МАТЕМАТИКИ-ПЕДАГОГИ РОССИИ.

ЗАБЫТЫЕ ИМЕНА

Орёл - 2009

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРЛОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЕЛЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. И. А. БУНИНА»

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «КАЛУЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. К. Э. ЦИОЛКОВСКОГО»

О.В. ТАРАСОВА

МАТЕМАТИКИ-ПЕДАГОГИ РОССИИ. ЗАБЫТЫЕ ИМЕНА

КНИГА 5

Орёл - 2009

УДК 372. 8:51 ББК 74.262.21 Т 19

Печатается по решению редакционно-издательского совета Орловского государственного университета от 23. 04. 2009 г., протокол № 7.

Т 19 Тарасова О.В.

Математики-педагоги России. Забытые имена. Книга 5. Александр Матвеевич Астряб. - Орел: ОГУ ВПО «ОГУ», ООО «Картуш-ПФ», 2009. - 152 с. ISBN 978-5-9708-0172-7

В настоящем издании предлагается исследование научно-педагогического наследия талантливого педагога-математика, автора более 100 научно-методических работ, связанных в основном с пропедевтикой геометрии в начальной школе Александра Матвеевича Астряба.

В приложении приводится ряд статей, выступлений, фрагментов из учебников по начальному курсу геометрии. А. М. Астряба.

Книга адресована преподавателям вузов, учителям математики, аспирантам и студентам педагогических вузов, а также для всех тех, кто интересуется историей математического образования.

УДК 372. 8:51 ББК 74.262.21

ISBN 978-5-9708-0172-7

© Орловский государственный университет, 2009 © О.В. Тарасова, 2009

АЛЕКСАНДР МАТВЕЕВИЧ АСТРЯБ

КНИГА 5

Под редакцией доктора педагогических наук, профессора Ф. С. Авдеева (Орёл. ОГУ); доктора педагогических наук, профессора, заслуженного работника высшей школы РФ В. П. Кузовлева (Елец, ЕГУ им. И. А. Бунина); кандидата педагогических наук, профессора Ю. А. Дробышева (Калуга, КПГУ им. К.Э. Циолковского)

к 130-летию со дня рождения и к 100-летию первой работы «Наглядная геометрия»

... особенность моего характера - я очень люблю детей.

А. М. Астряб

Введение

Развитие образования вообще, и развитие математического образования в частности, определяют конкретные люди - учёные-математики и педагоги-математики. Их мысли, работы, дела способствуют становлению системы математического образования, которой славилась и пока ещё славится Россия. Александр Сергеевич Пушкин говорил, что «следовать за мыслями великого человека есть наука самая занимательная». Деятельность ученого, о котором мы поведём повествование, его вклад в теорию и практику обучения геометрии в средних учебных заведениях России значителен.

Он родился в Украине в 1879 году. В 28 лет уехал в научную командировку во Францию. В дни войны его библиотека сгорела. На склоне лет нуждался в деньгах. Из-за проблем со здоровьем его приносили на лекции сидящим на стуле. Его музой была наука, сокровищем - ученики. Его перу принадлежит более ста научно-методических работ, посвященных изучению различных разделов математики. Его имя Александр Матвеевич Астряб. Талантливый педагог-математик, автор более 100 научно-методических работ, связанных в основном с пропедевтикой геометрии в начальной школе - вопросом, актуальным и для нашего времени. Сыграл особую значимость в становлении и развитии начального курса геометрии, создав курсы наглядной геометрии с широким диапазоном применения: от кадетских корпусов до народных школ.

Его мысли и взгляды на преподавание геометрии актуальны и сегодня, потому заслуживают внимания и детального изучения.

В 2009 году исполняется 130 лет со дня рождения А. М. Астряба и 100 лет со дня появления первой работы «Наглядная геометрия». Памятным датам посвящается данное исследование.

У автора данной работы первое знакомство с А. М. Астрябом началось в 1995 году именно с этого учебника «Наглядная геометрия» в библиотеке им. К. Д. Ушинского при работе над кандидатской диссертацией. Собственно для меня это был первый учебник по подготовительному курсу геометрии. С того времени начальный курс геометрии стал основой моих научных интересов. За это я благодарю Александра Матвеевича Астряба. Будучи доктором наук, считаю необходимым отдать должное талантливому педагогу-математику. С этой целью в мае 2008 года была органи-

зована поездка в Киев, где удалось побывать на кафедре методики математики Киевского Национального педагогического университета имени М. П. Драгоманова, в библиотеках учебных заведений Киева, встретиться с людьми, знавшими его, но главное, - найти могилу учёного и поклониться ему.

К сожалению, осталось не так много сведений об учёном, его фотографий. Большое количество работ А. М. Астряба утеряно в библиотеках.

В научном архиве Российской Академии Образования, в личном фонде Андронова Ивана Козьмича среди различных документов были обнаружены письма А. М. Астряба.

Слова искренней благодарности Юрию Михайловичу Колягину, Татьяне Константиновне Авдеевой, Валентине Григорьевне Бевз, Григорию Петровичу Бевз, Наталье Петровне Дичек, Марии Васильевне Паюл, Василию Александровичу Швец, Николаю Ивановичу Шкиль за предоставленные сведения, воспоминания, за доброе и внимательное отношение.

Отечественная история методики математики накопила огромные богатства, которые, к сожалению, остаются недостаточно востребованными. Имена многих авторов учебников, пособий, задачников забываются. Результаты их деятельности «открываются» вновь. Данный путь развития методики математики нельзя назвать прогрессивным. Выдающийся историк математики XX века Константин Алексеевич Рыбников справедливо отмечал: «Обучение математике не может быть успешным, если преподаватель сам не знает, когда, как, в силу каких причин и воздействий сформировался и как развился до современного состояния преподаваемый математический материал».

Славные традиции в истории отечественной методики преподавания математики и люди, сделавшие эту историю, не должны быть забыты.

1. Отец ученого - Матвей Григорьевич Астряб

Жизненный путь Матвея Григорьевича Астряба интересен и поучителен. Уже тот факт, что он самостоятельно научился читать и, получив начальное образование, сам пошёл пешком в Киев, поступил в 5 класс 1-ой Киевской гимназии. С юношеских лет зарабатывал на хлеб сам. Окончив гимназию, репетировал сына М. А. Максимовича - первого ректора Киевского университета. Именно М. А. Максимович рекомендовал Матвею поступить в университет. После окончания славяно-российского отделения филологического факультета Киевского университета М. Г. Астряб вернулся в 1-ю Киевскую гимназию, но уже в должности преподавателя. Однако всё по порядку.

Астряб Матвей Григорьевич - (01.08.1843 - 18.01.1925) - педагог, историк, краевед. Действительный член Полтавской архивной комиссии. Родом из Лемковщины. Родился в с. Висова Горлицкого повета.

В 1862 году закончил училище в Горлицах, затем 1-ю Киевскую гимназию. Среди учеников выделялся знанием греческого и латинского языков, много занимался репетиторством. После окончания философского факультета Киевского университета (1873 г.) преподавал в Киевской гимназии, потом в Глухове, Кутаиси, а с 1880 г. - в Екатеринограде (Краснодар). В 1893 г. переехал на родину жены в местечко Лубни Полтавской области, где прожил до конца своих дней.

Был высокообразованным человеком, большим энтузиастом в исследовании истории родного края. В 1905-1917 гг. опубликовал в «Трудах Полтавской ученой архивной комиссии» 10 трудов об истории Полтавщины XVIII-XIX вв. Среди них: «Земли церквей Лубенского Духовного правления»; «Население Малороссии по ревизии 1729-1764 гг.»; «Старая Полтавщина и столетняя тяжба Марковичей со Свечками и Пасютами (1720-1827 гг.)»; «Столетие Лубенского высшего начального училища (1814-1914 гг.)»; «Процессы Андрея Марковича». Его работы печатали в «Киевской старине», «Матеріалах до української етнології», «Экономической жизни Подолии», львівській «Галичині».

Всю свою жизнь горячо любил свои родные Карпаты. Будучи студентом читал для своих товарищей лекции про обычаи, историю, язык лемков1.

С 1920 года стал заведующим Лубенским архивом. Один из организаторов съезда краеведов Лубенщины (1923 г.)2.

Умер в м. Лубны.

1 http://wwwlemko.org/history/krasovskiy/diyache/1.html

2 Ванцак Б. Сторінки життя та діяльності М.Г.Астряба. В кн.: Архівний збірник на посвяту 90-річчю Полтавської вченої архівної комісії. Полтава, 1993.

Автобиография3

Астряб Матвей родился 1.8.1843 в Галицкой Лемковщине, в с. Высокое Горлицкого повета на границе Галиции и Венгрии. Фамилия моя представляет славянский архаизм «Астряб» вместо современного «ястреб». Самоучкой одолел склады своего букваря в начале 1857 г. Букварь помог мне добраться до Часословца. Эта духовная книжица стала моей учительницей при пастьбе отцовской коровы и волов. Стал я в лесу собирать землянику и продавать посетителям Высовских курортов. На вырученные деньги купил себе Псалтырь, приблизивший меня к дьячкам и батюшкам. Сельчане побудили отца отвести меня в Горлицкое городское училище. Туда я попал в начале 1859 года. Летом того же года меня перевели во 2-й класс, и я начал уже свою школьную страду без отцовской поддержки, поступив репетитором к мальчику резника. По переходе в 3-й класс в наставники своего сына и дочки взял меня состоятельный мещанин, поместивший меня со своим отцом в подвальной неотапливаемой зимою комнате загородного дома. На следующую зиму мещанин перебрался в городской дом, где я уже получил ночной покой в конюшне вместе с кучером. Такая обстановка окрыляла мой начальный школьный труд. Результаты получились такие: в 1862 г. приехал из Тарнова окружной инспектор ревизовать наше училище. Он записал мою фамилию и обещал отыскать средства для определения меня в гимназию.

Окончил я училище в 1862 году и тотчас написал письмо своему дяде, брату матери, священнику в Восточной Галиции. Дядя тотчас ответил и пригласил к себе на каникулы. У дяди я продолжал репетировать его дочек и пасти скот. Ревизор, ободривший меня, оказался его школьным товарищем, дядя написал ему обо мне и получил ответ, чтобы 1-й год дядей оказана была мне помощь. Дядя отвез меня в город Перемышль и поместил репетитором к сыну его арендатора. По окончании 2-го класса в 1866 году я на собранную маленькую толику деньжат отправился на каникулы из Перемышля не к дяде, а г. Горлицы, взял себе здесь заграничный паспорт и пешком побрел в Киев, куда добрался с иссякшим кошельком. Здесь три дня я питался только квасом и куском чёрного хлеба, посещая киевские святыни. За спасением от голодной смерти я обратился к директору 1-й Киевской гимназии. Тогдашний директор А. Ф. Андреяшев принял меня очень тепло, поместил в отдельной комнате с молодыми людьми, чтобы я тоже готовился к экзамену на право поступления в 5-й класс гимназии. Экзамен я выдержал и был помещён в ученический пансион на так называемый экономический счёт.

Три года проведены мною в гимназическом пансионе.

(Затем произошла встреча с М. А. Максимовичем - О. Т.)

3 Дзурий Ю. А что это собственно, за лемки? //Газ. Киевлянин. 2002. - №29(73).

Этот учёный украинец так меня наэлектризовал, что я переменил своё намерение искать убежище в Петроградском филологическом институте, а поступил в Киевский университет на филологический факультет по славяно-русскому отделению. Пребывал я в разных семейных домах репетитором, и последние полтора года провел в этой должности у профессора Караваева, где ко мне относились замечательно и тепло. По протекции своего декана Селина я провёл одни каникулы у местного филантропа Г. П. Галагана в его селе Сокиринцах, и с этим человеком меня связывают очень трогательные воспоминания. По окончании Университета со степенью кандидата я поступил преподавателем в 1-ю Киевскую гимназию, где подвергся двоекратной ревизии грозного министра Д. Толстого, который не только не сбраковал новичка, а записал в свою книжку как очень понравившегося преподавателя, что, конечно, не могло не порадовать моих бывших наставников. Познакомился я здесь с девицею, деревенскою труженицею. При первом же взаимном объяснении я откровенно поведал ей о всем своем прошлом и об учительской материальной скудости, а также о моем стремлении попасть на службу на Кавказ. Это вызвало у нас обоих только ещё больше сердечности, которая не разлучала нас во всю жизнь этой женщины-страдалицы (умерла в 1913 году 16 мая с.с).

Я попал на службу в Закавказье в г. Кутаис в 1874 году. Здесь я пользовался полным расположением учащихся, учащих, учебного начальства и местных жителей. Турецкая война лишила меня возможности материально сводить концы с концами и полтора года я хлопотал о своём переводе на Северный Кавказ. Наконец в 1880 г. моя просьба была уважена и начальство переместило меня в Екатеринодарскую гимназию преподавателем греческого и латинского языков до выслуги полной учительской пенсии (в 1893 г.).

В последние годы службы я был подбодрен неожиданным благосостоянием моей жены, получившей в дар от двоюродной бабушки небольшой кусок земли. Земля находилась в Лубенском уезде. Я вспомнил своё детство и начал хозяйничать. Пришлось в землю вкладывать заемный да оплачивать расходы по обучению шестерых детей. Стал я опять искать своей учительской службы и поступил на службу в Полтавский пансион-приют воспитателем. У меня было немного свободного времени, и я его употреблял на любимую науку, записался в число членов Полтавской Учёной архивной комиссии. Здесь я встретил своего университетского товарища И. Ф. Павловского, секретаря Учёной комиссии и полного осветителя полтавского прошлого. Ученые исследователи Полтавщины меня тепло приняли в свои соратники, постоянно отводили место для моих писаний в своих «Трудах» и подбодряли к работе. Но война и материальное оскудение вышибли перья из рук этих тружеников. А я все строчу, хотя без надежды отдать свои строки на типографский станок. Меня радует мысль, что я ещё думаю, хлопочу, не плесневею...

2. Основные этапы жизненного пути

Александр Матвеевич Астряб родился 4 сентября 1879 года в тихом провинциальном городке Лубны4 Полтавской губернии в семье Матвея Григоровича Астряба - педагога, учителя гимназии, будущего историка и краеведа широко известного в научных кругах Полтавщины.

У будущего учёного было счастливое детство. Вместе с ватагой ребятишек он бегал купаться на речку Суллы, славящейся до сих пор своей чистой водой. Отец с детства привил сыну любовь к книгам, через которые и сам познавал историю своих предков. Матвей Григорьевич рассказывал сыну: «Мы родом из лемков.5 Это этническая общность. Часть проживает на территории матушки России. Нашими предками являются хорваты. Се-

4 Лубны - районный центр Полтавской области. Место было основано в 988 году. Основатель - киевский князь Владимир Святославич. В течение XIII-XV столетий город входил в состав Переяславської епархии. С 70-х годов XVI столетия принадлежит князьям Вишневецким. К 1917 году население было около 13000 жителей. Провинция Лубни была центром просвещения и духовной культуры. Так, 1911 году открылась учительская семинария (позднее - учительский институт); были также мужская (1872) и женская гимназии (1878), женское епархиальное училище, городское училище (1879) и др. При мужской гимназии действовала единственная в Российской империи гимназическая метеорологическая станция с 44 приборами, данными в пользовании Главной физической обсерваторией, Киевским и Новороссийским университетами.// Пресс-служба Полтавской епархии.

5 Лемки - этническая общность украинцев, проживающая в западной Украине, в Польше и Словакии. Часть проживающих в Польше лемков определяет себя как отдельный народ - «лемки». Согласно одной из версий, лемки являются потомками белых хорватов, которые уже в VI-VII веках проживали по обоим склонам Карпат. В конце X века западные Карпаты соединились с Киевской Русью, потом принадлежали к Галицкому и Галицко-Волынскому княжествам. В XIX веке на Лемковщине, наряду с историческим названием «русины», начали употреблять этноним «лемки». В середине второй половине XIX века в среде лемков развернулось национальное движение. Лемковская интеллигенция (в основном - священники) осознали себя частью единого русского народа, простирающегося от реки Попрад (западная граница Лемковщины) до Камчатки. Первая мировая война принесла много страданий лемкам. Были полностью разорены отдельные села, много крестьян погибло на войне. За симпатии лемков к великорусскому народу австрийские власти в самом начале войны вывезли из Лемковщины свыше трех тысяч интеллигентов и крестьян в Талергофский концентрационный лагерь, где несколько сотен лемков погибло. Эту кровавую расправу на время прекратила Русская армия, захватившая в конце 1914 года почти всю Лемковщину. Однако в мае 1915 г., после Горлицкого прорыва австро-германских войск, Русская армия была вынуждена отступить. С ней отступило в глубь России несколько десятков тысяч лемков, а многих оставшихся настигла по возвращении австрийской армии та же страшная участь. Всё это привело к тому, что к концу Первой Мировой войны Лемковщина заметно обезлюделась. На Украине часть лемков стала обычными украинцами, а часть - сохранила свою лемковскую идентификацию, но вместе с тем считает себя частью украинского народа. Преимущественно эти лемки проживают в Галичине (куда они и были переселены в 1940-х гг.). // http://ru.wikipedia.org/wiki

бя они называли «белыми». Их основным занятием было скотоводство». Малолетний Саша, опершись на ладони, слушал с интересом. Любовь к отцу Александр Матвеевич пронес через всю жизнь. Позже в одном из своих выступлений он сказал: «Я с детства настойчиво-трудолюбив, упрямо-терпелив. Но ведь этой чертой наградил меня с детства мой отец из Западного Высокогорья, сначала - пастух, а потом сделавшийся при содействии русско-украинских прогрессивных деятелей скромным учителем».

В 1899 г., окончив местную гимназию, 19-летний юноша Александр Астряб поступил на физико-математическое отделение естественно-исторического факультета Киевского университета имени Святого Владимира. Пять студенческих лет пролетели незаметно. В новую жизнь в 1904 году выпускник Астряб шагнул с дипломом I степени. Педагогическую деятельность начал обычным учителем в уездном городке Глухове Черниговской губернии. Несмотря на название, городок динамично развивался: дымились трубы заводов, шла бойкая торговля, открылась мужская и женская гимназии. Принятый на работу в одну из них, Астряб преподавал математику и физику. Но, несмотря на достаток и уважение, его тянуло обратно - в шумный космополитичный Киев. Через год он вернулся и сразу попал в водоворот событий.

Первую должность учителя математики и физики получил в Глуховской гимназии (Черниговская обл.) (1904/05 учебный год).

1905 год. В России революционный подъем. Киев бурлил: демонстрации протеста сменялись шумными студенческими собраниями. Педагог Астряб не остался в стороне. Результатом стал арест. Что испытал выходец из интеллигентной семьи, когда за ним с лязгом захлопнулась дверь камеры, догадаться можно. К счастью, арест был непродолжительным. Попав в список неблагонадежных лиц, он потерял право преподавать в государственных учебных заведениях. Именно тогда судьба ниспослала ему встречу с директором частного Киевского женского коммерческого училища Николаем Николаевичем Володкевичем.6 Будучи либералом, не побоялся

6 Володкевич Н.Н. (1860-1932) - педагог, получил естественно-историческое образование, директор частного Киевского женского коммерческого училища, преподаватель с передовыми социально-педагогическими взглядами, либерал, просветитель, приват-доцент Киевского университета, читал лекции по истории химии, теоретической химии и химическому анализу. Преподаватель цикла природных дисциплин Фундуклёвской женской гимназии. Интересовался проблемами среднего образования, расширением возможностей женского образования. // Дічек Н. Новаторська педагогічна діяльність О.М. Астряба у Київському приватному жіночому комерційному училищі // Рідна школа. - 2004. - №9. - С.64.

Главные его труды: «Опыт исследования высших душевных способностей у детей школьного возраста» (в «Материалах по коммерческому образованию», немецкий перевод в журнале «Zeitschr. f. padagog. Psychologie, Pathologie u. Hygiane»); «Задачи пе-

взять неблагонадежного педагога на работу. Именно Володкевич оказал значительное влияние на формирование личности педагога Астряба. Уже в 1906-1907 учебном году он разработал и начал преподавать начальный курс геометрии. В 1907 г. вместе Володкевичем выступает на заседании Педагогического комитета с предложением расширить курс математики за счет введения новых и значимых знаний в тригонометрии и аналитической геометрии. Изменения были глобальны и продуманы. В первую очередь они были связаны с внесением изменений в учебные планы подготовительного и начальных классов на предмет введения начальных знаний по геометрии. На заседаниях Педагогического комитета Астряб также поднял вопрос о роли практических работ в процессе начального обучения. На основе его предложений комитет принял решение: успеваемость учениц в конце учебного года оценивать отдельной оценкой по выполнению ими практических работ. Неудовлетворительная успеваемость по практическим занятиям может привести к переэкзаменовке по теоретическому курсу. Но главные события были впереди...

В 1907 г. на платформу пограничной станции «Вержболов» с шипением въехал поезд «Санкт-Петербург-Париж». Строгие пограничники с шашками на боку и двухглавым орлом на кокардах неспешно зашагали по вагону. Юные курсистки и притихшая детвора с интересом выглядывали из окон. В вагоне скромно сидел молодой мужчина. Из его саквояжа торчали книги. Усатый пограничник, заглянув в купе, вяло козырнул: «Прошу ваш паспорт». Скромным пассажиром был Александр Матвеевич Астряб. Благодаря инициативе Володкевича его направили в двухмесячную научную командировку во Францию для изучения особенностей преподавания математики и физики в местных школах. Хорошее знание французского языка дало ему возможность основательно ознакомиться с нововведениями.

После возвращения А. М. Астряб был избран действительным членом Киевского физико-математического общества.7 Участие в работе об-

дагогической деятельности» и «О принципах, которые должны быть положены в основу преподавания естествознания в средней школе» («Педагогическая Мысль», 1904 -1905); «К вопросу о реформе преподавания математики» (Киев, 1910); «Курс практических занятий по физике для средне учебных заведений» (Киев, 1910). // http://biogrbook.ru/content17142/

7 Киевское физико-математическое товарищество образовалось в 1889 году и активно работало до начала Октябрьской революции 1917 года. Деятельность товарищества содействовала зарождению и укреплению широко известной Киевской математической школы. По разным причинам и продолжительное время киевское математическое сообщество не имело собственного математического центра. Киевское математическое товарищество было формально организовано лишь в 1987 году. Первым президентом был академик Корнейчук Микола Павлович, ученым секретарем - профессор Кратко Мирослав Львович. В 1993 году президентом был профессор Горбачук Мирослав Львович, вице-президентом - профессор Ядренко Михайло Йосипович, ученым секретарем

щества оказало значительное влияние на формирование А. М. Астряба как учёного. На его заседаниях активно обсуждались вопросы о преподавании математики и физики в высшей и средней школе. Общество уделяло большое внимание преподаванию элементарной математики, благодаря чему возникла Киевская школа. В тот период с обществом сотрудничали выдающиеся математики-педагоги: В. П. Ермаков, П. А. Долгушин, К. Ф. Лебединцев, К. М. Щербина и др.

В 1909 г. А. М. Астряб публикует свой первый учебник - «Наглядная геометрия». Учебник получил широкую популярность и выдержал 13 изданий. Талантливого педагога заметили: с 1910 г. по 1916 г. он работал в комиссии Киевского учебного округа по составлению проекта программ по математике и физике для гимназий. Одновременно преподавал математику и физику в киевских коммерческих училищах, а на высших женских курсах и в Народном университете - математику и методику математики. Читал также лекции на высших педагогических курсах в Киеве и Лубны.

В ряде работ8 указывается, что А. М. Астряб в 1912 году принимал участие в работе I Всероссийского съезда преподавателей математики. Нами не было обнаружено подтверждение этой информации. А. М. Астряб в списках членов и гостей съезда не значился. На I съезде выступал Н. Н. Володкевич с докладом «О реальном направлении преподавания математики в связи с жизненными и научными фактами».9 О факте свидетельствует и сам Александр Матвеевич: в письме от 24 сентября 1945 года, написанном им Ивану Козьмичу Андронову сказано:

«На первом съезде учителей с докладом о форме преподавания математики выступал Николай Николаевич Володкевич старший (отец), руководство по практическим занятиям по физике написано его сыном Николаем Николаевичем младшим».10

Революция 1917 года не остановила его педагогическую деятельность. В обстановке нарастающего хаоса А. М. Астряб продолжал работать в высших и средних учебных заведениях Киева. Из их окон он видел це-

- профессор Турбін Анатолій Федорович (позднее - профессор Левіщенко Сергій Сергійович).

8 Киевские математики-педагоги. Под ред. чл.-корр. АН УСССР А.Н. Боголюбова. -Киев: Издательское объединение «Вища школа», 1979. - 312с; Бевз В.Г., Олійник Г.Ф., Швець В. О. Олександр Матвійович Астряб - засновник школи з методики математики в Україні //Актуальні проблеми теорії і методики навчання математики. Всеукраїнська науково-практична конференція, присвячена 170-й річниці НПУ імені М. П. Драгоманова, 125-й річниці з дня нарождения профессора О.М. Астряба, 70-й річниці фізико-матемичного факультету. Тези доповідей. - Київ - 2004. - С.3-10.

9 Труды 1-го Всероссийского съезда преподавателей математики. Том П. Секции. -СПб.: Тип. «Север», 1913. - С.97-123.

10 РАО Научный архив, фонд 104, дело №534. Личный фонд Андронова Ивана Козьмича. Письма И.К. Андронову от различных корреспондентов. Т.2.

лую эпоху: в марте 1918 г. по Крещатику прошагали колонны немцев, в апреле их сменили бойцы гетмана Павла Скоропадского, 14 декабря Киев захватили ополченцы Симона Петлюры, а в 1920 г. над городом затрепетало красное знамя пролетариата. Когда вокруг пели «Интернационал», Александр Матвеевич читал лекции по математике и физике на рабочих факультетах Киевского политехнического и сельскохозяйственного институтов. Преподавал также на рабфаке при Киевском институте народного образования и в трудовой школе. С 1925 г. - доцент Киевского института народного образования.

Постановлением Квалификационной комиссии Государственного Научно-методического комитета Украины от 1 сентября 1927 г. за достижения и заслуги в разработке актуальных вопросов методики преподавания математики Александру Матвеевичу было присвоено звание профессора. С 1930 г. работал в физико-химико-математическом институте и одновременно в Киевском институте социального воспитания, позже преобразованном в Киевский педагогический институт11 (ныне Национальный педагогический университет имени Михаила Петровича Драгоманова). С 1931 по 1934 г.г. Александр Матвеевич заведовал кафедрой математики и физики Украинской Академии снабжения им. И. В. Сталина. На занимаемых постах проявил себя талантливым организатором.

В начале 30-х гг. благодаря его инициативе и энергии создаются творческие коллективы ученых-математиков, методистов и учителей-практиков.

С 1932 г. начал работу в Киевском филиале Украинского научно-исследовательского института педагогики12. С 1936 г. возглавил отдел методики математики, руководил секцией математики и физики научно-методического совета Министерства просвещения УССР.

Сначала в Киевском педагогическом институте была только одна кафедра математики (1930 г.). Всю методическую работу на ней выполняли профессор А. М. Астряб и доцент К. О. Хлебников.

11 Киевский педагогический институт (ныне Национальный педагогический университет им. М.П. Драгоманова) основан в 1920 году. Готовит учителей для начальной и средней школы, воспитателей, педагогов-дефектологов и др.

12 Украинский научно-исследовательский институт педагогики - исследовательский институт на Украине. Основан в 1926 г. в Харькове, в 1934 г. переведен в Киев в связи с передачей столичного статуса Киеву. С институтом связана деятельность таких всемирно известных ученых как тифло-сурдопедагог И. А. Соколянский, проводивший исследования условий культурного развития слепоглухонемых детей, В. И. Аснин, П. И. Зинченко, Г.Д. Луков, вышедшие из аспирантуры института и составившие ядро Харьковской психологической школы, педагога-новатора В. Ф. Шаталова (научный сотрудник НИИ педагогики УССР с 1973 г.) и др. Подведомствен Академии педагогических наук Украины.

Война перечеркнула надежды и планы...

22 июня 1941 г. фашистские войска начали бомбить Киев. Город был оккупирован. Уже 19 сентября в полуразрушенный Киев вползли колонны танков. Стареющий профессор успел покинуть город. В эвакуации продолжил педагогическую деятельность: в первые годы работал профессором Астраханского педагогического института, затем Украинского объединенного университета, который был размещен в городе Кзыл-Орда (Казахская ССР). Университет был создан на базе Киевского и Харьковского университетов. Одновременно Астряб преподавал математику в Кзыл-Ординском педагогическом институте.

В январе 1944 г. ученый вернулся в родной город. Боль переполняла сердце: перед отступлением немцы разобрали на кирпичи половину зданий, трамвайные пути на Крещатике зияли пустыми проемами. Как и миллионам сограждан, опаленных войной, пришлось все начинать «с нуля». Начав работать в Украинском научно-исследовательском институте педагогики и Киевском пединституте, по крупицам собирает книги, т.к. в годы войны его библиотека полностью сгорела. По этому поводу он долго переживал. В одном из писем, обнаруженных в Научном архиве РАО, к известному педагогу-математику Ивану Козьмичу Андронову (датировано мартом 1946 г.) он пишет:

А теперь бесконечные просьбы. Просьба №1. С 1-го января выпускается журнал «Математика в школе». Но ведь УНДИП отпустили 1 экземпляр! Весь отдел наш остался без журнала. Нельзя ли от моего имени попросить Ал. Ник. Барсукова принять хотя бы от меня подписку из редакционной брони? Просьба №2. Из перечисленных Вами книг мне геометрию Глаголева прислали, а «Начал» Евклида и работ Архимеда у меня нет. Ведь вся моя библиотека погибла! Просьба №3. Нам нужны программы по математике в РСФСР по ряду лет. Есть ли у Вас под рукой хотя бы некоторые из них - очень просим выслать их. Извините за неаккуратность. Постараюсь исправиться! Ваш А. М. Астряб

В первые послевоенные годы, работая в Киевском пединституте, А. М. Астряба и доцента Д. М. Майергойза переводят на кафедру математического анализа, где они работают до 1947 года. В 1947 году создается новая кафедра элементарной математики и методики преподавания математики. Это была первая на Украине кафедра методики математики в Киевском государственном педагогическом институте им. А. М. Горького. Сегодня она называется кафедра математики и методики преподавания математики. А. М. Астряб был первым заведующим этой кафедры. В тот период на кафедре преподавали доценты Д. М. Майергойз (1903-1970), О. П. Сергунова, И. Е. Шиманский (1896-1982).

Значительны заслуги А. М. Астряба в подготовке молодых научных кадров по методике математики. Под его руководством успешно шла под-

готовка научно-педагогических кадров по методике математики в научно-исследовательском институте педагогики и в КГПИ им. М. А. Горького. Аспирантуру по методике математики в педагогическом институте основали в 1946 году, учёный совет по защите диссертаций - в 1948 году. В итоге около 20 аспирантов, учителей и работников педагогических вузов защитили написанные под его руководством кандидатские диссертации. Сотни учителей являются его учениками.

А. М. Астряб занимался большой общественной деятельностью. Был депутатом Киевского городского Совета депутатов трудящихся, председателем математической подсекции научно-методического совета Министерства образования УССР, членом экспертной комиссии по математике и теоретической механике Главного управления высших и средних специальных учебных заведений УССР, членом редакционной коллегии журнала «Радянська школа».

Александр Матвеевич часто выступал с лекциями перед учителями Киева и других городов Украины. «Профессор А. М. Астряб был частым и желанным гостем на ученических вечерах в ученических мастерских, на уроках и на экзаменах. Ученики избирали его почетным членом своих математических обществ, вели с ним переписку».13 Работал он в Киевском педагогическом институте до 1958 года.

В 1944 г. Президиум Верховного Совета УССР присвоил Александру Матвеевичу звание «Заслуженный деятель наук УССР». В том же году он вступил в ряды ВКП(б). Перед ним открылись новые горизонты: после создания в 1947 г. новой кафедры элементарной математики и методики преподавания математики (ныне кафедра математики и методики преподавания математики) он назначается первым её заведующим. Под его руководством в научно-исследовательском институте педагогики и Киевском государственном педагогическом институте (КГПИ) им. М.А. Горького успешно шла подготовка научно-педагогических кадров по методике математики. Около 20 аспирантов, учителей и работников педагогических вузов защитили написанные под его руководством кандидатские диссертации. Сотни учителей были его учениками.

В 1953 г. Александр Матвеевич награжден высшей наградой - орденом Ленина. По случаю его вручения Астряб карандашом написал текст выступления (фрагмент из выступления14):

1. В жизни каждого из нас бывают такие минуты, когда хочется побеседовать со своей совестью, хочется оглянуться на пройденный этап жизни, хочется подумать, его пересмотреть, переоценить. В бессонные

13 Володкевич Н.Н. (1860-1932) - педагог с передовыми социально-педагогическими взглядами, либерал и просветитель, приват-доцент Киевского университета.

14 Более полный текст выступления А. М. Астряба представление в п. «Воспоминания коллег, друзей, учеников» данной работы.

ночи последних дней я часто беседую со своей совестью, Я спрашиваю ее, мою совесть, заслужил ли я того, чтобы на моей груди заблестел золотом окаймленный портрет великого Ленина.

2. Моя совесть говорит мне. Ты обыкновенный, рядовой советский человек, с обыкновенными творческими способностями, но с тем творческим интересом к жизни, которого так много у каждого из вас, советских людей.

3. Есть ещё одна особенность моего характера - я очень люблю детей. Но кто из вас, будущих педагогов, не любит их? ...

13. Я стар. Поседела моя голова. Физические силы иссякают. Но особенности нашей советской жизни в том и состоят, что жизнь умеет и в слабом физическом теле поддерживать бодрый дух. В эти дни хорошо и у меня на душе, ибо видишь себя среди друзей, ибо глубоко веришь, что когда ты уйдешь в небытие, а на смену тебе идете Вы - наша новая, молодая, бодрая смена, которая так же любит детей, как и я. Так же ценит лучшую в мире советскую культуру, так же горячо любит нашу Родную партию, хорошо осознавая, что на смену тебе идет тысячная жизнерадостная плеяда, на многотысячной груди которой заблестят такие же чудесные ордена Ленина, Трудового Красного Знамени и ордена Почёта.

С октября 1958 года Астряб больше работать не мог.

Умер А. М. Астряб 18 ноября 1962 года. Похоронен рядом с женой Евдокией Алексеевной Астряб (14.03.1899 - 16.06.1951) на Байково кладбище в г. Киеве. Он был старше ее почти на 20 лет, но пережил на 11. У Евдокии Алексеевны надгробная надпись: «Глубоко скорбит о тебе родная наша Дусенька твоя осиротевшая семья», у Александра Матвеевича: «От товарищей и учеников».

От брака остался сын. По свидетельству очевидцев, у них были непростые отношения. Многих из его сотрудников уже нет в живых...

Представленная биография Александра Матвеевича Астряба далеко не в полной мере раскрывает его как обычного человека со своими проблемами, трудностями, взглядами на жизнь. При этом именно они порой позволяют глубже изучить и понять методическое наследие ученого. Увы, сохранилось совсем немного сведений, выходящих за рамки его официальной биографии.

3. Николай Николаевич Володкевич - друг, соратник, учитель

Начнём с молодых лет Александра Матвеевича, с того времени, когда он начинал свою преподавательскую деятельность.

Как уже отмечалось, А. М. Астряб в 1904 году начинал свой педагогический путь учителем математики и физики в Глуховской гимназии (Черниговская обл.). Об обязанностях учителя гимназии можно судить из воспоминаний А. М. Астряба: «Первый документ, с которым я познакомился в учительской, был журнал посещения учителями квартир гимназистов. Там были такие записи: «Осмотрел ученический ящик, письменный стол и чемодан. Ничего недозволенного не нашёл». Быть в роли надсмотрщика А. М. Астряб не мог. В отличие от других учителей поддерживал дружеские отношения с учениками, в каждом из них видел Человека. Это вызывало недовольство со стороны дирекции.15

В 1905 г. вынужден был переехать в г. Киев. Как и многие другие интеллигенты того времени, А. М. Астряб не избежал революционных настроений и участия в политических сходках. В том же 1905 г. его арестовывают, хотя затем достаточно скоро его освободили. По сведениям Наталии Петровны Дичек,16 Астряба арестовывали дважды и оба ареста были за участие в студенческих собраниях и протестных демонстрациях. В итоге начало трудовой деятельности для педагога было затруднено официальным запретом на преподавание в казенных государственных учебных заведениях. Так дорога жизни привела его в частное Киевское коммерческое училище. Руководство не побоялось предоставить работу «неблагонадёжному» педагогу. В этом, несомненно, принял участие учредитель училища - Николай Николаевич Володкевич. Именно Н. Н. Володкевич оказал значительное влияние на формирование личности педагога Астряба. Директор училища был человеком передовых взглядов, либералом, просветителем в широком смысле этого слова. Володкевич интересовался проблемами среднего образования в целом, расширения возможностей получения образования девушками17.

15 Бевз В.Г., Олійник Г.Ф., Швець В.О. Олександр Матвійович Астряб - засновник школи з методики математики в Україні //Актуальні проблеми теорії і методики навчання математики. Всеукраїнська науково-практична конференція, присвячена 170-й річниці НПУ імені М. П. Драгоманова, 125-й річниці з дня нарождения профессора О.М. Астряба, 70-й річниці фізико-матемичного факультету. Тези доповідей. - Київ -2004.-С.3.

16 Дічек Н.П. Новаторська педагогічна діяльність О.М. Астряба у Київському приватному жіночому комерційному училищі // Рідна школа. - 2004. - №9. - С.64.

17 Там же.-С64.

Итак, в 1905 году А. М. Астряб начал свою работу в этом училище преподавателем арифметики и геометрии. Работая в этом училище, А. М. Астряб внёс свою лепту в перестройку содержания преподаваемого курса математики. По его просьбе, были введены в программу важнейшие сведения по тригонометрии и аналитической геометрии. Молодой Астряб стал одним из организаторов коммерческого училища нового типа и участником «Первого общества преподавателей», где главенствовал Н. Н. Володкевич. Николай Николаевич - инициатор создания первого в Киеве семиклассного частного женского коммерческого училища. Это произошло в 1900 году. Хозяйкой училища в официальных документах значилась его жена Людмила Николаевна18. В этот период - начало XX века - деятельность казенной средней школы строго регламентировалась государством и в первую очередь Министерством народного образования. Было довольно затруднено применение в школе новых образовательных инноваций. Вместе с тем частные учебные заведения имели большие возможности для внедрения передовых педагогических достижений в сфере реформирования образования. Коммерческое же училище ведомственно принадлежало Министерству финансов, поэтому было независимо от многих циркуляров Министерства народного образования. Этим, согласно исследованию Н. П. Дичек, воспользовался Н. Н. Володкевич. На основе своего учебного заведения создал одну из так называемых «новых школ». В этом учебном заведении нового типа главным демократичным законом были выборы педагогического коллектива, включая директора, коллегиальность принятия решения во всех вопросах жизнедеятельности учреждения. Всё это, по замыслу Володкевича, должно было способствовать расширению возможностей получения образования девушками и реальной профессиональной подготовки к взрослой жизни.

А. М. Астряб на протяжении всей своей педагогической деятельности в училище активно изучал проблемы новой школы. И уже в 1907 году он вместе с Н. Н. Володкевичем выступает на Педагогическом комитете с предложением о расширении курса математики за счёт введения новых и значимых знаний в тригонометрии и аналитической геометрии. После длительного коллегиального обсуждения для реализации замысла решили произвести такие изменения в учебном плане на 1907/1908 учебный год: ввести ещё 3 часа математики, планировалось закончить курс арифметики в 3 классе, а освобожденные 2 часа в 4 классе заменить каллиграфией, а план 5 класса дополнить алгеброй. В 5 классе освобожденный от каллиграфии 1 час заполнить коммерческой арифметикой, курс которой должен закончиться в этом же классе. Тогда в 6 классе появляются 2 часа для расширения курса математики. А в 7 классе было решено сократить количество уроков химии и деловой корреспонденции. Освобожденные три часа

18 Там же. С.64.

отдать расширенному курсу математики.19 Изменения довольно глобальны и хорошо продуманы.

Изменения были внесены и в учебные планы подготовительного и начальных классов на предмет введения начальных знаний по геометрии. Астряб разработал и начал преподавать начальный курс геометрии уже в 1906/1907 учебном году, а в 1909 году опубликовал учебник «Наглядная геометрия», в основу которого был положен этот курс, преподаваемый в училище Н. Н. Володкевича. Учебник быстро достиг широкой популярности, выдержал 13 изданий. Об этом учебнике детальный разговор несколько позже.

Согласно архивным исследованиям Наталии Петровны Дичек новаторская педагогическая деятельность Астряба не ограничивалась только сферой совершенствования некоторых методико-математических вопросов. Как свидетельствуют протоколы заседания Педагогического комитета училища, в феврале 1907 года Александр Матвеевич выступал с предложением ввести в учебном заведении 8 класс и наполнить программу преподавания предметами педагогического цикла. Такое нововведение позволило бы выпускникам 8 класса работать домашними наставницами, как это практиковалось у выпускниц гимназий. Поднятый Астрябом вопрос вызвал большой резонанс, и хотя ни одного решения не утвердили, однако уже осенью того же года Александр Матвеевич снова вернулся к нему. В результате тайного голосования был избран состав комиссии для разработки учебного плана, предназначенного для 8 класса. Астряб был твёрд и последователен в достижении поставленной цели.

На заседаниях Педагогического комитета А. М. Астряб поднимал вопрос и о важной роли практических работ в процессе начального обучения. Принимая во внимание его предложения, комитет принял решение: успеваемость учениц в конце учебного года оценивать отдельной оценкой по выполнению ими практических работ. Неудовлетворительная успеваемость по практическим занятиям может привести к переэкзаменовке по теоретическому курсу.

Учебное заведение Н. Н. Володкевича было платным, и за год обучения надо было платить от 80 до 125 карбованцев. Стремясь помочь бедным ученицам, супруги Володкевич вместе с Астрябом основали за личные деньги общество помощи нуждающимся. Целью деятельности общества было оплачивать обучение бедных девушек полностью или частично, покупать им учебники, учебные принадлежности и т.д. Деньги, кроме начальных взносов основателей, должны были пополняться членскими взносами и добровольными пожертвованиями, прибылью от проведения благотворительных концертов, танцевальных вечеров.20

19 Там же. С.65.

20 Там же. С.65-66.

Очевидно, что яркая, самобытная личность Николая Николаевича Володкевича - педагога, глубоко понимающего проблемы преподавания математики в средних учебных заведениях, оказала значительное влияние на формирование педагогических взглядов молодого учителя. Н. Н. Володкевич, будучи членом Киевского физико-математического общества, рекомендовал в его членство А. М. Астряба. Именно Володкевич инициировал в 1907 году научную двухмесячную командировку Александра Матвеевича во Францию с целью изучения специфики преподавания математики и физики в местных школах. Благодаря безграничной самоотдаче педагогической профессии Н. Н. Володкевич, без сомнения, преподнёс А. М. Астрябу урок профессиональной деятельности.

4. Научно-педагогическая деятельность А.М. Астряба

Значительный вклад внёс А. М. Астряб в организацию подготовки работников народного просвещения, в том числе и учителей математики.

Уже отмечалось выше, с 1919 года Александр Матвеевич работал преподавателем алгебры и геометрии на Киевских 3-х летних высших педагогических курсах им. Б. Гринченко, которые в 1917 году были преобразованы из бывшей церковно-учительской школы в Украинскую учительскую семинарию, а затем переименованы в Педшколу им. Б. Гринченко.

Из воспоминаний студента Высших педкурсов, заслуженного деятеля науки УССР и профессора - Никиты Миновича Грищенко21, А. М. Астряб был деликатен и вежлив к студентам. Он никогда не повышал голоса, никогда не ставил двоек, умел привить любовь к своему предмету. Все студенты очень высоко ценили его как педагога, потому что он доходчиво объяснял учебный материал, никогда не уставал повторять то, что было непонятно студентам, стремясь научить каждого.22

Александр Матвеевич являлся сторонником фундаментального образования. Всегда отстаивал свою точку зрения, был последователен и настойчив. В период реорганизации отечественной школы в трудовую школу, вёл активную научно-педагогическую деятельность. Очевидно, он ясно осознавал ошибочность принимаемых решений.

Поначалу многие были покорены основными принципами построения новой школы, сформулированными в этом положении: 1) обеспечить бесплатное и обязательное общее и политехническое образование для всех детей до 17 лет; 2) создать широкую сеть дошкольных учреждений (для усиления общественного воспитания и для раскрепощения женщин); 3) реализовать принципы трудовой школы с совместным обучением детей обоего пола на родном языке, без какого-то бы ни было религиозного влияния, тесно связывая обучение с общественно-производительным трудом; 4) снабдить всех учащихся пищей, одеждой, обувью и учебными пособиями за счет государства...; 7) оказать всестороннюю государственную помощь самообразованию и саморазвитию крестьян (создать сеть библиотек, школ для взрослых, народных домов, курсов, лекций и т.п.); 8) осуществить широкое профессиональное образование для лиц старше 17 лет; 9) обеспечить широкий доступ в аудиторию высшей школы для всех желающих учиться, в первую очередь для рабочих; 10) сделать доступным для трудящихся все сокровища искусства. Тем более, что все намеченные

21 Грищенко Никита Минович - педагог, организатор образования специалист по истории образования в Украине.// http://gotowest.ru/vupysku/4/statti/6klokar_rokucka.htm

22 Цит. по: Дичек Н.П. Проблемы школьного математического образования в педагогическом наследии А.М. Астряба: Диссертация на соиск. учен. степ. канд. пед. наук. -Киев, 1985.- С.24.

преобразования сопровождались прекрасными лозунгами: «Сблизить образование и воспитание с жизнью», «Укрепить связь просвещения и школы с экономикой и народным хозяйством», «Осуществить всестороннее развитие личности учащегося» и т.п.

В 1920 г. был опубликован первый учебный план - максимум для школы первой и второй ступени, сохранявший предметное преподавание. Но это была скорее видимость «предметного обучения», чем его сущность. В каждом учебном предмете существенно усиливалась лишь практическая его часть за счет снижения роли теории. Одновременно повышалось значение идеологического освещения содержания обучения в нужном для советской власти русле.

Как известно, 21 февраля 1923 г. президиум ГУСа (научно-педагогическая секция ГУСа работала под председательством Н. К. Крупской) принял решение, по которому предметное преподавание в школе было окончательно отвергнуто и принята комплексная система построения школьных программ и обучения.

В том же году при активном участии П. П. Блонского была опубликована комплексная программа школы I ступени для первых двух лет обучения (в 1924 г. опубликованы программы для всех четырех лет обучения). Комплексные программы для школ II ступени опубликованы в 1926 г.23

А. М. Астряб вёл активную работу по созданию программ для советской школы. В 1923 г. Государственное Издательство Украины опубликовало проект программы, предложенный Киевским кабинетом социального воспитания «Опыт практического осуществления комплексного метода. Программы младшего концентра трудшколы». В разработке этого проекта принимали участие методисты К. Ф. Лебединцев, А. М. Астряб, Д. А. Остроменский.24 Как показало время, применение комплексного метода обучения в школе не позволило получить достойные результаты. Такой исход предвидели опытные методисты и учителя, в том числе и А. М. Астряб. В 1924 г. учёный, выступая на заседании Киевского математического кружка Дома учителя, высказывался против некоторых положений программ, принятых научно-педагогической секцией ГУСа, изданных отделом Киевского Губнаробраза. Как указывает в своём исследовании Н. П. Дичек25, А. М. Астряб настаивал на том, чтобы в учебных планах

23 Цит. по: Колягин Ю. М., Саввина О. А., Тарасова О. В. Русская школа и математическое образование: Наша гордость и наша боль. 4.2. Первая половина XX века. - 3-е изд. - Орел.: ООО Полиграфическая фирма «Картуш», 2007. - С. 124-125.

24 Цит по: Дичек Н.П. Проблемы школьного математического образования в педагогическом наследии А.М. Астряба: Диссертация на соиск. учен. степ. канд. пед. наук. -Киев, 1985.- С.30.

25 Дичек Н.П. Проблемы школьного математического образования в педагогическом наследии А.М. Астряба: Диссертация на соиск. учен. степ. канд. пед. наук. - Киев, 1985.-С.30.

были отведены специальные часы для овладения учениками системой математических знаний. Позже в 1927 г. Александр Матвеевич выступил с критикой комплексных программ по математике для младшего концентра трудшкол, помещенных в 5-м издании «Порадника Соцвиху» («Руководство Социального воспитания, 1925 г.), на страницах Бюллетеня Киевской окринспектуры народного образования.

А. М. Астряб критиковал программу за сжатость, нечёткость формулировок, за неравномерность распределения учебного материала между классами, за перегруженность геометрическим материалом. Аргументировал он, опираясь на документальные факты выполнения программ на практике. А. М. Астряб указывал, что создалась такая ситуация, когда все важные вопросы содержания обучения решались каждым районом, каждым городом, практически каждой школой самостоятельно, на основании лишь собственных местных соображений. В итоге образовавшейся путаницы единой постоянной программы не было. Школы вели обучение по собственным программам, значительно отличающимся от официальной. А. М. Астряб подчёркивал, что «отсутствие детализированных, постоянных, нормализованных по определённому времени, последовательно развёрнутых программ-минимумов формального знания по математике является одной из основных причин, препятствующих улучшению преподавания математики в младшем концентре».26

А. М. Астряб, подвергнув разбору результаты тестирования учащихся киевских школ, проведённого членами математической секции Научно-педагогического общества при УАН, писал, что «в современных условиях ученики, оканчивая младший концентр трудшколы, не приобретают минимальной техники в области арифметических вычислений» и причины такой ужасающей математической безграмотности кроются в «отсутствии чёткого, обязательного для каждого учителя минимума, который он, безусловно, должен проработать в каждой группе».27

Александр Матвеевич был продуктивным методистом-математиком. Его высказывания не ограничивались критикой. Им были даны советы по улучшению создавшегося положения. Он считал, что необходимо во всех группах установить постоянный «минимум» математических знаний, доступный для обыкновенной массовой школы, узаконить ответственность учителя за овладение учащимися определённым кругом математических знаний, добиться согласования курса арифметики младшего концентра со старшим. А. М. Астряб выдвинул требование отвести в

26 Цит по: Дичек Н.П. Проблемы школьного математического образования в педагогическом наследии А.М. Астряба: Диссертация на соиск. учен. степ. канд. пед. наук. -Киев, 1985.- С.31.

27 Там же. С.31.

обязательном порядке 4-5 часов в неделю для приобретения учениками умений и навыков чисто математического характера.28

А. М. Астряб вёл активное общение и большую методическую работу с учительскими кадрами. Это была работа и в Киевском институте народного образования (КИНО), и в Украинской Академии Наук (УАН), и в Киевском математическом кружке, и в Пленуме Государственного Научно-методического комитета Украины. Им было проведено большое количество встреч с учителями.

Ещё будучи преподавателем на Киевских педкурсах, Александр Матвеевич стал руководителем педагогической практики студентов. Это дало ему возможность глубоко и основательно изучить особенности организации педагогической практики. Этой работой он занимался в течение многих лет. В 1928 году А. М. Астряб выступал с докладом на Всеукранской конференции методистов-математиков, преподавателей института народного образования Украины, состоявшейся 20-25 июня 1928 г. в Харькове.

В докладе Александр Матвеевич представил программу педагогической практики студентов педвузов. Она основывалась собственном на 8-летнем опыте её проведения. В ней особо отмечалось, что подготовка учителей математики немыслима без прохождения педагогической практики в школе. Такая практика, по мнению А. М. Астряба, должна проходить в два этапа. Сначала должна быть так называемая «пассивная практика», во время которой студенты некоторое время посещают уроки, знакомятся с основными принципами обучения, программой, рабочим планом учителя, соответствующей литературой, методическими пособиями. Каждый студент должен составить планы разных типов уроков, приготовиться к их проведению (хотя их непосредственно и не проводит).

На втором этапе студенты самостоятельно проводят уроки, на которых присутствуют все практиканты и методист. А. М. Астряб не советовал увлекаться проведением большого количество уроков, а предлагал обращать особое внимание на серьёзную подготовку к ним студентов, его проведение с выставлением оценки за урок и его детальный анализ. После окончания педагогической практики предлагалось проводить итоговую конференцию студентов всех курсов. На ней детально обсуждались общеметодические и организационные вопросы, которые возникали во время практики.

С приобретением огромного педагогического опыта А. М. Астряб пишет ряд работ, посвященных профессиональной подготовке будущих учителей математики. И те рекомендации, которые даёт Александр Мат-

28 Там же. С.32.

веевич, несмотря на то, что они опубликованы более полувека назад, важны, нужны и современны.

В конце 20-х, начале 30-х годов А. М. Астряб, как свидетельствует в своей работе Н. П. Дичек29, принимал активное участие в работе Киевской опытно-педагогической станции. Такие опытно-педагогические станции создавались в губерниях для оказания помощи местным бюро по переподготовке учителей, согласовывали с ними свои мероприятия по повышению квалификации работников просвещения. Период работы А. М. Астряба совпал с судьбоносными Постановлениями ЦК ВКП(б).

5 сентября 1931 года выходит первое Постановление ЦК ВКП(б) «О начальной и средней школе». Этим постановлением был положен конец периоду разрушения отечественной школы. Началась Сталинская реформа образования. Постановлением было предложено перейти с 1 января 1932 г. на новые программы, в которых следовало отразить «точно очерченный круг систематизированных знаний».

Так, в этом же 1931 г. в ходе работы по реализации Постановления ЦК ВКП(б) А. М. Астряб был назначен руководителем бригады по изучению состояния обучения элементам математики в дошкольных учреждениях г. Киева. В его полномочия входило консультирование работников на местах по вопросам дошкольного обучения.

Итогам анализа новых учебных программ и разъяснению практики работы по ним было посвящено новое Постановление ЦК ВКП(б) от 25 августа 1932 года «Об учебных программах и режиме в начальной и средней школе».

В этом постановлении предлагалось:

- основной формой организации работы в школе считать урок;

- переработать программы по всем учебным предметам, устранить перегрузку учащихся, обеспечить систематическое преподавание основ политехнического образования;

- возложить на учителя ответственность за преподавание своего предмета;

- возложить на ученика ответственность за свою учебу, укрепить дисциплину и порядок, организовать систематический, индивидуальный учет знаний учащихся.

В этом постановлении был также осужден бригадно-лабораторный метод (за обезличку в учебной работе, за снижение роли учителя, за игнорирование контроля и учета учебной работы каждого учащегося).30

29 Дичек Н.П. Проблемы школьного математического образования в педагогическом наследии А.М. Астряба: Диссертация на соиск. учен. степ. канд. пед. наук. - Киев, 1985.-С.35.

30 Цит. по: Колягин Ю. М, Саввина О. А., Тарасова О. В. Русская школа и математическое образование: Наша гордость и наша боль. 4.2. Первая половина XX века/

В 1932 г. А. М. Астряб входил в комиссию, созданную Научно-методической комиссией Народного Комиссариата Просвещения (НМС НКП) в составе академика М. П. Кравчука, проф. М. X. Орлова, М. Ф. Наконечного, проф. В. В. Фурсенко, П. П. Дриги, которая занималась редактированием и упорядочением словаря математической терминологии для средней школы. Словарь был издан в 1933 г.

По предложению НМС НКП УССР в 1932 г. А. М. Астряб участвовал в создании программ по математическим дисциплинам для технико-математических отделений институтов социального воспитания. Комиссию по созданию программ возглавлял акад. М. П. Кравчук. Александр Матвеевич готовил тематический план и программу по методике математики.

В марте 1935 года Наркомпрос РСФСР созвал первое Всероссийское методическое совещание преподавателей математики средней школы. Главной задачей совещания являлся обмен опытом работы в области преподавания математики. На совещании говорили о достижениях и недочётах в процессе обучения математике, были высказаны предложения в адрес Наркомпроса по изданию отредактированных программ и учебников, математической библиотеки для учащихся, увеличение тиража журнала «Математика в школе».

Совещание было весьма представительным. С докладами о развитии математики как науки выступали: П. С. Александров, В. Н. Делоне, С. А. Яновская, Н. Н. Чистяков, Е. С. Березанская, Н. А. Извольский, Р. В. Гангнус и др. Представителем от Украинского научно-исследовательского института педагогики был делегирован А. М. Астряб. Очевидно, что он пользовался авторитетом в научных кругах, поскольку его избрали в президиум совещания. А. М. Астряб выступил на совещании с докладом «Почему трудно решать геометрические задачи на вычисление».

В 30-е годы А. М. Астряб вёл энергичную работу не только по исследованию проблем частных методик, но и изучению вопросов дидактики математики. В этот период опубликованы работы: «Наглядность в преподавании математики» (1939 г.), «О практической подготовке учащихся по математике» (1939 г.), «Об экзаменах по математике» (1939 г.), «Ещё более улучшать преподавание математики» (1940 г.) и др.

В апреле 1941 г. состоялось заседание вновь созданного Научно-методического совета Народного Комиссариата Просвещения УССР. А.М. Астряб входил в его состав. Совет занимался оказанием методической помощи органам народного просвещения, усовершенствованием программ и учебных планов. Реализации намеченных планов помешала война.

Ю. М. Колягин, О. А. Саввина, О. В. Тарасова. - 3-е изд. - Орел.: ООО Полиграфическая фирма «Картуш», 2007. - С. 172.

В годы эвакуации педагогическая деятельность учёного продолжалась. Как следует из биографии учёного, в первые годы работал профессором Астраханского педагогического института, затем Украинского объединенного университета, который был размещен в городе Кзыл-Орда (Казахская ССР). Одновременно Астряб преподавал математику в Кзыл-Ординском педагогическом институте, был инспектором городского отдела образования на общественных началах, часто бывал в школах, давал методические советы и рекомендации. В своих воспоминаниях проф. Н. М. Грищенко писал, что А. М. Астряб выступал с докладами перед учителями школ, студентами, в военных госпиталях. Тематика его выступлений определялась требованиями времени, она носила военно-оборонный, патриотический характер. Темы выступлений учёного: «Роль математики в военно-оборонительном деле», «Геометрические измерения на местности в военном и железнодорожном деле» (тема семинара для учителей железнодорожных школ), «Как мы научились считать» (тема в военном госпитале).31

Вернувшись в только что освобождённый Киев А. М. Астряб начал работать в Украинском научно-исследовательском институте педагогики и Киевском пединституте. В 1944 г. он принимал участие в составлении программы по математике для средней школы УССР, а в 1946-1950 гг. все программы по математике выходили под его редакцией.

В 1945 г. возобновилось издание журнала «Радянська школа» («Советская школа», который являлся органом работников просвещения УССР.32 С 1946 по 1959 гг. Александр Матвеевич член редколлегии и заведующий отделом математики.

Александр Матвеевич совместно с коллегами вёл активную просветительскую деятельность среди учителей. Так, Отдел методики математики Украинского научно-исследовательского института педагогики, возглавляемый Александром Матвеевичем, в 1953 году опубликовал материалы расширенного Пленума, проведенного в Виннице в 1951 году33. Цель

31 Дичек Н.П. Проблемы школьного математического образования в педагогическом наследии А.М. Астряба: Диссертация на соиск. учен. степ. канд. пед. наук. - Киев, 1985.-С.39-40.

32 Журнал «Радянська школа» (в переводе «Советская школа») - государственное учебно-педагогическое издательство УССР. Основан 1930 г. в Харькове, вошёл в состав созданного тогда же Государственного Издательского Объединения Украины. До войны назывался «Комуністична освіта». Подчинение - Министерство Образования УССР. По объему своей книжной продукции «Советская школа» было самым большим издательством УССР. // http://uk.wikipedia.org/wiki

33 Викладання геометрії в сердній школі. Планіметрія. За матеріалами розширеного пленуму відділу методики математики, що відбувся в жовтні 1951 року в м.Вінниці. Под ред. проф. О. М. Астряба и доц. М.Б.Гельфанда. - Київ: Рядянська школа, 1953. -220с.

этого сборника состоит в стремлении помочь учителям математики в преподавании сложнейших (с методической стороны) вопросов систематического курса планиметрии. В предисловии к сборнику отмечалось, что при преподавании систематического курса планиметрии прежде всего надо учитывать те первичные сведения из геометрии, которые приобрели дети в I-IV классах на уроках арифметики.

Сборник состоит из нескольких разделов. Первый раздел сборника посвящен изучению геометрического материала в I-IV классах. Во втором разделе сборника рассматриваются вопросы преподавания в V классе наглядной геометрии, которая является важным подготовительным материалом к систематическому курсу планиметрии. Разделы третий и четвертый охватывают преподавание систематического курса планиметрии.

В разделе третьем помещен ряд докладов, в которых рассматривается методика преподавания таких вопросов: доказательство теорем в систематическом курсе планиметрии; решение геометрических задач на доказательство и на вычисление; преобразование геометрических фигур; измерение геометрических величин, в частности площадей, в систематическом курсе планиметрии. Последний, четвертый раздел сборника посвящен вопросам политехнического обучения, привитию ученикам на уроках планиметрии соответствующих практических навыков.

В приложении мы приводим перевод статьи А. М. Астряба «О некоторых элементах профессиональной подготовки студентов физико-математического факультета педагогического института», опубликованной в 1955 году в «Научных записках» Киевского государственного педагогического института им. А. М. Горького.34

Педагогическое наследие Александра Матвеевича Астряба велико: это и его научные работы, и его организаторские способности, направленные на создание творческих коллективов единомышленников учёных и учителей, и его активная общественная и педагогическая деятельность.

А. М. Астряб относиться к тем педагогам, для которых вопросы обучения и воспитания неразделимы. Он считал, что без постановки воспитательных задач обучение математике, впрочем, как и другим предметам, не сможет полностью выполнить свои функции подготовки молодёжи к активному участию в жизни общества.

34 На русском языке публикуется впервые.

5. Переписка А. М. Астряба с И. К. Андроновым

Александр Матвеевич долгие годы вёл переписку с Иваном Козьмичем Андроновым. По письмам можно судить и о чертах характера человека, и о его научно-методических интересах, и, конечно, о его взглядах на жизнь. Нам удалось обнаружить в Научном архиве Российской академии образования в личном фонде Андронова Ивана Козьмича письма А. М. Астряба35. Прежде, чем перейти к переписке, напомним читателю некоторые фрагменты биографии Ивана Козьмича Андронова.

Родился Иван Козьмич Андронов 3 июня 1894 г. в центре России -в г. Новосиле (ныне Орловская область) в многодетной семье.

Трудовую деятельность начал рано: в 1911г. после окончания средней школы начал работать учителем начальной школы. Окончив учительский институт, преподавал в старейшей Порецкой учительской семинарии, а после окончания высшей педагогической школы - института им. П.Г. Шелапутина (1918) - стал преподавателем Петербургской губернской учительской школы. После преобразования педагогического института им. П. Г. Шелапутина в Педагогическую академию Иван Козьмич работает в ней преподавателем, доцентом, а с 1925 г. - профессором.

С 1931 г. и до конца своей жизни И. К. Андронов работал в МОПИ заведующим кафедрой высшей математики, элементарной математики и методики преподавания математики.

В 1957 г. Иван Козьмич был избран членом-корреспондентом АПН РСФСР; в 1964 г. ему присвоено звание заслуженного деятеля науки РСФСР.

Умер Иван Козьмич 11 ноября 1975 г.

Иван Козьмич был человеком с широкой эрудицией и феноменальной памятью. Юрий Михайлович Колягин - ученик Ивана Козьмича писал: «Трудно выразить словами ту глубину профессиональных знаний, которыми он обладал; ту щедрость души, которую он проявлял на каждом шагу; ту строгость, которую он часто лишь «напускал на себя», хотя всегда был требователен к себе и другим. <.. .>

В кабинете Ивана Козьмича было место лишь для дивана, стула и письменного стола; все остальное место занимали открытые книжные стеллажи. Доставая ту или иную нужную для него книгу, Иван Козьмич хлопал ею по своей ладошке и говорил отворачивающимся ученикам: «Не отворачивайтесь. Это пыль не простая; она - ученая, вдыхайте ее и умнейте». Мы все сидели в узком проходе между двумя крайними стеллажами -в линейку. Знаменитая библиотека Учителя, в которой было более 40 тыс. книг, придавала этим встречам особый колорит. В этой библиотеке храни-

35 РАО Научный архив, фонд 104, дело №534. Личный фонд Андронова Ивана Козьмича. Письма И.К. Андронову от различных корреспондентов. Т.2.

лись, например, все издания (а их было более 40) школьных учебников А. П. Киселева».36

Выше уже было сказано, что Александр Матвеевич в период войны был в эвакуации. После освобождения Киева от фашистских захватчиков (январь 1944 г.) учёный вернулся на родину и продолжил не только работу в Украинском научно-исследовательском институте педагогики и в Киевском пединституте, но и предпринимал активные попытки по возобновлению общения с коллегами по всему Советскому Союзу. Перед Вами первое после войны письмо И. К. Андронову.

Глубокоуважаемый Иван Козьмич!

Только вчера (видимо, после долгих странствований) попало ко мне Ваше письмо, доставившее мне не мало радости. Приятно было восстановить связь в Вашем лице с активом научно-методических сш Москвы, ту связь, которая оборвалась у меня в период нашей эвакуации из Украины (я делал попытки возобновить связь с Пчелко и с Никитиным, и с А.Н. Барсуковым, но ответного письма от них не удалось мне почитать).

Очень рад был узнать, что Вы заканчиваете работу о математическом образовании в России. Как важна эта тема — особенно сейчас!

Я в свою очередь «вынашиваю» уже несколько лет такую же тему, связанную с математическим образованием в нашей украинской школе.

Но война, оккупация Украины временно немцами, нанесла огромные опустошения во всех собранных мною ранее материалов из области строительства нашей школы. Это затормозило сильно темпы моей работы. Да и сейчас почти все свои силы и всё своё время приходится тратить на большую работу по восстановлению нормальной жизни нашей украинской школы разгромленной фашистами. Ведь немцы почти все наши школы превратили буквальном слове в руины ...

Без даты

Иван Козьмич активно занимался изучением истории отечественного математического образования особенно во вторую половину своей трудовой научной деятельности. Он вёл активную переписку с огромным количеством педагогов, математиков, методистов. И вся эта переписка преимущественно носила характер обмена информацией и выполнения взаимных просьб респондентов, которые были связаны с различными проблемами преподавания математики в школе и в вузе.

36 Колягин Ю. М, Саввина О. А., Тарасова О. В. Русская школа и математическое образование: Наша гордость и наша боль. Ч.III. Вторая половина XX века и начало XXI века. - 3-е изд. - Орел.: ООО Полиграфическая фирма «Картуш», 2007. - С. 19-20.

С огромной радостью помогу Вам всем, чем могу в Вашей интереснейшей и важнейшей работе. Остановлюсь, прежде всего, подробнее на списках тех, педагогов-математиков, которые Вас интересуют. Для удобства пишу о них на отдельном листе, а некоторые из указанных Вами фамилий попали случайно в Ваш список, а много фамилий отсутствует. Теперь два слова о методических центрах Украины и работе в них. Центрами научно-педагогической мысли в области математики у нас есть: а) Пединститут и (отчасти!) Университет; б) Институты усовершенствования учителей (проводящие большую работу в массах учителей, но очень слабо обобщающие теоретически огромнейший опыт работы школ). Сосредоточивается эта работа по линии методики в нашем Украинском научно-исследовательском институте педагогики (УНДИП). Наш отдел методики математики этого института, связываясь непосредственно с кафедрами математики всех пединститутов и институтов усовершенствования учителей работает над такими темами.

Тема 1. Принципы построения новых программ по математике для средней школы. Над этой темой мы работаем с 1940 года. Изучивши преподавание математики в большом количестве иных стран, особенно изучив детально теперь школы Румынии, Польши, Чехословакии и т.д. И всё своё внимание сосредоточиваем на двух основных вопросах: преподавание систематического курса арифметики (ведь у нас он выпадал из программы!). Мы стремимся выделить для него три года обучения с чётко очерченным кругом требований тех знаний, которые в этом классе ученик приобретает раз и навсегда. За незнание которых он несёт полную ответственность. Мы наметили для прохождения этого систематического курса три класса: III кл. (целые числа — все!), IV кл. (обыкн. дроби и начало десятичных) и V кл. (конец курса арифметики). Над реализацией этой проблемы мы уже работаем с 1940 года не только теоретически, но и практически. На днях мы узнали, что Педагогическая Академия выдвинула проект реорганизации школьной системы обучения в 11 летнюю и что в этом проекте предполагается до IV кл. включительно пройти все целые числа, систематический курс дробей и конец арифметики пройти в V и VI классах. Если это так, то мы полностью будем поддерживать этот проект. Он вполне удовлетворяет нашим пожеланиям. Второй принципиальный вопрос возник у нас в области преподавания геометрии. Мы ещё в 1940 г. выступали у себя в Учебном Совете Н.К.О. с проектом разделения систематического курса геометрии на два цикла. 1-ый цикл от V до VII класса и второй от VIII-го до Х-го. В основу мы взяли французскую школу. Такая же система принята была и в Польше, и в Румынии, и в Чехословакии. На днях мы узнали, что и проект Вашей Академии тоже выдвинул этот вариант. Это нас очень обрадовало. К сожалению, только Педагогическая Академия не только не прислала нам материалов об этом проек-

те, но даже нигде и в прессе не огласила его. А посему первая — огромная просьба к Вам — помочь мне достать этот проект программы.

Тема 2. Это пересмотр учебников и подготовка новых. Тут мы особенное внимание уделяем снова арифметике. В связи с этим подготовляются к следующему учебному году задачники по арифметике для III и IV класса. Кроме того у нас готовятся учебники для пединститутов, а именно: а) заканчивается печатанием курс Высшей геометрии проф. Смогоржевкого; б) Запорожский пединститут работает над учебником по элементарной алгебре для педвузов; в) наш УНДИП подготовляет: (через год выйдет) методичку систематического курса арифметики (Майергойз и коллектив), переиздание «Методики стереометрии» (редактор Белоусова), «Теория и практика задач на построение»; г) кроме того, готовится ряд диссертационных тем, например, «Теория пределов и измерение длины окружности» (Шиманский), «Методика геометрических мест точек в курсе элементарной геометрии» (Сергунова). В связи с работой над учебником для средней школы, мы очень заинтересованы: а) учебником геометрии Глаголева; б) «Алгеброй» Колмогорова и Александрова. У нас их нет.

Есть ли у нас аспирантура?

В области методики математики - при УНДИПе, но беда в том, что защита диссертаций на звание кандидата педагогических наук на Украине проводится только при нашем Киевском университете, где нет даже педагогического факультета, и это ужасно осложняет прохождение защиты. Аспирантов у меня за эти годы (до 1941 г.) было немало. Сейчас двое. Много работы по подготовке диссертаций (по линии методики) методистами провинциальных вузов. Они связываются при этой подготовке с нами. Если интересует, пришлю Вам список рекомендуемых нами и нашу программу кандидатского минимума по спецкурсу математики.

Наконец, последний Ваш вопрос о Грацианской. Она в Киеве в издательстве «Радянська школа» заведует отделом математики и редактор в области математики в Украинском Комитете Высшей Школы. С работой в школе и в вузе она не связана.

Ну, пора кончать.

Крепко жму руку. Ал. Астряб

Без даты

Глубокоуважаемый Иван Козьмич! Простите, что запоздал с личным ответом на Ваше второе письмо: был в отъезде, а потом старался лично увидеться с Вами в Москве, на заседании Пед. Академии, но плохо чувствовал. Я смалодушничал и не поехал. Получили ли Вы кое-какой материал сделанный Вам моими сотрудниками во время моего выезда из Киева? Напишите, между прочим, своё

откровенное мнение по посланной Вам программе по кандидатскому минимуму. Дополнительно посылаю Вам: 1) автобиографию и список трудов Лебединцева (она не полная) Нет даже последних лет его жизни. <...> с большим трудом достал дополнительные материалы о Хлебникове. Перепечатаю их и вышлю. С портретами получилась задержка. Очень много хотят за них. Не теряю надежды в скором времени выслать Вам портреты Лебединцева, Мукалова, Букреева и «обличья». Коротко отвечаю на ваш вопрос.

На первом съезде учителей с докладом о форме преподавания математики выступал Николай Николаевич Володкевич старший (отец), руководство по практическим занятиям по физике написано его сыном Николаем Николаевичем младшим...

24. IX. 1945

Глубокоуважаемый Иван Козьмич! Вы имеете все основания сильно ругать меня. Одним утешением для меня служит то, что я не в меньшей мере ругаю моих сотрудников, которые принуждают меня краснеть перед Вами (хорошо, хоть — заочно!)

Дело в том, что когда мы обратились в фотоателье приготовить мне отпечатки фотокарточек Лебединцева, Мукалов, Хлебникова, Кобелевской и моей, то они заломили неприличную сумму 200 рублей! Тогда мои сотрудники решили приготовить отпечатки собственными силами. Вот до сих пор всё возятся: то у них бумаги нет, то нет реактивов, то снимут так, что узнать нельзя! У меня лопнуло терпение, и я предложил им в ультимативной форме: если а 1-ому апреля они не приготовят для Вас вышеперечисленные карточки, то я немедленно заказываю их в фотоателье. Ибо, действительно, получилась безобразная история! Словом, перечисленные снимки обязательно вышлю в ближайшее время. Хуже с портретами Долгушина и Барицкого: никак не нападу на их след. Хлопочу о карточке Володкевича, думаю, что удастся получить, хотя дочь и капризничает. Достану ещё карточку Букреева, Богоржевского, Ремеза. Как только получу, немедленно вышлю.

Очень понравился мне план работы Ваших аспирантов. Мои фактически тоже с этого года перестроились на Ваш лад. Так что мой «минимум» скорее надо рассматривать как «обобщение». Даёте ли Вы своим аспирантам 1-го курса ещё семинар по педагогике?

<...>

А теперь бесконечные просьбы.

Просьба №1. С 1-го января выпускается журнал «Математика в школе». Но ведь УНДИП отпустили 1 экземпляр! Весь отдел наш остался без журнала. Нельзя ли от моего имени попросить Ал. Ник. Барсукова принять хотя бы от меня подписку из редакционной брони?

Просьба №2. Из перечисленных Вами книг мне геометрию Глаголева прислали, а «Начал» Евклида и работ Архимеда у меня нет. Ведь вся моя библиотека погибла!

Просьба №3. Нам нужны программы по математике в РСФСР по ряду лет. Есть ли у Вас под рукой хотя бы некоторые из них - очень просим выслать их.

Извините за неаккуратность. Постараюсь исправиться!

Ваш А.М. Астряб

III. 1946 г.

Глубокоуважаемый Иван Козьмич!

Наконец удалось хотя и в микроскопической дозе начать погашать свой долг. Посылаю фотоснимки: 1) себя; 2) Лебединцева; 3) Хлебникова; 4) Кобелевой. Уже заказана фотокарточка Мукалова. Удалось связаться с дочерью Н.Н. Володкевича. Она обещалась принести его портрет и автобиографию. Веду переговоры с Букреевым. Думаю, что удастся заполучить и у него карточку и краткую автобиографию. Хуже дело обстоит с Барицким и Долгушиным. Барицкий последние годы жил в Житомире. Я связался с лицами, знающими его. Но они, к сожалению, только пообещали, но ничего не сделали. Буду ещё нажимать на них (Барицкий в последние годы работал в пед. институте в Житомире). Ещё хуже с Долгушиным, пока не удалось связаться с кем-нибудь из его родных.

Спасибо большое за информацию о Ваших Московских педагогических начинаниях.

Спасибо и за помощь в подписке на «Математику в школе». Для верности высылаю Вам 30 руб.

Искренне уважающий Вас, Ал. Астряб.

20. IV. 1946 г.

Глубокоуважаемый Иван Козьмич! Спешу выслать Вам фотокарточку Н.Н. Володкевича. Биографические данные о нём вышлю попозже: их мне обещала занести его дочь, но ещё не принесла. Сегодня уезжаю на месяц в Николаев в гос. экз. комиссию. Вернусь в первых числах июля. Тогда пришлю дополнительный материал.

Ваш А.М. Астряб Привет А.Я. Моргулису

5.VI. 1946 г.

Александр Матвеевич не только бережно относился к истории отечественного математического образования, но и активно поддерживал молодых своих земляков. Об этом свидетельствует следующие записки. Астряб, понимая внушительную значимость Ивана Козьмича в кругу педаго-

гов-математиков, старался по возможности познакомить своих учеников и сотрудников с ним. Ведь общение с Андроновым было, действительно, драгоценно.

Глубокоуважаемый Иван Козьмич!

Пользуюсь удобным случаем послать Вам свой сердечный привет и, конечно, не могу обойтись без просьбы. Помогите добрым советом и указаниями подателю этой записки — молодому научному работнику в области методики математики, который оформляет у нас в Киеве свою научную квалификацию и с увлечением взялся за писание интересной, но трудной диссертационной темы.

Искренний, сердечный привет! Ваш А.М. Астряб

15. XII. 1947 г.

Дорогой Иван Козьмич!

Позвольте, прежде всего, от всей души поблагодарить Вас за сердечное поздравление с наступившим новым годом и в свою очередь пожелать Вам такой же плодотворной и творческой удачи в деле созидания и расцвета нашей советской культуры, которому Вы отдали и продолжаете отдавать все свои силы!

Письмецо это передаст Вам наша энергичная, научная сотрудница доцент Сергунова Ольга Петровна, которая много работает в области методики геометрии.

Какие у Вас новости в мире методическом и педагогично-научном? Мы сейчас много работаем по вопросу политехнического образования перестройки, в связи с этим обсуждаются в педвузах.

Ваш Ал. Астряб

6.1.1953 г.

Андронова и Астряба связывали и характерные для учёных всех времен просьбы о рецензировании работ учеников, сослуживцев, друзей. Александр Матвеевич и сам обращался с такими просьбами, и отвечал на подобные просьбы без замедления.

Глубокоуважаемый Иван Козьмич!

Успел вчерне прочитать всю работу Полищука: Теория длины окружности и площади круга в средней школе». Хотя в работе и есть грешки, но в общем могу признать её удовлетворительной. В первой половине января напишу развернутую рецензию и вышлю её Вам. Если Вам необходимо прислать предварительную, одобрительную рецензию, то телеграфируйте об этом - вышлю её.

С приветом и с Новым годом!

Ваш Ал. Астряб

24. XII. 1950 г.

Из письма от 28.V. 1951 г.:

Дорогой Иван Козьмич!

Искреннее сожалению, что не удалось мне более подробно побеседовать с Вами, обменяться более подробно мыслями по ряду важных для обоих нас вопросов. Но уж очень творчески-напряженное время переживаем все мы с Вами: так трудно планировать свой досуг, особенно Вам — москвичам!

Буду тешить себя надеждой, что милый Иван Козьмич посетит наконец и нашу Украину, благо поводов для этого предвидится так много! Вот тогда-то побеседуем с Вами по душам в кругу наших украинских друзей - педагогов.

А ведь так хочется обменяться с Вами своими мыслями, чаяниями и дерзаниями в области любимого нами с Вами дела — создания новой науки! Нашей советской методики математики!

Для Астряба Андронов был словно старший брат, более опытный и зрелый. С ним он советовался по очень многим вопросам. Просьбы были практически в каждом из найденных писем. Так, в письме от 2.IV. 1954 г. Александр Матвеевич обращается с просьбой: «Очень и очень прошу Вас, Дорогой Иван Козьмич, сообщить мне Ваше мнение о качестве таких диссертаций ...».

В канун Великого Октября шлю свой самый дружеский, товарищеский привет, поздравление и самые лучшие пожелания милому, дорогому и глубоко уважаемому Ивану Козьмичу — нашему скромному и неутомимому работнику — славному научному деятелю на ниве народной. Привет сердечный, милый наш Иван Козьмич.

Ваш Ал. Астряб

4.XI. 1955 г.

С октября 1958 года (за четыре года до смерти) А. М. Астряб больше работать не мог. Ноги отказали совсем...

В том же году он отправил Ивану Кузьмичу Андронову письмо. Это последнее из обнаруженных нами писем. Оно было напечатано на машинке. Возможно, это связано со здоровьем учёного: последние годы жизни он был прикован к постели. Не мною замечено, что когда человека лишается самого ценного в жизни - здоровья, он переосмысливает своё отношение к жизни, четко вычленяются ценности, которые теряются, уходят «на второй план» в нашей обыденной суетной жизни. В этом письме боль и мечты учёного в первую очередь не о себе, а о судьбе молодых и их будущего образования.

Дорогой Иван Козьмич! Глубоко тронут Вашим беспокойством обо мне, тем, что не забываете старика в светлые дни праздника. Много теплых воспоминаний навевают они, рассеивают горестные думы, успокаивают, радуют. А радостей теперь у меня, увы, уже немного. И каждый случай, вызывающий её, будоражит твоё стариковское сердце, становится особенно дорог и приятен. Так было и с Вашим поздравлением, дорогой Иван Козьмич. Ещё раз спасибо за него.

Прикованный к постели читаю, вспоминаю, мечтаю. Мечтаю не о себе, о молодежи, идущей нам на смену. И вот, кстати, один из близких приятелей нашей семьи (Очеретный Андрей) недавно при нашем институте защитил кандидатскую диссертацию по украинской филологии («Говоры У майского района»), защита прошла гладко, волнуется юноша о её дальнейшей судьбе. Убедительно прошу Вас, дорогой Иван Козьмич, если представится случай, узнайте о её судьбе (6 ноября она отослана к Вам в Москву).

Невольно вспоминается и своя молодость, жизнь, её волнения, беспокойства, радости. Однако живется и будущим: каковы пути нашей средней школы, что нового ждет институты, что за новые толки в присуждении учёных степеней и пр.

Что делается у Вас, дорогой Иван Козьмич, что нового, каковы планы.

Сердечно рад был бы получить от Вас весточку. Искренне любящий Вас. Ал. Астряб.

Без даты

Именно благодаря упоминанию фамилии Очеретный нам удалось установить год приведенного выше письма - 1958.

И вот последнее из архива письмо:

Дорогой Иван Козьмич! Вот уже больше месяца, как я оставил работу и перешёл на пенсию.

Теперь у меня много времени для размышлений и воспоминаний. В частности много и хорошо думал о Вас, вспоминал, как много раз Вы меня выручали.

В этом письме обращаюсь к Вам с последней просьбой. Уйдя на пенсию, хотел бы, чтобы все начатые мною работы были доведены до конца.

Одной из таких незаконченных работ есть защита диссертации моей последней аспиранткой Лидией Петровной Дудко на тему «Преподавание геометрии в 6-м классе».

Диссертация уже сдана на защиту в Киевский педагогический институт.

Если Вам позволит здоровье и время, смогли бы ли Вы выступить в качестве официального оппонента по этой диссертации? Буду очень Вам признателен.

Пишите, над чем Вы сейчас работаете, какие новости на научно-педагогическом фронте?

Что у Вас слышно об изменении структуры школы, о новых учебных планах, программах?

Глубоко уважающий Вас А. Астряб

12.Х1.1958г.

6. Воспоминания коллег, друзей, учеников

Сотрудниками и учениками Александра Матвеевича были И. Е. Шиманский, Д. М. Маергойз, О. Н. Сергунова, М. Б. Гельфанд, А. С. Бугай, Е. С. Дубинчук, В. М. Кухарь, Г. П. Бевз, 3. И. Слепкань и многие другие. Они продолжали разработку актуальных проблем отечественной методики математики. Многих уже нет в живых...

Нам удалось встретиться с Григорием Петровичем Бевзом. Сначала коротко о биографии учёного.

Бевз Григорий Петрович родился 7 февраля 1926 года в селе Війтівка (ныне Родниківка) около Умани. В 1941 году закончил семилетку в Кривом Роге, а в 1947 - 10-й класс Уманской средней школы №2 (с серебряной медалью). На мехмат КГУ им. Т. Г. Шевченко его не приняли, хотя в то время медалистов зачисляли на обучение без вступительных испытаний и конкурсов. Подвела биография - не комсомолец, жил на оккупированной территории, отец репрессирован, дед раскулачен. В 1950 году, закончил Уманский учительский институт, а в 1952 году - Криворожский педагогический институт (с отличием). С 1950 года работал учителем математики и физики в селах Христинівського района.

В 1954 году Григорий Петрович поступил в аспирантуру Киевского педагогического института по специальности методика преподавания математики, научный руководитель Д. М. Маергойз. После окончания аспирантуры в 1957 году его направили на работу старшим преподавателем в Криворожский педагогический институт. Успешно защитив диссертацию на тему «Доказательства в школьном курсе алгебры», получил научную степень кандидата педагогических наук и стал работать на кафедре математики и методики математики в Киевском педагогическом институте им. А. М. Горького (1962-1971 гг.) - доцент, 1972-1983 гг. - заведующий кафедрой, 1983-1993 гг. - доцент). В этот период кафедра стала опорной для всех кафедр методики математики Украинской ССР, при ней был организован факультет повышения квалификации методистов-математиков из братских республик, а также - оценивания научных работ по методике математики студентов СССР.

Г. П. Бевз - автор более 200 научных работ, среди них более полусотни - учебники и начальные пособия. Прежде всего «Методика преподавания математики», по ней учились на протяжении четверти столетия все будущие учителя математики Украины. А ещё - учебники для 5-11 классов общеобразовательных школ. Под его руководством продолжает издаваться сборник научных трудов «Методика преподавания математики». Им велась интенсивная научно-исследовательская работа по основным вопросам

методики математики. Им подготовлено 20 кандидатов педагогических наук Украины и из стран ближнего и дальнего зарубежья.37

Григорий Петрович охотно согласился встретиться. Спасибо ему за это!

Из воспоминания Григория Петровича: «Моё знакомство с Астрябом началось с поступления в аспирантуру. Позже мы с Астрябом читали вместе лекции. Начнём по порядку. А. М. Астряб был небольшого роста, довольно худощавый. Разговаривал преимущественно на русском языке, а лекции читал чаще всего на украинском. Я слушал его лекции, когда поступил в аспирантуру к Д. М. Маергойзу. Это был 1954 год. В это время у Астряба уже болели ноги, он даже не мог стоять. По-видимому, это был ревматизм. Однако приходилось работать, поскольку он нуждался в деньгах. На работу ему самому было не добраться. Два аспиранта брали такси, тогда это было недорого. Ехали к нему домой. Жил он на улице Саксаганского. Сажали учителя на стул, и на стуле его выносили, сажали в такси. Делали это ребята побольше и покрепче. Вот так, ноги не работали, а голова очень хорошо работала. Привозили его тогда ещё в педагогический институт (ныне Национальный педагогический университет имени М. П. Драгоманова). Через вход с бульвара Шевченко вносили его в актовый зал, ставили на стуле на сцену. Обычно аспирант, я тоже это часто проделывал, демонстрировали различные таблицы. В последние годы работы Астряб в основном читал историю математики, историю методики математики. Мы - аспиранты готовили эти таблицы к лекциям. Иногда и сам Астряб делал их дома. И вот так сидя читал лекции. В актовом зале сидели студенты. Читаемый курс не входил в число основных, а был по выбору. Однако студенты охотно ходили на его лекции, очень уважали и ценили его. После окончания лекции наступало время аспирантов. Они окружали его, много спрашивали, беседовали.

Александр Матвеевич рецензировал мою самую первую статью «Доказательство методом от противного», написанную в аспирантские годы. Он половину почеркал. Заменил не только неудачные слова, но и целые предложения, переставив местами абзацы, сделав много других исправлений, так что от написанного мною осталось лишь немного. В результате статья стала короче и содержательнее.

Позже Александр Матвеевич рассказал о своём принципе работы: когда плохо пишет опытный научный работник, эту писанину не грех забраковать, когда же не совсем удачно пишет начинающий, то ему нужно помочь. Это принцип я хорошо запомнил, так как считаю его разумным, впоследствии я придерживался его. Александру Матвеевичу я очень благодарен. Астряб меня учил. Я взял на всю жизнь с него пример: позже мне

37 // Бевз В.Г. Історія математики у фаховій підготовці майбутніх учителів: Монографія. - К.: НПУ імені Драгоманова, 2005. - С.260-261.

довелось быть редактором украинского журнала «Математика в школе» и со всеми начинающими учёными я поступал так же. Если же статья написана доцентом или кем-то выше по учёному званию, неаккуратно, то он просто отбрасывал, не делая никаких поправок. Я всегда вспоминал, как обучал меня Астряб».

Григорий Петрович не без основания считает «Наглядную геометрию» А. М. Астряба главным трудом его жизни. В разговоре об учёном он продолжает: «Почему «Наглядная геометрия» стала такой популярной? Потому что она достаточно удачно решала проблему геометрического образования в предреволюционное время. Систематический курс геометрии рассматривал почти исключительно геометрические абстракции, совсем не связывая их с потребностями общества. Такая геометрия была нужна только тем, кто в будущем собирался стать математиком, философом или другим учёным, но не рабочим на производстве. Рабочим, бригадирам, учётчикам нужна была другая геометрия, но её тогда в школах не изучали. К тому же абстрактную геометрию, не подкреплённую живыми примерами, понимали далеко не все.

«Наглядная геометрия» А. М. Астряба решала две актуальные проблемы. Во-первых, она давала минимальную геометрическую подготовку, необходимую для производственников; во-вторых, она делала естественным и понятным систематический курс геометрии, так как служила доброй пропедевтикой его изучения.

В 1950 году мне посчастливилось проводить уроки наглядной геометрии для пятиклассников. Со временем в разных школах я преподавал все математические предметы. Но более интересными, более содержательными, более необходимыми для большинства учащихся считаю именно уроки наглядной геометрии. На тех уроках ученики были такими активными и заинтересованными, получали так много знаний и умений, как ни на каких других. Жаль, что потом наглядную геометрию как отдельный учебный предмет исключили из учебных планов».

Мы уже говорили, что Александр Матвеевич был большой книголюб, и в начале Великой отечественной войны его библиотека сгорела. Много сил положил А. М. Астряб на собрание новой.

Григорий Петрович продолжает рассказ: «Жаль, собранная Астрябом в дореволюционные годы библиотека в годы войны пропала. Через некоторое время он собрал ещё несколько тысяч книг и журналов преимущественно по математике, философии, истории и методике преподавания.

Что касается семьи Астряба, помнится мне, было что-то нехорошо, неладно. Мне запомнилось, что, когда умер Астряб, а я был большой книголюб, сын объявил продажу книг. Придя в назначенное время, я был удивлён царившему там беспорядку. Рукописи, среди них было даже и неопубликованное, похвальные грамоты просто валялись на полу. Некоторые рукописные материалы молодой господин смёл веником в угол комнаты. Я

спросил его, нельзя ли взять с того «мусора» что-нибудь. Он сказал, что можно забрать всё, тогда я отобрал то, что считал ценным для истории методики математики. Особый интерес для меня вызывали программы по математике в дореволюционной школе. (На фото представлен фрагмент одной из таких рукописей - О.Т.). Остаток «мусора» посоветовал не выбрасывать, а собрать в папки и подарить пединституту. Я тогда сказал сыну, что надо организовать весь материал на кафедру. Сын не очень хорошо относился к памяти отца.

Отобранные мною старые планы, программы, конспекты лекций и др. я разместил в трёх альбомах: «Математика в школах Украины» (хранится в Педагогическом музее г. Киева), «Методика математики в школах Украины» (хранится в Киевском Национальном педагогическом университете имени М. П. Драгоманова») и «Об истории методики математики», который продолжаю комплектовать».

Григорий Петрович бережно хранит материалы А. М. Астряба. В созданных им альбомах собраны редкие значимые сведения. Проделать такую работу под силу только истинному историку математического образования.

В одном из таких альбомов есть карандашная рукопись выступления А. М. Астряба (к тому времени уже самостоятельно не передвигающегося человека) перед студентами по случаю вручения ему ордена Ленина. Частично нам удалось воспроизвести текст выступления, который так же, как и лекции Александра Матвеевича носит тезисный характер.

1. В жизни каждого из нас бывают такие минуты, когда хочется побеседовать со своей совестью, хочется оглянуться на пройденный этап жизни, хочется подумать, его пересмотреть, переоценить. В бессонные ночи последних дней я часто беседую со своей совестью, Я спрашиваю её, мою совесть, заслужил ли я того, чтобы на моей груди заблестел золотом окаймленный портрет великого Ленина.

2. Моя совесть говорит мне. Ты обыкновенный, рядовой советский человек, с обыкновенными творческими способностями, но с тем творческим интересом к жизни, которого так много у каждого из вас, советских людей.

Я с детства - настойчиво трудолюбивый, упрямо терпелив. Но ведь этой чертой наградил меня с детства мой отец из Западного Высокогорья, сначала - пастух, а потом сделавшийся при содействии русско-украинских прогрессивных деятелей, скромным учителем.

3. Есть ещё одна особенность моего характера - я очень люблю детей. Но кто из вас, будущих педагогов не любит их?

6. 1904 год. Я учитель средней школы. Но первый же год учительства в Глуховской гимназии убедительно показал мне, как трудно было в условиях старой казённой царской школы молодому человеку - энтузиасту реализовывать свои педагогические планы!

Частные гимназии и коммерческие училища двух типов. Искание новых путей: общества преподавателей (школы №50), женские курсы I общества преподавателей и профессоров (Военное министерство).

7. Первое дуновение партийной жизни. Развал коллектива преподавателей. Начался длительный процесс политического перевоспитания нас рядовых учителей. Развенчание лозунга: «Аполитичности науки - математики».

8. Рабочий факультет. Лето 1922 года. Встреча с большевиками-товарищами.

9. Советская школа. Украинская терминология. Первые программы. Первые учебники. Новое правописание.

10. Критика, дружеская и советская. 1932 год. Теория + практика, наглядность + абстракция.

11. 1941 год. Война. Временная эвакуация. Дружба народов. Университет в Кзыр-Орде.

12. 1943-1953 гг. Советская действительность. Крещатик. Моя партийность. 1948 год. Я - член огромной семьи.

13. Я стар. Поседела моя голова. Физические силы иссякают. Но особенности нашей советской жизни в том и состоят, что жизнь умеет и в слабом физическом теле поддерживать бодрый дух. В эти дни хорошо у меня на душе, ибо видишь себя среди друзей, ибо глубоко веришь, что, когда ты уйдёшь в небытие, на смену тебе идёте Вы - наша новая, молодая, бодрая смена, которая так же любит детей, как и я. Так же ценит лучшую в мире советскую культуру, также горячо любит нашу Родную партию, хорошо осознавая, что на смену тебе идёт тысячная жизнерадостная плеяда, на многотысячной груди которой заблестят такие же чудесные ордена Ленина, Трудового Красного Знамени и ордена Почёта.

14. Глубокое спасибо Советской власти и Коммунистической партии за отцовскую заботу о нас, советских людей. Клянусь, что до последнего своего вздоха буду жить интересами нашей советской науки и культуры, нашей Коммунистической партии, воспитавшей меня, Советского Гражданина.

Григорий Петрович продолжает: «Астряб читал лекции, используя маленькие листочки, периодически в них заглядывая. Таких листочков было сотни, они представляли собой конспекты лекций. После войны были проблемы с бумагой, поэтому он часто брал не всегда абсолютно чистые листы.

А. М. Астряб всегда говорил, что он из самой бедной семьи, что его отец был якобы пастухом. В 2002 году журналист Юрий Дзурий по телефону попросил рассказать ему про А. М. Астряба. Я пригласил его домой, и мы долго разговаривали, но, правда, на другую тему. Гость сразу предупредил, что его ни математика, ни методика математики не интересуют совсем. Его интересуют Астрябы как представители лемков, а я про это ничего не знал. Поэтому в основном рассказывал гость. В заключение он подарил газету «Киевлянин» №29(73) за 2002 год. В этой статье был портрет Матвея Григорьевича и его автобиография.

В журнале «Киевская старина» отец Астряба в своё время опубликовал свою биографию. Таким образом, Астряб был не из бедной семьи. Очевидно, что он не всё рассказывал о себе, хотя мы спрашивали его о происхождении фамилии, что она означает. Ведь она совсем не украинская. Фамилия Астряб созвучна с названием птицы - ястреб. Уверен, что это связано с определёнными установками после рабоче-крестьянской революции.

Когда я был заведующим кафедрой, то мы каждый год с коллегами ходили на кладбище. Александра Матвеевича мы всегда помним.

Главная заслуга А. М. Астряба состоит в том, что он создал в Украине школу методистов-математиков.

Александр Матвеевич корректно вёл себя по отношению к власти. Орден Ленина далеко не каждому давали. Работал депутатом в Киевском горсовете. Был мягок, никогда не выступал против, поддерживал начальство.

Астряб много помогал аспирантам. Сам очень много работал». Встреча с Григорием Петровичем Бевзом закончилась, и она оставила в душе приятное чувство сопричастности с историей.

Долгие годы ректором Национального педагогического университета им. М. П. Драгоманова был Николай Иванович Шкиль. Встреча с Николаем Ивановичем Шкилем состоялась в стенах этого университета.

Коротко о биографии учёного.

Шкиль Николай Иванович родился 13 декабря 1932 года. В 1955 году закончил физико-математический факультет Киевского государственного университета им. А. М. Горького по специальности «Учитель математики средней школы». Доктор физико-математических наук, профессор, заслуженный деятель науки и техники Украины, действительный член Академии педагогических наук Украины и Академии наук высшей школы

Украины. Общий стаж педагогической работы 56 лет, в университете - 55, из них 30 лет - на посту ректора. Им опубликовано 370 научных работ, в том числе 10 монографий, 22 учебника и учебных пособия. Руководитель научной школы «Проблемы приближенных методов решения дифференциальных и интегральных уравнений». Под его руководством защищено 25 кандидатских и 4 докторских диссертации. Лауреат премии НАН Украины им. Академика М. М. Крилова, Государственной премии Украины в области науки и техники, премии им. В. Вернадского, премии НАН Украины им. М. В. Остроградского. Николай Иванович ныне советник ректора НПУ им. М. П. Драгоманова, читает лекционный курс «Математический анализ» и «Дифференциальные уравнения» для студентов физико-математического факультета, возглавляет специализированный совет по защите докторских диссертаций в НПУ им. М. П. Драгоманова, член Государственной экзаменационной комиссии. Входит в редакционные коллегии журналов «Украинский математический журнал», «Нелинейные колебания», «Высшая школа», «Родная школа».38

Н. И. Шкиль был знаком с Александром Матвеевичем Астрябом, будучи ещё абитуриентом. Николай Иванович вспоминает: «Моё первое знакомство с А. М. Астрябом произошло на вступительных экзаменах. Мы поехали с друзьями и соседями поступать учиться в Киев. На физико-математический факультет решили поступать четыре человека: три девочки и один мальчик. Я же собирался идти на мехмат. Когда приехали в Киев, то подумал, как же я буду один на мехмат поступать? Боялся я тогда большого города Киева. И решил, что тоже пойду на физмат. И вот первый экзамен пишем письменно. Мы думали, что будет, как в школе. Все сели ровно за мной в надежде, что у всех будет один вариант. И вот Астряб и комиссия раздали нам варианты. А их оказалось, наверное, 10. Это сейчас так делают, а раньше так не делали. Всем раздали задания на листах. Девочки - сразу в панику. На одной из них я потом чуть не женился. Звали её Мария. Ей я, конечно, сделал всю работу первой. Потом дальше стал помогать. И так за свой вариант я взялся, когда времени осталось уже очень мало. А тут ещё геометрическая задача не простая - произведение не могу преобразовать, а надо ещё и прологарифмировать. Я нахально в одном слагаемом делю на два и получаю нужное произведение. В арифметической задаче я тоже где-то спутал, торопился сильно. Все уже работы сдали, я не то что черновик писать, сразу на чистовик всё делаю. Астряб бегает и говорит: «Молодой человек, все сдали, а что вы сидите?». Пришёл я в общежитие, где нас поселили жить, прорешал задачи, и понял что у меня оценка будет ... Завтра думаю, пойду смотреть списки. У кого оценка «2», были в вывешенном в список. Прихожу, смотрю, меня в списке нет. Значит у меня

38 Педагогічні кадри. Газ. Национального педагогического университета им. М.П. Драгоманова. - №11 (1582). - декабрь. - 2007. - С.2.

не «2». Следующий экзамен был устный. Я два дня сидел над этой математикой, все - меня не трогайте.

Сдаю экзамен комиссии, в ней - Астряб. Я всё отвечаю, в том числе и на дополнительные вопросы. Тогда Астряб спрашивает: «А почему у вас письменный экзамен так плохо?». Я отвечаю, что из села приехал, вот и растерялся. Задают ещё вопросы. В итоге по устному ставят «пять», по письменному экзамену - «четыре», а общую оценку «пять». Все остальные я сдал только на «отлично». Было около шести экзаменов. Вот так я поступил и стал студентом физико-математического факультета. А Астряб так и не узнал, почему я плохо написал письменный экзамен, помогал девочкам».

Знал бы Александр Матвеевич, что так помог: открыл дорогу в учёбе будущему ректору с 30-летним стажем! Да, ничего случайного не бывает в жизни!

Николай Иванович продолжает: «Потом я уже был студентом 3 курса, а Александр Матвеевич руководил нашей педагогической практикой.

Про Астряба рассказывали такую легенду. Приходит Александр Матвеевич на урок математики в 5 класс к молодой учительнице, а там два урока. Тема урока: «Сложение обыкновенных дробей». Вот учительница рассказывает: «Дети, чтобы сложить две дроби, нужно от числителя первой дроби отнять числитель второй дроби, а потом от знаменателя первой - отнять знаменатель второй дроби, полученная дробь - это и будет то, что требовалось найти». На перемене Астряб зашёл в учительскую и говорит: «Дитё моё, что же ты делаешь. Как же ты складываешь эти дроби! Так же нельзя! По рукам надо бить!». А она спрашивает: «А как надо?». Астряб ей рассказал, как надо складывать дроби. Она заходит на второй урок и говорит: «Дети, это мы складывали дроби по старой инструкции, а я вот сейчас только в учительской была, по новой инструкции дроби нужно складывать так». И она начала складывать правильно. Александр Матвеевич это рассказывал так, что и он сам, и мы очень смеялись.

Последние годы жизни Астряб очень сильно болел».

Александра Матвеевича помнят и высоко чтят на Украине. Хранят память о нём в Национальном педагогическом университете им. М. П. Драгоманова. Продолжателями и последователи научно-педагогической деятельности А. М. Астряба является кафедра математики и методики преподавания математики во главе с заведующим, кандидатом педагогических наук, профессором Василием Александровичем Швецем.

В 2007 году кафедрой была организована и проведена международная научно-практическая конференция «Математична освіта в Україні: минуле, сьогодення, майбутнє», посвященная 60-летию кафедры математики

и методики преподавания математики. Были выступления, посвященные памяти Александра Матвеевича.

В родном вузе Александра Матвеевича - Национальном педагогическом университете имени М. П. Драгоманова на физико-математическом факультете есть аудитория имени А.М. Астряба, в ней висит портрет учёного.

Астряб Матвей Григорьевич (1843-1925)

А. М. Астряб в период заведывания кафедрой с 1947 по 1953 гг.

Национальный педагогический университет имени М.П. Драгоманова (г. Киев)

А. М. Астряб в домашней обстановке при работе с аспирантами

Байково кладбище г. Киев

Рукописи А.М. Астряба

На стенде история кафедры методики математики Национального педагогического университета им. М.П. Драгоманова

Подпись А. М. Астряба

Андронов Иван Козьмич (1894-1975)

Письма А.М. Астряба И.К. Андронову

Аудитория имени А.М. Астряба

Портрет А. М. Астряба Национальный педагогический университет им. М.П. Драгоманова

Музей

Национального педагогического университета им. М.П. Драгоманова

Шкиль Николай Иванович (Киев, май 2008 г.)

Бевз Григорий Петрович (Киев, май 2008 г.)

На встрече с Г. П. Бевзом (Киев, май 2008 г.)

Страница из альбома Г. П. Бевз об А. М. Астрябе

7. Методико-геометрические работы А.М. Астряба

В период до революции 1917 года в России уделялось большое внимание вопросам методики преподавания геометрии. Многие выдающиеся отечественные учёные и педагоги-математики начала XX века внесли важный вклад в процесс становления геометрии как учебной дисциплины школы и вуза. Становление геометрии как учебного предмета было бы невозможным без активного участия целого ряда видных русских педагогов-методистов, для которых геометрия была областью их научных интересов. К ним в первую очередь надо отнести С. И. Шохор-Троцкого, который являлся приверженцем системы целесообразных задач; В. К. Беллюстина, являющегося приверженцем принципа природосообразности; В. Р. Мрочека и Ф. В. Филипповича - союзников в педагогике математики; А. М. Астряба - проповедника наглядной геометрии; Н. А. Извольского - автора комбинационной концепции построения курса геометрии и др.

Абсолютное большинство методистов-математиков утверждали, что изучение геометрии должно строиться в соответствии с учётом психологических особенностей развития детей. Следовательно, обучение геометрии должно осуществляться в два этапа: начальный и систематический. Причем на первой стадии обязательно с соблюдением принципов наглядности и доступности.

Александр Матвеевич Астряб вошёл в историю отечественной методики математики прежде всего как автор учебников геометрии. В результате изучения методико-математического наследия, оставленного учёным, мы пришли к твёрдому убеждению, что его мысли и взгляды на преподавание геометрии актуальны и сегодня и потому заслуживают детального изучения.

А. М. Астряб - автор целого ряда учебников и методических пособий: «Наглядная геометрия» (1909), «Курс опытной геометрии» (1923), «Геометрия для трудшкол» (1927), «Как преподавать геометрию в средней школе» (1934), «Теория и методика решения задач на построение» (изд. 1, 1940, изд. 2, 1960), «Методика стереометрии» (изд. 1, 1939, изд. 2, 1949; изд. 3, 1956), «Преподавание арифметики в семилетней школе» (1951), «Очерки по методике преподавания систематического курса арифметики» (изд.1, 1950; изд.2, 1953), «Наглядная геометрия в IV-V классах» (1951), «Преподавание геометрии в средней школе. Планиметрия» (1953), «Преподавание математики в средней школе при политехническом обучении» (1954).

До конца 50-х годов XIX века мысль о необходимости начального курса геометрии, высказанная С. Е. Гурьевым в России, за исключением немногих математиков-методистов, не очень поддерживалась. Зато с конца

50-х годов и до 70-х годов XIX века, одновременно с появлением большого интереса, как к школе, так и педагогической литературе, появилось большое количество оригинальных и заслуживающих внимания начальных курсов геометрии. Из школьного учебного плана 1864 года пропедевтический курс геометрии был вообще исключен. Однако вопреки активному внедрению классицизма в русских гимназиях и введению схоластических методов преподавания геометрии, учитывая накопленный опыт отечественных и зарубежных педагогов и учёных, авторы искали новые возможности, более совершенные пути обучения начальной геометрии. Были созданы курсы авторов: Е. Е. Волкова, З. Б. Вулиха, М. О. Косинского, А. А. Лёве, В. Г. Спенсера, Я. Фальке, П. П. Фан-дер-Флита и др.

В XIX веке издавались начальные курсы геометрии под различными названиями: подготовительный, элементарный, начальный, пропедевтический и другие. Необходимость таких курсов массово уже не обсуждалась, по словам Е.Е. Волкова, «по крайней мере, в среде педагогов».39 На начальный курс геометрии делалась основная ставка в решении проблемы повышения качества образования учащихся по математике.

С первых же лет своей деятельности А. М. Астряб начал работать над созданием учебников и пособий для школы. С 1906 по 1909 гг. А. М. Астряб на практике использовал различные методы и способы обучения младших школьников элементам наглядной геометрии, наряду с педагогической работой, начинает работу творческую; областью его интересов становится пропедевтика геометрии в начальной школе. Интерес к этому понятен, т.к. традиционный курс геометрии в гимназиях того времени носил дедуктивный характер и не являлся общедоступным: тем более для выходцев из народной школы.

Титульный лист «Наглядная геометрия. Начальный курс геометрии» А. М. Астряба (1913 г.)

39 Волков Е.Е. Новый способ обучения началам геометрии, основанный на решении задач из геодезии. // Педагогический листок. - 1872. - №1. - С.45.

Очевидно, что та обстановка, в которой находился Астряб, способствовала написанию первого его учебника «Наглядная геометрия», опубликованного в 1909 году.

Итак, первая работа А. М. Астряба «Наглядная геометрия»40 вышла в свет в 1909 году, хотя литографированное издание этой книги относится к 1906 году. Эта работа явилась результатом трёхлетнего преподавания автором геометрии в Коммерческом училище Л.Н. Володкевича, где велась лепка геометрических тел из глины и воска, вырезывание из бумаги развёрток геометрических фигур, проводились экскурсии с применением эккера и астролябии. Это учебник нового типа, в нём были соединены задачник и учебник, т.е. книга изложена в виде задач, к ним даны указания и необходимые пояснения. В основу преподавания был положен передовой в то время индуктивно-лабораторный метод с использованием идеи движения, с опорой на самостоятельную практическую деятельность учащихся.

Прежде чем остановиться на содержании курса, перечислим правила, которым он должен удовлетворять. Причём эти правила (принципы), как нам удалось установить, были опубликованы А. М. Астрябом в 1947 году. Значительно позже издания первого учебника по указанному курсу.41

1. Преподавание наглядной геометрии должно быть конкретным. В курсе необходимо планомерно и последовательно использовать различные наглядные иллюстрации: модели, приборы, предметы, используемые в быту и т.д. Хотя не стоит забывать о том, что модели ни при каких обстоятельствах не должны заменять математического содержания изучаемого вопроса. Демонстрируемая конструкция не должна быть сложной, отвлекающей внимание детей от основной математической цели. На уроке количество наглядных пособий должно быть невелико, т.к. в противном случае рассеивается внимание детей, теряется суть и назначение этих пособий.

2. Изучение наглядной геометрии должно быть активным. Этот курс предназначен и для развития творческого воображения, формирование которого невозможно без активной деятельности учащихся, их самостоятельной работы.

3. Курс наглядной геометрии должен быть небольшим, но строго последовательным и содержательным. Например, при изучении вопроса о нахождении площадей фигур необходимо сначала подробно остановиться на измерении площади квадрата и прямоугольника, а только за-

40 Астряб А.М. Наглядная геометрия. Начальный курс геометрии для трёх младш. классов средних учеб. заведений и для гор. уч-щ. С 190 рис. и табл. в тексте. - Киев: Сотрудник, 1909.-X, 171 с.

41 Бескин, Н.А. Методика геометрии. С приложением главы «Методика преподавания «Наглядной геометрии» А.М. Астряба /Н.А. Бескин - М.-Л.: Учпедгиз, 1947. - 276с.

тем постепенно и продуманно знакомить детей с все новой и новой фигурой, выясняя способ измерения ее площади, путем преобразования ее в прямоугольник.

4. Курс наглядной геометрии должен вооружить учеников практическими знаниями. В начальной школе учитель, знакомя детей с геометрическими формами, должен приучать тщательно и аккуратно чертить их, привыкая правильно пользоваться линейкой, угольником, циркулем. Полученные знания о способах измерения геометрических фигур ученики должны применять к решению практических задач.

5. Наглядная геометрия должна развивать у учеников пространственные представления. Этот курс призван упорядочить пространственные представления, которыми обладает ребенок, и способствовать возникновению новых пространственных образов на основе старых. Поэтому курс, предлагаемый А. М. Астрябом, сразу начинается с изучения форм пространственных тел.

6. В курсе должно присутствовать наглядное изучение функциональной зависимости между геометрическими величинами. Наглядная геометрия дает возможность ученикам конкретно осознать простейшие виды различных функциональных зависимостей. Например, площадь увеличится в два раза, если к данному квадрату присоединить такой же квадрат; площадь прямоугольника увеличится в 6 раз, если одновременно увеличить основание в 2 раза и его высоту в 3 раза.

7. Курс наглядной геометрии должен способствовать развитию логического мышления учеников. Изучение свойств геометрических фигур не должно ограничиваться только интуитивным восприятием или только заучиванием какого-либо правила. Важно научить учащихся мыслить, рассуждать, делать выводы и осуществлять умозаключения. Правильное построение курса наглядной геометрии способствует развитию математической речи учащихся.42

Для того, чтобы решать задачи по наглядной геометрии, необходимо было иметь следующие принадлежности:

1) Деревянную линейку, длиною в 20 - 30 сантиметров, подразделенную на сантиметры и миллиметры.

2) Деревянный наугольник с вырезом внутри. Цена наугольника -копеек 15 или 20.

42 Бескин Н.А. Методика геометрии. С приложением главы «Методика преподавания «Наглядной геометрии» А.М. Астряба. - М.-Л.: Учпедгиз, 1947. - С.261-267.

3) Металлический транспортир с радиусом от 4 до 6 сантиметров. На транспортире должны быть нанесены градусы от 0 до 180 в двух направлениях, справа налево и слева направо. Этот транспортир стоит 25 -30 копеек.

4) Циркуль, состоящий из одноножки с приспособлением для надевания его на карандаш.

5) Небольшие ножницы.

6) Тетрадь из толстой белой бумаги.

7) Два листа разноцветной бумаги (не надо покупать глянцевитой бумаги, так как на ней плохо рисовать линии).

8) Синтетикой (или просто гумми-арабик с кисточкой).

9) Карандаш и резинку.

Все эти принадлежности обойдутся около 1 р. 20 к. Кроме того, для тех, кто захочет производить измерения на земле, надо еще иметь следующие приборы:

1) Рулетку, разделенную с одной стороны на метры, а с другой - на сажени. (Вместо рулетки можно взять землемерную цепь).

2) Эккер.

3) Астролябию или какой-либо другой угломерный прибор.

4) 10 заостренных палок.

5) Рейку и ватерпас или уровень.43

В предисловии к «Наглядной геометрии» А. М. Астряб отмечал: «теория и практика показывают, что изучение логической геометрии (в духе Евклида) не может быть успешным без предварительной подготовки, основанной на чувственном восприятии».44 Наиболее сложным и трудным является развитие у детей геометрических представлений и изучение пространственных фигур, в связи с этим курс начинался с изготовления простейших тел: куба, прямоугольного параллелепипеда, цилиндра, пирамиды, конуса. Затем рассматривались свойства каждой представленной фигуры. Этот материал составлял первую часть книги. В ней первую главу «Приготовление геометрических тел» автор рекомендует проходить на уроках рисования. Вторая часть посвящена изучению плоских фигур, прямой, углам, окружности и кругу, треугольнику, прямоугольнику и квадрату. В третью часть включены вопросы измерения геометрических величин, вычисление площадей и объемов.

Приведём содержание этих частей.

43 Цит. по: А.М. Астряб Наглядная геометрия. Начальный курс для трёх младших классов средних учебных заведений и для начальных училищ. 3-е изд. - П.- Киев: Сотруднику 1913.-С. VII-VIII.

44 Астряб А.М. Начальный курс геометрии для трех младших классов средних учебных заведений и для начальных училищ.З-е изд. - Петербург-Киев.: Сотрудникъ, 1913. -С.III.

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ

Глава 1. Приготовление геометрических тел. Куб. Шар. Прямоугольная призма. Цилиндр. Пирамида. Конус.

Глава 2. Изучение куба. Грани куба. Углы куба. Ребра и вершины куба.

Глава 3. Изучение прямоугольной призмы. Грани призмы. Углы, вершины и ребра призмы.

Глава 4. Изучение пирамиды. Грани пирамиды. Углы пирамиды. Ребра и вершины пирамиды.

Глава 5. Изучение шара. Поверхность шара. Круг и окружность. Центр круга и центр шара. Радиус шара и радиус окружности. Диаметр круга и диаметр шара. Шар как тело вращения. Полюсы, ось, экватор, меридиан.

Глава 6. Изучение цилиндра. Поверхность цилиндра. Его основание и высота. Цилиндр как тело вращения.

Глава 7. Изучение конуса. Боковая поверхность конуса. Основание и высота его. Конус как тело вращения.

ЧАСТЬ ВТОРАЯ

Глава 1. Прямая линия. Измерение прямой линии. Основные свойства прямой линии. Сложение и вычитание прямых линий.

Глава 2. Углы. Виды углов. Построение прямого угла наугольником. Перпендикуляр. Построение прямых углов эккером. Сложение и вычитание углов.

Глава 3. Окружность и круг. Центр. Радиус. Хорда и диаметр. Касательная. Дуга. Концентрические окружности. Рисование окружности на земле. Эллипс.

Глава 4. Треугольник. Виды треугольников. Периметр. Построение прямоугольных треугольников. Проведение высоты в треугольниках.

Глава 5. Прямоугольник и квадрат. Стороны и углы. Высота и основание прямоугольника. Диагонали. Площадь квадрата. Площадь прямоугольника.

Глава 6. Измерение поверхности и объема куба и прямоугольной призмы. Измерение поверхности куба. Измерение объема куба. Измерение поверхности прямоугольной призмы. Измерение объема прямоугольной призмы.

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ

Глава 1. Углы. Дуговой градус. Угловой градус. Измерение углов транспортиром. Рисование углов транспортиром. Смежные углы. Вертикальные углы. Измерение углов астролябией.

Глава 2. Параллельные прямые. Свойства параллельных прямых. Построение параллельных прямых при помощи наугольника и линейки. Углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей. Углы с параллельными сторонами.

Глава 3. Треугольники. Свойства углов треугольника. Свойства сторон треугольника. Построение треугольников при помощи транспортира. Признаки равенства треугольников. Построение треугольников на земле.

Глава 4. Четырехугольники. Виды четырехугольников. Свойства углов четырехугольников. Свойства сторон четырехугольников. Диагонали четырехугольников. Средняя линия трапеции. Построение четырехугольников.

Глава 5. Вычисление площадей параллелограмма, треугольника, трапеции и многоугольника. Площадь прямоугольника. Площадь параллелограмма. Площадь ромба. Площадь квадрата. Площадь треугольника. Площадь трапеции. Площадь многоугольника.

Глава 6. Измерение длины окружности и площади круга. Измерение длины окружности. Площадь круга.

Глава 7. Вычисление поверхности и объема геометрических тел (пирамиды, цилиндра, конуса и шара). Поверхность и объем пирамиды. Поверхность и объем цилиндра. Поверхность и объем конуса. Поверхность и объем шара.

Глава 8. Рисование графиков. Система координат. Термометрическая кривая. Барометрическая кривая. Кривые температур при болезнях. Расписание поездов. Задачи о курьерах.

Учебник по наглядной геометрии, как и сама необходимость изучения наглядной геометрии в школе, высоко оценивались коллегами Александра Матвеевича. Так, в 1951 году в своём докладе М. Б. Гельфанд отмечал, что «пособие по наглядной геометрии проф. А. М. Астряба, которое получило положительную оценку учителей, в значительной мере поможет школе правильно поставить преподавание наглядной геометрии. Но этим работа не должна ограничиваться. Нужно еще больше изучать и обобщать передовой опыт для усовершенствования методов преподавания геометрического материала в IV и V классах».45

Высказывались мнения ряда критиков, что книга мало подходит к использованию её в сельской школе. «К потребностям начальной деревенской школы работа г. Астряба не вполне подходит. Хотелось бы видеть в более развитом виде землемерие и связанное с ним составление планов».46

Первая его книга выдержала 13 изданий, три из которых были дореволюционными. Учебник переводился на украинский, болгарский, татарский, немецкий, еврейский языки. В 1923 году опубликовано последнее 6-ое издание на русском языке. Именно он принёс А. М. Астрябу широкую известность. Это был первый учебник по пропедевтическому курсу геометрии на Украине.

Применительно к «Наглядной геометрии» автор создал «Задачник по наглядной геометрии»,47 первое издание вышло в 1916 году.48 В за-

45 Викладання геометрії в сердній школі. Планіметрія. За матеріалами розширеного пленуму відділу методики математики, що відбувся в жовтні 1951 року в м.Вінниці. Под ред. проф. О. М. Астряба и доц. М.Б.Гельфанда. - Київ: Рядянська школа, 1953. -220с.

46 Практическая школьная энциклопедия. Настольная книга для народных учителей и других ближайших деятелей в области народного образования. Под. Ред. Н.В. Тулупова и П.М. Шестакова. Изд. журнала «Для народного учителя». - М: Тип. П.П. Рябушинского, 1912.-С.132.

47 Астряб А.М. Задачник по наглядной геометрии. Составлен применительно к учебнику «Наглядная геометрия». - М.-П.: Гос. изд-во, тип. «Сеятель» Е.В. Высоцкого, 1924. -198с.

дачнике реализован лабораторно-индуктивный метод. Автор стремился к тому, чтобы дети при решении задач максимально использовали свои органы чувств, сделав тем самым восприятие геометрических форм полным и ярким. Автор стремился выстроить задачи в такой последовательности, чтобы ученики в процессе решения испытывали радость и удовольствие от самостоятельно произведённых открытий. Для этого необходимы предметы и явления окружающие ребёнка. Задачник снабжен задачами на построение, измерение, в том числе измерение «на глаз».

Формирование понятия о геометрической величине осуществляется двумя способами: 1) дети сначала составляют геометрические фигуры из основных геометрических единиц (складывают линии из линейных сантиметров, прямоугольники из квадратных сантиметров, призмы из кубических сантиметров); 2) затем разрезают геометрические фигуры на основные единицы (линию на линейные сантиметры, прямоугольник на квадратные сантиметры и т.д.)

Автор предлагал задачи более сложные, в которых геометрическая фигура непосредственно превращается в равновеликую ей простую (например, прямоугольник в квадрат). Иллюстрацию функциональной зависимости Александр Матвеевич осуществляет с помощью графиков и диаграмм. На задачнике, по всей видимости, отразилось веяние времени -стремление к алгебраизации - автор даёт геометрическую иллюстрацию некоторых алгебраических соотношений: теорему Пифагора, формулы сокращенного умножения (квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов и т.д.) С целью выделить в задачах геометрическую составляющую автор подбирает задачи на вычисление таким образом, чтобы числа и действия над ними были как можно легче.

В 20-х годах А. М. Астряб проводил большую работу по созданию учебников для младшего (I-IV классы) и старшего (V-VII классы) концентров трудовой семилетней школы.

А. М. Астряб в 1923 году написал систематический «Курс опытной геометрии»49 для 5-7 классов. Учебник был переиздан 16 раз, переведён на языки народов СССР. Причем всё происходило «семимильными шагами»: в 1928 году уже было четырнадцатое стереотипное издание50. Обратимся именно к этому изданию.

48 На этот факт указывает Белый Б.Н. Александр Матвеевич Астряб. //Математика в школе.- 1954.-№5.-С.74.

49 Астряб А.М. Курс опытной геометрии. Индуктивно-лабораторный метод изложения. В 4 частях. - М.-П.: Тип. «Сеятель» Е.В. Высоцкого, 1923. - 270с.

50 Астряб А.М. Курс опытной геометрии. Индуктивно-лабораторный метод изложения. 14-е изд. М.-Л.: Госиздат, 1928. - 288с.

«Курс опытной геометрии», по словам А. М. Астряба, ставит своей целью «изложить в популярной форме элементарный курс геометрии в объёме, необходимом для применения геометрических знаний в практической жизни».51

В основе этого курса лежит индуктивно-лабораторный метод. Обосновывает автор выбранный метод рядом цитат, среди которых и слова упомянутого выше Н. Н. Володкевича: «Обе способности, интуитивная и логическая, имеют каждая свою собственную ценность. Дело идёт не о том, чтобы устранить из геометрии логические рассуждения, а о том, чтобы, наряду с логическими доказательствами, дать место и наглядному доказательству».

Учебник состоит из четырёх частей.

Первая часть представляет собой, по словам автора, небольшой подготовительный концентр, «в котором учащиеся непосредственными опытами конкретно воспринимают основные геометрические элементы: линию, плоскую фигуру, тело. В основу линий кладётся прямая линия, в основу плоской фигуры - прямоугольник, в основу тел - прямоугольная призма (параллелепипед)».52 Знакомство с этими величинами осуществляется двумя путями:

1) основываясь на синтезе - составляется из основных единиц прямая линия, прямоугольник и прямоугольная призма;

2) основываясь на анализе - разрезается прямая линия, прямоугольник и прямоугольная призма на основные единицы.

Учащиеся из прямоугольника образуют ряд более сложных фигур -треугольники, параллелограммы, трапеции и т.д. Используя параллелограмм, знакомятся с более сложными геометрическими телами.

Основное внимание уделяется изучению измерений линий (линейными единицами), площадей (квадратными единицами) и объёма (кубиче-

Титульный лист «Курс опытной геометрии» А. М. Астряба (1928 г.)

51 Там же. С. 3.

52 Там же. С. 4.

скими единицами). В этой части предполагается измерение площадей прямоугольника, квадрата, параллелограмма, треугольника, трапеции; объёмов куба, прямоугольной призмы; первоначальное знакомство с основными геометрическими телами: призмой, пирамидой, шаром, цилиндром, конусом.

С целью создания ярких наглядных образов автор использует геодезические работы на местности. Для реализации идеи функциональной зависимости А. М. Астряб использует графики и диаграммы, в которых при помощи геометрических величин иллюстрируются зависимости между различными величинами, входящими в состав разнообразных явлений.

Приведём пример.

Глава VII. Рисование график и диаграмм

23. Рисование график53

§ 91. Система координат

Задача 1. В течение одного года ученики ежедневно следили за погодой. Они составляли для каждого месяца календарь и в нём зарисовывали штрихами пасмурные дни.

Для того, чтобы ясно показать, какой из месяцев в этом году был наиболее пасмурным, можно сделать так. Вырежьте все квадратики, соответствующие пасмурным дням каждого месяца и составьте из них столбики. Эти столбики поставьте на горизонтальную прямую, а внизу подпишите либо название месяца, либо просто его номер. У вас получится такой рисунок:

Для того, чтобы легче было сосчитать число этих квадратиков, нарисуйте сбоку вертикальную прямую и отметьте на ней чертой по порядку место, где кончается каждый квадратик.

Узнайте по рисунку, сколько пасмурных дней было в январе, мае, июне, феврале, марте? Какой месяц был самым пасмурным? Какой наиболее безоблачным? Какие месяцы имели одинаковое число безоблачных дней?

53 Там же. С. 50.

24. Рисование диаграмм54

§ 96. Диаграммы.

При помощи чертежей можно наглядно показать размеры величин относительно друг друга и наглядно иллюстрировать распределение частей какой-нибудь величины относительно целой величины. Для примера решим несколько задач.

Задача 1. В одной школе в группе в течение одной недели назначено: русского языка 8 уроков, арифметики 6 уроков, естествознания 4 урока, гимнастики 3 урока и пения 2 урока. Составьте диаграмму расписания уроков, изобразив каждый урок в виде квадрата. (Посмотрите на рис.)

Составьте диаграмму расписания уроков в вашей группе.

Рис. Диаграмма расписания уроков

Задача 2. Число жителей в крупнейших городах России выражалось в 1914 г. следующими цифрами:

В Петрограде..................2100 тысяч человек

» Москве........................1500 » »

» Киеве...........................600 » »

» Харькове.......................300 » »

Составьте диаграмму распределения жителей в этих городах.

Пояснение. Для того, чтобы чертеж не занял слишком много места, надо найти общий наибольший делитель наших чисел (для нашей задачи он равен 300 тысяч) и этот наибольший делитель изобразить квадратом.

Вторая, третья и четвертая части курса излагают систематический курс геометрии. Так, во второй части рассматриваются свойства прямолинейных фигур, в третьей части заканчивается планиметрия (изучаются подобные фигуры и свойства простейшей криволинейной фигуры - окружности), четвертая часть посвящена изучению стереометрии.

Основу этих частей курса составляет следующая система изложения:

1) формулировка утверждения (теоремы);

2) проведение опыта;

3) логическое доказательство утверждения (теоремы).

Приведём оглавление систематического курса геометрии: второй, третьей и четвёртой частей курса.

Часть II. Систематический курс

54 Там же. С. 60-61.

Отдел первый. Прямолинейные фигуры.

Глава VIII. Общие понятия. Тело, его объём и поверхность. Линия и точка.

Глава IX. Прямая линия. Основные свойства прямой. Измерение прямой линии. Метрическая система единиц измерения. Сложение отрезков прямых линий.

Глава X. Угол. Построение угла, равного данному. Сложение углов. Различные виды углов. Прямой угол и перпендикуляр. Измерение углов транспортом и астролябией. Свойство смежных углов. Вертикальные углы. Углы, расположенные вокруг одной прямой и вокруг одной точки. Аксиома и теорема.

Глава XI. Треугольники. Различные виды треугольников. Свойство сторон треугольника. Свойства равнобедренного треугольника. Признаки равенства треугольников. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Симметрия. Рисование геометрических фигур при помощи циркуля и линейки. Перпендикуляр и наклонные.

Глава XII.Параллельные прямые. Образование параллельных прямых. Углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей. Построение параллельных прямых. Сумма углов треугольника.

Глава XIII. Четырехугольники. Различные виды четырехугольников. Свойства параллелограмма. Свойства прямоугольника. Свойства ромба и квадрата. Свойства пучка параллельных прямых. Свойства трапеции. Проекция.

Глава XIV. Многоугольники. Виды многоугольников. Свойства их диагоналей и углов. Правильные многоугольники. Центр симметрии.

Глава XV. Измерение площадей прямолинейных фигур. Измерение площади прямоугольника. Измерение площади квадрата. Квадратные метрические меры. Площадь параллелограмма. Площадь треугольника. Площадь трапеции. Площадь ромба. Площадь многоугольника. Теорема Пифагора.

Отдел второй. Подобные фигуры. Свойства криволинейных фигур.

Глава XVI. Отношение и пропорция. Отношение. Масштаб. Пропорция и пропорциональные линии.

Глава XVII. Подобные фигуры. Подобные многоугольники. Признаки подобия треугольников. Числовые зависимости между элементами прямоугольного треугольника. Подобные многоугольники. Периметры и площади подобных фигур. План.

Глава XVIII. Основы тригонометрии. Тригонометрическая величина синус. Косинус. Тангенс. Зависимость между sin, cos и tg.

Глава XIX. Окружность и прямая. Окружность и точка. Хорда и диаметр. Касательная. Кривизна.

Глава XX. Окружность и угол. Центральные углы. Вписанные углы.

Глава XXI. Окружность и многоугольник. Вписанные и описанные многоугольники. Вписанные и описанные правильные многоугольники.

Глава XXII. Измерение длины окружности. Приближенное измерение длины окружности. Приближенное вычисление длины окружности. Вывод формулы для измерения длины окружности. Измерение длины дуги.

Глава XXIII. Площадь круга. Измерение площади круга. Измерение площадей сектора и сегмента.

Отдел третий. Свойства тел.

Глава XXIV. Плоскость, точка и прямая. Плоскость и точка. Плоскость и прямая линия. Двугранный угол и перпендикулярные плоскости. Параллельные плоскости и параллельные прямые.

Глава XXV. Многогранные углы. Многогранники. Основные виды призм. Измерение поверхности призмы. Измерение объёма призмы.

Глава XXVI. Призма. Основные виды призм. Измерение поверхности призмы. Измерение объёма призмы.

Глава XXVII. Пирамида. Различные виды пирамиды. Измерение объема пирамиды. Усечённая пирамида.

Глава XXVIII. Круглые тела. Цилиндр. Измерение его поверхности и объёма. Конус. Измерение поверхности и объёма конуса. Шар. Измерение поверхности и объёма шара.

В целом изложение систематического курса достаточно традиционно. Однако есть сведения, которые выходят за рамки традиционного школьного систематического курса геометрии. Например,

§ 279. Кривизна окружности и её радиус.55

Опыт 1. Возьмите тонкий прут из лозы и согните его в виде окружности. Начните теперь уменьшать радиус окружности. Для этого вам придется все больше и больше сгибать прут, т.е. увеличивать его кривизну; наоборот, если вы захотите уменьшить кривизну прута, то вам надо будет увеличивать радиус этого кольца.

Опыт 2. Нарисуйте прямую AB (рис.) и проведите к ней в точке С перпендикуляр. Нарисуйте ряд окружностей, касательных прямой AB в точке С и имеющих центры на этом перпендикуляре. Проследите, как изменяется кривизна окружности при увеличении радиуса.

Результаты опытов. Мы видим, что с увеличением радиуса окружности кривизна её уменьшается: окружность начинает как бы выпрямляться. Вот почему кривизну окружности измеряют дробью, обратной радиусу; если радиус окружности содержит R сантиметров, то кривизну считают равной , и эта дробь служит мерою кривизны.

Первостепенный упор автор делал на повышение активности учащихся, развития их творческой самостоятельной деятельности. В предисловии Александр Матвеевич пишет: «При изложении своего курса геометрии я стремился к тому, чтобы приучить учащихся не только заучивать памятью одну теорему за другой, нанизывая их длинной вереницей, не имеющей ни начала ни конца; я стремился научить их видеть, наблюдать и исследовать геометрические факты, пользуясь разными органами чувств, приучить их читать не только в напечатанных книгах, но и в живой окружающей природе. Насколько мне удалось всё это - судить, конечно, не

55 Там же. С.205.

мне».56 В 1924-1927 гг. в старшем концентре трудовых школ Украины геометрию изучали по «Курсу опытной геометрии».

В 1918 г. I Всероссийский съезд по народному просвещению принял проекты документов: Положение о единой трудовой школе и Основные принципы единой трудовой школы. В мае 1919 г. на VIII съезде РКП(б) было принято решение взять курс на создание новой системы народного образования. Первоочередной задачей стало создание принципиально новых программ и учебников для единой трудовой школы.

Учитывая изменения времени, потребности современной школы, Александр Матвеевич в 1927 году издал ещё один систематический курс геометрии для 5-7 классов - «Геометрия для трудовых школ».57 В «Геометрии для трудшкол» математические предложения вводились и обосновывались преимущественно в такой же последовательности, как и в «Курсе опытной геометрии»: рассматривалась задача, выяснялось, что искомая величина может быть найдена, если определенные фигуры имеют какое-то свойство. Затем предлагалось путем опыта (вычерчивание, измерение, вырезание и т.д.) убедиться в том, что такое свойство действительно имеет место; далее проводилось доказательство этого свойства и делался общий вывод, а затем формулировалось предложение. В «Курсе опытной геометрии» соответствующий материал излагался в следующей последовательности: формулировалась теорема (свойство); выполнялся опыт; проводилось доказательство; рассматривалась задача на практическое применение данного предложения. Изложение носило преимущественно индуктивно-лабораторный характер, целый ряд «доказательств» базировались на интуиции.

Согласно проведённым исследованиям в первые годы советской власти, примерно до 1934 года, изучение наглядной геометрии в школе «шло, главным образом, по учебникам Астряба и др.»58 В истории отечественного образования 1934 год является временем принятия решения о создании трёхступенчатой школы: начальной, неполной средней и средней. Единение школы сопровождалось созданием единых программ и стабильных учебников.

56 Там же. С 6.

57 Астряб А.М. Геометрія для трудшкіл. X., 1927.

58 Лазарева А.И. Наглядные пособия по геометрии в VI-VII классах и методика их использования. Дис. ... канд. пед. наук. - Коломна, Моск. обл. - 1952. - С. 132.

30-е годы - сложный период для отечественной методики математики (впрочем, не только для неё). В этот период не просто массово отказывались от комплексного подхода в обучении, но и активно его критиковали. И как это часто бывает, были попытки «кидания из крайности в крайность». После излишней практичности наметился уклон на чрезмерную теоретизацию курса математики. В этот период Александр Матвеевич активно обращал внимание учителей на то, что невозможно пренебрегать вопросами практической подготовки учащихся на уроках математики.

Ученику, наряду с теоретическими сведениями, важны и нужны практические математические навыки. И этой линии А. М. Астряб придерживается на протяжении всей своей научной деятельности.

В 30-60-е гг. А. М. Астряб и руководимый им коллектив математиков-методистов провели большую работу по созданию основ методики преподавания начального и систематического курса геометрии.

Александр Матвеевич активно занимался изучением методики преподавания систематического курса геометрии. Причем следовал, как уже отмечалось, традиционной точке зрения на последовательность изучения геометрии.

В 1934 году вышла в свет работа А. М. Астряба «Як викладати геометрію в політехнічній школі. Частина I. 5 -й рік навчання».59 Прежде чем перейти к этой работе, напомним читателю, что во 30-е годы XX века активно пропагандировалось политехническое обучение. «Политехническое обучение - это обучение, дающее знания о главных отраслях и научных принципах производства и вооружающее общетехническими умениями, необходимыми для участия в производительном труде»60. Политехническое обучение рассматривалось как неотъемлемая часть

Титульный лист «Як викладати геометрію в політехнічній школі. Частина I. 5 -й рік навчання». А. М. Астряба (1934 г.)

59 Астряб А.М. Як викладати геометрію в політехнічній школі. Частина I. 5 -й рік навчання. - Київ: Радянська школа, 1934. - 80 с.

60 Педагогическая энциклопедия. Т.3. - М.:Советская энциклопедия, 1966. - С.435.

процесса воспитания всесторонне развитых членов социалистического общества. После известных Постановлений ЦК ВКП(б) в 1931-1932 гг. установка была сделана на передачу учащимся систематичных и прочных знаний по основам наук, приобретение трудовых навыков и основ политехнических знаний. Городские школы в своей работе опирались на промышленные предприятия, а сельские - на колхозы и совхозы.

А. М. Астряб стремился реализовать политехническое обучения через повышение вычислительной культуры учащихся; вооружение их соответствующими практическими навыками; проведение работ на местности и других измерительных работ; привитие навыков в пользовании измерительными приборами; использование на уроках математики производственного материала и решение задач, раскрывающих те или иные процессы производства или строение наиболее распространенных современных машин и инструментов; техническое моделирование в связи с изготовлением наглядных пособий.

Очевидно, что А. М. Астряб высоко оценивал геометрию как один из немногих учебных предметов, содержащих значительное количество сведений, так необходимых для жизни и в городе, и в селе. И указанная выше работа отвечает требованиям современного ему времени.

Методические советы, данные Александром Матвеевичем, включают задачи и содержание начальной геометрии 5-го года обучения. В них, кроме этого, даются указания о пользовании учебником и наглядными приборами, предложено планирование учебного материала и методические указания к изучению каждой темы и к решению задач. Советы, по словам автора, направлены на то, чтобы помочь массовому преподавателю в осуществлении педагогического процесса и овладении методической техникой61. Связь с другими дисциплинами, с практикой и производственными процессами дана в общих курсах соответствующих методик. Все методические советы приспособлены к стабильному в тот период учебнику: Гурвица и Гангнуса - «Начальные сведения из геометрии».

Курс геометрии 5-го года обучения, по утверждению Астряба, ставит перед собой цель распространить и углубить геометрические знания учащихся, полученные в начальной школе, обратив особое внимание на развитие у них пространственных представлений, на привитие им навыков измерения и вычисления основных геометрических величин. Вместе с этим курс геометрии V класса предназначен и для подготовки учеников к изучению систематического курса геометрии, который начинается с VI класса, а также для приобретения учениками тех геометрических знаний и пространственных представлений, которые нужны им для изучения определенных дисциплин.

61 Астряб А.М. Як викладати геометрію в політехнічній школі. Частина I. 5 -й рік навчання. - Київ: Радянська школа, 1934. - С.2.

Итак, целей изучения геометрии в V классе несколько. Первой целью курса геометрии в V классе является подготовка учеников к систематическому курсу геометрии, который начинается только с VI класса, а потому «во время проработки геометрического материала в V классе надо приучать детей к точному формулированию геометрических определений, приучать их убеждаться в правдивости того или другого геометрического свойства определенными логическими соображениями».62

При этом педагог должен помнить, что курс геометрии в V классе не является только повторением и копированием геометрии первого концентра. Нельзя курс геометрии V класса подавать в таком же сугубо наглядном разрезе, как это делается в младшем концентре. Нельзя забывать о цели курса: подготовку учеников к изучению систематического курса геометрии, а потому нельзя пренебрегать элементами развития логического мышления, но вместе с тем нельзя делать его весьма абстрагированным, словесным. Надо исходить из исследования конкретных материальных форм и определенные утверждения непременно иллюстрировать соответствующими наглядными моделями и принадлежностями. Ученики, изучая геометрию, должны рисовать и измерять.

Вторая цель курса геометрии в V классе - это дать ученикам знания и навыки по геометрии, которые нужны детям для изучения в 2-м концентре политехнической школы таких дисциплин, как физика, политехническая работа, рисование и т.п., потому что те знания из геометрии, полученные детьми в 1-м концентре, недостаточны.

В V классе на изучение геометрического материала дается не более 40-45 часов, а потому, по словам Астряба, «все эти знания надо давать в таком объеме, который нужен только для применения этих знаний в других дисциплинах».63

По убеждению автора «в V классе надо представить ученикам только основные первичные сведения из геометрии, но проделать этот минимум надо так основательно, чтобы ученики целиком осознали его и приобрели целиком достаточные навыки для измерения основных геометрических величин и применения этих измерений к жизненным нуждам»64. Особое внимание педагог предлагал обращать на ознакомление учеников с основными пространственными телами (призма, цилиндр), поскольку эти тела в систематическом курсе геометрии ученики будут изучать только в IX классе, в то время как в технике указанные тела встречаются на каждом шагу.

Для осуществления преподавания геометрии необходим арсенал геометрических инструментов, которым вряд ли в полном объёме обладает

62 Там же, С.3.

63 Там же, С.4.

64 Там же, С.4.

современный учитель математики. Вот этот перечень принадлежностей, который нужен для изучения геометрии в V классе.

1. Модели (из картона или дерева) таких тел: Куб. (Желательно приобрести 24 одинаковых кубика, чтобы с помощью их иллюстрировать правило измерения объема прямоугольного параллелепипеда). Прямоугольная призма, которая раскладывается на две призмы с основой в виде прямоугольного треугольника. Треугольная призма (прямая). Многоугольная призма (прямая). Цилиндр.

2. Развертки всех предыдущих тел.

3. Круг или прямой угол, нарисованный на бумаге и разделенный на угловые градусы (бумагу желательно прозрачную).

4. Проволочный угол на шарнире.

5. Модель деревянного прямоугольника, разделенного диагональю на два прямоугольных треугольника, причем один из этих треугольников должен поворачиваться вокруг точки сечения диагоналей так, чтобы эти треугольники можно было наложить один на другой.

6. Несколько деревянных кружочков разного диаметра (от 4 см до 10 см) для выяснения правила измерения длины круга (за недостатком таких кружочков можно использовать круглые чернильницы, стаканы, круглые пеналы и т.п.).

7. Большой лист бумаги с наклеенными на него из цветной бумаги секторами в виде фигуры, которая напоминает прямоугольник. Сектора образовываются делением круга на 4, 8, 16 и 32 разные части.

8. Модель деревянного круга, разделенного на 12 равных секторов, для вывода правила измерения площади круга.

9. Таблица с квадратным сантиметром, дециметром, метром (ее можно нарисовать самому учителю с помощью детей).

10. Модели кубических единиц: куб.сантиметра, куб.дециметра, куб.метра.

11. Деревянная модель прямоугольной призмы, разделенной плоскостью на две призмы с основой в виде прямоугольного треугольника.

12. Деревянная модель треугольной призмы, разделенной плоскостью, которая проходит через боковое ребро перпендикулярно одной из сторон основы, на две призмы с основами в виде прямоугольного треугольника.

13. Принадлежности для рисования геометрических фигур на классной доске: метровая линейка, разделенная на сантиметры, угольник, транспортир, классный циркуль.

14. Принадлежности для рисования геометрических фигур учениками в тетрадях: а) измеряемая линейка (25-30 см длиной), разделенная на сантиметры и миллиметры; б) угольник; в) циркуль в виде ножки, который насовывается на карандаш; г) транспортир.

Приведём последовательность изучения геометрического материала. Обратим внимание читателя на тот факт, что это один из вариантов фузионистского расположения материала, т.е. одновременного изучения плоскостных и пространственных фигур.

1. Прямая линия.

2. Прямоугольник и квадрат. Измерение площадей.

3. Прямоугольная призма и куб. Измерение их поверхностей и объёмов.

4. Треугольник и треугольная призма.

5. Окружность и цилиндр.

Александр Матвеевич был в равной степени и математиком, и педагогом. Он уделял большое внимание воспитанию в учениках навыка пользоваться учебником. Педагог советовал учителям после ознакомления учеников с определением, доказательством свойств предлагать ученикам открывать учебник и обязательно прочитать данный материал. Обобщая отработанный материал, учитель снова должен использовать учебник, чтобы прочитать основные выводы, к каким пришли на уроке. А следующие слова Астряба остаются жизненными и актуальными и в наше время. «В последние годы образовалась такая привычка: все выводы с урока преподаватель диктует ученикам, а они записывают их в тетрадях. Делать это, когда у учеников есть учебник, совсем нецелесообразно. Эти записи очень часто представляют собой неудачный, с неисправленными ошибками суррогат учебника. Ведь надо назойливо приучать учеников к применению учебника, который должен выполнять ответственную роль во всем педпроцессе»65. Ведь не секрет, есть и сегодня учителя, которые, вместо объяснения нового материала либо сами диктуют, либо дают задание формально переписать содержание параграфа, без проведения обобщений и выводов.

В своей работе А.М. Астряб также отмечал, что только умение формулировать словами данное правило свидетельствует о том, что ученик хорошо его усвоил и понял его. Он советовал учителям не увлекаться быстрым заучиванием детьми словесных формулировок данных правил, а стремиться помочь им чётко усвоить содержание понятия и правила, и только после этого требовать от учеников чётких и правильных формулировок.

65 Там же, С.6.

В 1934 году опубликована работа «Як викладати геометрію в середній школі. Частина II»66, предназначенная для 6-го класса и изданная на украинском языке. В ней Астряб указывал, что изучение планиметрии планируется в VI и VII классах. При этом в этих классах изучается первая часть геометрии - планиметрия, а именно: в VI классе изучаются свойства прямолинейных фигур, а в VII классе исследуются свойства круга и связанные с ним прямолинейные фигуры.

Приведём основное содержание данной работы, которое и определяет последовательность изучения материала учащимися:

I. Основные установки курса геометрии 6 класса.

1. Различия курса геометрии 6 класса от курса геометрии 5 класса.

2. Основные черты логического доказательства.

3. Геометрические задачи в систематическом курсе геометрии.

4. Наглядность в систематическом курсе геометрии.

5. Приобретение навыков и учёт знаний в геометрии.

6. В каком объёме и в какой последовательности изучается геометрия в 6 классе.

II. Прямая линия. Угол. Целеполагание в планировании тем.

1. Введение до систематического курса геометрии.

2. Прямая линия.

3. Угол.

Треугольники. Целеполагание в планировании тем.

Титульный лист «Як викладати геометрію в середній школі. Частина II. 6-й класс»» А. М. Астряба (1934 г.)

66 Астряб А.М. Як викладати геометрію в середній школі. Частина II. 6-й класс. - К.: Радянська школа, 1934. - 104 с.

1. Как необходимо знакомить учеников со свойствами равнобедренного треугольника.

2. Признаки равенства треугольников.

IV. Параллельные прямые. Целеполагание в планировании тем.

І. Как знакомить учеников с понятием «параллельные прямые».

2. Как надо знакомить учеников со свойствами углов, образованных параллельными прямыми и секущей.

3. Применение свойств углов, образованных параллельными прямыми и секущей.

V. Четырехугольники. Целеполагание в планировании тем.

1. Как знакомить учеников с разными типами четырехугольников.

2. Как знакомить учеников со свойствами диагоналей четырехугольников.

3. Свойства трапеции.

4. Многоугольник и его углы.

VI. Площади прямолинейных фигур. Целеполагание в планировании тем

1. Равные и равновеликие фигуры.

2. Измерение площади прямоугольника.

3. Измерение площади параллелограмма, треугольника, ромба, трапеции и многоугольника.

Как уже было отмечено, А. М. Астряб является последователем идеи двухступенчатого изучения геометрии: подготовительный курс геометрии и систематический курс геометрии. По мнению педагога, изучение подготовительного курса заканчивается в 5 классе, а в 6 классе начинается изучение собственно систематического курса геометрии. «Курс геометрии 5 класса ставит своей целью дать ученикам только начальные знания из геометрии. Это курс подготовительный, вступление к основному курсу геометрии, и он строиться пропедевтически, что касается курса геометрии 6 класса, то это не пропедевтика, а основной систематический курс геометрии. Все положения должны быть строго обоснованы и установлена зависимость одного за другим в стройной системе».67 Изложение материала в подготовительном курсе идёт в концентрической форме: сначала изучаются только наиболее существенные свойства фигуры, а затем через некоторое время снова возвращаются к ней. В систематическом же курсе изучение геометрических форм идёт в ином порядке. Если, к примеру, в 6 классе идёт изучение признаков равенства треугольников, то оно проходит полностью обосновано и доказательно, с формированием умения широко

67 Астряб А.М. Як викладати геометрію в середній школі. Частина II. 6-й класс. - К.: Радянська школа, 1934. - С.3.

использовать эти знания как орудие для изучения свойств новых геометрических форм.

Вопросам преподавания планиметрии А. М. Астряб уделял большое внимание изучению конгруэнтности треугольников. Он считал, что в школьном курсе геометрии при доказательстве признаков конгруэнтности треугольников следует опираться на понятие движения, но при заключительном повторении курса геометрии необходимо знакомить учащихся и с аксиоматическим подходом к доказательству этих признаков.

А. М. Астряб чётко формулировал трудности логических доказательств, которые возникают у учащихся и их польза. Эти трудности в переводе на русский язык звучат следующим образом:

Во время проведения логического доказательства ученики наталкиваются на ряд трудностей. Давая определение новому понятию, ученикам тяжело сформулировать это определение так, чтобы в нем не было лишних признаков, но вместе с этим, чтобы были перечислены все необходимые для правильного осознания этого понятия признаки.

Во время доказательства теоремы ученики часто недостаточно четко представляют себе, что в этой теореме доказано то, что именно и нужно доказать. Но особенно много трудностей возникает у учеников во время самого доказательства теоремы.

Здесь ученикам тяжело подобрать из предыдущих теорем и аксиом как раз те, на которых построено доказательство новой теоремы, тяжело скомбинировать последовательность, в которой надо связать между собой эти предыдущие теоремы, чтобы выстроить из них цепочку, которая может связать новую теорему с предыдущими.

Часто случается следующее: ученикам трудно запомнить всю цепь предыдущих утверждений, из которых составляются все логические доказательства, и пока ученики придут к конечным выводам, они могут забыть начало теоремы и конечную цель.

Ведь подача логических доказательств требует от учеников и крепкой памяти, и напряженного внимания. Но вместе с этим использование учениками строго логического метода доказательства определенных утверждений, умение сформулировать свои утверждения точным, выразительным, убедительным языком имеет огромное значение для развития учеников.

Умение подбирать нужные для доказательства факты и утверждения, умение располагать их в необходимом для нас порядке и системе - основная база для развития математического мышления ребенка, которое так нужно человеку, который принимает активное участие в нашем соцстроительстве.

Следовательно, педагогу надо обращать серьёзное внимание на воспитание у учеников умения логически доказывать теоремы. Помогая ученикам преодолеть все трудности, на которые наталкиваются они во

время доказательства теоремы, надо приучать их чётко и математически правильно высказывать свои утверждения, надо по возможности чаще требовать от них словесного обдумывания, правильности определенного утверждения, начиная сначала с небольших доводов, несложных соображений и постепенно приучая к более долгим доказательствам, к более сложным умозаключениям. Надо внимательно следить за тем, чтобы ученики во время своих высказываний употребляли правильные термины, высказывались четко, кратко, математически правильным языком. Очень внимательно надо следить педагогу и за самим собой, чтобы не допускать неточных высказываний, терминов, не хорошо логически скомпанованных предложений.

В целом Астряб считал, что решение особенно геометрических задач способствует развитию математического мышления. По его мнению, решая их, ученики должны внимательно изучить каждую геометрическую фигуру, глубоко проанализировать каждый её элемент. Находя связь между этими элементами и применяя к ним ту или иную из всех известных теорем, одновременно с этим учась чётко, выразительно и правильно формулировать ценные математические утверждения. Решение учениками геометрических задач должно занять в систематическом курсе геометрии достойное место.68

Все геометрические задачи, которые ученики решают в средней школе, делятся на три группы: задачи на вычисление, задачи на построение, задачи на доказательство теорем. Так, в группе задач на вычисление к наиболее сложным А. М. Астряб относит те, которые требуют после применения нужной формулы проделать сложные алгебраические операции, во время решения которых ученики сталкиваются с трудностями не столько геометрического, сколько алгебраического характера. Педагог даёт следующую рекомендацию: для того, чтобы помочь ученикам приобрести навыки решения таких задач, нужно давать эти задачи в строго выраженной методической последовательности, располагая их по однородным с методической точки зрения группам и последовательно усложнять их, стараясь каждую новую задачу базировать на предыдущей, от несложных до более сложных задач.

В задачах на построение А. М. Астряб реализует последовательность, ставшую классической (этапов их решения): анализ, построение, доказательство, исследование.

По его мнению, все геометрические понятия, с которыми имеет дело систематический курс геометрии, есть понятия абстрактные; абстрактны также и те логические средства представления, с помощью которых исследуются свойства геометрических понятий. Но эта абстрактность возни-

68 Астряб А.М. Як викладати геометрію в середній школі. Частина II. 6-й класс. - К.: Радянська школа, 1934. -С.11.

кает как результат абстрагирования свойств конкретных вещей нашего материального окружения, вещей, которые мы воспринимаем сугубо конкретно нашими органами чувств. Нужно помнить, что в действительности форма неотделима от других свойств тела, что геометрия, изучая форму тела, отделяет ее, абстрагирует ее от реального тела из окружающего пространства. Только из долгого, многовекового опыта человек научился мыслить абстрактными формами и абстрактными геометрическими понятиями.

Изучая свойства этих абстрактных геометрических форм, человек широко использует и применяет эти свойства отдельных геометрических форм в реальной действительности: в технике, на производстве. Следовательно, когда ученики, изучая систематический курс геометрии, не будут видеть во всех абстрактных геометрических операциях отображения реального мира, тогда изучение геометрии превратится в пустую сугубо словесную схоластическую фразеологию. Поэтому, изучая свойства абстрактных геометрических понятий, надо стараться связывать абстрактное с конкретным двумя путями: или, начав с восприятия определенных конкретных образов, получить стимул для теоретического исследования нужных нам абстрактных понятий, или, наоборот, начав с определенных абстрактных понятий и теоретически исследовав определенные свойства их, дать ученикам позже образцы практического применения этих теоретических выводов.69

Образцами использования наглядности в систематическом курсе геометрии VI и VII классов являются: классная доска, настенные таблицы, приборы для рисования геометрических фигур и для решения задач на построение, различные модели.

Особо остановимся на тех предостережениях, которые сформулировал А. М. Астряб относительно употребления наглядности.

«Применяя наглядные приборы, конкретизируя этими наглядными приборами наши теоретические процессы и выводы из них, нельзя ни в коем случае злоупотреблять ими. Надо хорошо помнить, что наглядность не является самоцелью, что она должна быть только вспомогательным орудием к теоретическим соображениям, процессам и операциям. Перегружать лекции наглядными приборами и иллюстрациями, пытаться наглядно иллюстрировать то, что ученики и так могут четко и выразительно представить себе в абстрактной форме, применять наглядные приборы в такой мере, чтобы они вместо того, чтобы помогать теоретическому процессу, закрывали бы его суть, подменяли бы его, - ни в коем случае недопустимо. Надо ученикам каждый раз выразительно подчеркивать, что наглядные

69 Астряб А.М. Як викладати геометрію в середній школі. Частина II. 6-й класс. - К.: Радянська школа, 1934. - С.15-16.

приборы есть только или стимулы, или иллюстрации к определенным теоретическим обдумываниям».70

Выше мы уже вспоминали тот факт, что в 1934 году было принято решение о создании трех ступеней школы: начальной, неполной средней и средней. Школа стала единой, все учащиеся должны были получить одинаковый объем знаний. Это отразилось в создании единых программ и стабильных учебников. Так, по геометрии стабильными стали уже широко известный учебник А. П. Киселева и задачник Н. А. Рыбкина.

В 1936 году в Киеве опубликована «Розв'язування стереометричних задач»71 работа авторского коллектива во главе с А. М. Астрябом.

В работе представлен подробный анализ трудностей решения стереометрических задач, и даны важные практические советы относительно преодоления этих трудностей. Этот анализ проведён А. М. Астрябом, и именно им в первом разделе даны советы относительно преодоления этих трудностей. Во втором разделе книги наибольшее внимание уделяется решению стереометрических задач наиболее сложных с методической точки зрения. В этом разделе, по словам автора, дан детальный методический анализ почти всех стереометрических задач из стабильного задачника Н. А. Рыбкина, предназначенного для IX класса.

А. М. Астряб высоко оценивал роль геометрической задачи в курсе геометрии, обосновывая своё утверждение следующими аргументами:

1) решение геометрических задач дает возможность ученикам полнее осознать теоретический курс геометрии и глубже связать теорию с практикой;

Титульный лист «Розв'язування стереометричних задач» А. М. Астряба (1936 г.)

70 Там же, С.20.

71 Астряб А.М., Хлебников К.О., Шингарьова Р.М. Розв'язування стереометричних задач. - Київ-Харків: Радянська школа, 1936. - 127с.

2) решение геометрической задачи развивает у учеников способность отыскивать и осознавать разного типа функциональные связи между величинами. При чем сами эти величины в геометрических задачах подаются в более наглядном виде, чем в задачах арифметических или алгебраических;

3) во время поиска и применения этой функциональной зависимости ученики должны строить правильные заключения и четко формулировать их. В итоге геометрическая задача развивает у учеников логическое мышление;

4) решение геометрической задачи развивает у учеников пространственные представления и конструктивные способности в значительно большей мере, чем это делает только теоретический курс геометрии.72

Особенность геометрических задач в отличие от арифметических и алгебраических задач состоит, по утверждению Александра Матвеевича, в следующем:

- во-первых, во время их решения ученики должны подбирать нужную им функциональную зависимость из большого количества теорем, которые даны вне текста условия задачи;

- во-вторых, велика роль рисунка в задаче, поскольку он конкретизирует величины, данные в условии задачи, и помогает ученикам подобрать нужную для решения задачи теорему.

Во время же решения геометрической задачи ученик должен преодолеть ряд трудностей. Все эти трудности А. М. Астряб разделил на три основные группы:

Первая группа трудностей связана с правильным осознанием учениками пространственной формы и с использованием рисунка. Именно трудностям этой категории Астряб уделял особое внимание.

Вторая группа трудностей связана с выбором нужной для решения задачи теоремы или формулы.

Третья категория трудностей связанная с потребностью ученика делать разнообразные арифметические и алгебраические вычисления.

Методика решения стереометрических задач, представленных в задачнике-учебнике Н. А. Рыбкина, была изложена максимально подробно и основательно. Например, изучение раздела «Перпендикуляр и наклонные к плоскости» представлено в следующем виде73. Приведём дословный перевод с украинского языка.

Указанные нами раньше трудности (см. раздел I) можно заметить и в этих, казалось бы на первый взгляд, простеньких задачах. Ученикам, не имеющим чётких знаний трудно нарисовать равносторонний треугольник (задача 18) на горизонтальной плоскости, нелегко понять, что перпендику-

72 Астряб А.М., Хлебников К.О., Шингарьова Р.М. Розв'язування стереометричних задач. - Київ-Харків: Радянська школа, 1936. - С.5.

73 Астряб А.М., Хлебников К.О., Шингарьова Р.М. Розв'язування стереометричних задач. - Київ-Харків: Радянська школа, 1936. - С.42-43.

ляр на сторону равностороннего треугольника опущен из точки, равноотстоящей от вершин этого треугольника, проходит через точку пересечения вписанного круга до стороны треугольника (задача 21). Тяжело додуматься, что здесь надо использовать теорему о трех перпендикулярах и формулу вычисления радиуса круга, вписанного в треугольник; в задаче 3 ученику приходится давать указания при вычислении площади треугольника по формуле Герона, когда ученик должен перемножить 4 трехчлена, в которых 2 члена - иррациональные выражения. Все категории трудностей есть и в задачах других разделов сборника задач.

Принимая во внимание это, мы рассматриваем в этом разделе большую часть задач § 1-5 части II сборника задач Рыбкина, причем считаем, что нужно поместить перечень теорем, которые помогут решению задач соответствующего параграфа, классификацию задач и после этого решение задач. Особое внимание уделено задачам, которые необходимо проработать под руководством преподавателя, а относительно других, то дано или указание к решению, или решение в сокращенной форме.

§ 7. Перпендикуляр и наклонные к плоскости

1. Теоремы, необходимые для решения задач § 1.

Для решения задач этого раздела ученики должны знать такие теоремы и утверждения теоретического курса геометрии.

1. Положение плоскости целиком определяется: 1) тремя точками, которые не лежат на одной прямой, 2) прямой и точкой вне её, 3) двумя пересекающимися прямыми и 4) двумя параллельными прямыми (Ю. О. Гурвиц и Р. В. Гангнус, Систематический курс геометрии, ч. II, раздел I, §3).

2. Две плоскости могут пересекаться лишь по прямой линии (ч. II, раздел I, §3).

3. Перпендикуляром к плоскости носит название прямая, которая пересекает плоскость и образует прямые углы со всеми прямыми на плоскости, которые проходят через ее основу (раздел II, §2).

4. Через точку М, взятую вне данной плоскости Р, можно провести только один перпендикуляр к данной плоскости (раздел II, §2).

5. К данной прямой через данную точку можно провести только одну перпендикулярную плоскость (раздел II, §2).

6. Если из одной точки вне плоскости проведены перпендикуляр и наклонные, то 1) перпендикуляр короче всякой наклонной; 2) наклонные равны, если равны их проекции.

7. Если из одной точки вне плоскости проведены перпендикуляр и наклонные, то равным наклонным соответствуют равные проекции (раздел II, §3).

8. Расстоянием точки от плоскости называется отрезок, концами которого является данная точка и проекция ее на данную плоскость (раздел II, §3).

9. Прямая, проведенная на плоскости через основу наклонной перпендикулярно к проекции наклонной, перпендикулярна и к самой наклонной (раздел II, § 4).

10. Прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна к наклонной, перпендикулярна и к проекции наклонной (раздел II, § 4).

Теоремы планиметрии.

11. Высота, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, есть средняя пропорциональная между проекциями катетов на гипотенузу (ч. I, раздел. XVII, §2).

12. Каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией катета на гипотенузу (ч. I, раздел. XVII, §2).

13. Квадрат гипотенузы равняется сумме квадратов катетов (ч. I, раздел. XVII, §2).

14. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит сторону, которая лежит против этого угла, на части, пропорциональные двум другим сторонам (ч. I, раздел XV, §7).

15. Радиус круга, описанный вокруг треугольника, определяется из формулы: R = ^- (а, Ь, с - стороны треугольника, ha - высота, проведённая к стороне а, К-радиус описанного круга).

16. Радиус круга, вписанного в треугольник, определяется согласно формуле: г =- (а, Ь, с — стороны треугольника, S - его площадь, г - радиус круга, вписанного в треугольник).

2. Классификация задач § 1.

Задачи этого параграфа можно разделить на такие группы:

1. Задачи, которые решаются с помощью утверждений об определении положения плоскости в пространстве и о сечении двух плоскостей: 1, 2, 3, 4.

2. Задачи на определение одного из отрезков: наклонной, перпендикуляра, опущенного на плоскость из той точки, из которой проведена наклонная и проекции наклонной на плоскость по двумя другими из них: 7, 13, 14, 16, 17, 19.

3. Задачи на применение теоремы о геометрическом месте точек в пространстве, равноотстоящих от всех точек круга или от трех точек, которые не лежат на одной прямой: 8, 9, 10, 15, 18, 20.

4. Задачи, которые решаются с помощью теоремы о трех перпендикулярах: 21 - 28.

Далее идёт последовательное решение задач, содержащихся в рассматриваемом разделе.

Эта работа А.М. Астряба, как и многие другие, потрясает основательностью и огромной детальностью изложения, решением, в данном случае, большого количества стереометрических задач.

Несколько изданий выдержала книга «Методика розв'язування задач на побудову в середній школі» («Методика решения задач на построение в средней школе») (1940 г.)74, в которой Астряб выступил редактором и автором раздела «Общие методические замечания по решению задач на построение в средней школе». Сформулированные математиком-педагогом убеждения остаются важными и востребованными и в наше время. В переводе на русский язык мысль Астряба звучит следующим образом: «Решение геометрических задач на построение даёт ученикам большую пользу, особенно при политехническом обучении.

Во-первых, чтобы решать задачи на построение, ученик должен выучить данную геометрическую фигуру, положение её элементов в пространстве, взаимосвязь между ними. Всё это воздействует на развитие пространственных представлений, воспитывает осмысленное отношение к пространственной форме, что так необходимо каждому человеку в практической деятельности.

Во-вторых, во время решения задач на построение ученик должен сделать вступительный анализ, чтобы подобность данного процесса построения исследовать в возможно разных его случаях. Всё это требует от ученика логического мышления и умения рассуждать. Поэтому решение задач на построение позитивно влияет на развитие математического мышления.

В-третьих, решая задачи на построение, ученик должен широко устанавливать связи между данными и неизвестными элементами фигуры, вспомнить большое количество теорем из разных разделов курса геометрии, иметь большой запас известных ему теорем, выбрать ту, которая нужна для решения данной задач. Вместе с этим ученик приобретает много очень полезных при политехническом учении умений. Применение общих теоретических доводов к отдельным конкретным случаям ученики получают возможность связывать теорию с практикой.

В конце нужно обратить внимание ещё и на такое важное значение задач на построение, когда мы в систематическом курсе геометрии начинаем впервые использовать понятие о той или иной геометрической фигуре, то мы должны дать не только понятие этой фигуры, но и довести до учеников возможность её существования, т.е. возможность построения самыми простыми инструментами (например, циркулем и линейкой). Такое требование подчёркивал Евклид в своих «Началах». <...> Итак, задачи на по-

74 Астряб А.М. Методика розв'язування задач на побудову в середній школі. - К., 1940.

строение должны составлять органическую часть всего теоретического курса элементарной геометрии средней школы».75

В стереометрии особое внимание Астряб уделял связи между изучением пространственных форм и измерений геометрических величин, а в планиметрии - изучению равенства треугольников. Он считал, что для доказательства равенства треугольников в школьном курсе геометрии следует опираться на понятие движения, но во время заключительного повторения курса геометрии необходимо ознакомить учеников и с аксиоматическим методом доказательства этих признаков.

Безусловно, мы рассмотрели далеко не все работы А. М. Астряба по геометрии. И всё же его основным трудом, мы считаем работу «Наглядная геометрия», в которой представлен подготовительный курс геометрии. По сути, над этим курсом учёный работал в течение всей своей жизни. Он не только активно развивал идею начального курса геометрии в учебниках и статьях, но и стал инициатором включения этого курса в программу по математике, которая действовала в школе с 1946 по 1953 гг.

А. М. Астряб был признанным знатоком в изучаемой им области знаний. Об этом свидетельствует тот факт, что Н. М. Бескин в своей работе «Методика геометрии»76, изданной в 1947 году, опубликовал главу XIII «Методика преподавания наглядной геометрии», написанную А. М. Астрябом. Позднее в 1953 году эта глава полностью вошла в «Наочна геометрія в IV-V»77, которая была опубликована в Киеве на украинском языке.

75 Цит. по: Бевз В.Г., Олійник Г.Ф., Швець В.О. Олександр Матвійович Астряб -засновник школи з методики математики в Україні //Актуальні проблеми теорії і методики навчання математики. Всеукраїнська науково-практична конференція, присвячена 170-й річниці НПУ імені М. П. Драгоманова, 125-й річниці з дня нарождения профессора О.М. Астряба, 70-й річниці фізико-матемичного факультету. Тези доповідей. - Київ - 2004. - С.6-7.

76 Бескин Н.А. Методика геометрии. С приложением главы «Методика преподавания «Наглядной геометрии» А.М. Астряба. - М.-Л.: Учпедгиз, 1947. - 276с.

77 Астряб А.М. Наочна геометрія в IV-V. - Київ, 1953. - 119с.

Титульный лист методического пособия «Наочна геометрія в IV-V» А. М. Астряба (1953 г.)

Титульный лист «Методика геометрии» Бескина Н.А. С приложением главы «Методика преподавания «Наглядной геометрии» А. М. Астряба. (1947 г.)

Именно в этих работах он определяет понятие «наглядная геометрия». Он отмечает, что можно построить два существенно отличающихся друг от друга школьных курса геометрии. Первый из них - систематический курс геометрии, который «является основным курсом изучения геометрии в нашей школе».78 Другой же курс А. М. Астряб строит следующим образом: «во-первых, можно изучать свойства геометрических форм только на отдельных геометрических объектах, положив в основу непосредственное их восприятие и представление, не прибегая к общим отвлечённым понятиям о них, и, во-вторых, для обоснования справедливости находимых свойств можно широко пользоваться индуктивным методом».79 Построенный таким образом курс автор назвал «наглядным курсом геометрии» или «курсом наглядной геометрии». Этот курс, по словам автора, должен учитывать психологические особенности детей 8-12 лет. А посему этот курс должен быть максимально конкретным, «созерцательным».80

79 Бескин Н.А. Методика геометрии. С приложением главы «Методика преподавания «Наглядной геометрии» А.М. Астряба. - М.-Л.: Учпедгиз, 1947. - С.256.

79 Там же. С.256.

80 Там же. С.261.

Преподавание наглядной геометрии преследует две основные цели. Во-первых, этот курс, «являясь подготовительным к изучению систематического курса, ставит своею целью конкретизировать в младших классах в сознании учащихся все те важнейшие геометрические понятия, которые в последующих классах эти ученики будут изучать в отвлеченном виде в систематическом курсе. Ибо нельзя сразу бросать ученика в мир абстракций. Надо так направлять его работу, чтобы все эти отвлеченные геометрические понятия постепенно усваивались, сделавшись потом твердой, содержательной основой для всех математических обобщений ученика, а не скользили бы поверхностно в его сознании в виде одних только словесных утверждений.

Вторая цель изучения наглядной геометрии связана с необходимостью своевременно вооружить учеников теми практическими знаниями геометрии, которые требуются учащимся при изучении таких дисциплин, как география (представления о разного вида углах, о плане и масштабе), природоведение и физика (измерение площадей, объёмов), рисование (знакомство с соответствующими геометрическими формами), военное дело (измерение расстояний до недоступных объектов).81

В рассматриваемой работе Александр Матвеевич даёт методические указания к преподаванию некоторых тем по наглядной геометрии. Приведём содержание некоторых из них.82

Прямая линия (III класс)

Понятие «прямая линия» принадлежит к понятиям основным, а потому давать словесное определение, «что такое прямая линия» не надо. Достаточно напомнить детям те конкретные предметы, которые дают нам представление о прямой линии: туго натянутая нить, ребро стола, ребро линейки и т. д. Меняя положение туго натянутой нити, показываем, что прямая линия может принять положение горизонтальное, вертикальное, может быть наклонной, оставаясь, однако, все время линией прямой, а не кривой.

Обратив внимание учеников на то, что ребро линейки представляет собой прямую линию, предлагаем детям при помощи линейки нарисовать в тетрадях это ребро. Получаем прямую линию. Приступаем к исследованию некоторых ее свойств. Прежде всего подчеркиваем, что в начерченной прямой линии нас в геометрии не интересует ни тот материал, каким она нарисована, ни ее цвет, ни ее толщина, а только её направление и длина.

Во-вторых, чтобы пояснить ученикам, что прямая продолжается неограниченно, предлагаем им приложить к нарисованному отрезку прямой ребро линейки так, чтобы только часть этого ребра была бы на прямой. То-

81 Там же. С.260.

82 Там же. С.267-268.

гда часть ребра линейки, лежащая вне нарисованного отрезка, покажет ученикам, в каком направлении продолжается наша прямая. Ученики делают вывод: прямая продолжается в противоположных направлениях без конца. Предлагаем ученикам взять на нашей неограниченной прямой какую-нибудь точку. Выясняется, что тогда наша прямая поделится на две отдельные полупрямые (или лучи), которые тоже можно неограниченно удлинять, но только в одну сторону. Берем теперь на нашей прямой две точки. Тогда этими двумя точками мы отрезываем от всей нашей прямой часть её определенной длины.

Наконец, желательно на конкретных упражнениях выяснить ученикам, что через одну точку можно провести любое число прямых. А если мы попытаемся начертить несколько прямых, проходящих через 2 данные точки, то все эти прямые сольются.

После того, как ученики познакомятся со всеми этими свойствами прямой, нужно уделить надлежащее внимание процессу измерения длины определенного отрезка прямой. Обращаем внимание детей на то, что этот процесс состоит из таких трех частей: во-первых, из выбора определенной постоянной единицы измерения длины, во-вторых, из разделения нашего отрезка на эти единицы и, в-третьих, на подсчете числа полученных единиц. Тут же надо показать ученикам роль измерительной линейки, которая сама делит наш отрезок на соответствующие единицы, а цифра, что стоит на линейке у конца отрезка, освобождает нас от необходимости считать непосредственно число полученных единиц измерения. Ученики проделывают тут два таких основных упражнения: 1) узнают числовое значение данного отрезка и 2) строят по данному им числовому значению самый отрезок.

Окружность и её длина (V класс)

Свойства окружности. Предлагаем ученикам нарисовать при помощи циркуля замкнутую кривую линию. Название этой линии ученики V класса сразу сами дадут: это - окружность. Линия эта замкнутая, т.е. если начать двигаться по этой линии из любой ее точки, то мы придём в конце концов в ту же точку.

Из способа вычерчивания окружности видно, что все её точки находятся на одинаковом расстоянии от некоторой неподвижной точки, называемой центром. Все эти свойства дают возможность сформулировать определение окружности.83 Тут же даются определения центра и радиуса, причем подчеркивается важное свойство радиуса: у одной и той же окружности все радиусы одинаковой длины. Далее предлагается ученикам соединить отрезком прямой линии две точки окружности так, чтобы этот от-

83 Необходимо подчеркивать детям различие между понятием окружности и круга (как части плоскости, ограниченной окружностью).

резок прошел через центр окружности. Это упражнение даст возможность познакомить учеников с новым элементом окружности - с диаметром и выяснить, что он состоит из двух радиусов.84

Педагогическое наследие Александра Матвеевича - это более 100 статей, учебников, начальных пособий. Под руководством Астряба преподаватели кафедры разработали программы по курсу математики, пособия для учеников и студентов, прослеживали актуальные проблемы методики обучения математике в школе и в вузе.

Нами обнаружена статья А. М. Астряба «Аналитическое доказательство теоремы о двух перпендикулярах по Лежандру»85 в журнале «Математика и физика в школе» за 1936 год. В ней он проявил себя как знаток истории математического образования, поскольку в ней приводит свои суждения об учебниках и работах А. Ю. Давидова, А. П. Киселева, Р. В. Гангнуса, Г. Ч. Юнга, А. М. Лежандра. Проводит обобщение о способах доказательства теоремы о двух перпендикулярах (признак перпендикулярности прямой к плоскости). Приводит доказательство теоремы алгебраическим методом, опубликованным Лежандром в 1836 году (статья представлена в Приложении).

84 Понятие о диаметре можно еще дать иначе, сгибая круг пополам и обращая внимание детей на то, что линия сгиба проходит через центр.

85 Астряб А.М. Аналитическое доказательство теоремы о двух перпендикулярах по Лежандру. //Математика и физика в школе. - 1936. - №4. - С.64-65.

8. Методико-арифметические работы А.М. Астряба

Александр Матвеевич вошёл в историю отечественной методики математики в большей степени как автор учебников по геометрии. А. М. Астряб является автором ряда работ, посвященных изучению арифметики в школе. Это и задачники, предназначенные для деревенской школы, это и очерки о методике преподавания систематического курса арифметики и др.

А. М. Астряб активно продолжал просвещенческую деятельность и в годы Советской власти. Начиная с 20-х годов, он отдавал много сил на создание новых, считавшихся более прогрессивными и пригодными для практики молодой советской школы учебников по арифметике для 1-4 классов.

Учёный был последователем установившейся в тот период комплексной системы обучения, полностью порвавшей с дореволюционной. Однако он активно выступал против отдельных установок и положений программы по математике. В начале 20-х годов он активно работает именно над учебниками арифметики, реализуемыми в указанной системе. Обратимся к одному из них.

В 1924 году издательством Украины опубликован «Арифметический задачник (применительно к комплексной системе) для деревни. Первый год обучения»86.

Изложение начинается с изучения первого десятка посредством картинок. Затем появляются первые задачи: «Испекла мама 4 буханки хлеба, а потом одну отнесла и на столе осталось 3». Рассматриваются соответствующие картинки; рассуждения проходят под руководством учителя. На следующем этапе дети самостоятельно составляют задачи по аналогичным рисункам. Нередко изложение учебного материала идет в форме рассказа, например:

«Что делал Вася сегодня утром

Вася проснулся сегодня. Стал Вася одеваться. Обул один сапог на левую ногу, а правая нога босая. Долго искал Вася сапог, пока не нашел и не надел его. (Сколько сапог тогда было у Васи на ногах?)

Пошел Вася умываться, налил в чашку сначала две кружки воды, а потом влил еще одну кружку. (Сколько кружек воды налил Вася? Нарисуйте эти кружки). Мама уже испекла хлеб и начала вынимать его из печи. Вынула сначала три хлеба, а потом вынула еще один. Стал Вася считать, сколько всего хлебов испекла мама. (Нарисуйте те хлеба, которые испекла Васина мама). Мама говорит Васе: «Вася, помоги мне кур покормить». Пошли они к курятнику. Видит Вася, что на одной жердочке сидят четыре курочки, а еще одна сидит отдельно. Когда вошли в курятник, то и эта ку-

86 Астряб А.М. Арифметический задачник. (Применительно к комплексной системе). Для деревни. Первый год обучения. - Киев: Гос. изд-во Украины, 1924. - 78 с.

рица перелетела к остальным. Мама спросила Васю, сколько у них всего кур. (Нарисуйте курятник в виде квадратика; жердь, на которой сидели куры, - в виде прямой линии, а самих кур - кружочками. Нарисуйте, как сидели куры прежде, а потом нарисуйте, как они сели, когда Вася вошел в курятник).

Мама посыпала перед курятником просо и стала сзывать кур: «Цып, цып, цып!» Сидели в курятнике пять курочек. Сначала подбежала к зерну одна курочка, а другие остались в курятнике. Мама спрашивает Васю, сколько кур осталось в курятнике. Вася подумал, подумал, да и вычислил, не идя в курятник. ...»

И так далее, в такой форме идет описание всего дня прожитого Васей. В процессе знакомства с Васей идет обучение детей числам и действиям в первом десятке.

Далее идет изучение числа 5, выполняются примеры на сложение и вычитание в пределах 5. А.М. Астряб знакомит детей с римской системой счисления, используя при этом кисти рук. Попутно рассказывается сказка-задача о пальцах, где какой палец расположен (указательный, средний, безымянный и т.д.).

Рассмотрим еще один фрагмент книги, который «привязывает» изучение числа 7 к попутному изучению дней недели:

«В понедельник баню я топила,

А во вторник в банюшку ходила,

В среду я в угаре пролежала.

А в четверг головушку чесала.

Люди добрые в пятницу не пряли,

А в субботу мы на улице гуляли.

В воскресенье целый день проспали.

Так вот всю неделюшку мы пряли».

При изложении арифметики чисел, А.М. Астряб часто успешно прибегает к помощи геометрии. Вот один из примеров представленных в виде последовательности практических задач, объединенных одним сюжетом.

Рассмотрим в качестве примера упражнение, в котором переплетаются арифметика с геометрией.

Возовица

1. «Ну, говорит отец, надо готовить телеги. Завтра начнем возить снопы». - «А сколькими телегами будем возить мы?» - спрашивает мама. -«Да у нас, - отвечает отец, - только одна телега, но мы решили возить вместе с дядей Степаном да Власом, а у них 2 телеги. Вот и будем возить снопы ... телегами».

2. Вошел отец в избу и жалуется, что мало у него дегтя для колес. «Этим дегтем больше двух колес не подмажешь, а я обещал дать Степану да дяде Власу своего дегтя на все их 8 колес».

3. Поутру, чуть заря, подъехал к нашей избе дядя Влас и кричит отцу, чтоб и он поскорее выезжал со своей телегой в поле. Выбежали мы с Машей из избы и начали просить дядю Власа, чтоб он взял и нас с собой. «Ну и шустрый же вы народ!» заворчал на нас дядя Влас: «Вон на моей телеге и так уже сидят 3 моих шалуна. Ну, да что с вами поделаешь. Возьму уж и вас для компании. Полезайте - да поскорее!» Мы с Машей быстро вскарабкались на телегу, и покатили мы ... детей в поле. (Нарисуй всех детей, что поехали на телеге с дядей Власом в поле. Сколько их?)

4. Пока отец приехал в поле, дядя Влас успел уже положить на свою телегу 8 снопов, да мы еще поднесли ему 2 снопа. (Сколько снопов лежало тогда на телеге дяди Власа?)

5. Начал и отец укладывать снопы на свою телегу. А дядя Влас наложил уже на свой воз снопов доверху да и говорит отцу: «Вот от моего кресца осталось еще 9 снопов. 2 из них я положил на свою телегу, а остальные забери уж ты». (Сколько снопов из этого кресца пришлось взять отцу на свою телегу?)

6. Когда отец поднимал последние снопы, то из под них выбежало 6 мышат: 2 отец поймал, а остальные убежали. (Нарисуйте тех мышат, которые убежали. Сколько их? Запишите, как узнали вы это число?)

7. Все ребята остались с отцом ловить мышат, а дядя Влас поехал домой со снопами. Едет Гнедко его шажком, а дядя Влас лежит на снопах и дремлет. Вез, вез Гнедко, да и завез телегу в канаву. 2 колеса уехали с Гнедком, а телега осталась в канаве. (Сколько колес осталось в канаве?) Упал дядя Влас вместе с 7 снопами прямо в канаву. 2 снопа упали на сухое место, а остальные прямо в воду. (Сколько снопов намокло?) Стоит дядя Влас да чешет себе поясницу. Вот тебе наука: не спи!

Задания.

1. Попробуем нарисовать то колесо, которое сломалось у дяди Власа.

Нарисуйте сначала обод колеса. (Линия эта называется окружностью.)

Вырежьте вдоль окружности кружок. Найдите в этом круге ту точку, которой надвигают колесо на ось. (Назовем эту точку центром). Оста-

ется нарисовать спицы колеса. Для этого соединим прямыми линиями центр с окружностью. (Эти прямые называются радиусами). Вот и готово колесо!

2. А теперь давайте нарисуем телегу дяди Власа. Для этого надо научиться рисовать вот такие фигуры:

(Похож ли этот прямоугольник на квадрат? Чем отличается прямоугольник от квадрата?)

Остается вместо колес приклеить из цветной бумаги кружочки, а вместо оглобель - две прямые линии. Вот и готова телега!

3. Попробуйте и вы склеить такую телегу из цветной бумаги.

Бесспорно, А. М. Астряб использует методику, в которой удачно соединяются дидактические принципы наглядности, осознанности и доступности обучения с принципом связи обучения с жизнью. Эти азы советской педагогики вряд ли стоит забывать и в наше постсоветское время. Возможно в сюжете присутствует некоторая доля примитивности. Однако сюжет придумать и предложить несложно - важно увидеть за этими сюжетами неумирающую идею наглядности обучения.

В 1927-1932 гг. на Украине были опубликованы «Рабочие книжки по математике» (для младшего концентра трудшколы) под редакцией А. М. Астряба.

В результате проведённого исследования Н. П. Дичек констатировала, что учебники А. М. Астряба были на Украине одними из наиболее распространённых в 20-е годы. Их тиражи достигали 300-500 тыс. оттисков.87

87 Дичек Н.П. Проблемы школьного математического образования в педагогическом наследии А.М. Астряба: Диссертация на соиск. учен. степ. канд. пед. наук. - Киев, 1985.-С.33.

Разработка учёным вопросов методики преподавания арифметики не ограничилась написанием учебников для начальной школы. В начале 1928 г. на Пленуме секции сельской школы Киевского окружного методического комитета А. М. Астряб выступал с обширным докладом «Методика арифметической задачи в современной трудшколе». Он послужил началом исследования, проводимого учёным потом ещё долгие годы.

Так, в 1939 году была опубликована работа «Принципи систематизації арифметичних задач» («Принципы систематизации арифметических задач».88 Работа состоит из четырёх разделов:

Раздел I. Систематизация арифметических задач по типам.

Раздел II. Желательные группы типовых арифметических задач.

Раздел III. Решение задач в определенной методической последовательности.

Раздел IV. Примеры распределения задач по отдельным классам в методической последовательности.

По мнению А. М. Астряба, для того, чтобы ученик смог самостоятельно решить незнакомую текстовую задачу, он должен сначала выяснить, какие величины описаны в тексте и какие существуют между ними зависимости. Дальше ему необходимо на основе этих зависимостей установить, какие арифметические действия и в какой последовательности нужно выполнить над данными в условии числовыми значениями соответствующих величин, чтобы найти искомое.

Когда же даны очевидные зависимости или они представлены в явном виде, то поиск искомого происходит при помощи синтетического или аналитического методов. Если же зависимости даны в неявном, скрытом виде, тогда ученик должен стараться из условия вычленить не отдельные действия, а отдельные звенья. Эти звенья являются типовыми задачами, способ решения которых ученику уже известен.

А. М. Астряб считал, что для постепенного обретения учениками умения самостоятельно решать сложные текстовые задачи, им нужна конкретная база, включающая в себя определенное количество типовых задач, план решения которых уже ими осознан. При этом основных типов задач, по его мнению, должно быть немного, а само деление на типы должно базироваться не на сюжете, не на способах решения, а на особенностях математического содержания. Педагог писал: «В отдельную самостоятельную группу типовых задач надо прежде всего выделить задачи, построенные на специальных математических понятиях и терминах (свойства компонентов, увеличение или уменьшение числа, отношение и т.п.) или на

88 Астряб А.М. Принципи систематизації арифметичних задач. - Київ: Радянська школа, 1939. - 55с.

специальных математических операциях (задачи на нахождение части числа, задачи на проценты, задачи на «правило трёх» и т.д.)»89.

Этот принцип и был положен в основу распределения задач на определенные типовые группы.

Поэтому в основу своей классификации он положил два общих понятия: понятие о разностном и понятие о кратном сравнении числовых значений величин.

Задачи на разностное сравнение делятся на четыре группы.

В первую группу вошли задачи на осмысление понятия о разностном отношении чисел: а) увеличение или уменьшение числа на некоторое число; б) определение на сколько одно число больше или меньше другого.

Вторая группа - задачи на сравнение разностных отношений: а) взаимное сравнение разностных отношений двух величин; б) исключение одной неизвестной величины с помощью способа вычитания или сравнение данных; в) сравнение разностей двух величин способом предположения.

Третья группа - задачи на деление числа в разностном отношении:

а) деление на две части (нахождение двух чисел по их сумме и разности);

б) деление на несколько частей.

Четвертая группа - задачи на замену одной величины второй, связанной с ней разностным отношением.

Задачи на кратное сравнение также делились на четыре группы.

Первая группа - задачи на осознание понятия о кратном сравнении чисел: а) кратное отношение (определение того, во сколько раз одно число больше или меньше чем другое); б) кратное отношение является дробью -нахождение дроби от числа, нахождение числа за его частью, определение, которую часть составляет одно число от другого; в) кратное отношение выражено в процентах - три типа задач на проценты.

Вторая группа - задачи на сравнение кратных отношений: а) на выяснение понятия о величинах, которые связаны пропорциональной зависимостью; б) на «простое правило трех»; в) на «сложное правило трех».

Третья группа - задачи на деление числа в кратном отношении: а) деление числа в кратном отношении (нахождение двух чисел по их сумме разностью) и кратным отношением); б) деление числа прямо пропорционально ряду чисел; в) деление числа обратно пропорционально ряду чисел; г) деление числа пропорционально двум рядам чисел.

Четвертая группа - задачи на замену одной величины второй, связанной с ней кратным отношением.

Относительно применения этой типизации на практике А. М. Астряб советует помнить о том, что:

89 Астряб А.М. Принципи систематизації арифметичних задач. - Київ: Радянська школа, 1939.-С. 15.

1) ошибочным является не только пренебрежение решением задач по типам, но и старание распределить все без исключения задачи на типы;

2) типовые задачи не должны быть самоцелью, они являются лишь вспомогательным фактором в обретении учениками умений самостоятельно решать любые задачи;

3) не следует опасаться, что ученик будет решать механически определенное ограниченное количество задач, необходимых для усвоения типового способа или типовых признаков, но следует рассудительно подходить к определению количества этих тренировочных задач;

4) нужно обязательно раскрывать связи между разными типами и между типовыми и нетипичными задачами и приучать учеников связывать каждую новую задачу с уже ранее решенной;

5) непременно следует давать ученикам задания решать задачи без определения их типа.

Особое внимание Астряб уделял вопросу использования наглядности в обучении, причем не только при изучении геометрии (что является естественным), но и при изучении арифметики. Именно наглядность позволяет избежать ряд трудностей, возникающих при решении задач. И таких трудностей довольно много. «Во-первых, трудность осознания условия задачи; ученику тяжело выявить математическую связь между величинами, которые входят в состав задачи, ... очень тяжело узнать, какие действия в каком порядке надо выполнять, чтобы найти числовое значение неизвестной величины. Дело усложняется еще тем, что все эти величины и вся связь между ними подаются в типовой арифметической задаче в абстрактном, условном оформлении».90

В связи с этим учителю надо научить учеников абстрактному оформлению таких задач. И это процесс должен быть проходить постепенно. Здесь ученику в значительной мере может помочь, особенно во время первых его шагов (начальные классы), правильное применение наглядного пособия, наглядные схематические рисунки, наглядные таблицы, которые своими яркими образами помогут ученику осознать условие задачи, выявить связь между числами и составить план решения. Особенно таблицы должны помочь ученику как можно лучше осознавать математическое содержание условия задачи. Рисунки и схемы могут помочь ученику наметить план решения данной задачи. Астряб предупреждал, что «надо избегать попадания в наглядные таблицы для решения типичных задач готового числового ответа. Такие таблицы не только не будут помогать ученику осознавать процесс решения задачи, а наоборот, будут приучать его сразу искать ответ без анализа условия задачи, без плана математических действий».91 Пользуясь наглядными таблицами, учитель должен все время пом-

90 Астряб А.М. Принципи систематизації арифметичних задач. - Київ: Радянська школа, 1939.-С.18-19.

91 Там же.-С. 19.

нить, что основная задача - научить ученика самостоятельно отыскивать связь между абстрактными математическими величинами, научить его самостоятельно решать абстрактные математические типы задач. Важно избегать усложнения наглядных таблиц лишними деталями, которые только будут отвлекать внимание учеников от математического содержания задачи. Вместе с этим таблицы должны по мере возрастания математического развития ученика постепенно приучать его к схематическому изображению условий задачи. «Научить ученика самостоятельно решать задачу может не наглядная таблица, а только учитель».92

Свои взгляды на преподавание арифметики Александр Матвеевич излагал не только в учебниках, но и на различного рода совещаниях. Так, в 1940 г. состоялось расширенное заседание отдела методики математики Украинского научно-исследовательского института педагогики. Выступая с докладом, А.М. Астряб указывал на необходимость соединения пропедевтических курсов с систематическими. В частности он выступал за то, чтобы пропедевтический курс арифметики заканчивался в первых двух классах, а в 3-м классе дети переходили бы к изучению систематического курса арифметики, который должен оканчиваться в 5 классе.93

В 1941 году опубликовано пособие «Арифметична задача»94, вышедшее на украинском языке под редакцией А. М. Астряба. Эта работа была написана в соавторстве А.М. Астряба с представителем Российской Федерации - старшим научным сотрудником Научно-исследовательского института школ РСФСР Г.Б. Поляк. Он стал в дальнейшем автором собственного учебника по методике преподавания арифметики в начальных классах95. По одному параграфу написано научным сотрудником УНДИП'у Б. И. Малиновой и старшим научным сотрудником УНДИП'у Д. М. Майергойзом.

Пособие состоит из трех разделов. В первом разделе даны общие установки относительно решения арифметических задач, при чем обращается внимание: 1) на устные задачи, как на очень важный подготовительный этап для приобретения привычек в решении сложных типовых задач; 2) на методику усвоения условия задачи, без чего ученик не сможет сознательно решить данную задачу; 3) на устное и письменное объяснение про-

92 Там же.-С. 19.

93 Цит по: Дичек Н.П. Проблемы школьного математического образования в педагогическом наследии А.М. Астряба: Диссертация на соиск. учен. степ. канд. пед. наук. -Киев, 1985.- С.39.

94 Арифметична задача Методичний посібник. Під ред. проф. О.М. Астряба. - Київ: Рядянська школа, 1941. - 148с.

95 Поляк, Г.Б. Преподавание арифметики в начальной школе /Г.Б. Поляк - М.: Учпедгиз, 1959.-352с.

цесса решения задач; 4) на работу над задачей после ее решения. Именно реализации на практике последних двух пунктов уделяется недостаточное внимание.96

Во втором разделе представлена методика решения некоторых типовых задач. Поскольку методика решения типовых задач для начальной школы разработана довольно детально и хорошо освещена в литературе, авторы рассмотрели более сложные типы задач из курса V класса, а именно: задачи на умножение и деление на дробь и задачи на проценты.

Всё же и методика решения задач из начального курса математики не осталась «в стороне». А. М. Астряб уделяет особое внимание аналитическому и синтетическому способам решения арифметических задач. В своей работе детально рассматривает процесс составления плана решения задач с помощью наглядных схем, которые массово используются и в современной школе. К примеру, детально рассматривается следующая задача:

Задача. Предполагалось купить 36 тарелок по 2 крб. и 24 тарелки по 4 крб. Вместо этого, на эти деньги купили тарелок одного сорта ценою по 3 крб. Сколько купили тарелок?

Отмечая необходимость формирования умения у учащихся решать задачи синтетическим и аналитическим способами, А. М. Астряб отдаёт предпочтение отдаёт синтетическому: «... неудобство аналитического метода в том, что решение задачи этим методом забирает очень много времени. Поэтому не надо решать даже в классе все без исключения арифметические задачи аналитическим методом. Довольно применять этот метод к решению типичной, основной задачи в частности, когда этот тип задачи новый для учеников»97.

При этом, по мнению учёного, синтетический и аналитический способы не существуют изолированно друг от друга. «Когда присмотреться к аналитическому методу решения арифметических задач, то впадает в глаза то, что он составляется с двух отдельных частей: первая часть - составление плана решения задачи, вторая же часть есть не что другое, как применение синтетического метода, потому что здесь мы идем от данных в условии задачи чисел к искомому, нами неизвестного числа. <...> При применении синтетического метода не надо закрывать в нем элементы аналитического метода, которые входят в его состава, постепенно усиливать их и, наоборот, применяя аналитический метод, не надо при решении задач, больше - менее известных ученикам (относительно образа их решение),

96 Арифметична задача Методичний посібник. Під ред. проф. О.М. Астряба. - Київ: Рядянська школа, 1941. - С.3.

97 Арифметична задача Методичний посібник. Під ред. проф. О.М. Астряба. - Київ: Рядянська школа, 1941. - С.35.

злоупотреблять весьма длинным составлением предыдущего, чрезмерно детального плана»98.

Третий раздел составлен на основе материала ранее указанной работы А. М. Астряба «Принципи систематизації арифметичних задач», опубликованной двумя годами ранее. Однако это не полное копирование приведенной ранее классификации задач, в ней проведены некоторые структурные изменения. В итоге все типовые задачи Александр Матвеевич располагает в виде шести групп.

98 Там же, С.35-36.

Первая группа. Задачи на разностное сравнение.

Тип 1. Понятие о разностном сравнении.

а) Увеличение или уменьшение числа на несколько единиц.

б) На сколько единиц одно число больше или меньше второго.

Тип 2. Деление числа на части в разностном отношении.

Тип 3. Сравнение разностных отношений числовых значений двух величин.

Тип 4. Сравнение разностных отношений числовых значений двух величин с применением образа «допущения».

Тип 5. Исключение одной из двух неизвестных величин их разностным сравнением.

а) Случай, когда оба числовых значения одной величины одинаковые.

б) Случай, когда раньше надо уравнять оба числовых значения одной величины.

Тип 6. Исключение одной из двух неизвестных величин заменой ее второй величиной, связанной с первой определенным разностным отношением.

Вторая группа. Задачи на кратное сравнение.

Тип 1. Понятие о кратном сравнении.

а) Увеличение или уменьшение в несколько раз.

б) Во сколько раз одно число больше или меньше второго.

Тип 2. Деление числа на части в кратном отношении.

а) Деление числа на две части.

б) Деление числа на несколько частей.

в) Деление числа пропорционально данному ряду чисел.

Тип 3. Деление числа на части, связанные между собой кратным и разностным отношениями.

Тип 4. Замена одной величины другой способом отношения. Исключение одной из двух неизвестных величин заменой ее второй величиной, связанной с первой определенным кратным отношением.

Тип 5. Задачи на пропорциональные величины.

а) Вычисление одной из двух пропорциональных величин способом сведения к единице.

б) Вычисление одной из двух пропорциональных величин способом отношений.

в) Вычисление одной из трех пропорциональных величин способом сведения к единице.

г) Задачи на вычисление одной из пропорциональных величин способом пропорций.

Третья группа. Задачи на движение.

Тип 1. Точки движутся навстречу.

Тип 2. Точки догоняют друг друга.

Четвертая группа. Задачи на время.

Тип 1. Известны время начала и конца события; найти его продолжительность.

Тип 2. Известны время начала события и его продолжительность; найти время его конца.

Тип 3. Известны время конца события и его продолжительность; найти время начала события.

Пятая группа. Задачи геометрического содержания.

Тип 1. Вычисление площади прямоугольника и квадрата.

Тип 2. Вычисление поверхности и объема прямоугольной призмы и куба.

Шестая группа. Задачи на дроби.

Тип 1. Задачи на умножение и деление на дробь.

Тип 2. Задачи на более сложные случаи нахождения всего числа по его части.

Тип 3. Задачи на совместную работу.

Тип 4. Задачи на проценты.

Далее рассмотрим работу «Нариси з методики викладання систематичного курсу арифметики» («Очерки о методике преподавания систематического курса арифметики»)99, опубликованную в 1950 году под редакцией профессора А.М. Астряба на украинском языке. Целью «Очерков...», по словам редактора, является желание дать учителям математики основы изложения систематического курса арифметики в 5 и 6 классах. Это методическое пособие, в котором можно найти разъяснение наиболее сложных вопросов, какие возникают в процессе изучения этой дисциплины. Непосредственно Александром Матвеевичем написаны первый и заключитель-

Титульный лист «Нариси з методики викладання систематичного курсу арифметики» Под ред. А. М. Астряба (1950 г.)

99 Нариси з методики викладання систематичного курсу арифметики. Под ред. А.М. Астряба. - К.: Радянська школа, 1950. - 251с.

ный разделы, остальные - научными работниками отдела методики математики Украинского научно-исследовательского института педагогики. Эта работа была удостоена премии им. К. Д. Ушинского.

В первом разделе «Принципы построения систематического курса арифметики в советской школе» (авт. проф. Астряб А.М.) даётся анализ тех основных постановлений партии и правительства, которые касаются преподавания каждой дисциплины в советской школе в целом и математике в частности. Бесспорно, это было веяние того времени и неотъемлемая часть всех публиковавшихся работ. Второй раздел «Основной вопрос в методике повторения целых чисел в 5 классе» подготовлен заслуженным учителем Г. Д. Гриневичем. В нём даны методические советы к повторению целых чисел в этом классе. Акцент сделан на глубоком изучении действий с именованными числами. Особо отмечается, что «даже в старших классах ученики часто делают ошибки в своих действиях».100 В связи с этим в работе выделен отдельный третий раздел «Именованные числа в систематическом курсе арифметики», подготовленный доцентом И. Е. Шиманским. В нём собраны рекомендации связанные с ознакомлением учеников с действиями над именованными числами, даны короткие теоретические пояснения об этих числах. Прежде чем авторы перешли к методике преподавания дробей, они посчитали рациональным в четвёртом разделе «Делимость чисел» (авт. доц. Майергойз Д. М.) сформулировать методические рекомендации по ознакомлению учеников со сложным с методического взгляда вопросом о делимости чисел. В пятом разделе «Обыкновенные дроби» (авт. доц. Майергойз Д. М.) даётся очень детальная методика преподавания обыкновенных дробей в систематическом курсе арифметики. Разделы шестой «Десятичные дроби» (авт. доц. Гельфанд М. Б.) и седьмой «Процентные вычисления» (авт. доц. Майергойз Д. М.) также посвящены изложению методики обучения учащихся указанным вопросам. Для нас наибольший интерес представляет раздел восьмой «Задачи в систематическом курсе арифметики», написанный доц. Сергуновой О. П. и проф. Астрябом А. М. В этом разделе даётся детальный методический анализ решения задач в систематическом курсе арифметики. Раздел состоит из двух частей. В первой - даются методические рекомендации по решению арифметических задач в 5 и 6 классах. При этом большое внимание уделено анализу различных способов решения задач. Во второй части даются подробные теоретические объяснения, лежащие в основе решения задач различными способами.

В целом Александр Матвеевич в своих работах сформулировал рекомендации относительно типизации (классификации) арифметических задач. В их основу был положен не внешний текст задач, а их математиче-

100 Нариси з методики викладання систематичного курсу арифметики. Под ред. А.М. Астряба. - К.: Радянська школа, 1950. - С.3.

ское содержание. Особое значение придавалось понятиям о разностном и кратном сравнении числовых значений величин.

К работам А. М. Астряба обращаются и современные методисты, хотя, к сожалению, преимущественно только на Украине. Так, например, С. М. Лукьянова отмечает, что «уместно прислушиваться к его методическим рекомендациям с целью избежать нежелательных отрицательных проявлений, которые уже были раньше в школьной практике во время решения типовых задач арифметическими способами (натаскивание на типовые способы, злоупотребление искусственными приемами решения и т.п.)».101

101 Лукьянова С.М. Про викоритання ідей О.М.Астряба в сучасній основній школі під час розв'язування текстових задач. // Тези Міжнародна науково-практична конференція, присвячена 60-й річниці кафедри математики і методики викладання математики «Математична освіта в Україні: минуле, сьогодення, майбутнє». - Київ: НПУ імені М.П. Драгоманова, 2007. - С.352.

Заключение

Александр Матвеевич прожил богатую научную жизнь. Он был свидетелем эпохальных событий: революция 1905 г., Первая мировая война, революция 1917 г., Великая отечественная война; не менее эпохальных коллизий отечественной школы: отмена предметного обучения, увлечения «комплексной системой» и «методом проектов», восстановление предметного обучения и оценочной системы, политехнизация школы. А для отечественной педагогики и методики он один из создателей отечественной методики преподавания математики в школе и вузе. Его учебники, научные статьи - составная часть фундамента этой науки - методики преподавания математики. Об этом говорит и наследие А. М. Астряба - более 100 печатных работ.

Учёный оставил нам не только плоды своего труда, но сумел рассказать о результатах деятельности многих учёных, педагогов, методистов, учителей. А. М. Астряб понимал, что накопленный опыт и традиции являются бесспорной ценностью, которую нельзя забывать. Вопросам истории развития методики преподавания посвящены его работы: «Из истории преподавания математики в советской школе» (1947), «Преподавание математики в России и на Украине в XVII-XVIII вв.» (1954), «Методика преподавания математики в Украинской ССР» (1957), «Из истории развития методики преподавания математики в школах Советской Украины» (1957), «Преподавание математики в России и на Украине в XVII-XVIII вв.» (1954).

В одной из своих последних работ «Преподавание математики в России и на Украине в XVII-XVIII вв.» учёный особо подчёркивал прогрессивное влияние воссоединения Украины с Россией на развитие науки и просвещения. По его мнению, именно воссоединение дало возможность сбросить тяжёлый национальный гнёт украинского населения польской шляхтой, одним из проявлений которого было стремление держать украинцев и белорусов в невежестве и безграмотности. Кроме того, в польских школах, пребывающих под контролем католической церкви и служащих образованию детей зажиточных слоев, не считалось жизненной необходимостью математическое образование, в то время как в России интерес к математике наблюдался с древности. Поскольку учебные руководства по математике издавались в России не на латинском (как в Польше), а на славянском языке, они широко использовались на Украине.102

Думается, что учёный был бы крайне удивлён и шокирован сегодняшними отношениями Украины с Россией. Впрочем, это политика. Даже недавний опыт общения с украинскими коллегами убедил нас, что друже-

102 Цит. по: Дичек Н.П. Проблемы школьного математического образования в педагогическом наследии А.М. Астряба: Диссертация на соиск. учен. степ. канд. пед. наук. -Киев, 1985.- С.65.

ские, а главное человеческие отношения действительно братских народов были, есть и будут. Нас многое объединяет, а самое главное - общая история, изменить которую не дано никому. Её надо обязательно беречь.

В последние годы жизни по состоянию здоровья А. М. Астряб был лишён возможности продолжать свою любимую работы.

Жизнь и деятельность педагога и учёного Александра Матвеевича Астряба - наша общая история, опираясь на которую мы выстоим и обязательно будем развиваться.

Неопубликованные источники

Научный архив Российской Академии Образования

РАО Научный архив, фонд 104, дело №534. Личный фонд Андронова Ивана Козьмича. Письма И.К. Андронову от различных корреспондентов. Т.2.

Библиографический список

1.Арифметична задача. Методичний посібник. Під ред. проф. О.М. Астряба. - Київ: Рядянська школа, 1941. - 148с.

2.Астряб А.М. Аналитическое доказательство теоремы о двух перпендикулярах по Лежандру. //Математика и физика в школе. - 1936. - №4. -С.64-65.

3.Астряб А.М. Арифметический задачник. (Применительно к комплексной системе). Для деревни. Первый год обучения. - К.: Гос. изд-во Украины, 1924.-78 с.

4.Астряб А.М. Геометрія для трудшкіл. X., 1927.

5.Астряб А.М. З історії викладання математики в радянській школі. //Радянська школа, 1947. - №5. - С.73-78.

6. Астряб А.М. Курс опытной геометрии. Индуктивно-лабораторный метод изложения. В 4 частях. - М.-П.: Тип. «Сеятель» Е.В. Высоцкого, 1923.-270с.

7.Астряб А.М. Курс опытной геометрии. Индуктивно-лабораторный метод изложения. 14-е изд. М.-Л.: Госиздат, 1928. - 288с.

8.Астряб А.М. Методика викладання математики в Українській PCР. В кн.: Розвиток народної освіти і педагогічної науки в Українській PCР. - К., 1957.

9.Астряб А.М. Методика розв'язування задач на побудову в середній школі. - К., 1940.

10. Астряб А.М. Наочна геометрія в IV-V. - Київ, 1953. - 119с.

11. Астряб А.М. Начальный курс геометрии для трех младших классов средних учебных заведений и для начальных училищ. - Петербург-Киев.: Сотрудникъ, 1913. - 155с.

12. Астряб А.М. Почему трудно решать геометрические задачи на вычисление. // Материалы совещания преподавателей математики средней школы. - Март- апрель 1935 г. - М.: Учпедгиз, 1935. - С.64-70.

13. Астряб А.М. Принципи систематизації арифметичних задач. -Київ: Радянська школа, 1939. - 55с.

14. Астряб А.М. Про деякі елементи професіональної підготовки студентів фізико-математичного факультету педагогічного інституту. (О некоторых элементах профессиональной подготовки студентов физико-

математического факультета педагогического института). // Научные записки. Том XVII. Педагогическая серия. №1. - Київ: Радянська школа, 1955.-С.3-14.

15. Астряб А.М. Як викладати геометрію в політехнічній школі. Частина I. 5 -й рік навчання. - Київ: Радянська школа, 1934. - 80 с.

16. Астряб А.М. Як викладати геометрію в середній школі. Частина II. 6-й класс. - Київ: Радянська школа, 1934. - 104 с.

17. Астряб А.М., Хлебников КО., Шингарьова Р.М. Розв'язування стереометричних задач. - Київ-Харків: Радянська школа, 1936. - 127с.

18. Астряб М.Г. Войсковая и городовая старшина в Малороссийских полках в 1725 году // Труды Полтавской ученой архивной комиссии. -Вып. 14.- Полтава, 1916. - С.71-83

19. Астряб М.Г. Население Малороссии по ревизиям 1729 и 1764 гг. - I (по ревизии 1729 г.) // Труды Полтавской ученой архивной комиссии. Вып.9. - Полтава, 1912. - С.61-80 ("Старина Лубенського полка в 1777 году" -С.65-80.

20. Бевз В.Г. Історія математики у фаховій підготовці майбутніх учителів: Монографія. - К.: НПУ імені Драгоманова, 2005. - 360с.

21. Бевз В.Г., Олійник Г.Ф., Швець В.О. Олександр Матвійович Астряб - засновник школи з методики математики в Україні // Математика в школі. - 2004. - №8. - С.51-55.

22. Бевз В.Г., Олійник Г.Ф., Швець В.О. Олександр Матвійович Астряб - засновник школи з методики математики в Україні //Актуальні проблеми теорії і методики навчання математики. Всеукраїнська науково-практична конференція, присвячена 170-й річниці НПУ імені М. П. Драгоманова, 125-й річниці з дня нарождения профессора О.М. Астряба, 70-й річниці фізико-матемичного факультету. Тези доповідей. -Київ - 2004.-С.3-10.

23. Белый Б.Н. Александр Матвеевич Астряб. //Математика в школе. - 1954. - №5. - С.73-75.

24. Белый, Б.Н. Александр Матвеевич Астряб. Некролог. // Математика в школе. - 1963. - №2. - С.85-86.

25. Бескин, Н.А. Методика геометрии. С приложением главы «Методика преподавания «Наглядной геометрии» А.М. Астряба /Н.А. Бескин -М.-Л.: Учпедгиз, 1947. -276с.

26. Ванцак Б. Сторінки життя та діяльності М.Г.Астряба. В кн.: Архівний збірник на посвяту 90-річчю Полтавської вченої архівної комісії. Полтава, 1993.

27. Викладання арифметики в семирічній школі. Под ред. проф. О. М. Астряба. - К, 1951. - 176с.

28. Викладання геометрії в сердній школі. Планіметрія. За матеріалами розширеного пленуму відділу методики математики, що

відбувся в жовтні 1951 року в м.Вінниці. Под ред. проф. О. М. Астряба и доц. М.Б.Гельфанда. - Київ: Рядянська школа, 1953. - 220с.

29. Волков Е.Е. Новый способ обучения началам геометрии, основанный на решении задач из геодезии. // Педагогический листок. - 1872. -№1.-С. 45-65.

30. Дзурий Ю. А что это собственно, за лемки? //Газ. Киевлянин. 2002. - №29(73).

31. Дичек Н.П. Проблемы школьного математического образования в педагогическом наследии А.М. Астряба: Диссертация на соиск. учен, степ. канд. пед. наук. - Киев, 1985.

32. Дічек Н.П. Новаторська педагогічна діяльність О.М. Астряба у Київському приватному жіночому комерційному училищі // Рідна школа. -2004. - №9. - С.64-66.

33. Киевские математики-педагоги. Под ред. чл.-корр. АН УСССР А.Н. Боголюбова. - Киев: Издательское объединение «Вища школа», 1979. -312с.

34. Колягин Ю. М., Саввина О. А., Тарасова О. В. Русская школа и математическое образование: Наша гордость и наша боль. Ч.Ш. Вторая половина XX века и начало XXI века / Ю. М. Колягин, О. А. Саввина, О. В. Тарасова. - 3-е изд. - Орел.: ООО Полиграфическая фирма «Картуш», 2007.-273 с.

35. Колягин Ю. М., Саввина О. А., Тарасова О. В. Русская школа и математическое образование: Наша гордость и наша боль. 4.2. Первая половина XX века/ Ю. М. Колягин, О. А. Саввина, О. В. Тарасова. - 3-е изд. -Орел.: ООО Полиграфическая фирма «Картуш», 2007. - С.240.

36. Лазарева, А.И. Наглядные пособия по геометрии в VI-VII классах и методика их использования: дисс. ... канд. пед. наук /Лазарева А.И. -Коломна, Моск. обл, 1952. - 355с.

37. Лукьянова С.М. Про викоритання ідей О.М.Астряба в сучасній основній школі під час розв'язування текстових задач. // Тези Міжнародна науково-практична конференція, присвячена 60-й річниці кафедри математики і методики викладання математики «Математична освіта в Україні: минуле, сьогодення, майбутнє». - Київ: НПУ імені М.П. Драгоманова, 2007.-С.352-353.

38. Методика викладання стереометрії. Под ред. проф. О. М. Астряба. - К, 1956. - 280с.

39. Нариси з методики викладання систематичного курсу арифметики. Под ред. А.М. Астряба. - К.: Радянська школа, 1950. - 251с.

40. Педагогическая энциклопедия. Т.З. М.: Советская энциклопедия, 1966. - 879с.

41. Педагогічні кадри. Газ. Национального педагогического университета им. М.П. Драгоманова. - №11 (1582). - декабрь. - 2007.

42. Практическая школьная энциклопедия. Настольная книга для народных учителей и других ближайших деятелей в области народного образования. Под. Ред. Н.В. Тулупова и П.М. Шестакова. Изд. журнала «Для народного учителя». - М: Тип. П.П. Рябушинского, 1912. - 819с.

43. Тарасова, О.В. История школьной геометрии в России с конца XIX века до революции 1917 года: Монография /О.В. Тарасова - Орел.: ООО Полиграфическая фирма «Картуш», 2005. - 268 с.

44. Тарасова О.В. По страницам арифметического задачника для деревенской школы. К 120-летию А. М. Астряба.//Начальная школа-1999. -№2.-С.53-55.

45. Труды 1-го Всероссийского съезда преподавателей математики. Том II. Секции. - СПб.: Тип. «Север», 1913. - 364с.

46. Швець В.О. 60 років невтомної праці: до ювілею кафедри математики та методики викладання математики НПУ імені М.П. Драгоманова. //Дидактика математики: проблеми і дослідження: Міжнародний збірник наукових робіт: Труди міжнародної конференції «Математична освіта в Україні: минуле, сьогодення, майбутнє». - Вип. 28. - Донецьк: Вид-во ДонНУ, 2007. - С.9-16.

47. Швець В.О. 60 років невтомної праці: до ювілею кафедри математики та методики викладання математики НПУ імені М.П. Драгоманова.// Математика. Шкільний Світ. - №2(446). - Январь. - 2008. -С.1-8.

Приложение

В приложении помещены фрагменты из учебников по начальному курсу геометрии. А. М. Астряба, приводится ряд статей, выступлений учёного, относящихся к разнообразным областям математики и педагогики. Эти приложения лишний раз свидетельствуют о том, насколько многогранно наследие учёного.

АЛЕКСАНДР МАТВЕЕВИЧ АСТРЯБ

«Наглядная геометрия» (1909 год)103

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ

ПЕРВОНАЧАЛЬНОЕ ЗНАКОМСТВО С ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ ТЕЛАМИ

Глава 1. Приготовление геометрических тел

Куб

Рис. 1.—Кубъ.

Рис. 2

1. Вылепите из глины или воска по указанному образцу куб. (Посмотрите на рисунок 1).

2. Назовите несколько предметов, имеющих форму куба.

3. Вырежьте из картона указанную на чертеже 2 фигуру и склеите из неё тело. (Выкройка I)104

103 Астряб А.М. Наглядная геометрия. Начальный курс для трёх младших классов средних учебных заведений и для начальных училищ. 3-е изд. - П.- Киев: Сотрудникъ, 1913.-XII+155C.

104 Так как приготовление картонных выкроек и склеивание тел из них, требует много времени, то лучше всего предлагать детям делать это дома. Если детям трудно будет приготовлять выкройки, то можно или раздавать им заранее заготовленные, или давать перерисовывать их с готовых образцов. Готовые выкройки для приготовления геометрических тел, встречающихся в моем учебнике в натуральную величину, помещены в конце книги.

Пояснение. Лучше всего сделать рисунок на александрийской достаточно плотной бумаге. Вырезав аккуратно выкройку по контуру, согнуть фигуру по линиям, нарисованным точками, обмазать синдетиконом (густой клей) заштрихованную на рисунке кайму и склеить тело так, чтобы кайма попала внутрь его.

Как называется полученное тело?

Пояснение. Все предметы, окружающее нас, будем называть телами. Назовите несколько тел, находящихся в этой комнате, вне её.

4. Вырежьте куб из картофеля или из мыла.

5. Сделайте из спичек куб, скрепив концы воском.

Сколько всего спичек потратили вы на приготовление одного куба?

6. Нарисуйте на бумаге ваш куб, сделанный из спичек.105

Шар

7. Вылепите из глины или воска шар.

8. Назовите несколько предметов, имеющих форму шара.

9. Вырежьте из картофеля или мыла шар.

Прямоугольная призма

10. Вылепите из глины или воска по указанному образцу тело, называемое прямоугольной призмой.

11. Назовите несколько предметов, имеющих форму прямоугольной призмы.

12. Вырежьте из картона указанную на чертеже 5 фигуру и склейте из неё тело (Выкройка 2).

Как называется полученное тело?

Рис. 3. Шаръ.

Рис. 4. Прямоугольная призма.

Рис. 5.

105 Как образец можно выставить большую модель куба.

13. Вырежьте из картофеля или мыла прямоугольную призму.

14. Я дам каждому из вас по 12 палочек разной длины.106 Склейте воском концы этих палочек так, чтобы получилась прямоугольная призма.

15. Нарисуйте на бумаге вашу призму, сделанную из палочек.

Цилиндр

16. Вылепите из глины или воска тело по указанному образцу (рис.6).

Рис. 6.— Цилиндръ.

17. Есть ли в вашем классе предметы, имеющие форму цилиндра?

Какие ещё вы знаете предметы, напоминающие по своей форме цилиндр?

18. Посмотрите в окно. Видите ли вы на улице тела цилиндрической формы?

19. Вырежьте цилиндр из картофеля или мыла.

20. Вырежьте из картона фигуру, изображенную на рисунке 7, и склейте из неё цилиндр (Выкройка 3).

21. Нарисуйте ваш цилиндр на бумаге.

Рис. 7.

106 Примечание. Надо дать детям четыре палочки по 10 сантиметров, четыре по 7 сантиметров и четыре по 3 сантиметра.

Пирамида

22. Вылепите из глины или воска тело по указанному образцу. Тело это называется пирамидой.

23. Знаете ли вы какие-либо предметы, имеющие вид пирамиды?

24. Не знаете ли вы в городе какое-нибудь здание, крыша которого имеет форму пирамиды?

25. Вырежьте из картона указанную на рис. 11 фигуру и склейте из неё тело (Выкройка 4). Как оно называется?

26. Сколько я должен дать вам палочек, чтобы вы могли приготовить из них фигуру, имеющую форму пирамиды, как нарисованной на чертеже 9?

27. Я дам вам шесть палочек. Попробуйте склеить из них пирамиду.107

Нарисуйте на бумаге вашу пирамиду, сделанную из палочек.

Рис. 9. Пирамида.

Рис. 11.

29. Вырежьте пирамиду из картофеля или мыла.

Конус

30. Вылепите из глины или воска тело по указанному образцу. Такое тело называется конусом.

107 Примечание. Надо дать три палочки по 4 сантиметра и три - по 7 сантиметров.

31. Назовите несколько предметов, имеющих форму конуса.

32. Вырежьте конус из картофеля или мыла.

33. Вырежьте из картона фигуру, изображенную на рисунке 13 и склейте из неё конус Выкройка 5).

34. Нарисуйте на бумаге конус.

35. Найдите конус на рис.16.

36. Укажите в классе предметы, имеющие форму изученных вами геометрических тел.

37. Когда будете сегодня возвращаться домой из училища, присматривайтесь к предметам, которые будете встречать по дороге, и запомните те из них, которые будут иметь форму шара, конуса, цилиндра, пирамиды, призмы, куба.

Рпс. 12.—Конусъ.

Рис. 13.

АЛЕКСАНДР МАТВЕЕВИЧ АСТРЯБ

«Наглядная геометрия» (1909 год)108

Фрагмент изучения темы: «ПЛОЩАДЬ КВАДРАТА»

166. Нарисуйте квадрат со стороною в 1 сантиметр. Такой квадрат называется квадратным сантиметром. Вырежьте из цветной бумаги и приклейте рядом три квадратных сантиметра.

Рис.96

Пояснение. - Здесь нарисовано три квадратных сантиметра.

167. Как назвать квадрат со стороною в 1 аршин? Нарисуйте один квадратный вершок.

168. Составьте квадрат из 4 квадратных сантиметров и найдите длину каждой его стороны.

169. Вырежьте из бумаги квадрат со стороною в 3 см и разрежьте его на полосы шириною в 1 см и длиною в 3 см.

Рис.97

Рис.98

Пояснение. - На какой-либо паре противоположных сторон надо отложить сантиметры и соответственные точки деления, соединить прямыми линиями (смотрите рис.97). Вдоль по этим линиям разрежьте квадрат. Получите три полосы шириною в 1 см. (смотрите рис.98)

170. Вырезать из бумаги квадрат со стороною в 3 см и разрезать его на квадратные сантиметры. Сколько квадратных сантиметров получилось из нашего квадрата?

Пояснение. - Сначала надо разрезать квадрат на полосы шириною в 1 см, как указано в предыдущей задаче. Получатся 3 таких полосы. Затем на длине каждой полосы отложить сантиметры, соответственные точки деления соединить прямыми линиями. Разрезав вдоль по последним наши полосы, получим из каждой полосы по три квадратных сантиметра (рис.99)

108 Астряб А.М. Начальный курс геометрии для трех младших классов средних учебных заведений и для начальных училищ. - Петербург-Киев.: Сотрудникъ, 1913. - 155с. Астряб А.М. - Указ.соч. - С.62-68

Рис.99

171. Нарисуйте квадрат со стороною в 5 сантиметров. Обведите ладонью руки его площадь. Из скольких квадратных сантиметров состоит площадь этого квадрата?

172. Нарисуйте квадрат со стороною в 7 сантиметров и узнайте, сколько квадратных сантиметров содержит его площадь.

173. Как называется мера длины, равная 100 сантиметрам? Как называется квадрат, у которого каждая сторона равна 100 сантиметрам? Сосчитайте, сколько квадратных сантиметров можно вырезать из одного квадратного метра.

Пояснение. - Квадрат со стороною в 100 см называется квадратным метром. В квадратном метре содержится 100*100=10000 кв. сантиметров.

174. Как называется мера длины, равная десятой части сантиметра? Как называется квадрат, у которого каждая сторона равна одному миллиметру? Нарисуйте его. Сколько квадратных миллиметров содержит один квадратный сантиметр?

Рис. 100

Кв. см и кв. мм

175. От квадрата со стороной в 8 см отрежьте квадрат со стороною в 5см. Узнайте площадь оставшейся части. Проверьте ответ, разрезав оставшуюся часть на квадратные сантиметры.

176. Нарисуйте квадрат, площадь которого равна 1 кв. см. Пояснение. - Найдем сначала сторону квадрата. Обозначим число сантиметров, которое содержит эта сторона, буквой х; тогда площадь квадрата будет содержать х-х кв. см. Значит х-х=36, откуда х=6 см (так как 6*6=36). Остается теперь построить квадрат со стороною в 6 см.

177. Найдите сторону квадрата, площадь которого равна 49 кв.см; 81 кв.аршину; 144 кв.саженям.

178. Какой длины надо сделать забор, чтобы загородить им со всех сторон квадратное поле, площадь которого 900 кв.саж.?

179. В правом нижнем углу квадрата со стороною в 7 см нарисуйте квадрат со стороною в 4 см так, чтобы две стороны меньшего квадрата совпали с двумя сторонами большего. Если вырезать меньший квадрат, то чему равны периметр и площадь оставшейся фигуры?

180. Дан квадрат, сторона которого равна 10 см. На его основании нарисуйте квадрат со стороною в 6 см так, чтобы нижние вершины последнего отстояли на одинаковом расстоянии от нижних вершин большего квадрата. Если вырезать меньший квадрат, то чему равна площадь и периметр оставшейся фигуры?

181. Передвиньте на чертеже предыдущей задачи меньший квадрат в левый верхний угол и найдите периметр и площадь оставшейся части.

182. Из квадрата со стороною в 5 см отрежьте квадрат со стороною в 3 см. Из оставшейся части его склейте новый квадрат. Найдите сторону его.

183. Сад, площадь которого содержит 1600 кв. сажень, имеет по краям дорожку. Остальная часть сада имеет форму квадрата, сторона которого равна 38 саженям. Найдите площадь дорожки и ее ширину.

184. Вырежьте из бумаги какой-нибудь квадрат. Согните его так, чтобы получились квадраты, стороны которых составляют половину сторон вырезанного квадрата. Сколько получиться таких квадратов? Какую часть площади первоначального квадрата занимает площадь каждого такого квадрата?

185. Согните вырезанный из бумаги квадрат так, чтобы сторона каждого нового квадрата составляла ^ часть первоначального. Какую часть площади этого первоначального квадрата составляет площадь каждого полученного квадрата?

186. Нарисуйте квадрат со стороною в см. Чему равна его площадь? Покажите это на чертеже. (Смотрите рисунок 101).

Рис.101

187. Нарисуйте квадрат со стороною в 2 1^ см. Чему равна его площадь? Проверьте ответ при помощи рисунка 102.

Рис.102

АЛЕКСАНДР МАТВЕЕВИЧ АСТРЯБ

«Почему трудно решать геометрические задачи на вычисление» (1935 год)109

Уважаемые товарищи, на продолжении этих двух с половиной дней мы прослушали целый ряд требований, которые предъявляются к преподавателям математики. Эти требования были чрезвычайно разнообразны и ответственны. Остановим своё внимание ещё на одном требовании, которое предъявляют к преподавателю математики. Когда мы говорим здесь о том, что ученики должны уметь хорошо решать задачи, то ученики, в свою очередь, должны предъявить к преподавателям математики требования научить их, учеников, решать все эти задачи, помочь им преодолеть те многочисленные трудности, на которые наталкиваются дети во время решения геометрических задач.

Я и хотел бы занять ваше внимание анализом тех трудностей, которые возникают у ученика во время решения геометрических задач, причем мы будем иметь в виду только задачи на вычисление.

Прежде всего у ученика при решении геометрической задачи на вычисление возникают всё те же самые трудности, с которыми он имеет дело при решении задач арифметических и алгебраических. Но кроме этих трудностей общего характера ученик, решая геометрическую задачу на вычисление, наталкивается на ряд трудностей, связанных с самой спецификой геометрической задачи, связанных с особенностями, присущими, главным образом, геометрическим задачам на вычисление. Остановим своё внимание на двух таких особенностях. Во-первых, когда ученик читает текст арифметической задачи, то он обыкновенно ищет ту зависимость, которая поможет ему разрешить задачу, в самом тексте задачи. Он мало интересуется тем, что дается вне текста арифметической задачи. Он все внимание обращает на зависимость, выраженную в явной форме в самой задаче. Такого характера трудность возникает у ученика в некоторой мере и при составлении уравнения по алгебре. Тут все внимание ученика снова сосредоточивается только на словесном тексте данной задачи и здесь, в самом тексте, он старается найти необходимую зависимость, которая помогла бы ему разрешить задачу. Правда, и в алгебре есть целый ряд задач, которые принуждают ученика выходить за рамки условий задачи. Ученик должен знать ряд формул, ряд зависимостей (скажем, задачи на прогрессии, на сложные проценты), без которых он не сможет довести дело до конца. Но в алгебре количество таких формул - небольшое. Совершенно иная картина получается, когда ученик приступает к разрешению задачи по геометрии. Здесь ученик, помимо текста задачи, должен быть хорошо

109 Астряб А.М. Почему трудно решать геометрические задачи на вычисление. // Материалы совещания преподавателей математики средней школы. - Март- апрель 1935 г. -М.: Учпедгиз, 1935. - С.64-70.

знакомым с целым рядом различных формул, различных теорем. Ученик принужден те зависимости, которые необходимы ему для решения геометрической задачи, искать не только в самом тексте её, но и выбирать эти зависимости из целого ряда теорем, не имеющихся в тексте задачи. А это чрезвычайно сложная задача для ученика. Эта первая особенность геометрической задачи в значительной мере усложняет ученику процесс решения.

Вторая характерная особенность геометрической задачи, это - рисунок. Рисунок геометрической задачи играет две роли: с одной стороны этот рисунок конкретизирует те величины, о которых идет речь в условии задачи и с которыми ученику надо оперировать. С другой стороны этот геометрический рисунок должен помочь ученику найти из целого ряда теорем и зависимостей ту зависимость, которая свяжет между собой величины, данные в тексте задачи. Вот эти две особенности геометрической задачи и являются источником тех основных трудностей, с которыми ученик встречается на пути решения геометрической задачи на вычисление.

Все эти трудности можно распределить на три основные группы. Первая группа трудностей связана с выбором необходимых теорем и необходимых формул. И, наконец, третья группа трудностей, это - трудности арифметического и алгебраического характера.

Разрешите несколько подробнее остановиться на каждой из этих групп трудностей. Начнем с рисунка. Дается текст задачи. Первое, что надо ученику - чётко представить себе те пространственные формы, о которых идет речь в задаче. И вот часто ученику трудно представить правильно ту форму, о которой идёт речь. Возьмем, например, такую задачу: «Диаметр шара равен 30 см. Он служит осью цилиндра, у которого радиус основания 12 см. Вычислить объем той части шара, которая находится внутри цилиндра» (Рыбкин, 2-я ч., § 21, № 20).

У ученика, который прочел текст этой задачи, может возникнуть план решения её только тогда, когда он ясно представит себе форму той части шара, о которой идёт речь. А для ряда учеников представить себе чётко эту несложную форму бывает трудно.

Возьмем ещё такой пример: «Две взаимно перпендикулярные грани треугольной пирамиды есть равносторонние треугольники со стороной в 4 см. Вычислить объём пирамиды» (2-я ч., § 17, № 21). Чёткое представление формы этой пирамиды является главным источником, который поможет решить задачу ученику. Если ученик чётко не представляет форму этой пирамиды, он не найдет высоту, он не представит себе расположения этих граней и будет считать, что у него данных чрезвычайно мало: одно только четырехсантиметровое ребро, и больше ничего! Таких примеров можно привести очень много.

Часто эта трудность усложняется еще тем, что ученику эту геометрическую форму надо изобразить рисунком. А наших учащихся часто за-

трудняет элементарная техника рисования. Тем более будут чрезвычайно затруднять его такие рисунки, в которых мы имеем дело с шаром, вписанным в пирамиду, с пирамидой, описанной вокруг шара и т.д.

Вот пример такой задачи: «Диагонали ромба 15 см и 20 см. Шаровая поверхность касается всех его сторон. Радиус шара 5 см. Вычислить расстояние центра шара от плоскости ромба». (2-я ч., § 20, № 14). В этой задаче ученику легко представить данную пространственную форму, если он ограничится только внимательным чтением текста задачи, чем тогда когда он попробует изобразить её на доске. Можно привести ряд случаев, когда тот рисунок, который ученик пытается сделать на доске, не только не помогает ему правильно представить геометрическую форму, а, наоборот, еще больше запутывает и осложняет ученика. А потому неумение правильно нарисовать на доске рисунок, который является исходным моментом в решении геометрической задачи, очень часто чрезвычайно усложняет процесс этого решения. Но если даже и предположить, что рисунок сделан учеником удачно, то этого еще мало для того, чтобы ученик мог уже уверенно приступить к. решению геометрической задачи. В целом ряде геометрических задач надо не только механически представлять геометрическую форму и целом, а надо в целом ряде случаев ученику уметь эту геометрическую форму анализировать, надо уметь рассматривать её в виду отдельных составных частей, надо уметь между этими составными частями (а их очень много!) выделить как раз ту группу, ту комбинацию, которая поможет найти необходимую зависимость между данными величинами. И вот эта трудность является самой крупной, самой основной трудностью, которая связана с рисунком. Можно привести очень много примеров, в которых вы ясно увидите, что при решении геометрической задачи самое трудное это умение выделить из рисунка определенную часть его и рассматривать её под определенным углом зрения. Ограничусь двумя примерами.

«Вокруг шара описан усеченный конус. Радиусы основания этого конуса гj и г2. Вычислить радиус шара». (2-я ч., § 23, №41).

На какие трудности наталкивается ученик при решении этой задачи?

Во-первых, ему здесь надо переключить свое внимание па плоский рисунок. Фактически задача не стереометрическая, а планиметрическая. Но этого мало. Что будет перед глазами ученика? Трапеция и вписанный круг. Он начинает всматриваться в этот рисунок. Если он не сумеет выделить из рисунка вершину трапеции, из которой выходят по две касательные, он задачи не решит. Если он не сумеет рисунок рассматривать не в целой комбинации его, а в отдельных частях, и вместо трапеции он не увидит отдельной точки с двумя касательными, которые равны, он задачи никогда не решит.

Пример второй. Одна из первых задач, которая дана у Рыбкина в 1-й части, такова: «Дан треугольник. В треугольнике дана произвольно

точка. Эта точка соединена со всеми вершинами треугольника. Доказать, что сумма расстояний этой точки от трех вершин треугольника будет, во-первых, меньше периметра, а, во-вторых, больше полупериметра нашего треугольника». Предстаньте перед своими глазами этот рисунок. Что ученик начинает делать? Перед этим он учил теоремы, связанные с отношением между сторонами треугольника. Ясно, он и применит зависимость между этими сторонами. Он наш треугольник разделил на три отдельных треугольника. Решение первой задачи пойдет очень просто и легко. Попробуйте решить вторую задачу. Попробуйте доказать, что сумма трех расстояний меньше периметра. Если вы начнете применять здесь теорему о том, что одна сторона будет больше суммы двух других, применяя эту теорему к трем маленьким треугольникам, то у вас ничего не выйдет. Нужно в этом рисунке суметь выделить ломаные линии и рассмотреть объемлемую и объемлющую. Это может сделать ученик только тогда, когда он привык к глубокому анализу рисунка, когда он научился рассматривать рисунок как ряд комбинаций, а не как одну мертвую неподвижную форму. Вот эта конструктивная способность ученика здесь и играет решающую роль.

Еще есть трудность очень серьезная, связанная с задачами, я сказал бы, трудность самого сложного характера по сравнению с другими трудностями, связанными с рисунком. Эта трудность состоит в том, что иногда при решении геометрической задачи возникает необходимость построить дополнительную линию, сделать дополнительное построение фигур. Есть целая категория задач, трудность которых как раз и построена на том, что .перед учеником возникает необходимость построить ряд дополнительных линий, при помощи которых он сможет выделить из всего рисунка нужную ему форму и при помощи этой формы получить ключ к решению задачи.

Возьмите хотя бы такую задачу: «Определить площадь треугольника по радиусу описанного круга и двум углам 45° и 60°». (1-я ч., § 14, №21). Аналогичного характера трудность встретит ученик и в такой задаче: «Через точку, лежащую па поверхности шара, проведены две взаимноперпендикулярные площади, которые пересекают шар по кругу радиусов rj и г2. Вычислите радиус шара». (2-яч., §20, № 16). Рисунок, предположим, уже есть. Начинается стремление найти зависимость между тем, что ищется, и тем, что дано. В обоих случаях необходимо диаметр провести особым образом, чтобы получить те прямоугольные треугольники, которые нас интересуют. И вот это умение провести линию именно так, чтобы выделить ту фигуру, которая нам нужна, чрезвычайно трудно. Здесь без определенной длительной, методической подготовки дело не пройдет. К этой же категории трудностей нужно отнести и трудность при решении такой задачи. Даются дна круга с внешним касанием. Известны радиусы их. Нужно вычислить длину внешней общей касательной. (1-я ч., § 20, № 40).

Вот анализ основных трудностей, связанных с рисунком. Остановимся теперь на анализе других двух групп трудностей. Начнем с трудности подбора теорем. Тут нужно подобрать из большого запаса теорем и формул ту формулу и ту теорему, которые нужно применить к данной задаче. Тут надо иметь и виду три категории теорем. К первой категории нужно отнести те группы теорем, которые основательно прорабатываются в стабильном учебнике. Это - та группа теорем, которые ученик умеет и четко сформулировать и четко осознать их внутренний смысл. Тут дело упрощается тем, что ученик чувствует себя хорошо, как у себя дома. Теорема его не пугает ни своей формулировкой, ни своим внутренним смыслом. Здесь трудность заключается главным образом в том, что ученику надо из большого количества хорошо известных ему теорем остановить свой выбор на одной какой-нибудь теореме или формуле. Вот в этом-то выборе теоремы, необходимой для решения задачи, ученики часто и затрудняются. Вот пример такой задачи: «На поверхности шара даны три точки А, Б, С. Радиус шара 13 см. Нужно найти расстояние от центра шара до плоскости, проходящей через точки А, Б, С». (2-я ч., § 20, № 7). Здесь при решении этой задачи ученик может не догадаться применить к пирамиде О ABC (О есть центр шара) теорему о равенстве проекций у одинаковых наклонных OA, OB, ОС. Это необходимо вспомнить, чтобы получить право вычислить длину этих проекций (MA, MB, MC), как радиусов окружности, описанной вокруг треугольника ABC. Это может броситься в глаза только тогда, если у него будет достаточно тренажа в анализировании рисунков.

Значительное осложнение возникает здесь, когда решение задачи строится на добавочной теореме, которая не входит в категорию основных теорем. Ряд теорем, которые в основном курсе не являются перворазрядными, часто выпадают из поля зрения преподавателя и ученика. И если не будут приняты определенные методические меры для того, чтобы эти теоремы были приведены в определенный порядок, в определенную систему, если не будет проведена определенная работа для усвоения учащимися, тогда мы поставим ученика в тяжелое положение. Ученик вправе требовать от преподавателя помощи в этом деле, так как этот процесс чрезвычайно трудный. В следующей группе трудностей речь идёт об увязке не с добавочными теоремами, а просто с предыдущими задачами

Остановимся еще, например, на такой задаче из задачника Рыбкина; «У треугольника две стороны в 6 см и 12 см образуют угол в 120°. Нужно вычислить биссектрису этого угла». (1-я ч., § 14, № 11). Решить эту задач ученику будет очень трудно, если он не решит перед этим задачу № 9 Дело в том, что в задаче № 9 предлагается доказать теорему, связывающую величину биссектрисы угла со сторонами. Ясно, что если эта задача будет решена перед задачей № 11, то решение задачи № 11 будет очень несложным. К сожалению, учебники очень часто не выделяют тексте этих задач, которые являются родоначальником целой нити следующих задач.

Наконец, разрешите перейти к 3-й, последней, группе трудностей; это, трудности, связанные с вычислением. Часто ученики, применяя ту или другую формулу, не знают алгебраического вида этой формулы и путают самую формулу. Скажем, алгебраическое выражение для вычисления длины окружности они путают с формулой для вычисления площади круга. Формулу для вычисления объема пирамиды путают с формулой для вычисления поверхности пирамиды и т.д.

Следующая трудность вытекает из того, что ученик слабо овладел аппаратом алгебро-геометрических преобразований. Особенно здесь страдает дело, когда оно касается операций над иррациональными числами, над радикалами; трудно также даются ученикам задачи, в состав которых входит ряд пропорциональных чисел.

И, наконец, последняя категория трудностей связана с решением полученного алгебраического выражения.

Например, при решении задачи: доказать, что у треугольника

(1-я ч., § 14, №20),

ученик получит ряд несложных уравнений и вся трудность будет состоять только в преобразованиях этих уравнений в необходимое равенство.

Решая задачу: «Площади трех граней прямоугольного параллелепипеда равны 2 м , 3 м2 и 6 м2. Вычислить объем». Ученик легко составит такую систему уравнений:

ху=2; xz=3; yz=6.

Вот анализ всех тех трудностей, с которыми имеет дело ученик, когда он решает геометрическую задачу на вычисление.

Трудностей этих чрезвычайно много. Они чрезвычайно разнообразны. Бывают самой различной категории и самой различной степени. Ученик имеет право требовать от преподавателя помощи в работе. А преподаватель имеет право потребовать и от методистов и от авторов в свою очередь себе помощь. Но, к сожалению, в этом направлении сделано чрезвычайно мало.

Правда, делались попытки со стороны преподавателей пользоваться так называемыми ключами, в которых помещены решения всех задач. Но пользование такими ключами не научит преподавателя решать задачи, а только свяжет его методическую мысль.

До сих пор ни серьезного методического анализа этих трудностей, ни учета их при составлении и распределении задач в задачниках мы не имеем. А потому крайне необходимо и научно-методическим объединениям, и авторам учебников, и преподавателям-практикам заняться серьезной работой по изучению и классификации (по их степеням трудностей) тех задач, которые имеются в стабильных учебниках, по анализу всех этих трудностей и по изучению способов преодоления их учащимися.

Все задачи стабильного учебника должны быть тщательно исследованы и расположены в порядке их постепенно возрастающей трудности. Причем на показатель трудности задачи должны влиять два отдельные фактора: количество равной категории трудностей в одной и той же задаче, трудность понимания рисунка, трудность выбора теоремы, трудность алгебраических вычислений и степень трудности одной и той же категории: в одной задаче рисунок несложный, а и другой значительно сложнее.

Из всех задач надо выделить группу основных задач, решение которых надо сделать центральным пунктом и методику решения которых надо тщательно проработать. В эту группу задач не должны попадать обязательно все трудные задали. Главным признаком принадлежности какой-нибудь задачи в этой основной группе должно быть то, что метод решения этой задачи можно применить к ряду других задач.

Каждая такая основная задача должна быть в задачнике не одинокою, а сопровождаться рядом других задач, которые представляли бы вариации этой же основной задачи, что даст возможность ученикам приобрести навыки в решении задач данного характера.

На рисунки в геометрической задаче надо обратить самое серьезное внимание. Рисунок плоский надо чертить с правильным соотношением данных в условии задачи размеров величин. Несоответствие рисунка условию задачи может повести к неправильному решению задачи. Особенное внимание надо обратить на рисунок трёх измерений. Надо специально учить учеников чертить и правильно читать такие рисунки. Рисуя на доске или в тетради пространственные формы, ученики должны приучаться сопровождать эти основные рисунки добавочными чертежами отдельных детальных частей, нужных для решения задачи.

В некоторых стереометрических задачах тело имеет настолько сложную форму, что на рисунке изобразить или четко представить ее себе трудно. (Шар, вписанный в пирамиду. Октаэдр, вписанный в куб.). В таких случаях чрезвычайно полезна модель. Однако эта модель не должна заменять собой рисунок, а только дополнять его. Основное решение задачи проводится при помощи рисунка с ссылкой на модель.

Нужно обратить серьезное внимание на тщательный подбор, методику подачи тех теорем и формул, которые необходимы для решения определенной группы задач и которые ученик должен хорошо и сознательно усвоить прежде чем приступить к решению задач.

Нужно приучить учеников анализировать условие и рисунок геометрической задачи, намечая план решения ее. Причем при решении задач основного и сложного типа такой анализ нужно проводить, сохраняя, инициативу в руках учителя, но делать это надо с таким расчетом, чтоб постепенно эта инициатива переходила в руки учеников, чтобы ученик: приучались совершенно самостоятельно и анализировать, и решать, исследовать геометрическую задачу.

Надо обратить еще серьезное внимание на формулирование условий задачи, на язык этих условий задач. Чтобы не утомлять вашего внимания, я прочитаю вам текст только одной задачи: «Даны два прилежащих угла: острый и тупой. Прямая, проведенная через их вершину перпендикулярно к их общей стороне, отклонена от другой стороны острого угла на 35°, отклонена от другой стороны тупого угла на 27°. Найти сумм данных углов, сделать точный чертеж». (1-я ч., § 2, № 18).

Представьте себе ученика VI класса, который встречается с такими условиями задачи, заставьте его самого прочитать текст этой задачи. Что он из этого текста вынесет? Язык задачи обязательно надо приспособит к детям. Это не значит, что надо все время на каком-то детском языке разговаривать. Надо иметь в виду, что от VI до X класса условия задач постепенно осложняются, но к нашему удивлению, язык текста задачи X класса часто легче, чем язык задач для VI класса.

Затем, почему наше социалистическое строительство со своим реальным содержанием не находит своего конкретного отражения в условиях геометрических задач? Почему даже малейшего намека на них нет? Неужели это не пробудит интереса детей? Разве этим самым мы не пробудили бы у детей более внимательное отношение к чтению текста? Безусловно, что здесь есть определенная ошибка.

Особое внимание надо обратить на подбор вспомогательных теорем вспомогательных задач, о которых я говорил, и в учебниках и в задачниках. К сожалению, даже шрифтом они не отмечаются. Возьмите наш стабильный учебник по геометрии. Там подряд дают тем же самым шрифтом и основные теоремы, и задачи, и вспомогательные теоремы и т.д. Кроме того, полностью совсем из учебника выпали упражнения, которые иллюстрируют основные теоремы. В даваемых упражнениях даются нетипичные задачи.

АЛЕКСАНДР МАТВЕЕВИЧ АСТРЯБ

«Аналитическое доказательство теоремы о двух перпендикулярах по Лежандру» (1936 год)110

1. Как известно, теорема о двух перпендикулярах (признак перпендикулярности прямой к плоскости) читается: «Если прямая перпендикулярна к двум прямым, лежащим на плоскости, проходящим через основание этой прямой, то эта прямая перпендикулярна и к самой плоскости».111 Эту теорему мы привыкли доказывать чисто геометрическим способом, при помощи построения ряда вспомогательных треугольников и исследования их равенства. Такое доказательство мы встречаем во всех наших учебниках (Давидов, Киселёв, Еангнус). Таким же приёмом пользуются и иностранные учебники.

(Достаточно вспомнить хотя бы подробный методический анализ такого доказательства проф. Юнгом в его методике «Как преподавать математику»).

Черт. 1 Черт. 2

Черт.3

А между тем есть очень интересный приём доказательства этой теоремы чисто алгебраического характера. Встречаем мы его у одного из

110 Астряб А.М. Аналитическое доказательство теоремы о двух перпендикулярах по Лежандру. //Математика и физика в школе. - 1936. - №4. - С.64-65.

111 Гурвиц и Гангнус - «Систематический курс геометрии», ч.2-я, гл. I, § 2.

основоположников наших современных курсов геометрии: у Лежандра в его «Elements de géométrie» (Paris, 1836 г.).

В этом классическом курсе элементарной геометрии Лежандр один из первых широко использовал алгебраический аппарат, вопреки установившейся со времени Эвклида традиции излагать курс геометрии исключительно на базе геометрических построений.

Этот алгебраический приём Лежандр применяет для доказательства и теоремы о двух перпендикулярах.112

При доказательстве этой теоремы Лежандр опирается на такие две задачи.

2. Задача первая. «Найти зависимость между медианой треугольника и его сторонами». Эту зависимость Лежандр подаёт в такой форме:

AB2 + АС2 = 2AD2 + 2BD2 (1)

Эту зависимость легко получить113, дополнив наш A ABC до параллелограмма АБСЕ. Применив теорему о зависимости между диагоналями и сторонами параллелограмма, мы получим, что

2 AB2 + 2 АС2 = (2AD)2 + (2ÄD)2, откуда непосредственно получаем:

АВ2+АС2 =2AD2 +2BD2.

С этой формулой и наши ученики знакомятся, когда решают задачу о вычислении медианы треугольника по трём его сторонам. (См. стабильный учебник Гурвица и Гангнуса, ч. 1-я, гл. XVII, §5, задача 1). Только у нас эта формула подаётся в несколько ином виде, а именно:

(2)

3. Задача вторая. Кроме того, во время своего доказательства теоремы о двух перпендикулярах Лежандр ссылается ещё и на такую задачу (книга III, задача V, стр. 98): «Через данную точку А в /.ВС провести линию BD так, чтобы отрезки AB и AD, заключающиеся между данною точкою А и сторонами угла, были равны». Привожу дословный текст решения этой задачи Лежандром:

Черт.4.

112 См. Лежандр - «Основания геометрии и тригонометрии», пер. Баландина и Буитаца, СПб, 1837, книга V, предложение 4-е, стр. 142.

113 Лежандр доказывает эту теорему более сложным путём (см. Лежандр, книга III, предложение 14-е).

«Через точку а проведём ае# С£>114.

Возьмём ве = се. Через точки а и в проведём прямую ва , которая будет искомою. Ибо по параллелизму ае и cd имеем: если be = ес, то ba = ad».

4. Основная теорема. Доказательство самой теоремы о двух перпендикулярах Лежандр подает в такой форме.

Дано, что ар J_pb и ар ipc . Надо доказать, что ар_Lpq.

Возьмём на прямой произвольную точку q и через неё проведём в плоскости m прямую так, чтобы она, пересекая обе прямых pb и pc, делилась на два равных отрезка qc = qb (возможность такого построения Лежандр доказывает заранее. См. задачу 2).

Затем Лежандр применяет теорему о медиане к двум треугольникам: к Abac икАврс.

Из Abac имеем

ас2 + ab2 = 2 ad2 + icd2. Из Л врс:

pc2 + pb2 = 2PQ2 + icd2.

Вычитаем из первого равенства второе

(ас2 - pc2)+ (ab2 - pb2)= 2AQ2 - 2PQ2 (3)

Так как треугольники арс и арв - прямоугольные (см. условие теоремы), мы можем (ас2 - pc2) и (ab2 - pb2) заменить катетом ар2. Тогда наше равенство примет вид:

ар2 + ар2 = 2AQ2 - 2PQ2, (4)

Откуда имеем:

ap2=aq2-pq2. (5)

А такая зависимость может существовать только тогда, когда aapq- прямоугольный, т.е. когда ар ±pq9 что и требовалось доказать.

114 У Лежандра значок # заменяет наш знак параллельности | .

АЛЕКСАНДР МАТВЕЕВИЧ АСТРЯБ

«Из истории преподавания математики в советской школе» (1947 год)115 116

С первых дней создания советской власти в Украине под непосредственным руководством большевистской партии началась перестройка всей школьной системы. Дореволюционные начальные и средние школы разных типов преобразовываются в школы единого типа. Изменяется не только система школьных учреждений, кардинально меняется и само образование: его содержание. Новые задачи ставятся перед школой - задачи воспитывать новое поколение: всесторонне развитых, активных строителей коммунистического общества. Понятно, что эти задачи требовали решительной, доскональной перестройки как самого содержания школьных дисциплин, так и методов их преподавания.

Перестройку эту испытали и программы по математике. В старых гимназиях они поражали своим формализмом, абстрактностью, оторванностью от практической жизни. А если и была у них связь с жизнью, то только с жизнью купцов, подрядчиков и т.д. Достаточно просмотреть содержание задач в наиболее распространённых арифметических задачниках, то можно увидеть, какое значительное место отводится тем задачам, где прибыль получали купцы, смешивая вино с водой, перепродавая купленные продукты, сколько домовладельцы получали прибыли от эксплуатации квартир своих домов, или сколько зарабатывали подрядчики, доставляя различным установкам дрова, кирпичи, доски.

Перестраивая содержание школьных математических наук, новая советская школа поставила перед собой задачу приблизить содержание их к нашей жизни, сделать его соответствующим новым требованиям школы, сделать всё то, за что так упрямо, но без должных результатов боролись десятки лет лучшие прогрессивные педагоги дореволюционной России. Вместо формального, сухого, бездушного подхода к ученикам советская школа требует чуткого внимания к детям, учитывать их возрастные и индивидуальные особенности. Выдвигается требование перестроить абстрактные методы преподавания математики, вводить как можно больше наглядности в процессе её преподавания. Вводится метрическая система измерений. Почётное место занимают в программах по математике задачи жизненного характера, практические измерения, различные математические игры. Чтобы приблизить преподавание математики к жизни, в программы трудовых школ вводится система практических упражнений: черчение графиков и диаграмм, быстрые устные вычисления, упражнения на

115 Астряб А. М. З історії викладання математики в радянській школі. //Радянська школа, 1947.-№5.-С.73-78.

116 На русском языке публикуется впервые.

счётах, геодезические измерения. Значительное место отводится приближённым вычислениям.

Введение новшеств испытывало ряд трудностей. Среди старых педагогов гимназии нашлась, правда, небольшая часть, которая негативно относилась ко всем этим нововведениям. Они вели открытую, порой замаскированную борьбу против всего нового в преподавании математики. Но основная масса учителей, преподавателей математики с большим увлечением и вдохновением принялась за перестройку преподавания математики, опираясь на новые советские принципы. К этой основной группе советских учителей, которые приняли активное участие в строительстве новой советской школы в Украине, относилась не только молодежь. Их поддерживали педагоги старой генерации, которые со всей искренностью взялись за перестройку старой системы преподавания, за воплощение в жизнь тех наилучших педагогических приёмов, о которых в дореволюционное время они могли только мечтать. Достаточно вспомнить, например, старого учителя математики одной Киевской женской гимназии, автора достаточно популярной в старое время методики начальной арифметики М. Д. Мукалова (1854-1929). Несмотря на свои 65 лет, он с большим увлечением начинает преподавать по-новому в двух киевских трудшколах, принимает активное участие во множественных методических комиссиях и совещаниях того времени, даёт для студентов института народного образования ряд образцовых уроков, на которых мастерски передаёт будущим советским учителям математики свой большой педагогический опыт и показывает, как нужно выполнять новые задачи советской школы.

С первых дней Великой Октябрьской революции целиком отдаёт себя для строительства новой советской школы выдающийся деятель в области методики преподавания математики К. Ф. Лебединцев (1878-1925). Сначала в Москве, ас 1919 г. в Украине он беспрерывно работает над вопросами усовершенствования преподавания математики. Он читает в Киеве методику математики на педагогических курсах и в институте народного образования, составляет первые программы по математике для трудовой школы, пишет для советской школы новые учебники по алгебре, которые и сейчас считаются лучшими, проводит методическую работу, организовывает первые у нас методические семинары повышенного типа при институте народного образования для широкого круга учителей математики.

Можно было бы ещё привести ряд имён старых и молодых педагогов-энтузиастов, которые с первых же дней принимали активное участие в разработке и реализации на практике новых принципов преподавания математики в советской школе Украины.

Не только в больших городах, но и в районах, и даже в отдельных школах по личной инициативе учителей организовываются многочисленные кружки повышения квалификации, в которых проходит живое обсуждение отдельных разделов программ по математике, организуется практи-

ческое знакомство учителей с техникой геодезических измерений, для этого готовятся специальные экскурсии, в кружках изготавливаются образцы наглядного пособия по математике. Эти объединения учителей-практиков принимают активное участие не только в обсуждении программ по математике, но и в составлении их проектов или местных вариантов. В это время как раз выдвигается идея составления таких локальных вариантов программ по разным дисциплинам. Эта идея, построенная на ошибочно выдуманном, преувеличенном принципе, быстро привела на практике к ликвидации единой централизованной программы по математике и другим дисциплинам, к большой пестроте в планировании математического материала, к неравномерному распределению его по годам обучения.

Практика показала, что идея составления таких местных математических программ является ошибочной.

В 1922 г. в Киеве составляются первые программы общего характера по основным дисциплинам, например, по математике. Сначала эти программы составлены были так, что основным их стержнем осталась логическая последовательность содержания данной дисциплины, а практический жизненный материал подчинялся его отдельным разделам. Так, в программе по математике, составленной Лебединцевым по поручению Киевского губнаробразования в 1922 г. для каждого года обучения, даётся программный математический материал, и только в конце его перечисляются упражнения практического характера, которые предлагают выполнять в связи с математическими темами. Этим практические упражнения автор программы разделяет на такие группы: 1) детские игры; 2) упражнения из школьной детской жизни; 3) изготовление игрушек и наглядного пособия; 4) математические развлечения; 5) астрономические и метеорологические наблюдения; 6) беседы по истории математики.

Но уже в 1923 г. у нас начинается увлечение некритически заимствованным у зарубежной педагогики «комплексным методом». Киевское губнаробразование печатает новый официальный документ под названием: «Опыт перестройки программы трудовой школы в комплексной системе», в котором за основу принимаются комплексные темы, а математическое содержание подчиняется требованиям той или иной комплексной темы. Сначала как при подборе комплексных тем, так и в самом программном математическом материале в эти годы процветает значительная пестрота. Даже в пределах одного и того же города, а не только округа, большая часть трудовых школ УССР руководствовалась программами «Наставник» 1924 года, вторая - программами Киевского кабинета педагогики, третья -программами - ГУСа, а четвёртая продолжала каждый год составлять свои личные программы. С 1926 года Наркомпрос УССР объявляет единую образовательную систему для всех школ комплексных тем и общий обязательный минимум знаний по отдельным дисциплинам. Комплексные темы даются в трех вариантах: для города, для села и для транспорта. Но и

эта унификация таких тем с подчинением им математического содержания не сберегла дела. В «комплексной системе» неизбежно нарушалась логическая последовательность математического материала, его научная система, что не могло не отразиться на качестве знаний учеников по математике. Низкий уровень знаний чувствовался, когда учащиеся заканчивали трудовую школу, переходили учиться в техникумы, в которых преподавание многих дисциплин требовало целого законченного объёма математических знаний.

Второй причиной, которая мешала учащимся при «комплексной системе» приобрести систематические математические знания, было злоупотребление концентрическим разделением математического материала, которое было вызвано тем, что каждая комплексная тема требовала одновременного применения математических знаний в разных отраслях. Так, при изучении с учащимися нумерации и действий в пределах первой сотни комплексная система требовала одновременного ознакомления их с соотношениями между метрическими измерениями и действиями с полученными составными именованными числами; при изучении теоремы Пифагора нужно было одновременно учить детей решать квадратные уравнения. Злоупотребление концентризмом привело к широкому распространению идеи так называемого фузионизма, т.е. переход одной отрасли математики в другую, где убираются отдельные математические дисциплины - арифметика, алгебра, геометрия, - а остаётся какой-то пёстрый конгломерат, который зовётся «единая математика». Понятно, этот фузионизм очень навредил системности математических знаний.

Подчинение математики интересам комплексной темы требовало значительного увеличения и самого объёма программного материала. Например, во время проработки комплексной темы «Империализм и борьба рабочего класса» в программе требовалось выучить такой новый для учеников материал: логарифмы, элементы математической статистики. Обязательность названной «увязки» математического материала с заданиями комплексной темы часто приводила к необычно штучным, надуманным приёмам.

Все эти ошибки значительно углубились, когда в 1929 году в некоторые школы ввели «метод проектов». Внедрение «комплексной системы», а также «проектного метода» задержало проведение перестройки нашей школы по всем её разделам, в отдельности - математики. Как известно, что эта система и этот метод не были встречены положительно учителями-практиками. На многих методических совещаниях часто выступали учителя-практики, высвечивая ошибочность целостного подчинения математических знаний интересам комплексных тем. Известно, что учителя всегда отстаивали потребность отводить в планах работы специальные часы, во время которых учащиеся приобретали бы математические знания без какой-либо связи с комплексными темами. Так, система «комплексов» и

«проектов» далеко не пользовалась популярностью в широких массах учительства. На этот голос практики органы народного образования мало обращали внимания. Только с выходом исторических постановлений партии и государства о школе ликвидируют эти изменения в теории и практике преподавания математики, как и других науках, и началась творческая работа учителей по осуществлению поставленных целей в этих постановлениях, направленных на доскональное улучшение работы школы, решительное повышение качества знаний учащихся.

Вопросам борьбы за высокое качество знаний в школе уделяли большое внимание руководители нашей партии и правительства. Ещё в 1927 году на XV съезде ВКП(б) тов. Сталин и т. Молотов обращали внимание на потребность повышать письменность и общеобразовательные знания широких масс трудящихся, готовить квалифицированных специалистов. В 1928 году тов. Сталин на VIII съезде ВЛКСМ призывал молодёжь глубоко освоить науку: учиться, учиться и учиться. В том же 1928 году ЦК ВКП(б) требует добиваться того, чтобы выпускники школ второй ступени были целиком подготовлены к учебе в высших заведениях. Этого же ещё раз категорически требует в 1929 году пленум ЦК ВКП(б).

Начиная с 5. IX. 1931 г. Центральный Комитет ВКП(б) и правительство СССР принимают ряд исторических решений о школе, в которых дают учителю, органам народного образования и научным педагогическим учреждениям указания, как исправить ошибки в работе школы и повысить качество знаний учащихся до уровня тех требований, которые выдвигает школе социалистическое строительство.

Постановление партии от 1931 года ликвидировало «комплексно-проектную систему» и предложило немедленно перестроить программы школьных дисциплин, особенно по математике, с тем чтобы обеспечить в них чётко очерченный круг систематических знаний для каждого класса.

С удовольствием взялись учителя и научные сотрудники за творческую работу по составлению и совершенствованию этих стабильных программ, которые сумели бы обеспечить стройную, научно выдержанную последовательность в преподавании математики и давали бы ученикам после окончания начальной, неполной средней и средней школы определённый цикл знаний, необходимых для будущей практической деятельности и учёбы в специальных средних и высших учебных заведениях. Программы могли бы учитывать при этом и особенности детского возраста.

Не сразу удалось эти требования реализовать при составлении новых программ. Сначала наши программы, стараясь обеспечить научность знаний и логическую систематичность, перегружали отдельные классы фактическим материалом, недостаточно учитывали возможности восприятия и усвоения материала детьми. В последние годы перед войной этому было уделено особое внимание и были внесены соответствующие исправления в программы.

Долгое время нам не удавалось спланировать математическую программу так, чтобы дать законченный цикл знаний по математике в 4 и 7 классах. Сейчас программа по арифметике в 4 классе почти полностью удовлетворяет этому требованию. Она даёт возможность ученикам хорошо освоить весь курс целых чисел и получить некоторые начальные знания не только об обыкновенных дробях (3 класс), но и о десятичных дробях (4 класс), и даже познакомиться с понятием о проценте. Кроме того, программа по математике для начальной школы даёт возможность ученикам научиться практически измерять площадь и объём простейших геометрических форм. Оканчивая 7 класс, учащиеся получают законченный цикл знаний по алгебре, наряду с возможностью освоить весь курс арифметики, который сейчас заканчивается в 6 классе.

Не совсем ещё завершена программа по геометрии. Систематический курс геометрии в 7 классе останавливается на полуслове, а на прохождение курса практической геометрии отводится небольшое количество часов. Он только охватывает 3-5 классы. На этот недостаток уже десять лет обращают внимание и наши педагоги, и методисты, и учителя-практики как на совещаниях, так и в прессе. В новом проекте программ по математике, составленном Академией педагогических наук РСФСР, этот недостаток уже исправляется.

Значительную трудность представляет в наших программах вопрос о взаимодействии между пропедевтическими и так называемыми систематическими курсами по отдельным математическим дисциплинам. В программах по математике в российских дореволюционных средних школах (гимназиях, реальных училищах) целиком пренебрегали пропедевтическими курсами. У нас сначала ими злоупотребляли (множество мелких концентров в курсе арифметики начальной школы, увеличение опытной геометрии в старших классах), а потом сократили их (наглядная геометрия почти выпала из программы). Но последние годы эта взаимосвязь между пропедевтическими и систематическими курсами становится всё более выразительной, хорошо обоснованной. Так, пропедевтический курс арифметики преподаётся сейчас до 3 класса, а систематический курс охватывает 4, 5 и 6 классы. Значительное место отведено и пропедевтическому курсу геометрии (3, 4 и 5 классы), при этом далее предполагается весь курс геометрии в 5-7 классах сделать более практическим, наглядным, а систематический курс начать только с 8 класса.

Осуществление требований систематичности знаний по математике обеспечивается не только программой, но и соответствующими учебниками. Во время «комплексно-проектной системы», у нас были введены рабочие книги, где материал подавался по принципу фузионизма, слишком большой концентричности, в целом же - очень бессистемно.

Историческое постановление партии и правительства от 12.11. 1933 года предложило заменить эти рабочие книги стабильными учебниками, в

которых весь математический материал должен подаваться в чётко выдержанной последовательности. За такие стабильные учебники по математике (до написания новых) были приняты учебники, которые создал ещё в дореволюционное время один из выдающихся наших педагогов А.П. Киселёв, так как они соответствовали основным требованиям: научности и систематичности. Однако эти учебники не лишены определённых недостатков: они не целиком приспособлены к современной нашей программе, мало берут во внимание особенности детского возраста и требования идейности преподавания. Вот почему в эти учебники сразу же были внесены значительные редакционные поправки и дополнения. Сейчас у нас выпускаются для предварительного ознакомления и проверки новые учебники, которые в ближайшие годы, в случае одобрительной рецензии, смогут стать стабильными. Этим школе будет оказана большая помощь в повышении качества преподавания математики на более высоком уровне. Так, мы уже имеем удачный учебник по геометрии профессора Глаголева, интересный учебник по тригонометрии профессора Бермана и профессора Люстерника, учебник по алгебре профессора Александрова и академика Колмогорова, задачник Никитина, Поляка и Володиной для начальной школы. Попытки составить новые учебники по математике для наших школ за последние годы были и на Украине. Достаточно, например, вспомнить о задачниках по арифметике Гражданской и Брук, Самодуровой и Кобелевой.

Одним из очень важных вопросов преподавания математики есть стремление научить учеников решать математические задачи. Для того, чтобы ученики научились самостоятельно их решать нужно давать эти задачи в определённой систематической последовательности. Можно считать, что этот вопрос у нас решен удовлетворительно. Принцип систематизации достаточно широко и удачно применяется в нашей советской школе во время решения геометрических задач не только на построение, но и на вычисление.

Научность преподавания математики - одно из основных требований, поставленных перед школой историческими постановлениями партии и правительства. Над реализацией этого требования много работали за последние годы методические центры, наша методическая пресса и наши педагоги массовой школы при активной помощи со стороны наших знаменитых учёных-математиков. Так, в 1935 году в Киеве организуется с участием академиков Граве и Крылова и заслуженного деятеля науки профессора Букреева широкое обсуждение учителями математики средних школ вопроса о том, как ввести элементы высшей математики в курс элементарной математики средней школы.

В 1936 году в центральной прессе выступает группа спецработников Академии наук СССР с требованием пересмотреть программы по математике для средней школы с тем, чтобы лучше отобразить в них некоторые достижения современной математики (академик Колмогоров, акаде-

мик Александров, профессор Делоне, профессор Тартаковский). Это выступление поддерживают ленинградские профессора (профессор Фихтенгольц). В 1937 году математическое товарищество при Московском университете требует в корне пересмотреть и выправить под углом зрения современных научных взглядов учебники по геометрии. Под влиянием этих выступлений наши издательства начинают с 1938 года основательно пересматривать все учебники по математике, выставляя к ним более суровые требования относительно их научности. Академики и профессора Академий, университетов, пединститутов принимают активное участие в составлении новых проектов программ и новых учебников. В частности, нужно сказать о научных сотрудниках Академии педагогических наук под руководством А. Я. Хинчина и о выдающихся работниках Академии наук УССР, профессорах Киевского университета и пединститута: профессоре Ремезе, профессоре Смогоржевском, академике Синцове, академике Лаврентьеве, профессоре Боголюбове, профессоре Соколове и других.

Вследствие проделанной работы внесены изменения и дополнения в программный математический материал курса средней школы по таким важным вопросам, как расширение понятий о числе, функциональной зависимости, теории измерения величин, теории границ в элементарной математике. За последние годы особенно много интересных работ напечатано у нас в связи с новым толкованием иррационального числа и логарифмической функции.

За это время решился вопрос о единстве теоретического математического материала с практическими упражнениями. Во время комплексной системы преподавания математики имел место ползучий эмпиризм со всеми его вредными последствиями (злоупотребление опытом, пренебрежение теорией). Постановления партии о школе дали указания, как ликвидировать этот недостаток. Одновременно они сделали предупреждение против перегиба в другую сторону, указали на то, что невозможно отрывать изложение теории от её практических упражнений, невозможно делать математику в средней школе исключительно абстрактной, оторванной от её практического применения. И теперь очень важно усилить внимание и интерес учителей к практическим упражнениям учеников по математике, к практическим геометрическим измерениям, к использованию приближенных вычислений логарифмической линейкой, так как в последние годы на это важное дело мы начали обращать внимание меньше, нежели раньше. Это осуществить легче, поскольку у нас в этом направлении что-то сделано: сконструировано немало ценных наглядных пособий, вертикальные счёты, наглядные таблицы для решения арифметических задач, универсальные пособия по стереометрии, сложные модели для стереометрических задач.

Нападение злого врага на нашу Родину не прервало её мирного строительства, не остановило работу над дальнейшим совершенствовани-

ем программ и методов преподавания по разным предметам, в частности по математике. В годы жестоких боёв с немецко-фашистскими захватчиками выходят новые постановления партии правительства, направленные на дальнейшее улучшение работы нашей школы. В суровых условиях Великой Отечественной войны, соединяя педагогическую работу с помощью фронту, преданно работали учителя нашей Родины над дальнейшим улучшением качества знаний учеников по всем дисциплинам и, в частности, по математике.

Продолжали эту работу и педагоги УССР. Когда фашистские орды захватили все украинские земли, братские республики нашего великого Союза с гостеприимством и заботой дали украинским педагогам не только приют, но и возможность не останавливать образовательную работу на благо нашей социалистической Родины. Так, например, в Казахской Советской Социалистической Республике, в маленьком городе Кзыл-Орде во время войны продолжает работать Объединённый Киевский и Харьковский университет. При нём организуется научно-методическое объединение украинских педагогов, которое настойчиво разрабатывает ряд важных методических проблем, пересматривает по поручению Народного комиссариата просвещения программы для украинских школ, рецензирует для них учебники, приспосабливая их к тем украинским школам, которые в то время по инициативе правительства Казахской ССР были открыты для детей, эвакуированных с Украины, готовит учебники для школ, освобождённой Красной Армией, Советской Украины.

У тех советских учителей, которые остались на временно захваченной украинской земле, фашистам не удалось уничтожить патриотический дух и стремление бороться за возвращение Советской власти. На захваченной фашистами украинской территории нашлось много пылких патриотов, верных, честных сынов Советской Украины, которые для защиты её от злого врага и его свирепой идеологии без единого колебания отдавали не только свои силы, но и свою жизнь. Почётное место в рядах этих народных мстителей - партизанов принадлежит и нашему советскому учителю.

Вот один из многочисленных примеров. В Кировоградской школе №5 до войны преподавала математику молодая советская учительница Елена Захаровна Бурьянова. Блестяще окончивших в 1938 году Кировоградский педагогический институт, она работала в этой школе с большим увлечением и энергией, которые характерны для советских учителей, воспитанных сталинской эпохой. С большой любовью и уважением относились к ней все ученики, понимая, что она хоть и требовательный, но справедливый и талантливый педагог. Большим авторитетом пользовалась она среди своих товарищей-учителей, поэтому её выбрали руководителем Кировоградского методического объединения учителей математики. Фашистские орды захватывают Кировоград. Останавливается жизнь и в советской школе №15. Учительница Бурьянова, немедленно став на нелегкий путь

партизанки, принимает активное участие в борьбе с оккупантами. Она изготавливает листовки, достаёт оружие, помогает освобождать из концентрационного лагеря советских граждан. Вместе с ней в этом деле принимают участие и лучшие её ученики. Бурьянова работает и здесь с такой выдержанностью, энергией и деловитостью, с какой она работала раньше со своими учениками в школе. В ноябре 1943 года Бурьянову арестовало гестапо. Когда во время ареста гестаповец спросил её, кто она и где работает сейчас, Елена Захаровна как всегда спокойно ответила: «Сейчас я партизанка, потому что я вас ненавижу всем своим сердцем и буду бороться с вами до последнего своего дыхания». После жестоких мучений мужественная учительница, верная дочь советского народа была расстреляна фашистами, отдав свою молодую жизнь (ей было только 30 лет) за свободу и независимость Отчизны.

Под мудрым руководством товарища Сталина Великая Отечественная война закончилась блестящей победой нашего народа, славной Советской Армии, в рядах которой было так много мужественных воспитанников советской школы. С большим увлечением вся дружная семья советских учителей поднимала украинскую советскую школу.

Достижения нашей школы в делах улучшения качества образования и воспитания, завоёванные в результате напряжённой и жесткой борьбы со всякими буржуазными теориями и теорийками об образовании и воспитании детей, разоблаченными и осужденными в ряде постановлений партии и правительства о школе, достаточно высоки.

Полностью ли выполнили мы все требования и установки, поставленные перед нами историческими постановлениями партии правительства? Нет, в этом направлении сделано ещё далеко не всё. Нам ещё много нужно будет сделать для дальнейшего роста нашей школы, для повышения идейного и научного уровня преподавания каждой дисциплины, в том числе и математики, для более тесной связи теории с практикой как на уроках, так и во внеклассной и внешкольной работе.

Внимание, которое уделяют нашей школе партия и правительство, и особенно товарищ Сталин, активность широких учительских масс, которая с каждым днём растёт, и помощь выдающихся учёных нашей страны, которую мы всё время ощущаем, есть залог того, что мы с честью выполним все задания, поставленные перед нашей советской школой.

АЛЕКСАНДР МАТВЕЕВИЧ АСТРЯБ

«Преподавание математики в России и на Украине в XVII-XVIII веках» (1954 год)117 118

Знаменательное историческое событие - воссоединение Украины с Россией - имело благотворное влияние на развитие культуры и науки обоих братских народов. Математика, как и другие науки, возникла и развивалась на Руси с древних времен. Об этом свидетельствуют памятники грамотности, техники, старинные сооружения.

Татаро-монгольское нашествие почти на два века задержало нормальное развитие математической науки на Руси. Позже на развитие науки негативно отразился груз византийского консерватизма, груз духовной диктатуры церкви.

В XVI-XVII столетьях началось возрождение культурно-экономической жизни центральной России. Развитие земледелия вызвало потребность новой межевки, упорядочивания учета налогов, возникли торговые связи как внутри страны, так и с иностранными государствами. Выросли требования к архитектуре, технике, военному искусству.

В 1551 году Иван IV предложил восстановить размеры вотчинных и монастырских земельных владений. В 1556 году писцам была дана установка, как именно выполнять измерение площадей земельных участков с «дополнительными землемерными начертаниями», что их будет составлять «кто осведомлен в геометрии».

Начинается интенсивное развитие отечественной математики. Её любители складывали математические рукописи практико-прикладного характера. Из них широко известны «Устав ратных, пушечных и других дел, касающихся довоенной науки» (1607 г.) и «Книга по сошному письму» (1629 г.), в которой есть раздел «О земном верстании, как землю верстать», а также «Сия книга представляется по-гречески Арифметика, а по-немецки Альгоризма, по-русски Цифирная счетная мудрость», «Арифметика» (первая половина XVII века), «Цифирная счетная мудрость» (1647 г.), «Арифметика практика или деятельная» (вторая половина XVII века), «Геометрия или землемерие» (XVII век), «О сошном и вытном письме» (начала геодезии XVII века).

В 1682 году в Москве вышла первая печатная работа по математике «Книга удобного счёта» - табличный справочник для быстрого перемножения однозначных и двузначных чисел.

В древних рукописях много внимания уделялось вооружению читателей практическими советами по измерению определенных геометрических величин, в частности площадей участков земли разной формы. В ос-

117 На русском языке публикуется впервые.

118 Астряб А.М. Викладання математики в Росії та на Україні в XVII-XVIII століттях. //Радянська школа. №5, 1954. - С.37-43.

нову было положено измерение площади квадрата и прямоугольного треугольника. Даже измерение площади прямоугольника по большей части рекомендовалось сводить к измерению площади квадрата. Например, площадь прямоугольника со сторонами 40 сажен и 53^- сажени измерялась так. Сначала отделялся квадрат со стороной в 40 сажен. Его площадь составляла 40 саж. X 40 саж.=1600кв. сажен («четверть севу»). Кроме того, оставался прямоугольник, одна сторона которого равняется тоже 40 сажен, а другая - ІЗ-j сажен, то есть составляет третью часть от 40 сажен или третью часть предыдущего квадрата.

Следовательно, площадь всего искомого прямоугольника равняется «четверти сева» + «треть четверти сева», то есть «четверть с третью четверти сева».

Как видим, здесь не дается общего правила для измерения площади какого-нибудь прямоугольника. Но прием, примененный авторами рукописи, бесспорно, оригинальный.

Для измерения площадей более сложных фигур (например, трапеций) авторы рукописей по большей части рекомендовали разложить данную фигуру на прямоугольники и прямоугольные треугольники. Они давали и более общее правило, но здесь ими допускалась ошибка. Например, площадь какого-нибудь треугольника вычислялись как половина произведения двух его сторон, а площадь трапеции - как произведение половины суммы оснований на боковую сторону (последняя называлась «хоботом»). Такое решение теоретически ошибочно. Но когда угол при основе трапеций или треугольника был близок к 90°, то ошибки практического значения не имели.

При измерении длины круга и площади круга рядом с употреблением достаточно точного значения числа п узбекским астрономом Гаяситдином Джемшидом, или числа п, равно —, авторами некоторых российских рукописей, мы наталкиваемся на случаи, когда за п бралось число 3. Некоторые авторы рукописей пользовались ошибочным приемом: площадь круга они заменяли площадью квадрата, у которого периметр равнялся длине круга, на том основании, что когда в двух фигурах (круга и квадрата) периметры одинаковы, то в них якобы одинаковы и площади.

Рядом с такими неточными приемами российские математики тех времен при решении практических задач пользовались и более совершенными способами вычислений.

Да, в «Уставе ратных дел» требуется измерить расстояние от точки Я до точки Б (рис.). С этой целью предлагается в точке Я поставить вертикально Жезл, размером приблизительно в человеческий рост; к вершине жезла Ц приложить треугольник так, чтобы вершина его прямого угла сов-

пала с точкой Ц, а продолжение одного из катетов проходило через точку Б. Другой катет продолжается до пересечения с землей (точка 3).

Требуется измерить расстояние от точки Я до точки Б (рис.1). С этой целью предлагается в точке Я поставить вертикально жезл размером приблизительно в человеческий рост; к вершине жезла Ц приложить треугольник так, чтобы вершина его прямого угла совпала с точкой Ц, а продолжение одного из катетов проходило через точку Б. Другой катет продолжается до пересечения с землей (точка 3).

Затем идёт такое указание: «Возьми выше именованный жезл и меряй тое далину или ширину во всем подлинно, и сколь много такая статья достанет, и то раздели во весь жезл равными долями. И ты прямую далину от слова Я до слова Б обрящеши». Очевидно, что рассматриваются подобные прямоугольные треугольники БЯЦ и ЦЯЗ, из которых следует равенство:

Следовательно, авторы «Устава ратного дела» уже в 1607 году были хорошо осведомлены с этой достаточно сложной зависимостью теоретического характера.

Причем они применяли очень интересный прием для упрощения самих вычислений: разделяли жезл ЯЦ на определенное количество равных частей, например, на 100 и в этих частях измеряли отрезок ЯЗ. Если эти деления вмещаются в ЯЗ 5 раз, тогда Aß = Öß • = 20 • Öß. Авторы математических рукописей достаточно широко пользовались и теоремой Пифагора.

В рукописях тех времен знаний по арифметике было значительно больше, и они были лучше систематизированы, чем в геометрии.

Содержание арифметики-численницы своей структурой в определенной мере напоминает содержание наших современных школьных учебников с арифметикой. В арифметических рукописях XVII века даются правила для выполнения первых четырех действий над целыми числами и над дробями, решение типовых задач, которые отвечали потребностям торговых операций тех времен.

Вычисления в этих рукописях выполнялись по индийской системе нумерации. Порядок изучения действий был немного отличающимся от нашего: сначала подавалось сложение, потом - умножение, а дальше - вычитание, и, наконец, - деление, то есть сначала изучались два прямых действия, а затем два обратных.

Техника выполнения действий сложения, вычитания и отчасти умножение напоминала современную. Наибольшие затруднения вызывали действия обратные, особенно деление, которое осуществлялось очень

сложным и неудачным способом. Однако он был более легок, чем применяемый в Западной Украине.

Арифметические задачи в рукописях объединялись в группы, которые назывались статьями. Название самих статей отвечало не математическому содержанию задачи, а внешнему её тексту, как это позже в течение длительного времени употреблялось и в наших школах в классификации задач по типам. При решении задач широко использовалось наше правило трех и правило ложного предположения.

К более сложным арифметическим задачам мы в настоящий момент широко применяем приемы, аналогичные решения алгебраических, преимущественно линейных уравнений. Авторы наших древних рукописей этого не делали. Они стремились употреблять более сложные, но сугубо арифметические приемы, которые были очень трудными, с логической точки зрения рассуждениями, приводили процесс решения к правилу трех.

В наших современных арифметических задачниках помещается в настоящий момент много задач, решение которых требует применение неизвестной условной единицы (задачи на так называемую «совместимую работу», «на бассейны» и тому подобное). В древних рукописях таким задачам тоже уделялось значительное внимание. Но там они решались очень интересным и оригинальным способом. Возьмем, например, такую задачу о плотниках: «Четыре плотника к некоему человеку нанялись двор строить. И говорит первый плотник так: только б мне одному тот двор ставить, я бы его поставил за один год. А другой говорит: только бы мне одному двор ставить, то я бы его поставил за два года. А третий молвил: только б мне одному тот двор ставить, то я бы его за три года поставил. А четвёртый изрёк так: только б мне одному ставить, то я бы его поставил за четыре года. Все те четыре плотника поставили двор вместе. Сколь же они его ставили, посчитай сам».

Мы сейчас данную задачу решим так. Известно, что первый плотник может за один год сделать всю работу, второй плотник - — всей работы, третий - - всей работы, а четвёртый только всей работы. Далее мы узнаем, что, работая вместе, они за 1 год сделают столько частей всей работы: 1 + — + - + — = —. А всю работу, работая вместе, плотники выполнят за 1:— (ч.года)= —года = 175-дня.

В древнерусских рукописях эта задача решалась совсем другим способом. За условную единицу брали не один год, а 12. Оказывалось, что за эти 12 лет первый плотник мог сам построить 12 таких дворов, 2-ой плотник - 6 дворов, 3-ий - 4 двора, а 4-й - 3 двора. Значит, работая вместе, все

они за 12 лет построят: 12 + 6 + 4 + 3 = 25 дворов, а каждый «двор» они построят за: 12 лет: 25=—ч. года = 175- дня.

Этот способ интересен и сейчас. С методической точки зрения важно и сейчас применять его в нашей школе в связи с изучением общего наименьшего кратного и первых известиях про дроби в 5 классе.

До последнего времени считалось, что в давние времена в России математические интересы ограничивались исключительно вопросами узко прикладной арифметики и задачами из геометрии землемерного характера. Но последние исследования убедительно свидетельствуют, что русских математиков XVI-XVII столетий интересовали и такие общетеоретические проблемы, как расширение понятия о числе, дискретная и непрерывная величины, величины бесконечно малые и бесконечно большие, вопросы о возможности «мысленно» представить возникновение линии, поверхности и тела «точечным» движением.

Авторы наших древнерусских рукописей если и пользовались иногда математическими известиями из иностранных источников, то всегда стремились приспособить их к отечественным условиям и, применяя заимствованные приёмы исчислений, всегда вносили в них свои собственные усовершенствования и дополнения. Например, авторы всех наших математических рукописей XVI и XVII столетий употребляли славянороссийские, понятные для читателей математические термины. Так, число и слагаемые назывались перечнями, уменьшаемое - заёмным перечнем, а вычитаемое - платёжным перечнем, разность - остачей, прямой угол назывался стоящим углом, а тупой - широким и т.д.

В тех разделах арифметических рукописей XVII века, в которых пояснялось письменное исполнение действий над целыми числами, всегда подавалась достаточно детальная техника использования такими «машинными» приспособлениями, как «счёт костями» и «дощатый счёт». Первый прибор был усовершенствован образцом древнего греческого абака. Он состоял из доски с вертикальными колоннами, расчерченными горизонтальными линиями, которые соответствовали определённому числовому ряду, и косточек слив или вишен. Эти косточки ложились на ту или иную линию на плоскости относительно к числу разрядных единиц данного числа. «Дощатый счёт» был прототипом наших современных российских счётов. Он состоял из рамки, на которую натягивался ряд горизонтальных шнуров с нанизанными на них шариками.

В XVII веке при вычислениях пользовались и готовыми таблицами. Первым математическим трудом, напечатанным в Москве в 1682 г., была брошюра под названием «Считание удобнее, которым всякий человек, купующий и подающий, удобно изыскать может число всякой вещи». Эта брошюра состояла из таблиц произведений всех целых чисел 1-ой сотни.

Из сказанного можно сделать вывод, что уже в XVII веке авторы российских математических рукописей начали при решении практических вопросов применять теоретические положения.

В конце XVI и в первой половине XVII века западно-украинские земли находились под гнётом польской шляхты. Все школы контролировались католической церковью. Учились в них дети богатых вельможей. Иезуиты воспитывали учеников этих школ в духе религиозного фанатизма и пренебрежений к природным наукам, непосредственно к математике.

Украинское, российское и белорусское населения польско-литовской державы находилось под тяжёлых политическим, культурным и национальным гнётом. Как своеобразная форма протеста против шляхетского произвола возникают так называемые «братства» - организации, в состав которых входили ремесленники, купцы, мастера, казаки и даже женщины. Для борьбы против католицизма и ополячения, против влияния иезуитских школ братства начали открывать свои школы: в 1586 г. - во Львове, а позже в Киеве, Луцке, Виннице, Каменец-Подольске и т.д. В эти школы на равных правах принимали всех детей независимо от их социального статуса. Так, в уставе Луцкого братства (1624 г.) написано: «Богатые пред убогими в школе не могут быть выше, как только наукою. Учитель должен любить и учить детей всех одинаково как сыновей богатых, так и сирот, убогих, и тех, которые ходят по улицам, прося пропитания. Есть основания считать, что основные черты установки обучения в братских использовал Ян Амос Коменский при создании «Великой дидактики». Преподавание в братских школах проходило на славянском языке. Изучали здесь и арифметику.

В 1632 году Киевская братская школа соединилась со школой Киево-Печёрской Лавры, и на их базе образовалась Киево-Могилянская коллегия, в 1701 году переименованная в Академию. Преподавание математики в братских школах стояло на значительно высшем уровне, чем в иезуитских школах. Доказательством этому может служить содержание лекций по математике, читаемых воспитанникам Киево-Могилянской академии прогрессивным педагогом того времени Феофаном Прокоповичем. В своих лекциях Феофан Прокопович пропагандировал учение Коперника о строении Вселенной, подчеркивая, что в борьбе науки с богословием победит наука, а не догмы, потому, что в её распоряжении есть конкретные, объективные факты, которые нужно изучать и обобщать. Научные труды этого педагога материалиста переводились на английский, немецкий и другие языки.

О высоком уровне математической науки в те времена на Украине свидетельствует тот факт, что М.В. Ломоносов после окончания Московской Славяно-греко-латинской академии был направлен в Киево-Могилянскую академию.

В конце XVII и начале XVIII вв. ещё больше развивается ремесленничество, промышленность, растёт всероссийский рынок, укрепляются внешние и внутренние торгово-промышленные связи. Всё это вызывает потребность в дальнейшем развитии просвещения и науки. Во времена Петра I была создана новая сеть школьных научных заведений. Кроме Московской Славяно-греко-латинской академии, в 1701 г. открывается первая в мире реальная школа - «Школа математических и навигационных, мореходно-хитростных наук». В этой школе преподавалась не только арифметика, но и геометрия, тригонометрия, астрономия, математическая география. В 1712 г. в Москве образуются инженерная и артиллерийская школы, а в 1715 г. - Морская академия. В этом же 1715 г. открылось много начальных училищ - цифровых и гарнизонных, - в которых учащиеся изучали арифметику и начальную геометрию.

Постоянные связи с Россией имели позитивное влияние на развитие математического просвещения. Это влияние особенно усилилось после воссоединения Украины с Россией. Киево-Могилянская академия и Московская славяно-греко-латинская академия работали в постоянном содружестве. Многие из тех, кто окончил Киево-Могилянскую академию, стали первыми российскими профессорами Московского университета, преподавателями в семинариях, открытых в России в начале XVIII века.

На протяжении 1686-1694 гг. в Московской Славяно-греко-латинской академии учился Л. П. Магницкий. После окончания академии он работал в навигационно-математической школе преподавателем арифметики, геометрии и тригонометрии. Новым школам были очень нужны новые учебники, потому что переводы с иностранного были довольно несовершенными. За этот ответственный труд берётся Леонтий Магницкий. В 1703 г. он печатает первые в России логарифмические таблицы и свою известную книгу «Арифметика», которая более 50 лет была основным учебником по арифметике в России и в воссоединённой с ней Украине. М. В. Ломоносов называл его «вратами учёности». При создании учебника Л. П. Магницкий широко использовал древние российские математические рукописи и всю новую иностранную математическую литературу. Книга была написана лёгким и понятным для тех времён славяно-русским языком, а все числа - индийскими цифрами.

Методическая последовательность изучения каждого действия, данная в «Арифметике», напоминает современную: сначала даны случаи таблицы данного действия, затем объясняются основные приёмы их решения и предлагается проверка способом «девятки», и наконец, чтобы заинтересовать учеников, приводятся приёмы «с некоторым удивлением» (например, 777x143=111111; 483x481=232323 и т.д.). Кроме обычного для того времени сложного приёма деления многозначных чисел, Л. П. Магницкий предлагает ещё и собственный, очень интересный с методических позиций и невероятно удобный способ.

Большое внимание в своём учебнике Л. П. Магницкий уделяет дробям. «Арифметика» Л. П. Магницкого знакомила учеников с решением квадратных уравнений, умножением многочленов, с тригонометрическими функциями. Значит, эта книга была не только учебникам по арифметике, но и содержательным математическим пособием. И только через 54 года учебник по арифметике Л. П. Магницкого был заменён новым пособием М. Г. Курганова - его ученика. Таким образом, в конце XVIII в. школы России были обеспечены своими собственными оригинальным и интересным учебниками по арифметике.

В XVIII в. в России образуются такие комбинированные научно-образовательные заведения, как основана в Петербурге в 1724 г. Петром I Академия с университетом и гимназией, Московской университет с двумя гимназиями и Казанский университет. С первых же лет основания Петербургской Академии в ней начинает работать известный отечественный математик Л. Эйлер (1707-1783). В 1740 г. он написал свой известный труд: «Универсальная арифметика», который является прототипом современного учебника по алгебре и в России, и на Украине.

В 1789 г. ученик Л. Эйлера, - М. Е. Головин печатает свой интересный учебник: «Плоская и сферическая тригонометрия с алгебраическим доказательствами». Кроме популярных учебников геометрии практического характера, в XVIII в. в России печатаются и систематические курсы геометрии (М. Г. Курганов и проф. Д. С. Аничков), переводы «Начал» Эвклида и учебники геометрии известного учёного и педагога академика С. Е. Гурьева. В конце XVIII в. благодаря постоянным культурным связям с Россией Украина имела возможность поднять математическое знание на значительно высший уровень.

Наша отечественная математика с первых же дней своего существования шла самостоятельным творческим путём. Особенно интенсивно она начала развиваться в 20-х гг. XX в. На этот период приходятся такие важные научные открытия, как геометрические исследования М. И. Лобачевского, изобретения М. В. Остроградского в разделе анализа. Широко известны имена выдающихся математиков второй половины XIX в. П. Л. Чебышева, А. А. Маркова, А. М. Ляпунова, С. В. Ковалевской и др.

Наибольшего расцвета достигла наша отечественная математика после Великой Октябрьской социалистической революции. Этому способствовало объединение учёных математиков России, Украины, Белоруссии, Грузии и других советских республик в совместных творческих математических исследованиях и достижениях. Результатом этого творческого содружества является то, что наша советская математика занимает сейчас одно из первых мест в мире.

АЛЕКСАНДР МАТВЕЕВИЧ АСТРЯБ

«О некоторых элементах профессиональной подготовки студентов физико-математического факультета педагогического института» (1955 год)119 120

I. ВСТУПЛЕНИЕ

Руководствуясь историческими решениями XIX съезда КПСС, мы должны всю работу на нашем физико-математическом факультете построить так, чтобы обеспечить подготовку высококвалифицированных преподавателей, способных осуществить политехническое обучение в преподавании математики в средней школе.

За четыре года обучения в институте каждый наш студент должен быть воспитан идейно сдержанным, политически осведомлённым, математически вооруженным мастером своего дела, который сможет, преподавая математику в нашей средней школе, в свою очередь вооружить учеников специальными теоретическими и практическими знаниями, умениями навыками.

Каждый наш студент, будущий преподаватель математики советской средней школы, во-первых, должен быть политически осведомленным человеком, воспитанным в духе научно-материалистического мировоззрения. Воспитанию такого мировоззрения у наших студентов должны содействовать не только общие научные дисциплины, но и все без исключения профессиональные дисциплины, в отдельности и методические. Для этого, во-первых, нужно максимальное усовершенствование идейного содержания лекций, семинаров, практических занятий и других форм работы со студентами с существенным равновесием общих вопросов педагогических курсов, дисциплин кафедр.

Во-вторых, нужно, чтобы студент глубоко полюбил и в достаточной мере усвоил ту науку - математику, которую он будет преподавать в средней школе.

Наконец, наш студент должен любить сам педагогический процесс, потому что с его помощью он будет вооружать учеников знаниями основ наук, а для этого каждый наш студент должен иметь веру в свои педагогические способности, в своё умение проводить этот сложный процесс вооружения своих будущих учеников математическими знаниями.

119 Астряб А. М. Про деякі елементи професіональної підготовки студентів фізико-математичного факультету педагогічного інституту. (О некоторых элементах профессиональной подготовки студентов физико-математического факультета педагогического института.) // Научные записки. Том XVII. Педагогическая серия. №1. - Київ: Радянська школа, 1955. - С.3-14.

120 На русском языке публикуется впервые.

Во время обучения студентов в институте мы должны прививать и развивать те основные практические навыки и умения, которые так нужны каждому преподавателю математики.

Какие же практические навыки должен в первую очередь приобрести во время своего обучения в институте студент, будущий учитель математики советской средней школы?

1. Умение самостоятельно работать над книгой

Во-первых, наш учитель математики должен воспитывать у себя привычку самостоятельной работы над книгой. Он должен приобрести умение быстро находить основные установки автора данной книги, находить ответы на те практические вопросы, которые в данный момент волнуют его как молодого специалиста, должен воспитывать у себя привычку критически относиться к каждому высказыванию автора, сравнивать эти высказывания с мыслями других авторов и, наиболее важное, умение оценить, насколько те или иные мысли автора соответствуют основным положениям марксизма-ленинизма.

Сейчас целиком и полностью в прессе возникает вопрос о воспитании умения работать с учебником не только у студентов, но и учеников средней школы. Вот, например, что пишет образованный педагог и методиcт Панфилова Т. в «Учительской газете»121. «Часто слышны споры о том, что дети не умеют работать с книгой. Но факт есть факт. Есть, например, учителя, которые пренебрежительно относятся к учебникам, считают, что все они несовершенные и даже лишние в начальной работе. Другие учителя считают, что их объяснение на уроке и учебник не имеют ничего общего друг с другом.

Понятно, что нельзя требовать от учителя, чтобы он, объясняя материал, строго следил за текстом учебника, но учитель должен чётко сказать ученикам, как нужно дома готовить уроки, используя учебник.

Готовясь к уроку учитель должен чётко уяснить, на что он должен обратить особое внимание учеников, на какой материал надо только сослаться, что по учебнику ученик может сделать самостоятельно (рисунки, схемы на уроке), а что - в процессе домашней работы.

Есть и такие преподаватели, которые недостаточно знают содержание учебника, считают его очень элементарным и, готовясь к уроку, используют другие пособия, ну а в учебник даже не заглядывают. Эти преподаватели забывают про то, что они могут дополнять и иллюстрировать содержание урока разным материалом по своему желанию, но в основном

121 Т. Панфилова, Основное пособие учителя, «Учительская газета», 26. XII 1951 г., №103.

они должны придерживаться учебника, и поэтому должны знать его очень хорошо.

Формы работы с учебником, конечно, есть самые разнообразные, в зависимости от возраста учеников и от особенностей самой дисциплины, их легко найдёт сам учитель в том случае, когда он сам очень хорошо будет это знать, как научить ученика работать с учебником - это означает: вооружить его нужными навыками, которыми он должен овладеть как активный строитель коммунистического общества.

Однако учитель средней школы будет эффективно пользоваться книгой тогда, когда он воспитает это умение в первую очередь у самого себя, когда он овладеет сам методами сознательного использования учебника ещё со студенческой скамьи.

Умение самостоятельно работать с учебником студент должен приобрести, слушая каждую вузовскую дисциплину. Начиная читать студентам новый курс, каждый педагог должен, во-первых, прочитать студентам список основной литературы и дополнительной по данному курсу. Основная литература должна складываться из определённого количества названий.

Самостоятельная работа студентов физико-математического факультета в основном складывается из обработки программного материала в учебниках, конспектах и других дополнительных литературных источников, а также в решении задач и выполнении упражнений.

Работая с учебниками, конспектами и другими литературными источниками, решая задачи, студент, с одной стороны, осваивает нужный программный материал, а с другой, - обучается самостоятельно работать над книгой и апробировать свои знания на практике. Нужно добиваться того, чтобы каждый студент обрабатывал прочитанный на лекции материал в тот же день, в который читалась лекция, но ни в коем случае не позднее, как накануне следующей лекции.

В своей самостоятельной работе студент систематически получает квалифицированные советы от преподавателей кафедр и лаборантов.

В начале чтения лекции к каждому отдельному разделу дисциплины преподаватель также зачитывает определенную литературу. В течении лекции эти указания в определённых случаях (например, при переходе к новой теме) детализируются со значением параграфа учебника или даже страниц.

Литературные указатели к отдельным разделам курса должны находиться у лаборанта определённого профессионального кабинета, чтобы студент мог ими пользоваться.

Преподаватели кафедр систематически, в среднем один раз в неделю, дают студентам консультации, на которых даются советы, как лучше работать с учебником (это в основном касается студентов первого курса).

Практические занятия также должны развивать умения самостоятельно работать с книгой. При изучении других разделов курса на практике коротко резюмируются соответствующие теоретические сведения путём опыта студентов и тем самым контролируются, насколько студенты хорошо усвоили этот материал. Хотя на практических занятиях студенты решают примеры и задачи в основном у доски, но вместе с этим систематически нужно практиковать и короткие задания для самостоятельного решения их каждым студентом отдельно. Домашние задания должны быть дифференцированными, и студенты, выполняя их, приучаются к самостоятельному использованию книги, повторяя определённую теорию к этому заданию.

Студентам первого курса в начале учебного года должны прочитать специальную лекцию об организации самостоятельной начальной работы с книгой.

Администрации институтов нужно обеспечить студентов необходимой литературой, ознакомить с новыми печатными работами через организацию тематических выставок и выставок новинок литературы, через обсуждение новых работ с активным участием студентов и т.д.

Нужно, чтобы в каждом институте был организован киоск, в котором студент смог бы купить нужную ему литературу. Но жаль, пока во многих наших институтах на это не обращают надлежащего внимания.

Преподаватели института должны также помогать студентам правильно и эффективно составить конспект по той или иной дисциплине. Хорошо составленный конспект поможет студентам во время практической работы в школе, а именно: умение составлять конспект по той или иной теме важно каждому учителю в его повседневной работе.

Чтобы выработать у студентов навыки хорошо составлять конспект, нужно советовать им не придерживаться содержания лекций, но затем упорядочить всё записанное, выделяя основные высказывания, сделать нужные дополнения из другой литературы.

Когда студент пишет лекцию, он должен оставлять поля размером примерно в — бумаги. На этих полях он затем при обработке материала записывает дополнительные разъяснения, которые он извлёк из учебников и других дополнительных источников.

Нужно советовать студентам иногда составлять и обрабатывать конспекты небольшими коллективами (в 2-3 студента). Это поможет им составлять доброкачественный и содержательный конспект и, кроме того, будет стимулировать студента внимательнее слушать лекцию, глубже заинтересоваться её содержанием.

Желательно, чтобы преподаватель каждой дисциплины время от времени проводил бы со студентами беседу о методике составления кон-

спектов, давал бы советы, брал бы несколько студенческих конспектов домой и проверял бы их качество.

Некоторые наши лучшие студенты, зная название темы следующей лекции, знакомятся заранее с её содержанием. Это даёт студентам возможность слушать, анализировать и конспектировать лекцию. Этот опыт желательно рекомендовать и другим студентам.

2. Умение планировать свою работу

Каждый учитель с первого дня своей работы в школе должен строго планировать свою работу, иначе он может тратить своё время попусту на второстепенные дела, а для такой основной работы, как подготовка к урокам, повышение своего идейно-политического уровня и повышения своего профессионального уровня, у него не будет оставаться времени. Это особенно нужно молодым специалистам. Молодой учитель должен планировать всю свою работу и вместе с тем уметь планировать отдельные звенья работы. К таким звеньям относится, например, умение составлять свои рабочие планы для определённого класса и на определенный срок.

Институт должен приучать своих воспитанников к планированию своей работы.

Каждый студент, будучи учителем должен научиться планировать всю свою многогранную повседневную работу. К такому планированию нужно приучать студентов, начиная ещё с первого курса. Составление календарного планирования работы студента на каждый месяц даст возможность ему в конце каждой недели проверять выполнение плана, вносить в него изменения и дополнения. Такая привычка к планированию своей работы будет очень полезной в практической жизни будущего педагога.

3. Учёт и оценка знаний учащихся

Одним из важных моментов является умение правильно и целиком объективно учитывать качество знаний каждого ученика.

Только тот учитель будет авторитетным в глазах своих учеников, который будет пользоваться у них уважением и любовью, который в своих оценках не допустит ни одного либерализма, ни сурового формализма.

Значит, пединституты не имеют права выпускать из своих стен молодых преподавателей, не вооружив их теоретически и практически основными принципами объективной оценки знаний учеников.

4. Организация внеклассной работы с учениками

Работа учителя любого факультета, а в данном случае учителя математики, в нашей советской школе не является только классной работой. Его деятельность необычайно многогранна. Советский учитель математики должен уметь организовать среди своих учеников работу математического кружка, выпускать математическую стенгазету, работу школьного

математического кабинета, уметь организовывать эффективную помощь отстающим ученикам путём консультаций, дополнительных занятий и т.д.

Все эти умения молодой учитель получает только тогда, когда педагогический институт будет вооружать студентов не только одними теоретическими знаниями по внеклассной работе, но и будет знакомить их с организацией внеклассной работы, например, по математике, даст возможность будущему учителю математики во время педагогической практики приобрести практические навыки в организации того или иного вида внеклассной работы по математике в школе.

Мы думаем, что методика преподавания математики вместе с педагогической практикой должны дать студенту многое в приобретении практических навыков.

II. ПРИОБРЕТЕНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ НАВЫКОВ НА ЗАНЯТИЯХ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОМУ КУРСУ МЕТОДИКИ МАТЕМАТИКИ

Некоторые методисты урезают те задания, которые нужно выполнить во время преподавания теоретического курса методики. Они ограничиваются только чтением курса лекций теоретического содержания, иллюстрируя их время от времени одиночными примерами и образцами, взятыми либо из печатной литературы, либо из своих собственных наблюдений. Всё это, несомненно, нужно делать, но ограничиваться этим никак нельзя.

Конечно, нужно заранее, до педпрактики, организовать в связи с чтением данных тем иллюстрацию их конкретными образцами, которые наблюдают и анализируют студенты вместе с методистом непосредственно в школе. Например, после теоретического анализа основных методов, которые используются при преподавании математики, нужно повести студентов в лучшие школы (например, в базовую школу) прослушать и проанализировать вместе с учителем данный урок, на котором учитель в присутствии студентов пользовался тем ил иным методом.

Читая лекцию о составлении рабочих планов и проиллюстрировав несколько рабочих планов, взятых у преподавателей школ, нужно предложить студентам самим дома составить детальный рабочий план на данную программную тему, а потом всем вместе проанализировать рабочие планы, составленные студентами.

Давая студентам на теоретических лекциях установки об оценке знаний учащихся, ознакомив их с нормами оценок, можно предложить им такую практическую работу. Взять в школе несколько десятков контрольных работ с оценкой учителя, вырезать эту оценку, потом предложить студентам самим оценить эту работу, поставить оценку и письменно её обработать на отдельном листе бумаги, затем необходимо сделать так, чтобы одну и ту же работу оценили несколько студентов. Далее методист перед всей аудиторией анализирует эти оценки студентов, отмечает их недостатки.

III. ПРИОБРЕТЕНИЕ СТУДЕНТАМИ ПРАКТИЧЕСКИХ НАВЫКОВ НА ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЯХ ПО МЕТОДИКЕ МАТЕМАТИКЕ, ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ И НА ЗАНЯТИЯХ СТУДЕНЧЕСКИХ НАУЧНЫХ КРУЖКОВ

Большую роль в приобретении студентами необходимых практических умений и навыков играют практические занятия по курсу математики, элементарной математики, а также научные студенческие кружки.

Готовясь к выступлениям или дополнениям на практических занятиях по этим дисциплинам или на занятии кружка, студент получает навык эффективно пользоваться литературой, составлять конспект выступления или дополнения, а во время самого выступления учится чётко и выразительно говорить, умело руководить голосом, объяснять, правильно и рационально вести записи на классной доске, умело использовать таблицы и наглядные пособия. Наблюдая и анализируя выступления и дополнения своих товарищей, студент приобретает умение рецензировать педагогический процесс.

Умение выступать перед аудиторией должны прививать студентам все преподаватели, а особенно преподаватели, которые ведут практические занятия по методике математики. Они должны всё время наблюдать за внешним поведением студента возле доски, требуя от него громко и чётко формулировать свою мысль, рационально использовать доску и т.д.

Очень хорошо это делают некоторые методисты, выделяя на практических занятиях по методике математики час для коллективного составления студентами детальных рабочих планов отдельных уроков, для оценки и анализа контрольных работ учеников и т.д.

IV. ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ ПРАКТИКА СТУДЕНТОВ

Нет потребности объяснять, какое большое значение в приобретении практических навыков имеет умело проведённая педагогическая практика студентов, которая даёт возможность не только практически ознакомиться со всем устройством нашей средней школы, но и непосредственно на практике приобрести некоторые навыки в планировании педагогического процесса в реализации планов проведения учёта и оценки знаний учеников, в организации внеклассной воспитательной работы среди учащихся и т.д.

Педагогическая практика студента должна быть очень многогранной и к организации необходимо относиться со всей ответственностью.

В организации педагогической практики было много дискуссионных вопросов, часть которых осталась не разрешённой и до нашего времени. Остановимся на некоторых из них.

Цель педагогической практики чётко сформулирована ещё в 1938 году в «Положении о производственной практике студентов высших учебных заведений», утвержденной СНК СССР. Но на протяжении данного

времени эту цель сильно урезали, ограничиваясь одним так называемым «наблюдением» педагогического процесса в школе, и самостоятельным проведением студентами двух-трёх уроков. И только начиная с 1940 года, в инструкции по педпрактике, составленной Комитетом по делам высшей школы при СНК СССР, эта цель полностью осуществилась. По инструкции и по всем следующим инструкциям требуется, чтобы во время педагогической практики студенты: а) приобрели навыки преподавания своей профессиональной дисциплины в средней школе; б) овладели на практике формами и методами внеклассной и внешкольной работы с детьми; в) практически ознакомились с организацией всей сложной учебно-воспитательной работой данной школы. Вот почему в последние годы цель педагогической практики реализуется в институтах значительно глубже и шире. Педпрактика студентов сейчас не ограничивается, как было раньше, одним только пассивным наблюдением уроков учителя, а включает в себя активное участие студента как будущего учителя нашей средней школы во всём учебно-воспитательном процессе в данной школе.

До последнего времени не ясно было, кто является ответственным руководителем всей этой работы студента. Руководство делилось на два полюса: представитель кафедры методик, который руководил только учебной, классной работой студента, и представитель кафедры педагогики, который руководил внеклассной и воспитательной работой. Такое распределение ответственности за педпрактику очень негативно отражалось на её качестве. Инструкция последнего времени всю ответственность за учебную и воспитательную работу студента-практиканта возлагает на группового руководителя профессиональной дисциплины. Это решение нужно принимать.

На качество приобретенных студентами во время педпрактики практических навыков в большей степени влияет набор школ, в которых студенты проходят практику. Инструкция просит внимательно подбирать эти школы, составлять с ними долговременный договор примерно на пять лет. Но жаль, эта просьба на практике не используется. Часто набор школ делается случайно. Часто студент проходят один этап практики в одной школе, а на следующий год - в другой школе. У студентов много времени уходить на ознакомление с новым составом учеников. В итоге он дает уроки в малознакомом ему классе. О каком же воспитательном влиянии студента на учеников в таких условиях можно говорить? Было время, когда беседовали, обговаривали вопросы о том, как лучше проводить педпрактику: с отрывом занятий в институте или без отрыва, на протяжении целого года, выделяя для педпрактики один день в неделю. Например, проводилась у нас ещё в 1940 году на III курсе, где на протяжении всего семестра студенты затрачивали по два дня в неделю на педпрактику (остальные четыре дня учились в институте).

Но жизнь переубедила всех в неудобстве такой системы. Сейчас и инструкция, и сама жизнь заставляют проводить педпрактику с остановкой учёбы в институте.

Сколько же времени нужно тратить на педпрактику? Здесь у нас были разные пробы. Так, в 1931/32 учебном году на педагогическую практику на III и IV курсах отводилось по два месяца. Выяснилось, что тогда сокращается время на теоретическую подготовку студентов, а потому, начиная с 1932/33 учебного года, инструкция предложила ограничиться лишь одним месяцем для проведения педпрактики (на каждом курсе). Но этого времени для педпрактики было недостаточно. Вот почему, начиная с 1934/35 учебного года, на педагогическую практику отводилось на III и IV курсах по 1— месяца (6 недель). Опыт переубедил нас в том, что этого времени в целом достаточно, если его рационально использовать и если во время чтения теоретических курсов и проведения практических занятий обращать надлежащее внимание на вооружение студентов теми практическими навыками, которые необходимы им в данный момент педпрактики.

Опыт показал, что на III курсе педпрактику лучше проводить в 6-ом семестре. Это даёт возможность теоретически подготовить студентов, апробировать с ними общую часть курсов методики математики и методику преподавания программного материала по математике в 5-7 классах, т.е. в тех классах, в которых студент III курса проходит педпрактику.

На IV курсе лучше проводит педпрактику в 7-м семестре. (Такое планирование педпрактики есть и в инструкции, начиная с 1940 г.).

Какие же практические навыки должны приобрести студенты во время педагогической практики?

Во-первых, одни должны углубить свои умения составлять конспекты уроков. На III курсе методист должен помочь студентам составлять конспекты. Студент IV курса должен уже самостоятельно составить конспект по любой теме программы, но методист должен всё равно как на III, так и на IV курсах внимательно проверить и рецензировать эти конспекты, ни в коем случае не допуская студентов к уроку без утверждения этого конспекта методистом и учителем данного класса.

Для всех ли уроков студент-практикант должен составлять подробные конспекты?

Нет! На IV курсе можно разрешать студенту из 6-8 практических уроков для 2-3-X уроков составлять лишь краткие планы этих уроков.

Во-вторых, во время проведения уроков студент получает возможность приобрести навыки правильно, культурно держаться перед классом. На это поведение студента-практиканта методисту следует обратить больше внимания.

В-третьих, большая польза будет студенту, если он во время педпрактики приобретёт умение внимательно наблюдать уроки учителя, а

также практические уроки своих товарищей. Поэтому методист должен больше внимания уделять организации обсуждения практических уроков, обращать внимание на детальный анализ уроков студентами, в отдельности теми двумя рецензентами по каждому уроку, которые заранее назначаются методистом их числа студентов-практикантов.

В-четвёртых, во время педагогической практики студенты должны приобрести навыки в организации внеклассной и внешкольной работы со своими учениками. Эта работа в основном сводится к организации занятий математического кружка, проведения экскурсий, организации математического вечера, выпуска математической стенгазеты, организации помощи отстающим ученикам и т.д.

Последние годы наши студенты с большим удовольствием и интересом выполняют всю воспитательную работу.

Наконец, педагогическую практику нужно обязательно использовать для того, чтобы помочь студентам в приобретении навыка проверки и объективной оценки качества знаний учеников. Насколько это нужно существует такой факт. В 1949/50 учеб. году я во время теоретических лекций предложил студентам III курса оценить каждому по три ученических письменных работы по математике. Оказалось, что 40% оценок поставлено неверно. В 4-м семестре эти же студенты III курса во время педпрактики в Киевской школе №87 снова оценивали работы учеников. Теперь уже неправильных оценок было только 21%. А когда эти студенты проходили педпрактику уже на IV курсе (7-й семестр) в школе №30, то при проверке ими ученических работ было допущено лишь 8% ошибочных оценок. Молодому учителю помогают объективно оценивать знания учеников по нормам оценок успеваемости, которые печатаются Управлением школ Министерства просвещения УССР, начиная с 1936/37 учебного года. С этими нормами нужно обязательно знакомить студентов как во время теоретических и практических занятий по методике математике, так и во время педагогической практики студентов.

Инструкция по педагогической практике требует оценивать каждый практический урок студента в школе по 4-бальной системе.

Целесообразно ли это? Конечно, это целесообразно на IV122 курсе, но у меня лично возникает сомнение в целесообразности таких оценок на III курсе, где студент первый раз в жизни стоит перед большим детским коллективом как учитель и руководитель. Думаю, что оценивать балом практические уроки студентов III курса нецелесообразно. Достаточно поставить общую оценку за качество всей педпрактики студента в этом туре, руководствуясь детальным анализом и словесной характеристикой каждого отдельного урока. Каждый тур педагогической практики, как известно,

122 Напомним, что до 1936 года оценок за практический урок не ставили.

заканчивается заключительной конференцией с участием студентов-практикантов и преподавателей института.

Интересно была организована эта конференция в нашем институте прошлого года. Вместо формальных докладов руководителей педпрактики, было организовано несколько дискуссионных докладов самих студентов, которые поделились опытом, как они преподавали в разных школах одну и ту же программную тему. Возникло живое обсуждение докладов, сравнение разных приёмов при преподавании одной и той же темы, разных форм и методов организации внеклассной работы и т.д.

Польза от такой организации заключительной конференции и педпрактики безупречна.

V. РЕМЕСЛЕННЫЙ ПРАКТИКУМ СТУДЕНТОВ

Наши студенты будут учителями математики в советской средней школе с политехническим обучением. Поэтому они должны во время обучения в пединституте приобрести умения не только пользоваться готовыми наглядными пособиями, но и самостоятельно уметь изготовить их, уметь самим организовать практические измерительные и конструкторские работы с учениками.

Наш известный учёный М.В. Остроградский в своих известных «Размышлениях о преподавании» требовал от преподавателей математики средней школы не только досконального владения материалом, из которого складывается та математика, которую он преподаёт в школе, не только досконального знания всего программного материала, чтобы эти знания вошли в его «плоть и кровь», но и вооружения нужных ему практических навыков и умений.

«Учителю, - писал Остроградский, - должно быть известно и само непосредственное применение математики (в отдельности геометрии) в практической жизни. Он должен уметь измерять поле, выполнять нивелирование, уметь измерять углы, пользоваться верньером или нониусом123 точно так же безупречно, как и читать лист. Нужно, чтобы учитель смог удивить простотой способов нивелирования на местности, показать ученика на практике, как используют это нивелирование во время мелиоративных работ, во время строительства новых дорог, каналов, железных дорог и т.д.».

Известно, насколько увеличились эти требования к практической подготовке учителей математики для нашей средней школы при политехническом обучении! Наш будущий преподаватель математики должен ещё в стенах института приобрести навыки и умения изготовления различных

123 Нониус (верньер) - вспомогательная шкала, при помощи которой отсчитывают доли делений основной шкалы измерительные прибора.

наглядных пособий по математике, а также измерительные работы на местности.

Эти умения студент должен приобрести не только на практических занятиях по методике математики и в процессе педпрактики, но и на специальном «ремесленном» практикуме, где он научится работать с картоном, с деревом, стеклом, научится конструировать и моделировать наглядные математические пособия, изготовлять несложное оборудование для проведения с учениками измерительных работ на местности.

Эти занятия студентов должны планироваться и проходить под непосредственным контролем кафедры методики математики, а там где её нет, - под руководством преподавателя методики математики.

По нашим расчётам такой ремесленный практикум забирает у студента немного времени: около 20 часов. Но эти часы должны непременно включаться в учебный план физико-математического факультета как обязательные.

Содержание

Введение.............................................................. 5

1. Отец учёного - Матвей Григорьевич Астряб.............. 7

2. Основные этапы жизненного пути........................... 10

3. Николай Николаевич Володкевич - друг, соратник, учитель............................................ 18

4. Научно-педагогическая деятельность А.М. Астряба..... 22

5. Переписка А. М. Астряба с И. К. Андроновым........... 30

6. Воспоминания коллег, друзей, учеников................... 40

7. Методико-геометрические работы А.М. Астряба........ 49

8. Методико-арифметические работы А.М. Астряба....... 83

Заключение........................................................... 97

Неопубликованные источники................................... 99

Библиографический список................................................... 99

Приложение.......................................................... 103

Научное издание

Тарасова Оксана Викторовна

МАТЕМАТИКИ-ПЕДАГОГИ РОССИИ. ЗАБЫТЫЕ ИМЕНА

Монография Книга 5

Подписано в печать 1.06.2009 г. Формат 60x80 1/16 Печать оперативная. Бумага офсетная. Гарнитура Times Объем 9,6 усл. печ. л. Тираж 500 экз. Заказ № 704 ООО «Картуш-ПФ» 302005, г. Орёл, ул. Васильевская, д. 138 Тел. (4862) 74-11-52, 74-11-48

Отпечатано с готового оригинал-макета на полиграфической базе редакционно-издательского отдела ГОУ ВПО «Орловский государственный университет» 302026, г. Орел, ул. Комсомольская, 95, Тел. (4862) 74-45-08