Р. А. СИМОНОВ

ПОСЛЕДНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ УЧЕБНИКИ А. Ю. ДАВИДОВА

МОСКВА — 1958 г.

Р. А. СИМОНОВ

ПОСЛЕДНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ УЧЕБНИКИ А. Ю. ДАВИДОВА

МОСКВА — 1958 г.

Издание ВЗИПП

Введение

Данная статья служит дополнением к моей работе «Педагогическое наследие профессора математики Московского университета А. Ю. Давидова», вышедшей отдельной книжкой в «Трудах» ВЗИПП, выпуск 1, 1957 г. В указанной работе по преимуществу говорилось об учебниках геометрии и алгебры А. Ю. Давидова, которые увидели свет в 60-х годах. Эти учебники составляют главную ценность не только педагогического наследия Августа Юльевича Давидова (1823— 1885), но всей русской учебной литературы по элементарной математике 60-х годов 19 века.

Разработанный в указанных учебниках наглядный метод, характеризуется усилением требования, предъявляемого к выяснению конкретного смысла математических понятий. Этот метод в лучшей степени удовлетворял бурному развитию капитализма в России в эпоху 60-х годов, требовавшему интенсивного роста кадров, владеющих обширными практическими умениями в приложении научных, в частности — математических, знаний в практической производственной деятельности.

Учебники А. Ю. Давидова, изданные в 70-х годах 19 века: «Руководство к арифметике» (1807), «Геометрия для уездных училищ» (1873), «Начала тригонометрии» (1877), в связи с постановкой вопроса о значении педагогического наследства названного выдающегося педагога-математика, несомненно, заслуживают внимания.

Эти руководства характеризуют эволюцию взглядов педагога-математика на вопросы преподавания математики, особенности которой с большей полнотой позволяют выяснить ценность вклада А. Ю. Давидова в русскую учебную литературу по элементарной математике.

Рассмотрение учебников А. Ю. Давидова 70-х годов 19 в. подтверждает высказанные ранее мысли о том, что в творчестве выдающегося педагога-математика получила заметное отражение борьба идеологического характера, которая соответствует противоречивости его мировоззрения; что в основе наглядного метода, разработанного им, лежит материалистическое устремление, требующее раскрывать конкретный смысл математических понятий, в противоположность идеалистическому стремлению, ограничивающему обоснование этих понятий лишь областью чистой логики вне связи с опытом и вне конкретных отношений действительности, являющихся источником математических понятий.

«Руководство к арифметике» (1870), написанное под влиянием идеалистического метода Грубе, возможно отражает собой поиски А. Ю. Давидовым новых средств для усовершенствования разработанного им в 60-х годах наглядного метода, уже менее удовлетворяющего потребностям новой эпохи 70-х годов, чему свидетельством был успех учебника алгебры Бертрана, появившегося еще в 40-х годах 19 в., в значительной степени более служащего требованию развития навыков логического мышления, чем руководства русского педагога-математика.

Бертран основывался на позитивистской концепции преподавания математики, усиливающей разрыв между логическим введением математических понятий и конкретными отношениями действительности, являющимися их источником. А. Ю. Давидов очевидно не хотел в трактовке математических понятий разрывать с опытом, с явлениями конкретной действительности, поэтому он и обратился к методу Грубе, который не порывал с наглядностью, хотя трактовал ее не материалистически, а идеалистически.

«Геометрия для уездных училищ» имела недвусмысленный подзаголовок «Составлено по Дистервегу». Однако стоит только сравнить учебник А. Ю. Давидова и аналогичный учебник— «Элементарную геометрию Дистервега», — переведенный на русский язык В. Воленсом в 1862 г.,1 как сразу обнаруживаются существенные расхождения в трактовке в них однородного учебного материала. Уже от внимания первых рецензентов учебника А. Ю. Давидова не укрылось их резкое различие в изложении учебного материала в связи с вопросами опыта, жизненной практики. Указанное различие, как казалось рецензентам, позволяло учебник А. Ю. Давидова, в отличие от учеб-

1 В 1866 г. вышло второе издание учебника с «дополнениями и изменениями, согласно второму немецкому изданию». Затем перевод вышел под новым названием: Дистервег, «Элементарная геометрия для школ и вообще для начинающих» — первым изданием в 1870 г., вторым — в 1873 г.

яика Дистервега, рассматривать как сборник различных приемов практического использования геометрических знаний в повседневной жизни.

Фридрих Адольф Вильгельм Дистервег (1790—1866) является выдающимся педагогом 19 века, именем которого гордится немецкий народ. Не желая принизить роль и значение этого выдающегося ученого-методиста, вклад которого в методику преподавания математики очень велик, я вынужден отметить, что непоследовательность и противоречивость его мировоззрения нередко приводила к ошибочным концепциям. Так, идеалистически, фидеистически Дистервег трактовал природу математических знаний. Математические закономерности он считал предназначенными для лучшего понимания требований, исходящих от бога. Поэтому Дистервегом игнорировалась практическая ценность математических знаний в повседневной жизни человека.

Будучи последователем Песталоцци, Дистервег принял установленный замечательным швейцарским педагогом дидактический принцип наглядности и развил принцип сознательности в обучении. Однако идеалогические ошибки Песталоцци во взглядах на математику1 не были отвергнуты Дистервегом. Для Песталоцци и Дистервега на первом месте стоит «возбуждение психических воздействий», т. е. формальное образование, а не практическая ценность математических знаний.

Цель преподавания математики по Дистервегу,— тешить интеллект, совершенствовать разум. Вот, что он сам говорит об этом: «Господь Бог поселил человека на землю, чтобы он исполнял свое назначение. Во всем бесконечном творении не существует ничего, не имеющего определенной цели, смысла или назначения, и Создатель человека поставил ему высшую цель, к достижению которой он должен стремиться исполнением своего земного назначения.. . Ведь раз человек не может достигнуть своего назначения по законам, смело управляющим безотчетной, бессознательной жизнью, то он должен познать это назначение прозорливостью ума, и всю свою силу, всю жизнь посвятить его исполнению».2

Целью математического образования Дистервег считал развитие разума. Вопросы «тленной» жизни ему казались «мелкими» по сравнению с идеей служения богу.

А. Ю. Давидов принадлежал к числу передовых математиков-педагогов, разрабатывавших прогрессивные методические

1 А. В. Ланков в книге «К истории развития передовых идей в русской методике математики» (Учпедгиз, 1951 г.) считает несомненным, что философские корни педагогической системы Песталоцци исходят от трансцендентальной философии И. Канта (стр. 28).

2 Дистервег, Руководство для немецких учителей, 1913, стр. 84 — 85.

идеи на материалистической основе. Об этом свидетельствует его отношение к педагогическому творчеству Дистервега.

Его последний учебник «Начала тригонометрии» (1877), выдержавший три издания, ничем особенно не отличается от русских руководств, вышедших в последней четверти 19 в. Это обусловлено, по всей вероятности, тем, что А. Ю. Давидов понимал невозможность применения разработанного им наглядного метода для средней школы после эпохи 60-х годов 19 в., поэтому он решился применить свой метод лишь в учебнике, первоначально знакомящем с геометрией, где научная строгость изложения рассматривалась не столь необходимой. Возможно А. Ю. Давидов искал в 70-х годах 19 в. такую концепцию наглядности, которая ему позволила бы применять его наглядный метод в изложении учебников для средней школы з изменившейся общественной обстановке после эпохи 60-х годов, все настойчивее ставящей перед математическими руководствами требование развития логических навыков. Те же концепции наглядности, которые указанному требованию удовлетворяли в большей степени, приводили к разрыву математики с конкретными отношениями действительности, поэтому оказывались неприемлемыми для А. Ю. Давидова. Обреченность этих поисков А. Ю. Давидова обусловлена особенностями его наглядного метода, противоречивостью в трактовке наглядности. Материализм в понимании необходимости усиления в преподавании математики связи с конкретными отношениями действительности у А. Ю. Давидова сочетался с игнорированием способности математики развивать логические навыки. От подобной метафизической ошибки, приводящей к номинализму, предостерегал Н. И. Лобачевский, об этом говорили еще в 18 в. М. В. Ломоносов и педагог-математик Д. С. Аничков.

Ограниченность мировоззрения не позволяла А. Ю. Давидову развернуть во всю ширь свой методический талант, приумножить те педагогические достоинства, которыми отличаются его учебники, написанные в 60-х годах 19 в. — вот главное заключение, которое вытекает из рассмотрения руководств А. Ю. Давидова 70-х годов. Анализ этих руководств А. Ю. Давидова представляет интерес и сам по себе, так как до сих пор в историко-математической и педагогической литературе затронутый вопрос был очень слабо разработан, что зачастую приводило к ошибочным трактовкам или лишало возможной полноты изложения ряда вопросов отечественной истории преподавания математики.

В книге А. В. Ланкова «К истории развития передовых идей в русской методике математики», Учпедгиз, 1951 г., являющейся первой попыткой с достаточной полнотой, на материалистической основе осветить историю преподавания математики в

России, ряд разделов лишен той убедительности, которую он приобрел бы при учете учебников А. Ю. Давидова, изданных в 70-х годах. В разделе «Метод Грубе и его последователи в России» анализируется ряд методических руководств для учителя, но не рассматривается попытка создать учебник арифметики для учащихся на основе идей грубеизма, что несомненно очень важно для полноты изучения затронутого вопроса. Именно таким учебником было «Руководство к арифметике» А. Ю. Давидова, о котором в указанной книге, к сожалению, не говорится ни слова.

А. В. Ланков в своей книге рассматривал также вопрос о влиянии зарубежных методических течений на преподавание математики в России и делал очень оптимистические выводы, по существу, может быть правильные, которые не всегда казались убедительными, так как основывались на небольшом фактическом материале (например, в геометрической части). А для последнего случая весьма важную роль мог сыграть анализ учебника A. Ю. Давидова «Геометрия для уездных училищ», о котором в указанной работе вовсе не упоминается.

В вышедшей в 1956 г. толстой книге (640 гр.) В. Е. Прудникова «Русские педагоги-математики XVIII — XIX веков», являющейся единственным в своем роде собранием очерков о жизни и деятельности выдающихся русских педагогов-математиков и последней во времени крупной историко-математической работой по вопросам преподавания математики, об учебниках А. Ю. Давидова, изданных в 70-х годах, сказано всего несколько слов. Буквально следующее: «Изложение в учебнике тригонометрии Давидова настолько ясное, что его мог изучать без посторонней помощи каждый усвоивший курс математики пяти классов средних учебных заведений. Что касается учебников Давидова по арифметике и начальной геометрии для уездных училищ, особыми достоинствами они не отличались».1

В статье «Август Юльевич Давидов», напечатанной в журнале «Математика в школе», № 4, 1954 г., не подходя критически к бытовавшему мнению, я объяснял неуспех учебника арифметики А. Ю. Давидова тем, что он был составлен без учета программы, принятой в школе, и поэтому оказался менее употребительным, чем другие учебники. Подобное объяснение теперь мне представляется недостаточным, так как оно смазывает значение для издательского успеха учебника его методических достоинств, и, вообще, в то время авторы учебников нередко не придерживались программы определенного учебного заведения. Думается, что было бы наиболее правильным видеть

1 В. Е. Прудников, Русские педагоги-математики XVIII — XIX веков. Учпедгиз, 1956 г.

неуспех арифметики А. Ю. Давидова в обреченности, безжизненности метода Грубе, который положен в его основу.

«Руководство к арифметике» А. Ю. Давидова

Во второй половине 19 века в Германии возникло новое направление в методике преподавания арифметики, в основе которого лежала идеалистическая идея созерцания числа в его сущности. Обычно это направление связывают с именем немецкого педагога-математика Августа Вильгельма Грубе (1816—1884). Грубе предложил такую схему обучения арифметике: 1) измерение числа и сравнение его с каждым предыдущим, 2) быстрый счет, 3) комбинации изучаемого числа с предыдущими в разбивку, 4) практические задачи, в которые входят все числа вплоть до изучаемого.

Изложение своей системы преподавания арифметики Грубе опубликовал в 1842 г. Через тридцать лет эта работа была переведена (по согласованию с автором) на русский язык Эвальдом и вышла из печати в 1873 г. под названием: Грубе, «Руководство к начальной арифметике в элементарной школе на основаниях эвристического метода. Методическое пособие к воспитательному обучению». До напечатания этой книги в России уже были знакомы с главными ее положениями в основном благодаря работе И. Паульсена «Арифметика по способу Грубе. Методическое руководство для родителей и элементарных учителей», которая помещалась частями в «Журнале для воспитания» в течении 1859— 1860 гг., а затем выдержала больше десятка изданий отдельной книгой. В 1872 г. вышла «Методика арифметики» В. А. Евтушевского, в которой также разрабатывались идеи Грубе.

Все перечисленные книги, вышедшие до появления «Руководства к арифметике» А. Ю. Давидова (1870 г.) или вскоре после него, были методическими пособиями, то есть предназначались для учителя, а не являлись учебными руководствами для учащихся. Работа же А. Ю. Давидова представляла исключение из их числа, так как ставила вопрос о практической возможности проработки самими учащимися учебного материала в соответствии с положениями Грубе. Книга А. Ю. Давидова поднимала такую проблему: станет ли для учащихся учебник, удовлетворяющий требованиям Грубе, полезнее обыкновенного учебника арифметики.

Что это руководство не выдержало испытания, вскоре стало очевидно. В оценке причин неудачи книги мнения современников разделились. Одни считали, что в неуспехе виноват сам автор, несумевший достаточно умело преломить в своей работе метод Грубе; другие, недостатки изложения связывали с пороч-

ностью самой методической системы Грубе, положенной в основу руководства. Третьи шли на паллиатив, занимали примирительную, промежуточную позицию. Например, журнал «Учитель» (№ 7, 1870 г.) укорял А. Ю. Давидова — «избранного старейшину математиков московского учебного округа» за путь, который он указал своим учебником, «как надо преподавать и что надо преподавать». Рецензент признавал, что автор создал учебник иного характера, чем тот, которого придерживались авторы прежних арифметических руководств. Рецензента не столько огорчал путь, который для этого избрал автор, («писавший (А. Ю. Давидов — Р. С.) симпатизировал методам Грубе и Дистервега»), сколько то, как он пошел по этому пути. Рецензент считал излишним излагать учебный материал в учебнике по методу Грубе. Он указывал, что этой методикой должен пользоваться учитель при обучении, а заставлять ученика учиться по учебнику, составленному по нему — значит «предполагать в нем какого-то исполнительного тупицу».

В отличии от половинчатой позиции этого рецензента, Эвальд был решительным сторонником идей Грубе. Неуспех попытки создания учебника для учащихся на основании метода Грубе испугал его. Чтобы исправить положение, он решил дать перевод подлинного Грубе. Что именно эту цель он преследует, публикуя указанный перевод, видно из слов самого переводчика. В предисловии Эвальд откровенно указывал, что предпринял свой труд, чтобы поправить пошатнувшийся в глазах русской педагогической общественности авторитет метода Грубе, чему причиной является появление новых учебников арифметики. Он заявлял, что составители этих руководств, приняв метод Грубе, якобы искажают и изменяют его в своем изложении, нарушая основную идею метода, заключающуюся в «спокойной установке в уме ребенка рефлективного и разумного созерцания числа и его отношений к другим числам»1. Эвальд при этом не называет книги А. Ю. Давидова, но ясно, что он имеет в виду ее или ей подобные. Учебники арифметики, не порывавшие с традиционным методом изложения, а лишь частично заимствующие положения модного течения, не могли существенным образом подорвать последнее, а потому не представляли интереса для Эвальда. Опасность он видел со стороны тех руководств, которые последовательно и в большой полноте используют положения Грубе. Именно таким был учебник А. Ю. Давидова. Насколько он был «теоретичен в смысле Грубе» уже говорит тот факт, что рецензенты были в затруднении,

1 Эвальд, «Предисловие переводчика». В кн. Грубе «Руководство к начальной арифметике в элементарной школе на основаниях эвристического метода», СПБ, 1873, стр. VI.

куда его относить: к учебникам для учащихся или к методическим пособиям для учителей, изложенным в соответствии со взглядами Грубе.

К другому лагерю критиков учебника арифметики А. Ю. Давидова принадлежали А. Воронов и В. А. Латышев.

А. Воронов в своей рецензии («Журнал министерства народного просвещения», часть 148, 1870 г.) относил «Руководство к арифметике» к числу учебников практической арифметики, противопоставляя его так называемым догматическим руководствам. В этой связи рецензент указывал, что первый раздел учебника (ознакомление с числами до 100) довольно близко подходит к первым отделам практической арифметики Гурьева. Отметим, что книга имеет «многие достоинства», А. Воронов указал большое число методических пороков учебника, вызванных обращением автора к методу Грубе.

Несколько позже, именно в 1878 г. о «Руководстве к арифметике» писал В. А. Латышев в «Историческом очерке русских учебных руководств по математике» («Педагогический сборник», кн. X, 1878). В. А. Латышев колебался куда отнести книгу А. Ю. Давидова — к методическим руководствам или учебникам. Он писал: «его нельзя назвать учебником арифметики, потому что теория в нем дается только во второй половине; нельзя назвать и методическим руководством, т. к. вторая половина все-таки представляет изложение теории».1 Все замечания В. А. Латышева о содержании книги сводятся к критике идей метода Грубе.

«Руководство к арифметике» А. Ю. Давидова имело три издания: 1870, 1872 и 1879 гг. Два первых идентичны.2 О расположении материала в учебнике можно судить по его оглавлению.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Отделение 1. Предварительное учение о числах до 100.

Глава I. Числа от единицы до десяти.

Глава II. Числа до ста.

Отделение II. Четыре основные действия с целыми и дробными числами.

Глава I. Четыре основные действия с целыми числами.

Глава II. Сложные именованные числа.

Глава III. О делителях.

Глава IV. Дроби.

1 «Педагогический сборник», кн. XI, 1878 г., стр. 1244— 1245.

2 Третье издание (1879) несколько отличается от предыдущих. Здесь будет идти речь о первых двух, так как они вышли до опубликования Эвальдом книги Грубе (1873).

Глава V. Дробные именованные числа.

Глава VI. Тройное правило.

Отделение III. Десятичные дроби и пропорции.

Глава I. Десятичные дроби.

Глава II. Употребление десятичных дробей при решении практических задач. Сокращенные вычисления.

Глава III. Отношения и пропорции.

Глава IV. Приложение пропорций к решению задач.

Решение задач

Начинается «Руководство к арифметике» «Предварительным учением о числах до 100», занимающим 40 страниц убористого шрифта. Здесь получает осуществление пресловутая схема метода Грубе, которая приводилась выше. Тут говорится о счете (по черточкам), о сложении, вычитании, умножении и делении. Приводится масса задач и упражнений на арифметические действия над числами: «Три черточки и еще одна составляют четыре черточки»; «Петя съел 3 булки, а сестра его 1. Сколько оба съели булок?». «На сюртуке нашито 8 пуговиц по 4 пуговицы в ряд. Сколько рядов?»; «3 пуда стоит 60 руб. Сколько стоит 1 пуд?» и т. д. Таких задач на каждой из сорока страниц текста приводится от 30 до 120 штук. Эти упражнения ученик должен был выполнять письменно, устно, на счетах. В первом отделении автор не приводил логических доказательств, но прибегал к наглядным доказательствам. Например, обосновывая, что 3 X 4 и 4 X 3 одно и то же, он пользовался такой схемой (см. рис. 1). В обоих колонках то же число кружочков (12), только расположены они иначе (поворотом на 90°).

Рис. 1

В дальнейшем, со второго отделения автор начинал привлекать теоретический материал, приводя по-прежнему массу задач. Например, А. Ю. Давидов указывал множество частных случаев и приводил десятки задач для устного и письменного счета на дроби.

В книге нет строгой теории делимости чисел, в ней плохо представлены арифметические отношения и пропорции.1 В силу этого недостаточно обоснованными оказались указанные автором признаки обращения обыкновенных дробей в десятичные, некоторые вопросы в связи с решением задач на тройное правило (путем составления сложной пропорции для отыскания неизвестного в задачах на сложное тройное правило и др.)-

Раздел об умножении и делении дробей отличается от подобных разделов в других руководствах. Изложение этого раздела, как и многих других в учебнике, подчинено положению Грубе о «субъективных формах созерцания», что требует условной трактовки понятий и приводит к утрате смыслового содержания в изложении.

Например, А. Ю. Давидов здесь (§ 131) вводит свой термин — взять вместо умножить. Из определения автора следует, что умножить 7 на — значит 7 «взять» -g раз. Очевидно, что выражение взять что-нибудь ~ раз само по себе смысла не имеет, если ему не придать условный смысл. То что создавать на такой основе терминологию опасно доказывает опыт самого А. Ю. Давидова. Двумя параграфами ниже (§ 133) на основании данного определения ( о том, сколько раз одно количество содержится в другом) можно заключить, что одинаково справедливы утверждения: сколько раз -j содержится в 100-^-и сколько раз ЮОу содержится b-j.

О многих подобных ошибочных положениях в «Руководстве к арифметике» А. Ю. Давидова, вытекающих из стремления воплотить в учебной литературе для учащихся педагогическую систему Грубе, говорится в указанных выше рецензиях.

Не только те, кого учебник А. Ю. Давидова приводил к необходимости выступать против идей Грубе, но и те, кто стремился защитить новое педагогическое течение, соглашались, что невозможно написать на основе идей грубеизма учебник для учащихся, свободный от ошибок логического характера.

Для одних это было достаточным основанием, чтобы отвергнуть положения Грубе. Другие соглашались с тем, что нельзя обучаться по учебнику, но рассматривали грубеизм, как методическое учение, приемлемое лишь для учителя. Третьи, подобно Эвальду, были ортодоксальными сторонниками Грубе, они стремились обелить грубеизм, отрицали наличие пороков в этом методе, вину в неуспехе учебника полностью

1 То же самое в третьем издании учебника.

возлагали на автора. Однако в этих обвинениях они вынуждены были обходить стороной вопрос об источниках погрешностей, которые обнаруживали все рецензенты учебника А. Ю. Давидова и считали необходимым порождением системы Грубе. Так, Эвальд хулил новые учебники за то, что в них «появляется излишество задач, неумеренное придавание значения механическим пособиям, усиленная гоньба за наглядностью»1, но причину этого видел в нарушении основной идеи метода Грубе о рефлекторном созерцании числа. Вопрос же о том, как надо излагать материал в учебнике для учащихся, чтобы было выполнено последнее условие, Эвальд оставлял открытым. Следовательно, фактически Эвальд не защищал положения о возможности создания подобного учебника. И действительно, отстаивать такое утверждение и не порвать с логикой просто невозможно, так как пришлось бы называть педагогической системой совокупность требований, необходимо приводящих к утрате смыслового содержания при изложении учебного материала. Поэтому наиболее осторожные приверженцы метода Грубе, отказывая последнему в истинности для обыкновенных учебников, изложение которых подчиняется законам логики, рассматривали его как основу непосредственного общения учителя и учащихся, процесса «познавательного общения душ», где якобы играют роль неземные, трансцендентальные законы, каковым и удовлетворяют идеи грубеизма. За фразеологией Эвальда фактически скрывается такое же убеждение.

Таким образом, «Руководство к арифметике» А. Ю. Давидова значительно не только в вопросе характеристики творчества автора, о чем было сказано во введении, но и само по себе. «Руководство к арифметике» А. Ю. Давидова было одним из учебников, возможно первым из них (а может быть и единственным), показавших несостоятельность метода Грубе в логическом и смысловом отношении, как основы для учебного руководства, предназначенного учащимся. Это подорвало и ослабило влияние метода Грубе на преподавание арифметики в русской школе, показало бесплодность лежащей в основе грубеизма идеалистической философской системы, укрепило отечественную методическую школу преподавания арифметики.

«Геометрия для уездных училищ» А. Ю. Давидова и аналогичный учебник Дистервега

В 1873 г. вышел первым изданием учебник А. Ю. Давидова «Геометрия для уездных училищ» с подзаголовком «Составле-

1 Эвальд, «Предисловие переводчика». В книге Грубе «Руководство к начальной арифметике» СПБ, 1873, стр. V.

но по Дистервегу». Последним 32-м изданием руководство появилось в 1918 г. Следовательно, в качестве школьного учебника оно продержалось 45 лет.

«Геометрия для уездных училищ» встретила как доброжелательные, так и недоброжелательные для себя отклики критики. О первом издании учебника была помещена рецензия в «Педагогическом сборнике», кн. IV (июль), 1877.г. В ней отмечалось, что книга А. Ю. Давидова от начала до конца пропитана утилитарным, практическим духом, является как бы сборником приемов и способов для решения встречающихся в практической жизни геометрических задач, что теоретический материал в ней имеет подчиненное значение, зависит от практической направленности учебника.

В рецензии на второе издание «Геометрии для уездных училищ» (1875 г.) И. Романов («Учебно-воспитательная библиотека», т. 1, ч. 2, 1876 г.) указал на различия в содержании учебника А. Ю. Давидова и «Элементарной геометрии» Дистервега. Например, в учебнике А. Ю. Давидова имеется раздел «О съемке плана», которого нет в книге Дистервега. Кроме того, рецензент считал, что А. Ю. Давидов давал более краткие объяснения и более точно выражал свои мысли, чем Дистервег. Последний вводил алгебраический элемент в доказательства, обозначая данные и искомые величины буквами. А. Ю. Давидов всюду заменял «алгебраический» метод доказательства геометрическим дедуктивно-логическим или наглядным.

В рецензии на 4-е издание учебника, помещенной в № 11 за 1884 г. «Журнала министерства народного просвещения» говорилось, что А. Ю. Давидов во многом отступил от изложения учебника Дистервега, что вполне рецензентом одобрялось. Вместе с тем последний указал на ряд недостатков и погрешностей логического и методического характера, которые допускал А. Ю. Давидов. С одобрением рецензент отнесся к тому, что А. Ю. Давидов отказался от алгебраического метода при изложении доказательств и доказывал то, что у Дистервега выясняется только чертежом.

В. А. Латышев в «Историческом очерке русских учебных руководств по математике (геометрия)» («Педагогический сборник», № 1, январь, 1880 г.) указывал, что, сохранив остов учебника Дистервега, геометрия А. Ю. Давидова не сохранила его достоинств: умения обратить внимание ученика на связь между теоремами, умения глубоко объяснить их значение и массы материала для самостоятельной работы ученика.

Практическая направленность «Геометрии для уездных училищ», стремление автора при изложении привлекать материал, который находится у учителя так сказать под руками, встретила возражения со стороны рецензента «Педагогической

хроники» №№ 23, 24 за 1883 г. и № 6 за 1885 г.1 Им отрицалась возможность при изучении отвлеченных геометрических понятий пользоваться учебно-наглядными иллюстрациями на том основании, что якобы «геометрия не имеет дела с конкретными представлениями».

Таким образом, критика не была единодушной в оценке учебника А. Ю. Давидова. Одни отмечали как положительный факт практическую направленность руководства и в этом видели его преимущества перед учебником Дистервега. Другие критики, осуждающие учебник А. Ю. Давидова, рассматривающие его шагом назад от учебника Дистервега, прибегали и к идеалистической аргументации, выражали недовольство в отношении стремления автора строить изложение учебного материала на основе конкретных представлений, так как считали, что геометрические понятия не имеют конкретного смысла.

«Геометрия для уездных училищ» А. Ю. Давидова изложена в том же порядке, что и учебник Дистервега. Эти книги содержат материал, о котором дает представление оглавление учебника А. Ю. Давидова:

Введение. Геометрическое тело. Поверхность, линия и точка. Отдел I. О прямой линии. Прямая линия. Углы. Параллельные линии. Отдел II. О фигурах. О треугольнике. О параллелограмме. Измерение площадей. О круге. Подобие фигур. Съемка плана. Отдел III. Измерение поверхности и объема тела.

Во введении А. Ю. Давидов разъясняет, что такое геометрическое тело, поверхность, линия, точка. У Дистервега введения вообще нет, а начинается учебник с учения о кубе, но в этом разделе он рассматривает и те вопросы, которые А. Ю. Давидов разбирает во введении. В основу изложения этих вопросов оба педагога кладут принцип наглядности. Однако А. Ю. Давидов в отличие от Дистервега наглядной образности достигает главным образом благодаря обращению к предметам, окружающим человека повседневно.

А. Ю. Давидова не смущало то, что иногда его примеры несколько грубы. Образное представление о теле он пытается выразить, в частности, так: «Если, например, деревянную дощечку вставим в мягкую глину, то образуется отверстие, которое представляет геометрическое тело».2 Простейший наглядный образ им используется при определении понятия поверхности: «движением ножа по мягкому телу образуется поверхность».3

1 Эти рецензии не имели подписи. Но на основании «Указателя трудов, статей, рецензий и заметок С. И. Шорох — Троцкого, 1875—1910», СПБ, 1910 г. можно считать, что они принадлежат этому методисту.

2 А. Ю. Давидов, Геометрия для уездных училищ, 1873, стр. 4.

3 Там же, стр. 4.

В отделе о прямой линии наблюдается та же картина. У А. Ю. Давидова начинается он с примера, взятого из жизни, который говорит о вещах, ежедневно встречающихся человеку: «Если из одного места в другое ведут две дороги, одна прямая, другая не прямая, то первая короче второй»1. Дистервег материал о прямой начинает с определения: «Прямая линия есть кратчайшее расстояние между двумя точками»2.

Сообщить этому понятию наглядность по мнению Дистервега, должно специальное замечание о том правильно ли сделана линейка. В нем говорится: «Для этого прикладывают линейку к двум точкам и проводят прямую, потом перевернув линейку, прикладывают ее к тем же точкам другою стороною и опять чертят линию: если обе прямые совпадают, то линейка верна».3

По поводу этих двух замечаний А. Ю. Давидова и Дистервега о прямой линии можно указать следующее.

Во-первых, замечание А. Ю. Давидова проще, элементарнее (но и грубее), чем указание Дистервега. Чтобы уяснить последнее, нужно уже что-то знать, иметь известный жизненный опыт. Замечание А. Ю. Давидова не выходит из рамок обычных, каждодневных отражающихся в сознании ребенка впечатлений.

Во-вторых, замечание А. Ю. Давидова заостряет внимание на характере понятия «прямая линия», связанном со словом «прямая», замечание Дистервега ближе к свойствам прямой линии, связанным со словом «линия».

В третьих, замечание А. Ю. Давидова, хотя и грубее, но по сути верное; замечание же Дистервега о проверке линейки, вообще говоря, ложно. Ему удовлетворяет, например, круг.

Теория параллельных линий в обоих учебниках изложена элементарно, без доказательств. У А. Ю. Давидова выпущены теоремы о параллельности двух прямых, если они параллельны третьей, и о равенстве углов с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами. У Дистервега эти теоремы имеют элементарные доказательства.

Излагая некоторые вопросы учения о треугольниках оба автора доказывают теорему о равенстве 180° суммы внутренних углов треугольника, Дистервег дает даже два доказательства. Говоря о свойствах треугольников, А. Ю. Давидов доказывает некоторые теоремы, другие просто формулирует. Доказательства теорем о равенстве треугольников основаны на принципе движения и проводятся методом «наложения».

1 А. Ю. Давидов, Геометрия для уездных училищ, 1873 г., стр. 5, § 1.

2 Элементарная геометрия Дистервега, 1862, стр. 8.

3 Там же, стр. 8.

У Дистервега теоремы вообще не имеют строгих формулировок.

Материал, посвященный теории измерения площадей многоугольников, представлен в учебниках различным образом. А. Ю. Давидов элементарно доказывает теоремы о площади прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции. Всего этого в учебнике Дистервега нет.

Учение о подобии фигур у А. Ю. Давидова изложено коротко и элементарно. Треугольники он называет подобными, если они имеют соответственно равные углы. Многоугольники, по А. Ю. Давидову, подобны, если делятся диагоналями на одинаковое число подобных треугольников. Дистервег треугольники называет подобными, если «оба треугольника имеют одну и ту же форму или вид».1 При изложении элементов учения об окружности Дистервег пропускает грубую математическую ошибку. Он утверждает, что отношение окружности к радиусу или диаметру «можно найти только приблизительно»2. А. Ю. Давидов этой ошибки не делает. В коротких словах он выясняет те основания, которые определяют отношение длины окружности к радиусу. Он дает маленький исторический очерк о числе тс.

Стереометрия в учебнике А. Ю. Давидова представлена понятиями о призме, пирамиде, цилиндре, конусе, шаре и об измерении их поверхности и объемов. Изложение этих вопросов дается наглядно-элементарным способом без применения каких-либо элементов дедуктивно-логического доказательства.

В отношении количества задач для самостоятельной работы учащихся учебник А. Ю. Давидова несравненно богаче геометрии Дистервега. Число задач, приведенных у А. Ю. Давидова в конце разделов, равно 93-м.

Роль задач в этих учебниках качественно иная. Для Дистервега они — лишь иллюстрации теоретического материала (сообщают наглядность теории). А. Ю. Давидов же значительно теснее связывает теоретическую часть учебника с содержанием задач, что было характерным и для упражнений в «Элементарной геометрии» (1864). Вот характерный пример. Теоретическое изложение материала о четырехугольниках потеряло бы свою цельность, если отбросить задачи, которые даются автором для этого случая. Действительно, А. Ю. Давидов останавливается наиболее подробно на свойствах параллелограмма. Он доказывает теоремы о том, что в параллелограмме противоположные стороны и углы равны,

1 Элементарная геометрия Дистервега, 1862, стр. 39.

2 Там же, 1862, стр. 99.

диагонали делятся пополам и др. Свойства же квадрата, ромба, прямоугольника выясняются благодаря задачам. Задачи эти такого характера: построить прямоугольник по двум данным сторонам его; построить прямоугольник по данной стороне и диагонали его; под каким углом пересекаются диагонали в ромбе? в квадрате? Таким образом, упражнения в руках А. Ю. Давидова не только средство наглядной интерпретации теории, но и неотъемлемая, составная часть последней.

Задачи, приведенные в учебнике А. Ю. Давидова, представлены тремя разновидностями: на построение, вычисление и доказательство. Задачи, указанные в тексте (в основном на построение), даются с решениями.

Наглядный метод А. Ю. Давидова в сравнении с методикой изложения учебника Дистервега

Чтобы выяснить особенности изложений доказательств теорем в «Геометрии для уездных училищ» А. Ю. Давидова, сопоставим последнюю с учебником Дистервега.

Рассмотрим приведенное в обоих учебниках доказательство теоремы о равенстве 180° суммы внутренних углов треугольника. Дистервег приводит для этой теоремы два доказательства.

Первое доказательство у Дистервега таково (см. рис. 2). «Рассмотрим теперь сумму всех 3-х углов треугольника. Для этого продолжим одну из сторон треугольника, например, ВС и проведем через ее конечную точку, линию, параллельную противолежащей стороне; тогда

Рис. 2

Итак, сумма углов прямолинейного треугольника равна 2 (двум прямым)».1

Другое доказательство не содержит ни одного слова. Оно состоит из указания операции над символическими обозначениями и чертежа (см. рис. 3)2

Рис. 3

В учебнике А. Ю. Давидова эта теорема изложена так (см. рис. 2).

«Во всяком треугольнике ABC сумма трех его углов равняется двум прямым или 180°. Продолжив сторону ВС и проведя СЕ параллельно AB, замечаем, что углы «Ъ» и «е» равны как соответственные, а углы «а» и «а?» равны как накрестлежащие, так что вместо трех углов <ш», «Ь» и «с» треугольника можно взять три угла «е», «d» и <гс», сумма которых составляет два прямых угла или 180°».3

Сопоставление указанных доказательств позволяет сделать такие выводы.

Во-первых, доказательство, приведенное в учебнике А. Ю. Давидова по форме таково. Сперва дана формулировка теоремы, затем дается доказательство, основанное на материале, справедливость которого установлена раньше. Дис-

1 Элементарная геометрия Дистервега, 1862, стр. 34—35.

2 Там же, стр. 35—36.

3 А. Ю. Давидов, Геометрия для уездных училищ, 1873, стр. 21, § 29.

тервег проводит доказательства алгебраическим методом, при этом теоретические выводы делает без ссылок на уже известные положения. Он указывает, что известные углы будут равны, но почему равны, не говорит.

Во вторых, чертежи в учебниках играют не одинаковую роль и даны по-разному. У Дистервега они исполнены по черному фону белыми линиями, у А. Ю. Давидова — наоборот. Такая манера изображать чертежи придает учебнику Дистервега оттенок какой-то мрачности, таинственности. Конечно, такая манера изображения помогает видеть как будет выглядеть чертеж на классной доске, однако, с другой стороны, она не позволяет разнообразить чертеж; рисунка, полурисунка и даже хорошего стереометрического чертежа таким образом получить нельзя. Чертежи в доказательстве из учебника Дистервега, собственно, выдерживают на себе все напряжение, которое создалось благодаря особенности изложения, лишенного словестного материала. У Дистервега чертеж стал существенной частью доказательства. Отделите чертеж и доказательства как такового не будет. Понятно, что такое злоупотребление чертежом совершенно недопустимо в школьном преподавании математики.

Приведенные доказательства теорем характерны для учебников А. Ю. Давидова и Дистервега. Однако на основе приведенного примера не следует делать вывода о логической безупречности учебника А. Ю. Давидова. В смысле логики доказательств он желает лучшего. Например, А. Ю. Давидов в своем учебнике приводит такую «теорему»: два треугольника также равны, когда имеют по одной стороне и по два какие-нибудь угла соответственно равных».1 Ложность этой теоремы по-

Рис. 4

1 А. Ю. Давидов, Геометрия для уездных училищ, 1873, стр. 23, § 32.

казать можно просто, построив такой пример. Для произвольного треугольника ABC, берем ему подобный треугольник А\ВХСХ такой, чтобы его наибольшая сторона А\С\ (см. рис. 4) равнялась любой из двух меньших сторон треугольника ABC. Так как треугольники подобны, то они конечно имеют по два соответственно равных угла, а по построению они имеют по одной равной стороне. Пример удовлетворяет условию теоремы. Однако, треугольники ABC и А\ВХС\ не равны.

На основании указанного ложного положения А. Ю. Давидов делал неверные выводы: Одна сторона и два угла вполне определяют треугольник; из трех таких частей может быть составлен только один треугольник».1

Как указывалось, А. Ю. Давидов пользовался методом «наложения» при доказательстве теорем о равенстве треугольников. Однако он не объяснял, что значит наложить один треугольник на другой. Куда проще так наложить два равных треугольника, что они не совпадут! А как накладывать их, чтобы совпали, нужно было указать, изложив правила накладывания.

Иногда автор пытается объяснить ученикам то, в чем они заведомо не разберутся. Например, он решил познакомить учащихся с проблемой квадратуры круга. Детям 10—12 лет трудно понять глубокомысленные рассуждения автора.

Наглядный метод, разработанный А. Ю. Давидовым в учебниках 60-х годов, в «Геометрии для уездных училищ» получил глубокое отражение и развитие. Он является основой изложения этого учебника. Характерной чертой применения наглядного метода в изложении указанного учебника геометрии А. Ю. Давидова является привлечение моделей и примеров предметов, постоянно находящихся под руками человека.

Во-первых, в «Геометрии для уездных училищ» имеются прямые методические указания относительно приемов наглядного преподавания математики. Например, при знакомстве учеников с понятием геометрического тела А. Ю. Давидов считал необходимым прибегать к демонстрациям моделей: «Должно показать ученикам куб или при неимении его какое-нибудь другое тело, ограниченное плоскостями»2 — это одно из методических высказываний, которые содержатся в «Геометрии для уездных училищ». Другое методическое положение, высказанное здесь А. Ю. Давидовым, также касается примеров наглядного преподавания. В отделе «О фигурах» А. Ю. Давидов при прохождении раздела о равнобедренных треугольниках советует пользоваться вырезанными из бумаги моделями треуголь-

1 А. Ю. Давидов, Геометрия для уездных училищ, 1873, стр. 23, § 32. 2 Там же, стр. 3.

янков для наглядного установления равенства углов при основании: «В равнобедренном треугольнике ЛАС углы „а“ и „в“ при основании равны. В этом можно удостовериться, вообразив два таких треугольника ABC, хотя вырезанных из бумаги, и положив их на выворот один на другой, они совершенно покроют друг друга».1

Во-вторых, особенно отчетливо А. Ю. Давидов подчеркивает в «Геометрии для уездных училищ» важность в обучении элементарной геометрии наглядных пособий. Он не ограничивается одним разъяснением как пользоваться готовыми пособиями или как их изготовить, но даже их дает в своей книге. В конце учебника, на особом листе даны чертежи масштабной линейки и транспортира, специально предназначенные для использования (после вырезывания и наклеивания на картон). Рассмотрено же в учебнике наглядных пособий, различных механизмов и приспособлений целое множество: циркуль, чертежные угольники, эккер, угломерные снаряды, астролябия, отвес, ватерпасы, уровень, масштаб, мензула и др.

В-третьих, устанавливается правильная роль чертежа в наглядном преподавании геометрии. Как указывалось, у Дистервега чертеж в доказательствах занимает неестественно большое место. У него теория служит дополнением к чертежу. Уберите из книги чертежи, и доказательства теорем станут напоминать материал для шифрования, останутся мертвые символические обозначения. Чертежи у А. Ю. Давидова — средство наглядного доказательства теорем. Им принадлежит лишь служебная роль в изложении доказательств. Если Дистервег применял только «темный» чертеж, то А. Ю. Давидов пользовался «прозрачным» чертежом, рисунком, полурисунком.

В-четвертых, метод изложения многих теорем у А. Ю. Давидова имеет своей основой принцип наглядности. Доказательства не имеют строго научной, дедуктивно-логической структуры; после формулировки теоремы автор путем разнообразных наглядных примеров показывает ее справедливость. Конечно А. Ю. Давидов только этим не ограничивается. В одном случае он подтверждает правильность теоремы также на материале задач, в другом вводит в доказательство элементы научного дедуктивно-логического изложения (больше или меньше, строже или элементарнее— в разных случаях по-разному), в-третьем, указывает какое практическое осуществление получило данное геометрическое положение при конструкции того или иного прибора, приспособления.

А. Дистервег также стремился к наглядному преподаванию, используя связь между теорией и практикой. Однако, не трудно

1 А. Ю. Давидов, Геометрия для уездных училищ, стр. 21. § 28.

убедиться, что характер, цель обращения к практике у авторов резко различные. А. Ю. Давидов превратил свой учебник з своеобразный сборник приемов и способов решения, встречающихся в практической жизни задач. Книга же Дистервега больше напоминает учебник, служащий целям формального развития разума. Большой фактический материал, который дают учебники убедительно подтверждает сказанное.

Вот несколько примеров. В начале учебника, в § 3 отдела о прямой линии А. Ю. Давидов объсняет как проводят (провешивают) прямую линию в поле: «Чтобы провести прямую линию значительной длины по поверхности земли, отмечают некоторые точки этой линии кольями или длинными шестами, называемыми вехами. Назначить таким образом прямую линию на земле называется провешить прямую линию. Колья употребляются по возможности прямые и одинаковых размеров, около сажени длины, и втыкаются прямо в землю.

Положим, например, что нужно провешить линию между двумя точками А и В. Воткнув колья в А и В, один из провешивающих удаляется от А по направлению к В шагов на 30 — 40 или более, а другой становится позади кола А на несколько шагов от него, так, чтобы кол А закрыл ему кол В и заставляет первого подавать кол С влево или вправо до тех пор, пока кол А не закроет ему колья С и В; в этом положении кол С вбивается в землю. Точно также ставится кол D и т. д.».1

Еще один пример. Автор знакомит с устройством эккера, учит как проводить на земле перпендикулярные линии: «Для проведения перпендикулярных линий на поверхности земли употребляется так называемый эккер. Простейший вид эккера есть следующий: два бруса «ab» и «cd» скреплены между собою крестообразно над прямым углом и нанесены на кол; на концах брусков «а», «о», «с» и «d» прикреплены четыре тонких шпильки. Чтобы с помощью этого прибора провести перпендикулярные линии через какую-нибудь точку поверхности земли, втыкают в эту точку кол эккера и провешивают одну линию по направлению шпилек «а» и «ô», a другую по направлению шпилек «с» и «d»».2

Ничего подобного в учебнике Дистервега найти нельзя. Однако, излагая материал об углах, он говорит о транспортире и ватерпасе, поясняет их устройство, указывает как пользоваться транспортиром. Об этом Дистервег рассказывает в тексте. Некоторые сведения о практическом применении ватерпаса указаны в особом приложении, принадлежащем неизвестно кому: автору или переводчику.

1 А. Ю. Давидов, Геометрия для уездных училищ, 1873, стр. 6, § 3.

2 Там же, стр. 9—10, § 10.

В книге А. Ю. Давидова из 8 страниц, посвященных материалу об углах, более половины занимают сведения практического характера. Он говорит об устройстве и практическом использовании транспортира, простейшего угломерного снаряда, астролябии и некоторых других приборов и приспособлений. Характер изложения ясно показывает, что автор стремится научить пользоваться этими предметами в жизни. Это сразу видно, если сопоставить аналогичный материал учебника.

Учение И. Канта о том, что условием истин математики являются априорные формы рассудка, что основой математического познания служит «чистое наглядное представление», определяемое этими априорными формами, возможно проявляется в использовании Дистервегом наглядности в преподавании математики. Наглядность в изложении учебного материала у него выглядит безжизненной, холодной, так как, манипулируя приемами практического использования геометрических знаний, он их рассматривает как бы вне человеческого отыта, из которого они сложились и которому должны служить. Иными словами, у Дистервега материал прикладного характера не изложен так, чтобы научить как пользоваться этими знаниями в жизненной практике. Эта особенность учебника А. Дистервега отчетливо выступает при сравнении двух рассматриваемых руководств.

Теперь, прежде чем сделать выводы, необходимо учесть следующее. Дистервег писал свой учебник для немецких учителей, а А. Ю. Давидов — руководство, предназначенное русским учащимся 10 — 12 лет. Это наложило определенный отпечаток на оба учебника, и без учета этого фактора нельзя охарактеризовать особенности учебника А. Ю. Давидова. Задача, которая стояла перед Дистервегом, очевидно, не требовала подробного изложения, например, процесса нивелирования или других приемов практического приложения геометрических знаний. Но то, что Дистервег в процессе изложения теоретического материала обращался и к геометрическим приложениям, определенным образом направляло учителя, стимулировало к рассмотрению в процессе урока этих вопросов. Это является положительным качеством книги Дистервега, так как оно создает предпосылки для изложения учебного материала на основе связи теории с практикой. Однако немецкий учитель мог в процессе преподавания также сухо и отвлеченно излагать вопросы практических приложений, как они даны в руководстве Дистервега, или совершенно их игнорировать, ибо содержание последнего не требовало уделять особенного внимания этим вопросам, ибо они занимают в нем сугубо подчиненное положение по отношению к теории. А. Ю. Давидов сделал правильные вы-

воды о важной роли практических приложений для преподавания геометрии учащимся, первоначально знакомящимся с ней.

Эту точку зрения он приобрел не благодаря творчеству Дистервега, так как уже раньше в 60-х годах успешно разрабатывал принцип связи изложения теоретического материала с вопросами практики. У А. Ю. Давидова в «Учебнике геометрии для уездных училищ», как это было видно, огромное место занимает прикладная сторона геометрии. Для оценки указанной методической особенности учебника следует подойти к этому вопросу с общественно-исторической точки зрения. В период выхода учебника преобладающая масса населения России была неграмотной, тем же из детей трудящихся, кто получал возможность учиться, в большинстве своем приходилось довольствоваться лишь первоначальным знакомством с науками. Такая обстановка, обусловленная «просветительной» политикой руского царизма, создавала необходимость в учебнике геометрии, который уже при первоначальном знакомстве с этой дисциплиной давал бы знания, позволяющие разбираться в практических вопросах, которые ставила развивающаяся техника растущего в это время капитализма в стране. Удовлетворение экономическому ходу развитию страны и особенностям состояния дела просвещения в царской России и делало учебник А. Ю. Давидова ценным. Поэтому он выдержал массу изданий и пользовался успехом вплоть до Великой социалистической революции, которая изменила коренным образом ход экономического и культурного развития страны.

В учебнике Дистервега использован алгебраический метод доказательств. Причем в отношении этого метода наблюдается то же, что и для практических приложений. Учитель этот вопрос, по всей вероятности, должен был развивать в соответствии с потребностями изложения этого материала на уроке, а не передавать буквально, как он изложен у Дистервега. Последнее могло бы привести только к нежелательным для учащихся последствиям, так как подобную символику детям 10—12 лет понять очень трудно. А. Ю. Давидов совершенно отбросил алгебраический метод, не употреблял его в своем учебнике, тем самым ослабив логическую и научную строгость доказательств за счет рассмотрения конкретных наглядных образов.

Сказать какой учебник лучше, Дистервега или А. Ю. Давидова, просто нельзя, так как они написаны для различных аудиторий. Как было видно, и в том и другом с современной точки зрения имеются пороки логического и педагогического характера. Я далек от мысли, что А. Ю. Давидов наилучшим образом использовал ценные в педагогическом отношении идеи Дистервега, дав материалу учебника практическую направлен-

ность. Отбросив алгебраический метод доказательств, А. Ю. Давидов сообщил учебнику и недостатки, сводящиеся к игнорированию требования развития логических навыков.

«Начала тригонометрии» А. Ю. Давидова

Первое издание «Начал тригонометрии» А. Ю. Давидова вышло в 1877 г., второе — в 1880 г., третье — в 1885 г. После смерти автора (1885 г.) учебник не переиздавался.

Критика отнеслась к учебнику благосклонно. А. Рунге в «Педагогическом музее» (№№ 5 — 6, 1878 г.) в рецензии на первое издание «Начал тригонометрии» указывал, что автор не придерживался программы того или иного училища (это было типично для учебников тригонометрии того времени — Р. С), обладает редкими качествами выражаться сжато и кратко. Вместе с тем по содержанию учебник значителен, поэтому «лучшего руководства тригонометрии для гимназий желать не надо».1

Примерно в таком же духе оценивали все рецензенты учебник тригонометрии А. Ю. Давидова. В этом отношении характерным является такое замечание одного рецензента («Педагогический сборник», кн. 1, 1878). «Профессора, пишущие учебники, впадают в две крайности: они либо «витают в высших сферах» и нередко остаются непонятными для учащихся, либо становятся ниже уровня математическогго развития учеников, для которых учебник предназначается. Давидов в своей тригонометрии успел избегнуть этих двух крайностей. Он не уклонялся от научной строгости объяснений и доказательств и вместе с тем сумел сделать их вполне понятными для того возраста, в котором тригонометрия преподается».1

Представление о расположении учебного материала в «Началах тригонометрии» А. Ю. Давидова дает оглавление учебника:

Отделение I. Гониометрия.

ГЛАВА I. О тригонометрических линиях. Введение. Меры углов. Тригонометрические функции и тригонометрические линии. Задачи. Соотношение между тригонометрическими линиями. Задачи. Распространение понятия о тригонометрических линиях. Изменения тригонометрических линий при возрастании угла от 0 до 2к. Приведение тригонометрических линий угла, который больше прямого, к тригонометрическим линиям острого угла. Обратные тригонометрические функции. Задачи.

ГЛАВА II. Сложение, умножение и деление дуг. Сложение дуг. Умножение дуг. Деление дуг. Выражение суммы и разности тригонометрических линий через произведение. Задачи.

ГЛАВА III. О тригонометрических таблицах. Вычисление тригонометрических линий. Составление тригонометрических линий. Таблицы Лаланда.

1 «Педагогический музей», №№ 5 — 6, 1878, стр. 384.

1 «Педагогический сборник», кн. 1, 1878, стр. 106.

Семизначные таблицы. Приведение формул к виду, удобному для логарифмического вычисления. Задачи.

Отделение II. Прямолинейная тригонометрия.

ГЛАВА I. Решение прямоугольных треугольников.

ГЛАВА II. Решение косоугольных треугольников. Соотношения между сторонами и углами косоугольного треугольника.

ГЛАВА III. Приложения. Задачи.

Отделение III. Сферическая тригонометрия.

ГЛАВА I. Соотношения между сторонами и углами сферического треугольника. Сферический треугольник. Основные формулы сферической тригонометрии. Формулы Деламбра. Неперовы аналогии.

ГЛАВА II. Решение сферических треугольников. Решение прямоугольного треугольника. Решение косоугольных сферических треугольников. Определение поверхности сферического треугольника. Задачи.

Прибавление. Обратные тригонометрические функции. Формула Моавра. Умножение и деление дуг. Корни уравнения хт = 1. О правильных многоугольниках. Решение уравнения 3-й степени с помощью тригонометрических линий. Разложение тригонометрических линий в ряды. Решение задач.

В содержании изданий учебника изменений нет. Число задач во всех 3-х изданиях одно и то же — 265. Ко всем задачам приводятся ответы, для некоторых даны указания как их решать. Большое число задач помещалось в конце отделов. Это характерная черта учебников тригонометрии последней четверти 19 века.

Тригонометрические величины А. Ю. Давидов рассматривал как функции дуги (угла). Автор уделял много внимания различным тригонометрическим преобразованиям и решению задач на вычисление треугольников.

«Тригонометрия,— сказано у А. Ю. Давидова — есть учение о решении треугольников... Для достижения своей цели тригонометрия вводит особые величины, зависящие от меры углов, которые называются тригонометрическими функциями. Тригонометрические функции не только служат для решения треугольников, устанавливая известные соотношения между его сторонами и углами, но встречаются также во многих других вопросах чистой и прикладной математики; вследствие этого тригонометрия распадается на два отдела — на учение о свойствах тригонометрических функций, называемое гониометрией и решение треугольников, называемое собственной тригонометрией».1

Таким обрзом, тригонометрия А. Ю. Давидовым рассматривается как учение о решении треугольников, а теории тригонометрических величин отводится служебная роль. Однако раздел о свойствах тригонометрических величин приобретает в курсе тригонометрии большое значение. Налицо ясно выраженное

1 А. Ю. Давидов, Начала тригонометрии, 1877, стр. 4 — 5, изд. 1.

разделением курса на два отдела: учение о свойствах тригонометрических функций (гониометрия) и решение треугольников (прямолинейная тригонометрия). В связи с этим видоизменяется в учебнике определение предмета тригонометрии, как учения о свойствах тригонометрических величин с приложением этих свойств к решению треугольников. Тригонометрические величины определяются как отношения тригонометрических линий к радиусу. Взгляд А. Ю. Давидова на предмет тригонометрии не является оригинальным. Ф. Симашко, например, уже в 1857 г., во втором издании своего учебника тригонометрии говорил, что тригонометрические величины есть функции углов или дуг. То же наблюдается в учебниках А. Дмитриева (1862), А. Пожарова (1867), Ф. Обидзинского (1868), Я. Блюмберга (1875), И. Макаревича (1876).

Выводы, относящиеся к свойствам тригонометрических величин в «Начальной тригонометрии» носят общий характер. В учебнике указывается на возможность вывода аналитическим путем формул приведения из нескольких основных. Алгебраический метод в изложении курса тригонометрии находит большое применение. Различные выводы, полученные аналитическим путем, нередко сопровождаются соответствующей геометрической иллюстрацией. При изучении зависимостей между сторонами и углами треугольников в учебнике показывается, что различные системы независимых между собой соотношений, необходимых для решения, могут быть получены одна из другой. Раздел о решении треугольников А. Ю. Давидов расширил путем включения в него особых случаев решения треугольников, помогающих ориентироваться в массе задач, относящихся к этому разделу.

Большинство учебников 2-й половины 19 в., как это делалось в первой половине, определяют знаки тригонометрических величин на основании соглашения о противоположно-направленных отрезках [Ф. Симашко (1857), А. Дмитриев (1862)]. А. Ю. Давидов разрешал вопрос о знаках тригонометрических величин несколько иначе. С этой целью он рассматривал (см. рис. 5) острый угол АОМ = а, обозначал расстояние конца M подвижного радиуса от точки А через «а», а от точки В через *Ь». Тогда из треугольника ВО M получается:

или, полагая радиус равным 1,

А из треугольника МОА получатся:

или

Рис. 5

Допустив, что найденные уравнения относятся к любому углу а, автор определяет затем знаки тригонометрических величин sin a, cosa и tga = f ^^ = 2_д2), соответствующие различным положениям точки M на окружности.1

В ряде учебников второй половины 19 века, вышедших раньше руководства А. Ю. Давидова (Г. Миквица, Ф. Обидзинского, А. Серре), при изучении зависимостей между сторонами и углами треугольника, кроме непосредственного их вывода, показано, что различные системы независимых между собой соотношений, связывающие основные элементы треугольника, могут быть получены одна из другой.

А. Ю. Давидов этого достигал своим оригинальным путем, в изяществе которого нетрудно убедиться.2 Он вначале рассматривал систему уравнений

(1)

затем преобразовывал ее:

Заменив cosß через j/^l—sin2 В, получим:

sin С — cos A sin В = sin А У~\ — sin2 ß. После упрощений: sin2 А = sin2ß + sin2 С — 2 sin В sin С cos А. Откуда на основании преобразования по теореме синусов

(2)

1 А. Ю. Давидов, Начала тригонометрии, 1877 стр. 15—19, 8—9.

2 А. Ю. Давидов, Начала тригонометрии, 1877, стр. 67—71, § 43.

В начале параграфа допускается ошибочное суждение, что треугольник определяется стороной и еще двумя элементами. Об этом см. в данной статье стр. 20—21, рис. 4.

Обратно из этой системы уравнения автор получает систему:

(1)

Так показывал А. Ю. Давидов эквивалентность двух систем, связывающих основные элементы треугольника.

Первоначальные сведения об обратных тригонометрических функциях появляются в учебниках 50-х гг., например, в учебнике Ф. Симашко «Тригонометрия» (1857). В более поздних учебниках М. Байера (1865), Брио и Буке (1877) появляются указания относительно промежутков, в которых следует рассматривать обратные тригонометрические функции. Этот вопрос получил отражение и в учебнике А. Ю. Давидова. Для избежания неопределенности при выборе значений дуг, соответствующих данной тригонометрической величине, указывал А. Ю. Давидов, под обратной тригонометрической функцией понимают наименьшую дугу, положительную или отрицательную, которая соответствует данной тригонометрической линии.1 Имеющийся в учебнике А. Ю. Давидова раздел о приведении выражений к виду, удобному для логарифмирования, так же уже фигурировал в более ранних учебниках, например, И. Борткевича (1869).

Все сказанное позволяет рассматривать «Начала тригонометрии» А. Ю. Давидова по содержанию и изложению учебного материала как рядовое среди общеупотребительных в последней четверти 19 века математических руководств. Отдельные оригинальные особенности, присущие этому учебнику, не являлись следствием какого-либо нового метода изложения, разработанного А. Ю. Давидовым, а касались отдельных методических частностей (например, вопроса о знаках тригонометрических величин, установления эквивалентности систем независимых между собой соотношений, связывающих основные элементы треугольника).

Таким образом, из трех рассмотренных учебников А. Ю. Давидова представляют наибольший интерес не только в вопросе характеристики педагогического творчества автора, но и сами по себе, два учебника: «Руководство к арифметике» (1870) и «Геометрия для уездных училищ» (1873). Эти учебники значительно обогащают представление о влиянии и роли в развитии методических идей в России зарубежных педагогических направлений и, в частности, таких которые развива-

1 А. Ю. Давидов, Начала тригонометрии, 1877, § 76, стр. 123—125.

лись на идеалистической основе. Последний учебник А. Ю. Давидова «Начала тригонометрии» (1877), может быть и более, чем все его остальные учебники, безупречный в педагогическом отношении с точки зрения последней четверти 19 века, не отличается такими методическими особенностями, которые позволяли бы рассматривать его как нечто оригинальное в подобного рода учебной математической литературе.

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

Введение 3

«Руководство к арифметике» А. Ю. Давидова 8

«Геометрия для уездных училищ» А. Ю. Давидова и аналогичный учебник Дистервега 13

Наглядный метод А. Ю. Давидова в сравнении с методикой изложения учебника Дистервега 18

«Начала тригонометрии» А. Ю. Давидова 26

Симонов Рэм Александрович

Последние математические учебники А. Ю. Давидова

Л 40112. Сдано в набор 8/VIII-57 г. Подп. к печ. 30/VI-58 г. Объем 2 п. л. Цена 1 руб. 10 коп. Зак. 877. Тир. 1500+500=2000 экз.

Художественное ремесленное училище № 3. Москва, Щербаковская ул., 41.