СТУПЕНИ ЗНАНИЙ

МАТЕМАТИКА

В. В. Прасолов

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ДРЕВНЕГО МИРА

Библиотека СТУПЕНИ ЗНАНИЙ

Серия МАТЕМАТИКА

В. В. ПРАСОЛОВ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ДРЕВНЕГО МИРА

ФАЗИС Москва, 1997

ББК 22.151

П70 УДК 514.11

Прасолов В. В.

Геометрические задачи древнего мира. М.: ФАЗИС, 1997. — 225 с.

(Библиотека «Ступени знаний», серия «Математика») ISBN 5-7036-0030-8

Книга состоит из трех частей. В первой части рассказывается о геометрии древнего Египта, Вавилона, Китая и Индии. Вторая часть посвящена истории трех классических задач на построение — удвоению куба, трисекции угла и квадратуре круга. В третьей части приведены наиболее интересные задачи знаменитых древнегреческих геометров — Евклида, Архимеда и Паппа.

Для школьников, студентов и преподавателей.

Издательство ФАЗИС (ЛР № 064705 от 09.08.96) 123557 Москва, Пресненский вал, 42-44

ISBN 5-7036-0030-8

ФАЗИС, 1997

Предисловие

Книга состоит из трех частей, каждую из которых при желании можно читать независимо от других.

Первая часть посвящена математике, возникшей либо до классической греческой математики, либо независимо от нее, но одновременно с ней. Речь идет в основном о математике Египта, Вавилона, Индии и Китая.

Вторая часть целиком посвящена трем знаменитым задачам на построение — удвоению куба, трисекции угла и квадратуре круга. Исследование этих задач занимает заметное место в наследии древнегреческих математиков. Многие известные математики XVII - XVIII вв. занимались этими задачами в связи с развитием новых методов геометрии. Мы рассказываем в основном об исследованиях Декарта и Ньютона. Завершается эта часть доказательством невозможности выполнить указанные построения с помощью циркуля и линейки.

В третьей части рассказывается о наиболее интересных геометрических задачах, встречающихся у Евклида, Архимеда и Паппа.

Обсуждаемые в книге геометрические задачи составляют основную часть того, что известно о математике Древнего мира. За рамками книги остались лишь два важных раздела древнегреческой математики — арифметика Диофанта и теория конических сечений Аполлония.

Я благодарен С.Н.Бычкову за полезные обсуждения первых двух частей этой книги.

Часть I

Догреческая геометрия

Глава 1

Египет

Древнегреческие свидетельства о египетской геометрии

Древние греки считали Египет страной, в которой зародились почти все науки. При этом причины возникновения математики назывались едва ли не противоположные. Прокл писал: «Как у финикийцев начало точному знанию чисел было положено благодаря торговле и сделкам, так и у египтян геометрия была изобретена по указанной причине. Съездив в Египет, Фалес впервые перенес эту науку в Элладу...» Подробно обосновывал происхождение геометрии, (точнее сказать, землемерия) практическими потребностями Геродот: «Этот царь (Сесострис - В.П.), как передавали жрецы, также разделил землю между всеми жителями и дал каждому по квадратному участку равной величины. От этого царь стал получать доход, повелев взимать ежегодную поземельную подать. Если река отрывала у кого-нибудь часть его участка, то владелец мог прийти и объявить царю о случившемся. А царь посылал людей удостовериться в этом и измерить, насколько уменьшился участок, для того чтобы владелец уплачивал подать соразмерно величине оставшегося надела. Мне думается, что при этом-то и было изобретено землемерное

искусство и затем перенесено в Элладу». Аристотель же не считал практические потребности сколько-нибудь важными для возникновения математики: «...математические искусства были созданы прежде всего в Египте, ибо там было предоставлено жрецам время для досуга».

Изобретение математики приписывали иногда египетскому богу Тоту. В диалоге Платона «Федр» Сократ говорит: «Так вот, я слышал, что близ египетского Навкратиса родился один из древних тамошних богов, которому посвящена птица, называемая ибисом. А самому божеству имя было Тевт. Он первый изобрел число, счет, геометрию, астрономию, вдобавок игру в шашки и в кости, а также и письмена».

Очень важным свидетельством являются слова Демокрита: «Никто не превзошел меня в складывании линий, сопровождающемся доказательством, — даже так называемые гарпедонапты у египтян». Это едва ли не единственное прямое указание на то, что в египетской геометрии были доказательства. Косвенно подтверждают это и слова Прокла о том, что Фалес впервые перенес геометрию из Египта в Элладу. Для греков геометрия подразумевала доказательства.

Характер египетской математики

В египетских математических папирусах много задач, возникающих из практики. Они связаны с распределением заработной платы между известным числом рабочих, вычислением необходимого количества зерна для приготовления заданного количества хлеба или пива, переводом одних мер в другие.

Эти задачи имели большое значение для писцов, управлявших многими важными делами в Египте. Об этом свидетельствует один очень интересный текст папируса, в котором писец упрекает другого писца в математическом невежестве:

Ну вот, ты приходишь и наполняешь меня твоей должностью. Теперь я хочу объяснить тебе, в чем твоя сущность, когда ты говоришь: «Я полномочный писец войска».

Тебе дают озеро, которое ты должен выкопать. Тогда ты приходишь ко мне, чтобы осведомиться насчет провианта для солдат, ты говоришь: «Вычисли его мне». Ты неисправен по своей должности, и то, что я тебя должен поучать выполнению твоих обязанностей, обрушится на твой же затылок.

Иди сюда, я скажу тебе кое-что в дополнение к тому, что ты сказал. Я ставлю тебя в затруднительное положение, когда я заставлю тебя представить себе следующее: ты — царский писец, ты приведен к окну для аудиенции для какого-нибудь замечательного дела, когда горы изрыгают огромные памятники для Гора (т. е. для царя - В.П.) — владыки обеих стран. Я открываю тебе приказ твоего господина. Ибо смотри, ты — опытный писец, стоящий во главе войска. Необходимо сделать укрепление в 730 локтей длины и 55 локтей ширины, состоящее из 120 ящиков, наполненных балками и камышом; в верхней части его высота 60 локтей, в середине 30 локтей с ... в 15 локтей, и его ... имеет 5 локтей. Спрашивают у генералов, сколько для этого укрепления потребно кирпичей, и собрались все писцы, и ни один из них ничего не знает, они все полагаются на тебя и говорят: «Мой друг, ты — опытный писец, так реши же это быстро для нас». Вот ты имеешь знаменитое имя; пусть же в этом месте найдется хоть один, который возвеличит всех тридцать. Не допусти, чтобы о тебе сказали: «Есть также и такие вещи, которых и ты не знаешь».

Вычисление площадей

В Древнем Египте умели правильно вычислять площадь треугольника и трапеции. При этом площадь представляли в виде прямоугольника: площадь треугольника представляли в виде площади прямоугольника, одна сторона которого равна половине основания треугольника, а другая — его высоте; площадь трапеции представляли в виде площади прямоугольника, одна сторона которого равна полусумме оснований трапеции, а другая — ее высоте.

Наряду с правильными формулами применялии приближенные формулы. Например, площадь четырехугольника со

сторонами а, Ь, с и d вычисляли по формуле

Для четырехугольника, не очень сильно отличающегося от прямоугольника, это приближение достаточно хорошее (см. с. 13-14).

Площадь круга диаметром d считали равной (т^) • Эту формулу мы обсудим ниже более подробно.

В одном из египетских папирусов, правда сравнительно позднем (III в. до н. э.), есть интересная приближенная формула для вычисления площади сегмента круга.

Если h — высота сегмента, а — длина хорды, отсекающей этот сегмент (рис. 1.1), то его площадь S в этом папирусе считается равной

В книге «Метрика» Герон использует формулу

Он также пишет, что «древние» использовали формулу

Герон полагал, что эту формулу они получили, считая площадь круга равной 3R2 (тогда для полукруга, т. е. в случае а = 2h, формула дает точный результат). Сам он использует более точное значение π = 4г. Если считать, что это значение точное, а не приближенное, то для полукруга его формула дает точный результат. Для сегментов, близких к полукругу, формула Герона точнее египетской, но при малых по сравнению с а значениях h она неприменима. Свидетельства Герона важны для нас, потому что он унаследовал многие традиции египетской математики.

Рис. 1.1

Египетский треугольник

Прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5 получил название египетского треугольника. Это произошло, повидимому, благодаря упоминанию о нем в сочинении Плутарха «Об Исиде и Осирисе»: «И, видимо, египтяне сравнивают природу Всеобщности с красивейшим из треугольников Этот треугольник имеет катет из трех частей, основание — из четырех и гипотенузу — из пяти ... Таким образом, катет можно считать мужским началом, основание — женским, а гипотенузу — отпрыском обоих». Но свидетельство Плутарха относится к сравнительно позднему времени (II в. н. э.). Что же касается часто встречающихся рассказов о том, что в Египте для построения прямого угла применяли веревку с узлами, отстоящими друг от друга на расстояния 3, 4 и 5, то эта легенда без каких-либо обоснований появилась в конце прошлого века.

Соотношение 32 + 42 = 52 египтянам было известно. В одном из папирусов встречается задача: «Квадрат и другой квадрат, сторона которого есть половина и четверть стороны первого квадрата, вместе имеют площадь 100. Покажи мне, как это вычислить». Решив систему уравнений

получим X = 8, у = 6. Но тождество 32 + 42 = 52 не предполагает знания теоремы Пифагора; оно могло возникнуть и без связи с прямоугольными треугольниками.

Единственное прямое подтверждение того, что египтянам был известен прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5, дают обмеры памятников архитектуры Египта. Например, в храме Аменхотепа I на острове Элефантина (XVI в. до н. э.) использованы пропорции этого треугольника.

Задача московского папируса

В 1930 г. В. В. Струве опубликовал перевод математического папируса, хранящегося в московском Музее изобразительных искусств. Десятая задача этого папируса произвела настоящую сенсацию в мире историков математики. В этой задаче, как считал Струве, вычислялась площадь поверхности полусферы. Вот его перевод: «Форма вычисления корзины, если тебе называют корзину с устьем диаметра 4^. О, дай мне знать ее поверхность! Сосчитай g от 9, потому что корзина есть половина яйца. Получается 1. Посчитай остаток за 8.

Сосчитай g от 8. Получится ^ + ^ + jg. Отними от 8 эти I + è + ÏE' Получается 7д. Сосчитай 7 g 4^ раза. Получается 32. Смотри: это и есть поверхность. Ты правильно нашел».

Струве считал, что «корзина с устьем диаметра 4^» — это полусфера с диаметром d = 4^- При этом площадь S поверхности полусферы в решении задачи вычисляется по формуле

(1)

В Египте площадь круга диаметром d вычисляли как

При таком приближении для числа π формула (1) правильная. В самом деле, площадь поверхности сферы в 4 раза больше площади большого круга (экватора) этой сферы.

Это толкование весьма заманчиво, потому что формула для вычисления поверхности сферы свидетельствует об очень высоком уровне развития математики. Но даже сам Струве не считал свое толкование единственно возможным, и почти сразу после него Пит и Нейгебауэр предложили другие переводы и толкования. Больше всего споров вызывает иероглиф, который Струве перевел как «корзина»; этот иероглиф изображен на рис. 1.2. Выражение «корзина есть половина

яйца» свидетельствует, по-видимому, о том, что «корзина» — это некоторый специальный технический термин, и это выражение означает, например, что «полушарие есть половина шара». Отметим, кстати, что перевод «яйцо» весьма условен, потому что соответствующее место папируса сильно испорчено. Этот технический термин может означать не только половину шара, но и половину круга (посмотрите еще раз на рис. 1.2). Струве не исключал такой возможности, тем более что 42 может означать не только диаметр d, но и радиус г. Во втором случае речь должна идти о полукруге, потому что его площадь равна а площадь поверхности полусферы равна ^тр-. Употребляемый в тексте предлог «г» также свидетельствует о том, что речь идет, по-видимому, о двумерной, а не трехмерной фигуре. Поэтому весьма вероятно, что в задаче приведено вычисление площади полукруга.

Есть еще и другие толкования текста этой задачи. Пит предположил, что речь идет не о поверхности полусферы, а о половине боковой поверхности цилиндра с диаметром 4^ и с такой же высотой. Нейгебауэр предположил, что речь идет о вычислении поверхности купола.

Рис. 1.2

При любом толковании задачи 10 московского математического папируса ясно, что она связана с числом π, причем для него используется стандартное для египтян приближение-4-^g) ä 3,16. Это приближение выглядит странно. Его происхождение пытались объяснить по-разному, но почти все

Рис. 1.3

гипотезы неубедительны. Одна из наиболее правдоподобных гипотез выдвинута в книге [Раик, 1967]. Она основана на формуле (1). Согласно этой формуле, площадь круга диаметром d должна вычисляться как

Такую последовательность вычислений можно объяснить следующим образом. Впишем круг в квадрат со стороной 1. Вырежем из этого квадрата четыре квадратика со стороной ^ (рис. 1.3). Площадь оставшейся части равна 1—4 (Jj^J = 1 — g, но она еще явно больше площади круга. Вырежем еще восемь квадратиков со стороной ц (рис. 1.3). Их площадь равна

а площадь оставшейся части равна

Возможно, что египтяне поступили именно так и решили, что площадь оставшейся части равна площади круга.

Интересные, хотя и менее правдоподобные гипотезы о происхождении древнеегипетской формулы для площади круга предложены в статьях [Вайман, 1960] и [Гердес, 1985].

Объем усеченной пирамиды

Применение египтянами формулы для вычисления площади поверхности сферы вызывает сомнения. Но применение ими формулы для вычисления объема усеченной пирамиды с квадратными основаниями несомненно. Не совсем ясна лишь форма этой пирамиды. Сохранившийся чертеж неточен. По-видимому, в задаче рассматривалась пирамида, две смежные боковые грани которой перпендикулярны основаниям (рис. 1.4). Объем усеченной пирамиды, основаниями которой являются квадраты со сторонами а = 2 и Ь = 4, а высота h равна 6, в задаче 14 московского математического папируса вычислялся как

т. е. как

Эта формула точная.

Объем пирамиды, вообще говоря, нельзя найти путем разрезания куба. Это можно сделать лишь для некоторых пирамид. Например, в вавилонских глиняных табличках вычисляется лишь объем пирамиды, угол между основанием (квадратным) и боковыми гранями которой равен 45°, а куб можно разрезать на шесть таких пирамид (подробности см. на с. 36).

Данные египетской задачи в этом отношении таковы, что от общего случая эта конкретная задача ничем существенным не отличается. Таким образом, если формула для нахождения объема усеченной пирамиды не была случайной догадкой, то для ее доказательства требовалось применение предельного перехода в том или ином виде.

Рис. 1.4

Нет никаких оснований сомневаться в том, что объем пирамиды был найден раньше, чем объем усеченной пирамиды. Но переход от пирамиды к усеченной пирамиде у египтян должен был вызвать затруднения. На рис. 1.4 показано, как рассматриваемую усеченную пирамиду можно разрезать на прямоугольный параллелепипед, две призмы и пирамиду. Поэтому объем усеченной пирамиды равен

(переход от одной из этих формул к другой можно осуществить, сложив из двух призм параллелепипед). Но переход от этих формул к применявшейся египтянами формуле (а2 + ab + b2) ^ далеко не очевиден. Алгебраическое тождество ЗаЬ + (Ь — а)2 = а2 + ab + Ь2 египтянам вряд ли было хорошо знакомо. Переход от одной формулы к другой, скорее всего, был осуществлен геометрически. Это можно было сделать, например, следующим образом. Заменим призмы и пирамиду на равновеликие им прямоугольные параллелепипеды (рис. 1.5, а). Затем отрежем от параллелепипеда, соответ-

Рис. 1.5

ствующего одной из призм, часть, возвышающуюся над параллелепипедом, соответствующим пирамиде (на рис. 1.5, а эти разрезы изображены штриховыми линиями). Отрезанную часть приставим к параллелепипеду, соответствующему второй призме (рис. 1.5, б). Плоскости, удаленные от основания полученной фигуры на расстояния % и Щ, разрезают ее на прямоугольные параллелепипеды объемом

Архитектура

Исследование египетской архитектуры имеет большое значение для истории математики. Например, в математических папирусах не упоминается прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5, но обмеры архитектурных памятников показывают, что пропорции этого треугольника использовались в египетской архитектуре. Своды египетских храмов выглядят обычно следующим образом. Пусть ABC — прямоугольный треугольник с гипотенузой AB = 5 и катетами АС — 3 и ВС — 4; АВ\С — такой же треугольник (рис. 1.6). Проведем дуги B\D\ и BD окружностей радиуса ВВ\ с центрами В и В\ (точки D\ и D лежат на прямых AB и АВ\ соответственно), а затем проведем дугу DD\ окружности с центром А.

Функции архитекторов и математиков слились в египетских гарпедонаптам («натягивателях веревок»). При заложении храмов совершалась торжественная церемония — натя-

Рис. 1.6

гивание веревок для определения направлений стен храма. О важности этой церемонии свидетельствуют египетские рисунки, на которых изображены совершающие ее фараоны в белых или красных коронах, боги, богини, жрецы. О натягивании веревок фараонами при заложении храмов есть и письменные свидетельства. Храм Амона-Ра в Карнаке ориентирован на точку восхода Солнца в день зимнего солнцестояния. На одной из его стен изображен фараон Тутмос III (1500 г. до н. э.), натягивающий веревку при заложении храма. На другом рисунке фараон при заложении храма проводит мотыгой священную борозду.

Непосредственное отношение к египетской геометрии имеет понятие наклона, применявшееся в архитектуре. Длины в вертикальном направлении измеряли в царских локтях, а в горизонтальном — в ладонях (царский локоть считали равным семи ладоням, а обычный — шести). Наклоном называли величину а/Ь (рис. 1.7), где а равно 1 локтю, Ъ — расстояние, измеренное в ладонях. Так как а/Ь = 7 ctg а, то эту величину лучше назвать покатостью: она тем меньше, чем больше (круче) наклон. Любопытно, что в Вавилоне горизонтальные и вертикальные отрезки тоже измеряли в разных единицах: вертикальные, как и в Египте, измеряли в локтях, а горизонтальные отрезки — в единицах GAR, где 1GAR = 12 локтей.

Понятие наклона свидетельствует о том, что египтяне имели некоторое представление о подобии треугольников.

Единица измерения наклона позволяет сделать достаточно правдоподобные предположения о том, какими принципами руководствовались египетские архитекторы при выборе

Рис. 1.7

угла наклона граней пирамид. В этом отношении наиболее изучена пирамида Хеопса, поэтому мы разберем некоторые гипотезы о выборе угла наклона ее граней. Одно из первых известных нам объяснений содержится в книге Геродота «История» (V в. до н. э.): «Она четырехсторонняя, каждая сторона ее шириной в 8 плефров и такой же высоты». Длина стороны пирамиды Хеопса равна 233 м; это весьма хорошо согласуется со значением 8 плефров (236,8 м). Но высота пирамиды равна 147 м и отличается от длины стороны слишком сильно. Брёйнс, рецензируя книгу по истории древнеегипетской математики, высказал предположение, что в этом месте текст Геродота испорчен (см. [Брёйнс, 1972]). Он предложил изменить в этом тексте одну букву, после чего перевод текста выглядит следующим образом: «Она четырехсторонняя, каждая сторона ее шириной в 8 плефров и равна квадрату высоты». (Имеется в виду, что площадь боковой грани пирамиды равна квадрату высоты.) Это толкование очень хорошо согласуется с реальными размерами пирамиды Хеопса. В самом деле, пусть а — сторона пирамиды, 6 — высота грани, h — высота пирамиды. Тогда по условию

, а по теореме Пифагора

Следовательно,

значит,

Если (р — угол наклона боковой грани такой пирамиды, то

поэтому (р « 51° 49' 38". Это хорошо согласуется с измерениями угла наклона грани пирамиды Хеопса, дающими значение 51° 50'.

Согласно толкованию Брёйнса, при сооружении пирамиды Хеопса использованы пропорции золотого сечения. (Золотым сечением называют такое деление отрезка AB точкой С, что АС : AB = ВС : АС; если АС = х и ВС = 1,

Но это толкование не единственное. Весьма интересное объяснение вы-

бора угла наклона грани не только пирамиды Хеопса, но и других пирамид предложено в статье [Робинс, Шют, 1975]. Как мы уже говорили, для измерения угла наклона в Египте использовали величину 7 ctg а. Робинс и Шют установили, что наиболее распространен был наклон граней, при котором эта величина равна 5^; в более поздней архитектуре (около XVII в. до н. э.) величина 5^ заменилась на 5^. Если 7 ctg а = 5 то tga = 7 : ъ\ = т. е. а « 51° 50' 34". Эта величина тоже очень хорошо согласуется с углом наклона грани пирамиды Хеопса. Если же

т. е. в этом случае мы приходим к пропорциям треугольника со сторонами 3, 4 и 5. Возможно, изменение угла наклона пирамид связано с сознательным применением пропорций этого треугольника.

Глава 2

Вавилон

Математика Древнего Вавилона известна нам в основном из расшифрованных текстов глиняных табличек. Некоторые из этих клинописных текстов содержат разные задачи и таблицы чисел. Эти задачи большей частью учебные; такие глиняные таблички были своего рода учебниками.

Вавилонская система счисления была шестидесятиричная.

Точнее говоря, числа записывались в виде ап • 60n H-----Ь ао, a для записи чисел ао,..., ап использовались два символа, один из которых обозначал единицы, а другой — десятки. Запись была неоднозначной: числа, отношение которых равно 60, записывались одинаково; кроме того, отсутствовал знак пропуска разряда, соответствующий нашему нулю, поэтому, например, числа 60 + 1 и 602 H-1 тоже записывались одинаково. Какое именно написано число, порой можно понять лишь из контекста.

Одна вавилонская задача

Чтобы стало ясно, что представляют собой дошедшие до нас вавилонские математические тексты, приведем конкретный пример. К этому тексту нам еще не раз придется возвра-

щаться, потому что в нем слились многие особенности вавилонской математики. Вот перевод этого текста.

Длина, ширина. Длину и ширину я перемножил и площадь получил. Затем избыток длины над шириной я прибавил к площади; 183 получилось у меня. Затем я длину и ширину сложил: 27. Спрашивается длина, ширина и площадь.

(Даны) 27 и 183 суммы

(Результат) 15 длина 180 площадь 12 ширина

Ты сделаешь так:

Возьми половину от 29 (это дает 14,5).

0,25 имеет квадратный корень 0,5.

Отними 2, которые ты прибавил к 27, от ширины 14; 12 истинная ширина.

15 длину, 12 ширину я перемножил:

Решение задачи приведено в виде последовательности операций с некоторыми числами. Для вавилонских текстов это характерно. Общие правила в них содержатся крайне редко. Но в данном случае легко понять, что означают все встречающиеся числа, т. е. решение можно перевести на современный

алгебраический язык. Пусть х — длина, у — ширина прямоугольника. В задаче требуется решить систему уравнений

Для упрощения этой системы делается замена у' = у + 2. Тогда

Система уравнений

в Вавилоне решалась обычно по правилу

Это правило применено и в нашем случае:

Далее вычисляется

Наконец,

Комментирование этого текста не вызывает затруднений. Но у многих других табличек с математическими текстами важные для их понимания части отломаны или сколоты. Кроме того, в них встречаются ошибки и описки.

Несколько задач о площадях

Вавилонские математические тексты содержат несколько интересных задач, связанных с площадями треугольников и

трапеций. О том, какими методами они решались, почти ничего не известно; из табличек можно лишь понять, по каким формулам вычислялся ответ. До некоторой степени можно быть уверенным лишь в следующем:

1) никаких сколько-нибудь серьезных алгебраических преобразований вавилонские математики не производили;

2) они знали и использовали тот факт, что если фигуру разрезать на части и сложить из них другую фигуру, то площади обеих фигур и суммы площадей частей будут равны (наиболее ранние известные доказательства геометрических теорем в Индии и Китае основаны именно на этом);

3) они знали свойства подобных треугольников и умели их использовать.

В вавилонских табличках есть задача, которую можно сформулировать следующим образом.

Задача 1. Основания трапеции равны а и Ь. Отрезок длиной х, параллельный основаниям трапеции, делит ее на две части равной площади. Найти X, если известны а и Ь.

Ответ вычисляется по правильной формуле X = yj(a2 + b2) /2. Для решения этой задачи достаточно знать, что площади подобных треугольников пропорциональны квадратам соответственных сторон. В самом деле, продолжим стороны трапеции до пересечения (рис. 1.8). Площадь одной части трапеции равна разности площадей треугольников с основаниями X и a, a площадь второй части равна разности площадей тре-

Рис. 1.8

угольников с основаниями Ь и х. Поэтому

Следующая задача не связана непосредственно с задачей 1. Но ее можно свести к задаче 1, и такое решение для вавилонских математиков все же более естественно, чем решение, использующее сложные алгебраические преобразования.

Задача 2. Прямоугольный треугольник разделен на две части отрезком, параллельным одному из катетов. Известны величины b, А = S\ — S2 и 6 = у2 — у\ (рис. 1.9). Нужно найти у\, S\, У2 и S2-

Основная сложность в решении этой задачи — вычисление длины z отрезка, делящего треугольник (получение ответа в табличке начинается именно с вычисления z). Этот отрезок можно вычислить следующим образом. Достроим треугольник до трапеции так, чтобы продолжение отрезка z делило ее на две равновеликие части (рис. 1.10). Существование такой трапеции следует из того, что Si > S2 и у\ < у2- В самом

Рис. 1.9

Рис. 1.10

деле, с увеличением а разность площадей прямоугольников размером а х у2 и а х у\ возрастает, поэтому для некоторого а она равна S\ — S2, и тогда S\ + ау\ = S2 + ау2- Это значение а равно

Воспользовавшись результа том задачи 1, получим I

В условии одной из вавилонских задач (задача 4) в качестве одного из данных использован «наклон» — отношение катетов прямоугольного треугольника. Поэтому не будет очень большой натяжкой записать

Далее,

Задача 3. Прямоугольный треугольник разделен отрезком, параллельным одному из катетов, на треугольник и трапецию. Известны площадь трапеции S и длины отрезков а üb (рис. 1.11, а). Требуется найти длины отрезков х и у.

Для решения задачи можно использовать соотношения

Подставив значения S = 320, а = 20 и Ь = 30, приведенные в табличке, получим х = 20 и У = 12.

Соотношение х + у = получается из формулы для площади трапеции. Соотношение

можно перепи-

Рис. 1.11

сать в виде

Несложными алгебраическими преобразованиями его можно получить из соотношения у : b = X : (а + Ь). Но его можно получить и геометрически. Прямоугольный треугольник с катетами у и b можно отрезать от треугольника с катетами хио + 6 двумя способами (см. рис. 1.11, а и б). Поэтому площадь трапеции с основаниями а + Ь и b и высотой х — у равна 5, т. е. S = (x — y)(a + 2b)/2.

Задача 4. Сечение насыпи имеет форму равнобедренной трапеции с высотой h и основаниями а и Ь. Известны площадь S этой трапеции, большее основание а и наклон насыпи ß = (наклон — котангенс угла при основании трапеции). Нужно найти меньшее основание Ь.

В табличке число b вычисляется именно по этой формуле. Более того, в другой задаче этого же текста а вычисляется по формуле а2 = b2 + 45/?. Из этого, пожалуй, можно сделать вывод, что в Вавилоне тождество (a — b)(a-\-b) = a2 — b2 было известно. Это тождество можно доказать геометрически, переместив фигуру 1 на место фигуры 2 (рис. 1.12). Обнаружить это тождество арифметически, вычисляя сумму и разность конкретных чисел а и Ь, а затем их произведение, весьма затруднительно. Такого рода доказательство должно использовать алгебраические преобразования. Поэтому для вавилонских математиков более правдоподобно геометрическое доказательство.

Рис. 1.12

В этой задаче нужно отметить еще появление в качестве одного из данных «наклона», соответствующего котангенсу угла. Это свидетельствует о том, что понятие наклона было достаточно привычным для вавилонских математиков, а это понятие включает в себя представление о подобии треугольников.

Задачи о площадях и решение уравнений в целых числах

Составители школьных учебников и в наше время зачем-то часто стараются подбирать данные в условиях задач так, чтобы получился целочисленный ответ. Это делали и составители задач клинописных табличек в Вавилоне. Поэтому им пришлось столкнуться с решением уравнений х2 + у2 = z2 и Р2 + Я2 — 2г2 в целых числах. Решения первого уравнения называют пифагоровыми тройками, а решения второго — вавилонскими тройками. Вавилонские тройки возникают в задачах 1 и 2: данные в условиях задач подобраны так,

что решения уравнения целочисленные, а именно (1, 5, 7) и (7, 13, 17).

Пифагоровы тройки возникают при решении следующей задачи.

Задача 5. Прямоугольный треугольник разделен двумя отрезками, параллельными одному из катетов, на три части, площади которых равны Si, S2 и S3 (рис. 1.13). Какими должны быть длины отрезков х\, Х2 и х$, чтобы выполнялось равенство S\ = s3?

Воспользовавшись обозначениями рис. 1.13, легко проверить, что Si =

Значит, равенство Si — S3 эквивалентно равенству

На глиняных табличках встречаются изображения таких разбиений треугольника на три части, причем эти чертежи соответствуют пифагоровой тройке (3, 4, 5). Эта задача показывает, что пифагоровы тройки возникали и независимо от теоремы Пифагора.

Более естественно, казалось бы, выяснить сначала, когда выполняется равенство Si = S2. Но табличек с такими чертежами нет, и это не случайно. В самом деле, равенство Si = S2 эквивалентно равенству х\ = х\ — х\, т. е. х\ — 2х\. Поэтому табличка с примером решения задачи 5 свидетельствует, по-видимому, о том, что вавилонские математики пытались решить в натуральных числах уравнение X2 = 2у2.

Вавилонские тройки можно получать из пифагоровых троек. В самом деле, если

На глиняных таблич-

Рис. 1.13

ках встречаются изображения разбиений трапеций на пары равновеликих трапеций. На рис. 1.14 приведен (в искаженном масштабе) один из таких примеров: площади двух верхних трапеций равны 3, а площади двух нижних равны 15. Известна табличка и с разбиением трапеции на три пары равновеликих трапеций. Согласно задаче 1 длины оснований трапеций в таких разбиениях образуют последовательность х\, Х2, яз, обладающую тем свойством, что

В результате приходим к задаче построения такой последовательности вавилонских троек, что наибольшее число каждой тройки совпадает с наименьшим числом следующей за ней тройки. Для построения такой последовательности рассмотрим сначала последовательность пифагоровых троек

ей соответствует последовательность вавилонских троек

Так как

то эта последовательность обладает требуемым свойством. При этом мы получаем тройки (1, 5, 7), (7, 13, 17), (17, 25, 31), (31, 41, 49), (49, 61, 71). Последовательность продолжается и дальше, но мы ограничились перечислением лишь тех троек, которые действительно встречаются в вавилонских табличках.

Прямоугольные треугольники

Вавилонские таблички содержат много задач о прямоугольных треугольниках, использующих теорему Пифагора. Их

Рис. 1.14

решения свидетельствуют о том, что эта теорема была известна в Вавилоне задолго до рождения Пифагора. Решения в табличках, правда, не всегда верные. Например, гипотенуза z прямоугольного треугольника с катетами х = 3 и у = 4 в одной табличке вычисляется сразу двумя способами: z = x+ty и z = y+^. Обе формулы дают верный результат, но лишь в этом частном случае. Однако в решениях других задач той же самой таблички теорема Пифагора применяется верно. Уже в следующей задаче катет х прямоугольного треугольника со вторым катетом у = 4 и гипотенузой z = 5 вычисляется по формуле х = y/z2 - у2.

Во многих вавилонских задачах о прямоугольных треугольниках заданы две величины (сумма или разность катетов, сумма или разность катета и гипотенузы, сумма всех сторон, произведение катетов) и нужно определить длины катетов. Рассмотрим несколько таких задач, обозначая катеты прямоугольника буквами х и у, а гипотенузу буквой z.

Задача 6. Вертикально стоящая рейка возвышается над стеной на 3 локтя. Если верхний конец рейки опереть на верх стены, то нижний конец отодвинется от стены на 9 локтей. Найти длину рейки и высоту стены.

В этой задаче даны величины d = z — у и а = х. Требуемые величины z и у вычисляются в табличке по формулам

хотя катет у можно вычислить проще: у — z — d. Выражение для z можно получить следующим образом. Сложив равенства

получаем

Известна также задача, в которой вместо величины d = z — у дана величина b = z + у. Эту задачу можно решить аналогично: сложив равенства

получаем

В табличке, правда, сначала вычисля-

ется

а затем вычисляется z = Ь — у.

Задача 7. Даны величины x+y+z = а и ху = Ь. Нужно найти X.

Для решения этой задачи возведем в квадрат обе части равенства х -h у = а — z. В результате получим х2 + 2ху+у2 = а2 — 2az + z2. Учитывая, что х2 + у2 = г2 и ху = 6 получаем z = 2а ^ одной из табличек сформулировано общее правило для вычисления z по данным а и Ъ. Это весьма редкий случай; обычно решение в табличках приводится для конкретных чисел.

Замечание. Формула

эквивалентна тождеству z = р — г, где р — полупериметр, Т = а = р — радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника.

Задачи о прямоугольных треугольниках часто приводили к системам уравнений с двумя неизвестными. Если задано произведение катетов и их сумма или разность, то получаем систему уравнений вида

Решения таких систем находили по следующему правилу:

Решения систем уравнений вида

находили по следующему правилу:

Табличка Плимтон 322

В коллекции Джорджа Плимтона под номером 322 была зарегистрирована очень интересная глиняная табличка, датируемая 2250 г. до н. э. В ней приведены четыре столбца чисел, причем последние три столбца в привычной нам десятичной записи (после исправления нескольких ошибок или описок) выглядят так:

119

169

1

3367

4825

2

4601

6649

3

12709

18541

4

65

97

5

319

481

6

2291

3541

7

799

1249

8

481

769

9

4961

8161

10

45

75

11

1679

2929

12

161

289

13

1771

3229

14

56

106

15

Числа первого столбца таблички получены следующим образом. Обозначим числа второго и третьего столбцов (т. е. первого и второго столбцов приведенной нами таблицы) буквами b и с соответственно. В первом столбце записаны числа с2/а2, где а2 = с2 - Ь2.

Легко заметить, что в табличке записаны числа пифагоровых троек, причем величина с2/а2 (а значит, и величина Ь/а) изменяется строго монотонно. Кроме того, простыми делителями чисел а являются лишь 2, 3 и 5. Числа вида 2к • З1 - 5т, где /с, / и m — целые числа, характеризуются тем, что соответствующие им шестидесятиричные дроби конечны. Все пифагоровы тройки нашей таблицы получаются

с помощью чисел такого вида следующим образом. Для получения первой тройки нужно взять дробь Щ и рассмотреть числа

Для получения остальных троек нужно взять следующие дроби:

Эти дроби монотонно убывают от *jr = 2,4 до ^ = 1,8. Более того, в указанных пределах нет других дробей вида 2а • 3^ • 57, знаменатели которых меньше 60. Наиболее правдоподобно следующее объяснение происхождения таблички Плимтон 322. Так как

Поэтому

У вавилонцев были таблички значений обратных величин целых чисел. Эти таблички можно было использовать для вычисления значений

где г и s — целые числа. Как мы уже говорили, для получения конечных шестидесятиричных дробей нужно, чтобы числа s иг имели вид 2к • 3* • 5т. Числа в табличке Плимтон 322 удовлетворяют условию Ъ < а; для положительных t это условие можно записать в виде t2 — 2t — l < 0, т. е. 1 — \[2 < t < 1 + л/2- В нашем случае остается ограничение 1 < t < 1 + \/2. Числа в табличке Плимтон 322 можно охарактеризовать как все пифагоровы тройки, соответствующие числам t = sr~l, где s иг — целые числа вида 2к -3* -5771, причем г < 60 и 9/5 < t < 1 + \[2.

Окружность

Одной из задач, связанных с окружностью, является вычисление длины s хорды при заданных диаметре d и высоте а сегмента, отсекаемого хордой. Применив теорему Пифагора

Рис. 1.15

к треугольнику О AB (рис. 1.15), получаем

В табличках

длина хорды вычисляется именно по этой формуле.

С окружностью связана весьма любопытная, хотя и очень грубая, приближенная формула S = L2/12, где S — площадь круга, L — длина окружности. В Вавилоне использовалась также формула L = 3d, где d — диаметр.

Происхождение формулы S = L2/12 непонятно; у нее нет геометрической наглядности. В статье [Зайденберг, 1988] выдвинуты две гипотезы о происхождении этой формулы. Комбинируя встречающиеся в табличках формулы S = L2 /\2 и L = 3d, можно получить формулы S = Ld/4 и S = 3d2/4. Зайденберг поэтому считает весьма вероятным, что интересующая нас формула была получена подстановкой выражения d = L/3 в одну из этих формул. Предпочтение он отдает формуле S = Ld/A по следующим причинам:

1. Эта формула в отличие от всех остальных точная. (Она связана с представлением круга в виде объединения бесконечно малых равнобедренных треугольников с вершинами в его центре.) В этом случае становится понятным спокойное отношение вавилонских математиков к столь грубому приближению как π ~ 3.

2. В одной из вавилонских табличек площадь полукруга вычисляется как четверть произведения длины дуги полукруга на его диаметр.

Длина окружности и площадь круга выражаются через диаметр формулами L = -K\d и S = π2(Р/4. Было ли вавилонским математикам известно, что π\ —тх^р. Приближенная формула S « L2/12 эквивалентна равенству π2^/4 « π^сР/12, т. е. 71*1 « 3π2, из которого никак нельзя сделать вывод о том, что π1 = π2. Но соотношение S = Ld/4 сразу же приводит к равенству тт\ = π2- Поэтому вавилонские математики могли понимать, что π] = π2-

Объем усеченной пирамиды

В одной из вавилонских табличек приведено вычисление объема усеченной пирамиды с квадратными основаниями. Метод разрезания на части позволяет найти объем не любой пирамиды, поэтому вывод формулы объема пирамиды в общем случае требует предельного перехода. Но вычислить объем некоторых пирамид можно путем разрезания куба. Например, куб можно разрезать на шесть равных пирамид, взяв в качестве их общей вершины центр куба, а в качестве оснований — его грани (рис. 1.16). В этих пирамидах угол между плоскостями боковых граней и плоскостью основания равен 45°. В табличке вычисления производятся для усеченной пирамиды именно с таким углом между боковыми гранями и основанием. Таблички с вычислением объемов других пи-

Рис. 1.16

рамид не известны, поэтому нет оснований делать выводы о том, что вавилонские математики умели вычислять объем любой пирамиды.

Текст интересующей нас таблички, к сожалению, испорчен в очень важном для расшифровки месте. В задаче требуется найти объем, вероятно, водохранилища, имеющего форму усеченной пирамиды с квадратными основаниями, причем известны сторона верхнего (большего) основания а— =10, высота пирамиды h = 1,5 (сторона и высота заданы в разных единицах измерения, и решение начинается с того, что высота приводится к тем же единицам измерения, что и сторона) и «наклон» 1, соответствующий углу 45°. Сторона b другого основания вычисляется как 10 — 3 = 7, т. е. b = a — 2h.

Затем берется величина — = 8,5, т. е. ——. Эта величина возводится в квадрат; получаем 72-. Затем с величиной производится некая операция, в результате которой получается -. Но какая именно операция, непонятно, потому что текст испорчен. По поводу того, что делается в табличке

с величиной

есть два мнения. Согласно одному мнению вычисляется величина

В этом случае мы получаем верную формулу

но такое толкование не очень хорошо согласуется с остатками текста. Согласно другому мнению вычисляется величина

В этом случае получаем бессмысленную формулу

но такое толкование все же нельзя исключить.

Формула для вычисления объема усеченной пирамиды могла быть получена, например, следующим образом. Слагаемое

соответствует, скорее всего, параллелепипеду с высотой /г, основанием которого является квадрат со стороной —-—. Такой параллелепипед образуют плоскости оснований усеченной пирамиды и плоскости, проходящие через средние линии боковых граней (которые являются трапециями) перпендикулярно плоскостям оснований. Разрежем усеченную пирамиду по этим плоскостям. В результате получим четыре пирамиды, четыре призмы и еще некоторую фигуру (рис. 1.17). Если же фигуру попытаться дополнить призмами до параллелепипеда, то призмы перекроются, причем их общими частями будут четыре такие же пирамиды, какие были получены раньше. Высоты

Рис. 1.17

у всех пирамид равны —, а основания являются квадратами со стороной

Сумма объемов этих пирамид равна

причем формулу для вычисления объема таких пирамид можно получить путем разрезания куба.

Глава 3

Индия

Построение алтарей

Наиболее важные сведения о древнеиндийской математике содержатся в трактатах о построении алтарей. Эти трактаты носят общее название «Шульвасутра», что в переводе с санскрита означает «правила веревки» (основным инструментом при разметке алтарей служила веревка). Они сохранились в нескольких редакциях, составленных в разное время: Баудхаяна (800 г. до н. э.), Манава (750 г. до н. э), Апастамба (600 г. до н.э.), Катьяяна (200 г. до н. э.). Основой для их датировки служит лишь историческая грамматика санскрита. Но в 500 — 400 г. до н. э. Панини составил очень подробную грамматику санскрита, которая вплоть до XIX в. оставалась наиболее полной и разработанной грамматикой во всем мире. Она содержит свыше 4000 правил и дает обильный материал для датировки на основе исторической грамматики.

Форме алтаря в Древней Индии придавалось большое значение. Считалось, что любое отклонение от установленной формы или размера алтаря не только лишает жертвоприношение всякого смысла, но и может вызвать нежелательный эффект. В такой ситуации требование точности приобретало уже не только практический, но и математический характер.

Индийские алтари были самой разной формы. Были алтари в форме квадрата, круга, полукруга, равнобедренного треугольника. Были алтари в виде сокола с прямыми или изогнутыми крыльями, алтари в виде черепахи. Один из наиболее почитаемых алтарей, махаведи, имел форму равнобедренной трапеции. Но всевозможные алтари разной формы должны были иметь одну и ту же площадь. В связи с этим возникала, например, задача превращения квадрата в равновеликий ему круг, круга в равновеликий ему полукруг, прямоугольника в равновеликий ему квадрат. Кроме того, в некоторых случаях требовалось увеличить площадь алтаря на строго определенную величину, сохранив при этом его форму.

С построением алтарей связана также одна интересная задача. Алтарь в форме сокола состоял из пяти слоев кирпичей. В каждом слое было 200 кирпичей; слои 1, 3 и 5 были одинаковые, слои 2 и 4 тоже. Но при этом требовалось, чтобы ни над каким швом между кирпичами одного слоя не было шва между кирпичами следующего слоя. Кирпичи должны были располагаться достаточно симметрично, и желательно было обойтись наименьшим количеством различных форм кирпичей.

Как мы уже говорили, подход к построениям в «Шульвасутре» во многом скорее математический, чем практический. Точности и правильности построений придается большое значение. При этом возникают элементы доказательств. Например, как показано на рис. 1.18, для определения площади равнобедренной трапеции, одну из ее частей отрезают и перекладыва-

Рис. 1.18

ют. Это, бесспорно, уже математическое доказательство. Формулировка теоремы Пифагора, содержащаяся в «Шульвасутре», тоже свидетельствует о математическом подходе.

Построение квадрата

«Шульвасутра» содержит несколько разных способов построения квадрата. Наиболее простое из этих построений — проведение в круге двух перпендикулярных диаметров. Возьмем веревку длиной 2г и отметим ее середину. Затем натянем веревку и забьем колышки А и В в ее концах, а колышек О в ее середине. Построим окружность радиуса г с центром О и окружности радиуса 2г с центрами А и В (рис 1.19). Соединив точки пересечения больших окружностей, построим квадрат ACBD. Но сторона этого квадрата равна г\/2, т. е. сразу построить таким образом квадрат с заданной стороной нельзя.

Рис. 1.19 Рис. 1.20

Для построения квадрата с данной стороной 2г это построение нужно продолжить. Проведем окружности радиуса г с центрами А, Б, С и D. Точки пересечения этих окружностей являются вершинами квадрата PQRS со стороной 2г (рис 1.20).

В «Шульвасутре» приведено простое построение квадрата с помощью бамбуковой палки, длина которой равна стороне квадрата (точнее говоря, чуть больше стороны квадрата). Высверлим на концах бамбуковой палки два отверстия, расстояние между которыми равно стороне квадрата, а затем высверлим отверстие посредине между этими отверстиями. Положим палку и забьем колышки в концевые отверстия. Снимем палку с одного колышка и, вращая ее вокруг второго колышка, проведем окружность. Аналогично проведем окружность, закрепив второй конец палки. Расположим теперь палку так, чтобы один ее конец находился в середине исходного положения, а сама она при этом проходила через точку пересечения окружностей (рис. 1.21). Пусть А — положение второго конца палки. Нам остается расположить палку так, чтобы ее середина находилась в точке А, а сама

Рис. 1.21 Рис. 1.22

она касалась окружностей (на рис. 1.21 это положение изображено штриховой рамкой). Весьма интересно построение квадрата со стороной а с помощью веревки с пятью узелками, делящими ее на четыре части длиной а/4. Натянем эту веревку и вобьем колышки A, В. С, D и Е в узелках. Снимем веревку с колышков и наденем ее концевые узелки на колышки В и D. Затем оттянем веревку за середину и вобьем в полученной точке О колышек (рис. 1.22). Наденем оба концевых узелка на точку С и оттянем веревку за середину так, чтобы она проходила через точку О, и вобьем в полученную точку F колышек. Аналогично построим точку G. Надев концевые узлы веревки на колышки А и G и оттянув веревку за середину, можно построить вершину Р квадрата PQRS со стороной а; остальные вершины строятся аналогично.

Теорема Пифагора

В одной из ранних редакций книги «Шульвасутра» (Апастамба, 600 г. до н. э.) содержится формулировка теоремы Пифагора: «Диагональ прямоугольника образует оба квадрата, которые вертикальная и горизонтальная стороны образуют по отдельности». Случай прямоугольника с равными сторонами выделен особо: «Диагональ квадрата образует удвоенную площадь».

Нет никаких достоверных свидетельств того, что составители «Шульвасутры» знали не только формулировку теоремы Пифагора, но и ее доказательство. Но для построения квадрата, площадь которого в два раза меньше площади исходного квадрата, они поступали следующим образом. В серединах сторон исходного квадрата забивали колышки; они были вершинами искомого квадрата (рис. 1.23). Из этого построения доказательство теоремы Пифагора для квадрата следует самым очевидным образом.

Основные применения теоремы Пифагора при разметке алтарей связаны с построением квадрата, площадь которого равна сумме или разности площадей двух данных квадратов. Построение стороны PQ квадрата, площадь которого равна сумме площадей двух данных квадратов, изображено на рис. 1.24,а; построение стороны RS квадрата, площадь которого равна разности площадей двух данных квадратов, изображена на рис. 1.24,б. Последнее построение использовали при преобразовании прямоугольника в равновеликий ему квадрат. Для этого от прямоугольника отрезали квадрат, а оставшуюся часть разрезали на два равных прямоугольника (рис. 1.25,а). Затем один из прямоугольников перекладывали так, как показано на рис. 1.25,б. В результате площадь прямоугольника оказывалась равной разности площадей двух квадратов. После этого оставалось лишь построить квадрат, площадь которого равна разности площадей двух данных квадратов.

Рис. 1.23

Рис. 1.24

Представление площади прямоугольника в виде разности площадей двух квадратов можно перевести на алгебраический язык: если а и b — длины сторон прямоугольника, причем а > 6, то

Было бы слишком поспешно сразу же делать вывод о том, что это тождество для чисел было известно, но этому есть еще и другие подтверждения. По крайней мере для 6=1 это тождество действительно было известно. Дело в том, что поздняя редакция «Шульвасутры» (Катьяяна, 200 г. до н. э.) содержит следующее правило для построения квадрата, площадь которого в п раз больше площади данного квадрата со стороной а. Построим равнобедренный треугольник ABC с основанием AB = (п — 1)а и боковыми сторонами АС = СВ = (п + 1)а/2. Тогда его высота СН равна стороне искомого квадрата. В самом деле, по теореме Пифагора СН — a^fn. Это построение трудно объяснить чисто геометрически, без использования числового тождества

Рис. 1.25

Говоря о теореме Пифагора, следует различать две ее формулировки, которые эквивалентны для нас, но эквивалентность которых для древних народов была совсем не очевидна. В первой формулировке речь идет о площадях квадратов, построенных на сторонах треугольника, а во второй о некоторых числах (квадратах длин сторон треугольника). Приведенное выше построение отрезка длиной ау/п свидетельствует о том, что теорему Пифагора в древней Индии умели применять в обеих формулировках.

Пифагоровы треугольники

Одним из наиболее почитаемых алтарей в Древней Индий был алтарь махаведи, имеющий форму равнобедренной трапеции с основаниями 24 и 30 и высотой 36 (рис. 1.26). Если M и N — середины оснований ВС и AD этой трапеции, то MD2 = 362+

Таким образом, с алтарем махаведи естественным образом связан пифагоров треугольник со сторонами 15, 36 и 39, подобный (с коэффициентом 3) треугольнику со сторонами 5, 12 и 13. С этим алтарем связано удивительно много пифагоровых треугольников; они изображены на рис. 1.27. Упоминание треугольников, изображенных на рис. 1.27, в—д, может показаться некоторой натяжкой. Но это не так. Во-первых, в книге «Шульвасутра» перечислены все эти пифагоровы треугольники, и только они. Во-вторых,

Рис. 1.26

Рис. 1.27

для построения алтаря махаведи можно было использовать пифагоровы треугольники, у которых один из катетов равен 15 или 12. В самом деле, для построения треугольника MND (рис. 1.26) «Шульвасутра» рекомендует поступить следующим образом. Возьмем веревку длиной 39 + 15 = 54, на которой есть отметки 39 и 15. Построим с ее помощью отрезок MN длиной 36. Затем привяжем концы веревки к колышкам M и N и оттянем веревку за отметку 15. В результате получим искомую точку D. Чтобы построить аналогичным образом точку С, нужно воспользоваться пифагоровым треугольником, один катет которого равен 12.

На рис. 1.27 встречаются следующие пифагоровы треугольники: (3A,4À,5À), где Л = 4 или 5; (5Л, 12Л, 13Л), где А = 1 или 3; (8, 15, 17); (12, 35, 37). Пифагорову тройку (12, 35, 37) вряд ли можно было найти простым перебором. По-видимому, составители «Шульвасутры» знали какой-то способ нахождения пифагоровых троек. Весьма вероятно, что их способ был следующий. Как мы уже говорили, им было известно тождество

Пусть п = га2. Тогда треугольник со сторонами

прямоугольный. Для га = 2, 3, 4, 5 и 6 получаем соответственно пифагоровы тройки (3, 4, 5), (4, 3, 5), (15, 8, 17), (12, 5, 13) и (35, 12, 37). Зто как раз те пифагоровы тройки, которые содержатся в «Шульвасутре»; вряд ли это случайно.

Площадь круга

Особое значение при построении алтарей имела площадь. Поэтому длина окружности строителей алтарей не интересовала, но в каждой редакции «Шульвасутры» приведено несколько разных правил для превращения круга в равновеликий ему квадрат или квадрата в равновеликий ему круг. Эти правила дают некоторые приближенные формулы для вычисления площади круга, т. е. приближенные значения числа π. Среди этих приближений встречаются и весьма грубые. Например, одно из правил для построения стороны квадрата, равновеликого данному кругу, рекомендует разделить диаметр на 15 разных частей и взять 13 таких частей. Согласно этому правилу ^ = S = а2 = (х|)2^2, т. е. π = 4 • (}|)2 « 3,004.

Хорошее приближение для числа π содержит одна из наиболее ранних редакций «Шульвасутры» (Манава, 750 г. до н. э.). В этой книге говорится, что площадь ква-

Рис. 1.28

драта со стороной 2 равна площади круга радиусом lg. Согласно этому правилу π • = 4, т. е. π = 4 • (|) « 3,16. Такое же приближение для числа π использовали в Древнем Египте.

Среди различных приближений для числа π в «Шульвасутре» резко выделяется значение 3,088. Правила, приводящие к нему, содержатся во всех редакциях, причем этих правил два — геометрическое и алгебраическое. По-видимому, именно эту величину составители «Шульвасутры» считали точным значением отношения площади круга к площади квадрата, построенного на его радиусе.

Основное построение, связанное с этим приближенным значением, таково. Опишем вокруг квадрата AB CD окружность и проведем в ней радиус ON, перпендикулярный стороне AB; этот радиус пересекает сторону AB в точке M (рис. 1.28). Построим точку Р, делящую отрезок MN в отношении MP : PN = 1:2. Тогда OP предлагается взять в качестве радиуса круга, равновеликого квадрату ABCD. Если а — сторона квадрата ABCD, R — радиус полученного круга, то

Значит, согласно предлагаемому правилу

Для получения точного решения число

нужно заменить на число Л, удовлетворяющее соотношению

Последовательными наилучшими приближениями числа Л рациональными числами являются дроби g» 29 "' Взяв, например, вместо g, получим для числа π приближенное значение 3,147...

Для решения обратной задачи, т. е. для построения квадрата, равновеликого данному кругу, «Шульвасутра» предлагает следующее правило. Пусть d — диаметр круга. Тогда сторона а искомого квадрата равна

Так как а2 = то это правило дает для числа π приближенное значение 3,088. Гораздо более точное значение числа π дает менее громоздкая формула

в этом случае для числа π получаем приближенное значение

Почти совпадающие не очень точные приближенные значения числа π в геометрическом и алгебраическом правилах свидетельствуют о родстве этих правил. Это родство подтверждается тем, что второе правило можно получить из первого, воспользовавшись приближенным значением

которое содержится в книге «Шульвасутра». От точного значения л/2 = 1,414214... оно отличается лишь в шестом знаке после запятой. Тождество

свидетельствует о том, что это приближение очень хорошее; дробь 577/408 входит в число подходящих дробей разложения у/2 в цепную дробь. Согласно первому (геометрическому) правилу

Подставив для \/2 указанное приближенное значение, получим

Легко проверить, что

Отбросив последнее слагаемое, получим второе (алгебраическое) правило.

По-видимому, первое из рассмотренных нами правил (геометрическое) считалось точным. Религиозные обряды закрепили авторитет этого решения задачи о превращении квадрата в равновеликий ему круг. Но обратить это построение геометрически (для превращения круга в равновеликий ему квадрат) древние индийцы не сумели. Им пришлось воспользоваться алгеброй; применив приближенное значение числа у/2 , они нашли весьма неудобное, совсем не геометрическое построение, при котором отрезки нужно было несколько раз делить на равные части. Рассмотренные нами два правила, приводящие к приближенному значению π « 3,088, свидетельствуют о том, что составители «Шульвасутры» к решению задач подходили не только геометрически, но и алгебраически. Здесь, правда, под алгеброй мы подразумеваем всего лишь умение сопоставлять отношению отрезков отношение чисел и умение производить с этими отношениями некоторые преобразования. Но это не так мало, как может показаться на первый взгляд.

Математика раннего джайнизма

Книга «Шульвасутра», содержащая правила для построения алтарей, сложилась в связи с ритуалами ведийской религии. Ведизм был не единственной религией Древней Индии. В середине I тысячелетия до н. э. возникли две новые религии — буддизм и джайнизм. Ранние джайнские тексты содержат много математических сведений. Датировка этих текстов затруднительна, но предположительно их относят примерно к тому же времени, что и «Шульвасутру».

Ведийские и джайнские интересы к математике существенно различались. Строителей ведийских алтарей интересовала лишь площадь круга, а джайнов — не только площадь круга, но и длина окружности. Более того, джайнские математики должны были понимать, что отношение площади круга к квадрату радиуса равно отношению длины окружности к диаметру. В самом деле, они знали точную формулу для площади круга: S = где S — площадь круга, L — длина окружности, d — диаметр. А из этой формулы следует, что L : d = S : = S : R2. Для длины окружности джайны использовали приближенную формулу L = VlOd2. Эта формула дает приближенное значение π % 3,162... Оно весьма близко к приближенному значению π « 4 • , потому что

Джайнских математиков интересовала также связь между элементами сегмента круга. Пусть d — диаметр круга, h — высота сегмента, с — длина хорды, отсекающей сегмент, а — длина сегмента. Применив теорему Пифагора к треугольнику AOQ (рис. 1.29), получим

Из этого соотношения можно получить формулы

Все эти формулы содержатся в джайнских текстах. В них есть также формулы, связывающие величины a, h и с:

Эти формулы следуют из соотношения а2 = с2 + 6Л2. Это приближенное соотношение, скорее всего, связано с приближенной формулой L — VlOcfi для длины окружности. При изменении угла а = ZAOB от 0° до 180° величина А:(а), где a2=c2+k(a)h2, изменяется от 5| « 5,33 до π2 — 4 « 5,87. Но если для полукруга мы применим формулу которую использовали джайны, то получим а2=^^-, поэтому

Напомним, что точно таким же образом (с помощью приближенного значения п = 3) получали приближенную формулу s = 2 Для площади сегмента, которая есть у египтян и в сочинениях Герона (см. с. 10), а также в древнекитайской «Математике в девяти книгах» и у индийского математика Махавиры (850 г. н. э.).

Приближенную формулу L = VlOcP джайны могли получить с помощью формулы

следующим

Рис. 1.29

образом. Высота he сегмента, отсекаемого стороной правильного шестиугольника, равна

Если число у/3 заменить его приближенным значением |, то получим he « j2 (в действительности he < так как у/3 > |). Стороны Об и а\2 правильных шести- и двенадцатиугольников, вписанных в окружность, связаны соотношением

Поэтому

а значит, квадрат периметра правильного двенадцатиугольника приближенно равен lOd2, причем величина lOd2 чуть больше квадрата периметра, длина окружности тоже чуть больше периметра вписанного двенадцатиугольника, поэтому число \Л0сР вполне могли считать значением длины окружности (точным или приближенным).

Глава 4

Китай

Древнекитайские летописи относят применение угольника и циркуля для измерения земель к 2000 г. до н. э. На камне эпохи Хань (206 г. до н. э. — 220 г. н. э.) изображены боги-прародители Фуси, держащий угольник, и Нюйва, держащая циркуль. Математика была одним из шести основных искусств, которым обучались дети китайских аристократов еще до эпохи Хань.

Основной письменный источник для изучения древнекитайской математики — трактат «Математика в девяти книгах», в числе составителей которого были важные сановники Гэн Чоучан (II в. до н. э.) и Чжан Цан (I в. до н. э.). Этот трактат энциклопедичен. Он содержит много разных задач по арифметике и геометрии с правилами их решения, но без доказательств этих правил. «Математика в девяти книгах» дошла до нас в редакции Лю Хуэя (III в. н. э.), который написал к ней комментарии и дополнения. Он снабдил доказательствами некоторые правила, например, формулу для вычисления объема пирамиды. Существенное значение имеет также «Математический трактат о гномоне», написанный раньше «Математики в девяти книгах», но без ее энциклопедичности.

Площади

Вычислению площадей посвящена часть первой книги «Математики в девяти книгах» под названием «Общее измерение полей» (задачи 25 - 38). В задаче 25 приведено правило для нахождения площади треугольника, а в задачах 27 - 30 — правило для нахождения площади трапеции.

В задачах 31 и 32 требуется вычислить площадь круга. При этом в условиях приведены излишние и даже, строго говоря, противоречивые данные: указаны диаметр d и длина окружности С, которые в обеих задачах связаны соотношением d = ЗС. После условия задачи 32 приведены два правила для вычисления площади S круга. Для применения первого правила нужно действительно знать оба числа d и С. Это правило точное: S = Щг-. Второе правило приближенное:

Для вычисления площади сектора круга в решениях задач 33 и 34 приведена точная формула S = где d — диаметр круга. С — длина ограничивающей сектор дуги.

Весьма интересна приближенная формула для вычисления площади сегмента круга:

где h — высота сегмента, а — длина отсекающей его хорды, аналогичная формула применялась в Египте; она связана с приближенным значением π = 3 (см. с. 10). Эта формула используется для решения задач 35 и 36, причем в задаче 35 рассматривается полукруг, а для полукруга, с учетом приближения π = 3, эта формула точная.

Для вычисления площади кольца с внутренним радиусом г, внешним радиусом R и длинами внутренней и внешней окружностей с и С соответственно в задачах 37 и 38 применяется формула

Так как с : г = С : Я, то

Объемы

Вычислению объемов посвящена книга 5 «Математики в девяти книгах». Эта тема разработана очень подробно. Для вычисления объема цилиндра и усеченного конуса применяются соответственно формулы

(задача 9) и (задача 11), где С и с — длины окружностей оснований, h — высота. Если учесть применявшееся в Древнем Китае приближение π = 3 и заменить 12 на 4π, а 36 на 12π, то получим точные формулы.

Для вычисления объема усеченной пирамиды высотой Л, основания которой суть квадраты со сторонами а и 6, используется формула

(задача 10). Повидимому, формула для вычисления объема усеченного конуса была получена по аналогии.

Помимо усеченной пирамиды в «Математике в девяти книгах» вычислены объемы многих других многогранников. Например, в задаче 17 вычислен объем многогранника, двумя гранями которого являются перпендикулярные друг другу трапеции (рис. 1.30). Если основания этих трапеций равны а и 6, б и с соответственно, a высоты равны h и /, то

Эту формулу можно доказать, например, следующим образом:

Рис. 1.30

Рис. 1.31

Но непонятно, как именно она была получена в Древнем Китае.

В задачах 18, 19, 21 и 22 вычисляются объемы обелисков различной формы (рис. 1.31). В отличие от усеченной пирамиды боковые грани этих обелисков не пересекаются в одной точке. Для вычисления объема обелиска применяется формула

Используя соотношения х + и = b\ — &2 и у + z = a\ —0,2, эту формулу можно доказать следующим образом:

Вычисление объемов всех рассмотренных нами многогранников можно свести к вычислению объема четырехугольной пирамиды с квадратным основанием (хотя нет свидетельств

того, что составители «Математики в девяти книгах» умели это делать). Формулу для вычисления объема пирамиды нельзя доказать без использования предельного перехода в том или ином виде. Первое дошедшее до нас древнекитайское доказательство этой формулы содержится в комментариях Лю Хуэя (III в. н. э.) к «Математике в девяти книгах». Для вычисления объема пирамиды с прямоугольным основанием и высотой, основание которой попадает в одну из вершин прямоугольника, он поступает следующим образом. Разрежем прямоугольный параллелепипед на две равные призмы, а затем одну из призм разрежем на пирамиду и тетраэдр (рис. 1.32). Пусть ао, bo и со — объемы пирамиды, тетраэдра и призмы. Ясно, что о,о + bo = со и со = у; где V — объем параллелепипеда. Нужно доказать, что ао = 2Ьо (тогда ао = ^j0- = у). Пусть ai, Ь\ и с\ — объемы пирамиды, тетраэдра и призмы вдвое меньших размеров. Из рис. 1.32 видно, что ао = 4ci + 2а\ и bo = 2с\ + 2Ъ\. Продолжая процесс деления пополам, получаем

Рис. 1.32

Лю Хуэй, конечно, не вводит подобных обозначений и не получает аналогичных формул, но его геометрические рассуждения именно таковы. По поводу частей, остающихся при последовательных делениях пополам фигур (соответствующих членам 2каь и 2к+1Ъь), Лю Хуэй говорит, что они становятся все более тонкими, а в конце концов совсем неуловимыми. В предельном положении они, по его мнению, не имеют формы и об их размерах нет смысла говорить, потому что это за пределами человеческого понимания. Так что остающимися фигурами интересоваться незачем.

* * *

Для вывода формулы объема правильной усеченной пирамиды с высотой Л, основания которой суть квадраты со сторонами а и Ъ (а < 6), Лю Хуэй поступает следующим образом. Усеченную пирамиду можно разрезать на прямоугольный параллелепипед размером а х а х /г, четыре пирамиды с квадратными основаниями и четыре треугольные призмы. Пусть и, V и w — объемы параллелепипеда, пирамиды и призмы; V — объем усеченной пирамиды. Тогда V = и + Av + Aw. С другой стороны, зная, что объем пирамиды втрое меньше объема прямоугольного параллелепипеда с теми же основанием и высотой, можно получить соотношения

Сложив эти равенства, получим

Помимо формулы V

Лю Хуэй приводит эквивалентную ей формулу

Теорема Пифагора и пифагоровы тройки

Китайские летописи относят применение прямоугольного треугольника со сторонами 3, 4 и 5 к 2200 г. до н. э., но на это заявление вряд ли можно полагаться. Древнекитайская «Математика в девяти книгах», составленная в I в. до н. э. — I в. н. э., содержит много задач, решения которых используют теорему Пифагора. Решения этих задач приведены в виде общих правил, но доказательства теоремы Пифагора в этой книге нет. Ее доказательство приведено в комментариях к этой книге, относящихся к III в. н. э. На соответствующем чертеже (он схематично воспроизведен на рис. 1.33) изображен треугольник со сторонами 3, 4 и 5, но доказательство годится для любого прямоугольного треугольника. Произведение катетов ВС и АС прямоугольного треугольника ABC равно площади прямоугольника ACBD, т. е. равно удвоенной площади треугольника ABC. Следовательно, прибавив площадь четырех прямоугольных треугольников к площади внутреннего квадрата, получим площадь квадрата ABEF,

Рис. 1.33

Последняя книга трактата «Математика в девяти книгах» посвящена прямоугольным треугольникам. Первые 14 задач связаны с соотношением а2+Ь2 = с2. Стороны прямоугольного треугольника имели следующие названия: гоу — наименьший катет, гу — наибольший катет, сянь — гипотенуза. Гоу, гу и сянь мы будем обозначать a, b и с соответственно.

Задача 1 наиболее проста. Известно, что а = 3 и b = 4. Нужно найти с. Решение дано в виде общего правила, причем его запись очень короткая, — она состоит из 13 односложных иероглифов: «Возведи в квадрат гоу и гу. Сложи их и найди квадратный корень из суммы. Это и есть сянь».

Задачи 2 и 3 тоже весьма просты: в них по данным а = 3, с = 5 (соответственно b = 4, с = 5) требуется найти b (соответственно а).

Задачи 4 и 5 тоже относятся к этому простейшему типу задач, но их формулировки гораздо интересней, а для решения задачи 5 нужно даже иметь представление о разворачивании цилиндрической поверхности на плоскость.

Задача 4 такова: «Имеется бревно диаметром 2 чи 5 цуней. Если выпилить прямоугольный брус толщиной, например, 7 цуней, то спрашивается, какова будет его ширина?» Так как 1 чи = 10 цуней и 252-72 = 242, то ширина бруса равна 2 чи 4 цуня. Решение этой задачи неявно использует то, что вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.

В задаче 5 речь идет фактически о вычислении длины винтовой линии: «Имеется дерево в 2 чжана длиной, обхват его 3 чи. У его подножия растет пуэрария, которая поднимается семью витками вокруг дерева до его вершины. Спрашивается, какова длина пуэрарии?» Развернув винтовую линию на плоскость, получим прямоугольный треугольник с катетами 2 чжана = 20 чи и 7 х Зчи = 21 чи. Длина пуэрарии равна гипотенузе этого треугольника. Остается заметить, что 202 + 212 = 292.

Следующие 11 задач тоже связаны с соотношением а2+Ь2 = с2, но их решения более сложны; из этого соотношения они следуют не сразу. Например, в задачах 6 - 10 по данному катету и разности между гипотенузой и катетом нужно найти остальные элементы треугольника. При этом в задачах 6 и 7 даны а и d = с — 6, ав задачах 8-10 даны b и d — с — а (напомним, что а <Ъ). К задачам 6-10 весьма близка задача 13. В ней вместо разности гипотенузы и катета дана их сумма. Решения задач 6-10 приведены в виде эквивалентных, но все же различных правил. Решение задачи 6 основано на формуле

а решения задач 7-10 основаны на формуле

Правило для решения задачи 13 аналогично правилам решения задач 7 - 10:

Эти формулы можно получить двумя разными способами. Во-первых, можно воспользоваться перегруппировкой площадей (рис. 1.34). Так как

Рис. 1.34

то

А так как

Во-вторых, тождества

можно преобразовать следующим образом:

а значит,

Первый способ

более естествен для математики древности, но он приводит к формуле, которая использована лишь в решении задачи 6; в решениях других задач использованы формулы, к которым приводит второй способ.

Математическое содержание задач 6 — 10 и 13 мы изложили. Но их формулировки весьма интересны, поэтому мы приведем их (для решения этих задач нужно знать, что 1 чжан = 10 чи = 100 цуней).

Задача 6. Имеется водоем со стороной в 1 чжан. В центре его растет камыш, который выступает над водой

на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснется его. Спрашивается, какова глубина воды и какова длина камыша!

Задача 7. Имеется столб, к его вершине привязан канат. Конец каната длиной 3 чи лежит на земле. Если канат натянуть, то расстояние до основания столба будет 8 чи. Спрашивается, какова длина каната!

Задача 8. Имеется стена высотой 1 чжан. К стене прислонен столб так, что высота наклонного столба сравнялась со стеной. Если столб оттащить на 1 чи от стены, то он упадет на землю. Спрашивается, каков столб?

Задача 9. Имеется замурованное в стену бревно, величина его неизвестна. Если спилить его на 1 цунь, то длина среза будет равна 1 чи. Спрашивается, каков диаметр бревна! (На рис. 1.35 с — b = 1 цунь, 2а = 1 чи, 2с — искомый диаметр.)

Рис. 1.35

Задача 10. Имеются открытые ворота, которые удалены от порога на 1 чи и не совпадают на 2 цуня. Спрашивается, какова ширина ворот?

Задача 13. Имеется бамбук высотой 1 чжан. Вершину его согнули так, что она касается земли на расстоянии 3 чи от корня. Спрашивается, какова высота после сгибания?

Задача 11 еще более сложная: «Имеется дверь, высота которой больше ее ширины на 6 чи 8 цуней. Наибольшее расстояние между углами (диагональ) 1 чжан. Спрашивается, каковы ширина и высота двери?» В этой задаче по данным d = Ь — а и с нужно найти а и 6. Ответ дается в виде

В комментариях к «Математике в девяти книгах», относящихся к III в. н. э., решение этой задачи основано на уравнении

Это соотношение в комментариях доказано следующим образом. Пусть S — площадь каждого из заштрихованных на рис. 1.36 треугольников. Тогда

Задача 12 по формулировке близка к задаче 11: «Имеется дверь неизвестной высоты и ширины. Ширина двери короче неизвестной длины бамбукового шеста (не хватает 4 чи), длина двери короче длины шеста (не хватает 2 чи), с диагональю длина шеста как раз совпадает. Спрашивается, каковы ширина, высота и диагональ двери?» В этой задаче по данным с — а = р и с — b = q требуется найти а, б и с. Ответ приведен в виде

Это весьма серьезная задача. Едва ли не самое простое ее решение дают преобразования

Рис. 1.36

В задачах «Математики в девяти книгах» нам уже довелось встретить несколько пифагоровых троек. Решения задач 14 и 21 показывают, что составители этой книги владели общим правилом получения пифагоровых троек. Задача 14 такова: «Два человека находятся в одном месте. Норма ходьбы X есть 7, норма ходьбы Y есть 3. Y идет на восток. X идет 10 бу на юг, затем идет по косому направлению на северо-восток до встречи с Y. Спрашивается, какой путь прошел каждый из них, X и Y?» В формулировке задачи 21 тоже участвует «норма ходьбы». В задаче 14 нужно найти прямоугольный треугольник с данным катетом а, стороны которого удовлетворяют соотношению а + с = -у. Правило, по которому находится ответ, годится для общего случая

Сначала находим w

Затем и, V и w умножаем на а и делим на и; в результате получаем а и искомые b и с. Тройки чисел

Рис. 1.37

где р и q — натуральные числа, составляют в совокупности все пифагоровы тройки. В комментариях к «Математике в девяти книгах» приведено следующее доказательство правила для решения задачи 14. На рис. 1.37 5i = 52, поэтому Ь2 = с2 - а2 — S\ + 5з = 52 + 5з. Следовательно,

Две задачи о прямоугольных треугольниках

После задач на применение теоремы Пифагора в «Математике в девяти книгах» идут две задачи о прямоугольных треугольниках, не связанные с этой теоремой. В задаче 15

требуется по данным катетам найти сторону квадрата, вписанного в прямоугольный треугольник. В комментариях к «Математике в девяти книгах» приведено следующее решение этой задачи. Пусть в прямоугольный треугольник ABC вписан квадрат с диагональю BP. Достроим треугольник до прямоугольника ABCD и построим прямоугольник AEFG, площадь которого равна площади прямоугольника AB CD (рис. 1.38). Площадь прямоугольника AB CD равна 2(5i + S2+53), а площадь части прямоугольника AEFG, лежащей внутри прямоугольника ABCD, равна 25i + 52- Поэтому площадь части прямоугольника AEFG, лежащей вне прямоугольника ABCD, равна 5*2 + 25з. Следовательно, BG = ВС, а значит, АЕ = saefg/AG=ab/(a + b). Решить эту задачу можно гораздо проще: сложив равенства 2Sabp = ах и 2Sbcp = bx, где х — сторона квадрата, получаем ab — (а -\- b)x.

В задаче 16 требуется по данным катетам найти диаметр d вписанного круга. Для вычисления d применяется формула d

где с — гипотенуза. Для решения этой задачи достаточно приравнять правые части равенств

Рис. 1.38

Вычисление расстояний до недоступных объектов

В последней главе «Математики в девяти книгах» есть несложные задачи об измерении расстояний до недоступных

Рис. 1.39

объектов. В III в. н. э. Лю Хуэй добавил к этим задачам еще девять задач, которые впоследствии были объединены в самостоятельный «Математический трактат о морском острове». К сожалению, чертежи и доказательства Лю Хуэя были утеряны. Но сохранившиеся тексты задач и их решений свидетельствуют о весьма детальной разработке этой темы. Эти исследования уникальны; в Европе интерес к таким задачам возник гораздо позже, причем попали они туда из Китая.

Простейшая задача на вычисление недоступного расстояния — задача 23 из девятой книги «Математики в девяти книгах». В ней требуется найти высоту горы А, если известно расстояние b от горы А до шеста В, расстояние d от шеста В до наблюдателя С и разность с между высотами шеста и наблюдателя (рис. 1.39). Решение основано на соотношении а = В «Математике в девяти книгах» и даже в комментариях к ней не встречается понятие подобных треугольников. По-видимому, доказательство соотношения ad = be было основано на равенстве площадей. Диагональ прямоугольника делит его на два равных треугольника; отрезав от них по два равных треугольника, получим два равновеликих заштрихованных прямоугольника (рис. 1.40). Размеры этих прямоугольников равны а х d и b х с, поэтому ad = be. Комментарии к «Математике в девяти книгах» подтверждают, что доказательство было именно таким.

Рис. 1.40

Задачи, решаемые Лю Хуэем, гораздо сложнее. Он пользуется тем, что два измерения позволяют вычислить сразу и высоту недоступного объекта, и расстояние до него. Уже в первой его задаче нужно с помощью двух наблюдений вычислить высоту острова и расстояние до него. На рис. 1.41 известны а — высота шеста, / — расстояние между двумя положениями шеста и расстояния с\ и С2- Требуется найти b и е. Эта задача, правда, не оригинальна. С ее помощью еще до Лю Хуэя пытались определить расстояние от Земли до Солнца, предполагая, что Земля плоская. Решение задачи основано на формулах

Их можно доказать с помощью подобия треугольников:

Приравнивая правые части этих равенств, получаем

Рис. 1.41

поэтому

Но, как мы уже говорили, доказательство этих соотношении, по-видимому, было основано на равенстве площадей. Такое доказательство могло быть, например, следующим. Будем обозначать S(AB) площадь прямоугольника с диагональю AB. Из рис. 1.41 видно, что S(AB') = S{B'Q) и S{AB) = S(BC) = S{B'C), т. е. ab = (е - a)ci. Следовательно, S (DB') = S(AB') - S (AB) =

Поэтому

Наблюдения одной точки из двух разных точек можно комбинировать с наблюдениями двух разных точек из одной точки. Это нужно, например, для нахождения высоты дерева, растущего на вершине горы (рис. 1.42). Из подобия треугольников легко можно было бы получить соотношение g : h = (b + с) : с, т. е. де = h(b + с). С помощью площадей это соотношение можно получить следующим образом: S(DF) = S{AF) - S{AE) = S(FQ) - S (ЕР)] вычитая S(FP)

Рис. 1.42

Рис. 1.43

из S(FQ) и S (ЕР), получаем S(DF) = S{GQ) - S (ER), т. е. bh = де — he.

Сочетание двух видов наблюдений появляется у Лю Хуэя уже в задаче 2. В этой задаче по данным h /, с\ и с2, нужно найти высоту дерева g и расстояние до горы b (рис. 1.43). Если е — высота горы и дерева, а — высота шеста, то, как и в задаче 1,

А так как

Еще один вид наблюдений связан с измерением глубины ущелья с помощью угольника. Для этого одну и ту же точку дна ущелья наблюдают при двух положениях угольника (рис. 1.44). По известным величинам ai, аг, с и / нужно найти глубину b ущелья. Используя подобие треугольников, сделать это было бы несложно. В самом деле, с одной стороны, SP =

с другой стороны,

Приравнивая эти выражения, получаем

С помощью площадей это соотношение можно доказать следующим образом. Так как

Следовательно,

Рис. 1.44

Остальные задачи Лю Хуэя сводятся к сочетаниям этих видов наблюдений, и их можно решить, комбинируя указанные нами формулы.

Глава 5

Англия эпохи мегалита

Сведения о математике Египта, Вавилона, Индии и Китая сохранились в письменных источниках. По поводу уровня развития математики в этих странах в древности могут быть разные мнения, но не может быть никаких сомнений в том, что математику там до некоторой степени знали. А о математике без письменности до недавнего времени почти не задумывались. Но в начале 60-х годов появились работы английского профессора А. Тома, в которых он на основе точных обмеров многих десятков колец стоячих камней пришел к выводу о том, что их строители обладали определенными математическими познаниями; например, они знали пифагоровы треугольники (3, 4, 5), (5, 12, 13) и (12, 35, 37). Исследования А. Тома не могут быть подтверждены письменными источниками, поэтому некоторые сомнения в справедливости его выводов всегда будут оставаться. Поначалу к работам А. Тома английские археологи отнеслись с сомнением, потому что его выводы противоречили сложившимся представлениям о весьма примитивной культуре народов, населявших в это время Англию. Он, например, утверждал, что по всей северо-западной Европе в течение почти двух тысяч лет была распространена очень точная единица измерения — мегалитический ярд (82,9 ± 0,5 см). Это одна из наиболее спорных

гипотез А.Тома. Но со временем археологи стали относиться и его работам с большим доверием и согласились со многими его выводами.

Прежде чем говорить о мегалитической математике, нужно рассказать о самих стоячих камнях. По всей территории Англии и севера Франции встречаются стоячие камни, как отдельные, так и образующие кольца. Эти сооружения были воздвигнуты в 3500-1500 г. до н. э. Самый большой из этих камней — Менгир, находящийся на севере Франции. Много лет назад он упал и разбился; согласно преданию это случилось во время землетрясения. Его длина была равна 20,5 м, а вес 330 т. Это самый большой камень, передвигавшийся в эпоху мегалита; в Египте таких огромных камней не передвигали.

Весьма таинственны кольца стоячих камней. Таких колец очень много, почти все они расположены на юге Англии. Из этих сооружений наиболее знаменит Стоунхендж. Его известность связана не с его размерами. Диаметр Стоунхенджа около 100 м, а совсем неподалеку от него, не более чем в 30 км к северу, в разных местах расположены три кольца камней, каждое диаметром более 350 м. Стоунхендж изучен более тщательно, чем другие аналогичные памятники. В 1963 г. американский астроном Дж. Хокинс опубликовал в журнале «Nature» сообщение о том, что камни Стоунхенджа определяют направления важнейших моментов в движении Солнца и Луны. Некоторые из этих направлений были известны раньше, но Хокинс указал очень много таких направлений, охватив тем самым почти все основные камни Стоунхенджа. Таким образом, Стоунхендж был своего рода древней обсерваторией, причем его камни были установлены с большой точностью.

Внимательное знакомство с процессом строительства Стоунхенджа и с его планом поражает целеустремленностью его строителей и их готовностью преодолеть любые трудно-

сти, чтобы осуществить свои замыслы. Стоунхендж строили в три этапа в течение 300 лет, с 1900 по 1600 г. до н. э. Использованные при его строительстве голубые камни встречаются лишь в 210 км от Стоунхенджа. Таких камней весом около 5 т каждый в Стоунхендж было доставлено 80. Более тяжелые камни Стоунхенджа (весом 30-50 т) находились поближе — в 30 км. Передвижение этих камней на такие расстояния, их обработка, установка с большой точностью — все это требовало долгого и тяжелого труда многих людей. Строительством Стоунхенджа занималась значительная часть немногочисленного в то время населения юга Англии.

Обмеры А. Тома показали, что больше половины колец стоячих камней имеет форму правильных окружностей. Но помимо окружностей есть еще и эллипсы, а также кривые, составленные из дуг окружностей. С каждым эллипсом связан прямоугольный треугольник (рис. 1.45; Fi и F2 — фокусы эллипса). Для одного из эллипсов в Калленише в качестве такого треугольника взят Пифагоров треугольник (3, 4, 5); есть также эллипсы, основанные на треугольниках (5, 12, 13) и (12, 35, 37). Кольца стоячих камней, составленные из дуг окружностей, бывают двух разных видов — «приплюснутые окружности» (рис. 1.46) и «яйцеобразные фигуры» (рис. 1.47). Известны «яйцеобразные фигуры» обоих типов, основанные на треугольнике (3, 4, 5).

Рис. 1.45

Рис. 1.46

Рис. 1.47

Основной прямоугольник Стоунхенджа тоже, по-видимому, связан с пифагоровыми треугольниками: диагональ разрезает его на два треугольника, отношение сторон которых очень близко к 5 : 12 : 13.

Глава 6

Число π в древности

Во многих древних текстах встречаются различные правила для вычисления длины окружности и площади круга; чаще всего это даже не правила, а отдельные численные примеры. Делать на основании этих текстов выводы о том, что их авторы знали для числа π такое-то или такое-то приближенное значение, нужно с большой осторожностью. Люди могли производить конкретные измерения, никак не связывая их с отношением длины окружности к диаметру. Эти измерения очень часто неправильно интерпретируют. Такие интерпретации заслуживают отдельного обсуждения.

Возьмем, например, известный текст Ветхого Завета: «И сделал литое из меди море, — от края его до края его десять локтей, — совсем круглое, вышиною в пять локтей, и снурок в тридцать локтей обнимал его кругом». (Это говорится о Соломоне в третьей книге Царств 7, 23.) На основании этого текста часто делают вывод, что в Библии встречается для числа π приближенное значение 3. Но прочитаем текст дальше: «Подобия огурцов под краями его окружали его по десяти на локоть ...» Если бы «литое море» было строго цилиндрической формы, то сказать «под краями» было бы нельзя. А дальше о краях говорится уже совершенно четко: «Толщи-

ною оно было в ладонь, и края его, сделанные подобно краям чаши, походили на распустившуюся лилию». Скорее всего, описанное в Библии «литое море» имело следующую форму. Сечение его цилиндрической части было окружностью с периметром 30 локтей; диаметр такой окружности равен 30/π « 9,55 локтя. Край был чашеобразно отогнут приблизительно на 10 см, и расстояние от края до края в верхней части равнялось 10 локтям. Делать из этих измерений выводы об использовании для числа π приближенного значения 3 нет никаких оснований. Измерения вряд ли могли относиться к одной и той же окружности: трудно поверить, что при измерении расстояния в 10 локтей (4,5 м) была сделана ошибка в 0,45 локтя (20 см). Ритуальные измерения не могли быть такими грубыми. По-видимому, расстояние от края до края в верхней части с большой точностью равнялось 10 локтям, а периметр сечения цилиндра — 30 локтям, и это вызывало удивление.

Что такое математика и что такое доказательство, можно определять по-разному. Но все же нельзя сказать, что геометрия — это экспериментальная наука. Геометрические теоремы с помощью измерений не доказывают. Утверждение о том, что отношение длины окружности к диаметру постоянно, — это теоретический, а не экспериментальный факт. Никакие измерения его доказать не могут. Во многих источниках встречается очень грубое приближение π « 3. Сколько-нибудь тщательные измерения дали бы более точный результат. Это приближение было получено, по-видимому, теоретически, потому что сначала нужно было осознать, что отношение длины окружности к диаметру постоянно. Но и как приближение, полученное теоретически, оно загадочна Вряд ли, например, вавилонские математики могли не замечать, что периметр правильного шестиугольника меньше длины его описанной окружности.

Формулы для выражения длины L окружности и площади S круга, а также объема V сферы через радиус R можно записать в виде L ~ 2tt\R, S = ^R2 и V = 5π3Я3. Хорошо известно, что π\ = π2 = πз, но доказано это было лишь Архимедом. Поэтому следует различать те приближения, которые применялись для πх, π2 и π3. Смешение этих понятий может приводить к необоснованным выводам. Например, в книге [Даан-Дальмедико, Пейффер, 1986] на с. 169 говорится, что у вавилонян было известно следующее правило для вычисления площади круга: «Если р — периметр круга, его площадь А вычисляется по формуле А = р2/12, откуда для π находится значение 3». Авторы, по-видимому, рассуждали так:

поэтому из равенства

получаем

Но можно рассуждать и по-другому: если радиус круга равен Ä, то его площадь 7tjR2, вычисленная по указанной формуле, окажется равной

а значит, для числа π принималось приближенное значение 3,29. К этому выводу вряд ли можно относиться серьезно, тем более что, как мы уже говорили, есть сведения, подтверждающие связь формулы А = р2/12, с приближенным значением 3 для числа π. Но этот пример показывает, что делать выводы о применении для числа π приближенных значений на основании различных формул нужно осторожно. Формула А = р2/12, строго говоря, приводит лишь к соотношению

Рекомендуемая литература

Анг Тьян Дзы (Ang Tian-Se)

Chinese interest in right-angled triangles. Historia Math., 1978, Vol. 5, No. 3, P. 253-266.

Барге П. (Barguet P.)

Le temple d'Amon-Rê à Karnak. Le Caire: Imprineire de l'Institut Français d'Archeologi orientale. 1962. 368 p.

Башмакова И.Г., Славутин Е.И.

История диофантова анализа от Диофанта до Ферма. М.: Наука, 1984. 256 с.

Березкина Э.И.

Математика древнего Китая. М.: Наука, 1980. 311 с.

Брейнс Е.М. (Bruins Е.М.)

Рец. на кн.: R.J. Gillings, Mathematics at the Time of the Pharaohs Mass. London: The MJT Press, Cambridge, 1972, XII, 286 p.

Janus, 1972, Vol. 59, No. 1-2-3, P. 239-248.

Вагнер Д.Б. (Wagner D.B.)

An early Chinese derivation of the volume of a pyramid: Liu Hui, third century A.D. Historia Math., 1979, Vol.6, No. 2, P. 164-188.

Вайман А.А.

Длина окружности и площадь круга в древнеегипетской математике. В кн.: Древний Египет. Сб. статей. М.: Изд. Вост. литературы, 1960. С. 97-102.

Шумеро-вавилонская математика. М.: Изд. Вост. литературы, 1961. 278 с.

ван дер Варден Б. Л. (van der Waerden B.L.)

Пробуждающаяся наука: Математика Древнего Египта, Вавилона, Греции. М.: Физматгиз, 1959. 459 с.

On pre-Babylonian mathematics. I,II. Archive Hist. Ex. Sci., 1980/81, Vol. 23, No. 1, P. 1-25, 27-46.

Вуд Дж. (Wood J.E.)

Солнце, Луна и древние камни. М.: Мир, 1981. 268 с.

Гердес П. (Gerdes Р.)

Three alternate Methods of Obtaining the Ancient Egyptian Formula for the Area of a Circle. Historia Math., 1985, Vol.12, No.3, P. 261-268.

Даан-Дальмедико A., Пейффер Ж. (Dahan-Dalmedico A., Peiffer J.)

Пути и лабиринты: Очерки по истории математики. М.: Мир, 1986. 431 с.

Диббл В. (Dibble W.J.)

A possible Pythagorean triangle at Stonehendge. J. Hist. Astronomy, 1976, Vol. 7, No. 2, P. 141-142.

Зайденберг A. (Seidenberg A.)

The Ritual Origin of Geometry. Archive Hist. Ex. Sci., 1962, Vol.1, No. 5, P. 488-527.

On the Area of a Semi-Circle. Archive Hist. Ex. Sci., 1972, Vol.9, No.3, P. 171-211.

On the volume of a sphere. Arhive Hist. Ex. Sci., 1988, Vol.39, No.2, P.97-119.

Кулкарни P.П. (Kulkarni R.P.)

The value of known to Sülbasutrakäras. Indian J. Hist. Sci., 1978, Vol.13, No.l, P. 32-41.

Лам Лайонг, Шен Каньшень (Lam Lay Yong, Shen Kang Sheng)

Right-Angled Triangles in Ancient China. Archive Hist. Ex. Sei., 1984, Vol.30, No.2, P.87-112.

Mathematical problems on surveying in ancient China. Archive Hist. Ex. Sci., 1986, Vol.36, No. 1, P. 1-20.

Нейгебауер O. (Neugebauer О.)

Лекции по истории античных математических наук. Т. 1: Догреческая математика. М.-Л.: ОНТИ, 1937. 243 с.

Раик А.Е.

Очерки по истории математики в древности. Саранск: Мордов. кн. изд., 1967. 350 с.

Робине Г., Шют К. (Robins G., Shute CD.)

Mathematical Bases of Ancient Egyptian Architecture and Graphic Art. Hist. Math., 1985, Vol. 12, No. 2, P. 107-122.

Сарасвати Амма T. A. (Sarasvati Amma T.A.)

Geometri in Ancient and Medieval India. Delhi: Motilal Banarsidass, 1979. 280 p.

Tom A. (Thom A.)

The Geometry of Megalithic Man. Math. Gazz., 1961, Vol. 45, No. 352, P. 83-93.

Megaliths and Mathematics. Antiquity, 1966, Vol.40, No. 158, P. 121-128.

Фриберг (Friberg J.)

Methods and traditions of Babylonian mathematics: Plimpton 322, Pythagorean Triples and the Babylonian triangle parameter equations. Hist. Math., 1981, Vol.8, No.3, P. 277-318.

Xo Пенг Йок (Ho Peng Yoke)

Li qi and shu: An introduction to science and civilization in China. Hong Kong: Hong Kong University Press, 1985, ХП, 262 p.

Хокинс Дж., Уайт Дж. (Hawkins G.W., White J.B.) Разгадка тайны Стоунхенджа. М.: Мир, 1973. 243 с.

Хэдинг (Heading J.)

The Value of π and the Old Testament. Nature, 1959, Vol.184, No. 4679, P. 78.

Шукла К. (Shukla K.Sh.)

Hindu geometry by Bibhutinhusan Datta and Avandesh Narayan singh. Indian J. Hist. Sci., 1980, Vol.15, No. 2, P. 121-188.

Древнекитайский трактат «Математика в девяти книгах». В кн.: Историко-математические исследования. Вып. 10. М.: Гостехиздат, 1957. С. 423-584.

Часть II

Три классические задачи на построение

Введение

К 1775 году, когда Парижская академия сделала заявление: «Академия постановила не рассматривать отныне представляемые ей разрешения задач удвоения куба, трисекции угла, квадратуры круга, а также машин, долженствующих осуществить вечное движение», сложилось насмешливое отношение ученых к тем, кто пытался решить эти задачи с помощью циркуля и линейки. Полученные через некоторое время доказательства невозможности таких построений привели к тому, что три классические задачи на построение почти совсем потеряли интерес для математиков. Это было уже не вполне справедливо. Три классические задачи сыграли важную роль в становлении древнегреческой математики. Даже один тот факт, что конические сечения первым стал рассматривать Менехм именно в связи с задачей удвоения куба, говорит о многом. Введение более сложных кривых (конхоиды Никомеда, циссоиды Диокла, квадратрисы Гиппия — Динострата) тоже связано с занятиями тремя классическими задачами. Позднее этими задачами много занимались Виет, Декарт и Ньютон.

В неразрешимости трех классических задач с помощью циркуля и линейки древнегреческие математики убедились почти сразу. Но попытки найти решение трех классических задач с помощью циркуля и линейки почему-то всегда увлекали многих несведущих в математике людей, причем наибольший интерес вызывала задача квадратуры круга. Лам-

берт, первым доказавший иррациональность числа π, писал: «Я имею некоторое основание сомневаться, что настоящая статья будет прочитана и понята теми, для кого это было бы особенно полезно, теми, которые затрачивают столько времени и труда для отыскания квадратуры круга. Таких искателей всегда будет достаточно, и если судить о будущих по их предшественникам, то это будут по большей части люди, мало смыслящие в геометрии и лишенные возможности правильно оценивать свои силы. Там, где им не хватает знания и понимания, где они не могут ничего сделать с помощью правильных последовательных выводов, там жажда славы и денег создает софизмы, которые чаще всего не отличаются ни особенной тонкостью, ни особенной замысловатостью. Были также случаи, когда эти люди твердо верили, что их мнимые доказательства не встречали одобрения только от зависти и недоброжелательства. Среди них ходит, между прочим, легенда, будто бы в Англии и Голландии назначены столь же высокие премии и награды за квадратуру круга, как за определение географической долготы на море».

Ламберт был прав: попытки решить три классические задачи с помощью циркуля и линейки не прекратились и после того, как была доказана их неразрешимость. Фанатиков никакие доказательства не интересуют. За время, прошедшее после доказательства неразрешимости, наибольшим успехом этих фанатиков был, пожалуй, принятый в 1897 году законодательным собранием штата Индиана (США) закон о том, что отношение диаметра окружности к ее длине равно 5/16, т. е. π = 3,2. В дополнении к этому закону торжественно заявлялось, что его автор, Эдвин Гудман, решил еще и задачи трисекции угла и удвоения куба. Закон пытались утвердить весьма умело. Сначала его отправили в комитет по заболоченным землям. Оттуда, сославшись на некомпетентность, его передали в комитет по образованию. Там рекомендовали закон к принятию и вернули его обратно, после чего он

был принят единогласно, никто даже не воздержался. В сенате США в первом слушании закон тоже был принят, но ко второму заседанию математик профессор Вальдо, случайно оказавшийся в то время в сенате, сумел объяснить сенаторам, что за закон они собираются утвердить. Закон просуществовал девять дней и был отменен сенатом США.

Таких «решений» мы больше касаться не будем. Большая популярность трех классических задач в Древней Греции привела к тому, что для каждой из них было получено несколько решений, использующих либо специальные кривые, либо специальные инструменты. Мы приводим почти все сохранившиеся древнегреческие решения, а также несколько наиболее интересных позднейших решений.

Трем классическим задачам посвящено много книг и журнальных статей. В списке литературы указаны лишь те из них, которые оказали существенное влияние на содержание этой части книги. Среди них особо хотелось бы выделить комментарии И. Н. Веселовского к «Сочинениям» Архимеда. Эти комментарии составляют примерно треть книги [Архимед, 1962]; они содержат переводы почти всех древнегреческих текстов, имеющих отношение к трем классическим задачам.

Глава 7

Удвоение куба

Исторический очерк

О возникновении задачи удвоения куба сохранилась следующая легенда: «...во время эпидемии чумы послали афиняне в Дельфы вопросить оракула, что им сделать, чтоб чума прекратилась. Бог*) ответил им: удвоить алтарь и принести на нем жертвы. А так как алтарь был кубической формы, они взгромоздили на него еще один такой же куб, думая тем исполнить повеление оракула. Когда же чума после этого не прекратилась, отправились они к Платону и спросили, что же теперь делать. Тот отвечал: „Сердится на вас бог за незнание геометрии“, — и объяснил, что следовало подразумевать здесь не простое удвоение, но найти некое среднее пропорциональное и произвести удвоение с его помощью; и как только они это сделали, чума тотчас же кончилась». Эта легенда сравнительно поздняя; в ней многое искажено: задачей удвоения куба занимался еще Гиппократ Хиосский, живший до Платона. Но эту легенду сохранило несколько источников. В ней много интересного: для древних греков совсем не чуждым было мнение, что боги могут гневаться за незнание геометрии.

*) Имеется в виду бог Аполлон.

Для практических целей точное решение задачи удвоения куба не было нужно, но математиков она заинтересовала. Гиппократ Хиосский переформулировал задачу примерно так: «По отрезкам а и 2а построить такие отрезки х и у, что а : X = X : у = у : 2а». В самом деле, тогда

Эта переформулировка была существенна.

Алгебра возникла гораздо позже, и древнегреческие математики произведение двух отрезков представляли как прямоугольник; для сложения двух произведений отрезков приходилось преобразовывать прямоугольники в равновеликие им прямоугольники с общей стороной, чтобы их можно было прикладывать друг к другу. Произведение трех отрезков приходилось рассматривать уже как параллелепипед. Преобразовывать параллелепипеды было бы слишком сложно, а замечание Гиппократа позволяло работать с отношениями отрезков. В дальнейшем все решали задачу именно в формулировке Гиппократа, причем, как правило, в общем виде: отрезок 2а заменяли на произвольный отрезок b и строили такие отрезки х и у, что а : х = х : у = у : Ь. В этом случае

Решение этой задачи позволяло

также для прямоугольного параллелепипеда строить ребро куба, объем которого равен объему параллелепипеда (по этому поводу в одном древнегреческом тексте говорится: «После этого мы сможем вообще любой заданный ограниченный параллелограммами объем превращать в куб...»; этот текст Евдема Родосского, друга и ученика Аристотеля, дает прямое указание на интерес математиков к задаче превращения

параллелепипеда в куб). Поясним, как по ребрам р, сиг прямоугольного параллелепипеда можно построить ребро нужного куба. По данным сторонам р и q прямоугольника строить сторону а квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника, умели уже на самом раннем этапе развития древнегреческой математики. Ясно также, что если а = y/pq и 6 = г, то \/а2Ь = ^Jpqr.

По разным причинам древнегреческие математики при построениях циркуль и линейку предпочитали всем другим инструментам. Здесь, впрочем, нужно сделать уточнение. Ни о циркуле, ни о линейке в их сочинениях речи нет; говорится лишь о «построениях посредством прямых и окружностей». Более того, для Евклида построение окружности означает не совсем то же самое, что использование циркуля. Согласно третьему постулату Евклида, можно строить лишь окружность с данным центром А, проходящую через данную точку В. Окружность с центром А и радиусом ВС этот постулат строить не позволял (это построение описано Евклидом в предложении I.2)*). Циркуль, конечно же, позволил бы выполнять такие построения. По-видимому, формулировка постулата Евклида связана с уходящим в глубокую древность построением окружностей с помощью колышка и привязанной к нему веревки. В этом случае для построения окружности с центром А и радиусом ВС пришлось бы сначала забить колышек в точке В, отметить на веревке точку С, а затем выдернуть колышек и забить его в точке А. Лишь после этого можно было строить требуемую окружность. Такое построение, при котором нужно было забивать колышек не один, а два раза, существенно отличается от элементарного построения.

*) Здесь и далее при ссылках на «Начала» Евклида римские цифры указывают номер книги, а арабские цифры — номер предложения в этой книге.

В Греции циркуль был изобретен в X в. до н. э., задолго до Евклида, в связи с потребностями керамического производства. В это время широкое распространение получил геометрический стиль, и циркуль был нужен для изображения на керамике концентрических окружностей. Греческая мифология связывает изобретение циркуля с именем Талоса (согласно другим источникам — Пердикса), племянника Дедала. О Талосе пишет древнегреческий историк Диодор Сицилийский (I в. до н. э.): «Точно так же, изобретя циркуль и некоторые другие технические приспособления, он достиг большой славы». Римский писатель Гигин (I в. до н. э.) сообщает: «Пердикс, сын сестры Дедала, изобрел циркуль и пилу из рыбьего хвоста». Об этом изобретении двенадцатилетнего мальчика упоминает даже знаменитый римский поэт Овидий (43 г. до н. э. — 17 г. н. э.) в поэме «Метаморфозы»:

Первый железным узлом два железных конца съединил он, Чтобы, когда друг от друга они в расстоянии равном, Часть стояла одна, другая же круг обводила.

Дедал известен в греческой мифологии как искуснейший изобретатель и архитектор. (Странным образом гораздо более знаменит ныне его неразумный сын Икар, который прославился тем, что, несмотря на подробные наставления отца, так и не научился правильно пользоваться сделанными Дедалом крыльями из перьев, скрепленных воском.) Одаренность отданного ему в обучение племянника, грозившая затмить его славу, вызвала у Дедала зависть, и он столкнул его с акрополя.

Скорее всего, древнегреческие математики достаточно быстро поняли, что задачу удвоения куба нельзя решить с помощью циркуля и линейки, хотя доказать этого они не могли и, по-видимому, даже не пытались. По поводу того, чем

помимо циркуля и линейки можно пользоваться при построениях, у древнегреческих математиков были разные мнения. Первое решение задачи удвоения куба, полученное великим полководцем и математиком Архитом Тарентским, трудно даже назвать построением. Он получил решение как пересечение цилиндра, конуса и тора. Ни о какой практической реализации такого решения не могло быть и речи. Несколько более позднее решение Менехма было уже в некотором смысле оптимальным: он находил решение как пересечение двух конических сечений. Оптимальным это решение было вот в каком смысле. На последнем этапе развития древнегреческой математики, через несколько веков после Менехма, сложилась следующая классификация задач на построение, изложенная александрийским математиком Паппом:

1) плоские задачи (решаемые с помощью прямых и окружностей, т. е. с помощью циркуля и линейки);

2) пространственные задачи (решаемые с помощью конических сечений, т. е. параболы, гиперболы и эллипса; название, по-видимому, связано с тем, что использовались сечения пространственной фигуры — конуса);

3) граммические задачи, решаемые лишь с помощью других, более сложных кривых линий (γραμμή — линия).

Папп писал, что если задачу можно решить с помощью прямых и окружностей, то было бы ошибкой использовать в геометрии для ее решения другие инструменты. Он был уверен, что задачу удвоения куба нельзя решить с помощью прямых и окружностей.

Классификация Паппа неполная. Она не включает построения, использующие специальные инструменты, а такие построения встречались у древнегреческих математиков нередко. Специальные инструменты для решения задачи удвоения куба использовали Эратосфен и Никомед; специальный инструмент использован также в решении, приписываемом Платону.

После древнегреческих математиков в отношении задачи удвоения куба были получены, пожалуй, лишь два существенных результата. Во-первых, было обнаружено, что эта задача и задача трисекции угла сводятся к решению кубических уравнений, а во-вторых, в 1837 г. было доказано, что эти задачи неразрешимы с помощью циркуля и линейки (в их неразрешимости древнегреческие математики были уверены, хотя и не могли этого доказать). В том, чтобы понять, что задача удвоения куба сводится к решению кубического уравнения, нет, казалось бы, ничего сложного. Но древнегреческие математики никогда не решали геометрические задачи путем сведения их к алгебраическим уравнениям. Их математика была существенно геометрической. Алгебраизация математики началась гораздо позже и шла очень медленно и трудно. Слово «алгебра» вовсе не случайно происходит из арабского языка — арабы действительно очень много сделали для алгебраизации математики.

В XII в. в Европе начали переводить с арабского языка на латинский трактаты древнегреческих и арабских математиков (многие сочинения древнегреческих математиков сохранились лишь в арабских переводах). Греческая математика вернулась в Европу в сильно алгебраизированном виде. Выдающиеся достижения в области алгебры (решение в радикалах уравнений третьей и четвертой степени, теорема Виета) были уже отчасти подготовлены.

В своей книге «Геометрия» (1637 г.) Декарт показал, как геометрические задачи можно сводить к алгебраическим уравнениям. В связи с этим у него возникла задача построения корней многочлена. Декарт нашел очень простой способ строить корни многочленов третьей и четвертой степеней как проекции на ось координат точек пересечения параболы и окружности. Как особо важные частные случаи этого

построения Декарт выделил решения задач удвоения куба и трисекции угла и рассмотрел их отдельно. Некоторое время после появления книги Декарта построением корней занимались почти все крупные математики (Ферма, Ньютон, ван Схоотен, Лопиталь, Лагир, Я. Бернулли, Ролль, Крамер, Эйлер), но интерес к этой задаче угасал столь быстро, что главная теорема, связанная с построением корней, оставалась до недавнего времени не доказанной. Эта теорема заключается, грубо говоря, в следующем: корни многочлена п-й степени можно построить как проекции на ось координат точек пересечения двух алгебраических кривых, степени которых равны приблизительно у/п. Последними задачей построения корней занимались Крамер (1704—1752) и Эйлер (1707— 1783), но их интерес к ней был уже столь слабым, что они не обратили внимания на почти очевидные вещи. Указанную выше теорему хотя и никто не доказывал, но все же проверяли, чтобы у кривых было больше свободных коэффициентов, которые можно изменять, чем у многочлена (Лопиталь считал это вполне достаточным доказательством). Чтобы избежать ситуации, когда для вещественного многочлена точки пересечения кривых получаются мнимыми, Крамер и Эйлер предложили способ, в котором свободных коэффициентов у кривых было меньше, чем у многочлена, т. е. этот способ годился заведомо не для любого многочлена. Вряд ли Эйлер допустил бы такую ошибку, если бы занимался этой проблемой всерьез.

Древнегреческие решения

Решение Архита Тарентского (ок. 428 — 365 гг. до н. э.) Первое решение задачи удвоения куба было получено великим полководцем и математиком Архитом Тарентским. Ре-

Рис. 2.1 Рис. 2.2

шение Архита прямое и естественное, но для современного восприятия оно одно из наиболее сложных, потому что оно полностью геометрическое и современная алгебраизация ничем не помогает его понять. Прежде чем перейти к решению Архита, рассмотрим рис. 2.1. На этом рисунке изображен полукруг с диаметром АС\ из точки Р, лежащей на окружности, опущен перпендикуляр РМ на диаметр АС, из точки M опущен перпендикуляр MQ на отрезок АР, а из точки Q опущен перпендикуляр QN на диаметр АС. Ясно, что

поэтому

В частности, если АС = 2AQ, то AM = \/2AQ.

Чтобы прийти к рис. 2.1, поступим следующим образом. Пусть AB и АС — данные отрезки, причем AB < АС. Тогда можно считать, что точка В лежит на окружности S с диаметром АС (рис. 2.2). Рассмотрим три поверхности:

1) цилиндр с основанием 5;

2) конус с осью АС и образующей AD, где D — точка пересечения прямой AB и касательной к окружности S в точ-

Рис. 2.3

ке С (этот конус получается при вращении прямоугольного треугольника ACD вокруг катета АС);

3) поверхность, полученную следующим образом: повернем окружность S на 90° вокруг оси АС и будем вращать полученную окружность S" вокруг оси, проходящей через точку А перпендикулярно плоскости окружности S; в результате получим поверхность вырожденного тора (тор получается при вращении круга относительно оси /, лежащей в плоскости круга и удаленной от него на некоторое расстояние а (рис. 2.3); если, как в нашем случае, а = 0, то получаем вырожденный тор).

Пусть Р — одна из точек пересечения трех рассматриваемых поверхностей (см. рис. 2.2); M — проекция точки Р на плоскость окружности 5. Точка Р лежит на поверхности цилиндра, поэтому точка M лежит на окружности S. Проведем через точку В хорду BE, перпендикулярную диаметру АС. Пусть Q — точка отрезка АР, проецирующаяся в некоторую точку N отрезка BE. Так как АР — образующая конуса, то AQ = AB. Точка Q лежит на окружности с диаметром BE, поэтому QN2 = EN • NB = AN • NM, т. е. точка Q лежит на окружности с диаметром AM и ZAQM = 90°. Следователь-

но, QM II PC'. В итоге мы приходим к рис. 2.1, нужно лишь в обозначениях этого рисунка заменить С на С. Следовательно, АС : АР = АР : AM = AM : AB, а если АС = 2АВ, то Л M = ffiAB.

Автор первого решения задачи удвоения куба заслуживает того, чтобы привести хотя бы краткую его биографию. В начале IV в. до н. э. пифагорейцы были изгнаны из почти всех греческих колоний в южной Италии. Лишь в Таренте Архит сумел сохранить полуаристократический режим, и этот город остался единственным существенным политическим центром пифагорейцев. В своем городе Архит был очень влиятельным человеком. Диоген Лаэртский писал о нем: «Всяческими своими добродетелями вызывал он всеобщее восхищение и был над своими согражданами военачальником семь раз, тогда как другие по закону не военачальствовали более одного года... в свое военачальство он ни разу не потерпел поражения; а однажды, когда ему стали завидовать, он отказался от начальства, и войско тотчас было разбито».

Архит был очень дружен с философом Платоном. Повидимому, именно благодаря Архиту Платон хорошо знал математику. А однажды Архит даже спас Платона от смерти. Эту историю рассказал Диоген Лаэртский: «...во второй раз он (Платон — В.П.) ездил к Дионисию Младшему просить о земле и людях, чтобы жить по законам его Государства («Государство» — книга Платона — В.П.). Дионисий обещал, но не дал. Некоторые пишут, что при этом он попал было в беду, оттого что побуждал Диона и Феодота к освобождению острова; но пифагореец Архит в письме к Дионисию добился для него прощения и свободного возвращения в Афины».

Научные интересы Архита на первый взгляд поражают разнообразием. Самым главным его достижением является

решение задачи удвоения куба. Другим важным достижением являются его теоретико-числовые исследования, составившие основу восьмой книги «Начал» Евклида. Кроме того, Архита с полным основанием называли крупнейшим пифагорейским теоретиком музыки. Более близкое знакомство со всеми этими результатами Архита поражает, однако, странным единообразием при таком разнообразии. Решая задачу удвоения куба, он между данными отрезками а и b вставляет отрезки X и у, образующие пропорцию а : х = х : у = у : Ь. В теории чисел Архит исследует, когда между данными натуральными числами а и b можно вставить натуральные числа xi,... ,хп, образующие пропорцию а : х\ = х\ : а?2 = • • •=xn-i : хп = хп : Ь. В теории музыки Архит изучает средние и пропорции: среднее арифметическое (а — b = b — с, т. е. b = а 2 с), среднее геометрическое (а : b — b : с, и среднее гармоническое

Архит занимался также механикой и, по-видимому, любил мастерить разные приспособления. Диоген Лаэртский писал о нем: «Он первый упорядочил механику, приложив к ней математические основы, и первый свел движение механизмов к геометрическому чертежу». Об изобретениях Архита есть не очень достоверные сведения, будто он изготовил деревянного голубя, который мог летать, и совершенно достоверное сообщение Аристотеля, что Архит изобрел детскую погремушку: «С другой стороны, и дети должны иметь какое-нибудь занимательное дело, и в этом отношении нужно считать прекрасным изобретением ту погремушку Архита, которую дают малым детям, чтобы они, занимаясь ею, не ломали ничего из домашних вещей: ведь то, что молодо, не может оставаться спокойным». Аристотелю приходится поверить, потому что он был лучшим учеником Платона, близкого друга Архита.

Решение Менехма (IV в. до н.э.)

Вслед за Архитом другое решение задачи удвоения куба получил его ученик Евдокс, но об этом решении почти ничего не известно. Поэтому мы перейдем сразу к решению Менехма, ученика Евдокса. На современном алгебраическом языке это решение изложить очень легко. Если даны отрезки а и b и мы хотим найти такие отрезки х и у, что а : х = х : у = у : Ь, то их можно получить, решив любую из двух систем уравнений:

С геометрической точки зрения решение первой системы уравнений сводится к построению точки пересечения двух парабол (рис. 2.4), а решение второй системы — к построению точки пересечения параболы и гиперболы (рис. 2.5). Обе параболы и гипербола проходят через одну точку.

Менехм предложил оба эти решения. Параболу и гиперболу он получал, судя по всему, как сечения конуса (графиков функций древнегреческие математики не рассматривали).

Если фиксировать отрезок а и строить отрезки х и у для различных 6, то построение Менехма не очень удобно: для каждого значения b нужно строить новую параболу или ги-

Рис. 2.4 Рис. 2.5

перболу. Для таких построений более удобно построение Декарта, в котором строятся точки пересечения фиксированной параболы с различными окружностями (см. с. 120).

Решение, приписываемое Платону (428 — 348 гг. до н. э.)

Евтокий, комментатор сочинений Архимеда, сообщает, что Платон предложил следующее решение задачи удвоения куба. Построим прямоугольный треугольник ОAB, катетами которого являются данные отрезки а и b (рис. 2.6). Если на продолжениях катетов OB и OA нам удастся построить такие точки X и Y, что прямые АХ и BY параллельны, а прямая XY им перпендикулярна, то задача удвоения куба будет решена. В самом деле, треугольники АОХ, XOY и Y OB подобны, поэтому а : х = — X : у = у : 6. Для построения точек X и Y можно воспользоваться инструментом, состоящим из жесткого прямого угла X'Y'B', по стороне XfYf которого свободно движется перпендикулярная ей прямая Х'А'. Расположим для этого прямой угол X'YfB' так, чтобы его сторона Y'В' проходила через точку В, а вершина Y' лежала на прямой АО. Затем передвинем прямую Х'А так, чтобы она проходила через точку А. Нам нужно, чтобы точка X' оказалась при этом на прямой OB. Этого можно добиться, поворачивая наш инструмент.

Евтокий описал также устройство нужного для построения инструмента. Он состоял из жесткой П-образной рамы, в стойках которой были вырезаны пазы и по ним двигалась рейка (рис. 2.7). Рассматриваемое построение можно также

Рис. 2.6

Рис. 2.7 Рис. 2.8

выполнить с помощью двух прямых углов, двигая сторону одного угла по стороне другого угла (рис. 2.8).

Принадлежность этого решения Платону весьма сомнительна. Об этом решении сообщает только Евтокий, а другие источники среди авторов решений задачи удвоения куба Платона не упоминают. Но это не главное. Дело в том, что Платон отвергал механические доказательства как разрушающие все лучшее в геометрии. Он предпочитал идеи в чистом виде. Всерьез рассматривать такое решение Платон действительно не мог. Но не исключено, что это решение он предложил в шутку, насмехаясь над построениями с помощью инструментов, которыми надлежит пользоваться лишь ремесленникам (такую гипотезу высказал известный математик и историк математики Б. Л. ван дер Варден).

Решение Эратосфена Киренского (ок. 276 — 194 гг. до н. э.)

Круг интересов Эратосфена, современника Архимеда, был очень широк. Он измерил длину земного меридиана.

Многим известен его способ нахождения простых чисел — «решето Эратосфена». Ему также принадлежит одно из решений задачи удвоения куба. Это решение использует инструмент, состоящий из трех равных прямоугольников A\B\C\D\, A2B2C2D2 и A3B3C3D3, противоположные стороны которых могут перемещаться по двум параллельным прямым, и на этих прямоугольниках нарисованы их диагонали Ai Ci, А2С2 и Л3С3 (рис. 2.9). Пусть расстояние между прямыми равно данному отрезку a, a на стороне -В3С3 взята точка M так, что отрезок С3М равен данному отрезку Ь. Диагонали А2С2 и А3С3 пересекают стороны i?iCi и В2С2 в точках К и L соответственно. Прямоугольники можно расположить так, чтобы точки А\, К, L и M оказались на одной прямой. Фиксируем для этого прямоугольник A\B\C\D\ и будем двигать прямоугольник A2B2C2D2 так, чтобы точка К прошла путь от точки В\ до точки С\. Для каждого положения прямоугольника A2B2C2D2 найдется такое положение прямоугольника A3B3C3D3, что точка L лежит на прямой А\К. Пусть прямая, на которой лежат точки А\, К и L, пересекает сторону В3С3 в точке М'. Ясно, что если точка К пробегает весь отрезок В\С\, то точка М' пробе-

Рис. 2.9

гает весь отрезок В3С3, а значит, в некоторый момент она совпадает с точкой М. Когда прямоугольники приведены в нужное положение, трапеции A\KC\D\, KLC2C1 и LMC3C2 подобны, поэтому а : х — х : у = у : Ь, где х = КС\ и у — LC2.

Если вы возьмете три прямоугольника, нарисуете на них диагонали и попробуете осуществить построение Эратосфена, то увидите, что его метод не очень удобен — хлопотно проверять, что точки А1, К, L и M лежат на одной прямой. Но Эратосфен своим решением очень гордился. Он даже сочинил эпиграмму:

Если из малого куба двойной замышляешь устроить,

Друг, или данный объем к форме другой привести, Чтоб хорошо удалось тебе это, вздумал ли погреб

Ты измерять, или ров, или широкую пасть Глуби колодца, возьми на смежных концами пластинках

Средние линии две, сжатые между таблиц. Не прибегай для того ты к тяжелым цилиндрам Архита,

Конуса ты не секи, корня Менехма триад; Также не надо держать с богоравным Евдоксом совета,

Выгнутых линий его формы не надо чертить. С этими ж ты табличками тысячи средних построишь,

Двигайся смело вперед, с меньших из данных начав.

Пусть же свершится все это, и каждый смотрящий пусть скажет: «Это Кирены сын выдумал Эратосфен».

Решение Никомеда (II в. до н.э.)

Весьма распространенным способом решения задач на построение в Древней Греции был способ «вставок» (neusis). Он заключался в том, что через данную точку О проводилась прямая, на которой две данные прямые /1 и I? (или, например, прямая и окружность) высекали отрезок данной длины (рис. 2.10), т. е. между данными прямыми вставлялся отрезок данной длины, продолжение которого проходило через данную точку. Задачу построения такого отрезка

нельзя решить с помощью циркуля и линейки, но для ее решения можно, вообще говоря, использовать линейку с двумя делениями, расстояние между которыми равно длине данного отрезка. Так некоторые древнегреческие математики и делали, но, судя по всему, к построениям с помощью линейки с двумя делениями в Древней Греции относились неодобрительно. Для построений, использующих «вставки», Никомед предложил специальную кривую — конхоиду. Эта кривая строится следующим образом. Будем вращать вокруг точки О прямую. Пусть А\ — точка пересечения этой прямой с прямой l\, а В\ — такая ее точка, что отрезок А\В\ имеет данную длину (см. рис. 2.10). Кривую, которую заметает при этом точка В\, и называют конхоидой. Точка В пересечения конхоиды и прямой I2 задает искомую прямую OB.

Никомед изготовил также инструмент для вычерчивания конхоид. Этот инструмент состоял из неподвижной Т-образной рамы с прямолинейной прорезью и шипом Л и из подвижной рейки с прорезью и шипом В (рис. 2.11). Шип А жестко закреплен на раме, а шип В — на рейке. Диаметр шипов равен ширине прорезей. Заостренный конец рейки при дви-

Рис. 2.10

Рис. 2.11

жении, направляемом шипами и прорезями, описывает конхоиду (точнее говоря, часть конхоиды). Способ «вставок» дает возможность производить построения, которые нельзя выполнить с помощью циркуля и линейки. Он, например, легко позволяет разделить любой угол на три равные части (см. с. 127); при этом можно даже ограничиться случаем, когда прямые 1\ и /2? между которыми нужно вставить данный отрезок, перпендикулярны. Задачу удвоения куба с помощью способа «вставок» решить тоже можно, но это решение существенно сложнее трисекции угла, и прямые h nfo уже нельзя считать перпендикулярными (точнее говоря, чтобы решить задачу удвоения куба посредством вставления некоторого отрезка между перпендикулярными прямыми, придется дополнительно произвести сложные построения с помощью циркуля и линейки). Весьма простое построение для решения задачи удвоения куба нашел Никомед, но его доказательство того, что это построение действительно дает нужный отрезок, слишком длинное и сложное, а главное, из доказательства совсем не видно, как это решение можно было найти.

Поэтому мы начнем с того, что постараемся понять, каким образом способ «вставок» можно применить к решению задачи удвоения куба.

Пусть даны прямые 1\ и I2, точка F и отрезок длиной г. Попробуем выяснить, как должны быть расположены эти прямые и точка и каким должно быть число г, чтобы длина х отрезка CK оказалась равной \/а2Ь, где а и b — данные отрезки (рис. 2.12). Опустим из точки F перпендикуляр FE на прямую I2 и проведем через точку F прямую FG, параллельную прямой l\ (G — точка прямой /2)- Чтобы задать расположение прямых /1 и /2 и точки F, достаточно задать числа s = FC, и = ЕС и w = GE. Числа s, и, w и г нужно подобрать так, чтобы получилось х = \/а2Ь и отрезки с длинами 5, и, w и г легко строились бы с помощью отрезков а и Ь.

Ясно, что

Рис. 2.12

А так как

то

Вполне естественно приравнять коэффициенты при х2, х и х°. В результате получаем 2гс = 1, 2и = с2а2Ь и г = s. Следовательно,

Кроме того,

т. е. w = Згл. Итак, числа w и г должны удовлетворять соотношению Sur2 = 6а2, a числа s и к; задаются равенствами s — г и w — Ъи. Пожалуй, наиболее естественно положить и — 2 и г = 7j. Так Никомед и сделал, хотя мы и не можем с уверенностью сказать, что ход его поисков был таким же, как у нас. Но едва ли Никомед смог бы найти это решение, если бы искал его наобум.

Построение Никомеда изображено пунктиром на рис. 2.12. Построим прямоугольник ABCL со сторонами AB = а и ВС = Ь. Пусть D и Е — середины сторон AB и ВС, G — точка пересечения прямых DL и ВС. Построим точку F так, что FE _1_ ВС и CF = AD, а затем через точку С проведем прямую 1\, параллельную прямой GF. Если теперь провести через точку F прямую так, что H К = С F = AD, то CK = <УАВ2 • ВС и, как легко проверить, AM = \/AB • ВС2, где M — точка пересечения прямых AB и KL.

Мы не будем воспроизводить доказательство Никомеда, а воспользуемся снова обозначениями рис. 2.12. Подставляя наши значения чисел и, w, s и г в равенства ху = г (и -h w) и

получаем

Следовательно,

Никомед в качестве искомых отрезков указал отрезки CK и MA; он, по-видимому, не заметил, что MA — FH. Своим решением Никомед очень гордился и считал, что оно гораздо лучше построения Эратосфена, которое он высмеивал как непрактичное и негеометрическое.

Легко проверить, что конхоида задается уравнением четвертой степени: из рис. 2.13 видно, что

Папп Александрийский показал, что «вставление» отрезка между прямыми можно свести к нахождению точки пересечения окружности и гиперболы. Но наш рассказ о способе «вставок» уже слишком затянулся, поэтому мы отложим обсуждение этого до разговора о трисекции угла (см. с. 127). Тем более что и сам Папп занимался сведением способа «вставок» к пересечению гиперболы и окружности именно в связи с трисекцией угла.

Решения Аполлония (III в. до н.э.), Филона Византийского (III в. до н.э.) и Герона (I в. н.э.)

Три математика древности, Аполлоний, Филон Византийский и Герон, в разное время предложили фактически одно

Рис. 2.13

и то же решение задачи удвоения куба. Но они не указали, с помощью каких инструментов можно было бы осуществить такое построение.

Рассмотрим прямоугольник ABDC, где AB и АС — данные отрезки. Пусть Е — точка пересечения диагоналей этого прямоугольника. Для решения задачи удвоения куба достаточно выполнить любое из следующих эквивалентных построений (рис. 2.14):

1) провести окружность с центром Е так, чтобы точка D лежала на отрезке, соединяющем точки пересечения этой окружности с лучами AB и АС (Аполлоний);

2) провести через точку D прямую так, чтобы описанная окружность прямоугольника ABDC и прямые AB и АС высекали на ней равные отрезки G H и DF (Филон);

3) провести через точку D прямую так, чтобы она пересекала прямые AB и АС в точках, равноудаленных от точки Е (Герон).

Построения Аполлония и Герона, очевидно, эквивалентны. Что же касается построения Филона, то достаточно за-

Рис. 2.14

метить, что точка Е лежит на серединном перпендикуляре к отрезку DH, поэтому равенства G H = DF и GE = EF эквивалентны.

Пусть а — АС, Ь — AB, х = В F и у = GC. Докажем, что а : X — X : у = у : Ъ. Из подобия треугольников CGD и BDF следует, что ху — ab. Равенство GE = EF можно записать в виде

Из равенства

следует, что

Остается воспользоваться равенством

Решения Диокла (II в. до н.э.), Паппа (III в. н.э.) и Спора

Для решения задачи удвоения куба Диокл предложил использовать кривую, которую впоследствии называли циссоидой. Эта кривая получается следующим образом. Проведем в окружности два перпендикулярных диаметра AB и CD. Отложим на дугах ВС и BD равные дуги В F и BE. Пусть Р — точка пересечения отрезка СЕ и перпендикуляра, опущенного из точки F на отрезок CD (рис. 2.15). Когда точка F перемещается по дуге ВС, точка Р заметает циссоиду Диокла.

Так как ZHDF = IHFC = ШСР = а, то DE : HF= —HF : HC — HC : HP — tga. Поэтому для построения таких отрезков х и у, что а : х = х : у = у : Ь, где а и b — данные отрезки, причем а > Ь, можно поступить следующим образом. Возьмем на радиусе OB такую точку К, что DO : OK = а : b. Пусть Р — точка пересечения луча DK и циссоиды. Тогда DH : HF = HF : НС = НС : HP и DH : HP — а : b. Следовательно, х = kHF и у = кНС, где

После Диокла почти такие же решения предложили Папп и Спор. В этих решениях проводилась прямая DK (см.

Рис. 2.15

рис. 2.15), а затем вокруг точки С начинали вращать линейку; нужно было добиться того, чтобы диаметр AB делил отрезок ЕР пополам (Е и Р — точки пересечения линейки с окружностью и с прямой DK соответственно).

Пусть радиус рассматриваемой окружности равен а. Введем систему координат О ху так, что х = ОН и у — HP. Равенство DH • HP = HF • НС перепишется тогда в виде

Таким образом, циссоида задается уравнением третьей степени (Диокл рассматривал лишь ту часть этой кривой, которая лежит внутри угла ВОС).

О древнегреческих инструментах для построения циссоиды не сохранилось никаких достоверных сведений. Поэтому мы опишем такой инструмент, изобретенный Ньютоном. Проведем в окружности S перпендикулярные диаметры AB и CD (рис. 2.16). Возьмем на луче ОС такую точку Z, что OZ = CD. В качестве инструмента для построения циссоиды Ньютон предложил использовать прямоугольный треугольник XYZ', у которого длина катета ХУ равна диаме-

Рис. 2.16

тру окружности S. Пусть Р — середина отрезка ХУ. Если точка X движется по прямой AB, а катет УZ' проходит через точку Z, то точка Р движется по циссоиде. Докажем это утверждение. Точки О и У лежат на окружности с диаметром XZ, а отрезки ХУ и OZ равны диаметру окружности S, поэтому XOYZ — равнобедренная трапеция. Прямая PC соединяет середины ее диагоналей, значит, она параллельна основаниям трапеции и делит отрезок ОХ пополам. Кроме того, АЕРХ = /УPC = WCP. А так как ОС = ОЕ, то ZOCP = ZOEP. Следовательно, ОЕ \\ РХ. В четырехугольнике ЕОРХ диагональ ОХ делится диагональю ЕР пополам, а стороны ОЕ и РХ параллельны. Поэтому четырехугольник ЕОРХ — параллелограмм и отрезок ЕР делится диаметром AB пополам, а значит, точка Р лежит на циссоиде.

Итерационное решение

С помощью циркуля и линейки за конечное число шагов решить задачу удвоения куба нельзя, но решение методом последовательных приближений получить можно, причем мно-

гими разными способами. Одно из таких решений сохранилось в сочинениях Паппа Александрийского. История этого решения загадочна. Человека, который сообщил его Паппу, многие считали хорошим математиком. Их общие друзья попросили Паппа высказать свое мнение по поводу этого решения. Папп раздраженно ответил, что автор сам не понимает, что говорит, — он утверждает, будто нашел решение задачи удвоения куба с помощью лишь циркуля и линейки! Взаимопонимания, как видно, не было. Возможно, они даже не поговорили друг с другом. Произошло, скорее всего, следующее. Некий математик (Папп не упоминает его имени) предложил построение с помощью циркуля и линейки, повторяя которое на каждом шаге можно получать все более и более точные решения задачи удвоения куба. Вряд ли он мог считать, что точное решение получается на третьем шаге, но Папп его понял именно так. Папп без труда убедился, что на третьем шаге точного решения не получается, и от дальнейших обсуждений наотрез отказался. Но все же он привел это решение в своих сочинениях как пример неверных рассуждений.

Папп изложил решение следующим образом. Пусть AB и AD — данные отрезки, причем AB > AD и AB J_ AD (рис. 2.17). Отложим на перпендикуляре к прямой AB, восставленном из точки В, отрезок ВС, равный отрезку AB.

Рис. 2.17

Пусть Е — точка пересечения прямых AB и CD. Отложим на луче ВС отрезок BL = ЪВС и разделим его точками С, F, G и К на пять равных частей. Рассмотрим прямоугольник EBLL'. Возьмем на отрезке LL' такую точку М, что LM—AB. Пусть N — середина отрезка LM. Построим на отрезке LL' такие точки Р и Q, что L'L : L'N=L'N : L'P = VP : L'Q. На рис. 2.18 показано, как построить эти точки: через точку V проводим произвольную прямую и откладываем на ней отрезок L'N\ — L'N; дальнейшее построение видно из рисунка. Отложим на отрезке К К' отрезок KR = LM = AB, а на отрезке LR построим такую точку S, что SN У RQ (см. рис. 2.17). Затем на отрезке GG' построим такую точку N\, что SN\ \\ BL, и для точки iVi проведем такие же построения, как и для точки N (т. е. построим точки Pi и Q\), и повторим их для точки N2. Если бы оказалось, что Q2A У ВС, то ВС : Y'Z' = BE : Y'E = С'С : C'N2\ Y'Z' : X'Z = СN2 : C'P2 и X'Z : AD = C'P2 : C'Q2. А так как С'С : C'N2 = C'N2 : C'P2 = C'P2 : C'Q2, то ВС : Y'Z' = Y'Z' : X'Z = X'Z : AD, т. e. r'Z' и X'Z — искомые отрезки. Папп, конечно, заметил, что прямая Q2A не обязательно параллельна прямой ВС, но он не заметил более глубоких свойств этого построения.

Докажем, что при последовательном повторении построения угол между прямыми QnRn и BL стремится к нулю, т. е.

(рис. 2.19). Ясно, что

Предположим сначала, что

Тогда, с одной стороны,

так как

С другой стороны,

Последовательность {хп} ограничена свер-

Рис. 2.18 Рис. 2.19

ху и монотонно возрастает, поэтому она имеет предел. Если 1 - а < х„ < 1, то рассуждения аналогичны. Таким образом, процесс построения сходится для произвольной точки JV, взятой на отрезке LL'. Но чем ближе L'N/L'L к v^l — а, тем лучше сходимость. Автор решения задачи удвоения куба для $1 - 0,5 — « 0,79 выбрал приближение L'N/L'L = 3/4 = 0,75. Он, по-видимому, достаточно хорошо понимал, что делал.

Более поздние решения

Решение Виета (1540—1603)

Франсуа Виет предложил простое решение задачи удвоения куба способом «вставок». Пусть даны отрезки а и b и нужно построить такие отрезки х и у, что а : х = х : у = у : 6. Можно считать, что а > Ь. Построим окружность радиуса а/2 с центром А и возьмем на ней такие точки В и С, что

Рис. 2.20

ВС = b. Отложим на луче ВС отрезок BD = 2ВС и проведем через точку В прямую /, параллельную прямой AD. Вставим теперь между прямыми I и ВС отрезок G H длиной а/2, продолжение которого проходит через точку А (рис. 2.20). Если прямая GH пересекает окружность в точке J, то X = HB, у—Hl. Виет доказывал это утверждение непосредственно, мы же вместо этого покажем, как его построение связано с построением Никомеда. Пунктирные линии на рис. 2.20 устанавливают эту связь (достаточно сравнить этот рисунок с рис. 2.12).

Построение Декарта (1596 — 1650)

Пусть даны отрезки а и b и нужно построить такие отрезки X и у, что а : х = х : у — у : Ь, т. е. я3 = а2Ь и у3 = ab2. Как мы уже говорили, Менехм строил эти отрезки, рассматривая точки пересечения кривых х2 = ау и у2 — Ьх. Легко проверить, что система уравнений

эквивалентна системе уравнений

Первое уравнение задает окружность с центром проходящую через начало координат.

Рис. 2.21

Декарт предложил строить отрезки X и у, рассматривая точки пересечения параболы X2 = ау и окружности с центром (6/2,а/2), проходящей через начало координат (на рис. 2.21 изображен случай а = 2, b = 1; в этом случае х = v^4

Аналогичным образом можно построить корни кубического уравнения х3 = рх + q. Рассмотрим для этого систему уравнений

Тогда

поэтому либо X = 0, либо

Если a=p+lnß = q, то проекции на

ось Ох точек пересечения (отличных от начала координат) параболы у = х2 и окружности х2 + у2 — ßx — ay — 0 являются корнями уравнения я3 = рх + q.

Для построения корней уравнения четвертой степени хА =

можно рассмотреть точки пересечения параболы

и окружности

Инструмент Декарта ( 1596 — 1650)

Помимо решения задачи удвоения куба с помощью параболы и окружности, Декарт предложил также специальный инструмент для решения этой задачи и ее обобщений. Этот инструмент изображен на рис. 2.22. Он состоит из стержней ХУ и Y Z, шарнирно соединенных в точке Y, стержня AB, который неподвижно прикреплен в точке А к стерж-

ню ХУ перпендикулярно ему, и стержней, которые могут перемещаться по лучам УХ и YZ, все время оставаясь перпендикулярными одному из них. В исходном положении, когда инструмент сложен, лучи УХ и У Z совпадают, а все стержни сдвинуты к точке А. Затем лучи УХ и YZ начинают раздвигать, постепенно увеличивая угол XYZ; стержни при этом перемещаются, толкая друг друга. Ясно, что

Если У А = а и точка D лежит на окружности радиуса b с центром У, то отрезки х — У В и у = УС обладают тем свойством, что а : х = х : у = у : Ь. Инструмент Декарта с достаточно большим числом стержней позволяет также построить такие отрезки х\,... , хП1 что

Этот инструмент Декарт изобрел в молодости, почти за 20 лет до того, как он написал свою знаменитую книгу «Геометрия». Уже в то время он занимался построением корней кубических уравнений.

Рис. 2.22

Построение Ньютона (1642 —1727)

После Декарта построением корней уравнений много занимался Ньютон. В связи с этим он нашел несколько разных решений задачи удвоения куба способом «вставок». Мы не будем приводить все его решения, а ограничимся лишь одним из тех его построений, которые позволяют решать более общую задачу — строить корни уравнения х3 = qx + r. Ньютон не объяснял, как он придумывал свои решения. Но чтобы его построение было легче понять, мы расскажем, как к нему можно было бы прийти.

Рассмотрим треугольник СХК со сторонами КХ = а, КС = 6, СХ = с. Пусть точка А лежит на прямой КС и АС = d. Вставим между прямыми 1\ = ХА и fa = ХС отрезок EY длиной d, продолжение которого проходит через точку К (рис. 2.23). Пусть ХУ — х и КЕ = у. Применив теорему Менелая (см. [Прасолов, 1995, задача 5.58]) к треугольнику KCY и точкам Л, X, Е, получим

Следовательно,

(1)

Рис. 2.23

Кроме того,

а значит,

(2)

Выразим у по формуле (1) и подставим в (2). После несложных преобразований получим

Нам нужно, чтобы уравнение

совпало с уравнением хъ — qx — г = 0. Для этого должны выполняться следующие условия: а = Ь; Ь2 - d2 = -q; c(b + d)2 = г. Пусть В — такая точка, что С — середина отрезка AB. Ньютон полагает К А = b+d = п — произвольный отрезок, СХ = с = г/п2 и KB = b — d — —q/n. В результате получается построение, которое он описывает примерно такими словами: «Возьмем на произвольной прямой отрезок К А = п и отложим на ней отрезок KB = q/n в том же направлении, что и К А, если q < 0, и в противоположном направлении, если q > 0. Построим середину С отрезка AB и проведем окружность радиуса КС с центром К. Построим хорду СХ = г/п2. Наконец, вставим между прямыми СХ и АХ отрезок EY длиной CA так, чтобы его продолжение проходило через точку К. Тогда XY будет корнем уравнения. Если г < 0 и лучи ХС и XY сонаправлены, то отрезок XY соответствует положительному корню». Рассмотрим, например, уравнение

Рис. 2.24

т. е. X3 = 7х + 6, и возьмем К А = 4. Построение корней этого уравнения способом Ньютона изображено на рис. 2.24 (корнями являются отрезки XY\, XY2 и XY$\ длины отрезков Y\E\, Y2E2 и У3Е3 равны CA).

Покажем, как способом Ньютона можно решить задачу удвоения куба. Пусть даны отрезки m и п, и нужно построить такие отрезки х и у, что п : х = х : у = у : m, т. е. я3 = mn2. Возьмем if А = п. Тогда KB = О, т. е. В = К, а значит, С — середина отрезка АК, и = тп2/п2 = т. Построение выполнимо, если m < п.

Глава 8

Трисекция угла

Исторический очерк

О возникновении задачи трисекции угла (т. е. деления угла на три равные части) никаких интересных легенд нет. Повидимому, она появилась внутри самой математики в связи с решением задачи о построении правильных многоугольников. Построение правильного пятиугольника циркулем и линейкой должно было произвести на пифагорейцев большое впечатление, потому что правильная пятиконечная звезда была их опознавательным знаком (она символизировала здоровье). Известна следующая легенда. Один пифагореец умирал на чужбине и не мог заплатить человеку, который за ним ухаживал. Перед смертью он велел ему изобразить на своем жилище пятиконечную звезду: если когда-нибудь мимо будет идти пифагореец, он обязательно спросит о ней. И действительно, несколько лет спустя некий пифагореец увидел этот знак и вознаградил хозяина дома.

С помощью циркуля и линейки для п = 6 и 8 правильные п-угольники построить можно, а для п = 7 и 9 нельзя. Построение правильного семиугольника — интересная задача, причем ее можно решить с помощью способа «вставок». Такое построение правильного семиугольника предложил Ар-

химед. Но эта задача лежит все же несколько в стороне от главной нашей темы. А вот попытки построить правильный девятиугольник как раз и должны были привести к задаче трисекции угла, потому что для построения правильного девятиугольника нужно было построить угол 360°/9 = 120°/3, т. е. разделить угол 120° на три равные части.

Древнегреческие решения

При решении задачи трисекции угла можно ограничиться случаем острого угла, потому что если tp > 90°, то <р/3 = — (if — 90°)/3 + 30°, а угол 30° легко построить циркулем и линейкой.

Решение способом «вставок»

Как мы уже говорили, с помощью «вставок» (см. с. 107) разделить угол на три равные части очень легко. Возьмем на стороне угла с вершиной В произвольную точку А и опустим из нее перпендикуляр АС на другую сторону (рис. 2.25). Проведем через точку А луч Z, сонаправленный с лучом ВС. Вставим теперь между лучами АС и / отрезок DE длиной 2AB так, чтобы его продолжение проходило через точку В.

Рис. 2.25

Рис. 2.26

Тогда ZEBC = ZABC/3. В самом деле, пусть G — середина отрезка DE. Точка А лежит на окружности с диаметром DE, поэтому AG = GE = DE/2 = AB. Треугольники BAG и AGE равнобедренные, поэтому ZABG = /-AGB = 2/.AEG = 2ZEBC.

Папп Александрийский показал, что задача «вставления» отрезка между данными перпендикулярными прямыми 1\ и fa сводится к построению точки пересечения окружности и гиперболы. Рассмотрим прямоугольник ABCD, продолжения сторон ВС и CD которого являются данными прямыми, а вершина А является данной точкой, через которую нужно провести прямую, пересекающую прямые 1\ и fa в таких точках Е и F, что отрезок EF имеет данную длину (рис. 2.26). Достроим треугольник DEF до параллелограмма DEFG. Для построения искомой прямой достаточно построить точку G, а затем через точку А провести прямую, параллельную прямой DG. Точка G удалена от точки D на данное расстояние DG = EF, поэтому точка G лежит на окружности, которую можно построить. С другой

стороны, из подобия треугольников ABF и ED А получаем AB : ED = BF : AD, т. e. ED • BF = AB • A£>. Следовательно, F G - BF = AB • AD = S лвс Di т- e- точка G лежит на гиперболе (если направить оси Ох и Oy по лучам BF и В А, то эта гипербола задается уравнением ху — Sabcd)-

Это построение почти без изменений можно применить и в случае неперпендикулярных прямых 1\ и l<i.

Решение Архимеда (ок. 287 — 212 гг. до н.э.)

Другое решение задачи трисекции угла способом «вставок» предложил Архимед. В его решении нужно вставить отрезок данной длины между прямой и окружностью. Рассмотрим угол ADE; можно считать, что D — центр окружности, а точки А и Е лежат на окружности. Проведем через точку А прямую так, чтобы окружность и прямая DE высекали на ней отрезок ВС, длина которого равна радиусу окружности (рис. 2.27). Тогда /BDC = /ADE/З. В самом деле, /ADE = /ACD + /CAD, а так как треугольники С BD и ADB равнобедренные, то /.BCD = /BDC и Z.ABD = /BAD, поэтому /ACD + /.CAD = /ВDC + 2/BDC = 3/BDC.

Рис. 2.27

Для трисекции угла способом Архимеда удобно использовать линейку с двумя делениями, расстояние между которыми равно радиусу окружности. Можно слегка изменить способ Архимеда и использовать для трисекции угла линейку с двумя делениями, расстояние между которыми равно не радиусу, а диаметру окружности. Рассмотрим для этого прямоугольный треугольник CDF, гипотенуза CF которого лежит на прямой CA (см. рис. 2.27). Точка В является серединой гипотенузы CF, поэтому CF = 2СВ = 2DE. Значит, для трисекции угла ADE нужно восставить из точки D перпендикуляр I к прямой DE и вставить между прямыми DC и / отрезок CF длиной 2DE так, чтобы прямая CF проходила через точку А.

Прямые решения с помощью гиперболы

Находя точки пересечения гиперболы и окружности, угол можно разделить на три равные части и непосредственно, без использования способа «вставок». Папп привел два таких решения, причем в обоих решениях гипербола одна и та же, но задается она по-разному. Пусть на дуге АС окружности требуется построить такую точку В, что ^ВС = ^АС/3, т. е. /.ВСА = 2/.ВАС. Рассмотрим для этого геометрическое место точек (ГМТ) X, для которых /.ХСА = 2Z.XAC. Папп, по сути дела, привел два разных доказательства того, что это ГМТ является гиперболой.

Более простое из этих доказательств было известно до Паппа. Проведем в треугольнике ABC высоту BN и биссектрису CK; пусть М — середина стороны АС (рис. 2.28). Так как АС : ВС = АК : KB = AM : MN, то ВС : MN= —AC : AM — 2. Соотношение ВС : MN — 2 означает, что точка В лежит на гиперболе (в системе координат с осью Ох, направленной по лучу АС, эта гипербола задается уравнением

Рис. 2.28

Рис. 2.29

Другое доказательство предложил сам Папп. Проведем в треугольнике ABC высоту BD и отложим на луче CA такие точки Е, F и G, что СЕ = 2CD, CF = 3CD и CG = АС/3 (рис. 2.29). Так как /.ВЕС = /.ВСЕ = 2/ВАС и /ВЕС = /ВАС + /АВЕ, то /ВАС = /АВЕ, а значит, АЕ = BE. Поэтому из равенств BD2 - BE2 - ED2 = BE2 - EF2 и AD • AF = (АЕ + EF)(AE - EF) = AE2 - EF2 следует, что BD2 = AD ■ AF = 3AD ■ DG. Соотношение BD2 = 3AD ■ DG означает, что точка В лежит на гиперболе (в прежней системе координат эта гипербола задается уравнением

легко проверить, что это уравнение эквивалентно полученному ранее уравнению

Деление угла в заданном отношении

По классификации Паппа (см. с. 96) задача трисекции угла относится к «пространственным» построениям, т. е. выполнимым с помощью конических сечений. Для деления угла в произвольном заданном отношении нужны более сложные кривые; известны два древнегреческих решения этой задачи.

Первое решение принадлежит Гиппию (V в. до н. э.). Дальнейшая история изобретенной им кривой не совсем ясна. Дело в том, что впоследствии ее использовали еще и для решения задачи квадратуры круга. Скорее всего, такое ее применение открыл Динострат, брат Менехма, но не исключено, хотя и очень маловероятно, что это сделал и сам Гиппий. За этой кривой утвердилось название квадратриса Динострата. Она получается следующим образом. Рассмотрим квадрат ABCD. Пусть концы отрезка ВС равномерно движутся по прямым В А и CD, а отрезок AB равномерно вращается вокруг точки А, причем в положение AD оба отрезка приходят одновременно (рис. 2.30). Пусть, далее, в некоторый момент отрезок ВС переместился в положение В'С, а отрезок AB переместился в положение AN; L — точка пересечения отрезков В'С и AN. Гиппий рассмотрел кривую, состоящую из всех таких точек L. Чтобы разделить в требуемом отношении угол NAD, опустим из точки L перпендикуляр LH на прямую AD и разделим отрезок LH точкой Р в этом отношении. Пусть Q — такая точка квадратрисы, что PQ II ВС. Из определения квадратрисы следует, что ZLAQ : Z.QAK = LP : PH, т. е. AQ — искомый луч.

Рис. 2.30

Второе решение использует спираль Архимеда (сам Архимед применял спираль для решения задачи квадратуры круга). Эта кривая получается следующим образом. Пусть луч OA равномерно вращается вокруг точки О, а точка L равномерно движется по этому лучу, причем в начальном положении она находится в точке О (рис. 2.31). Тогда точка L движется по спирали Архимеда. Пусть угол АОВ нужно разделить в заданном отношении. Рассмотрим часть спирали Архимеда, полученную при вращении луча от начального положения OA до положения OB. Пусть Р — точка, которая делит в данном отношении отрезок OL, где L — точка пересечения луча OB и спирали, Q — точка пересечения спирали и окружности радиуса ОР с центром О. Из определения спирали следует, что Z.LOQ : ЩО А = LP : Q0 = LP : PO, т. е. 0Q — искомый луч.

Более подробно о свойствах квадратрисы и спирали мы расскажем в главе, посвященной квадратуре круга.

Более поздние решения

Трисекция угла и кубические уравнения

В связи с постепенным формированием алгебры арабские математики проявляли все больший интерес к уравнениям, особенно к кубическим уравнениям. В XI в. ими было получено уравнение трисекции угла (т. е. соотношение между sin 3а и sin а) и тем самым было показано, что задача трисекции угла сводится к решению кубического уравнения.

Рис. 2.31

Если воспользоваться формулой

получить уравнение трисекции угла очень легко:

Пусть

Тогда

т. е. построение отрезка х по данному отрезку а сводится к построению корня кубического уравнения.

Тригонометрические функции были введены сравнительно поздно, поэтому мы остановимся на двух геометрических способах вывода уравнения трисекции угла, не использующих формулу для синуса суммы двух углов. Первый из этих способов принадлежит арабским математикам, а второй Декарту.

Рассмотрим окружность с диаметром АО и точки В и С, делящие дугу AD на три равные части (рис. 2.32). Пусть точки Z?i, С\ и Di таковы, что точки В, С и D являются серединами отрезков ABi, ACi и AD\. Нам нужно получить соотношение между известным отрезком AD и неизвестным отрезком AB. Применив теорему Птолемея (см. [Прасолов, 1995, задача 6.34]) к вписанному четырехугольнику ABCD, получим AB • CD + ВС • AD = AC • BD. А так как АВ=ВС = AD, то AB2 + AB • AD = АС2. Точка С лежит на отрезке ОВъ потому что /АОС = ^АС/2 = ^АВг = /.АОВъ Диаметр В1В2 и хорда АС\ пересекаются в точке С, поэтому ACCCi = В1ССВ2, т. е. АС2 = BiC(2d-BxC), где d = АО. Кроме того, А АО В ~ АВХАС и AB : АО = ВгС : ВгА=BiC : 2АВ, т. е. ВХС = 2AB2/d. В итоге получаем

Рис. 2.32

Если радиус окружности, на которой лежат точки А, В, С и D, равен 1, то d = 2 и AD = ЗАВ-AB3.

Рассуждения Декарта более просты и изящны. Пусть точки Q и Т делят дугу NP окружности с центром О на три равные части, радиусы OQ и ОТ пересекают хорду NP в точках Д и [/, а прямая, проходящая через точку Q параллельно прямой ТО, пересекает эту хорду в точке S (рис. 2.33). Так как ZQNR = (wQT + -ТР)/2 = ^NQ = /.NOQ, то треугольники NOQ, QNR и RQS являются подобными равнобедренными треугольниками. Поэтому N0 : NQ = NQ : QR = QR : RS. Если N0 = 1

Рис. 2.33

Ясно также, что

Решение Декарта (1598 —1650)

Как мы уже говорили, для построения корней уравнения X3 = рх + q Декарт рассматривал точки пересечения параболы у = X2 и окружности с центром в точке (g/2, (р + 1)/2), проходящей через начало координат; корни уравнения являются отличными от нуля проекциями на ось Ох этих точек пересечения (см. с. 121). Кроме того, если точки Q и Т делят на три равные части дугу NP окружности радиуса 1 и NP = a, NQ = х, то х3 = Зх — а. Поэтому для трисекции

угла Декарт предложил следующее построение. Пусть нужно разделить дугу NP единичной окружности на три равные части. Рассмотрим точки пересечения параболы у = х2 и окружности с центром (—а/2,2), проходящей через начало координат (рис. 2.34). Если

то корнями уравнения

являются числа

Положительные корни х\ и Х2 Декарт называет «истинными»

а корень #з — ~~ (#1 + Х2) он называет «ложным». В качестве искомого отрезка NQ нужно взять меньший из положительных корней (второй положительный корень позволяет разделить на три равные части дугу, дополняющую исходную дугу до полной окружности).

Рис. 2.34

Трисекция угла с помощью улитки Паскаля (XVII в.)

Возьмем на окружности радиуса R точку А и проведем через нее прямую L Прямая / пересекает окружность в точ-

ках X и А (если I — касательная, то X = А). Пусть М\ и М2 — такие точки прямой Z, что ХМ\ — ХМ4 — а, где а — фиксированное число. Множество всех точек М\ и (для всех прямых I) называют улиткой Паскаля (такие кривые изучал Этьен Паскаль, отец знаменитого математика и философа Блеза Паскаля). Нас будет интересовать случай, когда а = R (рис. 2.35). Пусть векторы ХМ[ и Alt сонаправлены, В — точка на продолжении отрезка М\0 за точку О. Так как треугольники М\ХО и ХОА равнобедренные, то /.ОАХ = 2ZOMiA и ZAOB=ZOM\A + ZOAX = ZZObhA. Поэтому для трисекции угла где 0 < (р < π/2, можно поступить следующим образом. Возьмем точку В так, что ZAOB=(р. Пусть прямая OB пересекает сплошную часть улитки Паскаля в точке Mi (пунктирная часть улитки Паскаля соответствует таким точкам М2, что векторы ХМ2 и АХ противоположно направлены). Тогда /.ОМ\А=(р/3.

Инструменты для трисекции угла

Для деления угла на три равные части было изобретено много разных инструментов. Три таких инструмента изображены на рис. 2.36, а-в. Эти рисунки не требуют пояснений. Отметим лишь, что инструмент а) изобрел Декарт, а инструмент б) — известный итальянский геометр Джованни Чева.

Рис. 2.35

Рис. 2.36

Свойства трисектрис

Возьмем на стороне ВС треугольника ABC такие точки D и Е, что /-BAD = /DAE = /ЕАС = /А/3. Отрезки AD и АЕ называют трисектрисами угла А треугольника ABC. Самым замечательным свойством трисектрис является теорема Морли. Она заключается в следующем. Пусть ближайшие к стороне ВС трисектрисы углов В и С пересекаются в точке А\ \ точки В\ и С\ определяются аналогично (рис. 2.37). Тогда треугольник А\В\С\ равносторонний. Мы не будем доказывать эту достаточно сложную теорему. Желающие

могут найти ее доказательство в книге [Прасолов, 1995, задача 5.56], а доказательство общей теоремы, учитывающей трисектрисы не только внутренних, но и внешних углов, приведено в книге [Шарыгин, 1986, задача 11.321].

Трисектрисы обладают некоторыми интересными свойствами, доказательство которых не сложно. Мы приведем их в качестве задач (решения этих задач можно найти на с. 140).

Рис. 2.37

Задачи

1. На стороне AB треугольника ABC взята такая точка D, что /ACD = /.С/3. Докажите, что

2. Расстояние между центрами О и 0\ окружностей радиуса R равно R. Пусть А и В — такие точки окружностей, что AB II 001, С — общая точка окружностей (рис. 2.38). Докажите, что ОС — трисектриса угла АО В.

3. Точка F лежит на дуге АС окружности с центром D, радиус DF пересекает хорду АС в точке Е. Докажите, что ^FC=^AC/3 тогда и только тогда, когда СЕ = CF (Киннер, XVII в.).

4. Точка F лежит на дуге АС окружности с центром D. Касательная к окружности в точке F пересекает прямую АС и перпендикуляр, восставленный из точки А к прямой АС,

Рис. 2.38

в точках M и N соответственно. Докажите, что ^FC=^АС/3 тогда и только тогда, когда FM = FN (Киннер, XVII в.).

5. Точка F лежит на дуге АС окружности, причем проекция H точки F на прямую АС лежит на отрезке АС. Докажите, что ^FC = ^АС/3 тогда и только тогда, когда АН = HC + FC (Киннер, XVII в.).

6. Точка F лежит на дуге АС окружности с центром D. Проведем диаметр АР. Пусть биссектриса угла С DP пересекает окружность в точке X. Прямая PF пересекает диаметр ХУ в точке Q. Докажите, что ^FC = ^АС/3 тогда и только тогда, когда длина отрезка FQ равна радиусу окружности (Я. Бернулли, XVI в.).

Решения задач

1. Так как

Кроме того,

2. Центральный угол АОС равен угловой величине дуги АС, а вписанный угол СОВ равен половине угловой величины дуги СВ. Ясно также, что ^АС = ^СВ.

3. Треугольники DFC и CFE имеют общий угол при вершине F, причем треугольник DFC равнобедренный. Поэтому СЕ = CF тогда и только тогда, когда ZFDC = ZFCE— =ZFDA/2, т. е. -FC = ^AF/2.

4. Пусть ZFAC = а и ZFMA = ß. Тогда ZANF=90° - ZFMA = 90° - ß и ZNAF = 90° - ZFAC = 90° - а. Кроме того, ZFDC = 2ZFAC = 2а и ZADF = 2ZAFN=2(ZFAM+ ZFMA) = 2a + 2ß. Теперь легко проверить, что оба равенства ZADF = 2ZFDC и NF = FM эквивалентны равенству а = ß.

5. Возьмем на отрезке АН такую точку Р, что АР=АН - НС. Тогда FC = PF и равенство = ЯС + FC эквивалентно равенству АР = PF. Пусть ZFAC = а и ZAFP = ß. Тогда ZFCP = ZFPC = а + ß, поэтому равенство а = ß эквивалентно равенству ZFCA = 2ZFAC.

6. Ясно, что ZFDX = ZCDX+ZFDC и ZFQY=(^FY+^ХР)/2 = (w AF+wXP)/2+—AF/2 = ZCDX+ZADF/2. Поэтому в треугольнике стороны Fi) и FQ равны тогда и только тогда, когда ZFDC = ZADF/2.

Глава 9

Квадратура круга

Исторический очерк

Задача квадратуры круга, т. е. построения квадрата, равновеликого данному кругу, в Древней Греции была, по-видимому, очень популярна. Плутарх сообщает, что философ Анаксагор (ок. 500 — 428 гг. до н. э.) в тюрьме занимался этой задачей. О ней говорится и в комедии Аристофана «Птицы» (414 г. до н. э.): «Приложив сюда линейку, круг описываю циркулем, и верх, и низ... Потом линейкой отношу прямую. Круг теперь подобен четырехугольнику». Это упоминание в комедии означает, что задача квадратуры круга была общеизвестна.

Странным образом задача квадратуры круга и обратная ей задача «кругатуры квадрата», т. е. построения круга, равновеликого данному квадрату, была известна также и в Древней Индии. Индийские алтари были самой разной формы: в виде квадрата, круга, полукруга, равностороннего треугольника, равнобедренной трапеции, сокола, черепахи и т. д. Но все эти алтари должны были иметь одну и ту же площадь. В связи с этим возникали задачи превращения круга в равновеликий ему квадрат и квадрата в равновеликий ему круг. Решения этих задач приведены в древнеиндийских трактатах под общим названием «Шульвасутра», посвященных постро-

ению алтарей. Разные редакции этих трактатов датируются VII — II вв. до н. э. Решения интересующих нас задач содержатся в наиболее древней редакции «Шульвасутры».

Построение круга, равновеликого квадрату, в «Шульвасутре» производилось следующим образом. Опишем вокруг квадрата ABCD окружность. Пусть перпендикуляр к отрезку AB, проходящий через центр О квадрата, пересекает прямую AB и окружность в точках Р и Q соответственно; точка К делит отрезок PQ в отношении PK : KQ= 1 : 2 (рис. 2.39). Тогда OK — радиус круга, площадь которого равна площади квадрата. Это решение, конечно же, приближенное. Если а — сторона квадрата, г — радиус построенного круга, то

Поэтому из соотношения

для числа π получаем приближенное значение

Для решения обратной задачи, т. е. для превращения круга в равновеликий ему квадрат, в Древней Индии не смогли найти столь же простого геометрического построения и решали ее алгебраически. Это решение выглядит следующим образом: если d — диаметр круга, а — сторона равновеликого ему квадрата, то

Для числа π это решение дает приближенное значение 3,088.

Эти очень близкие друг к другу приближенные значения числа π показывают, по-видимому, что первое (геометриче-

Рис. 2.39

ское) решение в Древней Индии считалось точным. Второе (алгебраическое) решение явно является обращением именно этого геометрического построения, причем для этого использовалось содержащееся в книге «Шульвасутра» приближенное значение

которое отличается от точного значения лишь в шестом знаке после запятой.

В самом деле, подставив в формулу

значение

получим

Легко проверить, что

Отбросив последнее слагаемое, получим формулу, содержащуюся в книге «Шульвасутра». Это разложение получается почти естественным образом:

Единственный неестественный шаг в этом разложении заключается в том, что

а в качестве приближения числа

авторы «Шульвасутры» берут не

В Древней Греции задача квадратуры круга возникла после того, как была решена задача превращения многоугольника в равновеликий ему прямоугольник. Эта задача решалась следующим образом. Сначала многоугольник разрезали на треугольники. Затем треугольник со стороной а и высотой ha заменяли на равновеликий ему прямоугольник со сторонами а/2 и ha. После этого выбирали некоторый отрезок е и заменяли каждый прямоугольник на равновеликий ему прямоугольник, одна сторона которого равна е. Как это делалось, показано на рис. 2.40; заштрихованные прямоугольники равновелики, потому что они получены из двух равных треугольников путем отрезания от них двух пар равных треугольников. Затем полученные прямоугольники со стороной е прикладывали друг к другу этой стороной и складывали тем самым некоторый прямоугольник. Оставалось построить для прямоугольника равновеликий ему квадрат. Эта задача интересна тем, что в книге «Шульвасутра» и в «Началах» Евклида приведены очень похожие решения этой задачи, причем решения далеко не самые простые.

В книге «Шульвасутра» квадрат, равновеликий данному прямоугольнику ABCD, строился следующим образом. Пусть для определенности AB < ВС. Отрежем от прямоугольника ABCD квадрат со стороной AB и разрежем оставшийся прямоугольник на два равных прямоугольника; один из этих прямоугольников приложим к квадрату. В результате получим фигуру, заштрихованную на рис. 2.41. Эта фигура является квадратом со стороной а, из которого вырезан квадрат со стороной Ь. Ее площадь равна площади квадрата со сто-

Рис. 2.40

Рис. 2.41

роной х, где X2 — а2 — Ь2. Для построения отрезка х можно воспользоваться теоремой Пифагора: этот отрезок является катетом прямоугольного треугольника с гипотенузой а и катетом Ь. В книге «Шульвасутра» теорема Пифагора приведена в следующей формулировке: «Диагональ прямоугольника образует оба квадрата, которые вертикальная и горизонтальная стороны образуют по отдельности». Это, по-видимому, первая по времени формулировка теоремы Пифагора (сам Пифагор родился, скорее всего, уже после того как была написана «Шульвасутра»; к тому же сохранившиеся древнегреческие формулировки и доказательства его теоремы относятся к гораздо более поздней эпохе).

Построение, описанное в книге «Шульвасутра», далеко не самое простое. Более простое решение видно из рис. 2.42: если хорда CD, перпендикулярная диаметру AB, пересекает его в точке О, то СО2 = СО • OD = АО • OB, т. е. СО — сторона квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника со сторонами АО и OB. Евклид приводит именно такое построение, но доказательство у него точно такое же, как в книге «Шульвасутра»; оно тоже основано на теореме Пифагора. Возьмем на продолжении стороны ВС за точку В такую точку Е, что BE = AB. Пусть О — середина отрезка ЕС, Р — точка пересечения луча AB и окружности с диаметром ЕС (рис. 2.43). Евклид доказывает, что площадь квадрата со стороной BP равна площади прямоугольника ABCD, следующим образом. Площадь прямоугольника ABCD равна площади заштрихованной фигуры. Следовательно, она равна разности площадей квадратов со сторонами ЕО — ОР и ВО. По теореме Пифагора площадь квадра-

Рис. 2.42 Рис. 2.43

та, построенного на катете BP прямоугольного треугольника ОВР, равна разности площадей квадратов, построенных на гипотенузе ОР и катете ВО.

Такое странное доказательство Евклида трудно объяснить. Теорема о том, что СО • OD = АО • OB (см. рис. 2.42), ему известна, причем доказывает ее он, опираясь тоже фактически лишь на теорему Пифагора (не используя весьма сложной теории отношений). Во всяком случае, совпадение древнегреческого и древнеиндийского доказательств вряд ли случайно.

Наиболее ранние дошедшие до нас древнегреческие решения задачи квадратуры круга на первый взгляд кажутся просто глупостью. Афинянин Антифонт вписывал в круг многоугольник (треугольник или квадрат), затем делил дуги пополам и строил вписанный многоугольник с удвоенным числом сторон и т. д. Он думал, что в конце концов получится многоугольник, который, благодаря крайней малости своих сторон, совпадет с окружностью. Бризон взял квадрат, вписанный в круг, и квадрат, описанный около

круга, а затем взял квадрат, лежащий между ними. Он утверждал, что площадь последнего квадрата равна площади круга.

Позднейшие древнегреческие комментаторы к решениям Антифонта и Бризона относились пренебрежительно и их вообще не обсуждали. Но деятельность Антифонта и Бризона не следует недооценивать. Для решения задачи квадратуры круга необходимо было понять, что же такое площадь круга, а для этого было нужно представление о пределе. В Древней Индии обошли эти трудности, приняв на веру неточное решение этой задачи. Антифонт и Бризон наощупь искали понятие предела. В их рассуждениях неверного много, но есть и кое-что очень важное; созданный впоследствии метод исчерпывания многое у них перенял. Архимед при вычислении числа π как отношения длины окружности к диаметру использовал как идею Антифонта (переход от вписанного п-угольника к вписанному 2п-угольнику), так и идею Бризона (применение не только вписанных, но и описанных многоугольников).

Древнегреческие решения

Квадратриса Динострата (IV в. до н.э.)

Как мы уже говорили, кривую, которую Гиппий предложил использовать для деления угла в данном отношении, впоследствии использовали для решения задачи квадратуры круга. Это решение сохранилось лишь в передаче Паппа, который жил на шесть веков позже Динострата. Мы сначала перескажем текст Паппа, а затем прокомментируем его, следуя работе [Зайденберг, 1972], потому что с точки зрения истории математики в этом решении слишком много загадочного.

Напомним, как получается квадратриса Динострата. Рассмотрим квадрат ABCD (рис. 2.44). Пусть концы отрезка ВС равномерно движутся по прямым ВА и CD, а отрезок AB равномерно вращается вокруг точки А, причем в положение AD оба отрезка приходят одновременно. Пусть, далее, в некоторый момент отрезок ВС занимает положение В'С, а отрезок AB занимает положение AN; L — точка пересечения отрезков В'С и AN. Квадратриса Динострата есть множество всех таких точек L. Если квадратриса пересекает отрезок AD в точке К, то длина дуги BD равна АВ2/АК. Поэтому площадь окружности радиуса AB равна площади прямоугольника со сторонами 4АВ2/АК и AB/2; эти отрезки легко строятся с помощью циркуля и линейки, если известны отрезки AB и АК. Построив прямоугольник, можно построить равновеликий ему квадрат.

Папп пишет, что против этого решения Спор выдвинул два серьезных возражения, с которыми сам он полностью согласен.

1) Чтобы согласовать движение отрезков ВС и AB, нужно заранее знать отношение длины дуги четверти окружности к радиусу. Поэтому решить задачу квадратуры круга с помощью квадратрисы Динострата можно, только если ее решение уже известно.

2) Точку К построить нельзя, потому что в соответствующий момент времени отрезок и радиус совпадают. Как пересечения отрезков В'С и AN можно строить лишь точки, близкие к точке К, но не саму точку К. Говоря современным

Рис. 2.44

языком, точку К можно построить лишь как предел точек квадратрисы.

Докажем теперь, следуя Паппу, что длина дуги BD действительно равна AB2/АК, т. е. BD : AB = AB : AK, где BD — длина дуги BD (мы будем использовать такое нестандартное обозначение). Доказательство проведем методом от противного. Ясно, что BD : AB = AB : АК\, где АК\ — некоторый отрезок, и поэтому достаточно доказать, что длина отрезка АК\ не может быть ни больше, ни меньше длины отрезка АК.

Предположим сначала, что АК\ > АК. Тогда окружность радиуса АК\ с центром А пересекает квадратрису в некоторой точке L, а сторону AB — в точке Z (рис. 2.45).

Так как BD : AB = AB : АКХ = BD : ZKU то AB = ZKV

По определению квадратрисы BD : ND = В А : LH. Но BD : ND = ZKi : LK\ и В А : LH = ZKX : £Я, поэтому LK\ = LH, что, как пишет Папп, «нелепо».

Предположим теперь, что АК\ < АК. Тогда касательная в точке К\ к окружности радиуса АК\ с центром А пересекает квадратрису в некоторой точке L. Прямая AL пересекает окружности с радиусами АК\ и AD в точках M и N соответственно (рис. 2.46). Так как BD : AB = AB : АК\ =BD : CK\, то AB = CK\. По определению квадратрисы BD : ND = ВА : LK\. Но BD : ND = ZKX : MKX и SA : Lifi = Zifi : LÄi, поэтому MK\ = LK\, что, как снова пишет Папп, «нелепо».

В этом решении много загадочного. Прежде всего, непонятно, какую именно задачу решал Динострат: задачу квадратуры круга, т. е. построения квадрата, равновеликого данному кругу, или же задачу спрямления окружности, т. е. построения отрезка, длина которого равна длине данной ок-

Рис. 2.45 Рис. 2.46

ружности. Со времен Архимеда эти задачи были эквивалентны: он доказал, что если радиус окружности равен Д, а длина окружности равна L, то площадь круга равна площади прямоугольника со сторонами R и L/2. Но ведь Динострат жил задолго до Архимеда, а то доказательство, которое приводит Папп, дает именно спрямление окружности, а не квадратуру круга! Как же это понимать? Возможно, у Динострата было доказательство, дающее именно квадратуру круга, а Папп просто привел другое доказательство, но это совершенно невероятно. Скорее всего, теорема, доказанная Архимедом, была известна (без доказательства) еще во времена Динострата. К сожалению, книга Архимеда «Измерение круга» дошла до нас в сильно искаженном виде. Возможно, что у нее было предисловие, в котором Архимед излагал предысторию своей теоремы, но это предисловие не сохранилось; книга начинается сразу формулировкой теоремы: «Всякий круг равен прямоугольному треугольнику, причем радиус круга равен одной из прилегающих к прямому углу сторон, а периметр — основанию треугольника».

В приведенном доказательстве свойства квадратрисы Папп использует теорему о том, что отношение длин окруж-

ностей равно отношению их радиусов. Это весьма странно. В «Началах» Евклида, который жил после Динострата, есть теорема о том, что площади кругов относятся как квадраты радиусов, а вот нужной нам теоремы нет, причем это не случайно. Для сравнения площадей фигур есть естественный способ: если одна фигура лежит внутри другой, то площадь внутренней фигуры меньше площади внешней. А как сравнивать длины кривых? Евклид не смог предложить никакого разумного способа, строгость которого его бы устраивала. Возможный подход к сравнению длин кривых у Евклида слегка намечен. В его «Началах» есть теорема о том, что одна сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Прокл писал, что эпикурейские математики считали смешным доказывать такое положение, так как его прекрасно знает осел, идущий к сену по прямой линии. Архимед поступил еще решительнее эпикурейцев. Он счел необходимым принять без доказательства, что если две выпуклые кривые имеют общие концы и одна из них лежит внутри другой (рис. 2.47), то длина внутренней кривой меньше длины внешней. Более того, аналогичное утверждение он принял без доказательства не только для кривых, но и для поверхностей, и лишь эта смелость позволила ему доказать знаменитую теорему о том, что отношение площадей поверхностей шара и описанного около него цилиндра равно 2/3. (Архимед очень гордился этой теоремой и теоремой об объеме шара и завещал высечь на его надгробии цилиндр, описанный вокруг шара; по этому знаку Цицерон нашел могилу Архимеда «среди терниев к чертополоха».) Принимать без доказательства Архимед мог, казалось бы, лишь те утверждения, которые были очевидны для тел и фигур, с которыми он умел обращаться. Но вовсе не очевидно,

Рис. 2.47

например, что если один тетраэдр лежит внутри другого, то площадь поверхности внутреннего тетраэдра меньше площади поверхности внешнего.

В тексте Паппа есть еще два загадочных места, а именно неравенства, которые он считает очевидными и молчаливо обходит. При разборе случая АК < АК\ Папп считает очевидным, что LH < LK\ (см. рис. 2.45), а при разборе случая АК > АК\ он считает очевидным, что МК\ < LK\ (см. рис. 2.46). Для удобства изобразим все нужные отрезки и дуги на одном рисунке. Неравенства PQ < PQ\ < P\Q\ (рис. 2.48) для окружности радиуса 1 можно записать в виде sin а < а < tga. Первое неравенство еще можно счесть очевидным: PQ < PQi < PQi. Но как быть со вторым неравенством? Обычно его доказывают следующим образом: если радиус окружности равен 1 и S — площадь сектора POQ\, то неравенство 25 < 2SopxQi можно переписать в виде a < tga (а неравенство 2Sopq < 2S можно переписать в виде sin a < a). Но при этом нельзя обойтись без соотношения S = R • L/2, где S — площадь сектора, R — радиус окружности, L — длина дуги сектора, а до Архимеда доказательства этого соотношения це было. По-видимому, формула для вычисления площади сектора Динострату была известна, но без доказательства. Эту формулу древнегреческие математики могли перенять от египетских или вавилонских математиков (по крайней мере, площадь полукруга в Вавилоне вычисляли именно по такой формуле).

Рис. 2.48

Приведенное выше описание квадратрисы не устраивало древнегреческих математиков по многим причинам. Они вообще не любили вводить движение в математику, а в данном случае речь шла сразу о движении двух отрезков, причем эти движения нужно было согласовывать. Поэтому были предложены два описания квадратрисы с помощью пересечения поверхностей (они сохранились в сочинениях Паппа). Задание кривой как пересечения поверхностей считалось наиболее законным. Греческие математики безоговорочно верили в то, что пересечение поверхностей дает «хорошую» кривую, а также в то, что кривые обязательно пересекаются в тех случаях, когда это, так сказать, «видно». Архит Тарентский без каких-либо сомнений рассматривал пересечение цилиндра, конуса и тора (точнее говоря, он рассматривал сначала кривую, которую вычерчивает на цилиндре вращающийся полукруг, а затем брал точку пересечения этой кривой и конуса). Евклид не счел нужным в свою систему аксиом вводить аксиомы, связанные с пересечением окружностей, а уже в самом первом предложении «Начал» для построения равностороннего треугольника он использовал то, что окружность радиуса AB с центром А пересекается с окружностью радиуса В А с центром В.

Первый способ задания квадратрисы использует винтовую линию. Винтовая линия получается при движении точки по поверхности цилиндра, слагающемся из двух движений: движения с постоянной скоростью, направленной параллельно оси цилиндра, и вращения по окружности основания цилиндра с постоянной угловой скоростью (рис. 2.49). Рассмотрим четверть круга и лежащую над ней часть винтовой линии (на рис. 2.50 она изображена пунктиром). Опустим из точки L, лежащей на радиусе AN, перпендикуляр LH на радиус АС. Пусть LH : NC = р; если р = AB : ВС, то точка L

Рис. 2.49 Рис. 2.50

лежит на квадратрисе. Если Q — точка винтовой линии, проецирующаяся в точку N, то по свойству винтовой линии QN : NC = q — постоянная величина. Пусть Р — такая точка перпендикуляра I к плоскости ABC, восставленного из точки А, что PQ У AN] R — точка отрезка PQ, проецирующаяся в точку L. Тогда LH : RL = {LH : NC) : (RL : NC)= —p : q, т. е. точка R лежит в плоскости П, проходящей через прямую АС и образующей с плоскостью ABC угол а, где tga = p/q. Кривая, образованная точками R, является пересечением плоскости П и поверхности, образованной отрезками PQ (точка Р движется по прямой /, а точка Q движется по винтовой линии), а квадратриса является ортогональной проекцией этой кривой на плоскость ABC.

Второй способ задания квадратрисы как пересечения поверхностей использует спираль Архимеда, т. е. кривую, которую заметает точка М, равномерно движущаяся по радиусу AN, который в свою очередь равномерно вращается вокруг точки А. Рассмотрим часть спирали, полученную при повороте радиуса AN на 90° от положения АС до положе-

Рис. 2.51

ния AB (рис. 2.51). Опустим из точки L, лежащей на квадратрисе, перпендикуляр LH на отрезок АС. По свойству квадратрисы LH : NC = AB : ВС, а по свойству спирали Архимеда AB : ВС = AM : NC, поэтому LH=AM. Восставим из точек A, M и L перпендикуляры АР, MQ и LR к плоскости ABC длиной LH — AM. Точка Q лежит как на цилиндрической поверхности, образованной перпендикулярами к плоскости ABC, проходящими через точки спирали, так и на конусе, осью которого является луч АР, а угол между осью и образующей равен 45°. Кривая, образованная точками Q, является пересечением этих двух поверхностей. Рассмотрим теперь поверхность, образованную лучами PQ. Так как RL = LH, то точка R лежит на пересечении этой поверхности и плоскости, проходящей через прямую АС и образующей с плоскостью ABC угол 45°. Квадратриса является ортогональной проекцией кривой, образованной точками R, на плоскость ABC.

Квадратриса Динострата занимает видное положение в книге Декарта «Геометрия». Одной из главных его целей было разделение кривых на «геометрические» и «механические». У Декарта нет единого определения «геометрических кривых; к этому понятию он подходит разными путями и

не только не доказывает эквивалентности получающихся при этом определений, но даже и не дает сколько-нибудь строгих определений. С современной точки зрения самым главным свойством этих кривых является то, что они задаются алгебраическими соотношениями. У Декарта такой подход намечен, но лишь как нечто второстепенное. Самый главный его подход к этим кривым — они должны задаваться некоторой комбинацией движений. Причины, по которым Декарт исключает из числа этих кривых квадратрису, не совсем ясны. Он пишет, что для квадратрисы между двумя движениями отрезков нет соотношения, которое можно измерить точно.

В отношении квадратрисы более интересен другой его подход к «геометрическим» кривым. Получив для кривой алгебраическое уравнение f(x,y) = 0, можно строить корни алгебраического уравнения f{x,rj) = О для любого т? и тем самым получать сколько угодно точек кривой. Для квадратрисы тоже можно получать сколько угодно точек, построив сначала биссектрису прямого угла, затем построив биссектрисы полученных углов и т. д. (рис. 2.52). Но так мы можем получить лишь такие точки (х, у) квадратрисы, что у = к ОА/2п, к и п — натуральные числа.

Эти рассуждения Декарта показывают, что он видел связь между:

1) возможностью построить любую точку кривой как корень алгебраического уравнения;

2) заданием кривой с помощью движений;

3) заданием кривой алгебраическим соотношением.

Гораздо позднее действительно было доказано, что алгебраические кривые — это как раз те кривые, которые можно получить с помощью шарнирных механизмов.

Рис. 2.52

Спираль Архимеда (ок. 287 — 212 г. до н.э.)

Для решения задачи квадратуры круга Архимед применил касательную к спирали. Напомним, как получается спираль Архимеда. Пусть луч равномерно вращается вокруг точки О, а по этому лучу равномерно движется точка Х\ тогда точка X движется по спирали Архимеда (две спирали, полученные при движении точки по лучам со скоростями v\ и г>2, гомотетичны с центром О и коэффициентом г^/г^). Рассмотрим один виток спирали, т. е. часть спирали, которую проходит точка X при повороте луча на 360°. Пусть I — начальное положение луча (оно же совпадает с конечным положением); А — точка X в конечном положении; В — точка пересечения касательной к спирали в точке А и перпендикуляра к лучу I, восставленного из точки О. Теорема, доказанная Архимедом, заключается в том, что длина отрезка OB равна длине окружности с радиусом OA (рис. 2.53).

Доказать это утверждение можно следующим образом. Пусть Р — точка окружности S радиуса OA с центром О, близкая к точке A; Q — точка пересечения луча ОР и спирали. По свойству спирали АР : PQ = L : R, где L — длина окружности 5, R — радиус этой окружности. Значит, если точка Р стремится к А, то отношение АР : PQ стремится

Рис. 2.53

к L : R = 2π. При этом направления сторон АР и PQ треугольника APQ стремятся к направлениям отрезков ВО и АО соответственно. Следовательно, направление отрезка AQ стремится к направлению гипотенузы прямоугольного треугольника, катеты которого параллельны прямым ВО и АО и их отношение равно 2π. Поэтому ВО : АО = 2π, так как направление касательной в точке А есть предельное направление отрезка AQ.

Сам Архимед дает, конечно же, более строгое доказательство. Общая схема его доказательства нал оминает приведенное выше доказательство свойства квадратрисы: оно проводится методом от противного с использованием некоторых неравенств. Доказательство у Архимеда весьма длинное, использующее много вспомогательных утверждений; поэтому мы его приводить не будем.

Для вычерчивания спирали Архимеда в 1650 г. Гюйгенс предложил инструмент, изображенный на рис. 2.54. Он состоит из диска, к краю которого в точке Е прикреплен шнур, и рейки, шарнирно прикрепленной к центру диска. На конце рейки находится шип. Шнур обходит этот шип, обходит

Рис. 2.54

шип в центре диска и идет к шляпке булавки, которая может перемещаться перпендикулярно рейке. При вращении рейки перо, прикрепленное к концу булавки, вычерчивает на диске спираль Архимеда.

Имея в виду такого рода инструменты, Декарт считал, что для получения «геометрических» кривых использовать шнуры, вообще говоря, можно, но при этом прямолинейные участки шнура в процессе движения не должны заменяться криволинейными. Это было связано с тем, что он, как и многие другие, был уверен, что длины дуг алгебраических (т. е. «геометрических» в терминологии Декарта) кривых не могут выражаться алгебраически. Но в 1658 г., через 8 лет после смерти Декарта, алгебраическое спрямление кривой у2 = я3 получили сразу три математика —Нейль, Гейрат и Ферма. Это открытие для многих, в том числе и для них самих, было потрясением.

Луночки Гиппократа (V в. до н.э.)

С точки зрения математики квадратура луночек, выполненная Гиппократом Хиосским, с решением задачи квадратуры круга не связала, потому что все его примеры основаны как раз на том, что число π не входит в выражения для площадей некоторых луночек. Но исторически его деятельность непосредственно связана с попыткой решить задачу квадратуры круга. Более того, позднейшие комментаторы даже писали, будто сам Гиппократ был уверен, что он решил задачу квадратуры круга. Но это, по-видимому, просто недоразумение. Гиппократ должен был хорошо понимать, что он делал и что он сделал. Хотя он жил задолго до Евклида и Архимеда, уровень его математических познаний весьма высок.

Будем называть луночкой фигуру, ограниченную двумя дугами окружностей (рис. 2.55). Гиппократ привел три при-

Рис. 2.55 Рис. 2.56

мера квадрируемых луночек, т.е. луночек, для которых легко построить равновеликие им многоугольники.

Наиболее известен его первый пример. Рассмотрим полукруг с диаметром AB. Пусть О — середина отрезка AB, С — середина дуги AB. Построим также полукруг на катете ВС прямоугольного треугольника ABC. Тогда площадь заштрихованной на рис. 2.56 луночки равна площади прямоугольного треугольника ВОС. В самом деле, как площадь сектора ВОС, так и площадь полукруга с диаметром ВС равна половине площади полукруга с диаметром AB. Поэтому, вырезав из этих фигур их общую часть — сегмент ВС, получим равновеликие фигуры.

Для построения второго примера Гиппократ взял равнобедренную трапецию ABCD, основания ВС и AD которой равны 1 и л/3, а боковые стороны AB и CD равны 1. Рассмотрим луночку, ограниченную описанной окружностью S трапеции ABCD и окружностью Su полученной из окружности S при гомотетии, переводящей отрезок ВС в отрезок AD (рис. 2.57). Площадь сегмента AD в три раза больше площади каждого из сегментов AB, ВС и CD, т. е. она равна сумме их площадей. Поэтому площадь луночки равна площади трапеции ABCD.

Для построения третьего примера Гиппократ взял трапецию ABCD, в которой основание ВС и боковые стороны AB и CD равны 1 и, кроме того, АО = OD = у/3/2, где О —

Рис. 2.57 Рис. 2.58

точка пересечения диагоналей. Эту трапецию он строит следующим образом. Возьмем на луче ВС такую точку Е, что BE = 2ВС, и рассмотрим окружность S с диаметром BE. Пусть I — серединный перпендикуляр к отрезку ВС. Используя способ «вставок», построим отрезок OD = у/3/2ВС с концами, лежащими соответственно на прямой / и окружности 5, продолжение которого проходит через точку В. Точка А симметрична точке D относительно прямой / (рис. 2.58). Рассмотрим описанные окружности трапеции ABCD и треугольника AOD. Ясно, что площади каждого из сегментов, ограниченных хордами АО и OD, в 3/2 раза больше площади каждого из сегментов, ограниченных хордами AB, ВС и CD. Поэтому площадь первых двух сегментов равна площади трех других сегментов. Следовательно, площадь луночки, ограниченной дугами ABCD и AOD, равна площади многоугольника ABCDO.

Впоследствии конструкция Гиппократа была обобщена. Но прежде чем перейти к этому обобщению, нужно обсудить третий пример Гиппократа. Дело в том, что применение способа «вставок» в этом случае излишне: трапецию ABCD можно построить с помощью лишь циркуля и линейки. Рассмотрим окружность с диаметром AB. Пусть О — центр этой окружности, I — серединный перпендикуляр к отрезку OB. Докажем, что с помощью циркуля и линейки мож-

Рис. 2.59

но вставить между окружностью и прямой I отрезок PQ данной длины d, продолжение которого проходит через точку В (рис. 2.59). Введем систему координат с началом в центре окружности и осью Ох, направленной по лучу OB. Пусть точка Р имеет координаты (я, у). Тогда X2 + y2=R2, где R — радиус окружности, и PQ : KQ=РВ : LB (см. рис. 2.59), т. е.

Учитывая, что получим

т. е. X — корень квадратного уравнения. Это означает, что точку Р можно построить с помощью циркуля и линейки.

Конструкцию Гиппократа можно обобщить следующим образом. Разделим дугу AB некоторой окружности на п равных частей и соединим точки А и В с точками деления (рис. 2.60). Точки пересечения полученных отрезков лежат на п — 2 окружностях, проходящих через точки А и В. Ес-

Рис. 2.60

ли nip — угловая величина дуги AB исходной окружности, то дуги AB этих окружностей состоят соответственно из п — 1, п — 2,... ,2 дуг с угловой величиной (р. К этим окружностям следует добавить также окружность, угловая величина дуги AB которой равна (р. Площадь луночки, ограниченной дугами АУ\В и АХ\В (см. рис. 2.60), равна площади многоугольника AY\... Yn-\BXm-i... Х\, если отношение площадей сегментов AY\ и АХ\ равно m/п. В самом деле, тогда площадь п сегментов AY\, Yilb » • • • > Уп-\В равна площади m сегментов АХ\,Х\Х2,... ,Хт-\В. Сегменты AY\ и подобны, так как на них опираются равные углы ABY\ и АВХ\. Итак, мы приходим к соотношению AY? : АХ? =т : п. По теореме синусов имеем

В итоге получаем, что если корень уравнения

можно построить с помощью циркуля и линейки, то существует квадрируемая луночка описанного выше типа. Найденные Гиппократом примеры квадрируемых луночек соответствуют парам (1,2), (1,3) и (2, 3). В 1766 г. Валлениус обнаружил, что пара (1,5) тоже соответствует квадрируемой луночке, а в 1840 г. Клаузеном была обнаружена еще одна такая пара — (3,5). И лишь в 1934 г. известный советский математик Н. Г. Чеботарев доказал, что никаких других квадрируемых луночек с нечетными т и п нет. (Основная трудность заключается в том, чтобы выяснить, можно ли корень уравнения построить с помощью циркуля и линейки.)

Гиппократ не ограничился тем, что нашел эти весьма редкие и интересные примеры квадрируемых луночек. Он их детально исследовал: доказал, что во втором случае внешняя дуга больше 180°, а в третьем меньше 180°. По-видимому, именно это привело к недоразумению. Позднейшие древнегреческие комментаторы решили, будто Гиппократ, найдя

квадрируемые луночки с внешней дугой 180°, больше 180° и меньше 180°, подумал, что тем самым он доказал квадрируемость любой луночки и квадрируемость круга. Но сочинения этих комментаторов показывают, что математику они понимали хуже Гиппократа. Так что заблуждались, скорее всего, они сами, а не Гиппократ.

Глава 10

Неразрешимость трех классических задач с помощью циркуля и линейки

Используя циркуль и линейку, можно решить задачи трисекции угла и удвоения куба. Сделать это несложно, об этом мы уже фактически рассказывали. В самом деле, циркуль позволяет на одном из краев линейки построить отрезок данной длины, а с помощью такой линейки можно решить требуемые задачи способом «вставок» (см. с. 110 и с. 127).

Такое решение вряд ли кому-нибудь понравится. Выражение «построения с помощью циркуля и линейки» имеет в геометрии вполне определенный смысл. При этих построениях циркуль используется лишь для проведения окружностей, а линейка — для проведения прямых. Строить что-либо циркулем на самой линейке не разрешается.

Приведенный пример показывает, что необходимо достаточно четко определить, что же такое «построения с помощью циркуля и линейки». В каждой задаче на построение требуется по некоторому набору исходных данных (точек, прямых, отрезков, окружностей) построить определенные точки, отрезки, окружности. (Иногда исходных данных может и не быть. Например, их нет в задаче о построении равностороннего треугольника.) Как исходные данные, так и требуемый результат можно считать наборами точек. В

самом деле, отрезок задается своими концами, прямая задается двумя точками на ней, а окружность задается одной точкой на ней и центром. Итак, можно считать, что в задаче на построение требуется по одному набору точек построить другой набор точек. Точнее говоря, в процессе построений к исходному набору точек добавляются другие точки; полученный после нескольких шагов построения набор точек должен содержать все искомые точки. Остается понять, по каким правилам могут добавляться новые точки.

Через две точки данного набора с помощью линейки можно провести прямую. Через одну точку набора можно провести окружность с центром в другой точке. К данному набору точек можно добавлять точку пересечения либо двух прямых, либо двух окружностей, либо прямой и окружности. Но еще должна быть операция добавления произвольной точки. Вспомним, как строится середина отрезка AB. Для этого нужно выбрать произвольную точку С и провести окружности радиуса АС с центрами А и В. Если АС > AB/2, то окружности пересекаются, и их общая хорда проходит через середину отрезка AB.

Что означает в данном случае выражение «произвольная точка»? Можем ли мы при заданных точках А и В выбрать «произвольную» точку С так, что АС = у/2AB, и решить тем самым задачу удвоения куба? Нет, при построениях циркулем и линейкой так делать нельзя. Конечный результат не должен зависеть от выбора произвольной точки. Точнее говоря, вместо произвольной точки С мы можем взять любую другую достаточно близкую к ней точку, и при этом конечный результат не должен измениться.

Можно было бы еще рассмотреть операцию выбора произвольной точки на построенной прямой или окружности, но это не дает ничего существенно нового. Вместо того чтобы выбирать произвольную точку на прямой I или окружности S, можно выбрать две произвольные точки А и В и

взять точку пересечения прямой AB с прямой Z или окружностью S.

Построения циркулем и линейкой с точки зрения алгебры

Доказательство невозможности решения трех классических задач с помощью циркуля и линейки основано на алгебраических рассуждениях. Предварительно нам придется проследить, по каким алгебраическим правилам получаются координаты добавляемых точек из координат исходных точек.

Введем на плоскости прямоугольную систему координат Оху. Каждая точка имеет две координаты. Рассмотрим набор всех численных значений координат исходных точек, не различая координаты х и у.

Теорема 1. Предположим, что к набору точек с координатами ,tn в процессе построений циркулем и линейкой добавилась ровно одна точка с координатами s\ и S2. Тогда либо число Si (i = 1,2) рационально, либо оно получается из чисел ti,... ,tn применением операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня.

Доказательство. Разберем все возможные варианты добавления одной точки.

а) Добавление произвольной точки. Для любой точки найдется сколь угодно близкая к ней точка, обе координаты которой рациональны. Поэтому в качестве произвольной точки всегда можно выбрать точку с рациональными координатами.

б) Добавление точки пересечения двух прямых. Прямая, проходящая через точки с координатами

задается уравнением

Коэффициенты

этого уравнения получаются из координат исходных точек применением операций умножения и вычитания.

Точка пересечения прямых, заданных уравнениями

имеет координаты

Эти числа получаются из коэффициентов уравнений применением операций вычитания, умножения и деления. Следовательно, координаты точки пересечения двух прямых, проходящих через две пары данных точек, можно получить из координат этих четырех данных точек, применяя операции вычитания, умножения и деления.

Операция извлечения квадратного корня пока не использовалась Она нужна лишь для нахождения координат точек пересечения прямой и окружности или двух окружностей.

в) Добавление точки пересечения прямой и окружности. Окружность с центром (ai, b\ ), проходящая через точку (02,62)? имеет уравнение

т. е.

Для нахождения координат точек пересечения прямой рх + qy = г и окружности х2 — 2ах + у2 — 2Ьу = с нужно решить систему уравнений

Одно из чисел р и q отлично от нуля. Будем для определенности считать, что q ф 0. Тогда из первого уравнения можно получить выражение для у через х:

(1)

Подставив это выражение в уравнение окружности, получим квадратное уравнение

Корни х\ и Х2 этого уравнения выражаются через его коэффициенты с помощью операций сложения, вычитания, умножения и извлечения квадратного корня. Соответствующие значения у\ и у2 можно получить по формуле (1).

г) Добавление точки пересечения двух окружностей. Для нахождения координат точки пересечения двух окружностей нужно решить систему уравнений

Вычитая из первого уравнения второе, можно перейти к эквивалентной системе уравнений

Система уравнений такого вида была решена при разборе случая в).

Доказательство теоремы 1 завершено.

Таким образом, циркулем и линейкой можно построить лишь те точки, координаты которых выражаются через рациональные числа и координаты данных точек с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня. Справедливо и обратное утверждение: если координаты точки А выражаются указанным образом через координаты данных точек, то точку А можно построить с помощью циркуля и линейки. Но для наших целей это утверждение не нужно, и мы его доказывать не будем.

Удвоение куба

Сформулируем задачу удвоения куба как задачу о построении некоторых точек по данным точкам. Пусть задан отрезок AB, т. е. заданы две точки А и В. Требуется построить такие точки С и D, что CD = Ï/ÏAB. Можно считать, что точка С совпадает с точкой А, а точка D лежит на луче AB. Введем систему координат Оху, взяв точку А в качестве начала координат и направив ось Ох по лучу AB. Единицу длины можно выбрать так, что AB = 1. Точки А и В имеют координаты (0,0) и (1,0). Требуется построить точку с координатами (v^, 0). Предположим, что эту точку можно построить с помощью циркуля и линейки. Тогда согласно теореме 1 число \/2 можно получить из рациональных чисел, используя операции сложения, вычитания, деления, умножения и извлечения квадратного корня, т. е., как мы будем для краткости говорить, можно выразить в квадратных радикалах. Для доказательства неразрешимости задачи удвоения куба с помощью циркуля и линейки нужно доказать, что число \/2 не выражается в квадратных радикалах.

Докажем сначала, что число \/2 не рационально. Предположим, что \/2 = p/q, где р и q — натуральные числа, не

имеющие общих делителей. Тогда 2q3 = р3, поэтому число р четно, т. е. р — 2р\. Следовательно, 2д3 = 8р3, т. е. а3 = 4р3. Поэтому число q тоже четно, a значит, числа р и q имеют общий делитель 2. Получено противоречие.

Докажем теперь общую теорему о кубических уравнениях с рациональными коэффициентами, у которых один из корней выражается в квадратных радикалах.

Теорема 2. Предположим, что один из корней уравнения X3 -h Ах2 + Вх 4- С — 0, где А, В, С — рациональные числа, выражается в квадратных радикалах. Тогда это уравнение имеет рациональный корень.

Доказательство. Отметим прежде всего, что любое число, полученное из чисел щ,... ,ип применением операций сложения, вычитания, умножения и деления, можно представить в виде

где Р и Q — многочлены с рациональными коэффициентами, т. е. выражения, полученные без использования операции деления. В самом деле,

Для любого числа а, выражающегося в квадратных радикалах, можно определить его ранг как наибольшее число расположенных один внутри другого квадратных радикалов в выражении для чиста а. Это определение требует некоторой аккуратности. Дело в том, что, например,

Тем самым одно выражение числа

имеет ранг 1, а другое его выражение имеет ранг 2.

Поэтому нужно сначала определить ранг выражения, а в качестве ранга самого числа взять наименьший из рангов всех его выражений. Если ранг выражения R равен п — 1, то ранг выражения равен п.

Для числа а ранга п можно определить его порядок следующим образом. Рассмотрим для числа а все его выражения ранга п. В каждое такое выражение входит некоторое количество к радикалов вида у/R, где ранг выражения R равен п — 1. Наименьшее из всех таких чисел к будем называть порядком числа а.

Кубическое уравнение х3 + Ах2 + Вх + С = 0 имеет три корня xi, £2, хз (не обязательно различных), для которых выполняется соотношение

В частности, х\ + Х2 4- хз = —А.

Предположим, что один из корней этого кубического уравнения выражается в квадратных радикалах. Остальные корни могут выражаться в квадратных радикалах, а могут и не выражаться. Возьмем все корни, выражающиеся в квадратных радикалах, и выберем среди них все корни с наименьшим рангом; затем среди этих корней выберем все корни с наименьшим порядком. Если такой корень один, то выберем его, а если их будет несколько, то выберем любой из них. Пусть при этом выбран корень х\ с рангом п и порядком к. Требуется доказать, что п = 0, т. е. число х\ рационально. Предположим, что п > 1. Рассмотрим для числа xi какое-либо выражение ранга п и порядка к. Пусть у/R — одно из выражений ранга п, входящих в это выражение. Тогда х\ можно представить в виде

(2)

где выражения а, 6, с и d содержат не более к — 1 радикалов ранга пине содержат радикалов большего ранга. Докажем, что с — dy/R Ф 0. Если d — 0, то с Ф 0. Если же d ф 0, то из равенства с = о следовало бы, что у/R — c/d. Подставив это значение числа y/R в формулу (2), можно получить для х\ выражение ранга не более п, содержащее не более к — 1 радикалов ранга п. Это противоречит тому, что ранг числа х\ равен ri, а порядок равен к. Следовательно, с — dy/R ф 0, а значит,

Подставив значение

в кубическое уравнение, получим

где выражения M и N содержат не более к — 1 радикалов ранга пине содержат радикалов большего ранга. Если Иф /0, то y/R = -M/N, а выше было показано, что такого быть не может. Следовательно, M = N = 0. Непосредственные вычисления показывают, что

т. е. Х2 = р — qy/R — другой корень кубического уравнения. А так как x\ -h Х2 + #з — — А, то #з — ~А — х\ — — —А— —2р. Наибольший ранг радикалов, входящих в это выражение числа хз, не превосходит п, причем радикалов ранга п не более к — 1. Это противоречит выбору корня х\ как корня наименьшего ранга п и при этом наименьшего порядка к. Доказательство теоремы 2 завершено.

Следствие. Число у/2 нельзя выразить в квадратных радикалах.

Доказательство. У кубического уравнения х6 — 2 = О есть лишь один вещественный корень, а именно, \/2. Число \/2 не рационально, поэтому уравнение х3 — 2 = 0 не имеет рациональных корней. Следовательно, у этого уравнения нет корней, выражающихся в квадратных радикалах.

Трисекция угла

Чтобы доказать, что не существует общего способа построений, позволяющего разделить на три равные части любой угол, достаточно доказать, что с помощью циркуля и линейки нельзя произвести трисекцию угла 30°.

Введем систему координат Оху, выбрав в качестве начала координат вершину данного угла АОВ и направив ось Ох по стороне OA. Можно считать, что точки А и В удалены от точки О на расстояние 1. Тогда в задаче трисекции угла требуется по точке с координатами (cos 3<р, sin 3ip) построить точку (cossmip). В случае, когда tp = 10°, исходная точка имеет координаты

Обе ее координаты выражаются в квадратных радикалах. Поэтому достаточно доказать, что число sin 10° не выражается в квадратных радикалах.

то

число X = sin 10° удовлетворяет кубическому уравнению

(3)

Согласно теореме 2 достаточно доказать, что у этого уравнения нет рациональных корней. Предположим, что 2х — p/q, где ри q — целые числа, не имеющие общих делителей. Тогда р3 — 3pq2 + q3 — 0, т. е. q3 = p(3q2 —р2). Следовательно, число q делится на р, а значит, р = ±1. Поэтому ±1 =f 3q2 + g3 = 0,

т. e. q2(q ± 3) = ±1. Число 1 делится на q, поэтому q = ±1. В итоге получаем, что х = ±1/2. Легко проверить, что значения ±1/2 не являются корнями уравнения (3). Получено противоречие, поэтому уравнение (3) не имеет рациональных корней, а значит, число sin 10° не выражается в квадратных радикалах.

Квадратура круга

Неразрешимость задач удвоения куба и трисекции угла связана с тем, что для их решения необходимо уметь строить корни кубических уравнений, причем эти уравнения не имеют корней, выражающихся в квадратных радикалах. Причина неразрешимости задачи квадратуры круга совсем иная. Если радиус окружности равен 1, то площадь ограниченного ею круга равна π. Поэтому сторона квадрата, площадь которого равна площади этого круга, равна л/π. Невозможность построения числа у/π с помощью циркуля и линейки связана с тем, что число π (а значит, и число у/π) не может быть корнем вообще никакого ненулевого многочлена с рациональными коэффициентами; такие числа называют трансцендентными. Доказательство того, что число π трансцендентно, выходит далеко за рамки нашей книги. Его можно прочитать, например, в книге [Клейн, 1987, с. 343-352]. Мы ограничимся тем, что докажем следующее утверждение.

Теорема 3. Если число а выражается в квадратных радикалах, то а — корень некоторого многочлена с рациональными коэффициентами.

Доказательство. Предположим, что число а выражается в квадратных радикалах, причем его ранг равен n, а порядок равен к. Начнем с того, что представим а как корень уравнения х — а = 0. Выделим в коэффициенте а радикал

ранга п и запишем число а сначала в виде

а затем в виде а = 6+с\/Д, как мы уже делали раньше. Тогда X - b = сл/ä, а значит, х2 — 2Ьх + Ь2 — c2ä = 0. Коэффициенты этого уравнения выражаются через к — 1 радикал ранга пине содержат радикалов более высокого ранга. Аналогичным образом от уравнения

можно перейти к уравнению

Такие переходы позволяют уничтожить сначала все радикалы ранга п, затем все появившиеся радикалы ранга п — 1 и т. д. В конце концов получим уравнение с рациональными коэффициентами.

Рекомендуемая литература

Адлер (Adler А.)

Теория геометрических построений. Ленинград: Учпедгиз, 1940. 232 с.

Архимед

Сочинения. М.: Физматгиз, 1962. 639 с.

Бос (Bos H. J. M.)

On the representation of curves in Descartes' Géométrie. Archive Hist. Ex. Sei., 1981, Vol.24, No.4, P.295-338.

Arguments on Motivation in the Rise and Decline of a Mathematical Theory: the «Construction of Equations», 1637 —ca. 1750. Archive Hist. Ex. Sci., 1984, Vol.30, No. 3/4, P. 331-380.

Ван-дер-Варден (Waerden B. L. van der)

Пробуждающаяся наука: Математика Древнего Египта. Вавилона, Греции. М.: Физматгиз, 1959. 459 с.

Гофман (Hofmann Jos. Е.)

Über Viètes Beiträge zur Geometrie der Einschiebungen. Math.-Phis. Semesterbericht, 1962, Bd. 8, No. 2, P.191-214.

Декарт (Descartes R.)

Геометрия. М.-Л.: ГТТИ, 1938. 296 с.

Зайденберг (Seidenberg А.)

Ritual Origin of Geometry. Archive Hist. Ex. Sci, 1962, Vol.1, No. 5, P. 488-527.

Remarks on Nicomedes' Duplication. Archive Hist. Ex. Sei, 1966, Vol.3, No.2, P.97-101.

On the area or a semi-circle. Archive Hist. Ex. Sci., 1972. Vol.9, No.3, P. 171-211.

Клейн (Klein F.)

Элементарная математика с точки зрения высшей. М.: Наука, 1987. Т. 1. Арифметика, алгебра, анализ. 431 с.

Кнорр (Knorr W. R.)

The ancient Tradition of Geometric Problems. Boston-Basel-Stuttgart: Birkhäuser, 1986. 411 p.

Конте (Conte L.)

Proposizioni relative alla trisezione dell' argomento (Kinner — Huygens — Comiers — Bernoulli). Archimede, 1953. T. 5, No. 2, P. 77-80.

Ньютон (Newton I.)

The mathematical papers. Cambridge: Univ. Press, 1968, Vol.2. P.450-517.

Прасолов В. В.

Задачи по планиметрии: В 2-х ч. Изд. 3-е. М.: Наука, 1995, Ч. 1 - 319 с, Ч. 2 - 239 с.

Хизс (Heath T. L.)

A History of Greek Mathematics. Oxford, 1921. Vol. 1.

Шарыгин И. Ф.

Задачи по геометрии: Планиметрия. Изд. 2-е. М.: Наука, 1986. 223 с.

Энциклопедия элементарной математики.

М.: Физматгиз, 1963. Т. 4: Геометрия. С. 205-227.

Юшкевич А. П.

История математики в средние века. М.: Физматгиз, 1961. 448 с.

Часть III

Древнегреческие геометры

Введение

Из первой части нашей книги видно, что математика развивалась не только в Древней Греции, но именно с Древней Грецией связан расцвет математики, и именно оттуда берут начало истоки современной математики.

Развитие математики вызывалось до некоторой степени практическими потребностями. Иногда речь даже шла буквально о жизни и смерти. Это показывает, например, следующая трагическая история, которую рассказал древнегреческий философ-скептик Секст-Эмпирик (кон. II — нач. III вв. н. э.).

Родосцы, например, как говорят, выспросили архитектора Харита, сколько истратил он средств на построение Колосса. Когда он что-то исчислил, они снова его спросили, сколько же было бы это, если бы они захотели построить статую, двойную по величине. И после того как он выставил двойную сумму, они ему дали ее, а он, истративши ее только на одно основание и на проекты, наложил на себя руки. После его смерти мастера увидели, что нужно было требовать не двойную, а восьмерную сумму.

Но, по-видимому, большую роль в становлении математики сыграло особое почитание в Древней Греции разного рода предсказаний. Все предсказания должны были сбываться точно. Это своего рода постулаты и аксиомы. Но если умело пользоваться этими постулатами и аксиомами, то можно добиться того, что предсказание сбудется лишь формально, а реальный ход событий будет едва ли не противоположен тому, как все поняли это предсказание.

Вот несколько примеров из греческой мифологии и мифологизированной истории.

Было предсказано, что хозяева потеряют все свои земли, если добровольно отдадут хотя бы часть их, а энианы удержат их за собою, если сумеют получить часть земли мирным путем. И вот Темон, один из именитых энианов, оделся в лохмотья и с нищенской сумой пошел, побираясь, к инахиицам. Царь, чтобы поглумиться и посмеяться, вместо подаяния бросил ему ком земли. Тот его принял, явно довольный подачкой, и тут же ушел, больше ничего не попросив.

Оракул предрек Кофу ... победу над противником в том случае, если землю он купит. Ступив на сушу, Коф вскоре натолкнулся на играющих у берега детей, он стал весело играть с ними и показал множество диковинных игрушек; а увидев, что детям захотелось их заполучить, он объявил, что отдаст их только в обмен на землю. И тогда дети, взяв земли у себя из-под ног, подали ему, а сами убежали с игрушками. Эолийцы же, когда вражеские корабли двинулись против них, узнали о случившемся и в гневе и отчаянии убили этих детей.

В день, когда Гераклу предстояло появиться на свет, Зевс поклялся в собрании богов, что младенец из потомков Персея, который сейчас появится на свет, воцарится над Микенами. Тогда ревнивая Гера задержала роды матери Геракла и ускорила на два месяца рождение Эврисфея, сына Сфенела и внука Персея.

Изредка предсказания противоречили друг другу. Чтобы разрешить противоречие, требовалось вмешательство богов.

Креонт обещал отправиться в поход, если Амфитрион освободит Кадмею от чудовищной лисицы, которая опустошала Кадмею. Было предопределено судьбою, что никто, выступивший против нее, не сможет ее настигнуть... Оставив Фивы, Амфитрион прибыл в Афины и стал уговаривать Кефала выпустить против лисицы собаку, которую Прокрида привезла с Крита, взяв ее у Миноса... Судьбой было предопределено и то, что собака эта настигнет любую добычу, которую станет преследовать. Но когда она кинулась догонять лисицу, Зевс превратил обеих в камень.

Многие предсказания бывали неясными и двусмысленными. Их смысл нужно было понять правильно, потому что неверно понятые предсказания приводили к печальным последствиям.

Царь Лидии Крез получил предсказание, что если он пойдет войной на персов, то разрушит великое царство. Крез пошел войной на персов и разрушил великое царство — свое собственное.

Лакедемоняне вопросили дельфийский оракул: могут ли они завоевать всю Аркадскую землю, и получили ответ:

Дам лишь Тегею тебе, что ногами истоптана в пляске, Чтобы плясать и поля ее тучные мерить веревкой. В битве лакедемоняне потерпели поражение. Пленники, как рабы, должны были, отмерив участок поля тегейцев мерной веревкой, обрабатывать его.

* * *

Первыми древнегреческими математиками были Фалес Милетский и Пифагор Самосский. После них математика некоторое время бурно развивалась в Древней Греции, а затем с греческой колонизацией она распространилась далеко за пределы Греции. Например, долгое время центром развития древнегреческой математики был египетский город Александрия. А величайший древнегреческий математик Архимед жил на острове Сицилия.

Древнегреческие математики написали много объемистых трактатов. Издания сочинений Евклида, Паппа, Герона, Аполлония, Птолемея состоят из нескольких томов; сочинения Архимеда и Диофанта занимают по тому. Сколько-нибудь полный обзор древнегреческой математики займет слишком много места. Мы сейчас ограничимся лишь наиболее интересными геометрическими задачами, относящимися к элементарной геометрии. Это означает, в частности, что мы оставляем в стороне обширную литературу по теории конических сечений, прежде всего труды Аполлония.

Математический аппарат древнегреческих геометров сильно отличался от современного. Сейчас нам трудно представить математику без алгебраических выкладок, но древнегреческая математика была именно такой. При изложении

решений задач древнегреческих геометров я старался передать их оригинальные доказательства. Но во многих случаях читателю было бы слишком трудно пробираться через их тяжеловесные геометрические конструкции. Поэтому я иногда пользовался современным языком алгебры.

Глава 11

Евклид

О жизни Евклида почти ничего не известно. Сохранились лишь отрывочные упоминания о нем у его комментаторов, но и эти краткие дееписания производят впечатление и заставляют задуматься. Наиболее известен рассказ Прокла о том, что когда Птолемей I, правитель Египта, спросил у Евклида, нет ли более короткого пути к геометрии, чем его «Начала», Евклид твердо ответил, что в геометрии нет царских дорог. А короткий рассказ Стобея с полной определенностью показывает взгляды Евклида на практическое значение математики. Один из тех, кто только начал учиться геометрии у Евклида, спросил его, усвоив лишь первое предложение: «А что я получу, выучив все это?». Евклид позвал своего раба и сказал: «Дай ему три обола*), ему, бедняжке, ведь нужно извлечь из учения выгоду».

Датировка жизни Евклида основана на рассказе Прокла: правление Птолемея I, с которым беседовал Евклид в зрелые годы, приходится на 306 — 283 гг. до н. э.; это вполне согласуется со словами Прокла о том, что Евклид был моложе, чем ученики Платона, но старше, чем Эратосфен и Архи-

*) Обол — древнегреческая монета; дневной заработок ремесленника составлял как раз примерно три обола.

мед. Прокл говорит также, что Евклид был платоником; во всяком случае, по-видимому, его учителями геометрии были афинские платоники. Папп сообщает, что Аполлоний очень долгое время провел с учениками Евклида в Александрии; значит, Евклид основал в Александрии школу.

Вот, по сути дела, и все сколько-нибудь достоверные сведения о жизни Евклида. Но и явно недостоверные вымыслы тоже интересны: они свидетельствуют о распространенности трудов Евклида и о его славе. Арабские источники, например, сообщают, что Евклид жил в Дамаске, и даже производят его имя от арабских слов «Укли» (ключ) и «Дис» (измерение, геометрия), т. е. «ключ к геометрии».

Когда в Европе начали возникать университеты, во многих из них студенты изучали «Начала» Евклида (эта книга изначально была предназначена для взрослых людей, не для школьников; перенос структуры «Начал» в школьные учебники является явным недоразумением). Изучение «Начал» было весьма поверхностным; они считались очень трудной и запутанной книгой. В XVI в. соискатели степени магистра искусств должны были торжественно поклясться, что они прослушали лекции по первым шести книгам Евклида. Теорема о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника (предложение I.5*)) казалась студентам очень трудной «вследствие большого количества встречающихся в ней линий и углов». Из-за отсутствия привычки к математическим рассуждениям студентам приходилось заучивать доказательства Евклида наизусть. Первую книгу «Начал» усваивали очень немногие. Например, уже доказательство теоремы Пифагора (предложение I. 47) могло быть диссертацией магистра математики.

*) Здесь и далее при ссылках на «Начала» римские цифры указывают номер книги, а арабские цифры — номер предложения в этой книге.

«Начала» Евклида

Помимо «Начал» Евклид написал еще десять книг по математике и ее приложениям (астрономия, оптика, теория музыки), многие из которых сохранились до нашего времени. Но влияние всех остальных книг Евклида было несравненно меньше.

По-гречески книга Евклида называлась Στοιχεία (от этого слова происходит русское «стихия»), а в латинском переводе она называлась «Elements».

До Евклида аналогичные «Начала» написали Гиппократ Хиосский, который открыл квадрируемые луночки, и некий Леонт, о котором почти ничего не известно. Хорошие «Начала» составил Тевдий из Магнесии. Но эти книги не сохранились. По-видимому, после появления «Начал» Евклида ими уже никто не интересовался и их больше не переписывали.

Логическая структура «Начал» Евклида достаточно странная. С одной стороны, Евклид формулирует определения, постулаты и аксиомы, из которых он затем выводит теоремы. С другой стороны, некоторые утверждения Евклид считает очевидными и использует их без каких-либо оговорок. Сейчас уже трудно понять, по каким причинам Евклид что-то считал самоочевидным, а что-то относил к числу постулатов или аксиом. Вот как выглядит, например, у Евклида доказательство самого первого предложения о существовании равностороннего треугольника с данной стороной AB. Построим окружность с центром А и радиусом AB и окружность с центром В и радиусом ВА. (Возможность таких построений оговорена постулатом 3.) Эти окружности обязательно пересекутся в некоторой точке С. (Вот пример утверждения, самоочевидного с точки зрения Евклида.) Проведем прямые АС и СВ. (Возможность проведения прямой через две точки оговорена постулатом 1.) Тогда АС = AB и СВ = AB, поэтому АС = СВ. (Это следует из аксиомы 1: равные одному

и тому же равны и между собой.) Трудно сказать, по каким причинам утверждение о том, что рассматриваемые окружности пересекаются в некоторой точке, казалось Евклиду более очевидным, чем те утверждения, которые он выделил в качестве постулатов и аксиом.

«Начала» Евклида состоят из тринадцати книг, последняя из которых посвящена построению правильных многогранников. Впоследствии другими авторами были написаны дополнительно книги XIV и XV, посвященные правильным многогранникам. (Книгу XIV написал александриец Гипсикл около 200 г. н. э., а книга XV была написана, вероятно, в VI в. н. э.)

Теорема Пифагора и теорема косинусов

Евклид систематически излагает результаты, полученные его предшественниками — Архитом Тарентским, Евдоксом Книдским и другими, не упоминая их имен. Например, теорема Пифагора — это предложение I.47 «Начал» Евклида. Евклид не упоминает ни имени Пифагора, ни имени автора того доказательства, которое он приводит. Доказательство теоремы Пифагора у Евклида следующее. Опустим из вершины А перпендикуляр AL на сторону DE квадрата BCED (рис. 3.1). Треугольники ABD и FBC равны, поэтому площадь параллелограмма с диагональю BL равна удвоенной площади треугольника ABD, т. е. удвоенной площади треугольника FBC, а она, в свою очередь, равна площади квадрата ABFH. Аналогично доказывается, что площадь параллелограмма с диагональю CL равна площади квадрата ACKG.

Из теоремы Пифагора Евклид выводит утверждение, которое сейчас называют теоремой косинусов. Он отдельно рассматривает случаи тупого и острого угла треугольника

Рис. 3.1

Рис. 3.2

Рис. 3.3

(предложения II.12 и II.13). Например, для тупого угла рассуждения Евклида следующие. Опустим перпендикуляр BD на продолжение стороны АС (рис. 3.2). Из тождества (а+Ь)2=a2+b2+2ab следует, что DC2 = DA2 + AC2+2DAAC. (Указанное тождество Евклид доказывает геометрически; идея его доказательства видна из рис. 3.3.) Добавим к обеим частям полученного равенства DB2 и воспользуемся тем, что

по теореме Пифагора В результате получим

Теоремы о кругах

Книга III посвящена кругам. Вот как, например, Евклид строит касательную из данной точки А к данной окружности. Пусть Е — центр данной окружности, D — точка пересечения данной окружности и отрезка ЕА. Построим окружность радиуса ЕА с центром Е и найдем точку /, в которой эту окружность пересекает перпендикуляр к прямой АЕ, восставленный из точки D (рис. 3.4). Пусть В — точка пересечения отрезка IE с исходной окружностью. Тогда AB — искомая касательная. Это следует из того, что треугольники ABE и IDE равны.

В книге III доказываются многие теоремы о свойствах окружностей, входящие ныне в школьную программу. Например, теорема о вписанном угле (предложение III.20), теорема о двух пересекающихся хордах (предложение III.35: «Если в круге две прямые пересекают друг друга, то прямоугольник, заключенный между отрезками одной, равен прямоугольнику, заключенному между отрезками другой»), теорема о квадрате касательной (предложение III.36).

Рис. 3.4

Правильные многоугольники

В книге IV Евклид описывает построение правильного пятиугольника. Это построение довольно сложное. Оно выглядит как перевод на геометрический язык некоторой алгебраической формулы с квадратными корнями. Завершается книга IV построением правильного пятнадцатиугольника (на основе построения правильных пятиугольника и треугольника).

Стереометрия

Стереометрия начинается у Евклида с книги XI. В этой книге он доказывает разные теоремы о плоскостях, параллелепипедах, трехгранных углах. Например, он доказывает, что в трехгранном угле любой плоский угол меньше суммы двух других плоских углов (предложение XI.20), а сумма всех плоских углов меньше четырех прямых углов (предложение XI.21).

Предложение XI.20 Евклид доказывает следующим образом. Достаточно доказать, что наибольший плоский угол меньше суммы двух других плоских углов. Поэтому будем считать, что в трехгранном угле ABCD с вершиной А угол ВАС наибольший. Тогда внутри угла ВАС можно выбрать точку Е так, что /ВАЕ = /.BAD и АЕ = AD. В таком случае треугольники ВАЕ и BAD равны, а значит, BE = BD. Поэтому из неравенства BD + DC > ВС и равенства ВС = BE + ЕС следует, что DC > ЕС. В треугольниках DAC и ЕАС стороны DA и ЕА равны, а сторона АС у них общая. Поэтому из неравенства DC > ЕС следует, что /DAC > /.ЕАС. Это означает, что

Предложение XI.21 Евклид выводит из предложения XI.20. Вместо трехгранного угла ABCD с вершиной А он рассматривает тетраэдр ABCD и применяет неравенство, доказанное в предложении XI.20, к трехгранным углам с вершинами В, С и D. В результате он получает, что сумма углов треугольника BCD меньше суммы тех углов треугольников ВАС, CAD и DAB, которые прилегают к его сторонам. Последняя сумма равна Зтт—£, где Е — сумма углов треугольников ВАС, CAD, DAB при вершине А. Таким образом,

Правильные многогранники

«Начала» Евклида увенчиваются теорией правильных многогранников. Многие исследователи «Начал» высказывали мнение, что Евклид весь свой трактат написал лишь для того, чтобы систематически изложить теорию правильных многогранников. Это мнение основано на том, что Евклид был последователем Платона, а Платон уделял правильным многогранникам большое внимание (недаром их иногда называют «Платоновыми телами», хотя и Платон к их открытию не имел никакого отношения).

При построении икосаэдра Евклид использует два вспомогательных утверждения.

Утверждение 1. Если отрезок AB составлен из стороны АС правильного десятиугольника и стороны ВС правильного шестиугольника, вписанных в окружность одного радиуса, то

Утверждение 2. Если правильные пятиугольник, шестиугольник и десятиугольник вписаны в одну и ту же окружность, то квадрат стороны пятиугольника равен сумме квадратов сторон шестиугольника и десятиугольника.

Для доказательства первого утверждения Евклид рассматривает правильный десятиугольник со стороной АС и на продолжении стороны АС откладывает отрезок СВ, равный стороне правильного шестиугольника, вписанного в ту же самую окружность (рис. 3.5). После этого он показывает, что треугольники АБО и АОС подобны. Следовательно, AB : АО = АО : АС. Учитывая, что АО = СО = СВ, получаем требуемое.

Второе утверждение Евклид доказывает следующим образом. Сравнивая углы, он показывает, что треугольники IBN

Рис. 3.5 Рис. 3.6

и ABI подобны (рис. 3.6) и треугольники ВАК и К AN тоже подобны. Поэтому IB : AB = BN : В1иВА: КА=АК : AN, т. е. IB2 = AB BN и ART2 = Aß • A/V. Учитывал, что AN + BN = AB, получаем требуемое равенство

Икосаэдр (правильный многогранник с 12 вершинами, гранями которого служат 20 правильных треугольников) Евклид получает по следующей схеме. Возьмем отрезок 0\Ö2— —R и построим в пространстве круги радиуса R с центрами Oi и О2, лежащие в плоскостях, ортогональных прямой 0\Ö2-Впишем в эти круги правильные пятиугольники так, чтобы проекции вершин каждого пятиугольника на плоскость другого пятиугольника попадали в середины дуг, стягиваемых сторонами пятиугольника. Отложим на продолжениях отрезка 0\Ö2 за его концы отрезки 0\А\ и О2А2, равные стороне правильного десятиугольника, вписанного в окружность радиуса R. Точки А\ и А2 вместе с вершинами двух рассматриваемых пятиугольников служат вершинами искомого икосаэдра. В самом деле, из утверждения 1 следует, что если ае и аю — стороны правильных шестиугольника

и десятиугольника, вписанных в одну окружность, то

поэтому

Последнее равенство означает, что вершины рассматриваемых пятиугольников лежат на сфере с диаметром А1А2. А из утверждения 2 следует, что длины всех ребер полученного многогранника равны стороне правильного пятиугольника, вписанного в окружность радиуса R (нужно отдельно рассмотреть расстояние между точкой А{ и вершиной пятиугольника и расстояние между двумя вершинами разных пятиугольников).

Додекаэдр (правильный многогранник с 20 вершинами, гранями которого служат 12 правильных пятиугольников) Евклид строит с помощью куба. Мы изложим его конструкцию на более современном языке, используя не только геометрию, но и алгебру. Пусть х — такой отрезок, что х : 1= 1 : (я+1), т. е. х2+х = 1. Рассмотрим куб с ребром 2(х+\) и разделим средние линии его граней на отрезки длиной х, 2, х. Затем из точек деления проведем внешние нормали к граням куба и отложим на них отрезки длиной 1. Покажем, что пятиугольник ABCDE (рис. 3.7) правильный. Прежде всего нужно убедиться, что вершины этого пятиугольника лежат в одной плоскости. Для этого можно рассмотреть проекцию на плоскость, перпендикулярную ребру СЕ, и воспользоваться тем, что полученные при такой проекции прямоугольные треугольники с катетами (1,х) и (1 + х, 1) подобны. Равенство сторон рассматриваемо-

Рис. 3.7

го пятиугольника следует из того, что

Для доказательства равенства углов воспользуемся тем, что

Таким образом, треугольники ЕAB, ABC и С DE являются равными равнобедренными треугольниками, а треугольники АСЕ и ВЕС равнобедренные. Поэтому в рассматриваемом пятиугольнике углы при вершинах A,BnD равны. Кроме того, равны углы при вершинах В и С, так как /АВЕ= —/DCE и /ЕВС = /.ECB. Аналогично доказывается равенство углов при вершинах А и Е.

Точки A,B и D лежат на описанной сфере куба, поскольку они удалены от центра куба на расстояние, квадрат которого равен

Теперь нужно выбрать в каждой грани куба среднюю линию так, чтобы выбранные средние линии не имели общих точек (после того как в одной из граней куба выбрана одна из двух средних линий, это делается ровно одним способом). Проделав для каждой из этих средних линий описанную выше конструкцию, получим додекаэдр.

Глава 12

Архимед

Архимед был не только ученым-теоретиком. Он сыграл выдающуюся роль в организации обороны своего родного города, Сиракуз. Поэтому сведений о его жизни сохранилось несравненно больше, чем о жизни Евклида или Паппа.

Архимед родился в 275 г. до н. э. в семье астронома Фидия. Первые произведения, посвященные механике и математике, он написал в возрасте 50 лет. Толчком к развитию гениальных математических способностей Архимеда в столь позднем возрасте послужила поездка Архимеда в Александрию, где он познакомился с Кононом и Эратосфеном. После смерти Конона Архимед поддерживал связь с его учеником Досифеем. Многие дошедшие до нас трактаты Архимеда начинаются примерно так: «Архимед приветствует Досифея».

Основные сведения об Архимеде, которые приводят историки, относятся к последнему этапу его жизни — обороне Сиракуз. Из остальных историй наиболее известен следующий рассказ римского архитектора Витрувия.

Что же до Архимеда, то из всех его многочисленных и замечательных открытий приводимое мною является, несомненно, доказательством прямо-таки безграничной изобретательности. А именно, когда Гиерон, достигший царской власти в Сиракузах, после удачного завершения своих предприятий, решил по обету бессмертным богам поместить в одном из храмов золотой венец, он заказал его за определенную плату и отве-

сил нужное количество золота подрядчику. В назначенный по договору срок тот доставил царю тонко исполненную работу, в точности, видимо, соответствовавшую весу отпущенного на нее золота.

После же того как сделан был донос, что часть золота была утаена и при изготовлении венца в него было примешано такое же количество серебра, Гиерон, негодуя на нанесенное ему оскорбление и не находя способа доказать эту покражу, обратился к Архимеду с просьбой взять на себя разрешение этого вопроса. Случилось так, что в то время как Архимед над этим думал, он пошел в баню и, садясь в ванну, заметил, что чем глубже он погружается в нее своим телом, тем больше через край вытекает воды. И как только это указало ему способ разрешения его вопроса, он, не медля, вне себя от радости, выскочил из ванны и голый бросился к себе домой, громко крича, что нашел то, что искал; ибо на бегу он то и дело восклицал по-гречески: ενρηκα, ενρηκα.

Тогда, исходя из этого открытия, он, говорят, сделал два слитка одинакового веса с венцом — один из золота, другой из серебра. Сделав это, он взял объемистый сосуд, наполнил его до самых краев водой и опустил в него серебряный слиток, при погружении которого вода вытекла в количестве, равном величине слитка. Вынув затем слиток, он долил воды, отмерив ее секстарием, так, чтобы она опять сравнялась с краями, как и раньше. Так он определил, что серебро по весу соответствует известному количеству воды.

Проделав этот опыт, он подобным же образом опустил в наполненный водой сосуд золотой слиток и, вынув его, нашел посредством прежнего измерения, что воды убавилось не столько же, а меньше, насколько меньше был объем золотого слитка сравнительно с равным ему по весу серебряным. После же этого, вновь наполнив сосуд и опустив в то же количество воды самый венец, он нашел, что воды вытекло больше, чем при погружении золотого слитка такого же веса; и таким образом, исходя из того, что венец вытеснил больше воды, чем слиток, он показал примесь в золоте серебра и обнаружил покражу подрядчика.

Наиболее раннее описание обороны Сиракуз содержится в «Истории» Полибия, написанной всего через полвека после разрушения Сиракуз. Вот что он писал.

Приготовивши шалаши, метательные орудия и все прочее, нужное для осады, римляне надеялись при многочисленности рабочих рук покончить с приготовлениями в течение пяти дней и не дать неприятелю подготовиться. Но при этом они не приняли в расчет искусства Архимеда, не догадались, что иногда дарование одного человека способно сделать больше, чем огромное множество рук...

...Архимед соорудил машины, приспособив их к метанию снарядов на любое расстояние. Так, если неприятель подплывал издали, то Архимед поражал его из дальнобойных камнеметальниц тяжелыми снарядами или стрелами и повергал в трудное и беспомощное положение. Когда же снаряды начинали летать поверх неприятеля, то Архимед употреблял в дело меньшие машины, каждый раз сообразуясь с расстоянием, и наводил на римлян такой ужас, что они никак не решались идти на приступ или приблизиться к городу на судах...

Некоторые машины отражали нападение неприятеля, защищенного и прикрытого плетнем от стрел, выпускаемых через отверстие в стене; в таком случае бросаемые камни соответствующей тяжести прогоняли нападающих римлян с передних частей корабля. Кроме того, с машины спускалась прикрепленная к цепи железная лапа; управлявший жерлом машины захватывал в каком-нибудь месте этой лапой нос корабля и потом опускал вниз находящийся внутри города конец машины. Когда нос судна был таким образом поднят и судно поставлено отвесно на корму, то плечо рычага закреплялось неподвижно, а лапа вместе с цепью отделялись от машины освобождающего приспособления. Вследствие этого некоторые суда ложились на бок, другие совсем опрокидывались, большинство же от падения носом с значительной высоты в море погружалось и наполнялось водой, вызывая большой беспорядок и ужас среди экипажа...

...Римляне оставались под стенами города в течение восьми месяцев, и не было такой уловки или отважного дела, перед которым они остановились бы, но на приступ идти они уже ни разу не осмеливались.

Такова чудесная сила одного человека, одного дарования, умело направленного на какое-либо дело. Вот и теперь: располагая столь значительными силами сухопутными и морскими, римляне могли бы быстро овладеть городом, если бы кто-либо изъял из среды сиракузян одного старца. Но так как этот один был среди сиракузян, то римляне не дерзали нападать на город или по крайней мере употреблять те способы нападения, отразить которые Архимед был в силах.

После длительной осады римляне всё же взяли Сиракузы. Во время грабежа города Архимед погиб. Наиболее подробно обстоятельства его смерти описал Плутарх в жизнеописании Марцелла, римского полководца, осаждавшего Сиракузы.

Всего более жалел Марцелл о смерти Архимеда. Последний находился дома, рассматривая какую-то геометрическую фигуру; так как он погрузился в это исследование всем своим умом и всеми чувствами, то не заметил шума, производимого бегавшими туда и сюда римляна-

ми, и не знал, что город уже был в их власти. Вдруг перед ним явился солдат с приказом следовать за ним к Марцеллу. Архимед отказался идти, пока не найдет доказательства своей задачи. Раздраженный римлянин вытаскивает меч и убивает его. Другие говорят, что какой-то солдат пошел на него с мечом чтобы убить, а Архимед настоятельно стал просить его подождать немного, пока он закончит задачу, но солдат, которому было мало дела до его доказательства, пронзил его мечом. Третьи говорят, что Архимед сам пошел к Марцеллу, неся в ящике математические инструменты — солнечные квадранты, небесные глобусы и угломеры для измерения видимой величины Солнца, но попавшиеся ему по дороге солдаты подумали, что он несет в ящике золото, и убили его, чтобы овладеть этим золотом. Во всяком случае, все историки признают, что Марцелл был очень опечален смертью Архимеда, сторонился убийцы, как святотатца, и, приказавши отыскать родственников Архимеда, милостиво с ними обошелся.

Как пишет Цицерон, Марцелл взял себе после захвата Сиракуз единственную добычу — сферу, изготовленную Архимедом. Эта сфера представляла движения Солнца, Луны и пяти планет. Сфера Архимеда изумляла всех, кто ее видел. В эпоху Диоклетиана ее даже использовали как аргумент в теологических спорах:

Я вас спрашиваю, ведь мог же сицилиец Архимед воспроизвести образ и подобие мира в выпуклой округлости меди, где он так разместил и поставил Солнце и Луну, что они как будто совершали каждодневно неравные движения и воспроизводили небесные вращения; он мог не только показать восход и заход Солнца, рост и убывание Луны, но сделать так, чтобы при вращении этой сферической поверхности можно было видеть различные течения планет; так неужели же Бог не мог воспроизвести и сотворить натуральные вещи, подобие которых мог сделать человек своим искусством и хитростью.

Изумительную характеристику Архимеда оставил нам Плутарх. Но при ее чтении следует иметь в виду, что Плутарх жил спустя несколько столетий после Архимеда и он описывает не столько реального Архимеда, сколько свой собственный идеал ученого и человека.

Архимед имел возвышенную душу и глубокий ум, и, обладая громадными богатствами геометрических теорий, он не хотел оставить ни

одного сочинения относительно построения тех машин, которые доставили ему славу знания, не только доступного человеку, но почти божественного ... Во всей геометрии нельзя найти более трудных и глубокомысленных задач, которые были бы решены так просто и ясно, как те, которыми занимался Архимед. Одни приписывают эту ясность его высоким дарованиям, другие же — тому напряженному труду, при помощи которого ему удавалось дать своим открытиям такое выражение, что они становятся доступными без труда. Если читатель сам не находит доказательства, то при изучении архимедовых сочинений у него создается впечатление, что он и сам смог бы без труда найти решение — таким легким и быстрым путем Архимед приводит к тому, что он хотел доказать. Поэтому не кажется невероятным, что он, как рассказывают, будучи околдован геометрией, забывал о пище и пренебрегал заботами о своем теле. Часто его насильно заставляли принимать ванну и натираться мазями, а он чертил на золе геометрические фигуры и на своем намазанном маслом теле проводил пальцем линии, — настолько он был охвачен этим занятием и действительно одухотворен музами. И хотя у него было много прекрасных открытий, он, говорят, просил своих родственников и друзей начертить на его могиле только цилиндр и содержащийся в нем шар и указать соотношение между объемами этих тел. Таков был Архимед, который благодаря своим глубоким познаниям в механике смог, насколько это от него зависело, сохранить от поражения и себя самого, и свой город.

Книга лемм

В наследии Архимеда «Книга лемм» занимает далеко не центральное место. Но в отношении геометрических задач — это одна из наиболее интересных книг за всю историю математики. В этой книге содержится пятнадцать лемм. Мы приведем некоторые из них, указывая их номера.

Лемма III. Хорда АС отсекает от круга сегмент. На ограничивающей этот сегмент дуге окружности взяты точки В и F так, что AB — BF. Из точки В опущен перпендикуляр BD на хорду АС и на АС

Рис. 3.8

взята точка Е так, что AD = DE (рис. 3.8). Тогда СЕ = CF.

Доказательство. Четырехугольник CFBA вписанный, поэтому

А так как

то Z.BFC — /.ВЕС. Но треугольник EBF равнобедренный, поэтому треугольник ECF тоже равнобедренный.

Лемма IV. На отрезке АС взята точка D и на отрезках AC, AD и CD как на диаметрах построены полуокружности (рис. 3.9). Заштрихованную фигуру Архимед назвал «арбелон»*). Восставим из точки D перпендикуляр BD. Тогда площадь арбелона равна площади круга с диаметром BD.

Доказательство. Пусть AB = а и CD = b. Тогда площадь арбелона равна

Кроме того, BD2 = ab. (Архимед все эти рассуждения проводит на языке геометрии.)

Рис. 3.9 Рис. 3.10

*) αρβηλον — скребок, скорняжный нож.

Лемма V. Круги, вписанные в левую и правую части арбелона, равны (рис. 3.10).

Доказательство. Нам потребуется более подробный чертеж (рис. 3.11). Точки касания F и G служат центрами подобия окружностей. Поэтому, например, точки F,H и B лежат на одной прямой и точки H,G и А лежат на одной прямой. Пусть J — точка пересечения прямой АН и большой полуокружности. Тогда точки B,I,D лежат на одной прямой. Это следует из теоремы о том, что высоты треугольника пересекаются в одной точке: в самом деле, в треугольнике ADB отрезки BF и DC являются высотами, поэтому AI тоже высота.

Итак, ZBIA = ZCGA = 90°, поэтому BD \\ СЕ. Следовательно,

т. е.

Для диаметра второй окружности получаем точно такое же выражение.

Рис. 3.11

Теорема о ломаной, вписанной в круг

Эта теорема Архимеда*) сохранилась, в частности, в передаче арабского математика аль-Бируни (973 —1050 гг. н. э.).

Пусть D — середина дуги АС, В — некоторая точка этой дуги (рис. 3.12). Тогда основание Е перпендикуляра, опущенного из точки D на ломаную ABC, делит длину этой ломаной пополам.

В арабских переводах сочинений Архимеда сохранилось несколько доказательств этой теоремы. Одно из доказательств следующее. Отложим от точки D дугу DH, равную дуге BD, а от точки Е отложим отрезок EG, равный отрезку BE (рис. 3.13). Тогда

поэтому /GDA = /.HDА. Но в таком случае из равенства DH — DG следует равенство АН — AG т. е. ВС = AG.

Формула Герона

По недоразумению формулу, которую Архимед доказал за несколько веков до Герона, называют «формулой Герона». Дело в том, что эта формула стала известна европейским математикам из сочинений Герона. Лишь в конце прошлого века

Рис. 3.12 Рис. 3.13

*) Именно ее редакция журнала «Квант» поместила в «Задачнике Кванта» под юбилейным тысячным номером.

из нескольких арабских рукописей выяснилось, что эта формула была известна уже Архимеду. Доказательство Архимеда опирается на предыдущую «теорему о ломаной, вписанной в круг». (Герон приводит совсем другое доказательство.)

При доказательстве теоремы о ломаной, вписанной в круг, было показано, что треугольники AMD и С BD (рис. 3.14) равны, поэтому площадь треугольника ADC равна площади пятиугольника AMDBC, а площадь этого пятиугольника равна сумме площадей треугольников ABC и BDM. Таким образом, площадь треугольника ABC равна разности площадей треугольников ADC и BDM, т. е. она равна

Равнобедренные треугольники ADC и BDM подобны, так как углы DBA и DCA опираются на одну и ту же дугу. Поэтому

Действительно, это равенство имеет вид

Для вычисления разности DG2 — DE2 можно воспользоваться тем, что

Рис. 3.14

В результате получим

Несложно показать, что ЕН = р — Ъ и ЕН + 2 АН = р (здесь р — полупериметр, b = АС).

Для вычисления разности G А2 — ЕВ2 Архимед строит на отрезке AG вспомогательную точку К так, что BE = GK. Тогда

Несложно показать, что К А = р — с и К А + 2GK = р — а.

О шаре и цилиндре

Сочинение Архимеда «О шаре и цилиндре», состоящее из двух больших писем Досифею, занимает в математическом наследии Архимеда центральное место как по своему объему, так и по разработанным там методам.

В первом письме Архимед доказывает следующие теоремы:

поверхность всякого шара в четыре раза больше его большого круга;

поверхность всякого шарового сегмента равна кругу, радиус которого равен (отрезку) прямой, проведенной из вершины сегмента к окружности круга, составляющего основание сегмента;

для всякого шара цилиндр, имеющий основанием большой круг этого шара, а высотой — прямую, равную диаметру шара, и сам (т. е. его объем) будет в полтора раза больше этого шара, и поверхность его тоже в полтора раза больше поверхности этого шара.

Во втором письме Архимед решает, например, следующие задачи:

для заданного конуса или цилиндра найти шар, равный (по объему) этому конусу или цилиндру;

данный шар рассечь плоскостью так, чтобы поверхности получившихся сегментов находились бы друг к другу в отношении, равном заданному;

разделить данный шар так, чтобы его сегменты имели друг к другу отношение, равное заданному.

Завершается второе письмо Архимеда Досифею доказательством следующей теоремы:

из всех сферических сегментов, ограниченных равными поверхностями, наибольшим будет полушарие.

На своем надгробии Архимед завещал изобразить цилиндр и шар, вписанный в этот цилиндр. (По этому надгробию Цицерон впоследствии смог отыскать могилу Архимеда.) То, что Архимед высоко ценил теоремы, доказанные им в сочинении «О шаре и цилиндре», видно и из самого его письма Досифею:

Конечно, эти свойства были и раньше по самой природе присущи упомянутым фигурам, но все же они оставались неизвестными тем, кто до нас занимался геометрией, и никому из них не пришло на ум, что все эти фигуры являются соизмеримыми друг с другом; поэтому я не поколебался бы сравнить эти теоремы с теми, которые были открыты другими геометрами, и в частности с наиболее выдающимися теоремами, которые были установлены для тел Евдоксом, а именно, что всякая пирамида составляет третью часть призмы, имеющей с пирамидой одно и то же основание и одинаковую высоту, и что всякий конус составляет третью часть цилиндра, имеющего с конусом одно и то же основание и одинаковую высоту; действительно, хотя эти свойства по самой природе всегда были присущи указанным телам, но все же оказалось, что они остались неизвестными многим жившим до Евдокса знаменитым геометрам и ни одному из них не пришли на ум. Теперь же их могут усмотреть все, имеющие к тому силы. Было бы очень хорошо, если бы они были обнародованы еще при жизни Конона; он был, как мы считаем, наиболее способным продумать их и дать о них подходящий отзыв. Полагая, что было бы очень хорошо передать их сведущим в математике людям, мы посылаем тебе запись их доказательств; теперь их могут рассмотреть все, занимающиеся математикой.

Для вычисления площади поверхности и объема шара Архимеду пришлось создавать новые методы, которые впоследствии привели к интегральному исчислению. Поэтому его доказательства, включающие и подготовительные теоремы для этих методов, весьма длинные. Вместо этих доказательств мы приведем вычисление объема шара, содержащееся в послании Архимеда к Эратосфену «О механических теоремах». Эти рассуждения используют механические теоремы о равновесии рычага. По-видимому, Архимед сначала вычислил объем шара с помощью соображений, основанных на механике, а уже потом он получил строгое математическое обоснование этих вычислений, которое он и изложил в сочинении «О шаре и цилиндре». Архимед хорошо понимал нестрогость своих рассуждений, основанных на механике. По этому поводу он писал Эратосфену:

Хотя это всем вышеприведенным рассуждением и не доказано, но все же оно производит впечатление, что окончательный вывод правилен.

Доказательство Архимеда использует следующее правило рычага: груз массой та, приложенный к плечу рычага длиной а, уравновешивает груз массой га&, приложенный к плечу рычага длиной 6, если ата = Ьть (рис. 3.15). Нестрогость рассуждений Архимеда связана не столько с использованием этого механического правила, сколько с применением его к телам, составленным из бесконечно тонких плоских сечений.

Рассмотрим шар с диаметром АС. Рассмотрим, далее, сечение этого шара плоскостью, проходящей через прямую АС. Пусть ABCD — квадрат, вписанный в этот шар (рис. 3.16). Рассмотрим наряду с шаром еще и конус с вершиной А, основанием которого служит круг с диаметром UV, а также цилиндр с тем же основанием и той же высотой АС. Рассмотрим, наконец, сечения шара, конуса и цилиндра плоскостью,

Рис. 3.15

Рис. 3.16

перпендикулярной прямой АС. Эти сечения будут кругами с диаметрами KL, PQ и MN соответственно.

Введем также вспомогательную точку Т, симметричную С относительно точки А.

Ясно, что

и

Поэтому

Согласно правилу рычага это означает, что сечение шара и сечение конуса, перенесенные в точку Г, уравновесят сечение цилиндра в его исходном положении. Поэтому если весь шар и весь конус перенести в точку Г, то они уравновесят

рассматриваемый цилиндр. Но центром масс цилиндра служит точка О (центр шара), поэтому можно считать, что вся масса цилиндра приложена к точке О. Таким образом,

Задолго до Архимеда было известно, что объем конуса относится к объему цилиндра как 1:3 (это доказал Евдокс, опираясь на доказанное им же аналогичное свойство пирамиды и призмы). Из этого следует, что

3 X объем конуса = 2 х (объем шара + объем конуса),

т. е.

объем конуса = 2 х объем шара,

объем цилиндра = 6 х объем шара.

Если же взять цилиндр, описанный вокруг шара, то он будет иметь такую же высоту, как и рассмотренный выше цилиндр, но его основание будет иметь в два раза меньшие размеры, т. е. в четыре раза меньшую площадь. Поэтому объем такого цилиндра в полтора раза больше объема цилиндра. В этом как раз и заключается одна из наиболее знаменитых теорем Архимеда.

Глава 13

Папп

Папп Александрийский был последним выдающимся геометром александрийской школы. А первая книга по геометрии, в которой появилось много новых по сравнению с древнегреческой математикой идей, начинается как раз с обсуждения одной из задач Паппа. Эта книга называется «Геометрия». Она была опубликована в приложении к философскому трактату Рене Декарта «Рассуждение о методе» в качестве образца применения этого разработанного им метода. (Правда, Декарт сначала написал «Геометрию», а потом уже «Рассуждение о методе».) Декарт внимательно изучил сочинения Паппа и высоко их ценил. В трактате «Правила для руководства ума» он писал:

...Но я убежден, что какие-то первые семена истин, которые присущи человеческим умам от природы и которые мы в себе заглушаем, ежедневно читая и слыша о стольких различных заблуждениях, обладали в той безыскусной и незатейливой древности такою силой, что благодаря тому свету ума, при посредстве которого люди видели, что следует предпочитать добродетель удовольствию, а честное — полезному, даже если они и не знали, почему это обстояло именно так, они также познали истинные идеи философии и математики, хотя и не могли еще овладеть в совершенстве самими науками. И мне по крайней мере кажется, что какие-то следы этой истинной математики обнаруживаются у Паппа и Диофанта, которые жили пусть и не в самую раннюю эпоху, но всё же за много веков до нашего времени.

О жизни Паппа почти ничего не известно. Сохранились лишь некоторые сведения о том, когда именно он жил. Например, он наблюдал солнечное затмение и описал его; это солнечное затмение относят к 320 г. н. э. Это вполне согласуется к комментарием Теона Александрийского*), который в хронологических таблицах напротив имени Диоклетиана отметил: «В его эпоху писал Папп». Диоклетиан был провозглашен римским императором в 284 г., а в 305 г. он сложил с себя полномочия в соответствии с заранее принятым им решением.

Основное сочинение Паппа — «Математическое собрание» (Synagoge), состоящее из восьми книг. В них он собрал всё, что нашел интересного в трудах своих предшественников, присоединив к этому и свои открытия.

Многие теоремы из «Математического собрания» Паппа стали широко известны лишь после того, как их заново открыли знаменитые ученые. Это относится к теореме Гюльдена об объеме тела вращения и к теореме Дезарга. И если теорему Гюльдена часто называют теоремой Паппа — Гюльдена, то теорему Дезарга никогда не называют теоремой Паппа — Дезарга. Более того, говоря о тех, кто заложил основы проективной геометрии, про Паппа обычно забывают, хотя имен-

*) Теон Александрийский — отец знаменитой Ипатии, последнего математика александрийской школы. Она была обаятельна и красноречива, писала комментарии к трудам Диофанта и Аполлония. В Александрии Ипатия была профессором платоновской философии. Она дружила со многими христианами, но оставалась верна традициям классического (языческого) эллинизма. В христианской общине распространился слух, будто она восстановила римского префекта Ореста против епископа Кирилла. Из-за этого слуха в 415 г. н. э. толпа христианской черни убила Ипатию острыми черепками, растерзала ее тело на куски и сожгла. После Ипатии с великой александрийской математической школой было покончено. Малая Александрийская библиотека была разгромлена еще в 390 г. н. э. христианскими монахами, а большая библиотека была сожжена в 641 г. н. э. мусульманским халифом Омиром.

но в его «Математическом собрании» впервые появились все основные теоремы проективной геометрии, в том числе и теорема о сохранении двойного отношения при проекциях.

Обобщение теоремы Пифагора

В книге IV Папп доказывает обобщение теоремы Пифагора, которую он называет предложением I.47 Евклида.

Теорема. Пусть на сторонах AB и АС треугольника ABC построены произвольные параллелограммы ABDE и ACFG. Пусть, далее, H — точка пересечения продолжений сторон DE и F G (рис. 3.17). Тогда сумма площадей параллелограммов ABDE и ACFG равна площади параллелограмма, стороны которого равны и параллельны отрезкам ВС и АН.

Доказательство. Параллелограммы ABDE и ACFG можно заменить на параллелограммы АВН\Н и АСН2Н, не меняя при этом их площадь. Ясно также, что сумма площадей двух новых параллелограммов равна площади параллелограмма ВСН2Н1.

Рис. 3.17

Окружности, вписанные в арбелон

В книге IV Папп рассказывает также и о двух теоремах об окружностях, вписанных в арбелон. Папп не называет автора этих теорем, он просто пишет, что «в некоторых книгах приводится древнее предложение такого рода». Весьма вероятно, что автором этих теорем был Архимед.

Рассмотрим (а) последовательность окружностей с центрами Oi, О2,..., вписанных в арбелон (рис. 3.18, а), гх (б) систему окружностей с центрами Oi, О2,..., вписанных в фигуру, похожую на арбелон, но в которой вместо заштрихованного полукруга взят заштрихованный круг (рис. 3.18, б). Пусть pk — расстояние от Ok до диаметра AB, dk — диаметр окружности с центром Ok- Тогда

в случае (а),

в случае (б).

Мы обсудим лишь случай (а). Для тех, кто знаком с инверсией, отметим, что после инверсии с центром А оба утверждения (а) и (б) становятся очевидны.

Доказательство Паппа основало на следующих трех леммах.

Лемма 1. Для трех попарно касающихся (внешним образом) окружностей выполняются соотношения

(рис. 3.19).

Доказательство. Так как CD \\ AG, то

Рис. 3.18

Рис. 3.19

Кроме того,

Следовательно,

Но EL • ED = BE- EF, поэтому KE- EL = BE2.

Лемма 2. Для окружности радиуса г с центром А, касающейся двух полуокружностей, выполняются следующие соотношения:

(рис. 3.20).

Доказательство. Из подобия пар треугольников ВСG и ВНК, BFL и BDE следует, что

Поэтому

Рис. 3.20 Рис. 3.21

Из подобия треугольников ВНК и FCL следует, что

Лемма 3. Две окружности с центрами А и Р и диаметрами d иd! касаются друг друга и еще двух полуокружностей (рис. 3.21). Тогда

Доказательство. Согласно лемме 2

Пусть F — точка пересечения прямых АР и RE. Согласно лемме 1

Поэтому точка F лежит на касательной к полуокружности, проходящей через точку В. Согласно лемме 1

Рис. 3.22

Из этого, в частности, следует, что точки О и 5, в которых прямая ВН пересекает перпендикуляры PN и AM, лежат на окружностях с центрами Р и А соответственно. Поэтому

т. е. KS = AS, а значит, К А — d. Ясно также, что

что и требовалось.

Теперь уже можно доказать основное утверждение. Из леммы 3 следует, что

Поэтому достаточно доказать, что р\ = d\, т. е. AM = KL (рис. 3.22).

При доказательстве леммы 1 было получено соотношение ВС • ВК = BD • BL, из которого следует, что

(1)

Точки В и С играют одинаковую роль, поэтому выполняется также и соотношение

(2)

Из соотношений (1) и (2) следует, что В К • CL = KL2. С другой стороны, согласно лемме 2, BKCL = AM2, а значит, KL = AM, что и требовалось.

Теоремы Паппа и Дезарга

В книге VII Папп приводит леммы к сочинениям Аполлония и Евклида, многие из которых утеряны. Особенно интересны леммы Паппа к утерянной книге Евклида «Поризмы». Папп, в частности, отмечает, что несколько поризмов Евклида можно объединить в одно утверждение, а именно:

Пусть четыре прямые пересекаются в точках А, В, С, Р, Q и R (рис. 3.23). Если точки А, В и С фиксированы, а точки Р uQ движутся по фиксированным прямым, то точка R движется по фиксированной прямой.

Рис. 3.23 Рис. 3.24

Очевидно, что когда точки Р и Q сливаются в одну точку, весь треугольник PQR тоже сливается в одну точку. Поэтому третья фиксированная прямая проходит через точку пересечения первых двух. (Справедливости ради следует отметить, что сам Папп этого очевидного замечания не делает.) Таким образом, взяв другую пару точек Pi и Qi, мы получим конфигурацию знаменитой теоремы Дезарга*) (рис. 3.24).

Полезным инструментом при доказательстве различных лемм Паппу служит утверждение о сохранении двойного от-

ношения

при проекциях одной прямой на другую,

(1)

(рис. 3.25). Папп рассматривает только частный случай сохранения двойного отношения, а именно, тот случай, когда точка А пересечения прямых сама участвует в двойном отношении. Но это не существенно. Дело в том, что если А1 — произвольная точка прямой, на которой лежат точки А, В, С и D, то двойное отношение

очевидным образом выражается через двойные отношения

Соотношение (1) Папп доказывает следующим образом. Проведем через точку А прямые, параллельные прямым OD

Рис. 3.25

*) Жерар Дезарг (1593 —1662) — французский математик и архитектор, один из основателей проективной геометрии.

Рис. 3.26 Рис. 3.27

и ОС. Они пересекут прямые OB и OD в точках К и L (рис. 3.26). Тогда

Поэтому

С помощью утверждения о сохранении двойного отношения Папп доказывает свою знаменитую теорему.

Теорема Паппа. Если на отрезках AB и DE взяты точки С и H и проведены прямые АН и CD, СЕ и ВН, BD и АЕ, то их точки пересечения P. Q, R лежат на одной прямой (рис. 3.27).

Теорема о центре масс

Книга VIII посвящена в основном механике. Одна из наиболее интересных теорем этой книги следующая.

Теорема. На сторонах ВС, CA, AB треугольника ABC взяты точки D,E,F так, что

Тогда центры масс треугольников ABC и DEF совпадают.

Папп приводит довольно длинное доказательство этой теоремы, опирающееся на теорему Менелая. Если же воспользоваться векторами, то доказать эту теорему можно легко. Точка M будет центром масс треугольника ABC в том и только том случае, когда сумма векторов

равна нулю. Ясно также, что

Поэтому M — центр масс треугольника DEF.

Рекомендуемая литература

Архимед

Сочинения. М.: Физматгиз, 1962, 639 с.

ван дер Варден (Waerden B.L. van der)

Пробуждающаяся наука: Математика Древнего Египта Вавилона, Греции. М.: Физматгиз, 1959. 459 с.

Хизс (Heat T.L.)

A History of Greek Mathematics. Oxford: The Clarendon press, 1921, Vol. 1-2.

Евклид

Начала. Кн. I-VI. М.-Л.: Гостехиздат, 1948, 447 с. Кн. VII-X. М.-Л.: Гостехиздат, 1949, 510 с. Кн. XI-XV. М.-Л.: Гостехиздат, 1950, 330 с.

Папп Александрийский (Pappus Alexandrinus)

Collectionis quae supersunt e libris manuscriptis edidit latina interpretatione et commentariis instruxit Fridericus Hultsch. Amsterdam: Hakkert, 1965, 3 v.

Прокл

Комментарий к Первой книге «Начал» Евклида: Введение. М.: Греко-латинский кабинет Ю.А.Шичалина, 1994. 222 с.

Оглавление

Предисловие......................................... 3

Часть I. Догреческая геометрия

Глава 1. Египет..................................... 7

Глава 2. Вавилон.................................... 21

Глава 3. Индия...................................... 40

Глава 4. Китай...................................... 56

Глава 5. Англия эпохи мегалита...................... 76

Глава 6. Число π в древности......................... 80

Рекомендуемая литература........................... 83

Часть II. Три классические задачи на построение

Введение................. ........................... 89

Глава 7. Удвоение куба.............................. 92

Глава 8. Трисекция угла.............................126

Глава 9. Квадратура круга...........................142

Глава 10. Неразрешимость трех классических задач с помощью циркуля и линейки...............166

Рекомендуемая литература...........................178

Часть III. Древнегреческие геометры

Введение............................................183

Глава 11. Евклид.....................................187

Глава 12. Архимед....................................198

Глава 13. Папп.......................................212

Рекомендуемая литература...........................223

“ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ДРЕВНЕГО МИРА” — новая книга о математике древнего Египта, Вавилона, Китая, Индии, Греции

В рассказах, основанных на первоисточниках, классическая геометрия переплетается с историческими картинами тех далеких времен.

ПРАСОЛОВ Виктор Васильевич, автор десяти книг по математике для школьников и студентов, среди них: “Задачи по планиметрии”, “Три классические задачи”, “Наглядная топология”, “Задачи и теоремы линейной алгебры”.