательная по своему составу. Вот избранные имена иностранных участников: Соломон Лефшец, Эдуард Чех, Хайнц Хопф, Джеймс Александер, Жорж де Рам, Витольд Гуревич, Джон фон Нейман, Карол Борсук, Давид ван Данциг, Андрэ Вейль, Хасслер Уитни, Маршалл Стоун. Все они -крупнейшие математики того времени. На конференции выступили и выдающиеся отечественные математики: Н.М. Крылов и Н.Н. Боголюбов, А.А. Марков, Л.С. Понтрягин, А.Н. Тихонов, А.Н. Колмогоров, П.С. Александров и другие14. Только невероятная пробивная сила Павла Сергеевича Александрова при поддержке Колмогорова позволила (после убийства Кирова, когда железный занавес почти уже опустился) созвать такую конференцию.

В двух сорокапятиминутных докладах Дж. Александера и А.Н. Колмогорова, а также в пятнадцатиминутном сообщении аспиранта Л.С. Понтрягина И.И. Гордона были изложены (полученные независимо) начальные результаты по теории когомологий. Это событие оказало большое влияние на все дальнейшее развитие топологии. В следующем году Андрей Николаевич опубликовал на эту тему несколько кратких заметок в Докладах Парижской академии наук.

Этот цикл работ принадлежит к крупнейшим достижениям Колмогорова 30-х годов. К сожалению, Андрей Николаевич не оставил подробного, сводного труда, в котором были бы детально обсуждены его идеи. Некоторое время его имя еще фигурировало в работах по топологии, где говорилось о когомологиях, но потом стали появляться подробные публикации других авторов, и имя Колмогорова как одного из создателей теории стало постепенно исчезать. Андрею Николаевич не раз сетовал на то, что его работы по топологии так и не были до конца поняты: «ведь я

14 Фотографию ее участников читатель может увидеть на вклейке.

исходил из физических понятий - из гидродинамики и электромагнитной теории, а совсем не из комбинаторики».

Очень хочется верить в то, что значение предложенных Колмогоровым идей, понятий и методов будет возрастать с течением времени. Но тому есть одно препятствие. У Андрея Николаевича мало больших публикаций. Он был всегда переполнен идеями, и ему не хватало времени на их подробную разработку. В некоторых случаях такие подробные публикации были очень своевременно сделаны другими людьми, и это приводило к эффекту возрастания значения колмогоровских идей. Так случилось в теории турбулентности. Работы Колмогорова по турбулентности - три небольшие заметки в Докладах Академии наук - появились в самом начале войны. Великий Д. Тейлор попросил своего ученика - молодого в ту пору гидродинамика Джорджа Бэтчелора - разобраться в заметках Колмогорова. Тот понял и оценил фундаментальность этих работ и написал большую статью, посвященную теории Колмогорова. Труд Бэтчелора дал возможность ученым всего мира ознакомиться с этой теорией, в ином случае она была бы переоткрыта другими исследователями, и вклад Колмогорова не был бы оценен по достоинству. Но случается и иное. Мне доводилось читать обзор по теории марковских процессов во второй половине XX века, где имя творца этой теории, фактически создавшего ее всего за 20 лет до середины века, не было упомянуто вовсе. Очень многое в творчестве Колмогорова еще ждет «своего Бэтчелора». В частности, таков и его топологический цикл. В связи со столетием со дня рождения Колмогорова было задумано и осуществлено издание, посвященное его вкладу в математическую науку15. Обзор топологических работ Колмогорова написан Виктором Матвеевичем Бухштабером. Он говорил мне, что обнаружил в заметках Колмогорова много интереснейших и не воспринятых современниками вещей. Но вернемся к 30-м годам.

Летом 1936 г. произошло то, что иначе чем актом коллективного безумия не назовешь - всенародное осуждение «врага в советской маске», которым оказался Николай Николаевич Лузин. В этом осуждении приняли участие и некоторые ученики Николая Николаевича, а происходило это все в страшный период, когда страну сотрясал ураган политических репрессий. Здесь я хочу лишь еще раз обозначить трагическую тему «Лузин и его ученики» и вынужден буду коснуться ее в дальнейшем. Но надо сказать, что Андрей Николаевич Колмогоров принял весьма умеренное (в сравнении с некоторыми другими учениками Лузина) участие в позорном лузинском «деле».

15 Charpenter Е., Lesne A., Nikolski N. L'héritage de Kolmogorov en mathématiques. Belin, 2004.

В 1938 г. Колмогоров становится заведующим Отделом теории вероятностей в Математическом институте им. В.А. Стеклова. На этом посту Колмогоров оставался до 1960 г., когда у него появились планы организации лаборатории вероятностных и статистических методов при МГУ.

В 1939 г. А.Н. Колмогорова избирают действительным членом Академии наук СССР. Тогда же он становится членом Президиума АН СССР, академиком-секретарем отделения физико-математических наук.

Колмогоров был избран в академики, не будучи членом-корреспондентом Академии. В ту пору ему исполнилось лишь 36 лет. Андрей Николаевич говорил мне, что его кандидатура при избрании была поддержана физиками, знавшими его работы естественно-научного цикла. Перед избранием Колмогоров познакомился с Отто Юльевичем Шмидтом (имевшим очень большое влияние в Академии) и произвел на Шмидта такое впечатление, что тот наметил его кандидатуру в академики-секретари, желая, возможно, омолодить высший эшелон Академии.

В разговорах с Андреем Николаевичем речь о Шмидте возникала много раз. Андрей Николаевич называл его человеком Возрождения. И действительно: математик (ученик Д.А. Граве), блестяще окончивший Киевский университет и выполнивший классическую работу по алгебре; первый заведующий кафедрой алгебры на мехмате МГУ; астроном; альпинист; путешественник; полярник; государственный деятель; начальник Северного морского пути; реформатор школьного и высшего образования; один из главных организаторов Академии; начальник Госиздата, главный редактор Большой советской энциклопедии; покоритель Северного полюса; геофизик; автор нового подхода к теории происхождения Солнечной системы. Он был одним из немногих наших современников, кто мог бы произнести вослед за Наполеоном: «Какой прекрасный роман моя жизнь!».

Если читатель заглянет в Интернет и наберет слова «Отто Юльевич Шмидт», то среди десятка статей, восхваляющих его, он обнаружит одну, где в деятельности Шмидта не обнаружено ничего хорошего. Там, в частности, пишется, что «в 1924-1941 являлся главным редактором Большой советской энциклопедии, ставшей памятником большевистскому извращению русской и мировой истории». Не хочу отрекаться от того, что Шмидт был героем моего детства, но в интернетском высказывании, в котором Отто Юльевич занесен в черный список, есть доля истины. Как и в том, что в деле Лузина Шмидт был одним из главных его обвинителей. Я не собираюсь отстраняться от обсуждения этих

проблем. Им посвящен фрагмент заключительной части книги.

К концу рассматриваемого нами периода и Отто Юльевич Шмидт и Андрей Николаевич Колмогоров оказались «не ко двору» и были отставлены от занимаемых ими академических постов. Причина отставки Шмидта, долгое время бывшего любимцем Сталина, ясна мне не до конца. Тому было, по-видимому, много причин. Андрей Николаевич объяснял это тем, что Шмидт «не вписался в поворот времени»: Отто Юльевич в конце 1941 г. не расстался еще со старыми представлениями и пробовал воздействовать на членов Академии, обращаясь к их сознательности, вместо того, чтобы постараться улучшить их бытовые условия. Академики стали роптать и это привело, по мнению Андрея Николаевича, к отстранению Шмидта.

Думаю, что в этом только часть правды, скорее всего Шмидт чем-то не угодил Сталину.

Андрей Николаевич сам подал заявление об отставке, каким-то образом почувствовав, что новое руководство Академии этому будет радо. Хочу высказать свое мнение на этот счет, не вдаваясь в длительные объяснения. Я уверен, что Андрей Николаевич не имел шансов добиться успеха в административной деятельности в рамках действовавшей тогда бюрократической системы. Моя дочка, наряжая кукол, говорила самой себе: «Эта кукла не от этого платья». Андрей Николаевич Колмогоров был не от этой системы. Он не понимал ее устройства, ее внутренних связей, ее мотивов, ее потайных шифров, ее системы понятий. У него не было в ней людей, на которых он мог бы опереться. Он был чужим в этой бюрократической державе и мог восприниматься начальниками в лучшем случае, как чудак.

И действительно, как еще можно было воспринять, например, то, как Колмогоров выбирал место для геофизической крымской обсерватории. Вместо того, чтобы, следуя протоколу, известить о своем визите высшее начальство Крымской области, прилететь с делегацией от Академии, быть встреченным в аэропорту представителями власти на машине ЗИС-101 с последующим обедом, размещением в шикарной гостинице, мимоходным обсуждением проблем и посещением, наконец, нужных объектов, где все уже осведомлены и о визите, и о его цели, Андрей Николаевич, совмещая приятное с полезным, путешествуя в шортах по столь любимому им Крыму, перелез через заборчик и объявился в одной из обсерваторий как инспектирующий ее академик-секретарь Академии наук академик Колмогоров, а затем продолжал путешествие в одиночку, стараясь выбрать наилучшее место для обсерватории. Андрею Николаевичу очень нрави-

лось рассказывать об этом, он об этом не раз и писал, и все слушатели и я, в том числе, были в восхищении, но согласитесь, этот его поступок не вписывался в систему отношений того государства, в котором жил Андрей Николаевич Колмогоров.

К сожалению, теперь не так легко узнать, какие дела Академии 1939-1942 гг. связаны с его деятельностью члена Президиума и ученого секретаря. Был ли он, в частности, осведомлен о начале атомной программы? Какие планы он строил? Что удалось осуществить? Оставляю эти вопросы без ответа в надежде, что в будущем они будут прояснены.

В том же 1939 г. выходит написанный вместе с П.С. Александровым школьный учебник «Алгебра». Авторы упорно трудились над этой книгой. В ней много хорошего. Но событием книга не стала.

В конце 30-х и начале 40-х годов. А.Н. Колмогоров начинает интересоваться проблемами турбулентности. Тогда он при поддержке Шмидта организует лабораторию атмосферной турбулентности Геофизического института АН СССР и заведует ею с 1946 г. по 1949 г. Из нее впоследствии выросла значительная часть Института физики атмосферы АН СССР, который возглавил ученик и близкий Андрею Николаевичу человек, в будущем академик Александр Михайлович Обухов.

В 30-е годы Колмогоров много интересуется биологией. В 1932 г. директор института экспериментальной биологии, выдающийся советский ученый Н.К. Кольцов организует при институте небольшую эволюционную «бригаду» (как мы сейчас скажем - лабораторию) по проблемам эволюции. Возглавил ее Д.Д. Ромашов, товарищ Колмогорова по гимназии. Андрей Николаевич принимает живое участие в работе лаборатории. По его советам Д.Д. Ромашов привлекает к работе в лаборатории в качестве консультантов В.И. Гливенко, А.А. Ляпунова и Н.В. Смирнова, а у самого Андрея Николаевича возникают плодотворные научные контакты с А.С. Серебровским, Н.П. Дубининым, А.А. Малиновским, Д.Д. Ромашовым и другими известными биологами. Занятия биологией приводят его к разрешению ряда проблем математической биологии. В 1937 г. А.Н. Колмогоров, совместно с И.Г. Петровским и Н.С. Пискуновым, публикует статью «Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества, и его применение к одной биологической проблеме». Об этой выдающейся работе мы подробнее поговорим во второй части книги.

В 1940 г. вышла статья Андрея Николаевича Колмогорова, озаглавленная «Об одном новом подтверждении законов Менделя». В те годы развернулась дискуссия между генетиками и лы-

сенковцами по поводу справедливости законов Менделя. Лысенко и Н.И. Вавилов попросили своих сотрудников Н.И. Ермолаеву и Т.К. Енина проделать опыты Менделя, чтобы опровергнуть (эта задача стояла перед Ермолаевой) или подтвердить (это должен был сделать Енин) теорию Менделя. И оба исследователя «справились» со своей задачей! Андрей Николаевич занялся исследованием материалов обеих статей, одна из которых «опровергала», а другая «подтверждала» законы Менделя.

В преамбуле к своей статье Колмогоров пишет: «Менделевская концепция не только приводит к простейшему заключению о приближенном соблюдении отношения 3 : 1, но дает возможность предсказать, каковы должны быть в среднем размеры уклонений от этого отношения. Благодаря этому как раз статистический анализ уклонений от отношения 3 : 1 дает новый, более тонкий и исчерпывающий способ проверки менделевских представлений о расщеплении признаков. Задачей настоящей заметки является указание наиболее рациональных, по мнению автора, методов такой проверки и их иллюстрация на материале работы Н.И. Ермолаевой. Материал этот, вопреки мнению самой Н.И. Ермолаевой, оказывается блестящим новым подтверждением законов Менделя». Андрей Николаевич рассказывал, что опыты Ермолаевой были добросовестными, потому и дали «новое блестящее подтверждение законов Менделя», а Енин слишком рьяно желая подтвердить эти законы, по-видимому, браковал некоторые результаты эксперимента, казавшиеся ему ошибочными и получил слишком хорошие результаты. Это Андрей Николаевич сформулировал в своей статье так: «Намек на такую систематическую чрезмерную близость частот min к 3/4 имеется в материалах работы Т.К. Енина».

В августе 1940 г. Н.И. Вавилов был арестован. Вскоре отстаивать научные истины в биологии стало невозможно.

В 1941 г. Колмогоров публикует свои знаменитые работы о стационарных последовательностях в гильбертовом пространстве и об интерполировании и экстраполировании случайных процессов (в которых он опередил Винера) и три заметки о турбулентности. 22 июня 1941 г. началась война.

Первые месяцы после начала войны Андрей Николаевич оставался в Москве и исполнял многочисленные обязанности по академии и университету. Вскоре после начала войны профессоров и преподавателей университета с семьями начали эвакуировать в разные места нашей страны, а Колмогоров оставался в Москве.

Андрей Николаевич так рассказывал о первых месяцах войны в письме своему другу Николаю Александровичу Селиверстову.

«Вера Яковлевна была вывезена в Казань еще в июле. Тогда же я отправил свои вещи, включая необходимую часть библиотеки, свои и чужие научные рукописи и т.п. Потом я был в Казани по делам два раза в августе и в начале октября, в основном же до 16 октября оставался в Москве. Лекции в Университете продолжались и читались оставшимися профессорами (и воспринимались студентами), пожалуй, даже с особенным увлечением и интересом. Я читал обычный курс теории вероятностей и курс теории стрельбы, на который приходило порядочно артиллеристов из военных академий. Бомбардировки нас в Комаровке мало беспокоили, воспринимаясь лишь как интересное зрелище с балкона. Приезжало много молодежи, по воскресеньям продолжали устраиваться поездки на Образцовский пруд на лодке на трех парах весел (до воскресенья 12 октября включительно).

16 октября - день, когда в Москве была дана, отмененная потом, директива населению уходить пешком, академиков и членов-корреспондентов в спешном порядке вывезли в Горький. Оттуда мы направились пароходом в Казань. Таким образом, я имел возможность воспринимать Волгу поздней осенью. Плыли сначала в звездную морозную ночь, затем в солнечное утро, с великолепным заходом солнца над замерзшими песками и занесенными снегом еще зелеными лесами (в этом году снег упал на свежую, почти зеленую листву)». И снова мы читаем поэтические строки о Волге, с которой столько связано было в жизни Колмогорова16.

Шестнадцатое октября 1941 г. - особый день в истории нашей столицы. Ожидалось скорое вторжение немцев в город, и по Казанскому шоссе потянулась толпа беженцев. Я храню в памяти множество рассказов своих близких и друзей об этом дне, в частности Андрея Николаевича и моей матери, которая должна была оставаться городе, если его захватят немцы, чтобы организовывать сопротивление. Но об этом как-нибудь в другой раз.

В первые месяцы войны случались и забавные эпизоды, о которых Андрей Николаевич любил потом вспоминать. В лесочке перед Комаровкой расположилась зенитная батарея. Андрей Николаевич как-то возвращался домой в сумраке белой июльской ночи в рубашке и белых брюках, с небольшим рюкзачком за спиной и был остановлен часовым и препровожден к командиру батареи. Возникло подозрение, что он шпион, который своими белыми брюками должен указывать вражеским самолетам, куда бомбить. Документов у него не оказалось, а в рюкзаке нашли тексты, написанные на иностранном языке (это были оттиски из Японии, связанные с его пуб-

16 Это письмо любезно предоставила мне дочь Н.Н. Селиверстова Ольга Николаевна.

ликациями по турбулентности). Андрей Николаевич пробовал объяснить, кто он такой и куда следовал, и почти убедил командира батареи, что он академик, а никакой не шпион, но комиссар не поверил сказанному, проявил бдительность, и Андрею Николаевичу пришлось провести ночь в сырой землянке. Наутро комиссар сопроводил его не домой, а прямо на Лубянку, где незадачливому шпиономану досталась порядочная выволочка, а Андрея Николаевича с извинениями доставили домой на машине НКВД.

В годы Великой Отечественной войны Андрей Николаевич принимает активное участие в разработке проблем, связанных с обороной. В наибольшей мере он занимается теорией стрельбы и бомбометания. По отзыву специалистов, А.Н. Колмогоров радикально преобразовал эти области. Работы Колмогорова по военной тематике отмечены в Военном энциклопедическом словаре и в Советской военной энциклопедии. Из математиков этой чести был удостоен лишь М.В. Келдыш.

В 1942 г. и 1944 г. публикуются его открытые работы, навеянные военной тематикой, «стрельбные» сборники, как Андрей Николаевич называл их в своих письмах.

Андрей Николаевич эвакуировался из Москвы в Казань одним из последних, а вернулся одним из первых. Весной 1942 г. многочисленные обязанности, взятые на себя Андреем Николаевичем, привели его в Москву. Здесь он встретился с подругой школьных лет Анной Дмитриевной Егоровой.

Анна Дмитриевна в первой половине 20-х годов вышла замуж за их общего с Андреем Николаевичем гимназического товарища - Сергея Михайловича Мусатова. (В какой-то момент Сергей Михайлович присоединил к фамилии отца фамилию матери и стал Ивашевым-Мусатовым). С.М. Мусатов был интересной, увлекающейся и яркой личностью. Он был человеком ищущим, интересовавшимся наукой. Он учился некоторое время на физмате Московского университета, имел всегда глубокие гуманитарные интересы, а в итоге стал самобытным художником. В 1927 г. у Анны Дмитриевны и Сергея Михайловича родился сын Олег. Но их брак оказался недолгим, и в конце 20-х годов распался. После этого Анна Дмитриевна осталась одна с сыном, правда, заботу о ребенке проявляла также и бабка по отцу.

В 40-е годы Ивашев-Мусатов был осужден на 20 лет по 58 статье и оказался в одной «шарашке» с Александром Исаевичем Солженицыным. Он выведен в романе А.И. Солженицына «В круге первом» под фамилией Кондрашев-Иванов и описан там с глубокой симпатией. Кстати сказать, Андрей Николаевич в многократно цитировавшейся выше мной автобиографии, считал себя обязанным упомянуть о том, что Мусатов находится

в заключении. Это был единственный «дефект» в его биографии, ибо он «не привлекался, не был и не состоял». Единственное, что Андрей Николаевич мог сказать о себе плохого, это то, что первый муж его жены, с которым она рассталась свыше 15 лет тому назад, пребывает в заключении. У человека, не жившего в «те» времена, может вызвать удивление тот факт, что великий ученый, гордость отечественной науки, должен в своем кратком автобиографическом сообщении докладывать о подобном факте не своей биографии. Но таковы были требования тогдашней жизни.

После долгого перерыва Андрей Николаевич и Анна Дмитриевна встретились в 1939 г., а после встречи летом 1942 г. они решили пожениться. Это случилось 3 сентября 1942 г.

1 октября 1942 г. Московский университет открыл двери для нового набора студентов. Были сформированы две группы - всего 50 человек. Лекции и упражнения по анализу вел Андрей Николаевич. Было очень холодно, университет не отапливался, перед Колмогоровым сидели в основном девочки, дрожащие от холода, в пальтишках «на рыбьем меху» и валеночках. Вадим Иванович Битюцков, учившийся в одной из групп (а спустя годы много сотрудничавший с Колмогоровым по Энциклопедии), рассказывал, что после первой лекции второго семестра, где было объяснено, что интегрирование - операция, обратная дифференцированию, Андрей Николаевич в качестве первой задачи на упражнениях дал не что иное, как вычислить интеграл \dx{\ + ле4)-1. После того как минут через пятнадцать ни у кого ничего не вышло, Андрей Николаевич усмехнулся и сказал, что удивительного в этом нет, и сам Эйлер затруднился сначала взять этот интеграл. Это очень характерно для Андрея Николаевича - он с любым собеседником разговаривал обычно, как если бы это был сам Эйлер.

Тогда же Андрей Николаевич читал еще один курс - «Введение в анализ». Несмотря на холодину, Андрей Николаевич читал и вел упражнения без пальто. Запомнилось еще, что на пиджаке был приколот орден Трудового Красного Знамени.

Десятилетие 1943-1952

Как это ни покажется удивительным, это третье десятилетие оказалось менее продуктивным и чем первые два и чем последующее. Ныне опубликован дневник Андрея Николаевича, который он вел в 1943-1944 гг.17 Колмогоров начинает свой дневник в год своего 40-летия, как он сам пишет, в первый свой год «олимпиады процветания».

17 Колмогоров А.Н. Юбилейное издание. В 3-х кн. Кн. 3. «Звуков сердца тихое эхо». М.: Физматлит, 2003.

Я впервые услышал это сочетание слов в 1972 г. на курсовом собрании, посвященном 25-летию окончания университета. Андрей Николаевич любил наш курс, много выступал перед нами. Он согласился выступить и в тот раз. Свое слово он начал с того, что в Древней Греции период между 40 и 44 годами считался вершиной жизни - «олимпиадой процветания», после которого начинается убывание творческих сил. И он желал нам наполнить свои открывающиеся годы олимпиады процветания всевозможными успехами.

В библиографии трудов Колмогорова указаны всего 11 статей, опубликованных в 1943-1946 гг., причем, за исключением двух «стрельбных» статей, написанных в 1942 г., все остальные -это маленькие заметки, не посвященные новым темам.

Дневник содержит много интересного для анализа психологии личности ученого. Вызывает удивление тот факт, что на протяжении всего периода, когда пишется дневник, Андрей Николаевич пробует продвинуться в области теории представлений, где ранее не имел работ. Но работ по этой теме у него так и не появилось.

За 1943-1946 гг. Колмогоров выступил с единственным докладом, посвященным изложению нового результата. Это случилось на заседании математического общества 2 февраля 1944 г. Доклад назывался «Унитарные представления бесконечных групп». Там, по-видимому, подводился некий итог размышлений всего года.

Как-то в беседе с Андреем Николаевичем речь зашла об И.М. Гельфанде и его вкладе в науку. Мне казалось тогда, что у Колмогорова и Гельфанда не было соприкосновений в области теории представлений, где Гельфанд занимал выдающееся место в мире. Неожиданно для меня Андрей Николаевич сказал, что у него есть на эту тему один результат и он венчает только что вышедшую книгу М.А. Наймарка «Нормированные кольца»18.

Там сказано: «Для случая дискретной счетной группы задача разложения унитарного представления на неприводимые была впервые решена А.Н. Колмогоровым», и дана ссылка на упомянутый выше доклад. Эта проблема продолжала исследоваться. Наймарк указывает фамилии нескольких авторов, развивавших эту тематику, а затем пишет: «Наиболее полное и завершенное решение этого вопроса было недавно получено Томита». Сожалею, что так и не познакомился с Марком Ароновичем Наймарком и не спросил его, в какой мере труд Андрея Николаевича повлиял на развитие этого направления и излагал ли Андрей Николаевич кому-нибудь доказательство своей теоремы.

18 Наймарк М.А. Нормированные кольца. М.: ГИТТЛ, 1956.

Что побудило Андрея Николаевича уделить чуть ли не год своей жизни области математики, далекой от его прежних научных интересов, остается для меня загадкой. При чтении дневника мне вспомнился мой старый разговор с ним, и закралась греховная мысль, что Андрею Николаевичу хотелось побороться с Гельфандом на его поле. Эта мысль частично нашла подтверждение во фразе: «Конкуренция же с Гельфандом, пожалуй, при моем теперешнем настроении полезна, чтобы вытащить меня из состояния безразличия к математике». (Безразличие к математике! Я никогда не мог даже подумать, что такие слова могли принадлежать Колмогорову). Но Андрей Николаевич так и не смог сосредоточить на этом новом для себя поле достаточных сил, и ему пришлось его покинуть, практически не оставив следа. Возможно, это было связано с тем, что военное время было временем тяжелых переживаний.

11 декабря 1944 г. Колмогоров делает на заседании Математического общества доклад «О проблемах теории вероятностей», замечательный, во многом пророческий доклад, после которого он начинает активно заниматься и новыми и старыми проблемами теории вероятностей и формирует новое поколение своих учеников.

Но вот окончилась война, и, повстречавшись однажды на собрании в Кремле осенью 1945 г., Николай Николаевич Лузин и Андрей Николаевич Колмогоров тепло приветствовали друг друга, дружески разговорились и через какое-то время Колмогоров получил от своего учителя длинное письмо с обсуждением проблем математических, философских и личных. Начинается письмо с математических вопросов, опустим их, а потом идет такой пассаж, содержание которого выглядит, мягко говоря, странно. «Прибавлю к этому, - пишет Лузин, - что, то изменение в наших отношениях, которое я чувствую и которое нашло отражение вечером в Кремле, позволяет мне, как лицу много старшему Вас, сказать Вам, что мое желание, чтобы Вы несколько удалились от работ по теории вероятностей. И вовсе не потому, что Ваш вклад в нее не фундаментален: я прекрасно знаю, что он оценивается всеми как равноценный вкладу классиков. Но самая-то теория вероятностей не стоит Вас: ее источники сомнительные (origine infernal прямо заявляет Lebesgue), и ее действие на работающих в ней не положительное. Вам дан высокий дух, и я хочу, чтобы Вы его силы берегли для вещей, которые под силу очень немногим. Простите за откровенность».

Мне никогда не приходило в голову принимать эту похвалу Лузина Колмогорову за чистую монету, в столь странной аранжировке она находится; как-то удивительно слышать от крупно-

го ученого, что наука о хаотических явлениях, великое завоевание человеческой культуры, origine infernal. Далее следовало тоже нечто странноватое: «Два слова относительно нашего Павла Сергеевича. Его область работы (...) - это безукоризненно чистые области. И если я удаляюсь от них, то лишь потому, что вкус к ним сильно испорчен “Fundamenta Mathematicae”. (Кстати, знатоки латинского языка утверждают, что “ае” есть результат безграмотности). Проблема 4-х красок есть топологическая проблема. Мне сообщали, что она может быть арифметизирована, т.е. поставлена в эквивалентную связь с некоторым свойством натуральных чисел.

Было бы хорошо, чтобы топология оказалась в силе атаковать проблемы натуральных чисел или хотя бы давать им топологические эквиваленты. И даже с внешней точки зрения это, может быть, было бы хорошо для самой топологии». (Оставим все это без комментариев). И потом вдруг:

«Теперь совсем о другом: приближается время выборов в Академию. Было бы абсолютной несправедливостью, если бы они протекали без Павла Сергеевича. Его работы, отзвуки которых всюду в мировой литературе, его прекрасные зрелые годы -полнота зрелости - разума - и он сам, интереснейший муж, - все это заставляет видеть в нем достойнейшего кандидата, польза активности которого для Академии неоценима.

Мое убеждение в этом отношении сделано, и при случае Вы мне укажете для этого наиболее целесообразные действия.

Глубочайше уважающий Вас Н.Н. Лузин»

Андрей Николаевич отвечает Лузину замечательным письмом от 7 октября 1945 г. Вначале он дает некоторые разъяснения по математике, и эту часть я здесь опускаю. Потом он пишет о себе:

«Теперь, что касается меня: меня давно уже скорее несколько тяготят своеобразные обязанности “лидера” известного направления в теории вероятностей. Конечно, их надо нести, так как исследования в этом направлении должны продолжаться. Я даже задумал опубликовать вскоре на русском и английском языках большой обзор проблем теории вероятностей, которые, по моему мнению, заслуживают внимания серьезных исследователей. Остались и некоторые проблемы, которыми, по-видимому, придется заниматься и мне.

Но уже давно (с 1936 г.) я начал некоторый цикл исследований, который возник из проблем теории вероятностей и динамических систем, а оказался же, по существу, исследованием унитарных представлений групп в гильбертовом пространстве. Это звучит несколько изыскано и не “классически”, но у меня имеется убеждение, что здесь скрывается один из центральных вопросов будущей

“классической” математики: очень уж многие проблемы самых разных стилей согласно ведут именно сюда. Очень соблазняет меня еще гомологическая топология, в которую я, было, погрузился в 1934—[19]36 годах. И еще - исследования в области логических оснований математики, где мне видятся зародыши очень большого нового движения в результатах Turing'а и Church'а.

С чем из всего этого я справляюсь, в самом деле, конечно, сказать трудно».

Андрею Николаевичу свойственно было мечтать и строить планы своей жизни. Кое-что он заносил и на бумагу. И о том, о чем он писал, когда касался своих планов, и к тому, о чем он говорил на эту тему, ныне возможно высказывать диаметрально противоположные мнения. Можно сказать, что ничего не было выполнено, что он стал заниматься совсем другими вещами. Но, проявив широту, можно придти к выводу, что Колмогоров упорно и последовательно на протяжении всей своей жизни шел к одной цели. Андрей Николаевич не вернулся к гомологической топологии, это оказалось для него лишь эпизодом (и я уже говорил, что это - одна из тем, которую будущим поколениям еще надо будет раскрыть до конца), не совсем мне ясна фраза о теории представлений - никаких исследований хоть как-то связанных с теорией представлений не последовало, но взглянем еще раз на остальное.

В кратком абзаце соединены три, казалось бы, несовместимые структуры - теория вероятностей, динамические системы и математическая логика. Именно это, несоединимое, он и пытался объять ценой грандиозных усилий в последнее десятилетие своей активной творческой жизни, которым я считаю 1953-1962 гг. Динамические системы - это системы, где все предопределено, вероятностные - где все случайно. Но выяснилось, что между этими, казалось бы, разделенными непроходимой пропастью областями, на самом деле никакой пропасти нет. Детерминированное, но сложное ведет себя как случайное, а случайное подвержено строгим детерминированным оценкам. И соединяющий мост строится посредством математической логики, где истоки - в результатах Turing'a и Church'a.

А далее Андрей Николаевич переходит к финальной теме лузинского послания: «Я весьма благодарен Вам за заключительные строки Вашего письма. Я действительно считаю, что Павел Сергеевич является столь крупным представителем одного из основных направлений математической мысли, что Академия проявила бы непростительную узость, если бы и в мирное время при ближайших выборах недостаточно оценила важность его вхождения в состав академиков.

Я думаю, что в своих собственных исследованиях Павел Сергеевич с полным правом захочет сохранять во всей чистоте свойственный ему стиль и круг интересов: мне, склонному разбрасываться, именно это в нем импонирует, а значение для математики созданных им концепций (бикомпактных ли пространств, метода ли комбинаторных аппроксимаций теоретико-множественных образований) поистине фундаментально.

Но для нашей математической общественности, конечно, существенно знать, что как научный деятель Павел Сергеевич обладает огромной широтой взглядов. Сейчас, к счастью, это стало понятным и таким представителям противоположных математических вкусов, как, например, Сергей Натанович и Иван Матвеевич [С.Н. Бернштейн и И.М. Виноградов].

Так как я уже ряд лет занят тем, чтобы различные случайные и привходящие обстоятельства не помешали еще раз вполне справедливому, на мой взгляд, избранию Павла Сергеевича, то я действительно очень ценю Вашу готовность тогда, когда это оказывается нужным, поддержать необходимые для успеха действия.

Очень прошу Вас передать мой привет Надежде Михайловне.

С глубоким приветом Ваш А. Колмогоров».

Это письмо - один из образцов колмогоровской эпистолярной прозы: замечательно точной, непреклонно логичной с особым колмогоровским синтаксисом и особой выразительностью. Однако вслед за этим письмом разразились драматические события: Андрей Николаевич дал пощечину своему учителю Николаю Николаевичу Лузину.

Я размышлял - писать или не писать об этом, но счел недостойным памяти своего учителя трусливо обойти этот эпизод молчанием.

Как-то раз в самом начале нашего с ним знакомства Андрей Николаевич попытался рассказать мне об этом событии. Чувствовалось, что он глубоко переживает его. Мне стало нестерпимо вызывать его на исповедь, и я отказался выслушать его рассказ. Он сказал тогда, что, если когда-нибудь мне захочется узнать об этом, он поведает мне о том, что произошло. Но я тут же ответил, что этого не случится никогда. Этого и не случилось. Но в тот самый момент, когда я отказался его выслушать, как бы вдогонку, Андрей Николаевич воскликнул: «Но у меня же было письмо, где он писал совсем другое, не то, что говорил мне тогда в лицо!» Я думаю, что речь шла о концовке приведенного мною выше письма Лузина.

В тот момент я не знал, и более того, не мог даже подозревать о случившемся, и, разумеется, не имел никакого понятия о том, когда произошло печальное событие. Потом мне разъясни-

ли, что конфликт с Лузиным относится к 1946 г. и связан с очередным выдвижением в академики Павла Сергеевича Александрова. Я писал, что Павел Сергеевич стал членом-корреспондентом Академии наук СССР в 1929 г., а потом многократно выдвигался в академики, но его все не избирали. А он страстно желал быть избранным.

И здесь необходимо сказать о некоторых особенностях личности Павла Сергеевича. Он был человек буйных страстей и, кроме того, он обладал способностью добиваться того, что было ему нужно от людей, окружавших его, каким-то магическим, излучаемым им полем. Все подчинялись ему, и Андрей Николаевич тоже был под воздействием этого поля. Колмогоров был всецело поглощен желанием содействовать Павлу Сергеевичу занять достойное место в академии. Это можно уловить из начала фразы, которую я приводил: «... я уже ряд лет занят тем, чтобы различные случайные и привходящие обстоятельства не помешали еще раз вполне справедливому, на мой взгляд, избранию Павла Сергеевича».

Напомню, что еще задолго до 1936 г., до «Дела Лузина», отношения между Лузиным и многими его учениками резко нарушились. В частности, в душе Павла Сергеевича появилась тяжелая обида на Лузина. Потом случилось само «Дело Лузина», когда многие ученики участвовали в травле своего учителя. Я старался объяснить, что в том старом конфликте учителя и учеников мне видится их взаимная вина друг перед другом (но больше всего жаль мне все-таки затравленного учителя).

И вот прошло несколько лет, и вдруг оказывается, что между Лузиным и Александровым с Колмогоровым дружеские отношения были в какой-то мере восстановлены. Из переписки Л.С. Понтрягина с его учеником и другом И.И. Гордоном19 выясняется, что Лузин был даже зван и потчуем в Комаровке. Страстное желание Павла Сергеевича преодолеть препятствия к академическому званию заставило его подавить в себе обиду на Николая Николаевича. И Лузин, судя по всему, постарался забыть прошлое и обещал поддержку Александрова на выборах. Но своего обещания он не выполнил.

А здесь надо сказать, что в характере Колмогорова была одна болезненная особенность: иногда он терял власть над собой. И мне представляется, что на том собрании, это, по-видимому, произошло. Находясь в состоянии крайнего нервного напряжения и возбуждения, почувствовав, что его планам относительно своего друга не суждено сбыться и после нарушения Лузиным

19 Историко-математические исследования. 2005. Вып. 9 (44). С. 90-91 (письмо 49).

своего слова, Андрей Николаевич взорвался, впал в состояние неистовства, и случилось то, что произошло. Но Колмогоров не сохранил недобрых чувств к Лузину. Андрей Николаевич позволял себе подтрунивать над некоторыми мелкими слабостями Николая Николаевича, но отрицательных суждений о Лузине из его уст я не слышал ни разу. Но многократно слышал слова благодарности ему.

И вообще Андрей Николаевич в откровенные минуты позволял себе сурово отзываться о разных людях, в том числе и близких, но о больших математиках, даже тех, кто наносил ему несправедливые обиды или был его духовным антиподом, при мне он себе отрицательных высказываний никогда не позволял.

Однако то, что случилось - случилось, и надо было как-то реагировать на это. Но никто не брал на себя ответственность за принятие какого-то решения.

Такое было время - время неслыханной, неправдоподобной, беспрецедентной концентрации власти: решение мог быть принимать только один человек.

Приведу два примера.

...Михаил Моисеевич Ботвинник, один из величайших шахматистов всех времен, получил в подарок от Серго Орджоникидзе легковую машину «Эмку» за победу на Ноттингемском турнире. Однако бензин так просто не продавался, и Ботвинник обратился «высшие инстанции». Но никто не мог взять на себя ответственное решение: «выделить шахматисту Ботвиннику 100 л бензина» - фраза в кавычках подписана (и, по-видимому, продиктована) Сталиным. В кабинете главврача Филатовской больницы красовался на стене, заключенный в рамку, помятый листик бумажки с написанным на машинке постановлением о ремонте больницы. Листик, подписанный Сталиным!

Так кто же мог принять решение, что делать с академиком Колмогоровым? Разумеется, это мог лишь «вождь всех народов». И Сергей Иванович Вавилов, родной брат сгноенного в саратовской тюрьме Николая Ивановича Вавилова, крупнейшего биолога и деятеля науки, решился во время одного из своих визитов (ежемесячных, перед которыми за неделю он лишался сна) спросить вождя о том, как быть с Колмогоровым. Вождь, попыхивая трубкой, благодушно изрек: «Это бывает...» (реконструирую эту сцену по рассказам, неоднократно слышанным мною, в частности от Андрея Николаевича).

В итоге Колмогорова «наказали», удержав за некоторое малое время полуставочную зарплату.

Образ Сталина столь тесно вплетен в судьбу каждого, кто жил в сталинские времена, что как черный человек перед Моцар-

том, Сталин «сам третей сидит» в любой нашей компании, когда мы собираемся вместе. Он не отпустит нас до последней нашей минуты. Тема Сталина не раз возникала и в наших разговорах с Колмогоровым. Но в этих беседах с Андреем Николаевичем всегда присутствовала какая-то свойственная ему жизнерадостная компонента.

Как-то, когда уже вышел 50-й, последний, том второго издания Большой советской энциклопедии, в самом издании оставалась зияющая дыра - не вышедший 40-й том на букву С, где должна была быть напечатана статья «Сталин». Я спросил Андрея Николаевича: «В чем дело?» и очень люблю вспоминать ответ Колмогорова. Он, пожав плечами, произнес: «Не получается...».

Когда мы обсуждали с ним XX съезд КПСС с докладом Хрущева о культе личности, Андрей Николаевич сказал, что все это в общих чертах было ему известно. По многим поступкам Колмогорова можно судить, что он хорошо понимал, в какое время он живет. И при всем том Андрей Николаевич, следуя своему жизненному кредо стараться видеть в жизни только хорошее, не был слишком суров к «отцу народов». Чувствовалось, что он нашел, за что его благодарить - за то, что тот его не сгубил.

В первые послевоенные годы Колмогоров ведет интенсивную творческую и педагогическую работу.

Биологические проблемы стимулировали Колмогорова к разработке теории ветвящихся процессов. Ученик Андрея Николаевича, видный специалист по теории ветвящихся процессов, член-корреспондент АН РАН прежде АН СССР Б.А. Севастьянов пишет: «Общее понятие и сам термин “ветвящегося случайного процесса”, сразу ставший общепринятым, были явно высказаны А.Н. Колмогоровым на руководимом им семинаре в МГУ в 1946/47 уч.г.». В этом семинаре принимали участие Н.А. Дмитриев, Б.А. Севастьянов, А.М. Яглом и другие.

Николай Александрович Дмитриев, тогда Коля Дмитриев, совсем еще мальчик, чуть ли не 15-летним поступивший в Московский университет, стал работать под руководством Колмогорова. Имеются две публикации, где Дмитриев является соавтором. Одна из них с Евгением Борисовичем Дынкиным, который в те годы решил обрести свою вторую (ставшую для него основной) научную специальность. До того Дынкин выполнил замечательные работы в области теории представлений (под влиянием И.М. Гельфанда), но в конце 40-х годов стал заниматься теорией вероятностей.

Дынкин был оставлен в университете по кафедре теории вероятностей, а Дмитриев, пожелав заниматься чем-нибудь более

важным для страны, уехал в Арзамас и стал там ведущим математиком этого центра.

В 40-е - начале 50-х годов и позднее происходило многое: сессия ВАСХНИЛ, борьба с космополитизмом, дело врачей, а потом события в Венгрии, Польше, Чехословакии, начало диссидентства, Сахаров, Солженицын... Продолжать можно долго. Большинство людей, живших в те годы, совершали поступки, которые отягчали их совесть. С Андреем Николаевичем это тоже случалось, и снова я считаю недостойным отстраниться от обсуждения этого. Я выскажу свое мнение во фрагменте в последней части книги.

Десятилетие 1953-1962

А затем произошло истинное чудо. Начиная с 1953 г., Андрей Николаевич пережил совершенно необыкновенный творческий подъем, длившийся снова примерно 10 лет. Научные свершения Колмогорова в этом десятилетии, по мнению многих с кем мне довелось это обсуждать, могут быть сравнимы лишь фантастическим взлетом к вершинам науки математика другого поколения -Александра Гротендика. Одной из величайших удач моей собственной жизни я считаю то, что мне довелось быть близким свидетелем именно этого поразительного периода гениальных свершений.

Основные достижения в науке

Наибольшие усилия Колмогорова в этот период были, по свидетельству самого Андрея Николаевича, связаны с четырьмя темами. Это:

• малые знаменатели в задачах классической механики;

• внедрение понятия энтропии в различные области математики;

• представление функций в виде суперпозиций;

• равномерные предельные теоремы теории вероятностей.

И в каждом из этих направлений им были разрешены фундаментальные проблемы.

В теории малых знаменателей Андрей Николаевич создал совершенно новый метод, который, будучи усовершенствован его учеником В.И. Арнольдом и американским математиком Ю. Мозером, привел к решению, быть может, самой глубокой задачи теоретической астрономии и классической механики - проблемы устойчивости планетной системы, проблемы, которую решали и

Ньютон, и Лаплас, и Пуанкаре (впоследствии этот метод был назван КАМ-теорией - теорией Колмогорова-Арнольда-Мозера). В принципе могло быть так, что всякая планетная система неустойчива и рано или поздно все планеты обрушиваются на свое основное светило. В итоге работ Андрея Николаевича и его последователей выяснилось, что это не так: бывают и вечно устойчивые системы. Попутно им самим и его продолжателями было сделано существенное продвижение в большом числе других принципиальных вопросов естествознания20.

Большой успех выпал на долю А.Н. Колмогорова в теории динамических систем. Введенное им понятие энтропии динамической системы совершенно преобразило эту классическую область математики, где среди его предшественников были такие крупнейшие математики, как фон Нейман и Н.Н. Боголюбов. Основополагающие работы Колмогорова и его ученика Я.Г. Синая принадлежат к числу самых крупных достижений математики второй половины прошедшего века.

А.Н. Колмогоров вместе со своим учеником В.И. Арнольдом решил одну из самых знаменитых гильбертовых проблем - тринадцатую; при этом решение оказалось не соответствующим общему замыслу Гильберта: выяснилось, что на уровне непрерывности не бывает функций многих переменных (!) (хотя весь опыт классического анализа, казалось бы, свидетельствует о том, что чем больше переменных, тем богаче запас функций). Точнее говоря, оказалось, что любую непрерывную функцию можно представить в виде суперпозиции (непрерывных) функций одного переменного и единственной функции двух переменных - сложения: s(x, у) = X + у.

Наконец, Андрей Николаевич получил равномерную предельную теорему о приближении сумм независимых одинаково распределенных случайных величин так называемыми безгранично делимыми распределениями. Подходы к решению этой проблемы он искал на протяжении почти 20 лет.

Совместная научная деятельность с учениками и последователями

В этом же десятилетии учениками и последователями Андрея Николаевича под его руководством и идейным влиянием

• были получены выдающиеся результаты в теории случайных процессов (В.П. Леонов, Р.Ф. Матвеев, Ю.А. Розанов, Я.Г. Синай, А.Н. Ширяев, и др.);

20 Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика.

• сделаны большие продвижения в эргодической теории динамических систем (Л.М. Абрамов (Одесса), А.М. Вершик, И.В. Гирсанов, В.А. Рохлин, Я.Г. Синай, и др.), а также динамических систем классической механики В.М. Алексеев, К.А. Ситников);

• получены фундаментальные результаты по основаниям теории информации (И.М. Гельфанд, Р.Л. Добрушин, М.С. Пинскер, А.М. Яглом и др.);

• открыта новая глава в функциональном анализе: теория размерности бесконечномерных линейных топологических пространств (В.С. Митягин, А. Пельчинский (Польша) и др.);

• фактически начата разработка нового этапа теории аппроксимации, где исследовались е-энтропия и поперечники функциональных классов и связанные с ними топологические и экстремальные задачи (К.И. Бабенко, А.Г. Витушкин, В.Д. Ерохин, Н.П. Корнейчук (Днепропетровск), В.М. Тихомиров и др.);

• получены фундаментальные результаты в теории марковских цепей (Р.Л. Добрушин);

• решены важные экстремальные задачи в классических предельных теоремах теории вероятностей (В.С. Королюк (Киев), Б.А. Рогозин, С.Х. Сираждинов (Ташкент) и др.);

• изучены предельные теоремы теории вероятностей с точки зрения распределений в функциональных пространствах (Ю.В. Прохоров, А.В. Скороход (Киев) и др.);

• велась интенсивная работа в области математической логики; в частности, в эти годы были выполнены две выдающиеся логические диссертационные работы учеников Андрея Николаевича (Ю.Т. Медведевым и В.А. Успенским). Андрей Николаевич вел в те годы (совместно с В.А. Успенским) семинар по рекурсивной арифметике, обдумывал проблемы связи теории рекурсивности и теории автоматов (на Западе наиболее общий вид автоматов получил название «Kolmogorov-Uspensky machine» - «машина Колмогорова-Успенского» - все это в дальнейшем способствовало созданию им теории сложности на исходе рассматриваемого периода. Теория сложности увенчала творческую биографию Колмогорова. Ныне «колмогоровская сложность» -одно из самых популярных и широко цитируемых его достижений.

Выступления на конгрессах и съездах

В эти годы начал постепенно приподниматься «железный занавес» и Андрей Николаевич стал принимать активное участие в международной математической жизни. В 1954 г. он был докладчиком на Международном математическом конгрессе в Амстердаме. Его доклад завершал научную программу конгресса - так была выделена особая роль А.Н. Колмогорова среди других участников этого математического форума (открывал Конгресс фон Нейман). Колмогоров сделал получасовой доклад с изложением принципиально новых подходов к теории аппроксимации и к вычислительной математике на Международном математическом конгрессе в Эдинбурге (1958). И в нашей стране он имел множество ответственных выступлений. Андрей Николаевич сделал пленарный доклад «Теория передачи информации» на сессии Академии наук СССР по научным проблемам автоматизации производства (1956), сделал два обзорных часовых доклада на Всесоюзном математическом съезде в Москве (1956), принял активное участие во Всесоюзном математическом съезде в Ленинграде (1961).

Заграничные поездки, всесоюзные конференции и публичные лекции

Колмогоров читал циклы лекций в ГДР, Польше, Швеции; в весеннем семестре 1958 г. был профессором Парижского университета, где прочитал несколько лекционных курсов. Он много выступал на родине перед научной общественностью с докладами о кибернетике, математической экономике, о других проблемах. Особенно запомнился всем его доклад в Доме культуры МГУ «Автоматы и жизнь» (6 апреля 1961). Колмогоров сделал свыше 30 докладов в Московском математическом обществе. Он много путешествовал по Советскому Союзу, выступал с научными сообщениями (в частности, почти ежегодно бывал в Ленинграде).

Общественная деятельность

С 1954 г. по 1956 г. Андрей Николаевич заведовал Отделением математики мехмата МГУ, а в период с 1954 г. по 1958 г. был деканом факультета. До 1960 г. Колмогоров был заведующим Отделом теории вероятностей в МИАН СССР, все эти годы был заведующим кафедрой теории вероятностей мехмата МГУ. И всюду, где он работал, происходили большие и позитивные перемены. В 1960 г. Андрей Николаевич организовал при МГУ лабораторию вероятностных и статистических методов.

Педагогическая деятельность

Аспирантами и сотрудниками Андрея Николаевича в те годы были (в скобках указывается год поступления в аспирантуру или начало сотрудничества):

Г.И. Баренблатт (1950, гидродинамика), Л.Н. Большев (1951, математическая статистика), Р.Л. Добрушин (1952, марковские цепи, теория информации);

Ю.Т. Медведев (1952, математическая логика), В.А. Успенский (1952, математическая логика, теория алгоритмов), А.Г. Витушкин (1954, энтропия, суперпозиции), В.М. Золотарев (1954, суммирование случайных величин);

В.М. Алексеев (1955, небесная механика, динамические системы), Ю.К. Беляев (1956, случайные процессы), А.А. Боровков (1956, теория вероятностей), Р.Ф. Матвеев (1956, случайные процессы), Л. Д. Мешалкин (1956, динамические системы), В.Д. Ерохин (1957, комплексный анализ), В.П. Леонов (1957, теория вероятностей), Ю.А. Розанов (1957, случайные процессы), Я.Г. Синай (1957, динамические системы), В.М. Тихомиров (1957, теория приближений), А.Н. Ширяев (1957, случайные процессы), В.И. Арнольд (1959, суперпозиции, динамические системы, классическая механика).

Докторские диссертации в те годы заканчивали его ученики М.С. Пинскер, Ю.В. Прохоров, Б.А. Севастьянов, С.Х. Сираждинов.

Андрей Николаевич имел плодотворные творческие контакты в тот период со многими своими бывшими учениками и учеными разных поколений, не входившими в число его непосредственных учеников.

Колмогоров прочитал на мехмате большое число обязательных и специальных курсов; организовал и разработал математический практикум. Каждое из этих его деяний заслуживает по меньшей мере отдельной статьи, заголовками которых могли бы быть: О рождении курса Анализ-3; Колмогоровские курсы по теории вероятностей и теории случайных процессов; Курсы и семинары Колмогорова 1956/57 г. по динамическим системам и энтропии. Быть может, отдельной книги заслуживает осмысление колмогоровского математического практикума.

В те годы Андрей Николаевич намечал и осуществлял поистине грандиозные планы. В письме к В.И. Арнольду от 31 мая 1957 г. Колмогоров рассказывает о своих замыслах на 1957/58 учебный год (все это было осуществлено с превышением). Он предполагает вести с Арнольдом кружок для первого курса, активно руководить постоянным семинаром кафедры теории веро-

ятностей, открыть новый совместный семинар Стекловского института (в те годы Андрей Николаевич заведовал отделом теории вероятностей МИАН им. В.А. Стеклова) и кафедры теории вероятностей по прикладным вопросам теории вероятностей, читать обязательный курс по случайным процессам, вести семинар по динамическим системам для аспирантов (В. Алексеев, В. Арнольд, Ю. Беляев, В. Ерохин, Л. Мешалкин, Я. Синай), вести семинар для четверокурсников по проблемам сложности.

А какие замечательные планы строил А.Н. Колмогоров, объявляя научно-исследовательский семинар 1959/60 года!

Вот программа этого семинара (с небольшими сокращениями), написанная самим Андреем Николаевичем:

«1. Краевые задачи для гиперболических уравнений... 2. Задачи классической механики... 3. Моногенные функции Бореля и квазианалитические функции Гончара. 4. Возникновение высокочастотных колебаний при стремлении производных к нулю (работы Волосова и Лыковой). 5. Уравнения с малым параметром и возникновение турбулентности. 6. Вопросы устойчивости ламинарных течений. 7. Обсуждение возможностей применения к реальным механическим и физическим системам представлений метрической теории динамических систем. Рассмотрение гипотезы (хотя бы на моделях), что [...] в пределе динамическая система превращается в случайный процесс (гипотеза практической невозможности долгосрочного прогноза погоды)».

Издательская и просвещенческая деятельность

В эти годы Колмогоров возглавляет Отдел математики Большой Советской Энциклопедии, где печатает множество статей, в частности обзорные статьи «Математика» и «Кибернетика»; он был одним из редакторов трехтомника «Математика, ее содержание, методы и значение», в который написал статью «Теория вероятностей». И снова напрашивается большое исследование на тему «Колмогоров энциклопедист» и эссе: «Зачем понадобилось издавать трехтомник о значении математики?» (короткий ответ на этот вопрос таков: хотелось, чтобы не было разгромной сессии, подобной ВАСХНИЛ о математике). В 1954 г. выходит первый, а в 1958 г. - второй том учебника А.Н. Колмогорова и С.В. Фомина «Элементы теории функций и функционального анализа» - единственный из учебников, написанный математиками поколения Андрея Николаевича, сохранивший свое значение до нашего времени. В 1959 г. Колмогоров основывает и возглавляет редакцию математики и механики в Издательстве иностранной литературы. Андрей Николаевич был членом редакций

основных математических журналов - Математического сборника и Успехов математических наук (с 1946 г. по 1954 г. он был главным редактором).

В 1956 г. Андрей Николаевич основывает журнал «Теория вероятностей и ее приложения» и становится его главным редактором.

Конечно, во всех этих перечнях сказано далеко не обо всем. О многих других сторонах жизни Колмогорова в эти годы - прогулках, походах, участии в политической жизни, его интересе к поэзии, литературе, живописи, скульптуре и многом другом я предполагаю написать отдельно.

Чем же можно объяснить такой взрыв творческой активности? Я задавал этот вопрос самому Андрею Николаевичу, и он отвечал и мне и другим своим друзьям, что сам видит две таких причины. Главной из них он называл крушение чудовищной тирании, рухнувшей со смертью Сталина. Это породило надежду на то, что мир может установиться в спокойствии и благоденствии. Такие ожидания частично оправдались, и они сумели напитать творческий потенциал Андрея Николаевича мощными стимулами. А другая причина - окончание строительства нового здания университета, которое он сразу полюбил, переезд, обозначивший новый этап жизни и звавший к началу больших свершений. Именно в эти годы Андрей Николаевич оказался очень счастлив и в своих деяниях и в своих учениках.

В течение описываемого десятилетия он становится почетным профессором Парижского университета, Почетным членом Королевского статистического общества Великобритании, почетным членом Международного статистического института, членом Германской академии «Леопольдина», Почетным членом Американской академии искусств и наук (г. Бостон, США), почетным доктором наук Стокгольмского университета, Иностранным членом Американского философского общества в Филадельфии (США).

В последний год этого десятилетия Андрей Николаевич посещает Индию, где становится Почетным доктором наук Индийского статистического общества в г. Калькутта и Почетным членом математического общества Индии.

В тот же год он становится Почетным членом Американского Метеорологического общества и Почетным членом Лондонского математического общества. Ему присуждается в Риме Международная премия по математике Фонда Бальцана, которую тогда все восприняли, как аналог Нобелевской премии.

1963 год - год 60-летия Колмогорова. И он встретил его триумфально. Ему была присуждена высшая государственная награ-

да - он был удостоен звания Героя Социалистического труда, его ученики нарисовали на многих листах ватмана огромную спираль, включившую фамилии большинства его учеников, ему подарили многотомное собрание оттисков работ этих учеников, выступавшие затруднялись в подборе слов, характеризующих Колмогорова как ученого, человека, деятеля науки.

И да позволено будет мне остановить мое последовательное изложение жизни Андрея Николаевича Колмогорова в момент, когда на его чествовании в Доме Культуры МГУ после выступлений и приветствий слово было предоставлено юбиляру, и зал разразился долгими бурными аплодисментами. Андрей Николаевич стоял радостный и смущенный. Этот момент я запомнил как вершину его жизни.

Глава III

Творчество

Широта кругозора и разнообразие научных устремлений Андрея Николаевича Колмогорова уникальны. В самом начале книги был приведен перечень 20 (!) областей математической науки, в которых ему суждено было оставить непреходящий след.

Существенную компоненту в его исследованиях составляют работы в области приложений математики в естествознании -физике, биологии, геологии, океанологии, метеорологии, кристаллографии и т.п. А.Н. Колмогоров имеет также труды по философии, истории естествознания, методологии науки, большое число работ, посвященных проблемам школьного и вообще - математического - образования и много других. Список трудов Андрея Николаевича (пока еще не полный) насчитывает свыше 500 работ, из них более 200 статей и 6 книг по математике.

При беглом взгляде творчество Колмогорова может показаться нагромождением множества изолированных, не связанных между собой частей. И сам Андрей Николаевич, казалось бы, иногда подтверждал такое суждение. «Мне, склонному разбрасываться...», - написал он как-то в письме своему учителю Н.Н. Лузину, которое мы приводили, и подобное повторял не раз.

Но если более пристально взглянуть на его творчество, то можно придти к выводу, что его усилия были подчинены единому общему замыслу, и разнообразие осуществленного было порождено беспредельностью поставленных целей. Ему хотелось постичь основания математики, ее структуру как единой науки и ее же как средство объяснения окружающего нас мира. На завершающем этапе своей научной деятельности Колмогоров пытался связать воедино два дотоле, казалось бы, несоединимых мира -мира Порядка и мира Хаоса.

У каждого на слуху слова другого нашего великого современника - Бориса Леонидовича Пастернака: «Во всем мне хочется дойти до самой сути...». Есть два типа ученых, весьма различающихся между собой по главному вектору их устремлений, к которым можно с достаточным основанием отнести слова поэта. Примером одного из таких типов ученых является Карл Фридрих

Гаусс, чьим девизом было: «Nil actum reputans si quid superesset agendum» - что не завершено, то не сделано вовсе. Вот уж воистину он стремился: «дойти до самой сути», прояснить все до последней детали, чтобы никому больше не было искушения заниматься данным кругом вопросов. Гаусс был велик, и столь почитаем, что объявлен при жизни «Mathematicorum Princeps» - Королем математиков.

Но Колмогоров, как и многие другие Короли математиков, такие, как, скажем, Риман или Пуанкаре, не принадлежали к этому типу ученых. Их кредо я выразил бы (чуть изменив слова поэта) так: «Я хотел бы дойти до сути всего». Прежде чем продолжить эту тему, поговорим о научных темпераментах разных ученых.

Многократно в публикациях Андрея Николаевича и разговорах встречался один и тот же сюжет. Некогда Борис Николаевич Делоне, наш выдающийся геометр и вообще весьма самобытная и колоритная личность (чего стоит одно лишь то, что он отказался, будучи избранным, от звания академика, оставшись до конца дней членом-корреспондентом Академии!), выступая в присутствии Колмогорова перед школьниками, высказал мысль, что большое научное открытие отличается от хорошей олимпиадной задачи только тем, что на решение олимпиадной задачи отводится 5 часов, то время, как получение крупного научного результата требует затраты 5000 часов. (Так, по-видимому, работал сам Делоне, такова же была творческая манера и многих других, скажем, Гильберта, который на годы, а иногда и на десятилетия погружался в какую-то одну проблему или разработку одной теории; таков же был характер творчества и Павла Сергеевича Александрова.)

Андрей Николаевич очень часто вспоминал эти слова Б.Н. Делоне, но всякий раз, когда заходила речь о пресловутых 5000 часах, с чувством какой-то неловкости и даже досады на себя он говорил, что так длительно и сосредоточенно думать об одной и той же проблеме он не мог. Но он умел концентрировать огромную энергию на сравнительно коротком отрезке времени. Подобная аккумуляция энергии порождала мощный взрыв, и в, казалось бы, неприступных бастионах образовывались зияющие бреши. В них мгновенно устремлялись десятки, а нередко и сотни исследователей. А сам Андрей Николаевич обычно не торопился протискиваться в эти им же образованные щели, у него как бы наступало творческое расслабление и мысленно он устремлялся уже к иной цели.

Андрей Николаевич обычно ограничивал себя лишь глобальным пониманием существа дела, предоставляя доделывать и доводить до конца («до самой сути») другим.

На моих глазах подобное случалось неоднократно. Так было при решении тринадцатой проблемы Гильберта, когда, почти добравшись до цели, он объявил, что предоставляет завершение работы своим последователям. Так было и с проблемами классической механики, когда осуществив прорыв и доказав основной результат в невырожденном случае, он практически отошел от тематики. Так было и в теории приближений, и в эргодической теории, и во многих других случаях. Но все его «внезапные озарения» приводили к открытиям поразительной красоты и глубины.

При этом, однако, необходимо сказать, что моменты такой огромной концентрации сил, приводящие к мощным последствиям, как правило, бывали завершением многолетней внутренней подсознательной работы. Смутные замыслы, касающиеся основных проблем классической механики, эргодической теории или суперпозиции функций, бродили в его сознании с середины 30-х годов, а нашли свое завершение лишь в конце 50-х годов. В итоге 5000 часов, быть может, и набирались?!

Остановимся и на других часто цитируемых словах Бориса Леонидовича - о неслыханной простоте. Она начинается со слов: «Есть в опыте больших поэтов черты естественности той...». Они с заменой «поэтов» на «ученых» часто приходили мне на ум во время моих бесед с Андреем Николаевичем. Нередко (особенно в свои аспирантские годы, когда я еще так мало знал) я спрашивал Колмогорова о каком-то результате, который из глубин моего невежества казался мне трансцендентно трудным. И почти не было случая, чтобы Андрей Николаевич не сказал бы на это что-то вроде: «Да нет, там строится вполне естественная конструкция...».

Хотя все-таки оценка некоторых результатов как сложных иногда возникала. Андрей Николаевич не раз подчеркивал, что, скажем, его пример ряда Фурье, расходящийся всюду, не прост. В «неслыханную» простоту в науке удается впасть не всегда (по этому поводу я очень люблю цитировать Эйнштейна: «Мир устроен просто. Очень просто. Но не более того!»), но, конечно, каждому ученому хочется создать что-либо важное, но не неслыханно простое. И они обычно гордятся сложностью проведенного ими рассуждения, хотя фактом является и громоздкость первоначальных доказательств и то, что со временем большинство из них упрощается. И не потому обычно, что наука сделала какой-то шаг вперед, а именно из-за того, что «сложное понятней им»! Но пойдем дальше.

Андрея Николаевича очень интересовала проблема творческой одаренности. Он выделял алгоритмические, наглядно-геометрические и логические способности человека и еще «интуи-

цию процессов», умение предвидеть результат или прогноз эволюции процесса без вычислений.

Сейчас более принято деление на две группы (аналитические и образно-геометрические) в соответствии с разными функциями двух полушарий мозга. Затруднительно со стороны определить, какие из названных им трех типов способностей превалировали у Андрея Николаевича. Аналитические работы с обилием выкладок и преобразований сочетаются у него с работами, где основную роль играет «искусство последовательного правильно расчлененного логического рассуждения». А кроме того, в его исследованиях по теории функций и топологии, например, имеются исключительные по красоте геометрические конструкции. Сам Андрей Николаевич особо гордился своими геометрическими способностями и интуицией процессов.

Кстати сказать, от рождения Андрей Николаевич был левшой и специально учился в детстве свободно владеть правой рукой, с чем он и справился. Не исключено, что он принадлежал к редкой разновидности людей, у которых каждое из полушарий как бы исполняет обе функции, так что асимметрия практически отсутствует.

Важной характеристикой интеллекта является скорость мышления. П.С. Александров как-то в шутку говорил об «острых» и «тупых» гениях и к последним он причислил Гильберта. Андрей Николаевич, безусловно, принадлежал к «острым» гениям, но меня лично больше всего поражала в нем не столько скорость мышления, сколько скорость осознания и восприятия. Я многократно был свидетелем того, как едва уловимые флюиды или весьма расплывчатые намеки, попадая в сферу его внимания, мгновенно складывались в стройную и законченную систему. Иногда создавалось впечатление, что Андрей Николаевич принадлежит к людям, обладавшим как бы «априорным» знанием -он знал, кажется, все, хотя совершенно непонятно было, когда же всему этому он научился. И было необыкновенно интересно наблюдать, как вдруг в нужный момент выплывали в его сознании и соединялись воедино универсальное дерево Менгера и конструкции Кронрода или идеи Пуанкаре-Боголюбова-Крылова и метод Ньютона-Канторовича, замыслы Понтрягина-Шнирельмана и теория Шеннона.

Но надо сказать, что в отличие от очень многих крупных математиков, Андрей Николаевич был замечательным «решателем» задач олимпиадного стиля. Я слышал один рассказ, в истинность которого верю (несмотря на его, казалось бы, очевидное неправдоподобие), и потому с удовольствием привожу его здесь.

Дело было в конце 40-х или начале 50-х годов. Но прежде нужно кое-что пояснить. После проведения московской олимпиады через две недели в воскресенье проходит вручение наград. Оно предваряется рассказом о решении всех задач, предложенных на олимпиаде. Среди этих задач нередко случаются очень и очень сложные, и потому тем, кто должен выступать перед присуждениями, обязательно даются тексты с самими решениями. Колмогоров как-то раз согласился выступить перед школьниками с объяснением решений. Условия он просил привезти ему в субботу утром. Доставить задачи академику взялся молодой математик, про которого возможно сказать, что он «не от мира сего». Конечно, поехал он сначала не по той железной дороге, потом много еще блуждал по окрестностям Комаровки и, наконец, лишь к вечеру попал по назначению. Колмогоров был взбешен, обругал бедного математика, взял у него листочки с условиями и не спросил про листочек с решениями. И вот уже поздно вечером руководители олимпиады выяснили, что решений у Колмогорова нет. И все были абсолютно уверены, что он не сможет за такое короткое время решить все задачи, ибо некоторые считались «гробами», т.е. были особенно трудными. Возникло опасение, что Колмогоров просто не приедет, и стали было готовить ему замену, но решений всех никто толком не знал, вызвать вечером авторов трудных задач не удавалось, словом все ожидали неприятностей.

И вдруг в 10 утра появляется Колмогоров и начинает разбор задач. Андрея Николаевича обычно трудно было понимать. Простые задачи он, тем не менее, объяснил понятно для многих, а решения трудных задач поняли только их авторы, причем решения были отличны от авторских!

В «Последнем интервью» на вопрос: «Как Вы работаете?», Андрей Николаевич ответил так: «...Вы читаете книжки, подготавливаете собственные лекции с какими-нибудь новыми вариантами, и вдруг, на почве этой повседневной работы, является какая-нибудь неожиданная идея, и еще смутно виднеется какой-то совершенно другой путь. Тогда чрезвычайно существенно забросить все остальное и думать, думать без конца в одном только что возникшем направлении. На счастье, у меня такая возможность обычно бывала, но мне во всей истории моих научных открытий так уж самозабвенно, отключившись от всего другого, приходилось работать неделю, иногда, может быть, две - не больше».

Нечто подобное я услышал впервые в 1955 г., когда Андрей Николаевич был на одной из вершин своей творческой жизни, когда он брался за великие проблемы, и все трудности низвергались одна за другой. В ту пору он был деканом, и по моему приглашению выступал перед моим курсом. Но он обращался в сво-

ей речи как бы не к нам, а некоей группе совершенных людей, живущих в идеальном свободном государстве.

Из его слов следовало, что каждый волен избирать для себя свой метод постижения наук, и значит, на лекции, вообще говоря, ходить вовсе не обязательно (хотя у нас в то время было обязательное посещение, старосты обязаны были представлять сведения о присутствовавших на лекции, и Андрей Николаевич как декан должен был проводить это предписание в жизнь). Но мы слышали иное: «Есть же книжки, и потому нужно слушать лишь те лекции, которые нельзя восполнить по литературе». В частности, про себя он сказал, что лекции по матанализу он вообще не посещал, но зато перерешал все задачи со звездочкой из Гурса (такой был знаменитый переводной учебник по матанализу).

И тогда он произнес слова, почти буквально те же, что и через 30 лет в «Последнем интервью»: что если вы чувствуете плодотворность какой-то идеи, надо вообще все бросить и «думать, думать без конца в одном только что возникшем направлении», как это делал он сам девятнадцати лет при построении ряда Фурье, расходящегося почти всюду. Тогда три дня он думал только об этом, он не помнит, как и что он ел, что происходило вокруг, он ходил, как сомнамбула, и вдруг наступило внезапное озарение, и проблема оказалась решенной.

Этот рассказ свободного и вдохновенного человека так и остался одним из самых незабываемых впечатлений всей моей жизни!

Хочу поразмышлять и еще об одной особенности творческой манеры Андрея Николаевича. Естественно задаться вопросом: кто же оказал наибольшее влияние на Андрея Николаевича, на «чьих плечах» он стоял, на чье творчество более всего опирался? Эта тема ждет своего более тщательного исследования, и мне хочется лишь слегка обозначить ее. В первом томе избранных сочинений Андрея Николаевича имеется 60 статей. Ни в одной из них он не выражает благодарности учителям или коллегам (за помощь, полезные советы, постановки задач или что-нибудь еще). В 15 статьях вовсе нет библиографии, а в остальных фигурируют работы 93 математиков. Из ученых старых эпох цитируются лишь Аристотель и Лейбниц, из новых поколений (и по не очень существенному поводу) лишь Гротендик. В основном - это известные ученые предшествующего и его собственного поколений. Из предшественников наиболее значимы ссылки на Адамара, Биркхофа, Бореля, Брауэра, Гильберта, Каратеодори, Лебега, Лузина, Тейлора, фон Кармана, Харди, Хаусдорфа, Чебышева, Бернштейна, фон Мизеса и Фишера. Мне думается, что именно их следует причислить к тем его предшественникам, кому он в

наибольшей мере обязан. Несколько удивительно отсутствие ссылок на Пуанкаре. Это, по-видимому, связано во многом с тем, что идеи Пуанкаре Андрей Николаевич воспринимал, читая труды Шази и Шарлье. Остальные математики, на которых ссылается Андрей Николаевич, - участники текущего научного процесса. Здесь следует отметить большое влияние, которое оказали на него труды Крылова-Боголюбова и де Рама, о чем он говорил, комментируя свои работы.

После этих общих замечаний обратимся к более подробному обзору творчества А.Н. Колмогорова. Невозможно здесь отразить весь его вклад в науку, с какой бы то ни было полнотой, но все же мне, неизбежно ограничивая себя, хочется представить творчество Андрея Николаевича как бы все в целом, выделив его основные компоненты и связав их все воедино. Ясность и общезначимость целей, которые ставил перед собой Андрей Николаевич, столь поразительны, что возникает желание постараться объяснить смысл полученных результатов любому читателю, интересующемуся математикой, вне зависимости от его узкой специальности. Специалисты при этом должны будут извинить меня за то, что я напоминаю простые вещи.

Возможны разные варианты рассказа о научных достижениях. Можно следовать хронологии или, скажем, давать обзор отдельно по каждому научному направлению, или упорядочивать труды по их значимости и т.п. Я хочу избрать еще один путь. В математическом творчестве выдающегося ученого можно выделить различные компоненты: результаты (решения трудных проблем, получение новых формул), идеи (введение новых и осмысление старых понятий, постановки задач, разработки начал новых научных направлений), теории (когда цель состоит в объяснении группы явлений), методы и концепции. (При этом отдельно надо рассматривать приложения, где подобная классификация не всегда применима). В творчестве Андрея Николаевича представлены все названные выше компоненты. И мы будем прослеживать, из чего слагается каждая из них. Начнем с приложений.

Естествознание в творчестве А.Н. Колмогорова

Еще на заре своей творческой жизни Андрей Николаевич был одержим «смутным желанием заниматься математикой, имеющей выходы в физику и естествознание». Это привело его к осознанию глубоких и сокровенных тайн природы.

В.И. Арнольду принадлежат такие слова: «Колмогоров - Пуанкаре - Гаусс - Эйлер - Ньютон: всего пять таких жизней отделяют нас от истоков нашей науки».

Приведем даты жизни этих великих ученых: Ньютон (1643-1727), Эйлер (1709-1783), Гаусс (1777-1855), Пуанкаре (1854-1912), Колмогоров (1903-1987). Мы видим, что каждый следующий в этом ряду хоть недолго, но был современником предыдущего, что это действительно непрерывная жизненная нить. Пять жизней - сколь малый это срок, и какая беспредельность свершений выпала на этот исторический период. Ньютон, Эйлер, Гаусс и Пуанкаре - это исполинские вехи на пути развития естествознания. И Андрей Николаевич Колмогоров по праву назван в этом ряду.

Одним из центральных вопросов естествознания является вопрос об устройстве Солнечной системы (и ее возможном происхождении). Ньютон был первым, кто постиг законы движения планет. Над разрешением этого вопроса бились и Эйлер, и Гаусс, и Пуанкаре и многие, многие другие ученые. Один из центральных вопросов теоретической астрономии и одна из фундаментальных загадок естествознания звучит так:

Может ли система, подобная Солнечной, существовать вечно? Или неизбежно (на множестве полной меры начальных данных, т.е. «почти всегда») эволюция подобных систем завершается катастрофой?

В 1953 г. Андрею Николаевичу было суждено сдвинуть с мертвой точки эту великую проблему.

О том, как это произошло, Колмогоров рассказывал В.И. Арнольду: «Главное было то, что в 1953 г. появилась надежда. От этого я почувствовал какой-то необыкновенный подъем. О задачах небесной механики я думал давно, с детства, с Фламмариона, а потом, читая Шарлье, Биркхофа, механику Уиттеккера, работы Крылова и Боголюбова, Шази, Шмидта. Несколько раз пытался, но не получалось. А тут начало получаться». 1953 год -год смерти Сталина. Колмогоров не раз связывал свой эмоциональный подъем с надеждой на лучшее после ухода из жизни «великого вождя».

Колмогоров называет Арнольду известных астрономов: Камиля Фламмариона (думаю, что у многих это имя вызовет светлые воспоминания о его книгах, прочитанных в детстве), Карла Шарлье, выдающихся математиков: Джорджа Биркхофа и Эдмунда Уиттекера, академиков: Николая Митрофановича Крылова, Николая Николаевича Боголюбова, Отто Юльевича Шмидта.

Жак Шази - знаменитый французский ученый, член Парижской академии наук. В 40-е годы происходил заочный спор между ним и О.Ю. Шмидтом о финальных движениях в задаче трех тел, спор, который был разрешен (в пользу Шмидта) учениками Андрея Николаевича.

Духовный подъем, наступивший в жизни Колмогорова, дал импульс к созданию нового метода доказательства теорем существования, который (будучи дополненным вкладом В.И. Арнольда и Ю. Мозера) получил, как уже говорилось, название КАМ-теории (теории Колмогорова-Арнольда-Мозера). Создание КАМ-теории привело к существеннейшим сдвигам в этом круге вопросов. Задача описания движений систем, близких к интегрируемым системам классической механики, восходит к Ньютону. Лаплас делал первые шаги в разрешении проблемы устойчивости подобных систем, применяя теорию возмущений. Комментируя работы А.Н. Колмогорова, В.И. Арнольд пишет, «Пуанкаре, проанализировав многочисленные попытки обоснования и усовершенствования рассуждений Лапласа, дает проблеме современную формулировку (...) и называет ее основной проблемой динамики \...}. Комментируемые работы Колмогорова решают эту задачу для большинства начальных данных в случае общего положения».

Расскажем попутно о завершении исследований по финальным движениям трех тел. Само обращение к этой проблематике Колмогорова было вызвано его контактами с О.Ю. Шмидтом. Напомню: проблема финальных движений трех материальных точек состоит в описании поведения этих точек, взаимодействующих между собой по закону всемирного тяготения Ньютона, при t -» оо и при t -» -оо. Простейшие случаи (когда все расстояния между телами остаются ограниченными или когда, наоборот, все расстояния стремятся к бесконечности и в ту и в другую сторону) были известны еще Ньютону. Первые примеры «простых невозможностей» были обнаружены еще во времена Лапласа. Сама задача в явной форме была поставлена Якоби. К тому моменту, когда А.Н. Колмогоров предложил своему студенту-четверокурснику Володе Алексееву курсовую работу на тему «Финальные движения в задаче трех тел», оставались логически допустимыми следующие возможности (все они реализуются во взаимоотношениях между людьми в любовных треугольниках).

Это обмен (звезда прилетает и отрывает от другой звезды ее спутника); частичный захват (три звезды приближаются друг к другу из бесконечности, две образуют двойную звезду, а третья улетает); полный захват (двойная звезда захватывает третью, прилетевшую из бесконечности); захват в осцилляцию (тело прилетает к двойной звезде и начинает затем осциллировать, то удаляясь все дальше и дальше, то опять приближаясь, чтобы, пройдя близко от двойной звезды, удалиться потом еще дальше), двойная осцилляция (т.е. осцилляция в прошлом и в будущем), переход из ограниченного движения в осцилляцию. Всего же число возможностей равнялось десяти.

Классификацию всех этих комбинаций и дал знаменитый французский астроном академик Ж. Шази, который занимался этой проблемой в течение нескольких десятилетий. Теория Шмидта о происхождении Солнечной системы основывалась на возможности захвата астероида планетной системой, а такая возможность отрицалась Шази.

Теория финальных движений была завершена Колмогоровым и его учениками (В.М. Алексеевым, В.И. Арнольдом и К.А. Ситниковым). Все возможности оказались реализуемыми.

Огромен вклад Колмогорова в создание теории случайных процессов. В 1931 г. вышла его работа «Аналитические методы в теории вероятностей», о которой П.С. Александров и А.Я. Хинчин писали, что «во всей теории вероятностей XX столетия трудно указать другое исследование, которое оказалось бы столь основополагающим для дальнейшего развития науки и ее приложений». Замечательна по своей простоте и глубине исходная методологическая позиция автора. Динамические системы, где начальное положение и скорость в начальный момент времени определяют их дальнейшую эволюцию, заменяются процессами, где «состояние системы х в некоторый момент времени Г0 обусловливает лишь известную вероятность для наступления возможного состояния у в некоторый последующий момент t > t0». Это рассмотрение приводит Колмогорова к определению марковского процесса. Он выписывает в общей форме интегральное уравнение, которое в частных случаях было получено Смолуховским. Из интегрального уравнения выписываются прямые дифференциальные уравнения (уже встречавшиеся в трудах таких крупнейших физиков, как Планк, Эйнштейн, Фоккер, Смолуховский) и обратные уравнения, которые не были известны физикам. В работе Колмогорова воссоединяются воедино теория теплоты, идущая от Фурье, теория броуновского движения Эйнштейна - Смолуховского и описание вероятностных случайных блужданий, которыми занимались Марков и его последователи, а также Башелье и Винер, которые построили первые примеры случайных процессов. В 1933 г. появляется работа «К вычислению средней броуновской площади», где была решена задача, поставленная СИ. Вавиловым. Она была написана А.Н. Колмогоровым совместно с нашим замечательным физиком, академиком М.А. Леонтовичем. При этом формализация задачи и ее физическая интерпретация принадлежали Колмогорову, а математическое решение Леонтовичу.

Отчетливое понимание физической картины незатухающих колебаний с непрерывным спектром послужило путеводной звездой для создания теории стационарных процессов.

Стационарные процессы, т.е. процессы, вероятностные характеристики которых остаются неизменными во времени, являются идеализацией огромного числа стохастических явлений в природе (в атмосфере, в океане и т. п.), они постоянно встречаются в технических приложениях, например в радиотехнике. Одна из актуальнейших естественно-научных и технических проблем -прогноз поведения процесса в будущем по наблюдению за самим процессом в течение какого-то времени в настоящем, был разработан Колмогоровым и чуть позже Винером. Исследования Колмогорова и Винера нашли многочисленные приложения в различных областях науки и техники. Винер очень гордился созданием теории интерполяции и фильтрации стационарных случайных процессов и с некоторой досадой признавал приоритет Колмогорова в этой области.

Теория стационарных процессов привела Андрея Николаевича к проблемам турбулентности. Движение жидкостей и газов подчинено детерминистическим законам, однако сам характер движения оказывается столь сложным, что он напоминает случайный процесс. О влиянии трудов Колмогорова на все дальнейшее развитие теории турбулентности говорилось в самом начале книги. В числе конкретных результатов А.Н. Колмогорова в теории турбулентности можно указать на широко известный «закон двух третей», имеющий характер закона природы: в турбулентном течении (при определенных условиях) средний квадрат разности скоростей в двух точках, на расстоянии г (средних размеров), пропорционален г2/3.

Среди учеников Колмогорова в области турбулентности такие крупные ученые в различных областях естествознания, как Михаил Дмитриевич Миллионщиков, Андрей Сергеевич Монин, Александр Михайлович Обухов и Акива Моисеевич Яглом.

Значительный вклад в естествознание внесли исследования Колмогорова, инициированные биологической тематикой, В первой части рассказывалось об эволюционной «бригаде», которую возглавил Д.Д. Ромашов, товарищ Колмогорова по гимназии, и о том, что Андрей Николаевич принял живое участие в работе лаборатории.

Занятия в этой лаборатории приводят его к разрешению ряда проблем математической биологии. В 1937 г. А.Н. Колмогоров, совместно с И.Г. Петровским и Н.С. Пискуновым публикует статью «Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества и его применение к одной биологической проблеме». Эта работа дала импульс к развитию разнообразных проблем физики и биологии, в частности теории теплового распространения пламени, начала разработки которой принадлежали

Я.Б. Зельдовичу и Д.А. Франк-Каменецкому, теории горения и взрыва, теории распространения нервных импульсов и др. Очень интересно отметить, что здесь, как и в работе с Леонтовичем, Колмогорову принадлежало описание физической (точнее, биологической) модели, а математическая теория была создана, в основном, его соавторами. Колмогоров говорил при этом, что наглядным физическим процессом для описания биологической модели послужило распространение пламени. «Я же видел, как горит бикфордов шнур!» - говорил Андрей Николаевич, и, отправляясь от этого зрительного впечатления, он сформулировал дифференциальное уравнение, решение которого распространяется, сохраняя форму с постоянной скоростью. Именно подобные предвидения имел в виду Колмогоров, когда говорил «об интуиции процессов».

В 1940 г. вышла статья А.Н. Колмогорова, озаглавленная «Об одном новом подтверждении законов Менделя», которой Андрей Николаевич очень гордился.

Я упоминал также, что биологические проблемы были для Колмогорова стимулом к разработке теории ветвящихся процессов.

В работах, включенных Андреем Николаевичем в собрание своих избранных сочинений, содержатся и другие его работы по естественно-научным проблемам, например кристаллографии и геологии.

Естественно-научное творчество Андрея Николаевича Колмогорова вошло в золотой фонд науки XX столетия1.

Физическая интуиция руководила исследованиями А.Н. Колмогорова и в чисто абстрактных направлениях. По его словам, теория когомологий возникла у него из образных представлений о течении жидкости по поверхности.

Обратимся теперь к теме участия А.Н. Колмогорова в развитии отдельных наук. Прежде всего это касается, конечно, теории вероятностей, которую сам Андрей Николаевич называл своей «основной узкой специальностью».

А.Н. Колмогоров и теория вероятностей

Теория вероятностей как наука родилась в XVIII веке. Этому предшествовал период обсуждений отдельных вероятностных задач Ферма, Паскалем, Гюйгенсом и другими. В начале века вышла книга Якова Бернулли «Искусство предположений» (1713), где обосновалась первая предельная теорема, известная как за-

1 Ему посвящён сборник статей: L'héritage de Kolmogorov en physique / Réd. R. Livi, A. Vulpiani. Belin, 2003.

кон больших чисел. Андрей Николаевич как-то сказал: «Настоящая ее [теории вероятностей - В.Т.] история начинается с закона больших чисел Я. Бернулли».

Второе великое имя в теории вероятностей - Лаплас, трактат которого «Аналитическая теория вероятностей» (1812) сыграл важнейшую роль в становлении новой математической науки. Лаплас дал общую формулировку центральной предельной теоремы.

После Лапласа настал «петербургский» период развития теории, когда П.Л. Чебышев, А.А. Марков и А.М. Ляпунов, по словам А.Н. Ширяева2, «внесли существенный вклад в расширение и углубление всей системы теории вероятностей».

А затем наступила эра А.Н. Колмогорова, начало которой положил выход в свет его книги «Основные понятия теории вероятностей».

Андрей Николаевич ступил на вероятностную стезю в 1925 г., когда была опубликована его совместная с Хинчиным работа «О сходимости рядов, члены которых определяются случаем». Уже в ней содержатся результаты, которые входят сейчас «во все руководства по теории вероятностей» (о критерии Колмогорова-Хинчина рассказывалось в первой части).

А затем на протяжении 15 лет примерно раз в два года Колмогоров получает либо классический, завершающий результат, либо открывает новое научное направление. Обо всем этом уже было сказано раньше, но я здесь повторю основные результаты.

1927 год. Получены во многом завершающие результаты в области закона больших чисел.

1929 год. Публикуется фундаментальная работа о применимости третьего из основных законов теории вероятностей - открытого в частных случаях А.Я. Хинчиным - закона повторного логарифма.

1930 год. Получен один из самых широко известных результатов Колмогорова по усиленному закону больших чисел, который через три года дополняется таким критерием: для того, чтобы для последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин арифметические средние сходились почти наверное, необходимо и достаточно, чтобы у величин было конечное математическое ожидание (если ожидание конечное, то средние сходятся к нему, если бесконечное - вообще расходятся).

2 См. его обзор «История становления математической теории вероятностей» // Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. 3-е изд. М.: Фазис, 1998.

1931 год. Выход в свет знаменитой работы Колмогорова «Аналитические методы в теории вероятностей», о которой уже было сказано. В ней были заложены основания теории марковских процессов.

1932 год. Колмогоров описывает класс безгранично делимых случайных величин с конечной дисперсией. (Затем Поль Леви в 1934 г. освобождается от требования конечности дисперсии, а Хинчин в 1937 г. показывает, что результат Леви может быть получен методом Колмогорова, и теперь этот результат называют формулой Колмогорова-Леви-Хинчина).

1933 год. Публикация его книги «Основные понятия теории вероятностей» и доказательство одного из основополагающих законов математической статистики.

1937 год. Колмогоров закладывает основы теории марковских цепей со счетным множеством состояний. В этом же году он, развивая идеи Шредингера, выводит необходимые и достаточные условия статистической обратимости и в работе «Преобразование Лапласа в линейных пространствах» открывает дорогу для развития теории вероятностей в бесконечномерных пространствах.

1939-1941 годы. Появления классических работ по кривым в гильбертовом пространстве и стационарным последовательностям, их экстраполированию и интерполированию.

1949 год. Выходит фундаментальная монография Б.В. Гнеденко и А.Н. Колмогорова «Предельные распределения для сумм независимых случайных величин», где были подведены итоги работам по суммированию Колмогорова, Хинчина и Гнеденко в основополагающей теме о предельных распределениях. Поразительный список!

А.Н. Колмогоров и кибернетика

... Она выпорхнула из небытия, казалось бы, совсем недавно, в 1948 г., и была творением одной личности - Норберта Винера. Имя его облетело весь мир и почти слилось со словом кибернетика, которым он окрестил свое создание.

Для официальной марксистской философии начала 50-х годов кибернетика была исчадием ада, чем-то зловещим и позорным. Имя ей было «реакционная лженаука», которая «направлена против материалистической диалектики, современной научной физиологии, обоснованной И.П. Павловым, и марксистского, научного понимания законов общественной жизни» (отрывок из Философского словаря 1954 г. издания). Но очень скоро, буквально через год, та же самая кибернетика стала символом на-

дежд и идолом для поклонения у нас. И для А.Н. Колмогорова кибернетика как зарождающаяся наука и как философская категория стала занимать видное место в его размышлениях и о судьбах науки и о будущем нашей цивилизации.

В его выступлениях, статьях и заметках это слово встречается многократно. Поразительно, что именно в кибернетике Колмогоров нашел дополнительные опоры для своего толкования такой важнейшей мировоззренческой категории, как гуманизм.

А сейчас... Где это все? Где само слово? Существует ли наука, обозначаемая этим термином? Не странно ли, что это слово почти повсеместно заменено уже термином «информатика»? И не значит ли это, что кибернетика умерла?

Не всем деяниям человека суждено бессмертие. Отмирание, переход в другие формы - все это вполне естественно. На наших глазах многое и в классической математике приобретает настолько преображенный вид, что установившиеся термины теряют свое исконное содержание. Похоже, что кибернетика действительно умерла. Слова «алгебраист», «вероятностник», «тополог» на слуху, а слово «кибернетик» как-то вышло из употребления.

Но вспомним слова Окуджавы - «а все-таки жаль...». Жаль, что импульс для мысли, который был придан явлением на свет кибернетики, в наши дни угас. Жаль, что отшумели споры о сущности жизни, о бренности и бессмертии, о том, может ли машина мыслить, обо всем том, что так горячо обсуждалось в счастливую пору жизни, воспоминание о которой уже одним тем располагает к печали, что это была пора юности, которая безвозвратно ушла. Вернется ли время, когда снова вспыхнет интерес к этим вопросам вопросов? Кто знает ...

Андрей Николаевич был во многом сыном XIX века, с его оптимизмом, надеждой «на лучшее будущее» (сейчас невозможно не взять эти слова в кавычки), с его верой в науку и человеческий разум. XIX век породил феномен, имя которого «русская интеллигенция». Корни самого Андрея Николаевича питались этим источником: его домашнее воспитание, его «тетушки», обстановка гимназии, энтузиазм первых университетских лет, Павел Сергеевич Александров, одаривший его своей дружбой, все было наполнено идеалами того века: верой в прогресс, надеждой, что наука раскроет все тайны, что человечество будет стремиться к нравственному совершенству и что вот-вот наступит эра благоденствия. Дальнейший ход истории не дал никаких шансов надеяться на исполнение всех этих надежд. В 40-е годы Андрей Николаевич замкнулся, а не-

редко вынужден был, соглашаясь с «мнением партии», публично выражать суждения, противоречащие его убеждениям. И вдруг дохнуло ветром свободы, и среди прочего появилась кибернетика. И вновь можно было наслаждаться красотой мысли и испытывать восторг надежды. Андрей Николаевич стал участвовать в кибернетических дискуссиях. Ему захотелось и измерять возможности человеческого мозга, и вместе с тем восхищаться величественным видом интеллектуальных достижений человечества с вершин, которых достигла человеческая культура.

К его размышлениям на кибернетические темы примыкают его стиховедческие работы. С юности его вдохновляла идея обнаружения «бессознательной целесообразности» в творчестве великих поэтов. И тут он разразился целой серией статей о том, как «действительные художественно обусловленные тенденции поэта», проявляют себя в виде «отклонений [стихотворного ритма - В. Т.] от рассчитанных частот». Колмогоров измерял «энтропию речи». Он выступал со многими докладами перед огромными аудиториями с изложением самых крайних, самых «отчаянных» кибернетических идей («Я являюсь отчаянным кибернетиком», - это его слова). В тезисах доклада, который состоялся в переполненном зале Дома культуры Московского университета 6 апреля 1961 г., Колмогоров выражает свое убеждение в том, что на все вопросы:

«могут ли машины воспроизводить себе подобных, и может ли в процессе такого воспроизведения происходить прогрессивная эволюция, приводящая к созданию машин более совершенных, чем исходные;

могут ли машины мыслить и испытывать эмоции;

могут ли машины хотеть чего-либо и сами ставить перед собой задачи, не поставленные перед ними их конструкторами», имеется единственный ответ: «Да, могут!». (Пяти лет не прошло с тех пор, как любой из этих вопросов, не говоря уже об ответе на него, в лучшем случае был бы воспринят как бред сумасшедшего.) Андрей Николаевич старался разрешить основные эстетические и этические проблемы, которые, как он полагал, неизбежно возникнут в скором будущем.

В частности, он стремился убедить своих современников в том, что они в своей деятельности должны опираться на «непреходящую ценность человеческой культуры». Он полагал, что идеи кибернетики могут стать подспорьем для гуманизма, который должен стать стержнем идеологии будущего.

Будут ли востребованы эти идеи и эти надежды, сейчас сказать невозможно.

А.Н. Колмогоров и теория информации

Само понятие «передача информации» было известно еще в XIX веке. Но рождение новой науки - теории информации - имеет точную дату - 1949 г., когда появилась знаменитая статья Клода Шеннона3, где были созданы, по словам А.Н. Колмогорова, «основы современной теории информации в виде дисциплины, способной к самостоятельному развитию».

Интерес Колмогорова к проблематике теории информации возник, по-видимому, в 1953 г. или в 1954 г. Тогда же Андрей Николаевич стал обдумывать работу Витушкина4, где обсуждались проблемы суперпозиции функций. Колмогоров нашел другой путь доказательства основной теоремы Витушкина, через оценки 8-сетей в классах гладких функций многих переменных. Он вспомнил при этом, что сама «мысль о возможности характеризовать массивность множеств в метрических пространствах при помощи порядка роста числа элементов их наиболее экономных 8-покрытий при 8 —> О была развита в работе Понтрягина и Шнирельмана тридцатых годов» (где таким способом определялась сама размерность компактов в метрических пространствах). Эти замыслы соединились с идеями Шеннона, и Колмогоров сформулировал широкую программу исследования е-энтропии и 8-емкости как случайных процессов, так и «интересных с точки зрения теории функций компактов в функциональных пространствах».

Обо всем этом было рассказано на Третьем всесоюзном математическом съезде в июне 1956 г. в совместном докладе с И.М. Гельфандом и А.М. Ягломом, в докладе5, прочитанном Б.В. Гнеденко на симпозиуме по теории информации Американского института радиоинженеров (MIT, сентябрь 1956) и в докладе на пленарном заседании сессии Академии наук СССР по научным проблемам автоматизации производства в октябре 1956 г. (По всем этим докладам Колмогоровым были подготовлены публикации).

В осеннем семестре 1956 г. Колмогоров читал спецкурс по небесной механике, теории динамических систем и 8-энтропии и помимо кафедрального семинара по теории вероятностей вел семинар по теории информации. Слушателями спецкурса и участника-

3 The Mathematical Theory of Communications (Univ. of Illinois Press. 1949, 3 - 89 (совм. с Уивером) и Communication in the presence of noise, Proc. IRE 37 (1949)10-21.

4 Представленную им для публикации в ДАН и опубликованную в ДАН (1954. Т. 95. N4).

5 «On the Shannon theory of information transmission in the case of continuous signais».

ми семинара были студенты, тогдашние и бывшие аспиранты Колмогорова. Среди них В.М. Алексеев, В.И. Арнольд, Ю.К. Беляев, И.В. Гирсанов, Р.Л. Добрушин, В.Д. Ерохин, М.С. Пинскер, Я.Г. Синай, автор этих строк, а также другие математики, впоследствии работавшие над развитием колмогоровских идей (мне вспоминается Б.С. Цыбаков).

В термин «энтропия» стали еще в XIX веке вкладывать значение некоей меры неопределенности. Именно такой смысл придали этому слову Р. Клаузиус и Л. Больцман в статистической физике. Шеннон в своих работах, которые были названы выше, позаимствовал этот термин для проблем передачи сообщений, придав ему точное математическое определение. А.Н. Колмогоров сразу же очень высоко оценил значение идей Шеннона, а про самого Шеннона он написал как-то, что «его [Шеннона] математическая интуиция изумительно точна». Колмогоров продолжил и развил замыслы Шеннона. Он сразу же выделил два направления исследований о емкости случайных и неслучайных сигналов. Сначала расскажем о «неслучайной» ветви исследований.

Чтобы выделить из конечного множества С, число элементов которого равно N(C), один определенный элемент, достаточно задать log2A/r(C) + 1 двоичных знаков. «Поэтому, - по словам Колмогорова, - можно считать величину Н(С) = log2N(C) мерой «количества информации», содержащейся в выделении одного определенного элемента множества С. В случае бесконечных множеств естественно рассмотреть способы приближенного задания этих элементов».

Так появилось понятие г-энтропии - логарифма наименьшего числа точек в г-сети некоторого множества, приближенно задающих элементы бесконечного множества, расположенного в метрическом пространстве. Из исследования Витушкина вытекала оценка снизу г-энтропии класса функций п переменных с равномерно ограниченными частными производными вплоть до заданного порядка г. При обдумывании работы Витушкина Колмогоров осознал, что основной результат Витушкина, полученный автором при помощи построенной Витушкиным теории многомерных вариаций (блистательной, но довольно сложной), может быть достаточно просто выведен из оценки сверху г-энтропии описанного класса. Одновременно Колмогоров оценил порядки приближения аналитических функций от п переменных. Порядок г-энтропии аналитических функций оказался существенно иным, чем в гладком случае: информационная емкость аналитических функций существенно меньше, чем функций конечной гладкости.

Результат об оценке е-энтропии гладких и аналитических функций был также опубликован в 1956 г.6 и изложен с доказательством в спецкурсе осенью 1956 г. «Широкую программу исследования е-энтропии и 8-емкости (...) интересных с точки зрения теории функций компактов в функциональных пространствах» начали осуществлять Бабенко, Витушкин, Ерохин, автор этих строк и другие. Андрей Николаевич с интересом обсуждал их результаты, но сам уже активного участия в этой тематике не принимал.

Свой результат об энтропии аналитических функций Колмогоров развил в том же направлении, как с гладкими функциями при доказательстве теоремы Витушкина. Он доказал, что с некоторой точки зрения аналитические функции тем массивнее, чем больше размерность области их определения. А именно, он ввел понятие линейной размерности, несколько изменив определение Банаха. Чуть раньше сходные идеи появились у молодого, а ныне всемирно известного польского математика А. Пельчинского, они тогда активно обсуждались в Варшаве.

В том же 1958 г. Колмогоров делает еще одно поразительное открытие: строит энтропийный инвариант в теории динамических систем. Одной из основных целей не раз уже упоминавшихся спецкурса и спецсеминара 1956 г. было продвижение в спектральной теории динамических систем. Колмогоров наметил план развития теории динамических систем, который созревал у него в голове еще в 30-е годы, когда он продумывал работы фон Неймана по спектральной теории динамических систем и работы Крылова и Боголюбова (кое-что из этих замыслов уже было реализовано в его работах по небесной механике). На семинаре Колмогоров доказал теорему фон Неймана об изоморфизме динамических систем с дискретным спектром. Обсуждалась гипотеза о том, не определяет ли счетнократный лебеговский спектр динамическую систему с точностью до изоморфизма. Над этой проблемой много размышляли крупные математики, но подходов к решению не было видно. Простейшим примером динамической системы с лебеговым спектром является система Бернулли, порождаемая независимыми испытаниями случайной величины, принимающей значения нуль и единица с вероятностями р и \-р. Построенный Колмогоровым инвариант для случая бернуллиевских динамических систем оказался равным шенноновской энтропии! Это дало уже ответ на проблему, оставшуюся от фон Неймана, но решение проблемы изоморфизма оказалось лишь началь-

6 ДАН СССР. 1956. Т. 108. № 3. С. 385-388.

ным эпизодом грандиозного развития динамических систем в ближайшие десятилетия.

Вернемся еще раз в 1956 год. Рассказывая в спецкурсе про энтропию, Колмогоров ввел понятие е-энтропии на единицу времени класса функций, определенных на всей прямой. При этом он высказал гипотезу, что е-энтропия на единицу времени ограниченного множества функций из пространства Бернштейна целых функций конечной степени а сильно эквивалентна (2a/7i)logl/e и что это должно следовать из так называемой теоремы Котельникова. Эту гипотезу мне удалось доказать, и с этого результата началось мое сотрудничество с Андреем Николаевичем, приведшее к написанию нашей совместной статьи по е-энтропии.

В связи с этим результатом разумно вспомнить одну деталь из нашей истории. В начале 50-х годов кибернетика, как уже было сказано, была объявлена лженаукой, а теория информации как часть кибернетики была на некотором подозрении. Статья Шеннона не только не рекламировалась широко, но и была издана весьма скромно и переведена была к тому же с сокращениями. В частности, не было переведено Дополнение 7. Вот что содержалось в нем. При передаче информации важную роль играют сигналы с ограниченным спектром. Они образуют бесконечномерное пространство случайных функций. Для такого рода пространств Шеннон ввел в Дополнении 7 понятие средней энтропии на единицу времени (которую назвал «скоростью числа измерений»). Если представить себе сигнал, текущий в реальном времени, то среднее число измерений Шеннона это, грубо говоря, двоичный логарифм минимального числа вопросов о сигнале, которые необходимо задавать «оракулу» в единицу времени, для восстановления сигнала с заданной точностью и с заданной вероятностью. (Нечто сходное с идеей Шеннона, но менее определенное, высказывал еще в 30-е годы В.А. Котельников, это и получило название «теоремы Котельникова»). Для сигналов со спектром, ограниченным на отрезке 2а, Шеннон выписал без доказательства формулу для средней скорости числа измерений: 2а/к. Для нестохастических процессов эта величина совпадает (для бернштейновского класса) с пределом при 8 —» 0 отношения колмогоровской 8-энтропии на единицу времени к log 1/8 (это отношение естественно называть средней размерностью бернштейновского класса). Так что в этом двустраничном Дополнении 7 фактически содержались и наметки понятия 8-энтропии, и некоторое развитие понятия средней размерности, и формула для средней размерности сигналов с ограниченным спектром.

Скажем теперь несколько слов о вкладе Андрея Николаевича в стохастическую теорию информации (чтобы потом еще раз вернуться к Дополнению 7 Шеннона). Андрей Николаевич прежде всего переложил (со многими переосмыслениями) идеи Шеннона на «математический язык». Теория Шеннона, базирующаяся на понятии энтропии, по мнению Колмогорова, безупречна с математической точки зрения для дискретных сигналов. «Я настаиваю, - при этом писал он, - на той идее, что основным понятием, допускающим обобщения на совершенно произвольные непрерывные сообщения и сигналы, является не непосредственно понятие энтропии, а понятие информации /(£, Г|) в случайном объекте ^ относительно объекта Т|».

Колмогоров устанавливает явные формулы для этой величины через распределения величин Т| и их совместное распределение. Выбрав некоторый класс W совместных распределений, Колмогоров вводит понятие относительной (относительно данного класса распределений) энтропии случайного объекта как верхней грани информации данного объекта относительно всех остальных объектов, участвующих в совместном распределении. Если это совместное распределение задать некоторым параметром е, характеризующим г-близость объектов, то получается понятие г-энтропии случайного объекта. Например, при рассмотрении винеровского процесса Ъ, на отрезке [0,1] в пространстве L2 и при близости, определяемой условием

Колмогоров и Яглом установили формулу

Для процессов на всей прямой Колмогоров также определяет понятие 8-энтропии на единицу времени. Он вычисляет асимптотику процесса, аппроксимирующего процесс с ограниченным спектром, и пишет при этом, что так как «функция с ограниченным спектром всегда сингулярна [в смысле его известной работы 1941 г. - В.Т.] и наблюдение такой функции вообще не связано со стационарным потоком информации, то смысл (...) аргументации [Шеннона - В.Т.] оставался не вполне ясным». Колмогоров написал предисловие к изданному в 1963 г. собранию избранных сочинений Шеннона. Там он написал, что только один раз изумительная математическая интуиция подвела Шеннона и указал на формулу для шенноновской скорости числа измерений из Дополнения 7.

На самом деле, истина оказалась «двузначной», и в этом заочном споре оба ученых оказались правы.

Когда я писал обо всем этом, мне вспоминались ахматовские строчки о том, «из какого сора растут стихи, не ведая стыда». Ве-

щие строки поэта многозначны, и каждый волен интерпретировать их по-своему. Для меня в этих строках (среди разного другого) - мысль о прихоти случая в судьбе поэзии. Прочитав написанное мною о десятилетнем периоде в творчестве Колмогорова, я вдруг осознал, что, не ставя специально этой цели, я рассказал и о прихоти случая в судьбе науки, о том, из каких случайных, на первый взгляд, событий бытия ученого рождаются великие идеи и результаты. Вспомним:

приглашение на Международный математический конгресс в Амстердаме с часовым докладом, оказавшееся, безусловно, стимулом для форсирования работ по классической механике; творческий подъем, наступивший после смерти Сталина и переезда в новый Университет (об этом он писал мне в одном из писем и не раз говорил другим людям);

вдруг выплывавшие в сознании очные и заочные контакты с коллегами довоенного времени (фон Нейманом, Боголюбовым и Крыловым, Понтрягиным и Шнирельманом); необходимость представления заметок в ДАН молодых математиков и обдумывание в связи с этим их достижений (Витушкина, Гончара и других); объявление семинара для второкурсников со смутными надеждами прорваться к проблеме Гильберта; оппонирование диссертации Кронрода; книга Банаха, находившаяся в личной библиотеке; носившиеся в воздухе флюиды от работ Шеннона; удавшиеся семинар и спецкурс 1956/57 г., принесший сразу большие плоды - все это и многое, многое другое соединилось в судьбе и сознании великого ученого и привело и к большим сдвигам в науке и к незабываемым впечатлениям тех, кому посчастливилось быть их свидетелем.

Математика

Результаты

Каковы же основные результаты, полученные Андреем Николаевичем? Начнем с метрической теории функций. Наибольшую известность в первый период научной деятельности Андрея Николаевича приобрел пример всюду расходящегося ряда Фурье7. Если jc(-) суммируема на [-л, тс] (т.е. если х(-) е Lx [~7i, я]), то по ней можно построить ряд Фурье:

7 Там же. С. 13-17; 78-79.

расходящийся почти всюду. Ряды Фурье возникли в XVIII веке, а теория их суммирования начала разрабатываться с середины XIX века. Сенсацию вызвал следующий результат 19-летнего А.Н. Колмогорова:

Теорема 1. Существует суммируемая на [-тг, тг] функция, ряд Фурье которой расходится почти всюду.

В 1926 г. Андрей Николаевич построил пример ряда, расходящегося всюду. Вопрос: верно ли, что для всякой функции суммируемой с квадратом (*(•) е L2([-7i, л])), ряд Фурье сходится почти всюду, был поставлен Н.Н. Лузиным в 1915 г., разрешен Карлесоном в 1966 г. и дополнен Хаитом в 1968 г. для любой функции jc(-) из Lp([-7C, тс]) при р > 1, ряд Фурье сходится к ней почти всюду). В частности, до теорем Карлесона не было известно, нельзя ли в теореме 1 заменить L2([-n, к]) на С([-л, л]). В области тригонометрических рядов, где работали Г. Вейль, Харди, Лузин, Меньшов, Бари и многие другие выдающиеся математики, выделяются своей силой и завершенностью именно эти два результата - пример Колмогорова и теорема Карлесона-Ханта. В связи с проблемой Лузина уместно упомянуть еще один замечательный результат, полученный А.Н. Колмогоровым совместно с Д.Е. Меньшовым.

Теорема 2. Существует ортонормированная система на единичном отрезке, состоящая из функций, по модулю равных единице, и функция, суммируемая с квадратом на том же отрезке, такие, что ряд Фурье этой функции по данной системе расходится всюду.

В той же заметке А.Н. Колмогоров объявил и такой результат: существует функция из L2([-7i, к]) такая, что ряд Фурье по переставленной тригонометрической системе расходится почти всюду (так что теорема Карлесона отражает очень глубокий факт, относящийся к гармоникам в их естественном порядке). Доказательство этой теоремы Андрей Николаевич не опубликовал, и этот результат был в 1960 г. доказан польским математиком А. Загорским.

Следующую теорему, как и обе предыдущие, очень просто сформулировать, но значение ее не так легко объяснить тем, кто не связан с гармоническим анализом.

В одном из наиболее активно развивающихся разделов гармонического анализа исследуются проблемы сходимости сумм Фурье и других важных интегральных операторов в различных функциональных пространствах. Один из важнейших операто-

ров - преобразование Гильберта Н, сопоставляющее функции х(') функцию Нх(-), сопряженную в смысле комплексного анализа. Имеет место формула:

Различные обобщения преобразования Гильберта (сингулярные интегральные операторы) играют в классическом анализе очень большую роль.

Преобразование Гильберта отображает Ьр([-к, к]) в Lp([-n, тс]) (М. Рисс), или, как говорят, это преобразование сильного типа ip-p). Но при р > 1 это отображение не является преобразованием сильного типа (1-1). Однако имеет место8.

Теорема 3. Пусть х(-) - суммируемая на [-тг, тг] функция. Тогда мера тех точек, где преобразование Гильберта Нх( ) по модулю больше а, удовлетворяет неравенству:

На современном языке это неравенство означает, что оператор H имеет слабый тип (1-1). Теорема 3 оказалась одной из исходных точек огромного направления в математике, с которым связаны имена Рисса, Марцинкевича, Зигмунда, Кальдерона, Харди, Литтльвуда, Пэли и других, а само понятие слабого типа стало важнейшим понятием в теории сингулярных операторов.

Очень трудно на чем-то остановить свой выбор, когда речь заходит о результатах Андрея Николаевича по теории вероятностей. Эту область математики Андрей Николаевич считал своей «узкой специальностью», в ней он занимал, бесспорно, лидирующее положение в мире. Вклад его здесь огромен.

В начале своей деятельности Андрей Николаевич получает несколько фундаментальных теорем, венчающих исследования Чебышева, Маркова, Бернштейна и др. В классической теории вероятностей были две основные темы - закон больших чисел и предельные теоремы. Уже в нашем веке к ним присоединилась третья - закон повторного логарифма, найденный в простейших ситуациях Хинчиным. А.Н. Колмогоров, в частности, получил необходимое и достаточное условие для закона больших чисел и очень значительно расширил границы применимости закона повторного логарифма. У него имеются и другие фундаментальные открытия. Мы приведем лишь его окончательный результат, от-

8 Там же. С. 46-50.

носящийся к усиленному закону больших чисел. Понятие усиленного закона принадлежит Борелю. Последовательность независимых случайных величин удовлетворяет усиленному закону больших чисел, если последовательность ее средних арифметических сходится к некоторому числу почти наверное (в отличие от закона больших чисел, где она сходится в более слабом смысле - по мере).

Теорема 4. Пусть {&} - последовательность независимых, одинаково распределенных величин. Тогда условие конечности математического ожидания величины {|^,|} (и значит, всех является необходимым и достаточным для того, чтобы она удовлетворяла усиленному закону больших чисел9;

Один из основополагающих вопросов состоит в том, какие распределения могут служить пределами сумм взаимно независимых нормированных слагаемых. Оказалось, что при естественных предположениях таковыми могут быть лишь безгранично делимые распределения, введенные Бруно де Финетти. Случайная величина, подчиненная такому закону, может быть представлена как сумма п независимых одинаково распределенных слагаемых при любом п. Возникла проблема - описать безгранично делимые законы.

Теорема 5. Пусть F(-) безгранично делимое распределение с конечной дисперсией, <р() - его характеристическая функция, <р(0 = ехр [ф(-)]. Тогда имеет место формула: ф(0 = ißt +

Позднее П. Леви совсем другим методом снял требование конечной дисперсии, а затем А.Я. Хинчин показал, что общий результат П. Леви может быть без труда получен методом Колмогорова. «Таким образом, - пишет А.Я. Хинчин, - этот метод и до сих пор дает наиболее простое и ясное обоснование канонической формы безгранично делимых законов, делающий всю их совокупность легко обозримой».

О теории случайных процессов мы говорили уже, а здесь отметим лишь два замечательных результата Колмогорова, относящихся к стационарным случайным последовательностям - критерий регулярности последовательности (т.е. критерий того, что наблюдение последовательности влечет за собой приток но-

9 Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 2. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Наука, 2005. С. 63-66.

10 Там же. С. 124-130.

вой информации) и формулу для ошибки прогноза. Вопрос о регулярности - изначальный в теории стационарных последовательностей и процессов. Для процессов его разрешил М.Г. Крейн.

В математической статистике А.Н. Колмогоров доказал один из самых фундаментальных результатов в этой дисциплине. Пусть имеется случайная величина функция распределения

которой F() и (*Л{|'=1) - результаты п независимых наблюдений этой величины, расположенные в порядке возрастания. Эмпирической функцией распределения называется функция Fn(x) = {О, если X < хь к/п, если хк < х < хк+1 ,1 если х > хп].

Возникает вопрос - один из основных в статистике: в какой мере эмпирическая функция распределения Fn(-) «похожа» на саму функцию Скажем, верно ли, что P{sup I Fn(x) -- F(x) I < e} -» 1 при n -» ©с? Ответ на этот вопрос дал Гливенко, а А.Н. Колмогоров в том же номере журнала не только ответил на этот вопрос, но и указал предельное распределение величины Dn = \fij sup I Fn(x)-F(x) I. Точнее, имеет место следующая теорема:

Теорема 6. Пусть F(-) - непрерывная функция распределения. Тогда вероятность Фп(\) неравенства Dn < \ при п —» ос равномерно по \ стремится к

(распределению Колмогорова)11.

Сам вопрос о том, как измерить степень приближения Fn(-) к F() возникал у таких крупных ученых, как Мизес и Крамер, но они были очень далеки от цели. Разумеется, критерий согласия Колмогорова вошел во все учебники по математической статистике.

В топологии есть один результат, о котором Андрей Николаевич рассказывал с удовольствием, и как мне кажется, он им гордился.

Отображение / : X —» Y топологического пространства X на топологическое пространство Y называется открытым, если образ любого открытого множества при этом отображении открыт.

Теорема 7. Существует открытое отображение одномерного компакта на двумерный12;

Об этой работе рассказывалось в первой части.

11 Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 2. Теория вероятностей и математическая статистика. С. 142-148.

12 Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М: Наука, 2005. С.241-243.

В 1956 г. Андрей Николаевич получил результат из области суммирования случайных величин, о котором мечтал, начиная с 30-х годов. Когда он выступал на семинаре с докладом об этом результате, то ощущалось чувство удовлетворения этой своей удачей. Мы уже говорили о безгранично делимых распределениях. Обозначим совокупность таких распределений через D.

Пусть F(-) - функция распределения случайной величины ^ и ФЛ(-, F) - функция распределения суммы п независимых случайных величин, имеющих распределение F(-).

Мы упоминали о том, что лишь безгранично делимые распределения могут быть пределами сумм независимых одинаково распределенных случайных величин. Но верно ли, что сами распределения сумм одинаковых независимых слагаемых равномерно близки к D1

Ответ на этот вопрос дает

Теорема 8. Существует константа С такая, что для любого распределения F(-), и для любого п найдется G() е Д для которого выполнено неравенство13:

Сразу же возник вопрос о показателе 1/5: нельзя ли его улучшить? Этим занимались Ю.В. Прохоров, Л.Д. Мешалкин, сам Андрей Николаевич и другие. Окончательное решение было дано Т.В. Араком (в 1981-1982 гг.), оптимальный показатель оказался равным 2/з-

Существуют ли функции многих переменных? Казалось бы, праздный вопрос - конечно, существуют. Поставим эту проблему более точно. Некоторые функции трех переменных можно выражать через функции двух, скажем,/^(jt, у, г) = (р{(х, ф2(у, z)) или/2(х, у, г) = ф(\|/(х, зО,%Су> z)) и т-п- В этих случаях говорят, что fx и/2 (трех переменных) - это суперпозиции функций двух переменных. Уверенность в том, что функции трех переменных не сводимы к функциям двух (в том смысле, что не все представимы, как суперпозиции функций двух переменных) была настолько велика, что Гильберт указал конкретную аналитическую функцию трех переменных, которую (как ему казалось), нельзя представить в виде суперпозиции непрерывных функций двух переменных (в этом состояла 13 проблема Гильберта). Увы, этим ожиданиям не суждено было сбыться. Выяснилось, что любую непрерывную функцию любого числа переменных можно представить в виде суперпозиции непрерывных функций, где исполь-

13 Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 2. Теория вероятностей и математическая статистика. С. 413-425.

зуется лишь единственная функция двух переменных s(x, у) = = X + у, а остальные функции - одного переменного. История этого открытия такова.

В 1956 г. в статье А.Н. Колмогоров доказал, что любая непрерывная функция четырех переменных представима в виде суперпозиции непрерывных функций трех переменных. Опровержение гипотезы Гильберта было сведено к конкретной проблеме о представлении функций, заданных на универсальных деревьях в W. Эту работу Колмогоров считал своим наиболее сложным техническим достижением, потребовавшим наибольшего в течение его жизни периода непрерывного размышления. Как я уже говорил, завершающий шаг он оставил своим последователям. Весной следующего года студент 3 курса В.И. Арнольд получил нужный результат о функциях на универсальных деревьях, и тем самым 13 проблема Гильберта была полностью решена (т.е. предположение Гильберта опровергнуто). Вскоре после этого А.Н. Колмогоров придумал сравнительно простую, естественную и очень красивую конструкцию, которая привела к следующей замечательной теореме, о которой уже было сказано выше.

Теорема 9. При любом целом п>2 существуют такие определенные на!= [0,1] непрерывные функции что непрерывная на 1п функция / представима в виде

где функции \; непрерывны14.

Завершим наш раздел, посвященный результатам, теоремой, относящейся к эргодической теории динамических систем, в которой была решена проблема, восходящая к фон Нейману и стоявшая более 25 лет.

Динамическая система - это пара: (Г, Л), где Т = (Г, Е, ц) -пространство с мерой, а Л: Т —» Т - отображение, сохраняющее меру. В пространстве L2(T) отображение А порождает естественный унитарный оператор: Ux(t) = x(At). Спектр этого оператора называется спектром динамической системы. Проблема классификации динамических систем с точностью до изоморфизма воспринималась многие годы как основная в эргодической теории. В начале 30-х годов Нейман доказал, что две динамические системы с одинаковым точечным спектром изоморфны. Считалось вероятным, что и всегда спектр однозначно определяет динамическую систему. Пример динамических систем с одинаково

14 Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. С. 374—378.

устроенным спектром доставляют «схемы Бернулли». Предположим, что производятся независимые испытания, при которых единица выпадает с вероятностью р, а нуль - с вероятностью О < р < 1. Такая процедура задает меру во всех последовательностях из нулей и единиц, а сдвиг на один шаг таких последовательностей порождает динамическую систему, называемую схемой Бернулли.

Имеет место

Теорема 10. Схемы Бернулли при различных р неизоморфны15.

Она привела к решению проблемы Неймана и послужила началом бурного периода развития теории.

Мы привели лишь десять результатов из богатейшей коллекции теорем А.Н. Колмогорова. Еще раз хочется отметить фундаментальность и основоположность проблем, которые довелось разрешить Колмогорову.

Идеи и новые понятия

Теперь следует рассказать об идейной стороне творчества А.Н. Колмогорова. В начальный период Андрей Николаевич потратил много сил на осмысление (в рамках аксиоматического метода) границ основных понятий математики. Приведем его ответы на вопросы, обращенные к самым изначальным структурам в математике.

Что такое интеграл? Вспомним эволюцию этого понятия: Архимед, Ньютон, Лейбниц, Коши, Риман; затем Лебег, потом интегралы Стильтьеса и пр.; далее - интегрирование векторно-значных функций (в бесконечномерном пространстве - Фреше) и многое другое. Андрей Николаевич в своей работе «Исследование понятия интеграла» предлагает следующее простое определение интеграла, охватывающее все сказанное.

Пусть Т— некоторое множество и M - выделенная система подмножеств Г, обладающая тем свойством, что если А и В принадлежат М, то и их пересечение принадлежит М. Пусть далее существует, вообще говоря, многозначная функция / со значениями в векторном пространстве, определенная на любом А из М.

15 Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 3. Теория информации и теория алгоритмов. М.: Наука, 2005. С. 64-69.

Интегралом/на множестве Тпо данной системе M назовем предел (в смысле Шатуновского-Мура-Смита) римановых сумм RfF(T) = Е^дДГД где F = {Тп} - разбиение Т (т.е. Т = иГ„, Г, п 7} = 0).

Этот интеграл обозначим M)f(dT). В этой конструкции разом объединяются все концепции интегрирования, о которых говорилось выше (Риман, Лебег, Стильтьес и т.д.) Из нее, в частности, следует такое непривычное суждение: интеграл Лебега - это предел римановых (а не лебеговых!) сумм.

Андрей Николаевич очень ценил свою работу «Исследование понятия интеграла»16 и часто выражал сожаление, что его определение не очень прижилось.

Можно ли существенно расширить понятия производной, интеграла суммирования расходящихся рядов? Этой проблеме А.Н. Колмогоров посвящает одну из своих работ 1925 г.17 Оказывается, что поиски эффективных способов дифференцировать, интегрировать или суммировать ряды наталкиваются на те же трудности, что и эффективное построение неизмеримых функций. Скажем, если имеется метод суммирования расходящихся рядов, который удовлетворяет условиям:

Если при его помощи можно определить сумму для каждого ряда вида X sin Зпх, то можно построить эффективный пример функции неизмеримой по Лебегу.

Что такое к-мерная мера множества, расположенного в n-мерном евклидовом пространстве?

И здесь Андрей Николаевич подходит к проблеме с аксиоматической точки зрения. Имеет место следующий результат.

Если Ех = F(E), где F удовлетворяет условию Липшица с константой единица, то будем говорить, что Ех это «нерастянутый» образ £.

Пусть JLX - функция множеств (мера), определенная на всех суслинских множествах Е из Шп (<=> Е е Sxxs(Un)) и удовлетворяющая следующим аксиомам:

1) Если Ех это нерастянутый образ £, то его мера не больше меры £, а если Ех и Е конгруэнтны, то их меры равны,

16 Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. С. 113-153.

17 Там же. С. 44-45.

4) \i(Ik)=l (Ik - /:-мерный евклидов куб). Тогда говорят, что (I есть /;-мерная мера. К моменту появления колмогоровской работы было построено много различных ^мерных мер (длины кривых, меры Хаусдорфа, меры Каратеодори и др.), удовлетворяющих, разумеется, аксиомам 1)^). Колмогоровым был получен следующий фундаментальный результат: для любого натурального числа к < п существуют две специальные к-мерные меры: максимальная мера jxmax и минимальная мера [хт[п такие, что любая к-мерная мера [л любого суслинского множества Е лежит между |imin и цтах: |imin(£) < \k{E) < цтах.

При этом обе меры |imin и |1тах определяются вполне естественным способом18.

Перейдем к дескриптивной теории множеств. Расскажем о ней чуть подробнее: когда-то эта область была в эпицентре интересов московской математической школы, а сейчас ей интересуются относительно немногие. В 1916 г. независимо друг от друга П.С. Александров в России и Ф. Хаусдорф в Германии разрешили проблему континуума для борелевских множеств, доказав, что любое борелевское множество или счетно или имеет мощность континуума. При этом и Александров и Хаусдорф использовали то обстоятельство, что любое борелевское множество может быть получено с помощью некоей конструктивной процедуры. Явное описание этой процедуры дал М.Я. Суслин: он назвал ее Л-операцией. Пусть имеется последовательность множеств Е = {£$!,..., sn}, занумерованных «кортежами» [sx,..., sn}, s, е N. Образуем множество А(Е) по следующему правилу: это множество есть объединение по всем последовательностям {st}ie N пересечений множеств EsU EsU2, EsU2s3 и так далее. Тогда говорят, что А(Е) получено из Е А-операцией.

В том же 1916 г. Суслин получил результат, произведший очень большое впечатление на современников. Он доказал, что существуют множества, получающиеся из замкнутых множеств отрезка с помощью Л-операции и не являющиеся борелевскими. Множества, получающиеся из замкнутых с помощью Л-операции, получили название суслинских. Таким образом, класс суслинских множеств (или Л-множеств) оказался шире борелевских (ß-множеств) и, более того, вскоре обнаружилось, что многие естественные процедуры анализа приводят к Л-множествам и А-измеримым функциям, не являющимся ß-измеримыми.

Осенью 1921 г. П.С. Александров читает в Московском университете курс лекций по дескриптивной теории множеств.

18 Там же. С. 171-187.

По-видимому, в этом курсе он рассказывает о введенной им операции - «дополнительной» к Л-операции. Этот курс слушает Андрей Николаевич. Позже он писал: «В 1921-22 гг. у меня возник широкий план исследований по дескриптивной теории множеств». Андрей Николаевич сразу пытается разработать максимально общую схему подобных теоретико-множественных операций (Ss-операций).

Всякое отображение fi N —> N порождает последовательность [Ап))пеЫ.

Пусть S = {/} - некоторое семейство таких отображений и Е = {Еп}(какая-то последовательность множеств (для определенности (отрезка / = [0, 1]).

Определение. Если множество Ф%(Е) образовано по описанному выше правилу, то говорят, что оно получено из £ с помощью Ss-операции, порожденной Л-операция является, очевидно, Ss-операцией. Колмогоров в общем виде определяет дополнительную Г-операцию, частным случаем которой является Г-операция Александрова. Он доказывает следующий результат:

Существует множество вида Ф%(Е), дополнение к которому не является множеством вида Ф%(Е) ни для какой последовательности Е = {Еп} (замкнутых) множеств Еп.

Работа, в которой получен этот результат, - первое математическое исследование19. Андрея Николаевича; она была закончена в январе 1922 г., когда он был студентом второго курса. В этой работе - зародыш общей теории операций над множествами, которую развивали впоследствии Хаусдорф, Канторович, А.А. Ляпунов и др.

Значение работы «Tertium non datur» очень велико, о чем свидетельствует, в частности, включение ее в известную хрестоматию по математической логике Хейеноорта «От Фреге до Геделя».

С начала века не прекращались споры о сущности математики, о применимости логических законов, о парадоксах теории множеств. Все это привело к рождению нового направления «интуиционизма», в котором была признана незаконность употребления tertium non datur (закона исключенного третьего) в области трансфинитных умозаключений. В работе «Tertium non datur»20 Андрей Николаевич предложил интерпретацию классической математики, в которой все ее предложения превращаются в предложения интуиционистской математики. Тем самым А.Н. Колмогоров до-

19 Там же. С. 91-98.

20 Там же. С. 51-73.

казывал, «что все финитные выводы, полученные посредством трансфинитного применения принципа tertium non datur верны и могут быть доказаны и без его помощи».

В другой работе21 А.Н. Колмогоров предлагает исследовать наряду с «логикой доказательств» «логику решения задач» (скажем, задач на построение). Принципу силлогизма: «если из а следует Ь, а из Ъ следует с, то из а следует с» соответствует такой: «если решение задачи а сводится к решению задачи Ъ, а решение задачи Ъ - к решению задачи с, то решение задачи а сводится к решению задачи с». А.Н. Колмогоров ввел соответствующую символику и построил исчисление проблем. Форма этого исчисления совпала со сформулированной чуть ранее Гейтингом системой аксиом интуиционистской логики. Так была дана еще одна интерпретация интуиционистской логики.

Андрей Николаевич опубликовал две работы по геометрии. В одной из них «К обоснованию проективной геометрии»22 нашло отражение юношеское увлечение проективной геометрией, «которую [помните?] старомодно, но подлинно талантливо читал Алексей Константинович Власов». В начале 30-х годов во всю уже развивались «синтетические структуры», когда, скажем, алгебра соединялась с топологией (вспомним теорию представлений компактных групп). Андрей Николаевич Колмогоров стоял у истоков «топологической геометрии». Сколь красивыми и неожиданными могут оказаться связи геометрии и топологии, показывает следующий результат Колмогорова.

Пусть три системы элементов (называемых точками, прямыми и плоскостями) удовлетворяют проективным аксиомам соединения, причем каждая из систем является связным компактом и при этом отношения соединения непрерывны (скажем, прямая, проходящая через две точки, непрерывно зависит от этих двух точек и т.п). Колмогоров доказывает, что геометрия, имеющая объектами данные три системы, изоморфна либо UP3, либо CP3, либо ИР3 (т.е. либо вещественной, либо комплексной, либо кватернионной проективной геометрии).

Здесь наиболее важными являются идея соединения геометрии и топологии и эстетический элемент, заключенный в формулировке. Центральным же местом доказательства является ссылка на теорему Понтрягина (доказанную по предложению Андрея Николаевича), где описывались все связные локально компактные топологические тела со счетной базой (ими оказались лишь R, С и Н). Эти факты со всею несомненностью входят в золотой фонд то-

21 Там же. С. 162-168.

22 Там же. С. 169-170.

пологической алгебры, что вполне оправдывает мысль, неоднократно высказывавшуюся Андреем Николаевичем: эстетические побуждения нередко приводят к содержательным следствиям.

Четыре работы Андрея Николаевича относятся к функциональному анализу и в каждой из них имеются важные идейные элементы.

Андрей Николаевич дал первый по времени критерий компактности в Lp23. Впоследствии М. Рисс дал критерий, подобный критерию Арцела - более привычный и естественный, но результат Андрея Николаевича сохранил свое значение, так как он может быть легко распространен на любые пространства с мерой, а риссовский - нет.

Самой известной среди названных функционально-аналитических работ является, несомненно, работа, где даются определения линейного топологического пространства, ограниченного множества в нем (важность этих понятий для дальнейшего развития функционального анализа отмечает в своем историческом обзоре Н. Бурбаки) и доказывается следующий классический критерий нормируемости: для того, чтобы линейное топологическое пространство было нормируемо, необходимо и достаточно, чтобы в нем существовала ограниченная выпуклая окрестность нуля24.

У истоков теории нормированных колец, созданной впоследствии И.М. Гельфандом, находится их совместная работа, где доказан такой красивый результат25:

Пусть Т1 и Т2- два компакта. Для того чтобы Тх и Т2 были гомеоморфны, необходимо и достаточно, чтобы кольца С(7\) и С(Т2) (непрерывных функций на Тх и Тъ соответственно) были алгебраически изоморфны, т.е. алгебраический изоморфизм алгебр непрерывных функций определяет топологический гомеоморфизм самих компактов.

Фундаментален вклад Колмогорова в алгебраическую топологию. Ему принадлежит введение, пожалуй, центрального понятия во всем этом разделе - понятия когомологий, одного из самых фундаментальных понятий всей современной математики. Андрей Николаевич определил также и важнейшую операцию в группе когомологий - операцию произведения, превращающую эту группу в кольцо.

Одновременно к тем же идеям пришел и американский тополог Александер (и аспирант Л.С. Понтрягина И.И. Гордон).

23 Тамже. С. 159-161.

24 Там же. С. 190-193.

25 Там же. С. 264-269.

Свою теорию когомологий Андрей Николаевич завершил замечательным законом двойственности для замкнутых множеств в компактных пространствах.

В середине 50-х годов, обращаясь к теории алгоритмов и теории автоматов, А.Н. Колмогоров ставит перед собой задачу, по духу близкую к той, что обсуждалась нами в связи с теорией операций над множествами. Это очень хорошо выражено в примечании к его статье 1958 г. (совместной с В.А. Успенским)26. «Авторы, стремясь для самих себя осмыслить понятия «вычислимая функция» и «алгоритм», пытались пересмотреть найденные в литературе варианты определения и окончательно убедиться в том, что за ними не скрывается каких-либо возможностей расширения самого объема понятия «вычислимая функция». Итогом этой работы явились наиболее широкие (по-видимому, из возможных) определения основных объектов теории - алгоритма и автомата».

В эргодической теории А.Н. Колмогорову принадлежит введение двух основополагающих понятий - метрической энтропии (замысел Андрея Николаевича был окончательно оформлен Я.Г. Синаем) и квазирегулярной динамической системы.

Почти в каждой области, которой занимался Андрей Николаевич, он породил одно или несколько принципиальных научных направлений, где затем начинали работать десятки и сотни исследователей, появлялись обзорные статьи, монографии, собирались научные конференции. Скажем, лишь в 30-е годы и лишь в вероятностном цикле он заложил основания теории вероятностей и случайных процессов, начал разработку марковских процессов, теории цепей Маркова со счетным числом состояний, в статистике - теории статистических критериев и (совместно с Хинчиным) теории стационарных процессов. Эти направления вошли как отдельные главы в современные курсы теории вероятностей, математической статистики и случайных процессов, и если посмотреть на содержание этих курсов, то создается впечатление, что множество этих новых направлений, порожденных одним человеком на протяжении менее чем десятилетия, сопоставимо с совокупностью новых направлений, которые возникли в названных науках за последние 50 лет.

А сами идеи Андрея Николаевича всегда обладали какой-то замечательной живучестью. Они быстро подхватывались, обрастали последователями, сплетались с другими, образовывая научные направления и школы.

Существует множество методов, конструкций и лемм, полу-

26 Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 3. Теория информации и теория алгоритмов. С. 70-94.

ченных Андреем Николаевичем при решении отдельных проблем, и они постоянно используются в дальнейших исследованиях. Особенно много методов было развито им в теории вероятностей и случайных процессах (начиная, скажем, с известного неравенства Колмогорова), много конструктивного было внесено в теорию функций, топологию и другие разделы. Например, число использований теоремы сравнения - вспомогательного результата, полученного им при доказательстве теоремы о промежуточной производной, - исключительно велико. То же следует сказать и о принципе введения нового инварианта типа энтропии для доказательства неизоморфности тех или иных совокупностей. Но наибольший резонанс получил метод решения функциональных уравнений с малыми знаменателями - особый род теоремы о неявной функции, - лежащий в основании КАМ-теории.

И, наконец, о концепциях - объединительных, универсальных принципах - в творчестве Андрея Николаевича.

Здесь прежде всего надо упомянуть концепцию аксиоматики теории вероятностей, приведшую к тому, что теория вероятностей из натурфилософской стала математической дисциплиной. Книга «Основные понятия теории вероятностей» (1933 г.) - несомненно, самое известное научное произведение Андрея Николаевича. Ее огромную роль в истории науки и в своей личной судьбе подчеркивали такие классики теории вероятностей, как Дуб и Ито. В антологии по теории вероятностей, изданной в Болгарии, эта работа соседствует с основополагающими трудами Я. Бернулли по закону больших чисел и Лапласа по центральной предельной теореме. Книга так и называется: «Бернулли, Лаплас, Колмогоров. Вероятность».

Собрание избранных сочинений Андрея Николаевича Колмогорова вышло в трех томах. Первый посвящен детерминированным явлениям, так сказать «царству порядка», второй - случайным явлениям, «царству хаоса», а основная мысль в третьем томе состоит в том, что эти два «царства» не имеют естественных границ. Именно там выдвинута концепция параллельного изучения сложности детерминированных и закономерности в случайных явлениях.

Концепция случайности как алгоритмической сложности, попытка вскрыть сущность понятий «порядок» и «хаос» венчает творческую жизнь Андрея Николаевича и как бы связывает в единый узел все его творческие устремления. В этой концепции соединились идеи теории вероятностей, конструкции математической логики и теории алгоритмов, понятия и методы теории информации, результаты эргодической теории и теории динамических систем и опыт изучения явлений природы. А многие на-

чальные работы Андрея Николаевича (по теории функций, дескриптивной теории множеств) могут восприниматься, как пролог к осуществлению всей этой необъятной программы.

В заключение хочу рассказать о Колмогорове как создателе научной школы, а правильнее сказать - многих научных школ.

Как же создавалась научная школа Андрея Николаевича Колмогорова?

Расскажу о том, чему был свидетелем, о школе Колмогорова в 50-х. и начале 60-х годов прошлого столетия.

Уже говорилось, что в творчестве Андрея Николаевича Колмогорова отрезок времени между его 50-ю и 60-ю годами, занимает особое место по необычайной интенсивности творческой деятельности.

В этот период Андрей Николаевич был окружен и очень большим числом непосредственных учеников и последователей, для большинства из которых контакты с Колмогоровым оказали решающее влияние на всю их творческую биографию.

Аспиранты и сотрудники Андрея Николаевича были указаны нами ранее.

Андрей Николаевич имел плодотворные творческие контакты в тот период со многими своими бывшими учениками и учеными разных поколений, не входившими в число его непосредственных учеников. Среди них: Н.С. Бахвалов, К.И. Бабенко, И.В. Гирсанов, А.А. Гончар, Е.Б. Дынкин, В.С. Королюк, Б.С. Митягин, В.С. Михалевич, А.М. Обухов, В.А. Рохлин, А.В. Скороход, К.А. Ситников, В.А. Статулявичус, П.Л. Ульянов, С.В. Фомин, Н.Н. Ченцов, А.А. Юшкевич, А.М. Яглом, продолжались контакты с учениками старших поколений: И.М. Гельфандом, Б.В. Гнеденко, М.Д. Миллионщиковым, А.С. Мониным, С.М. Никольским, А.М. Обуховым и многими другими математиками.

Как же так вышло, что один человек смог вдохновить к активному творчеству столь большое число столь разных математиков? В чем состояло и на чем основывалось его научное влияние?

Много значили, конечно, поразительная широта научного диапазона Колмогорова и щедрость, с которой он рассеивал свои замыслы и идеи.

При этом фактически каждая задача, которую он ставил, была освещена некоей как бы вдали мерцавшей естественно-научной или философской идеей, неким глубоким смыслом, и это давало дополнительный стимул к ее исследованию. Ставя задачу, Колмогоров во многих случаях предвидел результат, но не берег его для себя, а предоставлял возможность достичь его своим ученикам и последователям.

И еще нужно сказать об атмосфере свободы, которая царила вокруг Андрея Николаевича. Он не заставлял, не отчитывал, не пенял, не торопил. Стимулом к творчеству были красота и осмысленность поставленных целей.

Мне хотелось бы здесь кратко подтвердить это.

В 1963 г. к 60-летию Андрея Николаевича я собирался писать статью о его творчестве. Вот как он сам в письме ко мне от 5 мая 1963 г. охарактеризовал по моей просьбе основные направления своей деятельности. Это, по его словам, были:

«1) Корелляционная и спектральная теория случайных процессов, локальные свойства их реализации (Розанов, Матвеев, Беляев).

2) Общая метрическая теория динамических систем, их спектры, введение в эту теорию энтропии (ранее - Фомин, сейчас - Гирсанов, Алексеев, Синай) [...].

3) Основы теории информации (мой курс заслуживает упоминания). Из него вышла значительная часть Добрушина.

4) Линейная размерность и аппроксимативные размерности. Надо объяснить проблематику и указать, что молодые поляки [А. Пельчинский и другие - В.Т.] начали раньше меня.

5) Приближения - Тихомиров.

6) Предельные теоремы с точки зрения распределений в функциональных пространствах (публикация с Прохоровым «О суммах случайного числа случайных слагаемых.» УМН. 1949. Т. 4 Вып. 4) Скороход и моя заметка о нем «О сходимости А.В. Скорохода.» Теория вероятн. и ее примен. 1956. Т. 1. Вып. 4).

7) Уточнения классических предельных теорем и теорем типа пункта 6). Моя небольшая статья об экстремальных задачах в Вестнике МГУ «Некоторые работы последних лет в области предельных теорем теории вероятностей». Вестн. МГУ, сер. физ.-матем. и естеств. наук. 1953. Вып. 7. № 10,1953. Сираждинов, Королюк.

Естественно, что давать новые доказательства и собственное изложение Вы будете лишь там, где это Вам будет интересно и легко сделать.

Достаточная полнота перечисления пунктов 1-7) желательна в отношении упоминания людей, считающих себя искренне моими учениками. [...]»

В этом же письме Колмогоров упоминает еще «большой, еще мало осуществившийся замысел нелинейной теории случайных процессов (со старшими моментами) и теории управления». Этим кругом вопросов Андрей Николаевич заинтересовал двух друзей-сокурсников - В.П. Леонова и А.Н. Ширяева.

Здесь еще о многом не сказано: о Г.И. Баренблатте, занимавшемся гидродинамикой, о Л.Н. Большеве, работавшем в области математической статистики, о работах по логике Ю.Т. Медведева и В.А. Успенского, о результатах Р.Л. Добрушина, В.М. Золотарева и А.А. Боровкова по различным вопросам теории вероятностей, о М.С. Пинскере, занимавшемся теорией информации и о совместной деятельности по этому кругу вопросов Колмогорова, И.М. Гельфандом и А.М. Ягломом, о фундаментальных исследованиях. А.Г. Витушкина и В.Д. Ерохина по теории аппроксимации, не сказано, хотя подразумевается имя А. Пельчинского, не говорится о М.Д. Миллионщикове и А.М. Обухове, с которыми Колмогоров поддерживал плодотворные контакты по турбулентности, о С.М. Никольском. И всем этим, разумеется, далеко не все перечислено.

Собственно научные контакты Колмогорова с учениками были не слишком частыми. Ученик воспринимал задачу, которую он потом исследовал, либо из беседы с Колмогоровым (в московской квартире или комаровском доме, куда был приглашен, или на прогулке); либо (чаще всего) на семинаре или на лекции самого Колмогорова, или при обсуждении какого-то доклада другого математика; иногда «из практикума» (который ввел и которым некоторое время руководил Андрей Николаевич); или еще - при обсуждении работ, представляемых в «Доклады Академии наук». Было, наверное, и еще что-то. Идеи и задачи рассеивались Колмогоровым все время.

Юрий Васильевич Прохоров осуществил в своей докторской диссертации программу, намеченную Колмогоровым в его выступлении на Математическом обществе (и частично опубликованную в статье Колмогорова в «Вестнике МГУ»). Некоторые аспекты этой программы стал развивать Владимир Михайлович Золотарев. Петр Лаврентьевич Ульянов выбрал направление своих исследований, прослушав доклад Колмогорова на семинаре Меньшова. Темы своей первой курсовой работы Владимир Михайлович Алексеев и Николай Сергеевич Бахвалов получили из практикума. На третьем курсе Алексееву была предложена тема: «Финальные движения в задаче трех тел». Интерес к этой задаче был во многом связан с научными контактами с Отто Юльевичем Шмидтом, который в те годы старался научно обосновать свою космогоническую гипотезу.

Эта задача стояла со времен Ньютона. Как не восхититься тем, что она была поставлена студенту четвертого курса и разрешена (при участии Колмогорова Алексеевым, Арнольдом и Ситниковым). Витушкин и Гончар первые плодотворные контакты с Колмогоровым имели по поводу представления своих работ в

«Доклады АН». Очень интересные последствия имел кратковременный контакт Колмогорова с Е.Ф. Мищенко при обсуждении совместной статьи Понтрягина и Мищенко (о чем мне неоднократно приходилось слышать из уст Евгения Фроловича). Ерохин, Гирсанов и я свои получили задачи, слушая выступления Колмогорова на семинаре и лекциях, которые он читал по теории информации и динамическим системам. Бабенко сделал одну из своих выдающихся работ, услышав постановку задачи на лекции Колмогорова на Математическом обществе. Арнольд свою первую работу выполнил на семинаре Колмогорова и (тогда аспиранта) Гончара для студентов II курса в 1954/55 году.

В дальней перспективе этого семинара Колмогорову виделись подходы к решению тринадцатой проблемы Гильберта (так говорил он в своем вступительном слове на семинаре). О том, что происходило дальше, Владимир Игоревич Арнольд пишет так: «В 1956 году я был студентом, а А.Н. Колмогоров, мой научный руководитель, как раз работал над этой задачей [тринадцатой проблемой Гильберта]. Он доказал, что “функции четырех переменных не существуют” [они сводятся к функциям трех переменных]. Но сократить число переменных с трех до двух он не смог и передал эту задачу мне». Решение тринадцатой проблемы Гильберта было представлено Димой Арнольдом в качестве курсовой работы на третьем курсе.

Начальный импульс для своих исследований Яков Григорьевич Синай получил, когда он слушал спецкурс Колмогорова по теории динамических систем в 1957 г. Краткий разговор с основателем советской школы радиолокации Ю.Б. Кобзаревым дал Колмогорову повод наметить широкую программу исследований, к которой он привлек Альберта Николаевича Ширяева, и это привело к рождению широко разросшегося нового направления (о роли Колмогорова на начальном этапе своего творчества Арнольд, Синай и Ширяев рассказывают в своих обзорах в книге «Математические события XX века»).

О своих контактах с учителем Владимир Андреевич Успенский описал более подробно и на его примере можно показать, как Андрей Николаевич взаимодействовал со своими учениками.

Первый разговор между Андреем Николаевичем Колмогоровым и студентом третьего курса Володей Успенским произошел в октябре 1949 г. в перерыве лекции Колмогорова, когда студент предложил лектору контрпример к одному из утверждений, только что высказанному на лекции. На Колмогорова это, по-видимому, произвело некоторое впечатление, тем более, что фамилию своего собеседника Андрей Николаевич знал, слышал ее от Е.Б. Дынкина.

В том же 1949 г. вышла первая статья Успенского, написанная по теме, предложенной Дынкиным. В январе 1950 г. Колмогоров приглашает Успенского в свой загородный дом в Комаровку, где (после лыжной прогулки) «не без некоторой торжественности производит в ученики». Ему была выдана литература и обозначена тема занятий - рекурсивные функции. На будущий год, в декабре 1950 г. Колмогоров передает Успенскому отпечатанный листок с наметками общего определения алгоритма, поручая своему ученику развить это определение. Успенский пишет далее, что зимой и весной 1952 г. Колмогоров дважды «приглашал меня (пятикурсника) к себе в квартиру для продолжительных разговоров на математические темы». В мае 1952 г. происходит защита дипломной работы В. Успенского (рецензентом которой был не кто иной, как Петр Сергеевич Новиков - «такие были времена»). «Колмогоров пригласил меня, - пишет далее Владимир Андреевич, - поступить к себе в аспирантуру». В аспирантские годы тема дипломной работы получила дальнейшее развитие. 17 марта 1953 г. состоялось заседание Московского математического общества, посвященное понятию алгоритма, с двумя докладами - А.Н. Колмогорова и В.А. Успенского. В 1953/54 учебном году объявляется «Семинар по рекурсивной арифметике для студентов III-IV курсов под руководством А.Н. Колмогорова и В.А. Успенского». Здесь Андрей Николаевич сделал шаг вперед по сравнению со своим учителем Н.Н. Лузиным. («Интенсивная работа с учениками, - сказал как-то Колмогоров в одном интервью, - была одним из новшеств, которые культивировал Николай Николаевич».) Эта работа проходила еженедельно дома у Николая Николаевича. Совместные семинары с аспирантами - с В.А. Успенским в 1953/54 г. и с А.А. Гончаром в 1955/56 г. тому подтверждение - в этом было нечто новое. Годы аспирантуры были годами наиболее тесного общения ученика и учителя. Кое-что относилось собственно к исследовательской работе аспиранта. (Например, в декабре 1952 г. Колмогоров изложил своему ученику «в течение пяти минут, но зато дал списать с заготовленной им бумажки (...) основополагающие идеи о связи теоремы Геделя о неполноте аксиоматических систем (...) с существованием множеств, не являющихся рекурсивными».) Те темы, о которых выше шла речь (рекурсивные функции, понятие алгоритма, теорема Геделя), стали основными для Владимира Андреевича фактически на протяжении всей его жизни.

Сходным образом все происходило и со мной, и со всеми, с кем мне доводилось обсуждать вопрос о взаимодействии Колмогорова со своими учениками или читать их воспоминания: постановка задачи, обсуждение ее решения, доклад на Обществе или

на семинаре в присутствии Колмогорова, прогулки, беседы на математические и нематематические темы. Многим Колмогоров помогал в написании первой математической работы.

В то время (50-60-е годы) интенсивнейшим образом развивались две математические школы - Колмогорова и Гельфанда. Эти школы формировались во многом по различным принципам. По яркому выражению В.И. Арнольда Гельфанд «достиг мастерства в весьма специфическом искусстве каждодневного сотрудничества с очень одаренными математиками, [...] плодами чего становились важные и замечательные совместные работы». Для Колмогорова было характерно иное. Р.Л. Добрушин как-то сказал: «Я думаю, что значительная часть московской математики того времени базировалась на идеях, щедро розданных Колмогоровым». И далее: «Я думаю, по современным стандартам он должен был быть соавтором десятков, нет - сотен работ». Я вполне солидарен с этими словами. Андрей Николаевич рассеивал идеи с неслыханной щедростью, и очень редко вспоминал о своем приоритете.

В связи с этим мне хочется обсудить одно высказывание Бориса Владимировича Гнеденко об Андрее Николаевиче. «Надо сказать, - писал Борис Владимирович (который не раз затрагивал эту тему), - учеников себе он выбирал мастерски. [...] Я до сих пор не могу разгадать, как, по каким признакам он мгновенно отличал способных людей». Не хотел бы оспаривать этой мысли одного из самых близких друзей Андрея Николаевича. Допускаю, что Андрей Николаевич и «выбирал» кого-то, угадав возможности человека. Как-то распознать способного человека и затем с ним двигать науку - это замечательно, но не так уж и удивительно. Особое же величие Андрея Николаевича видится мне и в другом: иногда он брал людей, с которыми вообще не имел предварительного контакта (и тем самым не мог составить мнения об их возможностях), но мне неизвестен случай, когда ученик Колмогорова не достигал научного успеха..

Вот как сложилась судьба будущего академика А.А. Боровкова. Он пишет: «Моя связь с Андреем Николаевичем Колмогоровым явилась скорее результатом стечения обстоятельств». И далее: «Я [на 3-м курсе] с некоторым успехом занимался механикой у Н.Г. Четаева, [...] а на 4-м курсе я был помимо моей воли зачислен в “целевую” группу с заранее предопределенным распределением. (...) По окончании университета я подал заявление в аспирантуру (без отрыва от работы по обязательному распределению) (...) Через некоторое время мне сообщили, что Андрей Николаевич согласен быть моим руководителем». И это далеко не единичный пример.

В 1952 г. в аспирантуру к Колмогорову поступили два блестяще зарекомендовавших себя студента (победители олимпиад, имевшие печатные труды, активные участники семинара Дынкина) - Р.Л. Добрушин и В.А. Успенский. А кроме них подал заявление о приеме в аспирантуру Ю.Т. Медведев из Воронежа, о котором ничего не было известно. Но экзамен Медведев сдал, и Колмогоров взял его в аспирантуру. А через три года все трое в один день защищали диссертационные работы, признанные выдающимися (тогда существовала такая форма поощрения диссертантов). Рассказывая мне об этом, Андрей Николаевич с особой гордостью выделял замечательную работу Юрия Тихоновича Медведева.

Я не помню, чтобы Андрей Николаевич кому-то отказывал. Нередко случалось, что в Москву приезжали люди из других городов, бывало, что и с очень средней подготовкой, но Андрей Николаевич брал их под свою опеку. Ни за кого никогда работ он не писал, все его ученики свои основные результаты получали самостоятельно. Но при этом факт остается фактом: пребывание хоть на какое-то время рядом с Андреем Николаевичем приводило (почти без исключений) к научному успеху.

Не раз случалось, что ученик Колмогорова избирал для себя иную тропу, не продолжая исследования в области математики. Но, как правило, их работы студенческой или аспирантской поры сохраняют значение и в наше время, спустя полвека и более после их напечатания.

Таков, например, критерий компактности А.Н. Тулайкова -первого аспиранта А.Н. Колмогорова - о нем рассказывалось в первой части книги. Дипломная работа Олега Сергеевича Ивашева-Мусатова - ставшего замечательным преподавателем и автором прекрасных учебников и книг по математике - была признана лучшей на конкурсе студенческих научных работ. Потом она стала основой его кандидатской диссертации, а спустя 50 лет она подробно разбирается (с высокой оценкой ее значения) в монографии В.П. Хавина по гармоническому анализу. Работа аспиранта Колмогорова В.Т. Кондураря была востребована через 40 лет после ее опубликования (в работах М.Ш. Бирмана и М.С. Соломяка по теории операторов), хотя тема была оставлена и никто ее не продолжал. Сохранили свое значение исследования Ю.П. Офмана, и этот список можно продолжать.

Жизнь многих рано оборвалась, но и в столь краткий период контакта с Колмогоровым они оставили след, не затерявшийся и поныне. Я вспоминаю моих сокурсников - Игоря Гирсанова, Славу Ерохина, Витю Леонова; Андрей Николаевич часто вспоминал Виктора Засухина и других своих учеников, не пришедших с

войны. Их след в науке не затерялся до наших дней. Но чаще всего касание Учителя вело к тому, что его ученики шли потом в науке и долго и успешно.

Где еще, как не здесь, сказать о том, что так и осталось для меня неразрешимой и мучительной загадкой, - о внезапном изменении всего образа жизни Колмогорова, выразившегося, прежде всего, в почти полном обрыве занятий математикой. Это произошло где-то в середине 60-х годов. О научных свершениях в десятилетие 1953-1962 гг. у нас дважды заходила речь - в первой части и только что. В конце первой части было рассказано и о том, сколь многим была наполнена его жизнь в те годы. Вкратце повторю: Андрей Николаевич читал исключительные по глубине и содержательности обязательные и специальные курсы на мехмате МГУ, вел там множество семинаров и кружков, организовал и наполнил содержанием замечательный матпрактикум; он не раз с циклами лекций, имевшими неизменно большой успех, ездил за рубеж (в ГДР, Польшу, Швецию, Францию, Индию), много путешествовал и по Советскому Союзу, организовывал и вдохновлял различные конференции; Андрей Николаевич сделал большой заключительный доклад на Конгрессе в Амстердаме (1954), два обзорных доклада в Москве на Третьем всесоюзном математическом съезде (1957), обзорный годичный доклад на общем собрании АН СССР, выступил с получасовым докладом на Международном конгрессе в Эдинбурге; он был деканом мехмата МГУ, и это были периоды расцвета мехмата, он заведовал кафедрой теории вероятностей, и десятилетие 1953-1962 стало золотым периодом в жизни кафедры. Колмогоров с большим общественным темпераментом боролся за кибернетику, за математическую экономику, с большой энергией работал в БСЭ, - я упоминаю только то, чему был непосредственным свидетелем.

И тут неожиданно происходит внезапная и совершенно непонятная трансформация жизни. Начинается новый период, где собственно математике почти не остается места. Его сначала занимают проблемы статистического анализа поэтических произведений, он много сил отдает организации статистической лаборатории, переросшей в Межфакультетскую лабораторию статистических методов МГУ, он организует Интернат и журнал «Квант», увлекается дальними путешествиями, но резко снижает свою научную активность. За 20 последних лет своей жизни Андрей Николаевич написал лишь 9 работ, которые включил в собрание своих сочинений, из них ни в одной он не развивал новое направление или новую концепцию. Это были лишь обзоры, комментарии, уточнения...

Что послужило причиной такого крутого поворота - усталость или темперамент просветителя, или что еще - не могу сказать определенно.

«Период с острым чувством пустоты» (эти слова Андрея Николаевича вы прочтете в одном из приводимых мною далее писем), если он и был, то, несомненно, длился лишь краткое время. Андрей Николаевич в 60-е и 70-е годы неизменно жизнерадостен, активен, стремителен. У него появляются новые молодые друзья-ученики -Дима Гордеев, Миша Козлов, Игорь Журбенко, Саша Булинский, он внушает восхищение и восторг, находясь на вершине своей славы, но творческая деятельность его в области математики почти совершенно (и внезапно) прерывается. В полной мере этот внезапный обрыв я осознал лишь через много лет, когда стал готовить к изданию собрание его избранных сочинений.

Спросить его самого было уже невозможно - Андрей Николаевич был тяжело болен, и ощущение тайны, какой-то необъяснимой загадки, не покидает меня.

Обсуждению того, что было совершено Андреем Николаевичем в его последние годы я посвящу фрагмент последной части книги. А сейчас подведем итоги тому, чему была посвящена эта часть книги.

Осмысление вслед за Ньютоном, Лапласом и Пуанкаре сокровенной натурфилософской проблемы вечности эволюции Солнечной системы и первый прорыв в этом круге вопросов; решение фундаментального общематематического вопроса о существовании функций многих переменных; создание теории процессов без последействия, позволивших воссоединить идеи Фурье, Планка, Эйнштейна и Смолуховского; открытие нового закона природы в области турбулентности и существенное развитие этой теории вслед за Тейлором и фон Карманом; построение вместе с Хинчиным и Винером теории стационарных случайных процессов; получение фундаментальных результатов, решение трудных проблем, которые явились начальными или «крайними» точками соответствующих теорий, теорем, стоящих в ряду с основными достижениями в соответствующих областях таких математиков как Лебег, Лузин, Харди, Литтлвуд, Чебышев, Марков, Бернштейн, Фишер, фон Нейман; и привнесение в математику основополагающих идей и понятий (таких как линейное топологическое пространство, когомология, энтропия динамической системы и множества других); осмысление основных математических понятий (таких как мера, интеграл, производная), разработка фундаментальных конструкций математической логики, основания десятков новых научных направлений и целых этапов развития отдельных дисциплин, разработка новых методов и широчайших концепций - вот что вместила одна человеческая жизнь.

Глава IV

Личность

У каждого, кто соприкасался с Андреем Николаевичем, остались в памяти необычные и яркие впечатления от его неповторимой личности.

Вспомним еще раз его слова: «Жизнь моя была преисполнена счастья» и повторим: счастье приносили Андрею Николаевичу поиск истины, процесс познания, служение высоким и гуманным целям, искусство, созерцание природы, путешествия, человеческое общение.

В восприятии искусства Андрей Николаевич и Павел Сергеевич дополняли друг друга. Андрея Николаевича больше увлекали изобразительные искусства и особенно древнерусская живопись и архитектура. Павел Сергеевич был глубоким знатоком музыки и театра. Андрей Николаевич был любителем и исследователем русской поэзии, Павел Сергеевич больше ценил достояния классической прозы Толстого, Тургенева, Чехова.

Андрей Николаевич был наделен даром украшать мир своими мыслями, деяниями, воздействием на окружающих. Он выращивал красивые цветы и деревья, создавал научные шедевры, был счастлив в своих последователях. Общение с Колмогоровым выпрямляло и возвышало, давало силы, о которых люди не подозревали.

Андрей Николаевич был очень легок на подъем: бродил по лесам и полям, ежегодно отправлялся в длительные путешествия и всегда находил возможность летом попасть к морю. Особенно тянули его к себе русский Север (Карелия, Архангельская область), Волга, горы Кавказа, Карпаты, Крым. Он путешествовал на лодках (весельных, долбленых, байдарках), пешком, на лыжах, в последние годы - на машинах. В одиночку, чаще вдвоем или втроем. С удовольствием гулял по Подмосковью большими компаниями с учениками.

Андрей Николаевич любил Россию, ее историю, природу и искусство, и вместе с тем умел ценить достоинство, трудолюбие и демократические традиции других народов. Он легко чувствовал себя в других странах и вел себя, как дома: надевал рюкзак и

шорты и отправлялся в странствия, ходил на лыжах или посещал музеи и архитектурные памятники.

Был одарен очень интересной избирательной наблюдательностью. Как-то в октябре 1986 г. во время встречи руководителей СССР и США в Рейкьявике, речь зашла об Исландии (которую он посетил во время своих кругосветных плаваний). Андрей Николаевич вдруг сказал: «Какая прекрасная страна! Я помню, была страда и на берег вышли все, старые и молодые, и юноши и девушки, как у нас сказали бы “комсомольского возраста”, ловко свежевавшие рыбу (так это, кажется, у нас называется). И среди них были дети министров и мэров городов, на самом деле все».

Андрей Николаевич очень любил Францию. Он долгое время состоял в Обществе дружбы СССР бывал во Франции 5 раз, посещая эту страну и как ученый, и с миссией дружбы. Из французских ученых, с которыми ему довелось встречаться, чаще других он рассказывал про Ж. Фавара, Ж. Лере, Л. Шварца, Р. Тома. В.И. Арнольд вспоминает рассказ Андрея Николаевича, что во время его визита Лере «купал внука, держа его за пятку. Согласитесь, это не совсем обычно для визита академика одной страны к академику другой. Кругом был беспорядок, который Вы хорошо можете представить по русским дворянским семействам». Всякий раз, посещая Францию, Колмогоров посещал Адамара.

Имя Андрея Николаевича Колмогорова называлось в 50-е годы с каким-то возвышенным почтением, с каким-то беспрецедентным уважением, ни с чем сходным сравнить это я не могу. Выражалось это по-разному. На дне открытых дверей в МГУ в 1952 г., когда декан Владимир Васильевич Голубев представлял факультет абитуриентам, говорилось, что на факультете работают всемирно известные ученые, а также Колмогоров, имя которого должно быть известно и за пределами Земли: если на Луне есть мыслящие существа, то и они должны знать о нем. В разговорах о нем, с кем бы я ни говорил в первые годы моей мехматской жизни, при упоминании имени Андрея Николаевича слышался непременный оттенок гордости, что вот здесь рядом есть такой необыкновенный человек и ученый.

Николай Владимирович Ефимов - замечательный математик и удивительно светлый человек, в будущем декан мехмата в самый яркий период факультета, с семьей долгое время проживал за городом по Ярославской дороге, сравнительно недалеко от Тарасовки, через которую Андрей Николаевич иногда добирался до Комаровки. Как-то раз возникла необходимость передать Николаю Владимировичу какие-то бумаги, и Андрей Николаевич сказал, что для него это просто - по дороге домой через Тарасовку он зайдет к Ефимовым и эти бумаги передаст. Николай Вла-

димирович был смущен, пробовал отговорить Андрея Николаевича, но все было тщетно, и ему пришлось позвонить домой и сказать, что к нам сегодня зайдет Колмогоров. Его жена, Роза Яковлевна, тоже математик, ученица Л.В. Канторовича, пришла в страшное волнение, побежала на кухню, засуетилась, начала что-то судорожно готовить, и тогда домработница спросила ее: «Что Вы так волнуетесь? Кто ж это к Вам едет?» И, не зная, как ответить, Роза Яковлевна сказала так: «Ну, представь себе, что к тебе вдруг пожалует Царь».

В.А. Успенскому принадлежат слова - «Колмогоров дарил окружавшим его людям ни с чем не сравнимое, почти физическое ощущение непосредственного соприкосновения с гением» -во многом объясняющие тот высочайший авторитет, которым пользовался Андрей Николаевич.

Сейчас можно во многих статьях прочитать, что Колмогоров плохо читал свои лекции. А в годы моего студенчества никто не называл Колмогорова плохим лектором - говорили: «Его очень трудно понимать...». Я учился в прекрасную мехматскую пору и с глубоким почтением и неизменно с добрыми чувствами вспоминаю своих университетских учителей. Мне читали лекции Лев Абрамович Тумаркин, Александр Геннадиевич Курош, Павел Сергеевич Александров, Виктор Владимирович Немыцкий, Александр Осипович Гельфонд, Петр Константинович Рашевский, Израиль Моисеевич Гельфанд, Юрий Васильевич Прохоров, Ольга Арсеньевна Олейник. И Андрей Николаевич Колмогоров. Он читал курс, который назывался «Анализ - 3» - особый синтетический курс, вбиравший в себя многое, что раньше читалось отдельно.

Слушателей этого курса должно было быть около 200 человек, и потому деканат выделил для него аудиторию 02, лишь там 200 человек могли свободно разместиться. К концу семестра в этой огромной аудитории сидели на первом ряду и слушали лекции Колмогорова лишь человек десять. Остальная часть аудитории была пуста. Колмогорова действительно очень трудно было понимать. Я сидел и торопливо записывал, потом просматривал, старался разобраться. С тех пор прошло полвека - достаточный срок, чтобы подводить итоги. Для меня нет никакого сомнения в том, что больше всего мне дали во всей моей жизни лекции Колмогорова по анализу-3, В них постоянно ощущался полет мысли, и временами была возможность обозревать математику как бы всю сразу с высоты этого полета.

Я тоже был преисполнен преклонением перед гением и личностью Колмогорова и не мог даже вообразить, что могу оказаться в ряду его учеников.

Мой первый личный контакт с Андреем Николаевичем произошел в 1955 г. Я пришел к нему как к декану просить за своего друга-сокурсника, над которым нависла угроза исключения из университета. Андрей Николаевич принял, разумеется, справедливое решение, и на том разговор окончился. После этого мы здоровались и несколько раз даже говорили о чем-то. Эти общения были всегда для меня страшно мучительны, меня постоянно угнетала мысль, что я не могу соответствовать положению собеседника столь великого человека. Помню, был очень удивлен, когда как-то раз был вызван к декану. Андрей Николаевич сказал мне, что «чувствует в настоящее время в себе достаточно много энергии» и хотел бы взять себе несколько дипломников. И предложил мне писать у него дипломную работу. (С моего курса Андрей Николаевич взял тогда к себе в ученики В. Ерохина, В. Леонова, Ю. Розанова, Я. Синая, А. Ширяева и меня). Я был крайне изумлен и потрясен этим предложением, не знал, что сказать, что-то стал мямлить про руководителя курсовой. Андрей Николаевич сказал, что я могу не беспокоиться - он постарается уладить этот вопрос и предложил заехать к нему в Комаровку в ближайшее воскресенье - он поставит задачи.

Это было в мае 1956 г. В комаровском доме были настежь открыты все двери, но внутри никого не было. Я бродил по саду, не зная, что делать. Солнце ярко светило, цвела сирень, все было зелено. Это теплое весеннее утро греет душу мою на протяжении всей моей жизни. Вдруг наверху послышался стук машинки. Я поднялся. Андрей Николаевич прервал свою работу и попросил меня рассказать о курсовой. Я только-только начал свой рассказ, как он остановил меня - ему стало все ясно. Двумя-тремя штрихами он обрисовал мне план, по которому я мог бы завершить работу, над которой думал несколько месяцев. Указал литературу (из которой выяснилось, что близкими проблемами занимался известный венгерский математик Реньи) и затем перешел к обсуждению задач, которые интересовали его в ту пору.

Последующие пять лет были необыкновенно насыщенными в моей жизни, они были наполнены и трудами, и переживаниями, и тревогами, и удачами, но главное - дружбой с Андреем Николаевичем.

Слово «дружба» между великим ученым и студентом, разница в возрасте между которыми была свыше 30 лет, может вызвать недоумение. Но так случилось. В те годы Андрей Николаевич искал дружеского участия, ощущая какую-то незаполненность души и в определенной мере одиночество. Его выбор пал на меня.

Меня же всегда мучила мысль о том, что Андрей Николаевич ошибся в своем выборе, и в итоге, не выдержав этого испыта-

ния, я в 1961 г. покинул Москву, желая освободить своего учителя от бремени его выбора, а самому обрести свободу от тяжелых переживаний.

О многом было переговорено в те годы. Конечно, были разговоры и о повседневности, и о политике, и о делах насущных, и о мимолетных впечатлениях, но по большей части запомнилось не это, а нечто иное, когда речь шла о вещах, действительно сокровенных, предельных - и не о загадках даже, а о тайнах - жизни, истории, творчества, о парадоксах русской действительности, о власти, о морали, о целях жизни, о сущности человеческих отношений, о еврействе, о гении, о творческом начале... И конечно, о людях - близких и далеких. И всякий раз, когда я доверяю бумаге свои воспоминания об Андрее Николаевиче, предо мной встает вопрос - как мне распорядиться своей памятью. Что-то, бесспорно, может и должно принадлежать всем, что-то может быть адресовано коллегам, что-то - людям, искренне любящим Андрея Николаевича, его близким, ученикам и друзьям. И вместе с тем многое, очень многое (причем в большинстве своем и стержневое и существенное) из того, что говорилось в мгновенья душевной свободы, так и должно, по-видимому, остаться во мне и умереть вместе со мною.

Первоначально обдумывая эту книгу, я предполагал включить в нее свои воспоминания и опубликовать письма Колмогорова ко мне. Но потом решил отказаться от этого намерения. В данном издании все это показалось мне не вполне уместным. Я оставляю за собой возможность для более узкой аудитории людей, знавших и любивших Андрея Николаевича написать отдельную небольшую книгу, где должна будет найти место моя переписка с Колмогоровым. А здесь мне хочется привести три отрывка из этих писем, для обсуждения важной темы, касающейся биографии Колмогорова.

Первое письмо относится к самому началу нашей дружбы.

Зимой 1957 г. Андрей Николаевич столкнулся, спускаясь с горки, с лыжником и повредил себе руку. В мае он взял отпуск и поехал в Кисловодск на лечение. Из Кисловодска я получил письмо, из которого привожу краткий фрагмент.

Кисловодск, 17 мая 1957.

«(...) Стремясь к дружбе и известному товариществу с молодыми людьми, вроде Вас, я не хочу и прятать неизбежную разницу наших психологических установок. Отчасти это продолжение как-то начатого с Вами разговора, своевременно ли мне беспокоиться о моей старости. Вот простой подсчет: я начал научную работу всерьез (с совсем первоклассными результатами) 18-ти лет, т.е. 36 лет назад; через 36 лет мне будет 90 (в предположении, до-

вольно мало правдоподобном, что я до девяноста доживу), а, право же, у меня всяких вполне конкретных не осуществленных замыслов не меньше, чем все, что мне довелось сделать ранее и практически вряд ли более 20-ти лет для них (так как в 75 лет серьезно уже не работали даже Адамар и Гильберт) (...)».

Выделенные мною курсивом слова находятся в противоречии с тем, что реально произошло: вместо 20 лет Андрей Николаевич активно занимался математикой всего лишь пять лет с небольшим.

Летом 1961 г. я получил письмо, в котором был фрагмент, начинающийся с двух ахматовских строк:

«... Твой белый дом и тихий сад оставлю, Да будет жизнь пустынна и светла».

«Пустынна» звенит действительно светлым образом. Такие периоды с острым чувством пустоты всем приходилось переживать. По некоторому стечению обстоятельств я такое переживаю сейчас. Но переживания эти могут быть сродни и вырастающему чувству свободы и предвкушения еще не наступившего нового:

I

Преодолел я дикий холод Земных страданий и невзгод, И снова непорочно молод, Как в первозданный майский год. Вернувшись к ясному смиренью, Чужие лики вновь люблю, И снова радуюсь творенью, И все цветущее хвалю. Привет вам, небеса и воды, Земля, движенье и следы, И краткий, сладкий миг свободы, И неустанные труды.

II

Огонь, пылающий в крови моей

Меня не утомил,

Еще я жду каких-то новых дней

Восстановленья сил.

Спешу забыть все виденные сны

И только сохранить

Привычку к снам, - полуночной весны

Пылающую нить.

Все тихое опять окрест меня

И солнце, и луна,

Но сладкого, безумного огня

Душа моя полна.

Это Федор Сологуб, “ущербность” которого, во всяком случае, более твердо установлена критикой (да и психиатрией), чем

Ваша (...)». (В последних двух словах отклик на мои объяснения моего «исхода»).

Я уже писал, что Андрей Николаевич преодолел духовный кризис, о котором идет речь в приведенном мною отрывке, но произошло это ценою отхода от математики.

Но продолжу.

Особо почтительное отношение к Андрею Николаевичу можно связать еще и со многими замечательными достоинствами его личности. Когда пробуешь рассказать о личности человека, нелегко удержаться от сопоставлений.

Бывают люди, которым очень трудно похвалить других за что-то хорошее, а недруги и недоброжелатели оцениваются ими только с отрицательных сторон. Андрей Николаевич же был совершенно лишен этих свойств. Он был безоговорочно щедр на положительные оценки за любое действительно большое достижение и никогда (во всяком случае, при мне) не возводил хулы на своих недоброжелателей.

Колмогоров всегда с огромным пиететом говорил о Сергее Натановиче Бернштейне. У меня нет свидетельств того, что Сергей Натанович особо выделял достижения Колмогорова, наоборот, он однажды публично высказался о том, что значение Колмогорова преувеличивают (Андрей Николаевич рассказывал мне об этом с улыбкой). Но мне никогда не забыть, как в 1955 (или 1956) году, еще до моего личного знакомства с Колмогоровым, я присутствовал на заседании Московского математического общества, которое вел Колмогоров. Прежде чем предоставить слово докладчику, он сказал, что «советская наука удостоилась высокой чести: в иностранные члены Парижской академии наук избран Сергей Натанович Бернштейн. О значительности этого события говорит то, что до этого момента из математиков иностранным членом Академии был лишь Гильберт, а из русских лишь Павлов».

Как-то уже в 80-е годы речь зашла об Андрее Николаевиче Тихонове. В те годы тот находился в жесткой оппозиции к Колмогорову в вопросах, связанных со школьным математическим образованием. Очень легко вообразить математика, который сказал бы с усмешкой: «А что за ним стоит? Теоремка о произведении компактов?». Ответ Колмогорова был иной. Он сказал, что вклад Тихонова в топологию был вполне фундаментален, что, безусловно, интересна его теорема о единственности параболических уравнений и что он высоко оценивает его результаты про уравнения, не зависящие от будущего. От двух математиков колмогоровского поколения мне довелось слышать, что Колмогоров существенно помог Тихонову с его главной теоре-

мой (то ли подсказал в важном месте, то ли исправил ошибку в доказательстве, и чего доброго какая-то доля истины за этим стояла). Но когда я напрямую спросил Колмогорова об этом, он не припомнил какого-либо своего участия в доказательстве теоремы, но, наоборот, сказал, что в своей знаменитой теореме о произведении мер он шел по следам Тихонова.

Иван Матвеевич Виноградов был антиподом Колмогорова, у них не было никаких общих точек соприкосновения ни в науке, ни вне. нее, но Андрей Николаевич не раз называл в кругу своих учеников Виноградова первым из математиков.

Или вот еще: для многих непереносима мысль, что они в чем-то могут быть не первыми. Я в юношеские годы знал одного мальчика, который, уступив как-то в плавании, ходил ранним утром в бассейн, чтобы никто не видел его, неистово тренировался и успокоился лишь тогда, когда, как ему показалось, он сравнялся со своим соперником.

Андрей Николаевич с большим юмором рассказывал мне об Адамаре. Во многих источниках говорится, что за двухвековую историю экзаменов в Ecole Normale лучший результат на вступительных экзаменах получил Адамар. Но на самом деле был некто, кто не оставил следа в науке, но набрал на несколько пунктов больше Адамара на экзаменах. Почти уже столетний старец вспоминал об этом с глубокой горечью - как это так? оказался не первым!

А Андрей Николаевич всегда как-то радостно говорил о тех, кто его в чем-то превосходил. Он восхищенно хвалил своих гимназических друзей - Петю Кузнецова за его гуманитарные успехи, Глеба Селиверстова за его удаль, Вадима Трапезникова за то, что тот переплюнул его (они соревновались в плевании на дальность). Колмогоров восхищался и научными достижениями своих коллег - Меньшова, Люстерника и Шнирельмана, Петровского, Канторовича, Гельфанда и других (это видно из отзывов, которые он давал на их работы). Особенно много высоких слов он удостоил Павла Сергеевича Александрова, за его вклад в математику и человеческие достоинства. Ему всегда нравились ловкость, спортивность, изящество, и он всегда находил возможность выразить свое восхищение искусству горнолыжников. Андрей Николаевич очень гордился горнолыжными успехами своего ученика А.Н. Ширяева и любил повторять, что, когда наступит эра автоматов, которые будут мыслить, доказывать теоремы, играть в шахматы лучше людей, то навряд ли будет сконструирован автомат-горнолыжник.

Из людей своего поколения Андрей Николаевич особенно выделял П.С. Урысона, восторгаясь его жизнерадостностью: так

он в одном слове выражал оптимизм, неуемность, жизненную активность Павла Самуиловича.

Особые чувства восхищения и гордости он испытывал к Владимиру Игоревичу Арнольду. Последним «официальным» текстом, который суждено было написать Андрею Николаевичу (13 июня 1987 г.), было послание Арнольду в честь его 50-летия. Вот краткий отрывок оттуда: «В Арнольде меня всегда поражала неограниченная активность. Если купаться в холодной воде, то без ограничения времени, если лыжи, то бесконечно бегать раздетым - все доводится до предела... Это такой всегдашний избыток сил».

Как и всем людям, Андрею Николаевичу не были чужды и общечеловеческие слабости. Но никто никогда не вспоминал при мне и сам я не был свидетелем тому, что Андрей Николаевич завидовал кому-то.

Сколько вокруг нас людей, которые могут говорить только о себе, о своих делах и о своих успехах. Я люблю вспоминать, как Андрей Николаевич хвастался передо мной. Это было всего три или четыре раза.

Вот раз я приезжаю в Комаровку к обеду, мы оказываемся в музыкальной комнате, а на столе лежит обратной стороной довольно мятенькая ученическая тетрадка. Андрей Николаевич (с видимым удовольствием) говорит: «Я не до конца еще проверил, но кажется, здесь изложено решение тринадцатой проблемы Гильберта». Я переворачиваю тетрадь и там написано: «Курсовая работа студента третьего курса В. Арнольда».

Как-то в летний солнечный день я приехал в Комаровку. Андрей Николаевич позвал меня на террасу. Мы усаживаемся, вдыхаем ароматы цветущего сада, беседуем о чем-то повседневном. Среди прочего Колмогоров говорит с некоторой гордостью: «Только что перед Вашим приходом я закончил печатать работу о суперпозициях1. Все оказалось довольно простым».

Андрей Николаевич был очень естественным человеком. Ему бы не пришло в голову сказать, что он занимается самосовершенствованием: он любил плавание и плавал, любил лыжи и бегал на них, любил поэзию и читал стихи. Но при этом иногда любопытство толкало его на какой-то анализ, и в итоге появились его стиховедческие работы. И так далее.

Кстати о физкультуре и спорте. Повторюсь: он любил бегать на лыжах. Случались и забавные эпизоды. В середине 50-х годов

1 Где доказывалось, что функция п переменных представима суперпозицией функций одного переменного и единственной функции двух переменных - сложения ((je, у) —> X + у).

Андрей Николаевич был в очень хорошей форме, он чуть ли не ежедневно, когда бывал в Комаровке, бегал на довольно приличные дистанции, а раз примерно в две недели уговаривал кого-то пробежаться подальше, километров за сорок-пятьдесят. С непривычки это нелегкое испытание. Как-то Андрей Николаевич поинтересовался, есть ли у нас на моем курсе хорошие лыжники. Таковые, разумеется, были. Был у нас юноша, имевший первый разряд по лыжам, он получил его за преодоление на скорость дистанции в 10 км. Андрей Николаевич позвал его на прогулку. Тот приехал, и Андрей Николаевич выбрал дальний маршрут. Сначала мой сокурсник резвился, убегал и возвращался, потом убегал и поджидал, затем шел вровень, потом стал отставать. В конце концов, он обессилел настолько, что не мог передвигать ноги. Колмогоров снял с него лыжи и нес их на руках, а незадачливый перворазрядник еле доплелся до комаровского дома пешком. Эту историю я слышал, разумеется, не от Андрея Николаевича, а от Павла Сергеевича, а когда попросил Колмогорова подтвердить ее, тот был смущен и сказал, что ничего такого не ожидал.

Никакого культа из спорта Колмогоров не делал, но любил солнечные не слишком морозные дни, когда можно кататься раздетым и загорать на весеннем солнце. При этом он часто повторял слова Ахматовой:

Пятое время года, Только его славословь.

Андрей Николаевич любил путешествовать по горам или по Северу, или по Крыму. Любил купаться в ледяных горных озерах, любил отдыхать на берегу моря и плавать в нем, любил байдарочные походы, а ранее (я не застал) путешествия на весельных лодках. Ко всему этому он приучал своих учеников и те с благодарностью все это принимали.

Колмогоров имел представление о ценности денег, не сорил ими, но и не слишком ими дорожил. В частности, он в значительной мере субсидировал многие мероприятия, в которых принимал участие: путешествия, походы, конференции.

В недавно изданной книге воспоминаний о Колмогорове2 есть замечательная статья Н.Г. Рычковой (Химченко) «А еще была у Колмогорова кафедра». Наталья Григорьевна сохранила в своей памяти очень многое из того, что происходило вокруг Андрея Николаевича примерно 45-50 лет тому назад. Она включила туда несколько рассказов о Колмогорове, которые я раньше слышал в ее устном исполнении с ее неповторимым искусст-

2 Колмогоров в воспоминаниях учеников. М.: МЦНМО, 2006.

вом подражания колмогоровским интонациям. Я хочу привести один из ее рассказов так, как я его «слышу» (это чуточку отличается от того, как это легло на бумагу).

В 1960 г. осенью состоялась большая вероятностная конференция в Вильнюсе, а потом москвичи перекочевали в Палангу, где продолжались научные выступления. Деньги все молодые участники конференции тогда получали очень маленькие, и к концу всего мероприятия они почти исчерпались. Наступил последний день, и Колмогоров приглашает всех на прощальный чай. Дело идет к вечеру. Группа москвичей, моих добрых знакомых, бродит в сумерках по опустевшему берегу моря и обсуждает, что их ждет сегодня за чаем и кто будет платить. Колмогорова с ними нет. Все как-то сходятся на том, что, скорее всего, платить будет все-таки Андрей Николаевич. И с полной отчетливостью слышны мне два голоса (хотя я и не был свидетелем этой сцены) - высокий голос Коли Ченцова (как жаль, что его уже нет с нами): «Ну да... За чай-то он заплатит... И только на него-то и можно рассчитывать ...» и (неожиданный для всех) голос моего учителя откуда-то со стороны моря: «Ну, и на яичницу!».

Или еще один рассказ о деньгах, связанный уже со мной. В 1959 г. вышла наша статья в «Успехах математических наук». Андрей Николаевич получил гонорар за нее, и весь предложил мне. Я категорически отказался и взял лишь свою половину. Я был приучен к тому, что претендовать на чужое это несмываемый грех. Андрей Николаевич принял мое условие, и вопрос, казалось бы, был исчерпан. Через несколько дней Андрей Николаевич сказал мне, что решил обновить свои лыжи. Он завез эти лыжи ко мне домой, попросив поставить на них крепления. Я колебался: сделать ли это мне самому (я это умел, но упражнялся лишь на лыжах очень низкого качества, а здесь были лыжи весьма дорогие) или все-таки отдать в мастерскую. Колебания длились несколько дней. Как-то между делом Андрей Николаевич напомнил мне о моем обещании поставить крепления. Я устыдился и, придя домой, решил осмотреть лыжи, чтобы принять какое-то решение. Каково же было мое изумление, когда в мятой бумаге, в которой были завернуты крепления (все это небрежно было засунуто внутрь одного ботинка), я обнаружил вторую часть нашего гонорара, составлявшего почти 4-месячную аспирантскую стипендию! У меня прямо волосы встали дыбом: хорош бы я был, если, не глядя, поволок бы лыжи в мастерскую! После больших колебаний я с благодарностью принял деньги (а Андрей Николаевич долго радовался свой шутке, когда я его благодарил). И они присоединились к неоплатному долгу, который я испытываю к своему учителю.

Принято считать, и об этом много написано, что человек живет в двух временах - во времени, которое сформировали его детство и юность, семейные традиции, раннее дружеское окружение, школа и в том историческом времени, которое отпущено было ему судьбой.

А Андрей Николаевич жил в трех временах. Их можно обозначить так же, как в грамматике - прошлое, настоящее и будущее. Прошлое - это XIX век. Все устремления Андрея Николаевича в детстве и юности, сохранившиеся в его сознании до последних его дней, связаны с идеологией XIX века, с верой в прогресс, в ценность человеческой жизни, с верой в гуманизм.

Настоящее - это век XX, об этом поговорим чуть позже. Но Андрей Николаевич постоянно устремлялся в будущее, в светлое будущее, он готовил его и старался как бы жить в нем. Такое светлое будущее, о котором он мечтал, быть может, так и не наступит никогда.

Мысли о светлом будущем неразъединимы с надеждой на то, что народы «распри позабыв, в единую семью соединятся». Для Андрея Николаевича это было аксиомой, и вот что последовало из этой аксиомы.

Во время войны университет был (частично) эвакуирован в Ашхабад. Все жаждали скорого возвращения домой, но Андрей Николаевич вдруг вносит предложение не реэвакуировать университет, а оставить всех или почти всех в Ашхабаде! Ведь надо же сеять просвещение, и сеятели должны жить повсюду, где есть в них нужда, а не только в пределах Садового кольца в Москве.

С точки зрения светлого будущего, которое грезилось ему, такое решение было абсолютно естественным. И он сам предлагал треть времени служить просвещению в столице Туркменистана. Андрей Николаевич не учитывал в своих идеях лишь одного: жить приходилось не в будущем, а в суровом и страшном XX веке. Поднялось единодушное стенание против такого решения, и Андрею Николаевичу пришлось отступить.

Или вот еще. Андрей Николаевич не был гурманом. Приезжая из-за границы, он обычно бывал переполнен впечатлениями, но никогда не упоминал о гастрономии. Уже в самом конце его жизни я играл с ним в «триады»: «Андрей Николаевич, назовите три Ваших самых любимых фрукта, ягоды, овоща, напитка ....» Он отзывался с удовольствием, чуть думал, потом называл. Все было самое простое, «наше» - яблоки, черная смородина, цветная капуста, квас... В Комаровке и Павел Сергеевич и Андрей Николаевич довольствовались тем, что и как готовили их домашние работницы - Маруся и Дуся, и это была чуть осовремененная деревенская кухня, правда, с действительно замечательным квасом. Нечто сходное, как я могу судить, было и в Москве. И вдруг,

Андрей Николаевич узнает - в 70-е годы! - что на Щербаковской строится нечто вроде «Дома нового быта», где в квартирах не будет кухонь, но будет организовано общественное питание в столовой. И его захватила идея напроситься на житье в этом доме, чтобы не связываться с продуктами, домработницами и всем прочим, что требуется для организации питания. Подобные идеи наполняли многие утопические сочинения о счастливом будущем, и Андрей Николаевич готов был поверить в осуществимость такой затеи в наших условиях! (Сама же идея была вполне реализована в Израильских кибуцах, но и там она как-то постепенно чахнет).

И еще об одной «проекции мечтаний о счастливом будущем» на деятельность Колмогорова. Я уже не раз упоминал об одной из загадок его судьбы: вдруг в одночасье все прекратилось - курсы, семинары, математические исследования, ученики и все, чем до того была наполнена до краев его жизнь. Все это заместилось одним единственным - реформой математического образования в школе. И, к глубочайшему сожалению, именно на этом поприще Андрей Николаевич потерпел большую и, пожалуй, единственную во всей его необыкновенно счастливой творческой жизни неудачу. Эта неудача принесла ему трагические переживания и, без сомнения, ускорила его кончину. Понять причины этой неудачи невозможно без проекции на настоящее из воображаемого светлого будущего, к которому он стремился.

Темы математического образования Андрей Николаевич много раз касался и в своих устных выступлениях перед учителями и коллегами, и в своих беседах с близкими и друзьями, и в своих публикациях, посвященных школьным делам (число которых было очень велико). Но какого-либо сводного, завершающего труда на эту тему он так и не оставил.

Математическое образование - необыкновенно сложная и тонкая структура, где переплетаются проблемы государственного устройства, психологии, экономики, социологии, культуры и еще многое другое. Как было бы прекрасно, если бы мыслитель такого высочайшего ранга, каким был Андрей Николаевич Колмогоров, треть своей жизни посвятивший реформе школьного математического образования, ответил бы, по возможности прямо, на несколько простых и основополагающих вопросов! Прежде всего: в чем смысл математического образования, зачем оно? Нужно ли оно (и в каком объеме) всем людям или лишь той части юношей и девушек, которая испытывает в нем потребность? Какие цели должно преследовать математическое образование на каждом отдельном его этапе (начальном, среднем, высшем)?

К глубочайшему сожалению, такого текста с анализом подобных основополагающих проблем математического образова-

ния Андрей Николаевич не оставил. В те годы, когда он стал заниматься проблемой реформы математического образования, многое вызывало мое недоумение, и в наших беседах я иногда говорил: «Андрей Николаевич, разные люди, верящие Вам и желающие успеха Вашей деятельности, не понимают глобальных целей Вашей реформы. Объясните их хотя бы мне. Я запишу Ваши слова, постараюсь продумать их и потом сделаю попытку донести смысл Вашей деятельности до широких кругов научной общественности». Но Андрей Николаевич неизменно - мягко, но непреклонно - отклонял эти мои просьбы. Обычно под предлогом, что «еще рано об этом говорить», что «время еще не пришло». Но это время так и не наступило.

И вот сейчас наш общий долг попытаться осмыслить случившееся - драму великого человека.

Я вижу две основные причины того, что усилия Андрея Николаевича в итоге не привели к благоприятному исходу. Первая из них заключена в идеологии того общества, в котором тогда приходилось всем нам жить и трудиться. Первоосновой всего, высшей целью жизни и деятельности каждого человека объявлялось тогда укрепление и развитие государства. Не личности, а именно государства. И руководящая структура государства - партия - определяла, в частности, цели и смысл образования. Андрей Николаевич вынужден был подчиняться этому порядку вещей, но на самом деле он сам искренне считал, что прогресс развития нашей страны невозможен без творческой интеллигенции. Он много раз писал об этом. Вот некоторые выдержки из его статей: «Советскому Союзу сейчас требуется большое количество самостоятельных исследователей по теоретическим вопросам математики». Эта мысль варьировалась им многократно: «Нашей стране необходимо иметь много математиков-исследователей...», «Наша страна нуждается в большом числе подготовленных и талантливых математиков...» и т.п. Обращаясь первого сентября 1961 г. к первокурсникам, принятым в Московский университет, Андрей Николаевич писал: «Все высшие учебные заведения страны имеют общую задачу - готовить специалистов к работе на пользу нашего общества, готовить строителей Коммунизма». Оставим пока без комментариев эти слова в устах Андрея Николаевича и двинемся дальше. В числе непременных аксиом того времени было требование единого, образования: каждый должен был получить в точности то же образование, что и все остальные.

Постановление партии и правительства о реформе школьного образования было принято в 1966 г., и именно тогда Андрею Николаевичу было поручено осуществить ту часть реформы, которая относилась к математике.

Естественно, должен был встать вопрос: как и чему учить детей в нашей бескрайней, многонациональной, столь разнородной и неблагоустроенной стране с огромным числом неблагополучных семей, детей с неполноценным умственным развитием - читатель легко продолжит список всех наших трудностей тех и нынешних лет. И при этом учить всех и одинаково! Андрей Николаевич взялся за осуществление этой реформы, не имея в виду существенно менять исходные позиции упомянутого постановления, т.е. взялся за неосуществимое предприятие.

Но надо сказать и о второй причине, приведшей к плачевным результатам, причине, связанной с нашим нынешним основным мотивом - его пребыванием в мечтах о светлом будущем. В этих мечтах он был идеалистом. Не в философском или религиозном значении этого слова, а в своем взгляде на окружающий мир. Ему досталось прекрасное, солнечное детство, замечательная гимназия, лучший в мире математический факультет университета, высококультурное окружение и радостное, оптимистическое восприятие мира. Он видел людей и окружающую действительность как бы сквозь особые волшебные очки, в несравненно лучшем свете, чем она была в реальности. Для окружающих, и особенно для его учеников, такой взгляд, как правило, приносил прекрасные плоды: всем хотелось соответствовать тому идеальному образу, который складывался у Андрея Николаевича, все тянулись ввысь, росли, совершенствовались.

Но А.Н. Колмогоров полагал, что вообще мир населен примерно такими же людьми, как те, которые всю жизнь окружали его самого, - благородными, культурными, стремящимися к поиску истины. И планируя будущую программу средней школы, он исходил, как мне представляется, именно из такого идеального образа учащегося.

В 60-е годы увлечение реформами математического школьного образования приняло всеобъемлющий, всемирный характер. Особенно крайние позиции заняла французская школа, лидеры которой считали, что преподавание должно вестись исходя из принципов Н. Бурбаки. И это тоже оказало определенное влияние на Андрея Николаевича. Но не это было главным. Глядя на мир сквозь свои волшебные очки, Андрей Николаевич полагал, что едва ли не самым привлекательным и желанным видом человеческой деятельности для каждого является творческий труд, направленный на поиск истины. А потому, в частности, стремление к полноценному высшему образованию является естественным и безусловным для каждого молодого человека. Он много раз писал, что жизнь человеческая должна быть спланирована так, чтобы избранному виду творческой деятельности человек отдал максимум того, на что

он способен. В соответствии со всеми этими мыслями он и планировал новую программу всеобщего среднего образования.

По мнению Андрея Николаевича (впрочем, это можно было истолковать, как предписание в постановлении партии и правительства от 1966 г.), курс школьной математики должен быть научным, строгим и современным. И эта цель также неосуществима. Далее, среди целей математического образования должно было, по мнению Андрея Николаевича, присутствовать формирование научного мировоззрения. Колмогоров писал, например: «Вряд ли нужно доказывать, насколько желательно с общеобразовательной точки зрения достигнуть того, чтобы все учащиеся могли вполне конкретно понять хотя бы ньютоновскую концепцию математического естествознания». Но как же это можно доказать в наших условиях?

Одной из задач школьного математического образования А.Н. Колмогоров считал подготовку к поступлению в высшее учебное заведение. «Учащиеся (и общество также), - писал он, -заинтересованы в том, чтобы обучение в X-XI классах подготовило их возможно лучше к предстоящей работе в вузе или специальном учебном заведении».

Среди важнейших проблем математического просвещения Андрей Николаевич видел «поиск талантов». Вот как он писал об этом: «Содействие продвижению математически одаренной молодежи является одной из важных задач школьных математических кружков, математических олимпиад и других мероприятий по пропаганде математических знаний и распространению интереса к самостоятельным занятиям математикой».

Помните: 12-летний Андрей Колмогоров обдумывал конституцию Идеального государства - государства, где, как можно полагать, должны были торжествовать бы Разум, Труд, Совесть и Справедливость. Мое убеждение состоит в том, что, размышляя над реформой образования, Андрей Николаевич имел в виду именно такое идеальное государство, населенное людьми высоконравственными, глубокими, ищущими истину, благородными и творческими. Для такого государства программа Андрея Николаевича могла бы быть, как недавно было принято говорить, «принята за основу» Но мы жили в другом государстве. И реальность нередко находилась в вопиющем противоречии с идеальными установками Колмогорова.

При этом необходимо сказать, что Андрей Николаевич отнюдь не был человеком не от мира сего. Он очень многое видел и понимал. Однажды, в самом начале нашего с ним знакомства, он даже специально счел своим долгом уведомить меня об этом: «Не думайте, пожалуйста, Володя, что мой духовный мир целиком и полностью занимает лишь математика. Я внутренне сво-

бодный человек и позволяю себе свободно размышлять надо всем и критически все оценивать». Тогда начался между нами разговор, который продолжался потом многие годы - о культуре, искусстве, науке, истории и, в частности, о государстве. В тот самый первый наш разговор Андрей Николаевич заметил: «Идеальное государство должно основываться на принципе свободы». Для нас обоих было очевидно, что то государство, в котором мы живем, этому принципу не удовлетворяет.

Итак, Андрей Николаевич в какой-то мере видел то, что происходит вокруг, но в то же время в своих письменных декларациях он, как правило, как бы игнорировал суровую действительность и обращался через «хребты веков» к некоему недостижимому, идеальному, свободному государству. Так было, в частности, когда он писал, что «на устных экзаменах в советском вузе, вопреки распространенному воззрению школьников, задача экзаменатора состоит не в том, чтобы поскорее “срезать” незадачливого школьника, а в том, чтобы тщательно взвесить, учитывая все обстоятельства экзаменационной обстановки, перспективы его работы по избранной специальности с тем, чтобы не потерять ни одного поступающего, достаточно подготовленного и способного работать на данном факультете». Это было сказано в ту пору, когда анкетные ограничения принимались во внимание едва ли не в первую очередь, когда, к примеру, окончивших механико-математический факультет И.И. Пятецкого-Шапиро и Ф.А. Березина - людей, безусловно, «способных работать на данном факультете», подававших большие надежды и оправдавших эти надежды своими последующими выдающимися открытиями, - распределили на работу одного в провинциальную школу, другого в школу рабочей молодежи .... Я могу объяснить себе написанное Андреем Николаевичем лишь тем, что он старался шагнуть в то бесконечное идеальное «далеко», игнорируя несовершенную реальность. А я оцениваю его реформаторскую деятельность так и только так: это была реформа для идеального общества, и рекомендации Андрея Николаевича следует рассматривать под этим углом зрения.

Но необходимо сказать, что главная цель реформы образования - его модернизация, и в частности включение в него элементов дифференциального и интегрального исчисления, - была достигнута: это вошло в школьную практику. И это позволяет сказать, что дело, которому Андрей Николаевич посвятил 20 с лишним лет упорнейшего труда, не пропало. А по прошествии лет, когда человечество приблизится к тому идеалу, о котором мечтал Андрей Николаевич, - пусть в далеком будущем (почему бы не надеяться на это), когда воссоздастся слой людей высокой об-

щечеловеческой культуры, когда среди наиболее престижных интересов снова окажутся интересы творчества, - тогда мысли Андрея Николаевича об образовании, безусловно, будут востребованы во всей их полноте.

Оглядываясь назад, невозможно не оценить деятельность А.Н. Колмогорова в деле математического образования как подвиг. Об этом замечательно сказал Андрей Петрович Ершов: «Не могу не провести параллели с судьбой другого гениального современника Андрея Николаевича Колмогорова - поэта Бориса Леонидовича Пастернака. Та же мера таланта, высокого профессионализма и способности к рядовой работе. Та же несочетаемость со многими реалиями повседневной жизни и обстановки. Та же неразрывная связь с культурой и природой. Та же смертельная ревность и пристрастность со стороны многих собратьев по цеху. То же высокое ощущение своей бескомпромиссной предназначенности для некоей общечеловеческой миссии».

Мысли великого человека являются общим достоянием человечества. В них всегда содержатся зерна истины, не доступные для поверхностного взгляда. Они должны быть продуманы до конца, детально проанализированы. Так, я уверен, произойдет и с творческим наследием А.Н. Колмогорова, связанным с образованием.

Вернемся из «светлого будущего» в суровый XX век. Ахматова не записывала на бумаге свои стихи о своем времени. Боясь, что они могут пропасть, она молча писала их перед Лидией Корнеевной Чуковской, та запоминала прочитанное, и потом бумажки сжигались. Ограничусь лишь этой характеристикой времени, в котором жил и творил Андрей Николаевич, времени, когда все было поражено ужасом перед системой государственной слежки.

В 1960 г. мы путешествовали с Андреем Николаевичем по нашему Северу, по Карелии - из Кижей в Петрозаводск, бродя по брошенной земле, не встречая днями ни души, проходя мимо оставленных деревень, в которых никто уже не жил. Но когда у костра Колмогоров рассказывал мне о судьбе своего друга Глеба Селиверстова, то он, произнося слова «умер от дизентерии в проверочном лагере», говорил это инстинктивно почти шепотом, настолько вошло в сознание опасение быть услышанным всеслышащим государевым ухом.

Когда я предаюсь воспоминаниям об Андрее Николаевиче, явно выделяется десятилетний отрезок времени между первым моим воспоминанием о нем с 1952 г., когда я стал студентом, по осень 1961 г., когда я покинул Москву.

В это десятилетие мне почти не приходят на ум поступки Колмогорова, которые я воспринимал бы с огорчением. Мне кажется, что он ощущал тогда себя гением, над которым не может

быть занесен роковой меч Судьбы. И многие действия Андрея Николаевича того периода мне кажутся особенно значительными, если учесть время, когда они были совершены. Посмотрите, с какой непреклонной суровостью Колмогоров вступается за своего ученика в письме, направленном крупнейшему советскому аэродинамику, члену-корреспонденту АН СССР генерал-лейтенанту В.В. Голубеву.

«Глубокоуважаемый Владимир Васильевич!

Обращаюсь к Вам как к председателю Механической Секции факультетского Ученого Совета. Защищавшаяся весной диссертация Баренблатта все еще находится в неопределенном положении. Ввиду неединодушного голосования в Секции и на факультете, на Ученом Совете Университета было решено послать ее на дополнительный отзыв. Обращались к Кибелю, но он не пожелал познакомиться с диссертацией. Обращались к Слезкину, но он тоже не согласился рассмотреть диссертацию и дать по ней отзыв. Согласен дать отзыв Чарный, который данную область механики (взвешенные частицы) знает, но я не знаю, пользуется ли он вообще достаточным авторитетом как эксперт по спорным делам.

Между тем, я настаиваю на том, что диссертация Г.И. Баренблатта имеет выдающийся интерес, и если оказалась спорной, то именно потому, что содержала в себе существенно новый подход к действительно важным и нужным вещам. Поэтому затянувшееся неопределенное положение с ней является, по моему мнению, нетерпимым далее. Помимо диссертанта, задетой этой волокитой должна была бы считать себя и сама Механическая Секция Совета факультета, которая могла бы поинтересоваться тем, почему вынесенное решение не утверждается. Возможно, что было бы целесообразно обсудить вопрос по существу на Секции, заслушав диссертанта, оппонентов, руководителя и отсутствовавшего основного критика - Великанова. Если Секция удовлетворится объяснениями диссертанта и моими, то можно было бы обратиться в Совет МГУ, указав, что Секция настаивает на утверждении своего решения.

Что касается зачитывавшегося при защите письма М.А. Великанова к декану факультета, то оно написано в столь страстных тонах, что пока я предпочитал на него не отвечать. Однако в случае Вашего желания я незамедлительно составлю подробный его разбор. Боюсь только, что в этом случае мне уже придется требовать рассмотрения вопроса о недопустимости недобросовестной научной критики и принятия соответствующего решения на этот счет.

Искренне Вас уважающий

А. Колмогоров».

В самое мрачное время, когда уже было объявлено о «деле врачей», Андрей Николаевич находил в себе силы вступаться за гонимых и несправедливо обиженных людей. Достаточно привести два примера: Плеснер и Юшкевич.

Абрам Иезекиилович Плеснер эмигрировал к нам из Германии, спасаясь от Гитлера. Его роль в развитии московской школы была немалой. Он был одним из пионеров функционального анализа в нашей стране, наряду с Люстерником и Колмогоровым. Мне много о нем рассказывали, как об очень трогательном, добром и милом человеке. Ни одного отрицательного звука о нем никогда при мне не произносилось. Все вспоминали его очень смешной русский язык. Плеснер работал в МГУ и в Математическом институте им. Стеклова. И был изгнан из обоих мест в 1948-1949 гг. Андрей Николаевич горячо вступился за своего коллегу.

То же самое произошло и с Адольфом Павловичем Юшкевичем - крупнейшим нашим (во все времена) историком математики. 1 февраля 1953 г. (13 января того года было объявлено о «деле врачей» и все были в ожидании неслыханной антисемитской кампании) Юшкевич был изгнан из МВТУ, где преподавал и из Института истории естествознания. 11 февраля 1953 г. Колмогоров пишет письмо президенту АН СССР А.Н. Несмеянову в защиту Юшкевича, сильное и смелое письмо, в котором есть такие слова о Юшкевиче: «Я думаю, что было бы трудно найти в СССР столь же эрудированного и работоспособного другого сотрудника в области истории математики. Поэтому мне кажется весьма сомнительным, чтобы Институт истории естествознания поступил правильно, лишая себя сотрудника этой квалификации».

Но Андрею Николаевичу случалось, как и фактически каждому человеку, кто жил в ту пору, поступать и против своих убеждений. Это приносило ему тяжкие переживания. Вот эпизод, связанный со мной и моими друзьями.

В 1955 г. на мехмате стали выпускать стенную газету, которая получила название «Литературный бюллетень». В этой газете освещались, как сейчас мы говорим, гуманитарные проблемы - делались обзоры книг, художественных выставок, кинофильмов и разных событий текущей весьма богатой тогда культурной жизни.

Сейчас это уже далекое прошлое, полвека прошло, и потому приходится напоминать, что в феврале 1956 г. состоялся XX съезд КПСС, на котором Хрущев выступил с разоблачением «культа личности». Это привело к смятению умов и общественному бурлению, захватившему почти весь «социалистический лагерь». К началу ноября в Венгрии стали происходить известные

драматические события. И в этот самый момент как раз и вышел очередной номер «Литературного бюллетеня».

Там содержался обзор только что переизданной у нас книги Джона Рида «Десять дней, которые потрясли мир». В этом обзоре говорилось, что имя Сталина в этой книге вовсе не фигурирует; в другой статье приводился рассказ о диспуте в МГУ по поводу книги Дудинцева «Не хлебом единым» (сейчас эта книга, посвященная трудному продвижению в практику новой технической идеи, почти позабыта, а тогда вызвала бурные обсуждения); печаталось, опубликованное в какой-то литературной многотиражке выступление К.Г. Паустовского, который, познакомившись на круизе вокруг Европы с некоторыми партийными функционерами, ужаснулся их духовному убожеству. В «Литературном бюллетене», разумеется, не было написано ничего, кроме правды, добавляющей ничтожные капли в безбрежное море того ужаса, который открылся перед всем миром после XX съезда, но ситуация в стране в связи с венгерскими событиями вдруг снова резко изменилась, и над нами, издателями Бюллетеня, разразилась гроза.

Бюллетень был вывешен 7 ноября 1956 г., а на следующий день Е.А. Фурцева, занимавшая пост руководителя Московской партийной организации, пожелала совершить инспекционную поездку в Московский университет. Можно полагать, что ее беспокоили сигналы о неблагополучии с идейно-политической работой в этом университете. Как мне передавали, увидав нашу газету Фурцева пришла в крайнее возбуждение, сорвала ее и передала в Партком МГУ. (Была ли эта инспекция совершена по доносу или сыграла роль случайность, осталось мне неизвестным).

Сама по себе тема «Литературного бюллетеня» и событий вокруг него интересна и заслуживает более подробного освещения. Но здесь делать это неуместно. Я расскажу лишь эпизод, касающийся Андрея Николаевича.

После посещения Фурцевой парткома МГУ были приняты срочные меры и подготовлен приказ ректора, который должен был представлять декан мехмата А.Н. Колмогоров, об отчислении из МГУ троих студентов.

Среди этих троих был мой друг Миша Вайнштейн, числившийся редактором газеты. Он очень не хотел брать на себя эту должность, возможно, предчувствуя, что неизбежно случится что-то непоправимое. У меня такого ощущения не было, и я уговаривал его стать редактором, обещая разделить с ним всю ответственность. И услышав об этом приказе, я в ту же минуту, написал короткое письмо к декану с выражением непременного желания разделить участь своего товарища.

Ожидание приговора было тягостным. В том, что из университета придется уйти, я не сомневался, но мерещились и худшие варианты: «Органы разберутся», - сказал, как мне передали, один преподаватель мехмата, про которого можно было подозревать, что он знает, о чем говорит.

Вскоре совершенно неожиданно для себя я получил письмо от Андрея Николаевича (Письмо без обращения; возможно, Андрей Николаевич не знал, как обратиться ко мне при таких драматических условиях).

Андрей Николаевич писал: «В обращении, которое от имени факультета направлено ректору, выражается надежда, что трое студентов, намеченных к отчислению, смогут после некоторого срока сдать остающиеся экзамены и получить диплом Московского университета. Я не думаю, чтобы это было предусмотрено в самом приказе об отчислении, но о такой возможности будет сказано мною публично и это заявление, я полагаю, никем не будет опротестовано.

В Вашей аргументации есть один пробел. Литературный бюллетень издавался не Вами с Вайнштейном, как частными лицами. Он был не «Ваш», а общественный, и общественность главную ответственность поручила редактору, т.е. Вайнштейну.

Несмотря на сказанное выше, никто не может отнять у Вас права заявлять о желании нести равную ответственность или выражать несогласие с необходимостью отчисления Ваших товарищей. Но это не сделало бы правильным Ваш уход из университета «из солидарности». Он мог бы только ухудшить отношение ко всем вам и никак не повлиял бы в лучшую сторону на дальнейшую судьбу Ваших товарищей».

Это письмо можно не комментировать. Оно само за себя говорит о том, как тяжело переживал Андрей Николаевич свое вынужденное участие в этом драматическом деле. Он до конца стоял за тех, кого система собиралась отбросить. В итоге исключенным оказался лишь один - Миша Белецкий (и об этом я не могу не вспоминать без душевной боли), но Андрей Николаевич как мог, содействовал и ему.

Мне лично неизвестны случаи, что кто-то хранил недобрые чувства к Колмогорову за то, что он, поступив против своей совести, нанес ущерб этому человеку, хотя, зная то время, исключать подобное, я не могу.

Лишь один поступок Андрея Николаевича, очевидным образом не соразмерный с его величием - письмо против Солженицына, - остается для меня необъяснимой загадкой. Андрей Николаевич много раз при мне давал высокую оценку Солженицыну,

как писателю и как личности, в одиночку восставшей против неправедного режима.

Вспоминаю. Как-то Андрей Николаевич позвал меня в Комаровку. Это было в начале 70-х. Я приехал под вечер. В доме нигде не горел свет, и он казался совершенно пустым. Но дверь была открыта. Я вошел и прошел в музыкальную комнату. Там в полутьме сидел Андрей Николаевич. Некоторое время мы молча сидели, не зажигая света. Видно было, что Андрей Николаевич чем-то сильно взволнован. После продолжительной паузы он сказал, что слушал передачу по иностранному радио, в которой зачитывали кусок из «Архипелага Гулага». На Андрея Николаевича произвело большое впечатление высказывание Солженицына о необходимости суда над преступниками сталинского режима. Мне запомнилось слово, которое с ударением произнес Андрей Николаевич. Судя по всему, оно было произнесено по радио и принадлежало самому Солженицыну. Солженицын призывал к милостивому суду (потом я искал это слово в «Гулаге», но так и не нашел), цель которого не наказание людей, а отвержение преступлений.

Чем было вызвано письмо Александрова и Колмогорова против Солженицына, мне неизвестно. Но я был счастлив увидать в группе людей, стоявших перед подъездом, где жили Колмогоров и Александров, в момент, когда открывались их мемориальные доски, жену Александра Исаевича - Наталью Дмитриевну Солженицыну. Для меня в этом был знак прощения человеку, так безгранично много привнесшего добра каждому из нас, и всем нам вместе, и нашему университету, и нашей стране, и всему человечеству.

Хочу, меняя тему, назвать два благодеяния Андрея Николаевича в последний период его жизни. Это создание журнала «Квант» и открытие «Интерната». И то и другое заслуживает подробного и всестороннего обзора. Раскажу только, что в организации «Кванта» Андрей Николаевич ассистировал замечательному человеку - Исааку Константиновичу Кикоину. В подтверждение тому приведу лишь слова, сказанные Исааком Константиновичем незадолго до смерти, когда он выступал перед школьниками. Он сказал так: «Вот я - академик, руководитель большого коллектива, у меня много наград, но я без сомнений все это -положения степени, звания - отдал бы за ваши 15, пусть 17 лет. А поменяться мне хочется потому, что за долгую жизнь я не успел насладиться любимой своей физикой, не хватило времени, по всему видно, не хватило...». И журнал при Кикоине и Колмогорове имел огромный успех и издавался немыслимыми по теперешним временам тиражами.

В заключение хотелось бы выразить надежду, что последней четверти века жизни А.Н. Колмогорова будет посвящена отдельная книга. Ближе всех к Андрею Николаевичу был в этот период времени А.М. Абрамов. Он задумал издать том педагогического наследия Колмогорова. Готовя его, он, может быть, расскажет о том, как все это создавалось.

Интернат, который ныне носит имя Колмогорова, был его любимым детищем, в которое он так много вложил.

Годы наибольшей моей дружбы с моим учителем - с 1956 г. по 1961 г. - были годами, когда передо мной открывался Мир во всех его проявлениях - мир науки, искусства, человеческих отношений. Это был неслыханно насыщенный период жизни. Через приоткрывшийся железный занавес проникали к нам импрессионисты и Пикассо, Хемингуэй и Фолкнер, Жан Габен и Феллини, Клиберн и Менухин .... А для меня еще Томас Манн и Ахматова и многое другое, что я узнал во многом от Колмогорова. И мы делились друг с другом этой громадой впечатлений, читали вместе, обсуждали, ходили на выставки, писали друг другу письма, плавали в открытых бассейнах, бегали на лыжах, ходили в дальние и близкие походы и без конца говорили о прошлом и будущем, о повседневном и возвышенном.

Мы вошли в этот мир из разных дверей, имели разную первооснову и разные обстоятельства (я вновь цитирую Ортегу-и-Гассета) и потому мы не всегда сходились в оценках, спорили, старались убедить друг друга в своем. Обо всем этом я написал текст для этого издания, но, повторюсь, предполагаю издать его отдельной книгой своих воспоминаний (куда хочу включить и письма Колмогорова ко мне). И два слова, заканчивая, я хочу сказать здесь.

Три поэта были очень близки нам обоим. Это Пушкин, Ахматова и Есенин. После письма Колмогорова я осознал величие ахматовской строки: «Души высокая свобода, что дружбою наречена». В одном из писем Андрея Николаевич приведены такие есенинские строки:

«Жизнь моя, иль ты приснилась мне, Будто я, холодной синей ранью Проскакал на розовом коне».

Мы не раз возвращались к этой картине, в которой прохладный воздух обвивает светловолосого юношу, скачущего на розовом коне в лучах восходящего Солнца.

Это был для моего учителя символ жизни преисполненной счастья.

Основные даты жизни и деятельности А.Н. Колмогорова

1903 - Родился 25(12) апреля 1903 г. в г. Тамбове.

1903-1910 - Жизнь в имении деда под Ярославлем.

С 1910 проживает в Москве, поступает в гимназию Е.А. Репман.

1920 - Окончание гимназии и поступление в Московский университет.

1922-1925 - Работа в Потылихинской опытно-показательной школе.

1925 - Окончание Университета и поступление в аспирантуру (научный руководитель - Н.Н. Лузин).

1929 - Окончание аспирантуры и поступление на работу в Московский университет.

1930-1931 - Командировки в Германию и Францию.

1931 - Становится профессором Московского университета.

1933-1939 - Директор Института математики и механики МГУ.

1935-1960 - Зав. кафедрой теории вероятностей.

1935 - Присвоение ученой степени (без защиты) доктора физико-математических наук.

1938-1960 - Зав. отделом теории вероятностей в МИАН им. В.А. Стеклова.

1939 - Избран академиком АН СССР.

1939-1942 - Член Президиума АН СССР, академик Отделения физико-математических наук.

1942 - Женитьба на А.Д. Егоровой.

1949 - Присуждение (совместно с Б.В. Гнеденко премии им. П.Л. Чебышева АН СССР).

1951-1953 - Директор Института математики МГУ.

1954-1958 - Декан механико-математического факультета МГУ.

1960 - Создание лаборатории при мехмате МГУ.

1962 - Присуждение премии по математике Фонда Бальцана.

1963 - Открытие школы-интерната.

1963 - Присвоение звания Героя Социалистического труда.

1965 - Присуждение Ленинской премии (совм. с В.И. Арнольдом).

1966 - Зав. межфакультетской лаборатории вероятностных и статистических методов.

1969 - Участие в первой экспедиции на научно-исследовательском судне «Дмитрий Менделеев»

1971 - Участие во второй экспедиции на судне «Дмитрий Менделеев».

1976 - Зав. кафедрой математической статистики.

1980 - Зав. кафедрой математической логики.

1980 - Присуждение премии по математике Фонда Вольфа.

1987 - Присуждение премии им. Н.И. Лобачевского.

1987 - 20 октября - Скончался в Москве.

Основные математические работы Андрея Николаевича Колмогорова

1921

1. Доклад математическому кружку о квадрильяже. Впервые опубл. в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. В 6-ти т. Т. 3. Теория информации и теория алгоритмов. М.: Наука, 2005; 403-405.

1922

2. Об операциях над множествами. Впервые опубл. в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 3. Теория информации и теория алгоритмов. М.: Наука, 2005; 99-108.

1923

3. Sur Tordre de grandeur des coefficients de la série de Fourier-Lebesgue // Bull. Acad. pol. sci. Ser.A. 1923; 83-86. Представлено В. Серпинским. Рус. пер. (П.Л. Ульянова): О порядке величины коэффициентов ряда Фурье-Лебега // Колмогоров А.Н. Избр. тр. В 6-ти т. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 17-19.

4. Une série de Fourie-Lebesgue divergente presque partout // Fund. Math. 1923. V. 4; 324—328. Рус. пер. (П.Л. Ульянова): Ряд Фурье-Лебега, расходящийся почти всюду // Колмогоров А.Н. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 13-17.

1924

5. Sur la convergence des séries de Fourier // Cr. Acad. sci. Paris. 1924. V. 178; 303-306. (совм. с Г.А. Селиверстовым). Представлено А.Лебегом. Рус. пер. (И.А. Виноградовой): О сходимости рядов Фурье // Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 22-24.

6. Une contribution a l'étude de la convrgence des séries de Fourier // Fund. Math., 1924. V. 5; 96-97. Рус. пер. (И.А. Виноградовой): Замечания к исследованию сходимости рядов Фурье // Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 20-21.

1925

7. О принципе tertium non datur // Мат. сб. 1925. Т. 32. № 4. 646-667. Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 51-73.

8. La définition axiomatique de l'intégrale // Cr. Acad. sci. Paris. 1925. V. 180; 110-111. Рус. пер. (В.А. Скворцова): Аксиоматическое определение интеграла // Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 25-26.

9. Sur la possibilité de la définition générale de la dérivée, de l'intégrale et de la sommation des séries divergentes // Cr. Acad. sci. Paris. 1925. V. 180; 362-364. Пред-

ставлено Э. Борелем. Рус. пер. (Л.А. Балашова): О возможности общего определения производной, интеграла и суммирования расходящихся рядов // Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 44-45.

10. Sur le bornes de la généralisation de l'intégrale. Впервые опубл. в рус. пер. (Т.П. Лукашенко): О границах обобщения интеграла Ц Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 27-43.

11. Sur les fonctions harmoniques conjuguées et les séries de Fourier // Fund.Math., 1925. V. 7; 24—29. Рус. пер. (Т.П. Лукашенко): О гармонически сопряженных функциях и рядах Фурье // Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 46-50.

12. Über Konvergenz' von Reihen, deren Glieder durch den Zufall bestimmt werden // Мат. сб. № 4. T. 32. 1925; 668-677 (совм. с А.Я. Хинчиным). Рус.пер. (П.Л. Ульянова): О сходимости рядов, члены которых определяются случаем // Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 2. Теория вероятностей и матем. статистика. М.: Наука, 2005; 7-16.

1926

13. Sur la convergence des séries de Fourier // Atti Accad. naz. Lincei Rend. V. 3. 1926; 307-310 (совм. с Г.A. Селиверствым). Представлено A. Тонелли. Рус.пер. (И.А. Виноградовой): О сходимости рядов Фурье // Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 74-77.

14. Une série de Fourier-Lebesgue divergente partout // C. r. Acad. sci. Paris. V. 183. 1926; 1327-1329. Представлено Э. Борелем. Рус. пер. (Л.А. Балашова): Ряд Фурье-Лебега,расходящийся всюду // Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 78-79.

1927

15. Sur la convergence des séries de fonctions orthogonales // Math. Ztschr. Bd. 26. H.2/3. 1927; 432-441 (совм. с Д.Е. Меньшовым). Рус. пер. (С.В. Бочкарёва): О сходимости ортогональных рядов // Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 80-90.

16. Sur la loi des grands nombres // Cr. Acad. sci. Paris., V. 185. 1927; 917-919. Представлено Э. Борелем. Рус. пер. (О.В. Вискова): О законе больших чисел // Колмогоров А.Н. Избр. тр. В 6-ти т. Т. 2. Теория вероятностей и матем. статистика. М.: Наука, 2005; 17-18.

1928

17. Об операциях над множествами//Мат. сб. Т. 35. № 3/4. 1928; 415-422. Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 91-98.

18. Sur un procédé d'intégration de M. Denjoy // Fund. Math. V. 11. 1928; 27-28. Рус. пер. (В.А. Скворцова): О процессе интегрирования Данжуа // Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 99-109.

19. Sur une formule limite de M.A. Khintchine // Cr. Acad. sci. Paris. V. 186. 1928; 824-825. Представлено Ж. Адамаром. Рус. пер. (О.В. Вискова): Об одной предельной формуле А. Хинчина // Колмогоров А.Н. Теория вероятностей и матем. статистика, М.: Наука, 2005; 19-20.

20. Über die Summen durch den Zufall bestimmter unabhaengiger Groessen // Math. Ann. Bd. 99. 1928; 309-319. Рус. пер. (А.Н. Ширяева): О суммах независимых случайных величин // Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 2. Теория вероятностей и матем. статистика. М.: Наука, 2005; 21-31.

1929

21. Общая теория меры и исчисление вероятностей // Тр. Ком. акад. Разд. мат. Т. 1. 1929; 8-21. Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Теория вероятностей и матем. статистика. М.: Наука, 2005; 51-62.

22. Bemerkungen zu meiner Arbeit 'Über die Summen durch den Zufall bestimmter unabhaengiger Groessen' // Math. Ann. 1929. Bd. 102; 484-488. Рус. пер. (А.Н. Ширяева): Замечания к моей работе «О суммах независимых случайных величин» // Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 2. Теория вероятностей и матем. статистика. М.: Наука, 2005; 31-36.

23. Sur la loi des grands nombres // Atti Accad. naz. Lincei Rend. 1929. V. 9. № 6; 470-474. Представлено Г. Кастельнуово. Рус. пер. (О.В. Вискова): О законе бролъших чисел // Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 2. Теория вероятностей и матем. статистика. М.: Наука, 2005; 47-50.

24. Über das Gesetz des iterierten Logarithmus // Math. Ann., 1929. Bd. 101; 126-135. Рус. пер. (Ю.В. Прохорова): О законе повторного логарифма // Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 2. Теория вероятностей и матем. статистика. М.: Наука, 2005; 37-46.

1930

25. Sur la loi forte des grands nombres // Cr. Acad. sci. Paris, 1930. V. 191; 910-912. Рус. пер. (О.В. Вискова): Об усиленном законе больших чисел // Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 2. Теория вероятностей и матем. статистика. М.: Наука, 2005; 63-66.

26. Sur la notion de la moyenne // Atti Accad. naz. Lincei Rend. 1930. V. 12, 9; 388-391. Представлено Г. Кастельнуово. Рус. пер. (В.М. Тихомирова): Об определении среднего // Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 154-158.

27. Untersuchungen über den Integralbegriff// Math. Ann. 1930. Bd. 103; 654-696. Рус. пер. (П. Освальда): Исследование понятия интеграла // Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 113-153.

28. Zur topoligisch-gruppentheoretischen Begruendung der Geometrie // Nachr. Ges. Wiss. Goettingen. Fachgr. 1 (Mathematik). 1930. H. 2; 208-210. Представлено П. Александровым. Рус. пер. (И. Пенкова): О mono лого-теоретико-групповом обосновании геометрии // Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 110-112.

1931

29. Метод медианы в теории ошибок // Мат. сб. 1931. Т. 38. № 3/4; 47-50. Опубл. также // Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 2. Теория вероятностей и матем. статистика. М.: Наука, 2005; 118-120.

30. Eine Verallgemeinerung des Laplace-Liapounoffschen Satzes // Изв. АН СССР, ОМЕН. 1931. № 7; 959-962. Представлено С.Н. Бернштейном. Рус. пер. (А.Н. Ширяева): Одно обобщение теоремы Лапласа-Ляпунова // Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 2. Теория вероятностей и матем. статистика. М.: Наука, 2005; 121-123.

31. Sur la problème d'attente// Мат. сб. 1931. T. 38. 1/2; 101-106. Рус. пер. (Б.А. Севастьянова): Проблема ожидания // Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 2. Теория вероятностей и матем. статистика. М.: Наука, 2005; 112-117.

32. Über die analitischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung // Math. Ann. 1931. Bd. 104; 415-458. Рус. пер.: Об аналитических методах в теории вероятностей // УМН. 1938. Вып. 5; 5-41. Опубл. также // Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 2. Теория вероятностей и матем. статистика. М.: Наука, 2005; 67-111.

33. Über Kompaktheit der Funktionenmengen bei der Konvergenz im Mittel // Nachr. Ges. Wiss. Goettingen., 1931. H. 1; 60-63. Представлено Р. Курантом. Рус. пер. (СБ. Стечкина): О компактности множеств функций при сходимости в среднем // Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 159-161.

1932

34. Введение в теорию функций действительного переменного // М., Л.: ГТТИ, 1932; 270 с. (совм. с П.С. Александровым).

35. Ancora sulla forma generale di un processo stocastico omogeneo // Atti Accad. naz. Lincei Rend. 1932. V. 15,12; 866-869. Представлено Г. Кастельнуово. Рус. пер. (Л.А. Бассалыго) вместе со статьей поз. 36., под общим заголовком.

36. Sulla forma generale di un processo stocastico omogeneo. (Un problema di Bruno de Finetti) // Atti Accad. naz. Lincei Rend. 1932. V. 15, 10; 805-808. Представлено Г. Кастельнуово. Рус. пер. (Л.А. Бассалыго): Об общей форме стохастического однородного процесса (Проблема Бруно де Финетти) // Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 2. Теория вероятностей и матем. статистика. М.: Наука, 2005; 124-130.

37. Zur Begruendung der projektiven Geometrie // Ann. Math. 1932. V. 33; 175-176. Рус. пер. (И. Пенкова): К обоснованию проективной геометрии // Колмогоров А.Н. Избр. тр. Математика и механика. М.: 2005; 169-170.

38. Zur Deutung der intuitionistischen Logik // Math. Ztschr. 1932. Bd. 35; 58-65. Рус. пер. (В.А. Успенского): К толкованию интуиционистской логики // Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 162-168.

1933

39. Введение в теорию функций действительного переменного. Изд. 2-е. М., Л.: ГТТИ, 1933; 270 с. (совм. с П.С Александровым).

40. К вопросу о пригодности найденных статистическим путем формул прогноза // Журн. геофиз. 1933. Т. 3. № 1; 78-82. Опубл. также // Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 2. Теория вероятностей и матем. статистика. М.: Наука, 2005; 170-175.

41. Beitraege zur Masstheorie // Math. Ann. 1933. Bd. 107; 351-366. Рус. пер. (И. Пенкова): К теории меры // Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1.Математика и механика. М.: Наука, 2005; 171-187.

42. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung // Berlin: Springer-Verlag, 1933; 62 c.

43. Sulla determinazione empirica di una legge di distribuzione // G.Inst. ital. attuari. 1933. V. 4; 83-91.

Рус. пер. (А.С. Холево): Об эмпирическом определении закона распределения // Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 2. Теория вероятностей и матем. статистика. М.: Наука, 2005; 142-148.

44. Sur la détermination empirique d'une loi de distribution // Уч. зап. МГУ. 1933. Вып. 1; 9-10.

45. Über die Grenzwertsaetze der Wahrscheinlichkeitsrechnung // Изв. АН СССР, OMEH, 1933; 363-372. Представлено С.Н. Бернштейном. Рус. пер. (К.И. Осколкова): О предельных теоремах теории вероятностей // Колмогоров А.Н. Теория вероятностей и матем. статистика. М.: Наука, 2005; 149-156.

46. Zur Berechnung der mittleren Brounschen Flaeche // Phys. Ztschr. Sow. 1933. Bd. 4, 1; 1-13 (совм. с M.А. Леонтовичем). Рус. пер. (А.М. Яглома): К вычислению средней броуновской площади Ц Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 2. Теория вероятностей и матем. статистика. М.: Наука, 1986; 2005; 131-141.

47. Zur Theorie der stetigen zufaelligen Prozesse// Math. Ann. 1933. Bd. 108; 149-160. Рус. пер. (П. Дитриха): К теории непрерывных случайных процессов // Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 2. Теория вероятностей и матем. статистика. М.: Наука, 2005; 157-169.

1934

48. О сходимости рядов по ортогональным полиномам //ДАН СССР. 1934. Т. 1. № 6; 291-294. Опубл. также // Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 196-199.

49. О точках разрыва функций двух переменных // ДАН СССР. 1934. Т. 1. № 3; 105-106 (совм. с И.Я. Верченко). Представлено С.Н. Бернштейном. Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 188-189.

50. Продолжение исследований о точках разрыва функций двух переменных // ДАН СССР. 1934. Т. 4. № 7; 361-362 (совм. с И.Я. Верченко). Представлено Н.Н. Лузиным. Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 194-195.

51. Quelque remarque sur Г approximation des functions continues. (Несколько замечаний о приближении непрерывных функций) // Матем. сб. 1934. Т. 41, 1; 99-103.

52. Zufaellige Bewegungen (Zur Theorie der Brownschen Bewegung) // Ann. Math. 1934. V. 35; 116-117. Рус. пер. (А.М. Яглома): Случайные движения (К теории броуновского движения) // Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 2. Теория вероятностей и матем. статистика. М.: Наука, 2005; 176-177.

53. Zur Normierbarkeit eines allgemeinen topologischen linearen Raumes // Stud. math. 1934. V. 5; 29-33. Рус. пер. (С.Б. Стечкина): О нормируемости общего линейного топологического пространства // Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 190-193.

1935

54. Уклонения от формул Харди при частичной изоляции // ДАН СССР. 1935. Т. 3. № 3; 129-132.

Представлено С.Н. Бернштейном. Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 2. Теория вероятностей и матем. статистика. М.: Наука, 2005; 178-180.

55. La transformation de Laplace dans les espaces lineares // Cr. Acad. sci. Paris. 1935. V. 200; 1717-1718. Представлено Ж. Адамаром. Рус. пер. (А.В. Булинского): Преобразование Лапласа в линейных пространствах // Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 200-201.

56. Zur Grössenordnung des restgliedes Fourierschen Reihen differenzierbarer Funktionen // Ann. Math. 1935. V. 36; 521-526. Рус. пер. (С.А. Теляковского): О порядке остаточного члена рядов Фурье дифференцируемых функций // Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 202-208.

1936

57. К условию А.И. Плеснера для закона больших чисел // Мат. сб. 1936. Т. 1; 847-849.

58. Основные понятия теории вероятностей // М., Л.: ОНТИ, 1936; 80 с. (пер. с нем.: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Berlin: Springer, 1933).

59. Afangsgruende der Theorie der Markoffschen Ketten mit unendlich vielen moeglichen Zustanden // Мат. сб. 1936. T. 1; 607-610.

60. Cycles relatifs. Théorème de dualité de M. Alexander // Cr. Acad. sci. Paris. 1936. V. 202; 1641-1643. Представлено Г. Жюлиа. Рус. пер. (М.Б. Балавадзе): От-

носительные циклы. Теорема двойственности Александера // Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 239-240.

61. Endliche Überdeckungen topologischer Räume // Fund. Math. 1936. V. 26; 267-271 (совм. с П.С. Александровым). Рус. пер. (О.В. Локуциевкого): Конечные покрытия топологических пространств // Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 226-230.

62. Homologierung des Komplexes und des lokalbikompakten Raeumes // Мат. сб. 1936. T. 1; 701-706.

Рус. пер. (О.В. Локуциевского): Кольцо гомологий комплексов и локально бикомпактных пространств // Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 220-225.

63. Les groupes de Betti des espaces localement bicompacts // Cr. Acad. sci. Paris., 1936. V. 202; 1144-1147. Представлено Г. Жюлиа. Рус. пер. (М.Б. Балавадзе): Группы Бетти локально бикомпактных пространств // Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 231-233.

64. Les groupes de Betti des espaces métriques // Cr. Acad. sci. Paris., 1936. V. 202; 1558-1560. Представлено Г. Жюлиа. Рус. пер. (М.Б. Балавадзе): Группы Бетти метрических пространств // Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 237-238.

65. Propriétés des groupes de Betti des espaces localement bicompacts // Cr. Acad. sci. Paris. 1936. V. 202; 1325-1327. Рус. пер. (М.Б. Балавадзе): Свойства групп Бетти локально бикомпактных пространств // Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 234-236.

66. Sulla teoria di Volterra della lotta per l'esistenza // G. Inst. ital. attuar. 1936. V. 7; 74-80.

67. Über die beste Annaeberung von Funktionen einer gegebenen Funktionenklasse // Ann. Math. 1936. V. 37; 107-110. Рус. пер. (С.А. Теляковского): О наилучшем приближении функций заданного функционального класса // Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 209-212.

68. Über die Dualitaet im Aufbau der kombinatorische Topologie // Мат. сб. 1936. T. 1; 97-102. Рус. пер. (О.В. Локуциевского): О законах двойственности в комбинаторной топологии // Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 213-219.

69. Zur Theorie der Markoffschen Ketten // Math. Ann. 1936. Bd. 112; 155-160. Рус. пер. (К.И. Осколкова): К теории цепей Маркова // Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 2. Теория вероятностей и матем. статистика. М.: Наука, 2005; 181-186.

1937

70. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества, и его применение к одной биологической проблеме // Бюлл. МГУ. Математика и механика. 1937. Т. 1. Вып. 6; 1-26 (совм. с И.Г. Петровским и Н.С Пискуновым). Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 247-272.

71. К статистической теории кристаллизации металлов // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1937. № 3; 355-359. Представлено С.Н. Бернштейном. Опубл. также // Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 2. Теория вероятностей и матем. статистика. М.: 2005; 187-191.

72. Кососимметричных величины и топлогические инварианты // Труды семинара по векторному и тензорному анализу с их приложениями к геометрии, механике, физике, М., Л.: ГОНТИ. 1937. Вып. 4; 345-347. Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Избранные тр. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 244-246.

73. Цепи Маркова со счетным числом возможных состояний // Бюлл. МГУ. Математика и механика. 1937. Т. 1. Вып. 3; 1-16. Опубл. также // Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 2. Теория вероятностей и матем. статистика. М.: Наука, 2005; 192-206.

74. Ein vereinfachter Beweis der Birkgoff-Khintschinschen Ergodensatzes // Мат. сб.

1937. T. 2; 367-368.

75. Über offene Abbildungen // Ann. Math. 1937. V. 38; 36-38. Рус. пер. (В.А. Успенского): Об открытых отображениях // Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 241-243.

76. Zur Umkehrbarkeit der statistischen Naturgesetze // Math. Ann. 1937. Bd. 113; 766-772. Рус. пер. (А.М. Яглома): Об обратимости статистических законов природы // Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 2. Теория вероятностей и матем. статистика. М.: Наука, 2005; 207-213.

1938

77. Введение в теорию функций действительного переменного // Изд. 3-е, перераб. М., Л.: ГОНТИ, 1938; 268 с. (совм. с П.С. Александровым).

78. К решению одной биологической задачи // Изв.НИИ математики и механики Томского ун-та. 1938. Т. 2. Вып. 1; 7-12. Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 2. Теория вероятностей и матем. статистика. М.: Наука, 2005; 214-219.

79. Несколько проблем теории функций действительного переменного // УМН.

1938. Вып. 5; 232-234 (совм. с И.М. Гельфандом и Г.М. Фихтенгольцем).

80. Об аналитических методах в теории вероятностей // УМН. 1938. Вып. 5; 5-41. Пер. с нем.: lieber die analitischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung // Math. Ann. 1931. Bd. 104; 415-458.

81. Упрощенное доказательство эргодической теоремы Биркгофа-Хинчина // УМН. 1938. Вып. 5; 52-56. / Пер. с нем.: Ein vereinfachter Beweis der Birkgoff-Khintschinschen Ergodensatzes // Мат. сб. 1937. T. 2; 367-368. Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 273-278.

82. Une généralisation de l'inégalité de M.J. Hadamard entre les bornes supérieures des dérivées successives d'une fonction // Cr. Acad. sci. Paris., 1938. V. 207; 764— 765.

1939

83. О кольцах непрерывных функций на топологических пространствах// ДАН СССР. 1939. Т. 22, 1; 11-15 (совм. с И.М. Гельфандом). Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 264-269.

84. Sur l'interpolation et extrapolation des suites stationaires (Об интерполяции и экстраполяции стационарных последовательностей) // Cr. Acad. sci. Paris. 1939. V. 2086; 2043-2045.

1940

85. Кривые в гильбертовом пространстве, инвариантные по отношению к однопараметрической группе движений // ДАН СССР. 1940. Т. 26. № 1; 6-9. Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 296-300.

86. О неравенствах между верхними гранями последовательных производных произвольной функции на бесконечном интервале // Уч. зап. МГУ. Вып. 30. Математика. 1939. Кн. 3; 3-16. Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 279-290.

87. О кольцах непрерывных функций на топологических пространствах // ДАН СССР. 1939. Т. 22. № 1; 11-15 (совм. с И.М. Гельфандом). Представлено И.М. Виноградовым. Опубл. также в кн.: Колмогоров Л.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 191-195.

88. Об одном новом подтверждении законов Менделя //ДАН СССР. 1940. Т. 27. № 1; 38-42. Опубл. также в кн.: Колмогоров Л.Н. Избр. тр. Т. 2. Теория вероятностей и матем. статистика. М.: Наука, 2005; 220-226.

89. Спираль Винера и некоторые другие интересные кривые в гильбертовом пространстве // ДАН СССР. 1940. Т. 26. № 2; 115-118. Опубл. также в кн.: Колмогоров Л.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 301-306.

90. Sur l'interpolation et extrapolation des suites stationaires // Cr. Acad. sci. Paris., 1939. V. 208; 2043-2045.

1941

91. Интерполирование и экстраполирование стационарных случайных последовательностей // Изв. АН СССР. Сер.матем., 1941. Т. 5; 3-14. Опубл. также в кн.: Колмогоров Л.Н. Избр. тр. Т. 2. Теория вероятностей и матем. статистика. М.: Наука, 2005; 268-276.

92. К вырождению изотропной турбулентности в несжимаемой вязкой жидкости//ДАН СССР. 1941. Т. 31; 538-541. Опубл. также в кн.: Колмогоров Л.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 317-329.

93. Локальная структура турбулентности в несжимаемой вязкой жидкости при очень больших числах Рейнольдса //ДАН СССР. 1941. Т. 30; 299-303. Опубл. также в кн.: Колмогоров Л.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 311-316.

94. О логарифмически нормальном законе распределения размеров частиц при дроблении // ДАН СССР. 1941. Т. 31; 99-101. Опубл. также в кн.: Колмогоров Л.Н. Избр. тр. Т. 2. Теория вероятностей и матем. статистика. М.: Наука, 2005; 277-280.

95. Рассеяние энергии при локально изотропной турбулентности // ДАН СССР. 1941. Т. 32, № 1; 19-21. Опубл. также в кн.: Колмогоров Л.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 321-324.

96. Стационарные последовательности в гильбертовом пространстве // Бюлл. МГУ. Математика. 1941. Т. 2. Вып. 6; 1-40. Опубл. также в кн.: Колмогоров Л.Н. Избр. тр. Т. 2. Теория вероятн. и матем. статистика. М.: Наука, 2005; 227-267.

97. Точки локальной топологичности счетнократных открытых отображений компактов //ДАН СССР. 1941. Т. 30; 477-479. Опубл. также в кн.: Колмогоров Л.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 307-310.

98. Вступ до теоріі функций дійсного змінного // Пособник для ун-тів пед. ін-тів. Киів: Радяньска школа, 1941; 268 с. (Совм. с П.С. Александровым).

99. Confidence limits for an unknown distribution function // Ann.Math.Stat. 1941. V. 12, 14; 461-463.

1942

100. Определение центра рассеяния и меры точности по ограниченному числу наблюдений // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1942. Т. 6; 3-32.

101. Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости // Изв.АН СССР. Сер. физ. 1942. Т. 6. № 1/2; 56-58. Опубл. также в кн.: Колмогоров Л.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 325-327.

1944

102. Проблемы теории вероятностей (Тезисы доклада на заседании Моск. Матем. общества 11 декабря 1944 г.) // Впервые опубл в: Теория вероятн. и ее примен. 1993. Т. 38. N° 2; 211-212.

1945

103. Искусственное рассеивание в случае поражения одним попаданием и рассеивания в одном измерении // Труды МИАН СССР. 1945. Т. 12; 26-45.

104. Число попаданий при нескольких выстрелах и общие принципы оценки эффективности системы стрельбы //Труды МИАН СССР. 1945. Т. 12; 7-25.

1946

105. К вопросу о законе сопротивления при турбулентном течении в гладких трубах // ДАН СССР. 1946. Т. 52; 669-671.

106. К кинематике движения жидкости переменной мутности. (Дискуссия по статье члена-корреспондента АН СССР М.А. Великанова «Перенос взвешенных наносов турбулентным потоком») // Изв. АН СССР. ОТН. 1946. №5; 781-784.

107. К обоснованию метода наименьших квадратов // УМН. 1946. Т. 1. Вып. 1; 57-70. Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 2. Теория вероятностей и матем. статистика. М.: Наука, 2005; 281-296.

108. К обоснованию теории вещественных чисел // УМН. 1946. Т. 1. Вып. 1; 217-219.

1947

109. Ветвящиеся случайные процессы // ДАН СССР. 1947. Т. 56; 7-10 (совм. с Н.А. Дмитриевым). Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 2. Теория вероятностей и матем. статистика. М.: Наука, 2005; 303-308.

110. Вычисление финальных вероятностей для ветвящихся случайных процессов//ДАН СССР. 1947. Т. 56; 783-786 (совм. с Б.А. Севастьяновым). Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Теория вероятностей и матем. статистика. М.: Наука, 2005; 309-313.

111. Одна формула Гаусса из теории метода наименьших квадратов // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1947. Т. 11; 561-566 (совм. с А.А. Петровым и Ю.М. Смирновым). Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Теория вероятностей и матем. статистика. М.: Наука, 2005; 297-302.

112. Статистическая теория колебаний с непрерывным спектром // Юбилейный сборник, посвященный тридцатилетию Великой Октябрьской социалистической революции, М.: Л., Изд-во АН СССР. 1947. Ч. 1; 242-252.

1948

113. Замечание по поводу многочленов П.Л. Чебышева, наименее уклоняющихся от заданной функции // УМН. 1948. Т. 3, Вып. 1; 216-221. Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 328-334.

114. О двух теоремах относительно вероятностей: комментарий // П.Л. Чебышев. Полное собрание сочинений. Т. 3. Математический анализ. М.: Л., Гостехиздат, 1948; 404-409.

115. Статистическая теория колебаний с непрерывным спектром // Общее собрание АН СССР, посвященное тридцатилетию Великой Октябрьской социалистической революции. М.: Л. Изд-во АН СССР, 1948; 465-472.

Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 2. Теория вероятностей и матем. статистика. М.: Наука, 2005; 314-322.

116. Строение полных метрических алгебр Буля // УМН. 1948. Т. 3, Вып. 1; 212.

117. Algébres de Boole métriques complètes // VI Ziazd Matematyukow Polskich. Warszawa, 1948; 22-30.

1949

118. К вопросу о «геометрическом отборе» кристаллов // ДАН СССР. 1949. Т. 65; 681-684.

119. Локальная предельная теорема для классических цепей Маркова // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1949. Т. 13; 281-300. Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 2. Теория вероятностей и матем. статистика. М.: Наука, 2005; 329-351.

120. О дроблении капель в турбулентном потоке // ДАН СССР. 1949. Т. 66, № 5; 825-828. Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 335-340.

121. О суммах случайного числа слагаемых // УМН. 1949. Т. 4, Вып. 4; 168-172 (совм. с Ю.В. Прохоровым). Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 2. Теория вероятностей и матем. статистика. М.: Наука, 2005; 323-328.

122. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин // М., Л.: Гостехиздат, 1949; 264 с. (совм с Б.В. Гнеденко).

123. Решение одной задачи из теории вероятностей, связанной с вопросом о механизме слоеобразования //ДАН СССР. 1949. Т. 65; 793-796. Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 2. Теория вероятностей и матем. статистика. М.: Наука, 2005; 352-356.

124. On the inequalities between upper bounds of the successive derivatives of an arbitrary function on an infinite interval // Amer. Math. Soc. Transl. 1949. 4.

1950

125. К вопросу о распределении цели. М.: Воениздат. 1950. № 12; 12-19.

126. К вопросу об определении коэффициента температуропроводности почвы // Изв. АН СССР. Сер. геогр. и геофиз. 1950. Т. 14. № 2; 97-98.

127. К изложению основ лебеговской меры (Доклад на заседании Моск. матем. общества 4.10.1949). //УМН. 1950. Т. 5. Вып. 1; 211-213.

128. Несмещенные оценки // Изв.АН СССР. Сер. мат. 1950. Т. 14; 303-326. Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 2. Теория вероятностей и матем. статистика. М.: Наука, 2005; 357-382.

129. Теорема о сходимости условных математических ожиданий и некоторые ее применения // Доклад 2 сентября 1950 г. на Первом конгрессе венгерских математиков. Az Elso Magyar Matematikai Kongresszus Kozlemenyei. Akademiai Kiado. Budapest, 1950; 367-376.

1951

130. К вопросу о дифференцируемости переходных вероятностей в однородных по времени процессах Маркова со счетным числом состояний // Уч. зап. МГУ. 1951. Т. 148: Математика. Т. 4, 53-69. Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 2. Теория вероятностей и матем. статистика. М.: Наука, 2005; 383-390.

131. Обобщение формулы Пуассона на случай выборки из конечной совокупности // УМН. 1951. Т. 6. Вып. 3; 133-134. Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 2. Теория вероятностей и матем. статистика. М.: Наука, 2005; 391-392.

132. Статистический приемочный контроль при допустимом числе дефектных изделий, равном нулю // Л.: Всесоюзн. об-во по распростр. полит, и научн. знаний. Ленингр. дом научн. и техн. пропаганды). 1951; 1-24.

133. The solution of a probability problem related to the question of the formation of strata / Amer. Math. Soc. Transl. 1951. № 53.

1952

134. Выступление на конференции по алгебре и теории чисел // УМН. 1952. Т. 7. Вып. 3; 168-170.

135. К вопросу о сопротивлении в профиле скоростей при турбулентном течении в трубах // ДАН СССР. 1952. Т. 84; 1, 29-30.

136. Теория меры и интеграл Лебега // Записи лекций. 1952; 101 с. (стеклогр.).

1953

137. О понятии алгоритма // УМН. 1953. Т. 8. Вып. 4; 175-176. Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 3. Теория информации и теория алгоритмов. М.: Наука, 2005; 5.

138. Некоторые работы последних лет в области предельных теорем теории вероятностей // Вестник МГУ. 1953. Т. 10; 29-38. Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 2. Теория вероятностей и матем. статистика. М.: Наука, 2005; 393-403.

139. О динамических системах с интегралным инвариантом на торе // ДАН СССР. 1953. Т. 93; 763-766. Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 341-344.

140. Unbiased estimates // Amer. Math. Soc. Transl. 1953; 198.

1954

141. О сохранении условно периодических движений при малом изменении функций Гамильтона // ДАН СССР. 1954. Т. 98; 527-530. Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 345-349.

142. О новом варианте гравитационной теории движения взвешенных наносов М.А. Великанова // Вестник МГУ. 1954. № 3; 41-45.

143. Общая теория динамических систем и классическая механика // Ргос. Intern. Congr.Math., 1954. V. 1; 315-333. Тр. Междунар. матем. конгресса, Амстердам, 1954; Обзорные доклады. М.: Изд-во АН СССР. 1961; 187-208. Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 350-366.

144. Элементы теории функций и функционального анализа. Курс лекций. Вып.1: Метрические и нормированные пространства. М.: Изд-во МГУ. 1954; 155 с. (совм. с С.В. Фоминым).

145. Limit Distributions for Sums of Independent Random Variables. Addison-Wesley, Reading Mass., 1954 (совм. с Б.В. Гнеденко).

1955

146. Оценки минимального числа элементов е-сетей в различных функциональных классах и их применение к вопросу о представимости функций нескольких переменных суперпозициями функций меньшего числа переменных//УМН. 1955. Т. 10. Вып. 1; 192-194.

147. Предельные распределения для сумм независимых слагаемых. Пекин, 1955; 280 с. (совм. с Б.В. Гнеденко).

1956

148. Две равномерные предельные теоремы для сумм независимых слагаемых // Теория вероятн. и ее примен. 1956. Т. 1. Вып. 4. 426-436. Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 2. Теория вероятностей и матем. статистика. М.: Наука, 2005; 413-425.

149. К общему определению количества информации // ДАН СССР. 1956. Т. 111. № 4; 745-748 (совм. с И.М. Гельфандом и А.М. Ягломом). Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 3. Теория информации и теория алгоритмов. М.: Наука, 2005; 6-9.

150. Некоторые принципиальные вопросы приближенного и точного представления функций одного и нескольких переменных // Тр. 3 Всесоюзн. матем. съезда. М.: Изд-во МГУ. 1956. Т. 2; 28-29. Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 367-368.

151. О некоторых асимптотических характеристиках вполне ограниченных метрических пространств // ДАН СССР. 1956. Т. 108. № 3; 385-388.

152. О представлении непрерывных функций нескольких переменных суперпозициями непрерывных функций меньшего числа переменных // ДАН СССР. 1956. Т. 108. № 2; 179-182. Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 369-373.

153. О сходимости А.В. Скорохода // Теория вероятн. и ее примен. 1956. Т. 1. Вып. 2; 239-247. Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 2. Теория вероятностей и матем. статистика. М.: Наука, 2005; 404-412. Случайные функции и предельные теоремы // Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 2. Теория вероятностей и матем. статистика. М.: Наука, 2005; 426-440.

154. Foundation of the theory of probability // N.-Y.: Chelsea, 1956; 84 c.

155. On the Shannon theory of information transmission in the case of continuous signals // IEEE Trans. Inform. Theory. 1956. V. IT-2; 102-108.

156. Zufällige Funktionen und Grenzverteilugssaetze // Bericht ueber die Tagung Wahrscheinlich-keitsrechnung und mathematische Statistik, Berlin, 1956: 113-126 (совм. с Ю.В. Прохоровым).

1957

157. К обоснованию теории вещественных чисел // Матем.просвещение. 1957. Вып. 2; 169-171.

158. О представлении непрерывных функций нескольких переменных в виде суперпозиций непрерывных функций одного переменного и сложения // ДАН СССР. 1957. Т. 114; 953-956. Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 374-378.

159. Теория передачи информации // Сессия АН СССР по научным проблемам автоматизации производства, 15-20 окт. 1956 г. М.: Изд-во АН СССР. 1957; 66-99. Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 3. Теория информации и теория алгоритмов. М.: Наука, 2005; 10-35. Здесь же опубл. Выступление А.Н. Колмогорова при обсуждении доклада. С. 35-37.

160. Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis. A course of Lectures. 1: Metric and Normal Spaces // Graylock, Rochester, N.-Y., 1957.

161. Rozklady graniczne sum zmiennych niezaleznych // Warszawa: Panstw. wyd-wo naukowe, 1957; 262 с. (совм. с Б.В. Гнеденко).

1958

162. К определению алгоритма // УМН. 1958. Т. 13. Вып. 4; 3-28 (совм. с В.А. Успенским). Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 3. Теория информации и теория алгоритмов. М.: Наука, 2005; 70-94.

163. Количество информации и энтропия для непрерывных распределений // Тр. 3 Всесоюзн. матем. съезда. М.: Изд-во АН СССР. 1958. Т. 3; 300-320 (совм. с И.М. Гельфандом и А.М. Ягломом). Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Теория информации и теория алгоритмов. М.: Наука, 2005; 38-63.

164. Новый метрический инвариант транзитивных динамических систем и автоморфизмов пространств Лебега // ДАН СССР. 1958; Т. 119; 861-864. Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 3. Теория информации и теория алгоритмов. М.: Наука, 2005; 64-69.

165. О линейной размерности топологических векторных пространств // ДАН СССР. 1958. Т. 120; 239-241. Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 379-385.

166. Спектры динамических систем, порождаемых стационарными случайными процессами // Теория вероятн. и ее примен. 1958. Т. 3. Вып. 2; 214-215.

167. Эргодические стационарные случайные процессы с дискретным спектром (Резюме доклада на семинаре по теории вероятностей, сент. 1957) // Теория вероятн. и ее примен. 1958. Т. 3. Вып. 2; 212-213.

168. Sur les propriétés des fonctions de concentrations de M.P. Lévy // Ann. Inst. Henry Poincare. 1958. V. 16. 1; 27-34. Рус. пер. (В.М. Круглова): О свойствах функций концентрации П. Леви // Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 2. Теория вероятностей и матем. статистика. М.: Наука, 2005; 441-447.

1959

169. Замечания о работах Р.А. Минлоса и В.В. Сазонова //Теория вероятн. и ее примен. 1959. Т. 4. Вып. 2; 237-239.

170. Об энтропии на единицу времени как метрическом инварианте автоморфизмов//ДАН СССР. 1959. Т. 124; 754-755.

171. Переход ветвящихся процессов в диффузионные и примыкающие задачи генетики (Обзорный доклад) // Теория вероятн. и ее примен. 1959. Т. 4. Вып. 2; 233-236. Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 2. Теория вероятностей и матем. статистика. М.: Наука, 2005; 448-450.

172. е-энтропия и е-емкость множеств в функциональном пространстве // УМН. 1959. Т. 14. Вып. 2; 3-86 (совм. с В.М. Тихомировым). Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 3. Теория информации и теория алгоритмов, М.: Наука, 2005; 95—172 с добавлениями. Добавл. 1: Теорема А.Г. Витушкина о невозможности представления функций нескольких переменных суперпозициями функций меньшего числа переменных (192-195). Добавл. II: Связь с вероятностной теорией приближенной передачи сигналов (195-198).

173. Grenzverteilungen von Summen unabhaengiger Zufallsgroessen // Berlin: Akademie-Verlag, 1959; 79 с. (совм. с Б.В. Гнеденко).

1960

174. О классах Форте и Блан-Лапьера //Теория вероятн. и ее примен. 1960. Т. 5. Вып. 3; 373. Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 2. Теория вероятностей и матем. статистика. М.: Наука, 2005; 450-451.

175. Об условиях сильного перемешивания гауссовского стационарного процесса // Теория вероятн. и ее примен. 1960. Т. 5. Вып. 2; 222-227 (совм. с Ю.А. Розановым). Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 2. Теория вероятностей и матем. статистика. М.: Наука, 2005; 460-462.

176. Случайные функции нескольких переменных, почти все реализации которых периодичны // Теория вероятн. и ее примен. 1960. Т. 5. Вып. 3; 374. Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 2. Теория вероятностей и матем. статистика. М.: Наука, 2005; 452-459.

1961

177. Замечание к докладу В.К. Лезерсона //Теория вероятн. и ее примен. 1961. Т. 6. Вып. 3; 367.

178. Замечания к докладу Б.А. Севастьянова // Теория вероятн. и ее примен. 1961. Т. 6. Вып. 3; 367.

179. Замечания к докладу М.С. Пинскера // Теория вероятн. и ее примен. 1961. Т. 6. Вып. 3; 366.

180. Elements of the theory of Functions and Functional Analysis, 2: Measure, the Lebesgue Integral and Hilbert Space // Graylock, Albany, N.-Y. 1961. (совм. с С.В. Фоминым).

181. On the representation of continuous functions of several variables as superpositions of continuous functions of fewer variables // Amer. Math. Soc. Transl. 1961. V. 17, 2; 369-373.

182. e-entropy and e-capasity of sets in a functional space // Amer. Math. Soc. Transl. 1961. V. 17, 2; 277-304 (совм. с В.М. Тихомировым).

1962

183. Об одной вероятностной задаче оптимального управления // ДАН СССР.

1962. Т. 145; 993-995 (совм. с Л.С.Понтрягиным и Е.Ф. Мищенко).

184. Об оценке пераметров комплексного стационарного гауссовского марковского процесса // ДАН СССР. 1962. Т. 146; 747-750 (совм. с М. Арато и Я.Г. Синаем). Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 2. Теория вероятностей и матем. статистика. М.: Наука, 2005; 463-467.

185. Уточнение представлений о локальной структуре турбулентности несжимаемой вязкой жидкости при больших числах Рейнольдса // Mécanique de le turbulence: Colloq. Intern. CNRS, Marseille, aout-sept. 1961. Paris, 1962; 447-458 (на русск. и фр. яз.). Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 385-389.

186. A local limit theorem for classical Markov chains // Select Transl. Math. Statist. Probab. 1962. V. 2; 109-129.

187. A refinement of previous hypotheses concerning the local structure of viscous incompressible fluid at high Reynolds numbers // J. Fluid Mech. 1962. V. 13, 1; 82-85.

1963

188. Дискретные автоматы и конечные алгоритмы //Труды 4-го Всесоюзн. матем. съезда. Л.: Изд-во ЛГУ. 1963. Т. 1; 120.

189. О приближении распределений сумм независимых слагаемых неограниченно делимыми распределениями // Труды Моск. мат. об-ва. 1963. Т. 12; 437-451. Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 2. Теория вероятностей и матем. статистика. М.: Наука, 2005; 468-485.

190. Различные подходы к оценке трудности приближенного задания и вычисления функций // Proc. Intern. Congr. Math. Stokholm, 1963; 351-356. Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 3. Теория информации и теория алгоритмов. М.: Наука, 2005; 173-178.

191. On tables of random numbres // Sankhya, Ind. J. Stat., Ser. A. 1963. V. 25, 4; 369-376. Рус. пер. (A. Шеня): О таблицах случайных чисел // Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 3. Теория информации и теория алгоритмов, М.: Наука, 2005; 179-186.

192. On the approximation of distributions of sums of independent summands by infinitely divisible distributions // Sankhya, Ind. J. Stat., Ser. A. 1963. V. 25, 1; 159-174.

193. On the definition of an algorithm // Amer. Math. Soc. Transl., Ser. 2, 1963. V. 29, 2; 217-245 (совм. с В.А. Успенским).

194. On the representation of continuous functions of many variables by superposition of continuous function of one variable and addition // Amer. Math. Soc. Transl. 1963. V. 28. 2; 55-59.

195. Probability Theory //Trans. Math. Monographs. 1963. V. 1. Part 4.

1964

196. On the approximation of distributions of sums of independent summands by infinitely divisible distribution // Contributions to Statistics, 1964; 159-174.

1965

197. Три подхода к определению понятия «количество информации» // Проблемы передачи информации. 1965. Т. 1. Вып. 1; 3-11. Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 3. Теория информации и теория алгоритмов. М.: Наука, 2005; 187-196.

1966

198. П.С. Александров и теория ôs-операций // УМН. 1966. Т. 21. Вып. 4; 275-278. Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 390-396.

199. Элементы теории функций и функционального анализа. Вып. 2: Мера, интеграл Лебега, гильбертово пространство // М.: Изд-во МГУ. 1966, 119 с. (совм. с С.В. Фоминым).

1967

200. О реализации сетей в трехмерном пространстве // Проблемы кибернетики. 1967. Т. 19; 261-268. (Совм.с Я.М. Барздинем). Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 3. Теория информации и теория алгоритмов. М.: Наука, 2005; 197-205.

201. On the principle of excluded middle // Van Heijenoort J., From Frege to Goedel. A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931. Cambridge; Mass.: Harvard Univ. Press, 1967; XII+660 c.; 414-437.

1968

202 Несколько теорем об алгоритмической энтропии и алгоритмическом количестве информации // УМН. 1968. Т. 23. Вып. 2; 201.

203. Элементы теории функций и функционального анализа. Изд. 2-е, перераб. и дополн. М.: Физматгиз, 1968; 496 с. (совм. с С.В. Фоминым).

1969

204. К логическим основам теории информации и теории вероятностей // Проблемы передачи информации. 1969. Т. 5. № 3; 3-7. Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 3. Теория информации и теория алгоритмов, М.: Наука, 2005; 206-210.

1970

205. Статистическая гидродинамика океана (Заседание Моск. матем. об-ва от 24.02.1970) // УМН. 1970. Т. 25. Вып. 4; 167.

1972

206. Качественное изучение математических моделей динамики популяций // Проблемы кибернетики. 1972. Т. 2. Вып. 2; 101-106. Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 1. Математика и механика. М.: Наука, 2005; 397-402.

207. Сложность задания и сложность построения математических объектов // УМН. 1972. Т. 27. Вып. 2; 159.

208. Элементы теории функций и функционального анализа. Изд. 3-е, перераб. М.: Физматгиз, 1972; 496 с. (совм. с С.В. Фоминым).

209. Elements de la teoria de funciones y del analisis funcional. Moscou: Mir, 1972; 534 с. (совм. с С.В. Фоминым) на исп. языке.

1974

210. Основные понятия теории вероятностей. Изд. 2-е. М.: Наука, 1974; 119 с.

211. Сложность алгоритмов и объективное определение случайности (доклад на заседании Моск. мат. общества) // УМН. 1974. Т. 29. Вып. 4; 155.

212. Elements de la théorie des fonctions et l'analysis fonctionelle. Moscou: Mir, 1974; 536c. (совм. с С.В. Фоминым).

1975

213. Elementos de la teoria de funciones y del analisis funcional. Moscou: Mir, 1975; 534 с. Изд. 2-е, на исп. языке (совм. с С.В. Фоминым).

1976

214. Элементы теории функций и функционального анализа. Изд. 4-е, перераб. М.: Наука, 1976; 543 с. (совм. с С.В. Фоминым).

1977

215. Elements de la théorie des fonctions et l'analysis fonctionelle. Изд. 2-е. Moscou: Mir, 1977, 538 с. (совм. с С.В. Фоминым).

1978

216. Замечания о статистических решениях уравнения Навье-Стокса (Засед. Моск. мат. общества от 18.01.1978) //УМН. 1978. Т. 33. Вып. 3; 124.

217. Оценки спектральных функций случайных процессов (Доклад на 11 Европейском совещании по статистике. Осло, 14-18 авг. 1978 г., Abstr. of papers. Oslo, 1978; (совм. с И.Г.Журбенко)). Опубл. полностью впервые // Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 2. Теория вероятностей и матем. статистика. М.: Наука, 2005; 486-495.

218. Elementos de la teoria de funciones y del analisis funcional. Moscu: Mir, 1978; 534 с. Изд. 3-е, на исп. языке (совм с С.В. Фоминым).

219. The general Theory of Dynamical Systems and Classical Mechanics // Abraham R., Marsden J.E. Foundations of Mechanics. 2nd ed., Reading, Mass.: The Benjamin/Cummings Publ. Co, 1978; 741-757.

1979

220. Линейные выборочные оценки сумм // Теория вероятн. и ее примен. 1979. Т. 24. Вып. 2; 241-251 (совм. с А.В. Булинским).

1980

221. Elementi di teoria délia funzion e di analisi funzionale. Mosca: Mir, 1980; 534 с. На итал. языке (совм. с С.В. Фоминым).

1981

222. О выборочных оценках сумм случайных величин // Тр. Ин-та прикладн. геофизики. 1981. Вып. 46; 73-77 (совм. с А.В. Булинским).

223. Элементы теории функций и функционального анализа. Изд. 5-е. М.: Наука, 1981; 542с. (совм. с С.В. Фоминым).

224. A fuggvenyelemelet es a funkcionanalizis elemei. Budapest: Muszaki Konuvkiado, 1981, 553 с. На венг. языке (совм. с С.В. Фоминым)

1982

225. Введение в математическую логику. М.: Изд-во МГУ. 1982; 120 с. (совм. с А.Г. Драгалиным).

226. О таблицах случайных чисел // Семиотика и информатика. АН СССР. ВИНИТИ. 1982. Вып. 18; 3-13.

227. Основни понятия на теорията на вероятностите. Бернулли, Лаплас, Колмогоров вероятности. Поредица математическа классика. София: Наука и искусство, 1982; 155-249. На болг. языке.

228. A valoszinusegszamitas alapfogalmai. Budapest: Gondolât, 1982; 130 с.

229. Elementos da teoria das funcoes e de analise funcioal. Moscou: Mir, 1982; 534 c. На порт, языке (совм. с С.В. Фоминым).

1983

230. Комбинаторные основания теории информации и исчисления вероятностей // УМН. 1983. Т. 38. Вып. 4; 27-36. Опубл. также в кн.: Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 3. Теория информации и теория алгоритмов. М.: Наука, 2005; 211-222.

231. On logical foundations of probability // Lect. Notes Math., № 1021, 1983; 1-5. Рус. пер. (А.З. Звонкина, А.А. Новикова и А. Шеня): О логических основаниях теории вероятностей // Колмогоров А.Н. Избр. тр. Т. 2. Теория вероятностей и матем. статистика. М.: Наука, 2005; 496-499.

1984

232. Математическая логика. Дополнительные главы. М.: Изд-во МГУ. 1984; 119с. (совм. с А.Г. Драгалиным).

1985

233. Математика и механика. Отв. ред. С.М. Никольский, сост. В.М. Тихомиров. М.: Наука, 1985.

234. К работам по интуиционистской логике. Комментарий в кн.: Колмогоров А.Н. Математика и механика. М.: Наука, 1985; 393.

235. К работам по классической механике. Комментарий в кн.: Колмогоров А.Н. Математика и механика. М.: Наука, 1985; 444.

236. К работам о суперпозициях. Комментарий в кн.: Колмогоров А.Н. Математика и механика. М.: Наука, 1985; 470.

237. К работам по теории гомологий. Комментарий в кн.: Колмогоров А.Н. Математика и механика. М.: Наука, 1985; 405.

238. К работам по теории функций и теории множеств. Комментарий в кн.: Колмогоров А.Н. Математика и механика. М.: Наука, 1985; 363.

239. К работам по турбулентности. Комментарий в кн.: Колмогоров А.Н. Математика и механика. М.: Наука, 1985, 421.

240. К работе об открытых отображениях. Комментарий в кн.: Колмогоров А.Н. Математика и механика. М.: Наука, 1985; 412.

241. К работе об уравнении диффузии. Комментарий в кн.: Колмогоров А.Н. Математика и механика. М.: Наука, 1985; 416.

242. Новый метрический инвариант транзитивных динамических систем и автоморфизмов пространств Лебега. Новая редакция // Труды МИАН. 1985. Т. 169. Вып. 1; 94-98.

1986

243. Теория вероятностей и математическая статистика. Отв. ред. Ю.В. Прохоров, сост. А.Н. Ширяев. М.: Наука, 1986; 535 с.

1987

244. Алгоритмы и случайность // Теория вероятн. и ее примен. 1987. Т. 32. Вып. 3; 425-455 (совм. с В.А. Успенским).

245. Algorithms and Randomness // Proceedings of the 1st World Congress of the Bernoulli Society (Tashkent, USSR, 8-14 Sept. 1986). 1987. V. 1. VNU Science Press, Utrecht, 3-56 (совм. с В.А. Успенским).

246. Теория информации и теория алгоритмов. Отв. ред. Ю.В. Прохоров, сост. А.Н. Ширяев. М.: Наука, 1987; 304 с.

247. К работам по теории информации и некоторым ее применениям. Комментарий в кн.: Колмогоров А.Н. Теория информации и теория алгоритмов. М.: Наука, 1987; 251-254.

248. К работе о динамических системах. Комментарий в кн.: Колмогоров А.Н. Теория информации и теория алгоритмов. М.: Наука, 1987; 275.

1988

249. Вероятностно-статистические методы обнаружения спонтанно возникающих эффектов //Труды МИАН. 1988. Т. 182; 4-23.

250. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Мир, 1988; 712 с. На языке дари (совм. с С.В. Фоминым).

251. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Мир, 1988; 712 с. На староарабском языке (совм. с С.В. Фоминым).

1989

252. Элементы теории функций и функционального анализа. Изд. 6-е, испр. М.: Наука, 1989; 623 с. (совм. с С.В. Фоминым).

1991

253. Алгоритм, информация, сложность. Темат. сб. (6 статей) работ, выполненных в 50-60 годах. М.: Знание, 1991; 4.

254. Selected Works of A.N. Kolmogorov. Volume I: Mathematics and Mechanics // Ed. S.M. Nikolsky, comp. V.M. Tikhomirov, Kluwer Acad. Publ. (Dordrecht/Boston/London), 1991: 551 c.

1992

255. Selected Works of A.N.Kolmogorov. Volume II: Probability Theory and Mathematical Statistics // Ed. Yu.V. Prokhorov, comp. A.N. Shiryaev, Kluwer Acad. Publ. (Dordrecht/ Boston/London), 1992; 597 c.

1993

256. Selected Works of A.N. Kolmogorov. Volume III: Information Theory and the Theory of Algorithms // Ed. Yu.V. Prokhorov, comp. A.N. Shiryaev, Kluwer. Acad. Publ. (Dordrecht/Boston/London), 1993; 275 c.

1995

257. Введение в теорию вероятностей. Изд. 2-е, перераб. и дополн. М.: Наука, 1995; 176 с. (совм. с И.Г. Журбенко и А.В. Прохоровым).

1998

258. Основные понятия теории вероятностей // Изд. 3-е. М.: ФАЗИС, сер. «Стохастика». Вып. 1, 1998; 144 с. С приложением: Ширяев А.Н. Математическая теория вероятностей. Очерк истории становления.

2005

259. Избранные труды. В 6-ти т. Т. 1. Математика и механика. Отв. ред. А.Л. Ширяев, сост. В.М. Тихомиров. М.: Наука, 2005; 518 с.

260. Избранные труды. В 6-ти т. Т. 2. Теория вероятностей и математическая статистика. Отв. ред. и сост. А.Н. Ширяев. М.: Наука, 2005; 581 с.

261. Избранные труды. В 6-ти т. Т. 3. Теория информации и теория алгоритмов. Отв. ред. и сост. А.Н. Ширяев. М.: Наука, 2005; 261 с.

Литература об А.Н. Колмогорове

Андрей Николаевич Колмогоров (биографическая справка) // Колмогоров А.Н. Математика и механика. Сост. В.М. Тихомиров. М.: Наука, 1985; 48.

Андрей Николаевич Колмогоров (биографическая справка) // Колмогоров А.Н. Математика в ее историческом развитии / Под ред. В.А. Успенского, сост. Г.А. Гальперин. М.: Наука, 1991; 216-221.

Колмогоров Андрей Николаевич // Большая Советская Энциклопедия, изд. 3-е. Т. 12. 1973; 473.

Колмогоров Анд.Ник. // Советский энциклопедический словарь. М.: Советская Энциклопедия, 1981; 609.

Kolmogorov Andrey Nikolaevich // Enciclopaedia Britannica (www version), http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/References/ KolmogoroV. html

Андрей Николаевич Колмогоров // Страница в Интернете, сост. Н.Г. Химченко, http://www.netcolony.com/arts/gidon/.

Статьи

А.Н. Колмогоров в воспоминаниях учеников (А.М. Абрамов, В.И. Арнольд, В.М. Тихомиров, В.А. Успенский, А.Н. Ширяев) // Квант. 1988. № 11-12; 2-11.

Абрамов А.М. О педагогическом наследии А.Н. Колмогорова // УМН. 1988. Т. 43. Вып. 6; 39-74.

Александров П.С. Андрей Николаевич Колмогоров (К 60-летию со дня рождения) // Вест. Моск. ун-та. Сер. 1, матем. мех. 1963. № 3; 3-6.

Александров П.С. Несколько слов об А.Н. Колмогорове // УМН. 1983. Т. 38. Вып. 4; 7-10. Перепеч. в кн.: Колмогоров А.Н. Математика в ее историческом развитии. М.: Наука, 1991; 7-10.

Александров (Aleksandrov P.S.) A Few Words on A.N. Kolmogorov // Kolmogorov in Perspective. Providence, R.I./London, Amer. Math. Soc./London Math. Soc, 2000; 141-145. (History of Mathematics. V. 20.)

Александров П.С, Гнеденко Б.В. Колмогоров как педагог // УМН. 1963. Т. 18. Вып. 5; 115-120.

Александров П.С, Хинчин А.Я. Андрей Николаевич Колмогоров (К 50-летию со дня рождения) // УМН. 1953. Т. 8. Вып. 3; 178-200.

Александров П.С, Дынкин Е.Б., Петровский И.Г. Лауреат премии Бальцана (Академик А.Н. Колмогоров) // Моск. правда, 9 июня 1963.

Аносов Д.В. О работах А.Н. Колмогорова и В.И. Арнольда, получивших в 1965 году Ленинскую премию // Математика в школе. 1966. № 1; 7-12.

Анфилов Г. Ученый, учитель // Огонек. 1963. № 48; 11-13.

Арнольд В.И. Несколько слов об Андрее Николаевиче Колмогорове // УМН. 1988. Т. 43. Вып. 6; 37.

Арнольд (Arnold V.l.) On A.N. Kolmogorov // Golden Years of Moscow Mathematics / ed. S. Zdravkovska and P. L. Düren. Providence, R.I./London, Amer. Math. Soc./London Math. Soc, 1993; 129-153. (History of Mathematics. V. 6.).

Арнольд (Arnold V. I.) On A.N. Kolmogorov // Kolmogorov in Perspective. Providence, R.I./London, Amer. Math. Soc./London Math. Soc, 2000; 89-108. (History of Mathematics. V. 20.)

Батимелли, Вильпиани (Baîîimelli G., Vilpiani A.) Kolmogorov, Heisenberg, von Weizsäcker, Onsager: un caso di scoperta simultanea // Atti del III congresso nazionale di storia della fisica (Palermo 11-16 ottobre 1982), 169-175.

Бачелор (Batchelor G.K.) Kolmogorov's work in Turbulence // Bull. London Math. Soc. 1990. V. 22. № 1; 47-51. Obituary: Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903-1987); 31-100.

Бергер, Бассалыго, Добрушин, Пинскер (Berger T., BassalygoLA., Dobrushin R.L., Pinsker M.S.) Andreii Nikolaevich Kolmogorov (April 25, 1903 - October 20, 1987) // IEEE Trans. Inform. Theory. 1988. V. 34 (2); 173-175.

Бинем (Bingham N.H.) The work of A.N. Kolmogorov on strong limit theorems // Теория вероятн. и ее примен. 1989. Т. 34. Вып. 1; 152-164.

Бинем (Bingham N.H.) Kolmogorov's work on probability, particularly limit theorems // Bull. London Math. Soc. 1990. V. 22. № 1; 51-61. Obituary: Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903-1987); 31-100.

Боголюбов Н.Н., Гнеденко Б.В., Соболев С.Л. Андрей Николаевич Колмогоров (К 80-летию со дня рождения) // УМН. 1983. Т. 38. Вып. 4; 11-26. Перепеч. // Колмогоров А.Н. Теория информации и теория алгоритмов. М.: Наука, 1987; 7-23.

Боровков А.А., Соболев С.Л., Юринский В.В. Глубина исследований, широта проблематики // Наука в Сибири. 12 мая 1983.

Бутягин А. Выдающиеся ученые МГУ (О присуждении Сталинских премий) // Учительская газ. 1941. 16 мар.

Ван Цвет (Van Zwet W.R.) Andrei Nikolaevich Kolmogorov // Ann. Roy. Neth. Acad. Sci. 1989; 161-171.

Ватанабе (Watanabe O.) (ed.) Kolmogorov Complexity and Computational Complexity. Berlin etc.: Springer-Verlag, 1992; 105 c.

Вахания Н.Н. А.Н. Колмогоров и развитие теории вероятностных распределений в линейных пространствах // Теория вероятн. и ее примен. 1989. Т. 34. Вып. 1; 197-202.

Витаньи (Vitanyi P.M.B.) Andrei Nikolaevich Kolmogorov // CWI Quart. 1988. V. 1; 3-18.

В последний путь // Правда. 1987. 24 окт. В последний путь // Известия, 1987. 25 окт.

Выдающиеся успехи советских математиков (О присуждении Сталинских премий) // Правда, 1941. 14 апр.

Гельфанд И.М. Учитель и ученик // Известия, 1965; 5 янв.

Гельфанд И.М., Никольский С.М., Соболев С.Л., Гнеденко Б.В., Прокофьев М.А., Разумовский В.Г., Ермолаева Н.А., Черкасов Р.С., Абрамов А.М. Жизнь во имя науки // Учительская газета; 1987. 26 нояб.

Гнеденко Б.В. Колмогоров А.Н. // БСЭ-2. 1953. Т. 22; 13.

Гнеденко Б.В. Колмогоров Андрей Николаевич // БСЭ-3. 1973. Т. 12; 437.

Гнеденко Б.В. А.Н. Колмогоров // Математика в школе. 1963. № 2; 67-68.

Гнеденко Б.В. О работах А. Н. Колмогорова по теории вероятностей // УМН. 1963. Т. 18. Вып. 5; 5-11.

Гнеденко Б.В. Колмогоров Андрей Николаевич (К 70-летию со дня рождения) // УМН. 1973. Т. 28. Вып. 5; 5-15.

Гнеденко Б.В. Ученый и педагог (К 70-летию Андрея Николаевича Колмогорова) // Математика в школе. 1973. № 2; 88-89.

Гнеденко Б.В. Математик (О творческом пути А.Н. Колмогорова) // Московский комсомолец. 1973. 6 мая.

Гнеденко Б.В. Ученый, педагог, реформатор (К 75-летию со дня рождения А. Н. Колмогорова) // Математика в школе. 1978. № 2; 93-94.

Гнеденко Б.В. Андрей Николаевич Колмогоров (К 80-летию со дня рождения) // Математика в школе. 1983. № 2; 76-78.

Гнеденко Б.В., Смирнов Н.В. О работах А.Н. Колмогорова по теории вероятностей (К 60-летию со дня рождения) // Теория вероятн. и ее примен. 1963. Т. 8. Вып. 2; 167-174.

Golse R., Lochak P. Andreii Nikolaevich Kolmogorov 1903-1987 // Gaz. Math. 35 (1988), 51-52.

Горбачев Н.И. Алгоритм замечательного человека // Учительская газета. 1977. 6 мар.

Горбачев Н.И. Ищу увлеченных // Учительская газета. 1978. 25 апр.

Горбачев Н.И. Академик Колмогоров // Смена. 1978. № 12. Перепеч. в кн.: Советские ученые. Очерки и воспоминания. М.: Изд-во АПН, 1982; 277-293.

Dudley RM., Cook S.L., Liopis J., Peug N.P. A. N. Kolmogorov and statistics: A citation bibliography // Ann. Statist. 1990. V. 18. № 3; 1017-1031.

Дуб (Doob J.L.) Kolmogorov's early work on convergence theory and foundations // Ann. Probab. 1989. V. 17. № 3; 815-821.

Дынкин (Dynkin E.B.) Kolmogorov and the theory of Markov processes // Ann. Probab. 1989. V. 17. № 3; 822-832.

Кендалл (Kendall D.G.) Kolmogorov: The man and his work // Bull. London Math. Soc. 1990. V. 22. № 1; 31-47. Obituary: Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903-1987); 31-100.

Кендалл (Kendall D.G.) Kolmogorov as I remember him // Statist. Sci. 1991. V. 6. № 3; 303-312.

Кендалл (Kendall D. G.) Andrei Nikolaevich Kolmogorov (25 April 1903 - 20 October 1987) // Biographical Memoirs of Fellows of the Royal Society. 1991. V. 37; 300-319.

Кендалл, Бачелор, Моффет (Kendall D., Batchelor G.K., Moffat H.K.) Obituary. Dr. Andrei Kolmogorov. Giant of Mathematics // The Times, 1987.

Кендалл и др. (Kendall D.G., Batchelor G.K., Bingham N.H., Hayman W.K., Hyland J.M.E., Lorentz G.G., Moffat H.K., Parry W., Razborov А.А., Robinson C.A., Whitle P.) Obituary: Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903-1987) // Bull. London Math. Soc. 1990. V. 22. № 1; 31-100.

Cover T.M., Gacs P., Gray R.M. Kolmogorov's contribution to information theory and algorithmic complexity // Ann. Probab. 1989. V. 17. № 3; 840-865.

Kolmogorov's Ideas 50 Years on / Eds. J.C. Hunt, O.M. Phillips and D. Williams. London Roy. Soc, 1991. (Proc. Roy. Soc. London Ser. A. V. 434, № 1890.)

Королюк В.С. Погранслой в асимптотическом анализе случайных блужданий //Теория вероятн. и ее примен. 1989. Т. 34. Вып. 1; 208-215.

К пятидесятилетию Андрея Николаевича Колмогорова // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1953. Т. 8; 181-188.

Ли, Витаньи (Li M., Vitanyi P.) An Introduction to Kolmogorov Complexity and its Applications // Berlin etc.: Springer-Verlag, 1993; XIII + 546 p.

Лоренц (Lorentz G.G.) Superpositions, Metric Entropy, Complexity of Functions, Widths // Bull. London Math. Soc. 1990. V. 22. № 1; 64-71. Obituary: Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903-1987); 31-100.

Михайлова И. Слово об ученом (О киноленте «Рассказы о Колмогорове») // Советский экран. 1984. № 22; 11.

Моффет (Moffatt H.K.) KAM-theory // Bull. London Math. Soc. 1990. V. 22. № 1; 71-73. Obituary: Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903-1987); 31-100.

Некролог: Андрей Николаевич Колмогоров // Математика в школе. 1987. № 6; 3-5.

Некролог: Андрей Николаевич Колмогоров // Правда, 1987. 23 нояб.

Некролог: Андрей Николаевич Колмогоров // Известия, 1987. 24 нояб.

Некролог: Академик Андрей Николаевич Колмогоров // Теория вероятн. и ее примен. 1987. Т. 32. Вып. 4; 773.

Немчук Г. Власть над числом (О жизни и деятельности А.Н. Колмогорова) // Литературная газ., 1966. 16 авг.

Никольский С.М. П.С. Александров и А.Н. Колмогоров в Днепропетровске // УМН. 1983. Т. 38. Вып. 4; 37-50;

Никольский С.М. Воспоминания о Днепропетровске, Днепропетровск. Изд-во Днепропетровск, ун-та, 1998; 46-59.

Никольский (Nikol'skii S.M.) In Memory of A.N. Kolmogorov // Kolmogorov in Perspective. Kolmogorov in Perspective. Providence, R.I./London, Amer. Math. Soc./London Math. Soc, 2000; 109-116. (History of Mathematics. V. 20.)

Никольский С.М., Соболев С.Л. и др. Жизнь во имя науки // Учительская газета. 1987. 26 фев.

Новиков С.П. Воспоминания об А.Н. Колмогорове // УМН. 1988. Т. 43. Вып. 6; 35-36.

Партасарати (Parthasarathy K.R.) Obituary: Andrei Nikolaevich Kolmogorov // Indian Statistical Inst., Delhi. 1988. Febr.

Партасарати (Parthasarathy K.R.) Andrei Nikolaevich Kolmogorov // J. Appl. Probab. 1988. V. 25. № 2; 445-450.

Пенков (Penkov B.) Personliche Erinnerung an Andrei Nikolaevitsch Kolmogorov // Probab. Theory Relat. Fields. 1990. V. 84. № 3; 427-428.

Писаревский Б.М., Харин В.Т. А.Н. Колмогоров. Лицо математики XX века // Беседы о математике и математиках. М.: Нефть и газ. 1998; 185 с.

Понтрягин Л.С А.Н. Колмогоров // Жизнеописание Л.С. Понтрягина, математика, составленное им самим. М.: Прима, 1998; 18-23.

Приветствие Колмогорову А.Н. от Московского математического общества и редакции журнала «Успехи математических наук» в связи с 60-летием со дня рождения // УМН. 1963. Т. 18. Вып. 5; 3.

Приветствие Президиума АН СССР в связи с 70-летием со дня рождения А.Н. Колмогорова // УМН. 1973. Т. 28. Вып. 5; 3.

Приветствие А.Н. Колмогорову в связи с 75-летием со дня рождения от Отделения математики АН СССР, Московского математического общества и редакции журнала «Успехи математических наук» // УМН. 1978. Т. 33. Вып. 2; 212-213.

Приветствие Колмогорову А.Н. от Московского математического общества в связи с 80-летием со дня рождения Ц УМН. 1983. Т. 38. Вып. 4; 3-5. Перепечатано // Колмогоров А.Н. Теория информации и теория алгоритмов. М.: Наука, 1987; 4-6.

Приветствие А.Н. Колмогорову в связи с 80-летием со дня рождения // Теория вероятн. и ее примен. 1983. Т. 28. Вып. 2; 208.

Пэрри (Parry W.) Entropy in Ergodic Theory - the initial years // Bull. London Math. Soc. 1990. V. 22; 73-79.

Разборов (Razborov А.А.) Kolmogorov and the Complexity of Algorithms // Bull. London Math. Soc. 1990. V. 22. № 1; 79-82. Obituary: Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903-1987); 31-100.

Робинсон (Robinson С.А.) The work of Kolmogorov on Cohomology // Bull. London Math. Soc. 1990. V. 22. № 1; 82-83. Obituary: Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903-1987); 31-100.

Рухин (Rukhin A.L.) Kolmogorov's contributions to mathematical statistics // Ann. Statist. 1990. V. 18. № 3; 1011-1016.

Синай (Sinai Ya.G.) About A.N. Kolmogorov's work on the entropy of dynamical systems // Ergodic Theory Dynam. Systems. 1988. V. 8; 501-502.

Синай (Sinai Ya.G.) Kolmogorov's work on ergodic theory // Ann. Probab. 1989. V. 17. № 3; 833-839.

Синай (Sinai Ya.G.) Remembrances of A. N. Kolmogorov // Kolmogorov in Perspective. Providence, R.I./London, Amer. Math. Soc./London Math. Soc, 2000; 117-120. (History of Mathematics. V. 20.)

Синай Я.Г., Ширяев А.Н. К 50-летию создания кафедры теории вероятностей Механико-математического факультета МГУ. основанной А.Н. Колмогоровым //Теория вероятн. и ее примен. 1989. Т. 34. Вып. 1; 190-191.

Советские физики и математики // Известия. 1946. 31 янв.

Сотрудники кафедры теории вероятностей Механико-математического факультета МГУ (К 95-летию великого ученого) // Московский университет. 1988. № 7 (3823), апрель.

Терпе (Тегре F.) Andrej Nikolaevich Kolmogorov // Mitt. Math. Ges. DDR. 1985. V. 1; 43-56.

Терпе (Terpe F.) Andrej Nikolajevih Kolmogorov und die Hilbertschen Probleme // Wiss. Z Ernst-Moritz-Arndt-Univ. Greifsw., Math-Natur. Reihe. 1989. V. 38. № 4; 54-58.

Тихомиров В.М. Жизнь и творчество Андрея Николаевича Колмогорова // УМН. 1988. Т. 43. Вып. 6; 3-33.

Тихомиров В.М. Беззаветное служение науке // Московский университет. 1983. 26 апр.

Тихомиров В.М. Один из Лузитании // Эврика. 1993. № 3; 41-42.

Тихомиров (Tikhomirov V. M.) Andre // Nikolaevich Kolmogorov // Ergodic Theory Dynam. Systems. 1988. V. 8. № 4; 493-499.

Тихомиров (Tikhomirov V. M.) A.N.Kolmogorov // Golden Years of Moscow Mathematics / eds. S. Zdravkovska and Р.А. Düren. Providence R.I./London, Amer. Math. Soc./London Math. Soc. 1993; 101-127. (History of Mathematics. V. 6.)

Уиттл (Whittle P.) Kolmogorov's contributions to the theory of stationary processes, // Bull. London Math. Soc. 1990. V. 22. № 1; 83-89. Obituary: Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903-1987); 31-100.

Ульянов П.Л. А. Н. Колмогоров и расходящиеся ряды Фурье // УМН. 1983. Т. 38. Вып. 4; 51-90.

Ульянов (Ul'yanov P.L.) The Influence of Andrei Nikolaevich Kolmogorov on my Life // Kolmogorov in Perspective. Kolmogorov in Perspective. Providence, R.I./London, Amer. Math. Soc./London Math. Soc. 2000; 121-140. (History of Mathematics. V. 20.)

Успенский В.А. Наш великий современник Колмогоров // Математика в ее историческом развитии. М.: Наука, 1991; 11-20.

Успенский (Uspensky V. A.) Kolmogorov and mathematical logic // J. Symbolic Logic. 1992. V. 57. № 2; 385-412.

Успенский В.А. Их имена неотделимы (Из выступления 18 ноября 1997 г. при открытии мемориальных досок профессорам МГУ академикам П.С. Александрову и А.Н. Колмогорову на стене Главного здания Московского университета) // Историко-матем. исслед., 1999. Вып. 4 (39); 185— 188.

Успенский В.А. Предварение для читателей «НЛО» к Семиотическим посланиям Андрея Николаевича Колмогорова // Новое литературное обозрение. 1997. № 24; 124-216.

Успенский В.А. Два параграфа из статьи «Предварение для читателей “НЛО” к Семиотическим посланиям Андрея Николаевича Колмогорова» // Очерки истории информатики в России. Новосибирск: Науч.-издат. центр ОИГГМ СО РАН, 1998; 130-137.

Успенский В.А. Андрей Николаевич Колмогоров - великий ученый России // Очерки истории информатики в России. Новосибирск: Науч.-издат. центр ОИГГМ СО РАН, 1998; 484-506.

Фриш У. Турбулентность. Наследие А. Н. Колмогорова. М.: ФАЗИС, 1998. Пер. с англ.: U.Frish, Turbulence. The Legacy of A.N. Kolmogorov. Cambridge: Univ. Press, 1996.

Хайланд (Нуland J.M.E.) Kolmogorov's work on Logic // Bull. London Math. Soc. 1990. V. 22. № 1; 61-64. Obituary: Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903-1987); 31-100.

Хасьминский, Ибрагимов (Hasminsky R., Ibragimov I.) On density estimation in the view of Kolmogorov's ideas // Ann. Statist. 1990. V. 18. № 3; 999-1010.

Ченцов (Chentsov N.N.) The unfathomable influence of Kolmogorov // Ann. Statist. 1990. V. 18. № 3; 987-998.

Ширяев А.Н. Первый заведующий (кафедрой теории вероятностей) // Московский университет. 1985. 11 дек.

Ширяев А.Н. О научном наследии А.Н. Колмогорова // УМН. 1988. Т. 43. Вып. 6; 209-210.

Ширяев А.Н. Андрей Николаевич Колмогоров: In Memoriam... // Теория вероятн. и ее примен. 1989. Т. 34. Вып. 1; 5-118.

Ширяев А.Н. «Существует лишь тонкий слой...» (Из дневниковых записей Андрея Николаевича Колмогорова) // Миссия, 1993. 1 сент.

Ширяев (Shiryaev A.N.) А. N. Kolmogorov: Life and creative activities // Ann. Probab. 1989. V. 17. № 3; 866-944.

Ширяев (Shiryaev A.N.) Everything about Kolmogorov was unusual... // Statist. Sci. 1991. V. 6. №3; 313-318.

Ширяев (Shiryaev A.N.) Andrei Nikolaevich Kolmogorov (April 25,1903 to October 20, 1987). A Biographical Sketch of His Life and Creative Paths // Kolmogorov in Perspective. Providence, R.I./London, Amer. Math. Soc./London Math. Soc. 2000; 1-88. (History of Mathematics. V. 20.)

Юсин А. Там, за поворотом, в Комаровке // Советский спорт. 1970. 3 июля.

Юшкевич (Yushkevich А.Р.) A.N.Kolmogorov: Historian and philosopher of mathematics. On the occasion of his 80th birthday // Hist. Math. 1983. V. 10. № 4; 383-395.

Яглом (Yaglom А.М.) A.N. Kolmogorov as a fluid mechanican and founder of a school in turbulence research // Ann. Rev. Fluid Mech. 1994. V. 26; 1-22.

Янин В.Л. Колмогоров как историк // УМН. 1988. Т. 43. Вып. 6; 189-195.

Янин В.Л. Предисл. к кн.: Колмогоров А.Н. Новгородское землевладение XV в. // М.: Наука, 1994; 128 с.

Янкулин В. О математике (Об А.Н. Колмогорове) // Неделя. 1970. 9 авг.

Янкулин В. Математик // Огонек. 1983. № 20; 26.

Именной указатель

Абрамов Александр Михайлович (р. 1946), математик и педагог, чл.-корр. РАО, ученик А.Н. Колмогорова 162

Абрамов Л.М., математик 88

Адамар (Hadamard) Жак (1865-1963), французский математик 37, 99, 140, 144, 146

Александер (Alexander) Джеймс Уэнделл (1888-1971), американский математик 53, 69, 127

Александров Павел Сергеевич (1896-1982), математик, академик, ученик Н.Н. Лузина, близкий друг А.Н. Колмогорова 5, 8, 11, 31, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 53, 54, 55, 56, 58, 60, 61, 65, 66, 68, 69, 73, 81, 82, 83, 95, 97, 103, 108, 124, 141, 146

Алексеев Владимир Михайлович (1932-1980), математик, ученик А.Н. Колмогорова 88, 90, 91, 103, 111, 131, 132

Арак Т.В., математик 120

Арнольд Владимир Игоревич (р. 1937), математик, академик, ученик А.Н. Колмогорова 86, 87, 90, 91, 101, 102, 103, 111, 121, 132, 133, 135, 140, 146

Архимед (ок. 287-212 до н.э.), древнегреческий математик, физик и механик 122

Ахматова Анна Андреевна (1989-1966), великая поэтесса 148, 156

Бабенко Константин Иванович (1919-1987), математик, чл.-корр. АН СССР 88, 112, 130, 133

Банах Стефан (1892-1945), польский математик 62

Баренблатт Григорий Исаакович (р. 1927), математик и механик, ученик А.Н. Колмогорова 90, 132

Бари Нина Карловна (1901-1961), математик профессор МГУ 35,40, 60, 116

Бахрушин Сергей Владимирович (1882-1950), историк, чл.-корр. АН СССР 24, 29, 30

Бахвалов Николай Сергеевич (1934—2005), математик, академик 130, 132

Башелье Луиз (1870-1946), французский математик 103

Беляев Юрий Константинович (р. 1932), математик, ученик А.Н. Колмогорова 68, 90,91,111, 131

Березин Феликс Александрович (1930-1980), математик 155

Бернштейн Сергей Натанович (1880-1968), математик, академик 54, 82, 99, 113, 117, 138, 145

Бернштейн Феликс (1878-1956), немецкий математик 58

Бернулли Якоб (1654—1705), швейцарский математик 63, 105, 106, 129

Бирман Михаил Соломонович (р. 1928), математик 136

Биркгоф (Birkhoff) Джордж (1884-1944), американский математик 99, 101

Битюцков Вадим Иванович, математик, ученик А.Н. Колмогорова 77

Боголюбов Николай Николаевич (1909-1992), математик, академик 7, 87, 97, 101, 112, 115

Бокова Елена Николаевна, учительница физики в гимназии Репман 25

Больцман Людвиг (1844-1906), австрийский физик 111

Большев Логин Николаевич (1922-1978), математик, чл.-корр. АН СССР, ученик А.Н. Колмогорова 67, 90, 132

Борель (Borel) Эмиль (1871-1956), французский математик 34,37,59, 99,118

Боровков Александр Алексеевич (р. 1931), математик, академик, ученик А.Н. Колмогорова 68, 90, 132, 135

Борсук Карол (1905-1982), польский математик 69

Ботвинник Михаил Моисеевич (1911-1995), чемпион мира по шахматам 84

Булинский Александр Вадимович (р. 1946), математик, ученик А.Н. Колмогорова 138

Бурбаки Николя, собирательный псевдоним математиков, выступивших с попыткой построить математику на основе аксиоматического метода 127, 153

Бэр (Baire) Рене (1874-1932), французский математик 34

Бэтчелор Джордж (1920-2000), английский механик 70

Вавилов Сергей Иванович (1891— 1951), физик, академик, президент АН СССР 84, 103

Вавилов Николай Иванович (1887— 1943), биолог, академик 74, 84

Ван дер Варден (1903-1996), голландский и немецкий математик 58

Веденисов Николай Борисович (1905-1941), математик, погибший на войне 49

Вейль (Weil) Андре (1906-1998), французский математик 69, 116

Вейль (Weyl) Герман (1885-1955), немецкий математик 58

Вершик Анатолий Моисеевич (р. 1934), математик 88

Винер (Wiener) Норберт (1894-1964), американский математик 58, 103, 104, 107, 138

Виноградов Иван Матвеевич (1891-1983), математик, академик 82, 146

Витушкин Анатолий Георгиевич (1931-2004), математик, академик 88, 110, 111, 112, 115, 132

Власов Алексей Константинович (1868-1922), математик, один из учителей А.Н. Колмогорова 23, 31,32, 126

Волков Федор Григорьевич (1729— 1763), актер и театральный деятель 17

Гамов Георгий Антонович (1904 -1968), физик-теоретик 7

Гамсун (Hamsun) Кнут (1859-1952), норвежский писатель 28

Гаусс (Gauss) Карл Фридрих (1777-1855), немецкий математик 95,101

Гедель (Godel) Курт (1906-1978), австрийский математик и логик 52

Гейзенберг (Heisenberg) Вернер (1901-1976) немецкий физик, лауреат Нобелевской премии 6

Гельфанд Израиль Моисеевич (р. 1913), математик, академик, ученик А.Н. Колмогорова 35, 62, 78, 85, 88, 110, 127, 130, 132, 135, 141, 146

Гельфонд Александр Осипович (1906-1968), математик, чл.-корр. АН СССР 141

Гёте Иоганн-Вольфганг (1749-1831), немецкий поэт, мыслитель, естествоиспытатель 36, 41, 42

Гильберт (Hilbert) Давид (1862-1943), немецкий математик 57,58,87,95, 97, 99, 144, 145

Гирсанов Игорь Владимирович (1934-1967), математик 87, 88, 111, 130, 131, 133, 136

Глаголев Николай Александрович, учитель математики в гимназии Репман 23

Гливенко Валерий Иванович (1897-1940), математик 67, 73, 119

Гнеденко Борис Владимирович (1912-1995), математик, академик АН Украины, ученик А.Н. Колмогорова 64, 67, 68, 107, 110, 130, 135

Гоголь Николай Васильевич (1809-1852), писатель 7, 36

Голубев Владимир Васильевич (1884-1954), математик и механик, чл.-корр. АН СССР 35, 140

Гончар Андрей Александрович (р. 1931), математик, академик, 115, 130, 132, 133, 134

Гордон Израиль Исаакович (1910-1985), математик 69, 83, 127

Граве Дмитрий Александрович (1863-1939), математик, чл.-корр. АН СССР 71

Гротендик (Grothendieck) Александр (р. 1928), французский математик 86, 99

Гуревич Витольд (1904-1957), польский математик 69

Гурса Эдуард (1858-1936), французский математик 99

Гюйгенс Христиан (1629-1695), нидерландский механик, математик, физик и астроном 105

Данциг Ван Давид (1900-1959), голландский математик 69

Дарбу (Darboux) Гастон (1842-1917), французский математик 37

Двойченков А.Н., аспирант А.Н. Колмогорова (погибший на войне) 60

Делоне Борис Николаевич (1890-1980), математик, чл.-корр. АН СССР 95

Дмитриев Николай Александрович (1924-2000), математик, ученик А.Н. Колмогорова 85

Добрушин Роланд Львович (1929-1995), математик, ученик А.Н. Колмогорова 68, 88, 90, 111, 131, 132, 135, 136

Дуб Джозеф (1910 -2004), американский математик 129

Дубенская Матильда Исидоровна, приятельница В.Я. Колмогоровой 22

Дубинин Николай Петрович (1906/1907 -1998), биолог, академик 73

Дудинцев Владимир Дмитриевич (1918-1998), писатель 159

Дынкин Евгений Борисович (р. 1924), математик, ученик А.Н. Колмогорова 67,85,130,133, 134,136

Егоров Дмитрий Федорович (1869-1931), математик, чл.-корр. АН СССР 34, 35, 36, 37, 40, 54, 55

Егоров Дмитрий Николаевич, историк, чл.-корр. АН СССР, отец А.Д. Колмогоровой 24

Енин Т. К., биолог 74

Ермолаева Н.И., биолог 74

Ерохин Владислав Дмитриевич (1935-1961), математик, ученик А.Н. Колмогорова 88, 90, 91, 111, 112, 132, 133, 136, 142

Ершов Андрей Петрович (1931-1988), математик, академик 156

Ефимов Николай Владимирович (1910-1982), математик, чл.-корр. РАН 140

Ефремович Вадим Арсеньевич, математик 67

Жегалкин Иван Иванович (1869-1947), математик, профессор МГУ 31

Жуковский Николай Егорович (1847-1921), механик, основоположник современной аэро и гидромеханики 34

Журбенко Игорь Георгиевич (р. 1938), математик, ученик А.Н. Колмогорова 138

Заозерская, учительница истории в гимназии Репман 24

Засухин Виктор Николаевич (р. 1915, погиб на войне), математик, ученик А.Н. Колмогорова 136

Зельдович Яков Борисович (1914-1987), физик, академик 105

Золотарев Владимир Михайлович (р. 1931), математик, ученик А.Н. Колмогорова 68, 132

Ивашев-Мусатов Олег Сергеевич (р. 1926), математик, ученик А.Н. Колмогорова 76, 136

Исаев Алексей Михайлович (1908-1971), конструктор авиационных и ракетных двигателей 48, 49

Ито Киоси (р. 1915), японский математик 129

Канторович Леонид Витальевич (1912-1986), математик и экономист, академик 45, 62, 125, 146

Капица Петр Леонидович (1894-1984), физик, академик, лауреат Нобелевской премии 6

Каратеодори (Caratheodory) Константин (1873-1950), немецкий математик 57, 59, 99

Карлесон Ленарт (р. 1928), шведский математик 116

Карман Теодор фон (1881-1967), немецкий и американский механик 6, 62, 99, 138

Катаев Георгий Иванович (р. 1929), физик, сын И.И. Катаева 13

Катаев Дмитрий Иванович (р. 1937), химик, сын И.И. Катаева 13

Катаев Иван Матвеевич (1875-1946), историк, дядя А.Н. Колмогорова, 13

Катаев Иван Иванович (1902-1939), писатель, сын И.М. Катаева 13

Катаев Николай Матвеевич (?-1919), агроном, отец А.Н. Колмогорова 9, 10, 12, 13, 16

Келдыш Людмила Всеволодовна (1904-1976), математик, ученица Н.Н. Лузина 35, 40, 66

Келдыш Мстислав Всеволодович (1911-1978), математик и механик, академик 76

Козлов Михаил Васильевич (р. 1943), математик, ученик А.Н. Колмогорова 138

Козловский И. М., математик 66

Колмогоров Степан Яковлевич - дядя А.Н. Колмогорова 11, 12, 14, 16, 17

Колмогоров Яков Степанович, дед А.Н. Колмогорова 10, 14, 15, 16, 17

Колмогорова (Егорова) Анна Дмитриевна, жена А.Н. Колмогорова 24, 76, 77

Колмогорова Варвара Яковлевна, тетя А.Н. Колмогорова, 14

Колмогорова Вера Яковлевна (1865 -1951), тетя А.Н. Колмогорова, заменившая ему мать 9, 10, 12, 13, 14, 16, 17, 18,21,23, 57, 75

Колмогорова Любовь Яковлевна, тетя А.Н. Колмогорова 14

Колмогорова Мария Яковлевна, мать А.Н. Колмогорова 9, 10, 11, 12, 14, 16,21,22

Колмогорова Надежда Яковлевна, тетя А.Н. Колмогорова 14, 17

Колмогорова Софья Яковлевна, тетя А.Н. Колмогорова 11, 12, 14

Колмогорова Юлия Ивановна, бабка А.Н. Колмогорова 16, 18

Кольцов Николай Константинович (1872-1940), биолог, академик 73

Кондурарь В. Т., математик, ученик А.Н. Колмогорова 136

Коравко Конкордия Клементьевна, приятельница М.Я. Колмогоровой 10

Корнейчук Николай Павлович (1920-2003), математик, академик АН Украины 88

Королюк Владимир Семенович (р. 1925), математик, академик АН Украины 88, 130, 131

Котельников Владимир Андреевич, радиотехник, академик 113

Коши Огюстен (1779-1857), французский математик 122

Крамер Карл, шведский математик 119

Красносельский Марк Александрович (1920-1997) 63

Крейн Марк Григорьевич (1907-1989), математик 63

Крейн Селим Григорьевич (1917-1999), математик 63

Кронрод Александр Семенович (1921-1986), математик 97, 115

Кротков Г., школьный друг А.Н. Колмогорова 24

Кроткова Кристя, школьная подруга А.Н. Колмогорова 27

Крылов Николай Митрофанович (1879-1955), математик, академик 69, 97, 101, 112, 115

Крымов Юрий (Беклемишев Ю.С.) 48

Кузнецов Петр Саввич (1899-1968), лингвист, профессор МГУ 11, 12, 15, 17, 22, 23, 49, 68, 146

Курант (Courant) Рихард (1888-1972), немецкий и американский математик 58

Курош Александр Геннадиевич (1908-1971), математик, профессор МГУ 65, 141

Лагерлеф Сельма (1858-1940), шведская писательница 21

Лазарев Петр Петрович (1878-1942), физик, биофизик, академик 33

Лаврентьев Михаил Алексеевич (1900-1980), математик и механик/академик, ученик Н.Н. Лузина 35, 40, 61

Ландау Лев Давидович (1908-1968), физик-теоретик, лауреат Нобелевской премии 6

Ландау (Landau) Эдмунд (1977-1938), немецкий математик 58, 59

Лаплас (Laplace) Пьер (1749-1827), французский математик 63, 87, 102, 106, 138

Лебег (Lebesgue) Анри (1875-1941), французский математик 34, 37, 43, 44, 59, 78,99, 122, 123, 138

Леви (Levy) Поль (1886-1971), французский математик 52, 59, 107. 118

Лейбниц (Leibniz) Готфрид (1646-1716), немецкий философ, математик, физик, изобретатель, юрист, историк 99, 122

Леонов Виктор Павлович (1934-1960), математик, ученик Колмогорова 68, 87, 90, 131, 136, 142

Леонтович Михаил Александрович (1903-1981), физик-теоретик, академик 103, 105

Лере (Leray) Жан (1906-1998), французский математик 140

Лефшец Соломон (1884-1972), американский математик 69

Линник Юрий Владимирович (1914-1972), математик, академик 67

Литтлвуд Джон (1885-1977), английский математик 117, 138

Лузин Николай Николаевич (1883-1950), математик, академик, создатель Московской математической школы 27, 31, 32, 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 45, 55, 79, 82, 83, 84, 99, 116, 134, 138

Лысенко Трофим Денисович (1898-1976), агроном, академик, создатель псевдонаучной концепции наследственности 74

Люстерник Лазарь Аронович (1899-1981), математик, чл.-корр. АН СССР, ученик Н.Н. Лузина 32, 35, 40,61,62, 146

Ляпунов Александр Михайлович (1857-1918), математик и механик, академик Петербургской АН 106

Ляпунов Алексей Андреевич (1911-1973), математик, чл.-корр. АН СССР, ученик Н.Н. Лузина 73, 125

Малиновский А.А., биолог 73

Мальцев Анатолий Иванович (1909-1967), математик, академик, ученик А.Н. Колмогорова 35, 53, 64, 65, 67

Марков Андрей Андреевич (мл.) (1903-1979), математик, чл.-корр. АН СССР 69

Марков Андрей Андреевич (ст.) (1856-1922), математик, академик Петербургской АН 106, 117, 138

Марутян Александр Николаевич (р. 1946), кинорежиссер, автор фильма “Рассказы о Колмогорове” (1984) 49

Марцинкевич Юзеф (1910-1940), польский математик 117

Матвеев Ростислав Федорович (р. 1934), математик, ученик А.Н. Колмогорова 87, 131

Медведев Юрий Тихонович (р. 1929), математик, ученик А.Н. Колмогорова 88, 90, 132, 136

Менгер Карл (1902-1985), австрийский математик 97

Мендель (Mendel) Грегор (1822-1884), австрийский естествоиспытатель, основоположник учения о наследственности 74

Меньшов Дмитрий Евгеньевич (1892-1988), математик, чл.-корр. АН СССР 35, 37, 38, 40, 46, 60, 61, 116, 132, 146

Мешалкин Лев Дмитриевич (1934-2000), математик, ученик А.Н. Колмогорова 68, 90, 91, 120

Мизес Рихард (1883-1953), австрийский математик и механик 99, 119

Микельанджело Буонаротти (1475— 1564) 65

Миллионщиков Михаил Дмитриевич (1913-1973), математик, академик, ученик А.Н. Колмогорова 104, 130, 132

Миндинг Фердинанд Готлибович (1806-1885), математик, чл.-кор. Петербургской АН 34

Митягин Борис Самуилович (р. 1938), математик 88, 130

Михалевич Владимир Сергеевич (1930-1994), математик, академик 130

Мищенко Евгений Фролович (р. 1922), математик, академик 133

Млодзеевский Болеслав Корнелиевич (1858-1923), математик, профессор Московского университета 32

Мозер Юрген (1928-1999), немецкий и американский математик 86, 102

Монин Андрей Сергеевич (р. 1921), метеоролог и океонолог, чл.-корр. АН СССР 104, 130

Мур Элиаким Гастингс (1862-1932), американский математик 123

Мусатов Сергей Николаевич (Михайлович), художник, школьный друг А.Н. Колмогорова 76

Наймарк Марк Аронович (1909-1978), математик 78

Нейман (Neuman) Джон фон (1903— 1957), американский математик 58, 69, 87, 89, 112, 115, 121, 138

Немыцкий Виктор Владимирович (1900-1967), математик, профессор МГУ 141

Несмеянов Александр Николаевич (1899-1980), химик, академик, президент АН СССР 158

Нетер (Noether) Эмми (1882-1935), немецкий математик 58, 59

Никольский Сергей Михайлович (р. 1905), математик, академик, ученик А.Н. Колмогорова 35, 60, 62, 64, 130, 132

Новиков Петр Сергеевич (1901-1975), математик, академик, ученик Н.Н. Лузина 35, 40, 134

Ньютон Исаак (1643-1727) 87, 101, 122, 132, 138

Нюберг Н.Д., биолог, школьный друг А.Н. Колмогорова 24, 27, 56

Нюберг Софья Николаевна, преподавательница латыни в гимназии Репман 24

Обухов Александр Михайлович (1918-1989), геофизик, академик, ученик А.Н. Колмогорова 73, 104, 130, 132

Ортега-и-Гассет X., писатель 9, 162

Офман Юрий Петрович, математик, ученик А.Н. Колмогорова 136

Павлов Иван Петрович (1849-1936), физиолог, академик 6, 107, 145

Паскаль Блез (1623-1662), французский математик, физик и философ 105

Пастернак Борис Леонидович (1890-1960), поэт, лауреат Нобелевской премии 94, 96, 156

Паустовский Константин Георгиевич (1892-1968), писатель

Пельчинский Александр (р. 1932), польский математик 88, 112, 131

Петерсон Карл Михайлович (1828-1881), русский математик 34

Петровский Иван Георгиевич (1901-1973), математик, академик, ученик Д.Ф. Егорова 67, 73, 104

Пикар (Picard) Эмиль (1850-1941), французский математик 37

Пинскер Марк Семенович, математик, ученик А.Н. Колмогорова 88, 90, 111, 132

Пискунов Николай Семенович (1908-1977), математик 73, 104

Планк (Planck) Макс (1858-1947) 46, 103, 138

Плеснер Абрам Иезекилович (1900-1961), математик 62, 158

Понтрягин Лев Семенович (1908-1988), математик, академик 35, 53, 69, 83, 110, 115, 126, 127, 133

Прандтль Людвиг (1875-1953), немецкий механик и математик 6

Привалов Иван Иванович (1891— 1941), математик, чл.-корр. АН СССР 35,41,61

Пригожин Илья Романович (1917— 2003), физик и физико-химик, лауреат Нобелевской премии 7

Прохоров Юрий Васильевич (р. 1929), математик, академик, ученик А.Н. Колмогорова 68, 88, 90, 120, 131, 132, 141

Пуанкаре (Poincare) Анри (1854-1912), французский математик 33, 37, 87, 95, 97, 101, 102, 138

Пушкин Александр Сергеевич (1799-1837) 36

Пятецкий-Шапиро Илья Иосифович (р. 1929), математик 155

Рам де Жорж (1903-1969), бельгийский математик 69

Рашевский Петр Константинович (1907-1985), математик, профессор МГУ 141

Реллих Франц (1906 -1955), немецкий математик 58

Репман Евгения Арнольдовна, директор гимназии, в которой учился А.Н. Колмогоров 23, 24, 26

Рид Джон (1887-1920), американский писатель 159

Риман (Riemann) Георг (1826-1866), немецкий математик 95, 122, 123

Рисс Марсель (1886-1969), венгерский математик 117, 127

Рогозин Борис Алексеевич, математик 88

Розанов Юрий Анатольевич (р. 1934), математик, ученик А.Н. Колмогорова 68, 87, 90, 131, 142

Романовский Всеволод Иванович (1879-1954), математик 67

Ромашов Д.Д., биолог, школьный друг А.Н. Колмогорова 24, 27, 73, 104

Рохлин Владимир Абрамович (1919-1984), математик 88, 130

Сапогов Николай Александрович (1915), математик 68

Сапожникова Т.В., учительница литературы и русского языка в гимназии Репман 23

Сапожникова Н.В., учительница химии и географии в гимназии Репман 23

Сарманов О.В., математик 68

Сарымсаков Ташмухамед Алиевич (1915-1995), математик, академик Узбекской ССР 68

Севастьянов Борис Александрович (р. 1923), математик, чл.-корр. РАН, ученик Колмогорова 67, 85, 90

Селиверстов Александр Николаевич, отец братьев Г. и Н. Селиверстовых 25, 26

Селиверстов Глеб Александрович (1905-1944) 25, 26, 27, 39, 56, 146

Селиверстов Николай Александрович (1902-1943) 25, 28, 156

Серебровский Александр Сергеевич (1892-1948), биолог чл.-корр. АН СССР 73

Синай Яков Григорьевич (р. 1935), математик, академик 68, 87, 88, 90,91, 111, 128, 131, 133, 142

Сираждинов Сады Хасанович (р. 1921), математик, академик АН Узбекской ССР, ученик А.Н. Колмогорова 88, 90, 131

Ситников Кирилл Александрович (р. 1925), математик 88, 103, 130

Скороход Анатолий Васильевич (р. 1930), математик, академик АН Украины 88, 130, 131

Слуцкий Евгений Евгеньевич (1880 -1948), математик 67

Смирнов Николай Васильевич (1900-1966), математик, чл.-корр. АН СССР 68, 73

Смит Генри (1826-1883), английский математик 123

Смолуховский Мариам (1872-1917), польский физик и математик 103, 138

Солженицын Александр Исаевич (р. 1918), писатель, академик, лауреат Нобелевской премии 76

Соловьев Владимир Сергеевич (1843-1900), религиозный философ и поэт 28

Соловьев Александр Дмитриевич (1927-2001), математик 68

Соломяк Михаил Захарович (р. 1931), математик 136

Сталин Иосиф Виссарионович (1879-1953) 72, 84, 85, 92, 115, 159

Станиславский Константин Сергеевич (1863-1938) 68

Статулявичус Витаутас (р. 1929), математик, акад. АН Литвы 130

Степанов Вячеслав Васильевич (1889-1950), математик, чл.-корр. АН СССР 27, 31, 35, 39, 40, 41, 61

Стоун (Stone) Маршалл (1903-1989), американский математик 69

Суслин Михаил Яковлевич (1894— 1919), математик, ученик Н.Н. Лузина 35, 39, 40, 43, 44, 124

Тейлор (Taylor) Джефри Ингам (1886-1975), английский механик 6, 62, 70, 99, 138

Тимирязев Климентий Аркадьевич (1843-1920), ботаник, естествоиспытатель 28

Тихонов Андрей Николаевич (1906-1993), математик и геофизик, академик 35, 67, 69, 136, 145, 146

Том (Thorn) Рене (1923-2002), французский математик 140

Трапезников Вадим Александрович (1905-1994), ученый в области электротехники и автоматики, академик 24, 32, 146

Тулайков А.Н., аспирант А.Н. Колмогорова 60

Тумаркин Лев Абрамович (1904-1974), математик, профессор МГУ 141

Тутубалин (р. 1934), математик 68

Тютчев Федор Иванович (1803— 1873), русский поэт 42

Тюрин Юрий Николаевич (р. 1935), математик, ученик Колмогорова 68

Уитни (Whitney) Хаслер (1907- 1989), американский математик 69

Уиттекер (Wittaker) Эдмунд (1873— 1956), английский математик 191

Ульянов Петр Лаврентьевич (р. 1928), математик, академик 130, 132

Урысон Павел Самуилович (1898-1924), математик, ученик Н.Н. Лузина 31, 33, 35, 39, 40, 146

Урысон Лина Самойловна, детская писательница, сестра П.С. Урысона 33

Успенский Владимир Андреевич (р. 1930), математик, ученик А.Н. Колмогорова 66, 88, 90, 128, 132, 133, 134, 136, 141

Фавар Жан (1902-1965), французский математик 140

Федорова Вера Федоровна, организатор вместе с Е. А. Репман гимназии, в которой учился А.Н. Колмогоров 23

Ферма Пьер (1601-1665), французский математик 105

Финетти де Бруно (1906-1985), итальянский математик 118

Фишер Рональд (1890-1962), английский биолог, математик и статистик 99, 138

Фламмарион (Flammarion) Камиль (1842-1925), французский астроном 101

Фомин Сергей Васильевич (1917— 1975), математик, ученик А.Н. Колмогорова 91, 130, 131

Франс (France) Анатоль (1844-1924), французский писатель 36

Фреге (Frege) Готлоб (1848-1925), немецкий математик и логик 52

Фреше (Frechet) Морис (1878-1973), французский математик 59, 122

Фридрихе Курт (1901-1982), немецкий математик 58

Фриш Уриел, математик, автор книги “Турбулентность. Наследие Колмогорова” 7

Фурье (Fourier) Жан Батист (1768-1830), французский математик 138

Фурцева Екатерина Алексеевна (1910-1974), советский партийный и государственный деятель, 1954-1957 гг. - секретарь МК партии 159

Харди (Hardy) Готфри (1877-1947), английский математик 99, 117, 138

Хаусдорф (Hausdorff) Феликс (1868— 1942), немецкий математик 38, 39, 99, 124, 125

Хинчин Александр Яковлевич (1894—1959), математик, чл.-корр. АН СССР 35, 39, 40, 51, 60, 63, 67,103, 106, 107, 118, 138

Хлодовский Игорь Николаевич (1903-1951), математик, ученик Н.Н. Лузина 40

Хопф (Hopf) Хейнц (1894-1971), швейцарский математик 57, 69

Хрущев Никита Сергеевич ( 1894—1971) 158

Цветкова А. Н., учительница математики в гимназии Репман 23

Чебышев Пафнутий Львович (1821— 1894), математик и механик, академик Петербургской АН 99, 106, 117,138

Ченцов Николай Николаевич (1930-1992), математик 68, 130, 135, 149

Чех Эдуард (1893-1960), чехословацкий математик 69

Черепнин Лев Владимирович (1905-1977), историк, академик 24

Шази Жак (1882-1955), французский математик и астроном 101, 103

Шарлье Карл (1862-1934), французский астроном 101

Шатуновский Самуил Иосифович (1859-1929), математик 123

Шварц (Schwartz) Лоран (1915-2002), французский математик 140

Шеннон (Shannon) Клод (1916-2001), американский инженер-электрик и математик 97, 110, 111, 113, 114, 115

Шилов Георгий Евгеньевич (1917— 1975), математик, профессор МГУ

Ширяев Альберт Николаевич (р. 1934), математик, чл.-корр. АН СССР, ученик А.Н. Колмогорова 68, 87, 90, 131, 133, 142, 146

Шмидт Отто Юльевич (1891-1956), ученый, государственный деятель, академик 61, 71, 73, 102, 103, 132

Шнирельман Лев Генрихович (1905-1938), математик чл.-корр. АН СССР 35, 40, 67, 72, 110, 115, 146

Шредингер Эрвин (1887-1961), австрийский физик-теоретик 107

Эйлер (Euler) Леонард (1707-1783) 77, 101

Эйнштейн (Einstein) Альберт ( 1879— 1955) 46, 96, 103, 138

Юнг (Young) Уильям (1863-1942), английский математик 38

Юнович Б.М., аспирант А.Н. Колмогорова (погибший на войне) 60

Юшкевич Адольф Павлович (1906— 1993), историк математики 130

Юшкевич Александр Адольфович, математик 158

Яглом Акива Моисеевич (р. 1921), математик, ученик А.Н. Колмогорова 7, 85, 88, 110, 114, 130, 132

Янин Валентин Лаврентьевич (р. 1929), археолог и историк, академик 30

Оглавление

Предисловие........................................................................................................... 5

Глава I. ЖИЗНЬ............................................................................................ 9

Детство и юность................................................................................................... 9

Туношна.................................................................................................................. 14

Гимназия................................................................................................................. 23

Поступление в МГУ.............................................................................................. 29

Студенческая пора................................................................................................ 31

Егоров и Лузин...................................................................................................... 34

Начальный этап творчества................................................................................ 39

Потылиха (1922-1925).......................................................................................... 47

Глава II. ВЕХИ ЖИЗНЕННОГО ПУТИ............................................... 51

Десятилетие с 1923 по 1932................................................................................. 51

Начало дружбы с П.С. Александровым................................................. 54

Заграничная командировка....................................................................... 57

Десятилетие 1933-1942......................................................................................... 62

Десятилетие 1943-1952......................................................................................... 77

Десятилетие 1953-1962......................................................................................... 86

Основные достижения в науке ................................................................ 86

Совместная научная деятельность с учениками и последователями 87

Выступления на конгрессах и съездах ................................................... 89

Заграничные поездки, всесоюзные конференции и публичные лекции 89

Общественная деятельность.................................................................... 89

Педагогическая деятельность ................................................................. 90

Издательская и просвещенческая деятельность .................................. 91

Глава III. ТВОРЧЕСТВО.............................................................................. 94

Естествознание в творчестве А.Н. Колмогорова............................................ 100

А.Н. Колмогоров и теория вероятностей......................................................... 105

А.Н. Колмогоров и кибернетика........................................................................ 107

А.Н. Колмогоров и теория информации........................................................... 110

Математика............................................................................................................ 115

Идеи и новые понятия.......................................................................................... 122

Глава IV. ЛИЧНОСТЬ.................................................................................. 139

Основные даты жизни и деятельности А.Н. Колмогорова........................... 163

Основные математические работы А.Н. Колмогорова................................. 165

Литература об А.Н. Колмогорове...................................................................... 184

Именной указатель............................................................................................... 190

Научное издание

Тихомиров Владимир Михайлович

Андрей Николаевич Колмогоров 1903-1987

Жизнь, преисполненная счастья

Утверждено к печати Редколлегией серии “Научно-биографическая литература” Российской академии наук

Зав. редакцией НА. Степанова Редактор Р.С. Головина Художник Ю.И. Духовская Художественный редактор В.Ю. Яковлев Технический редактор М.К. Зарайская Корректор А.Б. Васильев

Подписано к печати 20.09.2006 Формат 60 X 90Vi6- Гарнитура Тайме Печать офсетная Усл.печ.л. 12,5 +1,0 вкл. Усл.кр.-отт. 13,8. Уч.-изд.л. 13,9 Тираж 310 экз. Тип. зак. 3639 Издательство “Наука” 117997, Москва, Профсоюзная ул., 90 E-mail: secret@naukaran.ru www.naukaran.ru Отпечатано с готовых диапозитивов

в ГУП “Типография ”Наука" 199034, Санкт-Петербург, 9 линия, 12

Мария Яковлевна Колмогорова

Родители А.Н. Колмогорова -Николай Матвеевич и Мария Яковлевна

Вера Яковлевна и Андрей Колмогоровы

Андрей Колмогоров

Участники первой международной топологической конференции. Москва, 1935 г.

А.Н. Колмогоров. 1930-е годы

П.С. Александров. 1930-е годы

Рисунок Андрея Николаевича к одному из законов в теории турбулентности

В Крыму. 1959

В Закарпатье. 1952 г.

В Бакуриани

В. Тихомиров, А.Н. Колмогоров, С. Садикова. Курский вокзал в Москве, 1959 г.

(фото Ю.В. Прохорова)

В.И. Тихомиров, П.Е. Соболевский, Г.А. Безсмертных, М.А. Красносельский и А.Н. Колмогоров. Под Воронежем. 1950-е годы

Андрей Николаевич с учащимися школы-интерната № 18, Москва

На уроке геометрии

В симферопольской школе, 1960-е годы

А.Н. Колмогоров, 1963 г.

Г. Крамер (Швеция) и А.Н. Колмогоров. Сухуми, 1963 г.

За работой в Комаровке

А.Н. Колмогоров. 1972 г.

Маршрут первого рейса научно-исследовательского судна «Дмитрий Менделеев». 1969 г.

На «Празднике Нептуна»

Фрагмент письма А.Н. Колмогорова П.С. Александрову

Вице-президент Академии Наук СССР В.А. Котельников вручает А.Н. Колмогорову приветственный адрес

На заседании Ученого Совета механико-математического факультета МГУ

Семидесятые годы

НАУЧНО-БИОГРАФИЧЕСКАЯ ЛИТЕРАТУРА

Андрей Николаевич КОЛМОГОРОВ - великий русский ученый, один из крупнейших математиков XX столетия - действительный член Академии наук СССР, Национальной Академии Наук США и американской Академии искусств и наук, Академии наук Франции, почетный член Королевского статистического общества Великобритании и Лондонского математического общества, лауреат премий П.Л. Чебышева и Н.И. Лобачевского Академии наук СССР, международных премий Фонда Бальцана и Фонда Вольфа, а также Государственной и Ленинской премий, награжденный семью орденами Ленина и Золотой медалью Героя Социалистического Труда и называвший всегда себя просто «профессором Московского университета».

А.Н. Колмогоров был одним из тех великих людей, чье прикосновение меняет направление и в науке и в жизни. Он был гениальным математиком и одним из величайших русских ученых за всю историю отечественной науки, достигший блистательных результатов не только во многих областях математики, но и в других, близких и далеких от нее, областях знания.