Министерство Высшего Образования СССР

Всесоюзный Заочный Институт Пищевой Промышленности

ТРУДЫ, ВЫПУСК I

Р. А. СИМОНОВ

ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ НАСЛЕДИЕ ПРОФЕССОРА МАТЕМАТИКИ МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА А. Ю. ДАВИДОВА

Москва - 1957

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ СССР

ВСЕСОЮЗНЫЙ ЗАОЧНЫЙ ИНСТИТУТ ПИЩЕВОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ

Труды, выпуск 1

Р. А. СИМОНОВ

ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ НАСЛЕДИЕ ПРОФЕССОРА МАТЕМАТИКИ МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА А. Ю. ДАВИДОВА

МОСКВА — 1957

Состав редакторского совета ВЗИПП: доц. С. Е. ДМИТРИЕВСКИЙ (гл. редактор), проф. А. Л. МАЛЧЕНКО, М. И. НИКОЛЬСКИЙ.

А. Ю. ДАВИДОВ (1823—1885)

ВВЕДЕНИЕ

Во второй половине 19 века Август Юльевич Давидов (1823— 1885) приобрел широкую известность в математическом мире благодаря своим работам по механике, математическому анализу и теории вероятностей. За рубежом также ценили математическое творчество А. Ю. Давидова, считали его одним из выдающихся математиков России1).

Большое внимание уделял А. Ю. Давидов развитию математического образования в России. Педагогическое наследие А. Ю. Давидова необходимо учитывать в наше время при реконструкции курсов элементарной математики.

А. Ю. Давидов написал в течение 15 лет пять учебников по предметам школьных курсов математики: геометрии (1864), алгебры (1866), арифметики (1870), геометрии для уездных училищ (1873), тригонометрии (1877) и две рецензии (1861 и 1874 гг.) на учебники физики. Перед самой смертью он работал над задачником по геометрии, который увидел свет (1888) уже после кончины автора. Пятнадцатилетие приходится на третью четверть 19 века. Этому периоду предшествовало начало работы А. Ю. Давидова в Попечительском Совете Московского Учебного Округа, которая началась в 1862 г. и продолжалась также до конца жизни педагога-математика.

Деятельности А. Ю. Давидова в Попечительском Совете предшествовало (1850 г.) начало пути преподавателя математики Московского университета, которому он отдал 35 лет жизни и который пронизан интересом к школе.

А. Ю. Давидов принимал активнейшее участие в составлении университетских программ по математике для абитуриентов, способствовал основанию в журнале Московского Математического Общества — «Математическом сборнике» специального раздела, рассчитан-

1) См. письмо, опубликованное на немецком языке в «Известиях Общества любителей естествознания», т. L I. Приложение. М, 1887 г., стр. IV. Датировано письмо 1883 годом. Адресант-Карл Пельц, профессор Высшего технического училища в г. Граце.

ного на учителей,1) принимал участие в организации при Политехническом музее педагогического отдела по начальному образованию.

Перед тем, как стать преподавателем университета, А. Ю. Давидов проработал некоторое время учителем в кадетском корпусе2).

Таким образом, начиная с 1848 г. и до 1885 г. (года смерти) А. Ю. Давидов принимал непосредственное участие (в той или иной форме) в деле преподавания математики в школе3). За этот период у А. Ю. Давидова возникли определенные взгляды на цель преподавания математики в школе и сложились методические приемы, служащие этой цели.

Особенно значительно повлиял А. Ю. Давидов на преподавание математики в средних учебных заведениях своими математическими учебниками по предметам гимназического курса. Их основным достоинством было стремление автора связать изложение теоретического материала с практикой. Схоластика в преподавании — вот зло, с которым стал бороться А. Ю. Давидов, обратившись к вопросам преподавания математики.

Его учебники — пример доброкачественной учебной литературы, существенные признаки которой даются в следующих словах В: И. Ленина: «И популярная литература только та и хороша, только та и годится, которая служит десятилетия. Ибо популярная литера-

1) Р. А. Симонов—«Первые русские математические журналы», «Математика в школе», № 3, 1955 г.

2) «Газета Гатцука», № 54, 1885.

3) О жизненном пути и научном творчестве А. Ю. Давидова смотрите литературу:

1. «Библиографический словарь профессоров и преподавателей Московского университета», ч. I, 1885 г.

2. В. В. Бобынин — «А. Ю. Давидов (некролог)», «Физико-математические науки в их настоящем и прошедшем», отдел научных новостей, критики и библиографии, т. II, № 1—3, 1886 г.

3. В. Я. Цингер — «Некролог». «Речь и отчет, читанные в торжественном собрании Московского университета 12 января 1886 г.».

4. Воспоминания об А. Ю. Давидове. «Известия Общества любителей естествознания», т. LI, Приложение, 1887.

5. Н. Е. Жуковский, П. А. Некрасов, П. М. Покровский — «Жизнь и труды А. Ю. Давидова», «Математический сборник», т. XV, 1890 г.

6. А. Гатлих—«А. Ю. Давидов», «Математическое образование» № 1, 1912 г.

7. Н. Е. Жуковский—«Труды А. Ю Давидова по аналитической механике», собр. соч., т. VII, 1950 г.

8. Я. Л. Геронимус, «Очерки о работах корифеев русской науки», 1952 г.

9. Р. А. Симонов—«Август Юльевич Давидов», «Математика в школе», № 4, 1954 г.

10. В. Е. Прудников—«Русские педагоги-математики XVIII—XIX веков», Учпедгиз, 1956 г.

тура есть ряд учебников для народа, а учебники изучают азы, не меняющиеся по полустолетиям»1).

Ряд учебников А. Ю. Давидова выдержал очень большое число изданий. «Элементарная геометрия в объеме гимназического курса» (1864 г.) издавалась 39 раз. Таким образом, указанный учебник переиздавался в продолжение почти 60 лет. «Начальная алгебра» (1866 г.) выдержала 24 издания, продержавшись в качестве учебного пособия лишь на два года меньше предыдущего учебника. Оба указанных учебника двумя последними изданиями вышли уже в советское время в 1918 г. и 1922 г. «Геометрия для уездных училищ» (1872 г.) вышла в 1918 году последним 32 изданием.

Таким образом, указанные учебники и после смерти автора (1885) переиздавались больше 40 лет.

Характерной особенностью учебников было то, что они в процессе переизданий не подвергались, или почти не подвергались переработке. Так первые два учебника претерпели изменения только при изданиях в 60-х годах; их теоретического содержания больше не касалась рука автора. Были вновь пересмотрены и дополнены указанные учебники только в советское время в 1922 г. «Геометрия для уездных училищ» издавалась в течение своих 46 лет с одних и тех же матриц.

Большую жизненность учебникам обеспечил метод изложения, примененный А. Ю. Давидовым. Он характеризуется объединением в изложении однородного материала, изложением теоретического материала в тесной связи с вопросами практики, привлечением исторического элемента, применением доказательств, в которых наглядности и интуиции отводилось первостепенное место.

Современникам сразу бросились в глаза методические преимущества нового учебника. Академик В. Я. Буняковский писал А. Ю. Давидову: «Приношу Вам живейшую мою благодарность за прекрасный подарок. Ваша Элементарная геометрия составляет истинное приобретение для нашей учебной математической литературы. Ясность, соединенная с сжатостью изложения, стройный порядок в распределении предметов, пояснительные, так удачно выбранные примеры, — все это вместе дает вашей книге большое преимущество перед другими учебниками геометрии»2).

В советское время к учебникам геометрии и алгебры А. Ю. Давидова обратились благодаря их практической направленности. Авторский коллектив, работавший над последним изданием учебников геометрии, поэтому отмечал в предисловии: «Весьма много может дать геометрия Давидова для практических целей: заключая опи-

1) В. И. Ленин, соч., т. в, стр. 280.

2) «Известия Общества любителей естествознания», т. LI. Приложение, М., 1887, стр. 7.

сания многих известных геометрических приборов, она содержит такие главы, как например, «Съемка плана» (мензульная съемка), устройство масштаба или симметрия в природе и искусстве. В руках преподавателя эти статьи могут дать большой простор самодеятельности учащихся, в смысле уяснения практического значения геометрии»1).

До революции творчество А. Ю. Давидова подвергалось охаиванию со стороны самых махровых реакционеров. В реакционной печати делались попытки рассматривать творчество А. Ю. Давидова, как подражательное, лишенное оригинальности, и потому не представляющее методической ценности.

Так, П. Маракуев в предисловии к собственному переводу книги Е. Дюринга «Мысли о лучшей постановке преподавания и изучения математики в средней и высшей школе и о самостоятельных штудиях» (1904) заявлял, что учебник геометрии А. Ю. Давидова является просто плохой передачей курса Лежандра2). Здесь же П. Маракуев поносил Н. И. Лобачевского, называл его открытие «ахинеей, в которой напрасно будешь искать здравого смысла». Преклоняясь перед Е. Дюрингом, переводчик выступал с откровенной черносотенной пропагандой антисемитизма, призывал изгнать из русских университетов ученых евреев.

Курс геометрии А. Ю. Давидова — не «просто передача курса Лежандра» как утверждал П. Маракуев. А. Ю. Давидов, разделяя с французским педагогом-математиком взгляд на метод наглядности в преподавании математики, в учебнике пошел своим путем как в расположении материала, так и в методах доказательства теорем.

Не случайно, что П. Маракуев в поисках аргументации обратился к философии Дюринга, ибо обыкновенное сравнение руководств не в его пользу. По расположению материала, по трактовке важнейших положений и пр. учебники совершенно отличаются друг от друга.

У Лежандра3) материал об окружности расположен прежде раздела об отношении фигур (равенство, пропорциональность), у А. Ю. Давидова — наоборот.

А. Ю. Давидов основные геометрические понятия считал неопределяемыми. Имеется высказывание А. Ю. Давидова об этом непосредственно для прямой. Лежандр для прямой линии давал следующее определение: «Прямая есть кратчайшее расстояние между двумя точками» (стр. 1).

1) А. Ю. Давидов «Элементарная геометрия», изд. 39, Предисловие, 1922 г., стр. 4.

2) П. Маркуев — «От переводчика». Напечатано в кн. Е. Дюринга «Мысли о лучшей постановке преподавания и изучения математики». М., 1904 г., стр. VI.

3) См. Лежандр. «Основания геометрии и тригонометрии», Спб, 1837. Перевели «без всяких перемен» Баландин и Буттанц с 14 французского издания.

Кроме того, у Лежандра доказывается аксиома параллельности, А. Ю. Давидов же отчетливо заявлял, что это предложение доказать нельзя.

А. Ю. Давидов пользуется понятием предела и на его основе проводит доказательства для окружности, круга, криволинейной трапеции, шара и др. Лежандр не излагал теорию предела.

Таким образом, утверждение П. Маракуева, направленное против А. Ю. Давидова, является необоснованным. Намеренное охаивание творчества А. Ю. Давидова П. Маракуевым и др. отражает идеологическую борьбу между материалистическим и идеалистическим пониманием природы математических понятий, а, следовательно, и связанным с этим толкованием методических особенностей преподавания математики.

Возникновение всех математических понятий (начиная с числа) пытаются обосновать с двух противоположных точек зрения: путем установления данного понятия лишь с помощью чистой логики и путем связи с опытом в направлении выяснения конкретных отношений действительности, являвшихся источником математических понятий.

Первой, идеалистической точки зрения, придерживались Хр. Вольф, Гельмгольц, Шредер. Априорная концепция математических понятий встретила отпор со стороны Д. С. Аничкова в России, Даламбера во Франции, Вебера в Германии. А. Ю. Давидов является последователем Д. С. Аничкова в разработке метода преподавания математики, основанного на установлении конкретного смысла математических понятий. Изложение материала у А. Ю. Давидова подчинено убеждению, что свойства математики — это свойства вещей, предметов матерального мира, а не творения «чистого разума», как утверждают идеалисты. Поэтому вопросы алгебры и геометрии А. Ю. Давидов стремился излагать на основе непосредственных чувственных восприятий человека. Он обращался к примерам практических приемов изображения геометрических образов, доказательства теорем часто строил на основе наглядных образов или интуитивных представлений, приводил массу разнообразных задач прикладного характера, особое внимание уделял проблеме составления уравнений и различных вычислительных алгоритмов.

Стремление А. Ю. Давидова излагать учебный математический материал на основе представления о конкретном содержании математических понятий находится в непосредственной связи с его материалистическим пониманием пути познания истины.

А. Ю. Давидов принадлежал к тому отряду ученых — естествоиспытателей, сущность понимания пути научного познания которыми может быть выражена ленинской формулой: от живого созерцания, к абстрактному мышлению и от него к практике.

А. Ю. Давидов считал, что теоретическое положение (гипотеза) в том случае будет истинным, если совпадают данные конкретного эксперимента с математическими следствиями, выведенными из этой

гипотезы априори после переложения ее на «язык» математического анализа.

Еще в 1861 г. в рецензии на учебник физики Н. Любимова он писал: «Математическое исследование какого-либо явления во всей полноте своей состоит из трех существенно различных частей. Прежде всего наблюдаемое явление приводится к математическому выражению; это выражение исследуется путем анализа, и при этом стараются восходить до заключения о причине или силе, производящей рассматриваемое явление. Принимая затем в основание открытую или угаданную причину, мы раскрываем, с помощью математики все последствия, из неё проистекающие. Остается наконец последний шаг: полученные таким образом результаты сличить с действительностью и в полном согласии выводов анализа с наблюдениями найти оправдание сделанного предположения».1)

Эти слова, отражающие указанные особенности понимания А. Ю. Давидовым пути научного познания, дают возможность высказать предположение о влиянии Н. И. Лобачевского на формирование мировоззрения А. Ю. Давидова. Материалистические идеи Н. И. Лобачевского в середине 19 века способствовали распространению среди ученых-естествоиспытателей материалистического взгляда на природу (например, у А. М. Бутлерова2) и др.).

С идеями Н. И. Лобачевского А. Ю. Давидов был знаком. Об этом свидетельствует хотя бы тот факт, что курс аналитической геометрии Н. Д. Брашмана, который слушал А. Ю. Давидов, отражал взгляды Н. И. Лобачевского.3)

Н. И. Лобачевский шел к своему гениальному открытию, отправляясь от известных фактов евклидовой геометрии и истории доказательства постулата параллельности; сформулировав свою гипотезу параллельности, ее истинность Н. И. Лобачевский хотел увидеть в эквивалентности следствий своей геометрии данным опыта. С этой целью он, как известно, вычислял сумму углов огромного треугольника, одной вершиной которого служила звезда, а двумя другими — положения Земли.

Указанный путь, которым шел Н. И. Лобачевский, соответствует тому пониманию пути познания истины, которое присуще А. Ю. Давидову. Если учесть, что и А. М. Бутлеров, на мировоззрение которого оказал влияние Н. И. Лобачевский, имел такое же, как у А. Ю. Давидова, представление о пути научного познания, то высказанное предположение о формировании мировоззрения последнего приобретает большую достоверность.

1) «Русский вестник», № 9, 1861 г., стр. 30.

2) Г. В. Быков, «О научном методе А. М. Бутлерова». «Вопросы философии», № 6, 1955 г.

3) П. П. Лихолетов и С. А. Яновская — Из истории преподавания математики в Московском университете (1804—1860 гг.) «Историко-математические исследования», вып. 8, 1955 г.

Действительно, в 1864 г. А. М. Бутлеров указывал: «Теорией в том смысле, как, например, теория света, химия не обладает: она далека еще от того совершенства, которое из одного ипотетического положения позволяет, путем математического анализа выводить, как необходимые следствия, все факты, при котором, далее, полное согласие фактов с заключениями, сделанными a priori, возводит почти в истину первоначальную основную ипотезу».1)

Однако, влияние Н. И. Лобачевского на мировоззрение А. Ю. Давидова не было настолько глубоким, чтобы обогатить его теми элементами диалектики, которые присущи мышлению Н. И. Лобачевского. Например, А. Ю. Давидов трактовал ошибочно, метафизически категории случайного и необходимого. Он отрицал, что случайность объективна, считал все явления и процессы необходимыми.

«Итак, допуская в принятом смысле различие между случайными и неслучайными явлениями — писал А. Ю. Давидов в 50-х годах, — должно согласиться, что это различие приводится в сущности только к нашему знанию или незнанию всех условий, от которых зависит явление, так что такое различие касается собственно только наших сведений, но не сущности самих явлений, и было бы неосновательно приписывать различие, зависящее от наших сведений, самим явлениям».2)

Таким образом, А. Ю. Давидов видел различие между случайными и необходимыми явлениями только в знании или незнании условий ,от которых зависит явление, т. е. объективно все явления считал необходимыми.

Непоследовательность материализма А. Ю. Давидова сказалась на методических особенностях его учебников. Их наиболее слабым местом является логическая сторона. Они плохо удовлетворями требованию развития логических навыков. Указанный порок методических принципов А. Ю. Давидова был использован в «просветительной политике» царизма, целью которой было затемнение сознания народных масс.

С указанной целью «Элементарная геометрия» А. Ю. Давидова с 1914 г. вплоть до революции рекомендовалась Учебным Комитетом Министерства Народного Просвещения в качестве руководства для средних учебных заведений. Учебник находился на уровне требований 60-х годов 19 века и для обучения в 20 веке без соответствующей переработки, конечно, не годился.

Поэтому в 20 веке среди педагогов получило распространение мнение об учебниках А. Ю. Давидова как реакционном явлении, а об их авторе — как о реакционере. Это мнение имеет широкое распространение, до сих пор порождает нигилистическое отношение к педа-

1) А. М. Бутлеров, соч., т. II, стр. 44, 1953 г.

2) А. Ю. Давидов. Лекции математической теории вероятностей. Первое полугодие, стр. 6, Литографированное издание.

гогическому наследию А. Ю. Давидова. Нередко можно встретить в крупных монографиях по вопросам истории просвещения в России рассмотрение педагогического творчества А. Ю. Давидова лишь как отрицательного примера в развитии методической мысли.

Так, в книге «Очерки по истории средней школы в России второй половины XIX века», изданной в 1950 г., член-корреспондент АПН Ш. И. Ганелин выступил с отрицательной оценкой учебников алгебры и геометрии А. Ю. Давидова на том основании, что они содержат много «всякого рода логических и научных недосмотров». Ш. И. Ганелин отмечает весьма долгую жизненность учебников А. Ю. Давидова, но не дает никакого объяснения этому факту.

Мнение Ш. И. Ганелина является односторонним и поэтому ошибочным. Оно основано не на критическом анализе методического творчества А. Ю. Давидова, а на отзывах рецензентов об учебниках последнего, на беспристрастность которых рассчитывать наивно, о чем свидетельствует, например, рассмотренное выше утверждение П. Маракуева.

В своей книге я стремился выяснить особенности методических приемов изложения вопросов элементарной математики у А. Ю. Давидова и пытался сделать практические выводы о значении его творчества для развития преподавания математики в советской школе. В работе особое внимание уделяется первому учебнику А. Ю. Давидова — «Элементарной геометрии в объеме гимназического курса» (1864 г.), методический анализ которого проводится с большей полнотой, чем второго учебника — «Начальной алгебры» (1866). Поэтому приходится довольствоваться рассмотрением тех характерных особенностей «Начальной алгебры», которые наиболее ярко свидетельствуют о методических приемах изложения, примененных А. Ю. Давидовым в этом учебнике. Об особенностях остальных учебников А. Ю. Давидова говорится лишь с связи с методическим анализом приемов изложения первых учебников.

В книге показывается, что педагогическое творчество А. Ю Давидова, его наглядный метод изложения служат ярким свидетельством огромной жизненной силы материализма. Учебники А. Ю. Давидова выдержали серьезное испытание временем, которое показало правильность их идеологической основы. Они же свидетельствуют о том, что не менее важна для доброкачественного учебника форма воплощения идеологической основы. И это последнее не стоит в стороне от идеологии ученого, а является отражением его мировоззрения.

А. Ю. Давидов был материалистом, его идейные устремления и построенные на их основе математические учебники соответствовали духу экономического развития страны в 60-х годах. Поэтому они были лучшими учебниками в эту эпоху и сохраняли жизненность долгие годы. Но со временем эти учебники все менее и менее удовлетворяли потребностям развивающегося общества. Необходимо бы-

ло, оставив прежнюю идеологическую основу, изменить форму изложения учебников. И форма эта была указана Н. И. Лобачевским, который хорошо понимал, что выяснение конкретности содержания математических понятий и научная строгость изложения должны находиться в единстве. Это — результат его материалистических убеждений.1) Ограниченность мировоззрения А. Ю. Давидова не позволила ему разглядеть то, что ясно видел Н. И. Лобачевский.

Таким образом, как сильные, так и слабые стороны творчества А. Ю. Давидова свидетельствуют, что дорога, указанная марксистской философией, которой идет советская методическая мысль, является верным путем, обеспечивающим ей творческий расцвет.

РУССКИЙ УЧЕБНИК ГЕОМЕТРИИ И АЛГЕБРЫ В 19 ВЕКЕ

Со 2-ой половины 18 века, несмотря на исключительный авторитет «Начал» Евклида, начинают возникать новые взгляды на структуру учебника геометрии (прежде всего во Франции).

Так, Даламбер высказал мысль, что изложение геометрии, как школьной дисциплины, должно быть сообразно с целевой установкой изучения: начального, практического или научного. Применительно к этому должна быть различной степень строгости изложения, которая, по мнению Даламбера, становится «химерической точностью», если будет недоступна для понимания. Одним из проявлений этой «химерической точности», Даламбер считает изложение, начинающееся с аксиом.

Рассуждая на тему: какому из качеств — доступности или строгости изложения, следует отдать предпочтение, Даламбер высказывал ту точку зрения, что при изложении геометрии необходимо руководствоваться идеей сведения сложных истин к простым, доступным и очевидным. Даламбер предлагал (в соответствии с практическими тенденциями своего времени) центр тяжести в преподавании геометрии перенести на измерение длин, площадей, объемов, т. е. на метрическую геометрию. Повидимому Даламбер в последних своих утверждениях учитывал развитие геодезических работ, в которых отражались практические потребности эпохи. Далее следует отметить совершенно новую в геометрии того времени идею движения. Для изложения свойств площадей и объемов Даламбер предлагал ввести метод пределов. Взгляды Даламбера не остались без развития. В ближайшее время откликами на высказывания Даламбера явились курсы Безу, Лежандра и Лакруа. Исключительным успехом пользовались «Начала» Лежандра. Особенностью труда Лежандра является «арифметизация» «Начал» Евклида. Арифметическое изложение пропорций сделало учебник геометрии более доступным.

1) С. А. Яновская — «Передовые идеи Лобачевского — орудие борьбы против идеализма в математике», 1950.

В связи со взглядами Даламбера на преподавание интересно рассмотреть методические идеи, которые несла в себе «Геометрия» Н. И. Лобачевского.

Расположим их в таком порядке:

1) Геометрия есть наука, цели и задачи которой — измерение пространства.

2) Строго логическое изложение курса не является необходимым.

3) Целесообразно широкое использование идеи движения.

4) Изложение курса геометрии должно носить дедуктивный характер, в силу чего рассмотрение более сложных понятий, встречающихся в курсе, сводится к рассмотрению более простых (эта установка имеет целью сделать изучение геометрии более доходчивым для ученика).

5) Построение курса основывается на идее фузионизма.

6) Введение в геометрию начинается с рассмотрения тел, причем восприятие соотношений между телами осуществляется с помощью ощущений, что позволяет лучше подойти к выяснению основных понятий геометрии.

7) Арифметизация геометрии.

8) Использование современного метода пределов при вычислении площади круга и объема шара.

Нетрудно убедиться, что во многом взгляды на преподавание математики у Даламбера и Н. И. Лобачевского тождественны, это несомненно обусловлено общим материалистическим подходом ученых к природе математического знания как средству познания и преобразования материального мира.

Все школьные учебники геометрии 19 века (русские и зарубежные) содержали один и тот же объем фактических сведений: 1) содержание курсов определялось «Началами» Евклида; 2) выдвигался вопрос об усилении метрической геометрии.

В 19 веке в Англии в качестве школьного учебника геометрии использовался подлинник «Начал» Евклида. Подобный консерватизм английской школы осуждался русской педагогической общественностью и, в частности, в 1867 г. «Математическим сборником».1)

Имевшиеся в середине 19 в. в Германии учебные руководства были неудовлетворительными в научном отношении. Некоторые из них спустя четыре десятилетия после работ Н. И. Лобачевского содержали доказательство V постулата Евклида.

Расцвет русской геометрической науки в 19 в. и интерес педагогической общественности к улучшению преподавания требовали ознакомления с лучшей зарубежной учебной литературой, в частности, французской. На русский язык были переведены курсы Лакруа, Ле-

1) Р. А. Симонов — Первые русские математические журналы. «Математика в школе», № 3, 1955, стр. 19. Здесь же о немецкой и французской учебной литературе по геометрии.

жандра, Бобилье, Руше и Комберусса и др. Эта литература пользовалась известностью, и при составлении учебников русскими авторами она конечно учитывалась. Однако, к чести составителей учебников, последние были оригинальными (Остроградского, Ващенко-Захарченко, Давидова и др.). Русскими педагогами-математиками было создано в 19 веке около ста школьных учебников. Даже переводы иностранных авторов обычно снабжались «прибавлениями» и «дополнениями», иногда существенным образом изменявшими подлинник.

Русские авторы не следовали слепо Евклиду или Лежандру, а пытались улучшить евклидово изложение и привести руководство в соответствие с состоянием науки своего времени. К таким вопросам относятся вопросы основных понятий и определений, использование движения как метода доказательства, использование теории предела и вопросы метрики. Это хорошо видно на примере учебника А. Ю. Давидова.

Ко времени 60-х годов методика преподавания математики в школе сделала большой шаг вперед (от догматических методов преподавания). В области преподавания алгебры стало необходимым решение примеров и задач не только для приложения теории к практике, но и для введения новых понятий.

В гимназиях до 60-х годов монопольное положение в школе занимали учебники алгебры и геометрии П. Н. Погорельского, которые вышли из печати в 1832 г. Изложение в них было абстрактно-дедуктивным. Все предложения сперва формулировались в общем виде, а затем рассматривались частные случаи. В них подчеркивалась условность и нереальность вводимых понятий, которые почему-то должны были облегчать вычисления и служить целям обобщения. В учебниках отдается известная дань практическому направлению в преподавании математики. Автор показывал какое применение находит геометрия в сооружении фортификационных построек и рассматривал приемы измерения недоступных предметов. Эти вопросы не находятся в органическом единстве с теоретическим содержанием учебника; они были даны в виде приложений в специальных «прибавлениях».

В отличии от учебников П. Н. Погорельского, в новых учебниках появились обстоятельные объяснения, большое число пояснительных примеров, отказ от условного изложения отрицательных чисел (в учебнике алгебры А. Ю. Давидова). Стремление сделать изложение материала как можно более понятным и доказательным, в противоположность догматизму старых учебников, приводило к излишнему иногда многословию, к попыткам доказать недоказуемое, к неверным рассуждениям.

В конце 19 века начале 20 века в русской учебной литературе по алгебре соперничали два учебника: «Элементарная алгебра». А. П. Киселева и «Начальная алгебра» А. Ю. Давидова.

Например, в 1913 г. анкета, охватившая 68 учебных заведений Оренбургского Учебного округа показала, что 79% школ пользовались учебником А. П. Киселева, 10%—учебником А. Ю. Давидова; оставшиеся 11% приходились на другие учебники.1) В этом «поединке» математических руководств победил учебник алгебры А. П. Киселева. В течение более 20-ти лет издания этого учебника удовлетворяли Министерство Народного Просвещения, направлявшего автора через свою официальную печать — «Журнал Министерства Народного Просвещения», к критике которого А. П. Киселев чутко прислушивался. Однако, критика со стороны представителей другого лагеря учебной литературы также учитывалась А. П. Киселевым. Так, в 1911 г. он отказался от условного метода изложения. Точность, простота, сжатость, систематичность делали учебник А. П. Киселева предпочтительнее остальных учебников (и учебника А. Ю. Давидова) даже в советское время, несмотря на сомнительный источник2), из которого он сложился.

ИЗДАНИЯ «ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ» А. Ю. ДАВИДОВА

В 1864 г. вышел первый учебник по элементарной математике А. Ю. Давидова — «Элементарная геометрия в объеме гимназического курса». Книга была напечатана в Москве, в университетской типографии.

«Элементарная геометрия» содержала около трехсот страниц, состояла из «Введения», двух частей — «Планиметрии» и «Стериометрии» и особого раздела «Решения задач». «Планиметрия» подразделялась на восемь глав, «Стериометрия» — на пять. Материал, заключенный в главы, в свою очередь разбивался на разделы и параграфы.

В конце каждой главы (за исключением одной I главы из «Планиметрии» и двух глав (2-й и 3-й) из «Стериометрии») были помещены задачи для самостоятельной работы учащихся; их количество было различным для отдельных глав, оно колебалось от 8 до 74. Всего задач было 256. В основном это были задачи на построение (85%), остальные —на доказательство и вычисление. В разделе «Решения задач» были даны «ключи» к решению этих задач или ответы (к вычислительным задачам). О композиции учебника говорит его оглавление:

Введение. Часть I. Планиметрия.

Глава I. О прямых линиях и углах.

Глава II. О фигурах. О фигурах вообще. Равенство треугольников. Свойство перпендикуляра и наклонных. Задачи.

1) «Математическое образование», 1913, № 6, стр. 284—286.

2) Прототипом учебника Киселева является «Алгебра» Бертрана, испытавшая на себе влияние позитивизма.

Глава III. Параллельные линии. Теория параллельных линий; некоторые следствия ее. О параллелограммах и трапеции. Задачи,

Глава IV. Подобие. Подобие прямолинейных фигур. Отношение линий. Некоторые предложения о треугольнике. Гармоническое деление. Задачи.

Глава V. Об окружности круга. Хорды и касательные. Измерение углов. Пропорциональные линии в круге. Вписанные и описанные многоугольники. Относительное положение двух окружностей. Четыре замечательные точки треугольника. Взаимные точки. Паляры. Задачи.

Глава VI. О правильных многоугольниках. Правильные многоугольники вписанные и описанные. Задачи.

Глава VII. Измерение площадей. Измерение площадей прямолинейных фигур. Некоторые предложения о треугольниках, четырехугольниках и правильных многоугольниках. Съемка плана. Задачи.

Глава VIII. Определение окружности и площади круга. О пределах. Определение окружности и площади круга. Квадратура круга. Гиппократова луночка. Определение площади криволинейных фигур. Задачи.

Часть II. Стериометрия.

Глава I. О линиях и плоскостях в пространстве. Определение положения плоскости. Линии перпендикулярные к плоскости. Линии параллельные между собой. Линии параллельные плоскости. Плоскости параллельные между собою. Задачи.

Глава II. Об углах, образуемых плоскостями. Угол двух линий и угол линии с плоскостью. Углы двугранные. Углы многогранные. Равенство и симметрия трегранных углов.

Глава III. О многогранниках. Призмы, параллелипипеды и пирамиды. Равенство призм и пирамид. Симметричные многогранники. Правильные многогранники. Подобие многогранников.

Глава IV. Измерение объемов тел. Объем параллелепипеда, призмы и пирамиды. Объем подобных многогранников. Задачи.

Глава V. О телах круглых. О цилиндре и конусе. О шаре. О сферическом треугольнике. Подобие круглых тел. Конические сечения. Задачи.

Решения задач.

Композиция и содержание первых 38 изданий учебника подверглись незначительным изменениям. Четвертое издание учебника (1866) пополнилось новой главой (четвертой) «Пропорциональные линии», которая содержала разделы: Общая мера двух линий; Пропорциональные линии; Отношение линий.

Для более удобного обозрения внешней эволюции учебника привожу следующую таблицу изданий «Элементарной геометрии в объеме гимназического курса»:

Издание

Год

Место издания

Автор

Число стр.

1

1864

Москва. В университетской типографии Катков и К°

А. Давидов

293

2

1865

То же

А. Давидов, ординарный профессор императорского московского ун-та

293

4

1865

»

То же

315

5

1871

Москва. Издание братьев Салаевых

»

315

6

1871

То же

»

315

7

1872

»

»

315

8

1874

»

315

9

1875

»

»

316

10

1877

Москва. Издание книгопродавца Салаева

»

346

11

1878

Москва. Издание книжного магазина Ф. И. Салаева

»

346

12

1881

Москва. Издание книжного магазина наследников братьев

Салаевых

»

346

13

1883

То же

»

346

14

1885

»

»

346 348

15

1888

Москва. Издание книжного магазина В. Думнова под фирмою «Наследники бр. Салаевых»

»

16

1891

То же

»

348

17

1894

»

»

348

18

1897

»

348

19

1900

348

20

1901

»

»

348

21

1903

»

348

22

1904

»

348

25

1906

»

»

348

26

1907

»

»

348

29

1909

»

»

348

30

1910

»

»

348

31

1911

»

»

348

33

1913

»

»

348

34

1914

Москва—Петроград. Издание товарищества «В. В. Думнов— Наследники бр. Салаевых»

А. Давидов, бывший ординарный профессор императорского ун-та

348

35

1915

То же

»

348

37

1917

»

»

348

38

1918

»

»

348

39

1922

Москва—Петроград. Книга издана по заказу Госиздата издательством «Время» в Петрограде

Профессор А. Ю. Давидов

348

Таблица не охватывает ряда изданий: 3, 23, 24, 27, 28, 32, 36. Последние шесть изданий существенным образом не могли отразиться на характеристике эволюции учебника, так как начиная с 10 и по 22 издания книга по содержанию ничем не отличается от 25, 26, 29—31, 33—35, 37—38 изданий.

Третье издание не удалось просмотреть. Однако, косвенные соображения приводят к выводу, что включил новую главу в учебник А. Ю. Давидов уже после выхода третьего издания.

Второе издание вышло в 1865 г., четвертое — в 1866 г. В каком же году вышло третье издание?

Во втором номере «Московских университетских известий» за 1866/67 учебный год была помещена рецензия на «Начальную алгебру» А. Ю. Давидова. В рецензии упоминалось об издательском успехе предыдущего учебника того же автора — «Элементарной геометрии» в таких словах: «Курс геометрии имел блестящий успех: менее чем в два года разошлись три его издания».1)

Речь идет о первых трех изданиях. Следовательно, третье издание вышло в 1865 г. Полемика между «Журналом для наставников и родителей» и «Книжником», которая оказала влияние на переработку учебника, происходила в том же 1865 году. Поэтому вероятнее всего, что уже в переработанном виде учебник вышел четвертым изданием, а не третьим.

Учебник А. Ю. Давидова был изложен двумя шрифтами: крупным и мелким (петитом). Материал, напечатанный в нем крупным шрифтом, соответствовал нормальному гимназическому курсу, а петит — есть дополнение к этому курсу, идейное развитие его.

Поэтому о широте объема «Элементарной геометрии», т. е о содержании, которое превышает программный школьный материал, можно судить по тому, что напечатано в учебнике мелким шрифтом.

Материал, изложенный петитом, обнимает довольно широкий круг разнообразных вопросов.

Например, петитом выделены некоторые сведения о фигурах (§§ 72—78)2) : о центре подобия многоугольников, некоторые теоремы о многоугольниках, отражающих характер зависимости соответственных точек и линий подобных многоугольников, теоремы о некоторых свойствах в треугольниках в связи с проведением трансверсалей. Раздел заканчивается рядом сведений о гармоническом делении. Здесь А. Ю. Давидов давал определения и указывал некоторые свойства гармонического и ангармонического отношения точек, знакомил с четырехсторонником Штаудта, доказывал теорему о том, что в этой фигуре каждая диагональ делится гармонически другой диагональю. Далее, в главе «Об окружности круга» петитом выделяются неко-

1) «Московские университетские известия», № 2, 1866/67, стр. 40.

2) Содержание параграфов (начиная с 4-го изд.) совпадает во всех просмотренных изданиях учебника.

торые теоремы о свойствах вписанных и описанных четырехугольников и треугольников (§§ 108—114). Здесь же дается решение такой задачи на построение: по четырем данным линиям а, в, с и d построить четырехугольник, около которого можно описать круг. Приводится доказательство теоремы Паскаля о том, что точки пересечения противоположных сторон вписанного шестиугольника лежат на одной прямой.

ИЗМЕНЕНИЯ В СОДЕРЖАНИИ РАЗЛИЧНЫХ ИЗДАНИЙ «ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ»

Расхождения между первыми двумя изданиями имеются в главе «Об окружности круга». Так, в первом издании теорема «Равные дуги стягиваются равными хордами» (§ 60) заканчивается словами: «Очевидно справедлива и обратная теорема»1). Во втором издании вместо этих слов формулируется обратная теорема: «Равные хорды стягивают равные дуги» и приводится ее доказательство, причем, во втором издании эта обратная теорема отдельным параграфом не выделяется, а входит в тот же 80 параграф. То же самое можно сказать относительно параграфа 82, в котором доказывается теорема «Равные хорды равноудалены от центра»: в первом издании указывается только, что справедлива обратная теорема, во втором дана формулировка и доказательство обратной теоремы.

Включение обратной теоремы во второе издание, там где в первом издании не было даже ее формулировки, встречается в § 128: «Обратная теорема. Равносторонний описанный многоугольник будет всегда и равноугольный, т. е. правильный»2) (в четвертом издании отсутствует).

В § 208 в первом издании указаны два следствия, во втором—три. Новое следствие «Двугранные углы с параллельными сторонами равны между собою»3) (§ 208), как и предыдущее утверждение, является ошибочным (имеется во всех изданиях).

В первых двух изданиях есть расхождения в разделе о равенстве треугольников. После рассмотрения случая равенства треугольников по двум сторонам и углу, заключенному между ними (§ 15), в первом издании идет (в том же параграфе) изложение доказательства теоремы «В равнобедренном треугольнике углы при основании равны». Сама формулировка теоремы приводится в конце доказательства, после слов: «отсюда следует». Эта формулировка и ее следствие о том, что в равностороннем треугольнике все углы равны, составляют следующий 17 параграф. Во втором издании учебника в композицию и содержание этого материала внесены изменения. Фор-

1) «Элементарная геометрия», 1 изд. 1864 г., стр. 74.

2) «Элементарная геометрия», 2 изд. 1865 г., стр. 118.

3) Там же, стр. 198.

мулировка теоремы о равнобедренном треугольнике перенесена в начало доказательства теоремы, само доказательство изложено полнее и яснее. Подобные изменения встречаются еще, например, таким же образом разграничены теоремы §§ 17 и 18.

В четвертом издании, по сравнению с первыми двумя, имеются такие изменения. В разделе о равенстве треугольников число §§ и объем тот же, но некоторые теоремы доказаны иначе; произошли некоторые изменения в расположении материала. Теоремы «В равнобедренном треугольнике углы при основании равны» и «В треугольнике, в котором два угла равны, противоположные им стороны также равны» раньше доказывались методом наложения. В четвертом издании доказательства этих теорем упрощены, кроме того, перенесением их в другое место достигнуто тесное объединение всех теорем о признаках равенства треугольников. Обе перенесенные теоремы, значившиеся в §§ 16 и 18, теперь оказались в §§ 20 и 22.

Имеющаяся в четвертом издании новая глава (глава IV) «Пропорциональные линии» состоит из 8 параграфов (§§ 47—54), причем 5 из них, содержащих новый материал, занимают 11 страниц. Три параграфа включают материал, который ранее находился в учебнике в других главах. Это раздел «Отношение линий» (2 параграфа), прежде входивших в главу «Подобие», и теорема (из той же главы) о пересечении угла параллельными прямыми.

В главе о подобии в некоторых случаях теоремы доказаны иначе, в связи с введением новой главы. Так при доказательстве теоремы «В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны» в первых изданиях учитывались два случая: для соизмеримых и несоизмеримых сходственных сторон подобных треугольников; с введением новой главы о пропорциях необходимость в этом отпала.

В первых изданиях эта теорема имела такую формулировку: «Стороны угла, пересеченные двумя параллельными линиями, делятся на части пропорциональные» (§ 54, 1-е изд.). В 4-м издании указанная теорема имеет более четкую формулировку: «Две параллельные линии, пересекающие стороны угла, отсекают от них пропорциональные части» (§ 50, 4-е изд.).

Мелким шрифтом в главе о подобии приведены некоторые теоремы о подобии многоугольников. Причем в четвертом издании весь этот материал содержится в одном параграфе (§ 72), а в первых двух изданиях тот же материал находился в четырех (§§ 65—68).

В конце главы о подобии в первых изданиях шел еще материал, изложенный мелким шфиртом, под названием «Отношение линий» (§§ 69—70). В четвертом издании этот материал без изменений перемещен в новую главу о пропорциях (§§ 53—54).

Глава о подобии заканчивалась в рассматриваемых изданиях разделом «Гармоническое деление». В четвертом издании тот же мате-

риал разбит на меньшее число параграфов: в первых изданиях — §§ 75—78, в четвертом — §§ 77—78.

В изложении четвертого издания, по сравнению с первыми двумя, встречаются еще такие изменения. В первых изданиях теорема (мелкий шрифт) «Две пересекающиеся окружности имеют всегда две общие точки»1) (§ 116) имела одно следствие: «Линия, соединяющая точки пересечения двух окружностей, перпендикулярна к линии, соединяющей центры их».2) В четвертом издании приведены два следствия, помимо сформулированного еще такое: «Если две окружности имеют общую точку, которая лежит вне линии, соединяющей центру их, то они имеют еще другую общую точку»3) (§ 116).

Введение нового следствия позволило А. Ю. Давидову значительно упростить доказательство теоремы «Центры двух касательных окружностей и точки касания лежат на одной прямой» (§ 118—в 1, 2, 4 изд.). В первых двух изданиях доказательство этой теоремы занимает почти целую страницу мелкого шрифта, в 4-м издании — три строчки.

В конце главы «Об окружности круга» в четвертом издании переставлен один параграф.

В первых двух изданиях задачи об определении сторон правильных фигур идут в таком порядке: для треугольника (§ 133), квадрата (§ 134), шестигольника (§ 135), десятиугольника (§ 136). В четвертом издании: квадрата (§ 134), треугольника (§ 135), десятиугольника (§ 136).

В первой главе «Стериометрии» «О линиях и плоскостях в пространстве» есть также изменения. В четвертом издании имеется теорема (§ 202), какой нет в первых двух: «Две плоскости параллельны, когда две пересекающиеся линии, лежащие в одной, соответственно параллельны двум пересекающимся линиям, лежащим в другой».4) Кроме того перемещена одна теорема. В первых двух изданиях теорема «Углы с параллельными сторонами, обращенные своими отверстиями в одну сторону, равны между собою»5) находилась в разделе «Линии параллельные между собою», в четвертом — она перенесена (§ 204) в раздел «Плоскости параллельные между собою». Это перемещение очевидно обусловлено стремлением автора объединять в разделах более однородный учебный материал.

В следующей главе «Об углах, образуемых плоскостями» автор сразу же устанавливает соответствие в обозначении параграфов между изданиями, объединяя в четвертом издании материал раздела «Угол двух линий и угол линии с плоскостью» в один параграф

1) «Элементарная геометрия», изд. 1, 1864 г., стр. 102.

2) Там же, стр. 103.

3) «Элементарная геометрия», изд. 4, 1866, стр. 116.

4) Там же, стр. 207.

5) «Элементарная геометрия», изд. 1, 1864, стр. 190 (§ 199).

(§ 106), тогда как в 1 и 2 изданиях тот же материал был разбит на два параграфа. В главе «О многогранниках» в четвертом издании более детально доказываются две теоремы о боковой поверхности пирамиды (§ 235, 236 — в 1, 2, 4 изд.). В главе «Измерение объемов тел» 4-го издания имеется теорема, которой в 1—2 изданиях нет: «Объем прямого параллелепипеда равняется произведению основания на высоту».1) В этой же главе в 4 издании проще и короче излагается теорема об объеме усеченной треугольной пирамиды (§ 272— 4 издание), чем в 1—2 изданиях. Соответствия в обозначении параграфов, нарушенного введением в четвертое издание новой теоремы, автор достигает обычным приемом: раздел «Объемы подобных многогранников» в четвертом издании разбивается на два параграфа (§§ 275, 276), тогда как в 1—2 изданиях он был разбит на три (§§ 274-276).

В задачах к главе «О правильных многоугольниках» имеется перестановка. В первых 2-х изданиях под номером 144 расположена задача об определении стороны правильного вписанного пятиугольника, а под номером 145 — подобная же задача о пятнадцатиугольнике. В 4-м издании под номером 144 идет задача о пятнадцатиугольнике, а задача о пятиугольнике перенесена (номер 148). В 4-м издании к задаче о пятнадцатиугольнике в разделе «Решение задач» дано более подробное и пространное разъяснение; то же самое, но в большей степени, касается задачи о пятиугольнике.

В четвертом издании среди задач к главе «Измерение площадей» содержится одна новая (под номером 168): «Разделить треугольник ABC на две части в отношении m : п линий, параллельной данной прямой MN»2) А две другие задачи, которые в 1—2 издании имели номера 170, 171, А. Ю. Давидов объединил в одну, под номером 172. Даны более подробные разъяснения к 169-й задаче (в изд. 1—2 эта задача имеет 168 номер).

В 4-м издании по сравнению с первыми двумя число чертежей увеличилось с 344 до 353. Во всех последующих изданиях это число (353) осталось неизменным. Число параграфов также было неизменным во всех изданиях — 305.

Стилистической обработке А. Ю. Давидов почти не подвергал свой учебник. Стилистических поправок удалось обнаружить очень мало. Так в первом издании написано: «Три перпендикуляра, восстановленные из середины трех сторон треугольника, сходятся в одну точку»3) (§ 104). Во втором издании конец этой фразы заменен словами: «сходятся в одной точке» (§ 104). Такие же исправления имеются в §§ 105, 110. К исправлениям стилистического характера отно-

1) «Элементарная геометрия», изд. 4, 1866, стр. 253—254 (§ 263).

2) «Элементарная геометрия», 4 изд., 1866, стр. 171.

3) «Элементарная геометрия», I изд. 1864, стр. 92.

сится также приведенный ранее пример об изменении формулировки теоремы (§ 50, 4 изд.) (см. стр. 21).

До десятого издания композиция учебника сохранялась неизменной; в 1877 г. (10 изд.) в книгу был включен еще один новый раздел — «Прибавления. Численные геометрические задачи», который занимал по объему 31 страницу и содержал 337 задач на вычисление па планиметрии и стереометрии. Все задачи были сгруппированы под заголовками: «К главе такой-то»; после условия задачи следовал ответ. Разъяснения к решению задачи не давались. Общее число задач 256 ( + 337 с 10 изд.) = 793 сохранилось вплоть до 39 издания.

Включение раздела вычислительных задач было последним изменением содержания учебника. С 1877 г. по 1918 г. он выходил без каких-либо изменений; книга печаталась со старых стереотипов. При советской власти в 1922 году учебник был пересмотрен (А. Я. Билибиным, И. И. Давидовым, В. В. Люшем) и вышел в переработанном виде последним 39 изданием.

Изменения, внесенные в учебник, не повлияли значительно на его облик. В 39 издание была включена аксиома совместимости, необходимость которой очень ощущалась, добавлена теорема о биссектрисе внешнего угла; было изменено изложение некоторых вопросов и теорем: о несоизмеримых величинах, о пропорциональных отрезках в случае несоизмеримости, о пределах и круглых телах.

Эти вопросы представлены в двух изложениях: первоначальном (самого А. Ю. Давидова), в тексте учебника и в более научном — в виде дополнения в конце книги.

Была введена новая глава — «Задачи на построение». Увеличено число задач на построение в тексте курса. Введены отсутствовавшие раньше названия: биссектриса, медиана. Глава о задачах на построение, а также вставки новых теорем и задач принадлежат перу И. И. Давидова. Дополнительный раздел о пределах и круглых телах написан В. В. Люшем. Общее руководство работой осуществлял А. Я. Билибин.

Указанные композиционные изменения в учебнике и те изменения в его содержании, которые в основном коснулись первых четырех изданий (об этом подробно будет сказано дальше), свидетельствуют об «Элементарной геометрии» как довольно редком явлении в учебной математической литературе. Она принадлежит к ограниченному числу руководств по геометрии, которым удалось по полустолетиям служить в качестве учебных пособий, сохранив неизменной свою структуру.

«ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» А. Ю. ДАВИДОВА В ЖУРНАЛЬНОЙ КРИТИКЕ

Имеется обширный список педагогических и критико-библиографических журналов 19 века, в которых публиковались рецензии на различные издания «Элементарной геометрии».1)

Первое издание учебника было встречено восторженно («Современная летопись», 1864), даже слишком восторженно, так как не только не указывались недостатки учебника, но то, как расхваливались его достоинства, ставило книгу в положение совершенной «непогрешимости». Затем, наряду с доброжелательной критикой («Книжный вестник», 1864), невыявляющей недостатков, присущих учебнику, стала раздаваться отрицательная критика («Книжник», 1865).

Однако, отрицательная критика на первых порах встретила ожесточенный отпор (Полемика между «Книжником» и «Журналом для родителей и наставников», 1865 г.) со стороны приверженцев А. Ю. Давидова. В дальнейшем, общая настроенность рецензий по мере приближения к 20 веку постепенно перемещается (ЖМНП, 1867 г.; «Отечественные записки», 1870 г.) в сторону объективной критики учебника. И, наконец, в 70-х годах критика перешла в противоположную крайность — к совершенному отрицанию достоинств «Элементарной геометрии» («Учебно-воспитательная библиотека, 1876), и даже охаиванию книги и нападкам за стремление автора выяснять конкретный смысл математических понятий («Педагогическая хроника», 1883 г.).

Теперь остановимся коротко на обзоре оценки учебника критикой. Посмотрим какие достоинства и недостатки «Элементарной геометрии» были ею замечены.

Е. Сабинин (старший учитель математики 3-й Московской реальной гимназии) в «Современной летописи» сравнивал учебник А. Ю. Давидова с самыми употребительными в то время курсами Ф. И. Буссе и П. Н. Погорельского и руководством М. В. Остроградского. На основании этого сравнения он отметил ряд достоинств «Элементарной геометрии». Е. Сабинин считал систематизацию учебного материала в ней, обеспечивающей более тесное, чем в других учебниках, объединение однородного материала. Он отмечал доказательства теорем в учебнике: оформление доказательств («за словест-

1) «Современная летопись» — воскресное прибавление к газете «Московские ведомости), № 39, ноябрь 1864 г. (статья Е. Сабинина); «Книжный вестник», № 22, 30 ноября 1864 г.; «Книжник» № 4, № 12, 1865; «Журнал для родителей и наставников», № 16, 1865; «Журнал Министерства Народного Просвещения», ч. CXXXIV, 1867 (рецензия А. Воронова); «Отечественные записки», № 3, 1870 (отзыв В. Водовозова); «Учебно-воспитательная библиотека», т. I, ч. 2, отдел X, 1876 (статья К. Мазинга); «Педагогическая хроника», № 23—24, 1883, (еженедельное приложение журнала «Семья и школа»).

ным выражением теоремы следует объяснение с помощью чертежа, того, что дано, и того, что нужно доказать».1); дедуктивно-логическое изложение; а также то, что приемы доказательств, соответствуют свойствам доказываемых теорем (свойства кривых линий и поверхностей— доказываются методом пределов). Так же достоинством «Элементарной геометрии» Е. Сабинин считал широту ее объема, который включал многие математические сведения, далеко выходящие за пределы школьной программы. Как положительное обстоятельство Е. Сабинин отмечал наличие в учебнике большого числа задач, расположенных по разделам. Новое для русской учебной литературы отношение А. Ю. Давидова к задачам как упражнениям для самостоятельной работы учащихся также отмечалось «Книжным вестником».

С отрицательной критикой учебника выступил «Книжник» в № 4 за 1865 г. В рецензии «Книжника» отмечались такие недостатки «Элементарной геометрии» — слабость изложения понятия общей меры и измерения отрезков; логические несовершенства в доказательстве некоторых теорем: доказывая теорему параллельности (обратную), автор ссылался на аксиому параллельности, а надо было — на следствие из этой аксиомы; излагая теорему о площади трапеции, А. Ю. Давидов ссылался на прямую теорему, а надо было на обратную; доказывая теорему о площади круга, автор не привел ссылки на доказанные ранее положения, от чего страдала строгость изложения. Рецензент сделал еще ряд замечаний: о недостаточно умелом использовании в учебнике двух шрифтов, по поводу неясностей, которые возникали в связи с определением фигуры, допускающим отождествление понятия фигуры и площади фигуры. Кроме того рецензент считал, что нужно увеличить число разбиравшихся в тексте задач на построение.

Судя по тому материалу, который в «Элементарной геометрии» выделен крупным шрифтом, «Книжник» заключил, что А. Ю. Давидов сократил в некоторой степени гимназический курс «противу настоящего». На основании этого рецензент приходил к выводу, что автор учебника не продемонстрировал «желания большего развития математического преподавания».2) «Журнал для родителей и наставников» (№ 16, 1865) резко выступил против критики учебника А. Ю. Давидова, стараясь показать, что во всех своих замечаниях «Книжник» не прав. В ответной статье «Книжник» (№ 12, 1865) продолжал отстаивать справедливость своих замечаний, одновременно указывая, что считает новое руководство служащим «к открытию новых истин, могущих доставить непреходящую славу и вечную память в потомстве».3)

1) «Современная летопись», № 39, ноябрь 1864 г., стр. 10.

2) «Книжник», № 4, апрель 1865 г., стр. 243.

3) «Книжник», № 12, 1865, стр. 709.

Полемика между «Книжником» и «Журналом для родителей и наставников» показала, что «Элементарная геометрия» содержит ошибки и погрешности: в доказательствах теорем (логического характера), в изложении теоретического материала (общая мера).

А. Ю. Давидов учел результаты полемики, ибо 4-е издание учебника, вышедшее в 1866 г., содержало новую главу «Пропорциональные линии», включавшую материал об общей мере двух отрезков и измерении отрезков.

Последующая критика, отмечая достоинства учебника, определяющиеся систематизацией учебного материала и наличием большого числа задач на построение (В. Водовозов в «Отечественных записках», № 3, 1870 г.), указывала на все новые, обнаруживающиеся в книге погрешности логического характера.

Так, А. Воронов в «Журнале Министерства Народного Просвещения», ч. CXXXIV, 1867 г. кроме логических несовершенств того вида, о котором говорилось в «Книжнике» (о ссылках на прямые теоремы, когда нужные для доказательства положения вытекают только из обратных), указал погрешности такого характера, когда при доказательствах автор принимал некоторые положения, которые требовали доказательств, за очевидные. Например, при доказательстве теоремы о том, что равные хорды стягивают равные дуги1), автор учебника считал очевидным, что дуги одной и той же окружности совместятся. Но это нужно показать, иначе доказательство теоремы не достигает цели.

К. Мазинг в «Учебно-воспитательной библиотеке», т. I, ч. 2, отд. X, 1876 указал новый вид логических погрешностей в учебнике, определяющийся пренебрежением учения о видах теорем (зависимостью между прямой, обратной, противоположной и обратно-противоположной теоремами).

В рецензии «Педагогической хроники», № 22—23, 1883 г., которая являлась чем-то вроде дополнения к отзыву К. Мазинга также большое внимание уделялось логическим несовершенствам учебника. В частности, в этой рецензии отмечалось, что в «Элементарной геометрии» выдаются за обратные теоремы положения, которые по существу таковыми не являются. Содержа справедливые критические замечания, рецензия, вместе с тем, намеренно принижает значение учебника А. Ю. Давидова. Успех и широкую распространенность «Элементарной геометрии» рецензент пытался объяснить тем, что «сбыт книги чаще всего обратно пропорционален количеству ее достоинств»2), а сам факт создания учебника—меркантильными интересами автора.

Журнальная критика свидетельствует о том, что «Элементарная геометрия» отличалась своей композицией и содержанием от ранее

1) «Элементарная геометрия», изд. 22, 1904, стр. 85, § 80.

2) «Педагогическая хроника», № 23—24, 1883, стр. 374.

существовавших русских учебников геометрии. Критика на учебник при его появлении была положительной, становясь все более отрицательной к концу 60-х годов, в 70-х г.г. стала, в общем, отрицательной.

Журнальная критика показала, что с течением времени в учебнике открывались все новые и новые пороки логического характера.

Теперь остановимся на конкретном методическом анализе «Элементарной геометрии» А. Ю. Давидова.

СИСТЕМАТИЗАЦИЯ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА В «ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ»

В первых пяти главах учебника рассматриваются прямая, отрезки прямой и прямолинейные фигуры и только в шестой — первая кривая — окружность.

Отделив изложение материала об окружности от материала о фигурах, расположив его после раздела о пропорциональности, теоремы о величине дуг и хорд и расстояний их от центра А. Ю. Давидов вынужден был излагать на основе идеи пропорциональности. Эти теоремы можно было бы изложить проще на основе равенств, если бы свойства окружности рассматривались совместно со свойствами прямолинейных фигур.

Очевидно евклидовская систематизация более удовлетворяет принципу доступности, так как соответствует расположению материала по степени возрастающей трудности. Со времен Евклида в учебниках геометрии сначала излагался материал более простой для усвоения — сперва рассматривалось равенство, к каким бы фигурам оно не относилось (к прямолинейным фигурам и окружности). Пропорциональность занимает вторую ступень. После равенств, переходят к пропорциональности в применении ее к фигурам и окружности. Затем следует материал об измерении геометрических образов.

Рецензенты1) учебника А. Ю. Давидова замечали, что систематизация учебного материала в нем отличается от традиционного евклидовского построения.

«Книжный вестник» (№ 22, 1864-й) отмечая антиевклидовскую направленность этого вопроса в учебннике А. Ю. Давидова, указывал: «Много было споров относительно произвольного и логического размещения статей и теорем геометрии. Из приведенного оглавления видно, что Давидов держится первого порядка, т. е. произвольного».2)

А. Ю. Давидов искал новых путей в систематизации учебного материала. Избранный им путь, по мнению Е. Сабинина, «доказы-

1) Е. Сабинин — «Своевременная летопись», № 39, 1864; «Книжный вестник», № 22, 1864 г.; К. Мазинг — «Учебно-воспитательная библиотека», т. I, ч. 2, 1876 г.

2) «Книжный вестник», № 22, 30 ноября, 1864 г., стр. 452.

вает заботу автора о том, чтоб ученик как только можно яснее мог усмотреть, как соединяются теоремы в геометрии для рассмотрения свойств протяжения и его измерения».1) Для достижения этой цели А. Ю. Давидов старался сближать однородный учебный материал. Это касается как целых разделов геометрии (например, за материалом о фигурах вообще, о параллельных линиях и некоторых свойствах четырехугольников следует материал о подобии прямолинейных фигур и уже потом трактуются вопросы об окружностях и линиях, в них рассматриваемых), так и отдельных групп теорем внутри разделов (например, теоремы о подобных треугольниках, об измерении площадей, объемов и прочее).

Благодаря этой системе, считал Е. Сабинин, многое в геометрии А. Ю. Давидова изложено очень просто, ясно и кратко.

К. Мазинг (критика 70-х годов), очень критически относившийся к учебнику А. Ю. Давидова, признавал, что систематизация учебного материала в нем «удовлетворяет внешней целостности».2)

Систематизация учебного материала в учебнике геометрии А. Ю. Давидова находится в противоречии с принципом доступности. В известной степени это можно оправдать тем, что для математических учебников середины 19 века характерным является пренебрежение принципом доступности. Знаменательным в этом отношении является тот факт, что на недостаточный учет в учебнике А. Ю. Давидова принципа доступности рецензентами было указано только в последней четверти 19 века (Первым указал К. Мазинг — «Учебно-воспитательная библиотека», т. I, ч. 2, 1876 г.).

АКСИОМЫ, ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ В «ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ»

Во «Введении» «Элементарной геометрии» А. Ю. Давидов указывал, что все геометрические истины строятся на основе некоторой совокупности очевидных заключений, которые называются аксиомами. Тут же давал в качестве примера несколько аксиом: целое равно сумме всех своих частей; две величины, равные порознь третьей, равны между собой; целое больше каждой из своих частей, если от равных величин отнимем поровну, или к ним прибавим поровну, то получатся величины равные.3)

В учебнике А. Ю. Давидов прибегал к аксиоме совместимости («Величины, которые при наложении совмещаются всеми своими точками, равны между собою»), пользовался ею как известной (например, при рассмотрении случаев равенства треугольников), но

1) «Современная летопись», № 39, ноябрь, 1864 г., стр. 11.

2) К Мазинг — «Учебно-воспитательная библиотека», т. I, ч. 2, 1876, стр. 188.

3) «Элементарная геометрия», изд. 22, 1904, стр. 5.

нигде не формулировал. Такое положение сохранялось во всех первых 38 изданиях учебника.

Основные геометрические понятия А. Ю. Давидов считал неопределяемыми. Во «Введении» он делал замечание о невозможности точного геометрического изображения и логического определения линии, точки. А. Ю. Давидов указывал, что «понятие о прямой линии принадлежит к основным понятиям, не допускающим никакого определения»1)

Основные понятия в учебнике А. Ю. Давидова разъясняются. Средством для этого автор избрал принцип движения. Тело он характеризовал как результат движения поверхности, поверхность как результат движения линии, линию как результат движения точки.2) Наглядность, на которую делал ставку А. Ю. Давидов, прибегая к этим описательным формулировкам, является для автора важным методом трактовки геометрических образов. При дальнейшем изложении, представление об основных понятиях А. Ю. Давидов пытается углубить и развить, отправляясь от практики и восприятий человека посредством органов чувств.

Понятие о геометрических образах автор связывает с различными приемами практического получения изображения прямой линии, окружности, треугольников, многоугольников. Этой цели в учебнике служат описания приемов проведения прямых на бумаге, дереве (в плотничьих работах), на земной поверхности (провешивание); различных приспособлений и устройств для вычерчивания треугольников (чертежные угольники), окружности (циркуль), гомотетичных многоугольников (пантограф).

Аксиомы в учебнике А. Ю. Давидова приведены, так сказать, «для примера»; автор не давал и не претендовал на построение строгой аксиоматики и на ее основе строгой геометрической системы — например так, как изложены «Начала» Евклида. А. Ю. Давидов предпочел стремлению выдерживать предельную научную строгость в изложении аксиоматики — наглядность. Надо учесть, что вопрос об основах геометрии, поставленный построением Н. И. Лобачевским его гиперболической геометрии и последующим развитием других геометрий в период выхода первых изданий учебника А. Ю. Давидова только начал разрешаться.3) Отношение А. Ю. Давидова к аксиоматике отразилось на всем изложении учебника, в частности, на определениях.

1) «Элементарная геометрия», изд. 22, 1904, стр. 4.

2) Там же, стр. 4.

3) В 1866 г. Г. Гельмгольц выдвинул, как основное для геометрии, понятие движения и включил его в систему аксиом; в 1871 г. Г. Кантор, а в 1872 г. Р. Дедекинд сформулировали аксиомы непрерывности, в 1882 г. М. Паш формулировал аксиомы порядка; в 1899 г. Д. Гильберт дал полную и простую систему аксиом в «Основаниях геометрии».

Определения выражаются с помощью ряда математических понятий, смысл которых уже ясен (установлен), т. е. в конце концов с помощью основных понятий или системы аксиом. Так как аксиоматика в учебнике А. Ю. Давидова была несовершенна, то в нем встречаются определения, которые можно назвать «необоснованными». Обратимся к определению равенства углов данного А. Ю. Давидовым: «Два угла ABC и А1В1С1 называются равными, независимо от длины их сторон, когда, наложив вершину B1 на вершину В, а сторону B1A1 на сторону ВА, найдем, что другая сторона B1C1 сольется со стороною ВС».1) Однако, А. Ю. Давидов не определял понятия «равенства» геометрических объектов, а аксиомы совместимости у него не было.

К разряду «необоснованных» определений, являющихся следствием несовершенства аксиоматики в учебнике А. Ю. Давидова, относятся определения различных типов треугольников. Например, А. Ю. Давидов формулировал такое определение: «Треугольник ABC, имеющий прямой угол А, называется прямоугольником».2) Однако, в учебнике нигде нет утверждений, из которых бы следовала возможность существования прямого угла в треугольнике.

Наряду с определениями, опирающимися на аксиомы (указанные или не указанные А. Ю. Давидовым) в учебнике приводятся определения, строящиеся только на наглядных представлениях.

Эти определения выражены в такой словесной форме, чтобы она обеспечила возможность построения (хотя бы мысленно) определенного геометрического образа. Например, А. Ю. Давидов дает такое определение геометрическому месту точек: «Если рассматривать линию как происшедшую от перемещения точки, то в таком случае линия содержит все места, через которые точка последовательно переходила, и при таком представлении линия называется геометрическим местом точек, которые она содержит».3) Это определение характеризует геометрическое место точек как образ, который как бы рисует точка.

А. Ю. Давидов прибегал к наглядному определению геометрического места точек не потому, что не владел научным. Научное определение использовалось А. Ю. Давидовым «неявно», когда, например, он говорил об окружности, или прямой, проведенной через середину отрезка перпендикулярно к нему. Эти геометрические места рассматриваются не как перемещения точки, а как совокупности точек, обладающих особым, только им присущим, свойством. Это было замечено еще в конце 19 века («Педагогическая хроника», № 23—24, 1883).

Наряду с наглядными определениями, в основе которых лежит намеренное пренебрежение научной строгостью, А. Ю, Давидов да-

1) «Элементарная геометрия», изд. 22, 1904 г., стр. 9.

2) Там же, стр. 18.

3) Там же, стр. 4.

вал определения, общепринятые в то время, и поэтому некоторые из них через определенное время оказались устаревшими. Так, в 1902 г. К. Купфер в «Информационном листке Рижского общества естествоиспытателей» отмечал неправильность определения угла, содержащегося в ряде учебников, в том числе — Бобиллера, А. Ю. Давидова («Угол — неопределенная часть плоскости, заключающаяся между двумя прямыми»).1)

ТЕОРЕМЫ (ПРИЕМЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ) В «ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ»

Особенности в изложении аксиом, основных понятий и определений в учебнике А. Ю. Давидова сказались на изложении теорем.

Автор дает в своем учебнике некоторые предложения без доказательства в виде аксиом или с короткими пояснениями.

Например, вот как А. Ю. Давидов обосновывает положение о том, что две прямые пересекаются только в одной точке: «Две прямые, пересекающиеся в одной точке, в другой точке более встретиться не могут, потому что иначе через те же две точки проходили бы различные прямые, между тем как между двумя точками можно вообразить только одну прямую».2)

Однако, многие простые теоремы А. Ю. Давидова все же пытался доказать строго. Например, это относится к теореме о равенстве двух прямых углов.

Для всех способов доказательств, к каким бы из них А. Ю. Давидов не прибегал, характерно одна особенность — наглядность.

Например, для способа пределов характерно широкое использование наглядности в таком плане, что вместо доказательства теорем фактически указывалась только их интерпретация.

Проиллюстрирую сказанное на примере доказательства А. Ю. Давидовым теоремы об объеме шара:

«Теорема. Объем шара равняется произведению его поверхности на треть радиуса. Доказ. Вообразив на шаре значительное число точек, приблизительно равномерно распределенных по всей поверхности его, и через каждую точку—касательную плоскость, получим многогран пик, описанный около шара, который с увеличением числа точек, общих с шаром, беспредельно к нему приближается. Если же соединим центр шара со всеми вершинами многогранника, то многогранник разделяется на пирамиды, которые имеют высоту, равную радиусу шара, а основаниями — стороны многогранника. Объем всякой пирамиды равняется произведению основания на треть высоты, а пото-

1) К. Kupffer-Kritik zweier .Beweise“ des Parallelenaxiomes. .Korrespondenzblatt des Naturforscher-Vereins zu Riga*, XLV, 1902, стр. 78.

2) «Элементарная геометрия», изд. 22, 1904, стр. 7.

му объем многогранника будет равняться произведению его поверхности на треть радиуса. Из этого следует, что объем шара равняется произведению его поверхности на треть радиуса».1)

А. Ю. Давидов для доказательства теоремы строил некое описасанное около шара многогранное тело и исходил как из само собой разумеющегося, что пределом этого тела при неограниченном увеличении числа его граней будет шар. Таким образом, автор полностью основывался на наглядных представлениях и фактически не доказывал теорему, а строил наглядную интерпретацию для нее.

Еще один пример применения А. Ю. Давидовым способа пределов. Автор выводил правило приближенного вычисления площади криволинейной трапеции. При этом он рассуждал так. Чтобы вычислить площадь криволинейной трапеции ABNM, разобъем отрезок MN на п равных частей (см. рис. 1). Пусть длина каждой части будет равна с). Существенным в этом разделении является то, чтобы величина d была как можно меньше. Тогда дуги АС, CP, FB, на которые разделится кривая AB ординатами, проведенными из точек деления отрезка MN, «будут мало отличаться от прямых линий, а вся кривая AB близко подходит к многоугольнику, проходящему через точки А: С, Д, F, В».2) Автор здесь не обосновывает почему «дуги будут мало отличаться от прямых линий», а безмолвно рассчитывает на интуицию и наглядность. Явно, следовательно, способ пределов автор не привлекает, но опирается на него, так сказать, неявно.

Дальнейший ход мыслей А. Ю. Давидова таков. Для каждого участка d он рассматривает два прямоугольника — вписанный и описанный, у которых основания равны у Тогда, обозначив ординаты точек деления соответственно через уо, yi, уг, уп, можно записать, что площадь суммы всех трапеций будет равна:

Рис. 1

1) «Элементарная геометрия», изд. 22, 1904, стр. 278—279.

2) Там же, стр. 192.

А. Ю. Давидов отмечает, что площадь приблизительно равняетя площади криволинейной трапеции. Почему это так — он не объясняет. Теория предела и теория определенного интеграла служат источником для его рассуждений, но явно в них не фигурируют. Справедливость рассуждений автора доказывается на основе наглядных представлений и, следовательно, фактически только разъясняется идея, которую нужно доказать.

В той трактовке, какую сообщил автор этому материалу, последний хорошо доходил до сознания учащихся. Об этом свидетельствует заявление Е. Сабинина, указавшего, что прием, используемый А. Ю. Давидовым, удовлетворял степени развития начинающих изучать геометрию и устранял затруднение, встречаемое при сравнении кривой линии с ломаной1).

Как было замечено тем же Е. Сабининым, теоремы, не связанные с вопросами о кривых линиях или поверхностях, А. Ю. Давидов доказывал способом от противного или методом наложения. Последний случай представлен формами «наложения» и «приложения». Прежде чем пользоваться методом наложения, А. Ю. Давидов разъяснял, в чем он заключается и в каких случаях им пользуются. Он писал: «Один из простейших способов обнаружить равенство двух величин состоит в том, что одну величину накладываем на другую и удостоверяемся совпадают они или нет. Этот способ называется способом наложения, а совпадение самых величин—конгруенциею».2) Однако, А. Ю. Давидов нигде аксиоматически не установил возможность производить наложения. Этим методом автор пользовался во всех случаях доказательств равенства фигур.

В одном случае доказательства равенства треугольников (по гипотенузе и катету) А. Ю. Давидов видоизменяет способ наложения, превращая его в способ «приложения». Последний сводится к тому, что два треугольника не накладываются друг на друга, а прикладываются равными катетами.

Во многих случаях автор отдавал предпочтение доказательству от противного. Частое употребление автором метода от противного возможно связано с желанием вызвать у учащихся наибольший интерес к вопросу. Известно, что способность к пониманию логических доказательств находится в непосредственной зависимости от возможности пробудить сомнение там, где у учащихся его еще нет. Доказательство от противного несомненно способствует этому.

С точки зрения оформления доказательств учебник А. Ю. Давидова в методическом отношении стоял значительно выше многих математических руководств того времени.

Переходя к рассмотрению каждого геометрического предложения,

1) «Современная летопись», № 39, ноябрь, 1864 г., стр. 10.

2) «Элементарная геометрия», изд. 22, 1904, стр. 20.

А. Ю. Давидов давал четкую формулировку. Обязательно указывал, что это: теорема, аксиома или лемма. Причем формулировки выделял из текста, указывал что дано и что требуется доказать. Рассуждения, приведенные в доказательствах, составлял из отдельных умозаключений (шагов), обоснование которых опиралось на ранее доказанные предложения.

Доказательство сопровождалось чертежом, приведенным в тексте. Всего этого были лишены многие распространенные в то время учебники геометрии. Формулировки теорем в общем виде в них не давались. Расчленения доказательства на этапы не было. Строгость обоснований отдельных умозаключений в доказательстве очень часто не выдерживалась. Доказательства снабжались чертежами, которые обычно находились не в тексте, а на вставных таблицах в конце книги.

Чтобы убедиться в сказанном, достаточно обратиться к учебникам геометрии Ф. И. Буссе и П. Н. Погорельского, наиболее распространенным ко времени появления геометрии А. Ю. Давидова1).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМ И ВОПРОСЫ ЛОГИКИ В «ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ»

Логическая сторона доказательств теорем наиболее слабое место в изложении учебника.

Логическое несовершенство учебника А. Ю. Давидова обусловлено, в частности, игнорированием учения о видах теорем. Выбор теорем и приемов доказательств автор, по всей видимости, не ставил в соответствие с логическим содержанием теорем. В учебнике нередко можно обнаружить теоремы, для которых указаны обратная, противоположная, обратнопротивоположная теоремы. Причем для всех них даны отдельные доказательства.

Например, доказанные в учебнике А. Ю. Давидова теоремы: «Равные дуги стягиваются равными хордами», «Равные хорды стягивают равные дуги», «Большая дуга стягивается и большею хордою», «Большая хорда стягивает и большую дугу»2)—являются соответственно прямой, обратной, противоположной и обратнопротивоположной.

Приведенный пример теорем указан К. Мазингом в 1876 г. («Учебно-воспитательная библиотека» т. 1, ч. 2, отдел X) В 80-х гг. 19 в. А. Острогорский в «Материалах по методике геометрии» замечал что, разбирая зависимость величины хорды от ее расстояния от центра, доказывают прямую и обратную теоремы, т. е., что равные хорды одинаково отстоят от центра, и наоборот. Однако

1) Р. А. Симонов — «Август Юльевич Давидов». «Математика в школе», № 4, 1954 г.

2) «Элементарная геометрия», изд. 22, 1904, стр. 65—86, §§ 80—81.

доказанных теорем недостаточно для выяснения вопроса о том, лежит ли большая из двух неравных хорд ближе к центру или дальше Знакомство^ учением о видах теорем освобождает от подобной неэкономичной работы, указывает, что для выяснения вопроса достаточно доказать прямую и противоположную теоремы. Как на пример такой «неэкономичности» А. Острогорский указывает §§ 29 и 30 «Элементарной геометрии» А. Ю. Давидова. В этих параграфах доказываются четыре теоремы: прямая, обратная, противоположная и обратнопротивоположная о свойствах перпендикуляра и наклонной. («Разные наклонные имеют основания равно удаленные от основания перпендикуляра», и наоборот, «Из двух наклонных та, которая дальше отстоит от перпендикуляра, больше другой», и наоборот)1).

Таким образом, критиковать учебник А. Ю. Давидова с позиций учения о видах теорем начали в последней четверти 19 в. Прежде при оценке этого учебника, который вызвал полемику в педагогической печати сразу по выходе, речи об этом не было. Это по всей вероятности характеризует тот факт, что при выпуске книги и спустя некоторое время после -того учение о видах теорем еще не стало совершенным.

Погрешности логического характера в изложении теорем выражались в учебнике еще в такой форме. А. Ю. Давидов делал ссылки на прямые теоремы, а нужные для доказательства положения вытекали только из обратных, отсутствующих в учебнике.

По всей вероятности эти погрешности не обусловлены «духом времени», а есть результат оплошности автора или намеренного избегания строгости в изложении, так как уже первые рецензенты ставили эти ошибки ему в вину.

Первое замечание о существовании в учебнике ошибок такого рода было сделано «Книжником» (№ 4, апрель 1865 г.) по поводу следствия из теоремы о площади трапеции: «Площадь трапеции равняется средней линии, умноженной на высоту»2). Это следствие А. Ю. Давидов доказывал так. Он устанавливал, что площадь трапеции равняется полусумме параллельных сторон, умноженной на высоту, а затем в формуле вместо полусуммы подставлял среднюю линию, мотивируя правомерность такой замены ссылкой на теорему: «Линия, соединяющая середины двух непараллельных сторон трапеции, ... 2) равняется полусумме двух других сторон»3). В действительности же он пользуется положением, что полусумма парараллельных сторон трапеции равняется ее средней линии, т. е. не названной теоремой, а ей обратной, о которой нигде в учебнике не упоминается.

К этому примеру можно прибавить еще несколько подобных. На

1) «Элементарная геометрия», изд. 22, 1904, стр. 30—31 § 29—30, в предшествующем случае — стр. 86—87, §§ 82—83.

2) Там же, стр. 147—148, § 143.

3) Там же, стр. 45—46, § 46.

основании утверждения, что «центры двух касательных окружностей и точки касания лежат на одной прямой»1) А. Ю. Давидов делал неверный вывод о том, что «две окружности имеют внутреннее касание, когда расстояние их центров равняется разности их радиусов, и внешнее—когда это расстояние равняется сумме их радиусов»2). Действительно, последнее заключение можно делать, если было бы известно, что окружности будут касательными (т. е. не будут иметь другой общей точки), если имеют общую точку на линии, соединяющей центры окружностей. А это утверждение есть ничто иное как обратная теоремы о центрах двух касающихся окружностей.

Еще пример. А. Ю. Давидов делал вывод о том, что линейный угол образуется пересечением сторон двугранного угла плоскостью, перпендикулярной к его ребру3). При этом он ссылался на положение о том, что плоскость, проведенная через перпендикуляры к точке на ребре двугранного угла, лежащие в его гранях, будет перпендикулярна к ребру. Это неверно. Вывод, сделанный А. Ю. Давидовым, был бы уместен, когда бы предварительно было замечено, что плоскость, перпендикулярная к ребру двугранного угла, пересекает его стороны по линиям, перпендикулярным к ребру, т. е. когда бы было высказано положение, обратное приведенному. Два последних примера были разобраны в рецензии А. Воронова («Журнал Министерства Народного просвещения», ч. CXXXIV, 1867).

Еще один вид логического несовершенства доказательства теорем в изложении учебника. Этот вид можно охарактеризовать с помощью примера указанного А. Вороновым в той же рецензии. Логическая порочность рассуждений А. Ю. Давидова проявлялась в том, что он, допуская некоторое предложение и опираясь на последнее, доказывал некоторую теорему, а затем из этой теоремы выводил справедливость допущенного предположения.

Доказательство теоремы о пересечении окружностей «Две пересекающиеся окружности имеют всегда две общие точки»4) держится на предположении (в учебнике не высказываемом), что две окружности всегда имеют две общие точки, причем положение точек пересечения подразумевается всегда вне линии центров. Из этой теоремы А. Ю. Давидов выводит следствие, которое является самим предложением, на котором основано доказательство теоремы: «Если две окружности имеют общую точку, которая лежит вне линии, соединяющей центры, то они имеют еще одну общую точку».5)

Для многих теорем А. Ю. Давидов указывал обратную теорему, причем всегда одну. Слабость разработки учения о видах теорем ска-

1) «Элементарная геометрия», изд. 22, 1904, стр. 115, § 118.

2) Там же, стр. 115. § 118

3) Там же. стр. 213, § 210

4) Там же, стр. 114—115, § 116

5) Там же, стр. 115.

залась в том, что автор не всегда обратную теорему связывал с характером содержания прямой теоремы.

Среди обратных теорем в учебнике содержатся такие, которые в действительности обратными не являются. Одна теорема получила известность более широкую, перекочевав со страниц учебника в книгу проф. Асмуса «Логика». Этот пример подробно разобран в «Материалах по методике геометрии» А. Острогорского. Речь идет о теореме «Вертикальные углы равны между собой».1) Обратную теорему А. Ю. Давидов формирует так «Если два равных угла АОВ и СОД имеют общую вершину О и две стороны OB и ОС на одной прямой, то и две другие стороны OA и ОД составляют одну прямую линию, и поэтому углы АОВ и СОД противоложные»2) (см. рис. 2). Чтобы теорема была справедлива, нужно к формулировке после слов «две стороны OA и ОД» добавить фразу «расположенные по разные стороны этой прямой».

А. Ю. Давидов писал: «Равным образом равноугольный многоугольник АВСДЕР, вписанный в круге, будет всегда и равносторонним»3). Следовательно автор утверждает, что всякий вписанный в круг прямоугольник должен быть якобы квадратом. Явная нелепость.

Еще одно подобное ложное утверждение, фигурирующее как обратная теорема: «Равносторонний описанный многоугольник будет всегда и равноугольный, т. е. правильный»4). Выходит, что каждый ромб должен быть также квадратом.

Эти теоремы были изъяты из учебника (в 4-м издании их уже нет).

Вызывает недоумение то обстоятельство, что при переработке учебника в 1922 г. отмеченные логические несовершенства не были устранены.

ВОПРОСЫ ЧАСТНОЙ МЕТОДИКИ В «ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ»

Ограничимся характеристикой изложения в учебнике темы пропорциональные отрезки, теории параллельности в теории пределов.

После введения понятия общей меры А. Ю. Давидов определяет что называется отношением отрезков, и какие отношения отрезков— пропорциональными. Далее следуют теоремы о пропорциональных

Рис. 2

1) «Элементарная геометрия», изд. 22, 1904, § 7, стр. 14.

2) Там же, § 7, стр. 14.

3) Там же, изд. 2, 1865, § 126, стр. 117.

4) Там же, стр. 118, § 128.

отрезках, являющиеся базой для теории подобия треугольников. Это теоремы: «Две параллельные линии, пересекающие стороны угла, отсекают от них пропорциональные части»1); «Линии, выходящие из одной точки, рассекаются двумя параллельными линиями на пропорциональные части»2) ; «Части двух прямых, заключающиеся между тремя параллельными линиями, пропорциональны»3).

Первая теорехма доказывается для случаев соизмеримости и несоизмеримости отрезков4), остальные—доказываются на основе первой. Вот как проводит А. Ю. Давидов доказательство этой теоремы.

чтобы доказать, что существует пропорция-'=- (см. рис. 3), А. Ю. Давидов сперва рассматривает неравенство ßQ >> гатем «выправляет» его с помощью выбора некоторой точки X, лежащей левые Bi: = Разделив OAi на такое число равных частей, чтобы одна из точек деления попала между В и X (точка К), автор проводит через неё KD, параллельную AAi. Т. к. отношение — соизмеримо, то можно написать (теорема для случая соизмеримости уже доказана): = — .Разделив это равенство на указанное прежде, он получал пропорцию = .

Она невозможна, так как ßQ <. 1, а ^ >> 1. Достигнуто противоречие. Предполагаемое доказано.

Рис. 3

1) «Элементарная геометрия», изд. 22, 1904, § 50, стр. 52—54.

2) Там же, § 51, стр. 54—55.

3) Там же, § 52. стр. 55.

4) Доказательство, по всей вероятности, заимствовано А. Ю. Давидовым из учебника Ф. И. Буссе «Основания геометрии», 1845 г.

Ошибочность этого доказательства, как указал выдающийся русский математик А. Н. Коркин1), заключается в безосновательности предположения о возможности существования точки X. Таким образом, попытка А. Ю. Давидова исправить Евклида в теории отношения отрезков оказалась неудачной.

Изложенный прием пропорционального деления отрезков применяется А. Ю. Давидовым в теоремах: «Центральные углы относятся между собой как соответствующие им дуги»2) ; «Площади двух прямоугольников, имеющих одинаковые основания, относятся между собой как высоты»3); «Объемы двух прямоугольных параллепипедов, имеющих одинаковое основание, относятся между собой как высоты».4).

Теоремы, необходимые для установления основных положений теории параллельности в учебнике геометрии А. Ю. Давидова расположены во второй («О фигурах») и третьей, специально посвященной этому вопросу главе («Параллельные линии»). Теореме параллельности предшествуют следующие четыре предложения: «Во всяком треугольнике внешний угол более каждого из внутренних углов не смежного с ними»5), «Два прямоугольных треугольника с равными гипотенузой и острым углом равны»6), «Из одной точки можно опустить на прямую линию только один перпендикуляр»7), «Две линии, перпендикулярные к третьей линии, параллельны между собой»8).

Теорема параллельности сформулирована в следующем виде «Две линии, пересеченные третьей линией, параллельны, когда внутренние накрестлежащие углы равны».9) Аналогично формулируемые утверждения для внешних накрестлежащих, соответственных, внутренних и внешних односторонних углов, выводятся как следствия из § 33. В §34 формулируется аксиома параллельности (евклидов постулат в измененном виде) : «Две линии AB и СД, из которых одна СД перпендикулярна к пересекающей EF, а другая AB составляет с ней острый или тупой угол, при продолжении пересекаются»10).

В подстрочном примечании к 37 странице А. Ю. Давидов разъясняет почему именно в такой форме им взята аксиома параллельности. Он считал евклидову формулировку пятого постулата (или одиннадцатой аксиомы) для школьного учебника геометрии мало

1) См. Д. А. Граве — «Трактат по алгебраическому анализу», т. I, Киев, 1938 г., стр. 16—17.

2) «Элементарная геометрия», изд. 22, 1904, стр. 91—93, § 90.

3) Там же, § 138, стр. 140—142.

4) Там же, § 258, стр. 245—247.

5) Там же, § 19, стр. 24.

6) Там же, § 24, стр. 26.

7) Там же, § 27, стр. 28—29.

8) Там же, § 32, стр. 34.

9) Там же, § 33, стр. 34—35.

10) Там же, § 34, стр. 35.

пригодной в силу ее недостаточной очевидности. Автор отчетливо констатирует, что V постулат недоказуем. Затруднения школьного изложения теории параллельности, по мысли А. Ю. Давидова, заключаются в выборе предложения, эквивалентного V постулату, «столь очевидного, чтобы оно могло быть допущено без доказательства»,... «как истина сама собою очевидная».1)

В учебнике после аксиомы параллельности идет теорема параллельности (обратная) : «Параллельные линии с пересекающею образуют внутренние накрестлежащие углы равные»2). Справедливость этого положения для других углов (внешних накрестлежащих, внешних односторонних и пр.) обнаруживается посредством следствий.

Опираясь на данную в указанной формулировке аксиому параллельности (§ 34), А. Ю. Давидов теорему § 35 доказывает следующим образом.3) Из середины отрезка прямой, пересекающей параллельные прямые, заключенного между ними, опускается перпендикуляр на одну из параллельных линий. Далее автор утверждает, что этот перпендикуляр, будучи продолжен, пересечет другую параллельную линию (уже вторую) под прямым углом якобы на основании §34.

Это неверно. Сама аксиома прямо не указывает на обязательность пересечения перпендикуляром второй параллельной прямой. Нужно доказать, что перпендикуляр, опущенный из середины прямой, пересекающей две параллельные прямые, на одну параллельную, образует со второй прямой угол. Тогда будет ясно, что перпендикуляр, опущенный на первую параллель, пересечет и вторую параллель, причем под прямым углом. Пропущенное, таким образом, здесь А. Ю. Давидовым утверждение все же содержится в учебнике (хотя в несколько усложненной, зато более общей форме). Об этом свидетельствует теорема § 38, которая гласит: «Если углы с параллельными сторонами обращены своими отверстиями в одну сторону или в прямопротивоположные стороны, то они равны».4).

Сразу же бросается в глаза чрезвычайная разбросанность и непомерная длина цепи теорем, составляющих теорию параллельности. Звенья цепи составляют §§ 19, 24, 27, 32, 33, 34, 35, 38. Немудрено в ней запутаться как самому автору, так и его рецензентам. Так К. Мазинг, написавший большую претенциозную рецензцию на «Элементарную геометрию» («Учебно-воспитательная библиотека», т. I, ч. 2, отдел X, 1876), не заметил, что теория параллельности имеет погрешности в смысле строгости. Еще в пятидесятых годах в полемике между «Книжником» и «Журналом для родителей и наставников» об учебнике А. Ю. Давидова было вскрыто, что автор до-

1) «Элементарная геометрия», изд. 22, 1904, стр. 37, § 35.

2) Там же, стр. 36—37, § 35.

3) Доказательство, по всей вероятности, взято А. Ю. Давидовым из учебника Ф. И. Буссе «Основания геометрии», 1845 г.

4) «Элементарная геометрия», изд. 22, 1904, стр. 39, § 38.

пускал неточность, предполагая возможность пересечения перпендикуляра со второй параллелью вытекающей из аксиомы параллельности, тогда как эта возможность вытекает из следствия этой аксиомы. «Книжником» же было указано, что идя по выбранному А. Ю. Давидовым пути можно построить строгую теорию параллельности, стоит только перенести § 38, поставив его до § 35 и делая на перенесенный 38 параграф ссылку вместо той, которую делал А. Ю. Давидов при доказательстве теоремы параллельности (§ 35). Это обстоятельство К. Мазинг также не заметил, так как § 38 в учебнике считал лишним.

Изложение теории пределов у А. Ю. Давидова отличается простотой, доступностью, достигнутых благодаря пренебрежению научной строгостью. Объем, занимаемый теорией пределов, у А. Ю. Давидова крайне мал: всего три с половиной страницы. Но на этих страницах даются определения величин переменных и постоянных, предела, бесконечномалой величины («Переменная величина, которая имеет пределом нуль и неограниченно приближается к нему»1), а также доказательства двух теорем: «Если две переменные величины при всех своих изменениях равны между собою, то равны и пределы их2) ; «Если две переменные величины при всех своих изменениях сохраняют между собою одно и то же отношение, то в том же отношении будут и пределы их».3) Теоремы нуждаются в уточнениях —следует добавить еще условие существования предела у одной из переменных. Кроме того А. Ю. Давидов не привел признаков существования предела, а всюду основывался на наглядных представлениях.

Конечно изложение теории пределов у А. Ю. Давидова можно назвать наивным по сравнению с современным научным подходом к этому вопросу. Однако, доступность, простота, понятность изложения очевидна, и именно с этой стороны представляет интерес.

ВОПРОСЫ ДИДАКТИКИ В «ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ»

Дидактический принцип связи теории с практикой лежит в основе изложения материала в учебнике геометрии А. Ю. Давидова.

Связь теории с практикой в учебнике геометрии А. Ю. Давидова характеризуется наличием большого материала, показывающего как используются изучаемые в школе геометрические закономерности в практической деятельности человека — в труде, при устройстве различных приборов и механизмов, а также стремлением обращаться к предметам материального мира и среди них находить проявление геометрических закономерностей. Это стремление автора нашло выражение в широком использовании метода наглядности и упражнениях.

1) «Элементарная геометрия», изд. 22, 1904, § 171, стр. 174.

2) Там же, § 132, стр. 175.

3) Там же, § 133, стр. 175—176.

О том, что идея связи теории с практикой в учебнике А. Ю. Давидова была поставлена в более широком плане, чем в прежних учебниках, свидетельствует роль практических упражнений в нем.

Каждый крупный раздел учебника завершался задачами на построение (помимо тех, которые уже содержатся в тексте), тесно связанными с этим разделом. Например, к главе «О фигурах» даны задачи (9 штук), в которых получило яркое отражение важнейшее для этого раздела положение о равенстве треугольников. Эти задачи позволяют рассматривать признаки равенства треугольников как условия, определяющие треугольник.

Задачи на построение у А. Ю. Давидова связывают отдельные разделы учебника между собой. Например, число задач на построение треугольников не исчерпывается этим количеством (9 задач). В конце следующего отдела «О параллельных линиях» приведены еще четыре задачи на построение треугольников. Это задачи, для решения которых требуется использование нового материала. Решая эти задачи, учащийся объединяет сведения, приобретенные в двух последних параграфах.

О влиянии на преподавание математики в школе упражнений, приведенных в «Элементарной геометрии», и о большом интересе к ним со стороны учительских кругов свидетельствует издание ряда учебных руководств, посвященных геометрическим упражнениям А. Ю. Давидова.

В 1870 г. вышло «Решение наиболее трудных задач, помещенных в геометрии А. Ю. Давидова», составленное С. Мозговым. Последний предназначал свое пособие для учащихся, желая облегчить им решение задач, приведенных в «Элементарной геометрии» А. Ю. Давидова. Он указывал, что некоторые задачи вызывают затруднения не только у учащихся, но и у преподавателей. Это обстоятельство побудило С. Мозгова опубликовать решения наиболее трудных планиметрических задач на построение, входящих в число 256, указываемых А. Ю. Давидовым в конце разделов учебника. С. Мозгов приводит решение для 63 задач, сохраняя для них номера, под которыми они находятся в учебнике А. Ю. Давидова. В 1875 г. это пособие вышло вторым изданием. От первого оно отличалось изменениями в решениях отдельных задач из числа тех же 63-х задач, которые входили и в 1-е изд.

В Москве в 1875 г. А. Фаворским была издана книга с длинным названием «Решение всех задач геометрии Давидова и конспект геометрии по программе для желающих вступить в университет или сдать экзамен на учителей уездного или домашнего». Выход этого учебного пособия свидетельствует о том, что поступающие в Московский университет или сдающие при нем экзамены для получения звания домашнего или уездного учителя, готовились по учебнику А. Ю. Давидова, как очевидно наиболее удовлетворяющему университетской программе для абитуриентов или экзаменующихся учите-

лей. Это предположение находит фактическое подтверждение в архивных материалах свидетельствующих о первостепенной роли А. Ю. Давидова в составлении программ по математике для поступающих в университет (см. стр. 62—63).

Помимо разъяснения решения задач, находящихся в «Элементарной геометрии» А. Ю. Давидова, в книге содержится «Конспект геометрий». В примечании А. Фаворский указывает: «Конспект составлен по Геометрии профессора Давидова, поэтому чертежи указанные в нем следует смотреть в самом руководстве».1) «Конспект геометрии» занимает 72 страницы и представляет собой краткое изложение всех глав «Элементарной геометрии» А. Ю. Давидова. В 1877 г. это пособие с некоторыми изменениями вышло вторым изданием.

В 1888 г. уже после смерти А. Ю. Давидова была издана его книга «Собрание геометрических задач (посмертное издание).» В предисловии «От издателя» высказываются некоторые мысли о значении задач в «Элементарной геометрии» и о методико-математической работе А. Ю. Давидова в последний год жизни.

Задачник содержит около 1000 задач на доказательство и построение по планиметрии с разъяснениями их решения. Издатель считал, что задачи на построение в «Элементарной геометрии» А. Ю. Давидова не столько представляют интерес как упражнения для учащихся, сколько своего рода дополнение, расширяющее границы теории. Он писал, что упражнения в учебнике геометрии А. Ю. Давидова имеют «целью уяснение способов применения полученных выводов к решению важнейших геометрических задач помощью построения и ознакомление с общими методами подобных решений».2) «Материалом для упражнений» он считал введенное в учебник добавление из 337 задач на вычисление. В книге имеется ряд неточностей. Так, добавление из 337 задач было введено в «Элементарную геометрию» не в 1883 г. (13 изд.), как указывал издатель, а в 1877 г. (10 изд.). 10-е, 11-е, 12-е издания и все последующие это дополнение уже содержат.

Как указывает издатель, над задачником по геометрии А. Ю. Давидов работал в последний год жизни (1885). Закончить книгу ему помешала смерть.

А. Ю. Давидов принадлежит к числу методистов-математиков, понявших необходимость использования в преподавании математики принципа историзма. Рецензируя (1874) учебник физики для гимназий Н. Любимова, который содержал сведения исторического характера, А. Ю. Давидов указывал, что введение в учебник исторического элемента, приноровленного к педагогическим целям, есть важное нововведение, заслуживающее полного внимания. Еще за двадцать

1) А. Фаворский. Решение всех задач геометрии Давидова, 1875 г., стр. 68.

2) А. Ю. Давидов — «Сборник геометрических задач», «От издателя», 1888 г., стр. III—IV.

лет до этого А. Ю. Давидов при работе над «Элементарной геометрией» понимал важность исторического элемента для математического учебника. Об этом свидетельствует содержание учебника.

Принцип историзма получил осуществление в учебнике геометрии А. Ю. Давидова в следующих чертах. Во-первых, через сведения чисто исторического, повествовательного характера, даваемые в самом тексте и в подстрочных примечаниях; во-вторых, через указания на авторов отдельных теорем и доказательств, на возникновение названий некоторых математических терминов, а также на источники по истории математики; в-третьих, через введение в текст доказательств и примеров, несущих в себе историко-математический элемент.

Дидактический принцип наглядности в обучении математике в учебнике геометрии А. Ю. Давидова получил решающее место.

Учебник геометрии А. Ю. Давидов показывает, что восприятию конкретных образов он отводил значительное место в изучении геометрии в школе.

Принцип наглядности в учебнике геометрии осуществляется, во-первых, посредством привлечения предметов окружающей действительности для иллюстрации теоретических положений; во-вторых, путем употребления принципа движения, как в формулировках, так и в доказательствах теорем; в-третьих, посредством чертежей, различных рисунков и таблиц; в-четвертых, через сведения о различных наглядных пособиях и инструментах; в-пятых, посредством задач.

Уже в первом параграфе, говоря о прямой линии, он обращается к примеру следа, оставленного окрашенной веревкой. От веревки к ее следу, затем к графическому изображению линии, далее к абстрактному осмысливанию этого геометрического образа направляет познавательную деятельность учащегося учебник А. Ю. Давидова.

Принцип движения использован А. Ю. Давидовым двояким образом. Во-первых, как средство определения геометрических понятий и как основу доказательства, характеризующегося операциями «накладывания» и «прикладывания»; во-вторых, как особый метод доказательства, основанный на наглядном представлении, а не на формально-логической схеме.

Приемы применения А. Ю. Давидовым дидактического принципа наглядности разработанные в «Элементарной геометрии», нашли приложение в его втором учебнике геометрии—«Геометрии для уездных училищ» (1873).

ПОЯВЛЕНИЕ «НАЧАЛЬНОЙ АЛГЕБРЫ» А. Ю. ДАВИДОВА, ОТНОШЕНИЕ К НЕЙ КРИТИКИ

«Начальная алгебра» А. Ю. Давидова вышла в 1866 г. Как и предыдущий его учебник — «Элементарная геометрия», она вызвала целый ряд противоречивых критических отзывов. Среди первых рецензий на учебник1) были такие, в которых не отмечались недостатки ни в изложении, ни в композиции нового учебного руководства, в них рассматривалось, как положительное явление, наличие в учебнике большого научного материала, который мог быть использован «при слушании университетских лекций математики» («Московский университетские известия», № 2, 1866/67). Другие рецензенты сразу обратили внимание на недостатки учебника. А. Воронов в пятом номере «Журнала Министерства народного просвещения» (часть CXXXIV) за 1867 г. указал ряд видов погрешностей логического характера в рассуждениях автора, аналогичных тем, которые имелись в учебнике геометрии. В доказательствах А. Ю. Давидов пользовался приемом, логическую несостоятельность которого А. Воронов зафиксировал такой схемой: «Если я стану рассуждать, принимая за справедливое такое положение, которое требует доказательства и приду к заключению верному, то мое исходное положение также верно».2).

Руководствуясь этим порочным в логическом отношении приемом, А. Ю. Давидов выводил правило умножения многочлена на одночлен, объяснял как с помощью непрерывных дробей можно найти пару целочисленных значений, удовлетворяющих уравнению ах + + ву = с, доказывал равенства:

Другой вид логических погрешностей «Начальной алгебры», характеризуется тем, что ее автор приводил следствия, якобы вытекающие из прямых теорем, тогда как, по существу, они могут быть выведены лишь из обратных. Сформулировав теорему Виета: сумма корней квадратного уравнения равняется коэфициенту при неизвестном первой степени, взятому с обратным знаком... и т. д., как на след-

1) Использованы рецензии, помещенные в следующих периодических изданиях: «Московские университетские известия», № 2, 1866/67; «Журнал Министерства народного просвещения», № 5, ч. CXXXIV, 1867; «Отечественные записки», № 3, 1870; «Учебно-воспитательная библиотека», т. I, ч. 2, отдел X, 1876.

2) ЖМНП, № 5, CXXXIV, 1867, стр. 712.

3) «Начальная алгебра», 1883, изд. 10. соответственно стр. 38—39 (§ 37), стр. 385—386 (§ 363), стр. 75—76 (§ 80), стр. 201 (§ 191).

ствии из нее А. Ю. Давидов указал закон составления уравнений по зависимости между корнями и коэффициентами уравнения1). Однако, этот закон следует не из теоремы Виета, а из обратной ей. Такую же ошибку допускал автор, когда полагал, что утверждение «хт+аш не делится на х—а, потому что при х=а выражение хт+аш не обращается в нуль»2) вытекает как следствие из теоремы Безу.

К числу рецензий на первые издания учебника принадлежит отзыв Н. Водовозова («Отечественные записки», № 3, 1870) о третьем издании «Начальной алгебры». Рецензент отмечал простоту, с которой в учебнике даны объяснения (с помощью примеров) правил решения задач, для которых соблюдалась постепенность перехода от простых к более сложным. Н. Водовозов обращал внимание на большое число задач для упражнений, приведенных в учебнике. Рецензент считал, что высокое качество учебного материала, изложенного в «Начальной алгебре» крупным шрифтом, делает учебник «несколько удобнее других—обыкновенных руководств алгебры, у нас употребляемых»3).

Н. Шишкин в обзоре трех учебников алгебры: А. Ю. Давидова (1875, 7 изд.), А. Малинина и К. Буренина (1875, 4 изд.), А. Леве (1874, 4 изд.) («Учебно-воспитательная библиотека», т. I, ч. 2, отдел X, 1876) указывал на ограниченность объема материала в учебнике А. Ю. Давидова, напечатанного крупным шфиртом. Рецензент неудоумевал почему в «Начальной алгебре» бином Ньютона с целым показателем и теория соединений напечатаны мелким шрифтом, т. е. не предназначаются автором для обыкновенного гимназического курса. Н. Шишкин отмечал известную «концентричность» в изложении некоторых вопросов в «Начальной алгебре», например, материала об арифметических действиях и др. Вывод правила вычитания, материал об иррациональных числах и др. А. Ю. Давидов разбивал на части и помещал их в разных местах учебника. Рецензент выступал против концентризма в изложении отдельных вопросов в учебнике. Он считал (хотя такая форма изложения учитывает интересы учителей, так как соответствует тому, как этот материал излагается перед учащимися), что такое расположение в учебнике не уместно, так как при этом теряется ясность представления о выводе.

Н. Шишкин отмечал как положительное качество учебника А. Ю. Давидова (в отличие от двух других учебников) стремление автора давать обоснования в тех случаях, где обычно довольствуются разъяснениями с помощью примеров. Так, правило знаков при делелении А. Ю. Давидов не просто разъяснял на примерах, а пытался обосновать. Определение предмета школьной алгебры, данное А. Ю. Давидовым, рецензент считал «странным и непонятным». Ана-

1) «Начальная алгебра», 1883, изд. 10, стр. 305 (§ 290).

2) Там же, стр. 60, § 61.

3) «Отечественные записки», № 3, 1870, стр. 37.

логично относился H. Шишкин к изложению в «Начальной алгебре» теории отрицательных чисел.

Сравнивая реакцию критики на два первых учебника А. Ю. Давидова — геометрии и алгебры, видим, что в отношении первых изданий «Начальной алгебры» она не была такой бурной.

ИЗДАНИЯ «НАЧАЛЬНОЙ АЛГЕБРЫ»

Характер работы автора над учебниками алгебры и геометрии в ходе их переиздания аналогичен. Как это имеет место в отношении «Элементарной геометрии», переработке теоретический материал учебника алгебры был подвергнут в первых трех изданиях, т. с. в 60-х годах. В дальнейшем автор теоретическое содержание «Начальной алгебры» не изменял. Однако к упражнениям для самостоятельной работы (как это имело место для учебника геометрии) автор вернулся позже: некоторые исключил, добавил новые, в общем, увеличил их число на 350 (в 1—7 изд. было 1221 упр. в 9 изд.—1571).

Больше половины изданий «Начальной алгебры» вышло уже после смерти А. Ю. Давидова (начиная с 11 изд., 1887 г.). Первые четыре издания, вышедшие после этого (11, 12, 13, 14 изд.) были копией предыдущих (9, 10 изд.), 15 издание (1905 г.) было переработано В. Ф. Найденовым. В этом виде учебник выдержал еще 9 изданий (по 23 изд. 1918 г.). В советское время учебник был переработан. В 1922 г. и вышел последним 24 изданием.

Приводим таблицу некоторых сведений об изданиях «Начальной алгебры».1) :

1) 8, 14, 19 издания учебника просмотреть не удалось.

Порядок издания

Год издания

Место издания

Число страниц

Автор

1

2

3

1866

1867

1868

Москва. Издание книгопродавцев братьев Салаевых

То же

590+VII

586+III

507+III

А. Давидов, ординарный профессор императорского Московского университета

4

5

1870

1871

»

»

508+III 508+III

То же

6

1872

508+ IV

7

1Ь75

»

508+ IV

»

9

1879

Москва. Издание книжного магазина Ф. И. Салаева

526+II

10

1883

Москва. Издание книжного магазина наследников бр. Салаевых

526+II

11

1887

Москва. Издание книжного магазина В. Думного под фирмою «Наследники бр. Салаевых»

528

12

1892

То же

528

»

13

1897

»

528

15

1905

Москва. Издание книжного магазина В. Думного под фирмою «Наследники бр. Салаевых»

472

Издание просмотрено и исправлено преподавателем Николаевской инженерной Академии и Училища, Военным инженером В. Ф. Найденовым

Продолжение

Порядок издания

Год издания

Место издания

Число страниц

Автор

16

1908

То же

472

То же

17

1908

»

»

18

1910

I

472

20

1913

Москва. Издание торгового дома Думнов, Клочков, Луковников и К°, торгующего под фирмою «В. В. Думном Наследники бр. Салаевых»

472

2,

1914

Москва. Издание товарищества «В. В. Думнов Наследники бр. Салаевых»

472

»

22

1917

Москва — Петроград. Издание товарищества «В. В. Думнов Наследники бр. Салаевых»

472

А. Давидова, б. ординарного и т. д. Издание 22 без изменения с 21-го. просмотренного и т. д.

23

1918

То же

472

То же

24

1922

Москва. Государственное издательство. Издана по заказу Госиздата издательством «Время» в Петрограде

504

Переработано и дополнено И. И. Давидовым при участии А. M Билибина и В. В Люша.

Первое издание «Начальной алгебры» (1866 г.) делилось на отделения, каждое из которых разбивалось на главы, главы — на разделы, последние — на параграфы. Нумерация параграфов была общей для всех глав. В конце многих глав помещались упражнения для самостоятельной работы учащихся, а в конце книги в отделе «Решения задач» — ответы к задачам, с указаниями для некоторых из них пути решения. О композиции учебника дает представление его оглавление.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Отделение I. Основные алгебраические действия

Глава I. Объяснение и употребление алгебраических знаков. Задачи.

Глава II. Положительные и отрицательные величины. Сложение, вычитание, умножение и деление отрицательных величин.

Глава III. Предварительные действия над алгебраическими выражениями. Перестановка членов многочлена. Приведение. Употребление скобок. Расположение многочлена. Задачи.

Глава IV. Сложение и вычитание. Задачи.

Глава V. Умножение. Умножение одночленов и многочленов. Задачи.

Глава VII. Об общем наибольшем делителе. Задачи.

Глава VIII. Алгебраические дроби. Сокращение дробей. Приведение их к общему знаменателю. Четыре основных действия с дробями. Задачи.

Глава IX. Непрерывные дроби.

Глава X. Отношения и пропорции.

Отношения и пропорции. Пропорциональность. Гармонические пропорции. Соизмеримые и несоизмеримые величины. Задачи.

Отделение II. Уравнения первой степени

Глава I. Решение уравнений 1-ой степени с одним неизвестным. Об уравнениях вообще. Решение уравнений 1-ой степени с одним неизвестным. Задачи.

Глава II. Составление уравнений. Задачи.

Глава III. Уравнения с двумя неизвестными. Уравнения с двумя неизвестными. Четыре способа исключения. О числе возможных решений двух уравнений с двумя неизвестными. Задачи.

Глава IV. Уравнения со многими неизвестными. Решение уравнений с тремя неизвестными. Решение уравнений со многими неизвестными. Об определителях. Задачи.

Глава V. Составление уравнений со многими неизвестными. Задачи.

Глава VI. Исследование уравнений первой степени. Исследование уравнений первой степени с одним неизвестным. Исследование уравнений с двумя и тремя неизвестными. Задачи.

Отделение III. Степени, корни и квадратные уравнения

Глава I. О степенях и корнях. Возведение в степень. Корни и действия над выражениями иррациональными. Задачи.

Глава II Обобщение понятия о степени. Степени дробные и отрицательные. Задачи.

Глава II. Извлечение квадратного корня. Извлечение квадратного корня из чисел. Извлечение квадратного корня из алгебраических выражений. Задачи.

Глава III. Извлечение квадратного корня. Извлечение квадратного корня из чисел. Извлечение квадратного корня из алгебраических выражений. Задачи.

Глава IV. Извлечение кубичного корня. Извлечение кубичного корня из чисел. Извлечение кубичного корня из алгебраических количеств. Задачи.

Глава V. Соединения. Соединения. Фигурные числа. Задачи.

Глава VI. Бином Ньютона. Бином Ньютона для целых и положительных показателей. Распространение бинома Ньютона на дробные и отрицательные показатели. Задачи.

Глава VII. Решение квадратных уравнений. Задачи.

Глава VIII. Исследование квадратного уравнения. Задачи.

Глава IX. Уравнения приводимые к уравнениям квадратным. Задачи.

Глава X. Уравнение 2-ой степени со многими неизвестными. Задачи.

Глава XI. О трехчленном количестве. Задачи.

Глава XII. О мнимых величинах. Задачи.

Глава XIII. Уравнение третьей и четвертой степени. Задачи.

Отделение IV. Неопределенный анализ.

Глава I. Неравенства. Задачи.

Глава II. Неопределенные уравнения. Неопределенные уравнения с двумя неизвестными. Неопределенные уравнения со многими неизвестными. Неопределенные уравнения 2-ой степени. Задачи.

Глава III. Некоторые предложеия о числах.

Отделение V. Прогрессии и логарифмы.

Глава I. Прогрессии арифметические. Задачи.

Глава II. Прогрессии геометрические. Задачи.

Глава III. О рядах. Суммирование рядов. Сходимость рядов.

Глава IV. О логарифмах. Свойство логарифмов. Логарифмические строки. Способ неопределенных коэфициентов. Задачи.

Глава V. Составление и употребление обыкновенных тригонометрических таблиц. Задачи.

Глава VI. Вычисление срочных процентов и срочных уплат. Задачи.

Решение задач.

Как видно из оглавления, у А. Ю. Давидова непрерывные дроби находятся в 1-м отделении («Основные алгебраические действия»), а приложения их в соответствующих главах. «Соединения» и «Бином Ньютона» помещаются в 3-м отделении перед квадратными уравнениями. Вопрос об экстремальных значениях квадратного трехчлена помещается в первых изданиях в 3-м отделении, а затем в 4-м («Неопределенный анализ»), соответственно с этим менялось содержание параграфа о решении неравенства 2-й степени. Глава «Обобщение понятия о показателе» помещена после действий над радикалами и после главы, где говорится о несоизмеримых величинах. Такое расположение материала, как у А. Ю. Давидова, обеспечивает тесную связанность отдельных вопросов.

Не все в учебнике А. Ю. Давидова расположено удачно. Так, глава «Мнимые количества» идет в конце 3 отделения перед уравнениями 3-й и 4-й степени. Поэтому А. Ю. Давидову в этой главе приходится разбирать вопрос о двучленных уравнениях и вопрос о различных значениях корня из числа.

Если сравнить «Начальную алгебру» А. Ю. Давидова (например, 10-е изд., 1883 г.) и «Элементарную алгебру» А. П. Киселева (возьмем 5-е изд., 1894 г.), то окажется, что они отличаются как по объему материала, листажу, так и по композиции. «Начальная алгебра» насчитывает 528 страниц, «Элементарная алгебра» — 296. Избыток в листаже при сравнении учебников покрывается в учебнике А. Ю. Давидова упражнениями (100 стр.) и тем материалом, которого нет в учебнике А. П. Киселева (100 стр.), а также разобранными примерами (40 стр.), которых у А. Ю. Давидова больше, чем у А. П. Киселева. Композиция учебников во многом определилась отношением авторов к предмету алгебры и связанным с этим взглядом на метод изложения (наглядный у А. Ю. Давидова, условный — у А. П. Киселева).

Учебник А. Ю. Давидова значительно шире по охвату материала. Он напечатан двумя шрифтами — мелким и крупным. Материал, который дан у А. Ю. Давидова мелким шрифтом, либо приведен у А. П. Киселева в особом «Дополнении» либо совершенно отсутствует. В основном, крупный шрифт в учебнике А. Ю. Давидова совпадает с содержанием «Элементарной алгебры» А. П. Киселева.

За счет мелкого шрифта «Начальная алгебра» так же, как и учебник геометрии А. Ю. Давидова, имела высокий научный уровень для периода 60-х годов 19 в. Изложенные в нем вопросы из высшей математики находятся в тесной связи со школьным курсом. В силу этого многие вопросы, предусмотренные программой алгебры для средней школы, в учебнике А. Ю. Давидова получают более углубленное изложение. Эти вопросы представлены в довольно значительном объеме и глубоко проникают в такие науки, как высшая алгебра, теория чисел и математический анализ. Вместе с тем они тесно переплетаются с вопросами, имеющими непосредственное отношение к

школьной алгебре. Кроме того, в учебнике имеются целые специальные разделы из высшей алгебры, теории чисел, математического анализа. Например, дается элементарное изложение (без строгих доказательств) теории определителей, рядов, непрерывных дробей.

ИЗМЕНЕНИЯ В ОТДЕЛЬНЫХ ИЗДАНИЯХ «НАЧАЛЬНОЙ АЛГЕБРЫ»

Остановимся на изменениях в содержании первого и второго изданий. Значительной переработке подверг автор вторую главу «Положительные и отрицательные величины», сократил ее на три параграфа (с 16 до 13). В конце главы (мелкий шрифт) во втором издании (в первом нет) автор знакомит со взглядом на отрицательные числа как условный знак разности двух чисел, из которых вычитаемое больше уменьшаемого: «Кроме объясненного определения положительных и отрицательных величин, весьма часто выводят понятие об отрицательных количествах прямо из вычитания, независимо от свойства противоположных величин; при таком взгляде отрицательные величины определяются следующим образом: Если при вычитании вычитаемое превышает уменьшаемое, то условились из большей величины вычесть меньшую и перед полученною разностью поставить знак —. Величинам, которым таким образом предшествует знак — называются отрицательными. В противоположности с ними величины, которые не имеют этого знака, рассматриваются как будто бы им предшествует знак +, и их называют положительными».1)

В 1-м отделении, в главе «Предварительные действия над алгебраическими выражениями» во втором издании нет раздела «Употребление скобок», он перенесен в следующую 4-ю главу «Сложение и вычитание». В первом издании в этой главе рассматривалось сложение и вычитание только многочленов, во втором издании — одночленов и многочленов. В X главе «Отношения и пропорции» во-втором издании некоторые разделы даны мелким шрифтом, тогда как в первом издании они были напечатаны крупным. Это разделы: «О пропорциональности» и «Гармонические пропорции». Из второго издания исключен раздел «Соизмеримые и несоизмеримые величичины», который в первом издании занимал всего одну страницу.

В отделении 3-м, в главе «О степенях и корнях» имеются аналогичные разделы, которые в двух первых изданиях называются по-разному: в первом — «Корни действия над выражениями иррациональными», во-втором — «Извлечение корня из одночленов». Раздел первого издания обширнее. Во втором издании после этого раздела идет новая глава «Действия над иррациональными выражениями и несоизмеримые величины», которой в первом издании нет. В нее вошел тот материал, который входил в указанный раздел о корнях

1) «Начальная алгебра», изд. 2, 1867, стр. 26, § 24.

первого издания и не вошел в аналогичный раздел второго издания. Сюда же вошел материал о «Соизмеримых и несоизмеримых величинах», который в первом издании помещался в X главе I отделения. Там он занимал одну страницу, во втором издании этот материал занимает 4,5 стр. Новые вопросы, которые поднимаются здесь таковы: общая мера двух величин, арифметические действия над иррациональными числами, теоремы: «Если корень из целого числа не может быть изображен целым числом, то он представляет собой число иррациональное» и «Когда корень из целого числа не может быть с точностью определен, то можно найти всегда дробь, которая отличалась бы от этого корня величиною как угодно малою». При изложении этого материала автор привлекал иллюстрации из геометрии: пример несоизмеримости стороны и диагонали квадрата, отношение длины окружности к диаметру. В этой главе как в первом, так и во втором издании имеется параграф, в котором говорится о возможности приобретения корней при преобразовании иррациональных уравнений (при возведении в квадрат). В первом издании этот параграф дан петитом, во-втором — крупным шрифтом.

После выхода второго издания «Начальной алгебры» автор вновь просмотрел учебник, сделав в нем большое число мелких купюр существенным образом не отразившихся на содержании учебника. Размер учебника сократился с 590 +VIII стр. в 1-м издании или 586 + + III стр. — во 2-м, до 507 + III стр. — в третьем. Однако разница в 80 страниц — не есть результат одних купюр, она связана с новым набором учебника более убористым шрифтом. По иному разбил автор материал на параграфы, сохранив за каждой главой первоначальное число параграфов, почему число параграфов в изданиях сохранилось почти неизменным (477 в третьем издании, 478—во 2-м).

Проиллюстрируем сказанное примером. Возьмем главу «Уравнения со многими неизвестными» из 2-го отделения в обоих изданиях. Здесь первая купюра встречается в разделе «2-й способ. Исключение через подстановление». Раздел начинается с примера на систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Найденное значение для у из первого уравнения подставляется во второе, находится значение для х, а затем для у. Это есть в обоих изданиях. За этим материалом во 2-м издании следовало замечание о том, что вместо у можно было исключить X, найти значение для у, а затем — для х. Далее автор это демонстрировал на рассматривавшемся ранее примере. В третьем издании этого нет, купюра равна полстранице.

Вторая купюра встречается при изложении автором способа решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом неопределенных множителей. Автор исключил абзац, в котором повторяются вещи, уже разъясненные в приведенном на той же странице правиле. Таким образом, купюры не занимают и страницы, а разница в листаже главы в двух изданиях в 3 страницы (15 — во 2-м и 12 —в третьем). Более 2-х страниц приходится на счет убористого

шрифта 3-го издания. Благодаря равномерности купюр и их небольшой величины и особенностям шрифта на каждые 100 страниц 1 или 2 издания приходится 85 стр. 3-го издания.

Если для иллюстрации различий в разделении на параграфы в изданиях опять взять рассмотренную главу, то можно заметить следующее. Во втором издании наблюдалась такая система. В начале параграф (или два, три) отводился для разбора одного или нескольких примеров, затем шел параграф, в котором формулировалось правило. В третьем издании правило приводится в том же параграфе, что и примеры. Это избавило учебник от фразы «Из сказанного в предыдущих §§ вытекает», которая стояла перед каждым правилом во 2-м издании. В обоих изданиях глава имеет 14 параграфов.

В третьем издании, по сравнении со вторым нового материала нет, но есть перестановки. Из 3-го отделения глава «О трехчленном количестве» перенесена в 4-е отделение. Таким образом 3-е отделение в 3-м издании, как и в первом издании, стало насчитывать 13 глав. Зато 4-е отделение пополнилось на одну — до четырех.

Глава «Иррациональные выражения» 3-го отделения 3 издания ничем не отличается от главы, которая во 2-м издании называлась «Действия над иррациональными выражениями и несоизмеримые величины» и совершенно отсутствовала в первом. В 3-м издании она разбита на такие отделы: «Сокращение корней и приведение их к общему показателю. Четыре основные действия с иррациональными выражениями. Приведение иррационального выражения в рациональное. Величины несоизмеримые. Задачи».

Изменения были произведены автором в 9 изд. «Начальной алгебры». Учебник (9 изд.) увеличился на 18 стр. Это обусловлено переработкой автором упражнений, которые в прежних изданиях оставались неизменными. А. Ю. Давидов значительно увеличил число упражнений. Сопоставим число упражнений по главам в 9 изд. с числом упражнений в предыдущих изданиях. В скобках указано число упражнений к главе по 7-му изданию учебника.

1-е отделение: к I гл. нет (раньше — то же), к гл. II 27 (раньше— нет), гл. III: 90 зад. (раньше 68), к гл. IV 48 (раньше 38), к гл. V 90 (68), к гл. VI 64 (48), к гл. VII то же, к гл. VIII 65 (60), к гл. IX 18 (не было), к гл. X 13 (10). 2-е отделение: к гл. I то же, к гл. II 107 (62), к гл. III то же, к гл. IV то же, к гл. V 55 (34), к гл. VI то же Отделение 3-е: к гл. I 26 (нец), к гл. II то же, к гл. III 51 (34), к гл. IV 23 (17), к гл. V 17 (11), к гл. VI 19 (14), к гл. VII то же, к гл. VIII то же, к гл. IX 63 (30), к гл. X 79 (69), к гл. XI 78 (54), к гл. XII то же, к гл. XIII нет. Отделение 4-е: к гл. I то же, к гл. II то же, к гл. III 41 (23), к гл. IV нет. Отделение 5-е: к гл. I то же, к гл. II 39 (32), к гл. III нет, к гл. IV то же, к гл. V 51 (44), к гл. VI то же.

Число задач в 9 издании увеличилось на 350 за счет введения упражнений к главам, которые в прежних изданиях упражнений не

имели и за счет увеличения числа задач по многим главам, которые имели упражнения прежде.

15 издание учебника (1905) (переработанное В. Ф. Найденовым) в основном отличается от предыдущих тем, что из учебника был исключен некоторый материал, напечатанный мелким шрифтом, имеющий непосредственное отношение к курсам высшей математики. Кроме того В. Ф. Найденов ряд вопросов, которые входили в программы средних учебных заведений, но были напечатаны А. Ю. Давидовым мелким шрифтом, перепечатал крупным шфиртом. В результате этого учебник сократился на 56 стр. После переработки крупным шрифтом оказался напечатанным материал о непрерывных дробях, срочных уплатах, теории соединений. Из учебника были исключены вопросы о представлении иррациональности (квадратного корня) в виде непрерывной дроби, извлечение кубичного корня из алгебраического выражения, бином Ньютона с отрицательным и дробным показателем, решение уравнений 3-й и 4-й степеней, неопределенные уравнения 2-й степени и со многими неизвестными, некоторые вопросы о числовых и логарифмических рядах и др. Кроме этой работы В. Ф. Найденовым по существу ничего не было сделано, кроме исправления ряда неточностей.

В таком виде «Начальная алгебра» издавалась девять раз. При советской власти она вновь была переработана в 1922 г. 24-м изд. И. И. Давидовым с участием А. Я. Билибина и В. В. Люша. В результате учебник стал содержать новые главы о показательных и логарифмических уравнениях и о разложении на множители алгебраических выражений и отыскании общего наибольшего делителя и наименьшего кратного. В главе об уравнениях более обоснованно был изложен вопрос о раскрытии неопределенностей. Все логарифмические вычисления были произведены с пятью десятичными знаками вместо прежних семи. В изложении отрицательных чисел было введено понятие «направление». Внесены были также другие менее существенные изменения.

О МЕТОДИЧЕСКИХ ОСОБЕННОСТЯХ «НАЧАЛЬНОЙ АЛГЕБРЫ»

Для учебника алгебры А. Ю. Давидова является характерным широкое использование дидактических принципов связи теории с практикой, наглядности в обучении, принципа историзма.

Изложение учебного материала в «Начальной алгебре» А. Ю. Давидова подчинено методу, путем которого выясняется конкретный смысл изучаемых вопросов. А. Ю. Давидов постоянно привлекает материал либо выходящий за пределы математики, либо связанный с излагаемыми вопросами. Последним обусловлена композиция учебника; как отмечалось, многое в расположении «Начальной алгебры» обеспечивает тесную связанность отдельных вопросов. Наличие материала, предназначенного для установления связи между различными вопросами — присуще каждому разделу учебника.

Например, в главе о геометрической прогрессии дается второй вывод формулы для суммы геометрической прогрессии на основании связи с делением выражения qn—1 на q—1. Вывод связывал друг с другом различные разделы курса.

На основании особенностей метода изложения А. Ю. Давидова, требующего выхода за пределы рассматриваемого вопроса, с привлечением внешних явлений математического или предметного характера, изложены такие важные вопросы курса как отрицательные, иррациональные и комплексные числа, логарифмы, теория уравнений. Именно изложение этого материала у А. Ю. Давидова представляется особенно ценным, не потерявшим большого интереса до сего времени.

Нетрудно усмотреть преимущества в трактовке отрицательных чисел, логарифмов и др. у А. Ю. Давидова перед изложением этих вопросов в «Элементарной алгебре» (1888) А. П. Киселева.

Первое отделение «Начальной алгебры» А. Ю. Давидова «Основные алгебраические действия» соответствует первым двум отделам учебника А. П. Киселева «Предварительные понятия» и «Первые четыре алгебраических действия». Здесь А. П. Киселев дает бертрановское определение: цель алгебры—тождественные преобразования, предназначенность которых усматривается, в частности, в приведении «алгебраического выражения к виду удобному для запоминания».1)

В отличие от Бертрана и следующего за ним А. П. Киселева, лишавших математические понятия конкретного смысла, А. Ю. Давидов стоял на точке зрения материального происхождения последних, поэтому изложение алгебры в школе строил на основе выяснения конкретного содержания излагаемых понятий.

Излагая 4 основные действия над отрицательными числами, Давидов указывал, в чем заключается необходимость этого. Формулируя правила действий над отрицательными числами, пояснял их конкретными примерами, устанавливал, следовательно, связь между формальным правилом и действительностью, показывал, что эти правила являются отражением конкретных представлений. Наряду с этим А. Ю. Давидов указывал (начиная со 2-го издания), что отрицательные числа можно еще рассматривать, как условный знак разности.

После этого в разделе «О многочлене» (1-е отделение) А. Ю. Давидов переходит к 4 арифметическим действиям над одночленами и многочленами. У А. П. Киселева наооборот: он начинает с действий над многочленами, не раскрывая конкретного содержания понятия отрицательной величины. Сам А. П. Киселев так характеризовал в «Предисловии» к первому изданию «Элементарной алгебры» изложение в учебнике материала об отрицательных числах: «В

1) А. П. Киселев, «Элементарная алгебра», 1894, изд. 5, стр. 2.

предлагаемом руководстве отрицательным числам приписывается чисто условное значение, как символам, которые, взятые отдельно, не имеют смысла, но искусственно введены в науку для облегчения приемов преобразования и для обобщения формул, отличающихся знаками + и — ».1)

А. П. Киселев специально подчеркивал, что приписывает отрицательным числам чисто условное значение. Он их считал лишенным какого-либо конкретного смысла.

Преимущество изложения отрицательных чисел у А. Ю. Давидова сказалось в главе «Исследование уравнений первой степени (отделение 2-е). Исследование отрицательных решений в «Начальной алгебре» изложено просто и понятно, у А. П. Киселева — запутаннее. Ему приходится предварительно доказывать теорему «Если данное решение имеет отрицательный корень, то абсолютная величина этого корня удовлетворяет другому уравнению, которое получается из данного заменою х на—х»2). Эта теорема нужна А. П. Киселеву, чтобы оправдать первоначальную концепцию о нереальности отрицательных чисел. Однако в конце концов в связи с задачей А. П. Киселев довольно невнятно, но все же признал существование отрицательного решения самого по себе.

Вышеуказанную теорему А. Ю. Давидов также приводит, но у него она дана с другой целью. Ею показывается, что задачу можно изменить так, чтобы она давала положительное решение. А. Ю. Давидов указывал, что нужное изменение вопроса возможно только тогда, когда искомое количество по смыслу вопроса может быть положительным или отрицательным.

Последние три главы «Начальной алгебры» посвящены теории логарифмов. После определния логарифма и указания свойств его, вытекающих из самого определения, А. Ю. Давидов переходит к разъяснению понятия логарифма с помощью сопоставления прогрессий: арифметической и геометрической. Он доказывает теорему — «Когда логарифмы составляют арифметическую прогрессию, то соответствующие им числа составляют геометрическую».3).

На основании этой теоремы и других соображений он указывает на возможность составления таблицы всех целых чисел от 1 до какого-нибудь данного числа N с соответствующими логарифмами их.

Такое изложение теории логарифмов служит выяснению конкретного смысла понятия логарифма. Пользуясь сопоставлением двух прогрессий А. Ю. Давидов доказывал, что логарифм может быть вычислен с любой степенью точности, вставляя средние пропорциональные в обе прогрессии. Указание этого способа вычисления логарифмов ценно в методическом отношении. Логарифм, приобретая, кон-

1) А. П. Киселев. «Элементарная алгебра», 1888, Предисловие, стр. III.

2) А. Л. Киселев, «Элементарная алгебра», 1894, изд 5, стр. 90.

3) А. Ю. Давидов, «Начальная алгебра», изд. 13, 1897, стр. 436, § 425.

кретный смысл, не будет для учащихся чем-то непонятным, находящимся в неизвестно каким образом составленных таблицах.

Впоследствии А. П. Киселев обратился к давидовскому изложению логарифма, признав его преимущества. Польза теорем о логарифмах для вычислений сразу была видна после их доказательства. У А. П. Киселева она проявлялась только в главе об употреблении таблиц.

Несомненна связь между возможностью проникновения в учебник идеи функциональной зависимости и применением наглядного метода изложения. Ибо благодаря последнему в учебнике получили отражение понятия графика и системы координат. Понятием системы координат автор воспользовался при установлении конкретного смысла комплексных чисел, понятием графика — в отделе об экстремальных значениях функций. Особенно интересно то обстоятельство, что этот график рассматривается в тесной связи с действительностью: как пример поперечного сечения некоторой неровной земной поверхности.

Значительный интерес представляет «Начальная алгебра» А. Ю. Давидова для истории вопроса о проникновении идеи функциональной зависимости в преподавание математики в русской средней школе. Учебник отражает интересный момент в математической литературе; отказ от старого понимания предмета школьной алгебры в пользу нового, родственного современному (у А. Ю. Давидова — цель алгебры не в изучении свойств функциональной зависимости, а свойств величин). Само содержание этого учебника в ряде мест свидетельствует о необходимости введения функции (существование графика и понятия системы координат отдельно друг от друга) или явно опирается на это понятие функции без обоснования возможности так поступать.

В учебнике алгебры в первых изданиях приведена 1281 задача, а начиная с 9 изд.— 1771. Все они предназначены для самостоятельной работы учащихся. Упражнения в «Начальной алгебре» расположены в конце различных отделов, входящих в главы.

Вся эта масса задач с особой силой свидетельствует о стремлении А. Ю. Давидова поставить изучение школьной алгебры в соответствие с пониманием цели преподавания математики — развитием математических умений и навыков, необходимых в практике. Такой характер изложения сообщил учебнику качества, способствующие приобретению учащимися твердых навыков в решении аналитическими средствами практических задач. Большинство из них представляло ничто иное как конкретные примеры, раскрывающие практическое значение функциональной зависимости. Среди них находятся задачи, составленные на материалах наук математического естествознания, военного дела, геометрии.

Идет ли речь об извлечении квадратного корня из алгебраического выражения, о составлении уравнений, их решении или исследовании, либо о другом каком вопросе школьной алгебры — А. Ю. Давидов обязательно указывал правило, показывающее какое практическое вычислительное приложение может иметь данный теоретический вывод.

ОТДЕЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ А. Ю. ДАВИДОВА

Прежде, чем перейти к выводам о методических особенностях учебников геометрии и алгебры педагога-математика, необходимо остановиться на рассмотрении тех педагогических взглядов, которые были отражены в рецензии А. Ю. Давидова на учебник физики (1861) и в его замечаниях методического характера, сделанных на заседаниях Попечительского Совета Московского Учебного Округа (по архивным источникам).

Методические мысли, высказанные А. Ю. Давидовым в 1861 г. в рецензии на учебник физики Н. Любимова,1) не находятся в отрыве от его взглядов на преподавание математики. Более того, мысль высказанная им в рецензии о связи наглядного метода преподавания с научным, пронизывает содержание его первых учебников геометрии (1864) и алгебры (1866).

В рецензии 1861 г. А. Ю. Давидов выступает сторонником сочетания в преподавании физики наглядного метода с научным. Он опасался, что преподавание физики на основе плохой передачи средствами элементарной математики математического метода исследования, применяемого исследователями в физике, может иметь вредные последствия для учащихся.. Он считал, что учащиеся не будут иметь при этом правильного представления ни о самих физических явлениях, ни о математическом методе исследования, которым пользуются ученые-физики.

Поэтому А. Ю. Давидов выступал сторонником такого преподавания физики в школе, при котором все изложение строится на наглядной, экспериментальной основе с подробным описанием особенностей изучаемых физических явлений, но ряд особенно важных, стержневых вопросов физики излагается на очень высоком научном математическом уровне, т. е. на основе того математического аппарата, которым пользовались сами открыватели физических законов — на основе математического анализа. В связи с этим перед составителем учебника ставилось требование понятного изложения нужных сведений из математического анализа, чтобы учащийся их хорошо усвоил и получил представление о том математическом методе исследования, с помощью которого в свое время был открыт данный физический закон.

1) «Русский вестник» № 9, 1861.

Аналогичный взгляд имел А. Ю. Давидов на преподавание математики в школе. Курсы элементарной геометрии и алгебры он считал целесообразным излагать на основе связи наглядного и научного методов изложения. Математические положения, за исключением некоторых, автор излагал на основе наглядного метода, т. е. допуская такие утверждения, которые в смысле математической строгости не являются обоснованными, но которые находят себе оправдание в интуиции или непосредственном наблюдении. Отдельные вопросы А. Ю. Давидов излагал в том примерно объеме, как они проходились в университете в 60-х годах. При этом автор старался как можно проще и понятнее знакомить учащихся с научными понятиями высшей математики. А. Ю. Давидов пытался охватить больше вопросов, дав им вот такое научное истолкование. Поэтому почти каждая глава его учебников алгебры и геометрии завершается экскурсами в высшую алгебру, теорию рядов, проективную геометрию, дифференциальное и интегральное исчисления, аналитическую геометрию. Этот материал, а также такой, который он считал возможным исключить из курса школьной математики, в учебниках был дан мелким шрифтом.

А. Ю. Давидов был сторонником глубокого усвоения учащимися хотя бы ограниченного круга математических закономерностей. Ему было ясно, что та масса математических сведений, с которой сталкиваются учащиеся, нередко ими не усваивается, что приводит к поверхностным знаниям, не дает той глубины владения основами математики, которая необходима для понимания университетских курсов математики.

Поэтому, например, в 1859 г., А. Ю. Давидов предложил исключить ряд вопросов из университетской программы по математике (для поступающих).

Привожу дословно решение по поводу изменения программы, из которого видно какие вопросы А. Ю. Давидов считал необходимым опустить:

«Рассуждено было об изменениях в программе вступительных университетских экзаменов по части математических наук, предложенных ординарным профессором А. Ю. Давидовым. По взаимному согласию всех членов факультета определено: произвести следующие изменения в вышеуказанной программе:

а) по части арифметики.

1) Прибавить вопрос следующего содержания: счисление, четыре основные действия.

2) Вопрос «Разложение числа на первоначальные дроби» опустить.

3) Вопрос «Тройное правило посредством пропорций и без помощи пропорций» формулировать так: «Тройное правило».

4) Вопрос «Дроби периодические» опустить.

б) По части геометрии.

Опустить вопрос «Свойства прямой, ломаной и кривой, соединяющих две точки».1)

При сокращении учебных программ А. Ю. Давидов руководствовался принципом целесообразности в соответствии с учетом будущей специализации обучающихся. А. Ю. Давидов считал не все математические предметы равноценными для учащихся.

Например, в ноябре 1878 г. на заседании Попечительского Совета А. Ю. Давидов выступил с отзывом о программе по арифметике для сдающих экзамены на получение звания учителя. Он указал, что эта программа предъявляет к экзаменующемуся слишком высокие требования. Он считал, что арифметика в данном случае является второстепенным предметом и поэтому требовал исключить из программы ряд вопросов, особенно обременительных для экзаменующихся2).

Для поступающих на физико-математический факультет арифметику А. Ю. Давидов, очевидно, рассматривал как второстепенный предмет, так как считал нужным сократить программу в большей степени в арифметической ее части. Сокращения совершенно не затронули вопросов стереометрии. Последней А. Ю. Давидов придавал большое значение в связи с подготовкой учащихся для поступления в университет. Об этом свидетельствует такой факт. На заседании Попечительского Совета 3 декабря 1880 г. было высказано мнение о сокращении учебного материала по стереометрии и увеличении числа уроков по другим математическим предметам. А. Ю. Давидов выступил против этого мнения. Точка зрения А. Ю. Давидова, которая и была затем принята Попечительским Советом, заключалась з следующем: если говорить о сокращении учебного материала по математике в старших классах, то оно должно касаться не стереометрии, а алгебры. А. Ю. Давидов указывал, что такие вопросы, вошедшие в программу алгебры, как: общий наибольший делитель, непрерывные дроби, бином Ньютона, извлечение кубического корня, неопределенный анализ (в V классе), ему кажутся «не только бесполезным обременением гимназического курса математики, но и нецелесообразными в педагогическом отношении, потому, что эти вопросы не могут быть пройдены с надлежащей полнотой и усвоены с совершенной ясностью».3).

В связи с исключением из гимназического курса математики этих алгебраических вопросов А. Ю. Давидов считал возможным сократить в VII классе число уроков по математике до 3-х в неделю. Дальнейшее сокращение часов по математике для VII класса он полагал невозможным, он также возражал против уменьшения числа уроков

1) АМГУ, оп. 967. ед. хр. 3, Журналы заседания физмата, 1859 г., Заседание 30 ноября.

2) МГОИА, А. 459, оп. 1. д. 3113, л. 7—8.

3) МГОИА, ф. 459, оп. 2, д. 3915, л. 34.

по математике в VI классе с 4-х до 3-х в неделю, так как считал математические курсы VI—VII классов существенно важными для дальнейшего развития математических способностей учащихся.1)

ОСОБЕННОСТИ НАГЛЯДНОГО МЕТОДА ИЗЛОЖЕНИЯ А. Ю. ДАВИДОВА

Все учебники, в изложении которых А. Ю. Давидов пользовался наглядным методом, выдержали массу изданий: «Элементарная геометрия», «Начальная алгебра», «Геометрия для уездных училищ». В то время, как два других учебника: арифметики (1870) и тригонометрии (1877), изложенные первый—под влиянием идей грубеизма, второй — в форме, особенно не выделявшей его из среды руководств, вышедших в последней четверти 19 века, выдержали соответственно два и три издания. Это свидетельствует о наличии в трех первых учебниках важных методических качеств. Поэтому остановимся на особенностях метода изложения, применявшегося А. Ю. Давидовым в этих учебниках, который назовем наглядным.

Наглядному методу изложения А. Ю. Давидова присущи следующие особенности:

1) Излагая тот или иной вопрос, автор внимательно следил, чтобы была ясно видна связь между старым и новым материалом. Этим стремлением А. Ю. Давидова обусловлена композиция его учебников как в отношении последовательности изложения отдельных глав и разделов, так и в отношении расположения материала внутри глав и разделов. Характерно, что обусловленность композиции учебника геометрии (1864 г.) стремлением автора к наибольшей связанности учебного материала в нем была замечена уже первым рецензентом руководства Е. Сабининым в 1864 году.

2) Изложение теоретического материала находится у А. Ю. Давидова в тесной связи с вопросами практики. В учебниках геометрии он привлекает огромный предметный материал, показывающий какое осуществление приобретают геометрические знания в повседневной деятельности человека. В учебнике алгебры этот вопрос решается привлечением большого числа примеров и задач с прикладным содержанием: по вопросам геометрии, физики, механики, военного дела, сельского хозяйства и т. п.

3) Наличие тесной связи теории и практики в учебниках не характеризуется, не исчерпывается указанным обстоятельством, а только является следствием ее. Оно обусловлено особым отношением А. Ю. Давидова к вопросам практики, который возложил на них функции, обычно выполнявшиеся теорией. Вопросы практики в учебниках не просто иллюстрируют теоретические положения, а выступают как дополнения к ним. В учебнике алгебры наличие тесной свя-

1) МГОИА, ф. 459, оп. 2, д. 3915, л. 35—36.

зи теории и практики получило отражение в введении автором раздела о составлении уравнений, как равноправного среди остальных теоретических вопросов. В учебниках геометрии указанное обстоятельство проявляется в роли упражнений. Ряд геометрических свойств, о которых автор в теоретическом материале не говорит ничего, находит отражение в упражнениях для самостоятельной работы учащихся.

Следует отметить, что выпуская посмертное издание задачника А. Ю. Давидова по геометрии (1888), издатель, внимательно познакомившийся с его содержанием, пришел к аналогичному с вышеизложеным выводу о теоретических функциях геометрических упражнений. Интересно, еще в полемике 1865 г. о геометрии А. Ю. Давидова, когда «Книжник» заметил, что материал, напечатанный в учебнике крупным шрифтом, не способствует развитию преподавания математики в школе благодаря ограниченности его объема, то «Журнал для родителей и наставников» указал на необходимость при разрешении поставленного «Книжником» вопроса учитывать приведенные в «Элементарной геометрии» упражнения.

4) Большое место занимает в учебниках А. Ю. Давидова исторический элемент. В подстрочных примечаниях и в самом тексте автор объяснял происхождение тех или иных математических наименований, символов, привлекал материал преданий, излагал много теорем, приобретших историческую известность, рассматривал историю таких вопросов как квадратура круга, вычисление числа тс и т. п.., знакомил с изложением вопросов элементарной математики в античный период на материале геометрической алгебры и т. д. Следует сказать, что привлечение исторического материала вообще было присуще многим учебникам того времени.

Но наличие исторического элемента в учебниках А. Ю. Давидова приобретает особый смысл, так как в одной из своих рецензий на учебник физики Н. Любимова (1874 г.) он отмечал, что привлечение исторического материала способствует оживлению умственной деятельности и сообщает изложению материала форму, противостоящую отвлеченной, сухой форме изложения.

5) Недостаточная строгость изложения у А. Ю. Давидова проявляется по-разному и обусловлена различными обстоятельствами. В учебнике геометрии он приводит ряд определений, которые даются не в научной, а наглядной форме. Например, определение геометрического места точек основано на представлении о следе движущейся точки. А. Ю. Давидову конечно было знакомо строгое определение геометрического места точек, т. к. на его основании он излагал некоторые вопросы, но учащимся его не сообщал, а довольствовался только указанным выше. Это свидетельство недостаточной строгости изложения не осталось незамеченным для рецензентов (правда, только в последней четверти 19 века).

Другим проявлением недостаточной строгости изложения является совершенное отсутствие в тексте тех определений, на которые автор в дальнейшем изложении опирается. Так, он часто пользовался при доказательствах теорем методом наложения, а обоснование возможности производить наложения он не мог дать, так как в учебнике отсутствовала аксиома совместимости.

Подобные примеры недостаточной строгости изложения по своей природе не вредили обучению математике в 60-х годах, т. к. конкретная, наглядная форма изложения доказательств без перегрузки определениями выгодно отличала учебники А. Ю. Давидова от руководств с догматическим изложением, более способствовала усвоению учащимися материала.

Но увлечение А. Ю. Давидова наглядностью доказательств приводило к существенным порокам изложения. Ибо он строил иногда доказательства теорем не только на верных положениях, справедливость которых оставалась без обоснования, но и на неверных, ошибочных предположениях. Например, на основе ошибочного предположения А. Ю. Давидов приводит доказательство теоремы о пропорциональных обрезках (случай разобран на стр. 39—40) и ряд других, важных теорем.

6) Самым уязвимым местом наглядного метода изложения, обусловившим ограниченность пригодности учебников А. Ю. Давидова во времени, является требование воспитания навыков правильного мышления. Причиной отмирания учебников алгебры (1866) и геометрии (1864) А. Ю. Давидова являются недостаточность удовлетворения этому требованию. Чем старее становились эти руководства, тем несовершеннее оказывалась в них логическая сторона изложения. Об этом свидетельствует история отношения общественности к этим учебникам, которую отражает педагогическая критика.

Что будет с учебниками геометрии и алгебры А. Ю. Давидова, если, сохранив особенности наглядного метода изложения, вычеркнуть в них все слабое в логическом отношении или изложенное на ошибочной основе и дать этим вопросам правильный современный вид? Будут ли учебники жить? Можно с полной уверенностью ответить: нет! Ибо подобный эксперимент уже был проделан в 1922 г. и издания этого года были последними.

Следовательно, все дело во внутренних особенностях учебника, которые нельзя исправить, не нарушая структуры изложения в целом. Основным в структуре учебника математики являются доказательства теорем. Доказательства в учебниках А. Ю. Давидова, в которых большое место отводилось интуиции и наглядным представлениям, в меньшей степени удовлетворяли воспитанию навыков правильного мышления, чем доказательства в учебниках, появившихся в конце 19 в. с более стройной логической формой изложения (учебники А. П. Киселева и др.).

В «Элементарной геометрии» А. Ю. Давидова ряд доказательств теорем по сути являются не доказательствами в математическом смысле, а наглядными их интерпретациями. В «Начальной алгебре» изложение еще не было подчинено идее функциональной зависимости. Все это делало учебники А. Ю. Давидова менее способствующими воспитанию навыков правильного мышления, чем руководства, появившиеся в России в конце 19 в. —начале 20 в.

В силу сказанного выше в современную школьную практику наглядный метод изложения А. Ю. Давидова полностью перенести нельзя. Факт вытеснения учебников А. Ю. Давидова руководствами А. П. Киселева является необходимым результатом объективного хода развития методической науки, обусловленного ходом экономического развития России.

ЗНАЧЕНИЕ ТВОРЧЕСТВА А. Ю. ДАВИДОВА ДЛЯ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ В СОВЕТСКОЙ ШКОЛЕ

Учебники геометрии (1864) и алгебры (1866) А. Ю. Давидова, как учебные руководства, со временем потеряли значение для преподавания математики в школе, и были вытеснены другими руководствами, в большей степени удовлетворявшими требованиям современного математического учебника. Однако, учебники А. Ю. Давидова были значительным скачком вперед от учебников П. Н. Подгорельского. Их практическая направленность обусловлена потребностями начавшего бурно развиваться в России капитализма после реформы 1861 г. «После падения крепостного права в России все быстрее и быстрее развивались города, росли фабрики и заводы, строились железные дороги. На смену крепостной России шла Россия капиталистическая»,1)—говорил В. И. Ленин об эпохе 60-х г.г. Вместе с этим возникла проблема воспитания технически и математически грамотных кадров.

В конце 60-х годов появился учебник алгебры Бертрана, с интересом встреченный педагогической общественностью во многих странах, так как он по-новому решал проблему математического образования: с упором на воспитание навыков правильного мышления. В этом заключается положительное значение учебника Бертрана, что и обусловило симпатии к нему многих педагогов-математиков, в том числе и А. П. Киселева в России.

Но это не умоляет достоинств учебников А. Ю. Давидова, которые были лучшими в России в период 60-х годов. Нигилистическое отношение к учебникам А. Ю. Давидова, которое допускается некоторыми советскими исследователями, нельзя объяснить ничем другим, как рассмотрением творчества выдающегося педагога-математика вне хода экономического развития России.

1) В. И. Ленин, Собрание сочинений, т. 17, стр. 65—66.

Учебники А. Ю. Давидова порождены потребностями капитализма в России, ставшего интенсивно развиваться после 1861 г. Со временем они стали все менее и менее удовлетворять ходу экономического развития страны. Наконец, устарев, стали оказывать и вредное влияние на развитие математического образования. Например, если в 60-х годах учебники способствовали внедрению в преподавание математики идеи функциональной зависимости, то в 80—90 г.г., когда движение за функциональное направление бурно разрасталось, учебники А. Ю. Давидова отражали вчерашний день этого движения, поэтому тормозили его развитие.

Жизненность учебникам обеспечило воплощение в методе их изложения материалистического отношения к математическому знанию, как орудию познания; их отмирание вызвано несовершенством наглядного метода изложения, ставшего со временем недостаточно удовлетворять требованию воспитания навыков правильного мышления.

А. Ю. Давидов сознавал, что его наглядный метод изложения не абсолютная рекомендация для создания учебников, а временная мера, годная на 5—6 лет, поэтому после истечения такого периода он не вносил больше изменений в свои учебники 60-х годов. Понимая обреченность метода, которым они изложены, А. Ю. Давидов давал дорогу другим руководствам, более соответствующим времени. Наглядный метод применен А. Ю. Давидовым только в двух учебниках для средней школы: геометрии и алгебры, изданных в 60-х годах. В семидесятых годах А. Ю. Давидов издал три учебника: арифметики (1870), геометрии (1873) и тригонометрии (1877). Только в одном из них — геометрии применяется наглядный метод изложения, однако этот учебник предназначался не для средней школы, а для уездных училищ. Это показывает, что, не считая возможным после 60-х годов пользоваться наглядным методом для изложения учебных курсов средней школы, например, тригонометрии (1877), он полагал возможным применить свой метод в учебнике, первоначально знакомящем с геометрией, где научная строгость изложения рассматривалась не столь необходимой. Возможно, А. Ю. Давидов понимал, что ограниченность его метода обусловлена слабостью в отношении воспитания навыков правильного мышления, ибо в 1873 г. он написал учебник арифметики под влиянием идей Грубе о созерцании числа в его сущности, которые служат цели формального развития разума. Учебник арифметики отражает поиски А. Ю. Давидовым нового метода изложения, более совершенного, чем тот, который лежал в основе его двух первых учебников. Эксперимент автора оказался неудачным, т. к. грубеизм, к которому прибегнул А. Ю. Давидов, с его кантовским пониманием наглядности был обречен. Не осталась незамеченной критиками своеобразная направленность учебника, позволившая им зачислить его в разряд «практических» руководств.

То, что учебнику арифметики А. Ю. Давидов придал практическую направленность и то, что он возвращался после 60-х годов к учебникам геометрии и алгебры только для того, чтобы значительно дополнить и несколько изменить систему имеющихся в них упражнений, а так же то, что смерть застала его за работой над геометрическим задачником — все это свидетельствует о поисках А. Ю. Давидовым нового метода для изложения учебников, сохраняя верность практической цели в преподавании математики.

У А. Ю. Давидова связь между наглядным и научным методом изложения осуществляется не через слияние выяснения конкретного смысла математических понятий с требованием предельной научной строгости, а через слияние выяснения конкретного смысла математических понятий путем пренебрежения научной строгостью, на основе интуитивных представлений и наглядных образов, с научным изложением вопросов в смысле их исторической эволюции из сферы элементарной математики в высшую.

Отдельные методические находки А. Ю. Давидова получили признание и перешли в различные учебные руководства и пособия по вопросам преподавания математики в школе. Так в учебник алгебры А. П. Киселева перешел метод изложения логарифмов, построенный на сопоставлении арифметической и геометрической прогрессий. Приводившееся в «Элементарной геометрии» изложение устройства пантографа перекочевало в новый учебник геометрии Н. Н. Никитина и А. И. Фетисова (1956 г.). Использование пантографа в школьной практике рассматривается как одно из средств преподавания математики в свете задач политехнического обучения (см. «Преподавание математики в свете задач политехнического обучения», изд. АПН РСФСР, 1954). Аналогичная, приведенной в учебнике алгебры А. Ю. Давидова схеме решения задач на арифметическую и геометрическую прогрессии, приводится таблица в книге М. Я. Брадиса «Методика преподавания математики в средней школе».

Не лишним было бы задуматься над таким учебником, в котором, как у А. Ю. Давидова, для ряда разделов элементарной математики была бы показана их эволюция при дальнейшем развитии математики. Такое изложение оставляет место инициативе учащегося пополнять свои математические знания. Эти дополнения оказались бы прекрасным материалом для внеклассной, кружковой работы. Несомненно, такое изложение приобрело бы особое значение для тех, кто после школы идет в институт: трудности новизны, возникающие перед каждым, кто после элементарной начинает заниматься высшей математикой, в таком случае преодалевались бы с меньшим напряжением. При современном состоянии математики такой учебник (или только одни добавления к нему из высшей математики) может быть написан только крупным специалистом-математиком. В этом отношении неоценимую услугу школьному математическому образованию мог бы сделать университет.

Московский университет гордится именами Д. С. Аничкова, Д. М. Перевощикова, А. Ю. Давидова — замечательных педагогов-математиков, разрабатывавших вопросы преподавания математики на материалистической основе. Можно ли сказать, что сейчас МГУ занимает такое же значительное место в деле развития школьного математического образования в стране, как это было во времена указанных замечательных ученых? К сожалению нет. Внешне кажется все в порядке. При университете работает секция средней школы Московского Математического Общества, регулярно проводятся математические олимпиады для школьников, крупнейшие математики страны, профессора МГУ, как академики П. С. Александров я А. Н. Колмргоров, член-корреспондент А. Я. Хинчин с должным вниманием относятся к интересам школы. Но ведь в школах пользуются не учебниками, вышедшими из стен университета! Нельзя конечно не учитывать больших изменений, происшедших в просвещении в советское время, большой работы Академии ПН РСФСР, армии научных работников с педагогическими степенями. Эта работа отодвигает университет с места передового поста в деле развития школьного математического образования. Очень жаль, что университет в этом больше уступает дорогу другим, чем идет во главе, как это было прежде.

Ошибкой было бы не замечать того ценного, что дают сейчас университетские математики в области преподавания математики в школе. П. С. Александров и А. Н. Колмогоров в своем учебнике алгебры: «Алгебра. Пособие для средних школ», ч. I (1939) выступили приемниками методических достижений университетских педагогов-математиков. Дальнейшей научной обработке они подвергли изложение отрицательных чисел на конкретной основе понятия «противоложности».

«При измерении изменений величин число 2,7 выражает увеличение на 2,7 единиц измерения, — пишут авторы, — а число —2,7 выражает уменьшение на 2,7 единиц измерения. Значит, эти числа выражают изменение на одно и то же число единиц, но происходящее в противоположных направлениях. Поэтому, сами числа 2,7 и —2,7 называют противоположными друг другу. Точно также число 1245 противоположно числу 1245 и, обратно, число —1245 противоположно числу 1245.

Вообще, каково бы ни было положительное число «а», числа «а» и «—а» называются противоположными друг другу».1)

А. Ю. Давидов понимал «противоположность» отрицательных и положительных величин несколько иначе, чем П. С. Александров и А. Н. Колмогоров. Последние к «противоположности» приходят, от-

1) П. С. Александров и А. Н. Колмогоров- «Алгебра», ч. I, Учпедгиз, 1939. стр. 34.

правляясь от направления изменния величины, А. Ю. Давидов — опираясь на результат взаимодействия значений изменяющейся величины, при этом он совершенно не учитывал направления изменения. Величины, которые взаимно уничтожаются, он называл равными и противоположными. Одну из них произвольно именовал положительной, другую отрицательной.

Позиция П. С. Александрова и А. Н. Колмогорова тем хороша, что на первый план у них выступает понятие рационального числа как меры изменения величины, у А. Ю. Давидова же—просто как меры величины. Однако примеры, которые дает А. Ю. Давидов, чтобы сообщить своему положению наглядность, строятся на принципе изменения величины. Пример: «Если вес в 6 фунтов тянет тело вниз, а другой вес в 6 фунтов тянет, посредством блока, то же тело вверх, то действие двух весов взаимно уравновешивается, а потому вес в 6 фунтов, который тянет тело вниз, и вес в 6 фунтов, который тянет то же тело снизу вверх — величины равные и противоположные».

Очевидно, что здесь вся суть дела в противоположности направлений двух сил. Однако эта существенная связь между двумя рассматриваемыми величинами А. Ю. Давидовым не принимается во внимание. Он исходил не из явления, а из следствия, вытекающего из него (результата взаимодействия сил).

19-м съездом КПСС перед советской школой поставлены новые задачи, которые должны быть выполнены на базе политехнического обучения.

Преподавание математики в свете задач политехнического обучения, сближение школьной математики с вопросами практики, с проблемами техники и математического естествознания — это та идейная основа, которая должна обеспечить крутой подъем в развитии математического образования в СССР. Замечательный эксперимент, который проделал почти столетие назад талантливый педагог-математик А. Ю. Давидов служит одним из источников уверенности в таком исходе.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр.

Введение............................. 5

Русский учебник геометрии и алгебры в 19 веке............. 13

Издания «Элементарной геометрии» А. Ю. Давидова........... 16

Изменение в содержании различных изданий «Элементарной геометрии» 20

«Элементарная геометрия» А. Ю. Давидова в журнальной критике ... 25

Систематизация учебного материала в «Элементарной геометрии» .... 28

Аксиомы, основные понятия и определения в «Элементарной геометрии» 29

Теоремы (приемы доказательств) в «Элементарной геометрии»..... 32

Доказательства теорем и вопросы логики в «Элементарной геометрии» 35

Вопросы частной методики в «Элементарной геометрии»......... 38

Вопросы дидактики в «Элементарной геометрии»............ 42

Появление «Начальной алгебры» А. Ю. Давидова, отношение к ней критики 46

Издания «Начальной алгебры».................... 48

Изменения в отдельных изданиях «Начальной алгебры»........ 54

О методических особенностях «Начальной алгебры» ... :....... 57

Отдельные методические высказывания А. Ю. Давидова........ 61

Особенности наглядного метода изложения А. Ю. Давидова....... 64

Значение творчества А. Ю. Давидова для преподавания математики в советской школе.......................... 67

Л58536 от 18/V 1957 г. 4,5 печ. л. Зак. 983._Тираж 500

Типография Хлебоиздата, Москва, Шелепиха, 4-я ул., д. 1а