Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики / пер. с нем. и доп. И. Б. Погребысского. — М. : Наука, 1969. — 328, [1] с. — Библиогр. в конце глав. — Указ. имен: с. 321—327.

КРАТКИЙ ОЧЕРК ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

Д. Я. СТРОЙК

Д. Я. СТРОЙК

КРАТКИЙ ОЧЕРК ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

Издание второе

Перевод с немецкого

и дополнения

И. Б. ПОГРЕБЫССКОГО

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

МОСКВА 1969

51 (09)

С 8«

УДК 51 (09)

ABRISS DER GESCHICHTE DER MATHEMATIK

VON

DIRK J. STRUIK

VEB DEUTSCHER VERLAG DER WISSENSCHAFTEN BERLIN 1963

Дирк Ян Стройк

Краткий очерк истории математики М., 1969 г., 328 стр. с илл.

Редактор С. А. Широкова

Техн. редактор А. А. Благовещенская. Корректор Л. С. Сомова

Сдано в набор 28/Х 1968 г. Подписано к печати 4/IV 1969 г. Бумага 84Х108'/з2. Физ. печ. л. 10,25. Условн. печ. л. 17,22. Уч.-изд. л. 16,99. Тираж 32 000 экз. Цена книги 1 р. 43 к. Заказ N> 191.

Издательство «Наука», главная редакция физико-математической литературы. Москва В-71. Ленинский проспект, 15.

Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография № l «Печатный Двор» им. А. М. Горького Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР, г. Ленинград, Гатчинская ул., 26.

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ РУССКОМУ ИЗДАНИЮ

«Краткий очерк истории математики» известного голландского математика и историка науки Д. Я. Стройка не нуждается в особых рекомендациях. С 1948 г., когда эта книга появилась на английском языке, она вышла в переводе на польский (двумя изданиями), украинский, немецкий (четырьмя изданиями), венгерский, китайский, японский и чешский языки; потребовались и два новых английских издания книги. В очень скромном объеме автор дал последовательное и живое изложение основных фактов, событий, идейных направлений многовековой истории математики от ее зарождения до начала двадцатого столетия, все это — с учетом движущих сил общественного развития в целом. Принципиальные установки автора с достаточной четкостью сформулированы в его предисловии к немецкому изданию, а также в предисловии, написанном им для русского издания. Среди выдвигаемых Д. Я. Стройком положений есть и спорные, но несомненно, что его книга не догматична, она будит мысль и вполне соответствует современному состоянию истории науки.

Перевод сделан с учетом немецких изданий, в которые автор внес ряд изменений и дополнений. В соответствии с пожеланиями автора и издательства переводчик добавил несколько параграфов по истории математики в России (эти параграфы отмечены звездочкой), а также значительно пополнил библиографию и снабдил примечаниями некоторые места авторского текста. Эти примечания имеют свою нумерацию и обозначены числами в квадратных скобках. Кроме того, в качестве дополнения дан составленный переводчиком очерк развития математики в первой половине XX века.

И. Погребысский

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ

Впервые эта история математики появилась в 1948 г. (изд. Dover Company в Нью-Йорке). В предшествовавшие годы я время от времени читал курсы лекций по истории естествознания и математики в Массачусетском технологическом институте, и первый такой курс был прочитан по предложению профессора Тайлера (Harry W. Tyler), известного как соавтор, вместе с Седжвиком (W. Т. Sedgwick), учебника по истории естествознания (1917 г.), одной из первых книг такого рода в США. А мое первое знакомство с историей естествознания состоялось в годы, когда я был студентом Лейденского университета, где Вольграф (J. А. Vollgraf) читал лекции небольшой студенческой аудитории, — тот самый д-р Вольграф, который вложил столько добросовестного и самоотверженного труда в издание собрания сочинений Гюйгенса. Но по-настоящему я заинтересовался историей математики во время пребывания в Италии в 1924—1925 гг., когда Бортолотти (Ettore Bortolotti) познакомил меня со своими исследованиями о болонских алгебраистах шестнадцатого века. Этот интерес усилился благодаря встречам в Риме с Энриквесом (F. Enriques) и Вакка (G. Vacca), авторами замечательных работ по истории науки. Там же я встретился с Джино Лориа (Gino Loria). На классической почве Италии нетрудно заинтересоваться историей нашего научного наследия.

С самого начала я понял, что история математики — не только история развития понятий, но одна из частей истории человеческой деятельности, в которой отражается борьба человека с природой, притом не абстрактного человека, а человека как члена общества. Однако боль-

шинство историков математики рассматривают ее почти исключительно как историю идей, понятий, переходящих от одного математика к другому, который их далее развивает. Галилей повлиял на Кавальери, Кавальери — на Торричелли, Торричелли — на Паскаля, Паскаль — на Лейбница, а Лейбниц — на братьев Бернулли. Эти историки лишь при случае упоминают о том или ином важном политическом или религиозном событии, — таком, как завоевания Александра Великого или распространение ислама, — влияние которого на развитие математики столь велико, что игнорировать его нельзя. Этот метод односторонен, но не ошибочен, — он выявляет важные этапы в истории математики. Но при этом не выясняется, что существует тесная зависимость между математикой и общекультурными устремлениями эпохи, устремлениями, которые сами отражают, непосредственно или опосредствованно, преобладающие общественные и экономические условия.

Важным примером является деятельность алгебраистов шестнадцатого столетия. Эти математики Возрождения были участниками общего культурного движения, заодно они были творческими медиками, архитекторами, живописцами, гражданскими и военными инженерами, были и купцами; бурное развитие больших и могущественных торговых городов вдохновляло их деятельность. Ранний меркантилизм дал нам не только новую теорию алгебраических уравнений, но и новую науку о перспективе.

Часто мы вынуждены ограничиваться только историей идей, в частности, при рассмотрении эпох, когда трудно собрать или истолковать данные социально-экономического характера, как в случае древней Индии. Однако мы можем утверждать, что, вообще говоря, важные направления математического творчества (или отсутствие такового) можно понять только в связи, косвенной или непосредственной, с социально-экономическими условиями. Такой гений, как Ньютон, может прокладывать новые пути в математике и механике только тогда, когда есть в обществе классы, готовые поддерживать и ободрять его, готовые создать ему условия для работы и для того, чтобы быть услышанным. Характер греческой математики, как доэллинистической, так и эллинистической, можно понять только при условии учета того, каким было древнее

средиземноморское общество, — общество, где благодаря рабству мог существовать класс располагавших досугом людей, — причем в восточных областях существовал контакт с общественными формами, основанными на ирригационном земледелии. Столь же верно, что возникновение в семнадцатом столетии современной математики можно понять лишь с учетом того, что в то время в экономической жизни Западной Европы капиталистические общественные формы начинают брать верх над отступающим феодализмом. Такие же обстоятельства надо учитывать, если мы пытаемся найти ответ на вопрос, почему Китай, где многие столетия наука и техника развивались на уровне Европы или превосходя его, не принял участия в революции Галилея — Декарта, — проблема, которой много занимался Нидэм (Needham). Понимание природы современного капиталистического, а теперь и социалистического промышленного общества необходимо, чтобы уяснить себе направление, в котором математика развивалась за последние сто пятьдесят лет.

Влияние общественно-экономических факторов на это развитие обычно не было непосредственным. Факторы эти влияли чаще через физику, географию, навигацию или даже архитектуру, живопись, религию и философию. Важные математические исследования редко бывают прямым результатом общественного воздействия, в них нет ничего утилитарного. Харди (G. H. Hardy) как-то заметил, что «настоящая» математика «настоящих» математиков, математика Ферма и Эйлера, математика Гаусса, Абеля и Римана почти полностью «бесполезна» с точки зрения практического использования. Но суть дела не в этом (хотя удивительно много из этой «бесполезной» математики прошлого стало практически «полезным» в наш век вычислений, космических полетов, автоматизации и вообще научной технологии). Мы должны стараться понять, каким образом общество влияет на точные науки, и это часто значительно углубляет наше понимание направлений, господствующих в этих науках. Конечно, верно, что общество, в котором развиваются университеты, поддерживает форму научной деятельности, когда можно жить в мире собственных идей. Но этот мир идей является своеобразным выражением нужд или тенденций эпохи — достаточно вспомнить о том, как теория групп объединила несколько различных областей математики, ранее разви-

вавшихся почти независимо. Подобное явление в области чистой мысли было следствием огромного объема геометрических исследований в годы, последовавшие за французской революцией, и связанного с этим революционизирования математической мысли. Роль Гаусса в математике можно сравнить с ролью Гегеля в философии, Бетховена в музыке, Гете в литературе. А разве Галуа не был воистину сыном французской революции?

Весьма поучительный пример того, как нематематические факторы стимулируют математические изыскания, представляют поиски метода определения долготы с судна, длившиеся три столетия, начиная с путешествий Васко да Гама и Колумба. В период воинствующего меркантилизма эти поиски преследовали вполне практическую цель — обеспечить безопасность океанских плаваний. Правительства, академии и частные лица поощряли занятия проблемой определения долгот почестями, пожертвованиями и премиями. Одним из мотивов при создании Лондонского Королевского общества и Парижской академии наук была необходимость решить эту насущную проблему. В поисках ее решений были усовершенствованы навигационные приборы и часы, исследовано движение Луны и спутников Юпитера. Математика выиграла при этом благодаря исследованиям Гюйгенса о маятниковых часах и Ньютона о задаче двух тел (напомним об очерке Б. Гессена о Ньютоне, 1931 г.). В свою очередь труды Ньютона привели Эйлера к исследованию движения Луны как одного из случаев задачи трех тел. Нужды картографии вызвали к жизни математические теории Меркатора и Ламберта. Гук, экспериментируя с пружинными стопорами, заложил основы теории упругости, а Галлей, проводя опыты в Атлантике, стал основателем теории земного магнетизма. Все эти исследования по картографии, навигации, механике и астрономии оплодотворили математику этой эпохи, в частности анализ. Это влияние было и непосредственным, и опосредствованным: механистическая философия тех дней охотно пользовалась часами как моделью вселенной и рассматривала математику как ключ к постижению своих проблем. Как известно, проблема долгот была в конце концов решена, когда изобрели хронометр и создали удовлетворительную теорию Луны.

Однако никогда мы не должны забывать, что сами идеи способны порождать новые идеи. Немало математических

открытий было сделано в области отвлеченной мысли, когда какой-нибудь мыслитель оказывал влияние на своих коллег или учеников. В том, что математику описывают как постепенное развитие идей, то непрерывное, то скачкообразное, есть большая доля истины. Обозначения тоже имеют определенное значение: замена прежних обозначений лучшими создает новую форму для создания новых идей. Хотя историки математики не пользуются гегелевской терминологией, развитие математики вполне можно описать в терминах Гегеля: сложение положительных целых чисел отрицается в вычитании, а это в свою очередь отрицается на высшем уровне арифметики, когда вводятся как положительные, так и отрицательные числа. Можно пользоваться, описывая математические открытия, такими терминами диалектики, как «объективизация» и «отчуждение», хотя я не советовал бы это делать. Таким образом можно превратить историю математики, рассматриваемую только как история идей, в новую и специализированную «феноменологию духа», в феноменологию ума, и компетентный автор смог бы воздвигнуть своими руками великолепный дворец мысли. «Философия математики» Германа Вейля иногда напоминает мне такую феноменологию, будучи сходна с гегелевской и в отдельных уступках материалистическому мировоззрению.

Все же такой подход к истории математики, при всей своей привлекательности, остается односторонним, а порой даже дезориентирует. Мы должны всегда помнить, что математические понятия не произвольные творения ума, а отражение реального, объективного мира, пусть часто в весьма абстрактном виде. Это объясняет, почему математики различных эпох могли понимать друг друга, почему теоретическая математика может стать прикладной математикой и почему прикладная математика может выражать законы механики, физики, даже законы некоторых областей биологии и экономической науки. Это объясняет также, почему возможна материалистическая диалектика математики, на что указывал Фридрих Энгельс. Поэтому историк математики должен действовать осмотрительно, учитывая свободу математического творчества в создании своих собственных понятий и в то же время сознавая, что эти понятия могут иметь ценность в ходе дальнейшего развития математики лишь при условии,

что они выражают какую-то зависимость, какую-то закономерность реального мира, мира чувственных восприятий, в котором человек живет как существо общественное.

Позволю себе закончить это введение замечанием другого рода. Преподавание истории математики окажется пустой тратой времени, если студенты из-за языковых трудностей не смогут читать тексты в оригинале, оказавшись в полной зависимости от того, что узнают из вторых или третьих рук. Это все равно что изучать историю английской литературы, не будучи в состоянии читать Шекспира, или историю русской литературы, не читая Пушкина. Это является помехой особенно в Соединенных Штатах, где студентам часто трудно читать на каком-либо языке, кроме английского, но такие трудности должны быть и в других странах, особенно когда дело доходит до латинских текстов. Греческие математики не причиняют затруднений, так как главные авторы — Евклид, Архимед, Диофант — имеются в превосходных переводах на многие языки, хотя и здесь есть существенные пробелы (например, по-видимому, нет английского перевода Паппа). Такое затруднение можно преодолеть лишь при условии, что все большее число классиков, таких, как Кеплер, Лейбниц, Эйлер, Лагранж, будет доступно в дешевых изданиях их переводов с необходимыми комментариями. Такую работу надо вести систематически, а не от случая к случаю, в зависимости от прихоти того или иного переводчика. Тем временем известную помощь может оказать собрание текстов, доступных в переводах. Мною уже был опубликован список переводов на английский язык (Scripta Mathematica 15 (1949), 115—131), и список этот убедительно показывает, насколько несистематически ведется эта работа.

Я признателен профессору А. П. Юшкевичу за его интерес к моей работе, что содействовало ее переводу на русский язык. Ценность этой книги возросла благодаря добавлению сведений по истории математики в России.

Д. Стройк

Массачусетский технологический институт Кембридж, штат Массачусетс 17 декабря 1962 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА К НЕМЕЦКОМУ ИЗДАНИЮ

Математика — широкое поприще идей, и ее история знакомит нас с некоторыми из благороднейших помыслов неисчислимых поколений. Можно было сжать эту историю до объема книги меньше, чем в триста страниц, только подчиняясь суровому требованию — давать очерк развития немногих основных идей и сводить к минимуму описание других направлений. Биографии сведены к наброскам, многие достаточно важные авторы, например Роберваль, Ламберт, Шварц, опущены. Но, быть может, наибольший ущерб причинен неполнотой описания общей культурной и общественной атмосферы, в которой формировалось (или затухало) развитие математики в ту или иную эпоху. На математику оказывали влияние земледелие, торговля и промышленность, военное дело, инженерное дело и философия, физика и астрономия. Влияние гидродинамики на теорию функций, влияние кантианства и землемерия на геометрию, электромагнетизма — на теорию дифференциальных уравнений, картезианства — на механику и схоластики — на математический анализ, — обо всем этом можно было сказать лишь несколько фраз или, пожалуй, несколько слов. Между тем добиться понимания хода развития и содержания математики можно лишь при учете всех этих определяющих факторов. Ссылка на литературу нередко заменяет исторический анализ. И наша история заканчивается 1900-м годом, так как современная математика — настолько многосторонняя наука, что невозможно — по крайней мере для автора этой книги — дать компетентную оценку хотя бы ее основных направлений1).

1) См. в связи с этим H. Weyl, A Halfcentury of Mathematics, Amer. Math. Monthly 58 (1951), 523—553.

Все же я надеюсь, что, несмотря на такие ограничения, удалось дать вполне добросовестное описание главных направлений, по которым в течение веков шло развитие математики, и тех общественных и культурных условий, в которых оно происходило. Конечно, отбор материала не был обусловлен только объективными факторами — сказывались симпатии и антипатии автора, степень его осведомленности.

Что касается последнего, надо сказать, что не всегда автор мог непосредственно опираться на источники, слишком часто приходилось пользоваться источниками из вторых и даже третьих рук. Поэтому следует посоветовать (что относится не только к этой книге, но и ко всем исследованиям такого рода) по возможности проверять утверждения автора, обращаясь к оригиналам. По многим причинам это является правильным положением. При изучении таких авторов, как Евклид, Диофант, Декарт, Лаплас, Гаусс или Риман, не следует ограничиваться только цитатами из исторических книг, в которых описаны их труды. В подлинниках Евклида и Гаусса содержится такая же живительная сила, как и в подлинниках Шекспира; у Архимеда, у Ферма, у Якоби можно найти столь же великолепные места, как у Горация или Эмерсона1).

В число положений, которыми руководствовался автор при изложении материала, входили следующие четыре:

1. Подчеркивать связи и родство восточных цивилизаций, а не исходить из механического разбиения на египетскую, вавилонскую, китайскую, индийскую и арабскую культуры.

2. Проводить различие между установленными фактами, гипотезами и преданиями, особенно в греческой математике.

3. Связать два течения в математике Возрождения, арифметико-алгебраическое и «флюкционное», с торговыми и техническими запросами эпохи соответственно.

4. Строить изложение математики девятнадцатого столетия больше по лицам и школам, чем по предметам. (Здесь в качестве основного руководства можно было принять книгу Клейна «Развитие математики в 19 столетии».) Изложение по отдельным дисциплинам дают книги Кэджори

1) Эмерсон Ролф Уолдо (1803—1882) — известный американский критик, поэт и моралист.

и Белла, а с большим числом технических подробностей — немецкая «Энциклопедия математических наук» (Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften, 24 тт., Лейпциг, 1898—1935) и Repertorium der höheren Analysis (5 томов, Лейпциг, 1910—1929) Паскаля (Pascal).

Автор выражает свою благодарность О. Нейгебауеру, который охотно согласился прочесть первые главы книги, что дало возможность во многих местах улучшить изложение. Профессору А. П. Юшкевичу автор обязан многими улучшениями при изложении науки стран ислама.

Во втором английском издании исправлены многие опечатки и ошибки, имевшиеся в первом издании. Автор благодарен Р. Арчибалду (R. С. Archibald), Э. Дейкстерхойсу (Е. J. Dyksterhuis), С. Йоффе (S. А. Joffe) и другим читателям книги, благодаря вниманию которых эти погрешности были обнаружены. В немецкое издание были внесены новые исправления.

Д. Стройк

ВВОДНЫЙ ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

Ниже приводится список ряда важнейших книг по истории математики в целом. В этом списке не нуждаются те читатели, которые могут воспользоваться книгой G. Sarton, The study of the History of Mathematics (Cambridge, 1936, 103 стр.), содержащей не только интересное введение в наш предмет, но и полную библиографию. Данные о более поздней литературе можно найти в соответствующих отделах реферативных журналов по математике: Jahrbuch über die Fortschritte der gesamten Mathematik (нем.), Mathematical Reviews (амер.), Zentralblatt für Mathematik (нем.) и реферативный журнал «Математика» (изд. Института научной информации АН СССР, с 1953 г.).

Работы советских ученых по истории математики приведены в библиографических указателях: История естествознания. Литература, опубликованная в СССР (1917 — 1947), М., 1949; История естествознания. Литература, опубликованная в СССР (1948—1958), М., 1955. Полезна также книга «Библиографические источники по математике и механике, изданные в СССР за 1917—1952 гг.», М.—Л., 1957. Кроме того, см. В. П. Зубов, Историография естественных наук в России, М4, 1956.

Книги на английском языке:

R. C. Archibald, Outline of the History of Mathematics (Amer. Math. Monthly 561, Jan. 1949, 6-е изд.).

Эта книга в 114 стр. дает прекрасный очерк истории математики и содержит много библиографических указаний.

F. Cajori, A History of Mathematics (2-е изд., New York, 1938). Это образцовая книга в 514 стр.

D. Е. Smith, History of Mathematics (2 тома, Boston, 1923-1925).

Автор книги ограничился в основном изложением истории элементарной математики, но приводит данные о всех выдающихся математиках и многочисленные иллюстрации; новые издания — New York, 1951—1953, 1958.

Е. Т. Bell, Men of Mathematics (New York, 1937).

E. T. Bell, The Development of Mathematics (2-е изд., New York — London, 1945).

Эти две книги содержат обширный материал как о математиках, так и об их достижениях. Вторая книга посвящена главным образом математике XIX—XX вв.

J. F. Scott, A History of Mathematics from Antiquity to the Beginning of the Nineteenth Century (London, 1958).

H. W. Turnbull, The Great Mathematicians (London, 1929; новое изд. — New York, 1961).

Преимущественно элементарная математика рассматривается в книгах:

V. Sanford, A Short History of Mathematics (Boston, 1930).

W. W. Rouse Ball, A Short Account of the History of Mathematics (6-е изд., London, 1915; переиздана в 1960 г.).

Хорошо написанная, но устаревшая книга.

Н. Eves, An Introduction to the History of Mathematics (New York, 1953).

Интересный материал собран в книге F. Cajori, A History of Mathematical Notations, тт. I —II, Chicago, 1928-1929.

Образцовой книгой по истории математики все еще остается

М. Cantor, Vorlesungen über Geschichte der Mathematik (4 тома, Leipzig, 1900—1908).

Эта работа большого масштаба (четвертый том написан группой специалистов под общим руководством М. Кантора) охватывает историю математики до 1799 г. Во многих местах она устарела, особенно в разделах об античной математике, во многих частностях она ошибочна, но, как и раньше, она хороша для первой ориентировки.

Поправки к ней G. Eneström'a и др. публиковались в журнале Bibliotheca Mathematica.

Другие книги на немецком языке:

H.G. Zeuthen, Geschichte der Mathematik im Altertum und Mittelalter (Kopenhagen, 1896; французское

издание — Paris, 1902; первое датское издание вышло в 1893 г., в 1949 г. появилось второе датское издание, переработанное О. Нейгебауером; русский перевод (с нем. издания): Г. Г. Цейтен, История математики в древности и в средние века, 2-е изд., М. — Л., 1938).

H. G. Zeuthen, Geschichte der Mathematik im 16. und 17. Jahrhundert (Leipzig, 1903); русский перевод: Г. Г. Цейтен, История математики в XVI и XVII столетиях, 2-е изд., М. — Л., 1938.

S. Günther — H. Wieleitner, Geschichte der Mathematik (2 тома; 1-й написан Гюнтером; издано Вилейтнером, Berlin, 1939). Написанная Вилейтнером часть вошла в русское издание: Г. Вилейтнер, История математики от Декарта до середины XIX столетия, М., 1960 (2-е изд., М., 1966).

J. Tropfke, Geschichte der Elementarmathematik (7 томов, 2-е изд., Leipzig, 1921—1924, тт. 1—4, 3-е изд., 1930-1940).

Первая часть первого тома книги переведена на русский язык: Тропфке, Арифметика, М., 1914.

В издание Die Kultur der Gegenwart III, I (Leipzig-Berlin, 1912) вошли работы:

H. G. Zeuthen, Die Mathematik im Altertum und im Mittelalter; A. Vоss, Die Beziehungen der Mathematik zur allgemeinen Kultur; H. E. Timerding, Die Verbreitung mathematischen Wissens und mathematischer Auffassung.

O. Becker — J. E. Hofmann, Geschichte der Mathematik (Bonn, 1951).

J. E. Hofmann, Geschichte der Mathematik (3 тт. Собрание Göschen, тт. 226, 875, 882, Berlin, 1953—1957).

Эти книги содержат подробный указатель литературы.

О. Becker, Grundlagen der Mathematik in geschichtlicher Entwicklung (Freiburg — München, 1954).

Немецкий перевод книги А. П. Юшкевича (см. ниже) является ее вторым, улучшенным изданием.

Старейшая книга по истории математики на французском языке:

J. E.Montucla, Histoire des mathématiques (4 тома, Paris, 1799—1802). Первое издание, в двух томах, появилось в 1758 г. Труд, где рассматривается прикладная математика, и сейчас представляет интерес.

Весьма интересна книга, выпущенная под коллективным псевдонимом группы современных математиков:

Nicolas Bourbaki, Eléments d'histoire des mathématiques (Paris, 1961).

Всю историю математики охватывают соответствующие главы большого коллективного труда.

Histoire générale des Sciences (тт. 1—3, Paris, 1960— 1964) под общей редакцией профессора R. Taton.

Укажем также:

M. d'Ocagne, Histoire abrégée des Sciences mathématiques, ouvrage recueilli et achevé par R. Dugas (Paris, 1952).

Книга дает краткие очерки об ученых.

I. Dedron, J. Itard, Mathématiques et mathématiciens (Paris, 1919).

На итальянском языке есть хорошая книга: G. Loria, Storia délie matematiche (3 тома, Torino, 1929—1933).

См. также Е. Bortolotti, Storia délia matematica elementare, т. 3, стр. 2, Milano, 1950.

Кроме того, укажем:

Е. Caruccio, Matematica е logica nella storia е nel pensiero contemporaneo (Torino, 1958). Книги на русском языке:

Э. Я. Кольман, История математики в древности, М., 1961.

А. П. Юшкевич, История математики в средние века, М., 1961.

К. А. Рыбников, История математики, 2 тт., М., 1960-1963.

В.П. Шереметевский, Очерки по истории математики, М., 1940.

Б.В. Гнеденко, Очерки по истории математики в России, М. — Л., 1946.

А.П.Юшкевич, История математики в России до 1917 г., М., 1968.

Н. Бурбаки, Очерки по истории математики, перевод с франц. И. Г. Башмаковой под ред. К. А. Рыбникова.

История отечественной математики, коллективный труд в 4-х томах, отв. ред. Н. З. Штокало. В первых двух томах (Киев, 1966—67) изложение доведено до 1917 г.; 3-й том (Киев, 1968) и 4-й (в двух книгах; издание заканчивается в 1970 г.) посвящены советскому периоду.

Имеются также историко-математические антологии: D.E. Smith, A Source Book in Mathematics (New York, 1929).

H. Wieleitner, Mathematische Quellenbücher (4 тт., Berlin, 1927—1929); русск. перевод: Г. Вилейтнер, Хрестоматия по истории математики, составленная по первоисточникам, 4 вып., М. — Л., 1932 (2-е изд., 1935).

А. Speiser, Klassische Stücke der Mathematik (Zürich — Leipzig, 1925).

I. R. Newmann, The World of Mathematics (4 тома, New York, 1956).

Это сборник очерков о математике и о математиках. Полезна также книга:

E.Callandier, Célèbres problèmes mathématiques (Paris, 1949).

Имеются также книги по истории отдельных дисциплин. Мы укажем следующие работы.

L. E. Dickson, History of the Theory of Numbers (3 тома, Washington, 1919—1927).

T. Muir, The Theory of Determinants in the Historical Order of Development (4 тома, London, 1906—1923); Contributions to the History of Determinants 1900—1920 (London, 1930).

A. von Braunmühl, Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie (2 тома, Leipzig, 1900—1903).

T. Dantzig, Number, The Language of Science (3-е изд., New York, 1943).

J.L. Coolidge, A History of Geometrical Methods (Oxford, 1940).

G. Loria, Il passato e il présente délie principali teorie geometriche (4-е изд., Torino, 1931).

G. Loria, Storia délia geometria descrittiva délie origine sino ai giorni nostri (Milano, 1921).

G. Loria, Curne piani speciali algebriche e transcendenti (2 тома, Milano, 1930); нем. изд. (2 тома, Leipzig, 1910-1911).

F. Cajori, A History of Mathematical Notations (2 тома, Chicago, 1928—1929).

L. С. Karpinski, The History of Arithmetic (Chicago, 1925).

H. M. Walker, Studies in the History of Statistical Methods (Baltimore, 1929).

R. Reiff, Geschichte der unendlichen Reihen (Tübingen, 1889).

I.Todh unter, History of the Progress of the Calculus of Variations during the Nineteenth Century (Cambridge, 1861).

I. Todhunter, History of the Mathematical Theory of Probability from the Time of Pascal to that of Laplace (Cambridge, 1865).

I. Todhunter, History of the Mathematical Theories of Attraction and the Figure of the Earth from the Time of Newton to that of Laplace (London, 1873).

J. L. Coolidge, The Mathematics of Great Amateurs (Oxford, 1949).

R.C. Archibald, Mathematical Tables Makers (New York, 1948).

R. Dugas, Histoire de la mécanique (Neufchatel, 1950).

С. Boyer, History of Analytic Geometry (New York, 1956).

С. Воуer, History of the Calculus and its Conceptual Development (New York, 1949, 1959).

E. W. Beth, Geschiedenis der logica (Haag, 1944).

Из книг на русском языке по истории отдельных дисциплин укажем:

И. Ю. Тимченко, Основания теории аналитических функций. Часть 1. Исторические сведения о развитии понятий и методов, лежащих в основании теории аналитических функций, Одесса, 1899; также в «Записках мат. отделения Новороссийского общества естествоисп.», Одесса, XII (1892), XVI (1896), XIX (1899).

В этой книге собран огромный материал по истории развития основных понятий анализа.

В. Ф. Каган, Исторический очерк развития учения об основаниях геометрии, Одесса, 1907; также в «Записках Новороссийского университета», Одесса, CVIII и CIX (1907). Его же, Основания геометрии, ч. I, М.—Л., 1949.

A. В. Васильев, Целое число. Исторический очерк, Пг., 1919, 1922.

Ф. Кэджори, История элементарной математики, перевод с англ. и дополнения И. Ю. Тимченко, 2 изд., Одесса, 1917.

B. Беллюстин, Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики, М., 1940.

А. И. Маркушевич, Очерки по истории теории аналитических функций, М.—Л., 1951.

И. Я. Депман, История арифметики, М., 1959.

Ф. А. Медведев, Развитие теории множеств в XIX веке, М., 1965.

А. Б. Паплаускас, Тригонометрические ряды от Эйлера до Лебега, М., 1966.

И. Н. Песин, Развитие понятия интеграла, М., 1966.

Л. Е. Майстров, Теория вероятностей. Исторический очерк, М., 1967.

См. также литературу в конце каждой главы.

История математики излагается и в книгах по общей истории науки. Образцовым трудом является G. S art on, Introduction to the History of Science (5 томов, Washington — Baltimore, 1927—1948).

Изложение доведено до четырнадцатого столетия. В нашей книге транскрипция греческих и восточных имен дается, в основном, по Сартону.

Дополнением к пяти томам Сартона является книга G. Sarton, The Study of the History of Science, with an Introductory Bibliography (Cambridge, 1936)1).

Хорошая книга для школ:

W. T. Sedgwick, H. W. Tyler, A Short History of Science (2-е изд., New York, 1939).

Влияние математики на культуру рассматривается в книге: М. Kline, Mathematics in Western Culture (New York, 1953).

Полезны также десять статей G. A. Miller'а: A first Lesson in the History of Mathematik, A second Lesson и т. д. в «National Mathematics Magazine», 13 (1939)—19 (1945).

Периодические издания по истории математики или по истории естествознания в целом и т. п.:

«Bibliotheca mathematica», серии 1—3 (1884—1914).

«Scripta mathematica» (с 1932).

«Isis» (с 1913).

Revue d'histoire des sciences (c 1947).

Archives internationales d'histoire des sciences (c 1947).

Centaurus (c 1950).

NTM, Z. f. Geschichte der Naturwissenschaften, Technik und Medizin (c 1960).

1) См. также книгу Sarton'а, указ. на стр. 13.

Archiv für Geschichte der Mathematik, der Naturwissenschaften und der Technik (1909—1931). Physis (c 1959).

Archive for History of Exact Sciences (с 1960).

Mitteilungen zur Geschichte der Medizin, Naturwissenschaft und Technik (Referatenorgan, с 1961).

Вопросы истории естествознания и техники (с 1956).

Историко-математические исследования (с 1948).

См. также Труды Института истории естествознания АН СССР, тт. I—IV, 1947—1952, и продолжение этого издания под названием Труды Института истории естествознания и техники АН СССР, 1954—1962 (по истории физико-математических наук, тт. 1, 5, 10, 15, 17, 19, 22, 28, 34, 43).

Глава I

НАЧАЛО

1. Наши первоначальные представления о числе и форме относятся к очень отдаленной эпохе древнего каменного века — палеолита. В течение сотен тысячелетий этого периода люди жили в пещерах, в условиях, мало отличавшихся от жизни животных, и их энергия уходила преимущественно на добывание пищи простейшим способом — собиранием ее, где только это было возможно. Люди изготовляли орудия для охоты и рыболовства, вырабатывали язык для общения друг с другом, а в эпоху позднего палеолита украшали свое существование, создавая произведения искусства, статуэтки и рисунки. Возможно, что рисунки в пещерах Франции и Испании (давности порядка 15 тысяч лет) имели ритуальное значение, но несомненно, что в них обнаруживается замечательное чувство формы.

Пока не произошел переход от простого собирания пищи к активному ее производству, от охоты и рыболовства к земледелию, люди мало продвинулись в понимании числовых величин и пространственных отношений. Лишь с наступлением этого фундаментального перелома, переворота, когда пассивное отношение человека к природе сменилось активным, мы вступаем в новый каменный век, в неолит.

Это великое событие в истории человечества произошло примерно десять тысяч лет тому назад, когда ледяной покров в Европе и Азии начал таять и уступать место лесам и пустыням. Постепенно прекращались кочевые странствия в поисках пищи. Рыболовы и охотники все больше вытеснялись первобытными земледельцами. Такие земледельцы, оставаясь на одном месте пока почва сохраняла

плодородие, строили жилища, рассчитанные на более долгие сроки. Стали возникать деревни для защиты от непогоды и от врагов-хищников. Немало таких неолитических поселений раскопано. По их остаткам видно, как постепенно развивались такие простейшие ремесла, как гончарное, ткацкое и плотничье. Существовали житницы, так что население могло, производя излишки, запасать продукты на зиму и на случай неурожая. Выпекали хлеб, варили пиво, в эпоху позднего неолита плавили и обрабатывали медь и бронзу. Совершались открытия, были изобретены гончарный круг и тележное колесо, совершенствовались лодки и жилища. Все эти замечательные новшества возникали лишь в пределах той или иной зоны и не всегда распространялись вне ее. Например, американские индейцы узнали о существовании тележного колеса лишь после прихода белых. Тем не менее темп технического прогресса в колоссальной мере ускорился по сравнению с древним каменным веком.

Деревни вели между собой значительную торговлю, которая настолько развилась, что можно проследить наличие торговых связей между областями, удаленными на сотни километров друг от друга. Эту коммерческую деятельность сильно стимулировали открытие техники выплавки меди и бронзы и изготовление сначала медных, а затем бронзовых орудий и оружия. Это в свою очередь содействовало дальнейшему формированию языков. Слова этих языков выражали вполне конкретные вещи и весьма немногочисленные абстрактные понятия, но языки уже имели известный запас слов для простых числовых терминов и для некоторых пространственных образов. На таком уровне находились многие племена в Австралии, Америке и Африке, когда они впервые встретились с белыми людьми, а некоторые племена и сейчас живут в таких условиях, так что есть возможность изучить их обычаи и способы выражения мыслей.

2. Числовые термины, выражающие некоторые из «наиболее абстрактных понятий, какие в состоянии создать человеческий ум», как сказал Адам Смит, медленно входили в употребление. Впервые они появляются скорее как качественные, чем количественные термины, выражая различие лишь между одним (или, вернее, «каким-то» — «какой-то» скорее, чем «один человек») и двумя и многими. Древнее качественное происхождение числовых понятий

и сейчас еще выявляется в тех особых двоичных терминах, которые имеются в некоторых языках, как, например, в греческом и кельтском. С расширением понятия числа большие числа сначала образовывались с помощью сложения: 3 путем сложения 2 и 1, 4 путем сложения 2 и 2, 5 путем сложения 2 и 3.

Вот примеры счета некоторых австралийских племен:

Племя реки Муррэй: 1 = энэа, 2 = петчевал, 3 = = петчевал-энэа, 4 = петчевал-петчевал.

Камиларои: 1 = мал, 2 = булан, 3 = гулиба, 4 = булан-булан, 5 = булан-гулиба, 6 = гулиба-гулиба1).

Развитие ремесла и торговли содействовало кристаллизации понятия числа. Числа группировали и объединяли в большие единицы, обычно пользуясь пальцами одной руки или обеих рук — обычный в торговле прием. Это вело к счету сначала с основанием пять, потом с основанием десять, который дополнялся сложением, а иногда вычитанием, так что двенадцать воспринималось как 10 -f- 2, а девять — как 10—12). Иногда за основу принимали 20 — число пальцев на руках и ногах. Из 307 систем счисления первобытных американских народов, исследованных Илсом (W. С. Eels), 146 были десятичными, 106 — пятичными и пятичными-десятичными, остальные — двадцатичными и пятично-двадцатичными. В наиболее характерной форме система с основанием двадцать существовала у майя в Мексике и у кельтов в Европе. Числовые записи велись с помощью пучков, зарубок на палках, узлов на веревках, камешков или ракушек, сложенных по пять в кучки, — приемами, весьма схожими с теми, к каким в давние времена прибегал хозяин постоялого двора, пользовавшийся бирками. Для перехода от таких приемов к специальным символам для 5, 10, 20 и т. д. надо было сделать лишь один шаг, и именно такие символы мы обнаруживаем в пользовании в начале писанной истории, на так называемой заре цивилизации.

Древнейший пример пользования бирками приходится на эпоху палеолита. Это — обнаруженная в 1937 г. в

1) L. Conant, The Number Concept (New York, 1896), стр. 106—107, со многими подобными примерами; см. также статью И. Г. Башмаковой и А. П. Юшкевича, Энциклопедия элементарной математики, т. 1, М.—Л., 1951.

2) W. С. Eels, Number Systems of North American Indians, Amer. Math. Monthly 20 (1913), 293.

Вестонице (Моравия) лучевая кость молодого волка длиной около 17 сантиметров с 55 глубокими зарубками. Первые двадцать пять зарубок размещены группами по пять, за ними идет зарубка двойной длины, заканчивающая этот ряд, а затем с новой зарубки двойной длины начинается новый ряд из зарубок1). Итак, очевидно, что неправильно старое утверждение, которое мы находим у Якоба Гримма и которое часто повторяли, будто счет возник как счет на пальцах. Пальцевый счет, то есть счет пятками и десятками, возник только на известной ступени общественного развития. Но раз до этого дошли, появилась возможность выражать числа в системе счисления, что позволяло образовывать большие числа. Так возникла примитивная разновидность арифметики. Четырнадцать выражали как 10 -f- 4, иногда как 15 — 1. Умножение зародилось тогда, когда 20 выразили не как 10 -[- 10, а как 2 X Ю- Подобные двоичные действия выполнялись в течение тысячелетий, представляя собой нечто среднее между сложением и умножением, в частности в Египте и в доарийской культуре Мохенджо — Даро на Инде. Деление началось с того, что 10 стали выражать как «половину тела», хотя сознательное применение дробей оставалось крайне редким явлением. Например, у североамериканских племен известны только немногие случаи применения дробей, и почти всегда это только дробь ~, хотя иногда встречаются -g- и2).

Любопытно, что увлекались очень большими числами, к чему, может быть, побуждало общечеловеческое жела-

1) Isis 28 (1938), 462—463; взято из London News Illustr. от 2.x 1937. [См. также данные о предметах, найденных при раскопках палеолитической стоянки в Мезине (Черниговской области УССР), в книге: История отечественной математики, т. 1, стр. 40.— Прим. перев.]

2) Миллер (G. A. Miller) обратил внимание на то, что слова one-half, semis, moitié, означающие (в английском, латинском, французском языках) половину, не имеют прямой связи со словами тех же языков, означающими 2 (two, duo, deux), в отличие от ... (англ.: one-third, one-fourth, ...);это, видимо, указывает на то, что понятие возникло независимо от понятия целого числа. См. Nat. Math. Magazine 13 (1939), 272.

ние преувеличить численность стада или убитых врагов; пережитки такого уклона заметны в библии и в других религиозных книгах.

[1] Происхождение и развитие счета вообще, систем счисления в частности, и связанное с этим развитие понятия натурального числа изложены Д. Стройком крайне кратко. Большой этнографический, археологический и филологический материал, который приходится привлекать при таких исследованиях, не позволяет дать вполне определенные ответы на все вопросы, но некоторые этапы и некоторые общие черты в развитии техники счета и понятия числа можно установить с высокой степенью достоверности. На русском языке этот круг проблем наиболее обстоятельно и вместе с тем компактно освещен в статье И. Г. Башмаковой и А. П. Юшкевича (см. библиографию в конце главы I). Интересные данные, указывающие на более раннее развитие числовых представлений (чем до сих пор предполагалось), собраны в статье Б. А. Фролова «Применение счета в палеолите и вопрос об истоках математики», Изв. СО АН СССР, сер. общ. наук, № 9, вып. 3 (1965).

3. Возникла и необходимость измерять длину и емкость предметов. Единицы измерения были грубы, и при этом часто исходили из размеров человеческого тела. Об этом нам напоминают такие единицы, как палец, фут (то есть ступня), локоть. Когда начали строить дома такие, как у земледельцев Индии или обитателей свайных построек Центральной Европы, стали вырабатываться правила, как строить по прямым линиям и под прямым углом. Английское слово «straight» (прямой) родственно глаголу «stretch» (натягивать), что указывает на использование веревки1). Английское слово «line» (линия) родственно слову «linen» (полотно), что указывает на связь между ткацким ремеслом и зарождением геометрии. Таков был один из путей, по которому шло развитие математических интересов.

Человек неолита обладал также острым чувством геометрической формы. Обжиг и раскраска глиняных сосудов, изготовление камышовых циновок, корзин и тканей, позже — обработка металлов вырабатывали представление о плоскостных и пространственных соотношениях.

1) Во многих странах людей, занимавшихся межеванием, называли «натягивателями веревки» (греческое «harpenodaptai», арабское «massah», ассирийское «masihänu»). См. S. Gandz, Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik 1 (1930), 255— 277.

Должны были сыграть свою роль и танцевальные фигуры. Неолитические орнаменты радовали глаз, выявляя равенство, симметрию и подобие фигур. В этих фигурах могут проявляться и числовые соотношения, как в некоторых доисторических орнаментах, изображающих треугольные числа; в других орнаментах мы обнаруживаем «священные» числа.Такого рода орнаменты оставались в ходу и в исторические времена. Прекрасные образцы мы видим на дипилоновых вазах минойского и раннегреческого периода, позже — в византийской и арабской мозаике, в персидских и китайских коврах. Первоначально ранние орнаменты, возможно, имели религиозное или магическое значение, но постепенно преобладающим стало их эстетическое назначение.

В религии каменного века мы можем уловить первые попытки вступить в борьбу с силами природы. Религиозные обряды были насквозь пронизаны магией, магический элемент входил в состав существовавших тогда числовых и геометрических представлений, проявляясь также в скульптуре, музыке, рисунке.

Существовали магические числа, такие, как 3, 4, 7, и магические фигуры, как, например, пятиконечная звезда и свастика; некоторые авторы даже считают, что эта сторона математики была решающим фактором в ее разви-

Этот орнамент встречается на неолитической керамике из Боснии и на предметах искусства древней Месопотамии.

Орнамент с египетской керамики додинастического периода (4000— 3500 до н. э.).

Геометрический орнамент американских индейцев.

Такие орнаменты были в ходу у жителей свайных построек близ Любляны (Югославия) Гальштатского периода (Центральная Европа, 1000—500 до н. э.).

тии1), но, хотя общественные корни математики в новейшие времена, быть может, стали менее заметны, они вполне очевидны в раннем периоде истории человечества. Современная «нумерология» — пережиток магических обрядов, восходящих к неолитической, а может быть, даже к палеолитической эпохе.

[2] Работы, авторы которых стремятся доказать ритуальное происхождение счета и геометрии, появляются и в наши дни. Эти работы примыкают к тем течениям в социологии, которые стремятся всячески выпятить значение религии в истории человеческой культуры. Одно из последних исследований такого рода — статья А. Зайденберга (А. Seidenberg) «Ритуальное происхождение счета» (The Ritual Origin of Counting, Archive for History of Exact Sciences 2, № 1,1962). Автор прямо заявляет, что рассматривает свою работу как частичное выполнение программы лорда Раглана: доказать, что вся цивилизация — ритуального происхождения2). По Зайденбергу, счет был изобретен при особых обстоятельствах в связи с созданием определенного ритуала. Но большое сходство в построении числительных и приемах счета у различных народов делает версию совершенно неправдоподобной (поскольку она связывает счет с весьма специфическими приемами), если не допустить, что счет был изобретен таким образом в каком-то одном месте и уже оттуда распространился путем заимствования по всему миру. И А. Зайденберг не отступает перед этим выводом и в особой работе, напечатанной в «Математических сообщениях Калифорнийского университета» за 1960 г.3), пытается его доказать. Насколько невероятно то, что счет у всех народов общего происхождения, читатель может судить

Эти прямоугольники, заполненные треугольниками, и треугольники с кружками воспроизведены с урн из захоронений вблизи Сопрона в Венгрии. Мы видим здесь попытку образовать треугольные числа, игравшие важную роль позже — в пифагорейской математике.

1) W. J. McGee, Primitive Numbers, Nineteenth Annual Report, Bureau Amer. Ethnology, 1897—1898 (1900), 825—851.

2) Lord Raglan, How Came Civilisation.

3) University of California Mathematical Publications, A3, № 4.

сам, если вспомнит о разобщенности первобытных общин, о значительной неравномерности в развитии счета у различных народов, о наличии у одного и того же народа различных слов для обозначения одного и того же числа различных предметов и т. д.

4. Даже у самых отсталых племен мы находим какой-то отсчет времени и, следовательно, какие-то сведения о движении Солнца, Луны и звезд. Сведения этого рода впервые приобрели более научный характер, когда стали развиваться земледелие и торговля. Пользование лунным календарем относится к очень давней эпохе в истории человечества, так как изменение в ходе произрастания растений связывали с фазами Луны. Примитивные народы обратили внимание и на солнцестояние, и на восход Плеяд в сумерках. Самые древние цивилизованные народы относили астрономические сведения к наиболее отдаленному, доисторическому периоду своего существования. Другие первобытные народы пользовались при плавании созвездиями как ориентирами. Эта астрономия дала некоторые сведения о свойствах сферы, окружностей, об углах.

Древнеегипетский глиняный сосуд (додинастический период).

5. Эти краткие сведения из эпохи зарождения математики показывают, что наука в своем развитии не проходит обязательно все те этапы, из которых теперь складывается ее преподавание. Лишь недавно ученые обратили должное внимание на некоторые из древнейших известных человечеству геометрических фигур, такие, как узлы или орнаменты. С другой стороны, некоторые более элементарные ветви нашей математики, как построение графиков или элементарная статика, сравнительно недавнего происхождения. А. Шпайзер заметил с известной едкостью: «За позднее происхождение элементарной математики говорит хотя бы то, что она явно склонна быть скучной, — свойство, видимо, ей присущее, — тогда как творческий математик всегда предпочтет заниматься задачами интересными и красивыми»1).

[3] Это суждение А. Шпайзера, известного как своими работами по теории групп, так и трудами по изданию полного собрания сочинений Леонарда Эйлера, остроумно и парадоксально, но вряд ли можно его отстаивать всерьез. И в книге по истории математики надо оговорить содержащиеся в нем погрешности против истории.

Что такое элементарная математика? Общепринятого определения нет, содержание этого понятия, несомненно, менялось. Если к элементарной математике отнести материал, входящий в курс «средней школы» (что тоже далеко не однозначно характеризует элементарную математику), то нетрудно убедиться в крайней разнородности отдельных ее частей. В арифметике, кроме обучения счету, мы встречаем решение задач с использованием приемов, большей частью достаточно давнего происхождения, и некоторые сведения из теории целых чисел, которые в большинстве восходят к античной математике. И геометрия до недавнего времени в течение столетий излагалась в основном по Евклиду. В алгебре и тригонометрии основной материал гораздо более недавнего происхождения, причем некоторые понятия и приемы (графики, функциональная зависимость) в значительной мере модернизованы. «Скучен» ли он? Для обучаемого это зависит от того, как ведется обучение, для обучающего — от того, есть ли тут возможность для творчества, не обязательно научного, а педагогического, методического. Многочисленные предложения реформы школьных программ, настойчивые попытки ввести в курс средней школы некоторые сведения из математического анализа, математической логики, теории вероятностей и т. п., показывают, что здесь есть немалое поле для интересной деятельности.

Элементарную математику пытались определять отрицательно, как часть математики, где не применяются такие-то (более сложные) методы и понятия, например, где не пользуются математическим анализом (дифференциальным и интегральным исчислением). Но

1) А. Speiser, Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung (Leipzig, 1925, New York, 1954), стр. 3.

при этом в элементарную математику попадут многие достаточно отвлеченные и трудные области, которые привлекали и привлекают творческих математиков и где есть немало «интересных и красивых задач»1), например значительная часть теории множеств, теории групп, математической логики. Нетрудно также привести примеры, когда так называемое элементарное доказательство того или иного положения находили позже и с большим трудом, чем неэлементарное.

ЛИТЕРАТУРА

Кроме уже упомянутых книг Конанта, Илса, Смита и Шпайзера, укажем еще:

E. Fettweis, Das Rechnen der Naturvölker, Leipzig, 1927.

К. Menninger, Zahlwort und Ziffer. Eine Kulturgeschichte der Zahlen (2-е изд., т. I, Göttingen, 1957, 2-е изд., т. II (Zahlschrift und Rechnen), Göttingen, 1958).

D.E. Smith — J. Ginsburg, Numbers and Numerais (N. Y. Teachers' College, 1937).

ChildeGordon, What Happened in History (Pelican Book, Harmondsworth — New York, 1942).

D. J. Struik, Stone Age Mathematics, Scientific American, 1948, Dec.

Интересные орнаменты описаны в работах:

L. Spier, Plains Indian Parfleche Designs, Univ. Washington Puhl, in Anthrop. 4 (1931), 293—322.

A. B. Deacon, Geometrical Drawings from Malekula and Other Islands of the New Hebrides, J. Roy. Anthrop. Institute 64 (1934), 129-175.

M. Popova, La géométrie dans la broderie bulgare, Comptes Rendus, Premier Congrès des Mathématiciens des pays slaves, Warsaw (1929), 367-369.

Математика американских индейцев рассматривается в статье:

J. E. S. Thompson, Maya Arithmetic, Contribution to Amer. Anthropology and History 36, Carnegie Inst, of Washington Puhl. 528 (1941), 37-62.

Подробную библиографию см. в книге:

D. Е. Smith, History of Mathematics, т. I (1923), стр. 14.

Библиографию работ о развитии математических понятий у детей см. в книге:

A. Riess, Number Readiness in Research (Chicago, 1947).

См. также

J. Piaget, La genèse du nombre chez l'enfant, Neufchâtel, 1941.

J. Piaget, Le développement des quantités chez l'enfant, Neufchâtel, 1941.

На русском языке см.: И. Г. Башмакова, А. П. Юшкевич, «Происхождение систем счисления» в книге: Энциклопедия элементарной математики, т. I, М.—Л., 1951, стр. 11—74.

1) Не говоря уже о том, сколько субъективного связано с такими определениями.

Глава II

ДРЕВНИЙ ВОСТОК

1. В течение пятого, четвертого и третьего тысячелетия до н. э. новые и более совершенные формы общества складывались на основе упрочившихся общин нового каменного века, существовавших на берегах великих рек Африки и Азии в субтропическом поясе и вблизи него. Эти реки — Нил, Тигр и Евфрат, Инд, позже — Ганг, Хуанхэ, еще позже — Янцзы.

Прибрежные земли в районах этих рек могли давать обильные урожаи при условии регулирования разливов и осушения болот. В противоположность бесплодным пустыням и горным областям и равнинам, примыкавшим к этим речным долинам, последние можно было сделать райским местом. И в течение столетий такую задачу удалось решить путем постройки валов и плотин, создания сети каналов и водохранилищ. Регулирование водоснабжения потребовало совместных усилий населения обширных районов в размерах, значительно превосходивших то, что предпринималось в этом роде раньше. Это повело к установлению централизованного управления, сосредоточенного в городских центрах, а не в варварских селениях предшествующих эпох. Сравнительно большие излишки, которые давало значительно усовершенствованное и интенсивное земледелие, повысили уровень жизни населения в целом, заодно это создало городскую аристократию во главе с могущественными вождями. Возникло немало профессий и специальностей — их представляли ремесленники, солдаты, писцы и жрецы. Руководство общественными работами находилось в руках бессменных должностных лиц — группы людей, сведущих в смене времен года, движении небесных тел, в деле землеуст-

ройства, хранения запасов пищи и взимания налогов. Пользовались письменностью, чтобы придать форму закона требованиям администрации и действиям правителей. Чиновники, равно как и ремесленники, накопили значительный запас технических знаний, включая сюда металлургию и медицину. В состав этих знаний входило и искусство счета и измерения.

Теперь уже прочно сложились общественные классы. Это были вожди («цари»), самостоятельные земледельцы и арендаторы, ремесленники, писцы и чиновники, крепостные и рабы. Местные вожди стали настолько богаче и сильнее, что их уже нельзя было считать чем-то вроде феодалов с ограниченной властью, — они становились вполне самодержавными царями. Раздоры и войны между различными деспотами приводили к возникновению более обширных владений, управляемых единым монархом. Так эти общественные формы, в основе которых лежало орошаемое и интенсивное земледелие, дали некий «восточный» вид деспотизма. Такой деспотизм мог держаться столетиями и затем пасть, то ли под ударами горных племен или кочевников пустыни, привлеченных богатствами речной долины, то ли из-за того, что запущенной оказывалась обширная, сложная и жизненно необходимая оросительная система. При таких обстоятельствах власть в племени либо переходила от одного царя к другому, либо же сообщество распадалось на меньшие объединения, причем процесс слияния мог затем начаться заново. Впрочем, при всех этих династических переворотах и повторных переходах от раздробленности к абсолютизму деревни, составлявшие основу этого общества, собственно оставались незатронутыми и, стало быть, экономический и общественный строй в основном сохранялся. Восточное общество жило циклами, и даже сейчас в Азии и Африке есть много общин, сохранявших в течение тысячелетий один и тот же уклад жизни. В этих условиях продвижение вперед было медленным и извилистым, и периоды культурного подъема разделялись столетиями застоя и упадка.

Такая статичность Востока создавала некую исконную освященность его установлений, и это облегчало отождествление церкви и государственного аппарата. Чиновничество в значительной своей части было религиозного склада, как и государство в целом; во многих восточных странах жрецы были правителями областей. А так как

заниматься наукой было задачей чиновничества, то во многих (но не во всех) восточных странах жрецы занимали выдающееся положение как обладатели научных знаний.

2. Восточная математика возникала как прикладная наука, имевшая целью облегчить календарные расчеты, распределение урожая, организацию общественных работ и сбор налогов. Вначале, естественно, главным делом были арифметические расчеты и измерения. Однако в науке, которую столетиями культивировали специалисты, чьей задачей было не только ее применение, но и посвящение в ее тайны, должен был развиться абстрактный уклон. Постепенно наукой стали заниматься ради нее самой. Из арифметики выросла алгебра не только потому, что это облегчало практические расчеты, но и в результате естественного развития науки, культивируемой и совершенствуемой в школах писцов. В силу тех же причин из измерений возникли начатки (но не больше) теоретической геометрии.

Хотя торговля и процветала в этих обществах древнего Востока, их экономическая сердцевина оставалась земледельческой, хозяйственной основой были села, обособленные и консервативные. Это приводило к тому, что различные культуры оставались резко отличными одна от другой, вопреки сходству экономического строя и одинаковому в основном уровню научных сведений. Замкнутость китайцев и египтян вошла в поговорку. Никогда не составляло труда отличить друг от друга искусство и письменность Египта, Месопотамии, Китая, Индии. Точно так же мы можем говорить о египетской, месопотамской, китайской и индийской математике, хотя в общем по своей арифметико-алгебраической природе они весьма схожи. Даже если наука одной из этих стран в течение некоторого периода обгоняла науку другой, она сохраняла свойственные ей приемы и символику.

На Востоке трудно датировать новые открытия. Статический характер его общественного строя приводил к тому, что научные сведения сохранялись без изменений в течение столетий и даже тысячелетий. Открытия, сделанные в пределах одного городского поселения, могли остаться неизвестными в других местностях. Хранилища научных и технических знаний могли быть уничтожены войнами при смене династий, наводнениями. Предание гласит, что в 221 г. до н. э., когда один абсолютный деспот

Цинь Ши-хуанди (династии Цинь, Первый Желтый император) установил свое господство над всем Китаем, он приказал, уничтожить все научные книги. Позже многое было вновь записано по памяти, но подобные события весьма затрудняют датировку открытий.

Другая трудность в датировке достижений восточной науки связана с материалом, которым пользовались для их закрепления. Народы Двуречья обжигали глиняные таблички, которые практически были неразрушимыми1). Египтяне пользовались папирусом, и поэтому значительная часть памятников их письменности сохранялась в условиях сухого климата. Китайцы и индийцы применяли значительно менее надежный материал — древесную кору или бамбук. Китайцы во втором столетии н. э. начали пользоваться бумагой, но мало что сохранилось от тысячелетия, предшествующего семисотому году н. э. Поэтому наши сведения о восточной математике весьма отрывочны, и для столетий догреческой эпохи мы, кроме материалов Египта и Двуречья, почти ничем не располагаем. Вполне возможно, что новые открытия поведут к полной переоценке относительного значения различных форм восточной математики. В течение долгого времени самыми богатыми историческими источниками мы обладали по Египту благодаря открытому в 1858 г. так называемому папирусу Райнда (Rhind), написанному около 1650 г. до н. э., но содержащему значительно более старый материал. За последние двадцать лет наши сведения о вавилонской математике значительно возросли благодаря замечательным открытиям О. Нейгебауера и Ф. Тюро-Данжена, которые расшифровали большое число глиняных табличек. Теперь выясняется, что вавилонская математика была значительно более развита, чем ее восточные партнерши. Возможно, это заключение будет окончательным, так как существует известное соответствие в содержании вавилонских и египетских текстов за ряд столетий. Более того, в экономическом развитии Двуречье ушло дальше, чем другие страны так называемого плодородного пояса на Ближнем Востоке, простиравшегося от Двуречья до Египта. Двуречье было перекрестком многочисленных караванных путей, тогда как Египет находился сравнительно в стороне.

1) Если только их тщательно сберегать после того, как они откопаны. Много табличек пропало из за плохого обращения с ними

К этому надо добавить то обстоятельство, что возделывание почвы в районе блуждающих Тигра и Евфрата требует больше технического искусства и регулировки, чем в районе Нила, этой «самой добропорядочной из всех рек», если воспользоваться выражением Уильяма Уилкокса. Быть может, дальнейшее изучение древнеиндийской

Страница из папируса Райнда.

математики обнаружит неожиданные достижения, но пока притязания на это не кажутся достаточно обоснованными.

3. Источником большей части наших сведений об египетской математике являются два математических папируса. Один из них — это уже упомянутый папирус Райнда, содержащий 84 задачи, второй — так называемый московский папирус, который, может быть, на два столетия старше и содержит 25 задач. Эти задачи были уже достаточно стары, когда составлялись папирусы, но есть меньшие папирусы значительно более позднего происхождения, даже римских времен, которые не отличаются от названных по своим приемам. Математика, которая в них изложена, основана на десятичной системе счисления со специальными знаками для каждой десятичной единицы более высокого разряда — системе, которая нам знакома благодаря римским обозначениям, основанным на том же принципе: MDGCGLXXVIII = 1878. На основе такой системы египтяне построили арифметику преимущественно аддитивного характера, т. е. ее основное направление состоит в сведении всех умножений к повторным сложениям. Например, умножение на 13 получается умножением сначала на 2, затем на 4, затем на 8 и сложением результатов умножения на 4 и на 8 с первоначальным числом:

Например, для вычисления 13 х 11 писали:

и складывали все числа, отмеченные звездочкой, что дает 143.

Самой замечательной чертой египетской арифметики являются действия с дробями. Все дроби сводятся к суммам так называемых основных дробей, то есть дробей, имеющих числителем единицу. Единственное исключение составляла дробь у=1—g-, для которой существовал специальный символ. Сведение к суммам основных дробей производилось с помощью таблиц, которые давали разложение дробей вида ^ — единственное необходимое разложение, так как умножение было двоичным. Папирус Райнда дает

таблицу, в которой приведены разложения на основные дроби для всех нечетных п от 5 до 331, например

Из чего исходили при таком сведении к основным дробям, не ясно (например, почему 2/19 заменяется суммой

Такие действия с дробями придавали египетской математике тяжеловесность и растянутость, однако разложение на сумму основных дробей применялось в течение тысячелетий, не только в эпоху эллинизма, но и в средние века. В то же время указанное разложение предполагает определенное математическое искусство, и существуют интересные теории для объяснения того способа, каким египетские специалисты могли получить свои результаты1).

Многие задачи очень просты и сводятся к линейному уравнению с одним неизвестным:

Некое количество, его -, его ^ и его у > сложенные имеете, дают 33. Каково это количество?

Ответ, 14 — f записан в основных дробях:

Для неизвестного в уравнении существовал иероглиф, обозначавший «кучу» и произносившийся «хау» или «axa». Поэтому египетскую алгебру иногда называют «хау-исчислением».

1) О. Neugebaiier, Arithmetik und Rechnentechnik der Ägypter, Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik 1 (1931), 301—380; B. L. van der Waerden, Die Entwicklungsgeschichte der ägyptischen Bruchrechnung, там же 41 (1938), 359—382; С. А Яновская, К теории египетских дробей, Труды Института истории естествознания 1 (1947), 269—282; И. Н. Веселовский, Египетская наука и Греция, там же 2 (1948), 426-428; см. также Е. М. Bruins, Proc. Nederl. Akad. Wet. А55 (1952).

В задачах речь идет о количестве хлеба и различных сортов пива, о кормлении животных и хранении зерна, и это указывает на практическое происхождение такой запутанной арифметики и примитивной алгебры. В некоторых задачах проявляется теоретический интерес, например в задаче, в которой требуется разделить сто хлебов между пятью людьми так, чтобы их доли составляли арифметическую прогрессию и чтобы одна седьмая суммы трех больших долей была равна сумме двух меньших. Мы даже встречаем геометрическую прогрессию в задаче о семи домах, в каждом из которых есть семь кошек, каждая из которых поедает семь мышей и т. д., что выявляет знание формулы для суммы членов геометрической прогрессии.

Некоторые задачи имеют геометрическую природу и касаются преимущественно измерений. Площадь треугольника находится как половина произведения основания и высоты; площадь круга диаметра d определяется как [d— -^-j2, что дает для л значение = 3,1605. Мы находим также некоторые формулы для объемов тел, таких, как куб, параллелепипед и круговой цилиндр, причем все они рассматриваются конкретно как сосуды, преимущественно для зерна. Самым замечательным результатом в египетских измерениях была формула для объема усеченной пирамиды с квадратным основанием V = ~ (а2 + ab + b2), где а и h суть длины сторон квадратов, a h — высота. Этот результат, которому не найдено соответствующего ни в какой другой древней математике, особенно примечателен, поскольку нет указаний на то, чтобы египтяне имели какое-либо представление даже о теореме Пифагора, вопреки некоторым необоснованным рассказам о гарпедонафтах, которые якобы строили прямые углы с помощью веревки, имевшей 3 + 4 —|— 5 = 12 узлов1).

Мы здесь должны предостеречь от преувеличения древности египетской математической науки. Строителям пирамид эпохи 3000 лет до н. э. и даже раньше приписывали всевозможные результаты высокоразвитой науки. Существует даже много раз серьезно преподносившаяся версия, будто египтяне в 4212 г. до н. э. приняли так

1) См. S. Gandz, цит. работа, стр. 7.

называемый сотический цикл для календаря. Нельзя всерьез приписывать столь точные математические и астрономические работы народу, едва вышедшему из условий каменного века, и источником таких рассказов, как обычно удается установить, является позднее египетское предание, дошедшее до нас через греков. Общей чертой древних цивилизаций является стремление датировать главные сведения весьма ранними эпохами. Все доступные тексты указывают, что египетская математика была скорее примитивного характера. На таком же уровне находилась и их астрономия.

4. Переходя к математике Двуречья, мы оказываемся на гораздо более высоком уровне, чем тот, которого когда-либо достигала египетская математика. Здесь мы можем даже уловить прогресс в ходе столетий. Уже самые древние тексты, относящиеся к последнему шумерскому периоду (третья династия Ура, 2100 г. до н. э.), показывают высокое вычислительное искусство. Эти тексты содержат таблицы для умножения, в которых хорошо развитая шестидесятичная система счисления сочетается с более ранней десятичной системой; здесь имеются клинописные символы, обозначающие 1, 60,360 и также 60-1, 60 2. Однако не это было наиболее характерной их чертой, в то время как египтяне каждую единицу более высокого разряда обозначали новым символом, шумеры пользовались одним и тем же символом, но указывали его значение его положением. Так, 1, за которой следовала другая 1, давала запись числа 51, а 5 с последующим 6 с последующим 3 (мы это будем записывать как 5, 6, 3) обозначало 5 -602 + 6-60 + 3 = 18 363. Такая позиционная (или поместная) система не отличается, по сути дела, от нашей системы записи чисел, при которой символ 343 заменяет 3 -102 +4-10 + 3. Подобная система имеет огромное преимущество при вычислениях, что можно сразу увидеть, если попытаться выполнить умножение и в нашей системе, и в системе с римскими числами. Позиционная система устраняла многие трудности в арифметике дробей так же, как это происходит при нашей системе с введением десятичных дробей. По-видимому, вся эта система была непосредственным результатом развития техники управления, что засвидетельствовано в тысячах текстов того же периода, где речь идет о поставках скота, зерна и т. п. и о связанных с этим арифметических вычислениях.

При таком способе счета существовала некоторая неопределенность, так как значение символа не всегда было ясно по его положению. Так, (5, 6, 3) могло также означать 5 • 601 + 6 • 60° + 3 • 60"1 = 306 2(), и точное истолкование надо было извлечь из контекста. Другая неопределенность возникала из-за того, что незаполненное место иной раз означало нуль, так что (11, 5) могло стоять вместо 11 -602 + 5 = 39 605. Иной раз появлялся специальный символ для нуля, но не ранее персидской эпохи. Так называемое «изобретение нуля» было, таким образом, логическим следствием введения поместной

Оборотная сторона древневавилонской таблички, хранящейся в Эрмитаже (Эрм. 15073). Вероятно, XVII в. до н. э.

системы, но только после того, как техника вычислений была значительно усовершенствована.

Как шестидесятичная система, так и позиционность системы счисления оказались прочным достоянием человечества. Наше современное деление часа на 60 минут и 3600 секунд восходит к шумерам, равно как и наше деление окружности на 360 градусов, каждого градуса на 60 минут и каждой минуты на 60 секунд. Есть основания полагать, что выбор в качестве основы 60 вместо 10 появился при попытке унифицировать системы измерения, хотя то обстоятельство, что 60 имеет много делителей, тоже могло иметь значение. Что касается поместной системы, непреходящее значение которой сравнивают со значением алфавита1), так как оба изобретения заменяют сложную символику методом, легко доступным широкому кругу людей, то ее история в значительной мере еще темна. Есть основания предполагать, что как индийцы, так и греки познакомились с нею на караванных путях, которые вели через Вавилон. Нам известно также, что арабы говорили о ней, как об индийском изобретении. Однако вавилонская традиция могла повлиять на все позднейшее распространение поместной системы.

5. Следующая группа клинописных текстов относится ко времени первой вавилонской династии, когда в Вавилоне правил царь Хаммурапи (1950 г. до н. э.) и семитское население подчинило себе исконных жителей — шумеров. В этих текстах мы видим, что арифметика развилась в хорошо разработанную алгебру. Египтяне того же периода были в состоянии решать только простые линейные уравнения, а вавилоняне времен Хаммурапи полностью владели техникой решения квадратных уравнений. Они решали линейные и квадратные уравнения с двумя неизвестными, решали даже задачи, сводящиеся к кубическим и к биквадратным уравнениям. Такие задачи они формулировали только при определенных числовых значениях коэффициентов, но их методы не оставляют никакого сомнения относительно того, что они знали общие правила.

Приведем пример, взятый из одной из глиняных табличек этого периода.

1) О. Neugebauer, The History of Ancient Astronomy, Journal of Near Eastern Studies 4 (1945), 12.

«Площадь /!, состоящая из суммы двух квадратов, составляет 1000. Сторона одного из квадратов составляет-^- стороны другого квадрата, уменьшенные на 10. Каковы стороны квадратов?»

Это приводит к уравнениям х1 + у2 = 1000, у = -g- х — 10, решение которых сводится к решению квадратного уравнения

имеющему положительный корень х = 30.

В действительности решение в клинописном тексте ограничивается, как и во всех восточных задачах, простым перечислением этапов вычисления, необходимого для решения квадратного уравнения:

«Возведи в квадрат 10; это дает 100; вычти 100 из 1000; это дает 900» и т. д.

Резко выраженный арифметико-алгебраический характер вавилонской математики проявляется и в геометрии. Как и в Египте, геометрия развивалась на основе практических задач измерения, но геометрическая форма задачи обычно является только средством для того, чтобы поставить алгебраический вопрос. Предыдущий пример показывает, как задача относительно площади квадрата приводит к нетривиальной алгебраической проблеме, и этот пример не составляет исключения. Тексты показывают, что вавилонская геометрия семитского периода располагала формулами для площадей простых прямолинейных фигур и для объемов простых тел, хотя объем усеченной пирамиды еще не был найден. Так называемая теорема Пифагора была известна не только для частных случаев, но и в полной общности. Основной чертой этой геометрии был все же ее алгебраический характер. Это в равной мере относится и ко всем позднейшим текстам, особенно к текстам третьего периода, от которого до нас дошло немалое их число, — эпохи нововавилонской, персидской и эпохи Селевкидов (примерно от 600 г. до н. э. до 300 г. н. э.). Тексты этого последнего периода обнаруживают значительное влияние вавилонской астрономии, которая в это время приобретает характер настоящей науки, что сказывается в тщательном анализе различных эфемерид. Вычислительная техника математических текстов становится еще более совершенной; алгебра справляется с задачами на уравнения, для которых требуется значительное вычислительное искусство. От эпохи

Селевкидов дошли вычисления, которые доведены до семнадцатого шестидесятичного знака. Столь сложные вычислительные работы уже нельзя связывать с вычислением налогов или измерением, — стимулом для них были астрономические задачи или просто любовь к вычислениям.

Многое в этой вычислительной арифметике выполнялось с помощью таблиц, в наборе которых есть и простые таблицы для умножения, и таблицы обратных величин, и квадратных и кубических корней. В одной из таблиц имеется ряд чисел вида п3 -f п2, которым, по-видимому, пользовались для решения кубических уравнений вида Xs + X2 = а. В них содержатся некоторые превосходные приближения: для j/2 дается 1 ^ ^]/" 2= 1,4142, 1 А= 1,4167) для = 0,7071 дается - = 0,7083.

Видимо квадратные корни определялись по формуле наподобие следующей:

Что касается значения я, в большинстве случаев таблички обходятся библейским я = 3. Есть указания на то, что применялись и лучшие приближения, дававшие для я значение 3 -g-2).

Уравнение + х2 = а появляется в задаче, в которой требуется решить систему уравнений xyz + ху = 1 -f- g-, у = —- х, z = 12а;, что сводится к уравнению

(12я)з _|_ (12а?)2 = 252

или, согласно таблицам, \2х — 6.

В клинописных текстах есть задачи и на сложные проценты. Например, ставится вопрос, за какое время удвоится сумма денег, ссуженная под 20 (годовых) процентов. Это приводит к уравнению (1 -П =2, которое решается

1) O. Neugebauer, Exact Sciences in Antiquity, Univ. of Pennsylvania Bicentennial Conference, Studies in Civilization, Philadelphia, 1941, т. 13—29.

2) E. M. Bruins et M. Rutten, Textes mathématiques de Suse, Paris, 1961, стр. 18.

так: сначала замечают, что 3 <^ х <^ 4, а затем применяют линейную интерполяцию. В наших обозначениях

что дает для х значение 4 года минус (2, 33, 20) месяцев.

По-видимому, одной из особых причин, вызвавших развитие алгебры примерно около 2000-го года до н. э., было то, что новые семитские правители Вавилона использовали прежнее шумерийское письмо. Это письмо, как иероглифы, было набором идеограмм — каждый знак обозначал отдельное понятие. Семиты воспользовались им для фонетической записи слов своего языка и вместе с тем применяли некоторые знаки в их прежнем значении. Следовательно, эти знаки по-прежнему выражали понятия, но произносились иначе. Такие идеограммы были вполне пригодны для алгебраического языка, подобно нашим современным знакам + , —, • которые в действительности тоже идеограммы. В вавилонских школах администраторов этот алгебраический язык стал частью учебной программы на много поколений и, хотя власть переходила в руки новых правителей — касситов, ассирийцев, мидян, персов, эта традиция оставалась в силе.

Самые сложные задачи относятся к более поздним периодам в истории древней цивилизации, а именно к персидской эпохе и эпохе Селевкидов. В те времена Вавилон уже не был политическим центром, но в течение ряда столетий он оставался интеллектуальной столицей обширной империи, в которой вавилоняне смешались с персами, греками, евреями, индусами и многими другими народами. Но во всех клинописных текстах видна непрерывность традиции, что, вероятно, указывает на местную непрерывность развития.

Можно быть уверенным в том, что этому развитию способствовало взаимно обогащавшее общение с другими цивилизациями. Мы знаем, что вавилонская астрономия этого периода оказала влияние на греческую и что вавилонская математика повлияла на вычислительную арифметику. Есть основания полагать, что вавилонские школы писцов были посредниками между наукой Греции и наукой Индии. Мы все еще мало осведомлены о роли персидской и селевкидской Месопотамии в распространении древневосточной и античной астрономии и математики,

но все доступные данные указывают на то, что эта роль должна была быть значительной. Средневековая арабская и индийская наука опиралась не только на традиции Александрии, но и на традиции Вавилона.

6. Во всей математике Древнего Востока мы нигде не находим никакой попытки дать то, что мы называем доказательством. Нет никаких доводов, мы имеем только предписания в виде правил: «делай то-то, делай так-то». Мы не знаем, как там были получены теоремы, например, как вавилонянам стала известна теорема Пифагора. Было сделано несколько попыток объяснить, как египтяне и вавилоняне получали свои результаты, но все они являются только предположениями. Нам, воспитанным на строгих выводах Евклида, весь этот восточный способ рассуждения кажется на первый взгляд странным и крайне неудовлетворительным. Но такое впечатление исчезает, когда мы уясняем себе, что большая часть математики, которой мы обучаем современных инженеров и техников, все еще строится по принципу «делай то-то и делай так-то», без большого стремления к строгости доказательств. Алгебру во многих средних школах все еще изучают не как дедуктивную науку, а скорее как набор правил. Видимо, восточная математика никогда не могла освободиться от тысячелетнего влияния технических проблем и проблем управления, для пользы которых она и была создана.

7. Вопрос о влиянии Греции, Китая и Вавилона имеет глубокое и определяющее значение для изучения древнеиндийской математики. Коренные ученые Индии и Китая прошлого, а иногда и настоящего времени обыкновенно подчеркивали большую древность их математики, но у них нет математических текстов, которые можно было бы надежно отнести ко времени до н. э. Самые древние индийские тексты относятся, пожалуй, к первым столетиям н. э., самые древние китайские тексты такого же или даже более позднего происхождения. Установлено, что древние индусы пользовались десятичной системой счисления без позиционных обозначений. Такую систему составляли так называемые числа Брахми, имевшие особые знаки для каждого из чисел 1, 2, 3, 9, 10; 20, 30, 40, 100; 200, 300, 1000, 2000, ... Эти символы — по меньшей мере эпохи короля Ашока (300 лет до н. э.). Затем мы имеем так называемые «Сульвасутры», часть которых давности 500 лет до н. э. или еще древнее; в них изло-

жены математические правила древнего местного происхождения. Мы находим эти правила среди обрядовых предписаний, некоторые из которых относятся к построению алтарей. Мы имеем здесь рецепты для построения квадратов и прямоугольников, выражения для зависимости между диагональю и стороной квадрата и для равновеликости квадратов и кругов. Встречаются частные случаи георемы Пифагора и некоторые любопытные приближения с помощью «основных» дробей, вроде такого (в наших обозначениях):

То любопытное обстоятельство, что эти результаты «Сульвасутр» не встречаются в более поздних индийских трудах, показывает, что мы еще не можем говорить применительно к индийской математике о той непрерывности традиции, которая столь типична для математики Египта или Вавилона, и возможно, что в столь большой стране, как Индия, такой непрерывности и не было. Могли быть различные традиции, связанные с различными школами. Мы знаем, например, что джайнизм, религия столь же древняя, как буддизм (около 500 г. до н. э.), поощрял математические исследования, и в священных книгах джайнизма обнаружено значение для я

jt^I/ÏÔ1).

8. При изучении древнекитайской математики значительным препятствием является отсутствие переводов, хотя мы благодаря книгам Миками и Нидема хорошо осведомлены о положении математики в Древнем Китае. Тем, кто знает русский язык, доступен значительно больший материал, имеется даже русский перевод классического математического произведения «Девять книг (разделов) о математическом искусстве» (Цзю чжан суань шу). Как эта книга, так и «Чжоу-би» в своем нынешнем виде дошли

1) В. Datta, The Jaina School of Mathematics, Bulletin Calcutta Math. Soc. 21 (1929), 115-146.

до нас от периода династии Хань (206 г. до н. э. — 220 г. н. э.), но в них, конечно, может содержаться материал значительно более раннего происхождения. Книга Чжоуби только частично посвящена математике, но интересно, что в ней рассматривается теорема Пифагора. Напротив, «Девять книг (разделов)» — чисто математическое произведение, которое вполне характерно для древнекитайской математики следующего тясячелетия, да и более поздней.

Очень стары также некоторые диаграммы из книг периода династии Хань, например из «Книги перемен» (И цзинь, VIII — VII вв. до н. э.). В числе их следующий, связанный со многими легендами, магический квадрат (ло шу):

4 9 2

3 5 7

8 1 6

Система счисления у китайцев всегда была десятичной, и уже во втором тысячелетии до нашей эры мы встречаемся с числами, записанными с помощью девяти символов в позиционной системе. Такой способ записи получил права гражданства в период династии Хань или еще раньше. Девять знаков изображались с помощью бамбуковых палочек, по-разному размещенных; например, J_ ~j]~ = ~jjjj~ обозначало число 6729, которое именно таким образом и записывалось. Арифметические действия выполнялись с помощью счетных досок; пропуски, т. е. пустые места, обозначали нуль (специальный знак для нуля появляется только в тринадцатом столетии н. э., хотя он, возможно, и старше).

При календарных расчетах применялось нечто вроде шестидесятеричной системы, что можно сопоставить с сочетанием двух связанных друг с другом зубчаток, из которых одна имеет двенадцать зубьев, а другая — десять. Так, число шестьдесят стало единицей высшего разряда, «периодом» («Катэйский период» в одном из стихотворений Теннисона).

Математика «Девяти книг» состоит в основном из задач и общих указаний как их решать. Эти задачи возникают из практических применений арифметики и сводятся к алгебраическим уравнениям с числовыми коэффициентами. Вычисляются и квадратные, и кубические корни, например число 751 у определяется как корень квадрат-

ный из 564 752у. При вычислениях с окружностью принимается я — 3. Ряд задач сводится к системам линейных уравнений, например к системе

которая записывается «матрицей» своих коэффициентов. Решение этой системы приводится в таком виде, которое мы теперь назвали бы «матричным преобразованием». Эти матрицы содержат и отрицательные числа, здесь впервые появляющиеся в истории математики.

Китайская математика занимает особое положение, — практически до последних лет мы видим в ней непрерывность традиции, так что мы можем выяснить, каково ее место в обществе, более полно, чем в случае египетской и вавилонской математики, принадлежащих исчезнувшим цивилизациям.

Например, мы знаем, что кандидаты, подвергавшиеся экзамену, должны были знать «Десять классиков» в точно определенном объеме и что успех на экзамене определяется в основном умением точно цитировать тексты на память. Таким образом, традиционное учение передавалось из поколения в поколение с обременительной тщательностью. В такой застойной культурной атмосфере новые открытия стали чрезвычайно редким явлением, а это опять-таки обеспечивало неизменность математической традиции. Такая традиция могла передаваться в течение тысячелетий и могла пострадать только иногда, при больших исторических потрясениях.

В Индии существовали аналогичные условия, и там мы находим даже такие математические тексты, которые написаны стихотворными размерами с целью облегчить запоминание. Нет никаких особых причин считать, что приемы, которыми пользовались в древнем Египте и в Вавилоне, могли значительно отличаться от практики Индии и Китая.

Чтобы прервать процесс полного окостенения математики, должна была возникнуть цивилизация совершенно другого рода. Математика достигла, наконец, уровня настоящей науки благодаря тому новому мировоззрению, которое характерно для цивилизации греков.

ЛИТЕРАТУРА

The Rhind Mathematical Papyrus, изд. Т. E. Peet (London, 1923).

The Rhind Mathematical Papyrus, изд. A. B. Ghace, L. Bull, H. P. Manning, R. G. Arсhіbald (2 тома, Oberlin Ohio 8, 1927—1929).

В этой труде содержится обширная библиография по египетской и вавилонской математике. Библиография, преимущественно по древней астрономии, имеется в книге О. Нейгебауера.

Mathematischer Papyrus des staatlichen Museums der schönen Künste in Moskau, изд. B.B. Струве и Б. А. Тураев (Berlin, 1930).

О. Neugebauer, Vorlesungen über Geschichte der antiken mathematischen Wissenschaften, I. Vorgriechische Mathematik (Berlin, 1934)1).

O. Neugebauer, Mathematische Keilschrift — Texte (3 тома, Berlin, 1935—1937).

O. Neugebauer, A. Sachs, Mathematical Cuneiform Texts (New Haven, 1945).

E. M. Bruins, M. Rutten, Textes mathématiques de Suse (Paris, 1961).

F. Thureau-Dangin, Sketch of a history of the sexagesimal system, Osiris 7 (1939), 95—141.

F. Thureau-Dangin, Textes mathématiques babyloniens (Leiden, 1938).

М. Я. Выгодский, Арифметика и алгебра в древнем мире, изд. 2-е, «Наука», 1967.

А. А. Вайман, Шумеро-вавилонская математика, III—I тысячелетия до н.э., М., 1961.

Экономическая документация использована как источник для истории математики в древнем Двуречье в работах:

Г. С. Раздымаха, Физико-математические знания в древних рабовладельческих государствах Двуречья по документам хозяйственной отчетности, Наукові записки Кам'янець-Подільского пед. ін-ту 6 (1958), 125—191.

Г. С. Раздимаха, Математика Дворіччя за економічною документацією. Історико-матем. збірник, 2 (1961), 128—147.

Г. С. Раздимаха, Проблеми межування землі у вавілонській геометрії. Там же, 3 (1962), 75—95.

О. Нейгебауер и Ф. Тюро-Данжен по ряду пунктов расходятся в истолковании вавилонской математики. По этому вопросу см.

S. Gandz, Conflicting Interpretations of Babylonian Mathematics, Isis 31 (1940), 405—425.

Хороший обзор догреческой математики см. у R. G. Archibald, Mathematics before the Greeks, Science 71 (1930), 109—121, 342, см. также 72 (1930), 36.

D. E. Smith, Algebra of 4000 Years Ago, Scripta mathematica 4 (1936), 111—125.

1) Русский перевод: О. Нейгебауер, Лекции по истории античных математических наук, т. 1, Догреческая математика, Предисловие и примечания С. Я. Лурье, М.—Л., 1937,

К. Vogel, Vorgriechische Mathematik, I, II (Hannover und Paderborn, 1958 — 1959).

Сведения об индийской математике см. в журнале Bulletin of the Calcutta Mathematical Society и у В. Datta, A. N. Singh, History of Hindu Mathematics (2tt., Lahore, 1935—1938); рецензия О. Neugebauer'a в Quellen und Studien, Bd. 3 В (1936), 263—271.

L. V. Gurjar, Ancient Indian Mathematics and Vedha-Poona, Vidwans, 1947.

G. R. Kaye, Indian Mathematics, Isis 2 (1919), 326—356.

A. Seidenberg, The ritual origin of geometry, Arch, for hist, of exact sc. 1 (1962), 408—527.

C. Mülle r, Die Mathematik der Sülvasütra, Abhandlungen, math. Seminar Univ. Hamburg 7 (1929), 173—204.

О японско-китайской математике см.:

I. Mikami, The Development of Mathematics in China and Japan, Leipzig, 1913.

D. E. Smith, I. Mikami, A History of Japanese Mathematics, Chicago, 1914.

Древнекитайский трактат «Математика в девяти книгах», перевод, вступительная статья и примечания Э.И. Березкиной, Историко-математические исследования X (1957) 425—584.

См. А. Е. Раик, О вычислении некоторых объемов в древнекитайском трактате «Математика в девяти книгах», Историко-математические исследования XIV (1961).

Книга I = Ching, И цзинь, то есть «Книга перемен», имеется в английском переводе R. Wilhelm'a (New York, 1950) и в русском переводе 10. К. Шуцкого (Китайская классическая «Книга перемен», М., 1960).

Третий том запланированного в семи томах труда J. Needham, Science and civilization in China посвящен точным наукам в Китае (Cambridge, 1959).

Некоторые соображения относительно китайской математики содержатся в работе А. P. Juschkewitch and В. A. Rosenfeld, Die Mathematik der Länder des Ostens im Mittelalter, Beiträge zur Geschichte der Naturwissenschaft, Hrsg. von G. Harig, B. 1960.

См. также указанную на стр. 74 книгу О. Нейгебауера и литературу на стр. 100.

О природе восточного общества см. литературу к гл. IV, а также:

К. А. Wittfogel, Die Theorie der orientalischen Gesellschaft, Zeitschrift für Sozialforschung 7 (1938), 90—122.

Также Le mode de production asiatique, La pensée 114 (1964), 3-73.

J. Needham, Science and Society in East and West, Science and Society 28 (1964), 385—408.

Глава III

ГРЕЦИЯ

1. В течение последних столетий второго тысячелетия до н. э. в бассейне Средиземного моря и в прилегающих к нему областях очень многое изменилось в экономике и в политике.

Бронзовый век сменился тем нашим веком, который мы зовем веком железа, и происходило это в смутное время переселений и войн. Лишь немногие частности известны нам об этой революционной эпохе, но мы знаем, что к ее завершению, примерно около 900 г. до н. э., уже не было царства Миноса и Хеттской державы, значительно слабее стали Египет и Вавилон и на исторической сцене появились новые народы. Наиболее выдающимися среди них были евреи, ассирийцы, финикийцы и греки. Вытеснение бронзы железом означало не только переворот в военном деле, но и ускорение роста экономики благодаря удешевлению средств производства, и это сделало возможным более деятельное участие широких слоев общества в делах экономического и общественного значения. Это сказалось и в двух важных новшествах: в замене неудобного письма Древнего Востока легко доступным алфавитом и во введении чеканной монеты, что послужило оживлению торговли. Наступило то время, когда культурные ценности уже не могли дальше оставаться исключительным достоянием восточного чиновничества.

Деятельность «морских разбойников», — так египетские тексты характеризуют некоторые переселявшиеся народы, — первоначально сопровождалась немалыми культурными потерями. Критская цивилизация исчезла, египетское искусство пришло в упадок, наука Вавилона и Египта окостенела на столетия. Мы не имеем никаких

математических текстов этого переходного периода. Когда положение снова стало устойчивым, Древний Восток оправился, оставаясь в основном верным традиции, но было расчищено место для цивилизации целиком нового склада — греческой цивилизации.

Те города, которые возникли на побережье Малой Азии и в самой Греции, уже не были административными центрами страны оросительного земледелия. Это были торговые города, где феодалы-землевладельцы старого уклада были обречены на поражение в борьбе, которую им довелось вести с независимым, обретшим политическое самосознание классом купцов. В течение седьмого и шестого столетий до н. э. это купечество взяло верх, но ему пришлось в свою очередь вступить в борьбу с мелкими торговцами и ремесленниками, с демосом.

Итогом был расцвет греческого полиса, самоуправляющегося города-государства, — новое социальное явление, вполне отличное от ранних городов-государств Шумера и других стран Востока. Наиболее значительные из этих городов-государств сложились в Ионии, на анатолийском берегу. Их растущая торговля связала их со всем побережьем Средиземного моря, с Двуречьем, Египтом, со Скифией и даже более далекими странами. Долгое время ведущее место занимал Милет. Но и города на других берегах: Коринф, позже Афины в собственно Греции, Кротон и Гиарент в Италии, Сиракузы в Сицилии — становились богаче и значительнее. Новый общественный уклад создал новый тип человека. Купец-путешественник никогда еще не пользовался такой независимостью, и он знал, что она добыта в упорной и жестокой борьбе. Он никак не мог разделять устоявшиеся воззрения Востока. Он жил в период географических открытий, сравнимых только с открытиями западноевропейского шестнадцатого столетия, он не признавал ни абсолютного монарха, ни власти, предстающей в виде охранительного божества. А кроме того он мог пользоваться известным досугом благодаря своему богатству и труду рабов. Он мог поразмыслить об окружающем его мире. Отсутствие вполне установившейся религии привело многих обитателей этих прибрежных городов к мистицизму, но это способствовало и противоположному — росту рационализма и научному подходу.

2. Современная математика родилась в этой атмосфере ионийского рационализма — математика, которая ставила

не только восточный вопрос «как?», но и современный, научный вопрос «почему?». Согласно преданию отцом греческой математики является милетский купец Фалес, в первой половине шестого века посетивший Вавилон и Египет. Но если он даже целиком легендарная фигура, то за нею стоит нечто вполне реальное. Это — образ, соответствующий тем условиям, в которых закладывались основы не только современной математики, но и всей современной науки и философии. Первоначально греки занимались математикой, имея одну основную цель — понять, какое место занимает во вселенной человек в рамках некоторой рациональной схемы. Математика помогла найти порядок в хаосе, связать идеи в логические цепочки, обнаружить основные принципы. Она была наиболее теоретической из всех наук.

Несомненно, что греческие купцы познакомились с восточной математикой, прокладывая свои торговые пути. Но люди Востока почти не занимались теорией, и греки быстро обнаружили это. Почему в равнобедренных треугольниках два угла равны? Почему площадь треугольника равна половине площади прямоугольника при одинаковых основаниях и высотах? Такие вопросы естественно возникали у людей, ставивших сходные вопросы в области космологии, биологии и физики.

К сожалению, у нас нет первоисточников, описывающих ранний период развития греческой математики. Уцелевшие рукописи относятся к эпохе христианства и ислама и их только в малой мере дополняют заметки в египетских папирусах несколько более раннего периода. Все же классическая филология дала возможность восстановить тексты, которые восходят к четвертому столетию до н. э. и далее, и мы благодаря этому располагаем надежными изданиями Евклида, Архимеда, Аполлония и других великих математиков античности. Но в этих текстах перед нами уже вполне развитая математическая наука, и даже с помощью позднейших комментариев по ним трудно проследить ход исторического развития. Об эпохе формирования греческой математики приходится судить, основываясь лишь на небольших фрагментах, приводимых в более поздних произведениях, и на отдельных замечаниях философов и других не строго математических авторов. Очень много остроумия и труда было вложено в критику текстов, благодаря чему удалось разъяснить

немало темных мест в этом раннем периоде. Эта работа, проделанная такими исследователями, как Поль Таннери (Tannery), Хис (Т. L. Heath), Цейтен (H. G. Zeuten), Франк (Е. Frank) и др., позволяет нам дать в известной мере связную, хотя в значительной части предположительную картину греческой математики в эпоху ее формирования.

3. В шестом столетии до н. э. на развалинах Ассирийской империи возникла новая обширная восточная держава — Персия Ахеменидов. Она завоевала города Анатолии, но общественный строй греческой метрополии пустил уже глубокие корни и его нельзя было сокрушить. Персидское нашествие было отражено в исторических битвах при Марафоне, Саламине и Платее. Главным результатом греческой победы было расширение и экспансия Афин. Здесь во второй половине пятого столетия, при Перикле, влияние демократических элементов все время возрастало. Они были движущей силой экономической и военной экспансии, и около 430 г. они сделали Афины не только центром Греческой империи, но и центром новой и любопытной цивилизации — золотого века Греции.

В обстановке общественной и политической борьбы философы и наставники излагали свои теории и заодно новую математику. Впервые в истории группа критически мыслящих, «софистов», менее скованная традицией, чем какая-либо иная предшествовавшая ей группа ученых, стала рассматривать проблемы математического характера скорее с целью уяснения их сути, чем ради пользы.

Так как такой подход позволил софистам дойти до основ точного мышления вообще, было бы чрезвычайно поучительно познакомиться с их рассуждениями. К несчастью, от этого периода дошел лишь один цельный математический фрагмент, принадлежащий ионийскому философу Гиппократу из Хиоса. Математические рассуждения в этом фрагменте на весьма высоком уровне, и достаточно типично то, что в нем рассматривается совсем «непрактический», но теоретически существенный вопрос о так называемых луночках — плоских фигурах, ограниченных двумя круговыми дугами.

Этот вопрос — найти площадь таких луночек, у которых площадь рационально выражается через диаметр, — имеет прямое отношение к центральной проблеме греческой математики — квадратуре круга. Анализ этой проблемы

у Гиппократа1) показывает, что у математиков золотого века Греции была упорядоченная система плоской геометрии, в которой в полном объеме применялся принцип логического заключения от одного утверждения к другому («апагоге»). Были заложены основы аксиоматики, на что указывает название приписываемой Гиппократу книги «Начала» («Stoicheia»), название всех греческих аксиоматических трактатов, включая трактат Евклида. Гиппократ исследовал площади плоских фигур, ограниченных как прямыми линиями, так и дугами окружности. Он учит, что площади подобных круговых сегментов относятся, как квадраты стягивающих их хорд. Он знает теорему Пифагора, а также соответствующее неравенство для непрямоугольных треугольников. Весь его трактат уже мог бы быть отнесен к евклидовой традиции, если бы он не был старше Евклида более чем на столетие.

Проблема квадратуры круга — одна из «трех знаменитых математических проблем античности», которые в этот период стали предметом исследования. Эти проблемы таковы:

1) Трисекция угла, то есть разделение любого заданного угла на три части.

2) Удвоение куба, то есть определение ребра такого куба, который имел бы объем, вдвое больший объема заданного куба (так называемая делийская задача).

3) Квадратура круга, то есть нахождение такого квадрата, площадь которого была бы равна площади данного круга.

Значение этих проблем в том, что их нельзя точно решать геометрически с помощью конечного числа построений прямых линий и окружностей, — это можно сделать только приближенно, — вследствие чего эти проблемы стали средством для проникновения в новые области математики. В связи с этими проблемами были открыты конические сечения, некоторые кривые третьего и четвертого порядка и трансцендентная кривая, названная квадратрисой. Мы не должны с предубеждением подходить

1) Исследование этого вопроса средствами современной математики см. в работах E. Landau, Berichte Berliner Math. Ges. 2 (1903), 1—6; H. Г. Чеботарева, Собрание сочинений, т. 1, М.-Л. (1949), 193—207; А. В. Дороднова, ДАН СССР 58 (1947), 965—968. См. также T. Dantzig, The Bequest of the Greeks (New York, 1955), Ch. 10.

к вопросу о значении этих проблем из-за того, что иной раз они появлялись в виде анекдота (дельфийские пророчества и т. п.). Не раз случалось, что основной важности вопросы излагали в виде анекдота или головоломки, — вспомним о яблоке Ньютона, о клятвопреступничестве Кардано, о винных бочках Кеплера. Математики разных эпох, включая нашу, показали, какая связь существует между этими греческими проблемами и современной теорией уравнений, связь, затрагивающая вопросы об областях рациональности, алгебраические числа и теорию групп.

4. Вероятно, от группы софистов, которые в некоторой степени были связаны с демократическим движением, отмежевалась другая группа философов с математическими интересами, примыкавшая к аристократическим объединениям. Они называли себя пифагорейцами в честь основателя этой школы Пифагора, который, предположительно, был мистиком, ученым и государственным деятелем аристократического толка. Софисты в большинстве подчеркивали реальность изменений, пифагорейцы стремились найти в природе и обществе неизменное. В поисках вечных законов вселенной они изучали геометрию, арифметику, астрономию и музыку («квадривий»). Самым выдающимся их представителем был Архит из Тарента, который жил около 400 г. до н. э. и школе которого, если мы примем гипотезу Франка (Е. Frank), следует приписать большую часть «пифагорейской» математики. Арифметика пифагорейцев была в высшей степени спекулятивной наукой и имела мало общего с современной ей вычислительной техникой Вавилона. Числа разбивались на классы: четные, нечетные, четно-четные, нечетно-нечетные, простые и составные, совершенные, дружеские, треугольные, квадратные, пятиугольные и т. д. Некоторые из наиболее интересных результатов получены для «треугольных чисел», связывающих арифметику и геометрию:

Наш термин «квадратные числа» идет от построений пифагорейцев:

Сами фигуры значительно старше, ведь некоторые из них мы находим в неолитической керамике. Пифагорейцы же исследовали их свойства, внесли сюда налет своего числового мистицизма и сделали числа основой своей философии вселенной, пытаясь свести все соотношения к числовым» («все есть число»). Точка была «помещенной единицей»1).

Пифагорейцам были известны некоторые свойства правильных многоугольников и правильных многогранников.

Они показали, как заполнить плоскость системой правильных треугольников, или квадратов, или правильных шестиугольников, а пространство — системой кубов. Впоследствии Аристотель пытался дополнить это неверным утверждением, что пространство можно заполнить правильными тетраэдрами2). Возможно, что пифагорейцы знали правильный октаэдр и додекаэдр, — последнюю фигуру потому, что находимые в Италии кристаллы пирита имеют форму додекаэдра, а изображения таких фигур в орнаментах или как магический символ относятся еще ко временам этрусков. Они восходят к кельтским племенам Центральной Европы начала эпохи железного века (ок. 900 г. до н. э.) и позже (пирит был источником железа)3).

Что касается теоремы Пифагора, пифагорейцы приписывали ее своему наставнику и передавали, что он принес в жертву богам сто быков в знак благодарности. Мы уже видели, что эта теорема была известна в Вавилоне времен Хаммурапи, но весьма возможно, что первое общее доказательство было получено в школе пифагорейцев.

Наиболее важным среди приписываемых пифагорейцам открытий было открытие иррационального в виде несоизмеримых отрезков прямой линии. Возможно, что оно было сделано в связи с исследованием геометрического среднего а :Ь = b : с, величиной, которая интересовала пифагорейцев и служила символом аристократии. Чему равно геометрическое среднее единицы и двойки, двух священных символов? Это вело к изучению отношения сторон и диагонали квадрата, и было обнаружено, что такое отношение не выражается «числом», то есть тем, что мы теперь

1) Об арифметике пифагорейцев см. В. L. van der Waerden, Math. Annalen 120 (1948), 127—153 и 676—700.

2) D. J. Struik, Neuw. Arch. v. Wiskunde 15 (1925), 121—137.

3) F. Lindemann, Sitzler Bayr. Akad. Wiss., München, 26 (1897), 625—758; см. там же, 63 (1934), 265—275.

называем рациональным числом (целым числом или дробью), а только такие числа допускались пифагорейской арифметикой.

Допустим, что это отношение равно р: q, где целые числа р и q мы всегда можем считать взаимно простыми. Тогда р2 — 2q2, следовательно, р2, а с ними р — четное число, и пусть р = 2г. Тогда должно быть нечетным, но, так как q2 = 2г2у оно должно быть также четным. Такое противоречие разрешалось не расширением понятия числа, как на Востоке или в Европе эпохи Возрождения, а тем, что теория чисел для таких случаев отвергалась, синтез же искали в геометрии.

Это открытие, нарушившее непринужденную гармонию арифметики и геометрии, вероятно, было сделано в последние десятилетия пятого столетия до н. э. Сверх того, обнаружилась другая трудность — обнаружилась в соображениях о реальности изменений, и этим философы занимаются до наших дней. Открытие этой новой трудности приписывают Зенону Элейскому (около 450 г. до н. э.), ученику Парменида, философа-консерватора, который учил, что разум постигает только абсолютное бытие и что изменение есть только кажущееся. Это приобрело математическое значение тогда, когда в связи с такими задачами, как определение объема пирамиды, стали заниматься бесконечными процессами. Здесь парадоксы Зенона оказались в противоречии с некоторыми давними и интуитивными представлениями относительно бесконечно малого и бесконечно большого. Всегда считали, что сумму бесконечно многих величин можно сделать сколь угодно большой, даже если каждая величина крайне мала (со хе = = оо), а также что сумма конечного или бесконечного числа величин размера нуль равна нулю (n х 0 = 0, со х 0 = 0). Критика Зенона была направлена против таких представлений, и его четыре парадокса вызвали такое волнение, что и сейчас можно наблюдать некоторую рябь. Эти парадоксы дошли до нас благодаря Аристотелю и известны под названиями Ахиллес, Стрела, Дихотомия (деление на два) и Стадион. Они сформулированы так, чтобы подчеркнуть противоречия в понятиях движения и времени, но это вовсе не попытка разрешить такие противоречия.

Парадоксы Ахиллес и Дихотомия, которые мы изложим своими словами, разъяснят нам суть этих рассуждений.

Ахиллес. Ахиллес и черепаха движутся в одном направлении по прямой. Ахиллес куда быстрее черепахи, но, чтобы ее нагнать, ему надо сначала пройти точку Р, из которой черепаха начала движение. Когда Ахиллес попадет в Р, черепаха продвинется в точку Р1. Ахиллес не может догнать черепаху, пока не попадет в Ръ но черепаха при этом продвинется в новую точку Р2. Если Ахиллес находится в Р2, черепаха оказывается в новой точке Р3 и т. д. Следовательно, Ахиллес никогда не может догнать черепаху.

Дихотомия. Допустим, что я хочу пройти от А до В по прямой. Чтобы достичь В, мне надо сначала пройти половину (АВХ) расстояния AB, чтобы достичь В1ч я должен сначала достичь В2 на полпути от А до Вх, и так до бесконечности, так что движение никогда не сможет начаться.

Аргументы Зенона показали, что конечный отрезок можно разбить на бесконечное число малых отрезков, каждый из которых — конечной длины. Они показали также, что мы встречаемся с затруднениями при объяснении того, каков смысл заявления, что прямая «состоит» из точек. Весьма вероятно, что сам Зенон не имел представления о том, к каким математическим выводам приводят его рассуждения. Проблемы, приведшие к парадоксам Зенона, неизменно возникают в ходе философских и теологических дискуссий. Мы в них видим проблемы, связанные с отношением потенциальной и актуальной бесконечности. Впрочем, Поль Таннери1) считал, что рассуждения Зенона прежде всего были направлены против пифагорейского представления пространства как суммы точек («точка есть единица положения»). Как бы дело не обстояло, несомненно, что рассуждения Зенона оказывали влияние на математическую мысль многих поколений. Его парадоксы можно сопоставить с теми, которыми пользовался в 1734 г. епископ Беркли, показывая, к каким логическим нелепостям может привести плохая формулировка положений математического анализа, но не предлагая со своей стороны лучшего обоснования.

После открытия иррационального соображения Зенона стали даже еще больше беспокоить математиков. Возможна ли математика как точная наука? Таннери2) полагал, что мы можем говорить о «настоящем логическом

1) P. Tannery, La géométrie grecque, Paris, 1887, 217— 261. Другого мнения В. L. van der Waerden, Math. Annalen 117 (1940), 141 — 161.

2) P. Tannery, La géométrie grecque, Paris, 1887, стр. 98. Таннери там рассматривает только крах древней теории отношений в результате открытия несоизмеримых отрезков.

скандале» — о кризисе греческой математики. Если дело обстояло именно так, то этот кризис начинается под конец Пелопонесской войны, закончившейся падением Афин (404 г. до н. э.). Тогда мы можем обнаружить связь между кризисом в математике и кризисом общественной системы, так как падение Афин означало смертный приговор владычеству рабовладельческой демократии и начало нового периода главенства аристократии — кризис, который был разрешен уже в духе новой эпохи.

5. Для этого нового периода греческой истории характерно то, что растет богатство определенной части правящих классов и равным образом растут нищета и необеспеченность бедняков. Правящие классы все больше средств для существования получали за счет рабского труда. Это давало им досуг для занятий искусством и наукой, но заодно все более усиливало их нерасположение к физическому труду. Эти досужие господа с презрением относились к труду рабов и ремесленников, и успокоения от забот они искали в занятиях философией и этикой индивидуума. На таких позициях стояли Платон и Аристотель. В «Республике» Платона (написанной, вероятно, около 360 г. до н. э.) мы находим самое четкое выражение идеалов рабовладельческой аристократии. «Стражи» в республике Платона должны изучать «квадривиум», состоящий из арифметики, геометрии, астрономии и музыки, для того чтобы понимать законы вселенной.

Такая интеллектуальная атмосфера (по крайней мере, в своем раннем периоде) была благоприятна для обсуждения основ математики и для умозрительной космогонии.

По меньшей мере три больших математика этого периода были связаны с Академией Платона, а именно Архит, Теэтет (ум. в 369 г.) и Евдокс (ок. 408—355). Теэтету приписывают ту теорию иррациональных, которая изложена в десятой книге «Начал» Евклида. Имя Евдокса связано с теорией отношений, которую Евклид дает в своей пятой книге, а также с так называемым методом исчерпывания, который позволил строго проводить вычисление площадей и объемов. Это означает, что именно Евдокс преодолел «кризис» в греческой математике и что его строгие формулировки помогли определить направление развития греческой аксиоматики и, в значительной мере, всей греческой математики.

Часть страницы из первого издания «Начал» Евклида, 1482 г.

Евдоксова теория отношений покончила с арифметической теорией пифагорейцев, применимой только к соизмеримым величинам. Это была чисто геометрическая теория, изложенная в строгой аксиоматической форме, и она сделала излишними какие-либо оговорки относительно несоизмеримости или измеримости рассматриваемых величин.

Типичным является «Определение V» книги V «Начал» Евклида: Говорят, что величины находятся в том же отношении: первая ко второй и третья к четвертой, если равнократные первой и третьей одновременно больше, или одновременно равны, или одновременно меньше равнократных второй и четвертой, каждая каждой при какой бы то ни было кратности, если взять их в соответственном порядке.

Современная теория иррационального числа, построенная Дедекиндом и Вейерштрассом, почти буквально следует ходу мыслей Евдокса, но она открывает значительно более широкие перспективы благодаря использованию современных математических методов.

«Метод исчерпывания» (термин «исчерпывание» впервые появляется у Грегория из Сен-Винцента, 1647 г.) был ответом школы Платона Зенону. Метод обходил все ловушки бесконечно малого, попросту устраняя их, так как сводил проблемы, в которых могли появиться бесконечно малые, к проблемам, решаемым средствами формальной логики. Например, если требовалось доказать, что объем V тетраэдра равен одной трети объема Р призмы с тем же основанием и той же высотой, то доказательство состояло в том, чтобы показать абсурдность как допущения, что V ^> у Р, так и допущения, что V <^^Р. Для этого была введена аксиома, известная теперь как аксиома Архимеда1). Она лежит в основе теории отношений Евдокса, а именно: «о тех величинах говорят, что они находятся в некотором отношении одна к другой, которые могут, будучи умножены, превзойти одна другую» (Евклид V, Определение 4). Этот метод, который у греков и в эпоху Возрождения стал стандартным методом точного доказательства при вычислении площадей и объемов, был вполне строг, и его легко

1) Формулировка Архимеда (который явно приписывает ее Евдоксу) такова: «Если два пространства не равны, то можно столько раз сложить с собою разность, на которую большее превосходит меньшее, чтобы она превзошла любое конечное пространство» (в сочинении «О сфере и о цилиндре»).

превратить в доказательство, отвечающее требованиям современной математики.

Большим недостатком этого метода было то, что надо было заранее знать результат, чтобы его доказать, так что математик должен был сперва прийти к результату менее строгим путем, с помощью проб и попыток.

Есть ясные указания на то, что такого рода иной метод действительно использовался. Мы располагаем письмом Архимеда Эратосфену (около 250 г. до н. э.), которое было обнаружено лишь в 1906 г. и в котором Архимед описывает нестрогий, но плодотворный способ получения результатов. Это письмо известно под названием «Метод». С. Лурье выдвинул предположение, что в нем выражены взгляды математической школы, которая соперничала со школой Евдокса, возникла, как и та, в период кризиса и связана была с Демокритом, основателем атомистики. Согласно теории Лурье, школа Демокрита ввела понятие «геометрического атома». Предполагалось, что отрезок прямой, площадь, объем состоят из большого, но конечного числа неделимых «атомов». Вычисление объема тела было суммированием объемов всех «атомов», из которых состояло тело. Эта теория может показаться нелепой, если не вспомнить, что некоторые математики эпохи до Ньютона, особенно Виет и Кеплер, в сущности, пользовались такими же понятиями и считали окружность составленной из очень большого числа крошечных отрезков. Нет никаких данных за то, что в древности на такой основе был развит строгий метод, но наши современные понятия предела дали возможность превратить эту «атомную» теорию в теорию столь же строгую, как и метод исчерпывания. Даже в наши дни мы обычно пользуемся таким понятием «атома» при постановке математических задач в теории упругости, в физике или в химии, оставляя строгую теорию с переходами к пределу профессиональным математикам1).

Преимущество «атомного» метода перед методом исчерпывания в том, что первый облегчает нахождение

1) «Таким образом, поскольку ограничиваются первыми дифференциалами, небольшой участок кривой вблизи какой-либо точки можно считать прямолинейным и лежащим в одной плоскости, в течение короткого промежутка времени частицу можно считать движущейся с постоянной скоростью, а любой физический процесс — происходящим в неизменном темпе» (Филипс, Дифференциальные уравнения, 4-е изд., М., 1934),

новых результатов. Итак, у античности был выбор между строгим, но относительно бесплодным методом и методом с шатким обоснованием, но более плодотворным. Поучительно, что почти все классические авторы применяют первый метод. Это опять-таки может быть связано с тем, что математика стала коньком праздного класса, опиравшегося на рабство, равнодушного к изобретениям, с созерцательными интересами. Возможно и то, что в этом сказалась победа в области философии математики идеализма Платона над материализмом Демокрита.

6. В 334 г. до н. э. Александр Македонский начал завоевание Персии. В 323 г., когда он умер в Вавилоне, весь Ближний Восток был в руках греков. Полководцы Александра разделили между собой его завоевания, и со временем возникли три империи: Египет, под властью Птолемеев; Месопотамия и Сирия, под властью Селевкидов; Македония, под властью Антигона и его преемников. Даже в долине Инда были греческие князья. Началась эпоха эллинизма.

Прямым последствием походов Александра было то, что ускорилось проникновение греческой цивилизации в обширные районы восточного мира. Эллинизировались Египет, Месопотамия, часть Индии. Греки хлынули на Ближний Восток — торговцы, купцы, врачи, путешественники, наемники, искатели приключений. В городах — многие из них были недавно основаны, что было легко распознать по их эллинистическим названиям — военное дело и администрация были в руках греков, население было смешанным, греко-восточным. Но эллинизм был существенно городской цивилизацией. Село сохранило свое коренное население и свой традиционный жизненный уклад. В городах же старая культура Востока соприкасалась с импортированной цивилизацией греков и частично смешалась с нею, хотя всегда оставалось в силе глубокое различие этих двух миров. Монархи эпохи эллинизма следовали восточным обычаям, решали восточные проблемы управления, но поощряли греческое искусство, греческую литературу и греческую науку.

Так и греческая математика была пересажена в новую среду. Она сохранила многие свои прежние особенности, но испытала влияние тех административных и астрономических запросов, которые выдвигал Восток. Такое тесное соприкосновение греческой науки с Востоком оказалось

исключительно плодотворным, особенно в первые столетия. Фактически вся действительно творческая работа, которую мы называем «греческой математикой», была проделана за сравнительно короткий срок от 350 до 200 г. до н. э., от Евдокса до Аполлония, и даже достижения Евдокса известны нам только в том истолковании, в каком мы их находим у Евклида и Архимеда. Замечательно также, что наибольшего расцвета эта эллинистическая математика достигла в Египте Птолемеев, а не в Месопотамии, хотя в Вавилоне коренная математика была на более высоком уровне.

Возможно, что это было обусловлено центральным положением Египта той эпохи в средиземноморском мире. Его новая столица, Александрия, построенная на берегу моря, стала умственным и хозяйственным центром эллинистического мира. Вавилон же прозябал, как отдаленный центр караванных путей, да и вовсе сходил со сцены — его сменил Ктесифон-Селевкия, новая столица империи Селевкидов. Насколько нам известно, ни один из великих греческих математиков не был когда-либо связан с Вавилоном. В Антиохии и Пергаме, тоже городах Селевкидской империи, но более близких к Средиземному морю, были важные школы греческой науки. Однако коренная вавилонская астрономия и математика как раз при Селевкидах достигли своей высшей точки, и мы только теперь начинаем лучше понимать, насколько существенно было их воздействие на греческую астрономию. Кроме Александрии, были и другие центры математической науки, прежде всего Афины и Сиракузы. Афины стали образовательным центром, а Сиракузы дали Архимеда, величайшего греческого математика.

7. В эту эпоху появился профессиональный ученый — человек, посвящающий свою жизнь развитию науки и получающий за это вознаграждение. Некоторые из наиболее выдающихся представителей такой группы людей жили в Александрии, где Птолемеи построили большой научный центр, так называемый Музей с его знаменитой библиотекой. Там сберегали и умножали научное и литературное наследие греков и добились при этом значительных успехов. Одним из первых связанных с Александрией ученых был Евклид, который является одним из наиболее влиятельных математиков всех времен.

О жизни Евклида мы не имеем никаких достоверных данных. Вероятно, он жил во времена первого Птолемея (306—283), которому, согласно преданию, он заявил, что к геометрии нет «царской дороги». Его наиболее знаменитое и наиболее выдающееся произведение — тринадцать книг его «Начал» (Stoicheia), но ему приписывают несколько других меньших трудов. Среди последних так называемые «Данные» (Data), содержащие то, что мы назвали бы приложениями алгебры к геометрии, но все это изложено строго геометрическим языком. Мы не знаем, какая часть этих трудов принадлежит самому Евклиду и какую часть составляют компиляции, но во многих местах проявляется поразительная проницательность. Это первые математические труды, которые дошли до нас от древних греков полностью. В истории Западного мира «Начала» после Библии, вероятно, наибольшее число раз изданная и более всего изучавшаяся книга. После изобретения книгопечатания появилось более тысячи изданий, а до того эта книга, преимущественно в рукописном виде, была основной при изучении геометрии. Большая часть нашей школьной геометрии заимствована часто буквально из первых шести книг «Начал», и традиция Евклида до сих пор тяготеет над нашим элементарным обучением. Для профессионального математика эти книги все еще обладают неотразимым очарованием, а их логическое построение повлияло на научное мышление, пожалуй, больше, чем какое бы то ни было другое произведение.

Изложение Евклида построено в виде строго логических выводов теорем из системы определений, постулатов и аксиом. В первых четырех книгах рассматривается геометрия на плоскости. Исходя из наиболее простых свойств линий и углов, мы приходим здесь к равенству треугольников, равенству площадей, теореме Пифагора (I, 47), построению квадрата, равновеликого заданному прямоугольнику, к золотому сечению, кругу и к правильным многоугольникам. В книге V изложена евдоксова теория несоизмеримых в ее чисто геометрической форме, в книге VI эта теория применена к подобию треугольников. Такое введение подобия — на столь позднем этапе — составляет одно из наиболее существенных различий между изложением планиметрии у Евклида и современным. Приписать его следует тому значению, которое Евклид придавал новой евдоксовой теории несоизмеримых. Эти

геометрические рассмотрения завершаются в десятой книге, которую многие считают наиболее трудной у Евклида. В ней дана геометрическая классификация квадратичных иррациональностей и корней квадратных из них, то есть тех чисел, которые мы представляем в виде]/ а + УЬ.

В последних трех книгах излагается геометрия в пространстве. От телесных углов, объемов параллелепипедов, призм и пирамид мы доходим здесь до шара и до того, что по замыслу должно, видимо, венчать весь труд: исследования пяти правильных («Платоновых») тел и доказательства, что их существует только пять.

Книги VII — IX посвящены теории чисел, но не технике вычислений, а таким «пифагорейским» вопросам, как делимость целых чисел, суммирование геометрических прогрессий, и некоторым свойствам простых чисел. Тут мы встречаем и «алгоритм Евклида» для определения наибольшего общего делителя заданной системы чисел, и «теорему Евклида», что простых чисел бесконечно много (IX, 20). Особый интерес представляет теорема VI, 27: в ней идет речь о первой из дошедших до нас задач на максимум и доказывается, что из прямоугольников заданного периметра наибольшую площадь имеет квадрат. Пятый постулат книги I (неясно, в каком отношении находятся у Евклида «аксиомы» и «постулаты») эквивалентен так называемой «аксиоме параллельных», согласно которой через точку вне заданной прямой можно провести одну и только одну прямую, ей параллельную. Попытки сделать из этой аксиомы теорему заставили в девятнадцатом столетии полностью оценить мудрость Евклида: это утверждение было признано аксиомой и в связи с этим были открыты другие, так называемые неевклидовы геометрии.

Алгебраические выводы у Евклида приводятся исключительно в геометрическом виде. Выражение вида У А вводится как сторона квадрата с площадью А, произведение а - Ъ — это площадь прямоугольника со сторонами а и Ъ. Такой способ представления прежде всего был вызван теорией отношений Евдокса, в которой сознательно отвергались численные выражения для отрезков прямой и, таким образом, несоизмеримые рассматривались только геометрически: «числами» считались только целые числа или рациональные дроби.

Какую цель ставил себе Евклид, когда писал свои «Начала»? Мы можем с известной уверенностью полагать, что он хотел совместно изложить в одном труде три великих открытия недавнего прошлого: теорию отношений Евдокса, теорию иррациональных Теэтета и теорию пяти правильных тел, занимавших выдающееся место в космологии Платона. То были три типично «греческих» достижения.

8. Величайшим математиком эпохи эллинизма и всего древнего мира был Архимед (287—212), живший в Сиракузах, где он был советником царя Гиерона. Он — один из немногих ученых античности, которых мы знаем не только по имени: сохранились некоторые сведения о его жизни и личности. Мы знаем, что он был убит, когда римляне взяли Сиракузы, при осаде которых техническое искусство Архимеда было использовано защитниками города. Подобная склонность к практическим применениям представляется нам весьма необычной, если учесть, с каким презрением к этому относились современники Архимеда из школы Платона. Однако объяснение нам дает много раз цитированное сообщение Плутарха (в жизнеописании Марцелла), а именно: «Хотя эти изобретения заслужили ему репутацию сверхчеловеческой проницательности, он не снизошел до того, чтобы оставить какое-либо писанное сочинение по таким вопросам, а, считая низким и недостойным делом механику и искусство любого рода, если оно имеет целью пользу и выгоду, все свои честолюбивые притязания он основывал на тех умозрениях, красота и тонкость которых не запятнаны какой-либо примесью обычных житейских нужд».

[4] Такая характеристика Архимеда как математика, считавшего практические применения науки стоящими вне науки, в лучшем случае — третьестепенным занятием для ученого, весьма распространена. Однако основана она, в сущности, только на том, что пишет об Архимеде Плутарх, автор сравнительно поздний (II в. н. э.), она не подтверждается более ранними авторами и не согласуется с теми, вообще слишком скудными, данными, которыми мы располагаем об Архимеде. Для историка Полибия (II в. до н. э.) Архимед обязан славой своей инженерной деятельности, для Цицерона (I в. до н. э.) Архимед прежде всего астроном, архитектор Витрувий (конец I в. до н. э.) относит Архимеда к числу тех немногих гениев, которые «сумели с помощью расчетов и знания тайн природы сделать большие открытия в механике и гномонике...». Первые работы Архимеда — работы по механике, в его более поздних работах по математике достаточно сильно выражено вычислительное направление. Нет оснований отрывать математическое творчество Архимеда от его несомненно разносторонней и система-

тической инженерной деятельности. А Архимеда-теоретика следует признать исключительно ярким представителем «математической физики» своей эпохи. Нам представляется вполне обоснованной та характеристика, которую дает И. Н. Веселовский: «Если придерживаться фактов, то Архимед и начал свою научную деятельность как механик, и закончил ее как механик, и в математических его произведениях механика является могучим средством для получения математических результатов, да и сами эти результаты не являются бесплодно висящими в воздухе, а применяются для обоснования механических теорий»1).

Наиболее важный вклад Архимеда в математику относится к той области, которую теперь мы называем интегральным исчислением: теоремы о площадях плоских фигур и об объемах тел. В «Измерении круга» он нашел приближенное выражение для окружности, пользуясь вписанными и описанными правильными многоугольниками. Дойдя в этом приближении до многоугольников с 96 сторонами, он нашел (в наших обозначениях), что

Обычно об этом сообщают, говоря, что я примерно равно 3 у. В книге Архимеда «О сфере и цилиндре» мы находим выражение для поверхности сферы (в таком виде: поверхность сферы в четыре раза больше площади большого круга) и для объема сферы (в таком виде: объем сферы равен объема описанного цилиндра).

В своей книге «Квадратура параболы» Архимед дал выражение для площади параболического сегмента (у площади вписанного треугольника с основанием таким же, как у сегмента, и с вершиной в точке, в которой касательная параллельна основанию). В книге о «Спиралях» мы находим «спираль Архимеда» и вычисление площадей,

1) См. вступительную статью И. Н. Веселовского в книге: «Архимед. Сочинения», М., 1962, стр. 11.

2) 3,1409 < л < 3,1429. Среднее арифметическое верхней и нижней границ дает я = 3,1419. Точнее, значение л; = 3,14159

а в книге «О коноидах и сфероидах» — объемы некоторых тел, образованных вращением кривых второго порядка.

Имя Архимеда связано также с его теоремой о потере веса телами, погруженными в жидкость. Эта теорема находится в трактате по гидростатике «О плавающих телах».

Во всех этих трудах Архимеда поразительная оригинальность мысли сочетается с мастерской техникой вычислений и со строгостью доказательств. Характерны для этой строгости уже упомянутая «аксиома Архимеда» и постоянное использование метода исчерпывания при доказательстве его интеграционных результатов. Мы видели, что фактически он находил эти результаты более эвристическим путем («взвешивая» бесконечно малые), но затем он публиковал их, соблюдая самые жесткие требования строгости.

Обилие вычислений у Архимеда отличает его от большинства творческих математиков Греции. Это придает его трудам, при всех их типично греческих особенностях, восточный оттенок. Такой отпечаток заметен в его «Задаче о быках» — очень сложной задаче неопределенного анализа, которую можно истолковать как задачу, приводящую к уравнению

г2 — 4 729 494 u2 = l

типа «уравнения Пелля», которое решается в очень больших (целых) числах. Это лишь одно из многих указаний на то, что традиции Платона никогда безраздельно не господствовали в математике эллинизма, и на то же самое указывает эллинистическая астрономия.

9. С третьим великим математиком эллинизма, Аполлонием из Перги (ок. 260—ок. 170), мы снова целиком в русле геометрической традиции греков. Аполлоний, который, по-видимому, вел обучение в Александрии и в Пергаме, написал трактат из восьми книг о конических сечениях («О кониках»). Семь книг сохранилось, три из них — только в арабском переводе. Это — трактат об эллипсе, параболе и гиперболе, определяемых как сечения кругового конуса, где изложение доведено до исследования эволют конического сечения. Мы называем эти кривые, следуя Аполлонию; эти названия выражают одно из свойств этих кривых, связанное с площадями и выражаемое, в наших обозначениях, уравнениями

(запись однородная, у Аполлония ржа — отрезки; знак «+» дает гиперболу, знак «—» дает эллипс). Парабола здесь значит «приложение», эллипс — «приложение с недостатком», гипербола — «приложение с избытком». Аполлоний не располагал нашим координатным методом, потому что он не располагал алгебраическими обозначениями (вероятно, он сознательно, под влиянием школы Евдокса, отвергал их). Однако многие его результаты можно сразу записать на языке координат, включая свойство эволют, совпадающее с тем, что выражается их уравнением в декартовых координатах1). То же самое можно сказать о других книгах Аполлония, которые сохранились частично. Они содержат «алгебраическую» геометрию на геометрическом языке и поэтому в однородной записи. Здесь мы находим задачу Аполлония: построить окружность, касательную к трем заданным окружностям; окружности можно заменить прямыми или точками. У Аполлония мы впервые встречаем в явном виде требование, чтобы геометрические построения выполнялись только с помощью циркуля и линейки. Следовательно, это не было столь общим «греческим» требованием, как иной раз утверждают.

10. Математику в течение всей ее истории вплоть до современности нельзя отрывать от астрономии. Запросы ирригации и сельского хозяйства в целом, а в известной мере и мореплавания обеспечили астрономии первое место в науке Востока и эллинистической науке. Ход развития астрономии в немалой мере определял ход развития математики. Астрономия во многом определяла содержание вычислительной математики, а порой и математических понятий, равным образом прогресс астрономии зависел от того, насколько сильна была доступная математическая литература. Строение солнечной системы таково, что сравнительно простыми математическими методами можно получить далеко идущие результаты, но в то же время оно достаточно сложно для того, чтобы стимулировать совершенствование этих методов и самих астрономических

1) «Итак, мой тезис состоит в том, что сущность аналитической геометрии состоит в изучении геометрических мест с помощью их уравнений и что это было известно грекам и служило основой их исследования конических сечений». Y. L. Goolidge, A History of Geometrical Methods, Oxford, 1940, стр. 149. Впрочем, см. наши замечания относительно Декарта.

теорий. На Востоке в эпоху, непосредственно предшествующую эллинистической, добились значительного продвижения в вычислительной астрономии, особенно в Месопотамии в позднеассирийскую и персидскую эпоху. Здесь систематически проводившиеся в течение длительного времени наблюдения дали возможность отлично разобраться во многих эфемеридах1). Движение Луны для математика было одной из самых трудных и увлекательных астрономических проблем как в древности, так и в восемнадцатом веке, и вавилонские («халдейские») астрономы много сил положили на его исследование. Установление связей между греческой и вавилонской наукой в эпоху Селевкидов многое дало и в вычислительной, и в теоретической астрономии, и там, где наука Вавилона продолжала следовать древней календарной традиции, греческая наука смогла добиться некоторых из своих наиболее замечательных достижений.

Самым древним из известных нам греческих достижений в теоретической астрономии является планетная теория Евдокса, уже знакомого нам в качестве вдохновителя Евклида. Это была попытка объяснить движение планет (вокруг Земли) с помощью четырех вращающихся концентрических сфер, каждая из которых имела особую ось вращения с концами, закрепленными в охватывающей сфере. Это было нечто новое и типично греческое, больше объяснение, чем регистрация небесных явлений. При всей своей внешней примитивности теория Евдокса заключала в себе основную идею всех планетных теорий вплоть до семнадцатого столетия — объяснение неправильностей видимого движения Луны и планет наложением круговых движений. Эта идея лежит в основе и вычислительной части современной динамической теории, поскольку мы вводим ряды Фурье.

За Евдоксом последовал Аристарх Самосский (ок. 280 г. до н. э.), «Коперник античности», которому Архимед приписывает гипотезу, что центром в движении планет является Солнце, а не Земля. У этой гипотезы в древности было мало приверженцев, хотя широко было распространено убеждение в том, что Земля вращается вокруг своей

1) Эфемериды — координаты тел солнечной системы (в основном планет), вычисленные для различных значений времени и данные в виде таблицы.

оси. Что гелиоцентрическая гипотеза имела мало успеха, объясняется преимущественно авторитетом Гиппарха, которого часто называют величайшим астрономом античности.

Гиппарх из Никеи вел наблюдения между 161 и 126 г. до н. э. Непосредственно от него до нас дошло немного — главным источником сведений о его достижениях является Птолемей, живший тремя столетиями позже. Многое в большом труде Птолемея, в «Альмагесте», может быть приписано Гиппарху, в частности применение эксцентрических кругов и эпициклов для объяснения движения Солнца, Луны и планет, а также открытие предварения равноденствий. Гиппарху приписывают также определение широты и долготы астрономическими средствами, но в древности ни разу не смогли так организовать научные работы, чтобы можно было в больших масштабах выполнить съемку местности. (Ученые в древности попадались редко как в пространстве, так и во времени). Труды Гиппарха тесно связаны с достижениями вавилонской астрономии, которая в его время достигла больших высот. Можно считать эти труды наиболее важным научным плодом греко-восточных связей в эпоху эллинизма1).

11. Третий и последний период античного общества — период господства Рима. Рим завоевал Сиракузы в 212-м Карфаген в 146-м, Грецию — в 146-м, Месопотамию — в 64-м, Египет — в 30-м г. до н. э. Все, чем римляне овладели на Востоке, включая Грецию, было низведено до положения колонии, управляемой римскими администраторами. Римское правление не затрагивало экономической структуры восточных стран, пока в срок поступали тяжелые налоги и другие поборы. Римская империя естественным образом расщепилась на западную часть с экстенсивным сельским хозяйством, где применялись покупные рабы, и на восточную часть с интенсивным сельским хозяйством, где рабов использовали только для домашнего хозяйства и на общественных работах. Несмотря на рост некоторых городов и на торговлю, охватывавшую все известные страны Запада, основой экономического строя Римской империи оставалось земледелие. Расширение

1) О. Neugebauer, Exact Science in Antiquity, Studies in Civilization, Un. of Pennsylvania Bicentennial Gonf. Philadelphia, 1942, 22—31 и его же The Exact Sciences in Antiquity, 1952, 1957. Имеется русский перевод — см. библ. на стр. 84,

рабовладельческого хозяйства в таком обществе было роковым для всякой оригинальной науки. Рабовладельцы как класс редко бывают заинтересованы в технических открытиях, отчасти потому, что рабы все делают дешево, отчасти потому, что они боятся давать рабам такие орудия, которые могут способствовать умственному развитию. Многие из правящего класса слегка занимались искусствами и науками, но такие стремления были залогом скорее посредственности, чем творческого мышления. Когда вместе с упадком торговли рабами стала хиреть экономика Рима, немного было людей, которые могли развивать даже посредственную науку предыдущих столетий.

Пока Римская империя сохраняла известную устойчивость, восточная наука, своеобразная смесь эллинистических и восточных составных частей, продолжала процветать. Постепенно снижалась оригинальность, слабела движущая сила, но установленный римлянами на столетия мир (pax Romana) позволял без помех заниматься традиционными теориями. В течение нескольких столетий с «римским миром» сосуществовал «китайский мир» — pax Sinensis. Евразийский континент за всю свою историю не имел такого долгого мирного периода, как при Антонинах в Риме и при династии Хань в Китае. Это облегчало проникновение знаний по континенту из Рима и Афин в Месопотамию, Китай и Индию. Эллинистическая наука, как и прежде, проникала в Китай и Индию, испытывая в свою очередь влияние науки этих стран. Отблеск вавилонской астрономии и греческой математики падал на Италию, Испанию и Галлию, — тому примером распространение в Римской империи деления угла и часа на шестьдесят частей. Существует теория Ф. Вепке (F. Woepcke), по которой распространение в Европе так называемых индийско-арабских чисел связано с неопифагорейскими школами поздней Римской империи. Возможно, что это верно, но если эти числа настолько стары, то более вероятно, что на их распространение повлияла торговля, а не философия.

Александрия оставалась центром античной математики. Велись оригинальные исследования, хотя компилирование и комментирование все более становилось основным видом научной деятельности. Многие результаты античных математиков и астрономов дошли до нас в трудах этих компиляторов, и порой очень трудно выделить то,

что они передают и что они открыли сами. Пытаясь проследить постепенный упадок греческой математики, мы должны учитывать и ее техническую сторону: неуклюжий геометрический способ выражения при систематическом отказе от алгебраических обозначений, что делало почти невозможным какое-либо продвижение «за» конические сечения. Алгебру и вычисления оставляли презренным людям Востока, на чье учение был нанесен тонкий слой греческой цивилизации. Однако неверно утверждение, что александрийская математика была чисто греческой в традиционном понимании Евклида — Платона: вычислительной арифметикой и алгеброй египетско-вавилонского типа занимались бок о бок с абстрактными геометрическими рассуждениями. Достаточно вспомнить о Птолемее, Героне и Диофанте, чтобы в этом убедиться. Объединяло различные расы и школы только пользование греческим языком.

12. Одним из самых ранних александрийских математиков римского периода был Никомах из Герасы (ок. 100 г.), чье «Арифметическое введение» — наиболее полное из сохранившихся изложений пифагорейской арифметики. Там рассматриваются большей частью те же вопросы, что и в арифметических книгах Евклида, но тогда как у Евклида числа изображаются отрезками, Никомах пользуется арифметическими обозначениями и, если имеет дело с неопределенными числами, обычной речью. Полигональные и пирамидальные числа Никомаха оказали влияние на средневековую арифметику, главным образом через Боэция1).

Одно из крупнейших произведений этого второго александрийского периода — «Великое собрание» Птолемея, более известное под арабизированным названием «Альмагест» (ок. 150 г.). «Альмагест» — астрономический труд высшего мастерства и весьма оригинальный, хотя многие из его идей идут от Гиппарха или от Кидинну и других вавилонских астрономов. В нем есть и тригонометрия с таблицей хорд для углов от 0° до 180°, соответствующая таблице синусов для углов от 0° до 90° через полградуса. Для синуса угла в 1° Птолемей нашел значение (1, 2, 50) = 4 + Jra + i = 0,017268 (точное значение 0,017453...),

1) См. главу V.

для п его значение (3,8, 30) = — 3,14166. В «Альмагесте» мы находим формулу для синуса и косинуса суммы и разности двух углов и зачатки сферической тригонометрии. Теоремы формулируются геометрически — наши современные тригонометрические обозначения идут лишь от Эйлера (восемнадцатый век). В «Альмагесте» мы находим и «теорему Птолемея» о четырехугольнике, вписанном в окружность. В «Планисферий» Птолемея рассматривается стереографическая проекция, а в его «Геометрии» положение на Земле определяется с помощью долготы и широты. Последние, таким образом, являются давним примером координат на сфере.

На стереографической проекции основана конструкция астролябии — прибора, который применяли для определения положения на Земле. Астролябия была известна в древности, и ею широко пользовались до введения октанта, позже — секстанта, в восемнадцатом веке1).

Несколько старше Птолемея Менелай (ок. 100 г.). В его «Сферике» содержится геометрия сферы и рассматриваются сферические треугольники — предмет, которого нет у Евклида. Здесь мы находим «теорему Менелая» для треугольника в обобщенном для сферы виде. В астрономии Птолемея немало вычислений в шестидесятеричных дробях, а трактат Менелая геометричен строго в духе евклидовой традиции.

К эпохе Менелая, возможно, относится и Герон, — во всяком случае мы знаем, что он точно описал лунное затмение 62-го года2). Герон был энциклопедистом, он писал на геометрические, вычислительные и механические темы, его произведения — любопытная смесь греческого и восточного. В своей «Метрике» он выводит «формулу Герона» для площади треугольника {У s (s — a) (s—b) (s — с)) чисто геометрическим образом; сам результат приписывается Архимеду. В той же «Метрике» мы находим типично египетские «основные» дроби,

1) H. Michel, Traité de l'astrolabe, Paris, 1947. См. также О. Neugebauer, The Early History of the Astrolabe, Isis 40 (1949), 240—256.

2) O. Neugebauer, Über eine Methode zur Distanzbestimmung Alexandria — Rom bei Neron, Hist, fil Medd. Danske Vid. Sels. 26 (1938), № 2, стр. 28 и сл.

например в приближении для |/бЗ (==^+у + ^""^*8" + ^з)-

Формулу Герона для объема усеченной пирамиды с квадратным основанием без труда можно свести к формуле, имеющейся в Московском папирусе. Напротив, определение объема пяти правильных многогранников у Герона — в духе Евклида.

13. Еще сильнее восточный колорит в «Арифметике» Диофанта (ок. 250 г.). Уцелели только шесть книг оригинала, общее их число — предмет догадок. Искусная трактовка в них неопределенных уравнений показывает, что древняя алгебра Вавилона или, быть может, Индии не только существовала под тонким слоем греческой цивилизации, но ее совершенствовали немногочисленные деятели эпохи. Как и когда это происходило, мы не знаем, как не знаем, кем был Диофант, — возможно, что он был эллинизированный вавилонянин. Его книга — один из наиболее увлекательных трактатов, сохранившихся от греко-римской древности.

В собрание Диофанта входят весьма разнообразные задачи, а их решения часто в высшей степени остроумны. «Диофантов анализ» состоит в нахождении решений неопределенных уравнений вида Ах2 + Вх + С — у2, Ах3 + Вх2 + Сх + D = у2 или систем таких уравнений. Типично для Диофанта то, что его интересуют только положительные рациональные решения. Иррациональные решения он называет «невозможными» и тщательно подбирает коэффициенты так, чтобы получались искомые положительные рациональные решения.

Среди этих уравнений мы обнаруживаем такие, как X2 — 26у2 = 1 и X2 — ЗОу2 = 1, теперь известные как «уравнения Пелля». У Диофанта есть несколько теорем теории чисел, как, например, теорема (III, 19), что произведение двух целых чисел можно двумя способами представить как сумму двух квадратов, если каждый сомножитель — сумма двух квадратов. Есть и теоремы о разбивке числа на сумму трех и четырех квадратов. У Диофанта мы впервые встречаем систематическое использование алгебраических символов. У него есть особые знаки для неизвестного, для минуса, для обратной величины. Эти знаки все еще скорее сокращения, чем алгебраические символы в нашем смысле (они образуют так называемую реторическую алгебру); для каждой степени не-

известного был особый символ1). Нет сомнения, что здесь перед нами не только арифметические вопросы вполне алгебраического характера, как в Вавилоне, но и хорошо развитые алгебраические обозначения, которые весьма способствовали решению задач значительно более сложных, чем любые ранее поставленные.

14. Последний из больших александрийских математических трактатов написан Паппом (конец третьего столетия). Его «Собрание» («Synagoge») — нечто вроде учебника для изучающих греческую геометрию, с историческими справками, с улучшением и видоизменением известных теорем и доказательств. Скорее всего, трактат надо было читать вместе с оригинальными трудами, а не самостоятельно.

Многие результаты древних авторов известны только в той форме, в какой они сохранились у Паппа, например задачи о квадратуре круга, удвоении куба и трисекции угла. Интересна глава об изопериметрических фигурах с положением, что круг имеет большую площадь, чем любой правильный многоугольник того же периметра. Здесь есть и замечание, что пчелиные соты обладают некоторыми максимально-минимальными свойствами2). Полуправильные тела Архимеда тоже известны благодаря Паппу. Как и «Арифметика» Диофанта, «Собрание» Паппа — книга, которая будит мысль, и ее задачи вдохновляли многих исследователей более поздних времен.

Александрийская школа медленно умирала вместе с упадком античного общества. В целом она оставалась оплотом язычества против распространявшегося христианства, и некоторые из ее математиков отмечены и в истории античной философии. Прокл (410—485), чей «Комментарий к Первой книге Евклида» — один из наших главных источников по истории греческой математики, возглавлял школу неоплатоников в Афинах. В Александрии ту же школу представляла Гипатия, которая писала

1) Папирус 620 Мичиганского университета, купленный в 1921 г., содержит много задач греческой алгебры, относящихся к периоду до Диофанта, может быть, к началу второго столетия. Некоторые символы, имеющиеся у Диофанта, встречаются в этой рукописи. См. F. Е. Robbins, Classical Philology 24 (1929), 321—329; К. Vogel, там же 25 (1930), 373—375.

2) Полное изложение этого вопроса см. у D'Arcy W. Thompson, Growth and Form, Cambridge, 1942 (2-е изд.).

комментарии к классикам математики. Она была убита в 415 г. приверженцами св. Кирилла. Ее судьба сделала ее героиней романа Чарльза Кингсли (Charles Kingsley)1). Эти философские школы вместе со своими комментаторами в течение столетий то процветали, то хирели. Академия в Афинах была закрыта императором Юстинианом как языческая (529 г.), но к тому времени возникли школы в таких местах, как Константинополь и Джунди-Шапур (Jundtshäpur). В Константинополе сберегались многие старые своды рукописей и комментаторы продолжали на греческом языке закреплять память о греческой науке и философии. В 630 г. Александрию взяли арабы и верхний слой греческой цивилизации в Египте был заменен арабским слоем. Нет оснований утверждать, что знаменитую александрийскую библиотеку уничтожили арабы, потому что сомнительно, существовала ли еще она в то время. Фактически арабское завоевание не изменило существенным образом характера математических исследованлй в Египте. Мог иметь место регресс, но когда мы вновь услышим о египетской математике, окажется, что она следует древней греко-восточной традиции (например, Алхазен).

15. Мы закончим эту главу некоторыми замечаниями о греческой арифметике и логистике. Греческая математика отличала арифметику или науку о числах от логистики, то есть от практических вычислений. Термин «аритмос» обозначал только натуральное число, «количество, составленное из единиц» (Евклид, VII, определение 2; это значило также, что «один» не считалось числом2)). Нашего понятия действительного числа не знали. Поэтому отрезок прямой не всегда имел длину. Вместо наших операций с действительными числами пользовались геометрическими рассуждениями. Когда Евклиду нужно сформулировать, что площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, он говорит, что она равна половине площади параллелограмма с тем же основанием и лежащего между теми же параллелями (Евклид I, 41). Теорема Пифагора была зависимостью между

1) См, также Voltaire, Dictionnaire Philosophique, статья Hypatie (Œuvres, 1819, т. 36, стр. 458); Фритц Маутнер, Гипатия, М., 1924.

2) Еще Стевин в своей «Арифметике» (1585 г.) вынужден бороться за признание единицы числом.

площадями трех квадратов, а не между длинами трех сторон. В «Началах» Евклида имеется теория квадратных уравнений, но она излагается с помощью «площадей», а так как корни представляют собой отрезки, определяемые известными построениями, то можно установить, что допускались только положительные корни. Все же в «Началах» не обязательно, чтобы каждому отрезку соответствовало числовое значение. Такие представления об отрезках и числах надо считать продуманной системой, результатом победы платоновского идеализма среди той части правящего класса Греции, которая интересовалась математикой. Ведь согласно восточным представлениям той же эпохи относительно зависимости между алгеброй и геометрией никакие ограничения на понятие числа не налагались. Есть все основания полагать, что для вавилонян теорема Пифагора была числовой зависимостью между длинами сторон, и именно с такой математикой ознакомились ионийские ученые.

Обычная вычислительная математика, известная как «логистика», оставалась жизнеспособной во все периоды греческой истории. Евклид ее отвергал, но Архимед и Герон ею пользовались свободно, без угрызений совести. Ее основой была система счисления, которая со временем изменилась. Ранняя греческая система счисления была десятичной и аддитивной, как египетская и римская. В александрийскую эпоху, а может быть и раньше, появляется способ записи чисел, которым пятнадцать веков пользовались не только ученые, но и купцы и чиновники. Знаки греческого алфавита последовательно применялись для обозначения сначала наших символов 1, 2, 9, затем десятков, от 10 кончая 90, и, наконец, сотен, от 100 кончая 900 (а = 1, ß = 2 и т. д.). Три архаичные буквы были добавлены к 24 буквам греческого алфавита, чтобы получить необходимые 27 знаков. С помощью такой системы любое число меньше 1000 можно было записать не более чем тремя знаками, например 14 как iô, так как t = 10, ô = 4; числа, большие 1000, можно было выразить с помощью простого расширения такой системы. Ею пользуются в сохранившихся рукописях работ Архимеда, Герона и всех других классических авторов. Имеются археологические данные о том, что этой системе обучали в школах. Это была десятичная непозиционная система: как iô, так и ôi могло значить только 14. Такое отсутствие

позиционности и использование не менее чем 27 знаков иной раз рассматривались как доказательство несовершенства системы. Но то, как легко ею пользовались математики древности, и то, что греческие купцы применяли ее даже при очень сложных расчетах — в Восточной Римской империи вплоть до ее гибели в 1453 г., — указывает, повидимому, на наличие некоторых преимуществ. При известном опыте вычислений при такой системе мы действительно убеждаемся, что четыре основных действия можно выполнять достаточно легко, если твердо знать символы. Действия с дробями при подходящих обозначениях тоже просты, но греки не были при этом последовательны, так как у них не было единой системы: они пользовались египетскими «основными» дробями, вавилонскими шестидесятеричными дробями и записью дробей, напоминающей нашу. Десятичные дроби не были введены, это великое усовершенствование в Европе появляется в эпоху позднего Ренессанса, когда вычислительный аппарат был развит значительно больше, чем когда бы то ни было в древности. Но даже в этих условиях десятичные дроби не были приняты во многих школах до восемнадцатого и девятнадцатого столетия.

Доказывали, что алфавитная система счисления губительно повлияла на развитие греческой алгебры, так как применение букв для определенных чисел мешало применять буквы для обозначения чисел вообще, как это делается в нашей алгебре. Надо отвергнуть такое формальное объяснение отсутствия алгебры у греков до Диофанта, даже если высоко оценивать значение подходящих обозначений. Если бы классические авторы интересовались алгеброй, они создали бы подходящую символику, что действительно начал делать Диофант.

Вопрос об алгебре у греков можно будет разъяснить только после дальнейшего изучения связей греческой математики и вавилонской алгебры в общей системе связей между Грецией и Востоком.

ЛИТЕРАТУРА

Классические греческие авторы имеются в превосходных изданиях, их главные труды переведены на европейские языки. В качестве наилучшего введения мы рекомендуем следующие книги:

T. L. Heath, A History of Greek Mathematics (2 тт., Cambridge, 1912).

T. L. Heath, A Manual of Greek Mathematics (Oxford, 1931).

T. L. Heath, The Thirteen Books of Euklid 's Elements (3 тома, Cambridge, 1908; переиздание — New York, 1955).

На русском языке см.

«Начала» Евклида. Перевод и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского, книги I—VI, М.—Л., 1948; VII—X, М.—Л., 1949; XI—XV, М.—Л., 1950.

Архимед. Перевод и примечания И. Н. Веселовского, М., 1962.

Архимед, Исчисление песчинок. Перевод, статья и примечания Г. Н. Попова, М.—Л., 1932.

И. Л. Гейберг, Естествознание и математика в классической древности, с предисловием А. П. Юшкевича, М.—Л., 1936.

С. Я. Лурье, Архимед, М.—Л., 1945.

И. Г. Башмакова, Дифференциальные методы в работах Архимеда, Историко-математические исследования VI (1953), 609-658.

И. Г. Башмакова, Лекции по истории математики в Древней Греции, Историко-математические исследования XI (1958), 225—438.

Э. Я. Кольман, История математики в древности, М., 1961.

В выпусках I (1948), II (1949), VIII (1955) «Историко-математических исследований» см. статьи о «Началах» Евклида; в книге М. Я. Выгодского (см. литературу к главе II) см. раздел III. Арифметика древних греков.

P. Ver Eecke, Œuvres complètes d'Archimède (Brüssel, 1921).

P. Ver Eecke, Pappus d'Alexandrie. La Collection mathématique (Paris — Bruges, 1933).

P. Ver Eecke, Proclus de Lycie. Les Commentaires sur le Premier Livre des Eléments d'Euclide (Bruges, 1948).

G. Loria, Le scienze esatte nell'antica Grecia (2-е изд., Milano, 1914).

G. J. Allman, Greek Geometry from Thaies to Euclid (Dublin, 1889).

J. Gow, A Short History of Greek Mathematics (Cambridge, 1884).

E. J. Dijksterhuis, Archimedes (Copenhagen, 1956).

T. Dantzig, The bequest of the Greeks (New York, 1955).

W. Blaschke, Griechische und anshauliche Geometrie (München, 1953).

О. Becker, Das mathematiche Denken der Antike (Göttingen, 1957).

G. Hauser, Geometrie der Griechen von Thaies bis Euklid (Luzern, 1955).

K. Reidemeister, Die Arithmetik der Griechen, Hamburger Math. Sem. (Einzelschriften) 26 (1939).

K. Reidemeister, Das exakte Denken der Griechen (Hamburg, 1959).

Интересны работы А. Сабо, в которых оценка раннего периода древнегреческой математики основывается на анализе ее терминологии. См.

À. Szabo, Anfänge des Euklidischen Axiomensystems, Archive for History of Exact Sciences 1 (1960), № 1, 37—106.

Ä. Szabo, Die frühgriechische Proportionenlehre im Spiegel ihrer Terminologie, там же 2 (1965), № 3, 197—270.

Параллельные греческие, латинские и английские тексты см. у J. Thomas, Selections Illustrating the History of Greek Mathematics (Cambridge, Mass., London, 1939).

Дальнейшую критику текста см. у P. Tannery, Pour l'histoire de la science hellène (2-е изд., Paris, 1930).

P. Tannery, Mémoires scientifiques (тт. 1—4).

H. Vogt, Die Entdeckungsgeschichte des Irrationalen nach Plato und anderen Quellen des 4-ten Jahrhunderts, Bibliotheca math. (3) 10, (1909/1910), 97—105.

E. Sachs, Die fünf Platonischen Körper, Berlin, 1917.

E. Frank, Plato und die sogenannten Pythagoreer, Halle, 1923.

S. Luria, Die Infinitesimaltheorie der antiken Atomisten, Quellen und Studien 2, 106—185 (1932).

В связи с последней работой см. С. Я. Лурье, Теория бесконечно малых у древних атомистов, М.—Л., 1935.

G. Hauser, цит. выше соч.

H. Wussing, Mathematik in der Antike, Leipzig, 1965.

S. Hellen, Die Entdeckung der stetigen Teilung durch die Pythagoreen, Abh. Deutsch. Akad. Wiss., Kl. f. Math. u. Phys. u. Techn. (1958), № 6.

F. Cajori, The History of Zeno's Arguments on Motion, Amer. Math. Monthly 22 (1915), 8 статей. См. также Isis 3 (1920— 1921), 7—20.

Хороший критический обзор и сравнение гипотез относительно греческой математики см. в книге: E. Dijksterhuis, De elementen van Euclides (2 тома, Groningen, 1930, на голл.яз.).

О парадоксах Зенона см. (кроме ван-дер-Вардена, цит. соч., стр. 50) F. Cajori, указ. выше соч.

Об отношении греческой астрономии к восточной см.

О. Neugebauer, The History of Ancient Astronomy. Problèmes and Methods, J. Near Eastern Studies 4 (1945), 1—38.

См. также

M. R. Cohen —J. E. Drabkin, A Source Book in Greek Science (New York, 1948).

T. L. Heath, Mathematics in Aristotle (Oxford, 1949).

В. L. van der Waerden, Ontwakende Wetenschap, (Groningen, 1950).

Эта написанная по-голландски книга переведена на русский (Ван дер Варден, Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции, перевод и добавления И. Н. Веселовского, М., 1959), английский и немецкий языки.

О. Neugebauer, The Exact Sciences in Antiquity, 2d ed., Providence, 1957. (О. Нейгебауер, Точные науки в древности, пер. В. Е. Гохман под ред. и с предисловием А. П. Юшкевича, М., 1968).

Избранные математические тексты с пояснениями на голландском языке Е. Н. Bruins, Fontes matheseos (Leiden, 1953).

P. Lorenzen, Die Entstehung der exakten Wissenschaften (Berlin, 1960).

К. Vogel, Beiträge zur griechischen Logistik, Teil I, München, 1936).

Глава IV

ВОСТОК ПОСЛЕ УПАДКА АНТИЧНОГО ОБЩЕСТВА

1. Древняя культура Ближнего Востока, несмотря на эллинистические влияния, никогда не исчезала. В александрийской науке явно проступает влияние как Востока, так и Греции; Константинополь и Индия тоже были важными пунктами соприкосновения Востока и Запада. В 395 г. н. э. Феодосий I основал Византийское государство; столица государства Константинополь была греческим городом, но она была административным центром обширных областей, где греки составляли только часть городского населения. В течение тысячи лет это государство, борясь против сил, наступавших с востока, севера и запада, выступало и как хранитель греческой культуры, и как связующее звено между Востоком и Западом. Месопотамия, рано, во втором столетии н. э., перестала зависеть от римлян и греков, сперва под властью парфянских королей, позже (266 г.) при чисто персидской династии Сасанидов. Области, прилегающие к Инду, в течение нескольких столетий управлялись греческими династиями, пока те не исчезли в первом столетии н. э. Сменившие их местные индийские королевства поддерживали культурные связи с Персией и Западом.

Политическое господство греков над ближним Востоком почти полностью сошло на нет после внезапного возникновения ислама. После 622 г., года хиджры, арабы с поразительной стремительностью овладели значительной частью Западной Азии (с такой же стремительностью, с какой позже завоевали Америку испанцы), и до конца седьмого столетия они стали обладателями части западно-римского государства — в Сицилии, Северной Африке

и в Испании. Везде, куда они проникали, они пытались заменить греко-римскую культуру культурой ислама. Государственным языком стал арабский, заменивший греческий или латинский, и из-за нового языка научных документов легко можно упустить из виду, что и при господстве арабов сохранялась замечательная преемственность культуры. Прежние местные культуры в это время получили даже больше возможностей сохраниться, чем при господстве чужеземцев-греков. Например, Персия, несмотря на переход власти к арабам, в значительной мере оставалась прежней страной Сасанидов. Заодно продолжалось соревнование различных традиций, только теперь в новом виде. В течение всего времени господства ислама непрерывно существовала греческая традиция, сохранившая свой особый характер в отличие от различных местных культур.

2. Мы видели, что самые замечательные математические результаты в ходе борьбы и объединения восточной и греческой культур во время расцвета Римской империи были достигнуты в Египте. С упадком Римской империи центр математических исследований постепенно перемещался в Индию, а позже — в обратном направлении, в Месопотамию. Первые хорошо сохранившиеся индийские тексты в области точных наук — это «Сиддханты», часть которых, «Сурья», дошла до нас, вероятно, в достаточно точно соответствующей оригиналу (примерно между 300 и 400 годами н. э.) форме. В этих книгах содержится в основном астрономия, мы находим там эпициклы и шестидесятичные дроби. Такие факты позволяют предположить наличие влияния греческой астрономии, относящегося, быть может, к эпохе «Алмагеста». Возможно, что они указывают на непосредственный контакт с вавилонской астрономией. Но, кроме этого, в «Сиддхантах» мы находим многочисленные типично индийские особенности. «Сурья Сиддханта» содержит таблицу значений синуса (джия), а не хорд.

Результаты, изложенные в «Сиддхантах», систематически разъяснялись и развивались в индийских математических школах, укоренившихся преимущественно в Уджджайне (Центральная Индия) и в Майсоре (Южная Индия). До нас дошли имена и книги отдельных индийских математиков, начиная с пятого столетия н. э.; некоторые книги доступны нам в английских переводах.

Наиболее известными математиками Индии были Ариабхата (прозванный «первым», около 500 г.) и Брахмагупта (около 625 г.) Насколько они были знакомы с результатами греков, вавилонян и китайцев, мы можем только строить предположения, но, во всяком случае, они проявляют значительную оригинальность. Для их работ характерны арифметическо-алгебраические разделы. В их склонности к неопределенным уравнениям проявляется некоторое родство с Диофантом.

Современником Брахмагупты был Бхаскара I, автор комментария к трактату Ариабхаты и астрономического сочинения «Маха-Бхаскария», содержащего математические разделы (неопределенные линейные уравнения, элементы тригонометрии и пр.). За этими учеными в ближайшие столетия последовали другие, работавшие в тех же областях; в трудах последних представлено астрономическое, частично арифметическо-алгебраическое направление, они занимались также измерениями и тригонометрией. Ариабхата I имел для я значение 3,1416. Любимым предметом было нахождение рациональных треугольников и четырехугольников. Особенно успешно над этим работал Магавира из Майсорской школы (около 850 г.). До нас дошли также трактаты Шридхари (IX—X вв.), Ариабхаты II (около 950 г.), Шрипати (XI в.) и др. Около 1150 г. в Уджджайне, где работал Брахмагупта, мы находим другого выдающегося математика, Бхаскару II. Первое общее решение неопределенного уравнения первой степени ах -\- by = с (а, Ъ, с — целые числа) встречается у Брахмагупты. Поэтому, строго говоря, нет оснований называть неопределенные линейные уравнения диофантовыми. Диофант допускал еще и дробные решения, индийские математики интересовались только целочисленными. Они пошли дальше Диофанта и в том отношении, что допускали отрицательные корни уравнений, хотя это в свою очередь, должно быть, соответствует более древней практике, сложившейся под влиянием вавилонской астрономии. Например, для уравнения х2 — 45 х = 250 Бхаскара II находил решения х = 50 и х = — 5, но относительно приемлемости отрицательного корня он высказывал известный скептицизм. Его «Лилавати» в течение столетий оставалась на Востоке образцовой книгой по арифметике и искусству измерений; император Акбар перевел ее на персидский язык (1587 г.), в 1816 г. она

была издана в Калькутте1) и после этого многократно переиздавалась как учебник математики для религиозных школ.

Можно сказать с уверенностью, что в древней Индии было найдено много ценнейших математических результатов; например, недавно стало известно, что ряды Грегори — Лейбница для -у были найдены уже при Нилаканте (ок. 1500 г.)2).

3. Наиболее известным достижением индийской математики является наша современная десятичная позиционная система. Десятичная система — давнего происхождения, тоже относится с позиционной системе, но сочетание их, по-видимому, произошло в Индии, причем постепенно была вытеснена более древняя непозиционная система. Первое известное нам применение десятичной позиционной системы относится к 595 г. — сохранилась плита, на которой число лет 346 записано в такой системе. Но еще задолго до этого индийцы располагали системой для словесного выражения больших чисел, причем использовался принцип позиционности. Имеются тексты более раннего периода, в которых вполне определенным образом применяется слово «сунья», которое обозначает нуль3). Интересна так называемая Бахшалийская рукопись — семьдесят полос из березовой коры, неизвестной даты и неизвестного происхождения — ее относят и к третьему, и к двенадцатому столетию. Она содержит традиционный индийский материал о неопределенных и о квадратных

1) Брахмагупта заявляет в одном из мест своей книги, что некоторые его задачи предложены «просто для удовольствия». Это подтверждает то, что математика Востока уже давно освободилась от своей чисто утилитарной роли. Спустя сто пятьдесят лет на Западе Алкуин составил свои «Задачи для оттачивания ума юношей», где он преследует подобные же, не чисто утилитарные цели. Математика в виде головоломок часто существенным образом способствовала развитию науки, открывая для нее новые области. Некоторые такие задачи еще дожидаются того, чтобы их включили в основные области математики.

2) G. T. Rajagopal — Т. V. Vedamurthi Aiyar, Scripta math. 17 (1951), 65—74; 18 (1952), 25—30; см. также Т. Roy. Asiatic Sos Bengali 15 (1949), № 2, 1—13.

3) Это можно сопоставить с применением понятия «пустого» (kenos) в «Физике» Аристотеля (Аристотель, Физика, М., 1938, стр. 86). См. СВ. Boyer, Zero: the symbol, the concept, the number, Nat. Mathem. Magazine 18 (1944), 323—330.

уравнениях, а также о приближениях, и в ней для обозначения нуля применяется точка. Самый древний письменный документ со значком для нуля относится к девятому столетию. Все это значительно более позднего происхождения, чем знак для нуля в вавилонских текстах. Быть может, знак 0 для нуля возник под греческим влиянием («ouden» — греческое слово, означающее ничто); в то время как вавилонскую точку писали только между цифрами, индийский нуль появляется также на последнем месте, и таким образом 0, 1, 2, 9 становятся равноправными цифрами1).

Десятичная позиционная система проникла по караванным путям во многие области Ближнего Востока и постепенно заняла место наряду с другими системами. Ее продвижение в Персию, может быть, также и в Египет, вполне могло произойти в эпоху Сасанидов (224—641), когда Персия, Египет и Индия были в тесном общении. В те времена в Двуречье еще могло сохраняться воспоминание о древней вавилонской позиционной системе. Самое древнее определенное упоминание индийской позиционной системы вне Индии мы находим в написанной в 662 г. книге Севера Себохта, сирийского епископа. Научный мир ислама смог познакомиться с так называемой индийской системой, когда ал-Фазари перевел на арабский язык «Сиддханты» (около 773 г.). Постепенно эту систему все шире стали применять в арабском мире и далее, хотя одновременно оставались в ходу и греческая, и другие местные системы. Могли иметь определенное значение и общественные факторы — восточной традиции десятичная позиционная система была ближе, чем греческая. Весьма разнообразны знаки, которые применялись для записи цифр позиционной системы, но имеются два главных типа: индийские обозначения, которые применялись восточными арабами, и так называемые цифры «гобар» (или «губар»), которые применялись западными арабами в Испании. Знаки первого типа и сейчас еще применяются в арабском мире, но наша современная система, по-видимому, произошла из системы «гобар». Существует (уже упомянутая) теория Вепке, согласно которой знаки «гобар» применялись в Испании, когда туда вторглись арабы,

1) Ср. Н. Freudenthal, 5000 jaren internationale wetenschap, Groningen, 1946.

а проникли эти знаки на запад гораздо раньше (ок. 450 г.) из Александрии через неопифагорейцев1).

4. Месопотамия, которая при греческих и римских правителях стала форпостом Римской империи, при Сасанидах вернула себе положение центра торговых путей. Сасаниды управляли страной как коренная династия персидских королей, в духе Кира и Ксеркса. Нам мало что известно об этом периоде персидской истории и совсем мало — о состоянии науки в то время, но дошедшие до нас предания в том виде, в каком мы их находим у Омар Хайяма, Фирдоуси и в «Тысяче и одной ночи», подтверждают скудные исторические сведения о том, что период Сасанидов был эпохой культурного расцвета. Персия Сасанидов, находясь между Константинополем, Александрией, Индией и Китаем, была страной, в которой сошлись многие культуры. Вавилон исчез, но его сменил Ктесифон-Селевкия, который в свою очередь после арабского завоевания в 641 г. уступил место Багдаду. При этом завоевании многое в старой Персии осталось нетронутым, хотя пехлевийский язык был заменен арабским в качестве официального. Даже ислам был воспринят лишь в видоизмененной форме (шиизм); христиане, евреи и приверженцы Заратустры, как и прежде, вносили свой вклад в культурную жизнь багдадского халифата.

В математике периода ислама мы видим такое смешение различных влияний, какое мы уже встречали в Александрии и в Индии2). Калифы Аббасиды, особенно ал-Мансур (754—775), Харун-ал-Рашид (786—809) и ал-Мамун (813—833), покровительствовали астрономии и математике; ал-Мамун даже соорудил в Багдаде «Дом мудрости» с библиотекой и обсерваторией. Исламские работы в области точных наук, которые начались с перевода «Сид-

1) Ср. S. Gandz, The Origin of the Ghubar Numerals, Isis 16 (1931), 393—424. Существует также теория H. Бубнова (H. M. Бубнов, Происхождение и история наших цифр, Киев, 1908), согласно которой знаки «гобар» произошли из давних римско-греческих символов, которые применялись в абаках. См. также примечание к книге F. Gajori, History of Mathematics, N. Y., 1938, стр. 90, и указанную на стр. 100 книгу Смита и Карпинского, стр. 71.

2) Изучению истории средневековой восточной математики долгое время мешало то, что только малая часть источников имелась в переводах. Постепенно положение улучшается, хотя многие важные работы пока доступны только на русском языке.

дхант» ал-Фазари, достигли своей первой вершины в деятельности уроженца Хивы Мухаммеда ибн Муса ал-Хорезми, творчество которого приходится на время около 825 г. Мухаммед написал много книг по математике и астрономии. В своей арифметике он разъясняет индийскую систему записи чисел. Арабский оригинал этой работы потерян, но имеется латинский перевод двенадцатого столетия. Эта книга была одним из источников, с помощью которых Западная Европа познакомилась с десятичной позиционной системой. Заглавие перевода: «Об индийском числе, сочинение Алгоризми» (Algorizmi de numéro Indozum). В других рукописях автор именовался Algorismus и Algorithmus, что ввело в наш математический язык термин «алгорифм» — латинизированное имя автора. Нечто подобное произошло с алгеброй Мухаммеда, которая была озаглавлена «Хисаб ал-джабр ва-л-мукабала» (буквально: «Исчисление восполнения и противопостановления»), что, вероятно, означало «науку об уравнениях». Эта алгебра, арабский текст которой сохранился, стала известной на Западе в латинском переводе, и слово «ал-джабр» стало употребляться как синоним всей науки «алгебры», которая действительно до середины девятнадцатого столетия была не чем иным, как наукой об уравнениях.

В этой «алгебре» рассматривались линейные и квадратные уравнения, но без какого бы то ни было алгебраического формализма. Не было и «риторического» алгорифма, какой имелся у Диофанта. Среди этих уравнений мы находим такие три типа:

х2 + 10х = 39, X2 + 21 = Юх, Зх + 4 = я2,

которые надо было рассматривать отдельно, поскольку допускались только положительные коэффициенты. Эти три типа в последующих текстах часто повторяются — так, «уравнение х2 + 10^ = 39 как золотая нить проходит в течение нескольких столетий через алгебраические книги», пишет профессор Карпинский. Многие рассуждения носят геометрический характер. Астрономические и тригонометрические таблицы Мухаммеда (со значениями синуса и тангенса) тоже в числе арабских книг, которые позже были переведены на латинский. Его геометрия представляет собой простое перечисление правил измерения. Она имеет известное значение, потому что ее можно непосредственно

связать с одним еврейским текстом 150 г. В ней явно сказывается пренебрежение традициями Евклида. Астрономия ал-Хорезми является извлечением из «Сиддхант», и поэтому в ней можно обнаружить определенное греческое влияние, воспринятое посредством санскритского текста. Вообще работы ал-Хорезми больше выявляют восточное, чем греческое влияние1), и это следует отнести за счет вполне обдуманных намерений автора.

Труды ал-Хорезми в целом сыграли важную роль в истории математики, как один из главных источников, с помощью которых Западная Европа познакомилась с индийскими цифрами и с арабской алгеброй. До середины девятнадцатого столетия в алгебре сказывалось ее восточное происхождение — ей не хватало аксиоматического обоснования, и этим она резко отличалась от геометрии Евклида. В наших школьных учебниках алгебры и геометрии до сих пор сохранились эти признаки их различного происхождения.

5. Греческую традицию продолжала хранить школа ученых, добросовестно переводивших на арабский язык Аполлония, Архимеда, Евклида, Птолемея и других. Ставшее всеобщим применение названия «Алмагест» для «Большого собрания» Птолемея указывает на влияние арабских переводов на Запад. Благодаря этим воспроизведениям и переводам до нас дошли многие греческие классики, которые иначе оказались бы потерянными. При этом проявлялась естественная склонность подчеркивать вычислительную и практическую сторону греческой математики за счет ее теоретической части. Арабская астрономия2) особенно интересовалась тригонометрией — слово «синус» является латинским переводом арабского написания санскритского слова «джива». Значения синуса соответствовали полухорде двойного угла (Птолемей применял полную хорду) и рассматривались как отрезки, а не как числа.

1) S. Gandz, The Sources of Al-Khwarizmi's Algebra, Osiris 1 (1936), 263—277.

2) Когда мы говорим «арабская наука», «арабские ученые», мы не имеем в виду только арабов. Напротив, многие арабские ученые были персами, таджиками, египтянами, евреями, маврами и т. д. Точно так же мы называем многих европейских авторов от Боэция до Гаусса «латинскими», так как они писали по-латыни. Арабский язык был международным языком исламского мира, как латинский — западного, а греческий — восточного христианского мира.

Значительная часть тригонометрии содержится в работах ал-Баттани (Альбатений, Albategnius, до 858—921), одного из великих арабских астрономов, который располагал также таблицей значений котангенса для каждого градуса («umbra extensa» — «развернутая тень») и умел решать задачи, сводившиеся к применению теоремы косинусов для сферических треугольников.

Труды ал-Баттани показывают, что арабы были не только переписчиками, овладев как греческими, так и восточными методами, они вносили новое. Абу-л-Вафа (940—

Могила Омара Хайяма в Нишапуре.

997/8) вывел теорему синусов сферической тригонометрии, вычислил таблицу синусов с интервалом в 15', значения в которой точны до восьмого десятичного знака, ввел отрезки, соответствующие секансу и косекансу, и выполнил много различных геометрических построений, применяя циркуль постоянного раствора. Он продолжал также, вслед за греками, изучение уравнений третьей и четвертой степени. Ал-Караджи (начало одиннадцатого столетия), написавший алгебру «для подготовленных», причем он следовал Диофанту, располагал интересными результатами относительно иррациональных чисел, как, например, формулами /8 + У ±8 = ]/5Ô, УМ — У 2 = У Ж Он проявлял определенную склонность к грекам, его «пренебрежение индийской математикой было столь явным, что должно было иметь систематический характер»1).

6. Нам нет необходимости прослеживать многочисленные политические и этнологические изменения в мире ислами. Они вызывали подъемы и падения в развитии астрономии и математики; одни центры исчезали, другие в течение некоторого времени процветали, но по сути общий характер исламской науки оставался без изменений. Мы укажем здесь лишь на некоторые высшие точки.

Около 1000 г. н. э. в Северной Персии появились новые правители, турки-сельджуки, государство которых процветало в районе, прилегающем к центру оросительной системы Мерву. Здесь жил Омар Хайям (ок. 1038/48— 1123/24), который стал известен на Западе как автор «Рубайят» (в переводе Фицджеральда, 1859 г.). Он был астрономом и философом:

(LIX)

Я рассчитал — твердит людей молва — Весь ход времен. Но дней ведь только два Изъял навек я из календаря: Тот, что не знаем — завтра, не вернем — вчера.

По-видимому, Омар имеет здесь в виду свою*) реформу старого персидского календаря, после чего календарь

1) G. Sarton, Introduction to the History of Science, I, стр. 719.

*) Или подготовленную им.

давал ошибку в один день за 5000 лет (1540 или 3770 лет по другим интерпретациям), тогда как наш нынешний грегорианский календарь дает ошибку в один день за 3330 лет. Его реформа была осуществлена в 1079 г., но позже его календарь был заменен мусульманским лунным календарем. Омар написал «Алгебру» (полное название: «Трактат о доказательствах алгебры и алмукабалы») — выдающееся достижение, так как в ней содержится систематическое исследование уравнений третьей степени. Применяя метод, которым иной раз пользовались греки, он определял корни этих уравнений как общие точки двух конических сечений. Он не искал числовых решений и различал — тоже в стиле греков — «геометрические» и «арифметические» решения, причем последние рассматривались как существующие лишь тогда, когда значения корней оказывались положительными рациональными числами. Таким образом, этот метод полностью отличался от метода болонских математиков шестнадцатого века, которые применяли чисто алгебраические приемы. В другой книге, в которой рассматриваются трудности у Евклида, Омар заменил аксиому параллельных целым рядом других допущений. Здесь он строил фигуры, которые можно связать с «гипотезами тупого, острого и прямого угла», как они сейчас используются в неевклидовой геометрии. Он заменил также евклидову теорию пропорций числовой теорией, причем он пришел к численному приближению иррациональностей и к общему понятию действительного числа.

После того как в 1256 г. монголы разграбили Багдад, неподалеку возник новый центр учености в виде Марагинской обсерватории, которая была построена монгольским правителем Хулагу для «нисбу» ат-Тусй (в европейской литературе чаще Насирэ (д) дин Туси, 1201—1274). Здесь опять возникло учреждение, в котором сосредоточилась вся наука Востока и которое можно было сравнивать с научными центрами Греции. Ат-Туси отделил от астрономии тригонометрию как самостоятельную науку. Его попытки доказать аксиому о параллельных Евклида, причем он следовал ходу мыслей Омара Хайяма, показывают, что он ценил теоретический метод греков. Влияние ат-Туси ощутимо в Европе эпохи Возрождения, и еще в 1651 и 1663 гг. Джон Валлис пользовался работой ат-Туси о постулате Евклида.

Ат-Туси был продолжателем традиций Омара и в своей теории пропорций, и в новых численных приближениях иррациональных чисел.

Другой персидский математик, ал-Каши (первая половина пятнадцатого столетия) проявляет большое искусство при выполнении вычислений, вполне сравнимое с тем, чего достигли европейцы в конце шестнадцатого века. Он решал уравнения третьей степени с помощью итерации и тригонометрическим методом, знал тот метод решения общих алгебраических уравнений высших степеней, который теперь носит имя схемы Хорнера и обобщает метод извлечения корней более высокого порядка из обычных чисел (тут вероятно китайское влияние). В его трудах мы находим формулу бинома для любых положительных целых показателей. Наряду с шестидесятичными дробями он применяет десятичные дроби с запятой (например, 25,07 помноженное на 14,3, записывается как 358,501), а число я было известно Каши с 16 десятичными знаками.

В Египте выдающейся личностью был Ибн ал-Хайсам (Алхазен, ок. 965—1039), крупнейший мусульманский физик, «Оптика» которого имела большое влияние на Западе. Он решил «Задачу Алхазена», в которой требуется из двух точек на площади круга провести прямые так, чтобы они встретились в точке окружности и в этой точке образовали равные углы с нормалью. Эта задача приводит к уравнению четвертой степени, она была решена в греческом духе с помощью пересечения гиперболы с окружностью. Алхазен применял также метод исчерпывания для вычисления объемов тел, которые получаются при вращении параболы вокруг какого-либо ее диаметра или ординаты. За сто лет до Алхазена в Египте жил алгебраист Абу Камил, который продолжал труды ал-Хорезми. Он оказал влияние не только на ал-Кархи, но и на Леонардо Пизанского.

Другой центр учености существовал в Испании. В Кордове жил один из самых выдающихся астрономов ал-Заркали (Арзахел, ок. 1029 г. — до примерно 1087 г.), наилучший наблюдатель своего времени и составитель так называемых Толедских планетных таблиц. Тригонометрические таблицы этого труда, который был переведен на латинский язык, оказали определенное влияние на развитие тригонометрии в эпоху Возрождения.

Хотя как почти вся математика Дальнего Востока, так и значительная часть исламской математики создавались в традиционном алгорифмическо-алгебраическом духе, они представляли собой существенное продвижение по отношению к античным методам. Лишь к концу шестнадцатого столетия Западная Европа достигла того же уровня.

7. Начиная с двенадцатого столетия, мы располагаем сведениями о японской математике. Многое здесь находится под китайским влиянием.

В семнадцатом столетии развиваются новые формы, отчасти на основе контактов с Европой. С этого периода на Западе наступает расцвет новых и более высоких форм математики1). Относительно китайской математики остается еще указать, что ее нельзя рассматривать как изолированное явление, подобно, скажем, математике Майя.

По крайней мере начиная с эпохи династии Хань (которая существовала примерно одновременно с Римской империей), всегда были значительные торговые и культурные связи с другими частями Азии и даже с Европой. Индийская, а позже арабская наука влияли на науку Китая, и такое влияние могло быть взаимным. Мы имеем в виду, например, десятичную позиционную систему и отрицательные числа, что, весьма возможно, пропутешествовало из Китая в Индию.

Влияние Индии на Китай могло быть обусловлено проникновением в Китай буддизма (первое столетие н. э.). Напротив, греческое влияние, несмотря на некоторое сходство в развитии, мало заметно или вовсе незаметно.

Поэтому, вероятно, исследования об отношении длины окружности к диаметру круга, типичные для периода после династии Хань, велись независимо от Архимеда. Лю Хуэй, составитель дошедшего до нас комментария к «Девяти книгам» (263 г. н. э.), с помощью вписанных и описанных правильных многоугольников нашел, что 3,1401 < л <^3,1427, а двумя столетиями позже Цзу

1) С западной математикой и астрономией Китай познакомил патер Маттео Риччи, который находился в Пекине с 1583 г. до своей смерти в 1610 г. См. Н. Воsmans, L'œuvre scientifique de Mathieu Ricci, S. J., Revue des Questions Scient., 1921, Janvier.

Чун-чжи (430—501) и его сын указали не только значение я с семью десятичными знаками, но и значения

Во времена династии Тан (618—907) при государственных экзаменах чиновников пользовались собранием важнейших математических текстов. В этот период было изобретено книгопечатание, но первые известные нам напечатанные математические произведения относятся к 1084 г. и более поздним. В 1115 г. появилось печатное издание «Девяти книг».

Уже в книге, составленной Ван Сяо-туном около 625 г., мы находим кубическое уравнение более сложное, чем уравнение хъ = а из «Девяти книг». Но период расцвета древнекитайской математики наступил только во времена династии Сун (960—1279) и первого периода владычества монголов при Юане («Большом хане» из описания путешествия Марко Поло). Из числа ведущих математиков мы упомянем Цинь Цзю-шао, который развивал тогда уже давнюю теорию неопределенных уравнений (его книга датирована 1247 г.). Один из его примеров можно записать следующим образом:

я = 32 (mod 83) = 70 (mod 110) = 30 (mod 135).

Цинь занимался также численным решением уравнений высших степеней, например

— X* + 763 200*2 — 40 642 560 000 = 0.

Свои уравнения он решал методом, являющимся обобщением метода последовательных приближений, который применялся уже в «Девяти книгах» для вычисления квадратных и кубических корней. В этом методе мы узнаем

1) Последнее значение для л могло быть получено из значений Птолемея и Архимеда: —— = ——-—. Это значение, которое является подходящей дробью при разложении л в цепную дробь, часто называют «числом Меция» по имени бургомистра Алкмара, Адриана Антониша (1584 г.), родом из Меца, чьи сыновья присвоили себе имя Меций.

прием, который в наших учебниках носит имя Хорнера, опубликовавшего его в 1819 г., по-видимому, не зная, что он обнаружил метод, имеющий давность около тысячи лет.

Другим математиком периода Сун был Ян Хуэй. Он работал с помощью десятичных дробей и записывал их в виде, напоминающем нашу современную запись (его книга относится к 1261 г.). Одна из его задач приводит к равенству

24,68x36,56-902,3008.

У Ян Хуэя мы находим самые давние из дошедших до нас изображений треугольника Паскаля, который мы снова встречаем в книге Чжу Ши-цзе, написанной в 1303 г. Чжу, которого считают самым выдающимся из математиков этого периода, дает в своих книгах наиболее полное изложение китайских арифметико-алгебраических методов вычисления. Он даже переносит «матричное» решение системы линейных алгебраических уравнений на уравнения высших степеней с несколькими неизвестными, применяя методы, напоминающие Сильвестра.

В эпоху после династии Сун математическая деятельность хотя и продолжалась, но уже более не достигала такого расцвета. Вообще мы можем сказать, что в сложных арифметических и алгебраических вопросах математики различных стран Ближнего и Дальнего Востока вполне могут быть сравниваемы друг с другом.

Например, метод Хорнера и десятичные дроби мы находим позже в книгах ал-Каши из Самарканда (около 1420 г.).

ЛИТЕРАТУРА

H. Suter, Die Mathematiker und Astronomen der Araber und ihre Werke, Leipzig, 1900; Nachträge — 1902.

Gm. H. P. J. Renaud, Isis 18 (1932), 166—183.

D. S. Gasir, The Algebra of Omar Khayam, New York, 1931.

R. Datta, The Science of the Sulba, a Study in Early Hindu Geometry, Calcutta, 1932 (2-е изд., Bombay, 1962).

G. R. Kage, The Bakhshali Manuscript. A Study in Medieval Mathematics, p. I—III, Calcutta, 1927—1933.

Algebra, with Arithmetic and Mensuration, from the Sanscrit of Brahmagupta and Bhascara, transi, by H. Т. Collebrooke, London, 1817; reprinted with Sanscrit text by Haren Chandra Banerji, Calcutta, 1927.

В. Dattа, A. N. Singh, History of Hindu Mathematics, I —II, Lahore, 1935—1938.

D. E. Smith, — L. С. Karpinski, The Hindu-Arabic Numerals, Boston, 1911.

L. G. Karpinski, Robert of Chesters Latin Translation of the Algebra of Al-Khwârizmï, New York, 1915.

T. Hayashi, A Brief History of the Japanese Mathematics, Nieuw Archief voor Wiskunde (2), 6 (1904—1905), 296—301.

D.E. Smith, Unsettled Questions Concerning the Mathematics of China, Scient. Monthly 33 (1931), 244—250.

F. Rosen, The Algebra of Mohammed ben Musa, London, 1831.

См. S. Gandz, Quellen und Studien 2A (1932), 61—85.

W. E. Clark, The Äryabhatya of Äryabhata, Chicago, 1930.

P. Luckey, Die Ausziehung der /i-ten Wurzel und binomische Lehrsatz in der islamischen Mathematik, Math. Ann. 120 (1947-1949), 217—274.

P. Luckey, Die Rechenkunst bei Gamsid b. Mas'üd al-Käsi, Wiesbaden, 1951.

См. также литературу к главе II.

На русском языке изданы:

Омар Хайям, Математические трактаты, перевод с арабского Б. А. Розенфельда, примечания Б. А. Розенфельда и А. П. Юшкевича, Историко-математические исследования VI (1953), стр. 11 — 172.

То же в отдельном издании с параллельным арабским текстом: Омар Хайям, Трактаты, М., 1962.

Мухаммед Насирэддин Туси, Трактат о полном четырехстороннике, перевод с арабского под ред. и с предисловием Г. Д. Мамедбейли и Б. А. Розенфельда, Баку, 1952.

Джемшид Гиясэддин Каши, Ключ к арифметике, Трактат об окружности, перевод с арабского Б. А. Розенфельда, примечания Б. А. Розенфельда и А. П. Юшкевича, М., 1956 (с параллельным арабским текстом оригинала); без последнего — в Историко-математических исследованиях VII (1954), стр. 11—449.

Насир ад-Дин ат-Туси, Трактат, исцеляющий сомнение по поводу параллельных линий, перевод Б. А. Розенфельда, вступ. статья и примечания Б. А. Розенфельда и А. П. Юшкевича, Историко-математические исследования XIII (1960), 475— 532.

Кази-Заде ар-Руми, Трактат об определении синуса одного градуса, перевод Б. А. Розенфельда, вступ. статья и примечания Б. А. Розенфельда и А. П. Юшкевича, там же, стр. 533—556.

Сабит ибн Корра ал-Харрани, Книга о доказательстве известного постулата Евклида, Историко-математические исследования XIV (1961), 593—597.

Шамсад-Дин Мухаммад ибн Ашраф а л-Хусайни ас-Самарканди, Основные предложения (отрывок), пер. Б. А. Розенфельда, там же, 598—602.

Хасан Ибн ал-Хайсам, Книга комментариев к введениям книги Евклида «Начал» (отрывок); Лев Герсонид, Комментарии к введениям книги Евклида (отрывок); перевод, вступ. статья

и примечания Б. А. Розенфельда, Историко-математические исследования XI (1958), 733—782.

Мухаммед ал-Хасан, Ахмад бану Муса, Книга измерения фигур (полное название: Измерения плоских и шаровых фигур), перевод Дж. ад-Даббаха, Историко-математические исследования XVI (1965), 389—426 (с примечаниями переводчика).

Сабит ибн Корра, Книга о том, что две линии, проведенные под углами, меньшими двух прямых, встретятся, Историко-математические исследования XV (1963), 363—380 (перевод и примечания Б. А. Розенфельда).

Его же, Книга о составных отношениях, перевод, примечания и статья о нем Б. А. Розенфельда и Л. М. Карповой, Физико-матем. науки в странах Востока, вып. 1 (1966), 5—41.

Ибрахим ибн Синан ибн Сабит ибн Корра, Книга о построении трех конических сечений, Историко-математические исследования XVI, 427—446 (перевод С. А. Красновой и Дж. ад-Даббаха, примечания С. А. Красновой).

Ал-Хорезми, Математические трактаты, перевод Б. А. Розенфельда и Ю. X. Копелевич, Ташкент, 1964.

Абу-р-Райхан ал-Бируни, Трактат об определении хорд в круге с помощью ломаной линии, вписанной в него (перевод и примечания С. А. Красновой и Л. М. Карповой), Из истории науки и техники в странах Востока, вып. 3 (1963), 93—147.

Его же, Книга об индийских рашиках, там же (перевод и примечания Б. А. Розенфельда), 148—167.

Абу-л-Вафа ал-Бузджани, Книга о том, что необходимо ремесленнику из геометрических построений (статья, перевод и примечания С. А. Красновой), Физико-матем. науки в странах Востока, вып. 1 (1966), 42—140.

Абу-л-Хасан ан-Насави, Достаточное об индийской арифметике (перевод и примечания М. И. Медового), Историко-математические исследования XV, 381—430.

Насир ад-Дин ат-Туси, Сборник по арифметике с помощью доски и пыли (перевод С. А. Ахмедова и Б. А. Розенфельда, примечания С. А. Ахмедова), там же, 431—444.

Омар Хайям, Первый алгебраический трактат (перевод и примечания С. А. Красновой и Б. А. Розенфельда), там же, 445-472.

Ибн-Сина, Математические главы «Книги Знания», перевод Б. А. Розенфельда и Н. А. Садовского, Душанбе, 1967. См. также:

Н. Юсупов, Очерки по истории развития арифметики на Ближнем Востоке, Казань, 1933.

А. П. Юшкевич, Омар Хайям и его «Алгебра», Труды Ин-та истории естествознания II (1948), 499—534.

Его же, Арифметический трактат Мухаммеда Бен-Муса ал-Хорезми, Труды Ин-та истории естеств. и техники 1 (1954), 85—127.

Его же, О математике народов Средней Азии в IX—XV веках, Историко-математические исследования IV (1951), 455—488.

Его же. История математики в средние века, М., 1961.

Б. А. Розенфельд, О математических работах Насирэддина Туси, там же, 489—512.

Ф. А. Касумханов, Теория непрерывных величин и учение о числе в работах Мухаммеда Насирэддина Туси, Труды Ин-та истории естеств. и техники I (1954), 128—145.

Б. А. Розенфельд и А. П. Юшкевич, Математика Ближнего и Среднего Востока в средние века, Советское востоковедение 3 (1958), 101 — 108 и 6 (1958), 66—76.

Г. П Матвиевская, К истории математики Средней Азии IX —XV веков, Ташкент, 1962.

Ее же; Учение о числе на средневековом Ближнем и Среднем Востоке, Ташкент. 1967.

Т. Н. Кары-Ниязов, Астрономическая школа Улугбека, М.—Л., 1950.

Ср. P. Luckey, Abh, Deutsche Akad. Wiss., Berlin, Klasse für Math., 1950, № 6 (1953).

М. Я. Выгодский. Происхождение «Правила двух ложных положений», Историко-математические исследования XII (1960), 231-252.

М. И. Медовой, Об арифметическом трактате Абу-л-Вафы, там же, 253—324.

Сунь Цзы, Математический трактат (перевод и комментарии Э. И. Березкиной), Из истории науки и техники в странах Востока, вып. 3 (1963), 5—70.

Шридхара, Патиганита (перевод с санскрита О. Ф. Волковой и А. И. Володарского, вступит, статья и примечания А. И. Володарского), Физико-матем. науки в странах Востока, вып. 1 (1966), 141—246.

Э.Я. Бахмутская, Степенные ряды для sin б и cos б в работах индийских математиков XV—XVIII вв., Историко-математические исследования ХШ (1960).

Э.Я. Бахмутская, Бесконечные ряды в работах математиков Южной Индии, Из истории науки и техники в странах Востока, вып. 2 (1961).

Глава V

ЗАПАДНАЯ ЕВРОПА. — НАЧАЛО

1. Наиболее развитой частью Римской империи как экономически, так и культурно всегда был Восток. Земледелие Запада было экстенсивным, никогда не имело в своей основе орошения, и это не содействовало астрономическим исследованиям. Действительно, Запад очень хорошо обходился минимумом астрономии, известным объемом практической арифметики и некоторыми приемами измерения для целей торговли и землемерия, стимулы же для развития этих наук шли с Востока. Когда Восток и Запад оказались политически разобщенными, такие стимулы почти полностью исчезли. Малоподвижная цивилизация Западной Римской империи сохранялась в течение ряда столетий лишь с незначительными изменениями или разрывами. Средиземноморское единство античной цивилизации тоже оставалось нетронутым, даже варварские вторжения не очень сказались на нем. Во всех германских королевствах, за исключением, пожалуй, британского, экономические условия, общественные установления и интеллектуальная жизнь в основном сохранялись такими, какими они были во время упадка Римской империи. Основой хозяйственной жизни было земледелие, причем рабы постепенно заменялись свободными земледельцами и арендаторами, но, кроме того, существовали процветавшие города и широко развитая торговля на основе денежного обращения. Главным авторитетом в греко-римском мире после падения Западной империи в 476 г. были на равных правах константинопольские императоры и римские папы. Католическая церковь Запада своими учреждениями и своим языком продолжала в меру своих возможностей культурные традиции Римской империи в германских

государствах. Монастыри и образованные миряне в известной мере сберегали греко-римскую цивилизацию. Один из таких мирян, дипломат и философ Аниций Манилий Северин Боэций (Boethius), был автором математических произведений, чей авторитет сохранялся в западном мире в течение более чем тысячи лет. На этих работах сказалось общее состояние культуры — они бедны содержанием, и то, что они сохранились, быть может, объясняется убеждением, что их автор в 524 г. погиб как мученик за католическую веру. Его «Основы арифметики» (Institutio arithmetica) — поверхностный перевод Никомаха, содержащий частично теорию чисел пифагорейцев, что вошло в средневековую науку как часть старинного тривиума и квадривиума: арифметика, геометрия, астрономия и музыка.

Трудно указать то время, когда на Западе экономика древней Римской империи исчезла и уступила место новому феодальному порядку. В какой-то мере этот вопрос разъясняется, если принять гипотезу Пиренна1), а именно что конец древнего западного мира наступил с экспансией ислама. Арабы лишили Византийскую империю всех ее провинций на восточных и южных берегах Средиземного моря и превратили восточную часть Средиземного моря в закрытое мусульманское озеро. На несколько столетий они чрезвычайно затруднили торговые связи между Ближним Востоком и христианским Западом. Пути интеллектуального общения между арабским миром и северными частями бывшей Римской империи в течение столетий были загромождены, хотя никогда не были перекрыты полностью.

В эту эпоху во франкской Галлии и в других бывших частях Римской империи хозяйственная деятельность широкого масштаба постепенно сворачивается, города приходят в упадок, доходы от налогов становятся незначительными. Денежное обращение вытесняется обменом, преобладает местная торговля. Западная Европа приходит в полуварварское состояние. С упадком торговли возрастает значение земельной аристократии, и крупные северофранкские землевладельцы, возглавляемые Каролингами, становятся решающей силой в стране франков. Экономические и культурные центры перемещаются

1) Н. Pirenn в, Mahomet et Charlemagne, Paris, 1937.

к северу, в северную Францию и в Британию. Отделение Запада от Востока настолько ограничивает реальную власть пап, что папство объединяется с Каролингами, символом чего было коронование Карла Великого в 800 году как императора Священной Римской империи. Западное общество стало феодальным и церковным, его ориентация была северной и германской.

2. В течение первых столетий западного феодализма даже в монастырях не очень высоко ставят математику. В земледельческом обществе этого периода, вновь ставшем примитивным, почти что отсутствовали факторы, которые содействовали бы развитию математики даже непосредственно практического характера. Математика в монастырях сводилась всего лишь к скромной арифметике церковного назначения, которой пользовались главным образом для вычисления пасхалий (так называемый «компутус»1). Боэций был высшим авторитетом. Известное значение среди этих математиков-церковников приобрел уроженец Британии Алкуин, связанный с двором Карла Великого. Его написанные по-латыни «Задачи для оттачивания ума» (см. стр. 88) содержат подборку задач, имевшую влияние на составителей учебников в течение ряда столетий. Многие из этих задач восходят еще к древнему Востоку. Например:

«Собака гонится за кроликом, который находится впереди нее в 150 футах, и при каждом прыжке делает 9 футов, в то время как кролик прыгает на 7 футов. За сколько прыжков собака нагонит кролика?»

«Через реку надо перевезти троих: волка, козу и кочан капусты; на лодке, кроме перевозчика, может поместиться только один из трех. Как перевезти их, чтобы коза не могла съесть капусту, а волк не мог съесть козу?»

Другим математиком-церковником был Герберт, Французский монах, который в 999 г. стал папой, приняв имя Сильвестра II. Под влиянием Боэция он написал несколько трактатов, но его значение как математика обусловлено в основном тем, что он был одним из первых западных ученых, ездивших в Испанию и изучавших математику арабского мира.

3. В развитии западного, восточного и раннего греческого феодализма имеются существенные различия.

1) Computus (лат.) — расчет, вычисления.

Экстенсивный характер западного земледелия делал излишней обширную систему бюрократической администрации, так что это не могло послужить основой для деспотизма восточного типа. На Западе не было возможности в широкой мере обеспечить пополнение рабов. Когда села Западной Европы вырастали в города, эти города превращались в самоуправляющиеся единицы и горожане не могли вести праздную жизнь, используя труд рабов. Это одна из основных причин, в силу которых греческие полисы и западные города, на начальных стадиях имеющие много общего, в дальнейшем становятся резко отличными друг от друга. Население средневековых городов должно было полагаться на свою собственную изобретательность в деле улучшения условий своей жизни. В двенадцатом, тринадцатом и четырнадцатом столетиях города выходят победителями в ожесточенной борьбе против феодалов-землевладельцев, сочетавшейся с гражданскими войнами. Основа их успехов — не только быстрое развитие торговли и денежного хозяйства, но и постепенное усовершенствование техники. Феодальные князья часто поддерживали города в их борьбе с более мелкими феодалами и при возможности устанавливали свою власть над городами. В конечном счете это повело к возникновению в Западной Европе первых национальных государств.

Города начали устанавливать коммерческие связи с Востоком, который все еще был центром цивилизации. Такие связи устанавливались иногда мирными средствами, иногда насильственным путем, как во времена крестовых походов. Первыми наладили торговые связи итальянские города, за ними последовали города Франции и Центральной Европы. За купцом и за солдатом следовали ученые, а иногда они были первыми. Испания и Сицилия были самыми близкими пунктами соприкосновения между Западом и Востоком, именно здесь западные купцы и студенты познакомились с цивилизацией стран ислама. Когда в 1085 г. Толедо был отвоеван христианами у мавров, студенты западных стран толпами устремились в этот город, чтобы изучать науку арабов. Они часто пользовались услугами переводчиков-евреев, а в двенадцатом столетии мы видим в Испании Платона из Тиволи, Гарардо из Кремоны, Аделарда из Бата и Роберта из Честера, — все они переводят на латинский язык арабские математи-

ческие рукописи. Именно так, через посредство арабов, Европа познакомилась с греческими классиками, а к этому времени Западная Европа была достаточно развита, чтобы оценить эти знания.

4. Как мы уже сказали, первые могущественные коммерческие города возникли в Италии. Здесь в течение двенадцатого и тринадцатого столетий Генуя, Пиза, Венеция, Милан и Флоренция вели обширную торговлю с арабским миром и с Севером. Итальянские купцы посещали Восток и знакомились с его цивилизацией. Путешествия Марко Поло доказывают бесстрашие этих искателей приключений. Как ионийские купцы почти за две тысячи лет до этого, они стремятся познакомиться с наукой и искусствами более древней цивилизации не только для того, чтобы повторять их, но и для того, чтобы использовать их в своей собственной новой системе. А в двенадцатом и тринадцатом столетиях мы видим уже рост банковского дела и зачатки капиталистической формы производства.

Первым из этих купцов, чьи математические работы выявляют известную зрелость, был Леонардо из Пизы. Леонардо, которого называли также Фибоначчи («сын Боначчо»), путешествовал по Востоку как купец. Вернувшись, он написал свою «Книгу абака»1) (Liber abaci, 1202 г.), заполненную арифметическими и алгебраическими сведениями, собранными им во время путешествий. В книге «Практика геометрии» (Practica geometriae, 1220 г.) Леонардо подобным же образом рассказывает о том, что он открыл в области геометрии и тригонометрии. Возможно, что он был к тому же оригинальным исследователем, так как в его книгах есть немало примеров, повидимому, не имеющих точных соответствий в арабской литературе2). Впрочем, он цитирует ал-Хорезми, например, при рассмотрении уравнения х2 + Юх = 39. Задача же, которая приводит к «ряду Фибоначчи»: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, каждый член которого есть сумма двух ему предшествующих, — по-видимому, является новой. Должно быть, новым является и его замечательное доказатель-

1) Абак — счетная доска.

2) Карпинский (L. G. Karpinski, Amer. Math. Monthly 21 (1914), стр. 37—48), основываясь на парижской рукописи, содержащей алгебру Абу Камиля, утверждает, что Леонардо в целом ряде задач следует Абу Камилю.

ство того, что корни уравнения Xs + 2х2 + Юх = 20 нельзя выразить с помощью евклидовых иррациональностей вида |/а_|_]/5 (следовательно, их нельзя построить с помощью только циркуля и линейки). Леонардо доказал это, проверяя каждый из пятнадцати случаев Евклида, а затем приближенно определил положительный корень этого уравнения, вычислив шесть шестидесятичных знаков.

Ряд Фибоначчи получается при решении следующей задачи:

Сколько пар кроликов может произойти от одной пары в течение года, если а) каждая пара каждый месяц порождает новую пару, которая со второго месяца становится производителем, и б) кролики не дохнут?

«Книга абака» была одним из источников для проникновения индийско-арабской системы нумерации в Западную Европу. Отдельные случаи применения этой нумерации имели место за столетия до Леонардо, — из Испании и с Востока ее привозили купцы, посланники, ученые, паломники и солдаты. Самый древний европейский манускрипт, содержащий числовые знаки этой системы, — это «Вигиланский кодекс» (Codex Vigilarius), написанный в Испании в 976 г. Однако эти десять знаков медленно проникали в Западную Европу, и самая ранняя французская рукопись, в которой мы их находим, относится к 1275 г. Греческая система нумерации оставалась общепринятой на побережье Адриатики в течение столетий. Вычисления часто производили на старинном абаке, доске со счетными жетонами или камушками (часто это сводилось к прямым линиям, проведенным на песке), в основном сходном со счетными досками, которыми все еще пользуются русские, китайцы, японцы. Для записи результатов вычисления на абаке в ходу были римские цифры. В течение средних веков и даже позже мы находим римские цифры в торговых книгах, и это указывает на то, что в конторах использовали абак. Против введения индийско-арабских знаков выступали и широкие круги, так как использование этих обозначений затрудняло чтение торговых книг. В установлениях «Искусства обмена» (Arte del Cambio, 1299 г.) флорентийским банкирам запрещалось пользоваться арабскими цифрами. Лишь в четырнадцатом столетии итальянские купцы начали

применять некоторые арабские цифры в своих счетных книгах1).

5. Вместе с расширением торговли постепенно интерес к математике стал распространяться и на северные города. Поначалу это был практический интерес, и в течение нескольких столетий арифметику и алгебру вне университетов преподавали профессиональные мастера счета, которые обычно не знали классиков, но зато обучали бухгалтерии и навигации. В течение долгого времени математика такого рода хранила явные следы своего арабского происхождения, о чем свидетельствуют такие слова, как алгебра и алгорифм.

Теоретическая математика не исчезла целиком в Средние века, но ею занимались не люди дела, а философы-схоласты. У схоластов изучение Платона и Аристотеля, в сочетании с размышлениями о природе божества, приводило к тонким рассуждениям относительно сущности движения, сущности континуума и бесконечности, Ориген, следуя Аристотелю, отрицал существование актуально бесконечного, но святой Августин в своем «Граде божьем» принимал всю последовательность целых чисел как актуальную бесконечность. Он говорит об этом так, что, по замечанию Георга Кантора, нельзя более энергично стремиться к трансфинитному и нельзя его лучше определить и обосновать, чем святой Августин2). Писатели-схоласты средневековья, в частности Фома Аквинский, принимали аристотелевское «нет актуально бесконечного» (infinitum actu non datur) и каждый континуум рассматри-

1) В счетных книгах Медичи (датируемых с 1406 г.) в коллекции Селфриджа, хранящейся в Гарвардской высшей торговой школе, индийско-арабские цифры часто встречаются в так называемом описательном столбце. Начиная с 1439 г. цифры эти вытесняют римские цифры в так называемом денежном столбце книг первичной записи: журналах, расходных и др., но лишь после 1482 г. они вытесняют римские цифры в денежных столбцах конторских книг всех купцов, имевших дело с Медичи, за исключением одного. Начиная с 1494 г. во всех счетных книгах Медичи пользовались только индийско-арабскими цифрами. (Данные из письма Флоренса Эдлера де Рувер). См. также F. Edler, Glossary of Medieval Terms of Business, Cambridge, Mass., 1934, стр. 389.

2) Письмо Кантора к Эйленбургу (Eulenburg),. 1886, Ges. Abhandlungen, Berlin, 1932, стр. 400—402. Кантор цитирует восемнадцатую главу двенадцатой книги «Града божьего», отрывок, озаглавленный «Против тех, что говорят, будто бесконечные предметы превышают знание божье».

вали как потенциально делимый до бесконечности. Таким образом, не было наименьшего отрезка, ибо каждая часть отрезка обладала свойствами отрезка. Поэтому точка не была частью линии, поскольку точка неделима: «из неделимых нельзя составить какого-либо континуума» (ex indivisibilis non potest compari aliquod continuum). Точка могла образовать линию с помощью движения. Подобные рассуждения оказали влияние на изобретателей исчисления бесконечно малых в семнадцатом веке и на философов, занимавшихся трансфинитным, в девятнадцатом веке; Кавальери, Такке, Больцано и Кантор знали авторов-схоластов и размышляли о значении их идей.

[5] Ученые средневековья, о которых идет здесь речь, рассматривали понятия разрывного и непрерывного, конечного и бесконечного преимущественно в связи с философскими и физическими (анализ процесса движения) проблемами. Но физика еще не стала экспериментальной наукой, математика не располагала достаточно удобным языком алгебраических обозначений, так что в логическом анализе понятий непрерывности и бесконечности схоласты четырнадцатого века оперировали, в сущности, тем же материалом, который был в распоряжении античной науки, и наталкивались на те же трудности. Поэтому в ближайшие столетия интерес к такой проблематике ослабевает. Новое обращение к ней в семнадцатом веке связано с успехами новой физики и механики. Галилей нигде не упоминает своих схоластических предшественников. Кавальери фактически не опирается на них. Вообще преодоление (в том или ином смысле, включая и отбрасывание) «парадоксов бесконечного» и других «парадоксов» всякий раз происходило в силу возникновения новых проблем и формирования или вторжения новых понятий. Обращение же к прошлому (у тех, кто его знал) позволяло оценить меру продвижения, иной раз — использовать авторитет предшественников1).

Эти духовные лица иной раз получали результаты, которые имели непосредственное математическое значение. Томас Брадвардин, который стал архиепископом Кентерберийским, изучив Боэция, занимался исследованием звездчатых многоугольников. Наиболее значительным среди этих средневековых математиков из духовенства был Николай Орезм, епископ города Лизье в Нормандии, применявший дробные степени. Так как 43 = 64 = 82, он записывал 8 как или как y-|J^» чт0 обозначало 41 2,

1) См., например, J. Pogrebysski, Sur la préhistoire de la théorie des ensembles (в книге: Mélanges, A. Koyré, Paris, 1964).

Он написал также трактат под названием «О размерах форм» (De latitudinibus formarum, ок. 1360 г.), в котором он графически сопоставляет значение зависимого переменного (latitudo) и независимого переменного (longitudo). Это нечто вроде перехода от координат на земной или небесной сфере, известных в античности, к современной координатной геометрии. Этот трактат несколько раз был напечатан между 1482 и 1515 гг., и возможно, что он оказал влияние как на математиков Ренессанса, так и на Декарта.

6. Математика развивалась главным образом в растущих торговых городах, под непосредственным влиянием торговли, навигации, астрономии и землемерия. Горожан интересовал счет, арифметика, вычисления. Зомбарт окрестил эту заинтересованность бюргерства пятнадцатого и шестнадцатого столетий немецким словом Rechenhaftigkeit1). Ведущими представителями этой приверженности к практической математике были мастера счета, и только изредка к ним присоединялся кто-либо из университетских людей, понявший благодаря изучению астрономии важность улучшения вычислительных методов. Центрами новой жизни были итальянские города и такие города Центральной Европы, как Нюренберг, Вена и Прага. После падения Константинополя в 1453 г., когда Византийская империя перестала существовать, многие ученые греки переселились в города Запада. Возрос интерес к оригинальным греческим произведениям, и стало легче удовлетворять этот интерес. Профессора университетов и образованные миряне изучали греческие тексты, а честолюбивые мастера счета не оставались в стороне и старались понять эту новую науку на свой манер.

Типичен для этого периода Иоганн Мюллер из Кенигсберга, иначе Региомонтанус, ведущая математическая фигура пятнадцатого столетия. В деятельности этого замечательного вычислителя, мастера инструментов, печатника и ученого выявились те достижения европейской математики, которые были сделаны в течение двух столетий после Леонардо Пизанского. Региомонтанус усердно

1) W. Sombart, Der Bourgeois, München — Leipzig, 1913, стр. 164. Есть русский перевод: В. Зомбарт, Буржуа, М., 1924. Rechenhaftigkeit — «расчетолюбие». Это слово должно указывать на готовность вычислять, на убеждение в полезности занятий арифметикой.

переводил и публиковал доступные ему математические рукописи классиков. Еще его учитель, венский астроном Георгий Пурбах (Peurbach), автор астрономических и тригонометрических таблиц, начал переводить с греческого языка астрономию Птолемея. Региомонтанус закончил этот перевод и, кроме того, перевел Аполлония, Герона и наиболее трудного из всех — Архимеда. Его главное оригинальное произведение — книга «О различных треугольниках» (De triangulis omnimodus libri quinque, 1464 г., напечатана лишь в 1533 г.), полное введение в тригонометрию, отличающееся от наших нынешних учебников главным образом отсутствием современных удобных обозначений. Здесь содержится теорема синусов для сферического треугольника. Все теоремы все еще формулируются словесно. Отныне тригонометрия становится наукой, не зависящей от астрономии. Нечто подобное было сделано Насир-ад-Дином в тринадцатом столетии, но существенно то, что его труды не получили значительного дальнейшего развития, тогда как книга Региомонтануса оказала глубокое влияние на дальнейшее развитие тригонометрии и на ее применение к астрономии и алгебре. Много труда положил Региомонтанус и на вычисление тригонометрических таблиц. Он составил таблицу синусов с интервалом в одну минуту, принимая радиус окружности равным 60 000 (опубликована в 1490 г.).

Значения синуса рассматривались как отрезки, представлявшие полухорды соответствующих углов в круге, поэтому они зависели от длины радиуса. При большем радиусе достигалась большая точность и не надо было применять шестидесятичные (или десятичные) дроби. Систематическое применение радиуса, равного 1, и тем самым определение синуса, тангенса и т. д. как отношений (чисел) идет от Эйлера (1748 г.).

7. До сих пор прежние достижения греков и арабов не были заметным образом превзойдены. Классики оставались пес plus ultra1). науки. Поэтому, когда итальянские математики в начале шестнадцатого века на деле показали, что можно развить новую математическую теорию, которой не было у древних и у арабов, это было большой и вдохновляющей неожиданностью. Такая теория, которая привела к общему алгебраическому решению кубических

1) То, чего нет выше (лат.).

уравнений, была открыта Сципионом дель Ферро и его учениками в Болонском университете.

В итальянских городах и после эпохи Леонардо математика занимала видное место. В пятнадцатом столетии мастера счета в Италии хорошо владели арифметическими операциями, включая действия с иррациональностями (без каких-либо угрызений математической совести), а итальянские художники были хорошими геометрами. Вазари1) в своих «Жизнеописаниях» подчеркивает, что художники пятнадцатого века проявили большой интерес к геометрии пространства. Одним из их достижений была разработка теории перспективы такими людьми, как Альберти и Пьеро делла Франческа; последний написал также книгу о правильных телах. Мастера счета нашли своего истолкователя в лице францисканского монаха Луки Пачоли (Pacioli), чья книга «Сумма арифметики», одна из первых печатных математических книг, появилась

Лука Пачоли (1450—1520) с юным герцогом из Урбино справа.

1) Д. Вазари, Жизнеописания..., тт. 1—11, М., 1956 — 1963 (изд. продолжается).

в 1494 г.1). Написанная на итальянском языке, притом на не слишком изящном, она содержала все, что тогда знали по арифметике, алгебре и тригонометрии. Отныне пользование индийско-арабскими цифрами стало общепринятым, а арифметические обозначения в этой книге не слишком отличаются от наших. Пачоли закончил свою книгу замечанием, что решение уравнений хъ + тх = = п, X3 + п = тх столь же невозможно при современном ему состоянии науки, как и квадратура круга.

Это стало отправной точкой для математиков Болонского университета. Болонский университет в конце пятнадцатого столетия был одним из самых больших и самых известных в Европе. Было время, когда только его астрономический факультет насчитывал шестнадцать лекторов. Студенты толпами устремлялись из всех частей Европы, чтобы слушать здесь лекции, а также на публичные диспуты, которые привлекали многих спортивно настроенных слушателей. В разные времена студентами этого университета были Пачоли, Альбрехт, Дюрер и Коперник. Для новой эпохи характерным было стремление не только усвоить науку классиков, но и создать новое, перешагнуть через границы, указанные классиками. Искусство книгопечатания и открытие Америки указывали на наличие таких возможностей. Но можно ли создать новую математику? Древние греки и восточные народы испытывали свою изобретательность на решении уравнений третьей степени, но они только численно решили несколько частных случаев. Теперь же болонские математики пытались найти общее решение.

Эти уравнения третьей степени можно было свести к трем типам:

Xs -[- Р% = 9< X3 = рх-\- д, Xs + g = рх,

где рид — положительные числа. Они были тщательно исследованы профессором Сципионом дель Ферро, который умер в 1526 г. Можно сослаться на авторитет Бортолотти, утверждающего, что дель Ферро действительно решил все типы. Он никогда не публиковал своих решений и рассказал о них лишь немногим друзьям. Но об этом

1) Первыми печатными математическими книгами были коммерческая арифметика (Тревизо, 1478 г.) и латинское издание «Элементов» Евклида (Венеция, 1482 г.).

открытии стало известно, и после смерти Сципиона венецианский мастер счета, по прозвищу Тарталья (заика), переоткрыл его приемы (1535 г.). Он публично продемонстрировал свои результаты, но по-прежнему держал втайне тот метод, с помощью которого он получил их. Наконец, он раскрыл свои соображения ученому доктору из Милана, Иерониму Кардано, который поклялся, что будет хранить их втайне. Однако, когда Кардано в 1545 г. опубликовал свою внушительную книгу по алгебре «Великое искусство» (Ars magna), Тарталья с возмущением обнаружил, что в ней полностью раскрыт его метод, с должным признанием заслуг автора открытия, но тем не менее уворованный. Завязалась ожесточенная полемика, с обеих сторон сыпались оскорбления. Защитником Кардано был молодой ученый из дворян Людовико Феррари. Эта перепалка породила несколько интересных документов, среди них «Вопросы» (Quaesiti) Тартальи (1546 г.) и «Вызовы» (Cartelli) Феррари (1547—1548 гг.), которые довели до всеобщего сведения всю историю этого замечательного открытия.

Полученное решение теперь известно как формула Кардано, и в случае уравнения х3 + рх = g оно имеет вид

Мы видим, что это решение вводит выражения вида

отличные от евклидовых.

«Великое искусство» Кардано содержало и другое блестящее открытие: метод Феррари сведения решения общего уравнения четвертой степени к решению кубического уравнения. Уравнение Феррари имело вид ж4 + + 6х2 + 36 — 60 X, он его сводил к уравнению у3 + 15г/2+ +36?/ = 450. Кардано рассматривал и отрицательные числа, называя их «вымышленными», но он не был в состоянии что-либо сделать в так называемом «неприводимом случае» уравнения третьей степени, когда налицо три действительных корня, но они получаются в виде суммы или разности чисел, называемых теперь мнимыми.

Эта трудность была преодолена последним из больших болонских математиков шестнадцатого века, Рафаэлем

Бомбелли, чья «Алгебра» появилась в 1572 г. В этой книге и в «Геометрии», написанной около 1550 г. и оставшейся в рукописи, он вводит последовательную теорию мнимых и комплексных чисел. Он записывает 3i как ]А) — 9 (буквально так: R[0m, 9], где R обозначает корень (radix), a m обозначает meno, т. е. меньше, минус). Это позволило Бомбелли разрешить неприводимый случай, показав, например, что

Книгу Бомбелли читали многие: Лейбниц изучал по ней кубические уравнения, Эйлер цитирует Бомбелли в своей «Алгебре», в главе об уравнениях четвертой степени. Отныне комплексные числа потеряли кое-что из своей сверхъестественности, хотя полное их признание произошло только в девятнадцатом столетии.

Любопытен тот факт, что впервые мнимости были введены в теории кубических уравнений в том случае, когда было ясно, что действительное решение существует, хотя и в нераспознаваемом виде, а не в теории квадратных уравнений, в которой они появляются в наших современных учебниках.

8. Алгебра и арифметика в течение многих десятилетий оставались у математиков любимым объектом исследований. Это стимулировалось не только Rechenhaftigkeit торговой буржуазии, но также и запросами землемерия и мореплавания, которые выдвигались правительствами новых национальных государств. Инженеры были нужны для возведения публичных зданий и военных сооружений. Астрономия, как и в предыдущие периоды, оставалась важной областью математических исследований. Это было время великих астрономических теорий Коперника, Тихо Браге и Кеплера. Возникало новое представление о вселенной.

Философская мысль отражала тенденции научного мышления, и Платон с его преклонением перед количественным и математическим рассуждением начал брать верх над Аристотелем. В частности, влияние Платона очевидно в работах Кеплера. Появлялись все более точные тригонометрические и астрономические таблицы, прежде всего в Германии. Таблицы Ретика (G. J. Rhäticus), законченные в 1596 г. его учеником Валентином Ото (Otho), содержали

значения всех шести тригонометрических величин через каждые десять секунд с десятью знаками. Таблицы Питискуса (Pitiscus, 1613 г.) были доведены до пятнадцатого знака. Совершенствовалась техника решения уравнений, углублялось понимание природы их корней. Для этой эпохи характерен публичный вызов, сделанный в 1593 г. бельгийским математиком Адриэном ван Роменом (Roomen), решить уравнение сорок пятой степени

z45 — 45z43 + 945z41 — 12 300z39 + ... — 3 7 95z3 + 45z = А.

Ван Ромен указал некоторые частные случаи, например

что дает

эти случаи подсказаны рассмотрением правильных многоугольников. Франсуа Виет, французский юрист, состоявший при дворе Генриха IV, решил задачу ван Ромена, заметив, что левая часть уравнения соответствует выражению sin ф через sinj^. Поэтому решение можно найти с помощью таблиц. Виет нашел двадцать три решения вида sin ^Jg + тг • 8°j, отбрасывая отрицательные корни. Он также свел решение Кардано кубического уравнения к тригонометрическому, и при этом неприводимый случай перестал быть устрашающим, так как дело обошлось без введения выражений вида j/0 — а. Такое решение можно теперь найти в учебниках высшей алгебры.

Главное достижение Виета состоит в усовершенствовании теории уравнений (например, в работе «Введение в аналитическое искусство», In artem analyticam isagoge, 1591 г.). Он был одним из первых, кто числа изображал буквами. Использование численных коэффициентов, даже в «риторической» алгебре школы Диофанта, препятствовало общему рассмотрению алгебраических задач. Работы алгебраистов шестнадцатого века («коссистов», от итальянского слова cosa — «вещь», «нечто», — которым обозначали неизвестное) написаны с помощью очень сложных обозначений. Но «видовая логистика» Виеты означала появление (наконец-то) общей символики, в которой буквы

были использованы для выражения численных коэффициентов, знаки «+» и «— » применялись в нашем современном смысле, а вместо Л2 писали: «Л квадратное». Эта алгебра все еще отличалась от нашей из-за того, что

Виет придерживался греческого принципа однородности, согласно которому произведение двух отрезков обязательно рассматривалось как площадь и в соответствии с этим отрезки можно было складывать только с отрезками, площади с площадями, объемы с объемами. Даже сомневались в том, имеют ли смысл уравнения степени выше третьей, так как они могли быть истолкованы лишь в четырех измерениях, а это едва ли можно было понять в те времена.

Франсуа Виет (1540—1603).

В описываемый период вычислительная техника достигла новых высот. Виет улучшил результат Архимеда и нашел я с девятью десятичными знаками. Вскоре после того я было вычислено с тридцатью пятью десятичными знаками Лудольфом ван Цейленом (Ludolf van Ceulen) из Дельфта, использовавшим описанные и вписанные правильные многоугольники со все большим и большим числом сторон. Виет нашел также выражение я в виде бесконечного произведения (1593 г.); в наших обозначениях

Усовершенствование техники было результатом усовершенствования обозначений. А новые результаты показывают, что было бы неверным заявлять, будто люди, подобные Виету, «всего лишь» усовершенствовали обозначение. Подобные заявления пренебрегают глубокой зависимостью между содержанием и формой. Новые результаты часто становятся возможными лишь благодаря новому способу записи. Одним из примеров этого является введение индийско-арабских цифр, другим примером может быть символика Лейбница в анализе. Подходящее обозначение лучше отображает действительность, чем неудачное, и оно оказывается как бы наделенным собственной жизненной силой, которая в свою очередь порождает новое. За усовершенствованием обозначений Виета поколение спустя последовало применение алгебры к геометрии у Декарта.

9. В новых торговых государствах, особенно во Франции, Англии и Голландии, был большой спрос на инженеров и «арифметиков». Астрономия процветала во всей Европе. После открытия морского пути в Индию итальянские города уже не были на магистральной дороге, ведущей на Восток, хотя они еще оставались важными центрами. Вот в связи с этим мы среди великих математиков и вычислителей начала семнадцатого века видим инженера Симона Стевина, астронома Иоганна Кеплера, землемеров Адриана Влакка и Езекииля де Деккера.

Стевин, бухгалтер из Брюгге, стал инженером в армии принца Мориса Оранского, оценившего в нем сочетание здравого смысла, оригинальности и теоретического мышления. В работе «Десятая» (La disme, 1585 г.) он ввел десятичные дроби, что было составной частью проекта

унификации всей системы мер на десятичной основе. Это было одним из больших усовершенствований, которые стали возможными благодаря всеобщему принятию индийско-арабской системы счисления.

Другим большим усовершенствованием вычислительной техники было изобретение логарифмов. Некоторые математики шестнадцатого столетия в известной мере занимались сопоставлением арифметической и геометрической прогрессий, главным образом с целью облегчить работу со сложными тригонометрическими таблицами. Важным достижением на этом пути мы обязаны шотландскому лорду Джону Неперу (Neper или Napier), который в 1614 г. напечатал свое «Описание удивительного канона логарифмов» (Mirifici logarithmorum canonis descriptio). Основной идеей Непера было построение двух последовательностей чисел, связанных таким образом, что когда одна из них возрастает в арифметической прогрессии, другая убывает в геометрической. При этом произведение двух чисел второй последовательности находится в простой зависимости от суммы соответствующих чисел первой последовательности и умножение можно свести к сложению. С помощью такой системы Непер мог значительно облегчить вычислительную работу с синусами. Первоначальный способ Непера был в достаточной мере неуклюжим, так как его две последовательности соответствовали, в современных обозначениях, формуле

где а = 1071).

Когда X = хх + х2, мы получаем не у = угу2, а

Такая система не удовлетворяла и самого Непера, как он сообщил своему почитателю Генри Бриггсу, профессору одного из лондонских колледжей. Они решили выбрать функцию у = 10*, при которой X = хг + х2 действительно дает

1) Следовательно, Nep log у = 107 (In 107 — In у) = 161 180 957 — 107 In у и Nep log 1 = 161 180 957; здесь In x обозначает наш натуральный логарифм.

После смерти Непера Бриггс осуществил это предложение и в 1624 г. опубликовал свою «Логарифмическую арифметику», содержавшую «бригговы» логарифмы с четырнадцатью знаками для целых чисел от 1 до 20 000 и от 90 000 до 100 000.

Джон Непер (1550—1617).

Пробел от 20 000 до 90 000 был заполнен Езекиилем де Деккером, голландским землемером, который с помощью Влакка опубликовал в 1627 г. полную таблицу логарифмов.

Новое изобретение сразу же приветствовали математики и астрономы, в частности Кеплер, который до этого приобрел большой и нелегкий опыт в деле обширных вычислений.

Данное здесь истолкование логарифмов с помощью показательной функции исторически в известной мере ложно, так как понятие показательной функции восходит только к концу семнадцатого века. У Непера не было понятия основы логарифмов.

Натуральные логарифмы, связанные с функцией?/ = ех, появились почти одновременно с бригговыми, но их фундаментальное значение было понято лишь тогда, когда стали лучше понимать исчисление бесконечно малых1).

[6] В кратком изложении истории математики в средние века имеются существенные пробелы. Одним из них является то, что совершенно нет сведений о математике у славянских народов и в Закавказье. В связи с этим мы отсылаем читателя к «истории отечественной математики» под редакцией И. 3. Штокало (т. I, С древнейших времен до конца XVIII в., Киев, 1966). См. также:

Г. Б. Петросян, История математики в Армении (на армянском языке, русск. и англ. резюме), Ереван, 1960.

Д. Г. Цхакая, История математических наук в Грузии с древнейших времен до начала XX века, Тбилиси, 1959.

Кирик Новгородец. Учение им же ведати человеку числа всех лет, примечания В. П. Зубова, Историко-математические исследования VI (1953).

В. П. Зубов, Кирик Новгородец и древнерусские деления часа, там же.

Г. Феттер, Краткий обзор развития математики в чешских землях до Белогорской битвы, Историко-математические исследования XI (1958).

В изложении автора не затронут и такой, правда, мало исследованный вопрос, как роль Византии в сохранении и передаче научного наследия античности. См. в связи с этим

К. Vogel, Der Anteil von Bizanz an Erhaltung und Weiterbildung der griechischen Mathematik, Miscellanea Mediaevalia, t.I, 1962.

ЛИТЕРАТУРА

О распространении индийско-арабских цифр в Европе см.: D. E. Smith — L. С. Karpinski, The Hindu-Arabic Numerals, Boston — London, 1911.

О теоретической математике средневековья см.:

СВ. Boyer, The concepts of the Calculus, гл. III (New York, 1939; 2-е изд., 1958).

N. Оresm, Quaestiones super geometriam Euclidis (Leiden, 1961, с английским переводом).

1) Некоторые натуральные логарифмы вычислили Райт (Е. Wright, 1618 г.) и Спейдель (J. Speidel, 1619 г.); но после этого никакие таблицы этих логарифмов не появлялись до 1770 г. См. F. Cajori, History of the Exponential and Logarithmic Concepts, Ainer. Math. Monthly 20 (1913).

F. Vera, Historia de la mathemalica en Espana, I. Tiempos priraitivos hasta el siglo XIII, Madrid, 1929.

M. Steinschneider, Die Mathematik der Juden, Bibliotheca mathem., Neue Folge, 7—13 (1893—1899).

Итальянская математика шестнадцатого и семнадцатого веков была предметом ряда работ E. Bortolotti, написанных в 1922—1928 гг., например: Periodico di mathematica 5 (1925), 147— 184; 6 (1926), 217—230; 8 (1928), 19—59; Scientia (1923), 385—394; eго жe, I contributi del Tartaglia, del Gardano, del Ferrari e della scuola matematica bolognese alia teoria algebrica della equazione cubica, Imola, 1926, и La storia delle matematiche nella Universita di Bologna, Bologna, 1947.

Автобиография Кардано издана в переводах на русский (Дж. Кардано, О моей жизни, М., 1938) и на английский язык (H. Cardano, My Life, New York, 1930).

О нем см. О. Ore, Gardano, the Gambling Scholar, Princeton, 1953; 2-е изд., 1965.

Обширные сведения о математиках шестнадцатого и семнадцатого веков и об их трудах содержатся в работах Н. Вosmans'а, большинство которых появилось в Annales de la Société Scientifique Bruxelles за годы 1905—1927. Полный список этих работ см. A. Rome, Isis 12 (1929), 88.

Кроме того, см.:

Р. Treutlein, Das Rechnen im 16 Jahrhundert, Abh. zur Geschichte der Math. 1 (1877), 1—100.

M. Steck, Dürers Gestaltlehre der Mathematik und der bildenden Künste (Halle, 1948).

H. S. Carslaw, The Discovery of Logarithms by Napier, Math. Gaz. (1915—1916), 76—84, 115—119.

E. Zinner, Leben und Wirken des Johannes Müller von Köningsberg genannt Regiomontanus (München, 1958).

J. D. Bond, The Development of Trigonometrie Methods down to the Close of the Fifteenth Century, Isis 4 (1921 — 1922), 295—323.

F. A. Yeldham, The Story of Reckoning in the Middle Ages (London, 1926).

W. Blaschke, G. Schoppe, Regiomontanus, Commensurator, Berlin, 1956.

B. Geyer, Die mathematischen Schriften des Albertus Magnus, Angelicus 35 (1958), 159—175.

Thomas of Brad vv ardine, Tractatus de Proportionibus, изд. H. L. Crosby, Madison, Wis., 1955.

G. Sarton, Simon Stevin of Bruges. Isis 21 (1934), 241-303.

E. J. Dijksterhuis, Simon Stevin (s'Gravenhaye, 1943).

Simon Stevin, Coll. Works (4 тома, 1955—1964).

Nikolaus von Cues, Math. Schriften, übersetzt und heraus gegeben von J. und J. E. Hofmann (Hamburg; 1952).

L. Thorndike, The Sphere of Sacrobosco (Chicago, 1949).

E. G. R. Taylor, The mathematical practitioners of Tudoi and Stuart England (Cambridge, 1954).

M. Clagett, The science of mechanics in the Middle Ages (Madison, Wis. — London, 1959).

На русском языке см.:

Н. Орезм, Трактат о конфигурации качеств, перевод, вступ. статья и примечания В. П. Зубова, Историко-математические исследования XI (1958), 601—731.

В. П. Зубов, Трактат Брадвардина «О континууме», Историко-математические исследования XIII (1960), 385—440.

Г. Э. Гариг, Спор Тартальи и Кардано о кубических уравнениях и его общественные основы, Архив истории науки и техники 7 (1935), 67—104.

Я. В. Успенский, Очерк истории логарифмов, Пг., 1923.

Л. Я. Гиршвальд. История открытия логарифмов, Харьков, 1952.

П. Таннери, Исторический очерк развития естествознания в Европе с 1300 по 1900 г., М. — Л., 1934 (также к следующим главам).

Л. Ольшки, История научной литературы на новых языках, I—III, перевод с немецкого, М.—Л., 1933—1934.

Глава VI

СЕМНАДЦАТОЕ СТОЛЕТИЕ

1. Стремительное развитие математики в эпоху Возрождения было обусловлено не только «счетным уклоном» (Rechenhaftigkeit) купеческого класса, но и эффективным использованием и дальнейшим усовершенствованием машин. Восток и классическая древность пользовались машинами, машинами вдохновлялся гений Архимеда. Однако существование рабства и отсутствие экономически прогрессивного городского уклада жизни сводили на нет пользу от машин в этих более древних общественных формациях. На это указывают труды Герона, в которых есть описание машин, но только предназначенных для развлечения или мистификации.

Во времена позднего средневековья машины вошли в употребление в небольших мануфактурах, на общественных стройках и в горном деле. Все это были предприятия, организованные городскими купцами или владетельными князьями прибыли ради; часто это происходило в борьбе с городскими гильдиями. Военное дело и навигация также побуждали совершенствовать орудия труда и в дальнейшем заменять их машинами.

Уже в начале четырнадцатого столетия в Лукке и в Венеции существовала хорошо организованная шелковая промышленность. Она основывалась на разделении труда и на использовании энергии воды. В пятнадцатом столетии в Центральной Европе горное дело развилось в капиталистическую промышленность, технической основой которой было использование насосов и подъемных машин, что позволяло вести бурение до все более глубоких пластов. Изобретение огнестрельного оружия и книгопечатания, строительство ветряных мельниц и каналов,

постройка судов для океанского плавания требовали инженерного искусства и заставляли задумываться над техническими проблемами. Благодаря усовершенствованию часов, которыми пользовались астрономы и мореплаватели и которые часто устанавливались в общественных местах, замечательные произведения механического искусства стали доступны общему обозрению. Правильность движения часов и те возможности, которые они давали для точного указания времени, производили глубокое впечатление на философски настроенные умы. В эпоху Возрождения и даже в течение последующих столетий часы рассматривали как модель вселенной. Это оказало существенное влияние на развитие механистической концепции мира.

От машин путь вел к теоретической механике и к научному изучению движения и изменения вообще. Античность уже дала трактаты по статике, и исследования по теоретической механике нового времени, естественно, опирались на статику классических авторов. Задолго до изобретения книгопечатания появлялись книги о машинах, сначала эмпирические описания (Kyeser, начало пятнадцатого века), затем более теоретические, как книга Леона Баттисты Альберти об архитектуре (ок. 1450 г.) и рукописи Леонардо да Винчи (ок. 1500 г.). В рукописях Леонардо в зародыше содержалась вполне механистическая теория природы. Тарталья в своей «Новой науке» (1537 г.) рассматривал конструкцию часов и траектории снарядов, но он еще не обнаружил параболической орбиты, впервые открытой Галилеем. Опубликование латинских изданий Герона и Архимеда способствовало такого рода исследованиям. Особое значение имело издание Архимеда, выполненное Ф. Коммандино, которое появилось в 1558 г. и сделало доступным математикам античный интеграционный метод. Сам Коммандино применил эти методы для вычисления центров тяжести (1565 г.), хотя с меньшей строгостью, чем его учитель.

Вычисление центров тяжести стало любимым предметом у изучавших Архимеда, так как они старались применить статику, чтобы овладеть методами, в которых мы сейчас узнаем зародыши анализа.

Среди последователей Архимеда выдающееся место занимают Симон Стевин, который написал работы о центрах тяжести и по гидравлике (1586 г.), Лука Валерио,

давший работы о центрах тяжести (1604 г.) и о квадратуре параболы (1606 г.), и Пауль Гульдин, в сочинении которого «Центробарика» (1641 г.) мы находим так называемую теорему Гульдина о телах вращения, которую в свое время разъяснял Папп. Вслед за этими первыми пионерами появились великие творения Кеплера, Кавальери и Торричелли, развивавшие те методы, которые в конечном счете привели к созданию анализа.

2. Для этих авторов типичной была их склонность пренебрегать архимедовой строгостью ради соображений, которые часто исходили из нестрогих, иной раз авомистических допущений. Вероятно, они не знали, что Архимед в своем письме к Эратосфену тоже пользовался такими методами благодаря их эвристической ценности. Вызвано это было отчасти неудовлетворенностью схоластикой некоторых, хотя и не всех, авторов; среди этих пионеров были католические священники, натренированные в схоластических тонкостях. Основной причиной было стремление получать результаты, чего при греческом методе нельзя было быстро добиться.

Революция в астрономии, связанная с именами Коперника, Тихо Браге и Кеплера, позволила совершенно по-новому взглянуть на место человека во вселенной и на возможности человека рациональным образом объяснить астрономические явления. То, что небесная механика давала возможность пополнить земную механику, придавало смелости людям науки. Стимулирующее влияние новой астрономии в проблемах, связанных с большими вычислениями, а также с инфинитезимальными соображениями, особенно хорошо видно в трудах Иоганна Кеплера. Кеплер даже отважился на вычисление объемов ради самого этого вычисления, а в своей «Стереометрии винных бочек» (1615 г.) он вычислял объемы тел, получающихся при вращении конических сечений вокруг оси, лежащей с ними в одной плоскости. Кеплер отказался от архимедовой строгости; у него площадь круга состоит из бесконечно большого числа треугольников с общей вершиной в центре, а его сфера состоит из бесконечно большого числа утончающихся пирамид. Кеплер говорил о доказательствах Архимеда, что они абсолютно строги, «абсолютны и во всех отношениях совершенны»1), но он оставлял их для людей,

1) Absolutae et omnibus numeris perfectae.

склонных увлекаться точными доказательствами. Каждый последующий автор был волен ввести строгость на свой лад или пренебречь ею.

Галилео Галилей дал нам новую механику свободно падающих тел, был основателем теории упругости и вдохновенным защитником системы Коперника. Но прежде всего мы обязаны Галилею, более чем какому-либо другому деятелю этого периода, духом современной науки, основанной на гармонии эксперимента и теории. В своих «Беседах» (1638 г.) Галилей пришел к математическому изучению движения, к зависимости между расстоянием, скоростью и ускорением. Он ни разу не изложил систематически свои идеи относительно анализа, предоставив это

Иоганн Кеплер (1571—1630).

своим ученикам Торричелли и Кавальери. А идеи Галилея в вопросах чистой математики были весьма оригинальны, как видно из его замечания, что «число квадратов не меньше, чем множество всех чисел, и последнее не больше, чем первое». Такая защита актуально бесконечного (со стороны Сальвиати в «Беседах») сознательно направлена против учения Аристотеля и схоластов (которое представляет Симпличо). «Беседы» содержат также параболическую орбиту снаряда, таблицы для высоты и дальности в зависимости от угла возвышения и заданной начальной скорости. Сальвиати указывает, что цепная линия сходна с параболой, но не дает точного описания этой кривой.

[7] Сказанное о Галилее требует дополнения. Не будучи собственно математиком, Галилей занимает видное место в истории математики. Уже в начале своей научной деятельности он глубоко изучил доступные ему произведения Архимеда, и, состоя много лет профессором университетов (в Пизе и Падуе), он содействовал распространению методов великого греческого математика. Вообще Галилей всячески пропагандировал применение математических методов при изучении явлений природы и дал превосходные образцы такого применения. В подзаголовке к собранию своих сочинений он хотел написать, что «здесь на множестве примеров разьясняется, насколько полезна математика для всех выводов, касающихся природы, и насколько невозможно вести успешно рассуждения без помощи геометрии...». Но Галилей не только применял то готовое, что нашел в математике. Он искал новые математические методы, необходимые ему для развития его новых физических теорий, и его деятельность в этом направлении, только отчасти отразившаяся. в законченных и напечатанных произведениях Галилея, оказала большое влияние на его непосредственных и косвенных учеников, к которым надо отнести всех виднейших итальянских математиков семнадцатого столетия. Исследуя ускоренное движение, Галилей пришел к представлению о мгновенной скорости как суммы всех приращений скорости тела, полученных последним с начала движения. При этом Галилей описывал этот процесс как происходящий непрерывно во времени и устанавливал соответствие между двумя континуумами: континуумом значений времени и континуумом значений скорости, проходящей через все свои «степени и моменты». Это часть того пути, который вел к общему понятию функциональной зависимости и к флюэнтам и флюксиям Ньютона (заметим, что Ньютон уже в молодости изучал труды Галилея, а старший современник Ньютона Барроу был в общении с итальянскими математиками — учениками и последователями Галилея). Но Галилей пользовался и атомистическими представлениями о строении материи, и в своем творчестве он снова должен был обратиться к формально противоречивым соотношениям разрывного и непрерывного и к свойствам бесконечно большого и бесконечно малого. Но теперь успехи, достигнутые в изучении движения (установление законов падения), побуждали продвигаться вперед, не смущаясь противоречиями и имея основание надеяться на их разрешение.

В частности, Галилей, указав на парадоксальное соотношение между множеством квадратов и множеством всех чисел, сделал отсюда важный вывод, что нельзя безоговорочно переносить на бесконечное соотношения, верные для конечных величин. Свои собственные выводы и представления Галилей не считал окончательными, он привлекал других ученых к проблемам, которые тогда были основными для развития математических методов, в которых нуждалось новое естествознание. Один из собеседников в знаменитых «Беседах» Галилея, Сельвиати, выражающий мысли автора, заканчивает там обсуждение так: «Если это вам нравится, то примите мои выводы; если же нет, то считайте их ложными так же, как и мои рассуждения, и поищите других объяснений, более удовлетворительных. Я только напоминаю вам при этом два слова: мы находимся в области бесконечных и неделимых»1).

Галилео Галилей (1564—1642).

1) См. Галилео Галилей, Соч., т. 1, М.-Л., ГТТИ, 1934, стр. 127.

Наступило время для первого систематического изложения результатов, достигнутых в той области, которую мы сейчас называем анализом. Такое изложение было дано в «Геометрии» Бонавентуры Кавальери (1635 г.), профессора Болонского университета. Кавальери построил упрощенную разновидность исчисления бесконечно малых, основанную на схоластическом представлении о неделимых1), так, что точка порождает при движении линию, а линия — плоскость. Таким образом у Кавальери не было бесконечно малых или атомов. Он получал свои результаты с помощью «принципа Кавальери», согласно которому два тела одинаковой высоты имеют один и тот же объем, если плоские сечения этих тел на одинаковом уровне имеют одинаковые площади. Это позволило ему выполнить вычисление, равносильное интегрированию многочленов.

Сначала, чтобы получить площадь, он складывал отрезки, но когда Торричелли показал, что таким способом можно доказать, что любой треугольник делится высотой на две равновеликие части, Кавальери заменил «отрезки» «нитями», то есть он превратил отрезки в площади весьма малой ширины.

3. Это постепенное развитие анализа получило мощный импульс, когда была опубликована «Геометрия» (1637 г.) Декарта, которая включила в алгебру всю область классической геометрии. Эта книга первоначально была опубликована в качестве приложения к «Рассуждению о методе», рассуждению, в котором автор излагает свой рационалистический подход к изучению природы. Рене Декарт был родом из Турени (Франция), вел жизнь дворянина, некоторое время служил в армии Мориса Оранского, в течение многих лет жил в Голландии и умер в Стокгольме, куда он был приглашен шведской королевой. Вместе со многими другими великими мыслителями семнадцатого века Декарт искал общий метод мышления, который бы позволял быстрее делать изобретения и выявлять истину в науке. Так как единственной наукой о природе, обладавшей в

1) F. Cajori, Indivisibles and "Ghosts of departed quantities" in the History of Mathematics, Scientia, 1925, 301—306; E. Hoppe, Zur Geschichte der Infinitesimalrechnung bei Leibniz und Newton, Jahresb. Deutsch. Math. Verein. 37 (1928), 148—187. Относительно некоторых утверждений Hoppe см. книгу С. В. Boyer (указ. на стр. 122), стр. 192, 206, 209.

известной мере систематическим строением, была тогда механика, а ключ к пониманию механики давала математика, то математика стала наиболее важным средством для понимания вселенной. Более того, математика со своими убедительными утверждениями сама была блестящим примером того, что в науке можно найти истину. Таким образом, механистическая философия этого периода приводила к выводу, сходному с тем, к которому пришли платоники, но исходя из других соображений. И платоники, верившие в авторитет, и картезианцы, верившие в разум, считали математику царицей наук.

Декарт опубликовал свою «Геометрию» в качестве применения своего общего метода объединения, в данном случае объединения алгебры и геометрии. Согласно общепринятой точке зрения заслуга книги Декарта состоит главным образом в создании так называемой аналитической геометрии. Верно то, что эта ветвь математики развивалась под влиянием книги Декарта, но «Геометрия» сама по себе вряд ли может рассматриваться как первый трактат по этому предмету. Там нет «декартовых осей», там не выведены уравнения прямой линии и конических сечений, хотя одно частное уравнение второго порядка истолковывается как определяющее собой коническое сечение. Более того, значительная часть книги представляет собой теорию алгебраических уравнений, там содержится «правило Декарта» для определения числа положительных и отрицательных корней.

Нам следует иметь в виду, что еще Аполлоний определил конические сечения с помощью того, что мы сейчас, следуя Лейбницу, называем координатами, хотя числовых значений они не имели. Широта и долгота в «Географии» Птолемея были уже числовыми координатами. Папп в свое «Собрание» включил «Сокровищницу анализа» (Analyomenos), где нам надо только модернизировать обозначения, чтобы получить последовательное применение алгебры к геометрии. Даже графическое представление встречается до Декарта (Орезм). Заслуга Декарта прежде всего состоит в том, что он последовательно применил хорошо развитую алгебру начала семнадцатого века к геометрическому анализу древних и таким образом в огромной мере расширил область ее применимости. Затем заслугой Декарта является то, что он окончательно отбросил ограничение однородности его предшественников, что было

недостатком и «видовой логистики» у Виета. Теперь х2, х3у ху рассматривались как отрезки. Алгебраическое уравнение стало соотношением между числами — новый шаг вперед по пути математической абстракции, необходимый для общей трактовки алгебраических кривых, и это можно рассматривать как окончательное принятие

Факсимиле страницы из «Геометрии» Декарта.

Западом алгоритмической алгебраической традиции Востока.

В обозначениях Декарта многое уже является современным: мы находим в его книге выражения вида

которые отличаются от наших собственно только тем, что Декарт еще пишет аа вместо а2 (что мы еще встречаем даже у Гаусса), хотя он пишет а3 вместо ааа, а* вместо аааа и т. д. В его книге разобраться нетрудно, но не следует там искать нашей современной аналитической геометрии.

Несколько ближе к такой аналитической геометрии подошел Пьер Ферма, юрист из Тулузы, который написал небольшую работу по геометрии, вероятно, до издания книги Декарта, но эта работа была опубликована только в 1679 г. Во «Введении» (Isagoge) Ферма мы находим уравнения

для прямых линий и конических сечений относительно некоторой системы (обычно перпендикулярных) осей. Впрочем, эта работа выглядит более архаичной, чем «Геометрия» Декарта, так как она написана в обозначениях Виета, а к тому времени, когда было напечатано «Введение» Ферма, уже появились другие работы, в которых алгебра была применена к результатам Аполлония, — прежде всего «Трактат о конических сечениях» (Tractatus de Sectionibus conicis, 1655 г.) Джона Валлиса и, частично, «Основы кривых линий» (Elementa curvarum linearum, 1659 г.), написанные Иоганном де Виттом, великим пенсионарием Голландии. Оба труда создавались под прямым влиянием Декарта. Однако прогресс шел очень медленно, и даже в книге Лопиталя «Аналитический трактат о конических сечениях» (Traité analytique des Sections coniques, 1707 г.) мы находим немногим больше, чем перевод Аполлония на язык алгебры. Все эти авторы не решались допускать отрицательные значения для координат. Первым, кто смело обращался с алгебраическими уравнениями, был Ньютон в своем исследовании кривых третьего порядка (1703 г.),

а первую аналитическую геометрию конических сечений, вполне освободившуюся от Аполлония, мы находим только во «Введении» Эйлера (1748 г.).

4. Появление книги Кавальери побудило многих математиков различных стран заняться задачами, в которых применялись бесконечно малые. К основным проблемам стали подходить более абстрактным образом и при таком подходе выигрывали в общности. Задача о касательных., состоявшая в отыскании метода для проведения касательной к заданной кривой в заданной точке, все более и более выдвигалась на первый план наряду со старыми проблемами определения объемов и центров тяжести. В этой задаче выявились два направления, геометрическое и алгебраическое. Последователи Кавальери, особенно Торричелли и Исаак Барроу, пользовались греческим методом

Рене Декарт (1596—1650).

геометрического рассуждения, не слишком заботясь о его строгости. Христиан Гюйгенс тоже явным образом тяготел к греческой геометрии. Но были другие, в частности Ферма, Декарт и Джон Валлис, у которых проявлялась противоположная тенденция, — они применяли новую алгебру. Практически все авторы, писавшие в 1630—1660 гг., ограничивались вопросами, касавшимися алгебраических кривых, в частности кривых с уравнением атуп = Ьпхт. Они находили, каждый своим способом, формулы, равносильные формуле j xmdx = -^-q-j-, сначала для целого положительного т, затем для m целого отрицательного и дробного. Иной раз появлялась неалгебраическая кривая, такая, как циклоида (рулетта), исследованная Декартом и Блезом Паскалем. «Общий трактат о рулетте» (Traite général de la roulette, 1658 г.) Паскаля (часть небольшой книги, опубликованной под именем А. Деттонвиля) оказал большое влияние на молодого Лейбница1).

В этот период начали обозначаться некоторые характерные черты анализа. В 1638 г. Ферма открыл метод нахождения максимумов и минимумов с помощью незначительного изменения переменного в простом алгебраическом уравнении с последующим обращением этого изменения в нуль. Этот метод был перенесен на более общие алгебраические кривые Иоганном Гудде, бургомистром Амстердама, в 1658 г. Проводили касательные, вычисляли объемы и центры тяжести, но по-настоящему еще не уловили связи между интегрированием и дифференцированием как обратными операциями, пока это не было показано (1670 г.) Барроу, но в тяжеловесной геометрической форме. Паскаль при случае пользовался выражениями, куда входили малые количества и в которых он опускал члены более высокого порядка малости, предвосхищая спорное допущение Ньютона, что (х -\- dx)(y -f- dy) — ху — — X dy -\- у dx. Паскаль защищал свой прием, ссылаясь на интуицию больше, чем на логику, чем предвосхитил критику Ньютона со стороны епископа Беркли2).

1) Н. Bosmans, Sur l'œuvre mathématique de Biaise Pascal, Revue des Questions Scientifiques, 1929.

2) B. Paskal, Oeuvres (Paris, 1908—1914), т. XII, стр. 9; т. XIII, стр. 141 — 155.

При этих поисках нового метода схоластические представления применялись не только Кавальери, но и в трудах бельгийского иезуита Грегория де Сен-Винцента и его учеников и помощников Пауля Гульдина и Андре Такке. Эти люди вдохновлялись и духом своей эпохи, и средневековыми схоластическими писаниями о природе континуума и о протяженности форм. В их работах впервые появляется термин «исчерпывание» для обозначения метода Архимеда. Книга Такке «О цилиндрах и кольцах» (1651 г.) оказала влияние на Паскаля.

В эпоху, когда не существовало научных журналов, такая лихорадочная активность математиков находила свое выражение в оживленной переписке ученых и в деятельности дискуссионных кружков. Основной заслугой иных ученых было то, что они являлись как бы центрами научных связей. Более всего известен в этом отношении Марен Мерсенн, чье имя как математика сохранилось в термине «числа Мерсенна». В переписке с ним состояли Декарт, Ферма, Дезарг, Паскаль и многие другие ученые1). Из дискуссионных кружков ученых вырастали академики. Они возникали в некотором роде как оппозиция университетам. Университеты развивались в период схоластики (за некоторыми исключениями, как Лейденский университет) и оставались покровителями средневекового подхода, требовавшего изложения науки в застывших формах. Новые академии, напротив, были проникнуты новым духом исследований. Они типичны «для этого времени, опьяненного обилием новых знаний, занятого искоренением изживших себя суеверий, порывающего с традициями прошлого, лелеющего самые неумеренные надежды на будущее. Тогда отдельный ученый научился быть довольным и гордым тем, что он добавил бесконечно малую частицу к общей сумме знаний; короче говоря, тогда возник современный ученый»2). Первая академия была основана в Неаполе (1560 г.), за ней последовала Accademia dei Lincei («Академия рысьих») в Риме (1603 г.). Лондонское королевское общество существует с 1662 г., Французская академия — с 1666 г. Валлис был членом-учредителем

1) «Сообщить Мерсенну о каком-либо открытии означало опубликовать его для всей Европы»,— пишет Босманс (см. сноску на стр. 136).

2) М. Ornstein, The Role of Scientific Societies in the Seventeenth Century, Chicago, 1913.

королевского общества; в первом составе членов Французской академии был Гюйгенс.

5. Наряду с книгой Кавальери одним из наиболее важных произведений этого «периода предтеч» была «Арифметика бесконечных» (Arithmetica infinitorum, 1655 г.) Валлиса. Ее автор с 1643 г. до своей смерти в 1703 г. был профессором геометрии в Оксфорде. Уже название книги показывает, что Валлис хотел пойти дальше, чем Кавальери с его «Геометрией неделимых»: Валлис хотел применить не геометрию древних, а новую «арифметику» (алгебру). Валлис был первым математиком, у которого алгебра по-настоящему переросла в анализ. Методы обращения с бесконечными процессами, которыми пользовался Валлис, часто были примитивны, но он получал новые результаты: он вводил бесконечные ряды и бесконечные произведения и весьма смело обращался с мнимыми выражениями, с отрицательными и дробными показателями. Он писал оо вместо jr (и утверждал, что —1 ^> оо). Характерным для него результатом является разложение

Валлис был только одним из целого ряда блестящих представителей этого периода, обогащавших математику одним открытием за другим. Движущей силой в этом расцвете творческой науки, не имевшим себе равного со времен величия Греции, было не только то, что новой техникой можно было легко пользоваться. Многие крупные мыслители искали большего — «общего метода», который иной раз понимали в ограниченном смысле, как метод математики, иной раз понимали шире — как метод познания природы и создания новых изобретений. Это было причиной того, что в рассматриваемую эпоху все выдающиеся философы были математиками и все выдающиеся математики были философами. В поисках новых изобретений иногда непосредственно приходили к математическим открытиям. Знаменитым примером является работа «Маятниковые часы» (Horologium Oscillatorium, 1673 г.) Христиана Гюйгенса. В ней в поисках лучшего способа измерения времени рассмотрены не только маятниковые часы, но изучаются также эволюты и эвольвенты плоской кривой.

Гюйгенс был голландцем, человеком зажиточным и в течение ряда лет жил в Париже. Он был столь же выдающимся физиком, как и астрономом, создал волновую теорию света и выяснил, что у Сатурна есть кольцо.

Христиан Гюйгенс (1629—1695).

Его книга о маятниковых часах оказала влияние на Ньютона (см. Principia). Для периода до Ньютона и Лейбница наряду с «Арифметикой» Валлиса эта книга представляет анализ в его наиболее развитой форме. Письма и книги Валлиса и Гюйгенса изобилуют новыми открытиями: спрямлениями кривых, квадратурами, построением обверток. Гюйгенс исследовал трактрису, логарифмическую кривую, цепную линию и установил, что циклоида — таутохронная кривая. Несмотря на это обилие результатов,

многие из которых были получены уже после того, как Лейбниц опубликовал свое исчисление, Гюйгенс целиком принадлежит к периоду предтеч. Он признавался Лейбницу, что никогда не был в состоянии освоиться с его методом. Подобно этому Валлис никогда не чувствовал себя в своей тарелке, пользуясь обозначениями Ньютона. Надо сказать еще, что Гюйгенс был одним из немногих среди больших математиков семнадцатого века, кто заботился о строгости: его методы всегда были вполне архимедовыми.

6. Работы математиков этого периода охватывали много областей, новых и старых. Они обогатили оригинальными результатами классические разделы, пролили новый свет на прежние области и создавали даже совершенно новые области математических исследований. Примером первого рода может служить то, как Ферма изучал Диофанта. Примером второго рода является новая интерпретация геометрии Дезарга. Вполне новым творением была математическая теория вероятностей.

Диофант стал доступным для читающих на латинском языке в 1621 г.1). В своем экземпляре этого перевода Ферма сделал свои знаменитые заметки на полях (опубликованы сыном Ферма в 1670 г.). Среди них мы находим «великую» теорему Ферма о том, что уравнение хп + уп = zn невозможно при целых положительных значениях х, у, z, если тг^>2, — в 1847 г. это привело Куммера к его теории идеальных чисел. Доказательства, пригодного для всех п, до сих пор нет, хотя теорема несомненно верна для большого числа значений п2).

Ферма написал на полях против 8-й задачи II книги Диофанта «Разделить квадратное число на два других квадратных числа» следующие слова: «Разделить куб на два других куба, четвертую степень или вообще какую-либо степень выше второй на две степени с тем же обозначением невозможно, и я нашел воистину замечательное доказательство этого, однако поля слишком узки, чтобы поместить его». Если Ферма имел такое замечательное доказательство, то за последующие три столетия

1) Первые издания латинских переводов: Евклид — 1482; Птолемей — 1515; Архимед — 1558; Аполлоний I—IV— 1566, V— VII — 1661; Папп — 1589; Диофант — 1621.

2) См. H. S. Vandiver, Amer. Math. Monthly 53 (1946), 555—578.

напряженных исследований такое доказательство не удалось получить. Надежнее допустить, что даже великий Ферма иногда ошибался.

В другой заметке на полях Ферма утверждает, что простое число вида 4лг -f- 1 может быть одним и только одним образом представлено как сумма двух квадратов. Эту теорему позже доказал Эйлер. Еще одна «теорема Ферма», которая утверждает, что ар_1 — 1 делится на р, когда р — простое число и а не делится на р, высказана в письме от 1640 г.; эту теорему можно доказать элементарными средствами. Ферма был также первым, кто утверждал, что уравнение х2 — Ау2 = 1 (А — целое и не квадрат) имеет сколько угодно целых решений.

Ферма и Паскаль стали основателями математической теории вероятностей. Постепенное формирование интереса к задачам, связанным с вероятностями, происходило прежде всего под влиянием развития страхового дела, но те частные вопросы, которые побудили больших математиков поразмыслить над этим предметом, были поставлены в связи с играми в кости и в карты. Как выразился Пуассон, «задача, относившаяся к азартным играм и поставленная перед суровым янсенистом светским человеком, была источником теории вероятностей»1). Этим светским человеком был кавалер де Мере, который обратился к Паскалю с вопросом по поводу так называемой «задачи об очках». Паскаль завязал переписку с Ферма по поводу этой задачи и родственных вопросов, и они вдвоем установили некоторые из основных положений теории вероятностей (1654 г.). Когда Гюйгенс приехал в Париж, он узнал об этой переписке и попытался дать свое собственное решение, в результате чего появилась его книга «О расчетах при азартных играх» (De ratiociniis in ludo aleae, 1657 г.), первый трактат по теории вероятностей. Следующие шаги были сделаны де Виттом и Геллеем, которые составили таблицы смертности (1671, 1693 гг.).

[8] «Суровый янсенист» (то есть последователь Корнелия Янсена (1585—1636), голландского богослова) — это Блез Паскаль. Надо сказать, что приведенное заявление Пуассона о возникновении теории вероятностей грешит против истины в нескольких пунктах. «Светский человек», де Мере, отнюдь не был азартным игроком,

1) S. D. Poisson, Recherches sur la probabilité des jugements, Paris, 1837, стр. 1.

он серьезно интересовался наукой, и не случайно его обращение к Паскалю. Вопросы, связанные с вычислением вероятности результата при различных играх, не раз ставились в средневековой литературе за столетия до того, как Мере обратился к Паскалю, и решались иной раз верно, иной раз неверно. В частности, среди ближайших предшественников Паскаля и Ферма — Тарталья и Галилей. Но решение таких вопросов могло стать поводом для создания особой теории, затем целой математической дисциплины только под влиянием серьезных запросов практики. Кроме указанного в тексте влияния запросов страхового дела (первые страховые общества появляются в четырнадцатом веке в Италии, Фландрии, Нидерландах, в шестнадцатом-семнадцатом веках страхование судов и от пожара распространено почти во всех странах Западной Европы), задачи на вычисление вероятностей ставили статистика народонаселения и теория методов обработки наблюдения. Все это связано с возникновением новых экономических отношений и с новыми научными проблемами. Только благодаря этому решение во-

Блез Паскаль (1623—1662).

просов, относящихся к азартным играм, представляющим удобную и до сих пор используемую модель для анализа ряда понятий теории вероятностей, могло систематически привлекать внимание математиков и стать поводом для развития новой науки. Это подтверждается и словами Гюйгенса в его книге «О расчетах в азартной игре», указанной в тексте: «... при внимательном изучении предмета читатель заметит, что он занимается не только игрой, а что здесь даются основы теории глубокой и весьма интересной». См. в связи с этим книгу: Л. Е. Майстров, Теория вероятностей. Исторический очерк, М., 1967.

Блез Паскаль был сыном Этьена Паскаля, корреспондента Мерсенна; кривая «улитка Паскаля» названа в честь Этьена. Блез быстро развивался под присмотром своего отца, и уже в шестнадцатилетнем возрасте он открыл «теорему Паскаля» о шестиугольнике, вписанном в коническое сечение. Эта теорема была опубликована в 1641 г. на одном листе бумаги и повлияла на Дезарга. Через несколько лет Паскаль изобрел счетную машину. Когда ему было двадцать пять лет, он решил поселиться как янсенист в монастыре Пор-Рояль и вести жизнь аскета, но продолжал при этом уделять время науке и литературе. Его трактат об «арифметическом треугольнике», образованном биномиальными коэффициентами и имеющем применение в теории вероятностей, появился посмертно в 1664 г. Мы уже упоминали о его работах по интегрированию и о его идеях относительно бесконечного и бесконечно малого, которые оказали влияние на Лейбница. Паскаль первый придал удовлетворительную форму принципу полной индукции1).

Жерар Дезарг был архитектором в Лионе. Он автор книги о перспективе (1636 г.). Его брошюра с любопытным названием «Первоначальный набросок попытки разобраться в том, что получается при встрече конуса с плоскостью»2) (1639 г.) содержит некоторые из основных понятий синтетической геометрии, такие, как точки на бесконечности, инволюции, полярные соотношения, — все это на курьезном ботаническом языке. Свою «теорему Дезарга» о перспективном отображении треугольников он обнародовал в 1648 г. Плодотворность этих идей в полной мере раскрылась лишь в девятнадцатом столетии.

1) Н. Freudenthal, Archives intern, des Sciences 22 (1953), 17-37.

2) «Brouillon projet d'une atteinte aux événements des nencontres d'un cône avec un plan».

7. Общий метод дифференцирования и интегрирования, построенный с полным пониманием того, что один процесс является обратным по отношению к другому, мог быть открыт только такими людьми, которые овладели как геометрическим методом греков и Кавальери, так и алгебраическим методом Декарта и Валлиса. Такие люди могли появиться лишь после 1660 г., и они действительно появились в лице Ньютона и Лейбница. Очень много написано по вопросу о приоритете этого открытия, но теперь установлено, что оба они открыли свои методы независимо друг от друга. Ньютон первым открыл анализ (в 1665—1666 гг.), Лейбниц в 1673— 1676 гг., но Лейбниц первый выступил с этим в печати (Лейбниц в 1684-1686 гг., Ньютон в 1704-1736 гг. (посмертно). Школа Лейбница была гораздо более блестящей, чем школа Ньютона.

Исаак Ньютон был сыном землевладельца в Линкольншире. Он учился в Кембридже, возможно, что у Исаака Барроу, который в 1669 г. передал ему свою профессорскую кафедру (примечательное явление в академической жизни), так как Барроу открыто признал превосходство Ньютона. Ньютон оставался в Кембридже до 1696 г., когда он занял пост инспектора, а позже начальника монетного двора. Его исключительный авторитет в первую очередь основан на его «Математических принципах натуральной философии» (Philosophiae naturalis principia mathematica, 1687 г.), огромном томе, содержащем аксиоматическое построение механики и закон тяготения — закон, управляющий падением яблока на землю и движением Луны вокруг Земли. Ньютон строго математически вывел эмпирически установленные законы Кеплера движения планет из закона тяготения обратно пропорционально квадрату расстояния и дал динамическое объяснение приливов и многих явлений при движении небесных тел. Он решил задачу двух тел для сфер и заложил основы теории движения Луны. Решив задачу о притяжении сфер, он тем самым заложил основы и теории потенциала. Его аксиоматическая трактовка требовала абсолютности пространства и абсолютности времени.

Трудно разглядеть за геометрической формой его доказательств, что их автор полностью владел анализом, который он называл теорией флюксий. Ньютон открыл свой общий метод в течение 1665—1666 гг., когда он на-

ходился на своей родине, в деревне, спасаясь от чумы, поразившей Кембридж. К этому времени относятся его основные идеи о всемирном тяготении, а также о сложном составе света. «В истории науки нет равного примера таких достижений, как достижения Ньютона в течение этих двух золотых лет», — заметил профессор Мор1).

Исаак Ньютон (1642—1727).

1) L. Т. More, Isaac Newton, A Biography, N.Y.— L., 1934, т. 41,

Открытие Ньютоном флюксий стоит в тесной связи с его изучением бесконечных рядов по «Арифметике» Валлиса. При этом Ньютон обобщил биномиальную теорему на случаи дробных и отрицательных показателей и таким образом открыл биномиальный ряд. Это в свою очередь значительно облегчило ему распространение его теории флюксий на «все» функции, будь они алгебраическими или трансцендентными. «Флюксия», которая обозначалась точкой, помещенной над буквой, была конечной величиной, скоростью, а буквы без точки обозначали «флюэнты». Мы приведем здесь пример того, как Ньютон разъяснял свой метод (из «Метода флюксий», 1736 г.). Переменные, являющиеся флюэнтами, обозначены через с, х, у, z, «а скорости, с которыми каждая флюэнта увеличивается в силу порождающего движения (которые я могу назвать флюксиями или попросту скоростями или быстростями), я буду изображать теми же буквами с точкой, а именно V, X, у, z». Бесконечно малые у Ньютона именуются «моментами флюксий» и обозначаются через ио, хо, уо, zo, где о — «бесконечно малое количество». Ньютон продолжает:

«Итак, пусть дано уравнение хъ — ах2 -\-axy— у3 = О, подставим X + хо вместо х, у + уо вместо у, тогда мы получим

Но согласно допущению хъ — ах2 + аху — уъ — 0, и, после исключения этого уравнения и деления остающихся членов на о, у нас останется

Но поскольку нуль мы считаем бесконечно малым, так что он может представлять моменты количеств, то члены, которые умножены на него, суть ничто по сравнению с остальными; поэтому я отбрасываю их, и у нас остается

Этот пример показывает, что Ньютон первоначально считал свои производные скоростями, но он показывает также, что способ выражения Ньютона не был вполне определенным. Являются ли символы «о» нулями? или бесконечно малыми? или это конечные числа? Ньютон пытался разъяснить свою точку зрения с помощью теории «первых и последних отношений», которую он ввел в своих «Началах» и которая включала в себя понятие предела, но в таком виде, что применять его было трудно.

«Эти последние отношения исчезающих количеств не являются в точности отношениями последних количеств, а пределами, к которым постоянно приближаются отношения беспредельно убывающих количеств и к которым они приближаются более чем на любую заданную разность, но никогда не переходят через них и в действительности не достигают их ранее, чем эти количества не уменьшатся до бесконечности» («Начала», книга I, отдел I, последняя схолия).

«Количества, а также отношения количеств, которые в продолжение любого конечного времени постоянно приближаются к равенству и до истечения этого времени подходят одно к другому ближе, чем на любую заданную разность, становятся в конце концов равными» («Начала», книга I, отдел I, лемма I).

Это далеко не ясно, трудности, связанные с пониманием ньютоновой теории флюксий, повлекли за собой много недоразумений и вызвали суровую критику епископа Беркли в 1734 г. Эти недоразумения были устранены лишь после четкого установления современного понятия предела.

Ньютон писал также о конических сечениях и о плоских кривых третьего порядка. В «Перечислении линий третьего порядка» (Enumeratio linearum tertii ordinis, 1704 г.) он дал классификацию плоских кривых третьей степени на 72 вида, исходя из своей теоремы о том, что каждую кубическую кривую можно получить из «расходящейся параболы» у2 = ах3 + Ъх2 + сх + d при центральном проектировании одной плоскости на другую. Это было первым важным новым результатом, полученным путем применения алгебры к геометрии, так как все предыдущие работы были просто переводом Аполлония на алгебраический язык. Ньютону принадлежит также

метод получения прибллженных значений корней численных уравнений, который он разъяснял на примере уравнения

Xs — 2х — 5 = 0, получив X = 2,09455147.

Трудно оценить влияние Ньютона на его современников из-за того, что он постоянно колебался, публиковать ли ему свои открытия. Впервые он проверил закон всемирного тяготения в 1665—1666 гг., но сообщил об этом лишь тогда, когда представил в рукописи большую часть своих «Начал» (1686 г.). Его «Всеобщая арифметика» (Arithmetica universalis), составленная из лекций по алгебре, прочитанных между 1673 и 1683 гг., была напечатана в 1707 г. Его работа о рядах, восходящая к 1669 г., была предметом письма к Ольденбургу в 1676 г., а появилась в печати в 1711 г. Его работа о квадратуре кривых (1671 г.) была напечатана только в 1704 г., и тогда впервые миру стала известна теория флюксий. «Метод флюксий» появился только после смерти Ньютона, в 1736 г.

8. Готтфрид Вильгельм Лейбниц родился в Лейпциге, а большую часть жизни провел при ганноверском дворе, на службе у герцогов, один из которых стал английским королем под именем Георга I. Лейбниц был еще более правоверным христианином, чем другие мыслители его столетия. Кроме философии, он занимался историей, теологией, лингвистикой, биологией, геологией, математикой, дипломатией и «искусством изобретения». Одним из первых после Паскаля он изобрел счетную машину, пришел к идее парового двигателя, интересовался китайской философией и старался содействовать объединению Германии. Основной движущей пружиной его жизни были поиски всеобщего метода для овладения наукой, создания изобретений и понимания сущности единства вселенной. «Общая наука» (Scientia universalis), которую он пытался построить, имела много аспектов, и некоторые из них привели Лейбница к математическим открытиям. Его поиски «всеобщей характеристики» привели его к занятиям перестановками, сочетаниями и к символической логике; поиски «всеобщего языка», в котором все ошибки мысли выявлялись бы как ошибки вычислений, привели его не только к символической логике, но и ко многим новшествам в математических обозначе-

ниях. Лейбниц — один из самых плодовитых изобретателей математических символов. Немногие так хорошо понимали единство формы и содержания. На этом философском фоне можно понять, как он изобрел анализ: это было результатом его поисков «универсального языка», в частности языка, выражающего изменение и движение.

Готтфрид Вильгельм Лейбниц (1646—1716).

Лейбниц нашел свое новое исчисление между 1673 и 1676 гг. под личным влиянием Гюйгенса и в ходе изучения Декарта и Паскаля. Его подстегивало то, что он знал, что Ньютон обладал подобным методом. Подход Ньютона был в основном кинематическим; подход Лейбница был геометрическим: он мыслил в терминах «харак-

теристического треугольника» (dx, dy, ds), который уже появлялся в нескольких других работах, а именно у Паскаля1) и в «Геометрических лекциях» (Geometrical Lectures, 1670 г.) Барроу. Впервые анализ в форме Лейбница был изложен им в печати в 1684 г. в шестистраничной статье в Acta Eruditorum, математическом журнале, который был основан при его содействии в 1682 г.

Характерно название этой статьи: «Новый метод для максимумов и минимумов, а также для касательных, для которого не являются препятствием дробные и иррациональные количества, и особый вид исчисления для этого». Изложение было трудным и неясным, но статья содержала наши символы dx, dy и правила дифференцирования, включая d(uv) = udv + v du и дифференцирование дроби, а также условие dy = 0 для экстремальных значений и d2y = 0 для точек перегиба. За этой статьей последовала в 1686 г. другая статья с правилами интегрального исчисления и с символом J (она была написана в форме рецензии). Уравнение циклоиды было дано в виде

С появлением этих статей начался исключительно плодотворный период математической деятельности. После 1687 г. к Лейбницу присоединились братья Бернулли, которые с жадностью осваивали его методы. Еще до 1700 г. они втроем открыли значительную часть нашего основного курса анализа и несколько важных разделов в более сложных областях, включая решение некоторых задач вариационного исчисления. В 1696 г. появился первый учебник по анализу. Он был написан маркизом Лопиталем, учеником Иоганна Бернулли, опубликовавшим лекции своего учителя по дифференциальному исчислению в книге «Анализ бесконечно малых» (Analyse des infiniment petits). В этой книге мы находим так называемое «правило

1) Термин «характеристический треугольник», по-видимому, впервые был применен Лейбницем, который нашел его при чтении работы Паскаля «Трактат о синусах четверти круга», составляющей часть писем к Деттонвилю (1658 г.). Он встречается уже у Снеллиуса в Tiphys Batavus (1624 г.), стр. 22—25.

Лопиталя» для нахождения предельного значения дроби, оба члена которой стремятся к нулю1).

Нашими обозначениями в анализе мы обязаны Лейбницу, ему принадлежат и названия «дифференциальное исчисление» и «интегральное исчисление»2). Благодаря его влиянию стали пользоваться знаком « = » для равенства и знаком « • » для умножения. Лейбницу принадлежат термины «функция» и «координаты», а также забавный термин «оскулирующий» (целующий). Ряды

носят имя Лейбница, хотя не он первый их открыл. (По-видимому, это сделал Джеймс Грегори, шотландский математик, который пытался также доказать невозможность квадратуры круга с помощью циркуля и линейки.)

Разъяснения Лейбница относительно оснований анализа страдали той же неопределенностью, как и разъяснения Ньютона. Иногда его dx, dy были конечными величинами, иногда же величинами меньше любого определенного количества и все-таки не нули. Не имея строгих определений, он прибегал к аналогиям, скажем, с соотношением между радиусом Земли и расстоянием до неподвижных звезд. В вопросах, касающихся бесконечного, он менял свою точку зрения; в одном из своих писем (к Фуше, 1693 г.) он принимал существование актуальной бесконечности, чтобы преодолеть трудности, указанные Зеноном, и хвалил Грегория де Сен-Винцента, который вычислил то место, где Ахиллес нагонит черепаху. Неясности у Ньютона вызвали критику Беркли, неясности у Лейбница вызвали выступление Бернарда Ньювентиита, бургомистра небольшого города вблизи Амстердама (1694 г.). Как критика Беркли, так и критика Ньювентиита имела свои основания, но и та и другая были целиком

1) Это правило сообщил Лопиталю Иоганн Бернулли в письме, которое лишь недавно было опубликовано: J. Bernoulli, Briefwechsel, т. I, Basel, 1955.

2) Лейбниц сначала предложил название «сумматорное исчисление», но в 1696 г. Лейбниц и Иоганн Бернулли пришли к соглашению относительно термина «интегральное исчисление». Современный анализ вернулся к первоначальной терминологии Лейбница. См. также F. Cajori.; Leibniz, the Master Builder of Mathematical Notations, Isis 7 (1925), 412—4.29,

Первая страница первой работы Лейбница по анализу бесконечно малых (по изданию 1858 г.).

негативны. Их авторы не были в состоянии строго обосновать анализ, но все-таки такая критика побудила к дальнейшей конструктивной работе. Это особенно относится к остроумным замечаниям Беркли.

ЛИТЕРАТУРА

Собрания сочинений (на языке оригинала) Декарта, Паскаля, Гюйгенса, Галилея, Торричелли и Ферма имеются в новых изданиях. Сочинения Лейбница были изданы (не полностью) в середине девятнадцатого века, Ньютона — еще раньше и также не полностью. В старых изданиях имеются собрания сочинений братьев Бернулли. Осуществляется новое издание сочинений Лейбница, Бернулли, начато издание архива Ньютона. «Королевское общество» взяло на себя задачу издать письма Ньютона. Четыре тома уже вышли в свет — Correspondance of Isaac Newton, изд. H. W. Turnbull (Cambridge, 1959—1965). Об открытии дифференциального и интегрального исчисления см. СВ. Вoyer, The concepts of the Calculus (New York, 1939; 2-е изд., 1959), особенно главы IV и V. Там же большая библиография.

Об историко-техническом фоне см.:

Н. Grossman, Die gesellschaftlichen Grundlagen der mechanistischen Philosophie und die Manufaktur, Z. f. Sozialforschung 4 (1935), 161—231.

R. K. Merton, Science, Technology and Society in the Seventeenth Century, Osiris 4 (1938).

О ведущих математиках см.:

J. F. Scott, The Malhematical Works of John Wallis D. D., F. R. S. (London, 1938).

A. Prag, John Wallis. Zur Ideengeschichte der Mathematik im 17 Jahrhundert, Quellen und Studien Bl, 381—424 (1930).

См. также T. P. N u m, Math. Gaz. 5 (1910/1911).

Ф. Д. Крамар, Вопросы обоснования анализа в трудах Валлиса и Ньютона, Историко-математические исследования III (1950), 486—508; его же, Интеграционные методы Джона Валлиса, Историко-математические исследования XIV (1961), 11 — 100.

Barrow, Geometrical Lectures, англ. перевод и редакция J. М. Child (Chicago, 1916).

А. Е. Bell, Christiaan Huygens and the Development of Science in the Seventeenth Century (London, 1948).

L. T. More, Isaac Newton, A Biography (N. Y. — L., 1934).

СИ. Вавилов, Исаак Ньютон, 2-е изд., M.—Л., 1945 (нем. перевод — В., 1951).

«Principia» Ньютона переведены на ряд языков. Русский перевод, с примечаниями и пояснениями, выполнен А. Н. Крыловым и более доступен во втором издании, в качестве VII т. Собрания трудов А. Н. Крылова (М.—Л., 1936). Кроме того, на русском языке изданы:

И. Ньютон, Математические работы, перевод с лат., вступительная статья и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского, М.-Л., 1937.

И. Ньютон, Всеобщая арифметика, перевод, вступительная статья и комментарии А. П. Юшкевича, М.—Л., 1948.

Сборники работ о Ньютоне были изданы обществами History of Science Sos. (Baltimore, 1928), Math. Assoc. (London, 1927), Roy. Soc. (Cambridge, 1947).

На русском языке вышли:

Исаак Ньютон (1643—1727), сборник статей к трехсотлетию со дня рождения, М.—Л., 1943.

Московский университет — памяти Р1саака Ньютона, М., 1946.

См. также:

H. W. Turnbull, The Mathematical Discoveries of Newton, Glasgow, 1945.

Первая статья Лейбница по анализу 1684 г. и извлечения из других его математических работ в русском переводе А. П. Юшкевича см. в «Успехах матем. наук», т. III, в 1 (23) (1948), 165—205; там же: А. П. Юшкевич, Лейбниц и основание анализа бесконечно малых, стр. 150—165.

J. М. Child, The Early Mathematical Manuscripts of Leibniz (переводы с лат.), Chicago, 1920.

J. E. Hofmann, Die Entwicklungsgeschichte der Leibnizschen Mathematik, München, 1949.

Другие работы того же автора о математиках семнадцатого столетия приведены в обширной библиографии его книги (см. стр. 15).

G. Milhaud, Descartes savant (Paris, 1921).

R. Taton, L'œuvre mathématique de G. Desargues (Paris, 1951).

H. W. Turnbull (изд.) James Gregory tercentenary memorial volume (London, 1939); см. M. Dehn — E. D. Hellinger, Amer. Math. Monthly 50 (1943), 149—163.

К. Haas, Die mathematischen Arbeiten von Johann Hudde, Centaurus 4 (1956), 235—284.

D. T. Whiteside, Patterns of mathematical thought in the later seventeenth century, Archive for history of exact sciences 1 (1961), 179—388.

O. Toeplitz, Die Entwicklung der Infinitesimalrechnung I (Berlin, 1949).

H. Bosmans опубликовал работы о Такке (Isis 9 (1927— 1928), 66—83); Стевине (Mathesis 37 (1923), (Ann. Soc. Sei. Bruxelles 37 (1913), 171 — 199), Biographie nationale de Belgique; Делла Фае (Deila Faille) (Mathesis 41 (1927), 5—11), Сен-Винценте (Mathesis 38 (1924), 250—256).

См. также:

Paul Tannery, Notions historiques, в книге: J. Tannery, Notions de mathématiques (Paris, 1903), 324—348.

J. E. Hofmann, Franz van Schooten der Jünhere, Wiesbaden, 1962.

C. J. Scriba, James Gregorys frühe Schriften zur Infinitesimalrechnung, Mitt, aus dem math. Seminar Giessen 55 (1957), 80.

P. Montel, Pascal mathématicien, Paris, 1951.

D. J. Struik, Het land van Stevin en Huygens, Amsterdam, 1958.

Галилео Галилей (1564—1642), сборник к трехсотлетию со дня смерти, М.—Л., 1943.

Б. Г. Кузнецов, Галилей, М., 1964.

В. Ф. Асмус, Декарт, М., 1956.

У. И. Франкфурт, А. М. Френк, Гюйгенс, М., 1962.

И. Н. Веселовский, Гюйгенс, М., 1956.

А. П. Юшкевич, Блез Паскаль как ученый, Вопросы истории естеств. и техники 7 (1959), 75—85.

На русском языке см. также:

Иоганн Кеплер, Новая стереометрия винных бочек, со статьей М. Я. Выгодского, М.—Л., 1935.

Галилео Галилей, Беседы, предисловие и примечания Долгова, М.—Л., 1934.

Галилео Галилей, Избранные труды, тт. 1, 11, М., 1964.

Бонавентура Кавальери, Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых непрерывного, вступительная статья и комментарии С. Я. Лурье, М.—Л., 1940.

Декарт, Геометрия, под ред. и со статьей А. П. Юшкевича «Декарт и математика», M.-—Л., 1938.

В этой же книге перевод работы Ферма «Введение в изучение Геометрических мест на плоскости и в пространстве».

Декарт, Рассуждение о методе (с приложениями: Метеоры, Геометрия), редакция и комментарии Г. Г. Слюсарева и А. П. Юшкевича.

Гюйгенс, Три мемуара по механике, редакция и примечания К. К. Баумгарта, М.—Л., 1951.

Лопиталь, Анализ бесконечно малых, редакция и вступительная статья А. П. Юшкевича, М.—Л., 1935.

Глава VII

ВОСЕМНАДЦАТОЕ СТОЛЕТИЕ

1. В восемнадцатом веке деятельность математиков сосредоточивалась в области анализа и его приложений к механике. Самые крупные фигуры можно расположить как бы в виде генеалогического древа, указывающего на их интеллектуальное родство:

Лейбниц (1646-1716)

Братья Бернулли: Якоб (1654—1705), Иоганн (1667— 1748)

Эйлер (1707-1783) Лагранж (1736-1813) Лаплас (1749-1827)

С трудами этих ученых тесно связана деятельность группы французских математиков, прежде всего Клеро, Даламбера и Мопертюи, которые в свою очередь были связаны с философами эпохи Просвещения. К ним надо добавить швейцарских математиков Ламберта и Даниила Бернулли. Научная деятельность в основном была сосредоточена в академиях, среди которых выдающееся место занимали Парижская, Берлинская и Петербургская. Преподавание в университетах имело меньшее значение, а то и никакого. Это был период, когда некоторые из ведущих европейских стран управлялись теми, кого, смягчая выражения, называют просвещенными деспотами: это Фридрих II, Екатерина Великая, пожалуй, и Людовики XV и XVI. Притязания этих деспотов на славу частично основаны на том, что они любили окружать себя учеными людьми. Такая любовь была чем-то вроде интеллектуального снобизма, но он умерялся в известной мере пониманием значения естествознания и прикладной математики в деле улучшения мануфактур и повышения бое-

способности вооруженных сил. Например, говорят, что отличные качества французского флота связаны с тем, что при конструировании фрегатов и линейных кораблей кораблестроители частично основывались на математической теории. Работы Эйлера изобилуют применениями к вопросам, имеющим значение для армии и флота. Астрономия продолжала играть свою выдающуюся роль в качестве приемной матери математических исследований, пользуясь покровительством королей и императоров.

2. В Швейцарии Базель, свободный имперский город с 1263 г., уже долгое время был средоточием науки. Еще во времена Эразма его университет был важным центром. Науки и искусства процветали в Базеле, как и в голландских городах, под управлением купеческого патрициата. К этому базельскому патрициату принадлежала купеческая семья Бернулли, которая в предыдущем столетии переехала туда из Антверпена, когда этот город был захвачен испанцами. С конца семнадцатого столетия до настоящего времени эта семья в каждом поколении давала ученых. Воистину во всей истории науки трудно найти семью, поставившую более внушительный рекорд.

Родоначальниками этой династии были два математика, Якоб и Иоганн Бернулли. Якоб изучал теологию, Иоганн изучал медицину, но когда в лейпцигских Acta Eruditorum появились статьи Лейбница, оба они решили стать математиками. Они стали первыми выдающимися учениками Лейбница. В 1687 г. Якоб занял кафедру математики в Базельском университете, где он преподавал до своей смерти в 1705 г. Иоганн в 1697 г. стал профессором в Гронингене (Голландия), а после смерти брата перешел на его кафедру в Базеле, где преподавал сорок три года. Якоб начал переписываться с Лейбницем в 1687 г. Затем, постоянно обмениваясь мыслями с Лейбницем и между собой, не раз вступая в ожесточенное соперничество друг с другом, оба брата начали открывать те сокровища, которые содержались в путепролагающем достижении Лейбница. Список их результатов длинен и содержит не только многое из того, что сейчас входит в наши элементарные учебники дифференциального и интегрального исчисления, но и интегрирование ряда обыкновенных дифференциальных уравнений. Якобу принадлежит применение полярных координат, исследование цепной линии (уже рассмотренной Гюйгенсом и другими), лемнискаты

(1694 г.) и логарифмической спирали. В 1690 г. он нашел так называемую изохрону, которую Лейбниц в 1687 г. определил как кривую, вдоль которой тело падает с постоянной скоростью, — оказалось, что это полукубическая парабола. Якоб также исследовал изопериметрические фигуры (1701 г.), что привело его к задаче из вариационного исчисления. Логарифмическая спираль, которая обладает свойством воспроизводиться при различных преобразованиях (ее эволюта — тоже логарифмическая спираль, и они обе по отношению к полюсу являются подошвенной кривой и каустикой), настолько обрадовала Якоба, что он пожелал, чтобы эту кривую вырезали на его могильном камне с надписью: eadem mutata resurgo1).

Якоб Бернулли был также одним из первых исследователей в теории вероятностей, и по этому предмету он написал «Искусство предположения» (Ars conjectandi) — книгу, опубликованную посмертно, в 1713 г. В ее первой части перепечатан трактат Гюйгенса об азартных играх, в остальных частях рассматриваются перестановки и сочетания, а главным результатом является «теорема Бернулли» о биномиальных распределениях. При рассмотрении треугольника Паскаля в этой книге появляются «числа Бернулли».

3. Работы Иоганна Бернулли тесно связаны с работами его старшего брата, и не всегда легко различить их результаты. Иоганна часто рассматривают как изобретателя вариационного исчисления вследствие его вклада в задачу о брахистохроне. Это — кривая быстрейшего спуска для материальной точки, которая движется в поле тяготения от заданной начальной к заданной конечной точке, кривая, которую исследовали Лейбниц и оба Бернулли в 1697-м и в последующие годы. В это время они открыли уравнение геодезических линий на поверхности2). Решением задачи о брахистохроне является циклоида. Эта кривая решает также задачу о таутохроне — кривой, вдоль которой материальная точка в гравитационном поле достигает наинизшей точки за время, которое не зависит

1) «Изменившись, возникаю такой же». Впрочем, спираль на могильном камне выглядит как спираль Архимеда.

2) Ньютон в одной из схолий его Principia (II, теорема 35) уже рассматривал тело вращения, которое при движении в жидкости испытывает наименьшее сопротивление. Он не опубликовал доказательства своих утверждений.

от исходной точки движения. Гюйгенс открыл это свойство циклоиды и использовал его для построения таутохронных часов с маятником (1673 г.), период колебания которого не зависит от амплитуды.

В числе других Бернулли, повлиявших на развитие математики, есть два сына Иоганна: Николай и, особенно, Даниил1). Николай, как и Даниил, был приглашен в Петербург, незадолго до того основанный Петром Великим; там он пробыл недолго. Задача по теории вероятностей, которую он предложил, находясь в этом городе, известна как Петербургская задача (или, более выразительно, Петербургский парадокс). Этот сын Иоганна умер молодым, но другой сын, Даниил, дожил до глубокой старости. До 1777 г. он был профессором Базельского университета. Его плодовитая деятельность посвящена главным образом астрономии, физике и гидродинамике. Его «Гидродинамика» появилась в 1738 г., и одна из теорем этой книги, о гидравлическом давлении, носит его имя. В том же году он заложил основы кинетической теории газов; вместе с Даламбером и Эйлером он изучал теорию колебаний струн. Его отец и дядя развивали теорию обыкновенных дифференциальных уравнений, Даниил же был пионером в области уравнений в частных производных.

4. Из Базеля вышел также самый плодовитый математик восемнадцатого столетия, если только не всех времен, — Леонард Эйлер. Его отец изучал математику под руководством Якоба Бернулли, а Леонард — под руководством Иоганна. Когда в 1725 г. сын Иоганна Николай уехал в Петербург, молодой Эйлер последовал за ним и оставался в Петербургской академии до 1741 г. С 1741 по 1766 г. Эйлер находился в Берлинской академии под особым покровительством Фридриха Великого, а с 1766 до 1783 г. он снова в Петербурге, теперь уже под эгидой императрицы Екатерины. Он был дважды женат и имел

1) Николай Бернулли

Якоб (1654-1705) «Ars conjectandi»

Иоганн (1667—1748) « Брахистохрона»

Николай (1695—1726) «Петербургская задача»

Даниил (1700—1784) «Гидродинамика»

тринадцать детей. Жизнь этого академика восемнадцатого столетия была почти целиком посвящена работе в различных областях чистой и прикладной математики. Хотя он потерял в 1735 г. один глаз, а в 1756 г. — второй, ничто не могло ослабить его огромную продуктивность. Слепой Эйлер, пользуясь своей феноменальной памятью, продолжал диктовать свои открытия. В течение его жизни увидели свет 530 его книг и статей; умирая, он оставил много рукописей, которые Петербургская академия публиковала в течение последующих 47 лет. Это довело число его работ до 771, но Густав Энештрем дополнил этот список до 886.

Леонард Эйлер (1707—1783).

Эйлеру принадлежат заметные результаты во всех областях математики, существовавших в его время. Он публиковал свои открытия не только в статьях различного объема, но и во многих обширных руководствах, где упорядочен и кодифицирован материал, который собирали поколения. В некоторых областях изложение Эйлера было почти что окончательным. Например, наша нынешняя тригонометрия с ее определением тригонометрических величин как отношений и с принятыми в ней обозначениями восходит к «Введению в анализ бесконечных» (Introductio in analysin infinitorum, 1748 г.) Эйлера. Колоссальный авторитет его руководств привел к упрочению ряда его обозначений в алгебре и в анализе; Лагранж, Лаплас и Гаусс знали Эйлера и следовали за ним во всей своей деятельности.

«Введение» 1748 г. в своих двух томах охватывает немалое разнообразие вопросов. В нем содержится изложение бесконечных рядов, в том числе рядов для ех, sin х, cos X и соотношение eix = cos х sin х (уже открытое Иоганном Бернулли и другими, в различных видах). Исследование кривых и поверхностей с помощью их уравнений ведется настолько свободно, что мы можем рассматривать «Введение» как первый учебник аналитической геометрии. Мы находим здесь также алгебраическую теорию исключения. Наиболее увлекательными частями этой книги является глава о функции дзета и о ее связи с теорией простых чисел, равно как и глава о partitio numerorum (разбиении чисел на слагаемые)1).

Другим большим и богатым по содержанию руководством Эйлера было «Дифференциальное исчисление» (Institutiones calculi differentialis, 1755 г.), за которым последовали три тома «Интегрального исчисления» (Institutiones calculi integralis, 1768—1774 г.). Здесь мы находим не только наше элементарное дифференциальное и интегральное исчисление, но также теорию дифференциальных уравнений, теорему Тейлора со многими приложениями, формулу суммирования Эйлера и эйлеровы интегралы В и Г. Раздел о дифференциальных уравнениях с его разграничением «линейных», «точных» и «однородных» уравнений все еще является образцом для наших элементарных

1) См. предисловие А. Шпайзера к «Введению» в собрании сочинений Эйлера Opera Omnia, I, t. 9 (1945). Имеется в русском переводе: Эйлер, Введение, т. I, М., 1960.

учебников по этому предмету. «Механика, или наука о движении, изложенная аналитически» (1736 г.) Эйлера была первым учебником, в котором ньютоновская динамика материальной точки была развита аналитическими методами. За ней последовала «Теория движения твердых тел» (1765 г.), в которой таким же образом трактуется механика твердых тел. Этот трактат содержит эйлеровы уравнения для тела, вращающегося вокруг точки. «Полное введение в алгебру» (1770 г.), написанное по-немецки и продиктованное слуге, стало образцом для многих позднейших учебников по алгебре. В нем изложение доведено до теории уравнений третьей и четвертой степени.

В 1744 г. появилось сочинение Эйлера «Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума или минимума» (Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimivi proprietate gaudentes). Это было первое изложение вариационного исчисления, оно содержало эйлеровы уравнения и многие приложения, включая открытие того, что катеноид и прямой геликоид являются минимальными поверхностями. Многие другие результаты Эйлера вошли в его работы меньшего объема, содержащие немало драгоценностей, ныне мало известных. В числе более известных его открытий теорема, связывающая число вершин (F), граней (F) и ребер (Е) замкнутого многогранника (V + F — Е = 2)1), эйлерова прямая в треугольнике, кривые постоянной ширины (Эйлер называл их кривыми orbiformi) и эйлерова постоянная

Несколько статей посвящены занимательной математике (семь кенигсбергских мостов, задача о шахматном коне). Одни лишь результаты Эйлера в области теории чисел (к его открытиям в этой области принадлежит закон квадратичной взаимности) дали бы ему место в пантеоне славы.

Деятельность Эйлера в значительной мере была посвящена астрономии, причем особое внимание он уделял теории движения Луны, этому важному разделу задачи трех тел. Его «Теория движения планет и комет» (Theoria motus planetarum et cometarum, 1774 г.) является трактатом

1) Известная уже Декарту.

по небесной механике. С этим трудом Эйлера связаны его исследования о притяжении эллипсоидов (1768 г.).

У Эйлера есть книги по гидравлике, по кораблестроению, по артиллерии. В 1769—1771 гг. появились три тома его «Диоптрики» (Dioptrica) с теорией преломления лучей в системе линз. В 1739 г. появилась его новая теория музыки, о которой говорили, что она слишком музыкальна для математиков и слишком математична для музыкантов. Философское изложение Эйлера наиболее важных проблем естествознания в его «Письмах к одной немецкой принцессе» (написаны в 1760--1761 гг.) остается образцом популяризации.

Огромная продуктивность Эйлера была и остается поводом для изумления и восхищения каждого, кто пытался изучать его труды, — задача не столь трудная, как это кажется, так как латынь Эйлера очень проста и его обозначения почти современны, — пожалуй, было бы лучше сказать, что наши обозначения почти эйлеровы! Можно составить длинный список известных открытий, приоритет в которых принадлежит Эйлеру, и перечень его идей, которые еще заслуживают разработки. Большие математики всегда признавали, что они обязаны Эйлеру многим. «Читайте Эйлера, — обычно говорил молодым математикам Лаплас, — читайте Эйлера, это наш общий учитель». А Гаусс выразился еще более определенно: «Изучение работ Эйлера остается наилучшей школой в различных областях математики, и ничто другое не может это заменить». Риман хорошо знал работы Эйлера, и некоторые из наиболее глубоких его произведений обнаруживают влияние Эйлера. Самым лучшим делом было бы издать переводы некоторых трудов Эйлера с современными комментариями.

5. Поучительно указать не только на то, что Эйлер внес в науку, но и на некоторые его слабости. В восемнадцатом столетии еще достаточно беззаботно обращались с бесконечными процессами и многое в трудах ведущих математиков этого периода производит на нас впечатление безудержного и восторженного экспериментирования. Экспериментировали с бесконечными рядами, с бесконечными произведениями, с интегрированием, с использованием таких символов, как 0, оо, \/ — 1. Если многие из выводов Эйлера можно принять сегодня, то есть другие результаты, относительно которых надо делать оговорки.

Например, мы принимаем утверждение Эйлера, что In п имеет бесконечно много значений, которые все являются комплексными числами, за исключением того случая, когда п ^> 0, тогда одно из значений действительно. Эйлер пришел к этому выводу в письме к Даламберу (1747 г.), который утверждал, что In (—1) = 0. Но мы не можем согласиться с Эйлером, когда он пишет, что 1—3+5 — 7+... — 0, или когда он из того, что

заключает, что

Все же нам надо соблюдать осторожность и не критиковать слишком поспешно Эйлера за его обращение с расходящимися рядами: он попросту не всегда пользовался некоторыми из наших нынешних признаков сходимости или расходимости как критериями законности своих рядов. Многое в его считавшихся необоснованными работах о рядах было строго истолковано современными математиками.

[9] Есть достаточно оснований пойти дальше в «реабилитации» работ Эйлера, относящихся к теории рядов. Эйлер, как правило, исходил из принципа: «Сумма всякого (бесконечного) ряда есть значение того (конечного) выражения, из развертывания которого возникает этот ряд». Этот принцип вызывал возражения и у современников Эйлера. Так, сохранилась переписка одного из оппонентов, Николая Бернулли, с Эйлером (1743 г.), в которой этот принцип обсуждается. Не приводя примеров, Н. Бернулли утверждал, что один и тот же ряд может получиться при развертывании различных выражений, следовательно, согласно принципу Эйлера, ему пришлось бы, вообще говоря, одновременно приписывать различные значения. Эйлер остался при убеждении, что «никогда один и тот же ряд не может возникнуть из разложения двух действительно различных конечных выражений» (письмо к Гольдбаху, 1745 г.), и Эйлер прав, потому что он имел в виду только степенные ряды, а его «конечные выражения» — аналитические функции. В понимании же того, что такое сумма ряда, Эйлер ближе к более широкому подходу математики двадцатого века, чем к ригоризму математиков эпохи Коши — Вейерштрасса. Эйлер полагал, что «каждый ряд должен обладать определенным значением. Однако,

чтобы справиться со всеми возникающими здесь трудностями, следовало бы это значение не именовать суммой, поскольку с этим словом обычно связывают такие понятия, как если бы сумма получалась в результате действительного суммирования, а эта идея для расходящихся рядов не имеет места...». Приведя эти слова Эйлера, Г. Харди замечает: «Это — почти тот язык, которым мог бы пользоваться Чезаро или Борель»1). Больше того, Эйлер в вопросе о расходящихся рядах стоял на вполне современной точке зрения, когда писал в «Дифференциальном исчислении»: «И вот я говорю, что вся трудность кроется в названии сумма. Действительно, если под суммой ряда понимать, как это обычно делается, результат сложения всех его членов, то нет никакого сомнения, что суммы можно получить только для тех бесконечных рядов, которые являются сходящимися и дают результаты, тем более близкие к некоторому определенному значению, чем больше членов складываются. Расходящиеся же ряды, члены которых не убывают..., вообще не будут иметь никаких определенных сумм, если только слово «сумма» понимается в смысле результата сложения всех членов.

Этих затруднений и кажущихся противоречий мы совершенно избегнем, если мы припишем слову «сумма» значение, отличное от обычного. А именно, мы скажем, что сумма некоторого бесконечного ряда есть конечное выражение, из разложения которого возникает этот ряд... При этом соглашении, если ряд будет сходящимся, то новое определение слова «сумма» совпадает с обычным, а так как расходящиеся ряды не имеют никакой суммы в собственном смысле слова, то из этого нового определения не проистечет никаких неудобств. Приняв это определение, мы сможем сохранить выгоды пользования расходящимися рядами и в то же время защититься от всяческих обвинений».

Вообще развитие теории о расходящихся рядах — весьма поучительный раздел истории математики, особенно в ее «понятийном» аспекте, и для первого ознакомления можно рекомендовать цитированную выше книгу Г. Харди, содержащую, особенно во Введении и первой главе, много интересного исторического материала.

Однако мы не можем восторгаться тем способом, которым Эйлер обосновывает анализ, вводя нули различных порядков. Бесконечно малая величина, писал Эйлер в «Дифференциальном исчислении» (1755 г.), — это действительно нуль,

«Стало быть, существует бесконечно много порядков бесконечно малых величин, и хотя все эти величины равны

1) Г. Харди, Расходящиеся ряды, М., 1951, стр. 29.

2) Эта формула напоминает утверждение, которое Симплиций приписывает Зенону: «То, что при добавлении к другому не делает его больше, а при отнятии от другого не делает его меньше, есть ничто».

нулю, следует четко отличать их друг от друга, если мы обращаемся к их взаимозависимости, выражающейся геометрическим отношением».

В целом вопрос об обосновании анализа оставался предметом обсуждения, равно как и все вопросы, относившиеся к бесконечным процессам. «Мистический период» в обосновании анализа (мы пользуемся термином, предложенным Карлом Марксом) в свою очередь порождал мистицизм, заходивший гораздо дальше того, что мы находим у основателей анализа. Гвидо Гранди, монах и профессор в Пизе, известный своим исследованием лепестковых кривых и других кривых, напоминающих цветки, рассматривал формулу

следовательно 1 — 1 + 1 — 1 + 1 —... = , как символ творения из ничего. Он получил результат у, применив такое истолкование: отец завещает драгоценный камень двум своим сыновьям с тем, что каждый может пользоваться драгоценностью поочередно один год; следовательно, камень принадлежит каждому сыну наполовину.

Пусть эйлерово обоснование анализа имело свои слабые стороны, но свою точку зрения Эйлер во всяком случае высказал вполне определенно. Даламбер в некоторых статьях «Энциклопедии» пытался дать такое обоснование другими средствами. Ньютон пользовался выражением «первое и последнее отношение» для «флюксии», имея в виду первое или последнее отношения двух только что возникших величин. Даламбер заменил это понятием предела. Он называет одну величину пределом другой, если вторая, приближаясь к первой, отличается от нее менее чем на любую заданную величину. «Дифференцирование уравнений состоит попросту в том, что находят пределы отношения конечных разностей двух переменных, входящих в уравнение». Это было, наряду с идеями Даламбера о бесконечных различных порядков, значительным шагом вперед. Однако его современников было не так легко убедить в важности этого шага, и когда Даламбер говорил, что секущая становится касательной при слиянии двух точек пересечения в одну, чувствовалось,

что он не преодолел трудностей, присущих парадоксам Зенона. В конце концов, достигает ли переменная величина своего предела, или она никогда его не достигает?

Мы уже упоминали о критике ньютоновых флюксий епископом Беркли. Джордж Беркли, первый настоятель в Дерри, после 1734 г. — епископ в Южной Ирландии, а с 1729 до 1731 г. пребывавший в Ньюпорте, штат Род Айленд, прежде всего известен как крайний идеалист («быть значит восприниматься»)1). Он был огорчен тем, что ньютонова наука поддерживает материализм, и он напал на теорию флюксий в своем «Аналисте» (Analyst, 1734 г.). Он издевался над бесконечно малыми как над «тенями усопших величин»; если х получает приращение о, то приращение хг\ разделенное на о, есть

Это получается в предположении, что о отлично от нуля. Однако флюксию от хп, то есть пхп~\ получают, считая о равным нулю, что сразу изменяет исходное предположение об отличии о от нуля. Это было «явным софизмом», который Беркли открыл в анализе, и он был убежден, что верные результаты анализа получаются за счет компенсации ошибок. Логически флюксии нельзя принимать во внимание. «Но тот, кто может переварить вторую или третью флюксию, вторую или третью разность, — восклицал Беркли, обращаясь к неверующему математику (Галлею), — не должен, как мне кажется, придираться к чему-либо в богословии». Это не единственный случай, когда серьезные трудности в науке использовались, чтобы поддержать идеалистическую философию.

Джон Ланден, английский математик-самоучка, чье имя осталось в теории эллиптических интегралов, пытался найти свой метод для преодоления основных затруднений анализа. В своем «Анализе остатков» (Residual analysis, 1764 г.) он ответил на критику Беркли тем, что полностью избегал бесконечно малых; например, производную от хд он находил, заменяя х на хг, после чего

1) Esse est percipi.

становится равным 3.x2, когда хл = х. Так как этот метод приводит при более сложных функциях к бесконечным рядам, он находится в известном родстве с более поздним алгебраическим методом Лагранжа.

5*. Для России, с которой Эйлер был связан в течение почти всей своей научной деятельности (в годы жизни в Берлине он оставался деятельным сочленом Петербургской академии, печатая в ее изданиях значительную часть своих работ, консультируя по различным вопросам, включая подбор сотрудников Академии, и руководя занятиями командированных к нему молодых ученых), его труды имели особое значение. Многие прикладные работы Эйлера, например по картографии и по морскому делу, были предприняты, чтобы дать ответ на запросы русских правительственных учреждений. В России печатались и трактаты Эйлера, и его учебники элементарного содержания, значительно повысившие уровень математического просвещения: «Руководство к арифметике» Эйлера вышло на русском языке двумя изданиями (1740 и 1760 гг.), «Универсальная арифметика» по-русски была издана раньше (1768—1769 гг.), чем ее немецкий оригинал, «Полное введение в алгебру» (1770 г.), и выдержала три издания. У Эйлера учились первые русские академики по математике (С. К. Котельников, 1723—1806) и по астрономии (С. Я. Румовский, 1734—1812, известный также и как автор нескольких математических работ). Во второй петербургский период Эйлер становится центром целой группы ученых, в которую входят, кроме названных: его сын, И. А. Эйлер, чьи заслуги, впрочем, сводятся к тому, что он был «техническим» помощником отца; племянник Эйлера Н. И. Фусс (1755—1826), тоже помогавший почти слепому Эйлеру, автор многих оригинальных исследований, преимущественно по дифференциальной геометрии; А. И. Лекселль (1740—1781), известный своими работами по полигонометрии; астроном и геометр Ф. И. Шуберт (1758—1828). Самостоятельные математические исследования этих учеников Эйлера состоят преимущественно в решении частных задач, поставленных в работах учителя или связанных с ними, притом с определенным геометрическим уклоном и в рамках эйлеровых методов и приемов. Такое направление вело в сторону от столбовой дороги математики того времени, и в девятнадцатом веке потребовались труды М. В. Остроградского и П. Л. Че-

бышева, чтобы придать новый блеск Петербургской математической школе.

6. Хотя Эйлер неоспоримо был ведущим математиком этого периода, во Франции по-прежнему появлялись вполне оригинальные работы. Здесь более чем в какой-либо другой стране математику рассматривали как науку, которая должна была довести теорию Ньютона до большего совершенства. Теория всемирного тяготения обладала большой привлекательностью в глазах философов Просвещения, которые пользовались ею как оружием в своей борьбе против остатков феодализма. Католическая церковь включила труды Декарта в индекс запрещенных книг 1664 г., но около 1700 г. его теории стали модными даже в консервативных кругах. Проблема: ньютонианство или картезианство — стала на некоторое время наиболее интересной темой не только для ученых, но и в салонах. «Письма об англичанах» (1734 г.) Вольтера много сделали для знакомства французских читателей с идеями Ньютона; подруга Вольтера мадам Дю Шатле даже перевела «Начала» на французский язык (1759 г.). Существенно спорным вопросом для обеих школ бы вопрос о форме Земли.

Согласно космогонии, которую поддерживали картезианцы, Земля у полюсов была удлинена, а по теории Ньютона она должна была там быть сплющена. Картезианские астрономы Кассини (отец Жан Доминик и сын Жак; отец известен в геометрии благодаря овалам Кассини, 1680 г.) промерили дугу меридиана во Франции между 1700 и 1720 гг. и отстаивали картезианский вывод. Возник спор, в котором приняли участие многие математики. В 1735 г. в Перу послали экспедицию, за которой в 1736 — 1737 гг. последовала другая экспедиция в Лапландию, под руководством Пьера Мопертюи, с целью промерить градус долготы. В результате обеих экспедиций восторжествовала теория Ньютона, это было как ее триумфом, так и триумфом самого Мопертюи. Отныне знаменитый «Великий сплющиватель» стал президентом Берлинской академии и много лет купался в лучах своей славы при дворе Фридриха Великого. Это продолжалось до 1750 г., когда он вступил в горячий спор со швейцарским математиком Самуилом Кенигом относительно принципа наименьшего действия в механике, указанного, быть может, уже Лейбницем. Мопертюи, как Ферма до него и Эйнштейн после него, искал какой-то общий принцип, который мог бы

объединить законы вселенной. Формулировка Мопертюи не была отчетливой, он определял свое «действие» как величину mvs (m — масса, v — скорость, s — расстояние). У него это сочеталось с доказательством существования бога. Этот спор особенно обострился тогда, когда Вольтер высмеял неудачливого президента в своей «Диатрибе доктора Акакия, врача папы» (1752 г.). Ни поддержка короля, ни защита Эйлера не могли уже вернуть Мопертюи присутствие духа, и павший духом математик вскоре скончался в Базеле, в доме Бернулли.

Эйлер вновь выдвинул принцип наименьшего действия в формулировке, что должен быть минимумом ^ rnvds, и, кроме того, он не вдавался в метафизику Мопертюи. Таким образом этот принцип был поставлен на твердую почву, и им пользовался Лагранж1), позже — Гамильтон. Значение «гамильтониана» в современной математической физике показывает, насколько существенным было то, что внес Эйлер в спор между Мопертюи и Кенигом.

Среди математиков, побывавших вместе с Мопертюи в Лапландии, был Алексис Клод Клеро. Клеро восемнадцати лет от роду опубликовал «Изыскания о кривых двоякой кривизны» (Recherches sur les courbes à double courbure), первый опыт в области аналитической и дифференциальной геометрии пространственных кривых. По возвращении из Лапландии Клеро опубликовал свою «Теорию фигуры Земли» (Théorie de la figure de la Terre, 1743 г.), образцовое произведение по гидростатике и притяжению эллипсоидов вращения. Лаплас мог его улучшить лишь в незначительных деталях. В числе главных результатов этой работы — условие полноты дифференциала Mdx -f-+ Ndy. За этой книгой последовала «Теория Луны» (Théorie de la lune, 1752 г.), содержавшая дополнения к эйлеровой теории движения Луны и к общей задаче трех тел. Клеро принадлежат также результаты в теории криволинейных интегралов и дифференциальных уравнений. Один из типов рассмотренных им дифференциальных уравнений известен под его именем, и с этим связан один из первых примеров особых решений.

1) См. Э. Мах, Механика, СПб., 1909; Dugas, Histoire de la Mécanique (Neufchâtel, 1950); P. Brunet, Étude historique sur le principe de la moindre action, Paris, 1950; Л. C. Полак, Вариационные принципы в механике и физике, М., 1961.

7. Интеллектуальная оппозиция старому режиму после 1750 г. имела своим центром знаменитую «Энциклопедию» (1751—1772 гг., 28 томов). Ее редактором был Дени Дидро, под чьим руководством «Энциклопедия» стала подробным изложением философии века Просвещения. Дидро не обладал большими познаниями в математике1), ведущим

Жан ле Рон Даламбер (1717—1783).

1) В ходу не раз приводимая история о Дидро и Эйлере, согласно которой Эйлер во время публичной дискуссии в Петербурге ошеломил вольнодумца Дидро утверждением, что он обладает алгебраическим доказательством существования бога: «Сударь,

математиком энциклопедистов был Жан ле Рон Даламбер, внебрачный сын аристократической дамы, оставленный как подкидыш вблизи церкви святого Жана ле Рона в Париже. Его ранние и блестящие успехи облегчили его карьеру. В 1754 г. он стал «непременным секретарем» Французской академии и в качестве такового наиболее влиятельным ученым Франции. В 1743 г. появился его «Трактат по динамике» (Traité de la dynamique), который содержит метод сведения динамики твердых тел к статике, известный как «принцип Даламбера». Он продолжал писать по многим прикладным вопросам, в частности по гидродинамике, аэродинамике и задаче трех тел. В 1747 г. он опубликовал теорию колебания струн, что делает его, вместе с Даниилом Бернулли, основателем теории уравнений в частных производных. Тогда как Даламбер и Эйлер нашли решение уравнения z'u + k2Zxx в виде z = j(x~\-kt) -f- ц(х —kt), Бернулли решил это уравнение при помощи тригонометрических рядов. Возникли серьезные сомнения относительно характера этого решения: Даламбер считал, что начальная форма струны может быть задана только одним-единственным аналитическим выражением, в то время как Эйлер полагал, что допустима любая непрерывная кривая. Бернулли утверждал, вопреки Эйлеру, что его решение в виде ряда является вполне общим. Полного разъяснения этого вопроса пришлось ждать до 1824 г., когда Фурье устранил сомнения относительно законности представления «любой» функции тригонометрическим рядом.

——-= следовательно, бог существует: отвечайте же!» Это хороший пример плохого исторического анекдота, так как значение анекдота относительно исторической личности зависит от того, насколько он характеризует определенные черты ее характера, а этот анекдот может послужить лишь к тому, чтобы исказить как характер Дидро, так и характер Эйлера. Дидро знал математику своего времени, он писал об инволютах и теории вероятностей, и нет оснований думать, что рассудительный Эйлер мог вести себя столь нелепым образом. Весь этот рассказ, по-видимому, придуман английским математиком Де Морганом (1806—1873). См. L. G. Krakeur — R. L. Krueger, Isis 31 (1940), 431-432 и 33 (1941), 219-231.

Верно то, что в восемнадцатом столетии иной раз говорили о возможности алгебраического доказательства существования бога; Мопертюи увлекался этой идеей, см. «Диатрибу...» Вольтера; см. также В. Brown, Amer. Math. Monthly 49 (1944).

Даламберу не составляло труда писать по многим вопросам, включал даже вопросы обоснования математики. Мы упоминали о том, что он ввел понятие предела. «Основную теорему алгебры» иной раз называют теоремой Даламбера, так как он пытался ее доказать (1746 г.), а «парадокс Даламбера» в теории вероятностей показывает, что он, хотя и не очень успешно, размышлял об основах этой теории.

Теория вероятностей быстро развивалась в течение этого периода главным образом благодаря дальнейшей разработке идей Ферма, Паскаля и Гюйгенса. За «Ars conjectandi» последовали другие книги, среди них «Учение о случае» (The Doctrine of Chance, 1716 г.), написанная Авраамом де Муавром, французским гугенотом, который поселился в Лондоне после отмены Нантского эдикта (1685 г.) и зарабатывал там на жизнь частными уроками. Имя де Муавра связано с тригонометрической теоремой, которая в ее современной форме (cos ср —j— i sin çç)n = cos n ф-(- i sin гмр впервые появляется во «Введении» Эйлера. В 1733 г. Муавр вывел функцию нормального распределения как аппроксимацию биномиального закона и дал формулу, равносильную формуле Стирлинга. Джеймс Стирлинг, английский математик школы Ньютона, опубликовал свой ряд в 1730 г.

Многочисленные лотереи и страховые компании, которые организовались в течение этого периода, вызвали у многих математиков, включая Эйлера, интерес к теории вероятностей. Это повело к попыткам применить учение о вероятностях в новых областях. Бюффон, известный как автор «Естественной истории» (36 увлекательно написанных томов) и знаменитого рассуждения о стиле (1753 г.; «стиль — это человек»), в 1777 г. дал первый пример геометрической вероятности. Это была так называемая задача об игле, которая занимала многих, так как она давала возможность экспериментально определить число л, бросая иголку на плоскость, покрытую параллельными и равноудаленными прямыми, и подсчитывая число пересечений иголки с этими прямыми.

К этому периоду относятся также попытки применить теорию вероятностей к суждениям человека; например, подсчитывали шансы на то, что какой-либо трибунал сможет вынести правильный приговор, если для каждого из свидетелей можно указать число, выражающее вероятность того, что он будет говорить правду. Эта забавная

«вероятность суждений», которая отдает философией века Просвещения, занимает видное место в трудах маркиза Кондорсе; она появляется еще у Лапласа и даже у Пуассона (1837 г.).

8. Де Муавр, Стирлинг и Ланден — добротные представители английской математики восемнадцатого века. Но мы должны сказать и о некоторых других англичанах, хотя никто из них не мог равняться со своими коллегами на континенте. Над английской наукой тяготела традиция почитания Ньютона, и его обозначения, неуклюжие по сравнению с обозначениями Лейбница, затрудняли прогресс. Были и глубокие общественные причины, в силу которых английские математики не освобождались от флюксионных методов Ньютона. В Англии, которая вела непрерывную торговую войну с Францией, развивалось чувство интеллектуального превосходства, которое поддерживалось не только победами, военными и торговыми, но и тем восхищением, которое вызывала у континентальных философов английская политическая система. Англия стала жертвой своего воображаемого совершенства. Есть сходство между английской математикой восемнадцатого века и античной математикой позднеалександрийской эпохи. В обоих случаях неподходящие обозначения технически затрудняли прогресс, а причипы того, что математики ими удовлетворялись, были более глубокого общественного характера.

Ведущим английским, вернее пользовавшимся английским языком, математиком этого периода был Колин Маклорен, профессор Эдинбургского университета, последователь Ньютона, с которым он был лично знаком. Его исследования и обобщения флюксионного метода, работы по кривым второго и более высокого порядка и по притяжению эллипсоидов шли параллельно с исследованиями Клеро и Эйлера. Некоторые из теорем Маклорена вошли в нашу теорию плоских кривых и в нашу проективную геометрию. В его «Органической геометрии» (Geometria organica, 1720 г.) мы находим замечание, известное как парадокс Крамера: кривая п-го порядка не всегда определяется г/2 п (п-J- 3) точками, так что девять точек могут не определять однозначно кривую третьего порядка, тогда как может оказаться, что десяти точек слишком много. Здесь же мы находим кинематические методы для описания плоских кривых различных порядков. «Трактат

о флюксиях» Маклорена (Treatise of fluxions, 2 тома, 1742 г.), написанный в защиту Ньютона против Беркли, читать трудно из-за его архаичного геометрического языка, что находится в резком контрасте с доступностью работ Эйлера. Маклорен обычно стремился к строгости Архимеда. В книге содержатся исследования Маклорена о притяжении элипсоидов вращения и его теорема, что два таких конфокальных эллипсоида притягивают частицу на оси или на экваторе силами, пропорциональными их объемам. В этом трактате Маклорен оперирует также со знаменитым «рядом Маклорена».

Впрочем, этот ряд не был новым открытием, так как он появился в «Методе приращений» (Methodus incrementorum, 1715 г.), написанном Бруком Тейлором, в то время секретарем Королевского общества, а еще раньше был открыт И. Бернулли и по сути был известен Лейбницу. Маклорен признает то, что он полностью обязан Тейлору. Ряд Тейлора теперь всегда приводят в обозначениях Лагранжа:

Тейлор явно приводит этот ряд для х = О, что многие учебники еще упорно называют рядом Маклорена. В выводе Тейлора нет соображений относительно сходимости ряда, но Маклорен положил начало таким исследованиям и даже владел так называемым интегральным признаком сходимости бесконечных рядов. Полностью важность ряда Тейлора была признана лишь после того, как Эйлер использовал его в своем «Дифференциальном исчислении» (1755 г.). Лагранж добавил к нему остаточный член и положил его в основу своей теории функций. Сам Тейлор использовал свой ряд для интегрирования некоторых дифференциальных уравнений. Он начал исследование колебаний струны, что затем было предметом работ Даламбера и др. (см. стр. 172).

9. Жозеф Луи Лагранж родился в Турине в итало-французской семье. Девятнадцати лет от роду он стал профессором математики артиллерийской школы в Турине (1755 г.). В 1766 г., когда Эйлер уехал из Берлина в Петербург, Фридрих Великий пригласил Лагранжа в Берлин, и в этом скромном приглашении было сказано, что «необходимо, чтобы величайший геометр Европы проживал вблизи величайшего из королей». Лагранж оставался

в Берлине до смерти Фридриха (1786 г.), после чего он переехал в Париж. Во время революции он участвовал в реформе мер и весов, а позже стал профессором сначала Нормальной школы (1795 г.), а затем Политехнической школы (1797 г.).

Жозеф Луи Лагранж (1736—1813).

Исследования по вариационному исчислению относятся к раннему периоду деятельности Лагранжа. Мемуар Эйлера по этому вопросу появился в 1755 г. Лагранж заметил, что метод Эйлера не обладает «всей той простотой, которая желательна в вопросе чистого анализа». В результате появилось чисто аналитическое вариационное исчис-

ление Лагранжа (1760—1761 гг.), в котором не только много оригинальных открытий, но и отлично упорядочен и переработан накопленный исторический материал — то, что характерно для всего творчества Лагранжа. Лагранж сразу применил свою теорию к задачам динамики, причем он полностью использовал эйлерову формулировку принципа наименьшего действия — результат плачевного эпизода с «Акакием». Многие из основных идей «Аналитической механики» (Mécanique analytique, 1788 г.) восходят к туринскому периоду жизни Лагранжа. Он принял участие также в разработке одной из основных проблем своего времени, теории движения Луны. Он дал первые частные решения задачи трех тел. Теорема Лагранжа утверждает, что можно найти такое начальное положение трех тел, при котором их орбитами будут подобные эллипсы, описываемые за одно и то же время (1772 г.). В 1767 г. появился его мемуар «О решении численных уравнений» (Sur la résolution des équations numériques), в котором он изложил методы отделения вещественных корней алгебраического уравнения и их приближенного вычисления с помощью непрерывных дробей. За этим в 1770 г. последовали «Размышления об алгебраическом решении уравнений» (Réflexions sur la résolution algébrique deséquations), в которых рассматривается основной вопрос, почему те методы, которые позволяют решать уравнения не выше четвертой степени, ничего не дают для степени, большей четырех. Это привело Лагранжа к рациональным функциям от корней и к исследованию их поведения при перестановках корней. Такой метод не только был стимулом для Руффини и Абеля в их работах относительно случая п > 4, но он привел Галуа к его теории групп. Лагранж также продвинул теорию чисел, в которой он исследовал квадратичные вычеты, и среди ряда других теорем доказал то, что каждое целое число есть сумма четырех или меньшего числа квадратов.

Вторую часть своей жизни Лагранж посвятил созданию больших трудов: «Аналитической механики» (1788 г.), «Теории аналитических функций» (Théorie des fonctions analytiques, 1797 г.) и ее продолжения — «Лекций по исчислению функций» (Leçons sur le calcul des fonctions, 1801 г.). Обе книги по теории функций являются попыткой подвести надежный фундамент под анализ, сведя его

к алгебре. Лагранж отбросил теорию пределов в том виде, как она была указана Ньютоном и сформулирована Даламбером. Он не мог как следует уяснить себе, что происходит, когда ~ достигает своего предела. Говоря словами Лазаря Карно, «организатора победы» во времена французской революции, который также был недоволен ньютоновским методом бесконечно малых: «Этот метод имеет тот большой недостаток, что количества рассматриваются в состоянии, когда они, так сказать, перестают быть количествами; ибо хотя мы всегда хорошо представляем себе отношение двух количеств, пока они остаются конечными, с этим отношением наш ум не связывает ясного и точного представления, как только его члены, оба в одно и то же время, становятся ничем»1). Метод Лагранжа отличается от метода его предшественников. Он начинает с ряда Тейлора, который выводится вместе с остаточным членом, доказывая несколько наивным способом, что «произвольная» функция f(x) может быть разложена в такой ряд с помощью чисто алгебраического процесса. Затем производные /' (х), /" (#),... определяются как коэффициенты при /г, /г-2,... в разложении Тейлора f(x + h) по степеням А. (Обозначения f{x), /" {х),... принадлежат Лагранжу.)

Хотя этот алгебраический метод обоснования анализа оказался неудовлетворительным и хотя Лагранж не уделил достаточного внимания сходимости рядов, такая абстрактная трактовка функций была значительным шагом вперед. Здесь впервые выступает на сцену теория функций вещественного переменного с применениями к разнообразным задачам алгебры и геометрии.

«Аналитическая механика» Лагранжа — это, может быть, наиболее ценный его труд, который все еще заслуживает тщательного изучения. В этой книге, которая появилась через сто лет после «Начал» Ньютона, вся мощь усовершенствованного анализа использована в механике точек и твердых тел. Результаты Эйлера, Даламбера и других математиков восемнадцатого столетия здесь обработаны и развиты с единой точки зрения. Благодаря полному использованию вариационного исчисления са-

1) Л. Карно, Размышления о метафизике исчисления бесконечно малых, М., 1936. См. Также F. Cajori, Amer. Math, Monthly 22 (1915), 148,

мого Лагранжа оказалось возможным объединить различные принципы статики и динамики, в статике — путем использования принципа виртуальных скоростей, в динамике — принципа Даламбера. Это естественным образом привело к обобщенным координатам и к уравнениям движения в их лагранжевой форме:

Теперь уже был полностью отброшен геометрический подход Ньютона; книга Лагранжа была триумфом чистого анализа, и ее автор зашел настолько далеко, что подчеркивал в предисловии: «В этой работе вовсе нет чертежей, в ней только алгебраические операции»1). Это характеризует Лагранжа как первого чистого аналитика.

10. Мы переходим к Пьеру Симону Лапласу, последнему из ведущих математиков восемнадцатого века. Сын скромного землевладельца в Нормандии, он учился в Бомоне и Кане, с помощью Даламбера стал профессором математики военной школы в Париже. Он занимал и несколько других преподавательских и административных должностей, во время революции принимал участие в организации как Нормальной, так и Политехнической школы. Наполеон удостоил его многих почестей, но то же делал и Людовик XVIII. В противоположность Монжу и Карно Лаплас легко менял свои политические привязанности, и при всем том в нем было кое-что от сноба. Впрочем, такая неустойчивость позволила ему продолжать свою чисто математическую деятельность при всех политических изменениях во Франции.

Двумя большими трудами Лапласа, в которых дана сводка не только его исследований, но и всех предыдущих работ в соответствующих областях, являются «Аналитическая теория вероятностей» (Théorie analytique des probabilités, 1812 г.) и «Небесная механика» (Mécanique céleste, 1799—1825 гг., 5 тт.). Обоим монументальным произведениям сопутствовали развернутые популярные изложения, «Философский опыт относительно вероятностей» (Essai philosophique sur les probabilités, 1814 г.) и «Изложение системы мира» (Exposition du système du monde, 1796 г.). Это «Изложение» содержит гипотезу

1) Характерно слово «алгебраический» вместо «аналитический».

о происхождении солнечной системы из туманности, предложенную до того Кантом в 1755 г. (и даже раньше Канта Сведенборгом в 1734 г.). «Небесная механика» является завершением трудов Ньютона, Клеро, Даламбера, Эйлера, Лагранжа и Лапласа по теории фигуры Земли, теории Луны, по задаче трех тел и теории возмущений планет, включая основную проблему об устойчивости солнечной системы. Термин «уравнение Лапласа» напоминает нам о том, что одной из частей «Небесной механики» является теория потенциала. (Само это уравнение было найдено Эйлером в 1752 г. при выводе некоторых основных уравнений гидродинамики). С этими пятью томами связано немало анекдотов. Хорошо известен предполагаемый ответ Лапласа Наполеону, который попытался упрекнуть его, заявив, что в его книге нет упоминаний о боге: «Государь, я не нуждался в этой гипотезе». А Натаниел Боудич из Бостона, который перевел четыре тома труда Лапласа на английский язык, как-то сказал: «Всегда, когда я встречал у Лапласа заявление «Итак, легко видеть...», я был уверен, что мне потребуются часы напряженной работы, пока я заполню пробел, догадаюсь и покажу, как это легко видеть». Математическая карьера Гамильтона началась с того, что он нашел ошибку в «Небесной механике» Лапласа. Грин пришел к мысли о математической теории электричества при чтении Лапласа.

«Философский опыт относительно вероятностей» — это легко читающееся введение в теорию вероятностей. Оно содержит лапласово «отрицательное» определение вероятности с помощью «равновероятных событий»:

«Теория вероятностей состоит в сведении всех событий одного и того же рода к некоторому числу равновероятных случаев, т. е. случаев, относительно осуществления которых мы в равной мере не осведомлены, и в определении числа тех случаев, которые благоприятны для события, вероятность которого мы ищем».

Вопросы, касающиеся вероятностей, согласно Лапласу возникают потому, что мы частично осведомлены, частично нет. Это привело Лапласа к его знаменитому утверждению, в котором воплощено то, как восемнадцатое столетие понимало механистический материализм:

«Ум, который знал бы все действующие в данный момент силы природы, а также относительное положение всех составляющих ее частиц и который был бы достаточно обширен, чтобы все эти данные подвергнуть математическому анализу, смог бы охватить единой формулой движение как величайших тел вселенной, так и ее легчайших атомов; для него не было бы ничего неопределенного, он одинаково ясно видел бы и будущее, и прошлое. То совершенство, какое человеческий разум был в состоянии придать астрономии, дает лишь слабое представление о таком уме».

Трактат «Аналитическая теория вероятностей» настолько богат содержанием, что многие позднейшие открытия

Пьер Симон Лаплас (1749—1827).

теории вероятностей можно обнаружить у Лапласа1). В этом внушительном томе подробно рассмотрены азартные игры, геометрические вероятности, теорема Бернулли и ее связь с интегралом нормального распределения, теория наименьших квадратов, изобретенная Лежандром. Руководящей мыслью является применение «производящих функций»; Лаплас показал значение этого метода для решения разностных уравнений. Здесь вводится «преобразование Лапласа», которое позже стало основой операционного исчисления Хевисайда. Лаплас также спас от забвенья и заново сформулировал ту теорию, набросок которой дал Томас Байес, мало известный английский священник, работы которого были опубликованы посмертно в 1763—1764 гг. Эта теория стала известна как теория вероятностей a posteriori.

11. Любопытно то обстоятельство, что к концу века некоторые ведущие математики высказывались в том смысле, что область математических исследований как бы истощена. Труды и усилия Эйлера, Лагранжа, Даламбера и других уже дали наиболее важные теоремы, эти результаты в должном оформлении изложены или в скором времени будут изложены в классических трактатах, и немногочисленные математики следующего поколения должны будут решать только задачи меньшего значения. «Не кажется ли Вам, что высшая геометрия близится отчасти к упадку, — писал Лагранж Даламберу в 1772 г., — ее поддерживаете только Вы и Эйлер»2). Лагранж даже на некоторое время прекратил занятия математикой. Даламбер в ответ мало чем мог обнадежить. Араго в своей «Похвальной речи о Лапласе» (1842 г.) позже высказал мысль, которая поможет нам понять эти чувства:

«Пять геометров, Клеро, Эйлер, Даламбер, Лагранж и Лаплас, разделили между собою тот мир, существование которого открыл Ньютон. Они исследовали его во всех направлениях, проникли в области, которые считались недоступными, указали множество явлений в этих областях, которые еще не были открыты наблюдением,

1) Е. С. Molina, The Theory of Probability: some comments on Laplace's «Théorie analytique», Bull. Amer. Math. Soc. 36 (1930).

2) Под геометрией в восемнадцатом веке во Франции понимали математику вообще.

и, наконец, — в этом их вечная слава, — они охватили с помощью одного принципа, одного-единственного закона самые тонкие и таинственные явления в движении небесных тел. Таким образом геометрия осмелилась распоряжаться будущим, и ход будущих столетий только подтвердит во всех подробностях заключения науки».

Жан Этьен Монтюкла (1725—1799).

Красноречивый Араго указывает на основной источник пессимизма конца века, именно, на тенденцию отождествлять прогресс математики с прогрессом механики и астрономии. Со времен древнего Вавилона до времен Эйлера и Лапласа астрономия была руководящей и вдохновляющей силой самых замечательных математических открытий, и теперь казалось, что этот процесс достиг своей кульминации. Однако новое поколение, вдохно-

вленное новыми перспективами, открытыми французской революцией и расцветом естествознания, должно было показать, насколько необоснован этот пессимизм. Новый мощный импульс лишь частично был дан во Франции; как частично бывало в истории цивилизации, он шел также и с периферии политических и экономических центров, в данном случае из Геттингена, от Гаусса.

ЛИТЕРАТУРА

Полные собрания сочинений Лагранжа и Лапласа изданы во второй половине девятнадцатого века, издание полного собрания сочинений Эйлера близится к завершению. Ряд томов Эйлера вышел с обширными введениями.

Собрания сочинений Якоба Бернулли (1744 г., два тома) и Иоганна Бернулли (1742 г., четыре тома) не переиздавались.

На русском языке изданы следующие произведения классиков восемнадцатого столетия:

Иоганн Бернулли, Избранные сочинения по механике, под ред. и с прим. В. П. Егоршина, М.—Л., 1937.

Якоб Бернулли, Четвертая часть Ars conjectandi, перевод Я. В. Успенского, СПб, 1913.

А. Клеро, Теория фигуры Земли, ред., комментарии и статья Н. И. Идельсона, М.—Л., 1947.

Ж. Даламбер, Динамика, прим. В. П. Егоршина, М.—Л., 1950.

Л. Эйлер, Введение в анализ бесконечных, т. I, 1-е изд., под ред., с прим. и вступ. статьей С. Я. Лурье, М.—Л., 1936; 2-е изд. под ред. И. Б. Погребысского, вступ. статья А. Шпайзера, М., 1961; т. II, ред., прим. и вступ. статья И. Б. Погребысского М., 1961.

Л. Эйлер, Дифференциальное исчисление, прим. и вступ. статья М. Я. Выгодского, М. —Л., 1949.

Л. Эйлер, Интегральное исчисление, т. I, ред., предисловие и прим. М. Я. Выгодского, М., 1956; т. II, предисловие и прим. И. Б. Погребысского, М., 1957; т. III, комментарии Ф. И. Франкля, М., 1958.

Л.Эйлер, Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума, либо минимума, ред. и вступ. статья М. С. Кошлякова, М.—Л., 1934.

В книгу: Л. Эйлер, Основы динамики точки, ред., предисловие и прим. В. П. Егоршина, М.—Л., 1938, вошли главы из «Механики» и «Теории движения твердых тел» Л. Эйлера.

«Полное введение в алгебру» Л. Эйлера впервые было издано на русском языке, в переводе П. Иноходцева и И. Юдина, под названием «Универсальная арифметика», в двух томах (1-е изд., Спб., 1768—1769).

«Письма к немецкой принцессе» тоже имеются в русском переводе восемнадцатого века (ученика Эйлера, астронома С. Я. Румовского), 1-е изд., в трех томах, Спб., 1768—1774.

Л. Эйлер, Избранные картографические статьи, ред. и вступ. статья Г. В. Багратуни, М. —Л., 1958.

Л. Эйлер, Работы по баллистике, М., 1959.

Л. Эйлер, Исследования по баллистике, ред. и предисловие Б. Н. Окунева, Физматгиз, 1961.

Лагранж, Аналитическая механика, т. 1, под ред. и с прим. Л. Г. Лойцянского и А. И. Лурье, т. И, под ред. и с прим. Г. Н. Дубошина, М.— Л., 1950.

Работы Лапласа, «Изложение системы мира» и «Опыт философии теории вероятностей» имеются в старых переводах (1861 г. и 1908 г.*) соотв.).

Л. Карно, Размышления о метафизике исчисления бесконечно малых, ред. и вступ. статья А. П. Юшкевича, М.—Л., 1936.

Johann Bernoulli, Briefwechsel, 1 (Basel, 1955).

J. H. Lambert, Opera mathematicae, I (Zürich, 1946), предисловие A. Speiser'a, IX—XXXI.

F. Cajori, A. History of the Conception of Limits and Fluxions in Great Britain from Newton to Wooclhouse (Chicago, 1931).

P. E. B. Jourdain, The Principle of Least Action (Chicago, 1913).

L. G. Du Pasquier, Léonard Euler et ses amis (Paris, 1927).

H. Andoyer, L'œuvre scientifique de Laplace (Paris, 1922).

G. Loria, Nel secondo centenario della nascita di G. L. Lagrange, Isis 28 (1938), 366—375 (с обширной библиографией).

H. Auсhter, Brook Taylor, der Mathematiker und Philosoph (Marburg, 1937).

В этой книге, на основании рукописей Лейбница, указывается, что ряд Тейлора был известен Лейбницу с 1694 г.

H. G. Green, H. J. J. Winter, John Landen, F.R.S. (1719—1790), Mathematician, Isis 35 (1944), 6—10.

Th. Bayes, Facsimile of Two Papers, with commentaries by E. C. Molina and W. E. Deming (Washington, D. C, 1940).

K. Pearson, Laplace, Biometrica 21" (1929), 202—216.

С. Truesdell, Notes on the history of the general equations of hydrodynamics, Amer. Math. Monthly 60 (1953), 445—448.

(J. A. Vоllgraf, ed.) Les œuvres de Nicolas Struyck (1687—1769) qui se rapportent au calcul des chances (Amsterdam, 1912).

Об Эйлере имеется обширная новая литература. См.:

Леонард Эйлер (1707—1783). Сборник статей и материалов к 150-летию со дня смерти, М.—Л., 1935.

Леонард Эйлер, Сборник статей в честь 250-летия со дня рождения, М., 1958.

Leonhard Euler, Sammelband, Berlin, 1959.

Статьи в «Историко-математических исследованиях» VII (1954), X (1957), в «Успехах математических наук» XII (1957), в. 4, в книге «Историко-математический сборник» I, 1959 (на укр. языке).

Н. И. Симонов, Прикладные методы анализа у Эйлера, М., 1957.

А. П. Юшкевич, Леонард Эйлер и русская математика в XVIII в., Труды Института истории естествознания, т. 3, М.—Л., 1948, стр. 45—116.

История отечественной математики, ред. И. З. Штокало, т. I (главы о восемнадцатом столетии), Киев, 1966.

*) Под ред. А. К. Власова, М., 1908.

См. также:

Жозеф Луи Лагранж (1736—1936), Сборник статей к 200-летию со дня рождения, М.—Л., 1937.

В. Н. Молодший, Основы учения о числе в XVIII веке, М., 1953.

О. Старосельская-Никитина, Очерки по истории науки и техники периода Французской буржуазной революции 1789-1794, М.-Л., 1946.

J. E. Hofmann, Ober Jacob Bernoulli's Beitrage zur Infinitesimalmathematik, Enseignement mathem., 2e ser. 5 (1956), 61 — 172.

P. Stäсkel, Zur Geschichte der Funktionentheorie im achtzehnten Jahrhundert, Biblioteca mathem. 3 (1901), №2, 111 — 121.

N. Nielsen, Géomètres français du dix-huitième siècle, Copenhagen — Paris, 1935.

G. Sarton, Montucla, Osiris, I, 1936, 519—567.

J. F. Scott, Mathematics Through the Eighteenth Century, Philos. Mag., Commemoration Number (194S), 67—90.

Глава VIII

ДЕВЯТНАДЦАТОЕ СТОЛЕТИЕ

1. Французская революция и наполеоновская эпоха создали исключительно благоприятные условия для дальнейшего развития математики. На континенте Европы был открыт путь для промышленной революции. Она побуждала к занятиям физическими науками, создала новые общественные классы с новыми взглядами на жизнь, заинтересованные в науке и в техническом образовании. В академическую жизнь ворвались демократические идеи, устаревшие формы мышления вызывали критику, школы и университеты были преобразованы и обновлены.

Первоначально новая и разнообразная математическая деятельность была вызвана не техническими проблемами, поставленными новой промышленностью. Англия, колыбель промышленной революции, в течение нескольких десятилетий оставалась математически бесплодной. Более всего математика развивалась во Франции и несколько позже в Германии, в странах, где более резко ощущался идеологический разрыв с прошлым и где произошли или должны были произойти радикальные преобразования, подготовившие почву для нового экономического и политического строя — капиталистического. Новые математические направления постепенно освобождались от прежней тенденции видеть конечную цель точных наук в механике и астрономии. Занятия наукой в целом становились более далекими от требований экономики или военного дела. Сформировался специалист, заинтересованный в науке ради нее самой. Связь с практикой никогда не обрывалась, но часто она оказывалась

в тени. Рост специализации сопровождался разделением на чистую и прикладную математику1).

В девятнадцатом столетии мы уже не находим математиков при королевских дворах или аристократических салонах. Быть членами ученых академий уже не составляет их главное занятие — обычно они работают в университетах или технических школах и являются преподавателями столько же, сколько и исследователями. Бернулли, Лагранж и Лаплас преподавали лишь от случая к случаю. Теперь же ответственность преподавателя возрастает, профессора математики становятся воспитателями и экзаменаторами молодежи. Упрочение связей между учеными в пределах нации приводит к подрыву интернационализма предыдущих столетий, хотя международный обмен мыслями продолжается. Латинский язык науки постепенно заменяется национальными языками. Математики начинают работать в обособленных областях, и тогда как Лейбница, Эйлера, Даламбера можно охарактеризовать как «математиков» (или геометров, в том смысле, в каком это слово применяли в восемнадцатом столетии), о Коши мы говорим как об аналитике, о Кели — как об алгебраисте, о Штейнере — как о геометре (даже как о чистом геометре), а о Канторе — как об основоположнике теории множеств. Наступило время специалистов по математической физике, за которыми последовали ученые в области математической статистики или математической логики. Только самая высокая степень одаренности позволяла преодолеть специализацию, и наиболее мощное воздействие на математиков девятнадцатого столетия оказали труды Гаусса, Римана, Клейна, Пуанкаре.

1) Это различие в подходе нашло свое классическое выражение в замечании Якоби относительно мнения Фурье, который был еще представителем утилитарного подхода восемнадцатого века: «Верно, что господин Фурье был того мнения, что конечной целью математики является общественная польза и объяснение явлений природы; но такой философ, как он, должен был бы знать, что единственной целью науки является возвеличить человеческий ум, и при таком подходе вопрос о числах столь же значителен, как и вопрос о системе мира». В письме к Лежандру (1830 г.; см. Werke, т I, стр. 454) Гаусс высказался за синтез обоих мнений: он широко применял математику к астрономии, к физике, к геодезии, вместе с тем он считал математику царицей наук, а теорию чисел — царицей математики.

2. На линии раздела между математикой восемнадцатого и девятнадцатого столетий высится величественная фигура Карла Фридриха Гаусса. Он родился в 1777 г. в немецком городе Брауншвейге, был сыном поденщика. Брауншвейгский герцог соизволил обратить внимание на молодого Гаусса — вундеркинда и позаботился о его обучении. В 1795—1798 гг. юный гений учился в Геттингене, и в 1799 г. в Хельмштедте он получил степень доктора. С 1807 г. до своей смерти в 1855 г. он без тревог и забот спокойно работал в качестве директора астрономической обсерватории и профессора его родного университета. Его относительная обособленность, владение в равной мере прикладной и чистой математикой, занятия астрономией, многократное использование латинского языка — на всем этом отпечаток восемнадцатого столетия, но в его трудах ощущается дух новой эпохи. Как и его современники Кант, Гёте, Бетховен и Гегель, он стоял в стороне от больших политических битв, разыгрывавшихся в других странах, но в своей области он самым энергичным образом выразил новые идеи своего века.

Дневники Гаусса показывают, что уже на семнадцатом году жизни он начал делать поразительные открытия. Например, в 1795 г. он независимо от Эйлера нашел закон квадратичной взаимности теории чисел. Некоторые из его ранних открытий изложены в его Хельмштедтской диссертации 1799 г. и в его внушительных «Арифметических исследованиях» (Disquisitiones arithmeticae, 1801 г.). В диссертации дано первое строгое доказательство так называемой «основной теоремы алгебры», теоремы о том, что каждое алгебраическое уравнение с вещественными коэффициентами имеет по крайней мере один корень и, следовательно, столько корней, сколько единиц в показателе его степени. Сама эта теорема восходит к Альберту Жирару, издателю трудов Стевина [«Новое открытие в алгебре» (Invention nouvelle en algèbre, 1629 г.)]. Даламбер пытался дать ее доказательство в 1746 г. Гауссу нравилась эта теорема и позже он дал еще два доказательства, а в 1846 г. снова вернулся к своему первому доказательству. В третьем доказательстве (1816 г.) используются комплексные интегралы, и это показывает, как рано Гаусс овладел теорией комплексных чисел.

В «Арифметических исследованиях» собраны все достижения предшественников Гаусса в области теории

чисел, и вместе с тем теория чисел настолько обогащена, что опубликование этой книги иной раз считают началом современной теории чисел. Центральное место в книге занимает теория квадратичных форм, вычетов и сравнений второй степени; высшим достижением является закон квадратичной взаимности, «золотая теорема» (theorema aurum), первое полное доказательство которой дал Гаусс. Гаусс был увлечен этой теоремой не менее, чем основной теоремой алгебры, и позже опубликовал еще пять доказательств, и еще одно было найдено после смерти Гаусса в его бумагах. В «Арифметических исследованиях» содержатся также результаты Гаусса о делении круга, иными словами, о корнях уравнения хп = 1. Там получена замечательная теорема, что с помощью только циркуля и линейки можно построить правильный семнадцатиугольник (более общим образом, правильный тг-угольник при п = 2р + 1, р = 2h, где п — простое число, /с = 0,1, 2, 3,...), — удивительное геометрическое обобщение в греческом духе.

Гаусс заинтересовался астрономией после того, как в первый день нового столетия, 1 января 1801 г. Пиацци в Палермо открыл первую малую планету, названную Церерой. Так как удалось провести только немного наблюдений новой планеты, то возникла проблема расчета орбиты планеты по малому числу наблюдений. Гаусс полностью решил эту проблему; при этом получилось уравнение восьмой степени. Когда в 1802 г. был открыт второй астероид, Паллада, Гаусс заинтересовался проблемой вековых возмущений планет. Отсюда его «Теория движения небесных тел» (Theoria motus corporum coelestium 1809 г.), его работа о притяжении произвольных эллипсоидов (1813 г.), его исследования о механических квадратурах (1814 г.) и о вековых возмущениях (1818 г.). К этому периоду относится также статья Гаусса о гипергеометрических рядах (1812 г.), которая дала возможность с единой точки зрения рассмотреть большое число функций. Это было первое систематическое исследование сходимости рядов.

3. После 1820 г. Гаусс начал живо интересоваться геодезией. Здесь он вел и теоретические исследования, и обширную работу по триангуляции. Одним из результатов было его изложение метода наименьших квадратов (1821, 1823 гг.), который был уже предметом исследований

Лежандра (1806 г.) и Лапласа. Но, может быть, самым важным достижением этого периода жизни Гаусса была теория поверхностей в «Общих исследованиях относительно кривых поверхностей» (Disquisitiones générales circa superficies curvas, 1827 г.), где подход к вопросу резко отличается от подхода Монжа. Здесь снова практические соображения, на этот раз из области высшей геодезии, тесно связаны с тонким теоретическим анализом. В этой работе появилась так называемая внутренняя геометрия поверхности, причем криволинейные координаты используются, чтобы выразить линейный элемент ds с помощью квадратичной дифференциальной формы:

Карл Фридрих Гаусс (1777—1855).

ds2 = Edu2 + Fdudv + GW2. И здесь есть кульминационная точка, «превосходная теорема» (theorema egregium), которая утверждает, что полная кривизна поверхности зависит только от E, F, G и их производных, следовательно, инвариантна при изгибании. Но Гаусс не забывал свою первую любовь, «царицу математики», даже в период сосредоточения усилий на геодезических проблемах, ибо в 1825 и 1831 гг. появились его работы по биквадратичных вычетам. Это было продолжением его теории квадратичных вычетов в «Арифметических исследованиях», но с использованием нового метода — теории комплексных чисел. В работе 1831 г. дана не только алгебра комплексных чисел, но и их арифметика. Здесь появляется новая теория простых чисел, в которой 3 остается простым числом, но 5 = (1 -f- 2?) (1 — 2i) уже не является простым числом. Эта новая теория комплексных чисел разъяснила многие неясности в арифметике, так что квадратичный закон взаимности получился здесь проще, чем для действительных чисел. В этой работе Гаусс навсегда изгнал ту таинственность, которая окружала комплексные числа, введя их представление с помощью точек плоскости1).

Статуя в Геттингене изображает Гаусса и его младшего коллегу, физика Вильгельма Вебера, работающими над изобретением электрического телеграфа. Это относится к 1833—1834 гг., когда Гаусс начал интересоваться физикой. В этот период он выполнил большую экспериментальную работу по земному магнетизму. Но у него нашлось время и для теоретического исследования первостепенной важности — «Общих теорем (Allgemeine Lehrsätze...) о силах, действующих обратно пропорционально квадрату расстояния» (1839, 1840 гг.). Это было началом теории потенциала как отдельной ветви математики (работа Грина 1828 г. практически не была известна в это время) с использованием интегралов по объему, причем были введены некоторые минимальные принципы, в кото-

1) Ср. Е. Т. Bell, Gauss and the Early Development of Algebraic Numbers, National Math. Magazine 18 (1944), стр. 188 и 219. А. Шпайзер заметил, что уже Эйлер и другие математики после 1760 г. пользовались сходными средствами, когда обращались к комплексным числам,— см. его введение в томе I, 28 «Opera Omnia» Эйлера (Zürich, 1955, стр. XXXVII). Вполне разработанную геометрическую интерпретацию комплексных чисел до Гаусса дали К. Вессель (1799 г.) и Ж. Арган (1806 г.).

рых мы можем распознать «принцип Дирихле». Для Гаусса существование минимума было очевидным; позже это стало предметом дискуссии, а окончательное решение было дано Гильбертом.

Деятельность Гаусса не ослабевала до его смерти в 1855 г. В последние годы жизни он все больше и больше отдавал силы прикладной математике. Впрочем, его публикации не дают полной картины всего его величия. Когда были напечатаны его дневники, и, частично, письма, выяснилось, что некоторыми из наиболее глубоких своих мыслей он не поделился. Теперь мы знаем, что Гаусс уже в 1800 г. открыл эллиптические функции и около 1816 г. он уже владел неевклидовой геометрией. По этим вопросам он никогда ничего не публиковал, и только в некоторых письмах к друзьям он изложил свое критическое отношение к попыткам доказать аксиомы Евклида о параллельных. По-видимому, Гауссу не хотелось публично затрагивать какой-либо спорный вопрос. В письмах он говорит об осах, которые могут в него впиться, и о «криках беотийцев», которые раздадутся, если раскрыть его тайны. Про себя Гаусс сомневался в справедливости распространенной кантовской доктрины, что наше понятие пространства априорно и евклидово, — для него реальная геометрия пространства была физическим явлением, которое надо было открыть с помощью эксперимента.

4. В своей истории математики девятнадцатого века Феликс Клейн сравнивает Гаусса и французского математика Адриена Мари Лежандра, который был старше Гаусса на двадцать лет. Быть может, не вполне уместно сравнивать Гаусса с каким-либо математиком, за исключением самых великих, однако именно это сравнение показывает, что идеи Гаусса как бы носились в воздухе, потому что Лежандр, идя своими путями, работал над многими вопросами, которыми занимался Гаусс. С 1775 по 1780 г. Лежандр преподавал в военной школе в Париже, а позже занимал различные официальные должности: профессора Нормальной школы, экзаменатора Политехнической школы и инспектора геодезических работ.

Как и Гауссу, ему принадлежат фундаментальные работы по теории чисел [«Опыт теории чисел» (Essai sur les nombres, 1798 г.), «Теория чисел» (Théorie des nombres, 1830 г.)], в которых он сформулировал закон

квадратичной взаимности. Он дал важные работы по геодезии и теоретической астрономии. Он был столь же усердным вычислителем таблиц, как и Гаусс; в 1806 г. он изложил метод наименьших квадратов; он изучал притяжение эллипсоидов, даже таких, которые не являются поверхностями вращения, причем им введены «функции Лежандра». Как и Гаусс, он интересовался эллиптическими и эйлеровыми интегралами, равно как и основами и методами евклидовой геометрии.

Хотя Гаусс глубже проник в сущность всех этих различных областей математики, Лежандру принадлежат важные и выдающиеся работы. Его обширные руководства в течение долгого времени были в большом почете, особенно

Адриен Мари Лежандр (1752—1833).

его «Упражнения по интегральному исчислению» (Exercices du calcul intégral, 3 тома, 1811 — 1819 гг.) и «Трактат об эллиптических функциях и эйлеровых интегралах» (Traité des fonctions elliptiques et des intégrales euleriennes, 1827—1832 гг.), и поныне остающийся образцовым произведением. В своих «Основах геометрии» (Eléments de géométrie, 1794 г.) он отошел от платоновских идеалов Евклида и дал учебник элементарной геометрии, исходя из требований современной педагогики. Эта книга выдержала много изданий и была переведена на ряд языков, ее влияние было длительным.

5. Началом нового периода в истории французской математики можно, пожалуй, считать учреждение военных школ и академий в конце восемнадцатого века. Такие школы, некоторые из которых появились и вне Франции (Турин, Вулвич), отводили значительное место обучению математике как составной части подготовки военных инженеров. Карьера Лагранжа началась в Туринской артиллерийской школе, Лежандр и Лаплас были преподавателями военной школы в Париже, Монж — в Мезьере. Карно был капитаном инженерных войск. Интерес Наполеона к математике зародился в годы учебы в военных академиях Бриенна и Парижа. Когда во Францию вторглись роялистские армии, необходимость централизовать подготовку военных инженеров стала очевидной. Поэтому была основана Парижская политехническая школа (1794 г.), школа, которая вскоре выросла в ведущее учебное заведение вообще для инженеров и со временем стала образцом для всех технических и военных школ начала девятнадцатого века, включая Вестпойнтскую школу в США.

Важной составной частью учебного плана было преподавание теоретической и прикладной математики. Внимание уделялось как преподаванию, так и исследовательской работе. Лучшие ученые Франции были приглашены, чтобы помочь этой школе. Многие крупные французские математики были студентами, профессорами или экзаменаторами Политехнической школы1).

Для обучения в этом учреждении, как и в других технических школах, потребовался новый тип учебников.

1) Ср. С. G. J. Jacobi, Werke, т. 7, стр. 355 (лекция, прочитанная в 1835 г.).

Кроме ученых трактатов для подготовленных читателей, что так типично для периода Эйлера, потребовались руководства для высшей школы. Некоторые из лучших учебников начала девятнадцатого столетия были подготовлены для студентов Политехнической школы и подобных учреждений. Влияние этих учебников можно проследить до наших дней. Хорошим примером такого руководства является «Трактат дифференциального исчисления и интегрального исчисления» (Traité du calcul différentiel et du calcul intégral, 3 тома, 1797—1802 гг.) Сильвестра Франсуа Лакруа, по которому целые поколения изучали анализ. Мы уже упоминали книги Лежандра. Еще одним примером является руководство Монжа по начертательной геометрии, которому все еще следуют многие современные книги по этому предмету.

6. Гаспар Монж, директор Политехнической школы, был научным руководителем группы математиков, связанной с этим учреждением. Его карьера началась в военной академии в Мезьере (1768—1789 гг.), где на лекциях по фортификации он имел возможность развивать начертательную геометрию как особую область геометрии. Он опубликовал свои лекции в книге «Начертательная геометрия» (Géométrie descriptive, 1795—1799 гг.). В Мезьере он начал также применять анализ к исследованию пространственных кривых и поверхностей. Эти его работы позже были опубликованы в «Приложении анализа к геометрии» (Application de l'analyse a la géométrie, 1809 г.). Это — первая книга по дифференциальной геометрии, хотя еще не вполне современная по форме изложения. Монж — один из первых математиков нового времени, кого мы считаем специалистом: он — геометр, и даже его подход к уравнениям в частных производных носит отчетливо выраженный геометрический характер.

Геометрия начала процветать в Политехнической школе благодаря влиянию Монжа. В начертательной геометрии Монжа содержался зародыш проективной геометрии, а его мастерство в применении алгебраических и аналитических методов в теории кривых и поверхностей во многом содействовало развитию аналитической и дифференциальной геометрии. Жан Ашетт и Жан Баптист Био развивали аналитическую геометрию конических сечений и поверхностей второго порядка. В «Опыте аналитической геометрии» (Essai de géométrie analytique, 1802 г.) Био мы,

наконец, можем распознать наш современный учебник аналитической геометрии. Ученик Монжа Шарль Дюпен, во времена Наполеона молодой инженер-кораблестроитель, применял методы своего учителя в теории поверхностей, где он нашел асимптотические и сопряженные линии.

Гаспар Монж (1740—1818).

Дюпен стал профессором геометрии в Париже. За свою долгую жизнь он достиг видного положения и в области политики, и в области промышленности. «Индикатриса Дюпена» и «циклиды Дюпена» напоминают нам о его ранних интересах. В его книгах «Развитие геометрии» (Développements de géométrie, 1813 г.) и «Применения геометрии» (Applications de géométrie, 1825 г.) много интересных соображений.

Самым своеобразным учеником Монжа был Виктор Понселе. Он получил возможность размышлять над методами своего учителя в 1813 г., когда жил в России, как военнопленный, после поражения «великой армии» Наполеона. Понселе привлекала чисто синтетическая сторона геометрии Монжа, и это привело его к той системе представлений, которую на два столетия раньше создавал Дезарг. Понселе стал основателем проективной геометрии.

«Трактат о проективных свойствах фигур» (Traité des propriétés projectives des figures) Понселе появился в 1822 г. Этот объемистый том содержит все существенные понятия, относящиеся к этой новой ветви геометрии, как гармоническое отношение, перспективность, проективность, инволюцию и даже циклические точки на бесконечности. Понселе знал, что фокусы конического сечения можно рассматривать как пересечение касательных к этому сечению из циклических точек. «Трактат» содержит также теорию многоугольников, вписанных в одно коническое сечение и описанных около другого конического сечения (так называемая «проблема замыкания» Понселе). Хотя эта книга была лишь первым полным трактатом по проективной геометрии, эта дисциплина в течение ближайших десятилетий достигла той степени совершенства, которая делает ее классическим примером законченной математический конструкции.

Хотя Монж был человеком твердых демократических убеждений, он относился лояльно к Наполеону, в котором он видел осуществителя идеалов революции. В 1815 г., когда вернулись Бурбоны, Монж был устранен со своего поста и вскоре после этого умер. Все же Политехническая школа продолжала развиваться в духе Монжа. По самому характеру обучения было трудно отделить друг от друга чистую и прикладную математику. Много внимания уделялось механике, а математическая физика начала, наконец, освобождаться от «катоптрик» и «диоптрик» античных ученых.

Этьен Малюс открыл поляризацию света (1810 г.), а Августин Френель возродил волновую теорию света Гюйгенса (1821 г.). Андре Мари Ампер, которому принадлежат выдающиеся работы по уравнениям в частных производных, после 1820 г. стал пионером в области электромагнетизма. Эти исследователи много дали математике, непосредственно и посредственно. Одним из примеров

является усовершенствованная Дюпеном геометрия световых лучей Малюса, что способствовало модернизации геометрической оптики и явилось вкладом в геометрию прямолинейных конгруэнций.

«Аналитическая механика» Лагранжа была предметом тщательного изучения, ее методы проверялись и применялись. В статике, в силу ее геометрического характера, опирались на Монжа и на его учеников, и в течение этих лет появились несколько трактатов по статике, включая и принадлежащий самому Монжу (1788 г., ряд изданий). В полной силе геометрическое направление в статике утвердил Луи Пуансо, в течение многих лет член французского Высшего совета народного образования. Его «Начала статики» (Eléments de statique, 1804 г.) и «Новая теория вращения тел» (Théorie nouvelle de la rotation des corps, 1834 г.) добавили к представлению о силе представление о вращающем моменте (пара); теория Эйлера моментов инерции была дополнена эллипсоидом инерции, и было исследовано движение этого эллипсоида при движении твердого тела в пространстве и при вращении вокруг неподвижной точки. Понселе и Кориолис придали геометрический характер лагранжевой аналитической механике. Оба они, равно как и Пуансо, выделяли применение механики к теории машин. «Кориолисово ускорение», которое появляется, когда тело движется относительно ускоряемой системы координат, — один из примеров геометрической интерпретации результатов Лагранжа (1835 г.).

[10] Сказанное об отношении Пуансо, Понселе и Кориолиса к аналитической механике Лагранжа требует уточнения. Пуансо был решительным сторонником геометрических методов в механике в силу того, что он стремился к наглядному представлению всех обстоятельств движения и различных величин, характеризующих движение. Согласно Пуансо, мало вывести описывающие движение формулы, рассчитать движение, надо еще представить результат таким образом, чтобы можно было по данному решению как бы увидеть процесс движения. Понселе, который занялся механикой уже после своих капитальных исследований по проективной геометрии, стремился применить теоретические результаты и методы к задачам прикладного характера, в теории машин и механизмов. Заодно он ставил себе целью довести теорию до практиков, дать изложение методов и результатов, доступное не только инженерам, но и техникам, мастерам, ремесленникам.

Не отвергая аналитических методов, Понселе и примыкавшие к нему Кориолис и другие механики ставили и решали задачи,

связанные с техническими запросами (первый вывод общей формулы для ускорения в относительном движении, данный Кориолисом, — чисто аналитический): они учитывали трение (чего совсем нет у Лагранжа), пользуясь эмпирическими коэффициентами; следуя призыву Ампера, развивали кинематику механизмов; четко определили понятие работы и применяли закон живых сил в динамике машин, оценивая потерю работы (энергии) вследствие наличия трущихся поверхностей и т. п. В механике Пуансо — представитель «наглядного направления», но он остается механиком-теоретиком, Понселе и Кориолис — представители «индустриального направления», и они объединяют воедино и в своих курсах, и в своей исследовательской работе теоретическую механику с новыми формирующимися дисциплинами: динамикой машин и кинематикой механизмов.

Наиболее выдающимися математиками, связанными с Политехнической школой в ее раннем периоде, были — кроме Лагранжа и Монжа — Симеон Пуассон, Жозеф Фурье и Огюстен Коши. Все трое глубоко интересовались применениями математики к механике и к физике и все трое благодаря таким интересам пришли к открытиям в чистой математике. На продуктивность Пуассона указывает частое упоминание его имени в наших учебниках: скобки Пуассона в теории дифференциальных уравнений, постоянная Пуассона в теории упругости, интеграл Пуассона и уравнение Пуассона в теории потенциала. Это «уравнение Пуассона», Av = 4яр, было результатом открытия Пуассона (1812 г.), что уравнение Лапласа Az; = О имеет силу только вне масс, а строгое доказательство для масс переменной плотности было дано лишь Гауссом в его «Общих теоремах» (1839—1840 гг.). «Трактат по механике» (Traité de mécanique, 1811 г.) Пуассона написан в духе Лагранжа и Лапласа, но содержит много новшеств, как, например, явное использование импульсов

что позже сказалось в работах Гамильтона и Якоби. Изданная им в 1837 г. книга содержит «закон Пуассона» в теории вероятностей.

О Фурье мы прежде всего вспоминаем как об авторе «Аналитической теории теплоты» (Théorie analytique de la chaleur, 1822 г.). Это — математическая теория теплопроводности и, стало быть, в основном исследование уравнения Аи = кд^-. В силу общности метода эта книга стала

источником всех современных методов математической физики, относящихся к интегрированию уравнений в частных производных при заданных граничных условиях. Методом Фурье было применение тригонометрических рядов, что уже было предметом дискуссии между Эйлером, Даламбером и Даниилом Бернулли. Фурье полностью разъяснил положение вещей. Он установил тот факт, что «произвольную» функцию (функцию, которую можно изобразить дугой непрерывной кривой или сочетанием таких дуг) можно представить тригонометрическим рядом вида 2 (Ап cos пах -\- Вп sin пах). Несмотря на все то, что было указано Эйлером и Бернулли, эта идея была настолько нова и ошеломляюща во времена Фурье, что, согласно преданию, когда он впервые в 1807 г. высказал свои соображения, он встретил энергичную оппозицию со стороны не кого иного, как Лагранжа. Ряды Фурье теперь стали хорошо разработанным средством в теории уравнений в частных производных при решении граничных задач. Они и сами по себе привлекают внимание благодаря присущим им свойствам. Исследование этих рядов, проведенное Фурье, отчетливо поставило вопрос о том, что следует понимать под функцией. Это было одной из причин того, что математики девятнадцатого столетия сочли необходимым более тщательно рассмотреть вопросы о строгости математических доказательств и об общих основах математических понятий1). За эту задачу, в частном случае рядов Фурье, взялись Дирихле и Риман.

7. Достижения Коши в работах по математическому анализу отодвинули в тень его многочисленные труды по оптике и механике, но мы не должны забывать, что он, вместе с Навье, принадлежит к основателям математической теории упругости. Больше всего славы принесли ему теория функций комплексного переменного и то, что он настаивал на строгости математического анализа. Функции комплексного переменного были введены еще раньше, в частности Даламбером, который в одной из работ о сопротивлении жидкостей (1752 г.) получил даже то,

1) F. P. В. Jourdain, Note on Fourier's Influence on the Conceptions of Mathematics, Proc. Intern. Congress of Mathem., Cambridge, 1912, т. II, стр. 526, 527.

что мы теперь называем уравнениями Коши — Римана. Но в руках Коши теория функций комплексного переменного превратилась из полезного для гидродинамики и аэродинамики орудия в новую и самостоятельную область математических исследований. Работы Коши в этой области, начиная с 1814 г., появляются непрерывно. Одной из наиболее важных является его «Мемуар об определенных интегралах, взятых между мнимыми пределами» (Memoire sur les intégrales définies, prises entre des limites imaginaires, 1825 г.). В этой работе мы находим интегральную теорему Коши, в связи с чем вводятся вычеты. Теорема о том, что всякую регулярную функцию f(z) можно разложить вблизи любой точки z = z0 в ряд, сходящийся в круге, проходящем через особую точку, ближайшую к z = z0, была опубликована в 1831 г., в том самом году, когда Гаусс опубликовал свою арифметическую теорию комплексных чисел. Обобщенные теоремы Коши о рядах, данное Лораном, было опубликовано в 1843 г., когда его знал также и Вейерштрасс. Эти факты показывают, что теории Коши не довелось встретиться с сопротивлением специалистов: с самого начала теория функций комплексного переменного была признана полностью.

Коши, вместе со своими современниками — Гауссом, Абелем и Больцано, принадлежит к пионерам в деле внедрения в математику повышенной строгости. Восемнадцатое столетие было в основном периодом экспериментирования, когда новые результаты сыпались в изобилии. Математики того времени не слишком заботились об обосновании своих исследований — о Даламбере рассказывают, что он заявил: «Шагайте вперед, и вера к вам придет». Когда они занимались обоснованием, как иной раз Эйлер и Лагранж, их аргументы не всегда были убедительными. Теперь же наступило время для точного выяснения смысла полученных результатов. Что является «функцией» вещественного переменного, которая настолько различно ведет себя в случае ряда Фурье и в случае степенного ряда? В каком отношении она находится к совершенно отличной «функции» комплексного переменного? Такие вопросы подняли все неразрешенные проблемы относительно обоснования анализа и существования потенциальной и актуальной бесконечности и выдвинули их на передний план1). То, что делал

Евдокс во времена, последовавшие за падением афинской демократии, Коши и его скрупулезные современники начали завершать во времена промышленного капитализма. Разница в общественных условиях привела к различным результатам: успех Евдокса вел к замиранию продуктивности, успех реформаторов нового времени в высокой мере стимулировал математическую деятельность. За Коши и Гауссом последовали Вейерштрасс и Кантор.

Коши дал то обоснование анализа, которое сейчас является общепринятым в наших учебниках. Это можно найти в его «Курсе анализа» (Cours d'analyse, 1821 г.) и в его «Резюме лекций, прочитанных в Королевской политехнической школе» I (Résumé des leçons données à l'école royale polytechnique, 1823 г.). Коши использовал даламберово понятие предела, чтобы определить производную от функции и, таким образом, более прочно обосновать это понятие, чем были в состоянии сделать его предшественники.

Исходя из определения предела, Коши дает примеры такие, как предел при a = U. Затем он определяет «бесконечно малое переменное» как переменное число, предел которого есть нуль, и далее постулирует, что Ах и Ау «будут бесконечно малыми количествами».

Затем он пишет -^ = ——■——и называет предел при i -> 0 «производной функцией у' или /' (х)». Он полагает затем i = ah, где a — «бесконечно малое», а h — «конечное количество»:

и называет h «дифференциалом функции у = / (#)». Далее, dy = df(x) — hf (х); dx = h2).

Коши пользовался и обозначениями Лагранжа, и многими его результатами в теории вещественных функций, ничего не заимствуя из алгебраического обоснования

1) Р. Е. В. Jourdain, The Origin of Cauchy's Conception of a Definite Integral and of the Continuity of a Function, Isis 1 (1913), G61 —703, см. также Bibl. Math. 6 (1905). 190—207.

2) Resume I (1823 г.), Calcul différentiel, 13—27. Точный анализ такого приема см.: M. Pash, Mathematik am Ursprung, Leipzig, 1927, 47-73.

по Лагранжу. Теорема о среднем значении и остаточный член ряда Тейлора вводились так, как их вывел Лагранж, но на этот раз исследование ряда велось с должным учетом его сходимости. Несколько признаков сходимости в теории бесконечных рядов носят имя Коши. В его книгах вполне определенно намечается та арифметизация анализа, которая позже стала сутью исследований Вейерштрасса. Коши дал также первое доказательство существования решения дифференциального уравнения и системы таких уравнений (1836 г.). Таким образом, Коши, наконец, заложил основы для ответа на тот ряд проблем и парадоксов, которые были бичом математиков со времен Зенона, и он сделал это, не отрицая и не игнорируя их, а создав математическую технику, которая дала возможность их учесть. Коши, как и его современник Бальзак, с которым его сближает почти неограниченная продуктивность, был легитимистом и роялистом. Но оба они были настолько глубоки в своих оценках, что, несмотря на их реакционные идеалы, многое в их произведениях сохраняет основополагающее значение. После революции 1830 г. Коши оставил свою кафедру в Политехнической школе и провел несколько лет в Турине и Праге; он вернулся в Париж в 1838 г. После 1848 г. ему было разрешено остаться во Франции и преподавать, не принося присяги новому правительству. Его продуктивность была настолько велика, что Парижская академия должна была ограничить объем всех статей, публикуемых в ее «Comptes Rendus» (отчетах), для того чтобы справиться с продукцией Коши. Рассказывают, что он так взволновал Лапласа, когда прочел свою первую работу о сходимости рядов в Парижской академии, что этот великий ученый поспешил домой, для того чтобы проверить ряды в своей «Небесной механике». Кажется, он установил, что там нет грубых ошибок.

8. Парижская среда с ее напряженной математической деятельностью породила, около 1830 г., гения первой величины, который подобно комете исчез так же внезапно, как и появился. Эварист Галуа, сын мэра маленького городка вблизи Парижа, дважды не был принят в Политехническую школу и лишь затем он поступил в Нормальную школу, но был оттуда уволен. Он старался просуществовать, обучая математике и одновременно стараясь

как-нибудь совместить свою страстную любовь к науке и приверженность к демократическим идеям. Галуа как республиканец участвовал в революции 1830 г., несколько месяцев провел в тюрьме и вскоре после этого, двадцати одного года от роду, был убит на дуэли. Две статьи, которые он послал в печать, пропали в редакторских ящиках, несколько других статей были напечатаны спустя много лет после его смерти. Накануне дуэли он написал одному из друзей резюме своих открытий в теории уравнений. Этот драматический документ, в котором он просит своего друга сообщить о его открытиях ведущим математикам, заканчивался такими словами:

«Ты публично попросишь Якоби или Гаусса дать заключение не о справедливости, а о значении этих теорем. После этого, я надеюсь, найдутся люди, которые сочтут нужным расшифровать всю эту галиматью».

Эварист Галуа (1811—1832).

Эта галиматья («ce gachis») содержала ни много ни мало теорию групп, ключ к современной алгебре и к современной геометрии. В известной мере эти идеи были предвосхищены Лагранжем и итальянцем Руффини, но Галуа имел уже полное представление о теории групп. Он нашел основные свойства группы преобразований, связанной с корнями алгебраического уравнения, и показал, что область рациональности этих корней определяется такой группой. Галуа указал на то центральное положение, которое занимают инвариантные подгруппы. В теории Галуа нашли свое естественное место старые проблемы, такие, как трисекция угла, удвоение куба, решение кубических и биквадратных уравнений, равно как решение алгебраического уравнения любой степени. Насколько нам известно, письмо Галуа не попало ни к Гауссу, ни к Якоби. Математическая общественность не знала об этом письме до того, как Лиувилль напечатал большую часть работ Галуа в своем журнале в 1846 г., когда Коши уже начал печатать свои работы по теории групп (1844— 1846 гг.). Лишь тогда некоторые математики заинтересовались теориями Галуа. Полное понимание значения Галуа было достигнуто лишь благодаря «Трактату о подстановках» (Traité des substitutions, 1870 г.) Камилла Жордана и последовавшим за этим работам Клейна и Ли. Теперь объединяющий подход Галуа признается одним из самых выдающихся достижений математики девятнадцатого столетия1).

У Галуа были новые идеи и относительно интегралов от алгебраических функций одного переменного, которые мы сейчас называем абелевыми интегралами. Таким образом, ход его мыслей близок к ходу мыслей Римана. Можно, конечно, лишь в порядке предположения сказать, что, проживи Галуа дольше, современная математика вдохновлялась бы больше всего Парижем и школой Лагранжа, а не Геттингеном и школой Гаусса.

9. В двадцатые годы появился другой молодой гений, Нильс Генрик Абель, сын сельского священника в Норвегии. Короткая жизнь Абеля почти столь же трагична, как жизнь Галуа. Будучи студентом в Христиании, он некоторое время думал, что решил уравнение пятой

1) См. G. A. Miller, History of the Theory of Groups to 1900, Coll. Works I (1935), 427—467.

степени, но он сам поправил себя в брошюре, опубликованной в 1824 г. Это та знаменитая работа, в которой Абель доказал невозможность решения общего уравнения пятой степени в радикалах, — задача, которая занимала математиков со времен Бомбелли и Виета (доказательство, данное в 1799 г. итальянцем Паоло Руффини, Пуассон и другие математики считали слишком неопределенным). Тогда Абель получил стипендию, что позволило ему совершить поездку в Берлин, Италию и Францию. Мучимый бедностью и чахоткой, робкий и сдержанный молодой математик завязал лишь немного знакомств. Он умер вскоре после возвращения на родину (1829 г.). Во время своего путешествия Абель написал несколько работ, в которых изложены его исследования о сходимости рядов, по «абелевым» интегралами по эллиптическим функциям. Теоремы Абеля в теории бесконечных рядов показывают, что он мог подвести под эту теорию прочный фундамент. «Можешь ли ты вообразить нечто более ужасное, чем утверждение, что 0 = Гг — 2п + Зп — — 4П + где п — положительное целое число?» — писал он одному из друзей и продолжал:

«В математике вряд ли есть хоть один бесконечный ряд, сумма которого была бы строго определена» (письмо к Холмбое, 1826 г.).

Исследования Абеля по эллиптическим функциям велись в непродолжительном, но увлекательном соревновании с Якоби. Гаусс в своих личных заметках уже установил, что обращение эллиптических интегралов приводит к однозначным двоякопериодическим функциям, но он никогда не публиковал своих соображений. Лежандр, который положил столько усилий на эллиптические интегралы, полностью упустил это обстоятельство, и открытия Абеля, с которыми он познакомился уже стариком, произвели на него глубокое впечатление. Абелю повезло в том отношении, что новое периодическое издание охотно печатало его статьи: первый том «Журнала чистой и прикладной математики», издаваемого Креллем1), содержал ни много ни мало пять статей Абеля. Во втором томе (1827 г.) появилась первая часть «Исследований об

1) Journal für die reine und angewandte Mathematik, основанный (в Берлине) и в течение многих лет руководимый Креллем, издается и поныне.

эллиптических функциях» Абеля, с чего начинается теория двоякопериодических функций.

Мы говорим об интегральном уравнении Абеля и об абелевой теореме относительно суммы интегралов алгебраических функций, что приводит к абелевым функциям. Коммутативные группы носят название абелевых, что показывает, как тесно связаны идеи Галуа и Абеля.

10. В 1829 г., в год смерти Абеля, Карл Густав Якоб Якоби опубликовал свои «Новые основы теории эллиптических функций» (Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum). Автор был тогда молодым профессором Кенигсбергском университета. Якоби, сын берлинского банкира, принадлежал к видной семье; его брат Мориц жил в Петербурге и был одним из первых русских ученых, занимавшихся экспериментальным исследованием электрических явлений. После нескольких лет занятий в Берлине Якоби преподавал в Кенигсберге, с 1826 по 1843 г. Затем он пробыл некоторое время в Италии, пытаясь восстановить свое здоровье, и закончил свой жизненный путь профессором Берлинского университета в 1851 г., в возрасте сорока шести лет. Это был остроумный и либеральный мыслитель, вдохновляющий преподаватель и ученый огромной энергии, с большой ясностью мысли, что позволило ему затронуть почти все области математики.

Свою теорию эллиптических функций Якоби строил на основе четырех функций, так называемых тэта-функций, определенных бесконечными рядами. Двоякопериодические функции sn и, сп и и dn и и являются отношениями тэта-функций; они удовлетворяют некоторым тождествам и теоремам сложения, сходным образом с синусом и косинусом обычной тригонометрии. Теоремы сложения эллиптических функций можно также рассматривать как частное применение теоремы Абеля о сумме интегралов алгебраических функций. В связи с этим возник вопрос, можно ли обратить гиперэллиптические интегралы так же, как удалось обратить эллиптические интегралы и получить эллиптические функции. Решение было найдено Якоби в 1832 г., когда он опубликовал свой результат, что такое обращение можно осуществить с помощью функций более чем одного переменного. Так родилась теория абелевых функций от р переменных, которая стала важной ветвью математики девятнадцатого столетия.

Сильвестр назвал якобианом известный функциональный определитель, чтобы воздать должное трудам Якоби по алгебре и по теории исключения. Самой известной из работ Якоби в этой области является статья «О построении и свойствах определителей» (De formatione et proprietatibus determinantium, 1841 г.), которая сделала теорию определителей общим достоянием математиков. Сама идея определителя значительно старше — она восходит в основном к Лейбницу (1693 г.), швейцарскому математику Габриэлю Крамеру (1750 г.) и Лагранжу (1770 г.), а название принадлежит Коши (1812 г.). Миками указал, что японский математик Секи Кова пришел к идее определителя несколько ранее 1683 г.1).

С Якоби, быть может, лучше всего познакомиться по его прекрасным «Лекциям по динамике» (Vorlesungen über Dynamik), опубликованным в 1866 г. по записям 1842—1843 гг. Они написаны в духе французской школы Лагранжа и Пуассона, но содержат множество новых мыслей. Мы находим здесь исследования Якоби по уравнениям в частных производных первого порядка и их применению к дифференциальным уравнениям динамики. Интересную главу «Лекций по динамике» составляет определение геодезических линий на эллипсоиде; эта задача приводит к соотношению между двумя абелевыми интегралами.

11. От «Лекций по динамике» Якоби естественно перейти к математику, чье имя часто связывается с именем Якоби, — Вильяму Роуэну Гамильтону (не следует путать его с его современником, эдинбургским философом Вильямом Гамильтоном). Всю свою жизнь он провел в Дублине, где он родился в ирландской семье. Он поступил в «Тринити колледж» (Trinity college — колледж троицы) в 1827 г., двадцати одного года от роду он стал королевским астрономом Ирландии и оставался в этой должности до своей смерти в 1865 г. Мальчиком он изучал континентальную математику, что было еще новостью в Великобритании, по работам Клеро и Лапласа и в своих исключительно оригинальных исследованиях по оптике и динамике показал, что он овладел новыми методами. Его теория световых лучей (1824 г.) — это не только

1) Y. Mikami, On the Japanese Theory of Determinants, Isis 2 (1914), 9—36.

дифференциальная геометрия прямолинейных конгруэнций, это и теория оптических инструментов, что позволило Гамильтону предсказать коническую рефракцию в двуосных кристаллах. В этой работе появляется его «характеристическая функция», что стало руководящей идеей в «Общем методе динамики» (General Method in Dynamics, напечатанном в 1834—1835 гг. Замысел Гамильтона состоял в том, чтобы из одного общего принципа вывести как оптику, так и динамику. Эйлер, защищая Мопертюи, уже показал, что с этой целью можно использовать стационарность значения интеграла «действия». Следуя этому пути, Гамильтон сделал оптику и динамику двумя видами применения вариационного исчисления. Он ищет стационарное значение некоторого интеграла и рассматривает его как функцию пределов интегрирования. Это дает «характеристическую» или «главную» функцию, которая удовлетворяет двум уравнениям в част-

Вильям Роуэн Гамильтон (1805—1865).

ных производных. Одно из этих уравнений, которое обычно записывается в виде

Якоби особо выделил в своих лекциях по динамике, и теперь оно известно как уравнение Гамильтона — Якоби. Это затемнило значение характеристической функции Гамильтона, занимающей в его теории центральное место как средство объединения механики и математической физики. «Характеристическая функция» вновь была открыта Брунсом в 1895 г. в геометрической оптике и под названием «эйконала» оказалась полезной в теории оптических инструментов.

Та часть работ Гамильтона по динамике, которая вошла в состав математики, — это прежде всего «каноническая» форма, в которой он записал уравнения динамики: q — — f • дН. Каноническая форма и дифференциальное уравнение Гамильтона — Якоби дали Ли возможность установить зависимость между динамикой и касательными преобразованиями. Другая воспринятая мысль Гамильтона — это вывод законов физики и механики из вариации некоторого интеграла. Современная теория относительности, равно как и квантовая механика, существенно использует «гамильтонову функцию».

1843 г. был переломным в жизни Гамильтона. В этом году он открыл кватернионы, изучению которых он посвятил остальную часть своей жизни. Это открытие мы рассмотрим ниже.

12. Петер Лежен Дирихле был тесно связан как с Гауссом и Якоби, так и с французскими математиками. В 1822—1827 гг. он жил в Париже как частный учитель и встречался с Фурье, чью книгу он изучил; он хорошо познакомился также и с «Арифметическими исследованиями» Гаусса. Потом он преподавал в университете в Бреслау (ныне — Вроцлав), а в 1855 г. стал преемником Гаусса в Геттингене. Его личное знакомство как с французскими, так и с немецкими математиками и с математикой обеих стран позволило ему стать истолкователем Гаусса и вместе с тем подвергнуть глубокому анализу ряды Фурье. Его прекрасные «Лекции по теории чисел» (Vorlesungen

über die Theorie der Zahlen, опубликованы в 1863 г.) все еще остаются одним из лучших введений в исследования Гаусса по теории чисел. Они содержат также много новых результатов. В работе 1840 г. Дирихле показал, как использовать всю мощь теории аналитических функций в задачах теории чисел, и в этих исследованиях он ввел «ряды Дирихле». Ему принадлежит также обобщение понятия квадратичной иррациональности на общие алгебраические области рациональности (поля).

Дирихле дал первое строгое доказательство сходимости рядов Фурье, и этим он содействовал уточнению понятия функции. В вариационное исчисление он ввел так называемый принцип Дирихле, который утверждает существование функции (и), обращающей в минимум интеграл ^(vx + Vy-\-vi) dx dy dz при заданных граничных условиях. Это было видоизменением принципа, введенного Гауссом в его теории потенциала 1839—1840 гг., а позже у Римана это оказалось мощным орудием при решении задач теории потенциала.

Мы уже упоминали о том, что Гильберт сумел строго обосновать этот принцип (стр. 193).

12*. Сейчас наиболее выдающимся математиком России в первой половине девятнадцатого века мы считаем творца неевклидовой геометрии Н. И. Лобачевского. Но Лобачевский был должным образом оценен лишь посмертно, а для современников на первом плане был Михаил Васильевич Остроградский. Он родился в 1801 г. в семье полтавского помещика средней руки. С математикой он познакомился и полюбил ее, когда учился в Харьковском университете. Это был один из университетов, основанных в России в начале девятнадцатого века, когда под влиянием экономических и общественных запросов царское правительство пошло на обновление и преобразование всей системы обучения. В известной мере либеральный дух еще сохранялся в Харьковском университете, когда туда поступил Остроградский, во многом благодаря ректору Т. Ф. Осиповскому, математику по специальности, с интересами в области математической физики, оказавшему большое влияние на Остроградского, чьи способности он сумел оценить. Реакция, взявшая верх в России и в Западной Европе в те годы (эпоха «Священного союза»), добралась и до университетов.

Осиповский был смещен, пострадал и его ученик, которому не выдали диплома, и Остроградский отправился для усовершенствования в математике в Париж (1822— 1828 гг.). Здесь, как и Дирихле, он общался с наиболее видными французскими математиками, преимущественно с Фурье, Коши, Пуассоном, познакомился с последними достижениями анализа и математической физики и вернулся на родину с рядом работ и продуманными планами новых исследований. Почти сразу после возвращения он, не имея даже университетского диплома, был избран в Петербургскую Академию наук. Его интенсивная научная и преподавательская деятельность не прекращалась до смерти (1 января 1862 г.).

В анализе мы встречаем «формулу Остроградского» для преобразования интеграла по объему в интеграл по поверхности (ее называют и формулой Гаусса, что не точно), Остроградский дал и ее обобщение на область любого числа измерений. Примерно одновременно с Якоби и Каталаном Остроградский дал первый правильный вывод правила замены переменных в кратных интегралах. Его способ выделения рациональной части интеграла от рациональной функции тоже вошел в курсы анализа, иной раз под именем Эрмита, изложившего его спустя несколько десятилетий. Эти результаты и многие другие Остроградский получил, применяя анализ к задачам математической физики и механики. Он занимался теорией тепла, в связи с чем дал весьма общую постановку задач математической физики, теорией волн, колебаниями упругих сред. В механике он обобщил принцип Гамильтона, выведенный для консервативных систем, на неконсервативные системы, исследовал свойства канонических систем, дал общую теорию неупругого удара. В вариационном исчислении он дал формулы для вариации кратных интегралов и привел дифференциальные уравнения общей изопериметрической задачи к каноническому виду.

Многолетняя академическая и педагогическая деятельность Остроградского проходила в сотрудничестве с В. Я. Буняковским (1804—1889), автором многочисленных работ по анализу («неравенство Буняковского»), теории чисел, теории вероятностей (которой занимался и Остроградский). Многочисленные ученики Остроградского в области математики и механики, Буняковского —

в области математики значительно подняли уровень преподавания математики и механики в высших учебных заведениях России, в частности в ее двух столицах. В Петербурге и в Москве сложились новые научные школы. Главой Петербургской школы еще при жизни Остроградского можно было считать П. Л. Чебышева — о нем см. ниже.

13. Переходя к Бернгарду Риману, преемнику Дирихле в Геттингене, мы встречаем человека, больше чем кто-либо другой повлиявшего на развитие современной математики. Риман был сыном деревенского священника, учился в Геттингенском университете, где в 1851 г. получил степень доктора. В том же университете в 1854 г. он стал приват-доцентом, а в 1859 г. — профессором. Болезненный, как и Абель, он провел последние месяцы жизни в Италии, где умер в 1866 г, в сорокалетнем возрасте. За свою короткую жизнь он опубликовал сравнительно небольшое число работ, но каждая из них была и остается важной, а некоторые из них раскрыли совершенно новые и плодотворные области.

В 1851 г. появилась докторская диссертация Римана по теории функций комплексного переменного и + iv — = f (х-\- iy). Как и Даламбер и Коши, Риман исходил из гидродинамических соображений. Он конформно отображал плоскость (х, у) на плоскость (и, и) и устанавливал существование функции, преобразующей любую односвязную область одной плоскости на любую односвязную область другой плоскости. Это привело к понятию римановой поверхности, что ввело в анализ топологические представления. В то время топология была еще почти незатронутым предметом, по которому была опубликована только одна работа Листинга в журнале «Göttinger Studien» за 1847 г. Риман показал существенное значение топологии для теории функций комплексного переменного. В этой диссертации разъясняется и риманово определение комплексной функции: ее действительная и мнимая части должны удовлетворять «уравнениям Коши — Римана», их — vy, иу= — vx, в заданной области, а кроме того должны удовлетворять некоторым условиям на границе и в особых точках.

Риман применил свои идеи к гипергеометрическим и абелевым функциям (1857 г.), широко пользуясь принципом Дирихле (это его же термин). Среди его результа-

тов — открытие рода римановой поверхности как топологического инварианта и как средства классификации абелевых функций. В статье, опубликованной посмертно, эти идеи применяются к минимальным поверхностям (1867 г.). К этому направлению деятельности Римана относится и его исследование по эллиптическим модулярным функциям и тэта-рядам с р независимыми переменными, а также работы по линейным дифференциальным уравнениям с алгебраическими коэффициентами.

В 1854 г. Риман стал приват-доцентом, представив сразу две фундаментальные работы, одну по тригономет-

Георг Фридерик Бернгард Риман (1826—1866).

рическим рядам и по основам анализа, другую — по основам геометрии. В первой из этих работ рассмотрены условия Дирихле разложимости функций в ряд Фурье. Одним из этих условий было то, что функция должна быть интегрируемой. Но что это значит? Коши и Дирихле уже давали ответ на такой вопрос; Риман вместо их ответов дал свой, более содержательный. Он дал то определение, которое сейчас известно как интеграл Римана и которое было заменено лишь в двадцатом столетии интегралом Лебега. Риман показал, что функции, определенные рядами Фурье, могут обладать такими свойствами, как бесконечное число максимумов или минимумов, чего математики прежних времен не допустили бы, давая определение функции. Понятие функции стало по-настоящему высвобождаться от эйлерова представления о «любой кривой, произвольно начерченной от руки»1). В своих лекциях Риман приводил пример непрерывной функции, не имеющей производной; пример такой функции, данный Вейерштрассом, был опубликован в 1875 г. Математики не хотели вполне серьезно относиться к этим функциям и называли их «патологическими», но современный анализ показал, насколько такие функции естественны. И здесь Риман опять-таки проник в существенную область математики.

Во второй работе 1854 г. рассматриваются гипотезы, на которых основана геометрия. Пространство вводится как топологическое многообразие произвольного числа измерений, метрика в таком многообразии определяется с помощью квадратичной дифференциальной формы. В своем анализе Риман определял комплексную функцию по ее локальному поведению, здесь он таким же образом определяет характер пространства. Этот объединяющий принцип позволил Риману не только проклассифицировать все существовавшие виды геометрии, включая еще весьма неясную тогда неевклидову геометрию, но дал также возможность создать любое число новых типов пространства, многие из которых впоследствии с пользой были введены в геометрию и математическую физику. Риман опубликовал эту статью без какой-либо формульной техники, что затруднило понимание его мыслей. Позже некоторые формулы были приведены в премиро-

1) Эйлер, Интегральное исчисление, т. 3, § 301,

ванной работе о распределении теплоты в твердом теле, которую Риман представил в Парижскую академию (1861 г.). Здесь мы имеем набросок теории преобразования квадратичных форм.

Наконец, мы должны упомянуть работу Римана, в которой исследуется число F (х) простых чисел, меньших заданного числа х (1859 г.). Это было применением теории функций комплексного переменного к задаче о распределении простых чисел, и там анализируется догадка Гаусса о том, что F (х) аппроксимируется интегральным логарифмом jj (log tyt-dt. Эта работа знаменита тем, что в ней содержится так называемая гипотеза Римана о дзета-функции Эйлера (это обозначение принадлежит Риману) для комплексных s = х + iy: все не действительные нули этой функции находятся на прямой я = у.

Эта гипотеза до сих пор и не доказана и не опровергнута1).

14. Часто сравнивают риманово определение функции комплексного переменного с аналогичным определением Вейерштрасса. Карл Вейерштрасс в течение многих лет был учителем одной из прусских гимназий, в 1856 г. он стал профессором математики Берлинского университета, где преподавал в течение тридцати лет. Слава его лекций, всегда тщательно подготовленных, все возрастала; главным образом благодаря этим лекциям идеи Вейерштрасса стали общим достоянием математиков.

За время работы в гимназии Вейерштрасс написал несколько статей о гиперэллиптических интегралах, абелевых функциях и алгебраических дифференциальных уравнениях. Более всего известно его обоснование теории функций комплексного переменного с помощью степенных рядов. В некотором смысле это было возвращение к Лагранжу, с тем отличием, что Вейерштрасс оперировал в комплексной плоскости и вполне строго. Значения степенного ряда внутри его круга сходимости представляют «элемент функции», а затем, если это возможно, осуществляется расширение с помощью так называемого

1) R. Gourant, Bernhard Riemann und die Mathematik der letzten hundert Jahre, Naturwissenschaften 14 (1926), 813-818.

аналитического продолжения. Вейерштрасс особо изучал целые функции и функции, определенные бесконечными произведениями. Его эллиптическая функция $(и) столь же укоренилась, как и более ранние функции sn и, сп и, dn и Якоби.

Карл Вейерштрасс (1815—1897).

Своей славой Вейерштрасс обязан исключительной тщательности рассуждений, «вейерштрассовой строгости», что проявилось не только в его теории функций, но и в его вариационном исчислении. Он разъяснил понятия минимума, функции, производной, и таким образом он устранил те неясности выражений, которые оставались в формулировке основных понятий анализа. Он был воплощением математической скрупулезности как методологически, так и логически. Другой пример скрупулезности его рассуждений дает нам его открытие равномерной сходи-

мости. С Вейерштрасса начинается то сведение принципов математического анализа к простейшим арифметическим понятиям, которое мы называем арифметизацией математики.

«В основном это заслуга научной деятельности Вейерштрасса, что теперь в анализе существуют полное согласие и уверенность относительно таких способов рассуждения, которые основаны на понятии иррационального числа и предела вообще, и ему мы обязаны тем, что существует единодушие относительно всех результатов, даже в наиболее сложных вопросах, касающихся теории дифференциальных и интегральных уравнений, — несмотря на самые дерзновенные и разнообразные сочетания при применении наложения, комбинации и перестановки пределов»1).

15. Эта арифметизация характерна для так называемой Берлинской школы и, в частности, для деятельности Леопольда Кронекера. К этой школе принадлежали такие выдающиеся, плодотворные в области алгебры и теории алгебраических чисел математики, как Кронекер, Куммер и Фробениус. К ним мы можем присоединить Дедекинда и Кантора. Эрнст Куммер был приглашен в Берлин в 1855 г., чтобы заменить Дирихле. Он преподавал там до 1883 г., когда сам решил прекратить математическую деятельность, так как почувствовал, что его творческая продуктивность падает. Куммер развивал дифференциальную геометрию конгруэнций, набросок которой дал Гамильтон, и при этих исследованиях он открыл поверхность четвертого порядка с шестнадцатью угловыми точками, названную его именем. Славу ему создало прежде всего то, что он ввел идеальные числа в теорию алгебраических областей рациональности (1846 г.). Эта теория была создана отчасти в связи с попытками Куммера доказать великую теорему Ферма, отчасти в связи с теорией Гаусса биквадратичных вычетов, в которой понятие простых множителей перенесено в область комплексных чисел. Идеальные множители Куммера дают возможность единственным образом разлагать числа на простые

1) D. Hilbert, Über das Unendliche, Math. Annalen 95 (1926), 161. На русском языке см. в книге: Д. Гильберт, Основания геометрии, М.— Л., 1948, Добавление VIII, О бесконечном, стр. 338, 339.

множители в общей области рациональности. Это открытие сделало возможным значительное продвижение в арифметике алгебраических чисел; полученные здесь результаты мастерски резюмированы в отчете Давида Гильберта, представленном немецкому Математическому обществу в 1897 г. Теория Дедекинда и Вебера, в которой устанавливается зависимость между теорией алгебраических функций и теорией алгебраических чисел в некоторой области рациональности (1882 г.), — пример влияния теории Куммера на процесс арифметизации математики.

Леопольд Кронекер, человек зажиточный, поселился в Берлине в 1855 г., и там он в течение многих лет преподавал в университете, не занимая формально профессорской кафедры, которую он принял лишь после отставки Куммера в 1883 г. Главные результаты Кронекера относятся к теории эллиптических функций, к теории идеалов и к арифметике квадратичных форм. Опубликованные его лекции по теории чисел содержат тщательное изложение его собственных и более ранних открытий; в них ясно видна его уверенность в необходимости арифметизации математики. В основе этой уверенности было стремление к строгости: Кронекер полагал, что основой математики должно быть число, а основой всех чисел — натуральное число. Например, число я надо определять не обычным геометрическим путем, а рядом 1 — -о- + т — у + ..., то есть в виде комбинации целых чисел; для той же цели могут служить некоторые непрерывные дроби для я. Стремление Кронекера вложить все математическое в рамки теории чисел показывает хорошо известное его заявление на съезде в Берлине в 1886 г.: «Целые числа сотворил господь бог, а все прочее — дело людских рук». Он допускал только такое определение математического понятия, для которого требовалось лишь конечное число шагов. Таким образом он преодолевал трудности актуально бесконечного, отказываясь принимать это понятие. В школе Кронекера лозунг Платона, что бог всегда «геометризует», был заменен лозунгом, что бог всегда «арифметизует».

Учение Кронекера об актуальной бесконечности резко противоречило теориям Дедекинда и Кантора. Рихард

Дедекинд, в течение тридцати одного года состоявший профессором Высшей технической школы в Брауншвейге, построил строгую теорию иррационального числа. В двух небольших книжках, «Непрерывность и иррациональные числа» (Stetigkeit und irrationale Zahlen, 1872 г.) и «Что такое числа и для чего они служат» (Was sind und was sollen die Zahlen, 1882 г.) он проделал для современной математики то, что сделал Евдокс для греческой. Существует большое сходство между дедекиндовым сечением, с помощью которого современные математики (исключая школу Кронекера) определяют иррациональные числа, и античной теорией Евдокса, как она изложена в пятой книге «Начал» Евклида. Кантор и Вейерштрасс дали арифметическое определение иррационального числа, несколько отличающееся от теории Дедекинда, но основанное на сходных соображениях.

Однако в глазах Кронекера самым большим еретиком был Георг Кантор. Кантор, который преподавал в Галле с 1869 по 1905 г., известен не только благодаря его теории иррационального числа, но и благодаря его теории множеств. Этой теорией Кантор создал совершенно новую область математических исследований, которая удовлетворяет самым суровым требованиям к строгости, если только принять ее исходные посылки. Публикации Кантора начались в 1870 г. и продолжались ряд лет; в 1883 г. он напечатал свои «Основы общего учения о многообразиях» (Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre). В этих работах Кантор построил теорию трансфинитных кардинальных чисел, основанную на систематическом использовании математически актуальной бесконечности. Низшее кардинальное число Хо он приписал счетному множеству, континууму он приписал более высокое трансфинитное число, и это дало возможность создать арифметику трансфинитных чисел, подобную обычной арифметике. Кантор также дал определение порядковых трансфинитных чисел, показывающих, как упорядочены бесконечные множества.

Эти открытия Кантора были продолжением давних схоластических спекуляций относительно природы бесконечного, и Кантор это хорошо сознавал. Он отстаивал полное признание актуальной бесконечности у святого Августина, но сам должен был защищаться против

возражений многих математиков, которые отказывались принять бесконечное иначе, как процесс, выражаемый значком сю. Главным оппонентом Кантора был Кронекер— представитель совершенно противоположного направления в том же процессе арифметизации математики. Кантор в конце концов добился полного признания тогда, когда все более очевидным становилось огромное значение его теории для обоснования теории действительных функций и топологии, — особенно после того, как Лебег в 1901 г. обогатил теорию множеств своей теорией меры. Но оставались логические трудности теории трансфинитных чисел и были выявлены парадоксы, как, например, парадоксы Бурали Форти и Рассела. Это опять повело к возникновению различных школ в области обоснования математики. Расхождения между формалистами и интуи-

Георг Кантор (1845—1918).

ционистами двадцатого века были продолжением на новом уровне спора между Кантором и Кронекером.

16. Одновременно с этим замечательным развитием алгебры и анализа происходил столь же замечательный расцвет геометрии. Истоки этого можно проследить вплоть до преподавательской деятельности Монжа, в которой мы находим корни как «синтетического», так и «алгебраического» метода геометрии. Проективная геометрия как отдельная дисциплина начинается книгой Понселе 1822 г. Возникали споры о приоритете, как это часто случается с фундаментальными открытиями, ибо Понселе имел соперника в лице Жозефа Жергонна, профессора в Монпелье. Жергонн опубликовал несколько важных работ по проективной геометрии, в которых он одновременно с Понселе выяснил значение двойственности в геометрии. Эти работы появились в Annales de mathématiques, первом чисто математическом периодическом издании. Жергонн был его редактором; этот журнал выходил с 1810 по 1832 г.

Типичным для способа мышления Понселе был другой принцип, принцип непрерывности, позволявший ему выводить свойства одной фигуры из свойств другой. Он формулировал этот принцип следующим образом: «Если одна фигура получается из другой непрерывным изменением и столь же обща, как и первая, тогда без дальнейших соображений можно отнести свойства, доказанные для первой фигуры, ко второй».

Это был принцип, с которым надо было обращаться весьма осторожно, потому что его формулировка далеко не точна. Только современная алгебра позволила более строго определить область его применимости. В руках Понселе и его школы этот принцип дал интересные новые и верные результаты, особенно тогда, когда он применялся при переходе от действительного к мнимому. Он позволил Понселе установить, что все окружности на плоскости имеют две общие мнимые точки на бесконечности, и это привело также к понятию так называемой бесконечно удаленной прямой плоскости. Харди заметил, что это означает безоговорочное принятие в проективной геометрии актуальной бесконечности1). У аналитиков не было общего мнения по этому вопросу.

1) G. H. Hardy, A Course of Pure Mathematics, 6-е изд., Cambridge, 1933, IV дополнение. В русском переводе: Г. Х. Харди, Курс чистой математики, М., 1949, стр. 506, 507.

Дальнейшее развитие идеи Понселе получили у немецких геометров. В 1826 г. появилась первая работа Штейнера, в 1827 г. — «Барицентрическое исчисление» (Der Barycentrische Calcul) Мебиуса, в 1828 г. первый том «Аналитико-геометрических изысканий» Плюккера (Analytischgeometrische Entwicklungen). В 1831 г. появился второй том этого сочинения, за которым в 1832 г. последовало «Систематическое исследование взаимозависимости геометрических образов» (Systematische Entwicklung der Abhängigkeit geometrischen Gestalten voneinander) Штейнера. Последняя из больших основополагающих немецких работ по геометрии такого рода появилась в 1847 г. — это аксиоматическая «Геометрия положения» (Geometrie der Lage) фон Штаудта.

У немецких геометров был представлен как синтетический, так и алгебраический подход к геометрии. Типичным представителем синтетической (или «чистой») школы был Якоб Штейнер, сын швейцарского крестьянина, «пастушок», который увлекся геометрией, когда познакомился с идеями Песталоцци. Он решил учиться в Гейдельберге, потом преподавал в Берлине, где с 1834 г. до своей смерти в 1863 г. занимал университетскую кафедру. Штейнер был исключительно геометром, он настолько не терпел применения алгебры и анализа, что отвергал даже рисунки. По его мнению, лучше всего изучать геометрию, напряженно размышляя. Он говорил, что вычисление заменяет мышление, тогда как геометрия стимулирует его. Это, несомненно, было верно для самого Штейнера, методы которого обогатили геометрию большим количеством прекрасных теорем, нередко очень глубоких. Мы обязаны ему открытием поверхности Штейнера с двойной бесконечностью конических сечений на ней (ее называют также римской поверхностью). Он часто опускал доказательства своих теорем, что делает собрание сочинений Штейнера складом сокровищ для геометров, которые ищут требующих решения задач.

Штейнер строил свою проективную геометрию строго систематически, переходя от перспективности к проективности, а затем к коническим сечениям. Он решил также ряд изопериметрических задач типичными для него геометрическими приемами. Его доказательство того, что круг — это фигура наибольшей площади из всех зам-

кнутых кривых заданного периметра (1836 г.), основано на преобразовании каждой фигуры заданного периметра, которая не является кругом, в другую фигуру того же периметра, но большей площади. Но вывод Штейнера, что в силу этого круг соответствует максимуму, содержит одно упущение: он не доказал, что максимум действительно существует. Дирихле пытался указать на это Штейнеру, строгое же доказательство было позже дано Вейерштрассом1).

Якоб Штейнер (1796—1863).

1) W. Blaschke, Kreis und Kugel, 2-е изд., Berlin, 1956 [русский перевод: В. Бляшке, Круг и шар, М., 1967]; на русском языке см. Д. А. Крыжановский, Изопериметры, 3-е изд., М., 1959.

Все-таки Штейнеру необходима была метрика, чтобы определить сложное отношение четырех точек или прямых. Этот недостаток теории был устранен Христианом фон Штаудтом, в течение многих лет состоявшим профессором университета в Эрлангене. Штаудт в своей «Геометрии положения» определяет «вурф» четырех точек на прямой линии чисто проективным путем, а затем показывает, что вурф совпадает со сложным отношением. Для этого он использует конструкцию так называемой мебиусовой сети, что требует при введении иррациональных значений проективных координат аксиоматических соображений, тесно связанных с работами Дедекинда. В 1857 г. Штаудт показал, что мнимые элементы можно строго ввести в геометрию как двойные элементы эллиптических инволюций.

В течение ближайших десятилетий синтетическая геометрия обогатилась многими результатами, сохраняя основы, заложенные Понселе, Штейнером и Штаудтом. Она была изложена в ряде отличных руководств; в качестве одного из наиболее известных укажем «Геометрию положения» (Geometrie der Lage) Рейе (1868 г., 3-е изд. 1886-1892 гг.)1).

17. Представителями алгебраической геометрии были в Германии Мебиус и Плюккер, во Франции — Шаль, в Англии — Кели. Август Фердинанд Мебиус, в течение более чем пятидесяти лет наблюдатель, а потом директор Лейпцигской астрономической обсерватории, был разносторонним ученым. В книге «Барицентрическое исчисление» он первый ввел однородные координаты. Поместив в вершинах фиксированного треугольника массы т1ь т2, т3, Мебиус приписал центру тяжести (барицентру) этих масс координаты тх \ т2: т3 и показал, что такие координаты удобны для описания проективных и аффинных свойств на плоскости. С этого времени однородные координаты стали общепринятым средством при алгебраической трактовке проективной геометрии. Работая в спокойном уединении, подобно своему современнику Штаудту, Мебиус сделал много других интересных открытий. Одним из примеров может быть нулевая система теории прямолинейных конгруэнции, которую он ввел в своем руководстве

1) В англ. переводе: Lectures on the Geometry of Position, N. Y., 1898.

по статике (1837 г.). Лист Мебиуса, первый пример неориентируемой поверхности, напоминает о том, что Мебиус является также одним из основателей нашей современной топологии.

Юлиус Плюккер, который много лет преподавал в Бонне, был как геометром, так и физиком-экспериментатором. Ему принадлежит ряд открытий в области магнетизма кристаллов, электропроводности газов и спектроскопии. В ряде статей и книг, особенно в «Новой геометрии пространства» (Neue Geometrie des Raumes, 1868—1869 гг.) он перестроил аналитическую геометрию, внеся в нее множество новых идей. Плюккер показал силу сокращенных обозначений, в которых, например, уравнение Ст+ХСа— = 0 представляет связку конических сечений. В упомянутой книге он вводит однородные координаты уже как проективные координаты, исходя из основного тетраэдра; он вводит здесь также то фундаментальное положение, что основным элементом в геометрии могут быть не только точки. Геометрия может основываться и на таких элементах, как прямые, плоскости, окружности, сферы. Эти плодотворные представления позволили по-новому осветить как синтетическую, так и алгебраическую геометрию и прийти к новым видам двойственности. Число измерений в геометрии того или другого вида теперь уже могло быть любым положительным целым числом, в зависимости от числа параметров, необходимых для того, чтобы определить «элемент». Плюккер опубликовал также общую теорию алгебраических кривых на плоскости, причем он вывел «плюккеровы зависимости» между числами особенностей различного рода (1834, 1839 гг.).

Мишель Шаль, в течение многих лет ведущий представитель геометрии во Франции, был студентом Политехнической школы в последние дни деятельности Монжа, а в 1841 г. он стал профессором этого учреждения. В 1846 г. он занял кафедру высшей геометрии в Сорбонне, специально для него учрежденную, и здесь он преподавал многие годы. Труды Шаля имеют много общего с работами Плюккера, в частности в том, с каким искусством он из своих уравнений извлекает максимум геометрических сведений. Идя по этому пути, он искусно пользовался изотропными прямыми и циклическими точками на бесконечности. Шаль был последователем Понселе в использовании «исчислительных методов», которые в его руках развились

в новую область геометрии, так называемую исчислительную («энумеративную») геометрию. В дальнейшем в этой области много работали Герман Шуберт [его «Исчислительная геометрия» (Kalkül der abzählenden Geometrie) напечатана в 1879 г.] и Цейтен [его «Исчислительные методы» (Abzählende Methoden) появились в 1914 г.]. В обеих книгах видны как сила, так и слабость этой разновидности алгебры на геометрическом языке. Первоначальные успехи этого направления вызвали реакцию, которую возглавил Штуди, подчеркивавший, что «точность геометрии не всегда следует рассматривать как нечто побочное»1).

Шаль был тонким ценителем истории математики, особенно истории геометрии. Его хорошо известный «Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов» (Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en géométrie, 1837 г.) стоит y порога современной истории математики. Это — хорошо написанное изложение греческой и современной геометрии и хороший пример истории математики, написанной творческим деятелем науки.

18. В течение этих лет почти что лихорадочной продуктивности в новых областях проективной и алгебраической геометрии другой новый и даже более революционный вид геометрии, изложенный в немногих и трудных работах, оставался в забвении, и большинство ведущих математиков им пренебрегали. Вопрос о том, является ли постулат о параллельных Евклида независимой аксиомой или же он может быть выведен из других аксиом, занимал математиков в течение двух тысяч лет. В древности найти ответ на этот вопрос пытался Птолемей, в средние века — Насир ад-Дин, в восемнадцатом веке — Ламберт и Лежандр. Все они пытались доказать аксиому и потерпели неудачу, хотя в ходе своих исследований получили некоторые очень интересные результаты. Гаусс был первым человеком, который считал постулат о параллельных независимой аксиомой, откуда вытекало, что логически возможны другие геометрии, основанные на другом выборе аксиом. Гаусс никогда не публиковал своих соображений

1) Е. Study, Verhandlungen des dritten internationalen Mathematiker-Kongresses in Heidelberg, Leipzig, 1905, 388—395; B. L. van der Waerden, Dissertation, Leiden, 1926.

по этому вопросу. Первыми, кто открыто бросил вызов авторитету двух тысячелетий и построил неевклидову геометрию, были русский, Николай Иванович Лобачевский, и венгр, Янош Бояи. Сначала обнародовал свои идеи Лобачевский, профессор в Казани: в 1826 г. он выступил с докладом об аксиоме параллельных Евклида. Его первая книга появилась в 1829/30 году и была написана по-русски. Узнали о ней лишь немногие. Даже более позднее немецкое издание под названием «Геометрические исследования по теории параллельных линий» не обратило на себя внимания, хотя им заинтересовался Гаусс. К тому времени Бояи тоже опубликовал свои мысли по этому вопросу.

Янош (Иоганн) Бояи был сыном учителя математики в провинциальном венгерском городе. Его отец, Фаркаш (Вольфганг) Бояи, учился в Геттингенском университете в те же годы, что и Гаусс. Он и Гаусс изредка обменивались письмами. Фаркаш затратил много времени на попытки доказать пятый постулат Евклида (стр. 68), но не пришел ни к каким определенным выводам. Его сын унаследовал его страсть и тоже начал работать над доказательством, несмотря на просьбы отца заниматься чем-либо другим:

«Ты должен отвергнуть это подобно самой гнусной связи, это может лишить тебя всего твоего досуга, здоровья, покоя, всех радостей жизни. Эта черная пропасть в состоянии, быть может, поглотить тысячу таких титанов, как Ньютон, на земле это никогда не прояснится...» (письмо от 1820 г.).

Янош Бояи поступил на военную службу и заслужил репутацию отличного офицера. В это время он стал рассматривать постулат Евклида как независимую аксиому и открыл, что можно построить геометрию, основанную на другой аксиоме, согласно которой через точку на плоскости можно провести бесконечное множество прямых, не пересекающих данную прямую плоскости. Это была та самая идея, которая уже возникала у Гаусса и Лобачевского. Бояи изложил свои соображения, и они были напечатаны в 1832 г. в виде приложения к книге его отца под названием «Приложение, излагающее абсолютно верное учение о пространстве» (Appendix Seientiam Spatii absolute veram exhibens). Озабоченный отец написал Гауссу, прося совета относительно неортодоксальных взглядов сына. Полученный из Геттингена ответ содержал восторженное

одобрение работы младшего Бояи. Вдобавок к этому Гаусс заметил, что он не может хвалить Бояи, так как это было бы самопохвалой, поскольку идеи «Приложения» являются его мыслями уже многие годы.

Молодой Янош был глубоко разочарован этим одобрительным письмом, которое возводило его в ранг большого ученого, но лишало приоритета. Его разочарование усилилось, когда в дальнейшем он не встретил признания. Еще более он был потрясен тогда, когда книга Лобачевского была опубликована на немецком языке (1840 г.), и он больше никогда ничего не напечатал по математике. В отличие от Бояи Лобачевский до конца боролся за признание своих идей и продолжал развивать свою новую геометрию, сочетая это с деятельностью и в других областях.

18*. Вся жизнь Николая Ивановича Лобачевского (1792—1856) была отдана науке и его родному Казанскому университету, который он окончил в 1811 г., где стал профессором (в 1816 г.), был деканом и в течение двадцати лет ректором. С самого начала своей научной работы он занимался вопросами обоснования анализа и аксиоматикой геометрии. Сперва он пытался доказать пятый постулат Евклида, затем он выделил в геометрии Евклида все то, что не зависит от этого постулата, — «абсолютную геометрию», и пришел к мысли заменить этот постулат другим — что через точку на плоскости вне лежащей на этой плоскости прямой можно провести не только одну параллельную этой прямой, — чтобы прийти к противоречию. Противоречие не обнаружилось, а получилась новая геометрическая система, о которой, как уже упоминалось, Лобачевский впервые и первый сообщил 11 (23) февраля 1826 г. в Казанском университете. Как Эйлер, Лобачевский под конец жизни почти ослеп, и свою последнюю работу по открытой им геометрии он продиктовал («Пангеометрия», 1855).

Лобачевский был не только гениальным геометром. У него есть ценные работы по анализу, и он дал общее определение функциональной зависимости, позже введенное в науку Дирихле. В алгебре известен его метод приближенного вычисления корней уравнений любой степени. В своих глубоких высказываниях о соотношении геометрии и физики, об опытных корнях геометрии он предвосхитил идеи науки двадцатого столетия, Привлекательны

его смелость и стойкость в борьбе за новую геометрию, которая была отвергнута и такими его соотечественниками, как Остроградский и Буняковский *.

Теории Бояи и Лобачевского были очень сходны в основе, хотя их работы значительно отличаются друг от друга. Замечательно, что новые идеи возникли независимо в Геттингене, Будапеште и Казани в одну и ту же эпоху после инкубационного периода в две тысячи лет. Замечательно также, что эти идеи созревали частично на географической периферии мира математических изысканий. Иной раз большие новые идеи рождаются вне, а не внутри школ.

Николай Иванович Лобачевский (1792—1856).

Неевклидова геометрия (это название принадлежит Гауссу) в течение нескольких десятилетий оставалась заброшенной областью науки. Большинство математиков ее игнорировало, господствовавшая философия Канта отказывалась принимать ее всерьез. Первым ведущим ученым, кто целиком понял ее значение, был Риман; его общая теория многообразий (1854 г.) допускала не только существовавшие виды неевклидовой геометрии, но и многие другие, так называемые римановы геометрии. Однако полное признание этих теорий состоялось лишь тогда, когда поколение после Римана стало понимать их значение (1870 г. и позже).

Еще одно обобщение классической геометрии возникло до появления работ Римана и было полностью оценено лишь после смерти последнего. Это была геометрия более чем трех измерений. Полностью она была развита в труде Грассмана «Учение о протяженности» (Lineale Ausdehnungslehre, 1844 г.). Герман Грассман был учителем гимназии в Штеттине. Это был человек исключительной разносторонности: он писал о столь различных предметах, как электрический ток, цвета, акустика, лингвистика, ботаника и фольклор. Его словарь санскритского языка к Ригведам до сих пор в пользовании. «Учение о протяженности», которое вышло в пересмотренном и более доступном издании в 1861 г., написано в строгой евклидовой форме. Здесь строится геометрия пространства п измерений, сначала аффинная, потом метрическая. Грассман пользуется символизмом, в котором мы теперь узнаем обозначения векторного и тензорного исчисления (его «внешние произведения» — это тензоры), но это делало его труд почти недоступным для современников. Следующие поколения частично использовали построения Грассмана для создания векторного анализа аффинного и метрического пространств.

Хотя в 1843 г. Кели ввел то же понятие пространства п измерений в гораздо более доступной форме, к геометрии более чем трех измерений относились с недоверием. И здесь вступительная лекция Римана 1854 г. облегчила правильную оценку. Наряду с идеями Римана Плюккер выдвинул ту идею, что элементами пространства не обязательно должны быть точки (1865 г.), так что геометрия прямых линий в трехмерном пространстве может рассматриваться как четырехмерная геометрия или, как подчеркивал

Клейн, как геометрия четырехмерной поверхности второго порядка в пятимерном пространстве. Полное признание геометрий более чем трех измерений наступило лишь под конец девятнадцатого века, главным образом вследствие того, что их использовали для истолкования теории алгебраических и дифференциальных форм с более чем тремя переменными.

19. Имена Гамильтона и Кели показывают, что около 1840 г. математики, пользовавшиеся английским языком, наконец, начали выходить на одну линию со своими коллегами на континенте. В течение нескольких первых десятилетий девятнадцатого века деканы Кембриджа и Оксфорда рассматривали любую попытку усовершенствовать теорию флюксий как нечестивый бунт против священной тени Ньютона. В итоге ньютонова школа в Англии и школа Лейбница на континенте настолько разошлись, что Эйлер в своем «Интегральном исчислении» (1768 г.) рассматривал объединение обоих способов записи как бесполезное. Но эта преграда была сломлена в 1812 г. группой молодых кембриджских математиков, которые образовали, вдохновляемые Робертом Вудхаузом, «Аналитическое общество» для пропаганды обозначений дифференциального исчисления. Лидерами были Джордж Пикок, Чарльз Бебедж и Джон Гершель. Они пытались, говоря словами Бебеджа, проповедовать «принципы чистого rf-изма1) в противоположность университетскому «dotage»2). Это движение поначалу подверглось суровой критике, но она была опровергнута такими делами, как издание английского перевода книги Лакруа «Элементарный трактат по дифференциальному и интегральному исчислению» (1816 г.). Новое поколение в Англии начало принимать участие в современной математике.

Впрочем, первые важные результаты были получены не кембриджской группой, а математиками, которые самостоятельно восприняли континентальную науку. Среди таких математиков наиболее выдающимися были Гамильтон и Джордж Грин. Интересно отметить, что они

1) Игра слов: или применение обозначения «d» (по Лейбницу), или «деизм» — религия разума эпохи Просвещения.

2) dot — точка (англ.); dot с суффиксом age, соответствующим суффиксам «изм» или «ство», может означать «применение точек» (ньютонова символика) или «эпоха точек», если age (век) читать как отдельное слово; но... dotage значит также старческое слабоумие...

оба, равно как и Натаниел Боудич в Новой Англии, стали изучать «чистый rf-изм», штудируя «Небесную механику» Лапласа. Грин, сын мельника из Нотингема и самоучка, весьма внимательно следил за новыми открытиями в области электричества. В то время (около 1825 г.) почти что не было математической теории, учитывавшей электрические явления. Пуассон в 1812 г. сделал только первые шаги. Грин читал Лапласа и, говоря его словами:

«Учитывая, насколько желательно подчинить расчету, в той мере, в какой это возможно, силу столь универсального характера, как электричество, и размышляя о преимуществах, которые дает при решении многих трудных задач то, что мы можем сосредоточить свое внимание на одной особой функции, от дифференциалов которой зависят силы, действующие на различные тела системы, вместо того чтобы рассеивать свое внимание, исследуя каждую из этих сил в отдельности, я пришел к попытке, нельзя ли открыть какие-либо общие соотношения, существующие между этой функцией и между создающими ее количествами электричества в телах».

Результатом была книга Грина «Опыт применения математического анализа к теориям электричества и магнетизма» (Essay on the Application of Mathematical Analysis to Theories of Electricity and Magnetism, 1828 г.), первая попытка создать математическую теорию электромагнетизма. Это стало началом современной математической физики в Англии, и вместе с работой Гаусса 1839 г. дало теории потенциала положение независимой ветви математики. Гаусс не знал работы Грина, которая стала более широко известна лишь тогда, когда Вильям Томсон (впоследствии лорд Кельвин) перепечатал ее в журнале Крелля в 1846 г. Но Гаусс и Грин оказались настолько близки, что тогда как Грин выбрал термин «потенциальная функция», Гаусс выбрал почти такой же термин — «потенциал» для обозначения решения уравнения Лапласа. Два тесно связанных тождества между интегралами по поверхности и криволинейными, носят название формулы Грина и формулы Гаусса. Термин «функция Грина» в теории дифференциальных уравнений тоже взят в честь сына мельника, изучавшего Лапласа в свои часы досуга.

Мы не располагаем местом для того, чтобы дать очерк дальнейшего развития математической физики в Англии

или же в Германии. С этим связаны имена Стокса, Релея, Кельвина и Максвелла, Кирхгофа и Гельмгольца, Гиббса и многих других. Эти ученые столько сделали для решения уравнений в частных производных, что одно время математическая физика и теория линейных уравнений в частных производных второго порядка казались тождественными. Впрочем, математическая физика внесла плодотворные идеи и в другие области математики, в теорию вероятностей и теорию функций комплексного переменного, равно как в геометрию. Особенно важное значение имел «Трактат по электричеству и магнетизму» (Treatise on Electricity and Magnetism, 1873 г., 2 тома) Джемса Кларка Максвелла, где дано систематическое математическое изложение теории электромагнетизма, основанное на опытах Фарадея. Теория Максвелла стала господствующей математической теорией электричества, а позже она вдохновляла Лоренца в его теории электрона и Эйнштейна в теории относительности.

20. Чистая математика девятнадцатого века в Англии — это, прежде всего, алгебра с применениями преимущественно к геометрии, а ведущими в этой области были три человека: Кели, Сильвестр и Сальмон. Артур Кели в молодости посвятил себя изучению права и практической деятельности юриста, но в 1863 г. он принял предложение занять новую математическую кафедру в Кембридже, где он преподавал в течение тридцати лет. В сороковых годах, когда Кели работал юристом в Лондоне, он познакомился с Сильвестром, в то время работником по страхованию. В те годы у Кели и Сильвестра зародился общий интерес к алгебре форм или квантик, как их называл Кели. Сотрудничество Кели и Сильвестра означало зарождение теории алгебраических инвариантов.

Эта теория как бы носилась в воздухе уже многие годы, особенно после того, как стали изучать определители. Ранние работы Кели и Сильвестра обходятся без определителей, — это сознательная попытка дать систематическую теорию инвариантов алгебраических форм со своей собственной символикой и своими правилами операций. Это была та теория, которую позже в Германии развивали Аронгольд и Клебш и которая является алгебраическим соответствием проективной геометрии Понселе. Многочисленные работы Кели посвящены самым разнообразным вопросам в области конечных групп,

алгебраических кривых, определителей и инвариантов алгебраических форм. Одними из наиболее известных его работ являются девять «Мемуаров о квантиках» (1854—1878 гг.). Шестая работа в этой серии (1859 г.) содержит проективное определение метрики относительно конического сечения. Это открытие привело Кели к проективному определению евклидовой метрики, и таким путем он получил возможность ввести метрическую геометрию в систему проективной геометрии. Связь этой проективной метрики с неевклидовой геометрией ускользнула от внимания Кели и была открыта позже Феликсом Клейном.

Артур Кели (1821—1895).

Джемс Джозеф Сильвестр был не только математиком, но и поэтом, остряком и, наряду с Лейбницем, наиболее выдающимся создателем новых терминов за всю историю математики. С 1855 до 1869 г. он преподавал в военной академии в Вулвиче. Он дважды был в Америке, в первый раз в качестве профессора университета в Виргинии (1841—42 гг.), второй раз как профессор университета в Балтиморе (1877—1883 гг.). Во время второго пребывания в США он вошел в число тех, кто заложил основы научной работы в области математики в американских университетах. Преподавательская деятельность Сильвестра была началом расцвета математики в Соединенных Штатах.

Джемс Джозеф Сильвестр (1814—1897).

Из многочисленных результатов Сильвестра в алгебре два стали классическими: его теория элементарных делителей (1851 г.; вновь открыта Вейерштрассом в 1868 г.) и его закон инерции квадратичных форм (1852 г.; был известен Якоби и Риману, но не опубликован ими). Мы обязаны Сильвестру и многими теперь общепринятыми терминами, такими, как инвариант, ковариант, контравариантный, когредиентный и сизигия. С ним связано много анекдотов, некоторые из них — из разряда рассказов о рассеянных профессорах.

Третьим английским алгебраистом-геометром был Джордж Сальмон, который в течение своей долгой жизни был связан с родным для Гамильтона Тринити колледжем в Дублине, где он обучал и математике, и богословию. Его наибольшая заслуга — создание хорошо известных превосходных руководств, ясных и привлекательных. Несколько поколений студентов во многих странах изучали по этим книгам аналитическую геометрию и теорию инвариантов. Это «Конические сечения» (Conic Sections, 1848 г.), «Высшие плоские кривые» (Higher Plane Curves, 1852 г.), «Современная высшая алгебра» (Modern Higher Algebra, 1859 г.) и «Аналитическая геометрия трех измерений» (Analytic Geometry of Three Dimensions, 1862 г.). Эти книги и сейчас вполне можно рекомендовать всем интересующимся геометрией.

21. Нам следует особо остановиться на двух творениях алгебраистов Соединенного королевства: кватернионах Гамильтона и бикватернионах Клиффорда. Гамильтон, королевский астроном Ирландии, завершив свои работы по механике и оптике, в 1835 г. обратился к алгебре. В его «Теории алгебраических пар» (Theory of Algebraic Couples, 1835 г.) алгебра определяется как наука о чистом времени; здесь дано строгое построение алгебры комплексных чисел на основе представления комплексного числа как пары чисел. Это, вероятно, сделано независимо от Гаусса, который в своей теории биквадратичных вычетов (1831 г.) также дал строгое построение алгебры комплексных чисел, но на основе геометрии комплексной плоскости. Сейчас оба подхода в равной мере приняты. Впоследствии Гамильтон пытался проникнуть в алгебру числовых троек, числовых четверок и т. д. Озарение на него нашло (как охотно рассказывают его поклонники) в некий октябрьский день 1843 г., когда, проходя по

мосту в Дублине, он открыл кватернионы. Его исследования по кватернионам изложены в двух больших книгах: «Лекции о кватернионах» (Lectures on Quaternions, 1853 г.) и посмертные «Основы теории кватернионов» (Elements of Quaternions, 1866 г.). Наиболее известной частью этого исчисления кватернионов является теория векторов (последний термин принадлежит Гамильтону), которая входит как часть и в теорию протяженности Грассмана. Главным образом в силу этого обстоятельства теперь часто ссылаются на алгебраические работы Гамильтона и Грассмана. Однако во времена Гамильтона и долгое время спустя кватернионы сами по себе были предметом чрезмерного восхищения. Некоторые британские математики видели в исчислении квартенионов нечто вроде «универсальной арифметики» Лейбница, что, конечно, вызвало оппозицию (Хевисайд против Тэта), и из-за этого слава кватернионов значительно потускнела. Теория гиперкомплексных чисел, разработанная Пирсом, Штуди, Фробениусом и Картаном, указала законное место кватернионов как простейшей ассоциативной системы чисел с более чем двумя единицами. Культ кватернионов во времена его апогея привел даже к созданию «Международной ассоциации для содействия изучению кватернионов и родственных математических систем», которая распалась, став одной из жертв первой мировой войны. В связи с кватернионами возник еще один конфликт — борьба между приверженцами Гамильтона и Грассмана, когда благодаря усилиям Гиббса в Америке и Хевисайда в Англии векторный анализ стал независимой ветвью математики. Эти яростные споры велись между 1890 г. и первой мировой войной и нашли свое окончательное разрешение благодаря теории групп, которая воздала каждому методу должное в соответствующей области применения1).

Вильям Кингдон Клиффорд, который умер в 1879 г. на тридцать четвертом году жизни, преподавал в колледже Троицы (Тринити колледж) в Кембридже и в Университетском колледже в Лондоне. Он был одним из

1) F. Klein, Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19 Jahrhundert, II, Berlin, 1927, 27—52; J. A. Schouten, Grundlagen der Vector- und Affinoranalysis, Leipzig, 1914.

первых англичан, понявших Римана и разделявших его глубокий интерес к происхождению наших пространственных представлений. Клиффорд разрабатывал геометрию движения, и для этих исследований он обобщил кватернионы Гамильтона, построив так называемые бикватернионы (1873—1876 гг.). Это были кватернионы с коэффициентами, взятыми из системы комплексных чисел а + + бе, где е2 может быть + 1,-1 или 0; их можно использовать и для изучения движения в неевклидовых пространствах. Книга Клиффорда «Здравый смысл точных наук» (Common Sense in the Exact Sciences) и сейчас еще хороша; в ней видно родство его мышления и мышления Феликса Клейна. На это родство указывает и термин «пространства Клиффорда — Клейна», обозначающий некоторые замкнутые евклидовы многообразия в неевклидовой геометрии. Проживи Клиффорд дольше, идеи Римана могли бы оказать влияние на британских математиков на поколение раньше, чем это произошло в действительности.

В течение ряда десятилетий чистая математика в странах английского языка сохраняла явный уклон в формальную алгебру. Это повлияло на творчество Бенджамина Пирса из Гарвардского университета, ученика Натаниела Боудича. Ему принадлежат выдающиеся работы и в небесной механике. В 1872 г. он опубликовал свои «Линейные ассоциативные алгебры» (Linear Associative Algebras), одно из первых систематических исследований по гиперкомплексным числам. Этот формалистский уклон в английской математике, быть может, объясняет появление такого исследования, как «Законы мысли» (The Lows of Thought, 1854 г.) Джорджа Буля, работавшего в одном из дублинских колледжей. Здесь было показано, что законы формальной логики, кодифицированные Аристотелем и в течение столетий изучавшиеся в университетах, сами могут быть предметом исчисления. Тут заложены принципы, соответствующие идее Лейбница о «всеобщей характеристике». Эта «алгебра логики» — начало того направления, которое стремилось объединить логику и математику. Книга Готтлоба Фреге «Основы арифметики» (Die Grundlagen der Arithmetik, 1884 г.) дала импульс этому направлению, так как там арифметические понятия выводятся из логики. Высшей точкой этих исследований в двадцатом столетии были «Основы математики» (Principia Mathematica) Бертрана Рассела и Альфреда

Уайтхеда (1910—1913 гг.), которые повлияли на позднейшие работы Гильберта по основам арифметики и по устранению парадоксов бесконечного1).

22. Работы по теории инвариантов Кели и Сильвестра обратили на себя внимание в Германии, где несколько математиков развили эту теорию в науку, основанную на законченном алгорифме. Здесь главные фигуры — Гессе, Аронгольд, Клебш и Гордан. Гессе, который был профессором в Кенигсберге, позже в Гейдельберге и Мюнхене, показал, как и Плюккер, силу метода сокращенных обозначений в аналитической геометрии. Он предпочитал пользоваться однородными координатами и определителями. Аронгольд, преподававший в Высшей технической школе в Берлине, в 1858 г. написал работу, в которой он развивает последовательную символику теории инвариантов с помощью так называемых «идеальных» множителей (что не имеет отношения к идеальным множителям Куммера). Эта символика разрабатывалась в дальнейшем Клебшем (1861 г.), в чьих руках «символика Клебша — Аронгольда» стала почти повсеместно принятым методом систематического исследования алгебраических инвариантов. Сейчас мы видим в этой символике, так же как и в векторах Гамильтона, внешних произведениях Грассмана и диадах Гиббса, частный случай тензорной алгебры. Пауль Гордан из Эрлангенского университета обогатил теорию инвариантов теоремой (1868—1869 гг.), что каждая бинарная форма обладает конечной системой рациональных инвариантов и ковариантов, с помощью которых можно в рациональном виде представить все остальные рациональные инварианты и коварианты. В 1890 г. Гильберт распространил эту теорему Гордана («теорему конечности») на алгебраические формы с любым числом переменных.

Альфред Клебш был профессором в Карлсруэ, Гиссене и Геттингене. Он умер в возрасте тридцати девяти лет. Его жизнь — это сгусток замечательных достижений. В 1862 г. он опубликовал книгу по теории упругости, следуя за французскими учеными Ламе и Сен-Венаном. Он применил свою теорию инвариантов к проективной

1) См. в этой связи: D. Hilbert — W. Ackermann, Grundzüge der theoretischen Logik, Berlin, 1928; в русском переводе: Д. Гильберт, В. Аккерман, Основы теоретической логики (вступ. статья и комментарии С. А. Яновской), М., 1947.

геометрии. Он был одним из первых, кто понял Римана, и он стал основателем той ветви алгебраической геометрии, в которой риманова теория функций и многосвязных поверхностей применяется к действительным алгебраическим кривым. «Теория абелевых функций» (Theorie der Abelschen Functionen, 1866 г.) Клебша и Гордана дает широкое изложение этих идей. Клебш также основал «Математические анналы» (Mathematische Annalen), математический журнал, который был ведущим в течение более чем шестидесяти лет. Его лекции по геометрии, опубликованные Ф. Линдеманом, остаются образцовым курсом проективной геометрии.

23. К 1870 г. математика разрослась в огромное и хаотичное здание, состоявшее из большого числа частей, дорогу в которых могли найти только специалисты. Даже большие математики, как Эрмит, Вейерштрасс, Кели, Бельтрами, могли продуктивно работать самое большее лишь в немногих ее областях. Эта специализация все время росла, и сейчас она достигла устрашающих размеров. Но никогда не прекращалось противодействие ей, и некоторые из самых важных достижений за последние сто лет явились результатом синтеза различных областей математики.

В восемнадцатом столетии такой синтез был осуществлен в трудах Лагранжа и Лапласа по механике. Эти труды оставались основой для очень значительных работ различного характера. Девятнадцатое столетие добавило к этому новые объединяющие принципы, а именно теорию групп и риманово понятие функции и пространства. Значение этого лучше всего можно понять по трудам Клейна, Ли и Пуанкаре.

Феликс Клейн был ассистентом Плюккера в Бонне в конце шестидесятых годов, и там он изучил геометрию. В 1870 г., когда ему было двадцать два года, он побывал в Париже. Здесь он встретился с Софусом Ли, норвежцем, который был на шесть лет старше его, но заинтересовался математикой лишь незадолго до их встречи. Молодые люди встречались с французскими математиками, среди них с Камиллом Жорданом, работавшим в Политехнической школе, и изучали их труды. Как раз в 1870 г. Жордан написал «Трактат о подстановках» — книгу о группах подстановок и о теории уравнений Галуа. Клейн и Ли начали сознавать основное значение теории групп,

и в последующем они разбили математику примерно на две части: Клейн в основном сосредоточился на дискретных, а Ли — на непрерывных группах.

В 1872 г. Клейн стал профессором в Эрлангене. В своей вступительной лекции он разъяснял важность понятия группы для классификации различных областей математики. В этой лекции, которая стала известна под именем «Эрлангенской программы», любая геометрия объявлялась теорией инвариантов особой группы преобразований. Расширяя или сужая группу, можно перейти от одного типа геометрии к другому. Евклидова геометрия изучает инварианты метрической группы, проективная геометрия — инварианты проективной группы. Класси-

Феликс Клейн (1849—1925).

фикация групп преобразований дает нам классификацию геометрий, а теория алгебраических и дифференциальных инвариантов каждой группы дает нам аналитическую структуру соответствующей геометрии. Проективное определение метрики по Кели позволяет рассматривать метрическую геометрию в рамках проективной геометрии. «Присоединение» инвариантного конического сечения к проективной геометрии на плоскости дает нам неевклидовы геометрии. Даже сравнительно не изученная (тогда) топология нашла свое должное место как теория инвариантов непрерывных точечных преобразований.

За год до этого Клейн дал важный пример применения своего подхода, показав, что неевклидовы геометрии можно истолковать как проективные геометрии с метрикой Кели. Это, наконец, повело к полному признанию находившихся в пренебрежении теорий Бояи и Лобачевского. Теперь была установлена их логическая обоснованность. Если бы в неевклидовой геометрии были логические погрешности, то их можно было бы обнаружить в проективной геометрии, но лишь немногие математики были склонны допустить такую ересь. Позже эта идея отображения одной области математики на другую часто использовалась и сыграла важную роль в гильбертовой аксиоматике геометрии.

Теория групп сделала возможным синтез геометрических и алгебраических трудов Монжа, Понселе, Гаусса, Кели, Клебша, Грассмана и Римана. Риманова теория пространства, которая дала так много для построения Эрлангенской программы, вдохновляла не только Клейна, но и Гельмгольца и Ли. Гельмгольц в 1868 и 1884 гг. подверг изучению риманово понятие пространства, отчасти в поисках геометрического образа для его теории цветов, отчасти в поисках происхождения наших зрительных оценок расстояния. Это привело его к исследованию природы геометрических аксиом и, в частности, римановой квадратичной метрики. Ли усовершенствовал рассуждения Гельмгольца относительно характера римановой метрики, проанализировав природу лежащих в основе этого групп преобразований (1890 г.). Эта проблема пространства «Ли — Гельмгольца» оказалась имеющей значение не только для теории относительности и теории групп, но и для физиологии.

Клейн изложил риманову концепцию теории комплексных функций в своей книге «О римановой теории алгебраических функций» (Uber Riemanns Theorie der algebraischen Functionen, 1882 г.), в которой он подчеркивал, что физические соображения могут оказывать влияние даже на самые тонкие части математики. В «Лекциях об икосаэдре» (Vorlesungen über das Ikosaeder, 1884 г.) он показал, что современная алгебра может научить многим новым и удивительным вещам и относительно древних Платоновых тел. Этот труд является исследованием групп вращения правильных тел и их роли в качестве групп Галуа алгебраических уравнений. В обширных исследованиях, принадлежащих ему и его многочисленным ученикам, Клейн применил понятие группы к линейным дифференциальным уравнениям, к эллиптическим и модулярным функциям, к абелевым и новым «автоморфным» функциям, к последним — в интересном и дружеском соревновании с Пуанкаре. Под вдохновляющим руководством Клейна Геттинген с его традициями Гаусса, Дирихле и Римана стал мировым центром математических исследований, куда молодые мужчины и женщины многих национальностей съезжались для изучения своих частных предметов в качестве неотъемлемой части математики в целом. Лекции Клейна воодушевляли слушателей, записи этих лекций, размноженные на стеклографе, были источником многих специальных сведений для целых поколений математиков и, прежде всего, они их вооружали пониманием единства их науки. После смерти Клейна в 1925 г. некоторые из курсов лекций появились в виде книг.

Тем временем в Париже Софус Ли открыл контактные преобразования и тем самым ключ ко всей гамильтоновой динамике, как части теории групп. После своего возвращения в Норвегию он стал профессором в Христиании, позже, с 1886 по 1898 г., он преподавал в Лейпциге. Всю жизнь Ли посвятил систематическому изучению групп непрерывных преобразований и их инвариантов, выявляя их основное значение в качестве классификационного принципа в геометрии, механике, в теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Результаты этих трудов были сведены воедино в ряде томов, изданных с помощью учеников Ли, Шефферса и Энгеля («Группы преобразований», 1888—

1893 гг.; «Дифференциальные уравнения», 1891 г; «Непрерывные группы», 1893 г.; «Касательные преобразования», 1896 г.). Позже к трудам Ли многое было добавлено в работах французского математика Эли Картана.

Мариус Софус Ли (1842—1899).

24. Франция, лицом к лицу с огромным развитием математики в Германии, продолжала выдвигать замечательных ученых во всех областях. Интересно сравнить французских и немецких математиков, Эрмита с Вейерштрассом, Дарбу с Клейном, Адамара с Гильбертом, Поля Таннери с Морицом Кантором. От сороковых до шестидесятых годов ведущим математиком Франции был Жозеф Лиувилль, профессор Французского коллежа в Париже,

хороший преподаватель, организатор и издатель в течение многих лет французского «Журнала чистой и прикладной математики» (Journal de Mathématiques pures et appliquées). Он подверг систематическому исследованию арифметическую теорию квадратичных форм от двух и более переменных, но «теорема Лиувилля» в статистической механике показывает, что он творчески работал в совсем иных областях. Он доказал существование трансцендентных чисел и в 1844 г. доказал, что ни е, ни е2 не могут быть корнями квадратного уравнения с рациональными коэффициентами. Это было одним из звеньев цепи доказательств, ведущих от результата Ламберта в 1761 г., что я иррационально, к доказательству Эрмита, что е трансцендентно (1873 г.), и к окончательному результату Ф. Линдемана, ученика Вейерштрасса, что я — трансцендентное число (1882 г.). Лиувилль и некоторые из связанных с ним математиков развивали дифференциальную геометрию кривых и поверхностей, — формулы Френе — Серре (1847 г.) появились в кругу Лиувилля.

Шарль Эрмит, профессор Сорбонны и Политехнической школы, стал ведущим представителем анализа во Франции после смерти Коши в 1857 г. Работы Эрмита, равно как и работы Лиувилля, следуют традициям Гаусса и Якоби, но они родственны также направлению Римана и Вейерштрасса. Эллиптические функции, модулярные функции, тэта-функции, теория чисел и теория инвариантов были предметом его работ, о чем свидетельствуют термины «эрмитовы числа», «эрмитовы формы», «многочлены Эрмита». Его дружба с голландским математиком Стилтьесом была существенной поддержкой для того, кто открыл «интеграл Стилтьеса» и применил непрерывные дроби в теории моментов. Оба высоко ценили друг друга; Эрмит однажды писал своему другу: «Вы всегда правы, а я всегда ошибаюсь». Четырехтомная «Переписка» (Correspondance, 1905 г.) Эрмита и Стилтьеса содержит богатый материал, преимущественно о функциях комплексного переменного.

Французские геометрические традиции нашли блестящее продолжение в книгах и статьях Гастона Дарбу. Дарбу был геометром в духе Монжа, он подходил к геометрическим задачам, полностью владея теорией групп и теорией дифференциальных уравнений, а проблемы механики он исследовал, опираясь на живую пространственную

интуицию. Дарбу был профессором Французского коллежа и в течение полувека активно участвовал в преподавании. Наибольшее влияние из его трудов оказали образцовые «Лекции по общей теории поверхностей» (Leçons sur la théorie générale des surfaces, 4 тома, 1887—1896 гг.), в которых изложены результаты исследований по дифференциальной геометрии кривых и поверхностей за сто лет. В руках Дарбу эта дифференциальная геометрия оказалась связанной различными нитями с дифференциальными уравнениями, обыкновенными и в частных производных, а также с механикой. Дарбу с его административным и педагогическим искусством, его тонкой геометрической интуицией, его мастерским владением аналитической техникой, его пониманием Римана занимал во Франции положение, в известной мере аналогичное тому, какое Клейн занимал в Германии,

Томас Иоаннес Стилтьес (1856—1894).

Эта вторая часть девятнадцатого столетия была временем появления больших французских руководств по анализу и по его применениям, которые часто издавались под названием «Курс анализа» и создавались ведущими математиками. Наиболее известными являются «Курс анализа» (Cours d'analyse) Камилла Жордана (3 тома, 1882— 1887 гг.) и «Трактат по анализу» (Traité d'analyse) Эмиля Пикара (3 тома, 1891—1896 гг.), и к ним надо еще добавить «Курс математического анализа» (Cours d'analyse mathématique) Эдуарда Гурса (3 тома, 1902—1905 гг.).

25. Величайшим французским математиком второй половины девятнадцатого века был Анри Пуанкаре, профессор Сорбонны с 1881 г. до своей смерти (1912 г.). Никто из математиков этого периода не владел таким количеством дисциплин и не был в состоянии их все обогатить. Каждый год он читал лекции по новому предмету. Эти лекции были изданы слушателями, они охватывают огромную область: теорию потенциала, оптику, электричество, теплопроводность, капиллярность, электромагнетизм, гидродинамику, небесную механику, термодинамику, теорию вероятностей. Каждый из этих курсов по-своему замечателен, а в своей совокупности они содержат мысли, которые принесли плоды в трудах других ученых, но многие из них еще ждут дальнейшей разработки. Сверх того, Пуанкаре написал ряд популярных и полупопулярных книг, которые помогали понять проблемы современной математики. Среди них имеем: «Ценность науки» (La valeur de la science, 1905 г.) и «Наука и гипотеза» (La science et l'hypothèse, 1906 г.)1). Кроме этих курсов, Пуанкаре опубликовал большое число работ по так называемым автоморфным и фуксовым функциям, по дифференциальным уравнениям, по топологии и по основаниям математики, исследуя с большим мастерством техники и с глубоким пониманием все соответствующие области чистой и прикладной математики. Никто из математиков девятнадцатого столетия, быть может, за исключением Римана, не может дать так много нашему поколению.

Возможно, что ключ к пониманию трудов Пуанкаре дают его идеи в небесной механике и, в частности, в проб-

1) Идеалистическая точка зрения, которой Пуанкаре придерживается в этих книгах, была подвергнута критике В. И. Лениным в его «Материализме и эмпириокритицизме» (1908 г.).

леме трех тел [«Новые методы небесной механики» (Les méthodes nouvelles de mécanique céleste), 3 тома, 1893 г.]. Здесь видно его непосредственное родство с Лапласом и показано, что даже в конце девятнадцатого столетия старые проблемы механики относительно строения вселенной остаются в плодотворном контакте с математикой. Именно в связи с этими проблемами Пуанкаре исследовал расходящиеся ряды и построил свою теорию асимптотических разложений, разрабатывал теорию интегральных инвариантов, исследовал устойчивость орбит и форму небесных тел. Его фундаментальные открытия, касающиеся поведения интегральных кривых дифференциальных

Анри Пуанкаре (1854—1912).

уравнений как вблизи особенностей, так и в целом, связаны с его работами по небесной механике. То же самое относится к его исследованию о сущности вероятности, — еще одна область, где интересы совпали с интересами Лапласа. Пуанкаре подобен Эйлеру и Гауссу, — всякий раз, когда мы обращаемся к нему, мы чувствуем обаяние оригинальности. Труды Пуанкаре существенно повлияли на наши современные представления в области космогонии, топологии, теории вероятностей, теории относительности.

25*. Во главе русской математики середины и второй половины девятнадцатого столетия стоял Пафнутий Львович Чебышев (1821—1894). Чебышев был воспитанником Московского университета, который он окончил в 1841 г. и где он защитил магистерскую диссертацию «Опыт элементарного анализа теории вероятностей» из области, которая стала одним из основных предметов его исследований. Уже одно это обстоятельство указывает нам на то, что в Москве начал формироваться новый центр математических исследований. Несколько позже, в шестидесятые годы, из кружка математиков и механиков, собиравшихся у учителя Чебышева по университету профессора Н. Д. Брашмана, выросло Московское математическое общество, журнал которого «Математический сборник», издающийся поныне, стал одним из лучших математических журналов.

Все эти начинания Чебышев поддерживал своим авторитетом, но организационного участия в них не принимал, так как в 1847 г. переехал в Петербург, где работал до своей кончины. Тридцать пять лет Чебышев читал лекции в Петербургском университете, с 1853 г. он был членом Академии наук. Его преподавательская деятельность была исключительно плодотворной. Он продолжал учить своих учеников и по окончании ими университетского курса. Первые шаги на научном поприще тех из его слушателей, которые посвятили себя занятиям математикой, были сделаны под его непосредственным руководством и под влиянием его драгоценных указаний, которые он давал желающим и умеющим ими воспользоваться. «Раз в неделю, в определенные часы, двери его были открыты для всякого, имеющего что-нибудь сообщить о собственных занятиях знаменитому математику и получить от него указания, и редко кто-нибудь от него уходил, не унося

с собою новых мыслей и поощрения к дальнейшей работе.

Одною из незабвенных заслуг Чебышева как учителя русских математиков было то, что он своими работами

и указаниями в ученых беседах наводил своих учеников на плодотворные темы для самостоятельных изысканий и обращал их внимание на такие вопросы, занятия которыми всегда приводили к более или менее ценным результатам»1).

Славу первоклассного математика создали Чебышеву уже его первые работы по теории чисел: докторская дис-

Пафнутий Львович Чебышев (1821—1894).

1) А. А. Марков и Н. Я. Сонин, Пафнутий Львович Чебышев, Полн. собр. соч. П. Л. Чебышева, т. 1, М.— Л., 1944, стр. 8, 9.

сертация «Теория сравнений» (1849 г.), превосходный и оригинальный курс теории чисел, и появившаяся в виде приложения к ней статья «Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины». Впервые после Евклида здесь были получены строго обоснованные результаты об асимптотическом распределении простых чисел в ряде всех натуральных чисел. В частности, Чебышев доказал (теорема III статьи), что выражение — In X при X — оо не может иметь пределом количество, отличное от —1 (ф (х) обозначает число простых чисел, меньших х). Только полвека спустя с помощью аппарата теории функций комплексного переменного этот результат был усилен: независимо друг от друга Адамар и Валле-Пуссен (1896 г.) доказали, что предел, о котором говорит теорема Чебышева, действительно существует, следовательно,

В интегральном исчислении всегда указывают, что Чебышев первый доказал теорему об интегрируемости «дифференциальных биномов» только в тех трех случаях, которые были по существу известны еще Ньютону. Это — один из результатов его трудных и тонких работ по интегрированию в конечном виде, которым занимались до него Абель, Лиувилль и Остроградский. В нашем столетии этой вышедшей из моды областью математики девятнадцатого столетия (выдающиеся результаты в ней получил непосредственный ученик Чебышева Е. И. Золотарев) занимался такой ученый, как Харди.

В теории вероятностей заслугой Чебышева является значительное обобщение «закона больших чисел», введение нового метода — метода моментов, центральная предельная теорема для сумм независимых случайных величин. Он не раз читал курс теории вероятностей в Петербургском университете, сделал из него строгую математическую дисциплину, изгнав расплывчатые формулировки и неправомерные применения, заинтересовал этой областью самых выдающихся своих учеников — А. А. Маркова (1856-1922) и А. М. Ляпунова (1857-1918). Марков обобщал результаты своего учителя и уточнял его доказательства, дал вероятностное обоснование метода

наименьших квадратов, ввел «цепи Маркова», оказавшиеся важным орудием при использовании вероятностных методов в науке и технике. Ляпунову принадлежит введение метода характеристических функций в учение о предельных теоремах теории вероятностей. В значительной мере благодаря трудам школы Чебышева теория вероятностей, развиваясь в связи с запросами естествознания и прикладных наук, смогла достичь положения ведущей математической дисциплины.

Чебышев много занимался кинематикой механизмов и теоретически, и практически. Ему принадлежит большое число оригинальных конструкций механизмов, он изобрел первый арифмометр непрерывного действия. Исследование механизмов привело Чебышева к математическим задачам нового типа и созданию новой теории наилучшего приближения функции. Наилучшее приближение данной функции / (х), скажем, на отрезке [а, 6], с помощью функций определенного типа, например многочленов Рп{х) разных степеней п, состоит в подборе Рп(х) так, чтобы max \f(x) — Рп(х)\ на [а, Ь] имел наименьшее значение. Теория наилучшего приближения широко разрабатывалась в школе Чебышева, в двадцатом столетии она выросла в современную конструктивную теорию функций. Именно для этих исследований Чебышев ввел названные его именем полиномы.

Чебышев занимался также классическим способом приближенного представления функций — интерполяцией. Он исследовал интерполяцию по методу наименьших квадратов, что привело его к общей теории ортогональных многочленов, в частности, к «многочленам Чебышева — Лагерра» и «многочленам Чебышева — Эрмита».

Чебышев оказал большое влияние и общей направленностью своего творчества. Он говорил: «Несмотря на ту высокую степень развития, до которой доведены науки математические трудами великих геометров трех последних столетий, практика обнаруживает ясно неполноту их во многих отношениях; она предлагает вопросы, существенно новые для науки и, таким образом, вызывает на изыскание совершенно новых метод. Если теория много выигрывает от новых приложений старой методы или от новых развитий ее, то она еще более приобретает открытием новых метод, и в этом случае науки находят

себе верного руководителя в практике»1). Математика же для Чебышева — «наука о величинах с их очевидными свойствами, имеющими конкретный смысл и значение; всякое соотношение между математическими символами соответствует соотношению между реальными вещами; математическое рассуждение равнозначно эксперименту безукоризненной точности, повторенному неограниченное число раз, и должно приводить к логически и материально безошибочным выводам»2).

Укажем еще вкратце неупомянутые выше достижения ближайших учеников Чебышева. А. А. Маркову принадлежат выдающиеся исследования по арифметической теории квадратичных форм, по проблеме моментов, где он встретился со Стилтьесом, и в этом соревновании вперед выходил то один, то другой, по различным вопросам анализа. Он дал образцовые для своего времени курсы по теории вероятностей и по исчислению конечных разностей.

А. М. Ляпунов в своей докторской диссертации «Общая задача об устойчивости движения» (1892 г.) впервые исследовал в строгой математической постановке проблему устойчивости механических систем с конечным числом степеней свободы. Заодно это явилось вкладом в теорию дифференциальных уравнений. Развитию идей и методов, изложенных Ляпуновым в этом исследовании, посвящена огромная литература. Работы Ляпунова по теории потенциала означали новый этап в ее развитии, соответствовавший новым требованиям к строгости формулировок и доказательств. Последние два десятилетия своей жизни Ляпунов в основном посвятил задаче, поставленной перед ним Чебышевым, — исследованию форм равновесия вращающейся жидкости, отличных от эллипсоидальных. Свои результаты он изложил в серии мемуаров общим объемом свыше тысячи страниц in quarto, содержащих и много нового для того времени чисто математического материала, например по теории нелинейных интегральных уравнений. Выдающийся французский математик и механик Поль Аппель сказал об этих исследованиях Ляпунова: «Эти работы настолько глубоки, что их нельзя ни просмотреть, ни бегло прочитать, —

1) В статье «Черчение географических карт» (Поля. собр. соч., т. V, стр. 150).

2) С. Н. Бернштейн, Чебышев, его влияние на развитие математики, Учен. зап. МГУ, вып. 91 (1947).

их надо изучать. Мне пришлось бы на это потратить 10 лет...»1).

В теории чисел выдающиеся работы дали Е. И. Золотарев, (1847—1878), ставший в 31 год жертвой несчастного случая, — он создал одновременно с Дедекиндом, но другим методом общую теорию делимости в алгебраических полях; А. Н. Коркин (1837—1908)» совместно с Золотаревым, — по арифметической теории квадратических форм; ученик А. А. Маркова Г. Ф. Вороной (1868— 1908), получивший фундаментальные результаты и в алгебраической, и в аналитической, и в геометрической теории чисел. А. Н. Коркину принадлежит метод интегрирования систем уравнений в частных производных первого порядка. Ряд основных задач математической картографии, что, собственно, относится к дифференциальной геометрии, решил в своей докторской диссертации (1897 г.) ученик Чебышева и Коркина Д. А. Граве (1863—1939).

26. Рисорджименто (Risorgimento), национальное возрождение Италии, означало также возрождение итальянской математики. Некоторые из основоположников современной математики в Италии участвовали в борьбе, которая повела к освобождению их страны от Австрии и к ее объединению, и позже они совмещали свою профессиональную деятельность с политической. Влияние Римана здесь сильно сказывалось, а Клейн, Клебш и Кели познакомили итальянских математиков с геометрией и с теорией инвариантов. Заодно здесь заинтересовались и теорией упругости с ее четко выраженным геометрическим характером.

В число основоположников новой итальянской математической школы входят Бриоски, Кремона и Бетти. В 1852 г. Франческо Бриоски стал профессором в Павии, в 1862 г. он организовал цолитехнический институт в Милане, где преподавал до своей смерти (1897 г.). Бриоски основал журнал «Анналы чистой и прикладной математики» (Annali di matematica рига ed applicata, 1858 г.), название которого указывает на желание соревноваться с журналами Крелля и Лиувилля. В 1858 г. вместе с Бетти и Казорати он посетил ведущих математиков Франции и Германии. Вольтерра позже заявлял, что «научное

1) См. А. Н. Крылов, Собрание трудов, т. 1, часть 2, стр. 261.

существование Италии как нации» начинается с этого путешествия1). Бриоски был в Италии представителем школы исследователей алгебраических инвариантов в духе Кели и Клебша. Луиджи Кремона, с 1873 г. директор технической школы в Риме, исследовал названные его именем бирациональные преобразования плоскости и пространства (1863—1865 гг.). Он был также одним из создателей графостатики.

Эудженио Бельтрами был учеником Бриоски. Он занимал профессорские кафедры в Болонье, Пизе, Павии и Риме. Его главные работы по геометрии выполнены между 1860 и 1870 гг. Посредством своих дифференциальных параметров Бельтрами ввел в теорию поверхностей исчисление дифференциальных инвариантов. Другой результат этого периода — исследование так называемых псевдосферических поверхностей, являющихся поверхностями постоянной отрицательной гауссовой кривизны. На такой псевдосфере мы можем осуществить двумерную неевклидову геометрию Бояи — Лобачевского. Наряду с проективной интерпретацией Клейна это является методом, показывающим, что в неевклидовой геометрии нет внутренних противоречий, потому что такие противоречия должны были бы сказаться в обычной теории поверхностей.

Около 1870 г. идеи Римана все более и более становились общим достоянием более молодых математиков. Его теория квадратичных дифференциальных форм стала предметом работ двух немецких математиков Э. Б. Кристоффеля и Р. Липшица (1870 г.). В первой из этих работ введены «символы Кристоффеля». Эти исследования в сочетании с теорией дифференциальных параметров Бельтрами позволили Г. Риччи — Курбастро в Падуе создать так называемое абсолютное дифференциальное исчисление (1884 г.). Это было новой инвариантной символикой, первоначально построенной для использования в теории преобразований уравнений в частных производных, но заодно это дало подходящую символику для теории преобразований квадратичных дифференциальных форм.

В руках Риччи и некоторых из его учеников, особенно Туллио Леви-Чивита, абсолютное дифференциальное исчисление выросло в то, что мы теперь называем теорией

1) V. Volterra, Bull. Amer. Math. Soc. 7 (1900), 60—62.

тензоров. С помощью тензоров можно объединить многие инвариантные символики, и тензоры оказались весьма действенными при получении общих теорем теории упругости, теории относительности и гидродинамики. Название «тензор» происходит из теории упругости (В. Фохт, 1900 г.).

Самым блестящим представителем дифференциальной геометрии в Италии был Луиджи Бианки. Его «Лекции по дифференциальной геометрии» (издано 3 тома, 1902 — 1909 гг.) стоят в одном ряду с «Общей теорией поверхностей» Дарбу как классическое изложение дифференциальной геометрии девятнадцатого века.

27. В 1900 г. на Международном конгрессе математиков в Париже геттингенский профессор Давид Гильберт выдвинул в качестве предмета исследования двадцать три проблемы. К этому времени Гильберт уже получил признание за свои работы по алгебраическим формам и издал ставшую теперь знаменитой книгу «Основания геометрии» (Grundlagen der Geometrie, 1899 г.). В этой книге он дал анализ аксиом, на которых основана евклидова геометрия, и разъяснил, как с помощью современных исследований по аксиоматике можно улучшить достижения греков.

В своем докладе 1900 г. Гильберт старался уловить направленность математических исследований предыдущих десятилетий и наметить контуры творческой деятельности в будущем. Перечисление его проблем позволит нам лучше понять значение математики девятнадцатого столетия.

Прежде всего Гильберт предложил арифметически сформулировать понятие континуума, как оно дано в трудах Коши, Больцано и Кантора. Существует ли кардинальное число между числом, соответствующим счетному множеству, и числом, соответствующим континууму? И можно ли рассматривать континуум как вполне упорядоченное множество? Более того, что можно сказать относительно непротиворечивости аксиом арифметики?

Следующие проблемы касаются оснований геометрии, понятия непрерывной группы преобразований по Ли — необходима ли дифференцируемость? — и математической трактовки аксиом физики. Затем следует несколько частных проблем, сперва относящихся к арифметике и алгебре. Оставалась неизвестной иррациональность или трансцендентность некоторых чисел (например, aß при алгебраическом а и иррациональном ß). Не были известны

также доказательство гипотезы Римана относительно нулей дзета-функции и формулировка наиболее общего закона взаимности в теории чисел. Другой проблемой в этой области было доказательство конечности некоторых полных систем функций, связанных с теорией инвариантов.

В пятнадцатой проблеме требовалось дать строгую формулировку исчислительной геометрии Шуберта, в шестнадцатой — изучить топологию алгебраических кривых и поверхностей. Еще одна проблема относится к заполнению пространства конгруэнтными многогранниками.

Остальные проблемы относятся к дифференциальным уравнениям и к вариационному исчислению. Всегда ли аналитичны решения регулярных задач в вариационном исчислении? Всякая ли регулярная вариационная задача имеет решение при заданных граничных условиях? Как униформизовать аналитические соотношения с помощью автоморфных функций? Гильберт закончил свое перечисление проблем призывом дальше развивать вариационное исчисление1).

Программа Гильберта показала жизненную силу математики конца девятнадцатого века, она находится в резком контрасте с теми пессимистическими взглядами, какие были в конце восемнадцатого столетия. Теперь некоторые из проблем Гильберта решены, другие все еще ждут окончательного решения. Развитие математики в годы после 1900 г. не обмануло надежд, возникших к исходу девятнадцатого века. Все же даже гений Гильберта не мог предвидеть некоторые из поразительных достижений, которые имели место на деле и которые осуществляются теперь. Математика двадцатого столетия идет к славе своим собственным, новым путем.

ЛИТЕРАТУРА

Лучшей историей математики девятнадцатого столетия является книга F. Klein, Vorlessungen über die Entwicklung der Mathematik im 19 Jahrhundert, I, II (Berlin, 1926, 1927) (первая часть

1) Спустя тридцать лет намеченные Гильбертом проблемы были обсуждены в статье: L. Bieberbach, Über den Einfluss von Hilberts Pariser Vortrag über «Mathematische Probleme», auf die Entwicklung der Mathematik in den letzen dreißig Jahren, Naturwissenschaften 18 (1936), 1101 — 1111. С тех пор были достигнуты новые успехи.

имеется в русском переводе: Ф. Клейн, Лекции о развитии математики в XIX столетии, М.—Л., 1937; изложение яркое, но во многом субъективное, отражает склонности и симпатии автора; русская математика вне его поля зрения).

Библиография ведущих математиков девятнадцатого столетия приведена в книге: G. Sarton, The Study of the History of Mathematics, Cambridge, Mass., 1936, стр. 70—98.

Там содержится перечень биографий: Абеля, Адамса, Альфана, Аппеля, Аронгольда, Бахмана, Беббеджа, Беллавитиса, Бельтрами, Вера, Бертрана, Бесселя, Бетти, Болла, Больцано, Больцмана, Борхардта, Бояи, Бриоски, Буля, Вейерштрасса, Галуа, Гаусса, Гепеля, Гиббса, Гордана, Грассмана, Грина, Дарбу, Дж. Дарвина, Де Моргана, Дедекинда, Джевонса, Дирихле. Жермен, Жордана, Г. Кантора, Л. Карно, Кели, Кельвина, Кирхгофа, Клаузиуса, Клебша, Клейна, Клиффорда. Ковалевской, Коши, Кремоны, Кронекера, Куммера, Курно, Кутюра, Лагерра, Ламе, Лапласа, Леверье, Лежандра, Лемуана, Ли, Лиувилля, Лобачевского, Лоренца, Мак-Келлога, Максвелла, Мебиуса, Мерея, Минковского, Миттаг-Леффлера, Ф. Неймана, Э. Нетер, Ньюкома, Ольберса, Оппольцера, Пенлеве, Пикока. Б. Пирса, Плюккера, Понселе, Пуанкаре, Пуансо, Пуассона, Пфаффа, Рамануджана, Релея, Ренкина, Римана, Розенгайна. Руффини, Сен-Венана, Силова, Сильвестра, Смита, Стокса, Тета, Фидлера, Фреге, Фредгольма, Френеля, Фукса, Фурье, Чебышева, Шаля, Шварца Штаудта, Штейнера, Эджворта, Эйзенштейна, Эри, Энке.

Кроме того, на русском языке имеются биографии Андреева, Буняковского, Вороного, Граве, Жуковского, Имшенецкого, Коркина, А. Н. Крылова, Ляпунова, Маркова, Млодзеевского, Остроградского, Петерсона, Чаплыгина, Чебышева, на нем. яз. — Миндинга.

Дополнительный библиографический материал см. в номерах журнала Scripta Mathematica (Нью-Йорк, изд. с 1932 г.).

Изданы собрания сочинений таких математиков: Абеля, Альфана, Бельтрами, Бетти, Биркгофа, Больцано, Борхардта, Бриоски, Вайдыанатасвамы, Вейерштрасса, Галуа, Гамильтона, Гаусса, Гиббса, Гильберта, Грассмана, Грина, Дедекинда, Дирихле, Г. Кантора, Кели, Клейна, Клиффорда, Коши, Кремоны, Кронекера, Лагерра, Э. Э. Леви, Леви-Чивита, Ли, Лобачевского, Лузина, Мандельштама, Мебиуса, Дж. А. Миллера, Минковского, Пеано, Пирса, Плюккера, Помпейю, Пуанкаре, Рамануджана, Римана, Руффини, Сегре, Силова, Сильвестра, Скорца, Г. Дж. С. Смита, Тета, Фукса, Фурье, Хаара, Хекке, Чебышева, Шварца, Шлефли, Штейнера, Эйзенштейна, Эрмита, Якоби.

Кроме того: А. А. Андронова, С. Н. Бернштейна, Г. Бора, Виноградова, Вороного, Дини, Долбни, Жуковского, Золотарева, Ковалевской, Коркина, А. Н. Крылова, Н. М. Крылова, Ляпунова, Маркова, Остроградского, Фр. Рисса, Сонина, Урысона, Чаплыгина, О. Ю. Шмидта.

О математических работах Маркса, см.: А. П. Гокиели, Математические рукописи Маркса, Тбилиси, 1947; D. J. Struik, Marx und Mathematics, Science and Society 12 (1948), 181 — 196. Они собраны в томе:

К. Маркс, Математические рукописи, Москва, 1968.

См. также:

L. de Launay, Monge, Fondateur de l'Ecole Polytechnique (Paris, 1934).

R. Taton, Monge (Paris, 1951).

F. Klein u. a., Materialien für eine wissenschaftliche Biographie von Gauss (8 томов, Leipzig, 1911 — 1920).

G. W. Dunnington, Carl Friedrich Gauss; Titan of Science (New York, 1956).

G. F. Gauss, Gedenkband anlässlich des 100 Todestages, herausgegeben von H. Reichardt (Leipzig, 1957).

G. F. Gauss und die Landesvermessung in Niedersachsen (Hannover, 1955).

Quaternion centenary celebration, Proc. Roy. Irish Acad. A50(1945), 69—98; также A. J. McConnell, The Dublin mathematical school in the First Half of the Nineteenth Century. Collection of Papers In Memoriam of Sir William Rowan Hamilton (Scripta mathematica Etudies, New York, 1945).

E. Kötter, Die Entwicklung der synthetischen Geometrie von Monge bis auf v. Staudt, Jahresber. Deutsche Math. Ver. 5 (1901), 1-486.

H. Tribut, Un grand savant — le général J. V. Poncelet, Paris, 1936.

M. Black, The Nature of Mathematics (New York, 1934); содержит библиографию по символической логике.

D. J. Struik, Outline of a History of Differential Geometrie, Isis 19 (1933), 92—120; 20 (1934), 161 — 191; в русском переводе; Д. Я. Стройк, Очерк истории дифференциальной геометрии (до XX столетия), М.—Л., 1941.

J. L. Coolidge, Six femal mathematicians, Scripta math. 17 (1951), 20—31. (О Гипатии, M. G. Agnesi, E. du Chatelet, M. Sommerville, S. Germain u С. Ковалевской.)

L. P. Wheeler, Josiah Willard Gibbs (New Haven, 1951).

L. Kollros, Jakob Steiner, Elemente der Mathematik, Beiheft 7 (Basel, 1947).

J. T. Merz, A History of European Thought in the Nineteenth Century (London, 1903—1914).

J. Hadamard, The Psychology of Invention in the Mathematical Field (Princeton, 1945).

G. Prasad, Some Great Mathematicians of the Nineteenth Century: Their Lives and Their Works (2 тома, Benares, 1933/1934).

E. Winter, B. Bolzano und sein Kreis (Leipzig, 1933, Halle, 1949).

A. Dalmas, Evariste Galois, Révolutionnaire et Géomètre (Paris, 1958); в русском переводе: А. Дальма, Эварист Галуа, революционер и математик, М., 1961.

См. также:

R. Taton, Revue Hist. Sei. appl. 1 (1947), 114—130.

Kurt-R. Biermann, J. P. G. Lejeune Dirichlet. Dokumente für sein Leben und Werken, Berlin, 1959 (Abh. Dt. Akad. Wiss., Kl. f. Math., Phys. u.Techn., 1959, Nr. 2).

Kurt-R. Biermann, Vorschläge zur Wahl von Mathematikern in die Berliner Akademie, Berlin, 1960 (-Abh. Dt. Akad. Wiss., Kl. f. Math., Phys. u.Techn., 1960, Nr. 3).

На русском языке см:

Карл Фридрих Гаусс, Труды по теории чисел, ред. и вступ. статья И. М. Виноградова, комментарий Б. Н. Делоне, М., 1959 (сюда вошли «Арифметические исследования»).

Карл Фридрих Гаусс, Сборник статей к 100-летию со дня смерти, М., 1956.

Гаспар Монж, Приложение анализа к геометрии, ред., комментарий и статья М. Я. Выгодского, М.—Л., 1947.

Гаспар Монж, Начертательная геометрия, ред., комментарий и статья Д. И. Каргина, М.—Л., 1947.

Гаспар Монж, К двухсотлетию со дня рождения, Сборник, М., 1947.

Э. Я. Кольман, Бернгард Больцано, М., 1956.

К. R. Biermann, Der Mathematiker Ferdinand Minding und die Berliner Akademie, Monatsberichte Deutsch. Akad. Wiss. 13 (1961), 120—133.

Л. Пуансо, Начала статики, под ред. Долгова, М.—Пг., 1920.

Есть переводы двух курсов Коши: «Краткое изложение уроков о дифференциальном и интегральном исчислении...», Спб., 1831 (перевод В. Я. Буняковского); «Алгебраический анализ», Лейпциг, 1864.

О. Орэ, Нильс Генрик Абель, М., 1961.

Э. Галуа, Сочинения, ред., прим. и статья Н. Г. Чеботарева, М.—Л., 1936.

Романизированная биография Галуа — в книге Л. Инфельд, Эварист Галуа. Избранник богов, перевод с англ., М., 1958.

К. Якоби, Лекции по динамике, под ред. М. С. Кошлякова М.—Л., 1936.

Л. С. Полак, Уильям Роуан Гамильтон, Труды Института истории естествознания и техники 15 (1957), 206—276.

Об основаниях геометрии. Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитию ее идей, ред. и вступ. статья А. П. Нордена, М., 1956, содержит работы Гаусса, Бельтрами, Ф. Клейна, А. Пуанкаре и др.

Вариационные принципы механики, ред., послесловие и примечания Л. С. Полака, M , 1959. — В этом сборнике работы Гамильтона, Остроградского и др.

П. Г. Лежен-Дирихле, Лекции по теории чисел (в обработке и с дополнениями П. Дедекинда), под ред. Б. И. Сегала, М.—Л., 1936.

В книге: Разложение функций в тригонометрические ряды, Харьков, 1914 — помещены работы Лежена-Дирихле, Римана, Липшица.

И. Б. Листинг, Предварительные исследования по топологии, ред. и предисловие Э. Я. Кольмана, M.—Л., 1932.

Б. Риман, Сочинения, ред. статья и прим. В. Л. Гончарова, М.-Л., 1948.

Р. Дедекинд, Непрерывность и иррациональные числа, со статьей С. И. Шатуновского, 4-е изд., Одесса, 1923.

Сборник научно-популярных статей Пуанкаре, Гельмгольца, Кронекера и др по основаниям арифметики, под ред. Парфентьева, Казань, 1906 содержит и работу Дедекинда «Что такое числа и для чего они служат».

Некоторые работы Г. Кантора вошли в сборник «Новые идеи в математике», в. 6, под ред. Васильева, Спб., 1914. Подзаголовок книги: Учение о множествах Георга Кантора.

М. Шаль, Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов, тт. 1—2, М., 1883.

Янош Больяи, Appendix. Приложение, содержащее науку о пространстве абсолютно истинную..., статья и прим. В. Ф. Кагана, М.—Л., 1950.

В. К. Клиффорд, Здравый смысл точных наук, 2-е изд.. Пг., 1922.

Т. И. Стилтьес, Исследования о непрерывных дробях, под ред. Н. И. Ахиезера, Харьков — Киев, 1936.

А. Пуанкаре, О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями, ред. и прим. А. А. Андронова, М.—Л., 1947.

Книги А. Пуанкаре «Ценность науки» и «Наука и гипотеза» имеются в русских переводах начала века (1906 г.).

По истории математики в России в девятнадцатом столетии см.:

Б. В. Гнеденко, Очерки по истории математики в России, М.—Л., 1946.

Б. Н. Делоне, Петербургская школа теории чисел, М.—Л., 1947.

В. Ф. Каган, Лобачевский, 2-е изд., М.—Л., 1948.

История отечественной математики, под ред. И. З. Штокало, т. II, Киев, 1967.

А.П. Юшкевич, «История математики в России (до 1917 г.)», «Наука», 1968.

Б. В. Гнеденко и И. Б. Погребысский, Михаил Васильевич Остроградский, М., 1963.

Научное наследие П. Л. Чебышева, в. I, Математика, в. II, Теория механизмов, М.—Л., 1945.

Сто двадцать пять лет неевклидовой геометрии Лобачевского, 1826—1951, М.-Л., 1952.

Памяти Ковалевской. Сборник, М., 1951.

ДВАДЦАТОЕ СТОЛЕТИЕ1) (первая половина)

Д. Я. Стройк несомненно прав, считая описание и анализ развития математики в XX веке очень трудным делом. Наше дополнение написано с гораздо более скромной целью: дать читателю хотя бы частично те общие сведения, которые позволяют составить представление о математической науке первых десятилетий нашего века и, следовательно, могут помочь тому, кто пожелает более основательно познакомиться с этим кругом вопросов.

В первом разделе дополнения рассмотрен период до первой мировой войны, во втором изложение доведено до лет второй мировой войны. Последний, третий раздел — не более чем краткая заключительная и весьма неполная справка. Книги, в которой была бы изложена история математики XX века, еще нет, и наиболее полным обзором этой истории остается посвященный ей раздел во французской «Общей истории естествознания», изданной под редакцией профессора Рене Татона2).

I. От начала века до первой мировой войны

1. Разумеется, первый день нового века — 1 января 1901 г. — не был ознаменован никаким переворотом или поворотом в математических науках, как, впрочем, ничем особенным не был отмечен и в других областях человеческой деятельности. Нет никакой явственной грани, которая отделяла бы математику XX века от науки XIX века.

1) Дополнение, составленное И. Б. Погребысским.

2) Histoire générale des sciences, publiée sous la direction de René Taton, t. III, II (Le XX siècle), Paris, 1964, стр. 10—127.

Начало нового столетия, до первой мировой войны, в математике — непрерывное продолжение работы предыдущих десятилетий, дальнейшее развитие и усиление тех сдвигов и тенденций, которые достаточно ясно обозначились в течение, скажем, последней четверти XIX века. Поэтому будет полезно еще раз оглянуться на конец XIX века — не «в гневе», а с доброжелательным вниманием.

Следует сперва представить себе географию математики этого периода. Наука в те времена была еще преимущественно европейской. Азиатские, африканские, южноамериканские страны не принимали тогда почти никакого участия в ее развитии. Вне Европы заметная группа ученых-математиков сформировалась только в Соединенных Штатах Америки, но и они, как принято было говорить, еще сидели у ног своих европейских учителей. В самой Европе распределение математических центров по странам было весьма неравномерным. На первом месте по числу активно работающих ученых, по количеству печатных изданий разного рода и назначения, по организованности и по значению в культурной и общественной жизни своей страны стояли математики Германии и Франции. На подъеме, после объединения страны, была итальянская математика. В России в расцвете была «могучая кучка» математиков чебышевской школы. В Англии после смерти Кели и Сильвестра (еще раньше молодым умер Клиффорд) «чистая математика» уже не имела столь блестящих представителей, и репутация математических наук поддерживалась главным образом за счет работ по теоретической механике и математической физике. Только немногие ученые представляли математику еще раздробленной Польши, славянских народов, живших в пределах тогдашней Австро-Венгрии, балканских стран и далеко отстававших от среднего европейского уровня Испании и Португалии. Напротив, более высоко развитые в техническом и экономическом отношении Голландия, Бельгия, скандинавские страны уже давали весомый вклад в математические науки не столько за счет отдельных крупных талантов, сколько благодаря систематической работе групп ученых. Впрочем, их вклад тоже значительно уступал тому, который вносили «великие математические державы» Европы.

2. Несмотря на такой сравнительно ограниченный ареал математики, ее представители уже должны были

задумываться над тем, как по-новому организовать свою работу и, выражаясь по-современному, подготовку новых кадров. Прежние формы научного общения и подготовки к научной деятельности становились недостаточными. Это было вызвано убыстряющимся ростом науки вообще, математики в частности, постепенным изменением ее роли в обществе эпохи развитого капитализма, в конечном счете — общественным развитием в целом. (Например, нетрудно видеть, что данный выше набросок географии математики примерно соответствует распределению стран того времени по степени индустриализации и по удельному весу в них капиталистического уклада.) Приведем некоторые числовые данные. В 1871 г. в Берлине появился реферативный журнал по математике «Книга успехов математики за год» (Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik)1), который начат был изданием по образцу аналогичного библиографического журнала по физике (Fortschritte der Physik).

В первом томе этого «Ежегодника» охвачены работы по математике и ее приложениям в механике, математической физике, астрономии и геодезии за 1868 г. Всего там учтено немногим меньше 900 работ, число их авторов — около 650. Работы сгруппированы по двенадцати разделам: 1) история и философия; 2) алгебра; 3) теория чисел; 4) теория вероятностей; 5) ряды; 6) дифференциальное и интегральное исчисление (включая дифференциальные уравнения и вариационное исчисление); 7) теория функций; 8) аналитическая геометрия (сюда включалась дифференциальная геометрия); 9) синтетическая геометрия (то есть в основном проективная); 10) механика; 11) математическая физика; 12) геодезия и астрономия.

Соответствующие данные к концу столетия показывают значительность происшедших изменений. В 1897 г. на первом международном конгрессе математиков в Цюрихе интенсивность математической продукции за непосредственно предшествующие годы оценивалась числом 2000 публикаций в год. Вся научная математическая литература (с начала книгопечатания в Европе до конца XIX века) составляла, по оценке библиографов, примерно 125 тысяч названий (переиздания и переводы при этом не учитывались,

1) Дальше будем называть его «Ежегодник»,

примерно 95 000 статей, 30 000 книг), а из этих 125 тысяч около половины приходилось на вторую половину XIX века. Если же мы обратимся к указанному выше «Ежегоднику», то его том за 1900 г. (т. 31-й, изд. в 1902 г.) даст следующие данные: число учтенных в нем работ — свыше 2600, число авторов — немногим меньше 1500. Таким образом, за треть века произошло почти утроение годовой продукции математиков и в 2,5 раза выросло число авторов, выступающих в печати в течение года.

Разбиение на разделы оставалось прежним, но редакции «Ежегодника» пришлось прибегнуть к увеличению числа глав во многих разделах, причем появились названия ранее отсутствовавших дисциплин.

Так, алгебра (2-й раздел) в 1868 г. состояла из трех глав: уравнения; симметрические функции; элиминация и подстановки, а в 1900 г. первой главой оставались уравнения, вторую главу составила теория форм, а третью — подстановки, теория групп, определители и элиминация.

Значительно обогатилась номенклатура по теории функций (7-й раздел). Он состоял по-прежнему из двух глав — общие вопросы и специальные функции, но раньше вторую главу не подразделяли, теперь в ней выделили части: эллиптические функции, шаровые функции и т. д., и процент работ по этому разделу вырос вдвое.

Среди глав геометрических разделов появилась новая — работы по топологии. Стоит указать на то, что процент работ по последним трем разделам, которые можно отнести к прикладной математике, остался практически неизмененным (22—23%) и резко уменьшилась доля геометрических работ: с ~ 39% до ~ 26%.

Не изменился удельный вес работ по первому разделу— около 10%, но среди них заметное место заняли работы по педагогике, что тоже было знамением времени: начали систематически обсуждаться различные предложения (как педагогов, так и ученых-исследователей) относительно изменения программ по математике в средней и высшей школе и методов преподавания математических дисциплин. Это было вызвано несколькими обстоятельствами: тем, что математические науки накопили много нового; тем, что новые результаты привели также к пересмотру прежних сведений, включению их в новую систему понятий и представлений, и тем, что расширились применения

математики, стал меняться характер запросов к ней со стороны естествознания и технических дисциплин.

3. Наиболее чуткие к запросам своего времени математики ощутили необходимость расширить формы научного общения в условиях убыстряющегося роста числа математиков и математических работ. В середине XIX века организуются специальные математические общества, но они первоначально связаны с определенными городами. Таковы, например, основанные почти одновременно Московское математическое (1864 г.) и Лондонское математическое (1865 г.) общества. Оба они довольно скоро начинают играть роль общенациональных, в известной мере благодаря своим журналам. Позже возникают национальные математические ассоциации, выделяющиеся из соответствующих общенаучных объединений (например, Французское математическое общество, организованное в 1872 г., Немецкое математическое объединение, организованное в 1891 г.). В значительной мере при их содействии ведется и расширяется библиографическая работа, подготавливаются ставшие необходимыми большие обзоры по отдельным дисциплинам, ставятся вопросы об изменении программ, организуются математические съезды в масштабе страны. Однако и этого мало, возникает необходимость создания международной организации. Первая попытка была сделана в 1893 г., когда в Чикаго проводилась международная выставка. В ее программу были включены научные конгрессы и конференции, которым рассчитывали придать интернациональный характер. В их числе был и математический конгресс, но на нем, кроме американских ученых (около 40 человек), присутствовало только несколько европейцев. Правда, Феликс Клейн привез с собой значительное число докладов, подготовленных его немецкими коллегами, и мог заявить, что эти доклады дают достаточно полное представление о том, над чем работают немецкие математики того времени, но другие страны были представлены только единичными сообщениями.

Памятником этого математического конгресса, за которым сохранилось название международного, остался том подготовленных для него докладов (всего 39, из них 13 принадлежат американским авторам, 16 — немецким, по 3 — французским и итальянским), ставший первым томом серии, издаваемой Американским математическим обще-

ством1). Кроме того, он дал дополнительный стимул к организации по-настоящему представительного международного съезда математиков. По-видимому, чтобы обойти всякие «престижные» проблемы, местом первого конгресса избрали Швейцарию. Там в Цюрихе в 1897 г. состоялся первый международный математический конгресс. Он длился 3 дня, собрал немногим более 200 участников (приглашений было разослано, главным образом в адрес национальных организаций, около 2000). Официальными языками конгресса были немецкий и французский. Обсуждался на нем вопрос о создании международных комиссий для организации составления рефератов, для изучения вопросов библиографии и терминологии (но решения не были приняты), был установлен порядок созыва и организации следующих конгрессов. В качестве их важнейших задач было признано составление отчетов о состоянии различных математических дисциплин, содействие изданию сочинений, важных для всех математиков, участие в выработке классификации математических наук и в библиографических работах общего научного значения, содействие личному общению ученых.

4. По докладам, вынесенным на пленарные заседания, и по наиболее значительным секционным выступлениям на конгрессе можно сделать некоторые заключения о том, что было характерным для математики конца века. Почти единодушное признание получила теория множеств (заодно — и заслуги Г. Кантора). Едва ли не самое видное место на переднем крае математических исследований занимала тогда теория аналитических функций — ее развитие в предыдущие годы было темой обширного доклада А. Гурвица (1859—1919, Швейцария). Гурвиц, в частности, убедительно показал значение для теории функций методов и понятий теории множеств, но тогда они были еще последним словом науки, и он, видимо, поступил правильно,

1) Mathematical Papers read at the International Mathematical Congress held in connection with the world's Columbian Exposition Chicago 1893 — Papers published by the American Mathematical Society, vol. I, New York, 1896, Edited by the Commitee of the Congress, E. Hastings Moore, Oscar Bolza, Heinrich Maschke, Harry J. White.

В США Нью-Йоркское математическое общество начало свою деятельность в 1888 г. Отчасти в связи с Чикагским конгрессом оно было реорганизовано и в 1894 г. стало Американским математическим обществом.

сообщив попутно своим слушателям необходимые сведения о трансфинитных числах Г. Кантора. Гурвиц закончил указанием на вопросы, связанные с рассмотрением «функций от функций», — имелись в виду операции функционального характера. В. Вольтерра (1860—1940, Италия) указал в связи с этим на некоторых итальянских и французских авторов, в чьих работах рассматриваются сходные идеи (Вольтерра мог бы указать и на свои исследования),— так начинал оформляться функциональный анализ. Математическую логику можно было считать надежно вошедшей в список математических дисциплин; о ее состоянии докладывал на секционном заседании Э. Шредер (1841—1902, Германия), а Дж. Пеано (о нем см. ниже) на пленарном заседании познакомил с содержанием издаваемого им «Математического формуляра» (1895—1908, пять томов) — сочинения, в котором вся математика того времени должна была быть изложена на языке разработанной Пеано символики математической логики. Большое место заняли на первом международном конгрессе математиков вопросы, связанные с ее преподаванием, применением в технике (с интересным докладом об отношениях математики и техники выступил крупнейший специалист по турбинам А. Стодола), взаимоотношением теоретических и прикладных направлений. А. Пуанкаре, которому надо отвести первое место среди тогдашних творцов математической науки, прислал доклад на тему об отношениях между чистым анализом и математической физикой. Там мы находим высказывание, которое показывает, что Пуанкаре, несмотря на все «заигрывания» с различными идеалистическими течениями, оставался в своей творческой деятельности материалистом: «Нужно было бы полностью забыть историю науки, чтобы отрицать постоянное и самое благотворное влияние на развитие математики стремления познать природу... Чистый математик, который забыл бы о существовании внешнего мира, был бы подобен живописцу, умеющему гармонически сочетать цвета и формы, но лишенному натуры, модели, — его творческая сила быстро иссякла бы».

Феликс Клейн в своем выступлении говорил, что в период своего формирования как ученого он считал «ведущими» в математике три дисциплины: новую геометрию, теорию функций комплексного переменного и теорию групп. Оставаясь при этом убеждении, теперь он доба-

вил бы еще общее учение о величинах (под этим далеко не общепринятым термином надо было понимать примерно то, что в наше время называют «основами математики») и теорию чисел. Как и Пуанкаре, Клейн говорил об особо важном значении для развития науки ее связей с приложениями. Основной же темой Клейна была реорганизация высшего математического образования.

Интересный аспект математики конца века нашел свое выражение (в полушутливой форме) в речи Э. Пикара на заключительном банкете: «И мы имеем своих математиков-философов, и под конец века, как и в прежние эпохи, мы видим, что математика вовсю флиртует с философией (est en grande coquetterie avec la philosophie). Это — на благо дела, но при условии, чтобы философия была весьма терпимой и не подавляла изобретательного духа». Добавим к этому справку, что первый международный конгресс по философии состоялся в Париже в 1900 г. и на нем видное место заняли вопросы методологии математики. Конечно, надо иметь в виду, что в условиях того времени на конгрессах и на университетских кафедрах философия была представлена преимущественно последователями различных идеалистических течений.

5. Еще одно характерное для конца XIX века событие заслуживает упоминания: начало издания большой «Энциклопедии математических наук» (на немецком языке). Одним из инициаторов в этом деле был тот же Ф. Клейн. «Задача этой энциклопедии — в сжатой, подходящей для быстрой ориентировки форме, но со всей возможной полнотой представить в общем виде математические науки в их современном состоянии, в соответствии с надежно полученными результатами, и вместе с тем, с помощью тщательно подобранных указаний на литературу, показать эволюцию математических методов с начала XIX столетия. Энциклопедия не должна ограничиваться так называемой чистой математикой — она должна охватить и применения в механике и физике, астрономии и геодезии, в различных разветвлениях техники и других областях и дать, таким образом, общую картину того положения, которое математика занимает в современной культуре»1). И здесь мы видим акцент на приложениях, несмотря на все возрастаю-

1) Encyclopédie der mathematischen Wissenschaften, I Band, 1 Teil, Einleitender Bericht, s. IX, Leipzig, 1898—1904.

щую абстрактность и общность математических понятий и методов. В соответствии с этим только три первых тома отведены чистой математике, следующие три — механике, математической физике, астрономии, геодезии, геофизике. А в наставлении для сотрудников «Энциклопедии» особым пунктом было выделено следующее положение: «Отдельные математические специальности не рассматриваются изолированно. Наоборот, одна из главных задач всего труда — ясно показать многообразное взаимное переплетение самых различных областей»1).

Инициаторы издания «Энциклопедии» считали также, что непреходящее достояние любой науки интернационально, оно добыто трудом ученых всех времен и всех народов. Но разные народы в разные эпохи принимали участие в этой работе, ведя ее в различных направлениях, с отличием в выделении и оценке отдельных областей, с характерными для них методами и формами изложения. Это должно было найти отражение в «Энциклопедии» путем изложения содержания в его историческом развитии и с помощью привлечения, кроме немецких, авторов из других стран. Действительно, среди них мы видим ученых из Австрии, Америки, Англии, Бельгии, Голландии, Норвегии, России, Франции, Швеции. Кроме того, с 1904 г. было начато французское переиздание этой же энциклопедии, причем каждая статья дополнялась или частично перерабатывалась.

Организация международных конгрессов, издание математической энциклопедии, реферирование многообразной научной продукции, организованное во всемирном масштабе — все это, помимо непосредственного назначения, служило одной общей цели: сохранению, так сказать, организационного единства все более разветвляющейся математики. А интерес к философским и методологическим проблемам, выдвигаемым развитием математики, и весьма разноречивые подходы к этим проблемам были доказательством того, что приближался очередной «кризис основ» математики. Это тоже входило в наследие девятнадцатого века.

Иметь надежную общую основу для многочисленных математических дисциплин нужно было не только для их сведения в единую систему, но и для решения многих

1) Там же, s. XIII.

проблем, например в теории множеств и теории функций. Наряду со многими конкретно поставленными вопросами (примером последних может служить вошедшая в знаменитый список Гильберта (седьмая) проблема определения арифметической природы чисел вида сД когда а — алгебраическое число1), ß — алгебраическая иррациональность) девятнадцатый век завещал своему преемнику немало проблем, имевших первостепенное значение для развития отдельных математических дисциплин. Таковы многие проблемы Гильберта, таковы, например, проблема собственных значений и собственных функций в классических краевых задачах математической физики (она проходит через все девятнадцатое столетие) и проблема «малых знаменателей» в небесной механике, восходящая еще к восемнадцатому веку. Именно такая переходная тематика в значительной мере определяла направление исследований в те пятнадцать — двадцать лет, которые образуют первый период в истории математики XX века.

6. Одно из наиболее важных событий этого периода — выдвижение на первый план теории функций действительного переменного. В качестве самостоятельной дисциплины, занимающейся анализом таких основных понятий, как функциональная зависимость, интеграл, производная и т. д., теория функций действительного переменного (т. ф. д. п.) сформировалась во второй половине XIX века, главным образом, в связи с тонкими вопросами, которые выдвигались в теории тригонометрических рядов (в генетической связи с тригонометрическими рядами находятся и работы Георга Кантора по теории множеств). Формированию т. ф. д. п. содействовали работы математиков разных стран, например Л. Дюбуа-Реймона (1831—1889, Германия), К. Жордана (1838—1922, Франция; главным образом его курс анализа), У. Дини (1845—1918, Италия).

Для этого времени «становления теории функций действительного переменного» характерны работы Джузеппе Пеано (1858—1922), если не самого крупного, то заведомо самого оригинального итальянского математика своего времени. Он оставил заметный след в анализе, геометрии, механике и математической логике, занимался историей математики, методами ее преподавания, сравнительной филологией, созданием международного языка. Для его

1) Разумеется, отличное от 0 и 1.

творчества характерны те оригинальные построения, с помощью которых Пеано опроверг некоторые неточные и неверные утверждения, основанные на неправомерных обобщениях или подсказанные недостаточно критической интуицией. Напомним, например, о «кривой Пеано», заполняющей двумерную фигуру (квадрат), и о замечании, что предел отношения ^ fog) ~ / foi) ? когда и х±, и х2 одновременно стремятся к одному и тому же значению х, может отличаться от f'(x), хотя производная f'(x) везде существует и конечна. Сила и точность критической мысли Пеано нашли свое выражение и в работах по основам математики и по математической логике. С 1895 по 1908 г. Пеано издал пять томов своего «Математического формуляра» (комментированное изложение всей математики с помощью системы обозначений для логических понятий, используемых в математических рассуждениях). Символика Пеано привилась не целиком, но историческое значение его труда, не вполне оцененного современниками (может быть, вследствие критического отношения Пуанкаре к нему и к математической логике в целом), несомненно велико.

В конце XIX века теория функций действительного переменного обогащается понятиями и методами теории множеств, и это стало основой ряда важных успехов: создания теории меры точечных множеств, введения понятия измеримой функции, существенного обобщения понятия интеграла, классификации функций действительного переменного. Мера множества по Лебегу, измеримые множества Бореля, классы функций Бэра, интеграл Лебега — все это входит сейчас в университетские курсы математики, а появилось в науке в первые годы XX века. Дальнейшее обобщение процесса интегрирования, позволяющее более полно сохранить его взаимоотношение с операцией дифференцирования, было достигнуто в 1912 г. А. Данжуа (р. 1884): «тотализация» по Данжуа для весьма широкого класса функций позволяет восстановить по производной ее первообразную.

В предыдущем абзаце упомянуты математики французской школы. Среди них Э. Борель (1871 — 1956) играл роль инициатора и организатора. Он был основателем серии монографий по теории функций и ее приложениям, издававшейся в течение нескольких десятилетий и оказавшей немалое влияние на формирование молодых ма-

тематиков во Франции и в других странах. Борелю принадлежат также значительные работы по теории вероятностей (и тут он выступил организатором издания многотомного труда — трактата, который включал в себя как математические основы теории, так и все ее основные приложения в математической и физической статистике, экономике и технике). Борель был также выдающимся популяризатором математики.

Блестяще начатая творческая деятельность Р. Бэра (1879—1932) продолжалась недолго. Образцовыми по ясности изложения и по законченности результатов остаются его «Лекции о разрывных функциях»1).

А. Лебег (1875—1941, Франция) — сын рабочего-печатника, один из немногих в его время ученых пролетарского происхождения. Ранняя смерть отца сделала очень трудными для него школьные годы, но благодаря настойчивости и блестящим способностям юноше удалось закончить среднюю школу и поступить в 1894 г. в парижскую Высшую нормальную школу. Окончить ее — значило обеспечить себе скромный заработок учителя средней школы, и в 1897 г., получив диплом, Лебег начинает преподавать математику в одном из лицеев Нанси. Большая педагогическая нагрузка не помешала ему подготовить за три года замечательную диссертацию, опубликованную под названием «Интеграл — длина — площадь». В ней содержится теория меры точечных множеств и интеграла, за которыми закреплено имя автора. Его идеи казались слишком смелыми некоторым шефам французской математики того времени, к защите работа была допущена не сразу, в 1902 г.2). После этого Лебег начинает преподавать в высшей школе, но до 1910 г. — в провинциальных университетах. В эти годы он очень активен творчески: появляется его большой мемуар о функциях, представимых аналитически, содержащих доказательство существования функций любого класса Бэра, работы по теории размерности, о принципе Дирихле и другие. С 1910 г. начинается парижский период жизни Лебега.

1) Русский перевод: Р. Бэр, Теория разрывных функций, М., 1932.

2) На основе результатов диссертации написана оказавшая большое влияние книга Лебега «Лекции по теории интегрирования» (русский перевод со 2-го французского издания под названием «Интегрирование и отыскание примитивных функций», М., 1934).

Его заслуги теперь признаны, он занимает кафедру во Французском коллеже (с 1921 г.), в следующем году избирается в Академию наук. В последние двадцать лет своей жизни Лебег занимается только педагогическими вопросами (ряд статей, книга «Об измерении величин», имеющаяся в русском переводе1)) и историей науки.

Анри Лебег (1875—1941).

Для французской математики выдвижение на рубеже двух столетий молодых представителей новой школы теории функций было знаменательно еще в одном отношении: длившееся в течение столетия преобладание выпускников Политехнической школы, получавших инженерную подготовку, приходило к концу — стали «задавать тон» выходцы из Высшей нормальной школы в Париже, учебного заведения педагогического направления, в котором широко представлены науки не физико-математического цикла.

1) Два издания: M., 1939; M., 1940.

За пределами Франции новыми проблемами теории функций начинают заниматься Н. Н. Лузин (его замечательная диссертация «Интеграл и тригонометрический ряд» появилась в 1915 г.), В. Серпинский (р. 1882, Польша), В. X. Юнг (1863—1942, Англия), ряд немецких и итальянских математиков. Дальнейшее развитие этих исследований относится уже к следующему периоду (см. ниже п. 20). В восходящей к П. Л. Чебышеву конструктивной теории функций, изучающей проблемы приближения различных классов функций с помощью многочленов или подобных им выражений, в рассматриваемый период важные работы дал С. Н. Бернштейн (1880—1968).

7. Наряду с теорией функций действительного переменного продолжала развиваться «ведущая» математическая дисциплина прошлого века — теория аналитических функций. В теории целых и мероморфных функций после фундаментальных работ А. Пуанкаре и Э. Пикара (1858— 1941) восьмидесятых годов XIX века важные результаты были получены Ж. Адамаром (1865—1963, Франция), применившим свои методы в аналитической теории чисел (в 1896 г. им и одновременно с ним Валле-Пуссеном (1866— 1962, Бельгия) было наконец доказано, что асимптотически число п (х) простых чисел, не превышающих х, равно x/(\og х), Э. Борелем и другими учеными. Борелю принадлежит различение понятий моногенной1) и аналитической2) функций, его анализ понятия аналитичности стал стимулом для развития впоследствии теории квазианалитических функций. Д. Помпею (1873—1942, Румыния) обобщил понятие моногенности, введя так называемую ареоларную производную (производную по площади) функции комплексного переменного, что послужило основой для развитой впоследствии румынскими математиками теории полигенных функций. Пуанкаре (и, независимо, П. Кебе, 1882—1945, Германия) решил проблему униформизации, доказав для любой неоднозначной аналитической функции w = f(z) возможность представления аргумента z и функции w однозначными аналитическими функциями вспомогательной переменной. Значительные успехи были достигнуты в теории конформного отображения, много было сделано

1) То есть обладающей производной в любой точке рассматриваемой области.

2) Разлагающейся в степенной ряд в любой точке рассматриваемой области.

для изучения в комплексной области различных классов специальных функций. В тесной связи с развитием теории функций комплексного переменного находятся значительные результаты, полученные в аналитической теории обыкновенных дифференциальных уравнений П. Пэнлеве (1863—1933, Франция) и рядом других ученых.

8. Одной из новых областей математики была топология. Комбинаторная топология стала самостоятельной дисциплиной после знаменитой серии работ А. Пуанкаре: «Analysis situs» (то есть «Анализ положения») и пять «Дополнений» к этому первому мемуару (1895—1904), и это было только начало. А. Пуанкаре писал, начиная свое пятое «Дополнение»: «Я уже часто имел возможность заниматься Analysis situs... Я возвращаюсь теперь еще раз к этому вопросу в уверенности, что его можно исчерпать лишь с помощью постоянных усилий и что он достаточно важен и заслуживает того». И действительно, вслед за Пуанкаре и используя разработанную им технику триангуляции и симплициальных разбиений, многочисленные исследователи систематически изучали топологические инварианты многообразий двух, трех и большего числа измерений. Комбинаторную топологию можно было бы в этот период назвать и алгебраической, поскольку ее проблемы были поставлены в связи с теорией алгебраических функций и интегралов, но вскрыть более глубокие ее связи с алгеброй еще предстояло. К тому же для этого сама алгебра должна была вступить в новую фазу, которую можно датировать концом первого — началом второго десятилетия века.

9. Именно в это время алгебра начинает превращаться из «науки о решении алгебраических уравнений» в ту «абстрактную», или «современную» алгебру, какой она остается в наши дни, тогда как проблема решения алгебраических уравнений с вещественными или комплексными коэффициентами естественно включается в теорию функций комплексного переменного: там она становится частным случаем проблемы определения нулей целых функций (их распределения на комплексной плоскости, их вычисления) и обращения функциональной зависимости. Можно сказать, что вся алгебра перестраивается по образцу теории групп, становясь учением об (алгебраических) операциях, определенных над элементами произвольной

природы, и исследует в самом общем виде такие множества элементов с определенными на них операциями, иначе говоря, изучает алгебраические структуры. Вполне отчетливо новую постановку алгебраических проблем мы находим у Э. Штейница (1871 — 1928, Германия). В 1910 г. во введении к своей капитальной работе «Алгебраическая теория полей»1) он писал: «В настоящей статье понятие «поле» рассматривается в том же абстрактном и общем виде, как и в работе Г. Вебера «Исследования по общим основам теории уравнений Галуа»2), а именно как система элементов с двумя операциями, сложением и умножением, подчиняющимися ассоциативному и коммутативному законам, связанными дистрибутивным законом и допуска ющими неограниченное обращение3). Но, в то время как целью Вебера была общая, от числового значения элементов независимая трактовка теории Галуа, для нас интерес сосредоточивается на самом понятии поля. Программой этой работы является дать обзор всех возможных типов полей и установить, в основных чертах, в каком отношении они находятся друг к другу». Что такая общая теория полей возникла тогда, когда был накоплен, в более частных исследованиях, соответствующий конкретный материал, показывает сноска Штейница к процитированному месту: «К этим общим исследованиям особым стимулом для меня была «Теория алгебраических чисел» Гензеля4), исходным в которой является поле /?-адичных чисел — поле, которое нельзя отнести ни к функциональным, ни к числовым полям в обычном смысле этих терминов». Так новая алгебра (абстрактная алгебра) естественно вырастала из теоретико-числовых и арифметических исследований, составлявших одно из главных направлений в математике XIX века и уходящих своими корнями в ту «наивную» проблему решения алгебраических уравнений, с многовековой историей которой читатель уже знаком. Но и начальный этап новой алгебры не надо себе представлять происходящим без взаимодействия с другими,

1) Е. Steinitz, Algebraische Theorie der Körper, Journal für die reine und angewandte Mathematik 137, 167—309.

2) H. Weber, Untersuchungen über die allgemeine Grundlagen der Galoisschen Gleichungstheorie, Mathematische Annalen 43.

3) Исключается только деление на нуль.

4) К. Hensel (1861—1941), Theorie der algebraischen Zahlen, Leipzig, 1908.

новыми тогда областями математики. В той же работе Штейница мы находим такое замечание по поводу одной из его теорем: «Это доказательство1) нельзя провести без применения принципа выбора уже для поля рациональных чисел. Существенным вспомогательным средством для этого доказательства является теорема Цермело о вполне упорядоченных множествах, которая основана на принципе выбора».

10. Упомянутая теорема Э. Цермело (1871 — 1953, ФРГ) вызвала самые острые математические коллизии начала века. И до работ Цермело были обнаружены некоторые парадоксы теории множеств, связанные с, так сказать, неограниченным, неаксиоматизированным ее применением. В данном же случае речь шла о математическом рассуждении, о доказательстве, которое одними математиками принималось, другими отвергалось. Цермело в 1904 г. опубликовал доказательство теоремы, что всякое множество можно вполне упорядочить, опираясь при этом на «аксиому выбора». Согласно этой аксиоме в любом подмножестве заданного множества можно зафиксировать некоторый его элемент («отмеченный элемент»).

Очевидно, что, поскольку речь идет о любых подмножествах совершенно произвольного множества, нет никакого конструктивного метода для указания таких отмеченных элементов. Поэтому многие математики, среди них Пуанкаре, отвергали аксиому Цермело и выводы, полученные на ее основании; другие, среди них Гильберт, ее приняли. В связи с этой дискуссией2) выявились наличие нескольких подходов к проблемам обоснования математики и необходимость уточнения логических средств, используемых в математике. Это дало мощный стимул для исследований по аксиоматике теории множеств (Цермело принадлежит и первая система аксиом этой теории) и по математической логике. В частности, голландский математик Л. Броувер (р. 1881), автор значительных работ по топологии, предложил так называемую интуиционистскую логику, согласно которой «принцип исключенного третьего» неприменим к бесконечным множествам. «Ин-

1) Доказательство единственности «в основном» максимального алгебраически замкнутого расширения.

2) Один из интереснейших ее «памятников» составляют «Пять писем о теории множеств» Адамара, Бэра, Бореля и Лебега.

туиционизм» у Броуера находится в тесной связи с идеалистическими философскими взглядами автора, но «интуиционистская логика» допускает, как показал впоследствии А. Н. Колмогоров, вполне конкретное истолкование. Борель в упомянутой выше дискуссии высказывался за использование в математике только «конструктивных определений» — определений, использующих или подразумевающих только конечное или счетное множество операций. Гильберт наметил другую программу обоснования математики, к осуществлению которой он приступил много позже; его направление было названо формализмом. Аксиоматика теории множеств, направленная на устранение парадоксов «наивной теории множеств», была предложена Бертраном Расселом (р. 1872) и А. Н. Уайтхедом (1861—1947) в их трехтомных «Principia Mathematica» (1910—1913). Уточнение и размежевание этих различных направлений в значительной мере относится к следующим десятилетиям. В рамках же собственной теории множеств можно отметить работы по «арифметике» кардинальных и ординальных чисел, введенных Г. Кантором для характеристики бесконечных множеств, и создание так называемой теоретико-множественной (или общей) топологии. В последней области эпоху составило появление в 1913 г. монографии по теории множеств Ф. Хаусдорфа (1868— 1942, Германия)1).

11. В классическом математическом анализе на рубеже двух столетий центральное место занимали проблемы, связанные с решением краевых задач математической физики. В девяностые годы Пуанкаре значительно обобщил результаты и методы своих предшественников, однако не все у него было достаточно строго обосновано. Дальнейшие успехи в этом направлении (при сохранении в основном прежних методов) были достигнуты благодаря работам А. М. Ляпунова, С. Зарембы (1863—1942, Польша) и В. А. Стеклова.

Уроженец Нижнего Новгорода, племянник знаменитого критика Н. А. Добролюбова, В. А. Стеклов (1864— 1926) был непосредственным учеником А. М. Ляпунова по Харьковскому университету, а впоследствии — его коллегой по Академии наук. Выдающийся аналитик, он

1) Русский перевод: Ф. Хаусдорф, «Теория множеств», М.— Л., 1937.

сумел найти новые случаи интегрируемости дифференциальных уравнений движения в таких фундаментальных задачах механики, как движение твердого тела в жидкости

и вращение твердого тела вокруг точки. Но его крупнейшие достижения относятся к теории краевых задач математической физики. В ее основных проблемах существования фундаментальных функций для краевых задач и обоснования разложений в ряды по таким функциям он получил весьма общие и значительные результаты. Упростить методику и дальше продвинуться в этих вопросах позволила теория интегральных уравнений, но в руках Стеклова

Владимир Андреевич Стеклов (1864—1926).

классические методы XIX века были достаточно эффективны. С именем Стеклова навсегда связана также реорганизация бывшей Императорской Академии наук в Академию наук Союза Советских Социалистических Республик — последние годы своей жизни как вице-президент Академии он отдавал этому делу все свои силы.

Новый метод — метод интегральных уравнений — позволил создать стройную теорию краевых задач математической физики. Он получил широкое распространение после замечательной работы 1903 г. норвежского математика Эрика Ивара Фредгольма (1866—1927), давшего в общем виде решение линейного интегрального уравнения, носящего его имя. Фредгольм получил свое решение, строя его по аналогии с решением системы п линейных алгебраических уравнений, с последующим переходом к пределу при п—► оо и проверкой, что получаемые в пределе формулы действительно дают решение исходного интегрального уравнения. Этот переход к пределу был оценен современниками как один из самых эффектных (и, добавим, эффективных) в математическом анализе. Однако Гильберт не был «ослеплен внешностью» результатов Фредгольма и выявил их более глубокую сущность: он их истолковал как факты, относящиеся к анализу бесконечно большого числа переменных, то есть усмотрел возможность как бы непосредственно оперировать с п = = оо. Таким образом, дальнейшее развитие пошло в двух направлениях. Первое, более традиционное, связано с именами Фредгольма, Вольтерра, до Фредгольма изучавшего уравнения с переменными пределами интегрирования («уравнения Вольтерра»), Пикара, много сделавшего в трудной теории однородных интегральных уравнений с особенностями, и др. Второе направление, представленное Гильбертом и его учениками и последователями, естественно влилось впоследствии в более широкое русло функционального анализа. В знаменитой серии мемуаров (1904—1910 гг.) Гильберт, по аналогии с линейной алгеброй и теорией квадратичных форм для конечного числа переменных, построил «алгебру», элементами которой являются функции или бесконечные числовые последовательности. Элементы этой «функциональной алгебры» можно интерпретировать как точки в пространстве бесконечно большого числа измерений. Быть может, наибольшей заслугой Гильберта является то, что он сумел

должным образом ввести в изученном им пространстве («пространстве Гильберта») топологические соотношения. Это, в частности, позволило в новой области анализа, открытой Гильбертом, воспользоваться языком и образами геометрии.

12. В предыдущем изложении уже не раз встречалось имя Гильберта. После смерти Пуанкаре вряд ли кто-либо мог оспаривать у него первое место среди математиков. Давид Гильберт родился в 1862 г. в Кенигсберге (ныне Калининград), там же учился в университете и в этом университете после защиты диссертации в 1885 г. был доцентом (с 1886 по 1892 г.) и профессором (по 1895 г.). С 1896 г. и до своей кончины Гильберт — профессор Геттингенского университета, славу которого он поддержал и умножил. В последние годы своей жизни Гильберт (умер в 1943 г.) тщетно пытается оградить Геттингенский университет от фашистских и фашиствующих мракобесов.

Давид Гильберт (1862—1943).

Первый крупный результат Гильберта (в 1888 г.) относится к популярной тогда теории инвариантов. Для многочисленных работ того времени по теории инвариантов характерны громоздкие алгебраические выкладки. Такая, впрочем хорошо разработанная, техника требовала немало усилий, чтобы доказывать сравнительно частные случаи некоторых общих положений, составлявших истинную сущность теории. Гильберт доказал эти общие положения, почти не прибегая к вычислениям. Не удивительно, что один из авторитетов того времени П. Гордан (1837—1912), познакомившись с работой Гильберта, воскликнул: «Это не математика, это теология!»

В последующие годы Гильберт занимался как алгеброй, так и теорией чисел. В классическом обзоре по теории алгебраических чисел, представленном Немецкому математическому обществу в 1895 г., он дал стройное изложение этой восходящей к Гауссу теории. Ее разрабатывали главным образом в Германии. Усилиями Дирихле, Куммера, Кронекера, Дедекинда, позже Минковского была создана законченная теория делимости для числовых полей, основанная на понятиях идеала, простого идеала. Однако открытым оставался вопрос о том, что происходит с простым идеалом поля при включении его в «надполе», и в связи с этой трудной проблемой Гильберт ввел ряд важных новых понятий, сформулировал и частично доказал основные относящиеся сюда результаты. Полное их доказательство и дальнейшее развитие стало делом некоторых из самых выдающихся его последователей.

С конца девяностых годов в тематике Гильберта на первом плане анализ, геометрия. В анализе ему, кроме работ по теории интегральных уравнений, принадлежат капитальные исследования по вариационному исчислению — доказательство так называемого «принципа Дирихле» и некоторые другие первоклассные результаты. В последние двадцать лет своей жизни Гильберт больше всего занимался математической логикой (см. ниже п. 30).

Помимо создания важных общих теорий Гильберт решил ряд трудных более частных задач. Например, в теории чисел ему принадлежит первое общее доказательство теоремы Варинга, сформулированной еще в XVIII веке: каждое целое число можно представить суммой не более чем п (^> 0) к = х (к ^> 0) степеней целых чисел, где п зависит только от (целого) к (так, доказанная

Лагранжем теорема, что всякое целое число представимо суммой не более чем четырех квадратов целых чисел, есть частный случай теоремы Варинга, когда к = 2, а п (к) = 4). В дифференциальной геометрии Гильберт доказал трудную и на первый взгляд неожиданную теорему: в трехмерном пространстве всякая поверхность постоянной отрицательной кривизны имеет особенности. Гильберт во вторую половину своей жизни много занимался и проблемами теоретической физики. Так, он указал физические применения своей теории интегральных уравнений и в одной из своих работ близко подошел к основным положениям общей теории относительности Эйнштейна. Вообще «его деятельность отразилась даже в теориях, которые он сам никогда не разрабатывал, как, например, в общей топологии. Быть может, Гильберт глубже всего воздействовал на математический мир даже больше строем своего ума, чем своими гениальными открытиями; он научил математиков мыслить аксиоматически, то есть стремиться свести каждую теорию к ее самой строгой логической схеме, отвлекаясь от соответствующей техники вычислений... В своей страстной потребности понять, своей интеллектуальной все более взыскательной честностью, в своем неутомимом стремлении ко все более единой, все более чистой, избавленной от излишнего науке Гильберт воистину воплощал идеал математика для поколения «между двумя войнами»1).

13. Переходя к геометрии, мы снова прежде всего встречаем имя Гильберта. В 1899 г. появились его «Основания геометрии» (ряд последующих изданий с существенными дополнениями и изменениями, переводы на русский, французский, английский и другие языки). Книга Гильберта продолжает и завершает кропотливую работу над уточнением аксиоматики геометрии XIX века и начинает новую главу в истории аксиоматического метода. Гильберт не отрицал, конечно, что аксиомы геометрии были взяты из опыта, но раз они сформулированы как основа теории, никакая интуиция, никакие наглядные представления принципиально не должны привлекаться при выводе следствий из аксиом, то есть при доказательстве теорем,

1) Из статьи Ж. Дьедонне (J. Dieudonné) «Давид Гильберт» в сб. «Les grands courants de la pensée mathématique», ed. F. Le Lionnais, Paris, 1962, стр. 297.

если эти доказательства действительно строги. Таким образом, сама природа изучаемых объектов в такой дедуктивной теории не имеет значения — аксиомы определяют отношения между объектами, чья природа, как и названия, безразличны. Поэтому Гильберт начал «Основания геометрии» фразой: «Будем мыслить три системы предметов, которые назовем точками, прямыми и плоскостями», а в беседах он не раз шутя говорил, что в геометрии вместо точек, прямых, плоскостей можно было бы говорить о столах, стульях и кружках пива.

В первом издании «Оснований геометрии» дана система аксиом евклидовой геометрии, несколько уточненная в дальнейшем, и начата серия исследований о взаимоотношениях этих аксиом, о роли той или иной группы аксиом в различных вопросах. Значительная часть геометрических исследований нашего века посвящена этим вопросам. Но это не было последним словом в развитии аксиоматического метода: правила, по которым из аксиом выводится следствие (теорема), подразумевались — это была «общепринятая логика». Формализация правил вывода и их представление в виде не допускающего каких-либо неоднозначностей алгорифма стали задачей исследований по логике, а явное указание этих правил вывода — составной частью аксиоматического метода. Гильберт был одним из тех, кто содействовал переходу аксиоматического метода на такой более высокий уровень.

14. В рассматриваемый период новые главы были вписаны и в такую традиционную дисциплину, как теория чисел (помимо уже упоминавшихся в связи с Гильбертом исследований). Еще в девяностые годы XIX века Г. Ф. Вороной (1868-1908) и Г. Минковский (1864—1909, Германия) заложили основы «геометрии чисел», тесно связанной с кристаллографическими исследованиями (правильные разбиения пространства). Выдающиеся результаты были получены в аналитической теории чисел ближайшим учеником Гильберта Г. Вейлем (1885—1955), Э. Ландау (1877— 1938, Германия), Харди (1877—1947, Англия) и Дж. Литлвудом (р. 1885, Англия). Недолго продолжалось творчество поразительно одаренного Сринивасы Рамануджана (1887—1920), первого крупного ученого, которого дала Индия современной математике. Помимо русской (петербургской) и немецкой школ можно было говорить уже и об английской школе теории чисел,

15. Даже в самом кратком обзоре математики начала века необходимо сказать о теории вероятностей и о математической статистике. Центром теоретической мысли в области теории вероятностей оставалась Россия: на эти годы приходятся указанные в предыдущей главе классические исследования А. М. Ляпунова и А. А. Маркова. Влияние новых методов теории функций действительного переменного прежде всего сказалось на работах французской школы, которую представляют, кроме Э. Бореля, Поль Леви (р. 1886), М. Фреше (р. 1878) и др. Сильная школа математической статистики формируется в Англии (Карл Пирсон, 1857—1936, Р. Фишер, р. 1890 г. и др.), в скандинавских странах, затем в США. Значительно разнообразнее становятся проблемы, которые ставятся перед теорией вероятностей и статистикой со стороны физики, техники, экономики. Начинается, в духе общих тенденций математики, аксиоматизации теории вероятностей (С. Н. Бернштейн, Э. Борель).

16. Как ни скупо то беглое и отрывочное описание математики начала XX века, которое дано выше, богатство результатов и обилие новых идей этого периода следует признать поразительным. Конечно, перефразируя знаменитый ответ Ньютона, можно с полным основанием сказать, что XX век стоял на плечах у XIX. Европа вбирала в себя ресурсы всего земного шара, войны после 1815 г. были редки, не затрагивали континента в целом и стоили меньше, чем наполеоновские, капитализм был еще на подъеме и создал по сравнению с феодализмом гораздо большие возможности для технического и научного прогресса. Отошли на второй план академии, определявшие лицо науки восемнадцатого века, — математика опиралась теперь на многочисленные университеты, покончившие со схоластическими традициями, устанавливала более тесную связь с техникой и экономикой в крупных институтах, подготавливавших инженеров, поддерживала действенный обмен идеями с физикой и теоретической астрономией. Для тех, кто не мог или не хотел видеть признаков будущих потрясений эпохи империализма, перспективы науки вообще, математики в частности должны были казаться безоблачными: непрерывный прогресс на основе ничем не омрачаемого международного сотрудничества. Говоря словами поэта, прошлое было мудро, будущее было молодо.

Действительно, оптимизм характерен для программных выступлений математиков этих лет. Гильберт на II международном математическом конгрессе (м. м. к.) в Париже в 1900 г. говорил, что отрасль науки полна жизни постольку, поскольку она в изобилии выдвигает требующие решения проблемы. И список «Гильбертовых проблем» был составлен так, чтобы подтвердить жизненную силу практически всех областей математики тех лет. Пуанкаре в 1908 г. на IV м. м. к. в Риме сделал доклад на тему: «Будущее математики» в другом стиле: он намечал не столь конкретные, а более общие задачи, стоящие перед различными математическими дисциплинами, и попытался наметить пути их дальнейшего развития. Этот интерес к будущему сочетался с ростом внимания к прошлому. Изучение истории математики привлекало все большее число ученых и находило все более высокую оценку. На II м. м. к. один из четырех пленарных докладов был сделан выдающимся историком науки Морицем Кантором (1829—1920, «Об историографии математики»); на III м. м. к. в Гейдельберге (1904 г.) организуется специальная секция истории математики, а в пленарных докладах (их было четыре, как в Париже) историческая тема занимала тоже видное место, например, английский механик и математик А. Дж. Гринхил (1847—1927) избрал темой «Математическую теорию гироскопа в историческом аспекте»; на V м. м. к., который состоялся в Кембридже (Англия) в 1912 г., один из немногих пленарных докладов был сделан итальянским геометром, философом и историком математики Энриквесом (1871—1946) на тему: «Значение критики основ в развитии математики». История математики широко представлена и на первом международном конгрессе по истории науки (Рим, 1902 г.), и на международном научном конгрессе в Сан-Луи (США, 1904 г.). Тема доклада Энриквеса говорит и об интересе к философии математики, к проблемам обоснования математики. Мы упоминали в этой связи выступление Пикара на I м. м. к. В Гейдельберге, открывая III м. м. к., об этом говорил выдающийся немецкий алгебраист Г. Вебер (1842—1913): «Вряд ли было такое время, когда философская сторона нашей науки, вопрос о последних основах наших математических убеждений вызывал бы столь общий интерес, как

сейчас»1). А разнообразие и прочность связей математики того времени неплохо иллюстрирует список пленарных докладов Кембриджского м. м. к. 1912 г. Из восьми докладов только три были собственно математическими: Э. Бореля «Определение и область существования однозначных моногенных функций», М. Бохера (1867—1918, США) «Одномерные краевые задачи», Э. Ландау «Решенные и нерешенные проблемы в теории распределения простых чисел и функций Римана». Остальные доклады были сделаны Энриквесом (см. выше), физиком Лармаром («Динамика радиаций»), физиком и сейсмологом Б. Б. Голицыным («Основы инструментальной сейсмологии»), астрономом Брауном («Периодичность в солнечной системе»), один доклад был представлен на тему: «Место математики в инженерной практике».

Известное представление о количественных изменениях, происшедших за первое десятилетие XX века, дают следующие данные. В «Ежегоднике» (см. п. 2) за 1911 г. учтены работы почти 2400 авторов — за десятилетие их число выросло на 60%. Число участников математических конгрессов росло быстрее: на Парижском м. м. к. 1900 г. их было около 200, на Кембриджском в 1912 г. — почти 600; тут, по-видимому, сказывалось и развитие техники и экономики, облегчавшее и удешевлявшее заграничные поездки.

II. От Великой Октябрьской социалистической революции до конца второй мировой войны

17. Империалистическая война, начавшаяся в 1914 г., вызвала взрыв национализма и среди ученых, особенно в Германии, и разорвала многие международные научные связи. Это в полной мере относится и к наиболее абстрактной науке — математике. Некоторые работы международного характера не удалось возобновить и после войны: осталось незаконченным французское издание математической энциклопедии, свернулась деятельность комиссии, изучавшей с помощью большого числа специалистов постановку преподавания математики в различных странах,

1) Verhandlungen des dritten Internationalen Mathematiker-Kongresses in Heidelberg, Leipzig, 1905, стр 29,

не удалось осуществить намеченные работы библиографического характера, не состоялся назначенный на 1916 г. международный математический конгресс. Взаимное ожесточение, подогреваемое шовинистической пропагандой, сказывалось еще долго. После победы Антанты в 1918 г. конференция академий наук стран-победительниц вынесла решение, в котором говорится: «Предыдущие войны не подрывали уважение друг к другу ученых враждующих стран, и мирная жизнь в течение нескольких лет могла стереть всякий след прошлых сражений. Сейчас условия стали совсем иными... Мы должны оставить прежние международные организации и создать новые для стран-союзниц при возможном участии нейтралов». Надо добавить, что это решение оказалось направленным и против представителей советской науки, которую некоторые научные организации Запада бойкотировали в течение ряда лет. В соответствии с такими тенденциями Международный математический союз (М. м. с), организованный в 1919 г. в Брюсселе, объединил только одну группировку стран и место первого послевоенного конгресса, организованного М. м. с, в 1920 г. было выбрано не случайно: Страсбург — город, отторгнутый Германией у Франции в 1871 г. и теперь возвращенный Франции1). Этот конгресс собрал около 200 участников, следующий, состоявшийся в 1924 г. в Канаде (Торонто), — около 400.

Международный математический союз становится в это время скорее разъединяющим, чем объединяющим органом: некоторые национальные математические организации, которые раньше туда не допускались, а затем считались «искупившими свою вину», в свою очередь бойкотируют М. м. с. Положение не становится лучше и ко времени международного математического конгресса в Болонье в 1928 г. Наконец, в 1932 г. в Цюрихе число участников очередного м. м. к. заметно превышает

1) Не случайно, вероятно, было и то, что на Гейдельбергском конгрессе 1904 г. председателем (он представлял страну-организатора) был, при наличии Ф. Клейна и Д. Гильберта, Г. Вебер, профессор Страсбургского, тогда немецкого университета. А когда Страсбургский университет снова стал французским, туда была направлена большая группа видных ученых, в том числе и математиков, чтобы создать там, вблизи границы с Германией, сильный форпост французской культуры.

довоенный уровень (667 участников, представлено 40 стран1)); там же принимается решение ликвидировать Международный математический союз в его прежнем виде, создается комиссия, которой поручено заново рассмотреть вопрос о международной организации математиков. Но в Германии приходит к власти Гитлер, приближается новая война. В 1936 г. на следующем международном конгрессе в Осло участников только 487, они представляют уже не 40, а 27 стран, и комиссия, созданная в Цюрихе, докладывает, что не смогла выработать общеприемлемые предложения. Следующий международный математический конгресс смог состояться лишь в 1950 г.

18. Огромно влияние Великой Октябрьской социалистической революции на развитие науки вообще, математики в частности. Непосредственно и сразу оно начало сказываться, естественно, в СССР, затем постепенно и главным образом посредством достижений советской науки распространилось за пределы Советского Союза. «Выход русской математики на мировую научную арену совершился только после Октябрьской революции. Ученые советского государства не только развили и приумножили славные традиции своих предшественников. Они проложили принципиально новые пути развития науки. Их активность распространилась на новые области математики — прежде всего на теорию множеств и функций действительного переменного, которые явились как бы плацдармом, откуда началось наступление новой — уже советской — математической школы на всю современную математику2)». Бесспорным является то, что к тридцатым годам Москва стала одним из крупнейших центров мировой математической науки, значительно расширился диапазон исследований, проводившихся в Ленинграде, Харькове, Киеве, Казани, стали формироваться математические школы и в других научных центрах Советского Союза, например в Тбилиси, Ташкенте.

В двадцатые — тридцатые годы мы наблюдаем быстрое развитие математики в ряде стран, получивших самостоятельность после войны 1914—1918 гг., прежде всего в Польше и в Венгрии. Одновременно (с двадцатых годов)

1) Общее число математиков и математических работ продолжает расти по экспоненциальному закону: в реферативном «Ежегоднике» за 1929 г. указаны работы почти 4100 авторов.

2) Математический сборник 74 (116), вып. 3 (1967), 323- 324.

ослабевает математическая активность в Италии под режимом Муссолини, а в тридцатые годы фашизм в Германии отбрасывает ее науку далеко назад. Эмигранты из Германии, затем из Австрии, Венгрии и других стран Центральной Европы оседают главным образом в США, значительно повышая их математический потенциал. Французская математика, потерявшая немало молодежи во время войны 1914—1918 гг., тоже лишается своего первенствующего положения, английская только-только сохраняет свои позиции. Таким образом, к концу тридцатых годов существенно меняется расстановка математических сил: два основных центра находятся теперь в СССР и США, Западная Европа на втором плане, продолжается медленный подъем в Японии, Индии, некоторых странах Южной Америки, в Канаде. Суммарная же математическая продукция продолжает расти в прежнем темпе, оценивать ли ее числом авторов или числом публикаций.

Происшедшее перераспределение сил между математическими центрами можно иллюстрировать справкой о том как изменялось от года к году количество страниц и число статей в «Математическом сборнике» и в «Mathematische Annalen» — журналах, из которых первый был основным математическим журналом в СССР, второй — в Германии:

«Mathematische Annalen»

Годы

Число страниц

Число статей

1930

1427

61

1931

1592

95

1932

1598

91

1933

1084

59

1934

1083

59

1935

1080

34

«Математический сборник»

Годы

Число страниц

Число статей

Число выпусков

1900—1918 (в среднем)

305

13

3

1932

450

29

3

1936

1000

80

6

Комментировать эту статистику, очевидно, нет нужды1).

19. Однако статистические данные сами по себе не могут показать, насколько за два десятилетия после 1917 г. изменился математический климат эпохи. Иными становились организация, характер и направленность научных исследований. В какой мере и как это воспринималось самими участниками такого процесса? Обратимся к одному из любопытных документов, помогающих ответить на такой вопрос.

Выдающийся представитель французской школы А. Данжуа, открывая международную математическую конференцию в 1937 г.2), начал с признания, что наука есть общественное явление, которое нельзя рассматривать изолированно, что в любую эпоху в ней находят свое отражение и на нее влияют искусство, литература и «даже экономические и политические условия, которые влияют на все остальное». При этом подчеркивалось, что после первой мировой войны значительно возросла математическая продукция вообще и особенно в новых государствах. Авторитет науки в целом значительно вырос. Стало общепризнанным, что интересы страны как в области экономики, так и в области вооружений требуют поддержания на высоком уровне ее научного потенциала. Во многих странах видоизменилась или заново создана организация научной работы. В математике это выразилось пока в значительном увеличении числа научных работников. Такой рост происходит как за счет государства, так и, вне Советского Союза, за счет частного капитала. Подобные меры означают применение в области научных исследований методов, используемых в области экономики. И Данжуа продолжал: даже не принимая марксистскую доктрину целиком, во всем этом нельзя не увидеть засвидетельствованное диалектическим материализмом решающее воздействие, которое оказывают чисто экономические факторы на столь, казалось бы, далекие от экономики явления, как открытия в области чистой науки.

1) См. А. Ф. Берман, О советской математической печати, Успехи матем. наук. вып. 3 (1937), 254—262.

2) Она была организована французским математическим обществом в связи с международной выставкой этого года в Париже и происходила 7—10 июля 1937 г.

Рост численности научных работников-математиков повлиял и на изменение характера научных работ1). Когда науку создавало сравнительно небольшое число выдающихся ученых, продвижение достигалось путем выявления время от времени новых фундаментальных фактов, принципиально новых понятий и установления связи между ними. Это можно было сравнить с изучением неизвестного дотоле континента небольшой экспедицией: на карту наносятся наиболее высокие горы, главные реки и т. п., устанавливается их взаимное расположение. Конечно, и до XX века, особенно в XIX веке, было немало второстепенных и третьестепенных работников, наносивших на карту более мелкие детали. Но только в двадцатые — тридцатые годы XX века стало возможным организованное, распределение работы по группам ученых и, если продолжить прежнее сравнение, совместное тщательное обследование всей местности с задачей изобразить на карте даже самые мелкие подробности. Данжуа, отметив такую новую особенность эпохи, сказал, что и в этом наука берет пример с промышленности.

С такими новыми чертами развития математики можно сопоставить следующие факты. В период между первой и второй мировыми войнами важными событиями в международной математической жизни становятся региональные математические съезды: математиков скандинавских стран, математиков славянских стран. Не меньшее значение имели всесоюзные математические съезды, первый (Харьков, 1930) и второй (Ленинград, 1934). Стали появляться специализированные математические журналы: в 1920 г. был основан польский журнал «Основы математики» (Fundamenta Mathematicae), в котором печатались преимущественно работы по теории множеств, математической логике и теории функций действительного переменного; с 1921 г. издается немецкий «Журнал прикладной математики и механики» (ZAMM); в 1935 г. стал выходить польский журнал, посвященный теории чисел (Acta arithmetica), и т. д.

Новым явлением были международные конференции по отдельным областям и проблемам математики. Отражая

1) В этой речи Данжуа отметил, что рост числа научных работ и научных работников происходит «по экспоненциальному закону»— быть может, первое указание такого рода.

общую тенденцию к специализации, они заодно отчасти противодействовали ей, так как на них в обсуждении достаточно узкого круга вопросов принимали участие специалисты нескольких смежных областей. Одними из первых конференций такого рода были московские: 1934 г. по тензорной и многомерной геометрии и 1935 г. по топологии.

Попытка продолжить издание немецкой математической энциклопедии в виде серии дополнений к изданным до 1914 г. и значительно устаревшим томам, предпринятая в двадцатые годы, не имела большого успеха. Гораздо большее значение приобрели серии монографий. Первая такая серия, по теории функций, была начата Э. Борелем еще в 1898 г. и оборвалась в годы второй мировой войны. В двадцатые годы в Германии было начато издание серии монографий по всем основным областям математики. Несмотря на большую ценность таких книг, со временем начинает ощущаться необходимость в более компактных и быстрее подготавливаемых обзорах новейших изданий, обзорах, приближающихся по типу изложения к энциклопедическим статьям, то есть опускающих полностью или частично доказательства. Таковы французские «Мемориалы математических наук»1), немецкие «Достижения точных наук»2).

Университетские кафедры оставались основным видом объединения математиков для научной работы, но начинают появляться более широкие объединения — математические институты при университетах, например Институт имени Пуанкаре в Париже. В значительной мере математическим является известный исследовательский институт при Принстонском университете (США). В штатах университетов и некоторых технических вузов начинают предусматривать вакансии для математиков и механиков, освобожденных от педагогических обязанностей.

Своеобразны умонастроения математиков этой эпохи в странах капитализма. Прежний, можно сказать, наследственный оптимизм у многих уступил место сомнениям или неверию в будущее науки, которую заставили служить фашистским режимам. У некоторых протест выражался в стремлении уйти от приложений математики:

1) Mémoriales des sciences mathématiques.

2) Ergebnisse der exakten Wissenschaften.

так, Харди начал одну из своих вступительных лекций с демонстративного заявления, что математика, его математика — наука бесполезная. «Я понимаю под этим, — продолжал Харди, — что она не может быть непосредственно использована ни для эксплуатации нам подобных, ни для их уничтожения». А один из молодых лидеров французской математики писал после второй мировой войны, напомнив о докладе Пуанкаре на римском конгрессе 1908 г.: «Наша вера в прогресс, наша уверенность в будущем нашей цивилизации уже не столь тверды; слишком сильны и грубы были поколебавшие их удары... Математик, которого спрашивают о будущем его науки, вправе задать предварительно вопрос: каково будущее человеческого рода?»1).

20. В течение тех примерно двух десятилетий, о которых здесь идет речь, теория функций, прежде всего теория функций действительного переменного (вместе с теорией множеств), оставалась одной из наиболее популярных математических дисциплин. Ее развитие во многом определялось работами сформировавшейся под руководством Н. Н. Лузина московской школы.

Н. Н. Лузин (1883—1950), внук крепостного, родился в Томске, где окончил гимназию. Математикой он увлекся только на физико-математическом факультете Московского университета, куда он поступил в 1901 г. с намерением стать впоследствии инженером. В годы после окончания университета с 1906 г. и до начала преподавания в нем в 1914 г. Лузин полностью овладевает всем аппаратом теории функций того времени, продумывает ее основные проблемы и получает ряд значительных результатов. В систематизированном виде итоги его творчества за этот период составили содержание уже упоминавшейся выше диссертации «Интеграл и тригонометрический ряд»2). Представленная на степень магистра, она принесла ее автору сразу ученое звание доктора чистой математики — случай, как отмечают биографы Н. Н. Лузина, чрезвычайно редкий в практике русских университетов.

1) Andre Weil, L'avenir des mathématiques. В кн. «Les grands courants de la pensée mathématiques», Paris, 1962, стр. 306.

2) M., 1915. Новое издание с различными приложениями, комментариями и вступительными статьями Н. К. Бари, В. В. Голубева и Л. А. Люстерника вышло в 1951 г.

С 1914 г. и до конца двадцатых годов Лузин сочетает с интенсивной научной разнообразную педагогическую деятельность, читая, помимо официально порученных ему курсов, факультативный курс по теории функций действительного переменного и ведя специальные семинары.

Николай Николаевич Лузин (1883-1950).

Его лекции пользовались исключительным успехом. Они «были менее всего дидактичны, менее всего лектор преподносил в законченном виде тот или другой отдел науки, но он непрерывно открывал перед аудиторией все новые и новые горизонты,... непрерывно закалял аудиторию в преодолении трудностей, которыми так богато научное изыскание... Легко понять, какой успех могло иметь такое преподавание, в особенности если лектором был ученый, который сам находился в расцвете своего

научного творчества»1). В центре интересов Н. Н. Лузина к началу двадцатых годов были вопросы теории множеств, и в работах этого времени он закладывает основы по существу новой математической дисциплины — дескриптивной теории функций. «Он не только получил в этой области фундаментальные результаты, но предпринятые им исследования затронули сущность основ теории множеств. Он впервые высказал идеи о границах теоретико-множественного мышления. Заложенные им принципы и установки являются программой, послужившей для дальнейшей плодотворной работы в области современной теории функций»2).

В последние двадцать лет жизни Н. Н. Лузин, продолжая исследования по дескриптивной теории функций, получил важные результаты в области дифференциальной геометрии и в некоторых вопросах прикладной математики. Он оставил также несколько интересных работ по истории математики.

21. В первую группу ученых, составивших вместе с Н. Н. Лузиным школу теории функций, входили и находившиеся в значительной мере под влиянием Н. Н. Лузина его младшие товарищи И. И. Привалов (1881—1941) и В. В. Степанов (1889—1950), и его первые ученики М. А. Суслин (1894—1919), А. Я. Хинчин (1894-1959), П. С. Урысон (1898-1924), П. С. Александров (р. 1896), Д. Е. Меньшов (р. 1892), и др. С начала двадцатых годов в московскую школу вливаются новые силы: Н. К. Бари (1901-1961), А. Н. Колмогоров (р. 1903), М. А. Лаврентьев (р. 1900), П. С. Новиков (р. 1901), Л. А. Люстерник (р. 1899), Л. В. Келдыш (р. 1904), Л. С. Понтрягин (р. 1908) и др. Многие из них впоследствии возглавили новые школы и направления в различных областях математики.

В московской школе теории функций были получены фундаментальные результаты по теории интегрирования, теории тригонометрических рядов и ортогональных систем, во многих пограничных вопросах теории функций действительного и теории функций комплексного переменного, по проблеме моногенности, в геометрической теории

1) Из статьи В. В. Голубева и Н. К. Бари «Биография Н. Н. Лузина» в книге Н. Н. Лузин, Интеграл и тригонометрический ряд, М., 1951, стр. 21.

2) Там же, стр. 27.

функций комплексного переменного, заложены основы теории квазиконформных отображений. Многое было сделано и для развития новых теорий, возникавших за рубежом, например по обобщению почти периодических функций, теория которых была создана в начале двадцатых годов Г. Бором (1887—1951, Дания). Естественным образом в этой школе исследования по теории функций сочетались с работами по теории множеств — достаточно указать теорию аналитических множеств М. А. Суслина и теорию проективных множеств Н. Н. Лузина по топологии — так сложилась московская топологическая школа в числе представителей которой П. С. Урысон, П. С. Александров, А. Н. Колмогоров, Л. С. Понтрягин (р. 1908), А. Н. Тихонов (р. 1906) и др. Тематика московской школы постоянно и неуклонно расширялась, к ней подключались или в нее вступали математики других научных центров Советского Союза.

М. А. Лаврентьев начинает систематическую работу в теории аналитических функций, и в тридцатые годы он уже возглавляет коллектив молодых математиков, к которому примыкает М. В. Келдыш (р. 1911). К тридцатым годам Москва становится также основным центром исследований по конструктивной теории функций действительного переменного (С. Н. Бернштейн и его школа), исследований, в которых принимают участие ученые Ленинграда, Харькова и других городов.

Для московской школы теории функций характерно стремление возможно шире применять полученные результаты и разработанные методы в других областях математики, в механике, физике и т. д.

Вслед за московской надо поставить польскую школу, в которой также сочетались исследования по теории множеств, теории функций и топологии. Роль, в известной мере аналогичную роли Лузина, здесь играл В. Серпинский, который был в общении с Лузиным в годы первой мировой войны и находился под сильным его влиянием. В числе его учеников и последователей мы находим К. Куратовского (р. 1896), С. Мазуркевича (р. 1896) и др. Другие страны представлены меньшими группами ученых, притом часто не объединенными какой-либо общей программой, но вместе взятые они дали очень важные результаты. В теории целых и мероморфных функций известная законченность была достигнута благодаря работам финских

математиков Р. Неванлинны (p. 1895) и Л. Альфорса (р. 1908). Главным образом трудами немецких математиков была продвинута теория однолистных функций. Многолистные функции и соответствующие им поверхности Римана были предметом исследования советских и финских математиков. П. Монтелем (р. 1876, Франция) были введены и широко использованы «нормальные семейства» функций. Этот перечень далек от полноты. Все же, несмотря на обилие результатов, теория функций к концу тридцатых годов уже не занимает центрального положения в математических исследованиях: центр тяжести в течение двух десятилетий заметно смещается в другие области математики. Одна из таких областей — алгебра.

22. Алгебра в новом понимании, то есть то, что стали называть в двадцатые годы современной алгеброй, а теперь уже снова называют просто алгеброй, стала самостоятельной дисциплиной в течение нескольких лет. Выше сказано о работе Штейница 1910 г. по теории полей (см. п. 9). В том же духе Э. Нэтер (1882—1935) совместно со своими учениками в Геттингене строит общую теорию коммутативных колец, теорию идеалов и модулей над кольцами, подвергает систематическому изучению основные проблемы некоммутативной алгебры. Все упомянутые алгебраические структуры изучаются на основе определяющих их аксиом, независимо от природы входящих в них элементов. Программно воспринимались уже самые названия работ Нэтер: «Абстрактное построение теории идеалов в алгебраических числовых полях» (1923), «Некоммутативная алгебра» (1933) и др. В этом направлении интенсивно развиваются исследования советских алгебраистов, группирующихся в двадцатые годы вокруг О. Ю. Шмидта (1891 — 1956), известного также как полярный исследователь и геофизик, молодых голландских, американских, французских математиков. Новую алгебру поддерживает своим влиянием Гильберт, участие в разработке ее проблем принимают Г. Вейль и другие математики одного поколения с Нэтер, но она до своей кончины остается признанным главой алгебраистов.

23. Биография Э. Нэтер, самой известной женщины-математика XX века, которую вообще надо признать одним из самых видных математиков столетия, не лишена трагизма и дает поучительный материал для изучения

социального аспекта истории математики. Эмми Нэтер была дочерью видного математика, известного своими работами по теории алгебраических функций, Макса Нэтера (1844—1921). Она родилась в небольшом университетском городе Эрлангене, где ее отец занимал кафедру и где он многие годы представлял математику совместно с представителем теории инвариантов П. Горданом, мастером алгебраической выкладки. Гордан был ее первым руководителем, и диссертация, защищенная ею в 1907 г., называется: «О полных системах инвариантов тернарных биквадратных форм». Но Нэтер умела не только вычислять, но и мыслить понятиями, и в Геттингене, в общении с Гильбертом, Ф. Клейном и Г. Вейлем, она постепенно вырастает в самостоятельного мыслителя-математика, систематически работает над построением абстрактной алгебры и становится главой небольшого, но сильного кружка своих последователей и учеников. Однако ее замечательные работы не изменили ее более чем скромного академического положения. Только в 1919 г., после падения немецкой монархии, она получила право читать лекции (в качестве приват-доцента) в Геттингенском университете, что раньше было ей, как женщине, недоступно.

В 1922 г. она достигает высшей точки своей академической карьеры в Геттингене — становится сверхштатным профессором с весьма скромной оплатой. Настойчивые попытки ее коллег-математиков добиться для нее положения, соответствующего ее дарованиям, заслугам, репутации, успеха не имели, не помогал и авторитет Гильберта. Большинство университетского сената не хотело иметь в своем составе женщину, к тому же еврейского происхождения и известную своими левыми убеждениями (ее называли «красной»). В 1933 г., после прихода Гитлера к власти, она должна была оставить Геттинген и Германию и прожила после этого неполных три года.

Новая алгебра дала мощное средство для алгебраизации топологии — для установления алгебраической природы многих важных соотношений, первоначально обнаруженных в геометрической оболочке, и для естественного обобщения зависимостей, установленных при ограничениях, навязанных способом рассмотрения, а не сутью вопроса. Примером может служить переход от сумм комплексов с целыми коэффициентами к подобным суммам с коэффициентами из произвольного кольца, то есть вве-

дение групп гомологии с любыми коэффициентами. Такое обобщение позволило получить общую формулировку теоремы двойственности. Помимо топологии, во многих других областях, например в такой классической главе анализа, как ряды и интегралы Фурье, были вскрыты алгебраические аспекты проблем, возникших далеко за пределами алгебры. Раскрылась природа некоторых алгебраико-аналитических аналогий, которые в математике предыдущих двух столетий могли быть только формальными. Аксиоматизация мышления математиков, в которой такую значительную роль сыграл Гильберт (см. выше п. 10), в немалой мере шла путем алгебраизации.

24. Геометрия еще в XIX веке, кроме единственного, приобрела множественное число, и любая из «чистых» геометрий накопила в XX веке большое количество результатов, заслуживающих отдельных обзоров. Здесь можно только упомянуть о таких обобщениях, как введение в формулы, определяющие группу преобразований (основу той или иной геометрии в классификации Ф. Клейна), коэффициентов из любого поля (в XIX и в начале XX века ограничивались преимущественно полем действительных и затем полем комплексных чисел). Так, например, возникла кватернионная проективная геометрия. Пример развития в другом направлении дает нам история той же проективной геометрии: создание проективно-дифференциальной геометрии. Наряду с такими общими концепциями и построениями было решено много важных задач в более конкретной постановке, например в алгебраической геометрии.

Заслуживает упоминания решение одной из классических задач дифференциальной геометрии — проблемы Плато: определение минимальной поверхности, проходящей через заданный контур. Но, вероятно, наибольшее историческое значение имеют геометрические исследования, связанные с теорией относительности.

В 1915 — 1916 гг. А. Эйнштейн при построении общей теории относительности ввел в физику риманову дифференциальную геометрию, пользуясь исчислением, которое он назвал тензорным. Тензорное исчисление, оно же — абсолютное дифференциальное исчисление Риччи-Курбастро (1853—1925, Италия) и Т. Леви-Чивита (1873 — 1941, Италия, потом США), было разработано математиками еще в XIX веке, но только успех теории Эйнштейна

сделал его популярным. Заодно значительно оживился интерес к изучению римановых многообразий и «в себе», и путем рассмотрения их как вложенные в евклидово пространство соответствующего (большего) числа измерений.

Эли Картан (1869—1951).

Так была открыта новая и весьма плодотворная глава в истории геометрии. Леви-Чивита ввел в римановы геометрии простое и важное понятие параллельного переноса. Г. Вейль в связи со своими физическими концепциями разрабатывал так называемую аффинную риманову геометрию1). Развитие и применение тензорного исчисления было делом геометров голландской, московской, американской школ. Велик вклад в эту область замечательного ученого Э. Картана (1869—1951, Франция). Он ввел

1) См. о нем И. М. Яглом, Герман Вейль, М., 1967.

так называемые группы голономии и построил на этой основе классификацию геометрии, включающую геометрии

Клейна и геометрии Римана как частный случай, обогатил математику и новыми важными понятиями, и многочисленными конкретными результатами.

Герман Вейль (1885—1955).

25. Скрещение идей и методов алгебры, геометрии, топологии и анализа дало новую отрасль — функциональный анализ. Речь идет о функциональном анализе в обычном широком понимании этого термина, то есть он обозначает то же самое, что и «общий анализ»: обобщение всех основных понятий классического математического анализа (предела, сходимости, непрерывности, дифференциала и т. д.) на случай отображений одного множества в другое при все более широких допущениях относительно этих множеств. В частности, старейшим разделом функционального анализа надо считать вариационное исчисление, которое является дифференциальным исчислением над функционалами. В функциональный анализ вошли результаты многих работ конца XIX — начала XX века, в которых изучались конкретные функционалы и операции, обобщавшие операции классического математического анализа. Построение «общего анализа» в метрических пространствах как программу, как цель мы находим в работах М. Фреше (р. 1878), начатых им в первом десятилетии века. Один из разделов функционального анализа образует теория интегральных уравнений, созданная в предыдущий период, тогда же были введены пространство Гильберта и «пространства 1Л>. В 1918 г. Ф. Рисе (1880—1956, Венгрия) показал, что все основные результаты Фредгольма по интегральным уравнениям остаются в силе для широкого класса уравнений в линейных операторах. В этой работе Рисса уже налицо то сочетание топологических, алгебраических и аналитических представлений, которое мы видим и в теории полных нормированных пространств, развитой в двадцатые годы С. Банахом (1892—1945, Польша) и его школой, — теории пространств Банаха.

В общее русло функционального анализа влились исследования, начатые в СССР в связи с проблемами теории функций действительного переменного и топологии, в связи с работами по теории матриц, по интегральным уравнениям, по качественной теории дифференциальных уравнений, по вариационному исчислению. Во второй половине тридцатых годов советская школа функционального анализа была представлена сильными коллективами, которые были составлены как учеными, начинавшими свою деятельность в других областях, так и более молодыми математиками, для которых функциональный

анализ стал первым полем деятельности. Большим событием в истории функционального анализа были посвященные ему конференции 1937 г. в Москве и 1940 г. в Киеве.

За пределами СССР успешно разрабатывалась, отчасти в связи с задачами квантовой механики, теория операторов в Гильбертовом пространстве, теория пространств Банаха (польская школа) и более общих (локально выпуклых) пространств (французская школа).

26. В самых различных направлениях развивалась в рассматриваемый период теория чисел.

В аналитической теории чисел основные достижения связаны с работами И. М. Виноградова (р. 1891). Созданный им метод позволил его автору доказать «теорему о трех простых» (всякое достаточно большое нечетное число представимо в виде суммы трех простых чисел) и значительно улучшить результаты его предшественников в проблеме Варинга. А. Я. Хинчин, применив теоретико-функциональные методы, получил существенные результаты в так называемой метрической теории чисел. Продолжалось развитие геометрической теории чисел (Б. Н. Делоне, р. 1890, и др.). В арифметике алгебраических кривых, связанной с решением диофантовых уравнений, значительное продвижение было достигнуто благодаря работам А. Вейля (р. 1902, Франция) и К. Л. Зигеля (р. 1896, Германия, затем США), работам, которые можно рассматривать как продолжение замечательных исследований А. Туэ (1863—1922, Норвегия), опубликованных в девятисотые годы. Новый метод построения трансцендентных чисел был дан А. О. Гельфондом (1906—1968), давшим решение вопроса, связанного с седьмой проблемой Гильберта (см. п. 5).

27. В области обыкновенных дифференциальных уравнений в первые два-три десятилетия XX века продолжалось развитие аналитической теории в духе идей и методов XIX столетия. В тридцатые годы на первом плане — проблемы качественной теории, центр тяжести переносится в действительную область. Значительное влияние оказывают запросы физики, особенно нелинейной теории колебаний, причем физикам (А. А. Андронов, Л. И. Мандельштам) принадлежат и некоторые важные математические идеи и результаты. Основная работа в этой области

была выполнена советскими математиками. H. Н. Боголюбов (р. 1909) и H. М. Крылов (1879—1955) развивают асимптотические методы интегрирования нелинейных уравнений, в школе Мандельштама — Андронова широко используются методы Пуанкаре, применение и дальнейшее развитие получают методы, созданные Ляпуновым в теории устойчивости. В те же годы много внимания уделяется общей теории динамических систем, которая была предметом известной монографии Дж. Биркгофа (1884—1947, США), появившейся в 1927 г., доказательству «теоремы эргодичности» в различных ее вариантах.

Еще в конце XIX века Пикар и его ученики приступили к построению теории, которая для линейных дифференциальных уравнений должна была соответствовать теории Галуа для алгебраических уравнений. Это «алгебраическое направление» представлено в тридцатые и последующие годы главным образом американскими работами. В аналитической теории линейных дифференциальных уравнений И. А. Лаппо-Данилевский (1896—1931), систематически применяя аппарат аналитических функций от матриц, дал ответ на ряд принципиальных вопросов (в локальной постановке). Вообще им впервые с достаточной общностью поставлена задача о характеристике особенности решения вблизи сингулярной точки. Лаппо-Данилевский дал решение проблемы Римана — построения уравнения по заданным характеристикам особенностей в сингулярных точках уравнения.

В теории уравнений в частных производных постепенно менялась сама постановка задач: новые средства теории функций и топологии позволили во многих случаях получить теоремы существования, единственности, непрерывности, не накладывая чрезмерно жестких требований. Пересматривается, например, постановка такой классической задачи, как задача Дирихле, и начинается создание теории потенциала на новой, значительно более общей основе (Н. Винер, 1894—1961, и др.). В работах Адамара начала века было введено понятие корректности (и некорректности) постановки задачи Коши.

Систематизация и анализ различных типов уравнений второго порядка были перенесены на системы уравнений в основном благодаря работам И. Г. Петровского (р. 1901). Ж. Лерэ (р. 1906, Франция) и Ю. П. Шаудер (1899-1942

или 19431), Польша) начинают успешно применять топологические методы.

28. В теории вероятностей и математической статистике в период между двумя мировыми войнами продолжался процесс расширения как проблематики, так и областей применения. В СССР после работ С. Н. Бернштейна, давшего обобщение классических предельных теорем и занимавшегося основами теории вероятностей, А. Н. Колмогоров и А. Я. Хинчин систематически применяют в теории вероятностей методы теории функций действительного переменного. Они создают теорию случайных процессов, А. Н. Колмогоров д