А.Н. КОЛМОГОРОВ

Избранные труды

Том 4

МАТЕМАТИКА

и

МАТЕМАТИКИ

Книга 2

О МАТЕМАТИКАХ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

ОТДЕЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. В.А. СТЕКЛОВА

А.Н. КОЛМОГОРОВ

Избранные труды в шести томах

Том 4

МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИКИ

Книга 2

О МАТЕМАТИКАХ

МОСКВА НАУКА 2007

УДК 51 ББК 22.1 К60

Серия основана в 1932 г.

Редакционная коллегия:

Ю.С. ОСИПОВ (главный редактор), A.A. ГОНЧАР, В.В. КОЗЛОВ, С.М. НИКОЛЬСКИЙ, Ю.В. ПРОХОРОВ, В. А. САДОВНИЧИЙ, В.М. ТИХОМИРОВ, А.Н. ШИРЯЕВ

Ответственный редактор и составитель А.Н. ШИРЯЕВ

Подготовка текста Т. Б. ТОЛОЗОВА, Н. Г. ХИМЧЕНКО

Колмогоров А. Н. Избранные труды : в 6 т. /А. Н. Колмогоров ; Мат. ин-т им. В. А. Стеклова РАН. - М. : Наука, 2005- . - ISBN 5-02-033939-3.

Т. 4 : Математика и математики : в 2 кн., кн. 2 : О математиках. / [сост. и отв. ред. А.Н. Ширяев]. - 2007. - 382 с. - ISBN 978-5-02-036066-2 (в нер.).

В четвертый том шеститомника Избранных трудов академика Андрея Николаевича Колмогорова вошли его разнообразные статьи, объединенные общим названием “Математика и математики”. Вторую книгу тома “О математиках” составляют эссе, посвященные жизни и творчеству И. Ньютона и Н. И. Лобачевского, и статьи А. Н. Колмогорова, написанные им единолично или в соавторстве, о многих современных ему математиках.

Для научных работников, преподавателей, аспирантов, студентов и всех тех, кто интересуется историей математики.

Темплан 2006 - 1-124

ISBN 5-02-033939-3

ISBN 978-5-02-036066-2(Т.4, кн.2)

© Российская академия наук и Издательство “Наука”, серия “Избранные труды” (разработка, оформление), 1932 (год основания), 2007

© Редакционной издательское оформление. Издательство “Наука”, 2007

IV

Эссе об И. Ньютоне и Н. И. Лобачевском

НЬЮТОН И СОВРЕМЕННОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ1

Как известно, Ньютон страдал двумя фобиями — «боязнью споров» и «боязнью философии». Ввиду этого в случае Ньютона особенно необходимо придерживаться правила, которое мы отнесли бы и к изучению работ большинства представителей математических и естественных наук: изучать методологию ученого в первую очередь непосредственно по его научным работам, а не по его методологическим высказываниям.

Нижеследующее является, может быть, несовершенной попыткой применения этого правила к математическим работам Ньютона.

Судьба математических работ Ньютона весьма своеобразна. Решающими годами во всем творчестве Ньютона были 1665-1666 гг. В этот короткий период вчерне были сделаны все основные открытия Ньютона в математике, механике и физике. Если учесть, что речь идет о создании математического анализа (дифференциального и интегрального исчисления) и математического естествознания2, то этот случай следует признать единственным в истории науки.

Опубликовано в журнале «Математика в школе». — 1982. — № 8. — С. 58-64.

1 Статья возникла из юбилейного доклада, прочитанного в 1943 г., и была опубликована в сборнике «Московский университет — памяти Исаака Ньютона». — М.: Изд-во МГУ, 1946. - С. 27-42.

Своим интересом к научной методологии математических работ Ньютона я обязан замечательным публикациям Алексея Николаевича Крылова. В частности, все противопоставление здоровой ясности ньютоновского мышления математической мистике Лейбница и Эйлера мною заимствовано у Алексея Николаевича. Если я более, чем это делал Алексей Николаевич, подчеркиваю и отличие ньютоновской «строгости» от современной «теоретико-множественной», то это дань естественному различию поколений.

2 Ньютоном не только были сделаны фундаментальные открытия в математическом естествознании, которые излишне здесь перечислять, так как они общеизвестны, но и было впервые создано математическое естествознание и в смысле системы математического изучения всех механических, физических и астрономических явлений. До него можно говорить лишь о подчинении математическому методу исследования отдельных, разрозненных частей естествознания. Конечно, идеи Лейбница о возможности математизации всего человеческого познания были еще универсальнее. Но именно в силу своей абсолютной общности и неконкретности, они и оказались бесплодными. См. по поводу универсальной применимости и в то же время ограниченности математического метода мою статью «Математика» в БСЭ.

Считают, что три основные математические работы Ньютона3 были написаны в следующие годы:

1) «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов» — в 1665 г.;

2) «Метод флюксий» — позднее «Анализа с помощью уравнений», но до 1671 г.;

3) «Рассуждение о квадратуре кривых» — основной текст в 1665-1666 гг.; окончательная редакция, введение и заключительное «Поучение» — значительно позднее, по-видимому, в семидесятых годах после «Метода флюксий».

Опубликованы же эти три работы были:

1) в 1711 г.;

2) после смерти Ньютона в 1736 г.;

3) в 1704 г. в виде приложения к «Оптике».

Все эти работы были опубликованы в виде не вполне согласованных между собою фрагментов, иногда носящих явные следы разновременности их написания.

Даже части одной и той же работы иногда носят явные следы разновременности их написания; в случае «Рассуждения о квадратуре кривых» такая несогласованность вполне сознательна, так как основной текст предназначен для воспроизведения состояния ньютоновских представлений в 1665-1686 гг., хотя они и сильно отличались от его взглядов в момент написания введения и «Поучения»4.

Совершенно иначе отнесся Ньютон к редактированию своего знаменитого труда по механике — «Математических начал натуральной философии» или своей «Оптики». В последовательных изданиях они подвергались чрезвычайно тщательной, а иногда, может быть и несколько болезненно мнительной редакции и переделке. Для нашей цели охарактеризованное состояние текстов математических работ хотя и затрудняет создание связной характеристики научной методологии Ньютона в каждый период его работы, но дает и некоторое преимущество — возможность проникнуть в лабораторию его научной мысли.

Ньютон и Лейбниц. Как известно, возникновение современных дифференциального и интегрального исчислений было в значительной мере подготовлено работами математиков первой половины XVII в.: Кеплера, Кавальери, Декарта, Ферма и др. Однако не без основания, в собственном смысле слова, открытие этого исчисления приписывают Ньютону и Лейб-

3 Цитируется далее по переводу Д. Д. Мордухай-Болтовского.

4 Введение к «Рассуждению о квадратуре кривых» кончается словами: «Найти по флюксиям флюэнты — задача более трудная, и первый шаг решения равнозначен квадратуре кривых, о которой я некогда и написал нижеследующее».

ницу, так как они первые свели решение всех разнообразных задач, при рассмотрении которых их предшественники пользовались методами анализа бесконечно малых, к систематическому применению двух обратных друг другу операций: дифференцирования и интегрирования.

В смысле печатной публикации приоритет принадлежит Лейбницу, давшему развернутое изложение основных идей нового исчисления в статьях, опубликованных в «Акта Эрудиторум» в 1682-1688 гг.

Наоборот, в отношении времени фактического получения основных результатов есть все основания считать приоритет принадлежащим Ньютону, который основные идеи дифференциального и интегрального исчислений нашел в течение 1665 и 1666 гг., а к 1671 г. обладал уже законченной системой изложения своей теории, зафиксированной в «Методе флюксий», в то время как Лейбниц начал свои исследования по анализу бесконечно малых лишь в 1673 г.

Мы не будем долго останавливаться на не вполне выявленном вопросе о степени независимости Лейбница. По этому поводу известно следующее.

Первая из указанных выше работ Ньютона — «Анализ с помощью уравнений», написанная в 1665 г., была в рукописи около 1669 г. передана Барроу и Коллинзу и получила некоторую известность среди английских математиков. Лейбниц во время своего путешествия в Англию, которое непосредственно предшествовало началу его работ по анализу бесконечно малых, несомненно, должен был кое-что слышать о содержании этого сочинения Ньютона; однако с самой рукописью Лейбниц познакомился у Коллинза только в 1678 г., когда его собственные исследования в основном были уже произведены. К тому же следует иметь в виду, что в «Анализе с помощью уравнений» Ньютон еще не дает явного изложения своего общего метода флюксий, ограничиваясь изложением некоторых его элементов применительно к отдельным частным задачам. В этом же 1676 г. Ньютон в ответ на запросы Лейбница, переданные ему через Ольденбурга, изложил Лейбницу с двух письмах перечень основных своих результатов, не раскрывая полностью метода их получения. Эти письма, по-видимому, уже не могли дать Лейбницу много нового.

Обратное влияние Лейбница на Ньютона могло сказаться только на введении к «Рассуждению о квадратуре кривых», которое, как указывает сам автор, написано значительно позднее основного текста этого сочинения. Что касается основного текста «Рассуждения» то, судя по характеру изложения, он написан между «Анализом с помощью уравнений» и «Методом флюксий», т. е. между 1665 и 1667 гг.

Значительно интереснее, что Ньютон и Лейбниц подошли к созданию дифференциального и интегрального исчислений с совершенно различ-

ных сторон и с совершенно противоположными методологическими установками.

Различие их подходов очень ярко, хотя и несколько упрощенно и пристрастно в пользу Ньютона обрисовано А. Н. Крыловым в следующих выражениях5:

«Ньютон открыл и дал основы бесконечно малых, исходя из понятий механических и геометрических. Он всегда применял при своих рассуждениях геометрические представления и был абсолютно строго в них и абсолютно точен в языке и выражениях, поэтому он сперва устанавливает то понятие о пределе переменной величины, которым пользуются и сейчас, и все учение о «флюксиях», или, по теперешней терминологии, «производных», основывается на разыскании пределов отношения двух бесконечно малых величин, находящихся в определенной взаимной зависимости и изменяющихся совместно. Он, ставя основную задачу интегрального исчисления нахождение «флюэнты» по данной ее «флюксии», т. е. первообразной функции по данной ее производной, пользуется все время геометрическими представлениями и самое свое сочинение называет: «De quadratura cur varum ».

Иначе поступил Лейбниц — вместо исчезающего в пределе приращения переменной или ее функции, рассматриваемого Ньютоном, он ввел новый термин «бесконечно малое». Он не дал этому понятию точного и строгого математического определения, а в некоторых своих пояснениях он как бы даже не различает математических понятий «бесконечно малое» от «весьма малое» и «бесконечно большое» от «весьма большое», уподобляя для примера одно земному шару, другое пылинке. Более того, он связывает понятие о бесконечно малом с философскими понятиями о «конечной или бесконечной делимости материи», о «неделимом атоме», о «монаде» и пр., которые весьма далеки от чистой математики, имеющей дело не с самими величинами, а с числами, служащими им мерою».

В действительности Ньютон ни в одном из своих сочинений не дал вполне последовательного изложения метода флюксий, соответствующего полностью характеристике А. Н. Крылова. Наряду с методом «первых и последних отношений», т. е. в современной терминологии с методом пределов, Ньютон пользуется «методом моментов», который в существенном совпадает с «методом неделимых» его менее требовательных в отношении логической строгости современников и предшественников.

Интересно проследить историю употребления Ньютоном «метода моментов» и «метода первых и последних отношений» по его произведениям.

В самом раннем своем произведении — «Анализе с помощью уравнений», написанном в 1665 г., Ньютон уже владеет совершенно отчетливым

5 А. Н. Крылов, Леонард Эйлер. - М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1933. С. 16.

представлением о пределе, хотя и не формулирует его в качестве определения, а лишь описывает по одному частному поводу, когда пишет:

«Далее следует еще обосновать решение буквенных неявных уравнений, а именно то, что чем далее развертывается при достаточно малом х результат, тем более он подходит к истинному значению, так что разность (р, q или г ит. д.), на которую он отличается от точного значения у, делается, наконец, меньше всякой дал ной величины; и что при бесконечном продолжении результат становится равным самому у».

Однако там, где это ему удобно, Ньютон пользуется в «Анализе с помощью уравнений» без стеснений «моментами», и замечание: «Я не боюсь говорить о точечной единице или бесконечно малой линии, так как еще при употреблении метода неделимых геометры имели в виду только отношения», — мало помогает делу.

В более позднем «Методе флюксий» основное изложение метода флюксий обходится совсем без «моментов».

Мы увидим далее, что для сохранения преимуществ, которые мог бы дать «метод моментов» (однородность записи при изучении неявных зависимостей между величинами), Ньютон становился здесь на параметрическую точку зрения, рассматривая все связанные друг с другом величины как функции вспомогательного переменного — «времени», которое явно в выкладки не входит. Уже одно это заставляет считать, что освобождение от «метода моментов» не было случайным, а явилось осуществлением вполне сознательно намеченной программы.

Тем не менее при рассмотрении геометрических применений Ньютон в «Методе флюксий» вновь возвращается к «методу моментов».

Еще большую непоследовательность Ньютон обнаруживает в «Рассуждении о квадратуре кривых». В ведении к этому произведению буква о обозначает уже не «бесконечно малый» момент, а обыкновенное конечное приращение. Например, приращение о переменного х соответствует приращение

(а)

для X2. Только деля (а) на о, Ньютон получает

и после перехода к пределу: пхп~1. Первоначальному методу моментов соответствовало бы утверждение, что момент хп равен просто похп~1. Введение заканчивается словами:

«Пользуясь методом первых и последних отношений, можно с помощью аналогичных рассуждений получить в любых случаях флюксии как прямых, так и кривых линий, а также флюксии поверхностей, углов и других

величин. Подобное построение анализа посредством конечных величин и исследование первых или последних отношений нарождающихся или исчезающих конечных величин согласно с геометрией древних, и я желал обнаружить, что в методе флюксий нет необходимости вводить в геометрию бесконечно малые фигуры.

Можно, правда, провести анализ на каких угодно фигурах, и конечных, и бесконечно малых, которые представляют себя подобными исчезающим, так же как и на фигурах, которые в методе неделимых обычно считаются бесконечно малыми, но только при этом следует действовать с должной осторожностью.

Найти по флюксиям флюэнты — задача более трудная, и первый шаг решения равнозначен квадратуре кривых, о которой я некогда и написал нижеследующее».

Рассмотрение следующего далее основного текста «Рассуждения о квадратуре кривых» сразу убеждает нас в том, что он не является осуществлением программы построения анализа посредством рассмотрения исключительно конечных величин и теории пределов, а построен на широком употреблении моментов в смысле бесконечно малых. Так, уже на первых страницах мы видим, что при возрастании времени на «момент» о флюэнты X, у, z возрастают на ох, оу, oz, где ±, у, i, — флюксии (т. е. производные) .

Это и естественно, если считать, как обычно принято, что основной текст «Рассуждения о квадратуре кривых» написан вскоре после «Анализа с помощью уравнений» и много ранее «Метода флюксий». Как бы то ни было, программа, намеченная в введении к «Рассуждению о квадратуре кривых», так и осталась не осуществленной полностью (так как в «Методе флюксий» она осуществлена лишь частично).

Очень важно еще отметить, что в «Поучении», которым заканчивается «Рассуждение о квадратуре кривых» и которое, как и введение, написано, по-видимому, позднее основного текста и даже позднее «Метода флюксий», Ньютон делает очень важный следующий шаг к полному осуществлению своей программы, приближаясь к современному определению дифференциала. Об этом будет сказано далее.

Наиболее окончательное изложение своего «метода первых и последних отношении» Ньютон включал в свои «Математические начала натуральной философии» (1-е изд. в 1686 г.).

Можно думать, что это изложение «метода первых и последних отношений», т. е. теории пределов, является тщательно продуманным изложением тех точек зрения на понятие предела, которые к 1686 г. Ньютон считал окончательными и наиболее совершенными. К этому месту «Начал» мы еще вернемся.

Аналогично, логически завершенного и в то же время достаточно полного изложения метода флюксий Ньютон не дал, ограничившись кратким изложением своих окончательных методологических позиций в этом вопросе во введении к «Рассуждению о квадратуре кривых» и в шестом отделе второй книги «Начал». Не желая ставить свои «Начала» под угрозу нападок за нестрогость и неточность изложения, Ньютон предпочел основное содержание «Начал» изложить, не пользуясь методом флюксий.

Мы не будем анализировать причин, в силу которых произошло это отступление Ньютона от ясной и вполне осуществимой программы строгого и отчетливого построения математического анализа. Несомненно, что ясность и строгость изложения в смысле, требовавшемся Ньютоном (или удовлетворяющем и в наши дни таких прекрасных математиков-прикладников, как А. Н. Крылов), была еще очень далека от тех представлений о математической строгости, которые были позднее выдвинуты Коши или Вейерштрассом и господствуют в современной математике, однако по сравнению со своими современниками Ньютон стоял в этом отношении на чрезвычайной высоте.

Часто высказывается мнение, что, избегая употребления бесконечно малых в лейбницевском смысле, Ньютон терял преимущества, предоставляемые лейбницевским алгоритмом вычислений с дифференциалами. Ниже мы покажем, что это мнение не вполне правильно. В упрощенных атомистических концепциях Лейбница было, однако, преимущество простоты. Трудно поэтому сказать, в какой мере более систематическое развитие и своевременное опубликование Ньютоном его системы построения математического анализа могли бы уберечь математику от погружения на столетие в период мистической веры во всесилие математических алгоритмов, хотя бы и лишенных всякого ясного смысла.

В самом деле, с Лейбница начинается период развития математики, достигшей своей кульминационной точки в работах Эйлера, который характеризуется не простым пренебрежением к математической строгости в смысле точного наблюдения за тем, чтобы математические понятия не отрывались от первоначально вложенного в них реального смысла (к чему так стремился Ньютон), но активным, воинствующим убеждением в пользе и законности применения математических алгоритмов за пределами, в которых употребляемые в этих алгоритмах знаки имеют реальный смысл.

С еще большей яркостью, чем в спокойном обращении с актуально бесконечно малыми, отразились настроения этой эпохи алгоритмической мистики в отношении к комплексным числам или к расходящимся рядам. Не давая никаких разъяснений о смысле интегрирования комплексных вели-

чин, Лейбниц находит интегралы действительных функций, разлагая их на комплексные слагаемые и интегрируя по формальным правилам эти слагаемые каждое в отдельности.

Когда результат оказывается совпадающим с найденным без употребления комплексных величин, то Лейбниц называет это «чудом», вытекающим, однако, по его мнению, с неизбежностью из предустановленной гармонии, царствующей в мире. Об аналогичных настроениях Эйлера, связанных с его верой в то, что каждый естественно возникающий в анализе ряд (хотя бы и расходящийся и с неограниченно возрастающими членами) имеет вполне определенную сумму6, которая и раскрывается при помощи тех или иных формальных преобразований, много писал А. Н. Крылов в цитированной выше работе об Эйлере7.

Все это столь чуждое духу Ньютона направление имело для развития математики и положительное значение: не обоснованные вначале расширения старых математических алгоритмов получали впоследствии свое строгое обоснование, и, быть может, чрезмерная осторожность в момент их первого появления привела бы к задержке движения науки вперед.

В настоящее время, однако, все это направление следует считать окончательно исчерпанным: при современном уровне логическо-математической культуры любая гипотеза о возможности расширенного употребления того или иного алгоритма или о возможности пополнить рассматривавшийся ранее запас математических объектов новыми, обладающими теми или иными желательными нам свойствами, может быть немедленно проверена, и, в случае если она верна, соответствующие новые определения смысла данного алгоритма в расширенной области могут быть даны с полной отчетливостью, а новые объекты могут быть сконструированы.

Например, если от первой идеи о возможности получать правильные результаты при помощи выкладок с комплексными числами (бывшими тогда просто знаками неосуществимых операций!) до отчетливого построения комплексных чисел (как пар действительных чисел с соответствующими определениями смысла действий над ними) пришли целые столетия, то в 19 в. куммеровская идея о возможности восстановления в надлежащей

6 Например,

7 Следует отметить, что Ньютон ограничивается весьма общими и приблизительными указаниями относительно сходимости употребляемых им рядов, но сознательного пользования расходящимися рядами у него нет, а необходимость исследования сходимости для законности пользования разложением в ряд неоднократно подчеркивается.

расширенной области единственности разложения на простые множители в тех системах целых алгебраических чисел, в которых она без этого расширения не имеет места, почти тотчас же нашла свое логически безупречное воплощение в виде теории «идеалов».

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИЗА У НЬЮТОНА

Предел. В наиболее законченном виде ньютоново представление о пределе изложено им в первом отделе первой книги «Начал». Ввиду дальнейших применений здесь более всего говорится о пределах отношений исчезающих (т. е. стремящихся к нулю) или неограниченно возрастающих количеств. Первое впечатление от высказываний Ньютона вполне подтверждает мнение А. Н. Крылова, считающего, что мы имеем здесь вполне современную строгую теорию пределов. Приведем в виде примера таких звучащих вполне современно высказываний Ньютона следующее место из «Поучения» к первому отделу первой книги «Начал»8:

«Предельные отношения исчезающих количеств не суть отношения пределов этих количеств, а суть те пределы, к которым при бесконечном убывании количеств приближаются отношения их и к которым эти отношения могут подойти ближе, нежели на любую наперед заданную разность, но которых перейти или достигнуть9 на самом деле не могут ранее, чем эти количества уменьшатся бесконечно. Дело объясняется проще на бесконечно больших величинах. Если две величины, разность которых задана, будут обе увеличиваться до бесконечности, то между ними существует предельное отношение, которое равно единице, однако нет предельных значений для самих величин, т. е. таких наибольших их значений, отношение которых как раз было бы равно единице. Поэтому если в последующем для простоты речи я буду говорить о величинах весьма малых или исчезающих, или зарождающихся, то не следует под этими словами разуметь количеств определенной величины, но надо их рассматривать как уменьшающиеся бесконечно».

Естественно, однако, спросить себя, почему все это сказано лишь в заключительном «Поучении» ко всему изложению теории пределов, начинается же это изложение вовсе не с определения понятия предела, а с леммы.

8 Перевод А. Н. Крылова. В своем переводе А. Н. Крылов несколько модернизирует терминологию Ньютона, заменяя ньютоновы «первые и последние отношения» «предельными отношениями», и т. д. Логическое строение ньютоновых рассуждений А. Н. Крылов передает, однако, достаточно точно.

9 3десь, конечно, со строго формальной точки зрения содержится ошибка: из того, что отношение х : у стремится к пределу а при х —» оо, у —► 0, вовсе не следует, что X :у ф а при х, у ф 0.

Лемма 1. Количества, а также отношения количеств, которые в продолжении любого конечного времени постоянно стремятся к равенству и ранее конца этого времени приблизятся друг к другу ближе, нежели на любую заданную разность, будут в пределе равны.

Так как лемме дается доказательство, то понятие предела, очевидно, считается уже данным заранее. Напрасно, однако, вообще было бы искать у Ньютона определения этого понятия: он вовсе и не считает нужным такое определение давать, считая понятие предела одним из основных исходных понятий, которые подлежат не определению, а только пояснению на примерах. Это особенно ясно из такой аргументации Ньютона (данной тоже в «Поучении» к рассматриваемому разделу «Начал»):

«Делают возражение, что для исчезающих количеств не существует «предельного отношения», ибо то отношение, которое они имеют ранее исчезания, не есть предельное, после же исчезания нет никакого отношения. Но при таком и столь же натянутом рассуждении окажется, что у тела, достигающего какого-либо места, где движение прекращается, не может быть «предельной» скорости, ибо та скорость, которую тело имеет ранее, нежели оно достигло этого места, не есть «предельная», когда же достигло, то нет скорости. Ответ простой: под «предельной» скоростью надо разуметь ту, с которою тело движется не перед тем, как достигнуть крайнего места, где движение прекращается, и не после того, а когда достигает, т. е. именно ту скорость, обладая которою, тело достигает крайнего места и при которой движение прекращается. Подобно этому, под предельным отношением исчезающих количеств должно быть разумеемо отношение количеств не перед тем, как они исчезают, и не после того, но при котором они исчезают» .

Здесь Ньютон, защищая состоятельность понятия предела, апеллирует к очевидности того факта, что тело может иметь определенную (не равную нулю) скорость в момент прекращения своего движения.

Резюмируя, мы можем сказать: понятие предела (как и понятие скорости) является для Ньютона одним из исходных понятий, не подлежащих в силу их примитивного характера и интуитивной ясности прямому определению. Однако во всех своих утверждениях о свойствах пределов и способах их нахождения Ньютон вполне точен и ни в чем не расходится с нашими современными представлениями.

Попутно разъясняется еще одно недоразумение. Часто Ньютона упрекают в непоследовательности за то, что он нередко говорит о предельном значении отношения X = х : у при х —> 0, у —+ 0 как о значении, к которому отношение стремится и которого в конце концов достигает. Часто считают, что тем самым он приходит к определению в духе Лейбница-Эйлера предельного отношения как отношения двух актуально бесконечно малых

или, еще вульгарнее, двух нулей. В действительности дело объясняется тем, что у Ньютона функция автоматически считается определенной «по непрерывности» в тех точках, в которых она имеет определенный предел. Например, положив

(1)

мы в настоящее время говорим, что функция f(x) определена только при X ф 0; замечая же, что

(2)

мы определяем новую функцию

(3)

которая уже определена для всех действительных х. Ньютоновскую же концепцию можно сформулировать применительно к этому примеру так: как только имеет место (2), то функция (1) определена не только там, где она вычисляется непосредственно по формуле (1), но и при х = 0, так как в силу (2) /(0) = 1.

Так как функции (флюэнты)10 у Ньютона по самому определению непрерывны, то в таком подходе к делу нет логической ошибки.

Точно так же с формально логической точки зрения нет никакого преступления в том, чтобы считать понятие предела первоначальным понятием, которому не дается формального определения. Нас такое изложение в настоящее время не удовлетворило бы, но с нашими представлениями о необходимости логической последовательности и строгости оно не находится в противоречии в отличие, например, от лейбницевских определений производной и интеграла (как отношения или суммы актуально бесконечно малых), которые со строго формальной точки зрения можно признать только ошибочными или бессмысленными.

Производная. «Флюксия» (т. е., в современной терминологии, «производная») у Ньютона всегда есть скорость изменения «флюэнты» (функции). Анализ соответствующих мест сочинений Ньютона заставляет думать, что понятие скорости ему представлялось столь ясным, что никакой

10 Ньютоновская «флюэнта», говоря современным языком, всегда есть непрерывная функция /(х), имеющая своей областью определения интервал (а; 6), со включением его начальной точки а в случае существования предела limx_a /(#) и включением конечной точки b в случае существования предела limx_b f(x) (возможность отсутствия этих пределов была хорошо известна Ньютону), полупрямую (a,-foo), или (—оо,6) (с включением a или b в случае существования соответствующих пределов), или полностью прямую (—оо, -Ьоо).

потребности в определении скорости как предела отношения приращения изменяющейся величины к приращению времени At при At —» 0 он не чувствовал. В соответствии с этим соотношение

является для Ньютона не определением флюэнты £, а лишь формулой, позволяющей находить аналитическое выражение флюксии по аналитическому выражению флюэнты.

Дифференциал. На различных вариантах, в которых мысль Ньютона приближалась к современному понятию дифференциала, стоит остановиться подробнее.

В настоящее время, считая переменные ж, у, г,... функциями основного независимого переменного £, мы определяем дифференциалы dx,dy,dz,... как главные части Дх, Ду, Дг,..., т. е. как функции двух переменных t и Д£, линейные по At и обладающие тем свойством, что разности Ах — ete, Ay — dy, Az — dz,... бесконечно малы по сравнению с At. В силу этого определения

где ±, у, z — производные.

Применения дифференциалов в анализе распадаются на две группы: 1) В первой группе приращение At можно считать произвольным постоянным. Во всех такого рода вопросах преимущество пользования дифференциалами над употреблением производных сводится к формальному превосходству удобного и легко обозримого алгоритма, которое выражается, например, в том, что при рассмотрении нескольких переменных х, у, з,... нет необходимости выбирать одно из них за основное независимое переменное и можно вести все выкладки в однородной форме, записывая дифференциальные уравнения

в виде

и т. п., или в том, что вместо формул

для производной функции и обратной функции при употреблении дифференциалов получаются простые тождества:

Во многих курсах анализа 19 в., а иногда и теперь ограничиваются таким пониманием дифференциала: дифференциал независимого переменного t есть по определению некоторая произвольная константа At, а дифференциалы зависимых переменных ... суть по определению

2) Существует, однако, вторая группа применений понятия дифференциала, которая существенно опирается на соотношения

где o(At) обозначает величину, бесконечно малую по сравнению с At. Здесь At, естественно, должно уже рассматриваться как переменное. К этой группе относятся определение интеграла как предела суммы дифференциалов и все применения дифференциалов, связанные с геометрическими рассмотрениями «бесконечно малых треугольников», «бесконечно близких нормалей к кривой», «бесконечно малого угла» между такими нормалями и т. д. Полное овладение той идеей, что весь этот способ геометрических рассуждений с бесконечно малыми, если он производится на базе надлежащих определений, вполне соединим с полной логической строгостью, представляет заметные трудности. Я вспоминаю, например, как еще в 20-х гг. нашего века в московской школе Н. Н. Лузина относились к такого рода рассуждениям (культивировавшимися тогда особенно Б. К. Млодзиевским) с большим скептицизмом.

После этих вступительных замечаний переходим собственно к Ньютону. У него мы находим следующее:

а) По преимуществу в текстах раннего происхождения (1665) под названием «момент» Ньютон вводит в наивном лейбницевском смысле понятие актуально бесконечно малого. Такого рода рассуждения в менее ответственных местах употребляются и в поздних работах Ньютона. Следует, однако, помнить, что сказано в «Началах»:

«... если во всем последующем изложении я и рассматриваю какие-либо величины как бы состоящими из постоянных частиц, или если я принимаю за прямые линии весьма малые части кривых, то следует разуметь, что это не неделимые, а исчезающие делимые величины, что это не суммы и не отношения определенных конечных частей, а пределы сумм и пределы

отношений исчезающих величин, и сущность этих доказательств в том и состоит, чтобы все приводить к предыдущим леммам»11.

б) В «Методе флюксий» в несколько необычной форме развивается концепция, вполне эквивалентная по существу современной трактовке дифференциалов с постоянным At.

Нам кажется недостаточно подчеркнутым в большинстве работ по истории математики, что ньютоновское дифференциальное исчисление в той форме, как оно изложено в «Методе флюксий», обладает всеми формальными алгоритмическими преимуществами лейбницевского исчисления дифференциалов.

Дело в том, что в «Методе флюксий» флюксии всегда мыслятся как производные по некоторому вспомогательному переменному £, которое нигде явным образом в выкладки не входит. По поводу этого «времени» Ньютон говорит следующее:

«Но так как мы здесь привлекаем к рассмотрению время лишь в той мере, в какой оно выражается и измеряется равномерным местным движением, и так как, кроме того, сравнивать друг с другом можно только величины одного рода, а также скорости, с которыми они возрастают или убывают, то я в нижеследующем рассматриваю не время как таковое, но предполагаю, что одна из предложенных величин, однородная с другими, возрастает благодаря равномерному течению, а все остальные отнесены к ней, как ко времени. Поэтому по аналогии за этой величиной не без основания можно сохранить название времени. Таким образом, повсюду, где в дальнейшем встречается слово время (а я его очень часто употребляю ради ясности и отчетливости), под ним нужно понимать не время в его формальном значении, а только ту отличную от времени величину, посредством равномерного роста или течения которой выражается и измеряется время»12.

11 Цитируемое замечание стоит в «Началах» после одиннадцати лемм, в которых заключена ньютоновская теория пределов.

12 По поводу этих строк из «Метода флюксий», можно было бы еще заметить, что А. Н. Крылов в цитированной выше характеристике, может быть, слишком поспешно зачисляет Ньютона в последовательные сторонники обоснования анализа «исходя из понятий механических и геометрических». Верно, что, апеллируя к понятию скорости, Ньютон не сумел обойтись при обосновании анализа без понятий кинематики; но сейчас мы видели, что ему была близка идея о том, что по существу чистый анализ от рассмотрений, связанных с введением времени (мы бы сказали: «в реальном смысле этого слова» — Ньютон говорит: «в его формальном значении», — различие чисто терминологическое), не зависит.

Излишне добавлять, что и до настоящего времени прогрессивной научной методологией является та, которая ясно видит происхождение абстрактных понятий из обобщения конкретного опыта, но умеет и выделить их в полной чистоте, отбрасывая все для них несущественное.

Что касается производных

какого-либо одного из явно входящих в задачу переменных по другому, то в «Методе флюксий» они всегда выражаются в виде отношений флюксий:

Поэтому флюксии в выкладках здесь играют скорее роль наших дифференциалов, чем производных.

Например, желая найти из соотношения

(1)

максимум переменного х, Ньютон получает из (1)

(2)

а полагая в (2) х — О, приходит к

(3)

что дает вместе с (1) возможность вычислить максимальное значение х и соответствующее ему значение у. Ясно, что (2) соответствует современной записи с дифференциалами:

(2')

Мы ограничиваемся этим очень простым примером, чтобы не отвлекать читателя от обсуждения принципиальных вопросов.

Заметим, однако, что в «Методе флюксий» решается много весьма замысловатых (особенно если принять во внимание отсутствие у Ньютона общих правил дифференцирования частного и функции от функции) задач, при решении которых преимущества ньютоновской записи, соответствующей нашим операциям с дифференциалами, становятся уже вполне ощутимыми.

Полная равносильность приемов, употребляемых Ньютоном в «Методе флюксий», с очерченным выше первым современным подходом к понятию дифференциала вполне естественна. Если At произвольное постоянное, то его можно положить равным единице, а тогда

в) К «Трактату о квадрате кривых» приложено «Поучение», написанное, по-видимому, подобно уже упоминавшемуся введению, значительно позднее основного текста. Это «Поучение» начинается так:

«Мы выше сказали, что у флюэнт имеются первые, вторые, третьи, четвертые и другие флюксии.

Эти флюксии находятся в том же отношении, что и члены бесконечных сходящихся рядов. Так, если флюэнта есть хп и при своем течении переходит в (z + о)п, то она разложится в сходящийся ряд

Первый член этого ряда zn будет той флюэнтой, второй nozn~l — ее первым приращением или первой разностью, которой при ее зарождении пропорциональна первая флюксия; третий

будет вторым приращением или второй разностью, которой при ее зарождении пропорциональна вторая флюксия; четвертый

будет ее третьим приращением или третьей разностью, которой при ее зарождении пропорциональна третья флюксия, и т. д. до бесконечности»13 Здесь Ньютон, ограничиваясь частным случаем14

13 Бернулли (Commercium epislolicum Leidnitii et Joh. Bernoulli. — T. 2. — С. 294) находил здесь у Ньютона ошибку. Скорее следовало бы говорить лишь о неудачной терминологии. Ньютоновские второе, третье, четвертое и следующие приращения (разности) равны соответственно

Лучше было бы назвать вторым, третьим, четвертым и следующими приращениями (разностями) сами дифференциалы d2zn, d32n, c^z71,...

14 Как известно, рассматриваемый Ньютоном ряд для любого п (даже комплексного, хотя Ньютон имел, надо полагать, в виду только действительные п) сходится в нашем современном смысле слова при достаточно малом о, если только z ф о. Вообще же говоря, в вопросе о сходимости рядов в сочинениях Ньютона не всегда господствует полная ясность, хотя в тенденции его понимание сходимости ряда, ужо начиная с «Анализа с помощью уравнений», совпадает с современным: ряд сходится, если достаточно большое число его членов дает сумму наперед заданной точностью.

рассматривает функцию f(z), разлагающуюся в сходящийся ряд по степеням конечного приращения о независимого переменного z:

и называет второй, третий, четвертый и т. д. члены этого ряда соответственно первым, вторым, третьим и т. д. приращением (разностью) функции f(z). Утверждение Ньютона, что эти «приращения» пропорциональны соответствующим флюксиям, верно в том смысле, что в равенствах

коэффициенты

не зависят от вида функции f(z). «Приращения» Ньютона связаны, если положить dz = О, с современными дифференциалами соответствующих порядков равенствами:

Мы видим, что здесь ньютоновский «момент» независимого переменного сделался (в отличие от ранних работ Ньютона) переменной конечной величиной, а «первое приращение» функции определяется как второй член в разложении f(z+o) по степени о, т. е. как главная линейная часть полного приращения

Это и есть современное определение дифференциала.

Как обычно и отмечается, приведенный отрывок из «Трактата о квадратуре кривых» показывает, что Ньютон в момент написания «Поучения» к этому трактату был очень близок к открытию ряда Тейлора (если не сказать просто — открыл этот ряд!). К сожалению, это было, по-видимому, в период, когда в математике Ньютона более всего интересовало уже не дальнейшее продвижение вперед, а отстаивание своего приоритета в отношении ранее достигнутого.

ЛОБАЧЕВСКИЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ ДЕВЯТНАДЦАТОГО ВЕКА

По предшествующей статье П. С. Александрова читатель мог в достаточной мере познакомиться с системой неэвклидовой геометрии, которая была построена Лобачевским и противопоставлена им традиционной системе эвклидовой геометрии. Каково же значение этого основного создания Лобачевского для дальнейшего развития геометрии и вообще математических наук? Непосредственное значение той конкретной системы неэвклидовой геометрии, которая была развита Лобачевским, оказалось несколько уже, чем это представлялось ему самому: геометрия Лобачевского — лишь одна из бесчисленного числа различных возможных неэвклидовых геометрий.

Но если взглянуть на дело с более широкой точки зрения, то можно сказать, что создание геометрии Лобачевского явилось поворотным пунктом, определившим в значительной мере весь стиль математического мышления девятнадцатого века, столь противоположный стилю мышления математиков предыдущего восемнадцатого века. Недаром в наши дни студенты наших университетов знакомятся с общими вопросами логических оснований математики и с аксиоматическим методом, главным образом, из курса «оснований геометрии», значительную часть которого составляет изложение неэвклидовой геометрии Лобачевского. Если этот обычай и следует теперь признать устарелым, то он во всяком случае является хорошей иллюстрацией определяющего влияния, которое оказало создание геометрии Лобачевского на все дальнейшее развитие математического мышления. Характеристике тех общих тенденций развития математики в девятнадцатом веке и в наше время, которые имеют одним из своих самых мощных источников работы Лобачевского, и посвящена в основном настоящая статья.

I

Мы начнем с более узкого вопроса о значении самой системы неэвклидовой геометрии Лобачевского. Из всей системы аксиом Эвклида1 Лобачевский, примыкая к вековой традиции, подвергает специальной дискуссии только одну аксиому параллельных. Традиция эта имеет известные

Печатается по книге: П. С. Александров, А. Н. Колмогоров. Николай Иванович Лобачевский. 1793-1943. — М.-Л.: ОГИЗ, Гостехиздат, 1943. Две первые статьи книги — Николай Иванович Лобачевский (краткий очерк жизни и деятельности) и Что такое неэвклидова геометрия? — написаны П. С. Александровым.

1 Различие, существующее у Эвклида между «аксиомами» и « постулатами », для нас не существенно; мы называем и те и другие аксиомами.

основания: из всех аксиом Эвклида аксиома параллельных является единственной аксиомой, которую нельзя проверить ни в каком ограниченном куске пространства. Основания эти не имеют, однако, в какой-либо мере окончательного логического значения, так как аксиому параллельных легко заменить той или иной не менее убедительной наглядно-равносильной аксиомой, не имеющей отмеченного недостатка, например аксиомой о существовании хотя бы одной пары не равных, но подобных треугольников.

Благодаря тому, что все аксиомы Эвклида, за исключением аксиомы параллельных, у Лобачевского сохраняются, Лобачевский приходит к существованию только двух различных геометрий: обычной геометрии Эвклида и одной единственной неэвклидовой геометрии, с которой под названием «геометрии Лобачевского» и знакомит читателя предшествующая статья П. С. Александрова. Все теоремы, общие этим двум единственно возможным геометриям, составляют содержание так называемой «абсолютной» геометрии.

Заметим, что утверждение о сосуществовании в пределах «абсолютной» геометрии только двух различных вариантов — эвклидова и неэвклидова — получило точный логический смысл лишь после установления понятия полноты системы аксиом, опирающегося на понятие изоморфизма различных осуществлений (моделей) данной геометрии. Две системы объектов (в случае элементарной геометрии — «точек», «прямых» и «плоскостей»), связанных некоторыми отношениями (в случае элементарной геометрии — отношениями принадлежности, порядка и конгруэнтности), называются изоморфными, если их возможно поставить в такое взаимно-однозначное соответствие, что соответствующие объекты оказываются в обеих системах одновременно связанными, или не связанными, одноименными отношениями. Система аксиом называется полной, если все ее осуществления изоморфны, и неполной, если существуют два не изоморфные ее осуществления. В статье П. С. Александрова уже отмечалось, что приведенная в ней система аксиом геометрии Эвклида полна. Наоборот, система аксиом «абсолютной» геометрии, т. е. система аксиом, получающаяся из системы аксиом геометрии Эвклида простым отбрасыванием аксиомы параллельных, неполна, так как имеет кроме осуществлений, в которых эвклидова аксиома параллельных выполняется, также и осуществления, в которых эта аксиома нарушается. Присоединяя к аксиомам «абсолютной» геометрии вместо эвклидовой аксиомы параллельных аксиому Лобачевского о существовании двух параллельных, мы получаем вновь полную систему аксиом. Таким образом, все неэвклидовы осуществления «абсолютной» геометрии изоморфны между собой, т. е. существуют (как говорят, «с точностью до изоморфизма») только два типа осуществлений «абсолютной» геометрии — эвклидов и один единственный неэвклидов, изученный Лобачевским.

Однако, отбрасывая и заменяя новыми аксиомами не одну аксиому параллельных, а и другие аксиомы эвклидовой геометрии, можно получить много новых «неэвклидовых» геометрий, отличных от геометрии Лобачевского. Некоторые из этих новых геометрий не менее интересны, чем геометрия Лобачевского. В конце статьи П. С. Александрова читатель мог познакомиться с одной из таких геометрий, именно с «эллиптической» геометрией Римана. С этой точки зрения название «абсолютной» геометрии, даваемое геометрической системе, получающейся из эвклидовой путем отбрасывания только одной аксиомы параллельных (и ее следствий), кажется нам теперь несколько случайным и неудачным.

II

Система аксиом называется непротиворечивой, если существует хотя бы одно ее осуществление (хотя бы одна ее модель), построенное из объектов любой природы. В настоящее время все непротиворечивые системы геометрии считаются с чисто логической стороны равноправными. Конечно, они могут быть более или менее интересными и важными в зависимости от того, сколь большое место занимают в системе изучаемых нами математических или внематематических образов различные их осуществления; но все такие оценки по степени интереса и важности не имеют безусловного характера и меняются со временем.

Более того, с формально-логической стороны мы теперь придаем окончательное значение при доказательстве непротиворечивости той или иной системы геометрии лишь «внутриматематическим» их осуществлениям. Например, непротиворечивость эвклидовой геометрии доказывается не на основании экспериментально установленной приближенной ее пригодности в окружающем нас «физическом» пространстве, а существованием ее «координатной» аналитической модели. Как показано в статье П. С. Александрова, из непротиворечивости эвклидовой геометрии вытекает, тоже посредством чисто математических конструкций, без обращения к физическому эксперименту, и непротиворечивость геометрии Лобачевского.

Естественно, однако, что только что сказанное ни в какой мере не устраняет вопроса о том, какая из логически мыслимых (не противоречивых) систем геометрии реально осуществляется в «физическом» пространстве, в котором мы живем и действуем. Только вопрос этот переносится из области чистой математики в область физики, и в соответствии с этим ответ на него теряет полную однозначность.

Чтобы проще понять смысл последнего утверждения, не будем рассматривать вопрос во всей общности, а ограничимся той его постановкой, которая была доступна во времена Лобачевского. Лобачевскому были извест-

ны только две системы геометрии: эвклидова и его собственная. Вопрос поэтому стоял лишь о том, какая из этих двух систем геометрии осуществляется в реальном мире. Оставаясь в пределах этой постановки вопроса, которую мы теперь бы расширили, Лобачевский правильно указывал на желательность экспериментальной проверки предложений обеих конкурирующих геометрий. Для такой проверки удобно, например, выбрать теоремы о сумме углов треугольника, которая в эвклидовой геометрия равна двум прямым, а в геометрии Лобачевского всегда меньше двух прямых.

Некоторое осложнение вносит в вопрос то обстоятельство, что все реальные измерения имеют ограниченную точность. Ввиду этого точное равенство суммы углов треугольника двум прямым никогда не может быть установлено: всегда останется возможность, что эта сумма в действительности меньше двух прямых, но отличается от двух прямых на величину столь малую, что она не поддается измерению. Поэтому экспериментальное измерение углов треугольников может привести только к одному из следующих двух результатов:

а) Найдется хотя бы один треугольник с суммой углов, заведомо меньшей двух прямых. В этом случае эвклидова геометрия заведомо неприменима к реальному пространству; поскольку же мы поставили перед собой лишь задачу выбора между двумя геометрическими системами — Эвклида и Лобачевского, в этом случае нам придется признать, что в. реальном пространстве действует геометрия Лобачевского.

б) В пределах точности наших измерений у всех измеренных треугольников сумма углов равна двум прямым. В этом случае можно сказать, что реальное пространство, в пределах точности наших измерений и в подвергнутой изучению его части, подчиняется геометрии Эвклида, но нельзя отрицать и применимости к реальному пространству геометрии Лобачевского.

Такое положение вещей вполне понятно. В статье П. С. Александрова было указано2, что в геометрии Лобачевского существует «абсолютная единица длины», называемая еще «радиусом кривизны» пространства. Фигуры пространства Лобачевского, размеры которых очень малы по сравнению с этим радиусом кривизны Д, с большой точностью подчиняются закономерностям эвклидовой геометрии. В частности, чем меньше стороны треугольника по сравнению с Ä, тем меньше сумма его углов отличается от двух прямых. Поэтому, если размеры всех доступных нашему измерению треугольников малы по сравнению с R, то при измерении их углов с доступной нам точностью мы можем никакого отклонения суммы углов от двух прямых не заметить.

2 Замечание в сноске на стр. 69-70 [изд. 1943 г.].

Если бы в реальном пространстве осуществлялась геометрия Лобачевского, то имело бы смысл говорить об отношении

нашей обычной стандартной меры длины — метра — к абсолютной мере длины R. Так как доступные нашему измерению треугольники имеют стороны в какое-то ограниченное число метров, то чем меньше К, тем меньше сумма их углов будет отличаться от двух прямых, т. е. геометрия реального пространства в доступной нам его части будет тем меньше отличаться от эвклидовой. В соответствии с этим естественно условиться считать, что гипотезе применимости к реальному пространству эвклидовой геометрии соответствует

Тогда описанное выше положение с экспериментальным различием между гипотезами применимости к реальному пространству геометрии Эвклида или Лобачевского можно будет резюмировать так:

Исходим из допущения, что реальное пространство подчинено «абсолютной» геометрии в смысле, разъясненном выше. Экспериментально можно лишь приближенно определить константу К. Если К заведомо отлично от нуля, то в реальном пространстве действует геометрия Лобачевского. Если К так мало, что в пределах точности измерений неотличимо от нуля, то допустимы как гипотеза точного осуществления в реальном пространстве геометрии Эвклида, так и гипотеза геометрии Лобачевского с очень малым значением К.3

3 С намечающимся здесь непрерывным переходом от геометрии Лобачевского к геометрии Эвклида при

К ^0

мы встретимся в несколько другой форме еще далее. Этот переход может вызвать у читателя известное недоумение. Выше было сказано, что все осуществления геометрии Лобачевского изоморфны друг другу, т. е. обладают в точности одинаковыми внутренними геометрическими свойствами. Теперь же оказывается, что свойства пространства, подчиненного геометрии Лобачевского, зависят от константы К и при К —► О пространство Лобачевского как бы непрерывно превращается в пространство Эвклида.

Объяснение не сложно. Так как все осуществления (модели) геометрии Лобачевского изоморфны, то с отвлеченной чисто математической точки зрения мы может выбрать какую-либо одну из них и считать ее единственным настоящим «пространством Лобачевского». Применение геометрии Лобачевского (как и всякой другой отвлеченно-математической «геометрии») к реальному физическому пространству исходит из гипотезы, что реальное пространство может быть отображено на эту идеальную модель пространства Лобачевского с сохранением отношений принадлежности, порядка и кон-

Естественно впрочем, что ввиду большей простоты геометрии Эвклида во втором случае мы предпочтем просто сказать, что в, пределах точности наших наблюдений в реальном пространстве действует геометрия Эвклида.

Общий принцип относительности Эйнштейна внес дальнейшие изменения в постановку вопроса о геометрии реального физического пространства, которые мы лишены возможности здесь подробно излагать. Эти изменения не касаются основной, намеченной выше логической схемы: чистая математика изучает различные «геометрии», опирающиеся каждая на свою особую систему аксиом. Каждая такая «геометрия» должна быть непротиворечивой в том смысле, что существует хотя бы одно ее осуществление в виде системы объектов любой природы, в которой выполнены все аксиомы данной геометрии. Такие системы объектов любой природы, в которых выполняется та или иная система геометрических аксиом, и называются в чистой математике «пространствами» (Эвклида, Лобачевского, Римана и т. д.). В противоположность идеальным математическим пространствам свойства реального физического пространства известны нам только приближенно. В соответствии с этим не имеет смысла вопрос о том, какая из различных идеальных «геометрий», рассматриваемых чистой математикой, окончательно и с полной точностью отражает свойства реального пространства. Осмыслен же только вопрос о том, какие из идеальных математических геометрий удовлетворительно отражают наши познания об устройстве реального пространства, имеющиеся на данный момент. Ответ на этот последний вопрос может меняться со временем, и никогда не может стать вполне однозначным.

Создание Лобачевским первой неэвклидовой геометрии послужило исходным пунктом для выработки всей этой современной системы взглядов на соотношения между идеальными математическими «пространствами» и их «геометриями» и геометрией реального физического пространства.

груэнтности. Эта гипотеза получает, однако, полную количественную определенность лишь после того, как будет указано отношение

длины отрезков идеального математического пространства Лобачевского, изображающих реальные отрезки длины в один метр, к абсолютной единице длины. Изменяя К, мы меняем не абстрактное математическое пространство Лобачевского, а размеры той области G' этого пространства, на которую мыслится отображенной доступная нашему наблюдению область G реального пространства. Чем К меньше, тем меньше область G' и тем меньше отличаются геометрические свойства расположенных в ней фигур от свойств фигур эвклидовой геометрии, в частности, тем меньше отличается сумма углов треугольников, помещающихся в области G't от двух прямых.

Специально же именно геометрия Лобачевского, с точки зрения современной физики, не занимает никакого особого места среди множества других геометрий, могущих оспаривать у эвклидовой геометрии право на преимущественную пригодность для изображения свойств реального пространства.

III

Роль различных «воображаемых» геометрий, созданных математикой девятнадцатого века, не ограничивается, однако, заготовлением, так сказать, «про запас» различных пространств, которые могли бы в будущем приводиться в качестве идеализированных моделей устройства реального физического пространства. Одной из основных черт математики девятнадцатого века является проникновение геометрических методов в самые различные области математики, совсем не относящиеся к «геометрии» в первоначальном смысле этого слова. Если функции одного переменного

удобно изображаются графически на координатной плоскости (ж,у), а функции двух переменных

удобно изучать, исходя из геометрического рассмотрения соответствующей поверхности в координатном трехмерном пространстве (ж, у, z), то не менее естественно изучать функции п переменных

опираясь на геометрические рассмотрения в «(n + 1)-мерном координатном пространстве» (жъХ2,... ,жп,у). В механике и физике принято представлять себе процесс изменения системы с любым числом степеней свободы как процесс «движения» точки, изображающей ее состояние, в «фазовом пространстве» соответствующего числа измерений. При объединении на основе принципа относительности Эйнштейна пространственных и временных отношений в одно целое вполне естественно за объединенным пространственно-временным четырехмерным многообразием «мировых точек» сохранить название «пространства». В качестве первого по времени примера теории, на первый взгляд не имеющей ничего общего с геометрией и все же разработанной геометрическими методами, можно указать на

грассмановскую теорию цветовых ощущений, где каждое цветовое ощущение рассматривается как точка «пространства цветов», в этом пространстве проводятся «прямые», «плоскости» и т. д. — метод, ставший принятым в цветоведении4.

Специально геометрия Лобачевского нашла очень серьезные применения в теории функций комплексного переменного. Подготовленный читатель может с ними познакомиться по книге Ф. Клейна «Неэвклидова геометрия»5.

Своеобразное переплетение различных геометрических систем происходит далее, когда те или иные более сложные образы одной геометрии принимаются за основные элементарные образы другой геометрии. Это приводит к дальнейшему расширению круга применений различных «воображаемых» геометрий. Из § VII статьи П. С. Александрова читатель мог усмотреть, что изучение системы окружностей, лежащих в эвклидовой плоскости и ортогональных некоторой выделенной окружности К в отношении их пересечений и углов между ними, может быть сведено к изучению прямых плоскости геометрии Лобачевского. Такого рода рассмотрения имеют интерес не только с точки зрения осуществления геометрии Лобачевского, но и в качестве метода для изучения геометрических свойств систем окружностей эвклидовой плоскости.

Быть может, самым интересным из таких применений геометрии Лобачевского в пределах эвклидовой геометрии является «внутренняя» геометрия поверхностей постоянной отрицательной кривизны. На нем мы остановимся несколько подробнее.

Основные идеи внутренней геометрии поверхностей принадлежат Гауссу. «Внутренними» свойствами поверхности называются те ее свойства, которые не меняются при любом ее изгибании без растяжений и сжатий. Например, свертывая квадрат (а) черт. 1 в цилиндрическую поверхность (Ь), мы не меняем его внутренних свойств.

К числу основных геометрических образов внутренней геометрии поверхности принадлежат геодезические линии: это — такие линии, лежащие на данной поверхности, достаточно малые дуги которых представляют из себя кратчайшее соединение своих концов. На плоскости геодезические линия — это обыкновенные прямые, на поверхности сферы — большие круги. На любой достаточно гладкой поверхности из каждой ее точки выходит по

Черт. 1

4 О проникновении геометрических методов в различные области математики см. мою статью * Математика» в БСЭ, откуда заимствованы предыдущие строки.

5 ОНТИ, 1936, глава 11.

каждому заданному направлению одна и только одна геодезическая линия, а две достаточно близкие точки соединяются одной единственной геодезической дугой минимальной длины. (Оговорка «достаточно близкие» здесь существенна, как показывает пример северного и южного полюса на земном шаре, кратчайшее соединение которых осуществляется любым меридианом.)

Особенно интересны поверхности, которые с точки зрения их внутренней геометрии обладают достаточной однородностью, т. е. такие поверхности, для которых достаточно малый их кусок, вырезанный вокруг какой-либо точки Р, может быть без растяжений и сжатий и только с изгибанием наложен на поверхность так, что точка Р перейдет в любую другую точку Р\ а заданное направление PQ — в любое заданное направление P'Q' (см. черт. 2). Этим свойством обладает плоскость и поверхность сферы (в случае плоскости и сферы требуемое наложение осуществляется даже без изгибания). Естественно, что тем же свойством обладают все те поверхности, которые (хотя бы по кускам!) накладываются на плоскость или поверхность сферы с изгибанием, например поверхности цилиндрические и конические (они накладываются или, как говорят, «развертываются» на плоскость).

В 1839-1840 г. Миндинг показал, что поверхности, обладающие сформулированным выше свойством однородности, характеризуются тем, что их «гауссовская кривизна»6 во всех точках одинакова, их называют поэтому «поверхностями постоянной кривизны». Тогда же Миндинг показал, что все поверхности данной гауссовской кривизны накладываются друг на друга (хотя бы по кускам) и поверхности различной кривизны друг на друга без растяжений или сжатий не накладываются.

Отсюда вытекает, что вся внутренняя геометрия достаточно малых кусков поверхностей постоянной кривизны определяется одной константой — гауссовской кривизной поверхности а. Если же помимо изгибаний ввести в рассмотрение преобразования подобия, т. е. считать внутреннюю геометрию двух поверхностей одинаковой в случае возможности превратить одну из них в другую (хотя бы по кускам), производя последовательно преобра-

Черт. 2

6 См. определение этого понятия в любом учебнике дифференциальной геометрии.

зования подобия и изгибание, то окажется, что существуют (в «локальном» смысле, т. е. с точки зрения внутренних геометрических свойств поверхности, доступных обнаружению на ее сколь угодно малых кусках) только три различные внутренние геометрии поверхностей постоянной кривизны, соответствующие случаям

Так как сфера радиуса R имеет гауссовскую кривизну

то первый случай осуществляется на поверхности сферы.

Соответствующая «локальная» геометрия есть «локальная» геометрия Римана, о которой сказано в конце статьи П. С. Александрова: на поверхности постоянной положительной кривизны сумма углов треугольника, составленная из геодезических дуг, больше двух прямых и т. д.

Случай а = 0 осуществляется на плоскости.

Случай а < О осуществляется на поверхности, называемой «псевдосферой» (см. черт. 3), и на ряде других поверхностей, найденных тем же Миндингом. На этих поверхностях постоянной отрицательной кривизны и осуществляется «локально» геометрия Лобачевского: сумма углов треугольника, составленного из геодезических дуг, здесь всегда меньше двух прямых и т. д. В печати на это обстоятельство было указано впервые Бельтрами в 1868 г.

IV

Конечно, значение работ Лобачевского в истории науки — не в том, что построенная им новая система геометрии нашла интересные применения в теории функций комплексного переменного или к изучению поверхностей постоянной отрицательной кривизны. Таких применений можно указать еще несколько, но все они вместе при всей их важности доставили бы автору лишь славу крупного исследователя в некоторой специальной области геометрии.

Черт. 3

Основное значение работ Лобачевского состоит в том, что из них выросли все современные взгляды на геометрию как чисто математическую науку и на отношения, в которых находятся изучаемые ею эвклидовы и неэвклидовы, трехмерные, многомерные и бесконечномерные «пространства» — к реальному миру и единственному реальному пространству.

V

Признание равноправия, с точки зрения логики и чистой математики, эвклидовой и неэвклидовой геометрии и вообще множественности с отвлеченной точки зрения геометрии было первым по времени и основным фактором перестройки всей системы взглядов на математику в целом, происшедшей в девятнадцатом веке.

Если математики древнего мира хорошо укладывались в рамки представления о математике как науке о числах, величинах и геометрических фигурах (единственного реального трехмерного эвклидова пространства), математика XVII-XVIII веков выдвинула на первый план идею изменения величин (функциональной зависимости между изменяющимися величинами) в анализе и геометрических преобразований (проекций и т. п.) в геометрии, то девятнадцатый век с его пространствами различного числа измерений и различной «связности», абстрактными группами, кольцами и полями в алгебре и тому подобными новыми образованиями уже решительно не укладывается в эти старые рамки.

Овладеть всем разнообразием образований, изучаемых современной математикой, нельзя без аксиоматического метода7, позволяющего систематически обозреть различные возможности развития той или иной теории, открывающиеся в зависимости от того, как видоизменяются исходные допущения, положенные в ее основу (аксиомы). Первым примером последовательного проведения таких аксиоматических исследований, которые стали теперь привычными не только математикам, но и механикам и физикам, явилась неэвклидова геометрия Лобачевского. Таким образом, и за пределами собственно геометрии идеи Лобачевского оказались мощным стимулом ко всему дальнейшему развитию математических наук.

7 См. мою статью «Математика» в БСЭ.

ВЕЛИКИЙ РУССКИЙ УЧЕНЫЙ-НОВАТОР

(К столетию со дня рождения Николая Ивановича Лобачевского)

1.

Николай Иванович Лобачевский был одним из виднейших русских ученых, исследования которого оказали огромное влияние на мировое развитие целой области науки. Основная заслуга Лобачевского состоит в создании «неэвклидовой геометрии», называемой часто учеными «геометрией Лобачевского». Создание этой геометрии, отличной от обычной «эвклидовой», привело к полному изменению взглядов на самый предмет геометрии вообще. В свою очередь это изменение взглядов оказалось исходным пунктом для изменения взглядов на предмет и задачи математики в целом.

До Лобачевского было принято считать, что в окружающем нас мире с полной точностью и несомненностью действует эвклидова геометрия. Так как экспериментальная проверка геометрических предложений может иметь только приближенный характер, то из мнимой очевидности точного осуществления в действительном мире эвклидовой геометрии делался вывод об априорном, сверхопытном происхождении геометрических истин. С наибольшей последовательностью эта точка зрения была проведена в философии Канта. Сколь ни странным теперь нам кажется этот ход мыслей, вера в то, что логически мыслима только эвклидова система геометрии, была чрезвычайно сильна. Когда Гаусс, пользовавшийся всеобщим признанием в качестве величайшего математика своего времени, пришел к противоположному заключению, то он так и не решился опубликовать свои выводы, чтобы не быть осмеянным. Это сделал вместо него из далекой Казани Лобачевский.

Правда, и до Лобачевского математиков смущала неудача всех попыток доказательства так называемого постулата о параллельных на основе более элементарных и более очевидных геометрических аксиом. Все ограничивалось, однако, бесконечными попытками доказать этот постулат. Лобачевский же понял, что все такие попытки обречены на заведомую неудачу, так как, заменяя эвклидовский постулат о параллельных противоположным ему утверждением, можно получить стройную логическую систему «неэвклидовой геометрии», не содержащую в себе никаких противоречий. Таким образом обнаружилось, что логически возможна не одна, а по крайней мере две системы геометрии. Позднее было обнаружено, что логически мыслимых систем геометрии имеется бесконечное множество. Лобачевский

Газета «Известия», 2. XI.1943.

с полной ясностью указал, что решение вопроса о том, какая из этих систем геометрии осуществляется в действительном окружающем нас пространстве, дается только опытом. Так как опыт здесь может быть только приближенным, то решение это не может быть вполне окончательным: если для тел обычных земных размеров и при доступной нам в данную минуту точности измерений удовлетворительно соблюдаются закономерности эвклидовой геометрии, то это отнюдь не значит, что они обязаны соблюдаться и в больших масштабах или в малых частях пространства внутриатомных размеров, а также для тел обычных размеров при увеличении точности измерений.

Позднее аналогичная проблема возникала относительно механики Ньютона. Принципы этой механики было принято считать априорно очевидными, подобно геометрии Эвклида. Однако опыт показал, что для больших скоростей, сравнимых со скоростью света, действует другая механика — механика принципа относительности Эйнштейна. Возникшее на этой почве глубокое преобразование наших представлений о пространстве и времени далось ученым двадцатого века легко и сразу было облечено в безукоризненную математическую форму, так как с принципиальной, логической стороны обстановка была аналогична переходу от эвклидовой к неэвклидовой геометрии.

После Лобачевского мы представляем себе, что геометрия, как математическая наука, изучает не реальное пространство, в котором мы живем и действуем, а различные, по терминологии Лобачевского «воображаемые» пространства, в которых действуют различные логически мыслимые системы геометрии. Какая из этих математических отвлеченных схем лучше подходит к свойствам реального пространства, это — уже вопрос физики, а не чистой математики, и решается он лишь приближенно и поэтому никогда не вполне окончательно.

Такая точка зрения на геометрию оказалась плодотворной и с совсем другой стороны. Именно, оказалось, что и те логически мыслимые геометрические системы, которые заведомо не подходят в качестве математических моделей реального пространства, могут иметь важные применения. Например, реальное пространство заведомо трехмерно; это не мешает, однако, «четырехмерной» и «многомерной» геометрии быть очень полезной во многих вопросах как чистой математики, так и механики, физики или химии.

2.

Отец Лобачевского был уездным землемером города Макарьева Нижегородской губернии. Отец умер, когда Лобачевскому было всего четыре года. Окончив Казанскую гимназию, Лобачевский тринадцати с половиной лет поступил в университет. Сначала он увлекается медициной, но

уже пятнадцати лет выделяется успехами в математике и вскоре читает под руководством Бартельса глубокие и трудные работы Лапласа и Гаусса. В 1811 году, не имея еще полных восемнадцати лет, Лобачевский кончает университет и сразу получает звание магистра. Вскоре он приступает к самостоятельному преподаванию в том же Казанском университете, читая, кроме различных отделов математики, еще и физику, механику и астрономию.

На двадцатые годы приходятся основные научные открытия Лобачевского и написание первых фундаментальных научных работ. Это, однако, не мешает ему проявлять большую энергию во всех других областях своей деятельности. В 1827 г. Лобачевский делается ректором Казанского университета.

Обязанности ректора Лобачевский понимает с необычайной широтой и входит во все решительно стороны университетской жизни. От юношества, обучающегося в университете, он требует не только усердия в занятиях, но и широкой культуры, большого увлечения и гражданской доблести. Об этом может дать представление следующий отрывок из его речи «О важнейших предметах воспитания»:

«Но вы, которых существование несправедливый случай обратил в налог другим, вы, которых ум отупел и чувство заглохло, вы не наслаждаетесь жизнью! Для вас мертва природа, чужды красоты поэзии, лишена прелести и великолепия архитектура, незанимательна история веков!»

«Я утешаюсь мыслью, что из нашего университета не выйдут подобные произведения растительной природы; даже не войдут сюда, если к несчастью родились с таким назначением. Не войдут, повторяю, потому что здесь продолжается любовь славы, чувство чести и внутреннего достоинства!»

На посту ректора Лобачевский оставался девятнадцать лет, пока в обстановке усиливавшейся реакции конца царствования Николая первого не был смещен, несмотря на протесты совета университета. Последние годы жизни Лобачевского были печальны. Его университетская деятельность была грубо оборвана. Лобачевский скончался 12 февраля 1856 года.

3.

Таков был Лобачевский: великий ученый, подлинный новатор в науке, не побоявшийся выступить с идеями, которые в его время казались почти бредом сумасшедшего, неутомимый деятель на поприще русского просвещения, обаятельный, страстный и любвеобильный человек.

Мировое признание научных заслуг Лобачевского пришло не скоро, но в конце девятнадцатого века стало всеобщим. Внешним выражением этого признания является, между прочим, то, что присуждаемая периодически

в Казани научная премия имени Лобачевского сделалась высшим знаком отличия для крупнейших геометров мира. Ее получили создатель теории непрерывных групп Софус Ли, крупнейший математик современности Давид Гильберт, создатель общих концепций современной дифференциальной геометрии Эли Картан.

Научные работы Лобачевского относятся к «чистой» математике; основные его идеи лежат даже на границе математики и философии. На расстоянии прошедших ста с лишним лет выяснилась, однако, их глубокая действенная сила для науки в целом, как «чистой», так и «прикладной». Так бывает всегда с большими научными идеями, сколь бы отвлеченными они ни казались при своем зарождении. Внимание, которое приковывает к себе юбилей Лобачевского в годы Великой Отечественной войны, доказывает, что наша страна достаточно сильна, чтобы о такой «чистой» науке помнить и среди напряженных боев.

Всей своей жизнью Лобачевский опровергал ходячее представление о сухом и далеком от практических дел «чистом ученом». Живи Лобачевский в наше время, несомненно, он нашел бы свое место и в непосредственной борьбе, которую наше Родина ведет за свою свободу и за лучшие идеалы всего человечества.

V

Статьи о математиках в энциклопедических изданиях

АДАМАР1, Жак (р. 1865) — выдающийся современный французский математик, член Парижской академии наук (1912). Неоднократно приезжал в СССР с научными докладами и на научные конференции. Известен исследованиями в самых различных областях математики. В теории чисел доказал высказанный П. Л. Чебышевым асимптотический закон распределения простых чисел. Создал значительную часть современной теории целых аналитических функций. В теории дифференциальных уравнений особенно существенны работы Адамара по задаче Коши для гиперболических уравнений. Большое влияние оказали идеи Адамара на создание функционального анализа и на развитие функционального подхода к задачам уравнений математической физики (понятие «корректности» постановки краевой задача, см., и т. п.). В механике Адамар занимался проблемами устойчивости равновесия и исследовал свойства траекторий, описываемых механической системой вблизи положения равновесия. В своих методологических высказываниях Адамар обычно выступает против всякого ограничения выбора предмета и метода математического исследования (например за неограниченное пользование так называемой аксиомой выбора, см. Множеств теория) и против агностицизма, исходя из естественной для крупного математика убежденности в разрешимости каждой математической проблемы. Однако философское обоснование этих положительных взглядов на неограниченные возможности научного прогресса у Адамара явно неудовлетворительно; оно представляет собой соединение объективного идеализма с узким эмпиризмом. Адамар много занимался вопросами школьного преподавания и написал учебник геометрии (переведенный на русский язык).

Соч. A.: Hadamard J. Leçons de géométrie élémentaire, v. 1-2, P., 1898-1901 (рус. пер.: Элементарная геометрия, ч. 1, 3 изд., М., 1948, ч. 2, 1938); Lectures on Cauchy's problem, N.Y., 1923; Cours d'analyse, t. 1-2, P., 1927-30; Selecta. Jubilé scientifique, P., 1935 (содержит полный список работ Адамара), и др.

АЛЕКСАНДРОВ2, Александр Данилович (р. 1912) — русский советский математик, член-корреспондент Академии наук СССР, лауреат Ста-

1 БСЭ-2. - 1949. - Т. 1. - С. 388.

2 БСЭ-2. - 1950. - Т. 2. - С. 83.

линской премии (1942); профессор Ленинградского университета. Известен своими работами по геометрии выпуклых тел (см.). В его работах тесно переплетаются исследования глубоких свойств самых элементарных геометрических фигур с использованием современных теоретико-множественных методов.

Соч. А.: Существование выпуклого многогранника и выпуклой поверхности с заданной метрикой, «Математический сборник. Новая серия», 1942, т. 11, вып. 1-2; Внутренняя геометрия произвольной выпуклой поверхности, «Доклады Акад. наук СССР. Новая серия», 1941, т. 32; Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей, М.-Л., 1948.

АЛЕКСАНДРОВ3, Павел Сергеевич (р. 1896) — русский советский математик, член-корреспондент АН СССР, лауреат Сталинской премии (1943). Президент Московского математического общества. Профессор Московского университета, где создал свою школу (среди его учеников — члены-корреспонденты АН СССР Л. С. Понтрягин и А. Н. Тихонов). Начал научную работу в области теории множеств и теории функций действительного переменного, получив ряд замечательных результатов. Затем вместе с П. С. Урысоном (см.) посвятил себя разработке топологии (науки о качественных свойствах геометрических фигур, т. е. свойствах, не связанных с понятием длины, величины углов, и т. п.). А. является главой советской топологической школы, получившей мировое признание. А. создана одна из основных глав теории топологических пространств — теория бикомпактных пространств, существенно продвинута теория размерности, созданы методы комбинаторного (алгебраического) исследования множеств и пространств общей природы; им доказан ряд основных «законов двойственности» (связывающих топологические свойства геометрической фигуры с топологическими свойствами дополнительной к ней части пространства).

Соч. А.: О гомологических свойствах расположения комплексов и замкнутых множеств, «Известия Академии наук СССР. Серия математическая», 1942, т. 6, № 5; Комбинаторная топология, М.-Л., 1947; О понятии пространства в топологии, «Успехи математических наук», 1947, т. 2, вып. 1; О размерности замкнутых множеств, там же, 1949, т. 4, вып. 6; Общая теория гомологии, «Ученые записки Московского гос. ун-та», 1940, вып. 45, основные теоремы двойственности для незамкнутых множеств n-мерного пространства, «Математический сборник. Новая серия», 1947, т. 21, вып. 2; Mémoires sur les espaces topologiques compacts, «Verhandelingen der К. Akademie van wetenschappente Amsterdam», 1929, D. 14, № 1 (совм. с П. Урысоном); Untersuchungen über Gestalt und Lage abgeschlossener Mengen beliebiger Dimension, «Annais of Mathematics», Princeton-N.Y., 1929, v. 30.

АХИЕЗЕР4, Наум Ильич (р. 1901) — советский математик, профессор Харьковского университета, член-корреспондент Академии наук УССР

3 БСЭ-2. - 1950. - Т. 2. - С. 84.

4 БСЭ-2. - 1950. - Т. 3. - С. 565.

(с 1934). Крупный продолжатель направления П. Л. Чебышева и С. Н. Бернштейна в теории наилучших приближений. Значительная часть научных достижений А. собрана в монографии «Лекции по теории аппроксимаций», удостоенной в 1948 премии им. Чебышева.

Лит.: Математика в СССР за тридцать лет 1917-1947. Сб. статей, под ред. А. Г. Куроша [и др.], М.-Л., 1948 (имеется библиография трудов А.).

БАНАХ5, Стефан (1892-1945) — один из крупнейших польских математиков, профессор Львовского университета (1924-45). После воссоединения Львова с Советской Украиной в 1939 Б. — член Львовского горсовета и декан физико-математического факультета университета. Б. — один из создателей современного функционального анализа (см.). Его именем обычно называют линейные пространства, в которых наиболее плодотворно изучаются линейные функционалы и операторы. Основное сочинение Б. «Теория линейных операций» издано на польском (1931), французском (1933) и украинском (1948) языках. В годы немецкой оккупации Б. стал жертвой неслыханных издевательств: фашистские варвары заточили его в застенок, именовавшийся у них институтом. Там крупнейший ученый был использован для кормления вшей с целью выработки противотифозной сыворотки.

Список работ и краткую биографию Б. см. «Успехи математических наук. Новая серия», 1946, т. 1, вып. 3-4.

БАРИ6, Нина Карловна (р. 1901) — советский математик, проф. Московского университета. Основные работы Б. относятся к теории функций действительного переменного. Ей принадлежит ряд глубоких исследований, относящихся к вопросу об однозначности определения коэффициентов тригонометрического ряда (см.) по изображаемой им функции.

Лит.: Математика в СССР за тридцать лет 1917-1947. Сб. статей, под ред. А. Г. Куроша [и др.], М.-Л., 1948 (имеется библиография).

БЕРНШТЕЙН7, Сергей Натанович (р. 1880) — советский математик, академик (с 1929). Основные труды Б. относятся к теории дифференциальных уравнений (см.), теории приближения функций многочленами (см. Приближение и интерполирование функций) и теории вероятностей (см.). Изучая уравнения с частными производными второго порядка эллиптического типа (эти уравнения играют весьма важную роль в задачах физики и механики), Б. еще в начале своей деятельности (1903) установил, что при некоторых весьма общих условиях их решения являются аналитическими функциями, т. е. представляются степенными рядами; опираясь

5 БСЭ-2. - 1950. - Т. 4. - С. 183.

6 БСЭ-2. - 1950. - Т. 4. - С. 245.

7 БСЭ-2. - 1950. - Т. 5. - С. 52.

на этот факт, он разработал новый метод отыскания решений по заданным граничным значениям. Другой большой цикл исследований Б., посвященный приближению функций многочленами, составляет существенный вклад в теорию, созданную П. Л. Чебышевым и продолженную учеными петербургской школы. Значение этих исследований — в раскрытии связей между тем, насколько хорошо функция может быть приближена многочленами различных степеней, и дифференциальными свойствами функций (например наличием производных до определенного порядка, аналитичностью и т. п.). Из работ Б. и его учеников составилась ветвь теории функций, которую сам Б. называет конструктивной теорией функций. В теории вероятностей Б. принадлежат: первое по времени аксиоматическое построение теории вероятностей (1917), исследование предельных теорем, продолжающее и в некотором отношении завершающее классические исследования А. А. Маркова (старшего) и А. М. Ляпунова, исследование стохастических дифференциальных уравнений, а также разработка применений методов теории вероятностей к задачам физики и статистики.

За научные работы: «О суммах зависимых величин, имеющих взаимно почти нулевую регрессию» (1941), «О приближении непрерывной функции линейным дифференциальным оператором от многочлена» (1941), «О доверительных вероятностях Фишера» (1941), опубликованные в 1941, Б. была присуждена Сталинская премия 1-й степени.

Соч. Б.: Исследование и интегрирование дифференциальны уравнений с частными производными второго порядка эллиптического типа, «Сообщения Харьковского математического об-ва. Вторая серия», 1908-1909, т. 11; О наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов данной степени, там же, 1912, т. 13, № 2-3; Опыт аксиоматического обоснования теории вероятностей, там же, 1917, т. 15; Экстремальные свойства полиномов и наилучшее приближение непрерывных функций одной вещественной переменной, ч. 1, Л.-М., 1937; Теория вероятностей, 4 изд., М.-Л., 1946; О первой краевой задаче (задаче Дирихле) для уравнений эллиптического типа и о свойствах функций, удовлетворяющих этим уравнениям, «Успехи математических наук», 1940, вып. 8 (совм. с И. Г. Петровским); Sur la nature analytique des solutions des équations aux dérivées partielles du second ordre, «Mathematische Annalen», B.-Lpz., 1904, Bd 59 (c. 20-76).

Лит.: К семидесятилетию Сергея Натановича Бернштейна, «Известия Акад. наук СССР. Серия математическая», 1950, т. 14, №3 (Список работ с 1941 года); Кузьмин Р. О., Математические работы С. Н. Бернштейна, «Успехи математических наук», 1940, вып. 8.

БРАУЭР8, Лёйтзен Эгберт Ян (р. 1882) — голландский математик. В 1911-13 Б. получил впервые ряд важных результатов в области топологии (см.). В их числе: а) теорему об инвариантности числа измерений (два

8 БСЭ-2. - 1951. - Т. 6. - С. 62-63 (совм. с С. А. Яновской).

эвклидовых пространства разного числа измерений не могут быть взаимно однозначно и взаимно непрерывно отображены друг на друга); б) теорему о неподвижной точке (всякое непрерывное отображение замкнутого шара в себя оставляет неподвижной по меньшей мере одну его точку). В своих работах по основаниям математики Б. исходит из позиций субъективного идеализма и упорно пытается использовать трудности, связанные с теоретико-множественными концепциями современной математики, для пропаганды реакционных установок возглавляемого им интуиционизма (см.). Независимую от философии интуиционизма ценность имеет проведенный Б. анализ математических доказательств существования с точки зрения получения конструкции тех объектов, существование которых доказывается. В частности, А. Н. Колмогоровым было показано, что правила так называемой интуиционистской логики находят свое реальное осуществление в логике конструктивного решения математических проблем.

Лит.: Александров П. С, Комбинаторная топология, М.-Л., 1947; Гуревич В. и Волмэн Г., Теория размерности, пер. с англ., М., 1948; Вейль Г., О философии математики. Сб. работ, пер. с нем., М.-Л., 1934 (см раздел: О новом кризисе основ математики).

ВЕЙЛЬ9, Герман (р. 1885) — немецкий математик, эмигрировавший в 1934 в США. До 1930 — профессор Высшего технического училища в Цюрихе (Швейцария), в 1930-33 — профессор Геттингенского университета (Германия), с 1934 — профессор в Принстоне (США), член Национальной академии наук США. Работы В. принадлежат к различным областям математики. Первые работы В. были посвящены тригонометрическим рядам и рядам по ортогональным функциям. В теории функций комплексного переменного В. впервые дал строгое построение тех разделов этой теории, которые опираются на понятие «римановской поверхности». В математическом анализе работы В. посвящены дифференциальным и интегральным уравнениям. Введенные В. в теорию чисел так называемые «суммы Вейля» получили большое значение в аддитивной теории чисел (особенно в работах И. М. Виноградова).

Наиболее значителен комплекс работ В. по теории непрерывных групп и их представлений с применениями к проблемам геометрии и физики. Им была вместе с Петером доказана полнота системы неприводимых представлений компактной группы и были изучены представления и характеры полу простых групп. Введенное им понятие пространств аффинной связности играет существенную роль в современной дифференциальной геометрии. За работы по геометрии В. получил премию имени Н. И. Лобачевского. В ряде своих работ В. популяризовал значение идей теории групп и современной дифференциальной геометрии для физики. Однако его соб-

9 БСЭ-2. - 1951. - Т. 7. - С. 106-107 (совм. с С. А. Яновской).

ственные попытки построения «единой теории поля» не имели успеха. При помощи методов теории групп В. получил некоторые результаты, относящиеся к теории атомных спектров.

В области философии математики В. известен как представитель интуиционизма (см.) — разновидности реакционного субъективного идеализма. Обнаружив неудачу предпринятой им в 1918 в работе «Континуум» попытки упрочить шаткий, с его точки зрения, фундамент классического математического анализа, В. примкнул к установкам Брауэра (см.). Признав таким образом задачу обоснования классической математики неразрешимой, В. провозгласил наступление нового кризиса основ математики. Бесплодность и вред пропагандируемых В. философских установок видны, в частности, из того, что сам В. вынужден отказываться от них в своих конкретных математических работах.

Соч. В.: Weyl H., Die Idee der Riemannschen Flache, 2 Aufl., Lpz., 1923; Raum. Zeit. Materie, 5 Aufl., В., 1923; Gruppentheorie and Quantenmechnik, 2 Aufl., Lpz., 1931; в рус. пер. — Алгебраическая теория чисел, М., 1947; Классические группы, их инварианты и представления, М., 1947; Теория представлений непрерывных полу простых групп при помощи линейных преобразований, «Успехи математических наук», 1938, вып. 4; Об определении замкнутой выпуклой поверхности ее линейным элементом, там же, 1948, т. 3, вып. 2.

ВИНЕР10 (Wiener) Норберт (26.XI.1894, Колумбия, Миссури, -19.III. 1964, Стокгольм), американский ученый. К 14 годам изучил высшую математику, в 18 лет стал доктором философии Гарвардского университета. Раннее развитие В. отражено в его книге «Я вундеркинд» (1953). С 1919 преподаватель, с 1932 профессор Массачусетского технологического института. Занимался математической логикой и теоретической физикой. В 1920-30-е гг. получил известность как математик работами по теории потенциала, гармоническим функциям, рядам и преобразованиям Фурье, тауберовым теоремам, общему гармоническому анализу. Большое значение в теории случайных процессов получила введенная В. мера в пространстве непрерывных функций («винеровская мера»).

Во время 2-й мировой войны 1939-45 В. занимался электрическими сетями, вычислительной техникой, в частности в связи с баллистическими расчетами. Несколько позднее, но независимо от А. Н. Колмогорова, развил теорию интерполяции и экстраполяции стационарных случайных процессов. В. развил для таких процессов теорию их «фильтрации», получившую широкие технические применения. В 1945-47 работал в кардиологическом институте в Мехико. В эти годы у В. возникла идея о необходимости создания единой науки, изучающей процессы хранения и переработки информации, управления и контроля. Для этой науки В. предложил название

10 БСЭ-3. - 1971. - Т. 5. - С. 72.

«кибернетика», получившее общее признание. Естественно, что конкретное содержание этой новой области знания не является созданием одного В. Не меньшую роль сыграли в формировании кибернетики, например, идеи К. Шеннона. Но В. принадлежит, несомненно, первое место в пропаганде значения кибернетики во всей системе человеческих знаний.

Философские и социологические взгляды В. эклектичны. Однако должны быть отмечены его настойчивые высказывания о моральной ответственности ученых в деле сохранения мира и борьбы против использования достижений науки в агрессивной военной политике. В сочинениях писателей-фантастов получила большой отклик идея В. о возможности «бунта машин».

Соч. В.: Я — математик, 2 изд., М., 1967; Интеграл Фурье и некоторые его приложения, М., 1963; Преобразование Фурье в комплексной области, М., 1964 (совм. с Р. Пэли); Кибернетика, 2 изд., М., 1968; Кибернетика и общество, М., 1958; Новые главы кибернетики, М., 1963.

ГИЛЬБЕРТ11, Хильберт (Hilbert) Давид (23.1.1862, Велау, близ Кенигсберга, - 14.11.1943, Гёттинген), немецкий математик. Окончил Кенигсбергский университет, в 1893-95 профессор там же, в 1895-1930 профессор Геттингенского университета, до 1933 продолжал читать курс лекций в университете, после прихода гитлеровцев к власти в Германии (1933) жил в Гёттингене в стороне от университетских дел. Исследования Г. оказали большое влияние на развитие многих разделов математики, а его деятельность в Гёттингенском университете в значительной мере содействовала тому, что Гёттинген в 1-й трети 20 в. являлся одним из основных мировых центров математической мысли. Диссертации большого числа крупных математиков (среди них Г. Вейль, Р. Курант) были написаны под руководством Г.

Научная биография Г. резко распадается на периоды, посвященные работе в какой-либо одной области математики: а) теория инвариантов (1885— 93), б) теория алгебраических чисел (1893-98), в) основания геометрии (1898-1902), г) принцип Дирихле и примыкающие к нему проблемы вариационного исчисления и дифференциальных уравнений (1900-06), д) теория интегральных уравнений (1900-10), е) решение проблемы Варинга в теории чисел (1908-09), ж) основы математической физики (1910-22), з) логические основы математики (1922-39).

В теории инвариантов исследования Г. явились завершением периода бурного развития этой области математики во 2-й половине 19 в. Им доказана основная теорема о существовании конечного базиса системы инвариантов. Работы Г. по теории алгебраических чисел преобразовали эту

11 Печатается по изданию: БСЭ-3. - 1971. - Т. 6. - С. 519. См. также: БСЭ-2. -1952. - Т. 11. - С. 370-371.

область математики и стали исходным пунктом ее последующего развития. Данное Г. решение проблемы Дирихле положило начало разработке так называемых прямых методов в вариационном исчислении. Построенная Г. теория интегральных уравнений с симметричным ядром составила одну из основ современного функционального анализа (см. Гильбертово пространство) и особенно спектральной теории линейных операторов. «Основания геометрии» Г. (1899) стали образцом для дальнейших работ по аксиоматическому построению геометрии. К 1922 у Г. сложился значительно более обширный план обоснования всей математики путем ее полной формализации с последующим «метаматематическим» доказательством непротиворечивости формализованной математики. Два тома «Оснований математики», написанных Г. совместно с П. Бернайсом, в которых эта концепция подробно развивается, вышли в 1934 и 1939. Первоначальные надежды Г. в этой области не оправдались: проблема непротиворечивости формализованных математических теорий оказалась глубже и труднее, чем Г. предполагал сначала. Но вся дальнейшая работа над логическими основами математики в большой мере идет по путям, намеченным Г., и пользуется созданными им концепциями. Считая с логической точки зрения необходимой полную формализацию математики, Г. в то же время верил в силу творческой математической интуиции. Он был большим мастером в высшей степени наглядного изложения математических теорий. В этом отношении замечательна «Наглядная геометрия», написанная Г. совместно с С. Кон-Фоссеном. Для творчества Г. характерны уверенность в неограниченной силе человеческого разума, убеждение в единстве математической науки и единстве математики и естествознания. Собрание сочинений Г., изданное под его наблюдением (1932-35), кончается статьей «Познание природы», а эта статья лозунгом «Мы должны знать — мы будет знать».

Соч. Г.: Gesammelte Abhandlungen, Bd 1-3, В., 1932-35; в рус. нер. — Основания геометрии, М.-Л., 1948; Основы теоретической логики, М., 1947 (совм. с Аккерманом); Наглядная геометрия, 2 изд., М.-Л., 1951 (совм. с С. Кон-Фоссеном).

Лит.: Проблемы Гильберта. Сборник, под ред. П. С. Александрова, М., 1969; Weyl H., David Hilbert and his mathematical work, «Bulletin of the American Mathematical Society», 1944, t. 50, p. 612-54; Reid C, Hilbert, В., 1970.

ГНЕДЕНКО12, Борис Владимирович (р. 1912) — советский математик, действительный член Академии наук УССР (с 1948), с 1950 — профессор Киевского университета. Исследования Г. относятся к теории вероятностей и истории математики. Основные из них посвящены предельным теоремам для сумм независимых случайных величин, а также истории русской (в том числе советской) математики. Работая во Львовском уни-

12 ВСЭ-2. - 1952. - Т. 11. - С. 545.

верситете (1945-50), Г. много сделал для восстановления этого научного центра.

Соч. Г.: Об области притяжения нормального закона, «Доклады Акад. наук СССР», 1950, т. 71, №3; Предельные распределения для сумм независимых случайных величин, М.-Л., 1949 (совм. с А. Н. Колмогоровым); Курс теории вероятностей, М.-Л., 1950.

Лит.: Математика в СССР за тридцать лет. 1917-1947. Сб. статей, М.-Л., 1948 (имеется библиография трудов Г.).

ИМШЕНЕЦКИЙ13, Василий Григорьевич (1832-1892) - русский математик и механик, один из основателей Харьковского (1879) и Петербургского (1891) математических обществ, с 1881 — академик. Работы И. относятся к теории дифференциальных уравнений с частными производными, где им были значительно развиты и обобщены методы К. Якоби, О. Коши и др. Он распространил прием отделения переменных на уравнения с частными производными первого порядка и дал новое приложение способа изменения произвольных постоянных к интегрированию уравнений с частными производными второго порядка. Это значительно увеличило круг решаемых задач в различных прикладных науках.

Соч. И.: Интегрирование дифференциальных уравнений с частными производными 1-го и 2-го порядков, М., 1916; Канонические дифференциальные уравнения гибкой нерастяжимой нити и брахистохроны в случае потенциальных сил, Харьков, 1880.

Лит.: Андреев К. А. [и др.], Жизнь и научная деятельность Василия Григорьевича Имшенецкого, М., 1896 (имеется библиография трудов И.).

МАРКОВ14, Андрей Андреевич [2(14).6.1856, Рязань, - 20.7.1922, Петроград], русский математик, специалист по теории чисел, теории вероятностей и математическому анализу. С 1886 адъюнкт Петербургской АН, с 1890 экстраординарный, а с 1896 ординарный академик. Родился в семье мелкого чиновника. В 1878 окончил Петербургский университет со степенью кандидата и в том же году получил золотую медаль за работу «Об интегрировании дифференциальных уравнений при помощи непрерывных дробей». С 1880 приват-доцент, с 1886 профессор, с 1905 заслуженный профессор Петербургского университета. Научные исследования М. примыкают по тематике к работам старших представителей петербургской математической школы П. Л. Чебышева, Е. И. Золотарева и А. Н. Коркина. Блестящие результаты в области теории чисел, которые М. получил в магистерской диссертации «О бинарных квадратичных формах положительного определителя» (1880), послужили основой для дальнейших исследований в этой области. Работы М. по анализу относятся к теории непрерывных

13 БСЭ-2. - 1952. - Т. 17. - С. 607.

14 Печатается по изданию: БСЭ-3. - 1974. - Т. 15. - С. 379. См. также: БСЭ. - 1938. -Т. 38. - С. 152-153; БСЭ-2. - 1954. - Т. 26. - С. 294-295.

дробей, к изучению предельных значений интегралов при некоторых условиях, наложенных на подынтегральную функцию, к вопросам улучшения сходимости рядов и к теории наилучших приближений. М. дал чрезвычайно простое решение вопроса об определении верхней границы производной от многочлена по данной верхней границе самого многочлена. В теории вероятностей М. восполнил пробел, остававшийся в доказательстве основной предельной теоремы, и тем самым впервые дал полное и строгое доказательство этой теоремы в практически достаточно общих условиях. Дальнейшие работы М. по распространению основной предельной теоремы на последовательности зависимых величин привели к замечательной общей схеме «испытаний, связанных в цепь». На этой элементарной схеме М. установил ряд основных закономерностей, положивших начало всей современной теории случайных марковских процессов. М. много занимался различными приложениями теории вероятностей и дал, в частности, общепринятое ныне вероятностное обоснование метода наименьших квадратов. Учебник М. «Исчисление вероятностей» (1900) оказал большое влияние на развитие этой науки, а по точности получаемых простыми средствами результатов представляет интерес до сих пор. Широкое распространение получил также его учебник «Исчисление конечных разностей» (1886, литогр. изд., 2 изд., 1910). М. был прогрессивным ученым, выступал с разоблачением реакционных направлений в науке, протестовал против действий царского правительства, отказавшегося утвердить М. Горького почетным членом Академии наук.

Соч. М.: Избр. труды. Теория чисел. Теория вероятностей, [M.], 1951 (имеется биография, написанная А. А. Марковым-сыном, библиография трудов М. и лит. о нем); Избранные труды по теории непрерывных дробей и теории функций, наименее уклоняющихся от нуля, М.-Л., 1948; Исчисление вероятностей, 4 изд., М., 1924.

Лит.: Материалы для биографического словаря действительных членов Академии наук, ч. 2, П., 1917 (автобиография и список трудов М.).

МИЗЕС15, Рихард (р. 1883) - немецкий математик и механик. В 1905 окончил Венский университет. Был профессором Страсбургского (1909-18) и Берлинского (1920-33) университетов. В 1933 эмигрировал из фашистской Германии; в 1933-39 — профессор Стамбулского университета (Турция), с 1939 — Гарвардского университета (США). Основные работы относятся к теории вероятностей. Работал также в области аэромеханики и прикладной механики. В теории вероятностей М. ввел в общее употребление интегралы Стилтьеса и первым подробно разъяснил значение теории цепей Маркова для физики.

15 БСЭ-2. - 1954. - Т. 27. - С. 414.

M. сделал попытку обоснования теории вероятностей, идентифицируя вероятность с пределом частот в бесконечной последовательности испытаний. М. выступал против субъективистского истолкования вероятности как меры субъективной уверенности в наступлении события. Однако, будучи махистом, М. не видит за фактом устойчивости частот появления события А при многократном повторении некоторой совокупности условий S объективной зависимости наступления события А от осуществления условий S. Самую постановку вопроса об объяснении причин устойчивости частот М. считает бессмысленной; по мнению М., можно говорить о вероятности Р(А I 5) только после того, как устойчивость частот наблюдена. Это мнение противоречит практике научного исследования (см. Вероятность).

Лит.: Mises R., Vorlesungen aus dem Gebiete der angewandten Mathematik, Bd. 1 — Wahrscheinlichkeitsrechnung und ihre Anwendung in der Statistik und theoretischen Physik, Lpz.-W., 1931; в рус. пер. — Вероятность и статистика, М.-Л., 1930; Теория полета, М., 1949.

СЛУЦКИЙ16, Евгений Евгеньевич (1880-1948) - советский математик. В 1901-02 учился в Киевском университете, в 1902-05 — в Мюнхенском политехникуме; в 1905 поступил на юридический факультет Киевского университета, который окончил с золотой медалью. С 1913 — преподаватель Киевского коммерческого института. С 1926 работал в Центральном статистическом управлении. С 1934 — в Московском университете, с 1938 — в Математическом институте Академии наук СССР. С. является одним из создателей современной теории случайных функций (распределений в функциональных пространствах). Часть работ посвящена оценке параметров (коэффициентов корреляции и т. п.) по рядам связанных наблюдений. Результаты, полученные в этой области, С. применил к теории гидрологических процессов. Последние годы жизни С. работал над составлением таблиц функций от нескольких переменных.

Соч. С: Таблицы для вычисления неполной Г-функции и функции вероятности я2, под ред. акад. А. Н. Колмогорова, М.-Л., 1950.

Лит.: Колмогоров А. Н., Евгений Евгеньевич Слуцкий [Некролог], «Успехи математических наук», 1948, т. 3, вып. 4 (имеется библиография научных трудов С).

СМИРНОВ17, Николай Васильевич (р. 1900) — советский математик. Лауреат Сталинской премии (1951). В 1926 окончил Московский университет. С 1937 — преподаватель, а с 1939 — профессор Московского городского педагогического института. Одновременно (с 1938) — сотрудник Математического института Академии наук СССР. Основные труды С.

16 БСЭ-2. - 1956. - Т. 39. - С. 378.

17 БСЭ-2. - 1956. - Т. 39. - С. 406.

посвящены теории вероятностей и особенно математической статистике. Теория непараметрических методов (см.) математической статистики в значительной мере создана С. Награжден орденом Трудового Красного Знамени и медалью.

Соч. С: Предельные законы распределения для членов вариационного ряда, М., 1949.

Лит.: Математика в СССР за 30 лет. 1917-1947. Сборник статей, под ред. А. Г. Куроша [и др.], М.-Л., 1948 (имеется библиография трудов С).

VI

Статьи о математиках в других изданиях

ПАВЕЛ СЕРГЕЕВИЧ АЛЕКСАНДРОВ (к семидесятилетию со дня рождения и пятидесятилетию научной деятельности)

7 мая 1966 г. исполнилось семьдесят лет профессору Московского университета, действительному члену Академии наук СССР Павлу Сергеевичу Александрову.

Павел Сергеевич родился в городе Ногинске (ранее Богородск) в семье известного земского врача Сергея Александровича Александрова.

Математическое образование Павел Сергеевич получил в Московском университете, куда он поступил в 1913 г. На выбор профессии серьезно повлиял его школьный учитель математики Александр Романович Эйгес, правильно оценивший способности своего лучшего ученика.

Учителями, или, как теперь принято говорить, научными руководителями, студента П. С. Александрова были профессора Дмитрий Федорович Егоров и Николай Николаевич Лузин. Первыми научными результатами Павла Сергеевича были теорема о мощности борелевских множеств, а также построение широко известной А-операции, названной так другим замечательным учеником Н. Н. Лузина Михаилом Яковлевичем Суслиным в честь П. С. Александрова. Не будет преувеличением сказать, что эти результаты П. С. Александрова вместе с другими явились основными в фундаменте теории борелевских и аналитических множеств.

Как бы в ответ на эти успехи Н. Н. Лузин поставил перед Павлом Сергеевичем труднейшую и, как теперь понятно, не разрешимую имеющимися тогда средствами проблему континуума. Неудача оказалась большим ударом для Павла Сергеевича, и он на несколько лет, к сожалению, отошел от математики.

Громаднейшее влияние на Павла Сергеевича оказала его тесная дружба с Павлом Самуиловичем Урысоном. Вместе они стали заниматься тогда у нас еще неизвестной ветвью математики — абстрактной или общей топологией. Ими была построена теория компактных (счетно-компактных) пространств, а самим Павлом Сергеевичем — теория пространств бикомпактных (компактных — в новой терминологии).

Успехи математических наук. — 1966. — Т. 21, вып. 4. — С. 4-7 (совм. с Л. А. Люстерником, Ю. М. Смирновым, А. Н. Тихоновым и С. В. Фоминым).

Теория бикомпактных пространств вместе с ее дальнейшим развитием в работах ученика Павла Сергеевича — Андрея Николаевича Тихонова является незаменимым вкладом Павла Сергеевича в современную математику. Совместные с П. С. Урысоном, а также и самостоятельные исследования проблемы метризации топологических пространств несомненно были некоторыми из тех зерен, из которых потом возникла равномерная топология. Отметим также результаты Павла Сергеевича, относящиеся к бикомпактным расширениям топологических пространств. Прибавим к этому, что столь широко употребляемое ныне в общей топологии понятие локально-конечного покрытия впервые было определено П. С. Александровым.

Во время своих заграничных поездок, начавшихся с 1923 г., П. С. Александров стал заниматься другим направлением топологии — комбинаторной топологией, в те времена почти неизвестной в Советском Союзе. Он сумел объединить обе эти ветви вместе и широко развить полученную им теорию, которая несомненно послужила достаточным основанием для современной алгебраической топологии. Прибавим к этому, что одно из основных понятий алгебраической топологии — так называемая «точная последовательность» — было придумано Павлом Сергеевичем.

Главнейшими понятиями этой объединенной теории являются найденные П. С. Александровым чисто геометрическое понятие нерва системы множеств и весьма абстрактное понятие спектра симплициальных комплексов, оказавшиеся пригодными и необычайно удобными для исследования сколь угодно общих и абстрактных образований. Одной из важнейших теорем здесь явилась так называемая теорема об е-сдвигах компактов в полиэдры, по существу утверждающая, что каждый компакт (теперь можно сказать, что почти всякое топологическое пространство) можно аппроксимировать сколь угодно точно столь простыми геометрическими фигурами, как полиэдры. В свою очередь эта теорема открыла возможность построения так называемых спектральных групп гомологии (и когомологий), а стало быть, и самых разнообразных гомологических инвариантов для широкого класса топологических пространств. До сих пор подобные группы и инварианты были известны лишь для полиэдров.

Большая роль принадлежит Павлу Сергеевичу и в теории размерности топологических пространств, начатой еще П. С. Урысоном. Это касается прежде всего теории существенных отображений в полиэдры и гомологической теории размерности. Дело в том, что более ранние определения размерности Брауэра, Менгера и Урысона «практически» позволяли делать оценку размерности сверху, в то время как определения П. С. Александрова позволяют оценивать размерность снизу. Полученные Павлом Сергеевичем результаты гомологической теории размерности привели к решению задачи Урысона о характеризации размерности компактов, ле-

жащих в евклидовых пространствах, с помощью гомологических свойств дополнительных открытых множеств. Эти же результаты позволили Льву Семеновичу Понтрягину решить еще одну важную задачу о размерности произведения компактов. На том же пути им же был найден и доказан знаменитый закон двойственности для компактов, расположенных в евклидовых пространствах, и дополнительных к компактам открытых множеств. Обе задачи были поставлены П. С. Александровым, который впоследствии обобщил этот закон двойственности Л. С. Понтрягина на произвольные множества. Другие очень интересные формы столь же общего закона двойственности были еще позднее получены учеником Павла Сергеевича — Кириллом Александровичем Ситниковым. Заметим еще, что не без влияния П. С. Александрова некоторые совсем иного рода законы двойственности были найдены Андреем Николаевичем Колмогоровым.

Вот весьма вкратце кажущиеся нам главнейшими научные результаты П. С. Александрова.

Павел Сергеевич непосредственно не занимался приложением топологии к анализу, но он очень много сделал для самой возможности такого ее применения. Анализ не мог ограничиться правильными образами классической комбинаторной топологии. Предельный переход превращает их в сложные образы теоретико-множественной топологии. С другой стороны, анализ не может ограничиться конечномерными образами, поскольку ему приходится иметь дело также и с бесконечномерными функциональными пространствами. Поэтому перенесение гомологических понятий на множества весьма общей природы имеет принципиальное значение для топологических методов анализа. Например, пространство допустимых кривых в вариационных задачах обычно локально-компактное бесконечномерное пространство. Отсюда топологические методы вариационного исчисления широко используют общую гомологическую теорию Павла Сергеевича. Гомологическая теория размерности, основные понятия которой были созданы Павлом Сергеевичем в 1932 г., также может служить ярким примером применения гомологических методов к изучению теоретико-множественных объектов сложной природы.

Павлу Сергеевичу принадлежит заслуга создания советской топологической школы, пользующейся сейчас всеобщим признанием. И в настоящее время Павел Сергеевич много внимания уделяет воспитанию способной молодежи университета, решившей заниматься общей топологией. Только за последние два года трое из его учеников защитили докторские диссертации — это Борис Алексеевич Пасынков, Владимир Иванович Пономарев и Александр Владимирович Архангельский. Павла Сергеевича всегда окружают его ученики разного возраста и положения — от известных ученых до студентов-первокурсников.

Для одних он читает курсы лекций, вместе с другими проводит семинары как учебного, так и научно-исследовательского характера, а также руководит научной работой. Лекции Павла Сергеевича можно слушать как литературные произведения: столько в них чувства, мастерства и артистичности в лучшем смысле этого слова. Павел Сергеевич руководит кафедрой высшей геометрии и топологии, а также и математическим отделением Московского университета, и это руководство отнюдь не формальное. Он заведует отделом по общей топологии Математического института Академии наук СССР. Тридцать три года подряд Павел Сергеевич был президентом Московского математического общества, которому отдал много своих сил, а начиная с 1964 г. является его почетным президентом. В течение многих лет он является главным редактором настоящего журнала [«Успехи математических наук»], а также входит в состав редакции журналов «Математический сборник» и «Труды Московского математического общества». Отметим еще, что Павел Сергеевич был в числе первых организаторов Московской олимпиады для школьников в 1935 г.

Научная, педагогическая и общественная деятельность Павла Сергеевича Александрова высоко оценена: в 1929 г. он был избран членом-корреспондентом Академии наук СССР, а в 1953 г. — действительным ее членом. Он является членом многих иностранных академий. Правительство Советского Союза наградило Павла Сергеевича орденами «Знак Почета», «Трудовое Красное Знамя» и тремя орденами Ленина. За работу «Гомологические свойства расположения комплексов и замкнутых множеств» Совет Министров СССР присудил ему Государственную премию первой степени.

П. С. АЛЕКСАНДРОВ И ТЕОРИЯ δs-ОПЕРАЦИЙ

Множества точек числовой прямой, допускающие сколько-нибудь простое определение, либо конечны, либо счетны, либо имеют мощность континуума. Вопрос о том, будет ли это верно в применении к любому подмножеству числовой прямой, составляет, как известно, проблему континуума. В начале двадцатого века казалось естественным искать решение проблемы континуума, рассматривая все более общие классы точечных множества. В ряду классов борелевских множеств

положительное решение проблемы очевидно для класса FG (и, конечно, для заключенных в нем классов F и G). Юнг в 1906 г. добрался до класса Gsa, а в 1914 г. Хаусдорф в первом издании своих «Оснований теории множеств» показал, что решение остается положительным для множеств класса Gsaôa-Естественно, что дальнейшее продвижение в этом направлении должно было сильно интересовать математиков, занимавшихся теорией множеств. Полное положительное решение проблемы для всех борелевских множеств было найдено в 1916 г. П. С. Александровым [1] и Хаусдорфом [4].

Как П. С. Александров, так и Хаусдорф приходят к решению проблемы континуума для борелевских множеств, доказывая, что борелевское множество, мощность которого больше счетной, содержит совершенное подмножество. В основе доказательства у обоих авторов лежит рассмотрение схемы порождения любого борелевского множества Е:

(1)

где все цепочки множеств

Успехи математических наук. — 1966. — Т. XXI, вып. 4. — С. 275-278.

обрываются при каком-либо конечном А на замкнутом (у Хаусдорфа открытом) множестве.

Общее число замкнутых множеств, из которых получается таким образом борелевское множество Е, счетно. Их можно занумеровать натуральными числами

и записать множество Е в виде

где Ф — знак некоторой операции над множествами Fs. Легко видеть, что операция эта а) аналитическая и б) положительная в смысле определений, введенных Канторовичем и Ливенсоном [5].

Определение 1. Операция

называется аналитической, если из равносильности включений

(при любом s) вытекает равносильность включений

т. е. если принадлежность точки х к множеству Е полностью определяется номерами тех Ех, в которые входит точка х.

Определение 2. Операция

называется положительной, если из

вытекает

Любая аналитическая операция может быть заменена аналитической положительной операцией над множествами Е3 и их дополнениями. Класс же аналитических положительных операций совпадает с классом ös-операций, т. е. операций, которые могут быть записаны в виде

где 65 — некоторое множество подмножеств натурального ряда.

В пространстве подмножеств натурального ряда существует естественная топология1. Рассмотрения, проведенные П. С. Александровым в заметке [1], по существу обозначают следующее:

1. При записи конструкции (1) в виде cJs-операции

(2)

множество 65 оказывается (при наиболее естественном его построении) замкнутым.

2. Если множество последовательностей в формуле (2) замкнуто, то операция Ф из замкнутых множеств Fs производит множество Е, которое либо конечно, либо счетно, либо содержит совершенное множество.

Естественно возникает вопрос, какие множества Е можно получить, применяя 55-операции с замкнутым 65 к: а) замкнутым множествам, б) открытым множествам, в) борелевским множествам? Ответ во всех случаях один: суслинские множества и только их. При этом нет необходимости пользоваться всеми возможными Js-операциями с замкнутыми множествами 65. Можно указать одну такого рода стандартную fo-операцию, которая из замкнутых (открытых) множеств производит все суслинские множества. Хорошо известно, что такую операцию можно записать более обозримым образом, если нумеровать исходные множества не натуральными числами, а «кортежами» из натуральных чисел

Интересующая нас А-операция определяется формулой

1 Эта топология задается, например, расстоянием

где Е\ Д 2?2 обозначает симметрическую разность множеств Е\ и Е2-

где суммирование распространяется на все последовательности 515253... По этой операции суслинские множества называют также А-множествами.

Определение А-операции по существу содержится в той же заметке П. С. Александрова [1]. Произвольное борелевское множество Е получается в этой заметке «с точностью до счетного множества» из «канонических множеств» 7ГМ. Так как эти канонические множества, являясь конечными пересечениями исходных множеств, ЕгУ'л^, замкнуты, а пренебрежение счетным множеством несущественно (легко избегается), то тем самым было установлено, что любое борелевское множество получается А-операцией из замкнутых множеств. К сожалению, более систематического изложения с явным определением А-операции и формулировкой теоремы о том, что каждое борелевское множество является А-множеством, П. С. Александров не опубликовал. Естественно возник вопрос о том, является класс А-множеств более широким, чем класс борелевских множеств, или же он существенно шире. В том же 1916 г. вопрос этот был решен М. Я. Суслиным, который показал, что существуют А-множества, не являющиеся борелевскими, что и привело к развитию самостоятельной теории суслинских множеств. М. Я. Суслиным, в частности, было установлено, что вообще суперпозиция А-операции по схеме

приводит только к множествам Е, которые могут быть получены из множеств Ers (взятых с новыми номерами и с повторениями) однократной А-операцией. В общей теории ^5-операций такие операции называются нормальными.

В работе [2] П. С. Александров ввел еще одну ^5-операцию над множествами, названную им Y-операцией. Чтобы компактно высказать ее определение, следует заметить, что каждому кортежу

соответствует множество Es числовых последовательностей

имеющих начало s\S2---sn. Множество кортежей 0 называется Т-цепью, если соответствующие множества Es покрывают все множество числовых последовательностей (которое в такого рода вопросах принято называть «бэровским пространством»). Г-операция определяется формулой

где 0 — множество всех Г-цепей.

П. С. Александров устанавливает формулу

(3)

где Е обозначает дополнение к множеству Е. По существу здесь П. С. Александров для частного случая А-операции вводит «дополнительную» к ней (fo-операцию. Общее определение £$-операции Ф, дополнительной к данной âs-операции Ф, и обобщающая (3) формула

лежат в основе моей работы [6].

В заметке [3] П. С. Александров пользуется тем, что Г-операция приводит к «положительному» определению множеств, дополнительных к А-множествам, и доказывает топологическую инвариантность этого класса множеств.

Теория (Js-операций далее разрабатывалась мною, Хаусдорфом (второе издание «Оснований теории множеств»), Канторовичем, Ливенсоном, Ляпуновым и многими другими.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

[1] Р. Alexandroff, Sur la puissance des ensembles mesurables B, Compt. Rend. Acad. Sci. (Paris) 162 (1916), 323-325.

[2] P. Alexandroff, Sur les ensembles complémentaires aux ensembles (А), Fund. Math. 5 (1924), 160-165.

[3] P. Alexandroff, Sur l'invariance topologique des ensembles complémentaires aux ensembles A, Матем. сб. 5 (1924), 310-318.

[4] F. Hausdorff, Die Mächtigkeit der Borelscher Mengen, Math. Ann. 77 (1916), 430-437.

[5] L. Kantorovitch and E. Livenson, Memoir on the Analytical Operations and Projective Sets, Fund. Math. 18 (1932), 234-279.

[6] A. H. Колмогоров, Об операциях над множествами, Матем. сб. 35 (1928), 415-421.

ПАВЕЛ СЕРГЕЕВИЧ АЛЕКСАНДРОВ (к восьмидесятилетию со дня рождения)

7 мая 1976 г. исполнилось восемьдесят лет Павлу Сергеевичу Александрову.

Родился Павел Сергеевич 7 мая 1896 г. в городе Богородске (ныне — Ногинск). Его отец, Сергей Александрович Александров, принадлежал к передовой русской интеллигенции своего времени. Он оказал большое влияние на формирование мировоззрения Павла Сергеевича, привил ему еще в юношеские годы уважение и интерес к науке, а также уважение к труду, направленному на благо народа. Сергей Александрович закончил медицинский факультет Московского университета. Он отклонил предложение остаться для работы в университете, так как считал, что медицину нужно нести в народ, и уехал работать участковым врачом в Ярославскую губернию. Позднее Сергей Александрович работал старшим врачом Богородской уездной земской больницы, а все последующие годы — с 1897 по день своей смерти в 1920 г. — старшим врачом Смоленской губернской больницы, которая благодаря ему выдвинулась в число лучших в то время больниц России. Сергей Александрович был крупным специалистом-хирургом и в то же время ярким представителем русской земской медицины.

Мать Павла Сергеевича, Цезария Акимовна Александрова (урожденная Здановская), была хорошо образованным человеком, отдавшим все свои силы воспитанию детей. «В доме всегда было много музыки», — вспоминает Павел Сергеевич, все братья и сестры которого обучались музыке. Мать обучала Павла Сергеевича французскому языку, в раннем детстве он хорошо овладел также немецким языком.

В годы обучения в Смоленской общественной гимназии (Павел Сергеевич был в ней первым учеником и окончил ее с золотой медалью) на своеобразный склад ума и математическую одаренность Павла Сергеевича обратил внимание его учитель математики Александр Романович Эйгес. Павел Сергеевич, в отличие от обычных школьных математических талантов, не увлекался решением математических задач на построение или головоломных уравнений. Еще в гимназии Павел Сергеевич изучал небесную механику и математический анализ. Но его преимущественный интерес был направлен к фундаментальным вопросам математики — основа-

Успехи математических наук. — 1976. — Т. 31, вып. 5. — С. 3-14 (совм. с А. В. Архангельским, А. А. Мальцевым, О. А. Олейник).

ниям геометрии и неевклидовой геометрии. А. Р. Эйгес правильно оценил своего ученика и оказал решающее влияние на выбор им математической профессии.

А. Р. Эйгес, будучи человеком большой и широкой культуры, оказал большое влияние на литературные вкусы своего ученика и на его гуманитарные интересы. По окончании гимназии (1913 г.) Павел Сергеевич поступил в Московский университет, рассчитывая сделаться по окончании курса преподавателем математики в гимназии, так как деятельность учителя казалась ему всегда привлекательной. И с этих пор вся жизнь Павла Сергеевича неразрывно связана с Московским университетом.

Уже на первом курсе он по совету В. В. Степанова принял участие в семинаре Д. Ф. Егорова. В. В. Степанов, бывавший часто в семье Александровых еще в Смоленске, с самого начала студенческой жизни Павла Сергеевича проявлял большой интерес к его математическим занятиям и своими советами содействовал их успеху.

На втором курсе произошла встреча Павла Сергеевича с Николаем Николаевичем Лузиным. Павел Сергеевич вспоминает об этом так. «После лекции Лузина я обратился к нему за советом, как мне заниматься математикой дальше, и был прежде всего поражен внимательностью Лузина к собеседнику — 18-летнему студенту... Я стал тогда же учеником Лузина, и это было в эпоху его наивысшего творческого подъема... Видя Лузина в эти годы, я видел действительно то, что называется вдохновенным отношением к науке. Я не только учился у него математике, я получил и урок того, что такое настоящий ученый, а также и урок того, чем может и должен быть профессор университета. Тогда же я понял, что наука и приобщение к ней новых молодых людей — две стороны одной и той же деятельности — деятельности ученого».

В 1915 г. Павел Сергеевич получает свой первый научный результат: доказывает фундаментальную теорему о мощности А-множеств. Он доказывает, что каждое несчетное борелевское множество содержит совершенное подмножество. Аппарат, созданный Павлом Сергеевичем для доказательства этой теоремы, — А-операция (названная так М. Я. Суслиным в честь Павла Сергеевича) — оказал очень существенное влияние на дальнейшее развитие теоретико-множественных методов. Теорема Александрова о мощности борелевских множеств произвела сильное впечатление на Лебега, считавшего, что она вызывает значительный и философский интерес.

Так блестяще началось научное творчество Павла Сергеевича Александрова — творчество, которому суждено было длиться долго. Пытаясь сейчас обнять единым взглядом все сделанное Павлом Сергеевичем, мы прежде всего испытываем глубокое впечатление от внутреннего единства, гармонии созданного им. Это единство состоит, в частности, в глубокой

взаимосвязи всех поднятых им тем и вопросов. Труды Павла Сергеевича Александрова — нечто неизмеримо большее, чем собрание выдающихся научных результатов — это сама живая наука в одном из ее воплощений. Его творчество неотделимо от всего развития топологии как одна из тех главных сил, которые прямо или косвенно проявились во всех происходивших в этой науке крупных движениях.

Это влияние Павла Сергеевича связано, в частности, с его даром почувствовать необходимость в новой математической концепции, остро увидеть ее и несколькими основополагающими результатами выявить ее роль, обозначив тем самым исходящий от нового понятия творческий импульс. Так было с понятием А-операции и связанными с ним результатами Павла Сергеевича, о которых уже говорилось выше. Добавим лишь, что сейчас А-операция принадлежит к числу самых плодотворных понятий дескриптивной теории множеств. Другой фундаментальный результат П. С. Александрова из этой области — теорема о гомеоморфизме всякого абсолютного G^-множества полному метрическому пространству. Этот результат стал основой внутренней топологической характеризации полноты, найденной П. С. Александровым.

Ярчайшим примером остроты математического «видения» является введение П. С. Александровым понятия бикомпакта и выяснение им, уже в самом начале развития теории бикомпактных пространств, самых существенных свойств бикомпактов. Павлом Сергеевичем было, в частности, показано, что в классе регулярных пространств бикомпактность тождественна абсолютной замкнутости, откуда была выведена, с помощью теоремы о сохранении бикомпактности при непрерывных отображениях, дальнейшая теорема о непрерывных разбиениях, порождаемых непрерывными отображениями бикомпактов в хаусдорфовы пространства.

Созданная П. С. Александровым (на предварительном этапе в содружестве с П. С. Урысоном) теория бикомпактных пространств стала основой большинства дальнейших теоретико-множественных исследований и проникла своими идеями в теорию непрерывных групп, функциональный анализ, математическую логику и многие другие разделы математики.

Творчество Павла Сергеевича Александрова никогда не развивается в пустоте, ему не свойственно замыкаться в самом себе. На свое математическое творчество Павел Сергеевич всегда смотрел и смотрит как на основу общения с людьми. И в этом отношении его достижения и влияние — не меньше собственно научных достижений: Павел Сергеевич стал одним из тех немногих людей, которым прямо обязана становлением и расцветом математика в нашей стране и прежде всего московская математическая школа.

Современная московская математическая школа по существу началась с Д. Ф. Егорова и Н. Н. Лузина. В первые годы после Великой Октябрьской революции, несмотря на суровое время, научная работа в области математики в Московском университете быстро расширялась. Павел Сергеевич принадлежал тогда, вместе с группой других блестящих молодых математиков, «Лузитании» — окрестности Н. Н. Лузина. Л. А. Люстерник вспоминает об этом времени в стихах, полных энтузиазма:

... Пусть твой багаж не очень грузен,

Вперед! В себе уверен будь!

Великий бог — профессор Лузин

Укажет нам в науке путь!

А божество уж окружало

Созвездие полубогов:

Иван Иванович Привалов,

Димитр Евгеньевич Меньшов,

И Александров, остро взвинчен,

И милый Павел Урысон,

И философствующий Хинчин, —

И несколько других персон.

Дни легендарной «Лузитании»,

Дни увлечений и исканий...

В 1918 г. по предложению Н. Н. Лузина Павел Сергеевич стал заниматься континуум-проблемой. Неизбежная, как теперь это ясно, неудача в ее решении привела его к разочарованию в своих математических силах. Он уехал сначала в Новгород-Северский, где работал режиссером драматического театра, а затем в Чернигов, где был председателем театрального комитета, входившего в Губернский отдел народного образования. В Чернигове Павел Сергеевич читал лекции по русской и зарубежной литературе, циклы лекций о Достоевском, Гоголе, Гёте, которые пользовались очень большим успехом. В Чернигове он познакомился с некоторыми оказавшимися там поэтами, музыкантами, художниками. Там, в частности, произошло его знакомство с Л. В. Собиновым. В 1920 г. П. С. Александров вернулся в Москву, где был тепло встречен Д. Ф. Егоровым, Н. Н. Лузиным, И. И. Приваловым, В. В. Степановым.

В 1920-1921 гг. Павел Сергеевич жил в Смоленске, преподавал в Смоленском университете, но ежемесячно приезжал в Москву для сдачи экзаменов, соответствующих теперешним кандидатским. Во время этих экзаменов Павел Сергеевич и подружился с П. С. Урысоном.

С 1921 г. П. С. Александров начал работать в качестве приват-доцента в Московском университете. В 1921-1923 гг. он прочитал курс теории функций действительного переменного и первый в Московском университете

курс общей топологии, а также несколько других курсов, например, курс теории Галуа.

Лето 1922 г. Павел Сергеевич и Павел Самуилович Урысон провели вместе вблизи Болшева под Москвой, и именно этим летом ими было положено начало серьезным исследованиям по топологии в нашей стране. Отсюда ведет начало ныне известная во всем мире московская топологическая школа. В то время понятие топологического пространства уже существовало — оно наметилось в работах М. Фреше (1906 г.) и в книге Ф. Хаусдорфа (1914 г.). Но это была лишь абстрактная общая схема. Наполнить понятие топологического пространства богатым геометрическим содержанием, сделать его необходимым общим достоянием всех математиков — это и было дело, начатое у нас в стране в июле 1922 г. П. С. Александровым и П. С. Урысоном.

Уже первые результаты были весьма значительны. П. С. Александров и П. С. Урысон начали с построения теории счетно-компактных пространств, далеко развитой затем П. С. Александровым в теорию бикомпактных и локально-бикомпактных пространств. П. С. Александровым и П. С. Урысоном была решена проблема метризации, причем были введены понятия, оказавшие большое влияние на дальнейшее развитие исследований в смежных областях; мы еще скажем об этом ниже. Наконец, П. С. Александровым в 1925 г. была дана окончательная, ныне общепринятая форма аксиоматики топологического пространства.

Летом 1923 г. и 1924 г. П. С. Александров и П. С. Урысон были в Гёттингене и установили научные контакты со знаменитой Гёттингенской математической школой, которую в то время возглавлял Д. Гильберт. Своими учителями П. С. Александров считает Д. Ф. Егорова, Н. Н. Лузина, Л. Брауэра, Э. Нётер и Д. Гильберта, так как именно эти математики оказали наибольшее влияние на формирование научного мировоззрения и на все научное творчество Павла Сергеевича. О научной жизни в этот период в Гёттингене П. С. Александров писал в своих воспоминаниях о Р. Куранте (УМН 30:4 (1975), стр. 205-226) и в воспоминаниях о Х. Хопфе, которые сейчас готовятся к печати.

Научная атмосфера Гёттингенского университета того времени имела сходство с научной атмосферой в Лузинской школе в годы ее расцвета. Особенно интересным и плодотворным было общение с Э. Нётер и ее учениками, а также с Р. Курантом и его школой. Летом 1924 г. П. С. Александров и П. С. Урысон поехали в Бонн к Хаусдорфу и затем в Амстердам к Брауэру. Хаусдорф проявил большой интерес к их новым результатам, изложению и обсуждению которых были посвящены все вечера, проведенные в доме Хаусдорфа.

Ежедневно в Бонне Павел Сергеевич и Павел Самуилович переплывали Рейн, что было совсем не безопасно и вызывало неодобрение Хаусдорфа. Пребывание у Брауэра в 1924 г. оставило у Павла Сергеевича особенно теплые воспоминания. Научные беседы с ним были очень интенсивны. Часто они прерывались музыкой. И Брауэр, и Хаусдорф были хорошими пианистами. После короткого пребывания в Париже в августе 1924 г. П. С. Александров и П. С. Урысон поехали в Бретань и поселились на берегу океана в рыбацком поселке Ба (Bourg de Batz). 17 августа 1924 г., в возрасте 26 лет, П. С. Урысон погиб во время купания в Атлантическом океане. Еще утром того же дня он увлеченно работал, им была написана первая страница его новой статьи...

С весны 1925 г. по лето 1926 г. П. С. Александров находился в Голландии. Вместе с Брауэром он готовил рукописи П. С. Урысона к изданию, читал корректуры. Благодаря их усилиям, ничего из того, что сделал П. С. Урысон, не пропало. Летом 1925 г. и затем в последующие годы вплоть до 1932 г. П. С. Александров читал лекции в Гёттингене, участвовал в семинарах Э. Нётер, вел топологический семинар с Х. Хопфом. 1926 г. положил начало большой дружбе П. С. Александрова и Х. Хопфа, их научному общению и плодотворной совместной работе. В 1926 г. П. С. Александров вместе с Хопфом и Нейгебауэром путешествовали по югу Франции. Начиная с осени 1927 г. Павел Сергеевич вместе с Х. Хопфом провели год в Принстоне (США), где в то же время находились такие выдающиеся топологи, как Александер, Лефшец, Веблен. Научное общение этих ученых оказалось чрезвычайно плодотворным для развития топологии. Тогда же Павел Сергеевич и Х. Хопф обсуждали план совместной книги «Топология», сыгравшей затем исключительно важную роль в развитии топологии и всей математики в целом. Закончена книга была осенью 1935 г. в Крыму, недалеко от Ялты, где в это время находились П. С. Александров, А. Н. Колмогоров и Х. Хопф. Особое место в жизни П. С. Александрова занимает его дружба с А. Н. Колмогоровым, начало которой относится к 1929 г. Вместе с А. Н. Колмогоровым Павел Сергеевич много путешествовал по Волге, Днепру и другим рекам, по Кавказу, по Крыму, по югу Франции. С 1935 г. начинается, как говорит Павел Сергеевич, комаровский период в его жизни.

С Комаровкой, деревушкой под Москвой, где находится дом, принадлежащий с 1935 г. П. С. Александрову и А. Н. Колмогорову, связано немало событий в истории математики Московского университета за последние 40 лет. Здесь были задуманы и выполнены многие выдающиеся работы. В Комаровке часто бывали, а иногда жили продолжительное время многие ученики Павла Сергеевича и Андрея Николаевича. Комаровку посеща-

ли также выдающиеся зарубежные математики (Адамар, Фреше, Банах, Хопф, Куратовский и другие).

Открытый характер творчества Павла Сергеевича, его педагогическое мастерство и личное обаяние быстро привлекли к нему учеников. Одним из первых учеников Павла Сергеевича был Андрей Николаевич Тихонов (он слушал лекции Павла Сергеевича по топологии — тогда доцента МГУ — в 1923 г.). А. Н. Тихонов внес важный вклад в теорию бикомпактных пространств, доказав фундаментальную и теперь знаменитую теорему о бикомпактности произведения любого множества бикомпактных пространств. А. Н. Тихоновым же было открыто «правильное» определение топологии произведения любого множества пространств и доказаны важные теоремы о погружении в бесконечномерные кубы, чем были созданы основы теории бикомпактных расширений.

Открытый характер творчества Павла Сергеевича проявляется, в частности, и в том, что, получая центральные основополагающие результаты в новой, только что открытой области, он никогда не стремится ее исчерпать, рассматривая свою работу как основу для творчества своих непосредственных учеников и других исследователей. Это качество, несомненно, связано также с широтой научных интересов Павла Сергеевича, личным научным творчеством которого глубоко затронуты все основные разделы топологии. Примеров сказанному — поистине огромное число, и мы не будем их здесь приводить.

Обратим внимание лишь на крайний случай, когда важнейшее, как было затем обнаружено развитием топологии, понятие локально конечного покрытия, было введено Павлом Сергеевичем как бы мимоходом (1924 г.). Тогда Павел Сергеевич доказал, что в каждое открытое покрытие сепарабельного метрического пространства можно вписать локально конечное открытое покрытие, т. е. доказал паракомпактность сепарабельных метрических пространств. Через 20 лет этот результат был передоказан Ж. Дьёдонне (введшим термин «паракомпактное пространство»), а через 24 года, в 1948 г., А. X. Стоун показал, что от требования сепарабельности можно отказаться — что составляет содержание его замечательной теоремы о паракомпактности произвольного метрического пространства. Теорема Стоуна явилась главным средством для получения метризационных теорем Бингом, Нагата и Смирновым в 1950-1951 гг.

Мы видим, таким образом, что у истоков современных метризационных критериев и теории паракомпактных пространств находится понятие локально-конечного покрытия, введенное П. С. Александровым еще в 1924 г.

В связи с этим уместно сказать и о первом общем метризационном критерии, принадлежащем П. С. Александрову и П. С. Урысону и полученном

ими в 1923 г. На современном языке этот критерий звучит так: для того чтобы топологическое пространство было метризуемым, необходимо и достаточно, чтобы оно было паракомпактом, имеющим счетную измельчающуюся систему открытых покрытий.

Следует отметить наконец очень наглядные новые критерии метризуемости, полученные в 1961 г. П. С. Александровым и А. В. Архангельским.

В 1925-1929 гг. П. С. Александров в ряде фундаментальных и чрезвычайно целеустремленных работ создает основы гомологической теории общих топологических пространств и общий метод перенесения на теоретико-множественные объекты методов комбинаторной топологии. При этом он кладет в основу своих рассуждений понятие нерва покрытия, введенное им в 1925 г., — чрезвычайно простое, но фундаментальное по значению понятие. Именно, нерв покрытия и пространства X есть симплициальный комплекс Nu, вершины которого взаимно однозначно соответствуют элементам покрытия а;, причем какие-нибудь вершины в1,...,е* комплекса Nu тогда и только тогда образуют симплекс в NW1 когда соответствующие этим вершинам элементы покрытия и имеют непустое пересечение. Если покрытие о/ вписано в покрытие и (или, как говорят, следует за ним), то естественным образом определено симплициальное отображение 7г£ («проекция» нерва Nu' в нерв Nw). Поэтому, если, например, X — бикомпакт, а и пробегает направленное семейство всех его открытых конечных покрытий, то определен так называемый проекционный спектр S бикомпакта X, состоящий из направленного семейства комплексов Nu и связывающих эти комплексы проекции 7г^ . Этот спектр определяет некоторым естественным образом свое предельное пространство, и оно оказывается гомеоморфным бикомпакту X. Таким образом, оказывается принципиально возможным истолковать все топологические свойства пространства X как свойства его проекционного спектра, т. е. сводить их к свойствам комплексов Nu и их симплициальных отображений. В частности, это относится (и, конечно, в первую очередь) к размерностным и гомологическим свойствам.

Принципиальное значение возникающей таким образом новой точки зрения на теоретико-множественную топологию и методы ее построения не нуждается в пояснении.

В результате возник некоторый синтез комбинаторно-алгебраических и теоретико-множественных методов в топологии, в большой степени определивший развитие топологии в течение ряда лет.

Первым применением понятия нерва была известная теорема Александрова об ^-сдвигах компактов на полиэдры, состоящая в том, что любой лежащий, например, в гильбертовом пространстве компакт данной размерности п можно при любом € посредством так называемой е-деформации

(т. е. непрерывной деформации, смещающей каждую точку меньше чем на е) превратить в полиэдр той же (и не меньшей) размерности. Эта теорема в свою очередь легла в основу доказательства теоремы Нёбелинга-Понтрягина о вложимости n-мерного компакта в (2п + 1)-мерное евклидово пространство. Любопытно, что этот чисто теоретико-множественный результат требует комбинаторных методов при доказательстве.

Понятие обратного спектра отображений в настоящее время мы находим почти в любой области математики. В топологии на нем основаны большинство гомологических рассмотрений, а в последнее время спектры стали стандартным инструментом и в теоретико-множественной топологии.

Первым примером применения построенной теории гомологии была гомологическая теория размерности, созданная П. С. Александровым в 1928— 1930 гг. и представляющая собой одно из важнейших открытий в топологии. Как это характерно для творчества П. С. Александрова, в основе теории лежат прозрачные геометрические идеи. Вот одна из таких идей: размерность компакта Ф не ниже ?г, если на нем имеется нетривиальный (не гомологичный нулю на некотором подкомпакте Ф' С Ф) цикл размерности п — 1, гомологичный нулю на всем Ф. Другие характеристики размерности, предложенные П. С. Александровым, основаны на столь же геометричных понятиях зацепления циклов и «разбиения» гомологии.

Значение теории, построенной П. С. Александровым, не только в том, что она дает новый, мощный инструмент исследования (пример тому — решение Л. С. Понтрягиным проблемы поведения размерности при перемножении пространств, целиком основанное на гомологической теории размерности). Важный аспект ее состоит и в том, что получила прямое подтверждение сама теория размерности, созданная совсем незадолго до этого. Именно, факт совпадения в широком классе компактных пространств гомологической размерности и размерности через покрытия инвариантов, построенных с абсолютно различных точек зрения, показывает правильность и естественность определения размерности.

Как обычно, большие продвижения в одной области связаны с продвижениями и в соседних областях. Так, для гомологической теории размерности П. С. Александрову понадобилось одно утверждение об отображениях полиэдра в сферу. Доказательство этого утверждения было «заказано» Х. Хопфу, и из этого произошла классическая теорема Хопфа о классификации непрерывных отображений n-мерного и (п — 1)-мерного полиэдра в n-мерную сферу, впервые изложенная в письме Хопфа к П. С. Александрову, опубликованном в «Математическом сборнике».

Работы П. С. Александрова в этом направлении были продолжены и развиты многими математиками: А. Н. Колмогоровым, К. А. Ситниковым, К. М. Куратовским, Г. С. Чогошвили, Е. Г. Скляренко, В. И. Кузь-

миновым, И. А. Шведовым — разумеется, здесь названы не все. Некоторые результаты из этой области получили замечательные чисто теоретико-множественные обобщения. Так, теорема П. С. Александрова об ^-сдвигах компактов в полиэдры многие годы спустя предстала в новом облачении — в форме теоремы Даукера, характеризующей паракомпакты в терминах ^-отображений их в метрические пространства. Этот результат Даукера — один из центральных сейчас в теории паракомпактных пространств.

Другое применение построенной гомологической теории — теория двойственности, восходящая к Дж. Александеру и получившая дальнейшее развитие после открытия А. Н. Колмогоровым и Дж. Александером когомологических групп. Предметом двойственности этого типа являются соотношения между группами гомологии компакта в евклидовом пространстве (или, более общо, многообразии) и его дополнения. Ясно, что сама постановка задачи здесь включает определение групп гомологии открытого множества — дополнения к компакту. Теория Александрова позволила поставить всю область на твердую основу. На этом пути Л. С. Понтрягин нашел и доказал свой известный закон двойственности для компактов, лежащих в евклидовом пространстве. Окончательную же формулировку такого типа законы получили после создания Л. С. Понтрягиным теории двойственности локально-бикомпактных групп.

Таким образом, к середине тридцатых годов оказались связанными в единое целое до того совершенно различные ветви топологии — алгебраическая, восходящая к А. Пуанкаре, и теоретико-множественная, идущая от Фреше-Хаусдорфа, и в этом огромная заслуга П. С. Александрова.

Отражением этого синтеза двух основных ветвей топологии должна была служить совместная трехтомная монография П. С. Александрова и Х. Хопфа «Топология». К сожалению, война помешала завершению этого труда, и написанным оказался лишь первый том, известная во всем мире «Топология I», по которой учились все современные топологи. Написанная выдающимися представителями обоих направлений в топологии книга по богатству заложенных в ней идей, по яркости изложения остается непревзойденной.

Следующий большой этап в творчестве П. С. Александрова имеет своей кульминацией его так называемую «казанскую» работу, написанную в 1941-1942 гг., посвященную изучению гомологическими методами формы и расположения комплекса (и замкнутого множества) в объемлющем комплексе (и замкнутом множестве). Не перечисляя конкретных результатов, полученных в эти годы П. С. Александровым, достаточно сказать, что в указанной работе впервые были выписаны все элементы точной последовательности, столь сейчас употребительного инструмента во всех разделах математики, использующих алгебраические методы.

Наконец, в конце сороковых - начале пятидесятых годов П. С. Александров, а затем его ученики, среди которых прежде всего нужно назвать К. А. Ситникова, занимаются построением гомологической теории незамкнутых множеств в евклидовых пространствах, что привело к дальнейшему развитию и самой гомологической теории (работы Г. С. Чогошвили и его учеников). Павлу Сергеевичу принадлежит, в частности, первый общий закон двойственности для незамкнутого множества, лежащего в евклидовом пространстве, и целый ряд других результатов. Результаты П. С. Александрова по гомологической теории и теоремам двойственности для незамкнутых множеств составили знаменитую большую его работу «Основные соотношения двойственности для незамкнутых множеств», опубликованную в «Математическом сборнике» в 1947 г.

Работа по созданию гомологической теории топологических пространств и, в частности, гомологической теории размерности велась Павлом Сергеевичем Александровым параллельно с работой в чисто теоретико-множественном направлении. В 1939 г. им было проведено важное исследование бикомпактных расширений вполне регулярных пространств. Здесь примененная новая точка зрения оказалась весьма плодотворной, и в частности, появилась впоследствии в работах В. И. Пономарёва и многих других авторов.

Другой весьма существенный результат из теоретико-множественной топологии, полученный П. С. Александровым в этот период, утверждает, что каждый бикомпакт веса, равного данному кардинальному числу г, является непрерывным образом замкнутого подпространства обобщенного канторова дисконтинуума DT. Еще в 1927 г. П. С. Александровым было доказано, что каждый компакт является непрерывным образом обычного канторова дисконтинуума D^°. В связи с этим Павлом Сергеевичем было введено понятие диадического бикомпакта как непрерывного образа всего обобщенного канторова дисконтинуума DT при каком-нибудь т. В ответ на в вопрос П. С. Александрова Марчевский доказал, что не каждый бикомпакт веса т при т > Ко диадичен, в противоположность со случаем т = Ко-Теория диадических бикомпактов, которой таким образом положена основа, оказалась весьма интересной и важной.

Павлом Сергеевичем была выдвинута также гипотеза о диадичности пространства любой бикомпактной группы, доказанная впоследствии Л. Н. Ивановским и В. И. Кузьминовым. Доказано также, что метризуемость диадического бикомпакта следует уже из первой аксиомы счетности. Эти исследования были продолжены А. В. Архангельским, В. И. Пономарёвым, Б. А. Ефимовым, М. Катетовым, Р. Энгелькингом и многими другими математиками как у нас, так и за границей.

Вообще, под самым непосредственным влиянием Павла Сергеевича развивалась вся теория непрерывных отображений топологических пространств. Она началась по существу с создания П. С. Александровым еще в двадцатые годы теории непрерывных отображений и отвечающих им непрерывных разбиений бикомпактов. Вероятно, нет ни одного важного положения этой теории, которое не послужило бы отправной точкой дальнейших исследований. Так, уже упоминавшейся теореме П. С. Александрова о представлении каждого компакта, как непрерывного образа канторова совершенного множества, соответствуют теперь теорема о том, что каждый бикомпакт является непрерывным образом нульмерного бикомпакта того же веса, и вся теория диадических бикомпактов. Вся теория непрерывных отображений бикомпактов развилась в теорию совершенных отображений произвольных вполне регулярных пространств, весьма общую и насыщенную богатейшим конкретным материалом. П. С. Александрову принадлежат первые фундаментальные результаты об открытых отображениях бикомпактов и постановка основных с задач в этой области. Им было доказано сохранение размерности dim при открытых счетнократных отображениях (бикомпактов) — результат, теснейшим образом связанный с проблематикой открытых нульмерных отображений и открытых конечнократных отображений, в частности, с задачей о существовании открытого нульмерного отображения куба на куб большей размерности. Под влиянием Павла Сергеевича были выполнены первые основополагающие работы по теории замкнутых непрерывных отображений небикомпактных метрических пространств на метрические пространства. Учеником П. С. Александрова И. А. Вайнштейном был получен фундаментальный результат о периферической бикомпактности всякого такого отображения. Это утверждение послужило прообразом и ступенью ко многим важным результатам в общей теории замкнутых отображений, полученным у нас и за границей (А. X. Стоуном, К. Моритой, Н. С. Лаптевым и др.).

Особенно много внимания общей теории непрерывных отображений Павел Сергеевич уделяет в период, начавшийся в 1954 г., когда семинар для начинающих, созданный Павлом Сергеевичем, увлек большую группу первокурсников и определил для многих из них их научное будущее. Начиная с этого времени, Павел Сергеевич в значительной степени концентрируется на теоретико-множественных вопросах топологии и воспитании учеников в этой области. В обзорах, опубликованных в УМН в 1960 и 1964 гг., Павел Сергеевич подводит первые итоги работы этой только что выращенной им группы молодых ученых и определяет направления дальнейшего исследования, формулируя множество интереснейших конкретных задач.

Особенно большое влияние на развитие исследований в общей топологии в последние годы оказал обзорный доклад П. С. Александрова на Втором Пражском симпозиуме по общей топологии и ее применениям в 1966 г. В этом докладе были сформулированы основные принципы взаимной классификации пространств и отображений. Сегодня трудно даже перечислить все интересные исследования, вызванные к жизни этим докладом.

Павел Сергеевич никогда не мыслил научной деятельности вне педагогического воздействия, вне контакта с учениками. Он сам отмечает четыре основные хронологические группы своих учеников, четыре «пласта» или «слоя». К первой группе относятся А. Н. Тихонов, Л. А. Тумаркин, В. В. Немыцкий, А. Н. Черкасов, Н. Б. Веденисов. В это же время учеником Павла Сергеевича стал Л. С. Понтрягин, который уже в первые аспирантские годы сделал крупные открытия в топологии. Ко второй группе (сороковые годы) принадлежат Ю. М. Смирнов, К. А. Ситников, О. В. Локуциевский, Е. Ф. Мищенко. К поколению пятидесятых годов относятся A. В. Архангельский, Б. А. Пасынков, В. И. Пономарёв, а также Е. Г. Скляренко и A.A. Мальцев, бывшие в аспирантуре соответственно у Ю.М. Смирнова и К. А. Ситникова. Группу самых молодых учеников образуют B. В. Федорчук, В. И. Зайцев и Е. В. Щепин. Конечно, перечислить всех учеников Павла Сергеевича — невозможно, и мы указали только некоторых.

Трудно назвать кого-либо из видных советских топологов, на кого Павел Сергеевич не оказал бы большого и часто решающего влияния, и можно сказать, что все они в том или ином смысле являются учениками Павла Сергеевича.

Пожалуй, наиболее тесные отношения сложились у него с учениками 1954 г. зачисления в университет. Воспитанию их и тех, кто пришел позднее, Павел Сергеевич отдает буквально все силы. Воздействие Павла Сергеевича на занимающегося в его топологическом классе молодого человека никогда не сводится к чисто математическому влиянию, сколь бы ни было существенно и значительно последнее. Это и физическое воспитание в топологических прогулках, в дальних многодневных лодочных походах (в Ново-Окатово, по реке Медведица и др.), в переплывании Волги и других мощных водных преград, или многочасовых лыжных прогулках по подмосковным местам с яркими фантастическими названиями, данными самим Павлом Сергеевичем (поход к Жар-птицам, например!).

Воспитание в смысле Павла Сергеевича — это (и прежде всего!) воспитание чувств, эмоций. В недавнем номере газеты «Московский университет», обращенном к первокурсникам, Павел Сергеевич писал: «Любая научная одаренность слагается из трех компонентов — интеллектуального,

волевого и эмоционального... Именно способность к всезахватывающему эмоциональному напряжению и составляет необходимое, часто решающее условие для научного творчества». Отсюда глубокий интерес Павла Сергеевича ко всей, в частности, эмоциональной личности своих учеников и стремление помочь ее сформированию — музыкальными вечерами в университете или личными приглашениями в Малый зал консерватории, публичным выступлением о призвании ученого в актовом зале МГУ или беседой в домашнем кругу в Москве, Комаровке или на прогулке.

Но главным образом «воспитание чувств» осуществляется личным примером Павла Сергеевича, его заботой об учениках и добротой к ним. Эмоция для Павла Сергеевича составляет важнейший элемент не только научного творчества, но (и даже в большей степени) и педагогической деятельности. Не спокойно-сдержанное, рассудочно-холодное восприятие доставленного ему учеником результата, а яркая эмоциональная оценка его — вот что характерно для Павла Сергеевича. Способность увлечься сделанным другим человеком — благороднейшее качество, в полной мере присущее Павлу Сергеевичу Александрову. «Есть в математике нечто, вызывающее человеческий восторг» — эти слова Ф. Хаусдорфа и есть тот принцип, из которого исходит Павел Сергеевич в отношении к математическому творчеству своих учеников и вообще всех близких ему математиков. Радость, проявляемая Павлом Сергеевичем, вливает новые силы и дает новое вдохновение.

Научная и педагогическая деятельность Павла Сергеевича органически сочетается с общественной и административной. Во время международных поездок, начавшихся с 1923 г., он встречался с Гильбертом, Брауэром, Хаусдорфом, Хопфом, Курантом и многими другими зарубежными математиками, с некоторыми из них он долгое время сотрудничал и дружил. Образовавшиеся таким образом международные контакты Павла Сергеевича служили и служат поднятию престижа советской математической науки и содействуют росту и расцвету московской математической школы. С 1958 по 1962 г. П. С. Александров был вице-президентом Международного математического союза.

Павел Сергеевич руководит кафедрой высшей геометрии и топологии в Московском университете, заведует отделением математики МГУ и проявляет в этом качестве большую заботу о всем аспирантском коллективе. Возглавляет Павел Сергеевич и отдел общей топологии Математического института АН СССР им. В. А. Стеклова. В течение тридцати трех лет Павел Сергеевич был президентом Московского математического общества, а в 1964 г. он избран почетным президентом. П. С. Александров — член редколлегий нескольких ведущих математических журналов, главный ре-

дактор журнала «Успехи математических наук». В 1935 г. он был в числе первых организаторов Московской математической олимпиады для школьников. Большую роль в развитии науки и математического образования в наглей стране сыграли книги, написанные Павлом Сергеевичем: «Введение в общую теорию множеств и функций», «Комбинаторная топология». Недавно вышли новые книги Павла Сергеевича Александрова: «Лекции по аналитической геометрии», «Теория размерности» (совместно с Б. А. Пасынковым) и «Введение в гомологическую теорию размерности».

Научная, педагогическая и общественная деятельность Павла Сергеевича высоко оценена: в 1929 г. он был избран членом-корреспондентом Академии наук СССР, а в 1953 г. — действительным ее членом. П. С. Александров является также членом Гёттингенской академии наук, Австрийской академии наук, Академии Леопольдина в Галле, Польской академии наук, Академии наук ГДР, Национальной академии наук США, членом Американского философского общества в Филадельфии, почетным доктором Берлинского университета им. Гумбольта, почетным членом Голландского математического общества. Правительство Советского Союза наградило Павла Сергеевича многими орденами, присвоило ему звание Героя Социалистического Труда. За работу «Гомологические свойства расположения комплексов и замкнутых множеств» Совет Министров СССР присудил ему Государственную премию первой степени, а за цикл работ по гомологической теории размерностей Павлу Сергеевичу Александрову присуждена международная премия имени Н. И. Лобачевского.

Трудно переоценить ту роль, которую сыграли П. С. Александров и созданная им научная школа в развитии советской математики, в повышении ее международного престижа.

П. С. Александров имеет исключительно высокий международный авторитет, пользуется глубоким уважением математиков всего мира.

Пожелаем Павлу Сергеевичу доброго здоровья, многих лет жизни и продолжения его замечательной деятельности на благо нашей науки.

ВОСПОМИНАНИЯ О П. С. АЛЕКСАНДРОВЕ

Павел Сергеевич Александров умер за полгода до моего восьмидесятилетия. Будучи редактором журнала «Успехи математических наук», он в марте 1981 г. счел нужным приготовить для последующего опубликования в журнале небольшую статью обо мне. В ней он пишет следующее: «Моя дружба с А. Н. Колмогоровым занимает в моей жизни совершенно исключительное, неповторимое место; эта дружба перешагнула в 1979 г. через свое пятидесятилетие, и за весь этот полувековой период не только не дала никакой трещины, но не сопровождалась даже никакой ссорой, не было у нас за все это время и какого бы то ни было взаимного непонимания по вопросам, сколько-нибудь важным для нашей жизни и миросозерцания; даже тогда, когда наши взгляды на какой-нибудь из этих вопросов были различны, мы относились к этим взглядам друг друга с полным пониманием и сочувствием». Наша тесная дружба началась в 1929 г. Публикуя сейчас описание нашей с Павлом Сергеевичем жизни в начальный период этой дружбы (1929-1931 гг.), я хочу предварить его признанием, частично повторяющим приведенные выше слова Павла Сергеевича: для меня эти пятьдесят три года нашей тесной и неразрывной дружбы явились основой того, что вся моя жизнь в целом оказалась преисполненной счастья, а основой моего благополучия явилась непрестанная заботливость со стороны Павла Сергеевича. Наше личное знакомство началось через небольшой срок после моего поступления в Московский университет — в 1920 г. Наши первые встречи в 1920-1929 гг. описаны в первой главе. Вся вторая глава посвящена нашему путешествию летом 1929 г. по Волге и на Кавказ. В третьей главе рассказывается о нашей поездке за границу (в Гёттинген и Париж) в 1930-1931 гг. В заключение приводятся выдержки из писем Павла Сергеевича ко мне из США, куда весной 1931 г. он отправился из Европы и где он пробыл около четырех месяцев.

Глава 1. Первые встречи

Я поступил в Московский университет с довольно большими знаниями по математике. Из книжек «Новые идеи в математике» я знал, в частности, начала теории множеств. Многие вопросы я изучал по статьям энциклопедии Брокгауза и Ефрона, восстанавливая самостоятельно то, что в этих статьях написано слишком кратко.

Успехи математических наук. — 1986. — Т. 41, вып. 6. — С. 187-203 (в разделе «Математическая жизнь в СССР»).

В те годы студенческая стипендия имела очень небольшую материальную ценность, но студенты второго курса получали, кроме стипендии, паек, состоявший из пуда (16 кг) печеного хлеба и килограмма масла (будет ли это масло растительным или коровьим, зависело от последнего слова науки — кажется, сначала было растительное масло, а потом сливочное). Поэтому первым делом, которым я занялся, была сдача минимума экзаменов, позволявшая перейти на второй курс (обязательного посещения лекций тогда не было).

Я выбрал для слушания в первый год курсы теории множеств Ивана Ивановича Жегалкина и проективной геометрии (специально занимавшей меня еще до университета), которую читал Алексей Константинович Власов. Среди первых выбранных мною курсов был и курс теории аналитических функций Николая Николаевича Лузина (этот курс читали в тот год два лектора — Лузин и Болеслав Корнелиевич Млодзеевский; немного позднее я узнал, что наиболее фешенебельно было слушать оба эти курса — для того чтобы иметь возможность их сравнивать, конечно, ругая Болеслава Корнелиевича за нестрогость). Лекции Николая Николаевича посещались многими старшекурсниками и даже доцентами.

С курсом Н. Н. Лузина связано первое мое достижение, после которого на меня было обращено некоторое внимание. Николай Николаевич любил импровизировать на лекциях, и на лекции, посвященной доказательству теоремы Коши, ему пришло в голову использовать такую лемму: пусть квадрат разделен на конечное число квадратов; тогда для любой константы С найдется такое С, что для всякой кривой длины не больше С сумма периметров задевающих кривую квадратов, не превосходит С". Через две недели я обратился к председателю студенческого математического кружка Семену Самсоновичу Ковнеру с небольшой рукописью (эта рукопись сохранилась, она датирована 4 января 1921 г.), где это утверждение было опровергнуто (в доказательстве моем был, правда, сначала небольшой пробел, но он был потом мной очень быстро исправлен). Обо всем этом было доложено Николаю Николаевичу, который согласился с моим замечанием, а для теоремы Коши дал в лекциях правильное доказательство.

Вскоре ко мне обратился Павел Самуилович Урысон, предложивший регулярно бывать у него. Он стремился заинтересовать меня проблемами из области топологии, имея в виду, в частности, задачу о числе геодезических на замкнутых поверхностях. В 1921-1922 гг. я постоянно общался с В. В. Степановым, и, работая у него в семинаре, мне удалось решить одну проблему, к которой Н. Н. Лузин проявлял длительный интерес, — я доказал существование рядов Фурье-Лебега со сколь угодно медленно убывающими коэффициентами Фурье. Это побудило Николая Николаевича предложить мне регулярно приходить к нему вместе с небольшой

группой его младших учеников, имея в виду, по-видимому, что основным предметом моих занятий станет метрическая теория функций (теория интеграла, теория рядов Фурье и т. п.). Как будет видно из дальнейшего, это предначертание я через некоторое время выполнил, однако ранее этого мне удалось получить результаты в дескриптивной теории функций, представлявшиеся мне чрезвычайно важными: я начал разработку общей теории операций над множествами. Поскольку моя работа в этом направлении не входила в планы Николая Николаевича, я отнес первый набросок теории операций П. С. Урысону, а он направил меня с ним к Павлу Сергеевичу Александрову. Это было вполне разумно, так как мои общие теоремы о произвольных операциях над множествами были естественным обобщением теорем об А-множествах, принадлежащих Александрову.

Мне запомнились вытащенные откуда-то Павлом Сергеевичем огромные листы бумаги со схемами образования множеств все более высоких классов, созерцание которых в конце концов привело Павла Сергеевича к тому результату, что все B-множества любого класса являются А-множествами. Эти листы раскладывались по полу и Павел Сергеевич вместе со мной ползал по ним, желая сделать наглядным получение jB-множеств высоких (хотя бы и трансфинитных) порядков в результате однократного применения А-операции.

Тем временем (летом 1921 г.) мной был получен результат, заслуживший всеобщее внимание в международных кругах специалистов по метрической теории функций, — я построил почти всюду расходящийся ряд Фурье. Метрическая теория функций на этом перевесила, и в течение 1922— 1925 гг. я занимался по преимуществу теорией тригонометрических и ортогональных рядов. Почва для научного общения с Павлом Сергеевичем была утеряна, а написанные в 1921-1922 гг. мои дескриптивные работы пролежали в письменном столе Н. Н. Лузина, находившего их методологически неправильными, без всякого движения до 1926 г.

Также и наши личные контакты с Павлом Сергеевичем были в это время весьма ограниченными, хотя мы встречались довольно часто, например на концертах в Малом зале консерватории. Здоровались, но не вступали в какую-либо беседу. По-видимому, меня несколько смущали крахмальные воротнички и некоторая общая чопорность Павла Сергеевича. Тем не менее весь этот период я чувствовал его хорошее отношение ко мне и его заботу. Именно Павел Сергеевич добился того, что мои работы по дескриптивной теории были все же опубликованы. Он же был инициатором моего оставления на работе после аспирантуры в Институте математики и механики при Московском университете.

В те годы срок пребывания в аспирантуре не был строго лимитирован (был, например, случай, когда молодой математик оставался в аспирантуре

7 лет!). Поскольку пребывание в аспирантуре доставляло полную свободу предаваться научным исследованиям, не имея других обязанностей, я также предпочел не форсировать ее окончание. В 1928-1929 гг. соблюдение сроков аспирантуры стало более строгим, и в 1929 г. произошел небывалый ранее по численности выпуск — около 70 человек. В этом выпуске был и я (пробыв в аспирантуре 4 года).

Возник вопрос о месте дальнейшей работы. В Институте математики и механики имелась на этот год одна вакансия старшего научного сотрудника. На эту вакансию, кроме меня, мог претендовать и один из математиков старшего поколения, а директор института Дмитрий Федорович Егоров, хотя и знал хорошо мои научные достижения, в вопросе о зачислении научных сотрудников считал обязательным следовать критерию старшинства. Мне лично представлялась привлекательной и другая возможность.

В 1928 г. в Харькове был организован Украинский математический институт во главе с Сергеем Натановичем Бернштейном, находившимся тогда в зените своей международной славы и авторитета в СССР. Для этого института было выстроено уже специальное здание, но личный состав его еще нужно было формировать. Я получил от Сергея Натановича предложение сделаться научным сотрудником этого института, причем по его плану началу моей работы в институте должна была предшествовать годичная стажировка за границей, для чего он предпринял шаги для получения мной рокфеллеровской стипендии. Однако против такого решения с большой энергией восстал Павел Сергеевич, и в итоге ему удалось убедить Д. Ф. Егорова отдать предпочтение моей кандидатуре.

Глава 2. Путешествие 1929 г. Комаровский дом

На лето 1929 г. Общество пролетарского туризма и экскурсий объявило о возможности за очень небольшую плату в одном из приволжских городов (Ярославль, Нижний Новгород, Казань и др.) получать лодку, парус и палатку, чтобы сплавляться с этим оборудованием до какого-нибудь нижележащего города. Например, получив оборудование в Ярославле, сдать его в Самаре.

Имея уже некоторый опыт лодочных плаваний, я решился стать организатором подобного путешествия. Я считал, что разумное число участников в таком плавании — 3 человека. В первую очередь я пригласил моего близкого друга Глеба Александровича Селиверстова. Выяснилось, однако, что отплыть вместе со мной в наиболее желательный для меня срок он не может (меня особенно увлекала возможность провести это путешествие довольно рано, в период белых ночей). Договорились, что Селиверстов присоединится к нам позже. Другим участником был намечен знакомый мне

еще по средней школе Николай Дмитриевич Нюберг. Мне до сих пор не совсем ясно, как я решился предложить быть третьим компаньоном Павлу Сергеевичу. Однако он согласился сразу.

16 июня 1929 г. мы отплыли вниз по Волге из Ярославля. Для Павла Сергеевича подобного рода сплавное лодочное путешествие было новостью, но он сразу же энергично взялся быть нашим провиант-мейстером и закупил уже перед отъездом из Москвы множество всяких вкусностей. Со дня отплытия — 16 июня — мы с Павлом Сергеевичем и исчисляем нашу дружбу, продлившуюся, как уже сказано, 53 года.

Мы получили лодку «осташковского» типа — такую, какими пользовались тогда все волжские бакенщики. Две пары весел были после некоторого переоборудования лодки размещены на корме и на носу, что давало возможность одному или даже двум членам команды спать в середине лодки во время гребли. Косой парус был довольно примитивным, но все-таки давал возможность двигаться при боковом ветре. На всех трех участников плавания были куплены в Москве популярные тогда у молодежи «юнг-штурмовские» костюмы. При этом имелось в виду, что повседневной одеждой будут трусы и майки. Странным образом мы не взяли с собой никаких путеводителей, кроме пароходного расписания, по которому можно было определять пройденное расстояние и расстояние до ближайшей пристани. Из литературы была взята лишь «Одиссея».

Пункт окончания плавания не был однозначно установлен. Предполагалось, что, сдав лодку, мы отправимся на Кавказ, так как на август месяц у Павла Сергеевича было намечено пребывание на Черном море вместе с несколькими его учениками (среди которых должен был быть Лев Семенович Понтрягин). На Кавказе мы оба предполагали заниматься математикой, поэтому в багаж Павла Сергеевича входила еще портативная пишущая машинка и складной столик, купленный в Гёттингене.

Типичный пейзаж побережий больших среднерусских рек, будь то Ока, Днепр, Дон или Волга, довольно однообразен. Река обычно разбивается на несколько рукавов, которые текут посреди зеленых заливных лугов и обтекают песчаные острова, заросшие ивняком. Пески на Волге отмыты до почти полной белизны (мое описание относится к двадцатым-тридцатым годам, до сооружения на Волге больших водохранилищ).

Пейзаж этот не лишен своеобразного величия. Он сразу стал близким Павлу Сергеевичу, и в последующие годы мы с ним много раз плавали по Белой, Каме, Волге и Днепру.

Мы во время плавания по Волге выбирали свой путь обычно по какой-нибудь Воложке (так называют на волжском наречии второстепенные протоки). По наличию в Воложке достаточно сильного течения можно было судить, вынесет ли она нас в главное русло.

Свой лагерь мы разбивали обычно на песчаных островах, на их верхних или нижних оконечностях, где особенно чувствуется течение воды. В первые дни путешествия мы часто плыли и ночью: в летние белые ночи особенно захватывающее впечатление производит скольжение вдоль заросших ивняком берегов, наполненных птичьим пением. Хотелось, чтобы это продолжалось бесконечно.

Восприятие природы у Павла Сергеевича не было направлено на какие-нибудь особые достопримечательности. Оно возбуждалось по преимуществу самыми простыми впечатлениями, такими, например, как только что описанное мною восприятие звуков и красок белых ночей. Неоднократно мне случалось подсмотреть, как на таком речном рассвете Павел Сергеевич поет какие-то бессловесные мелодии.

Конечно, мы не пренебрегали тем, чтобы погулять по Костроме с ее торговыми рядами, монастырями, церквами или побродить по Нижегородскому кремлю, или вылезти на высокие обрывы волжских берегов, или посетить дом Ульяновых в Ульяновске. Но над всем этим доминировало непрерывное движение — вниз по течению с короткими остановками для купания и приготовления еды (на кострах и также на имевшемся с нами примусе). Запас провианта в 1929 г. очень легко было возобновлять на небольших базарчиках, расположенных непосредственно около пристаней. Много времени, впрочем, оставалось на чтение «Одиссеи» и на ничегонеделание, и, конечно, на разговоры «обо всем».

В Казани, как это и было намечено, нас покинул Николай Дмитриевич Нюберг. Предполагалось, что в строго намеченный день и час мы встретимся в Свияжске с Г. А. Селиверстовым, который придет ему на смену. Несмотря на то, что накануне была сильная буря, мы в назначенный час стояли на платформе железнодорожной станции Свияжск, но никакого Г. А. Селиверстова там не обнаружили.

Посетив Казанский кремль с его Сумбекиной башней и здание Казанского университета, мы вдвоем с Павлом Сергеевичем отправились в дальнейшее плавание к месту слияния Волги с Камой мимо высоких берегов, покрытых яблоневыми садами, — родины антоновских яблок — и на 21-й день с момента нашего отплытия из Ярославля благополучно прибыли в Самару. Там мы сдали лодку и причитающееся к ней оборудование. 1300 километров было позади.

Дальнейший наш путь лежал на Кавказ. До Астрахани мы плыли в двухместной каюте первого класса речного парохода. Каюты высших классов на пароходе морского типа, на котором мы плыли из Астрахани в Баку, были чрезвычайно малопривлекательны. Мы предпочли купить билеты 4-го класса, расстелить на палубе полог нашей палатки и объявить его поверхность нашей неприкосновенной территорией. На этом пологе можно

было сидеть и лежать сколько угодно. После однодневного пребывания в Баку мы отправились по железной дороге до станции Акстафа, затем на автобусе в Дилижан, а оттуда пешком (с пишущей машинкой и складным столиком) — на озеро Севан. Естественно, что нас сразу привлек скалистый островок (ставший теперь, с понижением уровня озера Севан, полуостровом), и нам захотелось на нем поселиться. Это оказалось несложным. Кельи расположенного там монастыря пустовали, и мы заняли одну из них. Постоянное население острова состояло тогда из архимандрита монастыря (имевшего довольно обширный дом), его служанки (присматривавшей за несколькими коровами), начальника метеорологической станции с небольшим семейством и, наконец, «капитана», который и в самом деле командовал «севанским флотом» из одной моторной и нескольких обычных весельных лодок. Его колоритная фигура была несколько раз описана в литературе (например, Мариэттой Шагинян).

Архимандрит ежедневно открывал нижнюю церковь (на вершине холма стояли еще два пустующих храма), зажигал свечи и в полном одиночестве совершал службу. Заведующий метеостанцией, видимо, исполнял свои обязанности. Капитан же по временам привозил почетных гостей (Сарьяна или тогдашнего председателя ВЦИК Армении, например), но был готов покровительствовать и скромным туристам.

На острове мы оба взялись за работу. Со своими рукописями, пишущей машинкой и складным столиком мы уходили в уединенные бухты. В промежутках между занятиями много купались. Для занятий я прятался в тень, Павел Сергеевич же часами лежал на открытом солнце лишь в темных очках и белой шляпке-панамке. Эту склонность работать совершенно раздетым на жгучем солнце он сохранял до весьма позднего возраста.

Павел Сергеевич работал на Севане над отдельными главами своей совместной с Хопфом монографии «Топология» и помогал мне писать немецкий текст моей статьи о теории интеграла. Я, помимо писания этой статьи, был занят размышлениями об аналитическом описании марковских процессов с непрерывным временем, результатом которых стал впоследствии мемуар «Об аналитических методах в теории вероятностей».

Как положено, на озере Севан преобладала солнечная погода, но иногда с востока из-за гор наползали облака, спускавшиеся вниз к воде и при соприкосновении с ней исчезавшие. Здесь мы провели безвыездно (если не считать экскурсии в монастырь Эриванг под руководством нашего капитана) около 20 дней. У Павла Сергеевича приближался срок его условленного приезда в Гагры, и мы отправились вместе в Эривань (где на несколько дней нас приютило какое-то студенческое общежитие). Стояла сорокаградусная жара, небо было мглисто-синее, и только после захода солнца неожиданно появлялся конус Арарата, висящий в этой синеве. Мы посе-

тили Эчмиадзин (где из-за отсутствия надлежащих туалетов не решились посетить Католикоса). Из Эчмиадзина мы отправились пешком на Алагез (переночевав сначала у озера, где нас очень мило приютили физики, изучавшие космические ливни). После ночлега (уже без одежды, в одних лишь трусах) мы поднялись на южную вершину Алагеза, что не представляло никакой сложности (4000 м). С вершины открылся вид на скалистую северную вершину (4100 м), отделенную от южной большим снежником, в самой низкой части которого было видно небольшое озерко с ледяными и снежными берегами. Павел Сергеевич непременно захотел спуститься туда и выкупаться, я же предпочел подняться на северную вершину. Из Эривани мы направились в Тифлис. Там мы пошли в бани Орбелиани и попросили дать нам опытных банщиков. Мне дали старого перса, очень маленького роста. Он поработал надо мной с очень большой энергией, а в конце всей процедуры положил меня на живот, вспрыгнул мне на спину и начал меня массировать ногами. Процедуры эти нам очень понравились.

В Тифлисе мы на некоторое время расстались с Павлом Сергеевичем. Он отправился в Гагры — поездом до Батуми, потом пароходом; я же предпринял небольшое пешеходное путешествие в район верхнего Терека и Ардона.

Мой маршрут начался в Коби, куда я приехал на автобусе. Из Коби я отправился вверх по Тереку так, что с правой стороны оставались Казбек и Гимарай-Хох, а с левой — вершины Главного хребта, из которых самая высокая — Зильга-Хох (3840 м). Поднявшись на Трусовский перевал, я расположился на ночлег под открытым небом — я был оборудован для этого, имея спальный мешок из козьего пуха, вложенный в большой мешок из газгольдера. Проснувшись утром с ощущением комфорта и тепла, я обнаружил, что меня покрывает горка снега от прошедшего ночью снегопада. Но облака рассеялись, и я благополучно поднялся на Зильгу-Хох. Вернувшись к Трусовскому перевалу, я отправился в Заромак, и оттуда к Цейскому леднику. Подкормившись на турбазе, я начал подниматься на этот ледник, где и провел следующую, совершенно ясную ночь. Это было мое первое соприкосновение с миром вечных снегов, произведшее на меня большое впечатление.

На автобусе и по железной дороге через Туапсе и Сочи я попал в Гагры, где соединился с Павлом Сергеевичем и жившей в Гаграх компанией математиков. Мы все увлеклись купанием в довольно сильном прибое, когда преодоление набегавшей волны уже требует выработанной техники — надо бросаться под волну вниз головой; Павел Сергеевич этим искусством обладал в полной мере. Стоило посмотреть на его восторженное лицо, когда он бросался навстречу морским волнам! Плавал я несколько хуже Павла Сергеевича, но в целом оказался достойным партнером в его культе активного

и непоередственного соприкосновения с природой, культом солнца, воды и снега.

Вспоминаю наше житье там. На гагринском побережье обращал на себя внимание двухэтажный дом, стоявший у самого берега таким образом, что балкон второго этажа нависал над морем, и морские волны разбивались прямо под ним. Нам с Павлом Сергеевичем очень захотелось поселиться на этом балконе. Хозяйка дома была бывшая абхазская княжна, и нам не сразу удалось получить разрешение на житье там. Но когда мы расположились со своими мешками на этом балконе, то были атакованы целыми полчищами клопов, и сразу же у нас пропала всякая охота там жить. Пришлось снять другое помещение, хотя бы и удаленное от моря.

Я не помню точно, когда нами было принято решение поселиться вместе; во всяком случае с готовым таким решением мы вернулись из Гагр в Москву. Мы нашли в дачном поселке Клязьма на улице Писарева недавно отстроенный дом, состоявший из двух половин по 3 комнаты в каждой, и общей кухни, без удобств и без водопровода. Одну из половин этого дома мы и сняли. С нами поселилась моя тетушка Вера Яковлевна, которая вела все хозяйство. В другой половине жили хозяева; мне запомнилось только имя и отчество хозяйки — Вера Архиповна. У хозяев была корова, от которой мы снабжались молоком.

Вселились мы в этот дом довольно поздней осенью, но успели еще начать регулярно бегать для купания на одну из двух наших речек — Клязьму — поближе и Учу — подальше. Помещение было снято нами на два года, но в 1930-1931 гг. мы оба много времени провели за границей, так что фактически наше житье в нем продолжалось около года.

Осенью 1931 г. мы вместе с Верой Яковлевной переселились в расположенную в том же поселке Клязьма дачу на Некрасовской улице, принадлежавшую брату Павла Сергеевича — Михаилу Сергеевичу Александрову. Жили мы там на своеобразных условиях: в летнее время занимали довольно обширные мансардные помещения, а на зиму переселялись в нижнюю половину. Помещение здесь было несколько больше, чем на улице Писарева, но дом был также без удобств. С нами поселилась в качестве домашней работницы Маша Барабанова, которая еще до революции в нашем имении под Ярославлем была моей нянькой.

В 1935 г. мы приобрели у наследников Константина Сергеевича Станиславского часть старинного помещичьего дома в поселке Комаровка близ Болшева (в последующие годы мы выкупили дом полностью). Этот «дом в Комаровке» удовлетворял всем нашим потребностям, давая возможность разместить большую библиотеку и помещать в отдельных комнатах наших гостей — на несколько дней и даже на более длительное время.

В конце тридцатых годов установился удовлетворявший нас обоих распорядок. Как правило, из семи дней недели мы проводили 4 дня в Комаровке, один из которых полностью посвящался физкультурному отдыху — лыжам, гребле, большим пешеходным экскурсиям (протяженность длительных лыжных походов была в среднем около тридцати и доходила до 50 километров; в солнечные мартовские дни мы проводили на лыжах в одних трусах до 4 часов подряд). В остальные дни обязательной была утренняя зарядка, дополнявшаяся зимой еще бегом на лыжах до 10 км. Мы никогда не были моржами, купающимися круглый год ежедневно: мы купались по произволу, когда захочется. Особенно мы любили плавать в только что вскрывшихся реках, еще посреди сугробов по берегам. Утренняя пробежка на расстояние около километра при не слишком больших морозах делалась в одних трусах и босиком. Заплывы в ледяной воде я делал только очень маленькие, а Павел Сергеевич — значительно более длинные. Но зато бегал на лыжах в раздетом виде на значительно большие расстояния — я.

Одним из любимых способов организации лыжных пробегов был такой. Мы приглашали математическую молодежь, скажем, в Калистово, и оттуда начинали двигаться в направлении Комаровки. Некоторые, не добравшись до Комаровки, садились в автобус и уезжали домой. Добравшимся предлагался душ, по желанию — валяние в снегу и затем — обед. В период расцвета Комаровского дома число гостей за обеденным столом после лыжного бега достигало 15 человек.

Примерный распорядок дня в Комаровке был такой. Завтрак — в 8-9 часов. Умственная работа — с 9 до 2. Второй завтрак — около 2. Лыжный пробег или пешеходная прогулка — с 3 до 5. В период наиболее строгой организованности — предобеденный сон в течение 40 минут. Обед — в 5-6 часов. Потом — чтение, музыка, беседы на научные и общие темы. В самом конце — короткая вечерняя прогулка, особенно — в лунные зимние ночи. Сон — в 10-11 часов.

Весь этот распорядок нарушался в двух случаях: а) когда научные поиски становились азартными и требовали неограниченного времени и б) в солнечные мартовские дни, когда лыжные прогулки делались единственным занятием.

Глава 3. Поездка за границу 1930-1931 гг.

Хлопоты о предоставлении мне рокфеллеровской стипендии не увенчались успехом, но мне была предложена полугодичная командировка Наркомпроса в Германию и Францию. Уже находясь за границей, я направил в Наркомпрос заявление, что назначенной мне суммы хватит для 9-

месячного пребывания. Наркомпрос тут же удовлетворил мою просьбу, и дал согласие на продление моего пребывания за границей до 9 месяцев.

Павел Сергеевич имел приглашение читать лекции в Гёттингенском университете, и в июне 1930 г. мы вместе отправились из Москвы в Берлин. Там Павел Сергеевич остановился у Х. Хопфа, я — в гостинице. На улицах Берлина чувствовалась напряженность политического и экономического положения. Толпы безработных, часто очень плохо одетых. Многие дома садовых участков украшены флагами: красными — коммунистов, желто-красно-черными— социал-демократов, бело-красно-черными— крайне правых партий.

В Берлине мы прожили 3 дня и затем переехали в Гёттинген. Там Павел Сергеевич поселился в доме Нейгебауэра, а я снял меблированную комнату. В соседнем дворе находилась студенческая корпорация с ее довольно шумной жизнью и нередкими дуэлями (которые кончались в наиболее острых случаях порезом щек, с одной стороны, не слишком опасными, а с другой — достаточно хорошо видными). Среди студентов-математиков корпорантов было немного, и они не пользовались особой популярностью. Иногда даже студенты-корпоранты при входе в Математический институт университета снимали корпоративные знаки отличия.

Будущее Германии представлялось еще совсем неопределенным. Курант то ли в шутку, то ли всерьез говорил, что вероятно национал-социалисты придут к власти, но ненадолго, а потом власть перейдет к коммунистам, и уж совсем в шутку добавлял, что в этом случае Павел Александров приедет из Москвы в качестве комиссара Геттингенского университета.

Математический институт, постройка которого была закончена незадолго до нашего приезда, представлял исключительные удобства для научных занятий. Молодым ученым, приезжавшим в институт, предоставлялась маленькая отдельная комната с письменным столом, двумя стульями и полочками для книг и всяческих бумаг, а также выдавался ключ от библиотеки, где можно было, уже никого не спрашивая, брать любые книги, относить их в свою рабочую комнату. Предполагалось, конечно, что по миновании надобности взятые книги немедленно относятся в библиотеку и ставятся там на надлежащее место. Серьезно работающим студентам также выдавался ключ от библиотеки, с теми же правами и обязанностями.

Профессора имели довольно обширные кабинеты, и ключ профессора открывал свой собственный кабинет, все аудитории института и, конечно, библиотеку. А директор института и его заместители могли своим одним ключом отпирать все помещения института. Нейгебауэр, заказавший такую систему ключей, очень ею гордился. Гёттинген в те годы воспринимался как первый математический центр Германии и как достойный конкурент Парижа во Франции и Принстона в США. Такое положение Гёттингена до-

стигалось при очень ограниченном постоянном составе сотрудников. Ординарных профессоров-математиков было всего четверо: Гильберт, Курант, Ландау и кажется Бернштейн (достигший 68-летнего возраста Гильберт должен был перейти на пенсию, а на его место был уже приглашен Герман Вейль). На положении ассистентов находились многочисленные молодые сотрудники Куранта (Фридрихс, Реллих, Ганс Леви и др.). Не имела постоянной профессуры сама Эмми Нётер, уже воспринимавшаяся как глава современной общей алгебры. Ее ученики Ван-дер-Варден, Дёринг тоже находились на положении ассистентов.

Зато необычно большим для того времени было число ученых, приглашенных на семестр или какой-либо иной срок, а также число математиков, приезжавших сюда по собственной инициативе.

Основной состав Гёттингенских математиков группировался вокруг Гильберта, Куранта, Ландау и Эмми Нётер. Это был очень дружный коллектив, и Павел Сергеевич рассматривался в нем как человек, органически ему принадлежавший. Можно даже сказать, что в этом обществе он был чрезвычайно популярен, а с Курантом, Нейгебауэром и Э. Нётер его связывала личная дружба. У меня также были в Гёттингене разносторонние научные контакты. Прежде всего — с Курантом и его учениками по линии предельных теорем, где диффузионные процессы оказываются пределами дискретных случайных процессов, затем по интуиционистской логике — с Г. Вейлем, и, наконец, по теории функций — с Ландау. С последним, впрочем, мои контакты развивались не самым удачным образом. Ландау очень хотелось получить ответ на вопрос, может ли непрерывная функция ни в одной точке не иметь ни конечной, ни бесконечной производной (в известных примерах Вейерштрасса и Ван-дер-Вардена в некоторых точках имеются бесконечные производные). Я с большим азартом взялся за эту задачу и вскоре построил нужный пример. Он оказался очень громоздким, но я написал его с полной подробностью и отнес Ландау. Ландау был очень доволен, всем рассказывал об успехе молодого русского математика, и просил меня возможно быстрее подготовить изложение примера для печати. Но, к моему ужасу, через несколько недель я увидел в Fundam. math, статью Безиковича, в которой такой пример был построен, причем технические приемы Безиковича и мои были чрезвычайно схожи!

Мои занятия обобщением понятия интеграла и теорией меры делали для меня чрезвычайно желательными личные контакты с Каратеодори, и поэтому за две недели до окончания летнего семестра (он завершался в Германии 1 августа) я отправился из Гёттингена в Мюнхен, куда вскоре, освободившись от своих обязанностей в Гёттингенском университете, приехал и Павел Сергеевич. Так как наш дальнейший путь лежал в Париж, а по дороге мы собирались попутешествовать, то лишние вещи мы отпра-

вили из Гёттингена в Париж и оказались тем самым в Мюнхене в обличье пешеходных туристов: я, как младший, — в шортах, Павел Сергеевич — все-таки в брюках.

В Мюнхене я встретился с Каратеодори. Ему понравилась моя работа по теории меры, и он настоял на ее возможно быстром печатании (я передал ему также мою уже готовую работу, посвященную обобщению понятия интеграла, которая представлялась мне очень большим достижением. Но Каратеодори, хотя и рекомендовал ее в Math. Annalen, отнесся к ней довольно холодно).

На летнее время у нас обоих было приглашение Фреше приехать к нему на побережье Средиземного моря с тем, чтобы поработать вместе с ним по теории вероятностей в моем случае, и по теоретико-множественной топологии — в случае Павла Сергеевича. Наш план состоял в том, чтобы после небольшого путешествия по Германии и южной Франции приехать к Фреше, который жил тогда в местечке Санари недалеко от Тулона, а оттуда поехать в Париж.

Первые два дня путешествия мы провели в Баварских Альпах на маленьком озерке Шпитзензее в небольшой гостинице. Оттуда мы проделали «восхождение на Ротванд». По туристской тропе на Ротванд шествовали солидные баварцы в шляпах с пером, в баварских кожаных штанах, альпинистских ботинках с триконями и с альпенштоками в руках. Не без желания подтрунить над почтенными баварцами, мы проделали все восхождение босиком (мы и вообще-то любили с Павлом Сергеевичем хождение босиком).

Дальнейший наш путь был направлен к двум из самых замечательных готических соборов — в Ульм и Фрейбург. В каждый из этих двух городов мы приезжали после полудня, снимали номер в гостинице, и отправлялись гулять по городу, отыскивая различные пункты, из которых собор особенно хорошо виден.

Поужинав, мы возвращались к собору на закате солнца, и еще раз приходили к нему утром. Павел Сергеевич относился с искренним интересом к такому обстоятельному знакомству с памятниками готической архитектуры, но не забывал при этом по многу раз повторять слова Верлена «la mer est plus belle que les cathédrales».

В Ульме мы несколько раз купались в Дунае. Течение его около Ульма очень быстрое, и местные купающиеся юноши нам продемонстрировали, что самое приятное купание получается, если, оставив свою одежду, пуститься вниз по течению через весь город с тем, чтобы потом прибежать по набережной к месту отправления. Это мы и проделывали, оставив одежду на попечение местных купальщиков.

В Ульме мы нашли гостиницу за сходную цену. Фрейбург был в этом отношении менее гостеприимным: цена гостиничного номера нам показалась чрезмерной. Мы отправились тогда в окрестности Фрейбурга, где вскоре нашли маленькую деревенскую гостиницу с очень приятными крохотными комнатками. Там мы и переночевали (на постелях поразительной белизны и свежести), чтобы утром снова вернуться к собору. Затем мы на местном поезде отправились во Францию, в Мюнхаузен (Munhous по-французски)а. Затем мы предприняли еще небольшое путешествие по Франции — частично пешком, частично на местных автобусах. Один полный день — с раннего утра до позднего вечера — мы потратили на экскурсию на «семь озер», раскинувшихся на альпийских лугах на высоте около 2000 м. Два дня мы провели на берегу Роны, еще один — на берегах озера Аннеси. Потом день мы провели в Марселе и оттуда поездом отправились в Санари, где нас ожидал уже Фреше, заказавший нам комнату в том же пансионе де ля Горже, в котором жил сам. Пансион был окружен фруктовыми садами, неподалеку имелся небольшой пляжик, на который мы приходили вместе с Фреше. Мы купались и плавали, а Фреше prenait le bain de pieds.

Невдалеке находится мыс Горже — живописная группа красных скал. Мы особенно любили работать, забираясь на эти скалы, прыгать с них, купаться под ними. Павел Сергеевич работал, как обычно, на самом солнце, я — в тени.

Фреше занимался в это время марковскими цепями с дискретным временем и различными типами и множествами состояний. Мы обсуждали с ним всю марковскую проблематику в широком аспекте. Такая довольно монотонная жизнь продолжалась около месяца, нарушаясь сравнительно редко небольшими экскурсиями.

В сентябре мы покинули Санари и поездом отправились в Бретань — через всю Францию. Нашей целью был небольшой поселок Батц, где находится могила Павла Самуиловича Урысона. Пустынные гранитные берега, на которые накатываются огромные океанские волны, представляют собой полный контраст с берегами Средиземного моря. Могила Урысона находилась в полном порядке, ибо за ней ухаживала мадемуазель Корню, в доме которой жили в свое время Александров и Урысон. И сумрачная природа Бретани, и воспоминания о П. С. Урысоне настраивали нас на молчаливые прогулки по берегу океана. Мы ходили в рыбацкий поселок Крузик, рыбацкую деревушку Гюрбаль...

Из Батца мы приехали, наконец, в Париж. Прямо с вокзала мы отправились в гостиницу на улице Турнефор, где постоянно останавливался H. Н. Лузин во время своих приездов в Париж. Довольно большие и

а Имеется в виду город Мюлуз (Mulhouse) в департаменте Верхний Рейн, Франция. — Прим. ред. т. 4 Избр. тр.

несколько сумрачные комнаты этой гостиницы были приятны ощущением полного спокойствия, но... здесь оказалось много клопов (в те времена это было обычно во Франции). Павел Сергеевич начал с некоторым азартом расправляться с клопами и складывать их трупы на отдельный лист бумаги. Затем мы собрали свои вещи и отправились прочь. Распорядительница при входе стала обеспокоенно спрашивать нас: «В чем дело? Вы чем-нибудь недовольны?» На это Павел Сергеевич величественно ответил ей: «Объяснение Вы найдете в нашем номере!» Следующая гостиница не понравилась Павлу Сергеевичу, как слишком шумная, в третьей по коридору шмыгали слишком небрежно одетые женщины... Лишь методом последовательных приближений удалось отыскать в Латинском квартале гостиницу и не слишком дорогую, и удовлетворяющую всем требованиям Павла Сергеевича. В ней мы и оставались те две недели, которые провели там вместе.

Павел Сергеевич был в Париже не в первый раз. Он многое любил в этом городе, — и больше всего ту особую атмосферу, которая охватывает, по-видимому и до настоящего времени, всех попадающих в этот город. Это тем более естественно для русского человека, так как из сочинений русских классиков можно почерпнуть огромное количество сведений о Париже, его географии, достопримечательностях, уличной жизни, и многом другом.

Павлу Сергеевичу были с достаточной полнотой известны наиболее замечательные произведения искусства, хранящиеся в парижских музеях. Но при этом нужно сказать, что в области изобразительных искусств у Павла Сергеевича был центр притяжения, который перевешивал все другие впечатления, — музей Родена. Фотография, изображающая скульптуру Родена «Бронзовый век», всегда украшала его комнату в Комаровке. Она и поныне висит там...

Естественно, что мы, как и большинство людей, попадающих в Париж, предавались неодолимой страсти просто бродить по его улицам без заранее намеченной цели. Мы посещали также и парижские плавательные бассейны (они были в ту пору интересны и еще четко выраженными социальными чертами; мы посещали разные — от нескольких аристократических до наиболее громадного демократического бассейна Пищин де ля Гар).

Павел Сергеевич уехал из Парижа в конце сентября, а я оставался там до середины декабря. Для меня еще вместе с Павлом Сергеевичем мы нашли вблизи университетского городка и парка Монсури небольшую меблированную комнату в спокойном семейном доме.

Мне было естественно, оказавшись в Париже, интересоваться оценкой моих работ и получить какие-нибудь советы для продолжения своей работы в первую очередь у корифеев математики старшего поколения — Бореля и Лебега. Но мой контакт с ними, к сожалению, весь ограничился короткими чисто официальными визитами. Помощь Бореля оказалась су-

щественной, впрочем, при продлении французской визы. Разрешение было дано немедленно после вручения письма, подписанного Emile Borel, Ancient Ministre de la Marine (Эмиль Борель, бывший морской министр).

В сфере науки я вынес очень многое из контактов с П. Леви. Он неоднократно приглашал меня к себе домой, где мы вели длительные содержательные научные беседы. С представителями более молодого поколения я как-то за этот короткий период времени не сумел вступить в какие-нибудь интересные общения.

Осенняя погода в Париже чрезвычайно неприятна, особенно неприятно в станциях и тоннелях парижского метро, куда врывается через наружные двери холодный воздух, сгущающийся до клубов водяного пара. При этом и стены метро, и ваш костюм покрывается влагой. По-видимому, из-за этого я сильно простудился и приехал в Гёттинген больным. Павел Сергеевич немедленно уложил меня в прекрасную частную лечебницу, где на рождество в мою одноместную палату была даже внесена украшенная елка. После выздоровления я был определен Павлом Сергеевичем в сравнительно недорогой, но хорошо обставленный пансион Крейцнахер, и только в середине января мне было разрешено перебраться в присмотренную заранее комнату квартиры семейства одного почтальона. Условия жизни там были довольно спартанские. Мой почтальон вместе с женой, взрослой дочерью и двумя мальчиками занимал достаточно большую квартиру из четырех комнат, из которых, однако, постоянно отапливалась зимой только кухня, а остальные комнаты обычно не отапливались. Раз комната все равно не отапливалась, я счел разумным держать окно постоянно открытым, а спать под пуховым одеялом и в ночном колпаке. Моя комнатка была очень маленькой и стоила, если мне не изменяет память, 15 марок в месяц. Но, кроме того, я приплачивал за то, что мог по утрам заниматься в гостиной около топившейся для меня печки, при этом мой договор с хозяином предусматривал, что гостиной я мог пользоваться только в будние дни, ибо по праздникам и в воскресные дни гостиная и столовая топились только в интересах гостей, и, следовательно, заниматься там я не мог. Восстановление моей закаленности произошло довольно быстро, и уже к середине февраля я по утрам в трусах и майке бегал на расстояние примерно полтора километра в университетскую купальню Кли.

Глава 4. Из писем П. С. Александрова из США

(Из письма от 20 февраля 1931 г.)

... У меня уже были здесь две лекции; первая происходила с точки зрения языка очень печально, но вторая (сегодня) была значительно лучше. Я, кроме того, беру уроки английского языка у одной почтенной и приятной дамы, учительницы немецкого языка в здешней гимназии. Взял пока

2 урока, и ими очень доволен. Но только стоит это удовольствие не 2 марки, как у тебя, а2^2 доллара. Но я надеюсь, что не долго буду брать эти уроки; в настоящее время это все-таки прямая необходимость.

Читаю я достаточно общий курс топологии — от комбинаторной (включая законы двойственности) до теории размерности включительно; все провожу с устремлением в замкнутые множества; слушается курс, по-видимому, с интересом, и слушатели бесконечно более подготовлены, чем, думаю, сейчас где бы то ни было. В числе слушателей — Александер, так что аудитории более компетентной и ответственной для преподающего трудно себе представить. А сам Александер читает совсем элементарный курс топологии; в настоящее время рассказывает с удивительным изяществом простейшие вещи из абстрактной топологии — аксиомы отделимости и проч., но будут и бикомпактные пространства и т. п. Одним словом, нынешний топологический сезон в Принстоне мог бы весь происходить в Москве.

Кстати, ты мне многократно говорил о чисто комбинаторной топологии. Прочитай только что (летом) опубликованную статью Alexander'a Combinatorial theory of complexes», Ann. Math., 31, №2, 292-320. Это — одна из последних тетрадей Annals, лежащих в Lesezimmer. Статья совершенно элементарная (ничего не предполагает) и изящества необыкновенного. Понемногу занимаюсь главным образом книгой. И еще надо писать рецензии для Zentralblatt'а о топологическом Enzyklopëdie — Artikel Tietze-Vietoris'a (завтра надо будет это сделать, боюсь, уйдет полдня), Anhang для Hilbert'а, Fußnoten к моей работе, так что дела действительно много. Александер берется доказать, что двумерный комплекс, состоящий из всех двумерных граней шестимерного симплекса, не может быть топологически включен в четырехмерное пространство, и что вообще (аналогичным образом) теорема о том, что /с-мерный комплекс всегда умещается в E2k+l, улучшена быть не может.

Каждый день плаваю в плавательном бассейне, действительно превосходном, во много раз больше Геттингенского. Не знаю точно, сколько он длины — ведь тут длины измеряются не в метрах, а не то в ярдах, не то еще в каких-то подобных единицах, — но во всяком случае нет никакой потребности, чтобы он был больше (следующее желательное усовершенствование мыслится уже в другом направлении — чтобы он был под открытым небом). Души при бассейне снабжены бесплатно предоставляемым мылом в неограниченном количестве — поверти вертушку, и полная ладонь очень мылкого мыльного порошка, который, будучи смочен, сразу (даже без мочалки) дает большое количество пены. При этом условии особенно легко становится требовать, чтобы все перед плаванием мылись с мылом. Полное отсутствие всяких трусов в плавательном бассейне также, естественно, способствует чистоплотности (и что-то я, вопреки опасениям

Fréchet, никаких грыж, которые следовало бы скрывать из эстетических соображений купальными костюмами, ни у кого из купающихся не видел). Впрочем, большинство купающихся, как и естественно ожидать, студенты, большинство — прекрасно сложены, так что думаю, что с эстетической стороны купающиеся в принстонском плавательном бассейне юноши стоят значительно выше, чем публика французских пляжей, даже если грыжи и прячутся под купальными костюмами.

Принстонский Athletic-Field (Spielplatz) помещается в двух шагах от меня; постараюсь туда проникнуть, чтобы бегать и т. п. Но для бегания в Америке полагаются трусы и майка (безрукавка), так как этот Athletic-Field виден с улицы, и простота нравов меньшая, чем в Германии! Вообще — удивительное дело: американцы не понимают радости подставлять голое тело солнечным лучам, ветру, вообще всем естественным воздействиям окружающей открытой природы. При этом удовольствие делать движения в голом виде они отлично понимают — в различных залах Gimnasium'a можно видеть молодых людей в ничтожнейших трусах, а часто и совсем голых, бросающих мяч об стену, делающих различные гимнастические упражнения и т. п. Но перенести все это на открытый воздух (хотя-бы и с несколько большими трусами) — не додумались. А между тем, в частности, и с эстетической стороны американское университетское юношество принадлежит, несомненно, к наилучшим образом выглядящим молодым людям, так что не имеет оснований так тщательно прятать свою наготу.

Очень хорошо, что купил себе Trainingsanzug. Но только если ты надеваешь его на голое тело (например, когда по утрам бегаешь), то необходимо иметь два, чтобы можно было достаточно часто их стирать. Узнай, не садятся ли они при стирании (beim Waschen eingehen). Вероятно, садятся; это надо иметь в виду и купить соответственно больших размеров. А эта комбинация — верхняя половина Trainingsanzug'а с белой рубашкой и галстуком — тебе, наверное, очень идет, — тебе вообще идут свободные и естественные костюмы. Купи или закажи себе непременно костюм с короткими штанами, это и красиво, и практично, и может быть употребляемо во всех обычных (не торжественных и не вечерних) случаях. Непременно купи себе все такое особенно в случае, если придется неожиданно возвращаться в Москву (считаю эту возможность, к сожалению, не исключенной). Если же ты благополучно дождешься в Германии меня, то, пожалуй, лучше костюм покупать или заказывать вместе со мною. Между прочим, непременно обдумай к моему возвращению, что из спортивных и экскурсионных вещей нам с тобой купить: палатку и т. п. Особенно желательной представляется мне действительно основательная палатка, достаточно основательная, чтобы мы с тобою могли в ней долго жить и чтобы в ней можно было заниматься (значит, в частности, чтобы был в нее доступ свету). Такую

палатку нам необходимо иметь, чтобы быть независимыми от всяких абхазских княжен и иметь возможность без клопов и проч. неприятностей располагаться даже на продолжительное время там, где нам вздумается.

Ты все это сообрази, как следует, и узнай, где такие вещи лучше всего покупать, выпиши себе проспекты, узнай цены и т. п. В Америке это покупать едва ли стоит, здесь все-таки все дороже, чем в Германии. Такие вещи можно, конечно, покупать где угодно, но, кажется, лучше там, где мы собирались покупать лодку (сосед Нейгебауэра Шелленберг знает адрес некоего Bergverlag'a1 в Мюнхене, где можно получить все такие справки, проспекты и т. п.; постарайся к нему обратиться прямо или через Нейгебауэра).

Я тебе советую приобрести и лыжный костюм, тем более что он тебе кажется удобным. Все это стоит, по существу говоря, совсем недорого, а фактическая ценность этих вещей (т. е. получаемые от них блага, по выражению Александра Яковлевича) очень велика.

Ты мне почти ничего не пишешь о своих спортивных упражнениях, а мне очень интересно иметь о них постоянный подробный отчет: сколько, в каком костюме, при какой температуре бегал? в какое время дня? прямо ли из дому или только на Spielplatz'е? Купался ли у Klie? Плавал ли в Schwimmhalle? Какую и где делал гимнастику (дома, у Klie)? Кроме того, ты ничего не пишешь о своем самочувствии. Кашляешь ли ты, и бываешь ли охриплым? Как твой насморк? А главное, как общее самочувствие? Тебе бы очень хорошо покупать себе, кроме молока, сливки. Оказывается (мне это говорил один биологический химик) маленькая бутылочка сливок (стоящая 13 центов) содержит больше питательных веществ, чем большая (больше чем пол-литра) бутылка молока (стоящая здесь 9 центов). Между прочим, цены здесь устанавливаются (на разной густоты сливки и молоко) в почти полном соответствии с действительной питательностью — т. е. с химическими анализами (содержание жиров и т. п.). Да и субъективно это подтверждается — насыщающее действие сливок очень велико. Между прочим, распространены сливки в Америке чрезвычайно — люди, покупающие молоко (напр. моя Mrs Gulich), покупают достаточно часто и сливки, так как знают, что это более концентрированная форма того же молока, а не некоторый изысканный предмет роскоши: во всех таких вопросах американская «домашняя хозяйка» бесконечно развитее своей немецкой Collègue: Grete как будто бы дама более высокой марки, но тем не менее мне долго пришлось убеждать ее, что платить на две десятых цены больше за в полтора раза большее яйцо — выгодно; а что платить 13 центов за маленькую бутылочку сливок столь же выгодно, как 9 центов за большую бутылку

1 Вспомнил: Berg Verlag Rudolf Rother, München (кажется, München, 49), все-таки проверь y Schellenberg'a.

молока — в этом я ее и не надеюсь убедить. А моя Mrs Gulich все это отлично понимает. Поэтому в Америке и можно цены устанавливать в соответствии с химическими анализами (а не глупостью покупательниц). Но ты-то покупай и сливки и молоко (так как сливки будешь пить с кофеем, а молоко — само по себе). Конечно, если бы и сливки ты мог пить живьем, было б лучше всего.

Вес свой мне тебе сообщить довольно трудно: ведь здесь все шиворот навыворот: вес человеческий исчисляется не в килограммах, и даже не в английских фунтах, а в некоторых специальных единицах, называемых «stone», что значит — камень! Вероятно, это вес того камня, о который споткнулась лошадь Вашингтона, когда он ехал избираться в первые президенты Соединенных Штатов! Но я постараюсь выяснить соответствующие коэффициенты и тогда тебе напишу. Скоро вышлю тебе деньги. Я пока еще не получал денег: оказывается, следующую мне сумму мне предполагали выплачивать помесячно: 5 марта, 5 апреля, мая, июня (т. к. не предполагается, чтобы люди, приглашаемые для чтения лекций, приезжали в Америку с 50 долларами в кармане). Но я возьму вперед. Кроме того, я пользуюсь здесь неограниченным кредитом (не только у отдельных лиц, но и, например, в университетском магазине, где только что купил себе машинку (в кредит) за 60 долларов. Она будет иметь, кроме обычного латинского алфавита, знаки +,—,<,>, =, £, ]С, показатель п (Еп) и индексы 1, 2, также, конечно, о, 77 • Пока эти знаки присоединяются, мне дали на время обычную... )

(Из письма от 22 марта 1931 г.)

... Я положительно влюбляюсь в нее, даже с некоторым волнением смотрю на нее каждый день, и она совершенно серьезно играет большую роль в моей жизни. Вокруг нее всегда какая-то полная тишина, и даже таинственность, и сама она прямо какая-то воплощенная Ундина — тихая, прозрачная и трогательная, особенно, когда смотришь на нее, освещенную яркими солнечными лучами, скользящую среди больших, старых, но не обнаженных еще деревьев.

И имя у нее удивительное — Stony Brook — что означает «Каменная речка», такие имена бывают (вернее, бывали) у дочерей и невест индейских царьков. Каждый раз, когда я на нее смотрю, я говорю про себя: ты называешься Stony Brook, и произносить ее имя доставляет мне удовольствие. Имя вполне ей соответствует — вода в ней чистая, зеленая и холодная, а дно каменистое.

К месту, где я купаюсь, надо долго идти по зарослям, и вдруг, поднявшись на небольшую грядку, — сразу перед тобою речка с нависающими

над нею большими, много на своем веку видавшими, точно тургеневскими, деревьями. Длинный участок она течет параллельно каналу, в конце этого участка я и купаюсь. Между нею и каналом через заросли идет тропинка; вероятно, по ней ходят только зачарованные принцы любоваться на Stony Brook в лунные ночи, так как я там еще ни разу не видал ни одного человека (впрочем, я около тропинки нашел две консервных банки, так что зачарованные принцы иногда кушают консервированные бобы; также несколько следов костра — очевидно, здесь иногда устраиваются пикники).

Как бы то ни было, я на этой тропинке ни одного человека до сих пор не видел, и пользуюсь ею для того, чтобы по ней бегать до и после купания.

На другом берегу Stony Brook — лесистое болото, и далее (далеко) — фермы, а на другом берегу канала — бесконечные фруктовые сады, производящие совершенно запущенное впечатление. Без конца водяных птиц, поэтому все в целом производит действительно таинственное впечатление — разве не таинственна иллюзия настоящей природы в получасе ходьбы от Princeton'a? До ближайшей автомобильной дороги тоже полчаса ходьбы моими зарослями (без них было бы двадцать минут). И заросли очень хороши. Воображаю, какое это будет раздолье, когда начнется настоящая весна, и все зазеленеет здешней совершенно непроницаемой, густой, колючей, вьющейся зеленью. Нет, положительно гораздо лучше всякого Klie и может конкурировать с лучшими местами на нашей Уче...

Несколько дней тому назад я сделал большую, четырехчасовую прогулку, и исследовал течение своей Stony Brook на протяжении более 15 километров. Это было часто сопряжено с трудностями и даже опасностями, так как приходилось не только пролезать через заросли безо всяких тропинок, но, что гораздо хуже, — через частные владения, обнесенные проволоками, на которых вместо колючек через каждые 10 шагов было прибито печатное объявление, гласящее, что всякий посторонний, входящий сюда, нарушает законы С.Ш.А., со всеми вытекающими из этого последствиями! Но последствий, слава Богу, не было никаких. Вообще же, как тебе уже неоднократно писалось, главное в Princeton'e — это солнце. Я сегодня проснулся от восхода солнца — вижу в окно землю, деревья, дома, залитые ярко-розовым светом, также облачка, близкие к горизонту, потом сразу безо всякого перехода — синее небо. Было действительно прекрасное зрелище, продолжавшееся, естественно, всего несколько минут. На Клязьме мы с тобою все дрыхнем, когда солнце восходит, а, наверное, бывает не хуже!..

(Из письма от 25 марта 1931 г.)

«City's Lights» A Romantic Comedy written and directed by Charles Chaplin

«Огни большого города» Романтическая комедия, написанная и поставленная Чарли Чаплиным

Вчера я видел в здешнем кинематографе. Естественно, нужна была чья-то инициатива, чтобы вообще меня затащить в кинематограф. Эта инициатива была проявлена Alexander'ом, и я не жалел о ней. Первый раз в жизни я, уходя из кинематографа, чувствовал прикосновение с большим, серьезным, человеческим и общечеловеческим искусством. И это впечатление господствует надо мною и весь сегодняшний день, что и в применение в театру является, по крайней мере для меня, одним из основных критериев значительности впечатления.

Основное в Чаплине — ему удалось создать новый художественный образ, правда, единственный, но положительно новый, которого раньше в человеческом искусстве просто не было (хотя в жизни, конечно, был — во времена царя Соломона, так же как и в наши времена). Пожалуйста, не пойми это как сравнение масштабов, как количественную оценку, но так же как Шекспир открыл Гамлета, а Гоголь — Акакия Акакиевича, так Чаплин открыл этот единственный играемый им образ смешного и трогательного неудачника, странника, неизвестно откуда приходящего и куда идущего, точный адэкват шубертовского «шарманщика» — «willst du zu meine Liedern deine Leier drehn?».

Художественное открытие Чаплина, конечно, не в этом вековечном содержании, а в том удивительном, трогательном и чистом, свободном от всякой риторики, целомудренном воплощении, которое он для него нашел. И вот тут я понял просто материальное превосходство в известном отношении кинематографа над театром — это создание искусства ведь останется практически, надо надеяться, «на вечные времена». Между прочим, произведение в лучшем смысле слова современное: вся эта стыдливость, боязнь всякой фразы и многое другое воспринимаются как нечто, невозможное ни в XIX, ни в XVIII веке. Не знаю, можно ли понять, что я этим хочу сказать; скажу только, что романтика современная (а Чаплин является именно ее представителем), если угодно, более романтична, чем бывшая 100 лет тому назад (везде, за исключением, впрочем, музыки) — более романтична в смысле знания, что ничего-то словами нельзя сказать!

Сюжет во всем этом представлении, конечно, достаточно безразличен, и его, если угодно, некоторая подчеркнутая механичность — та стандартность, которая существовала в «органические периоды театра» — например

в итальянской commedia del arte — только усугубляет содержание основных образов, точнее — основного образа. Но выражение глаз в конце пьесы, жест, с которым он подымал при прощании свой неизменно потрепанный котелок, поцелуй руки, — действительно, нельзя забыть. То, что все это происходит на экране — просто необходимо, — в настоящем театре вся красота бы пропала, все сделалось бы грубым, ото всего осталась бы одна оболочка.

Между прочим, часто я сомневаюсь в этом пресловутом единстве действительности (вопрос, которого мы много раз касались в письмах), и платоновская концепция дуалистического мира часто искушает меня...

НАУМ ИЛЬИЧ АХИЕЗЕР (к семидесятилетию со дня рождения)

6 марта 1971 г. исполнилось 70 лет крупному советскому математику Науму Ильичу Ахиезеру.

Первые работы Наума Ильича в киевский период его жизни (1922-1933) были посвящены теории функций комплексного переменного с применением к аэродинамике. Интерес к вопросам аэродинамики Н. И. Ахиезер сохраняет и в более поздние годы, публикуя работы по теории струй, теории решеток и т. д.

Но уже в 1927 г. Н. И. Ахиезер обратился к той области математики, работы в которой принесли ему наибольшую известность, — теории аппроксимаций. В этой области Н. И. Ахиезер решает ряд труднейших задач чисто алгебраического характера, являясь в этом отношении непосредственным преемником Чебышева, Маркова и Золотарёва, глубоко входит в проблематику асимптотического характера, выдвинутую на первый план С. Н. Бернштейном, с которым у Н. И. Ахиезера устанавливается на долгие годы тесное сотрудничество, и, наконец, вместе с М. Г. Крейном принимает самое активное участие в формировании направления в теории аппроксимаций методами функционального анализа.

С самого начала для работ Н. И. Ахиезера по теории аппроксимаций типично искусное владение методами теории функций комплексного переменного при решении чисто действительных экстремальных задач. Перечислим здесь лишь некоторые из результатов, полученных Н. И. Ахиезером на этом пути:

В 1930 г. им решена задача о полиноме с тремя фиксированными коэффициентами, наименее уклоняющемся от нуля на данном интервале, и задача о наилучшем приближении полиномами некоторых функций на двух интервалах.

В 1947 г. решены аналогичные задачи для целых функций экспоненциального типа.

В 1952 г. решена задача о наименее уклоняющихся от нуля целых функциях экспоненциального типа с четырьмя фиксированными коэффициентами.

В 1965 г. Наум Ильич обобщил этот результат на случай, когда коэффициенты удовлетворяют п линейным связям.

Успехи математических наук. — 1971. — Т. 26, вып. 6. — С. 257-261 (совм. с Ю. М. Березанским, М. Г. Крейном, Б. Я. Левиным, Б. М. Левитаном, В. А. Марченко; в разделе «Математическая жизнь в СССР»).

В 1946 г. доказан аналог неравенства С. Н. Бернштейна для производных от неограниченных на вещественный оси функций экспоненциального типа.

В 1960 г. совместно с Б. Я. Левиным неравенство С. Н. Бернштейна распространено на некоторые классы многозначных функций.

Наконец, совсем недавно этот же подход Наум Ильич применил для изучения ортогональных полиномов на множестве, которое получается выбрасыванием из вещественной оси конечного числа интервалов.

Каждая из этих работ требовала привлечения все новых методов теории функций комплексного переменного. В частности, в цикле недавних работ потребовалось при изучении свойств ортогональных полиномов на системе интервалов выйти с вещественной оси не только в комплексную плоскость, но и на специальные римановы поверхности.

Идеи функционального анализа не только нашли полезные применения в теории аппроксимаций, но и привели к существенному обновлению самой проблематики теории аппроксимаций. Вместе с М. Г. Крейном (и параллельно с Фаваром) Н. И. Ахиезер дает первое точное решение задачи теории наилучших приближений нового типа, находя максимум En(f) для тригонометрического полинома порядка п по классу всех периодических функций, удовлетворяющих условию sup |/(п)(ж)| ^ М. Новые концепции проходят красной нитью в широко известной монографии «Лекции по теории аппроксимаций», которая содержит ряд глубоких результатов самого Н. И. Ахиезера и за которую Н. И. Ахиезеру в 1949 г. была присуждена премия П. Л. Чебышева.

Теория моментов и спектральный анализ интересуют Наума Ильича не только как аппарат теории аппроксимаций, но и как самостоятельные главы функционального анализа, которые Н. И. Ахиезер обогащает многими замечательными результатами. Он публикует совместно с М. Г. Крейном монографию «О некоторых вопросах теории моментов», а совместно с И. М. Глазманом получившую широкое распространение монографию по спектральной теории операторов.

В 1933 г. Н. И. Ахиезер переезжает в Харьков для работы в основанном С. Н. Бершнтейном Институте математики и механики Харьковского университета. После переезда С. Н. Бернштейна в Ленинград в 1935 г. Н. И. Ахиезер становится директором этого института. Здесь особенно проявляется его талант организатора, содействуя дальнейшему подъему всей работы института, налаживая, в частности, его связи с другими институтами в СССР и за границей.

С этого времени деятельность Н. И. Ахиезера неразрывно связана с городом Харьковом. Он был депутатом Горсовета, много лет президентом Харьковского математического общества и редактором журнала общества — одного из старейших в нашей стране.

Математический талант и личное обаяние Наума Ильича естественным образом сделали его центром математической жизни города. Благодаря исключительной энергии ему удалось сконцентрировать в Харькове значительные математические силы. Наум Ильич оказал определяющее влияние на развитие харьковской школы аналитиков. Особенности личности Наума Ильича отразились и в его монографиях, являющихся образцовыми произведениями математической литературы, соединяющими широту и ясность общего замысла с виртуозностью выполнения деталей. На этих монографиях воспитывались многие математики, и поэтому они вполне обоснованно считают Наума Ильича своим учителем. Монографии Наума Ильича изданы во многих странах мира, они постоянно используются, цитируются и, несомненно, способствуют популяризации советской математики за рубежом.

Большой педагогический талант Наума Ильича пожалуй ярче всего проявился в его лекциях.

«Лекции Наума Ильича для меня праздник» — эту фразу неоднократно доводилось слышать от его студентов.

Преподавать Наум Ильич начал в Лименьской школе-коммуне, основанной М. Н. Лепешинским. Он с большим увлечением занимался преподаванием в этой школе и поныне любит вспоминать об этой своей деятельности.

Последние 10 лет Наум Ильич с не меньшим увлечением принимает участие в работе средней математической школы № 27 города Харькова. Он был одним из инициаторов ее создания, разрабатывает для нее программы, заботится о постановке преподавания и сам преподает в ней.

Перу Наума Ильича принадлежит более 100 статей и 8 монографий. Научные достижения Наума Ильича хорошо известны и уже освещались в статьях, посвященных знаменательным датам его жизни. Мы остановимся вкратце только на основных работах последнего десятилетия. За это время Наум Ильич переработал и дополнил свои монографии по теории аппроксимации, теории операторов (совместно с И. М. Глазманом) и эллиптическим функциям.

В 1961 г. вышла в свет новая монография Наума Ильича «Классическая проблема моментов».

В этот же период Наум Ильич вел научную работу по нескольким различным направлениям. В проблеме моментов его занимали континуальные аналоги классических теорем. Здесь ему принадлежит развитие известной работы М. Каца о детерминантах Фредгольма уравнения Винера-Хопфа с эрмитово-положительным ядром. Результаты Наума Ильича по-новому освещают весь круг вопросов. В другом большом цикле работ Наум Ильич

последовательно изучает ортогональные полиномы с весом на системе дуг окружности и системе интервалов вещественной оси.

Метод, разработанный в этих работах, Наум Ильич применил также к обратным задачам спектрального анализа. Ему удалось явным образом восстановить операторы Штурма-Лиувилля по спектральным функциям специального вида в случае, когда спектр имеет один или несколько люков. Те же идеи были использованы Наумом Ильичем для оригинального обобщения преобразования Фурье.

Творческая деятельность Наума Ильича непрерывно продолжается. Мы желаем Науму Ильичу от всей души доброго здоровья и творческих радостей в его многогранной работе, получившей международное признание.

К ШЕСТИДЕСЯТИЛЕТИЮ СЕРГЕЯ НАТАНОВИЧА БЕРНШТЕЙНА

В марте этого года исполнилось шестьдесят лет со дня рождения одного из крупнейших советских ученых, академика Сергея Натановича Бернштейна.

Творчество Сергея Натановича можно рассматривать как продукт счастливого соединения широко воспринятого воздействия французской школы (Пикар, Адамар, Валле-Пуссен) с традициями знаменитых русских математиков — Чебышева, Маркова, Ляпунова. В основе его творчества лежит непоколебимое убеждение в том, что математический метод призван пронизать насквозь современное естествознание. «В наши дни все математики и физики согласны, что область применимости математики не имеет пределов, отличных от пределов самого знания» такими словами начинается изложение первой, юношеской, работы Сергея Натановича (1903 г.), в которой дано решение одной из знаменитых «математических проблем», выдвинутых Д. Гильбертом на Парижском математическом конгрессе 1900 г., именно — доказательство аналитичности всех интегралов дифференциальных уравнений в частных производных эллиптического типа. Уже в этой работе заметны характерные собственные концепции Сергея Натановича в отношении основных задач, стоящих перед анализом и теорией функций.

В теснейшем соответствии с детерминистическим принципом, руководящим нами при изучении явлений природы, стоит аналитическая функция; можно даже сказать, что она оказывается подлинным математическим выражением этого принципа. Поэтому понятие аналитической функции становится главнейшим объектом математического естествознания: интерес сосредоточивается на том, как отграничить функции, способные быть однозначно «продолжаемыми», от тех, которые этим свойством не обладают. Лишь первые действительно полезны; но исследователь должен изучить те и другие, чтобы исчерпать все их взаимоотношения. В классическую, хотя и неустойчивую, идею аналитической функции, естественно выступающую теперь на первый план, вносятся новые нюансы и коррективы: с помощью новых критериев аналитичности устанавливается возможность элиминировать, как несущественный атрибут, комплексную плоскость независимой переменной; вводятся новые «квази-аналитические» классы функций; рассматриваются такие типы дифференциальных уравнений, интегралы которых могут быть продолжаемы лишь однозначно. Об-

Известия АН СССР. Сер. математическая. - 1940. - Т. 4. - С. 249-260 (совм. с В. Л. Гончаровым).

щее понятие функции строится на широкой базе равномерного предельного перехода от простейших аналитических функций — рациональных полиномов. Теорема Вейерштрасса точно характеризует класс функций, которые могут быть получены подобным способом в действительной области: это — функции непрерывные.

Далее возникает единая классификационная схема, в основу которой положена быстрота сходимости последовательности приближающих полиномов, причем, как оказывается, возникающая классификация тесно связана с дифференциальными свойствами или аналитической природой изображаемой функции. Среди последовательностей полиномов, сходящихся к данной функции, существенно выбрать ту, которая сходится быстрее всех других: отсюда — естественный переход к «экстремальным» проблемам наилучшего приближения. Вслед за целыми рациональными функциями в качестве конструктивного элемента и объекта исследования вступают также и простейшие трансцендентные — целые функции конечных порядков. Вместе с тем, наряду с равномерной сходимостью, в общий круговорот идей вовлекаются и иные типы сходимости, какова, например, сходимость в среднем (квадратическая); отсюда — переход к «ортогональным полиномам» Чебышева и рядам, по ним расположенным.

Если в первые годы научной деятельности детерминистический принцип служит для Сергея Натановича путеводной нитью, то с тем большим вниманием он обращается позднее к учению о недетерминированных явлениях — теории вероятностей, причем впервые осуществляет попытку солидного аксиоматического обоснования этой теории. Здесь, как и в других случаях, Сергей Натанович остается противником праздной игры ума и, обращаясь к статистическим и биологическим приложениям, ищет выводов, которые свидетельствовали бы в пользу детерминистического тезиса: так возникают его капитальные работы, относящиеся к закону больших чисел и другим предельным предложениям теории вероятностей.

Необходимо отметить, что основные линии, по которым движется мысль Сергея Натановича — теория функций, дифференциальные уравнения эллиптического типа, теория вероятностей, — не только связаны между собою органически, но и развиваются в тесном взаимном проникновении: достаточно напомнить хотя бы о «многочленах Бернштейна» и о доказательстве теоремы Вейерштрасса, связанном с теорией вероятностей. Нельзя также не упомянуть об одной черте, характерной для всего творчества Сергея Натановича: это — предпочтение, отдаваемое конкретно поставленным проблемам высокой степени трудности перед близко лежащими и естественно возникающими обобщениями. Преодолевая препятствия, встречающиеся на избранном им пути наибольшего сопротивления, Сергей Натанович

иной раз намного опережает своих современников и захватывает в своих исследованиях обширные области, планомерное освоение которых принадлежит будущему.

В дальнейшем мы остановимся на важнейших внешних этапах научной и общественной деятельности Сергея Натановича.

По окончании средней школы в 1898 г., в возрасте восемнадцати лет, Сергей Натанович уехал за границу, в Париж, уже успев установить свое призвание к научной работе в области математики. В 1903 г. он закончил свою первую блестящую работу, которую в следующем году защитил в качестве диссертации на степень docteur-ès-sciences и тогда же опубликовал в Mathematische Annalen; в ней разрешена в положительном смысле уже упоминавшаяся 19-я проблема Гильберта — «являются ли аналитическими решения регулярных задач1 вариационного исчисления?». Как указывает Сергей Натанович в предисловии к этой работе, при выполнении ее он был «вдохновляем в равной степени Пикаром и Гильбертом: первым — в отношении средств, вторым — в отношении цели».

После непродолжительного пребывания в Гёттингене Сергей Натанович возвратился в Россию, в 1906 г. закончил сдачу магистерских экзаменов в Петербурге и затем (в 1908 г.) переехал в Харьков, приняв приват-доцентуру в Харьковском университете. Последовали защиты двух диссертаций: в 1908 г. магистерской, в 1913 г. — докторской. Первая из них, посвященная уравнениям эллиптического типа, помимо ранее полученных результатов, содержала решение 20-й проблемы Гильберта, касающейся вопроса о существовании интеграла эллиптического уравнения при заданных граничных значениях на контуре области, т. е. обобщенной проблемы Дирихле. Вторая диссертация на тему «О наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов данной степени» объединила различные результаты первостепенной важности, полученные Сергеем Натановичем на протяжении нескольких предшествующих лет; сюда относятся исследования о порядке наилучшего приближения, которые незадолго до того заслужили премию Бельгийской академии наук и затем были изложены Сергеем Натановичем на Международном конгрессе в Кембридже (1912 г.). В частности, укажем на ряд основных предложений, устанавливающих зависимость между порядком наилучшего приближения Enf(x) и дифференциальной природой функции2 (существование и непрерывность последовательных производных, условия Липшица различных порядков),

1 Под регулярной задачей вариационного исчисления понимается нахождение минимума интеграла J/ g, г, я, у) dx dy, где F — аналитическая функция, р = |^, q = щ и FppFqq — (Fpq)2 > 0. Уравнение Лагранжа в случае регулярной задачи — эллиптического типа.

2 Эти результаты примерно в те же годы были дополнены Е. Джэксоном.

или же — в случае аналитической функции — расположением и свойствами ее особенных точек. Кроме того, отметим очень тонкую оценку наилучшего приближения3 \х\ и важный результат, касающийся полноты системы степеней х на конечном промежутке (обобщение теоремы Вейерштрасса) .

До революции Сергей Натанович был лишен возможности широко развернуть свою учебно-педагогическую деятельность (лишь в 1917 г. он был избран профессором в Харьковском университете); но научные заслуги его не могли не получить всеобщего признания, и в предвоенные годы его имя было уже широко известно и внушало исключительное уважение как в ученых кругах, так и среди студенчества.

Накануне войны 1914 г. в Mathematische Annalen появляется замечательный мемуар Сергея Натановича «Sur la définition et les propriétés des fonctions analytiques d'une variable réelle», в котором изложена его концепция аналитической функции и, между прочим, впервые вводятся квазианалитические классы в действительной области. В годы войны и в последовавший за ними революционный период интересы Сергея Натановича направляются преимущественно в сторону теории вероятностей. Его работы этого периода представляют собой блестящее завершение исследований Чебышева, Маркова и Ляпунова по предельным теоремам для сумм случайных величин. Доказательство основной предельной теоремы для случая независимых величин получает такую общность, что наложенные при этом ограничения оказываются по существу теми самыми, которые впоследствии были установлены (В. Феллером) в качестве не только необходимых, но и достаточных. Впервые дается строгое доказательство двумерной предельной теоремы, что позволяет обосновать применимость к ряду вопросов естествознания теории нормальной корреляции; сам Сергей Натанович, исходя отсюда, установил важный и неожиданный для биологов факт, что законы наследования количественных признаков Гальтона не противоречат гипотезе Менделя, а, наоборот, вытекают из нее при естественных предположениях. Устанавливаются также крайне широкие условия, при которых предельная теорема сохраняется для рядов зависимых величин. К этим фундаментальным результатам Сергей Натанович присоединяет остроумные и тонкие решения множества более частных проблем теории вероятностей и математической статистики.

В 1923 г., по приглашению Парижского университета, Сергей Натанович прочел курс лекций в Сорбонне, посвященный экстремальным свойствам и наилучшему приближению аналитических функций. Этот курс был опубликован в 1926 г. в виде монографии в коллекции Бореля и за-

3 См. также относящиеся к обобщению этого вопроса недавние работы 1938 г.

служил премию Парижской Академии наук4; новым существенным вкладом, в нем содержащимся, является исследование приближения функций действительного переменного на бесконечном промежутке и исследование наилучшего приближения аналитических функций, имеющих существенную особенность.

Среди научных работ Сергея Натановича, написанных им в последующие годы, нужно указать на выдающийся по новизне идей мемуар об абсолютно-монотонных функциях (Acta Mathematica, 1928), ряд статей и доклад на Болонском конгрессе 1928 г. о регулярно-монотонных функциях и цикл лекций по ортогональным полиномам, прочитанных в 1929 г. в Институте Пуанкаре в Париже и в Политехнической школе в Цюрихе (воспроизведен в Journal de Mathématiques).

Усиленная научная деятельность Сергея Натановича не помешала ему одновременно принимать энергичное участие во всех делах, касающихся высшей школы на Украине и, в частности, Харьковского университета. В 1928 г. он становится во главе вновь организованного (в значительной степени по его инициативе) Украинского института математики и закладывает основу для развития этого исследовательского центра. В 1929 г. происходит избрание Сергея Натановича действительным членом Академии Наук СССР. В 1930 г., в качестве председателя организационного комитета, он проводит энергичную работу по созыву 1-го Всесоюзного съезда математиков, на котором выступает с обзорным докладом о современном состоянии и проблемах теории приближения функций. С 1933 г. Сергей Натанович живет в Ленинграде и принимает активное участие в работе Академии Наук. Педагогическая деятельность его протекает в Ленинградском государственном университете и в Ленинградском индустриальном институте.

В последнее десятилетие Сергей Натанович направляет свое внимание главным образом в сторону изучения различных вопросов интерполяции и механических квадратур; следует упомянуть, например, об окончательном выяснении пределов применимости так называемой квадратурной формулы Чебышева. С другой стороны, возвратившись к теории вероятностей, Сергей Натанович не только пополняет свои прежние исследования, но и публикует фундаментальные работы по новому методу «стохастических дифференциальных уравнений», который позволяет получать совершенно новые типы предельных теорем.

Источник математического творчества Сергея Натановича неиссякаем, и мы верим, что еще долгие годы его неутомимая мысль будет приносить зрелые плоды.

4 В 1928 г. Сергей Натанович был избран членом-корреспондентом Парижской Академии наук.

О РАБОТАХ С. Н. БЕРНШТЕЙНА ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ (к восьмидесятилетию со дня рождения)

6 марта этого года исполнилось 80 лет со дня рождения Сергея Натановича Бернштейна, одного из крупнейших математиков нашего времени.

1. К проблемам теории вероятностей Сергей Натанович впервые обратился в 1911-12 году. В этих первых работах по теории вероятностей преобладают интересы чистого аналитика. Замечательные по точности оценки, данные в работе [1], были самим Сергеем Натановичем усовершенствованы в 1943 г. [44] и позднее далее уточнялись Феллером. В работе [3] дается применение вероятностных методов к доказательству теоремы Вейерштрасса, относящейся к чистому анализу, вошедшее во многие учебники.

2. Несколько позднее внимание Сергея Натановича привлекло то обстоятельство, что логические основы теории вероятностей в то время оставались еще недостаточно выясненными. В статье [4] «Опыт аксиоматического обоснования теории вероятностей», опубликованной в 1917 г., высказано требование, что теория вероятностей, подобно геометрии, должна получить аксиоматическое обоснование, а объекты ее исследования должны получить строгое математическое определение.

Таким основным объектом в аксиоматике С. Н. Бернштейна является случайное событие, вероятность же является производным понятием. В первую очередь строится система абстрактных объектов (случайных событий) и определяются соотношения равнозначности, включения и алгебраические действия над событиями (объединение и совмещение), при этом достоверное и невозможное события получают следующее внутреннее определение.

Событие fî, входящее в рассматриваемую систему событий, называется достоверным, если его объединение с любым событием А рассматриваемой системы равнозначно событию Q.

Событие О называется невозможным, если его объединение с любым событием А системы равнозначна событию А. При этом предполагается еще, что достоверное событие не может быть равнозначно невозможному событию.

Простейшей системой событий является система, состоящая из конечного числа несовместимых событий Ai (i = 1,2, ...,n; п = 1,2,...), объединение которых есть достоверное событие, достоверного и невозможного

Теория вероятностей и ее применения. — 1960. — Т. 5, вып. 2. — С. 215-219 (совм. с О. В. Сармановым).

событий. По соображениям, лежащим вне теории вероятностей (симметрия), в ряде случаев события А{ можно считать равновероятными, т. е. сопоставить им одинаковые положительные числа.

Если теперь В есть объединение m таких событий то вероятность В есть монотонно возрастающая функция f(m/n) дроби т/п не обязательно аддитивная. Соглашение о том, что /(m/n) = m/n, является совершенно произвольным и продиктовано лишь соображениями простоты, с таким же успехом в качестве вероятности В можно было бы рассмотреть функцию m/(n — m) или lg(m/n) и т. д.

Более сложные системы событий, приводящие к иррациональным вероятностям, определяются конструктивно и связаны с предельным переходом при п — оо.

В последних изданиях курса теории вероятностей (см. работы [31] и [48]) имеется краткое изложение указанной аксиоматики.

Мы видим, что в этой аксиоматике исходным допущением является возможность сравнивать события по их большей, равной, или меньшей вероятности, числовая же мера вероятности является производной. Такой подход к делу в новейшее время разрабатывался американским математиком Купманом.

3. Начиная с 1921 г. появляется ряд работ Сергея Натановича, посвященных различным специальным вопросам применений теории вероятностей [6], [8], [9], [11], [12], [14], [25], [29], [32], а в 1927 г. выходит первым изданием фундаментальный курс «Теория вероятностей», который с большими дополнениями переиздается в 1934 и в 1946 гг. На математических съездах в Москве (1927) и Цюрихе (1932) Сергей Натанович выступает с большими обзорными докладами о проблемах теории вероятностей. Мы будем говорить еще далее об основных теоретических результатах, полученных Сергеем Натановичем в этот период, а сейчас подчеркнем, что для этого времени столь широкая постановка работ по всем основным теоретическим и прикладным вопросам теории вероятностей была еще делом совершенно новым. В некоторой мере с ней может сравниться лишь деятельность Мизеса и его сотрудников в Берлине, развивавшаяся в те годы. Естественно, что теоретические и прикладные работы Сергея Натановича и его курс теории вероятностей в значительной мере определили все развитие исследований по теории вероятностей в СССР.

4. Целый ряд работ Сергея Натановича связан с уточнением неравенства Чебышева ([5], [10], [34]) и вычислением погрешности формулы Лапласа ([1], [10], [44]), а также посвящен центральной предельной теореме теории вероятностей в условиях, обобщающих условия Ляпунова.

Причем в работе [7] 1922 г. центральная предельная теорема доказана при столь общих условиях, что ее частный случай, предполагающий

существование вторых моментов, эквивалентен теореме Линдеберга, опубликованной в том же году1. Таким образом известная работа Феллера 1936 г.2 показывает необходимость условий теоремы Бернштейна (для величин, имеющих вторые моменты, предельно пренебрегаемых и имеющих нуль своей медианой).

Изложение указанных вопросов на русском языке можно найти в 4-м издании курса теории вероятностей (работа [48], добавл. 1).

В этой же книге помещено первое доказательство двумерной предельной теоремы, лежащей в основе широкого применения нормальной корреляции.

5. В работе [17] (русский перевод [45]) исследованы условия применимости центральной предельной теоремы к слабо зависимым случайным величинам и цепям Маркова.

Общая теория слабо зависимых величин, разработанная Сергеем Натановичем, позволила ему распространить центральную предельную теорему на серии случайных величин, связанных в сингулярную цепь Маркова с вероятностями перехода, неограниченно убывающими по мере роста п — числа случайных величин, входящих в рассматриваемую серию. При этом была исследована допустимая скорость убывания, в частности было показано, что предельная теорема может перестать быть приложимой, если вероятности перехода убывают, как п~1у/3.

Эти фундаментальные и весьма тонкие результаты ныне стали классическими и послужили отправным пунктом целого ряда работ других математиков.

Позже, в работах [39] и [41], Сергей Натанович, развивая общую теорию почти независимых величин, впервые рассмотрел последовательность зависимых величин, частные суммы которых образуют дискретный мартингал3, и доказал применимость центральной предельной теоремы к таким величинам.

6. Другой цикл работ Сергея Натановича ([25], [30], [35]) посвящен обоснованию методом уравнений в конечных разностях теории непрерывных стохастических процессов. В работах этого цикла проводится конструктивное построение случайной величины, полу чающей независимые приращения за малые промежутки времени и такой, что в пределе, когда длины промежутков убывают, а число их стремится к бесконечности, у нее существует предельный закон распределения Р(у,£), который удовлетворяет

1 J. W. Lindeberg, Mathem. Zeitschr., Bd. 15, 1922.

2 W. Feller, Mathem. Zeitschr., Bd. 40, 1936.

3 См. Дж. Дуб, Вероятностные процессы, ИЛ, 1950 г., стр. 88.

известному уравнению Фоккера-Планка

(I)

Наиболее полное изложение этих работ помещено в добавлении 6 4-го издания курса теории вероятностей (работа [48]), где отмечено, в частности, что предложенный метод доказательства существования предельного распределения содержит эффективный способ последовательных приближений для нахождения решения уравнения параболического типа (I) при B(y>t) ^ 0 заданном начальном распределении вероятностей Р(у,0).

Другой важной особенностью метода Сергея Натановича является нахождение достаточных условий, накладываемых на коэффициенты уравнения (I) и гарантирующих существование решения, имеющего вероятностный смысл.

Наибольший интерес представляет ограничение

(А)

(О < t < Т, С не зависит от у), обеспечивающее соблюдение так называемого принципа конечности. В этой же книге приведен пример, показывающий, что когда условие (А) нарушено, принцип конечности тоже может быть нарушен.

В более новой терминологии здесь дело идет об условиях, когда у = — оо и у = +00 являются «недостижимыми границами».

Сам Сергей Натанович в описанных работах не связывал с уравнением (I) представления о предельном случайном процессе с непрерывным временем. Параллельно с его исследованиями происходила, как хорошо известно, разработка прямой теории таких процессов. С точки зрения этой теории работы Сергея Натановича интерпретируются как посвященные предельным теоремам о переходе процессов с дискретным временем в процессы с непрерывным временем, и следует отметить, что проблематика такого рода занимает все больше места в современной вероятностной литературе в СССР и за границей.

7. В статье [42] критикуется теория «доверительных вероятностей» Фишера. Здесь Сергей Натанович предостерегает от неправильного толкования уровня значимости 1 — а как апостериорной вероятности покрытия доверительным интервалом неизвестного истинного значения параметра. На остроумном примере показывается, что иногда кажущееся естественным такое толкование числа 1 — а приводит к грубо ошибочным результатам. Эта критика не затрагивает, впрочем, принятого в современных учебниках

математической статистики понимания смысла и практических способов употребления «доверительных интервалов»4.

8. Следует заметить, что ряд небольших по объему статей Сергея Натановича, на которых мы совсем не остановились в этом кратком обзоре, послужили основой целого ряда исследований других математиков. Примером может служить статья [43], содержащая доказательство следующей теоремы: «Пусть х и у будут две независимые случайные величины, имеющие равные дисперсии. Для того чтобы величины х + у и х — у также были между собой независимы, необходимо и достаточно, чтобы каждая из величин х, у подчинялась закону Гаусса». Эта статья (объемом менее двух страниц) послужила основой целой серии работ разных авторов о независимых линейных формах, построенных на случайных слагаемых.

9. В целом, работы Сергея Натановича Бернштейна завершают классическое направление русской школы теории вероятностей, созданной П. Л. Чебышевым, А. М. Ляпуновым и А. А. Марковым, и прокладывают новые пути в развитии этой важной отрасли математики.

4 Для большей отчетливости рассмотрим пример построения доверительного интервала для неизвестной средней а по малой выборке объема п из нормальной совокупности с известной дисперсией а2.

Зададимся «уровнем значимости» а и найдем иа из условия 2Ф(|ха) = 1 — а (где

®(и) = 1о е~Ь ^2^)' тогда априорная вероятность эмпирической средней х попасть в интервал

(1)

равна 1 — а, каково бы ни было неизвестное среднее а. Переписав (1) в другом виде (эквивалентном исходному)

(2)

будем границы неравенства (2) называть границами доверительного интервала, а число 1 — а доверительной вероятностью, соответствующей этому интервалу. Введя новые термины, мы не изменили существа дела и поэтому не совершили никакой ошибки.

Неправильно апостериорное истолкование числа 1 — а как вероятности покрытия интервалом (x—uQa/y/nyx+uaa/y/n) неизвестной средней а, после того, как наблюдения произведены, х стало известно и границы неравенства (2) перестали быть случайными.

С помощью теоремы Байеса можно доказать (и это проделано в разбираемой статье), что 1—а есть математическое ожидание апостериорной вероятности неравенства (2), т. е. некая средняя вероятность такого неравенства при различных х\ что замена величины ее средним значением может при малом числе наблюдений привести к грубым ошибкам и лишь в предположении, что п достаточно велико, по закону больших чисел отклонение апостериорных вероятностей от своего математического ожидания будет невелико.

Таким образом, как и следовало ожидать, при оценке неизвестной средней а по одному или по малому числу наблюдений исключить указываемую теоремой Байеса роль «априорной» информации о значении а, вообще говоря, нельзя.

Развитие теоретико-вероятностных идей Сергея Натановича можно найти в работах его ленинградских учеников (Г. А. Амбарцумян, В. П. Савкевич, О. В. Сарманов, Н. А. Сапогов), а также в работах А. Н. Колмогорова, Ю. В. Линника, Ю. В. Прохорова, Б. В. Гнеденко, В. П. Скитовича, Р. Л. Добрушина, А. В. Скорохода, И. И. Гихмана, В. В. Петрова и др.

СПИСОК РАБОТ С. Н. БЕРНШТЕЙНА

ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ5

[1] [32] Sur le calcul approché des probabilités par la formule de Laplace, Сообщ. Харьк. матем. об-ва, серия 2, 1911, т. 12, стр. 106-110.

[3] [42] Démonstration du théorème de Weierstrass fondée sur le calcul des probabilités, Сообщ. Харьк. матем. об-ва, серия 2, 1911, т. 13, стр. 1-2.

[4] [83] Опыт аксиоматического обоснования теории вероятностей, Сообщ. Харьк. матем. об-ва, серия 2, 1917, т. 15, стр. 209-274.

[5] [84] О законе больших чисел, Сообщ. Харьк. матем. об-ва, серия 2,1918, т. 16, стр. 82-87.

[6] [86] О взаимоотношении между балловой оценкой и фактическим весом урожая по Харьковской губернии за 1913-1918 гг., Статистический бюл. ЦСУ Украины, 1921, №4, стр. 2-5.

[7] [88] Sur le théorème limite du calcul des probabilités, Math. Ann., 1922, Bd. 85, стр. 237-241.

[8] [95] Démonstration mathématique de la loi d'hérédité de Mendel. Comptes rendus, Paris, 1922, t. 177, стр. 528-531.

[9] [96] Principe de stationarité et généralisations de la loi de Mendel, Comptes rendus, Paris, 1923, t. 177, стр. 581-584.

[10] [98] Об одном видоизменении неравенства Чебышева и о погрешности формулы Лапласа, Уч. зап. н.-и. кафедр Украины, Отд. матем., 1924, вып. 1, стр. 38-49.

[11] [99] Решение одной математической проблемы, связанной с теорией наследственности, Уч. зап. н.-и. кафедр Украины, Отд. матем., 1924, вып. 1. стр. 83-115.

[12] [103] Введение к кн.: Теоретические основания выборочного метода. Выдержки из 4-го англ. изд., Elements of statistics, A. Bowley, под ред. C.H. Бернштейна (ЦСУ УССР), Харьков, 1924, стр. 5-9.

[14] [104а] Об экономическом барометре Конъюнктурного института, Хозяйство Украины, апрель, 1925, № 4, стр. 12-22.

[17] [111] Sur l'extension du théorème limite du calcul des probabilités aux somme de quantités dépendantes, Math. Ann., 1926, Bd. 97, стр. 1-59.

5 Во вторых скобках указан номер работы в «Списке трудов академика С. Н. Бернштейна», помещенном в конце I тома Собрания сочинений, Изд. АН СССР, 1952 г.

[25] [163] Sur l'équation différentielle de Fokker-Planck, Comptes rendus, Paris, 1933, t. 196, стр. 1062-1064.

[29] [167] О рассеянии с поглощением, Докл. АН СССР, 1934, т. I, стр. 230-234.

[30] [169] Propriétés de la théorie des équations différentielles stochastiques, I-re partie, Труды Физ.-мат. ин-та им. Стеклова, Отд. матем., 1934, т. 5, стр. 96-124.

[31] [171] Теория вероятностей, Изд. 2 и 3-е доп., М.-Л., 412 стр.

[32] [175] О математическом ожидании простоя рабочих единиц при сложном производственном процессе, Уголь, № 117, Харьков, 1935, стр. 109-111.

[34] [184] О некоторых видоизменениях неравенства Чебышева, Докл. АН СССР, т. 17, стр. 275-277.

[35] [203] Équations différentielles stochastiques, Paris, Hermann, 1938, 31 p. Act. Sei. ind., стр. 738.

[39] [211] Новые приложения почти независимых величин, Изв. АН СССР, серия матем., 1940, т. 4, стр. 137-150.

[41] [215] О суммах зависимых величин, имеющих взаимно почти нулевую регрессию, Докл. АН СССР, 1941, т. 32, стр. 303-307.

[42] [216] О «доверительных» вероятностях Фишера, Изв. АН СССР, серия матем., 1941, т. 5, стр. 85-94.

[43] [217] Об одном свойстве, характеризующем закон Гаусса, Труды Ленингр. политехи, ин-та, 1941, №3, стр. 21-22.

[44] [223] Возврат к вопросу о точности предельной формулы Лапласа, Изв. АН СССР, сер. матем., 1943, т. 7, стр. 3-16.

[45] [227] Распространение предельной теоремы теории вероятностей на суммы зависимых величин, Успехи матем. наук, 1944, т. X, стр. 66-114. (Перевод статьи № 17).

[48] [242] Теория вероятностей, изд. 4-е доп., М.-Л., 1946, 556 стр.

ИЗРАИЛЬ МОИСЕЕВИЧ ГЕЛЬФАНД (к пятидесятилетию со дня рождения)

20 августа 1963 г. исполнилось 50 лет со дня рождения Израиля Моисеевича Гельфанда, члена-корреспондента АН СССР, профессора МГУ, имя которого пользуется большой популярностью у нас и за рубежом.

Израиль Моисеевич родился 20 августа (7 августа) 1913 г. в м. Красные Окны Одесской области. В 1930 г., имея неполное среднее образование, Израиль Моисеевич приехал в Москву, где работал первое время на случайных местах (например, контролером у входа Ленинской библиотеки). В это же время он начал преподавание математики, сначала элементарной, а затем и высшей, на различных курсах и в вечерних институтах. Он начал посещать лекции и семинары по математике в МГУ; как он сам говорил, первой математической школой в его жизни был семинар М. А. Лаврентьева по теории функций комплексного переменного. В 1932 г. Израиль Моисеевич был принят в аспирантуру; его научным руководителем стал А. Н. Колмогоров, направивший Израиля Моисеевича на занятия функциональным анализом, которым в ту пору в Москве интересовался еще очень небольшой круг математиков. Большое значение в определении тем первых научных работ Израиля Моисеевича имели также беседы с Л. А. Люстерником и А. И. Плеснером.

Уже в самых первых работах Израиль Моисеевич получает результаты, вошедшие в «золотой фонд» функционального анализа. Так, в работе [2] доказана теорема: в полном нормированном пространстве всякое выпуклое замкнутое центрально симметричное множество, содержащее отрезок на каждом луче, исходящем из начала, содержит целый шар. В настоящее время аналогичное свойство является определением важного класса линейных топологических пространств («бочечных»).

Кандидатская диссертация Израиля Моисеевича «Абстрактные функции и линейные операторы» (1935 г.) содержит ряд теорем об общем виде линейных операторов в нормированных пространствах. Но, пожалуй, большее значение, чем сами эти теоремы, имел метод, разработанный Израилем Моисеевичем для их доказательства. Именно, применяя к функции x(t) со значениями в нормированном пространстве Е любой линейный функционал /, мы получаем обычную функцию, которую можно изучать средствами классического анализа; а поскольку в силу теоремы Хана-Банаха линейных функционалов в Е достаточно много, это дает и достаточно пол-

Успехи математических наук. — 1964. — Т. 19, вып. 3. — С. 187-205 (в разделе «Математическая жизнь в СССР»; совм. с М. И. Вишиком, С. В. Фоминым и Г. Е. Шиловым).

ную информацию о самой абстрактной функции x(t). Сейчас эти соображения кажутся само собой разумеющимися, но впервые они были развиты именно в диссертации Израиля Моисеевича. Следует также отметить его работу об однопараметрических группах операторов [9].

Однако наивысшим достижением Израиля Моисеевича в довоенные годы является созданная им теория коммутативных нормированных колец, составившая его докторскую диссертацию (1938 г.). Хотя нормированными кольцами математики занимались и до Гельфанда (Рисс, Нагумо, Мазур, Диткин), но только он обнаружил здесь то основное понятие, которое позволило сцементировать разрозненные до того факты и создать новую содержательную теорию — понятие максимального идеала. Теория нормированных колец И. М. Гельфанда позволила найти новые тесные связи между общим функциональным анализом Банаха и классическим анализом. Так, известная теорема Винера: если функция x(t) разлагается в абсолютно сходящийся ряд Фурье и не обращается в нуль, то обладает теми же свойствами — оказалась, по существу, алгебраической; доказательство ее, полученное Израилем Моисеевичем методом нормированных колец и умещающееся в пяти строчках, сразу продемонстрировало силу новой теории и обратило на нее внимание всего математического мира. Основная теорема теории об отображении любого коммутативного нормированного кольца в кольцо непрерывных функций на некотором бикомпакте остается до сих пор одним из крупнейших достижений функционального анализа. Отметим важную составную часть этой теоремы: полное кольцо R всех непрерывных функций на бикомпакте выделяется среди всех других тем, что в нем имеется инволюция x(t) —> x(t) — антилинейный автоморфизм X —> X* кольца R, обладающий тем свойством, что \х*х\ = \х*\ • \х\ для любого X G R.

Ближайшим некоммутативным аналогом кольца всех непрерывных функций на бикомпакте является кольцо линейных операторов в гильбертовом пространстве, где также имеется инволюция — переход к сопряженному оператору. И вот в следующей блестящей работе [16], совместной с М. А. Наймарком (1942 г.), Израиль Моисеевич показывает, что всякое нормированное (некоммутативное) кольцо с инволюцией может быть реализовано в виде некоторого кольца линейных операторов в гильбертовом пространстве с его естественной инволюцией. Эта работа послужила своего рода мостом между теорией нормированных колец и теорией бесконечномерных представлений групп, развитой И. М. Гельфандом совместно с М. А. Наймарком в послевоенные годы.

В рамках короткой статьи, трудно было бы осветить всю научную деятельность Израиля Моисеевича, начавшуюся более тридцати лет тому назад и охватившую не только основные направления функционального ана-

лиза, но и теорию дифференциальных уравнений, задачи вычислительной математики, а за последние годы также физиологию и биокибернетику. Поэтому мы остановимся лишь на некоторых основных направлениях его деятельности.

Работы по теории представлений и автоморфным функциям

Алгебраические вопросы анализа всегда занимали важное место в научных интересах Израиля Моисеевича Гельфанда. В частности, еще в начале 40-х годов его внимание привлекла теория представлений непрерывных групп, в которой ему удалось угадать область, наиболее ярко сочетающую алгебраические и аналитические аспекты.

Теория конечномерных представлений, в основном применительно к конечным группам, была построена в работах Фробениуса и Шура. Фундаментальные исследования по конечномерным представлениям непрерывных групп принадлежат Э. Картану и Г. Вейлю. В частности, для представлений компактных групп исчерпывающая теория была построена в известной работе Петера и Вейля. Однако для групп не компактных положение здесь представлялось несравненно более сложным. С одной стороны, как оказалось, такие группы могут вообще не иметь нетривиальных унитарных конечномерных представлений, а с другой — при рассмотрении бесконечномерных представлений таких групп обнаружились существенные осложнения теоретико-множественной природы. Таким образом, даже сами постановки основных задач здесь не были ясны. Израилю Моисеевичу удалось найти здесь правильный путь. Он заметил, что фундаментальное значение имеют унитарные представления, и развил важную и глубокую теорию бесконечномерных унитарных представлений локально бикомпактных групп.

В 1943 г. И. М. Гельфанд и Д. А. Райков [17] показали, что у любой локально бикомпактной группы существует достаточно много неприводимых унитарных представлений в гильбертовом пространстве. После этого на очереди стала задача описать эти представления для наиболее важных групп. Было совершенно не ясно, возможно ли здесь достаточно явное описание хотя бы для таких групп, как группа комплексных матриц второго порядка.

В 1944-1948 гг. И. М. Гельфанд и М. А. Наймарк построили теорию бесконечномерных представлений классических комплексных групп Ли. Они установили, что неприводимые унитарные представления этих групп могут быть заданы простыми явными формулами. Сперва укажем полученные ими формулы представлений для случая группы С комплексных матриц второго порядка с определителем 1. У этой группы имеются две

серии неприводимых унитарных представлений — основная и дополнительная. Представления основной серии строятся в пространстве функций f(z), z = X + гу, с интегрируемым квадратом модуля. Оператор Т(д), соответствующий матрице g — (* ^ Y задается следующим образом:

(1)

где п — целое число, s — вещественное число.

Представления дополнительной серии строятся в пространстве функций f(z) с другим скалярным произведением; операторы представления задаются формулой (1), где п = 0, a s = ig — мнимое число, —2 ^ g ^ 2.

Заметим, что группа комплексных матриц второго порядка интересна не только как математический объект. Эта группа локально изоморфна группе Лоренца, и в силу этого результаты И. М. Гельфанда и М. А. Наймарка явились существенным вкладом в теоретическую физику (ранее Дираку удалось найти лишь отдельные представления этой группы).

Крупным достижением И. М. Гельфанда и М. А. Наймарка явилось отыскание многообразий, на которых наиболее естественно реализуются неприводимые представления классических комплексных групп Ли. Наиболее просто описываются эти многообразия в случае группы G всех линейных преобразований комплексного n-мерного пространства с определителем 1. В этом случае точками многообразия являются «флаги», т. е. последовательности линейных подпространств HiCHzC - • -cHn-i (Н^ обозначает /с-мерное подпространство, fe = 1,..., п — 1). Элементы g группы G естественным образом определяют преобразования z —> zg в многообразии всех флагов. Операторы неприводимых представлений задаются в пространстве функций f(z) формулой

где a{z,g) — некоторая просто описываемая функция, зависящая от 2п — 2 параметров (параметры представления). Если под флагом понимать цепочку подпространств с пропусками, например цепочку Н\ С Нп-\, то на получаемых многообразиях строятся аналогичным образом так называемые вырожденные представления группы G.

И. М. Гельфанд и М. А. Наймарк показали, что для неприводимых унитарных представлений классических групп можно определить след оператора Т(д) как обобщенную функцию на группе, и получили явную формулу для этой функции. Они доказали, что представление однозначно определяется своим следом, с точностью до эквивалентности.

После этих результатов естественно возникла задача описания унитарных представлений вещественных полупростых групп Ли. Эта задача пол-

ностью не решена и до сих пор, несмотря на усилия многих математиков. Однако в работах И. М. Гельфанда и М. И. Граева были получены важные результаты и в этом направлении. Было, в частности, установлено, что существует столько различных серий представлений, сколько существует неизоморфных максимальных абелевых подгрупп в группе, и что каждая такая серия реализуется в пространстве функций, аналитических по некоторым из переменных. В важнейших случаях были найдены формулы для характеров унитарных представлений. Хотя эти результаты были получены в основном на примере группы вещественных матриц п-го порядка, они пролили свет на ситуацию в общем случае.

Отметим также изящные работы И. М. Гельфанда и М. Л. Цетлина о конечномерных представлениях. В этих работах были явно описаны все конечномерные представления для унимодулярной и ортогональной групп.

Существенное место в работах И. М. Гельфанда заняли вопросы гармонического анализа на классических группах Ли. Если f(g) — функция на группе G, то ее преобразованием Фурье естественно называть операторную функцию Tn(f) = J f(g)Tn(g) dg, определенную на множестве неприводимых представлений Тп(д) группы G. (Для случая, когда G — группа движений прямой, это определение совпадает с определением обычного преобразования Фурье.) Возникает задача получить формулу обратного преобразования Фурье. Эта задача была решена И. М. Гельфандом и М. А. Наймарком для классических комплексных групп Ли.

Другая задача гармонического анализа на классических комплексных группах Ли, решенная И. М. Гельфандом, — описание преобразования Фурье «достаточно хороших» функций на группе (аналог теоремы Пэли-Винера). Важность этой задачи в том, что ее решение вскрывает структуру пространства всех представлений группы. Именно, И. М. Гельфанд обнаружил, что преобразование Фурье функции f(g), помимо естественных условий роста и аналитичности, удовлетворяет некоторым алгебраическим соотношениям. Эти алгебраические соотношения возникают в особых точках пространства представлений и связаны с существованием у группы G вырожденных (в частности, конечномерных) представлений. Одной из наиболее интересных областей гармонического анализа является теория зональных сферических функций. Приведем их определение. Пусть G — некоторая группа, U — ее подгруппа и Тд — неприводимое унитарное представление группы G, действующее в гильбертовом пространстве Н. Если в H существует вектор £, инвариантный относительно операторов Ти, и G U, то функция ip(g) = (Ç,TgÇ) называется зональной сферической функцией. Классические зональные сферические функции соответствуют тому случаю, когда G — группа вращений сферы, a U — подгруппа враще-

нии вокруг фиксированной оси. При другом выборе групп G и U можно получить много других специальных функций.

И. М. Гельфанд применил к изучению зональных сферических функций методы теории нормированных колец. Идея И. М. Гельфанда состоит в том, что он рассматривает кольцо функций на группе, постоянных на двусторонних классах смежности по подгруппе U. Это кольцо коммутативно в случае симметрического пространства G/U. Отсюда немедленно следует, что в пространстве любого неприводимого представления имеется не больше чем один вектор, инвариантный относительно операторов Ти, и € U. Этот факт является фундаментом всей теории1. Доказывается, что зональные сферические функции ip(g) задают гомоморфизмы кольца R в поле комплексных чисел

И. М. Гельфандом в этой связи были введены так называемые операторы Лапласа на группах, т.е. дифференциальные операторы, перестановочные с движениями и такие, что их собственными функциями служат сферические функции.

Одним из наиболее сильных результатов в теории сферических функций является полученное И. М. Гельфандом и М. А. Наймарком явное выражение для зональных сферических функций на некомпактных симметрических пространствах, связанных с комплексными группами Ли. Для вещественных групп Ли эти исследования были продолжены Бхану Нурти, Ф. И. Карпелевичем и С. Г. Гиндикиным.

Различные применения теории представлений обычно связаны с гармоническим анализом на однородных пространствах. Это относится, например, к изучению автоморфных функций, которое можно проводить в рамках гармонического анализа на однородном пространстве с дискретной стационарной группой.

В этой области И. М. Гельфанд и М. И. Граев предложили весьма эффективный метод орисфер. Этот метод позволил им построить гармонический анализ для ряда важных пространств. Сущность метода орисфер состоит в следующем. Пусть X — однородное пространство, в котором действует комплексная полупростая группа Ли G. Назовем орисферами в X траектории максимальной нильпотентной подгруппы группы G (в случае обычного пространства Лобачевского это определение эквивалентно обычному определению орисферы). Интегрируя функцию /(х), х G X, по всевозможным орисферам а;, мы получим функцию ф(ш) в пространстве всех

1 Для компактных симметрических пространств этот факт был установлен Э. Картаном.

орисфер. Это пространство орисфер устроено, вообще говоря, проще, чем исходное пространство X, и разложение функций <р(и>) по неприводимым представлениям осуществляется элементарно.

После этого остается решить задачу интегральной геометрии: по функции <р(и) восстановить исходную функцию f(x).

В последние годы И. М. Гельфанд и М. И. Граев занимались представлениями групп над произвольными полями. Здесь им удалось получить сильные результаты о представлениях групп Шевалле-Диксона над конечными полями (как известно, эти группы представляют собой группы матриц, аналогичные комплексным полупростым группам).

Успех в этой классической области, в которой работали многие математики, начиная с Фробениуса, связан с неожиданной возможностью применения к этим задачам методов бесконечномерных представлений.

Для группы матриц второго порядка над произвольным непрерывным локально компактным полем К И. М. Гельфанд и М. И. Граев получили единое для всех полей описание неприводимых унитарных представлений. Отметим, что в этом исследовании возникли многие интересные классы специальных функций на локально компактном поле.

Математические интересы И. М. Гельфанда всегда охватывали наряду с новыми областями области классические. Одной из таких областей является теория автоморфных функций. И. М. Гельфанду принадлежит замечательное соображение о том, что теория автоморфных функций является, по существу, частью теории представлений. Именно, почти все задачи теории автоморфных функций могут быть сформулированы в рамках следующей задачи теории представлений. Задано представление полупростой группы Ли G в пространстве функций /(х), xGX, где X — однородное пространство с дискретной стационарной подгруппой. Задача состоит в том, чтобы разложить это представление на неприводимые.

Еще в 1952 г. в работе И. М. Гельфанда и С. В. Фомина о геодезических потоках на многообразиях постоянной отрицательной кривизны было показано, что размерность пространства автоморфных форм равна кратности, с которой в заданное представление входит представление так называемой дискретной серии. В последние годы И. М. Гельфанд и И. И. Пятецкий-Шапиро начали систематическое изучение спектра представлений группы G в пространствах G/Г, где G — произвольная полупростая группа Ли, Г — ее дискретная подгруппа. В этом исследовании был успешно применен метод орисфер, о котором мы уже говорили.

С помощью метода орисфер пространство функций /(я), х G G/Г, отображается в пространство функций <р(и>), заданных на множестве компактных орисфер. Тем самым изучение спектра представления распадается на две части: изучение спектра в пространстве функций (р(ш) и изучение спек-

тра в ядре отображения f(x) —> ip(w). Было показано, что ядро отображения f(x) —> ip(u>), т. е. пространство функций на G/Г, интегралы которых по любой компактной орисфере равны нулю, имеет всегда дискретный спектр (см. Труды ММО, т. 12). Для изучения пространства функций ip(u) были применены методы теории возмущений. Возникающие при этом аналоги квантовомеханической 5-функции представляют собой очень важные теоретико-числовые функции типа дзета-функции Римана.

Для теории бесконечномерных представлений характерно сочетание алгебраических методов с широким применением аналитического аппарата. В свою очередь эта теория оказала большое влияние на проблемы анализа и нашла применение в ряде аналитических задач. Отметим в качестве характерного примера описание всех релятивистских инвариантных уравнений, данное И. М. Гельфандом и А. М. Ягломом [31].

Работы по дифференциальным уравнениям

Различные вопросы, связанные с дифференциальными уравнениями, привлекали внимание Израиля Моисеевича на протяжении многих лет. Среди них следует в первую очередь упомянуть о получивших широкую известность исследованиях И. М. Гельфанда и Б. М. Левитана по обратной задаче Штурма-Лиувилля.

Рассмотрим уравнение

(1)

на полуоси [0, +сю). Собственные функции (р(х, А) этого уравнения обычно нормируются граничными условиями в нуле

(1')

Разложение произвольной функции f(x) в интеграл Фурье по собственным функциям задачи (1) при этом принимает вид

где д(Х) — некоторая монотонная функция с точками роста на спектре. Функцию д(Х) называют спектральной функцией задачи Штурма-Лиувилля. Под обратной задачей Штурма-Лиувилля понимают задачу об отыскании функции q{x) в уравнении (1) по тем или иным спектральным характеристикам уравнения.

Обратной задачей в разных постановках занимались В. А. Амбарцумян, Г. Борг, Н. Левинсон, В. А. Марченко, М. Г. Крейн и ряд физиков.

В частности, M. Г. Крейну в 1951 г. удалось решить обратную задачу по заданным двум спектрам уравнения (1), отвечающим разным граничным условиям на концах конечного интервала.

Наиболее плодотворной и общей оказалась обратная задача, состоящая в определении функции q(x) в уравнении (1) по заданной функции д{\).

Впервые обратной задачей в такой постановке занимались В. А. Марченко (1950 г.) и шведский математик Г. Борг, доказавшие, что данной функции д(Х) может соответствовать не более одной функции q(x).

И. M. Гельфанду и Б. М. Левитану удалось найти линейное интегральное уравнение, связывающее функции д(Х) и q(x). Это уравнение позволило не только решить вопрос о существовании функции q(x), но и указать конструктивный способ ее определения.

В основу решения обратной задачи легла идея ортогонализации системы функции cos\/àx (0 ^ А < оо) по весу £>(А), подсказанная аналогией с проблемой моментов. Подобно тому как в проблеме моментов умножение на А порождает в базисе их ортогональных многочленов якобиеву матрицу (конечноразностный аналог оператора Штурма-Лиувилля), в базисе из ортогонализованных косинусов появляется оператор Штурма-Лиувилля.

Эта работа вызвала большой интерес у математиков и физиков-теоретиков, откликнувшихся серией важных исследований (М. Г. Крейн, В.А. Марченко, Н. Левинсон, Л. Д. Фаддеев, Джост и Кон, Ньютон, Кей и Мозес и др.).

Интерес физиков был вызван тем, что в квантовомеханической задаче рассеяния уравнение Гельфанда-Левитана сделало возможным определение потенциала поля по фазе рассеяния и позволило в радиально-симметричном случае до конца исследовать задачу.

Другой важный результат, полученный И. М. Гельфандом для оператора Штурма-Лиувилля, — это найденные им в сотрудничестве с Б. М. Левитаном и Л. А. Диким замечательные формулы следов для такого оператора, рассматриваемого на конечном интервале [54]. Пусть Ai, А2,..., An — собственные значения уравнения (1) при граничных условиях у(0)=у(тг)=0, и пусть f£ q(x) dx = 0. Тогда имеет место равенство

(2)

Сходимость ряда (2) следует из классической асимптотики для Ап, но возможность найти в явном виде его сумму явилась неожиданностью. Аналогичные формулы, содержащие целые степени Ап,были выведены И.М. Гельфандом и Л. А. Диким в предположении, что функция q(x) достаточно гладкая. Формулы следов могут быть использованы для численного опре-

деления первых собственных значений задачи. Эти работы были продолжены рядом авторов. В частности, Л. Д. Фаддеев получил аналог формулы (2) в случае непрерывного спектра.

В теории гамильтоновых систем с периодическими по времени коэффициентами хорошо известна работа И. М. Гельфанда и В. Б. Лидского [60], в которой дано полное описание топологической структуры областей устойчивости для линейных гамильтоновых систем. Это исследование удалось провести благодаря алгебраизации задачи. В работе было показано, что каждой линейной гамильтоновой системе отвечает некоторая кривая y(t) (0 ^ t ^ и) в группе G вещественных симплектических матриц, и обратно, каждой такой кривой соответствует некоторая гамильтонова система.

И. М. Гельфандом поставлен ряд проблем по теории дифференциальных уравнений с частными производными, которые в значительной степени повлияли на развитие ряда областей этой теории за последние два десятилетия. На семинаре, который проводил И. М. Гельфанд в 1945/46 г. в МГУ, им были поставлены задача об описании области определения замыкания дифференциальных операторов при соответствующих граничных условиях и задача о нахождении корректно поставленных краевых задач, например, для всех эллиптических дифференциальных уравнений. Эти проблемы впоследствии нашли достаточно полное решение в работах участников этого семинара М. И. Вишика и О. А. Ладыженской, а также в работах Л. Хёрмандера и ряда других математиков.

В статье [103] И. М. Гельфандом была поставлена задача о гомотопической классификации всех эллиптических в смысле И. Г. Петровского систем дифференциальных уравнений и краевых задач для них. Об этой проблеме И. М. Гельфанд говорил еще на семинаре 1945/46 г. Как известно, эллиптические краевые задачи нормально разрешимы в ограниченной области, т. е. соответствующая однородная задача имеет конечное число к линейно независимых решений, а неоднородная задача разрешима лишь при выполнении I дополнительных условий на правые части. Число н — к — I называется индексом краевой задачи и является ее главным гомотопическим инвариантом. Для целого ряда случаев проблема И. М. Гельфанда была решена в работах А. И. Вольперта, А. С. Дынина, М. С. Аграновича и др. Общее ее решение было недавно дано в работах Атья и Зингера.

Работа [90] отличается от обычных математических статей. В ней много плодотворных идей, не всегда строго обоснованных. Отметим важное понятие эволюционной системы, которое оказало большое влияние на исследование структуры и устойчивости ударных волн обычной и магнитной гидрогазодинамики. Математическое исследование уравнений магнитной гидродинамики, намеченное в этой работе, было вообще одним из первых и оказало сильное влияние на все последующие исследования по этому во-

просу. В статью включены также данная И. М. Гельфандом совместно с Я. Б. Зельдовичем постановка и решение задачи об установлении данной химической реакции, протекающей с образованием промежуточного продукта активных центров.

Теория обобщенных функций

И. М. Гельфанд был одним из первых советских математиков, оценивших значение и перспективы работ С. Л. Соболева, а затем Л. Шварца по теории обобщенных функций. В дальнейшем развитии этой теории работы Израиля Моисеевича, а также его учеников и сотрудников сыграли первостепенную роль. Уже в работе И. М. Гельфанда и Г. Е. Шилова [58] была осуществлена та идея, что обобщенные функции можно и нужно строить на различных пространствах основных функций, выбирая для каждого круга задач наиболее удобный класс пространств. Эта идея позволила сделать из теории обобщенных функций гибкий аппарат, нашедший применение в теории уравнений с частными производными, теории представлений, в случайных процессах, интегральной геометрии и т. д. Около десяти лет тому назад Израиль Моисеевич задумал серию монографий, посвященных применению идей и методов теории обобщенных функций в различных областях функционального анализа и смежных с ними. Сейчас эта серия «Обобщенные функции», в которой вышло уже пять книг, получила международное признание и известность; основное содержание серии составили результаты, полученные И. М. Гельфандом и его школой. Остановимся вкратце на содержании этих книг. Первые три выпуска этой серии, написанные И. М. Гельфандом и Г. Е. Шиловым, посвящены построению самого аппарата обобщенных функций, т. е. описанию различных классов основных пространств и соответствующих пространств линейных функционалов, построению теории преобразования Фурье для обобщенных функций. Эти классы пространств послужили основой для исследований по корректности и единственности задачи Коши для систем дифференциальных уравнений с частными производными.

В первом выпуске изложены также результаты И. М. Гельфанда и 3. Я. Шапиро, относящиеся к обобщенным функциям нескольких переменных, в частности развита теория однородных обобщенных функций и обобщенных функций п переменных, сосредоточенных на многообразиях меньшего чем п числа измерений.

Израиль Моисеевич неоднократно высказывал мысль о том, что общую теорему о спектральном разложении самосопряженного оператора нельзя рассматривать как окончательное решение задачи спектрального анализа и что важно уметь строить наряду с соответствующими разложениями еди-

ницы и индивидуальные собственные функции (вообще говоря, обобщенные), отвечающие отдельным точкам спектра. Эта идея была реализована в работе И. М. Гельфанда и А. Г. Костюченко.

Более подробное изложение этого круга вопросов дано в третьем выпуске «Обобщенных функций».

Круг вопросов, рассмотренных в последних двух выпусках «Обобщенных функций», довольно сильно отличается от тематики первых трех выпусков, связанной в значительной мере с вопросами теории дифференциальных уравнений. Четвертый выпуск, написанный И. М. Гельфандом совместно с Н. Я. Виленкиным, в основном посвящен теории ядерных пространств, введенных А. Гротендиком. И. М. Гельфанд дал иную формулировку этого понятия и выяснил его важную роль в ряде вопросов, например при изучении мер в линейных пространствах. В связи с уже упоминавшейся выше задачей о нахождении обобщенных собственных функций самосопряженных (и унитарных) операторов И. М. Гельфандом было введено понятие так называемого оснащенного гильбертова пространства. Под этим понимается следующее.

Рассмотрим ядерное счетно-гильбертово пространство Ф, в котором, помимо скалярных произведений, определяющих топологию этого пространства, введено еще одно скалярное произведение. Пополнив Ф по этому новому скалярному произведению, мы получим гильбертово пространство Н, в котором Ф образует всюду плотное множество. Рассмотрим еще наряду с Ф и H пространство Ф' линейных функционалов на Ф. Тройка Ф, Н, Ф' и называется оснащенным гильбертовым пространством. Это понятие приводит к таким законченным и изящным результатам, как, например, следующий: всякий самосопряженный оператор в оснащенном гильбертовом пространстве обладает полной системой обобщенных собственных векторов, отвечающих вещественным собственным значениям.

Далее, четвертый выпуск содержит теорию положительно определенных обобщенных функций (гл. 2), теорию обобщенных случайных процессов, построенную И. М. Гельфандом в 1955 г. и давшую точное математическое обоснование таким популярным у физиков понятиям, как, например, «белый шум», а также теорию меры в линейных топологических пространствах.

В пятом выпуске, написанном И. М. Гельфандом совместно с М. И. Граевым и Н. Я. Виленкиным, строится гармонический анализ на группе Лоренца и связанных с ней однородных пространствах (в частности, на трехмерном пространстве Лобачевского). В основу исследований положена интегральная геометрия. Интегральная геометрия, в том смысле как она понимается в книге, является новым направлением в функциональном анализе, связывающим его с классическими идеями геометрии. Сущность ее

состоит в переходе от функций, заданных на множестве одних геометрических объектов, к функциям, заданным на множестве других объектов. Например, если функцию f(x), заданную на гиперболоиде х^—х^—х^—х^ = 1, интегрировать по всевозможным его прямолинейным образующим о;, то мы получим функцию (р(и>), заданную на множестве прямолинейных образующих. При этом возникает следующая задача интегральной геометрии: по функции восстановить исходную функцию f(x). И. М. Гельфанд заметил, что многие задачи теории представлений легко могут быть сведены к решению подобных задач интегральной геометрии.

В книге дается решение ряда интересных задач интегральной геометрии. Некоторые из них не связаны непосредственно с теорией представлений. Так, в книге изучается простейшее преобразование интегральной геометрии, сопоставляющее функции в аффинном пространстве ее интегралы по гиперплоскостям. Это преобразование тесно связано с обычным преобразованием Фурье; однако оно более геометрично, и в этом его известное преимущество.

Работы по вычислительной математике и физиологии

Весьма значительный вклад внес И. М. Гельфанд в развитие вычислительной математики. Ему принадлежат большие заслуги в изыскании общих методов численного решения уравнений математической физики, а также в решении конкретных прикладных задач.

И. М. Гельфанд совместно со своими сотрудниками существенно продвинул спектральную теорию устойчивости разностных операторов. Часть результатов этих работ изложена С. К. Годуновым и В. С. Рябеньким в их книге «Введение в теорию разностных схем», см. также [121]. В частности И. М. Гельфандом и К. И. Бабенко впервые был рассмотрен вопрос о влиянии границы на спектр разностного оператора. Требования устойчивости, как правило, приводят к необходимости использовать неявные разностные схемы. Поэтому возник вопрос о решении системы большого числа алгебраических уравнений. Для этой цели был применен простой устойчивый алгоритм, широко вошедший в вычислительную практику под названием «прогонка». Этот алгоритм позволяет разрешать неявную схему как в случае одномерных, так и в случае многомерных задач.

И. М. Гельфанд первым понял фундаментальное значение для вычислительной математики методов исследования систем, описываемых большим числом переменных, в которых привычные методы анализа оказываются неэффективными. Большое внимание привлекла работа [74], в которой впервые был предпринят прямой расчет континуального интеграла.

Вычисление методом Монте-Карло средних по пространству траекторий частиц было использовано затем при решении задач физики переноса

[89], [97]. Эти работы во многом стимулировали интерес к созданию квадратурных формул для интегралов большой кратности. Другим направлением в изучении сложных систем явились методы отыскания минимумов функций большого числа переменных [112]. И. М. Гельфандом был предложен нелокальный метод поиска минимумов (так называемый «метод оврагов»). Метод был использован для решения задач фазового анализа рассеяния нуклонов [108], [109], для расшифровки структуры кристаллических аминокислот [131], [132].

В последние годы И. М. Гельфанд проявляет глубокий интерес к изучению сложных физиологических систем. Ряд важных идей И. М. Гельфанда в этой области (континуальные управляющие системы и возбудимые среды, тактики построения движений [110], принцип наименьшего взаимодействия [120] и др.) сплотил вокруг него талантливый коллектив молодых физиологов.

Педагогическая деятельность

Говоря о творчестве И. М. Гельфанда как ученого, нельзя не сказать и о его педагогической деятельности. Тридцать лет тому назад, двадцатилетним юношей, Израиль Моисеевич начал преподавать в Московском государственном университете, где он продолжает работать и до сих пор. Чрезвычайно тесная связь между исследовательской работой и преподаванием является одной из характерных черт всей деятельности Израиля Моисеевича. Постановка новых задач, неожиданных вопросов, стремление взглянуть даже на хорошо известные вещи с новой точки зрения характеризуют Израиля Моисеевича как педагога, независимо от того, ведет ли он в данный момент разговор со школьниками или со своими товарищами по работе.

Первым по времени из учеников Израиля Моисеевича был Г. Е. Шилов, поступивший к нему в аспирантуру 25 лет тому назад. С тех пор Израиль Моисеевич воспитал десятки учеников, многие из которых уже стали крупными самостоятельными учеными. Помимо «прямых» учеников Израиля Моисеевича, проходивших у него аспирантуру, многие математики испытали в той или иной мере научное влияние Израиля Моисеевича, встречаясь с ним на лекциях, семинарах, в личных беседах. Широко известен руководимый Израилем Моисеевичем семинар но функциональному анализу, отметивший 20 лет своего существования как раз в тот день, когда его руководителю исполнилось пятьдесят. Этот семинар давно уже стал одним из основных центров развития функционального анализа и одним из центров воспитания математической молодежи.

Характерной чертой творческой деятельности Израиля Моисеевича является его умение организовать совместную, целеустремленную работу

коллектива. Большое число работ Израиля Моисеевича написано им в сотрудничестве с его коллегами или учениками, часто совсем молодыми, для которых такая совместная работа являлась одновременно и чрезвычайно полезной школой. Таким образом, в деятельности Израиля Моисеевича отделить собственно исследовательскую работу от деятельности его как педагога и воспитателя молодежи практически невозможно.

Большой популярностью всегда пользовались лекции Израиля Моисеевича. Напоминая часто по форме живую беседу, они всегда требовали от слушателей активности и внимания, будили мысль слушателей, давая пищу для самостоятельных размышлений.

Широко известны учебники, написанные Израилем Моисеевичем по линейной алгебре, вариационному исчислению (совместно с С. В. Фоминым) и теории представлений групп (совместно с 3. Я. Шапиро и Р. А. Минлосом).

Советские математики сердечно поздравляют Израиля Моисеевича и желают ему многих лет здоровья и новых замечательных успехов в науке.

СПИСОК ПЕЧАТНЫХ РАБОТ И. М. ГЕЛЬФАНДА

2. К теории абстрактных функций, ДАН 17 (1936), №5, 237-240. 9. Об однопараметрических группах операторов в нормированном пространстве, ДАН 25 (1938), №9, 711-716.

16. О включении нормированного кольца в кольцо операторов в гильбертовом пространстве, Матем. сб. 12 (1943) (54):2,197-217 (совм. с М. А. Наймарком).

17. Неприводимые унитарные представления локально бикомпактных групп, ДАН 42 (1943), №5, 203-205 (совм. с Д. А. Райковым).

31. Общие релятивистски инвариантные уравнения и бесконечномерные представления группы Лоренца, ЖЭТФ 18 (1946), № 8, 703-733 (совм. с А. М. Ягломом).

54. Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального уравнения, ДАН 88 (1953), №4, 593-596 (совм. с Б. М. Левитаном).

58. Преобразование Фурье быстрорастущих функций и вопросы единственности решения задачи Коши, УМН 8 (1953), вып. 6, 3-54 (совм. с Г. Е. Шиловым).

60. О структуре областей устойчивости линейных канонических дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, УМН 10 (1955), вып. 1, 3-40 (совм. с В. Б. Лидским).

74. О численном вычислении континуальных интегралов, ЖЭТФ 31 (1956), вып. 6 (12), 1107-1109 (совм. с М. Л. Цетлиным).

89. Вычисление континуальных интегралов методом Монте-Карло, Изв. высш. учебн. завед., сер. матем., №5(6) (1958), 32-45 (совм. с Н. Н. Ченцовым и А. С. Фроловым).

90. Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений, УМН 14 (1959), вып. 2 (86), 171-194 (совм. с И. И. Пятецким-Шапиро).

97. Применение метода случайных испытаний (метода Монте-Карло) для решения кинетического уравнения. Труды II Международной конференции по мирному использованию атомной энергии (Женева, 1958), т. 2, М., 1960, 628-633 (совм. с Н. Н. Ченцовым, С. М. Фейнбергом и А. С. Фроловым).

103. Об аналитических уравнениях, УМН 15 (1960), вып. 3 (93), 121-132.

108. Фазовый анализ рр-рассеяния при 95 MN, ЖЭТФ 40 (1961), вып. 1, 1106-1111 (совм. с Бором и др.).

109. Фазовый анализ рр-рассеяния при 150 MN, ЖЭТФ 40 (1961), вып. 5, 1338-1342 (совм. с Ивановой).

110. Некоторые соображения о тактиках построения движений, ДАН 139 (1961), №5, 1250-1253 (совм. с М. Л. Цетлиным и В. С. Гурфинкелем).

112. О некоторых способах управления сложными системами, УМН 117 (1962), вып. 1, 3-25 (совм. с М. Л. Цетлиным).

120. О тактиках управления сложными системами в связи с физиологией, Сб. работ «Биологические аспекты кибернетики», М., Изд-во АН СССР, 1962, 66-73 (совм. с М. Л. Цетлиным и В. С. Гурфинкелем).

121. О разностных схемах для решения уравнения теплопроводности. Метод «прогонки» для решения разностных уравнений. Дополнения I и II к книге С. К. Годунова и В. С. Рябенького «Введение в теорию разностных схем», М., Физматгиз, 1962 (совм. с О. В. Локуциевским).

131. Отыскание структуры кристаллов с помощью метода нелокального поиска, ДАН 152 (1953), №5, 1045-1048 (совм. с И. И. Пятецким-Шапиро и Ю. Г. Федоровым).

132. Отыскание кристаллических структур методом минимизации ß-фактора, ДАН 153 (1963), № 1, 93-96 (совм. с Б. К. Вайнштейном, Р. А. Каюшиной и Ю. Г. Федоровым).

БОРИС ВЛАДИМИРОВИЧ ГНЕДЕНКО (к семидесятилетию со дня рождения)

Исполнилось семьдесят лет со дня рождения действительного члена Академии наук УССР, заведующего кафедрой теории вероятностей МГУ профессора Бориса Владимировича Гнеденко.

Борис Владимирович родился в г. Ульяновске в семье землемера, в пятнадцать лет поступил в Саратовский университет и через три года окончил его. После окончания университета он несколько лет преподавал в Ивановском текстильном институте. Прикладные работы Б. В. Гнеденко начались с решения задач, поставленных текстильщиками г. Иванова.

В 1934 г. Борис Владимирович поступил в аспирантуру Московского университета. Его научным руководителем был А. Я. Хинчин. В эти годы основным направлением в теории вероятностей было исследование класса предельных распределений сумм независимых случайных величин. Опираясь на полученные А. Н. Колмогоровым и П. Леви представления процессов с независимыми приращениями, А. Я. Хинчин и Р. М. Бавли показали, что возникающий здесь класс безгранично-делимых распределений является предельным для сумм независимых бесконечно малых случайных слагаемых. Разработав новый метод введения сопровождающих безгранично-делимых распределений, Б. В. Гнеденко нашел необходимые и достаточные условия сходимости сумм к тем или иным конкретным распределениям, в частности, условия сходимости сумм одинаковых слагаемых к устойчивым распределениям.

Итоги всех этих исследований вошли в соответствующие главы вышедшей уже в послевоенные годы монографии Б. В. Гнеденко и А. Н. Колмогорова «Предельные распределения для сумм независимых случайных величии». На основе своих работ по теории суммирования уже перед самой войной Б. В. Гнеденко защитил докторскую диссертацию. Следует отметить глубокую работу Б. В. Гнеденко о возможных предельных распределениях максимумов независимых случайных величин.

В трудные военные годы Б. В. Гнеденко активно участвует в научной и общественной жизни Московского университета.

В 1945 г. Борис Владимирович переезжает на Украину, где в первые годы работает во Львове, а с 1950 г. — в институте математики АН УССР, там он становится заведующим только что созданного отдела теории вероятностей. Кроме того, он заведует кафедрой математического анализа Киевско-

Успехи математических наук. — 1982. — Т. 37, вып. 6. — С. 243-248 (совм. с Ю. К. Беляевым и А. Д. Соловьевым; в разделе «Математическая жизнь в СССР»).

го государственного университета, где вокруг него группируется коллектив молодых математиков-вероятностников (В. С. Королюк, И. Н. Коваленко, B.C. Михалевич, А. В. Скороход и др.). В 1945 г. Б. В. Гнеденко избирается членом-корреспондентом, а в 1948 г. — действительным членом Академии наук УССР.

В украинский период своей деятельности Б. В. Гнеденко занимается многими проблемами. Он продолжил свои предвоенные исследования по теории суммирования, получив ряд предельных теорем для сумм решетчатых случайных величин, сделал несколько интересных работ по непараметрической статистике. Совместно с В. С. Королюком им получено уточнение асимптотического поведения уклонений эмпирического закона от теоретического. В этот период появились первые работы Б. В. Гнеденко по истории математики, из которых следует отметить монографию «Очерки по истории математики в России» и работы, посвященные М. В. Остроградскому.

В конце пятидесятых годов Б. В. Гнеденко стал заниматься теорией массового обслуживания, прочитал и издал вместе с И. Н. Коваленко лекции по теории массового обслуживания и заинтересовал ряд своих учеников этой актуальной дисциплиной.

В 1960 г. Борис Владимирович переезжает в Москву, где становится профессором кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ, а через несколько лет — заведующим этой кафедрой. С самого начала своей деятельности в Москве Борис Владимирович заинтересовался математической теорией надежности, приобретавшей в эти годы большое значение, и в скором времени возглавил коллектив математиков и инженеров, занимающихся теорией надежности. В 1965 г. вышла написанная им (совместно с Ю. К. Беляевым и А. Д. Соловьевым) книга «Математические методы в теории надежности». Не прекращал он своей работы и в области теории массового обслуживания — в 1986 г. вышла написанная совместно с И. Н. Коваленко монография «Введение в теорию массового обслуживания». В дальнейшем Борис Владимирович вместе со своими учениками разрабатывал теорию суммирования случайного числа случайных слагаемых. Развитые здесь методы нашли применение в асимптотическом анализе надежности восстанавливаемых систем. В самое последнее время Борис Владимирович снова вернулся к этой тематике и получил здесь новые результаты.

Б. В. Гнеденко внес большой вклад в установление научных связей с учеными социалистических и развивающихся стран. Им фактически создана научная школа по теории массового обслуживания и надежности в ГДР. Среди его учеников ряд ведущих ученых ГДР, Болгарии, Кубы и других стран. Под его руководством велись и ведутся совместные научно-исследовательские работы ученых МГУ и зарубежных университетов. Сре-

ди учеников Бориса Владимировича около 50 кандидатов наук и более 20 докторов наук, члены-корреспонденты и академики союзных республик.

Большое внимание уделяет Борис Владимирович вопросам математического образования в школе и в высших учебных заведениях. Им написано большое число статей в журнале «Математика в школе». Изданная в 1981 г. книга «Математическое образование в вузах» является подведением итогов многолетнего педагогического опыта. Б. В. Гнеденко неоднократно подчеркивает, что математическое образование не может застывать на достигнутом уровне. Содержание и форма получаемых учащимися и студентами знаний должны изменяться в зависимости от потребностей общества. Математика является мощным орудием познания окружающего мира и социальных явлений, она воспитывает у человека строгое научное мышление.

Многогранна научно-организационная деятельность Б. В. Гнеденко. Он является активным членом редколлегий журналов «Теория вероятностей и ее применения», Известия АН СССР «Техническая кибернетика», «Надежность и контроль качества», «Заводская лаборатория», «Математика в школе», «Квант». Большое внимание Борис Владимирович уделяет пропаганде математических знаний и как член президиума Всесоюзного общества «Знание», и как председатель организации общества «Знание» Московского университета. Трудно перечислить все виды организаторской деятельности Б. В. Гнеденко. В МИНВУЗе он возглавляет секцию Научно-технического совета, является членом пленума ВАКа, членом совета по философским вопросам естествознания при президиуме АН СССР. Существенный вклад внес Б. В. Гнеденко в организацию работы кабинета надежности в Политехническом музее.

Следует отметить и удивительные человеческие качества Бориса Владимировича — доброго, тактичного и вместе с тем принципиального и требовательного человека, всегда готового помочь любому, обратившемуся к нему за помощью или советом. На всех знающих Бориса Владимировича производит большое впечатление непрерывность его кипучей деятельности. Написание своих собственных статей сменяется редактированием статей других авторов, лекции и семинары чередуются с участием в разнообразных совещаниях, поездки в вузы страны чередуются с зарубежными поездками. Дом Бориса Владимировича и его подруги жизни Наталии Константиновны всегда открыт для гостей.

За заслуги в развитии математической науки, многолетнюю научно-педагогическую деятельность и в связи с семидесятилетием со дня рождения Борис Владимирович Гнеденко награжден орденом Дружбы народов.

В настоящее время Борис Владимирович по-прежнему полон сил, энергии и творческих замыслов. Пожелаем же ему долгих лет здоровья и дальнейших творческих успехов.

ЛЕОНИД ВИТАЛЬЕВИЧ КАНТОРОВИЧ (к шестидесятилетию со дня рождения)

19 января 1972 г. исполнилось 60 лет со дня рождения выдающегося советского математика и экономиста Леонида Витальевича Канторовича.

Леонид Витальевич родился в Ленинграде. В 14 лет он поступил в Ленинградский университет, на математическое отделение, и в 1930 г. окончил его. В 1934 г. ему было присвоено звание профессора, а в 1935 г. — ученая степень доктора физико-математических наук (без защиты диссертации). В 1958 г. Л. В. Канторович был избран членом-корреспондентом АН СССР (экономика), а в 1964 г. действительным членом АН СССР (математика).

Уже в возрасте 15 лет Леонид Витальевич Канторович начал активную научную деятельность. Его первые работы относятся к дескриптивной теории функций вещественной переменной и теории множеств. В те годы теория функций вещественной переменной занимала одно из центральных мест в математической науке и оказывала существенное влияние на развитие многих других разделов математики. Леониду Витальевичу удалось решить ряд трудных проблем, связанных с классификацией функций, в частности, им построены универсальные функции для классификации Юнга и доказана невозможность аналогичного построения для классификации Бэра. В ряде работ (частично совместных с Е. М. Ливенсоном) Л. В. Канторович развил общую теорию аналитических операций над множествами и дал новое построение теории проективных множеств, решив при этом многие принципиальные задачи.

Следующий цикл работ Леонида Витальевича, относящийся к началу 30-х годов, связан с конструктивной теорией функций. Л. В. Канторович исследовал ряд вопросов о приближении функций различных классов с помощью полиномов С. Н. Бернштейна и сходных с ними полиномов.

В середине 30-х годов внимание многих советских ученых привлекла новая область математики — функциональный анализ, который к этому времени только еще начал оформляться в самостоятельное научное направление. Леонид Витальевич был одним из первых советских математиков, активно включившихся в исследования по теории нормированных пространств. В его работах, совместных с Г. М. Фихтенгольцем, дается аналитическое представление линейных функционалов в пространстве ограниченных измеримых функций и некоторых линейных операторов.

Успехи математических наук. — 1972. — Т. 27, вып. 3. — С. 221-227 (совм. с Б. З. Вулихом, М. К. Гавуриным, Ю. В. Линником, В. Л. Макаровым, Б. С. Митягиным, А. Г. Пинскером, Г. С. Рубинштейном, Д. К. Фаддеевым; в разделе «Математическая жизнь в СССР»).

С 1935 г. Л. В. Канторович в большом цикле работ создает новое фундаментальное направление в функциональном анализе — теорию полуупорядоченных пространств. В отличие от теории нормированных пространств здесь на первый план выдвигается идея частичного упорядочения, рассматриваются линейные пространства, в которых определено отношение порядка, согласованное естественным образом с алгебраическими операциями. Такие пространства вошли в литературу под названием if-пространств. В связи с тем, что многие важные функциональные пространства оказываются одновременно и полуупорядоченными и нормированными, Леонид Витальевич развивает теорию нормированных полуупорядоченных пространств, а также теорию пространств, нормированных в обобщенном смысле — с помощью элементов некоторого if-пространства. (Другой подход к теории полуупорядоченных пространств был в те же годы развит М. Г. Крейном и его сотрудниками.)

Абстрактно нормированные пространства Л. В. Канторовича нашли широкие применения в теории вычислительных методов. Вместе с тем, Леонид Витальевич указал многочисленные приложения общей теории К-пространств к различным вопросам теории функций и функционального анализа: к теории интеграла, к решению положительной проблемы моментов, к исследованию линейных операторов в конкретных пространствах.

Систематическое изложение теории if-пространств было дано Леонидом Витальевичем в 1950 г. в монографии «Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах» (написанной совместно с Б. 3. Вулихом и А. Г. Пинскером). В ней подведены итоги пятнадцатилетних исследований в этой области Л. В. Канторовича и его учеников.

Одно из важнейших мест в многогранном научном творчестве Леонида Витальевича занимает вычислительная математика. Об этом убедительно свидетельствует даже краткий перечень конкретных задач в этой области, которым в течение четверти века посвящал свои публикации Леонид Витальевич: конформные отображения, квадратуры и кубатуры, интегральные уравнения, дифференциальные уравнения обыкновенные и в частных производных и т. п. В 30-х годах Л. В. Канторович совместно с В. И. Крыловым публикует книгу «Методы приближенного решения уравнений в частных производных» — первую в мире монографию, посвященную численным методам для широкого круга задач (уравнения в частных производных, бесконечные системы, интегральные уравнения, конформные отображения и пр.). Наиболее значительных результатов в области вычислительной математики достигает Леонид Витальевич, систематически используя идеи и методы функционального анализа для исследования и нахождения новых способов решения вычислительных задач. Широко известной стала его статья «Функциональный анализ и прикладная математика». За эту работу

Л. В. Канторовичу в 1949 г. была присуждена Государственная премия. Сейчас, спустя почти четверть века после ее выхода в свет, хорошо видно, какое большое влияние оказала эта работа на развитие рассмотренных в ней разделов вычислительной математики (общая теория приближенных методов, метод Ньютона для нелинейных функциональных уравнений, метод наискорейшего спуска для задачи о минимуме функционала). Еще более существенно сказалась общая идейная направленность этих исследований Леонида Витальевича, проявившаяся особенно наглядно и конкретно в развитии метода Ньютона. В значительной степени под влиянием этих работ язык функционального анализа за короткий срок стал общепринятым в работах по ряду важнейших разделов вычислительной математики. В начале «машинной эры» Леонид Витальевич руководит конструированием новых релейных вычислительных устройств. Позднее он выдвигает и разрабатывает совместно с учениками новые принципы автоматического программирования. Под его руководством на рубеже сороковых и пятидесятых годов выполнялись вычислительные работы большого народнохозяйственного значения.

Выдающийся вклад внес Л. В. Канторович в развитие экономической науки. Его первая работа в этой области «Математические методы организации и планирования производства» вышла в 1939 г. Эта работа была написана в связи с консультацией по решению конкретной планово-производственной задачи (фанерного треста). Леониду Витальевичу удалось разработать эффективный метод решения исследуемой задачи; при этом оказалось, что этот же метод можно без существенных изменений применять для решения широкого круга экстремальных задач. Тем самым было создано новое направление — линейное программирование, эта заслуга Леонида Витальевича неоднократно подчеркивалась и американскими математиками Данцигом и Купмансом, внесшими существенный вклад в развитие линейного программирования в начале 40-х - начале 50-х годов.

Уже в конце 30-х годов Л. В. Канторович понимал, что разрабатываемые методы математического моделирования и анализа можно применить ко всему народному хозяйству и социалистической экономике в целом. Теоретическая возможность рассмотрения процесса планирования социалистической экономики как единой экстремальной задачи дает основу для построения логически стройной, отвечающей существу социалистического способа ведения хозяйства, теории оптимального планирования и управления народным хозяйством.

Одним из самых значительных открытий Леонида Витальевича явилось выяснение экономического смысла так называемых объективно-обусловленных оценок, представляющих собой решение вспомогательной задачи, в определенном смысле двойственной к задаче расчета оптимального

плана. С помощью этих оценок можно оперативно корректировать рассчитанный план с учетом изменений обстановки. Объективно-обусловленные оценки тесно связаны с проблемой ценообразования. Они могут служить основой для построения системы цен и других экономических показателей: рента, плата за фонды, амортизация, норма эффективности капитальных вложений и т. д., которые имеют важное значение для функционирования сложной экономической системы и, в частности, для объективного сравнения вариантов плановых решений.

Таким образом, теория ценообразования и экономических показателей получила логически стройную основу для своего построения и развития. Результаты своих исследований по теории оптимального планирования социалистической экономики Леонид Витальевич изложил в известной монографии «Экономический расчет наилучшего использования ресурсов», вышедшей из печати с многолетним опозданием в 1959 г. За эту монографию Л. В. Канторович (одновременно с В. Л. Немчиновым и В. В. Новожиловым) был удостоен в 1965 г. Ленинской премии.

В 60-е годы Леонидом Витальевичем была построена общая линейная модель оптимального перспективного планирования экономики. Эта модель явилась окончательным звеном в обосновании возможности и необходимости экстремального подхода к народному хозяйству в целом.

Анализ построенной модели позволил Леониду Витальевичу строго обосновать ряд принципиальных положений теории планирования и ценообразования в социалистическиом обществе, проанализировать природу основных экономических показателей, используемых в практике планирования. Леонид Витальевич специально анализирует такие показатели, как норма эффективности капитальных вложений, план на производственные фонды, рента в сельском хозяйстве, нормативы амортизационных отчислений, уровни оптовых цен в отрасли и др. По этому поводу им написаны как научные работы, так и конкретные предложения в центральные директивные плановые органы, а также методики расчета отдельных показателей.

Много внимания Леонид Витальевич уделяет конкретным разработкам и их внедрению в народное хозяйство. Еще в довоенный период им совместно с М. К. Гавуриным изучена математическая модель транспортировки однородных грузов. В соответствующей работе предложены эффективные численные методы для решения транспортной задачи в матричной и сетевой постановках, которые в настоящее время широко используются в практике.

В 1951 г. вышла монография Л. В. Канторовича и В. А. Залгаллера, посвященная методам рационального раскроя промышленных материалов, обобщающая опыт внедрения указанных методов на ряде промышленных предприятий страны.

Л. В. Канторович руководил работами по обоснованию оптимальных тарифов на городской транспорт и такси. По инициативе Л. В. Канторовича в начале 60-х годов начата комплексная разработка системы оптимальной загрузки прокатных станов страны и прикрепления к ним потребителей металлопродукции. Эти разработки приняты за основу создаваемой в текущей пятилетке автоматизированной системы управления «Металл».

Много сил отдал Л. В. Канторович подготовке научных кадров. Сразу по окончании университета в 1930 г. он начал преподавание в высших учебных заведениях. С 1941 по 1948 г. служил в должности начальника кафедры в Военно-морской академии. С 1932 по 1941 г. и с 1944 по 1960 г. работал в Ленинградском университете; за это время было воспитано несколько поколений специалистов по функциональному анализу, вычислительной математике и математической экономике. Эти специальности создавались в те годы, и первые курсы в ЛГУ читались Леонидом Витальевичем. Созданная им к концу 50-х годов группа математиков-экономистов переехала во главе со своим руководителем в Новосибирск. С 1960 по 1971 г., будучи заместителем директора Института математики СО АН СССР, заведующим Отделом математического программирования в этом институте и заведующим кафедрой вычислительной математики НГУ, Л. В. Канторович немало способствовал становлению нового научного центра, расширению прикладных работ, связанных с развитием промышленности в Сибири. В 1971 г. переехал в Москву, начал работать и Институте народного хозяйства, готовящем высшие руководящие кадры народного хозяйства в нашей стране.

Новые направления в науке и новые области приложения научных результатов в жизни — характерные черты творчества Л. В. Канторовича. Свое шестидесятилетие Леонид Витальевич встречает в расцвете своих сил, с новыми планами, с новыми трудными задачами.

МАРК ГРИГОРЬЕВИЧ КРЕЙН (к пятидесятилетию со дня рождения)

3 апреля 1957 г. исполнилось пятьдесят лет со дня рождения одного из крупнейших советских математиков Марка Григорьевича Крейна.

М. Г. стал заниматься математикой еще в школе. В четырнадцатилетнем возрасте он слушает курс лекций по аналитической геометрии, который Б. Н. Делоне читал для студентов Киевского Политехнического института. Тогда же он делает первые доклады на семинаре Б. Н. Делоне, в котором разбирались различные вопросы геометрической теории чисел, а также теории Галуа. В 1922-1923 гг. М. Г. в качестве вольнослушателя посещает лекции на старших курсах физико-математического отделения Киевского ИНОа и принимает участие в различных семинарах академика Д. А. Граве.

Весной 1924 г. М. Г. без согласия родителей уезжает в Одессу, считая необходимым начать самостоятельную трудовую жизнь.

Живя случайными заработками, М. Г. продолжает самостоятельно заниматься математикой. Отправляясь от прочитанных еще в Киеве по совету академика Н. М. Крылова ряда статей, М. Г. пишет свою первую научную работу «О производных контурах и производных системах». Эта работа осенью 1924 г. была доложена на научно-исследовательской кафедре математики при Одесском ИНО; в дальнейшем работа получила премию на конкурсе научных работ 1925 г. при ВУКЕУ.

Судьбой Марка Григорьевича заинтересовались работавшие в Одессе Н. Г. Чеботарев и С. О. Шатуновский. М. Г. становится аспирантом Н. Г. Чеботарева. По окончании аспирантуры М. Г. представляет 7 работ: три по алгебре, три по геометрии и одну по теории функций комплексного переменного. Кроме того, во время пребывания в аспирантуре он изучает механику, активно участвуя в семинарах Г. К. Суслова при Одесском Политехническом институте. Блестящая алгебраическая техника, выработанная под влиянием Н. Г. Чеботарева, живой интерес к задачам механики и умение связывать сложные математические задачи с механическими соображениями остаются до настоящего времени отличительной чертой многих работ Марка Григорьевича.

После 1929 г. М. Г. работает в различных вузах в качестве доцента (до 1934 г.) и затем (с 1934 г.) профессора. В 1938 г. ученый совет механико-математического факультета Московского государственного университе-

Успехи математических наук. — 1958. — Т. 13, вып. 3(81). — С. 213-217 (совм. с М. А. Красносельским; в разделе «Математическая жизнь в СССР»).

а ИНО — Институт народного образования. — Прим. ред. 4-го тома Избр. трудов.

та присуждает M. Г. без защиты диссертации степень доктора физико-математических наук. В феврале 1939 г. М. Г. избран членом-корреспондентом АН УССР.

Научная деятельность М. Г., продолжающаяся свыше тридцати лет, чрезвычайно интенсивна. Она охватывает различные разделы алгебры, анализа, теории функций, функционального анализа, теории интегральных уравнений, дифференциальных уравнений, механики. М. Г. Крейном опубликовано около 150 научных работ, в том числе ряд монографий. Круг интересов М. Г. непрерывно расширяется: систематически появляются работы М. Г., посвященные новым вопросам. По-видимому, этим объясняется тот факт, что некоторые развитые им теории до сих пор не нашли полного изложения — М. Г., к сожалению, ограничился опубликованием основных результатов этих теорий в статьях в Д(окладах) АН.

В этой статье невозможно дать полный анализ многочисленных результатов М. Г.; мы ограничимся кратким описанием лишь некоторых основных линий его творчества.

1. Исходя из предположения, что динамические свойства упругого континуума должны определяться его статическими свойствами, М. Г. обнаружил, что в основе осцилляционных свойств упругого линейного континуума лежит тот простой алгебраический факт, что у матрицы, составленной из коэффициентов влияния, миноры любых порядков не отрицательны. Исходя из этого, была создана и совместно с Ф. Р. Гантмахером развита теория осцилляционных матриц и теория осцилляционных интегральных ядер. Эти матрицы и ядра обладают рядом замечательных спектральных свойств, которые позволяют исследовать колебания различных упругих систем. М. Г. обнаружил, что функции Грина многих дифференциальных операторов являются осцилляционными ядрами. Пользуясь этим, М. Г. выделил и изучил широкие классы обыкновенных дифференциальных уравнений, решения которых обладают осцилляционными свойствами. Тем самым впервые была создана общая теория, обобщающая на уравнения произвольного четного порядка классические работы Штурма об осциллировании решений уравнений второго порядка.

2. Существенную роль в творчестве М. Г. сыграла так называемая проблема моментов. Известно, что первые глубокие результаты по степенной проблеме моментов были получены в классических исследованиях П. Л. Чебышева и А. А. Маркова, а затем в работах 20-х годов Гамбургера, Ф. Рисса, Неймана. Развивая и углубляя эти исследования, М. Г. увязывает проблему моментов с теорией эрмитовых операторов в гильбертовом пространстве, с задачами теории вероятностей, с граничными задачами для уравнения Штурма-Лиувилля и т. д. Большой цикл работ по проблеме моментов был выполнен М. Г. совместно с Н. И. Ахиезером; в частности, ими

было дано полное решение обобщенной проблемы моментов А. А. Маркова. Как континуальный аналог проблемы моментов М. Г. строит теорию продолжения эрмитово положительных функций. При переводе на язык теории вероятностей результаты М. Г. дают решение некоторых задач из получающей сейчас все больше применений теории экстраполяции и фильтрации случайных процессов.

М. Г. дал новое изложение исследований А. А. Маркова, основанное на геометрических идеях, позволяющее указать ряд существенных дополнений к этим исследованиям, а также раскрыть многочисленные связи между ними и работами последнего времени по теории функций.

3. М. Г. принадлежит большой цикл работ по геометрии функциональных пространств. Им создано и вместе с учениками разработано новое направление — геометрия конусов в пространстве Банаха. Были изучены различные свойства пространств с конусами, найдены условия их реализации в виде пространства непрерывных функций (теорема братьев Крейнов -Какутани), получены теоремы о свойствах операторов, оставляющих инвариантным конус. Развитая теория нашла многочисленные приложения (в проблеме моментов, в исследовании различных операторных уравнений и особенно в теории интегральных уравнений с положительными ядрами).

Ряд работ М. Г. посвящен общей теории выпуклых тел в линейных пространствах. Из полученных здесь результатов отметим получившую широкую известность и различные приложения теорему Крейна-Мильмана об экстремальных точках выпуклого множества в функциональном пространстве.

4. М. Г. было проведено глубокое исследование линейных операторов в пространстве Гильберта с конечными индексами дефекта при помощи методов теории аналитических функций. Были найдены общие формулы для резольвент всех расширений таких операторов. М. Г. выделил класс так называемых целых операторов, в теории которых были установлены аналоги всех основных предложений неопределенного случая классической степенной проблемы моментов — вплоть до знаменитых неравенств Чебышева. Теория целых операторов дала М. Г. возможность связать друг с другом и в некотором отношении завершить решение таких классических проблем, как степенная проблема моментов, проблема продолжения эрмитово положительных функций, проблема продолжения винтовых дуг в гильбертовом пространстве с ее приложениями к проблеме экстраполяции и фильтрации стационарных случайных процессов.

Теория целых операторов позволила найти в самом общем случае доказательство единственности распределения масс на симметричной струне (с фиксированным натяжением и фиксированной длиной) с заданным спектром частот. Много нового теория целых операторов вносит и в общую

теорию сингулярной краевой задачи для дифференциальных операторов второго порядка.

5. М. Г. получил полное описание и дал классификацию всех самосопряженных положительных расширений положительного эрмитова оператора. Разработанная теория применена М. Г. к исследованию краевых задач для дифференциальных операторов различных порядков. В качестве одного из ярких результатов укажем неизвестное ранее и найденное М. Г. алгебраическое правило определения числа отрицательных собственных значений краевой задачи.

Созданная М. Г. теория расширения положительных операторов в работах других авторов была применена к исследованию граничных задач для уравнений с частными производными.

6. Отправляясь от идей проблемы моментов и спектральной теории операторов, М. Г. разработал новый метод получения теорем о спектральных разложениях функций — так называемый метод направляющих функционалов. Этот метод позволил устранить разрыв между общей теорией спектрального разложения самосопряженных операторов и теорией разложения по собственным функциям конкретных дифференциальных операторов. Метод направляющих функционалов позволил впервые получить основные спектральные теоремы для разложений по орфундаментальным» функциям сингулярных краевых задач для дифференциальных операторов любого четного порядка. Некоторые из этих теорем не были известны даже для сингулярных краевых задач второго порядка. Метод направляющих функционалов позволил единым способом получить для спектральных разложений утверждения типа теоремы Планшереля и типа теоремы Бохнера-Хинчина.

7. Обратной задачей Штурма-Лиувилля называют задачу об отыскании коэффициентов линейного дифференциального оператора второго порядка по различным характеристикам его спектров. Эта задача играет важную роль в вопросах квантовой механики. Первые результаты по обратной задаче были получены В. А. Амбарцумяном и Боргом. Наряду с В. А. Марченко, И. М. Гельфандом, Б. М. Левитаном важные результаты в обратной задаче принадлежат М. Г. Им были получены различные теоремы единственности и критерии существования дифференциального оператора при различных данных краевой задачи; многие из этих теорем являются в определенном смысле окончательными.

Для случая уравнения симметрической струны М. Г. дает простые и легко проверяемые условия, при которых данная последовательность чисел является спектром частот колебаний. Доказано, что распределение масс на струне определяется единственным образом по спектру частот колебаний, а также по некоторым функциям (например, так называемая переходная

функция), характеризующим движение струны. Из теорем М. Г. следует, например, что замена конечного числа частот колебаний другими числами приведет к системе чисел, являющейся спектром частот колебаний другой струны.

Эти результаты в случае колебаний нити с конечным числом бусинок приводят к замечательной механической интерпретации известных исследований Стилтьеса по непрерывным дробям и проблеме моментов.

8. А. М. Ляпуновым была разработана теория зон устойчивости для линейного дифференциального уравнения второго порядка с периодическими коэффициентами, играющая важную роль в вопросах динамической устойчивости, в теории демультипликационного резонанса, в теории кристаллических решеток и т. д. Очевидна важность обобщения исследований А. М. Ляпунова на случай систем дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Однако это обобщение наталкивалось на серьезные трудности и в течение пятидесяти лет существенного продвижения не было.

Лишь в последние годы М. Г. заложил основы теории устойчивости для канонических систем уравнений с периодическими коэффициентами. Он доказал существование бесконечного числа зон устойчивости и указал методы для определения их границ. Одна из найденных оценок для границ центральной зоны устойчивости является обобщением классического критерия А. М. Ляпунова для одного уравнения. Некоторые признаки устойчивости, найденные М. Г., являются новыми даже для случая систем с одной степенью свободы. М. Г. получил правило определения критических частот в явлениях так называемого е-параметрического резонанса; интересно отметить, что оно расходится с тем ошибочным в общем случае правилом, которое получали ранее грубыми средствами теории возмущений. Важную роль в теории М. Г. сыграл тот факт, что ему удалось обнаружить у канонических систем так называемые мультипликаторы первого и второго родов и изучить их движение в комплексной плоскости при изменении параметра в системе.

9. Совместно с Н. И. Ахиезером М. Г. явился одним из начинателей получившего сейчас большое развитие направления в теории приближений, получив точные оценки максимумов меры наилучшего приближения En(f) по всем функциям / из некоторых важных функциональных классов.

10. В теории топологических групп М. Г., кроме перенесения на локально компактные группы теоремы Планшереля, принадлежит своеобразный принцип двойственности для произвольных (не коммутативных) бикомпактных групп. Каждой такой группе ставится в соответствие алгебраическое образование — «квадратная блок-алгебра», — характеризующее

ее однозначно и позволяющее обозреть все ее унитарные представления.

Описанные выше линии творчества М. Г. не охватывают всего круга его результатов. За их пределами находятся, например, теория пространств с индефинитной метрикой, различные теоремы о базисах в банаховых пространствах, изучение индексов нормально разрешимых операторов, формула следов в теории возмущений, новый метод решения линейных интегральных уравнений и многое другое.

Работы М. Г. сыграли заметную роль в развитии ряда разделов математики. Влияние его идей можно проследить в исследованиях многих советских и зарубежных ученых.

Характерными для М. Г. являются научная общительность и умение заражать молодежь творческим энтузиазмом. М. Г., работая в Одесском университете в течение ряда лет, создал и возглавил известную одесскую школу функционального анализа. Всюду, где работал М. Г. (Одесса, Харьков, Киев, Куйбышев), его окружали ученики. Под его руководством написано свыше двадцати кандидатских диссертаций; пять его учеников являются докторами наук (М. А. Наймарк, Я. Л. Нудельман, М. С. Лившиц, М. А. Красносельский, Ю. М. Березанский).

МАРК ГРИГОРЬЕВИЧ КРЕЙН (к семидесятилетию со дня рождения)

3 апреля 1977 г. математическая общественность отметила семидесятилетие выдающегося советского математика Марка Григорьевича Крейна.

Яркие страницы биографии М. Г. Крейна — раннее (еще в детстве) увлечение математикой; трудовое, полное лишений отрочество, насыщенное упорным самообразованием; юность, озаренная первыми научными успехами — кратко освещены в статье, посвященной шестидесятилетию Марка Григорьевича (УМН, 23:3 (141), (1968), 197-214) и обозначаемой далее [LX].

Раннему расцвету математического таланта Марка Григорьевича (окончание аспирантуры в 22-летнем возрасте с представлением семи научных работ по алгебре, геометрии и теории функций) сопутствовало столь же раннее раскрытие таланта педагогического — в 22 года Марк Григорьевич — доцент, а в 27 лет — профессор, заведующий кафедрой. К моменту присуждения ему Ученым советом МГУ (без защиты диссертации) докторской степени (1938 г.) Марк Григорьевич — автор уже более 50 научных работ. В 1939 г. он был избран членом-корреспондентом АН УССР. К этому времени в Одесском государственном университете, где он, начиная с 1930 г., возглавлял различные кафедры (теоретической механики и математической физики, теории функций, математического анализа), вокруг Марка Григорьевича сплачивается большая группа молодых исследователей, с энтузиазмом и большим успехом разрабатывавших различные вопросы функционального анализа и его приложений. Этот коллектив впоследствии получил известность в математическом мире как Одесская школа функционального анализа. Именно из его рядов вышли такие крупные ученые, как М. А. Наймарк, М. С. Лившиц, В. П. Потапов.

В 1940 году по инициативе президента АН УССР А. А. Богомольца М. А. Лаврентьев и М. Г. Крейн были командированы во Львов для установления деловых контактов с математиками Львова. Участие Марка Григорьевича в этой работе было особенно полезным ввиду близости его научной тематики к интересам работавшего в то время во Львове всемирно известного математика С. Банаха.

В тяжелые военные годы педагогическая и научная деятельность Марка Григорьевича еще больше активизировалась. Он заведует кафедрой теоретической механики в Куйбышевском индустриальном институте, участ-

Успехи математических наук. — 1978. — Т. 33, вып. 3. — С. 197-203 (совм. с В. М. Адамяном, Ю. М. Березанским, Н. Н. Боголюбовым, И. С. Иохвидовым, М. А. Лаврентьевым, Ю. А. Митропольским; в разделе «Математическая жизнь в СССР».)

вует в организации Куйбышевского авиационного института. Из под его пера выходят одна за другой выдающиеся научные работы, краткие сообщения о которых печатаются в «Докладах АН СССР». Идеи, заложенные в них, дали основу для разработки в последующие десятилетия как самим Марком Григорьевичем, так и его учениками и последователями ряда новых направлений в функциональном анализе, теории функций, теории дифференциальных уравнений и в других разделах.

Научная молодежь продолжает окружать Марка Григорьевича и в послевоенные годы, когда он (до 1954 г.) работает в Одесском институте инженеров морского флота, а затем заведует кафедрой теоретической механики в Одесском инженерно-строительном институте. Для руководимых Марком Григорьевичем в этих институтах научно-исследовательских семинаров, как и для всего его творчества, характерно тесное переплетение теоретической и прикладной тематики. Поэтому не удивительно, что из «недр» этих семинаров вышло не только большое количество ученых-математиков, но и доктора технических наук А. А. Костюков, В. Г. Сизов (теория корабля), доктор физико-математических наук Г. Я. Попов (теория упругости).

Сейчас в числе учеников, воспитанных Марком Григорьевичем, 17 докторов и более 40 кандидатов наук, причем многие из них возглавляют крупные научные школы в различных городах нашей страны, так что задача подсчета научных «внуков и правнуков» Марка Григорьевича является довольно сложной.

Десятилетие 1967-1977 гг. в жизни М. Г. Крейна было чрезвычайно насыщенным, причем не столько внешними событиями (отметим лишь избрание его в 1970 г. иностранным почетным членом Американской академии искусств и наук), сколько интенсивной научной деятельностью, к характеристике которой мы и переходим.

Авторы юбилейной статьи [LX] сетовали на невозможность полностью проанализировать в ней научное творчество Марка Григорьевича. Тем труднее такая задача сейчас, когда количество публикаций Марка Григорьевича приблизилось к 250, а их «приращение» за последние 10 лет состоит, в основном, из крупных работ фундаментального характера, в том числе — двух новых монографий. Поэтому мы поставили перед собой более скромную задачу — дополнить содержащийся в [LX] анализ основных линий творчества М. Г. Крейна кратким обзором упомянутого приращения.

Проблема моментов, теория приближений и теория 5-матриц. Итогом многолетних исследований М. Г. Крейна, его учеников, сотрудников (Н. И. Ахиезер, А. А. Нудельман и др.) по проблеме моментов явилась написанная совместно с А. А. Нудельманом монография [226]. В ней с современных позиций рассмотрен большой круг вопросов, ведущих свое

начало от классических работ П. Л. Чебышева и А. А. Маркова по теории функций, наименее уклоняющихся от нуля, по обобщенной проблеме моментов и по теории «предельных величин» интегралов. В книге детально исследована структура выпуклых и конических оболочек кривых, установлены изопериметрические неравенства для выпуклых оболочек, построена теория ортогональных и квазиортогональных многочленов, решен ряд экстремальных задач теории квадратур, интерполирования и экстраполирования в различных классах функций, изложены результаты исследований М. Г. Крейна по абстрактной L-проблеме моментов. Здесь уместно выделить одну черту, присущую Марку Григорьевичу: прекрасно зная работы классиков, отправляясь от них во многих своих исследованиях, он постоянно держит в поле зрения давние нерешенные вопросы. Так в свое время были продолжены и развиты теория квадратурных формул Чебышёва-Маркова, исследования А. М. Ляпунова по теории устойчивости и многое другое (об этом подробнее см. в [LX]). В рассматриваемом нами «приращении» также имеется немало примеров внимания Марка Григорьевича к наследию классиков. Так в [226] впервые и притом простыми средствами решается до конца принципиальная задача по проблеме моментов Стилтьеса, неявно содержавшаяся в мемуаре П. Л. Чебышева 1892 г. и не отмеченная в комментариях ни в одном издании сочинений этого великого математика. Некоторые вопросы, затронутые в книге [226], получили дальнейшее развитие в работе [242].

К проблемам, затронутым в монографии [226], непосредственно примыкает также цикл совместных исследований [207]-[210], [218]-[221] М. Г. Крейна, В. М. Адамяна и Д. 3. Арова. Центральное место в них занимает проблема отыскания среди функций на единичной окружности с заданными коэффициентами Фурье при отрицательных степенях экспоненты егв\ 0 ^ в < 27г, функций, удаленных от нуля в метрике Loo(0,2тт) на расстояние, не большее заданного числа р > 0 (обобщенная проблема Шура). Ее частными случаями являются многие проблемы продолжения теории аналитических функций, включая проблемы Каратеодори-Фейера, Шура, Неванлинны-Пика, проблему Сарасона и поставленную М. Г. Крейном проблему продолжения акселерант.

В работах этого цикла на основе подхода, представляющего собой своеобразный синтез теории расширений изометрических операторов и теории бесконечных блочно-ганкелевых матриц, был установлен критерий однозначной разрешимости и получено полное описание всех решений сформулированной проблемы, найдены континуальные аналоги соответствующих предложений и изучены их многомерные, а также и индефинитные варианты, навеянные старыми работами Т. Такаги и Н. И. Ахиезера. Матричные и континуальные аналоги построенной теории привели ее в соприкосновение

с давними исследованиями Марка Григорьевича по прямым и обратным задачам теории акселерант и 5-матриц канонических дифференциальных операторов, опиравшимися на другие методы. В последнее десятилетие на новой основе М. Г. Крейн и Ф. Э. Мелик-Адамян получили окончательные результаты по теории 5-матриц для канонических дифференциальных операторов с суммируемыми потенциалами [209], [215].

Теория операторов. В обзорном докладе М. Г. Крейна [204] на Международном конгрессе математиков (Москва, 1966), в частности, подчеркивалась важность для всей теории линейных операторов в гильбертовом пространстве аналитического аппарата характеристических матриц- и оператор-функций, основы которого были заложены учеником Марка Григорьевича М. С. Лившицем. За последнее десятилетие в работах М. Г. Крейна, его учеников и сотрудников и других авторов получила подтверждение правильность высказанного в [204] прогноза о том, что дальнейшее развитие теории потребует эволюции первоначального понятия характеристической оператор-функции, содержавшего, как обычно бывает, ряд слишком жестких ограничений. Эта эволюция, не завершившаяся и ныне, частично отражена в работах [211], [213], [222].

В работе [214] М. Г. Крейн и Ш. Н. Саакян, развивая созданную Марком Григорьевичем теорию резольвентных матриц эрмитовых операторов, установили важную связь между резольвентной матрицей произвольного эрмитова оператора с любыми равными дефектными числами и характеристической функцией некоторого У-узла в смысле [213]. Эта связь открывает путь к реализации абстрактно заданного эрмитова оператора в виде канонического дифференциального оператора, отличающийся от указанного в [204].

Ряд работ Марка Григорьевича и его учеников посвящается исследованию обобщенных резольвент эрмитовых операторов специальных классов. Эти исследования были продолжены в работах М. Г. Крейна и И. Е. Овчаренко [236], [239], [243].

Как известно, Марк Григорьевич является одним из создателей теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой. К сказанному об этом в [LX] следует добавить, что идеи работы [182] послужили основой для большого потока исследований многих авторов по теории операторов в произвольных J-пространствах (называемых в недавно вышедшей за рубежом монографии Яноша Богнара пространствами Крейна). Что же касается спектральной теории операторов в пространствах П^, то после решающего шага, сделанного в совместной работе [176] М. Г. Крейна и Г. К. Лангера, где были построены спектральные разложения 7г-самосопряженных и 7г-унитарных операторов, в результате дальнейших исследований М. Г. Крейна и Г. К. Лангера [223]-[225], [229], [233],

[244], [245] эта теория была доведена до уровня, сравнимого с теорией операторов в гильбертовом пространстве.

Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. Один из важных этапов в творчестве М. Г. Крейна за истекшее десятилетие — завершение оригинальной монографии [217], написанной совместно с Ю. Л. Далецким. В опубликованной книге, в частности, систематизированы многолетние исследования Марка Григорьевича но теории устойчивости.

В 1973 г. в небольшой статье [228] М. Г. Крейн с удивительным изяществом показал, что неравенства для старших коэффициентов разложения функции Ляпунова А (А), высказанные в виде предположения А. М. Ляпуновым в 1902 г., справедливы даже в случае многомерных уравнений и являются следствием одного общего принципа усреднения ядерных операторов.

Другие вопросы. В обозреваемый период Марком Григорьевичем была написана совместно с И. С. Кацем монографического характера статья [206], посвященная теории спектральных функций струны, которую желательно было бы рассматривать как начало подробного изложения результатов по этой теме, анонсированных М. Г. Крейном еще в 1951-1954 гг. Кроме того, работы Марка Григорьевича по спектральной теории струны пополнились исследованием [212], посвященным континуальным аналогам неравенств Чебышёва-Маркова в теории спектральных функций.

Хотя значительная часть результатов М. Г. Крейна по обратным задачам спектральной теории струны и их связям с проблемой прогнозирования стационарных случайных процессов опубликована в виде кратких сообщений, тем не менее эти результаты получили широкое признание и известность, а разработанный Марком Григорьевичем аппарат спектральной теории струны уже вошел в арсенал рабочих средств теории стационарных случайных процессов.

Примером умения М. Г. Крейна увязывать теоретические и прикладные исследования, видеть в частных технических задачах лежащие в их основе математические закономерности является решенная им совместно с П. Я. Нудельманом радиотехническая задача построения реализуемой передаточной функции, аппроксимирующей с предписанной точностью в интервале частот (с^ьи^) наперед заданную функцию F G L2{u\)U2) при условии максимальной (в энергетическом смысле) частотной избирательности.

Большой цикл исследований М. Г. Крейна по уравнениям Винера-Хопфа (см. [LX]) пополнился за прошедшее десятилетие работами [234], [235], в которых указывается общий признак, когда уравнения Винера-Хопфа могут быть сведены к нелинейным интегральным уравнениям, аналогичным

рассматривавшимся В. А. Амбарцумяном в связи с задачей о лучистом равновесии, и с исчерпывающей полнотой изучается одно семейство уравнений Винера-Хопфа, допускающих такое сведение.

Нам, конечно, не удалось охватить всего, что создано Марком Григорьевичем за последние десять лет. Мы надеемся, что в какой-то мере пониманию этого вклада может способствовать простое (и далеко не полное) перечисление новых понятий, введенных и исследованных впервые в работах М. Г. Крейна и занявших прочное место в науке.

I. Геометрия банаховых пространств. Конус в банаховом пространстве; конус телесный, воспроизводящий, нормальный, миниэдральный, почти миниэдральный, острый; а-норма в пространстве с конусом. Пространство с двумя нормами. Раствор двух подпространств. Интерсферическое дробнолинейное преобразование. Регулярно-выпуклые множества. Устойчивость базиса в банаховом пространстве.

II. Теория расширений эрмитовых операторов. Ясп-оператор (укороченный оператор). Жесткое и мягкое расширения. Резольвентная матрица эрмитова оператора. Q-функция эрмитова оператора. Масштабное подпространство. Целый эрмитов оператор.

III. Спектральная теория. Направляющий функционал; метод направляющих функционалов. Винтовая дуга в гильбертовом пространстве; проблема продолжения. Эрмитово-положительная функция на конечном интервале; проблема продолжения эрмитово-положительных функций; проблема продолжения эрмитово-положительных ядер. Проблема продолжения эрмитовых функций с к отрицательными квадратами; винтовая дуга в бесконечномерном пространстве Лобачевского. Переходная функция П(£). Акселеранта. Бесконечный определитель возмущения. Функция спектрального сдвига.

IV. Операторы в пространствах с индефинитной метрикой.

Плюс-оператор. Дефинизирующий многочлен, 7г-самосопряженная спектральная оператор-функция 7г-самосопряженного оператора. Сильно и слабо деформированные квадратичные пучки операторов.

V. Теория функций. L-проблема моментов Маркова. Абстрактная L-проблема моментов. Минифункция. Каноническая (Г, р)-функция.

VI. Несамосопряженные операторы. Ф-оператор; Ф+- и Ф_-операторы. Факторизация оператора вдоль цепочки.

VII. Матрицы, дифференциальные и интегральные операторы. Вполне неотрицательные и вполне положительные матрицы и ядра. Осцилляционная матрица; осцилляционное ядро; осцилляционный дифференциальный оператор. Каноническая система положительного типа (с положительным эрмитианом). Центральная зона устойчивости. Род мультипликатора; мультипликаторы I и II рода. Главные граничные условия.

VIII. Теория представлений компактных групп. Квадратная блок-алгебра (алгебра Крейна). Алгебра £Ис-функций на компактной группе.

Нарисованная нами картина была бы неполной, если бы мы не сказали о выдающемся лекторском таланте Марка Григорьевича, о его научной щедрости, вместе с тем, требовательности по отношению к своим ученикам, об атмосфере энтузиазма, которая возникает при творческом общении с ним.

Пожелаем же Марку Григорьевичу сохранить эти драгоценные качества и высокий творческий потенциал еще на долгие годы.

СПИСОК ПЕЧАТНЫХ РАБОТ М. Г. КРЕЙНА1

[176] О спектрально функции самосопряженного оператора в пространстве с индефинитной метрикой, ДАН 152:1 (1963), 39-42 (совм. с Г. К. Лангером).

[182] Об одном новом применении принципа неподвижной точки в теории операторов в пространстве с индефинитной метрикой, ДАН 152 (1963), 1023-1026.

[204] Аналитические проблемы и результаты теории линейных операторов в гильбертовом пространстве, Труды международного конгресса математиков (Москва, 1966), 1968, 189-231.

[206] О спектральных функциях струны. Дополнение II к книге Ф. Аткинсона «Дискретные и континуальные граничные задачи», М., «Мир», 1968, 648-737 (совм. с И. С. Кацем).

[207] О бесконечных ганкелевых матрицах и обобщенных задачах Каратеодори-Фейера и Ф. Рисса, Функц. анализ 2:1 (1968), 1-19 (совм. с В. М. Адамяном и Д. 3. Аровым).

[208] О бесконечных ганкелевых матрицах и обобщенных задачах Каратеодори-Фейера и Шура, Функц. анализ 2:4 (1968), 1-17 (совм. с В. М. Адамяном и Д. 3. Аровым).

[209] К теории 5-матриц канонических дифференциальных уравнений с суммируемым потенциалом, ДАН Арм. ССР 46:4 (1,968), 150-154 (совм. с Ф. Э. Мелик-Адамяном) .

[210] Об ограниченных операторах, коммутирующих с сжатием класса Соо единичного ранга неунитарности, Функц. анализ 3:3 (1969), 86-87 (совм. с В. М. Адамяном и Д. 3. Аровым).

[211] представлениях линейных операторов и мультипликативных представлениях их характеристических функций, Функц. анализ 3:4 (1969), 1-27 (совм. с В. М. Бродским, И. Ц. Гохбергом).

1 Начало списка см. в УМН 13:3 (81), (1958), 218-224, продолжение в УМН 23:3 (141) (1968), 197-214. Этот список не включает многочисленных научно-публицистических работ М. Г. Крейна (памятных и юбилейных статей о русских и советских математиках, предисловий к переводам монографий иностранных авторов и др.). [В настоящем издании мы воспроизводим только те пункты списка работ М. Г. Крейна, на которые в тексте имеются ссылки. — Прим. ред. 4-го тома Избр. трудов.]

[212] Неравенства Чебышева-Маркова в теории спектральной функции струны, Матем. исслед., Изд-во АН Молд. ССР 5:1 (1970), 77-101.

[213] Определение и основные свойства характеристической функции 5-узла, Функц. анализ 4:1 (1970), 88-90 (совм. с В. М. Бродским и И. Ц. Гохбергом).

[214] Резольвентная матрица эрмитова оператора и связанные с нею характеристические функции, Функц. анализ 4:3 (1970), 103-104 (совм. с Ш. Н. Саакяном).

[215] Некоторые приложения теоремы о факторизации унитарной матрицы, Функц. анализ 4:4 (1970), 73-75 (совм. с Ф. Э. Мелик-Адамяном).

[217] Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, М., «Наука», 1970, 1-534 (совм. с Ю. Л. Далецким).

[218] О новых неравенствах для характеристических чисел интегральных уравнений с гладкими ядрами, Матем. исслед., Изд-во АН Молд. ССР 5:1 (1970), 22-39 (совм. с И. Ц. Гохбергом).

[219] Аналитические свойства пар Шмидта ганкелева оператора и обобщенная задача Шура-Такаги, Матем. сб. 85 (128): 1 (9) (1971), 39-73 (совм. с В. М. Адамяном и Д. 3. Аровым).

[220] Бесконечные блочно-ганкелевы матрицы и связанные с ними проблемы продолжения, Изв. АН Арм. ССР 6:2-3 (1971), 87-112 (совм. с В. М. Адамяном и Д. 3. Аровым).

[221] Ганкелевы операторы, задачи экстраполяции матриц-функций и теория 5-матриц, Тезисы докладов Всесоюзной конференции по теории функций комплексного переменного, Харьков, 1971, 6-8 (совм. с В. М. Адамяном и Д. 3. Аровым).

[222] О характеристических функциях обратимого оператора, Acta Sci. Math. 32:1-2 (1971), 141-164 (совм. с В. М. Бродским и И. Ц. Гохбергом).

[223] О дефектных подпространствах и обобщенных резольвентах эрмитова оператора в пространстве П^. I, Функц. анализ 5:2 (1971), 59-71 (совм. с Г. Лангером).

[224] О дефектных подпространствах и обобщенных резольвентах эрмитова оператора в пространстве П^. II, Функц. анализ 5:3 (1971), 54-69 (совм. с Г. Лангером).

[225] Uber die verallgemeinerten Resolventen und die charakteristische Funktion eines isometrischen Operators im Räume П^, Colloquium Math. Soc. Jânos Bolyai 5 (1971), 353-400 (совм. с Г. Лангером).

[226] Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи, М., «Наука», 1973, 1-558 (совм. с А. А. Нудельманом).

[228] Об одном предположении А. М. Ляпунова, Функц. анализ 7:3 (1973), 45-54.

[229] Uber die Q-Funktionen eines 7r-hermiteschen Operators im Räume П^, Acta Sci. Math. 34 (1973), 191-230 (совм. с Г. Лангером).

[233] Об индефинитной степенной проблеме моментов, ДАН 226:2 (1976), 261-264 (совм. с Г. Лангером).

[234] О нелинейных интегральных уравнениях, играющих роль в теории уравнений Винера-Хопфа. I, Матем. исслед., Изд-во АН Молд. ССР, вып. 42 (1976), 47-90.

[235] О нелинейных интегральных уравнениях, играющих роль в теории уравнений Винера-Хопфа. II, Матем. исслед., Изд-во АН Молд. ССР, вып. 45 (1977), 67-92.

[236] До теорії узагальнених резольвент нещільно заданих ермітових стиснень, ДАН УРСР, серія А, № 10 (1977), 881-884 (совм. с И. Е. Овчаренко).

[239] Об обобщенных резольвентах и резольвентных матрицах положительных эрмитовых операторов, ДАН 231:5 (1977), 1063-1066 (совм. с И. Е. Овчаренко).

[242] Про одну інтерполяційну проблему, споріднену з проблемою моментів Стілтьеса, ДАН УРСР, серия А, № 12 (1977), 1068-1072 (совм. с А. А. Нудельманом).

[243] О факторизации а-секториальных матриц-функций на единичной окружности, Матем. исслед., Изд-во АН Молд. ССР, вып. 47 (1978) (совм. с И. М. Спитковским), 41-63.

[244] Uber einige Fortsetzungsprobleme, die eng mit hermiteschen Operatoren im Räume zusammenhängen, I. Einige Funktionen-klassen und ihre Darstellungen, Math. Nachricht. 77 (1977), 187-236 (совм. с Г. Лангером).

[245] Uber einige Fortsetzungsprobleme, die eng mit hermiteschen Operatoren im Räume Пк zusammenhangen, II. Verallgemeinerte Resolventen, u-Resolventen und ganze Operatoren, J. of Funct. Anal. (1978) (совм. с Г. Лангером).

ЛАЗАРЬ АРОНОВИЧ ЛЮСТЕРНИК (к пятидесятилетию со дня рождения)

31 декабря 1949 г. исполнилось 50 лет со дня рождения одного из самых выдающихся и ярких представителей московской математической школы, члена-корреспондента АН СССР Лазаря Ароновича Люстерника.

После того как московская математическая школа сформировалась на основе культивирования Д. Ф. Егоровым и Н. Н. Лузиным новых методов теории множеств и теории функций действительного переменного, область ее интересов стала быстро расширяться. Особенно интенсивен был этот процесс овладения новыми областями математики в середине двадцатых годов, когда с учреждением при Московском университете Института математики в этом институте работы старшего поколения были поддержаны инициативой большой группы математической молодежи. Уже в самых первых своих работах Л. А. Люстерник пошел в этом отношении по самостоятельному пути, начав продолженный потом И. Г. Петровским ряд московских работ по прямым методам вариационного исчисления и специально по задаче Дирихле (1924).

Еще более значительное новое направление было создано Л. А. Люстерником совместно с Л. Г. Шнирельманом в развитии некоторых работ П. С. Урысона в области применения к вариационному исчислению «в целом» топологических методов. Доказанная Л. А. Люстерником и Л. Г. Шнирельманом в 1929 г. теорема о трех геодезических остается и в настоящее время одним из самых блестящих достижений математики последних десятилетий. Вместе с рядом учеников Л. А. Люстерник разрабатывает топологические методы анализа в течение всего следующего двадцатилетия. Наиболее общие и окончательные результаты по вариационному исчислению в целом были получены Л. А. Люстерником с применением нового топологического аппарата в 1943-1946 гг. За эти работы ему была присуждена Сталинская премия.

В тридцатых годах в круг интересов Л. А. Люстерника попадают собственные значения линейных и нелинейных дифференциальных уравнений, где он тоже получает ряд интересных результатов. С возникновением в Москве интереса к функциональным пространствам Л. А. Люстерник не только поддерживает его своей широко известной статьей в первом томе Успехов математических наук, но и начинает важную новую область исследований, которую проще всего охарактеризовать как перенесение на

Успехи математических наук. — 1950. — Т. 5, вып. 1. — С. 234-235.

бесконечномерные пространства основных понятий и приемов дифференциальной геометрии поверхностей и многомерных пространств.

Для всех перечисленных направлений работы Л. А. Люстерника типично стремление к соединению современных теоретико-множественных методов с подлинной геометричностью. Как свою блестящую геометрическую интуицию, так и теоретико-множественную культуру Л. А. Люстерник направляет на решение труднейших задач анализа.

Участие в практических работах военного времени в период 1942— 1944 гг. включило в круг интересов Л. А. Люстерника проблемы вычислительной и машинной математики и, начиная с 1946 г., он выступает с рядом интересных научных работ в этой области.

В качестве профессора Московского университета, руководителя научной молодежи, автора учебников и популярных книг Л. А. Люстерник является горячим пропагандистом тех широких объединяющих идей, которыми руководится его собственное научное творчество, и прогрессивного советского направления в математике, не знающего никакого разрыва между новейшими достижениями теоретической науки и непосредственной практической работой прикладного математика. Глубокий интерес Л. А. Люстерника к общим задачам развития математики, научного математического образования и организации научных исследований в нашей стране нашел свое выражение и в том обстоятельстве, что Л. А. Люстерник явился создателем начавших выходить под его редакцией в 1936 г. Успехов математических наук. Во всей работе редакции этого издания за истекшие 13 лет Л. А. Люстернику принадлежит бесспорно первое место.

Всем хорошо известна разнообразная деятельность Л. А. Люстерника по организации математической работы со школьниками и учителями, критике программ, по составлению новых учебников и вообще по всем вопросам математического просвещения. В последние годы Л. А. Люстерник проводил большую работу по созданию научной школы в области вычислительной математики. Он был одним из инициаторов создания специального института, развертывающего в АН СССР работу в этом чрезвычайно актуальном направлении, а также соответственных кафедр в МГУ. Мы видим, таким образом, что трудно найти раздел советской математической жизни, в котором не поработал бы Л. А. Люстерник.

ГУРИЙ ИВАНОВИЧ МАРЧУК (к шестидесятилетию со дня рождения)

Гурий Иванович Марчук родился 8 июня 1925 г. в семье сельского учителя. В 1942 г. он закончил среднюю школу и стал студентом математико-механического факультета Ленинградского государственного университета. В 1943-1945 гг. служил в Советской Армии. После демобилизации продолжил учебу в университете, здесь же вступил в ряды КПСС.

Научная деятельность Гурия Ивановича Марчука началась в Ленинградском университете. Сразу же после окончания университета он поступил в аспирантуру и в 1952 г. защитил кандидатскую диссертацию «Динамика крупномасштабных полей метеорологических элементов в бароклинной атмосфере». В 1953 г. Г. И. Марчук начал работать в Физико-энергетическом институте (г. Обнинск), где Гурий Иванович заведовал лабораторией, затем математическим отделом института — здесь проявился его талант ученого и организатора.

Заведование кафедрой высшей математики в Обнинском филиале Московского инженерно-физического института помогло Гурию Ивановичу в те годы вовлечь в науку большую группу талантливой молодежи. В короткий срок он создал сильный коллектив математиков-прикладников в области ядерной энергетики, принимал участие в разработке первой в мире атомной электростанции. Г. И. Марчук предложил новые методы расчета ядерных реакторов, которые и по настоящее время составляют основу математического моделирования и имитационных расчетов.

В 1956 г. Г. И. Марчук защитил докторскую диссертацию «Численные методы расчета ядерных реакторов», которая легла в основу его одноименной книги (М.: Атомиздат, 1958). Эта книга принесла автору широкую известность как в Советском Союзе, так и за рубежом. В 1961 г. за научные достижения Гурию Ивановичу была присуждена Ленинская премия, а в следующем он избирается членом-корреспондентом АН СССР.

В 1962 г. Г. И. Марчук был приглашен в Сибирское отделение Академии наук СССР: ему поручалось на базе вычислительного центра Института математики СО АН СССР организовать самостоятельное научно-исследовательское учреждение, оснащенное современной вычислительной техникой, которое могло бы активно участвовать в решении проблем развития науки и производства в Сибири. Менее чем через два года состоя-

Успехи математических наук. — 1985. — Т. 40, вып. 5. — С. 3-17 (совм. с Н. Н. Боголюбовым, В. С. Владимировым).

лось официальное открытие Вычислительного центра Сибирского отделения АН СССР.

Под руководством Г. И. Марчука в Вычислительном центре СО АН развернулись интенсивные исследования по актуальным направлениям вычислительной математики и ее применения в ряде важных проблем науки и техники — физике атмосферы, теории переноса излучения, геофизике, механике сплошной среды, а также работы по вычислительной технике и ее программному обеспечению. По этим направлениям Г. И. Марчук организовал постоянно действующие научные семинары, тематические конференции и симпозиумы. Вскоре возглавляемый Г. И. Марчуком коллектив стал основным научным центром исследований по вычислительной математике в Сибири и одним из крупнейших в нашей стране и за рубежом. Вместе с Гурием Ивановичем в коллективе работали такие известные ученые, как Н. Н. Яненко, М. М. Лаврентьев, А. С. Алексеев, С. К. Годунов, А. П. Ершов, Г. П. Курбаткин. Вычислительный центр СО АН СССР сыграл огромную роль в организации эффективного использования средств вычислительной техники в народном хозяйстве Сибири, Дальнего Востока и Средней Азии — он стал прообразом и «кадровой базой» создания новых вычислительных центров Сибирского отделения в Красноярске и Иркутске. В этом несомненная заслуга Гурия Ивановича и созданной им сибирской научной школы по вычислительной и прикладной математике.

Как и в период работы над проблемами ядерной энергетики, в эти годы в научной деятельности Г. И. Марчука вычислительная математика, разработка и обоснование ее методов занимает особое место. Математическое моделирование конкретных процессов является для него не только обширной сферой применения методов вычислительной математики, но и средством для постановки ее новых актуальных проблем. Среди многочисленных результатов его исследований в области вычислительной математики прежде всего нужно отметить развитие теории сопряженных уравнений и алгоритмов возмущений для задач с линейными и квазилинейными дифференциальными операторами, исследования по разностным и вариационно-разностным методам в математической физике, методам расщепления, итерационным методам решения задач алгебры. Значительное внимание Г. И. Марчук и его ученики уделяли в эти годы методам статистического моделирования в применении к сложным задачам атмосферной оптики; их работы стали основополагающими в этом направлении. Признанием большого личного вклада Г. И. Марчука в развитие вычислительной математики явились его выступления на Международном конгрессе математиков в Москве в 1966 г. с обзорным докладом «Вычислительные методы в теории переноса» и в Ницце (Франция) в 1970 г. с пленарным докладом «Методы и проблемы вычислительной математики», а в 1979 г. Г. И. Мар-

чуку в составе коллектива авторов за работы по развитию и применению методов статистического моделирования была присуждена Государственная премия СССР.

Большое место в научной деятельности Г. И. Марчука в этот период занимают вопросы гидротермодинамики атмосферы и океана. Его исследования в этой области привели к построению замкнутой системы уравнений гидротермодинамики атмосферных процессов в квазигеострофическом приближении и полной системы квазилинейных уравнений, описывающих совместную динамику атмосферы и океана. Для решения сформулированных математических задач им были предложены современные эффективные численные методы, в основу которых положена идея расщепления операторов задачи на простейшие по физическим процессам. В 1975 г. за цикл, работ по гидротермодинамическим методам прогноза погоды и физике атмосферных процессов ему была присуждена премия им. А. А. Фридмана АН СССР.

Важный цикл исследований выполнен Г. И. Марчуком в области моделирования изменений среды под воздействием загрязнений, вызванных производственной деятельностью человека. Выдвинутая Г. И. Марчуком идея использования для этих целей теории сопряженных уравнений переноса и диффузии примесей, позволила ему сформулировать и решить проблему оптимизации размещения промышленных предприятий, при котором загрязнение определенных экологических зон минимально.

Отличительная черта Гурия Ивановича — постоянный интерес к новым, неожиданным применениям математики. Он — один из основателей нового, актуального направления прикладной математики — математического моделирования в иммунологии и медицине. В 1974 г. его внимание привлекла проблема математического моделирования иммунных реакций человеческого организма, возникающих в результате вирусных и бактериальных инфекций. Ему впервые удается построить систему нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, адекватно описывающих эти процессы. Этот и последующие результаты Г. И. Марчука в области математической иммунологии получили международную известность и признание. В настоящее время они интенсивно развиваются и находят применение в медицинской практике. В 1981 г. за создание и развитие новых методов математического моделирования Г. И. Марчук был награжден Золотой медалью им. М. В. Келдыша АН СССР.

В своей научной и научно-организационной работе Г. И. Марчук последовательно проводит в жизнь основной принцип — фундаментальные исследования с последующим внедрением результатов в народное хозяйство. Отсюда комплексный подход в решении важных народнохозяйственных проблем, тесная кооперация специалистов различного профиля в рам-

ках конкретной проблемы, особое внимание развитию технической базы исследований — современной вычислительной технике и ее программному обеспечению. По инициативе и при активном личном участии Г. И. Марчука в Вычислительном центре СО АН СССР интенсивно развиваются работы по системам разделения времени, вычислительным центрам коллективного пользования, пакетам программ и машинной графике, автоматизированным системам управления, архитектуре новых вычислительных машин и систем. Успехи коллектива Вычислительного центра СО АН СССР и личные достижения Г. И. Марчука в области вычислительной математики и математического моделирования получили широкое признание в нашей стране и за рубежом. В 1968 г. Г. И. Марчук был избран действительным членом Академии наук СССР, в 1967 и в 1971 гг. за выдающиеся научные и научно-организационные заслуги награжден орденами Ленина.

С первых дней работы в Сибирском отделении АН СССР Гурий Иванович Марчук активно включился в научно-педагогическую деятельность Новосибирского государственного университета. С 1966 г. он заведовал кафедрой динамической метеорологии, а затем кафедрой вычислительной математики. Он читает студентам механико-математического факультета основной курс по методам вычислений и ряд специальных курсов по математическому моделированию. Материал этих лекций был положен в основу его известной книги «Методы вычислительной математики», которая неоднократно издавалась на русском и иностранных языках. Среди учеников Г. И. Марчука более сорока кандидатов и более десяти докторов физико-математических наук.

Научная, научно-организационная и педагогическая деятельность Г. И. Марчука была много шире рамок Вычислительного центра СО АН СССР. Он и по сей день член целого ряда научных и ученых советов, член редакционных коллегий многих ведущих и зарубежных журналов, среди которых «Известия АН СССР, Серия физики атмосферы и океана», «Математический сборник», «Сибирский математический журнал», «Метеорология и гидрология», «Journal of Computational Physics», «Numerische Mathematik», «Journal of Computer and System Sciences», «Applied Mathematics and Optimization», «Advances in Applied Mathematics», «Calcolo» и другие. Он — научный руководитель и активный участник многих всесоюзных и международных симпозиумов, конференций, всесибирских школ молодых ученых, которые не только способствовали подъему научного потенциала Сибири и Дальнего Востока, но и оказали значительное влияние на развитие ряда научных направлений в нашей стране.

Большой вклад сделан Г. И. Марчуком в развитие дружеских связей советских ученых с учеными Болгарии, Чехословакии, Франции, Индии и многих других стран. Он избран почетным доктором Тулузского универ-

ситета (Франция), почетным доктором физико-математических наук Карпова университета (ЧССР), почетным доктором Дрезденского (ГДР) и Будапештского (ВНР) технических университетов, иностранным членом Академий наук Народной республики Болгарии, Германской Демократической Республики, Чехословацкой Социалистической Республики. Г. И. Марчук награжден Чехословацкой академией наук Золотой медалью «За заслуги перед наукой и человечеством».

Талант крупного научного и общественного деятеля с особой силой проявился у Гурия Ивановича на посту заместителя председателя СО АН СССР, затем председателя СО АН СССР и вице-президента АН СССР. Исходя из задач, поставленных перед наукой XXIV съездом партии, опираясь на тот огромный и уникальный опыт организации науки, который был накоплен президиумом Сибирского отделения АН СССР, Г. И. Марчук сформулировал широкую программу дальнейшего усиления фундаментальных и прикладных научных исследований в Сибирском отделении. Эта программа тесно связана с задачами, стоящими перед Академией наук СССР в целом, и развивает основополагающие принципы работы Отделения, сформулированные академиком М. А. Лаврентьевым: сочетание фундаментального научного поиска с приложениями науки в народном хозяйстве и с подготовкой научных кадров.

Г. И. Марчук выдвинул развернутые предложения, направленные на концентрацию сил и ресурсов на важнейших, ведущих направлениях науки. Большое место в этих предложениях отведено математизации и автоматизации научных исследований, широкому применению вычислительной техники, кооперации институтов Сибирского отделения с институтами Академии наук СССР и высшими учебными заведениями, а также с научными учреждениями социалистических стран. Опираясь на высокий авторитет академической науки, Г. И. Марчук в своей организационной работе последовательно проводил принцип тесного взаимодействия с советскими и партийными органами. Задачи, сформулированные Г. И. Марчуком, были поддержаны научной общественностью и Президиумом Сибирского отделения АН СССР и стали основой организационной работы в Сибирском отделении в течение ряда последних лет. По инициативе Г. И. Марчука была сформулирована крупномасштабная программа «Сибирь», направленная на комплексное освоение природных ресурсов Сибири, на выделение важнейших проблем производительных сил Сибири и определение таких путей их решения, которые бы обеспечили максимальные темпы развития экономики огромного и исключительно важного для жизни страны региона. Программа «Сибирь» — наиболее крупная интегральная программа, сформированная Сибирском отделением АН СССР за все время его существования.

Правительство высоко оценило заслуги Гурия Ивановича Марчука в развитии науки и техники, его вклад в дело внедрения научных достижений в народное хозяйство и подготовку научных кадров, присвоив ему в 1975 г. звание Героя Социалистического труда (Указ Президиума Верховного Совета СССР от 1.08.75). В марте 1976 г. на XXV съезде КПСС Г. И. Марчук был избран кандидатом в члены ЦК КПСС, а вскоре назначен членом Государственного комитета Совета Министров СССР по науке и технике. В 1980 г. академик Гурий Иванович Марчук стал заместителем Председателя Совета Министров СССР и Председателем Государственного Комитета СССР по науке и технике. На XXVI съезде КПСС он избран членом Центрального Комитета КПСС.

Несмотря на большую загруженность государственными делами, Гурий Иванович Марчук ведет активную научную работу и возглавляет отдел вычислительной математики АН СССР при Отделении математики. Здесь вновь проявляется, стремление Гурия Ивановича к новому эксперименту в организации науки — созданию небольшого коллектива высококвалифицированных ученых с современной высокоэффективной организацией труда. Сотрудники отдела участвуют в выполнении ряда государственных программ в области вычислительной математики и отображения ее методов на архитектуру ЭВМ, математического моделирования атмосферы, океана и космоса, математического моделирования в иммунологии и медицине. Под руководством Г. И. Марчука работают научные семинары: «Атмосфера — океан — космос», «Вычислительная математика и вычислительная техника», «Экономика и технический прогресс», «Проблемы иммунологии и медицины» (соруководитель — академик АМН СССР Р. В. Петров). В работе семинаров активно участвуют видные ученые Москвы, Ленинграда, городов Сибири, Дальнего Востока, научных центров Союзных республик.

И в Москве, и в Новосибирске, и в Обнинске научная и научно-организационная работа Гурия Ивановича неотделима от активной общественно-политической. С 1956 г. Г. И. Марчук — член Обнинского городского комитета КПСС, с 1960 г. — кандидат в члены Калужского областного комитета партии, он трижды избирался депутатом Новосибирского областного совета депутатов трудящихся, с 1972 г. — член Новосибирского обкома КПСС, в 1975 г. избран депутатом Верховного Совета РСФСР, а в 1979 и 1984 гг. — депутатом Верховного Совета СССР.

Гурия Ивановича часто можно услышать в Академии народного хозяйства и на промышленных предприятиях, в министерствах и вузах, в Академии общественных наук при ЦК КПСС, в Доме журналистов. Гурий Иванович — общительный, жизнерадостный человек, полный энергии и оптимизма. Его чуткость, внимание, постоянная помощь в решении различ-

ных проблем снискали ему глубокое уважение со стороны многочисленных учеников, коллег и всех, с кем ему приходится общаться.

Все свои силы и неиссякаемую энергию Гурий Иванович Марчук отдает главному делу своей жизни — беззаветному служению советской науке, научно-техническому прогрессу и строительству коммунистического общества в нашей стране.

Шестидесятилетие Гурий Иванович Марчук встречает в расцвете своего замечательного таланта. Пожелаем ему здоровья и дальнейших творческих успехов в его плодотворной и многогранной деятельности.

ДМИТРИЙ ЕВГЕНЬЕВИЧ МЕНЬШОВ (к девяностолетию со дня рождения)

18 апреля 1982 г. исполнилось 90 лет со дня рождения профессора Московского университета, члена-корреспондента АН СССР Дмитрия Евгеньевича Меньшова.

Замечательно, что свой 90-летний юбилей Дмитрий Евгеньевич встречает полный творческой энергии и новых планов.

Дмитрий Евгеньевич родился в Москве 18 (6) апреля 1892 г. в семье врача Евгения Титовича Меньшова (1852-1904). До 12-летнего возраста Дмитрий Евгеньевич воспитывался дома, причем большую роль в его домашнем воспитании и образовании играла мать Александра Николаевна Меньшова (1856-1918), урожденная Татищева. В 1904 г. Дмитрий Евгеньевич поступил на гимназическое отделение Лазаревского института восточных языков. В гимназические годы уже вполне определилась его склонность к математике и физике, хотя она сочеталась с большим интересом к изучению грамматик древних и современных языков. В 1911 г. после окончания с золотой медалью гимназии Д. Е. Меньшов поступил в Московское инженерное училище, но через полгода оставил его, решив заняться самостоятельным изучением высшей математики. За полгода он проработал курс анализа по учебнику К. А. Поссе и курс аналитической геометрии,

С осени 1912 г. Дмитрий Евгеньевич — студент физико-математического отделения Московского университета. С тех пор вот уже в течение 70 лет, за исключением нескольких лет в период гражданской войны, вся творческая жизнь Д. Е. Меньшова теснейшим образом связана с Московским университетом.

В студенческие годы Дмитрий Евгеньевич слушал лекции Д. Ф. Егорова, Л. К. Лахтина, К. А. Андреева и других профессоров. С теорией функций действительного переменного Дмитрий Евгеньевич впервые познакомился на 2-м курсе в семинаре Д. Ф. Егорова. С осени 1914 г. спецкурс по теории функций начал читать Н. Н. Лузин, только что вернувшийся из научной командировки в Гёттинген и Париж. Именно с этим курсом лекций Лузина связана первая научная работа Д. Е. Меньшова. Н. Н. Лузин читал свой курс так, что теория функций действительного переменного излагалась в нем как живая, развивающаяся наука, в которой еще многое предстоит сделать. Он делился со студентами нерешенными проблемами.

Успехи математических наук. — 1982. — Т. 37, вып. 5. — С. 209-219 (совм. с С. М. Никольским, В. А. Скворцовым, П. Л. Ульяновым; в разделе «Математическая жизнь в СССР»).

Один из предложенных Лузиным вопросов касался выяснения взаимосвязи между двумя обобщениями интеграла Лебега: интегралом Бореля и интегралом Данжуа. Студент 3 курса Меньшов дал ответ на этот вопрос, доказав, что интеграл Данжуа шире интеграла Бореля. Этот результат, полученный осенью 1914 г., составил содержание первой научной работы Д. Е. Меньшова, опубликованной позднее, в 1916 г., в «Математическом сборнике».

Когда Дмитрий Евгеньевич сообщил Н. Н. Лузину о своем результате, тот пригласил его для беседы. Так состоялось научное знакомство Д. Е. Меньшова с Н. Н. Лузиным, и Дмитрий Евгеньевич стал одним из первых учеников Лузина, среди которых были также П. С. Александров и А. Я. Хинчин. Эта группа молодых ученых, работавших в семинаре Лузина, и составила ядро новой московской школы теории функций. Школа эта быстро росла за счет притока талантливой молодежи1.

В этот период становления и расцвета московской математической школы начинаются интенсивные исследования по теории тригонометрических рядов, и одним из основополагающих и принципиально важных результатов в этой области явился знаменитый пример нуль-ряда, построенный Д. Е. Меньшовым в 1916 г.

Это было вскоре после того, как, защитив дипломную работу «Римановская теория тригонометрических рядов», выполненную под руководством Д. Ф. Егорова и Н. Н. Лузина, Дмитрий Евгеньевич окончил Московский университет и был оставлен при университете для подготовки к профессорскому званию, т. е., по современной терминологии, стал аспирантом. Он досрочно, менее чем за два года, сдал магистерские экзамены. Вскоре, однако, после смерти матери, в наступившее голодное время гражданской войны, Д. Е. Меньшов вынужден был уехать из Москвы. Сначала, в конце 1918 г., Дмитрий Евгеньевич едет работать в г. Иваново, затем вскоре переезжает в Нижний Новгород, где работает в университете в должности профессора. Весной 1920 г. он возвращается в Иваново, где работает профессором Ивановского педагогического института, а с января 1921 г. — также в Ивановском политехническом институте. В это же время в Иванове работал Н. Н. Лузин и его ученики А. Я. Хинчин, В. С. Федоров и др.

Осенью 1922 г. Дмитрий Евгеньевич возвращается в Москву. Он работает преподавателем Московского лесотехнического института (1922-25 гг.). Одновременно с осени 1922 г. Дмитрий Евгеньевич начинает работать в должности сверхштатного преподавателя Московского университета, являясь также сотрудником Института математики и механики при МГУ

1 О школе Лузина подробнее см. П. С. Александров. Страницы автобиографии. УМН, 1979, 34 : 6 и 1980, 35 : 3.

(1923-34 гг.). В 1927 г. он становится доцентом, а в 1935 — профессором Московского университета.

В 1935 г. Д. Е. Меньшову вместе с группой других уже признанных математиков была без защиты диссертации присуждена степень доктора физико-математических наук. Это было вскоре после того, как система научных степеней, отмененных после революции, была введена в ее современном виде.

С 1941 по 1979 г. Дмитрий Евгеньевич заведовал кафедрой теории функций (с 1943 г. — кафедрой теории функций и функционального анализа) Московского университета.

Параллельно с работой в университете Дмитрий Евгеньевич работал в Московском педагогическом институте им. В. И. Ленина (1929-35 гг.) и в Математическом институте им. В. А. Стеклова АН СССР (с 1934 по 1941 г. и с 1947 г. по настоящее время).

Характерной чертой научного творчества Д. Е. Меньшова на протяжении его долгой работы в математике является то, что он берется за решение труднейших, узловых проблем теории функций и с исключительным упорством занимается избранной задачей, пока не доводит ее до окончательного решения.

Основные направления исследований Д. Е. Меньшова относятся к теории тригонометрических рядов, теории общих ортогональных рядов и теории конформных отображений плоских областей и теории моногенности. В каждом из этих направлений он получил основополагающие результаты, которые определили и до сих пор определяют дальнейшие исследования в этих областях теории функций.

О нервом выдающемся вкладе Дмитрия Евгеньевича в теорию тригонометрических рядов мы уже упоминали. Остановимся подробнее на исследованиях Д. Е. Меньшова в этой области.

Хорошо известны роль и значение теории тригонометрических рядов в общем развитии современной математики и, в частности, в теории функций. Вопросу представления функций сходящимися тригонометрическими рядами и единственности такого представления посвятили свои работы многие блестящие математики. Еще в XIX в. было известно (Г. Кантор, В. Юнг), что никакая измеримая всюду конечная 27г-периодическая функция не может являться суммой для двух различных тригонометрических рядов, каждый из которых сходится к ней всюду, исключая, быть может, счетное множество точек. Другими словами, было известно, что если тригонометрический ряд сходится к нулю при всех х € [0, 2тт]\Е, где Е конечно или счетно, то все коэффициенты этого ряда равны нулю. В начале XX века этот результат был обобщен Валле-Пуссеном, который доказал, что если тригонометрический ряд всюду на [0,27г]\£7, где Е конечно или счетно, схо-

дится к интегрируемой функции /(х), то этот ряд является рядом Фурье от f(x).

К этому времени огромный прогресс в теории функций был достигнут благодаря применению меры и интеграла Лебега. При этом выяснилось, что в большинстве вопросов метрической теории функций возможно было пренебрегать множествами меры нуль. Это обстоятельство побудило многих выдающихся математиков начала XX в. искать доказательства того, что сформулированные выше теоремы Кантора, Юнга и Валле-Пуссена остаются справедливыми для случая, когда Е — произвольное множество меры нуль. Естественно, что в этой обстановке крайне неожиданным явился построенный в 1916 г. Д. Е. Меньшовым пример почти всюду сходящегося к нулю тригонометрического ряда, не все коэффициенты которого обращаются в нуль (такие ряды позднее стали называть нуль-рядами).

Этот фундаментальный результат, продемонстрировав глубину проблемы единственности разложения функций в тригонометрические ряды, направил исследование в этой области в совершенно новое русло и положил начало интересной и трудной теории единственности тригонометрических рядов, активно разрабатываемой до сих пор как в нашей стране, так и за рубежом. На базе этого результата Д. Е. Меньшова Н. Н. Лузиным и Н. К. Бари были введены в 20-х годах понятия U- и М-множеств. Множество Е С [0,27г] называется [/-множеством, если из сходимости тригонометрического ряда к нулю при всех х G [0, 27г] \ Е следует, что все коэффициенты ряда равны нулю. В противном случае множество Е называют М-множеством. В этой терминологии результат Д. Е. Меньшова известен как пример совершенного М-множества меры нуль. В связи с этим начались глубокие исследования свойств U- и М-множеств (Н. К. Бари, О. С. Ивашев-Мусатов, И. И. Пятецкий-Шапиро, А. Райхман, А. Зигмунд, Р. Салем, Т. Кернер, Ж. Кахан, И. Кацнельсон и др.), обнаружившие, в частности, тесную связь теории единственности с теорией чисел, поскольку принадлежность данного множества к классу U- или М-множеств определяется во многом его арифметической природой. Отметим, что до сих пор в этой области остаются открытыми простые по формулировке, но, повидимому, очень трудные по существу проблемы. Например, не найдено необходимое и достаточное условие того, чтобы совершенное множество было М-множеством.

Позднее понятия U- и М-множеств, а также нуль-рядов были распространены на ряды по другим системам функций, а также на различные понятия сходимости и суммируемости. В этом направлении также ведутся активные исследования. Упомянем, например, из теории общих ортогональных рядов результат Б. С. Кашина (1977), построившего пример ортогональной системы, по которой не существует нуль-рядов в смысле сходимости почти всюду. Широко развивается также теория единственности

для рядов по некоторым конкретным ортогональным системам, отличным от тригонометрической (Ф. Г. Арутюнян, В. Вейд, Дж. Кури, Г. М. Мушегян, Р. И. Овсепян, М. Б. Петровская, В. А. Скворцов, СБ. Стечкин, А. А. Талалян, П. Л. Ульянов, Н. Файн, В. Шапиро, А. А. Шнейдер и др.)-

К проблеме представления функций тригонометрическими рядами Д. Е. Меньшов обращался неоднократно и, кроме упомянутого примера нуль-ряда, он получил в этой области ряд других результатов, ставших классическими. Один из них связан с проблемой Н. Н. Лузина о возможности представления любой измеримой функции тригонометрическим рядом, сходящимся к ней почти всюду. В 1915 г. Н. Н. Лузин доказал, что для всякой почти всюду конечной измеримой 27г-периодической функции f(x) существует тригонометрический ряд, который почти всюду на [0,2тг] суммируем к f(x) как методом Абеля, так и методом Римана. Вскоре после этого И. И. Привалов распространил результат Н. Н. Лузина на методы суммирования Чезаро (С, а) порядка а > 1. Вопрос о справедливости аналогичной теоремы для обычной сходимости почти всюду оставался открытым около 25 лет, и лишь в конце 30-х годов Д. Е. Меньшов получил фундаментальные результаты в этом направлении. Сначала он установил, что всякая 2тг-периодическая, измеримая и конечная функция f(x) представима тригонометрическим рядом, который почти всюду на отрезке [0, 2ir] сходится к f(x) (конечно, такое представление не единственно ввиду существования нуль-рядов). Этот результат является очень глубоким, так как даже для случая интегрируемых функций f(x) ряд Фурье-Лебега от f(x) не может быть взят в качестве ряда, представляющего функцию в смысле сходимости почти всюду. Это вытекает из построенного А. Н. Колмогоровым примера всюду расходящегося ряда Фурье-Лебега от некоторой функции f(x) е L[0, 2тт].

Таким образом, проблема Н. Н. Лузина полностью решена Д. Е. Меньшовым для случая конечных функций. Что касается произвольных измеримых функций /(я), т. е. в случае, когда функция f(x) может принимать значения +оо и —сю на множествах положительной меры, то до сих пор не решен вопрос о возможности представления их тригонометрическими рядами, сходящимися почти всюду. Более того, до сих пор неизвестно даже существование тригонометрического ряда, который бы сходился к +оо на некотором множестве положительной меры. Однако если в проблеме Н. Н. Лузина требование сходимости почти всюду заменить на сходимость по мере, то для этого случая Д. Е. Меньшовым получен исчерпывающий результат. Точнее, он доказал, что для произвольной измеримой функции f{x), определенной на отрезке [0,27г], существует тригонометрический ряд, который сходится по мере на [0,27г] к функции f(x), и, кроме того, его коэффициенты стремятся к нулю.

К этим результатам по теории представления тесно примыкает послужившая для них вспомогательным средством следующая замечательная теорема Д. Е. Меньшова по теории сходимости тригонометрических рядов: любую измеримую почти всюду конечную на [0,27г] функцию f(x) можно так изменить на некотором множестве Е С [0,2п], мера которого меньше наперед заданного е > 0; что получится непрерывная функция с равномерно сходящимся рядом Фурье.

Аналогом этой теоремы для весьма тонкого случая суммирования методом Чезаро отрицательного порядка является следующая недавняя теорема Д. Е. Меньшова (см. работу [85]): Пусть а < 0 и а ф —1, —2,... Тогда для любой измеримой функции f(x), конечной почти всюду на [О,27г], и для любого положительного числа е можно определить измеримое множество Е G [0, 2п], mesE > 2тг — е, непрерывную 2тт-периодическую функцию д{х), совпадающую с f(x) на Е, и такую возрастающую последовательность натуральных чисел (к = 0,1,2,...), что чезаровские ос-средние С$(х,д) сходятся равномерно к д(х) на всей оси х при к —» оо.

Работы Д. Е. Меньшова по проблеме представления функций рядами открыли новую область исследования как в теории тригонометрических рядов, так и в теории рядов по другим системам (системы Хаара, Уолша, общие ортонормированные системы). Работа в этой области активно продолжается уже более 40 лет (Н. К. Бари, В. Я. Козлов, А. И. Маркушевич, А. А. Талалян, В. А. Скворцов, Ф. Г. Арутюнян, Г. М. Мушегян, Б. С. Кашин, Н. Б. Погосян, Бен-Али Браун, Д. Ватерман, К. Гоффман, Дж. Прайс и др.).

Другой большой цикл работ Дмитрия Евгеньевича Меньшова относится к теории ортогональных рядов, т. е. рядов по ортонормированной системе функций {(/?п} из 1/2[а,6]. К тому времени, когда в самом начале 20-х годов Д. Е. Меньшов получил первые результаты в этом направлении, был открытым вопрос о сходимости почти всюду рядов Фурье из Z,2[a,6], т. е. рядов ]>3 сп(/?п(.т) с условием < оо. В частности, ничего не было известно в этом отношении и для рядов по тригонометрической системе. В связи с этим многими математиками предпринимались попытки найти условия на коэффициенты сп ортогонального ряда (более сильные, чем условие Х]сп < которые обеспечили бы сходимость ортогонального ряда почти всюду. В 1909 г. Вейль опубликовал следующую теорему: если ]Го;пс^ < оо, где шп = i/n, то ряд X^Cn<£n(:r) сходится почти всюду, какова бы ни была ортонормированная система {(fn}- Э. Гобсон ослабил условие на и)п в теореме Вейля до требования ип = па, а > 0 (1913), М. Планшерель — до требования и>п = 1п3п (1913). Возникла задача о дальнейшем понижении роста чисел о;71, получивших название множителей Вейля.

Летом 1920 г., еще работая в Иванове, Дмитрий Евгеньевич установил, что для любой последовательности шп = о(1п2 п) существуют ортонормированная система {<рп} и функция f из L2[a)b] такие, что ряд Фурье ^2сп(рп(х) функции f по системе {<рп} расходится почти всюду на [0,1], в то время как Yl^ntfi < 00• Поскольку до этого было неизвестно, нужно ли вообще для сходимости почти всюду ортогонального, в том числе и тригонометрического, ряда требовать от коэффициентов чего-нибудь, кроме условия J2cn < °°j то ясно, сколь принципиальную роль сыграл этот результат в теории ортогональных рядов.

В том же 1920 г. Д. Е. Меньшов доказывает, что условие Y^unCn < 00 > шп = ln2n, обеспечивает сходимость ряда ^Сп<Рп(^) почти всюду для любой ортонормированной системы {<Рп{х)} (последний результат независимо был получен также X. Радемахером в 1922 г.). Таким образом, было доказано, что последовательность ип — 1п2п является непонижаемым множителем Вейля во всем классе ортогональных систем. Этот результат Д. Е. Меньшова общепризнан в качестве основного в теории сходимости ортогональных рядов. Заметим, что для тригонометрической системы множители Вейля были понижены А. Н. Колмогоровым, Г. А. Селиверстовым и А. И. Плеснером до Inn (1925); окончательно же эта задача была решена лишь в 1965 г. Л. Карлесоном, доказавшим, что для каждой функции / из £2(0, 27г] ее тригонометрический ряд Фурье сходится к ней почти всюду, т. е. в этом случае непонижаемая последовательность множителей Вейля есть ип = 1.

Продолжая свои исследования по изучению множителей Вейля, Д. Е. Меньшов в 1937 г. показал, что последовательность сип = 1п2п является также непонижаемым множителем Вейля и для ограниченных в совокупности ортогональных систем. Точнее, он доказал:

Существует ортонормированная на [0,1] система алгебраических многочленов {Рп(х)}} которая ограничена в совокупности на отрезке [0,1] и для которой последовательность {In2 п} является точным множителем сходимости Вейля.

Вопрос о множителях Вейля Дмитрий Евгеньевич рассмотрел и в связи с методами суммирования ортогональных рядов. В 1921-1922 гг. он доказал, что числа ujn = (InInn)2 (n = 2,3,...) являются непонижаемыми множителями Вейля для суммирования ортогональных рядов методом Абеля и методами Чезаро (С, а) при а > 0. Этот результат является основным в теории суммирования ортогональных рядов. Подобный результат был также независимо получен С. Качмажем, основавшим свое доказательство на непонижаемости ип = 1п2п в качестве множителей Вейля сходимости ортогональных рядов.

Дмитрию Евгеньевичу принадлежит первый существенный результат в теории безусловной сходимости ортогональных рядов (ряд Y^^Vn^), X G [а, 6], называется безусловно сходящимся почти всюду, если при любой перестановке членов он сходится в каждой точке х G [а, Ь], исключая разве лишь точки некоторого множества меры нуль, зависящего, вообще говоря, от перестановки ряда; отметим, что безусловная сходимость ряда почти всюду не эквивалентна абсолютной сходимости почти всюду). Он доказал (работа 1927 г.), что из сходимости ряда ^ |c?i|2-£: nvu каком-либо s > О (е < 2) следует безусловная сходимость ряда ^Сп^р^х), какова бы ни была ортонормированная система {<рп} L2[а, Ь].

Приведем еще одну интересную и важную теорему из этой области, также принадлежащую Д. Е. Меньшову: любую ортонормированную систему {<рп} из I/2[a, Ь] можно так переставить, что ряд Фурье любой функции f G Z/2 [а, b] по переставленной системе будет суммироваться к функции f методом Чезаро (С, а) любого положительного порядка а, в частности, методом средних арифметических.

Эти работы Дмитрия Евгеньевича стали тем фундаментом, на котором основывались и основываются многочисленные исследования советских и зарубежных авторов по теории сходимости и суммируемости ортогональных рядов (Г. Алексич, Н. К. Бари, С. В. Бочкарев, А. Зигмунд, С. Качмаж, Б. С. Кашин, В. И. Коляда, В. Г. Кротов, Л. Лейндлер, Е. М. Никишин, В. Орлич, А. М. Олевский, А. А. Талалян, С. Н. Полещук, Э. А. Стороженко, К. Тандори, П. Л. Ульянов и др.).

В 20-е годы и в начале 30-х годов Д. Е. Меньшов опубликовал ряд работ по теории функций комплексного переменного, относящихся, в основном, к теории конформных отображений и к теории дифференцирования функций комплексного переменного (теории моногенности). В 1926 г. вышла первая его работа по теории конформных отображений, которая содержала результаты, полученные еще в 1923 г. В этой работе дан утвердительный ответ на давно стоявший вопрос: только ли аналитические функции с отличной от нуля производной совершают однолистные непрерывные отображения плоских областей друг на друга, сохраняющие углы между любыми пересекающимися внутри отображаемой области кривыми. По существу, именно этот результат Д. Е. Меньшова окончательно сделал теорию конформных отображений плоских областей одной из глав теории аналитических функций.

В проблеме моногенности (аналитичности) функций Д. Е. Меньшовым получены необычайно красивые и важные результаты, связанные с ответом на вопрос: каковы априорные минимальные условия на f(z) в области G, из которых следует ее моногенность, а значит, и ее бесконечная дифференцируемость в G. Приведем некоторые из этих результатов Д. Е. Меньшова.

1. Если функция f(z), непрерывная в области G, в каждой точке zoGG имеет производную по переменному z вдоль какой-либо пары прямых, пересекающихся в точке zo, то она аналитична в G.

2. Если непрерывная в области G функция f(z) в каждой точке z G G, исключая разве лишь счетное множество этих точек, имеет асимптотическую производную по комплексному переменному z, то она аналитична в G.

Хорошо также известна и вошла во многие учебники теорема Лумана-Меньшова: Пусть вещественные функции и(х,у) и v(x,y) непрерывны в области G и в каждой точке z = х + гу этой области, исключая разве лишь счетное число таких точек, существуют частные производные ди/дх, ди/ду, dv/дх, dv/dy, которые почти всюду в G удовлетворяют условиям Коши-Римана:

Тогда f(z) = и(х,у) + iv(x,y) аналитична в G.

Эти исследования Д. Е. Меньшова позволили глубже проникнуть в природу моногенности и повлекли за собой публикацию большого числа работ различных авторов (В. С. Фёдоров, Г. П. Толстов, Ю. Ю. Трохимчук, Е. П. Долженко и др.).

С 50-х годов Дмитрий Евгеньевич проводит исследования по очень трудной проблеме о пределах неопределенности тригонометрических и общих функциональных рядов.

Им получены, например, следующие важные результаты:

1) Для произвольной неотрицательной и измеримой на отрезке [0, 27г] функции <р(х) существует функция f{x) G L[0,27t], для частных сумм Sn(Xi /) тригонометрического ряда Фурье которой справедливы равенства

для почти всех х G [0,27г].

Эта теорема дает полное описание возможного характера расходимости рядов Фурье-Лебега.

2) Если д(х) и f(x) — конечные измеримые функции на отрезке [0, 2тт] — удовлетворяют неравенству д(х) ^ f(x) для почти всех х G [0,27г], то можно найти тригонометрический ряд с коэффициентами, стремящимися к нулю, для которого функция д(х) (функция f(x)) при почти всех X G [0,27г] является нижним (соответственно верхним) пределом последовательности его частных сумм. Это утверждение сохраняет силу и для случая f(x) = —g(x) = +оо при х G [0, 2п].

Эти результаты были существенно пополнены дальнейшими исследованиями Д. Е. Меньшова, проведенными в 60-е годы. Чтобы сформулировать соответствующие теоремы, приведем необходимые определения:

Пусть {/m(я)} ~ произвольная последовательность измеримых функций, определенных на отрезке [а, Ь]. Последовательность {/т(я)} может являться последовательностью частных сумм некоторого произвольного ряда из измеримых функций. Функция <р(х,Е), определенная почти всюду на некотором множестве Е С [а, Ь] положительной меры, называется предельной функцией последовательности {fm} (или ряда с частными суммами fm), если при некоторых Î оо

для почти всех х Е Е.

Предельная функция tp(x, Е) называется предельной функцией в строгом смысле, если последовательность fmk(x) (т^ = 1,2,...) расходится почти всюду на [а, Ь] \ Е.

Предельная функция ip(x, Е) называется предельной функцией в узком смысле, если для любой подпоследовательности С {т^} натуральных чисел последовательность функций fUk{x) (к = 1,2,...) расходится почти всюду на [а, Ь] \ Е.

Дмитрий Евгеньевич доказал, что справедлива следующая теорема:

Если M = {(р(х,Е)} есть множество всех предельных функций некоторой последовательности {fm(x)} {т — 1>2,...); определенных и измеримых на отрезке [0,2тх] функций, то существует тригонометрический ряд с коэффициентами, стремящимися к нулю, для которого M есть множество всех предельных функций, причем все эти предельные функции являются предельными функциями в узком смысле.

Другими словами, наперед заданное множество М, определяемое некоторой произвольной последовательностью {fm}, одновременно является множеством всех предельных функций, множеством всех предельных функций в строгом смысле и множеством всех предельных функций в узком смысле одного и того же тригонометрического ряда.

Более того, эта теорема остается справедливой и для любого нормированного базиса пространства LP, р > 1.

Другая теорема Д. Е. Меньшова о пределах неопределенности:

Для любых двух измеримых на отрезке [0, 2тг] функций g(x) и f(x), удовлетворяющих неравенству д(х) ^ f(x) почти всюду на [0,2тг], и для любого регулярного конечнострочного метода Т можно определить тригонометрический ряд с коэффициентами, стремящимися к нулю, для которого Т-средние имеют пределы неопределенности по мере, равные f(x) и а(х).

В 70-е годы Дмитрий Евгеньевич продолжает вести активную исследовательскую работу. Мы уже упоминали один из его полученных в эти годы результатов, касающихся суммирования тригонометрических рядов методом Чезаро отрицательного порядка.

Одна из его недавних монографий (см. [90]) посвящена универсальным тригонометрическим рядам, представляющим в смысле суммируемости по мере при помощи своих подрядов все измеримые функции. А именно, доказана теорема:

Для любого регулярного конечнострочного метода суммирования Т существует тригонометрический ряд с коэффициентами, стремящимися к нулю, такой, что для любой измеримой функции f(x), определенной почти всюду на [0, 2тг] (и, быть может, принимающей бесконечные значения на множестве положительной меры), можно найти такой подряд этого ряда, что для него последовательность {тп(х)} Т-средних частных сумм сходится по мере к f(x) (подряд ряда определяется как ряд Y2ui> г^е ui pa640 либо щ, либо 0).

Исследования Д. Е. Меньшова самых последних лет (см. [89]-[93]) посвящены выяснению взаимоотношения между сходимостью подпоследовательностей частных сумм ряда и его суммируемостью методами (С, а) и Абеля. Эти вопросы Д. Е. Меньшов рассматривает как для числовых, так и для функциональных рядов.

В случае числового ряда с комплексными членами и частными суммами Sn выясняется вопрос (см. [91]), при каких условиях, налагаемых на члены ряда и на последовательность номеров {п^}

(1)

из соотношений

следует суммируемость данного ряда методами (С, а) к значению S.

Аналогичный вопрос изучается для функционального ряда. Для того, чтобы сформулировать полученные в этом направлении результаты (см. [93]), введем определение. Скажем, что последовательность функций {/n(^)}^Lo' определенных в некоторой окрестности точки хп, сходится равномерно в точке xq к значению *S, если для любого е > 0 найдутся ö > 0 и натуральное N такие, что \ fn(x)—S\ < е для всех п > N и х Е (х$—5, хо+6). Будем писать в этом случае: limn_>00(xo)/n(^) = S.

В этих обозначениях справедлива теорема:

Пусть для некоторой последовательности натуральных чисел (1) и

последовательности неотрицательных чисел

где суммирование распространено на все те натуральные к, для которых щ{пк — пк-\) ^ С, сходится при некотором С > 0. Пусть далее ряд

(2)

где фп(х) — непрерывные комплекснозначные 2тт-периодические функции такие, что \фп(х)\ ^ щ, ^k-i < тг ^ n^, к = 1,2,..., имеет частные суммы Sn(x), для которых limfc_.00(xn)SnfcOr) = S. Тогда ряд (2) равномерно суммируем в точке хо методом (С, 1) к значению 5, т. е. для (С, \)-средних ап(х) \imn-+oc(xo)crn(x) = S.

Аналогичная теорема остается справедливой для случая, когда вместо равномерной (С, 1)-суммируемости в точке xn в утверждении фигурирует в некотором смысле равномерная суммируемость в точке методом Абеля (см. [93]).

Завершая этот обзор результатов Д. Е. Меньшова, отметим, что он далеко не полный. Так, мы упомянули лишь одну теорему из целого цикла работ по суммированию тригонометрических рядов методами Чезаро отрицательного порядка. За эти работы Д. Е. Меньшов удостоен в 1975 г. присуждаемой Академией наук СССР премии им. П. Л. Чебышева. Совсем не коснулись мы его достижений в теории представления непрерывных функций в виде суперпозиции более простых функций. Не упомянули мы среди его ранних результатов работу по теоретико-множественной топологии, посвященную канторовым кривым, — одну из первых работ по топологии, выполненных в Московской математической школе.

Исследования Д. Е. Меньшова широко известны как в СССР, так и за рубежом. Он является одним из признанных ведущих ученых по теории функций с мировым именем.

Дмитрий Евгеньевич активно участвовал в работе всех всесоюзных математических съездов, выступая с результатами своих исследований. Неоднократно он делал доклады и на международных съездах математиков, достойно представляя советскую школу теории функций. Так в сентябре 1928 г. Д. Е. Меньшов делает доклад «Конформные отображения плоских областей» на Международном математическом конгрессе в Болонье (Италия). В 1958 г. он выступает с докладом «О сходимости тригонометрических рядов» на Международном съезде математиков в Эдинбурге (Англия), а в 1966 г. Д. Е. Меньшов сделал доклад «Пределы неопределенности по мере тригонометрических рядов» на Международном конгрессе математиков в Москве.

Более 50 лет тому назад Д. Е. Меньшов был избран членом Французского математического общества и Польского математического общества.

Находясь в 1927 г. в годичной командировке в Париже, он неоднократно выступал на заседаниях Французского математического общества и на семинаре Адамара по проблеме единственности тригонометрических рядов и по проблеме моногенности функций.

За выдающиеся достижения в теории функций Д. Е. Меньшов избирается в 1953 г. членом-корреспондентом Академии наук СССР. В 1951 г. ему присуждается Государственная премия за фундаментальные исследования по проблеме представления функций тригонометрическими рядами. Характеризуя научный облик Д. Е. Меньшова, широту его интересов, нельзя не упомянуть серьезного увлечения Дмитрия Евгеньевича теоретической физикой, прежде всего квантовой теорией поля. И хотя он упорно отказывается публиковать свои работы в этой области, неизменно отшучиваясь: «Я не тороплюсь», — у его ближайших коллег, знакомых с этой стороной его деятельности, нет сомнений в том, что и здесь его занятия отличаются свойственной ему во всем глубиной и обстоятельностью. Дилетантизм вообще органически чужд натуре Дмитрия Евгеньевича. Если он чему-то посвящает свое время — будь то теннис или пешие прогулки по Подмосковью, — можно быть уверенным, что он относится к этому занятию с искренним увлечением и полной серьезностью.

Такой же глубиной и полнейшей самоотдачей проникнута и вся огромная педагогическая деятельность Д. Е. Меньшова. Он читал для студентов почти все общие математические курсы и, кроме того, разнообразные специальные курсы. Его лекции отличаются высоким научным уровнем, бесподобной точностью изложения и большим педагогическим мастерством. Ежегодно он ведет несколько семинаров по различным разделам теории функций, которые предназначены для математиков различных квалификаций и возрастов — от семинаров для студентов младших курсов до постоянно действующего семинара для научных работников.

Всемирно известен семинар по теории функций действительного переменного в Московском университете, которым Дмитрий Евгеньевич руководит с 1936 г. сначала совместно с Н. К. Бари, затем с П. Л. Ульяновым. Являясь центральным семинаром по этим вопросам в нашей стране, он вовлекает в свою работу не только московских математиков, но и специалистов по теории функций из других городов, а также из-за рубежа. Культивируемый Дмитрием Евгеньевичем стиль этого семинара, включающий в себя неукоснительную требовательность к докладчику в отношении строгости и четкости изложения, продуктивное обсуждение возникающих по ходу доклада вопросов и постановку новых проблем, делают семинар прекрасной школой для молодых ученых.

За время работы в Московском университете и в Математическом институте АН СССР Дмитрий Евгеньевич подготовил много специалистов

высшей квалификации по теории функций, в том числе более 35 докторов и кандидатов наук. Среди учеников Дмитрия Евгеньевича — Г. П. Толстов, С. Б. Стечкин, А. Л. Брудно, В. Г. Челидзе, А. А. Талалян, И. И. Волков, Ю. Б. Гермейер, В. М. Даревский, Е. П. Долженко, К. В. Ефремов, Н. П. Купцов, В. А. Скворцов, И. Я. Пламеннов, Г. Я. Поплавская, Г. X. Синдаловский, Хоанг Туй, В. А. Ходаков, Ф. В. Широков, А. А. Шнейдер, М. П. Щеглов, О. А. Зиза, И. А. Виноградова, С. Г. Козловцев, М. Ф. Полуянова, М. Радулеску, М. И. Лившиц, Б. В. Панников, Д. В. Печерский, Э. Г. Буданицкий, И. П. Миловидова, Н. Н. Холщевникова, А. Ю. Петрович, М. Бахбух, А. М. Юрченко, Л. Сабри-Авад и др.

Кроме того, многие математики, не являясь его прямыми учениками, прошли период научного формирования под большим влиянием Д.Е. Меньшова. Если же учесть, что многие ученики Дмитрия Евгеньевича уже воспитали большое число своих собственных учеников, то нет сомнения в том, что научное потомство Д. Е. Меньшова составляет сейчас не одну сотню высококвалифицированных специалистов, работающих во многих городах нашей страны и за рубежом.

За большие заслуги в развитии отечественной математики и в деле подготовки математических кадров Д. Е. Меньшов награжден орденами Ленина, Трудового Красного Знамени, Октябрьской Революции, «Знак Почета», а также медалями, среди которых медаль «За оборону Москвы».

Замечательные научные достижения Д. Е. Меньшова, его беззаветная преданность науке, исключительная научная добросовестность, высокое педагогическое мастерство наряду со многими прекрасными человеческими качествами легко объясняют то всеобщее глубокое уважение и любовь, которые окружают его в коллективе студентов и преподавателей механико-математического факультета и коллективе сотрудников Математического института им. В. А. Стеклова и которыми проникается каждый, кому посчастливилось общаться с Дмитрием Евгеньевичем.

От души поздравляем Дмитрия Евгеньевича с замечательным юбилеем, желаем ему хорошего здоровья и новых успехов во славу советской науки.

СПИСОК ПЕЧАТНЫХ РАБОТ Д. Е. МЕНЬШОВА2

85. Свойства чезаровских средних отрицательного порядка и некоторых других Т-средних для рядов Фурье от непрерывных функций. — Матем. сборник, 1971, 86 : 3, с. 419-445.

89. Взаимоотношение между сходимостью подпоследовательностей частных сумм числового ряда и суммируемостью методом Абеля. — ДАН, 1977, 235, с. 27-29.

2 Начало списка см. в УМН, 1962, 17 : 5, с. 172-175 и в УМН, 1972, 27 : 2, с. 185-195.

90. Пределы неопределенности, по мере Г-средних подрядов тригонометрического ряда. — Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова, 1978, 149, с. 5-58.

91. Взаимоотношение между сходимостью подпоследовательностей частных сумм числового ряда и его суммируемостью методами (С, а) и Абеля. — Ann. Math., 1980, 6 : 1, p. 3-50.

92. Свойства подпоследовательностей частных сумм функциональных рядов. — ДАН, 1980, 256, с. 550-552.

93. Свойство подпоследовательностей частных сумм функциональных рядов. — Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова, 1981, 157, с. 119-137.

ДЖОН ФОН НЕЙМАН

Один из крупнейших математиков XX в. Джон фон Нейман родился 28 декабря 1903 г. в Будапеште. Будапешт дал миру многих замечательных ученых XX в. Достаточно назвать имена Э. Вигнера, Л. Силарда, Т. фон Кармана и многих других. Сам фон Нейман считал это проявлением сильного стремления к творчеству в различных его формах, характерного для интеллектуального климата средней Европы тех лет.

Его отец, Макс фон Нейман, был состоятельным банкиром и получил за свои заслуги наследственный дворянский титул «von» от императора Франца-Иосифа. Полное имя Джона было сначала Маргиттан Нейман Янош, т. е. Янош Нейман из Маргитта. Позже в Германии он именовался Иоганн фон Нейман, а с переездом в США — Джон фон Нейман. В семье фон Нейманов было трое сыновей, из которых Джон был старшим.

До десяти лет он обучался дома, а затем в Высшей лютеранской школе Будапешта, которая была в то время одним из лучших учебных заведений Венгрии. Его первый преподаватель математики Л. Ратц скоро заметил необыкновенные математические способности Джона и с согласия отца начал давать ему частные уроки, а затем ввел в университет. Позже его занятиями руководили профессора Будапештского университета Кюршак и М. Фекете, а также признанный наряду с Ф. Рисом лидер венгерской математической школы — Л. Фейер, который назвал его «Величайший Янчи (уменьшительное от Янош) нашей страны». В двенадцатилетнем возрасте он изучил книгу Э. Бореля «Теория функций». К 18 годам Дж. фон Нейман уже считался профессиональным математиком.

Сохранилось много рассказов об удивительных способностях юного фон Неймана, восхищавших всех, кто общался с ним. Он обладал поразительной памятью, не ослабевавшей в течение всей его жизни, позволявшей ему мгновенно запоминать разнообразные сведения. У него были замечательные лингвистические способности, он знал классические языки и пять европейских языков, интересовался всемирной историей. Есть свидетельство о его феноменальных вычислительных способностях — свойство, не обязательно сопутствующее собственно математическому дарованию и часто принимаемое за склонность к математике. Любовь к счету фон Нейман со-

Статья опубликована как приложение к книге: Джон фон Нейман. Избранные труды по функциональному анализу. T. I / Академия наук Союза ССР. Сер. «Классики науки». — М.: Наука, 1987 (с. 337-351; совм. с А. М. Вершиком и Я. Г. Синаем).

хранял всю жизнь, а скорость, с которой он решал задачи, по выражению друзей, «внушала ужас». Один из математиков писал, что фон Нейман обладал «самым быстрым мозгом, который я когда-либо встречал».

После окончания Высшей школы в Будапеште фон Нейман проходит курс химии сначала в Берлинском университете (1921-1923 гг.), а затем в Высшей технической школе в Цюрихе (1923-1925 гг.). Химия была выбрана по совету известного механика Т. фон Кармана — друга семьи — как компромисс между желанием отца дать сыну надежную деловую профессию и математическими устремлениями сына. В 1924 г., находясь в Берлине, фон Нейман часто бывал у Д. Гильберта и интересовался подходом великого математика к физике и к теории доказательств. Несомненно, что Гильберт оказал на фон Неймана большое влияние, и многие считают фон Неймана и Г. Вейля наиболее выдающимися учениками Гильберта. Во время обучения в Цюрихе фон Нейман много общался с Вигнером, ставшим впоследствии выдающимся физиком, и оказал на него сильное влияние, проявившееся, в частности, в интересе Вигнера к теории групп. Их дружба продолжалась в течение всей жизни Дж. фон Неймана.

Большую часть времени фон Нейман проводил в обществе математиков. В Цюрихе в это время работали Г. Вейль и Г. Пойа, с которыми фон Нейман установил близкие отношения. Однажды, во время отъезда Вейля, фон Нейман заменял его в качестве лектора. Почти одновременно он получил диплом химика в Цюрихе и степень доктора философии по математике в Будапеште (1926 г.). Затем он продолжил занятия в Гёттингене. Химия постепенно отходит на задний план.

В 1927 г. фон Нейман становится приват-доцентом Берлинского университета и с этого момента целиком посвящает себя математике и теоретической физике. В 1929 г. фон Нейман переехал в Гамбург, где получил должность приват-доцента Университета. В 1930 г. он впервые приезжает в США для чтения лекций в Принстонском университете. Атмосфера одного из лучших американских университетов произвела благоприятное впечатление на фон Неймана. Он быстро освоился, и приглашение было продлено еще на один год. В Германии в то время было чрезвычайно трудно получить место профессора. По подсчетам самого фон Неймана, математическое ожидание числа вакансий в год равнялось трем, а претендентов было около 40. К тому же фон Нейман видел активизацию деятельности нацистов и отчетливо понимал, к каким последствиям приведет их приход к власти.

Итак, в 1931 г. фон Нейман занял постоянную должность профессора Принстонского университета. В 1933 г. он переходит во вновь организованный Институт высших научных исследований (Institute for Advanced Study) и становится одним из его первых сотрудников. Институт был со-

здан организаторскими усилиями математиков А. Флекснера, О. Веблена и их друзей как эксперимент в области научной и преподавательской деятельности. С момента основания Принстонский университет и Институт высших научных исследований были независимы один от другого, хотя первое время институт помещался в одном из зданий университета. С 1940 г. Институт высших научных исследований имеет отдельное здание несколько в стороне от города. В нем всего два этажа, отдельное крыло занято под библиотеку; рядом — большой лес, поблизости — дома для приезжающих ученых. Полный перечень первых профессоров-математиков института таков: Дж. Александер, А. Эйнштейн, М. Морс, О. Веблен, Дж. фон Нейман, Г. Вейль. И в дальнейшем число постоянных профессоров оставалось весьма небольшим. В то же время институт приглашал активно работающих математиков со всего мира на относительно небольшие сроки. Такая структура оказалась удачной и в дальнейшем была повторена в ряде других стран. Приглашение 30-летнего фон Неймана в институт было, конечно, признанием его замечательных способностей и вклада в науку. Сотрудником института фон Нейман оставался почти до конца своей жизни (до 1954 г.).

Сообщество выдающихся ученых, собранных в Принстоне, стимулировало работу фон Неймана в различных областях математики и ее приложений. С каждым годом в его поле зрения попадают новые области исследований, новые математики, рождаются новые идеи. Этой бурлящей научной атмосфере одного из лучших научных центров мира фон Нейман, безусловно, многим обязан; сам он высоко ее ценил и считал залогом своей дальнейшей научной работы.

В последующие годы он не раз посещает Европу (в 1936 г. Кембридж, Институт Пуанкаре (Франция)). В 1935 г. фон Нейман участвовал в Московской топологической конференции. В середине 30-х годов завязываются его связи с советскими математиками. В журнале «Математический сборник» печатаются в 1936 г. его известная работа о мере Хаара и статья о математическом аппарате квантовой механики.а Менее известно, что другая его работа «Некоторые неравенства в теории матриц и метризация матричных пространств» была напечатана в записках Томского университета (1937, т. 1).

В 1930 г. фон Нейман женился, будучи еще в Венгрии, на Мариэтте Ковачи. В 1935 г. у фон Нейманов родилась дочь Марина. Впоследствии она стала крупным экономистом и одно время входила в Совет по проблемам экономики при президенте США. Позднее она работала профессором экономики в одном из американских университетов.

a «The uniqueness of Haar's measure» (т. 1, с. 721-734) и «On an algebraic generalization of the quantum mechanical formation. I» (т. 1, с. 415-484. — Прим. ред. т. 4 Избр. тр.

В 1938 г. фон Нейман женился вторично, после поездки в Венгрию, на Кларе Дан. К. Дан была одной из первых программисток, при ее непосредственном участии было издано шеститомное собрание работ фон Неймана (см. ниже [с. 184]). Она лишь на несколько лет пережила своего мужа.

С начала 40-х годов и во время второй мировой войны фон Нейман делает поворот в своей научной и практической деятельности в сторону приложений математики. Впрочем, прикладными вопросами он интересовался на всех этапах своего творчества. Он становится одним из первых специалистов и идеологов машинной математики во всех ее аспектах, занимается гидромеханикой, атомной физикой, техникой, метеорологией, математической экономикой, теорией игр. С 1954 г. он — член комиссии по атомной энергии. По существу, в последние годы жизни лишь немногие его работы связаны с довоенной проблематикой, в основном они относятся к перечисленным выше областям. Незадолго до смерти фон Нейман выступает на Международном математическом конгрессе в Амстердаме (1954 г.) с докладом «Нерешенные проблемы в математике». К сожалению, рукопись и стенограмма этого доклада не сохранились или вообще не существовали. По свидетельству слушателей, доклад содержал глубокий анализ значительной части математики и ее приложений.

Биографы и современники описывают Дж. фон Неймана как жизнерадостного и общительного человека, обладавшего чувством юмора, умелого рассказчика, много знавшего (особое увлечение — история), читавшего, хорошо понимавшего людей. Но наибольшее впечатление производила работа его блестящего ума, похожая на работу «идеальной логической машины». Он умел с удивительной простотой и последовательностью раскрыть суть сложных проблем. Черты его стиля видны в публикуемых в этой книге работах и характерны для всего его творчества. Чтение большинства его работ оставляет впечатление органичности, адекватности проблемы и данного им решения. Можно сказать, что для каждой исследованной им задачи он умел подбирать наиболее характерный, но далеко не очевидный путь, ведущий к ее решению и вскрывающий ее связи с другими задачами.

В начале 50-х годов у Дж. фон Неймана, до тех пор обладавшего хорошим здоровьем, обнаружились первые признаки смертельной болезни (рак). Она продолжалась несколько лет и протекала мучительно. Но даже находясь в больнице, фон Нейман не прекращал научной деятельности, давал консультации и советы по многим математическим и общим проблемам. Он скончался 8 февраля 1957 г. в возрасте 53 лет.

Заслуги фон Неймана были широко признаны и в США, и во всем мире. Он был членом Национальной академии США и многих иностранных академий, состоял членом многих научных обществ различных стран. С 1951 по 1953 г. он был Президентом Американского математического общества.

Джон фон Нейман был лауреатом премий Альберта Эйнштейна, Энрико Ферми и др., входил в редакционные коллегии известнейших журналов, советы различных лабораторий, университетов и т. п.

Его педагогическая и лекторская деятельность не прекращалась в течение всей его жизни. Многие его книги являются записями его лекций, читавшихся в основном для специалистов. В списке его работ около двухсот названий, некоторые из этих работ вышли уже после его смерти, подготовленные учениками и последователями. Из многочисленных ученых, бывших его сотрудниками или учениками, назовем наиболее близких — П. Халмош, И. Сигал, И. Гальперин, О. Моргенштерн, С. Улам, А. Тауб. Что же касается личного или научного влияния, то его испытали многие математики. Он поддерживал контакты с большим числом ученых, значительная часть его работ выполнена в сотрудничестве с другими математиками. Воздействие его оригинальных и глубоких научных идей продолжается до настоящего времени. Более того, ценность некоторых из них раскрывается только сейчас, по прошествии 30-40 лет. Джон фон Нейман по праву считается одним из самых выдающихся ученых нашего столетия.

* * *

Творческое наследие Дж. фон Неймана огромно. Первая его работа «О нулях полиномов Чебышева» (совместная с М. Фекете) вышла в 1922 в., когда ему было лишь 18 лет. Его научная активность в течение всей жизни была ошеломительной. Описать здесь даже приблизительно все аспекты его творчества не представляется возможным Помимо основных работ по математике и ее приложениям, он — автор работ собственно по физике (среди них одна из первых работ по теории лазеров), химии (вспомним, что он получил образование химика) и др. Его осведомленность в этих, а также биологических, экономических и других вопросах позволяла ему создавать математические модели явлений с подлинно естественнонаучной широтой и глубиной.

Уже упоминалось, что фон Нейман — автор примерно двухсот работ, среди них около десяти монографий. Многие циклы статей также могут считаться монографиями (например, цикл статей по кольцам операторов, помещенный в т. 2 наст. изд.). Ряд его работ посвящен решению отдельных, как правило, узловых проблем. Однако в наиболее характерных для него работах открываются совершенно новые области с новыми понятиями, задачами и связями.

Основные библиографические источники таковы: Bull. Amer. Math. Soc, 1958 (выпуск назван «John von Neumann 1903-1957» и посвящен целиком фон Нейману). В нем помещены статьи С. Улама, Дж. Биркгофа, Ф. Мюррея, Р. Кэдисона, П. Халмоша, Л. Ван-Хова, X. Куна и А. Таккера и

К. Шеннона о жизни и творчестве фон Неймана. Там же приведена библиография его работ. В последующие годы появился ряд воспоминаний о фон Неймане: Haimos P. The legend of John von Neumann.- Amer. Math. Month., 1973, vol. 80, № 4, p. 382-394; Wigner E. John von Neumann.- Yearb. Amer. Philos. Soc, 1957, p. 149; Ulam S. Adventures of a mathematician. N. Y., 1976; Goldstine H. The computer from Pascal to von Neumann. Princeton: Univ. press. 414 p., и др., которые содержат много интересных фактов о жизни и творчестве фон Неймана. Некоторые из них переведены на русский язык, например статья Шеннона в книге: Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетике. М.: Изд-во иностр. лит., 1963. 829 с. и Вигнера в книге: Этюды о симметрии. М.: Мир. 1970. 318 с.

В начале 60-х годов в издательстве Pergamon press под редакцией А. Тауба с участием Э. Вигнера, Э. Теллера, С. Какутани и др. вышло шесть томов работ фон Неймана (Neumann J. von. Collected works / Ed. A. H. Taub. Oxford, etc.: Pergamon press, 1960-1962. Vol. 1-6). В это собрание было включено несколько неопубликованных ранее и незаконченных работ с комментариями и рефератами известных математиков (Дж. Биркгофа, И. Гальперина, И. Капланского, Г. Куна, Г. Макки, О. Моргенштерна, А. Таккера, Г. Ханта и др.). Содержание этих томов, каждый из которых насчитывает около пятисот страниц, далеко не исчерпывает научного наследия фон Неймана. Книги (например, Neumann J. von. Continuous geometry. Princeton Univ. press, 1960. 250 p., до сих пор не переведенная на русский язык), записи лекций не вошли в собрание и выходили отдельно (например, лекции по теории автоматов, теории меры). Фактически в этом издании собраны журнальные статьи. Тематика работ по томам хорошо отражает весь спектр занятий фон Неймана, и мы приведем заголовки этих томов.

T. I. Логика, теория множеств и квантовая механика.

Т. II. Операторы, эргодическая теория, почти периодические функции на группах.

Т. III. Кольца операторов.

T. IV. Непрерывная геометрия и другие вопросы.

T. V. Структура вычислительных машин, теория автоматов и численный анализ.

T. VI. Теория игр, астрофизика, гидродинамика и метеорология.

В настоящее издание включены избранные работы по функциональному анализу из II—IV томов. Об их содержании и месте в современных исследованиях говорится более подробно в комментариях.

Укажем несколько переводов статей и книг фон Неймана на русский язык.

1. Статья об автоматах в кн.: Автоматы. М.: Изд-во иностр. лит., 1956.

2. Вычислительная машина и мозг. — Кибернет. сб., 1960.

3. Статьи по теории игр в кн.: Матричные игры. М.: Физматгиз, 1961.

4. Математические основы квантовой механики. М.: Наука, 1964.

5. Теория игр и экономическое поведение. М.: Наука, 1970.

6. Теория самовоспроизводящихся автоматов. М.: Мир, 1971.

Несмотря на многообразие интересов и полученных результатов, в творчестве фон Неймана можно выделить несколько ведущих идей, объединяющих совершенно разные на первый взгляд работы. Одной из таких идей была идея аксиоматизации, утверждение которой характерно для первых десятилетий XX в. В творчестве фон Неймана первый, наиболее известный цикл работ относится к аксиоматической теории множеств и основаниям математики. Следы этих работ можно обнаружить во всей его дальнейшей деятельности. Попав в начале 20-х годов в Гёттинген, фон Нейман проникся «духом Гёттингена», в частности заинтересовался работами по основаниям математики. Он сразу включился в активную работу по аксиоматической теории множеств и внес в нее существенно новую идею «различения множеств и классов», фактически предвосхитив современный категорный подход к математическим структурам и теориям. Система аксиом фон Неймана, несколько видоизмененная позже Бернайсом, стала общепринятой и была впоследствии использована К. Гёделем в его классических работах по континуум-гипотезе. Другая большая работа этого периода относится к зарождавшейся в то время теории доказательств. К этому циклу относится также ряд статей, посвященных конкретным проблемам теории множеств и теории функций: эффективное построение замкнутого множества континуальной мощности, состоящего из чисел, линейно независимых над полем рациональных чисел, разложение интервала на счетное число непересекающихся конгруэнтных подмножеств и ряд других.

Постепенно интересы фон Неймана смещаются к дескриптивной теории функций и теории меры, затем к функциональному анализу, теории операторов и квантовой механике. Остановимся на статье «Zur allgemeinen Theorie des Maßes» («К общей теории меры», см. наст. кн.). Сначала в ней проводится глубокий анализ работ Хаусдорфа, Банаха и Тарского, посвященных существованию евклидово-инвариантных неотрицательных нормированных конечно-аддитивных мер в Rn. Нормированность означает, что мера единичного куба равна 1. Отрицательное решение этой проблемы для п ^ 3 связано, как показал фон Нейман, с чисто алгебраическими свойствами группы движений, а именно с тем, что группа SO(n) при

п ^ 3 содержит свободную подгруппу с двумя образующими. В этой же статье был введен класс групп, называемых сейчас аменабельными (в работе фон Неймана — измеримые группы), получивший в последние годы широкое применение в алгебре и функциональном анализе. Группа называется аменабельной, или группой с инвариантным средним, если для всякого ее непрерывного действия на компакте найдется инвариантная борелевская мера. Интуиция фон Неймана проявилась в том, что этот класс групп, выделенный им впервые по весьма специальному поводу, в действительности оказался принципиально важным. Он допускает ряд других описаний в терминах действия, представлений и др., полученных в последние годы. Главное их свойство можно выразить приблизительно так: аменабельные группы — это группы, допускающие естественные аппроксимации конечными группами в очень широком смысле. На аменабельные группы перенесены основные факты общей теории представлений, эргодической теории, теории факторов и т. д.

Несколько нарушая хронологию, перейдем к работам фон Неймана по теории меры и эргодической теории (начало 30-х годов). Идеи его основных работ этого цикла были подытожены в Принстонских лекциях 1934 г., изданных лишь в 1950 г. Фон Нейман одним из первых понял важность меры Хаара на локально-компактных группах. Ему принадлежит простое доказательство существования и единственности меры Хаара для локально-компактных групп. В это же время он получил первое серьезное продвижение в пятой проблеме Гильберта. Его статья «Die Einführung analytischer Parameter in topologischen Gruppen» публикуется в этой книге. В работах по теории интегрирования фон Нейман глубоко проанализировал структуру пространств с мерой и выделил наиболее важный класс таких пространств — стандартных пространств, или, как их теперь называют после работ Рохлина, пространств Лебега. Аксиоматика фон Неймана подверглась изменениям, но его подход послужил фундаментом для всего последующего применения теории меры к эргодической теории (см. наст, изд., т. 2, коммент. V).

Упомянем еще об одной важной идее фон Неймана в теории меры: ему принадлежит определение того, что сейчас называют «лифтингом», т. е. отображением, являющимся правым обратным к отображению, появляющемуся при факторизации пространств функций, операторов и т. п. по модулю совпадения почти всюду по мере. Наличие лифтинга с теми или иными свойствами (мультипликативность, положительность и др.) оказалось полезным во многих задачах, и сейчас это понятие широко используется и в приложениях.

Вклад фон Неймана в эргодическую теорию особенно значителен. Истоками этой теории считаются статистическая механика и классическая

динамика. В трудах фон Неймана, а также Биркгофа, Купмана и Хинчина были сформулированы первые фундаментальные факты. После появления работы Купмана 1931 г. об унитарных операторах, сопряженных с сохраняющими меру преобразованиями, фон Нейман опубликовал свою знаменитую работу, содержащую «эргодическую теорему фон Неймана» для унитарных операторов. Эта теорема утверждает, что для любого унитарного оператора U и любого вектора h гильбертова пространства существует предел

По свидетельству Халмоша, ученика и сотрудника фон Неймана в области эргодической теории, фон Неймана привлекала здесь прежде всего связь теории меры и спектра. К основным результатам фон Неймана в эргодической теории следует отнести уже упоминавшуюся эргодическую теорему фон Неймана, классификацию эргодических динамических систем с дискретным спектром, основы теории аппроксимации динамических систем, построение теории разложения динамических систем на эргодические компоненты, примеры сохраняющих меру преобразований с непрерывным спектром, конструкции факторов с помощью динамических систем. По свидетельству Какутани, фон Нейман рассматривал вопрос о применении понятий теории информации к эргодической теории. Как известно, решающий шаг в этом направлении был сделан Колмогоровым.

Почти одновременно с работами по эргодической теории и теории меры появляются работы по теории операторов, а затем и по алгебрам операторов. Эта тема проходит через все творчество фон Неймана. По существу вся относящаяся к этому направлению огромная ветвь функционального анализа сформировалась под влиянием работ фон Неймана. В начальный период основным стимулом были проблемы квантовой механики и теории дифференциальных уравнений, а первой публикацией — совместная работа Гильберта, фон Неймана и Нордхейма 1927 г. Эта работа была отправной точкой для дальнейших исследований по основаниям квантовой механики. Вскоре фон Нейман занялся общей проблемой построения спектральной теории неограниченных самосопряженных операторов. Спектральная теория ограниченных самосопряженных операторов, построенная Гильбертом, имела своим источником теорию интегральных уравнений. Фон Нейман понял важность аналогичной теории, относящейся к неограниченным операторам, для квантовой механики.

Дальнейшие исследования (Реллих, Фридрихс, Крейн и др.) спектральной теории дифференциальных операторов (индексы дефекта, теория расширений, обобщенные спектральные разложения и др.), равно как алгебра-

ическая теория операторов, в качестве исходного пункта имели спектральную теорему Гильберта-Неймана.

В 1931 г. фон Нейман опубликовал до последнего времени сравнительно малоизвестную работу «Однозначность оператора Шредингера» (Die Eindeutigkeit der Schrödingerschen Operatoren), помещенную в этой книге. Он рассмотрел следующую задачу: описать все решения уравнения PQ—QP = hl/2т, где P,Q — самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве Н. Это уравнение играет важную роль в квантовой механике. Оно допускает и другие формулировки; например, если V(a) — = ехр(2тгтР/Л), U(ß)=exp(2mßQ/h\ то vla)U(ß)=exp{2maß/h)V(ß)U{cY) (представление коммутационных соотношений в форме Вейля), или если Е(\), —оо < А < оо, — проекционное семейство для Р, то U(ß)E(X) = = Е(Х + ß). Фон Нейман показал, что все решения упомянутого уравнения сводятся к операторам импульса и координат в пространстве векторнозначных функций. В дальнейшем этот результат фон Неймана оказался очень важным в теории представлений коммутационных соотношений в квантовой теории поля, в эргодической теории, в частности в теории /f-систем, в спектральной теории стационарных случайных процессов, в теории представление в теории рассеяния (см. книгу П. Лакса и Р. Филлипса «Теория рассеяния») и др. Заметим, кстати, что фон Нейман еще в 1938 г. обратил внимание на то обстоятельство, что в квантовой механике бесконечного числа частиц имеется много неэквивалентных представлений коммутационных соотношений, что позже оказалось весьма важным для квантовой теории поля.

К этому же периоду относятся первые работы фон Неймана по общей теории операторов. По свидетельству самого фон Неймана, его работы в этом направлении составляют один из трех его основных вкладов в математику. Интерес к проблематике теории операторов, колец операторов сохранялся у него в течение всей жизни. Последние работы фон Неймана в этом направлении были сделаны после 1950 г.

Фон Нейману вместе с Вейлем принадлежит заслуга построения первой математически безупречной формулировки квантовой механики на основе теории операторов в гильбертовом пространстве. Детальное и последовательное изложение содержится в уже упоминавшейся книге фон Неймана «Математические основы квантовой механики» (1932 г.), выдержавшей ряд изданий. Этот подход и изложение квантовой механики, квантовой статистики, квантовой логики стал теперь общепринятым. Среди конкретных достижений фон Неймана отметим введение им матрицы плотности, которая с тех пор является основным понятием квантовой статистической механики. С помощью матрицы плотности фон Нейман вводит квантово-механическую энтропию в виде S = — fcTr(plnp), где р — матрица плотно-

сти, А: — постоянная Больцмана, а также определяет квантовое равновесное распределение Гиббса.

Другие работы фон Неймана посвящены проблеме измерения в квантовой механике — вопросу, который дискутируется до сих пор, — и проблеме «скрытых параметров». Суть ее состоит в том, возможно ли квантово-механическую систему представить как результат определенного проектирования некоторой классической системы. Результат фон Неймана был отрицательным и показал невозможность чисто детерминистического определения квантовой механики.

Большие усилия фон Нейман предпринимал для выяснения алгебраической и логической структуры квантовой механики, надеясь с помощью надлежащего абстрактного анализа прийти к естественным обобщениям квантовой механики. Ему принадлежит ряд совместных работ с Вигнером, Иорданом и Биркгофом на эту тему. Историки математики часто приводят в качестве удивительного примера взаимодействия математики и физики такую ситуацию: теория операторов в гильбертовом пространстве появилась почти одновременно и независимо от квантовой механики, но именно она с начала 30-х годов стала единственным адекватным языком современной квантовой теория.

Наряду с упоминавшейся выше характерной для творчества фон Неймана идеей аксиоматизации следует отметить и другую идею — алгебраизации) анализа. Функциональный анализ тех лет базировался в основном на линейной алгебре. Фон Нейман одним из первых понял важность для анализа и его применений (физика и другие области) общей алгебры — теории колец, групп, их представлений и т. д. Пионер применения теории групп в физике Вигнер неоднократно подчеркивал решающую роль и инициативу фон Неймана в этом направлении. Известная работа Йордана, Вигнера и фон Неймана посвящена алгебраическим аспектам и обобщениям квантовой механики. Совместная работа с Сигалом — одна из первых работ по представлениям полупростых групп Ли. Современное изложение теории представлений симметрической группы основано на комбинаторной лемме фон Неймана (см.: Ван-дер-Варден. Алгебра. М.: Наука, 1972. 623 с).

Известный цикл работ (совместно с Ф. Мюрреем) по кольцам операторов и примыкающие сюда статьи по бесконечным тензорным произведениям и прямому интегралу колец заслуживают особого упоминания. Цикл работ по кольцам операторов и статья о бесконечных тензорных произведениях включены в настоящее издание. Они представляют собой исключительное явление в математической литературе. В них постепенно развертывается совершенно новая область исследований с многочисленными связями с другими разделами математики. Эти работы на несколько десятилетий обогнали свое время, они были до конца поняты и стали ин-

тенсивно использоваться лишь с середины 50-х годов. В настоящее время основные понятия и многие результаты этого цикла вошли в учебники и монографии по функциональному анализу, алгебраическим методам в физике и др.

Основное открытие здесь — факторы, т. е. слабозамкнутые самосопряженные алгебры операторов гильбертова пространства с тривиальным центром. Оказалось, что кроме факторов, изоморфных алгебре всех операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве Я, dim Я = п и п = 1,2, ...,оо, называемых факторами типа 1п, существуют совершенно новые классы факторов — факторы типа II и III. Для характеризации этих типов вводится новое понятие размерности ортогональных проекторов, принадлежащих фактору. В факторах типа II эта размерность принимает либо все значения из отрезка [0,1] (факторы типа Iii), либо все значения из [0, оо] (в факторах типа Ноо)- В факторах типа III размерность принимает лишь два значения: 0 и оо. В настоящее время известно много примеров неизоморфных между собой факторов типа II и III (Сакаи, Макдуфф, Пауэре и др.), имеется некоторая частичная классификация и инварианты (Араки, Конн).

Первые примеры факторов фон Нейман черпал из близких ему областей: теории представлений групп, теории динамических систем (скрещенные произведения и др.). Эти примеры подробно изучались в дальнейшем (Макки, Дай, Сигал, Араки). Сейчас несомненно, что в теории представлений, квантовой теории поля, теории динамических систем с бесконечным числом степеней свободы, статистической механике факторы типа II и III будут играть заметную роль. Особенно важным оказался класс аппроксимативно-конечных факторов, выделенный фон Нейманом как класс, допускающий аппроксимацию матричными алгебрами. Мюррей и фон Нейман доказали, что существует ровно один с точностью до изоморфизма аппроксимативно-конечный фактор типа Iii. Сейчас доказана единственность аппроксимативно-конечного фактора типа Ноо, а для факторов типа III получена классификация многих важных специальных случаев (Конн). Обо всем этом подробнее см. наст, изд., т. 2, коммент. I.

Квантовая логика и теория непрерывных факторов, с одной стороны, и геометрия и теория структур — с другой, привели фон Неймана к следующему замечательному открытию — непрерывной, точнее, непрерывномерной геометрии. Этот цикл работ (конец 30-х годов) создавался им в окружении видных специалистов — алгебраистов и геометров — Биркгофа, Веблена и др. Вейль в своей известной лекции «Полвека математики» (1950 г., т. е. за несколько лет до прорыва в современной топологии) говорил, что непрерывная геометрия, или «геометрия без точек», — наиболее интересное достижение геометрии первой половины XX в. Первым примером непрерывной геометрии была структура проекторов факторов типа Iii.

Более точно, подобно тому как в обычной проективной геометрии рассматривается дедекиндова структура с дополнением всех подпространств конечномерного пространства над некоторым полем, фон Нейман предложил рассматривать структуру ортопроекторов фактора типа Iii. Оказалось, что она действительно представляет собой дедекиндову структуру с дополнением и в ней выполнены все аксиомы проективной геометрии. Заметим, что проверка выполнения этих аксиом далеко не тривиальна. Особенно трудно доказывается аксиома о перспективности. Сверх того, в такой проективной геометрии нет минимальных элементов, а размерность может принимать любые значения из отрезка [0,1].

Фон Нейман аксиоматизировал эту ситуацию и ввел общие непрерывные геометрии. Оказалось, что они не исчерпываются описанными выше: имеются геометрии, отличные от факторных. Попутно в качестве так называемых координатизирующих колец им были введены регулярные кольца, играющие в настоящее время важную роль в общей гомологической алгебре. Вообще, весь этот цикл работ оказал сильное воздействие на теорию структур булевых алгебр и колец. Исследования по непрерывной геометрии были продолжены Гальпериным, Маедой, Халмошем, Магарам, но, пожалуй, будет правильно сказать, что в отличие от теории операторов непрерывная геометрия еще ожидает своего нового прочтения.

Несколько особняком стоит малоизвестная работа фон Неймана «Аппроксимативные свойства матриц высокого порядка», включенная в эту книгу. Хотя она примыкает к циклу статей о факторах, ее особая роль в том, что в ней едва ли не впервые реализуется идея об асимптотическом изучении матричных алгебр — идея, подхваченная лишь значительно позже. Следует сказать, что функциональному анализу 30-40-х годов эта идея, как ни странно, была чужда: основные проблемы касались изучения «готовых» бесконечномерных пространств, фактически тех или иных пространств функций. Рассмотрение асимптотических или аппроксимационных свойств пространств, алгебр и т. п. стало популярным значительно позже и отчасти благодаря работам фон Неймана. Заметим также, что в упомянутой работе неявно присутствует е-энтропия некоторого компакта, — оценка которой играет основную роль (подробнее см. комментарии к этой статье).

Большое место в творчестве фон Неймана занимает цикл работ по теории игр, эконометрике и т. п. Первая публикация фон Неймана по теории игр относится к 1928 г., в которой появилась ставшая вскоре знаменитой его теорема о минимаксе, утверждающая существование оптимальной стратегии в так называемых играх двух партнеров с нулевой суммой. Понятие стратегии, чистой и рандомизированной, появилось раньше в работах Бореля. Однако Борель даже выражал сомнение в справедливости теоремы

о минимаксе. В дальнейшем деятельность фон Неймана в теории игр и математической экономике продолжалась в сотрудничестве с австрийским экономистом Моргенштерном. Результатом их сотрудничества была большая монография «Теория игр и экономическое поведение», в которой была развернута общая теория игр и лиц. Эта монография остается и сейчас основным источником для всей теории игр. Теория матричных игр является прекрасным примером модели, сочетающей математическое изящество и законченность, с одной стороны, и большую сферу приложений — с другой. Основная теорема о минимаксе нетривиальна; ее первое доказательство фон Нейман основывал на теореме Брауэра о неподвижной точке, а затем связал ее с двойственностью в линейном программировании.

Впрочем, в теории игр фон Нейману принадлежат не только общие концепции и результаты. Ряд его работ посвящен анализу стратегий в конкретных играх, таких, как шахматы и карточные игры: бридж и покер.

Приведем любопытную историю, характерную для фон Неймана и иллюстрирующую, в частности, то, насколько стимулирующим было его воздействие на окружающих. Речь идет о его роли в теории, называемой сейчас линейным программированием. Один из создателей вычислительного алгоритма для решения задачи линейного программирования (симплекс-метода) Дж. Данциг пишет: «В октябре 1947 г. я впервые посетил фон Неймана в Принстоне. Я попытался описать один из примеров задачи линейного программирования». Вначале фон Нейман слушал невнимательно и попросил поскорее перейти к существу. Данциг решил сформулировать общую задачу: «В течение одной минуты я изложил геометрическую и алгебраическую постановку на доске. Фон Нейман встал и сказал: “Ах, это”. Затем он прочел мне полуторачасовую лекцию по математической теории линейных программ. (Позже я искал что-либо подобное в литературе и не нашел.) Увидев, что я сижу с открытым ртом и хлопаю глазами, фон Нейман сказал что-то вроде: “Я не хочу, чтобы Вы думали, что я сочинил это мгновенно здесь же. Я утверждаю просто, что две проблемы эквивалентны — та, что я здесь излагаю перед Вами, и одна из тех, что мы изучали с Моргенштерном в связи с теорией игр”». «Впервые, — пишет Данциг, — я услышал о двойственности, о лемме Фаркаша. Фон Нейман обещал написать по моей задаче несколько соображений». Позже Данциг всегда подчеркивал, что идея двойственности принадлежит фон Нейману, хотя среди работ фон Неймана, посвященных этому кругу вопросов, и в частности в написанной им после беседы с Данцигом работе «О проблеме максимизации», где предлагается итеративный метод решения задачи линейного программирования, о двойственности вовсе не упоминается. Заметим, что идея двойственности в этих задачах на самом деле была предложена несколько ранее Л. В. Канторовичем (1939 г.), что не было тогда

известно в США. Далее Данциг пишет, что итогом встречи с фон Нейманом была его (Данцига) работа, где на основании теоремы двойственности обосновывался симплекс-метод. Можно не сомневаться, что подобных эпизодов в жизни фон Неймана было немало.

В 40-х годах, отчасти в связи с проблемами военного времени и работой в Комиссии по атомной энергии в США, фон Нейман большую часть времени стал уделять прикладным вопросам. К этому периоду относится появление первой быстродействующей вычислительной машины, в создании которой фон Нейман принял самое непосредственное активное участие. Одними из первых задач, исследовавшихся на этой машине, были задачи газовой динамики, и в частности одномерной газовой динамики. Работы фон Неймана в этой области долгое время существовали лишь в форме недоступных отчетов и только сравнительно недавно были опубликованы.

Особенность решений задач газовой динамики состоит в неизбежном появлении разрывов и других сингулярностей. По поводу всего этого круга задач фон Нейман писал: «Вопрос о том, встречается ли в действительности в природе решение, найденное математическими средствами, и можно ли заранее исключить существование нескольких решений с хорошими или плохими свойствами, чрезвычайно труден и неопределен. Эти проблемы рассматривались как в классической литературе, так и в более недавней литературе на разных уровнях строгости. В конечном счете в этой области трудно быть в чем-нибудь уверенным. Исследователь-математик находится здесь в постоянном состоянии неуверенности, поскольку обычные теоремы существования и единственности решения, которые хотелось бы иметь, еще никогда не были доказаны и, возможно, неверны в их обычной форме... Таким образом, в механике жидкости встречается широкий спектр математических возможностей для перемещающихся разрывов, согласованных с разумным термодинамическим поведением. Возможно, что существуют условия, которые выделяют одно и только одно решение во всякой разумно поставленной проблеме. Однако мы можем только догадываться о том, каковы эти условия, и должны целиком основываться на физической интуиции в поисках их. Поэтому здесь нельзя быть излишне определенным (specific) ни в одном пункте. И по поводу любого найденного решения трудно сказать с большой степенью уверенности, то ли это решение, которое должно существовать в природе».

Фон Нейману принадлежат глубокие и разнообразные исследования разрывных решений уравнений газовой динамики, вывод условий на скачках, анализ взаимодействия ударных волн. Классической является работа фон Неймана и Рихтмайера, в которой разработан численный метод решений уравнений газовой динамики, основанный на введении фиктивной вязкости, устраняющей разрывы, которую затем устремляют к нулю.

В двух совместных работах с С. Чандрасекаром фон Нейман рассматривал весьма интересный вопрос о существовании и свойствах сил в системе гравитирующих масс. Из-за дальнодействующего характера сил гравитации нетрудно указать такие конфигурации масс, когда силы, действующие в данной точке, не определены или бесконечны. Это не так для чисто случайных расположений масс. В предположении, что расположения масс статистически независимы, осуществляется предельный переход, который теперь называется термодинамическим предельным переходом. Фон Нейман и Чандрасекар получили и исследовали совместное распределение вероятностей для силы и ее производной по времени.

Фон Нейман многие годы интересовался проблемами турбулентности и метеорологии, более точно, проблемами глобальных движений атмосферы. Он был тесно связан с исследовательской метеорологической группой и активно участвовал в разработке численных методов прогноза погоды. Помимо общего интереса, эта проблема привлекала фон Неймана теми перспективами, которые открылись бы в случае ее положительного решения.

Собственно проблемам турбулентности посвящена лишь одна статья фон Неймана «Недавние теории турбулентности», которая не предназначалась для публикации, а представляла собой лишь текст прочитанного доклада. Этот текст был включен в полное собрание сочинений фон Неймана. По мнению специалистов в теории турбулентности, статья Неймана представляет собой одно из самых ярких и стимулирующих обсуждений проблем турбулентности, в особенности того развития теории турбулентности, которое началось после работ Колмогорова.

Дж. фон Нейман внес огромный вклад в практику программирования и методов вычислений. К сожалению, мы можем судить об этом только со слов его коллег и друзей, поскольку огромное множество предложенных им идей, приемов, схем не было им опубликовано, но давно стало достоянием многих групп исследователей. Необходимость использования ЭВМ была ясна уже в начале деятельности по анализу ядерных реакций. По свидетельству одного из ближайших сотрудников фон Неймана в это время — Улама, интерес фон Неймана к использованию ЭВМ объяснялся, с одной стороны, его ранними работами по теории множеств и по теории доказательств, на которых сказывалось влияние Гильберта, выдвинувшего общую программу изучения математических доказательств как своего рода конечную игру, с другой — к вычислительным проблемам фон Неймана привели его исследования в эргодической теории, квантовой механике и вообще в математической физике. Фон Нейман предложил первые методы перевода математических действий на язык команд для вычислительных машин, что привело к появлению стандартных схем и цепей для построения машинных кодов. По существу это была не только теоретическая,

но и инженерная деятельность, в которой фон Нейман принимал самое непосредственное участие. Несколько лет спустя фон Нейман был удостоен премии Э. Ферми. В решении жюри специально отмечался его вклад в развитие теории и практики вычислений на ЭВМ.

Одно из прямых изобретений фон Неймана — метод Монте-Карло для нахождения многомерных интегралов. В основе лежит идея построения с помощью ЭВМ случайной выборки точек и получения интеграла в виде среднего арифметического значений функций в этих точках. Фон Нейману принадлежит изобретение датчика случайных чисел, разнообразные методы численного нахождения собственных значений матриц большой размерности, процедура обращения матриц, метод поиска экстремума функций нескольких переменных.

Фон Нейман предложил новые способы решения ряда задач, основанные на сведении данной задачи к игровой или теоретико-вероятностной ситуации. Теоретико-вероятностная интерпретация, как правило, определялась ее физическим смыслом. Таким образом, фон Нейман предложил вероятностные модели для решения кинетического уравнения Вольцмана и ряда проблем гидродинамики. В других задачах фон Нейман использует ту или иную игровую схему с участием ЭВМ.

Одним из последних циклов работ фон Неймана была серия лекций и незаконченных работ по теории автоматов. В 60-е годы, уже после смерти фон Неймана, его сотрудник и специалист по кибернетике Бёркс обработал имеющиеся материалы и издал их отдельной книгой (рус. пер.: Теория самовоспроизводящихся автоматов). Итог этого большого труда состоит в доказательстве возможности сконструировать автомат, способный к самовоспроизведению. Бёркс завершил детальное описание такого автомата, у которого 29 состояний, а взаимодействуют лишь ближайшие соседи, в некотором смысле он является универсальной машиной Тьюринга (в дальнейшем число состояний было уменьшено). Этот результат имеет глубокое научно-философское значение. Однако сейчас ясно, что еще более важным оказались сама постановка вопроса и подход к его решению. Теория клеточных автоматов, коллективов автоматов, эволюционные геометрические модели морфогенеза — все это выросло из идей фон Неймана.

Еще по крайней мере две идеи, связанные с теорией автоматов, должны быть упомянуты. Первая — постановка вопроса о создании надежных автоматов, составленных из ненадежных элементов, и вторая — идея вероятностных автоматов. Обе они получили дальнейшее теоретическое и прикладное развитие. Фактически работы по автоматам относятся в равной мере и к теоретической биологии, и к теории программирования, и к математической логике (сам он говорил о «логической теории автоматов»). В лекциях фон Нейман упоминал также нейрофизиологию, турбу-

лентность, квантовую механику, химию ферментов и многое другое. В качестве математического аппарата он имел в виду привлечь нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных, логику, теорию информации, теорию вычислительных и аналоговых машин и др. Видимо, далеко не все идеи фон Неймана по теории автоматов удалось расшифровать и тем более реализовать.

В разные периоды своей жизни фон Нейман занимался теоретической физикой, гидродинамикой, экономикой и теорией игр, был инженером и конструктором ЭВМ, вычислителем и создателем разнообразных приближенных и численных методов. Однако всегда и прежде всего он был математиком.

* * *

Полезно обратиться к высказываниям самого фон Неймана о математике. В полное собрание его сочинений включены две его статьи общего характера: речь перед выпускниками Принстонского университета «Роль математики в науке и обществе» и статья в сборнике «Единство знания» под названием «Метод в физических науках» (Method in physical sciences). Фон Нейман пишет: «Для начала мы подчеркнем утверждение, которое, как я уверен, вы слышали и раньше, но которое следует повторять снова и снова. Науки не пытаются объяснять, едва ли они пытаются интерпретировать, они в основном предлагают модели. Под моделью понимается математическая конструкция, которая при помощи языковых средств описывает наблюдаемое явление». Далее фон Нейман пишет: «Оправданность данной математической конструкции покоится только и единственно на том, что она будет работать, т. е. правильно описывать явления в достаточно широкой области. Кроме того, она должна удовлетворять некоторым эстетическим критериям, т. е. в зависимости того, сколь много она описывает, она должна быть относительно простой». Эта цитата показывает, как фон Нейман подходил к рассмотрению прикладных проблем.

В статье о роли математики фон Нейман выделяет в качестве первого момента выработку некоторых стандартов в наших знаниях (certain standards of objectivity, certain standards of truth), которые создаются независимо от разных других сторон развития науки. Далее, математика представляет собой прекрасную школу логического мышления, обдумывания (thinking). Здесь фон Нейман подчеркивает роль этого свойства математики в применении к областям, которые нельзя относить к точным наукам: «Мне кажется, что одно из главных достижений математики в области нашего мышления в том, что она показала огромную гибкость в создании концепций, такую степень гибкости, которую трудно было бы достичь без математики». И наконец, фон Нейман останавливается на вопросе о полез-

ности математических теорий: «Большая часть математики, которая стала полезной, развивалась без всякого намерения быть полезной и в ситуации, где никто, возможно, и не знал, в какой области она станет полезной; и не было даже никаких указаний на то, что это когда-либо произойдет. В целом, несомненно, верно, что в математике существует промежуток времени между математическим открытием и моментом, когда оно становится полезным; этот промежуток может длиться от 30 до 100 лет, иногда даже больше, и вся система развивается без определенной цели, без всякой связи с полезностью (usefulness) и без всякого стремления к развитию того, что полезно». В конце фон Нейман пишет: «И мне кажется исключительно поучительным следить за ролью науки в повседневной жизни и отмечать, как в этой области принцип laissez faire (приблизительно, свободного творчества. — Примеч. ред.) приводит к неожиданным и поразительным результатам».

СЕРГЕЙ МИХАЙЛОВИЧ НИКОЛЬСКИЙ (к восьмидесятилетию со дня рождения)

Сергей Михайлович Никольский родился 30 (17) апреля 1905 г. в Пермской губернии, в городке Завод Талица, находящемся теперь в Свердловской области, в семье помощника лесничего. Вскоре после рождения Сергея Михайловича его отец получил назначение на должность лесничего на запад тогдашней России, в Августовские леса Сувалкской губернии, расположенной на границе с Пруссией. Там и прошли детские годы Сергея Михайловича. До тринадцати лет он учился в гимназии, сначала в г. Сувалки, затем в г. Чернигове, куда в связи с началом первой мировой войны переехала семья Никольских. Позднее, живя в деревне в лесной местности Воронежской губернии, куда в Шиловский лес получил новое назначение его отец, и не имея возможности посещать школу, он продолжил свое образование по математике, физике и естественным наукам под руководством отца, который любил математику и, обнаружив у сына математические способности, всячески поощрял его занятия математикой. Сергей Михайлович лишился отца в 16 лет, из них 4 года им не пришлось жить вместе. Отец считал, что Сергей станет инженером. В те времена профессия инженера была гораздо престижнее, чем профессия математика, под которой подразумевалась профессия учителя. Поэтому молодежь стремилась поступать в высшие технические учебные заведения. Юные годы Сергея Михайловича протекали в тяжелое время империалистической и гражданской войн; многие юноши и девушки работали тогда наряду со взрослыми. С. М. Никольский был в их числе, он начал работать с 14-летнего возраста и с 16 лет зарабатывал себе на жизнь. До двадцатилетнего возраста он проработал пять лет по найму (в лесничестве, в совхозе, в губполитпросвете, на металлургическом заводе), совмещая с семнадцати лет работу с обучением в техникуме. Для поступления в высшее учебное заведение в те годы была необходима путевка (командировка) с места работы. Такие путевки в определенном числе распределялись между организациями. С. М. Никольский получил командировку профсоюза в Екатеринославский (теперь Днепропетровский) университет, называвшийся в то время Институтом народного образования. Факультет можно было выбирать самому, и он выбрал физико-математический, а позднее — его математическое отделение, где в то время особенным влиянием на студентов пользовался профессор

Успехи математических наук. — 1985. — Т. 40, вып. 5. — С. 269-279 (совм. с В. К. Дзядыком, Л. Д. Кудрявцевым и С. Л. Соболевым; в разделе «Математическая жизнь в СССР»).

математики Г. А. Грузинцев. Так Сергей Михайлович стал математиком, но, перед тем как начать работать в университете, он успел еще поработать в г. Каменске (теперь Днепродзержинске), где преподавал на вечернем рабфаке и фабзауче физику и математику. В университете он, наряду с ведением упражнений, читал лекции по математическому анализу. Кроме университета он работал в Днепропетровске в технических вузах (в Горном, Транспортном и Фармацевтическом институтах), которые открывались в то время ввиду большой потребности в инженерных кадрах для осуществления политики индустриализации страны. В 1932 г. С. М. Никольский стал заведующим кафедрой математики в Транспортном институте, совмещая деятельность заведующего кафедрой с большой работой в Днепропетровском университете. В этот период Сергей Михайлович встретился с Ниной Ивановной Шлепкиной, которая стала его верным другом и женой. Трое их детей стали впоследствии математиками: старший сын — Юрий Сергеевич — ныне кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики Московского физико-технического института; младший — Михаил Сергеевич — доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР и профессор Московского университета; дочь — Наталия Сергеевна — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики Московского института нефте-химической и газовой промышленности им. Губкина.

В самостоятельную научную работу Сергей Михайлович был вовлечен А.Н. Колмогоровым, приезжавшим в тридцатых годах вместе с П. С. Александровым в Днепропетровск из Москвы для чтения лекций. Под руководством же А. Н. Колмогорова С. М. Никольский в 1935 г. окончил аспирантуру при Московском государственном университете и успешно защитил там кандидатскую диссертацию в области функционального анализа. После этого он вернулся в Днепропетровский университет, где стал заведующим кафедрой теории функций, доцентом. Сергей Михайлович читал в университете курсы математического анализа, теории функций действительного переменного и математической физики. Под влиянием А. Н. Колмогорова, который в этот период продолжал систематически приезжать в Днепропетровский университет, С. М. Никольский продолжал заниматься функциональным анализом и начал работу в области теории приближения функций. Уже первые его результаты были настолько серьезны, что привлекли к себе внимание крупных математиков, работавших в этой области, и получили их высокую оценку. В Днепропетровске А. Н. Колмогоров руководил семинаром по теории приближений, а С. М. Никольский активно ему помогал. С тех пор Днепропетровск стал известным научным центром в этой области.

В 1940 г. С. M. Никольский поступил по конкурсу в докторантуру Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР. Пробыв в докторантуре немногим более года, он в январе 1942 г. успешно закончил докторскую диссертацию по теории приближения функций многочленами и был оставлен старшим научным сотрудником Математического института, в котором и работает до настоящего времени; с 1953 по 1961 гг. он был заместителем директора института, а с 1961 г. стал, после М. А. Лаврентьева, заведующим отделом теории функций. В 1954 г. он принял активное участие в организации советского реферативного журнала по математике и стал его первым главным редактором. Все это время С. М. Никольский не прекращал своей интенсивной педагогической деятельности. С 1943 г. по 1947 г. он заведовал кафедрой высшей математики в Московском автодорожном институте. В 1944 г. ему было присвоено звание профессора кафедры высшей математики. С 1947 года и по настоящее время он работает профессором Московского физико-технического института (с 1950 г. по 1954 г. заведовал в нем кафедрой высшей математики).

В 1968 г. С. М. Никольский был избран член-корреспондентом АН СССР; а в 1972 г. — ее действительным членом.

Многие более подробные сведения о биографии С. М. Никольского и обстоятельный анализ его научной деятельности до 1975 г. с точными формулировками полученных им результатов помещены в юбилейных статьях А. Н. Колмогорова и СБ. Стечкина, посвященной пятидесятилетию С. М. Никольского (УМН, 1956, т. 11, вып. 2 (68), с. 237-240), В. К. Дзядыка, А. Н. Колмогорова и Л. Д. Кудрявцева, посвященной его шестидесятилетию (УМН, 1965, т. 20, вып. 5 (125), с. 275-287), и их же статье, посвященной его семидесятилетию (УМН, 1975, т. 30, вып. 4 (184), с. 271-280). Поэтому в настоящей статье мы ограничимся лишь общим обзором основных направлений научных исследований С. М. Никольского до 1975 г., и более подробно осветим его деятельность за последнее десятилетие.

В своих исследованиях С. М. Никольский решил ряд проблем, насущно важных для дальнейшего развития математики, обогатил области математики, в которых он работал, постановками новых задач, имеющих принципиальное значение. Его труды представляют собой фундаментальный вклад в теорию линейных уравнений в функциональных пространствах, теорию приближения функций, теорию численных методов, теорию дифференцируемых функций многих переменных и ее приложений к математической физике. Характерной чертой большей части результатов, полученных С. М. Никольским, является их логическая завершенность. Многие из них формулируются как необходимые и достаточные условия или как, в известном смысле, окончательные (неулучшаемые) оценки.

Результаты его научных исследований изложены в трех опубликованных им монографиях и более чем в 150 научных работах, многие из которых переведены на иностранные языки и широко используются специалистами во всем мире.

Первые исследования С. М. Никольского, выполненные еще в тридцатые годы, относятся к теории линейных операторов в банаховых пространствах. Они были проведены в то время, когда функциональный анализ в нашей стране начал еще только развиваться. Исходные результаты рассматриваемой С. М. Никольским проблемы, относящиеся к случаю, когда изучаемый оператор вполне непрерывен, принадлежат Ф. Риссу и Ю. Шаудеру. С. М. Никольский обогащает эту область новой постановкой вопроса и решением ряда принципиальных задач. Он рассмотрел уравнение (Е — ХА)(х) = 0 и сопряженное ему в комплексном банаховом пространстве и нашел необходимые и достаточные условия для того, чтобы для оператора Е — \А выполнялась альтернатива Фредгольма. Он установил критерии дискретности и непрерывности спектра линейного оператора А в терминах разложимости оператора Е — ХА в сумму ортогональных в определенном смысле друг другу операторов, обратимого и вполне непрерывного. Эти результаты С. М. Никольского получили большое применение в теории сингулярных интегральных уравнений. Впоследствии эти исследования в указанной постановке послужили основанием для развития целого направления в функциональном анализе в ряде работ других авторов у нас в стране и за рубежом (С. Н. Крачковский, Аткинсон и др.).

Следующий большой цикл работ С. М. Никольского, начатый еще в Днепропетровске, относится к теории приближения функций. В классических работах начала нашего столетия С. Н. Бернштейна, Д. Джексона и Ш. Ж. Валле-Пуссена был широко изучен вопрос о зависимости порядка приближений от свойств гладкости приближаемой функции. В середине тридцатых годов, начиная с одной работы А. Н. Колмогорова, возникла новая тенденция получать асимптотически точные оценки приближений для различных важных классов функций. С. М. Никольский широко поставил изучение таких задач и в случае приближений периодических функций тригонометрическими полиномами успешно решил ряд относящихся к этому вопросу первоочередных проблем. Эти результаты составили его докторскую диссертацию. После их опубликования С. М. Никольский занял ведущее положение в этой области математики.

Когда были получены точные и асимптотически точные оценки приближений для периодических функций, в ряде важных для анализа случаев возник вопрос о получении оценок этого рода в непериодическом случае. Трудности, которые здесь возникли, пытались преодолеть ряд крупных математиков. С. М. Никольскому удалось получить первые асимптотически

точные результаты в этой области. Существенно отметить, что С. М. Никольский получил асимптотически точные оценки, зависящие не только от степени приближающего многочлена, но и от положения точки, в которой происходит приближение. Он получил также ряд новых асимптотических оценок для индивидуальных функций, имеющих заданные особенности.

Третий большой цикл работ С. М. Никольского относится к теории дифференцируемых функций многих переменных. Начало этому циклу положили полученные Сергеем Михайловичем новые, точные в смысле порядка неравенства (известные теперь во всем мире как «неравенства Никольского») для тригонометрических многочленов и целых функций экспоненциального типа. Эти неравенства позволили С. М. Никольскому обнаружить методами теории приближений как зависимости, существующие между разными дифференциальными свойствами функций многих переменных в разных метриках, так и зависимости между дифференциальными свойствами функций, рассматриваемых на пространствах разного числа измерений. Он существенно развил теорию С. Л. Соболева вложения классов дифференцируемых функций. Для функциональных пространств, состоящих из функций, удовлетворяющих интегральному условию Гёльдера-Зигмунда, С. М. Никольский впервые получил точные прямые и им обратные теоремы вложения. Тем самым было показано, что рассматриваемые пространства образуют замкнутую систему относительно теорем вложения. Теоремы вложения были получены С. М. Никольским не только для изотропных, но и для анизотропных функциональных пространств.

В 1952 г. за цикл работ по теории приближения функций Сергею Михайловичу была присуждена Государственная премия.

После того как С. М. Никольским были получены основные из указанных результатов по вложению классов функций, у нас и за границей появилась тенденция изучать другие важные классы дифференцируемых функций с точки зрения выяснения их замкнутости в себе относительно теорем вложения. Эти исследования существенно обогатили математический анализ и его приложения.

Теоремы вложения С. М. Никольского явились для него основой исследований, связанных с прямым вариационным методом, который в свою очередь послужил ему базой для решения ряда задач математической физики. Ряд работ С. М. Никольского посвящен обоснованию решения вариационным методом первой краевой задачи для достаточно общих уравнений эллиптического и гипоэллиптического типов. С. М. Никольский получил условия разрешимости краевой задачи в терминах свойств граничных данных, изучил дифференциальные свойства решений. К этим исследованиям примыкает его цикл работ по вариационной задаче Гильберта в п-мерном пространстве.

Некоторые свои исследования по теории дифференцируемых функций многих переменных С. М. Никольский подытожил в монографии «Приближение функций многих переменных и теоремы вложения», первое издание которой вышло в свет в 1969 г. (в 1975 г. его перевод на английский язык был опубликован издательством «Шпрингер»), а второе — в 1977 г. Монография С. М. Никольского получила высокую оценку специалистов и стала настольной книгой математиков, работающих в этой области. За эту монографию Сергей Михайлович был удостоен в 1975 г. премии АН СССР им. П. Л. Чебышева. Ряд его исследований вошел в монографию «Интегральные представления функций и теоремы вложения», написанную им совместно с О. В. Бесовым и В. П. Ильиным и опубликованную в 1975 г. (ее перевод на английский язык был опубликован в США в 1978-1979 гг.). Эта монография была удостоена Государственной премии в 1977 г.

С. М. Никольским создана теория наилучших квадратурных формул для классов функций одной переменной и получены точные оценки для некоторых таких классов. Эти результаты собраны в его монографии «Квадратурные формулы», первое издание которой вышло в 1958 г., второе — в 1974 г., третье — в 1979 г. Она также была переведена на английский язык и издана в 1964 г. в Индии и в 1966 г. в Англии.

Идеи, развитые С. М. Никольским в его исследованиях, оказались весьма плодотворными; они получили свое дальнейшее развитие в работах его учеников и последователей и позволили им получить много глубоких результатов и по теории приближения функций, и по теории вложения функциональных классов, и по теории квадратурных формул.

Последние годы Сергей Михайлович, в большей части совместно с П. И. Лизоркиным, занимался изучением дифференциальных свойств решений уравнений эллиптического типа с сильным вырождением. Они, продолжая свои совместные исследования, начатые еще в 1964 г., рассмотрели первую краевую задачу для эллиптического уравнения

(1)

сильно вырождающегося на границе д£1 ограниченной области Q. Вырождение уравнения (1) характеризуется выполнением неравенств типа

где р(х) — расстояние от точки х G fi до <9fi, а 7 — фиксированное целое неотрицательное число.

В предположении, что 0 < г + а — ^ < г и что существует натуральное 5о, удовлетворяющее неравенству г+а — ^ < so < г+а+\, рассматривается краевая задача с граничными данными

[у — внешняя нормаль на <9fi). Дается точное внутреннее описание пространства НГ}1(С1) правых частей уравнений (1), когда однородная краевая задача (1)-(2) имеет обобщенное решение в классе функций с конечной весовой нормой

(В случае 7 < г функция, принадлежащая #г)7, является, вообще говоря, обобщенной.) При этом доказывается, что дифференциальный оператор L (см. (1)) изоморфно отображает пространство H^a(fi) (т. е. подпространство пространства Q(fi), состоящее из функций с нулевыми граничными данными (2)) на пространство Hrn(Q), откуда, в частности, следует существование и единственность решения однородной краевой задачи (1)-(2) в классе И/2а(^) ПРИ F € Hr^(Q). Рассмотрена ими и неоднородная задача (1)-(2); изучены дифференциальные свойства ее решения, установлена оценка его весовой нормы через норму в пространстве Hn(Q) правой части уравнения (1) и соответствующую норму граничных данных. В случае однородной задачи (1)-(2) эта оценка имеет вид

Показывается, что при определенных условиях имеет место и неравенство противоположного знака с некоторой константой.

Последнее время С. М. Никольский снова вернулся к задачам теории приближения функций. В своих совместных с П. И. Лизоркиным работах он занимается изучением приближения функций на сфере с помощью гармонических полиномов в метрике Lp. Например, в случае L2 ими полностью доказана теорема типа Джексона и ее обращение на (п — 1)-мерной сфере а n-мерного пространства Rn. Сферический сдвиг Suf(x) функции f(x) G Lp(a), 1 < р ^ +00, определяется как среднее значение функции на «окружности» ху = cos 7, X G а, у G а. Для того чтобы при 2к > г — 2р > О выполнялось неравенство

(где Е — единичный оператор, Д — оператор Лапласа-Бельтрами), необходимо и достаточно, чтобы наилучшие приближения Eu(f)2 функций / в метрике L2(<j) полиномами порядка v по сферическим гармоникам подчинялись оценке

[с\ и с2 — постоянные). Ряд результатов получен и в случае произвольного р ^ 1, наиболее полные для четной размерности п пространства Rn.

Как уже отмечалось, идеи и методы С. М. Никольского постоянно находят свое дальнейшее развитие в работах других математиков. В настоящее время он является признанным главой большой созданной им школы теории функций и ее приложений, представители которой работают в разных частях нашей страны. Многие из них занимают ведущее положение в разработке ряда научных направлений. Большую роль в создании и деятельности научной школы С. М. Никольского играет семинар по теории дифференцируемых функций многих переменных и ее приложениям, которым руководит С. М. Никольский совместно с В. И. Кондрашовым (до 1971 г.), Л. Д. Кудрявцевым и с 1984 г. С Л. Соболевым на протяжении более тридцати лет. Сюда приезжают ученые, работающие в этой области, из разных городов Советского Союза и из-за границы, чтобы рассказать о своих результатах, обсудить очередные научные проблемы, ознакомиться с исследованиями постоянных участников семинара: учеников С. М. Никольского и учеников его учеников. Сергей Михайлович подготовил более 35 кандидатов наук. Из его учеников 11 имеют ученую степень доктора физико-математических наук: Т. И. Аманов, О. В. Бесов, В. И. Буренков, Я. С. Бугров, В. К. Дзядык, Н. П. Корнейчук, Л. Д. Кудрявцев, В. П. Моторный, М. К. Потапов, А. Ф. Тиман, СВ. Успенский, среди них члены-корреспонденты всесоюзной и республиканских академий наук.

Труды С. М. Никольского высоко ценятся не только в нашей стране, но и за рубежом: ему была присуждена золотая медаль Больцано Чехословацкой академии наук, он был избран иностранным членом Венгерской и Польской академий наук. В 1954 г. С М. Никольский по приглашению оргкомитета Международного конгресса математиков в Амстердаме сделал на этом конгрессе секционный доклад по теории приближений.

Сергей Михайлович неизменно продолжает уделять большое внимание педагогической деятельности, прежде всего в Московском физико-техническом институте, где он остается профессором кафедры высшей математики. Сергей Михайлович — замечательный лектор: его увлеченность, страстность, влюбленность в математику никого не могут оставить равнодушными. На своих лекциях он раскрывает перед студентами силу и красоту математических методов, пробуждает в них жажду знаний, желание

овладеть математикой, а у некоторых (они все готовились стать физиками) и стремление к самостоятельному творчеству в математике. Не случайно, что четверть штатного состава отдела теории функций, возглавляемого С. М. Никольским в Математическом институте АН СССР, состоит из выпускников физтеха. На основе читаемых им лекций по математическому анализу им написан широко известный учебник «Курс математического анализа», выдержавший уже три издания (в 1973, 1975 и 1984 гг.) и пользующийся заслуженной популярностью как среди студентов, так и среди преподавателей; имеются переводы этого курса на английский, испанский, латвийский языки. Учебник принят в качестве основного в ряде университетов и высших технических учебных заведений с повышенной математической подготовкой.

Совместно с профессором Я. С. Бугровым С. М. Никольский написал трехтомный курс высшей математики, по которому сейчас ведется преподавание в технических вузах и который удостоен медали «За науку» Минвуза СССР. Большой интерес проявляет Сергей Михайлович и к обучению математике в средней школе. Совместно с профессором М. К. Потаповым и учителем Н. К. Решетниковым им написан экспериментальный учебник «Алгебра 6», который проходит сейчас опытную проверку в ряде школ.

С. М. Никольский всегда активно участвует в научно-организационной и общественной деятельности. Являясь заместителем председателя Национального комитета советских математиков и членом ученого совета Международного математического центра им. С. Банаха, где представляет нашу страну, он тратит много сил и энергии на организацию и укрепление международного содружества ученых. В 1983 г. в сложной международной обстановке в Варшаве должен был состояться очередной международный конгресс математиков. С. М. Никольский приложил много усилий в международных организациях для того, чтобы конгресс состоялся, и активно участвовал в его организации. Конгресс прошел весьма успешно. С. М. Никольский возглавил на нем советскую делегацию, насчитывающую около 300 человек.

В течение сорока лет С. М. Никольский — сначала заместитель ответственного редактора «Трудов Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР», а затем — последние пятнадцать лет — ответственный редактор. Он является также главным редактором советской секции советско-венгерского математического журнала «Analysis Mathematica», членом редколлегий журнала «Успехи математических наук» и РЖ «Математика». С. М. Никольский — член бюро Отделения математики АН СССР, член методической комиссии по образованию при Отделении математики АН СССР, член партбюро (более тридцати лет) и председатель комиссии народного контроля МИАН. Он — член президиума научно-ме-

тодического совета по математике при Минвузе СССР, председатель методической комиссии МФТИ.

Под его председательством (1975-1978) программная комиссия научно-методического совета по математике при Минвузе СССР разработала новые программы курса высшей математики для студентов инженерных специальностей. Ныне технические вузы нашей страны работают по этим программам: они были утверждены Минвузом СССР в 1979 г. и переутверждены без всяких изменений в 1983 г. Любому делу, за которое берется Сергей Михайлович, он отдается до конца, делает все добросовестно, не жалея сил и времени.

Партия и правительство высоко ценят труд академика С. М. Никольского. Он награжден орденами Ленина, Октябрьской Революции, Трудового Красного Знамени и рядом медалей. Одну из них — «За оборону Москвы» — он получил за участие в 1941 г. в строительстве противотанковых укреплений в районе Малоярославца.

Благодаря своим исключительным человеческим качествам: высокой гражданственности, принципиальности, честности, доброжелательному отношению к людям, отзывчивости, простоте и непосредственности, он оказывает огромное положительное влияние на людей, с которыми общается. Сергей Михайлович любит людей, щедро делится с ними своим опытом, знаниями, вдохновляя их своим энтузиазмом и требовательностью к выполняемой работе.

Будучи умудренным большим жизненным опытом и наделенным литературным талантом (он незаурядный рассказчик), С. М. Никольский написал интересные воспоминания о приезде П. С. Александрова и П. С. Колмогорова в Днепропетровск (УМН, 1983, т. 38, вып. 4 (232), с. 37-49) и о своем друге А. А. Мальцеве (УМН, 1972, т. 27, вып. 4 (166), с. 232-230).

Сергей Михайлович любит общаться с молодежью, вокруг него много учеников. Он всегда готов поддержать и одобрить начинающего ученого, тактично прийти к нему на помощь, когда это нужно. Кто бы ни пришел к нему, он никому не откажет в разговоре, внимательно выслушает и щедро поделится своими знаниями, интуицией, опытом, а для продолжения беседы пригласит на воскресную загородную прогулку. Сергей Михайлович — большой любитель природы, и, являясь очень активным и деятельным человеком, он и отдыхать любит в действии, в движении. Редкая неделя проходит без того, чтобы он не отправился на большую прогулку по Подмосковью со своими коллегами, учениками, детьми, внуками, а когда нет компании — и один. Если есть снег — на лыжах, когда нет — пешком или на велосипеде. В летние месяцы Сергей Михайлович любит побродить по горам. Немало маршрутов он исходил по ущельям и перевалам Кавказа, Алтая и Крыма, много изведал троп в Забайкалье, Приморье, на Саха-

лине, Камчатке. Сергей Михайлович всегда любил и греблю, в молодости ему приходилось иногда грести по 12 часов в день много дней подряд. Летом 1938 и 1939 гг. он с А. И. Мальцевым, совместно с их научными руководителями А. Н. Колмогоровым и П. С. Александровым, совершили два больших путешествия на лодках. Одно из них от Красноуфимска по рекам Уфе, Белой, Каме, Волге (1600 км), другое — по Волге от Юрьева до Саратова. Летом 1953 г. Сергей Михайлович с сыном Мишей, В. М. Курочкиным и Л. Д. Кудрявцевым спустились на лодках по Оке от Калуги до Серпухова.

Где бы ни был Сергей Михайлович — дома, на отдыхе, в командировке, в нашей стране или за границей — он всегда найдет время для спорта: бега, лыж, плаванья, гребли, туризма. Регулярные занятия спортом неотделимы от Сергея Михайловича. В этом, безусловно, одна из причин того, что он, как всегда, полой сил и энергии, успешно продолжает свою многостороннюю и плодотворную деятельность. Как всегда, ему свойственны энтузиазм и увлеченность в занятии наукой, большое чувство ответственности в отношении любого дела, доброжелательное и внимательное отношение к людям, принципиальность во всех поступках.

Пожелаем Сергею Михайловичу еще долгие годы плодотворно работать в науке и всегда оставаться таким же энергичным, жизнерадостным, бодрым и веселым, каким все его знают!

ОЛЬГА АРСЕНЬЕВНА ОЛЕЙНИК. МАТЕМАТИК

Исполнилось 25 лет работы в Московском университете выдающегося математика нашей страны Ольги Арсеньевны Олейник. Двадцать лет О. А. Олейник является профессором кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета.

Окончив среднюю школу в 1942 г. в г. Пермь, где она в годы войны жила в эвакуации, Ольга Арсеньевна поступила на физико-математический факультет Пермского университета. Будучи студенткой, она, как и все комсомольцы ее курса, совмещала занятия в университете с работой на военном заводе. Пермский областной комитет ВЛКСМ отметил ее работу почетной грамотой «За самоотверженный труд в дни Великой Отечественной войны».

В Пермском университете в военные годы работала профессор Московского университета С. А. Яновская. Она руководила математическим кружком, который объединял наиболее талантливых студентов. После возвращения Московского университета из эвакуации многие участники пермского математического кружка, в том числе и Ольга Арсеньевна, были переведены в Московский университет.

В Московском университете Ольга Арсеньевна начала работать в научном семинаре, которым руководил Иван Георгиевич Петровский. Работа в этом семинаре в значительной степени определила ее научные интересы. В 1947 г. Ольга Арсеньевна с отличием окончила механико-математический факультет Московского университета и поступила в аспирантуру Института математики МГУ. Ее научным руководителем был И. Г. Петровский.

В 1950 г. О. А. Олейник защитила кандидатскую диссертацию на тему «О топологии действительных алгебраических кривых на алгебраической поверхности» и начала работать научным сотрудником Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР и одновременно преподавать на механико-математическом факультете МГУ. В 1952 г. за исследование уравнений с частными производными с малым параметром при старших производных она была награждена Президиумом Академии наук СССР премией им. Н. Г. Чеботарева.

В 1954 г. Ольга Арсеньевна защитила докторскую диссертацию «Краевые задачи для уравнений с частными производными с малым параметром при старших производных и задача Коши для нелинейных уравнений в це-

Вестник Московского университета. Сер. 1. — 1975. — № 4. — С. 118-124 (совм. с П. С. Александровым и С. Л. Соболевым).

лом». С 1955 г. О. А. Олейник — профессор кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета Московского университета. В 1964 г. за работы по теории пограничного слоя ей была присуждена премия имени М. В. Ломоносова первой степени.

В 1967 г. О. А. Олейник избрана иностранным членом Итальянской академии наук в Палермо.

Работы О. А. Олейник относятся к теории уравнений с частными производными, топологии алгебраических многообразий, математической физике и теории пограничного слоя. Ею опубликовано 127 научных работ.

В работе О. А. Олейник [1], выполненной еще в студенческие годы, рассматриваются классические вопросы теории линейных эллиптических уравнений второго порядка. Она доказала, что условия разрешимости задачи Дирихле для произвольного линейного эллиптического уравнения второго порядка с достаточно гладкими коэффициентами те же, что и для уравнения Лапласа (эти уравнения имеют одни и те же регулярные граничные точки). Указанный результат вошел во многие учебники, и в частности в учебник Адамара по уравнениям с частными производными. Близким вопросам посвящены работы О. А. Олейник [11, 14, 24], которые повлекли за собой серию работ ряда авторов, продолжающуюся до настоящего времени.

В 1949-1951 гг. выходят в свет работы О. А. Олейник по топологии алгебраических многообразий (см. [2-9]; работы [2, 3, 8] написаны совместно с И. Г. Петровским). Они дают ответы на ряд вопросов, поставленных Гильбертом в его 16-й проблеме. В работах О. А. Олейник даны оценки эйлеровой характеристики (п — 1)-мерной алгебраической поверхности порядка m в n-мерном пространстве; установлены теоремы о расположении алгебраической кривой на алгебраической поверхности в трехмерном пространстве, а также получены оценки чисел Бетти и оценки числа кусков алгебраической поверхности порядка m в n-мерном пространстве. Известные топологи Д. Милнор и Р. Том в 1965 г. другими методами получили оценки чисел Бетти и числа кусков действительной алгебраической поверхности, однако эти оценки оказались слабее оценок О. А. Олейник, полученных ею в 1949 г. Эта область математики интенсивно развивается в последние годы, и результаты, полученные И. Г. Петровским и О. А. Олейник, занимают в ней одно из центральных мест (см. обзор Д. А. Гудкова в «Успехах матем. наук», 29 : 4, 1974).

Следующий цикл работ О. А. Олейник (1951-1953) [10, 12, 15, 22] посвящен изучению поведения решений краевых задач для эллиптических и параболических уравнений второго порядка с малым параметром при стар-

ших производных при стремлении параметра к нулю. Это были первые в СССР работы по названным вопросам, и они вызвали многочисленные продолжения.

Большое число работ О. А. Олейник посвящено нелинейным уравнениям с частными производными. В теории нелинейных гиперболических уравнений трудным и важным для приложений является вопрос об исследовании решения задачи Коши в целом, то есть для большого промежутка времени. Трудности здесь возникают уже при определении понятия решения. Необходимость изучения этих вопросов диктуется потребностями физики, в частности задачами газовой динамики. О. А. Олейник впервые систематически исследовала задачу Коши в целом для квазилинейных уравнений первого порядка, являющихся модельными для уравнений газовой динамики. В работах 1954-1958 гг. (см. [18, 19, 20, 22, 23, 25, 26, 27, 30, 33, 34, 36, 37]) дано физически оправданное определение обобщенного решения задачи Коши; указан аналог условия возрастания энтропии; доказаны существование и единственность обобщенного решения задачи Коши, его непрерывная зависимость от начальных условий; исследованы качественные свойства решений; показано, что эти решения могут быть получены методом «исчезающей вязкости», то есть как пределы решений параболических уравнений с малым параметром при старшей производной при стремлении этого параметра к нулю. В работе [28] доказана единственность обобщенного решения задачи Коши для системы уравнений газовой динамики, то есть решения, содержащего ударные волны и волны разрежения. Работы О. А. Олейник по разрывным решениям нелинейных гиперболических уравнений вместе с работами Е. Хопфа являются основополагающими в этой области. Позже эти работы продолжались ее учениками, а также многими другими математиками.

Надо сказать, что И. Г. Петровский постоянно обращал внимание своих учеников на необходимость заниматься не только «чистой математикой», но и приложениями математики к задачам механики, физики и других областей точного естествознания.

О. А. Олейник и ее ученикам принадлежат важные исследования уравнений фильтрации жидкостей и газов в пористой среде [31, 32, 58, 64]. Это — нелинейные уравнения параболического типа, вырождающиеся при некоторых значениях искомой функции. Названные исследования установили ряд существенных для механики фактов. В частности, был определен класс функций, в котором задача имеет единственное решение; доказана конечная скорость распространения возмущений.

Для уравнений, описывающих распространение тепла в телах, находящихся в различных фазовых состояниях (задача Стефана) О. А. Олейник в работах [45, 65] дала новый подход к построению решений. (Нахождение

приближенного решения задачи сводится к решению некоторого квазилинейного уравнения со специально сглаженными коэффициентами.) Этот же метод сглаживания коэффициентов был применен ею в задачах дифракции для уравнений эллиптического и параболического типов [39, 40, 46, 48].

О. А. Олейник внесла крупный вклад в теорию пограничного слоя, являющуюся одним из важнейших разделов современной гидродинамики. В ее работах создана математическая теория уравнений пограничного слоя (1963-1972; работы [53, 55-58].

Начало теории пограничного слоя было положено в докладе Л. Прандтля на Международном математическом конгрессе в 1904 г. Им были выведены уравнения пограничного слоя, носящие теперь его имя. На протяжении шестидесяти лет по теории пограничного слоя были написаны сотни статей и монографий, однако до последнего времени из-за сложности системы уравнений Прандтля основные вопросы математического характера, касающиеся этих уравнений, не были решены. В многочисленных работах, главным образом механиков, строились различные частные решения системы Прандтля, предлагались без обоснования приближенные методы решения этих уравнений. В работах О. А. Олейник построена полная математическая теория уравнений пограничного слоя для двумерных стационарных и нестационарных течений несжимаемой жидкости. Созданные при этом методы исследования применимы также и для сжимаемой жидкости и для некоторых трехмерных течений. Ольга Арсеньевна доказала теоремы существования решений основных задач теории пограничного слоя; установила в тех же классах функций теоремы единственности; исследовала вопрос об устойчивости решений при возмущениях внешнего течения, начальной функции и поверхности обтекаемого тела. Она указала простые методы построения приближенных решений и доказала их сходимость; изучила уравнения пограничного слоя для симметрических и осесимметрических течений в окрестности точки остановки. Для задачи образования пограничного слоя при постепенном разгоне, которой ранее занимались Блазиус, Гёртлер и другие, ею доказаны существование и единственность решения и изучена асимптотика решения при малых значениях времени, а также вдали от обтекаемого тела. В работах О. А. Олейник исследовано положение точки отрыва, указаны случаи безотрывных течений, изучено влияние вдува и отсоса через границу обтекаемого тела на положение точки отрыва. Методы О. А. Олейник использовали ее ученики, а также другие математики в нашей стране и за рубежом для исследования различных задач теории пограничного слоя.

В работах Ольги Арсеньевны [60, 62, 70, 74, 91], [93-96, 102] построена теория уравнений второго порядка с неотрицательной характеристиче-

ской формой, то есть уравнений эллиптического типа, допускающих любое вырождение внутри области и на ее границе. Эллиптические уравнения, вырождающиеся только на границе области, были изучены ранее в работах многих математиков. Начало этим исследованиям было положено в известной работе М. В. Келдыша (1951 г.). Для уравнений второго порядка с неотрицательной характеристической формой, или, как их еще называют, эллиптико-параболических уравнений, итальянским математиком Г. Фикера была рассмотрена первая краевая задача и было доказано существование ее обобщенного решения. В 1956 г. им был поставлен вопрос об единственности обобщенного решения этой задачи. Этот трудный вопрос решен Ольгой Арсеньевной в 1963 г. (см. [60]). Ею получено также обобщенное решение этой задачи методом эллиптической регуляризации. Результаты исследований О. А. Олейник по уравнениям второго порядка с неотрицательной характеристической формой изложены в монографии, написанной совместно с ее учеником Е. В. Радкевичем [93] в 1971 г. В этой же монографии содержатся их совместные результаты по исследованию гладкости обобщенных решений и гипоэллиптичности уравнений второго порядка. В частности, они получили необходимое и достаточное условие гипоэллиптичности уравнения второго порядка с аналитическими коэффициентами.

О. А. Олейник принадлежат также исследования гиперболических уравнений второго порядка с кратными характеристиками [68,83,90] (1966-1970 гг.). Ею даны точные условия, при которых задача Коши для таких уравнений поставлена корректно. Названные работы продолжены учеником Ольги Арсеньевны В. Петковым. Сейчас эти вопросы находятся в центре внимания многих математиков.

В последние годы Ольга Арсеньевна получила ряд глубоких и важных результатов об аналитичности решений линейных уравнений с частными производными и систем (1972-1974; работы [99-101], [103-105], [109, 114, 116, 117, 121]). Этот вопрос связан с 19-й проблемой Гильберта. С. Н. Бернштейн, Г. Леви и И. Г. Петровский установили, что все решения эллиптических уравнений и систем с аналитическими коэффициентами аналитичны. О. А. Олейник совместно с ее учеником Е. В. Радкевичем нашла новый подход к изучению этого вопроса. Они установили априорную оценку аналитического продолжения решения в комплексную область для уравнений, обладающих только аналитическими решениями. При помощи этой оценки выделены широкие классы уравнений с частными производными и систем, обладающих неаналитическими решениями. Этот же подход позволил им получить точные оценки решений эллиптических и параболических систем, зависящих от параметра, что, в свою очередь, дало им возможность установить ряд теорем типа теоремы Лиувилля и Фрагмена-Линделёфа для

самых общих эллиптических и параболических систем (см. [107, 108, 110, 112, 113, 118, 119, 122, 124]). Совместно с Е. М. Ландисом [111] ею исследованы вопросы об обобщенной аналитичности решений эллиптических и параболических уравнений, о возможности эллиптического продолжения решения параболического уравнения, рассматриваемого на характеристике. Ими получено отсюда много интересных следствий о качественном поведении решений эллиптических и параболических уравнений. Используя аналитичность решения параболической системы по дополнительному, специально введенному пространственному переменному и априорную оценку его аналитического продолжения для комплексных значений этого переменного, О. А. Олейник доказала [120, 123, 125, 126] теоремы единственности решения задачи Коши, краевой задачи без начальных условий и общих краевых задач для параболических систем общего вида в неограниченных областях в классах растущих функций. Предложенный ею метод исследования позволил изучить асимптотику решений при больших значениях времени, а также асимптотическое поведение по пространственным переменнным фундаментального решения и функции Грина для параболических систем. В самое последнее время ею получен ряд результатов для механики дисперсных сред [127, 128].

Отметим, что О. А. Олейник является автором ряда обзорных статей [27, 47, 52, 81] в журнале «Успехи математических наук», каждая из которых, по существу, является монографией по одному из актуальных разделов математики.

Широка и многогранна педагогическая деятельность О. А. Олейник. Ее лекции по курсу дифференциальных уравнений с частными производными, которые она на протяжении многих лет читает студентам механико-математического факультета, непрестанно обновляя и совершенствуя их, пользуются неизменной популярностью. Читаемые ею специальные курсы, посвященные различным вопросам современной теории уравнений с частными производными, связаны с наиболее актуальными проблемами теории и богаты идеями.

В течение ряда лет O.A. Олейник руководит научно-исследовательским семинаром. Этот семинар пользуется известностью далеко за пределами Московского университета, и многие видные математики, как советские, так и зарубежные, считают для себя честью сделать доклад на этом семинаре.

Последние годы много внимания уделяет Ольга Арсеньевна руководству кафедрой дифференциальных уравнений механико-математического факультета.

По инициативе О. А. Олейник организован семинар по дифференциальным уравнениям и математическим проблемам физики имени И. Г. Пет-

ровского, в работе которого принимает участие большое число известных ученых. Она является главным редактором издания «Труды семинара имени И. Г. Петровского».

С большим вниманием Ольга Арсеньевна относится к своим студентам и аспирантам. Под ее руководством выполнено и защищено более 25 кандидатских диссертаций. Несколько ее учеников стали докторами наук и профессорами. Учениками О. А. Олейник являются Ю. В. Егоров, С. Н. Кружков, А. М. Ильин, Н. Д. Введенская, Т. Д. Вентцель, А. С. Калашников, Е. В. Гадкевич, Т. Джураев, Г. Намазов, В. Петков (Болгария), И. Копачек (Чехословакия), Я. И. Канель, Д. А. Силаев, А. И. Суслов, В. Н. Самохин и другие.

Иван Георгиевич Петровский высоко ценил математическое дарование и научные достижения Ольги Арсеньевны и всегда гордился ею. Работы О. А. Олейник получили широкое международное признание. Многие иностранные университеты и академии приглашали ее для чтения лекций (Нью-Йоркский, Стенфордский, Калифорнийский, Мерилендский, Принстонский, Миннесотский, Чикагский университеты в США, Высшая нормальная школа в Пизе, Институт Пуанкаре в Париже, Национальная академия Линчеи в Риме, Институт автоматики и информатики Франции (IRIA), Академия наук Румынии, университеты Парижа, Рима, Гёттингена, Карлсруэ, Флоренции, Генуи, Палермо, Софии, Бухареста и ряда других городов).

В 1970 г. О. А. Олейник была приглашена Международным оргкомитетом для чтения доклада на Международном математическом конгрессе в Ницце. Ольга Арсеньевна получала приглашения участвовать во многих международных конференциях по уравнениям с частными производными и гидромеханике (Польша, США [Беркли], Франция, Италия, Венгрия, Канада [Квебек], Болгария и др.).

Ее монография [89] по теории пограничного слоя издана в США (Миннесота) в 1965 г. Монография [93] переведена на английский язык в Нью-Йорке и на итальянский язык в Риме.

О. А. Олейник ведет большую общественную и организаторскую работу. Она является членом правления Московского математического общества, главным редактором издания «Труды Московского математического общества», заместителем главного редактора журнала «Успехи математических наук», членом редколлегии журнала «Вестник Московского университета». Она избрана членом Советского комитета защиты мира, членом Комитета советских женщин. О. А. Олейник награждена медалью Всемирного Совета Мира за активную деятельность по укреплению мира между народами и почетной грамотой Советского комитета защиты мира.

Ольга Арсеньевна Олейник принадлежит к числу ученых, которыми всегда будет гордиться Московский университет.

Она встречает свой юбилей в расцвете творческих сил. Пожелаем ей многих лет столь же плодотворной работы, многих успехов и больших достижений в науке.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ НАУЧНЫХ РАБОТ О. А. ОЛЕЙНИК

1. О задаче Дирихле для уравнений эллиптического типа. «Матем. сб.», 24 (66), 3-14, 1949.

2. О топологии действительных алгебраических поверхностей. «ДАН СССР», 67, 31-33, 1949 (совм. с И. Г. Петровским).

3. О топологии действительных алгебраических поверхностей. «Изв. АН СССР, сер. матем.», 13, 389-402, 1949 (совм. с И. Г. Петровским).

4. Некоторые оценки чисел Бетти действительных алгебраических поверхностей. «Докл. АН СССР», 67, 425-427, 1949.

5. О топологии действительных алгебраических пространственных кривых. «Докл. АН СССР», 70, 13-15, 1950.

6. Оценки чисел Бетти действительных алгебраических гиперповерхностей. «Матем. сб.», 28 (70), 635-640, 1951.

7. О топологии действительных алгебраических кривых на алгебраической поверхности. «Матем. сб.», 29 (71), 133-156, 1951.

8. О топологии действительных алгебраических поверхностей. «Успехи матем. наук», 6 : 4(44), 208-209, 1951 (совм. с И. Г. Петровским).

9. Об алгебраических кривых на алгебраической поверхности. «Успехи матем. наук», 6 : 4(44), 209-210, 1951.

10. О второй краевой задаче для уравнения эллиптического типа с малым параметром при старших производных. «Докл. АН СССР», 79, 735-737, 1951.

11. О свойствах решений некоторых краевых задач для уравнений эллиптического типа. «Матем. сб.», 30 (72), 695-702, 1952.

12. Об уравнениях эллиптического типа с малым параметром при старших производных. «Матем. сб.», 31 (73), 104-117, 1952.

14. Об эллиптических уравнениях 2-го порядка. «Успехи матем. наук», 7 : 3(49), 106-107, 1952.

15. О краевых задачах для уравнений с малым параметром при старших производных. «Докл. АН СССР», 85, 493-495, 1952.

18. Задача Коши для нелинейных дифференциальных уравнений с разрывными начальными условиями. М., 1954, 1-20.

19. О задаче Коши для нелинейных уравнений в классе разрывных функций. «Успехи матем. наук», 9 : 3(61), 231-233, 1954.

20. О задаче Коши для нелинейных уравнений в классе разрывных функций. «Докл. АН СССР», 95, 451-454, 1954.

22. Краевые задачи для уравнений с частными производными с малым параметром при старших производных и задача Коши для нелинейных уравнений в целом. «Успехи матем. наук», 10 : 3(65), 229-234, 1955.

23. Некоторые задачи теории нелинейных уравнений с частными производными и уравнения с малым параметром при старших производных. Труды 3-го Всесоюзного матем. съезда, т. 2. М., 1956, стр. 21.

24. Об устойчивости задачи Неймана. «Успехи матем. наук», 11 : 1(67), 223-225, 1956.

25. Задачи Коши для нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка с разрывными начальными условиями. М., Труды Матем. о-ва, 5, 433-454, 1956.

26. О разрывных решениях нелинейных дифференциальных уравнений. «Докл. АН СССР», 109, 1098-1101, 1956.

27. Разрывные решения нелинейных дифференциальных уравнений. «Успехи матем. наук», 12 : 3(75), 3-73, 1957.

29. Первая краевая задача и задача Коши для квазилинейных уравнений параболического типа. «Матем. сб.», 41 (83), 105-128, 1957 (совм. с Т. Д. Вентцель).

30. Решение задачи Коши и краевой задачи для нелинейных уравнений в классе разрывных функций. «Докл. АН СССР», 113, 503-506, 1957 (совм. с Н.Д. Введенской).

31. Об уравнениях типа уравнений нестационарной фильтрации. «Докл. АН СССР», 113, 1210-1213, 1957.

32. Задача Коши и краевые задачи для уравнений типа нестационарной фильтрации, «Изв. АН СССР, сер. матем.», 22 : 5, 667-704,1958 (совм. с А. С. Калашниковым и Чжоу Юй-линь).

33. О поведении решений задачи Коши для некоторых квазилинейных уравнений при неограниченном возрастании времени. «Докл. АН СССР», 120 : 1, 25-28, 1958 (совм. с А. М. Ильиным).

34. Об одном классе разрывных решений квазилинейного уравнения первого порядка. «Науч. докл. высш. школы, физ.-матем. н.», 3, 91-98, 1958.

36. О единственности и устойчивости обобщенного решения задачи Коши для квази линейного уравнения. «Успехи матем. наук», 14 : 2, 165-170, 1959.

37. О построении обобщенного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка путем введения «исчезающей вязкости». «Успехи матем. наук», 14 : 2, 159-164, 1959.

39. Об уравнениях эллиптического и параболического типа с разрывными коэффициентами. «Успехи матем. наук», 14 : 5, 164-166, 1959.

40. Решение основных краевых задач для уравнений второго порядка с разрывными коэффициентами. «Докл. АН СССР», 124 : 6, 1219-1222, 1959.

45. Об одном методе решения общей задачи Стефана. «Докл. АН СССР», 135 : 5, 1054-1057, 1960.

46. Решение основных краевых задач для уравнений второго порядка с разрывными коэффициентами. Тр. Всесоюзн. совещ. по дифференц. уравнениям, Ереван, 1960, 113-114.

47. Квазилинейные параболические уравнения второго порядка со многими независимыми переменными. «Успехи матем. наук», 16 : 5, 115-155, 1961 (совм. с С. Н. Кружковым).

48. Краевые задачи для линейных уравнений эллиптического и параболического типа с разрывными коэффициентами. «Изв. АН СССР, сер. матем.», 25 : 1, 3-20, 1961.

52. Линейные уравнения второго порядка параболического типа. «Успехи матем. наук», 17 : 3, 3-146, 1962 (совм. с А. М. Ильиным и А. С. Калашниковым).

53. On the equations of a boundary layer. Abstracts of short communications. Intern. Congress Math., Stockholm, 1962, 3.13.

55. О системе Прандтля в теории пограничного слоя. Материалы к совмести., советско-америк. симпозиуму по уравн. с частн. производн., Новосибирск, 1963, 1-9.

56. О системе уравнений Прандтля в теории пограничного слоя. «Докл. АН СССР», 150 : 1, 28-31, 1963.

57. О системе уравнений теории пограничного слоя. «Ж. вычисл. матем. и матем. физики», 3 : 3, 489-507, 1963.

58. Sur certaines équations paraboliques dégénérescentes de la mécanique. «Les équations aux dérivées partielles», Colloques Intern. CNRS, 117, Paris, 1963, 175-180.

60. Об одной задаче Г. Фикеры. «Докл. АН СССР», 157 : 6, 1297-1300, 1964. 62. A boundary value problem for linear elliptic-parabolic equations. Lectures Series 46, Univ. Maryland, 1965, 1-30.

64. On some degenerate quasilinear parabolic equations. Seminari 1962-1963 di analisi, algebra, geometria e topologia, 1, Roma, 1965, 355-371.

65. On Stefan-type free boundary problems for parabolic equations. Seminari 1962-1963 di analisi, algebra, geometria e topologia, 1, Roma, 1965, 388-403.

68. Задача Коши и краевая задача для гиперболических уравнений второго порядка, вырождающихся в области и на ее границе. «Докл. АН СССР», 169 : 3, 525-528, 1966.

70. О линейных уравнениях второго порядка с неотрицательной характеристической формой. «Матем. сб.», 69 : 1, 111-140, 1966.

74. Alcuni risultati sulle equazioni lineari e quasi lineari ellittico-paraboliche a derivate parziali del secondo ordine. «Atti Accad. Naz. Lincei, Rend. CI. fis.-mat.», Ser. 8, 40 : 5, 775-784, 1966.

81. Математические задачи теории пограничного слоя. «Успехи матем. наук», 23 : 3, 1-64, 1968.

83. О гиперболических уравнениях второго порядка, вырождающихся внутри области и на ее границе. «Успехи матем. наук», 24 : 2, 229-230, 1969.

89. Mathematical problems of boundary layer theory, Lectures Notes. Spring Quarter, Univ. of Minnesota, Minneapolis, 1969, p. 1-115.

90. On the Cauchy problem for weakly hyperbolic equations. «Commun. Pure and Appl. Math.», 23 : 4, 569-586, 1970.

91. Hypoellipticité et régularité locale des solutions faibles des équations aux dérivées partielles du second ordre. École Polytechnique, Séminaire Goulaouic-Schwartz, 1970, p. 1-15.

93. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой. «Математический анализ. 1969 г.». «Итоги науки», ВИНИТИ, 1971, стр. 1-252 (совм. с Е. В. Радкевичем).

94. О локальной гладкости обобщенных решений и гипоэллиптичпости дифференциальных уравнений второго порядка. «Успехи матем. наук», 26 : 2, 265-281, 1971 (совм. с Е. В. Радкевичем).

95. On linear second order equations with nonnegative characteristic form. Actes du Congrès intern, des mathem., 1/10 Sept., 1970 (Nice), France, 2, Gauthier-Villars, Paris, 1971, p. 771-777.

96. On hypoellipticity of second order equations. AMS, Proceedings SPM, Berkeley, 1971, p. 145-151.

99. Об аналитичности решений линейных дифференциальных уравнений и систем. «Докл. АН СССР», 207:4, 785-788, 1972 (совм. с Е. В. Радкевичем).

100. О системах дифференциальных уравнений, имеющих неаналитические решения. «Успехи матем. наук», 27 : 5, 247-248, 1972 (совм. с Е. В. Радкевичем).

101. Об аналитичности решений одного класса гипоэллиптических уравнений второго порядка. «Успехи матем. наук», 27 : 6, 241-242, 1972 (совм. с Е. В. Радкевичем).

102. О линейных уравнениях второго порядка с неотрицательной характеристической формой. В сб.: «Международный конгресс математиков в Ницце, 1970». Доклады советских математиков. М., 1972, стр. 231-238.

103. Об аналитичности решений линейных уравнений с частными производными. «Матем. сб.», 90 : 4, 592-607, 1973 (совм. с Е. В. Радкевичем).

104. On the analyticity of solutions of partial differential equations and systems. Astérisque 2 et 3, Colloque intern. CNRS, Sur les équations aux dérivées partielles linéaires, 1973, p. 272-285.

105. Об одном классе линейных дифференциальных уравнений, имеющих неаналитические решения. «Успехи матем. наук», 28 : 3, 191-192, 1973 (совм. с Е. В. Радкевичем).

107. Оценки для собственных функций и решений некоторых систем уравнений с частными производными, зависящих от параметра. «Успехи матем. наук», 28 : 4, 223-224, 1973 (совм. с Е. В. Радкевичем).

108. О поведении на бесконечности решений некоторых систем уравнений с частными производными. «Успехи матем. наук», 28 : 5, 249-250, 1973 (совм. с Радкевичем Е. В.).

109. Об аналитичности решений дифференциальных уравнений с частными производными (развитие теории И. Г. Петровского). «Успехи матем. наук», 28 : 5, 257-259, 1973 (совм. с Е. В. Радкевичем).

110. Теоремы Лиувилля для систем уравнений с частными производными. «Ann. polon. math.», 29, 293-302, 1974 (совм. с Е. В. Радкевичем).

111. Обобщенная аналитичность и некоторые связанные с ней свойства решений эллиптических и параболических уравнений. «Успехи матем. наук», 29 : 2, 190-206, 1974 (совм. с Е. М. Ландисом).

112. Theorems of the Liouville type for elliptic systems of partial differential equations. Rendiconti scienze fisiche, Accademia Nazionale dei Lincei, 3,1974, p. 1-4.

113. О собственных функциях и поведении решений некоторых систем уравнений с частными производными, зависящих от параметра. «Revue Roumaine de mathématiques pures et appliquées», 19 : 1, 47-54, 1974 (совм. с E. В. Радкевичем).

114. О некоторых свойствах решений уравнений второго порядка с неотрицательной характеристической формой. «Вестн. Моск. ун-та, матем., механ.», № 1, 125-134, 1974.

116. Об условиях аналитичности всех решений линейного уравнения второго порядка. «Успехи матем. наук», 29:3, 221-222, 1974 (совм. с Е. В. Радкевичем).

117. Об условиях существования неаналитических решений линейных уравнений с частными производными произвольного порядка. «Тр. Моск. матем. о-ва», 31, 17-33, 1974 (совм. с Е. В. Радкевичем).

118. Аналитичность и теоремы типа Лиувилля и Фрагмена-Линделёфа для общих эллиптических систем дифференциальных уравнений. «Матем. сб.», 95 (137) : 1 (9), 130- 145, 1974 (совм. с Е. В. Радкевичем).

119. Аналитичность и теоремы типа Лиувилля и Фрагмена-Линделёфа для общих параболических систем дифференциальных уравнений. «Функц. анализ и его прилож.», 8 : 4, 59-70, 1974 (совм. с Е. В. Радкевичем).

120. Об единственности решения задачи Коши для общих параболических систем в классах быстрорастущих функций. «Успехи матем. наук», 29 : 5, 229-230, 1974.

121. Об аналитичности решений линейных уравнений с частными производными второго порядка. «Тр. семинара им. И. Г. Петровского», 1, 163-173, 1975 (совм. с Е. В. Радкевичем).

122. О поведении решений общих параболических систем дифференциальных уравнений в неограниченных областях. «Докл. АН СССР», 220 : 5, 36-39, 1975 (совм. с Е. В. Радкевичем).

123. Об единственности решения краевых задач и задачи Коши для общих параболических систем. «Докл. АН СССР», 220 : 6, 34-37, 1975.

124. Аналитичность и теоремы о поведении решений общих эллиптических и параболических систем дифференциальных уравнений в неограниченных областях, Ин-т проблем механики АН СССР, препринт №47. М., 1974, стр. 3-83 (совм. с Е. В. Радкевичем).

125. О поведении решений линейных параболических систем дифференциальных уравнений в неограниченных областях. «Успехи матем. наук», 30 : 2, 219-220, 1975.

126. On the behaviour of solutions of the Cauchy problem and the boundary value problem for parabolic systems of partial differential equations in unbounded domains. Rendiconti di Matematica, ser. IV, vol. 8, Fac. 2, 1975.

127. О распространении тепла в одномерных дисперсных средах. «Прикл. матем. и механ.», 39 : 5, 1975 (совм. с В. Г. Марковым).

128. О сходимости решений эллиптических и параболических уравнений при слабой сходимости коэффициентов. «Успехи матем. наук», 30:4, 1975.

ИВАН ГЕОРГИЕВИЧ ПЕТРОВСКИЙ (к пятидесятилетию со дня рождения)

18 января 1951 года исполнилось пятьдесят лет со дня рождения одного из крупнейших советских математиков — Ивана Георгиевича Петровского. И. Г. Петровский начал самостоятельную научную работу в конце двадцатых годов. Являясь учеником Д. Ф. Егорова, он сразу попал в среду чрезвычайно расширившихся к этому времени интересов математической школы, созданной в Москве Д. Ф. Егоровым, Н. Н. Лузиным и их учениками старшего поколения. Уже в своих первых исследованиях И. Г. Петровский проявил типичные черты его позднейших работ: не замыкаясь в какой-либо одной области математики, он присматривается к основной и наиболее глубокой проблематике в различных областях науки, выбирает для себя какую-либо трудную и точно поставленную задачу и сосредоточивает на ней все свои усилия, привлекает для этого большой аппарат и часто неожиданные средства и, как правило, кончает полным и исчерпывающим ее решением.

Задача об определении примитивной F(x) по значению производной

«относительно заданной функции G(x)» настойчиво выдвигалась в конце двадцатых годов Н. Н. Лузиным. Одним из первых успехов И. Г. Петровского было полное ее решение [2], [8]. Совсем в другой области И. Г. Петровский получает тоже вполне окончательные и завершающие результаты по решению задачи Дирихле [1]. Выработанные при этом методы он применяет к решению задач, которые были тогда в центре внимания московских специалистов по теории вероятностей [4]. Разработанный им в этой области метод положен в основу известной книги А. Я. Хинчина «Асимптотические законы теории вероятностей».

К 1933 г. относится первая работа И. Г. Петровского по алгебраической геометрии [3]. Здесь И. Г. Петровский вступил в совершенно новую для московской математики того времени область. Вопрос о топологической природе алгебраических кривых и поверхностей в действительной области чрезвычайно привлекателен по простоте постановки задачи, но очень труден. Им занимался Гильберт, но литература по этому вопросу невелика — именно ввиду его трудности. Подробное изложение замечательных

Успехи математических наук. — 1951. — Т. 6, вып. 3. — С. 160-164 (совм. с П. С. Александровым; в разделе «Математическая жизнь в СССР»).

результатов И. Г. Петровского в этой области появилось в 1938 г. [20]. Новые результаты в том же направлении, охватывающие уже и случай поверхностей, получены им в сотрудничестве с О. А. Олейник в 1949 г. [31], [32], [33]. В этом направлении исследования И. Г. Петровского имеют не завершающий, а скорее пионерский характер, и следует думать, что к этим исследованиям их автор будет еще неоднократно возвращаться — не в его характере оставлять что-либо не законченным.

В отличие от первых работ И. Г. Петровского по алгебраической геометрии его статья [7] о поведении интегральных кривых вблизи изолированной особой точки остается в списке его работ без продолжений, что и естественно, так как в намеченных автором пределах вопрос был им разобран с исчерпывающей полнотой. Это замечательное исследование И. Г. Петровского заслуживало бы того, чтобы его результаты были изложены возможно более доступным образом и вошли в учебники в большей мере, чем это уже стало принятым.

С 1936 г. начинается публикация работ И. Г. Петровского по задаче Коши и по вопросу об аналитичности решений для систем уравнений в частных производных, которые принесли ему наибольшую славу и послужили основанием для присуждения ему Сталинской премии первой степени. Эти работы составляют решающий шаг в направлении перехода всей теории уравнений с частными производными на новую более высокую ступень развития.

Как известно, первым этапом развития теории уравнений с частными производными являлось изучение их с точки зрения теории аналитических функций. Центральное место здесь занимают теоремы С. В. Ковалевской о существовании решений. При всей значительности и общности результатов этого направления они несколько оторваны от соответствующих задач естествознания, так как гипотеза аналитичности решений и начальных значений оказывается часто плохой идеализацией действительности.

В конце девятнадцатого и начале двадцатого века это классическое направление было почти заменено господством точки зрения «уравнений математической физики», т. е. рассмотрением специальных краевых задач, подсказанных физикой и механикой непрерывных сред, при помощи аппарата, который тоже заимствован из физических представлений (источники, волны и т. п.). Результаты этого направления были очень обильны, но само это изобилие сделало необходимым переход к третьему этапу: общему и систематическому изучению систем дифференциальных уравнений с точки зрения тех специфических их свойств, которые выявляются при решении отдельных специальных задач математической физики, т. е. к выяснению того, какие краевые задачи в известном смысле «свойственны»

данной системе дифференциальных уравнений, нахождению общих критериев аналитичности решений и т. п. В этом направлении до И. Г. Петровского был высказан ряд общих соображений (введенное Адамаром понятие «корректности» решений) и был получен ряд глубоких результатов (в частности, С. Н. Бернштейном была решена задача Гильберта о доказательстве аналитичности решений одного нелинейного эллиптического дифференциального уравнения). Но работы И. Г. Петровского впервые показали, что в этом направлении можно продвинуться настолько далеко, что уже вырисовываются общие контуры будущей теории систем дифференциальных уравнений, улавливающей все те их существенные черты, которые определяют их естественно-научные применения, и в то же время свободной от ограниченности исследований второго периода, когда создавалось такое положение, что теория уравнений в частных производных сводилась к коллекции отдельных специальных задач.

К основным исследованиям по условиям существования и корректности решений задачи Коши И. Г. Петровский в 1943-1945 гг. присоединил глубокие исследования о характере зависимости от начальных данных (о «лакунах») — работы [25], [26], [27]. Было заранее очевидно, что глубокий общий замысел И. Г. Петровского в перестройке всей теории уравнений с частными производными, хотя он исходил из общих теоретических устремлений, а не из отдельных специальных задач, не останется бесплодным и в смысле решения таких специальных задач. Одним из признаков того, что и сам И. Г. Петровский от своих общих построений переходит к развернутой работе над специальными физическими и механическими задачами, служит работа [28] о скорости распространения волн Релея.

Общественная и организационная деятельность И. Г. Петровского широко развернулась, когда незадолго до начала Великой Отечественной войны он стал деканом механико-математического факультета Московского государственного университета. Все наиболее трудные военные годы он с исключительной энергией руководил факультетом, соединяя принципиальную твердость в отстаивании интересов порученного ему дела развития науки и воспитания научных кадров с широким человеческим вниманием к интересам членов факультетского коллектива.

В 1946 г. И. Г. Петровский избирается в действительные члены Академии наук СССР. В АН СССР он сначала является заместителем директора Математического института, а затем избирается академиком-секретарем Физико-математического отделения. В мае 1951 г. И. Г. Петровский был назначен ректором Московского университета, где он был студентом, аспирантом, а затем непрерывно вел преподавание в качестве профессора и воспитал целую школу учеников. И. Г. Петровский редактирует круп-

нейший советский математический журнал «Математический сборник», а также «Труды» Математического института АН СССР. За свою научную и педагогическую работу И. Г. Петровский награжден тремя орденами Трудового Красного Знамени.

СПИСОК НАУЧНЫХ РАБОТ ИВАНА ГЕОРГИЕВИЧА ПЕТРОВСКОГО

1. Einige Bemerkungen zu den Arbeiten von 0. Perron und L. A. Lusternik über das Dirichletsche Problem (Матем. сб., 1928, 35, 105-110).

2. Sur les fonctions primitives par rapport à une fonction continue arbitraire (Comptes rendus, 1929, 189, 1242-1245).

3. Sur la topologie des courbes planes réeles et algébriques (Comptes rendus, 1933, 197, 1270-1272).

4. Über das Irrfahrtproblem (Math. Ann., 1934, 109, 425-444).

7. Uber das Verhalten der Integralkurven eines Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen in der Nähe eines singulären Punktes (Матем. сб., 1934,41,107-156).

8. Sur l'unicité de la fonction primitive par rapport à une continue arbitraire (Матем. сб., 1934, 41, 48-59).

20. On the topology of real plane algebraic curves (Ann. of Math., 1938, 39,197-209).

25. О зависимости решения задачи Коши от начальных данных (Доклады АН СССР, 1941, 38, 163-165).

26. О диффузии волн и лакунах для систем гиперболических уравнений (Известия Акад. Наук СССР, сер. матем., 1944, 8, 101-106).

27. О диффузии волн и лакунах для гиперболических уравнений (Матем. сб., 1945, 17 (59), 289-370).

28. О скорости распространения разрывов производных смещения на поверхности неоднородного упругого тела произвольной формы (Доклады АН СССР, 1945, 47, 258-261).

31. О топологии действительных алгебраических поверхностей [Докл. АН СССР, 1949, 67, 31-32 (совместно с О. А. Олейник)].

32. О топологии действительных алгебраических поверхностей [Известия Акад. Наук СССР, сер. матем., 1949, 13, 389-402 (совместно с О. А. Олейник)].

33. О топологических свойствах алгебраических линий и поверхностей (Вестник МГУ, 1949, № 11, 23-27).

ИВАН ГЕОРГИЕВИЧ ПЕТРОВСКИЙ (к семидесятилетию со дня рождения)

18 января 1971 г. исполнилось 70 лет одному из крупнейших математиков нашего времени, ректору Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова, Герою Социалистического Труда, академику Ивану Георгиевичу Петровскому.

Научные исследования И. Г. Петровского относятся к различным областям математики: теории уравнений с частными производными, алгебраической геометрии, теории вероятностей, теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Иван Георгиевич Петровский является создателем современной теории систем уравнений с частными производными. Работы И. Г. Петровского, в которых в математическую науку были введены гиперболические, параболические и эллиптические системы дифференциальных уравнений, а также установлены фундаментальные факты, касающиеся их решений, уже более трех десятилетий определяют развитие этой области математики. Исследования Ивана Георгиевича по задаче Коши для гиперболических уравнений, по аналитичности решений эллиптических систем, по диффузии волн и лакунам восхищали и восхищают математиков всего мира своей красотой и глубиной полученных результатов.

Исследования И. Г. Петровского по топологии действительных алгебраических кривых явились крупным вкладом в решение 16-й проблемы Гильберта. В теории вероятностей им созданы новые методы исследования, развитие которых продолжается и в настоящее время.

Вся жизнь Ивана Георгиевича связана с Московским университетом. Здесь он был студентом, аспирантом, доцентом, а затем профессором, заведующим кафедрой дифференциальных уравнений, в годы воины — деканом механико-математического факультета, и вот уже двадцать лет И. Г. Петровский — ректор Московского университета. С именем Ивана Георгиевича связано много ярких событий в жизни Московского университета. Им организованы исследования по многим новым разделам науки, созданы новые кафедры, лаборатории, привлечены к работе в университете крупнейшие ученые нашей страны.

Много лет он ведет большую государственную работу на посту члена Президиума Верховного Совета СССР.

Вестник Московского университета. Сер. матем., мех. — 1971. — Т. 26, № 1. — С. 111-117 (совм. с П. С. Александровым, М. И. Вишиком, О. А. Олейник, А. Н. Тихоновым).

Научные интересы И. Г. Петровского всегда концентрировались вокруг крупных узловых проблем математики. Ему удавалось найти исчерпывающие решения даже самых трудных проблем, которые он рассматривал. Мы коротко расскажем о некоторых из них.

Задача Коши играет исключительно важную роль в вопросах математической физики. И. Г. Петровский выделил классы систем дифференциальных уравнений, для которых задача Коши поставлена корректно. Для системы уравнений вида

(1)

(2)

он нашел знаменитое «условие А» корректности задачи Коши.

Для систем первого порядка по t «условие А» состоит в том, что элементы фундаментальной матрицы решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений, полученной после преобразования Фурье по х из системы (1),

(3)

растут при а —» оо не быстрее некоторой степени а. Возникает вопрос о выделении более узких классов, для которых «условие А» выражается алгебраически с помощью коэффициентов системы. И. Г. Петровский выделил два важных класса таких систем, названных им параболическими и гиперболическими системами. Пользуясь аппаратом теории обобщенных функций, И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов и их ученики, а также многие зарубежные математики продолжали и развивали эти исследования И. Г. Петровского.

Исключительно важное значение имеют работы И. Г. Петровского по задаче Коши для общих линейных и нелинейных систем уравнений, названных им гиперболическими. В частности, система вида (1) называется гиперболической по Петровскому, если характеристическое уравнение

(4)

имеет при любых действительных а = (ai,...,as), \а\ ф О, О < t < Т, вещественные и различные корни Л. (Отметим, что определение И. Г. Петровского более общее и допускает случаи совпадения корней.)

И. Г. Петровский доказал разрешимость задачи Коши и непрерывную зависимость ее решения от начальных условий (корректность) для общих нелинейных гиперболических систем. Основную роль в этом исследовании играет полученная им априорная энергетическая оценка решения. При выводе этой оценки он по существу использует псевдодифференциальные операторы, для которых лишь в последние годы построена общая теория и которые теперь стали мощным орудием исследования. Знаменитая работа Ивана Георгиевича Петровского о задаче Коши стала исходным пунктом исследований таких известных математиков, как Ж. Лерей и Л. Гординг. Недавно для гиперболических по Петровскому уравнений были исследованы общие краевые задачи, а также задача Коши для псевдодифференциальных гиперболических уравнений.

И. Г. Петровскому принадлежит также заслуга введения в математику понятия параболических систем уравнений, являющихся обобщением известного уравнения теплопроводности. Так, для системы вида (1) дифференцированию искомой функции по t приписывается определенный вес р, который берется минимально возможным для того, чтобы выполнялось условие kop + ki + • • - + ks ^ Ujp. Параболичность по Петровскому означает, что если для системы (1) взять «главную часть с весом р», а затем для нее составить характеристическое уравнение, аналогичное (4), то при любых мнимых а = (ai,... ,cvs), |a| ф О, 0 < t ^ Т, корни А характеристического уравнения имеют отрицательную вещественную часть.

Иван Георгиевич Петровский доказал, что для параболических систем уравнений вида (1) задача Коши всегда поставлена корректно. В последние двадцать лет изучению систем, параболических по Петровскому, было посвящено большое число работ советских и зарубежных авторов. Изучена задача Коши для параболических систем с коэффициентами, зависящими от x и от t\ исследованы для них общие граничные задачи, а также соответствующие задачи для параболических псевдодифференциальных уравнений.

Известно, что все непрерывные решения уравнений Лапласа аналитичны. Естественно возникает вопрос о том, для каких систем уравнений с частными производными имеет место свойство аналитичности решений. Этот вопрос, включающий в себя 19-ю проблему Гильберта, во всей общности (для нелинейных систем уравнений любого порядка с любым числом независимых переменных) был поставлен и решен в известной работе И. Г. Петровского 1937 г. В ней он впервые выделил класс систем, назван-

ных им эллиптическими. Именно, линейная система вида

согласно определению Петровского называется эллиптической, если при любых действительных а

Нелинейная система уравнений называется эллиптической, если эллиптична соответствующая система уравнений в вариациях. Иван Георгиевич Петровский доказал основную теорему о том, что все достаточно гладкие решения произвольной (вообще говоря, нелинейной) эллиптической системы уравнений любого порядка с любым числом независимых переменных аналитичны, если все уравнения, составляющие систему, аналитичны относительно всех входящих в них аргументов.

За последние пятнадцать лет появился ряд работ, в которых изучались локальные свойства решений дифференциальных уравнений: степень гладкости решения, бесконечная дифференцируемость решений и вопрос о гипоэллиптичности, принадлежность к классам Жеврея, аналитичность по части независимых переменных и т. д. Эти работы идейно подготовила основополагающая работа И. Г. Петровского об аналитичности решений эллиптических систем уравнений.

Системы дифференциальных уравнений, которые теперь принято называть эллиптическими по Петровскому, составляют важный раздел теории уравнений с частными производными. Многочисленные исследования посвящены изучению общих краевых задач для эллиптических по Петровскому систем. Недавно в работах известных математиков Атия, Ботта и Зингера решена проблема индекса общей краевой задачи для эллиптических по Петровскому систем.

Выдающееся место в современной математике занимает фундаментальное исследование И. Г. Петровского о лакунах и диффузии волн для гиперболических уравнений. Хорошо известно, что значение решения задачи Коши для гиперболического уравнения в заданной точке не зависит от начальных данных вне основания характеристического конуса, построенного для этой точки, то есть внешность основания характеристического конуса является лакуной. Поверхность характеристического конуса разбивает его основание на несколько областей. Важно установить, какие из этих областей — лакуны.

Для однородного гиперболического уравнения с постоянными коэффициентами И. Г. Петровский установил необходимые и достаточные условия того, что данная область является лакуной. Эти условия выражаются через топологические инварианты поверхности характеристических нормалей, рассматриваемой в комплексном пространстве.

Недавно появилась статья крупнейших зарубежных математиков Атия, Ботта и Гординга, посвященная Ивану Георгиевичу Петровскому, которая содержит изложение и некоторые обобщения результатов его работ о лакунах. Несомненно, что эти работы И. Г. Петровского будут и в дальнейшем привлекать внимание и вызывать восхищение виднейших математиков мира.

Исследования Ивана Георгиевича по системам уравнений с частными производными удостоены Государственной премии.

Замечательные результаты получены И. Г. Петровским по топологии действительных алгебраических кривых. Вопрос об изучении взаимного расположения ветвей действительной алгебраической кривой на плоскости, а также вопрос о числе, характере и расположении отдельных полостей алгебраической поверхности в пространстве были поставлены Гильбертом в его 16-й проблеме. Привлекая теорию Морса о критических точках функций, заданных на многообразии, И. Г. Петровский провел глубокие исследования расположения овалов алгебраической кривой на проективной плоскости. Из его результатов, в частности, следует, что алгебраическая кривая четного порядка п не может состоять более чем из |(3п2 — 6п) + 1 овалов, расположенных вне друг друга. Таким образом, им впервые была доказана гипотеза Гильберта о том, что кривая 6-го порядка не может состоять из одиннадцати овалов, расположенных вне друг друга. Вопросы топологии действительных алгебраических поверхностей изучались в совместных работах И. Г. Петровского и О. А. Олейник.

Большое влияние на все последующее развитие теории случайных процессов оказали работы И. Г. Петровского по теории вероятностей. Предложенный в этих исследованиях метод верхних и нижних функций получил в дальнейшем широкое применение. Роль этого метода ярко показана в монографии А. Я. Хинчина «Асимптотические законы теории вероятностей».

Мы не упомянули здесь о многих других интересных и важных работах И. Г. Петровского. Заметим, что им написаны учебники по трем основным университетским курсам: уравнения с частными производными, обыкновенные уравнения, интегральные уравнения. Эти учебники переведены на многие языки мира. Они удостоены Государственной премии.

Научно-организаторская деятельность И. Г. Петровского в Московском университете началась в 1940-1944 гг., когда он был избран деканом механико-математического факультета МГУ. Он руководил факультетом в от-

ветственный и трудный период его эвакуации в Ашхабад, затем в Свердловск и реэвакуации в Москву. Много сил Иван Георгиевич отдал тому, чтобы коллектив факультета в трудные годы войны мог вести на высоком уровне научную и учебную работу, сохранить свои основные кадры и пополниться новыми.

В мае 1951 г. И. Г. Петровский стал ректором Московского университета. Русские университеты знали многих выдающихся руководителей. На первом месте среди них — великий Лобачевский, девятнадцать лет бывший ректором Казанского университета. Вот уже двадцать лет И. Г. Петровский стоит во главе Московского университета, и эта деятельность его войдет в историю науки как большое дело выдающегося ученого, отдавшего много сил воспитанию молодежи и развитию всей нашей культуры.

Развитие и процветание университета является для Ивана Георгиевича Петровского делом первостепенной важности, которому он отдает все свои силы и мысли. В своей деятельности он всегда проявляет глубокое понимание того, что будет важным для науки и для нашей страны в будущем. В Московском университете при его участии и поддержке создаются новые кафедры, организуются исследования в новых областях науки. Так, на механико-математическом факультете по его инициативе созданы кафедры математической логики, вычислительной математики, химической механики; организована лаборатория прикладной теории вероятностей и математической статистики, лаборатория математических методов в биологии. Большое внимание И. Г. Петровский уделил созданию и развитию Института механики университета. По инициативе Ивана Георгиевича в МГУ создан вычислительный центр, один из первых в Советском Союзе.

На физическом факультете при участии и поддержке И. Г. Петровского открыты кафедра физики высоких энергий, кафедра волновых процессов. Им были привлечены для работы в МГУ такие крупные ученые-физики, как академики Ландау, Арцимович, Леонтович и др.

Учитывая современное состояние и перспективы развития астрономической науки, И. Г. Петровский перевел астрономическое отделение механико-математического факультета на физический факультет. Большое внимание Иван Георгиевич уделял строительству южной Крымской станции Астрономического института МГУ, которая стала теперь современной хорошо оборудованной обсерваторией. На химическом факультете по инициативе и при поддержке Ивана Георгиевича созданы кафедра высокомолекулярных соединений, кафедра природных соединений, кафедра радиохимии. Большую заботу проявляет И. Г. Петровский о развитии биохимии в МГУ. На биолого-почвенном факультете по его инициативе создана лаборатория биохимии во главе с академиком Белозерским, куда привлечено

для работы много талантливой молодежи. При участии И. Г. Петровского создана кафедра вирусологии, усилена кафедра цитологии.

Много внимания уделял И. Г. Петровский развитию геологического факультета, созданного в 1949 г. При его поддержке геологическим факультетом организованы исследования в новых научных направлениях (экспериментальная петрология, экспериментальная геохимия, тектонофизика), привлечены к работе крупные ученые.

При большом участии И. Г. Петровского созданы факультет психологии, Институт восточных языков, факультет журналистики, кафедра научной информации, филиал физического факультета в Дубне при Международном институте ядерных исследований.

Исключительно большое внимание И. Г. Петровский уделял строительству здания гуманитарных факультетов, приобретению новейшего лабораторного оборудования для естественных факультетов, пополнению библиотек отечественной и иностранной литературой. Благодаря инициативе и усилиям И. Г. Петровского Вычислительный центр МГУ получил лучшие для своего времени быстродействующие электронные вычислительные машины. И. Г. Петровский придает большое значение использованию вычислительной техники в биологии, экономике и других науках. Он неоднократно подчеркивал, что ученые механико-математического факультета, а также других факультетов должны уделять большое внимание приложениям, воспитывать у студентов вкус к прикладным задачам. По его инициативе в учебные программы введены многие курсы прикладного характера. И. Г. Петровский последовательно проводит принцип единства учебного и научного процесса в МГУ, целью которого является подготовка высококвалифицированных научных кадров для нашей страны.

Трудно перечислить все то, что сделал И. Г. Петровский для развития науки в Московском университете, для того, чтобы Московский университет по праву занимал одно из самых первых мест в мире по уровню научных исследований и качеству подготовки молодых специалистов. Мы привели здесь лишь некоторые примеры его многосторонней и трудной деятельности на посту ректора Московского университета.

Значительная часть деятельности И. Г. Петровского связана с Академией наук СССР. В 1949-1951 гг. он был академиком-секретарем Отделения физико-математических наук АН СССР, а с 1953 г. является членом Президиума АН СССР.

Иван Георгиевич Петровский — в течение многих лет — главный редактор журнала «Математический сборник» и «Трудов Математического

института им. В. А. Стеклова». Многообразна общественная деятельность И. Г. Петровского как депутата Верховного Совета СССР, как члена Советского комитета защиты мира.

Советские математики вместе со всем коллективом Московского университета желают И. Г. Петровскому доброго здоровья и сил для работы на благо Московского университета, во имя процветания нашей науки, во славу нашей великой Родины.

ИВАН ГЕОРГИЕВИЧ ПЕТРОВСКИЙ (к семидесятилетию со дня рождения)

18 января 1971 г. исполнилось 70 лет со дня рождения одного из крупнейших математиков современности Ивана Георгиевича Петровского.

Научные работы И. Г. Петровского хорошо известны математикам всего мира. О значении многих из его работ уже было рассказано в ряде статей, в частности, в УМН (т. XVI, вып. 3, 1961). Оглядываясь сейчас на все, что сделал И. Г. Петровский в математике, еще яснее можно видеть огромное влияние его работ на развитие математической науки. Его исследования предопределили основное направление развития общей теории систем уравнений с частными производными, а также некоторых разделов математической физики, алгебраической геометрии, теории вероятностей.

Научные интересы И. Г. Петровского концентрируются вокруг крупных узловых проблем математики. Ивана Георгиевича всегда интересуют конкретные, точно поставленные, трудные задачи. При этом всегда оказывается, что выбранная им для исследования проблема является центральной для той или иной области математики. Эту задачу он решает со всей полнотой и законченностью, причем глубина полученных результатов, созданные им новые методы и вскрытые им новые проблемы приводят к тому, что это исследование Ивана Георгиевича становится отправным пунктом для нового направления в математике.

Многие из работ И. Г. Петровского на десятки лет опередили свое время. Его работы, выполненные в тридцатых-сороковых годах, стоят сейчас в центре внимания ведущих математиков мира. Мощное развитие анализа и алгебраической топологии последних лет помогает до конца осмыслить глубину результатов и идей, заложенных в этих работах И. Г. Петровского. Несомненно, что его работы будут служить источником идей для многих поколений будущих исследователей. Ниже мы расскажем о некоторых математических работах И. Г. Петровского, относящихся к различным областям математики.

Системы уравнений с частными производными. Во второй половине тридцатых годов И. Г. Петровский опубликовал работы, сыгравшие выдающуюся роль в создании общей теории дифференциальных уравнений с частными производными.

К тридцатым годам основным объектом изучения в теории уравнений с

Успехи математических наук. — 1971. — Т. 26, вып. 2. — С. 3-24 (совм. с П. С. Александровым, В. И. Арнольдом, И. М. Гельфандом, С. П. Новиковым, О. А. Олейник; в разделе «Математическая жизнь в СССР»).

частными производными были уравнения второго порядка трех основных типов: гиперболического, параболического и эллиптического, обобщающие соответственно волновое уравнение, уравнение теплопроводности и уравнение Лапласа. И. Г. Петровский выделил три широких класса систем, вошедших в математику под названием гиперболических, параболических и эллиптических по Петровскому систем. Эти системы сохраняют основные свойства соответствующих уравнений второго порядка. Относительно решений этих систем: И. Г. Петровский установил ряд фундаментальных фактов.

В своей известной книге о задаче Коши Адамар [1] ввел понятие корректности задачи Коши для уравнения с частными производными. Это понятие включает в себя существование, единственность и непрерывную зависимость от начальных данных решения задачи Коши. В этой же книге Адамар доказал корректность задачи Коши для гиперболических уравнений второго порядка с аналитическими коэффициентами путем построения сингулярных решений. В дальнейшем С. Л. Соболев [2] доказал корректность задачи Коши для уравнения второго порядка с гладкими коэффициентами. Другой подход к этой задаче был предложен Шаудером [3], который показал, что классические энергетические неравенства для гиперболических уравнений второго порядка позволяют перейти от локальных решений задачи Коши, получаемых с помощью теоремы Коши-Ковалевской, к глобальным решениям, сначала для уравнений с аналитическими, а затем и гладкими коэффициентами.

В работе 1937 г. [4] И. Г. Петровский вводит понятие гиперболической системы и исследует вопрос о корректной разрешимости для нее задачи Коши. Для того чтобы формулировать результаты этой работы, введем следующие обозначения:

Рассмотрим нелинейную систему

(1)

где для производных от Uj, стоящих в качестве аргументов функций Fi, выполняются неравенства \а\ ^ rij, ао < Пу

Систему (1) И. Г. Петровский называет гиперболической, если уравнение относительно Л

при любом вещественном ненулевом векторе £ имеет вещественные и различные корни. (На самом деле И. Г. Петровский дает более общее определение, допускающее в некоторых случаях и кратные корни.)

Он доказал, что для нелинейной гиперболической системы (1) задача Коши корректно разрешима в малом, т. е. для достаточно малых t, а для линейной гиперболической системы с переменными коэффициентами — в большом.

В основе доказательства этого утверждения лежит получение энергетических оценок для линейной системы первого порядка

(2)

с периодическими по х коэффициентами:

(3)

где

и R — область периодичности.

Для доказательства неравенства (3) И. Г. Петровский определяет оператор

(4)

где матрица T(t,x,a!/\а!\) приводит матрицу A(t, x,ot) = Y^=i ajA?(*> x) к диагональному виду, что возможно ввиду гиперболичности системы (2). (Оператор (4) по принятой теперь терминологии является, по существу, псевдодифференциальным оператором. )

В случае постоянных коэффициентов для каждой вектор-функции и(а )(£) получается система обыкновенных уравнений

(5)

где Л(а') — диагональная вещественная матрица. В силу системы (5)

Из этого неравенства сразу следует оценка (3).

В случае переменных коэффициентов в системе (2) для функций u^a^(t) также можно написать бесконечную систему уравнений, которая не распадается, как в случае системы (2) с постоянными коэффициентами. Однако главные члены системы, растущие по а', будут такими же, как в системе (5), и это позволяет И. Г. Петровскому получить для интеграла энергии оценку вида (3). При этом интеграл энергии имеет вид

(6)

где В — псевдодифференциальный оператор нулевого порядка. Применение теоремы Коши-Ковалевской и полученной энергетической оценки позволяет доказать существование решения задачи Коши.

Таким образом, в работе И. Г. Петровского впервые возникли интегралы энергии, определяемые сингулярными интегралами (псевдодифференциальными операторами).

В конце пятидесятых годов Кальдерон [5], Мидзохата [6], Ямагути [7] вновь вывели энергетические оценки для гиперболических систем, фактически пользуясь методом И. Г. Петровского. Использование готового к тому времени аппарата псевдодифференциальных операторов, естественно, позволило формально упростить доказательство И. Г. Петровского.

В случае одного гиперболического уравнения высокого порядка Ж. Лере [8] построил интеграл энергии [6] с дифференциальным оператором В и получил оценки типа (3). Л. Гординг [9], используя метод Лере, установил энергетические оценки типа (3) для сопряженного оператора и доказал теорему существования решения задачи Коши функциональным методом, освободившись тем самым от применения теоремы Коши-Ковалевской.

В работе [10] И. Г. Петровский исследовал вопрос о том, для каких систем уравнений задача Коши оказывается поставленной корректно. Он рассмотрел произвольную систему с гладкими коэффициентами, зависящими только от времени, вида

(7)

(M — некоторое число) и для нее задачу Коши

где fi и (рц предполагаются ограниченными функциями вместе с производными до некоторого порядка.

И. Г. Петровский находит необходимое и достаточное условие того, чтобы для системы (7) задача Коши была поставлена корректно в классе ограниченных функций. Это — знаменитое «условие А» Петровского. Для систем первого порядка по t (общий случай сводится к этому с помощью стандартной замены неизвестных функций) «условие А» состоит в том, что элементы фундаментальной матрицы решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений

получающейся из (7) после преобразования Фурье по х, растут при |^"| —> со не быстрее некоторой степени |£|.

И. Г. Петровский показывает, что гиперболические системы удовлетворяют «условию А», и выделяет еще один важный класс уравнений, названных им параболическими, для которых также выполнено «условие А».

Припишем дифференцированию по х вес 1, а дифференцированию по t — вес 2Ь. Предположим, что число 26 выбрано таким образом, что обобщенный порядок дифференцирования функций щ в системе (7) не превосходит 2Ьщ. Отбросив те производные функции гц, г = 1,..., 7V, обобщенный порядок которых меньше 2Ъщ, мы выделим главную часть системы (7). Условие параболичности Петровского состоит в том, что корни А характеристического уравнения

имеют вещественные части, меньшие отрицательной константы при всех £, для которых |£| = 1.

Для таких систем И. Г. Петровский построил матрицы Грина и для решений задачи (7), (8) получил представление, аналогичное представлению решений задачи Коши для уравнений теплопроводности в виде интеграла Пуассона. Продолжая матрицы Грина в комплексную область, Иван Георгиевич доказал аналитичность решений параболической системы (7) по пространственным переменным при аналитичности f%(t,x) относительно х.

(8)

Следует отметить, что в работе [10] И. Г. Петровский систематически использовал преобразование Фурье — метод, который затем становится одним из основных при исследовании систем уравнений с частными производными.

Создание теории обобщенных функций привело в пятидесятых-шестидесятых годах к многочисленным исследованиям по задаче Коши для системы (7), продолжающим работу И. Г. Петровского. В частности, теория преобразования Фурье быстро растущих функций (И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов) дала возможность указать для системы (7) предельный рост решений по переменным х на бесконечности, при котором задача Коши остается корректной. В недавней работе Л. Хёрмандера [11] найдено условие корректности и получено окончательное решение вопроса о разрешимости задачи Коши в классах обобщенных функций D'.

Заканчивая введение к работе [10], И. Г. Петровский писал:

«Налагаемые нами условия на коэффициенты, состоящие в том, что они зависят только от одного вызываются, вероятно, в большинстве случаев только тем методом, которым мы всюду пользовались в этой работе — методом Фурье. Мы старались выяснить здесь только главные черты теории задачи Cauchy для уравнений с частными производными. Но мы уверены, что большинство доказываемых в этой работе теорем справедливы и для более общих линейных и даже нелинейных систем.

Обобщение доказанных в этой работе теорем для гиперболических систем уже сделано нами. Такое же обобщение, вероятно, возможно и для параболических систем. Для этого, должно быть, будут полезны построенные нами для наших частных, параболических систем матрицы Грина».

Эта программа И. Г. Петровского оказалась в полной мере выполненной: были построены матрицы Грина для произвольных систем, параболических по Петровскому, были получены точные оценки этих матриц (в различных нормах), позволяющие доказать корректность задачи Коши в классах функций, растущих при \х\ —> оо как exp{C\x\2b^'2b~1^}, где 26 — параболический вес (см., например, [12], [13]).

Для параболических по Петровскому систем в последние годы построена теория общих краевых задач (см. [14], [15]).

Что касается общей проблемы корректности задачи Коши для уравнений с переменными коэффициентами, то она еще далека от полного решения (см. [16]).

В 1937 г. в работах И. Г. Петровского [17], [18] было дано наиболее полное и, в определенном смысле, исчерпывающее решение вопроса, постав-

ленного в 19-й проблеме Гильберта. Речь идет об описании класса дифференциальных уравнений и систем, все достаточно гладкие решения которых аналитичны. И. Г. Петровский выделил класс систем дифференциальных уравнений, обладающих этим свойством, которые теперь принято называть системами, эллиптическими по Петровскому. Именно, И. Г. Петровский доказал следующую теорему. Пусть дана система

причем в левую часть системы входят производные от Uj порядка не выше Uj. Пусть Fj — аналитические функции своих аргументов в некоторой области и в этой области определитель матрицы

отличен от нуля при всех действительных ... £п), для которых |£| ф 0. При этих условиях все достаточно гладкие решения, лежащие в рассматриваемой области, аналитичны по х.

С другой стороны, им же показано, что у системы (9) есть решения, имеющие непрерывные производные как угодно высоких порядков, но не являющиеся аналитическими по х функциями, если Fi — линейные функции с постоянными коэффициентами от и их производных, свободные члены аналитичны по х, определитель матрицы (10) обращается в нуль при некотором £, |£| ф 0, но не тождественно равен нулю.

Для доказательства теоремы об аналитичности И. Г. Петровский продолжает заданное решение и в комплексное пространство х так, чтобы для и удовлетворялись уравнения Коши-Римана.

Для одного эллиптического уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными теорема об аналитичности решений была впервые доказана С. Н. Бернштейном [19] в 1903 г. на основе разработанной им методики нормальных рядов, а в 1927 г. эта теорема для эллиптического уравнения второго порядка с любым числом независимых переменных была доказана Г. Леви [20]. В 1957 г. Морри и Ниренберг [21], пользуясь априорными оценками решений и теоремами вложения С. Л. Соболева, доказали теорему Петровского об аналитичности решений для случая линейных эллиптических систем.

Отметим, что, как показывают построенные недавно примеры (см. [22], [23], [24]), предположение о достаточной гладкости решения в теореме И. Г. Петровского является существенным.

После работы И. Г. Петровского эллиптические системы явились объектом многочисленных исследований. Для эллиптических по Петровскому систем построена законченная теория общих краевых задач (см., например, [25], [26]), решена проблема индекса для таких задач (см., например, [27], [28]), изучены локальные дифференциальные свойства решений.

Таким образом, выделенный И. Г. Петровским на основе локальных свойств решений класс эллиптических систем уравнений оказался близким по свойствам к одному эллиптическому уравнению также и в смысле разрешимости краевых задач.

Качественная теория гиперболических уравнений. Работы И. Г. Петровского [29], [30], [31] по качественной теории гиперболических уравнений, опубликованные в 1943-1945 гг., отличаются необычайно высоким уровнем идей и средств как в теории дифференциальных уравнений, так и в комплексной алгебраической геометрии. В этих работах было введено понятие лакуны, имеющее отчетливый физический смысл, и дано необходимое и достаточное условие для существования лакун для гиперболических уравнений любого порядка с постоянными коэффициентами. И. Г. Петровским был разработан также эффективный метод сведения вопроса о наличии лакун к изучению гиперплоских сечений комплексных алгебраических многообразий. Им также даны достаточные геометрические критерии существования лакун.

Мы приведем здесь некоторые результаты И. Г. Петровского, а также их обобщения в изложении Атья, Ботта и Гординга, следуя их статье, публикуемой в настоящем номере УМН.

Из теории обобщенных функций хорошо известно, что фундаментальное решение Е(х) оператора P(D),

может быть выписано в следующем явном виде:

где г] — постоянный вектор, который мы выберем ниже.

Оператор P(D) порядка m называется гиперболическим, если существует вещественный вектор в такой, что а(в) ф 0, где а(£) — главная часть полинома Р(£) и Р(£ + тв) ф 0 для всех вещественных £, когда Эт > const > 0.

Фундаментальное решение Е(х), определяемое формулой (11), имеет носитель в полупространстве (х, в) > О, если г/ = —св и постоянная с достаточно велика.

Рассмотрим наибольшее открытое множество, в котором Е(х) является бесконечно дифференцируемой функцией. Пусть L — одна из его связных компонент. Область L называется лакуной, если существует бесконечно дифференцируемое продолжение функции Е(х) из L на L. Лакуна называется сильной, если Е(х) = О в L. И. Г. Петровский изучал сильные лакуны, устойчивые относительно возмущений оператора P(D).

Изучение лакун основано на возможности деформировать контур интегрирования в формуле (11). По формуле Стокса (Коши) вектор rj в формуле (11) можно заменить функцией г) — т?(£), если Р(£ + isr)(Ç)) ф О при О < s ^ 1 и (ж, rj(Ç)) ^ при больших е = const > 0.

Если такая функция rj(£) существует, то интеграл (11) сходится абсолютно и определяет голоморфную функцию от х.

В случае однородного полинома Р(£) (к этому сводится общий случай) функцию 7](£) также можно считать однородной степени 1 и заменить интеграл в формуле (11) интегралом по некоторому контуру в комплексном проективном пространстве CPn_1.

Утверждается, что точка х принадлежит лакуне для всех операторов Рк (Р предполагается однородным) тогда и только тогда, когда некоторый (п — 2)-мерный цикл гомологичен нулю в пространстве X* \ X* П А*, где X — это плоскость х£ = 0, причем £ G Cn, А — поверхность Р(£) = 0 в Cn, а знак * обозначает образ соответствующего объекта при естественном отображении Сп —* CPn_1. Если тк — п < 0, то при этом лакуна оказывается сильной.

С точки зрения алгебраической геометрии особенно неочевидно полученное при доказательстве этой теоремы утверждение о том, что из равенств нулю интегралов специального вида по циклу вытекает, что сам цикл гомологичен нулю. Это утверждение, по существу, сводится к теореме Гротендика (1966 г.) о том, что когомологий дополнений к алгебраическим многообразиям порождаются рациональными формами с полюсами на этих многообразиях, и, фактически, доказательство такой теоремы в важном частном случае впервые дано И. Г. Петровским в работе 1945 г. Это, в частности убедительно характеризует топологический уровень этой работы.

Для исследования лакун И. Г. Петровский пользовался формулами, которые теперь известны под названием формул Герглотца-Петровского. Позже было дано истолкование этих формул с точки зрения теории обобщенных функций (см. [32]).

Следствием изложенных выше результатов И. Г. Петровского о лакунах являются теоремы о зависимости решения задачи Коши от начальных, данных. На основе работы И. Г. Петровского, в дальнейшем был получен ряд результатов, дающих геометрические критерии существования лакун (см. [33], [34]).

Несомненно, что глубокие результаты работы И. Г. Петровского будут и в дальнейшем привлекать внимание математиков и будут служить источнике дальнейшего развития качественной теории гиперболических уравнений.

Топология действительных алгебраических многообразий. Вопрос об изучении взаимного расположения ветвей действительной алгебраической кривой на проективной плоскости, а также вопрос о числе, характере и расположении отдельных полостей алгебраической поверхности в пространстве поставлен Д. Гильбертом в его 16-й проблеме. Исходным пунктом для этих вопросов послужила знаменитая теорема А. Харнака [35] о максимальном числе компонент действительной плоской алгебраической кривой. Согласно теореме Харнака число замкнутых ветвей алгебраической кривой порядка п на проективной плоскости не превосходит ^(п — 1)(п — 2) + 1. А. Харнак построил также алгебраические кривые с этим максимальным числом компонент.

16-я проблема Гильберта выдвигает множество вопросов, часто просто формулируемых, но решение которых вызывает очень большие трудности. Примеры таких простых конкретных вопросов были указаны Гильбертом при формулировке 16-й проблемы: каково взаимное расположение 11 овалов алгебраической кривой шестого порядка, каково максимальное число компонент (замкнутых кусков) алгебраической поверхности четвертого порядка.

В 1891 г. Д. Гильбертом в работе [36] была высказана гипотеза, которую он повторил на Международном математическом конгрессе в 1900 г. при формулировке своей 16-й проблемы, что алгебраическая кривая шестого порядка с максимальным числом компонент не может состоять из 11 овалов, расположенных вне друг друга.

В начале XX века было несколько попыток доказать это предложение, и до последнего времени считалось, что первое доказательство было дано швейцарским математиком К. Рооном в 1913 г. Однако это доказательство оказалось неполным.

И. Г. Петровскому принадлежит глубокое исследование топологии действительных алгебраических кривых на проективной плоскости ([37], [38]). Из его результатов, как весьма частный случай, следует указанное выше утверждение Гильберта об алгебраической кривой шестого порядка. И. Г. Петровским установлено, что алгебраическая кривая четного поряд-

ка п не может состоять более чем из |(3п2 —бп) + 1 овалов, расположенных друг вне друга.

Будем называть овал алгебраической кривой у) = 0, где F(x, у) — многочлен степени п с действительными коэффициентами, положительным (отрицательным), если для точек некоторой окрестности этого овала, лежащих внутри него, F(x,y) > 0 (F(x,y) < 0).

Теорему И. Г. Петровского относительно алгебраических кривых четного порядка п можно сформулировать следующим образом. Пусть р означает число положительных, a m — число отрицательных овалов алгебраической кривой четного порядка п. Тогда \р—т\ ^ |(3п2—6п)+1, и существуют кривые, для которых эта граница достигается. Такие кривые построены в работе [38] методом, предложенным А. Харнаком для построения кривых с максимальным числом компонент. Аналогичная теорема установлена и для алгебраических кривых нечетного порядка п.

Легко проверить, что р — m для четного п равно эйлеровой характеристике замыкания множества конечных точек на проективной плоскости (х, у, г), для которых znF(|, |) ^ 0 при z = 1.

В такой формулировке теорема И. Г. Петровского обобщается [39] на алгебраические поверхности любого порядка п в действительном проективном пространстве Pm, а также на алгебраические пространственные кривые [40].

Исследование топологии действительных алгебраических поверхностей проведено в совместных работах И. Г. Петровского и О. А. Олейник (см. [39]).

Пусть F{x\,... ,xm) — многочлен степени п относительно переменных Х\у... ,хт с действительными коэффициентами. Будем предполагать, что система уравнений

не имеет действительных конечных или бесконечных решений. Множество Го точек (xi,... ,xm,xm+i) m-мерного проективного действительного пространства Рш, для которых

представляет собой замкнутое (т — 1)-мерное многообразие (алгебраическую поверхность без особых точек).

Обозначим через E(Fq) его эйлерову характеристику, т. е. J2(-l)rpr, где рТ — его г-мерное число Бетти по модулю два. В работе И. Г. Петровского и О. А. Олейник [39] доказано, в частности, что для нечетного m

(для четного га, как известно, ^Го) = 0). Здесь S(ra, п) обозначает число, равное числу членов полинома П^=1 Xj-i » степень которых не превосходит целую часть \(тп — 2га — п).

Основным методом исследования в работах [38], [39] является изучение изменения топологической структуры алгебраической кривой или поверхности при изменении коэффициентов алгебраического уравнения, определяющего алгебраическую кривую или поверхность. При этом существенную роль играют результаты Морса [41], связанные с исследованием изменения топологии множества уровня при переходе функции через критические значения, а также формулы Эйлера-Якоби.

Результаты и методы И. Г. Петровского наряду с результатами А. Харнака и Д. Гильберта являются основополагающими в теории действительных алгебраических многообразий. Обзор результатов, относящихся к 16-й проблеме Гильберта, можно найти в книге [42].

Теория вероятностей. Большое влияние на все последующее развитие теории случайных процессов оказала работа И. Г. Петровского [43] о проблеме блуждания, опубликованная в 1934 году. В принятых в настоящее время обозначениях содержание работы можно описать следующим образом. В евклидовом пространстве Rn рассматривается цепь Маркова, для которой вероятность перехода за один шаг из точки х в множество А равна р(х, А). Пусть G — область в Дп, имеющая гладкую границу, и пусть 7г(х)А) — вероятность того, что частица, начинающая движение из точки ж, окажется в А в момент первого выхода из G. Задается непрерывная функция tp на Rn \ G и исследуется предельное поведение функции

когда переходная функция р(х,А) меняется таким образом, что перемещение частицы за один шаг стремится в определенном смысле к нулю. Доказывается, что v(x) сходится при этом к решению задачи Дирихле для эллиптического уравнения

отвечающему граничной функции (р.

Не менее важным, чем этот результат, явился для последующего развития теории вероятностей и метод, которым он получен. Это — метод верхних и нижних функций. На языке теории марковских процессов можно определить верхние функции как функции, супергармонические для марковской цепи р(х, А) и мажорирующие ip на Rn \ G. Аналогично, нижние

функции — это субгармонические функции для цепи р(х,А), минорирующие ip на R71 \ G. И. Г. Петровский показывает, что для любой верхней функции у и любой нижней функции v выполняются неравенства: V ^ V ^ v. После этого остается построить последовательности верхних и нижних функций, сходящиеся к описанному выше решению задачи Дирихле.

Роль предложенного И. Г. Петровским метода верхних и нижних функций для теории вероятностей ярко показана в монографии А. Я. Хинчина «Асимптотические законы теории вероятностей» (Москва, ОНТИ, 1936). Связь между вероятностями выхода марковского процесса из области и решением задачи Дирихле была установлена И. Г. Петровским в предельной форме. В дальнейшем выяснилось, что предельного перехода не требуется, если сразу рассматривать марковский процесс с непрерывным временем. Соответствующие формулы позволили исследовать вероятностными методами многие вопросы теории дифференциальных уравнений (вырождающиеся эллиптические уравнения, уравнения с малым параметром и др.). С другой стороны, предметом многих глубоких исследований стал вопрос об условиях возможности предельного перехода от дискретных цепей Маркова к процессам с непрерывным временем. Понятие супергармонической функции, связанной с произвольным марковским процессом, легло в основу современной теории потенциала и нашло приложения в теории оптимального управления.

Важное значение для теории вероятностей имеет также работа И. Г. Петровского [44] о первой краевой задаче для уравнения теплопроводности. Основной результат этой работы можно сформулировать на вероятностном языке следующим образом. Пусть xt — одномерный винеровский процесс. Если Ф(£) — монотонная функция и интеграл

(12)

расходится, то с вероятностью единица \xt\ ^ Ф(£), начиная с некоторого t. Если же интеграл (12) сходится, то с вероятностью единица найдется последовательность tn —> оо такая, что \xtn\ > Ф(£п). Опираясь на результаты Эрдеша и Феллера, можно получить отсюда весьма сильные результаты относительно характера роста абсолютных отклонений сумм независимых одинаково распределенных случайных величин от их математических ожиданий. Эти результаты являются далеко идущим усилением так называемого закона повторного логарифма, полученного А. Я. Хинчиным и А. Н. Колмогоровым.

Другие работы. Кроме описанных выше работ И. Г. Петровскому принадлежит ряд исследований в различных областях математики и математической физики. Остановимся на некоторых из них.

В 1934 г. И. Г. Петровский опубликовал работу [45], посвященную исследованию поведения траекторий системы обыкновенных дифференциальных уравнений в окрестности особой точки. В этой работе рассмотрена система

(13)

где А — постоянная матрица, а <р(х) — непрерывно дифференцируемая вектор-функция, обращающаяся в начале координат в нуль вместе со своими производными. И. Г. Петровский показал, что при условии, что все корни характеристического уравнения det(^4 — ХЕ) = 0 имеют отличные от нуля вещественные части, траектории системы (13) в окрестности начала координат ведут себя так же, как и траектории укороченной линейной системы. Если некоторые из корней имеют нулевые вещественные части, то можно выделить подмножество траекторий, поведение которых будет определяться матрицей А. Это была, по существу, первая работа, в которой было проведено полное исследование окрестности особой точки в пространственном случае.

В 1937 г. И. Г. Петровским совместно с А. Н. Колмогоровым и Н. С. Пискуновым была опубликована работа [46], выполненная в связи с некоторой биологической проблемой — задачей о распространении гена. Идеи, развитые в этой работе, оказались весьма плодотворными для многих областей математической физики. Математическое содержание этой работы сводится к следующему. Рассматривается уравнение диффузии с нелинейной правой частью

(14)

где F(v) — достаточно гладкая функция, определенная на интервале О ^ у < 1 и такая, что F(0) = F(l) = 0, F(v) > О (0 < v < 1); F'(0) = а > О, F'{v) < а при v > 0, к = const > 0.

Было показано прежде всего, что уравнение (14) имеет решения типа равномерно распространяющихся волн

(15)

(С — произвольное действительное число), удовлетворяющие условиям V(—оо) = 0, V(oo) = 1, при любых скоростях распространения А ^ Ло =

Однако, как было показано в работе [46], среди решений (15) только решение, отвечающее минимальной скорости распространения Ло, обладает свойством устойчивости в следующем смысле: решение задачи Коши,

отвечающее произвольным начальным данным таким, что v(x,0) = 0 при X ^ а, 0 < v(x,0) < 1 при а < х < 6, г;(х,0) = 1 при я > b (а и Ь — произвольные действительные числа), стремится при t —» оо к некоторому решению вида (15), соответствующему А = Ао-

Иными словами, рассмотрение решений вида (15) приводит к непрерывному спектру скоростей распространения, однако только решение, отвечающее А = Ао, является асимптотикой для решения задачи Коши указанного типа.

Оказалось, что аналогичные вопросы возникают в ряде задач математической физики, в частности, в задаче горения.

Многочисленная литература по математической теории горения, которая в настоящее время охватывает многие сотни работ, существенно опирается на идеи, впервые высказанные в этой работе.

Эта работа имела замечательные продолжения также и в несколько ином аспекте. Если в уравнении (14) перейти к переменным

то решение (15) представляется в форме

т. е. примет форму так называемых «автомодельных решений».

До работы [46] был известен ряд автомодельных решений различных задач теории теплопроводности, гидродинамики, газовой динамики, теории упругости и т. д. Во всех них показатель А мог быть найден из соображений размерности. Впоследствии был найден ряд автомодельных решений, прежде всего в газовой динамике, в которых показатель степени в выражении автомодельного переменного получался не из соображений размерности. Этот показатель находился из условия существования в целом автомодельного решения (так называемые автомодельные решения второго рода). Тем не менее в некоторых случаях и это не позволяет однозначно определить А, например, в задаче о сходящейся ударной волне.

Как видно, именно в работе [46] вопрос о подобных необычных решениях был поставлен впервые и для рассмотренной там задачи получил исчерпывающее решение. (По поводу развития заключенных в этой работе идей см. статью Г. И. Баренблатта и Я. Б. Зельдовича, публикуемую в настоящем номере УМН.)

И. Г. Петровский вслед за Л. А. Люстерником одним из первых стал пользоваться методом конечных разностей для решения краевых задач, В работе [47] он, применяя для уравнений в конечных разностях метод априорных оценок С. Н. Бернштейна, дал новое простое доказательство

разрешимости задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом конечных разностей в многомерном случае при весьма общих предположениях о границе области.

В работе 1945 г. [48] И. Г. Петровский рассмотрел задачу, связанную с конкретными вопросами теории упругости. В ней исследуется скорость распространения разрывов производных смещения на поверхности неоднородного упругого тела, свободного от действия внешних сил. Эта задача связана с вопросом о скорости распространения волн Рэлея.

И. Г. Петровскому принадлежит инициатива качественного исследования в целом решений обыкновенных дифференциальных уравнений с рациональной правой частью в комплексной области. В этом направлении ему также принадлежит ряд основных идей и понятий [49]. На указанном И. Г. Петровским пути получен ряд результатов (см., например, [50], [51]).

Исключительно важную роль в развитии теории уравнений с частными производными сыграла статья И. Г. Петровского [52], в которой был поставлен ряд проблем. Многие математики черпали в ней задачи и идеи для свои исследований.

Научно-педагогическая деятельность. Много сил отдал И. Г. Петровским воспитанию молодых математиков. С 1929 г. Иван Георгиевич преподает на механико-математическом факультете МГУ. С 1933 г. он — профессор Московского университета, а с 1951 г. — заведующий кафедрой дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ. Он читает курсы лекций, ведет семинары, руководит аспирантами. На основе свои курсов лекций он написал широко известные учебники по интегральным уравнениям, обыкновенным дифференциальным уравнениям и уравнениям с частными производными. Особенно нужно отметить его учебник по дифференциальным уравнениям с частными производными. Написанный более двух десятилетий назад этот учебник до сих пор продолжает оставаться одни из лучших учебников в мире. В этом учебнике И. Г. Петровский сумел на простых объектах продемонстрировать центральные идеи теории, сделать это доступно и, в то же время, на высоком научном уровне. В учебнике даются обзоры современного состояния отдельных разделов теории уравнений с частными производными и указываются нерешенные проблемы. Для многих математиков изучение этой книги положило начало их научным исследованиям. Учебники Ивана Георгиевича много раз переиздавались и переводились на многие языки мира. Они удостоены Государственной премии.

В течение многих лет И. Г. Петровский возглавляет (долгое время со совместно с С. Л. Соболевым и А. Н. Тихоновым) основной научно-исследовательский семинар по уравнениям с частными производными в Московском университете. На этом семинаре докладывались все основные работы

по уравнениям с частными производными московских и многих иногородних математиков. Зарубежные математики, приезжающие в СССР, считают для себя честью сделать сообщение в этом семинаре.

Некоторые из непосредственных учеников И.Г. Петровского стали крупными учеными. И. Г. Петровский всегда с большим тактом направлял работу своих учеников, воспитывая их самостоятельность. Он обращал их внимание на интересные проблемы, и решение проблем, поставленных И. Г. Петровским, принесло многим из его учеников известность.

Деятельность на посту ректора Московского университета. И. Г. Петровский — не только замечательный ученый, но и выдающийся организатор науки. Научно-организаторская деятельность Ивана Георгиевича в Московском университете началась в 1940 г., когда он был избран деканом механико-математического факультета. Он руководил факультетом в сложных условиях эвакуации, и в период его возвращения в Москву. Много сил И. Г. Петровский отдал тому, чтобы коллектив факультета в трудные годы войны мог вести на высоком уровне научную и учебную работу.

В 1951 г. И. Г. Петровский стал ректором Московского университета. Вот уже двадцать лет продолжается эта поразительная по своим масштабам научно-организаторская деятельность большого ученого на посту ректора Московского университета. Ректорство И. Г. Петровского — это замечательный период в жизни и истории Московского университета.

Не только талант организатора сделал И. Г. Петровского выдающимся руководителем университета. Этому помогли его качества ученого, человека, гражданина.

Казалось бы, время ученых-энциклопедистов отошло в прошлое: стремительный прогресс науки не позволяет одному человеку глубоко разбираться во многих различных областях науки сразу. Пример И. Г. Петровского опровергает это. Ивана Георгиевича отличает широта образования и интересов, обширные и глубокие познания в самых разнообразных областях как естественных, так и гуманитарных наук. Ему свойственны настойчивость и сосредоточенность ученого, огромная работоспособность и бесконечная любознательность. Нам, математикам, всегда было известно, что Иван Георгиевич любит художественную литературу, что он библиофил, что лучший отдых для него — это возможность рыться в книгах, что он любит и знает искусство, хорошо понимает живопись, что в молодости он сам увлекался рисованием.

Но вот что пишет об И. Г. Петровском известный историк и археолог А. В. Арциховский:

«Энциклопедическая образованность и широта научных интересов И. Г. Петровского позволяют ему следить за успехами

всех наук, естественных и общественных. В наше время науки так дифференцировались и усложнились, что мало кто может охватить всю их совокупность. И. Г. Петровский может. Я много раз убеждался, что ректор внимательно читает самые специальные исследования историков по всем разделам истории, древней, средней и новой. Он всегда находит конкретные меры содействия этим исследованиям. Мне пришлось с ним ездить по Англии и убедиться, как подробно он знает историю этой страны. В залах Британского Музея он проявил глубокое понимание творчества величайших мастеров эллинского веяния, Фидия и Скопаса. Это связано с его интересом к истории Древней Греции. Я руковожу Новгородской археологической экспедицией. Когда мы нашли первые берестяные грамоты, эти исторические источники совершенно нового рода, Иван Георгиевич полностью оценил значение открытия. Ему мы обязаны значительным расширением экспедиции и новыми ее достижениями. Когда он сам посетил Новгород, он очень заинтересовался древнерусским зодчеством. На новгородских раскопках Иван Георгиевич внимательно наблюдал все научные процессы, участвовал в разборке находок и в чтении берестяных грамот, проявив при этом глубокое знание истории Новгорода. И. Г. Петровский следит за успехами всех наук. Точно так же в первой половине XIX века ректор Казанского университета, великий математик Н. И. Лобачевский следил за успехами всех наук, в том числе исторических. В XX веке это стало гораздо труднее, чем в XIX. Тем удивительнее деятельность И. Г. Петровского». Декан факультета психол