Н. Н. ЛУЗИН

ИНТЕГРАЛ и ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД

БИБЛИОТЕКА РУССКОЙ НАУКИ

БИБЛИОТЕКА РУССКОЙ НАУКИ

математика

механика

физика

астрономия

Государственное издательство

ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ .ЛИТЕРАТУРЫ

Москва-Ленинград

1951

Н. Н. ЛУЗИН

ИНТЕГРАЛ и ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД

Редакция и комментарии Н.К.БАРИ и Д.Е.МЕНЬШОВА

Вступительные статьи Н.К.БАРИ, В. В. ГОЛУБЕВА и Л.А.ЛЮСТЕРНИКА

Государственное издательство ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Москва-Ленинград

1951

ПРЕДИСЛОВИЕ

Диссертация Н. Н. Лузина «Интеграл и тригонометрический ряд», впервые опубликованная в 1915 г., замечательна не только богатством содержания и общностью идей, но и тем, что в ней указаны были пути, по которым должны итти исследования по метрической теории функций. Она послужила на многие годы основным источником идей для всех работавших в этой области. Поэтому переиздание этой книги в серии «Библиотека русской науки» является весьма полезным.

Но ввиду того что с момента первого издания диссертации Н. Н. Лузина прошло много лет и теория функций значительно продвинулась вперед, в частности, ряд проблем, поставленных Н. Н. Лузиным, теперь разрешен, представилось необходимым снабдить ее комментариями. Преждевременная смерть Н. Н. Лузина не позволила ему подготовить издание этой книги; таким образом, составление комментариев мы, его ученики, взяли на себя. Желая сделать материал доступным для возможно более широкого круга читателей, мы сочли полезным дать доказательства тех теорем, которые Н. Н. Лузиным были пропущены за недостатком места, а также построить указанные им примеры1).

1) В примечании 3 к стр. 31 своей диссертации Н. Н. Лузин пишет: «Все, кто писали по теории функций действительного переменного, все те хорошо знают, как трудно в такого рода вещах быть одновременно и строгим и кратким. Поэтому здесь и в дальнейшем мы часто ограничиваемся простым утверждением существования примера такой-то и такой-то функции или ограничиваемся указанием на справедливость такой-то теоремы (второстепенного значения), желая возможно сократить размер нашей работы. Построение примеров функций, о которых идет речь, не требует осо-

В построении этих доказательств и примеров нам оказали существенную помощь Г. П. Толстов, Е. М. Ландис и В. А. Ходаков; мы пользуемся случаем выразить им свою благодарность.

Для удобства читателя в настоящем издании публикуется еще ряд статей Н. Н. Лузина по метрической теории функции действительного переменного. Статьи «Об одном случае ряда Тейлора» и «К основной теореме интегрального исчисления» помещены здесь потому, что автор отсылает к ним читателя своей диссертации. Статья «Об особом интеграле» никогда не была опубликована Н. Н. Лузиным и найдена в его бумагах после его смерти (см. об этом подробнее в комментариях к этой статье). Статья «Об одном виде сходимости интеграла Дирихле», написанная автором еще в 1926 г. и лишь случайно попавшая в печать только в 1934 г., тесно связана с его идеями о причине сходимости тригонометрических рядов. Наконец, статьи «О последовательностях измеримых функций» и «О строении измеримых функций» были им помещены в качестве прибавлений к русскому изданию книги Лебега «Интегрирование и отыскание примитивных функций». Мы их помещаем также для удобства чтения, так как в них даны подробные доказательства ряда теорем, на которые Н. Н. Лузин лишь указал в своей диссертации; кроме того, там высказаны и некоторые более поздние его размышления.

Кроме указанных статей мы публикуем здесь список проблем, которые Н. Н. Лузин поставил перед собой в период, когда он подготовлял свою диссертацию. Подробнее об этом см. на стр. 365 настоящего издания.

В двух публикуемых ниже статьях содержатся биография Н. Н. Лузина и обзор его работ по метрической теории функций действительного переменного. Мы не говорим здесь совсем о работах Н. Н. Лузина по дескриптивной теории функций,

бого искусства, а лишь технического умения пользоваться методами теории функций действительного переменного. Опускание фактического построения примеров различных функций совершенно аналогично тем пропускам аналитических преобразований, которые часто делаются в работах в области классического анализа, когда эти преобразования слишком длинны и требуют только технического умения».

так как в скором времени будет издана книга Н. Н. Лузина «Теория аналитических множеств» с комментариями Л. В. Келдыш и вводной статьей о работах Н. Н. Лузина но дескриптивной теории функций.

Наконец, Н. Н. Лузин имел также ряд работ по теории функций комплексного переменного, по дифференциальным уравнениям, по дифференциальной геометрии; всех этих работ мы также не касаемся в настоящем издании, ограничиваясь лишь опубликованием полного списка научных трудов Н. Н. Лузина и отсылая читателя к статьям на соответствующие темы, которые должны появиться в «Успехах математических наук».

Цифры с круглыми скобками в тексте диссертации или статей Н. Н. Лузина —это сноски, сделанные самим автором; эти сноски, как и у автора, помещены в конце каждой страницы. Н. Н. Лузин иногда отсылал читателя к доказательствам, опубликованным в некоторых курсах по теории функций. Так как в его время не было таких курсов на русском языке, он ссылался на «Cours d'Analyse» Валле-Пуссена или «Leçons sur l'intégration» Лебега. Для удобства читателя мы в этих случаях указывали также соответствующий русский перевод или другой учебник советского автора. Цифры в квадратных скобках в тексте Н. Н. Лузина указывают на примечания редакторов; их надо искать в комментариях к диссертации (или соответствующей статье) в конце книги. Наконец, цифры в круглых скобках, помещенные в комментариях, — это указания на список цитированной литературы, помещенной в конце книги.

Н. К. Бари, Д. Е. Меньшов.

Н. Н. ЛУЗИН (1883—1950)

ВСТУПИТЕЛЬНЫЕ СТАТЬИ

БИОГРАФИЯ Н. Н. ЛУЗИНА1)

В. В. ГОЛУБЕВ и Н. К. БАРИ

Николай Николаевич Лузин родился 9 декабря (27 ноября) 1883 года в Сибири в гор. Томске. Дед Николая Николаевича по отцу был крепостным крестьянином графа Строгонова, отец, Николай Митрофанович Лузин, родом из села Сепыч Томской губернии, был торговым служащим; мать, Ольга Николаевна Лузина, вела происхождение от забайкальских бурят. Ольга Николаевна была женщина болезненная, что отразилось и на здоровье сына.

«Начальное образование Н. Н. Лузин получил в частной школе гор. Томска, по окончании которой он был принят в Томскую губернскую гимназию еще до положенного возраста: ему едва минуло 8 лет. Среднее образование получил в гимназиях гор. Иркутска, куда отец Н. Н. Лузина уезжал на один год по делам службы, и затем снова в Томской гимназии». «Любимым чтением Н. Н. Лузина в эти годы были натуралисты и из романистов Жюль-Верн, влияние которого на интересы своего ума Н. Н. Лузин считал значительным. В старших классах гимназии Н. Н. Лузин читал очень много и в самых разнообразных направлениях; книги по чистой философии увлекали его, давая воображению обильную пищу. Но математики до самых последних лет гимназии Н. Н. Лузин недолюбливал и боялся, так как царившая тогда всюду

1) При составлении этой биографии была использована автобиография Н. Н. Лузина, охватывающая период его жизни до 1930 г. (В настоящее время эта автобиография находится в Математическом институте им. В. А. Стеклова АН СССР.) Взятые из нее отрывки мы в нижеследующем тексте приводим в кавычках.

система преподавания ее была построена более на механической памяти: нужно было безукоризненно заучивать наизусть формулировки теорем и в точности памятью воспроизводить доказательства, по возможности не отступая от текста книги («Геометрия» Давыдова, «Алгебра» Киселева). Для Н. Н. Лузина это было трудно переносимой мукой, так как механической памятью он совершенно не обладал; по этой же причине для него были закрыты история, география и языки, требовавшие запоминания времени, места и форм. Его занятия по математике шли в гимназии хуже и хуже, так что он утратил репутацию хорошего ученика, и отец вынужден был взять для него «репетитора». К счастью, это был весьма талантливый студент только что тогда открывшегося в г. Томске Политехнического института; он произвел на Н. Н. Лузина сильнейшее впечатление тем, что показал ему математику не как систему механического заучивания, а как систему рассуждений, направляемую живым воображением. С тех пор он до некоторой степени утратил неприязнь к математике, перерешал самостоятельно все имевшиеся тогда задачники по элементарной математике и, естественно, в этом отношении стал в гимназии на первое место.

Из учителей Томской гимназии Н. Н. Лузин с теплым чувством вспоминал многих, особенно словесника П. М. Вяткина, «грека» К. А. Лалетина и математика В. К. Бобова, которые сердечно относились к молодежи. Из товарищей по гимназии Николай Николаевич был дружен с С. А. Вознесенским и Г. А. Бухвостовым, которые также увлекались естествознанием, особенно химией, астрономией и физикой, бывшей любимой наукой Н. Н. Лузина.

Н. Н. Лузин обладал очень слабым здоровьем и поэтому его почти все время переводили из класса в класс по хорошим отметкам без экзамена. По личному признанию Николая Николаевича это для него имело в дальнейшем самые плохие последствия, так как только при подготовке к серьезному испытанию можно научиться как следует работать, развить полную работоспособность, каковую средняя школа не смогла ему дать, щадя его слабое здоровье. Гимназию Н. Н. Лузин окончил в 1901 году и в том же году поступил на математическое отделение физико-математического факультета Московского университета. Выбор этот был обусловлен жела-

нием Николая Николаевича со временем сделаться инженером, для чего он хотел сперва заложить солидный математический фундамент, так как побаивался математики».

Московский университет переживал в эти годы период перелома. Если в восьмидесятых и девяностых годах даже такие передовые профессора, как знаменитый русский физик А. Г. Столетов, считали, что идеалом университетского преподавания является прочное и основательное усвоение утвержденных программ, если молодой и талантливый С. А. Чаплыгин ушел в середине девяностых годов из университета потому, что там нечего было читать, так как все обязательные курсы разобраны, то как раз к началу девятисотых годов начала все более и более проявляться совершенно другая тенденция: идеалом университетского преподавания стало вовлечение студентов в исследовательскую, научную работу. Как раз к этим годам относится зарождение знаменитой лаборатории П. Н. Лебедева, которая через десять лет превратилась во всероссийский признанный центр физической науки, а школа Лебедева дала десятки первоклассных физиков.

Те же тенденции, пока еще в робкой форме, проявились и у математиков. Как раз к первым годам текущего столетия относится начало чтения блестящим лектором, живым и красноречивым Б. К. Млодзеевским, факультативного курса по теории функций действительного переменного, по известному трактату Дини. В Московском университете впервые на лекциях Млодзеевского прозвучали такие термины, как «множества», «мощность», «счетные» (тогда говорили «счетовые») множества и т. д. Еще через год, в 1902 году, в число приват-доцентов вступил И. И. Жегалкин, и обо всех этих вещах вместе с «дедекиндовыми сечениями» услыхали уже не специалисты математики, а все студенты первокурсники математического отделения.

«В Московском университете Н. Н. Лузин сразу же попал под влияние блестящей плеяды профессоров, из которых прежде всего нужно указать геометров Б. К. Млодзеевского и К. А. Андреева, аналитика Н. В. Бугаева и физика Н. А. Умова.

Н. Н. Лузин сделал сначала попытку стать физиком, но в физической лаборатории Н. А. Умова тогда нехватило мест. Тем временем блестящие лекции по чистой математике стали производить на Н. Н. Лузина чарующее впечатление, и математика

уже в первые же полгода ему внезапно открылась с совсем другой стороны, представ не как система заучивания сложившихся истин и решения бесчисленных задач с давно уже известными ответами, но как необъятное поле живого творчества. Николай Николаевич всегда сравнивал положение ученого, ведущего творческую жизнь, с состоянием Колумба, отправившегося искать новые страны и могущего каждый момент сделать крупное открытие. Пред ним математика открылась не как законченная наука, а как наука творческая, с далями, полными заманчивой тайны».

В Московском университете Н. Н. Лузин как одаренный студент сразу же обратил на себя внимание профессоров. Он, будучи еще студентом младших курсов, был избран секретарем студенческого Математического кружка, председателем которого был знаменитый механик Н. Е. Жуковский. В этом кружке разрабатывались вопросы, представлявшие в то время особую научную актуальность. Н. Н. Лузин и его университетский товарищ С. С. Бюшгенс были активными участниками этого кружка; у них преобладали в докладах вопросы обоснования математики, вопросы теории множеств, вопросы арифметизации математики, которые тогда привлекали внимание математиков, и начинавшие вызывать интерес вопросы аксиоматики. На заседания кружка часто приходили профессора Б. К. Млодзеевский, Д. Ф. Егоров и только что вступивший в число приват-доцентов И. И. Жегалкин. Б. К. Млодзеевский огорчался тем, что студенты в кружке вместо изучения вопросов теории уравнений с частными производными, дифференциальной геометрии и т. п. остановились на самых основных понятиях анализа и не идут дальше.

Теория функций тогда едва только начала проникать в Московский университет в виде отдельных докладов приват-доцентов, вызывая у одних глубокое изумление перед новизной идеи (учения об актуальной бесконечности), у других — чувство отвращения перед кажущимися экстравагантностями мышления.

В весеннем полугодии 1905 года, в связи с ростом революционного движения, университет забастовал; занятия прекратились. Революционные выступления рабочих и крестьян, восстания в армии и флоте, скандальные военные поражения царского правительства все более и более накаливали обще-

ственную атмосферу. Ни в какой мере не разрядили ее и половинчатые реформы правительства: булыгинская дума осени 1905 года. Университет шумел, как улей; занятия осенью 1905 года то начинались, то прекращались. Аудитории превратились в место сходок и массовой агитации.

В первые годы университетской учебы Н. Н. Лузин снимал номер в гостинице «Кокоревское подворье», там же, где жили и его родители. Теперь же, увлеченный бурным потоком общественного подъема, он тоже пытается принимать некоторое участие в революционном движении. В таких условиях проживание у всех на виду, в большой гостинице, было явно неудобным, и по рекомендации кого-то из товарищей Н. Н. Лузин снял комнату на Арбате, в семье вдовы врача Малыгина. Семья состояла из старушки-вдовы Малыгиной и ее дочери Надежды Михайловны. Дом был тихий, внимание полиции не привлекал, и в бурные дни октября 1905 года перед появлением виттевского манифеста «17-го октября» в комнате Н. Н. Лузина не только ночевали нелегальные лица, но под его кроватью одно время был даже склад бомб...

Как известно, манифест «17-го октября» не только не разрядил обстановки, но усилил общее недовольство и революционное напряжение. Университет, возобновивший работу с осени 1905 года, опять решительно забастовал. В стране шла подготовка к вооруженному восстанию, — было совершенно ясно, что ожидать возобновления занятий в университете в ближайшие месяцы не приходится.

Все это время Н. Н. Лузин не прерывал занятий под руководством профессора Д. Ф. Егорова, проявлявшего большое внимание к его научной работе. При создавшейся обстановке Д. Ф. Егоров посоветовал Н. Н. Лузину во время перерыва в университете поехать учиться в одном из заграничных университетов; Д. Ф. Егорову удалось найти другого студента, который бывал за границей и немного владел французским и немецким разговорным языком1), и в первых числах декабря Н. Н. Лузин и его спутник уехали в Париж.

В Париже Н. Н. Лузин пробыл до конца летнего семестра 1906 года, и все эти полгода пребывания за границей прошли в упорной и систематической работе. Лекций он слушал

1) В. В. Голубев.

немного. В Сорбонне он слушал Бореля, который читал теорию целых функций, лекции знаменитого Пуанкаре по разложениям в ряды пертурбационных функций небесной механики. По словам Н. Н. Лузина лекции Пуанкаре производили на него потрясающее впечатление вследствие живого творчества во время самого процесса лекций. Кроме того, в Collège de France Н. Н. Лузин слушал Адамара, который читал теорию распространения волн. Иногда ходил на лекции Дарбу по теории поверхностей. Но он упорнейшим образом работал над изучением математической литературы в библиотеке Сорбонны, в Национальной библиотеке и в библиотеке Св. Женевьевы. Изучению научных вопросов посвящалось буквально все время. В размышлениях над научными вопросами Н. Н. Лузин просиживал целые ночи; часто поздно восходящее зимнее солнце заставало его еще за работою.

Несомненно, что в это время у Н. Н. Лузина зрели те идеи, которые много спустя приобрели законченную форму в его замечательной диссертации. Вопросы теории множеств, теории функций действительного переменного занимали во всей этой работе основное место.

Жил он в это время очень скромно. Обедал в русской студенческой столовой на rue St. Jacques и на обед полагалось 40 сантимов.

В театры не ходил — было не по средствам. Единственным развлечением было посещение по праздникам замечательных парижских музеев, картинных галлерей Лувра и музея современной живописи и скульптуры Франции в Люксембургском дворце. Только изредка он позволял себе под праздник пойти в «танцульку», и за двадцать сантимов полюбоваться, как пляшут и веселятся французские студенты и прочее население Латинского квартала.

Н. Н. Лузин вернулся в Россию летом 1906 года. В конце того же года он сдал государственный экзамен и был оставлен Д. Ф. Егоровым при университете «для приготовления к профессорскому званию».

В 1907 году Н. Н. Лузин женился на Надежде Михайловне Малыгиной.

За время обучения в университете Н. Н. Лузиным было прочитано и изучено много труднейших и глубоких трактатов по самым различным областям математики, так что он был

хорошо подготовлен к магистерским экзаменам еще на студенческой скамье. «Время же оставления при университете он употребил на слушание лекций на медицинском факультете, куда намеревался поступить, чтобы впоследствии итти в народ, но потом был вынужден оставить этот план, так как работа в анатомическом театре оказалась ему не по силам. Тогда он перешел к слушанию лекций на философском отделении историко-филологического факультета, который через год оставил, потому что лекции по философии не давали указания на возможность творчества».

После этого Н. Н. Лузин вернулся к математике. К 1909 году он сдал так называемые магистерские экзамены и получил существовавшее тогда звание «магистранта» вместе с правом преподавания в высшей школе по прочтении двух пробных лекций, одной по собственному выбору, второй по назначению факультета. Н. Н. Лузин прочел пробные лекции и предполагал с осени 1910 года читать в университете курс теории функций действительного переменного, но оказалось, что такой курс уже был объявлен С. С. Бюшгенсом, который держал экзамены одновременно с Н. Н. Лузиным; тогда по совету Б. К. Млодзеевского Н. Н. Лузин объявил курс по теории интегральных уравнений. Читать этот курс ему не пришлось, так как в это время он получил от факультета заграничную командировку в Геттинген и Париж для усовершенствования в математических науках.

Осенью 1910 года Н. Н. Лузин уехал в Геттинген.

В Геттингене Николай Николаевич работал, «отдаваясь главным образом самостоятельным изысканиям в теории тригонометрических рядов; к этому его влекли многие загадочные факты этой теории и богатейшие средства библиотеки Геттингена, дававшие ему неисчерпаемую возможность легко изучить всевозможные вопросы». Лекции профессоров он мало посещал, так как при его крайне самостоятельном мышлении они ему ничего не могли дать. Напротив, личное общение с учеными давало ему очень много, так как при этом выявлялось отношение того или другого ученого к различным математическим проблемам и выяснялся его творческий путь. Эти встречи Николай Николаевич ценил чрезвычайно высоко. «В Геттингене Н. Н. Лузин написал и по настоянию профессора Ландау опубликовал свою первую работу (в 1911 году, т. е. 28 лет).

До сих пор он, не будучи уверен в своих силах, остерегался выступать в печати и отказался, по этой же причине, писать сочинение на медаль на предложенную тему в Москве. В 1912 году Н. Н. Лузин переехал в Париж». Здесь он систематически работал в семинаре Адамара и завел личное знакомство с крупнейшими математиками (Пикар, Адамар, Борель, Лебег, Данжуа и ряд других).

Яркое представление о научных интересах Н. Н. Лузина в те годы дает следующий отрывок из отчета, представленного им в Министерство народного просвещения.

«Пробыв в заграничной командировке для научных занятий два года и получив продолжение этой командировки на третий год, сроком с 1/1—1913 по 1/1—1914 года, я в марте 1913 года отправился в Париж к началу весеннего семестра для продолжения научных занятий.

Из лекций, прослушанных мною в этом семестре, наиболее интересными лично для меня были лекции Пикара, читавшего избранные главы из теории функций комплексного переменного. В них лектор, между прочим, изложил конформное изображение многосвязных областей, дав при этом результат А. Пуанкаре и указав на позднейшие результаты по этому вопросу.

Следующий зимний семестр 1913 года и весенний семестр 1914 года я также провел в Париже, слушал лекции профессора Бохера, приглашенного в Сорбонну из Америки и читавшего о новых исследованиях в теории линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, лекции Э. Пикара, продолжавшего излагать избранные главы из теории функций комплексного переменного и давшего некоторые интересные теоремы относительно аналитических функций двух независимых комплексных переменных, и лекции Бореля относительно обобщения понятия аналитической функции. Наиболее интересными лично для меня были лекции Бореля, в которых лектор дал новое, обобщенное определение понятия аналитической функции и в ярких и выпуклых чертах обрисовал недостатки классического определения Вейерштрасса аналитической функции, указав на известный формализм последнего.

Кроме того, посещал семинарий, устроенный Адамаром в Collège de France, и заседания двух конгрессов: математи-

чески-педагогического и математически-философского, открывшихся в Париже весною.

Вместе с тем я продолжал свою личную работу в области теории функций действительного переменного».

Приведенные далее сведения о полученных Н. Н. Лузиным научных результатах заслужили самую высокую оценку в следующем заявлении профессора Д. Ф. Егорова:

«Представляя при сем отчет о заграничной командировке приват-доцента И. М. У. Н. Н. Лузина, честь имею сообщить факультету, что по моему мнению отчет этот свидетельствует о факте, который известен и из других источников, а именно, что в лице Н. Н. Лузина мы имеем уже сложившегося талантливого ученого, получившего много важных и интересных результатов по теории интегрирования, теории тригонометрических рядов, теории функций действительного переменного...

Из отчета видно, что у Н. Н. Лузина в сущности вполне готов материал и для работ, которые могли бы послужить для получения научных степеней магистра и доктора, и только увлечение новыми и новыми результатами помешало ему до сих пор написать в окончательном виде диссертацию, которую, можно надеяться, он представит в ближайшем будущем.

Среди результатов, упоминаемых автором в отчете, мое внимание останавливает последний (заметка в Comptes Rendus «Sur un problème du M. Baire»). Мне думается, что на этом пути Н. Н. Лузин внесет что-либо новое и интересное в фундаментальную задачу о мощности континуума.

Я бы полагал признать отчет и занятия Н. Н. Лузина заслуживающими самой высокой оценки.

26 II 1914 г. Орд. проф. Д. Ф. Егоров»

Статьи, напечатанные Н. Н. Лузиным уже в этот первый период его научного творчества, ярко свидетельствуют и об исключительной самостоятельности его научного творчества и об очень большом напряжении его работы. Здесь, несомненно, повторялось в еще более яркой форме то необычайное вдохновение, которое охватывало Н. Н. Лузина в периоды продуктивной творческой работы. В такие периоды работа захватывала его целиком; в работе он не различал ни дня, ни ночи, на него находил какой-то порыв творческой

«одержимости», который заставлял его забывать обо всем, что выходило за круг овладевших им научных идей.

За эти годы Н. Н. Лузиным была проделана огромная работа и, в частности, было напечатано десять научных работ в лучших русских и заграничных научных журналах.

Напряженная работа по изучению математической литературы дала ему широкие научные знания, подробнейшее знакомство с научною литературою; упорное размышление над труднейшими вопросами теории функций дало ему материал для его замечательной диссертации.

К осени 1914 года Н. Н. Лузин вернулся в Москву и приступил к преподаванию в университете на положении приват-доцента.

Десятилетие с 1914 по 1924 год было периодом блестящего расцвета научной и педагогической деятельности Н. Н. Лузина. Факультетом ему было поручено чтение общего курса аналитической геометрии, а затем высшей алгебры. Но не в этом был центр тяжести его работы. Из года в год неизменно читал он факультативный курс по теории функций действительного переменного и вел специальный исследовательский семинар. Именно этот читаемый из года в год специальный курс и сопровождающий его семинар и явились центром, из которого выросла московская школа теории функций — замечательный памятник славной научной деятельности Н. Н. Лузина.

Среди профессоров Московского университета едва ли можно указать кого-нибудь, чьи лекции пользовались бы таким исключительным успехом, как лекции Н. Н. Лузина.

А, ведь, среди профессоров были такие блестящие лекторы, как Б. К. Млодзеевский, химик А. Н. Реформатский, астроном В. К. Церасский и ряд других. Естественно возникает вопрос, чем объяснить этот совершенно исключительный успех.

Установился обычай считать, что задачею лекций является систематическое изложение известного комплекса знаний. Чем этот комплекс больше, тем содержательнее лекции; чем в научном смысле строже изложение, тем выше уровень лекций. Согласно этому взгляду задача книги или печатного курса и лекций одна и та же. Единственным активным действующим лицом является при этом лектор; аудитория только пассивно воспринимает изложенное.

В противовес такому взгляду можно заметить, что научная истина поражает своею строгою законченностью, но и отталкивает своею безжизненною сухостью. Ведь эти законченные на данном этапе развития формы научной истины исторически сложились из бесчисленных исканий, заблуждений, в результате споров, столкновений мнений; наука жила и продолжает жить полною и напряженною жизнью неустанного труда бесчисленных творцов и строителей научного здания.

А если так, то не правильнее ли ввести учащихся в самую лабораторию научных исканий, показать все возникающие трудности, заставить аудиторию пережить всю горечь ошибок и разочарований и познать всю радость нахождения научной истины? В своем преподавании Н. Н. Лузин и попытался добиться того, чтобы излагаемый материал давался не в законченном, законсервированном виде, а в напряжении его создания, как говорят, in statu nascendi. При таком подходе главным действующим лицом на лекции и на семинаре является вся аудитория: она переживает муки научного творчества, она испытывает радость победы. Лектор — это искусный кормчий, который умело направляет аудиторию.

Лекции Н. Н. Лузина были менее всего дидактичны, менее всего лектор преподносил в законченном виде тот или другой отдел науки, но он непрерывно открывал перед аудиторией все новые и новые горизонты, непрерывно будировал мысль слушателей, непрерывно закалял аудиторию в преодолении трудностей, которыми так богато научное изыскание. Н. Н. Лузин не был одинок в своих методических идеях, таким же путем в несколько иной области, в области лабораторной, экспериментальной работы, шел и П. Н. Лебедев, тем же путем воспитывал учеников в своих лабораториях и Н. Е. Жуковский. Новым и совершенно оригинальным у Н. Н. Лузина было то, что этот метод он применил не только в своих семинарах, что было сравнительно понятно и легко, но и в своих лекциях, что было неизмеримо труднее.

Легко понять, какой успех могло иметь такое преподавание, в особенности если лектором был ученый, который сам находился в расцвете своего научного творчества. А как раз в этот период научное творчество Н. Н. Лузина достигло своего полного развития.

По возвращении из-за границы Н. Н. Лузин заканчивает, дополняет и приводит в систему огромный научный материал, который и составил содержание его капитального труда «Интеграл и тригонометрический ряд». Законченная в 1915 году эта замечательная работа была представлена как диссертация на соискание ученой степени магистра чистой математики. Защита ее в Ученом совете Физико-математического факультета 27 апреля 1916 года превратилась в блестящий научный триумф Н. Н. Лузина. В отзывах официальных оппонентов, профессоров Д. Ф. Егорова и Л. К. Лахтина, и в ряде других выступлений были отмечены совершенно исключительные достоинства работы. Совет единогласно постановил присудить Н. Н. Лузину степень доктора чистой математики, минуя обычную степень магистра, случай, — чрезвычайно редкий в практике русских университетов1).

Не меньшим напряжением научного творчества Н. Н. Лузина ознаменованы и последующие годы, причем наряду с большим количеством работ самого Николая Николаевича начинают все чаще и чаще появляться и работы его учеников.

Н. Н. Лузин обладал исключительным талантом вовлекать в научное творчество своих учеников. Как мы видели, самая форма преподавания носила у него такой характер, что, в сущности, вообще терялась грань между учением и научным исследованием. Но, кроме этого, он умел с исключительным успехом своим личным воздействием внушить учащимся

1) В архиве Московского университета имеются следующие сведения об этой защите.

«13 мая 1916 г. в Совете Университета

Слушали представление физ.-матем. фак-та от 13 мая:

27-го апреля в заседании факультета происходила публичная защита Н. Н. Лузиным диссертации на степень магистра чистой математики под заглавием «Интеграл и тригонометрический ряд».

Оффиц. оппоненты: проф. Д. Ф. Егоров и засл. проф. Л. К. Лахтин.

Защита была признана удовлетворительной и Н. Н. Лузин достойным степени доктора чистой математики.

Факультет ходатайствует об утверждении Н. Н. Лузина в степени доктора чистой математики.

Постановили на основании ст. 30, § 1, стр. 3 Устава Университета утвердить магистранта Н. Н. Лузина в степени доктора чистой математики ввиду того, что представленная им диссертация отличается особенными научными достоинствами, и выдать ему надлежащий диплом».

мысль, что каждый из них не только может, но и должен сам творить науку.

Для самого Николая Николаевича наука была главным содержанием жизни и этому же отношению к науке, как к самому главному, чему должны быть отданы все силы, он учил и своих учеников. Настойчиво внушал он, что занятие наукой есть трудное, тяжелое дело, требующее огромных усилий, большой настойчивости.

Лузин не мог работать «по часам»; научная идея полностью овладевала им, и эта «одержимость» чрезвычайно ярко сказывалась во всем его поведении. И своим ученикам он систематически внушал мысль, что научная работа может итти успешно только тогда, когда мысль непрерывно и упорно работает над научным вопросом, что научную работу нельзя вести «по часам», оставляя ее так, как снимают рабочий халат, уходя с работы. Лекции Николая Николаевича не кончались со звонком; научная беседа продолжалась и в перерыв между лекциями в коридоре, а весьма часто слушатели провожали его гурьбой по окончании лекций до его квартиры, продолжая напряженное обсуждение поднятых на лекции научных вопросов. Студенты, работавшие в семинарах у Н. Н. Лузина, и его ученики часто собирались у него на квартире для обсуждения научных докладов на семинарах, для бесед по проработанной научной литературе; образовалась дружная семья молодежи, охваченной горячим интересом к разработке научных вопросов. Это сплоченное товарищество начинающих ученых, группировавшихся вокруг Николая Николаевича, получило среди студентов шутливое название «Лузитания».

Из учеников Н. Н. Лузина, работавших под его руководством в первые годы его педагогической деятельности в Московском университете, многие выросли впоследствии в крупных ученых; среди них прежде всего надо указать М. Я. Суслина, Д. Е. Меньшова, А. Я. Хинчина, П. С. Александрова, П. С. Урысона, В. Н. Вениаминова, В. С. Федорова.

Параллельно с Н. Н. Лузиным, но под его непосредственным влиянием работали также его младшие товарищи: В. В. Степанов, И. И. Привалов, разрабатывавшие все новые и новые вопросы теории функций комплексного и действительного переменного.

Годы 1914—1918 были годами расцвета этого замечательного научного коллектива, быстро росшего под талантливым руководством Н. Н. Лузина. Вызванная империалистической войной разруха, естественно, сказалась на работе Н. Н. Лузина, как и на всей жизни Московского университета. Затруднения с продовольствием и отсутствие топлива, резко проявившиеся в 1918 году, повели к тому, что занятия в Университете свертывались, студенты разъезжались на родину, где экономические условия были лучше, чем в Москве. При таких условиях значительная часть профессуры искала приложения своих сил в других городах, где после Великой Октябрьской социалистической революции благодаря мероприятиям Советского правительства быстро росла сеть высших учебных заведений. В самые тяжелые годы разрухи, вызванной последствиями войны и интервенции, Н. Н. Лузин с рядом других профессоров Московского университета работает профессором в Иванове, крупном текстильном центре, где в 1918 году был открыт Политехнический институт; вместе с Николаем Николаевичем там же работали и некоторые из его учеников.

Работа в Иванове не прекращала работы Н. Н. Лузина и в Университете в Москве, куда он приезжал на более или менее длительные сроки. Всякий раз весть о приезде Лузина в Москву с чрезвычайной быстротой распространялась среди его московских учеников, и попрежнему бурлила жизнь в «Лузитании», работал семинар, чуть ли не каждый вечер в гостеприимной квартире Николая Николаевича собиралась московская математическая молодежь, шло оживленное обсуждение математических вопросов, кипела творческая научная мысль.

К этому же периоду относятся первые работы Н. Н. Лузина по прикладным вопросам. С. А. Чаплыгин привлек его к работе в Научно-экспериментальном институте путей сообщения.

Период с 1916 по 1920 год был периодом первых триумфов школы Н. Н. Лузина. Были получены замечательные результаты Д. Е. Меньшовым, М. Я. Суслиным, П. С. Александровым, А. Я. Хинчиным. Москва становится общепризнанным центром исследований в области теории функций. В диссертации И. И. Привалова методы теории функций

действительного переменного прилагаются к классическим вопросам теории функций комплексного переменного. Идеи Н. Н. Лузина начинают проникать и в Петроград, где привлекают внимание H. М. Гюнтера и Г. М. Фихтенгольца. В это же время Московская математическая школа понесла и первую тяжелую утрату: умер от тифа М. Я. Суслин, который вместе с Н. Н. Лузиным и П. С. Александровым явился одним из создателей целого направления — дескриптивной теории функций.

Идеи Н. Н. Лузина распространились и за рубежом, в особенности в Польше. Этому способствовал В. К. Серпинский, который провел первые годы мировой войны в Москве, работая под непосредственным и сильным влиянием Лузина. В дальнейшие годы идеи школы Лузина стали ведущими в польской математике, и их влияние сильно чувствуется и сейчас.

В июне 1921 года исполнилось сто лет со дня рождения одного из величайших русских математиков П. Л. Чебышева. Академия наук и Петроградский университет ознаменовали эту дату научной конференцией, на которой И. Н. Лузин сделал один из основных докладов. На эту конференцию, продолжавшуюся с 9 по 15 июня, вместе с Николаем Николаевичем выехали и его уже тогда многочисленные ученики; так началось более близкое знакомство петроградских математиков с московской математической школой, созданной Н. Н. Лузиным.

С победою на фронтах гражданской войны и с изгнанием интервентов нормальная жизнь в Москве и нормальная работа в Московском университете быстро восстановились; в 1922 году Н. Н. Лузин оставил работу в Ивановском политехническом институте и вернулся в Москву.

С возвращением Н. Н. Лузина в Москву обычная учебная и научная жизнь созданной им школы вошла в нормальное русло; попрежнему систематически работал его замечательный семинар по теории функций, напряженно шла творческая научная жизнь, росла талантливая молодежь.

Начало двадцатых годов было периодом нового расцвета школы Н. Н. Лузина. Его учениками становятся: Л. А. Люстерник, Н. К. Бари, М. А. Лаврентьев, Л. Г. Шнирельман, П. С. Новиков, Л. В. Келдыш, А. Н. Колмогоров,

В. И. Гливенко и другие. Среди них были люди с большими научными дарованиями и ярко выраженной научной индивидуальностью.

Младшие товарищи и первые из учеников Н. Н. Лузина: И. И. Привалов, В. В. Степанов, П. С. Александров, П. С. Урысон, А. Я. Хинчин, Д. Е. Меньшов в это время уже сами становятся крупными учеными и руководителями молодежи. У них появляются собственные ученики — «научные внуки» Николая Николаевича. Появляются новые школы. Истоком одной из них следует считать топологический кружок, руководимый П. С. Александровым и П. С. Урысоном, в котором работали как прямые ученики Николая Николаевича, так и его «научные внуки» (А. Н. Тихонов, В. В. Немыцкий, Н. Б. Веденисов, Л. А. Тумаркин и другие).

А. Я. Хинчин, начиная с 1922—1923 гг., стал прилагать теоретико-функциональные методы к теории чисел и получил ряд основных результатов в области так называемой метрической теории чисел. Его первые работы по теории вероятностей также носят теоретико-множественный характер. Впоследствии (в 1929 г.) Л. Г. Шнирельман перенес метрические понятия на арифметические последовательности и получил ряд глубоких результатов в теории чисел. И. И. Привалов как в совместной работе с Н. Н. Лузиным, так и независимо от него, произвел ряд важных исследований по граничным свойствам аналитических функций. Несколько позже начал систематическую работу в теории аналитических функций ученик Н. Н. Лузина М. А. Лаврентьев, вокруг которого впоследствии, в свою очередь, собрался большой коллектив молодых математиков.

Д. Е. Меньшов получил ряд фундаментальных результатов как в области действительного переменного, главным образом по теории ортогональных систем, так и в области комплексного переменного. В. В. Степанов перенес теоретико-функциональные методы в теорию почти-периодических функций.

В двадцатых же годах появились работы Л. А. Люстерника, а затем И. Г. Петровского по проблеме Дирихле, которыми началась работа московской математической школы по краевым задачам уравнений в частных производных.

Интересы самого Н. Н. Лузина в начале двадцатых годов лежат, главным образом, в области дескриптивной теории

функций. Здесь он становится основоположником новой по существу математической дисциплины. Он не только получил в этой области фундаментальные результаты, но и предпринятые им исследования затронули сущность основ теории множеств. Он впервые высказал идеи о границах теоретико-множественного мышления. Заложенные им принципы и установки являются программой, послужившей для дальнейшей плодотворной работы в области современной теории функций. Эта программа далеко еще не выполнена, но получаемые результаты целиком подтверждают глубокие предвидения Н. Н. Лузина.

В середине двадцатых годов Н. Н. Лузин написал целый ряд работ по дескриптивной теории множеств и, в частности, в 1926 году большой мемуар об аналитических и проективных множествах.

Весной 1927 года в Москве состоялся Всероссийский съезд математиков. На этом съезде в известном смысле были подведены итоги огромной работы Н. Н. Лузина по созданию московской математической школы. Многие из учеников Н. Н. Лузина выступили здесь как крупные ученые, руководившие важными направлениями научной работы в советской математике. Сам Николай Николаевич сделал на этом съезде один из основных докладов: «О современных задачах теории функций действительного переменного». В октябре 1927 года он участвовал на съезде польских математиков во Львове.

В августе 1928 года на Международном математическом съезде в Болонье Н. Н. Лузин прочел доклад «О путях теории множеств», а затем до лета 1930 г. жил в Париже, где работал над своей книгой «Leçons sur les ensembles analytiques». В этой книге, вошедшей в коллекцию монографий по теории функций, включающей труды крупнейших ученых, он подытожил результаты свои и своих учеников (М, Я. Суслина, П. С. Александрова, П. С Новикова, Л. В. Келдыш, Е. А. Селивановского) по теории аналитических и проективных множеств, составляющей одно из крупнейших достижений московской математической школы.

В эти годы крупнейшие научные заслуги Н. Н. Лузина и руководимой им школы получили мировое признание. Н. Н. Лузин получает почетное звание действительного члена Краковской Академии наук, звание почетного члена Математического общества в Калькутте, звание почетного члена

Бельгийского математического общества в Брюсселе. На конференции польских математиков во Львове в 1927 году он играет ведущую роль; на Международном съезде математиков в Болонье в 1928 году он избирается вице-президентом. В 1927 году он избирается членом-корреспондентом, а в 1929 году — действительным членом (академиком) Академии наук СССР, сначала по кафедре философии, а затем по кафедре математики.

В 1930 году Н. Н. Лузину было поручено заведывание отделом теории функций Физико-математического института имени В. А. Стеклова при Академии наук СССР; в связи с этим он часто ездил в Ленинград. Связь с Институтом стала более прочной с 1934 года, когда Академия наук и ее Математический институт были переведены в Москву. Н. Н. Лузин продолжал руководство отделом теории функций до конца жизни; все сотрудники этого отдела являются его ближайшими учениками.

В тридцатых годах глубокие математические идеи, которые с таким успехом разрабатывались в ближайшем окружении Николая Николаевича, привели в трудах его учеников и продолжателей к замечательным результатам в самых различных областях математики, к широким научным направлениям в области качественных методов, в области теории вероятностей и ее разнообразнейших приложений, в вопросах гидродинамики и ее технических приложений. А. Я. Хинчин и А. Н. Колмогоров создали московскую школу теории вероятностей, занимающую теперь в мировой науке одно из первых мест. М. А. Лаврентьев и М. В. Келдыш свои глубокие исследования в области теории аналитических функций применили к гидродинамике и аэродинамике. В. В. Степанов вовлек группу ученых в работу по качественной теории дифференциальных уравнений. Начинаются блестящие работы И. Г. Петровского но теории систем уравнений в частных производных. Во всех этих исследованиях применялись и углублялись методы Н. Н. Лузина.

Продолжающаяся работа в области метрической теории функций привела к созданию большой школы функционального анализа.

Сам Н. Н. Лузин в это время имел разнообразные научные интересы. С одной стороны, он продолжал в эти годы,

как и вообще до конца жизни, размышлять над глубокими и трудными проблемами дескриптивной теории множеств и обоснования математики. В это время с ним оказался особенно близок более узкий круг математиков (ГЛ. С. Новиков, Л. В. Келдыш, А. А. Ляпунов, Е. А. Селивановский), работавших по проблематике, тесно связанной с интересами Н. Н. Лузина в области дескриптивной теории функций. С другой стороны, Н. Н. Лузин, владея творчески и методами классического анализа, с успехом начал применять их к прикладным вопросам. Так, он занимался оценкой сходимости метода приближенного решения дифференциальных уравнений, предложенного С. А. Чаплыгиным; по предложению Сейсмологического института провел критический анализ методов предсказания погоды на основе метеорологических наблюдений за большой промежуток времени1).

В 1938 году Н. Н. Лузин начал работать в области дифференциальной геометрии и, в частности, занялся проблемой изгибания на главном основании. В этой классической области, которой, начиная с шестидесятых годов прошлого века, было посвящено много работ русских и иностранных математиков, он получил решающие результаты.

В тридцатых и сороковых годах, кроме Института им. В. А. Стеклова, Н. Н. Лузин работал и в других институтах Академии наук: в Сейсмологическом и в Институте автоматики и телемеханики. В этом последнем он прилагал к прикладным темам теорию дифференциальных уравнений.

В эти годы работы в институтах Академии наук Н. Н. Лузин уже не был связан с университетом систематически. Однако иногда он возобновлял там работу, и это неизменно оказывало влияние на молодых математиков, отталкивавшихся в своих исследованиях от его лекций и семинаров. Например, последний курс Н. Н. Лузина «Избранные главы теории функций комплексного переменного», прочитанный им в 1945 году, вызвал среди студентов интерес к теории функций двух действительных переменных, и с тех пор в стенах

1) Эта работа Н. Н. Лузина, содержавшая ценные математические результаты по представлению эмпирических кривых с помощью тригонометрических полиномов, к сожалению, осталась неопубликованной.

Московского университета целая группа молодых математиков, среди которых в первую очередь следует назвать А. С. Кронрода, разрабатывает эту новую и увлекательную область.

Хотя, начиная с 1930 года, Н. Н. Лузин уже сам мало преподавал, он всегда интересовался вопросами преподавания и много времени уделял писанию учебников. Сначала он редактировал перевод курса дифференциального и интегрального исчисления американского математика Грэнвиля. Этот курс благодаря переработкам, которым его подверг Н. Н. Лузин, выдержал семнадцать изданий и был широко распространен в высших технических учебных заведениях. В последних изданиях он уже превратился в совершенно оригинальное сочинение. Эта книга, как и все написанное Н. Н. Лузиным, отличается необычайной живостью и ясностью изложения, красочностью языка; автор не только доказывает, но и в живой образной форме разъясняет содержание курса.

В 1940 году Н. Н. Лузин написал курс теории функций действительного переменного (переизданный затем в 1949 году) Достаточно сравнить характер изложения в этой книге с аналогичными сочинениями на русском и иностранном языках, чтобы убедиться в оригинальности и своеобразии идей Н. Н. Лузина, в проявляющемся здесь, как и ранее в его лекциях, умении увлечь читателя, показать ему не только законченные результаты, но и процесс их создания.

Н. Н. Лузин проявлял живой интерес и к истории математики. Его перу принадлежат прекрасные статьи о Ньютоне (см. Н. Н. Лузин (15), (16)), об Эйлере (см. Н. Н. Лузин (17)), очень интересная статья, касающаяся развития понятия функции (см. Н. Н. Лузин (13)) и статья о дифференциальном исчислении (Н. Н. Лузин (14)).

Излагая биографию Н. Н. Лузина, мы не можем говорить о нем только как о математике. Он много читал и размышлял над самыми разнообразными вопросами физики, естествознания, истории. Он любил и хорошо знал русскую литературу, живо интересовался архитектурой и живописью, неизменно посещал музеи и выставки, во время пребывания за границей объездил даже ряд маленьких итальянских городов, изучая произведения искусства. Николай Николаевич имел свои глубокие и оригинальные взгляды на литературу и искус-

ство. Это был человек исключительного духовного богатства.

Последние годы жизни научной работе Н. Н. Лузина мешало его болезненное состояние: он страдал сердечными припадками. Однако он продолжал упорно работать и, в частности, вернулся к исследованиям по дифференциальной геометрии. Смерть не дала ему возможности закончить этот труд. Среди бумаг, которые остались после его кончины, имеется большая еще не разобранная рукопись, относящаяся к этим вопросам. Последние страницы ее писались буквально в последние дни жизни Николая Николаевича.

28 февраля 1950 года Н. Н. Лузин неожиданно скончался после острого сердечного припадка.

Образ этого замечательного ученого, учителя целого поколения математиков, глубокого мыслителя оставит неизгладимый след в советской математической культуре.

Н. Н. ЛУЗИН в 1917 году

О КНИГЕ Н. Н. ЛУЗИНА «ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД» И ЕГО РАБОТАХ ПО МЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ

Н. К. БАРИ и Л. А. ЛЮСТЕРНИК

Научная деятельность Н. Н. Лузина относилась к разным областям математики: метрической теорий функций действительного переменного, дескриптивной теории множеств, теории функций комплексного переменного, дифференциальной геометрии, дифференциальным уравнениям, вопросам численного решения математических задач.

Первый период работы Н. Н. Лузина был посвящен вопросам метрической теории функций, и центральной его работой в этом направлении была публикуемая сейчас вновь диссертация «Интеграл и тригонометрический ряд».

На протяжении истории анализа математикам часто приходилось возвращаться к критическому пересмотру его основ: развитие конкретного материала перерастало рамки сложившихся ранее концепций и точек зрения на основные понятия анализа. В этом разрезе особенно поучительна история теории тригонометрических рядов и ее влияния на эволюцию основных понятий анализа: функции, интеграла. Достаточно вспомнить знаменитую дискуссию Эйлера, Даламбера и других математиков XVIII века о том, что считать «произвольной функцией», дискуссию, вызванную появлением тригонометрических рядов как орудия решения математических задач1). В тридцатых годах прошлого века, в связи с открытием

1) См, например, статью Н. Н. Лузина «Функция» (БСЭ, т. 59, 1934 г.).

факта изображения рядами Фурье не только непрерывных, но и разрывных функций, был снова пересмотрен вопрос о понятии функции. У Лобачевского, у Дирихле, именно в связи с работами по тригонометрическим рядам, возникает концепция функции как соответствия между элементами двух числовых прямых. Поскольку коэффициенты Фурье функции представляются через интегралы от нее и поскольку широкие классы разрывных функций представимы тригонометрическими рядами, которые естественно считать рядами Фурье для этих функций, возник вопрос об определении понятия интеграла для таких функций. В работе Римана «О возможности представления функции посредством тригонометрического ряда»1) дается обобщение понятия интеграла на некоторый класс разрывных функций. И в том пересмотре основных концепций анализа, который имел место в начале текущего столетия, вопросы теории тригонометрических рядов играли выдающуюся роль. Не случайно поэтому появление фундаментальной работы Н. Н. Лузина под названием «Интеграл и тригонометрический ряд». В этой работе, между прочим, подчеркнута историческая связь между теорией тригонометрических рядов и понятиями функции и интеграла2).

Основную установку этой работы лучше всего охарактеризовать словами самого автора3):

«Имеют ли результаты теории функций существенное значение для других дисциплин и, прежде всего, для классического анализа? Нужно иметь в виду, что при современном состоянии знания метод классического анализа, метод употребления аналитических выражений, лежит в основе почти всякой математической дисциплины; поэтому та теория, которая не соприкасается, прямо или косвенно, с аналитическими выражениями, такая теория неизбежно занимает изолированное положение среди других ветвей математики.

Поэтому, если не хотят, чтобы теория функций действительного переменного была теорией, замкнутой в себе и не оказывающей влияния на другие математические теории, нужно

1) См. Риман (1), стр. 225.

2) См. Введение и § 80—82.

3) См. «Интеграл и тригонометрический ряд», стр. 4 (в настоящем издании стр. 50—51).

поставить в связь аналитические выражения с одной стороны, определения в понятия теории функций с другой стороны».

В связи с такой установкой Н. Н. Лузин выделяет две основные задачи: «Дано структурное свойство функции. Найти аналитические выражения, изображающие эту функцию». И задачу, обратную первой: «Дан класс аналитических выражений. Найти необходимое и достаточное структурное свойство функций, изображаемых этим классом аналитических выражений» (последнюю задачу Н. Н. Лузин считает особенно существенной).

Тем классом аналитических выражений, которые с этой точки зрения изучаются в работе, является класс тригонометрических рядов, и в первую очередь, конечно, рядов Фурье. «Формулы Фурье имеют в виду решение следующей задачи анализа: зная сумму тригонометрического ряда, определить его коэффициенты»1). Но, как замечает Н. Н. Лузин2), «Понятие ряда Фурье не есть понятие вполне определенное и устойчивое, но всецело зависит от понятия определенного интеграла. Принимая в формулах Фурье все более и более общее определение интеграла..., мы расширяем все более и более класс тригонометрических рядов Фурье... Отсюда естественно найти наиболее общее определение понятия интеграла с тем, чтобы расширить до возможных пределов класс тригонометрических рядов Фурье. Этим задача о тригонометрических рядах, их сходимости, суммируемости и свойствах функций, изображаемых ими, тесно связывается с задачей о нахождении возможно более общего определения понятия интеграла».

Дадим сейчас краткое изложение основных результатов Н. Н. Лузина в обоих направлениях: общей метрической теории функций и, в частности, теории интеграла, и в связанной с ней теории тригонометрических рядов. Мы их изложим по главам настоящей книги, добавляя каждый раз относящиеся к ее содержанию результаты Н. Н. Лузина, которые в нее не вошли.

Первая глава посвящена общим вопросам структуры измеримых множеств и функций. Основным ее результатом

1) «Интеграл и тригонометрический ряд», стр. 7 (в настоящем издании см. стр. 54).

2) Там же, стр. 6 и 7 (в настоящем издании см. стр. 54).

является так называемое С-свойство, ныне вошедшее во все учебники теории функций: всякую измеримую функцию, конечную почти всюду на некотором отрезке, можно изменить на множестве сколь угодно малой меры так, чтобы она стала непрерывной на всем отрезке.

Это характеристическое свойство измеримых функций имеет исключительное значение и нашло себе приложения не только в теории функций действительного и комплексного переменного, но и в других вопросах анализа, например в теории почти-периодических функций. Простым следствием основного результата Н. Н. Лузина является ряд теорем, связывающих структуру функции с изображающим ее аналитическим аппаратом (например, теорема Фреше, теорема Витали и др.).

Но, что самое главное, С-свойство позволило Н. Н. Лузину дать полное решение ряда основных задач теории функций: задачи об отыскании примитивной функции, задачи об изобразимости функции тригонометрическим рядом и задачи о нахождении гармонической функции, голоморфной внутри круга и имеющей на окружности заданные значения. Об этом мы будем говорить подробнее дальше.

Заметим еще, что, исходя из С-свойства, можно естественно построить теорию интеграла Лебега, как это и было сделано Н. Н. Лузиным в его неопубликованных лекциях в 1920—1921 гг.1).

Исследования Н. Н. Лузина, о которых идет речь в первой главе его книги, послужили отправной точкой для работ других математиков и, прежде всего, его учеников. Укажем, например, на исследования А. Я. Хинчина (8) о строении измеримых функций.

Вторая глава посвящена вопросу об отыскании примитивной функции. Н. Н. Лузин назвал примитивной такую непрерывную функцию, которая имеет данную функцию своей производной почти всюду. Он отмечает, что было бы ошибочным рассматривать как примитивные только такие функции, которые имеют производную в каждой точке, так как неопределенный интеграл Лебега, ценность которого для анализа неоспорима, может, однако, не иметь производной в

1) Впоследствии такое построение было опубликовано Тонелли (1).

бесконечном множестве точек (и даже тогда, когда подинтегральная функция есть производная в каждой точке от некоторой непрерывной функции).

Приняв эту терминологию, Н. Н. Лузин ставит и решает во всей общности вопрос о том, какие функции имеют примитивную и как ее найти. Он доказывает, что всякая измеримая функция, конечная почти всюду, имеет примитивную. Требование конечности почти всюду является совершенно естественным, так как еще ранее1) Н. Н. Лузин доказал, что не существует непрерывной функции, имеющей бесконечную производную на множестве положительной меры.

Теорема о существовании примитивной была применена Н. Н. Лузиным в двух направлениях: во-первых, к решению задачи Дирихле и, во-вторых, к изображению функций тригонометрическими рядами. Для произвольной измеримой функции f(x), конечной почти всюду на окружности, Н. Н. Лузин доказал существование гармонической функции, голоморфной внутри круга и принимающей почти всюду на окружности значения f(x) (слова «принимающая значения» здесь понимаются в смысле стремления к пределу по всем некасательным путям). До работы Н. Н. Лузина аналогичное предложение было доказано Фату лишь для случая суммируемой функции.

Этой теоремой начался важный цикл исследований Н. Н. Лузина по граничным свойствам аналитических функций2), с которого, в свою очередь, и началась столь широко развившаяся московская школа теории функций комплексного переменного.

О приложении теоремы о примитивной к изображению функций тригонометрическими рядами мы будем говорить дальше.

Так как у всякой функции имеется бесконечное множество примитивных, отличающихся не на постоянную величину, то встает задача о выделении из пучка примитивных той, которую «естественно» считать неопределенным интегралом. Этой задаче и посвящена третья глава.

1) См. Н. Н. Лузин (2) (в настоящем издании стр. 278).

2) См. А. Ф. Бермант и А. И. Маркушевич (1).

Здесь Н. Н. Лузин, прежде всего, отмечает, что, хотя казалось бы естественным среди всех примитивных предпочесть точную, т. е. такую, которая имеет данную функцию своей производной всюду, но, во-первых, такой примитивной может не существовать даже для ограниченной функции, и, во-вторых, точных примитивных, отличающихся не на постоянную, может оказаться бесконечное множество.

Таким образом, выделение какой-то примитивной, наиболее тесно связанной с данной функцией, следует производить на основании других принципов. С этой целью Н. Н. Лузин подверг глубокому изучению те понятия неопределенного интеграла, которые уже получили признание в математике: интегралы Лебега и Данжуа. Для суммируемых функций в классе их примитивных, очевидно, существуют функции с ограниченным изменением. Н. Н. Лузин доказал, что неопределенный интеграл Лебега есть единственная примитивная с наименьшим полным изменением, или, говоря геометрически, если функция суммируема, то среди кривых, изображающих ее примитивные, неопределенный интеграл Лебега есть кривая с наименьшей длиной дуги. «Таким образом, нахождение неопределенного интеграла Лебега представляет аналогии с задачами вариационного исчисления»1).

Для решения вопроса о характеристическом свойстве интеграла Данжуа Н. Н. Лузин ввел ряд новых понятий, которые сами по себе оказались весьма плодотворными и которыми до сих пор пользуются в различных вопросах теории функций2): понятие полного изменения функции для совершенного множества Р и функции с обобщенным ограниченным изменением (см. точные определения на стр. 103—1073)). Пользуясь этими понятиями, Н. Н. Лузин доказал теорему: для того чтобы непрерывная функция была неопределенным интегралом Данжуа, необходимо и достаточно, чтобы она была функцией с обобщенным ограниченным изменением и ее полное изменение, если только оно существует, для всякого

1) «Интеграл и тригонометрический ряд», стр. 57 (в настоящем издании стр. 100).

2) О дальнейших применениях этих понятий см., например, книгу Сакса «Теория интеграла» гл. VII.

3) Здесь и всюду в дальнейшем мы указываем страницы настоящего издания диссертации Н. Н. Лузина.

совершенного множества меры нуль было равно нулю. Если функция интегрируема по Данжуа, то в семействе всех ее примитивных есть одна и только одна, обладающая только что указанными свойствами, и она совпадает с неопределенным интегралом Данжуа.

Отметим, между прочим, что сама идея определения интеграла как примитивной, обладающей некоторым характеристическим свойством, в дальнейшем неоднократно использовалась в теории функций. Так, например, после введения интеграла Данжуа-Хинчина, для него тоже давали такого рода определение (см. Сакс гл. VII и VIII и комментарий 45 к диссертации Н. Н. Лузина1)).

Наконец, так как почти одновременно с появлением работ Данжуа в математической литературе появились еще два определения интеграла, принадлежащие Борелю, Н. Н, Лузин подробно рассмотрел и эти определения. При этом он доказал, что одно из них эквивалентно интегралу Лебега, а второе не выходит за рамки интеграла Данжуа. Таким образом, необходимость исследовать структурные свойства этих интегралов отпала.

Четвертая глава посвящена дальнейшему изучению свойств примитивных. Отметив, что найденные им свойства интегралов Лебега и Данжуа, как характеристические, не дают возможности выделить неопределенный интеграл из семейства примитивных для f(x) в том случае, когда f(х) несуммируема или неинтегрируема по Данжуа, Н. Н. Лузин поставил себе целью найти более общие свойства интегралов Лебега и Данжуа, которые были бы уже не эквивалентны этим последним. Прежде всего он установил, что функция, имеющая производную, равную нулю почти всюду, и отличная от константы, т. е. функция, которая может «портить» неопределенный интеграл, отображает множество меры нуль во множество положительной меры.

В связи с этим он ввел понятие «N-свойства»2) и более сильное понятие — свойство нулевого изменения (см. опреде-

1) В дальнейшем, чтобы избежать повторений при ссылках на комментарии к диссертации Н. Н. Лузина, мы будем писать кратко: см. комментарии и № комментария.

2) Функция обладает «N-свойством», если она всякое множество меры нуль отображает опять во множество меры нуль.

Это свойство также широко применяется теперь в теории функций (см. книгу Сакса (1), гл. VII). Изучению N-свойства и его при-

ление на стр. 153). Н. Н. Лузин указал, что естественно искать неопределенный интеграл в классе функций с нулевым изменением. Оказалось, что для суммируемой функции неопределенный интеграл Лебега есть единственная примитивная с нулевым изменением, и аналогичное предложение имеет место для функций, интегрируемых по Данжуа, и интеграла Данжуа.

Далее Н. Н. Лузин поставил ряд проблем, касающихся обобщения понятия неопределенного интеграла; многие из них в результате исследований других авторов получили иногда положительное, иногда отрицательное решение. Но даже постановки задач, получивших отрицательное решение, оказались весьма плодотворными, так как они возбудили ряд исследований. Такова, например, задача об определении интеграла как суммы того ряда, который получается при интегрировании тригонометрического ряда, сходящегося к заданной функции. Эта задача, между прочим, привела к необходимости обобщить понятие производной. В связи с этим Н. Н. Лузин изучил и производные числа Дини, доказав, что если непрерывная функция имеет все четыре производных числа конечными всюду на некотором множестве положительной меры, то она имеет обыкновенную производную почти всюду на этом множестве.

Поставленная здесь задача обобщения понятия производной вызвала к жизни ряд исследований в этом направлении (см. комментарии 87, 88).

В пятой главе Н. Н. Лузин приступает к изучению свойств тригонометрических рядов. Отметив, что сходимость тригонометрического ряда на множестве меры, большей нуля, влечет стремление к нулю его коэффициентов1), Н. Н. Лузин указывает естественность вопроса, является ли условие стремления коэффициентов тригонометрического ряда к нулю достаточным для его сходимости почти всюду.

Здесь он формулирует без доказательства свой предыдущий результат, опубликованный в его первой печатной работе

менений был посвящен ряд работ. Отметим, например, работу Банаха (2). См. также комментарий 69.

1) Доказательство этого предложения, являющегося обобщением известной теоремы Лобачевского-Римана, было дано Лебегом, но оно имеется и в статье Н. Н. Лузина (4).

«Ueber eine Potenzreihe» (1) (см. также стр. 271 настоящего издания); именно, он построил степенной ряд с коэффициентами, стремящимися к нулю, расходящийся в каждой точке единичного круга, и как следствие этого получил тригонометрический ряд, расходящийся почти всюду, хотя его коэффициенты стремятся к нулю. Этот факт оказался в свое время крайне неожиданным, так как даже такие крупные специалисты в области тригонометрических рядов, как Фату, предполагали расходимость ряда с коэффициентами, стремящимися к нулю, возможной лишь на множестве меры нуль. Построенный Н. Н. Лузиным пример расходящегося ряда вызвал большой интерес и явился началом многочисленных исследований (см. комментарии 96, 97 и 99).

При изучении вопросов сходимости тригонометрических рядов важную роль играют точки абсолютной сходимости. Н. Н. Лузин доказал, что если у тригонометрического ряда точек абсолютной сходимости имеется бесконечное множество1), то ряд либо почти всюду сходится, либо почти всюду расходится. Кроме того, им получен весьма изящный и вместе с тем существенный результат: если тригонометрический ряд сходится абсолютно на множестве меры, большей нуля, или даже меры нуль, но второй категории, то он сходится абсолютно всюду.

Наиболее важным вопросом, рассматриваемым в пятой главе, является вопрос о сходимости рядов Фурье. Н. Н. Лузин получил необходимое и достаточное условие для сходимости почти всюду ряда Фурье от функции с интегрируемым квадратом (см. стр. 202). Это условие выражено через некоторый особый интеграл от функции, сопряженной с данной. Очень существенным при этом было доказательство существования почти всюду особого интеграла

для любой функции g (х) с интегрируемым квадратом.

1) В частности, это будет тогда, когда у него есть две точки абсолютной сходимости на расстоянии, не соизмеримом с гс.

Эта теорема послужила началом большой серии работ (А. Безикович, И. И. Привалов, А. И. Плеснер, Ж. Марцинкевич)1).

Исследуя этот особый интеграл, Н. Н. Лузин получил новое глубокое метрическое свойство измеримых множеств, которое он образно сформулировал так (стр. 222): всякое измеримое множество всеми своими частями, включая части меры бесконечно малой порядка выше первого, расположено симметрично относительно почти каждой точки области, если пренебрегать бесконечно малыми расстояниями порядка выше первого.

Это свойство «почти симметричности» Н. Н. Лузин назвал дифференциальным свойством второго порядка измеримых множеств, так как оно является гораздо более тонким, чем известное свойство множеств положительной меры иметь почти все свои точки точками плотности (дифференциальное свойство первого порядка). Действительно, не всякая точка плотности или разрежения обладает указанным свойством симметрии.

Н. Н. Лузин надеялся, что, базируясь на этом свойстве симметрии, можно будет доказать сходимость почти всюду рядов Фурье для всех функций с интегрируемым квадратом. Высказанная им на этот счет гипотеза до сих пор не подтвердилась, но и не опровергнута2). Она, так же как и многие другие, поставленные Н. Н. Лузиным проблемы, вызвала целую серию работ. К этому кругу идей следует отнести и работы по так называемым признакам сходимости типа Вейля3) (Меньшов, Колмогоров и Селиверстов, Плеснер; см. об этом подробнее в комментариях 125, 126).

Возвращаясь к особому интегралу, заметим, что Н. Н. Лузин, всегда глубоко анализировавший причины обнаруженных им математических явлений, неоднократно настаивал на том, что существование этого интеграла есть результат не малости подинтегральной функции, а лишь интерференции ее

1) См. об этом подробнее в комментарии 114.

2) Заметим, что построенный А. Н. Колмогоровым (2) пример ряда Фурье, расходящегося в каждой точке, относится к функции с неинтегрируемым квадратом.

3) См. стр. 227 диссертации Н. Н. Лузина.

положительных и отрицательных значений (так как даже для ограниченных функций

может почти всюду расходиться). Подчеркивая это обстоятельство, Н. Н. Лузин указывал на то, что проблема сходимости рядов Фурье тесно связана с этой интерференцией. В одной работе, напечатанной значительно позже (см. Н. Н. Лузин (9)), он изучил интеграл Дирихле

(где Sj и е2 положительны и как угодно малы). Как известно, вопрос о сходимости ряда Фурье от функции f (х) сводится к вопросу о поведении 1п(х) при п->со. Н. Н. Лузин построил такую непрерывную функцию f(x), для которой 1п{х) стремится к f(x) равномерно на [0, 2тг] и, однако, каждый из интегралов

сумма которых равна 1п{х), расходится почти всюду и даже имеет бесконечные пределы неопределенности.

Наконец, отметим еще, что углубленное изучение особого интеграла позволило Н. Н. Лузину решить следующую задачу: зная значение и (0) на окружности (R.— 1) гармонической функции и (х, у), найти значения v (G) на этой окружности для сопряженной гармонической функции v (х, у). Он решил эту задачу полностью для случая, когда и (0) есть

любая функция с интегрируемым квадратом (см. стр. 213). Н. Н. Лузин рассмотрел также ряд случаев, когда по поведению функции можно судить о поведении ряда, сопряженного с ее рядом Фурье. Впоследствии вопросу о связи между данной и сопряженной функцией, а также о поведении тригонометрического ряда, сопряженного с данным, было посвящено много работ (см. комментарии 110 и 124).

Шестую главу своей диссертации Н. Н. Лузин посвятил вопросу об определении интеграла при помощи тригонометрического ряда. Основным результатом этой главы является теорема о том, что всякая измеримая функция, конечная почти всюду, может быть представлена тригонометрическим рядом, суммируемым к ней методами Римана и Пуассона почти всюду. В течение 25 лет этот результат не поддавался уточнению, и только в 1940 г. Д. Е. Меньшов показал, что в этой теореме можно суммируемость заменить на обычную сходимость почти всюду. Вопрос же о том, является ли наложенное здесь на функцию требование конечности почти всюду необходимым, до сих пор полностью не решен.

Интересно, что в этом круге вопросов мы приходим к разным ответам в зависимости от того, как понимать изобразимость функции тригонометрическим рядом. Именно, из совместной работы Н. Н. Лузина и И. И. Привалова (7) вытекает возможность построить тригонометрический ряд, суммируемый методом Пуассона к -J- оо почти всюду; для метода Римана это уже невозможно (не только почти всюду, но и на каком-либо множестве положительной меры; см. комментарий 137). Наконец, для обыкновенной сходимости вопрос все еще остается открытым.

При построении ряда, изображающего данную функцию, Н. Н. Лузин пользовался ее примитивной, а таких примитивных, как известно, бесконечное множество. Поэтому он отметил, что функция может быть изображена бесконечным множеством тригонометрических рядов, и таким образом еще не решена задача, которую он называет «задачей Фурье»: дана функция своими значениями; определить коэффициенты тригонометрического ряда, изображающего ее. Изложив в сжатой форме историю связи теории тригонометрических рядов с развитием основных понятий анализа (связи этой мы коснулись в начале настоящей статьи), Н. Н. Лузин очень ярко

поставил вопрос об интегрировании, как операции определения коэффициентов ряда по его сумме. Он указал (стр. 245—246), что задача Фурье распадается на две задачи: 1) выбор единственного ряда, наиболее тесно связанного с данной функцией, и 2) определение коэффициентов этого ряда, исходя непосредственно из значений функции.

Считая, что наиболее тесно связанным с данной функцией является такой ряд, который сходится к ней почти всюду, Н. Н. Лузин во всей остроте поставил вопрос о единственности разложения функции в тригонометрический ряд. В течение свыше 30 лет, прошедших с тех пор, этот вопрос служит предметом внимания ряда ученых (см. статью Н. К. Бари (2) и комментарий 138).

Определение коэффициентов ряда, изображающего данную функцию (если мы выделили каким-то образом один такой ряд, «особенно тесно связанный» с этой функцией), Н. Н. Лузин связал с обобщением понятия интеграла: естественно назвать неопределенным интегралом от f (х) функцию F(x), являющуюся суммой ряда, который получается от интегрирования ряда, изображающего f(x). Создав таким образом «интеграл» от f(x), можно уже коэффициенты изображающего ряда получать по формулам Фурье1).

Чтобы оправдать это определение, он доказал ряд интересных теорем и в том числе замечательную теорему о том, что если тригонометрический ряд сходится к f(x) почти всюду, то сумма F(x) обинтегрированного ряда имеет асимптотическую производную, равную f(x) почти всюду.

Заканчивая изложение содержания книги Н. Н. Лузина «Интеграл и тригонометрический ряд», мы хотим отметить, что она, с одной стороны, разрешила многие основные задачи складывавшейся тогда теории функций и в то же время определила в значительной степени дальнейшее ее развитие. Поэтому справедливо считать этот труд классическим.

Оригинальность этой работы заключается не только в полученных результатах и новых постановках вопросов, но и в методе. Именно эту работу, как и другие работы Н. Н. Лузина,

1) Вопросу о том, как определить коэффициенты ряда, сходящегося к некоторой функции всюду, посвящен большой цикл работ Данжуа (3) (см. комментарии 3 и 144),

отличает чрезвычайно яркий характер геометрического изложения. Достаточно просто напомнить некоторые из результатов: «С-свойство», свойство графика неопределенного интеграла Лебега быть кратчайшей кривой среди всех примитивных, свойство симметрии в теореме об измеримых множествах и многие другие. Н. Н. Лузин умел находить в самых сложных и отвлеченных вопросах простое геометрическое ядро, которое во многих случаях и подсказывало решение задачи. Этот геометрический стиль свойствен и другим работам Н. Н. Лузина. Достаточно указать на яркие геометрические методы, которые он ввел в дескриптивную теорию функций (метод решета, метод проектирования и другие). Эти геометрически конструктивные методы многочисленные ученики Н. Н. Лузина переносили в самые разные области математики, казалось бы, очень далекие от теории функций действительного переменного.

Комментарии, приложенные к этой книге, показывают, какое большое число работ и у нас, и за рубежом вызвано появлением диссертации Н. Н. Лузина. Можно сказать, что с нее датируется создание московской школы теории функций действительного переменного, которая послужила в советское время базой развития других важнейших наших математических школ. И сейчас, уже через 35 лет после своего выхода, несмотря на быстрое развитие математики, эта книга не потеряла своей актуальности, и появление нового ее издания явится ценным вкладом в нашу математическую литературу.

ПРИЛОЖЕНИЕ I

СПИСОК ПЕЧАТНЫХ ТРУДОВ Н. Н. ЛУЗИНА

1911

Über eine Potenzreihe (Об одном степенном ряде). R. С. Circ. mat., Palermo, 1911, т. 32, стр. 386—390.

1912

К основной теореме интегрального исчисления. Матем. сб., 1912, т. 28, в. 2, стр. 266—294.

Об одном случае ряда Taylor'a. Там же, стр. 295—302.

К абсолютной сходимости тригонометрических рядов. Матем. сб., 1912, т. 28, в. 3, стр. 461—472.

Sur l'absolue convergence des séries trigonométriques (К абсолютной сходимости тригонометрических рядов), С. R. Acad. Sci., Paris, 1912, т. 155, стр. 580—582.

Добавление к статье «К основной теореме интегрального исчисления» (Матем. сб., 1912, т. 28, в. 2, стр. 266—294). Матем. сб., 1912, т. 28, в. 4, стр. 544.

Sur les propriétés des fonctions mesurables (О свойствах измеримых функций). С. R. Acad. Sci., Paris, 1912, т. 154, стр. 1688—1690.

Sur les propriétés de l'intégrale de M. Denjoy (О свойствах интеграла Данжуа). С. R. Acad. Sci., Paris, 1912, т. 155, стр. 1475-1477.

1913

Sur la convergence des séries trigonométriques de Fourier (О сходимости тригонометрических рядов Фурье). С. R. Acad. Sci., Paris, 1913, т. 156, стр. 1655—1658.

1914

Sur un problème de M. Baire (Об одной проблеме Бэра). С. R. Acad. Sci., Paris, 1914, т. 158, стр. 1258-1261.

1915

Интеграл и тригонометрический ряд, М., тип. Лисснера и Собко, 1915, 242 стр. Диссертация.

1916

Интеграл и тригонометрический ряд. Машем. сб., 1916, т. 30, в. 1, стр. 1-242.

Sur la recherche des fonctions primitives (Об отыскании примитивных функций). С. R. Acad. Sci., Paris, 1916, т. 162, стр.975—978.

1917

Sur la classification de M. Baire (О классификации Бэра).

Sur une décomposition d'un intervalle en une infinité non-dénombrable d'ensembles non-mesurables (О разбиении интервала на несчетное множество неизмеримых множеств). С. R. Acad. Sci., Paris, 1917, т. 165, стр. 422—424. Совместно с В. Серпинским.

Sur une propriété du continu (Об одном свойстве континуума). Там же, стр. 498—500. Совместно с В. Серпинским.

Démonstration élémentaire du théorème fondamental sur la densité des ensembles (Элементарное доказательство основной теоремы о плотности множеств). R. С. Circ. mat., Palermo, 1917, т. 42, стр. 167—172. Совместно с В. Серпинским.

Sur la notion de l'intégrale (О понятии интеграла). Ann. Mat. pura, appt., série 3, 1917, т. 26, в. 2—3, стр. 77—127.

1918

Sur quelques propriétés des ensembles (A) (О некоторых свойствах A-множеств). Bull, int. Acad. Sci., Cracovie, série A, 1918, № 4—5 А, стр. 35—48. Совместно с В. Серпинским.

1919

Sur la représentation conforme (О конформном отображении) Изв. Иваново-возн. политехн. института, 1919, в. 2, стр. 77—80

1921

Sur l'existence d'un ensemble non-dénombrable qui est de première catégorie dans tout ensemble parfait (О существовании несчетного множества первой категории на всяком совершенном множестве). Fundam. Math., 1921, т. 2, стр. 155—157.

1922

О существовании аналитических функций, равномерно бесконечных вблизи купюры. Изв. Иваново-возн. политехн. института, 1922, в. 5, стр. 20-26.

Sur une décomposition du continu (О разбиении континуума). С. R. Acad. Sci., Paris, 1922, т. 175, стр. 357—359. Совместно с В. Серпинским.

1923

Sur un ensemble non-mesurable В (Об одном множестве, не измеримом В). J. Math. pures, appt., série 9, 1923, т. 2, стр. 53—72. Совместно с В. Серпинским.

1924

Sur l'unicité et la multiplicité des fonctions analytiques (О единственности и множественности аналитических функций), С. R. Acad. Sci., Paris, 1924, т. 178, стр. 456—459. Совместно с И. И. Приваловым.

1925

Sur l'unicité et la multiplicité des fonctions analytiques (О единственности и множественности аналитических функций). Ann. sci. Ec norm, sup., Paris, série 3, 1925, т. 42, № 6, стр. 143—191. Совместно с И. И. Приваловым.

Sur un problème de M. Emile Borel et les ensembles projectifs de M. Henri Lebesgue; les ensembles analytiques (Об одной проблеме Эмиля Бореля и проективных множествах Анри Лебега; аналитические множества). С. R. Acad. Sci., Paris, 1925, т. 180, стр. 1318-1320.

Sur les ensembles projectifs de M. Henri Lebesgue (О проективных множествах Анри Лебега). Там же, стр. 1572—1574.

Les propriétés des ensembles projectifs (Свойства проективных множеств). Там же, стр. 1817—1818.

Sur les ensembles non-mesurables В et l'emploi de la diagonale de Cantor (О множествах, не измеримых В, и о применении диагонали Кантора). С. R. Acad. Sci., Paris, 1925, т. 181, стр. 95-96.

Sur le problème de M. Emile Borel et la méthode des résolvantes (О проблеме Эмиля Бореля и методе резольвент). Там же, стр. 279—281.

1926

Mémoire sur les ensembles analytiques et projectifs (Мемуар об аналитических и проективных множествах). Матем. сб., 1926, т. 33, в. 3, стр. 237—290.

Remarques sur un lemme de Poincaré (Замечания об одной лемме Пуанкаре). Матем. сб. 1926, т. 33, в. 4, стр. 357—362.

Sur un exemple arithmétique d'une fonction ne faisant pas partie de la classification de M. René Baire (Об одном арифметическом примере функции, не входящей в классификацию Рене Бэра). С. R. Acad. Sci., Paris, 1926, т. 182, стр. 1521—1522.

1927

Sur une question concernant la propriété de M. Baire (Об одном вопросе, касающемся свойства Бэра). Fundam. Math., 1927, т. 9, стр. 116—118.

Sur les ensembles analytiques (Об аналитических множествах). Fundam. Math., 1927, т. 10, стр. 1—95.

Remarques sur les ensembles projectifs (Замечания о проективных множествах). С. R. Acad. Sci., Paris, 1927, т. 185, стр. 835—837.

Современное состояние теории функций действительного переменного. Москва, Труды Всероссийского матем. съезда, стр. 11—32,

1928

Sur l'accessibilité des points (О достижимости точек), Fundam. Math., 1928, т. 12, стр. 158—159.

Sur un ensemble non-dénombrable qui est de première catégorie sur tout ensemble parfait (Об одном несчетном множестве) первой категории на всяком совершенном множестве). R. С. Accad. Lincei, 1928, т. 7, в. 3, стр. 214—215. Совместное В. Серпинским.

1929

Sur les voies de la théorie des ensembles (О путях теории множеств). Atti del Congresso internationale dei matematici 3—10 settembre 1928, т. 1, Bologna, Zanichelli, 1929. стр. 295—299.

Sur le problème des fonctions implicites (О проблеме неявных функций). С. R. Acad. Sci., Paris, 1929, т. 189, стр. 80—82.

Sur la représentation paramétrique semirégulière des ensembles (О параметрическом полурегулярном изображении множеств). Там же, стр. 229—231.

Sur les fonctions implicites à une infinité dénombralle de valeurs (О неявных функциях со счетным множеством значений). Там же, стр. 313-316.

Sur un principe général de la théorie des ensembles analytiques (Об одном общем принципе теории аналитических множеств). Там же, стр. 390—392.

Sur les classes des constituantes d'un complémentaire analytique (О классах конституант аналитических дополнении). С. R. Ас. Sci., Paris, 1929, 189, стр. 794—797. Совместно с В. Серпинским.

Sur les points d'unicité d'un ensemble mesurable В (О точках единственности множеств, измеримых В). С. R. Ас. Sci., Paris, т. 189 (1929), 422-425.

1930

Leçons sur les ensembles analytiques el leurs applications (Лекции об аналитических множествах и их приложениях). Collection de monographies sur la théorie des fonctions publiée sous la direction de M. Emile Borel. Paris, Gauthier-Villars, 1930, стр. 328.

Analogies entre les ensembles mesurables В et les ensembles analytiques (Аналогии между множествами измеримыми В, и аналитическими множествами). Fundam, Math., 1930, т. 16, стр. 48—76.

Sur le problème de M. J. Hadamard d'uniformisation des ensembles (О проблеме Адамара униформизации множеств). С. R. Acad. Sci., Paris, 1930, т. 190, стр. 349-351.

Sur le problème de M. J. Hadamard d'uniformisation des ensembles (О проблеме Адамара униформизации множеств). Mathematica, Cluj, 1930, т. 4, стр. 54—66.

Sur une propriété des fonctions à carré sommable (Об одном свойстве функций с интегрируемым квадратом), Bull. Calcutta math, Soc, 1930, т. 20, стр. 139—154, fig.

1931

О методе академика А. Н. Крылова составления векового уравнения. Изв. АН СССР, ОМЕН, 1931, № 7, стр. 903—958.

Sur une famille de complémentaires analytiques (Об одном семействе аналитических дополнений). Fundam. Math., 1931, т. 17, стр. 4—7.

1932

О методе приближенного интегрировании академика С. А. Чаплыгина. М.—Л., Гос. авиац. и автотр. изд., 1932, 35 стр., черт. (Тр. ЦАГИ, в. 141).

О некоторых свойствах перемещающегося множителя в методе академика А. Н. Крылова. Ч. 1—3. Изв. АН СССР, ОМЕН, 1932, № 5, стр. 595—638; № 6, стр. 735—762; № 8, стр. 1065-1102.

О качественном исследовании уравнения движения поезда. Матем. сб., 1932, т. 39, в. 3, стр. 6—26.

1933

Современное состояние теории функций действительного переменного. М.—Л., ГТТИ, 1933, 58 стр.

Sur les classes des constituantes des complémentaires analytiques (О классах конституант аналитических дополнений). Ann. Scu. norm. sup., Pisa, série 2, 1933, т. 2, fasc. 3, стр. 269—282.

Sur les ensembles toujours de première catégorie. (О множествах, которые всегда являются множествами первой категории). Fundam. Math., 1933, т. 21, стр. 114—126.

1934

Sur une mode de convergence de l'intégrale de Dirichlet (Об одном виде сходимости интеграла Дирихле). Изв. Физ.-матем. об-ва Казан. ун-та, 1934, т. 6, серия 3, стр. 1—4.

О стационарных последовательностях. Тр. Физ.-матем. ин-та, отд. мат., 1934, т. 5, стр. 125—147.

Несколько замечаний о кратной отделимости. ДАН СССР, 1934, т. 2, № 5, стр. 280-284.

Sur les suites stationnaires (О стационарных последовательностях). Paris, Hermann et C-ie, 1934, 19 стр. (Actualité scientifiques et industrielles. 149. Exposés mathématiques publiés à la mémoire de Jaques Herbrand. V) (Новости науки и промышленности. 149. Математические доклады, опубликованные в память Жака Гербранда. V).

О последовательностях измеримых функций. В кн. Лебега «Интегрирование и отыскание примитивных функций». М.—Л., ГТТИ, 1934, стр. 283—290.

О строении измеримых функций. Там же, стр. 290—310.

О построении множеств, не измеримых В. Там же, стр. 310—324.

Sur une propriété nouvelle des ensembles mesurables В (Об одном новом свойстве множеств, измеримых В). С. R. Acad. Sci., Paris, 1934, т, 198, стр. 1116—1118,

Sur quelques problèmes difficiles de la théorie des fonctions (О некоторых трудных проблемах теории функций). Там же, стр. 1296—1298.

Sur la décomposition des ensembles (О разбиении множеств). Там же, стр. 1671—1674.

Quelques remarques sur les courbes qui sont des complémentaires analytiques (Некоторые замечания о кривых, которые являются аналитическими дополнениями). Mathematical, Cluj, 1934, v. 10, p. 70—80 (Bui. Soc. Sti., Cluj, т. 7, стр. 599-609).

Современные проблемы теории функций действительного переменного. Тезисы доклада в кн. Бюллетень II Всесоюзного съезда математиков в Ленинграде 24—30 июня 1934 г. Л., АН СССР, 1934, стр. 8—10.

1935

О некоторых новых результатах дескриптивной теории функций. М.-Л., АН СССР, 1935, 86 стр.

Sur les ensembles analytiques nuls (О пустых аналитических множествах) Fundam. Math., 1935, т. 25, стр. 109—131.

Choix effectif d'un point dans un complémentaire analytique arbitraire, donné par un crible (Эффективный выбор точки в произвольном аналитическом дополнении, заданном решетом). Там же, стр. 559—560. Совместно с С. П. Новиковым.

Sur un raisonnement nouveau dans la théorie des fonction descriptive (Об одном новом рассуждении в дескриптивной теории функций). С. R. Acad. Sci., Paris, 1935, т. 201, стр. 638-640.

Sur un choix d'ensemble parfait distingué dans un complémentaire analytique arbitraire ayant des constituants non-dénombrables (О выборе специального совершенного множества в произвольном аналитическом дополнении, имеющем несчетные конституанты). С. R. Acad. Sci., Paris, 1935, т. 201, стр. 806-809.

1938

Об одной теореме теории уравнений с частными производными, ДАН СССР, 1938, т. 18, № 8, стр. 529—532.

О существовании алгебраических поверхностей, не имеющих главного основания. ДАН СССР, 1938, т. 19, № 1-2, стр. 21-26 и № 4, стр. 227-232.

1939

Доказательство одной теоремы теории изгибания. Изв. АН СССР, ОТН, 1939, № 2, стр. 81-106; № 7, стр. 115-132; № 10, стр. 65—84.

1940

К изучению матричное теории дифференциальных уравнений. Автомат, и телемех., 1940, № 5, стр. 3—66.

1941

Об одном случае теоремы Janet Riquier. ДАН СССР, 1941, т. 31, N° 1, стр. 5—8 и № 5, стр. 419—424.

Реф. «Изучение матричной теории дифференциальных уравнений» в кн. Рефераты научных работ 1940 г. Отделение технических наук АН СССР. М., АН СССР, 1941, стр. 126-127.

1943

О частях натурального ряда. ДАН СССР, 1943, т. 40, № 5 стр. 195—199.

1946

К абсолютной инвариантности и инвариантности до s в теории дифференциальных уравнений. ДАН СССР, 1946, т. 51, № 4, стр. 247—249; № 5, стр. 331-333. Совместно с П. И. Кузнецовым.

1947

О локализации принципа конечной площади. ДАН СССР, 1947, т. 56, № 5, стр. 447—450.

О частях натурального ряда. Изв. АН СССР, серия матем., 1947, т. 11, № 5, стр. 403-410.

Проблемы приближенного интегрирования академика С. А.Чаплыгина (работа должна была быть опубликована в книге «Труды Научно-технического совещания по автоматизированному электроприводу», но это издание не состоялось. В ближайшее время работа будет опубликована в одном из математических журналов).

1949

О регулярном решении задачи изгибания поверхностей на главном основании (работа осталась неоконченной из-за смерти Н. Н. Лузина).

Статьи по истории математики, статьи в Большой Советской Энциклопедии, некрологи и т. д.

1. Борель Эмиль. БСЭ, т. 7, 1927, стб. 142—143.

2. Поль Аппель (1885—1930). Некролог. Изв. АН СССР, ОМЕН, 1931, № 3, стр. 319—322.

3. Иван Александрович Лаппо-Данилевский (1896— 1931). Некролог. Изв. АН СССР, ОМЕН, 1931, № 6, стр. 729—732.

4. Эйлер. По поводу 150-летия со дня смерти. Сорена, 1933, в. 8, стр. 3—24.

5. Функция. БСЭ, т. 59, стб. 314-334 (1934),

6. Дифференциальное исчисление. БСЭ, т. 22 (1935), стб. 622-642.

7. Ньютонова теория пределов. В кн. «Исаак Ньютон», 1643— 1727. Сборник статей к трехсотлетию со дня рождения. М,—Л., АН СССР, 1943, стр. 53-74.

8. И. Ньютон как математик и натуралист. «Природа» № 3—4 (1943), стр. 74—83.

9. Валле-Пуссен Шарль Жан. БСЭ, т. 8, стб. 564.

10. Бэр Ренэ (совместно с А. В. Хромым). БСЭ, 2-е издание (в печати).

ПРИЛОЖЕНИЕ II

ЛИТЕРАТУРА О Н. Н. ЛУЗИНЕ

Егоров Д. Ф., Отзыв о диссертации Н. Н. Лузина. Ученые записки Моск. университета, т. 28 (1916).

Лазарев П. П. и Иоффе А. Ф., Записка об ученых трудах проф. Н. Н. Лузина. Изв. АН СССР, 6-я серия, 1927, т. 21, № 18, стр. 1429—1431.

Крылов А. Н., Записка об ученых трудах Н. Н.Лузина. В кн. Записки об ученых трудах действительных членов АН СССР по отделу гуманитарных наук, избранных 12 января и 13 февраля 1929 г. Л., АН СССР, 1930, стр. 48—64.

Николай Николаевич Лузин. К 60-летию со дня рождения. Успехи матем. наук, 1946, т. I, в. 1, стр. 226—228.

Николай Николаевич Лузин. Изд. АН СССР, М.—Л., 1948.

Памяти Н. Н. Лузина. успехи матем. наук, т. V, вып. 4 (38), 1950.

Н. Н. Лузин. «Известия» от 3 марта 1950 г., № 53.

Академик Н. Н. Лузин. Математика в школе, № 3, май—июнь 1950 г.

Литература, освещающая роль Н. Н. Лузина и его школы в русской науке

Егоров Д. Ф., Успехи математики в СССР. Наука и техника СССР. 1917-1927, стр. 223-232.

Меньшов Д. Е. и Лаврентьев М. А., Успехи теории функций действительного переменного в СССР. Матем. сб. 35 (1928), доп. вып. 21—42.

Канторович Л. В. и Фихтенгольц Г. М. Теория функций вещественной переменной и функциональный анализ. Сборник «Математика и естествознание в СССР», Изд. АН СССР (1938).

Ляпунов А. А. и Новиков П. С, Дескриптивная теория множеств. «Математика в СССР за 30 лет» (1917—1947).

Бари Н. К., Ляпунов А. А., Меньшов Д. Е. и Толстов Г. П., Метрическая теория функций действительного переменного, «Математика в СССР за 30 лет» (1917—1947).

Бермант А. Ф. и Маркушевич А. И., Теория функций комплексного переменного. «Математика в СССР за 30 лет» (1917— 1947).

Александров П. С, Гнеденко Б. В., Степанов В. В., Математика в Московском университете в XX веке. В книге «Историко-математические исследования», вып. 1, ГИТТЛ, Москва—Ленинград, 1948.

Александров П. С, Русская математика XIX и XX вв. и ее влияние на мировую науку. Ученые записки Моск. университета, вып. 91. Роль русской науки в развитии мировой науки и культуры, т. I, книга 1.

Степанов В. В., Московская школа теории функций (в том же издании).

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие ........................ 5

ВСТУПИТЕЛЬНЫЕ СТАТЬИ

В. В. Голубев и И. К. Бари. Биография Н. Н. Лузина ... 11

Н. К. Бари и Л. А. Люстерник. О книге Н. Н. Лузина «Интеграл и тригонометрический ряд» и его работах по метрической теории функций................. 32

Н. Н. ЛУЗИН

ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД

(Диссертация)

Введение.......................... 49

Глава I. Строение измеримых функций.......... 58

Строение измеримых множеств.................... 59

Аналогия измеримых множеств с отрезками.............. 63

Теорема о последовательностях функций.............. 64

Строение измеримых функций .................... 65

Глава II. Отыскание примитивных функций........ 72

Обращение задачи дифференцирования................ 72

Отыскание примитивных функций:

Необходимые условия......................... 77

Достаточные условия......................... 78

Приложения основной теоремы о существовании примитивной: . . .

I. Невозрастающая функция с положительной производной ... 84

II. Общее решение задачи Дирихле для круга.......... 85

Задача отыскания неопределенного интеграла............. 87

Глава III. Характеристические свойства неопределенных интегралов........................ 91

Точная производная и точная примитивная.............. 91

Характеристические свойства неопределенного интеграла Лебега. 95

Характеристическое свойство неопределенного интеграла Данжуа . . 100

Анализ интеграла Бор зля....................... 120

Определение интеграла в Encyclopédie................ 120

Определение интеграла в «Journal de Mathématiques»......... 125

Глава IV. Свойства примитивных функций........ 136

Несуществование общего процесса интегрирования.......... 136

Недостаточность аксиом Лебега................ .... 139

Функции, имеющие производную, равную нулю почти всюду..... 145

Свойства непрерывных функций на множествах меры нуль...... 149

О выборе неопределенного интеграла................. 156

Об одном классе рядов........................ 164

Расширение понятия производной................... 178

Глава V. Свойства тригонометрических рядов...... 188

Расходящиеся тригонометрические ряды ............... 188

Абсолютная сходимость тригонометрических рядов.......... 191

Тригонометрические ряды Фурье................... 197

Необходимый и достаточный признак сходимости........... 200

Формула для сопряженной функции.................. 213

Следствия общей теоремы....................... 215

Общее метрическое свойство измеримых множеств и измеримых функций с интегрируемым квадратом.................. 216

Функции, сопряженные суммируемым функциям........... 223

Признаки сходимости типа Вейля. Результаты Юнга......... 227

Глава VI. Определение интеграла тригонометрическим рядом 233

Методы суммирования тригонометрических рядов........... 233

Изображение произвольной измеримой функции тригонометрическим рядом............................... 236

Задача Фурье.............................. 239

Понятие произвольной функции.................. 240

Характер задачи Фурье...................... 244

Решение задачи Фурье......................... 246

Интегрирование как операция определения коэффициентов тригонометрического ряда по его сумме................... 251

Возможность почленного интегрирования тригонометрических рядов не-Фурье-Лебега.......................... 253

Свойства неопределенного интеграла.................. 256

Теория тригонометрических рядов Римана.............. 259

Литература.................................. 264

РАБОТЫ Н. Н. ЛУЗИНА, ПРИМЫКАЮЩИЕ К ДИССЕРТАЦИИ «ИНТЕГРАЛ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД»

Об одном случае ряда Тейлора............... 271

К основной теореме интегрального исчисления....... 278

Об одном особом интеграле................. 287

Об одном виде сходимости интеграла Дирихле....... 320

О последовательностях измеримых функций......... 327

О строении измеримых функций.............. 338

Список проблем, поставленных Н. Н. Лузиным в период подготовки диссертации.................. 365

КОММЕНТАРИИ И ПРИЛОЖЕНИЯ

Комментарии к диссертации................ 389

Комментарии к статьям Н. Н. Лузина, помещенным в настоящем издании...................... 496

Комментарии к списку проблем............... 502

Литература, цитированная в комментариях к диссертации, статьям и проблемам Н. И. Лузина........... 532

Приложение I. Список печатных трудов Н. Н. Лузина . . . 538

Приложение II. Литература о Н. Н. Лузине........ 546

Редактор Е. M. Ландис. Техн. редактор Н. Я. Мурашова. Корректор А. С. Бакулова.

Подписано к печати 23/VIII 1951 г. Бумага 84Х108/32. 8,69 бум. л. 28,29 печ. л. + 2 вклейки. 30,82 уч.-изд. л. 43 470 тип. зп.

в печ. л. Тираж 5000 экз. Т-05172.

Цена книги 18 р. 45 к. Переплёт 2 р. Заказ № 2692.

4-я типография им. Евг. Соколовой Главполиграфиздата при Совете Министров СССР. Ленинград, Измайловский пр., 29.