ОТЧЕТЫ РОССИЙСКОЙ НАЦИОНАЛЬНОЙ ПОДКОМИССИИ МЕЖДУНАРОДНОЙ КОМИССИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ ОБРАЗОВАНИЮ

Петербург 2018

ОТЧЕТЫ РОССИЙСКОЙ НАЦИОНАЛЬНОЙ ПОДКОМИССИИ МЕЖДУНАРОДНОЙ КОМИССИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ ОБРАЗОВАНИЮ

Петербург 2018

УДК 372.851(94) ББК 22.1р 0-88

Издание выполнено при поддержке Harriman Institute, Columbia University in New York

ОТЧЕТЫ РОССИЙСКОЙ НАЦИОНАЛЬНОЙ ПОДКОМИССИИ МЕЖДУНАРОДНОЙ КОМИССИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ ОБРАЗОВАНИЮ / под ред. А.П. Карпа. - СПб.: ЛЕМА, 2018.-244 с.

ISBN 978-5-00105-338-5

Перевод с французского Анастасии Гаврилиной. Перевод с немецкого Наталии Кудрявцевой.

В книге впервые по-русски публикуются отчеты российской национальной подкомиссии Международной комиссии по математическому образованию. Изданные а 1910-1915 гг. очень небольшими тиражами по-французски и по-немецки и в основном отправленные за границу, они оставались практически недоступными российскому читателю. Между тем эти отчеты являются важнейшим источником о состоянии математического образования в дореволюционной России.

ISBN 978-5-00105-338-5

© Карп А.П., 2018

© ООО «Издательство «ЛЕМА», 2018

Российская национальная подкомиссия Международной комиссии по математическому образованию и ее отчеты

Предлагаемую вниманию читателей книгу следовало бы напечатать сто с лишним лет назад: именно тогда с 1910 по 1915 были подготовлены и опубликованы доклады Российской подкомиссии Международной комиссии по математическому образованию. Напечатаны они были по-французски или по-немецки, хотя писались если не все, то почти все по-русски. Предполагалось, однако, что читать их будут за границей, о российском же читателе не позаботились, что и тогда вызывало сожаление. Так важнейшие свидетельства о состоянии дореволюционного российского математического образования оказались недоступны россиянам. Настоящее издание предпринято, чтобы эту ситуацию исправить.

Сегодня даже те, кто интересуется историей математического образования в России, отнюдь не обязательно представляют себе роль и значение Международной комиссии. Между тем созданная в 1908 г. по предложению американского профессора Дэвида Смита (David Eugene Smith) комиссия была необыкновенно важна и в целом для образования в мире, и для России, в которой ее работа подтолкнула происходящие в стране процессы организации сообщества людей, занимающихся математическим образованием, и развития реформаторских идей.

Отношение к реформам вообще и к реформам в математическом образовании в частности не всегда одинаковое: сегодня нередко можно встретить людей, убежденных, что главное - нигде ничего не менять, поскольку главное - стабильность, хотя желание, чтобы «история прекратила течение свое», плохо сочетается с надеждой на развитие науки и техники и улучшение качества жизни. Проявлялось такое желание и сто лет назад, особенно в России, где ничему не научившееся руководство страны пыталось так ничего и не менять, пока не привело страну к катастрофе. Но настроение российского общества было иным: в России как и в Европе или Северной Америке видели, что изменения в науке и технике открывают новые возможности и требуют изменений как социальных, так и в области образования.

Система математического образования, сложившаяся ко второй половине XIX в., содержала огромное количество несообразностей как структурно-организационных (вспомним хотя бы о том, сколько было

разных типов школ и о том, сколько детей не попадало ни в какие из них), так и содержательных. Задачи, восходящие к средневековым книгам, всё еще занимали весьма значительное место в школьном курсе, хотя нужды в них никакой не было, между тем как для развития навыков, становящихся широко необходимыми, места не находилось. Само по себе увелечение числа обучаемых математике и изменение задач обучения побуждало к методическим реформам1; к этому добавлялось и новое понимание содержания математики, и влияние развития психолого-педагогических наук, тоже побуждающее искать новые пути.

Лидером международной реформы был замечательный немецкий математик Феликс Клейн (Felix Klein), а одним из важнейших ее документов составленная под его воздействием и влиянием знаменитая Меранская программа. Изменения и поиски шли, однако, по всему миру, и сделанное на Римском математическом конгрессе предложение Смита создать комиссию, которая постаралась бы изучить, что, собственно, в мире происходит и описать существующее математическое образование, было закономерно. Не без определенных проблем (Schubring, 2008) комиссия была создана. Президентом ее стал Клейн, вице-президентом - англичанин Джордж Гринвилл (George Greenwill), а генеральным секретарем - швейцарец Генри Фер (Henri Fehr). Комиссия приступила к работе-ее лучшим временем были годы до начала Первой Мировой Войны, оборвавшей и разрушившей международное сотрудничество. После войны деятельность комиссии была возобновлена, но уже далеко не с прежним размахом, а из-за Второй Мировой войны прервалась и она. Восстановление Комиссии свершилось уже после войны, и сейчас Международная комиссии по математическому образованию (International Commission on Mathematical Instruction, ICMI) является ведущей в мире организацией, объединяющцей людей, интересующихся и занимающихся математическим образованием (см сайт http://www.icmihistory.unito.it).

Сразу скажем, что в России о деятельности комиссии до революции писали очень много, а позднее, особенно после войны, очень мало. Не пытаясь дать здесь полный обзор всей существующей по-русски литературы, назовем книгу Б.П.Бычкова (1975), остающуюся, как представляется, наиболее полным сводом информации по-русски и о деятельности комиссии и росссийской подкомиссии, и, шире, о реформаторской деятельности в области преподавания математики. Этой же теме посвящены работы Н.В.Метельского (1967, 1968); в недавние годы были опубликованы также работы Р.З.Гушель (2002, 2003).

1 Упомянем, например, изменение отношения к роли задач в школьном курсе (Karp, 2015)

При этом некоторые авторы, касавшиеся названных проблем, считали своим долгом так или иначе разоблачить Комиссию, Клейна или уж, по крайней мере, тех, кто ими особенно восхищается. То, что Россия действовала вместе с остальным миром, но не во главе его, почиталось обидным для национального достоинства. Проводившиеся в разные годы с разной интенсивностью компании по "воспитанию советского патриотизма" побуждали отвергать или хотя бы преуменьшать зарубежное влияние. Крупный математик Маркушевич (1950) особо оговаривал, что россиянин Шереметевский намного опередил "идеи пресловутой 'Меранской программы' (1906), которую у нас некоторые педагоги и научные работники в припадке преклонения перед Западом рассматривали в свое время, как некое откровение" (с. 3).

Опубликованная в более либеральные времена работа Метельского (1968) все же содержит специальное рассуждение о том, "действительно ли под влиянием идей Клейна в России начало развиваться движение за реформу" (с. 8). Ссылаясь на работу Ланкова (1949), Метельский утверждает, что в России эти идеи были высказаны до Клейна (для вящей убедительности он приводит цитату из Большой Советской Энциклопедии, в которой так и сказано, что русские ученые пришли к соответствующим выводам еще в конце XIX в., в то время как в Западной Европе эти идеи получили распространение лишь в начале XX в. (с. 9). Правда, поскольку время было относительно либеральное, Метельский через пару страниц все же добавляет, что "недопустимо и отрицание иностранного опыта", и открещивается от уж слишком ретивого Ланкова, объявившего "известного русского педагога-математика В.Р.Мрочека 'трубадуром иностранных влияний в методике математики'. Ведь В.Р.Мрочек делал полезное дело, активно содействуя широкому ознакомлению русских педагогов с западными методико-математическими концепциями" (с. 19).

Пропаганда национальной исключительности (именуемая патриотизмом) оказывала свое воздействие и позднее. Увы, важнейший ее результат тот, что современный учитель математики, да часто и его бывшие преподаватели из педагогического института или университета очень мало знают и о Международной комиссии, и о россиянах, размышлявших тогда о том, как лучше учить математике, да и просто о реальном состоянии математического образования до революции и всей связанной с этим проблематике. Результатом нарочитой демонстрации национальной гордости явилось забвение того, что происходило в действительности - в том числе и того, что заслуживает признания и уважения.

Деятельность российских методистов-математиков ничуть не умаляется тем, что они были не единственными и часто не первыми, кто высказывал те или иные мысли, да они обычно никак и не боролись за свой приоритет. Упомянутый выше Шереметевский (1895),

например, писал по поводу одного из ключевых требований реформистов так: "Не удивительно, что давно уже раздаются голоса за включение ее [высшей математики] элементов в программу средней школы" (с. 110), что трудно истолковать, как желание присвоить это соображение. То-то и оно, что реформаторское движение, поддерживаемое Международной комиссией, возникло не в один момент, и потому и было влиятельно, что его идеи были созвучны мыслям, к которым приходили в самых разных странах самые разные люди.

В нашей работе (Karp, 2017) на основе сохранившихся архивных дел была описана деятельность российской подкомиссии Международной комиссии (ниже она описывается лишь схематично). Начинается она с получения в январе 1909 г. председателем Ученого комитета министерства просвещения академиком Н.Я. Сониным письма от Клейна, приглашающего его сформировать национальную комиссию (иногда говорили: делегацию) из трех человек. Основной задачей делегации было написание доклада о Российском математическом образовании, для чего предполагалось привлечение большого числа его деятелей.

Сформированная и утвержденная Министерством национальная делегация включала самого Сонина (председателя) и еще двух петербуржцев - членов Ученого комитета профессора Технологического института Б. М. Кояловича и директора Второго реального училища К.В. Фохта. В дальнейшем были приглашены сотрудничать член Ученого Комитета В.И.Соллертинский, профессор Киевского университета В.П.Ермаков (от сотрудничества уклонившийся), профессора Технологического университета П. В. Котурницкий и А.Д. Гатцук, генералы З.А.Макшеев и М.Г.Попруженко, инспектор 4-й Петербургской (Ларинской) гимназии П. М. Колесников, Н. С. Михельсон и 3. 3. Вулих из Женского Педагогического института, директор Московского Межевого института В. Б. Струве, заслуженный профессор Петербургского университета К. А. Поссе и Н.И. Билибин, как знаток преподавания в учреждениях Духовного ведомства. Кроме того были написаны письма во все университеты, учебные округа и математические (или родственные) общества, приглашающие выделить представителей для участия в подготовке докладов. О деятельности Международной комиссии и российской подкомиссии было немало публикаций в самых разных изданиях (Karp, в печати). Все это само по себе повлекло заметное оживление методической жизни в стране, причем дело не исчерпывалось оплачиваемыми Министерством заседаниями и встречами приглашенных и делегированных лиц, на которых вырабатывались планы подготавливаемых докладов.

Российские делегаты принимали участие в международных встречах, проводимых Комиссией в Брюсселе, Милане, Кембридже и

Париже, выступая там сами, и слушая доклады других участников. Как писал Д. М. Синцов (1911), ставший по смерти Фохта членом Комиссии и участвовавший в Миланском съезде:

На самих съездах мне представляется роль наших делегатов пока главным образом информационная на обе стороны. И я стремлюсь использовать съезды, как в целях установления общения с иностранцами, так и получения от них чего-нибудь полезного для тех учреждений, с которыми я имею связь (с. 2).

Соответственно, там же в тексте письма он с радостью перечисляет, кого звал выступить на российском съезде, кто обещал ему помочь с книгами для Педагогической библиотеки и для курсов, с кем удалось наладить обмен изданиями. А кроме того, каждая международная конференция освещалась в различных журнальных или газетных публикациях, в свою очередь вызывая читательские отклики.

Что еще важнее, Комиссия безусловно придала новый импульс размышлениям о развитии и реформе математического образования. Семен Шохор-Троцкий (1911) в своей большой и имевшей продолжение (Шохор-Троцкий, 1912) статье о реформе преподавания математики, недвусмысленно пишет в примечании:

Статья эта представляет собою несколько дополненную и исправленную обработку доклада, сделанного мною в математическом отделе Педагогического музея Военно-учебных заведений в 1910 году в виду интереса этого отдела к работе над вопросами усовершенствования преподавания математики, возбужденными "Международной комиссией", во главе которой стоят Клейн, Фер и Гринхилл (с. 135).

Напечатанная еще до того статья Мрочека и Филипповича (1910) заканчивается рассказом о создании Международной комиссии и ее решениях. Авторы пишут:

Весь 1909 г. прошел в оживленной работе. Не говоря уже о тех государствах, в которых реформы были введены и раньше (Франция, Германия, Италия и Дания) целый ряд других пробудился от профессиональной спячки и приялся за дело. Организовались новые общества, усиленно заработали прежние, пошли один за другим съезды; отдельные национальные комиссии успели уже издать ряд своих докладов и других материалов. Это движение захватило и Россию. II Всероссийский съезд по педагогической психологии вынес резолюцию в духе намеченныъ здесь реформ; такие же обширные постановления сделаны и I Всероссийским съездом учителей городских училищ. Наконец Математический отдел Педагогического Музея в С.-Петербурге, уже с 1907 г. усиленно работающий над реформой школьной математики, с

января 1910 г. приступил к серии докладов на темы, предложенные международной математической комиссией (с. 202).

Следует понимать, что и Всероссийские съезды преподавателей математики, роль и значение которых в дореволюционном математическом образовании сегодня вряд ли нужно особо оговаривать, возникли, как часть движения, инициированного деятельностью Международной комиссии. Это ясно говорилось во всех тогдашних публикациях, начиная с Трудов Первого съезда (1914), которые открываются рассказом о деятельности Международной комиссии и о том, как отдел математики, "желая принять посильное участие в подготовке России к V Международному съезду математики, назначенному в Кембридже в 1912 году, решил заняться разработкой докладов по вопросам, подлежащим внесению в Конгресс. Схема этих вопросов и общие указания, относящиеся до их содержания, приведены в "Предварительном докладе" Международной комиссии, обнародованном господином Фером" (с. VI) - тут давалась ссылка на подготовленный российской делегацией перевод. Из обсуждения этих докладов, как тут же разъясняется, и выросла идея Съезда.

Влияние и роль Комиссии, таким образом, далеко выходили за пределы подготовки докладов. Нетрудно проследить отголоски высказанных тогда идей и гораздо позднее, когда давно уже умер первый председатель российской комиссии Сонин, а сменивший его на посту председателя Поссе доживал свой век в доме престарелых. Послереволюционное математическое образование черпало свои идеи в том числе из обсуждавшегося прежними реформаторами (хотя, конечно, немало было добавлено и из совсем других источников - от американского прогрессивного образования до лихой большевистской педагогики, см. Карп, 2017). К этим идеям возвращались еще не раз и в дальнейшем как в России, так и за границей.

Здесь не место для обсуждения и оценки всех российских деятелей Комиссии. О некоторых из них речь идет в уже упоминавшихся статьях Karp (2017), Karp (в печати). Здесь скажем только, что среди сотрудничавших с Комиссией были люди очень разных политических и методических взглядов, занимавшие очень разное положение - от генералов и действительных статских советников, эмигрировавших или выброшенных из общественной жизни после революции, до людей, напротив, какое-то время активно сотрудничавших с новой властью и занявших потому заметное положение. В любом случае имена, названные в этой заметке, не должны быть забыты, ибо их судьбы тесно переплелись с судьбой отечественного математического образования.

Цель данной публикации, однако, лишь сделать доступными для российского читателя подготовленные российской подкомиссией доклады. Публиковались эти доклады за счет Министерства

просвещения, причем, хотя планировалось печатать по 200 экз. каждого выпуска, на деле печаталось иногда больше, а иногда меньше. Сколько можно судить, Фохт написал свой доклад прямо по-немецки, а остальные писали по-русски (а авторы доклада о Финляндии по-фински) с тем, что потом нанимался переводчик на французский, впрочем, кто-то возможно писал и по-французски, приглашая потом редактора (Karp, в печати).

Первоначальные планы были очевидно шире, того, что получилось в реальности. Список докладов, подготавливаемых каждой страной, напечатанный в L'Enseignement Mathématique, включает и доклады Б. М. Кояловича, В.Б. Струве, Д.Д. Мордухай-Болтовского и другие (Commission, 1920). В статье о Парижском съезде 1914 года К. А. Поссе (1914), объясняя очевидную задержку с публикацией докладов, пишет так:

От имени Русской подкомиссии я доложил собранию причины, вследствие которых до сих пор не опубликованы несколько докладов. Эти доклады в отчете о последнем Международном Конгрессе в Кембридже в августе 1912 г. помещены под рубрикой написанных на русском языке и подлежащих переводу на один из четырех языков (французский, немецкий, английский и италианский), на которых должны быть опубликованы все доклады Комиссии. Я объяснил, что после составления этих докладов произошли весьма существенные изменения в состоянии тех учреждений, к которым они относятся, а потому некоторые из них утратили в настоящее время интерес, а другие подлежат радикальному пересмотру. Таким образом из семи докладов, поименованных в отчете Кембриджского Конгресса, Русская подкомиссия решила опубликовать после тщательного пересмотра, лишь три: два относящиеся к высшим женским курсам и один о подготовке учителей, как представляющие несомненный международный интерес. От имени авторов этих докладов я был уполномочен заявить, что доклады будут готовы своевременно (с. 201).

О каких существенных изменениях идет речь не очень понятно, равно как неясно, были ли вообще написаны перечисленные доклады.

Особая судьба была у доклада, подготовленного геометром В.Ф.Каганом. Расширенная версия доклада была напечатана в трудах Первого Всероссийского съезда учителей математики, когда же дошла очередь до публикации для Международной комиссии по-немецки, это оказалось уже, как было замечено, неудобным - шла война (Karp, в печати).

В итоге было напечатано семь брошюр (некоторые содержали несколько отдельных докладов). Первым, еще в 1910 г., был напечатан Rapport sur L'Enseignement des Mathématiques dans les Ecoles de Finlande (1910); за ним отчет об университетах и технических высших

учебных заведениях Поссе (1910); последнией была напечатана брошюра о высших женских курсах MJodzievsky (1915). Изданы были также брошюры о начальных школах и гимназиях для мальчиков (B.S. and Kondrataiev, 1911), о женском образовании (Mikhelson, Goriatchev, Kotournitzki, Hartzouck, 1912), о реальных училищах (Vogt ,1911) и о военных учебных заведениях (Poprugenko and Makcheev, 1911). Таким образом, опубликованные доклады освещают если и не всю существовашую систему математического образования, то многие ее важнейшие части.

Напечатанные брошюры отсылались в Центральный комитет Международной комиссии, и лишь немногие, сколько можно судить, экземпляры остались в России - например, в Российской национальной библиотеке. Нам неизвестны какие-либо отзывы в российской печати на эти публикации.

Напечатанные доклады различаются и по объему, и по стилю. Как правило, они написаны довольно сухо - авторы явно старались ограничиться рассказом о том, что имеет место, избегая прямого выражения своих мнений (что, впрочем, далеко не всегда получалось). Повторим, что эти доклады представляются важным источником для анализа и понимания системы дореволюционного преподавания математики, поэтому они и публикуются по-русски.

Эта публикация стала возможной, благодаря поддержке Гарримановского института (Harriman Institute) Колумбийского университета (Нью-Йорк). При этом потребовался обратный перевод на русский, поскольку оригинальные русские тексты утеряны. Перевод с французского был выполнен Анастасией Гаврилиной, а с немецкого (доклад К.В.Фохта) Наталией Кудрявцевой, которым также хотелось бы выразить благодарность.

Отметим, что выражение sous-commission Russe можно переводить и как российская, и как русская подкомиссия. В начале века пользовались вторым вариантом, но, как представляется, смысл при этом вкладывался сегодня лучше передаваемый первым вариантом, которым мы и пользуемся. Не все цитируемые в отчетах российские документы (программы или циркуляры) были нам доступны. Очевидные опечатки в публикации исправлены без особого оговаривания. Форматирование текста по возможности следует оригинальной публикации.

Публикации Российской национальной подкомиссии Международной комиссии по математическому образованию

Rapport sur l'enseignement des mathématiques dans les écoles de Finlande: Rédigé par une commission instituée par le Sénat Impérial de Finlande. (1910). Helsingfors.

Possé, С. (1910). Rapport sur läenseignement mathématique dans les Universités, les écoles techniques supérieures et quelques unes des écoles militaires en Russie. St. Petersburg.

В.S. and Kondratiev,V. (1911). Ecole primäres et les Ecoles normales and les gymnases du garçons. St. Petersburg

Poprugenko, M. and Makchéev, Z. ( 1911 ). Rapport présentés à la déligatiôn russe. St. Petersburg.

Vogt, К. V. (1911). Bericht über den mathematischen Unterricht an den russischen realschulen. St. Petersburg.

Mikhelson, N., Goriatchev, D., Kotournitzki, P., and Hartzouck, A. (1912). Les gymnses de jeunes filles et dans l'Institut Supérieur Pédagogique des jeunes filles, les gymnases des jeunes files de l'arrondissement de Varsovie, les écoles industrielles. St. Petersburg

MJodzievsky, В. K. (1915). Rapport sur l'enseignement mathém. aux Cours Super, des femmes à Moskou. Petrograd.

Литература

Бычков Б.П. (1975). Международное движение за реформу преподавания математики в средней школе. Кишинев: Штиница.

Гушель Р.З. (2002). К столетию создания Международной комиссии по преподаванию математики. Первое сентября: Математика, 2.

Гушель Р.З. (2003). О международном движении по реформированию математического образования в начале XX столетия. Математическое просвещение, 7, 39-44.

Карп А.П. (2017). Реформы и контр-реформы: школа 1917-1950-х годов. В А.П.Карп, Б.Р.Вогели (ред.), Российское математическое образование (с. 40-70). Москва: МПГУ.

Ланков А.В. (1949). К истории вопроса о реформе преподавания математики. Математика в школе, 6.

Маркушевич А.И. (1950). О повышении идейног-теоретического уровня преподавания математики в средней школе. Математика в школе, 1, 1-4.

Метельский Н. В. (1967). Прогрессивное наследие движения за реформу преподавания математики. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук. Минск: МГПУ.

Метельский Н. В. (1968). Очерки истории методики математики. Минск: Вышейшая школа.

Мрочек В.Р и Филиппович Ф.В. (1910).Реформа преподавания математики. С.-Петербург: Типография Монтвида.

Поссе К.А. (1914). Международная комиссия по преподаванию математики. Конференция в Париже 1-4 апреля 1914 г. Вестник опытной физики и элементарной математики, 607, 198-205.

Синцов Д.М. (1911) Письмо профессора математики Харьковского университета Председателю Ученого Комитета Н.Я. Сонину о работе Миланского съезда математиков. Российский государственный исторический архив, ф. 734, оп. 5, д. 261.

Шереметевский В.П. (1895). Математика, как наука, и ее школьные суррогаты. Русская мысль, V, 106-125.

Шохор-Троцкий, С.И. (1911). К реформе преподавания математики. Статья первая. Русская школа, 5, 117-142.

Шохор-Троцкий, С.И. (1912). К реформе преподавания математики. Статья вторая. Русская школа, 2, 119-143.

Труды 1-го Всероссийского съезда учителей математики. (1914). С.Петербург: Север.

Commission Internationale de l'Enseignement Mathématique. Liste Complète des Publications du Comité Central et Sous-Commissions nationals. (1920). L'Enseignement Mathématique, 21, 319-339.

Karp, A. (2015). Problems in old Russian textbooks: How they were selected In K. Bjarnadottir et al. (Eds.) "Dig where you stand" 3 (pp. 203-218). Uppsala: Uppsala University

Karp, A. (2017). On the Russian national subcommission of the ICMI. In K. Bjarnadottir et al. (Eds.) "Dig where you stand" 4 (pp. 149-166). Rome: Edizioni Nuova Cultura.

Karp, А. (в печати). The Russian National Subcommission of the ICMI and the Mathematics Education Reform Movement.

Schubring, G. (2008). The origins and the early history of ICMI. International Journal for the History of Mathematics Education, 5(2), 3-33.

ДОКЛАД О ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ В УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЯХ ФИНЛЯНДИИ

ПОДГОТОВЛЕН КОМИССИЕЙ, УЧРЕЖДЕННОЙ ИМПЕРАТОРСКИМ ФИНЛЯНДСКИМ СЕНАТОМ

ГЕЛЬСИНГФОРС, 1910

ОТПЕЧАТАНО ЛИТЕРАТУРНЫМ ОБЩЕСТВОМ ФИНЛЯНДИИ

Оглавление

I. Преподавание математики в начальных школах........................... 15

II. Преподавание математики в высших народных училищах.........20

III. Обучение математике в учреждениях, где осуществляется подготовка к учительским школам и обучение учителей для разъездных школ .................................................................................22

IV. Преподавание математики в учительских школах.....................23

V. Преподавание математики в средних учебных заведениях........26

VI. Профессиональная подготовка учителей для средних учебных заведений ..............................................................................33

VII. Преподавание математики в женских гимназиях .....................36

VIII. Преподавание математики в торговых училищах....................38

IX. Обучение математике в низших технических училищах и профессиональных училищах ............................................................40

X. Преподавание математики в Высшем техническом училище.....45

XI. Обучение математике в Императорском Александровском (Гельсингфорсском) университете......................................................50

I. Преподавание математики в начальных школах

Виды начальных школ

А. В городах:

a) младшая начальная школа с двухлетним, или двухклассным, обучением;

b) двухлетняя подготовительная школа для детей, неполучавших образования, и которые по достижении 10 лет не владеют чтеньем;

c) вспомогательная школа для неуспевающих детей с обучением в течение 2—5 лет, или классов;

d) четырехклассное, или четырехлетнее, начальное училище;

e) вечерняя школа для детей в возрасте от 12 лет, которые не могут посещать школьные занятия в обычное время;

f) дополнительная школа с годичной программой обучения.

В. В сельской местности:

a) детская школа;

b) двухклассное начальное училище, где на каждый класс приходится по два года.

Поступление в начальные школы. Прием в городские начальные училища и вечерние школы осуществляется после окончания курса младшей начальной школы, а для зачисления в дополнительную школу необходимо пройти курс начального училища. Зачисление в другие городские начальные школы возможно по достижении соответствующего возраста.

Обучение в сельской детской школе по возможности проводится единым курсом в осенний период. Оно заменяет собою подготовительный год в начальном училище, в начале осеннего семестра, перед поступлением в училища, дети несколько недель ходят в такую школу. При этом, если уровень их подготовки недостаточен для подобной организации учебного процесса, детская школа разделяется на две группы. Учащиеся, которые осенью намереваются поступить в первый класс начального училища, ранее той же осенью должны посещать старшую группу детской школы.

Средний возраст учащихся в начальной школе на момент поступления и окончания. Средний возраст учащихся на момент поступления в младшую начальную школу составляет 7 лет.

Поступление в начальное училище возможно по достижении полных 9 лет. Средний возраст на момент окончания школы составляет немногим более 18 лет. Возраст поступающих в вечернюю школу разнится, но относительно высок (от 18 до 19 лет). То же справедливо и для дополнительной школы: возраст учащихся на момент поступления составляет от 14 до 17 лет.

Права, которые дает аттестат об окончании школы. Поступление в учительские школы и низшие торговые училища возможно только после окончания начального училища. Однако, принимая во внимание большое количество желающих поступить в учительские школы, случаи поступления сразу после окончания начального училища редки. Вначале требуется пройти дополнительное обучение. Что касается низших торговых училищ, поступление в них возможно непосредственно после окончания начального училища.

Программа и расписание занятий

А. Городские начальные школы

a) Младшая начальная школа и подготовительная школа

От шести до восьми получасовых уроков или иногда от трех до четырех часовых уроков в неделю. Четыре действия с числами от 1 до 100 и обиходные измерения.

b) Вспомогательная школа для неуспевающих детей

Учебная программа в таких школах сокращена и в то же время разнообразна. В качестве примера отметим, что в двух младших классах, где на математику отводится шесть получасовых уроков к неделю, изучается только сложение и вычитание чисел от 1 до 100, а также основы умножения.

c) Начальные училища

I—II классы (4 часа в неделю). Десятичная система; четыре действия с целыми именованными числами. В то же время в программу постепенно вводятся единицы длины, объема, массы и денег. Преобразование десятичных величин; четыре действия с этими величинами.

III—IV классы (8 часов в неделю). Десятичные дроби. Начала теории обыкновенных дробей и связанная с ней теория делимости

целых чисел (в той степени, в коей это требуется для изучения дробей). Сложение и вычитание обыкновенных дробей. Преобразование обыкновенных дробей в десятичные и наоборот. Простое и сложное тройное правило. Вычисление процентов. Общие вычисления процентных долей. (В некоторых школах на этом этапе вводятся правила пропорционального деления).

Геометрия изучается в III и IV классах (один час в неделю). Программа включает:

прямые, углы и прямолинейные фигуры, площадь фигур. Криволинейные фигуры и вычисление их площади. Тела с плоской и криволинейной поверхностью, вычисление их площади поверхности и объема.

d) Вечерние школы

Программа вечерней школы, как правило, в каждом классе включает арифметику в объеме двух часов в неделю, а в третьем классе геометрию в объеме одного часа в неделю.

Поскольку в вечерние школы поступают достаточно взрослые слушатели и часть из них окончила один или несколько классов начальной школы, указанное количество учебных часов позволяет достичь тех же результатов, что и программа начального училища. Кроме того, слушатели достаточно зрелого возраста используют возможность обучения в вечерней школе для получения документа, соответствующего аттестату об окончании начального училища.

e) Дополнительные школы

На арифметику отведено от одного до двух часов в неделю. Программа повторяет курс начального училища, а упор делается на дисциплинах, которые применимы в повседневной жизни. Кроме того, в такой школе учат рассчитывать уступку в цене и пропорционально делить доход.

Программа не включает геометрию.

В. Начальные школы на селе

а) Детские школы

Шесть получасовых занятий в неделю. Сложение и вычитание чисел от 1 до 20, понимание и запись чисел от 1 до 100. Единицы измерения: метр, литр, килограмм, марка и пенни.

b) Начальные училища

I и II классы (4 часа в неделю). Десятичная система. Четыре действия с целыми именованными числами. Кроме того, постепенно изучаются меры длины, объема и массы. Преобразование десятичных дробей и четыре действия с такими дробями.

III и IV классы (8 часов в неделю). Ежегодно предлагаемый двухлетний курс: меры длины и площади; четыре действия с целыми числами, употребление скобок. - Альтернативные курсы: Раз в два года: десятичные дроби, делимость чисел, умножение и деление дробей на целое число, приведение дробей к общему знаменателю, простое и сложное тройное правило (не более двух условий), расчет процентов (в примерах используются только целые числа и десятичные дроби). Следующий год: обыкновенные дроби, делимость целых чисел (более подробное изучение); простое и сложное тройное правило, исчисление процентов и процентных долей (в примерах используются только целые числа и обыкновенные дроби). Кроме того, программа четвертого года включает краткий обзор альтернативного курса предыдущего года.

Программу геометрии осваивают одновременно учащиеся третьего и четвертого класса, при этом она практически повторяет программу городских школ. На нее отводится час в неделю.

Роль математики и цель обучения. В программе начальной школы арифметика является одним из самых важных предметов. Напротив, на геометрию отведено небольшое количество часов, она играет менее важную роль.

Поскольку в целом математика считается практической дисциплиной, которая развивает способность мыслить и, таким образом, имеет педагогическую ценность, а также поскольку она включает ряд областей, которые впоследствии потребуются учащимся, то в школе совершенно необходимо учить не только математическим понятиям, но и (главным образом) навыкам счета.

Методика преподавания. Счет окружающих предметов в младшей начальной школе и других начальных учебных заведениях позволяет учащимся обрести четкое понимание числа. Сложение, вычитание, умножение и деление преподаются не как изолированные действия. Они используются исключительно для прояснения свойств чисел и отношений между ними. Как правило, сложение и вычитание преподаются как взаимосвязанные действия. То же справедливо для умножения и деления. На этом этапе обучения главной задачей является развитие у ученика способности наблюдать и памяти.

В начальном училище процесс обучения поначалу основан на

интуитивных методах, однако в дальнейшем преподаватель понемногу от них отходит. Учитель задает наводящие вопросы, а выводы делают сами ученики. Правила, усвоенные таким образом, пополняют багаж знаний ученика. В результате процесс обучения направлен на развитие способности к умозаключениям и привычки размышлять.

Процесс обучения построен на следующих принципах:

a) Каждое правило иллюстрируется и уточняется с помощью примера (по возможности практического), в котором для решения требуется употребить лишь одно это правило.

b) Усвоенное правило употребляется в примерах без связи с другими ранее усвоенными правилами.

c) Правило отрабатывается в связке с усвоенными ранее правилами до тех пор, пока не станет совершенно понятным всем ученикам.

В частности, при любой возможности проводится повторение пройденного материала. Это позволяет добиться высокого уровня усвоения уже изученного материала по программе арифметики и избежать отдельного повторения, которое требует много времени.

Как мы видим, преподавание математики в младшей начальной школе основано на интуиции. Таким же образом обучение строится на первых этапах курса начальных училищ, однако затем упор начинает делаться на теоретический аспект. Процесс изучения геометрии полностью интуитивен.

Учебные материалы, учебники и задачники. В качестве учебного материала используются кубики, спички, монеты, счеты, геометрические модели и окружающие предметы, находящиеся в поле зрения учеников. Кроме того, используются измерительные инструменты самого разного рода.

В процессе используются краткие учебники геометрии и арифметики, а также специальные сборники упражнений.

Единственным видом практики для учеников является решение задач. Задачи и примеры включают понятия из других областей программы. Учащиеся начальной школы не экзаменуются.

II. Преподавание математики в высших народных училищах

Условия поступления и средний возраст учащихся.

Поступление в высшее народное училище возможно только после окончания курса начального училища. Однако до настоящего момента руководство таких школ было вынуждено принимать также и соискателей, которые не соответствовали данному требованию.

Поступление возможно по достижении полных 18 лет. Возраст поступающих разнится и составляет от 18 до 22 лет. Курс длится 6 месяцев в год, однако часть учащихся посещает такие заведения в течение нескольких лет.

Объем программы и расписание. На арифметику отводится три-четыре часа в неделю, а на геометрию один час. Поскольку на момент поступления все учащиеся демонстрируют разный уровень подготовки, обучение всех вместе предусматривается лишь в исключительных случаях. Как правило, на уроках арифметики ученики разделены на две, три или даже четыре группы, а на уроках геометрии - на две группы. Это привело к тому, что программа преподавания год от года меняется.

Поскольку чаще всего на занятиях арифметикой используется разделение на три группы, мы приводим программу для трех групп:

Группа а. Целые числа, величины, десятичные дроби.

Группа b. Предыдущий курс. Обыкновенные дроби, простое и сложное тройное правило, проценты и процентные доли.

Группа с. Предыдущий курс. Расчяет уступки в цене, пропорциональное деление.

Кроме того, в некоторых школах кратко излагаются начала теории уравнений. В рамках углубленного практического курса даются примеры, употребляемые в повседневной жизни.

При изучении геометрии повторяется курс начальной школы, при этом основное внимание уделяется задачам на вычисление площади и объема.

Роль математики. Цель обучения. С учетом практической природы математики этот предмет рассматривается как достаточно важная часть программы высших народных училищ.

Целью обучения на уроках математики, как и на других занятиях, является пробуждение в учениках интереса к предмету, а также развитие и сохранение практических навыков, полученных ранее.

Методика преподавания. В целом обучение организовано так же, как и в начальном училище.

Для обучения менее успевающих учащихся употребляются

методы, основанные на интуиции. Более успевающим ученикам читается также теория.

Учебные материалы. Учебники и задачники. В качестве учебных материалов используются счеты, различные меры и геометрические модели.

В качестве учебников используется литература для начальной школы.

Среди практических заданий следует отметить картографические и землемерные работы на примыкающих к учебным заведениям участках.

Учащиеся высших народных училищ не экзаменуются.

III. Обучение математике в учебных заведениях, готовящих к учительским школам, и обучение учителей для разъездных школ

Невзирая на различия в названиях, такие учебные заведения организованы по одному и тому же принципу.

Для поступления в них требуется окончить начальное училище. Минимальный возраст поступающих должен составлять 17—18 лет. Фактический возраст учащихся на момент поступления составляет от 18 до 21 года.

Аттестат об окончании такого заведения наделяет выпускника правом преподавания в детских и разъездных школах. Вместе с тем добрая половина выпускников устремляется в учительские школы.

Программа предусматривает лишь годичное обучение. На арифметику выделяется разное количество часов (от трех до шести часов в неделю), а на геометрию отводится час в неделю. В рамках курса арифметики повторяется программа начальной школы (несколько расширенная). Кроме того, более полно освещается вычисление процентов, а также расчет уступки в цене и пропорциональное деление (если позволяет количество часов).

При изучении геометрии повторяется курс начальной школы, при этом основное внимание уделяется задачам на вычисление площади и объема.

IV. Преподавание математики в учительских школах

Виды учительских школ. Учительские школы могут быть совместными и обычными. В первом случае школа включает две учебные группы: для юношей и девушек. Во втором случае в ней обучаются слушатели одного пола. В каждой группе четыре класса. За каждой группой закреплены две базовые школы, одна из которых организована по модели городской начальной школы и предусматривает шесть лет обучения, или шесть классов. Первые два младших класса соответствуют младшей начальной школе, а следующие четыре класса— начальному училищу. Вторая базовая школа представляет собой четырехклассное начальное училище с одним учителем (как в сельских начальных школах).

Условия поступления. Средний возраст учащихся. Для поступления в 1-й класс учительской школы необходимо окончить начальное училище. Однако ввиду значительного числа кандидатов лишь немногие из них поступают в учительскую школу непосредственно после окончания начального училища. Большинство кандидатов поступают после 3—5 классов лицея, женской гимназии, или же начальной школы и подготовительного курса для поступления в учительскую школу. Поступление в учительскую школу возможно по достижении полных 18 лет. Возраст учащихся на момент поступления составляет от 18 до 21 года.

Права, которые дает аттестат об окончании школы.

Аттестат позволят поступать на учительские должности в обычных и младших начальных школах.

Программа занятий. Расписание в разные годы обучения.

I класс. Арифметика (3 часа в неделю). Целые числа, величины, десятичные дроби, обыкновенные дроби, метрическая система.

Геометрия (1 час в неделю). Начала геометрии. Взаимное расположение прямых. Отношение между сторонами многоугольника. Равенство треугольников.

II класс. Арифметика (2 часа в неделю). Теория пропорций. Простое и сложное тройное правило, общие правила вычисления процентных долей, расчет уступок и скидок, вычисление процентов.

Геометрия (1 час в неделю). Наиважнейшие свойства треугольника. Соотношение длины перпендикулярных и наклонных прямых. Параллелограммы. Теория окружности. Равенство многоугольников.

III класс. Арифметика (2 часа в неделю). Пропорциональное деление и мена.

Геометрия (1 час в неделю). Вычисление площади. Простые геометрические фигуры, вычисление их площади и объема.

IV класс (1 час в неделю). Квадратный корень. Основы простого счетоводства. Принципы преподавания арифметики и геометрии.

В базовых школах программа и расписание совпадают с начальной школой.

Роль математики, цель и методика обучения.

В учительской школе математика рассматривается как одна из самых важных дисциплин, поскольку после окончания такой школы именно обучение этому предмету становится наиглавнейшей задачей учителя на его профессиональном поприще.

Поскольку учительская школа выпускает учителей для начальной школы, в рамках программы воссоздается модель преподавания в младшей школе. Вместе с тем совершенно очевидно, что в учительской школе обучение математике должно в некоторой степени отличаться от программы начальной школы, например тем, что слушателей учат самостоятельно доказывать теоремы и правила, чего, конечно, невозможно требовать в начальной школе.

Интуитивный подход применяется как основа теоретических выкладок только в той степени, в которой это помогает учащимся постичь методику преподавания в начальной школе.

Учебные материалы, учебники, практические задания и задачники. В качестве учебных материалов используются счеты, различные меры и геометрические модели.

Как для арифметики, так и для геометрии употребляются учебники и задачники, составленные специально для этих школ. Обучение включает словесные пояснения в классе и работу с учебником.

В практические работы и упражнения входит решение задач, в том числе из других областей школьной программы.

Виды экзаменов. Между третьим и четвертым классами ученики проходят экзаменационные испытания. Экзамен по математике подразумевает решение примеров, а экзамен по геометрии - доказательство теорем и решение задач.

Подготовка учителей младшей школы. Целью учительской школы является подготовка учителей младшей школы. За первые три года учащиеся получают теоретические знания в различных областях преподавания. В то же самое время они изучают психологию, педагогику и общую методологию. На четвертый год продолжается курс общей методологии, который дополняется специальными методиками в рамках различных дисциплин. Помимо этого, полученные навыки преподавания слушатели отрабатывают в базовых школах, организованных при учительских школах, где под руководством и наставлением

преподавателей учительской и базовой школы они самостоятельно ведут большую часть уроков. Именно в ходе такой практики учащиеся получаются глубокие теоретические и практические знания будущей профессии.

Экзаменационные испытания и практические занятия в учительской школе предназначены не только для ее слушателей, но также для других учащихся, в частности для девушек, которые закончили как минимум два класса женской подготовительной школы. Такие кандидаты должны выдержать экзамен по всем предметам, полный курс которых они не прослушали в лицее или женской подготовительной школе. Кроме того, они должны примерно два месяца преподавать в базовой школе и проводить зачетные уроки. Девушки, которые окончили полный курс женской подготовительной школы, освобождаются от этого требования.

Проект реорганизации. Несколько лет назад преподаватели учительских школ и базовых школ при них приняли совместное решение о том, что при сохранении текущих условий поступления в учительскую школу необходимо организовать шестилетнее, или шестиклассное, обучение. Кроме того, есть надежда, что, помимо таких шестилетних учительских школ, будут учреждены женские трехлетние школы, поступление в которые будет возможно после окончания женской гимназии. Однако до сего момента эти планы не были претворены в жизнь.

V. Преподавание математики в средних учебных заведениях

1 Виды средних учебных заведений. Финляндия располагает всеми формами средних учебных заведений, в которых учащиеся получают более глубокие знания, нежели в начальной школе. К таким заведениям относятся: 1) школы для подготовки к поступлению в университет; 2) школы для подготовки к поступлению в вышеуказанные школы; 3) прочие заведения, которые, пусть бы даже и косвенно, не занимаются подготовкой слушателей к поступлению в университет.

Для получения ясного представления о различных видах школ рассмотрим сначала государственные учебные заведения, ибо с точки зрения организации обучения частные школы стоят особняком. Государственные школы делятся на следующие типы: 1) лицеи, классические или реальные; 2) средние школы; 3) женские гимназии; 4) женские подготовительные школы. Лицеи обеих категорий предусматривают восьмиклассное обучение с подготовкой к поступлению в университет. Средние школы имеют 5 классов, и их программа совпадает с программой первых пяти классов реальных лицеев. Женские гимназии предусматривают пять классов. Женские подготовительные школы служат для продолжения обучения слушательниц, окончивших женскую гимназию. Такие школу подразделяются на два типа: для подготовки к поступлению в университет и для обучения учительниц средних школ.

Учебные заведения первых трех категорий принимают учащихся непосредственно после начальной школы. Как правило, возраст учащихся при поступлении составляет от 9 до 11 лет. В государственных лицеях могут обучаться лишь юноши, средние школы представляют собой заведения с различными типами обучения, в женские гимназии и женские подготовительные школы, как очевидно из названия, принимают только девочек.

Наряду с государственными школами есть много частных заведений. Обучение в таких учреждениях пяти- или восьмиклассное (иногда девятиклассное). Зачастую это школы с совместным обучением «реального» типа. Существуют школы с раздельным обучением мальчиков и девочек.

Как уже упоминалось выше, первой ступенью перед поступлением в среднее учебное заведение можно считать начальную школу. Однако существует немалое количество подготовительных школ с совместным обучением, где возраст учащихся составляет от 8 до 10 лет.

С учетом всего вышесказанного получаем следующую схему (.Схема 1)

Схема 1

Выше уже упоминалось, что при женской гимназии состоит женская подготовительная школа, которая выпускает учительниц для средних учебных заведений. Кроме того, существуют так называемые учительские лицеи, где обучаются преподаватели средних учебных заведений (для мужских и женских школ). Такие лицеи включают классическое и реальное отделения. Их работу мы рассмотрим далее.

2. Условия поступления в средние учебные заведения. Для поступления в первый класс кандидат должен уметь выполнять четыре действия с целыми числами и величинами. Указания гласят, что учащийся должен обладать удовлетворительным навыком устного счета. Поступление в женскую гимназию возможно по достижении полных 11 лет, поступление в лицей или среднюю школу возможно по достижении 9—12 лет.

Обучение в классических и реальных лицеях призвано дать учащимся базовые научные знания. Главное различие между этими двумя типами учреждений состоит в том, что в классическом лицее самой важной дисциплиной является латынь, в то время как в реальном лицее место латыни занимают живые языки. В реальном лицее на математику еженедельно отводится на час больше, чем в классическом лицее, а физике уделяется на шесть годовых часов больше. Количество часов на другие дисциплины в целом совпадает. Кроме того, пять первых классов в классическом лицее составляют полный курс, который называется основной школой. Что касается общеобразовательных средних школ, их программа совпадает с программой первых пяти классов реального лицея.

Аттестат лицея дает право на обучение в университете, Высшей технической школе или торговом институте. Учащиеся, окончившие основную школу (пять классов реального лицея или средней школы) могут поступить в торговый институт и имеют доступ к некоторым практическим направлениям: железные дороги, аптечное дело и т. д.

Все частные школы относятся к категориям реальных лицеев или средних общеобразовательных школ. При этом почти во всех таких заведениях совместное обучение.. Многие школы с правом подготовки к университету имеют девятиклассный курс.

3. Объем программы и расписание. Ниже приводится программа математики и физики. В классических лицеях на математику суммарно отводится 37 часов в неделю, на физику — четыре, в реальных лицеях, соответственно, 38 и 10. Отметим особо, что в основной школе (и соответственно также в средней школе) на математику отведено 28 часов, а на физику — три часа.

Как видно из количества часов, программа в двух типах лицеев отличается не сильно. Однако поскольку в реальных лицеях, по причине большего количества часов в программе, более основательным, как правило, является преподавание физики (и в особенности механики), это оказывает непосредственное положительное влияние и на преподавание математики.

Как уже отмечалось выше, первые пять классов реального лицея называются основной школой. В течение этих лет выдерживается предельная концентрация программы различных дисциплин. Так, из курса геометрии исключены разделы, посвященные пропорциональности отрезков и подобию фигур, вместо которых кратко освещаются способы измерения площади и объема. Аналогичным образом программа алгебры предусматривает лишь краткий обзор теории степеней, что позволяет более подробно осветить принципы теории уравнений.

В лицее математическая программа включает арифметику, алгебру, начала геометрии и прямолинейную тригонометрию. Курс арифметики читается в первых двух классах, алгебра начинается в третьем классе, геометрию начинают преподавать в четвертом классе, а тригонометрию, как правило, в седьмом.

Основная задачей обучения арифметике - привить навык счета на примерах из повседневной жизни. Относительно большое внимание уделяется теории пропорций: начала этой теории разъясняются в курсе алгебры и геометрии. Для решения примеров в рамках теории пропорций используются алгебраические формулы, которые наперед прививают учащимся обыкновение решать задачи алгебраическими способами. Курс арифметики также включает извлечение квадратного корня и действия с иррациональными числами, получаемыми в результате извлечения квадратного корня. Все арифметические задачи, вызывающие некоторые затруднения, например расчет дисконта, решаются алгебраическими способами.

Курс алгебры затрагивает основные действия и теорию уравнений. Касательно уравнений второй степени и высших степеней с несколькими неизвестными отметим, что лишь некоторые задачники в качестве решения таких уравнений предлагают общие методы исключения неизвестных, в большинстве же из них рассматриваются только частные случаи. Теория комбинаторики не входит в программу ни одного классического лицея. Впрочем, в учебниках алгебры отмечаются различные тенденции. В одних учебниках мы видим попытки теоретически вывести основные действия из самой природы чисел, что приводит к слишком длительному рассмотрению этих действий. В других учебниках первые правила исчислений выводятся с использованием интуитивных методов на основании

знаний, усвоенных в рамках арифметики.

Курс начал геометрии в целом повторяет содержание учебников, используемых в других странах. Курс планиметрии представлен относительно подробно, в то время как курс стереометрии скорее сокращен. Невзирая на то что в целом форма доказательства теорем имеет научную природу, на первых этапах используются более простые, основанные на интуиции способы их изложения, с помощью перемещения фигур и отрезков. Ограниченное количество часов не позволяет ученикам в полной мере научиться доказывать новые теоремы и решать задачи.

Курс тригонометрии относительно краток. Он включает лишь основные тригонометрические функции и их вычисление для разных фигур, особенно треугольников. Очень кратко излагаются принципы решения тригонометрических уравнений. В классических лицеях программа обычно затрагивает лишь прямоугольные треугольники.

4. Цель обучения. Методика преподавания. Как и в других учебных заведениях, занимающихся в основном подготовкой к университету, цель обучения— формирование теоретических знаний. В то же время учащимся прививают практический навык математических вычислений, тем более необходимый, что экзамены предусматривают проверку знаний в различных областях математики.

Что касается методов обучения, отметим, что во время занятия учитель почти всегда дает устное задание к следующему занятию. Ученики должны, вооружившись учебником, подготовить свой урок. Однако учащиеся старших классов все чаще приучаются к самостоятельной подготовке материала следующих уроков по учебнику. Тем не менее, можно с разумной степенью достоверности утверждать, что в наших школах ведется чересчур обстоятельная подготовительная работа, но при этом не уделяется должного внимания индивидуальному развитию учащихся.

Высказываются жалобы на то, что с самого начального этапа материал, особенно по программе геометрии, перегружен теорией, что в дальнейшем затрудняет его восприятие учащимися. Поэтому в некоторых частных школах геометрию стали преподавать по специальному учебнику, в котором в число заданий входят практические замеры величин как в классе, так и на открытом воздухе. Однако против этого метода тоже высказываются возражения, поскольку он требует излишних временных затрат и не позволяет уделить достаточно времени теоретическим началам геометрии.

В рамках курса арифметики практически не используются учебные наглядные материалы, поскольку до поступления

учащиеся уже освоили целые числа и величины интуитивным методом либо в начальной, либо в подготовительной школе. На уроках геометрии используется транспортир, бумажные модели, строящиеся для конкретного урока, и угольник с раздвижными сторонами для разъяснения понятий равенства и подобия треугольников. Чтобы продемонстрировать взаимное расположение фигур в пространстве, часто употребляются конструкции из металлической проволоки и пластина, а также модели из дерева.

Касательно взаимосвязи между различными математическими дисциплинами мы уже отмечали, что в курсе арифметики излагаются общие основы теории пропорций и теории иррациональных чисел. Поскольку при этом также употребляются алгебраические формулы, в начале курса алгебры учащиеся привыкают использовать буквы вместо цифр. В рамках курса геометрии естественным образом применяются алгебраические методы решения задач, причем такой методике приписывается большое значение. Преподавание физики основывается на математических методах настолько, насколько это возможно. И наоборот, в курс математики перешло немало задач по физике, в частности из области механики. Это по большей части справедливо для реальных лицеев, поскольку в классических лицеях, по причине ограниченного количества отведенных на физику часов, такая взаимосвязь между курсами математики и физики устанавливается лишь в минимальной степени.

5. Испытания в лицеях. При переходе в следующий класс экзаменационные испытания не предусмотрены. Выпускной экзамен ожидает лишь учащихся старших классов. Такой экзамен состоит из двух частей. Первая часть предусматривает письменное испытание, заблаговременно назначенное на один и тот же день во всех государственных и частных школах страны. Программа экзамена: 1) сочинение на родном языке; 2) испытание на втором языке (на финском в шведских школах, на шведском в финских школах); 3) в классических лицеях перевод с латыни, который в реальном лицее заменяется переводом с немецкого, французского или русского языка; 4) экзамен по математике.

Что касается последнего, экзамен предполагает вопросы из различных областей математики, которые изучаются в рамках школьной программы, а также из программы физики. Испытание длится 6 часов, и для успешной экзаменовки учащийся должен дать удовлетворительный ответ по крайней мере на три заданных ему вопроса (общее число вопросов составляет примерно 10). После оценки работ учителями школы, таковые работы препровождаются в университетскую приемную комиссию, которая принимает решение о зачислении слушателей на курс.

Ученики, с успехом прошедшие письменное испытание, далее держат устный экзамен по всем предметам программы перед учителями школы. После получения аттестата учащийся направляется в университет, где примерно в течение недели приемная комиссия проверяет его знания. Чаще всего комиссия принимает в расчет отметки, полученные учащимся в школе, но бывает также, что в Университете соискателю назначают устную переэкзаменовку на более поздний срок.

6. Два года назад правительство учредило комиссию, которая должна подготовить проект изменений образовательной программы в средних учебных заведениях. Комиссией был подготовлен доклад о реорганизации лицеев и средних школ. В докладе предложены различные изменения, в частности касающиеся программы обучения. Незначительные изменения ожидают программу преподавания математики и физики, а также количество отведенных на нее часов. Однако поскольку доклад до сего момента не был рассмотрен компетентными органами и окончательное решение будет принято лишь спустя длительное время, нет нужды учитывать его в настоящем документе. Отметим лишь, что проект комиссии, в соответствии с господствующим мнением, содержит требование об отмене устного экзамена в университете. Обоснованием такого предложения служит то, что университет в достаточной степени защищен от зачисления неуспевающих учащихся, поскольку успеваемость контролируется в процессе обучения в школе. Кроме того, предполагается, что университетская комиссия по-прежнему будет оценивать результаты письменных выпускных испытаний.

VI. Профессиональная подготовка учителей для средних учебных заведений

Профессиональная подготовка учителей осуществляется в двух так называемых учительских лицеях. Один лицей готовит учителей для школ с финским языком, второй — для школ со шведским языком. Оба лицея состоят под особым надзором университетского преподавателя педагогики и дидактики. Для поступления в учительский лицей необходимо выдержать университетский экзамен или на «свидетельство о профессиональной подготовке» или на «кандидата философии». Как правило, слушатели математического направления выдерживают второй из этих экзаменов и получают оценку «отлично» или «хорошо» по математике. Они обучаются под непосредственным руководством старшего преподавателя математики. Занятия по математике, физике и химии в учительском лицее ведут упомянутый старший преподаватель, второй преподаватель и два методиста.

Курс учительского лицея длится два семестра. Слушатель обязан не только прилежно посещать все занятия по выбранным им дисциплинам во всех классах, но также посещать занятия преподавателей других предметов, дабы всесторонне развивать свои педагогические знания. В среднем количество уроков составляет 150—200 в семестр.

Под руководством старшего преподавателя слушатели должны сами проводить уроки в разных классах лицея. Кроме того, как правило, они проводят шесть зачетных уроков по основной дисциплине в семестр (иногда больше), при этом как минимум на двух из них темы должны быть связаны друг с другом. План урока заблаговременно представляется на рассмотрение старшего преподавателя, а после проведения урока учащиеся выслушивают замечания остальных слушателей этого направления, классного учителя и старшего преподавателя. Слушатели, которые проходят обучение по программе математики, также должны провести уроки смежных с математикой дисциплин, например физики и химии. Всякий раз, когда это возможно, слушатели второго семестра закрепляются за одним классом для непрерывной практики преподавания, что позволяет им самим контролировать свои успехи. В таком случае первый и последний уроки рассматриваются как зачетные занятия, после которых следуют критические замечания. В отсутствие преподавателя учительского лицея занятия вместо него проводят слушатели.

Кроме того, учащиеся обязаны присутствовать на специальных конференциях трех типов: общих, ежемесячных и

еженедельных.

Ежемесячные конференции проходят под председательством преподавателя педагогики. В рамках конференции каждый семестр оценивается педагогическая работа. Каждый из слушателей по очереди представляет доклад о своей работе, который становится предметом дискуссии в ходе конференции. Ответственность за математическое направление возлагается на одного из слушателей, обучающихся по этому направлению.

На общих конференциях под председательством старшего преподавателя, выбранного на собрании преподавателей, обсуждаются общие педагогические вопросы практического характера.

Еженедельные конференции являют собой либо секционные мероприятия, которые посещают слушатели смежных дисциплин, либо специальные конференции, которые старшие преподаватели организуют специально для своих слушателей. На еженедельных конференциях, устраиваемых для слушателей математического направления, рассматривается в целом работа данного направления, а затем слушатели по очереди (а иногда и старший преподаватель) представляют доклады, которые составляют основу для обсуждения. Каждый слушатель в течение семестра должен представить один такой доклад.

Таким образом, профессиональным обучением учителей для средних учебных заведений занимаются старшие преподаватели учительских лицеев. Кроме того, в средних учебных заведениях имеются штатные преподаватели и методисты. Как правило, штатные преподаватели преподают в старших классах лицеев, а методисты - в младших классах лицеев, обычных средних школах и женских гимназиях.

Для поступления на должность преподавателя обязательным квалификационным требованием является степень кандидата философии и высочайшая отметка по основным предметам кафедры. Для поступления на должность методиста требуется такая же степень либо свидетельство о профессиональной подготовке, где должна быть указана по меньшей мере хорошая отметка по вышеупомянутым дисциплинам. Кроме того, вступление на обе должности возможно только после испытания по педагогике и педагогической практики. Практическое испытание проходит в присутствии совета старших преподавателей учительского лицея с финским или шведским языком (в зависимости от ситуации). В совет входят пять членов: ректор учительского лицея, председатель, старшие преподаватели соответствующего отделения учительского лицея с финским или шведским языком, референты и два члена совета старших преподавателей лицея, в котором проходит испытание. Кандидат

«приглашается для преподавания указанных им дисциплин, что позволит проверить его пригодность к выбранному им поприщу». После испытания кандидату назначается одна из отметок: approbatur (лат. «принято») (5—14 баллов), approbatur cum laude (лат. «принято с похвалой») (15—24 балла) или laudatur (лат. «похвально») (25—30 баллов).

VII. Преподавание математики в женских гимназиях

К таким школам относятся государственные и частные женские гимназии, государственные и частные дополнительные классы, где осуществляется подготовка к университету, и женские подготовительные школы. Совместно с двумя крупнейшими женскими гимназиями организованы двухклассные подготовительные курсы. Для поступления на такие подготовительные курсы не требуется знание арифметики. В подготовительных классах, где на арифметику отводится в общей сложности восемь часов в неделю, изучаются четыре действия с целыми числами и десятичными величинами.

Для поступления в государственные женские гимназии необходимо пройти обучение на таких подготовительных курсах или окончить первые два класса начальной школы. Для поступления в частную школу требуются аналогичные знания, хотя иногда и менее обширные. Поступить в государственную школу можно с 11 лет, однако средний возраст учениц составляет 12 лет. Средний возраст на момент окончания школы составляет немногим более 17 лет.

В женских гимназиях, как правило, действует следующая программа курса математики:

Арифметика. I—III классы (4 часа в неделю в каждом классе): целые числа, дроби, десятичные дроби, простое и сложное тройное правило, вычисление процентов и уступки в цене, пропорции.

Алгебра и геометрия. IV и V классы (4 и 3 часа в неделю). Алгебра: четыре действия с целыми дробными выражениями, уравнения первой степени с одним неизвестным. Геометрия: прямые, углы, многоугольники, окружность, вычисление площади и объема простых фигур и тел.

В ряде гимназий некоторое время назад из официальной программы изъяли теорию уравнений (алгебра) и вычисления объема тел (геометрия), при этом углубляя программу других разделов курса.

Дополнительные классы имеют целью подготовку выпускниц женских гимназий к поступлению в университет. Поэтому программа классов соответствует программе лицеев. Чаще всего программа включает три класса. Средний возраст учащихся на момент поступления составляет 17 лет. В дополнительных классах с финским языком, организуемых государством, на математику отводится шесть часов в неделю в каждом классе. Программа частных классов в целом повторяет программу государственных классов.

В женских подготовительных школах главным образом

ведется обучение учительниц для средних учебных заведений. Программа математики в таких школах соответствует программе лицеев, отличие только в том, что в ней отсутствует тригонометрия. В I и II классах (4 часа в неделю в каждом классе) ведется повторение курса женской гимназии, при этом особое внимание уделяется методике преподавания. Кроме того, слушательницы проходят более полный курс алгебры и геометрии. На третий год слушательницы держат практический экзамен по педагогике.

Цель преподавания математики в женских гимназиях — привить навык практического употребления математики, но в то же время развить способность к логическим умозаключениям. Процесс обучения геометрии на начальных этапах практически полностью интуитивен.

Учебники употребляются чаще всего те же, что и в лицее. Однако в некоторых школах с финским языком используются учебники алгебры и геометрии, написанные специально для этих школ. Во всех женских гимназиях математика также используется при обучении физике - всякий раз, когда это позволяет программа.

Ученицы женских подготовительных школ, которые готовятся к учительскому поприщу, весь третий класс, то есть в течение года, посещают уроки женской гимназии и проводят зачетные уроки. Программа зачетного урока заблаговременно рассматривается и корректируется ответственным преподавателем, который затем представляет свои критические комментарии и ставит оценку.

На изучение физики в женских гимназиях отводится в общей сложности два часа в неделю в пятом классе, а в женской подготовительной школе четыре часа в неделю в первых двух классах. Курс физики в дополнительных классах и женских подготовительных школах соответствует программе лицея, при этом в старших классах женских подготовительных школ также излагаются методики преподавания этой дисциплины.

VIII. Преподавание математики в торговых училищах

Торговые училища Финляндии учреждены согласно приказу 1904 года. Существует три категории: торговые институты, торговые училища и училища для торговых работников. В торговые институты, обучение в которых проходит от двух до восьми лет, принимаются учащиеся, закончившие пять первых классов реального лицея или выполнившие полную программу средних учебных заведений, женских гимназий или торговых училищ. Средний возраст поступающих составляет от 16 до 17 лет. В торговые училища, где обучение проходит в течение двух лет, принимаются учащиеся, прошедшие курс начальной школы. Кроме того, по возможности учащиеся должны быть работниками торговых предприятий. Средний возраст учащихся на момент поступления составляет, как правило, 16 лет. Курс училищ для торговых работников, в котором занятия проходят по меньшей мере 12 часов в неделю, длится год или распределяется на два года. Средний возраст поступающих составляет от 14 до 15 лет.

Помимо этих учебных заведений, крупнейший торговый институт включает специальное двухлетнее отделение, которое в ближайшем будущем будет преобразовано в высшее торговое училище.

В торговые училища принимаются слушатели обоих полов, содержание таких училищ осуществляется за счет городской администрации или частных обществ. Училища, соответствующие определенным требованиям, получают государственную субсидию.

В таких заведениях на математику отведено, как правило, 1/6 общего количества часов в программе. В училищах для торговых работников, где в целом количество занятий крайне ограничено, уделять математике много времени не представляется никакой возможности. Обучение ограничивается повторением курса начальной школы, к которому лишь добавляются общие отделы арифметики для торговых операций, как то: вычисления цены, процентных долей и процентов. В торговых училищах проходит более глубокое изучение арифметических действий, употребляемых в торговом деле, и кратко освещаются способы их применения. Курс геометрии включает изучение самых важных свойств геометрических фигур, а также вычисления площади и объема. Процесс обучения построен главным образом на интуиции. В торговых институтах преподается расширенный курс арифметических действий, употребляемых в торговом деле. В рамках алгебры изучается теория уравнений, а также дается углубленный курс начал геометрии.

На момент поступления в торговый институт учащиеся уже

прошли полный курс арифметики, изучили основополагающие алгебраические действия, а также изучили решение уравнений первой степени с одним неизвестным. В рамках геометрии учащиеся уже владеют знаниями об основных свойствах плоских фигур, поэтому можно сразу переходить к теории подобия. На старших курсах торговых институтов, особенно если обучение предполагает три класса, изучается политическая арифметика: общие исчисления дисконтов и сумм гашения, а также начальные математические принципы теории страхования жизни.

В целом следует отметить некую неравномерность в программах математики торговых училищ, что является естественным, поскольку такие заведения возникли в Финляндии лишь недавно.

IX. Обучение математике в низших технических училищах и профессиональных училищах

Категории учебных заведений:

a) училища трудового профессионального обучения;

b) низшие и высшие ремесленные училища;

c) профессиональные училища;

d) производственные училища.

a) Училища трудового профессионального обучения

Училища трудового профессионального обучения, различных видов которых существует великое множество, призваны поднять уровень ручного труда, особенно в сельской местности. Таким образом, большинство таких учреждений находится в сельских населенных пунктах, и лишь небольшое количество в городах. В такие училища принимаются учащиеся обоих полов. Одни училища имеют постоянное местонахождение, другие представляют собой разъездные заведения. Программа предполагает годичное или двухлетнее обучение, при этом в некоторых училищах программа имеет даже меньшую длительность.

Обучение математике ограничивается простыми вычислениями цены и вычислениями площади и объема. Углубленные программы ряда школ предполагают, помимо прочего, изучение проекций.

В некоторых школах организован специальный курс для подготовки преподавателей таких заведений. Для расширения знаний преподавателей, в особенности в области математики, в этом году впервые организован каникулярный месячный курс. В целом в таких школах наблюдается стремление расширить знания преподавателей в области математики и повысить уровень программы по данной дисциплине.

b) Низшие и высшие ремесленные училища

В ремесленных училищах даются теоретические и практические знания, необходимые ремесленникам. Это вечерние школы, которые разделяются на низшие и высшие. Большинство таких заведений предполагает годичный курс обучения, в некоторых предусмотрена двухлетняя программа, и в ряде исключительных случаев — трехлетняя. Учебный год длится

восемь месяцев. В такие училища поступают как учащиеся, окончившие начальную школу, так и не имеющие документа о ее окончании.

В низших ремесленных училищах проходят важнейшие отделы программы арифметики начальной школы.

В высших ремесленных училищах, помимо арифметики, изучаются некоторые разделы геометрии и проекции, а также начала алгебры. Программа математики сильно разнится от училища к училищу. Здесь приведем лишь программы наилучшим образом организованных училищ.

Арифметика (2 часа в неделю в течение первого года). Повторение программы начальной школы, извлечение квадратного корня.

Геометрия (2 часа в неделю в течение первого года). Простейшие свойства прямых, углов и плоских фигур, простые теоремы и задачи на вычисление величин. Построения изображений в масштабе. Вычисление площади и объема.

Алгебра (2 часа в неделю в течение второго года). Четыре основных действия с алгебраическими выражениями, простые уравнения первой степени с одним неизвестным.

Проекции (2 часа в неделю в течение второго года). Построение геометрических фигур. Плоскость проецирования, проекции прямых, фигур и тел на плоскости в различных положениях. Определение реальной величины отрезков и фигур по их проекциям. Развертка поверхностей геометрических тел на плоскости, проекции взаимных пересечений геометрических тел.

Для изучения геометрии и проекций используются деревянные модели.

Зачастую в таких училищах преподают учителя начальной школы, однако есть и преподаватели, имеющие университетское или техническое образование.

В Гельсингфорсском высшем профессиональном училище организован специальный годичный курс для переподготовки преподавателей.

с) Профессиональные училища

Такие училища, новые для Финляндии, существуют лишь в нескольких городах. Учащиеся, окончившие начальную школу, получают в них теоретические и практические знания, необходимые для выбранной ими профессии.

Учащиеся поступают в такие заведения сразу после окончания начальной школы, средний возраст при поступлении составляет от 13 до 14 лет.

Организация обучения варьируется от заведения к заведению,

особенно в части практических работ, на которые в мужских училищах отводится от 12 до 20 часов в неделю, а в женских — несколько больше.

Выпускные экзаменационные испытания отсутствуют. Полученный диплом такого училища часто позволяет сократить срок службы подмастерьем.

Преподавание математики включает основные понятия из области арифметики, алгебры, геометрии и проецирования, необходимые для практических профессий. Ниже приводим программу, действующую в мужских училищах:

Арифметика (I—II классы, 5 и 3 часа в неделю). Повторение программы начальной школы. Извлечение квадратного корня, пропорции, проценты и мена, употребление полученных знаний на практике. Кроме того, изучаются четыре основных действия с алгебраическими выражениями, простые уравнения первой степени с одним неизвестным. Задачи на вычисление цены изделий, производимых в ремесленном цеху.

Геометрия (I—II классы, 4 и 2 часа в неделю). Важнейшие геометрические теоремы, простые вычисления площади и объема. Задачи с примерами материалов, используемых в работе по дереву или металлу.

Проекции (I класс). Задачи на построение геометрических фигур: фигуры, разнообразные кривые и т. д. Элементы теории проекций с моделями, которые призваны продемонстрировать принципы проецирования. Сечение тела плоскостью, развертка поверхности тела на плоскости, проекции взаимных пересечений тел. Кратко освещается построение теней геометрических тел.

Программа математики в женских училищах включает лишь арифметику и повторение курса начальной школы с применением его на практике.

Преподавателями математики в мужских училищах, как правило, являются выпускники Высшей технической школы. Преподавателями женских училищ являются выпускницы женских гимназий, учительских школ или училищ трудового профессионального обучения.

d) Производственные училища

В производственных училищах получают необходимые знания будущие мастера, бригадиры и рабочие самых разных отраслей. Кроме того, такие заведения осуществляют подготовку механиков и шоферов к сдаче государственного экзамена по механике.

В каждом училище есть отделение механики и отделение строительства, в некоторых заведениях также есть отделение

химии или металлургии. Курс рассчитан на два года, учебный год длится шесть месяцев, на занятия отводится от 39 до 40 часов в неделю. Кроме того, даются краткие курсы электротехники, судостроения, технологии строительства паровозов и т. д.

Для поступления на такие отделения необходимо окончить начальную школу и иметь не меньше года опыта работы в технической отрасли. Вместе с тем принимаются учащиеся и без такого опыта, но окончившие четыре класса среднего учебного заведения. Поступление возможно по достижении полных 17 лет. Средний возраст учащихся на момент поступления составляет примерно 23 года.

Слушатели не держат выпускные экзамены, кроме учащихся отделения механики. Последние, получив свидетельство об окончании, имеют право работать механиками на пароходах или на железной дороге.

В этих учебных заведениях математика имеет относительно большое значение, поскольку обучение таким профессиям в значительной степени основывается на математике. Данная дисциплина преподается одновременно для слушателей всех отделений. Приводим программу:

Арифметика и алгебра (I—II классы, 6 и 2 часа в неделю). Повторение программы начальной школы, ее применение для решения задач в соответствующей отрасли. Пропорции. Простые действия с алгебраическими выражениями. Основные понятия теории степеней и корней. Уравнения первой степени с одним и несколькими неизвестными, уравнения второй степени с одним неизвестным.

Геометрия (I—II классы, 4 и 2 часа в неделю). Основные понятия геометрии, основные теоремы и задачи на построение. Вычисления площади и объема, их применение для решения задач в соответствующей отрасли.

Проекции (I—II классы, 4 и 2 часа в неделю). Построение геометрических фигур. Проекции точек, прямых, плоских фигур и геометрических тел в различных системах координат и на разных плоскостях. Аксонометрия. Развертка поверхности тел на плоскости, спирали. Сечение тела плоскостью, определение реальных величин фигур по сечению. Проекции взаимных пересечений тел. Тени. Решение задач на чертежном планшете, их применение к конструированию в различных отраслях.

Механика и теория сопротивления (I—II классы, 2 и 4 часа в неделю). Различные виды движения. Силы, работа, статический момент, живая сила. Центр тяжести, устойчивость. Трение. Простые механизмы и их применение. Механика жидких и газообразных тел. Сопротивление материалов.

Для изучения силы и сопротивления материалов

используются не только аналитические, но и начертательные методы.

Для обучения математике применяются учебники для средних учебных заведений, в то время как для изучения механики и теории сопротивления материалов имеются учебники, составленные особо для производственных училищ.

Обязательным условием для поступления на должность преподавателя производственного училища является диплом Высшей технической школы, а также как минимум год профессиональной практики.

Подготовлен проект реорганизации производственных училищ, однако он не принят окончательно. Проект предусматривает создание отделения электротехники с трехлетним курсом обучения на основе шестимесячного учебного года. Основной объем математической программы преподается в течение первого года. Вышеуказанную программу планируется расширить за счет теории логарифмов и начал тригонометрии. Кроме того, на отделении строительства введена теория перспективы.

Также создан проект средних технических училищ, который ожидает утверждения правительства. Согласно данному проекту, в этих училищах на базе программы первых пяти классов реальных лицеев будут давать теоретические и практические знания, необходимые для технических и производственных специальностей. Таким образом, для поступления необходимо будет окончить соответствующий курс и иметь опыт работы в технической отрасли в течение года. На момент поступления учащемуся должно быть 16 полных лет. Планируется, что училище будет включать отделения строительства, машиностроения, электротехники и заводского производства, при этом последнее будет подразделяться на направления бумажного, текстильного, красильного, белильного и отделочного производства. Планируемая программа математики должна включать следующие разделы: арифметика и алгебра, геометрия и тригонометрия, аналитическая и начертательная геометрия, механика и графическая статика. Программа этих дисциплин будет более короткой, нежели в Высшей технической школе, но более длительной, чем в производственных училищах.

Выпускные экзаменационные испытания отсутствуют, свидетельство об окончании не дает права получения рабочего места. Преподаватель математических наук должен иметь диплом инженера или инженера-механика Высшего технического училища. Кроме того, такой специалист должен иметь университетскую степень кандидата философии с высочайшей отметкой по математике.

X. Преподавание математики в Высшей технической школе

Высшая техническая школа образовалось на основе Политехнического института, который прекратил свое существование в 1908 году. Положение о Высшей технической школы утверждено 2 апреля 1908 года. Согласно положению, целью школы является обеспечение технического, научного и художественного образования, а также покровительство развитию наук в направлениях, представленных в школе. Высшая школа включает следующие отделения:

1) архитектурное отделение;

2) инженерное отделение для строительства мостов и дорог и конструирования сельскохозяйственной техники;

3) инженерно-механическое отделение для машиностроения, электротехники, заводского производства;

4)химическое отделение;

5) землемерное отделение.

Для воплощения практического подхода к процессу обучения те области, которые не относятся к указанным специализациям (в том числе математика), составляют общеобразовательное отделение.

Учебный год начинается 1 сентября и подразделяется на два семестра: осенний семестр с 1 сентября по 15 декабря включительно и весенний семестр с 15 января до 31 мая включительно.

Для поступления в Высшую школу необходимо выдержать отборочное испытание.

Средний возраст учащихся на момент поступления в течение двух лет существования Высшей школы остается таким же, как и в университете, то есть примерно 19 лет.

В каждом из пяти отделений Высшей школы студенты держат выпускные испытания для получения диплома. Испытание состоит из двух частей. Первая, общая, часть включает математику и точные науки, лежащие в основе специальных дисциплин. Вторая, специальная, часть включает проверку знаний по специальным техническим дисциплинам, а также дипломную работу, которая призвана продемонстрировать умение студента решать задачи в той или иной технической области.

Обучение длится четыре года (на землемерное отделении -три года). В течение первых двух лет изучаются дисциплины, входящие в первую часть испытания, в течение последующих двух лет - дисциплины из второй части.

Ниже приводим программу обучения в области математических наук:

A. Математика (тригонометрия, аналитическая геометрия, дифференциально-интегральные исчисления).

B. Начертательная и проективная геометрия.

C. Механика.

D. Графическая статика.

А. Математика

Весь курс математики читается в течение первых двух лет. Программа первого курса включает тригонометрию прямолинейную и сферическую, алгебру, аналитическую геометрию (на плоскости и в пространстве) и элементы дифференциально-интегральных исчислений. В осеннем семестре на программу отведено шесть лекций и восемь практических занятий в неделю, в весеннем семестре — семь лекций и четыре практических занятия в неделю. Для студентов-инженеров и инженеров-механиков, которые в первый год проходят более углубленную программу, введены дополнительные занятия в весеннем семестре. Детальное расписание выглядит следующим образом. В течение всего года на аналитическую геометрию отводится четыре часа лекций и один час практических занятий в неделю. На прямолинейную и сферическую геометрию в течение года отводится четыре часа лекций и два часа практических занятий в неделю (ранее весь курс преподавался в течение примерно трех недель). Такое же количество часов отводится на дифференциально-интегральные исчисления (дифференцирование, наибольшее и наименьшее значение функции, приложение к кривым на плоскости, ряд Тейлора, интегрирование, приложения: квадратуры, спрямления, кубатура и т. д.). Эти дисциплины обязательны для всех отделений. В весеннем семестре добавляется одна лекция и один час практических занятий в неделю для студентов-инженеров и инженеров-механиков, которые изучают определители и их употребление для решения линейных уравнений, комплексные числа и основные теоремы теории алгебраических уравнений, производные и частные дифференциалы, а также их приложения к поверхностям и кривым в пространстве, ряд Тейлора для функций нескольких переменных, наибольшее и наименьшее значение этих функций.

В течение второго года шесть часов лекций и один час практических занятий еженедельно отводится на детальное изучение дифференциала и интеграла, а также их приложений: важнейшие формулы и теоремы теории кривых и поверхностей, простые, двойные и тройные интегралы, криволинейные и поверхностные интегралы, их применение в геометрии, механике и теории потенциала, дифференциальные уравнения, особенно

первого и второго порядка, их применение в геометрии и механике.

В первый год основная цель обучения — привить студентам навык вычислений, тогда как во второй год обучения на передний план выходит теория.

В качестве учебника рекомендовано издание Е. Цубера «Лекции по дифференциально-интегральным исчислениям».

В. Начертательная и проективная геометрия

Курс начертательной геометрии подразумевает в первый год четыре лекции в осеннем семестре и три лекции в весеннем семестре. Кроме того, студенты посещают шесть часов практических занятий в неделю в течение всего года.

Обязательный для испытаний курс включает следующее: ортогональные проекции на двух плоскостях, аксонометрия (ортогональная и косая) и центральная проекция, решение основных задач с помощью методов проекции. Также курс включает различные способы построения кривых на плоскости и в пространстве, единственность кривых, принцип двойственности. Наконец, в программу входит изучение развертывающихся поверхностей, поверхностей вращения и винтовых поверхностей, а также общие случаи применения построения проекций теней и линий интенсивности.

Поскольку для технического образования этот курс является вспомогательным, преподавание, в особенности практические занятия, должны быть организованы соответствующим образом. Однако в преподавании учитывается также сугубо математический аспект программы.

Проективная геометрия входят в программу второго года, на нее отводится два часа лекций и один час практических занятий в неделю в течение осеннего семестра. Испытания по курсу на инженерном факультете не обязательны. Он включает основные проекции и фигуры, образованные пересечением проекций, особенно кривые и поверхности второй степени.

Во втором семестре на курс отводится две лекции в неделю. Курс включает различные области геометрии, чаще всего кривые третьей степени на плоскости и в пространстве, а также поверхности третьей степени. Несмотря на то что курс является факультативным, он вызывает достаточно большой интерес.

С. Механика

В первый год в весенний семестр две лекции и один час практических занятий в неделю отводится на статику твердых тел

и теорию трения. В течение второго года четыре лекции и два часа практических занятий в неделю отводятся на теорию упругости и сопротивляемость материалов, гидростатику, кинематическую геометрию, динамику материальной точки и твердых тел, а также гидродинамику. В течение осеннего семестра третьего куса два часа в неделю отводится на изучение различных отделов механики.

Курс механики не является обязательным для студентов химического и землемерного отделения. Для студентов архитектурного отделения курс является обязательным только в течение первых двух семестров, для остальных отделений он обязателен в течение первых двух лет обучения. Курс дает начальные знания об основах дифференциально-интегральных исчислений.

Из практических и педагогических соображений курс механики начинается со статики. На занятиях большое внимание уделяется обучению посредством использования наглядных материалов (опыты и модели). На каждые две лекции приходится один час практических занятий, на которых студенты решают заранее выданные задачи. Решая эти задачи, имеющие практическое значение, учащиеся всякий раз выводят необходимые формулы. Этот метод позволяет развить и закрепить у студентов понимание как общих принципов механики, так и их приложение к конкретным случаям.

В качестве учебника используется «Учебник по технической механике» Талльквиста.

D. Графическая статика

Начальный курс преподается на третьем году обучения. На него отводится два часа лекций и два часа практических построений в неделю. Курс обязателен для архитектурного, инженерного и инженерно-механического отделения.

В курс входит графическое представление сил, приложение проистекающих из него методов к несущим балкам и аркам, а также статически определимым пространственным решеткам, момент второго порядка для плоских поверхностей, внутреннее напряжение несущих конструкций, деформации, конструкции из железобетона.

Углубленный курс начинается на четвертом году обучения, и на него отводится две лекции и четыре практических занятия в неделю. Курс обязателен для студентов-инженеров. Он представляет собой продолжение вводного курса и включает балки и арки, пространственные решетки (в том числе статически неопределимые) с подвижной нагрузкой, более подробное

изучение деформаций в таких конструкциях.

В рамках курса земляных работ, который читается для отделения инженерного дела, проводится аналитическое и графическое изучение давления грунта. Курс предполагает две лекции и два часа практических занятий в неделю в течение одного семестра.

Цель обучения — дать теоретические и практически знания в равной мере.

В процессе используются интуитивные методы обучения, а построения всегда проводится на доске.

В рамках курса используются следующие учебники: Г. Мюллер-Бреслау «Графическая статика сооружений» и В. Риттер «Использование графической статики»

Экзамен на докторскую степень

Для получения права на докторскую степень в Высшей технической школе необходимо иметь диплом архитектурного, инженерного, инженерно-механического или химического отделения либо диплом инженера, полученный в соотвествующем иностранном учебном заведении.

Для получения докторской степени необходимо написать диссертацию, которая должна быть утверждена всем преподавательским составом Высшей школы. Такая диссертация должна содержать исследование, проделанное кандидатом в научно-технической области, которая входит в учебную программу Высшей технической школы. Кроме того, кандидат должен выдержать испытание по трем дисциплинам в присутствии представляющих их преподавателей. По крайней мере две дисциплины должны быть из числа наук, преподаваемых в Высшей школе.

Тема диссертации и дисциплины для экзамена должны быть одобрены всем преподавательским составом. Преподаватели назначают докладчиков, ответственных за рассмотрение и рецензирование диссертации. Степень доктора наук присуждается кандидату после успешной защиты научной работы и успешно выдержанного испытания.

XI. Обучение математике в Императорском Александровском (Гельсингфорсском) университете

1. В Гельсингфорсском университете четыре факультета: теологии, права, медицины и философии, последний включает три кафедры: историко-филологическую, физико-математическую и экономики сельского хозяйства.

Учебный год разделяется на два семестра: осенний, с середины сентября и примерно до 20 декабря, и весенний, с 20 января примерно до конца мая. Однако, как правило, занятия завершаются раньше: осенью 10 декабря и весной 10 мая. Средний возраст абитуриентов — около 19 лет.

Поскольку опыт показывает, что существенное время во многих лицеях страны отводится на занятия языками, и потому достаточно глубокое изучение математики не предусматривается, частью обязательной университетской программы является повторение и завершение изучения отдельных разделов школьного курса, в частности тригонометрии.

После этого начинается курс аналитической геометрии, который длится в течение всего первого года. Обучение начинается с преподавания начал геометрии. Курс включает теорию конических сечений и поверхностей второй степени. Что касается проективной геометрии, то программа университета включает лишь основные теоремы о рядах точек и гармонических четверках точек, а также важнейшие гармонические свойства конических сечений. В рамках обучения используется учебник аналитической геометрии Л. Линделёфа.

Курс сферической тригонометрии, как правило, соединен с аналитической геометрией и стереометрией. Дисциплина освещается более подробно в рамках курса сферической астрономии.

Одновременно с аналитической геометрией начинается курс дифференциально-интегральных исчислений. Преподавание начинается с освещения начал дисциплины и длится в течение первых двух лет обучения. На курс отводится четыре лекции и 1 — 2 часа практических занятий в неделю. Значительная часть курса на втором году обучения посвящена применению таких исчислений в геометрии. Прежде студенты занимались по немецкому изданию известного учебника Ж.-А. Серре, а в недавнее время в употребление вошли учебники Л. Киперта и Е. Цубера.

В течение первых двух лет чаще всего изучается курс теории дифференциальных уравнений, как правило, ее элементарные начала. В частности, курс включает приложение этой теории к геометрии. Иногда дается более углубленный курс, например

применения этой теории к задачам на теплопроводность и другим задачам математической физики.

Изучение алгебры и теории чисел начинается, как правило, на втором курсе и длится в течение года. В целом курс соответствует материалу, изложенному в работе Г. Бауэра «Лекции по алгебре», который употребляется студентами в качестве учебника.

Каждый год также читается теория аналитических функций, в рамках которой параллельно изучаются методы Коши, Римана и Вайерштрасса. Рекомендованы следующие учебники: Г. Буркхардт «Алгебраический анализ» и «Начала теории аналитических функций», а также переработанный Л. Морером труд Г. Дюрежа «Элементы теории функций комплексного переменного».

Помимо вышеозначенных курсов, читаемых регулярно, также часто преподавались специальные курсы по тем или иным отделам математики, например теория минимальных поверхностей, ряды комплексных чисел, употребление теории групп для решения алгебраических уравнений, эллиптические функции, теория линейных дифференциальных уравнений класса Фукса.

На лекциях по аналитической геометрии и дифференциально-интегральным исчислениям регулярно даются упражнения. На других занятиях студенты часто письменно выполняют задания, которые затем сдают преподавателю.

2. Обучение на историко-филологической и физико-математической кафедре философского факультета организовано таким образом, что студенты после четырех-пяти курсов могут выдержать испытание на получение степени кандидата философии. Помимо письменного зачета по современному иностранному языку (на историко-филологической кафедре сдается также зачет по латыни), испытание включает устную часть, где проверяется знание по меньшей мере четырех научных дисциплин, входящих в программу факультета. Перечень дисциплин кандидат представляет на факультет для утверждения. По каждой дисциплине экзаменующийся получает следующие отметки: approbatur (принято), approbatur cum laude (принято с похвалой) или laudatur (похвально). Отметки зависят от объема пройденной программы. По меньшей мере по одной из дисциплин программы своей кафедры кандидат должен получить высочайшую отметку, или laudatur, и такую же отметку по другой дисциплине либо отметку approbatur cum laude по двух другим дисциплинам. Существенной частью испытания является написание диссертации pro gradu. В такой работе, написание которой требует, как правило, достаточно длительного времени, кандидат должен представить свой личный разбор научного вопроса, выбранного или утвержденного компетентным

преподавателем, а также продемонстрировать знание родного языка.

Для получения наивысшей отметки на испытании по математике необходимо прослушать курс сферической и прямолинейной тригонометрии, аналитической геометрии, дифференциально-интегральных исчислений и их применения в геометрии, дифференциальных уравнений, алгебры и теории функций. Для получения отметки approbatur cum laude изучение теории функций необязательно, а по алгебре и теории дифференциальных уравнений достаточно знать лишь основные принципы. Для получения оценки approbatur следует владеть знаниями в области программы прямолинейной и сферической тригонометрии, а также основных понятий дифференциально-интегральных исчислений.

После получения степени кандидата философии возможно продолжение обучения для получения степени лиценциата на философском факультете. Для этого необходимо публично защитить диссертацию и выдержать устное испытание, на котором от кандидата ожидают глубоких знаний по трем научным дисциплинам, входящим в программу факультета. Перечень таких дисциплин утверждается соответствующей кафедрой.

По особой процедуре кандидат философии может на торжественной церемонии получить звание магистра искусств; таким же образом лиценциат может получить звание доктора философии.

Как мы уже отмечали выше, для поступления на должность преподавателя в среднем учебном заведении, необходимо выдержать испытание на степень кандидата философии или испытание на получение свидетельства о профессиональной подготовке. Последнее также устраивается в университете и отличается от первого лишь тем, что наивысшая отметка по экзаменуемой дисциплине не является обязательной. Такие испытания проходят довольно редко.

3. Примерно половина студентов философского факультета планируют выбрать стезю преподавателей средних учебных заведений. Вместе с тем до сих пор в рамках университетского образования, которое в целом имело почти исключительно научный характер, профессиональная подготовка преподавателей средних учебных заведений не принималась в расчет в достаточной степени.

Однако в последнее время это положение дел изменилось. В частности, в рамках обучения математике больше значения придавалось тем отделам курса, которые играют особую роль для профессиональной подготовки будущих преподавателей. Поскольку университетский преподавательский корпус был

слишком малочислен (штатный преподаватель и ассистент преподавателя) для удовлетворения особых педагогических потребностей, помимо достижения исключительно научных целей, в 1908 году была создана новая должность— ассистент преподавателя по математике, который, согласно тексту приказа, «будет принимать участие в общем процессе преподавания таковой дисциплины и в качестве особой обязанности будет преподавать и составлять практические занятия для будущих преподавателей математики в средних учебных заведениях». Назначение на новую должность планируется в течение текущего года.

В рамках достаточно краткого курса (два-три лекции в неделю в течение семестра) лицо, назначенное на такую должность, будет заниматься вопросами, непосредственно связанными с программой математики в школах или имеющими большое значение для профессиональной подготовки преподавателей. Также он будет представлять углубленное освещение тем программы и детально обсуждать методы преподавания, употребляемые в школах. Кроме того, такой преподаватель будет раскрывать последующее развитие темы и ее связь с другими отделами математики. Для подкрепления педагогического аспекта программа будет включать предельно обширный курс об историческом развитии науки. Каждый курс будет сопровождаться практическими занятиями с основательным освещением вопросов, представляющих педагогический интерес.

Программа такого курса будет включать следующие разделы:

геометрия: аксиомы евклидовой геометрии, принципы проективной геометрии, обзор различных геометрических систем, систематическое изложение основных способов решения геометрических задач, история начал геометрии;

тригонометрия: историческое развитие науки;

арифметика: способы счета; историческое развитие начал арифметики; расширение понятия числа;

алгебра и теория чисел: понятие делимости в теории чисел и алгебре; историческое развитие алгебры и алгебраических обозначений; употребление алгебры для решения геометрических задач на построение с помощью различных инструментов.

Новый ассистент преподавателя в своей работе также должен будет учитывать изменения в школьном преподавании математики, которые внедрены или предложены в крупнейших зарубежных странах и которые имеют все шансы укрепиться в долгосрочной перспективе.

Международная комиссия по преподаванию математики

РОССИЙСКАЯ ПОДКОМИССИЯ

ДОКЛАД О ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ В УНИВЕРСИТЕТАХ, ВЫСШИХ ТЕХНИЧЕСКИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЯХ И НЕКОТОРЫХ ВОЕННО-УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЯХ РОССИИ

Автор: К. Поссе, Заслуженный профессор Санкт-Петербургского университета

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

Типография Тренке и Фюсно. Максимилиановский пер., д. 13 1910

Оглавление

ЧАСТЬ I. УНИВЕРСИТЕТЫ.................................................................58

ГЛАВА I. Цель создания университетов и их связь со средней школой.....................................................................................................59

§ 1. Перечень российских университетов.............................................59

§ 2. Цель создания университетов.........................................................59

§ 3. Деление физико-математического факультета на два направления. Математика для естественников....................................61

§ 4. Средние школы, выпускники которых могут быть зачислены в университет. Степень подготовки этих выпускников к обучению в университете...........................................................................................62

ГЛАВА II. Учебные планы и программы.............................................66

§ 1. Учебные планы до 1906 года..........................................................66

§ 2. Учебный план курса математики в Санкт-Петербургском университете с 1906 года.......................................................................67

§ 3. Учебный план Московского университета...................................72

§ 4. Учебный план Харьковского университета..................................75

§ 5. Учебный план Киевского университета........................................79

§ 6. Учебный план Одесского университета........................................82

§ 7. Преподавание математики в Казанском и Юрьевском университетах.........................................................................................86

§ 8. Программы университетских курсов.............................................86

ГЛАВА III Экзамены..............................................................................94

§ 1. Вступительные испытания.............................................................94

§ 2. Промежуточные и выпускные экзамены в университете............94

§ 3. Предметная система испытаний (Fachsystem)............................100

§ 4. Замечания о новой экзаменационной системе............................102

§ 5. Экзамены на звание школьного учителя.....................................103

§ 6. Экзамены на степень магистра наук............................................105

ГЛАВА IV. Методики преподавания..................................................107

§ 1. Лекции, упражнения, конференции.............................................107

§ 2. Модели, учебные пособия, литографированные лекции...........107

§ 3. Конкурсные сочинения и сочинения на зачет полугодия..........109

ГЛАВА V. Роль университетов в подготовке преподавательского состава для учреждений высшего и среднего образования..............111

§ 1. Соискатели профессорских должностей в университетах и институтах.............................................................................................111

§ 2. Роль университетов в подготовке учителей средней школы.....112

§ 3. Каникулярные курсы для учителей средней школы..................114

ЧАСТЬ II. ВЫСШИЕ ТЕХНИЧЕСКИЕ УЧЕБНЫЕ ЗАВЕДЕНИЯ. ВОЕННО-УЧЕБНЫЕ ЗАВЕДЕНИЯ...................................................116

Высшие технические учебные заведения и некоторые военно-учебные заведения................................................................................117

§ 1. Высшие технические учебные заведения в России. Их цель. Продолжительность обучения. Условия зачисления........................117

I. Санкт-Петербургский политехнический институт........................119

§ 2. Число слушателей. Отделения. Учебные планы.........................119

§ 3. Программы курсов математических дисциплин.........................122

§ 4. Курс теоретической механики......................................................123

§ 5. Упражнения и практические работы...........................................125

§ 6. Вступительные и переводные испытания...................................127

§ 7. II. Институт инженеров путей сообщения..................................128

§ 8. III. Санкт-Петербургский электротехнический институт..........130

$ 9. IV. Санкт-Петербургский горный институт................................132

$10. V. Санкт-Петербургский институт гражданских инженеров (архитекторов)......................................................................................132

§ 11. Результаты обучения математике в высших технических учебных заведениях..............................................................................133

§ 12. Меры, предлагаемые для повышения уровня теоретических знаний у учащихся специализированных учебных заведений.........136

VI. Военно-учебные заведения............................................................139

§ 13. Военные школы с математической подготовкой......................139

§ 14. Санкт-Петербургская военно-морская академия......................140

§ 15. Санкт-Петербургское военно-топографическое юнкерское училище.................................................................................................144

§ 16. Минный офицерский класс в Кронштадте................................144

ЧАСТЬ I. УНИВЕРСИТЕТЫ

ГЛАВА I.

Цель создания университетов и их связь со средней школой

§ 1. Перечень российских университетов

В 1755 году был основан первый в России -

1) Московский университет. Почти полвека он оставался единственным высшим учебным заведением страны.

Далее появились:

2) Юрьевский университет (бывший Дерптский), в 1802 году;

3) Казанский - в 1804 году;

4) Харьковский - в 1805;

5) Петербургский - в 1819;

6) Свято-Владимирский в Киеве - в 1834;

7) Новороссийский в Одессе - в 1865;

8) Варшавский - в 1869;

9) Томский-в 1888;

10) Саратовский - в 1909.

В двух последних еще не учреждены физико-математические факультеты, и обучение математике не производится.

Деятельность Варшавского университета после его временного закрытия в 1905 году пока в полной мере не восстановлена. В настоящее время Университет обучает только студентов первых четырех семестров, с неполным преподавательским составом и по сокращенным учебным планам.

Заявленный учебный план Варшавского университета на 1909— 1910 гг. опубликован в № 2 журнала «l'Enseignement mathématique» за 1910 год.

Далее мы будем говорить только о первых семи из вышеперечисленных университетов.

§ 2. Цель создания университетов

«Университет - это и научное, и образовательное учреждение. В преподавании наук каждый факультет Университета стремится в наибольшей степени достичь следующего идеала:

Не только в надлежащем порядке передать студентам определенный объем знаний об утвердившихся в науке фактах, но также преподать методы и приемы интеллектуального рассуждения, ранее приведшие к открытию основополагающих научных истин, а ныне служащие поиску доселе неизвестных истин; разъяснить

студентам способы овладения такими методами и приемами и научить применять их к решению разнообразных вопросов, которые могут возникнуть по ходу обучения; в определенной мере изложить главнейшие из уже сделанных научных открытий и по возможности осветить путь дальнейшего развития науки; указать новые вопросы и задачи, встающие перед наукой в ходе ее последовательного развития; - одним словом, на основании определенного объема усвоенных знаний, воспитать в студентах научную любознательность, изобретательский дух и способность к научной работе.

Таким образом, хотя Университет и состоит из разных факультетов, где преподаются специальные науки, он является центром общей научной подготовки и учреждением общего образования. Именно этим он существенно отличается от институтов. Основная цель последних - дать студентам ряд знаний, которые, как правило, абсолютно необходимы для их деятельности в рамках выбранной профессии (например, профессии инженера, механика, учителя средней школы и т.д.), тогда как Университет в каждом разделе науки преследует исключительно научные и образовательные цели, не приспосабливая их к той или иной профессии, которую выпускники изберут для дальнейшей деятельности».

Такими словами общая цель создания университетов изложена в брошюре под названием «Сведения об учебном плане физико-математического факультета Санкт-Петербургского университета», изданной этим факультетом в 1908 году.

В ходе доклада мы еще неоднократно будем цитировать эту брошюру. Далее по тексту мы будем называть ее просто «Сведения...».

Впрочем, реальность, как правило, является лишь весьма несовершенным слепком с идеала.

Возможность более или менее приблизиться к нему зависит от совершенно разных обстоятельств, в частности от качества и численности научных кадров, а также от материально-технических средств, имеющихся в распоряжении различных университетов, уровня знаний и интеллектуального развития слушателей и т.д.

Последний из перечисленных факторов тесно связан с положением дел в сфере среднего образования, которого мы далее коснемся более подробно.

Также следует заметить, что физико-математический факультет непосредственно не готовит учителей средних школ, но при этом именно его должны окончить все те, кто желает посвятить себя преподаванию математики или физики в таких школах. По этой причине нельзя умолчать о роли университетов в подготовке школьных учителей, а значит, к этому важному вопросу мы тоже впоследствии вернемся.

§ 3. Деление физико-математического факультета на два направления. Математика для естественников

Во всех российских университетах физико-математические факультеты включают два отделения: математическое и естественное.

За исключением курса общей физики и курса общей химии, которые в течение года читаются студентам обоих отделений совместно, все прочие дисциплины на разных отделениях различаются.

Студентам естественнонаучных специальностей Московского, Санкт-Петербургского, Киевского, Харьковского и Одесского университетов в разное время начали преподавать краткий курс математики, а студентам первых двух - также курс основ механики.

В разных университетах эти курсы занимают разное время. Дольше всего они читаются в Санкт-Петербурге: курс математики - по 3 часа в неделю в течение двух лет (или четырех семестров), курс механики - по 2 часа в течение двух семестров.

Отметим мимоходом, что первый, так называемый осенний семестр, продолжается с 1 сентября (по старому стилю) до 20 декабря, а второй - весенний - с 15 января по конец апреля, с двухнедельными пасхальными каникулами.

Таким образом, длительность учебного года составляет от 26 до 27 недель. В мае лекций обычно нет, однако продолжаются лабораторные работы и экзаменационные сессии. Полный курс университетского образования составляет 8 семестров.

Возвращаясь к курсу математики для естественников, заметим, что для студентов кафедры химии естественного отделения этот курс (как и курс механики) обязателен, то есть выносится на экзамен.

Введение этих курсов в учебный план естественного отделения, по крайней мере для химиков, свидетельствует о том, что естественники уже давно осознали крайнюю необходимость знаний об основах исчисления бесконечно малых и аналитической геометрии.

Что касается программы этих курсов, известной нам на примере Санкт-Петербургского университета, позволим себе следующее замечание. По нашему мнению, было бы предпочтительно сократить некоторые сугубо математические разделы и добавить несколько разделов, связанных с применением математики в естественных науках. Немало примеров такой структуры курса мы находим в учебниках математики для естественников, например: Burkhardt — Vorlesungen über die Elemente der Diff.- u. Integralrechnung und ihre Anwendung zur Beschreibung der Naturerscheinungen, или Nernst u. Schönfliess. — Einführung in die mathematische Behandlung der Naturwissenschaften. Полное отсутствие таких прикладных разделов в курсе для специалистов, использующих математику сугубо прикладным образом, является недостатком, который также встретится нам и в программах высших технических учебных заведений.

В части преподавания математики студентам естественного отделения мы ограничимся вышеприведенными замечаниями и в дальнейшем будем говорить только о преподавании на математическом отделении.

§ 4. Средние школы, выпускники которых могут быть зачислены в университет. Степень подготовки этих выпускников к обучению в университете

Согласно текущим требованиям в университет зачисляются:

A. Без экзаменов:

1. выпускники, имеющие аттестат зрелости классических гимназий МНП с восьмилетним обучением;

2. успешные выпускники общих классов Императорского Александровского лицея или Императорского училища правоведения1.

B. С дополнительным экзаменом по латыни в соответствии с программой классических гимназий:

1. успешные выпускники реальных училищ с семилетним обучением или других школ с аналогичными правами и организационной структурой;

2. успешные выпускники кадетских корпусов;

3. успешные выпускники общих классов Морского корпуса.

С дополнительными экзаменами по математике, физике и иностранному языку:

Успешные выпускники как минимум 4-го класса духовных семинарий. Средний возраст абитуриентов университета составляет 18-20 лет.

Рассматривая программы вышеперечисленных школ, можно заметить, что приходящий из них контингент студентов крайне неравномерно подготовлен к изучению математики на университетском уровне.

Лучше всего подготовлены выпускники реальных училищ, в выпускном классе которых, начиная с 1907 года, преподают основы аналитической геометрии и исчисления бесконечно малых. Однако подавляющее большинство реалистов поступает в институты, и лишь

1 В специальных классах этих школ основной упор делается на изучение права

весьма малая их часть попадает в университеты. Одним из серьезнейших препятствий к этому является экзамен по латыни, который сдается по программе классических гимназий.

Следующие по уровню подготовки - военные школы, в программах которых также предусмотрены первоосновы аналитической геометрии; однако их выпускники поступают в университеты еще реже, чем реалисты.

Подавляющее большинство студентов университетов составляют выпускники классических гимназий. Математическая программа в таких гимназиях намного уже, чем в реальных училищах, и не включает ни аналитической геометрии, ни основ исчисления бесконечно малых. Более того, слово «функция» в этой программе даже не упоминается.

И наконец наименее подготовленными являются выпускники семинарий, однако их присутствие никак не влияет на содержание университетских программ, поскольку на физико-математический факультет, и в особенности на математическое отделение, поступают считаные единицы семинаристов.

В рамках нашего доклада не совсем уместно обсуждать вопросы обучения математике в средней школе, однако полностью проигнорировать их невозможно по причине теснейшей связи среднего образования с высшим.

Следовательно, на этих вопросах придется на некоторое время заострить внимание.

Мы уже отмечали, что большинство слушателей физико-математического факультета составляют выпускники классических гимназий. При разработке университетских курсов должна учитываться совокупность знаний, которые студенты получили в своих школах, однако, к сожалению, совокупность эта невелика, и потому первые семестры в университете посвящены изучению первооснов аналитической геометрии и начал анализа, а также дополнению курса общей алгебры.

Между программами гимназий и программой университета отсутствует должная преемственность, поэтому университетским профессорам приходится тратить немалое время на то, чтобы познакомить слушателей с неким кругом идей, о котором они даже не слышали в средней школе.

Несмотря на весьма низкий уровень сложности занятий в первых семестрах, немало студентов показывают по ним слабую успеваемость и в итоге довольно рано бросают учебу, переходя на более «простой» либо лучше отвечающий их способностям факультет, или же вовсе оставляя университет.

С другой стороны, необходимость долгое время поддерживать несложный характер преподавания приводит к ограничению объема изучаемого материала и, в целом, к падению уровня университетского

образования.

Единственный способ изменить такой порядок вещей мы видим в том, чтобы повысить уровень среднего образования, причем на этом пути мы не усматриваем серьезных препятствий.

Реформа среднего математического образования, на необходимость которой указывал профессор Ф. Кляйн в своих работах и лекциях, уже состоялась во Франции, начинается в Германии и насчитывает немало убежденных сторонников в нашей стране.

Хотя программы реальных училищ были изменены совсем недавно, в 1907 году, опыт применения новых программ уже свидетельствует о том, что: 1) введенный в программу предмет «основы исчисления бесконечно малых» вполне доступен для понимания старшеклассников таких училищ со средними интеллектуальными способностями; 2) знание основ этого предмета дает их выпускникам, по сравнению с выпускниками гимназий, немалое преимущество при обучении в инженерно-технических институтах.

Это преимущество может стать еще очевиднее, если основы аналитической геометрии и исчисления бесконечно малых будут преподаваться не только в выпускном классе, но постепенно вводиться в основную программу алгебры и общей геометрии, как это делает на своих занятиях г-н Борель, и приводится в соответствие с новыми программами среднего образования во Франции.

Для такой реформы не потребуется радикальное преобразование учебных планов средних школ: ее можно осуществить, просто наделив учителей этих школ большей свободой в выборе преподаваемых предметов и избавив экзаменационные программы от определенного количества бесполезных вопросов, которыми они обременены ради следования общепринятым правилам. Однако для того, чтобы выгоду из такой реформы смогли извлечь и университеты, необходимо провести ее как в реальных училищах, так и в гимназиях.

Крайне эффективным способом постановки вопроса об этой реформе могло бы стать издание на русском языке трудов по педагогике, излагающих новые взгляды на математическое образование в средней школе. Весьма содержательный очерк об этом, в частности, уже написал учитель средней школы из Киева г-н Лебединцев. (См. его «Курс алгебры для средних школ», Киев, 1905— 1906).

Однако до изменения официальных программ мы вряд ли можем ожидать появления множества публикаций в таком жанре, поскольку труды, не соответствующие официальным программам, едва ли смогут рассчитывать на коммерческий успех, оправдывающий работу автора. Тем не менее, эта непосильная для одного автора задача вполне может быть выполнена педагогическим обществом или институтом. В одном из обществ такого рода, относящемся к Педагогическому музею при

Главном управлении военно-учебных заведений, недавно прошли обсуждения различных докладов, касающихся реформы математического образования, и было высказано пожелание как можно скорее издать книги по педагогике, соответствующие современным взглядам2.

Вскоре в стране пройдет общая реформа средней школы, запланированная Министерством народного просвещения и ожидающая одобрения законодательных органов.

По ее итогам реальные училища как таковые будут упразднены, а все средние школы будут преобразованы в заведения трех следующих типов:

1) классические гимназии с греческим и латинским языком;

2) реальные гимназии с латинским и одним современным иностранным языком;

3) реальные гимназии с двумя современными иностранными языками.

Ученики гимназий всех трех типов будут иметь одинаковое право на поступление и зачисление на физико-математические факультеты.

Что касается программ по математике, они пока окончательно не разработаны. Остается надеяться, что комиссии, которым будет поручена их разработка, добьются существенного сдвига в этом крайне важном вопросе, который в некотором смысле даже более значим, нежели вопросы университетского образования как такового.

2 См. Протоколы заседаний математической секции за 1910 год.

ГЛАВА II.

Учебные планы и программы

§ 1. Учебные планы до 1906 года

Вплоть до указанного года учебные планы математических отделений физико-математических факультетов всех российских университетов, хотя и отличались в деталях, но все же строились на некой общей базе.

Предметами изучения всех студентов математического отделения были четыре следующие науки:

1. «чистая» математика;

2. механика;

3. физика и метеорология;

4. астрономия и геодезия.

В качестве дополнительного, но обязательного курса также преподавалась общая химия, которая одновременно читалась студентам математического и естественного отделений.

Однако со временем, по мере развития образования и постоянного увеличения числа лекций и размера программ, студентам становилось все труднее уделять равное внимание всем дисциплинам и в равной степени успешно сдавать экзамены по всем преподаваемым предметам. Вследствие этого возникла насущная необходимость разделить учебные дисциплины на группы по основному предмету изучения и позволить студентам свободно выбирать одну из таких групп, тем самым заметно сокращая объем дисциплин из других групп. Начиная с 1906 года, физико-математические факультеты Петербургского, Московского, Харьковского, Киевского и Одесского университетов приступили к разработке новых учебных планов на основе этого принципа.

Представленные факультетами проекты учебных планов были утверждены Министерством народного просвещения, после чего во всех пяти упомянутых университетах старые учебные планы сменились новыми.

Казанский и Дерптский (Юрьевский) университеты не имели достаточного преподавательского состава для применения реформы и потому не последовали примеру остальных университетов, сохранив прежние учебные планы.

Деление дисциплин на группы в разных университетах было произведено по-разному. Прежде всего рассмотрим учебный план Санкт-Петербургского университета, изложенный и разъясненный в упоминавшихся ранее «Сведениях...».

В этой публикации студентам даются ценные указания и советы о том, как наилучшим способом извлечь пользу из всех образовательных методик, предлагаемых Университетом.

§ 2. Учебный план курса математики в Санкт-Петербургском университете с 1906 года

Науки, преподаваемые на математическом отделении, делятся на три группы, а именно:

1. математика и аналитическая механика;

2. астрономия;

3. физика, подразделяющаяся на две подгруппы:

а) физика, б) физическая география и метеорология.

Для прохождения университетского курса студент может выбрать любую группу по своему усмотрению. Более того, разрешается одновременно записываться в две разные группы или же посещать отдельные занятия другой группы, другого отделения и даже другого факультета. В основной группе студент обязан ходить на все занятия, составляющие курс данной группы и указанные в нижеприведенной таблице I. Отделы в таблице соответствуют последовательности экзаменов, которые должен сдавать студент и о которых речь пойдет в главе III.

Порядок следования дисциплин жестко не закреплен, однако в «Сведениях» рекомендуется изучать их в определенном порядке, который практически неизбежен при обучении математике. Этот порядок приводится в таблице II, где дисциплины указаны в разбивке по лекциям, упражнениям и практическим работам, а также по семестрам. Таблица относится только к первой группе.

Студенты не обязаны посещать практические упражнения, однако в «Сведениях» им рекомендуется не пренебрегать этим вспомогательным способом обучения, польза которого пока не оценена по достоинству (см. таблицу I).

ТАБЛИЦА I

Распределение дисциплин на математическом отделении физико-математического факультета Санкт-Петербургского университета по группам и отделам, 1909—1910 гг.

Математика

Астрономия

Физика а) физика Ь) физическая география и метеорология

1-й ОТДЕЛ

L

Для всех групп

Аналитическая геометр. 4-4

Сферическая тригонометрия 1-0

Введение в анализ 4-0

Дифференциальное исчисление 3-3

Описательная астроном. 3-3

Молекулярная физика и термодинамика 3-3

для всех групп

Высшая геометрия 1-2

Начертательная геометрия 1 -2

Курс общей химии 4-4

Кристаллография 2-0

Практические работы в физической лаборатории

Рекомендованный курс:

Курс общей химии 4-4

Рекомендованный курс:

тот же

2-й ОТДЕЛ

для всех групп

Высшая алгебра 3-3

Применение дифф. исчисления в геометрии 4-0

Интегрирование функц. 3-0

Применение интегр. исчисления в геометрии 0-3

Сферическая астроном. 2-2

Оптика и акустика 2-2

Электротехника 3-2

для всех групп

Практические работы по сферич. астрономии 2-0

Практическая астрон. 2-0

Практические работы в обсерватории 0-2

Рекомендовано: Практ. астрономия 2-0

для всех групп

Определенные Интегралы 2-2

Интегрирование обыкновенных дифф. уравнений и вариационное исчисление 3-3

Статика 0-2

Кинематика 2-0

Механика материальной точки 0-3

Механика систем и твердых тел 4-0

Гидростатика и гидродинамика 0-3

для всех групп

3-й ОТДЕЛ

Уравн. в частн произв. 3-3

Конечные разности 2-0

Исчисл. вероятн 2-2

Эллиптические функции 3-0

Теория чисел 0-4

Уравн. в частных произв. 3-3

Теор. астрономия 3-0

Геодезия 0-3

Небесная механика 0-3

Высшая оптика 2-2

Высшая оптика 2-2

Термодинамика 2-2

Уравн. в частн. производных 3-3

Теор. элетричества 4-4

Метеорология и физ. геогр. 3-3

Земной магнетизм

Рекомендовано:

Способы решения задач по механике 2-2

Теор. астрономия 3-0

Небесная механика 0-3

Рекомендовано:

Исчисление вероятн. 2-2

Эллиптические функции 3-0

Способы решения задач по механике 2-2

Теория о фигурах равновесия небесных тел 2-0

Теория приливов 0-2

Рекомендовано:

Исчисление вероятн. 2-2

Способы решения задач по механике 2-2

Эллипт. функции 3-0

Теор. астрономия 3-0

Метеорология 3-3

Примечания к таблице 1.

1. Цифры после названия занятий означают количество часов в неделю, соответственно, в первом и втором семестре.

2. Экзамены по 2-му отделу назначаются только после сдачи всех экзаменов по 1-му отделу, а экзамены по 3-му отделу - только после сдачи всех экзаменов по первым двум отделам. Экзамены по 3-му отделу принимает Государственная комиссия (см. главу III).

3. Рекомендованные курсы не выносятся на экзамены.

4. Курсы высшей геометрии и начертательной геометрии читаются поочередно, раз в два года. Экзамены принимает Государственная комиссия.

ТАБЛИЦА II

Распределение занятий I группы (математика и аналитическая механика) по семестрам.

1 семестр

Сферическая тригонометрия. Введение в анализ. Аналитическая геометрия. Упражнения по аналитической геометрии (2). Высшая или начертательная геометрия. Молекулярная физика. Описательная астрономия. Рекомендовано: курс общей химии.

2 семестр

Аналитическая геометрия и упражнения (2). Дифференциальное исчисление и упражнения (2). Высшая или начертательная геометрия. Описательная астрономия. Физика-термодинамика. Рекомендовано: курс общей химии-

3 семестр

Высшая алгебра. Применение дифференциального исчисления в геометрии, упражнения (2). Интегрирование функций. Сферическая астрономия. Оптика, акустика, электричество.

4 семестр

Высшая алгебра. Интегрирование функций. Применение интегрального исчисления в геометрии. Упражнения на интегральное исчисление (2). Статика, оптика, акустика, электричество. Сферическая астрономия.

5 семестр

Определенные интегралы. Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений. Конечные разности. Кинематика.

6 семестр

Определенные интегралы. Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений и вариационное исчисление. Теория чисел. Динамика материальной точки, упражнения (2).

7 семестр

Уравнения в частных производных. Конечные разности. Исчисление вероятностей. Эллиптические функции. Механика систем, упражнения (2). Рекомендовано: теоретическая астрономия.

8 семестр

Уравнения в частных производных. Исчисление вероятностей. Теория всемирного тяготения. Гидростатика и гидродинамика. Рекомендовано: небесная механика.

Примечание. Числа в скобках означают количество часов занятий в неделю.

Помимо общих и рекомендованных курсов предусмотрено несколько специальных курсов, которые проводятся не каждый год, в частности:

1. Теория абелевых интегралов ( 1906—1907).

2. Теория поверхностей (1907—1908, 1908—1909).

3. Аналитическая теория дифференциальных уравнений (1907— 1910).

4. Векторный анализ (1908—1910).

5. Исторический и критический обзор принципов теоретической механики (1908—1910).

Большинство этих дисциплин преподают приват-доценты.

§ 3. Учебный план Московского университета3

В Московском университете дисциплины математического отделения распределены по 5 группам, или специализациям, а именно:

1. математика;

2. механика,

3. астрономия,

4. физика,

5. физическая география.

ТАБЛИЦА III

Учебный план математического отделения физико-математического факультета Московского университета

Примечание. Число в круглых скобках ( ) означает количество часов соответствующего предмета в неделю в осеннем семестре, число в квадратных скобках [ ] — в весеннем семестре; число в фигурных скобках { } означает курсы, которые рекомендуется предварительно пройти перед данным.

Общие курсы для всех специализаций

1. Аналитическая геометрия (4) [3]. Упражнения (2) [2].

2. Высшая алгебра и определители (3) [3].

3. Начертательная геометрия (2). Упражнения [2].

4. Введение в анализ (3). Упражнения [2].

3 Сведения о Московском университете сообщил профессор Млодзиевский.

5. Дифференциальное исчисление [4]. Упражнения [2] {2, 4}

6. Дифференциальная геометрия (применение дифференциального исчисления в геометрии) (4). Упражнения (2) {1,4,5}

7. Интегральное исчисление (4) [3]. Упражнения (2) [2] {1, 2, 4, 5,6}

8. Интегрирование дифференциальных уравнений [3] (2). Упражнения (2) [2] {1, 2, 4, 5, 6, 7}

9. Физика общий курс (4) акустика и термодинамика [4] электричество и оптика (4)

10. Дополнительные разделы физики [4] {1, 2, 4, 5, 9}

11. Сферическая астрономия (2) [2] {1, 2, 4, 5 }. Упражнения (2)

12. Описательная астрономия (2) [2] {9}

13. Кинематика, статика (с теорией тяготения) и динамика точки (3) [3]. Упражнения (2) [2] {1, 3, 4, 5, 7}

14. Механика и гидромеханика (3) [3]. Упражнения (2) [2] {1, 2, 4, 5,6, 7, 8,13}

15. Вариационное исчисление [2] {1,.4, 5, 6, 7, 8}

16. Исчисление вероятностей и метод наименьших квадратов [2] (2) { 1,4,5,6,7,8}

17. Введение в общую химию (3) [3]

18. Кристаллография (2) [2]

19. Физическая химия (2) [2].

Специальные курсы

Примечание. Программа специальных курсов может претерпевать изменения в зависимости от преподавательского состава. Основные из этих курсов указаны ниже.

Специализация «Математика» {с 1 по 16}

20. Уравнения в частных производных (2).

21. Конечные разности [2].

22. Эллиптические функции (2).

23. Теория аналитических функций (3) [2].

24. Теория чисел [3].

25. Проективная геометрия (2) [2].

26. Специальные курсы по математике.

27. Математический семинарий.

Специализация «Механика» {с 1 по 16,20}

28. Специальный курс по динамике твердого тела (3).

29. Специальный курс по гидродинамике [3].

30. Интегрирование уравнений динамики. Задача трех тел (2) [2].

31. Теория упругости (2) [2].

32. Теория механизмов и машин (2) [2].

33. Сопротивление материалов [3].

34. Гидравлика (3).

35. Линейное черчение и проектирование механизмов и машин (3) [3].

36. Специальные курсы по механике.

Специализация «Астрономия» {с 1 по 16, кроме 3}

37. Высшая геодезия (2) [2]. Упражнения (2) [2],

38. Введение в теоретическую астрономию (2) [2].

39. Определение орбит [2] (2).

40. Небесная механика (2) [2],

41. Практические работы в обсерватории.

Специализация «Физика» {1,2, 4—15, 17, 19, 45,48}

42. Основной курс математической физики

термодинамика, упругость, акустика (3) [3], электромагнитное поле и теория света (3) [3].

43. Практикум в физической лаборатории (4) [4].

44. Специальные курсы по физике.

Специализация «Физическая география» {1,2, 4-14, 17, 43}

45. Метеорология и метеорологическая оптика (3) [3].

46. Атмосферное электричество и земной магнетизм (3) [3],

47. Избранные разделы геофизики [1] (1).

48. Практические работы в Физико-географическом институте.

Правила проведения экзаменов в Московском университете

Для получения выпускного свидетельства университета, дающего права на сдачу экзаменов Государственной комиссии (см. гл. III) студент должен сдать в университете все полукурсовые экзамены, а также выполнить обязательные практические работы. Практические работы и задания по аналитической геометрии, дифференциальному и интегральному исчислению, а также по 1-й части курса механики

должны быть сданы до явки студента на выпускные экзамены по соответствующим предметам. Полукурсовые экзамены на математическом отделении проводятся по следующим дисциплинам: аналитическая геометрия, высшая алгебра, дифференциальное исчисление с применением в геометрии, интегральное исчисление, физика (1-я и 2-я часть), механика (1-я часть), то есть всего 8 экзаменов. Экзамены проводятся в конце каждого семестра, сессии начинаются 10 декабря и 10 мая.

Что касается других необходимых условий для получения университетского диплома, о них мы упомянем в главе III.

§ 4. Учебный план Харьковского университета4

В таблице IV приводится распределение дисциплин по группам и семестрам.

Последовательность и правила сдачи экзаменов аналогичны Санкт-Петербургскому университету.

Упражнения посещать рекомендовано, но не обязательно.

Теория чисел, преподаваемая вместе с введением в анализ, включает в себя теорию делимости, решение сравнений первой и второй степени и теорию степенного вычета - вплоть до квадратичного закона взаимности (включительно).

Обязательная последовательность экзаменов не распространяется на экзамен по экспериментальной физике, который можно сдавать в рамках любого отдела.

4 Сведения о Харьковском университете представлены профессором Синцовым.

ТАБЛИЦА IV

Учебный план математического отделения физико-математического факультета Харьковского университета (1910-1911)

I гр. Математика и механика

1 сем

2 сем

II гр. Физика

1 сем

2 сем

III гр. Астрономия

1 сем

2 сем

1-й раздел

Аналитическая геометрия

3,1

3,1

то же

3,1

3,1

то же

3,1

3,1

Введение в анализ и элементарная теория чисел

4,0

то же

4,0

то же

4,0

Сферическая тригонометрия

1,0

то же

1,0

то же

1,0

Алгебраический анализ

4,0

то же

4.0

то же

4,0

Дифференциальное исчисление

4,2

то же

4,2

то же

4,2

Общая физика

5,0

5,2

то же

5,0

5,2

то же

5,0

5,2

Общая химия (рекомендовано)

3,0

3,0

то же (обязательно)

3,0

3,0

2-й раздел

Геометрическое применение дифференциального исчисления

3,1

то же

3,1

то же

3,1

Интегральное исчисление:

I. Неопределенные интегралы

3,2

то же

3,2

то же

3,2

II. Определенные интегралы 1

3,0

то же

то же

3,0

Общий курс астрономии

3,0

3,0

то же

3,0

3,0

то же

3,0

3,0

Избранные разделы элементарн. геометрии (рекомендовано)

2,0

Практические работы по физике

0,3

Сферическая астрономия

3,2

Начертательная геометрия

2,1

Спецкурс по

Неорганическая химия

3,0

3,0

3-й раздел

Проективная геометрия

2,0

экспериментальной физике

Интегральное исчисление:

Определенные интегралы 2

2,0

то же

2,0

то же

2,0

Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений

3,1

то же

3,1

то же

3,1

Конечные разности

2,0

Метеорология

3,0

2,2

Работы в обсерватории

0,3

Уравнения в частных производных 1-го порядка

3,0

Метод наименьших квадратов (рекомендовано)

1,0

Уравнения в частных производных 1-го порядка

3,0

Исчисление вероятностей

2.0

то же

2,0

то же

2.0

Механика, I и II часть

4,2

4,2

то же

4,2

4.2

то же

4,2

4.2

Спецкурсы по экспериментальной физике

6,0

Практическая астрономия

3,0

Геодезия

3.0

Теоретическая астрономия

3,0

3,0

Конечные разности

2,0

Теоретическая астрономия

3,0

3,0

Теория функций комплексного переменного и эллиптических функций

3,0

3,0

Теория функций комплексного переменного

3,0

Метод наименьших квадратов

1,0

Вариационное исчисление

2,0

Два курса математической физики

3,0

3,0

Определение орбит

3,0

2,0

Механика, III часть

4,2

то же

4,2

то же

4,2

Спецкурсы по математике

3,0

Теоретическая

3,0

3,0

Работы в обсерватории

0,3

0.3

(рекомендовано)

астрономия (рекомендовано)

Спецкурсы по механике (рекомендовано)

6,0

Практические работы по физике

0,3

0,3

Спецкурсы (рекомендовано)

6,0

NB. Первое число в каждом столбце означает количество лекций, второе - количество упражнений

§ 5. Учебный план Киевского университета5

Дисциплины математического отделения делятся на четыре группы (специализации):

1. Математика

2. Механика

3. Астрономия

4. Физика

ТАБЛИЦА V

Общие курсы для всех групп

ПРЕДМЕТЫ

Кол-во часов в неделю

1 семестр

Введение в высшую математику

4

Аналитическая планиметрия

6

Физика

6

Химия

5

2 семестр

Аналитическая стереометрия

5

Физика

6

Дифференциальное исчисление (теория)

4

Алгебраический анализ

3

Упражнения по дифференциальному исчислению

2

3 семестр

Дифференциальное исчисление (применение)

4

Алгебраический анализ

3

Интегральное исчисление (интегрирование функций)

2

Кинематика точки

2

Общая астрономия (описательная)

2

Сферическая астрономия

2

Упражнения по дифференциальному исчислению

2

Упражнения по интегральному исчислению

1

4 семестр

Интегральное исчисление (определенные интегралы, кратные интегралы)

4

Астрономия: общая (описательная)

2

Сферическая

2

Динамика точки

3

Практика интегрального исчисления

1

5 семестр

Кинематика твердого тела

2

Интегрирование обыкновенных дифференциальны уравнений

3

5 Сведения предоставлены деканом факультета и переданы через профессора Букреева.

Теория потенциала и статика (или гидродинамика)

2

6 семестр

Динамика систем

4

Интегрирование линейных уравнений в частных производных

1

7 семестр

Динамика твердого тела

2

Гидродинамика (или теория потенциала)

2

Вычисление конечных разностей

2

Вариационное исчисление

3

8 семестр

Исчисление вероятностей

1

Специальные курсы

I группа — математика

1. Интегрирование нелинейных уравнений в частных производных

3 часа, 1 семестр

2. Теория чисел

3 часа, 1 семестр

3. Высшая алгебра

3 часа, 1 семестр

4. Теория функций комплексного переменного

2 часа, 1 год

5. Теория эллиптических функций

4 часа, 1 год

6. Дифференциальная геометрия

4 часа, 1 семестр

7. Проективная геометрия

3 часа, 1 семестр

II группа — механика

1. Движение твердого тела

3 часа, 1 семестр

2. Интегрирование уравнений динамики

3 часа, 1 семестр

3. Гидродинамика (специальный курс)

3 часа, 1 семестр

4. Теория упругости

3 часа, 1 семестр

Специальные курсы по аналитической и прикладной механике (факультативно)

III группа — астрономия

1. Практическая астрономия 3 часа, 1 семестр

2. Метод наименьших квадратов 1 час, 1 семестр

3. Теоретическая астрономия 3 часа, 1 семестр

4. Небесная механика 3 часа, 1 семестр

5. Геодезия 3 часа, 1 семестр

IV группа — физика

1. Дополнительные разделы экспериментальной физики 3 часа, 1 семестр

2. Математическая физика 1 час, 1 семестр

3. Физическая география 3 часа, 1 семестр

4. Земной магнетизм и атмосферное электричество 3 часа, 1 семестр

Практические работы в лаборатории:

a) общие 4 ч. в семестр, 2-5 семестры

b) специальные 6-8 семестры

Последовательность экзаменов по мере прохождения курса

1) Введение в высшую математику

2) Аналитическая геометрия

3) Дифференциальное исчисление

4) Алгебраический анализ

Интегральное исчисление или наоборот

5) Кинематика и динамика точки - после 3-го экзамена по математике

6) Описательная астрономия - после 2-го экзамена

7) Физика

8) Химия по желанию

Все прочие экзамены сдаются государственной комиссии по окончании всего курса обучения.

§ 6. Учебный план Одесского университета6

Дисциплины математического отделения делятся на четыре группы (специализации):

I. Физика

II. Геофизика

III. Астрономия

IV. Чистая и прикладная математика

В таблице VI приведены названия курсов, которые читаются в разных семестрах обучения, а также обозначены группы, для которых данные курсы являются обязательными, и количество часов, выделенных на каждый курс.

Что касается упражнений, то, в отличие от учебных планов других университетов, в данном учебном плане они не фигурируют. Большинство этих занятий ведут приват-доценты, число которых на данный момент превышает число профессоров.

6 Сведения об Одесском университете предоставлены г-ном Каганом.

ТАБЛИЦА VI.

Курсы, читающиеся на математическом отделении физико-математического факультета Одесского университета в

1909-1910 гг.

КУРС

Семестры

Часы

Обязательное посещение

Введение в анализ

I и II

6 и 2

Для всех групп

Теория определителей

I

2

Введение в аналитическую геометрию

I

2

Аналитическая геометрия, 1-я часть

II

6

Теория чисел (основы)

I

2

Аналитическая геометрия, 2-я часть

III

4

Физика

I и II III IV

4 и 4

Неорганическая химия

I

5

__ " __

Дифференциальное исчисление

II и III

6 и 6

Интегральное исчисление

III и IV

4 и 6

Описательная астрономия

III

3

Сферическая астрономия

IV

3

Интегрирование дифференциальных уравнений

IV и V

2 и2

Конечные разности

V

2

Вариационное исчисление

VI

2

Исчисление вероятностей

V

2

Теоретическая механика: 1-я часть

IV и V

3 и 3

2-я часть Практические работы по физике

VI, VII и VIII III IV V. VI VII VIII

3,3 и 3 6 и 6

Физическая география

V VI VII VIII

1 и 1

Геофизика с практическими работами

V

2

Метеорология

v VI

VII VIII

1 и 1

Научные основы геометрии

II-VIII

2

Рекомендовано для IV гр.

Функции комплексного переменного

VI

4

Обязательно для IV гр.

Числовые ряды и бесконечные произведения

V VI VII VIII

2 и 2

Рекомендовано для IV гр.

Введение в теорию интегральных уравнений

V VII

2

Факультативно

Практическая астрономия

V VII

2

Обязательно для III гр.

Теоретическая астрономия

V VI VII VIII

3 и 1

Обязательно для III гр.

Теория возмущений

VI VIII

2

Факультативно

Земной магнетизм

V VI VII VIII

2 и 2

Обязательно для II и рекомендовано для I гр.

Атмосферное электричество

V VII

3

Метеорологическая оптика

VI VIII

3

Специальный курс по электричеству и магнетизму

V VI VII VIII

3 и 3

Факультативно

Коллоквиум по физической литературе

V VII

2

Рекомендовано для I гр.

Методология преподавания математики

все семестры

4

Факультативно

Математическая логика

4

Факультативно

§ 7. Преподавание математики в Казанском и Юрьевском университетах

На физико-математических факультетах этих двух университетов нет ни деления наук на группы по специализациям, ни предметной системы испытаний, о которой речь пойдет в главе III.

Поскольку численность преподавательского состава в этих университетах меньше, чем в других, то и учебные планы их менее обширны по сравнению с университетами, рассмотренными в предыдущих параграфах.

Чтобы выполнить учебный план, соответствующий требованиям официальных программ, преподаватели вынуждены читать по несколько курсов, чередуя их каждые два года, и брать весьма немалое количество часов.

Так, в Юрьевском университете учебная нагрузка одного из двух преподавателей математики составляет 12 часов лекций и 4 часа упражнений в неделю. А нагрузка преподавателя физики еще больше.

Экзамены проходят в конце второго и четвертого семестров (первая и вторая часть полукурсового экзамена), а также в конце восьмого семестра - перед Государственной комиссией.

Перечень математических дисциплин в Казанском и Юрьевском университетах за 1909-1910 учебный год представлен в выпуске №2 журнала «l'Enseignement mathématique» за 1910 год.

§ 8. Программы университетских курсов

Официально преподаватели обязаны представлять учебные программы на утверждение руководству факультета, однако на практике этого почти никогда не происходит, а если и происходит, то носит исключительно формальный характер. Фактически структура курса зависит исключительно от преподавателя, который несет ответственность только перед студентами и собственной репутацией.

Программы курсов (в особенности специальных курсов), которые читаются на последних семестрах обучения, различаются не только в разных университетах, но даже внутри одного университета - причем до такой степени, что любое обобщенное описание их исключено.

Можно лишь кратко прокомментировать основные курсы, которые являются базовыми для всех студентов и читаются в первые два года обучения.

Мы уже упомянули, что уровень сложности этих курсов очень невысок, поскольку абитуриенты оканчивают школы с весьма скудными знаниями.

Еще одна характерная особенность этих курсов состоит в том, что их программы постоянно перекликаются между собой. Так, преподаватель интегрального исчисления никогда не включит в свой курс темы, которые могут быть незнакомы студентам, прошедшим курсы дифференциального исчисления и аналитической геометрии в этом же университете, - ведь программы этих курсов ему прекрасно известны. Это никак не противоречит уже упомянутому праву преподавателей формировать программы курса по своему усмотрению, поскольку абсолютно неизменными из года в год, как правило, должны оставаться лишь немногие, самые базовые элементы программы основных курсов.

Чтобы составить общее представление о программах основных курсов, мы кратко разберем каждую из них.

Прежде всего рассмотрим программу курса «Введение в анализ», название которого не в полной мере отражает все изучаемые в нем аспекты.

Впервые этот курс появился в Санкт-Петербургском университете около 40 лет назад, а вскоре после этого был включен в учебные программы всех российских университетов.

Цель курса заключается в том, чтобы облегчить студентам первого семестра переход от гимназической программы к университетской. Поэтому курс должен включать вопросы алгебраического анализа, связанные как с элементарной алгеброй, так и с дифференциальным исчислением.

Ниже приведена программа курса «Введение в анализ», который в Санкт-Петербургском университете в 1878 году читал покойный профессор Е. И. Золотарев.

1. Алгебраические действия. Введение отрицательных чисел для обобщения вычитания. Сравнение отрицательных чисел и другие основные действия с ними.

2. Евклидовы отношения. Соизмеримые и несоизмеримые величины. Дробные числа, их сравнение и действия с дробями.

3. Иррациональные числа. Их определение по Кантору и действия с этими числами. Корни.

4. Комплексные числа. Основные действия с этими числами. Формула Муавра и основные случаи ее применения.

5. Предел

Вычисление числа е с заданным приближением.

6. Обобщение знаний о показательных и тригонометрических а также логарифмических и круговых функциях, функции комплексного переменного.

7. Вычисление значений трансцендентных функций с помощью степенных рядов. Сходимость и расходимость рядов. Умножение рядов.

8. Формула бинома Ньютона для дробной и отрицательной степени. Разложение функций вида е\ lg (\ +х), arctg х в ряды. Вычисление значения числа к.

Со временем программа этого курса расширилась и значительно изменилась. Теперь в нее входит теория определителей, разложение целых функций на множители, рациональных дробей на простейшие и т.д.

В одном из университетов в подобный курс недавно также включили теорию иррациональных чисел Дедекинда, теорию множеств, рядов и бесконечных произведений, и т.д.

О программах этого курса хотелось бы сделать одно замечание. С нашей точки зрения, такие абстрактные теории, как теория иррациональных чисел в любой трактовке (Кантора, Вейерштрасса или Дедекинда), теория множеств и др., недосягаемы для интеллектуальных способностей большинства первокурсников. Более того, что особенно важно, у них создается впечатление, что изучаемый предмет невыносимо скучен. Целесообразно ли начинать обучение в университете с подобных тем? Возможно, даже весьма смутного представления об иррациональных числах было бы достаточно для того, чтобы студенты могли продвигаться вперед в освоении исчисления бесконечно малых, которое для них будет куда занимательнее, чем все те предметы, которым посвящен первый семестр.

Как показывает опыт, на экзаменах приходится отказываться от вопросов по этим темам, поскольку зачастую студенты не могут дать на них удовлетворительные ответы. Следовательно, стоило бы полностью исключить эти темы из программы курса «Введение в анализ» и заменить их другими темами, которые были бы полезны и доступны начинающим математикам. Позже, когда у самих студентов возникнет необходимость провести обстоятельный анализ научных принципов, им не составит труда сделать это самостоятельно - изучив современные труды, в которых эти темы превосходно изложены.

Перейдем ко второму основному курсу - аналитической геометрии. В среднем программа этого курса не выходят за рамки программы специального математического класса французских лицеев; более того, как правило, она даже короче и не содержит ни одного раздела, основанного на понятии производной (разумеется, помимо формального определения производной целой функции). Проективные свойства конических сечений изучаются только в исключительных случаях - например, в курсе Б.К. Млодзиевского в Московском университете.

Нелишним было бы ввести аналитическую геометрию (по крайней мере, планиметрию) в курс средней школы. То же самое можно сказать и о курсе начертательной геометрии, университетская программа которого также не выходит за рамки программы французских лицеев.

Курс высшей алгебры тоже содержит весьма элементарные темы, которые, к тому же, входят в программу средней школы, и не включает хоть сколько-либо сложных аспектов. Так, курс высшей алгебры в Санкт-Петербургском университете предусматривает лишь решение численных уравнений и теорию исключения, а алгебраическое решение уравнений в этот курс не входит.

Программы курсов дифференциального и интегрального исчисления в первых четырех семестрах, как правило, не выходят за рамки программ подготовительных курсов к французским высшим техническим школам. Эти программы не менялись на протяжении полувека, однако изложение принципов становилось все более строгим, в соответствии с современными потребностями науки.

Более высокий уровень сложности временами наблюдается только на занятиях по геометрическим приложениям исчисления бесконечно малых. (Так, в курсе Б. Я. Букреева по теории поверхностей в Киевском университете в 1897 году или в курсе Д. М. Синцова в Харьковском университете за ограниченное время дается довольно полный объем учебного материала).

Именно с этого курса и курса определенных интегралов начинается высшее образование в строгом смысле слова. Именно из него произрастает все многообразие программ, которые существенно отличают высшее образование от среднего.

Курсы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных также характеризуются повышенной сложностью, по крайней мере в крупных университетах - Московском и Санкт-Петербургском. Ниже представлена программа курса интегрирования уравнений в частных производных, которым завершается преподавание математики в части анализа. Эта программа в 1909-1910 гг. была составлена профессором Санкт-Петербургского университета В. А. Стекловым, который любезно нам ее предоставил.

Программа

Дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные уравнения первого порядка с одной неизвестной функцией. Линейные однородные и неоднородные уравнения. Эквивалентные системы обыкновенных уравнений.

Число различных интегралов линейного однородного уравнения первого порядка. Общий интеграл. Примеры.

Случай особенного решения.

Определение системы п функций с п независимыми переменными. Якобиан.

Скобки Пуассона для п функций с 2п переменными и /?,• (i = 1, 2,......п). Основные свойства скобок Пуассона. Тождество Якоби.

Система линейных однородных уравнений в частных производных первого порядка с одной неизвестной функцией с п независимыми переменными. Замкнутые системы, нормальные системы. Алгебраические преобразования заданной системы в другую эквивалентную систему; основные свойства этих преобразований. Якобиан преобразования. Преобразование в новые независимые переменные. Наличие и число различных интегралов замкнутой системы уравнений (метод интегрирования Клебша-Коркина).

Обобщение метода Якоби для решения системы линейных уравнений первого порядка в частных производных.

Метод Якоби для нахождения полного интеграла всех уравнений системы по исходному интегралу одного из уравнений.

Уравнения в полных дифференциалах. Связь с предыдущей теорией. Случай трех переменных (задача Монжа).

Нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка. Классификация интегралов по Лагранжу (полный, общий различных классов и особый интеграл). Система обыкновенных дифференциальных уравнений, эквивалентная исходному уравнению в частных производных. Теорема Якоби. Первый метод Якоби для интегрирования уравнения и метод характеристик Коши. Определение полного интеграла и общего интеграла Коши этим методом.

Приведение общего уравнения к уравнению, не содержащему неизвестную функцию. Канонические системы обыкновенных дифференциальных уравнений и их свойства.

Теорема Якоби-Пуассона и некоторые ее приложения (к уравнениям движения свободной системы точек под воздействием сил, имеющих потенциал). Разные примеры интегрирования уравнений методом характеристик. Методы упрощения при решении изучаемых задач. Переход к второму методу Якоби.

Приведение системы ji уравнений в частных производных с 2п переменными х,, р, (7=1, 2,......п), /л < п , к нормальному виду.

Случай, при котором ju = п, и система решается относительно п переменных

Второй метод Якоби. Нахождение п различных интегралов канонической системы, соответствующей исходному уравнению.

Приведение задачи к интегрированию системы линейных однородных уравнений в частных производных первого порядка. Теорема Лиувилля о канонических системах обыкновенных

дифференциальных уравнений. Примеры.

Частные методы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка, метод Якоби, уравнения Лиувилля и Штеккеля. Теорема Якоби о приведении интегралов канонической системы к каноническому виду. Сопряженные функции. Применение метода Якоби в случаях, когда нормальная система интегралов канонической системы не решается относительно всех переменных /?,• (i = 1, 2,......п) второго класса. Решение так называемой задачи Майера-Ли методом Якоби.

Касательные преобразования (по Якоби) и их приложения к задаче о возмущенных движениях (метод вариации произвольных постоянных).

Система одновременных уравнений или нелинейных уравнений в частных производных первого порядка. Замкнутые системы, нормальные системы. Полные интегралы. Применение метода Якоби к случаям одновременных уравнений. Общие замечания о методе Коркина.

Уравнения в частных производных высших порядков. Одночленные уравнения и уравнения вида:

Общий интеграл. Уравнения вида:

Метод изменения независимых переменных. Эллиптические, гиперболические и параболические уравнения.

Случай, при котором значения а, Ъ, с зависят только от значений х, у или являются константами. Преобразование Лежандра.

Задача о нахождении площади поверхности, главные радиусы кривизны которой равны и прямо противоположны.

Системы линейных дифференциальных уравнений любого порядка с постоянными коэффициентами. Задача Коши. Общий интеграл Коши.

Общий интеграл дифференциального уравнения колебаний струны. Приложение метода преобразования независимых переменных к той же задаче.

Задача об охлаждении однородного стержня и ее решение методом Коши. Общий метод Фурье-Ламе (Эйлера, Бернулли) для интегрирования уравнений математической физики. Метод фундаментальных функций. Задача о колебании натянутой упругой

струны заданной длины, закрепленной на концах. Задача об охлаждении однородного твердого стержня заданной длины при данных исходных условиях и пределах. Случай неоднородного твердого стержня.

Задача о колебании газа внутри замкнутого сосуда. Задача об охлаждении однородного твердого тела. Приведение этих задач к основным задачам математической физики - задачам Дирихле и Неймана. Основные свойства гармонических функций (способы решения уравнения Лапласа). Теорема Грина. Решение задачи Дирихле методом Шварца. Приложение метода фундаментальных функций (Ламе). Фундаментальные функции, заданные на сфере (сферические функции и многочлены Лежандра).

Основные свойства, выведенные из теоремы Грина. Теорема Вольтерра о сходимости рядов гармонических функций.

Решение задач Дирихле и Неймана с использованием сферических функций (пример приложения общей теории фундаментальных функций).

Геометрия в российских университетах представлена гораздо менее полно, чем анализ.

В Санкт-Петербургском университете читается только один (обобщенный) курс высшей геометрии, который длится два года и чередуется с начертательной геометрией. В первом семестре на него отводится два часа в неделю, а во втором - один час. В Московском, Киевском, Харьковском и Одесском университетах этот важный раздел математики преподается в рамках курса проективной геометрии, которому уделяется 2-3 часа в неделю в течение одного или двух семестров.

Еще один основополагающий раздел математики, имеющий большое значение, но не изучаемый в должном объеме в большинстве университетов, - это теория функций.

В Санкт-Петербургском университете он представлен лишь в форме введения в теорию эллиптических функций, которое изучается в течение одного семестра. На изучение данной теории включая введение в нее, отведено всего 3 часа в неделю.

В этом отношении дело лучше обстоит в Москве, где читается курс теории аналитических функций и теории эллиптических функций. На этот курс отводится 3 часа в неделю в одном семестре и 4 часа в другом.

Рассматривая учебные планы, приведенные в предыдущих параграфах, можно заметить, что аналитическая механика представлена в довольно полном объеме. Что же касается прикладной механики, то она включена в учебный план только Московского университета, в котором после реформы 1906 года чистая и прикладная механика составляют отдельную

специализацию.

Три года назад из учебного плана Санкт-Петербургского университета был исключен факультативный курс теории упругости, который прежде был единственным курсом, относящимся к прикладной механике.

Прикладная механика не считается предметом, который необходимо изучать в университетах (за исключением Московского университета). Преподается она в основном в институтах.

ГЛАВА III

Экзамены

§ 1. Вступительные испытания

Вступительные испытания для поступающих в студенты без аттестата зрелости гимназий проводятся не в университетах, а в экзаменационных комиссиях школ.

§ 2. Промежуточные и выпускные экзамены в университете

Процесс проведения испытаний несколько раз претерпевал существенные изменения и на сегодняшний день имеет различные формы в зависимости от университета.

На протяжении более двадцати лет, с 1863 по 1887 год, в соответствии с Уставом 1863 года, во всех университетах проводились две экзаменационные сессии:

1) полукурсовые испытания,

2) выпускные испытания.

Полукурсовые испытания проводились после первых двух лет обучения и охватывали все предметы, пройденные за эти два года. Они проводились в определенное время, а именно в конце учебного года, в мае.

В случае неудачи студент оставался на втором курсе и мог повторить попытку только через год.

Затем полукурсовые испытания были разделены на две сессии, первая из которых включала предметы, пройденные на первом курсе, а вторая - предметы, пройденные на втором курсе.

Переход с первого на второй курс зависел от результата первой части экзамена.

Студенты, получившие удовлетворительное количество баллов (по меньшей мере 3 из максимально возможных 5) на полукурсовых испытаниях, допускались на третий курс и через два года обучения сдавали выпускные экзамены.

Такие экзамены проводились два раза в год - в мае и осенью, с октября по декабрь. Студент мог держать испытания в любую из этих двух сессий, но, если он выбирал, к примеру, первую сессию, то обязан был проэкзаменоваться по всем предметам в течение этой сессии. Программа испытаний составлялась самим преподавателем под надзором (как правило, условным) всего профессорского состава и включала весь материал лекций данного преподавателя. В связи с этим программы испытаний значительно различались по материалу и объему.

Студент, не набравший минимального количества баллов (3 по каждому предмету) мог повторно держать испытание только через год.

Студент, набравший минимальное количество баллов, получал диплом и звание действительного студента, а тот, чей средний балл составлял не менее 4 Vi (при этом не менее 3 по каждому предмету), при условии представления научной работы, удостаивался и диплома, и звания кандидата.

Это звание давало определенные привилегии в обществе, которые превосходили привилегии действительных студентов.

Очевидно, что подобная организация испытаний не оказывала ни малейшего воздействия на учебный процесс; напротив, испытания были обусловлены учебным процессом, уровень которого зависел исключительно от квалификации преподавательского состава.

Очевидно также, что различия в структуре курсов разных университетов приводили к неоднородности требований на экзаменах и разной ценности дипломов.

Принятие Устава 1884 года привело к преобразованию всего университетского устройства в целом и коренным изменениям в процедуре проведения экзаменов в частности. Полукурсовые испытания были отменены, а 4 годичных курса были заменены на 8 семестров (осенних и весенних). Перевод на следующий семестр осуществлялся на основании сочинений по темам пройденного материала, практических работ и упражнений (этот вспомогательный образовательный метод ранее не применялся).

Студент, которому было зачтено 8 семестров, получал выпускное свидетельство, дающее право на прохождение испытаний в Государственной экзаменационной комиссии, которая проводила экзаменационные сессии в университете, но во всех прочих отношениях была от него независима. Председатель и члены комиссии назначались министром. Роль председателя была исключительно административной, а испытания проводились членами комиссии и независимыми экзаменаторами (и те, и другие входили в преподавательский состав университета, в котором заседала комиссия, тогда как председатель, как правило, в него не входил).

Для целей государственных экзаменов университетские курсы подразделялись на два типа: 1) главные, или основные курсы и 2) дополнительные курсы. Программы основных курсов были едиными для всех университетов и включали лишь элементарные основы четырех дисциплин, преподаваемых на математическом отделении факультета, - математики, механики, физики и астрономии.

Дополнительные курсы не имели утвержденных программ испытаний. На экзаменах студент представлял комиссии обзор вопросов и источников по двум изученным дополнительным курсам.

Дополнительные курсы выбирал сам студент. На математическом отделении предлагались следующие курсы: теория чисел, теория

эллиптических функций, высшая геометрия или любой другой полугодовой курс, занимающий три учебных часа в неделю.

Студент, успешно выдержавший все испытания, получал диплом 1-й или 2-й степени, дававший определенные гражданские права, в том числе право преподавать в средних школах без специальных испытаний.

Разделение курсов на основные и дополнительные представлялось справедливым. Было официально признано, что единые для всех испытания могли проводиться только по основам той или иной науки, в то время как специальные предметы требовали большей свободы выбора. Этот же принцип лег в основу реформ 1906 года.

Однако многочисленные педагогические и практические недостатки системы в целом помешали надлежащему воплощению вышеизложенного проекта.

Испытания по основным дисциплинам заняли главенствующее место в системе и привели к снижению качества университетского образования, поскольку программы их были чересчур просты.

Испытания же по дополнительным дисциплинам вскоре превратились в чистую формальность. Письменные экзамены по аналитической геометрии и основам исчисления бесконечно малых сводились к решению простейших задач и имели целью проверку знаний, полученных в самом начале обучения в университете.

Также не был осуществлен и проект проведения испытаний перед комиссиями, которые были бы максимально независимы от университетов и всего многообразия их учебных программ. Поскольку экзаменаторами выступали преподаватели университета, в котором заседала комиссия, индивидуальные особенности их преподавания естественным образом сказывались на процессе проведения испытаний.

Более того, экзамены лишь именовались государственными, но на деле и близко не походили на государственные экзамены в Германии, которые предполагалось использовать как образец.

Недостатки системы проявились довольно быстро, и через несколько лет ее применения последовали весьма серьезные изменения.

В первую очередь были восстановлены двухступенчатые полукурсовые испытания, поскольку новые системы проверки знаний в первых семестрах обучения были признаны недостаточными, а концентрация всех экзаменов в конце обучения оказалась непосильным бременем для большинства студентов.

Постепенно была восстановлена система испытаний, существовавшая до 1884 года. Соответственно, выпускные экзамены сохранили лишь название государственных, в то время как в действительности мало отличались от университетских экзаменов

прошлых лет.

Более того, лишь в двух университетах — Казанском и Юрьевском — сохранился порядок проведения испытаний в определенные даты и в последовательности, зависящей от разделения университетских курсов на 8 семестров. В других же — Московском, Санкт-Петербургском, Харьковском, Киевском и Одесском — дисциплины стали распределяться по группам в зависимости от специализации, и была принята новая система проведения испытаний, которую мы опишем ниже.

Сперва же приведем таблицу VII, в которой излагаются официальные программы испытаний по математике, единые для всех университетов в соответствии с Уставом 1884 года.

Фактически в данных программах охватывались абсолютно все требования к экзаменам перед государственными комиссиями, в связи с чем испытания по итогам дополнительных курсов не имели практически никакой ценности. Аналитическая геометрия и основы дифференциального и интегрального исчисления сдавались в рамках полукурсовых экзаменов и были исключены из экзаменов в комиссиях.

ТАБЛИЦА VII Программы экзаменов в государственных комиссиях 1902 года

Интегральное исчисление

Определенные и неопределенные интегралы. Основные методы интегрирования. Интегрирование рациональных функций. Метод интегрирования иррациональных функций с помощью конечного числа арифметических операций. Случаи интегрируемости и формулы приведения для интегралов от дифференциального бинома. Интегрирование некоторых трансцендентных функций.

Основные свойства определенных интегралов. Распространение концепции определенного интеграла на случай бесконечных пределов и обращения подынтегральной функции в бесконечность. Формула Тейлора с дополнительным членом в виде определенного интеграла. Приближенное вычисление определенного интеграла с помощью интерполяционных рядов и формул (метод трапеций и метод Симпсона).

Дифференцирование и интегрирование интеграла, зависящего от параметра. Примеры применения этих методов для вычисления определенных интегралов.

Эйлеровы интегралы: В (р, q) и Г (р). Приведение первого ко второму; свойства Г (р). Формула Коши, представляющая функцию в виде простого интеграла.

Вычисление площади и длины дуг кривых, объемов и поверхностей вращения. Примеры.

Двойные и тройные интегралы. Замена переменных в кратных

интегралах. Вычисление объемов и поверхностей в целом.

Преобразование Фурье и основные случаи его применения. Условия интегрируемости и интегрирование выражений вида:

где pi, р2, ... рп - заданные функции с независимыми переменными:

Дифференциальные уравнения - обыкновенные и в частных производных. Их разделения по порядкам. Формирование дифференциального уравнения путем исключения произвольных постоянных. Общий интеграл обыкновенного дифференциального уравнения.

Его разложение в ряд. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка; разделение переменных; уравнения, в которых отсутствует одна из переменных.

Уравнения линейные и приводящиеся к ним. Уравнения однородные и приводящиеся к ним. Проблема траекторий.

Интегрирующий множитель для решения уравнений первого порядка; выражение всех множителей в уравнении с одним известным; уравнение в частных производных, которому удовлетворяют множители; множитель линейных и однородных уравнений.

Особенные решения уравнений первого порядка; их нахождение при известном общем интеграле.

Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения вида:

Понижение порядка уравнения в некоторых частных случаях.

Линейные уравнения высших порядков. Общие свойства их интегралов и частные решения к понижению их порядка.

Изменение постоянных. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами.

Обыкновенные одновременные уравнения. Приведение их интегрирования к интегрированию одного уравнения высшего порядка. Обыкновенные одновременные уравнения с постоянными коэффициентами.

Интегрирование уравнений в частных производных, линейных относительно производных неизвестной функции.

Приложение дифференциального исчисления к геометрии

Касательная и нормаль к данной точке на плоской кривой. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

Дифференциал длины дуги плоской кривой. Кривизна, радиус и центр кривизны; определение радиусов кривизны в полярных

координатах.

Применение общих формул к кривым второго порядка, циклоиде и логарифмической спирали.

Огибающая семейства кривых. Порядок касания двух плоских кривых. Соприкасающаяся прямая и соприкасающаяся окружность. Эволюты и их свойства. Эволюты кривых второго порядка, циклоиды и логарифмической спирали.

Касательная и нормальная плоскость к пространственной кривой; дифференциал длины дуги, радиус кривизны. Направляющие косинусы касательной и главной нормали. Соприкасающаяся плоскость.

Направляющие косинусы перпендикуляров к соприкасающейся плоскости. Вторая кривизна пространственной кривой. Пример: винт обыкновенный.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Дифференциальные уравнения цилиндрических, конических поверхностей, поверхностей вращения и развертывающихся поверхностей. Огибающие поверхности.

Вариационное исчисление

Вариация простого интеграла. Кратчайшее расстояние между двумя точками. Геодезическая линия. Минимальная поверхность вращения. Брахистохрона. Изопериметрические задачи.

Исчисление конечных разностей

Выражения разности высшего порядка посредством значений заданной функции и значения функции посредством разностей различных порядков. Проблема интерполяции и формулы Ньютона и Лагранжа.

Разности и суммы некоторых простых функций. Функции Бернулли. Формула Эйлера-Маклорена. Формула Стирлинга.

Решение уравнений в конечных разностях первого порядка и линейных уравнений высшего порядка с постоянными коэффициентами.

Исчисление вероятностей

Основные теоремы исчисления вероятностей. Закон больших чисел. Апостериорная вероятность. Элементы метода наименьших квадратов.

§ 3. Предметная система испытаний (Fachsystem7)

«Старая система семестровых или годовых экзаменов представляла для студентов следующие неудобства: в случае неудачи на испытании по одной единственной дисциплине в конце второго или четвертого полугодия студент был вынужден повторять семестр, предшествующий испытанию. При этом, поскольку большинство университетских курсов рассчитаны на целый учебный год, фактически студент терял этот год, а в конце его был вынужден повторно выдерживать испытания по всем курсам за этот год. Кроме того, студент не мог свободно выбирать последовательность освоения учебных дисциплин и распоряжаться временем для подготовки к экзаменам.

Чтобы устранить эти неудобства и ряд других, была введена новая система экзаменов, которую можно назвать предметной системой испытаний (Fachsystem).

Благодаря этой системе, студент может свободно продолжать обучение, не терзаясь мыслями о сдаче экзаменов в определенный срок, и держать испытания лишь тогда, когда он сочтет себя достаточно к ним готовым».

Правила новой системы в том виде, в котором она применяется сегодня в Санкт-Петербургском университете, приведены в зачетных книжках (матрикулах) студентов математического отделения физико-математического факультета. Ниже приведены выдержки из этого документа.

§ 1. Студент может посещать университетский курс интересующей его группы наук, выбрав ее из восьми групп, перечисленных в учебном плане (три на математическом отделении и пять на естественном).

§ 2. Он также может выбрать две или более группы, либо записаться на отдельные курсы из других групп или занятия, преподаваемые на других факультетах.

§ 3. Распределение курсов по отделам (см. таблицу I) отражает только последовательность испытаний, тогда как выбор последовательности занятий остается за студентом.

§ 16. Студент может экзаменоваться по второму отделу, только проэкзаменовавшись по первому отделу.

§ 17. Студент может приступить к экзаменовке по третьему отделу, которая проходит перед государственной комиссией, только выдержав экзамены по второму отделу.

7 См. «Сведения...»

§ 20. Экзамены по первому и второму отделу проводятся на протяжении всего учебного года в заранее обозначенные сроки, однако студент может держать испытания лишь один раз в семестр, а в случае неудачи - всего не более трех раз.

Студент, потерпевший неудачу три раза, повторно сдает все экзамены ab ovo8.

Примечание. Экзаменационные сессии, о которых идет речь в настоящем параграфе, проводятся очень часто. Каждый преподаватель назначает день испытаний один или два раза в месяц (а иногда и чаще). Экзамены в государственных комиссиях, как правило, проводятся в определенные сроки, в мае.

Введение новой системы испытаний повлекло за собой изменение правил проведения экзаменов в государственных комиссиях. Прежде всего, были упразднены письменные экзамены и разделение курсов на основные и дополнительные. Далее общегосударственные программы основных курсов были заменены на программы, разработанные самими преподавателями в соответствии с фактически преподаваемыми курсами.

Для получения выпускного свидетельства, дающего право держать испытания перед комиссиями, необходимо проучиться восемь семестров.

Свидетельство выдается студентам: 1) выдержавшим все полукурсовые испытания (первого и второго отделов) и 2) представившим научную работу на тему, избранную преподавателем. Научная работа обязательна только для студентов, желающих получить диплом 1-й степени.

Предметная система экзаменов принята во всех пяти университетах, где дисциплины делятся на группы по специализациям, однако в каждом университете у этой системы есть свои особенности. Так, например, в Москве для допуска к теоретическим экзаменам по аналитической геометрии, исчислению бесконечно малых и 1-й части механики необходимо пройти практические курсы этих дисциплина. Полукурсовые испытания проводятся только три раза в год (в мае, сентябре и январе) и включают следующие 8 предметов: аналитическая геометрия, высшая алгебра, приложение дифференциального исчисления к геометрии, интегральное исчисление, 1-я часть физики, 2-я часть физики, 1-я часть механики.

8 Это правило соблюдается очень редко: возможность переэкзаменовки зависит исключительно от согласия преподавателя.

§ 4. Замечания о новой экзаменационной системе

Выше мы уже обсудили преимущества новой системы над прежней, теперь же рассмотрим другую сторону медали. Уже отмечалось, что §20 правил новой экзаменационной системы, в котором говорится о периодичности проведения экзаменов, соблюдается либо только в отдельных случаях, либо не соблюдается вовсе.

И это вполне закономерно: наделяя студента правом самостоятельно оценивать свой уровень знаний в конкретный период времени, было бы несправедливо не предоставить ему возможность пересдать экзамены в случае, если он не смог успешно сдать их с первой попытки, без необходимости ждать следующей возможности целый семестр. Ведь даже считая себя хорошо подготовленным, студент вполне может допустить ошибку, причем допустить ее ненарочно.

Однако, принимая во внимание значительное число обучающихся (в 1907 году на математическом отделении Санкт-Петербургского университета насчитывалось 1160 студентов, а в 1908 году их число достигло 1440), преподавателям приходилось проводить экзаменационные сессии слишком часто - раз в две недели, а порой и чаще. При этом необходимо было учитывать и переэкзаменовки. Одним из основных преимуществ новой системы считалась возможность предъявлять более высокие требования к знаниям студента, не боясь, что в случае неудовлетворительного ответа он потеряет целый учебный год. Это и послужило одной из причин разрешения переэкзаменовок.

Однако обязательство проводить экзамены каждые две недели в течении восьми месяцев, бесспорно, стало настоящим испытанием для преподавателей и неблаготворно влияло на выполнение ими своих основных обязанностей в качестве ученых и доцентов.

Немалое число студентов, а возможно, даже их большинство, зная, что держать экзамены можно на протяжении всего учебного года, больше занимаются подготовкой к экзаменам, нежели изучением наук, пропускают занятия и не выполняют упражнения, проводят время за чтением литографированных лекций, качество которых зачастую невысоко, или специальных учебников для подготовки к экзаменам. Таким образом, университет такие студенты посещают только во время сдачи экзаменов.

Поскольку продолжительность обучения в университете отныне не ограничена, множество студентов поддаются искушению отсрочить начало сдачи экзаменов и проводят целые годы в безделье.

В целом, новая система, при всех ее преимуществах перед прежней, в некотором отношении требует ряда изменений. Она подходит для студентов, обладающих строгой внутренней дисциплиной и умеющих извлекать пользу из свободы располагать

своим временем. В большинстве же своем студенты не подходят под это описание и лишь страдают от отсутствия внешнего контроля, особенно в начале обучения в университете.

Что касается влияния данной системы на образование, то учитывая, как мало времени прошло с момента ее внедрения, о положительных сдвигах говорить пока рано.

По нашему мнению, преподавание наук в университетах во многом бы выиграло, если бы можно было освободить студентов от прохождения разного рода экзаменов, исключая испытания на присуждение ученой степени.

Но к сожалению, на пути подобной реформы стоит целый ряд препятствий. Истоки их кроются в нашем общественном устройстве, а посему преодоления данных препятствий в ближайшем будущем ожидать не стоит. Значит, следует довольствоваться тем, что есть, и постараться наилучшим образом организовать систему проведения университетских экзаменов.

Возможно, золотая середина — это возврат к полукурсовым испытаням в начале обучения и их сочетание с новой предметной системой для студентов последних семестров.

§ 5. Экзамены на звание школьного учителя

В 1870 году Министерство народного просвещения опубликовало «Правила проведения специальных экзаменов на звание учителя и воспитателя гимназий и прогимназий». Согласно этим правилам, всякий желающий получить звание школьного учителя должен был держать в университете экзамены полного или сокращенного типа. Полные испытания проходили кандидаты, получившие гимназический аттестат, но не имеющие университетского диплома; сокращенным же испытаниям подвергались те, кто имел вышеозначенный диплом, выданный соответствующим факультетом.

Полные испытания на звание школьного учителя математики и физики включали:

A. Основные курсы:

1. чистая математика;

2. физика и физическая география.

B. Дополнительные курсы:

3. астрономия.

В экзамены по основным курсам входило два письменных и пять устных испытаний, по дополнительным - одно устное испытание.

Уровень знаний испытуемого по всем дисциплинам проверялся в пределах университетской программы. Данное условие вносило большую неопределенность, так как университетские программы существенно отличались друг от друга.

Сокращенная программа экзаменов включала письменное испытание по каждому из основных курсов и коллоквиум по темам испытаний.

Сдав экзамены одного или другого типа, соискатель должен был провести два пробных урока, и в случае успешного их проведения получал запрашиваемое звание.

Однако эти правила уже много лет не соблюдаются с должной строгостью. Число экзаменуемых по полной программе и без того всегда было невелико. А сокращенные испытания ныне не проводятся, ибо выпускники университетов получают звание школьного учителя, не сдавая никаких специальных экзаменов.

Поступают предложения пересмотреть правила 1870 года. Согласно Указу министерства от 29 января 1909 года, в ожидании этого пересмотра процесс следует организовать следующим образом:

Соискатель звания школьного учителя математики и физики, не имеющий университетского диплома, должен пройти экзамены по следующим курсам:

1. Аналитическая геометрия. 2. Введение в анализ. 3. Высшая алгебра. 4. Дифференциальное и интегральное исчисление и приложение интегрального исчисления к геометрии и анализу. 5. Теория чисел. 6. Исчисление конечных разностей. 7. Исчисление вероятностей. 8. Теоретическая механика. 9. Физика и метеорология. 10. Описательная астрономия и сферическая астрономия в пределах университетской программы (здесь присутствует всё та же неопределенность, что и ранее: вероятно, подразумевается официальная программа экзаменов, принимаемых государственной комиссией9, однако в нее не включены первые три дисциплины из предыдущего перечня).

Соискатели, имеющие университетский диплом (что практически не встречается), сдают только те экзамены, которых нет в дипломе. Так, соискатель, имеющий диплом Санкт-Петербургского университета и обучавшийся в математической группе, должен будет держать испытания только по метеорологии.

Налицо непоследовательность подобного подхода. В частности, установленные правила одинаковы как для учителей математики, так и для учителей физики. Однако, хотя первых и можно без особых трудностей освободить от экзамена по метеорологии, последних никак нельзя освободить от обязательства выполнять практические работы в физической лаборатории. Пересмотр данных правил абсолютно необходим и должен производиться вместе с решением не менее важного вопроса подготовки школьных учителей, о котором речь пойдет позднее.

9 См. таблицу VII.

§ 6. Экзамены на степень магистра наук

Эти экзамены играют важную роль в деятельности наших университетов. Без прохождения подобных испытаний нельзя получить место ни на кафедре в университете, ни даже на кафедре теоретических наук в институте. (Данное правило соблюдается не во всех случаях, но исключения встречаются достаточно редко).

Сам по себе экзамен не дает никаких преимуществ. Для получения степени магистра необходимо представить факультету диссертацию и публично защитить ее на факультете.

Наличие степени магистра математических или физических наук дает право получить место на кафедре математики, механики или физики в высших технических учебных заведениях. Для получения места на кафедре университета необходимо иметь следующую ученую степень, а именно степень доктора наук. Степень доктора наук присуждается магистру наук после представления и публичной защиты второй диссертации, к которой предъявляются более высокие требования, нежели к первой. В исключительных случаях степень доктора наук может быть присвоена сразу, без предварительного получения магистерской степени. Это имеет место, если диссертация, представленная для получения последней, заслуживает более высокой степени по причине своей особой научной ценности. Существует также степень почетного доктора, которая присуждается ученым за выдающиеся научные работы.

Диссертация на соискание как докторской, так и магистерской степени должна представлять собой научное исследование по конкретному научному вопросу. Согласно официально установленным правилам, при соискании степени магистра к научной диссертации выдвигается единственное требование: соискатель должен осветить некий важный научный вопрос и показать знание литературы по выбранной теме. Однако с течением времени уровень предъявляемых к диссертации требований существенно вырос. На данный момент одной лишь компиляции различных источников, пусть даже свидетельствующей о глубоком владении темой, уже недостаточно. Разумеется, к научным диссертациям соискателей докторской степени предъявляются еще более жесткие требования. Любая представленная ученому совету диссертация рассматривается двумя профессорами, которые в течение шести месяцев готовят на нее рецензию. В зависимости от рецензии кандидат получает либо не получает допуск к публичной защите.

Рецензенты диссертации также выступают в роли официальных оппонентов во время публичной защиты. Рецензии на докторские диссертации публикуются в протоколе заседания ученого совета.

Определенной программы экзаменов на соискание степени магистра не существует. Единственное правило, которое применяется в этом случае, заключается в том, что магистрант математики должен сдать дополнительный экзамен по механике, а магистрант механики -дополнительный экзамен по математике. [Для магистрантов по физике или астрономии проводятся дополнительные экзамены по математике и теоретической механике].

Требования к экзаменам по дополнительным курсам, как правило, не выходят за рамки университетской программы.

Требования к экзаменам по основным курсам более углубленные: обычно для подготовки к экзамену требуется по меньшей мере два года.

Процедура проведения экзаменов различна в разных университетах.

В Санкт-Петербургском университете принята следующая процедура:

Кандидату задаются вопросы по следующим курсам: 1) высшая алгебра; 2) дифференциальное и интегральное исчисление и его применение в геометрии; 3) интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, вариационное исчисление; 4) теория чисел; 5) теория эллиптических функций; 6) исчисление конечных разностей и исчисление вероятностей; 7) аналитическая механика.

Каждый из этих экзаменов принимается в день заседания ученого совета. Экзамен проводит преподаватель соответствующего курса при участии как минимум еще одного преподавателя. Экзамены должны проводиться в течение учебного года; решение о последовательности экзаменов, а также об интервалах между экзаменами принимается испытуемым.

Все испытуемые, готовящиеся к сдаче экзаменов, наводят у преподавателей справки о характере и уровне требований; преподаватель, предоставляя эти сведения, исходит из основной научной темы испытуемого и области, в которой он предпочел бы специализироваться. Самые сложные вопросы испытуемому задаются по выбранной им теме и в пределах выбранной им специализации.

В Московском университете соискатель представляет ученому совету перечень изученных им трудов. Если профессора сочтут его достаточным, тогда этим перечнем будут определяться и рамки предъявляемых к соискателю требований; в противном случае перечень возвращается кандидату с пометками относительно необходимых дополнений и изменений.

В случае несдачи экзамена повторно его можно держать только через год. Данное правило действует во всех университетах.

ГЛАВА IV.

Методики преподавания

§ 1. Лекции, упражнения, конференции

Безусловно, основной метод преподавания в университете - это профессорские лекции. Однако, как уже давно показал опыт, одного только этого метода порою бывает недостаточно, особенно в первые семестры обучения. Поэтому уже более 25 лет почти во всех университетах проводятся практические занятия (или «упражнения») по основным курсам. Занятия проводят сами преподаватели либо приват-доценты, имеющие степень магистра или по крайней мере успешно выдержавшие магистерский экзамен. В Московском университете упражнения обязательны для студентов: так, для допуска к полукурсовым экзаменам необходимо удовлетворительно сдать экзамен по задачам, которые разбирались при выполнении упражнений.

В остальных университетах подобные упражнения только рекомендованы, но необязательны. Цель упражнений - научиться применять теорию к конкретным задачам и тренироваться в решении простых задач с помощью преподавателя. Упражнения носят несколько школярский характер и совсем не похожи на «конференции» (семинары), которые проводятся в зарубежных университетах. Этот ценнейший метод университетского образования, в рамках которого успешные студенты под руководством преподавателя занимаются углубленным разбором некоторых специальных вопросов, практически не применяется в русских университетах. За небольшим исключением (Московского, Харьковского и Киевского университетов), они не входят в учебный план.

§ 2. Модели, учебные пособия, литографированные лекции

В университетских кабинетах механики можно найти целые коллекции механических приборов и математических моделей (моделей поверхностей). В Московском и Санкт-Петербургском университетах эти коллекции весьма богаты и разнообразны; они используются на лекциях по механике и упражнениях по дифференциальной геометрии.

Перечень учебных пособий и рекомендуемых классических трудов составляется преподавателем соответствующего курса. Его можно найти в ежегодно публикуемых «Обозрениях преподавания наук».

К сожалению, большинство студентов почти не уделяет времени чтению этих пособий и трудов.

В настоящий момент по большинству преподаваемых университетских курсов есть учебные пособия на русском языке, которые почти всегда упоминаются в обозрениях. Помимо них, существуют также многочисленные труды на иностранных языках.

Укажем здесь несколько пособий, которые рекомендуются чаще всего.

По аналитической геометрии:

Briot et Bouquet. — Leçons de Géométrie analytique.

По введению в анализ:

I. Tannery. — Introduction à la Théorie des fonctions d'une variable.

По исчислению бесконечно малых:

Е. Goursat. — Cours d'Analyse mathématique. С. Iordan. — Cours d'Analyse.

Bianchi. — Lezioni di Geometria differenziale (в переводе на немецкий).

Forsyth. — Theory of differential equations.

Goursat. — Leçons sur l'intégration des équations aux dérivées partielles.

По высшей алгебре:

Weber. — Lehrbuch der Algebra. Serret. — Cours d'Algèbre supérieure.

По теории чисел:

Dirichlet. — Zahlentheorie.

По теории эллиптических функций:

Appell et Lacour. — Principes de la Théorie des fonctions elliptiques.

Burkhardt. — Elliptische Functionen.

По теоретической механике:

Appell. — Traité de Mécanique rationnelle, etc.

Гораздо чаще студенты читают литографированные лекции, представляющие собой конспекты лекций преподавателей. Но так как лекции эти не всегда составляются самими преподавателями, а чаще записываются студентами (причем плохо), толку от них немного, и они не могут служить заменой ни чтению книг, ни посещению лекций.

К сожалению, ценному совету для студентов Санкт-Петербургского университета, изложенному в «Сведениях...» («делать

записи на лекциях и перечитывать их в тот же день, опираясь на рекомендованные учебные пособия»), следует лишь незначительное число прилежных студентов; большинство же им не пользуется и готовится к экзаменам по литографированным лекциям.

§ 3. Конкурсные сочинения и сочинения на зачет полугодия

Для пробуждения интереса студентов к научным исследованиям существует практика периодического предложения тем для конкурсных сочинений.

Победитель удостаивается золотой медали, занявший второе место - серебряной, занявший третье - почетного отзыва. Удостоенные награды студенты освобождаются от написания сочинения для зачета полугодия, которое ввели вместо бытовавшего ранее государственного письменного экзамена.

Ежегодно на математическом отделении факультета предлагаются темы по четырем основным разделам математических наук в следующем порядке: математика, механика, астрономия, физика.

Как только объявляется тема сочинения, преподаватель соответствующего курса проводит семинар, на котором сообщает план сочинения и рекомендуемые к прочтению труды.

Сочинения сдаются примерно через год (при этом фамилия автора на титульном листе скрыта) и читаются преподавателем, который представляет в ученый совет рецензию и предлагает либо присудить автору одну из трех наград, либо ничего не присуждать. В последнем случае имя автора сочинения не раскрывается.

Перечислим несколько тем сочинений по математике и физике, которые в разное время предлагались на физико-математических факультетах разных университетов.

1. О механизмах Чебышева (Санкт-Петербург, 1901 год, присуждены две серебряные медали).

2. О решении в целых числах неопределенных уравнений второй степени (Санкт-Петербург, 1907 год, присуждена золотая и серебряная медаль).

3. Об основах геометрии (Москва, 1908 год, присуждена золотая и серебряная медаль).

4. О совокупности линий 1-го и 2-го порядка (Казань, 1907 год, присуждена серебряная медаль).

5. О вращении твердого тела вокруг неподвижной точки (Санкт-Петербург, присуждена серебряная медаль).

6. Об интегрировании иррациональных дифференциалов в алгебраических и логарифмических функциях (Санкт-Петербург, 1886 год, присуждена золотая медаль и две серебряные медали).

Темы сочинений для зачета полугодия обычно предлагаются преподавателями по запросу студентов, но также могут выбраны самими студентами.

В целом эти темы гораздо более просты, нежели темы конкурсных сочинений, но иногда случается и так, что профессор, будучи осведомленным об успехах отдельного студента, предлагает ему более сложную тему, которая позволит студенту не только применить свойственные ему трудолюбие и прилежание, но и проявить изобретательность.

Данные работы позволяют выявить юношей, которые впоследствии смогут претендовать на ученую степень университета и которым необходимо помочь в продолжении научной деятельности.

Далее мы рассмотрим, как студенты университетов могут получить полное научное образование и подготовиться к профессорству.

ГЛАВА V.

Роль университетов в подготовке преподавательского состава для учреждений высшего и среднего образования

§ 1. Соискатели профессорских должностей в университетах и институтах

По рекомендации преподавателя и согласно решению ученого совета студенту, показавшему за время обучения высокую успеваемость в изучении научных дисциплин, может быть предложено остаться при университете в качестве соискателя профессорского звания. Ему может быть выделена годовая стипендия в размере 1200 рублей, которая сначала рассчитана только на один год, но впоследствии может быть продлена еще на год, если курирующий кандидата преподаватель снова даст рекомендацию. В исключительных случаях стипендия сохраняется и на третий год.

Число стипендиатов ограничено и не должно превышать двух человек на одно отделение факультета10; если же число рекомендованных кандидатов превышает число выделенных мест, то предпочтение отдается лучшим из претендентов. Что же касается остальных, то единственными преимуществами статуса соискателя профессорского звания является упрощение взаимодействия с научными учреждениями университета, определенные послабления на военной службе и право на пенсию после отставки с государственной службы.

Как только стипендия одобрена, она не может быть отозвана. Стипендия не сопряжена ни с какими должностными обязанностями; именно поэтому она назначается по итогам тщательного отбора и выдается исключительно кандидатам, снискавшим поддержку и доверие факультета.

Соискатели имеют право пользоваться библиотекой и другими научными учреждениями университета, а также посещать занятия преподавателей, просить у них советов и рекомендаций, - одним словом, соискатели могут пользоваться всем, что предоставляет им университет для самосовершенствования в сфере наук.

По прошествии двух лет, а иногда и позже, соискатель сдает экзамен на степень магистра наук. Дальнейшая его судьба зависит от исхода экзамена и научной ценности диссертации, о чем мы уже писали в главе III.

Для пополнения научных кафедр институтов самыми достойными кандидатами факультет берет на себя ответственность за тщательный

10 В прошлом году это число было увеличено до четырех.

отбор соискателей, применение строгих правил проведения испытаний и скрупулезную проверку диссертаций.

Ранее бытовала практика отправлять кандидатов для продолжения обучения за границу, в университеты Франции и Германии, однако сейчас эта традиция угасает. При этом мы не осмелимся утверждать, что нынешний уровень образования в наших университетах настолько высок, что такие поездки в крупные европейские научные центры можно считать совершенно бесполезными.

§ 2. Роль университетов в подготовке учителей средней школы

Как мы уже говорили, университеты не считают своей задачей подготовку будущих учителей. Тем не менее почти все учителя российских средних школ России обучались именно в университетах. Следовательно, мы вправе задаться вопросом: что дает университет своим выпускникам, избравшим педагогическую карьеру в учреждениях среднего образования?

Можно смело заявить, что в самом лучшем случае Альма Матер дает им только общую научную подготовку и специальные знания в гораздо более широких областях, нежели область их преподавания. Несомненно, подобные условия обучения необходимы любому будущему педагогу. Но вот достаточны ли?

В данном вопросе нет единства мнений. Существуют две противоположные точки зрения.

Согласно первой из них, чтобы стать хорошим педагогом, достаточно мыслить здраво и обладать более обширными знаниями по своему предмету, чем того требует школьная программа. Все остальное придет вместе с опытом, так как искусству преподавания невозможно научить в какой бы то ни было высшей школе, и результаты его зависят от личного таланта каждого учителя.

Подобная позиция очень распространена в нашей педагогической сфере - как среди преподавателей университета, так и среди их коллег из средней школы.

Согласно этому мнению, в списке предметов, преподающихся на физико-математическом факультете, не должно значиться ни одного курса педагогической направленности: ни истории философии и педагогики, ни логики, ни методики преподавания, ни школьной гигиены и т.д.

Согласно второй точке зрения, профессия педагога, как и любая другая, требует специальной подготовки. Сторонники этой позиции с радостью ввели бы в учебный план физико-математического факультета такие дисциплины, как педагогика, логика и психология. Именно такое пожелание было высказано на собрании членов

Общества немецких естествоиспытателей и врачей, состоявшемся в Дрездене в 1907 году. (См. Gutzmer, Die Thätigkeit der Ünterrichtscommission der Gesellschaft deutscher Naturforscher u. Aerzte, 1908).

Воздержавшись от критики того или другого мнения, мы ограничимся констатацией следующих фактов:

1. В русских университетах на физико-математических факультетах нет никакой специальной педагогической подготовки.

2. Нехватка хорошо подготовленных учителей средней школы является общепризнанной проблемой, которая сильно беспокоит заинтересованные круги.

Эту болезнь пытались лечить самыми разными средствами, однако результаты этих попыток остаются сомнительными.

В начале прошлого века при Московском, Харьковском и Казанском университетах были основаны педагогические институты, возглавленные университетскими профессорами и предназначенные для подготовки педагогов средней школы.

В 1816 году был основан Санкт-Петербургский главный педагогический институт, который в 1819 был преобразован в Санкт-Петербургский Университет, а в 1828 году восстановлен в качестве Педагогического института. Однако через 30 лет, в 1859 году, выпустив множество преподавателей высшей и средней школы, Главный педагогический институт был упразднен, поскольку численность его студентов постоянно уменьшалась и в какой-то момент стала столь незначительной, что уже не могла оправдать затрачиваемых на содержание института средств.

Одной из причин оттока студентов было принуждение жить в интернате, что не устраивало большую их часть; кроме того, благодаря более свободным правилам и все более качественному образованию, сильную конкуренцию институту составлял Университет.

Одновременно с Главным институтом прекратили свое существование и провинциальные педагогические институты, не оправдав выделенные на них государственные средства.

Их заменили Педагогическими курсами при университетах, записаться на которые могли только выпускники университета, тогда как педагогические институты были доступны для выпускников средних школ.

Курсы эти просуществовали всего четыре года. С 1863 года и по сей день никаких специальных педагогических заведений не появилось - за исключением подготовительных институтов для учителей начальной школы. Недавно Военное министерство учредило

педагогические курсы для подготовки учителей кадетских корпусов. Однако, поскольку это ведомство не имеет никакой связи с университетами, об них мы здесь говорить не будем.

В прошлом году Министерство народного просвещения организовало временные подготовительные курсы для школьных учителей математики и физики при самих средних школах (гимназиях и реальных училищах). Продолжительность подготовки составляет один год. На курсы принимают обладателей университетского диплома, окончивших математическое отделение физико-математического факультета. Руководят курсами специальные комиссии во главе с инспектором учебного округа. В комиссию входит директор и два-три школьных учителя.

Обязанности учащихся:

1) посещение занятий по логике, психологии, истории педагогики, педагогике;

2) посещение уроков школьных учителей;

3) изучение трудов на темы, соответствующие будущим задачам обучения;

4) составление плана пробных уроков и проведение таких уроков;

5) обсуждение пробных уроков других кандидатов при участии членов руководящей комиссии;

6) присутствие на педагогических советах школы для изучения различных сторон школьной жизни;

7) замещение отсутствующих учителей; и

8) занятия с группой отстающих учеников.

Еще не время выносить суждения о результативности работы этого нового педагогического учреждения, но сам факт его появления свидетельствует о том, что нынешнее положение вещей в этой сфере признано неудовлетворительным.

§ 3. Каникулярные курсы для учителей средней школы

Каникулярные курсы для учителей начальной школы организуются уже давно и время от времени одновременно проводятся во многих русских городах.

Курсы для учителей средней школы впервые прошли в 1906 году, а затем с успехом повторились в 1907 году. Оба раза они были организованы в Санкт-Петербурге.

Целью курсов было укрепление почти полностью прерванной связи между университетом и его выпускниками, посвятившими себя учительству в средней школе.

В 1906 году были изданы «Пособия для преподавателей средней школы, 2-й год обучения», откуда мы далее будем цитировать

выдержки.

В том же году, по просьбе Отделения средних школ Педагогического общества Санкт-Петербурга, Университет согласился провести курсы в своих помещениях. Для них была бесплатно выделена химическая лаборатория, а также старое и новое здание Института физики вместе со всеми лабораториями.

В ходе этих курсов несколько преподавателей высшей школы из Санкт-Петербурга, Москвы и Харькова провели лекции и семинары, осветив различные научные и педагогические вопросы. В 1906 году курсы длились всего 10 дней: с 7 по 16 июня. Их посетили 200 слушателей. За 60 часов было проведено 15 крайне насыщенных занятий, в том числе прочитаны лекции «Об эволюции понятия числа» и «О понятиях пределов и функций». По вечерам проводились педагогические семинарии, в частности семинарий «О преподавании основ высшей математики в средних школах». Время, которое оставалось свободным, было посвящено экскурсиям по научным и художественным музеям. Работа слушателей была крайне напряженной.

В 1907 году курсы были возобновлены и длились уже три недели - с 5 по 25 июня. Число слушателей выросло до 500 человек, а организация процесса претерпела немало положительных изменений. Курсы были разделены на секции и обогащены выставкой учебных пособий. Повсюду царила атмосфера напряженной работы, слушатели уезжали домой со стремлением применить новые знания на практике. Организации, которая так сближает представителей высшей и средней школы и позволяет им обмениваться педагогическими методиками, хотелось бы пожелать стремительного и успешного развития. Но к сожалению, в последнее время перед руководством курсов встали серьезные и труднопреодолимые внешние препятствия. Поэтому, хотя прошло уже три года, следующие курсы так и не были проведены.

ЧАСТЬ II. ВЫСШИЕ ТЕХНИЧЕСКИЕ УЧЕБНЫЕ ЗАВЕДЕНИЯ. ВОЕННО-УЧЕБНЫЕ ЗАВЕДЕНИЯ

Высшие технические учебные заведения и некоторые военно-учебные заведения

§ 1. Высшие технические учебные заведения в России. Их цель. Продолжительность обучения. Условия зачисления

До 1885 года в России было всего восемь высших технических учебных заведений. Сегодня их 17 (не считая сельскохозяйственных институтов, где математика не преподается). Среди них - пять политехнических институтов с 4—6 отделениями (Санкт-Петербургский, Рижский, Киевский, Варшавский и Новочеркасский, известный под названием Донского); три технологических (Санкт-Петербургский, Харьковский и Томский) с двумя отделениями (механическим и химическим) в первых двух и четырьмя в третьем; Институт инженеров путей сообщения в Санкт-Петербурге и Высшее инженерное училище в Москве; Горный институт в Санкт-Петербурге и Высшее горное училище в Екатеринославе; Электротехнический институт в Санкт-Петербурге; Институт гражданских инженеров в Санкт-Петербурге; Лесной институт в Санкт-Петербурге; Высшее техническое училище и Константиновский межевой институт в Москве.

Каждое из этих заведений создано для обучения инженеров, которые смогут руководить учреждениями, обеспечивать технические и производственные процессы, занимать технические должности в государственных ведомствах и работать на кафедрах специального образования все тех же институтов и высших училищ.

Для инженеров изучение математических наук главной задачей не является, однако они необходимы им в качестве вспомогательных дисциплин, поскольку именно математика лежит в основе всех точных технических наук.

Официально полный курс политехнических институтов рассчитан на 4 года, а курс других институтов и училищ - на 5 лет (за исключением Высшего инженерного училища в Москве, где курс длится всего 3 года). Однако вследствие перегруженной учебной программы, о которой речь пойдет далее, фактическая продолжительность обучения в высших технических учебных заведениях составляет по меньшей мере 6—7 лет.

Обязательным условием приема в институты и высшие училища является окончание курса средней школы - гимназии, реального училища или равнозначного ему по диплому коммерческого училища. Однако, поскольку практически в каждом из них число абитуриентов существенно превышает число вакантных мест, одного лишь обозначенного условия недостаточно.

Данное обстоятельство привело к установлению дополнительных условий различного характера. В одних институтах проводятся

конкурсные испытания по математике, физике, русскому языку, черчению; в других отбор слушателей проводится по школьным аттестатам, третьи при отборе кандидатов используют сочетание обоих принципов. Преимущества или, лучше сказать, относительные недостатки таких систем много обсуждались ранее и обсуждаются по сию пору, однако ничего лучшего пока не изобрели.

Большая часть студентов приходит из реальных училищ или равнозначных им коммерческих училищ. Следующая по численности категория учащихся — выпускники классических гимназий. Достаточно многочисленную категорию поступающих представляют выпускники университетов или других институтов. Они зачисляются на первый семестр без экзаменов, а на последующие семестры — после испытаний по дисциплинам, которые включены в программу предыдущих семестров, но отсутствуют в дипломе абитуриентов.

Ниже приведен краткий обзор преподавания математики в некоторых высших технических учебных заведениях, позволяющий понять, какое место эта дисциплина занимает в их учебных планах.

I. Санкт-Петербургский политехнический институт*

§ 2. Число слушателей. Отделения. Учебные планы

Санкт-Петербургский политехнический институт является крупнейшим техническим учебным заведением Российской Империи. Ежегодно в нем обучается 1100—1200 человек.

Институт включает шесть отделений:

1. Электромеханическое отделение.

2. Металлургическое отделение с двумя направлениями: металлургия и электрохимия.

3. Механическое отделение.

4. Инженерно-строительное отделение с двумя направлениями: наземные пути сообщения и гидротехника.

5. Судостроительное отделение.

6. Экономическое отделение.

На экономическом отделении обучение математике ограничивается лишь курсом математической теории страхования.

На первых трех отделениях математика преподается главным образом в течение первых четырех семестров (двух лет). На инженерно-строительном и судостроительном отделениях курс математики продолжается также в 5-м и 6-м семестрах.

Чтобы понять, какое место математика занимает в учебном процессе, рассмотрим учебный план по семестрам. Первое число в каждом столбце означает еженедельное количество лекций, второе — количество упражнений и практических работ. В таблице не учитываются часы факультативных курсов.

Общие курсы математики, механики, физики и химии указаны отдельно, прочие курсы - под рубрикой «специальные курсы».

ТАБЛИЦА VIII

I. Электромеханическое отделение

КУРС

Семестры

I

II

III

IV

Математика

Теоретическая механика

Начертательная геометрия

Физика

Химия

Черчение

6 J 2 2

6 1 3 4

- 10

6 3 4 4

6 1 3 4

4

6 3 4 2

3

2

2 1 2

* Сведения предоставили профессора И. Мещерский и Е Холодовский.

Специальные курсы

-

1

14

5

17

13

Всего 1 18

15

21 1 14

24

13

21

15

II. Металлургическое отделение

КУРС

Семестры

I

II

III

IV

Математика

6

2

6

2

4

2

Теоретическая механика

-

-

4

4

4

1

2

1

Начертательная геометрия Физика

2 6

2 3

6

3

Химия

4

2

4

2

-

-

-

Черчение

-

10

-

2

-

Специальные курсы

4

4

2

13

19

16

21

Всего

22

19

24

15

21

22

18

22

III. Механическое отделение

КУРС

Семестры

I

II

III

IV

V

VI

Математика

6

3

6

3

6

4

Теоретическа я механика

4

4

4

3

4

3

2

2

Начертательн. геометрия

Физика

2 6

2 3

6

3

Химия

4

2

4

2

Черчение

1

0

1

0

Специальные курсы

4

5

1

3

1

0

1

3

1

8

1

8

2 4

1

9

2 5

Всего

2 2

2 0

2 5

2 2

2 3

1

7

1

7

2 1

2 0

2 4

2 1

2 5

IV. Инженерно-строительное отделение

КУРС

Семестры

I

II

III

IV

V

VI

Математика

8

3

6

3

6

4

2

2 -

-

Теоретическая механика

4

4

4

2

2

2

2 -

2 -

Начертательн. геометрия

Физика

2 6

2

6

Химия

4

-

4

Черчение

-

8

-

4

-

-

-

-

-

- -

Специальные курсы

5

4

6

2

17

9

19

16

23

17

4

11

Всего

25

17

26

13

27

15

23

18

27

17

6

11

V. Судостроительное отделение

КУРС

Семестры

I

II

III

IV

V

VI

Математика

8

3

6

3

5

4

5

4

Теоретическая механика

4

4

4

2

2

3

2

1

2

1

Начертательн. Геометрия

Физика

2 6

4

3

6

3

Химия

4

2

4

2

Черчение

Специальные курсы

-

4

1

4

1 1

1

3

7

1

3

1

4

1

4

9

1

9

Всего

2 0

1

6

2 1

1

6

2 0

1

9

1

4

2 0

1

6

1

5

1 1

2 0

Ниже приведены некоторые комментарии относительно представленных учебных планов.

1. Количество часов, отведенных на изучение математики, следует признать достаточным. Можно было бы даже сказать, что его более чем достаточно, если бы не краткость учебного года. Дело в том, что продолжительность курса составляет лишь три месяца в осенний семестр и два с половиной месяца в весенний семестр. Остальное время отводится на практические работы и экзаменационные испытания.

2. Весь курс математики (на II и III отделениях) читается за три семестра, то есть длительность его составляет не более 9 месяцев, что оказывает весьма неблагоприятное влияние на результаты обучения.

Это справедливо и для других отделений, на которых курс математики охватывает больше дисциплин, но читается всего за четыре первых семестра (не учитывая дополнительный курс в пятом семестре на инженерно-строительном отделении, на который отводится два часа в неделю).

3. Как это и должно быть, в течение первых двух семестров основное место в программе занимает общий курс, однако начиная с третьего семестра его вытесняют специальные курсы, которые вводятся слишком рано.

4. На черчение фактически отводится значительно больше часов, чем предусмотрено в учебных планах. Это количество часов можно было бы существенно сократить, если бы обучение черчению было

лучше организовано в средней школе. Черчение, по меньшей мере линейное, должно считаться общеобразовательной дисциплиной и входить в программу среднего образования. Огромное количество часов, отведенных на черчение в институтах, наносит существенный урон курсу фундаментальных теоретических наук.

§ 3. Программы курсов математических дисциплин

Курс чистой математики включает следующие дисциплины:

А. Общие курсы (для всех отделений)

1-я часть

1) аналитическая планиметрия;

2) дифференциальное исчисление;

3) понятие интеграла и основные методы интегрирования;

4) применение дифференциального исчисления в анализе;

5) применение дифференциального исчисления в планиметрии;

6) аналитическая стереометрия.

2-я часть

1) интегрирование функций и обыкновенные дифференциальные уравнения;

2) определенные интегралы;

3) применение дифференциального исчисления в стереометрии;

4) применение интегрального исчисления в геометрии.

В. Дополнительные курсы на IV и V отделениях

1-й семестр. Высшая алгебра (численные уравнения).

4-й семестр (курс обязателен на IV отделении и рекомендован на I и V отделениях):

Интегральное исчисление: криволинейные, поверхностные интегралы и интегралы по объему. Основы теории функций комплексного переменного. Основы теории потенциала. Задача Дирихле. Ряды Фурье.

5-й семестр (на IV отделении):

Интегральное исчисление: уравнения математической физики; распространение тепла и т. д., уравнение Лапласа.

Мы воздержимся от подробного разбора программ общих курсов, которые весьма хорошо известны, поскольку по издавна сложившейся традиции лежат в основе подготовительных курсов во французских высших инженерно-технических школах.

(См. программы подготовительных курсов Национальной школы мостов и дорог в Париже).

§ 4. Курс теоретической механики

Состоит из следующих разделов:

1-я часть (для всех отделений)

1) статика на плоскости и основы графической статики;

2) статика в пространстве;

3) основные понятия кинематики и динамики.

2-я часть (для всех отделений)

1) кинематика;

2) динамика точки;

3) динамика системы точек;

4) динамика твердых тел и основные понятия гидромеханики.

3-я часть (для III, IV и V отделений)

1) специальные разделы динамики;

2) гидромеханика.

По сравнению с другими институтами курс теоретической механики здесь более широкий и включает дополнительные дисциплины. Он изложен в рекомендованном для студентов института учебнике профессора И. Мещерского «Курс теоретической механики» (автолитография).

Детально воспроизвести программу курса не представляется возможным, однако ниже приводится краткое описание включенных в него дисциплин.

Курс теоретической механики

1-я часть

1. Статика на плоскости. Сложение, разложение и равновесие сходящихся, параллельных или иным образом направленных сил, лежащих в одной плоскости и действующих на точку или различные точки тела.

2. Графическая статика. Графические способы решения основных задач.

3. Статика в пространстве: сложение, разложение и равновесие сил, линии действия которых сходятся в одной точке.

Пары сил. Линейный момент силы относительно точки и оси. Приведение системы сил к одной силе и паре сил. Равновесие сил. Необходимые и достаточные условия для приведения системы сил к

одной силе или паре сил. Приведение системы сил к канонической форме (с центральной осью). Центр масс.

Равновесие твердого тела, на которое наложены связи.

4. Кинематика (основные понятия): графическое и аналитическое представление движения точки. Скорость. Ускорение.

5. Кинематика твердого тела: смещение и вращение вокруг неподвижной оси, плоскопараллельное движение твердого тела, вращение вокруг неподвижной точки.

6. Кинетика, или динамика (основные понятия): материальная точка. Принципы динамики и их непосредственный эффект. Закон живой силы. Работа силы.

2-я часть

1. Кинематика: скорость и ускорение точки. Относительное и сложное движение точки. Плоскопараллельное движение твердого тела или движение неизменяемой плоской фигуры в ее плоскости. Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки. Вращение свободного твердого тела.

Сложение движений твердого тела.

2. Динамика точки: прямолинейное движение материальной точки; шесть частных случаев. Криволинейное движение, которое определяется по суммам двух или трех прямолинейных движений.

Закон живой силы. Силы, обладающие потенциалом. Закон сохранения живой силы. Закон площадей: сохранение количества движения.

Движение точки под действием центральной силы. Движение по поверхности и по кривой.

3. Динамика системы точек Понятие системы точек. Движение свободной системы.

Движение системы, на которую наложены связи.

Принцип возможных перемещений.

Принцип Д'Аламбера.

Закон движения центра масс.

Закон моментов или площадей.

Закон живых сил.

Момент инерции.

Шесть уравнений движения.

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.

Плоскопараллельное движение твердого тела.

Мгновенные силы.

4. Гидростатика: уравнения равновесия жидкости. Равновесие жидкости, покоящейся в замкнутом сосуде. Закон Архимеда. Равновесие тела в покоящейся жидкости.

5. Гидродинамика. Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости. Уравнение неразрывности потока. Движение с постоянным ускорением. Уравнение Бернулли.

3-я часть (обязательна для III, IV и V отделений)

Раздел I. Уравнения Лагранжа

1. Дифференциальные уравнения движения точки (уравнения Лагранжа 2-го рода).

2. Дифференциальные уравнения движения системы точек (уравнения Лагранжа 2-го рода).

3. Движение твердого тела.

4. Инерционное вращение твердого тела относительно неподвижной оси.

5. Вращение твердого тела относительно неподвижной точки, при котором центр масс не совпадает с неподвижной точкой. Случай Лагранжа.

6. Движение под действием изменения направления оси гироскопа.

Раздел II. Малые колебания

1. Устойчивость и равновесие системы материальных точек.

2. Малые колебания системы с одной степенью свободы под действием сил, которые зависят только от положения системы.

3. Малые колебания системы с одной степенью свободы в сопротивляющейся среде под действием сил, которые зависят только от положения системы.

4. Колебания системы с одной степенью свободы под действием возмущающих сил.

5. Колебания системы с двумя степенями свободы под действием сил, имеющих потенциал.

6. Главные колебания и главные координаты системы с двумя степенями свободы.

7. Колебания упругой нити с двумя одинаковыми грузами на концах.

8. Колебания системы с несколькими степенями свободы.

9. Колебания перекинутой через неподвижный блок упругой нити, закрепленной на концах, с несколькими одинаковыми грузами.

§ 5. Упражнения и практические работы

Обучение математике в Политехническом институте включает лекционные занятия, которые ведут преподаватели, а также упражнения и практические работы, которые также ведут преподаватели и их помощники — молодые математики, имеющие диплом университета. Значительная их часть также имеет степень магистра наук. Что касается преподавательского состава, то за

некоторым исключением, в соответствии с Уставом института, все преподаватели имеют степень магистров или докторов наук.

Упражнения, как и лекции, являются обязательными. Это значит, что слушатели могут их не посещать, но обязаны выдержать испытания по разобранных на них задачам. Упражнения проводятся в дополнение к лекциям, которых в противном случае было бы недостаточно, учитывая краткость математического курса.

К экзаменационному испытанию по теории допускаются только слушатели, успешно выдержавшие испытания по решению задач.

Слушатели, которые присутствовали на определенном количестве упражнений и решили определенное количество задач, освобождаются от соответствующего испытания.

Лекции по теоретической механике дополняются не только упражнениями, но и практическими лабораторными работами, которые обязательны для слушателей IV и V отделения.

Программа практических работ состоит из следующих разделов:

1. Экспериментальное определение моментов инерции твердых тел и материальных плоских фигур посредством наблюдения следующих явлений:

а) вращение с равномерным ускорением вокруг вертикальной или горизонтальной оси;

б) колебания вокруг горизонтальной оси под действием силы тяжести;

в) колебания вокруг вертикальной оси под действием упругой силы латунной нити.

2. Экспериментальное определение инерционных сил:

а) вращающихся частей машин (путем совмещения оси вращения с главной осью инерции тела);

б) вала и поршня (на вертикальной модели четырехцилиндрового двигателя).

3. Экспериментальное изучение различных форм колебательных движений:

а) затухающих колебаний при сопротивлении, пропорциональном скорости;

б) вынужденных колебаний, явления резонанса, биения колебаний (колебания двойного маятника, поперечные колебания и скручивание упругих валов).

Обязательные для всех отделений задачи по теоретической механике, которые решаются на практических упражнениях, значительно отличаются от материала привычных задачников и приспособлены для программ технических учебных заведений.

Большинство задач из «Задачника по теоретической механике» (автолитография), используемого в Политехническом институте, основаны на примерах из практики. Четкая формулировка вопросов, поставленных в задачах, позволяет слушателям в процессе решения преобразовать их в аналитическую или геометрическую форму. Так они учатся применять теорию к простым и сложным практическим вопросам.

Лаборатория механики оснащена самыми разными механическими и математическими приборами и моделями (интеграторами, анализаторами и т. д.), которые используются для демонстрации материала в ходе лекций и упражнений, а также для практических работ.

Подводя итог всему сказанному об организации обучения математике и механике, следует отметить, что в части полноты излагаемого материала и наличия вспомогательных средств обучения такую организацию можно назвать безупречной. И хотя, невзирая на это, результаты обучения математике - как в данном институте, так и в других высших технических учебных заведениях - не в полной мере отвечают затраченным усилиям, причины этого следует искать в общих принципах организации таких институтов, а также во внешних обстоятельствах. Далее мы еще вернемся к этому важному вопросу.

§ 6. Вступительные и переводные испытания

Вступительные испытания в Политехническом институте не проводятся. Отбор слушателей, число которых всегда превышает количество мест, осуществляется на конкурсной основе, по оценкам в школьных аттестатах. Прежде всего зачисляются кандидаты, набравшие максимальный балл (5) по таким предметам, как математика, физика, русский язык, история, география, древние языки (для гимназистов) или современные иностранные языки (для реалистов). (Если число абитуриентов, удовлетворяющих этому требованию, превышает количество мест, проводится жеребьевка, однако пока к такому методу прибегать не приходилось).

Если после зачисления кандидатов с наивысшими баллами остаются свободные места, принимаются кандидаты с баллами, приближенными к наивысшим. Предпочтение отдается кандидатам с высшим баллом по математике и физике.

Основной недостаток системы отбора лучших кандидатов заключается в том, что аттестаты различных учебных заведений несопоставимы: оценка «5» в аттестате школы А соответствует оценке не выше «4» или «3» в аттестате школы Б. Тем не менее, в Институте принята именно эта система, поскольку она требует меньше усилий и материальных затрат и, вероятно, не более субъективна, чем конкурсные испытания, приводящиеся в других заведениях. Конкурсные испытания (по крайней мере проводимые у нас) имеют

один существенный недостаток: прохождение их накануне начала учебы в высшей школе и непосредственно после выпускных экзаменов в средней школе требует от абитуриентов дополнительных усилий и приводят к новому упадку сил, что мало способствует усердию и сосредоточенности, необходимым для обучения в Университете. Каждый год, в августе, во всех крупных городах, где есть несколько институтов, можно наблюдать одну и ту же занятную картину: толпа юношей курсирует от одного института к другому, гонимая стремлением выдержать конкурсные испытания в двух или трех учебных заведениях сразу. Потерпев неудачу в одном институте, они хотят попытать счастья в другом, причем нередки случаи, когда один и тот же кандидат получает в одном месте отметку «5», а в другом — «2». Система конкурсных испытаний порочна, поскольку слишком многое в ней отдается на волю случая, а потому сохранить ее можно только при условии значительных преобразований.

По окончании каждого семестра проводится предметная полугодовая аттестация, схожая с испытаниями в Санкт-Петербургском университете. Единственное различие заключается в том, что в Институте посещение упражнений обязательно, и потому отдельный экзамен посвящен решению задач. Недостатки предметной системы здесь проявляются еще нагляднее. Как правило, в назначенный день на испытание является лишь треть записавшихся на экзамен слушателей, а из них лишь треть выдерживает его успешно. Однако следует отметить, что такая ситуация в основном наблюдается на младших курсах, о чем уже упоминалось относительно испытаний в Университете.

II. Институт инженеров путей сообщения*

§ 7. Институт, основанный в 1810 году, является одним из старейших российских специальных учебных заведений. Первым его ректором был французский инженер А. Бетанкур, а первыми преподавателями - выдающиеся французские деятели науки: Г. Ламе, Б. Клапейрон и А. Рокур. Именно их стараниями структура и учебная программа института была организована по образцу Школы мостов и дорог в Париже. В 1823 году Институт инженеров путей сообщения был преобразован в закрытое военно-учебное заведение и лишь в 1856 году окончательно утвердился в своей нынешней форме. В настоящий момент институт функционирует как открытое гражданское высшее учебное заведение с приходящими слушателями. Курс обучения длится 5 лет, или 10 семестров.

* Сведения предоставил ректор A.A. Брандт.

Каждый год число желающих вступить на поприще инженеров путей сообщения превосходит возможности института. Слушатели зачисляются по результатам конкурсных испытаний с учетом школьных аттестатов. Считается, что такая сложная система позволяет обеспечить справедливый отбор.

По сравнению с другими специальными институтами учебный план курса математики в Институте путей сообщения, более полный: в нем все еще живы традиции старой французской школы**.

Ниже приведен перечень математических дисциплин, которые преподаются в институте:

1. Аналитическая планиметрия, дифференциальное исчисление и его применение к анализу (1-й семестр, 5 занятий в неделю).

2. Аналитическая стереометрия, элементы интегрального исчисления, высшая алгебра (2-й семестр, 5 занятий в неделю).

3. Применение дифференциального исчисления к геометрии, интегрирование функций (3-й семестр, 4 занятия в неделю).

4. Ряды. Приближенные вычисления (3-й семестр, 2 занятия в неделю).

5. Определенные интегралы, кратные интегралы, интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений и линейных уравнений в частных производных первого порядка (4-й семестр, 4 занятия в неделю).

6. Уравнения математической физики (факультативно) (5-й семестр, 2 занятия в неделю).

7. Исчисление вероятностей. Вариационное исчисление (факультативно) (6-й семестр, 2 занятия в неделю).

Теоретическая механика

1. Геометрическая статика (1-й семестр, 2 занятия в неделю).

2. Кинематика (2-й семестр, 2 занятия в неделю).

3. Динамика точки (3-й семестр, 2 занятия в неделю).

4. Динамика системы точек и твердого тела (4-й семестр, 3 занятия в неделю).

5. Гидродинамика. Дополнения к курсу теоретической механики (факультативно) (5-й семестр, 2 занятия в неделю).

Начертательная геометрия

1. Ортогональные проекции, 1-я часть (1-й семестр, 2 занятия в неделю).

2. Ортогональные проекции, 2-я часть (2-й семестр, 2 занятия в неделю).

** Программе Политехнического института по своему охвату уступает только курс теоретической механики (который тем не менее читается на очень высоком уровне).

3. Аксонометрические и топографические проекции (факультативно) (4-й семестр, 3 занятия в неделю).

Прочие общие курсы

1. Общая физика (1-й и 2-й семестр, 3 занятия в неделю).

2. Общая химия (1-й семестр, 4 занятия в неделю; 2-й семестр, 2 занятия в неделю).

3. Геология: а) петрография; б) физическая геология (3-й и 4-й семестры, 2 занятия в неделю).

4. Геодезия: а) низшая геодезия (1-й и 2-й семестры, 3 занятия в неделю); б) высшая геодезия (3-й семестр, 2 занятия в неделю).

Каждый курс включает также обязательные упражнения и практические работы. Теоретические занятия проходят с 09:00 до 11:00, упражнения и практические работы проходят с 14:00 до 17:00 и даже по вечерам.

Упражнения по межеванию проводятся в летний период.

Занятия по черчению, топографии и т. д. проводятся по следующему расписанию:

11 часов в неделю в 1-й и 2-й семестры;

8 часов в неделю в 3-й и 4-й семестры (фактически на выполнение предлагаемых заданий требуется больше времени).

Вышеприведенный обзор позволяет получить представление об обширном и даже несколько перегруженном учебном плане на первые четыре семестра.

Экзаменационные испытания и полугодовая аттестация студентов основаны на предметной системе, однако с некоторыми существенными оговорками:

1. Слушатели могут держать испытания каждые две недели в течение всего учебного года, с 1 сентября по 1 июня (кроме двухнедельных рождественских каникул и двухнедельных пасхальных каникул), однако в первый год обучения в институте они обязаны пройти испытания по следующим курсам:

1) математика, курс 1-го семестра;

2) теоретическая механика, курс 1-го семестра;

3) геодезия, курс 1-го семестра;

4) начертательная геометрия, курс 1-го семестра;

и выполнить задания по курсу черчения за 1-й и 2-й семестры.

2. В течение пяти лет они обязаны выдержать все испытания и выполнить все задания, кроме дипломной работы, на написание которой отводится отдельный срок, не превышающий два года.

III. Санкт-Петербургский электротехнический институт

§ 8. Электротехнический институт (в прошлом среднее

электротехническое училище, преобразованное в высшее учебное заведение в результате реформы 1899 года), имеет в своем составе два отделения: электротехническое и электрохимическое. Программа обучения рассчитана на 5 лет. Каждый год для слушателей выделяется 150 мест. Условия зачисления: наличие аттестата о среднем образовании, прохождение конкурсных испытаний по математике и физике и сдача письменного экзамена по русскому языку. Программа математики включает следующие предметы:

I курс (1 и 2 семестр).

1. Аналитическая планиметрия и стереометрия — 3 часа в неделю.

2. Исчисление бесконечно малых— 2 часа в неделю. Упражнения на закрепление пройденного материала — 2 часа в неделю.

3. Начертательная геометрия — 2 часа в неделю. Упражнения — 2 часа в неделю.

4. Теоретическая механика — 3 лекции и 2 часа упражнений в неделю во 2 семестре.

Другие общие дисциплины:

5. Физика — 4 лекции и 1 час упражнений в неделю.

6. Химия — 4 лекции и 1 час упражнений в неделю.

7. Черчение — 4 часа упражнений в неделю.

8. Специальные курсы — 6 лекций и 3 часа упражнений в неделю. [Специальные курсы в институте вводятся с 1 семестра.]

II курс (3 и 4 семестр)

1. Исчисление бесконечно малых— 4 лекции и 1 час упражнений.

2. Теоретическая механика — 3 лекции и 1 час упражнений.

3. Физика — 3 лекции и 3 часа практических работ.

4. Черчение — 2 часа упражнений.

5. Специальные курсы — 8 лекций в 3 семестре и 11 — в 4 семестре.

К 5-му семестру преподавание математических дисциплин заканчивается.

На протяжении обучения испытания на полугодовую аттестацию проводятся по предметной системе. Практические упражнения носят факультативный характер, и посещаемость их низкая.

Программы математических курсов в целом совпадают с программами I и II (электромеханического и металлургического) отделений Политехнического института.

IV. Санкт-Петербургский горный институт11

§ 9. Старейшее в России специализированное учебное заведение, которое со дня своего основания в 1774 году пережило многочисленные реформы, смену системы управления и учебных программ, неоднократно меняло название, пока в 1866 году не получило современную организационную структуру. В настоящее время Институт выпускает горных инженеров, обучает приходящих студентов и имеет рассчитанную на 5 лет учебную программу. В действительности же для выполнения всех требуемых заданий и работ необходимо не менее 7 лет.

Условия зачисления: те же, что и в Электротехническом институте. Конкурс при поступлении очень высокий, число мест -около 100 в год.

Изучение математических дисциплин проходит по той же программе, что и в Электротехническом институте, с тем же распределением предметов по семестрам.

Система экзаменов в течение курса - предметная. В течение всего осеннего семестра профессора и ассистенты проводят экзамены раз в неделю (по воскресеньям); весной экзаменационная пора начинается в марте и продолжается до окончания семестра, которое приходится на конец мая. Результат применения данной системы - очень скромная посещаемость лекций и практических упражнений.

V. Санкт-Петербургский институт гражданских инженеров (архитекторов)12

§ 10. Специализированное учебное заведение, обучающие приходящих студентов. Предусмотренная длительность учебной программы - 5 лет.

Условия зачисления: те же, что и в Электротехническом и Горном институтах, но с добавлением экзамена по черчению. Значение этого экзамена очень велико, и недобор баллов по этому предмету не компенсируется даже наивысшими оценками по остальным дисциплинам.

Система экзаменов для полугодовой аттестации - та же, что и в других специализированных учебных заведениях, с оговорками, аналогичными таковым в Институте инженеров путей сообщения (фиксированные сроки для первых семестров).

Программа математических дисциплин включает следующие предметы:

1. Математика (аналитическая геометрия, исчисление бесконечно

11 Сведения предоставлены профессором И. П. Долбней.

12 Сведения предоставлены профессорами В. В. Эвальдом и С. С. Серафимовым.

малых и его применение в геометрии) - 4 часа в неделю на I и II курсах.

2. Теоретическая механика — 4 часа в неделю на II курсе и 3 часа практических упражнений.

3. Начертательная геометрия — 2 лекции и 1 час практических упражнений на I и II курсах.

На эти предметы выделяется меньше часов, чем в других высших учебных заведениях, а программы по ним сокращены. Исключение составляет курс начертательной геометрии, которому в учебном плане отведена важная роль, что для архитектурного учебного заведения совершенно естественно.

§ 11. Результаты обучения математике в высших технических учебных заведениях

Результаты обучения математике в наших технических учебных заведениях не устраивают никого - ни преподавателей, ни студентов.

Первые сетуют, что студенты слишком мало времени уделяют математическим дисциплинам, пропускают лекции и практические занятия и с трудом выдерживают экзамены; вторые - что им не преподают того, что нужно, однако преподают множество бесполезных для будущей деятельности дисциплин.

Повсюду раздаются жалобы на то, что студенты имеют лишь смутное представление о математике, что уровень математических знаний у инженеров очень низок, что раньше этот уровень был выше и что сейчас, несмотря на внедрение расширенных программ экзаменов в средней школе, он продолжает неуклонно снижаться. Утверждение Дж. Перри о том, что он «знает людей, сдавших сложнейшие экзамены по математике, но при этом старающихся как можно реже пользоваться формулами из карманных справочников» («Calculus for Engineers»), применимо к изрядной доле студентов наших институтов. Ученые советы многих из них силятся изыскать способы борьбы с этим злом; однако, прежде чем выносить эти способы на обсуждение, необходимо попытаться понять, чем вызвано наблюдаемое явление.

Причины его многочисленны и разнообразны. Некоторые относятся к внешним обстоятельствам и не зависят от организации учебного процесса в конкретном учебном заведении, другие же неразрывно связаны с этим процессом.

1. Одной из главнейших причин является само общественное устройство России. Социальная обстановка в стране такова, что без диплома о высшем образовании сложно рассчитывать на приемлемое положение в обществе. Единственной целью многих поступающих в высшие учебные заведения, в том числе в университеты, является диплом, открывающий возможность сделать достойную карьеру.

В случае высших технических учебных заведений существует

еще одна причина, объясняющая огромное число желающих туда поступить. И обусловлена эта неслыханная популярность вовсе не развитием промышленности и не числом вакантных должностей в казенных инженерных учреждениях. Обусловлена она плохой организацией средних технических училищ вкупе с дефицитом предоставляемых ими материальных ресурсов. По этой причине многие их выпускники устремляются в высшие учебные заведения. При этом подавляющее большинство студентов стремятся получить от них лишь практические знания, необходимые для работы инженером-практиком, и стремление это вызвано исключительно тем, что их невозможно получить в других местах.

Разумеется, студентам обеих категорий - охотникам за дипломами и охотникам за практическими знаниями - абстрактные и научные курсы математики и теоретической механики кажутся тяжким бременем, утяжеляющим и без того непосильную ношу специальных дисциплин. Они честно признаются: «мы прекрасно понимаем, что на курсах математики и теоретической механики вы преподаете нам науку, но у нас нет времени на ее изучение и она нам не понадобится в работе». И действительно, в профессии инженера-практика требуется лишь малая толика знаний по абстрактным предметам, изучаемым в высших учебных заведениях.

В полной мере знания по этим предметам нужны инженерам-теоретикам, но большинство студентов вовсе не стремятся встать на научный путь.

За вычетом этого большинства остается очень малое число студентов, которые наделены способностями к освоению абстрактных научных дисциплин; однако даже эти немногие не могут углубиться в их изучение по причине изъяна в организационной структуре институтов, о котором мы поговорим далее.

2. При рассмотрении учебных планов бросается в глаза их чрезмерная перегруженность.

Например, как уже упоминалось, в Институте инженеров путей сообщения, учебная программа которого рассчитана на пять лет, возникла необходимость добавить целых два дополнительных года на написание дипломной работы, что в сумме дает 7 лет обучения.

В Санкт-Петербургском политехническом институте, где учебная программа рассчитана на 4 года, пришлось сосредоточить все математические дисциплины трех отделений в первых трех семестрах; разумеется, в подобных условиях студенты заканчивают Институт не раньше, чем за 5-6 лет.

В зачетной книжке Электротехнического института 91 обязательный предмет, причем число это угрожает расти и далее. Учебная программа рассчитана на 5 лет, в действительности же обучение длится 6-7 лет. И повторяется это повсюду: так, в Горном институте выяснили, что на выполнение всех заданий по текущему

учебному плану понадобится как минимум 8 лет.

С развитием техники количество специальных дисциплин и разделов каждой из них неуклонно растет, увеличивается продолжительность программ, а выполнять учебные планы становится все тяжелее. В то же время количество часов, выделяемых на общие теоретические курсы, остается прежним и зачастую даже уменьшается, что приводит к постепенному отходу теоретических дисциплин на второй план. Начиная с первых же семестров из-за многочисленных заданий по черчению у студентов остается совсем немного времени на теоретические предметы, а начиная со второго семестра большинство аудиторий нередко полупусты.

3. Предметная система экзаменов, принятая на данный момент во всех институтах, только усугубила плачевное положение теоретических дисциплин. Была надежда, что внедрение этой системы позволит повысить уровень экзаменов, не увеличивая продолжительность обучения. На деле же она привела лишь к тому, что студенты постоянно готовятся к экзаменам, реже посещают лекции и упражнения и пытаются отсрочить начало экзаменов. Мы заметили, что, ввиду пагубных последствий внедрения системы в недоработанной форме, в некоторых учебных заведениях в нее уже вносятся коррективы.

4. Стоит отметить еще одно обстоятельство, которое также влияет на результаты обучения математике. Курсы математических дисциплин и теоретической механики почти всегда преподают математики, окончившие университеты, как и должно быть. Однако в большинстве случаев выпускники университетских математических отделений обладают недостаточными знаниями о применении математики в технических науках, а посему в своих лекциях (которые обычно представляют собой не что иное, как сокращенный университетский курс) никак не касаются такого применения. С другой стороны, специальные теоретические дисциплины на старших курсах преподают инженеры, которые в большинстве своем не сильны в математике и, как отмечает Перри, «стараются как можно меньше пользоваться математическими формулами».

По этой причине у студентов старших курсов формируется представление о том, что вся прочитанная им математика по большей части «бесполезна». Это представление передается от старшего поколения студентов младшему и превращается в общепринятое мнение.

Кроме того, математика утратила свое значение как средство развития точности суждения и логики в контексте точных наук. Малое количество часов, выделенных на изучение математики, и невозможность уделить этому изучению все необходимое внимание практически сводят роль математики как инструмента развития к абсолютному нулю.

Таковы основные причины бедственного положения математики в специализированных учебных заведениях. Существуют и другие факторы, но вышеприведенные кажутся нам достаточными для объяснения проблемы. Подводя итог, среди них можно выделить:

1) наплыв в институты студентов, чьи помыслы не имеют ничего общего с возвышенной целью этих учебных заведений;

2) перегруженность учебных планов, представляющая почти непреодолимое препятствие для меньшинства, способного в должной степени усвоить теоретические знания. Вот два самых опасных врага, с которыми необходимо бороться.

§ 12. Меры, предлагаемые для повышения уровня теоретических знаний у учащихся специализированных учебных заведений

Поскольку одной из причин чрезмерного наплыва студентов, пагубно влияющего на образовательный процесс, являются преимущества, которые дает диплом о высшем образовании, эти преимущества предлагается упразднить в надежде, что такая мера приведет к уменьшению числа поступающих в высшие учебные заведения. Однако нам кажется, что эта мера сама по себе не возымеет сколько-нибудь значимого действия.

На самом деле, недостаточный уровень образования в средних школах порождает совершенно естественное стремление, которому скорее стоило бы содействовать, а не противостоять, - стремление компенсировать недостаток знаний поступлением в высшую школу.

С другой стороны, официального упразднения всех преимуществ, которые дает диплом, недостаточно для ощутимого снижения его ценности. В жизни всегда будет существовать четкое деление между людьми с дипломом и без.

Наконец, против обсуждаемой меры можно было бы привести еще несколько возражений социального характера, но здесь мы их обсуждать не будем.

Другой способ, предлагаемый для решения проблемы с излишком студентов, заключается в увеличении числа специализированных высших учебных заведений.

Против этого можно привести следующие аргументы:

1. Увеличить число высших учебных заведений сложно, поскольку ни одно из них не может существовать за свой счет и требует значительных материальных вложений. Кроме того, потребуется увеличить число преподавателей, которых и так едва хватает в существующих учебных заведениях.

2. При нынешнем уровне развития промышленности не требуется даже имеющееся число инженеров; новоиспеченные же специалисты и

вовсе не найдут работу и лишь поспособствуют разрастанию умственного пролетариата.

Переходя к проектам, подразумевающим реорганизацию ныне существующих институтов, остановимся на двух из них:

1. В 1897 году на физико-математическом факультете Казанского университета была издана брошюра «О роли университетов в устройстве высшего технического образования в России». На основании доводов о том, что для увеличения числа инженерно-технических институтов необходимо преодолеть немалые препятствия, а качественное преподавание фундаментальных наук (математики, механики, физики и химии) проще организовать в университетах, нежели в институтах, в брошюре предлагается устроить на базе университетов подготовительные технические отделения с двухгодичным курсом обучения, а технические институты преобразовать в заведения с трехгодичным курсом обучения.

Такой проект мы не можем поддержать. Нам представляется, что цель университетов слишком отличается от цели институтов, а сама структура университетов в достаточной степени сложна, чтобы подвергать ее дальнейшим усложнениям.

Кроме того, руководство институтов тоже не удовлетворится подобным проектом. В 1883 году похожий эксперимент попытался провести Институт путей сообщения. Упразднив два первых курса, он начал принимать на третий курс только выпускников физико-математического факультета Университета.

Однако эксперимент не удался: трехгодичного курса оказалось недостаточно для получения специализации, а университетская подготовка не отвечала требованиям инженерного образования. После перерыва длиною в несколько лет институт вернулся к прежнему устройству.

2. Совершенно иной проект предложил генерал Н. Петров, в настоящее время являющийся членом Государственного совета, в своей брошюре «Каким надлежит быть институту», С.-Петербург, 1897 г. Основные черты данного проекта излагаются автором в следующих выражениях:

«Полный курс технического института делится на две части: год предварительной подготовки по основным предметам (математика, механика, физика, химия) и два-три года изучения наук по выбранной специализации. Такое обучение предназначено для студентов, которые готовятся к обычной инженерной деятельности. Что касается инженеров-теоретиков, из которых формируется профессура технических институтов, их подготовка должна проходить в отдельном заведении - на подготовительных курсах с двухгодичной программой углубленного изучения математики, механики, физики и химии.

На такие подготовительные курсы должны приниматься только лучшие выпускники реальных училищ, получившие специальную

рекомендацию руководства в связи с исключительными способностями к изучению наук. По окончании подготовительных курсов выпускники будут вправе поступить в выбранный ими технический институт для дальнейшей специализации. В основном именно для них должны проводиться факультативные занятия по высшим разделам науки».

Безотносительно подробностей проекта (например, продолжительности обучения, условий поступления и т.д., к которым можно предъявить серьезные возражения) сама концепция, лежащая в его основе, кажется нам справедливой, а точнее, единственно справедливой для тех принципов, на которых зиждется высшее техническое образование.

Дело в том, что высшее образование по определению не является общедоступным. Для него необходимы немногочисленные, тщательно отобранные, прошедшие серьезную и основательную предварительную подготовку слушатели. Однако именно этими условиями в настоящее время пренебрегают технические институты. В нынешнем состоянии они не отвечают требованиям подготовки ни инженеров-теоретиков, ни инженеров-практиков. Первым они не дают времени на усвоение основ точных наук, а вторых нагружают материалом, который им никогда не пригодится.

Несмотря на свои весьма разумные основы, проект генерала Петрова не привлек заслуженного внимания, и в настоящее время вопрос о его повторном рассмотрении не поднимается. Однако не исключено, что печальные симптомы, которые начинают с угрожающей закономерностью проявляться в российских институтах, в итоге привлекут внимание компетентных ведомств к этому проекту, который является весьма логичной отправной точкой для обсуждения данного крайне важного вопроса.

В нижеследующих параграфах мы увидим, что нам вовсе не нужно далеко ходить за примером специализированного института, где обучение математике дает удовлетворительные результаты, приводящие к выпуску высокообразованных специалистов и даже появлению в их числе выдающихся ученых. Речь идет о Военно-морской академии. Однако это высшая школа относится к военному ведомству, и условия обучения в ней нисколько не похожи на условия в гражданских институтах. Дело не в том, что из последних не выпускаются образованные инженеры: напротив, прекрасно известно, что большинство преподавателей этих институтов являются их же выпускниками, прославляющими родные стены; однако это давние выпускники, окончившие обучение в то время, когда условия в таких институтах были куда благоприятнее, чем сегодня. А потому мы опасаемся, что число таких выпускников будет неуклонно уменьшаться, если нынешнее положение дел не изменится.

Знаменитый русский ученый Д. Менделеев по поводу

постоянного роста численности студентов в Университете заметил: «Раньше, когда в химической аудитории было 40 слушателей, 10 из них выпускались химиками, а теперь из 400 человек не выпускается ни одного».

При буквальном прочтении это утверждение, несомненно, представляется парадоксальным, однако лежащая в его основе мысль верна: толпа принижает всё, на что давит своей массой.

В ожидании проведения всеобъемлющей реформы можно было бы уже сейчас принять некоторые частичные меры для улучшения текущего положения вещей:

1. Максимально разгрузить учебные планы посредством введения более дробного деления программы по специализациям;

2. Пересмотреть программы фундаментальных наук, освободив их от некоторых чересчур абстрактных разделов и подчеркнув прикладные аспекты;

3. Изменить процедуру проведения экзаменов.

Модернизации математического образования в институтах могла бы значительно поспособствовать реформа математического образования, направленная на решение задач, изложенных в I разделе настоящего доклада.

«Центр тяжести» любого вопроса, касающегося математической подготовки, обычно связан с реформой среднего образования. Если целью является достижение истинного прогресса, именно на такую реформу должны быть направлены все усилия.

VI. Военно-учебные заведения

§ 13. Военные школы с математической подготовкой

1. Кадетские корпуса — средние школы, программа математики в которых аналогична программе реальных училищ, за исключением основ исчисления бесконечно малых13;

2. Специальные училища -нечто среднее между средней и высшей школой, например Военно-топографическое училище;

3° Военные академии: морская, артиллерийская, инженерная -высшие школы с курсом высшей математики.

4. Училища, обучающие конкретной специальности, с годичным или двухгодичным курсом, например Минный офицерский класс в Кронштадте.

Приведем краткий обзор преподавания математики в Военно-морской академии, Военно-топографическом училище и Минном

13 Обзор обучения в таких заведениях выходит за рамки настоящего доклада.

офицерском классе.

§ 14. Санкт-Петербургская военно-морская академия14

Высшая школа с тремя техническими отделениями: гидрографическим, механическим и кораблестроительным. Далее по тексту мы будем обозначать их, соответственно, буквами Г., М. и К.

До 1910 года набор производился каждые два года, и обучение тоже продолжалось два года. Набирали по 25-30 офицеров, успешно окончивших специальные классы Морского корпуса и отслуживших три года на флоте.

Начиная с 1910 года набор производится каждые три года, зачисляется не более 36 офицеров, условия зачисления прежние, продолжительность обучения также увеличена на один год.

Для зачисления в Академию необходимо сдать вступительный экзамен по следующей программе:

1. Алгебра

2. Элементарная геометрия

3. Прямолинейная тригонометрия

4. Сферическая тригонометрия

5. Основы аналитической планиметрии и начала аналитической стереометрии

6. Элементарный курс теоретической механики

7. Физика - курс реальных училищ

8. Основы дифференциально-интегрального исчисления

9. Современный иностранный язык (французский, немецкий или английский) — перевод статьи на иностранном языке со словарем

Все перечисленные предметы преподаются в старших классах Морского корпуса и входят в его выпускной экзамен. Однако в Академии считают нужным проводить повторный экзамен, поскольку по истечении трех лет службы на флоте офицеры забывают многое из пройденного в Корпусе. Кроме того, по той же причине, важнейшие разделы вступительного экзамена далее фигурируют в основном курсе Академии. Ниже приводится примерный учебный план на период с 1 октября 1910 по 1 мая 1913 года.

14 Сведения сообщили профессора А. Н. Савич и О. И. Сомов

ТАБЛИЦА IX Учебный план (1910—1913 гг.)

(Число в столбце обозначает количество часов в неделю)

ПРЕДМЕТЫ

1-й курс

2-й курс

3-й курс

Итого за 3 года

Г

M

К

Г

M

К

Г

M

К

Дифференциальное и интегральное исчисление

4

4

4

4

4

4

2

2

2

10

(факультативно)

Упражнения по математике

2

2

2

2

2

2

4

Аналитическая геометрия

3

3

3

3

Высшая алгебра

2

2

2

Аналитическая механика

4

4

4

2

2

2

6

Физика

4

4

4

4

3

3

8

или 7

Практические работы по физике

3

2

2

3

2

2

6

или 4

Высшая оптика

2

2

Электротехника

2

2

2

2

Практические работы по электротехнике

2

2

2

2

Корабельная электротехника

2

2

2

Теория корабля

2

2

3

2

2

2

2

4

4 и

7

Астрономия и геодезия

4,5

4,5

4,5

13,5

Практические работы по астрономии

1,5

1,5

1,5

4,5

Физическая география

3

3

3

9

Девиация магнитного компаса

2

2

4

Практические работы по девиации

2

2

2

6

Земной магнетизм

2

2

Механистическая теория теплоты

1

1

Сопротивление материалов и теория упругости

2

2

2

2

4

Прикладная механика

2

2

2

2

4

Теория паровых машин и котлов

Поршневые двигатели

2

2

2

1

6 и 1

Турбины и котлы

2

2

2

1

6 и 1

Проектирование

паровых машин

2

2

2

6

турбин и котлов

Судовые вспомогательные механизмы

2

2

7

9-2

Тепловые двигатели

2

4

6

Механическая технология

3

3

3

3

2

8-6

Строительная механика корабля

3

3

Проектирование кораблей

3

1,5

10

14,5

Корабли специального назначения

2

2

Военно-морская артиллерия

1

2

1

3,5

Развитие броненосного кораблестроения

1,5

1,5

История военно-морского искусства; стратегия и тактика военного кораблестроения

1

1

1

Химия (факультативно)

Мы не будем подробно разбирать курс математики, однако для получения представления о его охвате заметим, что в курс интегрального исчисления, помимо традиционных разделов, также входят:

1) основы теории эллиптических функций;

2) основы вариационного исчисления;

3) ряды Фурье;

4) дифференциальные уравнения математической физики;

5) формулы Стокса и Грина, и т.д.

Курс высшей алгебры (два часа в неделю в течение двух лет) содержит весьма полный раздел численных уравнений: в его рамках предусмотрено подробное изложение метода вычисления действительных и мнимых корней численных уравнений по Греффе, вычисление результантов и т.д.

Переход с одного курса на другой осуществляется по результатам экзаменов, которые проходят каждую весну по окончании учебного года.

Мы уже говорили, что уровень математических знаний у курсантов Академии выше, чем у студентов технических институтов. Далее мы увидим, что условия обучения в Академии существенно отличаются от таковых в гражданских учебных заведениях.

1. На потоке в Академии учатся всего 36 курсантов, средний возраст которых составляет 24-25 лет, тогда как в институтах обучаются сотни юношей в возрасте 17-18 лет, которые лишь номинально обязаны посещать лекции и практические упражнения.

2. В Академии отсутствие слушателя на лекциях или практических занятиях - редкое исключение, а в институтах -практически повсеместное правило, начиная со второго семестра.

3. В Академии курс исчисления бесконечно малых не начинают с понятия пределов и вычисления производных элементарных функций (напоминая лишь основные аспекты этих разделов), а курс аналитической геометрии с понятия декартовых координат, тогда как в институтах приходится начинать именно с этого.

4. В Академии успевает развиться математическое мышление, поскольку математика преподается не 3-4 семестра, а три года. Кроме того, в отличие от институтов, ее курс не приходится начинать с азов.

5. Наконец, в Академии курсанты не перегружены ни потоком специальных дисциплин, ни заданиями по черчению, которое они уже давно изучили до поступления в Академию.

Если к этому добавить тот факт, что военная дисциплина приучает курсантов Академии регулярно выполнять домашние задания, не откладывая их на потом, мы увидим достаточное число доводов, объясняющих разницу между результатами обучения в двух

рассмотренных нами типах высших школ.

§ 15. Санкт-Петербургское военно-топографическое юнкерское училище15

Продолжительность обучения — три года. Условие зачисления: окончание кадетского корпуса.

Поскольку топографы не могут обойтись без основ высшей математики, им преподаются следующие предметы:

сферическая тригонометрия, аналитическая геометрия, исчисление бесконечно малых с основными видами его геометрического применения -2 часа в неделю на первом курсе, 2 часа на втором, 4 часа на третьем, итого 8 часов в неделю.

На последнем курсе им также читают курс исчисления вероятностей и специальные курсы - такие, как топография, картография, геодезия и т.д.

§ 16. Минный офицерский класс в Кронштадте16

Продолжительность обучения — один год. Условия зачисления: окончание Морского корпуса и два года службы на флоте, сдача вступительных экзаменов по элементарной математике, аналитической геометрии, основам исчисления бесконечно малых и общей физике.

Обучение в классе включает краткий курс теоретической механики с упором на ее практическое применение, курс физики, выстроенный в том же духе, и курс химии, содержащий важнейшие для слушателей разделы, а также специальные курсы с практическими упражнениями. Основы высшей математики даются только в качестве введения к курсу механики.

В завершении доклада хотелось бы выразить горячую благодарность всем уважаемым коллегам, которые согласились предоставить мне сведения по различным разделам доклада, и в особенности г-ну Андре Ларонду, который дал себе труд отредактировать его.

К. Поссе

15 Сведения предоставлены г-ном Захаровым, преподавателем математики в данном училище

16 Сведения предоставлены г-ном Петровским, преподавателем физики.

Международная комиссия по преподаванию математики

РОССИЙСКАЯ ПОДКОМИССИЯ

ДОКЛАДЫ, ПРЕДСТАВЛЕННЫЕ РОССИЙСКОЙ ДЕЛЕГАЦИЕЙ

Авторы:

г-н В. С. -бывший директор Учительского института

г-н В. Кондратьев -директор Санкт-Петербургской гимназии № 8

1. Преподавание математики в начальных школах и учительских институтах. Г-н С.

2. Преподавание математики в мужских гимназиях Министерства народного просвещения и в женских институтах Ведомства учреждений императрицы Марии. Г-н Кондратьев

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

Типография общества «Труд». Ул. Кавалергардская, д. 40

1911

А) Современное состояние организации и методики преподавания математики в начальных школах

В. С.

Типы школ

К Министерству народного просвещения в России относятся не все учебные заведения. Некоторые из них по-прежнему подведомственны другим министерствам или Ведомству православного исповедания. Кроме того, даже если ограничиться школами, относящимися к Министерству народного просвещения, и рассматривать только начальные школы, основанные частными лицами, государственными учреждениями и государством, такие школы будут совершенно разными ввиду разнообразия населяющих империю народов. Наверное, будет нецелесообразно разбираться в многочисленных видах уже изживших себя «инородческих школ», поскольку контингент учащихся в них невелик, и к тому же они одна за другой преобразуются в школы общего характера. На последних мы и сосредоточимся в своем докладе.

Неспециализированные начальные учебные заведения - мужские, женские и совместного обучения - делятся на две категории: к первой относятся начальные училища, ко второй - двухклассные училища (в селах) и городские училища (в городах). В начальных училищах длительность обучения почти повсеместно составляет три года. В некоторых районах с большой численностью инородцев, а также, по желанию учредителей, в сугубо русских районах она может составлять четыре года. Недавно Государственная дума приняла законопроект, согласно которому нормативная продолжительность обучения составит четыре года. В училища принимаются дети с семи лет.

В двухклассных училищах учатся пять лет. Первый класс - три года - равнозначен начальному училищу, поэтому во второй класс могут также приниматься выпускники начальных училищ. В первый класс принимаются дети семи лет. В городских училищах продолжительность обучения ранее везде составляла шесть лет, причем в первые три года программа совпадала с начальными училищами. Однако в последние 10-15 лет наблюдается тенденция к сокращению срока обучения до четырех лет и приему детей, уже окончивших начальное училище. Поскольку распределение предметов по классам при этом не меняется, получается, что школьники учатся дополнительный год. В училища, подвергшиеся такому преобразованию, принимаются дети 10-11 лет.

Цель преподавания математики

Согласно законодательству, «начальные училища имеют целью утверждать в народе религиозные и нравственные понятия и распространять первоначальные полезные знания». Таким образом, преподавание математики в них тоже сводится к сугубо утилитарным задачам. Однако даже такая задача будет лучше усвоена умом, не лишенным некоего общего развития. Поэтому преподавание математики в начальной школе нацелено не только на практические результаты, но и на интеллектуальное развитие. Эта двойная роль четко оговорена в Пояснительной записке к Официальной программе по математике для начальных школ. Двухклассные училища служат для того, чтобы «деревенские дети получили базовое образование в более полной и лучше проработанной форме», а городские училища-для «общего, религиозного и нравственного начального образования детей любого положения и достатка». Здесь мы видим в основном умозрительные рассуждения, однако выбор школьных предметов должен быть в первую очередь обусловлен практической необходимостью, ведь для развития навыков освоения знаний подходят любые материалы, если применяются грамотные педагогические методики.

Разделы математики, преподаваемые в начальной школе, и отведенное на них время

Единственный раздел математики, преподаваемый в начальной школе, - арифметика: четыре операции с целыми, составными именованными и составными отвлеченными числами, а также простейшие операции с дробными числами. Сюда входят также базовые понятия геометрии, абсолютно необходимые для того, чтобы ребенок понял, как измеряется площадь и объем, и научился вычислять площадь прямоугольника и объем прямоугольного параллелепипеда. В каждом из трех классов на математику отводится по 5 уроков в неделю, но поскольку во всех трех классах обычно преподает один учитель, то получается, что каждый класс работает под руководством учителя всего треть этого времени, а остальные две трети занимается самостоятельно.

Во втором классе двухклассных училищ проходят не только арифметику, но и геометрию. По результатам опроса, проведенного в 1909—1910 годах, программа и количество часов различается не только между 16 учебными округами, на которые поделена огромная территория Империи, но и внутри каждого из этих округов и даже в пределах одного населенного пункта. Некоторые округи до сих пор руководствуются программой Министерства 1869 года, другие -программой того же Министерства, но уже 1903 года (в особенности

для двухклассных училищ при учительских семинариях), а третьи занимаются по программам Санкт-Петербургского (редакция 1889 и 1896 года) и Московского (1895 год) учебных округов. При этом различия между этими программами относятся лишь к незначительным деталям. Во втором классе в программу арифметики обычно входят операции с обыкновенными и десятичными дробями, а также решение задач (без пропорций) из следующих областей: тройное правило, смеси и сплавы, коммерческая деятельность, проценты. В программу геометрии входят базовые понятия геометрии, проистекающие из изучения тел, прямых, углов и фигур; равенство, подобие и измерение площади плоских фигур; измерение площади и объема куба, призмы, пирамиды, цилиндра, конуса и сферы. Понятие топографической съемки. Курс рассчитан скорее на интуитивное восприятие.

В оба года второго класса арифметика преподается от 3-4 до 6 часов в неделю, геометрия от 1-2 до 3 часов. Обычно оба класса учеников находятся в одном помещении, то есть половину времени каждый из них занимается с учителем, а вторую половину -самостоятельно.

В программах городских училищ различий меньше, чем в программах двухклассных училищ, поскольку в них повсеместно применяется программа Министерства 1877 года. Новая программа была разработана и утверждена министром в 1896 году, однако по причине значительного количества возражений ее было решено не публиковать и не исправлять - учитывая, к тому же, что близилась радикальная реформа всей организации таких училищ. Что касается расписания, в разных местах оно может существенно различаться, поскольку закон 1896 года дает училищам право менять количество часов «в соответствии с местными требованиями».

Программа математики в городских училищах всегда включает в себя арифметику и геометрию и почти всегда - алгебру.

По арифметике дается полный курс, включающий периодические дроби и пропорции. Количество часов в училищах с четырехлетним обучением варьируется от 8 до 16.

Геометрия включает в себя довольно полный курс плоской геометрии (за исключением теории пределов и ее применения), сокращенный курс пространственной геометрии и основные принципы топографической съемки и нивелирования. Перед систематическим курсом геометрии проводятся «занятия, рассчитанные на интуитивное восприятие и посвященные геометрическим телам - кубу, призме, пирамиде, цилиндру, конусу и сфере». Число часов варьируется от 6 до 9.

Курс алгебры завершается составлением уравнений первой степени и решению соответствующих задач. Число часов варьируется от 2 до 4.

Экзамены

В начальных школах нет промежуточных экзаменов, да по-другому и быть не может, в силу самой организации учебного процесса и методики преподавания. Учитель ежедневно проводит с детьми 4-5 часов и проверяет их знания прямо в процессе обучения, поскольку каждый ответ, полученный на его вопрос, указывает на степень развития и успеваемости ученика. Тем не менее, поскольку выдаваемый после обучения аттестат дает некоторые льготы по части военной службы, пришлось все же учредить некий внешний контроль. Соответственно, для учеников, желающих получить аттестат, был организован специальный выпускной экзамен. Экзамен принимают учитель и законоучитель (священник), под руководством специально приглашенного экзаменатора, действующего согласно установленным правилам. Экзамен по арифметике состоит из двух частей: письменной - решения одной сложной задачи или нескольких простых задач, специально подобранных для проверки знаний, которые ученик вынес из всего курса; и устной - дополнения и исправления письменной.

Двухклассные училища проводят две экзаменационные сессии: первая - по окончании первого класса, соответствующего начальной школе; вторая - по окончании второго класса, поскольку ее сдача обеспечивает льготы при прохождении военной службы. Экзаменационная комиссия состоит из законоучителя и двух учителей (первого и второго класса); испытания проводятся как письменные, так и устные. Если экзамен проходит в отсутствии главного инспектора, то ему передается стенографическая запись устных и копии письменных ответов, и именно он в последней инстанции утверждает результаты экзаменов.

По закону 1872 года в городских училищах введены ежегодные переводные экзамены по всем предметам, а в последнем классе -выпускные экзамены. Однако в 1894 году указом министра эти требования были сокращены: при том, что ежегодное письменное испытание по арифметике сохраняется, устный экзамен за четыре класса держится только один раз, а любые испытания по геометрии -как письменные, так и устные - полностью упраздняются. В порядке компенсации вводятся курсы повторения пройденного материала-два по арифметике и один по геометрии. «Это занятия, похожие на обычные уроки, но продолжающиеся по три-четыре часа подряд, состоящие в основном из опроса по всем темам курса и сопровождающиеся разъяснениями по плохо понятым разделам». То есть, это обычное, но очень длинное и утомительное занятие, которое фактически представляет собой смягченный вариант экзамена. Выпускные экзамены по арифметике и геометрии охватывают всю школьную программу. Как и экзамены по другим предметам, их принимает учитель в присутствии директора школы. На выпускных же

экзаменах дополнительно присутствует ассистент из числа учителей других предметов. По геометрии письменного экзамена нет, по арифметике сдается сначала письменный экзамен (задачи), затем устный.

Методика преподавания

Методика, принятая в системе начального образования, не отличается никакими особыми свойствами. Разумеется, основной акцент делается на самостоятельную работу ученика, перед глазами которого помещают сам предмет изучения. Учебный процесс проходит в форме вопросов и ответов.

Изучение арифметики начинается с чисел первой десятки, затем добавляются операции с числами первой сотни. Кое-где по-прежнему сохранился концентрический метод: сначала изучаются числа в пределах 20, затем в пределах 1000. Далее изучается счисление и письменные операции с числами любого порядка. В первых же упражнениях на числа первой сотни учеников знакомят с основными российскими единицами измерения, их применением и соотношением; по новой методике, эти знания подаются более полно и систематизировано и применяются к операциям с составными именованными числами. Также в рамках изучения первой сотни изучаются простейшие дроби ^'^'^ ' а в конце курса добавляются самые простые операции с дробными числами - при этом понятие умножения и деления на дробь не вводится, а ученики ограничиваются поиском части целого или наоборот - целого по его известной кратной части; или же определением того, сколько раз одна дробь содержится в другой. Самыми полезными дополнениями к курсу арифметики являются уроки счета с применением русских счётов, арифметического набора и дробных счётов.

Учебников у школьников нет; им выдаются лишь сборники примеров и задач. Упражнения они должны выполнять самостоятельно - и, как уже говорилось выше, занимает это у них две трети всего учебного времени, учитывая организацию времени в школе.

Задачников для младших школьников существует великое множество, ежегодно издаются новые - но особого разнообразия среди них не наблюдается. Некоторые авторы попытались увязать задачи с отработкой определенных практических навыков-так, нам попадался задачник, посвященный исключительно ведению хозяйства на селе. Однако, все подобные попытки не принесли результатов - несомненно, по причине недостатков их практического воплощения, но также и потому, что в педагогике нежелательно гнаться за двумя зайцами. В последнее время появилась еще одна порочная практика - группировка

задач по методу решения, приводящая к тому, что ученики вызубривают эти методы вместо того, чтобы научиться их вдумчиво использовать.

Появился также и экспериментальный способ объяснения площадей и объемов: прямоугольники разрезаются на квадраты, а параллелепипеды строятся из одинаковых кубов. Все задачники по арифметике содержат подобные задачи и примеры. Во втором классе двухклассных училищ используются не только задачники, но и учебники арифметики, предназначенные для повторения материала, который пройден в классе с учителем. Теория преподается ровно в той степени, в которой она нужна для вдумчивого освоения арифметических операций.

Организация занятий по геометрии в двухклассных училищах до недавнего времени оставляла желать лучшего, поскольку по окончании учительской семинарии будущие учителя проходили практику не в них, а в обычных начальных училищах. Более того, долгое время по курсу геометрии не было ни учебного плана, ни учебников, приспособленных к темпам обучения и расписанию, ни методического плана для учителей (тогда как по арифметике таких методических планов было великое множество).

По закону, все предметы в городских училищах преподает один и тот же учитель (помимо Закона Божьего, пения и гимнастики), однако мало-помалу от этой идеи отказались, и теперь почти повсеместно детей обучают разным предметам разные учителя. В таких школах учебники по арифметике и геометрии тоже служат лишь для повторения материала, пройденного в классе с учителем. Кроме того, учебники геометрии содержат немалое число упражнений для самостоятельной работы, теорем для доказательства и задач на построение и вычисление. В качестве дополнения приводятся модели геометрических тел и вообще фигур в пространстве, а введение основ землемерия сопровождается специальными внешкольными занятиями на открытой местности.

Педагогический состав

Учителя начальных и двухклассных училищ получают подготовку в мужских и женских учительских семинариях. Хотя каждый год выпускаются новые учителя, их пока недостаточно для заполнения всех должностей. Право на преподавание в начальных училищах дается по результатам специального экзамена, который состоит из теоретической части (принципы организации занятий в городских училищах, методика изложения предметов в начальных училищах) и практической (пробные уроки на тему, предложенную экзаменационной комиссией). Записаться на экзамены могут соискатели в возрасте 17 лет и старше (юноши) или 16 и старше

(девушки).

Подготовка учителей для городских училищ проводится в педагогических институтах (для юношей). Для сторонних соискателей институты проводят специальный экзамен (сходный с вышеописанным), который состоит из теоретической части (по программе, в разумной степени похожей на программу обучения в институте) и практической (пробные уроки в городском училище).

В) Текущее положение в области преподавания математики в учительских школах и методика преподавания

В. С.

Виды учительских школ

Учительские школы для подготовки учителей начальных школ бывают двух видов: мужские и женские учительские семинарии и учительские институты. В первых готовят учителей для начальных и двухклассных училищ, во вторых - для городских училищ.

До 1902 года в семинариях было всего три класса, однако во всех семинариях, открытых позже, классов уже четыре, и все ранее учрежденные сейчас тоже приводят к этому стандарту. Для поступления в четырехлетнюю семинарию необходимо окончить двухклассное училище; принимают выпускников в возрасте от 14 до 18 лет. Лучшие выпускники двухклассного училища могут остаться в своем училище в качестве кандидатов в семинарию: под руководством учителя они повторяют пройденное, дополняя это чтением книг по соответствующему предмету. Также им могут поручить часть уроков, которые они проводят без контроля учителя. Подобные кандидаты, в отличие от всех остальных, принимаются на курсы и вне конкурса.

В учительских институтах обучение длится три года. Принимаются только юноши от 16 лет, зачисление проводится по результатам конкурса. Вступительные испытания проводятся по программе городского училища.

Цель преподавания математики

Одной из основных задач учительских семинарий и институтов является обучение математике. Для достижения результатов в обучении преподавателю необходимо прежде всего понять его задачу, а для улучшения учебного процесса ему необходимы теоретические и практические знания, значительно превосходящие объем программы.

Учебные предметы

Соответственно этим целям определяется и набор предметов, которые преподаются в семинариях:

1) Теоретический курс арифметики с решением достаточного числа задач. От 5 до 7 часов в неделю, в зависимости от семинарии и с поправкой на уровень знаний и интеллектуальное развитие учащихся;

2) Основы алгебры. Программы разных семинарий содержат существенные различия. В одних всё ограничивается уравнениями первой степени, в других решают и уравнения второй степени, в третьих программу доводят до неопределенных уравнений, прогрессий

и логарифмов; сообразно этому число учебных часов в неделю составляет от одного до пяти;

3) Программа геометрии в значительной степени (или полностью) совпадает с программой средней школы, однако к ней добавляется землемерие. Часов в неделю от 6 до 8.

Кроме того, в двух старших классах проводятся занятия по методике преподавания арифметики и геометрии - один час в неделю на каждый предмет. Изученный материал применяется на пробных уроках, которые семинаристы выпускных классов проводят в двухклассных училищах при своей семинарии.

В учительских институтах курс математики делится на следующие предметы:

1) Теоретическая арифметика (почти повсеместно, 0,5-3 часа в неделю);

2) Алгебра, в том числе бином Ньютона, периодические дроби и другие дополнения - 7-8 часов в неделю.

3) Геометрия, курс средней школы - 4-5 часов в неделю.

4) Прямолинейная тригонометрия, иногда с основами сферической тригонометрии: 2-3 часа в неделю. Однако по закону этот предмет не предусмотрен.

В выпускных классах вводится методика преподавания математики в городских училищах, 1-2 часа в неделю. Учащиеся выпускного класса проходят практику в городском училище при соответствующем институте.

Экзамены

В учительских семинариях (по распоряжению министерства) и учительских институтах (в соответствии с законодательством) в конце каждого года проводятся выпускные и переводные экзамены. Переводные принимает комиссия из трех экзаменаторов: директор, учитель и помощник учителя, а выпускные - педагогический совет в полном составе. Впрочем, нередко для приема экзаменов совет делегирует комиссию аналогичного состава, только с двумя помощниками вместо одного. Испытания делятся на письменные и устные, причем письменные состоят в решении задач по темам, пройденным в течение года.

Методика преподавания

В руководствах для учительских семинарий рекомендуется догматический характер преподавания, перемежающийся ответами на самые распространенные вопросы, а также объяснениями, которые дают сами ученики. В части собственно математики, помимо всего указанного, рекомендуется уделять значительное внимание задачам по

арифметике и геометрии, чтобы развить у учеников привычку к самостоятельной работе.

В учительских институтах с недавнего времени закрепилась урочная система с четырьмя контрольными занятиями в год.

Как в институтах, так и в семинариях учебникам отводится второстепенная роль напоминания о пройденном в классе. И учебники, и задачники используются те же, что и в средних школах.

Педагогический состав

Преподаватели для учительских семинарий набираются из числа выпускников высших учебных заведений. Математику преподают выпускники Университета, успешно выдержавшие выпускные экзамены физико-математического факультета. Однако уже некоторое время численность таких кадров недостаточна, поэтому педагоги набираются и из числа выпускников учительских институтов. Нужно заметить, что университетские выпускники не имеют ни педагогической подготовки, ни знаний о том, как устроена начальная школа, поскольку в университет они поступают по окончании гимназии, а гимназисты лишь в исключительных случаях попадают в гимназии по окончании начальной школы. Однако всё это компенсируется их интеллектуальным превосходством и уровнем специальной научной подготовки, благодаря которым они смело прокладывают собственный путь в педагогике, не ограничиваюсь проторенными дорогами. Благоприятствует этому и отсутствие подробного учебного плана для семинарий. Нередко, впрочем, это обстоятельство приводит и к менее полезным последствиям: а именно значительным отступлениям от учебной программы по инициативе учеников, неоправданной затянутости и слишком поверхностному характеру обучения. В частности, в одной из семинарий в программе значится не только вся алгебра, вплоть до бинома Ньютона и периодических дробей, но и вся тригонометрия, а также основы аналитической геометрии.

В учительских институтах все преподаватели являются выпускниками высших учебных заведений.

А) Мужские гимназии Министерства народного просвещения

В. Кондратьев

I. Цель преподавания математики и ее разделы, преподаваемые в мужских гимназиях Министерства народного просвещения

В пояснительной записке к Программе курса математики в мужских гимназиях Министерства народного просвещения указана следующая цель данного курса: «Математика, как точная и абстрактная наука, дающая простой и удобный инструментарий для надлежащего развития мыслительных способностей, составляет одну из основ общего образования. Поскольку главной задачей гимназического образования является умственное развитие ученика, то в курс математики прежде всего входит подробное и строго систематизированное изучение теории. Что же до практического применения, прежде всего оно служит иллюстрацией теории, а также прививает навыки счета».

Таким образом, первоочередной целью математического образования делается развитие логических способностей ученика. Соответственно, абсолютно оправдана опора на строго систематизированный теоретический курс. Однако это не означает, что курс начисто лишен практических аспектов, ибо гимназические курсы физики, математической географии (космографии) и основ механики1 полностью основаны на математике, и освоить их невозможно без основательной математической подготовки.

1 Программа курса основ механики:

Шестой класс - Движение и сила. Законы движения: закон инерции, закон относительного движения, закон равенства действия и противодействия. Сила как основа движения и давления. Измерение силы через массу. Сопротивление движению (трение). Равновесие сил. Сложение и разложение сил. Параллелограмм сил. Сложение параллельных сил. Рычаги первого и второго рода.

Теория о силе тяжести. Направление силы тяжести. Центр тяжести. Условия равновесия для тяжелого твердого тела. Падение тел в вакууме и в воздухе.

Основы закона всемирного тяготения. Восьмой класс - теория движения. Равномерное движение, скорость. Скорость переменного движения, ускорение. Равноускоренное и равнозамедленное движение. Движение в свободном падении. Движение снарядов. Основы криволинейного и центробежного движения.

Принцип маятника. Применение к работе часов.

Теория энергии. Основы понятия работы силы, измерение работы. Рычаг, блок, лебедка, наклонная плоскость, зубчатые колеса, винты. Кинетическая и потенциальная энергия. Преобразование механической работы в тепловую энергию и наоборот. Принцип сохранения энергии.

Гимназии Министерства народного просвещения делятся на два типа: 1) гимназии с одним древним языком (латынью): таких большинство; 2) гимназии с двумя древними языками: таких в стране всего пять.

Число учебных часов, отводимых на математику, в них разное: 32 и 30 часов в неделю (совокупно во всех классах), соответственно. Однако сами программы одинаковые.

Распределение учебных часов математики по классам.

Классы

I

II

III

IV

V

VI

VII

VIII

Итого

Тип 1

4

4

4

4

5

4

3

4

32 часа

Тип 2

4

4

4

4

4

4

3

3

30 часов

Предметы преподаются следующие: арифметика, алгебра, геометрия и тригонометрия.

1) Арифметика

10 часов в неделю, а именно: 4 в первом классе, 4 во втором, 2 в третьем. Кроме того, в восьмом классе предусмотрено 4 часа математики для гимназий 1-го типа и 3 для гимназий 2-го типа, из них примерно час посвящен повторению арифметики и доказательству некоторых теорем, ранее пропущенных ввиду их сложности.

Программа курса арифметики

Первый класс: четыре операции с целыми именованными или отвлеченными числами. Вводный курс по дробям.

Второй класс: делимость чисел на 2, 3, 4, 5, 8, 9 и 10. Делимость на произведение (6, 12 и т.д.) Разложение чисел на множители. Нахождение наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного. Четыре операции с обыкновенными и десятичными дробями. Периодические дроби (это раздел намеренно ограничен лишь основами).

Третий класс: Отношения и пропорции. Тройное правило - простое и сложное. Проценты и пропорциональное деление

Примечание. В официальную программу также включено изучение правил учета ценных бумаг (в торговле), размена денег и смешения растворов. Также даются два метода решения различных задач: метод приведения к единице и метод пропорций. Однако в 1896 году в Санкт-Петербургском учебном округе циркуляром Попечителя было разрешено упразднение трех вышеуказанных правил, а для решения задач на тройное правило и процентный доход рекомендовался метод приведения к единице. Метод же пропорций рекомендуется исключительно для решения задач на простое тройное правило. Такие положения, как нам представляется, не были приняты

в остальных учебных округах; более того, даже некоторые санкт-петербургские гимназии продолжают заниматься учетом ценных бумаг, разменом и смешением.

Восьмой класс: повторение всего курса с доказательством основных теорем о делимости, поиске наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного для двух или более чисел (два метода), а также теорем, устанавливающих необходимые и достаточные условия для преобразования обыкновенных несократимых дробей в конечные и периодические десятичные дроби.

2) Алгебра

9,5 часов в неделю, а именно: 2 в третьем классе, 2 в четвертом, 2 в пятом, 2 в шестом и 1,5 в седьмом (1 в первом полугодии и 2 во втором). Кроме того, в гимназиях с одним древним языком в восьмом классе дается по одному часу алгебры в неделю, а в гимназиях с двумя древними языками - по полчаса. Итого в гимназиях первого типа получается 10,5 часов, в гимназиях второго типа - 10 часов.

Программа курса алгебры

Третий класс: упражнения на переход от арифметики к алгебре. Правила алгебраических обозначений. Расчет численного значения алгебраических выражений. Четыре операции с одночленами. Сложение, вычитание и умножение многочленов.

Четвертый класс: деление многочленов. Разложение многочленов на множители. Четыре операции с алгебраическими дробями. Операции с величинами, возведенными в отрицательную степень. Решение и составление уравнений первой степени с одним неизвестным. Решение и составление систем из двух и более уравнений с двумя или более неизвестными (метод сложения и вычитания, метод замены переменных). Степени и корни многочленов. Извлечение квадратного корня чисел (случай полного квадрата и приблизительное вычисление квадратного корня). Теория пропорций.

Пятый класс: решение и составление квадратных уравнений с одним неизвестным. Свойства корней квадратных уравнений. Разложение квадратного трехчлена. Решение системы из двух уравнений с двумя неизвестными (простейшие случаи). Операции под знаком корня и операции с величинами в дробной степени. Извлечение кубического корня чисел.

Шестой класс. Прогрессии и логарифмы. Вычисление сложных процентов.

Седьмой класс. Обсуждение уравнений первой степени с одним неизвестным. Обсуждение системы из двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. Решение неопределенных уравнений первой степени с двумя неизвестными. Непрерывные дроби.

Комбинаторный анализ. Бином Ньютона.

Восьмой класс. Теорема о делимости многочлена с целым значением х на двучлен (х—а). Следствия. Преобразования уравнений с неизвестным в знаменателе. Решение системы уравнений по методу Безу. Повторение пройденного.

3) Геометрия

В гимназиях первого типа 7 часов, а именно: 2 в четвертом классе, 3 в пятом, 2 в шестом; в гимназиях второго типа 6 часов, а именно по 2 в четвертом, пятом и шестом классе. Дополнительный час - на повторение - предусмотрен в восьмом классе.

Программа курса геометрии

Четвертый класс. Прямая. Углы. Параллельные прямые. Треугольники, четырехугольники и в целом многоугольники. Окружность. Основные задачи на построение и числовые примеры.

Пятый класс. Измерение отрезков и углов. Пропорциональность сегментов. Подобие треугольников и многоугольников. Числовые соотношения сторон треугольника. Правильные многоугольники. Понятие предела. Длина окружности. Основы вычисления п. Площадь прямолинейных фигур, круга и его частей. Простые задачи на построение и числовые примеры по каждому разделу программы.

Относительное расположение прямых и плоскостей в пространстве. Углы двугранные и многогранные.

Шестой класс. Правильные многогранники. Вычисление площади и объема призмы и пирамиды. Тела вращения (цилиндр, конус и сфера). Вычисление их площади и объема.

Восьмой класс. Повторение всего материала.

4) Тригонометрия.

В седьмом классе - 1,5 часа, а именно 2 часа в первом полугодии и 1 час во втором. Кроме того, в восьмом классе на повторение и упражнения с геометрическими данными отводится 1 час в гимназиях первого типа и 0,5 часа в остальных гимназиях.

Программа курса тригонометрии

Седьмой класс. Предмет изучения тригонометрии. Понятие тригонометрических функций. Изменение тригонометрических функций углов с мерой от 0 до бесконечности. Соотношение тригонометрических функций одного и того же угла. Формулы сложения, вычитания, умножения и деления. Выражение сумм и разностей тригонометрических функций в логарифмической форме. Основы расчета тригонометрических функций. Таблицы логарифмов тригонометрических функций.

Формулы соотношения элементов прямоугольного треугольника. Решение прямоугольных треугольников. Формулы соотношения элементов любого прямолинейного треугольника. Решение любых треугольников. Вычисление площади. Основы применения прямолинейной тригонометрии к землемерным работам.

Восьмой класс. Повторение всего курса и упражнения с геометрическими параметрами.

В значительном большинстве гимназий каждому классу назначается один учитель по всем разделам математики, что вполне отвечает необходимости поддерживать связь между различными дисциплинами. Что касается связи между математикой, физикой и механикой, гимназические программы по физике и механике (а также по математической географии) построены таким образом, чтобы ученик постоянно применял свои математические знания на практике.

II. Экзамены

Недавно, после долгого перерыва (продлившегося семь лет), Министерство народного просвещения вернулось к системе экзаменов. Во всех классах, начиная с третьего, вновь ввели переводные экзамены, однако не по всем предметам. В выборе предметов Министерство руководствовалось следующими соображениями: 1) проводить экзамен только по тем предметам, обучение которым окончательно завершено; 2) избегать чрезмерного числа экзаменов в одном и том же классе.

Поэтому экзамены были введены при переходе между следующими классами:

из 3-го в 4-й: арифметика (устно, письменно); из 4-го в 5-й: алгебра (письменно); из 5-го в 6-й: геометрия (планиметрия, устно); из 6-го в 7-й: тригонометрия (письменно)

Письменный экзамен состоит из одной или нескольких задач по темам курса. Устный экзамен подразумевает ответ на несколько вопросов по разным разделам курса.

Структура выпускного экзамена (на аттестат зрелости) остается неизменной. Письменная часть длится 5 часов и включает в себя решение двух задач с подробными разъяснениями. Одна задача относится к курсу алгебры, другая - к курсу тригонометрии в применении к геометрии. Устный экзамен охватывает четыре раздела основного курса математики, а также геометрию, в том числе стереометрию.

На экзаменах официально запрещено пользоваться любыми учебниками и материалами, за исключением логарифмических таблиц.

III. Методика преподавания

Основой обучения являются разъяснения учителя в классе. Каждый учитель старается выполнить основную часть работы непосредственно в классе и прямо на уроке объяснить ученикам теорию.

Учебник нужен прежде всего для повторения пройденного в классе. На самостоятельный разбор могут быть оставлены лишь некоторые простые разделы теории (и только в старших классах).

Теоретическая основа урока постоянно подкрепляется многочисленными задачами. По этому поводу в Пояснительной записке к официальной программе даются следующие инструкции:

1) не задавать на дом задач, требующих особой изобретательности, если аналогичные не были рассмотрены в классе, поскольку задаваемые на дом задачи прежде всего служат для развития навыка и скорости счета, а также для запоминания способов решения;

2) в целом - не давать задач, которые требуют длительных вычислений. Не давать задач на правила и теоремы, которые большая часть учеников знает нетвердо;

3) по недавно изученному правилу или доказанной теореме на первый раз задать только одну задачу;

4) не требовать развернутой записи решения; решение в письменной форме требовать только начиная с III класса;

5) прежде чем давать задачу из задачника, проверить указанный ответ; в случае ошибки предупредить класс.

В трех первых классах детский ум еще не способен понимать абстракции, поэтому занятия практически полностью состоят из упражнений и примеров. Большинство необходимых теорем излагаются учителем без доказательств. Теоретическая часть курса получает дополнительное развитие лишь начиная с четвертого класса.

Вот перечень самых распространенных материалов по этому курсу:

Арифметика

Учебник Киселева Учебник Бертрана под редакцией Билибина (старшие классы) Задачник Евтушевского Задачник Гольденберга Задачник Верещагина Задачник Малинина Задачник Стеблова

Алгебра

Учебник Киселева Учебник Шапошникова Учебник Бертрана под редакцией

Билибина Задачник Бычкова Задачник Шапошникова и Вальцова

Геометрия

Учебник Киселева Учебник Давыдова Задачник Пржевальского Задачник Гика и Муромцева

Тригонометрия

Учебник Шапошникова Учебник Ребьера в переводе Жоржа Учебник Злотчанского Задачник Минина Задачник Рыбкина

Практические материалы почти не используются. В первом классе используется арифметический набор, во втором - таблицы измерений, в шестом - стереоскопические модели фигур из курса стереометрии.

IV. Подготовка учителей

К преподаванию математики в гимназиях Министерства народного просвещения допускаются только лица, успешно выдержавшие выпускные экзамены математической кафедры физико-математического факультета любого из российских университетов. Что касается практической подготовки, до 1909 года в Санкт-Петербургском учебном округе будущие учителя ее вовсе не получали, пока не начинали работать.

Однако в 1909 году в Санкт-Петербургском учебном округе открылись курсы подготовки учителей математики, физики, естественной истории, истории и русского языка для средних учебных заведений (ныне они есть и в других учебных округах).

В Санкт-Петербурге курсами руководит Совет, состоящий из директоров средних учебных заведений и возглавляемый попечителем округа. Принципы работы курсов подробно изложены в инструкциях Совета для учителей-практикантов. Вот что гласят инструкции:

1) В Санкт-Петербургском учебном округе временно учреждаются годичные курсы с первоочередной целью обеспечить практическую подготовку учителей гуманитарных и технических предметов в средних учебных заведениях.

2) На Курсы принимаются выпускники, успешно выдержавшие выпускные экзамены на историко-филологических или физико-математических факультетах, а также государственные экзамены, и получившие справку о примерном поведении.

3) Нуждающимся кандидатам при поступлении на курсы выплачивается единовременное пособие в размере 300 рублей. Помимо этой денежной выплаты, по распоряжению директора учебного заведения, к которому будут прикреплены учителя-практиканты, они могут быть временно приняты на оплачиваемую учительскую работу по своей специальности (при отсутствии других претендентов) или же дополнительно заниматься с отстающими пансионерами.

4) Учителя-практиканты одинаковой специальности направляются на практику в гимназии и реальные училища группами по два-три человека.

5) Непосредственное руководство работой и занятиями учителей-практикантов осуществляют руководители практики, выбранные начальством учебного округа из числа педагогического состава соответствующего учебного заведения. Общая организация работ и надзор за ними поручаются директору учебного заведения. Общее руководство практикой и подготовкой всего контингента учителей-практикантов осуществляет комитет, состоящий из директоров заинтересованных учебных заведений и возглавляемый представителем учебного округа. В состав комитета могут также входить руководители практики.

6) На учителей-практикантов возлагаются следующие обязанности:

a) тщательно изучить предметы школьной программы, относящиеся к их специализации, а также методику преподавания, опираясь на труды и учебники, указанные руководителями практики;

b) присутствовать на уроках руководителей практики, а также, по указанию директора, на уроках других учителей по данному предмету, отчитываясь руководителям практики о содержании этих уроков;

c) в присутствии директора (по возможности), руководителя практики либо других учителей по данному предмету и других практикантов группы проводить пробные уроки согласно заранее разработанному и утвержденному руководителем практики плану;

d) посещать пробные уроки практикантов своей группы;

e) участвовать в обсуждении пробных уроков, проведенных практикантами своей группы;

f) согласно указаниям руководителя практики либо директора и придерживаясь рекомендаций из трудов по общей педагогике, составлять краткие обзоры школьных учебников;

g) стремиться познать детскую душу, наблюдая за учениками в целом или конкретной группой учеников во время перемен, игр, поездок и прогулок;

h) присутствовать на заседаниях Педагогического совета;

i) участвовать в педагогических лекциях и беседах (три лекции в неделю по общей педагогике, в том числе в связи с педагогической

психологией) и отчитываться по ним.

8) Практиканты, не выполняющие указанные требования, отчисляются с курсов.

В конце учебного года, на общем заседании Комитета с участием руководителей практики, объявляются результаты обучения и дается характеристика практикантов.

В) Женские институты Ведомства учреждений императрицы Марии

В. Кондратьев

Цель преподавания математики и разделы ее курса в женских институтах Ведомства учреждений императрицы Марии

В пояснительной записке к Программе курса математики в женских институтах Ведомства учреждений императрицы Марии указана следующая цель данного курса:

«Курс математики для институтов и гимназий, входящий в программу среднего образования, имеет двойную цель: 1) обеспечить определенное развитие математических навыков; 2) изложить основы элементарной математики, которые можно применять в быту и использовать как основу дальнейшего обучения математике».

Таким образом, целью преподавания математики прежде всего является развитие логики, и только во вторую очередь - применение в бытовых целях.

В женских институтах Ведомства учреждений императрицы Марии преподаются следующие предметы: 1) арифметика, 2) алгебра, 3) геометрия, из расчета 22 учебных часа в неделю (совокупно, во всех классах). По классам эти часы распределяются так:

Классы

VII

VI

V

IV

III

II

I

Итого

Кол-во часов в неделю

3

3

3

3

3

3

4

22

1) Арифметика

12 часов в неделю, в VII, VI, V и IV классах, 3 часа в каждом классе.

Программа курса арифметики

Седьмой класс. Устный счет - четыре операции с числами от 1 до 100. Таблица умножения. Основные русские меры длины. Письменное счисление до 1 000 000. Письменное выполнение четырех операций с целыми числами любого порядка; множители не более 100, делители не более 10. Упражнения.

Шестой класс. Четыре операции с любыми целыми числами. Именованные числа (простые и составные). Вводный курс по дробям.

Пятый класс. Делимость чисел (без доказательства теорем). Разложение чисел на простые множители. Наименьшее общее кратное. Четыре операции с простыми дробями. Простейшие задачи на тройное правило.

Четвертый класс. Четыре операции с десятичными дробями. Деление с заданным приближением. Преобразование обыкновенных дробей в десятичные. Понятие периодических дробей. Равенство нескольких отношений. Основные понятия о пропорциональности величин.

Задачи на правила: 1) простое и сложное тройное правило (последнее - без использования пропорций); 2) правило процентов; 3) правило пропорционального деления. Задачи на вычисление объемной доли.

2) Алгебра

5 часов в неделю: 1,5 в третьем классе, 1,5 во втором, 2 в первом.

Программа курса алгебры

Третий класс. Использование алгебраических обозначений и выражений. Упражнения на переход от арифметики к алгебре. Сложение и вычитание одночленов и многочленов.

Второй класс. Умножение и деление одночленов и многочленов. Решение и составление числовых уравнений с одним или несколькими неизвестными.

Первый класс. Возведение в квадрат. Извлечение квадратного корня из чисел. Решение числовых уравнений второй степени с одним неизвестным. Степени и корни одночленов. Логарифмы и их основные применения. Арифметическая и геометрическая прогрессия.

3) Геометрия

Всего 5 часов в неделю: 1,5 в третьем классе, 1,5 во втором, 2 в первом.

Программа курса геометрии

Третий класс —планиметрия. Основные понятия. Теоремы о прямых и углах. Свойства и случаи равенства треугольников и многоугольников, окружностей и кругов. Основные задачи на построение фигур.

Второй класс. Главные теоремы о подобии треугольников и многоугольников. Площадь плоских фигур. Основы измерения площади круга и его частей. Проблемы вычисления площадей.

Первый класс — стереометрия. Теоремы о расположении прямых и плоскостей в пространстве. Двугранные и многогранные углы. Вычисление площади и объема многогранников и тел вращения.

Педагогические классы

В большинстве институтов сохранились Педагогические классы, куда ученицы попадают после выпуска из основных классов в целях углубленной подготовки к педагогической стезе. Преподаваемые предметы делятся на обязательные и факультативные (специализированные). Курс рассчитан на два года. В число обязательных предметов входит методика преподавания арифметики. В первом классе на нее отводится один час в неделю. Кроме того, все два года преподается дополнительный курс математики (один час в неделю). Вот его программа:

Арифметика. Дополнительные сведения о делимости чисел.

Алгебра. Операции с рациональными, целыми, дробными и иррациональными алгебраическими величинами. Общие уравнения первой и второй степени. Обсуждение уравнений. Теория логарифмов, их применение к расчету сложного процентного дохода, выплатам по закладным и учету векселей.

Геометрия. Теоремы о пропорциональности несоизмеримых величин. Метод вычисления пределов и теоремы, в основе которых он лежит.

Примечание. В женских институтах на физику (вместе с космографией и основами механики) отводится всего 6 часов в неделю: по 2 часа в третьем, втором и первом классе. За неимением времени учитель проводит сугубо экспериментальные занятия и лишь изредка демонстрирует связь между математикой и физикой. Что же до взаимосвязи различных разделов математики, на них указывают достаточно часто.

Экзамены

Экзамены в институтах проводят только в первом и втором классах: письменные по арифметике и алгебре, устные по геометрии. Программа следующая:

Переход из 2-го в 1-й класс: письменный экзамен только по алгебре, две или более задачи на решение и составление уравнений.

Выпускной экзамен: по алгебре и арифметике. Алгебра: задача по темам курса. Арифметика: задачи на тройное правило, расчет процентов и пропорциональное деление.

Устные экзамены по окончании обоих классов. Вопросы по курсу всего года, с задачами на вычисление или построение.

Методика преподавания

В целом методика преподавания в институтах не отличается от таковой в гимназиях Министерства народного просвещения, однако

здесь основная учебная нагрузка еще сильнее сосредоточивается на классной работе (изучение темы урока, решение задач), поскольку на домашние задания в институтах отводится не более двух часов в день. При этом ежедневно проводится пять уроков по разным предметам; следовательно, на домашнее задание по каждому предмету уходит не более 20-30 минут.

Наиболее распространены в институтах следующие учебники:

Арифметика

Учебник Малинина Учебник Киселева Задачник Евтушевского Задачник Малинина Задачник Стеблова Задачник Верещагина

Геометрия

Краткий курс геометрии и собрание геметрических задач Вулиха Курс геометрии Киселева

Алгебра

Учебник Киселева Задачник Бычкова Задачник Шапошникова и Вальцова

Подготовка учительниц

В институтах, помимо учителей, окончивших физико-математические факультеты, трудятся учительницы, успешно сдавшие выпускные экзамены на физико-математической кафедре Высших женских курсов или Женских педагогических курсов. Кроме того, для преподавания в четырех младших классах принимаются дамы с аттестатом домашней учительницы, то есть успешно выдержавшие либо выпускной экзамен гимназии или института, либо специальный экзамен по программе, сходной с программой средних школ.

Выпускницы Высших женских курсов принимаются без практической подготовки. Выпускницы Педагогических курсов перед выпуском проходят практику, проводя уроки в гимназии при Курсах. То же относится к ученицам Педагогических классов при институтах, которые проходят практику в младших классах своих институтов.

Международная комиссия по преподаванию математики

РОССИЙСКАЯ ПОДКОМИССИЯ

ДОКЛАДЫ, ПРЕДСТАВЛЕННЫЕ РОССИЙСКОЙ ДЕЛЕГАЦИЕЙ

Авторы:

М. Попруженко, генерал-лейтенант, состоящий при Главном управлении военно-учебных заведений

З. Макшеев, директор Педагогического музея военно-учебных заведений

1. Преподавание математики в кадетских корпусах

Г-н. Попруженко

2. Пояснительная записка о курсах подготовки учителей для кадетских корпусов

Г-н. Макшеев

Санкт-Петербург

Типография общества «Труд». Ул. Кавалергардская, д. 40

1911

Преподавание математики в кадетских корпусах

М. Попруженко

Общая характеристика кадетских корпусов

С педагогической точки зрения кадетские корпуса представляют собой учебные заведения общего среднего образования с преподаванием на двух языках. По окончании семи классов юноши, успешно выдержавшие выпускные экзамены, зачисляются в военные школы, где в течение двух-трех лет проходят военную подготовку и выпускаются офицерами. Кадетские корпуса - закрытые учебные заведения. Обучается в них от 250 до 600 пансионеров, не более 35 учеников на класс. Во всей Российской Империи таких корпусов 29, учится в них около 14 тысяч кадетов. Педагогический состав - гражданские лица и военнослужащие с высшим образованием, выдержавшие специальные испытания, которые состоят из проведения пробных уроков и представления доклада об этой педагогической практике. Ежемесячное жалование, рассчитанное на основании количества учебных часов в неделю и стажа предшествующей службы, составляет от 70 до 96 рублей. Учебных часов может быть до 35 в неделю.

Общий обзор курса математики в кадетских корпусах. Количество часов и цель преподавания математики (по программе 1898 года). Методика.

Разделы программы: арифметика, алгебра, в том числе ее применение в геометрии, геометрия с элементами черчения, тригонометрия и аналитическая геометрия. Недавно была сделана попытка ввести элементы анализа бесконечно малых. Основы программы, как будет подробно разъяснено ниже, в общем и целом совпадают с программами других учреждений среднего образования. В данный момент практически повсеместно используется программа 1898 года, утвержденная военным министром, однако в 1903 году в нее были внесены изменения, которые в экспериментальном порядке вступили в силу в том же году. По итогам этого эксперимента и вследствие

появления новых течений современной педагогической мысли в 1909 году были разработаны новые программы, которые пока не утверждены.

К программам 1903 и 1909 года мы вернемся позже, пока же речь пойдет лишь о программах 1898 года, которые действуют в большинстве кадетских корпусов. На математику отводится 36 недельных часов, то есть 18,4% всех уроков. В первых трех классах предусмотрено четыре часа в неделю, в следующих четырех классах - шесть часов в неделю.

В пояснительной записке к программе 1898 года указано: «Основной целью обучения математике является общее развитие, без которого ученики не смогут с уверенностью применять ее законы. Для успешного обучения в военно-учебных заведениях ученики должны иметь привычку к упражнениям, достаточно быстро считать и грамотно чертить».

Методика, издавна применяющаяся в кадетских корпусах, основана на активной работе в классе, которая настраивает учеников на самостоятельные занятия и возбуждает их интерес. Соответственно, приняты все возможные меры к тому, чтобы учебные дисциплины соответствовали возрасту учеников, по возможности использовали для иллюстрации изучаемого модели и излагались максимально последовательно, особенно в старших классах.

Арифметика

Для зачисления в первый класс предъявляются следующие требования: «Счет наизусть до ста. Устный счет и письменное выполнение четырех арифметических действий с многозначными числами (для умножения и деления не превышающими 100). Задачи». Из долгого опыта известно, что, хотя поступающие в корпус мальчики осведомлены о математических операциях, они не имеют ни малейшего представления о том, как их применять.

Классы, в которых преподается арифметика: первый, второй, третий, седьмой.

В первом классе (4 часа в неделю): целые числа, именованные и отвлеченные. Во втором (4 часа в неделю): обычные и десятичные дроби. В третьем (4 часа): повторение пройденного, а также перестановка множителей, умножение числа на произведение и т. д.; поиск наибольшего общего

делителя путем последовательного деления. Кроме того, в третьем классе завершается изучение десятичных дробей (преобразование обычных дробей в десятичные и наоборот), изучаются соотношения и пропорции, метод приведения к единице, проценты и т. д. Опыт показывает, что все эти дополнения наиболее сложны для этого класса, поэтому от них, вероятно, придется отказаться.

В седьмом классе занятия ведутся по учебнику Серре или аналогичному. За неимением времени старшие классы всегда ограничиваются главами «Основные свойства чисел». Необходимость переработки программы по арифметике часто ставится под сомнение, однако сомнение это не обосновано, поскольку нарочито детский характер преподавания в младших классах плохо соотносится с общим характером обучения математике в кадетских корпусах.

Необходимо также упомянуть простые задачи, которыми в изобилии иллюстрируются уроки арифметики. «Не допускается, следуя привычной практике, делить задачи по конкретным "правилам" и решать их путем бездумного применения той или иной модели». Следовательно, как гласит программа на первые три класса, каждую формулу необходимо «понять в общем смысле, то есть как выражение отношения между величинами, составляющими условия соответствующей задачи».

Алгебра

Алгебра преподается в третьем, четвертом (3 часа в неделю), пятом (3 часа) и шестом (2 часа) классах. В седьмом классе предусмотрено повторение. В третьем классе дается лишь вводный курс и делается переход от арифметики к алгебре, которому посвящены несколько последних уроков арифметики.

В четвертом классе изучаются целые алгебраические выражения, дроби и пропорции, а также уравнения первой степени с одним неизвестным. Программа 1898 года позволяет учителю самостоятельно выбрать способ введения отрицательных величин, но при этом подчеркивает преимущества так называемой «обычной» теории, которая, фактически, состоит в механическом зацчивании материала.

В пятом классе изучают системы уравнений первой степени, степени и корни, уравнения второй степени, неравенства и неопределенные уравнения. В пояснительной

записке к программе особое внимание уделяется обобщению материала по отрицательным и дробным показателям степени, а также вводится понятие функции с использованием уравнения

ах + by = с.

В шестом классе изучаются уравнения, логарифмы, комбинаторика и бином Ньютона для целого положительного показателя степени. В этом классе при разборе уравнений особое внимание уделяется понятию функции.

В седьмом классе предусмотрено повторение основных разделов курса. С недавнего времени повторение ориентировано только на уравнения, с экскурсами в аналитическую геометрию при разборе функций y=ax+b, y=ax2+bx+c, y=logx и т.д.

Попытки добавить к программе историю развития понятия «число» не увенчались успехом; этот вопрос по-прежнему представляет собой трудность для педагога.

Геометрия

Геометрия изучается в четвертом (3 часа), пятом (3 часа), шестом (2 часа) и седьмом классах. Часть уроков посвящена повторению пройденного.

В программе 1898 года вводный курс не предусмотрен: в четвертом классе сразу начинается систематический курс, который преподается по обычному учебнику евклидовой геометрии. В четвертом классе программа заканчивается измерением геометрических величин, в пятом многогранниками, в шестом вся программа завершается. Уроки сопровождаются упражнениями на вычисление и задачами на построение. В шестом классе также изучаются проекции простейших фигур и тел на две взаимно перпендикулярные плоскости с выполнением соответствующих чертежей.

В шестом классе в программу включаются дополнения из алгебры: построение графиков рациональных и иррациональных функций, однородные уравнения, решение и обсуждение задач. Повторение геометрии в седьмом классе включает классификацию теорем по методу доказательства с изучением логических способов вывода.

В программе особенно рекомендуется следующее:

А) на уроках геометрии развивать точность и емкость выражения мысли, а также тренировать навык убедительного изложения аргументации;

B) уделять все необходимое внимание задачам на построение;

C) всесторонне разъяснить методику вычисления пределов;

D) развивать способности к пространственному мышлению.

В отношении применения этой программы следует отметить, что преподавание геометрии без вводного курса всегда сопряжено с определенными сложностями. Кроме того, в ходе занятий нередко выявляется недостаток наглядности.

Тригонометрия

Всего 2 часа в неделю в шестом классе, без подготовительного курса, основная цель программы - изучение тригонометрических функций. Помимо обычного применения тригонометрии к решению геометрических задач рекомендуется уделять особое внимание тригонометрическим уравнениям. Осуществление программы никогда не вызывало сложностей.

Аналитическая геометрия

Всего 2 часа в неделю в седьмом классе. Прямые и кривые (с общим разбором) в прямоугольной системе координат. В программе говорится о педагогической значимости аналитического разбора графиков, однако необходимо признать, что этот раздел обучения никогда не давал хороших результатов.

Программа 1903 года

В программе 1903 года обозначается цель преподавания математики и приводятся некоторые методологические принципы. Изучение математики несет в себе двойную цель: просветительно-воспитательную и практическую.

С просветительно-воспитательной точки зрения задачи следующие: А) развить вкус и привычку к математическому рассуждению; В) научить рассматривать теоретическую сторону явлений, подчиняющихся более или менее простым математическим законам и изучаемых на различных уроках в кадетских корпусах; С) научить обращаться с абстрактными понятиями, к чему наилучшим образом приспособлена именно математика; D) заронить наклонность к проведению логического изучения тех или иных вопросов, проводя их более или менее строгий анализ; Е) научить ссосредотачивать сознательное внимание, без которого невозможна какая бы то ни

было математическая деятельность. Вследствие этого важно:

A) преподавать предметы, доступные восприятию ученика;

B) располагать их в порядке постепенного усложнения;

C) представлять их в зримой и ощутимой форме;

D) настраивать ученика на самостоятельную работу в их изучении.

С практической точки зрения ученик по итогам обучения должен полностью овладеть:

А) навыком быстрых и безошибочных арифметических вычислений всех видов;

B) основными положениями, понятиями и идеями геометрии;

C) обращением с алгебраическими формулами;

D) простейшими случаями решения треугольников;

Е) построением графиков функций для графического отображения изменения одной величины в зависимости от другой;

F) уравнениями прямой, окружности и параболы, а также свойствами соответствующих графиков в аналитической геометрии.

В отношении последовательности приобретения знаний необходимо принять следующий порядок: сначала впечатление, затем осознание; сначала четкое осознание, затем точное понятие; сначала точное понятие, затем абстрактная идея. В методике преподавания, особенно в младших и средних классах, отправной точкой по возможности должна быть задача, а конечной точкой - правило, теорема и теория, но никак не наоборот. Форма преподавания должна быть смешанной: ведя урок в форме вопросов и ответов, учитель будет не просто излагать программу, но и просвещать учеников. В младших и средних классах не следует читать лекций: как бы они ни были хороши, уместна такая форма урока лишь в некоторых случаях и по большей части в старших классах. Основой работы должен быть сборник задач; к учебнику же, особенно в подготовительных классах, следует обращаться только тогда, когда изученный в классе материал уже хорошо усвоен.

Любой урок математики должен вызывать у ученика теоретический интерес, старательно поддерживаемый учителем; кроме того, такой урок одновременно должен являться и уроком точности суждений, и уроком родного языка. Изучение различных тем и разделов курса предполагает не только понимание, критическое суждение и запоминание, но также воображение и волю.

В качестве иллюстрации к каждому разделу курса должны приводиться примеры, даже если это не предусмотрено

формальными требованиями программы. Чем разнообразнее будет подход к материалу, тем нагляднее, глубже и шире он будет восприниматься.

Определения и правила не следует давать в готовом виде. Определение должно не предшествовать теории, но проистекать из предшествующих рассуждений - зачастую длительных и серьезных. На каждое понятие достаточно одного определения, а некоторым чересчур абстрактным понятиям арифметики (величина, число, единица, действие) определение не дается вообще. Арифметические вычисления должны не следовать за правилами, а предшествовать им. Обучение должно строиться таким образом, чтобы определения и правила не зачитывались учителем по учебнику, а формулировались самими учениками при выполнении изучаемых действий или преобразований.

При такой подаче материала, конечно же, отпадает и потребность в «повторении пройденного».

В отношении выбора и распределения тем, а также количества учебных часов, основные изменения по сравнению с предыдущей программой состоят в следующем:

Арифметика

Физические величины не преподаются отдельно.

Также из программы исключена теория изменения неизвестных в зависимости от изменения данных.

По теме дробей перед систематическим курсом проводится вводный курс.

Из программы исключены периодические десятичные дроби.

Исключено повторение пройденного в третьем и седьмом классах.

Исключены дополнения к программе третьего класса (см. выше).

Алгебра

Изучение неравенств перенесено в четвертый класс. Неопределенные уравнения перенесены в седьмой класс. Квадратные корни оставлены в пятом классе, остальные изучаются в шестом.

Исключена отдельная глава, посвященная анализу неравенств, однако рекомендуется анализировать любые общие формулы, выведенные в ходе решения задач.

Полностью исключена комбинаторика и бином Ньютона.

В седьмом классе добавлены следующие разделы: переменные величины и пределы; иррациональные числа, непрерывные дроби.

Кроме того, в седьмом классе для закрепления материала предусмотрено повторение основных разделов программы шестого класса: эквивалентные системы уравнений, понятие функции и т. д.

В программе систематического курса существенная роль отводится методологическим рассуждениям о равенствах: так, прежде чем приступить к умножению двучлена на одночлен, необходимо придумать задачу, из которой можно вывести равенство вида F=a(bx+c)=rnx+n.

Геометрия

А) В программу добавлен «подготовительный курс» геометрии. Его цель и содержание указаны в Пояснительной записке:

«Перед тем, как переходить к доказательству теорем, ученик должен всесторонне ознакомиться с соответствующими геометрическими фактами и хорошо их понять. Поэтому целесообразно ввести подготовительный курс геометрии, методической задачей которого является ознакомление учащихся со всеми геометрическими фактами. При отсутствии такого курса нарушается основополагающий принцип педагогики, согласно которому изучение начинается с физического восприятия, а преподаваться в самом начале должны не общие концепции и понятия, а простейшие элементы, из которых они состоят.

Следовательно, в основе подготовительного курса геометрии должны лежать тщательно подобранные задачи на построение простейших фигур. Никакого доказательства более или менее очевидных истин, являющихся азами планиметрии. Также исключаются (а точнее, включаются только в систематический курс) любые утверждения, которые невозможно проверить с помощью циркуля и линейки, но которые при этом не самоочевидны, а значит, неприемлемы без

логически проработанного математического доказательства. Таким образом, в рамках подготовительного курса рассматриваются не все непреложные истины из систематического курса, а лишь те, которые являются основополагающими».

Вот перечисление разделов и подробное описание одного из них: «Прямые. Центральные углы и дуги. Треугольники. Параллельные прямые. Площади. Объем прямоугольного параллелепипеда. Подобие фигур. Правильный многоугольник, вписанный в окружность».

Содержание раздела «площади»: «Построить прямоугольник 7x3 см и поделить его на квадраты со стороной 1 см. Построить прямоугольник 1x4 дюйма и поделить его на квадраты со стороной 1 дюйм. Вычислить площадь прямоугольника, приняв квадрат со стороной 1 дюйм за 1 квадратный дюйм. Единицы измерения площади и их соотношение.

Разделить косой параллелограмм на две части, из которых можно составить прямоугольник. Разделить треугольник на две части, из которых можно составить параллелограмм. Разделить прямоугольник на две части, из которых можно составить косой параллелограмм. Преобразовать квадрат в равновеликий треугольник. Преобразовать прямоугольный треугольник в равновеликий прямоугольник. Выделить из трапеции треугольник так, чтобы из двух образовавшихся частей можно было составить параллелограмм. Вычислить площадь прямоугольника, основание и высота которого равны: А) целому числу единиц измерения; В) дробному числу единиц изменения; С) составному числу единиц изменения; затем осмыслить полученные результаты. Вычислить площадь прямоугольника, высота которого выражена целым числом, а основание -дробным числом единиц измерения. Вычислить площадь прямоугольника основанием 3 вершка и высотой 2 вершка в квадратных аршинах».

В) Изучение теории пределов, необходимой для измерения длины окружности, перенесено из третьего класса в седьмой. В пятом классе понятие длины окружности объясняется через понятие периметра вписанных и описанных многоугольников с достаточно большим числом сторон. Измерение длины

окружности и объема тел вращения, основанное на понятии пределов, перенесено в седьмой класс.

С) В отношении применения алгебры в геометрии программа гласит, что необходимые разъяснения могут быть даны в седьмом классе.

Тригонометрия

Курс тригонометрии разделен на два цикла: первый преподается в шестом классе, второй в седьмом. В первом изучаются тригонометрические функции острых и тупых углов и применение их к простейшим случаям решения треугольников. Во втором цикле изучаются некоторые общие свойства тригонометрических функций и наиболее удобные формулы решения треугольников.

Аналитическая геометрия

Из программы исключен общий разбор кривых.

Количество часов

Количество часов, отведенных на математику, сокращено с 36 до 31.

Попытка практического применения программы 1903 года

Практическое применение программы 1903 года позволяет сделать следующие выводы:

1) Подготовительный курс геометрии слишком громоздок, скучен в силу избытка подробностей и плохо приспособлен к отведенному на него числу часов. Отсутствие каких бы то ни было элементов логики зачастую оставляет без удовлетворения закономерные потребности ученика. Тем не менее, польза этого курса бесспорна, поскольку он развивает способность наблюдать геометрические факты, интуитивное понимание некоторых простых соотношений и т.д.

2) Методические соображения, лежащие в основе программы, представляются слишком надуманными; они связывают учителя, поэтому от них пришлось отказаться.

3) Разделение тригонометрии на два цикла не привело ни к каким улучшениям.

4) Упразднение понятия пределов при вычислении длины окружности приводит к досаднейшей путанице (отождествление окружности с периметром многоугольника).

5) Арифметика сильно пострадала от сокращения количества часов.

6) Сокращенного количества уроков математики также недостаточно.

Проект новой программы

По распоряжению Его императорского высочества Великого князя, начальника Главного управления военно-учебных заведений, в 1909 году из университетских преподавателей и школьных учителей была сформирована комиссия, задачей которой стала разработка новой программы обучения математике. Комиссия утвердила большую часть педагогических принципов, изложенных в Пояснительных записках к программам 1898 и 1903 годов, и приняла их за основу новой программы, учитывая как результаты практического применения этих программ, так и новые тенденции в педагогике. Новые программы еще не получили официального одобрения министерства, поэтому в них возможны изменения. В связи с этим здесь будут изложены лишь основные их характеристики.

1) В седьмом классе вводится курс анализа бесконечно малых1, который почти не отличается от аналогичного курса в других учреждениях среднего образования. Экспериментальное введение этого курса в нескольких кадетских корпусах дало более чем удовлетворительные результаты.

2) Курсы алгебры и геометрии делятся на два цикла: подготовительный курс в первом, втором, третьем классах, и систематический курс в остальных классах. Подготовительный курс содержит следующие темы:

а) Общее понятие числа и использование букв для получение общего ответа задачи.

1 Основные теоремы о пределах. Понятие непрерывности функции. Механический и геометрический смысл производной. Вычисление производных простейших функций. Производная суммы, разности, произведения и частного. Производная сложной функции. Теорема Ролля. Формула Лагранжа. Характер возрастания и убывания функции. Максимум и минимум. Выпуклость и вогнутость графика. Точки перегиба. Понятие интеграла. Простейшие способы интегрирования. Вычисление длины дуги кривой. Вычисление площади. Вычисление объема тел вращения.

b) Основные законы использования знаков и базовые правила алгебраического вычисления.

c) Решение простейших уравнений первой степени с одной или двумя неизвестными

Само собой разумеется, предметы методически делятся по классам. Подготовительный курс в целом остается тем же, что и в 1903 году, однако уменьшается степень детализации, упраздняются непосильные для учеников темы и добавляются необходимые практические работы по физике и истории естествознания.

Курс открывается знакомством с геометрическими фигурами и телами, а затем следует по плану. Во втором и третьем классе можно ввести некоторые простейшие понятия логики, если ученики выкажут в них потребность.

3) Систематический курс геометрии заметно облегчен за счет упразднения всех дополнительных теорем, не имеющих явной связи с общей структурой изложения материала.

При изучении соотношений между различными элементами треугольника вводится понятие синуса острого угла и рассказывается о его применении для решения прямоугольного треугольника с помощью таблиц синусов. Вычисление длины окружности основано на теории пределов.

Комиссия сочла необходимым отказаться от современных теорий, привносящих в геометрию элементы движения, поскольку учебники по этим аспектам на русском языке отсутствуют, а форма изложения недостаточно проработана.

4) При любом удобном случае в программе делается напоминание о понятии функциональной зависимости и даются задания построить график.

5) Из курса алгебры исключаются неопределенные уравнения и непрерывные дроби.

6) Два цикла тригонометрии из программы 1903 года объединены в один, причем его предваряет введение понятий тригонометрии в общем курсе геометрии (см. выше, пункт 3).

7) Курс арифметики в младших классах дополняется двумя разделами в седьмом классе: «Основные свойства чисел» и «Основы операций над числами».

8) Из аналитической геометрии, по сравнению с 1903 годом, исключен общий разбор кривых.

9) Повторение в седьмом классе относится не ко всему пройденному материалу, а лишь к ряду тем, выбранных по мере необходимости. Кроме того, определенное время уделяется анализу методов доказательства и разъяснению некоторых вопросов общей логики.

10) Количество часов математики вновь увеличено до 36.

Используемые учебники и методика их применения

Арифметика, алгебра и геометрия в большинстве кадетских корпусов преподается по учебникам Киселева и Серре (арифметика в седьмом классе), тригонометрия - по учебникам Симашко, Будаевского и Рыбкина, аналитическая геометрия -по учебнику Фролова. В рамках подготовительного курса геометрии занимаются по учебнику «Геометрия на задачах» Шохора-Троцкого.

Сборники задач - в том числе Гольденберга, Верещагина, Бычкова и Минина.

Некоторые из этих учебников в связи с изменениями в программе будут переизданы или заменены другими.

Учебник служит для изучения предметов, уже разобранных в классе. Кроме того, начиная с четвертого класса, некоторые темы в нем излагаются непосредственно, без разбора в классе.

В первом классе учебника нет. Во втором ученики начинают пользоваться им после объяснений в классе; затем учебник совместно читают и комментируют.

Проверка пройденного. Экзамены.

Часть урока (в старших классах иногда и целый урок) отводится на опрос. Опрос проводится не только устно, но и в форме небольших сочинений по теории. Также время от времени проводятся контрольные работы, предполагающие решение той или иной задачи.

По окончании каждого раздела курса, как правило, делается общее резюме, сопровождающееся опросом (V. Laisant -«Математика»).

Раньше экзамены проводились только в седьмом классе, а предыдущие классы завершались «зачетом» - своего рода

повторением пройденного материала под руководством учителя, который при этом ставил отметки.

От этой схемы пришлось отказаться ввиду ее сложности для учителей. Отныне в программу снова вводятся письменные (решение задач) и устные экзамены - хотя проводиться они будут только в тех классах, в которых завершается тот или иной раздел курса или же изучаются особо важные темы. Выпускной экзамен проводится по всей программе математики.

Результаты обучения

Половина выпускников кадетских корпусов выпускается с более чем удовлетворительным уровнем математического образования - в части знаний, практики и общего развития логики. Некоторая часть выпускников, проявляющая серьезный интерес к математике, выходит далеко за рамки программы и под руководством учителя изучает дополнительные темы, решая сложные и многоплановые задачи.

Другая же часть выходит слабо подготовленной, что в определенной степени обусловлено задачей кадетских корпусов - пройти как можно больше предметов из школьной программы.

Тем не менее именно математика является основной и определяющей дисциплиной для кадетских корпусов.

Пояснительная записка о курсах подготовки учителей для кадетских корпусов

З. Макшеев

Курсы подготовки учителей для кадетских корпусов были основаны в 1903 году при Педагогическом музее военно-учебных учреждений. Их цель - подготавливать учителей математики, русского языка, французского языка, естествознания, географии, истории и других предметов, которые преподаются в кадетских корпусах. Продолжительность обучения - два года.

В секцию математики принимаются гражданские лица и военнослужащие, успешно окончившие высшие учебные заведения, в которых ведущим предметом является математика: научные факультеты университетов, инженерные или артиллерийские военные академии, Институт путей сообщения, Технологический институт и т. д. Программа подготовки учителей состоит из двух частей - общепедагогической и специализированной. В первой части изучается физиология, режим дня в школе, психология и история педагогических теорий. Также рассматриваются действующие в кадетских корпусах регламенты по вопросам воспитания и учебы.

Такая общепедагогическая подготовка считается необходимой для формирования тесной связи между интеллектуальным образованием - с одной стороны - и нравственным и физическим воспитанием с другой. Обучение должно прежде всего выполнять образовательную функцию, поэтому учителю необходимо иметь четкое представление об основных задачах образования и способах их решения. Также ему необходимо четко понимать, как правильно выстроить обучение для достижения успешного результата. Какими должны быть профессиональные взаимоотношения ученика и учителя, что можно и должно требовать от ученика - все эти вопросы должны не отдаваться на усмотрение самого учителя, но решаться на основе современнейших педагогических методик.

Специализированная часть профессиональной подготовки является наполовину теоретической и наполовину практической. Теоретические аспекты включают в себя

изучение методики преподавания математики и обзор классических трудов по элементарной математике; в практические аспекты входит ассистирование учителю на уроках и самостоятельное проведение пробных уроков в кадетских корпусах Санкт-Петербурга.

Методика, которая преподается будущим учителям, начинается с изучения и критического осмысления принципов: принципов геометрии по Гильберту и принципов арифметики по Дедекинду и Кантору. Будущим учителям целесообразно углубленно изучить некоторые вопросы, в частности вопросы ценности аксиом и определений; роли интуиции и логики; неопределяемых понятий и т. д., над которыми они сами пока не задумывались, но которые им наверняка придется осмыслить в ходе педагогической работы. До поступления на курсы, посвящая всё своё время изучению высшей математики и ее применению к сложным задачам гражданской или военной инженерии, они вряд ли задумывались, например, о понятии числа и его развитии. Поэтому всем учителям надлежит углублять знания элементарной математики, и прекрасным способом для этого является изучение трудов о ее основополагающих принципах.

На этот аспект выделяется 15 уроков по одному часу; используются учебники «Grundlagen des Geometrie» и первые главы «Энциклопедии элементарной математики» Вебера и Вельштейна. Кроме того, будущие учителя могут более углубленно и расширенно изучить изложение той или иной темы в других методических пособиях.

В теоретическую часть также входят беседы с начальниками учебной части о целях преподавания математики в неспециализированных средних школах; о вопросах, которые рассматриваются в курсе элементарной математики для кадетских корпусов; о важности задач и методике их разбора в классе; о применении в математике принципа обучения путем прямого наблюдения; о распределении тем уроков с методически-дидактической точки зрения; о подготовительном курсе геометрии и его важности; а также о любых других вопросах, непосредственно связанных с педагогической практикой.

Из 35 бесед, входящих в программу, 20 проводятся в первый год, остальные - в начале второго года обучения.

Параллельно с прохождением курса методики слушатели составляют по этому курсу рефераты. В первый год рефераты в основном относятся к программе обучения (О первых книгах «Начал» Евклида, О «Началах геометрии» Лежандра, Об иррациональных числах), а во второй год к вопросам методологии (О геометрических иллюстрациях курса алгебры, Первый урок тригонометрии, Учебники по методике преподавания арифметики).

В качестве классических трудов изучаются пособия, имеющие хождение в кадетских корпусах. Будущие учителя должны твердо знать план и содержание этих пособий, а также уметь пересказать каждый их раздел. Кроме того, они должны уметь подвергать их определенной критике - как по методике, так и по содержанию.

Пробные уроки проводятся только на второй год обучения. Каждому уроку предшествует тщательная подготовка с составлением плана и краткого содержания. После урока проводится обсуждение с участием самого соискателя и его сокурсников.

Во время обучения на курсах соискателям выплачивается довольствие в твердом размере: 75 рублей в месяц гражданским лицам, немного более военным - в зависимости от ранга и срока предшествующей службы. Соискатели, признанные годными для педагогической работы, поступают на службу в военно-учебные заведения на срок не менее трех лет.

Помимо указанных курсов, право на преподавание в кадетских корпусах может быть предоставлено по результатам специального испытания, состоящего из пробных уроков. Условия допуска к испытаниям аналогичны условиям поступления на курсы: высшее образование со специализацией по высшей математике. Испытание проводится следующим образом: соискатель две-три недели ассистирует учителю математики кадетского корпуса для ознакомления с организацией учебного процесса, а затем сам проводит два пробных урока - один в младшем классе, второй в одном из старших. Уроки проводятся в присутствии классного руководителя и экспертов, назначенных Главным управлением военно-учебных заведений из числа своих собственных служащих и служащих кадетских корпусов. По итогам пробных

уроков проводится обсуждение в присутствии соискателя, а также экзамен на знание классических математических трудов.

Если испытания выдержаны успешно, учитель принимается на службу в кадетский корпус, занимая вакантную должность по своей специальности. После двухлетнего испытательного срока он представляет в Главное управление доклад о результатах своей работы и, если доклад признается удовлетворительным, получает постоянную должность.

Международная комиссия по преподаванию математики

РОССИЙСКАЯ ПОДКОМИССИЯ

Отчет о преподавании математики в российских реальных училищах

выполнен К.В. Фохтом, директором второго реального училища в Санкт-Петербурге

Санкт-Петербург Типография Санкт-Петербургского товарищества «Труд» ул. Кавалергардская, 40 1911

Реальные училища были основаны в России в 1872 году с целью дать «общее образование, приспособленное к практическим потребностям и к приобретению технических познаний». Срок обучения составлял шесть лет, но реальные училища имели право открыть еще один седьмой, так называемый «дополнительный» реальный класс, целью которого являлась подготовка к обучению в высших технических учебных заведениях.

Со временем изначальные учебные планы претерпели значительные изменения. Расширение спектра общеобразовательных предметов и сокращение предметов с упором на получение практических и технических знаний привели к тому, что реальные училища все больше трансформируются в общеобразовательные учебные учреждения.

На данный момент почти все реальные училища России имеют семь классов. Выпускной экзамен седьмого класса дает право поступать не только в высшие технические учебные заведения, но и с недавнего времени на физико-математические факультеты наших университетов. Впрочем, выпускники реального училища, которые хотят продолжить учебу в университетах, должны сдать дополнительный экзамен по латыни.

В некоторых реальных училищах классы V и VI состоят из двух отделений: основного и коммерческого. Последнее предназначено для тех учащихся, которые после окончания школы хотят посвятить себя практической профессии. Во многих реальных училищах помимо шести классов основного направления и седьмого дополнительного класса существуют также подготовительные классы с одногодичным сроком обучения.

Математические дисциплины.

В реальных училищах преподают арифметику, алгебру, геометрию и тригонометрию. С 1906 года в учебный план седьмого дополнительного класса включены основы аналитической геометрии на плоскости и анализа бесконечно малых.

Распределение часов по математике.

Установленное на 1906 год распределение часов в неделю:

Подготовительный класс

Арифметика

6 часов

I класс

Арифметика

4 часа

II класс

Арифметика

4 часа

III класс

Арифметика

2 часа

Алгебра

2 часа

IV класс

Алгебра

3 часа

геометрия и начертательная геометрия

4 часа

V класс

Алгебра

3 часа

Геометрия

3 часа

VI класс

Алгебра

2 часа

Геометрия

2 часа

Тригонометрия

2 часа

VII дополнительный класс

арифметика, алгебра, тригонометрия, основы аналитической геометрии и анализа бесконечно малых

5 часов

В шестиклассных реальных училищах и в первых шести классах семиклассных реальных училищ распределение часов совпадают. На коммерческих отделениях V и VI классов на преподавание математики выделяется 2 и 3 часа в неделю соответственно.

Учебные планы.

Действующие учебные планы для реальных училищ были утверждены Министерством народного просвещения в 1906 году. По математическим дисциплинам действует следующий учебный план.

Арифметика.

Подготовительный класс. Четыре арифметических действия над целыми числами. Использование русских счетов; сложение и вычитание на счетах. Письменное и устное решение задач. Церковнославянская и римская нумерации.

I и II класс. Десятичная система счисления. Четыре арифметических действия над отвлеченными целыми числами. Таблица основных русских мер. Вычисления с использованием составных именованных чисел. Простые и составные числа. Признаки делимости на 2, 5, 10, 4, 8, 25, 9, 3 и 6. Разложение чисел на простые множители. Взаимно простые числа. Наименьшее общее кратное двух и больше чисел. Основные арифметические действия над обыкновенными дробями. Принципы обращения обыкновенной дроби в конечную десятичную. Десятичные дроби. Вычислительные действия над десятичными дробями. Метрическая система мер.

Примечание: более детальное планирование учебного процесса первого класса определяется уровнем подготовки и способностей учащихся. В любом случае, предписанная программа должна быть реализована на протяжении двух первых классов.

III класс. Прямая и обратная пропорциональные зависимости. Понятие пропорции. Основное свойство пропорции. Простое тройное правило. Сложное тройное правило. Правила вычисления процентов, пропорционального деления и решение способом приведения к единице. Повторение арифметики.

VII дополнительный класс. Основные свойства делимости чисел. Наибольший общий делитель двух целых чисел. Решение неопределенных уравнений первой степени с двумя неизвестными в целых положительных числах.

Алгебра.

III класс. Упражнения, которые способствуют переходу от арифметики к алгебре. Алгебраические символы. Разделение алгебраических выражений. Алгебраические операции над одночленами. Сложение, вычитание и умножение многочленов. Возведение двучлена в квадрат и третью степень. Произведение (a+b)(a-b). Решение числовых уравнений первой степени с одним неизвестным.

IV класс. Деление многочленов. Простейшие примеры разложения многочленов на множители. Основные арифметические действия над алгебраическими дробями. Учение о пропорциях. Решение уравнений первой степени с несколькими переменными. Исключение переменной из системы уравнения с помощью сложения, вычитания и подстановки. Решение задач с помощью уравнений.

V класс. Извлечение приближенных квадратных корней. Иррациональные значения квадратного корня. Понятие об иррациональных числах и вычислениях с этими числами. Решение уравнений второй степени с одним неизвестным. Мнимые корни. Зависимость корней квадратного уравнения от его коэффициентов. Определение знака действительных корней по знакам коэффициентов уравнения. Составление квадратного уравнения по его корням. Разложение трехчлена второй степени на линейные множители. Знаки трехчлена в случае мнимых, одинаковых и различных действительных корней. Выражения с радикалами. Освобождение от иррациональности в знаменателях дробей и в уравнениях. Решение простейших систем двух уравнений второй степени с двумя неизвестными. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Периодические десятичные дроби.

VI класс. Степени с дробными и отрицательными показателями и с нулевым показателем. Понятие об иррациональном показателе. Логарифмы. Решение показательных уравнений. Комбинаторика. Формула бинома Ньютона для целых положительных показателей. Непрерывные дроби и их использование для вычисления квадратного корня и логарифмов. Вычисление сложных процентов и исчисление ренты.

VII класс. Комплексные числа. Сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень (формула бинома Ньютона) и извлечение квадратного корня из комплексного числа.

Основные свойства функции и ее корней. Особые случаи: функции

Обсуждение уравнений первой степени с одним неизвестным и системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. Случай неопределенности. Несовместные уравнения.

Геометрия.

IV класс. Прямая. Плоскость. Угол. Перпендикулярные прямые. Треугольники и признаки равенства треугольников. Параллельные прямые. Четырехугольник. Виды четырехугольников. Многоугольники. Окружность. Свойства хорды окружности, секущей и касательной к окружности. Относительное положение двух окружностей. Задачи на построение.

V класс. Измерение углов. Пропорциональные отрезки. Подобие треугольников и многоугольников. Основные соотношения между сторонами и замечательными отрезками в треугольнике и многоугольнике. Пропорциональные отрезки в окружности. Вписанные в окружность и описанные около окружности треугольники и многоугольники. Понятие предельного значения. Понятие длины окружности и отношение длины окружности к диаметру. Вычисление этого отношения. Вычисление и отношение площадей прямоугольных фигур, круга и его частей. Задачи на построение. Построение простейших алгебраических однородных формул, корней квадратного уравнения и обсуждение некоторых задач, которые можно решить с помощью квадратных уравнений. Принцип однородности.

VI класс. Относительное положение прямых линий и плоскостей в пространстве. Основные свойства плоских и многогранных углов. Правильные многогранники. Вычисление площади поверхности и объема прямого цилиндра, прямого конуса, шара и их частей. Задачи на вычисление и построение.

Тригонометрия.

VI класс. Определение тригонометрических величин: синус, косинус, тангенс и котангенс острого и тупого углов. Значения, которые могут принимать эти величины, отношения между тригонометрическими величинами смежных и дополнительных углов. Логарифмы тригонометрических функций. Таблицы логарифмов тригонометрических функций. Соотношение элементов прямоугольного треугольника. Пропорциональная зависимость сторон треугольника от синусов противолежащих углов. Выражение тангенса половинного угла треугольника через стороны треугольника. Отношение разности двух сторон треугольника к их сумме. Решение косоугольных треугольников. Измерение площади треугольника. Применение решения треугольников при решении геометрических задач.

VII дополнительный класс. Тригонометрические функции от дуги окружности. Изменение значений тригонометрических функций при изменении дуги (аргумента). Формулы для выведения тригонометрических функций от любой дуги в интервале от 0 до я/4. Соотношения между тригонометрическими функциями от одной и той же дуги. Теорема сложения (тригонометрические функции суммы и разности двух дуг). Тригонометрические функции от кратной дуги и от половины дуги. Преобразование суммы и разности двух синусов и двух косинусов в произведение. Обратные тригонометрические функции. Тригонометрические уравнения.

Основы аналитической геометрии.

VII дополнительный класс. Определение положения точки на плоскости в прямоугольной системе координат. Вычисление расстояния между двумя точками по их координатам. Вычисление координат середины отрезка через координаты конечных точек. Прямая. Различные виды уравнения прямой:

1) Уравнение через одну из переменных.

2) Уравнение в отрезках по осям;

3) Нормальная форма и

4) Общее уравнение первой степени

Уравнение прямой, проходящей через данную точку. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Координаты точек пересечения двух прямых. Угол между двумя прямыми; условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Расстояние от точки до прямой. Вычисление площади треугольника. Смещение начала координат.

Окружность. Уравнение окружности в прямоугольной системе координат. Полярные координаты. Спираль Архимеда. Общие понятия координат и геометрических мест. Конические сечения плоскостями, которые не проходят через вершину конуса. Три вида конических сечений: эллипс, парабола и гипербола.

Характерные свойства конического сечения: постоянное отношение расстояния каждой точки сечения от фокуса к расстоянию от директрисы. Уравнения конического сечения в полярных координатах. Уравнения в прямоугольных координатах, отнесенных к вершине. Уравнения эллипса и гиперболы в прямоугольных координатах, отнесенных к фокусу. Эллипс как проекция окружности. Уравнения эллипса и гиперболы в системе биполярных координат. Уравнение для касательной в заданной точке кривой. Радиусы эллипса, гиперболы и параболы.

Анализ бесконечно малых.

VII дополнительный класс. Основные свойства пределов. Использование свойств пределов для вычисления длины окружности и площади круга, площади поверхности и объема цилиндра, конуса и шара. Предел при z, стремящемся к нулю. Предел выражения при /7, стремящемся к бесконечности. Натуральные логарифмы. Модуль логарифма. Независимая переменная (аргумент) и зависимая переменная (функция). Явные и неявные функции. Постоянное изменение независимой переменной. Понятие непрерывности функции для заданного значения аргумента и на заданном участке. Примеры непрерывных функций: функция Q~. Графическое представление функций, производная и дифференциал функции. Геометрический и механический смысл производной. Производная суммы, разности, произведения и частного.

Производная и дифференциал сложной функции. Производная обратной функции.

Производная степени, гармонической функции, логарифмической и тригонометрических функций.

Геометрическое объяснение свойства непрерывности функции: «если функция непрерывна на отрезке ее аргумента и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, тогда функция должна в какой-либо точке на этом отрезке обратиться в нуль».

Геометрический смысл теоремы Ролля. Теорема Лагранжа.

Признаки возрастания и убывания функции. Наибольшие и наименьшие значения функции для заданного отрезка аргумента и их определение. Уравнение касательной и нормали к кривой в заданной точке. Касательные к эллипсу, гиперболе и параболе. Понятие определенного интеграла. Применение этого понятия при вычислении площади. Понятие неопределенного интеграла.

Учебный план коммерческого отделения.

V класс. 2 часа. Коммерческая арифметика.

I. Метрология. Монеты, меры длины, веса и жидких тел в разных странах; различные обозначения этих мер.

II. Монетные вычисления. Сравнение различных систем оценки состояния монет. Вычисление аль-пари и ажио. Соотношение стоимости золота и серебра (в слитках и монетах) на главных европейских рынках.

III. Процентные вычисления. Понятие процента: процент «со ста, на сто, во сто»; процентная надбавка и скидка в прейскуранте; процентная комиссия, куртаж (комиссионное вознаграждение) и расходы на ведение коммерческой деятельности; вычисление процентов за годы, месяцы и дни. Сокращенная процедура; вычисления прибыли, капитала, времени и процентной ставки. Вычисления простых и сложных процентов и их использование в обществах по страхованию жизни и других учреждениях. Различные способы процентных начислений на текущие счета. Красное процентное число. Расчет процентов для ссуды и для погашения займа. Использование общепринятых таблиц и русских счетов.

VI класс. 3 часа. Коммерческая арифметика.

I. Облигации и акции. Вычисление цены облигаций в том случае, когда цена указана в процентах или поштучно; расчет цены не полностью оплаченных ценных бумаг; стоимость российских облигаций на иностранных фондовых биржах. Арбитраж капиталиста и спекулянта. Определение выполнимости заказа по установленному курсу.

II. Товарные вычисления. Определение веса товара (брутто, тара, нетто); вычисление скидки с количества и со стоимости; фрахт, таможенная пошлина, куртаж, страхование и другие расходы; фрактурная стоимость товаров. Простые и сложные виды коммерческих вычислений. Определение продажной стоимости товаров и изделий; расчет цены на алкогольную продукцию, арбитраж при покупке товаров и драгоценных металлов. Расчеты убытков.

III. Расчет векселей. Вычисление курса на „al pari". Вексельный курс на краткосрочные и долгосрочные векселя. Курсовые системы: простые и сложные курсовые вычисления. Дисконт российских и

иностранных векселей и обмен векселей. Вычисление среднего (общего) срока уплаты. Ремитирование и трассирование векселей. Определение курса между двумя биржами, не находящимися в прямом контакте друг с другом, через вексели, которые котируются на этих биржах через третью биржу.

Цели учебной программы по математике в реальных училищах.

Целью обучения математике в реальных училищах является, прежде всего, развитие мышления и воображения учащихся как через накопление теоретических знаний, так и через практическое применение этих знаний при решении задач. Учащимся предоставляется возможность использовать накопленные знания в области математики на уроках физики, а именно в рамках учебного курса по физики седьмого дополнительного класса, в котором главным образом идет изучение механики. Уроки математики так же носят практический характер. В первых трех начальных классах целью курса арифметики считается сознательное, быстрое и элегантное умение считать; при решении геометрических задач учащиеся должны выполнять настоящие построения. В частности, учащиеся начинают пользоваться циркулем и линейкой уже в третьем классе, то есть еще до начала курса геометрии. Для этого в третьем классе предусмотрены два урока в неделю по контурному рисунку. Поскольку выпускники семиклассных реальных училищ чаще всего продолжают свое образование в высших технических учебных заведениях, особое внимание на уроках уделяется необходимой для дальнейшего обучения базовой подготовке по математике.

Экзамены.

В конце учебного года в реальных училищах проходят как переводные, так и выпускные экзамены. Экзамены должны сдавать все учащиеся за исключением тех, кто по причине неудовлетворительных знаний не был допущен учительской конференцией к сдаче.

По математике предусмотрены следующие переводные экзамены:

1) III класс. Арифметика (программа обучения первых трех начальных классов) - письменный экзамен;

2) IV класс. Алгебра (программа обучения третьего и четвертого класса) - устный и письменный экзамены; геометрия - устный экзамен;

3) V класс. Алгебра и геометрия; устный и письменный экзамены по обоим предметам. Выпускные экзамены

проходят как в VI, так и в VII классах. Все допущенные до экзамена учащиеся этих классов сдают письменный и устный экзамены по математике. На письменном экзамене учащиеся шестого класса получают три задания: по алгебре, тригонометрии и геометрии.

За письменным экзаменом следует устный экзамен по алгебре, геометрии и тригонометрии.

Выпускники седьмого класса должны выполнить два письменных задания: одно по аналитической геометрии и по анализу бесконечно малых, другое по тригонометрии. На устном экзамене проверяются их знания по арифметике (программа седьмого класса); по алгебре (программа шестого и седьмого классов); по тригонометрии и так называемой специальной учебной программе для седьмого класса, т.е. по аналитической геометрии и анализу бесконечно малых.

Методика преподавания и учебные пособия.

В начальных классах на уроках математики особое внимание уделяется наглядности. С этой целью на уроках арифметики обычно используются русские счеты и собрания русских и метрических мер. Арифметические теоремы, как правило, не доказывают, а вместо этого объясняют их с помощью примеров. В третьем классе большую роль начинает играть логическое мышление, например, оно задействовано при повторении арифметики; однако и на этом этапе приводится лишь небольшое количество доказательств. Строгие доказательства основных признаков делимости чисел, свойств наибольшего общего делителя и т.д. приберегаются для старших классов. На уроках арифметики используются задачники вместе с методологически выстроенными учебниками по арифметике. Из учебников по арифметике в основном используется учебник Киселева; самые распространенные задачники составлены Верещагиным, Малининым и Бурениным.

Курс алгебры открывают особые упражнения, которые способствуют переходу от арифметики к алгебре. Рассмотрение различных алгебраических операций осуществляется в совокупности с повторением и расширением знаний о соответствующих арифметических теоремах. При введении материала об отрицательных числах указывается на необходимость расширения знаний о понятии числа для того, чтобы научиться выполнять операцию вычитания во всех случаях.

Понятие иррационального числа в средних классах вводится через извлечение из чисел квадратного корня, при этом, конечно, также разъясняется понятие предела. Более подробно об иррациональных числах говорят в VI классе до учения о логарифмах и, наконец, с еще большей научной строгостью их изучают в VII классе, в котором

знания о понятии числа расширяются за счет более пристального рассмотрения комплексных чисел. Понятие предела в VI классе также объясняется через бесконечно убывающие геометрические прогрессии с их использованием при переводе бесконечных периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби. С еще большей научной строгостью понятие предела разъясняется лишь в старших классах.

Свойства делимости целых алгебраических выражений подробно проходят только в VII классе, хотя умение выполнить разложение выражений а"+Ь" и и"—Ь" требуется уже в средних классах. Однако и на этом этапе не приводится общего доказательства; ограничиваются объяснением делимости заданных выражений на числовых примерах с малым показателем.

Учение о пропорциях начинают проходить еще в III классе при решении числовых уравнений первой степени с одним неизвестным. И только в следующем, четвертом классе, для решения таких уравнений задается буквенный коэффициент. В задачах на уравнения второй степени, а также на уравнения высших степеней, решение которых сводится к решению квадратного уравнения, делается акцент на том, что левую часть уравнения можно разложить на линейные множители и что разложение многочленов на множители и решение соответствующих уравнений взаимосвязаны.

Особое внимание на уроках алгебры, конечно, уделяется упражнениям на решение задач. Из учебников по алгебре в основном используется учебник Киселева. Самыми распространенными задачниками являются сборники Бычкова, Шапошникова и Вальцова.

Курс геометрии начинается с IV класса, и его характеризует систематическая подача материала с самого начала. В наших реальных училищах нет специального подготовительного (пропедевтического) геометрического курса. Тем не менее, некоторые предварительные знания учащиеся получают на уроках рисования при черчении геометрических моделей; также и уроки контурного рисунка в третьем классе дают учащимся знания, облегчающие понимание геометрических теорем. Курс геометрии строится на основных понятиях и законах и является чисто дедуктивным. Особое внимание уделяется возможной «научной строгости», ведь целью обучения геометрии является «систематическое усвоение геометрических истин, четкое представление о видах доказательств в геометрии и усвоение методов, которые используются при этих доказательствах».

Общепринятые учебники по геометрии немногим отличаются от учебников Лежандра, а теории новейшей геометрии не оказывают практически никакого влияния на преподавание геометрии. Геометрические модели не используются в курсе планиметрии; регулярное использование моделей начинается лишь с курса стереометрии. Также, например, отсутствуют практические задания на

самостоятельное изготовление моделей. В решении задач учащиеся упражняются в достаточной мере, как при решении задач на построение, так и в решении геометрических заданий на вычисление. В качестве одного из самых распространенных учебников следует назвать учебник Киселева.

Вплоть до 1906 года тригонометрию проходили в VI классе. Курс открывался объяснением тригонометрических функций углов любой величины, затем переходили к гониометрическим формулам и лишь в конце учебного года начинали проходить решения треугольников.

В 1906 году учение о решении треугольников вместе с предшествующим ему кратким объяснением тригонометрических функций острых и тупых углов было отделено от курса гониометрии, который был перенесен в программу седьмого класса. Благодаря этому удалось добиться того, что учащиеся шестого класса намного улучшили свои навыки по решению задач с треугольниками по сравнению с тем, как это было раньше, и тем самым получили возможность применить свои тригонометрические знания на уроках физики.

Одними из самых популярных учебников по тригонометрии следует назвать учебник Ребьера в русском переводе де-Жоржа и учебник Злотчанского.

Основы аналитической геометрии и анализа бесконечно малых были введены в программу семиклассных реальных училищ лишь с 1906 года. Чтобы высвободить нагрузку для этих важных предметов из учебной программы старших классов были исключены перспективное рисование и так называемое «приложение алгебры к геометрии». Учебная программа аналитической геометрии и анализа бесконечно малых не содержит разъяснений рекомендуемой методики, однако то обстоятельство, что оба предмета соединены в единую учебную дисциплину, так называемую «специальную учебную программу для седьмого класса», позволяет говорить о желании подчеркнуть тесную взаимосвязь этих дисциплин. Однако, едва ли мы можем сейчас говорить о том, насколько тесной является эта взаимосвязь на практике и что считается отправным пунктом, например, при объяснении понятия производной: чисто арифметический или же геометрический подходы. Глядя на немногочисленные учебники, напечатанные на сегодняшний день, невозможно прийти к однозначному выводу по данному вопросу.

Благодаря введению специальной учебной программы для седьмого класса в реальные училища пришли понятия координат и функции, впрочем, пока что это относится только к старшим классам.

Учебные планы для шестых классов избегают использования этих понятий, как мы, например, можем увидеть на примере слова «функция»: в учебном плане по тригонометрии для шестого класса

тригонометрические функции названы «тригонометрическими величинами».

Здесь в основном используется учебник «по основаниям аналитической геометрии» Горячева, по анализу бесконечно малых -учебник Киселева, а также пособие Горячева.

Подготовка учителей.

От учителей математики требуется университетское образование. Но поскольку в наших университетах нет специальной педагогической подготовки для студентов, то только что принятые на работу учителя в первые годы преподавания еще достаточно неопытны в своей деятельности. Тем не менее, со временем некоторые из них становятся очень грамотными преподавателями, приобретая необходимые им знания через опыт и самообразование. К сожалению, так происходит не всегда, поэтому крайне желательна специальная педагогическая подготовка. Министерством народного просвещения уже предприняты некоторые шаги в этом направлении. При некоторых учебных округах в 1909 году учреждены специальные одногодичные курсы для подготовки учителей гимназий и реальных училищ. На этих курсах кандидатам на учительские места, получившим университетское образование, даются теоретические и практические основы педагогики. Общая теоретическая подготовка осуществляется за счет лекций по логике, психологии, педагогике и истории педагогики. Необходимая подготовка по специальному предмету готовит кандидатов-преподавателей для средних учебных заведений (гимназий или реальных училищ), в которых они под руководством опытного учителя приступают к работе по следующему плану:

1) Ассистирование на уроках учителям по соответствующему предмету;

2) Ознакомление с общепринятыми учебными пособиями;

3) Проведение пробных занятий;

4) Оценка проведения пробных занятий на школьных учительских конференциях;

5) Ассистирование на заседаниях учительских конференций;

6) Замещение отсутствующих учителей;

7) Проведение занятий в группах с более слабыми учащимися.

Международная комиссия по преподаванию математики

РОССИЙСКАЯ ПОДКОМИССИЯ

ДОКЛАДЫ, ПРЕДСТАВЛЕННЫЕ РОССИЙСКОЙ ДЕЛЕГАЦИИ

Авторы:

Н. МИХЕЛЬСОН, профессор Санкт-Петербургского высшего женского педагогического института

Д. ГОРЯЧЕВ, профессор Варшавского университета

П. КОТУРНИЦКИЙ и А. ГАТЦУК, профессора Санкт-Петербургского технологического института.

1) Об организации преподавания математики в женских гимназиях Министерства народного просвещения и в Санкт-Петербургском высшем женском педагогическом институте. Г-н Михельсон.

2) Пояснительная записка о преподавании математики в женских гимназиях Варшавского учебного округа. Г-н Горячев.

3) Об организации преподавания математики в промышленных училищах Министерства народного просвещения. Г-н. Котурницкий и г-н Гатцук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ.

Типография общества «Труд». Ул. Кавалергардская, д. 40.

1912

Женские гимназии Министерства народного просвещения.

I. Общие сведения.

Женские гимназии Министерства народного просвещения относятся к категории средних общеобразовательных школ. Программой предполагаются семь обязательных классов и дополнительный восьмой класс. Программа обучения различным дисциплинам распределена на семь лет, что соответствует семи классам гимназического образования. Освоение ее обязательно для получения аттестата о среднем образовании. Обучение в восьмом классе не является обязательным. В этом классе предусмотрена своя программа, отвечающая специальным требованиям и посему заслуживающая отдельного рассмотрения.

Условия зачисления. В первый (начальный) класс зачисляются учащиеся десяти или одиннадцати лет. Учащиеся должны пройти вступительные испытания.

При поступлении от соискателей требуются следующие арифметические познания: четыре действия с целыми числами первой сотни, основы устного счета и умение решать некоторые задачи с числами, относящимися к вышеназванной категории. Эти знания дети получают либо в семье, либо в подготовительных школах.

II. Цель преподавания математики

Цель преподавания математики в первую очередь заключается в развитии точности изложения мыслей. В рамках обучения, помимо приобретения теоретических и практических математических знаний, ученики знакомятся с определенными методами рассуждения, получают представление о пространстве, учатся анализировать отношения между изучаемыми в рамках курса величинами.

Практические цели в основном остаются второстепенными. В жизни находят применение лишь некоторые темы, относящиеся к определенным областям математических знаний (в частности, теория измерений), а также темы, затрагиваемые в курсах основ физики и основ механики.

III. Учебный план и программа

1) В рамках программы семилетнего обучения в гимназиях преподают арифметику, алгебру и геометрию. На учебной неделе уроки распределены следующим образом:

I

II

III

IV

V

VI

VII

Арифметика

4

4

4

1

Алгебра

2

2

2

2

Геометрия

2

2

2

2

2) Программа курса арифметики (I, II и III классы; четыре часа в неделю).

Действия с целыми отвлеченными и именованными числами. Измерение массы, длины, времени; счет денег.

Основные понятия о мерах площади и объема.

Подготовительный курс по обыкновенным дробям.

Основной курс по обыкновенным дробям и их практическому применению: понятие делимости целых чисел, разложение чисел на простые множители, наименьшее общее кратное. Десятичные дроби. Метрическая система.

Перевод обыкновенных дробей в десятичные дроби. Конечные и периодические десятичные дроби.

Решение уравнений, содержащих и обыкновенные, и десятичные дроби.

Общие сведения об отношениях; прямая и обратная пропорциональная зависимость. Задачи на тройное правило, простое и сложное (сложное - через приведение к единице).

Задачи на проценты и пропорциональное деление.

В рамках курса ученики решают множество задач, призванных развить логическое мышление и точность в использовании математической терминологии. Однако основное внимание следует уделять счету и выполнению арифметических действий.

В программе седьмого класса один час в неделю отведен на повторение арифметики с упором на теоретическую составляющую курса.

3) Программа курса алгебры (IV, V, VI и VII классы; два часа в неделю). Обобщение арифметических задач в целях перехода от арифметики к алгебре.

Алгебраические действия. Отрицательные числа. Алгебраические выражения (одночлены и многочлены). Алгебраические преобразования: приведение подобных слагаемых; умножение одночленов и многочленов, квадрат двучлена, произведение суммы двух чисел на их разность; деление одночленов и многочленов. Алгебраические дроби. Основные сведения о степенях с нулевыми и отрицательными показателями. Действия с алгебраическими дробями. Действия с величинами, возведенными в отрицательную степень. Уравнения первой степени с одним неизвестным и способы их решения.

Системы уравнений первой степени с несколькими неизвестными.

Возведение в степень и извлечение корня. Действия с радикалами. Извлечение квадратного корня из числа. Уравнения второй степени с одним неизвестным и способы их решения. Свойства корней таких уравнений.

Действия с величинами в дробной степени.

Арифметические и геометрические прогрессии.

Логарифмы, использование логарифмических таблиц.

3) Программа курса геометрии (IV, V, VI и VII классы; два часа в неделю).

Основной курс Евклидовой геометрии.

Планиметрия — Геометрические фигуры; поверхность, линия и точка. Углы, треугольники. Перпендикуляр и наклонная. Параллельные прямые. Четырехугольники и многоугольники.

Окружность и круг. Отношения дуг, хорд и центральных углов. Касательная к окружности.

Основные задачи на построение. Общие сведения об измерении величин; измерение длины отрезка, измерение угла. Подобие фигур. Метрические соотношения между сторонами треугольника. Площадь прямолинейной фигуры. Правильные многоугольники. Понятие постоянной и переменной величины и предела переменной величины. Вычисление длины окружности и площади круга.

Стереометрия. Прямые и плоскости в пространстве. Вычисление площади поверхности и объема призмы, пирамиды, прямого цилиндра и конуса с круглым основанием, сферы.

В дополнение к основной программе даются задачи на построение вышеуказанных фигура, вычисление их площади поверхности и объема.

4) В некоторых гимназиях в третьем классе вводят подготовительный курс геометрии (один час в неделю), предваряющий основной курс последующего года. Для данного курса предусмотрена следующая программа:

Знакомство с разными видами геометрических тел, фигур, линий и поверхностей. Плоские, двугранные и многогранные углы.

Перпендикуляр и наклонная. Разные виды треугольников и четырехугольников. Биссектриса, высота, медиана треугольника. Равенство прямолинейных сегментов, дуг окружности, углов. За счет использования наглядных методик данный курс призван сформировать у учащихся представление о простых геометрических отношениях.

Связи между различными математическими дисциплинами

Каждый из этих предметов - арифметика, алгебра и геометрия -требует отдельного курса. Поскольку перед преподавателями математики ставится немало разных задач, связи между

математическими дисциплинами, освещаются далеко не в полной мере, и отведенного времени недостаточно, чтобы должным образом изложить этот вопрос. Однако зачастую такие связи проявляются сами по себе - когда для упрощения доказательства какой-либо теоремы или решения задачи используются методы, обычно применяемые в смежной дисциплине. Аналогичным образом, связь физики и математики неизбежно проявляется на уроках физики, для понимания которых, несмотря на их экспериментальный и описательный характер, необходимы математические знания. Тем не менее, если преподаватель математики время от времени и заимствует содержание задач из физики, это делается не для того, чтобы подчеркнуть связь двух наук, а для того, чтобы разнообразить набор задач.

IV. Экзамены

Главным условием перехода в следующий класс является успеваемость в течение учебного года. Второе условие - результаты специальных испытаний, или экзаменов. Испытания проводятся не каждый год и не по каждой из математических дисциплин, а лишь по тем, курс которых завершился в данном классе. Соответственно, распределение экзаменов выглядит следующим образом:

Экзамены по арифметике сдаются в третьем классе: экзамен состоит из устной части по теории и письменной части на решение задач.

Экзамен по алгебре сдается в шестом классе и подразумевает письменное решение задач.

Экзамен по геометрии сдается в шестом классе и включает только устную часть. Выпускной экзамен в седьмом классе проводится по всем дисциплинам и состоит из письменных испытаний по арифметике, алгебре и геометрии, а также устных испытаний по алгебре и геометрии, охватывающих весь пройденный материал.

Семилетний гимназический курс, как отмечалось выше, дает право на получение аттестата о среднем образовании, а также иные смежные права, поскольку экзамены относятся к программе всех семи классов.

V. Методика преподавания

Очень сложно выстроить методику, которая подходила бы для преподавания математики на протяжении всего курса. Поэтому методика варьируется в зависимости от членения курса и этапа обучения.

Как правило, преподавание организовано таким образом, что учащиеся сами принимают участие в формулировании правил и теорем

и решении задач.

Подобная система преподавания требует особенной строгости в младших классах, где преподаватель может исправлять формулировку правила только после того, как ученица проделала соответствующую подготовительную работу. В решении задач, данных всему классу, принимает участие каждая ученица, а затем класс выбирает подходящие способы решения из предложенных. Такая методика непосредственного вовлечения учащихся в выстраивание уроков (которые к старшим классам постепенно превращаются в цикл лекций, что подразумевает, что всякий новый материал излагает преподаватель) соблюдается не всегда: в некоторых гимназиях учащимся отводится скромная роль активных и сознательных зрителей, тогда как логические заключения выводятся учителем. Такие изменения в методике отчасти объясняются необходимостью экономии времени, отчасти сложностью излагаемого в старших классах материала, но главным образом - необходимостью приводить примеры довольно строгих математических рассуждений.

Преподавание каждой из дисциплин на начальных этапах призвано придать курсу объективный и конкретный характер, основанный на изложении фактов.

Для этого учитель использует наглядные пособия. В частности, они используются в курсе арифметики при объяснении понятий целых и дробных чисел, а также во вводном курсе геометрии. Однако в основном курсе геометрии к таким пособиям прибегают лишь в порядке исключения, поскольку главный акцент делается на логические основы дисциплины. Стереоскоп при изучении геометрии пока используется редко.

Учащиеся почти не пользуются учебниками. Практически весь материал излагается на уроке и конспектируется. Преподаватель ограничивается лишь тем, что дает название учебника, в котором освещается изученная тема, - на случай если кто-то конспектировал недостаточно подробно или отсутствовал на уроке. У каждой ученицы есть задачник.

Большое внимание уделяется письменным заданиям, задачам и примерам, составленным под руководством преподавателя, а также самостоятельному решению задач как в школе, так и дома.

VI. Дополнительный класс

В данной части мы дополняем ранее представленные сведения о женских гимназиях Министерства народного просвещения.

Как уже было сказано, помимо обязательной семилетней программы, по окончании которой выдается аттестат о среднем образовании, в таких гимназиях предусмотрен дополнительный

восьмой класс. В первую очередь он служит подспорьем ученицам, которые хотят посвятить себя учительству. С этой целью в программу восьмого класса включен курс общей педагогики и методики преподавания арифметики. Однако, поскольку для подготовки педагогов существуют специализированные учреждения, характер преподавания в восьмом классе претерпел естественные изменения, необходимость которых была продиктована самой жизнью.

Стоит отметить, что около 50 лет назад у женского населения России начало проявляться стремление к высшему уровню интеллектуального образования. Стремление это росло и ширилось, и на данный момент многие женщины, получив аттестат о среднем образовании, поступают в различные высшие учебные заведения для продолжения обучения. В плане математики программы женских гимназий сильно отстают от требований, выдвигаемых высшими учебными заведениями, поэтому девушкам, стремящимся к высшему образованию, становится все сложнее туда поступить из-за слабой подготовки. Таким образом, наличие восьмого класса в женских гимназиях упрощает ученицам поступление в высшие учебные заведения и позволяет получить знания, необходимые для перехода к высшему образованию. Соответственно, значимость педагогической подготовки в восьмом классе отходит на второй план.

Программа восьмого класса предусматривает два параллельных направления: словесность и математика. Ученицы вправе самостоятельно выбрать одно из них.

На математическом отделении изучаются алгебра и тригонометрия, а в некоторых гимназиях к ним добавляется аналитическая геометрия. Во всех гимназиях на математические дисциплины отводится четыре часа в неделю.

Программа курса алгебры

Равенства. Бином Ньютона для целых положительных показателей степени. Решение системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Неравенства. Решение в целых числах уравнения вида ax+by+c=0. Решение систем из нескольких уравнений высших степеней, сводимых к линейным и квадратным уравнениям.

Решение простейших логарифмических и показательных уравнений. Непрерывные дроби. Свойства подходящих дробей. Применение теории непрерывных дробей к извлечению квадратного корня из числа.

Программа курса тригонометрии

Тригонометрические функции: sin, cos, tg и cotg. Изменение значений тригонометрических функций в зависимости от длины дуги.

Сведение тригонометрических функций к функциям дуги < \

Отношения между тригонометрическими функциями одной дуги. Sin, cos, tg, cotg суммы и разности двух углов, двойного и половинного угла. Таблицы логарифмов тригонометрических функций. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном и непрямоугольном треугольнике. Основные случаи решения прямоугольных и непрямоугольных треугольников. Решение тригонометрических уравнений.

Программа курса аналитической геометрии

Важнейшие вопросы, касающиеся прямой на плоскости в прямоугольной системе координат. Кривые второго порядка, рассматриваемые как сечения прямого кругового конуса; их простейшие уравнения и свойства.

Система обучения в восьмом классе лекционная. Знания учениц проверяются посредством зачетных занятий. В рамках таких занятий проводится опрос по пройденному материалу.

Количество зачетных занятий может достигать пяти и подчиняется соображениям удобства дробления курса.

Выпускные экзамены не предусмотрены. Диплом выдается на основании результата зачетов и успеваемости ученицы в течение года.

Женский педагогический институт

I. Общие сведения

Женский педагогический институт относится к высшим учебных заведениям. Институт дает женщинам высшее педагогическое образование и готовит учительниц для всех категорий средних общеобразовательных женских школ. В Институте два отделения: историко-филологическое и физико-математическое. На физико-математическом отделении два направления: 1) математика и физика, 2) естественные науки, физика и география.

Обучение длится пять лет, а точнее, девять семестров.

При Педагогическом институте открыта женская гимназия, где воспитанницы могут проходить педагогическую практику и вести уроки под руководством действующих преподавателей, которые направляют их в педагогической деятельности. В Институт принимаются:

1) без вступительных экзаменов: выпускницы средних общеобразовательных учебных заведений, получившие аттестат с отличием; 2) по результатам отборочных испытаний по некоторым дисциплинам: выпускницы тех же заведений, получившие обычный аттестат.

Однако из-за слишком большого числа соискательниц, закончивших учебу с отличием, зачисление проводится на конкурсной основе в соответствии с предоставленными аттестатами о среднем образовании.

II. Цель преподавания математики

Очевидно, что каждый учитель математики средней школы должен иметь глубокие познания в своей области. Обучение в Педагогическом институте отвечает именно этой цели. Программа строится таким образом, чтобы студентки могли получить наиболее важную информацию из разных областей математических знаний, ознакомиться с различными методами математической науки, расширить свой научно-понятийный аппарат и получить четкое представление об основах этой науки.

Кроме того, в рамках обучения подчеркивается связь между начальным курсом математики и высшим математическим анализом, а также задается направление преподавания начального курса в различных школах. Соответственно, конечной целью является одновременное развитие у студенток математической культуры и усвоение ими начал высшего анализа. Само собой разумеется, что студентки получают также и подготовку, достаточную для освоения

дополнительных дисциплин, преподаваемых в Институте, а именно физики и механики.

III. Учебный план и программы

Для лучшего знакомства с планом удобнее всего привести по отдельности план общего курса и план практического курса для подготовки к учительской деятельности.

Второй вопрос будет рассмотрен отдельно (далее по тексту). Следует отметить, что любой учебный план в целом построен так, чтобы первые курсы были в основном посвящены приобретению общих знаний, а последние семестры имели сугубо педагогический уклон.

В нижеприведенных таблицах указаны часы и их распределение по видам математических дисциплин на обоих направлениях физико-математического отделения Института.

Часы лекций и практических работ указаны по отдельности.

1) Направление «Математика и физика».

Лекции

Практич. занят.

Лекции

Практич. занят.

Лекции

Практич. занят.

Лекции

Практич. занят.

I

II

III

IV

Элементарная алгебра

4

2

Геометрия, тригонометрия

3

2

Начала анализа

3

2

Аналитическая геометрия

3

2

Высшая алгебра

2

-

Теория чисел Аксиомы геометрии

2 . 2

Дифференциальное и интегральное исчисление

д

2

2

1

Энциклопедия высшей математики.

2

Методика преподавания математики

2

2) Направление «Естественные науки, физика и география»:

Лекции

Практич. занят.

Лекции

Практич. занят.

Лекции

Практич. занят.

Лекции

Практич. занят.

I

II

III

IV

Элементарная алгебра

4

2

Геометрия и тригонометрия

3

2

Курс общей математики.

3

1

Методика преподавания математики

1

Программа обучения по направлению «Математика и физика»

Элементарная алгебра

Данная программа повторяет программу, принятую в мужских реальных училищах. Данный курс необходим для дополнения и уравнивания знаний поступивших в Институт слушательниц.

Геометрия и тригонометрия

Программы совпадают с реальными училищами. Причины введения этого курса в программу те же, что и для элементарной алгебры.

Начала анализа

Первая часть

Основы теории иррациональных чисел и пределов Основные сведения о делении величин. Определение действительных чисел. Равенства и неравенства. Действия с такими числами. Теорема о непрерывности множества действительных чисел. Понятие предела. Основные теоремы о пределах.

Вторая часть

Основы теории функций переменного Понятие функции переменного. Элементарные функции. Общие свойства непрерывных функций. Производные. Общие теоремы о производных. Применение производных в изучении возрастания функций. Построение графиков, представляющих функции.

Третья часть

Числовые ряды

Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды. Общие условия сходимости числового ряда.

Ряды, состоящие из членов с одинаковым знаком. Признаки сходимости Коши, Даламбера и Раабе. Знакочередующиеся ряды. Сведения об абсолютно сходящихся и условно сходящихся рядах. Действия с рядами. Ряды, члены которых являются функциями одного переменного. Равномерная сходимость. Дифференцирование рядов. Разложение функций е\ sinx, cosx, log(l+x), arc tgx в степенные ряды. Сложение рядов.

Преобразование сходящихся рядов в ряды, сходящиеся быстрее. Методы Эйлера-Куммера.

Аналитическая геометрия

Общие сведения о декартовой и полярной системах координат. Прямая. Кривые второго порядка.

Координаты в пространстве. Плоскость, прямая, поверхности второго порядка (общие сведения). Изучение поверхностей второго порядка по каноническим уравнениям.

Высшая алгебра

Теория комплексных чисел. Основные свойства целых функций и алгебраических уравнений. Разделение действительных корней методами Штурма и Фурье; вычисление действительных корней. Основные свойства определителей; системы уравнений первой степени. Двучленные уравнения; решение уравнений третьей и четвертой степени. Симметричные функции корней. Решение системы из двух уравнений с двумя неизвестными.

Теория чисел

Делимость целых чисел. Сравнения. Количество целых чисел, не превосходящих заданное число и взаимно простых с ним: обобщенная теорема Ферма; теорема Вильсона. Решение сравнений первой степени. Сравнения по простому модулю. Теория первообразных корней. Сравнения второй степени по простому модулю. Решение сравнений второй степени по простому модулю; символ Лежандра; закон взаимности; случай составного модуля. Основные сведения о

делителях вида и2—Dv2.

Аксиомы геометрии. Критика традиционной геометрии. Геометрия, представленная как гипотетическая дедуктивная система. Условия, которым должна удовлетворять система фундаментальных законов и аксиом; исследования по этому вопросу (В рамках данного курса изучаются основы проективной геометрии и неевклидовой геометрии, в частности по трудам Лобачевского).

Дифференцирование и интегрирование Дифференцирование функций нескольких переменных и неявных функций. Дополнительные сведения по разложению функций в ряды; неопределенности; наибольшее и наименьшее значение функции.

Применение к теории кривых и поверхностей. Интегрирование функций. Теория простых определенных интегралов. Основные сведения о двойных определенных интегралах. Основные сведения о криволинейных и поверхностных интегралах. Применение определенных интегралов в геометрии.

Интегрирование дифференциальных уравнений: простейшие случаи интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка; линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами; простейшие случаи интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений высшего порядка.

Энциклопедия высшей математики В рамках данного курса освещаются принципы из разных областей анализа: вычисление конечных разностей, вычисление вероятностей и вариационное исчисление.

Методика преподавания математики Методика преподавания арифметики в приходских одноклассных школах с анализом учебных пособий и учебного материала. Методика преподавания теоретической арифметики в средних общеобразовательных учреждениях в соотнесении с теоретическими основами этой дисциплины. Методика преподавания элементарной алгебры и геометрии.

Критический анализ методик преподавания.

Программа обучения по направлению «Естественные науки, физика и география»

Программа курса элементарной алгебры, геометрии, тригонометрии и методики преподавания арифметики повторяет программу предыдущего направления. В рамках курса высшей

математики предусмотрена следующая программа:

Аналитическая геометрия Теория проекций; координаты; основные задачи на прямую; простейшего вида уравнения кривых второго порядка. Плоскость и прямая в пространстве; решение простейших задач. Эллипсоиды.

Анализ бесконечно малых

Теория пределов; непрерывность функций; производные и дифференциалы; геометрический смысл производной; нахождение наибольших и наименьших значений функции. Неопределенные и определенные интегралы; поверхности и объемы. Основные сведения о двойных и тройных интегралах. Производные и дифференциалы высших порядков.

Сходимость непрерывных рядов. Ряды Тейлора и Маклорена; дополнительный член, разложение функций е\ sin х, cos х, lg (1+х), (1+х)т в степенные ряды.

Неопределенности. Дифференцирование функций нескольких независимых переменных и неявных функций. Дифференциал дуги; кривизна кривой и поверхности; касательная плоскость к поверхности.

Интегрирование простейших дифференциальных уравнений первого порядка; линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

IV. Экзамены

При переводе студенток с одного курса на другой учитывается успеваемость в течение всего учебного года. Студенткам необходимо 1) иметь свидетельство обо всех выполненных ими в течение учебного года обязательных практических работах; 2) выдержать экзамены по дисциплинам, изучение которых завершается в текущем учебном году; 3) получить достаточно высокую оценку на зачетных занятиях, где проверяется усвоение пройденного за год материала по дисциплинам, изучение которых продолжится на следующих курсах. Экзамены включают как письменные, так и устные испытания. На письменных экзаменах студенткам предлагается решить задачи, а на устных проверяется усвоение ими теоретических знаний.

Зачетные занятия фактически тоже представляют собой экзамены, но значительно упрощенные, поскольку на них не требуется ничего, кроме изложения основ необходимых знаний.

В конце учебного года экзамены не проводятся. Результаты всех проведенных в течение года испытаний считаются итоговыми.

Диплом вручается студенткам, успешно выдержавшим все теоретические экзамены и в достаточной степени подготовленным к

педагогической деятельности за счет прохождения практики, о которой ниже будет рассказано отдельно.

Методика преподавания

Изучаемый материал преподается в лекционной форме, однако почти по всем дисциплинам, помимо лекций, предлагается и ряд практических работ.

Посещение практических занятий обязательно.

Студентки, не выполнившие достаточное количество практических работ, не допускаются к экзамену, сопряженному с этими работами.

Студентки, не получившие свидетельства о сдаче этого экзамена, не допускаются к сдаче остальных экзаменов.

Задачи, предлагаемые на практических занятиях, зачастую непосредственно связаны с другими математическими дисциплинами и могут даже содержать элементы, заимствованные из физики или механики. Подобный выбор задач призван естественным образом укрепить представления о связи между различными областями математической науки, однако, поскольку идеей о такой связи проникнуты все математические дисциплины, в общем и целом он лишь иллюстрирует эту основополагающую истину.

Подготовка к педагогической деятельности

Подготовка студенток Педагогического института к профессиональной деятельности ведется одновременно как по теоретическому, так и по практическому пути.

1) В течение первых четырех лет студенткам преподаются фундаментальные основы общего курса математики (как элементарной, так и высшей), что позволяет получить необходимое знание предмета и развить собственные научные познания. Как видно из таблицы, приведенной в разделе III настоящего доклада, помимо общего курса студенткам предлагаются специальные курсы, направленные на будущую педагогическую деятельность (например курс по аксиоматике геометрии) и другие курсы, которые не только способствуют накоплению фактических знаний, но и расширяют кругозор (в частности, курс энциклопедии высшей математики). Кроме того, имеется курс методологии, в котором освещаются различные методики преподавания, рассматриваются критические труды по выбору студенток и изучаются лучшие дидактические пособия.

Теоретическая подготовка также дополняется курсами общей педагогики, психологии, логики и истории философии (см. таблицу ниже):

Лекции

Практич. занят.

Лекции

Практич. занят.

Лекции

Практич. занят.

Лекции

Практич. занят.

I

II

III

IV

Педагогика

2

2

1

Психология

2

1

Логика.

2

1

История философии

2

2

2) Практическая подготовка выглядит следующим образом: начиная с восьмого семестра, когда уже сдана большая часть теоретических экзаменов, студентки посещают уроки математики во всех классах гимназии при Институте, однако делается это без определенной системы и лишь для того, чтобы ознакомиться с различными стилями преподавания в разных классах по разным дисциплинам у разных педагогов. (В течение 1909-1910 учебного года занятия в гимназии вели пять учителей). В дополнение к посещению занятий студенткам рассказывают о методиках, темах уроков, дидактических материалах и т.д. Основная практическая подготовка приходится на девятый семестр. В начале учебного года руководитель практики собирает весь педагогический состав гимназии и всех студенток, проходящих практическую подготовку, на совместное совещание по поводу распределения студенток по классам в целях прохождения обязательной практики. Также на совещании составляется план сдачи отчетов и проведения зачетных уроков.

Такое распределение в начале года дает студенткам возможность тщательно подготовиться и изучить литературу по соответствующей теме. Узнав свой предмет, студентки должны без пропусков посетить определенное количество уроков по этому предмету, вести максимально подробный конспект этих уроков, а по результатам составить отчет. В этом отчете, помимо описания общего хода уроков, студентки должны дать характеристику класса в целом и нескольких учениц в частности; кроме того, им рекомендуется представлять не только отчет сам по себе, но и предлагать критику посещенных уроков, в частности с точки зрения методики и дидактики.

Прежде всего отчеты изучает учитель класса, который затем

передает их для ознакомления руководителю практики. Затем отчеты обсуждаются с самими студентками. Если отчет сочтен недостаточно подробным, студентке предлагают выбрать другой предмет. Если отчет принят, студентка допускается к проведению зачетных уроков. Перед проведением таких уроков она представляет классному учителю и руководителю практики их подробный план с указанием формы изложения соответствующей темы в классе.

Затем эти учебные планы выносятся на обсуждение между классным учителем, руководителем практики и самими студентками.

После обсуждения студентка проводит урок, полностью замещая учителя. Она не ограничивается освещением нового материала, но также возвращается к пройденному на прошлых уроках и решает с классом задачи. В младших классах студентка дает ученицам письменные задания и т.д.

На практических занятиях всегда присутствуют классный учитель и однокурсницы студентки; из их числа две официально назначаются ассистентками (их присутствие на уроках обязательно), а остальные могут присутствовать по желанию. Руководитель практики старается присутствовать на как можно большем количестве уроков.

В период проведения зачетных уроков преподаватели и студентки постоянно обмениваются мнениями о форме проведения уроков.

После проведения ряда уроков устраиваются специальные семинары, на которых студенткам предлагается общий анализ результатов практики.

Эти семинары ведет руководитель практики, а присутствуют на них учителя гимназии и все студентки курса.

Обсуждение в целом строится следующим образом: сначала студентка вкратце описывает содержание проведенных ею уроков и трудности, с которыми она столкнулась в работе, как с методологической, так и с дидактической точки зрения. Затем ассистентки представляют положительные и отрицательные стороны проведенных уроков, после чего возможность высказаться предоставляется остальным ученицам, и наконец слово передается классному учителю. В конце семинара итог сказанному подводит руководитель практики, сопровождая выступление собственными наблюдениями. Высказанная критика позволяет поднять вопросы о различных методах преподавания и составить характеристику как уроков, так и студенток; кроме того, затрагиваются и педагогические вопросы, дающие почву для дальнейшего обсуждения.

По результатам таких обсуждений студентки тоже составляют отчеты.

В зависимости от общего результата пройденной практики студентка получает право преподавать либо во всех классах гимназий, либо только в начальных классах.

Каждая из студенток проводит три серии уроков: несколько

уроков арифметики в младших классах, несколько уроков алгебры и несколько уроков геометрии в старших.

За основу берутся несколько тем полностью, например по арифметике в подготовительном классе преподается сложение или вычитание чисел первой сотни; в первом - одно из действий с несколькими целыми числами; во втором и третьем - одно из действий с обыкновенными или десятичными дробями; по алгебре преподается алгебраическое умножение, уравнения первой степени с одним неизвестным, уравнения второй степени, извлечение точного и приближенного квадратного корня и т.п.; по геометрии преподаются параллельные прямые, свойства четырехугольников и многоугольников, подобие фигур, нахождение площади поверхности, некоторые вопросы пространственной геометрии и т.п.

Каждая студентка в среднем проводит от пятнадцати до двадцати уроков.

Н. Михельсон.

Доклад о преподавании математики, физики и математической географии в женских гимназиях Варшавского учебного округа

Все семиклассные женские гимназии и четырехклассные прогимназии Варшавского учебного округа, открытые в соответствии с указами 1866-1869 г.1, ведут деятельность в соответствии с Положением, утвержденным правительством 5 января 1866 г., и указами, утвержденными Министерством народного просвещения распоряжением правительства от 25 октября 1883 г.

В соответствии со статьей 1 Положения, «женские гимназии и прогимназии имеют целью дать ученицам общее образование, необходимое каждой женщине и основанное на христианских принципах веры и морали».

Программа прогимназий «полностью согласуется с программой соответствующих классов гимназий»2, поэтому успешное окончание прогимназии «дает право на зачисление в следующий по порядку класс гимназии»3.

К учебе в гимназиях и прогимназиях допускаются дети не моложе девяти лет4, а их возраст по окончании обучения составляет от 17 лет (таких большинство - 35%) до 21 года и старше (таких меньшинство -1,8%)5.

В гимназиях на математику отводится 23 часа в неделю: по 3 часа в пяти младших классах и по 4 часа в двух старших.

Преподаются следующие математические дисциплины: арифметика, алгебра и геометрия.

Курс арифметики в первых четырех классах преподается по три часа в неделю; в седьмом классе дается повторение и необходимое дополнение этого курса, на что отводится два часа в неделю в первом полугодии и один час в неделю во втором.

В рамках курса арифметики предусмотрено решение задач по пройденному материалу; кроме того, особое внимание уделяется устному счету, и при любой возможности действия с не очень большими числами выполняются в устной форме.

Программа курса арифметики содержит следующие темы:

I класс. Десятичная система счисления. Четыре основных действия с целыми отвлеченными и именованными числами; проверка этих действий и зависимость результатов от изменения заданных условий. Простые операции с числами. Умножение и деление на

1 См. Доклад об учебных заведениях Варшавского округа за 1909 год, с. 25.

2 См. статью 17 Положения.

3 См. статью 29 Положения.

4 См. статью 28 Положения.

5 См. упомянутый выше Доклад, с. 37.

счётах.

II. Основные сведения об именованных числах, величинах, их значениях и способах вычисления. Таблица русских мер. Разложение и преобразование составных целых чисел. Четыре действия с составными целыми числами. Решение задач на измерение времени, длины и площади. Признаки делимости чисел на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 и 25. Разложение чисел на простые множители.

III. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух и более чисел. Действия с обыкновенными и десятичными дробями, отвлеченными и именованными.

Метрическая система и периодические десятичные дроби.

IV. Отношения и пропорции. Тройное правило, простое и сложное; правило процентов, правило мены (в торговле), правило сложных пропорций, правило товарищества и правило смешения. Основные сведения о денежных знаках.

Учебники и задачники: Учебник Бугаева и задачник Евтушевского (части I и II).

Курс алгебры рассчитан на три года: в пятом классе - один час в неделю в первом полугодии и два часа во втором, в шестом классе -два часа, в седьмом - один час.

Программа курса алгебры содержит следующие темы:

V. Примеры и задачи для перехода от арифметики к алгебре. Алгебраические знаки. Числовые значения алгебраических выражений. Сокращение подобных слагаемых. Сложение и вычитание одночленов и многочленов. Умножение и деление одночленов.

VI. Умножение и деление многочленов. Основные сведения об алгебраических дробях, содержащих одночлены и многочлены. Уравнения первой степени с одним неизвестным; решение таких уравнений. Возведение в степень и извлечение корня из многочленов. Возведение многочленов в квадрат. Извлечение квадратного корня из числа. Решение уравнений второй степени.

VII. Решение определенных уравнений первой степени с несколькими неизвестными. Решение задач путем составления уравнений первой степени. Повторение курса.

Учебники: «Начальная алгебра» Давидова и «Краткая алгебра» Киселева.

Курс геометрии рассчитан на три года: в пятом классе-два часа в неделю в первом полугодии и один час во втором, в шестом классе -два часа, в седьмом - один час в первом полугодии и два часа во втором.

Программа курса геометрии содержит следующие темы:

V. Основные понятия. Прямая и окружность. Углы. Нахождение величины центральных углов. Параллельные прямые. Треугольники; признаки равенства. Свойства перпендикуляра и наклонных.

Четырехугольники и многоугольники. Числовые примеры по этой

части курса.

VI. Первые задачи на построение. Окружность и круг; свойства хорд и касательных окружности. Нахождение величины вписанных углов, углов с вершиной внутри и снаружи круга. Треугольники; вписанные и описанные многоугольники. Длина окружности. Измерение площади. Пропорциональные отрезки и подобие фигур.

VII. Взаимное расположение плоскостей и прямых в пространстве. Двугранные и многогранные углы. Основные сведения о правильных многогранниках. Нахождение площади поверхности и объема прямого цилиндра и конуса, сферы. Решение задач на нахождение площади поверхности и объема тел.

Учебники: «Краткий курс геометрии и собрание геометрических задач» Вулиха и «Элементарная геометрия» Давидова.

Средние результаты учениц по математическим дисциплинам следующие: арифметика — 87,3% выдержавших испытания; алгебра — 90,1%; геометрия — 99,7%6.

В соответствии с приказом Министерства народного просвещения от 12 февраля 1910 года по математике, за исключением итогового испытания в седьмом классе, проводятся следующие экзамены:

по арифметике: в III классе - письменный (задача), в IV классе -письменный (задача) и устный;

по алгебре: в VI классе - письменный (задача); по геометрии: в VI классе - устный.

На изучение физики и математической географии в гимназиях отводится девять часов в неделю; курс физики преподается в VI и VII классах по три часа в неделю по учебнику Малинина «Курс физики для женских учебных заведений» или учебнику Краевича с тем же названием; курс математической географии преподается по три часа в неделю в VII классе по учебнику Малинина «Курс математической и физической географии для женских учебных заведений».

Факты и законы, изучаемые в рамках этих курсов, объясняются без помощи математического доказательства.

Средние результаты учениц следующие: по физике — 96,7% выдержавших испытания; по математической географии — 97,9%.

Д. Горячев, профессор Варшавского университета.

6 См. упомянутый выше Доклад, с. 36.

Об организации преподавания математики в промышленных училищах Министерства народного просвещения

Министерство народного просвещения начало особенно активно заниматься вопросами промышленного образования в конце 80-х годов прошлого века, когда вступило в силу Положение о средних и начальных промышленных училищах, предусматривавшее создание целой образовательной системы для удовлетворения нужд российской промышленности. Данное Положение 1888 года, составленное главным образом под руководством выдающегося ученого и государственного деятеля И. А. Вышнеградского, предусматривает создание трех типов промышленных училищ:

1) средние технические училища, направленные на подготовку ближайших помощников инженеров; 2) низшие технические училища, предполагающие специальное образование, а также сообщение знаний, необходимых для непосредственного руководства трудом рабочих на промышленных предприятиях. Таким образом, данные училища готовят будущих мастеров чертежников-конструкторов для заводов и фабрик; и 3) ремесленные училища, целью которых является «практическое обучение приемам какого-либо производства и сообщение знаний и умений, необходимых для осмысленной в сем производстве работы», и которые готовят прежде всего рабочих для той или иной отрасли промышленности.

Было постановлено, что для зачисления в средние технические училища учащиеся должны продемонстрировать знания по программе пяти начальных классов реального училища; для зачисления в низшие технические училища - освоить полную программу четырех классов городского училища, а для зачисления в ремесленные училища мальчики должны предъявить аттестат об окончании начального училища. Согласно Положению, продолжительность обучения в средних технических училищах не должен превышать четырех лет, а продолжительность обучения в остальных училищах - трех лет.

Как видно из учебного плана, в средних технических училищах основное внимание в преподавании должно уделяться теоретическому изучению отраслей промышленности, с одной стороны, и работам по черчению, с другой стороны; при этом овладение приемами какого-либо производства, согласно плану, имеет лишь второстепенное значение. Соотношение между классными занятиями и практикой в мастерских может меняться в зависимости от типа училища, при этом в ремесленных училищах приоритет отдается работе в мастерских.

В настоящее время подобные училища в своей первоначальной, чистой форме встречаются редко. Во-первых, на практике, ввиду местных особенностей, не всегда получается набрать достаточное

число учащихся в строгом соответствии с Положением; в таком случае руководство нередко испрашивает разрешения открыть при таких училищах подготовительные классы или другие учебные заведения. Кроме того, хотя основное внимание в подобных училищах должно уделяться дисциплинам, непосредственно связанным со специализацией училища, руководство нередко ставит задачу дать ученикам общее образование, соответствующее уровню общеобразовательной школы; так, существуют промышленные училища, в которых учащимся преподается общеобразовательная программа, соответствующая программе двухклассных сельских училищ. Кроме того, со временем появилось немало средних технических семиклассных и восьмиклассных училищ, учебная программа которых соответствует программе реальных училищ, а воспитанники по окончании учебы получают те же права, что и выпускники вышеназванных реальных училищ. Кроме того, случается, что, сообразно нуждам местной промышленности, часы, отведенные на преподавание той или иной дисциплины, увеличивают или сокращают. Таким образом сформировался целый ряд училищ смешанного типа, в которых от первоначального разделения не осталось ничего, кроме названий. Как показывает статистика, учебными заведениями, наиболее полно отвечающими нуждам промышленности, оказались низшие технические училища и ремесленные училища, тогда как среди выпускников средних технических училищ слишком многие стремятся получить высшее инженерное образование или работают не по полученной специальности.

Хотя в Положении 1888 года приведен подробный общий план развития технического образования в России, предусматривающий достаточную свободу в разработке конкретных положений на основании местных нужд, нельзя не отметить, что в этом Положении учитывались, прежде всего, интересы крупной промышленности, то есть фабрик и заводов. При этом, когда было изучено реальное положение дел, появилась необходимость незамедлительного учреждения профессиональных училищ еще более низкого уровня, которые готовили бы работников для частных и менее затратных производств. Именно поэтому в 1893 году был дополнительно принят закон о школах ремесленных учеников, а в 1895 году - закон о низших ремесленных школах. В соответствии с законом, школы ремесленных учеников, учреждаемые в первую очередь в районах с высокоразвитой промышленностью, должны были служить первой ступенью приготовления ремесленников и рабочих, которые затем доучивались бы на практике на различных промышленных предприятиях; таким образом, обучение в мастерской или на заводе предполагалось частично заменить обучением в школе.

В низших ремесленных школах была поставлена задача обучать

воспитанников приемам ремесла (преимущественно на практике), а также началам технологии и конструирования в соответствии с самыми насущными нуждами села. Для поступления в эти два типа школ достаточной считалась подготовка, полученная в начальной школе.

Обычный курс обучения в школах ремесленных учеников рассчитан на три года, а в низших ремесленных школах - на четыре года, последний из которых целиком и полностью посвящен совершенствованию профессиональных практических навыков в мастерских школы. В действительности же школы ремесленных учеников в настоящее время представляют собой лишь упрощенную версию ремесленных училищ, учрежденных Положением 1888 года, а связь низших ремесленных школ с аграрной промышленностью едва ли строго выдерживается.

Так в общих чертах выглядит довольно сложная система начальных и средних мужских профессиональных училищ Министерства народного просвещения. К 1909 году насчитывалось 32 средних технических училища (семь семиклассных, четыре восьмиклассных, остальные четырехклассные), 19 низших технических училищ, 30 ремесленных училищ, 28 школ ремесленных учеников и 131 низшая ремесленная школа.

Многие из этих учебных заведений, как отмечалось выше, принадлежат к типам, которые можно назвать смешанными.

Что касается преподавания математики в этих различных учебных заведениях, в нем можно выделить две цели: оно может рассматриваться как средство расширения общего кругозора и как подготовка к технической профессии. В целом преподавание математики проходит при весьма неблагоприятных обстоятельствах. Прежде всего заметим, что учителя часто жалуются на плохую подготовку учащихся, поскольку в низших и средних технических училищах не всегда получается провести отбор поступающих, и нередко учителю (особенно в низших технических училищах) приходится иметь дело с очень неоднородными по знаниям классами. Кроме того, учитывая необходимость как можно раньше начать изучение технических предметов, весь курс математики приходится излагать в начальных классах, что неминуемо нарушает обычный порядок преподавания различных математических дисциплин. Помимо этого, не всегда имеется удовлетворительное и соответствующее программе учебное пособие, причем сильнее всего его нехватка ощущается в курсе механики.

В учебных заведениях, стремящихся дать учащимся и некое общее образование, единственный возможный выход - немного ускорить освоение математики, ибо в противном случае пришлось бы значительно сократить время, отведенное на изучение технических предметов.

Самый простой способ составить представление об организации преподавания математики - проанализировать учебные программы и планы в основных типах вышеуказанных училищ.

Низшие ремесленные школы, куда принимают мальчиков от 12 до 15 лет, помимо исключительно профессионального образования, дают знания (хотя и очень ограниченные), по Закону Божьему, русскому языку, арифметике, бухгалтерскому делу, технологии и черчению.

На арифметику отводится два часа в неделю в первом классе, один час в неделю во втором, и к ним иногда добавляется один час в неделю в третьем. Зачисленные в школу учащиеся уже знают четыре действия с целыми числами; задания в школе в основном подразумевают решение задач на целые именованные числа, а также на обыкновенные и десятичные дроби; кроме того, рекомендуется познакомить учащихся с метрической системой7.

В школах ремесленных учеников, где зачисление осуществляется на тех же условиях, помимо профессиональных дисциплин преподают Закон Божий, русский язык, краткий курс истории России, географии, арифметики, дают практические знания по геометрии и бухгалтерскому делу (один час в третьем классе), преподают начала физики (два часа во втором и третьем классах), начала технологии обработки металлов и дерева, а также курс черчения (четыре часа в первом классе, два часа во втором и два часа в третьем); на чертежное дело выделяется два часа в первом классе, четыре часа во втором и четыре часа в третьем. На арифметику отводится четыре часа в первом классе, три часа во втором и один час в третьем; на геометрию - два часа в каждом классе. В программе по арифметике особый упор делается на дроби; кроме того, учащиеся изучают отношения и пропорции, тройное правило, проценты. Программа по геометрии предусматривает изучение основных понятий планиметрии и стереометрии, в особенности тех из них, которые могут найти практическое применение; разумеется, в подобном курсе вряд ли возможен строгий систематический подход. Поскольку курс технического черчения начинается в первом классе, и на уроках по этому предмету также закрепляется знание геометрических истин.

В ремесленных училищах, где зачисление осуществляется на тех же условиях, в число изучаемых по программе дисциплин входят следующие: закон Божий, русский язык, арифметика и бухгалтерское дело, геометрия, начала физики, технология обработки металлов и дерева, чистописание, геометрическое и машиностроительное черчение.

На математические дисциплины отводится четыре часа в первом классе и два часа во втором; программа курса чуть шире, чем в двухклассных сельских училищах. В первом классе изучаются

7 Данная программа применяется и в других профессиональных училищах.

признаки делимости, обыкновенные и десятичные дроби; во втором классе изучаются отношения и пропорции, тройное правило, проценты и извлечение квадратного корня из целых чисел. Особое внимание уделяется действиям с дробями и применению пройденного материала для решения задач, встречающихся в геометрии, физике и бухгалтерском деле.

Курс второго класса предусматривает углубленное изучение дробей. Поскольку у учащихся ремесленных училищ слишком мало времени на выполнение домашней работы, практические задания рекомендуется как можно чаще делать в классе; при выборе задач необходимо останавливаться на заданиях без сложных условий и расчетов.

Программа курса геометрии предусматривает три часа в первом классе, два часа во втором и один час в третьем. В первом классе учащиеся знакомятся с важнейшими теоремами планиметрии; при этом изучение других сведений, которые могут быть непонятны учащимся на этом этапе (понятие пропорциональности и т.п.), переносится на второй год обучения, когда начинается преподавание стереометрии. Курс завершается в третьем классе.

Поскольку количества уроков, предусмотренного в первом классе, недостаточно для изучения всего курса геометрии, преподавание геометрии и геометрического черчения рекомендуется поручить одному педагогу, который за два часа, выделенных на изучение последнего, сможет также закреплять с учащимися пройденный по геометрии материал. Преподавание стереометрии ведется по несколько упрощенной схеме; так, вычисление площади поверхности и объема сферы не сопровождается доказательством соответствующих теорем. Что касается предметов, в которых находят непосредственное применение математические дисциплины: физика преподается во втором (два часа) и третьем классе (четыре часа). Во втором классе также предусмотрено знакомство с основами механики, изучается закон всемирного тяготения, гидравлика; начала химии; в третьем классе начинается преподавание фундаментальных законов общей и прикладной механики, теории теплоты и ее применений, понятий электричества и магнетизма и, наконец, оптики и акустики. Поскольку в таких училищах не предусмотрено отдельных курсов по механике и машиностроению, многие из понятий, относящиеся к вышеупомянутым дисциплинам, рассматриваются на уроках физики. Учитывая низкий уровень подготовки учащихся, во втором классе более приемлема упрощенная схема обучения. Теоретические аспекты следует дополнять решением задач, особенно тех, которые имеют какое-либо техническое значение. В рамках курсов по акустике и оптике изучаются лишь самые элементарные понятия. В третьем классе добавляется один час бухгалтерского дела. На геометрическое черчение отводится два часа в первом классе и три часа во втором, при

этом в программе курса предусмотрено изучение основ проекционного черчения и построение самых распространенных в машиностроении кривых. Курс машиностроительного черчения начинается во втором классе (два часа) и продолжается в третьем (пять часов); программа курса машиностроительного черчения может меняться в зависимости от выбранной учащимся специальности.

Хотя по закону в три вышеперечисленных типа образовательных учреждений зачисляются учащиеся, окончившие лишь начальную школу, на деле данные образовательные учреждения довольно часто принимают и тех, кто получил более основательное образование. Так, школы ремесленных учеников и в особенности ремесленные училища, находящиеся в более густонаселенных районах с множеством различных общеобразовательных школ, могут вести конкурсный набор среди претендентов, обнаруживающих наибольшие знания, и, соответственно, беспрепятственно расширять и дополнять свою трехлетнюю программу обучения.

В низших технических училищах, куда принимаются выпускники четырехклассных городских училищ, учебные планы ощутимо различаются в зависимости от типа училища. Во всех подобных учебных заведениях преподают закон Божий, арифметику, геометрию, физику, химию и бухгалтерское дело. Помимо этого, в механических училищах преподают алгебру, механику, машиностроение и механическую технологию; в училищах химической промышленности - алгебру, естественную историю, машиностроение, механическую и химическую технологию; в училищах механиков-конструкторов -строительные работы и технологическую оснастку, межевое дело и черчение сооружений. Если взять в качестве примера механические училища (дающие наиболее полные математические знания и распространенные больше других), можно отметить, что в сумме на арифметику и алгебру в них выделяется восемь часов (пять часов в первом классе и три часа во втором), а на геометрию отводится шесть часов (четыре часа в первом классе и два часа во втором).

В первом классе курс арифметики начинается с повторения дробей и продолжается изучением отношений и пропорций с упором на их практическое применение; во втором классе особый акцент делается на решение задач, подчиняющихся тройному правилу, правилу процентов, правилу мены, правилу товарищества и правилу смешения. В рамках программы по алгебре за первый класс (два часа) учащиеся изучают четыре действия с алгебраическими величинами; за второй класс - решение определенных уравнений первой степени, возведение одночленов и простых многочленов в квадрат и в куб, извлечение квадратного и кубического корня, решение уравнений второй степени и простейшие действия с радикалами. В рамках программы по геометрии в первом классе последовательно изучаются все теоремы планиметрии с доказательствами, за исключением теорем

о пропорциональных отрезках, на изучение которых отводятся часы на втором классе. Помимо этого, во втором классе преподается курс стереометрии и основные тригонометрические функции и их отношения. Во всех случаях, когда научное объяснение может оказаться для учащихся слишком сложным (например, в случаях, когда для развернутого объяснения пришлось бы прибегнуть к теории пределов), разрешается преподавать математические понятия в упрощенной форме. Среди дисциплин, наиболее тесно связанных с математикой, следует прежде всего выделить физику и механику. В рамках курса физики в первом классе преподаются основы механики, во втором - теория теплоты и способы ее технического применения, в третьем - электричество и основы электротехники. В рамках курса механики за второй класс (четыре часа) разъясняют общую механику материальной точки (при этом изложение материала осуществляется при помощи демонстрируемых в классе опытов и приведения теоретических фактов, подкрепленных практическими примерами из промышленности).

Во втором классе (три часа) изучаются силы сопротивления движению, механика твердых тел, применение понятий механики к простым машинам и сопротивление материалов. Последний предмет преподается в наиболее простой форме: часть формул приводится без доказательств, но сопровождается объяснением их сути и возможных применений. В частности, вниманию учащихся следует предлагать задачи на подъемные краны и подъемные механизмы. Кроме того, во втором классе в рамках курса машиностроения учащиеся получают общие сведения о станках, подъемных механизмах, приводимых в действие двигателях, гидравлических машинах и паровых котлах; в третьем классе - о паровых машинах, газовых двигателях, гидравлических двигателях и гидравлических подъемных механизмах. В третьем классе добавляется два часа бухгалтерского дела. В первом классе два часа отводится на проекционное черчение; во втором классе - два часа на продолжение этого курса и два часа на машиностроительное черчение. В третьем классе на машиностроительное черчение выделяется уже шесть часов.

В средних технических училищах учебный план также меняется в зависимости от специальности. Во всех подобных учебных заведениях преподают Закон Божий, математику, физику, химию, бухгалтерское дело и специальное право. Помимо этого, в механических училищах преподают: механику, машиностроение, механическую и химическую технологию, гражданское строительство, геодезическую съемку и нивелирование и экономическую географию с элементами политической экономии. В училищах химической промышленности преподают естественную историю, механику, машиностроение, технологию, инженерное дело, экономическую географию с элементами политической экономии; в архитектурных училищах -

механику, технологию, инженерное дело, геодезическую съемку и нивелирование; в горных училищах - естественную историю, механику, машиностроение, разработку месторождений, металлургию, металлургическую технологию, химические вещества, геометрию недр; в технических училищах агропромышленной отрасли -естественную историю и энтомологию, агрономию, инженерное дело, общее и специальное земледелие, животноводство, сельскохозяйственные комбайны и машины, геодезическую съемку и нивелирование.

Если примера ради рассмотреть преподавание математики в механических училищах, куда принимают выпускников пяти классов реальных училищ и где, соответственно, предусмотрено лишь четыре специализированных класса, стоит отметить, что их учебные программы по математике дважды претерпевали изменения одновременно с программами реальных училищ. Так, за последнее время из учебной программы первых пяти классов реальных училищ были исключены логарифмы, что привело к включению логарифмов в программу математики в средних технических училищах. Первоначально в программе 1896 года на математику выделялось шесть часов в неделю, два из которых отводились на завершение курса геометрии (в частности, на изучение многогранников и круглых тел, нахождение площади их поверхности и объема, условий их подобия и т.д.); еще два часа в первом классе были посвящены прямолинейной тригонометрии и два во втором классе - аналитической геометрии. В последних программах, составленных в 1908 году, на математику отводится семь часов со следующим распределением: в первом классе четыре часа (один час алгебры, полтора часа тригонометрии, полтора часа геометрии); во втором классе три часа (один час геометрии и два часа аналитической геометрии). Поскольку уровень математических знаний учащихся должен соответствовать учебным планам реальных училищ (что дает учащимся право на зачисление в специализированные инженерные институты), расписание выглядит следующим образом: уроки алгебры в основном посвящены изучению логарифмов; тригонометрия в основном сводится к прямолинейной тригонометрии; на уроках геометрии завершается изучение стереометрии, а в рамках аналитической геометрии (в двух- и трехмерном пространстве) рассматриваются исключительно основные понятия. Общая рекомендация состоит в том, чтобы ни в коем случае не перегружать программу, а подготовить учащихся к полному усвоению перечисленных предметов.

Из дисциплин, требующих применения математических принципов, физика преподается в течение четырех лет (при том, что учащиеся, зачисляемые в средние технические училища, уже изучали физику до поступления): в первом классе проходят физические величины, оптику и акустику; во втором - теплоту и ее использование,

в третьем - электричество и магнетизм; в четвертом - электротехнику. Образовательный процесс рекомендуется организовывать с учетом способностей учащихся и уделять особое внимание промышленному применению получаемых знаний. Курс механики преподается в первом (пять часов) и втором (два часа) классах. В первом классе изучается общая механика и простые станки, во втором классе -принципы статики с соответствующими чертежами и сопротивление материалов в упрощенной форме. Во втором классе в рамках курса машиностроения изучается общая теория механизмов и машин, теория приводимых в движение двигателей и гидравлика; в третьем - детали машин, подъемные механизмы, тепловые двигатели; в четвертом -гидравлические и ветряные двигатели. На курс геодезической съемки и нивелирования отводится два часа в неделю в первом классе, на курс бухгалтерского дела - по два часа в третьем и четвертом классах. В первом классе шесть часов выделяется на геометрическое черчение, в рамках которого основной акцент делается на построение самых распространенных кривых и проекционное черчение; данный курс включает также введение в теорию теней, знакомство с понятием перспективы и аксонометрическими проекциями. Во втором классе начинается машиностроительное черчение, изучение которого продолжается до конца всего курса. В третьем классе три часа отводится на черчение в области гражданского строительства.

В целом практика обнаружила некоторую недостаточность курса математики; так, отсутствие у учащихся элементарных навыков исчисления бесконечно малых величин затрудняет понимание рациональной механики и курса сопротивления материалов.

В средних технических училищах с другой специализацией курс математики имеет некоторые особенности: в училищах химической промышленности он сокращен (пять часов в первом классе: один час алгебры, полтора часа тригонометрии и два с половиной часа геометрии); в архитектурных и горных училищах этот курс напоминает курс, принятый в механических училищах; в агропромышленных училищах математикой вообще пренебрегают.

Что касается подготовки преподавателей математики для профессиональных училищ, в их отношении Министерство до настоящего времени не издало никакого специального указа. В училищах такого типа преподавание математики находится в руках педагогов, которые получили либо общее, либо высшее техническое образование; во втором случае им может быть вверено преподавание специальных курсов.

П, Котурницкий и А. Гатцук

Международная комиссия по преподаванию математики

РОССИЙСКАЯ ПОДКОМИССИЯ

ДОКЛАД О ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ на Московских Высших женских курсах

Б. Млодзиевский, заслуженный профессор Московского университета

ПЕТРОГРАД,

Типография братьев Линник Невский пр., 126/2 1915

Преподавание математики и механики на Московских Высших женских курсах

Математика преподается единым курсом, который обычно длится восемь семестров. Курс общей математики является общим для всех слушательниц кафедры математики и естественных наук физико-математического факультета, а также для слушательниц медицинского факультета. Курс высшей математики преподается только курсисткам физико-математического факультета, которые в качестве специализации выбрали один из следующих предметов: математика, механика, астрономия или физика. Для слушательниц, выбравших химию, минералогию, геологию, физиологию растений или физиологию животных, преподается специальный энциклопедический курс математики. В нашем обзоре математического образования мы прежде всего подробно остановимся на организации преподавания по специализации «математика», а затем перечислим особенности остальных специализаций.

Поскольку по своему охвату и характеру программа математики в женских гимназиях может быть совершенно разной и зачастую весьма неполной, первый семестр на Высших курсах приходится посвящать повторению и дополнению школьного курса математики. Задача программы первого семестра - повысить уровень математических знаний слушательниц до уровня программы мужских гимназий. Опыт показывает, что знания курсисток по алгебре и геометрии настолько разнятся, что единую программу обучения для них составить невозможно. Программа, выстроенная по уровню самых слабых, не заинтересует тех, чьи знания по основам математики достаточно прочны; с другой стороны, программа, рассчитанная на сильных, не подойдет слабым. Поэтому в первом семестре на занятиях по алгебре и геометрии слушательницы делятся на две группы: первая занимается по основному курсу, вторая - по дополнительному. Курсистки вправе сами выбрать группу, руководствуясь глубиной своих знаний по этим предметам. На общий курс математики отводится четыре часа в неделю, на дополнительный курс алгебры, а также оба курса (общий и дополнительный) геометрии - три часа в неделю. Распределение этих часов по конкретным лекциям и практическим работам оставлено на усмотрение преподавателей. Курс прямолинейной тригонометрии - три лекции плюс один час практических работ - является общим для всех курсисток, поскольку тригонометрия преподается лишь в немногих женских гимназиях. Помимо основного курса математики, слушательницам кафедры математики (специализации «математика», «механика», «астрономия» и «физика») в первом семестре читают курс теории определителей.

Во втором семестре курсистки кафедры математики изучают следующие предметы:

1) Введение в математический анализ (3 ч. лекций, 2 ч. практических работ).

2) Дифференциальное исчисление (2 ч.)

3) Сферическая тригонометрия (1 ч.)

4) Аналитическая планиметрия (4 ч. лекций, 2 ч. практических работ)

Курс введения в математический анализ включает в себя теорию пределов, изучение сходимости рядов и бесконечных произведений. В курсе основ дифференциального исчисления вводится понятие функции и правила дифференцирования простейших функций. В курс аналитической планиметрии входит изложение метода координат в применении к прямым и кривым второго порядка, а также некоторые сведения о кривых высшего порядка.

Третий семестр включает следующие предметы:

1) Стереометрия (3 ч. лекций, 2 ч. практических работ).

2) Дифференциальное и интегральное исчисление (4 ч. лекций, 2 ч. практических работ - часть 1).

3) Высшая алгебра (3 ч.).

В курс аналитической геометрии входит теория плоскости, прямой и поверхностей второго порядка. В курс математического анализа входят основы исчисления бесконечно малых и методы его применения в математическом анализе (максимумы и минимумы, неопределенные выражения), а также основополагающие принципы применения математического анализа в геометрии.

В курс высшей алгебры входят основные свойства целых функций, симметричные функции, двучленные уравнения, алгебраическое решение уравнений 3-й и 4-й степени, численное решение уравнений.

В четвертом семестре преподаются следующие предметы:

1) Дифференциальное и интегральное исчисление, часть 2 (4 ч. лекций, 2 ч. практических работ).

2) Применение математического анализа в геометрии (2 ч. лекций, 2 ч. практических работ)

Курс математического анализа включает изучение неопределенных и определенных интегралов, а также их применение в геометрии. Этот курс продолжается и в пятом семестре. Вообще, предметы специально преподаются в таком порядке, чтобы в четвертом семестре можно было изложить основополагающие разделы математики, без которых немыслимо изучение других ее ответвлений, а именно механики, астрономии и физики. При этом наиболее сложные разделы вынесены в программу пятого семестра.

В курс геометрического применения математического анализа входит изложение обычных свойств линий и поверхностей.

В пятом семестре продолжается курс интегрального исчисления, излагается теория интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (4 ч. лекций, 1 ч. практических работ). Курсистки, выбравшие специализации «математика» и «механика», изучают теорию функций комплексного переменного (3 ч.), при этом для специализации «математика» курс ограничивается основными разделами, а для специализации «механика» добавляются специальные разделы.

Теория интегрирования дифференциальных уравнений с частными производными преподается слушательницам специализаций «математика» и «механика» в восьмом семестре (2 ч.) Помимо лекций по основным разделам, указанным выше, учебный план специализации «математика» включает ряд специальных курсов, темы которых меняются из года в год. Спецкурсы организованы таким образом, чтобы каждая студентка смогла изучить теорию чисел, проективную геометрию, теорию эллиптических функций, конечных разностей и вариационного исчисления. Помимо указанных предметов, спецкурсы могут относиться к иным разделам математического анализа и геометрии.

Каждый год в течение одного семестра под руководством преподавателей проводится математический семинарий, посвященный изучению того или иного вопроса из области математического анализа или геометрии. Участие в семинариях для курсисток не обязательно, к ним привлекаются только те из них, которые проявляют особый интерес к математике.

Семинарии проводятся для курсисток четырех последних семестров, однако фактически в них принимают участие все слушательницы математической специализации.

Количество занятий в седьмом и восьмом семестрах сведено к минимуму, чтобы курсистки успевали готовиться к семинариям, но при этом имели достаточно свободного времени для практических работ под руководством преподавателей.

Для слушательниц естественнонаучной специализации (химия, минералогия с курсом кристаллографии, геология, физиология растений или животных) проводится так называемый «энциклопедический» курс математики (4 ч. лекций и 2 ч. практических работ во втором семестре и 2 ч. лекций в третьем семестре).

В первой части курса излагаются основы аналитической планиметрии (прямая, кривые 2-го порядка), основы дифференциального исчисления и основных способов интегрирования функции. Во второй части изучаются основные понятия аналитической стереометрии, методы интегрирования простейших рациональных и иррациональных функций, а также элементарных трансцендентных функций, даются основы приближенного вычисления интегралов.

Лекции основного курса математики, а также большинство лекций по высшей математике сопровождаются практическими работами, в ходе которых курсистки решают примеры и задачи под руководством преподавателей, либо представляют доклады по предложенным преподавателями темам. Кроме того, они занимаются черчением и построением пространственных моделей.

Ведение практических занятияй по возможности поручается тому же преподавателю, который читает соответствующие лекции; за редкими исключениями это правило удается соблюдать.

Для семинариев преподаватель каждый семестр предлагает 6-8 тем, тесно связанных друг с другом. Курсистки делятся на группы, каждая из которых занимается разработкой одной темы. Подготовительная работа проводится всеми членами группы: они делают обзор литературы по данной теме, собирают материалы и составляют приблизительный план доклада. Сам доклад обычно составляется одной курсисткой из группы с помощью всех остальных, а затем зачитывается перед всей группой. После проверки преподавателем доклад зачитывается его составительницей в присутствии всех участников семинария. После представления доклад изучается всеми присутствующими курсистками и преподавателями, а затем руководитель семинария представляет свои замечания и дает общую характеристику как самому докладу, так и его обсуждению. Рукописи представленных докладов хранятся в библиотеке кафедры математики. Математический семинарий считается крайне полезным для слушательниц и пользуется среди них большим успехом. Хотя посещение его не обязательно, участвуют в нем очень многие; кроме того, немало курсисток участвуют параллельно в двух или даже трех семинариях.

Базовый курс механики преподается в третьем, четвертом, пятом и шестом семестрах. Первая часть курса читается в третьем семестре (2 ч.) и четвертом семестре (4 ч. лекций и 2 ч. практических работ) и включает в себя такие разделы, как основы статики, кинематики и динамики точки.

Вторая часть курса занимает пятый и шестой семестры (4 ч. лекций и 2 ч. практических работ) и включает в себя следующие темы: динамика систем, теория тяготения и основы гидромеханики. Этот курс является общим для всех слушательниц всех четырех специализаций кафедры математики. Для курсисток специализации «механика» также проводятся спецкурсы: гидродинамика, прикладная математика, интегрирование уравнений динамики, динамика твердого тела, теория упругости и т.д. Также слушательницы этой специализации должны участвовать в семинарии по механике на протяжении не менее, чем одного семестра.

Проверка приобретенных слушательницами знаний осуществляется посредством экзаменов, которые проводятся три раза

в год - в сентябре, январе и мае. Все курсистки обеих кафедр (математики и естественных наук) физико-математического факультета обязаны держать экзамены по основам алгебры, основам геометрии и тригонометрии, а также экзамены по выбору по алгебре и геометрии (общий курс или дополнительный курс). Курсистки специализации «математика», помимо этого, должны держать испытания по следующим дисциплинам:

Введение в математический анализ, аналитическая планиметрия и стереометрия, сферическая тригонометрия, теория определителей, высшая алгебра, дифференциальное и интегральное исчисление, применение математического анализа в геометрии, теория функций комплексного переменного, интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений с частными производными, общий курс механики, а также пять выбранных самими слушательницами спецкурсов, включенных в учебный план.

Для специализации «механика» экзамены по основным предметам те же, за исключением теории функций комплексного переменного, которая для данной специализации относится к спецкурсам. Кроме того, курсистки сдают экзамены по гидродинамике, прикладной механике, динамике твердого тела и интегрированию уравнений динамики либо теории упругости (на выбор).

Для специализаций «астрономия» и «физика» экзамены по основным предметам те же, за исключением теории функций комплексного переменного и интегрирования дифференциальных уравнений с частными производными.

Для естественнонаучных специализаций обязательный экзамен по математике включает две части энциклопедического курса математики. Курсистки могут сдавать экзамен только по тем предметам, на общие лекции по которым они записались в начале соответствующего семестра. Порядок сдачи экзаменов остается на усмотрение самих слушательниц, однако в учебных планах содержится рекомендация руководства факультета относительно порядка их следования. Единственное ограничение состоит в том, что для допуска к экзамену по высшей математике необходимо предварительно успешно выдержать экзамены по общему курсу алгебры и геометрии, а также по тригонометрии.

Слушательницы, успешно сдавшие все обязательные экзамены и отучившиеся на Высших курсах не менее восьми семестров, получают выпускной сертификат, который допускает их до экзаменов перед государственными комиссиями1.

Успешно закончившие Курсы могут продолжить обучение на

1 Закон от 19 декабря 1911 года (1 января 1912 года)

них для совершенствования научных знаний и подготовки к педагогической карьере в высшей школе.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Выдержка из Генерального регламента об обучении различным дисциплинам с таблицами специальных курсов2

1. Дисциплины, преподаваемые на физико-математическом факультете, делятся на двенадцать специализаций, а именно:

A. Кафедра математических наук:

I) Математика, 2) Механика, 3) Астрономия, 4) Физика

B. Кафедра естественных наук:

a) группа физико-химических наук:

5) Химия, 6) Кристаллография и минералогия, 7) Геология.

b) группа биологических наук:

8) Зоология, 9) Описательная ботаника, 10) Физиология растений,

II) Физиология животных.

c) общий цикл.

2. В рамках каждой специализации предметы делятся на обязательные и рекомендованные. Обязательные делятся на основные курсы и специальные курсы.

3. Выбор специализации оставлен на усмотрение студенток и ограничен лишь численностью преподавательского состава, а также оснащением вспомогательных учебных помещений (лабораторий, обсерватории и т.д.)

4. Запись на лекции делается в специальной книжке личного учебного плана, которая в определенные сроки заверяется деканом или секретарем факультета. Запись производится как на обязательные, так и на рекомендуемые предметы по той специализации, которую выбрала держательница книжки.

8. Полный курс обучения по каждой специализации обычно распределяется на восемь семестров, составляющих минимальную продолжительность обучения.

9 Распределение дисциплин по семестрам приводится в таблицах лекций и практических работ и представляется наиболее целесообразным с точки зрения успеваемости и выполнения работ.

11. Для получения диплома необходимо пройти минимальный срок обучения по одной из специализаций.

12. С согласия преподавателей слушательницы могут выходить за

2 Номера присваиваются в соответствии с номерами специализаций естественнонаучной кафедры

пределы педагогического минимума по каждой из специализаций.

13. Помимо предметов и практических работ, рекомендованных в нижеприведенных таблицах, преподаватели могут рекомендовать и другие, если сочтут это уместным исходя их характера преподаваемых ими предметов.

14. Знания слушательниц по обязательным предметам проверяются посредством экзаменов, письменных зачетов, лабораторных работ и других способов, утвержденных преподавательским составом в соответствии с методикой преподавания.

Примечания: 1. Рекомендуемая последовательность экзаменов по обязательным предметам приводится в последнем столбце таблиц.

2. Студентки допускаются к экзаменам по разделам высшей математики только после сдачи экзаменов по алгебре, геометрии и прямолинейной тригонометрии, которые являются обязательными для всех студенток всех специализаций обеих кафедр.

15. Экзамены проводятся три раза в год - в сентябре, январе и мае, за исключением нескольких предметов, по которым экзамены могут проводиться в любое время года в соответствии со специальным регламентом факультета. Длительность экзаменационной сессии определяется преподавательским составом факультета.

16. В случае неуспеха на экзамене слушательницы вправе пересдать его. Число пересдач не ограничено, при этом дважды пересдавать один и тот же экзамен в ходе одной сессии не разрешается.

17. Каждая слушательница не позже, чем в шестом семестре, должна сообщить декану факультета о выбранной ею специализации.

18. Курсистки могут запрашивать у преподавателей список тем и сдавать им на проверку письменные сочинения на эти темы.

I. Математика

№ №

Семестры

Предметы

1

2

3

4

5

6

7

8

Рекомендованная последовательность экзаменов

I. Основные курсы

1

Алгебра (общий курс)

4

2

Алгебра (доп. курс)

3

3

Геометрия (общий курс)

3

4

Геометрия (доп. курс)

3

5

Прямолин. тригонометрия

3,1

6

Сферическая тригонометрия

1

5

7

Определители

1

8

Введение в мат. анализ

3,2

7

9

Аналитическая планиметрия

4,2

7,8

10

Аналитическая стереометрия

3,2

9

11

Высшая алгебра

3

12

Исч. бесконечно малых, ч.1

2

4,2

8,9,10

13

Исч. бесконечно малых, ч.2

4,2

2

12

14

Прим. мат. анализа в геометрии

2,2

12

15

Теория функций

3

13

16

Обыкн. диффер. уравнения

4,1

1,1

13

17

Уравнения с частными произв.

16

18

Физика (общий курс), ч.1

4,1

4,1

1,3,5

19

Физика (общий курс), ч.2

4,4

4,4

18

20

Описат. и сферич. астрономия

4,1

4,1

13

21

Механика (общий курс), ч.1

2

4,2

9,10,12

22

Механика (общий курс), ч.2

4,2

4,2

13,21

23

Физ. география и метеорология

3

3

19

24

Неорганическая химия

3

3,2

II. Специальные курсы

25

Теория чисел

3

26

Проективная геометрия

3

27

Теория вероятности

2

28

Эллиптические функции

2

29

Конечные разности

2

30

Вариационное исчисление

2

31

Математический семинарий

2 или

2

32

Синтетическая теория конических сечений

2

Примечания. 1. Последовательность экзаменов по спецкурсам рекомендуется преподавателями.

2. Каждая слушательница специализации «математика» обязана сдать экзамены по пяти спецкурсам на выбор.

II. Механика

№ №

Семестры

Предметы

1

2

3

4

5

6

7

8

Рекомендованная последовательность экзаменов

I. Основные курсы

1

Алгебра (общий курс)

4

2

Алгебра (дополнительный курс)

3

3

Геометрия (общий курс)

3

4

Геометрия (дополн.курс)

3

5

Прямолинейная тригонометрия

з,

1

6

Сферическая тригонометрия

1

5

7 8

Определители Введение в матем.анализ

1

3,2

7

9

Аналитическая планиметрия

4,2

7,8

10

Аналитическая стереометрия

3,2

9

1 1

Высшая алгебра

3

12

Исчисл. бесконечно малых, ч.1

2

4,2

8,9,10

13

Исчисл.бесконечно малых, ч.2

4,2

2

12

14

Прим-е мат. анализа в геометрии

2,2

12

15

Обыкн. дифф. уравнения

4,1

1,1

12,13

16

Механика (общий курс), ч.1

2

4,2

9,10,12

17

Механика (общий курс), ч.2

4,2

4,2

13,16

18

Физика (общий курс), ч.1

4, 1

4,1

3,5

19

Физика (общий курс), ч.2

4,4

4,4

18

20

Описат. и сферич. астрономия

4,1

4,1

6,12,19

21

Неорганическая химия

3

3,2

22

Физ. география и метеорология

3

3

18,19

23

Уравн. с частн. производными

2

14

II. Специальные курсы

24

Гидродинамика

3

25

Прикладная механика

2

2

26

Интегр-е уравнений динамики

2

27

Динамика твердого тела

2

28

Теория упругости

2

29

Теория функций

3

30

Эллиптические функции

2

31

Вариационное исчисление

2

32

Семинарий по механике

2

2

Примечания. 1. В первую часть курса общей механики входят: статика, кинематика и динамика точки. Во вторую - динамика систем, теория тяготения и гидромеханика.

2. Последовательность экзаменов по спецкурсам рекомендуется преподавателями.

3. Каждая слушательница специальности «механика» обязана участвовать в семинарии на протяжении как минимум одного семестра, а также сдать экзамен по курсам 24, 25 и 27 и одному из курсов 26 или 28.

Разъяснение таблиц

Цифры в столбцах 1-8 обозначают число учебных часов в неделю по каждому предмету, при этом первая цифра относится к лекциям, вторая - к практическим работам. Жирные цифры обозначают обязательные предметы, остальные - рекомендованные предметы.

Числа в последнем столбце, напротив обозначения основных предметов, указывают на последовательность экзаменов. Например, цифры 7, 8 напротив курса аналитической планиметрии означают, что перед сдачей экзамена по аналитической планимаетрии рекомендуется предварительно сдать экзамены по определителям и введению в математический анализ (соответствующие номерам 7 и 8 в первом столбце).

Примечание редакции

На сегодняшний день Высшие женские курсы есть в каждом университетском городе России. Это частные учебные заведения, которые либо стремятся довести свой уровень образования до уровня университета, либо уже преуспели в этом. Закон от 19 декабря 1911 года наделил слушательниц Высших женских курсов теми же правами, что и студентов Университетов.

Старейшие курсы находятся в Петрограде, они были основаны в 1878 году. Также при них имеется больше всего вспомогательных учебных помещений: библиотека, лаборатории, астрономическая обсерватория и т.д. Помимо филологического и физико-математического факультета на курсах есть юридический факультет. Обучается на них до 5 тыс. слушательниц. Преподавательский состав - 140 преподавателей и около 40 ассистентов. Столь немалое число преподавателей объясняется тем, что каждый из них может уделить лишь очень ограниченное время преподаванию на Женских курсах в дополнение к основной нагрузке в Университете или иной высшей школе.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Российская национальная подкомиссия Международной комиссии по математическому образованию и ее отчеты ...................3

Доклад о преподавании математики в учебных заведениях Финляндии...............................................................................................13

Доклад о преподавании математики в университетах, высших технических учебных заведениях и некоторых военно-учебных заведениях России ..................................................................................55

Доклады гг. B.C. и В. Кондратьева ......................................................145

Преподавание математики в начальных школах и учительских институтах ...............................................................146

Преподавание математики в мужских гимназиях Министерства народного просвещения и в женских институтах Ведомства учреждений императрицы Марии ........156

Доклады гг. М.Попруженко и 3. Макшеева ........................................169

Преподавание математики в кадетских корпусах......................170

Пояснительная записка о курсах подготовки учителей для кадетских корпусов.......................................................................184

Отчет о преподавании математики в российских реальных училищах................................................................................................189

Доклады гг. Н. Михельсона, Д. Горячева, П. Котурницкого и А. Гатцука ..............................................................................................203

Об организации преподавания математики в женских гимназиях Министерства народного просвещения и в Санкт-Петербургском высшем женском педагогическом институте ....................................................................................... 204

Пояснительная записка о преподавании математики в женских гимназиях Варшавского учебного округа....................221

Об организации преподавания математики в промышленных училищах Министерства народного просвещения ..................................................................................224

Доклад о преподавании математики на Московских Высших женских курсах ......................................................................................233

ОТЧЕТЫ РОССИЙСКОЙ НАЦИОНАЛЬНОЙ ПОДКОМИССИИ МЕЖДУНАРОДНОЙ КОМИССИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ ОБРАЗОВАНИЮ

Под ред. А. П. Карпа

Подписано в печать 02.08.2018 г. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать цифровая. Усл. печ. л. 14,2. Тираж 50 экз. Заказ № 4944. Отпечатано с готового оригинал-макета заказчика в ООО «Издательство ^ЛЕМА^» 199004, Россия, Санкт-Петербург, 1-я линия В.О., д.28 тел.: 323-30-50, тел./факс: 323-67-74 e-mail: izd_lema@mail.ru http://www.lemaprint.ru