Математики-педагоги России.

Забытые имена

Елец — 2006

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ЕЛЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ И.А. БУНИНА

ОРЛОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАЛУЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ К.Э. ЦИОЛКОВСКОГО

МАТЕМАТИКИ-ПЕДАГОГИ РОССИИ. ЗАБЫТЫЕ ИМЕНА

Под редакцией

доктора педагогических наук, профессора, заслуженного работника высшей школы РФ В.П. Кузовлева (Елец, ЕГУ им. И.А. Бунина);

доктора педагогических наук, профессора Ф.С. Авдеева (Орел, ОГУ);

кандидата педагогических наук, профессора Ю.А. Дробышева (Калуга, КГПУ им. К.Э. Циолковского)

Елец-2006

УДК 51(092) ББК 22.1 г К 60

Печатается по решению редакционно-издательского совета Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина от 30. 11. 05, протокол № 5

РЕЦЕНЗЕНТЫ:

Е. П. Белозерцев, доктор педагогических наук, профессор, заслуженный деятель науки РФ (Елец, ЕГУ им. И.А. Бунина);

Г. Л. Луканкин, член-корреспондент РАО, доктор педагогических наук, профессор, заслуженный деятель науки РФ (Москва, МПУ).

Ю. М. Колягин, О. А. Саввина

К 60 Математики-педагоги России. Забытые имена. Книга 1. Филипп Васильевич Филиппович: монография. - Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2006. - 90 с.

ISBN 5-94809-158-9

В настоящем издании предлагается исследование научно-методического наследия педагога, ученого и общественного деятеля конца XIX - начала XX вв. Ф.В. Филипповича.

Книга адресована как студентам педагогических вузов, аспирантам и преподавателям, так и широкому кругу читателей.

УДК 51(092) ББК 22.1 г

ISBN 5-94809-158-9

© Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, 2006 © Ю.М. Колягин, O.A. Саввина, 2006

КНИГА 1

Ю. М. Колягин, О. А. Саввина

ФИЛИПП ВАСИЛЬЕВИЧ ФИЛИППОВИЧ

Монография

К ЧИТАТЕЛЮ

Последние два десятилетия Россия переживает не лучшие времена. Течение современной жизни уподобляется бурному весеннему половодью, когда зачастую вместе с отходами, устаревшим хламом и ненужными предметами «река жизни» вырывает корни, укрепляющие ее берега, размывает само основание своего течения и непредсказуемо и необоснованно пытается найти новое русло в угоду субъективным веяниям нового времени.

В этих условиях важно сохранять четкие позитивные традиции, ни в коем случае не забывать историю прошлого, которая всегда научит, а если не научит, то подскажет и направит в нужное русло, поможет отказаться от «псевдотечений».

В этой связи, очевидно, и возникла идея издания публикаций в рубрике «Математики-педагоги России. Забытые имена». Актуальность и востребованность этой темы ни у кого не вызывает сомнения. Тем более, что объектом исследования является такая загадочная и в то же время незаслуженно забытая личность, как Ф. В. Филиппович.

В книге удачно нарисован портрет ученого-практика, отмечены целостность и твердость его характера, хотя, конечно, абсолютно полное представление о нем как личности такого разнопланового масштаба не создается, видимо, в силу объективных причин, связанных с его политической деятельностью и особенно трагической гибелью, скрытой завесою таинственности в эпоху массовых сталинских репрессий 1937-1938 гг.

Авторы поставили другую задачу - изучить педагогическое наследие Ф. В. Филипповича и, особенно, труд «Педагогика математики», написанный им в соавторстве с В. Р. Мрочеком. С этой задачей, на наш взгляд, маститый академик и молодой доктор наук справились успешно. Предлагаем и Вам, уважаемый читатель, убедиться в этом.

В. П. Кузовлев, Ф. С. Авдеев, Ю. А. Дробышев

Если мы о чем-нибудь не знаем, как оно образовывалось, то и не понимаем его,

Шлейхер

ВВЕДЕНИЕ

На рубеже XX-XXI вв. заметно возрос и общественный, и исследовательский интерес к отечественной истории. И это вполне закономерно. История нашего Отечества богата разного рода фактами и событиями. Изобилует она и неординарными человеческими судьбами тех, кто трудился во славу России и влиял на ход ее истории. История учит, подсказывает и направляет; нужно только ее знать и уметь слышать ее голос. Сказанное в полной мере относится и к истории российского образования, в первую очередь, математического, т. к. и в математике-науке, и в обучении математике на всех уровнях наша страна достигла заметных успехов. Наряду с этим приходится констатировать, что истории отечественного математического образования в настоящее время посвящены лишь единичные работы; большую редкость представляют переиздания сочинений дореволюционных педагогов-математиков, лишь отдельные авторы обращаются к анализу педагогических взглядов и деятельности, характеристике личности русских просветителей. Следует отдать должное исследователям научно-методических идей А. П. Киселева, П. Л. Чебышева, М. В. Остроградского. Вместе с тем нельзя не сказать, что немало имен математиков-просветителей еще неизвестно нашему современнику. Признаемся, что мы мало знаем о В. А. Анкудовиче, С. Ф. Балдине, А. Д. Войнове, К. Д. Краевиче, А. П. Минине, М. Г. Попруженко, П. А. Самохвалове и многих других. А каждый из них внес свой вклад в становление и развитие математического образования в России, и вклад настолько заметный, что память об этих замечательных подвижниках и их наследии осталась до сих пор в наших сердцах и умах. В первую очередь чувство долга заставило нас, несмотря на понятные трудности (отдаленность временного периода и скудность источников), взяться за создание серии публикаций «Забытые имена», в которой мы надеемся осветить перед потомками ратные дела наших замечательных предшественников во славу отечественного математического образования. Помимо того, обращение к педагогическому наследию позволит по-

полнить методическую копилку учителя математики. Безусловно, многие идеи, высказанные дореволюционными педагогами-математиками, уже нашли воплощение в современной школе, но некоторые, несомненно, еще ждут своего часа. Надеемся, что читатель оценит то, насколько проблемы «старины глубокой» созвучны сегодняшнему дню, насколько прозорливы и находчивы были педагоги-математики прошлого.

Филипп Васильевич Филиппович - чистая страница в методико-математических исследованиях. Его имя обходят стороной и все историко-математические работы. Объяснение этой ситуации можно найти в особенностях биографии педагога-математика, который, с одной стороны, оказался между двумя странами - Россией и Сербией, а с другой стороны, между двумя областями деятельности - преподаванием математики и политикой. Уникальность личности Филипповича и состоит в его разноплановости. Более 300 наименований статей, монографий, выступлений, писем, речей составляет творческое наследие ученого. К сожалению, преимущественно эти работы посвящены истории Югославии, политическим проблемам, и лишь незначительная часть - методике обучения математике. Но даже, если бы это была только одна работа - «Педагогика математики», которую он написал в соавторстве с В. Р. Мрочеком1, уже и тогда следовало бы дать полный и всесторонний анализ его научно-методической деятельности.

«Педагогика математики» - монументальный труд, который затрагивает почти все аспекты математического образования, и нам стоило немалых усилий вычленить наиболее важные и значимые положения, имеющие, как нам представляется, неоспоримую ценность для всех, кому небезразлична судьба математического образования в России.

Все работы Филипповича, за исключением его выступления на Первом Всероссийском съезде преподавателей математики, вышли небольшим тиражом и не переиздавались ни в советское, ни в постсоветское время. Являясь сегодня большой библиографической редкостью, они в то же время не потеряли своей актуальности. Труднодоступность работ Филипповича и стремление как можно точнее выразить его авторскую позицию вызвали необходимость обильного цитирования нами каждого отдельного первоисточника в процессе его анализа.

Ю. М. Колягин, О. А. Саввина

1 Мрочек В.Р. (1879-1937) - родился в г. Житомире, поляк по национальности, автор учебников и трудов по методике математики.

Биографический очерк

Ф. В. Филиппович 9 (21). 06. 1878 - 8.04. 1938

Ф. В. Филиппович родился в сербском городке Чачак, примерно в 200 км от Белграда.

В метрическом свидетельстве отражено, что Филипп появился на свет 9 июня 1878 г. в семье преподавателя местной гимназии Василия Филипповича, а через несколько дней (25 июня) был крещен в православной церкви Чачакского храма Св. Вознесения Господня. В 1897 г. он весьма успешно закончил восьмой класс Второй Белградской гимназии и по результатам испытаний получил следующие отметки:

- по сербскому и старославянскому языкам с литературой.....................................................отлично хорошие2;

- латинскому языку................................................очень хорошие;

- немецкому языку.................................................очень хорошие;

- математике......................................................очень хорошие;

- физике............................................................отлично хорошие;

естественной истории (по годовым отметкам)............отлично хорошие;

- сербской и общей гражданской историям с географией......отлично хорошие;

- философской пропедевтике (по годовым отметкам)...........отлично хорошие;

- поведения.....................................................................отличного.

Экзаменационная комиссия резюмировала «зрелость» кандидата Филипповича и его подготовленность для факультета «великой школы» или Университета3.

2 В сербской гимназии существовали следующие «степени» экзаменационных баллов:

а) по учению: слабые, хорошие, очень хорошие, отлично хорошие;

б) по поведению: худые, хорошие, очень хорошие, отличные.

3 Первое высшее учебное заведение в Сербии - Лицей - было основано в 1838г. в Крагуевце. В 1841 г. оно было переведено в Белград, а в 1863 г. преобразовано в Высшую школу, на базе которой и был открыт в 1905 г. Белградский университет.

После окончания гимназии Филипп поступил на технический факультет Белградской высшей школы, где сразу же был втянут в революционную деятельность в социалистической студенческой организации4. Здесь, очевидно, следует отметить тот оттенок, который носили социалистические идеи Филипповича.

В результате победного завершения русско-турецкой войны 1877-1878 гг. Сербия получила независимость от турецкого владычества, но стратегически и исторически важные Босния и Косово были оккупированы Австро-Венгрией, и политическая нестабильность и опасность военных конфликтов на Балканах не снизились. Путь к стабилизации положения дел Филиппович видел в создании конфедерации балканских республик. Поскольку, по мнению Ф. Филипповича, «господствующие классы на Балканах были и оставались решительными противниками конфедерации балканских республик»5, он постепенно приходит к выводу, что разрешение балканского вопроса возможно только через солидарную деятельность социалистических партий балканских стран. Здесь, на наш взгляд, и кроется одно из объяснений его сочувствия идеям социализма. В дальнейшем же мировоззрение Ф. Филипповича эволюционировало по пути - «от сочувствующего социалистическому движению» (в конце XIX века) к «убежденному коммунисту»6.

В 1899 г. в связи с наступлением реакции в Сербии Ф. Филиппович эмигрирует в Россию. Выбор юноши в качестве страны для эмиграции - России - вполне закономерен. Он объясняется не только географической близостью с его родиной, но и тем благожелательным настроем русских к «братьям-славянам», вызванным, в частности, стремлением России конца XIX - начала XX вв. всеми средствами усилить свое влияние на Балканах. В свою очередь, Сербия как до революции, так и в недалекие 90-е гг. XX в. относилась к России как к своей старшей сестре, искренне надеялась на помощь русских в кризисные для страны периоды. И основания к этому были более чем

4 Сумарокова М.М. Новые данные о начале революционной деятельности Филипа Филиповича //Советское славяноведение. М. №1. 1967. С.56.

5 Филиппович Ф.В. К балканскому вопросу // Правда. 9 октября 1912г. Цит. по: Сумарокова М.М. Новые данные о начале революционной деятельности Филипа Филиповича //Советское славяноведение. №1. 1967. С.58.

6 Мовчан СП. Филипп Филиппович - исследователь новейшей истории Югославии. Авторф. дис. ... к. ист. н., 1971. С.7.

достаточные: главное из них - географическая и духовная близость народов, основанная на православии и устойчивых добрых отношениях. Сожаления достоин тот факт, что позиция нашего государства в угоду политической конъюнктуре может меняться на диаметрально противоположную, о чем свидетельствуют последние события на Балканах (речь идет о бомбардировках Югославии НАТО в 1999 г.). Филиппович в дореволюционной России нашел не только приют, но и получил хорошее фундаментальное образование. Сразу по прибытии в Россию он поступил в Санкт-Петербургский Императорский университет на физико-математический факультет. В фондах Центрального государственного исторического архива г. Санкт-Петербурга хранится прошение Ф. В. Филипповича на имя ректора университета:

Его Превосходительству Господину Ректору Санкт-Петербургского Императорского университета

сербского уроженца Филиппа Филипповича

Прошение.

Имею честь просить Ваше Превосходительство разрешить принять меня в число студентов Императорского Санкт-Петербургского университета, на физико-математический факультет, разряда математического.

При сем честь имею представить аттестат зрелости и его перевод на русский язык и метрическое свидетельство с его переводом. Что касается национального паспорта, пока находящегося в Иностранном отделении и трех фотографических карточек, то обязываюсь представить их в самом непродолжительном времени.

О сем покорнейше просит Ф. Филиппович

1 сентября 1899г., СПб.7

В университете Филипповичу чрезвычайно повезло с учителями. Здесь он слушал лекции у талантливых русских математиков И. И. Иванова8 (теория чисел и приложения дифференциального исчисления к геометрии), А. Н. Коркина9 (интегрирование уравнений),

7 ЦГИА СПб. Ф.14. Оп.З. Т.8. Д.37115. Л.1.

8 Иванов Иван Иванович (1862 - 1939 ) - русский (и советский) математик, чл.-корр. АН СССР, ученик П . Л . Чебышева. Основные труды по теории алгебраических чисел.

9 Коркин Александр Николаевич (1837 - 1908 ) - известный русский математик, ученик П. Л. Чебышева. Основные труды по теории интегрирования уравнений с частными производными.

И. И. Иванов А. Н. Коркин И. Л. Пташицкий

А. А. Маркова10 (дифференциальное и интегральное исчисления), И. Л. Пташицкого11 (приложения анализа к геометрии), Д. Ф. Селиванова12 (исчисление конечных разностей), Ю. В. Сохоцкого13 (уравнения с численными коэффициентами и теория определенных интегралов), а также физиков Д. К. Бобылева, И. В. Мещерского, астронома С. П. Глазенапа и др.

Д.Ф.Селиванов А. А. Марков Ю. В. Сохоцкий

10 Марков Андрей Андреевич (1856 - 1922 ) - известный русский математик, акад. Петербургской АН, ученик П. Л. Чебышева, положил начало современной теории марковских процессов. Труды по теории чисел, теории вероятностей, математическому анализу.

11 Пташицкий Иван Львович (1854-1912) - поляк по происхождению, ученик П.Л.Чебышева. Основные труды посвящены интегрированию в конечном виде иррациональных и эллиптических дифференциалов. Его студенческая работа, посвященная интегрированию в конечном виде алгебраических дифференциалов, была отмечена премией, учрежденной в память I съезда русских естествоиспытателей и врачей.

12 Селиванов Дмитрий Федорович (1855-1932) - русский математик, воспитанник Петербургского университета, автор учебника «Курс исчисления конечных разностей» (СПб., 1908), выступил в качестве соавтора книги «Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften». Основные труды по теории групп.

13 Сохоцкий Юлиан Васильевич (1842 -1927 ) - известный русский математик, ученик П.Л.Чебышева, впервые сформулировал и доказал теорему о поведении аналитической функции в окрестности существенно особой точки (теорему Сохоцкого). Основные труды по теории функций комплексной переменной.

Обучение в то время было платным, а материальное положение сына простого учителя гимназии было тяжелым. Первое время Филиппович, по-видимому, располагал какими-то средствами, о чем говорит хотя бы тот факт, что он в 1901 г. намеревался выехать на Родину14. Но в 1902 г. Филиппович не смог внести очередную плату за обучение и был отчислен. Вскоре (через год) он восстановился и успешно завершил все восемь семестров. Столь необходимую материальную помощь сербскому студенту оказало Санкт-Петербургское славянское общество, которое выплачивало ему стипендию.

После окончания университета, с 1904 г., Ф. В. Филиппович трудился в различных учебных заведениях Петербурга. Почти восемь лет прослужил он в Демидовской женской гимназии, часто совмещая работу в ней с преподавательской деятельностью в других учебных заведениях. Так, он преподавал математику в женской гимназии «Новая школа», Учительском институте, женской гимназии Е. И. Песковской, на курсах при высшей школе Лесгафта, на курсах электромонтеров и др. Он одним из первых начал обучать дифференциальному и интегральному исчислению воспитанниц женской гимназии.

В это время Ф. Филиппович активно сотрудничает с петербургскими социал-демократами, увлекается чтением марксисткой литературы, его любимыми писателями становятся Н. Г. Чернышевский и А. М. Горький. По поручению Петербургского социал-демократического комитета РСДПР Филиппович проводил пропагандистскую работу среди жителей Василеостровского района Петербурга и в 1905 г. был арестован за пропаганду среди моряков в Кронштадте. На его квартире было обнаружено более трех тысяч листовок, Филипповича посадили в камеру-одиночку в «Кресты». В связи с выходом «Царского манифеста» Филипповича вскоре освободили, но свою революционную деятельность он не прекратил.

Начало XX века в России характеризуется подъемом педагогической активности. Этот период насыщен организацией всевозможных комиссий и проведением различных съездов. В 1901-1902 гг. проходит Съезд директоров и попечительных советов коммерческих училищ, в 1903-1904 гг. - Третий Съезд русских деятелей по техническому и профессиональному образованию, в 1905-1907 гг. - нелегальные учительские съезды, в 1909 г. - Второй Всероссийский съезд по педагогической психологии и Первый Всероссийский съезд учителей городских училищ, в 1911-1912 гг. и 1913 -1914 гг. - I и II Всероссийские

14 ЦГИА СПб. Ф.14. Оп.З. Т.8. Д.37115. Л.6, 21.

съезды преподавателей математики, 1912 - 1913гг. - Первый Всероссийский съезд по образованию женщин и Первый Всероссийский съезд по семейному воспитанию, 1913-1914 гг. - Всероссийский съезд преподавателей физики, химии, космографии, Всероссийский съезд по вопросам народного образования и пр.

Одним из объяснений роста педагогической активности является то, что к концу XIX века в области математического образования во многих странах Запада так же, как и в России, обнаружились определенные недостатки, которые касались как содержания учебного предмета «математика», так и организации его преподавания. Во многих школах действовали учебные планы, в которых преобладали гуманитарные предметы. Огромные успехи наук в XVIII- XIX столетиях не нашли практически никакого отражения в программах средних школ. В обучении математике господствовал формализм, «согласно которому математические знания представлялись в виде определенной последовательности правил и их приложений к задачам «искусственного содержания». Основным методом изучения математики часто становилась «зубрежка»; даже математические доказательства (например, геометрических теорем) рекомендовалось запоминать наизусть. Важно также отметить, что движение за реформу математического образования в разных странах происходило на фоне движения за реформу образования вообще. В это время широкая педагогическая общественность выступает с критикой существующей системы образования, среди прочих указывая следующие недостатки: крайняя сухость и безжизненность преподаваемых в школе предметов; многопредметность и излишняя обширность школьного курса; направленность на развитие памяти ученика в ущерб уму и чувству; оторванность от действительной жизни и ее потребностей; излишняя регламентация, бюрократизм и формализм и пр.

Стремление улучшить школьное преподавание математики постепенно приобретало международный характер.

В 1899 году министр народного просвещения Н. П. Боголепов (1846-1901) издает циркуляр, в котором говорится о необходимости создания «Комиссии по вопросу об улучшениях в средней школе». Весь 1900 год Комиссия занимается активной деятельностью, вырабатывает свои предложения, которые, к сожалению, из-за трагической гибели Н. П. Боголепова так и не были внедрены в школьную практику.

В апреле 1908 года на IV Международном математическом конгрессе в Риме создается Международная Комиссия по вопросам преподавания математики (МКПМ) во главе с известным немецким мате-

матиком и педагогом Ф. Клейном (1849-1925). Русскую национальную подкомиссию возглавил академик Н.Я.Сонин (1849-1915).

Активное участие в МКПМ, а также работа по реализации тех реформ, которые проводились в России, привели отечественных педагогов к мысли о проведении Всероссийских съездов преподавателей математики. Первый такой съезд открылся 27 декабря 1911 года в Санкт-Петербурге. Через два года в Москве прошел Второй съезд. Проведению третьего съезда помешала война.

И в материалах МКПМ, и в выступлениях на обоих съездах видное место заняло обсуждение проблем формирования «функционального мышления», а также целей, принципов и методов введения в курс средней школы элементов высшей математики.

Под влиянием Международного реформаторского движения и настойчивых требований отечественных педагогов программы по математике средних учебных заведений России были обновлены. В 1907 г. начала аналитической геометрии и анализа бесконечно малых составили специальный курс реальных училищ, в 1911 г. анализ бесконечно малых стал завершающим разделом курса кадетских корпусов, в 1914 г. аналитическая геометрия вошла в программу коммерческих училищ. Готовились серьезные реформы и в гимназическом образовании.

Итак, рассматриваемый период был весьма насыщен всевозможными событиями, идеями, явлениями и фактами в области математического просвещения как в России, так и за рубежом. Энергичный Ф.В.Филиппович не мог остаться в стороне от этих событий. Он выступил с докладами и сообщениями на Первом Всероссийском съезде учителей городских училищ, на Втором Всероссийском съезде по педагогической психологии, а в работе Первого Всероссийского съезда преподавателей математики принял активное участие в качестве секретаря съезда и докладчика.

Открытию съезда предшествовала кропотливая и обстоятельная подготовительная работа Организационного комитета15, тщательно был продуман круг проблем, подлежащих обсуждению, приняты необходимые меры по информированию педагогической общественности о предстоящем мероприятии. На страницах периодической печати В. Р. Мрочек и Ф. В. Филиппович обратились с призывом:

15 Организационный комитет съезда был избран 2 сентября 1911 г. на заседании Санкт-Петербургского педагогического музея. В него вошли директор Педагогического Музея 3. А. Макшеев (председатель); профессор К. А. Поссе; профессор С. Е. Савич и генерал-лейтенант M Г. Попруженко (товарищи председателя); В. Р. Мрочек, Ф. В. Филиппович и Д. М. Левитус (секретари), Д. Э. Теннер (казначей).

«Итак, соберемся! Пусть I Съезд русских преподавателей математики объединит их хотя бы на почве критики, на почве сомнения в пригодности старых методов обучения; ведь: «сомнение - начало философии». Работа нелегкая, но тем более необходимо ее начать! И начать ее должно с личного обмена мнений и мыслей, со взаимного сообщения друг другу наболевших вопросов и попыток к их разрешению. Коллективная по существу задача учителя-воспитателя должна и рассматриваться коллективно. Пусть будут противоречия и страстные, крайние мнения! Их бояться нечего, так как средний примиряющий путь выберет за нее сама жизнь!»16

По окончании работы съезда В. Р. Мрочек и Ф. В. Филиппович подготовили сборник «Трудов». Благодаря этой книге до нас дошла живая картинка того, что происходило на съезде. Ведь в эту книгу было включено точное воспроизведение всех докладов и прений по ним. Современники высоко оценили работу, проделанную составителями «Трудов». В. Шидловский появление этой книги приветствовал словами: «Собрание большого количества материала потребовало большой работы по составлению «Трудов», но нельзя не признать, что эта работа выполнена блестяще. Первый том объемом более 600 страниц издан полно и изящно. Полагаю, что все участники Съезда преподавателей, а также те, которым лично не пришлось на нем присутствовать, будут глубоко благодарны лицам, потрудившимся над изданием «Трудов». Первый том «Трудов» составляет ценный вклад в нашу учебно-математическую литературу, так как заключает полное воспроизведение обсуждавшихся на Съезде вопросов о постановке преподавания математики в средних учебных заведениях и желательных реформах в деле преподавания этого предмета, согласно современной педагоги-

16 Мрочек В.Р., Филиппович Ф. В. К I Всероссийскому съезду преподавателей математики // Техническое и коммерческое образование. 1911. №5. С. 15-16.

ческой мысли: оживить преподавание и дать почувствовать значение математики, как «математики природы».17

Помимо того, на одном из самых первых заседаний Ф. В. Филиппович сам выступил с интересным и содержательным докладом о проблемах преподавания начал анализа. В своем выступлении убедительно и последовательно он доказывал целесообразность внедрения элементов математического анализа в среднюю школу, определил приоритетные направления и способы конструирования содержания новых идей в школьном курсе.

В 1912 г. Филиппович вернулся в Сербию. В прощальном письме, адресованном директору Демидовской гимназии, Филиппович высказывает благодарности и обращается с просьбами разного характера:

«Белград (Сербия), Таковска ул., 24.

18 августа 1912 г.

Милостивый Петр Иванович! Я имел честь еще в мае перед отъездом говорить Вам, что, по всей вероятности, я останусь на службе здесь, в Белграде. Так и оказалось на деле. Я буду в здешнем Белградском университете руководить семинаром по педагогике математики в качестве штатного доцента. Поэтому я спешу Вас известить, что я с начала этого учебного года больше не буду давать уроков во вверенном Вам учебном заведении.

Расставаясь с Демидовским учебным заведением, я все-таки считаю своим приятным долгом поблагодарить Вас за Ваше гуманное отношение к учащимся и деликатное отношение и внимание к [учащим]. Вы на каждом шагу и в каждом деле проводили эту Вашу педагогическую точку зрения, чем и вызвали не только у меня, но и у всех сослуживцев уважение и любовь. Надеюсь, что не будете в претензии на меня за эти несколько искренних слов.

Оставляя навсегда Демидовскую женскую гимназию, я хотел к Вам обратиться еще с двумя просьбами.

Я состою преподавателем математики в Демидовском учебном заведении с 20 августа 1904 г. и поэтому прошу Вас распорядиться, чтобы мне выдала канцелярия удостоверение в том, что я был преподавателем математики с 1904 г. в гимназии с правами правительственных среднеучебных заведений.

Кроме того моя просьба состоит еще в следующем. Я в Демидовском учебном заведении служу восемь лет, но по уставу гимназии я не имею права по выходу со службы ни на какое пособие. Но ввиду моего экстремального положения, я обращаюсь к Вам лично с просьбой, не найдете ли Вы возможным как директор Демидовских учебных заведений сделать распоряжение о выдаче мне пособия для покрытия расходов по перевозке моих вещей сюда и т. п. Я буду Вам очень благодарен, если Вы по мере возможности окажете мне эту услугу и этим облегчите мне этот тяжелый для меня кризис, т.е. полное переселение из Санкт-Петербурга в Белград.

Ф. Филиппович.

17 Шидловский В. Труды I Всероссийского съезда преподавателей математики // Педагогический сборник. 1913.№5.С.644.

Администрация гимназии без промедления откликнулась на просьбы сербского подданного, и вскоре ему было отправлено удостоверение и единовременное пособие в размере «двухмесячного оклада получаемой поурочной платы в сумме семьдесят рублей». Таким образом, царская Россия не только встретила, но и проводила Филипповича на Родину с отеческой заботой. Не менее теплые чувства испытывал он к России, в одном из писем к своей матери Филиппович писал, «что Россия стала для него второй Родиной»18.

На этом этапе, можно сказать, заканчивается педагогическая деятельность Филипповича и все ярче проявляется его второе жизненное кредо - известного политического деятеля. Вернувшись на Родину, он становится одним из руководителей социал-демократической партии. В 1919 г. состоялся Первый, а в 1920 г. - Второй съезд коммунистической партии Югославии, на которых Филиппович избирается секретарем ЦК (Центрального партийного вече). На следующих съездах -Третьем (1926 г.) и Четвертом (1928 г.) его избирают членом ЦК19. Стремительный взлет его политической карьеры приходится на 20-е годы. В 1920 г. - он мэр Белграда, депутат от КПЮ в Учредительной скупщине.

В 1924 г. Ф.В.Филиппович вновь приезжает в Россию (теперь уже в СССР), где продолжает заниматься политической деятельностью - работает в Международном аграрном институте (ответственным референтом) и в кузнице политических кадров из представителей западных национальностей, населяющих СССР, - Коммунистическом университете национальных меньшинств Запада. Активно участвует в международном социал-демократическом движении: входит в руководство Балканской коммунистической Федерации, избирается членом ИККИ (на Пятом конгрессе Коминтерна в 1924 г.).

В середине 30-х гг. XX века в СССР своего апогея достигают политические репрессии20, дамоклов меч завис над Филипповичем, в 1938 г. он был арестован и приговорен ВКВС СССР21 к расстрелу по обвинению в участии в контрреволюционной террористической организации. В списках, опубликованных Обществом «Мемориал» и Архивом Президента РФ, среди иностранных подданных встречается и Ф. В. Филиппович (под псевдонимом Бошко Бошкович). В записке о

18 Мовчан СП. Филипп Филиппович - исследователь новейшей истории Югославии. Дис... к. ист. н., 1971. С.9.

19 Филипович Филип // Большая советская энциклопедия. М., 1977. Изд.3. Т.27.С.394.

20 Заметим, что в 1934-1938 гг. процедура вынесения приговора имела «упрощенный порядок».

21 ВК ВС СССР (Военная коллегия Верховного суда СССР) осуществляла надзор за судебной деятельностью военных трибуналов и рассматривала отнесенные к ее ведению уголовные дела.

нем говорится, что Филиппович «с 1929 г. являясь членом антисоветской троцкистской организации, связанной с антисоветской организацией в Коминтерне, прибыл по ее заданию в СССР под видом партработника для проведения предательской контрреволюционной деятельности среди югославян, находящихся в СССР»22. 8 апреля Филиппович был расстрелян и похоронен на «Коммунарке». Сравнительно скорая реабилитация (3 октября 1957 г.) позволяет сделать вывод, что все эти обвинения, как и сам приговор, явились роковой ошибкой.

Таковы основные вехи, включающие в себя педагогическую деятельность, политическую карьеру и трагическую кончину этого удивительного человека. А теперь обратимся к обзору его педагогического наследия.

Педагогические труды Ф. В. Филипповича

Самым значительным трудом Филипповича явилась книга «Педагогика математики», написанная им в соавторстве с В. Р. Мрочеком и вышедшая в 1910 г.

Изданию «Педагогики математики» предшествовала тщательная и длительная подготовка. Поскольку тогда еще не было прецедента издания работ такого рода на русском языке, авторы были вынуждены обращаться преимущественно к зарубежным источникам. С этой целью они в течение двух лет использовали иностранные отделы Санкт-Петербургской публичной библиотеки и библиотеку и коллекции Педагогического музея. Мрочек и Филиппович не предполагали скоро издать книгу, а тщательно собирали материал. Стимулом для ее, может быть, даже преждевременной

22 http://stalin.memo.ru/spravki/7-199.htm

публикации послужил «сочувственный прием, какой встретили доклады и лекции на Втором Всероссийском съезде по педагогической психологии, на Первом Всероссийском съезде учителей городских училищ и на Санкт-Петербургских летних учительских курсах»23. Авторы надеялись продолжить работу теперь уже над вторым томом, в котором предполагалось рассмотреть дополнительные вопросы алгебры и тригонометрии, а также аналитическую геометрию, дифференциальное и интегральное исчисления, начала теории вероятностей, систематический курс геометрии (критика основ, логика и аксиоматика, содержание научного и школьного курса, начала синтетической и начертательной геометрии) и, наконец, методы математики и их роль во втором цикле24. Однако второй том так и не вышел.

С целью дать общее представление о содержании первого тома книги приведем его оглавление:

« Предисловие.

Часть I.

Глава I. Эволюция педагогики математики (VI ст. до P. X. - XV ст. п. P. X.).

Глава II. Эволюция педагогики математики (1453 -1909 гг.)

Глава III. Наглядная и лабораторная методы.

Глава IV. Психология, педагогика и школа.

Глава V. Основные принципы педагогики математики.

Литературный указатель к первой части.

Часть II.

Глава VI. Обоснования начального курса арифметики (исчисления).

Глава VII. Обоснования начального курса геометрии.

Глава VIII. Наглядная геометрия.

Глава IX. Целые и дробные числа.

Глава X. Решение треугольников.

Глава XI. Обоснования начального курса алгебры.

Глава XII. Положительные и отрицательные числа.

Глава XIII. Уравнения первой степени.

Глава XIV. Квадратные уравнения.

Заключение25.

23 Мрочек В., Филиппович Ф. Педагогика математики. Исторические и методические этюды. Т.I. 1910.С.V.

24 Мрочек В., Филиппович Ф. Указ. соч. С.374.

25 Мрочек В., Филиппович Ф. Указ. соч. С.III.

Литературный указатель ко второй части.

В. Р. Мрочек и Ф. В. Филиппович не сочли нужным уточнять личное авторство каждой из глав. Однако ряд косвенных фактов (в том числе публикации каждого из них, выполненные без соавторства) позволяют сделать некоторые предположения, например, о том, что авторский вклад Филипповича в главы, посвященные методике изучения геометрии, значительно выше, чем Мрочека, и напротив, очевидно, что над главой по методике тригонометрии («Решение треугольников») преимущественно потрудился Мрочек. К сожалению, в отношении авторства других разделов книги нельзя высказать столь однозначного мнения, поэтому в дальнейшем часто речь будет идти о совместном вкладе Мрочека и Филипповича в развитие методики преподавания математики.

В книге «Педагогика математики» авторы одними из первых в русской литературе указывают на необходимость деления педагогики математики на теорию и методику. Книга явилась пионерской среди теоретико-методических работ на русском языке, поскольку в ней рассматривались вопросы как общей, так и частной методики математики, как ее исторические, психологические и философские стороны, так и конкретные практические (рецептурные) аспекты. Значимость этого труда для отечественной методической мысли настолько велика, что о нем надо поговорить отдельно и более обстоятельно.

Отдавая явное предпочтение лабораторному методу обучения математике, развитию самодеятельности учащихся, Филиппович подкреплял свои идеи конкретными практическими разработками. Он составил целый ряд наглядных и лабораторных пособий по математике: «Наглядная геометрия в развертках. Тетрадь для классного и домашнего пользования с развертками, задачами и рисунками»; «Дробный счетчик. Наглядно-лабораторное пособие при изучении действий над простейшими дробями»; «Начальная геометрия в развертках». Вместе с В. Мрочеком Ф.Филиппович изготовил несколько коллекций геометрических тел26.

Ф. Филиппович являлся автором ряда статей по реформе математического образования в периодической печати.

26 Мрочек В., Филиппович Ф. 16 геометр, разборных тел из 55 частей, в деревянном ящике с гнездами на все тела; Мрочек В., Филиппович Ф. 10 разверток геометр, тел, большого формата (красный картон на коленкоре, с металлическими застежками). На развертках нанесены геодезические линии.

В 1909 г. В. Мрочек и Ф. Филиппович выступили с докладом «Реформа преподавания математики, ее причины и история» на Первом Всероссийском съезде учителей Городских училищ. Этот доклад вызвал большой интерес у слушателей и вскоре был опубликован отдельной брошюрой. Через год доклад был переработан и уже в обновленном варианте появился в журнале «Русская школа». Основные идеи этой работы получили развитие в книге «Педагогика математики», поэтому нет надобности проводить анализ этого сочинения. Другое дело, статья Ф. Филипповича «К реформе обучения математике», опубликованная в 1911 г. в журнале «Техническое и коммерческое образование». Помимо хорошего аналитического обзора хода реформ, Ф. Филиппович поместил здесь тексты новых программ по математике, разработанных в духе веяний времени. Одна программа предназначена для взрослых «применительно к нуждам народных университетов», другая - для восьмиклассной гимназии. Более того, Филиппович сопроводил программы своими методическими замечаниями. Насколько разительно эти программы отличались от официальных министерских, читатель может убедиться, самостоятельно изучив статью, которую мы сочли необходимым привести практически без изменений.

Нельзя не отметить кропотливую и своевременную работу Филипповича над составлением библиографий. Почти все свои сочинения Филиппович сопровождал детальными списками литературы. А в 1912 г. по поручению Выставочной комиссии при Организационном комитете Первого Всероссийского съезда преподавателей математики Филиппович составил «Указатель учебной математической литературы». Эта работа отличалась как от русских, так и иностранных изданий подобного рода тем, что за основу распределения материала автор принял «исключительно педагогические соображения». Иначе говоря, Филиппович составил первый в России библиографический указатель именно по теории и методике обучения математике.

В этом же, 1912г., выходит перевод Филипповича книги «Методика геометрии», написанной в духе идей Ф. Клейна известным в то время немецким математиком П. Трейтлейном. В предисловии к немецкому изданию писал: «Преподаватель средней школы не обязан соглашаться во всех деталях с Трейтлейном. Но я с удовольствием отмечаю, что я во всем изложении встречаюсь с теми же принципами, ко-

торым издавна следовал в моей преподавательской деятельности»27. Поэтому выбор книги для перевода вполне закономерен, т.к. Филиппович являлся ярким сторонником реформаторских идей в области математического образования. В предисловии к русскому изданию Филиппович ясно указывает на причины, побудившие его взяться за перевод и редактирование книги:

«Вопросы обучения математике захватили в последнее время широкие круги педагогического мира. Со всех сторон идут нападки на устарелые приемы обучения математике, и - наряду с другими предметами школьной математики - геометрия тоже нуждается в пересмотре и улучшении программ и способов преподавания. В последние годы стремление к реформе преподавания геометрии делается всеобщим. Во многих культурных государствах уже пришли к благополучному разрешению вопроса о реформе обучения геометрии.

Ввиду всего этого я и нашел вполне целесообразным и своевременным перевод книги П. Трейтлейна, чтобы показать на примере, что именно разумеют в Германии реформаторы под реформой обучения геометрии, и каким образом можно осуществить ее, начиная с низшей ступени обучения. Русское издание книги П. Трейтлейна покажет и русскому педагогическому миру, что новые идеи не остаются только на бумаге, в программах и пожеланиях, но что они проводятся на практике, да еще с прекрасными результатами. Кроме того, и бедность русской литературы в области методики геометрии побудила меня взять на себя инициативу издания книги П. Трейтлейна и редактировать ее»28.

Издание этой книги для России, действительно, было своевременным, книга имела популярность и была переиздана в 1916 г.

27 Трейтлейн П. Методика геометрии. Петроград, 1916. С.3-4.

28 Трейтлейн П. Методика геометрии. Петроград, 1916. С.1.

НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ ИДЕИ Ф. В. ФИЛИППОВИЧА

1. Вопросы общей методики преподавания математики

Истоки педагогики математики и ее связь с другими областями знаний

Филиппович и Мрочек указывают на узость распространенного в то время понимания смысла методики математики как «сборника готовых рецептов, опирающегося на личный опыт того или иного практика-учителя»1, и считают более подходящим здесь термин «педагогика математики». Они определяют истоки педагогики математики и ее связи с другими областями знаний. Это - история математики, история культуры и школы, история обучения математике, философия и методология познания. Спектр перечисленных связей весьма оригинален, хотя и недостаточно полон2. Мрочек и Филиппович еще не дают пока четкого определения педагогики математики, но в самых первых строках указывают, что перед педагогикой встал новый вопрос «как делать?». Таким образом, авторы огласили один из глобальных вопросов классической триады3.

Вообще, вся первая часть «Педагогики математики» содержит общие положения исторического, психологического и методологического плана. Прослеживая эволюцию педагогики математики (VI ст. до н.э. - начало XX ст.), авторы демонстрируют, как менялись цели обучения, «как эволюция преподавания зависела от условия окружающей среды и насколько медленно эволюционировали приемы обучения, начиная с первой греческой школы»4:

Школа Греции до реформы V в. до н. э. преследовала цель - подготовить патриотов-граждан. Последующая демократизация Греции привела к приоритету практических целей в обучении (исключение -Платон, который указывал на громадное практическое значение математики и астрономии, подчеркивал их воспитательное значение для мира идей).

Средневековая школа имела целью образование хорошего духовенства:

1 Мрочек В., Филиппович Ф. Указ. соч. C.V.

2 Современные методисты указывают на следующие связи методики математики как раздела педагогики: с философией, математикой, логикой, психологией, биологией, кибернетикой, искусством [См. например: Оганесян В.А., Колягин Ю.М. , Луканкин Г.Л., Санинский В.Я. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. М.: Просвещение, 1980. С. 13]

3 «Зачем?», «Что?», «Как?».

4 Мрочек В., Филиппович Ф. Указ. соч. С.2.

«культ памяти - единственная цель обучения и вместе с тем его метода».

В Германии в XVII столетии главная цель заключается в подготовке офицеров, а в XVIII столетии - придворных, гражданских и военных чинов.

Начало XIX в. в Пруссии - конечная задача учебных учреждений - развивать в питомцах чувство преданности, верности и покорности государю и государству, поэтому практические цели уходят на второй план.

Основная концепция повествования заключалась в иллюстрации «беспомощности программ самих по себе» и демонстрации важности влияния на них политических и социальных условий5.

Концепция целеполагания

Авторы серьезно задумываются и над другим вопросом «Зачем учить математике?». Отвечая на этот вопрос, они приходят к идее дифференциации целей на три группы: практические, образовательные и воспитательные.

«Цель математики, как учебного предмета, была определена нами, как ознакомление и воспитание. Эту мысль можно развить так.

а) Практическая цель - имеет в виду научить применять математику к житейским вопросам; научить применять математические методы и выводы к изучению явлений природы.

б) Образовательная цель - далеко не столь [важно] развить формальное мышление, сколько дать мир идей, оперируя над материалом, имеющим научную и культурную ценность. ..

в) Воспитательная цель - приучить к экономии мышления, к сосредоточиванию внимания целесообразнейшим образом; воспитать осторожность суждения, его последовательность и достаточную обоснованность»6.

Заметим, что именно такой подход к дифференциации целей был взят за основу и развит советскими педагогами7.

Тот смысл, который авторы вкладывают в содержание последней группы (группы в) целей (развитие качеств мышления и т.п.), сегодня правильнее было отнести к развивающим целям. Поэтому, сегодня мы можем сказать, что термин «воспитательная цель» здесь употреблен не совсем удачно. Вообще, во главу угла дореволюционные педагоги

5 Мрочек В., Филиппович Ф. Указ. соч. С.51.

6 Мрочек В., Филиппович Ф. Указ. соч. С.117.

7 См.: Оганесян В.А., Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Санинский В.Я. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. М.: Просвещение, 1980. С. 14.

ставят, совершенно очевидно, именно развивающие цели обучения математике (хотя этот термин и не употребляют). Они пишут:

«Памятная метода обучения была возможна лишь тогда, когда каждый образованный человек мог удержать в памяти все, что было известно человечеству. Но времена ходячих энциклопедий канули в вечность. Теперь задача умственного воспитания не в том, чтобы голову превратить в энциклопедию, а в том, чтобы сообщить личности те приемы и те формулы, при помощи которых откроются двери всякой науки. Не быть энциклопедией, но уметь разбираться в энциклопедиях, не заучивать формулы, но знать, где их найти и как ими пользоваться - вот задача современного образования»8.

Характеристика математики как учебного предмета

Горячо и последовательно Ф.В.Филиппович отстаивает позицию, согласно которой учитель математики должен обладать глубокими познаниями в области педагогики и психологии. Он констатирует: «Мы, педагоги, очень много грешим, не зная хорошо психологии детского возраста, и часто смешиваем науку в чистом ее виде с учебным предметом»9. Недопустимость смешения понятий математики - науки и математики - учебного предмета обоснована с разных позиций, ряд из которых и выявлен в книге «Педагогика математики». Разграничение указанных понятий здесь проиллюстрировано через разные характеристики: содержание, объем, цели, систему, пути, адепты, которые сведены в одну таблицу10:

Наука

Учебный предмет

Содержание

Бесконечное

Ограниченное

Объем

Бесконечный

Ограниченный

Цели

1)Познание, 2)Открытие

1)Ознакомление, 2)Воспитание

Система

Переменная

Определенная

Пути

Методология науки

Методика уч. предм.

Адепты

Взрослые, подготовленные

Дети и юноши, начинающие

8 Мрочек В., Филиппович Ф. Указ. соч . С. 100.

9 Филиппович Ф. К реформе обучения математике (с приложением новых примерных программ) // Техническое и коммерческое образование. 1911. №3. С. 17.

10 Мрочек В., Филиппович Ф. Указ. соч. С. 116.

Наглядность и лабораторный метод обучения математике

Основываясь на том, что всякое познание начинается с чувственных восприятий, а «для математики особенно восприимчивой оказывается зрительно-моторная и зрительно-слуховая память», авторы делают вывод о большой роли «наглядной методы именно в обучении математике». Вообще наглядному и лабораторному методам придается здесь большое значение, выявляются корни специфики отношения к наглядной методе у греков, индусов, арабов, европейцев. В сущность наглядной и лабораторной методы вкладывается следующий смысл:

«Наглядная метода состоит из двух главных моментов: а) учитель показывает предмет (в целом или его частях), о котором идет речь, и в) лично проделывает опыты. В большинстве случаев ученики ограничиваются зрительными восприятиями, в лучшем случае могут приобрести подражательные навыки.

Лабораторная метода дает три момента: а) учитель показывает предмет, Ь) ученики знакомятся с ним каждый в отдельности (осязание, лепка, черчение и рисование, изготовление из папки и т.п.), с) ученики проделывают самостоятельные опыты. При лабораторной методе роль учителя сводится к регулированию и пояснению индивидуальных работ учащихся. Таким образом, лабораторная метода приводит к самостоятельным навыкам»11.

Классификация определений

Практику изучения определений в школе авторы считают «больным вопросом учебных предметов», аргументируя эту резкую оценку следующими словами:

«С легкой руки Платона определения привились в науке, а Евклид закрепил их в математике. С тех пор принято каждый учебник начинать определениями. Не говоря уже о том, что основной психологический процесс заканчивается, а не начинается определениями, необходимо еще различать типы определений и их сравнительную пригодность в учебном предмете.

Собственно, составители наших учебников держатся старой точки зрения, что определение раскрывает природу вещи. Это совершенно неверно... Можно согласиться с Кондильяком, что определение есть анализ, но только анализ слова, а не вещи. Так, определение окружности есть анализ слова «окружность»... Определения не могут служить посылками и из них нельзя выводить следствий -это основное положение логики в одинаковом пренебрежении у составителей учебников и у преподавателей»12.

Одними из первых в русской методической литературе они классифицируют определения по трем типам: диалектико-догматические, генетические и генетически-психологические:

11 Там же. С. 105.

12 Мрочек В., Филиппович Ф. Указ. соч. С. 123.

«1. Диалектико-догматические - начинаются творительным падежом: «Числом называется результат счета единиц», «Радиусом называется прямая13, соединяющая центр с окружностью» и т.п. Ими пестрят наши учебники. В результате получается навязывание понятий и создается тот умственный склад, при котором царит знаменитое «Credo quia absurdum»14.

2. Генетические или определения посредством указаний ближайшего рода и видовых отличий (definitio per genus et differentias). Являясь вполне научными, эти определения связаны тесно с классификацией науки и - если наука динамическая, то динамически и ее определения, т.е. постоянно изменяются. Но даже и помимо своей динамичности генетические определения не подходят к условиям учебной работы: указать род понятия, подлежащего определению, и его видовые отличия, т.е. характерные признаки- задача трудная, требующая большой систематизации материала, гораздо большей, чем это мыслимо в каждом учебном предмете. Следовательно, от генетических определений следует отказаться.

Генетические определения на первый план выдвигают род определяемого предмета. Например, «многоугольник, имеющий три стороны, называется треугольником», или «число, получаемое при сложении, называется суммою». За ним идут видовые признаки: «имеющий три стороны», «получаемое при сложении». Характер генетических определений таков, что здесь необходимо раньше установить родовые понятия: многоугольник и число, т.е. в изложении учебного предмета идти дедуктивным путем, что совершенно недопустимо, по крайней мере, в начальных и средних классах школы.

3. Генетически-психологические определения посредством обобщения (definitio per generationem). Они вырабатываются путем постепенного охватывания предмета, основываясь на последовательности психологических переживаний; они приводят к сознанию необходимости условного обозначения какого-либо понятия- и этот элемент условности необходимо всегда выдвигать на первый план при построении определений. Лучше всего, поэтому начинать их словом «если». Для иллюстрации приведем три определения радиуса.

Радиусом называется прямая, соединяющая центр с окружностью (диал.-догм.).

Прямая, соединяющая центр с какой-либо точкой окружности, называется радиусом (генет.).

Если мы соединим центр с какой-либо точкой окружности, то получится отрезок прямой; его условились называть радиусом (генет.-психол.).

Нетрудно установить сравнительное достоинство трех приведенных здесь определений, что предоставляем сделать читателям»15.

Безусловно, современная классификация определений гораздо точнее и полнее. Сегодня методисты-математики различают следующие виды определений: родо-видовые, генетические, индуктивные, аксиоматические и др. В данной же работе, по сути, идет речь не

13 В дореволюционных учебниках понятия прямой и отрезка, окружности и круга обычно смешивались.

14 Credo quia absurdum est (лат.) Верю, потому что невероятно (нелепо).

15 Мрочек В., Филиппович Ф. С. 124-125.

сколько о виде определения понятия, а скорее о способе формулировки определения.

В первых двух приведенных примерах имеется случай родовидового способа определения радиуса, а в третьем - попытка генетического определения.

2. О преподавании арифметики

Способы формирования понятия о числе

Несомненный интерес представляют методические замечания авторов по поводу изучения конкретных разделов, тем и понятий. Они обращают внимание на два способа формирования представления о числе: «под видом кардинального числа, если мы обращаем внимание на количество, и под видом ординарного числа, определяющего порядок или положение данного предмета»16. Сделаем пояснения к приведенной цитате. Для этого используем конкретное число 2. В первом случае 2 - это некоторое общее свойство у групп множеств (глаза, руки, ноги человека и т.п., т.е., характеристика множеств, состоящих из двух элементов), а во втором случае 2 - это число, следующее за единицей. Исходя из логических и исторических аргументов показывается, что «в основе числовых представлений лежат числовые восприятия, получаемые при созерцании групп, постоянно встречающихся в природе, в одном и том же составе элементов (группы: 2,3,4,5)»17, что «идея порядка должна быть подчинена идее количества»18 и, таким образом, в методике обучения «созерцание основных чисел» должно быть первым, а «усвоение порядка чисел - вторым результатом»19.

Методика изучения дробей

Ряд неожиданных и интересных идей высказывается и по поводу изучения дробей. Методика изучения дробей, по мнению авто-

16 Там же. С. 138.

17 Там же. С. 144.

18 Там же. С. 138.

19 Там же. С. 146.

ров, распадется на три основных аспекта, заключающихся в ответах на вопросы:

1) что называть дробью,

2) в каком порядке изучать дроби,

3) как строить курс дробей.

Приведем рассуждения В. Р. Мрочека и Ф. В. Филипповича: «Во-первых, в настоящее время установлены термины: десятичное число и обыкновенная дробь. Они приняты даже Ученым Комитетом нашего Министерства народного просвещения. Этим, в сущности, предрешаются дальнейшие вопросы, так как для методики исчисления важно лишь связать понятия о десятой, сотой, тысячной с понятиями о десятке, сотне, тысяче и связать возможно теснее.

Во-вторых, десятичные числа необходимо изучать раньше обыкновенных дробей. Этого требуют соображения:

a) исторические - шестидесятиричные дроби существовали раньше обыкновенных, записывались без знаменателя и были заменены в 1585г. десятичными, так как и система нумерации стала десятичной; между тем теория обыкновенных дробей развивалась очень медленно;

b) психологические - прямая связь с метрической системой, с распространением нумерации вправо от разряда единиц, непосредственный переход от целых чисел к десятичным при делении - все это вместе взятое заставляет учащихся смотреть на десятичные числа как на числа, а не дроби, т.е. не требуется усвоения новых понятий

c) методические - несравненно легче производить действия над обыкновенными дробями, если же рассматривать затем десятичную дробь, как первый этап и простой переход к обыкновенной дроби, то этим соблюдается индукция в обучении;

d) логические - понятие «дробь» есть понятие двузначное. Если мы имеем дело с четвертью аршина или половиною яблока, то такие конкретные дроби суть только части целого, в свою очередь, тоже целые: в тех пределах, в каких мы можем конкретно «дробить» индивидуумы, мы всегда получаем лишь относительные дроби; это - лишь способ выражения. Совершенно иное понятие связано с представлением об отвлеченной дроби. Так, — - это пара чисел целых, 3 и 4, над которыми мы должны произвести действие деления, но на самом деле его не выполняем; желая однако ввести результат требуемого деления в дальнейшие выкладки, мы условно обозначаем этот результат символом —, сохраняя за собой право выполнить деление потом, если это окажется нужным. Таково положение этого вопроса в науке. Ясно, что излагать теорию дробей детям, по меньшей мере, напрасный труд.

В-третьих, из изложенного видно, что курс «дробей» должен распадаться на три цикла. В первом - надо познакомить детей с простейшими случаями дробления конкретных «единиц» (см. программу курса); эти четвертушки, половинки, восьмушки свободно усваиваются детьми, также как и простые выкладки над ними. Во втором - научить производить действия над десятичными конечными числами. В третьем- изложить не теорию обыкновенных дробей, а лишь услов-

ные определения оперирования с символами — и — , на числовых, а затем и буквенных примерах, поскольку эти операции необходимы в курсе уравнений»20.

Как видим, авторы в схеме изучения темы склонны придерживаться последовательности: сначала десятичные дроби, затем обыкновенные. Это предложение являлось в те времена весьма смелым высказыванием, - достаточно указать на официальные программы и популярные учебники А.П.Киселева, в которых был реализован другой порядок - раздел, посвященный обыкновенным дробям, предшествовал разделу «Десятичные дроби». Поэтому понятно, почему авторы так много внимания уделяют обоснованию порядка изучения дробей и детально описывают методику изучения десятичных дробей, которая, по сути, «не привлекает» представления об обыкновенных дробях:

«Переход от целых чисел к десятичным можно выполнить при помощи ряда целесообразно подобранных задач, вроде нижеследующей.

Куплено 12 аршин сукна за 54 рубля; по чем платить за аршин? Эту задачу полезно решить тремя способами.

Первый способ. Разделим 54 на 12, тогда получим в частном 4 и в остатке 6:

Остаток 6- это 6 рублей; обращая рубли в полтинники, получаем 12 полтинников и продолжая деление, находим 1 полтинник, т.е. частное = 4 р. 1 полт.

Второй способ. Остаток 6 рублей обращаем в гривенники, получаем 60 гривенников и делим на 12, ответ - 4р.5 грив.

Третий способ. Сперва обращаем 54 рубля в копейки, а затем делим: 5400:12=450. Ответ- 450 коп.

Теперь запишем все три ответа отдельно:

4 р. 1 полт.

4р. 5 грив. 450 коп.

Мы видим, что, несмотря на различную запись, они равны между собой, так как их можно заменить одной записью: 4 р.50 к.

Освоив детей с этими внешними различиями, нетрудно идти дальше. Если в задаче будет поставлено условие: выразить ответ в рублях, то от выражения 4р.5 грив, мы сразу переходим к выражению 4,5 р., если условимся, что после запятой будет стоять гривенник (десятая часть рубля)21.

В дальнейшем - распространение нумерации вправо явится вполне доступным, как естественное развитие условия.

20 Мрочек В.Р., Филиппович Ф.В. Указ. соч. С. 246-248.

21 Здесь Мрочек и Филиппович делают весьма любопытное и ценное замечание: «Если дети вместо запятой предложат свой знак, то с этим надо сначала согласиться, так как: Стевин (1585) писал 2 5 (0) 3 (1) 7 (2) 9 (3), Бриггс (1616) - 25 379; позже - 25| 379 или 25,3' 7" 9'" или 25.379; точка вместо запятой до сих пор употребляется в Англии, Сербии и других государствах.

Сложение и вычитание десятичных чисел не представляет затруднений. В умножении, напротив, следует приостановиться, начав с простых случаев умножения десятичного числа на целое и целого на десятичное (сводя к первому), перейти к конкретным примерам (рубли, метры) перемножения двух десятичных чисел»22.

Введение иррациональных чисел

Вопрос об иррациональных числах излагается здесь весьма доступным образом, сопровождается рядом полезных пояснений, поэтому этот материал заслуживает более детального изучения. Прежде заметим, что, во-первых, изложение ведется с опорой на геометрические представления, во-вторых, дается пропедевтика аксиомы непрерывности множества действительных чисел, в-третьих, разъясняется суть несоизмеримости с методологической точки зрения. Проиллюстрируем эти замечания подробной цитатой:

«Лучше всего начать с исторического примера, ^. Построив прямоугольный треугольник с катетами по 1, откладываем гипотенузу на оси абсцисс, ее конец лежит, как видно, между 1 и 2, т.е.

Разделив теперь промежуток между 1 и 2 на 10 частей, мы видим, что

Проверка:

Теперь разделив еще на 10 частей промежуток между 1,4 и 1,5; мы видим, что конец гипотенузы лежит между 1,41 и 1,42, следовательно,

Действительно,

Дальнейшие деления промежутка между 1,41 и 1,42 при нашем масштабе невозможны; но если воспользоваться лупой и при ее помощи нанести такие деления, то мы получим следующие приближения, а именно,

Проверка:

показывает, что значение

1,414 точно до 0,1 %.

Пользуясь лупой, или же взяв покрупнее масштаб, мы можем продолжить наши вычисления, но наступит момент, когда учащиеся спросят: как долго это может продолжаться? Предложите им тогда убедиться аналитически в бесконечности такого процесса, а именно, докажите им, что не существует такого дробного числа, квадрат которого равнялся бы 2. Пусть

где а и b целые взаимно-простые числа. Тогда

но дробь

тоже несократима, и мы

22 Мрочек В.Р., Филиппович Ф.В. С.248-249.

пришли к нелепости: целое число равно несократимой дроби. Следовательно, предположение, что есть дробное число, невозможно. Остается допустить, что это число особого рода, пока нам неизвестного. Теперь выступает на сцену аксиома Кантора: надо показать, что такие числа действительно возможны, что они соответствуют реальным объектам. Лучше всего взять непрерывную кривую и показать, что проекции всех ее точек на ось Х-ов должны выражаться числами; одни из перпендикуляров попадут на целые деления, другие - на дробные, но будут и такие, для которых необходимо допустить существование особых чисел -несоизмеримых. Таким образом, непрерывность геометрической области будет связана с непрерывностью арифметической области.

После этого полезно указать учащимся, что несоизмеримость - свойство нашей системы счисления, а не тех величин, какие мы рассматриваем: абсолютной несоизмеримости нет. Возьмем пример. Отношение длины окружности к длине диаметра есть величина постоянная, но число я, ее выражающее, в нашей системе счисления является несоизмеримым. Если бы у нас была иная, например, такая система, где единицы писались бы на своем месте, а на втором месте тот же знак выражал бы число не в 10 раз, а в л раз больше, и т.д., то тогда в такой системе числа, кратные л; , были бы соизмеримы, а все соизмеримые числа нашей системы стали бы несоизмеримыми»23.

3. О преподавании геометрии

О необходимости начального курса геометрии, его содержании и наглядно-методическом обеспечении

Налицо особый интерес Ф. В. Филипповича к методике обучения геометрии. Этот интерес вполне объясняется спецификой предмета геометрии, позволяющей в большей степени, чем в других разделах математики, использовать разнообразные средства наглядности. А как уже было отмечено выше, Филиппович испытывал постоянную тягу к наглядным и лабораторным (практическим) методам обучения. Согласно его концепции, предполагается изучение геометрии в два цикла. «В первом цикле, - пишет автор, - должна преобладать интуиция, наглядность. Второй цикл геометрии содержит только необходимое число теорем и задач, составляющих неразрывную логическую цепь»24. По сути, автор говорит о наглядном курсе геометрии и курсе, в определенной степени, систематическом.

Горячо и убедительно доказывает Ф. В. Филиппович целесообразность начального (основного) курса геометрии (для младших классов - средней, старших - народной школы, и даже для взрос-

23 Мрочек В. Р., Филиппович Ф. В. Указ. соч. С. 369-370.

24 Филиппович Ф. В. К реформе обучения математике. Указ. соч. С. 21.

лых - слушателей в народных университетах), сопоставляются разные способы построения начального курса геометрии, выявляются требования к такому курсу и его содержание:

«Курс геометрии, какой бы системы он ни держался, должен отвечать следующим требованиям:

Во-первых, чтобы он был построен на основании психологии детского возраста, а не взрослого человека. Таким образом, он будет отвечать физиологическим потребностям детей. Наглядная геометрия должна быть как бы переплетена с ручным трудом, где ученики будут изготовлять модели геометрических тел, обучаться употреблению инструментов для составления различных геометрических чертежей, пользоваться лепкой и т.п. Тут будет предоставлен широкий простор лабораторной методе.

Во-вторых, развивать пространственные представления. Всем нам известно, как у большинства учащихся в средних и высших учебных заведениях очень плохо развита интуиция трехмерного пространства; им даже очень трудно представить себе довольно простые отношения в пространстве. А между тем этот факт является крупным пробелом не только для техников и инженеров, но и для естественников, физиков и др. Несмотря на то, что мы живем в мире трех измерений, до сих пор все учебники геометрии начинают с планиметрии и задерживают мышление наших учеников в одной плоскости почти на 2 года, и только под конец курса усиленным темпом проходят стереометрию. Таким образом центр тяжести падает на планиметрию, и отсюда вытекают все те плачевные следствия, которые потом отражаются так печально на бедноте пространственных представлений. Ввиду всего этого геометрия должна проходиться при соединенном изложении стереометрии и планиметрии с начала до конца.

В-третьих, развивать идею функциональной зависимости (закономерности). Учение о функциях есть центральное учение всей математики, потому что функциональная зависимость есть математическое выражение великого закона изменяемости отношения всех явлений; установление ее есть сущность и конечная цель всей науки. Поэтому мы считаем, что обстоятельное понятие о функциях должно составлять неотъемлемую принадлежность всякого математического преподавания; понятие о функциях должно проходить красной нитью через учебный материал не только старших классов, но и средних и младших. Ни один отдел математики не представляет такого благородного материала для ясного изложения и усвоения идеи функциональной зависимости, как геометрия. Благодаря наглядности пространственных величин, их непрерывным изменениям и легкости изображения этих процессов предоставляется наилучшая возможность, чтобы ученики скорее всего и вернее всего усвоили понятие о функциональной зависимости величин.

В-четвертых, давать материал для отвлеченного (дедуктивного) курса геометрии и математики вообще и подготовлять учеников к необходимости доказательства геометрических истин. Крайне важным является внушение учащимся сознания пользы и потребности логического рассуждения, чтобы свести до минимума число опытов. Например, измеряя много раз внутренние углы треугольника, находят в сумме числа, близкие к 180°, но только при помощи обычного доказательства можно установить точное число 180°.

Этот пример показывает, что опыт дает предчувствие истины, но недостаточен, чтобы ее узнать в точном виде. Следовательно, если возможно при помощи логического рассуждения проявить эту истину, или укрепить то, что, повидимому, давал опыт, то следует это сделать. Равным образом легко показать практическое значение чисто логического метода, подчеркивая то обстоятельство, что он рассеивает всякое сомнение в результатах. Итак, и в наглядной геометрии, кроме наблюдения и опыта, мы считаем целесообразным давать простые доказательства неочевидных (ученикам) истин. Таким образом наглядная геометрия постепенно переходит в умозрительную, так что мы не можем поставить резкую грань между наглядной и умозрительной геометрией- т.е. сказать, где кончается первая и где начинается вторая.

В-пятых, дать известный запас геометрических сведений для практических приложений в жизни. Именно эти небольшие практические приложения дают нам в руки отличное средство еще более усилить воспитательное значение математики.

Филипповича постоянно интересовала проблема определения оптимального объема содержания начального курса геометрии. Краткое содержание курса было приведено в книге «Педагогика математики». Затем идеи наглядного курса геометрии получили развитие в программах для народных университетов и восьмиклассной женской гимназии25, к составлению которых был причастен исследователь. Во всех трех вариантах, несмотря на некоторые отличия, присутствует единое ядро вопросов:

«Куб. Квадраты, прямые углы, ребра и вершины. Построение развертки поверхности куба. Горизонтальные поверхности. Параллельные грани. Вертикальные плоскости. Идея геометрического равенства. Три геометрических измерения. Площадь квадрата. Объем куба. Квадратные и кубичные меры, метрические и русские.

Прямоугольный брус (параллелепипед). Построение развертки поверхности и описание прямоугольного бруса. Четырехугольники. Площадь прямоугольника.

Объем прямоугольного бруса. Соотношение между объемом и весом.

Углы. Понятие об угле. Вершина и стороны угла. Название угла. Транспортир. Построение и измерение углов с помощью транспортира.

Треугольная призма. Построение развертки поверхности и описание треугольной призмы. Треугольники. Площадь треугольника. Объем треугольной призмы.

Построение некоторых плоских фигур и их функциональное изменение при изменяемости их элементов, как по величине, так и по положению.

Симметрия по отношению к линии, точке и плоскости. Примеры.

Правильные пятиугольные и шестиугольные призмы. Рассмотрение правильных многоугольных призм. Правильные многоугольники, их построение. Развертки поверхностей многоугольных призм. Объем правильной многоугольной призмы.

25 Филиппович Ф.В. К реформе обучения математике. С.27 №4. С.С.23-26 (См. также Приложение)

Цилиндр. Рассмотрение цилиндра. Кривые поверхности и линии. Окружность, винтовая линия. Три приема черчения [вычерчивания] окружности. Круг. Эллипс. Развертка поверхности цилиндра. Длина окружности. Площадь круга. Объем цилиндра. Площадь эллипса.

Треугольная пирамида. Рассмотрение треугольной пирамиды. Двугранные и многогранные углы. Развертка поверхности треугольной пирамиды. Объем треугольной пирамиды.

Правильные многоугольные пирамиды. Построение разверток поверхностей и описание правильных многоугольных пирамид. Объем правильной многоугольной пирамиды.

Усеченная пирамида. Описание, построение. Первоначальные сведения о подобии фигур. Площадь трапеции. Объем усеченной пирамиды.

Конус. Построение развертки поверхности и описание конуса. Сектор. Парабола и гипербола. Площадь сектора. Объем конуса.

Шар. Описание шара. О черчении географических карт. Поверхность шара. Объем шара.

Теорема Пифагора и ее приложения к задачам на построение и вычисление. Подобие фигур. Начала землемерия»26.

Как видим, курс построен на принципе фузионизма стереометрии и планиметрии. Содержание этого курса подкреплено разработанной методикой изучения конкретных разделов, в которой в высшей степени раскрыты возможности использования наглядности и лабораторного метода в обучении математике. Более того, к данному разделу математики Филипповичем были составлены наглядные и лабораторные пособия «Начальная геометрия в развертках»; «Наглядная геометрия в развертках», «16 геометрических разборных тел из 55 частей», «10 разверток геометрических тел» и др. (последние два пособия составлены вместе с В.Р.Мрочеком).

В трудах Филипповича описано огромное количество лабораторных и практических работ по наглядной геометрии, среди которых есть и такие, которые и сегодня используются учителями средних

26 Там же. С. 184-188.

школ (лабораторная работа по определению длины окружности и выявлению численного значения числа я). Но есть и работы, преданные забвению, хотя, на наш взгляд, они могли бы быть не менее полезными и интересными для современной школы.

Так, для вывода формулы площади круга рекомендуется провести следующий опыт, который проделывают ученики. Сначала им предлагается вырезать из цветного картона круг и провести диаметр. Затем оба получившиеся полукруга разделить на возможно большее число равных секторов так, чтобы их можно было принять за треугольники (ввиду того, что дугу в силу ее малости можно принять за хорду). Если эти полукруги растянуть, то получатся две фигуры, напоминающие пилы. Теперь, если вкладывать зубцы одной фигуры между зубцами другой, получится параллелограмм (или почти прямоугольник). (См. рис.1) Основание параллелограмма равняется половине длине окружности, а высота - ее радиусу. Применяя формулу для отыскания площади параллелограмма, получим

Это и есть формула для отыскания площади круга.

Приведем еще один пример - фрагмент разработанной Филипповичем методики введения формулы для вычисления объема пирамиды лабораторным методом. Во-первых, он предлагает не один, а целых пять (!) способов измерения объема пирамиды.

Приведем описание первых трех способов:

«Первый, чисто эмпирический способ, состоит в том, что нужно взять полую призму, основание и высота которой соответственно равны основанию и высоте полой пирамиды. Пересыпая песок или переливая воду находим, что объем пирамиды составляет третью часть объема призмы, т.е. объем пирамиды = площади основания X [умножить на высоту]

Рис. 1

Второй - также наглядный- способ: возьмем куб, состоящий из шести пирамид с вершиною в центре куба; каждая из них основанием имеет одну из граней

куба. Все полученные пирамиды равны между собою, это очевидно. Но мы знаем, что объем куба измеряется произведением площади основания на высоту, а так как каждая из полученных пирамид составляет — куба, то и объем каждой пирамиды будет равняться произведению площади основания на — высоты куба, или, что все равно, на - высоты пирамиды, потому что высота каждой из пирамид составляет — высоты куба.

Третий способ: возьмем опять тот же куб из 6 пирамид и проведем через его центр плоскость, параллельно основанию; тогда наш куб разделится на два равных прямоугольных бруса (параллелепипеда). В каждом из брусов будет заключаться одна полная пирамида, покоящаяся на основании куба, и четыре боковые, составляющие половины первой. Если получившиеся четыре боковые пирамиды сложим по две, то у нас будут - вместе с оставшейся целой пирамидой - три совершенно равные пирамиды, заключенные в одном брусе. Следовательно, объем каждой из них составляет - объема бруса. Так как объем бруса равен произведению площади основания и высоты, то объем четырехугольной пирамиды измеряется произведением площади ее основания на - высоты, т.е.

Без сомнения, самым удачным следует признать первый способ. Именно этот способ выбрал Филиппович для лабораторных работ в своем учебном пособии «Начальная геометрия». Сначала он предлагает измерить опытным путем объем треугольной пирамиды и треугольной призмы, а затем произвести аналогичный опыт с четырехугольной пирамидой и параллелепипедом. Вообще, по теме «Треугольная пирамида» Филиппович разработал следующий цикл практических упражнений. Первые пять заданий заключаются в том, чтобы по данной развертке треугольной пирамиды определить ее апофему, сторону правильного треугольника и его высоту, боковую и полную площадь пирамиды. Далее Филиппович пишет:

«Для того, чтобы узнать, как измеряется объем треугольной пирамиды, изготовь из картона треугольную пирамиду и треугольную призму, имеющие одинаковые основания и высоты. После этого, наполняя пирамиду, например, мелким песком, удостоверься, сколько раз надо брать содержимое пирамиды для наполнения призмы. Стало быть,

Объем треугольной пирамиды =.......объема треугольной призмы.

27 Мрочек В.Р., Филиппович Ф.В. Указ. соч. С. 194-197

Объем треугольной пирамиды = . . . . . . . куб. см.

Сделай из картона брус и квадратную пирамиду, имеющие одинаковые основания и высоты, и таким же способом покажи, как измеряется объем квадратной пирамиды (см. рис. 2).

Объем пирамиды . . . . =.......объема призмы.

Если обозначить высоту квадратной пирамиды через H см., а длину стороны квадрата а см., то

Объем пирамиды . . . . =.......куб. см.»28.

Рис. 2

4. О преподавании алгебры

Методика изучения формул для подсчета частичных сумм прогрессий и рядов

Учение о прогрессиях является традиционным разделом в современном школьном курсе математики. Заметим, что сведения о прогрессиях были включены еще в самую первую официальную программу для гимназий в 1845 году и стабильно сохранялись как в дореволюционной, так и в советской средней школе. И это понятно. Ведь включение этого раздела в курс математики средней школы оправдано сразу из нескольких соображений. Во-первых, арифметическая и, особенно геометрическая, прогрессии имеют широкие применения в экономике и в самой математике (при помощи бесконечной геометрической прогрессии можно изложить учение о периодических десятичных дробях, вычислять пределы интегральных сумм (определенные интегралы) и т.п.). Во-вторых, здесь школьники получают первые элементарные представления об очень важном разделе математического анализа - теории рядов (арифметическая и геометрическая прогрессии являются примерами простейших числовых последовательностей, а их частичные и бесконечные суммы - примерами частичных сумм и просто сумм числового ряда и т.п.). И, наконец, как свидетельствует многолетняя практика, изучение данной темы не вызывает принципиальных затруднений у школьников. Вместе с тем

28 Филиппович Ф. Начальная геометрия в развертках. СПб., 1912. С. 15.

нельзя не отметить, что результаты вступительных экзаменов в высшие учебные заведения, также как и результаты централизованного тестирования, свидетельствуют о том, что современные школьники далеко не блестяще решают задачи на прогрессии. Это обстоятельство, очевидно, в определенной степени объясняется тем, что знакомство с темой происходит в девятом классе, и через два года, к выпускным экзаменам, ученики просто забывают ряд изученных ранее формул. Методика изучения прогрессий, описанная В. Р. Мрочеком и Ф. В. Филипповичем, широко использует символическую наглядность и, поэтому, на наш взгляд, способствует более прочному сохранению в памяти информации о прогрессиях.

Они предлагают следующую весьма оригинальную геометрическую интерпретацию для суммы арифметической прогрессии.

Начинается объяснение с конкретной задачи: требуется найти сумму четырех первых членов арифметической прогрессии 3, 7, 11, 15, ...

Для этого на бумаге «в клеточку» отмечаем 3 квадрата, под ними - 7, еще ниже -11 и 15 (см. рис.3 ).

Перевернем мысленно полученную ступенчатую фигуру и приложим к первой - получим прямоугольник. Этот прямоугольник содержит квадратов вдвое больше, чем их заключается в искомой сумме. Высота прямоугольника равна 4 (числу членов), а основание есть сумма 15+3 (т.е. сумма крайних членов прогрессии). Таким образом площадь прямоугольника равна (15+3)4, тогда искомая сумма

Очевидно, что для общего случая имеем

Аналогичными приемами убедительно и наглядно доказываются формулы для вычисления частичных сумм квадратов и кубов натуральных чисел

Рис.3

и

(см. рис. 4 , на котором ширина прямоугольника равна 2/7+15 а его длина равна сумме натурального ряда, т.е. равна

Так, используя простые и интересные рассуждения, широко подкрепляемые графическими иллюстрациями, получены следующие формулы для вычисления суммы п членов натурального ряда

четного ряда

квадратного ряда кубичного ряда

арифметической прогрессии

Отличительной особенностью «Педагогики математики» является также наличие большого набора задач практически по всем рассматриваемым разделам. Так, к разделу об арифметической и геометриче-

Рис. 4

ской прогрессиях подобраны 12 задач, одну из которых, в силу ее оригинальности, мы здесь не удержались от соблазна привести. Задача.

«Бедняк предложил богачу жить у него на следующих условиях. Бедняк будет платить своему квартиранту ежедневно на 1 р. больше, чем накануне, в первый же день уплатит ему 1 р. Богач, напротив, должен платить так: в первый день - копейку, во второй - две, в третий - четыре, в четвертый - восемь и т.д. В виде опыта они заключили двухнедельное условие. Кто из них отказался от продолжения условия? (Ответ: богач, т.к. ему пришлось доплатить бедняку 58р. 63к.)»29.

Методика изучения уравнений

Всюду, где это только возможно, авторы стараются выявить существующие методические подходы к изучению темы и построению курса, глубоко и всесторонне анализируют эти подходы, пытаясь установить наиболее целесообразный. Так, после критического анализа трех главных систем построения школьного курса алгебры (в основе первой - учение о тождественных преобразованиях, согласно второй системе материал группируется около двух главных моментов: уравнений первой и уравнений второй степени», в третьей же системе доминирующую позицию занимает функциональная идея) педагоги приходят к следующим выводам:

«В алгебре, как и в других отделах математики, материал должен быть распределен по циклам. Если иметь в виду интересы учащихся, то содержание первого цикла должно ограничиваться вопросами об уравнениях первой и второй степени, решаемых аналитически и графически, и знакомством с практикой логарифмических вычислений. Построение курса должно быть таково, чтобы арифметика и алгебра развивались нераздельно и непрерывно.

Этим, в сущности, предопределяется выбор системы.

Уравнения и функции - вот два базиса, на которых должна основываться перестройка курса. Эта точка зрения удовлетворяет педагогическим требованиям, так как учащиеся ознакомятся с методом уравнений, с графической интерпретацией, научатся решать практические вопросы- задачи, приобретут умение пользоваться готовыми или эмпирическими формулами и т.п. Такой курс алгебры дает широкое применение наглядной и лабораторной метод. Наконец, он согласован с научными взглядами последних лет. Так, в «Энциклопедии математических наук» отдел «Алгебра» озаглавлен:

I. Рациональные функции одной переменной; их нулевые значения.

II. Рациональные функции многих переменных.

III. Алгебраические образы (Gebilde). Арифметическая теория алгебраических величин.

29 Мрочек В. Р., Филиппович Ф. В. Указ. соч. С. 241.

А дальше - все, относящееся опять к уравнениям, корням, их функциям и т.п.

Этот взгляд на уравнение, как на частный случай [задания] функции (выделено нами - Ю. К., О. С), должен уже появиться в конце первого цикла; графическая интерпретация - лучшая метода для изложения таких вопросов»30.

В главе, посвященной методике изучения уравнений, предпринята достаточно успешная для того времени попытка реализации функциональной идеи. Разъяснив все преимущества введения уравнений в обучение, авторы поясняют, что изучение темы всюду сопровождается решением задач и проходит в два этапа: сначала следует рассматривать только такие задачи, которые приводят к составлению уравнений первой степени, в которых неизвестное входит только в одну часть, и только, после твердого закрепления этой темы, переходить на материале задач к решению уравнений, в которых неизвестное находится в обеих частях. В заключение сделаны следующие указания:

«Любое уравнение можно облечь в форму задачи, но это не значит, что надо давать готовых уравнений. Напротив, при решении каких-либо новых типов уравнений задачи вначале неуместны, так как - «по одной трудности зараз»!

При выборе задач надо отдавать предпочтение вопросам из жизни и естествознания; данные не должны быть выдуманы, числа - соответствовать действительным соотношениям величин. Исключение составляют исторические задачи (египетские, индусские, китайские, греческие, средневековые и др.). Кроме оригинальных по преимуществу сюжетов и притом отражающих миросозерцание того или иного народа, они дают возможность попутно вводить исторические данные; наконец, служат полезным отдыхом от житейской прозы, которую могут культивировать чересчур усердные адепты новых идей.

Многие задачи полезно решать не одним, а двумя и более способами; это имеет большое воспитательное значение. Помимо свободы мышления и возможности критической проверки друг друга, выясняющей относительную ценность решений (более простое, более изящное) ученики приобретут еще и убеждение, что над данными числами можно произвести несколько рядов действий, при одном и том же результате.

В связи с этим находится выбор неизвестного в уравнении. Несколько удачно подобранных задач выяснят ученикам, что при том или ином выборе «икса» уравнение существенно меняет форму, а его решение представляет большие или меньшие затруднения. Крайне важно также выбирать для неизвестного разные буквы, обозначать известное «иксом», а неизвестное через а, и т.п.»31.

Нельзя не отметить, что последнее замечание весьма полезно с точки зрения потребностей физики.

Для иллюстрации свойств уравнений авторы призывают использовать наглядные средства (весы и т.п.).

30 Мрочек В. Р., Филиппович Ф. В. Указ. соч. С. 297-298.

31 Мрочек В. Р., Филиппович Ф. В. Указ. соч. С. 325-326.

Первые шаги создания методики изучения функций

Вопрос о введении общего понятия уравнения, также как и общего понятия функции, пока еще в дореволюционной методике обучения математике не ставится. Однако по поводу изучения конкретных видов функций (линейной функции (в т.ч. прямой пропорциональности) и квадратичной функции) сделан ряд перспективных предложений. Так, в зародышевом виде здесь высказана идея о методической схеме изучения конкретной функции32: «Прямая пропорциональность связывает линейным образом самые разнообразные величины; достаточно упомянуть о пути и времени при равномерном движении, о силе и сопротивлении (трении) в системе зубчатых колес, о расширении тел при нагревании, о мощности паровой машины и потреблении ею пара и т.п., и т.п. Из этих областей преподаватель может черпать задачи десятками; графическое изображение результатов, отыскивание вида функции, затем поверка найденного эмпирического закона - все это раскроет перед учащимися новые горизонты»33.

Описанная схема (конкретные задачи - графическая интерпретация - аналитическая запись - исследование) реализована Мрочеком и Филипповичем в методике изучения линейной функции34. Похожие идеи были высказаны, развиты и окончательно сформулированы советскими педагогами, которые предложили следующую схему изучения конкретных функций: 1) рассмотрение конкретных ситуаций (или задач), приводящих к данной функции; 2) формулировка определения данной функции, аналитическая запись функции; исследование входящих в эту формулу параметров; 3) ознакомление с графиком функции; 4) исследование свойств функции; 5) использование изученных свойств функций при решении различных задач, в частности уравнений и неравенств35. Эта схема получила всеобщее признание, о чем свидетельствует хотя бы то, что ее придерживаются практически все учебники алгебры для девятилетней школы.

Последовательность изучения квадратичной функции почти такая же: сначала дается понятие о параболе на основе графического описания процесса свободного падения, затем указывается, что «эту же кривую можно получить и аналитическим путем»36 и без всяких пояснений говорится, что дано уравнение у=х2, а учащимся предлагается

32 Безусловно, термин «методическая схема» они пока еще не употребляют.

33 Мрочек В. Р., Филиппович Ф. В. Указ. соч. С.333.

34 Там же. С.327-329.

35 Колягин Ю. М., Луканкин Г. Л., Мокрушин Е. Л. и др. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики. М., 1977. С. 129

36 Мрочек В.Р., Филиппович Ф.В. Указ. соч. С.351.

составить таблицу для некоторых значений х и у, а затем построить график. На следующих страницах выясняется положение параболы на плоскости в зависимости от параметров, входящих в описываемое эту параболу уравнение. Надо уточнить, что всякий раз здесь рассматриваются конкретные числовые значения параметров, а не общий случай.

В данной главе, на наш взгляд, заслуживает внимания раздел, в котором описываются приближенные приемы извлечения квадратного корня. Авторы предлагают следующие пять приемов.

«Извлечение квадратного (и вообще корня) есть действие, обратное возвышению в степень, поэтому на первых порах лучше всего пользоваться таблицей квадратов чисел. Так как при решении геометрических вопросов в громадном большинстве случаев получаются иррациональные числа, то учащиеся скоро будут поставлены [перед] необходимостью интерполировать свою таблицу; таким образом, они познакомятся с различными приемами приближенного извлечения квадратных корней. Эти приемы мы сейчас укажем.

Парабола у=х2 в сущности представляет собой таблицу квадратов целых и дробных чисел; обратно, парабола представляет таблицу квадратных корней из тех же чисел. Таким образом мы можем прямо (по графику - Ю. М, О. С.) читать значения различных корней на оси У-ов. Кроме того, если провести вторую, симметричную ветвь параболы у = л[х ^ то видно, что у[х имеех два сопряженных значения, на верхней и нижней оси У-ов. Такое интуитивное, зрительное представление навсегда останется в памяти учащихся, между тем как выводы (±а)2=а2 производят искусственное впечатление.

Геометрически многие корни можно построить непосредственно, а затем измерить. Во-первых, используя, что

есть катет - и таким образом вопрос сводится к построению прямоугольного треугольника. Во-вторых, пользуясь теоремами о пропорциональных линиях в окружности, можно значительно упрощать построения. На рис. показано построение сразу трех корней:

все они связаны друг с другом посредством чисел 5, 2, 7. Измерив полученные отрезки, найдем искомые корни с желаемой степенью точности (до 10%, до 1%, до 0,1%); чем больше надо цифр после запятой, тем крупнее должен быть масштаб.

Способ деления для нахождения квадратного корня является наиболее простым, но совершенно неизвестным в России. Здесь поступают так: V33489 больше 100 и меньше 200, но гораздо ближе к 200. Берут наудачу какое-либо число

Рис.5

между 150 и 200, например, 180, и делят на него данное; в частном получается 186, в остатке 9. Пренебрегая остатком, мы можем сказать, что искомый корень лежит между 180 и 186 и равен среднему арифметическому этих чисел, а именно, . Действительно, 183 =33489. Преимущества способа деления очевидны: корень получается при помощи одного действия и притом известного учащимся. Его можно применять и в том случае, когда хотят найти корень из большого числа с точностью лишь до 1.

Разложение на сомножители полезно при извлечении корней из больших чисел. Тогда либо корень находится точно, напр. либо его можно вычислить с большой точностью; так

поэтому

точностью до 1%. В этом случае можно свести извлечение корня из однозначных либо двузначных чисел, т.е. взять готовые корни из таблиц.

Приближенное вычисление квадратных корней легче всего по способу Герона. Пусть

где h - малая дробь. Имеем

или

Пренебрегая членом hz вследствие его малости, получим

Поэтому

откуда

Покажем на примере, как пользоваться этой формулой.

с точностью до 10% . ..

В таком порядке, психологическом, а не «систематическом», следует знакомить детей с корнями. В заключение, если преподаватель пожелает, он может дать обычное извлечение, но непременно с доказательством; после предложенной здесь пропедевтики оно станет доступным учащимся»37.

Таким образом, Ф. В. Филиппович (преимущественно в соавторстве с В. Р. Мрочеком) выявил связи методики математики с другими областями знаний, сделал решительные шаги вперед в определении круга вопросов, которыми занимается методика математики, выделил отличительные признаки математики -учебного предмета и математики-науки, заложил теорию целеполагания в обучении математике, развил идею о наглядности в обучении математике.

В частной (и специальной) методиках он развил методические идеи наглядной геометрии, числовой линии (рационального числа, положительного и отрицательного числа), квадратных уравнений и уравнений первой степени в связи с учением о функции и др.

37 Мрочек В.Р., Филиппович Ф.В. С.363-365.

К сожалению, Мрочек и Филиппович явно преувеличивали роль зарубежных методических течений. Слишком восторженно они отзываются об американцах:

«Американцы от слов перешли к делу - об этом в настоящее время нет двух мнений. Школьный прогресс, по их мнению, заключается в таком режиме, который обеспечивает воспитаннику максимальную личную деятельность. Единственное стремление преподавателя - довести до минимума свое вмешательство, дать воспитаннику возможность проявить инициативу, контроль над своими поступками с одной стороны, приобрести власть над собой, ту внутреннюю дисциплину, которая освобождает человека от поисков за внешним руководителем - с другой. Задача реформированной школы - создать свободную личность, а для этого пути должны быть иные»38.

Слепое следование американскому или европейскому образцу, как известно, не может привести к позитивным результатам ни в области образования, ни в других сферах жизни русского человека. Лишним подтверждением этого является печальный опыт 20-х годов, когда были сделаны неудачные попытки перенести на русскую почву американский опыт (комплексная система, бригадно-лабораторный метод обучения и пр.).

В теоретической части В. Р. Мрочек и Ф. В. Филиппович увлекаются цитированием американских и английских мыслителей - Литца, Сивера, Демолена, Холла и др., но в тоже время в практической части, что показательно, есть немало упоминаний о трудах русских педагогов - А. И. Гольденберге, В. П. Ермакове, К. Ф. Лебединцеве, В. В. Лермантове, А. Н. Страннолюбском, Н. А.Томилине и др.39. Авторы низко склоняют головы перед авторитетом К. Д. Ушинского, которого они называют «отцом русской педагогики»40. Поэтому упрек, высказанный А. В. Ланковым в адрес В. Р. Мрочека, которого он называет «трубадуром иностранных влияний»41 в русской методике, сильно преувеличен.

5. О преподавании начал анализа

Аргументы в пользу введения в школьный курс элементов математического анализа

Особенно ценным представляется вклад Ф. В. Филипповича в развитие методики преподавания начал математического анализа в сред-

38 Мрочек В., Филиппович Ф. Педагогика математики. Исторические и методические этюды. 1910. С.92.

39 Почти все эти имена и многочисленный ряд других славных русских имен Ф. Филиппович включил в составленный им «Указатель учебной математической литературы».

40 Мрочек В., Филиппович Ф. Указ. соч. С.67.

41 Ланков А. В. К истории развития передовых идей в русской методике математики. - М., 1951. С.59

ней школе. Элементы высшей математики тогда в России делали самые первые шаги в школьные программы, только-только начинали создаваться учебники по анализу бесконечно малых и аналитической геометрии для средней школы, поэтому предложения Филипповича были не только смелыми, но и весьма своевременными.

Просто удивительно, как грамотно, убедительно и в то же время лапидарно автор раскрывает узловые моменты методики преподавания математического анализа: доказывает целесообразность внедрения элементов математического анализа в среднюю школу, раскрывает приоритетные направления, идеи и пути конструирования содержания.

Следует также отметить, что развернувшаяся в начале XX века полемика о целесообразности введения в школьный курс математики новых идей свидетельствует о знакомстве оппонентов с мировой и отечественной педагогикой и психологией. Если в XVIII веке ученые лишь слегка касались обоснованности введения высшей математики в образовательный процесс, то теперь высказывания «за» приобретают характер серьезной аргументации. В это время педагоги все чаще настаивали на том, чтобы при решении вопроса о введении или исключении какого-либо раздела в обучение непременно должно быть указано - из каких психолого-педагогических соображений данное новшество исходит.

Среди тех, кто в этот период приветствовал преподавание высшей математики в средней школе, были видные отечественные ученые, известные гражданские и военные педагоги: П. А. Некрасов, Б. Б. Пиотровский, М. Г. Попруженко, В. Е. Сердобинский, Д. М.Синцов, В. Шидловский, С. И. Шохор-Троцкий, В. П. Шереметевский.

Достаточно представительной была и группа оппонентов: А. А. Марков, Д. Д. Мордухай-Болтовской, Н. А. Извольский, А. В. Полторацкий и другие.

Свою недвусмысленную позицию имел и Ф. В. Филиппович, который одним из первых наиболее четко и ярко обозначил основные аргументы в пользу введения анализа бесконечно малых в среднюю школу. Самым первым аргументом он называет «тенденцию сближения науки со школой»:

«В самом деле, из истории преподавания нам известно, что развитие науки всегда, хотя и с большими опозданиями, вносит свой корректив в школьные программы.

За последние десятилетия со стороны науки идут нападки на современное обучение математике. Представители научного мира (Ф. Клейн, [А.] Пуанкаре, [Э.] Борель, [Ж.] Таннери и др.) горячо нападают на отсталость школьной математики от науки. Действительно, средняя школа игнорирует почти все развитие математики, начиная с XVII столетия. Из всего богатства методов, внесенных в европейскую науку со времен эпохи Возрождения, только логарифмы получили право гражданства. Таким образом, курс алгебры в наших гимназиях заканчивается математическими открытиями начала XVII столетия. Так как по взглядам новой педагогики одна из задач общего образования есть «способность понимать все наше культурное развитие», то очевидно, что такая цель не может быть достигнута без расширения математических знаний.

Итак, учащихся не следует искусственно задерживать на средневековом уровне математики, и тогда мы успеем их познакомить с великими открытиями творцов европейской математики; труды Декарта, Лейбница и Ньютона им будут известны хотя бы в самых общих чертах».

В приведенной цитате Филиппович доказывает, по сути, что введение высшей математики вызвано необходимостью воплощения принципа научности. Ведь именно принцип научности требует, «чтобы содержание обучения знакомило учащихся с объективными научными фактами, теориями, законами, отражало бы современное состояние наук».

Далее Филиппович продолжает высказывать свои соображения в пользу начал дифференциального и интегрального исчислений в школьном курсе. Целесообразность этого нововведения, как он справедливо считает, продиктована необходимостью «удовлетворить запросы жизни» («утилитарная» функция высшей математики).

« Начала дифференциального и интегрального исчислений должны быть призваны освежить школьную математику также и соответственно запросам жизни. Прошли безвозвратно те добрые старые времена, когда возможно было обходиться без азбуки высшей математики. Теперь даже медики на своих собраниях восклицают: «...давайте нам побольше математики! Старый путь через Евклида к Декарту и Лейбницу слишком длинный и трудный. Сократите этот далекий путь

по мере возможности!» Г. Гельмгольц, А.Фик и Бернштейн в Германии давно указывали на необходимость расширения школьного преподавания не только по общеобразовательным причинам, но даже и в пользу изучения медицины и вообще понимания движущих сил нашего современного развития. Химию, физику, технику, страховое дело и прочее можно понять лишь в слабой степени, если не иметь хотя бы незначительных сведений из области высшей математики. Но если мы желаем проникнуть глубже в тайны вышеупомянутых наук, то мы непременно должны воспользоваться орудием анализа бесконечно малых. По словам профессора Дж. В. А. Юнга, «исчисление бесконечно малых есть учение об изменениях и может быть названо, в строгом смысле слова, математикой природы». Вообще без высшей математики явления природы вполне поняты быть не могут. Стало быть, начала дифференциального и интегрального исчисления должны войти в общеобразовательный курс средней школы, ибо они дают нам великолепное орудие в руки, чтобы удовлетворять запросам жизни»42.

Высказанная здесь мысль не только является выражением одной из целей обучения математике (практической), но и указывает на необходимость, связанную с реализацией принципа связи обучения с жизнью и практикой. Реализация этого принципа, особенно в старших классах, бывает осложнена тем, что в силу своей специфики (абстрактности) математика имеет опосредованное отношение к действительности. Но для решения практических задач естествознания и техники математический аппарат (в том числе и идея функциональной зависимости и аппарат производной) просто необходим. Ведь именно математический анализ занимается разработкой методов построения и изучения динамических моделей в математике, моделей, описывающих движения, текущие процессы, непрерывно меняющиеся состояния, широко распространенные в природе.

Таким образом, в названном аргументе усматривается отражение принципа связи с жизнью и практикой, который требует, чтобы процесс обучения стимулировал учеников использовать полученные знания в решении практических задач, вызванных необходимостью изучения проблем окружающей действительности.

И, наконец, последние высказывания в поддержку введения высшей математики основаны на том, что с помощью этого нововведения удастся развить познавательный интерес и некоторые качества мышления:

«И соображения общепедагогического характера говорят в пользу введения анализа бесконечно малых в среднюю школу. На основании своей практики могу утверждать, что этот новый отдел возбуждает в высшей степени интерес у учащихся к изучению математики. Ключ настоящей реформы есть интерес. И по-

42 Филиппович Ф. В. Постановка преподавания начал анализа в средней школе // Труды I всероссийского съезда преподавателей математики. СПб., 1913. Т. 1. С. 101-102.

этому курс математики должен быть предложен ученикам в наиболее интересной для них форме.

Кроме того, в курсе исчисления бесконечно малых и формальная цель будет хорошо представлена. Здесь лучше всего подчеркивается всемогущество математического метода. В самом деле, какой отдел математики может изящнее показать, что путем индукции открывается закон явлений, затем выражается зависимость, лежащая в основе в форме математической функции и под конец переносится исследование в область непогрешимой дедукции математического анализа43. Математика является как бы отвлеченной формой естествознания, и в данном случае она, действительно, дисциплинирует мышление наших учеников, дает драгоценный материал для упражнения в строго логическом мышлении. А это как раз соответствует новым взглядам на преподавание математики, т.е. тому, чтобы в старших классах средней школы преобладали логические тенденции. Следовательно, ценность начал исчисления бесконечно малых коренится в том, что она является воплощением действительно существующих соотношений, связывает реальный мир с математическим. Воспитательное значение анализа бесконечно малых признается не только в новых французских программах по математике, но и в Германии, Англии, Америке, Австрии начала анализа включены в минимум требований по математике для средней школы»44.

Идея концентризма в последовательности изложения начал математического анализа в средней школе

Ф. В. Филиппович резко критикует методику изложения элементов математического анализа в русских учебниках, предназначенных для средней школы, призывает позаимствовать все полезное у французов и пытается доказать целесообразность идеи концентризма в последовательности изучения темы:

«В связи с введением анализа бесконечно малых в среднюю школу возникают разногласия по поводу построения самого курса. Новые французские учебные планы, «Меранская» программа45 в Германии и другие настаивают на введении идеи функциональной зависимости. Реформаторы всех направлений присоединяются к этому требованию. Действительно, объяснить какое-нибудь явление в природе - это значит выяснить его генезис и связь с другими явлениями. Ввиду этого лучше всего развивать идею функциональной зависимости (закономерности) в математике. Учение о функциях есть центральное учение всей математики, потому что функциональная зависимость есть математическое выражение вели-

43 Разрядка приведена в авторском тексте.

44 Филиппович Ф. В. Постановка преподавания начал анализа в средней школе // Труды I всероссийского съезда преподавателей математики. СПб., 1913. Т. 1. С. 102-104.

45 «Меранские программы» были введены в Германии в 1905 г. Основные идеи «Меранских программ» заключались в следующем: преподавание математики должно строиться на основе психологических закономерностей усвоения математических знаний, весь учебный материал должен быть проникнут идеей функциональной зависимости величин в их геометрическом освещении; важной составляющей курса должны стать приложения математики. Согласно этой программе предполагалось желательным ознакомление учащихся VIII класса с понятиями дифференциала и интеграла.

кого закона изменяемости соотношения всех явлений; установление ее есть сущность и конечная цель всей науки. Поэтому мы, сторонники реформы, требуем, чтобы весь курс математики был сконцентрирован около идеи функциональной зависимости и расширен первоначальными понятиями анализа бесконечно малых. Стало быть, начала дифференциального и интегрального исчислений не должны составлять самостоятельного отдела - «учения о функциях» - и являться какой-то «надстройкой» над школьным курсом, так называемой элементарной математики. Практика показала, что такая метода (надстройки) преподавания анализа бесконечно малых теряет свою воспитательную и общеобразовательную ценность. Анализ бесконечно малых в таком роде не только не возбуждает и не поддерживает интерес к математике у учащихся, но даже и усваивается очень трудно.

Раньше еще, до начала анализа бесконечно малых, должны мы подготовлять почву для ясного, отчетливого и возбуждающего новые идеи преподавания элементов дифференциального и интегрального исчислений. Некоторые способности у учащихся поддаются развитию только в известном возрасте, раз этот момент будет упущен, тогда довольно трудно наверстать пропущенное. Ввиду этого, еще с младших классов средней школы на уроках арифметики, геометрии, алгебры, ... следует проводить красной нитью в течение всего курса школьной математики идею функциональной зависимости. В этом-то и заключается точное понимание аналитической геометрии и начал дифференциального и интегрального исчислений. [По словам Ф.Клейна], «последние являются венцом этого широкого метода».

В самом начале [преподавания] анализа бесконечно малых мы должны исходить из более конкретных и простых задач. Целесообразно подобранными примерами из естествознания следует проиллюстрировать учащимся, что исследование какого-нибудь явления сводится к достижению двух результатов: а) найти общий закон, выражающий ход этого явления (функцию) и Ь) определить скорость изменения этого явления природы в каждый произвольно взятый момент (производную).

Целью преподавания высшей математики в средней школе ни в каком случае не должно быть только усвоение механизма, техники дифференцирования и интегрирования. При такой методе начала дифференциального и интегрального исчислений потеряли бы всю свою общеобразовательную и воспитательную ценность. Тоже самое можно было бы сказать, если бы весь курс анализа состоял из доказательств теорем и применений их к дифференциалам и интегралам.

По моему мнению, мы должны воспользоваться задачами из физики, химии, техники и др., чтобы на них выяснить происхождение основных понятий дифференциального и интегрального исчислений. Например, какая-нибудь задача из естествознания дает нам возможность составить функцию, изобразить ее графически, затем исследовать и под конец найти ее производную. Подходя таким образом к понятию о производной, мы всегда должны выяснять, в чем сущность задачи дифференциального исчисления и давать наглядное представление (графическое изображение). После графического изображения идет идея и понятие производной, а под конец - термин и символ производной.

При такой системе преподавания ученики вникают в математичность жизни природы и видят наглядно, какое колоссальное значение математики со стороны

ее метода. Далее, при изучении анализа, ученикам предоставляется большой простор, чтобы проявить свою самостоятельную работу, самодеятельность и постоянно делать умозаключения. Кроме того, такой порядок вещей не сводит начала дифференциального и интегрального исчислений к собранию непонятных значков и символов, как утверждают некоторые противники введения анализа бесконечно малых в среднюю школу. Но в этом-то и состоит задача педагогики -сделать науку понятной, заставить ее говорить простым, обыкновенным языком. «Нет мысли, которую нельзя было бы высказать просто и ясно», [говорил] А.И.Герцен. В самом деле, кто следил за учебной заграничной литературой в течение последних 25-30 лет, тот может констатировать, что всюду замечается стремление к упрощению изложения материала. Достаточно сравнить новейшие учебные книги со старыми. То же самое можно утверждать и относительно школьных программ и учебных планов. Что касается русских учебников по анализу бесконечно малых, то в этом отношении дело обстоит довольно плохо. Все эти учебники для средней школы построены приблизительно по одному типу. Сначала идет сухое изложение понятия о функции, затем подразделение функций, теоремы о пределах, непрерывность функций, производная и дифференциал и т.д. Такое построение курса анализа навряд ли может вызывать интерес у учащихся. Некоторые французские и немецкие учебники могли бы послужить хорошим примером, как надо составлять учебное руководство по анализу бесконечно малых для средней школы.

Как всякий отдел математики, анализ бесконечно малых должен быть построен концентрически. Еще с V класса при графическом изображении эмпирических функций мы должны подготовлять почву для дифференциального исчисления. А в VI и VII классах при проведении идеи функциональной зависимости на уроках алгебры следует учащихся знакомить с понятием о производной, а на уроках геометрии - с понятием об интеграле.

В VIII классе - связный обзор изученных в предыдущих классах функций и элементы дифференциального и интегрального исчислений»46.

Методика введения понятия производной

Ряд интересных методических замечаний высказал

Ф. В. Филиппович и по поводу изучения конкретных понятий. Так, для введения понятия производной, автор считал необходимым широко привлекать сведения из геометрии, физики, химии и т.п.:

«Учение о производной должно быть разрабатываемо с различных точек зрения. Прежде всего, рассматривая равномерное и неравномерное движение, мы подводим учащихся к понятиям о постоянной скорости, средней скорости в определенный промежуток времени и скорости для некоторого момента t. Таким образом, вводя понятие о скорости изменения в учение о функциях, мы устраиваем аналогию с механическими процессами движения. Сначала скорость есть производная пути по времени, на другом примере у нас получится, что скорость

46 Филиппович Ф. В. Указ. соч. С.104-107.

химической реакции есть производная количества реагирующего тела по времени, далее, по известной формуле расширения от теплоты, мы можем определить коэффициент расширения как меру скорости, с которой идет процесс расширения при равномерном нагревании. Конечно, и другие примеры должны показать учащимся, какие разнообразные задачи приводят нас к понятию о производной.

При помощи таких конкретных задач можно одолеть и другие методические трудности в начале учения о производной, вроде, например, того, что: 1) отношение двух бесконечно малых может быть равно конечному и 2) предел отношения — при приближении Ах к нулю для данной зависимости между у и х может быть вычислен.

Аналогично выше приведенному [изложению] и задача о направлении касательной к параболе и т.п. должна показать учащимся, как можно подойти к производной с геометрической точки зрения. Графически изображая какую-нибудь математическую функцию (например, у=х ) и определяя направление касательной при помощи тангенса угла, образуемого касательной с осью х, ученики приходят к заключению, что истинная скорость изменения ординат кривой в какой-нибудь точке равна угловому коэффициенту касательной.

Сравнивая на частных случаях и числовых примерах полученные результаты: угловой коэффициент мы должны из этого извлечь в чистом математическом виде понятие о производной. Следовательно, после разнообразных частных примеров и применений производных, мы обобщаем понятие о производной в виде формулы

Авторы русских учебников начинают антипедагогично понятие о производной, т.е., с конца: дают определение производной при помощи отношения

а потом следуют примеры на отыскание производной и дифференциала.

Итак, общее методическое положение, по моему мнению, целесообразно и здесь, при прохождении учения о производной: «Сначала применение, а затем уже правило»47.

47 Филиппович Ф. В. Постановка преподавания начал анализа в средней школе // Труды I всероссийского съезда преподавателей математики. СПб., 1913. Т. 1. С. 107-108.

Последовательность изложения элементов интегрального исчисления

Целесообразность включения в школьный курс понятия определенного интеграла, по мнению автора, обуславливается хотя бы тем, что интегральное исчисление дает более эффективные и экономичные методы для подсчета объемов и площадей: «Усилие, требующееся для того, чтобы ознакомиться с производной и интегралом и с тем, как при помощи этих удивительных орудий можно вычислять поверхности и объемы, будет не столь значительным, как те усилия, которые приходится делать для установления равновеликости прямой и наклонной призм или двух пирамид, и затем эти невыносимые объемы тел вращения. По сей день я не знаю выражения объема тела, получающегося при вращении сегмента круга около его диаметра»...

Уже и теперь во многих новых немецких и французских учебниках по геометрии убраны громоздкие и схоластические теоремы об объемах пирамид, тел вращения и т.д. Вместо них включены в геометрию метод истощения или закон Кавальери. Так, например, в новом учебнике геометрии Бореля-Штеккеля48 теоремы об объемах пирамид изложены методом истощения. На русском языке в элементарном курсе геометрии Д. В. Ройтмана49 измерения объемов некоторых тел проходятся при помощи закона Кавальери. В самом деле, «закон Кавальери», обогативший математику и начинающий собою новую эпоху величайших открытий, сделанных в новейшее время, также удобный для определения площадей и объемов тел. Он заменял собою в течение 50-ти лет с большим успехом интегральное исчисление и поэтому тоже может в курсе геометрии сослужить роль пропедевтики для интегрального исчисления»50.

В результате автор приходит к выводу, что в первую очередь следует познакомить учащихся с понятием определенного интеграла, а затем неопределенного. Причем, он считает, - с введением строгой дефиниции определенного интеграла на первых порах спешить не стоит.

«С педагогической точки зрения не будет никакой ошибки, если в самом начале не давать точного определения интеграла. Я придерживаюсь того взгляда, что сначала надо определять интеграл как площадь, и лишь когда учащиеся познакомятся с ним побольше, надо дать более точное определение. На основании своей практики позволю сообщить вам, как я подхожу к определенному интегралу.

Сначала ученики чертят прямоугольник с основанием (а-Ь) на оси X и высотой с на оси У. Разбивая этот прямоугольник на большое число прямоугольни-

48 Речь, по-видимому, идет об учебнике: Борель Э. Элементарная математика / В обработке профессора В.Штеккеля. Пер. с нем., под ред. и с прим. В. Кагана. Одесса, 1912. Ч.II. Геометрия.

49 В начале века вышло несколько учебников по элементарной геометрии Д. Ройтмана, в т.ч., «Начала геометрии» (СПб., 1905); «Курс элементарной геометрии» (СПб., 1910), «Курс элементарной геометрии со включением начал тригонометрии (плоской и сферической)» (М., 1907).

50 Филиппович Ф. В. Указ. соч. С. 109.

ков с основанием ох и высотой с, мы получаем, что площадь его выражается следующей формулой:

2) После прямоугольника переходим к площади трапеции. Чертим прямую у=тх и после некоторых суммирований и нетрудных преобразований получаем формулу для площади трапеции:

Обобщая все эти частные случаи, мы, в конце концов, получаем известную формулу интегрального исчисления:

Таким образом «от частного к общему» и от «конкретного к абстрактному» доходим и до других интегралов

А несколько таких интегралов достаточно будет для установления всех объемов и площадей элементарной геометрии.

В VIII классе я излагаю второй цикл интегрального исчисления. Но и здесь я считаю целесообразным подчеркивать все время на частных примерах, задачах из естествознания сущность задачи интегрального исчисления: зная бесконечно малые изменения одной переменной величины, которые соответствуют бесконечно малым изменениям другой (производную), найти функциональное отношение, которое имеет место между этими двумя величинами, т.е., найти закон, управляющий общим ходом явления (интеграл).

Что касается понятия о дифференциале, я не могу согласиться с авторами русских учебников по анализу, что дифференциал следует определять сразу после производной. Помня общее дидактическое положение - «по одной трудности зараз», - я откладываю понятие о дифференциале до тех пор, пока он нам не понадобится. А это как раз наступит тогда, когда мы подойдем к изучению неопределенных интегралов.

Так как цель анализа бесконечно малых в средней школе не только формальная - расширение кругозора наших учащихся, но и материальная, то необходимо, чтобы учащиеся на конкретных примерах из естествознания и техники усвоили и верно поняли идеи, методы и некоторые навыки, необходимые для изучения явлений природы и современной техники. В зависимости от этого и определяется содержание и методика анализа бесконечно малых в средней школе.

По дифференциальному исчислению: производные простейших функций, встречаемых в естествознании и технике, maximum и minimum в связи с исследованием функций, уравнение касательной. По интегральному исчислению: понятие об определенном интеграле, основные формулы интегрирования

понятие о дифференциале функции и неопределенном интеграле, простейшие приемы интегрирования.

Под конец - понятие о дифференциальном уравнении как высшее обобщение в анализе функций одного независимого переменного. Дифференциальные уравнения дают верное представление «о необъятной приложимости основных построений анализа бесконечно малых, составляющего, без сомнения, самую возвышенную из абстракций, до которых когда-либо поднималась мысль человека», [говорил] О.Конт.

Относительно методики анализа могу сказать, что я в своей практике не останавливался детально ни на теории пределов, ни на непрерывности функций. Я добивался отчетливых понятий у учащихся, а механическая часть, относящаяся к дифференцированию и интегрированию, имела у меня второстепенное значение. Строгих аналитических доказательств я избегал и их заменял графическими иллюстрациями.

С таким небольшим содержанием курса анализа бесконечно малых можно решать массу трудных и важных задач как в научном, так и в практическом отношении. Интерес, возбуждаемый в учениках этими задачами, отражается и на их успешности по другим отделам математики»51.

Таким образом, Ф. В. Филиппович предвосхитил идеи о концентрическом изложении материала, фузионизме элементов математического анализа с курсом алгебры и геометрии. Как известно, все эти идеи были реализованы в советское время, а особенно активно в период колмогоровских реформ.

В своих исследованиях Ф. Филиппович иногда ошибался, некоторые положения его работ неполны и сегодня устарели, но большинство из них, несомненно, составляют золотой фонд отечественной педагогической мысли.

В подтверждение этого заключения переходим к статье Ф. В. Филипповича «К реформе обучения математике», выводы из которой, как уже отмечалось ранее, читатель сможет сделать самостоятельно.

51 Филиппович Ф. В. Постановка преподавания начал анализа в средней школе // Труды I всероссийского съезда преподавателей математики. СПб., 1913. Т. 1. С. 101-116.

Ф. В. Филиппович

К РЕФОРМЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ52

Всем нам известны огромные успехи техники; усовершенствования следуют одно за другим... Техника все время идет вперед. Здесь против введения какого-либо усовершенствования машины, сберегающей труд, не поднимается ни один голос. Все приветствуют новые успехи. Увы, совсем не то видели мы в области обучения и воспитания! Какая рутина здесь царит! История дает нам массу примеров, на которых можно ярко подчеркнуть рутинную технику нашей системы обучения и воспитания сравнительно с другими областями человеческой жизни. Утверждают, например, что Оксфорд был последним учреждением, где была признана философия Ньютона. А между тем, с развитием товарного хозяйства, социальная жизнь усложняется и к школе предъявляют все большие и большие требования. Подготовка к жизни все удлиняется, и поэтому старые приемы обучения и воспитания не выдерживают никакой критики.

Наряду с другими учебными предметами математика обращает на себя больше всего внимания своими старыми, сухими и схоластическими приемами. Еще в начале XIX столетия экономист Сэй приводит разговор, который он имел с одним знаменитым французским математиком; спросив чему служит математика, далее элементов Евклида и начал арифметики, он получил в ответ: «Она служит для писания книг, понимаемых полудюжиною читателей, и для того, чтобы авторы этих книг имели возможность попасть в члены академии наук и, таким образом, пользоваться известными благами». Этот пример показывает, насколько были в обществе недовольны общепринятым способом изложения математики, которая в значительной степени сохранила средневековой характер, когда науки были достоянием очень немногих. Но с тех пор прошло немало времени. Известный немецкий математик Ганкель в своей книге «Развитие математики за последнее столетие» (1885 г.) стал беспощадно критиковать обычные методы преподавания этой науки. Он говорит: «В том виде, в каком математика преподается в большинстве школ нашего обширного отечества, она, бесспорно, суха, неимоверно суха, почти так же суха, как латинские склонения. Но как эти последние не составляют языкознания, так и школьные элементы математики не составляют математической науки. Математика только тогда получит широкое распространение в обществе и будет по достоинству оценена, когда в школе перестанут довольствоваться одной азбукой этой науки, когда откажутся от несчастной мысли, что математика в школе служит

52 В статье сохранены особенности орфографии и пунктуации автора.

только одной формальной цели. Цель математики в ней самой, в ее содержании; упускать это из виду также странно, как изучать историю лишь для укрепления памяти». Итак, в Западной Европе уже давно подвергают суровой критике обучение математике, а также и научные приемы ее изложения. Несмотря на то, что теория ставит преподаванию математики, такие важные задачи, как, например, развитие известных умственных способностей, понимания законов природы и др., опыт говорит, что «преподавание математики твердит печальное крушение». Ввиду этого за последние 10-15 лет различные страны, в лице своих выдающихся ученых, педагогов и общественных деятелей, решили реформировать школьную математику, как в отношении содержания, так и в отношении методов.

В Англии, в стране с развитою промышленностью, уже давно подвергаются беспощадной критике результаты, достигаемые в школах, в особенности по геометрии. Эта критика привела к организации в 1870 г. «Ассоциации для усовершенствования преподавания геометрии». Ассоциацию больше всего интересовал вопрос: как согласовать удовлетворительным образом строгое систематическое изложение с требованиями педагогики? Это течение расширялось больше и больше. Явились новые энергичные реформаторы: Джон Перри, проф. О. Лодж и др., требующие серьезных реформ в деле воспитания и обучения. В 1901 г. и 1902 г. на сторону Перри перешла могущественная Британская Ассоциация; в последующие годы к «движению Перри» присоединились и другие математические союзы и общества. Наконец сдалась и официальная наука: Оксфорд и Кэмбридж опубликовали новые программы для поступления в университеты, а Департамент Просвещения издал в 1910 г. новые совершенно реформированные программы для средней школы.

Колоссальный рост промышленности и техники, покрывший Америку фабриками, заводами и создавший новые потребности образования, как нельзя лучше был учтен американскими педагогами. Их главным лозунгом было: ближе к жизни! Они хорошо сознавали, что «пассивное восприятие фактов и истин», хотя и может увеличить запас нашего знания, но все-таки дает учащимся чересчур мало случаев для самодеятельности и для развития умственной самостоятельности. В противовес этому пассивному восприятию предлагаемых знаний и познаний они предлагают «лабораторную методу», которая служит дальнейшей стадией развития идеи наглядного обучения.

В Германии на съездах и в печати слышатся жалобы на печальные результаты обучения математике. На Гамбургском (1901 г.) и Кассельском (1903 г.) съездах занимаются вопросом о реформе преподавания физико-математических наук. На следующем съезде в Бреславле была выбрана Комиссия из 12 членов (проф. Ф. Клейн, проф. Гуцмер и др.), которая выработала учебный план математики и естественных наук; он был принят, затем, общим собранием общества естествоиспытателей и врачей, осенью 1905 года, в Меране.

Этот план, под именем Меранского, введен в 5 казенных учебных заведениях, а частично введен почти во всех.

В 1904 г. в Парижском Педагогическом Музее происходит ряд Конференций, посвященных критике существующих программ и выработке основ новых программ по математике. А в 1905 году [они] и легли в основание опубликованных новых официальных программ французских лицеев и Коллежей. Результатом новых программ по математике появились учебники в новом духе, как например проф. Бореля, Бурле, Таннери и др.

Из этих указаний видно, что стремление к реформе преподавания математики и естественных наук делается всеобщим как в Западной Европе, так и в Америке. Под конец это движение принимает международный характер. В 1905 г. Нью-йоркский профессор математики Смит предлагает избрать международную Комиссию, которая занялась бы изучением постановки математического образования в различных государствах. Это же предложение было им внесено на 1У Международный математический конгресс, заседавший в Риме с 6-го по 11-е апреля 1908 г. Конгресс весьма сочувственно отнесся к предложению и поручил г.г. Клейну, Гренхелю и Феру организовать международную Комиссию и представить общий доклад на следующем Конгрессе. (Апрель 1912 г.) Работы Комиссии сейчас заканчиваются, и в 1911 г. будет дана уже общая сводка.

Что касается России, то русский педагогический мир, в связи с коренным вопросом о реформе всего школьного строя, также заинтересовался вопросом о реформе преподавания математики. Различные съезды и курсы свидетельствуют о том, что реформа обучения математике захватила широкие круги педагогов. Так, например, Вторым всероссийским съездом по педагогической психологии (Спб., 1—5 июня 1907 г.) была принята такая резолюция:

«В преподавании математики в начальных и средних школах необходимо придерживаться не только принципов наглядности и доступности, но и принципа психо-физического, а именно: не одно только зрение, но и другие чувства должны участвовать в выработке понятия о числе. (Эти принципы и составляют основание лабораторной методы в преподавании)».

Первый Всероссийский съезд учителей городских училищ (Спб., 7— 14 июня 1909 г.) в отделе математики тоже занимался вопросом о реформе обучения. Резолюции были приняты в следующей редакции:

I. «Целью преподавания математики в городских училищах является: а) научить учеников верно, быстро и изящно производить вычисления, начиная с простейших действий над целыми числами и кончая вычислениями тригонометрическими (при помощи натуральных таблиц); Ь) провести через весь курс математики, где это доступно учащимся, идею функциональной зависимости величин (идею закономерности); с) познакомить учеников с применением математики к изучению явлений природы и современной техники (при помощи графической методы и других)».

II. «Современные программы, равно как и учебные планы по математике, во многих отношениях не удовлетворяют поставленным целям. Поэтому необходимо пересмотреть весь учебный материал, исключить ненужные бессистемные отделы, ввести новые».

III. «При выборе материала надо придерживаться следующих руководящих указаний:

а) соответствия отельных вопросов общим целям программы;

б) необходимости установить тесную связь между различными подотделами математики, а также между математикой и другими учебными предметами».

IV. «Материалы должны быть расположены концентрически».

V. «При прохождении курса математики необходимо придерживаться следующих методических положений;

а) согласно принципам психологии и дидактики, обучение нужно начинать с наиболее конкретного, основываясь на различных чувственных восприятиях учащихся;

d) необходимо при обучении математике в широких размерах пользоваться эвристическими, наглядными и лабораторными методами преподавания».

Математический отдел Педагогического Музея в С.-Петербурге уже с 1907 г. усиленно работает над вопросами, относящимися к реформе обучения математике. Прошлогодний московский съезд естествоиспытателей и врачей и Первый Всероссийский съезд по экспериментальной педагогике (Спб., 1910 г. 26—31 дек.)—на частном совещании членов-математиков— также констатировали необходимость реформы преподавания математики. Теперь рассмотрим хотя бы в кратких чертах, какие принципы легли в основание этого нового движения в пользу реформы обучения математике.

Ш.

Нельзя, конечно, отрицать, что знание педагогической психологии должно выяснять, при каких технических условиях школьные работы дают наибольший результат при наименьшем утомлении. Поэтому учитель должен быть хорошим знатоком психологии и педагогики, для того, чтобы ему не пришлось на своей практике вторично открывать Америку. Мы, педагоги, очень много грешим, не зная хорошо психологии детского возраста, и часто смешиваем науку в чистом ее виде с учебным предметом. При пояснении новых понятий происходит очень часто смешение логически простого факта с тем, что представляется психологически более простым и элементарным для детей. Так, напр., наши методисты арифметики из-за этого впадают в ошибку, когда при объяснении первоначальных дробей пользуются прямой линией вместо круга. Конечно, в логическом отношении лучшим графическим изображением служит прямая линия, потому что ее легко разделить на сколько угодно равных частей. Но зато, на основании экспериментальных исследований лучшим пособием является круг, как пси-

хологически более простой факт. Далее, учитель, принадлежащий к определенному типу представления, бывает обыкновенно склонен в своей практике предполагать в своих учениках принадлежность к такому же типу представления. И, как следствие этого, выходит, что, большею частью, нынешнее школьное обучение развивает одни представления и ослабляет другие. Таким образом, гармоническое развитие личности является для современной школы только фикцией.

Этими двумя примерами я имел в виду показать, что одного этого эмпиризма и наблюдения учителя мало. Для того, чтобы возможно было построить теорию наиболее выгодного устройства школьной работы— дидактику, для этого нужно базироваться на данных педагогического психологического исследования. Из истории педагогики нам известны важные значения гениальных наблюдений старых великих педагогов—А. Коменского, Локка, Руссо и затем Песталоцци, Гербарта и Фрёбеля. Но все-таки они нам не дали учения о наглядном обучении в законченном его виде, да и не могли его тогда дать, потому что у них не было того физиологического и психологического материала, какими теперь обладают экспериментаторы -психологи. Собственно говоря, ребенок стал предметом научного исследования лишь в последние тридцать лет, хотя сотни лет «его воспитывали все отцы и матери, о нем, говорили пророки и беллетристы, его обучали тысячи учителей». Умственное развитие и двигательная способность идут рука об руку, — говорят нам психологи. Так называемые «пассивные наглядные пособия», которые злоупотребляли глазом, как проводником знания, должны уступить место «активным» пособиям. Ученик должен изучать мир, знакомясь с ним действенным путем, приходить в действительное соприкосновение с ним, черпать знание из первоисточника его — самого предмета, над которым он работает. Таким путем и возникла «лабораторная» метода обучения математике. Каждое новое арифметическое понятие должно быть разрабатываемо лабораторной методой самостоятельно, путем творчества. Нельзя отрицать, конечно, что чем более самодеятелен и самостоятелен бывает учащийся при приобретении какого-либо нового понятия, способа, знания и т. п., тем точнее усваивается, тем прочнее удерживается в его памяти это новое понятие, способ, знание и т. п. Прежний идеал «сидячего» воспитания должен быть сдан в архив. «Динамическое», воспитание должно получить право гражданства в педагогике.

После известных успехов в области экспериментальной психологии и педагогики нам должно казаться еще более чудовищным нынешнее сухое, догматическое и схоластическое изучение геометрии с ее доказательством очевидных истин в роде того, что все прямые углы равны или что из одной точки на данной прямой можно восстановить только один перпендикуляр. «До 14—15 лет—время действовать; после будет достаточно времени для размышлений», — таково указание психологии. Но, несмотря на все это, во многих школах арифметика и геометрия преподаются так, что это не соответствует ни природе ребенка, ни его потребностям. Хотя надо отметить,

что старый метод в Западной Европе, Америке, и в некоторых наших школах все более и более теряет почву; появляются новые учебники, требующие со стороны учащегося воздействия на окружающую среду. Реформа обучения математике и требует, чтобы школьная психология внесла свои поправки в учебный план школьной математики. Вопросы о форме обучения и приемах обучения должны быть разрабатываемы на глубоком познании детской природы. И только тогда можно сообразовать обучение математике с особенностями детского внутреннего строя и его постепенного развития, а не с внутренним строем взрослого человека, чем именно и страдало прежнее обучение.

Исключительная забота о формальной стороне обучения математике привела к тому, что исключительно логический способ стал доминировать в преподавании математики. Пренебрежение материальным принципом обучения все более и более удаляло школьную математику от жизни. В конце концов — полная оторванность от жизни. Но до половины XIX столетия это было не так важно, так как на знание математики спроса не было. Но, когда с половины предыдущего столетия сказался быстрый рост промышленности, положение дел стало скоро изменяться. Социальной функцией школы стало снабжение народных масс той суммой знаний, которая безусловно необходима для выполнения их роли в современном хозяйственном строе. Тут входило и умение вычислять при помощи математических методов, столь необходимое для технического производства. Одним словом, с тех пор материальное знание выдвигается на ряду с формальным. А в последнее время одним из основных принципов реформы обучения математике является требование практических приложений в математическом преподавании. Как со стороны средней школы, так и университетов, раздаются все громче и громче голоса в пользу сближения школьной математики с жизнью. Если мы раскроем любой арифметический задачник, то воочию убедимся, какая значительная часть задач удержалась до сих пор в силу рутины как печальная традиция давно минувших дней. Например, римские законы о наследстве давали материал для составления арифметических задач в роде: некто, умирая, завещал... Или-же колониальная торговля Голландии и Англии XVI ст. вызвала решение задач на правило товарищества арифметическим способом. И все это до сих пор сохранилось! Да еще к этому прибавились искусственные задачи. Фантазия составителей задачников выдумывала задачи: на «красное и синее» сукно, бассейны,... и т. п. с числами: 0, 666... и т. д. Сторонники реформы обучения математики говорят: жизнь сама должна вторгнуться в арифметические задачники; «свежая, живая жизнь действительности, кажущаяся в глазах юношества такою веселою и чудесною, так странно манящая его к себе в жизнь взрослых» (А. Герлах). Реальные задачи возбуждают интерес в арифметике и придают классному преподаванию много тепла и силы.

И со стороны науки идут нападки на схоластическое обучение математике. Проф. Ф. Клейн горячо нападает на отсталость школьной математики

от науки. Он указывает, что школа игнорирует почти все развитие математики, начиная с XVII ст.., и желает, чтобы отсталость средней школы по отношению к высшей не превышала 30 лет. В самом деле, из всего богатства методов, внесенных в европейскую науку со времен эпохи Возрождения, только логарифмы получили право гражданства. Таким образом, курс алгебры в наших гимназиях заканчивается математическими открытиями начала XVII ст. Так как по взглядам новых педагогов одна из задач общего образования есть «способность понимать все наше культурное развитие», то очевидно, что такая цель не может быть достигнута без расширения математических знаний. Объяснить какое-нибудь явление в природе — это значит выяснить его генезис и связь с другими явлениями. Поэтому лучше всего развивать идею функциональной зависимости (закономерности) в математике. Учение о функциях есть центральное учение всей математики, потому что функциональная зависимость есть математическое выражение великого закона изменяемости соотношения всех явлений; установление есть сущность и конечная цель всей науки. Ввиду этого, реформаторы требуют, чтобы весь курс математики был сконцентрирован около идеи функциональной зависимости и расширен первоначальными понятиями анализа бесконечно малых. Само собой разумеется, если понятие функциональной зависимости будет проходить красной нитью через весь курс математики, то не трудно будет учащимся в высших классах наших средних школ усвоить начала исчисления бесконечных - дифференциальное и интегральное исчисления. Первые элементы анализа бесконечно малых в связи с их историческим развитием необходимы для знакомства с явлениями природы. Итак, учащихся не следует искусственно задерживать на средневековом уровне математики, и тогда мы успеем их познакомить с великими открытиями творцов европейской математики; труды Декарта, Лейбница и Ньютона им будут известны хотя бы в самых общих чертах. Г. Гельмгольц, А. Фик и Бернштейн в Германии давно уже указывали на расширение школьного преподавания в таком направлении не только в интересах расширения кругозора наших учащихся, но и в пользу изучения медицины и вообще понимания движущих сил нашего современного развития.

Что касается преподавания геометрии, то оно требует радикального преобразования. Прежде всего, опыт показал, что нужно установить два цикла преподавания геометрии, если не желают вызывать у учащихся отвращение и ненависть к математике. В первом цикле должна преобладать интуиция, наглядность. Второй цикл геометрии содержит только необходимое число теорем и задач, составляющих неразрывную логическую цепь. В этот курс нужно внести живую струю и исключить пережиток схоластики. Очевидные истины доказывать нет никакой надобности - по педагогическим соображениям. Но зато новые отделы должны найти место, а именно: начала тригонометрии, общая теория симметрии и подобия, закон Кавальери.

Мы указали в самых общих чертах - на сколько нам позволяли рамки журнальной статьи - на основные принципы реформы обучения математике. С трех точек зрения - психологической, материальной и научной - требуются новые приемы преподавания.

В России до сих пор существуют официальные программы по математике, в которых сохранились пережитки средневековой схоластики. Поэтому стоит на очереди задача о реформе обучения математике. В новые программы реальных училищ вошли некоторые новые отделы, а именно: начала аналитической геометрии и элементы дифференциального и интегрального исчислений. Но там же есть и существенный недостаток: идея функциональной зависимости, в связи с понятием о переменных величинах и их пределах, вводится только в конце курса, как бы в виде какой-то надстройки, так что программа по духу остается старой. В гимназиях осталось пока все по-старому. Что касается профессиональных и технических учебных заведений, то там будет гораздо легче произвести реформу, так как эти училища по самой своей организации больше отвечают жизненным потребностям, чем средняя общеобразовательная школа. В старых программах добиваются полного, основательного знания «микроскопической» части геометрии и алгебры. Это старание, в свою очередь, мешает учащимся технических учебных заведений иметь время и охоту обозреть и другие поля математики - тригонометрию, и, вообще, азбуку высшей математики. А все это необходимо для знакомства с целым рудником сокровищ современной техники. Так, например, при изображении явлений природы очень часто приходится прибегнуть к воздействию глаз, к графическому изображению. Но для этого необходимо знакомство с «понятием координат», чего нет в старых программах.

Хотя теперь лишь намечаются общие контуры реформы обучения математике, но все-таки в некоторых учебных учреждениях это новое течение принимает более конкретные формы. В 1909 г. физико-математическая секция Санкт-Петербургского общества народных университетов приступила к выработке программы для систематического курса математики и физики. А в этом году Преображенская новая школа (8-ми классная гимназия) выработала программу на основании новых принципов для приготовительных классов и восьми основных. Что касается физико-математической секции Санкт-Петербургского общества народных университетов, то в первую очередь была выработана программа математики особой комиссией при ближайшем участии проф. Я. Н. Гордеенко, проф. Б. А. Иванова, Д. М. Левитуса, В. Р. Мрочека, Ф. В. Филипповича, М. Л. Франко и проф. И. М. Холмогорова. В основу своей работы секция положила следующие два принципа:

1) Методы изложения для взрослых должны существенно отличаться от детских методов, и

2) В интересах слушателей материал должен быть выбран по возможности прикладного характера.

IV

Методическая распланировка печатаемой ниже примерной программы математики имеет в виду взрослых, применительно к запросам и нуждам русских народных университетов, хотя, по мнению комиссии, она по своему содержанию подходит и для средних профессиональных и технических учебных заведений.

«Цель преподавания математики в народных университетах двоякая. Во-первых, необходимо научить слушателей верно, быстро и сознательно производить вычисления, начиная с простейших действий над целыми числами и кончая вычислениями логарифмическими и тригонометрическими. Во-вторых, необходимо познакомить слушателей с применением математики к изучению явлений природы и современной техники.

Для достижения первой цели излагаются основы арифметики, геометрии с тригонометрией, и алгебры, как учения об уравнениях. Для достижения второй цели излагаются сведения из области аналитической геометрии, основ учения о функциях, дифференциального и интегрального исчислений.

Арифметика и алгебра

(примерная программа) А. - 1) Четыре действия над целыми числами. Знакомство с русскими мерами и с первоначальным понятием о дробях. Решение простых задач. -2) Повторение десятичной нумерации. Ознакомление с метрической системой мер. Простейшие десятичные дроби и четыре действия над ними. Понятие о десятичной периодической дроби. Понятие о проценте. Решение задач; составление плана решения.

В.- 3) Признаки делимости чисел. Разложение чисел на первоначальные множители. Наименьшее кратное. Обыкновенные дроби и действия над ними. Обращение обыкновенных дробей в десятичные. Обращение конечных десятичных дробей в обыкновенные. Задачи. - 4) Основные вопросы из так называемой коммерческой арифметики: процентные вычисления, учет векселей, ренты и т.п. Простая пропорция и пропорциональное деление. С- 5) Уравнение как средство для записи условия задачи. Различие между тождеством и уравнением. Связь правил умственного счета с правилами скобок. Задачи и примеры, особенно ярко иллюстрирующие могущество уравнения. - 6) Уравнения, приводящие к необходимости классификации (и величин) на положительные и отрицательные. Величины и числа этого рода в термометрах, в геометрии, в указаниях времени, в некоторых вопросах купли и продажи. Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел и графическое их истолкование. Отрицательный корень уравнения и его смысл для задач разных родов. - 7) Уравнения, приводящие к вопросу о смысле умножения и деления положительных и отрицательных чисел. Примеры из геометрии и из области равномерного движения. Правила знаков при умножении и делении. - 8) Правило для решения

уравнений с численными данными и проверка решения. Решение и составление уравнений с буквенными данными (из области геометрии, физики, механики и т.п.) в связи с 4-мя действиями над одночленами и многочленами менее сложной структуры. - 9) Замечательные произведения: а) квадрат суммы двух количеств, б) квадрат разности двух количеств, в) произведение разности двух количеств на сумму тех же количеств и др. Графический их смысл. - 10) Решение и составление уравнений 1-й степени с двумя и тремя неизвестными. Способ подстановки и способ сложения и вычитания.

Д.- 11) Исследование уравнения 1-й степени. Графическое представление простых линейных функций и использование этого представления для решения уравнения. - 12) Понятие о степенях и корнях. Извлечение квадратного корня из чисел и одночленов. Начальное представление о несоизмеримом числе и преобразовании простейших радикалов. - 13) Решение уравнения 2-й степени при помощи разложения квадратного трехчлена на множители. Свойства коэффициентов и корней квадратного уравнения. Вывод формулы для решения квадратного уравнения. Решение и составление квадратных решений с одним и двумя неизвестными. - 14) Рассмотрение при помощи графического представления квадратного выражения, зависящего от одного переменного. - 15) Арифметическая прогрессия. - 16) Пропорции и главное их свойство. Понятие о пропорциональности (единицы мер и именованные числа). Прямая и обратная пропорциональность. Геометрическая прогрессия. Бесконечно убывающие величины; геометрические иллюстрации. Периодические десятичные дроби. Понятие о пределе. - 17) Логарифм и логарифмирование. Таблица десятичных логарифмов. Основные теоремы о логарифмировании. Приложения логарифмов к процентным вычислениям.

Объяснительная записка к программе арифметики и алгебры

Хотя комиссия не выработала объяснительной записки, но автор этих строк считает нужным пояснить некоторые места из этой программы, так как он тоже принимал ближайшее участие в ее разработке.

Комиссия при составлении этой программы руководствовалась принципом, что распределение материала должно основываться не на логическом плане, а на потребностях школы, в зависимости от местных условий и общей программы. Далее, так как главная цель арифметики - выучить учащихся верно, быстро и изящно вычислять, то необходимы многочисленные и жизненные упражнения, а не правила и их доказательства. Сообразуясь с этим, изложение арифметики должно быть гибким, приспособляться к родственным учебным предметам - химии, физике, технике, статистике и т.п. и развивать постепенно умение владеть выкладками. Программа арифметики должна быть построена на принципе концентрации материала. Многие

вопросы из арифметики должны идти параллельно с курсом наглядной геометрии (например, задачи на вычисление поверхностей и объемов) и взаимно дополнять друг друга. Так называемые «задачи на время» должны при этом радикально измениться Бессмысленные задачи на тему, кто когда родился или кто сколько прожил, должны отойти в архив. Вместо этого лучше учащимся дать первоначальные сведения из астрономии. Запись времени должна быть общепринятой, а таковой является коммерческая. Например, чтобы вычислить время с 27 ноября 1901 г. по 13 марта 1902 включительно пишут: как сказано «включительно», то следует еще прибавить 1; ответ - 107.

Курс дробей должен распадаться на три цикла. В первом надо познакомить учащихся с простейшими случаями дробления конкретных «единиц» ^ " / ' " / и ' v / ^' ' АЧУЛ Пояснения некоторых действий с этими дробями следует производить графическими изображениями. Во втором цикле - научить производить действия над десятичными дробями. Следовательно, десятичные дроби необходимо изучать раньше обыкновенных дробей. Этого требуют соображения практические и методические. Что касается четырех действий над десятичными дробями, то в первое время рекомендуется ограничиваться десятыми, сотыми и тысячными долями. Умножение десятичных дробей вполне независимо от умножения обыкновенных дробей - объяснить, например, на следующем примере:

Очевидно, что, умножая 2,3 только на 3 (т.е. 6,9), получим меньше, чем следует, а умножая на 4 (т.е. 9,2), получаем больше. Стало быть, целых единиц в произведении должно быть больше 6, и меньше 9, потому запятую надо поставить направо от 7 и получить 7,82. Можно еще и так рассуждать: умножая на 34, вместо 3,4 делаем ошибку в 10 раз больше. Для исправления ошибки следует произведение уменьшить в 10 раз, и т.д. - И в третьем цикле - на достаточном числе хорошо подобранных конкретных задач пройти обыкновенные дроби и действия над ними. Здесь следует также прибегать к графическим иллюстрациям.

Из программы арифметики выброшено: действия над именованными числами (как самостоятельный отдел), нахождение общего наибольшего делителя, превращение периодических дробей в обратные, сложные задачи алгебраического характера и вообще ненужные замысловатые задачи «фантастического типа».

Нахождение общего наибольшего делителя выбрасывается из курса, так как этот вопрос не имеет никакого применения в элементарном курсе математики, да и его общеобразовательное значение очень сомнительно.

Обратное превращение периодических дробей откладывается до прогрессий в алгебре, а в курсе арифметики можно пока вполне довольствоваться вычислением с данной точностью. Из школьной практики должны быть совершенно устранены все искусственные задачи. Их место должны занять задачи, в основание которых взято какое-либо число из действительности. Могут быть разрабатываемы попутно разные вопросы из так называемой коммерческой арифметики, материал для задач брать из техники и т.п. Но никаких «правил» и задач, распределенных по типам, не должно быть. Задачи решаются по соображению.

В курсе арифметики при прохождении четырех действий над целыми числами, а также при решении задач следует проводить идею функциональной зависимости. Понятие о пропорциональности давным-давно получило право гражданства в арифметике. Поэтому надо выбирать задачи из химии, физики, техники и т.п., ибо там имеются очень хорошие примеры пропорциональной зависимости величин. Идея пропорциональной зависимости представляет из себя первую ступень понятия о функциональной зависимости, поэтому она заслуживает большого внимания со стороны преподавателя.

Что касается алгебры, то уравнения и функции - вот два базиса, на которых должна основываться перестройка курса. Эта точка зрения удовлетворяет педагогическим требованиям, так как учащиеся ознакомятся с методом уравнений, с графической интерпретацией, научатся решать практические вопросы-задачи, приобретут умение пользоваться готовыми или эмпирическими формулами.

С самого начала надо решать уравнения 1 -й степени с одним неизвестным вроде:

т.е. типа ах+Ь=с, где неизвестные

входят только в одну часть уравнения. Конечно, все эти уравнения для возбуждения интереса у учащихся надо облекать в форму задач. Многие арифметические задачи из отделов под названием «правило процентов», «правило товарищества», «правило смещения» и др. представляют простые алгебраические уравнения, если их только освободить от специальных арифметических названий. На таких задачах можно особенно ярко иллюстрировать значение уравнения. Например, капитал, отданный в рост под 5%, обратился через год в 9450 р. Какой был первоначальный капитал? Такая задача решается очень легко при помощи уравнения: х+0,05х=9450 и т.п. Что касается правила перенесения членов уравнения из одной части в другую, то его надо дать значительно позже; поэтому, следует очень долго держать учащихся на прибавлении (и отнимании) равных чисел к обеим частям уравнения, чтоб они вполне сознательно применяли эти аксиомы, для выяснения которых лучше всего пользоваться весами; здесь учащиеся наглядно убедятся в справедливости данных аксиом. Если к этому прибавить еще аксиому: «если обе части равенства умножить (или разделить) на

одно и то же число, то равенство не нарушится», то учащиеся получают возможность решать простейшие уравнения.

Как видно из программы, составители ее высказываются против раннего введения отрицательных корней уравнения, и в первое время должно решать такие задачи, которые нас к отрицательным решениям не приводят. После простейших уравнений типа ах+Ь=с целесообразно переходить к более трудным задачам на составление уравнений - с неизвестными в обеих частях вроде: типа ax+b=c+d. Что касается правила знаков, то о его доказуемости не может быть никакой речи, так как и в науке (в XIX ст.) вопрос о доказательстве правила знаков разрешен отрицательно. Но по педагогическим соображениям следует учащимся на конкретных задачах (например, при помощи термометра или какого-нибудь другого графического приема) пояснить правило знаков и подчеркнуть, что принятое нами правило не приводит ни к каким логическим противоречиям.

Относительно извлечения квадратного корня на первых порах не следует давать догматического правила. Графическое изображение квадратных корней при помощи параболы, а также и геометрическое построение корней очень много помогают сознательному усвоению этого нового понятия. Приемы извлечения корней при помощи «разложения на множители», «способа деления» и т.п. предшествуют обычному извлечению с доказательством.

Новое понятие об иррациональном числе вводится генетической методой, и лучше всего начать с исторического примера ^ - т.е. с прямоугольного треугольника с катетами 1 и гипотенузой А сама необходимость установления совокупности новых чисел должна вытекать из извлечения корней, подобно тому, как вопросы о неразрешимом делении и вычитании привели нас к расширению понятия о числе и к введению новых чисел -дробных и отрицательных. Никакой теории несоизмеримых чисел не следует давать, хотя это и делают некоторые «новаторы», посвящая этому вопросу около 100 страниц; должно довольствоваться «психологическим» объяснением этого нового понятия и потом производить все четыре действия над несоизмеримыми числами с данной точностью.

Понятие о пределе лучше всего рассматривать в связи с бесконечно убывающими геометрическими прогрессиями. Догматические, сухие и схоластические определения предела только затемняют самый вопрос, но ничуть его не поясняют. При прохождении логарифмов надо выдвигать на первое место практическую сторону.

Решая и исследуя уравнения, надо все время прибегать к графической интерпретации. Следовательно, «графики» не должны составлять самостоятельный отдел, как бы сокращенный курс аналитической геометрии. Графический метод должен служить вспомогательным средством при решении многих алгебраических вопросов.

Так как в программе алгебры выдвинуто на первый план решение уравнений в связи с понятием функциональной зависимости, то все алгебраические действия, преобразования, упрощения формул излагаются лишь по мере надобности, как средства. Из этого вытекает, что действия над очень сложными многочленами, общий наибольший делитель, общее наименьшее кратное, определенные уравнения, теория соединений, бином Ньютона, непрерывные дроби, должны отойти в архив. Эти вопросы не имеют никаких применений по отношению к уравнениям и, отнимая драгоценное время, убивают всякий интерес к предмету. Задачи очень сложные, искусственные, сухие должны быть уничтожены. Вместо них надо отдавать предпочтение задачам, взятым из жизни, из естествознания и техники; данные не должны быть фантастического характера и подбираются так, чтоб непременно получались круглые числа. Числа должны соответствовать действительным соотношениям величин.

Что касается объема курса, то он ни в коем случае не может быть признан слишком большим. В доказательство этому могут послужить курсы алгебры В.Лермантова и Бореля. Из них видно, что нововведения потребовали приблизительно столько же времени (если не меньше) сколько удается сберечь уничтожением, сокращением и методической переработкой других отделов.

V

Геометрия

Программа

А. - Куб. Квадраты, прямые углы, ребра и вершины. Построение развертки поверхности куба. Горизонтальные поверхности. Параллельные грани. Вертикальные плоскости. Идея геометрического равенства. Три геометрических измерения. Площадь квадрата. Объем куба. Квадратные и кубические меры, метрические и русские.

Прямоугольный брус (параллелепипед). Построение развертки поверхности и описание прямоугольного бруса. Четырехугольники. Площадь прямоугольника.

Объем прямоугольного бруса. Соотношение между объемом и весом.

Углы. Понятие об угле. Вершина и стороны угла. Название угла. Транспортир. Построение и измерение углов с помощью транспортира и сторон прямоугольного треугольника (tg, sin, cos). Задачи на построение.

Треугольная призма. Построение развертки поверхности и описание треугольной призмы. Треугольники. Площадь треугольника. Объем треугольной призмы. Задачи.

Правильные пятиугольные и шестиугольные призмы. Рассмотрение правильных многоугольных призм. Правильные многоугольники, их построение. Развертки поверхностей многоугольных правильных призм. Пе-

риметры и диагонали. Площадь правильного многоугольника. Объем правильной многоугольной призмы. Задачи

Цилиндр. Рассмотрение цилиндра. Кривые поверхности и линии. Окружность, винтовая линия. Три приема черчения [вычерчивания] окружности. Круг. Эллипс. Черчение эллипса. Развертка поверхности цилиндра. Длина окружности. Площадь круга. Объем цилиндра. Площадь эллипса. Задачи.

Треугольная пирамида. Рассмотрение треугольной пирамиды. Двугранные и многогранные углы. Развертка поверхности треугольной пирамиды. Объем треугольной пирамиды. Задачи. Правильные многоугольные пирамиды. Построение разверток поверхностей и описание правильных многоугольных пирамид. Объем правильной многоугольной пирамиды. Задачи.

Усеченная пирамида. Описание усеченной пирамиды. Трапеция. Развертка поверхности усеченной пирамиды. Площадь трапеции. Объем усеченной пирамиды. Задачи.

Конус. Построение развертки поверхности и описание конуса. Сектор. Площадь сектора. Объем конуса. Задачи.

Шар. Описание шара (в связи с глобусом). Поверхность шара. Вопрос о черчении географических карт. Объем шара. Задачи.

Понятия о симметрии и об изменяемости фигур (идея функциональной зависимости) должны быть сообщаемы попутно, при рассмотрении как плоских фигур, так и тел.

В. - 1) Теорема Пифагора и ее применения к плоским и пространственным фигурам. Подобие фигур. Масштаб. Понятие о съемке. Задачи. - 2) Тригонометрические функции sin, tang, cos и ctg как отношения сторон прямоугольного треугольника. Простые зависимости между функциями. Решение треугольников при помощи натуральных таблиц.

С- 1) Систематизация геометрических сведений. Аксиомы и теоремы. Определения. Методы доказательств. - 2) Методы симметрии и движения в геометрии. Начала проекционного черчения. - 3) Функциональная зависимость геометрических величин в связи с идеей непрерывности.

Объяснительная записка к программе геометрии

Из программы видно, что сначала необходимо пройти курс наглядной геометрии и только под конец, когда он вполне хорошо усвоен, можно перейти к систематизации геометрического материала. Таким образом, преподавание геометрии проходится в двух циклах.

В основу курса наглядной геометрии легли следующие положения: 1) Курс должен дать известный запас геометрических сведений для практических приложений в жизни. На этот пункт следует обратить больше всего внимания, так как практические положения дают нам в руки великолепное средство еще более усилить и образовательное и воспитательное значение

математики; 2) Развивать пространственные представления, поэтому планиметрию и стереометрию надо проходить совместно; 3) Развивать идею функциональной зависимости (закономерности) и 4) Давать материал для отвлеченного (дедуктивного) курса геометрии. Стало быть и в этом курсе следует учащимся выяснять необходимость доказательств некоторых геометрических истин не только при помощи интуиции (созерцания), но и при помощи логического рассуждения.

Что касается изготовления моделей - разверток и геометрических тел, то не следует этим увлекаться, так как эта программа геометрии намечается для взрослых. Достаточно, чтобы учащиеся в начале курса занялись изготовлением моделей простейших тел: куба, параллелепипеда, призмы и т.п., а потом, при прохождении дальнейшего курса, довольно будет обыкновенных спичек, палочек для иллюстрации важнейших геометрических сведений. В этом курсе, конечно, преобладают экспериментальные выводы. Автор этой статьи позволяет себе, на основании своей практики, некоторые места программы объяснить на примерах.

Так при рассмотрении цилиндра мы убеждаемся, что для вычисления поверхности и объема цилиндра необходимо знать, чему равняется длина окружности. Измеряя много кружков лентой, учащиеся скажут, что длина окружности больше своего диаметра в 3 с лишним раза или точнее - при помощи учителя:

Для нахождения площади круга надо иметь прибор - «разборный круг». Хотя этот прибор можно изготовить во время урока из картона. Для этого следует вырезать из картона круг, провести в круге диаметр, и оба полукруга разделить на возможно большее число равных секторов, которые можно принять за треугольники, если дугу, ввиду ее малости принять за хорду. Если оба эти полукруга растянуты, тогда получаем 2 фигуры, напоминающие пилы. Из них легко составить параллелограмм (или прямоугольник) вкладывая зубцы верхней фигуры между зубцами нижней. Стало быть, площадь круга [равна] площади параллелограмма... и т.д. Зная, чему равняется площадь круга можно вычислить поверхность цилиндра. Для вычисления объема цилиндра следует воспользоваться идеей функциональной зависимости, т.е., что объем есть функция площади основания и высоты. К этому надо прибегать и при вычислении объемов других тел. Например, зная, что объем прямоугольного бруса равен площади основания, помноженной на высоту, т.е., что объем бруса зависит от площади основания, то следует подчеркивать в глазах учащихся эту функциональную зависимость между объемом тела и площадью его основания. Если функциональная зависимость учащимися усвоена, то для них будет очень легко найти объем треугольной, многоугольной призм, а также и цилиндра. Вообще, в течение всего курса наглядной геометрии надо обращать внимание учащихся на изменяемость геометрических форм при изменении элементов, как по величине, так и по положению. Вот несколько примеров: один из смежных углов есть функция другого, сумма внутренних углов

многоугольника есть функция числа сторон, а сумма внешних углов ( 4 d ) есть величина постоянная, длина окружности есть функция радиуса и т.п...

После теоремы Пифагора и подобия фигур идет начало тригонометрии. Тригонометрия вообще играет серьезную роль в элементарной математике. Ее надо только освободить от догматической, сухой и схоластической формы, какую ей теперь придают обыкновенно в средних школах. С первых же уроков она дополняет элементы геометрии и алгебры, с которыми составляет так называемый первый цикл изучения математики. Связь геометрии с тригонометрией необходима, доказательством чему служит вопрос о треугольниках. При рассмотрении отдела о треугольниках обнаруживается важный пробел - не указана точная зависимость между сторонами и углами треугольника. Из программы видно, что строго говоря не может быть и речи о систематическом курсе тригонометрии в первом цикле. Тригонометрические функции - в первое время только sin и tang - рассматриваются не как круговые функции, а как отношение сторон прямоугольного треугольника. Такие простые зависимости между тригонометрическими функциями нам необходимы для решения треугольников, так как всякий вычислительный процесс геометрии непременно сводится к вычислению треугольника. Треугольник следует решать только при помощи натуральных таблиц.

Начала тригонометрии имеют очень большую общеобразовательную и практическую ценность; она подготавливает к общим методам аналитической геометрии, устанавливая вполне естественную связь между абстрактной математикой и техническими применениями. В курсах элементарной геометрии Д. Ройтмана и прямолинейной тригонометрии В. Мрочека проведена тригонометрия приблизительно в таком смысле и объеме.

Приступая к систематизации геометрических сведений мы имеем тут дело с новой задачей: учащихся следует познакомить с новым - дедуктивным методом мышления. Но и в этом курсе не может быть обращено внимание исключительно на логическую сторону, ибо геометрия есть «химическое соединение созерцания и логики». Мы уже говорили, что и при прохождении курса наглядной геометрии - в особенности в конце его - надо учащимся подчеркивать, что одного наблюдения, опыта и измерения недостаточно. Поэтому крайне важным является внушение учащимся сознания пользы и необходимости логического рассуждения, чтобы свести до минимума число опытов. Хорошим примером для этого послужит, например, теорема о сумме углов всякого треугольника и т.п. На таком и ему подобных, более простых, примерах надо показать, что опыт дает предчувствие истины, но недостаточен, чтобы ее узнать в точной мере и полном объеме. Легко показать практическое значение логического метода - дедукции. История культуры дает не мало примеров, ярко иллюстрирующих великое значение дедуктивного метода мышления.

Из этого курса исключается область вычисления геометрических величин - длины, площадей и объемов, так как на это было обращено главное внимание в наглядном курсе. Поэтому здесь следует заняться другой, чисто геометрической, областью - учением о свойствах пространства. Итак, курс состоит из ряда аксиом, определений и теорем; показать на самом необходимом числе теорем всемогущество дедуктивного метода мышления, познакомить учащихся с геометрическими методами доказательства. Все мелкие теоремы из стереометрии следует выбросить и заменить более интересным и применимым отделом - азбукой проекционного черчения.

Преподаватели могут воспользоваться курсом элементарной геометрии Д. Ройтмана, откуда многое придется исключить, вроде теории пределов, которая назначается для вычислительной области - вычисление длины окружности, площади круга, поверхностей и объемов пирамид и круглых тел до шара включительно. Эти последние вопросы могут быть изящно разрешены в анализе - в применении интегрального исчисления.

VI Анализ

1) Функции и их графическое изображение. Понятие о функции. Декартова система координат. Графическое изображение эмпирических функций. Непрерывность эмпирических функций, как один из законов природы.

2) Математическая функция. Простейшие функции и построение их графиков по точкам. Непрерывность математических функций. Точки разрыва. Примеры и задачи.

3) Основы дифференциального исчисления. Понятие о скорости изменения функции. Задача о касательной. Понятие о производной функции. Механическое значение производной функции. Идеи Лейбница и Ньютона.

4) Дифференцирование простых функций. Нахождение производных от целых алгебраических функций. Производные суммы, разности, произведения. Производные дроби. Изучение парабол и гипербол. Неявные, многозначные, радикальные, показательные и логарифмические функции. Примеры.

5) Maxima и minima и их приложения. Ход изменения функции. Максимальные и минимальные значения функции. Точки изгиба. Значения производной в критических точках кривой. Приложения к вопросам геометрии, естествознания и техники.

6) Задачи интегрального исчисления. Понятие об интегральной функции. Дифференциал и интеграл. Основные формулы интегрирования. Графическое изображение интегральной функции. Примеры и задачи.

7) Определенные интегралы. [Длина] любой кривой. Определенный интеграл. Вычисление площадей. Вычисление объемов тел вращения. Примеры и задачи.

8) Круговые функции. Основные свойства круговых функций. Гармоническое колебательное движение. Приложения теории круговых функций.

9) Интегрирование неявных функций - дифференциальные уравнения.

10) Применение дифференциальных уравнений (простейших) к задачам химии, физики, динамики и т.п.

P.S. Если проводить через предыдущий курс математики все время идею функциональной зависимости, то нет никаких причин опасаться, что учащимися не может быть усвоена программа анализа. Кроме того, я должен здесь прибавить, что изучение анализа по этой программе не стремится к тому, чтобы все это обставить в научном изложении, как это требуют чистые математики - академики. Нет, главная цель этой программы, чтобы учащиеся на конкретных примерах из естествознания усвоили и верно поняли идеи, методы и некоторые навыки, необходимые для изучения технических наук. Поэтому в программе анализа, главным образом, надо сосредотачивать внимание на понятии о производной функции. Только под конец курса дифференциального исчисления надо приступить к рассмотрению вопроса о дифференциале. Что касается интегрального исчисления, то в первое время следует интегралы определять площадями и, лишь, когда учащиеся больше познакомятся с ними, надо дать более точное определение.

VII

Обратимся к программам математики для средней школы; взглянем как они проводятся в жизни. В начале статьи мы указали, что в этом отношении среди видных деятелей ученого и педагогического мира ранее царило редкое единодушие. Все наше преподавание представляет учащимся слишком узкое поле для самодеятельности, для развития умственной самостоятельности и чересчур много обращает внимание на «пассивные» упражнения. Представители торгово-промышленного мира и люди «свободных профессий» жалуются, что «гимназия учила нас чему угодно, но не тому, что нам потом оказалось всего нужнее - искусству наблюдать своими глазами Божий мир и вести самостоятельную работу». Поражающая умственная несамостоятельность, недостаток умственной инициативы, слабость суждения, неуверенность в себе - вот плоды нашей современной организации воспитания и обучения. Программы математики непозволительно рано обращаются к абстрактному логическому мышлению, не считаясь с ходом развития подрастающего поколения, которому должно следовать в воспитании и обучении. Вследствие этого основного дефекта программы большинство учеников наших школ на уроках математики присутствует при рассуждениях учителя совершенно безучастно. Наша школьная практика игнорирует даже психологические и педагогические положения, установленные гениальными педагогами прежнего времени - Песталоцци и Фребелем. Говорят, что формализм дольше всего сохранился в средней школе. Да тут нечему удивляться, если только вспомнить, что официальные руко-

водители средне школьного дела питают некоторого рода болезненный страх перед школьной психологией и педагогикой. А между тем преподавание математики без знания психологии и педагогики - это трата драгоценного времени на обработку почвы, на которой почти ничего не вырастает.

В настоящее время страстные споры, которые ведутся за границей по поводу вопросов воспитания, никого не смущают, а, наоборот доказывают, что общество поняло необходимость организации школ и методов обучения, более отвечающих природе и потребностям детского возраста. В России в этом отношении долго царило спокойствие, но в последнее время замечаются признаки, что в данной области происходит значительное улучшение. С широким распространением экспериментальной педагогики и психологии мы вступаем в области обучения в новую эру. В новых школах стали придавать великое значение воспитательному влиянию ручного труда и вообще на активную сторону детской натуры начали обращать самое серьезное внимание. Видные деятели педагогического и психологического мира как бы проповедуют новое педагогическое Евангелие. Ручные работы, практические и лабораторные занятия должны занять центральное место в школьном деле. При таких условиях, конечно, наши учащиеся сразу пробуждаются, так как школа уже не только подавляет, но, напротив, направляет их активную деятельность.

Профессор педагогики О'Ши говорит, что «согласно современной теории, каждый нервный центр имеет свой особый период развития, и если заставлять его функционировать раньше времени, этим будет вызвано какое-либо расстройство. Заставляя чуть ли не с третьего класса учеников смирно сидеть, учить математические определения и доказывать геометрические теоремы, мы тем самым причиняем учащимся великий вред. Программы математики требуют от преподавателей математики, чтобы они еще в младших классах сразу переходили бы к формальным, логическим процессам и добивались бы абстрактного, логического мышления. Всем нам известно, к чему привело такое стремление. Далее, современные психологи нам говорят, что если слишком основательно и долго изучать какой-либо предмет в средней школе, то это «может привести к прекращению, а не к подъему умственного роста». В этом отношении, если мы желаем, чтобы обучение арифметике имело ценность, мы должны подчиняться этим указаниям, т.е. не останавливаться очень долго на этом предмете, а следовать интересам учащихся. Еще Фребель заботился о связи наглядного обучения с естественным влечением детей к игре и занятию. Поэтому мы должны очень считаться с вышеупомянутым фребелевским принципом при обучении математике не только в младших, но и в старших классах. Возбуждать интерес у учащихся к данному учебному предмету, а потом его поддерживать в течение всего курса есть одна из основных задач воспитания и обучения. Чтобы доказать, в какой мере современные русские программы арифметики согласуются с этим принципом, достаточно упомянуть

хотя бы о программе арифметики в Мариинской женской гимназии, так как она в этом отношении побила рекорд. Там арифметика проходится в приготовительных классах, да еще в четырех основных. Таким образом учащиеся изучают арифметику около шести лет! А на геометрию и алгебру полагается всего три года (тригонометрия совершенно не проходится).

Динамическая, лабораторная сторона в обучении математике должна получить в младших классах преобладающее значение. Следовательно при разработке новых математических понятий является наилучшим образовательным средством лабораторная метода. Сверх того надо иметь в виду в каком порядке каждое новое понятие объяснять учащимся. Когда мы разрабатываем в классе лабораторной методой какой-нибудь вопрос, то мы еще должны принять во внимание в какой форме это сделать: в генетической, эвристической, т.е. при помощи вопросов, наводящих на ответы, или как-нибудь иначе. Само собою разумеется, что по мере перехода ученика из класса в класс пользование лабораторной методой должно занимать все менее и менее значительное место. Мы не преувеличиваем ценность лабораторной методы в старших и средних классах средней школы, ибо это не может быть полезно для плодотворного развития известных умственных способностей учащихся. «В деле обучения мы должны избегать как замедления, так и преждевременного развития». Мы, сторонники реформы, хорошо сознаем, что научить искусству правильно рассуждать есть тоже драгоценная задача преподавания математики; но мы против того, чтобы развитие этой способности одно господствовало бы над всем обучением. В двух старших классах следует в достаточной мере развивать строго логические тенденции, ибо это не будет противоречить педагогическим законам, основанным на изучении психологии школьного возраста. Но за то в средних классах нужно больше интуиции. Графические изображения на уроках алгебры вносят живую струю в преподавание, так как они устанавливают связь между математическим миром и реальным. Поэтому мы считаем необходимым, чтобы учащиеся на уроках математики знакомились с разными графиками, вычерчивали бы графические изображения алгебраических функций, решали бы уравнения при помощи графических приемов и т.д. Благодаря графикам учащиеся сразу пробуждаются и чувствуют почву, оставаясь на которой они могут вращаться в области конкретного, наглядного мышления. В особенности при решении и исследовании уравнений учащихся можно в высшей степени легко заинтересовать, прибегая сначала к графическим, а лишь позднее к аналитическим приемам. От этого значительно выигрывает логическая сторона дела. Такой порядок, кроме того, в педагогическом отношении соответствует интересу большинства учеников. С психологической точки зрения он также считается целесообразным, так как при этом принимаются во внимание различные типы представления и одаренности учащихся.

Как видно из предыдущего, наглядное и лабораторное обучение, графические изображения, идея функциональной зависимости и начала диф-

ференциального и интегрального исчислений являются основными лозунгами реформы преподавания математики. Математическая комиссия Преображенской Новой школы выработала программу математики для двух приготовительных и восьми основных классов. В основу своей работы комиссия положила вышеупомянутые начала реформы. Эта комиссия состоит из преподавателей математики О. А. Крогиуса, А. В. Подановского, В. И.Тихомирова, Н. А. Томилина, Ф. В. Филипповича, А. Н. Чернова и М. М. Щербацевича. Раньше, нежели привести программу по математике целиком, считаю необходимым прибавить, что комиссия, составляя данную программу, должна была считаться еще и с современными школьными условиями.

Младшее отделение приготовительного класса

Арифметика. Четыре действия в пределах первой сотни (деление только на однозначное число). Простейшие дроби

Решение задач, требующих не более трех действий. Наглядное знакомство с простейшими мерами (пуд, фунт, сажень, аршин, вершок).

Старшее отделение приготовительного класса

Арифметика. Нумерация до миллиона. Четыре действия над целыми числами (деление только на однозначное число). Знакомство с мерами длины и веса (верста, сажень, аршин, вершок, фут, дюйм, пуд, фунт, лот, золотник). Наглядное знакомство с простейшими дробями, со сложением и вычитанием их, как, например,

Решение несложных задач. Упражнение в устных вычислениях.

I класс

Арифметика. Деление многозначного числа на двузначное и многозначное. Практическое знакомство с русскими мерами. Умение обращаться с весами и производить простейшие измерения длины, площадей (квадрата и прямоугольника) и объемов (прямоугольных брусков). Понятие о масштабе и съемке планов. Знакомство с десятичными дробями (десятые, сотые, и тысячные доли). Сложение и вычитание десятичных дробей. Умножение и деление их на целое число. Метрическая система мер (метр, дециметр, сантиметр, миллиметр, километр, грамм, килограмм). Навык в устных вычислениях над целыми числами и простейшими дробями.

II класс

Арифметика. Четыре действия над обыкновенными и десятичными дробями. Обращение конечной десятичной дроби в обыкновенную. Обращение обыкновенной дроби в десятичную с данной точностью. Нахожде-

ние отношения одного числа к другому. Понятие о проценте. Простейшие процентные вычисления. Упражнение в устных вычислениях над дробными числами.

Наглядная геометрия. Измерение отрезков прямых с данной точностью. Измерение и построение углов с помощью транспортира. Проведение параллельных и перпендикулярных прямых с помощью треугольника и линейки. Площадь прямоугольника, параллелограмма и треугольника. Экспериментальное определение отношения длины окружности к диаметру. Изготовление моделей призм и пирамид. Вычисление их поверхностей. Вычисление объема прямоугольного параллелепипеда и куба. (Необходимые для вычисления данные находятся путем непосредственного измерения). Упражнения в оценке на глаз расстояний, поверхностей и объемов.

III класс

Арифметика. Упражнения в письменных и устных вычислениях над обыкновенными и десятичными дробями. Среднее арифметическое двух и нескольких чисел. Кратное отношение. Кратная пропорция. Пропорциональная зависимость двух переменных величин. Задачи на проценты и пропорциональное деление. Сокращенное умножение и деление. Начало алгебры. Пользование буквами для изображения чисел. Составление и решение уравнений, достаточно легких, чтобы способ решения был очевиден без всякой теории, например, 4р=12; 3v+2=17. Обозначения: ах; Abc. Самые простые упражнения, вроде: Зах+5ах=7; 16/?:8=? Смысл формул, например, если 1 означает длину здания и Ъ его ширину, то, что выражает равенство: 1=46? Что значит 16=600? Умение переводить с обыденного языка на язык алгебраический, например, выразить в виде формулы, что высота статуи вдвое больше высоты пьедестала; написать выражение для всей высоты. Применение идеи весов к решению уравнений. Решение арифметических задач (на проценты, пропорциональное деление, смешение и т.п.) алгебраическим способом. Положительные целые показатели. Четыре основных действия (умножение и деление только на одночлен). Упражнения в чтении, истолковании и вычислении формул.

Наглядная геометрия. Три случая равенства треугольника. Сумма внутренних углов треугольника. Равнобедренный и равносторонний треугольники. Симметричные фигуры. Четырехугольники. Их свойства. Площадь трапеции. Многоугольники. Сумма внутренних углов. Число диагоналей. Площадь неправильного и правильного многоугольников. Теорема Пифагора. Площадь круга и сектора. Изготовление моделей призм и пирамид. Фигуры, получаемые при пересечении этих тел плоскостями. Взаимное положение прямых, прямой и плоскости и плоскостей в пространстве.

Вычерчивание простейших диаграмм, например, изображение числа учащихся в разных классах в виде прямоугольных отрезков, изображение поверхностей частей света в виде прямоугольников или в виде секторов круга и т.п.

IV класс

Алгебра. Умножение многочлена на многочлен. Особые случаи умножения. Действия над простейшими алгебраическими дробями (знаменатель - одночлен или двучлен). Решение и составление численных и буквенных уравнений с двумя и несколькими неизвестными.

Вычерчивание простейших графиков: графики колебания температуры, роста населения и т.п. Графическое изображение закона прямой и обратной пропорциональности величин. Графическое решение системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными.

Наглядная геометрия. Подобные треугольники и многоугольники. Решение простейших задач на местности. Съемка планов. Поверхность цилиндра, конуса и шара. Объем прямой и наклонной призм. Объем пирамиды. Объем цилиндра, конуса и шара. Вывод формул поверхностей и объемов. Построения с помощью циркуля и линейки: а) к данной прямой восстановить перпендикуляр и на данную прямую опустить перпендикуляр; Ь) разделить отрезок пополам; с) разделить угол пополам; d) построить угол, равный данному; е) построить треугольник, равный данному; f) разделить прямой угол на три равные части.

V класс

Алгебра. Степени и корни. Решение и составление квадратных уравнений с одной и несколькими неизвестными. Графические приемы решения квадратных уравнений. Приближенное вычисление.

Геометрия. Основные понятия и определения. Теоремы о равных треугольниках в связи с решением основных задач на построение. Взаимное положение прямых в плоскости. Соотношение между элементами треугольника и параллелограмма. О равных и симметричных фигурах на плоскости. Решение задач на построение. Несоизмеримые отрезки в связи с несоизмеримыми (иррациональными) числами. Пропорциональные отрезки. Подобие треугольников.

VI класс

Алгебра. Арифметическая и геометрическая прогрессия. Логарифмы. Логарифмическая кривая. Логарифмические таблицы. Приложение прогрессии и логарифмов к решению задач на проценты и ренту.

Геометрия. Теоремы, относящиеся к пропорциональным линиям в треугольнике и круге. Измерение площадей. Теорема Пифагора и ее приложения. Начала тригонометрии в связи с решением простейших задач на местности. Взаимное положение прямых и плоскостей в пространстве, в связи с важнейшими положениями из учения о проекциях. Упражнения в геометрическом черчении.

VII класс

Алгебра. Графическое изображение и исследование простейших функций. Понятие о производной функции. Иллюстрации из геометрии, физики и механики. Графические приемы решения уравнений высших степеней.

Геометрия. Измерение поверхностей и объемов простейших геометрических тел. Закон Кавальери и его приложения к вычислению площадей плоских фигур и объемов тел. О телах равных, симметричных и подобных.

VIII класс

Начала аналитической геометрии. Элементы дифференциального и интегрального исчисления в связи с решением некоторых вопросов геометрии, механики и физики. Обзор с исторической и философской точек зрения всего пройденного.

Я не буду здесь приводить объяснительной записки к этой программе, так как она еще не вполне выработана; но я позволю себе развить некоторые ее пункты.

Так как на основании экспериментальных исследований при приобретении числовых представлений и при изучении действий в пределах первой сотни необходимо уделять особое внимание наблюдению, представлению и изображению, то на первых этапах обучения играют серьезную роль наглядные пособия и вообще разные вспомогательные средства. Опыты выяснили, что целесообразность наглядных пособий зависит, между прочим, от формы, величины, расстояния, группировки и интенсивности цветов. А при обучении счету находят себе хорошее применение: рисование, лепка и другие «лабораторные» упражнения.

Что касается решения задач, то они должны быть взяты из жизни и сопровождаться наглядностью. Дети любят жизнь, и поэтому их не трудно заинтересовать действительно живыми и интересными задачами. Класс можно преобразовать в лавочку; одного из учеников в торговца, а другого в покупателя и т.д. Далее, материалом для задач могут служить разные народные и арифметические игры. Кроме того на уроках арифметики надо пробуждать в детях желание составлять самостоятельно задачи. Таким образом, можно еще на первых ступенях обучения будить в детях самодеятельность и самостоятельность, направляя их интерес к занятиям с числами.

Для наблюдения и представления простейших дробей

проще всего взять яблоко. А для изображения этих дробей оказалось более целесообразным, чтобы ученики взяли кусок толстой бумаги, вырезали бы ее в виде круга, сложили его пополам, разрезали и т.д. Такое наглядно-лабораторное знакомство с дробями как раз отвечает психологии детского

возраста, так как дети проявляют в особенности склонность к ручной деятельности. Так же можно познакомить детей со сложением и вычитанием дробей. Для того, чтобы разделить круг на 3 и на 6 равных частей нет надобности прибегать к циркулю. При помощи веревки или бумажной линейки с дырочками можно построить круг, а потом делить на 3 и на 6 равных частей. Такие круги, разрезаемые на доли, наглядно объясняют путем простого складывания и накладывания частей, что, например, и т. д. При помощи целого ряда проделанных таким образом упражнений ученики знакомятся не только со сложением и вычитанием дробей, но с делением и умножением.

Как видно из программы, знакомство с простейшими мерами должно быть наглядно. Ученики должны научиться, как обращаться с весами и производить простейшие измерения. В классе должны быть весы, на которых дети легко могут взвешивать более легкие вещи и, в связи с этим, будут знакомиться с гирями и обозначенным на них весом. Упражнения в оценке на глаз расстояний, поверхностей и объемов развивают пространственные представления и дают учащимся ясное представление о различных мерах.

В III классе кроме арифметики проходится и начало алгебры. Из программы видно, что о систематическом курсе алгебры пока не может быть и речи. Но для успешного усвоения курса не следует резко отделять арифметику от алгебры. На уроках арифметики можно вводить буквенные обозначения так же, как и на уроках алгебры решать арифметические задачи при помощи уравнения. Вообще, надо придерживаться взаимного переплетения математических дисциплин разного рода.

Относительно интуитивного курса геометрии в младших классах можно сказать, что на всем его протяжении должно помнить правило Фребеля: «что ребенок созерцает, то пусть он делает и руками». Все ученики на уроках геометрии должны активно принимать участие в измерении прямых, углов, площадей и объемов. Благодаря черчению, изготовлению моделей геометрических тел, измерению площадей и объемов в классе, каждый ученик получает определенное представление о геометрических основных понятиях. В интересах всестороннего знакомства с геометрическими вопросами из области измерения геометрических величин полезно, чтобы каждый ученик изготовил себе полную коллекцию разверток геометрических тел, складывающихся в тела и с обозначением числовых размеров. Такая коллекция будет вроде конспекта наглядной геометрии, если на развертках будут еще формулы для вычислений площадей и объемов. Сверх того в связи с изготовлением моделей геометрических тел учащиеся могут исполнять и другие вещи (коробки, портфель, абажур и т.п.), украшенные по личному вкусу самих учащихся. Цель всех этих упражнений, между прочим, состоит и в сильном развитии самодеятельности, ведущей к самостоятельности и дающей радость «созидания».

Подобие фигур следует связать с началами землемерия. Ввиду этого надо устраивать экскурсии для практических занятий по геометрии. Эти практические упражнения должны предшествовать классному разбору вопроса о подобии фигур и съемке плана, если мы желаем воспользоваться всей их образовательной силой.

При решении задач на построение следует указывать функциональное изменение фигур.

На уроках геометрии в IV классе надо постепенно подчеркивать учащимся недостаточность опыта и измерения для того, чтобы убедиться в геометрической истине. При помощи ярких примеров необходимо иллюстрировать важность рассуждения в решении геометрических вопросов. Если действительное развитие учащихся при такой подготовке позволяет перейти к систематическому курсу геометрии, то в конце или в начале курса V класса следует приступить к теоремам о равных треугольниках, в связи с решением основных задач на построение. На основных понятиях, определениях и аксиомах нет надобности долго останавливаться, так как они представляют большие трудности для учащихся V класса и, кроме того, не возбуждают никакого интереса. К этим вопросам можно вернуться в конце курса геометрии, при обзоре всего пройденного.

Обратимся теперь к графикам. Из программы III класса видно, что учащиеся могут чертить простейшие графики, например, изображение статистических данных в виде прямоугольных отрезков, построение частей света в виде секторов круга и т. п. В IV классе - вычерчивание «ломаных» графиков на разграфленной бумаге. И здесь соблюдается такой переход: графики возрастающие; графики возрастающие и убывающие; графики убывающие и графики с положительными и отрицательными точками. После этого идет очередь за непрерывными графиками. Здесь придется уже пользоваться более мелкими клетками. Материал для задач можно черпать из географии, физики, геометрии и т.д. Рост железных дорог и народонаселения, бюджетные нормы и отдельные налоги и вообще все, что изменяется и может быть представлено графически простыми и общедоступными приемами. И после всего этого следует познакомить учащихся с прямоугольной системой координат в общем виде. Для графического изображения закона прямой и обратной пропорциональности можно воспользоваться примерами из физики и геометрии. Вопросы о пути и времени, закон Бойля-Мариота, площадь основания и высота призмы или цилиндра при неизменяемости объема и т.п. могут послужить для наглядной иллюстрации не только прямой, но и обратной пропорциональности. Дальше графики находят себе хорошее применение при решении, исследовании и преобразовании совместных уравнений. Так, например, в IV классе - графическое решение системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными в виде двух пересекающихся прямых. А в V классе графическое решение совместных [систем] квадратных уравнений. Например, пересечения параболы, эллипса, круга и гиперболы с прямой дают нам графическое решение

системы двух уравнений: квадратного и линейного. Пересечения конических сечений служат графической иллюстрацией для решения совместных квадратных уравнений. Каждый ученик должен иметь специальную тетрадку для графиков.

По вопросу об иррациональном числе следует указать, что и этот отдел алгебры должен подчиняться законам психологии и педагогики, тем более, что он излагается в V классе. По этому поводу профессор Ф.Клейн, лидер германских реформаторов, говорит: «Точное развитие теории иррациональных чисел здесь вряд ли уместно, так как она не соответствует интересам большинства учеников. Юноша несомненно всегда удовлетворится указанием ограниченного приближения... Вследствие этого будет вполне достаточно, если в школе выяснить иррациональное число только на общих примерах, как оно большею частью имеет место. Конечно, немногие юноши, обладающие ясно выраженным математическим дарованием, этим не удовлетворятся и захотят вникнуть глубже в сущность вопроса. Достойной задачей учителя будет удовлетворить эту потребность, не нарушая интересов большинства учащихся».

Понятие о функциях должно, начиная с младших классов, «в правильной, методической последовательности составлять неотъемлемую принадлежность всякого математического преподавания». Поэтому мы не должны выделять учение о функциях в особый отдел. Тенденции реформы требуют, чтобы идея функциональной зависимости, подобно ферменту, проходила через всю программу математики. В этом заключается, говорит Клейн, точное понимание аналитической геометрии и начал дифференциального и интегрального исчислений. «Последние являются венцом этого широкого метода».

В преподавании математики надо отдавать больше значения и историческому элементу. На уроках математики следует также указывать ступени, по которым шло постепенное открытие математических истин, а не только давать одну только картину полного расцвета, без указаний на первые робкие шаги, послужившие для этого развития.

В конце курса математики надо сделать обзор с исторической и философской точек зрения всего пройденного. Учение о числе, дедуктивный метод в геометрии и др. вопросы дают в руки великолепное средство, чтобы учащимся показать полное значение и красоту математического здания. Новая программа стремится к тому, чтобы ученики поняли, что такое хотя бы математический дух исследования. А при старых программах ученики выносят глубоко ложную идею, что математика лишь дело памяти, что она составляет как будто бы лишь серию теорем, которую можно понять и удержать в памяти как угодно.

Литература

При выполнении программы, выработанной физико-математической секцией Санкт-Петербургского общества народных университетов, преподаватели могут воспользоваться следующими книгами на русском языке:

В. Мрочек и Ф. Филиппович. Педагогика математики, т. I, 1910 г.; О. Лодж. Легкая математика, перев. с англ., 1909г.; Заборский. Арифметические задачи и примеры, 1906 г.; Д.Ройтман. Начала геометрии, 1905 г.; В. Лермантов. Курс применимой алгебры, 1911 г.; Д. Левитус. Курс элементарной алгебры, ч. I, 1910 г.; Борель-Штеккель. Элементарная математика, 4.1. Арифметика и алгебра, 1911 г.; В. Мрочек. Прямолинейная тригонометрия, ч. I, 1903г.; Нернст и Шенфлисс. Основания высшей математики, 1907 г.; Ф. Кэджори. История элементарной математики, пер. с англ., 1910 г.

Что касается руководств, написанных в духе реформы и подходящих к программам математики для средней школы, то в этом отношении в России дело обстоит гораздо хуже, чем за границей. Поэтому мне придется кроме вышеупомянутых книг указать еще несколько весьма разнородных по содержанию и обработке, но в которых новое направление нашло выражение. Большинство из этих книг может оказать некоторую услугу преподавателям в их практической деятельности.

По арифметике: В. А. Лай. Руководство к первоначальному обучению арифметике, основанное на результатах дидактических опытов, 1910 г.; Проф. Э. Мейман. Лекции по экспериментальной педагогике, ч.Ш. Обучение арифметике, 1910 г.; А. Герлах. Как преподавать детям арифметику в духе творческого воспитания. Вып. I, 1911 г.; Вентворт. Арифметика. Пер. с англ. в изд. Новая Школа, 1911 г.

По наглядной геометрии: В. Кеттбель. Наглядная геометрия, пер. с англ., 1910 г.; А. Астряб. Наглядная геометрия, 1909 г.; Г. Юнг и У. Юнг. Первая книжка по геометрии, пер. с англ., 1911 г. С. И. Шохор-Троцкий. Геометрия в задачах, 1908 г.

Вычерчивание график[ов] и применение графического метода можно найти в книгах: Ньюсон. Графическая алгебра, пер. с англ., 1910 г.; Н. А. Томилин. Роль графического метода при обучении математике.

Что касается систематического курса геометрии в связи с элементами тригонометрии, то можно указать на книгу Д. В. Ройтмана. Курс элементарной геометрии, 1910г.

Подробный литературный указатель книг на иностранных языках имеется в вышеупомянутой книге «Педагогика математики».

Кроме того в виде наглядных пособий при прохождении дробей и действий над ними, можно рекомендовать «Дробный счетчик», а при прохождении наглядной геометрии - коллекцию из 16 геометрических разборных тел и 10 разверток геометрических тел, изд. фирмы А. К. Штуде в Петербурге.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Работы Ф. В. Филипповича по теории и методике обучения математике на русском языке

1. Мрочек В. Р., Филиппович Ф. В. Реформа преподавания математики53 // Русская школа. 1910. № 1. С. 174-203.

2. Мрочек В. Р., Филиппович Ф. В. Педагогика математики. Исторические и методические этюды. Т. 1. 1910.

3. Филиппович Ф. В. К реформе обучения математике (с приложениями новых примерных программ) // Техническое и коммерческое образование. 1911. № 3. С. 13-33.

4. Филиппович Ф.В. К реформе обучения математике54 (с приложениями новых примерных программ) // Техническое и коммерческое образование. 1911. № 4. С. 20-31.

5. Мрочек В. Р., Филиппович Ф. В. К первому съезду преподавателей математики // Техническое и коммерческое образование. 1911. №5. С.13-16.

6. Филиппович Ф. В. Указатель учебной математической литературы. /Сост. Ф. В. Филиппович при ближайшем участии А. П. Беляниной и Ю. Г. Шиперко. СПб. Тип. «Север», 1912.

7. Филиппович Ф. В. Постановка преподавания начал анализа в средней школе // Труды Первого Всероссийского съезда преподавателей математики. СПб., 1913. Т.I. С. 101-128.

Переводы и рецензии учебных и методических работ, выполненные

Ф. В. Филипповичем

1. Филиппович Ф. В. Рецензия на книгу: Венворт и Рид. Начальная арифметика. Вып. 1. / Перев. и под ред. В. Мрочека. СПб.: Новая школа, 1911. // Техническое и коммерческое образование. 1911.№5.

2. Филиппович Ф. В. Рецензия на книгу: Борель - Штеккель. Элементарная математика. Ч.1. Арифметика и алгебра / Пер. с нем. и под ред. В.Ф. Кагана. Одесса: Mathesis, 1911 // Техническое и коммерческое образование.

53 Вышла также отдельной брошюрой (доклад на съезде).

54 Данная статья является продолжением статьи с таким же названием предыдущего номера журнала.

3. Трейтлен П. Методика геометрии. Перевод с немецкого и под редакцией Ф. В. Филипповича. СПб: Новая школа, 1912.

Наглядные пособия, изготовленные Ф. В. Филипповичем

1. Филиппович Ф. В. Наглядная геометрия в развертках. Тетрадь для классного и домашнего пользования с развертками, задачами и рисунками.

2. Филиппович Ф. В. Дробный счетчик. Наглядно-лабораторное пособие при изучении действий над приближенными дробями. (Вышло две серии).

3. Начальная геометрия в развертках. СПб. Издание Российской фабрики учебных пособий и детских занятий.

4. Мрочек В. Р., Филиппвович Ф. В. 16 геометрических разборных тел из 55 частей, в деревянном ящике с гнездами на все тела. Коллекция рекомендована Гл. Упр. В.-Уч. Зав. и В. Уч. И. М.

5. Мрочек В. Р., Филиппович Ф. В. 10 разверток геометрических тел большого формата (красный картон на коленкоре с металлическими застежками). На развертках написаны геодезические линии. В коробке.

Источники и литература, посвященные жизни и наследию Ф. В. Филипповича

1. Центральный государственный исторический архив г. СПб (ЦГИА СПб.) Ф. 14. Оп. 3. Т. 8. Д. 37115. Филипп Филиппович.

2. ЦГИА СПб. Ф.143. Оп.1. Д. 54. Преображенская новая школа. Программы по всем предметам.

3. ЦГИА СПб. Ф. 358. Оп.1. Д.1392. О службе преподавателя Филиппа Филипповича.

4. Методика обучения высшей математике в средней школе России: история становления. Хрестоматия /Сост. Р. 3. Гушель, В. П. Кузовлев, О. А. Саввина. Елец: ЕГУ им. И.А.Бунина, 2002. 144с.

5. Мовчан С. П. Филипп Филиппович - исследователь новейшей истории Югославии. Автореф. ... к. ист. н. Львов, 1971. 27с.

6. Очак И. Д. Неизвестное письмо Филиппа Филипповича // Советское славяноведение. М. 1966. № 1. С.66-68.

7. Саввина О. А. Исторические очерки о преподавании высшей математики в средних учебных заведениях России. Часть 2 (вторая

половина XIX - первые семнадцать лет XX вв.): Монография. Елец: ЕГУ, 2002. 246с.

8. Сумарокова М. М. Новые данные о начале революционной деятельности Филиппа Филипповича // Советское славяноведение. М.: Наука. № 1. 1967. С.56-59.

9. Филиппович Филипп // Большая советская энциклопедия. М.: Советская энциклопедия, 1977. Т. 27. С. 394.

10. Филипп Филиппович // http: //stalin.memo.ru/spravki/7-199. htm.

11. Daмjaновиh. П. Филип Филиповић. Фрагменти за биографију // В кн.: Годишњак града Београда. Књ. VI. 1959.

12. Kovačev. Delstnost Filipa Filipović za vreme prvog svetskog rata // Prilozi za istoriju sozijalizma. Beograd. 1964. № I. S.468-471.

13. Мовчан С. П. Філіп Філіпович - дослідник новітньої історії Югославіі. Дис. ... к. і. н. Львів, 1970.

14. Veselinov J. Filip Filipović // В кн.: F. Filipović. Izabrani spisi. Т.1. S.V-XXI.

15. Zivković. Uloga F. Filipovica u borbi protiv reformisma u periodu između dva partijska kongresa 1919-1920 //Prilozi za istoriju sozijalizma. Beograd. 1964. № I. S.471-474

Содержание

К читателю.............................................................5

Введение................................................................6

Биографический очерк.................................................8

Педагогические труды Ф. В. Филипповича..................18

Научно-методические идеи Ф.В.Филипповича

1.Вопросы общей методики преподавания математики........24

2. О преподавании арифметики....................................29

3. О преподавании геометрии.......................................33

4. О преподавании алгебры...........................................39

5. О преподавании начал анализа....................................47

Филиппович Ф.В. К реформе обучения математике...........58

Библиографический список.........................................87

Научное издание

МАТЕМАТИКИ-ПЕДАГОГИ РОССИИ. ЗАБЫТЫЕ ИМЕНА

КНИГА 1 Юрий Михайлович Колягин, Ольга Алексеевна Саввина

ФИЛИПП ВАСИЛЬЕВИЧ ФИЛИППОВИЧ Монография

Технический редактор - НИ Безногих Техническое исполнение - ВН.Бутов Переплет и обложка выполнены в МУП "Типография"г. Ельца

Лицензия на издательскую деятельность ИД №06146. Дата выдачи 26.10.01. Формат 60 X 84 /16. Гарнитура Times. Печать трафаретная. Усл.-печ.л. 5,6 Уч.-изд.л. 5,8 Тираж 1000 экз. (1-й завод 1-100 экз.). Заказ 143

Отпечатано с готового оригинал-макета на участке оперативной полиграфии Елецкого государственного университета им. И.А.Бунина.

Елецкий, государственный университет им. И. А. Бунина. 399770, г. Елец, ул. Коммунаров, 28