Куприкова О. Н., Гушель Р. З. Словарь-справочник по истории математического образования в России / М-во образования и науки Рос. Федерации, Федер. агентство по образованию, Смол. гос. ун-т ; [науч. ред. Г. Е. Сенькина]. — Смоленск, 2006. — 106 с. — Библиогр.: с. 95—105 (222 назв.).

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Смоленский государственный университет

О.Н. КУПРИКОВА, Р.З. ГУШЕЛЬ

СЛОВАРЬ-СПРАВОЧНИК ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В РОССИИ

Смоленск

2006

УДК 51(077) (09)

ББК 22.1я2

К 92

Научный редактор

Г.Е. Сенькина, доктор педагогических наук, профессор, зав. кафедрой методики обучения математике, физике и информатике Смоленского государственного университета

Рецензенты:

М.Е. Стеклов, кандидат педагогических наук, профессор Смоленского государственного университета

Н.А. Максимова, кандидат педагогических наук, доцент Смоленского государственного университета

Куприкова, О. Н.

Словарь-справочник по истории математического образования в России / О. Н. Куприкова, Р. З. Гушель ; под ред. Г. Е. Сенькиной. – Смоленск : СмолГУ, 2006. – 106 с.

Словарь-справочник по истории математического образования в России содержит информацию об основных событиях школьного математического образования. Может служить дополнением содержания учебной дисциплины «Теория и методика обучения математике» в её исторической части.

Предназначен студентам и аспирантам педагогических специальностей, а также всем, кто интересуется вопросами истории математического образования в России.

Издание осуществлено при финансовой поддержке РГНФ, грант № 03-03-00157 А.

УДК 51(077) (09)

ББК 22.1я2

© Куприкова О.Н., Гушель Р.З., Сенькина Г.Е., 2006

© Смоленский государственный университет, 2006

К 92

Социальные и экономические условия гораздо больше влияют на физиономию школы, чем философия и наука данного периода.

В. Мрочек, Ф. Филиппович. «Реформа преподавания математики», 1910

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемый читателю энциклопедический словарь-справочник по истории математического образования в России представляет собой первый шаг на пути к созданию исторического словаря, отражающего генезис методических понятий. Особенностью энциклопедического словаря является то, что он содержит в своей основе события, в то время как в лингвистических словарях основой являются слова и термины. Этим и определяется специфика данного словаря. В его основу положены наиболее авторитетные отечественные исследования по истории преподавания математики, статьи в периодических изданиях разных лет, программы по математике, учебники по методике преподавания математики в средней школе. Отбор материала производился на основе его значимости для становления математического образования в школе на каждом этапе, выделенном исследователями истории отечественного школьного математического образования, такими, как Б.П. Бычков, Ю.М. Колягин, А.В. Ланков, Т.С. Полякова, Р.С. Черкасов. Так, например, из множества международных конгрессов математиков, проводимых в разных странах мира, выбирались лишь те, на которых звучали доклады, связанные с проблемами преподавания математики в средней школе.

Поскольку информация, представленная в словаре, носит энциклопедический характер, то основными способами построения словарной статьи является описание и экземплификация, которые допускают приведение примеров, разъяснений, иллюстраций, подробное раскрытие содержания рассматриваемого явления.

Словарь-справочник содержит в себе семь периодов развития математического образования в России, расположенных в хронологическом порядке. В данной работе история развития школьного математического образования рассмотрена в контексте эволюции всей образовательной системы в России, что нашло свое отражение во включении в словарь достаточно большого количества статей о реформах образовательных систем. Однако из всех реформ и преобразований, проводившихся в России, наибольшее значение для составителя словаря имели те, которые непосредственно сказались на преподавании математики. В связи с тем что система образования претерпевала значительные изменения в течение времени, охватываемого в словаре, то при составлении словаря авторы посчитали необходимым отразить основные виды учебных заведений, существовавших на территории России в определенные исторические периоды, уделяя особое внимание постановке преподавания в них математики.

Внутри каждого периода словарные статьи располагаются в соответствии со следующей тематической последовательностью:

- образовательные реформы; съезды и конгрессы;

- система народного образования, виды учебных заведений;

- программы по математике;

- учебники математики;

- методические пособия для учителей математики;

- периодические педагогические и методико-математические издания.

Такая последовательность расположения материала, по мнению составителей, является наиболее оптимальной, так как социальные преобразования непосредственным образом сказываются и на преподавании отдельных наук. В некоторых периодах имеются словарные статьи, описывающие отдельные понятия методики обучения математике, характерные для того времени, например, «метод целесообразных задач», «фуркация», что является первой попыткой, экспериментом по отражению в словарях генезиса методических понятий, которая в дальнейшем должна вылиться в отдельный исторический терминологический словарь по методике обучения математике.

В словаре представлены статьи, отражающие основные этапы развития математической науки для того, чтобы показать читателю связь между развитием математики как науки и математики как учебного предмета. К каждой словарной статье приводится список источников, в том числе и исторических, в которых можно найти более полное описание рассматриваемого вопроса.

Для облегчения поиска необходимой информации словарь содержит алфавитный указатель.

Предполагается, что основными пользователями словаря могут стать студенты педагогических специальностей физико-математических факультетов, словарь окажет им помощь в подготовке к занятиям по теории и методике обучения математике и истории педагогики.

ТЕМАТИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ

1. Период накопления первичных математических фактов и зарождения математики (с древнейших времен до VI-V в. до н.э.)

2.Период элементарной математики (математики постоянных величин) (начиная с VI-V вв. до н.э. до конца XVII в.)

2.1. Период зарождения отечественного математического образования (со времен Киевской Руси (X-XI вв.) до XVII в.) (по Т.С. Поляковой)

3. Период классической высшей математики (с XVII в. до середины XIX в.)

3.1. Период создания первых светских школ (1700-1800 гг.) (по Р.С. Черкасову)

3.1.1. Образовательные реформы XVIII в.

3.1.2. Школа навигацких наук

3.1.3. Цифирные школы

3.1.4. Морская академия

3.1.5. Гарнизонные школы

3.1.6. Кадетские корпуса

3.1.7. Академическая образовательная система

3.1.8. Университетская образовательная система

3.1.9. Гимназии

3.1.10. Учительские семинарии

3.1.11. Народные училища

3.1.12. Методическая школа Л. Эйлера

3.1.13. Программа по математике

3.1.14. Учебники математики

3.1.15. Методические пособия для учителей математики

4. Период современной математики (начиная с XIX в.)

4.1. Период становления светского школьного образования (1800-1860 гг.) (по Р.С. Черкасову)

4.1.1. Образовательные реформы первой половины XIX в.

4.1.1.1. «Устав университетов Российской империи»

4.1.1.2. «Устав учебных заведений, подведомых университетам»

1) Приходские училища

2) Уездные училища

3) Гимназия

4) Университеты

4.1.2. Программа по математике

4.1.3. Учебники математики

4.1.4. Методические пособия для учителей математики

4.1.5. Периодические издания

4.2. Период развития массового среднего образования. Обсуждение проблем методики преподавания математики (1860-1900 гг.) (по Р.С. Черкасову)

4.2.1. Образовательные реформы второй половины XIX в.

4.2.2. Реформы преподавания математики в средней школе на рубеже XX в.

4.2.3. Программа по математике

4.2.4.Учебники математики

4.2.5. Методические пособия для учителей математики.

4.2.6. «Вестник опытной физики и элементарной математики» (ВОФЭМ)

4.2.7. «Журнал элементарной математики»

4.2.8. «Журнал Министерства народного просвещения»

4.2.9. «Математический сборник»

4.2.10. «Педагогический сборник»

4.2.11. «Физико-математические науки в их настоящем и прошедшем»

4.2.12. Московское математическое общество

4.2.13. Отдел математики Педагогического музея военно-учебных заведений в Петербурге

4.2.14. Метод Грубе

4.2.15. Метод целесообразных задач

4.3.Период всероссийских съездов преподавателей математики (1900-1917 гг.) (по Р.С. Черкасову)

4.3.1. I Международный конгресс математиков

4.3.2. II Международный конгресс математиков

4.3.3. III Международный конгресс математиков

4.3.4. IV Международный конгресс математиков

4.3.5. Международное движение за реформу школьного математического образования

4.3.6. Международная комиссия по математическому образованию МКМО (IMUK)

4.3.7. Русская национальная подкомиссия МКМО

4.3.8. Первый международный съезд по математическому образованию

4.3.9. Первое пленарное заседание МКМО

4.3.10. Второй международный съезд по математическому образованию

4.3.11. V Международный конгресс математиков

4.3.12. Третий международный съезд по математическому образованию

4.3.13. Международная конференция МКМО

4.3.14. Первый Всероссийский съезд преподавателей математики

4.3.15. Второй Всероссийский съезд преподавателей математики

4.3.16. «Меранские программы»

4.3.17. Программа по математике

4.3.18. Учебники математики

4.3.19. Методические пособия для учителей математики

4.3.20. «Математическое образование»

4.3.21. Фузионизм

4.3.22. Фуркация обучения

4.4. Период становления послереволюционной школы. Поиск новых путей математического образования (1918-1932 гг.) (по Р.С. Черкасову)

4.4.1. Государственная комиссия по просвещению

4.4.2. Единая трудовая школа

4.4.3. Рабочие факультеты (рабфаки)

4.4.4. Фабрично-заводские семилетки (ФЗС)

4.4.5. Школы крестьянской (колхозной) молодежи (ШКМ)

4.4.6. Программа по математике

4.4.7. Учебники математики

4.4.8. Методические пособия для учителей математики

4.4.9. Бригадно-лабораторный метод

4.4.10. Метод проектов

4.4.11. Комплексная система обучения

4.5. Период совершенствования общеобразовательной и трудовой политехнической школы (1932-1964 гг.) (по Р.С. Черкасову)

4.5.1. Постановление правительства «О начальной и средней школе»

4.5.2. Всероссийское совещание по вопросам преподавания математики

4.5.3. I Генеральная ассамблея Международного математического союза

4.5.4. Международный конгресс математиков в Амстердаме

4.5.5. XIX Международная конференция по народному просвещению

4.5.6. Международный конгресс математиков в Эдинбурге

4.5.7. XIV Международная конференция преподавателей математики в Кракове

4.5.8. Международный симпозиум по вопросам преподавания математики в Будапеште

4.5.9. Международный конгресс математиков в Стокгольме

4.5.10. Международная конференция, посвященная новым методам преподавания математики

4.5.11. Академия педагогических наук

4.5.12. Научно-исследовательский институт методов обучения

4.5.13. Программа по математике

4.5.14. Учебники математики

4.5.15. Методические пособия для учителей математики.

4.5.16. «Математика в школе»

4.5.17. «Математическое просвещение»

4.6. Период реформы школьного математического образования и неожиданной её приостановки (1964-1984 гг.) (по Р.С. Черкасову)

4.6.1.Комиссия по определению содержания школьного математического образования АН СССР и АПН СССР

4.6.2. Реформа школьного математического образования

4.6.3. Контрреформа школьного математического образования

4.6.4. Международный конгресс математиков в Москве

4.6.5. Международный коллоквиум по вопросам модернизации школьной математики в Бухаресте

4.6.6. Международный конгресс по математическому образованию в Лионе (Франция)

4.6.7. Второй международный конгресс по математическому образованию в Эксетере (Англия)

4.6.8. Международная конференция по математическому образованию в Кракове

4.6.9. Программа по математике

4.6.10. Программа факультативных занятий по математике

4.6.11. Учебники математики

4.6.12. Методические пособия для учителей математики

1. Период накопления первичных математических фактов и зарождения математики (с древнейших времен до VI-V вв. до н.э.) характеризуется практическими вычислениями и измерениями, формированием понятия числа и фигуры на основе эмпирических данных. Изучаются простые геометрические фигуры, величины – длина, площадь, объем и т.д. Область применения математики – счет, торговля, земляные работы, астрономия, архитектура. Математические знания представляют собой свод правил для решения практических задач, которые не формулируются в общем виде, а поясняются на конкретных примерах. Например, древние египтяне занимались только теми математическими операциями, которые были необходимы для их непосредственных хозяйственных нужд, но никогда не создавали теорий, что является одним из важнейших признаков научного знания. По мере эволюции математики числа начинают рассматриваться не как прообраз предметных совокупностей, которыми оперируют в практике, а как относительно самостоятельные математические объекты, свойства которых подлежат систематическому изучению. С этого момента начинается собственно математическое исследование, в ходе которого из ранее изученных натуральных чисел строятся новые идеальные объекты. Применяя, например, операцию вычисления к любым парам положительных чисел, можно было получить отрицательные числа при вычитании из меньшего числа большего. Такой метод формирования знаний характерен для Древней Греции, в которой произошло превращение математики в формализованную науку с оформившимся дедуктивным методом. Начало греческой геометрии связывается с именем Фалеса Милетского. (76; 164)

2.Период элементарной математики (математики постоянных величин) (начиная с VI-V вв. до н.э. до конца XVII в.). Началом периода послужило построение геометрии как самостоятельной науки в знаменитых «Началах» Евклида. Этот период характеризуется тем, что математика выступает как самостоятельная научная дисциплина, имеющая свой предмет (число, фигура) и свои методы исследования. Появилась новая математическая дисциплина – алгебра, имеющая специальную символику. Возникли знаменитые задачи древности – квадратура круга, трисекция угла, удвоение куба, были построены первые иррациональные числа. Евклид заложил основы теории чисел. Архимед разработал методы нахождения площадей и объемов различных фигур и тел (в том числе площадь сегмента параболы, поверхности шара, объем сегмента шара и параболоида). Диофант исследовал преимущественно решение уравнений в рациональных положительных числах.

Значительного развития математика достигла в древнем Китае и древней Индии. Китайским математикам были свойственны высокая техника произведения вычислений и интерес к развитию алгебраических методов. Индийским математикам принадлежат заслуги введения десятичной нумерации, употребление нуля для обозначения отсутствия единиц данного разряда, а также более широкого развития алгебры, оперирующей не только положительными рациональными числами, но и отрицательными и иррациональными.

Наследниками как греческой, так и индусской математической культуры стали народы, объединённые в VII в. н.э. арабским халифатом: впервые была изложена алгебра как самостоятельная наука, многие геометрические задачи получили алгебраическую формулировку, были введены в рассмотрение тригонометрические функции, десятичные дроби, вычислено число .с семнадцатью верными десятичными знаками.

Время с XII по XV вв. является периодом освоения Европой древней математической науки. Этого требовали и развивающиеся торговые операции крупного масштаба, связанные с денежными расчётами, постройкой кораблей. Наряду с переводами математических сочинений с арабского и греческого на латинский язык, интернациональный язык науки того времени, появилось и несколько оригинальных математических сочинений, имевших преимущественно учебный характер. Лучшими из них были книги Леонардо Пизанского (Фибоначчи), опубликованные в начале XIII в., а именно: «Книга об абаке» и «Практика геометрии».

В конце XV в. было изобретено книгопечатание, существенно ускорившее развитие математики и науки вообще. В XVI в. было сделано несколько крупных математических открытий: найдено решение уравнений 3-й и 4-й степени в радикалах, установлены методы приближенного вычисления действительных корней уравнений любой степени с численными коэффициентами, сделаны первые шаги по введению комплексных чисел, достигнуты большие успехи в деле создания алгебраической символики и т.д.

Этот этап развития мировой математической науки представляет для учителя математики в средней школе большой интерес, так как именно в этот период развивалась те элементы математики, которые явились базой для дальнейшего развития науки и которые под названием «элементарная математика» являются объектом изучения в школе. (14; 76; 164)

2.1. Период зарождения отечественного математического образования (со времен Киевской Руси (X-XI вв.) до XVII в.) (по Т.С. Поляковой) Исследователем истории математического образования в России Т.С. Поляковой этот период характеризуется как латентный: история не сохранила практически никаких явных свидетельств о содержании и методах обучения математике в этот период. Однако разнообразные и убедительные косвенные данные позволяют утверждать, что математическое образование функционировало на всем его протяжении, однако с различной степенью интенсивности. Так, в период крещения Киевской Руси образование должно было служить в первую очередь укреплению веры, и поэтому в это время в стране стало распространяться «книжное учение», появляются училища на «утверждение веры», которыми, по свидетельству летописцев, руководили прибывшие из Греции и Болгарии священники. В Киеве, Новгороде и других крупных городах основываются народные училища для детей священников и светской знати в виде школ при монастырях, которые явились первыми образовательными институтами Руси. Литературные источники, по которым можно судить о математическом образовании

ХI-XII вв. – это юридический сборник Ярослава Мудрого «Правда Русская» и первое отечественное математическое сочинение монаха Кирика Новгородца.

«Правда Русская» включает значительное количество статей, в которых приводятся математические расчеты. Часть из них достаточно сложна для того времени (вычисление процентов, определение площади земельных участков, приплода от скота и др.). Можно предположить, что образованная часть общества Руси в XI в. обладала достаточно высоким уровнем математической культуры, чтобы не только понимать изложенные в ней законы, но и претворять их в жизнь.

Первый известный древнерусский математический трактат «Учение им же ведати человеку числа всех лет» написан в 1136 г. монахом Новгодского Антониева монастыря Кириком. Его работа содержит достаточно грамотные математико-хронологические расчеты и даже пример геометрической прогрессии со знаменателем 5, аналоги которых отсутствуют в мировой математической литературе. Трактат построен на дидактических принципах последовательности, связи нового материала с известным, иллюстрации теоретических положений конкретными практическими примерами, обобщения освоенного материала в конце каждого раздела.

В период татаро-монгольского нашествия XIII-XIV вв. вместе с общим падение культуры и нравственности катастрофически деградирует уровень образованности во всех слоях общества, школы практически прекращают своё существование. Культура Древней Руси сохранилась только в Новгороде, который практически не был затронут татаро-монгольским нашествием. Уровень грамотности среди самых широких слоев общества был достаточно высок, об этом свидетельствуют сенсационные археологические открытия середины XX в. – новгородские берестяные грамоты. Среди грамот найдены и те, которые описывают процесс обучения счету: грамота № 342 представляет собой «цифровой алфавит» (аналогичный буквенному) - перечень чисел от 1 до 40000 и грамота № 376 рубежа XIII-XIV вв., которая ещё называется «детской», так как её основой послужило дно берестяного туеса, по предположению используемого маленькими новгородцами для школьных упражнений, на грамоте нанесены буквы, буквообразные знаки, рисунки, четыре первые цифры. В древнем Новгороде обучение грамоте происходило по одной методике: использование цифровых алфавитов.

В связи с укреплением в XV-XVII вв. Московского государства, последовавшим за освобождением от татаро-монгольского ига, возникла потребность в математических знаниях (запросы торговли, землепользования, денежные операции, измерение расстояний, развитие ремесел), но по-прежнему не хватало элементарно грамотных людей. Но тем не менее в России, хоть и медленно, но происходило наращивание интеллектуального потенциала. Несмотря на отсутствие специализированных школ и негативное отношение духовенства на распространение математической культуры и математических книг, в XVI в. появляются просветительские переводные книги, содержащие некоторые математические сведения: «Метафизика» арабского ученого ал-Газали (XI в.), «Космография» и «Шестокрыл». Однако в это время доминировало духовное образо-

вание, что подтверждается открытием в 1639 г. первого высшего учебного заведения в России – Киево-Могилянской Академии. Хотя и имеются достоверные сведения об изучении в выпускном классе Академии арифметики и элементов геометрии, но математическое образование в ней носило вспомогательный, подчиненный, сугубо утилитарный характер.

За пределами духовной образовательной системы математическое образование в XVII в. развивалось в связи с профессиональными запросами того или иного вида деятельности: это было семейное образование, индивидуальное самообучение. Свидетельством этого является значительное количество математических рукописей XVI в., подавляющее большинство которых носило характер учебных пособий по математике. Среди них доминируют арифметические рукописи, содержание которых таково: нумерация, правила действия с целыми числами и дробями, инструментальный счет, правила коммерческой и элементы занимательной арифметики. Важнейшим позитивным результатом не только математического, но и общекультурного значения является распространение на Руси с помощью арифметических рукописей индо-арабской десятичной позиционной системы счисления. С методической точки зрения изложение арифметики ведется догматически: без всякого обоснования заучиваются готовые правила, которые применяются в аналогичных обстоятельствах. В качестве основных методов решения задач применяется тройное правило, правило ложного положения и метод сведения к единице. Основным самобытным вычислительным инструментом являются русские счеты. Качественный уровень арифметических руководств в основном отвечает европейскому. Геометрические сведения в небольшом количестве сосредоточены в арифметических рукописях и нескольких рукописях прикладного характера, в которых геометрия служит средством решения практических задач, отсутствуют теоретические обоснования и многие приведенные правила решения неточны, а иногда и неверны. Впервые в русском языке систематическое изложение теоретической геометрии в соответствии с новейшими для той поры западноевропейскими методическими идеями дано в геометрической рукописи «Синодальная № 42». Это учебник геометрии, созданный по заказу государя Михаила Федоровича князем Иваном Елизарьевым. Он содержит определения геометрических фигур, теоремы с чертежами и элементами обоснований и решения задач на построение и вычисление. Этот учебник не был напечатан и, вероятно, не оказал влияния на развитие математического образования. (35; 139; 206)

3. Период классической высшей математики (с XVII в. до середины XIX в.) начался с создания исчисления бесконечно малых. Этот период характеризуется созданием и развитием математического анализа, изучением процессов в их движении, развитии. Рассмотрение переменных величин и связей между ними привело к понятиям функции, производной и интеграла, к возникновению новой математической дисциплины – математического анализа. Введение и систематическое употребление координат дало универсальный метод перевода задач геометрии на язык алгебры и анализа, в результате чего возникли новые

ветви геометрии – аналитическая и дифференциальная. Методы математического анализа, в особенности дифференциальные уравнения, стали основой математического описания законов механики и физики, а также технических процессов; с ними неразрывно связан прогресс естествознания и техники. Под влиянием математического анализа складываются новые области в смежных дисциплинах – аналитическая механика, математическая физика и т.д. Широкое применение в приложениях математики получило вариационное исчисление.

До начала движения за реформу математического образования в начале XX в. содержание математики в средней школе не выходило сколько-нибудь существенно за рамки того, что математическая наука установила до начала XVII в., а в высшей школе – за рамки того, что вошло в неё до середины XIX в. (14; 76; 164)

3.1. Период создания первых светских школ (1700-1800 гг.) (по Р.С. Черкасову)

3.1.1. Образовательные реформы XVIII в. К началу XVIII в. в России возникла потребность в интенсивном росте производительных сил, в укреплении обороноспособности страны, развитии науки и техники. На решение этих задач были направлены преобразования, осуществляемые Петром I в начале XVIII в. Для развития педагогики и школы большое значение имели просветительские реформы, носившие подчеркнуто светский и прагматический характер. Были созданы цифирные школы. Достаточно большими тиражами издавались учебные пособия, словари. Был введен гражданский алфавит и арабская система нумерации. Открывались новые типографии, первые публичные библиотеки, появился и первый естественнонаучный музей – Кунсткамера.

В развитии школы и просвещения XVIII в. выделяются четыре периода:

I период охватывает первую четверть XVIII в. Это время создания первых светских школ, дававших начальные практические знания, необходимые в обстановке реформ разных сторон жизни общества.

II период – 1730-е -1765 гг. – возникновение закрытых сословных дворянских учебных заведений, формирование системы дворянского образования и одновременно борьба М. Ломоносова за общенародное образование, за создание Московского университета.

III период – 1766-1782 гг. – развитие просветительских педагогических идей, возрастающая роль Московского университета, осознание необходимости государственной системы народного образования, реформы учебных заведений.

IV период – школьная реформа 1782-1786 гг. – первая попытка создания государственной системы народного образования.

Для математического образования XVIII в. характерны следующие основные особенности, охарактеризованные Т.С. Поляковой: 1) встроенность математического образования во все образовательные системы; 2) доминантный характер математического образования; 3) нерасчлененность математического образования на возрастные (начальное, среднее, высшее) или содержательные (то, что мы сейчас называем элементарной или высшей математикой) ступени;

4) длительное господство в образовательном пространстве России контекстной модели математического образования; 5) многопредметный характер преподавания математики (чистая математика состояла из арифметики, геометрии, плоской и сферической тригонометрии, учения о шаре и т. д.). В содержании прикладной математики нашли отражение самые разные предметы: механика, оптика, астрономия, аэрометрия, гидравлика, геодезия, горное дело, военная и гражданская архитектура и др.; 6) появление патронажа математики как науки над математическим образованием, который состоял в том, что математики мирового уровня, и прежде всего Л. Эйлер, своей научной деятельностью во многом определили развитие математического образования. (25; 50; 79; 139; 206)

3.1.2. Школа навигацких наук в 1701-1715 гг. – государственное учебное заведение в Москве для подготовки специалистов морского флота, судостроителей, геодезистов и др.; в 1715-1752 гг. Московская подготовительная школа петербургской Морской академии. Это было первое реальное училище в Европе. Другое, открытое в 1708 г. в Галле (Германия) реальное учебное заведение, называвшееся «Математическое, механическое и экономическое реальное училище», было частным, имело мало учеников (12 человек) и просуществовало всего несколько лет.

Школа навигацких наук была государственной, в ней обучалось ежегодно не менее 200, а иногда до 500 учащихся. В учебный план школы навигацких наук входили математика (арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия), астрономия, географические сведения и специальные науки: геодезия, мореплавание и др. (57; 74; 79; 133; 139; 165; 182; 201)

3.1.3. Цифирные школы в 1714-1744 гг. в России государственные начальные общеобразовательные школы для мальчиков всех сословий, кроме крестьян. Обучали грамоте, письму, арифметике, а также элементарным сведениям по алгебре, геометрии, тригонометрии. Учителей математики цифирные школы получали из специальных профессиональных школ. Так, по данным документальных источников, в 1716 г. по велению Петра I из Московской школы навигацких наук и Петербургской морской академии в местные цифирные школы было направлено 47 учителей. Обучение в них носило догматический характер: требовалось только запоминать правила и уметь применять их соответствующим задачам. Преобразованы в гарнизонные, архиерейские и горнозаводские школы. (23; 75; 79; 139)

3.1.4. Морская академия создана в 1715 г., когда часть учеников старших классов Школы навигацких наук в Москве была переведена в Санкт-Петербург. Число учеников насчитывало 300 человек.

3.1.5. Гарнизонные школы в 1721-1798 гг. в России – низший разряд военноучебных заведений при войсковых гарнизонах для детей солдат. Обучали грамоте, строевой подготовке, артиллерийскому и инженерному делу. С 15 лет

воспитанники зачислялись в армию. С начала XIX в. реорганизованы в кантонистские школы.

3.1.6. Кадетские корпуса – закрытые средние военно-учебные заведения преимущественно для детей офицеров. Первый кадетский корпус был открыт в 1732 г. в Петербурге – Сухопутный шляхетский корпус. По его образцу строились все кадетские корпуса. В кадетском корпусе было четыре классе. Обучение в каждом классе продолжалось от двух до четырех лет, а общий срок обучения – в среднем 10-12 лет. Счет классам велся в обратном порядке, т. е. первый класс считался четвертым, а выпускной – первым. В первых двух классах (четвертом и третьем) изучались общеобразовательные предметы: словесность, математика, история и география, а в старших классах – специальные. Первоначально какой-либо единой системы в организации процесса обучения не было. Об этом свидетельствуют следующие статистические данные: большинство кадетов обучались немецкому языку – 163 человека, арифметике – 110, геометрии – 19, географии – 39, латинскому языку – 64, французскому – 91, рисованию – 22, танцам – 40, фехтованию – 45 и верховой езде – 24. В 1737г. вышел указ, согласно которому кадеты по достижению 12 и 16 лет должны были сдавать экзамены. Те из 16-летних кадетов, которые не выдерживали экзамен по Закону Божьему, арифметике и геометрии, определялись матросами.

В 1743 г. корпус получает название «Сухопутного кадетского корпуса». В 1765 г. корпус возглавил общественный деятель и педагог И. И. Бецкой, известный как автор утопического плана воспитания «новой породы людей» в интернатах закрытого типа. По поручению Екатерины II он занимался преобразованием и созданием учебных заведений в России. Бецкой также провел реорганизацию корпуса согласно разработанному «Уставу». Теперь кадеты делились на 5 возрастов: I возраст – 5-6-8(9) лет; II возраст – 9-12; III возраст – 1215; IV возраст – 15-18; V возраст – 18-21.

Очередная реорганизация корпуса была осуществлена М. И. Кутузовым в 1794 г. «Вместо пяти возрастов вводились четыре мушкетерские и одна гренадерские роты по 96 кадетов в каждой. Вместо первого возраста стало так называемое малолетнее отделение, куда зачислялись дети в возрасте 4-7 лет». Историки также утверждают, что в этот период в корпусе утвердилась классноурочная система обучения, по которой в классе стали объединять воспитанников одного возраста и приблизительно одного уровня знаний.

В 1752 г. создается Морской шляхетский кадетский корпус, который заменил ряд учебных заведений: Морскую академию и Морскую артиллерийскую школу в Петербурге и Сухаревскую математическую школу в Москве. Корпус был организован по примеру Сухопутного, и учебное дело здесь первое время было поставлено достаточно хорошо. В 1726 г. директором корпуса назначался капитан-лейтенант Иван Логинович Голинищев-Кутузов. При нем для наиболее способных к математическим наукам и астрономии были образованы специальные «математические классы», которые впоследствии стали базой для офицерских классов при Морском корпусе (позже – Николаевской морской академии). После пожара 1771 г. в связи с переездом кадетов в Кронштадт уровень

подготовки заметно снизился. Но к концу XVIII в. былая слава корпуса была восстановлена. Немалую роль в этом сыграло назначение на должность инспектора классов Платона Яковлевича Гамалеи (1795 г.), который составил для своих воспитанников уникальный для того времени курс «Вышняя теория морского искусства», второй том которого был полностью посвящен высшей математике.

В 1758 г. на базе слияния двух училищ – артиллерийского и инженерного – основан единый артиллерийский и инженерный шляхетский кадетский корпус, в котором математика была представлена следующими разделами: арифметика и практическая геометрия (4-й класс); «литерная» арифметика (уравнения 1-й и 2-й степени, 5-й класс); геометрия, тригонометрия и энциклопедия смешанной математики (элементы механики и гидравлики, гражданская архитектура, фортификация и артиллерия); алгебра («изъяснения высших уравнений, сечений конических и прочая», 6-й класс), механика и гидравлика. (26; 79; 139; 194)

3.1.7. Академическая образовательная система, которая возникла в связи с созданием в Санкт-Петербурге в 1725 г. Академии наук, во второй четверти XVIII в. приходит в упадок, а к концу века окончательно исчерпала себя. Тем не менее она сыграла чрезвычайно важную, возможно, ключевую роль в развитии математического образования, так как оно, как и в профессиональной образовательной система, имело в ней доминантный характер, но не столько в силу практической необходимости или традиции, сколько в силу уникального кадрового состава ученых-математиков Академии, прежде всего Л. Эйлера. Академическая образовательная система явилась тем полигоном, на котором генерировались и апробировались новые методические и содержательные идеи в сфере математического образования, создавались учебники математики нового поколения, сосредоточивались основные научно-педагогические кадры в области математического образования. Академическая образовательная система заложила основы отечественной традиции патронажа науки над образованием, с особой силой проявившейся в математическом образовании: математики мирового уровня (Л. Эйлер) во многом определяли развитие математического образования, генерируя и реализуя наиболее прогрессивные идеи в учебниках и педагогической деятельности. При академии предусматривалось иметь университет и гимназию. (80; 82; 95; 103; 139; 180; 199; 218)

3.1.8. Университетская образовательная система представлена Московским университетом, учрежденным в 1755 г. и гимназиями при нем. Как и академическая, она оказалась нежизнеспособной, просуществовав только вторую половину XVIII в. Математическое образование в университетской образовательной системе перестает быть доминантным, каковым было во всех образовательных системах XVIII в. Московский университет того времени – образовательное учреждение преимущественно гуманитарного и частично естественнонаучного направления. Научно-педагогические кадры математиков университетской образовательной системы во многом уступали по качеству и академической, и

профессиональной образовательным системам. Уровень математического образования был невысок, использовались и создавались учебники, в основу которых закладывались не перспективные (методической школы Л. Эйлера), а во многом устаревшие идеи. Тем не менее роль университетской образовательной системы в развитии отечественного образования, в том числе математического, чрезвычайно велика: 1) она дала импульс развитию того, что впоследствии станет приоритетным явлением отечественного образования – гимназического образования в его классическом варианте; 2) она явилась одним из центров подготовки педагогических кадров для отечественного образования, в том числе математического. (56; 134; 139; 213; 220)

3.1.9. Гимназии входили в университетскую образовательную систему. Первая гимназия была открыта в 1726 г. при Академии наук в Санкт-Петербурге. Эту академическую гимназию можно считать первой в России государственной светской общеобразовательной школой, имеющей своей целью подготовку молодежи к поступлению в университет, к карьере ученого. Гимназия состояла из двух отделений: немецкая школа (3 года обучения) и латинская школа (2 года обучения). Основными учебными предметами были языки, словесность, история, география, математика и естествознание. В январе 1755 г. был издан указ об учреждении при Московском университете двух гимназий, одна гимназия предназначалась для дворян, вторая – для разных чинов людей, кроме крепостных крестьян. Благодаря этому в Московском университете удалось создать преемственную систему среднего и высшего образования. М.В. Ломоносов был не только профессором университета, но и с 1758 г. руководил университетскими гимназиями. В гимназии изучали латинский и русский языки, арифметику, геометрию, географию; преподавание вели наиболее способные студенты университета; языком обучения в гимназии, как и в Московском университете был русский, а не латинский и немецкий, как в гимназии и университете при Академии наук в Петербурге. Университетская гимназия насчитывала сначала сотни, а затем тысячи учащихся. Успешный опыт её работы позволил университету уже в 1758 г. расширить поле своей деятельности и открыть гимназию в Казани. (65; 107; 139; 183; 213)

3.1.10. Учительские семинарии – 3-4-годичные средние педагогические учебные заведения для подготовки учителей начальных школ. В России первая учительская семинария была открыта в 1779 г. при Московском университете. Она готовила учителей для Московской и Казанской гимназий. По проекту академика Ф. Эпинуса в 1783 г. было открыто Главное народное училище и при нем учительская семинария в Санкт-Петербурге. Разделение их на два самостоятельных учебных заведения последовало только в июле 1786 г. Срок обучения в учительской семинарии составлял 2,5 года. В 1804 г. она была преобразована в Педагогический институт. Из физико-математических наук в программу главных училищ входила арифметика, геометрия, физика и механика. Никакие специальные педагогические предметы не преподавались. (75; 137; 139)

3.1.11. Народные училища (народные школы) организовывались с 1783 г. по инициативе Екатерины II и при активном участии Ф.И. Янковича по «Уставу народным училищам в Российской империи», согласно которому в городах открывались малые (с двухлетним курсом) и главные (с пятилетним курсом обучения в составе четырех классов, последний класс был двухгодичным) народные училища. Первое главное народное училище было открыто в Петербурге в 1783 г., а к 1786 г. такие училища были созданы уже в 25 губерниях. В учебный план главных училищ включались следующие предметы: чтение, письмо, счет, краткий катехизис, священная история, чистописание, рисование, арифметика, история (всеобщая и русская), география, грамматика, геометрия, механика, физика, естественная история, архитектура. В народных училищах в целом обеспечивалась элементарная математическая грамотность, и, по утверждению Т.С. Поляковой, поставленное здесь математическое образование стало прообразом начального образования. Преподавание математики в народных училищах было организовано не лучшим образом, «в особенности большое затруднение встречаемо было в преподавании арифметики. Большая часть учителей никак не могла успеть пройти её во 2-м классе малых народных училищ». Но О.А. Саввина приводит и другие, просто удивительные факты: некоторые воспитанники главных народных училищ не только успешно усваивали курс арифметики и тригонометрии, но и овладевали знаниями из высшей математики. В исторической записке за 1792 г., составленной А. Андрияшевым, говорится, что учитель «Володковский, принимая во внимание возраст учащихся, поступивших из семинарии для большей пользы учащихся и своей заслуги преподавал математику гораздо обширнее, чем она положена по уставу». Мало того, что все правила арифметики утверждал доказательствами, но «обучал даже алгебре и довел учащихся до того, что они в состоянии были публично решать задачи до прогрессий и до вычисления интересов посредством логарифмов, проходили также плоскую тригонометрию. Сличая по тригонометрическим посылкам решенные задачи с геометрической практикой; знание же тригонометрии было настоящим средством проходить механику и физику как можно полнее и с доказательствами; а, наконец, по просьбе учащихся показаны им и высшие основания математики». (139; 184; 196; 204)

3.1.12. Методическая школа Л. Эйлера (1707-1783) – уникальное явление патронажа математики как науки над математическим образованием, которое, по мнению Т.С. Поляковой, является характерной особенностью математического образования XVIII в. Единая методическая концепция Л.Эйлера включает следующие идеи: 1) идея сближения содержания математического образования с современной математикой, реализованная в учебниках самого Эйлера и его учеников и последователей – Н.И. Фусса, М.Е. Головина, С.Я. Румовского, С.К. Котельникова; 2) идея разумной минимизации количества математических дисциплин путем вычленения в школьном математическом образовании основных из них – арифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии; 3) идея построения учебных математических курсов на базе основополагающих дидакти

ческих принципов: систематичности, научности и доступности, учета возрастных особенностей обучающихся.

Методическая школа Эйлера стала фундаментальным фактором дальнейшего развития отечественного математического образования, сфера действия которого была чрезвычайно широкой, включая профессиональную и академическую образовательные системы, а также систему народных училищ: Л. Эйлер, его ученики и последователи Н.Г. Курганов, С.К. Котельников, С.Я. Румовский, М.Е. Головин, Н.И. Фусс составили основу преподавательского состава образовательных учреждений этих систем, активно участвовали в подготовке следующих поколений преподавателей, создавали для них циклы учебных руководств по математике. (10; 86; 118; 139; 155; 216; 219)

3.1.13. Программа по математике. Внешние регуляторы содержания математического образования – учебные планы, программы – в течение XVIII в. отсутствовали. Даже единообразная система народных училищ не имела официально признанных учебных планов и программ. Содержание математического образования определялось учебниками математики.

3.1.14. Учебники математики. Первое русское печатное руководство по математике «Арифметика» Л.Ф. Магницкого вышла в свет в 1703 г. Носило полуэнциклопедический характер с ярко выраженной прикладной направленностью.

Т.С. Полякова и Л.Е. Князева относят «Арифметику» (впрочем, её одну) к первому поколению отечественных учебников математики XVIII в., в которой методические идеи не выделялись и, по всей видимости, не осознавались автором. Они могут быть выделены только при анализе её содержания, таком как:

1. Логическая составляющая учебника явно просматривается:

- делаются попытки систематического определения основных понятий арифметики и алгебры, т. е. выделяется понятийный аппарат;

- доказательства математических предложений отсутствуют, хотя в очень многих случаях Магницкий, растолковывая правила, подводит к их сознательному применению, привлекая при этом все возможные аналогии;

- формулы, как таковые, также отсутствуют: в связи с тем, что символика ещё не проникла в школьные учебники, формулы излагаются в словесной форме, принимая вид правил.

2. Методика изложения материала однородна:

- используется катехизисная форма (форма вопросов и ответов), широко распространенная в то время и имеющая несомненные педагогические достоинства.

- все темы излагаются по единой, если можно так выразиться методической схеме: каждое новое правило начинается с простого примера, затем дается его общая формулировка и, наконец, оно закрепляется большим количеством задач преимущественно практического содержания. Такая методическая схема сохраняется и в некоторых современных технологиях обучения;

- каждое правило, особенно правила выполнения арифметических действий, сопровождается правилом проверки – «поверением»;

- методика обучения арифметическим действиям мало отличается от распространенной в настоящее время.

3. Методические особенности системы задач – одна из наиболее интересных, предложенных Магницким, методических новаций:

- наличие большого количества объяснительных примеров («прикладо»), в которых иллюстрируются основные положения теории;

- каждая задача облекается автором в практическую или просто интересную форму;

- умелый подбор примеров по принципу восходящей трудности;

- прикладной характер задач, в том числе наличие геометрических задач (напомним, что геометрия в книге Магницкого не изучалась специально);

- наличие задач занимательного характера.

4. Значительный гуманитарный потенциал книги:

- в ней содержались сведения из новейшей истории («деяния Петра»), общефилософские рассуждения, изречения, нравоучения, советы;

- основное содержание учебника излагалось в стихотворной форме;

- книга оформлена в соответствии с эстетическими канонами того времени: красочна, изобилует символическими картинками, имеет свой герб и др.

Во второй половине XVIII в. создавались учебники, в которых реализовывались идеи методической школы Эйлера. Эти учебники неоднородны как по качеству математического содержания, так и по степени реализации идей методической школы Эйлера. Среди этих учебников можно выделить созданный для Морской академии учебник арифметики Н.Г. Курганова «Числовник», который сочетал в себе прогрессивные идеи школы Эйлера и отечественные традиции, воплотившиеся в учебнике Магницкого. Широкое распространение вплоть до первой четверти XIX в. получил созданный в это же время учебник Меморского.

Методическая концепция школы Эйлера была реализована в учебнике по высшей математики С.К. Котельникова. Этот учебник хотя и точно обозначал тенденции развития учебной математической литературы, но был плохо приспособлен к реалиям школы XVIII в.

Наиболее полно концепции методической школы Эйлера представляет учебник алгебры Н.И. Фусса, который являлся переработанной версией «Универсальной арифметики» Эйлера и стал прообразом всех последующих учебников алгебры, включая знаменитый учебник А.П. Киселева (XX в.).

Д.С. Аничков создал учебники для Московского университета по всем математическим дисциплинам. Их отличает имеющийся в основе изложения аксиоматический подход даже к курсу арифметики, доказательство даже малосущественных фактов, примат логического над содержательным и методическим.

Курс тригонометрии приобрел современное содержание, представляющее собой элементарный вариант теории тригонометрии, изложенный в трудах Эйлера. Обширный раздел тригонометрии содержится в «Сокращениях математика» С.Я. Румовского. Систематический курс тригонометрии, отличающийся

строгой доказательностью и ясностью изложения, представлен в руководстве по тригонометрии М.Е. Головина.

Наиболее систематическое описание геометрии дано в учебнике по геометрии Н.И. Фусса, созданном им для Сухопутного шляхетского корпуса. (4; 32; 49; 51; 97; 139; 141)

3.1.15. Методические пособия для учителей математики. В XVIII в. отдельные методические пособия ещё не создавались, однако некоторые функции их были реализованы преимущественно в обширных предисловиях к издаваемым учебникам. В них излагались как методологические (предмет математики в целом или отдельной математической дисциплины, взгляды на основные математические понятия – число, величину, фигуру и т. п.), так и методические проблемы (математическое содержание учебника, дидактические принципы, положенные в основу изложения материала, иногда – методические схемы изучения правил, решения задач и др.). Такими были «Обращение к читателю» учебника арифметики Эйлера, «Предуведомление» к «Сокращению математики» Румовского и др.

Первое методическое руководство для учителей в России создал организатор народных училищ Ф.И. Янкович де Мириево. В нем предлагалась общая методика обучения любому предмету в этих учебных заведениях. В предисловиях к учебникам для народных училищ по физико-математическому циклу их создатель М.Е. Головин конкретизировал эту методику применительно к изучению арифметики, геометрии, механики. (7; 8; 23; 29; 33; 58; 83; 84; 85; 124; 139; 179; 202; 222)

4. Период современной математики (начиная с XIX в.) ознаменовался созданием Н.И. Лобачевским и Я.Больяй неевклидовой геометрической системы. Основная черта данного периода – критический пересмотр ряда вопросов обоснования математики. В этот период был написан ряд блестящих работ по теории множеств Г. Кантором и теории функции К. Вейерштрассом. Объективной причиной возникновения и развития теоретико-множественного направления в математике было то, что в математике к этому времени накопилась совокупность недостаточно связанных друг с другом фактов (так, например, построенная теория действительных чисел не давала математическому анализу аппарата для исследования явлений на прямой). Теория множеств дала математике единый метод обоснования и развития практически всех математических теорий: развитие теории функций комплексной переменной, общей топологии, функционального анализа, дальнейшее развитие качественной теории дифференциальных уравнений и вариационного исчисления; существенно изменился предмет теории вероятностей и общей алгебры.

Пропорционально темпам развития математики и росту объёма математических знаний увеличивался объем и изменялось содержание математических знаний, предназначенных для передачи учащимся в процессе обучения

математике. Поэтому был предпринят ряд реформ по совершенствованию преподавания математики в средней школе. (76)

4.1. Период становления светского школьного образования (1800-1860 гг.) (по Р.С. Черкасову)

4.1.1. Образовательные реформы первой половины XIX в. были во многом направлены на поощрение и даже принуждение в основном высших слоев социума к получению систематического образования. В 1802 г. было создано Министерство народного просвещения, Главное правление училищ при нем, шесть учебных округов, охвативших всю обширную территорию Российской империи, что организационно обеспечило реформу глобальной образовательной системы России и придало ей черты единообразия. В 1803 г. вышел указ, законодательно закрепивший разделение образование на начальное (приходские и уездные училища), среднее (гимназии) и высшее (университеты).

В 1804 г. были изданы «Устав университетов Российской империи» и «Устав учебных заведений, подведомых университетам».

В 1828 г. был издан «Устав гимназий и училищ, состоящих в ведении университетов». Согласно этому уставу каждый тип школы приобретал законченный характер и был предназначен для обслуживания определенного сословия. В целях укрепления сословного характера школьной системы преемственная связь между учебными заведениями, введенная в 1804 г., была отменена и доступ детей податного сословия в среднюю и высшую школу сильно затруднен.

В 1852 г. была проведена реорганизация гимназической системы, заключающаяся в выделение трех типов гимназий – с естественными науками и законоведением, с одним законоведением, с латинским и греческим языками. (3; 75; 78; 140; 161; 181; 193; 203; 204)

4.1.1.1. «Устав университетов Российской империи» принят в 1804 г. Согласно этому уставу Россия была разделена на шесть учебных округов: Московский, Петербургский, Казанский, Харьковский, Виленский и Дерптский, в каждом из которых намечалось открыть университет. Во главе учебных заведений округа стояли ученая коллегия университета и попечитель, которые, в свою очередь, подчинялись Министерству и Совету попечителей при нем. На университеты наряду с научными и учебными возлагались и административнопедагогические функции. Они должны были управлять всеми учебными заведениями своего округа, в связи с чем при советах университетов создавались училищные комитеты и профессора университетов должны были выполнять функции методистов и инспекторов («визитаторов»). По этому уставу к трем ранее действовавшим университетский факультетам – философскому, юридическому и медицинскому – присоединялся физико-математический. (79)

4.1.1.2. «Устав учебных заведений, подведомых университетам» был издан 5 ноября 1804 г. Этим уставом была оформлена новая система школьного образования в составе следующих четырех типов учебных заведений:

1. Приходские училища – одногодичные начальные школы, могли учреждаться во всех приходах городов и селений. Целью приходских училищ являлось, во-первых, подготовить учащихся к уездным училищам, во-вторых, дать детям низших слоев населения религиозное воспитание и навыки чтения, письма и счета. В учебный план приходских училищ входили такие учебные предметы: закон божий и нравоучение, чтение, письмо, первые действия арифметики.

2. Уездные училища – начальные школы с двухгодичным сроком обучения, создавались по одному в губернских и уездных городах России. Целью уездных училищ было, во-первых, подготовить учащихся для поступления в гимназию, во-вторых, сообщить детям непривилегированных свободных сословий «необходимые познания, сообразные состоянию их и промышленности». В учебный план уездных училищ были включены закон божий, изучение книги «О должностях человека и гражданина», российская грамматика, а там, где население употребляет другой язык, сверх этого грамматика местного языка, всеобщая и русская география, всеобщая и русская история, арифметика, начальные правила геометрии, начальные правила физики и естественной истории, начальные правила технологии, относящиеся к хозяйству края и его промышленности, рисование – всего 15 учебных предметов. Такая многопредметность создавала непосильную нагрузку для учащихся. Все предметы преподавались двумя учителями; их недельная нагрузка равнялась 28 часам. Каждый учитель обязан был преподавать 7-8 предметов.

3) Гимназия – среднее учебное заведение, учреждавшиеся в каждом губернском городе преимущественно на базе главных народных училищ. Курс обучения в гимназии продолжался четыре года. Целью гимназий, предназначенных для дворян и чиновников, являлась, во-первых, подготовка к университету, а во-вторых, преподавание наук тем, которые «пожелают приобрести сведения, необходимые для благовоспитанного человека». Учебный план гимназии был крайне обширным, энциклопедичным. В него входили латинский, немецкий и французский языки, география и история, статистика общая и Российского государства, начальный курс наук философских (метафизика, логика, нравоучение) и изящных (словесность, теория поэзии, эстетика), математика (алгебра, геометрия, тригонометрия), физика, естественная история (минералогия, ботаника, зоология), теория коммерции, технология и рисование

Так же, как и в уставе народных училищ 1786 г., преподавание учебных предметов рекомендовалось связывать с жизнью. Так, учитель математики и физики должен был проводить с учащимися прогулки, показывать им мельницы, различные машины, находящиеся на местных предприятиях.

Математическое образование в российской гимназии в начале XIX в. страдало многопредметностью, содержательной неопределенностью.

4. Университеты – высшая ступень системы народного образования для учащихся, имеющих знания в объеме гимназического курса. См. 4.1.1.1. «Устав университетов Российской империи». (31; 36; 63; 75; 79; 94; 107; 161)

4.1.2. Программа по математике. В соответствии с уставом 1804 г. учебные планы и программы по-прежнему отсутствуют. Математическое образование в гимназии включает курсы чистой и прикладной математики, содержащие, кроме элементарной математики и некоторых разделов физики, элементы аналитической и начертательной геометрии, начала дифференциального и интегрального исчислений. Относительно распределения гимназического курса математики по классам устав 1804 г. содержал только указания о том, что учитель математики и физики должен преподавать: в 1 классе – части чистой математики (алгебру, геометрию и плоскую тригонометрию); во 2 классе – окончание раздела чистой математики и начало прикладной математики и опытной физики; в 3 классе – продолжение и окончание раздела прикладной математики и опытной физики. На преподавание этих предметов в каждом классе предусматривалось по 6 часов в неделю.

Первые краткие, но единые программы по математике были введены в 1832 г. в соответствии с новым школьным уставом 1828 г., по которому гимназия становилась семиклассной. В 1 и 2 классах изучалась арифметика, в 3 и 4 – алгебра, в 4-5 – геометрия, в 6 – начала начертательной геометрии и прямолинейная тригонометрия, в 6-7 – приложения алгебры к геометрии, включая конические сечения. Начала математического анализа в эти программы не входили.

В середине 30-х гг. министром народного просвещения был назначен С.С. Уваров, который в основу гимназического обучения положил классицизм. В 1845 г. был издан циркуляр «Об ограничении в гимназиях преподавания математики», в соответствии с которым было отменено преподавание начертательной и аналитической геометрии, что компенсировалось некоторым расширением курса алгебры. В нем предлагалось в виде опыта и новое распределение уроков по математике в гимназическом курсе, которое практически и служило первой общей для всех гимназий программой по математике, не только определившей в отличие от программы 1832 г. в общих чертах объем школьной математики, но и указывающей тематику и последовательность изучения материала.

В 1851 г. под руководством академика М.В. Остроградского была создана программа по математике для военных учебных заведений.

В 1852 г. в связи с реорганизацией гимназической системы было издано новое распределение уроков по математике и общая программа по математике, которая отличалась от предыдущей более продуманным в методическом отношении расположением материала, особым вниманием к приложениям теории к практике, явно выраженными внутриматематическими связями. В курс алгебры был включен такой современный материал, как комбинаторика и бином Ньютона, однако существенным недостатком программы 1852 г. являлась её перегруженность, а также отсутствие разделов о пределах, неравенствах, функциях; последние так и не были включены в дореволюционные гимназические про-

граммы по математике. Все же эта программа сыграла определяющую роль в развитии математического образования. (20; 140)

4.1.3. Учебники математики. В начале века в качестве руководства по математике в гимназиях рекомендовались «Начальные основания математики» А.Г. Кестнера, переведенные на русский язык в конце предыдущего века и использовавшиеся в главных народных училищах. В 1805 г. его заменил «Курс математики» Т.Ф. Осиповского, который обладал несомненными содержательными и методическими достоинствами, однако написан был для университетов и изучался в гимназиях в сокращенном варианте. Необходим был учебник, специально приспособленный для нужд гимназического обучения математике. Такой учебник создал Н.И. Фусс, переработав опубликованные им ранее пособия по отдельным математическим дисциплинам. Он назывался «Начальные основания чистой математики» и с 1814 г. стал основным руководством для отечественной гимназии. Исходя из содержания этого учебника учащиеся средних учебных заведений России в начале XIX в. должны были усвоить довольно обширный курс алгебры, включавший такие вопросы, как простейшие разложения в ряды, уравнения 3-й и 4-й степеней, которые позже были исключены из школьного курса. Кроме этого, они изучали начала аналитической геометрии и математического анализа. В учебнике Н.И Фусса функция определяется как выражение, состоящее из независимой переменной, соединенной с постоянными величинами. Ознакомление учащихся с понятием функции и введение элементов высшей математики в школу было для того времени чрезвычайно прогрессивным явлением. Однако эти идеи скоро были ликвидированы в связи с усилением классицизма в русских гимназиях. В 1819 г. элементы математического анализа были исключены из преподавания математики в гимназиях, а в 1845 г. та же участь постигла и аналитическую геометрию.

В 1837 г. вышел «Гимназический курс чистой математики» Д.М. Перевощикова, в котором понятие функции было введено в связи с обобщением формулы бинома Ньютона на дробные и отрицательные показатели. Учебник содержал также элементы аналитической геометрии: систему координат, уравнения прямой линии, окружности, параболы, эллипса, гиперболы и общее уравнение 2-й степени с двумя неизвестными.

В 30-40-е гг. XIX в. Ф.И. Буссе созданы учебники арифметики и геометрии для гимназий, которые «долгое время были почти единственными руководствами для школ ведомства народного просвещения». В комплект для преподавания арифметики входил учебник, сборник задач и методическое пособие для учителя. Учебники Ф.И. Буссе компактны, просты в изложении. Учебники арифметики и геометрии Ф.И. Буссе для гимназии Т.С. Полякова называет отечественными учебниками математики третьего поколения. Их высоко ценил П.Л. Чебышев. (9; 12; 15; 17; 18; 19; 27; 58; 128; 135; 136; 140; 153; 156; 203)

4.1.4. Методические пособия для учителей математики. Процесс создания методических сочинений начинается с 30-х гг. XIX в., когда вслед за первым в России методическим трудом С.Е. Гурьева «Опыт усовершенствования элемен

тов геометрии» со значительным перерывом в печати появились законченные методические сочинения Ф.И. Буссе, П.С. Гурьева, В.Я. Буняковского, создаются рукописные методические труды Н.И. Лобачевского.

«Руководство к преподаванию арифметики для учителей» Ф.И. Буссе (1831) – практически первая методика преподавания арифметики, изданная в нашей стране для учителей математики, которая жестко привязана к соответствующему учебнику и сборнику задач. В ней Буссе высказывает и некоторые теоретические принципы, на которых основано изложение арифметики: «1) упражнение должно приспособляться к понятиям и возрасту учащихся; 2) не оставлять ничего без основательного объяснения; 3) наблюдать постепенность; 4) сперва развивать в учениках ясное понятие о каком-нибудь правиле, а потом уже давать определение оного; 5) заставлять учеников в уме решать легкие задачи; 6) показать ученикам пользу и необходимость каждого арифметического правила, приспособляя оное к решению занимательных и часто встречающихся в общежитии задач».

Далее Ф.И. Буссе на конкретных примерах показал, как эти принципы следует применять.

«Руководство к преподаванию арифметики малолетним детям» П.С. Гурьева (1839) предназначалось для учителей и родителей. Автор впервые высказал мысль о необходимости создания методики преподавания математики как науки, «основанной на прочных положениях и началах» и в то же время носящей экспериментальный характер. В книге дано понятие об арифметике как учебном предмете, изложена методика изучения действий над целыми числами, основным принципом которой являлось «медленное, но отчетливое преподавание, возбуждающее самодеятельность ученика», а доминирующим методом – вопросно-ответный. Вторая часть книги (1842) была посвящена методике изучения дробей.

В.Я. Буняковский в предисловии к учебнику «Арифметика» дал ряд методических рекомендаций к изучению соответствующего курса. Перед выходом в свет второго издания «Арифметики» он значительно расширил их преимущественно за счет программных методических установок, дополнил, конкретизировал и снабдил многочисленными примерами, опубликовав в 1849 г. в виде отдельной книги под названием «Программа и конспект арифметики» (в 1851 г. Буняковский издал «Программу и конспект геометрии»). Основные методические принципы автора – последовательность изложения курса; его полнота, глубина и доказательность; выделение в материале главного, существенного, а также ясность, простота, соответствие возрасту учеников стиля изложения; необходимость основательного закрепления материала и вычислительных упражнений; использование в качестве источников практических арифметических задач сведений из естественнонаучных дисциплин; постоянное расширение кругозора учителя.

Важнейшие методические сочинения Н.И. Лобачевского «Обозрения чистой математики» и «Наставления учителям математики в гимназиях» не были опубликованы при жизни автора (опубликованы в 1948 г. в Трудах института истории естествознания) и потому не могли повлиять на развитие методики

преподавания математики как науки. Однако они значительны как факт серьезного отношения Лобачевского к методическим проблемам и его личный вклад в их разрешение.

В «Обозрениях чистой математики» (1822-1824) Лобачевский изложил общие принципы преподавания математических дисциплин в университетском курсе чистой математики, некоторые философские взгляды на их преподавание, распределил предметы по курсам обучения, составил их программы, комментарии к ним и методические указания. Значительное внимание Лобачевский уделил основным методам преподавания математики, которыми он считал аналитический и синтетический методы: он раскрыл сущность и преимущество каждого из них, оценивая сферу их применимости. Т.С. Полякова считает «Обозрения чистой математики» Н.И. Лобачевского одним из первых известных трудов по методике преподавания математики в высшей школе, которые крайне немногочисленны и до сих пор.

«Наставления учителям математики в гимназиях» включают следующие разделы: 1) способ преподавания; 2) предметы учения; 3) разделение на классы; 4) учебные книги.

В работе приводится содержание гимназического курса, рассчитанного на семилетнее обучение, оно достаточно обширно и содержит арифметику, алгебру, геометрию (включая конические сечения), тригонометрию (плоскую и сферическую).

В «Наставлениях учителям математики в гимназиях» Лобачевский сформулировал методические воззрения, касающиеся взаимоотношений «формальной» и «материальной» целей обучения математике, проблемы развития мышления на основе усвоенной системы математических знаний и сформированности умений и навыков, а также реализации в преподавании гимназического курса математики таких дидактических принципов, как систематичность и научная строгость изложения, сознательность и целеустремленность учеников, учет их возрастных и индивидуальных особенностей и способностей прежде всего к математике. (140)

4.1.5. Периодические издания. Одной из характерных особенностей истории отечественного математического образования этого периода стало не только появление законченных методических сочинений, но и возникновение методической периодики, к которой Т.С. Полякова относит первое периодическое издание для учителя математики «Учебный математический журнал» (1833-1835) К.Я. Купфера и методические статьи П.С. Гурьева в общепедагогическом издании «Педагогический журнал».

«Учебный математический журнал» ставил своей целью обмен опытом преподавателей математики, печатал задачи по арифметике, алгебре, геометрии и тригонометрии для учащихся различных ступеней школы, рецензии на книги, представлявшие интерес для учителя математики, информацию о вновь изданных учебных книгах (отечественных и зарубежных) и открывшихся учебных заведениях. Печатались и сугубо методические статьи, в которых основное внимание уделялось различным функциям упражнений. В журнале было опуб-

ликовано около 400 задач и упражнений по всем математическим дисциплинам, снабженных ответами и решениями, причем журнал выполнял и функции своеобразного задачника: можно было подписаться только на особые листы с задачами.

Методические статьи в «Педагогическом журнале» (1833-1834) принадлежат в основном П.С. Гурьеву и были посвящены преимущественно методике упражнений. (140)

4.2. Период развития массового среднего образования. Обсуждение проблем методики преподавания математики (1860-1900 гг.) (по Р.С. Черкасову)

4.2.1. Образовательные реформы второй половины XIX в. Т.С. Полякова выделяет с начала 60-х гг. XIX в. до 1917 г. этап в развитии школьного математического образования, который называет «этапом за реформацию российской модели классической системы школьного математического образования».

В 60-е гг. самым острым педагогическим вопросом был вопрос о характере средней школы: классическом или реальном ее направлении. Реальное направление приобретало все больше и больше сторонников.

Министерство просвещения начало подготовку к проведению школьной реформы. В 1858г. Ученый комитет министерства составил проект школьного устава. Проект предусматривал бифуркацию гимназии на филологическое и физико-математическое отделение, признавая тем самым равноправие между классическим и реальным образованием. Мысль о бифуркации средней школы была новой и прогрессивной для России, если учесть, что впервые идея бифуркации была осуществлена во Франции в 1852 г.

Но этому проекту не суждено было осуществиться, так как в 1859 г. Ученый комитет отказался от бифуркации гимназического курса, в связи с чем проект уже не обсуждался в Министерстве народного просвещения.

19 ноября 1864 г. был утвержден «Устав гимназий и прогимназий ведомства Министерства народного просвещения». В обсуждении устава приняла участие либерально-демократическая интеллигенция, которая серьезное внимание стала уделять проблемам воспитания: им отводилось большое место в периодической печати, появилась специальная литература по педагогике, специализированные журналы, большим авторитетом пользовались классики отечественной педагогики – Н.И. Пирогов, К.Д. Ушинский, частично Н.Г. Чернышевский, Н.А. Добролюбов.

В соответствии с уставом 1864 г. устанавливалась бессословная общеобразовательная средняя (семилетняя) гимназия трех типов: классическая с двумя древними языками, классическая с одним древним языком и реальная (с несколько большим объемом программ по математике, физике, естествознанию и космографии). Либеральный характер этого устава определялся заявленной в нем бессословностью обучения, общеобразовательным характером всех типов средней школы, отменой телесных наказаний, повышением роли учителя и педагогического совета. Но тем не менее этот устав далеко не соответствовал тем

требованиям, которые выдвигала либерально-демократическая интеллигенция. Основная дискуссия была вызвана тем, что реальная гимназия оказывалась неполноценной, поскольку давала право на поступление только в высшие технические учебные заведения. Обучение же древним языкам занимало в классических гимназиях большое место, в то время как объем естественных наук был ничтожен.

На смену уставу 1864 г. пришел реакционный школьный устав 1871 г., превративший все гимназии в классические и утвердивший классическую гимназию как основную среднеобразовательную школу в России. Теперь во всех классических гимназиях преподавалось два древних языка, на изучение которых отводилось в три раза больше часов, чем, например, на русский язык и литературу, не говоря о предметах естественно-математического цикла. Реальным училищам придавался профессиональный уклон, чем их неравноправность ещё более усугублялась. В 80-х гг. бессословность обучения в гимназии практически сведена на нет, плата за обучение повышена. (20; 22; 37; 108; 155; 161; 176; 177; 192; 197)

4.2.2. Реформы преподавания математики в средней школе на рубеже XX в. Быстрый рост промышленности и требования прогрессивной общественности вынудили царское правительство на рубеже XX столетия приступить к реформе средней школы. 8 июля 1899 г. министр народного просвещения Н.П. Боголепов разослал попечителям учебных округов циркуляр, в котором предложил избрать по 2-4 представителя от каждого округа для участия в работе комиссии по реформе средней школы. В связи с подготовкой материалов для работы комиссии попечителями ряда учебных округов были созваны совещания педагогов и профессоров, которые проходили во второй половине 1899 г. На этих совещаниях было разработано пять проектов организации средней школы. Соответственно составлены пять программ по математике. Во всех программах и объяснительных записках к ним видно стремление улучшить преподавание математики в основном за счет более рационального распределения учебного материала и путем сокращения ряда разделов.

Значительный интерес представляет проект организации средней общеобразовательной школы, разработанный Педагогическим обществом, состоявшим при Московском университете. В конце 1899 г. при обществе была создана временная комиссия по вопросу о желательных преобразованиях средней школы. Комиссия подготовила два доклада: «Об организации средней общеобразовательной школы» и «Об учебной системе», которые были одобрены на общем заседании в январе-феврале 1900 г. и направлены в министерскую комиссию по реформе средней школы. В первом докладе резко критиковался бюрократический характер школы, предлагалось предоставить школам самостоятельность в рамках общих указаний устава и учебных программ, поднять значение педагогических советов, предоставить им право окончательного решения разногласий между директором и учителями по вопросам преподавания. Во втором докладе выдвигались следующие положения: 1) классическая школа должна быть отменена; 2) необходимо введение единой общеобразовательной школы, дающей

доступ во все высшие учебные заведения; 3) целью средней общеобразовательной школы должна быть не подготовка к той или иной высшей школе, а развитие духовных сил учеников; 4) начальную школу необходимо соединить со средней так, чтобы окончившие курс в начальной школе могли свободно перейти в среднюю; 5) средняя школа должна быть доступна детям всех подданных России, без всяких различий и ограничений; 6) в основу учебной системы рекомендуется положить материальную сторону науки, т. е. факты и обобщения. В докладе предлагалась сетка распределения недельных часов, из которых были исключены древние языки (латинский и греческий), дано большее количество часов на русский язык, физику, новые языки (французский и немецкий), введены естествознание и психология. Относительно преподавания математики было высказано пожелание, чтобы оно утратило свой схоластический характер и в младших классах приблизилось к потребностям детской природы, а в старших классах представляло логически стройную систему точно обоснованных выводов и положений. С этой целью курс математики предлагалось разделить на две части. В младших классах учащиеся должны приобрести навыки к вычислению, преобразованию над алгебраическими формулами, а также умение применять метод уравнений к решению разного рода вопросов не только обычных – торговли и жизни, но также из области наук: физики, химии, механики и т. п. Там же должны быть выяснены основные геометрические понятия и достаточно развиты пространственные представления. В старших классах нужно обратить особое внимание на строгость доказательств и логическую последовательность теорем при изучении геометрии, в основу изучения алгебры следует положить идею обобщения, дать понятие о функции и развить основные идеи решения уравнений, связав их со свойством многочленов, ввести понятие о пределе.

Комиссия, созванная министром народного просвещения Н.П. Боголеповым, начала свою работу 7 января 1900 г. и закончила 7 марта 1900 г. В этой комиссии было разработано шесть проектов организации средней общеобразовательной школы.

По плану Н.П. Боголепова предполагалось существование следующих учебных заведений:

1) гимназия с двумя древними языками (математике здесь уделялось 3-4 часа в неделю);

2) гимназия с латинским языком и новым иностранным языком (математике отводилось 3-4 часа в неделю);

3) школа нового типа с новыми иностранными языками (математике отводилось 3-4 часа в неделю);

4) гимназия с индивидуализацией, с гибким учебным планом (математике отводилось от 1 до 4 часов в неделю);

5) реальные училища, восьмиклассные (математике отводилось 5 часов в неделю);

6) средняя школа с бифуркацией, с делением с четвертого класса на гуманитарные и реальные отделения (математике отводилось 4-5 часов в неделю);

7) кадетские корпуса (математике отводилось 4 часа в неделю);

8) духовная семинария (математике уделялось столько же времени, сколько в классических гимназиях);

9) коммерческие училища (математике отводилось 4-5 часов в неделю).

После смерти Н.П. Боголепова новый министр народного просвещения П.С. Ванновский издал в июне 1901 г. новый проект так называемой «единой общеобразовательной средней школы». Курс математики по этому проекту значительно сокращался, причем из алгебры исключались такие важные с общеобразовательной точки зрения разделы, как исследование уравнений первой степени с одним и двумя неизвестными и обобщения понятия степени. Проект П.С. Ванновского был подвергнут резкой критике как на собраниях преподавателей, так и в печати. Преобразования, предложенные Ванновским, не получили поддержки и со стороны Николая II. (22; 60; 78; 150; 176; 178; 189; 214; 215)

4.2.3. Программа по математике. В соответствии с наметившимися реформами 60-х гг. XIX в. П.Л. Чебышев, будучи (с 1856 г.) членом Ученого комитета, составил проект учебного плана по математике. В нем были четко сформулированы три цели преподавания математики в гимназии: 1) развитие умственных способностей; 2) сообщение сведений, необходимых для всякого образованного человека; 3) подготовка к специальным занятиям физико-математическими науками и приложениями их к практической деятельности. В проекте указывалось, что достижение первых двух целей необходимо для каждого, в то время как последней – только для некоторых. Поэтому курс математики в гимназиях должен быть разделен на два отдела: общий - обязательный для всех (5 лет); специальный (3 года), представляющий собой развитие и продолжение предыдущего, для тех, кто пожелает продолжать высшее образование по физикоматематическим или реальным наукам. Общий отдел продолжался с 1 по 5 классы, специальный – с 6 по 8 классы. В первых пяти классах должны были преподаваться те части математики, которые особенно способствуют развитию умственных способностей учащихся и содержат сведения, более или менее необходимые для всякого образованного человека по арифметике, геометрии, алгебре, за исключением статей, не имеющих особой важности для общего образования, как-то: наибольший общий делитель, исследование уравнений со многими неизвестными, извлечение корней из многочленов, бином Ньютона.

В последних трех классах физико-математического отделения должны были преподаваться: 1) остальные части алгебры; 2) тригонометрия плоская и сферическая; 3) аналитическая геометрия; 4) начертательная геометрия; 5) математическая география; 6) оптика и механика.

Право составления более подробной программы предоставлялось педагогическим советам, давались лишь краткие пояснения относительно объема материала. Среди них было высказано пожелание, чтобы в курсе алгебры 6 класса ученики могли познакомиться с особенно важными разделами высшей математики, такими как: с понятием о функциях и их производных, тейлеровой строкой, способом линейного приближения.

П.Л. Чебышев предложил ввести в курс школьной математики понятие функции и элементы высшей математики, т.е. требования, которые позже, в на-

чале XX в., были положены в основу международного движения за реформу преподавания математики.

К сожалению, данный учебный план не был введен в действие.

Подробных программ по Уставу 1864 г. не издавалось. Программы составлялись самими преподавателями и затем утверждались педагогическими советами. Свобода, предоставленная в отношении программ, оказала положительное влияние на содержание школьного курса математики. В ряде округов начали вводиться элементы высшей математики в преподавание. Из доклада П.Л. Чебышева о программах преподавания математики, представленных учебными округами в Ученый комитет, следует, что в Киевском и Одесском учебных округах предусматривалось преподавание аналитической геометрии в реальных гимназиях, а в Харьковском – начала теории вероятностей и начала дифференциального и интегрального исчислений. Но право, предоставленное педагогическим советам на составление программ, имело и отрицательную сторону, потому что получался большой разнобой в объеме преподавания математики по классам гимназий, даже в пределах одного города.

Последовавшие за уставом 1872 г. программы преподавания математики 1872, 1877 и 1890 гг. культивировали абстрактно-дедуктивное, формальносхоластическое направление преподавания математики в средней школе, например, в программе 1872 г. формулируются следующие цели изучения математики в гимназии: «Главнейшими, основными предметами гимназического учения всегда и везде справедливо признавалась математика и в особенности древние классические языки, и поэтому на них должны преимущественно сосредоточиваться, упражняться и созревать умственные силы учащихся». Ни о каких нововведениях не могла быть и речи. Правда, в 1888 г. реальные училища вновь приобрели статус общеобразовательных школ, несколько ослаблен «классицизм» гимназического образования. В программе 1890 г. ещё больше усилены формальные начала изучения математики: рекомендовалось обращать внимание главным образом на основательное и систематическое изучение теории, практические же упражнения и задачи должны были служить лишь для разъяснения теории и приобретения навыков, прежде всего вычислительных. Программа 1890 г. без существенных изменений сохранилась в отечественной гимназии до 1917 г. (150; 154; 214; 215)

4.2.4.Учебники математики. В гимназиях использовались «Элементарная геометрия в объемё гимназического курса» (1864) и «Начальная алгебра» А.Ю. Давидова, «Курс алгебры» (1868) А.Н. Страннолюбского. Основными учебниками по всем разделам математики были книги А.Ф. Малинина (некоторые в соавторстве с К.П. Бурениным), объединившие в себе учебник и сборник задач и упражнений. Их отличали ясность и живость изложения в сочетании с математической строгостью. При объяснении каждого действия указывалось его значение и те вопросы, которые могли быть решены с его помощью; каждый параграф заканчивался рядом вопросов, требовавших иногда самостоятельного вывода из прочитанного.

Огромной популярностью пользовался учебник А.Ю. Давидова «Элементарная геометрия в объеме гимназического курса», первое издание которого вышло в 1864 г., а затем переиздавалось 39 раз.

Примечательно, что эпоха демократизации российского общества нашла отражение и в том, что в 1865 г Ученый комитет Министерства народного просвещения объявил конкурс на составление учебных руководств по арифметике, алгебре, геометрии, тригонометрии и космографии, итоги которого показали, что ни одно из приблизительно 20 представленных сочинений не удовлетворило требованиям комитета. Поэтому было решено не отдавать предпочтение определенному пособию. По докладу П.Л. Чебышева, на которого возлагалась обязанность рецензирования математических учебников, был составлен каталог, содержащий 39 наименований учебных математических руководств, которые следовало использовать в гимназиях. Из руководств этого каталога наибольшую известность приобрели учебники по арифметике и алгебре А.Ф. Малинина и К.П. Буренина, пособия по алгебре И.И. Сомова и А.Ю. Давидова, по тригонометрии – А.Ф. Малинина и Н.А. Шапошникова. Во многих этих учебных книгах вводится понятие функции. Так, в учебнике «Начальная алгебра» (1875) И.И. Сомова, одобренном Ученым комитетом Министерства народного просвещения в качестве руководства для гимназий и реальных училищ, вводится понятие функции, непрерывности, предела и системы координат, показано графическое изображение функции.

В учебнике Сомова определение функции дается по Эйлеру, т.е. связывается с аналитическим выражением. Первая из известных попыток отойти от этой точки зрения и приблизиться к современной точки зрения Н.И. Лобачевского дается в учебнике М.Е. Медяника «Низшая алгебра»: «Когда переменные количества х и у связаны между собой таким образом, что с изменением, например, х изменяется и у, то говорят, что у есть функция х». Правда, здесь ещё не выражена в явном виде идея соответствия, но понятие функции не связывается уже с аналитическим выражением. В этой же книге, почти впервые в нашей учебной литературе для средней школы, вводится понятие обратной функции в связи с логарифмической и показательной функциями.

С 90-х гг. XIX в. в школе начали использоваться учебники А.П. Киселева.

Примечательным является то, что в отличие от XVIII в. авторами этих учебников выступают не только академики и профессора (например, А.Ю. Давидов), но и рядовые педагоги, такие как А.Ф. Малинин и А.П. Киселев. (16; 22; 43; 44; 45; 46; 58; 59; 69; 71; 72; 73; 86; 88; 92; 99; 100; 101; 102; 112; 146; 162; 210; 211)

4.2.5. Методические пособия для учителей математики. Большое значение для постановки преподавания арифметики в русской школе имели «Методика арифметики» В.А. Евтушевского (1872), методические пособия для учителей А.И. Гольденберга (1885). Теоретическое обоснование методики преподавания арифметики было дано в работе А.В. Латышева «Руководство к преподаванию арифметики». Профессор А.В. Ланков дал высокую оценку этой работе, считая, что она создает теорию методики, отодвигая на второй план рецептурную часть

методики. Крупнейшим методистом-математиком С.И. Шохор-Троцким в 18861887 гг. выпущена в свет первая книга «Методика арифметики», выдержавшая в дальнейшем много изданий. Современники высоко ценили методику С.И. Шохор-Троцкого, направленную на пробуждение в ученике интереса и любознательности, на поддержание его самодеятельности и самостоятельности. К методике арифметики относится работа С.В. Житкова «Методика арифметики с приложением сборника арифметических упражнений для учеников и учителей» (1886).

Первый труд по методике геометрии принадлежит А.Н. Остроградскому «Материалы по методике геометрии» (1883). (60; 86)

4.2.6. «Вестник опытной физики и элементарной математики» (ВОФЭМ) издавался с 1886 г. под руководством Э.К. Шпачинского, в 1904 г. в состав редколлегии вошел В.Ф. Каган, который руководил журналом до 1917 г. ВОФЭМ был физико-математическим журналом для учителей и учащихся. Работы историко-научной тематики занимали в нём большое место. В журнале печатались статьи А.А. Маркова «Двухсотлетие закона больших чисел» (1914); Д.Д. Мордухай-Болтовского «О моделях ко второй книге «Начал» Евклида» (1916); И. Ю. Тимченко «О диалектическом методе древних геометров» (1914) и Демокрит и Архимед (1913); В.Ф. Кагана «Очерк геометрической системы Лобачевского» (1893); В.В. Бобынина «История первоначального развития счисления дробей» (1911) и «Естественные и искусственные пути восстановления историками математики древних доказательств и выводов» (1910) и другие работы.

На страницах журнала публиковалось немало переводов статей зарубежных ученых: Р. Дедекинд «Непрерывность и иррациональные числа» (1894); А. Пуанкаре «Неевклидовы геометрии» (1892) и «Математическое творчество» (1909); И. Гейберг «”Послание о методе” Архимеда» (1908); Д. Юнг «О группах и числовых системах» (1911); Ф. Энриквес «Математика и теория познания» (1912). В 1909 г. в журнале был помещен библиографический указатель по Великой теореме Ферма.

Статьи по истории математического образования и актуальным для того времени вопросам преподавания математики занимали значительное место среди публикаций журнала. Здесь были напечатаны «Лекции по арифметике для учителей» (1909-1910) Ф. Клейна, а также следующие статьи: Д. Пери «Преподавание математики в связи с преподаванием естественных наук» (1909); Э.Борель «Как согласовать преподавание математики в высшей и средней школе» (1914); К. Щербина «Материалы по реформе средней школы» (1916) и ряд других работ.

Журнал регулярно знакомил своих читателей с деятельностью международной Комиссии по математическому образованию, а также с работой Первого и Второго Всероссийского съезда преподавателей математики.(24; 41; 47; 53; 66; 129)

4.2.7. «Журнал элементарной математики» основан в 1884 г. в Киеве профессором В.П. Ермаковым. Далее журнал был передан Э.К. Шпачинскому и переименован в «Вестник опытной физики и элементарной математики» (ВОФЭМ). (41)

4.2.8. «Журнал Министерства народного просвещения» – журнал, издаваемый с 1833 по 1917 гг. Министерством народного просвещения. В журнале публиковались программы по всем предметам и объяснительные записки к ним, а также материалы как по истории наук, так и по истории образования, такие как: Н.М. Бубнов «О математических сочинениях Гильберта» (1889); Н.Н. Ланге «Первая аналитика Аристотеля» (1892); В.В. Бобынин «Элементарная геометрия и её деятели во второй половине XVIII века» (1907, 1908), «Состояние математических знаний в России до XVI века» (1884); К.Н. С-ский «Труды В.В. Бобынина по истории математики» (1887); С. Богомолов «Аргументы Зенона Элейского при свете учения об актуальной бесконечности» (1915). Истории образования посвящены также статьи Т. Фризендорф «О реформе преподавания математики» (1905); П.А. Некрасов «Теория вероятностей и математика в средней школе» (1915); Предварительный доклад об организации Международной Комиссии по преподаванию математики. Журнал содержал отдел «Наша учебная литература», в котором помещались рецензии на учебную и методическую литературу по всем учебным предметам. (41)

4.2.9. «Математический сборник» – научный математический журнал, выходящий с 1866г. и являющийся органом Московского математического общества. (28; 48; 96; 190; 191)

4.2.10. «Педагогический сборник» – педагогический журнал, издававшийся в Петербурге Главным управлением военно-учебных заведений с 1864 по 1917 гг. Значительное место в этом журнале занимали публикации по математике и её преподаванию, что отражало довольно высокий уровень математической подготовки в кадетских корпусах. Среди постоянных авторов журнала были В.П. Ермаков, С.Н. Бернштейн, В.В. Бобынин, С.И. Шохор-Троцкий, А.Н. Остроградский, В.А. Евтушевский, В.А. Латышев и др.

Некоторые из публикаций журнала: В.А. Латышев «Исторический очерк русских учебных руководств по математик» (1878-1881); В. Шидловский «Об образовательном значении учения о биноме Ньютона и теории соединений в средних учебных заведениях» (1903); С.И. Шохор-Троцкий «О связи теории пределов с теорией иррациональных чисел» (1901); В.П. Ермаков «Роль памяти в математике» (1894); М. Попруженко «Материалы по методике анализа бесконечно малых в средней школе» (1912).

В журнале печатались также переводы, например, статья А. Пуанкаре «Логика и интуиция в математической науке и в преподавании» (1902). В № 3 за 1882 г. был помещен обзор иностранной учебной литературы по математике, занимающий более 70 страниц.

В связи с 50-летним юбилеем журнала в 1916 г. вышел в свет систематический указатель напечатанных в нем за 50 лет (с 1864 по 1914 гг.) работ. По мнению И.Я. Депмана, «Педагогический сборник» – самый солидный из всех число методических журналов», выходивший до 1917 г. (41; 53; 166; 167; 174)

4.2.11. «Физико-математические науки в их настоящем и прошедшем» – журнал, издававшийся в 1885-1894 гг. известным русским историком математики В.В. Бобыниным и специально предназначавшийся для работ историкоматематической тематики.

4.2.12. Московское математическое общество – одно из старейших математических обществ Европы, основано в 1864 г., работает при МГУ. (1; 2; 34; 98; 109; 195; 212)

4.2.13. Отдел математики Педагогического музея военно-учебных заведений в Петербурге – один из самых крупных и передовых центров методикоматематической мысли в России. Основан в 1864 г., с 1885 г. в нем широко обсуждались вопросы математического образования с участием известных ученых и передовых педагогов. (91)

4.2.14. Метод Грубе – метод обучения арифметике в начальной школе в 60-х – 70-х гг. XIX в., сущность которого сводится к следующему: прежде всего изучали последовательно каждое число от 1 до 10; например, изучали всесторонне число 8 на протяжении целого урока и даже нескольких уроков. Дальше изучали последовательно двузначные числа на задачах, в которые входили все четыре действия; при этом рекомендовалось вводить простейшие дроби. Метод Грубе, основанный на наглядности и сводившийся к всестороннему изучению чисел, а не арифметических действий, способствовал довольно быстрому развитию у детей счетных навыков, но очень мало давал им тех знаний, какие нужны были в житейском обиходе, т.е. этот метод преследовал главным образом «формальную» цель в преподавании арифметики и мало способствовал достижению цели «материальной». С этой точки зрения он был достаточно схоластичным.

В 60-х гг. XIX в. в Петербурге образовалась небольшая, но влиятельная группа преподавателей математики, входивших в состав Петербургского педагогического общества (Воленс, Вулих, Волков, Евтушевский, Паульсон и др.), усиленно занимавшихся разработкой метода Грубе и его применением в условиях русской школы. С целью пропаганды этого метода было напечатано много статей в педагогических журналах того времени, в частности, Воленс на страницах журнала «Учитель» подверг резкой отрицательной критике многие учебники по арифметике, излагавшие этот учебный предмет по общепринятому методу, а не по методу Грубе. Эта пропаганда имела некоторый успех: «грубеизм» проник как в низшие гражданские, так и в солдатские школы; на съездах учителей математики начальных училищ в некоторых учебных округах проводились специальные семинары по ознакомлению с методом Грубе.

Большинство русских преподавателей арифметики отрицательно относились к методу Грубе, как и вообще ко всей немецкой педагогике, считая её формалистичной. «Способ этот, – говорил Л.Н. Толстой по поводу метода Грубе, – так чужд нашему русскому не педантическому складу ума, уродства его так ярко бросаются в глаза, что, казалось бы, способ этот никак не может привиться в России, а, между прочим, он прилагается…». Гурьев одним из первых русских методистов начал настойчивую и упорную борьбу с проникновением «грубеизма» в русскую начальную школу.(155, 185)

4.2.15. Метод целесообразных задач. Автор метода С.И. Шохор-Троцкий под этим методом понимал построение курса на методически подобранных упражнениях, а не на объяснениях учителя и не на изучении текста учебника. Этот метод является своеобразным развитием индуктивного метода (впоследствии он получил название конкретно-индуктивного метода в алгебре). В «Трех лекциях» С.И. Шохор-Троцкий так определяет этот метод: «С помощью простейших наглядных пособий и с помощью задач, относящихся к самым простым случаям арифметического вычисления, учащиеся начинают считать, притом вполне сознательно, понимать, что значит прибавить единицу, отнять единицу, образовывают себе соответствующие сущности дела представления… с задач, при методе целесообразных задач, начинается урок, задача делается исходным пунктом, когда приходится обратиться к новому арифметическому представлению, будь то представление о сущности умножения однозначного числа на однозначное, будь то условие о смысле умножения на дробь…».

Более подробно свой метод автор обосновывает в «Методике». «Истинная метода, говорит он, состоит в том, чтобы ставить ребенка в условия при которых ум человеческий начал изобретать арифметику, сделать его «свидетелем этого изобретения». Но теперь этого уже недостаточно: в настоящее время надо стремиться к тому, чтобы метода поставила учащегося в такие условия, при которых он мог бы быть не только свидетелем, но, по возможности, активным участником этого изобретения».

Ставя задачи в качестве «исходного пункта обучения», Шохор-Троцкий особенно большое значение придает простым задачам, которые являются средством «для выработки представлений арифметического характера, средством для выработки точных понятий о действиях, для возбуждения деятельности ума учащегося». Значение сложных задач должно быть исключительно практическим. Он решительно возражает против задач, содержание которых «заключается в различных хитросплетениях», против трудных запутанных задач, «не проникнутых единою руководящею идеею». Арифметические приемы решения таких задач, по его мнению, «чужды и мере понимания и степени умственного развития учащихся». Развитие и укрепление творческой мысли учащихся должно стоять на первом плане. «Поменьше определений, – говорил он, – ничего не говорящих ни уму, ни воображению учащихся… поменьше мнимой учености, но зато побольше власти над своею собственной мыслью». (86; 90)

4.3.Период всероссийских съездов преподавателей математики (1900-1917 гг.) (по Р.С. Черкасову)

4.3.1. I Международный конгресс математиков состоялся в Цюрихе (Швейцария) в 1897 г. Секции преподавания математики на конгрессе организовано не было, но в секции истории математики и библиографии математики дополнительно был заслушан доклад известного немецкого математики Ф. Клейна «О математическом образовании», в котором впервые с международной трибуны был поставлен вопрос о необходимости реформы математического образования. (22)

4.3.2. II Международный конгресс математиков состоялся в Париже (Франция) в августе 1900 г. На нем впервые была организована секция преподавания математики (VI секция. Преподавание и методы), которой руководили М. Кантор и Ш. Лезан. На секции выступал Д. Гильберт с докладом «О будущих проблемах математики», в которых выдвинул свои знаменитые проблемы. Также на секции были заслушаны доклады о различных применениях графического метода к искусству счета и об основных действиях арифметики. (22)

4.3.3. III Международный конгресс математиков состоялся в Гейдельберге в августе 1904 г. В секции преподавания математики было заслушано и обсуждено более 10 докладов и сообщений по различным вопросам обучения математике и о состоянии математического образования в Болгарии, Германии, Италии. По предложению Ф. Клейна было принято обращение ко всем странам с пожеланиями о выделении средств, необходимых для продвижения математического образования в его современном понимании.

Основные требования реформистов к перестройке преподавания математики сводились к развитию функционального мышления путем пронизывания всего школьного курса математики идеей функциональной зависимости. Как развитие этой идеи следовало введение элементов высшей математики и начал аналитической геометрии и оснований дифференциального и интегрального исчислений. Причем элементы высшей математики не должны были составлять предмет особого систематического курса, копирующего курсы высшей школы, а ознакомление учеников с основными понятиями высшей математики должно было происходить постепенно, при прохождении различных частей элементарной математики, осуществить это предполагалось путем исключения из программы глав, сохранившихся лишь в силу традиции, освободив место для новых разделов.

Основное требование к методам преподавания сводилось к усилению наглядности и интуиции, откуда вытекала необходимость пропедевтических курсов. Идеи реформистов были взяты за основу при составлении «Меранских программ». (22)

4.3.4. IV Международный конгресс математиков состоялся в Риме (Италия) 6-11 апреля 1908 г. В секции философии, истории и преподавания были заслу-

шаны доклады о состоянии преподавания математики в ряде стран: Австрии, Англии, Венгрии, Германии, Греции, Испании, Италии, Франции, Швейцарии.

Э. Борель доложил о положительных результатах французской реформы 1902 г.

Д. Смит, автор доклада о состоянии преподавания математики в США, предложил в своем выступлении представить конгрессу резолюцию об организации Международной комиссии по математическому образованию, которой было бы поручено изучить реформы математического образования в средних школах. После дискуссии, в которой участвовали многие видные математики, секция приняла резолюцию, которая 11 апреля была утверждена на пленарном заседании конгресса. В резолюции указывалось, что конгресс, уделяя внимание важности сравнительного изучения методов и учебных планов в преподавании математики в средних школах различных стран, поручает Ф. Клейну, Г. Гренхиллу и А. Феру организовать международную комиссию, которая исследует эти вопросы и представит ближайшему конгрессу общий доклад в этом направлении. (22)

4.3.5. Международное движение за реформу школьного математического образования – движение за обновление школьного математического образования в начале XX в. Важную роль в нем сыграл состоявшийся в 1908 г. в Риме IV Международный конгресс математиков, который принял решение о создании Международной комиссии по математическому образованию, возглавлявшуюся знаменитым математиком и методистом Феликсом Клейном, которая выработала основные направления реформы математического образования в средней школе: 1) установление внутрипредметных связей между основными математическими дисциплинами – арифметикой, алгеброй, геометрией и тригонометрией, а также межпредметных связей между математикой и физикой; 2) внедрение в школьный курс элементов высшей математики и установление внутрипредметных связей между элементарной и высшей математикой; 3) усиление роли ведущих понятий современной математики в школьном её обучении – понятие функции в алгебре, геометрических преобразований в геометрии и др.; 4) изменение содержания и методов решения учебных задач и т.д. (22)

4.3.6. Международная комиссия по математическому образованию МКМО (IMUK) была организована на IV Международном конгрессе математиков в Риме 11 апреля 1908 г. Руководящий комитет комиссии состоял из трех человек: немецкий математик Ф. Клейн – председатель, англичанин Г. Гренхилл – вице-председатель, профессор Женевского университета А. Фер – секретарь, её работа, известная под названием клейновского движения, отражена в проектах реформы школьного математического образования (переведена в 1909 г. на русский язык).

В сентябре 1908 г. комитет принял предварительный отчет об организации комиссии и общий план её работы. Относительно организации комиссии было решено, что в её состав войдут делегаты стран, участвовавших по крайней

мере в двух международных конгрессах математиков и имевших в составе последних в среднем не менее двух членов. Число делегатов от каждой из таких стран было установлено от одного до трех, в зависимости от числа представителей, принимавших участие в работе конгрессов; каждая страна получала право на один голос. Эти страны, а их оказалось 18, образовали группу так называемых участвующих стран (les pays participants) с правом решающего голоса. Было установлено следующее число делегатов от каждой из этих стран: Австрия (2-3), Англия (2-3), Бельгия (1), Венгрия (2-3), Германия (2-3), Голландия (1), Греция (1), Дания (1), Испания (1), Италия (2-3), Норвегия (1), Португалия (1), Россия (2-3), Румыния (1), США (2-3), Франция (2-3), Швейцария (2-3), Швеция (1).

Страны, не удовлетворяющие указанным условиям, но которые своими учреждениями могли бы способствовать развитию науки, приглашались быть представленными в комиссии каждая одним делегатом без права решающего голоса. Эти страны, а их оказалось 15, образовали группу присоединившихся стран (les pays associes).

Официальным органом комиссии был утвержден журнал «L’Enseignement mathematique», официальными языками – английский, итальянский, немецкий и французский.

Общей целью комиссия считала исследование современных направлений математического образования различных стран, а также выделение общих принципов, которыми могли бы руководствоваться учителя для улучшения своей работы. Подчеркивалось, что необходимо принимать во внимание не только методы преподавания и программы, но также и организацию самого обучения. Работа комиссии должна быть скорее направлена на выяснение общих принципов, которыми следует руководствоваться учителю, чем на установление однообразия в деталях или выработку программ для различных стран. Делегаты участвующих стран должны были к началу 1911 г. представить по своим странам отчеты, заранее обсужденные на собраниях учителей и в научных обществах. Для присоединившихся стран представление отчетов было факультативным.

В помощь делегатам для составления отчетов образовались национальные подкомиссии. Общий план работы, по которому должны были составляться отчеты национальными подкомиссиями, содержал две части: I. Современное состояние организации и методов обучения математике; II. Современные тенденции математического образования. Каждая часть должна была содержать 5 глав: 1) типы школ; 2) цели математического образования и учебные предметы; 3) экзамены; 4) методы преподавания; 5) подготовка учителей. Особый интерес представляют указания ко второй части отчета, так как в них отражаются идеи, которые комиссия намеривалась претворить в жизнь. В первой главе требовалось осветить современные идеи в организации школы (реформы, новые типы школ, совместное обучение). Во второй – современные тенденции, относящиеся к целям математического образования и к выбору предметов преподавания. Нужно было указать новые разделы или главы для замены бесполезных или второстепенных, сохранившихся по традиции, но устаревших. Среди наи-

более актуальных предметов рекомендовалось рассмотреть введение таких, как: дифференциальное и интегральное исчисления, аналитическая геометрия, некоторые понятия начертательной и проективной геометрии, изучение физики с точки зрения математики; среди новых разделов – понятия функции, группы, множества. Считалось полезным изучить возможность введения этих предметов (разделов) и установить необходимый минимум их объема.

В третьей главе предлагалось изучить проблему изменения системы экзаменов или их полной отмены.

Самые подробные указания давались к четвертой главе о методах преподавания. Признавалось необходимым осветить современные идеи, относящиеся к методам преподавания на различных ступенях обучения и в различных типах школ, связь между математическими предметами, отношения между математикой и другими предметами, роль упражнений и практических приложений, а также моделей и приборов, использования учебников. Предлагалось изучить роль психологии в обучении математике, определить, в какой мере результаты психологии полезны в реформе преподавания математики, роль пропедевтики и необходимость предпосылки теоретическому курсу интуитивного обучения, в какой момент чисто логические рассуждения должны занять решающее место при обучении математике.

В отношении практических приложений рекомендовалось обсудить такие вопросы, как: работы на местности, использование измерительных приборов, приближенные вычисления (степень точности, логарифмы, логарифмическая линейка), использование графиков и клетчатой бумаги, лабораторные работы, изготовление моделей учащимися, математические развлечения. Предлагалось уделить внимание историческим сведениям при изучении математики.

В пятой главе считалось необходимым выяснить, каким условиям должна удовлетворять рациональная подготовка учителей, как нужно организовать теоретические и практические курсы, какие реформы, удовлетворяющие современным требованиям, осуществлены или запроектированы.

Рекомендовалось особенно тщательно изучить все отрицательные стороны проектируемых реформ для того, чтобы можно было принять к осуществлению только те, которые приведут к действительному прогрессу.

В мае 1909 г. был опубликован список членов первой Международной комиссии, в которую вошли 36 делегатов. Россия была представлена академиком Н.Я. Сониным, профессором Б.М. Кояловичем и директором Второго реального училища в Санкт-Петербурге К.В. Фохтом. (6; 13; 21; 22; 62; 113; 114; 115; 116; 138; 143; 168; 170; 171; 172; 173)

4.3.7. Русская национальная подкомиссия МКМО В России официальное сообщение об организации МКМО и о составе русской делегации в ней было опубликовано в мартовском номере «Журнала Министерства народного просвещения» за 1909 г. Там же был напечатан предварительный доклад об организации МКМО и общий план её работы. После организации русской делегации академик Н.Я. Сонин обратился от её имени к отдельным лицам, хорошо знающим постановку преподавания математики в стране, и к компетентным

учреждениям с просьбой содействовать организации русской национальной подкомиссии. Когда был определен круг лиц, готовых принять участие в работе подкомиссии, они были приглашены на совещание в Петербурге 21 ноября 1909 г. в помещении Ученого комитета под председательством Н.Я. Сонина.

В совещании, кроме членов русской делегации (Н.Я. Сонин, Б.М. Коялович, К.В. Фохт.), приняли участие 14 человек: М.Д. Гатцук, С.П. Глазенап, Д.Н. Горячев, В.Ф. Каган, Р.В. Колосов, В.А. Кондратьев, П.В. Котурняцкий, З.А. Макшеев, Н.С. Михельсон, К.А. Поссе, Д.Д. Мордухай-Болтовской, В.И. Соллертинский, В.Б. Струве, Т.Э. Фризендорф. Открывая заседание, Н.Я. Сонин ознакомил собрание с общим планом работы МКМО, согласно которому русской делегации к весне 1911 г. необходимо было представить доклад Центральному комитету. Этот доклад должен представлять собою сводку и обработку тех материалов, которые будут представлены членами подкомиссии и отдельными лицами. Он обратил внимание на то, что по плану каждый вопрос излагается дважды: сначала устанавливается его современное состояние, затем трактуются новые течения и тенденции, которые по данному вопросу получили распространение в стране. Н.Я. Сонин подробнее остановился на второй части отчета, задача которого более ответственная, потому что трудно выяснить, в какой мере автор того или иного доклада объективно излагает действительно существующие в стране течения, а не выражает свою субъективную точку зрения. Было решено, что делегация представит свой доклад по первой части плана, а члены подкомиссии в своих докладах будут разрабатывать и вторую часть плана, руководствуясь мнениями, высказываемыми на обсуждении этих вопросов в ученых и педагогических обществах. Темы докладов между участниками были распределены таким образом, что охватили все виды математического образования в стране.

1 марта 1910 г. ЦК МКМО опубликовал составы национальных подкомиссий. Русская подкомиссия состояла из 22 человек. Кроме 3 делегатов из состава МКМО и вышеперечисленных 14 участников совещания в состав подкомиссии входили: В. Алексеев, Н.Н. Салтыков, Д.Н. Зейлигор, Д.М. Синцов, И.Ю. Тимченко.

Подкомиссия работала довольно энергично. Уже в следующем году на съезде в Милане Д.М. Синцов и Б.М. Коялович, докладывая о работе русской подкомиссии, представили 5 отчетов, переведенных на иностранные языки, а на конгрессе в Кембридже (1912 г.) таких отчетов было представлено 13. К 1912 г. были завершены и опубликованы 11 докладов из запланированных 14 на совещании 1909 г.

Большую работу по пропаганде реформистских идей в России проделали члены национальной подкомиссии В.Ф. Каган и Д.М. Синцов. Под редакцией В.Ф. Кагана были переведены с французского языка и изданы в 1911 г. учебники Э. Бореля «Элементарная математика». К первому тому «Арифметика и алгебра» была приложена статья В.Ф. Кагана «О реформе преподавания математики в средних учебных заведениях Франции и Германии», в которой он излагал идеи реформы и их воплощение в этих странах.

Перу Д.М. Синцова принадлежат многочисленные статьи, пропагандирующие идеи реформы; он информирует русскую математическую общественность о деятельности МКМО начиная с её организации в 1908 г. На двух Всероссийских съездах преподавателей математики он выступил с докладом о деятельности МКМО. В заключении доклад на I съезде (1911 г.) Д.М. Синцов коснулся работы русской национальной подкомиссии. Он заявил, что к Кембриджскому съезду (1912 г.) комиссия почти закончила свою работу, из предполагавшихся 16 отчетов 10 уже были напечатаны, 6 представлены в рукописях. К съезду были напечатаны и представлены 13 отчетов.

Этим заканчивалась обязательная часть работы, то есть работы по составлению отчетов, для которой подкомиссия и была создана. В дальнейшем она занималась пропагандой идей реформы, и с этой второй, необязательной, частью работы подкомиссия успешно справилась. Идеи реформы стали занимать все больше и больше места в стремлении к перестройке преподавания математики в русской средней школе. (22; 113)

4.3.8. Первый международный съезд по математическому образованию см. 4.3.9. Первое пленарное заседание МКМО в Милане в 1911 г.

4.3.9. Первое пленарное заседание МКМО проходило в Милане с 18 по 21 сентября 1911 г., решение о его созыве было принято на совещании ЦК МКМО в Брюсселе в августе 1910 г. По широкому охвату стран (22) и по значению обсуждаемых вопросов заседание решено было считать Первым международным съездом по математическому образованию. Цель этого съезда состояла в том, чтобы проследить современные направления математического образования в разных странах. В центре внимания съезда стояли два вопроса: 1) в какой степени можно достигнуть в средних школах систематичности в преподавании математики; 2) в какой мере возможен фузионизм в преподавании различных математических предметов.

По первому вопросу в письме, разосланном всем членам съезда В. Литцманом от имени Ф. Клейна, предлагалась следующая классификация степеней строгости: А – основные понятия вводятся строго через аксиомы, система построена чисто дедуктивным путем, т. е. метод строго логический; В – основные понятия вводятся эмпирически, затем, начиная с некоторого момента, развитие строго логическое; С – эмпирически-дедуктивный метод; D – интуитивноэкспериментальный метод. С докладом по первому вопросу выступил Г. Кастельново (Италия). Он принял классификацию В. Литцмана, но уточнил её в пункте В, выделив: Ва – даются все необходимые аксиомы; Вв – дается часть аксиом; Вс – даются только аксиомы, не имеющие очевидного характера. Рассматривая различные сочетания индуктивного и дедуктивного методов в разных странах, докладчик сделал вывод, что систематически ни в одной стране не применяется ни метод А, ни метод D. По докладу развернулась широкая дискуссия, в которой приняли участие такие математики, как Ф. Клейн, Г. Веронезе, К. Бурле, В. Литман, Дж. Юнг, Ф. Энрикесс. Большинство выступающих предлагало разумное сочетание индуктивных метод с дедуктивными.

По второму вопросу указывалось на существование двух крайностей: пуристы, не допускающие никакого взаимопроникновения между различными предметами; фузионисты, допускающие более или менее тесное взаимопроникновение между предметами. С докладом по этому вопросу выступил Ш. Биош (Франция), который отметил существование обеих тенденций.

На съезде также были обсуждены отчеты национальных подкомиссий 19 стран. О работе русской подкомиссии докладывали присутствовавшие на съезде Д.М. Синцов и Б.М. Коялович. Д.М. Синцов отметил, что математические общества Харькова, Москвы, Риги, Санкт-Петербурга, Варшавы выдвинули вопросы реформы на повестку дня, но указал на трудности, которые встречаются на пути реформы в России. (22; 173)

4.3.10. Второй международный съезд по математическому образованию см. 4.3.11. V Международный конгресс математиков в Кембридже в 1912 г.

4.3.11. V Международный конгресс математиков состоялся в Кембридже (Англия) в августе 1912 г. На конгрессе секция преподавания математики была отделена от секции философии и истории математики. Три заседания секции были посвящены исключительно работам МКМО. Отчет о деятельности комиссии за период, истекший после последнего конгресса, представил А. Фер. За отчетный период комиссия проделала огромную работу, подготовив и опубликовав 2800 отчетов в 150 томах (9000 страниц) о состояния преподавания математики в различных странах. К этому времени в состав комиссии входило 37 делегатов от 19 участвующих стран и 5 делегатов от 5 присоединившихся стран. Были заслушаны краткие отчеты делегатов – представителей 20 стран. Доклад «Интуиция и опыт в преподавании математики в средних школах» сделал Д. Смит (США), а доклад «Математическая подготовка физиков в университете» – К. Рунге (Германия). Кроме этих двух основных докладов, было заслушано и обсуждено 8 сообщений и докладов по различным вопросам преподавания математики в средней и высшей школе, среди которых отметим: математические аксиомы в элементарном обучении, логическое мышление в университетском и школьном преподавании, изучение теории пропорций, систематическое введение занимательной математики в средних школах, место дедукции в элементарной механике.

Учитывая, что на данный момент работы национальных подкомиссий ещё не были закончены полностью, предстояло провести ещё ряд сравнительных исследований и поставить на обсуждение вопросы общего значения. На заключительном пленарном заседании была принята резолюция, в которой продлили полномочия Центрального комитета в составе Ф. Клейна, Г. Гренхилла, А. Фера и ввели в состав комитета Д. Смита. В этой же резолюции Международный конгресс выражал благодарность правительствам, учреждениям и лицам, которые оказали помощь МКМО, просил делегатов продолжить исполнение обязанностей, обеспечив сотрудничество соответствующих правительств, приглашал комиссию представить очередной отчет VI Международному конгрессу математиков, который планировалось провести в Стокгольме в 1916 г., но на-

чавшаяся первая мировая война помешала организации съезда и на длительное время затормозила работу МКМО.

Важность и актуальность работ, представленных на секции преподавания математики на этом конгрессе, дает возможность считать его Вторым международным съездом по математическому образованию. (22)

4.3.12. Третий международный съезд по математическому образованию см. 4.3.13. Международная конференция МКМО в Париже в 1914 г.

4.3.13. Международная конференция МКМО состоялась в Париже в апреле 1914 г. К этому времени в состав МКМО входили 44 делегата, представляющих 28 стран, было увеличено число членов Центрального комитета с четырех до семи, и были дополнительно избраны Ж. Адамар (Франция), Г. Кастельнуово (Италия) и Е. Чубер (Австрия), комиссия опубликовала 300 отчетов.

К участию в работе конференции приглашались не только члены комиссий и подкомиссий, но и все желающие. На конференцию прибыло 150 делегатов от 15 стран. Россию представляли Н.Я. Сонин, Б.М. Коялович и К.А. Поссе, вошедший в состав комиссии после смерти К. Фохта. Конференция обсудила два вопроса: результаты, полученные введением дифференциального и интегрального исчислений в старших классах средней школы; место и роль математики в высшем техническом образовании. На открытии конференции с докладом о результатах реформы математического образования, проведенной во Франции в 1902 г., выступил Г. Дарбу, который положительно оценил введение элементов математического анализа в школу.

С докладом по первому вопросу выступил Е. Беке (Венгрия). Он отметил, что во всех странах, где за последние 12 лет были введены новые программы, более или менее значительное место уделено понятию функции, а также, за редким исключением, элементам дифференциального и интегрального исчисления. Эти элементы фигурируют в официальных программах и преподаются в школах Австрии, Англии, Дании, Италии, России (очевидно, имелись в виду реальные училища, кадетские корпуса и коммерческие гимназии), Румынии, Франции, Швеции, Швейцарии, в некоторых германских землях (Бавария, Баден, Вюртемберг, Гамбург). В ряде стран они не входят в программы, но преподаются во многих школах Австрии, Венгрии, Пруссии, Саксонии, Бельгии, Голландии, Норвегии, Сербии. Почти всюду дифференцирование применяется к функциям одной переменой. Везде изучается дифференцирование многочленов, а в ряде стран также показательных, тригонометрических функций и им обратных. В большинство из указанных стран вводится понятие интеграла, причем чаще всего неопределенный интеграл предшествует определенному. Методы математического анализа применяются к отысканию экстремумов, в геометрии – к вычислению площадей, в физике – к определению скорости и ускорения. Одним из самых острых вопросов автор доклада считает вопрос о строгости. Рассмотрев аргументы за и против, он приходит к выводу, что учителя должны знать математический анализ современно и строго, но в преподавании должны применять индуктивный метод исходя из геометрических и ме-

ханических соображений, поднимаясь постепенно до необходимых абстракций. Этим методом лучше всего пробуждается в сознании учащихся потребность в строгости доказательства.

В заключение докладчик делает вывод, что новый материал не должен излагаться как приложение к старому, а необходимо полное слияние между ними, только таким образом можно добиться сокращения старой программы, сделать её более экономной. Касаясь общественного мнения педагогов о реформистском движении, докладчик отмечает, что оно встречает поддержку среди учителей средней школы и части профессоров высших учебных заведений.

На конференции был заслушан и обсужден содержательный доклад Э. Бореля «Как согласовывать преподавание в средней школе с прогрессом науки», в котором обосновывалась необходимость реформы математического образования в школе и звучал призыв к осторожности при проведении реформы. Этот доклад был воспроизведен в 1958 г. в журнале «Математическое просвещение».

Работы Международной конференции в Париже можно считать Третьим международным съездом по математическому образованию. (22; 143)

4.3.14. Первый Всероссийский съезд преподавателей математики проходил в декабре 1911 – январе 1912 г. в помещении Педагогического музея военноучебных заведений в Петербурге. В работе съезда приняли участие 1217 человек со всей России. Подавляющее большинство составляли преподаватели математики различных средних учебных заведений, но участвовали также и представители высшей школы. Был прочитан 71 доклад, состоялись прения. Председателем съезда был избран проф. А.В. Васильев. Организационный комитет съезда: председатель – З.А. Макшеев, товарищи председателя – генераллейтенант М.Г. Попруженко, профессор К.А. Поссе, С.Е. Савич, секретари – Д.М. Левитус, В.Р. Мрочек, Ф.В. Филиппович, казначей – Д.Э. Теннер; члены – И.Н. Кавун, доцент В.Ф. Каган (Одесса), А.Р. Кулишер, А.К. Линдеберг, Э.Ю. Лундберг, профессор Б.К. Млодзеевский (Москва), С.П. Петрович, Б.Б. Пиотровский, проф. Д.М. Синцов (Харьков), Н.А. Томилин, В.И. Шифф, С.И. Шохор-Троцкий, Т.А. Афанасьева-Эренфест, П.С. Эренфест (остальные из Петербурга).

Одной из главных идей съезда была связь обучения с жизнью. Опытный педагог и автор реформистских книг В.В. Лермантов в своем докладе «Содержание курса школьной математики с точки зрения современных запросов жизни и приемы для посильного выполнения школою этих требований» на съезде говорил: «Мы и теперь ещё следуем рецепту обучения «свободного юноши греческого», данному Аристотелем: «учи всему, что украшает жизнь, избегая всего практического, ремесленного: это удел рабов и илотов…». Многостолетний рецепт Аристотелев соответствовал требованиям жизни: искусственному обучению подвергались только юноши из достаточных и богатых семейств, науки ещё не давали тогда никаких умений, применимых к жизни… Только с половины прошлого столетия прогресс наук о природе сделал нужным для всех… приобретение многих умений, основанных на изучении наук, которые

может дать лишь школа; с этого времени и началось общее недовольство существующими системами обучения». Таким образом требования бурно развивающейся жизни в широком смысле этого слова вызвали реформу преподавания математики именно в это время. Многие реформисты говорили о необходимости изменения в системе образования, однако никто их них не сделал столь глубокого и яркого исторического экскурса, как В.В. Лермантов.

На съезде неоднократно указывалось на разрыв между школьным курсом математики и требованиями жизни, на необходимость увязывать школьное преподавание с потребностями жизненной практики. Первым тезисом доклада Н.А. Тамамшевой «О реформе преподавания математики» было: математика не так далека от жизни, как это кажется. Докладчица указывала возможности для осуществления связи преподавания математики с жизнью и попыталась использовать их в предложенной ею программе математики для первых шести классов средних учебных заведений.

Известный педагог Н.Н. Володкевич на съезде, защищая принцип связи преподавания математики с жизнью в докладе «О реальном направлении преподавания математики в связи с жизненными и научными фактами», выступил против узкоприкладного, утилитарного направления. Он утверждал, что математика должна изучаться в непрерывном установлении её связи с конкретными научными и жизненными фактами. Именно за такую связь с жизнью боролся и Ф. Клейн, выступавший против «пошлой утилитарности, отвергающей всякую мысль, которую нельзя сразу же променять на звонкую монету».

На съезде обсуждалась проблема возможного сближения школьного курса математики с математической наукой. Педагог А.Г. Пичугин в докладе «Содержание курса школьной математики» указывал на пропасть, существующую между школьной и современной математикой, поскольку в средней школе нередко изучается устаревший материал, рассматриваются мертвые, отвердевшие формы, в то время как в основе современной математики лежит идея изменения. Идея функциональной зависимости является важнейшим средством сближения школьной математики с современной наукой и с жизнью.

Большое внимание уделялось проблеме преемственности между курсами математики средней и высшей школы. Например, этому были посвящены доклады профессора К.А. Посса «О согласовании программ в средней и высшей школах» и профессора В. Б. Струве. В тесной связи с этой проблемой была развита и другая важная проблема – фуркация обучения в старших классах средней школы.

На съезде был осужден старый традиционный абстрактно-дедуктивный метод преподавания математики и внесены предложения по его замене новыми, более совершенными методами, лучше отвечающими психологии возраста учащихся. Этому вопросу был посвящен доклад К.Ф. Лебединцева «Метод обучения математике в старой и новой школе».

Доклады, представленные на съезде:

№п/п ФИО Доклад

1 Б.Б. Пиотровский Обзор современной учебной литературы по алгебре

2 Д.М. Левитус Об алгебраических преобразованиях

3 Б.А. Маркович Отдел логарифмов в средней школе

4 Т.А. АфанасьеваЭренфест Иррациональные числа в средней школе

5 Н.А. Томилин Применение графического метода в среднешкольном курсе

6 М.Л. Франк Номография и её значение для средней школы

7 Д.Э. Теннер О графическом методе решения системы уравнений

8 В.В. Лермантов Содержание курса школьной математики с точки зрения современных запросов жизни и приёмы для посильного выполнения школою этих требований

9 Н.А. Тамамшева О реформе преподавания математики

10 Н.Н. Володкевич О реальном направлении преподавания математики в связи с жизненными и научными фактами

11 А.Г. Пичугин Содержание курса школьной математики

12 К.А. Поссе О согласовании программ в средней и высшей школах

13 М.Г. Попруженко Об анализе бесконечно малых в средней школе

14 Ф.М. Филиппович Постановка преподавания начал анализа в средней школе

15 Б.К. Крамаренко К вопросу о постановке преподавания математики, главным образом аналитической геометрии и анализа бесконечно малых в реальных училищах Кавказского учебного округа

16 П.А. Некрасов О результатах преподавания начал анализа бесконечно малых, аналитической геометрии и теоретической арифметики в реальных училищах и гимназиях

17 К.Ф. Лебединцев Метод обучения математике в старой и новой школе

18 Д.Д. Галанин Об изменении метода обучения в низшей и средней школе

19 Н.П. Попов О лабораторных занятиях по математике в средних учебных заведениях Кавказского учебного округа

20 В.Р. Мрочек Экспериментальные проблемы в педагогике математики

21 В.В. Бобынин Цели, формы и средства введения исторических элементов в курс математики средней школы

22 Ф.А. Эрн Спорные вопросы в методике арифметики

23 Л.А. Сельский Вопрос об измерениях и мерах в системе арифметики

24 К.Ф. Лебединцев Вопрос о дробях в курсе арифметики

25 В.А. Крогиус Приближенные и сокращенные вычисления в средней школе

26 Б.Б. Пиотровский Курс теоретической арифметики в старших классах средней школы

27 И.И. Чистяков Элементы теории чисел в средней школе

28 В.Х. Майдель Обзор литературы по арифметике младших и средних классов средних учебных заведений

29 Л.Н. Тяпнина Обзор четырех учебников арифметики

30 В.Р. Мрочек Обзор литературы на русском языке по методике арифметики

31 С.Н. Бернштейн Исторический обзор развития понятия функции

32 П.А. Некрасов О необходимых отделах математики для экономических наук

33 Д.Э. Теннер Наглядные пособия

34 С.А. Неаполитанский Начала логики в курсе школьной геометрии

35 Д.В. Ройтман О систематическом курсе элементарной геометрии в средней школе

36 В.Ф. Каган О преобразовании многогранников

37 С.О. Шатуновский Учение о величине

38 И.И. Александров О построении параллелограммов

На заключительном заседании съезда профессор А.В. Васильев сделал сообщение о деятельности МКМО и её русской делегации.

В резолюциях, принятых первым съездом, признавалась необходимость поднять уровень самостоятельности и активности учащихся, усилить наглядность преподавания на всех ступенях обучения и в то же время повысить логический элемент в старших классах, считаясь с психологическими особенностями возраста и доступностью преподаваемого материала.

По вопросам содержания школьного курса математики съезд признал своевременным опустить некоторые вопросы второстепенного значения, провести через весь курс идею функциональной зависимости, а также ознакомить учащихся с простейшими и доступными идеями аналитической геометрии и математического анализа. Последнее рекомендовалось в целях сближения преподавания в средней школе с требованиями современной науки и жизни. Съезд высказывал свое отношение к фуркации, признав желательной такую организацию преподавания в средней школе, которая, сохраняя её общеобразователь-

ный характер, допускала бы некоторую специализацию в старших классах. Съезд рекомендовал учителям руководить работой особенно одаренных учащихся.

Часть резолюций была посвящена подготовке учителей математики. Рекомендовалось, чтобы кандидаты в учителя получали после окончании университета специальную педагогическую подготовку, а учителя повышали свою научную и педагогическую подготовку на краткосрочных курсах.

Резолюции съезда написаны с достаточной определенностью, но выражены в весьма общей форме. Это объясняется тем, что они должны были объединить мнения значительного большинства членов съезда. Кроме того, чтобы эти резолюции оказали некоторое влияние и на правительственные круги, и на общество, они должны были быть глубоко продуманы и тщательно обоснованы. Слишком радикальные решения могли бы отпугнуть не только правительственные круги, но даже и значительную часть математической общественности.

Принятая съездом резолюция в своих 19 пунктах охватывала все обсужденные вопросы. Ввиду их сложности съезд счел целесообразным продолжить обсуждение на следующем, втором съезде, созвать который рекомендовалось в декабре 1913 г.

В 1913 г. были изданы в трех томах «Труды I Всероссийского съезда преподавателей математики». (22; 68; 119; 120; 121; 126; 157; 187; 188; 206; 208)

4.3.15. Второй Всероссийский съезд преподавателей математики проходил с 27 декабря по 3 января 1914 г. в помещении нового аудиторного корпуса Московских высших женских курсов. В работе съезда приняло участие свыше 1200 человек.

Задачи второго съезда были определены I съездом, и ему предшествовала целенаправленная подготовительная работа, проведенная оргкомитетом съезда с широким привлечением методической печати. Оргкомитет съезда заблаговременно опубликовал «Положение о втором Всероссийском съезде преподавателей математики», в котором сообщалось, что съезд имеет целью: 1) обсуждение научных вопросов, имеющих отношение к элементарной математике; 2) рассмотрение современного положения с преподаванием математики в учебных заведениях, преимущественно – в средних; 3) обсуждение вопросов о желательной постановке преподавания математических наук; 4) обсуждение методов и приемов преподавания математики и соприкасающихся с нею наук и о способах проверки знаний учащихся; 5) обсуждение вопроса о подготовке преподавателей математики.

После вступительного слова представителя оргкомитета профессора Б.К. Млодзиевского и приветственных речей представителя министерства П.А. Некрасова, директора Высших женских курсов С.А. Чаплыгина и декана физико-математического факультета Московского университета Г.Г. Лахтина председателем съезда был избран генерал-лейтенант М.Г. Попруженко. На общих собраниях выступили: профессор Д.Д. Синцов «О деятельности международной комиссии по преподаванию математики», профессор А.К. Власов «Какие стороны элементарной математики представляют ценность для общего об-

разования», профессор Б.К. Млодзиевский «Успехи элементарной геометрии в XIX столетии», профессор А.В. Васильев «Принцип экономии в математике», А.И. Бачинский «О роли математики в курсе физики».

На секционных заседаниях доклады посвящались содержанию школьного курса математики и организационным вопросам обучения. Во многих из них подвергалось резкой критике положение в народном образовании. Так, М. Осинский («Направляющие элементы математического исследования») поддержал высказывание известного немецкого философа Освальда о том, что «школа в её современном виде представляет скорее аппарат для уничтожения будущих оригинальных мыслителей, чем для их развития». Докладчик считал, что нужна «школа, которая поставит целью способствовать развитию творческих сил в своих воспитанниках, направит главное внимание на обучение искусству пользоваться методами, а не на увеличение количества материала, как это мы имеем в нашей школе…». С.Н. Поляков («Вопрос о реформе школьной математики с методологической точки зрения») рассмотрел два направления школьной математики: формально-логическое и практическое, остановился на их недостатках и описал новое, отличное от этих двух, методологическое направление. Оно ставит целью общего образования «не столько миропонимание, сколько методы миропонимания».

В принятой Вторым съездом резолюции предлагался ряд мер по улучшению подготовки преподавателей математики, по обновлению школьного обучения. Съезд считал желательным осуществление перестройки преподавания математики в средней школе производить в целом, а не путем частичных изменений и рекомендовал, чтобы к совместной работе по составлению новой программы привлекались представители науки и преподаватели средней школы. Изучение начал аналитической геометрии и математического анализа было признано необходимым в средней школе всех типов. Съезд вынес рекомендации по повышению успеваемости по этим предметам, которые сводились к следующим: 1) пересмотр программ аналитической геометрии и анализа; 2) выделение на их изучение достаточного количества времени; 3) установление связи с предыдущими частями курса; 4) более правильная методическая постановка преподавания.

Для скорейшего осуществления положений, изложенных в резолюциях, съезд решил учредить комиссию по постановке преподавания математики и поручил организацию этой комиссии шести членам съезда: А.К. Власову, З.А. Макшееву, Б.К. Млодзиевскому, М.Г. Попруженко, Н.Н. Салтыкову, Д.М. Синцову. В остальном резолюция второго съезда мало отличалась от резолюции первого. Намечалось продолжить обсуждение этих проблем на Третьем съезде в 1915 г.

В 1915 г. были изданы «Доклады, читанные на II Всероссийском съезде преподавателе математики в Москве». (22; 55; 121; 126; 142; 158; 169; 206)

4.3.16. «Меранские программы» – программы по математике, составленные для средних учебных заведений в 1905 г. на съезде комиссии по вопросу о реформе математического образования в Меране (Германия).

Положения этих программ стали на долгие годы основополагающими требованиями движения за реформу преподавания математики, а Ф. Клейн занял одно из ведущих мест среди руководителей этого движения.

Составители этих программ старались ликвидировать разрыв между школьной математикой и математической наукой путем развития так называемого «функционального мышления». Для этого весь курс школьной математики пронизывался идеей функциональной зависимости, насыщался изучением функции. Введение понятия функции и дальнейшее его развитие приводило к необходимости введения в школу элементов высшей математики: аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчислений. Культивировалось также довольно раннее введение идей геометрических преобразований.

В 1905-1906 уч. г. Меранские программы введены в качестве эксперимента в пяти прусских школах (в двух гимназиях, в двух реальных училищах, в одной реальной гимназии). Отчет четырех из них вполне подтверждает высокое качество полученных результатов.

Но эти программы не были введены в школу. Слишком сильны были противники реформ, и, кроме того, в Германии проведение реформу затруднялось отсутствием единой, общеобразовательной программы; в каждой из немецких земель существовала своя программа. Осуществление Меранских программ началось с 1912 г., и то лишь в некоторых землях. (22; 40; 42; 62; 67; 70; 93; 123; 209)

4.3.17. Программа по математике. Программа по математике для гимназий практически не изменялась в период с 1870-х до 1917 г. Значительные изменения вносились в программы реальных училищ. Так, циркуляром Министерства народного просвещения от 30 июня 1906 г. «Об учебных планах и программах предметов, входящих в курс реальных училищ» были утверждены изменения в учебных планах и программах реальных училищ. Эта программа обладала рядом прогрессивных черт, таких как введение аналитической геометрии, изучение переменной величины и анализ бесконечно малых. Программы первых шести классов не менялись, элементы аналитической геометрии и анализа вводились в седьмом классе и не были органически связаны с предшествующими разделами математики. Вводимый курс был велик по объему. Основания аналитической геометрии, например, включали все сведения по аналитической геометрии на плоскости вплоть до кривых второго порядка, за исключением общей теории. Основания анализа содержали: теорию пределов, натуральную систему логарифмов, понятия функции, непрерывности, производной, дифференциала, определенного и неопределенного интеграла и их приложений.

Почти никому из преподавателей не удавалось выполнить эти программы. Опыт работы преподавателей по новым программам привел их к выводам о необходимости установления органической связи вновь введенного курса с предыдущими разделами, для чего потребовалось бы перестроить весь курс, а также к сокращению объема программы, ограничившись методом координат, производной и её применением к исследованию функций.

Эти мысли довольно четко сформулированы в статье С.Н. Бернштейна «К вопросу об изменении программ по математике в средней школе». По аналитической геометрии С.Н. Бернштейн считает нужным сохранить только теорию прямой, круга и геометрических мест; по математическому анализу – рассматривать лишь те функции, с которыми ученику постоянно приходится иметь дело: многочлены, дроби, корни, тригонометрические функции. Теории натуральных логарифмов, показательной функции он считает возможным исключить, обратив вместо этого особое внимание на упражнения по исследованию функций и решение связанных с ними геометрических и физических задач.

Для осуществления связи введенного курса с предыдущими разделами передовые учителя пошли по правильному пути пропедевтического ознакомления учащихся с идеей функциональной зависимости в курсе алгебры предшествующих классов. Как следует из доклада Б.К. Крамаренко «К вопросу о постановке преподавания математики, главным образом аналитической геометрии и анализа бесконечно малых, в реальных училищах Кавказского учебного округа», прочитанного на I Всероссийском съезде преподавателей математики в 1911 г., почти во всех реальных училищах Кавказского учебного округа это ознакомление проводилось следующим образом. Начальное ознакомление с функциональной зависимостью вводилось в курсе алгебры 4 класса в связи с изучением одного уравнения 1-ой степени с двумя неизвестными, затем вводилась система координат и строились по точкам графики эмпирических и линейных функций, после чего решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными находилось сначала графически, а затем общеизвестными приемами. Для ознакомления учащихся с идеей функциональной зависимости использовались не только уроки элементарной математики, но и уроки по другим предметам, где это представлялось возможным.

Изменения в программах кадетских корпусов в 1911 г. представляли собой смелую реформу обучения математике. Эта программа предусматривала пропедевтические курсы алгебры, геометрии и тригонометрии, математические дисциплины получали в ней функциональную направленность, вводились элементы аналитической геометрии на плоскости и математического анализа с одной переменной. В новые программы для коммерческих училищ (1914 г.) включались линейная и квадратная функции, элементы трансцендентных функций, элементы аналитической геометрии и теории вероятностей. (11;22; 90; 188)

4.3.18. Учебники математики. В начале XX в. в России выходит ряд новых учебных пособий по математике для средних учебных заведений. В связи с введением новой программы для реальных училищ выходят из печати «Основания анализа бесконечно малых» Н.И. Билибина, «Начала дифференциального исчисления» А.П. Киселева, «Начала анализа» М.Г. Попруженко, «Краткий курс аналитической геометрии на плоскости» Д.М. Синцова, переработанные учебники алгебры «Курс алгебры для средних учебных заведений» К.Ф. Лебединцева, «Начала алгебры» Д.А. Граве, «Систематический курс алгебры для средних учебных заведений» П.А. Долгушина, новые систематические курсы геометрии

Н.А. Извольского, П.А. Долгушина, пропедевтический курс «Наглядная геометрия» А.М. Астряба и др. (64)

4.3.19. Методические пособия для учителей математики. Методика обучения математике принадлежала к отраслям знания, которые в начале XX в. развивались наиболее интенсивно. Об этом говорит тот факт, что объем литературы, непосредственно относящейся к методике математики, значительно увеличился. По методике преподавания арифметики были выпущены следующие работы: В.А. Латышев В.А. «Руководство к преподаванию арифметики» (1904); Д.Д. Галанин «Методика арифметики. 1 год обучения» (1910); 2 год обучения (1911), «Введение в методику арифметики» (1911), «История методических идей по арифметике в России. Ч.1. XVIII век» (1915); А.И. Гольденберг «Методика начальной арифметики» (1910); Ф.И. Егоров «Методика арифметики целых чисел» (1886, 1915.); П.Д. Енько «Лабораторный метод обучения начальному счету» (1911); А.Б. Сахаров «Арифметика. Опыт методического изложения предмета» (1910.); В.Г. Фридман «Методика арифметики» (1913); С.И. Шохор-Троцкий «Методика арифметики для учителей средний учебных заведений» (4-е, 1916); Ф.А. Эрн «Очерки по методике арифметики» (1912); с немецкого было переведено «Руководство к первоначальному обучению арифметике, основанному на результатах дидактических опытов» (1910), автор В.А. Лай.

Приближенным вычислениям посвящены следующие работы: П.А. Долгушин «Вычисления по приближению» (1908, 1912); В.П. Ермаков «Приближенные вычисления» (1905).

Были написаны следующие работы: «Методика и дидактика подготовительного курса геометрии», автор А.Р. Кулишер; С. Слугинов «Фузионистское течение в геометрии» (1914), Н.А. Томилин «Роль графического метода при обучении математике» (1910).

Преподаванию алгебры посвящены следующие работы: В.В. Лермантов «Курс применимой алгебры для самообучения и школ» (1911).

К общей методике преподавания относятся: П.А. Некрасов «Средняя школа, математика и научная подготовка учителей» (1916); В.Р. Мрочек, Ф.В. Филиппович «Педагогика математики, исторические и методические этюды» (1910); «Сборник программ и инструкций по преподаванию математики в Западной Европе», под. ред. проф. Д.М. Синцова (1914); М. Симон «Дидактика и методика математики в средней школе» (1914), переведенная с немецкого языка.

К преподаванию элементов анализа в школе относятся работы: М.Г. Попруженко «Материалы по методике анализа бесконечно малых в средней школе» (1912); П.А. Самохвалов «К постановке начал анализа в кадетских корпусах» (1912). (60; 64; 90; 121; 122)

4.3.20. «Математическое образование» – методический журнал, выходил в 1912-1917 гг. (48 номеров) и в 1928-1930 гг. (24 номера). Издатели – Московский математический кружок, учредителя которого являлись Б.К. Млодзиевский, А.Ф. Гатлих, И.И. Чистяков. Редактором этого журнала был профессор

Московского университета и Высших женских курсов Иосаф Иванович Чистяков. На страницах этого журнала печатались доклады, читавшиеся на заседаниях кружка. Интерес участников кружка к реформам, происходившим или намечавшимся в области математического образования в России и в мире, отразился и на содержании журнала. Здесь были напечатаны многие материалы всероссийских съездов преподавателей математики, а также программы по математике, составленные при министре просвещения графе Игнатьеве в 1915 г., и объяснительные записки к ним.

Но этот журнал не был сугубо методическим. На его страницах опубликованы, в частности, такие работы: П. Бахман «О великой теореме Ферма» (1916); В.В. Бобынин «Алгоритм Бине и его употребление в древности» (1913), «История учения о логарифмах» (1916), «Яков I Бернулли и теория вероятностей» (1914); А.К. Власов «Квадратура круга и циркуляра квадрата» (1912); А.А. Волков «Учение о пропорциональности у Евклида и современная теория чисел» (1917); Д.Д. Мордухай-Болтовской «Из прошлого V книги ''Начал'' Евклида» (1916); П. Баранов «Как распространялись в России арабские цифры» (1913).Обширная статья редактора И.И. Чистякова посвящена итогам Первого всероссийского съезда преподавателей математики: «Первый Всероссийский съезд преподавателей математики» (1912 № 2). (41)

4.3.21. Фузионизм в узком смысле слова понимался как максимальное сближение или даже слияние математических предметов, в широком – тесная связь между математикой и другими предметами, взаимное проникновение их, в частности, математизацию физики.

Первые идеи фузионизма обнаруживаются уже в начале XIX в. в методической концепции академика С.Е. Гурьева. Создатели Меранской программы в сближении и слиянии различных разделов математики в средней школе видели одну из возможностей высвободить учебное время для введения элементов высший математики. Идея фузионизма стояла на повестке дня одной из первых Международных конференций по преподаванию математики. Чрезмерное увлечение этой идеей проявлялось в Германии, где в начале XX в. был выдвинут лозунг «химического преобразования», смешивания всех элементов математики. Одним из сторонников этой крайней точки зрения в России был В.Р. Мрочек. На Всероссийских съездах преподавателей математики реформистская идея фузионизма рассматривалась во многих докладах. (А.Г. Пичугин, С.И. ШохорТроцкий). Фузионистский характер носила программа Н.А. Тамамшевой. В ней нет разделения на арифметику, алгебру, геометрию, однако сведения из геометрии все же отделены от остального материала и помещены в конце программы каждого класса. Такая структура программы, когда полгода изучается алгебра, а затем полгода геометрия, очевидно, неприемлема по педагогическим соображениям (большие перерывы в интенсивном изучении предмета ведут к тому, что учащиеся забывают его).

В 1916 г. под влиянием съездов В.В. Добровольским была составлена фузионистическая программ по математике для средней школы.

В 20-е гг. XX в. наряду с разумным применением фузионизма, унаследованного советской педагогикой от прогрессивного дореволюционного реформистского движения, в России было и чрезмерное увлечение этой идеей. Это выразилось в создании комплексных учебных тем, чаще всего искусственно соединявших в себе мало связанные между собой, а иногда и совершенно не связанные вопросы различных дисциплин. К концу 20-х гг. XX в. практика показала, что большие надежды, возлагавшиеся на комплексную систему, не оправдались. Это же относилось и к широко практиковавшемуся тогда фузионизму между различными разделами математики. В начале 30-х гг. XX в. пустились в другую крайность, выбросив идею фузионизма почто полностью. В советский период значительный вклад в решение проблемы пропедевтики алгебры внес профессор В.Л. Гончаров. (38; 39; 54; 121; 200)

4.3.22. Фуркация обучения – разделение учебных планов в средней школе с целью такой специализации учащихся, которая совместима с сохранением общеобразовательного характера школы. Эта специализация вызывается потребностями самой жизни и должна соответствовать определившимся индивидуальным способностям учащихся.

В среднем общем образовании XIX в. долго господствовало классическое направление, и лишь под влиянием бурного развития производственных сил общества, науки и техники появилось и реальное направление. В долгой и упорной борьбе реальное образование получило всеобщее признание и такое же широкое распространение, как и классическое. Это выразилось в форме создания наряду с классическими гимназиями реальных училищ, что и явилось первым вариантом решения проблемы фуркации.

В циркуляре министра народного просвещения Н.П. Боголепова от 8 июля 1899 г. были ярко очерчены все недостатки средней школы и, в частности, было указано на невнимание к личностным особенностям учащихся, на нежелательную специализацию школы с самых младших классов, обрекающую детей на известный род занятий, прежде чем выяснились их природные способности и склонности. На совещании при Московском учебном округе в 1899 г. профессор П.А. Некрасов выступил с предложением о фуркации, которое было подробно рассмотрено. А под руководством профессора П.Г. Виноградова разрабатывались учебные планы и программы четырех типов школ, в том числе средней школы нового типа, в натуралистическом отделении которой предлагалось ознакомить учащихся с аналитической геометрией на плоскости и с основами анализа бесконечно малых величин. В 1900 г. так называемая боголеповская комиссия разработала учебные планы шести типов средней школы, а также школы нового типа, школы с бифуркацией (с двумя отделениями) и школы с индивидуализацией обучения в старших классах.

Выработанная в 1905 г. программа по математике для реальных училищ усиливала фуркацию между этими училищами и гимназиями. В 1909-1910 гг. при Министерстве народного просвещения работала комиссия под руководством профессора П.А. Некрасова, которая пришла к выводу о необходимости фуркации спецкурса математики в школе.

В начале XX в. развернулось широкое движение за реформу преподавания математики в школе, передовые ученые и педагоги поставили вопрос об устранении создавшегося ненормального положения в области среднего образования, вызванного неравноправием классического и реального образования. Так, на первом Всероссийском съезде преподавателей математики К.Г. Краевский предложил принять резолюцию об уничтожении деления средних учебных заведений на классические и реальные, ибо эти направления целесообразны только в старших классах, где определяются индивидуальные особенности учеников и их умственные запросы.

К проблеме фуркации на первом Всероссийском съезде преподавателей математики привел вопрос и о согласовании программ по математике для средней и высшей школ. Этой проблеме посвящены доклады К.А. Поссе, В.Б. Струве, Д.М. Синцова.

На заключительном заседании первого съезда были приняты резолюции, одна из которых посвящалась фуркации. Министерство народного просвещения вынуждено было прислушаться к мнению столь авторитетного коллектива. В 1915 г. на Особом совещании по реформе средней школы при Министерстве народного просвещения были решены важнейшие принципиальные вопросы реформы, включая проблему фуркации. По этому проекту в старших классах фактически предусматривались четыре отделения: новогуманитарное, гуманитарно-классическое, естественное и математическое. Математическая комиссия во главе с А.К. Поссе разработала учебные планы и программы математики для каждого отделения. В единой семиклассной средней школе начиная с 4 класса вводились три ветви со следующим общим числом недельных часов по математике: новогуманитарная – 15, гуманитарно-классическая – 12, реальная с 17 часами в естественно-историческом отделении и 20 часами в физикоматематическом отделении (для сравнения: в гимназиях было 18 часов, в реальных училищах – 23 часа). Для всех ветвей и отделений были составлены различные программы.

В 1957 г. на собрании в Академии педагогических наук с докладом выступил профессор Н.К. Гончаров, который, в частности, сказал, что принцип единства образования не исключает многообразия типов школы, важно лишь, чтобы соблюдалась их преемственность. Докладчик высказался за то, чтобы в виде опыта в 8-10 классах ряда школ осуществить фуркацию, т. е. ввести отделения, в которых были бы установлены учебные планы с преобладанием: 1) предметов физико-математического и технического цикла; 2) предметов биолого-агрономического цикла; 3) предметов социально-экономического и гуманитарного цикла. Общеобразовательный характер каждого отделения обеспечивается тем, что в его учебном плане представлены все основные предметы средней школы. Менять предполагалось число часов и характер программы.

Дальнейшее обоснование идеи фуркации, анализ истории вопроса в советский период дается в статье Н.К. Гончарова «О введении фуркации в старших классах средней школы» (1958).

Профессор А.И. Маркушевич также признает целесообразность фуркации в старших классах общеобразовательной школы. Эта идея получила поддержку программных комиссий, работающих при Академии педагогических наук: в проекте учебного плана выделены часы на факультативные занятия по выбору учащихся в каждом из 7-10 классов всех школ страны. (107; 110; 120; 121; 125; 144; 159; 178)

4.4. Период становления послереволюционной школы. Поиск новых путей математического образования (1918-1932 гг.) (по Р.С. Черкасову)

4.4.1. Государственная комиссия по просвещению создана декретом от 9 ноября 1917 г. Возглавил комиссию А.В. Луначарский. Меры, предпринятые Наркомпросом, были следующие: в январе 1918 г. были упразднены учебные округа, дирекция и инспекция народных училищ. Заведование всеми учебными заведениями было сосредоточено в Наркомпросе, на местах были организованы губернские, уездные и волостные отделы народного образования при местных Советах рабочих и крестьянских депутатов. В декабре 1917 г. все церковные учебные заведения были преобразованы в общеобразовательные. В январе 1918 г. было введено новое правописание.

В течение первого 1917-1918 уч. г. и летом 1918 г. комиссия работала над принципами построения новой школы. В результате было принято два документа «Положение о единой трудовой школе РСФСР» и «Декларация о единой трудовой школе». (64; 78; 79)

4.4.2. Единая трудовая школа была создана в соответствии с «Положением об единой трудовой школе РСФСР» от 30 сентября 1918 г., Государственной комиссией по просвещению были опубликованы «Основные принципы единой трудовой школы», которые утверждали единую систему образования, общее обязательное бесплатное обучение, отделение школы от церкви, совместное обучение детей обоего пола. Кроме того, Положение предусматривало ликвидацию классно-урочной системы, отказ от стабильных программ и учебников, отмену оценок, экзаменов и обязательных домашних заданий. Первоначально единая трудовая школа предполагала девятилетний срок обучения и состояла из двух ступеней: первая – с пятилетним сроком обучения для детей от 8 до 13 лет и вторая – с четырехлетним сроком обучения для детей от 13 до 17 лет. Однако в 1920-1921 гг. в связи с затруднениями, происходившими в Советской республике, срок общего образования был временно ограничен 15-летним возрастом. Основным типом школьной системы стала семилетняя школа с двумя концентрам (ступенями) (1-4 и 5-7 классы). Причем в это время в большинстве школ страны классы именовались группами. (64; 78; 79)

4.4.3. Рабочие факультеты (рабфаки) – особый вид средней школы, возникший в 1919 г. и законодательно закрепленный 17 сентября 1920 г. декретом «О рабочих факультетах». Основной задачей рабфаков являлась подготовка в

кратчайший срок рабочих и крестьян для поступления в высшую школу. В 1921-1922 уч. г. был установлен трехлетний срок обучения на дневных рабфаках и четырехлетний – на вечерних. (64; 78; 79)

4.4.4. Фабрично-заводские семилетки (ФЗС) – общеобразовательные школы (5-7 классы), организованные на базе начальной школы в 1926 г. Основная задача ФЗС заключалась в подготовке учащихся к поступлению в школы фабрично-заводского ученичества (ФЗУ), которые готовили квалифицированные кадры рабочих для промышленности. (64; 78; 79)

4.4.5. Школы крестьянской (колхозной) молодежи (ШКМ) – общеобразовательные школы, организованные в 1926 г., в задачу которых входило обеспечение сельскохозяйственной специализации обучения. (64; 78; 79)

4.4.6. Программа по математике. В основу построения новых программ, которое началось в 1918 г., был положен трудовой принцип: ведущим предметом изучения является труд, все другие предметы изучаются в связи с ним. Вместо старых учебников и обязательных программ Наркомпросс в 1918-1919 гг. издал «Материалы для образовательной работы трудовой школы». Предметный принцип обучения в школах первой ступени заменялся изучением «цельной конкретной действительности». Математика, как, впрочем, и другие предметы, должна была играть при этом служебную роль, так как метод преподавания считался важнее учебного материала. Рекомендованная «Материалами для образовательной работы трудовой школы» программа была перегружена и включала сведения, не доступные для детей. Так, на третьем году обучения предлагалось дать понятие о десятичных дробях и процентах, оценку абсолютной и относительной погрешностей измерений, вычисления объема прямой и наклонной призм и объема пирамиды. На пятом году обучения рассматривались линейные уравнения с одним неизвестным и системы линейных уравнений с двумя неизвестными, графики функций y = ax2 и y = ax3, замена переменных, извлечение квадратного и кубического корней, основы технического (для городских школ) и геодезического (для сельских школ) черчения. Все эти рекомендации на местах пытались приспособить к реальным возможностям школы, в результате нередко приходилось возвращаться к соответствующим программам дореволюционной школы.

Множество разнообразных программ, непрерывно появляющихся на местах, нарушало принцип равноценности образования, полученного в разных школах. Возникла необходимость в создании хотя бы примерных учебных планов и программ. Такие программы были составлены в Москве и Петрограде, а затем сведены в единую программу, принятую отделом единой трудовой школы Народного комиссариата просвещения в июне 1920 г. В курс математики были включены основы анализа бесконечно малых и аналитической геометрии. Изложение геометрии должно было строиться с широким привлечением идеи движения; подчеркивалась важность геометрического, технического и проекционного черчения. Из традиционного курса элементарной математики был ис-

ключен ряд разделов: тройное и цепное правило, неопределенные уравнения, непрерывные дроби.

Особое внимание в объяснительной записке к этой программе было уделено методам преподавания. Рекомендовалось, чтобы каждое новое математическое предположение, по возможности, «вытекало из потребности в разрешении того или иного вопроса». Отмечалось, что материалом для усвоения методов математического исследования должны стать соответствующие вопросы по физике, астрономии, географии, работа в мастерских.

Программа по математике начальной школы включала решение уравнений с одним и двумя неизвестными, например, в 3 классе вводились уравнения вида 23 - (х : 5) = 3х + 7, действия над отрицательными числами, понятие степени и корня, метод координат, графики функций y = x и y = a/x.

Насыщенной была и программа школ второй ступени. Так, по алгебре предполагалось изучение следующих вопросов.

Первая группа (шестой год обучения): уравнения первой степени с одним неизвестным; графики функций y = ax + b (построение по точкам); тождественные преобразования многочленов; действия над отрицательными числами; арифметическая прогрессия; пропорции; функции y = ax и y = ax + b; алгебраические дроби.

Вторая группа (седьмой год обучения): системы уравнений первой степени; пропорции; обратная пропорциональность; функции y = a/x, y = a/x2; квадратный корень; приближенные вычисления; квадратные уравнения; геометрическая прогрессия.

Третья группа (восьмой год обучения): квадратные уравнения; квадратная функция; степени и корни; функции y = ax3 и y = ax3 + b; показательная функция; логарифмы.

В программе значительное внимание уделено изучению функций, графическим методам изображения зависимостей и решения задач. Однако материал излагается недостаточно последовательно. Решение уравнений, например, предшествовало знакомству с соответствующими функциями.

Изучение геометрии (в течение трех лет) предполагалось в таком объеме.

В первой группе рассматривались основные геометрические понятия, равенство треугольников, относительное положение прямой и окружности и двух окружностей, симметрия относительно прямой и точки, параллельность, параллелограмм, трапеция, пропорциональные отрезки.

Во второй группе вводились: подобие и гомотетия, решение треугольников, вписанные и описанные многоугольники, метрические соотношения в треугольнике (включая теорему Пифагора) и в круге, правильные многоугольники, двугранные и многогранные углы, прямоугольные проекции, поверхности геометрических тел.

В третьей группе изучались: параллельность и перпендикулярность в пространстве, начала проекционного черчения, принцип Кавальери, объемы

подобных фигур. Решались задачи на построение. Тригонометрия излагалась на векторной основе.

Таким образом, примерная программа 1920-1921 уч. г. представляла собой существенный шаг в развитии содержания школьного курса математики и, в какой-то мере, методики его изложения. В ряде школ второй ступени изучались элементы анализа.

После того как в 1921 г. основой общего образования стала семилетняя школа, Наркомпросом РСФСР были составлены и утверждены программы для 1-4 классов. Курс семилетки включал почти весь гимназический курс математики, «сдвинутый» в младшие классы (принцип Кавальери, например, давался в 5 классе). Тогда же были изданы и программы для старших классов. Таким образом в первых советских программах (1918-1921 гг.) было много ценного. В них сохранялись отдельные математические дисциплины. Учебный материал располагался по определенной системе. Во многих программах нашли отражение идеи движения за реформу школы (широкое использование понятия функции, введение в школьный курс элементов аналитической геометрии и математического анализа, геометрические преобразования, приближенные вычисления, графические методы и др.). Однако для этих программ была характерна перегруженность учебным материалом при нехватке учебников и методических пособий.

В 1923 г. был утвержден первый вариант программ школ первой ступени (четыре класса) и 5 класса (первый год обучения школ второй ступени), предусматривающий замену систематического изучения основ наук комплексной системой. Программы для школ первой ступени представляли собой подробно разработанные схемы изучения трудовой деятельности человека, истории труда. Математика в этих схемах совсем не выступает в качестве самостоятельного предмета, а содержится в них в виде совокупности изолированных вопросов и тем, связанных с изучением тех или иных трудовых процессов.

Программы для пятых – седьмых годов обучения содержали примерно следующий материал.

5 класс. Обыкновенные и десятичные дроби. Метрическая и русская система мер. Отношение, пропорции, процентное отношение. Собирание статистического материала, его первичная обработка. Понятие об абсолютной и относительной погрешностях. Среднее арифметическое. Относительные числа. Функциональная зависимость. Графики. Интерполирование. План, масштаб. Основы геометрического черчения. Начала метрической геометрии. Построение простейших геометрических фигур. Линейная функция. Закон прямой пропорциональности в табличном, графическом и аналитическом виде. Прямая и обратная пропорциональности. Буквенная символика. Численное значение алгебраических выражений. Проекция в двух и трех плоскостях. Свойства простейших геометрических тел, их поверхности и объемы. Степень. Идея симметрии. Развертки и выкройки. Прямоугольные и круговые диаграммы. Сложение, вычитание и умножение алгебраических выражений. Простейшие уравнения с численными и буквенными коэффициентами. Равенство и подобие. Отношение периметров и площадей. Простейшие измерения на местности.

6 класс. Элементы статистики (простейшие статистические обследования). Понятия о счетоводстве. Действия с относительными числами. Формулы сокращенного умножения (применительно к числам) и разложения на множители. Уравнения и неравенства первой степени. Начала приближенных вычислений. Действия над алгебраическими дробями. Различные способы задания функциональной зависимости. Обратная пропорциональность. Неполные квадратные уравнения. Квадратный корень. Пирамида, конус, усеченные пирамида и конус, шар. Отношения поверхностей и объемов. Решение прямоугольных треугольников. Расширенные сведения о подобии. Астролябия. Теодолит. Мензула. Решение задач на местности.

7 класс. Степени и корни. Квадратный корень. Квадратная функция, квадратное уравнение. Пропорциональные отрезки в круге. «Золотое деление» отрезка. Правильные многоугольники. Отрицательные и дробные показатели степени. Десятичные логарифмы. Логарифмический масштаб и линейка. Вычисления с помощью логарифмов. Начала теории вероятностей (включая понятие о законе больших чисел). Элементы математической статистики. Сложные проценты. Вписанные и описанные углы. Вписанные и описанные многоугольники. Длина окружности и площадь круга. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве. Проекция тела на три плоскости. Триангуляционные задачи. Поверхности и объемы круглых тел.

Основным недостатком этих программ являлись нарушения систематичности в изложении основ наук, пренебрежение к последовательному, постепенному развитию у учащихся вычислительных навыков и навыков выполнения тождественных преобразований, недооценка образовательного значения математики. Наряду с программами, издаваемыми Наркомпросом, широкое распространение получали программы, составляемые местными органами народного образования. В одной только Российской Федерации в середине 20-х гг. использовалось более 60 местных программ.

В 1929 г. в связи с введением в РСФСР десятилетнего обучения стабилизировался учебный план. На математику стало отводиться примерно 11 процентов учебного времени. Часы на её изучение в 5-10 классах распределялись следующим образом:

Классы 5 6 7 8 9 10

Количество часов в неделю 6 4 4 3 3 3

Однако вопросы содержания и методов обучения по-прежнему не нашли удовлетворительного решения. (5; 30; 64)

4.4.7. Учебники математики. В 20-х гг. XX в. советская школа пользовалась учебниками математики, в которых в том или ином порядке излагались сведения по всем школьным математическим дисциплинам. Учащиеся ШКМ и ФЗС не имели специальных учебников и работали по книгам, в которых, главным образом, раскрывались практические приложения математики («Математика токаря», «Математика фрезеровщика», «Руководство по механическому делу»). Из создаваемой в это время учебной литературы преимущество было отдано задачникам, были изданы «Новый задачник по геометрии», «Хрестоматия

задачник по начальной математике» Я.И. Перельмана, «Арифметический задачник на основе обществоведения» А.В. Ланкова, «Начальный курс геометрии», «Сборник математических упражнений» И.Н. Кавуна, «Задачник по начальной математике» С.П. Глазенапа, «Живой счет» А.Г. Бернашевского, Г.М. Васильева и Е.А. Звягинцева и ряд других книг.

Во второй половине 1920-х гг. получили широкое распространение так называемые рабочие тетради по математике. В РСФСР использовались «Рабочие книги по математике» М.Ф. Берга, М.А. Знаменского и других, пособие «Математика. Рабочая книга для 6-7 года обучения» под редакцией Е.С. Березанской, «Рабочие книги по математике» В.В. Беркута и других под редакцией Г.А. Поперек и целый ряд аналогичных изданий. Рабочие книги строились преимущественно по схеме: комплекс (как исходный пункт) – определенный объем математических знаний – комплекс (его обслуживание математикой). Учебники такого типа обычно содержали многочисленные упражнения, задачи, практические задания, справочный материал, материал хрестоматийного характера из истории математики и её приложений. Часто «привязка» комплекса к определенной математической теме носила искусственный характер, что отвлекало внимание от главного в математической теме, нарушало принцип систематичности в овладении математическими знаниями. Положительным является то, что эти рабочие книги требовали активной самостоятельной работы учащихся, содержали разнообразнейший справочный материал, диаграммы, графики, таблицы, сведения из истории науки. (5; 64)

4.4.8. Методические пособия для учителей математики. В 1920-е гг. были изданы первые советские труды по методике преподавания математики. Многие из них в настоящее время представляют только исторический интерес. В особенности это относится к работам, в которых на первый план выдвигались принципы комплексного обучения, бригадно-лабораторный метод, «метод проектов». Но против исключительного использования комплексного принципа в обучении математике в те годы выступали И.И. Грацианский, И.Н. Кавун, К.Ф. Лебединцев, К.М. Щербина и многие другие видные методисты. Кроме этого, до начала 30-х годов в школьном математическом образовании сосуществовали два независимых направления. Первое отражало стремление к продолжению курса реформ, намеченных в периоды проведения I и II Всероссийских съездов преподавателей математики. Второе направление действовало под руководством из центра, создавало «новую школу».

В 1918 г. вышла в свет «Математика в народной школе» К.Ф. Лебединцева – первая советская книга по методике математики. В ней раскрыты цели, содержание и методы обучения математике в трудовой школе первой ступени. В 1925 г. в Киеве вышло в свет «Введение в современную методику математики» – первая часть задуманного, но не завершенного К.Ф. Лебединцевым труда «Основы современной методики математики». Автор анализирует абстрактнодедуктивный и конкретно-индуктивный методы обучения, рассматривает развитие этих методов в историческим аспекте и делает вывод, что для трудовой школы пригоден лишь конкретно-индуктивный метод, метод изучения матема-

тических истин на конкретных задачах и примерах из окружающей жизни. Лебединцев стремится обосновать методические положения и рекомендации, используя данные психологии и экспериментальной дидактики. Он придерживался мнения, что методика математики не должна быть собранием рецептов и догматических указаний учителю при разработке того или иного пункта программы, а должна стать научно-обоснованной системой положений, которые ясно указывали бы педагогу основную линию его работы, предоставляя ему достаточно свободы для творчества.

В 1923 г. вышла в свет книга А.В. Ланкова «Математика в трудовой школе» – очерки по методике математики для преподавателей трудовой школы первой ступени. Эта книга выдержала семь изданий. Значительную помощь учителям оказала изданная уже после смерти её автора книга видного педагога С.И. Шохор-Троцкого «Методика начального курса математики» (ч.1). Характерным для разработанной С.И. Шохор-Троцким системы обучения является лабораторно-исследовательский метод. Ряд важных методических проблем обучения математике в начальной школе рассмотрен в книге А.М. Воронца «Очерки по методике математики в школах первой ступени» (1925) В «Методике геометрии» Н.А. Извольского (1923) рассмотрены как общие вопросы преподавания геометрии, так и конкретные вопросы методики пропедевтического и систематического курсов. В 1925 г. была опубликована работа В.М. Брадиса «Теория и практика вычислений в школах второй ступени». В тот же период изданы книги: К.Ф. Лебединцева «Руководство алгебры» и Б.Б. Пиотровского «Тригонометрия» (в этой книге вводилось понятие вектора). В 1926 г. появилась книга для учителей С.П. Виноградова «Элементы теории вероятностей». (5; 64; 87; 89)

4.4.9. Бригадно-лабораторный метод – метод организации занятий, сложившийся в 20-х – начале 30-х гг. XX в., в основу которого были положены бригады, создаваемые из учащихся во главе с бригадиром. Учащиеся работали по заданиям, рассчитанным на срок от двух недель до одного месяца; в них указывалась учебная литература, контрольные вопросы, предусматривались задачи и упражнения. Учитель консультировал учащихся, если у них возникали затруднения. После выполнения всех заданий проводились заключительные занятия. Работа бригады оценивалась в целом. В результате активно работали наиболее серьезные учащиеся и в особенности бригадир, отвечающий за всю бригаду. Всё это отрицательно сказывалось на занятиях учащихся, порождало обезличку и безответственность. Несмотря на это, в трехтомной Педагогической энциклопедии 20-х готов под редакцией профессора А.Г. Калашникова находим статью «Система организации образовательной работы» с характерным для того времени содержанием: «успех выпал на долю лабораторной системы потому, что она пришла на смену отжившей свой век классно-урочной системы». (131; 132)

4.4.10. Метод проектов – система обучения, получившая распространение в 1920-х гг. в советской школе, при которой учащиеся приобретают знания в процессе планирования и выполнения постепенно усложняющихся практиче-

ских заданий – проектов. Построению учебного процесса по методу проектов ведет к ликвидации учебных предметов, резкому снижению уровня общеобразовательной подготовки. (64; 78)

4.4.11. Комплексная система обучения – система обучения, введенная в 1923 г. и предполагавшая отказ от систематического изучения основ наук и введение комплексных программ, в которых объем знаний преподносился учащимся в виде комплекса сведений по трем общим разделам (колонкам): природа, труд, общество. Из программ школ 1-й и 2-й ступени математика как самостоятельный учебный предмет была исключена, признавалась число служебная роль математики, отмечалось, что математика не должна изучаться в школе как «оторванный самодовлеющий» предмет. В программах школ 2-й ступени математический материал распределялся по комплексным темам, например, теорема Пифагора включена в тему «Советский строй и конституция СССР», отрицательные и дробные показатели – в тему «Империализм и борьба рабочего класса». Комплексная система обучения связала обучение математике с практическим её приложением, но вместе с тем способствовала нарушению систематичности обучения, принижению роли теории.

Комплексные программы и другие методические новшества не получили широкого признания среди учительства. Многие педагоги придерживались предметного способа преподавания и лишь формально выполняли комплексные программы. В соответствии с постановлением от 25 августа 1931 г. «О начальной и средней школе» комплексный принцип был отвергнут и заменен предметным. (64; 78)

4.5. Период совершенствования общеобразовательной и трудовой политехнической школы (1932-1964 гг.) (по Р.С. Черкасову)

4.5.1. Постановление правительства «О начальной и средней школе» принято 5 сентября 1931 г. Согласно этому положению в школах восстанавливалось систематическое изучение основ наук, что имело особенно важное значение для изучения курса математики. Возвращалась классно-урочная система, предметное преподавание. Политехническое обучение было подчинено общим учебно-воспитательным целям и осуществлялось на основе прочного усвоения основ наук. Вводились стабильные учебники для единых по всей стране типов общеобразовательных школ и ступеней образования: начальная школа (1-4 классы), неполная средняя школа (5-7 классы), средняя школа (8-9 классы).

4.5.2. Всероссийское совещание по вопросам преподавания математики состоялось в 1935 г. по инициативе министра просвещения А.С. Бубнова. На совещание основной темой было восстановление положительных традиций математического образования в дореволюционной России. На совещании обсуждался ряд проблем, рассмотреть которые предполагалось ещё в 1917-1918 гг. на несостоявшемся III Всероссийском съезде преподавателей математики. С ос-

новными докладами выступали: П.С. Александров «О некоторых направлениях развития математики и их значении для преподавания», С.А. Яновская «Формально-логическое мышление и математика», Е.С. Березанская «Состояние преподавания математики по результатам выборочного обследования», М.Ф. Берг «О программе по математике для средней школы», В.Э. Фриденберг «О программе по геометрии для средней школы». В совещании активно участвовали: Б.Н. Делоне, М.А. Астряб, В.М. Брадис, Н.Ф. Четверухин, И.Н. Кавун, Н.А. Извольский, Р.К. Гангнус, М.К. Гребенча, П.Я. Дорф.

В принятом на совещании «Обращении ко всем преподавателям математики средней школы» говорилось: «Всё преподавание математики в средней школе нужно поставить на большую научную высоту, кладя в основу преподавания тщательное изучение теории и сознательное применение её выводов к решению задач… Совещание особо подчеркивает необходимость развития у учащихся математического мышления, конструктивных способностей и пространственных представлений». Подготовка к совещанию и его решения оказали плодотворное влияние на восстановление в школе нормальных условий для учебы. (111)

4.5.3. I Генеральная ассамблея Международного математического союза, восстановленного после второй мировой войны на Международном конгрессе математиков в Кембридже (США) в 1950 г., состоялась в марте 1952 г. в Риме. На генеральной ассамблее произошло включение Международной комиссии по математическому образованию (МКМО) в состав Международного математического союза (ММС), поскольку цели, преследуемые комиссией, составляли фактически часть целей, преследуемых уставом союза. Таким образом, деятельность МКМО после второй мировой войны проходила под эгидой ММС. МКМО ставила перед собой следующие цели: 1) установить место математики в современной школе, которая до сих пор в ряде стран предназначалась для небольшого числа привилегированных, а теперь станет массовой (обязательное обучение); 2) установить методы обучения, соответствующие современному месту математики в среднем образовании; 3) изучить вопрос о подготовке юных математиков. (22)

4.5.4. Международный конгресс математиков в Амстердаме проходил с 2 по 9 сентября 1954 г. На этом конгрессе МКМО впервые выступила публично после реорганизации. Работа комиссии проходила в VII секции конгресса – философия, история и преподавание математики. Было представлено 11 отчетов национальных подкомиссий на темы: 1) «Роль математики и математиков в современной жизни», 2) «Обучение математике учащихся в возрасте 16-21 года», а также была организована выставка по данной теме, которая давала возможность сравнить методы обучения математике в различных странах.

По первой теме обобщающий доклад сделал югославский профессор Д. Курепа, он подчеркнул, что понятие математики в настоящее время значительно шире, чем это было в недалеком прошлом. Математика охватывает сейчас логику, теоретическую физику, статистику, а математиками являются по

существу работники многих отраслей прикладных наук. Современная математика является объединяющей базой для очень многих частных дисциплин, одним из каналов осуществления международных связей; её мощь увеличилась благодаря огромной роли быстродействующих электронных счетных машин. Вследствие такого роста значения математики в современной жизни роль математики, а также преподавателя математики чрезвычайно возросла. Отметив современные математические идеи (множества, соответствия, отношения, структуры), которые дают возможность рассматривать математику более эффективно, чем раньше, докладчик пришел к выводу, что в этом направлении следует развивать и математическое образование в школе. Эти идеи и легли в основу движения за модернизацию преподавания математики в школе. (22)

4.5.5. XIX Международная конференция по народному просвещению состоялась в Женеве в 1956 г. по инициативе ЮНЕСКО. В конференции приняли участие представители 74 стран. Одним из центральных вопросов конференции был вопрос о назревшей реформе математического образования. Конференция приняла ряд рекомендаций, каждая из которых представляет собой планпрограмму целесообразных изменений методики математики средней школы, рассчитанных на весьма продолжительное время.

Одной из таких рекомендаций была «Рекомендация № 43 Министерствам просвещения относительно преподавания математики в средних школах», содержащая следующие разделы: цели преподавания математики, место математики в школе, программы, методы преподавания, учебные пособия, преподавательский персонал. По вопросам программ преподавания рекомендовалось составлять их на уровне современных требований, сообразуясь с прогрессом науки и новейшей техники, поступаясь устаревшими вопросами. Отмечалось, что некоторые страны, в целях повышения уровня программ в старших классах, ввели преподавание аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчислений, статистики и теории вероятностей, а также придают все большее значение изучению функций, векторов, геометрических преобразований и прикладной математике. Указывалось, что степень сложности и объем подлежащих преподаванию отраслей математики должны соответствовать среднему умственному развитию учеников каждого класса. Составлять учебные планы рекомендовалось так, чтобы сосредоточить преподавание математики на функциональных элементах, координирующих её отдельные отрасли, выявляя при этом основные понятия. В связи с этим предлагалось проведение ряда педагогических опытов, чтобы определить, в какой мере поливалентная структура современной математики может улучшить среднее образование.

Относительно методов преподавания в рекомендации говорилось, что методологические директивы должны заключать советы и предложения, направленные на согласование преподавания с достижениями психологии, педагогики и математики. Рекомендовалось постепенно развивать дедуктивное построение математики, оказывать предпочтение наглядному исследованию вопросов над доктринальным изложением теории, отводить первое место мышлению и рас-

суждению, а не «дрессировке» и «зазубриванию наизусть», ограничить роль памяти закреплением основных результатов. (22; 105)

4.5.6. Международный конгресс математиков в Эдинбурге состоялся в 1958 г. МКМО подготовила на этот конгрессе три доклада и выставку. Представленные доклады содержали следующую тематику: 1) «Математическое обучение в возрасте до 15 лет» – Г. Фер (США); 2) «Научные основы математического обучения в средней школе» – Г. Бенке (ФРГ); 3) «Сравнительное исследование методов обучения началам геометрии» – Г. Фрейденталь (Голландия). Одно заседание было посвящено заслушиванию 5 докладов, представленных Американским комитетом по математическому образованию, среди которых особое место занимал доклад об использовании телевидения в преподавании. На выставке были представлены книги, журналы, документы, всего около 2000 работ о математическом образовании учеников 11-12-летнего возраста (связь с начальным образованием) и 18-19 лет (связь с высшем образованием).

Было принято решение об изменении устава МКМО. В комиссию должны были входить 10 членов, избираемых ММС, и по одному представителю от каждой национальной подкомиссии. Председателем МКМО с 1 января 1959 г. на четыре года был избран М. Стоун (США). От СССР в состав комиссии вошел А. Д. Александров. (22; 117)

4.5.7. XIV Международная конференция преподавателей математики в Кракове состоялась в августе 1960 г. Важным для модернизации математического образования является выступление бельгийского профессора Ж. Папи. Начиная с 1958 г. он проводил эксперименты по преподаванию элементов современной математики детям в возрасте 12 лет. Созданный им курс современной математики основывается на понятиях множества, отношения, соответствия, функции, преобразования, структуры. Разработана им и соответствующая методика, главное место в которой занимают конкретные примеры (жизненные ситуации, родственные отношения) и наглядность (диаграммы Венна, графы). Выступление Ж. Папи по теме «Основные идеи современной математики и вопросы обучения» вызвало большой интерес и сопровождалось оживленными дебатами. Ж. Папи изложил свой опыт преподавания основных понятий теории множеств детям 15-летнего возраста. Опыт показал, что в младших классах дети лучше воспринимают понятие множества, но понятие соотношения лучше усваивается с 15 лет. Свои выводы Ж. Папи продемонстрировал на экспериментальном уроке, который он тут же провел с группой детей в возрасте 15-16 лет, собранных случайно. На уроке дети впервые познакомились с понятиями множества и отношения. (22; 205)

4.5.8. Международный симпозиум по вопросам преподавания математики в Будапеште состоялся в августе 1962 г. На нем обсуждался проект программы по математике, разработанной на конференциях в Раймонте (1959 г.) и Дубровниках (1960 г.). Программа рассчитана на два цикла средней школы: первый – от 11 до 15 лет, второй – от 15 до 18 лет. Программа первого цикла содержала

алгебру и арифметику, в которые входили, среди традиционных вопросов, элементарные понятия о множествах, различные системы счисления, система координат, функциональная зависимость, понятие о группе, кольце и поле; геометрию, в которой вводилось понятие вектора; элементы теории вероятностей и статистики; элементы анализа – понятие функции как отображения, графики, последовательности, пределы, дифференциальный коэффициент. В программу второго цикла входили следующие предметы: алгебра – множества, отображения, отношения, кольца, поля, группы, введение в теорию векторов, действительные и комплексные числа, математическая индукция, изоморфизм, гомоморфизм, аксиоматическая структура действительных чисел, комбинаторика, линейное отображение, матрицы; геометрия – группы преобразований, аффинная геометрия, эвклидова геометрия, аксиоматическое построение геометрии; аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве; вероятность и статистика; анализ и топология – производная, дифференциальные уравнения, интегральное исчисление (аксиоматическая трактовка).

Было внесено предложение о принятии этой программы за основу и одобрении намеченной в ней перспективной линии развития школьных программ. Однако большинство участников симпозиума склонилось к тому, что программа перегружена и нереальна, поэтому в решении симпозиума было принято ограничиться общими указаниями. В заключениях и рекомендациях, принятых на симпозиуме, отмечается, что, как показали эксперименты, начиная с 12-летнего возраста можно использовать простейшие понятия и производить операции над множествами, вводить понятие отношения и функции, а также понятия, необходимые и полезные для рационального объяснения структуры векторного пространства (эквивалентность, трансляция векторов, группы и т.д.).

Относительно дальнейших экспериментов указывалось, что, наряду с углублением исследований в области преподавания множеств, векторных пространств и связанных с ними понятий, следует продолжить опыты над следующими общими темами, представленными в свете современной математики: элементы топологии, элементарная геометрия, понятия статистики и вероятностей, дифференциальное и интегральное исчисления, математическая логика.

Дальнейшие рекомендации относятся к педагогике математики и подготовке учителей. По педагогике математики эти рекомендации касаются: приемов обучения; условий, содействующих обучению; мотивировке обучения, способов обучения; развития математического мышления, средств обучения, сотрудничества между математиками, педагогами и психологами. В заключение участники симпозиума просили ЮНЕСКО ускорить выполнение решений XIX Международной конференции по народному образованию и принять необходимые меры к организации и поддержке Международного центра информации по педагогике математики. (22; 61)

4.5.9. Международный конгресс математиков в Стокгольме состоялся в августе 1962 г. На конгрессе по поручению МКМО был прочитан доклад по первым итогам модернизации преподавания математики в средней школе: «Какие

темы современной математики и какие применения современной математики могут найти место в программах преподавания средних школ?», содержащий обзор 21 отчета национальных подкомиссий.

В докладе рассматриваются достижения различных стран в осуществлении реформ преподавания математики. Первое место занимает Франция, где Министерство образования уже утвердило официально планы модернизации программ преподавания математики в школе. Реформе во Франции предшествовала экспериментальная работа, написание статей и монографий, обсуждение вопросов реформы на семинарах учителей, выступление крупнейших ученых перед учителями.

В ФРГ реформа затрудняется по причине, общей для многих стран: ограниченность времени, предусмотренного на изучение математики, делается вывод, что введение элементов современной математики нельзя осуществить добавлением новых тем к существующей программе, а скорее всего следует найти в традиционной программе темы, которые не являются необходимыми с современной точки зрения, и заменить их идеями современной математики.

В США ещё в середине 1950-х гг. работала математическая комиссия по модернизации программ, деятельность которой осуществлялась в двух направлениях: введение в учебники соответствующих тем, обучение учителей понятиям современной математики. Учителям даже предлагалось вернуться на один год в университет для дополнительного обучения. Над созданием экспериментальных материалов на протяжении 5 лет работали более 100 ученыхматематиков и учителей математики. После широкой проверки по всей стране эти материалы были переработаны и взяты за основу будущих учебников.

По реформе программ в большинстве отчетов предлагалось введение в школьные программы четырех разделов современной математики: элементарная теория множеств; введение в логику; несколько тем из современной алгебры; введение в теорию вероятностей и статистику. По выбору тем из современной алгебры не было единого мнения, наметились два направления: изучение алгебраических структур (группы, кольца, поля) и линейная алгебра. Относительно степени аксиоматизации школьного курса математики было высказано столько же мнений за расширение аксиоматики, сколько и против.

В связи с введением новых тем возникает вопрос о темах, подлежащих сокращению. Чаще всего встречаются следующие предложения: сокращение времени на изучение синтетической геометрии; существенное сокращение тригонометрии, в особенности решение треугольников; сокращение изучения геометрических тел.

В резолюции были отмечены темы, рекомендованные для введения в курс средней школы: основные понятия теории множеств, логика, элементы современной алгебры, теории вероятностей и статистики, а также рекомендовалось модернизировать курс геометрии.

В Стокгольме председателем МКМО на период с 1963 по 1967 гг. был избран А. Лихнерович (Франция), от СССР в состав комиссии вошел А.Н. Колмогоров. (22)

4.5.10. Международная конференция, посвященная новым методам преподавания математики, проходила в Афинах в ноябре 1963 г. Конференция была созвана Организацией экономического и культурного содействия народов и на ней была представлена 21 страна. В своих рекомендациях конференция предлагала основывать курс школьной математики на изучении теории множеств, отношений и функций, а основным орудием обучения считать идею структуры математических понятий: «необходимо иметь перед глазами идею математических структур как идейную нить преподавания». (52)

4.5.11. Академия педагогических наук создана в 1943 г. Среди первых её членов были А.Я. Хинчин – действительный член, В.Л. Гончаров – член-корреспондент. В 1945 г. действительным членом Академии был избран П.С. Александров, членами-корреспондентами – И.В. Арнольд, А.И. Маркушевич, Н.Ф. Четверухин. Позднее действительными членами были избраны А.И. Маркушевич (1950 г.), Н.Ф. Четверухин (1955 г.), членами-корреспондентами П.А. Ларичев (1950 г.), В.М. Брадис (1955 г.), И.К. Андронов (1957 г.). (64)

4.5.12. Научно-исследовательский институт методов обучения создан в октябре 1944 г. в составе Академии педагогических наук. В этом институте был организован кабинет (в дальнейшем – сектор) методики математики. Первым заведующим кабинетом методики математики этого института стал В.Л. Гончаров. Уже в первые годы работы кабинет методики математики объединил ряд видных ученых-математиков: А.Я. Хинчин, П.С. Александров, В.Л. Гончаров, И.В. Арнольд, Н.Ф. Четверухин, А.И. Маркушевич, Я.С. Дубнов. В нём сотрудничали опытные педагоги А.И. Фетисов, Н.Н. Никитин, И.Н. Шевченко, И.А. Гибш. Несколько позднее в состав сектора вошли В.И. Левин, А.Д. Семушин, Г.Г. Маслова, В.Г. Ашкинузе и другие. Кабинет проводил систематическую работу по учебникам, которые создавали его сотрудники. С 1945 г. начали выходить «Известия Академии педагогических наук РСФСР».

В 1960 г. Научно-исследовательский институт методов обучения был переименован в Научно-исследовательский институт общего и политехнического образования, в 1968 г. в Научно-исследовательский институт содержания и методов обучения Академии педагогических наук СССР. (64)

4.5.13. Программа по математике. Первый вариант программы по математике для средней школы после постановления «О начальной и средней школе» был составлен в 1932 г. и утвержден 16 мая 1933 г. Программа предусматривала изучение на базе начального курса арифметики и элементов геометрии (1-4 классы) систематических курсов арифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии. В объяснительной записке к программе указывалось, что материал по математике должен располагаться в определенной последовательности; основные сведения по математике следует прорабатывать особенно тщательно; переход от одной ступени к другой может совершаться лишь тогда, когда хорошо усвоена предшествующая.

Первоначальный вариант программы был следующий.

5 класс. Арифметика (повторение). Целые и дробные числа; отношение и пропорции; систематизация задач на проценты.

Геометрия. Введение; линия; угол и его измерение; треугольник; основные задачи на построение с помощью циркуля; геодезические работы.

6 класс. Алгебра. Относительные числа; тождества и уравнения; целые одночленные и многочленные выражения; дробные алгебраические выражения с одночленным знаменателем; система уравнений первой степени.

Геометрия. Параллельные прямые; четырехугольники; площадь прямолинейных фигур; геометрическое место точек; окружность и круг; геодезические работы.

7 класс. Алгебра. Разложение многочленного выражения на множители; алгебраические дробные выражения с многочленными числителями и знаменателями; уравнения; возведение в степень; извлечение корня; преобразование иррациональных выражений; квадратные уравнения.

Геометрия. Пропорциональность и подобие фигур; метрические соотношения; вписанные и описанные многоугольники; правильные многоугольники.

8 класс. Алгебра. Приближенные вычисления; тождественные преобразования со степенями и корнями; квадратные уравнения и приводимые к ним; тригонометрия острого угла.

Геометрия. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.

9 класс. Алгебра. Понятие о числе; уравнения и функции, неравенства, доказательство некоторых замечательных неравенств; прогрессия; обобщения понятия степени (включая понятие степени с иррациональным показателем); показательная и логарифмическая функции; таблицы логарифмов; задачи на сложные проценты; исследование уравнений первой и второй степени, исследование трехчлена второй степени; общий вид уравнения n-ой степени; теорема Коши о существовании корня (без доказательства); теорема Безу; решение уравнений высших степеней (частные случаи); неопределенные уравнения, общие формулы решений; теория соединений и бином Ньютона.

Геометрия. Многогранники (свойства, вычисление площадей, поверхностей и объемов); понятие о правильных многогранниках; круглые тела, их свойства, вычисление площадей поверхностей и объемов (с использованием принципа Кавальери).

Тригонометрия. Тригонометрические функции, их свойства и графики, формулы сложения и вытекающие из них следствия; преобразование суммы двух тригонометрических функций в произведение; решение тригонометрических уравнений (с примерами введения вспомогательного угла).

10 класс. Аналитическая геометрия. Метод координат, определение положения точки на прямой, плоскости и в пространстве (решение соответствующих задач); геометрическое значение уравнений (систематизируется изученный ранее материал); уравнение прямой и кривых второго порядка; взаимное положение прямой с этими кривыми; приложения аналитической геометрии к вопросам физики, механики и техники.

Математический анализ. Теория пределов, построенная на понятии переменной величины, изменяющейся непрерывным образом; вывод некоторых пределов, число «е», знакомство с натуральными логарифмами; понятие функции, её непрерывность, примеры непрерывных и прерывных функций; понятие производной и дифференциала, дифференцирование функций, производные сложных функций и производные высших порядков; исследование функций на экстремум; неопределенный интеграл; задача интегрирования как обратная дифференцированию; интегралы от простейших функций; определенный интеграл; приложение анализа к решению прикладных задач из области физики, механики, техники.

Таким образом, основной особенностью этой программы было изучение в 10 классе элементов аналитической геометрии и математического анализа. Но в таком виде программа реализована не была. В 1935 г. была разработана программа, в которой в 10 классе вместо элементов аналитической геометрии и математического анализа был введен так называемый повторительный курс математики, т.е. материал, предназначавшийся ранее для 5-9 классов, был перенесен в 5-10 классы.

По программе 1935 г. в 5 классе центральной темой являлись дроби, параллельно с которыми изучались элементы геометрии. В 6 классе начиналась алгебра и систематический курс геометрии, в 7 классе изучение этих предметов продолжалось, завершаясь уравнениями первой и второй степени и начальными главами систематического курса геометрии. В программу 8 класса включались степени и корни, квадратные функции, графики, квадратные, биквадратные, иррациональные уравнения и системы уравнений второй степени, пропорциональные отрезки, подобие, метрические соотношения в треугольнике и круге, площади прямолинейных фигур, тригонометрические функции острого угла, таблицы. В 9 классе по алгебре изучались прогрессии, обобщение понятия степени, логарифмы, логарифмическая линейка, определение степени точности результатов арифметических действий над приближенными данными. По геометрии завершалось изучение планиметрии и приступали к начальным главам стереометрии. Длина окружности и площадь круга определялись способом пределов. По тригонометрии в программу 9 класса входил весь курс тригонометрии, кроме обратных тригонометрических функций и уравнений. Курс 10 класса содержал следующие разделы: по алгебре – теория соединений и бином Ньютона, расширение понятия о числе (иррациональные, мнимые), двучленные и возвратные уравнения; по геометрии – многогранники и круглые тела (с применением теории пределов); по тригонометрии – решение треугольников, обратные круговые функции и тригонометрические уравнения; решение стереометрических задач с применением тригонометрии.

В этой программе не акцентируется внимание на изучение функций, отсутствуют элементы высшей математики, не отражена идея геометрического преобразования, недостаточно представлены приближенные вычисления, почти полностью исключены практические работы по математике. Материал прикладного характера предлагался для внеклассной работы, чем снижалось его образовательное значение.

Программа 1935 г. без существенных изменений действовала на протяжении 20 лет. Она только систематически уточнялась и совершенствовалась.

Так, небольшие изменения встречаются в программе 1937 г. Из курса 5 класса были исключены начальные сведения по геометрии, введено понятие о бесконечной периодической дроби, из 7 класса в 6 перенесено деление многочленов, а в 7 – исключены неравенства первой степени; в 8 классе иррациональное число определялось как бесконечная десятичная непериодическая дробь.

В годы Великой Отечественной войны ведущую роль в школьном преподавании математики играл принцип связи теории с практикой. Он отражен в программе, опубликованной в 1943 г. В том же 1943 г. был опубликован проект программы по математике для 5-10 классов средней школы, в котором значительно большее место, чем в применяемой программе, было уделено функциональной зависимости.

В 1947 г. видными педагогами-математиками И.В. Арнольдом, В.Л. Гончаровым, Я.С. Дубновым, А.И. Маркушевичем, Н.Ф. Четверухиным был разработан новый проект программ по математике, при составлении которого особое значение придавалось идеям и фактам, которые более всего могли способствовать приближению школьного курса к современному состоянию математической науки: понятию переменной величины, функциональной зависимости, преобразованию (в геометрии), ознакомлению с элементами анализа и аналитической геометрии. Этот проект не был воплощен в жизнь, но его идеи нашли частичное отражение в программе 1948 г., которая акцентировала внимание на теоретической стороне курса, отражала идею функциональной зависимости. Программа рекомендовала знакомить учащихся с историей отечественной математики.

По программе 1948 г. математика преподавалась до 1954 г., когда была введена программа, в основу которой были положены принципы политехнического обучения. Практический уклон явно выражен во вводной записке к этой программе. Однако усиление внимания к практическим приложениям не снижало роли теории; вопросы практики рассматривались как результат изучения теории. Объем теоретического материала был частично увеличен. В программу 1954 г. было включено ознакомление учащихся с понятием производной.

Программа 1954 г. была заменена новой, введенной в результате реформы школы в 1958 г. после принятия закона «Об укреплении связи школы с жизнью и о дальнейшем развитии системы народного образования в СССР». Особенностью этой программы для 5-8 классов было то, что она охватывала законченный круг сведений по математике, необходимых учащимся как для практической деятельности, так и для продолжения общего и профессионального образования. Курс арифметики не претерпевал радикальных изменений. В курсе алгебры более последовательно по сравнению с предшествующими программами строилось изучение функций. В соответствии с принятым законом усиливалась практическая направленность курса математики восьмилетней школы – были введены геометрические задачи на вычисление площадей, поверхностей и объемов тел по данным, полученным путем непосредственных измерений.

В объяснительной записке к программе для 9-11 классов отмечалось, что преподавание математики в старших классах ставило цель достичь такого уровня математических знаний у учащихся, который необходим для их подготовки к практической деятельности в условиях современного производства, для изучения на достаточно высоком уровне смежных дисциплин (физики, черчения, химии и др.). Прогрессивным явлением было включение в программу элементов анализа, понятие производной применяется к исследованию функций, отображающих реальные процессы. В 1960 г. новые программы по математике были введены в восьмилетних школах, а в 1963 г. – в старших классах. (5; 64; 147; 149)

4.5.14. Учебники математики. В связи с восстановлением предметного преподавания, введением стабильных программ вводились и стабильные учебники, преимущественно в виде откорректированных учебников математики дореволюционной школы. Переход на программу 1935 г. сопровождался введением следующих учебников: для начальной школы – учебники арифметики Н.С. Поповой; для неполной средней и средней школы по арифметике – учебник для 5-6 классов И.Г. Попова и задачник для тех же классов Е.С. Березанской; по алгебре – учебники А.П. Киселева, вышедшие под редакцией А.Н. Барсукова, и задачники Н.А. Шапошникова и Н.К. Вальцова; по геометрии – учебники Ю.О. Гурвица и Р.В. Гангнуса, задачники Н.А. Рыбкина в переработке В.А. Ефремова; по тригонометрии – учебник Н.А. Рыбкина и сборник задач того же автора в переработке В.А. Ефремова.

В 1938 г. учебники И.Г. Попова и геометрии Ю.О. Гурвица и Р.В. Гангнуса были заменены учебниками А.П. Киселева, переработанными А.Я. Хинчиным (арифметика) и Н.А. Глаголевым (геометрия).

Учебники А.П. Киселева и Н.А. Рыбкина обладали рядом бесспорных преимуществ, имели продуманную систему изложения, удачно подобранные упражнения и задачи, были написаны доступным для учащихся языком. Однако в них не получили последовательного отражения новейшие методические идеи построения курса математики, мало уделялось внимания прикладным вопросам.

Первые годы работы по новой программе и стабильным учебникам показали громадное преимущество предметного преподавания перед комплексным. Уровень математической подготовки учащихся резко повысился.

Большое влияние на повышение научного уровня преподавания математики оказали книги, изданные не как стабильные учебники, а в качестве пособия для учителей. В 1940 г. был издан учебник алгебры П.С. Александрова и А.Н. Колмогорова. Отличительной чертой этого учебника являлось соединение доступности с достаточной обстоятельностью и научной безупречностью изложения. Идеи этой книги оказали решающее влияние на созданный позднее учебник алгебры А.Н. Барсукова для восьмилетней школы и на всю дальнейшую разработку содержания курса алгебры. В том же году вышел в свет курс тригонометрии А.Ф. Берманта и Л.А. Люстерника. Хотя эта книга и не стала

стабильным учебником, она оказала положительное влияние на преподавание тригонометрии в школе.

В начале 1960-х гг. применительно к новой программе по алгебре был переработан учебник А.Н. Барсукова, по геометрии – Н.Н. Никитина, был введен задачник по геометрии Н.Н. Никитина и Г.Г. Масловой. В 1962 г. Министерство просвещения объявило конкурс на создание новых учебников по математике. Возглавил жюри Б.В. Гнеденко, председателями по арифметике, алгебре и геометрии были В.И. Левин, А.Г. Курош и Н.Ф. Четверухин. Учебник по алгебре и элементарным функциям Е.С. Кочетковой и Е.С. Кочеткова под редакцией Д.Н. Головина был принят как стабильный. Лучшие учебники, участвовавшие в конкурсе, были изданы в качестве пробных. Среди пробных интересным является пособие по геометрии А.И. Фетисова «Геометрия. Учебное пособие по программе старших классов». Приведенные в нем доказательства теорем и решения задач основаны на методах геометрических преобразований: симметрии, переносе, вращении и подобии. В пособии выделен специальный раздел, посвященный теории параллельной проекции и построениям на проекционном чертеже. В изложении метрической части курса используется понятие вектора. Опубликование экспериментальных учебников позволило ознакомить широкие массы учителей с различными методическими подходами к изложению отдельных программных вопросов, с системой формирования важнейших математических понятий. (5; 64)

4.5.15. Методические пособия для учителей математики. В начале 1930-х гг. внимание педагогов-математиков сосредоточивается на разработке отдельных тем школьного курса. Были созданы курсы частных методик: «Методика арифметики» Е.С. Березанской (1934), «Методика алгебры» И.И. Чистякова (1934), «Методика алгебры» С.С. Бронштейн (1937), «Геометрия. Методическое пособие» в двух частях Р.В. Гангнуса и Ю.О. Гурвица (1934-1935), «Методика тригонометрии» В.В. Репьева (1937).

«Методика арифметики» Е.С. Березанской представляет собой тщательную методическую разработку всех тем систематического курса арифметики. Большое место в ней уделено классификации и методике решения арифметических задач.

«Методика алгебры» С.С. Бронштейна представляет собой несколько расширенное по сравнению со стабильным учебником изложение курса элементарной алгебры. Подробнее здесь были изложены разложение на множители, иррациональные числа, комбинаторика, уравнения степени выше второй. Автор стремился показать возможность повысить теоретический уровень преподавания школьного курса алгебры путем использования некоторых понятий теории множеств, знакомя учащихся с введением рациональных чисел с помощью теории пар.

В работе Р.В. Гангнуса и Ю.О. Гурвица «Геометрия. Методическое пособие» детально разработана каждая тема школьного курса. Главы пособия строились по схеме: углубленное (для преподавателя) изложение темы с мето-

дическими указаниями о порядке и методике изучения данной темы, вопросы и задачи по теме.

В книге В.В. Репьева «Методика тригонометрии» рассматривалась методика преподавания всех тем тригонометрии, предусмотренных программой. Значительное внимание уделялось использованию средств наглядности, подбору системы упражнений, формированию вычислительных навыков. Рекомендации сопровождались конкретными примерами применения на уроках тех или иных дидактических методов и приемов.

В 1930-х гг. была переиздано «Методика арифметики» С.И. ШохорТроцкого с издания 1916 г. «Методика арифметики для учителей средних учебных заведений». Это пособие не полностью соответствовало действовавшей в те годы программе систематического курса арифметики. Как и во многих своих работах, С.И. Шохор-Троцкий настойчиво проводит через всю книгу «метод целесообразных задач».

По методике преподавания арифметики в начальной школе были изданы пособия А.С. Пчелко, В.Т. Снигирева, Я.Ф. Чекмарева, И.Н. Кавуна, Н.С. Поповой и других.

В 1949 г. вышло в свет первое отечественное пособие по методике преподавания математики для студентов педагогических вузов – В.М. Брадис «Методика преподавания математики», под общей редакцией А.И. Маркушевича. В этой книге были обобщены и систематизированы многолетние разработки научных основ преподавания математики в школе.

В 1956 г. коллективом методистов под руководством А.М. Астряба была издана «Методика стереометрии» – первое советское методическое пособие, охватывающее широкий комплекс вопросов, связанных с изучением систематического курса стереометрии. Оно написано на достаточно высоком теоретическом уровне, в нем широко использовались научные и методические работы отечественных и зарубежных авторов. В книге рассмотрены и проанализированы с методической точки зрения различные способы и приемы изучения одних и тех же вопросов, в особенности вопросов измерения геометрических величин. А.М. Астрябом и А.С. Смогоржельским было разработано пособие «Методика решения задач на построение в средней школе», в котором с особенной тщательностью освещены в дидактическом плане метод геометрических мест, метод подобия, алгебраический метод решения задач на построение.

Вопросы изучения математики по программам, введенным в 1960 и 1963 гг., разработаны в ряде методических пособий. Особенно подробно разработана методика преподавания в восьмилетней школе. В пособии С.А. Гастевой, Б.Н. Крельштейна, С.Е. Ляпина и М.М. Шидловского (под ред. С.Е. Ляпина) «Методика преподавания математики в восьмилетней школе» представлены общие вопросы и методический анализ всех тем программы по математике для 5-8 классов. Методика преподавания алгебры в 6-8 классах была разработана И.А. Гибшем, К.С. Барыбиным, В.В. Репьевым.

В пособии И.А. Гибша «Методика обучения алгебре в 6 классе восьмилетней школы» раскрыты общие требования, предъявляемые к методике обучения алгебре в восьмилетней школе, идейность и содержательность учебного

материала, развитие умений и навыков, средства воспитательного воздействия на учащихся при обучении алгебре.

В пособии К.С. Барыбина «Методика преподавания алгебры» получили развитие такие общие вопросы методики алгебры, как формирование понятий, умений и навыков; программированное обучение; эффективность урока; активизация методов обучения; воспитательная работа. Особенность методики изложения конкретных тем состоит в том, что материал книги можно использовать при непосредственной подготовке к уроку. При освещении отдельных вопросов автор вводит элементы теории множеств и логико-математической символики.

В книге В.В. Репьева «Методика преподавания алгебры в восьмилетней школе» новое освещение получили некоторые вопросы общей методики преподавания алгебры: связь курса алгебры с жизнью, с арифметикой и геометрией; внеклассные занятия по алгебре. Перед тем как перейти к методическому обзору отдельных тем курса 6-8 классов, автор тщательно рассматривает пропедевтическое знакомство с функциональной зависимостью, методику обучения чтению формул, подготовительные упражнения к решению задач на составление упражнений.

В пособии К.С. Богушевского «Вопросы преподавания геометрии в восьмилетней школе» хорошо разработана методика доказательства теорем в курсе планиметрии.

Е.С. Березанская в работе «Вопросы стереометрии в семилетней школе» осветила вопросы изучения стереометрического материала, введенного новой программой в курс геометрии восьмилетней школы. Методика решения геометрических задач на построение разработана в пособии Г.Г. Масловой «Методика обучения решению задач на построение в восьмилетней школе».

Для старших классов средней школ Ю.Н. Макарычевым разработана системы изложения материала, связанного с методикой формирования основных функциональных понятий, элементарным исследованием функций, конкретными вопросами изучения линейной, квадратной, степенной, показательной, логарифмической функций. В его книге «Система изучения элементарных функций в старших классах средней школы» приведены образцы элементарного исследования многих функций.

К работам по общей методике математики относится книга М.В. Потоцкого «О педагогических основах обучения математике». Раскрывая предмет методики математики как науки, автор подчеркивает необходимость существенного использования в методических исследованиях результатов психологии и педагогики, обосновывает целесообразность рассмотрения методики математики в средней и высшей школе как единой дисциплины. В главе «Математическое мышление» на конкретных примерах раскрывается процесс усвоения математических знаний.

В работе Г.Г. Масловой «О программированном обучении математике» освещаются проблемы программированного обучения: его сущность, системы построения программированных учебных материалов, особенности составления программированных учебных текстов по математике. (5; 64)

4.5.16. «Математика в школе» – научно-методический журнал Министерства образования РФ, возобновил свой выпуск с 1934 г. (первые номера вышли в свет в 1918 г.)

4.5.17. «Математическое просвещение» – периодический сборник, выходивший с 1957 по 1961 гг. (всего 6 номеров). В редакционную коллегию издания входили: И.Н. Бронштейн, А.Я. Дубнов, А.А. Ляпунов, А.М. Лопшиц, А.И. Маркушевич, И.М. Яглом.

4.6. Период реформы школьного математического образования и неожиданной её приостановки (1964-1984 гг.) (по Р.С. Черкасову)

4.6.1.Комиссия по определению содержания школьного математического образования АН СССР и АПН СССР была организована в декабре 1964 г. под председательством вице-президента АПН СССР А.И. Маркушевича и под руководством академика А.Н. Колмогорова. Комиссия по определению содержания образования разработала новый учебный план средней школы, согласно которому начальное обучение ограничивалось тремя классами, с 4 класса вводилось предметное преподавание. В 7-10 классах значительное время выделялось для факультативных занятий по выбору учащихся (при полном осуществлении нового плана – два часа в неделю в 7 классе, четыре – в 8, по шесть часов – в 9 и 10 классах). К началу 1968 г. комиссией под руководством А.Н. Колмогорова была разработана новая программа по математике. Особенностью этой программы было, в первую очередь, усиление внимания к обобщающим идеям математики. По правительственному постановлению учебники по этой программе нужно было создать в короткие сроки. Причем предложения А.Н. Колмогорова о необходимости проведения некратковременных экспериментов, о введении параллельных учебников и дифференцированного обучения в старших классах школы были отклонены. (64; 207)

4.6.2. Реформа школьного математического образования. Работу по реформе среднего математического образования возглавила комиссия по определению содержания школьного математического образования во главе с академиком А.Н. Колмогоровым. Основные направления этой реформы были следующими:

1) Изменение сроков и содержания начального обучения математике: 3 года вместо 4-х; вместо курса арифметики с основной задачей – обучение счету – курс математики, т.е. арифметики натуральных чисел и основных величин с элементами алгебры (с ранним введением буквенной символики и уравнений как главного способа решения задач) и геометрии положения.

2) Переход средней школы на новые программы по следующему плану: в 1970-1971 уч. г. – 4 классы, 1971-1972 – 5 классы, 1972-1973 – 6 классы, 19731974 – 7 и 9 классы, 1974-1975 – 8 и 10 классы.

3) Построение всего курса – линейное, устранен излишний концентризм. Но явно выделены три этапа его изучения (4-5, 6-8, 9-10 классы), отличающиеся уровнем изложения, названиями предметов: 4-5 классы – курс арифметики с элементами алгебры и геометрии (пропедевтический) с общим названием «математика», 6-8 классы – систематические курсы алгебры и планиметрии; 9-10 классы – курс алгебры и начала анализа и систематический курс стереометрии, построенный с использованием векторов и координат, дающий представление об аксиоматическом строении геометрии.

4) Устранение из школьного курса математики многих архаических вопросов (например, алгоритм извлечения квадратного корня).

5) Введение в школьный курс тем, имеющих широкое общеобразовательное значение и содействующих формированию научного мировоззрения: элементы дифференциального и интегрального исчислений, теории вероятностей, систем счисления, некоторых сведений об ЭВМ и программировании.

6) Особое место элементов теории множеств и математической логики, которые представляют собой не просто новый дополнительный материал, но и язык, на котором излагаются многие вопросы курса (в том числе традиционные). Другие математические понятия могут появиться в курсе не как исходные, а как итоги изучения, по мере накопления фактов и закономерностей, дающих повод к соответствующим обобщениям (группа, поле, линейное пространство).

7) Создание новой формы обучения – факультативных занятий.

8) Развитие системы школ и классов с углубленным теоретическим и практическим изучением отдельных предметов. (207)

4.6.3. Контрреформа школьного математического образования. В связи с быстрыми темпами проведения реформы, недостаточного выделения времени на экспериментальную проверку учебников (на написание и проверку учебников был оставлен только один год), неготовность учителей воспринять программу, отличающуюся от всех предшествующих (непривычная трактовка общеизвестных математических понятий, необычная терминология и символика), повлекли за собой негативное отношение со стороны многих учителей, институтов усовершенствования, пединститутов, органов образования к проводимым преобразованиям. Первой резкой критикой реформы в центральной прессе было письмо академика Л.С. Понтрягина, опубликованное в журнале «Коммунист» № 4 за 1980 г. под заголовком «О математике и качестве её преподавания». В этой статье было высказано отрицательное отношение автора к системе преподавания математики и призывалось вернуться к старой системе.

Многими научными коллективами и отдельными математиками эта точка зрения считалась спорной. Об этом, например, говорится в тексте резолюции ученого совета Института математики Сибирского отделения АН СССР, принятой 25 декабря 1980 г. «Реформа математического образования, начатая в 1964 г., была совершенно необходима. Новая программа включила в себя такие важные вопросы, как элементы математического анализа, элементы векторной алгебры… Насущная задача состоит в продолжении реформы с целью преодо-

ления недостатков, без поспешности, с сохранением положительного, без попыток полностью вернуться к старым установкам». С поддержкой реформы выступила и кафедра теории вероятностей МГУ (зав. кафедрой – профессор Б.В. Гнеденко).

Решением высоких инстанций, осуждающих курс реформы, не подлежало пересмотру. Во исполнение этого решения в начале 80-х гг. приступила к деятельности Комиссия по математическому образованию при Институте математики АН СССР, возглавляемая академиком Л.С. Понтрягиным. На основе рекомендации этой Комиссии была срочно выполнена работа по пересмотру школьных программ по математике, изъятию из обращения учебников геометрии для 6-8 классов, написанных при участии А.Н. Колмогорова, перередактирование других учебников, изданных ранее под редакцией А.Н. Колмогорова, А.И. Маркушевича. Основное внимание при этом обращалось на недопущение трактовки математических понятий с теоретико-множественных позиций, «очищение» языка школьной математики от новой символики, от широкого использования обобщающих идей. Но в программах и вновь вводимых (или «исправленных») учебниках все же сохранились начала математического анализа, векторы. (78; 207)

4.6.4. Международный конгресс математиков в Москве состоялся в августе 1966 г. В конгрессе приняло участие свыше 4000 человек более чем из 50 стран. МКМО подготовила три доклада: А.С. Крыговской (Польша) «Развитие математической деятельности учащихся и роль задач в этом развитии»; Г. Штейнера (ФРГ) «Использование аксиоматического метода в старших классах»; К. Пизо (Франция) «Преподавание математики физикам».

На конгрессе работала секция «история и вопросы преподавания», разделенная на две подсекции: а) история математики, б) вопросы преподавания математики. Во второй подсекции было заслушано 39 докладов из 45 представленных на конгрессе. Такое большое количество докладов свидетельствует о растущем интересе к вопросам математического образования. Основное внимание участников конгресса было сосредоточено на проблемах модернизации преподавания математики в средней школе. Вопросы, вокруг которых велись дебаты на конгрессе можно сгруппировать по следующим направлениям: содержание новых программ, их экспериментальная проверка в школе, внеклассная работа и математические школы, методика преподавания, история математического образования.

По вопросам содержания программ выявились две точки зрения. Одна из них представлена в докладе Ж. Папи «Геометрия в современном преподавании математики». Основные положения его доклада: 1) математика, действительно полезная в настоящее время, – это современная математика; 2) необходимо учить математизировать ситуацию; 3) программа второго цикла (старшие классы) должна включать множества, соответствия, графы, группы, векторные пространства, начала математического анализа. Одной из наиболее характерных черт математики сегодняшнего дня является систематическое выявление векторных пространств в самых разнообразных разделах, поэтому Ж. Папи счита-

ет, что центральное место во всем преподавании в школе должны занимать векторные пространства. Основной целью преподавания математики, по его мнению, становится приобщение учащихся к абстрактному духу математической науки и ознакомление с её важнейшими структурами.

Другую точку зрения высказывал академик А.Н. Колмогоров в докладе «О содержании курса математики средней школы», в котором он изложил основные принципы проекта программ по математике в советской средней школе, разработанные комиссией под его председательством. Он подчеркнул большие возможности, открывающиеся перед математическим образованием посредством приближения школьных программ к современным математическим понятиям. Таким образом, расширяется научный кругозор учащихся и упрощается изложение многих разделов школьного курса математики. А.Н. Колмогоров предостерег от пренебрежения сложившимися традициями и классическим материалом, имеющим непосредственную применимость в естественных науках и технике. Это проявляется при ошибочной модернизации, поощряющей, в частности, неумеренные попытки все аксиоматизировать. Что касается общей идеи векторного пространства, ученый выразил сомнение, что она может занять основное место в программе средней общеобразовательной школы. Программа общеобразовательной средней школы должна содержать основные разделы сложившегося курса, включая понятия производной и интеграла, а также понятия теории вероятности и принципы действия счетно-электронных машин.

Опыт советской школы по модернизации содержания школьного образования был описан в совместном сообщении Г.Г. Масловой, К.И. Нешкова и А.Д. Семушина о работе, проводимой Институтом общего и политехнического образования АПН по модернизации преподавания математики в 1-7 классах и в сообщении А.А. Зыкова об эксперименте, проводимом в начальных (1-3) классах группой новосибирских математиков.

О формах работы Московского университета со старшеклассниками рассказали В.Г. Болтянский и И.М. Яглом. Работу заочной математической школы при МГУ осветили в своем сообщении Е.Г. Глаголева и И.М. Гельфанд. Организацию работы первой в СССР вечерней юношеской математической школы описал в своем сообщении С.В. Смирнов.

Об опыте преподавания математики в разного рода специализированных математических школах с расширенной программой было рассказано в докладе А.Н. Колмогорова и Е.Б. Дынкина и в сообщении С.И. Шварцбурда и В.Г. Ашкинузе. В этих школах система преподавания приближена к вузовской – цикл лекций, семинарские занятия, зачеты.

В области методики преподавания математики центральное место заняло выявление основных направлений модернизации методики. Доминирующим направлением в новых методических исследованиях является стремление глубже проникнуть в процесс усвоения учащимися математического материала, ускорить процесс абстракции и проникновения в логическую суть вещей. В этом отношении все больше и больше сторонников среди педагогов-математиков завоевывает так называемый активный метод, который характеризуется стремле-

нием к повышению роли самостоятельности и творческой работы учащихся во время урока.

Профессор И.К. Андронов в своем выступлении «Три этапа в развитии школьного математического образования в XIX-XX вв.» предложил следующую периодизацию: 1) XIX в. – период, когда сложилась традиционная система международного школьного математического образования; 2) конец XIX – и начало XX в. – период назревания и развития международного реформистского движения в школьном математическом образовании; 3) вторая половина XX в. – период формирования мощного международного движения за полную реконструкцию сложившегося школьного математического образования.

На Московском конгрессе председателем МКМО на очередной срок был избран Г. Фрейденталь (Голландия), от СССР в состав комиссии вошел С.Л. Соболев. Это был последний конгресс, на котором МКМО представляла обзорные доклады, так как в дальнейшем было принято предложение об организации отдельных международных конгрессов по математическому образованию, которые должны проводиться за год до конгрессов математиков. Решено было первый такой конгресс провести в 1969 г. во Франции. (см. Международный конгресс по математическому образованию в Лионе) (22; 81; 130)

4.6.5. Международный коллоквиум по вопросам модернизации школьной математики в Бухаресте был проведен совместно ЮНЕСКО с МКМО в конце 1968 г. В работе коллоквиума приняли участие 59 делегатов, представлявших 21 страну. Среди них присутствовали такие видные представители международного движения за модернизацию преподавания математики, как: Э. Кастельнуово (Италия), А.С. Крыговская (Польша), Ж. Папи (Бельгия), Г. Фрейденталь (Голландия), Д. Курепа (Югославия), А. Ревьюз (Франция), Г. Штейнер (ФРГ) и др.

В результате 9-дневной работы коллоквиум принял документ «Выводы и рекомендации», в которых обосновывается и подчеркивается большое научное, воспитательное и социальное значение модернизации. Отмечается, что современный материал и современные методы преподавания развивают интерес у учащихся к математике, вследствие чего повышается и эффективность обучения. Указывается на необходимость признать педагогику математики как науку и создать условия для продолжения исследований в этой области, а также на необходимость быстрого развития научных центров, специализирующихся в области педагогики математики. (22)

4.6.6. Международный конгресс по математическому образованию в Лионе (Франция) проходил с 24 по 30 августа 1969 г. Это был первый конгресс по математическому образованию, проходивший отдельно от международного конгресса математиков послевоенной эпохи. В работе конгресса приняли участие 730 человек из 44 стран. На пленарных заседаниях было заслушано 20 часовых докладов, из них два – советских представителей: А.И. Маркушевича «Некоторые проблемы обучения математике в школе» и Г.Г. Масловой «Разви-

тие важнейших математических понятий и идей в обучении математике детей от 7 до 15 лет».

Все работы конгресса проходили под знаком модернизации преподавания математики в школе. На пленарных заседаниях основное внимание было сконцентрировано вокруг поиска путей введения понятий и разделов современной математики в школу, а также поиска методов, облегчающих наиболее раннее развитие логического мышления учащихся и усвоения новых понятий. Секционные доклады, затрагивавшие тот же круг вопросов, проводились по трем направлениям: математика в начальной школе, математика в средней школе, методы и содержание подготовки учителей.

В докладах наметилась тенденция отхода от крайних точек зрения на модернизацию школьного курса математики и приближения к умеренным взглядам. Большинство участников конгресса не поддержало стремления к аксиоматизации курса математики на ранних стадиях обучения, а также к специальному изучению структур в школе, высказавшись за связь преподавания математики с практикой и за постепенное введение дедукции. Так, А.И. Маркушевич в своем докладе отметил, «что современный символический язык математики, при всем его несомненном значении для специалистов, нельзя считать обязательным для каждого образованного человека. Опыт показывает, что теми, кто избирает математику в качестве профессии, этот язык усваивается в свое время легко и быстро. Поэтому нет необходимости начинать его изучение с раннего возраста, когда склонности и интересы ребенка ещё не определились».

Решения конгресса, адресованные органам образования всех стран, были следующие:

1) Модернизацию преподавания математики необходимо проводить более энергично во всех странах как в отношении изменения содержания программ, так и методов преподавания. Содержание программ и методы преподавания, которые неделимы, должны стать предметом постоянного исследования.

2) Ускоренная эволюция содержания и методов математического образования обязывает создавать каждому учителю математики условия для получения информации о новых направлениях с тем, чтобы использовать её в своей профессиональной деятельности.

3) Педагогика математики становится все более самостоятельной наукой, с собственными проблемами как теоретического, так и экспериментального характера. Эта новая наука должна занять подобающее ей место в университетах и научно-исследовательских институтах. Лицам, специализирующимся по этой дисциплине, должен быть открыт путь к получению ученых степеней и званий. (22; 104; 106)

4.6.7. Второй международный конгресс по математическому образованию в Эксетере (Англия) проходил с 29 августа по 2 сентября 1972 г. В работе конгресса приняли участие 1300 человек, представлявших около 70 стран. Это на 570 человек больше, чем участвовало в работе первого конгресса. В центре внимания всех сообщений и обсуждений был процесс модернизации преподавания математики.

На пленарных заседаниях наибольший интерес вызвали доклады С.Л. Соболева «Математическое образование в Советском Союзе» и Р. Тома «Современная математика – существует ли она?».

С.Л. Соболев высказался за умеренную точку зрения в перестройке преподавания математики в средней школе, которая, учитывая многие из современных идей и представлений, самым главным считает накопление у учащихся знаний и навыков, необходимых для построения моделей явлений окружающего мира. Показав, как воплощается эта точка зрения в новых советских программах по математике, он указал на роль факультативных занятий, классов и школ-интернатов с физико-математическим уклоном, а также математических олимпиад в осуществляемой перестройке. Перестройка, отметил С.Л. Соболев, коснулась как содержания, так и стиля преподавания. Основные тенденции перестройки – преодоление разрыва между математическими учебными предметами, а также между элементарной и высшей математикой. Это осуществляется посредством раннего введения буквенной символики, последовательного проведения функциональной точки зрения, широкого использования метода координат и графиков функций. В курсе алгебры вводятся понятия производной, интеграла и их применения. Постепенно, начиная с 4 класса вводятся элементы теории множеств и математической логики, которые используются в дальнейшем при формировании понятия функции, при изучении систем уравнений и неравенств с неизвестными. В основу курса геометрии неявно положено изучение групп движения евклидовой плоскости и пространства. В заключение С.Л. Соболев отметил, что в Советском Союзе делается попытка построить новую, вполне современную систему математического образования, но оптимального пути для достижения этой цели ещё не найдено. В этом направлении наиболее удачной, вероятно, окажется некоторая «смешанная стратегия», в которой найдут место и специальные физико-математические школы, и факультативные курсы, и математические олимпиады.

Р. Том в своем докладе подверг резкой критике крайнюю точку зрения на модернизацию школьного курса математики, которая, по его мнению, преследует две цели: а) полное обновление методов преподавания с тем, чтобы сделать их более свободными, конструктивными, способными вызвать интерес и активность учащихся; б) модернизацию программ, в частности введение в преподавание больших математических «структур», что упростило бы обучение, делая очевидными те универсальные схемы, которые управляют математической мыслью. Самым категоричным образом докладчик возражает против исключения эвклидовой геометрии и замены её общими вопросами множественных и логических структур. Но в итоге Р. Том делает вывод о том, что возвращение к прежнему невозможно и в новом течении есть положительные моменты, которые должны быть сохранены, среди них – введение множественных обозначений и основ линейной алгебры.

С критикой крайних взглядов на модернизацию школьного курса математики выступили французский академик Ж. Лере и финский математик Р. Неванлинна. Как показала работы конгресса, умеренная точка зрения на модерни-

зацию преподавания математики приобретает всё больше и больше сторонников.

На конгрессе были произведены выборы Исполнительного комитета МКМО, президентом на новый срок переизбран Дж. Лайтхилл (Англия), членом Исполкома стал академик С.Л. Соболев. (22; 145; 175; 186)

4.6.8. Международная конференция по математическому образованию в Кракове, посвященная 80-летию известного польского педагога-математика А.С. Крыговской, состоялась в октябре 1984 г. На этой конференции обсуждались следующие вопросы: 1) идея гуманизации образования; 2) переосмысление роли задач в обучении математике; 3) взаимосвязь методики, психологии и физиологии; 4) роль и место познавательной самостоятельности учащихся. Примечательно, что на этой конференции о теоретико-множественной концепции говорилось как об отошедшей в прошлое. Х. Фройденталь в своем докладе предостерег участников конференции от раннего введения обобщений в школьное обучение математике. К. Хэртиг высказал идею о полезности проведения общих доказательств на конкретных примерах. В докладах других участников отмечалась целесообразность этапности в изучении школьной геометрии: практическая геометрия, наглядная геометрия, формальная геометрия. (78)

4.6.9. Программа по математике. В 1965 г. под руководством А.Н. Колмогорова был разработан проект новой программы для 4-8 и 9-10 классов. Этот проект во многих положениях принципиально отличался от всех предшествующих ему программ советской школы. Его особенностью было, прежде всего, усиление внимания к обобщающим идеям математики. Проект содержал вопросы, имеющие большое значение как в общеобразовательном отношении, так и с точки зрения их практических приложений, подготовки учащихся к продолжению образования (производная, интеграл, элементы теории вероятностей, сведения об электронных вычислительных машинах, элементы аналитической геометрии, геометрические преобразования).

Новую, более широкую трактовку получил принцип связи преподавания математики с жизнью. Эта связь проводилась, в первую очередь, путем обогащения школьных программ материалом, имеющим широкое познавательное значение (они включали векторы, координатный метод, производную и интеграл, понятие о дифференциальном уравнении как о весьма общем способе выражения законов природы и техники, гармонические колебания, понятие о вероятности). Предусматривалось также раскрытие сущности аксиоматического метода, в частности, в связи с ознакомлением с понятием группы, кольца, поля.

Переработанный проект программы был опубликован в 1966 г. и широко обсуждался педагогической общественностью. В 1967 г. был опубликован пересмотренный на основе материалов обсуждения новый вариант проекта программы.

Оба варианта проекта программы по математике обсуждались на заседаниях Отдела математики и Отдела экономики Академии наук СССР и на заседаниях Президиума Академии наук СССР. Доклад А.Н. Колмогорова о проекте

программы по математике для средней школы был одобрен общим собранием Отделения математики.

В 1968 г. была опубликована программа по математике, утвержденная Министерством просвещения СССР.

Схема программы, утвержденной в 1968 г.

Восьмилетняя школа

Арифметика и начала алгебры (4-5 классы). 4 класс. Натуральные числа (105 часов); десятичные дроби (75 часов).

5 класс. Положительные и отрицательные числа (80 часов); обыкновенные дроби, действия с обыкновенными и десятичными дробями (95 часов).

Алгебра (6-8 классы). 6 класс. Основные понятия (10 часов); прямая и обратная пропорциональность, одночлены (40 часов); целые выражения (48 часов); уравнения и системы уравнений (42 часа).

7 класс. Рациональные выражения (42 часа); неравенства (20 часов); корни (16 часов); квадратные уравнения (44 часа).

8 класс. Арифметическая и геометрическая прогрессия (15 часов); дробные показатели степени, показательная функция и логарифмы (70 часов); организация вычислений и вычислительная техника (30 часов); повторение (25 часов).

Геометрия (4-8 классы). 4 класс. Основные геометрические понятия (30 часов).

5 класс. Геометрические построения (35 часов).

6 класс. Равенство плоских фигур, логическое строение геометрии (20 часов), многоугольники (50 часов).

7 класс. Начальные сведения о стереометрии (15 часов); геометрические величины (25 часов); подобие (38 часов); преобразования движения и подобия (10 часов).

8 класс. Метрические соотношения в треугольнике, тригонометрические функции (35 часов); окружность. Вписанные и описанные многоугольники (20 часов); повторение (15 часов).

Старшие классы средней школы

Алгебра и начала анализа (9-10 классы). 9 класс. Принцип математической индукции, элементы комбинаторики (15 часов); бесконечные последовательности и пределы (15 часов); производная и её применение (45 часов); тригонометрические функции, их графики и производные (30 часов).

10 класс. Производная показательной функции и логарифма (15 часов); интеграл (12 часов); тригонометрические функции (продолжение) (40 часов); системы уравнений и неравенств; счетно-электронные машины (18 часов); повторение (20 часов).

Геометрия (9-10 классы). 9 класс. Прямые и плоскости; координаты и векторы в пространстве (70 часов).

10 класс. Многогранники и тела вращения (50 часов); повторение (20 часов).

Из программы видно, что её авторы при определении содержания школьного курса не пошли по пути резкой модернизации математического образования.

Арифметика и начала алгебры вместе с геометрическим материалом 4-5 классов составили учебный предмет «Математика». В 4 классе повторяются и систематизируются ранее полученные учащимися сведения о натуральных числах, причем используются понятия «множество», «элемент множества», «принадлежность», «пустое множество». Содержание этих понятий разъясняется на конкретных примерах. В 5 классе учащиеся знакомятся с простейшими операциями над множествами – «объединением», «пересечением». Эти понятия используются при решении уравнений и неравенств, изучении вопросов делимости, при построении простейших графиков. При повторении и систематизации сведений о натуральных числах начинают формироваться понятия «выражение», «уравнение», «неравенство», широко используются графические иллюстрации.

Изучение десятичных дробей (4 класс) предшествует систематическому изучению обыкновенных дробей (5 класс). Десятичные дроби вводятся как обыкновенные дроби со знаменателем вида 10n, записанные особым образом. Основное внимание сосредоточено на выработке прочных навыков выполнения действий с десятичными дробями. В 4 классе правило умножения на дробь не дается, а вводится при решении задач на вычисление площади прямоугольника «по соображению».

В 5 классе вводятся отрицательные числа, понятие модуля числа, в 4 классе учащиеся знакомятся с изображением чисел точками на числовом луче, а в 5 классе – на числовой прямой. Это дает возможность широко использовать в педагогическом процессе изоморфизм числовых и точечных множеств.

Программа восьмилетней школы построена так, что создается возможность несколько поднять логический уровень изложения материала, опираясь на использование элементов логики и соответствующей символики. При изучении уравнений и неравенств программой предусмотрено знакомство учащихся с логическим понятием «высказывания» (4 класс); в 5 классе вводится символическое обозначение операции объединения и пересечения множеств (U и ); и в 6 классе учащиеся знакомятся с употреблением элементарных логических символов следования () и равносильности ().

В курсе геометрии восьмилетней школы геометрические преобразования, рассматриваемые в 5 классе как преобразования фигур, а с 6 класса как преобразования плоскости, занимают центральное место, идея геометрического преобразования представляет собой геометрический аналог идеи функциональной зависимости. Знакомство с перемещением фигур (поворот, параллельный перенос, симметрия относительно оси) в 5 классе проводится практически на оперативном уровне. В 6 классе логический уровень изложения вопросов геометрических преобразований несколько поднимается. В 7 классе вводится понятие вектора, изучение гомотетии связывается с умножением вектора на число; устанавливается, что произвольное преобразование подобия сводится к перемещению и гомотетии.

Элементы математического анализа заняли прочное место в новой программе. Понятие производной вводится уже в 9 классе, что дает возможность её использования в приложениях, причем элементы анализа не выступают в виде надстройки к курсу элементарной математики, как это имело место в некоторых проектах школьных программ, а являются органической частью всего курса математики 9-10 классов. В 10 классе изучается интеграл и рассматривается решение дифференциальных уравнений y' = ky и y" = -k2y. Интегральное исчисление используется затем в геометрии для вывода формул объёмов пространственных тел.

В 9-10 классах изучается систематический курс стереометрии. Применение векторной алгебры и метода координат дает возможность упростить доказательство целого ряда теорем и показать общность алгебраического подхода при изучении пространственных форм.

Комплексные числа и элементы теории вероятностей, входившие во все варианты проекта этой программы, в программу основного курса не вошли и отнесены к факультативным занятиям.

По мнению многих современников А.Н. Колмогорова, эта программа отличалась большой продуманностью, её авторы бережно отнеслись к прогрессивному наследию прошлого и без лишнего увлечения внесли в школьный курс то новое, что характерно для современных тенденций модернизации школьного математического образования. (64; 77; 127; 148; 152)

4.6.10. Программа факультативных занятий по математике. Рекомендовались факультативные занятия по математике двух видов. Первый вид («Дополнительные главы и вопросы математики») предусматривает углубление программных вопросов или изучение вопросов, примыкающих к программным, а также изучение некоторых дополнительных тем, важных с общеобразовательной точки зрения и раскрывающих приложения математики. Во всех классах часть времени, отводимого на занятия по выбору, выделяется для решения задач по всему курсу математики.

На факультативных занятиях изучаются такие вопросы:

7 класс – дополнительные вопросы арифметики целых чисел; арифметическое устройство вычислительных машин; симметрия;

8 класс – множества и операции над ними, бесконечное множество; геометрические преобразования; метод координат; дополнительные вопросы арифметики; функции и графики; задачи на максимум и минимум;

9 класс – множества и операции над ними; производная;

10 класс – интеграл; начала теории вероятностей с элементами комбинаторики; алгебраические уравнения любой степени.

Предусматриваются и темы по выбору преподавателя в 9 (натуральные числа и принцип математической индукции; численные методы решения уравнений; геометрические преобразования) и 10 классах (сведения об электронных вычислительных машинах; дополнительные вопросы теории вероятностей; вычислительный практикум; понятие о неевклидовых геометриях и об аксиоматическом методе в геометрии).

Второй вид факультативных занятий – изучение учащимися 9-10 классов специальных курсов математики (программирование; вычислительная математика; векторные пространства и решение задач линейного программирования; элементы дискретной математики и др.). Эти курсы рекомендуются для школ, где имеется возможность привлечь к преподаванию специалистов, хорошо подготовленных учителей, преподавателей вузов, работников научноисследовательских учреждений и вычислительных центров. Изучение каждого из специальных курсов рассчитано на 70 часов.

Специальный курс «Вычислительная математика» включает следующие темы: приближенные числа, системы линейных уравнений, приближенное решение уравнений, таблицы функции, функциональные шкалы, интерполяция, приближенное вычисление определенных интегралов.

Курс «Программирование», имеющий целью познакомить учащихся с основами программирования и принципами работы ЭВМ, предусматривает изучение таких вопросов: арифметические основы программирования, основные устройства электронной счетной машины, приемы программирования, структура программы, система команд и особенности программирования на конкретной машине, понятие об автоматизации программирования, примеры программирования методом приближенных вычислений.

Задачей курса «Элементы дискретной математики» является изучение элементов математической логики, уточнение и расширение на этой основе таких основных понятий, как переменная, функция, уравнение, неравенство, ознакомление с некоторыми приложениями математической логики в современной технике.

Программа курса «Векторные пространства и решение задач линейного программирования» включает следующие темы: двумерное векторное пространство, трехмерное векторное пространство, n-мерные векторы и математическая модель общей задачи линейного программирования, решение задач линейного программирования. (151; 198)

4.6.11. Учебники математики. Параллельно с разработкой новой программы проводилась интенсивная работа над созданием учебников. Лучшие из них принимались в качестве пробных и подвергались массовой экспериментальной проверке. После соответствующей доработки они утверждались Министерством просвещения СССР в качестве учебных пособий.

Для 1-3 классов введен учебник «Математика» М.И. Моро и др. Для 4 класса утвержден учебник «Математика» Н.Я. Виленкина, К.И. Нешкова, С.И. Шварцбурда, А.Д. Семушина, А.С. Чеснокова, Т.Ф. Нечаевой под редакцией А.И. Маркушевича. Этот учебник охватывает материал программы по арифметике и началам алгебры и геометрии. Для 5 класса введен учебник «Математика» Н.Я. Виленкина, К.И. Нешкова, С.И. Шварцбурда, А.С. Чеснокова под редакцией А.И. Маркушевича.

Для 6-7 классов утверждены в качестве общесоюзных учебных пособий «Геометрия» А.Н. Колмогорова, А.Ф. Семеновича, Ф.Ф. Нагибина, Р.С. Черкасова под общей редакцией А.Н. Колмогорова и «Алгебра» Ю.Н. Макарычева,

Н.Г. Миндюка, К.С. Муравина, С.Б. Суворова под редакцией А.И. Маркушевича. Были изданы пробные учебники по геометрии для 9-го и 10-го класса под редакцией З.А. Скопеца.

Из пособий для факультативных занятий примечательным является пособие В.М. Монахова и О.А. Боковнева «Векторные пространства и линейное программирование», написанное на основе экспериментальной проверки разработанных авторами учебных материалов. (64)

4.6.12. Методические пособия для учителей математики. В указанный период были изданы: «Методика преподавания в восьмилетней школе» под редакцией С.Е. Ляпина (1965); «Методика преподавания математики в средней школе» Ю.М. Колягина и др. (1975, 1980), «Методика обучения математики в 4-5 классах» Е.И. Лященко, А.А. Мазаник (1976), «Дидактика математики» Н.В. Метельского (1975). Издательство «Просвещение» выпускает серии книг «Библиотека учителя математики», брошюр для учителей по актуальным вопросам методики математики и брошюры для учащихся. К каждому действующему учебнику издается комплект учебно-методических пособий, включающий книгу для учителя, дидактические материалы, таблицы и т.д. Издательством «Наука» выпущен ряд книг по математике ведущих ученых-математиков (С.М. Никольского, Л.С. Понтрягина, А.Н. Тихонова) для учителей и учащихся старших классов. Большую методическую помощь учителям оказывает журнал «Математика в школе». (64)

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

А

Академическая образовательная система 16

Академия педагогических наук 71

Б

Бригадно-лабораторный метод 64

В

«Вестник опытной физики и элементарной математики» (ВОФЭМ) 34

Всероссийское совещание по вопросам преподавания математики 65

Второй Всероссийский съезд преподавателей математики 50

Второй международный конгресс математиков 38

Второй международный конгресс по математическому образованию в Эксетере (Англия) 84

Второй международный съезд по математическому образованию 44

Г

Гарнизонные школы 14

Гимназии 17, 23

Государственная комиссия по просвещению 58

Д

Девятнадцатая международная конференция по народному просвещению 67

Е

Единая трудовая школа 58

Ж

«Журнал Министерства народного просвещения» 35

«Журнал элементарной математики» 35

К

Кадетские корпуса 15

Комиссия по определению содержания школьного математического образования АН СССР и АПН СССР 79

Комплексная система обучения 65

Контрреформа школьного математического образования 80

М

«Математика в школе» 79

«Математический сборник» 35

«Математическое образование» 54

«Математическое просвещение» 79

Международная комиссия по математическому образованию МКМО (IMUK) 39

Международная конференция МКМО 45

Международная конференция по математическому образованию в Кракове 86

Международная конференция, посвященная новым методам преподавания математики 71

Международное движение за реформу школьного математического образования 39

Международный коллоквиум по вопросам модернизации школьной математики в Бухаресте 83

Международный конгресс математиков в Амстердаме 66

Международный конгресс математиков в Москве 81

Международный конгресс математиков в Стокгольме 69

Международный конгресс математиков в Эдинбурге 68

Международный конгресс по математическому образованию в Лионе (Франция) 83

Международный симпозиум по вопросам преподавания математики в Будапеште 68

«Меранские программы» 51

Метод Грубе 36

Метод проектов 64

Метод целесообразных задач 37

Методическая школа Л. Эйлера 18

Методические пособия для учителей математики 21, 25,33, 54, 63, 76, 91

Морская академия 14

Московское математическое общество 36

Н

Народные училища 18

Научно-исследовательский институт методов обучения 71

О

Образовательные реформы XVIII в. 13

Образовательные реформы второй половины XIX в. 28

Образовательные реформы первой половины XIX в. 22

Отдел математики Педагогического музея военно-учебных заведений в Петербурге 36

П

«Педагогический сборник» 35

Первая Генеральная ассамблея Международного математического союза 66

Первое пленарное заседание МКМО 43

Первый Всероссийский съезд преподавателей математики 46

Первый международный конгресс математиков 38

Первый международный съезд по математическому образованию 43

Период всероссийских съездов преподавателей математики (1900-1917 гг.) 38

Период зарождения отечественного математического образования (со времен Киевской Руси (X-XI вв.) до XVII в.) 10

Период классической высшей математики (с XVII в. до середины XIX в.) 12

Период накопления первичных математических фактов и зарождения математики (с древнейших времен до VI-V в. до н.э.) 9

Период развития массового среднего образования. Обсуждение проблем методики преподавания математики (1860-1900 гг.) 28

Период реформы школьного математического образования и неожиданной её приостановки (1964-1984 гг.) 79

Период совершенствования общеобразовательной и трудовой политехниче-

ской школы (1932-1964 гг.) 65

Период современной математики (начиная с XIX в.) 21

Период создания первых светских школ (1700-1800 гг.) 13

Период становления послереволюционной школы. Поиск новых путей математического образования (1918-1932 гг.) 58

Период становления светского школьного образования (1800-1860 гг.) 22

Период элементарной математики (математики постоянных величин) (начиная с VI-V в. до н.э. до конца XVII в.) 9

Периодические издания 27

Постановление правительства «О начальной и средней школе» 65

Приходские училища 23

Программа по математике 19, 24, 31, 52, 59, 71, 86

Программа факультативных занятий по математике 89

Пятый международный конгресс математиков 44

Р

Рабочие факультеты (рабфаки) 58

Реформа школьного математического образования в XX в. 79

Реформы преподавания математики в средней школе на рубеже XX в. 29

Русская национальная подкомиссия МКМО 41

Т

Третий международный конгресс математиков 38

Третий международный съезд по математическому образованию 45

У

Уездные училища 23

Университетская образовательная система 16

Университеты 24

«Устав университетов Российской империи» 22

«Устав учебных заведений, подведомых университетам» 23

Учебники математики 19, 25, 32, 53, 62, 75, 90

Учительские семинарии 17

Ф

Фабрично-заводские семилетки (ФЗС) 59

«Физико-математические науки в их настоящем и прошедшем» 36

Фузионизм 55

Фуркация обучения 56

Ц

Цифирные школы 14

Ч

Четвертый международный конгресс математиков 38

Четырнадцатая международная конференция преподавателей математики в Кракове 68

Ш

Школа навигацких наук 14

Школы крестьянской (колхозной) молодежи (ШКМ) 59

ЛИТЕРАТУРА

1. Александров, П.С. Московское математическое общество // Успехи математических наук. – 1946. – Т.1. – Вып.1. – С.232-241.

2. Александров, П.С., Головин О.Н. Московское математическое общество (к 90-летию научной деятельности) / П.С. александров, О.Н. Головин // Успехи математических наук. – 1957. – Т.12. – Вып.6. – С.9-46.

3. Алешинцев, И.А. История гимназического образования в России (XVIII- XIX вв.) / И.А. Алешинцев. – СПб., 1912.

4. Андронов, И.К. Первый учитель математики российского юношества Леонтий Филиппович Магницкий // Математика в школе.– 1969.– №6. – С. 75-78.

5. Андронов, И.К. Полвека развития школьного математического образования в СССР / И.К. Андронов. – М.: Просвещение, 1967. – 180 с.

6. Андронов, И.К. Три этапа в развитии международного школьного математического образования в XIX-XX вв. // Математика в школе. – 1967. – №4. – С. 82-88.

7. Аничков, Д.С. Начальные основания алгебры или арифметики литеральной, служащие для удобнейшего и скорейшего вычисления как арифметических, так и геометрических задач, в пользу и употребление российского юношества / Д.С. Аничков. – М., 1781.

8. Аничков, Д.С. Теоретическая и практическая тригонометрия / Д.С. Аничков. – М., 1780.

9. Безу, Э. Курс математики / Э. Безу: пер. В. Загорского. – М., 1801.

10. Белый, Ю.А. Об учебнике Л. Эйлера по элементарной геометрии // Историко-математические исследования. – 1961. – Вып.14. – С. 237-284.

11. Бернштейн, С.Н. К вопросу об изменении программы по математике в средней школе // Педагогический сборник. – 1909. – №11. – С. 381.

12. Больман, Н.К. Приложение алгебры к решению определенных геометрических задач / Н.К. Больман. – Киев, 1847.

13. Боцу, В.М. Международная комиссия по математическому образованию // Математика в школе. – 1964. – №2. – С. 83-85.

14. Брадис, В.М. Методика преподавания математики в средней школе / В.М. Брадис. – М.: Учпедгиз, 1954. – 504 с.

15. Буняковский, В.Я. Арифметика / В.Я. Буняковский. – СПб., 1844.

16. Буссе, Ф.И. Основания геометрии. Руководство для гимназий / Ф.И. Буссе. – СПб., 1885. – 178 с.

17. Буссе, Ф.И. Руководство к арифметике / Ф.И. Буссе. – СПб., 1830.

18. Буссе, Ф.И. Руководство к геометрии для гимназий / Ф.И. Буссе. – СПб., 1844.

19. Буссе, Ф.И. Руководство к геометрии для уездных училищ / Ф.И. Буссе. – СПб., 1831.

20. Бычков, Б.П. 100-летие программ преподавания математики в русской гимназии // Математика в школе. – 1972. – №6. – С.79-82.

21. Бычков, Б.П. Международная Комиссия по математическому образованию // Математика в школе. – 1970. – № 5. – С. 8-86.

22. Бычков, Б.П. Международное движение за реформу преподавания математики в средней школе / Б.П. Бычков. – Кишинев: ШТИИНЦА, 1975.– 135с.

23. Вейдлер, Ю.Ф. Аналитика специоза или алгебра / Ю.Ф. Вейдлер: пер. с лат. Д. Аничкова. – М., 1765. – 68 с.

24. Вестник опытной физики и элементарной математики Э.К. Шпачинского // Журнал Министерства Народного Просвещения. – 1887. – Октябрь.

25. Владимирский-Буданов, М. Государство и народное образование в России с XVIII века до учреждения министерства / М. Владимирский-Буданов. – СПб., 1874.

26. Владимирский-Буданов, М. Государство и народное образование в России XVIII века / М. Владимирский-Буданов. – Ярославль, 1874. – Ч.1.

27. Войтяховский, Е. Курс чистой математики в пользу и употребление юношества: в 4 т. / Е. Войтяховский. – М., 1808-1812.

28. Волковский, Д. Судьба русской математической журналистики // Вестник опытной физики и элементарной математики. – 1906. – № 409.

29. Вольф, Хр. Сокращения первых оснований математики: в 2 т. / Хр. Вольф. – СПб., 1770-1771.

30. Воронец, А.М. Математика в программе второго концентра школы II ступени // Педагогическая энциклопедия. В 3 т. Т.1. – М.: Работник просвещения, 1927. – С. 805-806.

31. Высочайше утвержденный «Устав учебных заведений, подведомственных университетам от 5 ноября 1804г. № 21.501» // Полное собрание законов Российской империи. Т.XXXVIII. – СПб., 1830. – С. 628.

32. Галанин, Д.Д. Л.Ф. Магницкий и его «Арифметика» / Д.Д. Галанин. – М., 1914. – 66 с.

33. Геометрия в пользу и употребление обучающегося юношества в Сухопутном Шляхетном корпусе. – СПб., 1799.

34. Гнеденко, Б.В. К столетию Московского математического общества // Математика в школе. – 1965. – №2. – С. 95-96.

35. Гнеденко, Б.В. Очерки истории математики в России / Б.В. Гнеденко. – М.Л.: Гос. изд-во технико-теоретической лит-ры, 1946. – 247 с.

36. Гобза, Г. Столетие Московской 1-й гимназии. 1804-1904. Краткий исторический очерк / Г. Гобза. – М., 1903. – 444с.

37. Головнин, А.В. Записки для немногих // Вопросы истории. – 1997. – №3. – С. 76-100.

38. Гончаров, В.Л Начальная алгебра. – М., 1960.

39. Гончаров, В.Л. Арифметические упражнения и функциональная пропедевтика в средней школе / В.Л. Гончаров. – Л., 1947.

40. Грацианский, И. Математика в германской школе. Меранская программа в новой обработке // Математика в школе. – Л., 1925. – Вып.3. – С.163-178.

41. Гушель, Р.З. История математики и математического образования в периодической печати России в конце XIX – начале XX столетия / Р.З. Гушель // История математики и математического образования как предмет исследования и преподавания: Труды V Всероссийской Школы по истории математики. – Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2003. – С. 195-201.

42. Гушель, Р.З. К 100-летию Меранской программы преподавания математики в Германии // Математическое образование. – 2005. – № 1 (32). – С.106-114.

43. Давидов, А.Ю. Геометрия для уездных училищ / А.Ю. Давидов. – М., 1897.

44. Давидов, А.Ю. Начала тригонометрии / А.Ю. Давидов. – М., 1885.

45. Давидов, А.Ю. Начальная алгебра / А.Ю. Давидов. – М., 1887. – 528 с.

46. Давидов, А.Ю. Элементарная геометрия в объеме гимназического курса / А.Ю. Давидов. – М., 1872.

47. Дахия, С.А. «Журнал элементарной математики» и «Вестник опытной физики и элементарной математики» // Историко-математические исследования. – 1956. – Вып.9. – С.537-612.

48. Демидов, С.С. «Математический сборник» в 1866-1935 // Историкоматематические исследования. – 1996. – Вып.1(36). – №2. – С. 127-146.

49. Денисов, А.П. Леонтий Филиппович Магницкий / А.П. Денисов. – М., 1967.

50. Депман, И.Я. Геометрия практика // Историко-математические исследования. – 1955. – Вып. 8. – С. 620-629.

51. Депман, И.Я. Леонтий Филиппович Магницкий // Математика в школе. – 1940. – №5. – С. 18-23.

52. Депман, И.Я. Международная сессия, посвященная новым методам преподавания математики // Математика в школе. – 1965. – № 3. – С. 94.

53. Депман, И.Я. Русские математические журналы для учителя // Математика в школе. – 1951. – №6. – С.9-22.

54. Добровольский, В. Слияние различных отделов математики в один учебный предмет // Математическое образование. – 1916. – №3.

55. Доклады, читанные на II Всероссийском съезде преподавателей математики в Москве. – М., 1915.

56. Документы и материалы по истории Московского университета второй половины XVIII века. – М., 1962. – Т.1-3.

57. Дорофеева, А.В. Школа математических и навигацких наук // Математика в школе. – 1986. – №1.

58. Дробышев, Ю.А. Из истории русского учебника геометрии. Библиографический указатель / Ю.А. Дробышев. – Калуга, 2001.

59. Евтушевский, В.А. Сборник арифметических задач и численных примеров / В.А. Евтушевский. – СПб., 1877. – Ч.1.

60. Егоров, С.Ф. Методика обучения как предмет историко-педагогических исследований (конец XIX- начало XX в.) // Советская педагогика. – 1981. – №4. – С. 104-111.

61. Заключения и рекомендации Международного симпозиума по вопросам преподавания математики // Математика в школе. – 1963. – № 3. – С. 70-74.

62. Зейфарт, Ф. Развитие реформы преподавания математики в Германии // Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. – М.-Л., 1933. – Т.1. – С.401-418.

63. Иконников, В.С. Русские университеты в связи с ходом общественного образования // Вестник Европы. – 1876. – № 9-11.

64. История математического образования в СССР / отв. ред. И.З. Штокало и А.Н. Боголюбов. – Киев: Наукова Думка, 1975.

65. История педагогики и образования. От зарождения воспитания в первобытном обществе до конца ХХ в.: учебное пособие для педагогических учебных заведений / под ред. академика РАОГ А.И.Пискунова. – 2-е изд., испр. и дополн. – М.: ТЦ «Сфера», 2001. – 512с.

66. К 25-летию «Вестника опытной физики и элементарной математики» // Вестник опытной физики и элементарной математики. – 1913. – №598-600.

67. Каган, В.Ф. О реформе преподавания математики в средних учебных заведениях Германии и Франции // Борель Э. Элементарная математика. Одесса. – 1911. – Т.1.

68. Каган, В.Ф. Первый Всероссийский съезд преподавателей математики // Вестник опытной физики и элементарной математики. – 1912. – №553, 554, 556.

69. Каталог учебных руководств и пособий по математике // Журнал Министерства Народного Просвещения. – 1881. – №6.

70. Кеткович, Я. О преподавании математики в прусских гимназиях // Педагогический вестник Московского учебного округа. – 1911. – №5-6. – С.24-67.

71. Киселев, А.П. Арифметика / А.П. Киселев. – М., 1884.

72. Киселев, А.П. Элементарная алгебра / А.П. Киселев. – М., 1892.

73. Киселев, А.П. Элементарная геометрия / А.П. Киселев. – М., 1894.

74. Князьков, С. Очерки из истории Петра Великого и его времени / С. Князьков. – СПб., 1914. – С. 463-510.

75. Князьков, С.А. Очерк истории народного образования в России до эпохи реформ Александра II / С.А. Князьков, Н.И. Сербов. – М., 1910.

76. Колмогоров, А. Н. Математика в её историческом развитии / А.Н. Колмогоров; под ред. В.А. Успенского. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. – 224 с.

77. Колмогоров, А.Н. Новые программы и некоторые основные вопросы усовершенствования курса математики в средней школе // Математика в школе. – 1967. – № 2. – С. 27.

78. Колягин, Ю.М. Русская школа и математическое образование: Наша гордость и наша боль / Ю.М. Колягин. – М.: Просвещение, 2001. – 318 с.

79. Константинов, Н.А. История педагогики / Н.А. Константинов, Е.Н. Медынский, М.Ф. Шабаева. – М.: Просвещение, 1974. – 447 с.

80. Копелевич, Ю.Х. Основание Петербургской Академии наук / Ю.Х. Копелевич. – Л., 1977. – 211 с.

81. Крыговская, А.С. Развитие математической деятельности учащихся и роль задач в этом развитии // Математика в школе. – 1966. – № 6. – С.19-30.

82. Кулябко, Е.С. Замечательные питомцы Академического университета / Е.С. Кулябко. – Л., 1977. – 228с.

83. Курганов, Н.Г. Арифметика или числовик / Н.Г. Курганов. – СПб., 1776.

84. Курганов, Н.Г. Елементы геометрии / Н.Г. Курганов. – СПб., 1768.

85. Курганов, Н.Г. Универсальная арифметика / Н.Г. Курганов. – СПб., 1757.

86. Ланков, А.В. К истории развития передовых идей в русской методике математики / А.В. Ланков. – М.: Учпедгиз, 1951. – 151 с.

87. Ланков, А.В. Математика в трудовой школе / А.В. Ланков. – М., 1925.

88. Латышев, В.А. Учебник арифметики (в объеме курса младших классов гимназий) / В.А. Латышев. – М., 1884. – Изд.2.

89. Лебединцев, К.Ф. Введение в современную методику математики / К.Ф. Лебединцев. – Киев, 1925.

90. Лебединцев, К.Ф. Метод обучения математике в старой и новой школе / К.Ф. Лебединцев. – М., 1914.

91. Левитус, Д.М. Отдел математики Педагогического музея военно-учебных заведений // Труды I Всероссийского съезда преподавателей математики. – СПб., 1913. – С. 304-316.

92. Лежандр, А. Геометрия / А. Лежандр. – СПб., 1861.

93. Литцман, В. Постановка преподавания математики в средней школе Пруссии // Вестник опытной физики и элементарной математики. – 1911-1912. – №548-558.

94. Лихолетов, И.И. Из истории преподавания математики в Московском университете (1804-1860) / И.И. Лихолетов, С.А. Яновская // Историкоматематические исследования. – 1955. – Вып.8. – С. 127-480.

95. Любименко, И.И. Подготовка русских академических кадров в XVIII столетии // Вестник АН СССР. – 1936. - №2. – С.53-56.

96. Люстерник, Л.А. Математический сборник // Успехи математических наук. – 1946. – Т.1. – Вып.1. – С. 242-247.

97. Магницкий, Л.Ф. Арифметика, сиречь наука числительная / Л.Ф. Магницкий. – М., 1703. – 306с.

98. Майстров, Л.Е. Возникновение Московского математического общества // Успехи математических наук. – 1959. – Т.14. – Вып.3. – С.227-234.

99. Малинин, А.Ф. Курс алгебры и собрание алгебраических задач / А.Ф. Малинин. – М., 1881.

100. Малинин, А.Ф. Руководство алгебры и собрание алгебраических задач / А.Ф. Малинин, К.П. Буренин. – М., 1899. – Изд.10.

101. Малинин, А.Ф. Руководство арифметики / А.Ф. Малинин, К.П. Буренин. – М., 1871. – Изд.5.

102. Малинин, А.Ф. Руководство прямолинейной тригонометрии / А.Ф. Малинин. – М., 1866. – Изд.3 (1909 – Изд.19).

103. Марголис, Ю.Д. Отечеству на пользу, а россиянам во славу. Из истории университетского образования в Петербурге в XVIII – начале XIX в. / Ю.Д. Марголис, Г.А. Тишкин. – Л., 1988. – 232с.

104. Маркушевич, А.И. Некоторые проблемы обучения математике в школе // Математика в школе. – 1969. – № 6. – С.27.

105. Маркушевич, А.И. Вопросы преподавания математики на XIX Международной конференции в Женеве // Математическое просвещение. – Вып. 1. – 1957. – С. 16 - 22.

106. Маслова, Г.Г. Международный конгресс по преподаванию математики // Математика в школе. – 1969. – № 6. – С. 92.

107. Материалы для истории и статистики наших гимназий // Журнал Министерства Народного Просвещения. – 1864. – Январь. – Отд. II. – С.129-132.

108. Материалы для истории и статистики наших гимназий // Журнал Министерства Народного Просвещения. – 1864. – Февраль. – С. 355-390.

109. Материалы для истории Московского математического общества // Математический сборник. – 1889. – Т.14. – Вып.3. – С.471-486.

110. Материалы по реформе средней школы. – Пг., 1915.

111. Материалы совещания преподавателей математики средней школы, март – апрель 1935г. – М.: Учпедгиз, 1935.

112. Медяник, М.Е. Низшая алгебра / М.Е. Медяник. – Тамбов, 1879.

113. Международная Комиссия по преподаванию математики. Организация русской делегации и её воззвание // Вестник опытной физики и элементарной математики. – 1909. – № 487.

114. Международная Комиссия по преподаванию математики. Первое совещание русской подкомиссии // Вестник опытной физики и элементарной математики. – 1909. – № 502.

115. Международная Комиссия по преподаванию математики. Предварительный доклад // Журнал Министерства Народного Просвещения. – 1909. – №3.

116. Международная Комиссия по преподаванию математики. Состав делегаций // Вестник опытной физики и элементарной математики. – 1909. – № 485-486.

117. Международный математический конгресс в Эдинбурге // Математическое просвещение. – 1960. – № 5. – С. 224.

118. Мельников, И.Г. Леонард Эйлер и элементарная математика // Математика в школе. – 1957. – №4. – С.1-15.

119. Метельский, Н.В. Идеи движения за реформу современны (к 80-летию I Всероссийского съезда преподавателей математики) // Математика в школе. – 1992. – №1. – С. 8-10.

120. Метельский, Н.В. К проблеме фуркации на I Всероссийском съезде преподавателей математики (1911-1912гг.) // Советская педагогика. –1962. – №10. – 125-129.

121. Метельский, Н.В. Очерки истории методики математики. К вопросу о реформе преподавания математики в средней школе / Н.В. Метельский; под. ред. И.Я. Депмана. – Минск: Вышэйшая школа. – 1968. – 340с.

122. Мрочек, В. Педагогика математики. Исторические и методические этюды // В. Мрочек, Ф. Филиппович. – СПб., 1910. – 378 с.

123. Мрочек, В. Реформа преподавания математики / В. Мрочек, Ф. Филиппович // Русская школа. – 1910. – №1. – С.190.

124. Муравьев, Н.Е. Начальные основания математики / Н.Е. Муравьев. – СПб., 1752.

125. Некрасов, П.А. Промежуточная лицейская ступень между средней и высшей школой // Журнал Министерства Народного Просвещения. – 1913. – Ноябрь. – С.31-48.

126. Никитин, Н.Н. Съезды преподавателей математики в России // Изв.АПН РСФСР. – 1946. – Вып.6.

127. О проекте программы средней школы по математике // Математика в школе. – 1967. – № 3. – С. 28.

128. Осиповский, Т.Ф. Курс математики: в 3 ч. / Т.Ф. Осиповский. – СПб., 1802-1803.

129. Охременко, Д.В. «Журнал элементарной математики» (1884-1886) и журнал «Вестник опытной физики и элементарной математики» (1886-1917) и их значение в усовершенствовании математико-педагогической культуры учителей и учащихся в России конца XIX и начала XX веков / Д.В. Охременко // Сб. трудов МОПИ. – 1972. – Т.311. – Вып. 9. – С. 25-53

130. Папи, Ж. Геометрия в современном преподавании математики // Математика в школе. – 1967. – № 1. – С. 39-42.

131. Педагогическая энциклопедия: в 3 т. / под ред. А.Г. Калашникова. – М.: Работник просвещения, 1927-1929.

132. Педагогическая энциклопедия: в 4 т. / гл. ред. И.А. Каиров, Ф.Н. Петров. – М.: Советская энциклопедия, 1964-1968.

133. Пекарский, П.П. Наука и литература в России при Петре I / П.П. Пекарский. – СПб., 1862.

134. Пенчко, Н.А. Основание Московского университета / Н.А. Пенчко. – М., 1953.

135. Перевощиков, Д.М. Арифметика для начинающих / Д. М. Перевощиков. – М., 1820.

136. Перевощиков, Д.М. Тригонометрия / Д.М. Перевощиков. – М., 1841.

137. Подготовка учителя математики: Инновационные подходы: учеб. пособие / под ред. В.Д. Шадрикова. – М.: Гардарики, 2002. – 383 с.

138. Поляков, А. Международная Конференция по преподаванию математики, состоявшаяся в Париже с 1 по 4 апреля н.ст. 1914г. // Математическое образование. – 1914. – № 6.

139. Полякова, Т.С. История отечественного школьного математического образования. Два века. Кн.1: век восемнадцатый / Т.С. Полякова. – Ростов н/Д.: РГПУ, 1997. – 288 с.

140. Полякова, Т.С. История отечественного школьного математического образования. Два века. Кн.2: век девятнадцатый. Первая половина / Т.С. Полякова. – Ростов н/Д, 2001.

141. Полякова, Т.С. Предыстория развития отечественной методики преподавания математики как науки: функционирование методических идей в XVIII веке / Т.С. Полякова, Л.Е. Князева // История математики и математического образования как предмет исследования и преподавания: Труды V Всероссийской Школы по истории математики. – Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2003. – С. 170-178.

142. Попруженко, М. Второй Всероссийский съезд преподавателей математики // Педагогический сборник. – 1914. – № 7,8.

143. Поссе, К.А. Международная Комиссия по преподаванию математики. Конференция в Париже 1-4 апреля (н.ст.) 1914г. // Вестник опытной физики и элементарной математики. – 1914. – № 607. – С. 198 -205.

144. Поссе, К.А. О согласовании программ в средней и высшей школе // Вестник опытной физики и элементарной математики. – 1912. – № 555.

145. Преподавание математики в Советском Союзе // Математика в школе. – 1973. – №1. – С. 4-10.

146. Пржевальский, Е. Собрание алгебраических задач / Е. Пржевальский. – М., 1888. – Изд.5.

147. Программа восьмилетней школы // Математика в школе. – 1960. – № 4. – С.12-16.

148. Программа по математике для средней школы // Математика в школе. – 1968. – № 2. – С. 5-20.

149. Программа средней общеобразовательной трудовой политехнической школы с производственным обучением // Математика в школе. – 1961. – № 1. – С. 5-11.

150. Программы математики для дополнительного класса реальных училищ от 30 июня 1906 года // Журнал Министерства Народного Просвещения. – 1907. – №1.

151. Программы специальных курсов по математике // Математика в школе. – 1967. – №3. – С. 73-75; № 4. – С. 58-59.

152. Проект программы средней школы по математике // Математика в школе. – 1967. – № 1. – С. 4-23.

153. Прудников, В.Е. О русских учебниках математики для средних школ в XIX веке // Математика в школе. – 1954. – №3.

154. Прудников, В.Е. П.Л. Чебышев / В.Е. Прудников. – М.: Просвещение, 1964. – 271с.

155. Прудников, В.Е. Русские педагоги-математики XVIII-XIX веков / В.Е. Прудников. – М.: Учпедгиз, 1956. – 640 с.

156. Райковский, С.И. Начальные основания геометрии / С.И. Райковский. – СПб., 1827.

157. Резолюция I Всероссийского съезда преподавателей математики // Вестник опытной физики и элементарной математики. – 1912. – № 554.

158. Резолюция II Всероссийского съезда преподавателей математики // Вестник опытной физики и элементарной математики. – 1914. – № 602.

159. Резолюция съезда // Труды I Всероссийского съезда преподавателей математики. – СПб., 1913. – Т.1. – С. 568-571.

160. Рождественский, С.В. Из истории учебных реформ императрицы Екатерины II // Журнал Министерства Народного Просвещения. – 1909. – Март. – С.47-100.

161. Рождественский, С.В. Исторический обзор деятельности министерства народного просвещения. 1802-1902. – СПб., 1902. – 785с.

162. Российская педагогическая энциклопедия: в 2 т. / под ред. В. В. Давыдова. – М.: Большая Российская энциклопедия, 1993.

163. Руководство к арифметике для употребления в гимназии при Императорской академии наук: пер. с нем. В. Адодурова. – СПб., 1740.

164. Рыбников, К.А. Возникновение и развитие математической науки / К.А. Рыбников. – М., 1987.

165. Сергеев, К. Московская математико-навигацкая школа (1701-1752) // Вопросы географии. – 1954. – Сб.34.

166. Симонов, И.С. «Педагогический сборник» за 50 лет / И.С. Симонов. – Пг., 1914.

167. Симонов, Р.А. Первые русские математические журналы – носители прогрессивных идей // Математика в школе. – 1955. – №3. – С. 13-20.

168. Синцов, Д.М. V Международный математический съезд в Кембридже // Вестник опытной физики и элементарной математики. – 1912. – №569. – С. 129-136.

169. Синцов, Д.М. Второй Всероссийский съезд преподавателей математики // Вестник опытной физики и элементарной математики. – 1914. – № 603. – С.72-82.

170. Синцов, Д.М. Доклад о Международной Комиссии по преподаванию математики (на II Всероссийском съезде преподавателей математики) // Математическое образование. – 1914. – №1. – С.5-20.

171. Синцов, Д.М. Математика на выставке в Брюсселе. Съезд МК в августе 1910 г. в Брюсселе // Вестник опытной физики и элементарной математики. – 1910. – № 524, 525.

172. Синцов, Д.М. Международная комиссия по преподаванию математики. Очерк деятельности // Математическое образование. – 1912. – № 5. – С.204-217.

173. Синцов, Д.М. Международная комиссия по преподаванию математики. Съезд в Милане 5-7 сентября 1911г. // Вестник опытной физики и элементарной математики. – 1911. – № 550.

174. Систематический указатель статей, напечатанных в неофициальной части «Педагогического сборника» за 50 лет (1864-1914) / сост. С.А. Переселенков. – СПб., 1916.

175. Соболев, С.Л., Маслова Г.Г. Международный конгресс по математическому образованию // Математика в школе. – 1972. – № 6. – С. 84-87.

176. Совещания, происходившие в 1899 году в Московском учебном округе по вопросам о средней школе. – М., 1899. – Вып. 1-6.

177. Соображения о распределении предметов преподавания в гимназиях. – СПб., 1864. – 38с.

178. Струве, В.Б. О курсе математики в коммерческих училищах // Техническое образование. – 1894. – № 1,3,5.

179. Суворов, П. Тригонометрии две книги / П. Суворов, Н. Никитин. – СПб., 1787.

180. Сухомлинов, М.И. История Российской Академии наук / М.И. Сухомлинов. – СПб., 1874-1888. – Вып. 1-3.

181. Сухомлинов, М.И. Материалы для истории образования в России в царствование Императора Александры I // Журнал Министерства Народного Просвещения. – 1865. – Октябрь. – Отд. II. – С. 9-172.

182. Ткачев, Н.К. К истории Навигационной школы // Сов. архивы. – 1976. – №1.

183. Толстой, Д.А. Академическая гимназия в XVIII столетии по рукописным документам / Д.А. Толстой. – СПб., 1885. – 114с.

184. Толстой, Д.А. Городские училища в царствование императрицы Екатерины II / Д.А. Толстой. – СПб., 1886.

185. Толстой, Л.Н., Педагогические сочинения / Л.Н. Толстой. – М.-Л.: Изд. АПН РСФСР, 1948. – 398 с.

186. Том Р. Современная математика – существует ли она? // Математика в школе. – 1973. – №1. – С. 89-93.

187. Третий Всероссийский съезд преподавателей математики // Вестник опытной физики и элементарной математики. – 1915. – № 630. – С. 139-141.

188. Труды I Всероссийского съезда преподавателей математики. В 3 т.Т.1. – СПб., 1913.

189. Труды Высочайше учрежденной комиссии по вопросу об улучшениях в средней общеобразовательной школе. – СПб., 1900. – Вып. 1-8.

190. Указатель журнала «Математический сборник» за 1891-1956 гг. – М., 1859. – 65 с.

191. Указатель статей, содержащихся в первых пятнадцати томах Математического сборника. – М., 1893. – 132 с.

192. Устав гимназий и прогимназий от 30 июля 1871 года // Материалы для истории и статистики наших гимназий // Журнал Министерства Народного Просвещения. – 1871. – Ч. CL1.

193. Устав гимназий и училищ уездных и приходских, состоящих в ведомстве университетов: С.-Петербургского, Московского, Казанского и Харьковского. – СПб., 1829. – 80 с.

194. Устав Императорского Шляхетного корпуса, учрежденного в С.Петербурге. – СПб., 1786.

195. Устав Московского математического общества // Математический сборник. – 1867. – Т.2. – Вып.1.

196. Устав народным училищам в Российской Империи, уложенный в царствование Императрицы Екатерины II. – СПб., 1786.

197. Учебные планы и программы в мужских гимназиях и прогимназиях // Материалы для истории и статистики наших гимназий // Журнал Министерства Народного Просвещения. – 1890. – Декабрь. – С. 125-139.

198. Факультативные курсы. Дополнительные главы и вопросы математики // Математика в школе. – 1967. – №1. – С.23.

199. Ферлюдин, П. И. Исторический обзор мер по высшему образованию в России / П.И. Ферлюдин. – Саратов, 1894. – Вып.1. Академия наук и университеты.

200. Фесенко, В.М. О слиянии планиметрии со стереометрией // Математическое образование. – 1913. – №1.

201. Флеровская, М.А. Навигационная школа // Вопросы истории. – 1973. – №10. – С. 215-219.

202. Фусс, Н.И. Начальные основания алгебры, выбранные из алгебры Леонарда Эйлера / Н.И. Фусс. – СПб., 1798.

203. Фусс, Н.И. Начальные основания чистой математики / Н.И. Фусс. – СПб., 1823.

204. Хотеенков, В.Ф. Первый министр народного просвещения Российской Империи Петр Васильевич Завадовский / В.Ф. Хотеенков, В.Г. Чернета. – М., 1998.

205. Черкасов, Р.С. XIV Международная конференция преподавателей математики // Математика в школе. – 1961. – № 1. – С. 61-70.

206. Черкасов, Р.С. История отечественного школьного математического образования // Математика в школе. – 1997. – № 2. – С. 83-91.

207. Черкасов, Р.С. История отечественного школьного математического образования // Математика в школе. – 1997. – № 3. – С. 89-96.

208. Чистяков, И.И. Первый Всероссийский съезд преподавателей математики // Математическое образование. – 1912. – №2. – С. 81-86.

209. Чистяков, И.И. Феликс Клейн и его реформа математического образования // Изв. Тверского пед. института. – 1927. – Вып.3. – С.5-15.

210. Шапошников, Н.А. Сборник алгебраических задач / Н.А. Шапошников, Н. Вальцов. – М., 1892. – Ч.1. – Изд.13. -216с.; М., 1891. – Ч.2. – Изд.2. – 189с.

211. Шапошников, Н.А. Учебник алгебры / Н.А. Шапошников. – М., 1890. – 170с.

212. Шевелев, Ф.Я. К истории Московского математического общества // История и методология естественных наук. – 1966. – Вып. V. – С.62 - 74.

213. Шевырев, С. История Московского университета / С. Шевырев.– М., 1855.

214. Шереметьевский, В.П. Математика как наука и её школьные суррогаты // Русская мысль. – 1895. – Кн.5. – С. 105-125.

215. Щербина, К.М. Математика в русской средней школе. Обзор трудов и мнений по вопросу об улучшении программ математики в русской средней школе за последние девять лет (1899-1907) / К.М. Щербина. – Киев, 1908. – 152с.

216. Эйлер, Л. Сборник статей в честь 250-летия со дня рождения / Л. Эйлер. – М., 1958.

217. Эйлер, Л. Универсальная арифметика / Л. Эйлер: пер. с нем. П. Иноходцева, И. Юдина: в 2 т. – СПб., 1768-1788.

218. Юшкевич, А.П. История математики в России до 1917 года / А.П. Юшкевич. – М.: Наука, 1968. – 591 с.

219. Юшкевич, А.П. Леонард Эйлер и математическое просвещения в России // Математика в школе. – 1983. – №5. – С. 71-74.

220. Юшкевич, А.П. Математика в Московском университете за первые сто лет его существования // Историко-математические исследования. – М.-Л., 1948. – Вып.1. – С. 43-140.

221. Юшкевич, А.П. Математика и военно-техническое образование при Петре I // Математика в школе. – 1947. – №2. – С.11-21.

222. Янкович де Мириево, Ф.И. Руководство учителям первого и второго классов народных училищ / Ф.И. Янкович де Мириево. – СПб., 1783.

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Предисловие......................................................................................................3

2. Тематический указатель...................................................................................5

3. Словарь-справочник.........................................................................................9

4. Алфавитный указатель...................................................................................92

5. Литература.......................................................................................................95