К. М. Щербина,

преподаватель Кіевской 1-й гимназіи.

МАТЕМАТИКА ВЪ РУССКОЙ СРЕДНЕЙ ШКОЛѢ

ОБЗОРЪ ТРУДОВЪ И МНѢНІЙ ПО ВОПРОСУ ОБЪ УЛУЧШЕНІИ ПРОГРАММЪ МАТЕМАТИКИ ВЪ СРЕДНЕЙ ШКОЛѢ ЗА ПОСЛѢДНІЕ ДЕВЯТЬ ЛѢТЪ (1899—1907).

КІЕВЪ.

1908.

Печат. по опредѣленію Совѣта Императорскаго Университета Св. Владиміра. (Оттискъ изъ Университетскихъ Извѣстій за 1908 годъ).

КІЕВЪ.

Типографія Императорскаго Университета св. Владиміра Акц. О-ва иеч. и изд дѣла Н. Т. Корчакь-Новицкаго, Меринговская ул. д. № 6.

1908

ОГЛАВЛЕНІЕ.

Стр.

Введеніе............................................... 1—4.

I. Учебный планъ и примѣрныя программы математики въ мужскихъ гимназіяхъ М. Н. Пр. 1890г......................... 5—12.

II. Труды комиссій и группъ при Московскомъ Учебномъ Округѣ 1899 г.................................................... 13—34.

Общій обзоръ трудовъ.............................. 13.

Программы по математикѣ...........................17.

Взгляды общаго характера на преподаваніе математики. Заключеніе..................................30.

III. Предположенія комиссіи преподавателей математики кіевскихъ среднихъ учебныхъ заведеній 1899 г................... 34—40.

Программа гимназій................................34.

Программа реальныхъ училищъ.......................39.

IV. Труды комиссіи министра Н. П. Боголѣпова.............. 41—54.

Общій обзоръ трудовъ..............................41.

Труды подкомиссіи по составленію программъ математики для среднихъ учебныхъ заведеній . . 44.

Комиссія К. П. Яновскаго..........................53.

V. Учебный планъ математики въ средней школѣ, проектированной министромъ П. С. Ванновскимъ........................... 55—58.

Общій обзоръ проекта средней школы................55.

Учебный планъ математики..........................56.

VI. Работы, появившіяся по поводу проекта министра П. С. Ванновскаго .................................................. 59—70.

Соображенія, высказанныя собраніемъ преподавателей математики г. Кіева по поводу проекта П. С. Ванновскаго.................................59.

Заключенія Попечительскаго Совѣта Кіевскаго Учебнаго Округа по поводу соображеній, высказанныхъ кіевскими преподавателями...................64.

Журнальныя статьи по поводу учебнаго плана математики, проектированнаго министромъ П. С. Ванновскимъ („О программахъ математики“— статья С. И. въ „Пед. Cб.“ 1902 г. и „Программы по математикѣ въ средней школѣ будущаго“—статья Н. Парфентьева въ „Русск. Шк. “ 1902 г.)..............................66.

VII. Работы по улучшенію программъ математики въ коммерческихъ училищахъ................................................71-79.

VIII. Труды третьяго съѣзда дѣятелей по техническому и профессіональному образованію въ Россіи 1903—1904 г. ... 80—94.

Докладъ Д. В. Ройтмана............................80.

Докладъ Н. Завадскаго.............................89.

IX. Попытки улучшить программу математики въ кадетскихъ корпусахъ................................................. 95—104.

X. Двѣ журнальныя статьи по вопросу о программахъ математики .....................................................105—117.

Статья П. С,— „О возможныхъ нѣкоторыхъ облегченіяхъ въ программахъ по математикѣ“ . . . 105.

Статья С. Полякова—„Математика и средняя школа“. 107

XI. Проекты реформы средней школы, выработанные въ Министерствѣ Народнаго Просвѣщенія послѣ П. С. Ванновскаго . 118—128.

Проекты реформы средней школы при министрахъ Г. Э. Зенгерѣ и В. Г. Глазовѣ............118.

Программа математики въ реальныхъ училищахъ 1906 г...................................120.

XII. Общіе выводы....................................... 124—127.

Приложеніе.

Кіевское Физико-Математическое Общество. Проектъ учебнаго плана по математикѣ для мужскихъ гимназій.......... 129—144.

Алфавитные указатели.................................... 145—152.

Введеніе*.

Вопросъ объ улучшеніяхъ въ системѣ школьнаго образованія принадлежитъ къ вопросамъ особой важности; школа должна поспѣвать за жизнью и отвѣчать всѣмъ усовершенствованіямъ и запросамъ ея,—больше того, она должна служить путеводнымъ свѣточемъ въ культурно-общественной и политической жизни народа. Особаго вниманія заслуживаетъ школа въ настоящее трудное и запутанное время. По нашему глубокому убѣжденію, сложный клубокъ общественно-политической жизни можетъ быть распутанъ надлежащимъ образомъ не иначе, какъ начиная съ того, что мы долгое время отодвигали, да и теперь отодвигаемъ на задній планъ, т. е. съ реформы школьнаго дѣла.

За послѣднее двадцатипятилѣтіе наибольшій интересъ къ педагогическимъ вопросамъ былъ проявленъ въ періодъ съ 1899 по 1903 г. Начало этого оживленія совпадаетъ съ преобразовательными начинаніями министра народнаго просвѣщенія Н. П. Боголѣпова. Извѣстный циркуляръ его отъ 8 іюля 1899 г., ярко очертившій всѣ недостатки средней школы, отъ которыхъ она не избавилась и въ настоящее время1), далъ толчекъ въ этомъ направленіи.

Со второй половины 1899 г. появилось много трудовъ, касающихся различныхъ сторонъ школьной жизни: кромѣ трудовъ разнообразныхъ ко-

* Нашъ „Обзоръ трудовъ и мнѣній“ въ извлеченіи былъ доложенъ въ засѣданіяхъ Кіевскаго Физико-Математическаго Общества 19 февраля и 5 марта 1907 г.

1) Въ циркулярѣ, между прочимъ, сказано слѣдующее: „Среди педагоговъ и родителей учащихся въ гимназіяхъ и реальныхъ училищахъ давно слышатся жалобы на разные недостатки этихъ учебныхъ заведеній. Указываютъ, напр., на отчужденность отъ семьи и бюрократическій характеръ средней школы, вносящей сухой формализмъ и мертвенность въ живое педагогическое дѣло и ставящей въ ложныя взаимныя отношенія преподавателей и учениковъ; —на невниманіе къ личнымъ особенностямъ учащихся и пренебреженіе воспи-

миссій и совѣщаній, созванныхъ при учебныхъ округахъ съ цѣлью подготовить матеріалъ для работъ въ комиссіи, имѣвшей состояться при Министерствѣ Народнаго Просвѣщенія въ 1899—1900 уч. году, много вниманія удѣлено было школѣ и въ общей и въ спеціально педагогической печати. Сюда относятся, между прочимъ, и работы по улучшенію программъ математики въ средней школѣ. Многіе придерживаются совершенно невѣрнаго взгляда—думаютъ, что преподаваніе математики въ средней школѣ, и въ смыслѣ пріемовъ обученія и въ смыслѣ содержанія учебнаго матеріала, поставлено вполнѣ удовлетворительно. Но при ближайшемъ знакомствѣ съ этой стороной школьнаго дѣла оказывается, что методы и пріемы преподаванія математики носятъ на себѣ слѣды необычайной рутины и отличаются значительнымъ несовершенствомъ; слѣды той же рутины отражаются и на характерѣ учебнаго матеріала, подлежащаго усвоенію: можно смѣло сказать, что нѣтъ другого предмета школьнаго обученія, гдѣ бы схоластика и рутина были такъ властны, какъ въ преподаваніи математики. Поэтому реорганизація преподаванія математики,—предмета, которому отводилось и отводится въ средней школѣ одно изъ видныхъ мѣстъ, —является насущнымъ вопросомъ современнаго образованія; и въ какія бы формы ни вылилась въ будущемъ средняя школа, нашъ долгъ теперь же позаботиться о возможномъ улучшеніи программъ математики.

Нужно различать двѣ точки зрѣнія, съ которыхъ можно разсматривать программы: съ одной стороны, можно намѣтить объемъ учебнаго матеріала по данному предмету для средней общеобразовательной школы, а также основныя требованія относительно распредѣленія отдѣловъ учебнаго предмета, не предрѣшая ни типа учебнаго заведенія, ни даже числа уроковъ; а съ другой стороны, можно заняться детальной разработкой программы для данной школы, съ распредѣленіемъ матеріала по классамъ. Намъ кажется, что слѣдуетъ стоять преимущественно на первой точкѣ зрѣнія; хотя не безполезно было бы намѣтить усовершенствованный планъ

таніемъ нравственнымъ и физическимъ;—на нежелательную спеціализацію школы съ самыхъ младшихъ классовъ, обрекающую дѣтей на извѣстный родъ занятій, прежде чѣмъ выяснились ихъ природныя способности и склонности; —на чрезмѣрность ежедневной умственной работы, возлагаемой на учениковъ, особенно въ низшихъ классахъ;—на несогласованность программъ между собою и съ учебнымъ временемъ и на значительное наполненіе ихъ требованіями второстепенными или даже излишними;...—на недостаточную умственную зрѣлость оканчивающихъ курсъ гимназіи, что препятствуетъ ходу ихъ университетскихъ занятій;—на неудовлетворительную подготовку прошедшихъ курсъ реальныхъ училищъ для обученія въ высшихъ спеціальныхъ учебныхъ заведеніяхъ и вообще на слабую постановку преподаванія предметовъ въ этихъ училищахъ. Указываютъ и на многія другія слабыя стороны средней школы; но перечислять ихъ было бы излишне“.

преподаванія математики, имѣя въ виду и нынѣ существующіе типы средней школы. Говорить объ улучшеніи программъ весьма желательно не только потому, что это можетъ послужить матеріаломъ для будущаго, но главнымъ образомъ потому, что рутина и традиціи, служащія необычайнымъ тормазомъ въ школьномъ дѣлѣ, ослабѣваютъ почти исключительно благодаря живому обмѣну мыслей; наконецъ, выработка новыхъ программъ необходима также и потому, что реорганизація программъ можетъ осуществиться значительно раньше, чѣмъ будетъ проведена общая реформа средней школы. Подтвержденіемъ справедливости послѣдняго взгляда служатъ программы 1906 г. для реальныхъ училищъ: на этихъ программахъ, несомнѣнно, сказалось вліяніе работъ, которыя были сдѣланы по почину министра народнаго просвѣщенія Н. П. Боголѣпова.

При выработкѣ новой программы, само собою разумѣется, имѣетъ важное значеніе ознакомленіе не только съ тѣмъ, что сдѣлано въ этой области заграницей—у болѣе культурныхъ народовъ1), но также и у насъ — въ Россіи, въ особенности начиная съ 1899 года. Во-первыхъ, мы не будемъ тогда вторично „открывать Америку“, дѣлать ту же самую работу, а во-вторыхъ, наши проекты не будутъ въ такомъ случаѣ безпочвенными.

Мы намѣрены сдѣлать обзоръ главнѣйшихъ трудовъ и мнѣній по вопросу объ улучшеніи программъ математики въ русской средней школѣ за послѣдніе девять лѣтъ (1899—1907 гг.).

Основнымъ трудомъ, который уже оказалъ нѣкоторое вліяніе на постановку преподаванія математики2), являются работы Высочайше утвержденной комиссіи Н. П. Боголѣпова по вопросу объ улучшеніяхъ въ средней общеобразовательной школѣ. Эта комиссія была созвана въ началѣ 1900 г. При ней была образована, въ числѣ другихъ, подкомиссія „по составленію программъ математики для среднихъ учебныхъ заведеній“, съ трудами которой мы и должны будемъ познакомиться.

Какъ значится въ докладѣ этой подкомиссіи, пособіемъ при работахъ ея служили, между прочимъ, труды комиссій и группъ, образованныхъ попечителемъ Московскаго Учебнаго Округа П. А. Некрасовымъ (во второй половинѣ 1899 г.) для рѣшенія вопросовъ, связанныхъ съ предположеннымъ преобразованіемъ средней школы. Московскіе труды довольно разно-

1) Это отчасти уже выполнено благодаря ряду сообщеній, сдѣланныхъ въ 1903—1907 уч. г. въ засѣданіяхъ Кіевскаго Физ.-Матем. Общества проф. Г. К. Сусловымъ, А. Д. Билимовичемъ, П. А. Долгушинымъ, В. И. Лорченко, Н. В. Оглоблинымъ, И. Г. Рекашевымъ и А. Н. Яницкимъ. Отчетъ и Протоколы Физ.-Мат. Общ. при Императорскомъ Унив. Св. Владиміра за 1905—6 гг. и за 1907 г.

2) Кромѣ упомянутыхъ программъ реальнаго училища, увеличено число уроковъ въ гимназіи по математикѣ въ III, V, и VIII кл.

образны, обширны и представляютъ для насъ несомнѣнный интересъ. Здѣсь мы находимъ мнѣнія и соображенія извѣстныхъ московскихъ профессоровъ и выдающихся московскихъ педагоговъ.

Въ связи съ трудами Боголѣповской комиссіи находятся также работы, выполненныя по тому же поводу Кіевскимъ Учебнымъ Округомъ. Мы имѣемъ въ виду соображенія, которыя были высказаны собраніемъ преподавателей математики кіевскихъ среднихъ учебныхъ заведеній по вопросу объ улучшеніи программъ математики въ гимназіяхъ и въ реальныхъ училищахъ въ концѣ 1899 г.

Цѣннымъ трудамъ комиссіи Н. П. Боголѣпова не суждено было воплотиться въ реальныя формы, не смотря на довольно интенсивную дѣятельность Министерства Народнаго Просвѣщенія въ то время.

По смерти Н. П. Боголѣпова (съ 1901 г.) начинается самое тяжелое время для средней школы—время разрушенія прежнихъ формъ безъ замѣны ихъ чѣмъ-либо новымъ. Издается министромъ П. С. Ванновскимъ новый проектъ положенія о „единой средней школѣ“ съ новыми конспектами программъ. И положеніе и программы представляютъ большой интересъ, но только въ отрицательномъ смыслѣ.

Въ связи съ этимъ новымъ положеніемъ и программами мы разсмотримъ тѣ соображенія, которыя были высказаны собраніемъ преподавателей математики г. Кіева (23 октября 1901 г.), а также нѣкоторыя журнальныя статьи, появившіяся по поводу проекта П. С. Ванновскаго.

Для большей полноты нашего обзора мы намѣрены, кромѣ того, разсмотрѣть: 1) работы по улучшенію программъ математики въ коммерческихъ училищахъ (съѣзды директоровъ 1901 и 1902 гг.); 2) труды по интересующему насъ вопросу третьяго съѣзда дѣятелей по техническому и профессіональному образованію (1903—1904 г.); 3) попытки улучшить программы математики въ кадетскихъ корпусахъ (проектъ программы для трехъ корпусовъ на 1903—1904 уч. г.); 4) журнальныя статьи по вопросу о программахъ математики и 5) наконецъ, программу математики для реальныхъ училищъ 1906 г.

Всѣ эти работы мы предпочитаемъ излагать, по возможности, въ хронологическомъ порядкѣ1), имѣя въ виду, что на послѣдующихъ трудахъ должно было отразиться вліяніе предыдущихъ2).

1) Въ концѣ „Обзора“, въ видѣ приложенія къ нему, помѣщенъ проектъ учебнаго плана по математикѣ для мужскихъ гимназій, выработанный Кіевскимъ Физико-Математическимъ Обществомъ въ 1907 г. и напечатанный въ Прилож. къ Циркул. по Кіевск. Учебн Округу за 1907 г., № 5.

2) Въ интересахъ дѣла, гдѣ только представится возможность, мы будемъ знакомить читателя съ подлинными словами обозрѣваемыхъ трудовъ.

I.

Учебный планъ и примѣрныя программы математики въ мужскихъ гимназіяхъ М. Н. Пр. 1890 г.

До настоящаго времени мужскія гимназіи должны руководствоваться учебными планами, программами и объяснительной запиской 1890 г.1), которые представляютъ незначительное видоизмѣненіе программъ 1872 г.2); слѣдовательно, нынѣ дѣйствующимъ программамъ собственно болѣе 35 лѣтъ, —срокъ довольно продолжительный даже для образцово составленныхъ программъ. Нѣсколько иначе обстоитъ дѣло въ реальныхъ училищахъ, гдѣ, по крайней мѣрѣ, съ 1906—1907 уч. года введены программы3), болѣе отвѣчающія запросамъ времени. Да и вообще, программы реальныхъ училищъ пересматривались и видоизмѣнялись болѣе часто, чѣмъ программы мужскихъ гимназій4).

Прежде чѣмъ приступить къ обзору работъ профессоровъ и преподавателей Московскаго Учебнаго Округа, мы должны будемъ остановиться на программѣ 1890 г., а въ особенности на объяснительной запискѣ къ этой послѣдней. Мы дѣлаемъ это потому, что указанная программа послужитъ исходнымъ пунктомъ нашего обзора.

1) Журн. Мин. Нар. Просв. 1890 г., № 12; Правит. распоряж, стр. 125—139.

2) Планы и программы подвергались пересмотру еще и въ 1877 году. Циркуляръ по управл. Кіевскимъ Учебнымъ Округомъ 1877 г., №№ 9,10 и 11.

3) Циркулярное предложеніе министра народнаго просвѣщенія отъ 30-го іюня 1906 г., № 12114. Журн. М. Н. Пр. 1906 г., № 9; Правит. расп., стр. 36 и слѣд.

4) Программы реальныхъ училищъ утверждены въ 1873 г.; подвергались пересмотру въ 1888 г., 1895 г. и въ 1906 г. Циркуляръ по Кіевск. Учебному Округу за 1889. 1895 г. и 1906 годы.

Что касается послѣдней программы для реальныхъ училищъ (1906 г.), то мы разсмотримъ ее въ концѣ нашего обзора, послѣ изложенія трудовъ, вліяніе которыхъ не могло не отразиться на этой программѣ.

Въ 1890 г. планы и примѣрныя программы мужскихъ гимназій М. Н. Пр., какъ мы упомянули, были вообще нѣсколько видоизмѣнены. Въ частности, число недѣльныхъ уроковъ по математикѣ было уменьшено (съ 30 до 28: въ III кл.—3 урока вмѣсто 4-хъ и въ VIII кл.—2 вмѣсто 3-хъ), а въ связи съ этимъ программы нѣсколько сокращены, и сдѣлана перестановка учебнаго матеріала по классамъ (напр., изслѣдованіе уравненій первой степени и неопредѣленныя уравненія изъ курса V класса перенесены въ VII-й), такъ что въ общемъ можно признать, что программы были отчасти улучшены, хотя времени на выполненіе этихъ программъ было недостаточно (особенно въ III и VIII кл.).

При нынѣ дѣйствующихъ программахъ, съ прибавленіемъ въ III, V и VIII кл. по одному уроку въ недѣлю, число учебныхъ часовъ по математикѣ можно считать для средней школы вполнѣ достаточнымъ.

Замѣтимъ, что, кромѣ учебнаго плана математики, даны были болѣе подробныя программы, которыя оффиціально названы примѣрными. Этими программами не особенно стѣснены преподаватели: онѣ „не обязательны для преподавателей и должны лишь служить образцомъ при соображеніяхъ, какимъ образомъ могутъ быть выполнены требованія министерства при данномъ числѣ уроковъ“1). Мы не будемъ приводить программы полностью, а отмѣтимъ только нѣкоторые пункты ихъ2).

Укажемъ, что въ I классѣ по ариѳметикѣ, между прочимъ, предлагается: ознакомленіе съ изображеніемъ чиселъ церковно-славянскими и римскими знаками; не только письменное, но и устное рѣшеніе задачъ и, наконецъ, ознакомленіе съ простѣйшими дробями помощію задачъ, преимущественно устныхъ, т. е.

1) Въ предложеніи министра народнаго просвѣщенія отъ 8-го іюня 1877 г., между прочимъ, говорится: „Примѣрныя программы необязательны для преподавателей и должны лишь служить образцомъ при ихъ соображеніяхъ, какимъ образомъ могутъ быть выполнены требованія министерства при данномъ числѣ уроковъ; но само собою разумѣется, что онѣ могутъ быть существенно измѣняемы или и вовсе устраняемы по какимъ-либо уважительнымъ соображеніямъ, которыя и должны быть изложены въ годичныхъ отчетахъ гимназій и прогимназій“. Циркуляръ по управл. Кіевск.Уч. Округомъ 1877 г., № 9.

2) Для удобства читателей программы или содержаніе ихъ, гдѣ только возможно, выдѣляются изъ остального текста — печатаются укороченными строками.

съ такъ называемымъ пропедевтическимъ курсомъ дробей. Въ III классѣ (при 1 урокѣ) требуется пройти: „Объ отношеніяхъ и пропорціяхъ; рѣшеніе задачъ на такъ называемыя правила: тройное простое и сложное, процентовъ, учета векселей (коммерческаго), цѣпное, пропорціональнаго дѣленія и смѣшенія перваго и второго рода—способомъ приведенія къ единицѣ и способомъ пропорцій. Наконецъ, въ VIII классѣ повторяется весь пройденный курсъ, и, кромѣ того, вновь проходятся теоремы о дѣлимости чиселъ, теорія общаго наибольшаго дѣлителя и наименьшаго кратнаго, а также теоремы, дающія необходимыя и достаточныя условія обращенія обыкновенныхъ несократимыхъ дробей въ десятичныя конечныя и періодическія.

Обратимъ вниманіе на то, что по алгебрѣ въ IV классѣ, при 2-хъ урокахъ въ недѣлю, полагается пройти: начиная съ дѣленія многочленовъ, разложеніе алгебраическихъ выраженій на множители, нахожденіе общаго наибольшаго дѣлителя и наименьшаго кратнаго нѣсколькихъ цѣлыхъ одночленовъ и многочленовъ, дѣйствія надъ алгебраическими дробями, дѣйствія надъ количествами съ отрицательными показателями, уравненіе первой степени съ однимъ и со многими неизвѣстными, возвышеніе въ степени, извлеченіе квадратныхъ корней изъ алгебраическихъ многочленовъ и чиселъ и, наконецъ, теорію пропорцій. Въ У классѣ (при 2-хъ урокахъ): квадратное уравненіе, свойства трехчлена второй степени, рѣшеніе простѣйшихъ уравненій второй степени съ двумя неизвѣстными, дѣйствія надъ радикалами и надъ количествами съ дробными показателями (объ ирраціональныхъ числахъ нѣтъ упоминанія въ программѣ) и, наконецъ, извлеченіе кубическихъ корней изъ чиселъ. Въ VII классѣ (при Iх!2 урок.) полагается пройти: изслѣдованіе уравненій первой степени съ однимъ и съ двумя неизвѣстными, неравенства первой степени съ однимъ неизвѣстнымъ, неопредѣленныя уравненія первой степени съ двумя неизвѣстными, непрерывныя дроби, теорію соединеній п биномъ Ньютона для положительнаго и цѣлаго показателя. Въ VIII классѣ, кромѣ повторенія всего курса съ рѣшеніемъ задачъ на всѣ его отдѣлы, вновь проходится теорема Безу, введеніе постороннихъ рѣшеній и уничтоженіе существующихъ рѣшеній въ уравненіяхъ и, наконецъ, рѣшеніе уравненій способомъ Безу.

Геометрія начинается систематическимъ курсомъ въ IV классѣ. Курсъ V класса,—самый отвѣтственный,—начинается съ пропорціональности прямыхъ линій и подобія фигуръ; здѣсь же проходится теорія предѣловъ въ примѣненіи къ опредѣленію длины окружности и площади круга; наконецъ, въ V же классѣ полагается пройти начальныя теоремы изъ стереометріи. Въ VI классѣ курсъ геометріи заканчивается; въ VII классѣ геометріи вовсе нѣтъ; въ VIII классѣ, кромѣ повторительнаго курса, полагается сообщить понятіе о приложеніи алгебры къ геометріи, а также рѣшать геометрическія задачи съ примѣненіемъ тригонометріи.

Курсъ тригонометріи проходится въ VII классѣ; въ этомъ курсѣ, кромѣ обычнаго матеріала, требуется познакомить съ измѣреніемъ линій и угловъ на земной поверхности, а также съ простѣйшими угломѣрными инструментами и съ приложеніемъ прямолинейной тригонометріи къ производству различныхъ измѣреній на мѣстности. Въ VIII классѣ курсъ тригонометріи повторяется.

Мы позволили себѣ остановиться на нѣкоторыхъ пунктахъ программы 1890 г., чтобы въ послѣдующемъ изложеніи не повторяться, такъ какъ на эту программу намъ придется не разъ ссылаться. Что касается объяснительной записки къ учебному плану математики, то мы коснемся ея не только съ вышеуказанной цѣлью, но также и потому, что эта записка представляетъ значительный интересъ сама по себѣ.

„Математика, какъ наука точная и отвлеченная,—говорится въ запискѣ,—представляя изучающимъ ее простое и потому удобное средство къ правильному развитію мышленія, составляетъ одну изъ основъ общаго образованія... При преподаваніи математики должно быть обращено существенное вниманіе на основательное и строго-систематическое изученіе теоретическаго курса ея; практическія же упражненія должны служить, во-первыхъ, къ разъясненію теоріи, а во-вторыхъ, къ пріобрѣтенію навыка въ вычисленіяхъ“.

Высказанный здѣсь взглядъ на значеніе и цѣли преподаванія математики, равно какъ и на практическія упражненія по этому предмету, нѣсколько узкій, односторонній: не обращено вниманія на значеніе математики и въ области, такъ сказать, матеріальнаго развитія изучающихъ ее, на значеніе ея какъ науки и какъ научнаго метода міропознаванія, а также на то, что практическія упражненія по математикѣ имѣютъ не только служебное, но и самостоятельное значеніе (подобно теоріи).

„Преподаваніе ариѳметики,—говорится далѣе въ запискѣ,—въ первыхъ трехъ классахъ имѣетъ цѣлью научить сознательно, быстро и изящно производить 4 дѣйствія надъ цѣлыми и дробными числами. Производство дѣйствій будетъ сознательно только тогда, когда оно основано на точныхъ опредѣленіяхъ этихъ дѣйствій и на нѣкоторыхъ принципахъ. Принципы эти должны быть доказываемы, а не предлагаемы догматически“. Нѣкоторыя же изъ теоремъ о числахъ (относящіяся къ признакамъ дѣлимости, къ нахожденію общаго наибольшаго дѣлителя и наименьшаго кратнаго) „должны быть предложены догматически, такъ какъ доказательства этихъ теоремъ недоступны для учениковъ низшихъ классовъ; въ VIII же классѣ теоремы эти должны быть доказаны“.

Нельзя не согласиться съ тѣмъ, что ученики должны производить дѣйствія надъ числами сознательно, быстро и изящно. Но этого мало: необходимо, чтобы ученики умѣли примѣнять свои знанія къ рѣшенію задачъ. Едва ли можно требовать отъ ученика I класса, чтобы онъ давалъ точныя опредѣленія или доказательства тѣхъ теоремъ, на которыхъ основаны письменные пріемы производства дѣйствій и т. п.; съ другой стороны, мы думаемъ, что не слѣдуетъ ничего давать ученикамъ, въ особенности но математикѣ, въ догматической формѣ: вѣдь, напр., восьмилѣтній мальчикъ можетъ вполнѣ сознательно разыскать произведеніе 8.7 или частное 54:8 и въ то же время не дастъ опредѣленій ни умноженія, ни дѣленія, а равно не выразитъ даже той теоремы, на которой основано дѣленіе (54:3 = 30:3 + 24:3); у ученика можно выработать ясное и болѣе или менѣе отчетливое представленіе о перемѣстительномъ свойствѣ при умноженіи, не давая логически строгаго доказательства и не сообщая этой истины въ догматической формѣ. Сказанное нами особенно имѣетъ мѣсто при изученіи цѣлыхъ чиселъ. Нужно имѣть въ виду, что при первоначальномъ обученіи даже по математикѣ преобладаетъ все-таки работа психологическаго характера, а не логическаго.

Довольно рѣдко приходится встрѣчаться съ нормальной постановкой преподаванія ариѳметики, да кстати сказать, и началъ алгебры (курсъ III и отчасти IV кл.) въ низшихъ классахъ среднихъ учебныхъ заведеній: обыкновенно наблюдаются крайности и при томъ чаще всего въ сторону, противоположную той, которая рекомендуется объяснительной запиской. Этотъ фактъ заслуживаетъ особаго вниманія. Интересно отмѣтить, что въ хорошихъ начальныхъ школахъ дѣло обученія стоитъ болѣе нормально, и понятно—почему.

„Для достиженія быстроты и изящества въ умственныхъ вычисленіяхъ,—говорится далѣе въ запискѣ,—преподаватель долженъ ознакомить учащихся съ начала курса I класса съ различными пріемами этихъ вычисленій, а затѣмъ, чтобы таковыя исчисленія были прочно усвоены,

необходимо въ первыхъ двухъ классахъ, не менѣе двухъ разъ въ недѣлю, удѣлять минутъ 15 въ концѣ урока на такъ называемое бѣглое умственное вычисленіе съ цѣлымъ классомъ, и во время рѣшенія письменныхъ задачъ на доскѣ или въ тетрадяхъ отнюдь не позволять дѣлать письменно дѣйствія съ малыми числами“.

Умѣть считать устно—важно не только потому, что это имѣетъ громадное практическое значеніе, но и потому, что при устномъ счетѣ требуется болѣе сознательное отношеніе къ дѣлу, чѣмъ при письменномъ вычисленіи. А между тѣмъ русская школа въ устномъ счетѣ сильно отстала отъ западно-европейской. Слѣдовательно, вполнѣ раціонально обратить на это серіозное вниманіе; матеріалъ для такихъ вычисленій встрѣчается на каждомъ шагу (не въ одной ариѳметикѣ), и нѣтъ надобности удѣлять для этого особое время, но необходимо постоянно и настоятельно требовать отъ учениковъ устнаго выполненія дѣйствій не только надъ малыми числами, какъ указано въ объяснительной запискѣ, а вообще надъ тѣми числами, которыя даютъ по своему характеру подходящій матеріалъ. Опять нельзя не обратить вниманія на то, какъ мало проникло въ жизнь школы это вполнѣ раціональное требованіе программы.

„При преподаваніи алгебры, —говорится въ объяснительной запискѣ, —должно стремиться послѣдовательно расширять въ умѣ учащихся представленія о числѣ, имѣя въ виду, что въ алгебрѣ долженъ господствовать духъ обобщеній, который и есть причина весьма важнаго значенія алгебры, какъ предмета изученія въ среднемъ учебномъ заведеніи ... Теорема Безу въ IV классѣ не должна излагаться въ общемъ видѣ,—достаточно показать разложеніе выраженій а3±Ь3, аъ±Ъь на сомножители. Въ курсѣ IV класса должно быть обращено особое вниманіе на разложеніе выраженій на сомножители“. Далѣе слѣдуютъ методическія указанія касательно этого отдѣла. „Должно выяснить,—говорится въ запискѣ, —что количества съ показателемъ нуль и отрицательнымъ суть не что иное, какъ символы, и показать смыслъ и цѣль введенія этихъ символовъ (здѣсь имѣется въ виду,—прибавимъ отъ себя,—нелѣпое изложеніе этихъ вопросовъ въ общераспространенныхъ учебникахъ). При прохожденіи уравненій въ IV классѣ должно выбирать такія уравненія, рѣшая которыя, мы не уничтожаемъ ни одного корня и не вводимъ постороннихъ рѣшеній; эти послѣдніе вопросы должны быть пройдены въ VIII классѣ при повтореніи... Въ VIII классѣ... должно... доказать, что всякое положительное число при положительномъ основаніи имѣетъ логариѳмъ... При прохожденіи суммы членовъ безконечно убывающей геометрической прогрессіи должно быть обращено вниманіе на понятіе о предѣлѣ, и здѣсь должно выяснить, что всякое соизмѣримое число можетъ быть разсматриваемо, какъ предѣлъ нѣкотораго ряда соизмѣримыхъ чи-

селъ. Здѣсь должно коснуться вопроса объ обращеніи періодическихъ дробей въ обыкновенныя...“

Намъ кажется, что и сдѣланныхъ нами выписокъ достаточно, чтобы убѣдиться въ стремленіи придать курсу алгебры хотя односторонній, но серіозный общеобразовательный характеръ.

Не менѣе интересна объяснительная записка къ программѣ по геометріи.

„Главнѣйшею цѣлью преподаванія геометріи,—сказано въ запискѣ, —должно быть систематическое изученіе ея истинъ учащимися; но такъ какъ геометрія представляетъ собою простѣйшія и разнообразнѣйшія упражненія для практическаго усвоенія формальной логики, то цѣлью ея изученія слѣдуетъ поставить и уясненіе способовъ доказательствъ геометрическихъ истинъ, а также полное усвоеніе учащимися методовъ или формъ разсужденій, употребляемыхъ при этихъ доказательствахъ“. Далѣе слѣдуетъ рядъ методическихъ указаній и, между прочимъ, предлагается уяснить понятія о теоремахъ прямыхъ, обратныхъ, противоположныхъ и обратныхъ противоположнымъ, а также зависимость между этими теоремами. Въ объяснительной запискѣ отведено значительное мѣсто геометрическимъ способамъ доказательствъ. Упоминается, что „при доказательствѣ теоремъ способомъ наложенія слѣдуетъ непремѣнно указать на главнѣйшее и существенное свойство плоскости, по которому можно не только переносить фигуры съ одного мѣста плоскости на другое безъ разрыва самыхъ фигуръ, но и перевертывать послѣднія.—Переходя къ доказательству теоремъ по способу пропорцій,... слѣдуетъ, между прочимъ, установить, что должно разумѣть подъ отношеніемъ двухъ несоизмѣримыхъ величинъ, и лишь послѣ этого изучить теоремы, относящіяся къ величинамъ несоизмѣримымъ.—Переходъ отъ способа пропорцій къ способу предѣловъ будетъ совершенно естественный, если понятіе о геометрической перемѣнной и ея предѣлѣ будетъ выясняться на опредѣленіи длины прямой, несоизмѣримой съ единицею мѣры ея“... Не упущены изъ виду и геометрическія задачи. „Рѣшеніе геометрическихъ задачъ на вычисленіе.— говорится въ запискѣ,—должно происходить послѣ каждаго пройденнаго отдѣла геометріи; оно служитъ для укрѣпленія теоремъ въ памяти, къ пріученію пользоваться ими при рѣшеніи практическихъ вопросовъ и для упражненій въ составленіи уравненій и въ преобразованіи алгебраическихъ формулъ; наилучшими задачами этого рода должны считаться только тѣ, которыя требуютъ отъ рѣшающаго чисто геометрическихъ соображеній... Отнюдь не должны быть отдѣляемы отъ систематическаго курса геометріи рѣшенія основныхъ задачъ на построеніе“...

Мы не касаемся вопроса, насколько выполнима при нынѣшнихъ условіяхъ предлагаемая программа геометріи; но несомнѣнно, что объяснительная записка ставитъ очень серіозно дѣло изученія этого предмета, какъ съ теоретической, такъ и съ практической стороны.

„Преподаваніе тригонометріи, — согласно объяснительной запискѣ,—имѣетъ цѣлью научить рѣшать треугольники, а потому слѣдуетъ касаться теоріи тригонометрическихъ функцій лишь настолько, насколько она необходима для вышеуказанной цѣли“.

„Ознакомленіе съ предметомъ приложенія алгебры къ геометріи должно быть ограничено выясненіемъ закона однородности, пріема возстановленія однородности формулъ въ случаѣ ея нарушенія, построеніемъ и изслѣдованіемъ корней квадратнаго уравненія, а также рѣшеніемъ нѣкоторыхъ задачъ, особенно удобныхъ для изслѣдованія“.

Въ заключеніе объяснительная записка даетъ обстоятельныя указанія относительно характера задачъ, которыя должны быть предлагаемы ученикамъ для рѣшенія.

Мы не будемъ входить сейчасъ болѣе подробно въ критическую оцѣнку программъ 1890 г.: наше отношеніе къ нимъ выяснится изъ дальнѣйшаго изложенія. Во всякомъ случаѣ, если признать эти программы пріемлемыми, то нужно согласиться, что объяснительная записка къ нимъ, въ особенности къ программѣ по алгебрѣ и геометріи, представляетъ значительный интересъ; а между тѣмъ несомнѣнно, что указанія этой записки обыкновенно игнорируются и преподаваніе ведется въ большинствѣ случаевъ независимо отъ нея.

II.

Труды комиссій и группъ при Московскомъ Учебномъ Округѣ 1899 г.

Общій обзоръ трудовъ.

Обратимся къ обзору обширныхъ московскихъ трудовъ, вызванныхъ упомянутымъ циркуляромъ министра Н. П. Боголѣпова. Совѣщанія московскихъ педагоговъ и профессоровъ, какъ сказано выше, происходили по предложенію бывшаго попечителя Московскаго Учебнаго Округа П. А. Некрасова во второй половинѣ 1899 года. Для совѣщанія были привлечены лица, извѣстныя въ научномъ и педагогическомъ мірѣ Москвы и Московскаго Учебнаго Округа. Между ними мы встрѣчаемъ извѣстныхъ профессоровъ: Н. А. Андреева, Н. В. Бугаева, Б. К. Млодзѣевскаго, П. А. Некрасова, Н. Е. Жуковскаго и др. и выдающихся педагоговъ: К. К. Мазинга, Н. А. Рыбкина, В. Я. Гебеля, А. М. Воронца, Ѳ. И. Егорова и др. Дѣло было организовано, по нашему мнѣнію, вполнѣ раціонально: въ рѣшеніяхъ не могло быть ничего предвзятаго, каждому была предоставлена полная свобода и возможность высказать свои взгляды и поработать надъ созданіемъ плана именно той школы, которая казалась ему болѣе всего отвѣчающей запросамъ жизни. Для удобства веденія дѣла пришлось раздѣлиться на нѣсколько группъ, сообразно съ тѣми направленіями, которыя выразились въ мнѣніяхъ различныхъ лицъ относительно реформы средней школы; предсѣдателямъ группъ было разрѣшено приглашать въ засѣданія этихъ группъ и иныхъ сотрудниковъ, сверхъ тѣхъ, которые были приглашены попечителемъ Округа для совѣщаній. И хотя всѣхъ принимавшихъ участіе въ трудахъ различныхъ комиссій и группъ было болѣе 200 человѣкъ, но въ каждой группѣ отдѣльно работало такое число

лидъ, которое соотвѣтствовало быстрому и успѣшному ходу дѣла. Кромѣ пяти комиссій, которыя были заняты разработкой вопросовъ, одинаково касающихся всѣхъ типовъ средней школы, выдѣлилось нѣсколько группъ, съ подраздѣленіемъ нѣкоторыхъ изъ нихъ на подгруппы, для обсужденія вопросовъ по различнымъ отдѣльнымъ типамъ средней школы. Труды московскихъ комиссій и группъ напечатаны въ шести объемистыхъ томахъ1).

1-я группа2) (подъ предсѣдательствомъ директора 7-й гимназіи К. К. Войнаховскаго и помощника попечителя В. Д. Исаенкова) составилась изъ лицъ, стоявшихъ за сохраненіе прежней классической школы съ необходимыми въ ней измѣненіями и улучшеніями. При сохраненіи въ ней обоихъ древнихъ языковъ, введено естествовѣдѣніе (6 уроковъ: по 2 урока въ V—VII кл.), а также обязательное изученіе обоихъ новыхъ языковъ3). Для математики группа нашла возможнымъ отвести только 27 уроковъ (на 1 урокъ меньше сравнительно съ таблицей 1890 г.). Разработкой и видоизмѣненіемъ программы по математикѣ для школы этого типа занимались, главнымъ образомъ, преподаватель 7-й гимназіи Г. Х. Херсонскій и проф. Б. К. Млодзѣевскій.

2-я группа4) (подъ предсѣдательствомъ проф. В. Ѳ. Миллера), находившая необходимымъ коренное измѣненіе существующей классической гимназіи, занималась детальной разработкой плановъ и программъ видоизмѣненной гимназіи (классическая школа 2-го типа;, въ которой латинскій языкъ преподавался бы съ III класса (при 26 урокахъ), а греческій съ V-го (при 16 урокахъ); кромѣ того, въ курсъ гимназіи вводится: естествовѣдѣніе—8 уроковъ (по 2 урока въ III—VI кл.), отечествовѣдѣніе—4 урока (по 2 урока въ VII и VIII кл.), обязательное изученіе обоихъ новыхъ языковъ (при значительно увеличенномъ числѣ уроковъ), увеличивается число уроковъ по русскому языку и по исторіи. По математикѣ число уроковъ уменьшено на одинъ—27 вмѣсто 28. Программа по математикѣ для школы этого типа принадлежитъ преподавателю Лазаревскаго Института Н. А. Рыбкину5).

1) Приложенія къ Циркулярамъ по Московскому Учебному Округу, издав. подъ редакціей Вл. Исаенкова. Совѣщанія, происходившія въ 1899 г. въ Московскомъ Учебномъ Округѣ по вопросамъ о средней школѣ, въ связи съ циркуляромъ г. Мин. Нар. ГІр. отъ 8 іюля 1899 г. за 16212. Вып. 1—6. М. 1899.

2) Вып. 2 Труды 1-й группы по организаціи классической гимназіи.

3) Тамъ же. Сводъ положеній, выработанныхъ 1-й группой по организаціи классической гимназіи, стр. 155—170.

4) Вып. 3. Труды 2-й и 3-й группъ по организаціи гимназіи, стр. 1 —36.

5) Вып 3. Приложенія. Докладъ преподавателя Н. А. Рыбкина „О постановкѣ курса математики въ гимназіи“, стр. 91 и 92.

3-я группа1) (подъ предсѣдательствомъ проф. А. И. Кирпичникова) объединила въ себѣ лицъ, пришедшихъ къ убѣжденію, что единственнымъ средствомъ добыть время, необходимое для усиленія нѣкоторыхъ предметовъ и введенія въ курсъ недостающихъ въ немъ общеобразовательныхъ элементовъ, являлось изъятіе греческаго языка изъ числа предметовъ преподаванія въ средней школѣ (классическая школа 3-го типа). Латинскій языкъ предположено начинать съ III класса (при 29 урокахъ), преподаваніе обоихъ новыхъ языковъ признано обязательнымъ (при чемъ французскій языкъ начинается съ I класса, а нѣмецкій со ІІ-го), вводится естествовѣдѣніе—9 уроковъ (по 2 урока въ III—VI и 1 урокъ въ VII классѣ); для физики съ космографіей предназначается 11 уроковъ. Для математики отводится 29 уроковъ (на 1 урокъ больше, чѣмъ раньше)2). Въ разработкѣ программы самое дѣятельное участіе принималъ проф. Б. К. Млодзѣевскій3).

4-я группа4) (подъ предсѣдательствомъ директора Комиссаровскаго Техническаго училища А. Ѳ. Леоновича) занята была вопросомъ о реорганизаціи реальныхъ училищъ5). Училища были признаны учебными заведеніями общеобразовательными въ полномъ смыслѣ этого слова. Указано было на необходимость увеличить продолжительность курса реальныхъ училищъ до 8 лѣтъ, усилить гуманитарный элементъ въ учебныхъ предметахъ этого рода и курсу всѣхъ восьми классовъ придать общеобразовательный характеръ. Признано желательнымъ допущеніе реалистовъ на медицинскій и физико-математическій факультеты университетовъ. Для математики группа предоставила всего 35 уроковъ (на 4 урока меньше сравнительно съ прежнимъ числомъ уроковъ). Программу по математикѣ для реальныхъ училищъ6) этого типа вырабатывали, главнымъ образомъ, директоръ реальнаго училища К. К. Мазингъ7) и преподаватель реальнаго училища А. М. Воронецъ8).

1) Вып. 3. Труды 2-й и 3-й группъ по организаціи гимназіи, стр. 37—88.

2) Тамъ же. Сводъ мнѣній 3-й группы по организаціи гимназіи, стр. 58—87.

3) Вып. 3. Приложенія. Донладъ проф. Б. К. Млодзѣевскаго „Программа по математикѣ“, стр. 157—162.

4) Вып. 4. Труды 4-й группы по организаціи реальныхъ училищъ.

5) Въ основу преобразованія положены постановленія съѣзда дѣятелей по техническому и профессіональному образованію 1895—1896 г.

6) Вып. 4. Сводъ положеній, выработанныхъ 4-й группой по организаціи реальныхъ училищъ, стр. 81—97.

7) Тамъ же. Приложенія. Докладъ А. М. Воронца „О желательныхъ измѣненіяхъ въ программахъ геометріи, геометрическаго черченія, тригонометріи и приложенія алгебры къ геометріи“, стр. 127—134.

8) Тамъ же. Приложенія. Докладъ К. К. Мазинга „О сокращеніи курса стереометріи“, стр. 135 и слѣд.

Наконецъ, кружокъ лицъ (2-я подгруппа 5-й группы—подъ предсѣдательствомъ проф. П. Г. Виноградова) одушевленъ былъ мыслью создать школу новаго типа1) по образцу норвежской школы (напоминающую до нѣкоторой степени современную французскую школу). Группа признала желательнымъ созданіе единой общеобразовательной средней школы съ расхожденіемъ въ старшихъ классахъ по нѣсколькимъ линіямъ, подготовляющимъ почву для высшаго образованія,—и при томъ такъ, чтобы образованіе въ младшемъ отдѣленіи средней школы, съ законченнымъ курсомъ и умѣренными требованіями, дало бы возможность многимъ, остановившись на полдорогѣ къ университету, начать практическую дѣятельность. Въ виду этого средняя школа распадается на младшее отдѣленіе изъ пяти классовъ2) и старшее3), состоящее изъ трехъ классовъ и трехъ линій — гуманитарной, классической и натуралистической. Курсъ младшаго отдѣленія долженъ быть болѣе или менѣе законченнымъ; онъ довольно сходенъ съ курсомъ городскихъ училищъ 1872 г. (Предметы преподаванія: Законъ Божій, русскій языкъ, одинъ изъ новыхъ языковъ—съ I класса, исторія, географія, естествовѣдѣніе, физика и химія, математика и черченіе). На математику отводится въ младшемъ отдѣленіи 21 урокъ; въ старшемъ же отдѣленіи на гуманитарной и классической вѣтви по 9 уроковъ, а на натуралистической—11 уроковъ. Надъ программой математики въ школѣ этого типа много потрудились инспекторъ слесарно-ремесленнаго училища В. Я. Гебель, преподаватель 1-й гимназіи Д. Д. Галанинъ, а также К. К. Мазингъ4).

Распредѣленіе уроковъ математики въ школахъ указанныхъ типовъ помѣщено въ нижеприведенной таблицѣ.

1) Вып. 5. Протоколы засѣданій 2-й подгруппы 5-й группы по вопросу объ организаціи единой общеобразовательной средней школы новаго типа, стр. 28—64.

2) Тамъ же. Сводъ положеній, выработанныхъ 2-й подгруппой 5-й группы о младшемъ отдѣленіи средней общеобразовательной школы новаго типа, стр. 51—64.

3) Тамъ же. Проектъ распредѣленія учебныхъ часовъ въ недѣлю въ 3-хъ старшихъ классахъ школы новаго типа, стр. 50.

4) Тамъ же. Приложенія. Докладъ В. Я, Гебеля и Д. Д. Галанина „О программѣ по математикѣ“; „Объяснительная записка къ курсу математики", составл. Д. Д. Галанинымъ и К. К. Мазингомъ, стр. 89—92.

ТИПЫ школъ.

Классы.

Всего.

I

II

III

IV

V

VI

VII

VIII

1 Таблица 1890 г. Гимназія <

' Таблица 1906—07 г.

4

4

3

4

4

4

3

2

28

4

4

4

4

5

4

3

3

31

31

10ч

1 Таблица 1895 г. Реальное учил. і

1 Таблица 1906 г.

3

4

4

6

5

6

3

4

4

4

6

6

6

5

-

35

Совѣщанія при Моск. Уч. Окр. 1899 г.

1. Классич. гимназ. съ 2-мя древн. яз.—клас. школа 1-го типа. (1-я гр., предс. К. К. Войнаховскій и В. Д. Исаенковъ).

3

4

3

4

4

3

3

3

27

2. Классич. школа 2-го типа . . (2-я гр., предсѣд. проф. В. Ѳ. Миллеръ).

3

4

3

4

4

3

3

3

27

3. Гимназія съ 1-мъ лат. яз — школа 3-го типа...... (3-я гр., предс. проф. Кирпичниковъ).

4

4

4

4

4

3

3

3

29

4. Реальное училище съ 8-год. курсомъ ......... (4-я гр., предс. А. Ѳ. Леоновичъ)

4

0

0

3

6

5

5

5

4

35

5. Средняя школа новаго типа (съ 2-мя циклами)..... (2-я подгр. 5-ой гр., предс. проф. П. Г. Виноградовъ).

3*

4*

5*

4*

5*

Г.З

Н.З

К.З

3

3

3

3

5

3

30

32

30

ч Этимъ знакомъ отмѣчены уроки черченія.

* Общее число уроковъ математики и черченія.

Г—гуманитарное отдѣленіе, Н—натуралистическое, К—классическое.

Программы по математикѣ.

Переходя къ разсмотрѣнію всѣхъ программъ съ объяснительными къ нимъ записками, мы должны замѣтить, что только вскользь будемъ касаться распредѣленія предметовъ по классамъ, такъ какъ это представляетъ для насъ въ данномъ случаѣ мало интереса.

По существу, программы всѣхъ намѣченныхъ типовъ школы, за исключеніемъ школы новаго типа, сходны между собою: онѣ разнятся только

деталями. Программы школы новаго типа представляютъ, какъ мы уже упоминали, подраздѣленіе на два концентра.

Ариѳметика. Въ курсѣ ариѳметики всѣ видоизмѣненія программы сводятся къ болѣе или менѣе значительнымъ сокращеніямъ. Укажемъ ихъ въ порядкѣ изложенія самого предмета.

Предлагается исключить въ курсѣ ариѳметики первыхъ 3-хъ классовъ:

1) Ознакомленіе на урокахъ ариѳметики съ обозначеніемъ чиселъ при помощи церковно-славянскихъ цыфръ. Это сокращеніе предложено въ программахъ классической школы 2-го типа и реальнаго училища, въ двухъ же программахъ (школы 1-го типа и школы новаго типа) объ этомъ вовсе не упоминается. 2) Признакъ дѣлимости на 8 (по программѣ школы 2-го типа), на 6 (по программѣ реальнаго училища). 3) Нахожденіе общаго наибольшаго дѣлителя послѣдовательнымъ дѣленіемъ1). Переносится этотъ вопросъ въ курсъ VIII класса (по всѣмъ программамъ). 4) Ученіе о періодическихъ дробяхъ ограничивается только изложеніемъ происхожденія періодической дроби и общимъ понятіемъ о періодической дроби; обстоятельное изложеніе этого отдѣла переносится или въ курсъ алгебры—ученіе о безконечно-убывающей геометрической прогрессіи—или въ курсъ VIIІ класса —повторительный курсъ ариѳметики. Къ этому приходятъ единодушно всѣ программы. 5) Ученіе о пропорціяхъ переносится (по программамъ школы 3-го типа, реальнаго училища, школы новаго типа) въ курсъ алгебры, гдѣ оно будетъ „умѣстно, представляя лишь частный случай теоріи уравненій“. 6) Всѣми единодушно исключаются задачи на учетъ векселей и на цѣпное правило, остальныя же задачи на такъ называемыя тройныя правила предлагается рѣшать въ ариѳметикѣ только приведеніемъ къ единицѣ— пріемомъ ариѳметическимъ, имѣющимъ въ данномъ случаѣ болѣе образовательное значеніе, чѣмъ алгебраическій пріемъ—пріемъ пропорцій.

Противъ всѣхъ этихъ сокращеній и упрощеній едва ли кто серіозно будетъ возражать въ настоящее время, а потому нѣтъ надобности приводить и всѣ тѣ соображенія, которыми руководствовались при вышеуказанныхъ измѣненіяхъ.

Нѣкоторые предлагаютъ опустить и рѣшеніе задачъ на смѣшеніе (программы школы 1-го типа и реальнаго училища). Въ замѣчаніяхъ же къ программамъ реальнаго училища и въ особенности школы новаго типа признается, что выдѣленіе задачъ на различныя правила не желательно: такое выдѣленіе отучаетъ ученика отъ самостоятельнаго мышленія, ибо въ задачѣ на первомъ планѣ долженъ стоять самостоятельный анализъ, а въ 1

1) Ученіе объ общемъ наибольшемъ дѣлителѣ, безъ всякаго ущерба для дѣла, можетъ быть опущено въ курсѣ II класса.

этихъ задачахъ вводится шаблонъ. „Понятія о векселяхъ не нужны, по мнѣнію г. Мазинга (программа реальнаго училища), какъ не соотвѣтствующія общему строю обученія въ общеобразовательной школѣ, и по своему составу задачъ—дѣйствительности. Всякія задачи на остальныя правила должны по степенямъ трудности входить въ курсы I и II классовъ. Понятіе о процентѣ необходимо сообщать ученикамъ при прохожденіи десятичныхъ дробей“. Вполнѣ нужно согласиться съ тѣмъ, чтобы задачи вообще рѣшались не по шаблону, не по правилу, а по соображенію; поэтому задачи на такъ называемыя „правила“ должны входить въ курсы I и II классовъ, но отсюда, намъ кажется, вовсе не слѣдуетъ, что въ концѣ курса въ III классѣ,—когда рѣшеніе вышеуказанныхъ задачъ уже сыграло, такъ сказать, свою образовательную роль,—не было бы полезно и желательно отмѣтить главные типы ариѳметическихъ задачъ и подчеркнуть при этомъ болѣе простые и болѣе изящные пріемы рѣшенія этихъ задачъ.

Вполнѣ раціональнымъ нужно признать мнѣніе, принятое многими методистами и отмѣченное въ объяснительной запискѣ къ курсу математики въ новой школѣ, что „содержаніе ариѳметическихъ задачъ должно, почти исключительно, заимствоваться изъ области именованныхъ чиселъ, даваемыхъ не только вопросами житейской и коммерческой практики, а также и задачами по геометріи, физикѣ, химіи и т. п., конечно, постольку, сколько это будетъ доступно учащимся при данномъ уровнѣ развитія ихъ“1). Въ эти задачи должны входить не только простыя, но и составныя именованныя числа, и дѣйствія надъ составными именованными числами должны производиться не по шаблону, а по соображенію. Но въ концѣ концовъ, въ свое время должны быть, по нашему мнѣнію, приведены въ систему и отмѣчены болѣе простые, болѣе удобные пріемы преобразованій съ именованными числами и не только съ цѣлыми, но и съ дробными. И если опустить въ программѣ рубрику „дѣйствія надъ составными именованными числами“,—чего, собственно говоря, не слѣдуетъ дѣлать,—то это не значитъ, что вышеуказанное распредѣленіе учебнаго матеріала потребуетъ меньше времени, чѣмъ обычное (какъ ошибочно предполагаютъ составители программы школы новаго типа).

Заслуживающимъ вниманія является указаніе программъ реальнаго училища и школы новаго типа избѣгать „многодѣлія“2) съ составными именованными числами, т. е. ограничиваться, по большей части, именованными числами, составленными изъ единицъ двухъ, трехъ сосѣднихъ разрядовъ.

1) Вып. 4. Сводъ положеній, стр. 90.

2) „Многодѣліе“, „многодѣльность“—термины московскихъ педагоговъ.

Болѣе слабой программой по ариѳметикѣ является программа классической школы 2-го типа (программа Н. А. Рыбкина); въ ней безъ всякихъ основаній опущенъ въ I классѣ пропедевтическій курсъ дробей—отдѣлъ, необходимость котораго настолько очевидна и общепризнана методистами, что нѣтъ надобности останавливаться на этомъ вопросѣ. Мало обосновано также исключеніе въ той же программѣ отдѣла объ измѣненіи результатовъ дѣйствій въ зависимости отъ измѣненія элементовъ ихъ. Этотъ отдѣлъ представляется намъ особенно важнымъ, если принять во вниманіе новые взгляды на преподаваніе математики въ средней школѣ: онъ даетъ подходящій матеріалъ для уясненія функціональной зависимости.

Наконецъ, неосновательной является мысль, выраженная въ программахъ реальнаго училища и школы новаго типа, что повтореніе ариѳметики въ III классѣ не желательно, что вмѣсто этого нужно ввести курсъ общей ариѳметики. Кто знакомъ съ дѣтской психологіей, тотъ хорошо знаетъ, насколько необходимо и важно при обученіи повтореніе пройденнаго; на этомъ принципѣ, между прочимъ, основано концентрическое расположеніе учебнаго матеріала въ пропедевтическомъ курсѣ ариѳметики и повтореніе пройденнаго въ курсѣ систематическомъ1). Намъ кажется существеннымъ пробѣломъ программъ отсутствіе упоминанія о томъ, что курсъ каждаго класса долженъ начинаться повтореніемъ основныхъ вопросовъ, проработанныхъ въ предшествующемъ классѣ, съ необходимыми дополненіями и обобщеніями. Кромѣ всего этого, нужно имѣть въ виду, что курсъ общей ариѳметики вовсе не замѣнитъ собою повторительнаго курса ариѳметики. Что касается повторительнаго курса ариѳметики VIII класса съ надлежащими обобщеніями и дополненіями, то необходимость его признается всѣми программами.

Къ пробѣламъ программъ нужно также отнести отсутствіе упоминанія какъ въ программахъ, такъ и въ объяснительныхъ запискахъ объ устномъ счетѣ: о важномъ значеніи этого вопроса мы уже говорили раньше2).

Распредѣленіе ариѳметическаго учебнаго матеріала по классамъ остается почти безъ измѣненія по сравненію съ программой 1890 г.

Алгебра. И въ курсѣ алгебры имѣлось въ виду, главнымъ образомъ, сократить и упростить матеріалъ, подлежащій усвоенію. Методическихъ

1) Въ программахъ западно-европейскихъ школъ допускается концентрическое расположеніе учебнаго матеріала и въ курсѣ систематическомъ. См., напр., программы французскихъ школъ: „Plan d’études et programmes de l’enseignement secondaire 1902—1905“.

2) См. выше, стр. 10.

замѣчаній, какъ и слѣдовало ожидать, здѣсь значительно меньше, чѣмъ въ программѣ ариѳметики.

Единодушно, безъ всякихъ оговорокъ, предлагается исключить изъ курса: 1) извлеченіе квадратнаго корня изъ многочленовъ (въ IV классѣ); 2) извлеченіе кубическаго корня изъ чиселъ (въ V классѣ); 3) ученіе о непрерывныхъ дробяхъ (въ VII классѣ). Эти сокращенія являются у насъ общепризнанными и въ педагогической литературѣ и на практикѣ.

Кромѣ того, по программѣ классической школы 2-го типа (программа Н. А. Рыбкина) предлагается опустить задачи на срочные вклады и уплаты, а по программѣ реальнаго училища—и вообще задачи на сложные проценты. „Эти задачи,—по мнѣнію К. К. Мазинга,—неправильно заняли преобладающее значеніе въ общеобразовательномъ курсѣ; а пріемы рѣшенія, предлагаемые для нихъ въ курсѣ алгебры, далеко ушли отъ пріемовъ современной житейской практики“1). Въ программѣ классической школы 2-го типа опущены также теорія соединеній и биномъ Ньютона (безъ мотивовъ); въ той же школѣ предположено почему-то не останавливаться на возвышеніи многочлена въ квадратъ. Проф. Б. К. Млодзѣевскій въ программѣ школы 3-го типа предлагаетъ изслѣдованіе уравненій ограничить уравненіями первой степени съ однимъ неизвѣстнымъ, такъ какъ на нихъ могутъ быть достаточно выяснены какъ самыя задачи изслѣдованія, такъ и истинное значеніе безконечныхъ и неопредѣленныхъ рѣшеній.

Намъ кажется, что безъ особаго ущерба для дѣла можно пожертвовать тѣми статьями, которыя намѣчены къ сокращенію программами школъ 2-го и 3-го типовъ,—конечно, если освободившееся время будетъ посвящено на болѣе производительную математическую работу: мы разумѣемъ введеніе въ курсъ средней школы основъ высшаго анализа.

Далѣе, по мнѣнію К. К. Мазинга (программа реальнаго училища), въ курсѣ алгебры должна быть исключена всякая „многодѣльность“: раскрытіе скобокъ болѣе, чѣмъ въ три ряда; всѣ 4 дѣйствія съ многочленами при буквенныхъ показателяхъ и многочленныхъ коэффиціентахъ; дѣйствія съ многочленами, содержащими болѣе 4-хъ разнородныхъ членовъ (мы бы прибавили: если къ тому не представится надобность); частные случаи дѣленія въ общемъ видѣ; возвышеніе въ квадратъ многочленовъ, содержащихъ болѣе 3-хъ членовъ, а въ кубъ—болѣе 2-хъ членовъ. Помимо этого, К. К. Мазингъ находитъ необходимымъ вовсе опустить статьи, не вносящія ничего существенно новаго; сюда онъ относитъ: производныя пропорціи, за исключеніемъ имѣющихъ приложеніе къ геометріи и облегчающихъ рѣшеніе уравненій; способъ Безу для рѣшенія системы уравненій; вычитаніе и дѣленіе комплексныхъ количествъ. Наконецъ, онъ

1) Вып. 4. Протоколы, стр. 65.

предлагаетъ исключить статьи, сложныя по своей конструкціи и выводамъ, а вмѣстѣ съ тѣмъ, не имѣющія приложенія въ средней школѣ,—между прочимъ, натуральные логариѳмы и даже теорію предѣловъ1).

Не со всѣми упрощеніями, какія предлагаетъ К. К. Мазингъ, можно согласиться. Такъ, напр., если желательно производить дѣйствія съ одночленами при буквенныхъ показателяхъ (а это, очевидно, признается программой г. Мазинга), то почему же не слѣдуетъ производить сложенія, вычитанія, умноженія многочленовъ при буквенныхъ показателяхъ и даже дѣленія многочлена на одночленъ, ограничиваясь двумя—тремя членами въ многочленѣ: вѣдь это, какъ свидѣтельствуетъ практика, вноситъ только большую сознательность въ производство алгебраическихъ преобразованій и является лучшимъ показателемъ, насколько осмысленно усвоенъ пройденный курсъ. А важность и необходимость теоріи предѣловъ настолько общепризнана, что намъ не приходится останавливаться на этомъ.

Слѣдуетъ упомянуть также, что проф. Б. К. Млодзѣевскій для школы 3-го типа предлагаетъ, безъ всякихъ мотивовъ, ввести болѣе подробный разборъ уравненій, приводящихся къ квадратнымъ, а также статью о maxima и minima выраженій второй степени2). Сомнительно, чтобы эта послѣдняя статья въ элементарномъ изложеніи заслуживала особаго вниманія.

Наконецъ, въ курсъ классической школы 1-го типа вводится ознакомленіе съ функціями, а также съ методомъ координатъ, а въ курсъ школы 3-го типа дополнительныя статьи по выбору преподавателя.

Но классамъ курсъ алгебры распредѣляется приблизительно такъ же, какъ и по программѣ 1890 г., съ слѣдующими незначительными отступленіями въ нѣкоторыхъ программахъ.

Въ классической школѣ 1-го типа въ курсъ III класса вводится рѣшеніе численныхъ уравненій первой степени съ однимъ неизвѣстнымъ.

Въ классической школѣ 2-го типа прогрессіи переносятся въ курсъ У класса; дѣйствія надъ количествами съ отрицательными и дробными показателями—въ курсъ VI класса; изслѣдованіе уравненій—въ курсъ VIII класса.

Въ классической школѣ 3-го типа въ курсъ III класса перемѣщается дѣленіе многочленовъ и разложеніе многочленовъ на множители.

1) Вып. 4. Протоколы, стр. 64, 65.

2) Вып. 3. Приложенія, стр. 160.

Въ восьмиклассномъ реальномъ училищѣ намѣчена слѣдующая программа курса алгебры1).

III классъ (2 урока). Четыре основныя дѣйствія надъ одночленами и многочленами. Рѣшеніе числовыхъ уравненій первой степени съ однимъ неизвѣстнымъ.

IV классъ (2 урока). Дѣйствія надъ алгебраическими дробями. Рѣшеніе уравненій первой степени съ однимъ и со многими неизвѣстными.

V классъ (2 урока). Возвышеніе въ степень одночленовъ и извлеченіе корней изъ нихъ. Извлеченіе корня квадратнаго изъ чиселъ. Дѣйствія надъ радикалами. Рѣшеніе уравненій второй степени съ однимъ неизвѣстнымъ. Рѣшеніе простѣйшихъ системъ уравненій второй степени.

VI классъ (2 урока). Теорія уравненій и изслѣдованіе уравненій первой степени съ однимъ и двумя неизвѣстными. Количества съ дробными и отрицательными показателями. Логариѳмы. Прогрессіи.

VII классъ (2 урока). Двучленныя уравненія. Неравенства. Неопредѣленныя уравненія первой степени съ двумя неизвѣстными. Изслѣдованіе квадратнаго уравненія. Теорія соединеній. Биномъ Ньютона.

VIII классъ (2 урока). Maxima и minima. Неравенства второй степени. Комплексныя количества. Рѣшеніе задачъ на наиболѣе важные отдѣлы алгебры.

Замѣтимъ, что въ 4-ой группѣ по реформѣ реальныхъ училищъ было высказано желаніе о введеніи четырехзначныхъ таблицъ логариѳмовъ.

Остается сказать еще нѣсколько словъ о курсѣ алгебры въ школѣ новаго типа. Какъ мы уже отмѣтили раньше, курсъ младшаго отдѣленія долженъ давать циклъ нѣкоторыхъ законченныхъ знаній.

„Въ курсѣ алгебры на первомъ планѣ должны стоять, по объяснительной запискѣ, не формальныя, а матеріальныя цѣли; не гоньба за изысканными (!) способами доказательствъ, а навыкъ въ примѣненіи алгебраическаго анализа (теоріи уравненій) къ различнымъ вопросамъ науки и жизни2)... Въ первый годъ ученія нужно совершенно устранить изъ курса понятіе объ алгебраическомъ количествѣ и начать курсъ алгебры, какъ обобщеніе ариѳметическихъ правилъ и обобщеніе ариѳметическихъ задачъ. Отсюда можно перейти къ составленію и рѣшенію уравненій,

1) Вып. 4. Протоколы, стр. 65.

2) Вып. 5. Приложенія, стр. 92.

какъ орудія рѣшенія математическихъ вопросовъ. Параллельно съ этимъ проходятся, насколько это нужно для рѣшенія уравненій, пріемы преобразованія буквенныхъ выраженій“1).

Относительно задачъ по алгебрѣ въ объяснительной запискѣ говорится: „если нельзя избѣжать задаванія задачъ на домъ, то необходимо ввести въ самомъ широкомъ смыслѣ элементъ факультативности (относительно свободы въ выборѣ способа рѣшенія, въ выборѣ самой задачи: замѣны самимъ учащимся задачи непосильной—другою изъ требуемаго отдѣла“)2).

Послѣдній взглядъ не только ошибоченъ, но, при проведеніи его въ жизнь, могъ бы имѣть очень печальныя послѣдствія,—способствовалъ бы полному ослабленію самодѣятельности, настойчивости, иниціативы, чего и безъ того очень мало у нашихъ учениковъ.

Приведемъ полностію программу алгебры для школы новаго типа, такъ какъ эта программа отличается нѣкоторой оригинальностью3).

III классъ. Общая ариѳметика (2 урока). Сложеніе и вычитаніе одночленовъ и многочленовъ. Умноженіе и дѣленіе одночленовъ (очевидно, судя по объяснительной запискѣ, умноженіе и дѣленіе многочленовъ на одночленъ). Понятіе о геометрическомъ отношеніи и геометрической пропорціи. Рѣшеніе болѣе сложныхъ ариѳметическихъ задачъ. Примѣры обобщенія ариѳметическихъ задачъ. Составленіе и рѣшеніе числовыхъ уравненій первой степени съ однимъ и съ двумя неизвѣстными.

IV классъ. Алгебра (2 урока). Рѣшеніе и составленіе уравненій первой степени съ однимъ и съ двумя неизвѣстными, а также несложныхъ уравненій съ тремя неизвѣстными. Простѣйшіе случаи умноженія и дѣленія многочлена на многочленъ (дѣлитель двучленный). Простѣйшіе случаи разложенія на множители [выводъ общаго множителя за скобку и формулы (adzb)2, а2—Ь2]. Дѣйствія съ дробями. Возвышеніе въ степень и извлеченіе корня изъ одночленовъ. Извлеченіе квадратнаго корня изъ чиселъ.

V классъ. Алгебра (2 урока). Ирраціональныя числа. Рѣшеніе квадратныхъ уравненій съ числовыми коэффиціентами.

1) Тамъ же, стр. 91.

2) Тамъ же, стр. 91 и 92.

3) Тамъ же, стр. 89.

Для старшаго отдѣленія школы новаго типа программы, вообще, не разработаны. Говорится только, что здѣсь на всѣхъ 3-хъ отдѣленіяхъ заканчивается курсъ алгебры, а въ натуралистическомъ отдѣленіи, кромѣ того, предполагается ознакомленіе съ основами анализа безконечно-малыхъ величинъ.

Не говоря уже о томъ, что ни изъ программы, ни изъ объяснительной записки не видно, когда и какимъ образомъ вводится понятіе объ отрицательномъ числѣ, распредѣленіе учебнаго матеріала по программѣ III класса имѣетъ мало смысла. Курсъ начинается съ дѣйствій надъ одночленами и многочленами, а затѣмъ уже берутся примѣры обобщенія ариѳметическихъ задачъ.

Слабымъ пунктомъ не только вышеприведенной программы (школы новаго типа), но и остальныхъ программъ (школъ другихъ типовъ) по алгебрѣ является отсутствіе надлежащихъ указаній относительно выработки понятія объ общемъ ариѳметическомъ числѣ и вообще относительно перехода отъ ариѳметики къ алгебрѣ; тѣ же указанія, которыя на этотъ счетъ встрѣчаются здѣсь, не отвѣчаютъ педагогическимъ требованіямъ и не выдерживаютъ критики по своей необоснованности, между тѣмъ какъ въ нашей учебной литературѣ есть по этому поводу соображенія, заслуживающія вниманія. То же самое можно сказать и относительно введенія понятій объ отрицательномъ и ирраціональномъ числѣ.

Геометрія. Курсъ геометріи, по мнѣнію лицъ, работавшихъ надъ программой ея въ Московскихъ совѣщаніяхъ, не поддается болѣе или менѣе значительнымъ сокращеніямъ, а по мнѣнію проф. Б. К. Млодзѣевскаго, этотъ курсъ и не нуждается въ особенныхъ сокращеніяхъ. Онъ предлагаетъ его даже въ нѣкоторыхъ частяхъ расширить1).

„Въ геометріи,—говорится въ объяснительной запискѣ проф. Млодзѣевскаго,—особенное вниманіе должно быть обращено на тѣ отдѣлы науки, въ которыхъ всего болѣе воспитываются способности учащихся ясно представлять себѣ пространственныя соотношенія, а также разсуждать не надъ отвлеченными величинами, а непосредственно надъ геометрическими формами“. Вслѣдствіе этого въ программу включено изученіе важнѣйшихъ геометрическихъ мѣстъ и рѣшеніе несложныхъ задачъ на построеніе и на доказательство; усилено ученіе объ относительномъ положеніи точекъ, прямыхъ и плоскостей въ пространствѣ—ученіе, необходимое для пониманія всего послѣдующаго и съ трудомъ усваиваемое учениками; при прохожденіи главъ о пропорціональныхъ линіяхъ „введено выясненіе понятія объ ирра-

1) Вып. 3. Приложенія. Объяснительная записка къ программѣ школы 3-го типа, стр. 160.

ціональномъ числѣ, какъ о мѣрѣ отношенія двухъ несоизмѣримыхъ величинъ".

По мнѣнію А. М. Воронца (программа реальнаго училища), тоже необходимо введеніе въ курсъ геометріи задачъ на построеніе и на доказательство, и при томъ желательно, чтобы задачи на построеніе заняли преобладающее мѣсто въ сравненіи съ задачами на вычисленіе; точно также, по его мнѣнію, на теоремы объ относительномъ положеніи прямыхъ и плоскостей въ пространствѣ должно быть обращено особенное вниманіе1).

Мы вполнѣ присоединяемся къ мысли о необходимости вырабатывать у учениковъ болѣе ясныя представленія о пространственныхъ соотношеніяхъ и думаемъ, что рѣшеніе несложныхъ задачъ на построеніе и на доказательство можетъ оказать существенную помощь въ этомъ. Но намъ кажется, что московскіе педагоги только съ одной стороны подходятъ къ причинамъ вышеуказанныхъ недостатковъ; между тѣмъ на этотъ вопросъ нужно взглянуть еще съ иной точки зрѣнія, коснуться болѣе глубокихъ причинъ наблюдаемаго явленія; но объ этомъ рѣчь будетъ еще впереди2).

Кромѣ того, по мнѣнію подгруппы, занимавшейся выработкой программы для реальнаго училища, желательно знакомить учениковъ „съ конструкціей и практикой угломѣрныхъ снарядовъ, какъ элементомъ, вносящимъ въ науку практическое ея примѣненіе, всегда поднимающее интересъ къ наукѣ и оживляющее обученіе“3). Мысль вполнѣ основательная и плодотворная; но какъ ее провести въ жизнь—это вопросъ сложный.

Въ курсѣ геометріи реальнаго училища безъ ущерба для послѣдовательности, стройности и полноты его найдено возможнымъ сдѣлать слѣдующія сокращенія4):

1) Теоремы о подобіи треугольниковъ со сторонами взаимно параллельными или перпендикулярными.

2) Вычисленіе сторонъ правильнаго описаннаго треугольника по данной сторонѣ одноименнаго вписаннаго и наоборотъ; формула стороны правильнаго многоугольника, имѣющаго вдвое большее число сторонъ, чѣмъ данный (знаніе этого особой пользы не приноситъ; вычисленіе легче можетъ быть произведено пріемомъ тригонометрическимъ).

Съ этимъ послѣднимъ предложеніемъ едва ли можно согласиться при обычномъ изложеніи ученія объ окружности: во-первыхъ, не всѣ ознако-

1) Вып. 4. Протоколы, стр. 67; Приложенія, стр. 127—131.

2) См. ниже замѣчанія о приготовительномъ курсѣ геометріи (гл. VI).

3) Вып. 4. Протоколы, стр. 67.

4) Вып. 4. Ср. Прилож., стр. 128, и Проток., стр. 67.

мятся съ тригонометріей, а если и ознакомятся, то черезъ 2 года; во-вторыхъ, это случай, удобный для приложенія алгебры къ геометрическому матеріалу, на чемъ такъ настаиваютъ всѣ.

3) Теорема о подобныхъ многоугольникахъ, построенныхъ на сторонахъ прямоугольнаго треугольника.

4) Теорема о суммѣ двугранныхъ угловъ треграннаго угла.

5) Теоремы о равенствѣ и симметріи трегранныхъ угловъ.

6) Теоремы о равенствѣ призмъ и пирамидъ.

7) Теоремы объ условіяхъ подобія многогранниковъ.

Теоремы, указанныя въ пунктахъ 5, 6 и 7, опущены также и въ программахъ классическихъ школъ 1-го и 2-го типа.

8) Теорема объ усѣченной треугольной призмѣ.

9) Теоремы объ объемѣ сферическаго слоя, сегмента и двусторонника (Опущены и въ программѣ классической школы 1-го типа).

10) Теоремы о подобіи круглыхъ тѣлъ (Опущены и въ программахъ классическихъ школъ 1-го и 2-го типа).

Наконецъ, ученіе объ измѣреніи объемовъ признано желательнымъ, для облегченія курса, излагать на основаніи принципа Кавальери. К. К. Мазингъ и другіе, очевидно, придаютъ этому принципу болѣе значенія, чѣмъ онъ того заслуживаетъ.

Отмѣтимъ, что по программѣ школы 2-го типа длина окружности, площадь круга, поверхности и объемы круглыхъ тѣлъ излагаются безъ теоріи предѣловъ. Теорія предѣловъ съ приложеніемъ ея къ геометрическимъ вопросамъ переносится въ курсъ VIII класса. При обычномъ строѣ нашей школы съ этимъ едва ли можно согласиться. Если мы мечтаемъ о расширеніи математическаго развитія учениковъ, о томъ, чтобы пріобщить ихъ къ области тѣхъ понятій, которыя составляютъ содержаніе такъ называемой высшей математики, то является не логичнымъ устраненіе теоріи предѣловъ изъ геометріи даже въ V и VI классахъ.

Относительно черченія въ реальномъ училищѣ рѣшено: въ III классѣ сохранить курсъ техническаго черченія, а въ остальныхъ классахъ не отдѣлять уроковъ черченія отъ уроковъ геометріи, предоставивъ самому преподавателю распоряжаться временемъ.

Приложеніе алгебры къ геометріи. По программамъ школъ 1-го и 3-го типа понятіе о приложеніи алгебры къ геометріи сохраняется въ курсѣ VIII класса. Въ программѣ же г. Рыбкина для школы 2-го типа этотъ отдѣлъ опускается безъ всякихъ мотивовъ. Что касается реальнаго училища, то подгруппа физико-математическихъ учебныхъ предме-

товъ, занятая выработкой программы для этого училища, высказалась противъ оставленія приложенія алгебры къ геометріи, какъ отдѣльнаго предмета, по слѣдующимъ причинамъ. 1) „Приложеніе алгебры къ геометріи, являясь суррогатомъ аналитической геометріи, не даетъ учащемуся того могучаго и въ то же время простого орудія, какимъ обладаетъ эта наука; указывая лишь на нѣкоторые методы изслѣдованія несложныхъ формулъ, приложеніе алгебры къ геометріи оставляетъ безпомощнымъ передъ болѣе сложными выраженіями, къ которымъ можетъ привести ученика неудачно выбранный имъ путь рѣшенія задачи“. 2) Предполагаемое въ V и VI классахъ построеніе простѣйшихъ раціональныхъ и ирраціональныхъ формулъ, а также развитіе понятія объ однородности геометрическихъ формулъ въ VII классѣ отнимаютъ отъ этого предмета въ VIII классѣ тотъ единственный матеріалъ, который за нимъ можетъ остаться.

Признавая въ принципѣ высказанныя соображенія вѣрными, мы считаемъ, что будетъ очень полезнымъ въ VIII классѣ подвести итоги пріобрѣтенныхъ по этому вопросу свѣдѣній.

Коснемся распредѣленія курса геометріи по классамъ. Въ школахъ 2-го, 3-го типа и въ реальномъ училищѣ предположено ввести геометрію въ курсъ VII класса. Въ частности: въ школѣ 1-го типа учебный матеріалъ располагается согласно программѣ 1890 г., только въ курсъ VIII класса вводится ознакомленіе съ основами аналитической геометріи; въ школахъ 2-го и 3-го типа въ IV классѣ—обычный курсъ, въ V классѣ—заканчивается планиметрія, въ VI классѣ—стереометрія, за исключеніемъ круглыхъ тѣлъ, въ VII классѣ—круглыя тѣла и въ VIII классѣ— повтореніе всего курса съ дополненіями, при чемъ въ школѣ 2-го типа добавляется теорія предѣловъ, а въ школѣ 3-го типа—приложеніе алгебры къ геометріи и дополнительный курсъ по выбору преподавателя. Въ реальномъ училищѣ въ IV классѣ (4 урока) и V классѣ (3 урока)—то же распредѣленіе, какъ и въ школахъ 2-го и 3-го типа, а въ VI классѣ (3 урока)— вся стереометрія, въ VII классѣ (1 урокъ)—повтореніе геометріи, въ VIII классѣ геометріи вовсе нѣтъ.

Программу геометріи для школы новаго типа мы разсмотримъ отдѣльно отъ программъ геометріи для школъ другихъ типовъ, потому что она имѣетъ мало общаго съ этими послѣдними. Курсъ геометріи въ младшемъ отдѣленіи идетъ въ теченіе III, IV и V классовъ и имѣетъ законченный характеръ. Онъ неразрывно связанъ съ черченіемъ, которому приданъ характеръ чисто вспомогательнаго, но вмѣстѣ и необходимаго средства служить нагляднымъ пособіемъ для уясненія геометрическихъ представленій1). Систематическому курсу геометріи въ III классѣ

1) Вып. 5, стр. 61.

предпосылается краткій пропедевтическій курсъ, который долженъ имѣть въ виду усвоеніе основныхъ геометрическихъ понятій (4—5 первыхъ уроковъ), умѣнье построить геометрическія данныя (въ III классѣ), а также умѣнье вычислить длины, площади и объемы, пользуясь ариѳметическими пріемами и соотвѣтственными моделями. Весь курсъ предположено значительно сократить (проходить приблизительно въ объемѣ извѣстнаго учебника 3. Вулиха), въ особенности подвергнуть сокращенію стереометрію (ученіе о положеніи прямыхъ и плоскостей въ пространствѣ); ввести въ курсъ стереометріи, яко-бы для упрощенія, принципъ Кавальери; теорію предѣловъ къ геометріи не примѣнять1).

Курсъ по классамъ распредѣляется слѣдующимъ образомъ: въ III (2 урока) и ІV (3 урока) классахъ—планиметріи въ связи съ черченіемъ, въ У классѣ (3 урока)—стереометрія и черченіе—изображеніе проекцій тѣлъ на 2-хъ плоскостяхъ (планъ и фасадъ), а также развертка поверхностей тѣлъ.

Давая такой сравнительно незначительный матеріалъ, составители программъ возлагаютъ на этотъ курсъ большія надежды: они предполагаютъ, что „геометрія дастъ незамѣнимый матеріалъ для самостоятельнаго упражненія въ дедуктивной логикѣ“, они думаютъ „развить до максимальныхъ предѣловъ упражненія учащихся въ выработкѣ строгихъ доказательствъ, развить умѣнье выбрать изъ нѣсколькихъ наиболѣе изящное и пріучить ученика къ ясному, точному и краткому изложенію“2). Едва ли все это достижимо.

Въ старшемъ отдѣленіи намѣченъ систематическій курсъ геометріи, а въ натуралистической вѣтви предположено еще ознакомленіе съ аналитической геометріей на плоскости.

Оригинальнымъ, по сравненію съ другими программами геометріи, является концентрическое распредѣленіе учебнаго матеріала (здѣсь мы видимъ, собственно говоря, 3 концентра) и при этомъ введеніе пропедевтическаго курса геометріи. Необходимость введенія въ сознаніе ребенка основныхъ геометрическихъ понятій съ самаго начала путемъ психологическимъ, конкретнымъ, а не логическимъ, и, слѣдовательно, необходимость такъ называемаго приготовительнаго курса геометріи является въ настоящее время, кажется, общепризнанной,—по крайней мѣрѣ, это съ увѣренностью можно сказать относительно западно-европейской и американской школы. Но объемъ этого курса, характеръ его и время прохожденія представляютъ собою вопросы очень важные, которые нужно разсматривать въ связи съ вопросомъ о первоначальной подготовкѣ дѣтей по математикѣ.

1) Вып. 5. Приложенія, стр. 92.

2) Тамъ же, стр. 92.

Тригонометрія. Программы для школы 1-го и 2-го типа по тригонометріи ничего новаго, по сравненіи съ программой 1890 г., не представляютъ. Только Г. Х. Херсонскій (программа школы 1-го типа) предлагаетъ исключить такъ называемые особые случаи рѣшенія треугольниковъ, обходиться безъ введенія вспомогательнаго угла при вычисленіяхъ, ограничиться простѣйшими случаями рѣшенія тригонометрическихъ уравненій1). Что касается программъ по тригонометріи для школы 3-го типа и для реальнаго училища, то мы встрѣчаемся здѣсь съ двумя противоположными взглядами на этотъ предметъ. Такъ, проф. Б. К. Млодзѣевскій въ объяснительной запискѣ (школа 3-го типа) говоритъ, что въ тригонометріи должно быть дано „большее развитіе ученію о тригонометрическихъ величинахъ и соотношеніяхъ между ними. Несомнѣнно,—говоритъ онъ,— что такъ называемая гоніометрія содержитъ болѣе полезнаго въ учебномъ отношеніи матеріала, нежели рѣшеніе треугольниковъ, основанное на небольшомъ числѣ крайне простыхъ положеній, прилагаемыхъ затѣмъ почти механически“2). Съ другой стороны, подгруппа физико-математическихъ предметовъ, занятая выработкой программы для реальнаго училища, пришла къ заключенію, что гоніометрическій матеріалъ долженъ вводиться и изучаться лишь настолько, насколько онъ нуженъ для рѣшенія треугольниковъ.

Намъ кажется, что взглядъ проф. Б. К. Млодзѣевскаго ближе къ истинѣ, чѣмъ взглядъ, которымъ руководились при выработкѣ программы для реальнаго училища.

По проекту проф. Б. К. Млодзѣевскаго весь курсъ тригонометріи излагается въ VII классѣ, но на прохожденіе его отводится мало времени (3 урока на алгебру, геометрію и тригонометрію).

Распредѣленіе курса тригонометріи въ проектированномъ реальномъ училищѣ крайне нецѣлесообразно: VI классъ (1 урокъ)—гоніометрія; рѣшеніе простѣйшихъ уравненій; логариѳмы. VII классъ (1 урокъ)—рѣшеніе треугольниковъ.

Взгляды общаго характера на преподаваніе математики. Заключеніе.

Мы не упомянули еще о томъ, что совѣщаніе при Московскомъ Учебномъ Округѣ выработало предварительно рядъ вопросныхъ пунктовъ, относящихся къ реформѣ средней школы, которые и были разосланы всѣмъ профессорамъ Московскаго Университета и Московскаго Техниче-

1) Вып. 2. Протоколы, стр. 118.

2) Вып. 3. Приложенія, стр. 161.

скаго Училища. Отъ 57 профессоровъ Университета и 8 профессоровъ Техническаго Училища послѣдовали болѣе или менѣе обстоятельные отвѣты, помѣщенные въ 6-мъ выпускѣ Московскихъ трудовъ. Эти отвѣты представляютъ интересъ, какъ голосъ лицъ, которыя, по роду своей дѣятельности, призваны считаться съ итогами работы гимназій и реальныхъ училищъ.

Вопросы, предложенные профессорамъ, по преимуществу обще-педагогическаго характера, а поэтому мы не будемъ останавливаться на нихъ. Постановки математики въ средней школѣ болѣе другихъ касаются профессора Б. К. Млодзѣевскій, А. П. Павловъ, Н. Е. Жуковскій, А. И. Сидоровъ. Со взглядами проф. Б. К. Млодзѣевскаго мы уже познакомились, другіе же ничего оригинальнаго по этому вопросу не высказываютъ.

Въ связи съ этимъ находится мнѣніе попечителя Московскаго Округа проф. П. А. Некрасова о цѣли и значеніи преподаванія математики въ гимназіяхъ. Онъ находитъ, что единственно правильная цѣль преподаванія математики—„усвоеніе ея, какъ науки и какъ научнаго метода міропознаванія... Преподавая математику, необходимо какъ можно чаще и практичнѣе сближать (особенно въ задачахъ) ее, какъ научный методъ міропознаванія, съ тѣми конкретными научными фактами и явленіями, къ которымъ она примѣнима, заимствуя подходящія для этой пѣли явленія изъ разныхъ наукъ (географіи, статистики, физики, механики, астрономіи и пр.)“1).

Эта, въ общемъ, безспорная мысль подкрѣплена туманными и мало интересными соображеніями: П. А. Некрасовъ совершенно основательно находитъ положеніе преподаванія математики въ средней школѣ ненормальнымъ. но почему-то причину этого явленія ошибочно приписываетъ существующимъ учебнымъ планамъ и программамъ.

Вообще, во всѣхъ московскихъ работахъ по улучшенію программъ математики рельефно выступаетъ стремленіе сократить учебный матеріалъ нынѣ дѣйствующей программы. „Развитіе дедуктивнаго мышленія,—говоритъ проф. Б. К. Млодзѣевскій въ объяснительной запискѣ къ программѣ для школы 3-го типа,—составляющее главную цѣль въ преподаваніи математики, будетъ всего полнѣе при томъ условіи, чтобы учащіеся имѣли возможность пройти основательно всѣ главные отдѣлы курса. Для этого программа должна быть освобождена отъ всего несущественнаго; всѣ статьи, имѣющія лишь вспомогатель-

1) Вып. 3. Приложенія, стр. 208. Докладъ П. А. Некрасова на ту же тему былъ прочитанъ на съѣздѣ преподавателей физико-химическихъ наукъ среднихъ учебныхъ заведеній Московскаго Учебнаго Округа въ 1899 г. См. Протоколы засѣданій съѣзда. М. 1900, стр. 24 и слѣд.

ноѳ значеніе, должны быть, по возможности, сокращены. Точно также слѣдуетъ отказаться отъ прохожденія тѣхъ главъ математики, которыя по своимъ методамъ стоятъ въ сторонѣ отъ главнаго содержанія курса и потому требуютъ для своего усвоенія болѣе или менѣе продолжительной подготовительной работы“1). Кромѣ того, по мнѣнію Г. Х. Херсонскаго, въ такомъ случаѣ явится возможность „ввести нѣкоторыя новыя статьи, которыя, рядомъ съ ихъ образовательнымъ значеніемъ, будутъ способствовать расширенію математическаго горизонта учащагося, вводя его, хотя нѣсколько, въ кругъ понятій такъ называемой новой математики и знакомя съ методами, которымъ такъ много обязаны своимъ развитіемъ физическія науки въ новое время“2). Проф. Б. К. Млодзѣевскій предлагаетъ, какъ мы упоминали, для VIII класса классической школы 3-го типа, кромѣ повторенія съ необходимыми дополненіями и обобщеніями, еще особый дополнительный курсъ по выбору преподавателя и съ одобренія педагогическаго совѣта.

Въ натуралистическомъ отдѣленіи школы новаго типа предположено ознакомить съ аналитической геометріей на плоскости и съ основами анализа безконечно-малыхъ величинъ (2 часа)3).

При сокращеніяхъ во всѣхъ группахъ руководствуются, по преимуществу, слѣдующими положеніями, которыя отмѣчены К. К. Мазингомъ: „1) должна быть исключена изъ курса математики всякая многодѣльность, не объясняемая ни цѣлями лучшаго усвоенія теоріи, ни служебной цѣлью облегчить прохожденіе дальнѣйшихъ статей; 2) должны быть исключены статьи, не вносящія собою существенно новаго и только излишне загромождающія курсъ; 3) статьи, сложныя по своей конструкціи и выводамъ, отнимающія много времени, а вмѣстѣ съ тѣмъ не имѣющія приложенія въ средней школѣ“4).

Почти во всѣхъ программахъ проводится вѣрная мысль, яснѣе всего выраженная въ объяснительной запискѣ къ программѣ математики VIII класса реальнаго училища (составленной А. М. Воронцемъ): „всѣ отдѣлы математики должны проходиться въ связи одинъ съ другимъ; внутренняя связь между теоремами и положеніями каждаго математическаго предмета должна быть указываема ученикамъ въ послѣдовательности курса, а не только при повтореніи цѣлаго отдѣла“5).

1) Вып. 3. Приложенія. Объяснительная записка для школы 3-го типа, стр. 159.

2) Вып. 2. Протоколы засѣданій 1-ой группы, стр. 116.

3) Въ остальныхъ программахъ не намѣчено ознакомленіе учащихся съ основами такъ называемой высшей математики.

4) Вып. 4. Протоколы, стр. 64, 65.

5) Вып. 4. Сводъ положеній, стр. 90.

Мы остановимся еще на мнѣніи проф. Б. К. Млодзѣевскаго относительно роли задачъ въ курсѣ математики1).

„Для того, чтобы преподаваніе математики,—говоритъ онъ,—приносило въ школѣ всю ту пользу, какую оно можетъ принести, необходимо, чтобы теоретическій курсъ былъ поставленъ на первое мѣсто и чтобы рѣшеніе задачъ служило только пособіемъ къ изученію теоріи. Хотя такой взглядъ на отношеніе между теоріей и задачами высказывается и въ нынѣ дѣйствующихъ программахъ, но на самомъ дѣлѣ задачи получили преобладающее значеніе во всѣхъ отдѣлахъ курса. Это явленіе стоитъ въ несомнѣнной связи съ тѣмъ значеніемъ, которое имѣютъ задачи какъ на окончательныхъ, такъ и на переводныхъ испытаніяхъ. Такъ какъ умѣніе рѣшать задачи сдѣлалось главною мѣрою познанія и способности учениковъ, то естественно, что и преподаватели и учащіеся начали обращать главное вниманіе на рѣшеніе задачъ въ ущербъ основательному изученію теоретическаго курса. Такимъ образомъ, въ курсѣ ариѳметики, въ сущности, простой учебный матеріалъ былъ осложненъ задачами, съ условіями крайне запутанными, безполезными для уясненія теоріи, не имѣющими практическаго приложенія. Въ алгебрѣ, геометріи и тригонометріи преобладаніе значенія задачъ привело къ тому, что особенное вниманіе было обращено на изученіе тѣхъ отдѣловъ, которые давали болѣе матеріала для задачъ, въ ущербъ отдѣламъ, болѣе важнымъ въ теоретическомъ отношеніи и болѣе пригоднымъ для развитія въ ученикахъ привычки правильнаго и серіознаго мышленія. Вмѣстѣ съ тѣмъ, благодаря недостатку сближенія между различными предметами курса, матеріалъ для алгебраическихъ задачъ до сихъ поръ мало заимствуется изъ геометріи (!) и физики, заключающихъ въ себѣ обильный источникъ примѣровъ на всѣ отдѣлы алгебры, вслѣдствіе чего даже хорошіе ученики рѣдко бываютъ въ состояніи справляться съ нетрудною физическою или геометрическою задачею, требующею примѣненія алгебры.—Особенно неблагопріятно отразилось преобладаніе задачъ на вычисленіе на геометріи (ср. сказанное выше). Въ настоящее время всѣ отдѣлы, не дающіе непосредственнаго матеріала для упражненій на вычисленіе, доведены до наименьшаго объема, и, такимъ образомъ, геометрія въ значительной степени утратила свое образовательное значеніе, какъ ученіе о пространственныхъ соотношеніяхъ, и какъ бы превратилась въ подспорье алгебры.... Точно также и въ тригонометріи на первый планъ выступило рѣшеніе треугольниковъ, тогда какъ гоніометрія, несомнѣнно, даетъ въ образовательномъ отношеніи гораздо болѣе цѣнный матеріалъ. Такимъ образомъ, для успѣшнаго преподаванія

1) Вып. 3. Приложенія, стр. 161, 162.

математики необходимо, чтобы задачи не имѣли преобладающаго значенія и служили лишь къ поясненію теоріи и къ пріобрѣтенію необходимаго навыка въ пользованіи полученными познаніями.... Несомнѣнно, что болѣе раціональная постановка задачъ въ курсѣ математики облегчитъ и сдѣлаетъ болѣе производительнымъ изученіе этого предмета“.

Мы привели здѣсь довольно длинную выдержку, чтобы авторитетными словами обрисовать всю узость и ошибочность довольно распространеннаго, если не общераспространеннаго, взгляда на математику, какъ на собраніе разрозненныхъ болѣе или менѣе остроумныхъ задачъ,—взгляда, низводящаго математику на одинъ уровень съ шахматной игрой. Но мы не можемъ согласиться съ проф. Б. К. Млодзѣевскимъ, что задачи имѣютъ только служебное значеніе: взглядъ этотъ представляется намъ тоже крайнимъ, но только въ противоположную сторону. Въ самомъ дѣлѣ, почему теорема можетъ имѣть значеніе и интересъ сама по себѣ, а задача— нѣтъ? Вѣдь задача отличается отъ теоремы лишь по формѣ, но не по существу, а слѣдовательно, кромѣ служебной роли, можетъ имѣть и самостоятельное значеніе, не говоря уже о томъ, что она можетъ болѣе заинтересовать ученика, чѣмъ теорема, и тѣмъ самымъ оживить преподаваніе. Можно сказать, что и теорія и задачи должны играть служебную роль: онѣ, гармонически сочетаясь, должны способствовать общему математическому развитію ученика.

Наконецъ, нужно отмѣтить существенный недостатокъ всѣхъ московскихъ плановъ и программъ. Въ предлагаемыхъ программахъ и въ объяснительныхъ къ нимъ запискахъ встрѣчаются серьезныя мысли, есть стремленіе улучшить нынѣ существующее распредѣленіе учебнаго матеріала, но почти нѣтъ попытокъ ввести новую струю въ преподаваніе такъ называемой элементарной математики, ввести тѣ идеи, которыя должны проникать весь курсъ математики—идею функціональной зависимости величинъ въ связи съ идеей непрерывности. Правда, мы встрѣчаемъ стремленіе включить въ преподаваніе средней школы элементы такъ называемой высшей математики, но о реформированіи преподаванія элементарной математики въ вышеуказанномъ духѣ1) вопросъ, очевидно, не подымался.

1) Болѣе подробно мы остановимся на этихъ вопросахъ въ дальнѣйшемъ изложеніи нашего „Обзора“ (см. гл. VI).

III.

Предположенія комиссіи преподавателей математики кіевскихъ среднихъ учебныхъ заведеній 1899 г.

Въ связи съ работами комиссіи министра народнаго просвѣщенія Н. П. Боголѣпова, находятся соображенія и заключенія, высказанныя преподавателями математики кіевскихъ среднихъ учебныхъ заведеній въ собраніяхъ, состоявшихся при Кіевскомъ Учебномъ Округѣ1).

Совѣщаніе г.г. преподавателей поставило своею цѣлью „не только выяснить обнаружившіеся на практикѣ недостатки нынѣ дѣйствующихъ программъ, но главнымъ образомъ обсудить и указать тѣ мѣры и средства, при помощи которыхъ эти недостатки могли бы быть устранены при чемъ рѣшено было разсмотрѣть отдѣльно программы для гимназій и отдѣльно для реальныхъ училищъ.

Программа гимназій.

Прежде всего была подвергнута обсужденію программа гимназій.

Ариѳметика. Въ курсѣ ариѳметики первыхъ 3-хъ классовъ предположено было исключить: 1) обозначеніе чиселъ церковно-

1) Засѣданія состоялись 8 и 22 ноября и 18 декабря 1899 г. Въ кіевскихъ работахъ принималъ дѣятельное участіе М. Ѳ. Базаревичъ,—онъ и редактировалъ ихъ; только благодаря его любезности, мы имѣемъ возможность познакомиться съ ними: работы эти не напечатаны, а М. Ѳ. передалъ намъ для ознакомленія собственную рукопись, за что мы приносимъ ему искреннюю благодарность.

Соображенія, высказанныя кіевскими преподавателями, послужили матеріаломъ для работъ подкомиссіи Н. И. Билибина, такъ какъ и въ этихъ работахъ принималъ участіе М. Ѳ. Базаревичъ, командированный въ числѣ 4-хъ лицъ отъ Кіевскаго Учебнаго Округа для участія въ Боголѣповской комиссіи.

славянскими цыфрами (отнеся таковое къ попутному знакомству при чтеніи церковно-славянскихъ книгъ); 2) признакъ дѣлимости на 8 (а вмѣсто этого ввести признакъ дѣлимости на 25— параллельно съ 4); 3) ученіе объ общемъ наибольшемъ дѣлителѣ, перенеся ознакомленіе съ этимъ вопросомъ въ повторительный курсъ старшаго класса; 4) ученіе о періодическихъ дробяхъ, отнеся это къ повторительному курсу старшаго класса и ограничиваясь во II классѣ „лишь указаніемъ на тотъ фактъ, что при обращеніи простыхъ дробей въ десятичныя, при наличности извѣстныхъ условій, получаются безконечныя періодическія дроби, которыя въ такомъ видѣ для вычисленій не пригодны“ (по этому поводу приведены обстоятельныя соображенія, которыхъ мы излагать не будемъ); 5) наконецъ, ученіе о пропорціяхъ и предшествующее ему ученіе объ отношеніяхъ, перенося это въ курсъ алгебры (ученіе объ отношеніяхъ опущено, очевидно, по недоразумѣнію).

Со всѣми указанными видоизмѣненіями мы встрѣчались и въ большинствѣ московскихъ программъ, а это уже является до нѣкоторой степени указаніемъ на ихъ цѣлесообразность.

Что касается курса ариѳметики III класса, то здѣсь высказывается еще нѣсколько болѣе или менѣе оригинальныхъ соображеній. „Курсъ III класса,—по мнѣнію собранія,—представляетъ собою лишь примѣненіе пріобрѣтенныхъ ранѣе свѣдѣній къ рѣшенію различнаго рода практическихъ задачъ, содержащихъ въ себѣ лишь новыя понятія (процентъ, вексель, проба и др.) и, кромѣ того, разнообразныя величины, находящіяся въ прямой или обратной пропорціональной зависимости... Нѣтъ никакого основанія подраздѣлять курсъ ариѳметики III класса на различныя правила, которыя по количеству своему могли бы быть расширены и гораздо дальше“ (остатокъ средне-вѣковой рутины). „Поэтому всю программу ариѳметики для III класса можно было бы озаглавить—прикладная ариѳметика, разумѣя подъ нею требованія познакомить учениковъ съ величинами прямо и обратно пропорціональными и съ такими общераспространенными понятіями, каковы проба, процентъ, вексель и учетъ его (пріемы этого учета слѣдовало бы заимствовать изъ учебниковъ коммерческой ариѳметики, какъ пріемы, дѣйствительно, отвѣчающіе требованіямъ практической жизни); далѣе, познакомить съ рѣшеніемъ такихъ задачъ, которыя требуютъ уравненія сроковъ платежей, какъ съ вопросами, имѣющими практическій смыслъ“. Рѣшать эти задачи рекомендуется приведеніемъ къ единицѣ.

Мы сомнѣваемся въ пригодности для общеобразовательной школы задачъ на учетъ векселей и на уравненіе сроковъ платежей, какъ задачъ

узко спеціальныхъ. Придавая курсу ариѳметики III класса въ предложенномъ видѣ большое значеніе, тѣмъ не менѣе мы считаемъ вполнѣ цѣлесообразнымъ вводить вышеуказанные типы задачъ въ болѣе простой формѣ постепенно въ курсы I и II классовъ, при сохраненіи курса ариѳметики III класса.

По классамъ курсъ ариѳметики распредѣляется почти такъ же, какъ и по программѣ 1890 г., только въ III классѣ на ариѳметику предположено назначить 2 урока, а необходимыя дополненія и обобщенія по ариѳметикѣ, въ связи съ повторительнымъ курсомъ, пріурочить къ курсу матетики не VIIІ-го, а VII класса, добавивъ для этого лишній урокъ; при чемъ, „въ курсъ VII класса, при повтореніи ариѳметики, признано желательнымъ включить необходимую статью о приближенныхъ вычисленіяхъ, о которой.... не упоминается вовсе или упоминается вскользь“. Намъ казалось бы болѣе раціональнымъ знакомить съ приближенными вычисленіями значительно раньше, когда въ этомъ представится надобность (даже начиная съ курса II класса, а въ особенности въ V и VI классахъ). Иначе ученики въ V и VI классахъ пріобрѣтутъ дурную привычку вычислять, не справляясь при этомъ со степенью погрѣшности. Въ VII классѣ можно будетъ привести въ систему и дополнить полученныя учениками въ этой области свѣдѣнія.

Алгебра. Совѣщаніе преподавателей нашло желательнымъ исключить изъ курса алгебры: 1) извлеченіе квадратнаго корня изъ многочленовъ, 2) кубическаго корня изъ чиселъ, 3) задачи на вычисленіе ежегодныхъ вкладовъ и срочныхъ уплатъ, 4) теорію непрерывныхъ дробей,—однимъ словомъ, всѣ тѣ статьи, которыя, по единодушному признанію московскихъ педагоговъ, должны быть устранены изъ курса средней школы.

Кромѣ того, собраніе кіевскихъ преподавателей признало желательнымъ,—и совершенно основательно,—обратить особенное вниманіе на упражненія, служащія для перехода отъ ариѳметики къ алгебрѣ (что было пробѣломъ московскихъ программъ).

Имѣя въ виду ввести въ курсъ III класса пропедевтическій курсъ геометріи и ограничиваясь при этомъ 4-мя уроками математики (2 для ариѳметики и 2 для алгебры и геометріи), собраніе признало возможнымъ закончить курсъ алгебры въ III классѣ только сложеніемъ и вычитаніемъ одночленовъ и многочленовъ.

IV классъ (2 урока). Изъ курса этого класса переносятся въ курсъ VI класса дѣйствія надъ количествами съ отрицательными показателями. Слѣдовательно, проходится умно-

женіе и дѣленіе одночленовъ и многочленовъ и все то, что полагается по программѣ 1890 г., заканчивая уравненіемъ первой степени съ однимъ неизвѣстнымъ.

V классъ (2 урока). Рѣшеніе уравненій первой степени съ двумя и со многими неизвѣстными; возвышеніе въ степень; извлеченіе корня и далѣе все то, что намѣчено нынѣ дѣйствующей программой, за исключеніемъ дѣйствій надъ количествами съ дробными показателями (это переносится въ курсъ VI класса).

VI классъ (2 урока). Обобщеніе понятія о степени. Логариѳмы. Прогрессіи. Сложные проценты.

VII классъ (2 урока вмѣсто 1Ѵ2). Обычная программа (за исключеніемъ теоріи непрерывныхъ дробей).

VIII классъ (1 урокъ изъ 3-хъ). Обычная программа.

Геометрія. На основаніи соображеній педагогическаго характера, а также на основаніи указаній практики, совѣщаніе преподавателей пришло къ единодушному заключенію, что для правильной постановки преподаванія геометріи „крайне необходимо“ ввести въ курсъ III класса пропедевтическій курсъ этого предмета. Къ сожалѣнію, объемъ этого курса не намѣченъ; отведено только для геометріи совмѣстно съ курсомъ алгебры 2 урока и сказано, что необходимо „сообщить ученикамъ, при обязательномъ участіи наглядныхъ пособій и при помощи черченія, тѣ основныя геометрическія представленія и понятія, безъ которыхъ немыслимо прохожденіе систематическаго курса“.

Въ IV классѣ (2 урока) оставлена обычная программа геометріи, только предположено обратить вниманіе на „рѣшеніе хотя бы основныхъ задачъ на построеніе“ (ср. Московскія программы). Въ V классѣ планиметрія заканчивается; въ VI классѣ проходится стереометрія, при чемъ предположено исключить изъ курса условія равенства и подобія призмъ и пирамидъ, а также ученіе о подобіи круглыхъ тѣлъ (ср. Московскія программы). Курсъ геометріи въ VIII классѣ оставленъ безъ измѣненія.

Тригонометрія. Программа этого предмета оставлена безъ измѣненія, но найдено необходимымъ отвести въ VII классѣ для него два недѣльныхъ урока въ теченіе года. Такимъ образомъ, на математику признано необходимымъ въ VII классѣ отвести 5 уроковъ, а въ VIII—3 урока.

Программа реальныхъ училищъ.

Программа реальныхъ училищъ была разсмотрѣна въ особомъ засѣданіи (18 декабри 1899 г.). Бри этомъ было признано желательнымъ и вполнѣ достижимымъ, чтобы постановка математики въ первыхъ трехъ классахъ гимназій и реальныхъ училищъ была вполнѣ тождественна, и курсъ математики до нѣкоторой степени закругленъ. Въ связи съ этимъ признано было необходимымъ, чтобы въ I классѣ реальнаго училища на ариѳметику отводилось столько же времени, какъ и въ гимназіяхъ, т. е. 4 часа (вмѣсто 3).

Сокращенія и измѣненія, намѣченныя въ программахъ для гимназій, рѣшено примѣнить и къ реальнымъ училищамъ. Въ частности, учебный матеріалъ въ IV, V и VI классахъ, совпадающій съ математическимъ матеріаломъ гимназій, распредѣленъ слѣдующимъ образомъ.

Алгебра. Въ IV классѣ (3 урока) курсъ начинается умноженіемъ и можетъ быть выполненъ, если сдѣлать сокращенія, отмѣченныя въ программѣ гимназій (извлеченіе квадратнаго корня изъ многочленовъ, кубическаго корня изъ чиселъ). Изъ курса V класса (3 урока) желательно перенесть въ курсъ VI класса: а) примѣненіе теоріи логариѳмовъ къ вычисленіямъ и рѣшенію задачъ (на сложные проценты и срочныя уплаты,— сравни съ программою гимназій) и б) прогрессіи. Иначе, по мнѣнію собранія, 3-хъ уроковъ недостаточно для усвоенія курса. Курсъ VI класса (2 урока) можетъ быть выполненъ, если исключить изъ него теорію непрерывныхъ дробей.

Геометрія. Программа геометріи для IV класса (3 урока) можетъ быть сохранена безъ всякихъ измѣненій; въ V классѣ (2 урока) заканчивается планиметрія: въ силу недостатка времени, а также въ видахъ закругленности матеріала, начала стереометріи переносятся въ курсъ VI класса (2 урока), гдѣ проходится въ такомъ случаѣ вся стереометрія (опускаются тѣ же статьи, что и въ гимназіяхъ).

Тригонометрія, по мнѣнію собранія, можетъ быть оставлена въ прежнемъ видѣ въ курсѣ VI класса при 2-хъ урокахъ въ недѣлю.

При обсужденіи вопроса о постановкѣ математики въ VII дополнительномъ классѣ, признано желательнымъ исключить изъ программы статью maxima и minima трехчлена второй степени „вслѣдствіе того, что пріемы, рекомендуемые здѣсь, и сложны и малоизящны“; кромѣ того, было выска-

зано, что для прохожденія математики въ VII классѣ необходимо прибавить не менѣе 2-хъ уроковъ, т. е. 5 вмѣсто 3-хъ уроковъ.

Вотъ все, что сказали въ концѣ 1899 г. кіевскіе педагоги объ улучшеніи программъ математики въ гимназіяхъ и въ реальныхъ училищахъ.

Интересно отмѣтить, что въ московскихъ и кіевскихъ работахъ 1899 г. мы встрѣчаемъ много общаго. Правда, кіевскія совѣщанія, по чисто внѣшнимъ условіямъ, ставятъ вопросы значительно уже: они имѣютъ въ виду только существующіе типы учебныхъ заведеній и въ этихъ рамкахъ намѣчаютъ программы. И здѣсь главное вниманіе было обращено на сокращеніе и болѣе раціональное распредѣленіе учебнаго матеріала.

IV.

Труды комиссіи министра Н. П. Боголѣпова.

Общій обзоръ трудовъ.

Мы познакомились съ работами, которыя послужили матеріаломъ для выводовъ и заключеній комиссіи министра Н. П. Боголѣпова1). Эта комиссія состояла изъ представителей всѣхъ учебныхъ округовъ, нѣкоторыхъ профессоровъ, выдающихся педагоговъ и представителей различныхъ вѣдомствъ,—всѣхъ числомъ до ста человѣкъ. Занятія въ ней были организованы во многихъ отношеніяхъ такимъ же образомъ, какъ и въ московскихъ совѣщаніяхъ: составлены были многочисленныя подкомиссіи какъ для рѣшенія общихъ педагогическихъ вопросовъ, такъ и для разработки различныхъ типовъ средней общеобразовательной школы. Но была и существенная разница: въ то время какъ въ московскихъ совѣщаніяхъ для каждаго типа школы вырабатывалась въ отдѣльности программа того иди другого предмета лицами, сочувствующими этому типу, здѣсь для составленія программы математики была образована подъ предсѣдательствомъ извѣстнаго педагога Н. И. Билибина особая подкомиссія, которая при своихъ работахъ имѣла въ виду только два типа школы—классическую гимназію и восьмиклассное реальное училище; а затѣмъ уже, если представлялась необходимость, обсуждался вопросъ о приспособленіи выработанной программы къ школѣ того или другого типа (въ подкомиссіи по организаціи этой школы).

1) Труды Высочайше учрежденной комиссіи по вопросу объ улучшеніяхъ въ средней общеобразовательной школѣ. Вып. I—VIП. С.-Пб. 1900.

Въ подкомиссію, кромѣ предсѣдателя Н. И. Билибина, входило 12 членовъ и 3 представителя вѣдомствъ. Составъ подкомиссіи, за немногими исключеніями, былъ случайный, что не могло не отразиться на ея работахъ.

Въ комиссіи Н. П. Боголѣпова разработаны были слѣдующіе типы средней общеобразовательной школы.

1. Гимназія съ двумя древними языками — латинскимъ яз. съ I класса и греческимъ съ III класса (подкомиссія подъ предсѣдательствомъ К. В. Кедрова)—соотвѣтствуетъ классической школѣ 1-го типа въ московскихъ совѣщаніяхъ. Для математики отведено 29 уроковъ, т. е. на одинъ болѣе числа уроковъ по таблицѣ 1890 г.1).

2. Гимназія съ однимъ латинскимъ яз. съ III или IV класса,—при 12 или 11 урокахъ физики съ космографіей, при 11 урокахъ естествовѣдѣнія, при обязательномъ изученіи обоихъ новыхъ языковъ— французскаго яз. съ I класса и нѣмецкаго со П-го (подкомиссія подъ предсѣдательствомъ проф. А. И. Кирпичникова),—соотвѣтствуетъ классической школѣ 3-го типа въ московскихъ совѣщаніяхъ2). Математикѣ подкомиссія нашла возможнымъ предоставить 30 уроковъ.

3. Школа новаго типа съ двумя циклами: а) младшее отдѣленіе (первые пять кл.) безъ классическихъ языковъ, съ 2-мя новыми яз. (одинъ съ I класса, а другой съ III-го), естествовѣдѣніемъ (13 уроковъ), физикой (4 урока) и б) старшее отдѣленіе (VI—VIII классы), гдѣ, кромѣ общихъ занятій (Законъ Божій, русскій яз., два новыхъ яз., исторія, математика, физика и химія—7 уроковъ, естествовѣдѣніе—6 уроковъ, географія и философская пропедевтика), должны быть дополнительныя занятія—для словесниковъ (12 уроковъ—по 4 урока въ каждомъ классѣ), для изучающихъ древніе языки (18 уроковъ) и для натуралистовъ (12 уроковъ). Этотъ типъ школы разработанъ въ подкомиссіи подъ предсѣдательствомъ проф. П. Г. Виноградова и соотвѣтствуетъ московской школѣ новаго типа3). Для математики въ школѣ этого типа отведено общихъ 19+10=29 уроковъ, кромѣ того, дополнительные уроки для натуралистовъ (число уроковъ не указано: предоставляется распредѣленіе ихъ педагогическому совѣту).

4. Гимназія, допускающая примѣненіе принципа индивидуализаціи въ обученіи (подкомиссія подъ предсѣдательствомъ М. Р. За-

1) Вып. II, стр. 26.

2) Вып. III. Труды подкомиссіи по вопросу объ организаціи гимназіи съ однимъ латинскимъ яз., стр. XVII—XVIII.

3) Вып. III. Журналы подкомиссіи о единой средней общеобразовательной школѣ новаго типа, стр. ХХХШ—XXXV.

вадскаго). Этотъ типъ напоминаетъ во многомъ школу новаго типа проф. П. Г. Виноградова только въ менѣе опредѣленномъ видѣ; кромѣ того, здѣсь предположено преподаваніе латинскаго языка съ III класса, греческаго языка съ V класса. Для этой гимназіи намѣчено нѣсколько таблицъ распредѣленія уроковъ. Основными началами школы, допускающей принципъ индивидуализаціи, являются: во-первыхъ, усиленіе занятій въ старшихъ классахъ по тому или другому предмету для учениковъ, обнаружившихъ особые успѣхи въ этихъ предметахъ, и, во-вторыхъ, предоставленіе педагогическимъ совѣтамъ большой свободы въ распредѣленіи занятій съ учениками. Не касаясь вопроса, насколько такая школа желательна и осуществима, отмѣтимъ, что сама подкомиссія не дала, да и не могла дать, чего-либо болѣе или менѣе опредѣленнаго, ограничиваясь общими соображеніями. Для математики въ школѣ этого тина намѣчено 29, 26 и даже 24 урока, въ зависимости отъ индивидуальности учениковъ.

5. Реальное восьмиклассное училище, имѣющее цѣлью „доставить общее реальное и гуманитарное образованіе и вмѣстѣ съ тѣмъ служить приготовительнымъ заведеніемъ для поступающихъ на физико-математическій и медицинскій факультеты университета и въ высшія спеціальныя учебныя заведенія“1). Для математики въ реальномъ училищѣ предоставлено 35 уроковъ.

6. Наконецъ, средняя школа съ бифуркаціей, начинающейся съ IV класса, представляетъ собою соединеніе, съ нѣкоторыми незначительными измѣненіями, двухъ типовъ школы2): гимназіи съ однимъ латинскимъ языкомъ и восьмикласснаго реальнаго училища (подкомиссія подъ предсѣдательствомъ А. В. Муромцева). Въ гуманитарной вѣтви латинскій яз. начинается съ ІV класса. Для математики отведено: на гуманитарномъ отдѣленіи 11+19=30 уроковъ (тождественно съ „гимназіей проф, А. И. Кирпичникова"), а на реальномъ отдѣленіи 11+24=35 (тождественно съ восьмикласснымъ реальнымъ училищемъ).

Распредѣленіе уроковъ математики по классамъ во всѣхъ указанныхъ типахъ школъ можно видѣть изъ прилагаемой таблицы.

1) Вып. II, стр. 18.

2) Вып. III. Труды подкомиссіи по устройству средней общеобразоват. школы съ бифуркаціей, стр. VI—XI.

Типы школъ.

КЛАССЫ.

всего.

I

II

III

ІV

V

VI

VII

VIII

1. Гимназія съ 2-мя древн. яз.

4

4

3

4

4

4

3

3

29

2. Гимназія съ 1-мъ латинск. яз.1)

3

4

4

4

4

4

4

3

30

3. Школа новаго типа

3

4

4

4

4

3

(4)

4

(4)

3

(4)

29 ?2)

4. Гимназія, допускающ. принципъ индивидуализац.

4

4

4

4

4

3

3

3

1

3

0

0

29 263) 244)

5. Реальное 8-классное училище1)

3

4

4

4+2ч

5

5

5

5

35+2ч

6. Школа 1 Гум. вѣтвь съ биф. (реальн. в.

3

4

4+1*

] * 4+1-

4

5

4

5

4

5

3

5

30+1ч

35+2ч

Труды подкомиссіи по составленію программъ математики для среднихъ учебныхъ заведеній.

Подкомиссія по составленію программъ математики для среднихъ учебныхъ заведеній5) „поставила для рѣшенія слѣдующія 4 задачи: 1) опредѣлить объемъ преподаванія математики, какъ общеобразовательнаго предмета въ средней школѣ; 2) распредѣлить учебный матеріалъ по классамъ соотвѣтственно возрасту учащихся; 3) опредѣлить необходимое число часовъ для каждаго класса; 4) указать все то, что должно послужить предметомъ объяснительной записки къ примѣрнымъ программамъ“.

Пособіями для рѣшенія этихъ задачъ подкомиссіи служили, кромѣ трудовъ московскихъ и кіевскихъ, о чемъ мы уже упоминали, а) еще неоконченная работа комиссіи Ученаго Комитета, образованной въ первой половинѣ 1899 г. подъ предсѣдательствомъ академика Н. Я. Сонина, б) дѣй-

1) Распредѣленіе совпадаетъ съ постановленіемъ подкомиссіи по составленію программъ математики.

2) Дополнительные уроки для натуралистовъ по усмотрѣнію педагогическаго совѣта.

3) Для изучающихъ оба древніе языка.

4) Для обнаружившихъ особые успѣхи по древнимъ яз.

ч Этимъ знакомъ отмѣчены уроки черченія.

5) Вып. IV. Труды подкомиссіи по составленію программъ математики для среднихъ учебныхъ заведеній, стр. 1 -14.

ствовавшія тогда программы 1890 г. для гимназій и 1895 г. для реальныхъ училищъ и в) программы прусскихъ и французскихъ школъ.

Подкомиссія приняла, какъ принципъ, чтобы постановка преподаванія математики въ первыхъ трехъ классахъ и учебный планъ въ IV— VII классахъ были совершенно одинаковы какъ въ гимназіяхъ, такъ и въ реальныхъ училищахъ; при чемъ признала, что въ IV - VII классахъ реальныхъ училищъ должно быть усилено рѣшеніе геометрическихъ задачъ на построеніе (рѣшеніе подкомиссіи, очевидно, совпадаетъ съ постановленіями кіевскихъ педагоговъ). „Что же касается до VIII класса, то подкомиссія нашла, что въ реальныхъ училищахъ математика въ этомъ классѣ должна занять большій объемъ“.

„Подкомиссія постановила исключить изъ курса тѣ статьи, которыя,— по мнѣнію ея,—или представляютъ излишнюю роскошь, или не заключаютъ въ себѣ общеобразовательнаго элемента“.

„А. По ариѳметикѣ: а) обозначеніе чиселъ церковно-славянскими и римскими знаками; b) ознакомленіе съ простѣйшими дробями (изъ курса I класса); с) общій наибольшій дѣлитель—вовсе (изъ курса II класса); d) періодическія дроби (изъ курса II класса); е) учетъ векселей и f) правило смѣшенія (изъ курса III класса) и g) наконецъ, теорію пропорціи изъ курса ариѳметики III класса“.

„Б. По алгебрѣ: а) извлеченіе квадратныхъ корней изъ многочленовъ; Ь) извлеченіе кубическихъ корней изъ чиселъ; с) способъ Безу (рѣшенія уравненій) и d) непрерывныя дроби (для гимназій)“.

„В. По геометріи: исключается повтореніе курса геометріи въ VIII классѣ“ (Повтореніе, очевидно, не исключается, а переносится въ курсъ VII класса, см. ниже).

Почти всѣ указанныя сокращенія согласуются съ таковыми же въ программахъ, разсмотрѣнныхъ нами ранѣе, за исключеніемъ пропедевтическаго курса дробей и рѣшенія задачъ на правило смѣшенія. О важности и необходимости пропедевтическаго курса дробей говорить не приходится: этотъ вопросъ достаточно разработанъ въ методикѣ ариѳметики. Нельзя также согласиться съ предложеніемъ относительно задачъ на смѣшеніе: если оставлять въ курсѣ рѣшеніе задачъ на какія-либо правила, то нѣтъ основанія опускать именно задачи на смѣшеніе (подкомиссія мотивовъ не приводитъ). Не говоря уже о томъ, что задачи на смѣшеніе перваго рода просты и представляютъ удобный матеріалъ для упражненій, что задачи на смѣшеніе второго рода встрѣчаются въ разнообразномъ видѣ,—тѣ и другія

имѣютъ жизненный интересъ: здѣсь мы попутно знакомимся съ пробой, опредѣленіемъ крѣпости растворовъ и т. п.

Изъ новыхъ статей подкомиссія нашла необходимымъ внести въ курсъ средней школы: наибольшее и наименьшее значеніе трехчлена второй степени (безъ видимаго къ тому основанія), а также ознакомленіе въ VIII классѣ (гимназій и реальныхъ училищъ) съ основами аналитической геометріи на плоскости (представленіе простѣйшихъ функцій кривыми въ различныхъ системахъ координатъ —прямая линія, архимедова спираль, кругъ, эллипсъ, гипербола, парабола; рѣшеніе нѣкоторыхъ задачъ о прямой линіи, отнесенной къ прямоугольной системѣ координатъ).

„Послѣдней статьѣ подкомиссія придаетъ большое развивающее значеніе,—и совершенно основательно,—а между тѣмъ статья эта, по мнѣнію подкомиссіи, не представляя затрудненій для учащихся, крайне будетъ для нихъ интересна и полезна“.

„Курсъ VIII класса былъ предметомъ особаго вниманія подкомиссіи“. По мнѣнію подкомиссіи, „въ настоящее время занятія математикою въ VIII классѣ, почти-что исключительно, заключаются, во-первыхъ, въ простомъ повтореніи предыдущаго курса по тѣмъ же учебникамъ, по какимъ математика проходилась въ предыдущихъ классахъ, и въ томъ же самомъ духѣ1), (а часто, какъ намъ извѣстно, и этого не дѣлаютъ) и, во-вторыхъ, въ раздѣлываніи задачъ того характера, какимъ обладаютъ задачи, присылаемыя изъ округа для испытаній зрѣлости2),—задачи, не содержащія въ себѣ развивающаго элемента. Такая постановка математики, не расширяя математическаго кругозора учащихся, представляется нецѣлесообразною“.

„Желательно,—говоритъ подкомиссія, — дать ученикамъ для изученія новый матеріалъ, который, расширяя и обобщая математическія представленія, способствовалъ бы дальнѣйшему развитію геометричности ума. — На основаніи сего подкомиссія установила слѣдующій планъ математики для VIII класса“:

a) Ариѳметика. Тѣ же дополненія и обобщенія, какія полагались по программѣ 1890 г., а кромѣ того, рѣшеніе неопредѣленныхъ уравненій первой степени съ двумя неизвѣстными.

b) Алгебра. Повтореніе курса „съ цѣлью обобщеній и развитій“.

c) Тригонометрія въ полномъ объемѣ

d) Начала приложенія алгебры къ геометріи.

1) Хотя это послѣднее,—прибавимъ отъ себя,—не соотвѣтствуетъ требованіямъ программъ и плановъ 1890 г.

2) Тогда онѣ присылались.

е) Основанія аналитической геометріи на плоскости.

Однимъ словомъ, за исключеніемъ аналитической геометріи и нѣсколько иного распредѣленія матеріала, мы здѣсь не встрѣчаемся съ чѣмъ-либо новымъ по сравненію съ программами и требованіями объяснительной записки 1890 г.

Что касается курса VIII класса реальныхъ училищъ, то, кромѣ вышеуказаннаго, подкомиссія нашла нужнымъ присоединить къ курсу VIII класса „тѣ статьи, которыя составляютъ курсъ дополнительнаго класса существующихъ реальныхъ училищъ (прогр. 1895 г.), за исключеніемъ тѣхъ, которыя перенесены въ предыдущіе классы“.

По классамъ учебный матеріалъ распредѣленъ подкомиссіей слѣдующимъ образомъ:

Ариѳметика. I классъ (3 урока), II классъ (4 урока) и III классъ (2 урока). За исключеніемъ раньше указанныхъ сокращеній, матеріалъ распредѣляется такъ же, какъ и по программѣ 1890 г. Въ ІII классѣ при обычномъ курсѣ, съ вышеуказанными сокращеніями, требуется и повтореніе ариѳметики.

VIII классъ. Какъ упомянуто, - обычный курсъ и, кромѣ того, неравенства и неопредѣленныя уравненія.

Алгебра. III классъ (2 урока). Обычный курсъ заканчивается умноженіемъ многочленовъ.

IV классъ (2 урока). Квадратные корни переносятся изъ курса IV класса въ V-й. Этимъ, во-первыхъ, облегчается сложный курсъ алгебры IV класса и, во-вторыхъ, придается цѣльность курсамъ IV и V классовъ.

V классъ (2 урока). Извлеченіе квадратныхъ корней изъ чиселъ Дѣйствія надъ радикалами второй степени (дѣйствія надъ радикалами въ общемъ случаѣ переносятся въ курсъ VI класса). Далѣе, по порядку программы, слѣдуетъ „понятіе объ ирраціональныхъ числахъ и дѣйствіяхъ надъ ними. Это необходимо,— по мнѣнію подкомиссіи,—для успѣшнаго прохожденія курса геометріи въ этомъ классѣ“. Наконецъ, кромѣ квадратнаго уравненія, въ курсъ этого класса вводится новая статья—наибольшее и наименьшее значеніе трехчлена второй степени, а также переносится сюда изъ курса VI класса ариѳметическая прогрессія.

По поводу курса алгебры въ этомъ классѣ можно указать на нераціональное распредѣленіе учебнаго матеріала по этому предмету: раньше производятся дѣйствія надъ радикалами (хотя бы и второй степени), а послѣ

дается понятіе объ ирраціональныхъ числахъ и дѣйствіяхъ надъ ними; къ курсу VII класса отнесена статья о рѣшеній уравненій съ квадратными радикалами, необходимая для рѣшенія геометрическихъ задачъ курса V и VI класса на вычисленіе. Излишнимъ является и введеніе новой статьи о наибольшемъ и наименьшемъ значеніи трехчлена; кромѣ того, вѣроятно, по недосмотру опущена статья о возвышеніи въ степень одночленовъ и въ квадратъ многочленовъ.

VI классъ (3 урока). Статьѣ о логариѳмахъ должны предшествовать дѣйствія надъ радикалами и изученіе функціи ах. Здѣсь же послѣ логариѳмовъ должна быть пройдена геометрическая прогрессія.

VII классъ (2 урока вмѣсто іу2). Въ этомъ классѣ проходятся тѣ статьи, которыя полагаются по программѣ 1890 г., за исключеніемъ теоріи непрерывныхъ дробей (статья эта вовсе опускается) и неравенствъ съ неопредѣленными уравненіями (эти статьи переносятся въ курсъ ариѳметики VIII класса).

VIII классъ (3 урока на весь курсъ математики). „Повтореніе алгебры съ необходимыми дополненіями, въ смыслѣ углубленія и расширенія представленій“.

Геометрія. IV классъ (2 урока). Обычный курсъ.

V классъ (2 урока). Въ этомъ классѣ заканчивается планиметрія (слѣдовательно, переносятся въ курсъ VI класса начальныя теоремы по стереометріи).

VI классъ (2 урока). Проходится стереометрія; только курсъ заканчивается многогранниками. Условія равенства и подобія призмъ и пирамидъ не опускаются.

VII классъ (1 урокъ). Сюда переносится изъ курса VI класса ученіе о круглыхъ тѣлахъ.

Въ реальныхъ училищахъ прибавляется въ V, VI и VII классахъ по 1 уроку для рѣшенія геометрическихъ задачъ на построеніе, а въ VI и VII классахъ, кромѣ того, и для пріученія учениковъ къ изображенію тѣлъ на плоскости при помощи проекцій.

Отмѣтимъ, что подкомиссія выразила желаніе, чтобы въ VII классѣ былъ назначенъ экзаменъ по геометріи.

Тригонометрія. Курсъ предположено разбить на два года.

Въ VII классѣ (1 урокъ) должны заниматься рѣшеніемъ треугольниковъ, и тогда,—по мнѣнію подкомиссіи,—курсъ тригонометріи въ VII классѣ представитъ отдѣлъ курса геометріи и будетъ сближенъ съ предшествующимъ курсомъ алгебры

Въ VIII классѣ (1 урокъ) должны проходить понятіе о тригонометрическихъ функціяхъ, объ ихъ измѣненіи, теорему сложенія и слѣдствія, изъ нея вытекающія.

Мы уже упоминали о томъ, что въ курсѣ VIII класса предположено сохранить основанія приложенія алгебры къ геометріи и вновь ввести ознакомленіе съ элементами аналитической геометріи. Нужно замѣтить, что на этотъ курсъ и на повторительный курсъ алгебры съ дополненіями остается 2 часа — время, далеко не соотвѣтствующее предлагаемому количеству матеріала.

Противъ намѣченнаго подкомиссіей распредѣленія учебнаго матеріала по тригонометріи выступилъ съ вѣсскими возраженіями одинъ изъ членовъ подкомиссіи инспекторъ Пензенскаго реальнаго училища М. П. Соловьевъ. Его возраженія заключаются въ слѣдующемъ: „1) Распредѣленіе курса краткаго на два года будетъ въ ущербъ цѣльности, связности и законченности его“, а слѣдовательно, въ ущербъ тому интересу, которымъ, вообще, сопровождается изученіе этого предмета. „2) Постановка на первый планъ (VII кл.) практической стороны курса и на второй — теоретической части его не соотвѣтствуетъ педагогическимъ требованіямъ, ибо у многихъ ослабитъ интересъ къ теоріи: ознакомившись съ формулами рѣшенія треугольниковъ и съ практическою стороною курса, ученики не отдадутъ надлежащаго вниманія другой—болѣе важной—теоріи. Рѣшеніе же треугольниковъ, - по мнѣнію М. П. Соловьева,—сводится къ чисто механическому пользованію формулами и не имѣетъ особаго значенія... 3) Практическое неудобство скажется въ томъ, что вслѣдствіе запоздалаго ознакомленія съ теоріей сложенія: а) окончательныя формулы при рѣшеніи задачъ нельзя будетъ приводить къ простѣйшему, изящному виду; нельзя будетъ, рѣшивъ треугольникъ нѣсколькими способами и получивъ разныя окончательныя формулы, убѣдиться въ ихъ тождественности, и б) надолго отодвигается благодарный математическій матеріалъ — рѣшеніе тригонометрическихъ уравненій“.

Представитель Вѣдомства Императрицы Маріи А. Г. Вороновъ также высказался противъ раздѣленія тригонометріи на 2 части1); проектируемое раздѣленіе, по его мнѣнію, естественно приведетъ къ нѣкоторому излишнему расширенію предмета (напр., формулы для рѣшенія треугольниковъ по двумъ сторонамъ и углу между ними придется выводить длиннымъ путемъ).

Ко всему вышесказанному можно было бы прибавить, что такой краткій законченный курсъ, какъ тригонометрія, при надлежащей математи-

1) Вып. III. Труды подкомиссіи по вопросу объ организаціи гимназіи съ однимъ латинскимъ языкомъ. Приложеніе 10-е къ проток. № 10, стр. 35.

ческой подготовкѣ учениковъ VII класса, и не нуждается вовсе въ пропедевтикѣ.

„Разсмотрѣвъ объяснительную записку 1890 г., подкомиссія нашла, что всѣ цѣнныя указанія, въ ней содержащіяся, должны быть сохранены“; но, къ сожалѣнію, она не сказала, какія изъ указаній признаетъ цѣнными. Кромѣ того, подкомиссія нашла нужнымъ добавить объяснительную записку слѣдующими указаніями:

„1) Должно упражнять учениковъ въ задачахъ на вычисленіе времени“.

„2) Въ первыхъ трехъ классахъ должно ознакомить учениковъ съ пріемами опредѣленія площадей прямоугольниковъ и поверхностей и объемовъ прямоугольныхъ параллелепипедовъ“.

„3) Должно въ курсѣ I класса обращать вниманіе учениковъ на повѣрку дѣйствій при помощи обратнаго дѣйствія и на измѣненіе результатовъ дѣйствій при измѣненіи данныхъ“.

„4) Переименовать главнѣйшія мѣры, о которыхъ говорится въ программѣ“.

„5) Относительно періодическихъ дробей въ курсѣ II класса должно только сказать, что обыкновенная дробь, не обращающаяся въ десятичную, при вычисленіи ея съ точностью до , непремѣнно произведетъ періодическую дробь, и не касаться ни признаковъ обращенія въ чистую и смѣшанную періодическія дроби, ни обращенія періодическихъ дробей въ обыкновенныя, отнеся первый вопросъ къ курсу VIII класса, а второй—къ курсу VI класса“.

„6) Указать, что задачи на пропорціональное дѣленіе должны быть задаваемы простыя“.

„7) Указать, согласно цѣннымъ мнѣніямъ, высказаннымъ въ московскихъ совѣщаніяхъ, что математика развиваетъ ученика систематическимъ и стройнымъ изученіемъ теоріи, а потому задачи, представляющія изъ себя, въ сущности, не что иное, какъ загадки, задачи, требующія исключительно многодѣланія (примѣры съ массой скобокъ, съ многочисленными коэффиціентами, со сложными знаменателями въ дробяхъ, съ многочленными показателями, съ показателями радикаловъ не натуральными и т. п.), должны быть исключены изъ курса математики“,

„8) Указать, согласно мнѣнію г. попечителя Московскаго Учебнаго Округа (П. А. Некрасова), что, при преподаваніи математики, необходимо какъ можно чаще и практичнѣе сближать (особенно въ задачахъ) ее съ тѣми конкретными научными фактами и явленіями, къ которымъ она примѣнима“.

Тѣ немногія указанія, которыя сдѣланы подкомиссіей, во-первыхъ, касаются почти исключительно ариѳметики, относительно преподаванія которой существуетъ довольно обширная литература (да и въ объяснительной запискѣ 1890 г. есть обстоятельныя указанія), чего нельзя сказать о преподаваніи алгебры, геометріи, тригонометріи и аналитической геометріи; во-вторыхъ, болѣе существенныя указанія находятся въ тѣсной связи съ мнѣніями, высказанными въ московскихъ совѣщаніяхъ.

Программы, выработанныя подкомиссіей Н. И. Билибина, приняты были безъ измѣненій всѣми подкомиссіями, занятыми организаціей различныхъ типовъ средней школы; только въ школѣ новаго типа предположено было излагать ученіе о кругѣ и о круглыхъ тѣлахъ безъ теоріи предѣловъ (теорія предѣловъ переносится въ одинъ изъ классовъ старшаго отдѣленія) и курсъ стереометріи заканчивать въ V классѣ. Кромѣ того, число недѣльныхъ уроковъ въ гимназіи съ двумя древними языками и въ школѣ новаго типа (общее число уроковъ для всѣхъ развѣтвленій) уменьшено на 1 урокъ сравнительно съ тѣмъ, что намѣчено подкомиссіей Н. И. Билибина, т. е. 29 уроковъ вмѣсто 30, а въ гимназіи, допускающей принципъ индивидуализаціи, отведено для математики, какъ было сказано выше, 29 уроковъ, или 26, или же 24—въ зависимости отъ индивидуальности учащихся.

Нужно упомянуть еще, что подкомиссія, разрабатывавшая вопросъ объ экзаменахъ (подъ предсѣдательствомъ К. К. Войнаховскаго), послѣ довольно продолжительныхъ дебатовъ, высказалась, большинствомъ 8-ми противъ 7, за отмѣну письменныхъ экзаменовъ по математикѣ. Такое странное,—чтобы не сказать болѣе,—постановленіе является съ перваго взгляда непонятнымъ; но его можно объяснить, съ одной стороны, случайнымъ составомъ подкомиссіи (большинство не-математики), а съ другой стороны— отрицательнымъ отношеніемъ къ тому направленію въ преподаваніи математики, какое установилось въ средней общеобразовательной школѣ. На попытку отмѣнить письменные экзамены по математикѣ нужно смотрѣть, какъ на неудачную форму протеста противъ такой постановки преподаванія математики, при которой научаютъ рѣшать извѣстнаго рода задачи (большею частью, по шаблону) и не даютъ учащимся надлежащаго математическаго развитія,—однимъ словомъ, противъ узкаго, односторонняго взгляда на математику, какъ на собраніе болѣе или менѣе интересныхъ задачъ. Подкомиссія, очевидно, впала въ ошибку, предположивъ, что главная причина всего этого лежитъ въ характерѣ письменныхъ испытаній по математикѣ. Одинъ изъ членовъ подкомиссіи, А. В. Муромцевъ, предлагалъ, вмѣсто отмѣны письменныхъ экзаменовъ, поставить ихъ такъ, чтобы этимъ поднять уровень знаній абитуріентовъ, а также ослабить возможность заимствованій во время испытаній. Съ этой цѣлью онъ рекомендовалъ пред-

лагать въ видѣ темъ: по алгебрѣ— изслѣдованіе уравненій первой степени, составленныхъ изъ условій задачи, по геометріи—нетрудное доказательство новой теоремы, по ариѳметикѣ—нетрудный выводъ какого-либо свойства чиселъ. Но это предложеніе не встрѣтило сочувствія со стороны членовъ подкомиссіи1).

Нельзя умолчать о значительныхъ недостаткахъ работъ подкомиссіи Н. И. Билибина.

1) Здѣсь, какъ и во всѣхъ раньше разсмотрѣнныхъ нами программахъ, не видно стремленія обновить преподаваніе такъ называемой элементарной математики, ввести въ курсъ средней школы идеи, имѣющія жизненное значеніе: идеи функціональной зависимости, непрерывности въ связи съ ученіемъ о безконечно-малыхъ величинахъ.

2) Въ работахъ совершенно отсутствуютъ указанія относительно требованій, какія должны быть предъявлены по математикѣ къ поступающимъ въ I классъ. Вообще, этому вопросу, замѣтимъ кстати, не удѣляютъ должнаго вниманія, забывая, что первоначальная дошкольная подготовка по математикѣ — это фундаментъ, а безъ прочнаго фундамента хорошаго зданія нельзя возвесть.

3) Опущенъ безъ всякихъ мотивовъ пропедевтическій курсъ дробей изъ курса I класса. Быть можетъ, ознакомленіе съ этимъ курсомъ имѣлось въ виду отнести къ подготовительнымъ занятіямъ до поступленія въ I классъ, что было бы вполнѣ раціонально,—хотя это послѣднее все-таки не исключало бы необходимости введенія послѣдняго концентра пропедевтическаго курса дробей и въ I классѣ. Ни въ программѣ, ни въ объяснительной запискѣ никакихъ упоминаній по этому вопросу мы не встрѣчаемъ.

4) На поверхностное отношеніе къ вопросамъ, связаннымъ съ первоначальнымъ обученіемъ, указываетъ отсутствіе даже упоминанія о приготовительномъ курсѣ геометріи.

5) Въ работахъ нигдѣ не упоминается о приближенныхъ вычисленіяхъ

6) Программы почти не сопровождаются руководящими указаніями: не намѣченъ матеріалъ для объяснительной записки, а что касается аналитической геометріи, то нѣтъ даже примѣрной программы,—указанъ лишь отрывочный планъ этого курса.

7) Въ нѣкоторыхъ случаяхъ, отмѣченныхъ нами раньше, при разсмотрѣніи программы, нераціонально распредѣленъ учебный матеріалъ.

8) Отведено очень мало времени для прохожденія всего курса VIII класса.

1) Вып. II, стр. 52—54.

Хотя въ работахъ подкомиссіи Н. И. Билибина есть явные слѣды излишней поспѣшности, незаконченности и, вообще, крупные недочеты, тѣмъ не менѣе программы, выработанныя этой подкомиссіей, представляютъ значительный шагъ впередъ по сравненію съ программами 1890 года. 1) Здѣсь сокращены и исключены статьи, которыя только загромождаютъ курсъ и, безъ нарушенія системы и особаго ущерба для дѣла, могутъ быть опущены; 2) здѣсь въ нѣкоторыхъ случаяхъ обращено вниманіе на болѣе раціональное распредѣленіе учебнаго матеріала; 3) а главное—вводятся въ курсъ средней общеобразовательной школы основанія аналитической геометріи, и этимъ открывается путь для дальнѣйшей работы въ томъ же направленіи, т. е. для освобожденія программъ отъ многовѣковой рутины и для приведенія ихъ въ соотвѣтствіе съ требованіями современности. Вообще, введеніе аналитической геометріи въ курсъ средней общеобразовательной школы можно привѣтствовать, какъ одно изъ болѣе крупныхъ завоеваній во взглядахъ на преподаваніе математики въ русскихъ общеобразовательныхъ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ.

Мы довольно долго останавливались на трудахъ коммисіи Н. П. Боголѣпова, потому что та живая, но пока слабая струя, которая проникла съ того времени въ среднюю щколу, имѣетъ своимъ источникомъ работы комиссіи 1900 года. Онѣ уже оказали вліяніе на постановку преподаванія математики и въ гимназіяхъ, гдѣ прибавлено достаточное число уроковъ, и въ особенности въ реальныхъ училищахъ, гдѣ введены программы 1906 г. Помимо этого, многіе преподаватели, пользуясь нѣкоторой свободой въ выборѣ и распредѣленіи учебнаго матеріала, руководствуются тѣми или другими указаніями подкомиссіи Н. И. Билибина,

Комиссія К. П. Яновскаго.

Министръ народнаго просвѣщенія Н. П. Боголѣповъ, собравъ обширный и довольно цѣнный матеріалъ (какой доставила ему комиссія 1900 г.), пошелъ и дальше по вѣрному пути: онъ передалъ этотъ матеріалъ нашему выдающемуся педагогу и опытному администратору, бывшему попечителю Кавказскаго Учебнаго Округа К. И. Яновскому, который, въ сотрудничествѣ нѣсколькихъ опытныхъ педагоговъ, занялся сведеніемъ всего обширнаго матеріала и окончательной выработкой новаго проекта положенія о гимназіяхъ и реальныхъ училищахъ. Этотъ проектъ былъ уже изготовленъ и напечатанъ для разсылки на заключеніе попечительскихъ совѣтовъ1).

1) С. Л. Степановъ. Обозрѣніе проектовъ реформы средней школы въ Россіи, преимущественно въ послѣднее шестилѣтіе (1899—1905 гг.). Журн. Мин. Нар. Пр. 1907 г., №№ 1 и 2, и отдѣльн. оттиск. С.-Пб. 1907 г. См. Ж. М. Н. Пр., № 2, стр. 84—90.

Смерть Н. П. Боголѣпова положила конецъ хорошо задуманному и нормально поставленному дѣлу преобразованія средней школы.

Проектировалось два типа средней школы: гимназія и восьмиклассное реальное училище. Гимназіи въ свою очередь раздѣлялись: 1) на гимназіи съ однимъ древнимъ языкомъ—латинскимъ (начиная съ III класса) и 2) гимназіи съ двумя древними языками. Восьмиклассное реальное училище такъ же, какъ и гимназіи, предоставляло право поступленія въ университетъ (на нѣкоторые факультеты).

Въ случаѣ надобности могли учреждаться гимназіи и реальныя училища въ составѣ четырехъ (V—VIII) или шести (IIІ—VIII) старшихъ классовъ; два низшихъ класса вмѣстѣ съ приготовительнымъ классомъ могли выдѣляться въ особую подготовительную школу.

Въ гимназіяхъ на математику отводилось 29 уроковъ, на физику съ космографіей—11, естествовѣдѣніе —8. Въ реальныхъ училищахъ математикѣ предоставлялось 33 урока, физикѣ—10, космографіи—3.

Въ общемъ, этотъ проектъ производитъ впечатлѣніе серіозно продуманнаго труда: за солидность и основательность проекта говоритъ и само имя автора его.

V.

Учебный планъ математики въ средней школѣ, проектированной министромъ П. С. Ванновскимъ.

Общій обзоръ проекта средней школы.

По смерти Н. П. Боголѣпова во главѣ Министерства Народнаго Просвѣщенія становятся люди, никакого отношенія къ педагогическому дѣлу не имѣющіе, и начинается, по истинѣ, скачка съ препятствіями; проектъ К. П. Яновскаго откладывается въ сторону, а издается министромъ П. С. Ванновскимъ въ іюнѣ 1901 г. новый проектъ положенія яко-бы „единой общеобразовательной средней школы“ съ конспектомъ новаго учебнаго плана. И положеніе и учебный планъ интересны только въ томъ отношеніи, что они указываютъ, какъ не слѣдуетъ проводить реформу школы, и, вообще, до какихъ несообразностей можно дойти въ дѣлѣ преобразованія школы, будучи мало знакомымъ съ педагогическимъ дѣломъ1).

По проекту генерала Ванновскаго средняя школа имѣетъ 7 классовъ (съ годичнымъ въ каждомъ изъ нихъ курсомъ); первые три класса школы должны быть общими для всѣхъ учениковъ, а съ IV класса начинается раздѣленіе школы на двѣ вѣтви: одни изучаютъ дополнительный курсъ естествовѣдѣнія и графическія искусства, другіе же, взамѣнъ этихъ пред-

1) Мы останавливаемся на этомъ, можетъ быть, дольше, чѣмъ слѣдуетъ, потому что въ обществѣ установилось мнѣніе, что Н. П. Боголѣповъ ничего не сдѣлалъ, да и не могъ сдѣлать для средней школы, что, если и сдѣлано кое-что въ смыслѣ улучшенія средней школы, то этимъ мы обязаны генералу Ванновскому. Поразительное заблужденіе!...

метовъ, въ тѣ же часы изучаютъ латинскій языкъ. Въ курсъ школы вводится изученіе съ I класса отечественной и всеобщей исторіи, естествовѣдѣнія, обязательное изученіе обоихъ новыхъ языковъ (одинъ съ І-го, а другой съ Ш класса; какой изъ двухъ языковъ—зависитъ отъ усмотрѣнія родителей); затѣмъ вводится отечествовѣдѣніе и законовѣдѣніе. На математику было положено всего 28 уроковъ (по 4 урока въ каждомъ классѣ).

Учебный планъ математики.

Курсъ математики въ проектированной средней школѣ сокращается, и при томъ значительно, по сравненію съ курсомъ классической гимназіи (программы 1890 г.).

По ариѳметикѣ опущено: пропедевтическій курсъ дробей, ученіе о пропорціяхъ, задачи на учетъ векселей, цѣпное правило, правило смѣшенія перваго и второго рода, рѣшеніе задачъ на различныя правила помощью пропорцій; опущенъ и дополнительный курсъ ариѳметики теперешняго VIII класса.

По алгебрѣ, насколько можно судить по краткому плану, опущено: количества съ отрицательными и дробными показателями, извлеченіе кубическихъ корней изъ чиселъ, изслѣдованіе уравненій первой степени съ однимъ и съ двумя неизвѣстными, рѣшеніе неопредѣленныхъ уравненій, непрерывныя дроби.

По геометріи учебный планъ настолько кратокъ, что нельзя сдѣлать по поводу объема этого курса никакого заключенія.

По тригонометріи опущено: простѣйшіе угломѣрные инструменты, приложеніе прямолинейной тригонометріи къ производству различныхъ измѣреній на мѣстности.

Наконецъ, опущено приложеніе алгебры къ геометріи, а также весь повторительный курсъ математики съ необходимыми дополненіями и обобщеніями.

Уже одного этого перечня достаточно, чтобы показать, насколько сокращается курсъ математики по сравненію съ таковымъ въ гимназіи (по плану 1890 г.). Но если принять во вниманіе, что реальныя училища, дающія болѣе солидную математическую подготовку, чѣмъ гимназіи, предположено было преобразовать въ школы общаго типа, то станетъ понятнымъ, какъ сильно должно было бы понизиться въ Россіи математическое среднее образованіе.

Нѣкоторые изъ перечисленныхъ нами отдѣловъ, дѣйствительно, могутъ быть опущены безъ особаго ущерба какъ для математическаго, такъ и для общаго развитія учащихся.

Но является непонятнымъ, почему опущенъ дополнительный курсъ ариѳметики VIIІ класса гимназіи (теорія первоначальныхъ чиселъ, наименьшаго кратнаго числа и общаго наибольшаго дѣлителя, теоремы, относящіяся къ обращенію обыкновенныхъ дробей въ десятичныя-конечныя и періодическія), а также весь повторительный курсъ математики. Вѣдь многіе вопросы, въ силу дидактическихъ требованій, въ низшихъ классахъ излагаются не въ томъ видѣ, въ какомъ долженъ ихъ представлять себѣ юноша, заканчивающій свое среднее образованіе; не подлежитъ сомнѣнію, что курсъ ариѳметики, пройденный въ первыхъ трехъ классахъ, нуждается въ освѣщеніи и въ тѣхъ обобщеніяхъ, какія недоступны, само собою разумѣется, ученику III класса. Вообще, повторительные курсы въ выпускномъ классѣ должны представлять собою одну изъ самыхъ важныхъ работъ: здѣсь, такъ сказать, возводится крыша надъ тѣмъ зданіемъ, которое строилось въ продолженіе нѣсколькихъ лѣтъ; только здѣсь возможно говорить, напр., о построеніи научной системы, о математическихъ опредѣленіяхъ, объ аксіомахъ, о методахъ доказательствъ, о значеніи постулата Евклида, о развитіи идеи числа и т. п., т. е. о тѣхъ вопросахъ, которые только были намѣчены въ предыдущихъ классахъ. Указанная нами заключительная работа, обобщающая данный предметъ,—можно сказать, философская часть каждаго предмета,—не только желательна, не только своевременна—отвѣчаетъ запросамъ учащихся,—но она просто необходима: такія обобщенія являются тѣмъ, что должно оживотворить и собрать въ стройную систему предметъ, излагавшійся въ продолженіе нѣсколькихъ лѣтъ.

Мы также находимъ нецѣлесообразнымъ опускать обобщеніе понятія о степени. Далѣе, никакіе мотивы не могутъ оправдать исключенія изъ курса алгебры статьи, имѣющей первостепенную важность какъ съ практической, такъ и съ теоретической точки зрѣнія,—статьи объ изслѣдованіи уравненій. Немалое значеніе имѣетъ также и опускаемый отдѣлъ о неопредѣленныхъ уравненіяхъ.

Распредѣленіе по классамъ различныхъ отдѣловъ математики крайне нераціонально: по геометріи, напр., ученики почти совсѣмъ не въ состояніи были бы рѣшать задачи на вычисленіе: курсъ геометріи заканчивается въ VI классѣ, а радикальныя уравненія, которыми при рѣшеніи геометрическихъ вопросовъ приходится пользоваться нерѣдко, отнесены къ курсу VII класса; о примѣненіи тригонометріи къ рѣшенію геометрическихъ вопросовъ не можетъ быть и рѣчи (тригонометрія проходится только въ VII классѣ).

Распредѣленіе по классамъ учебнаго матеріала по математикѣ мало согласовано съ распредѣленіемъ курса физики и космографіи.

Изъ всего сказаннаго видно, что пониженіе въ уровнѣ знаній по математикѣ, если бы проектъ генерала Ванновскаго осуществился, произошло бы не только въ силу сокращенія курсовъ и отсутствія дополнительныхъ курсовъ обобщающаго характера, но и вслѣдствіе неудачнаго распредѣленія учебнаго матеріала.

Слѣдуетъ замѣтить, что проектъ П. С. Ванновскаго встрѣтилъ рѣзкій и дѣльный отпоръ со стороны тѣхъ вѣдомствъ и учрежденій, на разсмотрѣніе которыхъ онъ былъ переданъ1). Поэтому, на основаніи собранныхъ матеріаловъ, въ началѣ 1902 г. былъ составленъ новый проектъ „Положеніе о мужскихъ гимназіяхъ и прогимназіяхъ“ въ 89 статьяхъ. Программы же и учебные планы по всѣмъ предметамъ вновь были разработаны В. Я. Гуревичемъ; но эти программы не были опубликованы во всеобщее свѣдѣніе и похоронены въ архивахъ Министерства Народнаго Просвѣщенія2).

1) Особаго вниманія, по своей полнотѣ и убѣдительности, заслуживаетъ отзывъ бывшаго министра финансовъ С. Ю. Витте. „Отзывъ министра финансовъ отъ 6 ноября 1901 г. на проектъ основныхъ положеній устройства общеобразовательной средней школы“. С.-Пб. 1901 (на правахъ рукописи).

2) С. Л. Степановъ. Обозрѣніе проектовъ реформы средней школы. Ж. М. Н. Пр. 1907, № 2, стр. 95 и слѣд.

VI.

Работы, появившіяся по поводу проекта министра П. С. Ванновскаго.

Соображенія, высказанныя собраніемъ преподавателей математики г. Кіева по поводу проекта П. С. Ванновскаго.

Въ связи съ проектомъ министра П. С. Ванновскаго находятся соображенія, высказанныя собраніемъ преподавателей математики г. Кіева (23 октября 1901 г.) подъ предсѣдательствомъ помощника попечителя Учебнаго Округа П. И. Извольскаго, а также заключеніе по этому поводу Попечительскаго Совѣта, происходившаго 31 октября 1901 г.

При обсужденіи предложенной Министерствомъ программы, собраніе кіевскихъ преподавателей не входило въ критику ея, а предложило свою программу, принявъ при этомъ во вниманіе какъ труды подкомиссіи Н. И. Билибина, такъ равно и всѣ отзывы по поводу учебнаго плана П. С. Ванновскаго, присланные преподавателями среднихъ учебныхъ заведеній Кіевскаго Учебнаго Округа.

Въ своей работѣ собраніе преподавателей было очень стѣснено рамками, которыя были поставлены проектомъ, предложеннымъ Министерствомъ, а именно: семилѣтнимъ курсомъ и незначительнымъ количествомъ уроковъ, отводимыхъ для математики. Отсюда и главные недостатки программъ, выработанныхъ собраніемъ кіевскихъ преподавателей въ 1901 г.

Долго останавливаться на этихъ программахъ намъ не придется, такъ какъ онѣ во многомъ совпадаютъ съ программами подкомиссіи Н. И. Билибина.

Ариѳметика. Программа курса ариѳметики въ первыхъ трехъ классахъ представляетъ почти пересказъ программы подкомиссіи Н. И. Билибина съ слѣдующими незначительными измѣненіями:

1) Въ курсъ I класса введенъ пропедевтическій курсъ дробей и, кромѣ того, пользованіе счетами (какъ пособіемъ при прохожденіи нумераціи, а равнымъ образомъ примѣнительно къ сложенію и вычитанію многозначныхъ чиселъ). И ту и другую прибавку можно признать вполнѣ раціональной. 2) Въ курсъ III класса введено повтореніе ариѳметики. Ученіе объ общемъ наибольшемъ дѣлителѣ (курсъ П класса) отнесено къ повторительному курсу выпускного класса. На этотъ курсъ съ необходимыми дополненіями и обобщеніями отводится въ 7 классѣ I урокъ.

Алгебра. Курсъ алгебры также распредѣленъ согласно программѣ Н. И. Билибина съ слѣдующими незначительными отступленіями: 1) Въ курсъ III класса введено рѣшеніе и составленіе простѣйшихъ уравненій первой степени съ однимъ неизвѣстнымъ (какъ пропедевтическій курсъ къ теоріи уравненій, а вмѣстѣ какъ матеріалъ, сообщающій курсу III класса нѣкоторую законченность). 2) Въ курсъ V класса включена а) статья о возвышеніи въ степень одночленовъ и въ квадратъ многочленовъ, б) статья о рѣшеніи уравненій съ квадратными радикалами (въ программѣ Н. И. Билибина отнесена къ курсу VII класса), какъ неизбѣжная при рѣшеніи геометрическихъ задачъ курса этого класса на вычисленіе; в) исключенъ вопросъ о наибольшемъ и наименьшемъ значеніи трехчленовъ второй степени; наконецъ, г) перенесена въ курсъ VI класса статья объ ариѳметической прогрессіи, такъ какъ, при указанныхъ необходимыхъ добавленіяхъ, курсъ V класса является вполнѣ достаточнымъ и безъ ариѳметической прогрессіи, а въ курсѣ VI класса она вмѣстѣ съ кратной прогрессіей составитъ сколько-нибудь цѣльный вопросъ о прогрессіяхъ, какъ частномъ случаѣ рядовъ; д) ученіе о неравенствахъ и неопредѣленныхъ уравненіяхъ вовсе опущено,—но, правда, съ оговоркой, что это дѣлается въ силу крайней необходимости, такъ какъ для алгебры въ VII классѣ отведенъ всего 1 часъ.

Геометрія. Систематическій курсъ геометріи въ IV—VI классахъ также построенъ по программѣ Н. И. Билибина и отличается отъ курса, предлагаемаго подкомиссіей Н. И. Били-

бина, лишь тѣмъ, что, въ видахъ облегченія учащихся, исключены такія статьи, какъ условія равенства и подобія призмъ и пирамидъ, отношеніе поверхностей и объемовъ цилиндровъ и конусовъ.

Кромѣ этого, при обсужденіи курса математики въ III классѣ собраніе остановилось еще на слѣдующихъ соображеніяхъ, высказанныхъ, между прочимъ, авторомъ настоящаго „Обзора“ въ отзывѣ (въ Управленіе Кіевскаго Учебнаго Округа) по поводу учебнаго плана П. С. Ванновскаго. Приведемъ эти соображенія по протоколу засѣданія Попечительскаго Совѣта (состоявшагося 31 октября 1901 г., стр. 15—16).

„Въ проектированной новой школѣ конспектъ учебныхъ плановъ находитъ необходимымъ примѣнять концентры или, вѣрнѣе сказать, предпосылать пропедевтическіе курсы по исторіи, географіи, естествовѣдѣнію, и только геометрія оставлена безъ такового; а, между тѣмъ, пропедевтическій курсъ геометріи представляетъ настоятельную необходимость, и, надо сознаться, хотя не отмѣченъ въ существующихъ программахъ, но на практикѣ существуетъ, будучи вызванъ силою вещей. Дѣло въ томъ, что систематическій курсъ геометріи вначалѣ (1-е полугодіе въ IV классѣ) представляетъ для учениковъ большія трудности, такъ какъ здѣсь впервые имъ приходится оперировать надъ понятіями, которыя или вовсе еще не выработались у нихъ, или существуютъ въ смутной формѣ (геометрическое тѣло, поверхность, линія, уголъ и т. д.); такія понятія вырабатываются не путемъ логическихъ построеній, а путемъ психологическимъ; слѣдовательно, нужно начать съ тѣла физическаго и путемъ послѣдовательнаго отвлеченія довести учащихся до выработки основныхъ геометрическихъ понятій. Такая работа крайне необходима; уроки, потраченные на нее, какъ показываетъ опытъ, съ излишкомъ возмѣщаются впослѣдствіи ясностью пониманія и легкостью усвоенія дальнѣйшаго курса. Но есть еще и другое соображеніе, на которомъ собраніе сочло необходимымъ остановить свое вниманіе. Согласно проекту новой школы, первые три класса ея должны, по возможности, давать болѣе или менѣе законченное низшее образованіе. А развѣ можно утверждать, что курсъ первыхъ 3-хъ классовъ будетъ обнимать собою кругъ свѣдѣній сколько-нибудь законченный, если въ немъ на ряду съ простѣйшимъ понятіемъ о числѣ будетъ отсутствовать понятіе о формѣ тѣлъ физическихъ и представленіе о простѣйшихъ пространственныхъ соотношеніяхъ?“

„На основаніи всѣхъ приведенныхъ соображеній совѣщаніе отмѣтило настоятельную необходимость помѣстить въ III классѣ пропедевтическій курсъ геометріи, хотя бы при одномъ урокѣ во второмъ полугодіи“.

Въ настоящее время вопросъ о приготовительномъ или пропедевтическомъ курсѣ геометріи, по нашему мнѣнію, слѣдовало бы поставить еще болѣе радикально по примѣру западно-европейскихъ педагоговъ1).

Тригонометрія. „Въ виду того, что въ курсѣ физики VI и VII классовъ, а равнымъ образомъ и въ курсѣ космографіи VII класса нерѣдко приходится пользоваться нѣкоторыми свѣдѣніями изъ тригонометріи, совѣщаніе полагаетъ, что прохожденіе этого предмета слѣдуетъ начинать нѣсколько раньше, именно съ VI класса, а не съ VII-го, какъ то предположено въ «Конспектѣ учебнаго плава»; для осуществленія же этого предложенія на практикѣ, а также въ видахъ дидактическихъ требованій совѣщаніе находитъ весьма желательнымъ раздѣлить курсъ тригонометріи... на двѣ части: а) рѣшеніе треугольниковъ и б) ученіе о тригонометрическихъ величинахъ, какъ функціяхъ, и первую изъ этихъ частей помѣстить въ курсѣ математики VI класса“ (для чего необходимо добавить въ этомъ классѣ еще одинъ урокъ по математикѣ), а вторую отнести къ курсу VII класса.

Для VI класса (2 урока во 2-мъ полугодіи) и для VII класса (1 урокъ) принята программа Н. И. Билибина безъ измѣненій.

О раздѣленіи тригонометріи на двѣ части мы высказались уже раньше2).

На этотъ разъ собраніе преподавателей, между прочимъ, по предложенію автора настоящаго „Обзора“, высказалось довольно опредѣленно и настоятельно относительно введенія въ курсъ средней общеобразовательной школы основъ аналитической геометріи. Но этому поводу занесены въ протоколъ совѣщанія слѣдующія соображенія, предварительно высказанныя нами въ отзывѣ (представленномъ въ Управленіе Кіевскаго Учебнаго Округа) по поводу „Конспекта учебныхъ плановъ“.

„Изъ обзора вышеизложеннаго плана преподаванія математики не трудно видѣть, что мы познакомимъ учениковъ нашей средней школы кое съ чѣмъ изъ того, что создали греки въ области геометріи, и главнымъ образомъ (если не считать логариѳмовъ, теоріи соединеній и непрерывныхъ дробей), индусы съ арабами—въ области ариѳметики и алгебры; все же то, что добыто въ области математики, начиная съ XVII-го вѣка и до настоящаго времени, всѣ тѣ методы, которые повели къ величайшимъ откры-

1) См. ниже (въ этой же главѣ), стр. 64, 65.

2) См. выше, стр. 49.

тіямъ въ механикѣ, физикѣ, астрономіи и пр., однимъ словомъ, все то, чѣмъ гордится современная культура, останется совершенно неизвѣстнымъ, покрытымъ пеленою таинственнаго для всякаго, получившаго хотя и высшее, но не спеціально-математическое образованіе. На это могутъ возразить, что всѣ указанные вопросы очень интересны, но спеціальны и по своей трудности мало доступны пониманію ученика средней школы. Но подобныя возраженія опровергаются фактами. Что вопросы эти не узко спеціальные, слѣдуетъ изъ того, что они тѣсно связаны съ выдающимися теченіями философской мысли, съ выдающимися моментами въ исторіи культуры. Что это—вопросы, доступные для учениковъ средней школы, говоритъ опытъ: въ кадетскихъ корпусахъ (при семилѣтнемъ курсѣ) аналитическая геометрія изучается въ VII классѣ и проходится съ неменьшимъ успѣхомъ по сравненію съ геометріей элементарной; на съѣздѣ директоровъ коммерческихъ училищъ въ іюнѣ 1901 г. въ Петербургѣ подкомиссія по математикѣ единогласно высказалась за полезность и возможность введенія въ курсъ коммерческихъ училищъ элементовъ аналитической геометріи двухъ измѣреній (см. Матеріалы по коммерч. образов., вып. І-й. С.-Пб. 1901 г., стр. 73); наконецъ, за границей аналитическая геометрія введена даже въ курсъ строго классическихъ гимназій въ Германіи, не говоря уже о Франціи и Швейцаріи“1).

Обсудивъ эти соображенія, собраніе преподавателей сдѣлало слѣдующее постановленіе.

„Въ виду всего вышеизложеннаго, и принимая во вниманіе, что, напр., методъ координатъ имѣетъ не только общеобразовательное значеніе, но, вмѣстѣ съ тѣмъ, и весьма широкое практическое примѣненіе въ самыхъ разнообразныхъ областяхъ знанія (математика, физика, химія, медицина, статистика, метеорологія и проч.),—совѣщаніе единогласно выражаетъ пожеланіе, чтобы въ курсѣ математики VII класса одинъ изъ 4-хъ отведенныхъ на этотъ предметъ уроковъ былъ предназначенъ на повтореніе геометріи вообще и на ознакомленіе оканчивающихъ курсъ учениковъ хотя бы съ основами аналитической геометріи въ такихъ размѣрахъ, какіе предложены въ программѣ Н. И. Билибина“.

Интересно отмѣтить, что совѣщаніе кіевскихъ преподавателей, состоявшееся въ концѣ 1899 г. почти въ томъ же составѣ, встрѣтило крайне несочувственно аналогичное предложеніе (одного—двухъ преподавателей) о

1) Цитируемъ наши соображенія, равно какъ и постановленіе собранія преподавателей, по протоколу засѣданія Попечительскаго Совѣта, состоявшагося 31 окт. 1901 г., стр. 19 и 20.

введеніи въ курсъ даже восьмилѣтней средней школы элементовъ такъ называемой высшей математики. Очевидно, двухлѣтній періодъ, при живомъ обмѣнѣ мнѣній по поводу реформы средней школы, не прошелъ безслѣдно.

Заключенія Попечительскаго Совѣта Кіевскаго Учебнаго Округа по поводу соображеній, высказанныхъ кіевскими преподавателями.

Попечительскій Совѣтъ Кіевскаго Учебнаго Округа, заслушавъ и обсудивъ вышеприведенныя постановленія, выработанныя совѣщаніемъ преподавателей математики, и соглашаясь съ большею частью высказанныхъ въ нихъ взглядовъ, съ своей стороны сдѣлалъ слѣдующія добавочныя замѣчанія1).

„Признавая крайне желательнымъ введеніе въ курсъ средней школы основъ аналитической геометріи двухъ измѣреній, можно согласиться на нѣкоторое сокращеніе прежней программы, но отнюдь нельзя признать цѣлесообразнымъ исключеніе изъ курса всего неопредѣленнаго анализа. Этотъ отдѣлъ математики имѣетъ весьма важное значеніе для развитія правильнаго и строгаго математическаго мышленія. Если признать программу слишкомъ обширною, то лучше было бы отказаться отъ теоріи соединеній и бинома Ньютона, какъ отъ дисциплинъ, носящихъ менѣе глубокій и скорѣе формальный характеръ.—Что касается до пропедевтическаго курса геометріи, то едва ли въ немъ есть настоятельная необходимость, тѣмъ болѣе, что въ рукахъ неопытныхъ такой курсъ можетъ принести болѣе вреда, чѣмъ пользы. Первоначальныя свѣдѣнія о тѣлахъ, площадяхъ и линіяхъ могутъ быть въ достаточномъ объемѣ изложены преподавателемъ ариѳметики въ курсѣ именованныхъ чиселъ“.

Съ послѣднимъ заключеніемъ (относительно пропедевтическаго курса геометріи),— правда, очень нерѣшительнымъ,—никакъ нельзя согласиться. Здѣсь мы имѣемъ возраженіе не по существу. Неопытный преподаватель иногда можетъ принести болѣе вреда, чѣмъ пользы, обучая, напр., таблицѣ умноженія, но изъ этого вовсе не слѣдуетъ, что знакомство дѣтей съ таблицей умноженія излишне. Мы ничего не имѣемъ противъ того, чтобы вырабатывать у дѣтей различныя геометрическія понятія на урокахъ ариѳметики; но безъ опредѣленныхъ указаній, безъ опредѣленной программы, дѣйствительно, могутъ получаться нежелательные результаты.

Пространственныя соотношенія, съ которыми слѣдуетъ знакомить въ приготовительномъ курсѣ геометріи, принадлежатъ къ простѣйшимъ обыден-

1) Протоколъ засѣданія Попечит. Совѣта Кіевскаго Учебнаго Округа 31 окт. 1901 г , стр 24 и 25.

нымъ понятіямъ; съ ними приходится сталкиваться ребенку на каждомъ шагу (прямая линія, окружность, уголъ, шаръ и т. п.) на ряду съ понятіемъ о числѣ. Такой педагогическій авторитетъ, какъ Дистервегъ, считаетъ, что пропедевтическій курсъ геометріи долженъ быть предметомъ начальнаго обученія на ряду съ ариѳметикой и роднымъ языкомъ1); и дѣйствительно, почти вездѣ въ Зап. Европѣ, при первоначальномъ обученіи, въ томъ или другомъ видѣ знакомятъ съ этимъ предметомъ. Въ среднемъ учебномъ заведеніи этотъ курсъ необходимъ не только потому, что помогаетъ выработкѣ основныхъ геометрическихъ понятій, а также потому, что безъ знанія этого курса не можетъ быть сознательнаго изученія въ младшихъ классахъ географіи, естествовѣдѣнія. Раскройте лучшій изъ учебниковъ по географіи для I класса, и вы сейчасъ же встрѣтитесь съ такими понятіями, какъ окружность, уголъ, шаръ, поперечникъ, поверхность, параллельныя линіи и т. п.2). Ясенъ отсюда выводъ, что выработка основныхъ геометрическихъ понятій и ознакомленіе съ простѣйшими пространственными соотношеніями въ извѣстной системѣ должны начаться еще до поступленія въ I классъ (въ приготовительномъ классѣ) и продолжаться въ 1 и во II классахъ, а быть можетъ—и въ III-мъ. Занятія эти доступны дѣтямъ и представляютъ для нихъ несомнѣнный интересъ; къ тому же, они не потребуютъ много времени: для этого можно пользоваться, по мѣрѣ надобности, уроками ариѳметики въ указанныхъ классахъ.

Наконецъ, что касается тригонометріи, то Попечительскій Совѣтъ высказалъ слѣдующія соображенія.

„Раздѣленіе тригонометріи на два отдѣльныхъ курса—а) рѣшеніе треугольниковъ, б) ученіе о тригонометрическихъ функціяхъ—и не научно и не педагогично. Понятіе о тригонометрическихъ функціяхъ должно предшествовать приложенію этихъ понятій къ рѣшенію треугольниковъ; тогда

1) А. Дистервегъ. Комментарій къ элементарной геометріи. Перѳв. съ нѣм. С.-Пб. 1870, стр. 1, 2.

2) Г. И. Ивановъ. Начальный курсъ географіи. С.-Пб. 1904. На стр. 2 дается понятіе о планѣ и масштабѣ; тамъ же требуется „измѣрить разстояніе отъ какого-нибудь угла (sic!) стола до стѣнъ“. На стр. 7: „Линія, которая находится на границѣ между землей и краями небосклона... имѣетъ форму окружности“. На стр. 47: „Земля—большой шаръ“. На стр. 48: „Поперечникъ его равенъ 12000 в. На стр. 49: „Линія, около которой земля вертится... называется осью ея, а концы земной оси — полюсами“. На стр. 50: „Окружности, которыя идутъ параллельно экватору, наз. параллелями“. На стр. 61: „Ось (земли) все время остается параллельной самой себѣ“. Тамъ же: „параллель, отстоящая на 23-2-° къ сѣверу отъ экватора“.

только тригонометрія получитъ вполнѣ связную и послѣдовательную форму. Поэтому устройство тригонометрическихъ таблицъ и рѣшеніе треугольниковъ слѣдуетъ отнести къ VII классу, а изъ курса этого класса перенести въ VI-й все начало до приведенія формулъ къ виду, удобному для логариѳмированія“.

Но Попечительскій Совѣтъ, очевидно, выпустилъ изъ виду, что, при такомъ распредѣленіи учебнаго матеріала, тригонометріей нельзя будетъ пользоваться ни при рѣшеніи геометрическихъ вопросовъ, ни въ физикѣ, ни въ космографіи. Намъ казалось бы болѣе цѣлесообразнымъ, при семилѣтнемъ курсѣ средней школы, весь курсъ тригонометріи сосредоточить въ УІ классѣ, - другого выхода нѣтъ.

Журнальныя статьи по поводу учебнаго плана математики, проектированнаго министромъ П. С. Ванновскимъ.

Но поводу программы по математикѣ, проектированной Министерствомъ Народнаго Просвѣщенія въ 1901 г., мы имѣемъ двѣ журнальныхъ статьи: одна изъ нихъ, подписанная иниціалами С. П.,—„О программахъ математики“ помѣщена въ № 2 „Пед. Сб." за 1902 г. (стр. 142—153), а другая написана Н. Парфентьевымъ и помѣщена въ № 2 „Русск. Шк.“ за 1902 г. (стр. 223—229) подъ заглавіемъ: „Программы по математикѣ въ средней школѣ будущаго“.

Статья С. П. — „О программахъ математики". Авторъ первой статьи въ своихъ соображеніяхъ исходитъ изъ взгляда, выраженнаго проф. Бугаевымъ, что „математика есть наука о свойствахъ, законахъ и взаимныхъ отношеніяхъ величинъ, разсматриваемыхъ со стороны основной ихъ способности—измѣняемости“.

„Наиболѣе крупное значеніе1),—по словамъ автора,—теорія функцій имѣетъ въ области ученія о протяженіи, съ которымъ очень часто сливается какъ бы въ одну общую науку... Счисленіе безконечно-малыхъ величинъ даетъ новое освѣщеніе всѣмъ математическимъ теоріямъ и формуламъ, начиная съ понятія о числѣ... Содержаніе математики, какъ науки о функціяхъ, опредѣляетъ и ея учебное значеніе. Учебный курсъ математики долженъ дать элементарное и ясное понятіе о функціи, ея измѣняемости и непрерывности“. Авторъ въ подкрѣпленіе своей мысли приводитъ выдержку изъ статьи В. П. Шереметевскаго, который говоритъ: „если вся математика есть въ сущности ученіе о функціяхъ, то ясно, что и элемен-

1) Пед. Сб. 1902 г., № 2, стр. 144 и слѣд.

тарный курсъ долженъ группироваться вокругъ основного понятія о функціональной зависимости,—чѣмъ раньше оно будетъ вызвано и осторожнѣе выращено въ сознаніи учащихся, тѣмъ лучше“.

„При теперешней системѣ,—говоритъ авторъ статьи,—мысль ученика сковывается..., центръ живой работы естественно переносится отъ теоріи къ задачамъ и болѣе всего къ такимъ задачамъ, которыя привлекаютъ учениковъ механической работой вычисленія или искусственной замысловатостью“. Далѣе, авторъ отмѣчаетъ, что „не смотря на то, что такъ называемый курсъ низшей математики одинаково долженъ быть пропитанъ идеей о функціональной зависимости, нигдѣ въ этомъ курсѣ по программамъ и по учебникамъ не сообщается даже понятіе о функціи... Какъ о функціональной зависимости, такъ и о безконечно-малыхъ величинахъ курсы умалчиваютъ, хотя безъ этихъ понятій и трудно обойтись въ теоріи—несоизмѣримыхъ чиселъ, безконечно-убывающей прогрессіи, измѣренія окружности, круга и круглыхъ тѣлъ и другихъ вопросовъ чистой и прикладной математики. Благодаря такому искаженію духа и смысла математической теоріи, многіе вопросы курса сильно страдаютъ въ смыслѣ ясности, простоты и научности (кромѣ перечисленныхъ выше вопросовъ, теорія предѣловъ, логариѳмовъ, тригонометрическихъ функцій, изслѣдованіе уравненій и др.)“.

„Обходя существенные вопросы математическаго анализа, школьныя традиціи,—по мнѣнію автора,—оставляютъ въ курсахъ много излишняго балласта“. Къ балласту авторъ относитъ, между прочимъ, неопредѣленныя уравненія, а также теорію соединеній и биномъ Ньютона.

Сокращеніе въ курсѣ математики дастъ возможность, безъ отягощенія программъ и увеличенія учебнаго времени, ввести слѣдующія статьи: „1) ученіе о производныхъ функціяхъ и начала дифференціальнаго исчисленія, какъ выясняющія непрерывную измѣняемость функцій; 2) теорію maxima и minima, какъ опредѣляющую наибольшія и наименьшія значенія функцій; 3) ученіе о безконечныхъ рядахъ, какъ служащее для выраженій функцій вообще въ видѣ цѣлыхъ функцій и для приближеннаго вычисленія ихъ; 4) начала аналитической геометріи двухъ измѣреній, какъ выясняющія многіе вопросы анализа функцій“.

Въ заключеніе приводится болѣе детальная программа среднеобразовательнаго курса математики, разсчитанная на 7 лѣтъ. Программа приведена лишь для выясненія основныхъ положеній статьи и для указанія на возможность практическаго примѣненія этихъ положеній. Съ этой стороны мы ея, главнымъ образомъ, и коснемся.

I классъ (4 урока). „Здѣсь,—по мнѣнію автора, —очень важно эмпирически (особенно при помощи умственнаго счета) установить измѣняемость суммы, разности, произведенія и част-

наго, а также законы перемѣстительности, сочетательности и распредѣлительности“ (вѣроятно, не прибѣгая при этомъ къ точной формулировкѣ законовъ).

II классъ (4 урока). Обычный курсъ (опущено ученіе о періодическихъ дробяхъ).

III классъ (4 урока). „Въ III классѣ прежде всего надо обосновать и формулировать основныя свойства зависимости и измѣняемости результатовъ 4-хъ ариѳметическихъ дѣйствій и обобщить ихъ на дробныя числа. Формулировку эту слѣдуетъ сопровождать упражненіями на скобки и на опредѣленіе неизвѣстныхъ членовъ ариѳметическихъ формулъ. Отсюда легко перейти къ рѣшенію и составленію числовыхъ уравненій первой степени съ однимъ неизвѣстнымъ (между задачами должны быть и на тройныя правила). Курсъ алгебры III класса долженъ быть пропедевтическимъ по отношенію къ алгебрѣ и обобщающимъ по отношенію къ ариѳметикѣ“.

Первая часть программы III класса указываетъ на то, что она принадлежитъ человѣку недостаточно опытному въ преподаваніи ариѳметики.

IV классъ (4 урока). По алгебрѣ—дѣйствія надъ цѣлыми и дробными алгебраическими выраженіями. По геометріи— обычный курсъ.

V классъ (5 уроковъ). Начало курса посвящается извлеченію квадратныхъ корней, дѣйствіямъ надъ ирраціональными выраженіями и элементарнымъ понятіямъ о функціяхъ, безконечно-малыхъ величинахъ и о теоріи предѣловъ. „Квадратные корни съ приближеніемъ могутъ служить прекрасными примѣрами несоизмѣримыхъ чиселъ... Послѣ элементарнаго обоснованія теоріи предѣловъ на суммѣ, разности и произведеніи безконечно-малыхъ величинъ, можно перейти къ параллельному изученію алгебры и геометріи“. По алгебрѣ: приложеніе теоріи предѣловъ къ дѣйствіямъ надъ несоизмѣримыми числами; рѣшеніе, составленіе и изслѣдованіе уравненій первой и второй степени. По геометріи заканчивается планиметрія (которая въ данномъ случаѣ требуетъ приложенія математическаго анализа— понятія о несоизмѣримости и о безконечно-малыхъ величинахъ).

Странно, что раньше излагаются дѣйствія надъ ирраціональными выраженіями, а послѣ уже надъ несоизмѣримымм числами. Намъ кажется, что статья объ изслѣдованіи уравненій будетъ непосильной для учениковъ V класса.

VI классъ (5 уроковъ). По алгебрѣ: прогрессіи; обобщеніе степени; логариѳмы; понятіе о производныхъ функціяхъ и

дифференцированіе алгебраическихъ и простѣйшихъ трансцендентныхъ функцій; теорія maxima и minima; ученіе о безконечныхъ рядахъ. Параллельно по тригонометріи: гоніометрія и рѣшеніе треугольниковъ.

Можно признать нераціональнымъ, что курсъ геометріи прерывается на цѣлый годъ.

VII классъ (4 урока). „По аналитической геометріи: основныя понятія; прямая и задачи; изслѣдованіе уравненія второй степени съ двумя неизвѣстными и кривыя второго порядка. Параллельно по геометріи: стереометрія и приложеніе къ стереометрическимъ задачамъ приближенныхъ, логариѳмическихъ и тригонометрическихъ вычисленій; эти задачи должны служить не только для повторенія алгебры, геометріи и тригонометріи, но и уяснить вопросъ о приближенныхъ вычисленіяхъ вообще“.

Мы не будемъ болѣе останавливаться на разборѣ программы, предлагаемой г-номъ С. Б. Съ одной стороны, она изложена слишкомъ сжато, а, съ другой стороны, наше отношеніе къ ней ясно изъ тѣхъ замѣчаній, которыя мы сдѣлали по поводу другихъ программъ. Но не смотря на значительные недочеты, присущіе этой программѣ, она не лишена оригинальности и заслуживаетъ серіознаго вниманія: здѣсь мы впервые встрѣчаемъ стремленіе перестроить преподаваніе элементарной математики согласно болѣе жизненнымъ взглядамъ на этотъ вопросъ—составить программу, чуждую рутины. Очень жаль только, что программа приноровлена къ семилѣтнему курсу.

Статья Н. Парфентьева—„Программы по математикѣ въ средней школѣ будущаго“ Авторъ статьи подвергаетъ конспектъ учебнаго плана по математикѣ основательному критическому разбору, исходя изъ той мысли, что „математика имѣетъ не только общеобразовательное значеніе, но есть также великое, мощное орудіе, дающее возможность вырывать тайны у природы и порабощать ее“, и что нужно предоставить большинству возможность владѣть этимъ орудіемъ и понимать его. Онъ краснорѣчиво выступаетъ на защиту неопредѣленныхь уравненій, въ особенности изслѣдованія уравненій; стоитъ за необходимость систематизаціи и обобщенія знаній, за необходимость подведенія итоговъ всему сообщенному школой, словомъ, за повторительные курсы; настаиваетъ на болѣе серіозномъ ознакомленіи учениковъ средней школы съ методомъ предѣловъ, съ ирраціональными числами, какъ съ таковыми, на необходимости рѣшенія задачъ на построеніе и ознакомленія учениковъ съ приложеніемъ алгебры къ геометріи. Наконецъ, Н. Парфен-

тьевъ, подобно автору предыдущей статьи, считаетъ необходимымъ познакомить учениковъ средней школы съ нѣкоторыми основаніями высшей математики и указываетъ minimum тѣхъ свѣдѣній, которыя должны быть сообщены ученикамъ. Прежде всего, необходимо ознакомить учениковъ „съ понятіемъ функція и простѣйшими законами измѣненія и роста Функцій. Это знакомство для нихъ будетъ чрезвычайно плодотворно. Вѣдь, цѣль науки (по мнѣнію проф. Маха)—экономія мышленія; знакомя же учениковъ съ этими понятіями, мы съэкономить и въ формулировкѣ и въ мысли. Тогда для учениковъ будутъ понятны слова: прерывность, непрерывность, зависимое перемѣнное или независимое, перемѣнная величина и т. п., и самыя слова зависимость, законъ будутъ въ ихъ представленіяхъ вырисовываться рельефнѣе.—Разумѣется, ученикамъ необходимо сообщить и основанія аналитической геометріи въ самыхъ общихъ чертахъ, напр., настолько, чтобы система координатъ и ихъ геометрическое значеніе было имъ извѣстно, далѣе, возможность выразить уравненіемъ кривую, коль скоро задано ея характеризующее свойство, затѣмъ обратно — умѣнье строить кривую по ея уравненію и вычерчиваніе эмпирическихъ кривыхъ... Нѣкоторое ознакомленіе съ началами высшей математики необходимо еще и потому, что это уничтожило бы пропасть, совершенно искусственно созданную между высшей и низшей математикой “1).

Высказавъ такіе здравые взгляды на преподаваніе математики въ средней школѣ, Н. Парфентьевъ, къ сожалѣнію, не привелъ своей программы, которая, по всей вѣроятности, представила бы значительный интересъ.

1) Русск. Шк. 1902 г., № 2, стр. 228 и 229.

VII.

Работы по улучшенію программъ математики въ коммерческихъ училищахъ.

Мы подвергли разсмотрѣнію труды Министерства Народнаго Просвѣщенія въ связи съ трудами различныхъ комиссій и совѣщаній, возникавшихъ по иниціативѣ этого послѣдняго. Мы коснулись также мнѣній и заключеній, которыя были высказаны по поводу этихъ работъ. Но въ нашемъ обзорѣ были бы значительные пробѣлы, если бы мы не разсмотрѣли того, что было сдѣлано еще другими лицами и учрежденіями, помимо Министерства Народнаго Просвѣщенія.

Прежде всего, заслуживаютъ вниманія работы по улучшенію преподаванія математики въ коммерческихъ училищахъ. Мы имѣемъ въ виду труды двухъ съѣздовъ директоровъ и представителей попечительныхъ совѣтовъ коммерческихъ училищъ-въ іюнѣ 1901 г. и въ январѣ 1902 г.1).

Въ работахъ обоихъ съѣздовъ принимали участіе почти одни и тѣ же лица, а именно: чины Министерства Финансовъ, члены Учебнаго Комитета, директора коммерческихъ училищъ, учредители училищъ и приглашенныя лица. Предсѣдателемъ комиссіи по математикѣ состоялъ членъ Учебнаго Комитета маститый педагогъ А. Н. Страннолюбскій. Не смотря на то, что коммерческія училища являются учебными заведеніями спеціальными, въ трудахъ комиссіи мы находимъ много цѣнныхъ положеній и указаній

1) Матеріалы по коммерческому образованію. Вып. I. коммерческія училища. Съѣздъ директоровъ и представителей попечительныхъ совѣтовъ въ іюнѣ мѣсяцѣ 1901 г. въ г. С.-Петербургѣ. С.-Пб. 1901. Вып. II. Коммерческія училища. Съѣздъ директоровъ и представит. попечительн. совѣтовъ въ январѣ мѣсяцѣ 1902 г. въ г. С.-Петербургѣ. С.-Пб. 1902.

для лучшей постановки дѣла преподаванія математики и въ общеобразовательной школѣ; этимъ, несомнѣнно, мы обязаны участію въ трудахъ комиссіи такихъ авторитетовъ въ педагогическомъ дѣлѣ, какими являются, кромѣ А. Н. Страннолюбскаго, извѣстный многочисленными работами въ области учебной литературы А. Н. Глаголевъ (скончавшійся въ 1906 г.), выдающійся педагогъ К. К. Мазингъ, проф. К. А. Андреевъ (директоръ Московскаго Александровскаго коммерческаго училища), А. Г. Малининъ (окружной инспекторъ по учебной части).

Второй съѣздъ (1902 г.) являлся какъ бы продолженіемъ перваго, а поэтому мы постараемся дать общій очеркъ того, что выработано на обоихъ съѣздахъ по интересующему насъ вопросу.

Совѣщаніе, обсудивъ докладъ предсѣдателя комиссіи по математикѣ, приняло слѣдующія положенія общаго характера1): „1) не стѣснять педагогическіе комитеты указаніями, гдѣ начинать и гдѣ кончать тѣ или другіе отдѣлы математики2); 2) не обязывать педагогическіе комитеты принятіемъ того или другого числа часовъ, предоставляя имъ обсудить этотъ вопросъ, придерживаясь указанныхъ предѣловъ 24—28 час.; 3) признать желательнымъ изученіе аналитической геометріи3); 4) предоставить ввести преподаваніе политической ариѳметики4) при курсѣ алгебры или отдѣльно“; 5) признать повторительные курсы математики въ старшихъ классахъ излишними5). „Кромѣ того, комиссія единогласно присоединяется также къ пожеланію о скорѣйшей организаціи съѣздовъ преподавателей отдѣльныхъ предметовъ съ тѣмъ, чтобы одной изъ задачъ перваго же съѣзда математиковъ было составленіе примѣрной конспективной программы преподаванія

1) Матеріалы по коммерч. образ. Вып. II; ч. 1-я, стр. 78.

2) Мотивировка этого отчасти приведена въ Вып. II; ч. 1-я, стр. 69.

3) Мотивировка этого приведена въ Вып. II; ч. 1-я, стр. 70.

4) Въ курсъ политической ариѳметики войдетъ теорія сложныхъ процентовъ съ практическими приложеніями, теорія соединеній, а также элементы теоріи вѣроятностей. Терминъ „политическая ариѳметика“ установился въ нѣмецкой учебной литературѣ.

5) Въ защиту этого приведены (вып. II; ч. 1-я, стр. 76) краснорѣчивыя соображенія, для насъ совершенно не убѣдительныя: а) непроизводительная трата времени; б) повтореніе опасно, потому что при первомъ прохожденіи можетъ быть допущена поверхностность и несистематичность (какое недовѣріе къ преподавателямъ; интересно сопоставить это съ п. п. 1-мъ и 2-мъ общихъ положеній); в) существенныя подробности курса сами собою безпрестанно повторяются; г) въ преподаваніи математики цѣненъ въ образовательномъ отношеніи не столько учебный матеріалъ, сколько способъ его разработки; д) сами ученики тяготятся повторительными курсами (прибавимъ отъ себя: потому, что они ведутся неудовлетворительно).

математики въ приготовительныхъ классахъ коммерческихъ училищъ, съ подробной методической мотивировкой такой программы“1).

Придавая громадное, рѣшающее значеніе иниціативѣ учителя, его самодѣятельности, ратуя противъ излишняго стѣсненія свободы преподаванія различными формальными требованіями, тѣмъ не менѣе, мы не можемъ сочувствовать постановленіямъ, выраженнымъ въ пунктѣ 1-мъ и 2-мъ. Мы объясняемъ ихъ недоразумѣніемъ, считаемъ ихъ увлеченіемъ молодого начинанія. Не будемъ уже останавливаться на томъ, что неопытные, начинающіе преподаватели,—а ихъ у насъ много,—могутъ такъ распредѣлить учебный матеріалъ и время преподаванія, что въ заключеніе не въ состояніи будутъ свести концы съ концами; не будемъ особенно настаивать на томъ, что, при такихъ условіяхъ, искусственно создастся крайне неравномѣрная подготовка и математическое развитіе учащихся въ различныхъ коммерческихъ училищахъ, т. е. усилится то ненормальное положеніе дѣла, съ которымъ и безъ того приходится постоянно такъ или иначе бороться. Но мы въ правѣ требовать, чтобы были приняты во вниманіе интересы и практическаго характера, т. е. чтобы ученики одного коммерческаго училища безпрепятственно могли переходить въ другое; вѣдь, въ интересахъ тѣхъ же учащихся, не боясь стѣснить свободы преподаванія, комиссія признала необходимымъ составить конспективныя программы для приготовительнаго класса, съ подробной методической мотивировкой такой программы. Наконецъ, мы просто не видимъ необходимости въ такомъ постановленіи, если только допускать въ случаѣ надобности отступленіе отъ установленной нормы свѣдома педагогическаго комитета.

Также точно нельзя вовсе согласиться съ постановленіемъ относительно повторительныхъ курсовъ математики, и тѣ мотивы, которые приведены въ защиту этого постановленія2), намъ не кажутся убѣдительными, на основаніи соображеній, которыя были приведены по этому поводу нами раньше3).

Что же касается введенія аналитической геометріи въ курсъ средней школы, а также надлежащей постановки преподаванія математики въ приготовительныхъ классахъ, то наши сочувственные взгляды на эти вопросы уже извѣстны читателю4).

Переходя въ частности къ заключеніямъ, высказаннымъ комиссіей относительно программъ по разнымъ отдѣламъ математики, мы не имѣемъ въ

1) Вып. II; ч. 1-я, стр. 79.

2) См. выше, подстр. прим. на стр. 72.

3) См. выше, стр. 57, а также стр. 20.

4) См. выше, стр. 62, 63, а также 53.

виду представить ясную, подробную картину того, что было сдѣлано на обоихъ съѣздахъ; отмѣтимъ только отдѣльныя части программы, которыя по тѣмъ или инымъ соображеніямъ представляются для насъ интересными, опустивъ, по возможности, все, что встрѣчалось уже раньше, при разсмотрѣніи другихъ трудовъ.

Ариѳметика. Указанія, сдѣланныя относительно программы и преподаванія этого предмета, нужно признать вполнѣ цѣлесообразными; но съ ними мы уже встрѣчались раньше, при изложеніи другихъ программъ. Не лишнимъ будетъ отмѣтить только, что комиссія, между прочимъ, признала желательнымъ: „1) Въ ученіи о дробяхъ десятичныхъ выпустить всѣ теоретическія подробности, касающіяся періодическихъ дробей, ограничиваясь лишь объясненіемъ ихъ происхожденія. Вычисленія надъ періодическими дробями производить, какъ надъ конечными десятичными, ограничиваясь заданной степенью точности1). 2) Разнообразные пріемы сокращенныхъ вычисленій, при условіи свободнаго, самодѣятельнаго отысканія ихъ учащимися, практиковать при всякомъ удобномъ случаѣ въ теченіе всего курса ариѳметики, не дѣлая изъ нихъ особаго отдѣла, впадающаго въ рутинный механизмъ. 3) Относительно приближенныхъ вычисленій въ курсѣ ариѳметики сообщить ученикамъ лишь самыя необходимыя элементарныя практическія понятія о нихъ“2).

Алгебра. По сравненію съ программами мужскихъ гимназій мы не находимъ здѣсь упоминанія объ ирраціональныхъ числахъ, изслѣдованіи уравненій и непрерывныхъ дробяхъ. Безъ ущерба для дѣла можетъ быть опущено только ученіе о непрерывныхъ дробяхъ.

По поводу преподаванія алгебры замѣчаній почти не встрѣчается. Отрадно отмѣтить, что въ обязательный курсъ алгебры введено „понятіе о постоянныхъ и перемѣнныхъ величинахъ и о функціональной зависимости“.

Геометрія. Относительно курса геометріи комиссія пришла къ слѣдующимъ положеніямъ: „1) Изъ курса могли бы быть выпущены безъ малѣйшаго ущерба для дѣла, напр., теоремы, относящіяся къ пропорціональнымъ линіямъ вообще, къ подобію многоугольниковъ, къ пропорціональностямъ въ кругѣ, къ подобію многогранниковъ и проч., и такія задачи, какъ раздѣленіе прямой въ среднемъ и крайнемъ отношеніяхъ, опредѣленіе объемовъ болѣе сложныхъ многогранниковъ и проч. 2) Въ видахъ приданія

1) Матеріалы по коммерческому образованію. Вып. I, стр. 68.

2) Тамъ же, стр. 69.

курсу геометріи большей стройности и для распредѣленія геометрическаго матеріала болѣе сообразно основному дидактическому требованію перехода отъ простѣйшаго къ болѣе сложному и отъ конкретнаго къ болѣе абстрактному, было бы желательно, хотя бы въ видѣ опыта, отказаться отъ установившагося порядка дѣленія геометріи на плоскую и геометрію трехъ измѣреній и замѣнить его раздѣленіемъ геометрическаго матеріала по методамъ разработки: а) на теоремы, относящіяся собственно къ геометрическимъ формамъ, въ основѣ доказательства которыхъ лежитъ способъ наложенія; б) на теоремы, относящіяся къ пропорціональности линій, подобію фигуръ и проч., при разсмотрѣніи которыхъ геометрія прибѣгаетъ къ количественнымъ отношеніямъ и пользуется аналитическими соображеніями, и, наконецъ, в) на теоремы и вопросы, для которыхъ необходимо пользоваться методомъ предѣловъ“1). При этомъ „ комиссія разумѣла, что сначала будутъ пройдены, безъ нарушенія общепринятой геометрической системы, теоремы и построенія геометріи двухъ измѣреній (содержащіяся въ ученіи о прямой линіи, прямолинейныхъ фигурахъ и окружности), относящіяся къ первой изъ вышеуказанныхъ группъ, и, затѣмъ (опуская теоремы плоской геометріи, относящіяся ко второй изъ указанныхъ группъ), теоремы геометріи трехъ измѣреній, содержащія ученье о прямой линіи, плоскостяхъ, углахъ двугранныхъ и многогранныхъ и о тѣлахъ. Далѣе, проходятся теоремы, относящіяся ко второй изъ указанныхъ группъ, сначала содержащіяся въ геометріи двухъ измѣреній, а затѣмъ подобныя же теоремы, содержащіяся въ геометріи трехъ измѣреній. Наконецъ, въ такомъ же порядкѣ проходятся теоремы сначала плоской, а потомъ и геометріи трехъ измѣреній, требующія метода предѣловъ2)... 3) Комиссія выразила желаніе, чтобы преподаватели геометріи въ коммерческихъ училищахъ приступили, съ соблюденіемъ, конечно, надлежащей осторожности и безъ ущерба для геометрическаго образованія учащихся, къ болѣе рѣшительнымъ опытамъ отступленія отъ укоренившейся рутины преподаванія геометріи, съ цѣлью выработки болѣе цѣлесообразной системы школьнаго изложенія этого важнѣйшаго по своему образовательному значенію предмета“3).

Но однихъ пожеланій осмотрительности и осторожности при опытахъ въ педагогическомъ дѣлѣ недостаточно: нельзя допустить, чтобы всѣ желающіе безъ особаго разбора и контроля производили опыты; для экспериментовъ нужны такія условія, при которыхъ, между прочимъ, не страдали бы интересы учащихся. Комиссія по математикѣ на второмъ съѣздѣ, оче-

1) Матер. по ком. обр. Вып. I, стр. 71 и 72.

2) Матер. по ком. образ. Вып. II; ч 1-я, стр. 68.

3) Матер. по комерч. образ. Вып. I, стр. 72.

видно, сама пришла къ подобному заключенію. Разсмотрѣвъ опыты въ этомъ смыслѣ Варшавскаго коммерческаго училища, комиссія сдѣлала слѣдующее постановленіе: „Желательно, прежде выполненія курса геометріи по предложенному Варшавскимъ училищемъ новому плану, составить соотвѣтствующій ему, хотя бы краткій, учебникъ геометріи, или, по крайней мѣрѣ, подробный, достаточно мотивированный и объясненный конспектъ курса, изъ которыхъ можно было бы видѣть, сохраняется ли въ курсѣ цѣлостность геометрической системы, нарушеніе которой ни въ какомъ случаѣ не должно быть допущено“1).

Вообще, можно сказать, что предложеніе комиссіи относительно новаго распредѣленія матеріала въ геометріи далеко еще отъ практическаго осуществленія. Нужно имѣть въ виду, что даже въ итальянскихъ школахъ (на которыя ссылается комиссія), гдѣ впервые начали примѣвять подобную систему и гдѣ есть уже соотвѣтствующія руководства (напр., Лаццери и Бассани), вопросъ о предпочтеніи того или другого порядка изложенія согласно программамъ, введеннымъ въ 1900 г., остается открытымъ2).

Тригонометрія. „Комиссія пришла къ заключенію, что, при преподаваніи этого предмета въ коммерческихъ училищахъ, надлежитъ выдвинуть на первый планъ ознакомленіе учащихся собственно съ тригонометрическими функціями съ цѣлью развитія въ ученикахъ необходимыхъ для каждаго образованнаго человѣка понятій о функціональной зависимости, о графическомъ и табличномъ ея изображеніи, о непрерывности и періодичности измѣненія величинъ и проч., не вдаваясь ни въ какія излишнія подробности тригонометрическихъ преобразованій. Что касается собственно тригонометріи (т. е. вычисленія треугольниковъ), то комиссія единодушно признала достаточнымъ дать ученикамъ лишь ясное понятіе о возможности вычисленія треугольниковъ и о значеніи этого пріема въ сравненіи съ графическимъ опредѣленіемъ элементовъ треугольника“3).

Мы думаемъ, что комиссія имѣла въ виду выразить слѣдующую мысль: рѣшать треугольники необходимо, но рѣшеніе ихъ не должно выдвигаться, какъ обыкновенно это дѣлается, на первый планъ. Если это такъ, то нужно отмѣтить, что до такого взгляда на преподаваніе тригонометріи, къ сожалѣнію, рѣдко возвышаются и въ общеобразовательной школѣ.

1) Матер. по ком. образ. Вып. II; ч. 1-я, стр. 77.

2) В. Каганъ. Новыя программы по математикѣ въ среднихъ школахъ Италіи. В. Оп. Ф. и Эл. М. XXV сем., № 7-й (1901 г., № 295).

3) Матер. по коммерч. образ. Вып. I, стр. 73.

Аналитическая геометрія. Комиссія на первомъ съѣздѣ признала желательнымъ ввести аналитическую геометрію въ курсъ коммерческихъ училищъ, а на второмъ съѣздѣ намѣтила въ общихъ чертахъ и содержаніе этого курса1). Въ программу, между прочимъ, включено „общее изслѣдованіе уравненія второй степени“. Едва ли въ объемѣ, намѣченномъ комиссіей, аналитическая геометрія можетъ быть пройдена въ коммерческихъ училищахъ.

На второмъ съѣздѣ былъ затронутъ еще одинъ очень важный вопросъ — вопросъ о приготовительномъ курсѣ геометріи. А. Н. Глаголевъ сдѣлалъ докладъ2) о преподаваніи геометріи въ приготовительномъ классѣ и двухъ младшихъ классахъ ввѣреннаго ему Московскаго училища. „Курсы геометріи каждаго изъ младшихъ классовъ отличаются объемомъ геометрическаго матеріала и характеромъ изложенія. Въ курсѣ приготовительнаго класса ученики убѣждаются въ справедливости большей части геометрическихъ теоремъ непосредственно—измѣреніемъ, справедливость же другихъ подтверждается несложными логическими разсужденіями, основанными какъ на общепринятыхъ аксіомахъ, такъ и на допущеніяхъ въ видѣ аксіомъ простѣйшихъ геометрическихъ истинъ. Въ курсѣ I класса, съ болѣе распространеннымъ геометрическимъ матеріаломъ, встрѣчается меньше допущеній и входитъ большее число теоремъ, строго доказываемыхъ. Таковъ же характеръ и предполагаемаго курса во II классѣ училища... Нѣкоторыми членами комиссіи было выражено опасеніе,—и скажемъ отъ себя, совершенно основательное,—чтобы такимъ предварительнымъ курсомъ не было нанесено ущерба строго систематическому курсу геометріи“3). Наконецъ, комиссія просила г. Глаголева въ будущемъ подѣлиться по этому вопросу результатами своей работы и своихъ дальнѣйшихъ наблюденій.

1) Матер. по коммерч. образ. Вып. II; ч. 1-я, стр. 70. Приведемъ всю программу полностію.

а) Способъ координатъ, б) Уравненія линій, заданныхъ геометрическимъ опредѣленіемъ. Примѣры (прямая линія, кругъ, эллипсисъ, гипербола, парабола и проч.). в) Обратный вопросъ: построеніе и изслѣдованіе формъ линій, заданныхъ уравненіемъ. Примѣры (y=sin X, y=tgx, y=lgx, y=axs и т. п.). г) Изслѣдованіе уравненія: Ах+Ву+С=0. Главнѣйшія задачи на прямую линію, д) Главнѣйшія задачи на окружность, еі Общее изслѣдованіе уравненія второй степени Ax2-HBxy+Cy2+Dx+Ey+F=0, не вдаваясь въ подробности относительно разысканія центровъ, осей, фокусовъ и проч. кривыхъ второго порядка, ж) Графическій и табличный способы заданія функцій. Линіи, опредѣляющія законъ измѣненія цѣлой раціональной алгебраической функціи. Графическое представленіе эмпирическихъ функцій. Графическая интерполяція.

2) Вып. II; ч. 3-я, стр. 185—189.

3) Матер. по ком. обр. Вып. II; ч. 1-я, стр. 74.

Мы увѣрены, что у такихъ опытныхъ педагоговъ, какъ А. Н. Глаголевъ и его ближайшіе сотрудники, даже при несовершенныхъ программахъ могутъ получаться хорошіе успѣхи, а поэтому, чтобы судить о пригодности или непригодности предлагаемой программы, нужны другія болѣе объективныя данныя.

Къ докладу А. Н. Глаголева приложена программа I и D класса, составленная преподавателемъ Московскаго коммерческаго училища А. Ѳ. Гатлихомъ,1) и почему-то вовсе нѣтъ программы приготовительнаго класса, между тѣмъ какъ о курсѣ этого класса упоминается въ самомъ докладѣ.

Программа А. Ѳ. Гатлиха во многомъ напоминаетъ намъ программу „Geometrische Anschauungslehre“ (наглядное обученіе геометріи) герман-

1) Приводимъ полностью эту програму (Вып. II; ч. 3-я, стр. 188, 189).

І-й классъ (2 получасовыхъ урока въ недѣлю).

I. Прямая линія. Вертикальныя и горизонтальныя линіи. Отвѣсъ, ватерпасъ и нивеллиръ. Кривыя линіи. Кругъ (радіусъ, діаметръ, хорда, касательная, сѣкущая). Циркуль. — II. Уголъ. Смежные углы. Прямой уголъ. Перпендикулярныя линіи. Вертикальные углы. Углы тупые и острые. Измѣреніе угловъ. Транспортиръ. — III. Параллельныя линіи. Сѣкущая параллельныхъ. Равенство соотвѣтственныхъ и на - крестъ - лежащихъ угловъ. Способы проведенія параллельныхъ линій.—IV. Треугольникъ. Виды треугольниковъ. Сумма внутреннихъ угловъ треугольника. Свойство сторонъ треугольника.-V. Параллелограммъ. Свойство діагоналей параллелограмма, прямоугольника, ромба и квадрата. Трапеція.—VI. Измѣреніе площадей квадрата, прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеціи и многоугольниковъ (Способы раздѣленія многоугольника на треугольники).—VII. Описаніе куба, прямоугольнаго и прямого параллелепипеда и правильной призмы. Измѣреніе ихъ поверхности и объема.—VIII. Описаніе цилиндра, правильной пирамиды, конуса и шара.

ІІ-й классъ (2 получасовыхъ урока въ недѣлю).

I. Измѣреніе линій и угловъ на мѣстности. Мѣрная цѣпь, астролябія, масштабъ и транспортиръ.—II. Условія параллельности прямыхъ,—III. Равенство прямолинейныхъ фигуръ (способъ наложенія). Условія равенства треугольниковъ.—ІУ. Подобіе треугольниковъ. Приложеніе подобія треугольниковъ къ рѣшенію практическихъ задачъ.—V. Понятіе о правильныхъ многоугольникахъ. Длина окружности.—VI. Теорема Пиѳагора (способомъ построенія квадрата, равновеликаго двумъ равнымъ квадратамъ). Площадь правильнаго многоугольника. Площадь круга.—VII. Прямыя и плоскости въ пространствѣ. Понятіе о двугранныхъ и многогранныхъ углахъ.—Призма и цилиндръ. Пирамида и конусъ. Поверхность и объемъ этихъ тѣлъ. Правильные многогранники. Поверхность и объемъ шара.

скихъ и австрійскихъ школъ, а также „géométrie intuitive“ французскихъ; но нельзя забывать о томъ, какую основательную подготовку, въ смыслѣ развитія первоначальныхъ геометрическихъ понятій, получаютъ обыкновенно тамъ до поступленія въ среднюю школу (см. программы Kindergarten, Vorschule, école maternelle, classe enfantine, école primaire élémentaire и др.), и какъ это дѣло стоитъ у насъ. Исходя изъ этой точки зрѣнія, нужно признать, что программа, предложенная А. Ѳ. Гатлихомъ, и по объему и по расположенію учебнаго матеріала нуждается въ исправленіи, по крайней мѣрѣ, въ настоящее время.

Въ заключеніе, бросая общій взглядъ на труды съѣздовъ, организованныхъ Министерствомъ Финансовъ, мы не замѣчаемъ здѣсь почти ничего такого, съ чѣмъ бы мы не встрѣчались уже въ раньше разсмотрѣнныхъ трудахъ, за исключеніемъ вопроса относительно распредѣленія учебнаго матеріала въ элементарной геометріи; но мы должны, по справедливости, отмѣтить и то, что цѣнныя мысли и указанія сосредоточены здѣсь въ большемъ количествѣ, чѣмъ въ отдѣльныхъ работахъ комиссій и совѣщаній М. Н. Пр., гдѣ ихъ приходилось, по большей части, выискивать. Объясняется это не только участіемъ въ работахъ компетентныхъ лицъ, но также и тѣмъ интересомъ, который возбуждало къ себѣ новое дѣло— дѣло созиданія коммерческихъ училищъ1).

1) Въ настоящее время (въ первой половинѣ 1908 г.) педагогическимъ комитетамъ коммерческихъ училищъ предложено дать заключеніе относительно программъ, вновь выработанныхъ въ Министерствѣ Торговли и Промышленности. На этихъ программахъ, приноровленныхъ къ восьмилѣтнему курсу, лишь въ незначительной степени сказалось вліяніе разсмотрѣнныхъ нами работъ по улучшенію программъ математики въ коммерческихъ училищахъ (между прочимъ, проектируется ввести въ курсъ училищъ аналитическую геометрію).

VIII.

Труды третьяго съѣзда дѣятелей по техническому и профессіональному образованію въ Россіи 1903—1904 г.

Изъ трудовъ третьяго съѣзда дѣятелей по техническому и профессіональному образованію въ Россіи 1903—1904 г. мы разсмотримъ два доклада—Дм. Ройтмана и Н. Завадскаго1).

Докладъ Д. В. Ройтмана.

Во второй секціи съѣзда (среднія и низшія техническія учебныя заведенія) Дм. Ройтманъ, пользующійся въ настоящее время заслуженной извѣстностью, сдѣлалъ докладъ „О возможномъ преобразованіи программъ математики въ среднихъ учебныхъ заведеніяхъ, какъ общеобразовательныхъ, такъ и техническихъ, съ цѣлью придать этому предмету содержаніе, болѣе

1) По поводу этихъ докладовъ въ засѣданіи Кіевскаго Физ.-Мат. Общ. въ маѣ 1906 г. было сдѣлано 3. А. Архимовичемъ интересное сообщеніе „Къ вопросу о постановкѣ математики въ средней школѣ“ (Отчетъ и Протоколы К. Ф.-М. Общ. за 1905-6 г., стр. 14). Результатомъ этого сообщенія было постановленіе собранія заняться подготовленіемъ матеріала, а впослѣдствіи составленіемъ нормальной программы курса математики для средней общеобразовательной школы. Въ 1907 г. такая программа составлена и напечатана въ Циркулярѣ по Кіевск. Уч. Окр. (1907 г., № 5), а также выпущена отдѣльнымъ оттискомъ подъ заглавіемъ „Проектъ учебнаго плана по математикѣ для мужскихъ гимназій“. К. 1907. Мы помѣщаемъ эту программу въ видѣ приложенія къ нашему „Обзору“.

отвѣчающее современнымъ требованіямъ общаго и спеціальнаго образованія“1).

Основныя идеи доклада впослѣдствіи (въ 1906 г.) были болѣе обстоятельно изложены и развиты въ работѣ того же автора „Значеніе математики, какъ науки и какъ общеобразовательнаго предмета“2).

По отношенію къ программѣ математики авторъ приходитъ, между прочимъ, къ слѣдующимъ выводамъ, которые мы изложимъ въ извлеченіи.

1) Вопросъ о концентраціи элементарной программы является вопросомъ крайне важнымъ: „это—вопросъ о повышеніи общеобразовательнаго вліянія математики, о сокращеніи годовъ обученія въ средней школѣ, объ устраненіи нежелательнаго обремененія программъ ненужными подробностями, развившагося подъ вліяніемъ историческихъ условій возникновенія европейской школы“ (изъ положенія 13-го3).

2) „Постигнуть значеніе математики, какъ орудія изслѣдованія явленій, можно, лишь ознакомившись хотя бы съ простѣйшими началами анализа перемѣнныхъ величинъ, составляющаго содержаніе такъ называемой высшей математики, и съ простѣйшими приложеніями этого анализа къ геометріи и механикѣ, для чего геометрія элементарная должна быть дополнена началами аналитической, алгебра же нѣкоторыми началами теоріи высшихъ уравненій и теоріи производныхъ функцій. Такая цѣль опять-таки можетъ быть достигнута лишь при крайнемъ концентрированіи элементарной программы“ (положеніе 7-е). Кромѣ того, могутъ быть введены въ курсъ начала сферической тригонометріи (изъ положенія 10-го). „Только при введеніи въ программы средней школы нѣкоторыхъ элементовъ анализа перемѣнныхъ величинъ уничтожится искусственно-созданная пропасть, отдѣляющая теперь математику средней школы отъ математики высшей“ (изъ 14-го положенія).

3) „Геометрія даетъ въ средней школѣ первую простѣйшую ступень научной индукціи (хоть и далеко не полной) при формулированіи необходимыхъ для систематическаго курса аксіомъ и опредѣленій. Это соображеніе дѣлаетъ необходимымъ введеніе пропедевтическаго курса геометріи (развѣ только это соображеніе?), а систематическій курсъ за-

1) Импер. Русское Технич. Общество. Третій съѣздъ русскихъ дѣятелей по техническому и профессіональному образованію въ Россіи 1903—1904 г. Секція II. Среднія и низшія техническ. учебн. зав. Докладъ Дм. Ройтмана Стр. 1—27.

2) С.-Пб. Изд. М. В. Пирожкова. 1906 г. Отр. 1—56.

3) Положенія къ докладу Дм. Ройтмана „О возможномъ преобразованіи программъ математики въ средней школѣ“. Стр. 1-4. Изд. гектографированное.

ставляетъ начинать съ изученія свойствъ фигуръ, а не съ относительнаго положенія прямыхъ“ (положеніе 2-е). „Удобнѣе всего было бы соединить пропедевтическій курсъ геометріи съ курсомъ рисованія“1).—Неудобство подобнаго соединенія, замѣтимъ отъ себя, для насъ кажется очевиднымъ: прежде всего, преподаютъ рисованіе обыкновенно лица, не обладающія надлежащей математической подготовкой, а кромѣ того, рисованіе должно преслѣдовать иныя цѣли, чѣмъ геометрія.

4) „Въ элементахъ геометріи излишнимъ и значительнымъ балластомъ являются теоремы, необходимыя для рѣшенія сложныхъ задачъ на построеніе. Послѣднія, сами по себѣ, необходимы при евклидовскомъ способѣ изложенія, но не могутъ служить сами себѣ цѣлью. Ихъ количество и выборъ должны сообразоваться съ теоретическимъ содержаніемъ курса, съ развитіемъ научной системы, а не наоборотъ“, (Желательно, чтобы при всякомъ способѣ изложенія количество и выборъ задачъ на построеніе находились въ зависимости отъ теоретическаго содержанія курса, а не наоборотъ). „Точно также задачи относительно опредѣленія поверхностей и объемовъ тѣлъ почти цѣликомъ могутъ быть перенесены въ приложенія анализа, который даетъ для того быстрые и изящные способы рѣшеній. При такомъ способѣ изложенія число теоремъ элементарной геометріи можетъ быть уменьшено вдвое“ (изъ положенія 8-го). Въ самомъ же докладѣ по этому поводу сказано: „содержаніе элементарной геометріи на ?. обусловливается вовсе не общеобразовательными и не практическими цѣлями, но соображеніями совершенно второстепеннаго характера... Если въ планиметріи... считать вершиною курса измѣреніе длины окружности и площади круга, то логически связанную неразрывную цѣпь теоремъ придется свести только къ 70 теоремамъ и задачамъ2). Что же касается стереометріи, то..., перемѣнивъ нѣсколько порядокъ первыхъ теоремъ и ихъ доказательства, можно всю систему, вмѣстѣ съ измѣреніемъ поверхностей и объемовъ, свести къ 35 — 40 теоремамъ и задачамъ... Измѣреніе объемовъ пирамидъ и все, что затѣмъ слѣдуетъ, нужно перенести въ приложенія высшаго анализа къ геометріи3)... Если принять все это въ соображеніе и ограничить задачи элементарной геометріи измѣреніемъ поверхности и объема прямой призмы и цилиндра, то вся стереометрія сведется, самое большое, къ 25 теоремамъ, а весь курсъ элементарной геометріи, самое большое, къ 100, вмѣсто теперешнихъ 250—300“4).

1) Докладъ Дм. Ройтмана, стр. 12.

2) Докладъ, стр. 7.

3) Въ этомъ послѣднемъ случаѣ авторъ доклада ссылается на мнѣніе извѣстнаго математика J. Tannery (Revue pédagogique, 1903, № 7).

4) Докладъ, стр. 10.

5) „Въ алгебрѣ можно, безъ всякаго ущерба для главной цѣли, устранить: крайнее, но несомнѣнно существующее увлеченіе слишкомъ сложными задачами на многочленныя и радикальныя выраженія, примѣры уравненій высшихъ степеней съ искусственными способами рѣшеній, неопредѣленныя уравненія (съ цѣлыми и положительными рѣшеніями), непрерывный дроби, ариѳметическую прогрессію (и пропорцію), теорію соединеній и связанный съ нею способъ вывода бинома Ньютона. Выводъ и обобщеніе послѣдняго, вмѣстѣ съ выводомъ суммы членовъ геометрической прогрессіи, могутъ быть перенесены въ анализъ перемѣнныхъ величинъ, если установить формулу Тэйлора и понятіе о производной по способу Лагранжа“ (положеніе 9-е).

О характерѣ изложенія алгебры въ связи съ анализомъ перемѣнныхъ величинъ можно судить по тѣмъ выдержкамъ, которыя мы сдѣлаемъ изъ доклада.

„Слабыми сторонами обычныхъ курсовъ алгебры, — говоритъ авторъ доклада,—чаще всего являются слѣдующіе пункты. Недостаточно наглядный переходъ отъ ариѳметики къ алгебрѣ, убѣждающій въ необходимости и важности алгебраическаго способа рѣшенія задачъ. Здѣсь не хватаетъ достаточно хорошо придуманныхъ задачъ, и это-скорѣе дѣло преподавателя, чѣмъ программы и учебника. Далѣе, плохое освѣщеніе выгодности и даже просто смысла отрицательныхъ и мнимыхъ рѣшеній“1).—Съ высказанными взглядами вполнѣ можно согласиться, только это уже, дѣйствительно, не дѣло программъ.

„Теорія уравненій въ алгебрѣ (и во всемъ анализѣ) образуетъ основное ученіе, послѣ усвоенія котораго только и возможно достаточно пояснить выгодность алгебраическаго метода. Но такъ какъ рѣшеніе уравненій первой степени вещь очень простая, то практическое ознакомленіе съ нимъ можно ввести значительно раньше, въ самомъ началѣ курса“2).—Противъ этого мало что можно возразить.

Далѣе, авторъ предлагаетъ въ низшихъ классахъ (съ III-го по V кл.), т. е. въ первомъ концентрѣ (онъ разбиваетъ, какъ увидимъ ниже, курсъ математики на 2 концентра) продолжать начатую теорію уравненій д о 4-й степени включительно, при томъ въ направленіи, намѣченномъ Евг. Дюрингомъ3).

„Переходя къ анализу перемѣнныхъ величинъ и ихъ функціямъ, нужно не пожалѣть усилій для выясненія наблюдаемой всюду функці-

1) Докладъ, стр. 16.

2) Тамъ же, стр. 17.

3) Тамъ же, стр. 18, 19.

ональной зависимости величинъ, выбирая матеріалъ изъ области алгебры геометріи, физики и химіи. Результатомъ должно быть выясненіе основного понятія о независимой перемѣнной величинѣ, ея функціи, обратной функціи, функціи явной и неявной, функціи отъ функціи. Необходимость такой новой самой общей точки зрѣнія на величины выяснится сама собою1). Дальше, въ изложеніи началъ высшаго анализа,., придется бороться съ значительными трудностями2). То, что дано Лагранжемъ въ этомъ отношеніи въ теоріи аналитическихъ функцій, по моему мнѣнію,—говоритъ г. Ройтманъ,—наиболѣе пригодно для введенія въ начала анализа. Конечно, точку зрѣнія Лагранжа придется дополнить, и разсмотрѣніемъ способа предѣловъ“,... а также „воспользоваться указаніями, подробно развитыми относительно неограниченномалыхъ и большихъ величинъ Е. Дюрингомъ“3).

Нахожденіе первообразныхъ функцій, а также опредѣленные интегралы въ болѣе или менѣе обстоятельномъ изложеніи должны составлять предметъ изученія средней школы. „Послѣ этого,—говоритъ авторъ доклада, — открывается уже широкое поле для всевозможнаго рода приложеній... Главными будутъ именно: разысканіе наибольшихъ и наименьшихъ значеній функціи, квадратура и спрямленіе кривыхъ (главнымъ образомъ, коническихъ сѣченій), вычисленіе объемовъ и поверхностей (главнымъ образомъ, поверхностей вращенія кривыхъ второго порядка), способъ касательныхъ, проведеніе нормалей, ассимптотъ, соприкасающагося круга и т. д. Сюда же слѣдуетъ отнести и вычисленіе числа я, т. е. отношенія окружности къ діаметру, чтобы избѣжать скучныхъ способовъ элементарной геометріи. Вообще, объемъ приложеній и дальнѣйшее развитіе курса зависитъ уже отъ типа школы. Приведенныхъ выше свѣдѣній вполнѣ достаточно, чтобы научиться правильно примѣнять основные методы новаго вычисленія4). Типомъ школы обусловливается и объемъ еще двухъ необходимыхъ и важныхъ статей—о рѣшеніи дифференціальныхъ уравненій и варіаціонномъ исчисленіи. Простѣйшіе типы уравненій, во всякомъ случаѣ, могутъ и должны найти мѣсто въ программѣ.—То же самое нужно сказать и о начертательной геометріи“5).

6) Кромѣ того, въ докладѣ6) мы встрѣчаемся съ слѣдующими соображеніями относительно преподаванія тригонометріи. „Легко въ изложеніи всего курса обойтись сначала безъ скучнаго (!) и ни на что не

1) Тамъ же, стр. 20

2) Тамъ же, стр. 21.

3) Тамъ же, стр. 22.

4) Тамъ же, стр. 25.

5) Тамъ же, стр. 26.

6) Тамъ же, стр. 11.

нужнаго тригонометрическаго круга, ограничиваясь для треугольниковъ сначала первыми двумя квадрантами; потомъ уже можно сдѣлать полное обобщеніе на всѣ 4 квадранта и всевозможные аргументы“.

Другими словами, здѣсь предлагается, по примѣру французскихъ программъ, разбивать тригонометрію на 2 концентра. Объ этомъ вопросѣ мы уже высказались раньше1) и теперь повторяться не будемъ. Прибавимъ къ этому, что, насколько можно судить по довольно сбивчивымъ соображеніямъ доклада о распредѣленіи учебнаго матеріала по классамъ, курсъ тригонометріи, — по крайней мѣрѣ, его первый концентръ, — пріурочивается къ курсу ІV-го и никакъ не далѣе V класса. Даже при лучшей, чѣмъ въ настоящее время, постановкѣ преподаванія математики, такое предложеніе явится едва ли практически осуществимымъ въ нашей средней школѣ, хотя бы курсъ тригонометріи былъ доведенъ до того объема, какой предлагается авторомъ доклада въ его „Курсѣ элементарной геометріи“2).

7) „Курсъ математики средней школы (начиная съ III кл.) можетъ быть раздѣленъ на два концентра. Одинъ—низшій—имѣетъ предметомъ элементарную геометрію, тригонометрію, начала аналитической геометріи и алгебру до уравненій 4-й степени включительно. Другой—высшій— остальныя части курса. На первый отдѣлъ курса... потребуется не болѣе 3-хъ лѣтъ при 4 урокахъ въ недѣлю и не болѣе при 5 урокахъ. Но для достиженія болѣе удовлетворительныхъ результатовъ слѣдуетъ имѣть 3 года при 5 урокахъ, вначалѣ даже при 6, включая сюда и пропедевтическій курсъ геометріи“. (Очевидно, прибавимъ отъ себя, курсъ этотъ будетъ не на мѣстѣ: онъ долженъ начинаться значительно раньше). „Высшій отдѣлъ курса не долженъ занимать больше двухъ лѣтъ. Что касается подготовительнаго къ этому курса ариѳметики, то онъ можетъ быть пройденъ въ два года“ при 4-хъ, лучше 5 урокахъ. „Такимъ образомъ, по моему,— говоритъ авторъ доклада,—курсъ во всякомъ случаѣ можетъ быть ограниченъ семью годами“3).

1) См. выше, стр. 49, а также 65, 66.

2) Дм. Ройтманъ. Курсъ элементарной геометріи со включеніемъ началъ тригонометріи. М. 1907. Стр. 184—225.

3) Докладъ, стр. 26.—Нѣсколько иначе тотъ же вопросъ излагается въ одномъ изъ положеній къ докладу (въ полож. 12-мъ):

„Остающаяся, при указанномъ сокращеніи, часть элементарной программы (вѣроятно, алгебры?), за исключеніемъ теоріи и практики десятичныхъ логариѳмовъ, представляетъ собою курсъ III, ІV и V классовъ гимназій, при 2 урокахъ въ недѣлю; остающаяся часть геометріи также можетъ быть закончена въ V классѣ, какъ нынѣ вся геометрія заканчивается въ VI-мъ, въ который тогда перенесена будетъ изъ VII-го тригонометрія (также 2 урока)“.

Разбираемый докдадъ написанъ, какъ упоминаетъ самъ авторъ, подъ непосредственнымъ вліяніемъ извѣстнаго математика и философа Евг. Дюринга, талантливаго, но рѣзкаго и крайне субъективнаго критика.

Мы не считаемъ необходимымъ подробно останавливаться на докладѣ г-на Ройтмана, во-первыхъ, потому что онъ представляетъ, главнымъ образомъ, популяризацію идей Е. Дюринга1), а во-вторыхъ, потому что относительно большей части вопросовъ, затронутыхъ въ докладѣ, мы уже высказывали свой взглядъ раньше, при обзорѣ тѣхъ или иныхъ программъ. Такъ, нельзя не выразить горячаго сочувствія стремленію сократить и сконцентрировать математическій матеріалъ, нынѣ предлагаемый для усвоенія ученикамъ средней школы, а также нельзя не привѣтствовать намѣреніе какъ можно раньше внѣдрить въ сознаніе учащихся понятіе о функціональной зависимости величинъ; наконецъ, нельзя не считать вопросомъ первостепенной важности попытку ввести въ курсъ средней школы основы высшаго анализа. Мы всегда отстаивали также необходимость введенія приготовительнаго курса геометріи.

Новымъ, по сравненію съ раньше разсмотрѣнными программами, является для насъ предложеніе примѣнить методы высшаго анализа къ опредѣленію длины окружности и площади круга, къ измѣренію объема

Нужно думать, здѣсь рѣчь идетъ о второмъ концентрѣ тригонометріи. „Въ реальныхъ училищахъ предлагаемая часть курса алгебры вполнѣ заканчивается V классомъ (3 урока); геометрія также можетъ быть закончена въ V-мъ (5 и 4 урока). Согласно практикѣ народныхъ школъ съ трехгодичнымъ курсомъ, основныя задачи курса ариѳметики Ш класса могутъ быть размѣщены по курсамъ I и II классовъ“. (Какъ будто бы для рѣшеніи этихъ задачъ въ I и II классахъ не понадобится особаго времени). „Въ I классъ,—говоритъ г. Ройтманъ,—разумѣется, принимаются дѣти, хорошо знакомыя съ 4-мя дѣйствіями въ предѣлахъ первой сотни“.—Здѣсь, очевидно, какое-то недоразумѣніе.

1) Въ предисловіи къ своей статьѣ „Значеніе математики, какъ науки и какъ общеобразовательнаго предмета“ г. Ройтманъ говоритъ: „Въ основу статьи положены руководящія идеи одного изъ величайшихъ мыслителей Евгенія Дюринга“. Эти идеи нашли выраженіе, между прочимъ, въ сочиненіи: Neue Grundmittel und Erfindungen zur Analysis, Functionsrechnung und zugehörigen Geometrie, sowie Principien zur mathematischen Reform nebst einer Anleitung zum Studiren und Lehren der Mathematik. Von Dr. E. Dühring und Ulrich Dühring Leipzig. 1884. Изъ этой книги переведены Н. Маракуевымъ четыре главы и изданы подъ заглавіемъ: Евгеній Дюрингъ. Мысли о лучшей постановкѣ преподаванія и изученія математики въ средней и высшей школѣ и о самостоятельныхъ штудіяхъ, съ приложеніемъ этюда „Критика основъ дифференціальнаго исчисленія“. Перевелъ съ нѣмецкаго Н. Маракуевъ. М. 1904, Стр XII+198.

пирамиды, а также къ вычисленію поверхностей и объемовъ нѣкоторыхъ тѣлъ вращенія.

Но сконцентрировать учебный матеріалъ такъ, какъ предлагаетъ сдѣлать это г. Ройтманъ, едва ли удастся не только въ ближайшее время, но даже и въ болѣе отдаленномъ будущемъ. Не смотря на увѣренія автора доклада въ возможности подобной реорганизаціи курса математики, мы все-таки сомнѣваемся, чтобы безъ ущерба для дѣла можно было осуществить подобное предложеніе. Въ этомъ сомнѣніи еще болѣе укрѣпляетъ насъ попытка автора реализовать свои идеи въ курсѣ геометріи, изданномъ уже въ 1907 г.1). Здѣсь не мѣсто входить въ разборъ этого курса; отмѣтимъ только, что сконцентрированный курсъ геометріи, если исключить изъ него главу по тригонометріи (41 стр.) и заключеніе (20 стр.), все-же будетъ содержать въ себѣ 308 стр. in 8° (тогда какъ полный курсъ геометріи, напр., А. Киселева съ многими детальными дополненіями имѣетъ всего 288 стр., - правда, при нѣсколько болѣе убористой печати и при нѣсколько большемъ форматѣ). Далѣе, авторъ доклада не нашелъ возможнымъ ввести въ свой курсъ то очень важное нововведеніе, которое онъ горячо и краснорѣчиво рекомендовалъ, а именно - примѣнить методы дифференціальнаго и интегральнаго исчисленія къ разысканію длины окружности, площади круга, объема пирамиды и пр.; всѣ эти вопросы онъ изложилъ обычнымъ путемъ, помѣстивъ ихъ только въ видѣ приложенія. Очевидно, авторъ на практикѣ встрѣтилъ въ этомъ случаѣ непреодолимыя препятствія и „въ виду переходнаго времени,—пока не вошли въ жизнь новые принципы построенія школьныхъ программъ,—счелъ себя вынужденнымъ“2) не давать того, что такъ настоятельно рекомендовалъ и въ своемъ докладѣ, и позже въ статьѣ „Значеніе математики, какъ науки и какъ общеобразовательнаго предмета“.

Наконецъ, нельзя никоимъ образомъ ввести въ курсъ средней школы элементы высшей математики въ томъ объемѣ, какой въ общихъ чертахъ намѣченъ Е. Дюрингомъ и предлагается г. Ройтманомъ. При томъ количествѣ времени, какое отводитъ авторъ доклада для усвоенія предлагаемаго матеріала, имѣя въ виду семилѣтній курсъ средней школы, это явится дѣломъ совершенно неосуществимымъ, не говоря уже о томъ, что переходъ отъ нынѣшней программы къ программѣ, намѣченной г. Ройтманомъ, будетъ скачкомъ, не допустимымъ въ педагогическомъ дѣлѣ. Мы утверждаемъ, что вводить элементы высшей математики въ курсъ общеобразователь-

1) Д м. Ройтманъ. Курсъ элементарной геометріи со включеніемъ началъ тригонометріи, изложенный по измѣненной системѣ и приспособленный для самостоятельнаго изученія. М. 1907. Стр. XXVII+369.

2) Дм. Ройтманъ. Курсъ элемент. геометріи, стр. 21.

ной средней школы въ объемѣ, какой рекомендуется г. Ройтманомъ, было бы въ настоящее время, да и въ ближайшемъ будущемъ, излишней роскошью,—если бы даже такое введеніе было удобоисполнимо. Въ программахъ средней французской школы1), равно какъ въ Меранской программѣ, разработанной подъ руководствомъ такого авторитета, какъ проф. Ф. Клейнъ2), мы видимъ болѣе цѣлесообразные и практически осуществимые взгляды на интересующій насъ вопросъ.

Однимъ словомъ, докладъ Дм. Ройтмана, полный живого интереса, представляя собою популяризацію идей Е. Дюринга, заслуживающихъ всесторонняго изученія, мало приближаетъ насъ къ практическому ихъ осуществленію, а слѣдовательно, мало поможетъ намъ въ вопросѣ о преобразованіи программъ математики въ современной школѣ. Къ такому заключенію приводитъ насъ, между прочимъ, неопредѣленность и сбивчивость предложеній, когда вопросъ идетъ о времени, необходимомъ для усвоенія проектируемаго курса и о распредѣленіи этого курса по классамъ3). Если бы при томъ количествѣ времени, которое съ нѣкоторымъ колебаніемъ намѣчается въ докладѣ, программа и была выполнена,—въ чемъ мы далеко не увѣрены,—то сомнительно, чтобы въ какой-либо общеобразовательной школѣ удѣлили на одну математику по 5 часовъ и даже болѣе въ каждомъ классѣ. Что же касается того, сколько недѣльныхъ уроковъ понадобится для прохожденія въ продолженіе двухъ послѣднихъ лѣтъ второго концентра курса математики, то объ этомъ нѣтъ даже упоминанія. Это и понятно: циклъ намѣченнаго матеріала настолько далекъ отъ его практическаго осуществленія, что нѣтъ возможности намѣтить и время. При всемъ этомъ, не слѣдуетъ забывать, что въ I классъ, по мнѣнію г. Ройтмана, должны поступать дѣти, хорошо знакомыя лишь съ 4-мя дѣйствіями въ предѣлахъ первой сотни, т. е. что поступающіе въ I классъ будутъ почему-то съ меньшей подготовкой, чѣмъ поступающіе въ настоящее время въ приготовительный классъ, отъ которыхъ, кромѣ дѣйствій въ предѣлахъ первой сотни, требуется еще сложеніе и вычитаніе въ предѣлахъ первой тысячи4). Мудрено, чтобы за два года (I и II классы), даже при 5 урокахъ въ недѣлю въ каждомъ

1) Plan detudes et programmes de l’enseignement secondaire 1902—1905.

2) Ан. Билимовичъ. Реформа преподаванія математики въ Германіи. Кіевъ. 1907.

3) См. выше, стр. 85—86.

4) Въ .„Правилахъ объ испытаніяхъ“, утвержд. 1891 г., говорится: „Отъ поступающихъ въ приготовительный классъ требуется умѣть считать до 1000, а также производить сложеніе и вычитаніе въ предѣлахъ до этого числа“ (§ 14). Цирк. по управл. Кіевск. Учебн. Окр. 1891 г, № 4.

классѣ, былъ пройденъ и пропедевтическій, и систематическій курсъ ариѳметики цѣлыхъ чиселъ и дробей въ связи съ рѣшеніемъ задачъ на такъ называемыя тройныя правила.

Докладъ Н. Завадскаго.

Кромѣ доклада Дм. Ройтмана, заслуживаетъ вниманія также и докладъ, сдѣланный на томъ же съѣздѣ Н. Завадскимъ,—„Къ вопросу о реформѣ преподаванія математики“1).

Отмѣтимъ важнѣйшіе изъ выводовъ, къ которымъ приходитъ авторъ доклада.

1) „Слишкомъ продолжительное задерживаніе ума учениковъ въ сферѣ чисто ариѳметическихъ соображеній не столько подготовляетъ ихъ къ воспріятію болѣе общихъ умозаключеній, сколько тормозитъ это дѣло“ (положеніе IV доклада).

2) „Математику полезно преподавать концентрическими курсами, т. е. пройти съ учениками извѣстный законченный районъ, а затѣмъ въ старшихъ классахъ заниматься повтореніемъ, дополненіемъ и всестороннимъ усвоеніемъ курса“ (полож. VII).

3) „Начала дифференціальнаго и интегральнаго исчисленія, аналитическая геометрія и начала начертательной геометріи должны входить въ программу не только среднихъ техническихъ и общеобразовательныхъ школъ, но даже въ программу нѣкоторыхъ низшихъ техническихъ училищъ“ (полож. IX).

4) „Слѣдуетъ избѣгать того, чтобы ученики набивали себѣ руку въ рѣшеніи задачъ, пользуясь извѣстными шаблонами, а потому желательно вывести изъ преподаванія по ариѳметикѣ тройныя правила и рѣшать всѣ (!) задачи при помощи уравненій“ (полож. VI).

5) „Слѣдуетъ знакомить учениковъ съ алгеброй значительно раньше, чѣмъ это дѣлалось до сихъ поръ“ (полож. VIII).

6) „Преподаваніе математики должно итти такимъ образомъ, чтобы крайняя наглядность и даже эмпиризмъ постепенно смѣнялись умозрѣніями все болѣе и болѣе общаго характера“ (полож. X).

7) „Составленіе новой программы математики должно быть работой коллективной“ (изъ полож. XII).

1) Импер. Русское Технич. Общество. Третій съѣздъ русскихъ дѣятелей по технич. и профессіон. образ. въ Россіи 1903—1904 г. Секція II-я. Средн,. и низшія технич. учебн. завед. „Къ вопросу о реформѣ преподаванія математики“. Докладъ Н. Завадскаго. Стр. 1—24.

По мнѣнію Н. Завадскаго, ,,составленіе упомянутыхъ нормальныхъ программъ было бы очень желательно и вполнѣ возможно соединить съ трудомъ по составленію первыхъ, соотвѣтствующихъ новымъ программамъ учебниковъ и задачниковъ по математикѣ... Новыя программы безъ учебниковъ на первыхъ порахъ создали бы очень много затрудненій преподавателямъ и даже можно сказать, что едва ли привели бы къ положительному результату"1).

Мы не можемъ согласиться съ тѣмъ, чтобы всѣ задачи на такъ называемыя тройныя правила слѣдовало рѣшать только при помощи уравненій2); мы думаемъ, что алгебраическій пріемъ рѣшенія не можетъ замѣнить собою ариѳметическаго, что каждый изъ пріемовъ имѣетъ особую цѣль и особую цѣнность съ общеобразовательной, а не практической точки зрѣнія; общеобразовательная же точка зрѣнія здѣсь для насъ обязательна. Кромѣ того, намъ внушаетъ нѣкоторое сомнѣніе и опасеніе вопросъ о наглядности въ преподаваніи математики. Этотъ вопросъ не такъ простъ, какъ, судя по докладу, онъ представляется автору, со взглядами котораго по поводу наглядности едва ли можно согласиться. Въ связи съ этимъ, авторомъ проводится другой взглядъ, противъ котораго можно сказать многое. „При составленіи учебнаго плана всего строя школы,—говоритъ г. Завадскій, — слѣдуетъ имѣть въ виду только вопросъ о матеріальной сторонѣ преподаванія. Если будемъ сообщать учащимся только очевидно нужныя имъ свѣдѣнія и умѣнія, то окажется, что такое сочетаніе предметовъ будетъ какъ нельзя лучше удовлетворять и формальной сторонѣ обученія“3). Односторонность такого взгляда, по крайней мѣрѣ, по отношенію къ общеобразовательной школѣ, очевидна. Есть учащіеся, которые думаютъ, что для нихъ является излишнимъ даже ознакомленіе съ ариѳметическими дробями, а ужъ почти весь курсъ алгебры съ этой точки зрѣнія для многихъ учениковъ представится излишней роскошью.

Соглашаясь во многомъ съ общими положеніями, высказанными г. Завадскимъ въ докладѣ, нельзя того же сказать относительно практическаго примѣненія этихъ взглядовъ. Стоитъ бросить хотя бѣглый взглядъ на излагаемую ниже программу занятій, которую выработалъ авторъ доклада послѣ болѣе десяти лѣтъ практической дѣятельности, чтобы притти къ заключенію о малой пригодности этой программы.

Въ основу обученія математикѣ слѣдуетъ поставить, по мнѣнію докладчика, геометрію, какъ наиболѣе конкретный отдѣлъ математики.

1) Докладъ Н. Завадскаго, стр. 23, 24.

2) О рѣшеніи задачъ на тройныя правила мы высказали свой взглядъ раньше. См. стр. 18—19.

3) Докладъ Н. Завадскаго, стр 5.

„Пропедевтика геометріи“ раздѣляется на три концентра.

Первый концентръ ведется безъ всякаго участія ариѳметики и служитъ, главнымъ образомъ, къ тому, чтобы, съ одной стороны, вызвать основныя понятія, а съ другой—возбудить интересъ къ предмету.

Во второмъ концентрѣ необходимы нѣкоторыя познанія по ариѳметикѣ; онъ служитъ „для образованія понятія объ открываніи свойствъ геометрическихъ формъ и примѣненіяхъ добытыхъ знаній". Способы установленія геометрическихъ теоремъ должны быть исключительно экспериментальными.

Третій концентръ составляетъ переходъ отъ экспериментальнаго метода къ умозрительному и сводится къ краткому курсу планиметріи и стереометріи.

На эти три концентра уходитъ, по словамъ Н. Завадскаго, обыкновенно отъ одного до полутора года1). Но нашему мнѣнію, указанный курсъ геометріи, съ одной стороны, потребуетъ очень много времени, такъ какъ здѣсь выступаетъ на первый планъ работа, главнымъ образомъ, психологическая, а не логическая (въ данномъ случаѣ только такая работа и можетъ принести пользу); съ другой же стороны, долго останавливаться на пропедевтическомъ курсѣ—это значитъ затруднять переходъ къ курсу систематическому, съ чѣмъ соглашается и авторъ доклада (какъ можно заключить изъ положенія IV). Нужна большая осмотрительность и опытность, чтобы при такомъ курсѣ геометріи получить хорошіе результаты.

Пропедевтическій курсъ ариѳметики въ изложеніи, предлагаемомъ г. Завадскимъ, ничего оригинальнаго не представляетъ, и мы на немъ не будемъ останавливаться. Что касается систематическаго курса ариѳметики, то авторъ доклада строго придерживается въ этомъ случаѣ сжато написаннаго учебника „въ видахъ пріученія дѣтей пользоваться книгой, потому что пропедевтика велась безъ всякаго участія книги“.

„Особенность преподаванія началъ ариѳметики состояла въ слѣдующемъ:

a) Ариѳметика изучалась, какъ вспомогательная наука для геометріи, и задачи рѣшались, по преимуществу, изъ области геометріи.

b) Всякая теорема, или такъ называемое правило (sic!), формулировалось послѣ полнаго усвоенія при помощи буквъ и знакоположеній, принятыхъ въ алгебрѣ.

c) Послѣ того, какъ усваивали дѣти сложеніе и вычитаніе, имъ уже давалось понятіе о положительныхъ и отрицательныхъ числахъ.

d) По усвоеніи дѣтьми дѣйствій надъ цѣлыми положительными и отрицательными числами, они знакомились съ уравненіями первой степени

1) Тамъ же, стр. 6, 7.

съ однимъ неизвѣстнымъ съ численными коэффиціентами и рѣшали задачи посредствомъ уравненій. Это велось въ параллель съ двумя концентрами пропедевтики геометріи“1).

Во время прохожденія 3-го концентра геометріи по счисленію проходился дальнѣйшій курсъ алгебры, соотвѣтствующій курсу Ш класса гимназіи; при чемъ этотъ курсъ пополнялся еще выведеніемъ множителя за скобки, рѣшеніемъ уравненій первой степени съ однимъ неизвѣстнымъ съ буквенными коэффиціентами. Кромѣ того, проходилось еще разложеніе чиселъ на первоначальные множители, нахожденіе общаго наименьшаго кратнаго, обыкновенныя и десятичныя дроби.

„Тройное правило, учетъ векселей, цѣпное правило были упразднены. Задачи на проценты, пропорціональное дѣленіе рѣшались при помощи уравненій. Ариѳметическія пропорціи не проходились. Послѣ геометрической пропорціи преподавались геометрическая и ариѳметическая прогрессіи, затѣмъ шло извлеченіе квадратнаго корня изъ чиселъ и квадратныя уравненія“2).

Наконецъ, г. Завадскій приводитъ программу, выработанную имъ въ послѣднее время (въ послѣдніе 3 года) при занятіяхъ съ учениками, прошедшими курсъ начальныхъ училищъ. Курсъ математики разсчитанъ на 4 года. По распредѣленію учебнаго матеріала и характеру изложенія его, этотъ курсъ мало чѣмъ отличается отъ вышеуказаннаго. Здѣсь, кромѣ обычныхъ отдѣловъ математики, введено еще изученіе основъ аналитической геометріи, дифференціальнаго и интегральнаго исчисленія, къ чему можно отнестись только съ большимъ сочувствіемъ3).

1) Тамъ же, стр. 10.

2) Тамъ же, стр. 10.

3) По ариѳметикѣ опущено было: 1) изученіе періодическихъ дробей, 2) изученіе ариѳметической пропорціи и 3) учетъ векселей. По алгебрѣ мы не встрѣчаемъ здѣсь очень многаго и очень важнаго: 1) объ ирраціональныхъ и мнимыхъ числахъ, 2) дѣйствій съ радикалами, 3) геометрической прогрессіи, 4) изслѣдованія уравненій. Опущены также неопредѣленныя уравненія и непрерывныя дроби.—Помѣщаемъ здѣсь программу Н. Завадскаго.

Курсъ I класса. По исчисленію (терминъ автора) входитъ: повтореніе 4-хъ ариѳметическихъ дѣйствій въ связи съ пріученіемъ къ употребленію алгебраическихъ знакоположеній. Далѣе, курсъ алгебры, заканчивая умноженіемъ. - Послѣ этого: Численныя уравненія первой степени съ однимъ неизвѣстнымъ. Упражненія въ рѣшеніи задачъ при помощи уравненій.—Главнѣйшіе признаки дѣлимости. Разложеніе чиселъ на первоначальные множители. Общее наименьшее кратное. Простыя дроби и дѣйствія надъ ними.— Дѣленіе одночлена на одночленъ и многочлена на одночленъ.—

Предложенная программа занятій въ нѣкоторыхъ отношеніяхъ напоминаетъ намъ нынѣшнія программы французскихъ школъ (программы 1902—1905 г.); только въ программѣ Н. Завадскаго еще въ большей степени сказываются недостатки, присущіе этимъ послѣднимъ: та же пестрота и несистематичность матеріала; то же обиліе его, а слѣдовательно, неизбѣжно связанное съ этимъ поверхностное усвоеніе учебнаго матеріала; наконецъ, практическій характеръ прохожденія курса, а вмѣстѣ съ этимъ, необоснованность многихъ положеній. Однимъ словомъ, мы имѣемъ здѣсь не то, что нужно для серіозной общеобразовательной школы, гдѣ математика являлась бы дисциплиной, всесторонне, гармонически развивающей духовныя силы учащагося.

Авторъ доклада, желая убѣдить въ правильности практическаго пути, имъ избраннаго, прибѣгаетъ къ рискованной аргументаціи. Онъ увѣряетъ,

Выведеніе множителей за скобки. Рѣшеніе уравненій первой степени съ буквенными коэффиціентами.—Десятичныя дроби.

Курсъ II класса. По исчисленію: Извлеченіе квадратнаго корня изъ чиселъ. Квадратныя уравненія. Геометрическая пропорція. Ариѳметическая прогрессія. Рѣшеніе уравненій съ двумя и нѣсколькими неизвѣстными.—Понятіе о функціи.—Ознакомленіе съ прямоугольными осями координатъ. Построеніе точекъ, даваемыхъ уравненіями ах+Ьу+с-=0, х2+у2=г2, + -р- = 1 и нѣкот. др. — Задачи на проценты, правило смѣшенія и товарищества.— По геометріи: Планиметрія приблизительно въ объемѣ гимназическаго курса.

Курсъ III класса. По исчисленію: Ознакомленіе съ логариѳмами. Теорія соединеній; биномъ Ньютона.—Основы дифференціальнаго исчисленія. Дифференцированіе тригонометрическихъ функцій прямыхъ и обратныхъ. Дифференцированіе функцій: lgx, lx, ах, ех. Теорема Ролля. Формулы Лагранжа, Тэйлора и Маклорена. Разложеніе функцій по строкѣ Маклорена.—По геометріи: Стереометрія. Два концентра тригонометріи. Пропедевтика аналитической геометріи (прямая линія).

Курсъ ІV класса. По исчисленію: Понятіе о частныхъ производныхъ. Maximum и minimum функцій отъ нѣсколькихъ аргументовъ. Понятіе объ интегрированіи функцій. Квадратура площадей и опредѣленный интегралъ. Понятіе объ интегрированіи черезъ подстановку и по частямъ. По геометріи: Аналитическая геометрія на плоскости. Приложеніе дифференціальнаго и интегральнаго исчисленія къ геометріи. Квадратура и спрямленіе кривыхъ.

Число уроковъ въ недѣлю, необходимыхъ для прохожденія этого курса, не указано.

что у него получались „результаты болѣе чѣмъ удовлетворительные“, что это было засвидѣтельствовано особой комиссіей, образованной Обществомъ естествоиспытателей при Новороссійскомъ Университетѣ1), что отзывы начальства и компетентныхъ лицъ (профессоровъ и преподавателей) подтверждаютъ то же самое2). Но онъ забываетъ прежде всего, что нѣтъ болѣе шаткой и неудобной аргументаціи, какъ ссылка на результаты собственной работы,—вѣдь субъективизмъ можетъ играть здѣсь большую роль; мы знаемъ, что приверженцы той или другой идеи лично могутъ достигать блестящихъ результатовъ, и что тотъ же самый путь для другихъ можетъ оказаться гибельнымъ; наконецъ, всѣмъ извѣстна неопровержимая истина, что хорошій преподаватель при неудовлетворительныхъ программахъ можетъ добиться прекрасныхъ результатовъ. Намъ кажется, что въ данномъ случаѣ мы имѣемъ именно одно изъ подтвержденій этого неопровержимаго положенія.

Въ заключеніе, мы должны сказать, что хотя программы, предложенныя на третьемъ съѣздѣ дѣятелей по техническому и профессіональному образованію не могутъ имѣть непосредственнаго практическаго примѣненія, но идеи, положенныя въ основаніе ихъ, далеко оставляютъ за собою все то, что носитъ на себѣ отпечатокъ, такъ сказать, оффиціальнаго творчества; справедливость требуетъ сказать, что въ этихъ программахъ чувствуется больше жизни, больше стремленія къ чему-то новому, оригинальному.

1) Тамъ же, стр. 6

2) Тамъ же, стр. 15.

IX.

Попытки улучшить программу математики въ кадетскихъ корпусахъ.

Хотя кадетскіе корпуса представляютъ собою спеціальныя учебныя заведенія, но мы намѣрены бросить взглядъ и на то, что было сдѣлано для улучшенія программъ математики въ этихъ учебныхъ заведеніяхъ въ періодъ 1899 — 1907 г. г. Мы считаемъ это умѣстнымъ, во-первыхъ, потому, что курсъ математики въ кадетскихъ корпусахъ имѣетъ общеобразовательный характеръ, а во-вторыхъ, потому, что программы даже узко спеціальныхъ учебныхъ заведеній могутъ дать многое для усовершенствованія программъ общеобразовательной школы.

Въ кадетскихъ корпусахъ въ настоящее время дѣйствуетъ общая программа и инструкція для преподаванія учебныхъ предметовъ, утвержденная въ маѣ 1898 г. Уже вскорѣ послѣ введенія этой программы, въ Главномъ Управленіи военно-учебныхъ заведеній возникъ вопросъ объ улучшеніи ея. Результатомъ работъ въ этомъ смыслѣ былъ проектъ программы и инструкціи для производства опыта преподаванія математики въ трехъ кадетскихъ корпусахъ (1-мъ, Псковскомъ и Донскомъ) съ начала 1903— 1904 уч. г.1). Въ данномъ случаѣ мы имѣемъ намѣреніе разсмотрѣть этотъ послѣдній проектъ. Мы не будемъ подвергать его обстоятельному критическому разбору, не будемъ касаться вопроса, насколько предлагаемая программа отвѣчаетъ своему назначенію: это не входитъ въ нашу задачу,—

1) Проектъ общей программы и инструкціи для производства опыта преподаванія учебныхъ предметовъ въ 1-мъ, Псковскомъ и Донскомъ Императора Александра III кадетскихъ корпусахъ, съ начала 1903-1904 уч. г. Математика. Стр. 1—73.

мы имѣемъ въ виду, главнымъ образомъ, программы общеобразовательной школы; кромѣ того, проектъ, подлежащій нашему разсмотрѣнію, былъ подвергнутъ обстоятельному разбору въ засѣданіяхъ Кіевскаго Физико-Математическаго Общества въ 1903 и въ 1904 г.1). Мы же остановимъ наше вниманіе только на тѣхъ вопросахъ и указаніяхъ въ проектѣ, которые могутъ дать матеріалъ для выработки нормальной программы математики въ общеобразовательной школѣ.

Прежде всего нужно отмѣтить, что проектъ программы и инструкціи отличается необычайнымъ многословіемъ, мало присущимъ математическому изложенію: здѣсь мы находимъ введеніе, объяснительныя записки, довольно обстоятельныя программы по каждому предмету, а по алгебрѣ даже программы двухъ родовъ—систематическія (лит. А) и методическія (лит. Б).

Изъ общихъ положеній укажемъ слѣдующія требованія инструкціи:

1) „Примѣры, освѣщающіе данный математическій вопросъ, надобно брать изъ разныхъ отдѣловъ курса математики, совершенно независимо отъ того, какому ея отдѣлу слѣдуетъ посвятить тотъ или иной урокъ по расписанію2). 2) Въ старшихъ, а отчасти и въ среднихъ классахъ, нѣкоторыя части учебника могутъ быть предлагаемы ученикамъ для самостоятельнаго изученія3). 3) При удовлетворительной постановкѣ обученія, такъ называемое повтореніе всего курса не цѣлесообразно“4).

Съ этимъ послѣднимъ положеніемъ согласиться нельзя5); тѣмъ болѣе, что въ объяснительной запискѣ по алгебрѣ мы находимъ довольно основательныя соображенія въ защиту повторительныхъ курсовъ. „ Въ VII классѣ,— читаемъ въ запискѣ,—должны быть построже обоснованы наиболѣе существенныя части предшествующаго курса алгебры по учебнику предыдущихъ классовъ, при чемъ слѣдуетъ обращать вниманіе учениковъ на тонкости и главнѣйшія трудности той или другой статьи. Учитель имѣетъ возможность дѣлать при этомъ нѣкоторыя разъясненія, которыя почему-либо признавались неумѣстными при первоначальномъ прохожденіи курса, въ виду недостаточнаго математическаго развитія учениковъ, или которыя почему-либо не усвоены учениками“6).

1) Сообщенія: а) И. И. Зехова „По поводу новыхъ программъ по ариѳметикѣ въ кадетскихъ корпусахъ“ и б) А. П. Зонненштраля „По поводу новыхъ программъ по алгебрѣ въ кадетскихъ корпусахъ“ (Отчетъ и Протоколы Физ.-Матем. Общ. при Унив. св. Владиміра за 1903 г.); в) Проф. Г. К. Суслова „По поводу новыхъ программъ по тригонометріи въ кадетскихъ корпусахъ“ (Отч. и Прот. за 1904 годъ).

2) Проектъ программы и инструкціи, стр. 3.

3) Тамъ же, стр. 5.

4) Тамъ же, стр. 6.

5) Соображенія по сему поводу см. выше, стр.57 и 20.

6) Проектъ программы и инструкціи, стр. 16.

Обратимся, въ частности, къ отдѣльнымъ предметамъ.

Ариѳметика. Пріемныя требованія отъ поступающихъ въ I классъ обычныя: въ программѣ нѣтъ указаній ни относительно ознакомленія съ пріемами непосредственнаго измѣренія и съ употребительными единицами мѣръ, ни о приготовительномъ курсѣ дробей, ни о приготовительномъ курсѣ геометріи.

1 классъ (4 урока) и II классъ (4 урока). Обычный курсъ съ нѣкоторыми улучшеніями, какія можно считать теперь общепризнанными. Отмѣтимъ, что въ курсѣ I класса считаются неумѣстными дѣйствія надъ именованными числами, выраженными въ квадратныхъ и кубическихъ единицахъ мѣры. Этотъ отдѣлъ переносится въ приготовительный курсъ геометріи III класса.

III классъ (2 урока). Опущено ученіе о пропорціяхъ. Задачи на пропорціональное дѣленіе и на смѣшеніе въ ариѳметикѣ не разсматриваются: онѣ рѣшаются при помощи уравненій.

По этому поводу мы уже высказывали свой взглядъ1).

Намъ кажется страннымъ, что метрическая система мѣръ отнесена къ вопросамъ, которые могутъ быть выпущены по усмотрѣнію преподавателя.

Дополнительнаго и повторительнаго курса ариѳметики въ старшихъ классахъ вовсе нѣтъ.

Алгебра. Здѣсь обращается серіозное вниманіе на курсъ приготовительный, которому посвящаются занятія въ IIІ классѣ; а начиная съ IV класса, вводится курсъ систематическій2).

III классъ (1 урокъ въ недѣлю во 2-мъ полугодіи). Предварительныя упражненія, служащія для перехода отъ ариѳметики къ алгебрѣ.—Обстоятельная программа является вполнѣ раціональной.

IV классъ (2 урока въ 1-мъ полугодіи и В во 2-мъ). 4 дѣйствія надъ цѣлыми и дробными алгебраическими количествами въ связи съ рѣшеніемъ уравненій первой степени и неравенствъ первой степени. Геометрическія пропорціи. Рѣшеніе задачъ на пропорціональное дѣленіе и правило смѣшенія второго рода.

V классъ (2 урока). Уравненія со многими неизвѣстными. Степени и корни второй степени. Извлеченіе квадратнаго корня изъ чиселъ. Понятіе объ ирраціональномъ числѣ. Дѣйствія надъ радикалами второй степени. Квадратныя уравненія. Рѣшеніе

1) См. выше, стр. 90, а также 18—19, и ниже, стр. 106.

2) Программа алгебры (систематическая) приведена въ извлеченіи.

простѣйшихъ уравненій, приводимыхъ къ квадратнымъ. Рѣшеніе уравненій съ радикалами второй степени.

VI классъ (2 урока). Возвышеніе одночлена въ степень и извлеченіе корней высшихъ степеней изъ одночленовъ. Дѣйствія надъ радикалами. Символы + оо, — оо и -^-. Количества съ условными показателями. Обыкновенные логариѳмы. Прогрессіи. Безконечныя десятичныя дроби и ихъ обращеніе въ обыкновенныя.

VII классъ (2 урока), а) Перемѣнныя величины и предѣлы. Ирраціональныя числа. Непрерывныя дроби. Неопредѣленныя уравненія, б) Обоснованіе наиболѣе существенныхъ частей предшествующаго курса алгебры по учебнику (напр., ученіе о равносильности уравненій, приложеніе алгебры къ геометріи, рѣшеніе показательныхъ уравненій, понятіе о функціи и т. п.).

„Отдѣльныя статьи объ изслѣдованіи уравненій изъ курса алгебры исключены; но всякій разъ, когда рѣшается задача съ буквенными данными, ограниченія, которыя необходимы для рѣшенія полученнаго уравненія, должны выставляться на видъ, и окончательное рѣшеніе въ общемъ видѣ должно быть тщательно изслѣдовано“1).

При настоятельномъ и умѣломъ проведеніи этого взгляда черезъ весь курсъ, быть можетъ, получатся болѣе плодотворные результаты, чѣмъ при обычномъ изложеніи; но, во-первыхъ, слѣдуетъ опасаться, что указанія объяснительной записки останутся въ области благихъ пожеланій, а во-вторыхъ, это не исключаетъ необходимости въ концѣ концовъ подвести итоги, исходя изъ рѣшенія уравненія въ общемъ видѣ.

Изложенная нами въ извлеченіи „систематическая“ программа по объему и расположенію учебнаго матеріала мало чѣмъ отличается отъ обычныхъ программъ, а посему не нуждается въ особыхъ замѣчаніяхъ, кромѣ тѣхъ, какія были уже сдѣланы нами. Можно отмѣтить только, что такія понятія, которыя по современнымъ взглядамъ на преподаваніе математики должны проходить черезъ весь курсъ и возможно раньше быть введенными въ сознаніе учениковъ, какъ понятія о перемѣнныхъ и постоянныхъ величинахъ и о функціональной зависимости, отодвигаются на конецъ курса, а слѣдовательно, теряютъ свое важное значеніе въ отношеніи математическаго развитія учащихся.

Кромѣ систематической программы по курсу алгебры, приложена еще обстоятельная „методическая“ программа. Хотя эта программа

1) Проектъ программы и инстр., стр. 16

можетъ вызвать много возраженій и замѣчаній, но мы, въ силу соображеній, указанныхъ нами раньше, не будемъ останавливаться на полномъ разборѣ ея; отмѣтимъ только нѣкоторыя стороны, характеризующія ее.

Исходя изъ того положенія, что „въ курсѣ алгебры всякое новое представленіе, всякое новое понятіе и всякая новая точка зрѣнія должны вытекать изъ цѣлесообразныхъ задачъ и вопросовъ“, программа предлагаетъ, прежде чѣмъ приступить къ выводу правила для производства дѣйствія надъ алгебраическими количествами, въ каждомъ отдѣльномъ случаѣ составить, изъ условія напередъ подобранной задачи, такое уравненіе, чтобы рѣшеніе его приводило къ этому дѣйствію; такъ, напр., прежде чѣмъ выводить правило вычитанія многочленовъ, требуется составить уравненіе вида (ах+Ь)—(cx+d)= f1). Очевидно, каждый разъ, составивши уравненіе, приходится откладывать его въ сторону, приступать раньше къ выводу или установленію правила дѣйствія, а затѣмъ уже вновь браться за рѣшеніе прерванной задачи и то въ исключительныхъ случаяхъ, такъ какъ, вообще, рѣшеніе такихъ уравненій невозможно до обобщенія дѣйствій; составленіе же уравненій безъ рѣшенія ихъ совершенно нецѣлесообразно. Подобное требованіе проводится педантично во всѣхъ случаяхъ, даже при извлеченіи квадратнаго корня2). Искусственность, однообразіе и монотонность такого изложенія очевидна; излишняя растянутость курса и скука являются обычными спутницами при такомъ яко бы наглядномъ обученіи.

Кромѣ того, мы держимся того взгляда, что не слѣдуетъ навязывать преподавателю детальныя программы въ методическомъ отношеніи: для опытныхъ преподавателей онѣ не нужны, а для начинающихъ существенной пользы принесть не могутъ по своей краткости. Правда, нужно помнить, что эта программа предложена только для производства опыта преподаванія и, при томъ, лишь въ трехъ кадетскихъ корпусахъ, и что въ объяснительной запискѣ сказано: „точное выполненіе этой послѣдней программы для преподавателей необязательно; но желательно, чтобы заключающимися въ ней указаніями они пользовались возможно полнѣе3). Нельзя, наконецъ, умолчать, что такой существенный вопросъ, какъ вопросъ объ эквивалентности уравненій, въ программахъ игнорируется, а въ объяснительной запискѣ упоминается только вскользь.

1) Проектъ прогр. и инстр., стр. 45.

2) Встрѣчается въ программѣ, напр., и такой куріозъ (стр. 46): „Составленіе изъ условій задачи и рѣшеніе уравненій вида (ax+b)(cx+d)=f, гдѣ f=mx2+nx+p и гдѣ числа подобраны такъ, чтобы послѣ преобразованія получилось уравненіе первой степени“. Очевидно, это понадобилось для иллюстраціи умноженія многочлена на многочленъ въ IV классѣ.

3) Проектъ прогр. и инстр., стр. 14.

Рѣзко отрицательно отнеслось къ разсмотрѣнной нами программѣ по алгебрѣ Кіевское Физ.-Математическое Общество, давшее характеристику этой программы въ одномъ изъ пунктовъ общихъ положеній, принятыхъ послѣ разбора программы1).

Геометрія. Программа имѣетъ въ виду два курса: приготовительный (въ III классѣ) и систематическій (въ ІV—VII кл.). „Въ основу приготовительнаго курса геометріи долженъ быть положенъ послѣдовательный рядъ цѣлесообразныхъ задачъ изъ области первоначальнаго геометрическаго черченія. Въ курсъ этотъ не входятъ доказательства болѣе или менѣе очевидныхъ истинъ, лежащихъ въ основѣ планиметріи“2).

III классъ (2 урока въ 1-мъ и 1 урокъ во 2-мъ полугодіи). Приготовительный курсъ геометріи3). I. Прямая линія. А. Употребленіе линейки. Б. Употребленіе циркуля, мѣрительная лента и линейка съ нанесенными на нее единицами мѣры.— II. Центральные углы и дуги. А. Проведеніе угловъ. Б. Дѣйствія надъ углами. Симметрія относительно прямой.—III. Треугольники.—ІV. Параллельныя линіи. Параллелограммы. - У. Площади. — VI. Объемы прямоугольныхъ параллелепипедовъ. — VII. Подобіе фигуръ. Центръ подобія.—VIII. Правильные многоугольники и прямыя въ кругѣ.

Программа приготовительнаго курса изложена въ проектѣ болѣе, чѣмъ на 11 страницахъ; кромѣ того, объяснительная записка къ ней занимаетъ около 3 страницъ. Составлена программа извѣстнымъ педагогомъ С. И. Шохоръ-Троцкимъ: на это есть указаніе въ книгѣ его „Геометрія на задачахъ“4).

1) „Отсутствіе научной системы въ разбираемой программѣ, игнорированіе ею основныхъ положеній алгебры и, на ряду съ этимъ, погоня за несущественными мелочами, небрежность терминологіи заставляютъ признать примѣненіе этой программы нежелательнымъ и могущимъ внести полную смуту въ умы какъ учениковъ, такъ и начинающихъ педагоговъ“. Отчетъ и Протоколы Физ.-Матем. Общ. при Унив. св. Владиміра за 1903 г., стр. 19.

2) Проектъ прогр. и инстр., стр. 18.

3) Приводимъ программу этого курса въ самыхъ общихъ чертахъ.

4) С. И. Шохоръ-Троцкій. „Геометрія на задачахъ. Книга для учителей: а) начальныхъ школъ съ продолжительнымъ курсомъ; б) низшихь и среднихъ классовъ средне-учебныхъ заведеній; в) профессіональныхъ школъ и курсовъ и т. п. (400 политип. въ текстѣ). Курсъ основанъ на методическихъ упражненіяхъ въ геометрическомъ черченіи.—Доказательства теоремъ вводятся по мѣрѣ возникновенія потребности въ нихъ у учащихся“. М. 1908. Стр. XII.—Относительно того, принималъ ли С. И. Шохоръ-Троцкій участіе въ составленіи программъ по остальнымъ отдѣламъ математики, прямыхъ указаній мы не имѣемъ.

Чтобы имѣть болѣе ясное представленіе о проектируемомъ курсѣ геометріи, слѣдуетъ обратиться къ книгѣ С. И. Шохоръ-Троцкаго. Для характеристики этого почтеннаго труда достаточно отмѣтить, что въ „Геометріи на задачахъ“ — книгѣ, предназначенной для учителей и заключающей въ себѣ, главнымъ образомъ, содержаніе тѣхъ упражненій, которыя ученики должны проработать подъ непосредственнымъ руководствомъ учителя, мы видимъ ХХVI+428 страницъ; при чемъ для усвоенія приготовительнаго курса предлагается ученикамъ передѣлать болѣе 1200 упражненій—подъ руководствомъ учителя и самостоятельно; изъ нихъ въ книгѣ для учителей помѣщено только около 450 упражненій, остальныя же будутъ изложены, очевидно, въ книгѣ для учениковъ1). Кромѣ того, въ книгѣ для учителей помѣщено еще до 240 упражненій дополнительныхъ, такъ что для усвоенія приготовительнаго курса геометріи намѣчено болѣе 1400 упражненій.

Если даже согласиться съ тѣми взглядами на приготовительный курсъ геометріи, какіе высказываются въ проектѣ, если примириться съ излишней детализаціей программы и съ крайнимъ обиліемъ учебнаго матеріала, то и въ такомъ случаѣ можно сдѣлать противъ предлагаемаго курса существенныя возраженія.

Дѣйствительно, матеріалъ, предлагаемый программой для первоначальнаго изученія приготовительнаго курса, можетъ быть, по нашему мнѣнію, пригоднымъ лишь для второй или даже для третьей ступени этого курса. О крайней необходимости приготовительнаго курса геометріи въ І-мъ, а гдѣ есть возможность, даже и въ приготовительномъ классѣ, мы уже высказывались раньше2). Дѣти еще до поступленія въ I классъ такъ или иначе запасаются „совокупностью воспріятій геометрическаго содержанія“ и пріобрѣтаютъ безъ надлежащаго руководства и системы запасъ „частныхъ, наглядныхъ основныхъ геометрическихъ представленій“. Уже въ I классѣ необходимо въ значительной степени пользоваться этими представленіями» напр , при занятіяхъ географіей. Не безъ основанія, нѣкоторые педагоги считаютъ болѣе естественнымъ въ основу обученія математики ставить геометрію, какъ наиболѣе конкретный отдѣлъ математики, а ариѳметику трактуютъ, какъ науку вспомогательную по отношенію къ геометріи3). Такой взглядъ мы также считаемъ одностороннимъ. И если бы курсъ геометріи былъ начатъ, напр., съ I класса (первая ступень), то, быть можетъ, въ III классѣ курсъ, проектируемый С. И. Шохоръ-Троцкимъ, явился бы доступнымъ для усвоенія даже въ томъ объемѣ, въ какомъ онъ намѣчается программой.

1) Книга для учениковъ, по заявленію автора, готовится къ печати.

2) См. выше, стр. 64—65.

3) См. выше, взглядъ Н. Завадскаго, стр. 90.

Но при этомъ является вопросъ, слѣдуетъ ли расширять до такихъ предѣловъ приготовительный курсъ геометріи. Мы считаемъ положительное рѣшеніе этого вопроса нежелательнымъ и рискованнымъ.

Мы признаемъ, что и въ программѣ приготовительнаго курса, и въ „Геометріи на задачахъ“ есть много интересныхъ оригинальныхъ мыслей, какъ вообще въ работахъ С. И. Шохоръ-Троцкаго, но реальное осуществленіе ихъ вызываетъ и много возраженій. Тотъ методъ, котораго придерживается С. И. Шохоръ-Троцкій, если и можетъ дать хорошіе результаты, то лишь при томъ необходимомъ условіи, чтобы не проводить его такъ педантично, такъ однообразно-искусственно. „Лабораторный способъ“ преподаванія математики, защитникомъ котораго является авторъ программы, состоитъ не въ передѣлкѣ всѣхъ теоремъ въ задачи, пріобрѣтающія очень часто искусственную форму, а въ болѣе разнообразныхъ пріемахъ реальнаго характера, оживляющихъ преподаваніе1).

Программа систематическаго курса геометріи (ІV—VII кл.) составлена по учебнику „Элементарная геометрія“ А. Киселева2); по этому учебнику указаны даже параграфы, только ученію о предѣлахъ не дано мѣста въ курсѣ У класса,—этотъ вопросъ перенесенъ въ курсъ VII класса, что нельзя признать раціональнымъ: идея функціональной зависимости, идея непрерывнаго измѣненія величинъ, въ связи съ понятіемъ о предѣлѣ, въ элементарной формѣ должны быть по возможности раньше введены въ курсъ.

Тригонометрія3). Полезно, по словамъ объяснительной записки, предпосылать рѣшеніе треугольниковъ теоретическому изученію свойствъ триго-

1) Интересно сравнить въ этомъ отношеніи „Геометрію на задачахъ“ С. И. Шохоръ-Троцкаго съ „Наглядной геометріей“ В. Кемпбеля (М. 1908 г.) или же съ курсомъ геометріи, намѣченнымъ съѣздомъ учителей математики и черченія городскихъ училищъ подольской губерніи въ 1871 г. (Циркуляръ по управл. Кіевск. Учебн. Округ. 1872 г., № 1, стр. 35-44).

2) Программа систематическаго курса геометріи (въ извлеченіи).

IV классъ (3 урока въі-мъ полугодіи и 2 урока во 2-мъ). Курсъ ІV-го класса мужскихъ гимназій.

V классъ (2 урока). Оканчивается планиметрія. Длина окружности и площадь круга излагаются безъ теоріи предѣловъ.

VI классъ (2 урока въ недѣлю въ теченіе года или 3 урока въ 1-мъ полугодіи и 1 урокъ во 2-мъ). Прямыя и плоскости въ пространствѣ. Многогранники. Основы проекціоннаго черченія.

VII классъ (1 урокъ). Длина окружности и площадь круга. Круглыя тѣла.

3) Приводимъ программу тригонометріи въ извлеченіи.

VI классъ. Ознакомленіе съ синусомъ угла, меньшаго 45° (въ связи съ устройствомъ логариѳмическихъ таблицъ). Рѣшеніе

нометрическихъ функцій, т. е. рекомендуется распредѣленіе матеріала въ два концентра (въ VI классѣ 1 урокъ въ теченіе года или 2 урока въ недѣлю въ теченіе 2-го полугодія и въ VII классѣ 2 урока въ недѣлю въ 1-мъ полугодіи). „Наиболѣе цѣлесообразнымъ въ образовательномъ и практическомъ отношеніяхъ будетъ такое расположеніе учебнаго матеріала, при которомъ ученики постепенно переходятъ отъ менѣе изящныхъ способовъ рѣшенія треугольниковъ къ болѣе изящнымъ“.

Предложенная программа не можетъ дать ничего поучительнаго для улучшенія программы по тригонометріи. Въ особенности неудачно и въ то же время съ претензіей на оригинальность составлена программа VI класса. Такое распредѣленіе учебнаго матеріала, помимо другихъ неудобствъ, потребуетъ много времени и внесетъ большую смуту въ сознаніе учащихся. Совершенно противорѣчивъ требованіямъ педагогики основное положеніе программы—сначала (въ VI классѣ) учить такимъ пріемамъ рѣшенія задачъ, отъ которыхъ впослѣдствіи (въ VII классѣ) приходится отучать1).

прямоугольнаго треугольника при помощи синуса. Ознакомленіе съ косинусомъ. Рѣшеніе соотвѣтствующихъ прямоугольныхъ треугольниковъ съ помощью косинуса. Синусъ и косинусъ остраго угла, большаго 45°. Зависимость между синусомъ и косинусомъ. Рѣшеніе прямоугольныхъ и равнобедренныхъ треугольниковъ (безъ помощи тангенса). Тангенсъ угла, меньшаго 45°, тангенсъ 45°, тангенсъ остраго угла, большаго 45°. Котангенсъ остраго угла. Соотношеніе между тригонометрическими функціями. Рѣшеніе прямоугольнаго треугольника съ помощью тангенса и котангенса. Квадратъ стороны остроугольнаго треугольника. Рѣшеніе остроугольнаго треугольника въ соотвѣтствующихъ случаяхъ (безъ приведенія формулъ къ логариѳмическому виду). Теорема синусовъ Синусъ и косинусъ прямого и тупого угловъ. Зависимость между синусомъ и косинусомъ пополнительныхъ угловъ. Квадратъ стороны треугольника, противолежащій тупому углу. Теорема синусовъ для тупоугольнаго треугольника. Рѣшеніе косоугольныхъ треугольниковъ.

VII классъ (2-й концентръ). Тригонометрическія функціи суммы и разности двухъ угловъ, двойного угла, половины угла. Преобразованіе выраженій къ виду, удобному для логариѳмированія. Періодичность функцій. Измѣненіе тригонометрическихъ функцій отъ О до оо. Простѣйшія тригонометрическія уравненія. Функціи sex и cscx. Обратныя тригонометрическія (круговыя) функціи.

1) По мнѣнію Кіевскаго Физ.-Мат. Общества, выразившемуся въ положеніяхъ, принятыхъ въ собраніи Общества, „редакція, частности, содержаніе и изложеніе программы по тригонометріи того же качества, что и по алгебрѣ“. Отчетъ и Протоколы Ф.-Мат. Общ. при Унив. св. Владиміра за 1904 г., стр. 12.

Аналитическая геометрія (2 урока въ недѣлю во 2-мъ полугодіи). „Ближайшая цѣль ознакомленія учениковъ съ нѣкоторыми ученіями аналитической геометріи,—по словамъ объяснительной записки,—сводится: а) къ усвоенію ими смысла графическаго изображенія хода измѣненій какой-либо величины въ зависимости отъ измѣненій другой, съ помощью системы прямоугольныхъ координатъ, и б) къ усвоенію ими смысла и основныхъ свойствъ уравненій прямой линіи, окружности, эллипса и параболы, отнесенныхъ къ прямоугольнымъ координатамъ. Общаго вида уравненія коническихъ сѣченій и вообще слишкомъ общихъ точекъ зрѣнія курсъ этотъ разрабатывать не можетъ“1).

Судя ни цѣлямъ, какія намѣчены въ предисловіи къ объяснительной запискѣ, можно было ожидать отъ этихъ программъ значительно большаго: можно было думать, что преподаваніе математики, дѣйствительно, будетъ поставлено въ уровень съ современными научными и педагогическими требованіями; между тѣмъ, при ближайшемъ ознакомленіи съ программами, оказывается, что такія ожиданія далеко не оправдываются: идея функціональной зависимости, въ связи съ понятіемъ о перемѣнныхъ величинахъ и ихъ предѣлахъ, вводится только въ концѣ курса, т, е. программа по духу остается рутинной, а тѣ нововведенія, которыя мы отмѣтили, едва ли можно признать положительными. Но мы должны сказать, что и въ объяснительныхъ запискахъ и въ самихъ программахъ есть интересныя и полезныя мысли, которыя, быть можетъ, въ будущемъ найдутъ себѣ болѣе удачное осуществленіе.

1) Проектъ прогр. и инстр., стр 25.

X.

Двѣ журнальныя статьи по вопросу о программахъ математики.

Говоря о работахъ, появившихся въ связи съ проектомъ школьной реформы, предпринятой министромъ П. С. Ванновскимъ, мы уже сдѣлали въ одной изъ предыдущихъ главъ обзоръ двухъ журнальныхъ статей, которыя были написаны по этому поводу1). Въ настоящей главѣ, слѣдуя хронологической послѣдовательности трудовъ, мы имѣемъ въ виду разсмотрѣть еще двѣ статьи. Одна изъ нихъ „О возможныхъ нѣкоторыхъ облегченіяхъ въ программахъ гимназій по математикѣ“ принадлежитъ П. С. и помѣщена въ „Русской Школѣ“ за 1904 г. (№ 4, стр. 219—224), а другая „Математика и средняя школа“2) написана С. Поляковымъ и помѣщена въ „Педагогическомъ Сборникѣ“ за 1907 г. (№ 1, стр. 24 -36, и № 2, стр. 119—135).

Статья П. С.—„О возможныхъ нѣкоторыхъ облегченіяхъ въ программахъ по математикѣ“.

Въ этой статьѣ предлагаются нѣкоторыя измѣненія въ гимназическихъ программахъ по математикѣ, имѣющія цѣлью облегченіе учениковъ. Эти измѣненія сводятся, главнымъ образомъ, къ обычнымъ сокращеніямъ.

1) См. выше, стр. 66—70.

2) Эта статья не была еще извѣстна автору настоящаго „Обзора“, когда онъ дѣлалъ свой докладъ въ засѣданіяхъ Кіевскаго Физ.-Математическаго Общества.

Въ курсѣ III класса по ариѳметикѣ рекомендуется1) „ограничиться наиболѣе простыми задачами на сложное тройное правило и рѣшать ихъ только по способу приведенія къ единицѣ... Правило процентовъ и правило учета векселей можно соединить въ одно общее правило процентныхъ вычисленій“ (Позволительно спросить, какое отъ этого будетъ удобство). „Цѣпное правило и правило смѣшенія давно пора бросить. Особенно куріозно правило смѣшенія. Искусственность его видна уже изъ того, что понадобилось раздѣлить его на два отдѣльныя правила: перваго и второго рода“ (Мы думаемъ, что такое раздѣленіе вовсе не служитъ признакомъ искусственности). „Отъ слабыхъ учениковъ достаточно требовать умѣнія рѣшать ихъ алгебраически, при помощи уравненій. Этотъ способъ рѣшенія подобныхъ задачъ легче дается ученикамъ, хотя проходится позднѣе“.—Послѣднія соображенія намъ кажутся неосновательными: на вычислительныхъ машинахъ производятся нѣкоторыя вычисленія очень легко, но изъ этого вовсе не слѣдуетъ, что не нужно обучать производству этихъ вычисленій безъ машины2).

Ученіе о періодическихъ дробяхъ предлагается перенести въ курсъ алгебры и излагать при изученіи свойствъ геометрической прогрессіи.

Въ курсѣ алгебры, по мнѣнію автора, „было бы весьма полезно перенести систематическое прохожденіе отдѣла- разложеніе многочленовъ на сомножители въ курсъ VIІ класса“. Въ курсѣ IV класса оставить только вынесеніе за скобки и разложеніе а2-— Ь2, (adzb)2. „При упражненіяхъ надъ дробями не слѣдуетъ выбирать трудныхъ примѣровъ“3). Не усложнять задачъ въ этихъ отдѣлахъ рекомендуется также объяснительной запиской къ программамъ 1890 г.

Далѣе, предлагается выбросить извлеченіе квадратнаго корня изъ многочленовъ4), исключить теорію соединеній и биномъ Ньютона5).

Въ курсѣ геометріи считается желательнымъ: опустить теорему о сторонѣ правильнаго десятиугольника, потому что проще вычислять по общимъ способамъ тригонометріи; отбросить задачу о дѣленіи прямой въ крайнемъ и среднемъ отношеніи. „Способъ предѣловъ,—по мнѣнію автора,— можно было бы нѣсколько упростить6). Понятіе о перемѣнныхъ и по-

1) Р. Шк. 1904 г., № 4, стр. 221.

2) См. выше, стр. 90, а также стр. 18—19.

3) Р. Шк. 1904 г., № 4, стр. 221.

4) Тамъ же, стр. 222.

5) Тамъ же, стр. 223.

6) Тамъ же, стр. 222.

стоянныхъ величинахъ и о предѣлахъ можно ввести въ математику при изученіи свойствъ безконечно-нисходящихъ прогрессій и періодическихъ дробей“1).—Это возможно было бы сдѣлать,—хотя послѣднее было бы нераціональнымъ,—если бы прогрессіи входили въ курсъ не VI-го, а V-го класса, гдѣ приходится уже пользоваться теоріей предѣловъ.

Наконецъ, относительно экзаменаціонныхъ требованій въ VIII классѣ въ замѣткѣ говорится, „что въ учебной программѣ по тригонометріи требуется нѣсколько менѣе, чѣмъ въ правилахъ объ испытаніяхъ“, а именно— предлагаются для рѣшенія тригонометрическія уравненія; между тѣмъ „такія задачи,— по мнѣнію автора,—искусственны и далеки отъ практики жизни“ а слѣдовательно, ихъ не нужно предлагать ученикамъ.—Мы не можемъ признать такой взглядъ правильнымъ: указанный критерій — черезчуръ шаткій.

„Задачи по алгебрѣ, предлагаемыя на испытаніяхъ зрѣлости, носитъ,— по мнѣнію П. С.,—еще болѣе искусственный характеръ... Не лучше ли тогда задавать нѣсколько отдѣльныхъ естественныхъ и близкихъ къ жизни задачъ на отдѣльныя наиболѣе важныя правила?“2).

Дѣйствительно, это было бы болѣе раціонально. Вообще, вопросъ объ окончательныхъ испытаніяхъ нуждается въ особомъ разсмотрѣніи.

Статья С. Полякова—„Математика и средняя школа“.

Болѣе содержательной и интересной является статья С. Полякова, въ которой заключаются, по существу, тѣ же основныя мысли, какія проводятся въ статьѣ „О программахъ математики“, подписанной иниціалами С. П. и помѣщенной въ № 2-мъ „Нед. Сборн.“ за 1902 г.3). Въ статьѣ С. Полякова руководящія идеи выражены еще болѣе обстоятельно и убѣдительно и подкрѣплены историческимъ обоснованіемъ, а проектъ программы средней школы, тоже во многомъ общій съ программами въ статьѣ С. G., изложенъ болѣе детально4).

1) Тамъ же, стр. 223.

2) Тамъ же, стр. 224.

3) Эта статья разсмотрѣна нами раньше; см. стр. 66-69.

4) Въ статьѣ С. Полякова нерѣдко встрѣчаются тѣ же фразы, что и въ статьѣ С. П. и при томъ безъ всякаго упоминанія объ этой послѣдней. Ср., напр., стр. 33 и 35 „Пед. Сб.“. 1907 г., № 1, съ стр. 146 и 147 „Пед. Сб“. 1902 г.» № 2. Въ виду этого (иниціалы авторовъ одни и тѣ же) у насъ является предположеніе, что обѣ статьи принадлежатъ одному и тому же лицу.

Самъ авторъ такъ резюмируетъ основныя положенія своей статьи1).

„1) Средняя школа должна ознакомить учащагося съ элементарными методами научнаго изслѣдованія и развить соотвѣтствующія способности.

2) Исторически сложившееся аналитическое направленіе въ математикѣ служитъ наиболѣе могучимъ орудіемъ научныхъ изслѣдованій, какъ удовлетворяющее стремленію наукъ къ количественному сравненію и къ выраженію своихъ обобщеній языкомъ формулъ. 3) Средняя школа должна освоить учащихся съ этимъ могучимъ орудіемъ, съ этимъ ключомъ методовъ количественнаго сравненія, и развить способности къ математическому анализу. 4) Чтобы достигнуть этого, средняя школа должна: а) выработать навыкъ къ вычисленіямъ надъ цѣлыми и дробными числами, б) освоить съ понятіемъ о функціональной зависимости и съ методомъ уравненій и в) дать основы элементарнаго приложенія счисленія безконечномалыхъ величинъ къ изслѣдованію непрерывныхъ измѣненій. 5) Для этой цѣли потребуется сократить традиціонный курсъ математики исключеніемъ нѣкоторыхъ ненужныхъ отдѣловъ и ввести наиболѣе существенные отдѣлы изъ элементарной теоріи функцій и безконечно-малыхъ величинъ“.

Въ началѣ своей статьи авторъ, ссылаясь на историческій ходъ развитія математики, краснорѣчиво и основательно доказываетъ, что характеръ учебнаго курса математики далеко не соотвѣтствуетъ высотѣ современнаго развитія этой науки, что методъ координатъ, въ связи съ ученіемъ о безконечно-малыхъ величинахъ, даетъ новое освѣщеніе всѣмъ математическимъ теоріямъ и формуламъ, и что это направленіе должно господствовать и въ учебной математикѣ,—только это направленіе сохранитъ за учебной математикой ея огромное значеніе „основы и ключа всего человѣческаго знанія“ (слова Эйлера). Въ подтвержденіе своихъ взглядовъ авторъ приводить еще слова Вс. Шер-скаго2), полныя глубокой правды и неотразимой убѣдительности: „Въ то время какъ спѣшатъ заносить въ учебники физики послѣднія изобрѣтенія, иногда не оправдывающія возбужденныхъ ими ожиданій, въ географіи слѣдятъ за подробностями новѣйшихъ открытій,—по геометріи довольствуются свѣдѣніями изъ обихода Александрійской школы Ш в. до P. X., не идутъ дальше алгебры индусскихъ браминовъ VII-го и тригонометріи ученыхъ Самарканда XV в. по P. X. Изъ всего богатства методовъ, внесенныхъ въ европейскую науку со временъ эпохи Возрожденія, посчастливилось только практикѣ логариѳмическихъ вычисленій; но всѣ великія изобрѣтенія еще XVII в., составляющія самую суть

1) Пед Сб. 1907 г., № 2, стр. 129.

2) Вс. П. Шер-скій. Математика, какъ наука, и ея школьные суррогаты. Русская Мысль 1895 г., № 5, стр. 106—107.

математики, какъ науки, обусловливающія великое значеніе ея въ научномъ и техническомъ прогрессѣ новаго времени, остаются за предѣлами школьной программы. Молодые люди конца XIX в., готовящіеся принять оффиціально удостовѣреніе въ умственной зрѣлости, искусственно задерживаются на средне-вѣковомъ уровнѣ математической мысли; считаются неспособными усвоить хотя бы элементы математики, какъ науки новаго времени. Великія открытія творцовъ математики, труды Декарта, Лейбница, Ньютона игнорируются, чтобы сберечь время для гиппократовыхъ луночекъ, эратосѳеновыхъ рѣшетъ, мелочей буквеннаго счисленія и тригонометрическихъ преобразованій“1)...

Далѣе, С. Поляковъ краснорѣчиво отмѣчаетъ недостатки и излишества современныхъ курсовъ математики въ средней школѣ.

Что касается курса ариѳметики, то авторъ статьи возстаетъ противъ существующаго выдѣленія задачъ на составныя именованныя числа и тройныя правила и утверждаетъ, что это „и качественно и количественно тормозитъ изученіе математики“ 12).

Мы также не сочувствуемъ постановкѣ этого вопроса въ нынѣ дѣйствующихъ программахъ и признаемъ, что программа курса III класса по ариѳметикѣ—характерный остатокъ средневѣковой рутины, но мы нѣсколько иначе рѣшаемъ вопросъ о распредѣленіи задачъ по курсу3) и не придаемъ ему доминирующаго значенія.

Затѣмъ, авторъ находитъ, что можно значительно сократить и упростить ученіе о періодическихъ дробяхъ. По мнѣнію автора, „центральнымъ методомъ ариѳметики“ должно быть приложеніе 4-хъ дѣйствій къ яснымъ и опредѣленнымъ вопросамъ вычисленія и измѣренія; сложнымъ же задачамъ долженъ соотвѣтствовать уже „алгебраическій методъ уравненій“4).

И въ данномъ случаѣ мы не можемъ стать вполнѣ на точку зрѣнія автора. Мы также противъ того, чтобы давать ученикамъ по ариѳметикѣ

1) Мы не приводимъ остальной части выдержки, взятой С.Поляковымъ изъ статьи Вс. Шер-скаго, гдѣ на ряду съ вѣрными мыслями встрѣчаются соображенія совершенно неосновательныя и даже вредныя. Напр., будто бы у насъ въ школьной практикѣ встрѣчается увлеченіе мелочной обработкой такихъ вопросовъ, какъ статьи объ отрицательныхъ или ирраціональныхъ числахъ и т. п. Въ эту сторону увлеченіе почти не распространяется; къ сожалѣнію, обыкновенно надъ этими важными и поучительными вопросами почти не задумываются; справедливость нашего взгляда подтверждается и характеромъ существующей учебной литературы.

2) Пед. Сб. 1907 г., № 2, стр. 122.

3) См. выше, стр. 18-19.

4) Пед. Сб. 1907 г., № 2, стр. 123.

замысловатыя задачи; что же касается примѣненія уравненій къ рѣшенію задачъ вмѣсто ариѳметическаго пріема, то объ этомъ мы уже высказывались1): мы утверждаемъ, что одинъ пріемъ рѣшенія не можетъ замѣнить собою другого.

Въ курсѣ алгебры „даже главныя идеи этого самаго языка формулъ—идеи отвлеченія и обобщенія—мы не въ силахъ ярко подчеркнуть въ нашихъ курсахъ. Да и понятно,., развѣ можно безнаказанно выдѣлять эти блѣдныя тѣни могучихъ живыхъ идей математическаго анализа?2)... Везъ идеи функціональной зависимости и непрерывнаго измѣненія учебная алгебра выливается въ сухое ученіе о формулахъ, гдѣ формулы постоянныхъ величинъ являются искусствомъ для искусства, гдѣ идеи обобщенія и отвлеченія блѣднѣютъ и незамѣтно скрываются въ массѣ упражненій для упражненій или въ логическихъ лабиринтахъ теоретической ариѳметики"3).

Есть полная возможность, по мнѣнію г-на Полякова, удалить изъ курса средней школы статьи: о неопредѣленныхъ уравненіяхъ, о соединеніяхъ, о биномѣ Ньютона и о непрерывныхъ дробяхъ. Сокращеніе курса освободитъ, какъ думаетъ г. Поляковъ, около 20 — 25 уроковъ4).

Несомнѣнно, замѣчанія по поводу курса алгебры заслуживаютъ серіознаго вниманія.

„Относительно курса геометріи,—по мнѣнію автора статьи,— слѣдуетъ только замѣтить, что многое зависитъ отъ выбора учебниковъ; къ сожалѣнію, наиболѣе распространены учебники, гдѣ тонкостямъ логическаго построенія удѣлено больше вниманія, чѣмъ лучшему обоснованію нѣкоторыхъ методовъ геометрическаго изслѣдованія; особенно не везетъ способу предѣловъ: боязнь введенія безконечно-малыхъ величинъ заставляетъ авторовъ учебниковъ уродовать способъ предѣловъ въ интересахъ сомнительнаго упрощенія“5).

Интересно было бы знать, въ какихъ это учебникахъ тонкостямъ логическаго построенія удѣлено много вниманія (можетъ быть, въ учебникахъ гг. Малинина или Давидова?) Вообще, замѣчанія относительно курса геометріи поверхностны: не обращено вниманія на существенный пробѣлъ нынѣ дѣйствующихъ программъ—отсутствіе приготовительнаго курса геометріи.

1) См. выше, стр. 90 и 91.

2) Пед. Сб. 1907 г., № 2-й, стр. 123.

3) Тамъ же, стр. 124. О „логическихъ лабиринтахъ“ мы уже сдѣлали указаніе раньше въ подстрочномъ замѣчаніи на предыдущей страницѣ.

4) Пед Сб. 1907 г., № 2, стр. 124.

5) Тамъ же, стр. 125.

О тригонометріи ничего не сказано.

Пожеланія относительно состава и распредѣленія математическаго матеріала сводятся къ слѣдующему.

Что касается преподаванія ариѳметики, авторъ дѣлаетъ, между прочимъ, такія замѣчанія1). „Строго логическаго обоснованія соотвѣтствующихъ истинъ и правилъ нельзя приводить для учащихся первыхъ двухъ классовъ средней школы, а потому здѣсь слѣдуетъ добывать эти истины и правила эмпирическимъ путемъ, сопровождаемымъ обобщающими объясненіями съ постепеннымъ переходомъ къ болѣе отвлеченнымъ доказательствамъ“. Далѣе, „полезно рѣшать задачи по вопросамъ, при чемъ къ каждому вопросу составлять формулу и уже по окончательной формулѣ рѣшать“.

Для того, чтобы освоить учащагося съ языкомъ формулъ, намъ кажется, вовсе нѣтъ надобности уже въ I классѣ составлять формулы рѣшеніи задачъ; при составленіи формулъ требуется умѣнье владѣть скобками, а это мало доступно даже для учениковъ съ большимъ развитіемъ (кстати замѣтимъ, что почти во всѣхъ учебникахъ алгебры статья о скобкахъ излагается слабо, и это, несомнѣнно, явленіе не случайное); наконецъ, часто рѣшеніе незамысловатой задачи выражается формулой сложной въ смыслѣ обозначеній. Мы держимся того взгляда, что при первоначальномъ обученіи ариѳметикѣ къ скобкамъ совсѣмъ не слѣдуетъ прибѣгать, что употребленіе скобокъ въ ариѳметикѣ—это остатокъ рутины, что къ скобкамъ при рѣшеніи задачъ въ ариѳметикѣ полезно обращаться, только имѣя въ виду переходъ къ алгебрѣ. Съ этой цѣлью необходимо въ свое время подбирать и подходящія задачи, а не продѣлывать вышеуказанныя упражненія надъ всѣми задачами въ продолженіе всего курса ариѳметики

Кромѣ того, авторъ статьи, намѣчая программу курса ариѳметики, обращаетъ вниманіе на слѣдующіе вопросы2): упрощенные способы вычисленій, особенно при устныхъ задачахъ; измѣненіе результатовъ и зависимость между данными и искомыми числами въ четырехъ дѣйствіяхъ; произведеніе нѣсколькихъ сомножителей, ихъ свойства; умноженіе и дѣленіе надъ произведеніемъ; разложеніе чиселъ на простые сомножители выдѣленіемъ крупныхъ дѣлителей; вычисленія надъ десятичными числами съ данной точностью.

„Вычисленія съ данной точностью,—говоритъ авторъ, —необходимы во многихъ практическихъ вопросахъ и съ цѣлью опредѣленія погрѣшности приближенныхъ вычисленій, и съ цѣлью вычисленія съ данной точностью“.

1) Тамъ же, стр. 125 и слѣд.

2) Тамъ же, стр. 127.

Курсъ ариѳметики, думаетъ С. Поляковъ, въ такомъ случаѣ „можетъ быть пройденъ въ І-мъ и во II-мъ классахъ при 9 — 10 недѣльныхъ урокахъ“.

Курсъ математики въ слѣдующихъ классахъ, начиная съ III-го по VII-й включительно (авторъ почему-то совершенно неосновательно предрѣшаетъ семилѣтній составъ средней школы), распредѣляется до нѣкоторой степени по концентрамъ, основнымъ положеніемъ которыхъ является понятіе о функціи въ связи съ понятіемъ о непрерывности и о безконечно-малыхъ величинахъ1).

„Реальнымъ освѣщеніемъ“ въ области алгебры и геометріи „будетъ ученіе о пропорціональности величинъ, гдѣ будутъ имѣть мѣсто элементарныя понятія о функціяхъ, о безконечно-малыхъ величинахъ, о непрерывности измѣненій, о предѣлѣ, о несоизмѣримыхъ числахъ; конкретный матеріалъ для этого найдется въ главахъ объ измѣреніи линій, о квадратныхъ корняхъ, о несоизмѣримыхъ отношеніяхъ въ геометріи“.

„Послѣ теоріи степеней и корней и теоріи квадратныхъ уравненій послѣдуетъ второй концентръ ученія о функціяхъ и безконечно-малыхъ величинахъ: обоснованіе основного начала способа предѣловъ и теорія логариѳмовъ“.

Въ третій концентръ войдетъ теорія производныхъ функцій, теорія maxima и minima и элементарная теорія рядовъ.

„Весьма важную роль должны имѣть составленіе и изслѣдованіе уравненій... Геометрическая теорія и задачи тѣсно вплетутся въ курсъ алгебры, какъ ближайшія приложенія алгебраическаго анализа; изъ курса же тригонометріи окажутъ не малую услугу ученіямъ о функціяхъ и уравненіяхъ изученіе тригонометрическихъ функцій и рѣшеніе тригонометрическихъ уравненій. Наконецъ, курсъ математики слѣдуетъ увѣнчать теоріей прямой и кривыхъ второго порядка изъ аналитической геометріи“.

Приведя краткій перечень содержанія курса математики для III—VII классовъ при 21 — 22 годовыхъ урокахъ (не мало ли?), авторъ помѣщаетъ въ заключеніе, какъ онъ называетъ, „планъ-программу“ курса. Такъ какъ эта программа болѣе другихъ изъ разсмотрѣнныхъ нами можетъ дать матеріалъ для реорганизаціи программъ математики въ средней школѣ, то мы приведемъ ее здѣсь и, при томъ, лишь съ незначительными сокращеніями2).

1. Основные законы четырехъ дѣйствій и отрицательныя числа (пропедевтическій курсъ алгебры); рѣшеніе и соста-

1) Тамъ же, стр. 127 и слѣд.

2) Тамъ же, стр. 131 и слѣд.

вленіе уравненій первой степени съ однимъ неизвѣстнымъ изъ ариѳметическихъ вопросовъ.

2. Преобразованіе раціональныхъ алгебраическихъ выраженій. Четыре дѣйствія надъ одночленами и многочленами и надъ алгебраическими дробями.

3. Уравненія первой степени съ однимъ и со многими неизвѣстными.

4. Первыя геометрическія представленія и опредѣленія (приготовительный курсъ геометріи)1).

5. О линіяхъ и прямолинейныхъ фигурахъ (курсъ систематическій); окружность и свойства линій въ кругѣ. (Аналитическій способъ и способъ геометрическихъ мѣстъ для рѣшенія задачъ на построеніе).

6. Линіи и плоскости въ пространствѣ; параллелепипеды.

Примѣчаніе. Отдѣлы 4—6 слѣдуетъ, по замѣчанію автора, проходить параллельно съ 1—3 отдѣлами.

7. Пропорціи и пропорціональныя величины.

8. Первоначальныя понятія о функціи и предѣлѣ. Функціональная зависимость; безконечно-малыя величины; понятіе о непрерывности функцій; методъ координатъ; графика функцій. Сумма и разность безконечно-малыхъ величинъ; произведеніе безконечно-малой величины на конечное число; равенство предѣловъ; равенство несоизмѣримыхъ отношеній.

9. Измѣреніе угловъ.

1) Приводимъ программу этого курса полностью.

„Тѣло, поверхность, линія, точка, прямая и аксіомы о прямой, плоскость и плоскія фигуры, окружность и кругъ, углы, смежные углы, прямой уголъ и перпендикуляръ, параллели и четыреугольники, разсмотрѣніе моделей шара, цилиндра, конуса, куба, призмы, пирамиды; черченіе при помощи линейки, треугольника и циркуля прямоугольниковъ, вписанныхъ и описанныхъ правильныхъ четыреугольниковъ, шестиугольниковъ и треугольниковъ. Численныя задачи на прямую. Съемка (и черченіе) несложныхъ фигуръ перпендикулярами“.

„Число перпендикуляровъ, возставленныхъ изъ одной точки къ прямой; равенство прямыхъ угловъ и слѣдствія отсюда о смежныхъ, послѣдовательныхъ и вертикальныхъ углахъ; дѣленіе прямого угла на градусы, минуты и секунды; численные примѣры на опредѣленіе однихъ угловъ въ зависимости отъ другихъ. Равенство дугъ и центральныхъ угловъ; транспортиръ и астролябія; съемка (и черченіе) несложныхъ фигуръ обходомъ“.

10. Подобіе фигуръ и пропорціональныя линіи въ треугольникѣ и въ кругѣ (способъ подобія для рѣшенія геометрическихъ задачъ). Задачи, относящіяся къ правильнымъ многоугольникамъ. Параллельное сѣченіе пирамиды.

11. Измѣреніе площадей. Боковыя поверхности призмъ и пирамидъ. Практическія работы по вычисленію и дѣленію площадей.

12. Измѣреніе объемовъ. Объемъ параллелепипедовъ, призмъ, пирамидъ; отношеніе объемовъ. Вычисленіе объемовъ по вѣсу и обратно.

13 Извлеченіе квадратныхъ корней.

14. Квадратныя уравненія. Нѣкоторыя уравненія высшихъ степеней. Задачи на пропорціональныя линіи.

15. Ирраціональныя выраженія и ихъ преобразованія. Степени и корни.

Примѣчаніе. Отдѣлы 12-15, по указанію автора, слѣдуетъ проходить параллельно съ 8 — 11 отдѣлами. Здѣсь, должно быть, опечатка: вѣроятно, отдѣлы 13—15 проходятся параллельно 9—12.

16. Вычисленія съ даннымъ приближеніемъ суммы, разности, произведенія и частнаго; величина погрѣшности этихъ вычисленій. Задачи на вычисленіе площадей и объемовъ.

17. Методъ предѣловъ и его приложенія въ геометріи. Предѣлъ суммы, произведенія, дроби, степени, корня, алгебраической функціи Классификація функцій; непрерывныя функціи и ихъ предѣлы. Длина окружности, площадь круга, поверхности и объемы круглыхъ тѣлъ.

18. Логариѳмы. Задачи на вычисленіе поверхностей и объемовъ круглыхъ тѣлъ.

19. Тригонометрическія функціи, ихъ измѣненія, зависимость между ними. Простѣйшія тригонометрическія уравненія.

20. Зависимость между сторонами и углами треугольника: рѣшеніе треугольниковъ.

21. Алгебраическій методъ рѣшенія геометрическихъ задачъ на построеніе.

22. Прямая линія и ея уравненіе при прямоугольныхъ координатахъ.

23. Изслѣдованіе кривыхъ второго порядка. Уравненіе кривыхъ второго порядка; его преобразованіе.

24. Дифференціальное счисленіе. Производная и дифференціалъ; дифференцированіе суммы, произведенія, частнаго, функціи

отъ функціи, тригонометрическихъ функцій; прогрессіи и сходимость рядовъ; строки Маклорена и Тэйлора; биномъ Ньютона; дифференцированіе степени, корня, показательной функціи и логариѳма; разложеніе функцій въ ряды; maximum и minimum функцій. Касательныя и нормальныя.

25. Опредѣленные интегралы и ихъ приложеніе къ вычисленію площадей и объемовъ, а также къ вопросамъ механики.

Замѣтимъ, что въ программѣ нѣтъ упоминанія ни относительно обобщенныхъ степеней, ни относительно изслѣдованія уравненій; а также обращено мало вниманія на теорію уравненій.

Постараемся быть краткими, подвергая разбору эту программу, такъ какъ обоснованіе нашихъ взглядовъ читатели могутъ найти въ предыдущихъ главахъ.

1) Пропедевтическій курсъ алгебры въ томъ видѣ, въ какомъ предлагается авторомъ, т. е. упражненія надъ „формулами въ видѣ уравненій“ въ связи съ дѣйствіями надъ отрицательными числами, мы считаемъ мало состоятельнымъ. Въ пропедевтическомъ курсѣ нужно сосредоточить главное вниманіе на выработку понятія объ общемъ числѣ, общей задачѣ, формулѣ; однимъ словомъ, мы болѣе сочувствуемъ тому, что предложено „Проектомъ программы для производства опыта“ въ нѣкоторыхъ кадетскихъ корпусахъ съ начала 1903—1904 уч. г.1)

2) Нужно признать не отвѣчающей интересамъ дѣла постановку приготовительнаго курса геометріи. Находя содержаніе курса мало соотвѣтствующимъ своему назначенію, мы считаемъ крайне нераціональнымъ приготовительный курсъ геометріи во всемъ объемѣ помѣщать непосредственно передъ систематическимъ курсомъ. Мы уже указали раньше на необходимость начинать этотъ курсъ еще въ приготовительномъ классѣ и продолжать въ слѣдующихъ2), т. е. располагать по концентрамъ.

3) Мы считаемъ очень полезнымъ, если систематическій курсъ геометріи нѣсколько предваряется курсомъ алгебры, что не отмѣчается предлагаемой программой.

1) Заслуживаетъ также вниманія, какъ этотъ курсъ излагается въ первой половинѣ „Методики приготовительнаго курса алгебры“ В. Евтушевскаго и А. Глазырина (С.-Пб. 1876 г.)—руководства, не встрѣтившаго въ свое время сочувствія педагоговъ.

2) См. выше, стр. 64—65 и 61—62, а также см. ниже, стр. 137—139, программу этого курса въ проектѣ учебнаго плана по матем. Кіевск. Физ.-Мат. Общ.

4) Въ геометріи не обращено вовсе вниманія на симметрію, а также перемѣщеніе фигуръ въ плоскости—вопросы, которые получили право гражданства въ элементарной геометріи и оживляютъ этотъ предметъ.

5) Если располагать геометрическій матеріалъ по методамъ доказательствъ, какъ это сдѣлано въ приведенномъ „планѣ-программѣ“, то въ такомъ случаѣ требуется программа болѣе детальная, а можетъ быть, даже учебникъ (такого мнѣнія придерживалась и комиссія на второмъ съѣздѣ директоровъ коммерческихъ училищъ1).

6) Съ графикой функцій нужно знакомить не за одинъ разъ (см. п. 8 „плана-программы“), а постепенно въ продолженіе курса.

7) Авторъ статьи совершенно упускаетъ изъ вида важное значеніе раціональной подготовки для поступающихъ въ I классъ2); ничего не упоминается о пропедевтическомъ курсѣ дробей.

8) Вѣроятно, исходя изъ односторонняго взгляда на повтореніе пройденнаго и имѣя въ виду идеальную, а не реальную постановку преподаванія математики, авторъ не останавливается вовсе на повторительныхъ курсахъ3).

9) Мы увѣрены, что при семилѣтнемъ курсѣ и выше указанномъ числѣ уроковъ вовсе не хватитъ времени для прохожденія дифференціальнаго исчисленія и аналитической геометріи въ намѣченномъ объемѣ.

10) Наконецъ, мы должны привѣтствовать введеніе въ курсъ средней школы основъ такъ называемой высшей математики, а также надлежащее отношеніе къ вопросу о приближенныхъ вычисленіяхъ, имѣющихъ большое значеніе и въ практическомъ и въ образовательномъ смыслѣ4).

Мы отмѣтили въ предлагаемой программѣ значительные пробѣлы, но несомнѣнно, что авторъ статьи добросовѣстно ознакомился съ тѣми требованіями, какія выдвигаются современной школой на Западѣ и какія начинаютъ мало-по-малу проникать въ сознаніе педагоговъ у насъ въ Россіи. Онъ создалъ программу, хотя еще и не пригодную для немедленнаго проведенія въ жизнь, но по своему духу болѣе отвѣчающую запросамъ

1) См. выше, стр. 75, 76.

2) Объ этомъ см. выше, стр. 52, а также ниже. стр. 136,—„Требованія при поступленіи въ приготовит. классъ“ въ проектѣ учебн. плана К. Ф.-М. О.

3) Нашъ взглядъ на это см. выше, стр. 57 и 20.

4) Интересующихся вопросомъ о приближенныхъ вычисленіяхъ отсылаемъ къ оригинальной и интересной работѣ П. А. Долгушина „Вычисленія по приближенію“. Кіевъ. 1908.

современности, чѣмъ другія программы, разсмотрѣнныя нами раньше. Нельзя не сказать, что болѣе убѣдительной статьи въ защиту введенія элементовъ высшей математики въ курсъ средней шкоды и при томъ статьи, доступной для широкой публики, мы не встрѣчали въ русской литературѣ. Намъ кажется, что основательная аргументація и горячая искренность тона этой статьи произведутъ неотразимое впечатлѣніе даже на предубѣжденнаго читателя, а поэтому можно только пожелать ей болѣе широкаго распространенія.

XI.

Проекты реформы средней школы, выработанные въ Министерствѣ Народнаго Просвѣщенія послѣ П. С. Ванновскаго.

Проекты реформы средней школы при министрахъ Г. Э. Зенгерѣ и В. Г. Глазовѣ

Дѣятельность Министерства Народнаго Просвѣщенія по реформѣ средней школы не остановилась на проектахъ, разработанныхъ при министрѣ П. С. Ванновскомъ, а продолжалась и при послѣдующихъ министрахъ.

При министрѣ Г. Э. Зенгерѣ (1902 — 1904 г.) Ученый Комитетъ въ подготовительныхъ работахъ по преобразованію средней школы долженъ былъ исходить изъ слѣдующихъ основныхъ положеній, которыя напередъ были ему предуказаны1).

„1) Гимназіи сохраняютъ восьмиклассный составъ; въ нихъ преподаются оба древніе языка, но обученіе греческому языку въ большей части ихъ необязательно. Усвоеніе гимназическаго курса открываетъ доступъ къ высшему университетскому образованію.“

„2) За реальными училищами, коихъ учебный планъ подлежитъ тоже пересмотру, сохраняется составъ шести основныхъ классовъ и седьмого дополнительнаго. Окончаніе курса сего послѣдняго открываетъ доступъ въ высшія техническія заведенія“.

„3) Помимо гимназій и реальныхъ училищъ, должны быть организованы среднія учебныя заведенія съ законченнымъ образовательнымъ курсомъ

1) С. Л. Степановъ. Обозрѣніе проектовъ реформы средней школы въ Россіи. Ж. М. Нар. Пр. 1907 г.; № 2, стр. 106.

при шестиклассномъ составѣ. Окончаніе курса этихъ учебныхъ заведеній даетъ право на службу въ губерніи“, т. е. какъ въ правительственныхъ учрежденіяхъ, такъ и въ учрежденіяхъ земскаго и городского самоуправленія и въ разнаго рода частныхъ предпріятіяхъ.

Вмѣсто приготовительныхъ классовъ Ученый Комитетъ проектировалъ открывать, гдѣ это будетъ нужно, подготовительныя школы.

При выработкѣ устава гимназій, прогимназій и подготовительныхъ школъ въ основу положенъ былъ Ученымъ Комитетомъ проектъ устава, выработанный комиссіей К. П. Яновскаго, параллельно съ дѣйствующимъ уставомъ и проектомъ „Положенія“ комиссіи П. С. Ванновскаго.

По проекту „Устава гимназій, прогимназій и подготовительныхъ школъ“, составленному Ученымъ Комитетомъ, въ подготовительныхъ школахъ учащіеся проходятъ курсъ начальнаго училища и двухъ первыхъ классовъ гимназіи.

Отмѣтимъ, что на математику и космографію въ гимназіяхъ отводится 29 уроковъ, на физику—10; естествовѣдѣніе вводится только въ курсъ гимназій съ однимъ древнимъ языкомъ (при 9 урокахъ). Предоставляется министру отступать отъ установленной таблицы часовъ по предметамъ, но только „съ цѣлью усиленія занятій древними языками“1).

Въ шестиклассной средней общеобразовательной школѣ, которая должна быть вполнѣ законченнымъ самостоятельнымъ учебнымъ заведеніемъ, между прочимъ, на ариѳметику отводится 10 уроковъ, алгебру—8, геометрію съ тригонометріей--7, на физику -7, естествовѣдѣніе съ химіей и гигіеной—13

Къ сожалѣнію, нѣтъ свѣдѣній о томъ, были ли разработаны программы по предметамъ соотвѣтственно каждому изъ типовъ школы.

Со вступленіемъ въ управленіе Министерствомъ Народнаго Просвѣщенія генералъ-лейтенанта В. Г. Глазова (1904—1905 г.), выработанный проектъ „Устава гимназій и пр.“ былъ отложенъ въ сторону, какъ и всѣ предыдущіе проекты, и приступлено было къ составленію новаго законопроекта о средней школѣ. „Эта работа была поручена комиссіи изъ пяти лицъ подъ предсѣдательствомъ директора департамента народнаго просвѣщенія А. А. Тихомирова. Результатомъ ея трудовъ были Положенія о подготовительныхъ школахъ и гимназіяхъ. Согласно этому проекту, отъ среднихъ общеобразовательныхъ учебныхъ заведеній, прежде всего, отдѣляются два младшихъ класса, которые вмѣстѣ съ трехгодичнымъ начальнымъ училищемъ образуютъ пятиклассную подготовительную школу... Программы подготовительной школы только въ одномъ отличаются отъ

1) Тамъ же, стр. 109.

программъ двухклассныхъ начальныхъ училищъ, именно—введеніемъ въ курсъ ея новыхъ языковъ, которые, впрочемъ, факультативно могутъ быть введены и въ низшую школу“1).

Что касается устава гимназій, то „составители проекта задались цѣлью дать такое построеніе курса средней школы, «чтобы была возможность выбора между различными сочетаніями учебныхъ предметовъ, т. е.—чтобы существовало нѣсколько равноцѣнныхъ общеобразовательныхъ учебныхъ плановъ».. Таковыхъ указано въ проектѣ Положенія о мужскихъ гимназіяхъ-три: классическій, классическо-реальный и реальный,—всѣ разсчитаны на 6 лѣтъ обученія“2). Математикѣ предоставлено въ первомъ случаѣ 20 уроковъ, во второмъ—22 и въ третьемъ—24, на естествовѣдѣніе и физику отведено соотвѣтственно 12, 14 и 20 уроковъ. „Кромѣ того, ученики двухъ высшихъ классовъ изучаютъ спеціально нѣкоторые изъ учебныхъ предметовъ, по своему желанію и наклонностямъ и съ одобренія педагогическаго совѣта, подъ ближайшимъ руководствомъ и наблюденіемъ преподавателей соотвѣтственныхъ предметовъ. На спеціальныя занятія въ V и VI классахъ отводится по 4 урока въ недѣлю“3). О разработкѣ плановъ и программъ преподаванія предметовъ никакихъ свѣдѣній въ печати не имѣется.

Программа математики въ реальныхъ училищахъ 1906 г.

Наконецъ, уже при министрѣ народнаго просвѣщенія П. М. фонъ-Кауфманѣ (1906—1907 г.) дѣятельность по реформѣ преподаванія математики выразилась въ измѣненіи учебныхъ плановъ и программъ по этому предмету для реальныхъ училищъ4).

Эти измѣненія, главнымъ образомъ, заключаются, какъ указано въ циркулярномъ предложеніи министра народнаго просвѣщенія, въ слѣдующемъ5).

1) „Уничтожается въ дополнительномъ классѣ преподаваніе приложенія алгебры къ геометріи, при чемъ построеніе простѣйшихъ формулъ и корней квадратнаго уравненія, выясненіе начала однородности

1) Тамъ же, стр. 118, 119

2) Тамъ же, стр. 120, 121.

3) Тамъ же, стр. 121.

4) Программа эта введена въ дѣйствіе съ 1907—08 уч. г. Ж. М. Н. Пр. 1906 г, № 9; Правит. распор., стр 36 и слѣд.; Цирк. по Кіевск. Учебн. Окр. 1907 г., № 1, стр. 16 и слѣд.

5) Циркуляръ М. Н. Пр. отъ 30-го іюня 1906 г„ № 12414. Ж. М. Н. Пр. 1906 г., № 9.

и рѣшеніе типическихъ задачъ второй степени относится къ курсу геометріи V класса“.

2) „Тригонометрія раздѣляется на двѣ части: первая часть, относящаяся къ рѣшенію треугольниковъ, проходится въ VI классѣ, а вторая, обнимающая теорію тригонометрическихъ функцій, изучается въ дополнительномъ классѣ“.

3) „Въ дополнительномъ классѣ сообщаются свѣдѣнія изъ аналитической геометріи и основанія анализа безконечномалыхъ“.

4) „Исключается: извлеченіе квадратныхъ корней изъ многочленовъ и кубическихъ корней изъ чиселъ и многочленовъ, учетъ векселей и цѣпное правило, задача о курьерахъ, равенство трегранныхъ угловъ, условія равенства и подобія призмъ и пирамидъ“.

5) „Иначе распредѣляется учебный планъ перенесеніемъ изученія нѣкоторыхъ статей въ послѣдующіе классы, каковое усматривается изъ программъ“.

„Преподаваніе проекціоннаго черченія въ дополнительномъ классѣ уничтожается, при чемъ на счетъ сего уничтоженія увеличивается число уроковъ математики въ этомъ классѣ на два“ (для ознакомленія съ началами аналитической геометріи и съ основами анализа безконечно-малыхъ).

„Уроки черченія, по нынѣ дѣйствующимъ учебнымъ планамъ, присоединялись къ урокамъ математики .. Назначенное число уроковъ по математикѣ достаточно для основательнаго прохожденія, и 4 урока черченія — одинъ въ ІV классѣ, одинъ въ V-мъ и два въ VI-мъ — отдаются на усиленіе преподаванія иныхъ предметовъ, въ томъ числѣ и математики, давая сей послѣдней въ У классѣ 6 уроковъ вмѣсто 5.—Учебный планъ черченія въ III классѣ остается безъ измѣненія“.

По поводу новой программы математики можно замѣтить слѣдующее.

1) Упрощенія и исключенія, предлагаемыя этой программой, вполнѣ естественны. Нужно имѣть въ виду, что тѣ указанія, которыя были сдѣланы подкомиссіей Н. И. Билибина по поводу измѣненія программъ математики, даже со всѣми недостатками1), перенесены и въ программы реальныхъ училищъ 1906 г.2), а потому мы не будемъ повторять всего, что было сказано нами по этому поводу въ своемъ мѣстѣ3).

1) Напр., не указаны требованія отъ поступающихъ въ I классъ, отсутствуетъ пропедевтическій курсъ ариѳметики и приготовительный курсъ геометріи, не упоминается о приближенныхъ вычисленіяхъ.

2) Отмѣтимъ, что въ курсъ III класса безъ всякой надобности введено ученіе о пропорціяхъ (чего нѣтъ въ программѣ Н. И. Билибина). Находимъ и

2) Намъ кажется, что сохраненіе статьи „приложеніе алгебры къ геометріи“ въ курсѣ дополнительнаго класса въ видѣ повторительнаго отдѣла, въ которомъ приводилось бы въ систему то, съ чѣмъ дознакомились ученики во время прохожденія геометріи,—было бы полезнымъ и не потребовало бы много времени.

3) Вообще, къ недостаткамъ программы нужно отнести отсутствіе повторительныхъ курсовъ съ цѣлью обобщеній и дополненій.

4) Съ раздѣленіемъ тригонометріи на два курса можно примириться только въ виду того соображенія, что не всѣ ученики VI класса поступаютъ въ VII-й дополнительный классъ, а слѣдовательно, хорошо, если оставляющіе училище познакомятся хотя съ первымъ концентромъ этого предмета.

5) Уничтожая проекціонное черченіе, какъ отдѣльный курсъ, нужно было сдѣлать соотвѣтствующее дополненіе въ программѣ по геометріи; да и, вообще, молено пожалѣть, что уничтожено нѣсколько уроковъ (3) черченія, которые могли служить для математики хорошимъ подспорьемъ.

6) Введеніе въ курсъ дополнительнаго класса основаній аналитической геометріи и основаній анализа безконечно-малыхъ мы должны привѣтствовать, какъ первое завоеваніе въ этомъ направленіи, хотя постановку самого дѣла мы считаемъ далеко несовершенной: идеи и принципы, которые должны, такъ сказать, проникать весь курсъ математики въ средней школѣ, по-прежнему искусственно устраняются изъ курса первыхъ шести классовъ. Мы имѣемъ въ виду идеи функціональной зависимости и непрерывности, въ связи съ понятіемъ о координатахъ; къ нимъ нужно пріучать по возможности раньше, дѣлая это съ крайней осторожностью и постепенностью; тогда только въ дополнительномъ классѣ не придется переучивать, только при такихъ условіяхъ курсъ VII класса не представитъ, и въ смыслѣ содержанія и въ смыслѣ объема, тѣхъ затрудненій, которыя являются въ настоящее время. Однимъ словомъ, программы вновь введенныхъ въ курсъ VII класса отдѣловъ математики мало имѣютъ органической связи съ программами курса первыхъ шести классовъ: эти отдѣлы какъ бы искусственно присоединены къ остальному курсу математики. Необходимо перестроить и программу первыхъ шести классовъ такъ, чтобы она болѣе отвѣчала взглядамъ, какіе уже устанавливаются на характеръ преподаванія такъ называемой элементарной математики; основы же аналитической геометріи и анализа

нѣкоторыя незначительныя исправленія программы, выработанной въ подкомиссіи Н. И Билибина: статья о радикалахъ помѣщена въ программѣ 1906 г. на своемъ мѣстѣ.

3) См. выше, стр. 52, 53.

безконечно-малыхъ величинъ можно было бы покамѣстъ, въ силу новизны дѣла, нѣсколько упростить.

Хотя вопросъ о реформѣ общеобразовательной средней школы въ настоящее время находится почти въ томъ же состояніи, какъ и девять лѣтъ тому назадъ, тѣмъ не менѣе, съ чувствомъ нѣкотораго удовлетворенія можно сказать, что труды и работы по улучшенію программъ математики не пропали даромъ, если программа 1906 г., (обладающая, впрочемъ, значительными недочетами) уже введена въ реальныя училища.

XII.

Общіе выводы.

Въ заключеніе считаемъ необходимымъ сдѣлать главнѣйшіе общіе выводы изъ всего нашего обзора.

1. Преподавая въ средней общеобразовательной школѣ математику, необходимо поставить цѣлью познакомить съ нею: а) какъ съ наукой, какъ съ научной системой, вносящей стройность и порядокъ въ наше міросозерцаніе; б) какъ съ могучимъ методомъ, дающимъ возможность изучать явленія окружающей насъ дѣйствительности и в) наконецъ, какъ съ цѣннымъ орудіемъ для развитія всѣхъ сторонъ духа и въ особенности мыслительныхъ способностей ученика.

2. Намѣченныя цѣли могутъ быть достигнуты только въ томъ случаѣ, когда въ курсъ средней школы будутъ введены основы такъ называемой высшей математики. При этомъ необходимо, чтобы вновь вводимые отдѣлы имѣли органическую связь со всѣмъ курсомъ математики средней школы, для чего нужно перестроить курсъ элементарной математики такъ, чтобы идея функціональной зависимости въ связи съ ученіемъ о безконечно-малыхъ и съ понятіемъ о координатахъ проникала бы весь курсъ математики въ средней школѣ.

3. Чтобы представилась возможность оживить указаннымъ образомъ курсъ средней школы безъ обремененія ея, необходимо сократить и упростить учебный матеріалъ нынѣ дѣйствующихъ программъ. Это слѣдуетъ сдѣлать не только съ цѣлью изыскать время для ознакомленія съ болѣе существенными вопросами, но и для того, чтобы освободить курсъ отъ всего, что не является особенно необходимымъ и что не заключаетъ въ себѣ общеобра-

зовательнаго элемента. Съ этой цѣлью изъ курса нужно опустить тѣ статьи, которыя отмѣчены нами при обзорѣ программъ1).

4. Для упрощенія элементарнаго курса распредѣленіе геометрическаго матерія да по методамъ доказательствъ, какъ предлагала комиссія по математикѣ на съѣздѣ директоровъ коммерческихъ училищъ (въ іюнѣ 1901 г. и въ январѣ 1902 г.), а также примѣненіе съ этой цѣлью высшаго анализа при опредѣленіи поверхностей и объемовъ въ элементарной геометріи, какъ предлагаетъ Дм. Ройтманъ (слѣдуя указаніямъ Евг. Дюринга), мы считаемъ преждевременнымъ. Быть можетъ, это дастъ прекрасные результаты, но нельзя признать общеобязательнымъ то. что не вышло изъ области предположеній и опытовъ.

5. Нельзя низводить математику на степень болѣе или менѣе интересной эквилибристики ума, выдвигая на первый планъ задачи, равно какъ ошибочно приписывать задачамъ только служебное значеніе; и теорія и задачи, гармонически сочетаясь, должны способствовать достиженію общаго математическаго развитія.

6. Слѣдуетъ признать желательнымъ и возможнымъ для лучшаго достиженія цѣлей средняго образованія распредѣлить обученіе математикѣ въ средней школѣ по цикламъ. При этомъ первый циклъ можетъ обнимать приблизительно курсъ первыхъ трехъ классовъ теперешней средней школы; что же касается выдѣленія другого цикла, то этотъ вопросъ для насъ остается пока открытымъ: мы не можемъ считать его удовлетворительно рѣшеннымъ ни въ школѣ новаго типа П. Г. Виноградова, ни въ нынѣшнихъ норвежскихъ или французскихъ школахъ.

7. Въ виду нѣкоторой законченности курса первыхъ трехъ классовъ, а также въ виду другихъ соображеній, высказанныхъ нами въ настоящемъ „Обзорѣ", необходимо ввести преподаваніе приготовительнаго курса геометріи и, при томъ, начиная съ курса подготовительной школы, какъ дѣлаютъ это въ Западной Европѣ и въ Америкѣ.

1) Ариѳметика Церковно-славянская нумерація. Пропорціи. Правило учета векселей и цѣпное.

Алгебра. Извлеченіе квадратнаго корня изъ многочленовъ. Извлеченіе кубическаго корня изъ чиселъ. Непрерывныя дроби. Рѣшеніе системы линейныхъ уравненій по способу Безу. Въ случаѣ крайней необходимости-теорія соединеній и биномъ Ньютона.

Геометрія. Условія равенства трегранныхъ угловъ, равенства и подобія призмъ и пирамидъ. Отношенія поверхностей и объемовъ подобныхъ цилиндровъ и конусовъ. Нѣкоторыя отдѣльныя теоремы.

8. Желательно, чтобы сознательный устный счетъ пользовался серіознымъ вниманіемъ не только программъ и объяснительныхъ къ нимъ записокъ, но и преподавателей средней школы. Въ продолженіе всего курса математики не слѣдуетъ забывать, что этотъ вопросъ имѣетъ, помимо практическаго, и образовательное значеніе.

9. Вычисленія по приближенію игнорируются въ настоящее время и программами и практикой средней школы, а между тѣмъ опредѣленіе степени погрѣшности при вычисленіяхъ и вообще вычисленія по приближенію имѣютъ жизненное значеніе, — имъ должно быть отведено надлежащее мѣсто въ средней школѣ.

10. Первоначальная подготовка поступающихъ въ среднюю школу должна быть предметомъ особаго вниманія. Отсутствіемъ нормальной первоначальной подготовки объясняются многіе недостатки средняго математическаго образованія.

11. При выработкѣ новыхъ программъ слѣдуетъ обратить вниманіе на согласованіе курса различныхъ отдѣловъ математики между собою и съ курсами другихъ предметовъ (физики, космографіи и др.)

12. Имѣя въ виду, при преподаваніи математики, болѣе успѣшное достиженіе намѣченной дѣли, нужно признать крайне желательнымъ время отъ времени подводить итоги сообщеннымъ знаніямъ; особенно это важно въ выпускномъ классѣ, гдѣ должны быть повторительные курсы съ необходимыми дополненіями и обобщеніями.

Но можно создать прекрасныя программы, и все-таки онѣ останутся сами по себѣ, а преподаваніе будетъ итти само по себѣ. Лучшимъ подтвержденіемъ этого служитъ, какъ было указано нами, отношеніе къ нынѣ дѣйствующимъ программамъ и планамъ по математикѣ. Говорили раньше, что присылка темъ изъ учебнаго округа извратила нормальный характеръ преподаванія математики. Но присылка эта уже отмѣнена, а характеръ преподаванія остался прежній, ничуть не измѣнился къ лучшему. Интересно отмѣтить, что и по настоящее время рѣшаются въ VIII классѣ гимназій тѣ типы задачъ, противъ которыхъ такъ возражали раньше. Косность, традиціи, рутина имѣютъ и въ дѣлѣ преподаванія неотразимое значеніе: трудно отказаться отъ того, что усвоено въ дни дѣтства и юности, трудно перемѣнить тотъ путь, по которому привыкли итти. А отсюда ясенъ выводъ: хотя программы съ объяснительными записками имѣютъ вліяніе на улучшеніе преподаванія математики, но ихъ вліяніе сказывается медленно; первенствующее значеніе имѣетъ личность преподавателя, его научная

и педагогическая подготовка, — однимъ словомъ, методы преподаванія. Слѣдовательно:

13. Прежде чѣмъ начинать какую бы то ни было реформу школы, нужно организовать дѣло надлежащей подготовки преподавателей среднихъ учебныхъ заведеній. Необходимо поставить на первую очередь этотъ вопросъ особой важности,— тѣмъ болѣе, что выполнить это легче, чѣмъ что-либо другое, да и матеріальныхъ затратъ для этого потребуется немного. Кромѣ того, большимъ подспорьемъ въ борьбѣ съ традиціями, хорошимъ средствомъ для оживленія педагогическаго дѣла могли бы служить періодическіе съѣзды преподавателей даннаго предмета.

14. Наконецъ, нельзя умолчать также о томъ, что сила рутины распространяется и на высшую школу; а вѣдь, надо помнить, что она ведетъ за собою среднюю школу. Нельзя ставить въ вину средней школѣ, что ея абитуріентъ не получаетъ соотвѣтствующаго математическаго образованія, не знаетъ, зачѣмъ онъ изучалъ въ школѣ математику, если нерѣдко окончившій математическій факультетъ не знаетъ цѣны тѣмъ сокровищамъ, которыя онъ могъ пріобрѣсть; если на математическомъ факультетѣ по традиціи, но рутинѣ нѣтъ обыкновенно того, что объединяло бы разныя области математическаго вѣдѣнія, вносило бы въ нихъ свѣтъ, душу живую,— однимъ словомъ, ставило бы математическій факультетъ высоко въ ряду общеобразовательныхъ факультетовъ университета, а именно, нѣтъ каѳедры философіи и исторіи математики—каѳедры первостепенной важности1).

При выполненіи двухъ послѣднихъ условій намъ пришлось бы значительно меньше толковать о программахъ преподаванія, о типахъ школы и т. п.; мы скоро бы подняли преподаваніе математики на должную высоту, и стало бы яснымъ для всѣхъ, какимъ могучимъ рычагомъ является математика для общаго подъема культуры.

1) Мы полагаемъ, что мнѣніе о необходимости въ университетѣ каѳедры такъ называемой элементарной математики является общепризнаннымъ.

Приложеніе.

КІЕВСКОЕ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО.

Проектъ учебнаго плана по математикѣ для мужскихъ гимназій.

Въ послѣднее десятилѣтіе вопросъ о реорганизаціи преподаванія въ средней школѣ возбудилъ къ себѣ вниманіе широкихъ круговъ общества какъ въ Западной Европѣ, такъ и въ Сѣверо-Американскихъ Соединенныхъ Штатахъ. Главнымъ образомъ дѣло касается поднятія преподаванія математическихъ и естественныхъ наукъ на такую высоту, которая соотвѣтствовала бы настоятельнымъ требованіямъ современной жизни и культуры. Во Франціи вопросъ разрѣшился законодательными актами1), введшими въ преподаваніе лицеевъ и коллежей существенныя измѣненія. Въ Германіи преобразованіе средней школы не вылилось еще въ окончательныя формы, но близко къ осуществленію. Общество нѣмецкихъ естествоиспытателей и врачей (die Gesellschaft der deutschen Naturforscher und Aerzte) въ связи съ Обществомъ нѣмецкихъ математиковъ (die deutsche Mathematiker-Vereinigung) на рядѣ своихъ съѣздовъ2) подвергало горячему и оживленному обсужденію вопросъ о реформѣ преподаванія математики и естественныхъ наукъ въ германскихъ средне-учебныхъ заведеніяхъ. Положенія, принятыя на съѣздахъ, были сведены въ одно цѣлое особо избранною комиссіею, въ составъ коей вошли выдающіеся педагоги и представители какъ чистой, такъ и прикладной науки3). Та же комиссія выработала въ общихъ чертахъ учебный планъ по математикѣ для среднихъ школъ; на съѣздѣ въ Меранѣ планъ, представленный комиссіею, былъ одобренъ единогласно. Въ настоящее время Меранскій

1) Декреты 31 мая 1902 г., 27 и 28 іюля 1905 г.

2) Въ Касселѣ 1903 г.; въ Бреславлѣ 1904 г.; въ Меранѣ 1905 г.

3) Klein F., Gutzmer, Schotten, Poske, Fricke, Duisberg и др.

учебный планъ въ видѣ опыта введенъ прусскимъ Министерствомъ Народнаго Просвѣщенія въ пяти учебныхъ заведеніяхъ1); ревизіи этихъ школъ обнаружили прекрасные результаты.

Но если и въ правильно функціонирующихъ западно-европейскихъ школахъ преподаваніе математики оказалось не отвѣчающимъ современнымъ потребностямъ, то тѣмъ болѣе нуждается въ преобразованіи учебное дѣло русской средней школы, которая подъ вліяніемъ крайне неблагопріятныхъ внѣшнихъ условій, а также поспѣшныхъ и не всегда цѣлесообразныхъ измѣненій, внесенныхъ въ нее за послѣдніе годы, приведена нынѣ въ разстройство. Потребность въ реформѣ русской средней школы ощущалась уже давно. Еще въ 1899 г. министръ народнаго просвѣщенія Н. П. Боголѣповъ въ своемъ циркулярѣ отъ 8 іюля указалъ на рядъ существенныхъ недочетовъ какъ программъ, такъ и общей постановки учебно-воспитательнаго дѣла въ гимназіяхъ и реальныхъ училищахъ. Въ непосредственной связи съ этимъ циркуляромъ стоятъ „Труды Высочайше учрежденной комиссіи по вопросу объ улучшеніяхъ въ средней общеобразовательной школѣ“2), созванной Н. П. Боголѣповымъ въ началѣ 1900 г. Однимъ изъ главныхъ матеріаловъ для работъ этой комиссіи послужили заключенія комиссій и группъ, образованныхъ московскимъ попечителемъ учебнаго округа П. А. Некрасовымъ въ 1899 г. для рѣшенія вопросовъ, связанныхъ съ предположенными преобразованіями средней школы3). Комиссіею 1900 г. была выдѣлена особая подкомиссія подъ предсѣдательствомъ извѣстнаго педагога Н. И. Билибина для выработки программъ по математикѣ. Въ частности и въ Кіевскомъ Учебномъ Округѣ были созываемы въ концѣ 1899 г., а также въ концѣ 1901 г. собранія преподавателей по вопросу объ улучшеніи программъ гимназій и реальныхъ училищъ.

Въ послѣднее время4) для реальныхъ училищъ введены новыя программы по математикѣ, болѣе отвѣчающія запросамъ времени. Что же касается до программъ мужскихъ гимназій, то до сихъ поръ преподаватели должны руководствоваться планами, программами и объяснительною

1) Gymnasien in Göttingen, Münden; Realgymnasium in Düren; Oberrealschulen in Kiel und Königsberg.

2) Вып. I—VIП. С.-Пб. 1900 г.

3) Приложенія къ циркулярамъ по Московскому Учебному Округу, изд. подъ ред. Вл. Исаенкова. Совѣщанія, происходившія въ 1899 году въ Московскомъ Учебномъ Округѣ по вопросамъ о средней школѣ въ связи съ циркуляромъ г. Мин. Нар. Просв. отъ 8 іюля 1899 г. за № 16212; вып. 1-6. Москва. 1899 г.

4) Циркуляръ Мин. Нар. Просв. отъ 30 іюня 1906 г. за № 12414.

запискою, утвержденными въ 1890 г. и представляющими лишь незначительное видоизмѣненіе программъ 1872 г., а между тѣмъ послѣднимъ программамъ уже болѣе 35 лѣтъ—срокъ нѣсколько продолжительный даже для программъ, образцово составленныхъ.

Въ виду вышеизложеннаго Кіевское Физико-Математическое Общество при Университетѣ Ов. Владиміра рѣшило посвятить истекающій учебный 1906—7 годъ обсужденію и выработкѣ проекта желательнаго новаго учебнаго плана по математикѣ для мужскихъ гимназій. Съ этою цѣлью Обществомъ былъ заслушанъ рядъ сообщеній о реформѣ преподаванія математики и физики во Франціи, о намѣченныхъ преобразованіяхъ въ германской средней школѣ, о результатахъ комиссій, съѣздовъ и совѣщаній по поводу улучшенія программъ по математикѣ въ русскихъ мужскихъ гимназіяхъ и реальныхъ училищахъ, а также были разсмотрѣны нѣсколько западно-европейскихъ учебниковъ, приспособленныхъ къ новымъ требованіямъ1). Затѣмъ Общество избрало комиссію для составленія новаго учебнаго плана. Проектъ новаго учебнаго плана, выработанный въ комиссіи, былъ доложенъ и единогласно одобренъ въ засѣданіи Общества 14 мая 1907 г. Однако, К. Ф.-М. О. не считаетъ еще свою задачу выполненною, такъ какъ учебный планъ, въ особенности содержащій нововведенія, можетъ быть яснымъ, понятнымъ и, слѣдовательно, удовлетворять своей цѣли только тогда, когда сопровождается обстоятельною и подробною объяснительною запискою. Между тѣмъ близость экзаменаціоннаго періода и обремененіе членовъ Общества обязательными занятіями не дали возможности вторую, быть можетъ, наиболѣе важную половину поставленной задачи закончить съ достаточною полнотою раньше наступленія лѣтнихъ каникулъ. Поэтому К. Ф.-М. О. рѣшило отложить составленіе подробной объяснительной записки къ плану до будущаго осенняго семестра, одобренный же Обществомъ планъ напечатать, присоединивъ къ нему препроводительную записку, содержащую лишь указанія на основныя положенія и мотивы, и помѣстивъ рядомъ съ текстомъ плана краткія методическія примѣчанія въ тѣхъ мѣстахъ, которыя, по мнѣнію Общества, могутъ представлять неясности. Проектъ учебнаго плана въ такомъ видѣ постановлено послать въ Управленія Министерства Народнаго Просвѣщенія и Кіевскаго Учебнаго Округа, извѣстнымъ преподавателямъ математики, а также во всѣ мужскія среднія учебныя заведенія Кіевскаго Учебнаго Округа, въ надеждѣ, что въ теченіе лѣтнихъ каникулъ лица, интересующіяся учебнымъ дѣломъ въ Россіи, успѣютъ ознакомиться съ проектомъ и, быть можетъ, пожелаютъ подѣлиться съ

1) Отчеты и протоколы Кіевскаго Физико-Математическаго Общества за 1906-7 г.

К. Ф.-М. О. своими заключеніями. Всякія указанія и замѣчанія, касающіяся проекта, будутъ приняты Обществомъ съ глубокою благодарностью1).

Г. Попечитель Кіевскаго Учебнаго Округа Петръ Алексѣевичъ Зиловъ далъ разрѣшеніе напечатать проектъ плана въ приложеніяхъ къ Циркуляру по Учебному Округу, за что К. Ф.-М. О. приноситъ ему искреннюю благодарность.

Не считая цѣлесообразнымъ дѣлать коренную ломку всего учебнаго плана по математикѣ, К. Ф.-М. О. рѣшило внести въ нынѣ дѣйствующій учебный планъ лишь самыя необходимыя измѣненія. Съ одной стороны, рѣзкія перемѣны программъ часто не достигаютъ цѣли, натолкнувшись на неподготовленность учительскаго персонала, а съ другой стороны, увеличеніе объема курсовъ по математикѣ должно быть согласовано съ числомъ недѣльныхъ часовъ, отводимыхъ для уроковъ этого предмета безъ ущерба для другихъ. По мнѣнію К. Ф.-М. О., достаточное улучшеніе преподаванія математики можетъ быть достигнуто съ сохраненіемъ нынѣшняго числа недѣльныхъ уроковъ по математикѣ во всѣхъ классахъ за исключеніемъ VII-го и VIIІ-го, гдѣ необходимо добавить еще по одному часу. При этомъ, конечно, придется выпустить изъ нынѣ дѣйствующихъ программъ нѣкоторые отдѣлы, не имѣющіе самостоятельной цѣнности, и въ особенности такіе, которые приводятъ къ утомительнымъ передѣлкамъ. Кромѣ того, вообще въ теченіе всего курса необходимо будетъ избѣгать слишкомъ сложныхъ вычисленій и выкладокъ, а также задачъ—загадокъ, требующихъ особой сообразительности. Такимъ образомъ, на математику въ каждомъ классѣ будетъ отведено по 4 недѣльныхъ часа, кромѣ V-го, гдѣ желательно сохранить теперешніе 5 часовъ, и, слѣдовательно, общая сумма часовъ ио математикѣ будетъ 33. Наша средняя школа по своему типу наиболѣе близка къ школѣ германской. Тамъ, по Меранскому проекту, предположено во всѣхъ 9 классахъ (отъ сексты до оберъ-примы) по 4 недѣльныхъ урока математики. Секста, по программамъ и возрасту учениковъ, можетъ быть приравнена нашему первому классу, слѣдовательно, общее число часовъ по математикѣ, ио германскому проекту, будетъ 36. Для французскихъ лицеевъ, вслѣдствіе разнообразія ихъ типовъ, трудно сдѣлать точный учетъ; общее число уроковъ математики колеблется здѣсь, въ зависимости отъ характера школы, отъ 23^ до 46, не считая уроковъ геометрическаго черченія. Во всякомъ случаѣ, предположенія К. Ф.-М. О. едва ли можно считать преувеличенными.

1) Адресовать просятъ на имя предсѣдателя Общества профессора Гавріила Константиновича Суслова; Кіевъ, Тимоѳеевская, 6.

Изъ нынѣ дѣйствующихъ программъ могутъ быть исключены слѣдующіе отдѣлы:

Ариѳметика.

Церковно-славянская нумерація (можетъ быть пройдена попутно при изученіи церковно-славянскаго языка).

Пропорціи (отнесены къ алгебрѣ).

Правило учета векселей и цѣпное правило.

Признаки, необходимые и достаточные для обращенія обыкновенныхъ дробей въ десятичныя даннаго тина, а также для обратнаго перехода отъ десятичныхъ дробей къ обыкновеннымъ.

Алгебра.

Извлеченіе квадратнаго корня изъ многочленовъ.

Извлеченіе кубическаго корня изъ чиселъ.

Непрерывныя дроби.

Теорія соединеній.

Биномъ Ньютона.

Рѣшеніе системы линейныхъ уравненій по способу Безу.

Геометрія.

Условія равенства трегранныхъ угловъ, равенства и подобія призмъ и пирамидъ.

Отношенія поверхностей и объемовъ подобныхъ цилиндровъ и конусовъ.

Въ основу курсовъ ариѳметики и алгебры должны быть положены двѣ главныхъ идеи: первая—развитіе понятія о числѣ (отъ цѣлаго положительнаго до комплекснаго) въ зависимости отъ послѣдовательно вводимыхъ новыхъ операцій и вторая—выясненіе и раскрытіе понятія о функціональной зависимости величинъ. Первая идея, помогая математическому развитію учащихся, объединяетъ и связываетъ въ одно стройное цѣлое всю систему разнообразныхъ дисциплинъ, преподаваемыхъ въ теченіе всего курса. Безъ второй идеи лица, окончившія среднюю школу и не получившія спеціально математическаго высшаго образованія, были бы лишены могущественнаго орудія для міропознаванія. Функціи нужны не только натуралисту, безъ нихъ теперь не обойдется и соціологъ. Вообще, въ настоящее время нѣтъ ни одной области человѣческаго знанія, куда не входили бы понятія о функціяхъ и ихъ графическомъ представленіи. Неудивительно, что во всѣхъ программахъ западно-европейскихъ школъ, хотя бы ультраклассическаго типа съ двумя древними языками1),

1) Ср. программы франц. лицеевъ типа А и В.

ученію о функціяхъ отведено широкое мѣсто. Понятіе о функціи не можетъ быть раскрыто съ достаточною полнотою и ясностью безъ помощи аналитической геометріи и началъ дифференціальнаго исчисленія, поэтому въ курсъ средней школы должны быть введены, въ возможно краткой формѣ, элементы высшей математики.

Главною цѣлью курса геометріи должно быть качественное и количественное изученіе пространственныхъ формъ и развитіе пространственныхъ представленій, при чемъ и въ геометріи необходимо не отказываться отъ разсмотрѣнія образовъ вида перемѣннаго, уясняя на нихъ хотя бы качественную функціональную зависимость однихъ геометрическихъ элементовъ отъ другихъ. Не малую пользу для развитія пространственныхъ представленій можетъ принести изученіе законовъ симметріи,, гомотетіи, перемѣщенія фигуръ, а также надлежащимъ образомъ согласованное съ теоретическимъ курсомъ геометрическое черченіе. Для правильной постановки преподаванія геометріи въ среднеучебныхъ заведеніяхъ настоятельно необходимо, какъ показываетъ примѣръ западноевропейскихъ и американскихъ школъ, возможно раннее введеніе пропедевтическаго курса этой науки. Систематическій курсъ геометріи ІV класса представляетъ для учениковъ большія трудности, если предварительно основныя геометрическія представленія не выработаны у нихъ путемъ психологическимъ. Желательно, затѣмъ, чтобы лица, окончившія хотя бы первые три класса гимназій, унесли съ собою кругъ свѣдѣній, сколько-нибудь законченный; а развѣ можно говорить о законченности при отсутствіи представленій о простѣйшихъ пространственныхъ формахъ. Наконецъ, безъ такого курса ученики младшихъ классовъ не въ состояніи сознательно изучать географію и естествознаніе, гдѣ на каждомъ шагу встрѣчаются понятія о кругѣ, поперечникѣ, углѣ и т. п.

Сокращеніе курса плоской тригонометріи или распредѣленіе его на два года1), кромѣ практическихъ неудобствъ для преподаванія другихъ предметовъ, напр., физики, едва ли цѣлесообразно. Раздѣленіе этого простого и яснаго курса на два нарушило бы его логическую стройность, а сокращеніе гоніометріи до минимума, необходимаго для рѣшенія треугольниковъ, не внося какихъ-либо существенныхъ облегченій, лишило бы курсъ средней школы поучительныхъ примѣровъ на простѣйшія трансцендентныя функціи съ ихъ замѣчательными свойствами.

Неудовлетворительность результатовъ, достигаемыхъ среднею школою, зависитъ въ значительной степени отъ плохой подготовки дѣтей, принимаемыхъ въ гимназіи. Поэтому К. Ф.-М. О. сочло не лишнимъ присоеди-

1) Какъ, напр., проектировала подкомиссія Н. И. Билибина въ 1900 г-

нить къ проекту плана условія для пріема въ приготовительный классъ. Условія эти, по объему знаній, не отличаются отъ тѣхъ, которыя примѣняются и теперь, но только требуютъ отъ поступающихъ болѣе правильнаго развитія, согласно указаніямъ современной методики.

К. Ф.-М. О. не скрываетъ отъ себя всѣхъ тѣхъ затрудненій, которыя могло бы встрѣтить примѣненіе на практикѣ настоящаго учебнаго плана. На первыхъ порахъ дѣло тормозилось бы отсутствіемъ приспособленныхъ учебниковъ, неподготовленностью преподавателей,—вообще, трудностью и для учащихся и для учащихъ перехода отъ рутинныхъ пріемовъ къ новымъ. Быть можетъ, по примѣру Германіи, было бы цѣлесообразно ввести сначала, въ видѣ пробы, новый учебный планъ лишь въ нѣкоторыхъ учебныхъ заведеніяхъ1), подтвердить на опытѣ пригодность этого плана и затѣмъ уже постепенно расширять его примѣненіе. Во всякомъ случаѣ, всѣ эти временныя затрудненія скоро исчезнутъ, выйдутъ въ свѣтъ надлежащіе учебники, освоятся съ измѣнившимся положеніемъ дѣла ученики и преподаватели, а между тѣмъ новая струя не схоластической, а живой науки вольется въ нашу среднюю школу, оживитъ ее, одухотворитъ и поставитъ на надлежащую высоту. Думать иначе значило бы полагать, что задача, разрѣшенная Западною Европою, намъ не подъ силу, что источникъ духовныхъ силъ нашей великой родины, бившій свыше тысячи лѣтъ могучею струею, внезапно изсякъ.

1) Напр., въ гимназіяхъ города Кіева.

Требованія при поступленіи въ приготовительный классъ.

Основныя дѣйствія (устно) надъ цѣлыми числами въ предѣлѣ первой сотни.

Знакомство съ наиболѣе употребительными единицами мѣръ: аршинъ, сажень, вершокъ; фунтъ, пудъ; рубль, копейка; часъ, минута, сутки. Умѣнье непосредственно измѣрить длину и прочесть показанія циферблата часовъ.

Понятіе о доляхъ (половина, четверть, треть).

Нумерація въ предѣлѣ первой тысячи. Сложеніе и вычитаніе устно (особые случаи) и письменно въ предѣлѣ первой тысячи.

Устное рѣшеніе задачъ; запись рѣшенія.

При обученіи надо обратить вниманіе на постепенный переходъ отъ счета конкретнаго къ отвлеченному.

Дѣйствія надъ составными именованными числами по соображенію.

Приготовительный классъ.

(4 урока).

Основныя дѣйствія (устно и письменно) надъ цѣлыми числами въ предѣлѣ первой тысячи.

Продолженіе ознакомленія съ единицами мѣръ; кромѣ прежнихъ: футъ, дюймъ, верста; лотъ, золотникъ; недѣля, мѣсяцъ, годъ, секунда; ведро, бутылка; десть; денежные знаки. Упражненія въ непосредственномъ измѣреніи длинъ, промежутковъ времени и взвѣшиваніи тѣлъ.

Дальнѣйшее развитіе понятія о доляхъ и ознакомленіе съ простѣйшими дробями; дѣйствія надъ ними по соображенію.

Нумерація и основныя дѣйствія надъ цѣлыми числами до 1000000 (множитель не долженъ имѣть болѣе трехъ знаковъ, а дѣлитель—двухъ).

Сложеніе и вычитаніе на счетахъ.

Сознательность при производствѣ дѣйствій..

Желательно, чтобы со счетами, какъ съ нагляднымъ пособіемъ при изученіи нумераціи, дѣти были знакомы до поступленія въ приготовительный классъ.

Рѣшеніе задачъ съ обращеніемъ особаго вниманія на устный счетъ; планъ (устно) рѣшенія задачи.

Ознакомленіе на окружающихъ предметахъ и моделяхъ съ кубомъ, прямоугольнымъ брускомъ (грань куба, прямая линія, точка, двугранный и трегранный уголъ, линейный уголъ, квадратъ, прямой уголъ, прямоугольникъ) и шаромъ (кругъ, окружность, центръ, радіусъ, діаметръ).

Вычерчиваніе упомянутыхъ плоскихъ фигуръ.

Первый классъ.

(4 урока).

Нумерація и основныя дѣйствія надъ цѣлыми числами любой величины.

Измѣненіе результатовъ дѣйствій въ зависимости отъ измѣненія данныхъ (практически на задачахъ).

Систематическій курсъ именованныхъ чиселъ.

Приведеніе въ систему таблицъ мѣръ и раньше выработанныхъ пріемовъ дѣйствій надъ составными именованными числами съ указаніемъ на болѣе цѣлесообразные.

Окончаніе начальнаго курса обыкновенныхъ дробей.

Полученіе дроби при дѣленіи одного числа на другое, сложеніе и вычитаніе дробей въ простѣйшихъ случаяхъ съ разными знаменателями, нахожденіе части цѣлаго и цѣлаго по части.

Пропедевтическій курсъ десятичныхъ дробей (десятыя, сотыя, тысячныя): нумерація; сложеніе и вычитаніе; умноженіе и дѣленіе на цѣлое число.

Ознакомленіе съ метрической системой (метръ, сантиметръ, миллиметръ, километръ; граммъ, килограммъ). Понятіе о процентѣ.

Рѣшеніе задачъ съ обращеніемъ особаго вниманія на устный счетъ.

Повтореніе геометрическаго матеріала приготовительнаго класса.

Ознакомленіе съ треугольной призмой (треугольникъ, косой уголъ), правильной шестиугольной призмой (параллельныя прямыя и грани, острый и тупой уголъ, многоугольникъ) и пирамидой съ произвольнымъ основаніемъ (многогранный уголъ, равнобедренный и равносторонній треугольникъ).

Вычисленіе площади прямоугольника; квадратныя мѣры.

Вычерчиваніе вышеупомянутыхъ плоскихъ фигуръ съ помощью линейки, треугольника и циркуля. Вычерчиваніе тѣхъ же плоскихъ фигуръ по заданнымъ размѣрамъ. Линейный масштабъ.

Второй классъ.

(4 урока).

Повтореніе матеріала перваго класса.

Признаки дѣлимости на 10, 2, 5, 4, 25, 9, 3.

Разложеніе чиселъ на первоначальные множители. Наименьшее кратное (способомъ разложенія на множители).

Дѣйствія надъ обыкновенными и десятичными (конечными) дробями какъ отвлеченными, такъ и именованными (курсъ систематическій). Выраженіе десятичныхъ чиселъ съ точностью до единицы любого порядка или разряда. Понятіе о періодической дроби.

Обратить вниманіе на опредѣленія; вводить болѣе общія и точныя.

Дальнѣйшее ознакомленіе съ метрической системой мѣръ.

Рѣшеніе задачъ съ обращеніемъ особаго вниманія на устный счетъ; составленіе плана рѣшенія задачи.

Вычисленіе площадей треугольника, многоугольника. Опредѣленіе длины окружности и площади круга (практически). Вычисленіе объема прямоугольнаго параллелепипеда; кубическія мѣры.

Ознакомленіе съ цилиндромъ и конусомъ (кривая поверхность и плоскость).

Вычерчиваніе соотвѣтственныхъ плоскихъ фигуръ при помощи линейки, треугольника и циркуля. Транспортиръ и измѣреніе имъ угловъ.

Третій классъ.

(4 урока).

Повтореніе матеріала второго класса.

Рѣшеніе типичныхъ задачъ (способомъ приведенія къ единицѣ) съ обращеніемъ особаго вниманія на прямую и обратную пропорціональность; понятіе объ отношеніи.

Связное устное и письменное объясненіе задачъ.

Повторительный курсъ ариѳметики.

Задачи на такъ называемое простое и сложное тройное правило, правило процентовъ, пропорціональнаго дѣленія и смѣшенія перваго и второго рода. Въ предыдущихъ классахъ рѣшеніе такихъ же задачъ по соображенію.

Упражненія, служащія для перехода отъ ариѳметики къ алгебрѣ; формула рѣшенія задачи; составленіе формулы и ея вычисленіе; задачи частныя и общія; числа частныя и общія; частныя и общія формулы; обозначеніе общихъ чиселъ.

Главная цѣль-выработка понятія объ общемъ числѣ.

Алгебраическое знаконоложеніе; порядокъ дѣйствій въ формулѣ и употребленіе скобокъ; чтеніе алгебраическихъ формулъ.

Писаніе формулъ подъ диктовку.

Одночлены и многочлены. Сложеніе и вычитаніе одночленовъ и многочленовъ. Отрицательныя числа. Умноженіе одночленовъ и многочленовъ.

Формальное опредѣленіе отрицательныхъ чиселъ.

Простѣйшія численныя уравненія первой степени съ одной неизвѣстной. Составленіе уравненій изъ условій задачи.

Вычисленіе объемовъ призмъ, пирамидъ, цилиндра, конуса и шара (практически).

Четвертый классъ.

(4 урока).

Алгебра. Повтореніе алгебраическаго матеріала третьяго класса.

Дѣленіе одночленовъ и многочленовъ (съ численными коэффиціентами).

Избѣгать сложныхъ примѣровъ дѣленія.

Разложеніе многочленовъ на множители (простѣйшіе случаи).

Избѣгать искусственныхъ пріемовъ.

Алгебраическія дроби.

Геометрическія отношенія и пропорціи. Понятіе о средне - геометрическомъ и средне-ариѳметическомъ количествѣ.

Уравненія первой степени съ одной и многими неизвѣстными (способъ подстановки и способъ сложенія и вычитанія). Составленіе такихъ уравненій изъ условій задачъ.

Доказательство теоремъ объ эквивалентности уравненій въ этомъ классѣ необязательно, но упоминаніе о нихъ необходимо.

Развитіе понятія о функціональной зависимости.

Геометрія. Геометрическое тѣло, поверхность, линія, точка. Фигуры, ихъ подвижность. Прямая и ея свойства. Плоскость. Понятіе объ окружности. Углы. Треугольникъ. Условія равенства треугольниковъ. Соотношеніе между элементами треугольника. Симметрія относительно прямой. Параллельныя прямыя. Многоугольники; четыреугольники. Объ окружности: свойства хордъ, сѣкущихъ и касательныхъ. Относительное положеніе двухъ окружностей.

Измѣняемость треугольника въ зависимости отъ измѣненія элементовъ.

Основныя задачи на построеніе. Численные примѣры.

Методъ геометрическихъ мѣстъ.

Пятый классъ.

(5 уроковъ).

Алгебра. Возвышеніе въ степень одночленовъ и извлеченіе изъ нихъ корней (точныхъ). Возвышеніе многочленовъ въ квадратъ. Извлеченіе квадратныхъ корней изъ чиселъ. Понятіе объ ирраціональномъ числѣ въ связи съ понятіемъ о безконечно-малой и предѣлѣ. Принципъ приближеннаго вычисленія. Понятіе о дѣйствіяхъ надъ ирраціональными числами.

Дѣйствія надъ квадратными радикалами. Освобожденіе знаменателя дроби отъ квадратныхъ радикаловъ.

Квадратныя уравненія и разложеніе квадратнаго трехчлена на множители.

Рѣшеніе уравненій типа: ахи-\-Ъ—0, ах2п-\-Ъхп-\-+с=0 для п=2;3.

Простѣйшія совмѣстныя уравненія второй степени съ двумя неизвѣстными.

Рѣшеніе уравненій, въ которыя неизвѣстное входитъ подъ знакомъ квадратнаго радикала.

Графическое представленіе линейной и квадратной функціи одного перемѣннаго (прямая, парабола).

Геометрія. Повтореніе геометрическаго матеріала предыдущаго класса.

Перемѣщеніе фигуръ въ плоскости; перемѣщеніе вращательное и поступательное; центръ вращенія; поступательное перемѣщеніе, какъ предѣльный случай вращательнаго.

Измѣреніе величинъ. Измѣреніе угловъ въ кругѣ. Подобіе треугольниковъ и многоугольниковъ. Подобное расположеніе (гомотетія) фигуръ относительно центра (частный случай—симметрія относительно точки). Пантографъ. Метрическія соотношенія между линейными элементами треугольника и четыреугольника. Правильные многоугольники. Площади прямолинейныхъ фигуръ. Длина окружности; понятіе о вычисленіи тг; площадь круга.

 

Построеніе простѣйшихъ линейныхъ формулъ. Нетрудный задачи на построеніе. Задачи на вычисленіе; вычисленіе по приближенію.

Распредѣленіе задачъ по методамъ; методъ подобія.

Шестой классъ.

(4 урока).

Алгебра. Понятіе о многозначности корня п-ой степени (на частныхъ примѣрахъ для показателя, равнаго двумъ и тремъ). Дѣйствія надъ радикалами. Обобщеніе понятія о показателѣ (показатели отрицательные, дробные и ирраціональные); дѣйствія надъ степенями съ дробными и отрицательными показателями.

Логариѳмы. Графическое представленіе логариѳмической функціи и принципа линейнаго интерполированія.

Ариѳметическая и геометрическая прогрессіи. Приложеніе къ обращенію десятичныхъ дробей въ обыкновенныя.

Рѣшеніе задачъ.

Можно ограничиться формулой единовременнаго взноса.

Геометрія. Взаимное положеніе точекъ, прямыхъ и плоскостей въ пространствѣ. Многогранники. Измѣреніе поверхностей и объемовъ призмъ и пирамидъ. Тѣла вращенія: цилиндръ, конусъ и шаръ; измѣреніе ихъ поверхностей и объемовъ

Указать на теорію проекцій, симметрію относительно прямой, плоскости и точки.

Седьмой классъ.

(4 урока).

Алгебра. Изслѣдованіе уравненій первой степени съ одной и двумя неизвѣстными (матеріалъ для задачъ по преимуществу изъ геометріи).

Неравенства; рѣшеніе неравенствъ первой степени съ одной неизвѣстной.

Приложеніе теоріи неравенствъ къ приближенному вычисленію.

Неопредѣленныя уравненія; рѣшеніе неопредѣленнаго уравненія первой степени съ двумя неизвѣстными въ цѣлыхъ и положительныхъ числахъ.

Обзоръ функцій, разсмотрѣнныхъ въ алгебрѣ, геометріи, тригонометріи и физикѣ; графическое представленіе этихъ функцій. Функція линейная, квадратная, отношеніе линейныхъ (гипербола), логариѳмическая, синусъ, тангенсъ. Приращеніе функціи при конечномъ приращеніи независимаго перемѣннаго (на простѣйшихъ примѣрахъ). Понятіе о непрерывности функціи.

Теорія предѣловъ (предѣлъ суммы, произведенія, частнаго). Нахожденіе истиннаго значенія неопредѣленнаго выраженія — •

Понятіе о производной; ея графическое представленіе. Производныя функцій: ах-\-Ь, ах2-\-Ьх-\-с и — •

Признаки возрастанія и убыванія функціи.

Понятіе объ интегралѣ; графическое представленіе площадью.

Тригонометрія. Обобщеніе понятія объ углѣ. Единицы угловъ (прямой, градусъ, радіанъ).

Тригонометрическія функціи. Ихъ нули и безконечности. Формулы приведенія тригонометрическихъ функцій. Періодичность, четность и нечетность тригонометрическихъ функцій.

Понятіе о функціяхъ обратныхъ тригонометрическимъ; ихъ многозначность.

Соотношеніе между тригонометрическими функціями одного и того же аргумента. Теорема сложенія; тригонометрическія функціи двойного и половиннаго аргумента. Приведеніе тригонометрическихъ формулъ къ виду, удобному для логариѳмированія.

Тригонометрическія таблицы.

Рѣшеніе треугольниковъ.

Приложеніе тригонометріи къ топографіи.

Восьмой классъ.

(4 урока).

Повтореніе всего пройденнаго съ необходимыми дополненіями, обобщеніями и систематизаціей. Рѣшеніе задачъ на всѣ отдѣлы.

Ариѳметика и алгебра. Развитіе понятія о числѣ.

Обобщеніе понятія объ операціи (законы перемѣстительный, сочетательный и распредѣлительный).

Отъ цѣлаго положительнаго до комплекснаго включительно.

Основныя теоремы о дѣлимости чиселъ (разложеніе на первоначальные множители единственно; дѣлимость произведенія и на произведеніе). Общій наибольшій дѣлитель послѣдовательнымъ дѣленіемъ (теорія для двухъ чиселъ).

Теорема о дѣлимости многочлена отъ х на х—а; теоремы Безу.

Эквивалентность уравненій.

Классификація функцій: алгебраическія и трансцендентныя, раціональныя и ирраціональныя, цѣлыя и дробныя. Функціи прямая и обратная.

Геометрія. Опредѣленія, аксіомы, теоремы. Связь между теоремами.

Методы доказательствъ со стороны геометрической и логической.

Методы изслѣдованія.

Аналитическая геометрія. Понятіе о координатахъ. Разстояніе между точками. Прямая линія. Каноническія уравненія эллипса, гиперболы и параболы.

Постулатъ Эвклида.

На окончательныхъ испытаніяхъ необходимо обращать вниманіе не столько на обиліе формальныхъ знаній, сколько на математическое развитіе испытуемыхъ и умѣніе ихъ послѣдовательно излагать свои мысли точнымъ языкомъ. Для двухъ письменныхъ испытаній, общихъ для всѣхъ отдѣловъ математики, желательно: 1) письменное изложеніе какого-либо отдѣльнаго законченнаго вопроса теоріи, 2) рѣшеніе несложной задачи съ полнымъ ея изслѣдованіемъ и по возможности графической иллюстраціей.

Алфавитные указатели.

Числа относятся къ страницамъ этой книги.

I.

Андреевъ К. А. 13, 72.

Архимовичъ З. А. 80.

Базаревичъ М. Ѳ. 35.

Бассани (Bassani) 76.

Безу (Bezout) 7, 10, 21, 45, 125, 133,144.

Билибинъ Н. И. 35, 41, 51, 52, 53, 57, 60, 63, 121, 122, 130, 134.

Билимовичъ А. Д. 3, 38.

Боголѣповъ Н. П. 1, 3, 4, 13, 35, 41, 42, 53, 54, 55, 130.

Бугаевъ Н. В. 13, 66.

Ванновскій П. С. 4, 55, 58, 59, 61, 66, 105, 118, 119.

Виноградовъ П. Г. 16, 17, 42, 43, 125.

Витте С. Ю. 58.

Войнаховскій К. К. 14, 17, 51.

Воронецъ А. М. 13, 15, 26, 32.

Вороновъ А. Г. 49.

Вулихъ 3. 29.

Галанинъ Д. Д 16.

Гатлихъ А. Ѳ. 78, 79.

Гебель В. Я. 13. 16.

Глаголевъ А. Н 72, 77, 78.

Глазовъ В. Г. 118, 119.

Глазыринъ А. 115.

Гуревичъ В. Я. 58.

Gutzmer 129.

Давидовъ А. (авторъ изв. учебн.) 110.

Декартъ (Descartes) 109.

Дистервегъ А. (Diesterweg A.) 65.

Долгушинъ П. А. 3, 116.

Duisberg 129.

Дюрингъ Евг. (Dühring Е.) 83, 84, 86, 88, 125.

Dühring Ulrich (Дюрингъ Ульрихъ) 86.

Евтушевскій В. 115.

Егоровъ Ѳ. И. 13.

Жуковскій Н. Е. 13, 31.

Завадскій М. Р. 42.

Завадскій Н. 80, 89, 90—93, 101.

Зенгеръ Г. Э. 118.

Зеховъ И. И. 96.

Зиловъ П. А. 132.

Зонненштраль А. П. 96.

Ивановъ Г. И. 65.

Извольскій П. П. 59.

Исаенковъ В. Д. 14, 17, 130.

Кавальери Б. (Cavalieri В.) 27, 29.

Каганъ В. Ф. 76.

Фонъ Кауфманъ П. М. 120.

Кедровъ К. В. 42.

Кемпбель В. 102.

Кирпичниковъ А. И. 15, 17, 42, 43.

Киселевъ А. 87, 102.

Клейнъ Ф. (Klein F.) 88, 129.

Лагранжъ I. (Lagrange J.) 83, 84, 93.

Лаццери (Lazzen) 76.

Лейбницъ Г. (Leibnitz G.) 109.

Леоновичъ А. Ѳ. 15, 17.

Лорченко В. И. 3.

Мазингъ К. К. 13,15,16,19,21, 22, 32, 72.

Маклоренъ К. (Maclaurin С.) 93, 115.

Малининъ А. (авторъ изв. учебниковъ) 110.

Малининъ А. Г. 72.

Маракуевъ H. Н. 86.

Махъ (Mach) 70.

Миллеръ В. Ѳ. 14, 17.

Млодзѣевскій Б. К. 13, 14, 15, 22, 25, 30, 31, 32, 33, 34.

Муромцевъ А. 13. 43, 51.

Некрасовъ П. А. 3, 13, 31, 50, 130.

Ньютонъ И. (Newton I.) 7, 21, 23, 64, 67, 83,93, 106, 109, 110, 115, 125, 133.

Оглоблинъ Н. В. 3.

Павловъ А. П. 31.

Парфентьевъ Н. Н. 66, 69, 70.

Пирожковъ М. В. 81.

Пиѳагоръ 78.

Поляковъ С. 105, 107, 109, 110, 112.

Poske 129.

П. С.—авторъ статьи въ „Русск. Шк.“ 105, 107.

Рекашевъ И. Г. 3.

Ройтманъ Д. 13. 80, 81, 84—88, 125.

Ролль (Rolle) 93.

Рыбкинъ Н. А. 13, 14, 20, 21.

Сидоровъ А. И. 31.

Соловьевъ М. П. 49.

Сонинъ Н. Я. 44.

С. П.—авторъ статьи въ „Пед. Cб.“ 66„ 107.

Степановъ С. Л. 53, 58, 118.

Страннолюбскій А. Н. 71, 72.

Сусловъ Г. К. 3, 96, 132.

Tannery J. 82.

Тихомировъ А. А. 119.

Тэйлоръ Б. (Taylor В.) 83, 93, 115.

Fricke 129.

Херсонскій Г. Х. 14, 30, 32.

Шереметевскій В. П. 66.

Шер—скій Вс. П. 108, 109.

Schotten 129.

Шохоръ-Троцкій С. И. 100, 101, 102.

Эйлеръ (Euler) 108.

Яницкій А. Н. 3.

Яновскій К. П. 54, 55, 119.

II.

Аксіомы 144.

„ о прямой 113.

Алгебра 62, 108.

„ характеръ преподаванія ея 83,110.

„ цѣль преподаванія ея 10. 23, 133.

„ начальный (пропедевтическій) курсъ—переходъ отъ ариѳметики къ алгебрѣ 23, 24, 25, 37, 68, 83, 92, 97, 112, 115, 139.

Алгебраическій анализъ 112.

Алгебраическій пріемъ рѣшенія ариѳметическихъ задачъ—см. Задачи.

Анализъ высшій (счисленіе безкон.-малыхъ величинъ, анализъ б.-мал. величинъ, ученіе о б.-м. вел.) 66, 83-84, 121, 122.

„ введеніе его въ курсъ средней школы 21, 22, 25, 26, 52, 67, 81, 86, 108, 122, 124.

„ примѣненіе его къ элементарной алгебрѣ 83.

„ примѣненіе его къ элемент. геометріи 68, 82, 84, 86, 125.

Аналитическая геометрія 121, 122.

„ введеніе ея въ курсъ средней школы 28, 29, 32, 49, 52, 53, 62, 63, 64, 67, 69, 72, 73, 79, 81, 89, 92, 93, 112, 134.

„ цѣль преподаванія ея 104.

Ариѳметика 62.

„ коммерческая 36.

„ общая 20, 24.

„ политическая 72.

„ прикладная 36.

„ пропедевтическій курсъ ариѳметики 20, 89, 91, 121.

„ систематическій курсъ 20, 89, 91.

„ постановка преподав. ариѳметики 9.

„ цѣль преподаванія ариѳметики 9, 133.

Ассимптоты 84.

Безконечно-большія величины 84.

Безконечно-малыя величины (неограниченно малыя) 68, 84, 112, 113, 141.

Безконечности тригонометр. функцій 143.

Биномъ Ньютона 7, 21, 23, 64, 67, 83, 93, 106, 110, 115, 125, 133.

Варіаціонное исчисленіе; введеніе его въ курсъ средней школы 84.

Вексель 19, 36.

Взвѣшиваніе тѣлъ 136.

Взгляды общіе на преподав. матем.— см. Указанія относительно препод.

Возвышеніе многочленовъ въ квадратъ 21, 48, 60, 141.

Высшая математика (новая математика); введеніе ея въ курсъ среди, школы 21, 25, 32, 34, 62—63, 67, 69, 87, 116, 117, 124, 134.

Вычерчиваніе плоскихъ фигуръ 137, 138, 139.

Вычисленіе длины, площадей, поверхностей, объемовъ—см. Измѣреніе. „ „ „ „ „ помощью интеграловъ 84, 115.

Вычисленіе 7Г 84, 141.

Вычисленія по приближенію—см. Приближенныя вычисленія.

Вычисленія съ данной точностью (съ даннымъ приближен.) 111, 114, 138.

Геометрія 116.

„ —основа обученія математикѣ 90, 101.

„ характеръ курса геом. 82, 134.

„ цѣль курса 11, 29, 134.

„ наглядная 78, 102.

„ приготовительный (пропедевтическій) курсъ геом. 29. 37, 38, 52, 62, 64, 77,82, 85,86,91,92, 97, 100-101, 110, 113, 115, 121, 125, 134, 137, 138, 139, 140.

„ „ необходимость и значеніе приготовит. курса 61, 64-65.

„ „ характеръ его 77, 81, 101—102.

„ „ распредѣленіе его по концентрамъ 101, 115.

„ соединеніе его съ рисованіемъ 82.

„ геометрическія понятія въ географіи 65, 101.

„ систематическій курсъ геом. 8, 28, 29, 38, 60, 61, 77, 81, 91, 100, 102, 113, 115, 134.

„ сконцентрированный курсъ геометріи 82, 87.

Гипербола 77, 143.

„ уравненіе ея 144.

Гомотетія (подобное расположеніе) 134, 141.

Гоніометрія (ученіе о тригон. функціяхъ) 30, 33, 62, 65, 69, 134.

Графическое представленіе (графики) функцій 79, 113, 116,133, 141, 142,143.

Дифференціальное исчисленіе; программа 93, 114—115, 116.

„ введеніе его въ курсъ средней школы 67, 87, 89, 92, 134.

Дифференціальныя уравненія 84.

Дифференцированіе функцій 69, 93, 114-115.

Догматическая форма обученія математикѣ 9.

Доказательство теоремъ въ ариѳметикѣ 9.

Дополненія въ курсѣ математики—см. Обобщенія.

Дроби—алгебраическія 106.

„ десятичныя 133, 138.

„ „ періодическія 7,11,18, 36,45,50, 57, 68, 74, 92, 106,107, 108, 109, 138.

„ непрерывныя 7, 21, 37, 39, 45, 48, 56, 74, 83, 92, 98, 110, 125, 133.

„ пропедевтическій курсъ дробей (простѣйшія дроби) 7, 20, 45, 52, 56, 60, 97, 116, 137.

„ дѣйствія надъ ними по соображенію 137.

„ пропедевтическій курсъ десятичныхъ дробей 138.

Дробные показатели 7, 22, 23, 38, 56.

Дѣйствія надъ многочленами 21, 22.

„ „ „ при буквенныхъ показателяхъ 21, 22.

Дѣленіе многочленовъ 7, 22, 24.

„ „ частные случаи 21.

Дѣленіе прямой въ крайнемъ и среднемъ отношеніи 106.

Единицы мѣръ 50, 97, 136, 138.

„ угловъ 143.

Задачи 33, 132.

„ матеріалъ для нихъ (содержаніе задачъ) 19, 33, 142.

„ роль ихъ въ курсѣ математики 33-34, 50, 125.

Задачи въ ариѳметикѣ; введеніе задачъ на различныя правила въ курсъ I и II класса 37.

„ „ выдѣленіе задачъ на различныя правила 18—19, 109.

„ „ типичныя задачи 139.

„ „ характеръ ихъ 36.

„ „ обобщеніе задачъ (общая задача) 24, 25, 115.

„ „ рѣшеніе задачъ 137, 138, 139.

„ „ „ письменное, устное 6, 136.

„ „ „ по соображенію 19, 139.

„ „ „ при помощи уравненій (алгебраич. пріемъ) 89, 90, 91, 97, 106, 109.

„ „ планъ рѣшенія 137, 139.

„ „ объясненіе рѣшенія 139.

Задачи въ ариѳметикѣ—на вычисленіе времени 50.

„ „ на квадратн. и кубич. мѣры (на вычисленіе площадей и объемовъ) 50, 97, 138, 139, 140.

„ „ на пропорціональное дѣленіе 7, 50, 92, 93, 97, 139.

„ „ на проценты 7, 92, 93, 106, 139.

„ „ на смѣшеніе 7,18, 45, 56, 93,97, 106, 139.

„ „ на тройное правило 7, 18, 68, 89, 90, 92, 106, 109, 139.

„ „ на уравненіе сроковъ платежей 36.

„ „ на учетъ векселей 7, 18, 56, 92, 125, 133.

„ „ на цѣпное правило 7, 18, 56, 92, 106, 125, 133.

Задачи въ алгебрѣ 23,83, 107, 142, 143.

„ „ о рѣшеніи ихъ 24.

„ „ на сложные проценты 21, 38, 39, 72, 142.

„ „ на срочные вклады и уплаты 21, 37, 39.

Задачи геометрическія 11, 91.

„ „ на вычисленіе 11, 33, 48, 82, 113, 140, 142.

.. „ на построеніе 11, 25, 26, 38, 45, 48, 69, 82, 114, 140, 142.

„ „ на доказательство 25, 26.

„ „ съ примѣненіемъ тригонометріи 8.

Задачи въ аналитической геометріи 69.

Законы 4-хъ дѣйствій 112.

„ перемѣстительности 9, 68, 144,

„ сочетательности 68, 144.

„ распредѣлительности 68, 144.

Извлеченіе крадратнаго корня изъ чиселъ 7, 23,24, 68, 92, 93, 97, 112, 141.

,. „ „ изъ алгебраич. многочленовъ 7, 21, 37, 39, 45, 106, 125, 133.

„ кубическихъ корней изъ чиселъ 7, 21, 37, 39, 45, 56, 125, 133.

Измѣненіе результатовъ дѣйствій съ измѣненіемъ данныхъ 50, 67, 68, 111, 137.

Измѣняемость (измѣненіе) величинъ (функцій) 66,67,69, 103,104,108,110.

„ треугольника 140.

Измѣреніе непосредственное длины, промежутковъ времени и пр. 136.

„ (вычисленіе) площадей, поверхностей, объемовъ практич. (по вѣсу и т. п.) 114, 139, 140.

Изслѣдованіе уравненій 21, 22, 57, 67. 63, 69, 74, 77, 92, 98, 112, 115.

„ „ 1-й степени 6, 7, 23, 52, 56, 68, 142.

„ „ квадратныхъ 23, 68.

„ „ 2-ой степени съ 2 неизвѣстными (въ аналит. геом.) 69, 114.

Именованныя числа 19, 109, 137.

„ дѣйствія надъ сост. именован. числами по соображенію 19, 136.

Интегральное исчисленіе (интегрированіе функцій). Опредѣленные интегралы 93, 115.

„ „ введеніе интеграл. въ курсъ средней школы 84, 87, 89, 92, 115, 143.

„ „ программа курса 93.

Интерполяція (интерполированіе); графическое представленіе 77, 142.

Ирраціональныя выраженія—см. Радикалы.

Ирраціональныя (несоизмѣримыя) числа—см. Число.

Исторія математики; каѳедра ея въ университетѣ 127.

„Исчисленіе“ 92, 93.

Касательныя 84, 115, 140.

Квадратура кривыхъ 84, 93.

Классъ приготовительный. Программа курса 72, 73, 136—137.

„ І-й „ „ 6, 36, 45, 47, 60, 67, 78, 97, 137—138.

„ II-й „ „ 36, 45, 47, 60, 68, 78,97, 138-139,

„ ІІІ-й „ 7, 22, 24, 29, 36, 37, 38, 45, 47, 57, 60, 61, 68, 97, 100, 106, 139-140.

,. ІV-й „ * 7, 8, 23, 24, 28, 29, 37, 38, 39, 47, 60, 69, 97, 102, 140.

* V-й „ „ 7, 8, 22, 23, 24, 28, 29, 38, 39, 47, 60, 68, 97, 102, 141—142.

„ VI-й „ „ 8, 22, 23, 28, 30, 38, 39, 47, 48, 57, 60, 62, 68, 98, 102, 142.

„ VIІ-й „ „ 7, 8, 23, 28. 30, 37, 38, 39, 45, 48, 57, 60, 62, 69, 98,102,103, 142—143.

Классъ VIII-й. Программа курса 7, 8, 18, 23, 28, 38, 45, 46, 48, 49, 143-144.

„ дополнит. (VII-й) р. уч. Программа курса—см. Классъ VII-й.

Комплексныя количества 21, 23.

Коническія сѣченія 84, 104.

Концентрація элементарной программы 81, 87.

Концентрическое распредѣленіе учебнаго матеріала въ математикѣ 61, 85, 89, 112, 125.

„ „ „ „ въ геометріи 29, 91.

„ „ „ „ въ тригонометріи — см.

Тригонометрія.

Координаты 69, 104, 122, 124, 141.

,. методъ координатъ 22, 77, 93,108, 113.

„ значеніе метода координатъ 63.

Кривыя линіи 70.

„ „ 2-го порядка 69, 77, 112, 114.

„ „ эмпирическія 70, 77.

Круглыя тѣла (цилиндръ, конусъ, шаръ)—тѣла вращенія 27, 28, 48, 51, 78, 102, 113, 114, 137, 139, 142.

Кругъ 27, 51, 77, 78, 113, 134, 137.

„ площадь его 8, 27, 78, 102, 114, 139, 141.

Логариѳмъ и логариѳмическія вычисленія 69, 108, 114, 142.

„ таблицы логариѳмовъ четырехзначныя 23.

Логическій характеръ работы при. обученіи математикѣ 9.

Maxima и minima (наибольшія и наим. значенія велич.) 69, 84, 93, 112, 115.

„ „ трехчлена 2-й степени 22, 23, 39, 48, 60, 67.

Математика. Опредѣленіе ея 66.

„ необходимость реорганизаціи преподаванія ея 2, 81, 127, 129, 130.

., схоластика и рутина въ преподаваніи ея 2, 3, 62, 108, 126, 127.

„ характеръ преподаванія ея 2, 31, 50, 62—63, 89, 108—109.

цѣль (и значеніе) преподаванія ея 8, 31, 69, 81, 87, 108, 124.

„ „лабораторный способъ“ преподаванія 102.

Методы доказательствъ геометрич. истинъ 11, 75, 114, 144.

„ изслѣдованія 144.

Метрическая система мѣръ 97, 138, 139.

„Многодѣліе“ („многодѣльность“) въ ариѳметикѣ 19.

„ въ алгебрѣ 21.

Наглядность въ преподав. матем. 90.

Наглядныя пособія (модели) въ геометріи 29, 38, 113, 137.

Начертательная геометрія 84.

Неопредѣленныя уравненія (неопр. анализъ)—см. Уравненія.

Непрерывность величинъ (функцій) 34, 52, 66, 69, 76, 102, 112, 113, 114, 122, 143.

Неравенства 23, 48, 60, 97, 142.

„ 1-й степени съ 2 неизв. 7.

„ 2-й степени 23.

Нормали (нормальныя) 84, 115.

Нули тригонометрич. функцій 143.

Обновленіе преподаванія (перестройка) элементарной математики 52, 69, 83—84, 102, 122, 124.

Обобщеніе понятія о степени (условные показат.) 38, 57, 68, 98,115,141.

Обобщенія (систематизація) и дополненія (углубленіе и расширеніе) въ курсѣ математики 22, 32, 69,89, 122, 126, 143.

„ „ въ курсѣ ариѳметики 20,57, 60, 97, 144.

„ ,, „ въ курсѣ алгебры 48,98,144.

„ „ „ въ курсѣ геометріи 28, 144.

Обращеніе обыкн. дробей въ десятичныя и обратно 7, 11, 50, 57, 98, 133, 142.

Общій наибольшій дѣлитель 4, 9, 18, 36, 57, 60, 92, 144.

Общіе обзоры (общія положенія) проектовъ средней школы 13—17, 41—44, 53—54, 55-56, 118-120.

Объяснительныя записки къ программамъ (выдержки) 8—12, 19, 25, 31— 34, 50, 96, 104, 106.

„ вліяніе ихъ на преподаваніе 9,10, 11, 99, 126, 131.

Окружность 27, 51, 77, 78, 113, 137,140.

„ длина ея 8, 27, 78, 87, 102, 114, 139, 141.

„ уравненіе окружности 104.

„ кругъ, круглыя тѣла безъ теоріи предѣловъ 27, 51, 139.

Опредѣленіе отрицательныхъ чиселъ 139.

Опредѣленія 138, 144.

„ дѣйствій 9.

Опыты въ преподаваніи математики 75—76.

Отношенія 4, 36, 139.

„ геометрическія 24, 140.

„ несоизмѣримыхъ величинъ 11, 112, 113.

Отрицательные показатели (колич. съ отриц. показ.) 7, 10, 22, 23, 37, 56.

Отрицательныя числа 91, 109, 112,115, 139.

„ введеніе ихъ въ курсъ 25,91,139.

Парабола 77, 141.

„ уравненіе ея 104, 144.

Перемѣщеніе фигуръ въ плоскости 116, 134, 141.

Переходъ отъ ариѳметики къ алгебрѣ— см. Алгебра.

Періодичность измѣненія величинъ (періодичность функцій) 76,103,143.

Повтореніе пройденнаго курса (повторительные курсы) вообще 20, 56, 69, 72, 73, 89, 96, 116, 122, 126, 138, 139, 140, 141.

„ „ „ въ VIIІ классѣ 7, 20, 28, 45, 48, 57, 148.

„ „ „ ариѳметики 18, 20, 60, 97, 139.

Погрѣшность при вычисленіяхъ (см. Приближенныя вычисл.) 114, 126.

Подвижность фигуръ 140.

Подготовка поступающихъ въ среднюю школу 52, 88, 126, 134.

„ „ въ I кл., въ пригот.кл,—см. Требованія отъ поступающихъ.

Подготовка (педагогическая) преподавателей средней школы 127, 135.

Подобіе треугольниковъ 26, 78, 141.

„ многоугольниковъ 27, 74, 141.

„ многогранниковъ 27, 74.

„ призмъ и пирамидъ 38, 48, 60, 125, 133.

„ круглыхъ тѣлъ (цилиндровъ и конусовъ) 27, 38, 125, 133.

Показатели буквенные 21, 22.

Положеніе точекъ, прямыхъ и плоско стей въ пространствѣ—см. Стереометрія.

Постороннія рѣшенія (корни) уравненій 7, 10.

Построеніе раціон. и иррац. формулъ 28, 120, 141.

Построеніе уравненій по точкамъ 93.

Правила тройное, процентовъ и пр.— см. Задачи на правила.

Практическія упражненія (при изученіи математики) 8.

Предѣлъ 10, 98, 102, 104, 106. 107, 112, 113, 114, 141.

„ теорія предѣловъ (ученіе о предѣлахъ, методъ предѣловъ) 8,22, 27, 29, 67, 68, 69, 102, 110, 112, 114, 143.

Приближенныя вычисленія 37, 52, 67, 69, 74, 111, 114, 116, 121,126, 141,142.

„ распредѣленіе ихъ по курсу 37.

Признаки дѣлимости чиселъ 9,92,138.

„ „ „ на восемь 18, 36.

„ „ „ на шесть 18.

„ „ на двадцать пять 36.

Приложеніе алгебры къ геометріи 8, 27-28, 49, 56, 69, 98, 120, 122.

„ дифференц. и интегр. исч. къ геометріи 93.

Принципъ Кавальери 27, 29.

Причины отсутствія ясныхъ пространственныхъ представленій 26, 61, 65.

Проба сплава 36.

Программа математики 2, 3.

„ вліяніе программъ на улучшеніе преподаванія 126.

„ необходимость улучшенія ихъ 2, 3.

„ составленіе ихъ 89, 90.

„ точки зрѣнія на выработку ихъ 2, 99.

Программа математики въ средней школѣ 17-30, 67—68, 69, 112-115, 136-144.

„ „ въ гимназіяхъ 4, 5, 14, 15, 35, 44, 53, 131.

„ ,, „ о необязательности ея 6.

„ „ Н. И. Билибина 44—53, 121.

„ „ В. Я. Гуревича 58.

„ „ въ кадетскихъ корпусахъ 4, 95—104.

„ „ въ коммерческ. училищахъ 4, 74—79.

„ въ реальн. уч. 3, 4, 5, 6,15,21, 39, 45, 120-123.

Программа ариѳметики 6, 18—20, 20, 35-37, 39, 60, 68, 74, 97, 106, 136— 139

„ алгебры 7, 20—25, 24, 26, 37-38, 39, 60, 68-69, 74, 97, 98, 106,139— 144.

„ геометріи 8, 25—27, 28—29, 38, 39, 48, 60- 61, 68—69, 74, 100—102, 106—107, 140, 141, 142, 141.

„ „ приготовительнаго курса геометріи 78, 100, 113, 137, 138, 139, 140.

„ тригонометріи 30, 38, 39, 48, 62, 69, 76, 102-103, 143.

„ аналитической геометріи 52, 69, 77, 104, 144.

Программы западно-европ. школъ 20.

„ итальянскихъ 76.

„ прусскихъ 45.

„ французскихъ 20, 45, 85, 88, 93.

„ Меранская 88, 129, 132.

Прогрессіи 22, 23, 38, 39, 68, 98, 107, 115.

„ ариѳметическія 60, 83, 92, 93.

„ геометрическія (кратныя) 10, 48, 60, 83, 92, 106.

Проекціи (теорія) 142.

Проекціи на плоскости 48.

» тѣлъ 29.

Производныя функціи 68, 83, 93, 112, 143.

„ введеніе ихъ въ курсъ средней школы 67, 81.

Пропорціи 4, 18, 97, 113, 121, 125, 133.

„ ариѳметическія 36, 45, 56, 83, 92.

„ геометрическія 24, 92, 93, 97, 140.

„ производныя 21.

Процентъ 19, 36, 138.

Прямая линія 78, 100, 137, 140.

„ въ аналит. геом. 77, 104. 112, 114, 141, 144.

Психологическій характеръ работы при первонач. обуч. математикѣ 9.

„ „ „ при выработкѣ основныхъ геометр. представленій 29, 61, 91, 134.

Равенство призмъ и пирамидъ 27, 38, 48, 61, 125, 133.

„ трегранныхъ угловъ 125, 133.

Радикалы (ирраціон. выраженія) 7, 83, 114, 122, 111.

Радикалы; дѣйствія надъ ними 23, 47, 48, 68, 92, 97, 98, 141, 142.

Раздѣленіе геометріи (распредѣленіе геом. матеріала) по методамъ доказательствъ 75, 116, 125.

„ математики на элементарную и высшую 70, 81.

„ средней школы на отдѣленія (вѣтви, циклы) 16, 42, 55.

Разложеніе алгебраич. выраженій на множители 10, 106.

„ функцій въ ряды 93, 115.

Распредѣленіе курса математики въ средней школѣ по классамъ 6—8, 57, 67—69, 72, 73, 85—86, 88, 92—93.

„ „ ариѳметики 6—7, 20, 37, 39,97.

„ „ алгебры 7, 22—23, 24, 37—38, 39, 48, 97—98.

„ геометріи 8, 28, 29, 38, 39, 48, 100, 102.

„ „ тригонометріи 8, 30, 38, 39, 48, 85, 103.

„ „ аналитической геометріи 104.

Расширеніе курса математики въ среди, школѣ 81, 83—81, 108.

и ,. геометріи 25.

Реальное училище съ 8-лѣтнимъ курсомъ 43, 44, 54, 56.

Рутина и традиціи въ школьномъ дѣлѣ 3, 126.

Рѣшеніе (вычисленіе) треугольниковъ (въ тригон.) 30, 33, 48, 49, 62, 65, 69, 76, 103, 114, 121, 143.

Ряды чиселъ 67, 69, 112.

„ сходимость рядовъ 114, 115.

Семилѣтній составъ средней школы 39, 55, 59, 67, 85, 87, 112, 116.

Скобки 21, 139.

„ въ ариѳметикѣ 68, 111.

Символъ- (неопр. выраж. -^) 98, 143.

Символы: + оо, — оо, ^ 98.

Симметрія (въ геометріи) 116,134,142.

„ относительно прямой 100,140,142.

„ „ плоскости 142.

„ „ точки 141, 142.

Систематизація знаній—см. Обобщенія.

Согласованіе курса математики съ другими курсами 57—58, 66, 126.

Соединенія (теорія соединеній) 7, 21, 23, 64, 67, 72, 83, 93,106, 110, 125,133.

Сокращенія въ курсѣ математики 31, 32, 56, 67, 105, 108, 124.

„ „ „ ариѳметики 18, 35—36, 45, 56, 68, 74, 92, 106, 108, 121, 125 133.

„ „ „ алгебры 21, 37, 39, 45, 48, 56, 60, 67, 74, 83,92,106,110,121, 125 133.

„ „ „ геометріи 26—27, 29, 38, 39, 45, 60, 75, 82, 106, 121, 125, 133.

„ „ „ тригонометріи 56.

Сокращенныя (упрощенныя) вычисленія въ ариѳметикѣ 74, 111.

Соприкасающійся кругъ 84.

Способъ Безу (рѣшенія уравненій) 7, 21, 45, 125, 133.

„ вывода правилъ для производства дѣйствій (въ алгебрѣ) 99.

„ касательныхъ 84.

„ наложенія (методъ налож.) 11, 75, 78.

„ подобія (для рѣшенія геом. задачъ) 114, 142.

„ предѣловъ (методъ предѣловъ) 11, 84, 106, 110.

„ (рѣшенія задачъ) приведенія къ единицѣ 7, 18, 36, 106, 139.

г, пропорцій 7, 18, 56.

Способы (методы) доказательствъ геометрич. истинъ 11. 75, 116, 125, 144.

Спрямленіе кривыхъ 84, 93.

Стереометрія 38, 39, 48, 51, 69, 91, 93.

„ начальныя теоремы ея 8, 25, 26, 29, 48, 78, 102, 113, 141.

Сферическая тригонометрія 81.

Счеты (приборъ) 60, 137.

Таблицы числа уроковъ въ средней школѣ 17, 44.

Теорема Ролля 93.

Теоремы 11, 114, 144.

„ Безу 7, 10, 144

Теоретическій курсъ математики (теорія) 8, 34, 125.

Теорія вѣроятностей 72.

Требованія отъ поступающихъ въ І-й кл. 52, 86, 88, 97, 116, 121.

„ „ „ въ пригот. кл. 88, 134, 136.

Трегранные углы 27, 125, 133, 137.

Трехчленъ 2-й степени (квадратный трехчл.) 7, 22, 23, 39, 48, 60, 67, 141.

Тригонометрія 87, 108, 111.

„ раздѣленіе ея на 2 курса (концентра) 49, 62, 65, 85, 93, 103, 121, 122, 134.

„ характеръ преподаванія ея 84, 103.

w цѣль преподаванія 12, 30, 76.

Угломѣрные инструменты (съемка фигуръ, топографія) 8, 26, 56,113, 143.

Указанія (положенія, выводы) относительно преподаванія математики 8, 30-34, 50, 81- 85, 89, 96,108,124— 127.

„ „ ариѳметики 9, 74.

„ „ алгебры 10, 74.

., „ „ геометріи 11, 74.

„ „ тригонометріи 12, 74—76.

Уничтоженіе существующ. рѣшеній въ уравненіяхъ (введеніе новыхъ рѣшеній) 7,10.

Уравненія 24, 99.

„ вида ах2п+Ъх*+с=0 111.

„ высшихъ степеней 81, 83, 114.

., двучленныя 23, 141.

Уравненія линій 77, 104.

„ неопредѣленныя (неопр. анализъ) 6, 7, 23, 48, 56, 57, 60, 64, 67, 69, 83, 92, 98, 110, 142.

„ 1-й степени съ 1 неизв. 97, 113.

„ „ „ численныя (числовыя) 22,23, 24, 68, 91, 92, 113, 140.

„ приводящіяся къ квадратнымъ 22, 97, 141.

„ радикальныя (съ радикалами) 48, 57, 60, 98, 141.

„ тригонометрическія 49, 103, 107, 112, 114.

„ 4-й степени 83.

., теорія уравненій 23, 83, 115.

Устный счетъ (устныя задачи, умственный счетъ) 9, 10, 20, 67, 111, 126, 136, 137, 138, 139.

„ нормальная постановка его 9—10.

Учебная литература; ея характеръ 109

Учебникъ при преподаваніи математики 90, 96, 131, 134.

„ „ „ ариѳметики 91.

„ „ „ алгебры 98.

„ „ „ геометріи 76, 110, 116.

Учетъ векселя 36, 45, 106.

Философія математики; каѳедра ея въ университетѣ 127.

Формула ариѳметическая 68, 111, 139 „ общая, частная 115, 139.

„ Лагранжа 93.

„ Маклорена 93, 115.

„ Тэйлора 83, 93, 115.

Функціи 23, 66, 67, 68, 83, 93, 98, 108, 112, 113, 133, 134, 141, 143.

„ ф—ія ах 48, 77.

„ алгебраическія 69, 77,114,143,144.

„ логариѳмическія 77, 143.

„ первообразныя 84.

„ прямыя, обратныя 84, 144.

„ раціональныя, ирраціональныя 144.

„ трансцендентныя 69, 134, 144.

„ тригонометрическія, обратныя тригоном. (круговыя) 11, 76, 77, 103, 112, 114, 115, 121, 143.

„ функціи отъ функцій 84.

„ цѣлыя, дробныя 144.

„ эмпирическія 77.

„ явныя, неявныя 84.

„ теорія функцій 66, 67, 103.

Функціональная зависимость 34,52,66. 67, 69, 74, 76, 83, 86, 98, 102, 101, 108, 110, 113, 122, 124, 133, 134, 140.

Центръ вращенія 141.

„ подобія 100,141.

Циклы въ школѣ 16, 42, 55.

Цыфры (знаки) церк-славянскія (нумерація) 6, 18, 35, 45, 125, 133.

„ римскія 6, 45.

Черченіе 17, 27, 28, 29, 39, 44, 100, 102, 113, 132, 134.

Черченіе проекціонное 102, 121, 122.

Число; понятіе о числѣ 65,66,133,144.

„ дробное—см. Дроби.

„ ирраціональное (несоизмѣр.) 7, 24, 25, 26, 48, 68, 69, 74, 92, 97, 109, 112, 141.

„ комплексное 133, 144.

„ мнимое 92.

„ общее, частное ариѳметич. 25,115, 139.

„ отрицательное—см. Отриц. числа. „ первоначальное 57.

Число уроковъ по математикѣ; въ гимназіяхъ 6, 14, 15, 17, 37—38, 42, 44, 51, 54, 119, 120, 132.

„ „ въ реальн. уч 15,17, 39,43,44.

„ „ въ средней школѣ 16,17, 43, 44, 51, 56, 67—69, 85—86, 112, 132.

„ въ кадетскомъ корпусѣ 97—98, 100-104.

„ „ въ коммерческомъ училищѣ 72.

Школа „новаго типа“ П. Г. Виноградова 16, 20, 23, 125.

„ ., „ въ комиссіи Н. П. Боголѣпова 42, 44.

„ подготовительная 51, 119, 125.

Школы среднія западно-европ. 29,116, 125, 130, 134.

„ австрійскія 79.

„ германскія 63, 78, 129, 131, 132.

„ итальянскія 76.

„ французскія 63, 78, 125, 129, 132.

„ американскія 29, 125, 134.

Эквивалентность (равносильность) уравненій 98, 140, 144.

Экзаменъ по математикѣ 51- 52, 107, 144.

„ по геометріи 48.

„Экспериментальный“ способъ установленія теоремъ въ геометріи 91.

Элементарная математика; каѳедра ея въ университетѣ 127.

Эллипсъ 77.

„ уравненіе его 104, 144.

„Эмпирическій“ путь при добываніи математ. истинъ 111.

Замѣченныя погрѣшности.

Страница.

Строка.

Напечатано.

Слѣдуетъ.

3

15 св.

заграницей

за границей

13

12 св.

Н. А. Андреева

К. А. Андреева

49

11 св.

вѣсскими

вѣскими

68

5 сн.

несоизмѣримымм

несоизмѣримыми

88

5 сн.

стр. 188

стр. 85—86