ИСТОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В РОССИИ XVIII-XX ВВ.

СБОРНИК НАУЧНЫХ СТАТЕЙ И ОЧЕРКОВ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГБОУ ВПО «ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ИСТОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В РОССИИ XVIII—XX вв.

Сборник научных статей и очерков

Оренбург Издательство ОГПУ 2013

УДК 372.851(47)(091) ББК 74.58(2) И90

Ответственный редактор

Г. П. Матвиевская, доктор физико-математических наук, профессор

Ответственный за выпуск

И. В. Игнатушина, кандидат физико-математических наук, доцент

Рецензенты

А. С. Ракитянский, кандидат физико-математических наук, доцент

М. И. Черемисина, кандидат педагогических наук, доцент

Фото на цветной влейке Е. Рожковой (коллективы кафедр), А. Творогова (историко-математический вечер)

И90 История математического образования в России XVIII— XX вв. : сб. науч. статей и очерков / отв. ред. Г. П. Матвиевская ; отв. за вып. И. В. Игнатушина ; Мин-во образования и науки РФ ; ФГБОУ ВПО «Оренб. гос. пед. ун-т». — Оренбург : Изд-во ОГПУ, 2013. — 228 с, [2] л. цв. ил. ISBN 978-5-85859-547-2

УДК 372.851(47)(091) ББК 74.58(2)

ISBN 978-5-85859-547-2 © Оформление. Изд-во ОГПУ, 2013

СОДЕРЖАНИЕ

От редакции....................................................................................................................................4

ИЗ ИСТОРИИ ОТЕЧЕСТВЕННОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ XVIII—XX ВЕКОВ

Игнатушина И. В. Роль научно-методической школы Л. Эйлера в формировании дифференциальной геометрии как учебного предмета в России в XVIII — первой четверти XIX века............................................................................................................................5

Максютова Е. А. О русских учебниках алгебры XVIII века......................................................38

Игнатушина И. В. Реформы отечественного высшего математического образования в XX столетии.................................................................................................................................51

Игнатушина И. В. Развитие дифференциальной геометрии в отечественной математике XX столетия...............................................................................................................67

Игнатушина И. В. Изменения в содержании и методах изложения курса «Дифференциальная геометрия» в отечественных университетах на протяжении XX века...........................................................................................................................................74

Игнатушина И. В. Особенности преподавания дифференциальной геометрии в педагогических институтах после 1917 года...........................................................................92

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ В ОРЕНБУРГСКОМ КРАЕ

Прояева И. В. Об образовании Оренбургского учебного округа...........................................106

Матвиевская Г. П. Оренбургский вольный университет начала XX века.......................................114

Игнатушина И. В. Очерк истории кафедры математического анализа и методики преподавания математики Оренбургского государственного педагогического университета...............................................................................................................................121

Коротина В. А., Ривкус Н. В. Кафедра алгебры, геометрии и истории математики физико-математического факультета Оренбургского государственного педагогического университета в прошлом и настоящем....................................................................................149

Зубова И. К. Из истории кафедры математического анализа Оренбургского государственного университета................................................................................................168

Коротина В. А. Наум Яковлевич Виленкин — видный советский учёный и педагог и его роль в совершенствовании математического образования в Оренбуржье................173

Коротина В. А. Познавательно-исследовательская учебная деятельность студентов в процессе изучения дисциплин алгебраического цикла как фактор совершенствования профессиональной подготовки будущего учителя математики (к вопросу о реализации научно-методических идей Н. Я. Виленкина)...............................180

Коротина В. А. Совместная работа кафедры алгебры, геометрии и истории математики Оренбургского государственного педагогического университета и школы № 27 г. Оренбурга.......................................................................................................................186

Курбатова Л. Н. Илья Ефимович Хациревич о методике изучения предела числовой последовательности в средней школе.....................................................................................194

Курбатова Л. Н. Из методического наследия Петра Алексеевича Буданцева....................205

Шадрин В. Ю. О некоторых формах работы с математически одарёнными детьми в Оренбурге.................................................................................................................................221

Краткие сведения об авторах...................................................................................................227

От редакции

Предлагаемый сборник статей и очерков посвящён истории отечественного математического образования XVIII—XX вв. В первой его части освещены некоторые моменты истории математического образования в России в указанных хронологических рамках. Основное внимание уделено описанию процесса становления учебного курса «Дифференциальная геометрия» в отечественных высших учебных заведениях на протяжении указанного периода. Показана роль первой научно-методической школы великого учёного Л. Эйлера в этом процессе. Кроме того, проведён анализ русских учебников алгебры XVIII века, в частности, рассмотрено содержание малоизвестного руководства Н. Е. Муравьёва «Начальные основания математики».

Во второй части сборника собраны статьи, посвящённые истории математического образования в Оренбургском крае. Описана предыстория образования Оренбургского учебного округа. Приведены сведения о деятельности Оренбургских высших курсов, организованных в 1904 году преподавателем Оренбургской мужской гимназии математиком А. О. Киселёвым. Представлены очерки истории математических кафедр Оренбургского государственного педагогического университета и Оренбургского государственного университета.

ИЗ ИСТОРИИ ОТЕЧЕСТВЕННОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ XVIII—XX ВЕКОВ

И. В. Игнатушина

Роль научно-методической школы Л. Эйлера в формировании дифференциальной геометрии как учебного предмета в России в XVIII — первой четверти XIX века

Дифференциальная геометрия как наука и учебный предмет возникла в России в XVIII столетии в трудах Леонарда Эйлера (1707—1783) и представителей его школы [39, 18].

Рис. 1

Можно с уверенностью сказать, что Л. Эйлером была создана первая не только научная, но и методическая школа в нашей стране. Доказательством служит тот факт, что его ученики и последователи стали прекрасными преподавателями математики, организаторами математического образования в России, авторами руководств по различным вопросам математики (в том числе и по приложениям дифференциального исчисления к геометрии), в которых были реализованы основные методические идеи Эйлера. Охарактеризуем их и раскроем реализацию этих идей на примере формирования учебного предмета «Дифференциальная геометрия» в отечественном высшем математическом образовании XVIII — первой четверти XIX века.

Первая из них — идея сближения содержания математического образования с современной математикой. Впервые начиная с Л. Эйлера в учебные курсы математики столь оперативно стали включатся новейшие достижения математики как науки. Многие из его классических математических сочинений, например по приложению дифференциального исчисления к геометрии, написаны столь доходчиво и живо, что в течение длительного времени использовались в качестве учебных руководств для университетов. Заложенная им традиция патронажа математики как науки над соответствующим учебным курсом обеспечивала научно-содержательные условия эффективного развития математического образования [26].

Вторая методическая идея, реализованная в методической школе Л. Эйлера, — вычленение в математическом образовании основных дисциплин — арифметики, геометрии, тригонометрии, алгебры, математического анализа. Это привело к доминированию тенденции разумной минимизации количества математических дисциплин и избавлению от полиструктурности учебных математических курсов. В русле этой идеи идёт постепенное их очищение от чужеродного материала.

Третья идея — построение учебных курсов по математике на основе прогрессивных для того времени дидактических принципов, таких как системность, научность, доступность изложения материала, учёт возрастных особенностей учащихся. Следует отметить, что Эйлер говорил не просто о научности и доступности, но об их оптимальном сочетании. Созданные им и его последователями учебники по отдельным математическим дисциплинам сочетали высокий научный уровень математического содер-

жания, доказательность математических предложений с простотой и ясностью изложения.

Благодаря Эйлеру в России укрепляются заявленные ранее тенденции создания отечественных педагогических кадров в сфере математического образования, написания учебников математики на русском языке.

Среди учеников Эйлера первое место по количеству результатов и их новизне занимает Николай Иванович Фусс (1755—1826). Работая под руководством Эйлера, Фусс овладел методами анализа бесконечно малых и умело использовал их в исследованиях по геометрии [39, 19, 16]. В своих работах Фусс решил ряд задач на установление свойств кривых, параметры которых связаны определёнными соотношениями. Среди ранних его работ такого рода можно назвать «Аналитико-геометрическое исследование о кривой линии, обладающей особым свойством» (1784) [49] и «Аналитико-геометрическое исследование о различных видах кривых линий, обладающих особым свойством» (1784) [48].

Из работ Фусса более позднего периода некоторые были посвящены изучению свойств кривых, заданных определёнными соотношениями между радиусом кривизны, радиус-вектором и длиной дуги, отсчитываемой в определённом направлении от некоторой начальной точки. Эти работы близки к так называемой естественной, или натуральной, геометрии, развитой позднее в трудах Эрнесто Чезаро (1859—1906).

Так, в мемуаре «Десять геометрических задач...» (1809) [47] Фусс обратился к исследованию зависимостей между радиусом кривизны г кривой (рис. 2) и длиной дуги s, радиус-вектором z, отрезком PR, соединяющим полюс Р с центром кривизны R, расстоянием / от полюса до касательной.

Рис. 2

Им решено десять задач, в которых требуется найти кривые, удовлетворяющие следующим условиям:

Здесь т, п — данные числа, а, с — данные отрезки. В «Дополнении» [46] к этой работе, представленном 13 октября 1802 г., Фусс находил кривую, удовлетворяющую условию

Помимо исследования кривых на плоскости, Фусс занимался и вопросами, относящимися к дифференциальной геометрии в пространстве. Например, в мемуаре «О кривизне кривых, на поверхности шара описанных» (1809) [36] он дал алгоритм нахождения радиуса кривизны любой кривой, расположенной на поверхности некоторого шара. Пусть СМ — некоторая кривая (рис. 3), расположенная на поверхности шара, полюс которого обозначим точкой А.

Рис. 3

Чтобы определить кривизну данной кривой в точке М, Фусс из этой точки и близко к ней расположенной по кривой точки m проводит на поверхности шара две дуги ОМ и От, перпендикулярные к кривой СМ, которые пересекутся в точке О. Фусс пишет, что длина дуги ОМ будет выражать искомый радиус кривизны. Далее он обозначает длину дуги AM через у, угол AMC — через (р и длину дуги ОМ через г. Затем Фусс замечает, что поскольку точка О не изменит своего положения, если двигаться по кривой от точки M к точке т, то длина дуги АО большого круга тоже не изменится и, следовательно, её дифференциал будет равен нулю. Из сферического треугольника Л МО имеем cos АО = cos ^-cos г + sin ^-sin г -sin^,< тогда cos г • d(cos у) + sin г • d(sin у • sin ф) = О , откуда

В мемуаре «Решение некоторых вопросов, относящихся до разверзания кривых линий двоякой кривизны» (1815) [37] Фусс рассмотрел задачу на отыскание эволюты и эвольвенты пространственной кривой. Под «разверзанием» он понимает построение эвольвенты для данной кривой.

В результате её решения он получил:

1) радиус кривизны, проведённый к пространственной кривой в точке (x,y,z), равен

2) центр кривизны (/,g,A) кривой связан с координатами её точки (x9y9z) равенствами:

3) точка (X, Y, Z), расположенная на эвольвенте данной кривой, связана с координатами соответствующей точки (х, у, z) на кривой соотношениями:

где s — длина исходной кривой.

Помимо научных изысканий и работы в Академии, Н. И. Фусс вёл активную преподавательскую деятельность, реализуя при этом одну из методических идей школы Эйлера — идею сближения современной ему математики и содержания математического образования [25]. Он преподавал в Сухопутном (с 1784) и Морском (с 1796) шляхетских кадетских корпусах Петербурга. Для этих учебных заведений Фусс подготовил ряд учебников математики, в которых отразил результаты своих научных изысканий, в том числе относящихся к дифференциальной геометрии. Например, в «Начальных основаниях дифференциального и интегрального исчисления» (1804) он изложил исчисление бесконечно малых для функций одной, двух и трёх независимых переменных и показал его приложения к решению задач, среди которых фигурировали и геометрические задачи.

В дальнейшем материал из разрозненно изданных учебников Фусс объединил в общий курс, составивший три книги «Начальных оснований чистой математики» (1810—1812) [35]. С 1814 г. этот курс стал основным для гимназий вплоть до реформы отечественного образования 1828 г. Он был достаточно компактным, доступным в объяснениях и доказательствах для учеников гимназий, учитывал их возрастные особенности. Его можно считать первым стабильным учебником математики. Отметим, что в то время специальных программ по математике ещё не существовало. Содержание математического образования определяли в основном учебники. Поэтому по указанному курсу Фусса можно судить о характере и объёме гимназического математического образования первой четверти XIX в.

В третьей части этого курса Фусс рассмотрел некоторые приложения дифференциального и интегрального исчисления к геометрии. Здесь для кривой на плоскости выводятся уравнения касательной, нормали и радиуса кривизны; рассматриваются точки перегиба и точки возврата; устанавливается формула для определения длины дуги. В заключение показано решение одиннадцати задач на определение уравнений кривых линий по данным свойствам их касательных, нормалей и т.п.

Другим не менее талантливым учеником Л. Эйлера был Фёдор Иванович Шуберт (1758—1825). Диапазон его математиче-

ских интересов был достаточно широк, но, судя по публикациям, предпочтение он отдавал геометрии. В работе «Рассуждения о точках возврата» (1822) [45] Шуберт впервые вывел условия для определения точек возврата кривой f(x, у) = 0. Координаты точки возврата должны удовлетворять следующей системе уравнений:

В ходе поисков этого критерия Шуберт, очевидно, воспользовался общим методом Эйлера определения двойных особых точек, согласно которому для этой цели требуется решить систему уравнений:

Позднее аналогичный способ был применён при исследовании тройных, четырёхкратных и т.д. особых точек [7, 15]. В своей работе Шуберт рассмотрел все возможные виды двойных особых точек, кроме случая самоприкосновения [17]. Указанные результаты в дальнейшем вошли во все учебники по дифференциальной геометрии.

Ещё одним представителем петербургской школы XVIII века был воспитанник Инженерно-артиллерийского корпуса Семён Емельянович Гурьев (1764—1813). Его научные изыскания были тесным образом связаны с направлением работ Эйлера [6, 39, 40, 41]. В «Мемуаре о решении основных задач, предложенных для кривых, ординаты которых исходят из неподвижной точки» (1794) [50] Гурьев предложил единый аналитический подход к выводу всех основных дифференциально-геометрических формул плоских кривых, заданных в полярных координатах. Отметим, что до этого в математике каждая дифференциально-геометри-

ческая формула такого рода выводилась по отдельности из рассмотрения соответствующих бесконечно малых фигур. Гурьев рассматривает кривую AM (рис. 4), которая задана уравнением, выражающим величину радиус-вектора FM = z через угол ZAFM = со. Преимущество подхода Гурьева заключается в том, что он использовал полярный угол, а не дугу круга некоторого радиуса, как это делали до него.

Далее он рассматривает прямоугольную систему координат, в которой отрезки АР = х и РМ = у выражают координаты точки M кривой. Затем выводится формула угла касательной МТ с радиус-вектором FM. Для этого вводится вспомогательный угол ZFTM = ф и отрезок PF = v = AF-x. Так как

Поскольку

(1)

то

Рис. 4

Отсюда

Тогда для полярной подкасательной FR выражение будет следующим:

Радиус кривизны R = —, где s —длина дуги, в —угол нормали с осью абсцисс, Гурьев вывел путём следующего преобразования формулы

с использованием равенств (1):

что немедленно давало условие точек перегиба для кривой (радиус кривизны в таких точках обращается в бесконечность).

Далее, поскольку ds2 =dx2 + dy2 и из равенств (1) следует, что ds2 =z2dco2 + dz2, то формула для определения длины кривой AM будет иметь вид:

Затем, обозначив площади AMF, AMP, MPF соответственно Р, ö, R, где Р = Q + R, Гурьев получил

Учитывая, что dv=-dx, он имеет dP =---, откуда, используя равенства (1), выводит

Следовательно,

В заключение Гурьев нашёл ещё интегралы, выражающие соответственно площадь S поверхности и объём К тела вращения кривой AMP около АР:

Полученные теоретические результаты иллюстрируются примерами на квадратрису, спирали, конхоиду и конические сечения. Эта небольшая по объёму работа (всего 15 страниц) была наиболее значительной из специальных работ Гурьева.

Работая в военно-учебных заведениях (Артиллерийском и инженерном кадетском корпусе, Институте корпуса инженеров путей сообщения, Школе корабельной архитектуры [22]), Гурьев использовал в своей преподавательской деятельности опыт и идеи французских математиков XVIII — начала XIX века, прежде всего Гаспара Монжа (1746—1818). Для русской школы Гурьев написал и перевёл с французского ряд учебников, оказавших значительное влияние на всю математическую литературу России.

Особого внимания заслуживает сочинение Гурьева «Основания трансцендентной геометрии кривых поверхностей» (1806) [10], поскольку эту работу можно считать первым руководством по дифференциальной геометрии в пространстве, вышедшем на русском языке. Вся работа состоит из шести глав.

В первой главе объясняется построение касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной уравнением F(x,y,z) = 0. Сначала Гурьев рассматривает дифференциальное уравнение этой поверхности:

причём

Затем через точку M(x,y,z) поверхности (рис. 5) он проводит сечения ВM и СМ плоскостями QNM и PNM, которые параллельны соответственно плоскостям XAZ и YAZ. К получившимся кривым ВМ и СМ в плоскостях QNM и PNM строятся касательные MR и MS.

Соответствующие им подкасательные NR и NS находятся из следующих равенств:

Плоскость MRS, проведённая через касательные MR и MS, и есть искомая касательная плоскость, проведённая к поверхности в точке M(x,y,z).

Далее Гурьев показывает, как можно определить положение касательной плоскости MRS через углы её наклона к координатным плоскостям.

Рис. 5

Затем объясняется построение нормали (рис. 6) к поверхности в точке M(x,y,z). Сначала в плоскостях QNM и PNM к кривым ВМ и СМ проводятся нормали МК и ML. В плоскости XAY на соответствующих субнормалях NK и NL строят прямоугольник NKVL, тогда прямая МК является искомой нормалью к поверхности.

Поскольку уравнения сечений ВМ и СМ суть dz = ndx, dz = mdy, то соответствующие им субнормали будут следующие:

Отсюда

тогда нормаль

Сечение DM кривой поверхности плоскостью NMV, проходящей через нормаль MV и ординату NM, Гурьев вслед за Эйлером называет главным.

В конце первой главы приведены примеры построения касательной плоскости и нормали к поверхностям прямого конуса, прямого цилиндра, шара.

Рис. 6

Вторую главу Гурьев посвятил описанию алгоритма нахождения экстремумов функций одной и нескольких переменных. Эта глава, как отмечал Гурьев, взята им из «Дифференциального и интегрального исчисления» (1777) [43] Жака Антуана Кузена (1739—1800).

Третья глава под названием «О кривизне кривых поверхностей» есть по сути перевод мемуара Эйлера «Исследования о кривизне поверхностей» (1767) [44].

Четвёртая и пятая главы посвящены пространственным кривым, или «двояко-кривым линиям», как их в то время называли. Такая кривая определяется как пересечение двух поверхностей. Тогда касательная к такой кривой в некоторой её точке есть прямая, полученная в результате пересечения двух касательных плоскостей, проведённых в этой точке к соответствующим поверхностям. В этих главах Гурьев рассматривает пространственную кривую СМ, которая есть результат пересечения некоторой поверхности с цилиндрической поверхностью DNMC (рис. 7), образующая которой параллельна оси AZ, а направляющая DN является проекцией кривой СМ на плоскость ХА Y.

Рис. 7

Тогда касательная МТ, проведённая к кривой СМ в точке M(x,y,z), удовлетворяет равенству:

При таком подходе кривую СМ можно трактовать как результат сечения некоторой поверхности dz = mdy + ndx плоскостью TMV (рис. 8), проходящей через касательную МТ к этой кривой и нормаль к MV данной поверхности. Тогда кривизна кривой СМ в точке M(x,y,z) есть кривизна поверхности dz =mdy + ndx в направлении касательной МТ. Следовательно, радиус кривизны кривой СМ в точке M(x,y,z) определяется из следующего равенства:

В последней главе Гурьев описал вычисление площадей поверхностей и объёмов тел при помощи введённых Эйлером двойных интегралов.

Рис. 8

Ещё одна заметка Гурьева «О кривизне кривых линий» (1812) [11] была посвящена выводу формулы радиуса кривизны плоской кривой.

Работы Гурьева нашли отклик у современников. Его последователями в деле просвещения стали Василий Иванович Висковатов (1780—1812) и Пётр Александрович Рахманов (ум. 1813).

В. И. Висковатов, ученик Гурьева, преподавал математику и механику в Артиллерийском кадетском корпусе, а затем в Институте путей сообщения и Горном институте. В 1808 году Висковатов представил к печати работу «Краткое изложение способа знаменитого Лагранжа изъяснять исчисление дифференциальное и приложение оного к геометрии кривых линий» (1810) [8], которая являлась довольно подробным конспектом двух первых отделов сочинений Жозефа Луи Лагранжа (1736—1813) "Théorie des functions analytiques" (1797) [52] и "Leçons sur le calcul des fonctions" (1806) [51].

Особый интерес представляет вторая часть этой работы, носящая название «О приложении исчисления дифференциального к геометрии кривых линий», которая является одним из первых изложений вопросов дифференциальной геометрии плоских кривых, вышедших на русском языке. Эта часть работы разбита на восемь параграфов.

В первом параграфе «О направлении кривых линий» вводятся понятия касательной к кривой, выпуклости и вогнутости кривой, точки перегиба, многократной точки, точек возврата первого и второго рода.

Второй параграф посвящен выводу уравнений касательной и нормали, проведённых в некоторой точке м(х,у) кривой. В случае, когда кривая задана в прямоугольной системе координат, уравнение касательной будет следующим

уравнение нормали будет таким

Если кривая задана в косоугольных координатах, где угол между осями равен к, то касательная задаётся уравнением

а нормаль определяется уравнением вида

Если кривая задана в полярных координатах (z;<p), то уравнение касательной имеет вид

а уравнение нормали

Здесь z — величина радиус-вектора MF (рис. 9); ср = ZMFA — угол между радиус-вектором MF и осью AF\ (j) = ZAFM} — угол между радиус-вектором M'F и осью AF,

где М' — точка кривой, близко расположенная к точке М\ fi=ZAFm' — угол между радиус-вектором m'F и осью AF, где т'— конец нормали, проведённой к кривой в точке М'.

Рис. 9

В третьем параграфе описан алгоритм нахождения экстремумов функций одной и двух переменных.

Четвёртый параграф рассказывает о способе нахождения точек перегиба плоской кривой.

Пятый параграф посвящен многократным точкам кривой, т.е. точкам, через которые проходят несколько ветвей одной и той же кривой. В нём также представлен алгоритм определения порядка кратности этих точек.

В шестом параграфе рассмотрен частный случай двукратных точек, а именно точек возврата кривой линии, которые Висковатов, так же как и Эйлер, разделил на два рода: «...когда обе ветви обращены одна к другой одинакового рода сторонами (рис. 10), то оная называется точкою возврата первого рода; а когда ветви сии обращены одна к другой разного рода сторонами (рис. 11), то точка возврата называется второго рода» [8, с. 281].

Седьмой параграф несколько выходит за рамки дифференциальной геометрии на плоскости, поскольку в нём выводятся формулы для дифференциалов не только дуг плоских кривых, но и дифференциалов площади поверхности тел вращения.

Восьмой параграф посвящён вопросу о кривизне плоской кривой. Если кривая задана в прямоугольной системе координат, радиус её кривизны вычисляется по формуле

Рис.10 Рис.11

где знак «-» берётся в случае вогнутой кривой, а знак «+» — в случае выпуклой кривой.

Если кривая задана в косоугольных координатах, то радиус кривизны определяется так:

В случае, когда кривая задана в полярной системе координат, формула для радиуса кривизны имеет вид г = н--, где

Далее в этом параграфе рассматриваются эволюты, которые Висковатов называл «разверзающимися», а также эвольвенты, названные им «линиями разверзания». Устанавливаются формулы, связывающие эволюты и эвольвенты между собой в трёх случаях, когда они заданы в прямоугольных, косоугольных и полярных координатах.

В заключение вводится понятие соприкасающихся кривых, т.е. таких двух кривых, являющихся графиками функций, производные которых первого и более высоких порядков в фиксированной точке равны между собой.

Рассмотренная работа Висковатова удачно дополняет «Основания трансцендентной геометрии кривых поверхностей» Гурьева. По этим работам мы получаем представление о содержании лекций по дифференциальной геометрии, читавшихся в начале XIX века на русском языке.

П. А. Рахманов был профессиональным военным, но его главные интересы принадлежали математике [9, 5]. В 1803 г. он посетил Париж, где познакомился с новейшими достижениями французской математической школы и стал её горячим поклонником. Вернувшись в Россию, Рахманов издал «Опыт о поверхностях вращения» (1806) [30] и «Опыт о цилиндрических и конических поверхностях» (1806) [31], где отразил некоторые идеи Монжа по дифференциальной геометрии.

В первой из них рассмотрены следующие вопросы:

1. «Найти уравнение поверхности вращения, произведённой обращением двойственной кривой линии около оси z, наблюдая

при том, чтоб линия производящая сохраняла всегда постоянные расстояния всех своих точек от оси z» [30, с. 13].

2. «Известное тело, надетое на ось z, сделало на оной целое обращение, найти уравнение поверхности вращения от сего произошедшей» [30, с. 15].

3. «Найти общую формулу толстоты [объёма] тела вращения» [30, с. 16].

4. «Сыскать общую формулу квадратуры поверхности вращения» [30, с. 16].

5. «Дан вид функции Ф в уравнении х2 + у2 =<Dz, найти величину параметров сего уравнения, дабы поверхность вращения проходила через данные точки, коих число было бы равно числу параметров» [30, с. 18].

6. «Определить вид функции Ф в уравнении х2 + у2 = <Dz, чтобы получить уравнение поверхности вращения, тем определённой, что проходит через данные точки» [30, с. 19]. Во втором сочинении решены следующие задачи:

1. «Дано уравнение линии производящей и уравнение другой какой-нибудь плоской или двойственной кривой линии, найти уравнение цилиндрической поверхности, содержащей в себе всю сию последнюю линию» [31, с. 10].

2. «Дано направление линии производящей, сыскать уравнение цилиндрической поверхности, обёртывающей (или, лучше сказать, препоясывающей) данную поверхность» [31, с. 12].

3. «Даны координаты центра конуса и уравнение линии, направляющей движение линии производящей, найти уравнение поверхности конуса» [31, с. 22].

4. «Найти уравнение конуса, обёртывающего данную поверхность F(x,y,z) = 0 и имеющего центр свой в точке, определённой координатами а, Ъ и с» [31, с. 22].

В этих работах Рахманов привёл дифференциальные уравнения рассматриваемых поверхностей, а также вывел уравнение касательной плоскости с помощью предельного перехода от плоскости, проходящей через три точки поверхности.

Эти же результаты он использовал в своей педагогической деятельности. У себя на квартире в Петербурге П. А. Рахманов читал бесплатные лекции по дифференциальному и интегральному исчислению для желающих студентов. Один из его слушателей — Николай Тенигин — издал эти лекции по своим записям,

озаглавив их «Лекции г. Рахманова о дифференциальном исчислении» (1810) [29]. Четвёртая глава этого курса посвящена приложениям дифференциального исчисления к геометрии. В её первом отделении выводятся уравнения касательной и нормали, проведённых к плоской кривой, заданной в прямоугольной декартовой системе координат. Во втором отделении устанавливается уравнение радиуса кривизны плоской кривой и говорится об эволюте и эвольвенте кривой. Третье отделение посвящено вопросу о порядке соприкосновения кривых. В четвёртом отделении показан алгоритм определения точек перегиба плоской кривой. И в последнем, пятом, отделении этой главы речь идёт о кратных точках плоской кривой. Все теоретические сведения иллюстрируются специально подобранными примерами.

Ещё одним последователем Эйлера в деле просвещения был Тимофей Фёдорович Осиповский (1765—1832) — выпускник Учительской семинарии [3, 6, 28, 38]. Это учебное заведение было открыто в 1783 г. в Петербурге для подготовки учительских кадров. В 1803 г. оно преобразовано в Учительскую гимназию, в 1804 г. — в Педагогический, в 1816 г. — в Главный педагогический институт, в 1819 г. — в Петербургский университет [28, с. 180]. В качестве преподавателей сюда были приглашены академические профессора и адъюнкты, в том числе и непосредственные ученики Эйлера (например, Михаил Евсеевич Головин (1756—1790) [12, с. 348—349]). Изложение математики велось с подробными доказательствами и пояснениями, занятия проводились по лучшим учебным руководствам того времени, многие из которых принадлежали перу Л. Эйлера. Всё это обеспечивало ученикам не только прочные знания по предмету, но и хорошую методическую подготовку.

По окончании семинарии Осиповский был сначала учителем физико-математических наук и русской словесности в Московском главном народном училище, а с 1800 по 1803 г. — профессором математики Петербургской учительской гимназии, в которой он ранее учился.

Он выделялся яркими педагогическими способностями, общей эрудицией и глубокими познаниями в области физико-математических наук. Комиссия об учреждении училищ присылала ему на рецензию издаваемые ею математические сочинения. Однако деятельность Осиповского в этот период не ограничивалась только преподаванием. Он работал над составлением и изданием собственного учебника математики. По замыслу автора, в

нём должен быть представлен обширный по материалу, связанный единством и последовательностью изложения курс, по которому учащийся мог получить полное университетское математическое образование, во многих разделах даже превышавшее требования тогдашней университетской программы.

В конце 1802 г. Осиповский дал согласие на назначение его профессором математики в Харьковский университет, и в 1803 г., ещё до открытия университета (официально он был открыт в 1805 г.), переехал в Харьков. В течение первого десятилетия существования Харьковского университета он преподавал практически все математические дисциплины: геометрию плоскую и сферическую, дифференциальное, интегральное и вариационное исчисления, приложения аналитических функций к высшей геометрии. Благодаря Осиповскому Харьковский университет с самого начала занял ведущее место по постановке преподавания математических дисциплин наряду с Дерптским и Казанским [22, 1].

С 1813 по 1820 г. Осиповский исполнял обязанности ректора Харьковского университета. Он инициировал создание при Харьковском университете Общества наук, целью которого было распространение знаний на Юге России. По признанию современников, Осиповский заложил фундамент высшего математического образования и математики как науки в Харьковском университете [1, 2, 3, 14, 21, 27, 32, 34].

По «Курсу математики» [23] Осиповского успешно велось преподавание математики в Харьковском университете всю первую четверть XIX столетия. Во втором томе этого трёхтомного курса, содержащем введение в криволинейную геометрию, показано (без использования дифференциального исчисления) решение задач на отыскание радиусов кривизны конических сечений и установлены некоторые свойства эволют параболы, эллипса и циклоиды. Приложениям математического анализа к геометрии посвящена вторая часть третьего тома, но она так и не была опубликована. О её содержании можно получить некоторое представление из отзыва Н. И. Фусса от 12 июля 1810 г. Фусс писал, что третий том курса высшей математики Осиповского «заключает в себе отвлечённые исследования, значительно превышающие даже и тот курс чистой математики, который преподаётся в университетах... Его можно обратить к тому только малому количеству учеников, которые математику во всей обширности избрали главным предметом своего учения, в особенности же для тех, кто не знает иностранного языка, ибо, сколько из-

вестно, нет ещё на русском языке такого сочинения, в котором бы так пространно, как тут, рассуждалось бы о приложении теории функций к кривым линиям и поверхностям» [3, с. 50]. Таким образом, вторая часть третьего тома содержала изложение дифференциальной геометрии. Этот раздел непременно входил в курс лекций, читавшихся Осиповским на втором курсе по 4 часа в неделю. Об этом свидетельствуют и вопросы экзамена по высшей геометрии:

«1. Определить положение касательных плоскостей и нормальных линий в поверхностях.

2. Как проводят касательные линии и нормальные плоскости к кривым линиям в пространстве и какие поверхности называются развёртывающимися?

3. Как определить положение и величину радиусов кривизны в кривых линиях в пространстве и эволюты в них?

4. Вывести выражения для линий кривизны поверхности.

5. Как определяется величина пространств, обнимаемых поверхностями, величина сих самих поверхностей, и какие преобразования делаются для удобного нахождения сих величин» [34, с. 170].

За время своей педагогической деятельности Осиповский воспитал многих учеников, среди которых были знаменитый Михаил Васильевич Остроградский (1801—1862) и профессор Харьковского университета (с 1819 г.) Андрей Фёдорович Павловский (1788—1856).

А. Ф. Павловский с 1806 по 1809 г. учился в Харьковском университете, а затем на протяжении сорока лет преподавал там же различные математические дисциплины [34]. В 1816 г. он был произведён в адъюнкты, тремя годами позже утверждён в звании экстраординарного профессора, а впоследствии и ординарного профессора.

В 1810 г. Осиповский передал Павловскому преподавание элементарной математики на первом курсе, а с 1815 г. — и преподавание первых разделов высшей математики: теории конечных разностей и дифференциального исчисления. После увольнения Осиповского (в 1820 г.) Павловский на протяжении многих лет вёл весь курс высшей математики, в том числе и приложения дифференциального исчисления к высшей геометрии по собственным тетрадям, следуя Эйлеру, Лагранжу и Монжу. Он был прекрасным преподавателем и обладал большой математической эрудицией. Ему принадлежит заслуга в воспитании молодого

Остро граде ко го. Благодаря Осиповскому и Павловскому семнадцатилетний Остроградский в 1818 г. впервые серьёзно заинтересовался математикой.

М. В. Остроградский — академик Петербургской академии наук (с 1830 г.) [33]. С 1816 по 1820 г. учился в Харьковском университете, а затем с 1822 по 1828 г. слушал в Париже лекции О. Л. Коши, П. С. Лапласа, Ж. Б. Фурье. Здесь же он начал свою научную деятельность. По возвращении в Россию, помимо научных изысканий, он занялся и преподавательской деятельностью в Петербурге: был профессором офицерских классов Морского кадетского корпуса (с 1828 г.), Института корпуса инженеров путей сообщения (с 1830 г.), Главного педагогического института (с 1832 г.), Главного артиллерийского училища (с 1841 г.).

Один из студентов Главного педагогического института Николай Сергеевич Будаев1 (1833—1902) записал лекции по геометрии, которые читал там Остроградский в 1851—1852 гг. Эти лекции были посвящены приложениям анализа к геометрии. В XX в. перед началом Великой Отечественной войны они были подготовлены к печати Алексеем Николаевичем Крыловым (1863— 1945). Но, к сожалению, в годы войны набор текста лекций и другие связанные с ним материалы пропали [13, с. 119]. Об этих лекциях А. Н. Крылов сделал специальный доклад Президиуму АН СССР. Он отмечал, что лекции М. В. Остроградского начинались с учения о касательных и кривизне линий в пространстве; плоские кривые рассматривались как частный случай пространственных. Далее шли исследования кривизны поверхностей и линии кривизны. С помощью вариационного исчисления было изложено учение о геодезических линиях. По словам А. Н. Крылова, эти лекции отличаются значительными методическими достоинствами и содержат большое число примеров, решённых различными методами; изложение оживляется историческими замечаниями [20, с. 248].

Представление о лекциях Остроградского по приложениям дифференциального исчисления к геометрии, которые он читал в

1 Будаев Николай Сергеевич — заслуженный профессор математики Петербургского университета и преподаватель (с 1863 г.) Михайловской артиллерийской академии и училища. Окончил курс с золотой медалью в бывшем Главном педагогическом институте в 1853 г. По окончании был оставлен в том же институте адъюнктом по физико-математическому факультету.

Главном инженерном училище, можно получить, ознакомившись с «Курсом дифференциального исчисления» (1849) [4], составленным одним из его слушателей инженер-прапорщиком Виктором Ивановичем Беренсом (1814—1884). Все приложения дифференциального исчисления к геометрии собраны в отдельный раздел, который состоит из шести глав. Первые три главы (с XVII по XIX) посвящены теории кривых на плоскости; следующие две главы (XX и XXI) — теории кривых в пространстве; и наконец, последняя XXII глава — общей теории соприкасания поверхностей.

В семнадцатой главе сначала вводится понятие порядка прикосновения кривых: две кривые у = f{x) и у = f(x) будут иметь в точке х' прикосновение n-го порядка, если выполняется следующая система уравнений

Затем определяется касательная как прямая, которая в данной точке имеет с рассматриваемой кривой прикосновение первого порядка. На основе этого определения выводится уравнение касательной. Далее определяются понятия нормали, подкасательной, поднормали, асимптоты кривой, исходя из которых устанавливаются соответствующие уравнения.

Восемнадцатая глава рассказывает о дифференциалах площади и дуги кривой.

В девятнадцатой главе вводится понятие окружности кривизны — кривой, которая с рассматриваемой кривой в данной точке имеет прикосновение второго порядка. Отсюда получается уравнение окружности кривизны:

если кривая задана явно уравнением у = f(x),

если кривая задана неявно уравнением F(x,y) = О .

Точка с координатами (a,b) называется центром кривизны, а р — радиусом кривизны кривой в точке (х',у).

Если выбрать две точки кривой, отстоящие друг от друга по кривой на бесконечно малую дугу ds, и провести в них касательные к кривой, то угол со между ними называется углом смежности, а сами касательные называются смежными.

Для угла со справедливо равенство

Затем доказывается, что этот угол будет равен дифференциалу угла наклонения а соответствующей касательной кривой к оси абсцисс:

откуда

Двадцатая глава начинается с вывода дифференциала дуги пространственной кривой:

Затем вводится понятие порядка прикосновения пространственных кривых: две кривые

будут иметь в точке х прикосновение n-го порядка, если выполняется следующая система уравнений

Поскольку касательная, проведённая в точке (x\y\z}) к пространственной кривой есть прямая

имеющая с кривой первый порядок прикосновения, то будет выполняться

откуда следует система уравнений, определяющая касательную:

Когда пространственная кривая задана системой уравнений вида:

её касательная, проведённая в точке (x',y,z'), будет определяться следующей системой уравнений:

Далее вводится понятие нормальной плоскости. Это плоскость, которая проходит через точку (x',y,z') пространственной кривой перпендикулярно касательной, проведённой к кривой в этой точке. Если обозначить уравнение нормальной плоскости в общем виде:

а соответствующую касательную задать системой следующих уравнений:

то должны выполняться два условия: В = аА , С-ЪА .

Отсюда, зная, что

получим

Используя то, что точка (x',y,z') принадлежит нормальной плоскости, будем иметь

Вычитая это уравнение из предыдущего, приходим к уравнению нормальной плоскости:

Затем отмечается, что множество касательных, проведённых к пространственной кривой в разных её точках, не находятся в одной плоскости, но две смежные касательные всегда будут расположены в одной плоскости, которую называют плоскостью кривизны2, и выводится её уравнение:

2 В современной математике ей соответствует соприкасающаяся плоскость пространственной кривой.

В конце XX главы вводится определение главной нормали пространственной кривой: прямая, находящаяся на пересечении нормальной плоскости и плоскости кривизны, называется главной нормалью. Она задаётся следующей системой уравнений:

В главе XXI устанавливается равенство для определения угла смежности 8 для пространственной кривой:

По величине этого угла можно судить о кривизне пространственной кривой в заданной точке. Действительно, если в плоскости кривизны AM'M" (рис. 12) провести две нормали МО и М"0, то они составят между собой угол ZMOM"= ZTM'T= s, их точка пересечения О будет центром окружности, проходящей через две точки кривой M, М" и находящейся в плоскости кривизны АМУМ".

Рис. 12

Эта окружность называется окружностью кривизны, а её радиус МО = М"0 = р — радиусом кривизны пространственной кривой в точке М. Величина радиуса кривизны определяется из следующего равенства:

Далее выводятся формулы для определения координат (a,ß,y) точки О— центра кривизны кривой:

Затем вводится понятие «угла совращения»3 как угла между двумя смежными плоскостями кривизны и определяется его величина:

Отношение дифференциала дуги к углу совращения называют радиусом «второй кривизны»4.

Заключительная XXII глава посвящена общей теории соприкасания кривых поверхностей.

Две кривые поверхности z=f[x,y) и z = F(x,y) будут в точке (x',y,z') иметь:

- первый порядок соприкасания, если выполняются условия:

- второй порядок соприкасания, если в предыдущую систему добавить равенства

3 В современной математике этому понятию соответствует угол кручения пространственной кривой в заданной точке.

4 В современной терминологии «радиус второй кривизны» — это величина, обратная кручению пространственной кривой в заданной точке.

- n-й порядок соприкасания, если равны между собой значения функций /и F, а также соответствующих частных производных до n-го порядка включительно в точке (x',y,z').

Поскольку касательная плоскость имеет с кривой поверхностью касание первого порядка, то её уравнение будет иметь вид:

Прямая, проходящая через точку касания (x\y\z*) перпендикулярно касательной плоскости, называется нормалью. Опираясь на это определение, автор выводит систему уравнений, определяющую нормаль:

Содержание этих лекций дополняет ещё одна работа Остроградского, озаглавленная «О кривизне поверхностей» (1860) [24], в которой приведён достаточно наглядный вывод известной теоремы Менье о кривизне кривой на поверхности, улучшенный по сравнению с выводом О. Л. Коши (1826 г.) в его лекциях [42] по применению исчисления бесконечно малых к геометрии.

Таким образом, лекции Остроградского охватывали все разделы дифференциальной геометрии того времени.

Подводя итог деятельности Л. Эйлера, его учеников и последователей в области дифференциальной геометрии, можно заключить, что этот раздел математики, возникший в работах Эйлера в XVIII в., за первую половину XIX столетия прочно вошёл в программы военно-инженерных училищ и физико-математических факультетов университетов России. При этом в соответствии с новыми результатами, полученными в данной области Гаспаром Монжем (1746—1818), Карлом Фридрихом Гауссом (1777—1855) и др., его содержание постоянно расширялось, обогащаясь новыми результатами и методами.

Проведённое исследование подтвердило вывод, сформулированный Т. С. Поляковой, о том, что методическая школа Эйлера, во-первых, обеспечила оперативный доступ к педагогическим и методическим идеям Европы, среди которых в то время доми-

нировали идеи доказательности и систематичности изложения учебного материала; во-вторых, аккумулировав эти идеи, она обогатила их и адаптировала к реалиям образовательной ситуации в России того времени, что позволило не только обеспечить адекватность российского математического образования европейским стандартам, но в перспективе даже его превосходство в сравнении с ними [25].

Таким образом, благодаря деятельности Эйлера и созданной им научно-методической школе в России была заложена база для дальнейшего формирования дифференциальной геометрии как науки и её становления как учебного предмета.

Список использованной литературы

1. Багалей Д. И. Краткий очерк истории Харьковского университета за первые 100 лет существования (1805—1905). Харьков, 1906.

2. Багалей Д. И. Опыт истории Харьковского университета. Харьков, 1906.

3. Бахмутская Э. Я. Тимофей Фёдорович Осиповский и его «Курс математики» // Историко-математические исследования. М, 1952. Вып. 5. С. 28—74.

4. Беренс В. И. Курс дифференциального исчисления. Составлен инженер-прапорщиком Беренсом В. И., слушающим курс наук в Офицерских классах Главного Инженерного Училища. СПб., 1849.

5. Бобынин В. В. Рахманов (Рохманов) Пётр Александрович // Русский биографический словарь. СПб. : Притвиц-Рейс, 1910. Т. 15. С. 512—517. (Репр. воспр. М. : Аспект пресс, 1997).

6. Богомолов Н. В. Очерки о российских педагогах-математиках / под ред. П. И. Самойленко. М. : Высш. шк., 2006.

7. Бюшгенс С. С. Дифференциальная геометрия. М. : Изд-во ЛКИ, 2008. С. 35—45.

8. Висковатов В. И. Краткое изложение способа знаменитого Лагранжа изъяснять исчисление дифференциальное и приложение оного к геометрии кривых линий // Умозрительные исследования. СПб., 1810. Т. 2. С. 183—314.

9. Гузевич Д. Ю., Гузевич И. Д. Первый русский ученик Ecole Polytechique (Пётр Рахманов) // Историко-математические исследования. 2003. №43. С. 186—208.

10. Гурьев С. Е. Основания трансцендентной геометрии кривых поверхностей. СПб., 1806.

11.Гурьев С. Е. Прибавление к сочинению о правилах движения переменного. О кривизне кривых линий // Умозрительные исследования. СПб., 1812. Т. 3. С. 24—33.

12. История отечественной математики / ред. И. 3. Штокало, А. П. Юшкевич, А. Н. Боголюбов. Киев, 1966. Т. 1.

13. История отечественной математики / ред. И. 3. Штокало, А. П. Юшкевич, А. Н. Боголюбов. Киев, 1967. Т. 2.

14. Краткий очерк истории Харьковского университета за первые 100 лет его существования (1805—1905) / сост. проф. Д. И. Багалеем, Н. Ф. Сумезовым, В. П. Бузескупом. Харьков, 1906.

15. Ла Вале-Пуссен Ш. Ж. Курс анализа бесконечно малых. М. ; Л., 1933. Т. 2. С. 389—396.

16. Лысенко В. И. О неопубликованных рукописях по геометрии академиков А. И. Лекселя и Н. И. Фусса // Вопросы истории естествознания и техники. М. : Изд-во АН СССР, 1960. Вып. 9. С. 116—120.

17.Лысенко В. И. Из истории вопроса о точках возврата плоской кривой // Историко-математические исследования. М, 1961. Вып. 14. С. 517—526.

18. Лысенко В. И. Из истории первой Петербургской математической школы // Тр. Ин-та истории естествознания и техники. М., 1961. Т. 43. С. 182—205.

19. Лысенко В. И. Николай Иванович Фусс (1755—1826). М. : Наука, 1975.

20. Марон И. А. Академик М. В. Остроградский как организатор преподавания математических наук в военно-учебных заведениях России // Историко-математические исследования. М. ; Л., 1950. С. 197—340.

21. Обозрение преподавания предмета и распределения лекций и практических занятий в Императорском Харьковском университете. Харьков, 1837.

22. Ожигова Е. П. Математика в Петербургской академии наук в конце XVIII — первой половине XIX века. Л. : Наука, 1980.

23. Осиповский Т. Курс математики. Т. 1. Содержащий общую и частную арифметику. СПб., 1802. Т. 2. Содержащий геометрию, прямолинейную и сферическую тригонометрию и введение в криволинейную геометрию. СПб., 1820. Т. 3. Содержащий в себе теорию аналитических функций. СПб., 1823.

24. Остроградский М. В. О кривизне поверхностей // Полное собрание трудов : в 3 т. Киев : Изд-во АН УССР, 1961. Т. 3. С. 306—309.

25. Полякова Т. С. Леонард Эйлер и математическое образование в России. М. : КомКнига, 2007. С. 148.

26. Полякова Т. С. Отечественные патерналистские традиции математического образования в XVIII и первой половине XIX века// Историко-математические исследования. М., 2000. Вып. 5(40). С. 174—191.

27. Прудников В. Е. Дополнительные сведения о Т. Ф. Осиповском// Историко-математические исследования. М., 1952. Вып. 5. С. 75—83.

28. Прудников В. Е. Русские педагоги-математики XVIII—XIX вв. М. : Учпедгиз, 1956.

29. Рахманов П. Лекции г. Рахманова о дифференциальном исчислении, изданные Николаем Тенигиным. СПб., 1810.

30. Рахманов П. Опыт о поверхностях вращения. СПб. : при Императорской Академии Наук, 1806.

31. Рахманов П. Опыт о цилиндрических и конических поверхностях. СПб. : при Императорской Академии Наук, 1806.

32. Рославский-Петровский А. П. Об учёной деятельности Харьковского университета в первое десятилетие его существования. СПб., 1855.

33. Сомов О. И. Очерк жизни и учёной деятельности Михаила Васильевича Остроградского // Записки Императорской Академии наук. СПб., 1863. Т. 3. С. 1—29.

34. Физико-математический факультет Харьковского университета за первые 100 лет существования / под ред. И. П. Осипова, Д. И. Багалея. Харьков, 1908.

35. Фусс Н. Начальные основания чистой математики, сочинённые Николаем Фуссом. СПб., 1810—1812. Ч. 1—3.

36. Фусс Н. О кривизне кривых линий, на поверхности шара писанных // Умозрительные исследования. СПб., 1810. Т. 2. С. 3—14.

37. Фусс Н. Решение некоторых вопросов, относящихся до разверзания кривых линий двоякой кривизны // Умозрительные исследования. СПб., 1815. Т. 4. С. 82—96.

38. Чириков Г. С. Тимофей Фёдорович Осиповский — ректор Харьковского университета// Русская старина. 1876. Ноябрь.

39. Юшкевич А. П. Эйлер и русская математика в XVIII в. (Из истории первой петербургской математической школы) // Труды института истории естествознания. М. : Изд-во АН СССР, 1949. Т. 3. С. 45—116.

40. Юшкевич А. П. Академик С. Е. Гурьев и его роль в развитии русской науки // Труды Института истории естествознания. М, 1947. Т. 1.С. 219—268.

41. Юшкевич А. П. Академик С. Е. Гурьев и его роль в развитии русской науки // Юшкевич А. П. Математика в её истории / отв. ред. С. С. Демидов. М., 1996. С. 265—332.

42. Cauchy A. L. Leçons sur les Applications du Calcul infinitesimal a la Géométrie. Paris, 1826. Vol. 1.

43. Cousin J. A. Leçons de calcul differential et de calcul integral. Paris, 1777.

44. Euler L. Recherches sur la courbure des surfaces [1767] // Leonhardi Euleri Opera omnia. Ser. I. Opera mathematica / ed. A. Speiser. Turici (Zurich), 1955. Vol. 28. S. 1—22.

45. Schubert F.-T. Réflexion sur les points de rebroussement // Mém. Acad. des sciences de St.-Petersbourg. St.-Petersbourg, 1822. Vol. 8. S. 176— 196.

46. Fuss N. Additamentum ad dissertationem, quam inscripsi: Decas problematum geometricorum ex methodo tangentium inverse, radium osculi spectantium//Mém. 1803—1806. St.-Petersbourg, 1809. Vol. 1. P. 118—137.

47. Fuss N. Decas problematum geometricorum ex methodo tangentium inverse, radium osculi spectantium // Mém. 1803—1806. St.-Petersbourg, 1809. Vol. 1. P. 88—117.

48. Fuss N. Disquisitio analytico-geometrica de varus speciebus linearum curvarum singulari proprietate praeditarum // Acta Academiae Scientiarum Petrotolitanae. St.-Petersbourg, 1781. Vol. 5. P. 127—146.

49. Fuss N. Exercitatio analytico-geometricae circa lineam curvam singulari proprietate praeditam // Acta Academiae Scientiarum Petrotolitanae. St.-Petersbourg, 1780. Vol. 4. P. 49—69.

50. Guriev S. E. Mémorie sur la resolution des principaux problèmes qu'on peut proposer dans les courbes, doun les ordonnées partent d'un point fixe // Nova Acta Academiae Petropolitanae. St.-Petersbourg, 1801. Vol. 12. S. 176—191.

51. Lagrange J. L. Leçons sur le calcul des fonctions. Paris, 1806.

52. Lagrange J. L. Théorie des functions analytiques. Paris, 1797.

Е. А. Максютова

О русских учебниках алгебры XVIII века

В начале XVIII века основным учебником математики в России служила «Арифметика» Леонтия Филипповича Магницкого (1669—1739) [3]. В этом сочинении излагается не только арифметика, но также основы алгебры, геометрии и тригонометрии.

«Арифметика» состоит из двух книг. Первая носит название «Арифметика политика, или гражданская», вторая — «Арифметика логистика, не к гражданству токмо, но к движению небесных кругов принадлежащая».

«Арифметика политика» состоит из пяти частей, в которых излагаются основы арифметики и некоторые элементы алгебры. В первой части речь идёт о целых числах.

Сначала Магницкий приводит сведения о нумерации, разъясняя принципы десятичной позиционной системы счисления, а затем рассматривает четыре арифметических действия над целыми числами. Сюда же он включает раздел о денежном счёте, весах и мерах. Во второй части подробно рассматриваются дроби и действия с ними. Третья часть посвящена правилам, связанным с пропорциональностью величин: тройным правилам (прямое, обратное, «сократительное»), правилам пяти и семи величин. В четвертой части излагаются правила одного и двух ложных положений.

Последняя часть, озаглавленная «О правилах радиксов, квадратных и кубических, геометрии принадлежащих», содержит материал, носящий алгебраический характер. Однако Магницкий намеренно включил его в круг арифметических вопросов, объяснив это тем, что некоторые алгебраические правила применяются в гражданских и военных делах.

Эта часть начинается с раздела о прогрессиях. Магницкий не делает различия между пропорцией и прогрессией и даёт им общее определение: «Прогрессио есть пропорция, или подобенство чисел к числам в примножении или в уменьшении яковых либо переченев». Иными словами, под прогрессией или пропорцией он понимал некоторый числовой ряд, в котором по определённому закону члены увеличиваются или уменьшаются. В зависимости от этого закона прогрессии разделяются на арифметические, геометрические и гармонические.

Магницкий объясняет законы построения арифметической и геометрической прогрессий, а затем в применении к конкретным задачам приводит основные правила вычисления суммы первых членов прогрессий, общего члена и т.д. Так как алгебраическая символика у него отсутствовала, ему приходилось прибегать к описательному приёму в вычислениях. Общих формул для нахождения общего члена и суммы членов он не приводит. Гармоническая прогрессия не рассматривается.

Затем Магницкий переходит к рассмотрению корней. Квадратный корень трактуется им как «бок площади», т.е. сторона квадрата, а кубический корень — как сторона куба. Приведя квадраты и кубы первых десяти чисел, он предлагает правила извлечения корней из целых рациональных чисел. Методы извлечения основаны на правилах сокращённого умножения (а+Ъ)2 = а2+2аЪ+Ъ2 и (а + Ь)3 = аъ+Ъа2Ъ+ЪаЪ2+Ъъ [1, с. 126— 129]. Здесь же рассматриваются правила извлечения кубических корней из дробей. Заканчивают первую книгу геометрические приложения рассмотренных правил.

Вторая книга «Арифметики» («Арифметика логистика») содержит три части, в которых излагаются вопросы алгебры, геометрии и тригонометрии.

В начале алгебраического раздела сообщаются некоторые сведения общего характера. Автор вводит понятия логических и алгебраических чисел. Под логическими числами он подразумевает числа, записанные в шестидесятеричной системе счисления,

где используются градусы, минуты, секунды и т.д. Здесь же рассматриваются операции, производимые над этими числами: арифметические действия и извлечение квадратных корней. Под алгебраическими числами Магницкий понимает величины, обозначенные буквами и знаками, «начинающиеся с единицы и увеличивающиеся до бесконечности в определённой пропорции, в какой ближайшее к единице число превосходит её саму». Имеется в виду буквенное обозначение показателей степеней неизвестной величины: R (1-я степень), q (квадрат), С (куб), qq (биквадрат), ß (5-я степень) и т.д. Иначе — это степени неизвестной величины X, X2, X3, X4, х\

Далее Магницкий рассматривает арифметические действия над алгебраическими числами, т.е. над одночленами и многочленами. Здесь же приводятся правила извлечения корней до 8-й степени включительно (на примере числа 256). В этом разделе также разъясняются способы решения линейных и квадратных уравнений.

Остальные разделы посвящены геометрическим задачам на измерение площадей и объёмов различных фигур, а также тригонометрии. В заключительном разделе рассматриваются приложения изученного теоретического материала к практической жизни.

«Арифметика» Магницкого представляет собой энциклопедию естествознания и математики. В ней строго соблюдена последовательность изложения, а каждое правило закрепляется примерами с проверкой производимых действий. Это сочинение более полувека служило основным учебником математики в школах.

В 1752 г. было опубликовано самое первое русское сочинение по алгебре под названием «Начальные основания математики» [4], автором которого был Николай Ерофеевич Муравьёв (1724—1770).

О жизни Н. Е. Муравьёва известно немного [5]. Он принадлежал к старинному дворянскому и графскому роду и получил для своего времени прекрасное образование. К 28 годам, когда были опубликованы «Начальные основания математики», Муравьёв имел чин капитан-поручика. Затем он дослужился до звания генерал-поручика, а впоследствии стал сенатором и рижским генерал-губернатором. Муравьёв являлся также главным директором при строительстве дорог и автором инструкций по генеральному межеванию земель для землемеров и межевых губернских канцелярий и провинциальных контор (1766). Муравьёв был

крупным инженером и геодезистом. В то же время ему не были чужды литература и музыка. Известно, что им были написаны несколько стихотворений и песен.

Сочинение Муравьёва было создано «для тех, кто начинает учиться математике». В предисловии Муравьёв обосновывает практическую необходимость математических наук: «...математические науки в житии человеческом необходимы... Разделяем время, достаём из земли металлы, которых бы без машин, по математике сделанных, доставать было не можно... Строим корабли, крепости... Сего узнать без выкладок не можно: так видно, что выкладки необходимы». В предисловии говорится, что автор предполагает написать и второй том «Оснований», в котором будут рассмотрены десять книг Евклида и некоторые основания высшей геометрии. Однако этот том так и не был написан.

«Начальные основания математики» содержат в себе обширный алгебраический материал. Сочинение Муравьёва состоит из 8 книг:

Книга 1. «О математике вообще». В этой книге автор даёт определение некоторых математических понятий. «Определение» он называет латинским термином «дефиниция». Аксиомы — это «следствия из дефиниций», а теоремы — это «предложения, выбранные из дефиниции, которые нужно доказать». Также даётся определение величины: это «вещь, которая увеличиться или уменьшиться может». Затем Муравьёв рассматривает равенство двух величин, а их неравенство он связывает с понятием «часть» («части — те вещи, которые составляют целое»). Даётся определение: «Что равно части другого, то будет меньше его; когда часть равна другому целому, то оно будет больше». Определяются и некоторые другие понятия. Например, математика — это «наука, которая учит всё измерять», а арифметика — «наука, которая учит находить определённые величины, или цифры». Завершает первую книгу определение алгебры как науки, оперирующей буквами и числами: алгебра — это «наука, которая учит находить неопределённые величины, или литеры».

Книга 2. «Об алгебре вообще, и четырёх главных действиях». Вначале даётся другое определение алгебры: «Алгебра есть наука через знаемые величины помощью сравнений всё то находить, что исчислить возможно». Под сравнениями автор подразумевает уравнения. «Знаемые», т.е. известные величины, — это первые буквы латинского алфавита: а, Ъ, с, d, а неизвестные — последние: х, у, z. Все они носят общее название — алгебраиче-

ские величины. В свою очередь, алгебраические величины Муравьёв подразделяет на «одинакия» (одночлены) и «сложные» (многочлены).

Далее разъясняются основные арифметические действия над одночленами и многочленами. Когда автор рассматривает умножение одночленов, то появляется понятие «экспоненты», т.е. показателя степени. Этим понятием он называет «маленькие цифры, которые по правую сторону литер вверху ставятся и показывают их возвышения». Дважды перемноженная на себя величина называется «квадратом», а трижды — «кубиком». Возведение в неопределённую степень обозначается как а" и Ьт.

Муравьёв приводит несколько примеров умножения многочленов, хотя правила умножения степеней с одинаковым основанием ещё не разъяснены (этому вопросу посвящена отдельная книга). Например:

Объясняя правила деления одночленов, Муравьёв говорит о долях (т.е. дробях), хотя определяет их гораздо позже. Например: «Разделить Mab через 2с. Надлежит поставить их долею, как

здесь

Книга 3. «О возвышении и извлечении радиксов». Вначале даётся определение понятия корня — «радикса»: «Когда какая величина или число стоит само собою, тогда оно называется Радиксом или первая его Потенция». Под «потенцией» Муравьёв подразумевает «степень». Здесь же он повторно даёт определение квадрата, куба, неопределённой степени и экспоненты, а затем приводит правила умножения степеней с одинаковым основанием и представления корней степенями с дробными показателями. В главе «О возвышении величин сложных» Муравьёв приводит таблицу, в которой двучлен а+Ь возведён в степень до десятой включительно. Много внимания уделено формуле бинома Ньютона для неопределённой степени n, на основе которой выводится треугольник Паскаля.

Затем Муравьёв выводит формулу для извлечения корней из двучленов. Для этого сначала он рассматривает пример возведения в степень числа 16 (представляя его в виде суммы чисел 10 и

6) при помощи бинома Ньютона. Затем он рассматривает общий случай (а + Ь)п, в котором делает замену «для сокращения генерального правила»: а = Р, — = g , а первый, второй, третий и т.д. члены бинома — соответственно А, В, С, и т.д. (где Р, Q, А, В, С— некоторые числа). После замены формула бинома принимает вид:

и справедлива для целых т.

В случае степеней с дробным показателем Муравьёв выводит из предыдущей формулы правило извлечения корней:

Книга заканчивается рассмотрением нескольких примеров на извлечение корней из двучленов.

Книга 4. «О долях». Долей Муравьёв называет часть от некоторого целого. В самом начале он говорит о «ломанных цифрах», которые представляют собой доли величин, т.е. дроби

т.д. Затем приводит правила сокращения, сложения и вычитания, умножения и деления дробей. Завершают книгу главы «О возвышении долей» и «Об извлечении радикса из долей».

Книга 5. «Об иррациональных величинах». Вначале даётся определение иррациональной величины как величины (будь то одночлен или многочлен), которую невозможно извлечь из-под корня. Далее Муравьев показывает, как выносить из-под знака радикала те множители, из которых можно извлечь корень, а затем приводит правила арифметических действий над иррациональными величинами.

Книга 6. «О пропорциях». Прежде чем дать определение пропорции, Муравьёв вводит понятие «рации», т.е. отношения. В случае неравенства двух величин одна из них будет содержаться в другой. Это «содержание величин называется рация, а сравнение двух рациев между собой называется пропорция». Если в сравнении разности между величинами одинаковы, то пропорция арифметическая. Если каждая последующая величина в пропор-

ции отличается от предыдущей на постоянный множитель, то пропорция геометрическая. Пропорции, содержащие более четырёх членов, Муравьёв называет соответственно арифметической и геометрической прогрессиями. Затем он приводит формулы для нахождения общего члена прогрессий, суммы их первых членов.

Далее говорится о гармонической пропорции. «Три или четыре величины гармонически пропорциональны называются, когда при первых разность первого и второго к разности второго и третьего содержится так, как первое к третьему; при вторых же разность первого и второго к разности третьего и четвёртого, как первое и четвёртое». Иными словами, если даны три величины а, Ъ, с, то они составят гармоническую пропорцию в случае, когда справедливо равенство:

Четыре величины а, Ъ, с, d составляют гармоническую пропорцию, если

Книга 7. «О простых сравнениях и о задачах арифметических, которые упомянутыми сравнениями решиться могут». Под сравнениями Муравьев подразумевает уравнения и даёт им следующее определение: «Когда несколько величин сложных равны одной или нескольким величинам одинаким, или сложным, то все эти величины вместе называются сравнение, например: а+Ь+с = d+r». Другими словами, уравнением называется равенство суммы одночленов другому одночлену или сумме разных одночленов. Когда уравнения содержат неизвестное в первой степени, то они называются простыми (ax+b2-cd = da+b); уравнения «второго возвышения», т.е. квадратные, содержат неизвестное во второй степени (x2+ax-d = rn+dc); кубические уравнения содержат неизвестное в третьей степени

(х3 + ах2 - аЪх = cdr + с2 ) и т.д.

Далее Муравьёв приводит основные преобразования уравнений и приводит правила решения уравнений вида:

Муравьёв приводит множество примеров решения задач при помощи уравнений, в одной из которых встречается метод реше-

ния биквадратных уравнений ах4+Ьх2 = с. Он предлагает сделать замену х2 =у и решить квадратное уравнение ау2+Ьу = с.

Встречаются также задачи на решение системы уравнений с двумя неизвестными. Например: «Найти два числа, произведение которых равно 35, а сумма квадратов равна 74». Муравьёв обозначает неизвестные числа через х и у и решает систему уравнений:

Аналогично он рассматривает задачу, сводящуюся к системе трёх уравнений с тремя неизвестными.

Книга 8. «О натуре высших степеней». В этой книге рассматриваются уравнения 3-й и 4-й степени:

Прежде всего Муравьёв рассматривает задачи вида: «Приложить к радиксу сравнения данную величину», т.е. из данного уравнения найти новое, корень которого больше корня данного уравнения на некоторую величину (или кратно ему). Решение этой задачи происходит путём подстановки. Например, дано уравнение х3 -6х2 + 13л-10 = 0 . Приложить к корню данного уравнения 5 означает сделать замену х+5 = у и подставить в исходное уравнение.

«Дополнить уравнение, в котором не достаёт члена». Сделав любую замену, например х+5 =у, можно из неполного кубического уравнения получить требуемое.

«Изъять второй член из уравнения». Дано уравнение X3 - ах2 +bx-b3 = 0 . Положив

получим уравнение без неизвестного во второй степени.

Главу «О сыскании радикса в сравнении» Муравьёв начинает с задачи: «Сыскать пределы радикса в сравнении». Определения понятия «предел» он не даёт, но из следующего примера становится ясно, что под пределами Муравьёв подразумевает границы интервала, к которому принадлежат все решения уравнения.

Он показывает, что корни квадратного уравнения х2 + рх = q лежат в интервале

Аналогично, корни кубического

уравнения х3 + рх1 -qx-r = О принадлежат интервалу

Следующая задача касается извлечения кубического корня из двучлена вида а + . Сначала Муравьёв приравнивает кубический корень из двучлена a + 4b к выражению t + 4u , а затем возводит обе части получившегося равенства в куб. Тогда решение задачи сводится к решению уравнения вида f + mt = n, откуда получается /. Предварительно найденные пределы корней позволяют избежать появления посторонних значений /. Аналогично он получает и. Таким образом, получается, что, например

С другой стороны, из равенства

следует равенство

откуда Муравьёв получает

Зная а, Ъ, t, легко вычислить и.

Третий способ извлечения кубического корня является геометрическим. При этом употребляются термины «синус», «косинус», «логарифм числа», «логарифм дуги», но определения им не даются. Приводятся примеры извлечения кубического корня одним из вышеперечисленных способов.

Например,

В своём сочинении Муравьёв не упоминает о мнимых числах, однако рассматривает «невозможную биномию», т.е. двучлен вида ci + уГИ . При этом квадратные корни из отрицательных чисел Муравьёвым никак не трактуются.

Для решения кубических уравнений Муравьёв использует формулу Кардано.

Завершает последнюю книгу глава «О задачах неопределённых», в которой предлагается несколько задач, сводящихся к решению уравнений 3-й и 4-й степени.

Таким образом, из краткого обзора содержания можно сделать вывод, что сочинение «Начальные основания математики»,

содержащее богатое разнообразие алгебраического материала, представляло собой скорее учёный трактат по алгебре, но никак не учебник. Стиль изложения во многом нечёток и неясен. Существенным недостатком является несистематичность изложения материала. Многие понятия автор использовал до того, как определил их, а некоторые так и остались не определёнными. Именно поэтому сочинение Муравьёва оказалось трудным для восприятия и не получило широкой популярности.

В 1757 г. был опубликован ещё один учебник под названием «Универсальная арифметика», автором которого был русский педагог-математик Н. Г. Курганов (ок. 1726 — 1796). Его труд, получивший большую популярность в XVIII в., заимствовал все лучше от «Арифметики» Магницкого и Эйлера. В 1791 г. вышел в свет сокращённый и упрощённый вариант «Универсальной арифметики» под названием «Числовник» [2]. В нём Курганов сумел избежать долгих доказательств, но построил учебник в научном стиле и по логичной схеме. В него был включён и небольшой материал по алгебре, необходимый для практических вычислений. В предисловии Курганов пишет: «...во многих других Арифметиках некоторые правила истолкованы по Алгебре, что юношеству, начинающему учиться, понимать трудно; то я для легчайшего их понятия все такие правила изъяснил, не употребляя буквенного счисления». Интересно, что понятие «алгебра» Курганов истолковал так: «По-арабски из слова al преизрядный и Giabr имя выдумщика оныя».

Этот учебник состоит из двух книг. Первая книга касается четырёх арифметических действий с целыми и дробными числами, а также возведения в степень и извлечения квадратных и кубических корней из этих чисел. Во второй книге излагаются сведения о пропорциях и прогрессиях. Вначале Курганов рассматривает отношения. Он вводит понятие «содержание» — отношение двух чисел. Содержания разделяются на арифметические (если сравнение величин определяется разностью, например, 7-3 и 9-5) и геометрические (если сравнение величин определяется делением, например, 3:12 и 2:8). Курганов выделяет содержания «равности» (4 к 4, 9 к 9), «меньшей неравности» (3 к 9, 4 к 12), «большей неравности» (9 к 3, 12 к 4), а также рассматривает содержания «пряморавные» (равенство меньших или больших неравностей) и «обратные» (равенство меньших неравностей большим, и наоборот). После этого даётся определение пропорции: «Пропорцией называются два пряморавных содержания». Непрерывные про-

порции, в которых средние члены равны, Курганов называет прогрессиями или «наращениями». Здесь же рассматриваются свойства пропорций и прогрессий. Говоря об употреблении пропорций в «житейских нуждах», Курганов излагает простое и сложное тройное правило, «складное» или правило товарищества. Затем он говорит о правиле пропорционального смешения (или соединения) — это «способ смешивать количества вещей разных цен или доброт таким образом, чтобы произошедшее из того смешение было средней желаемой цены». Далее Курганов разъясняет правило положения (или ложное, или фальшивое).

Последняя глава посвящена логарифмам. Логарифмы — это «искусственные числа, посредством которых всякое умножение в сложение, а деление в вычитание применяется». Эти числа — суть знаменатели или показатели степеней чисел всякой геометрической прогрессии, которая начинается с единицы. Например, геометрическую прогрессию 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 можно представить в виде ряда 2°, 21, 22, 2\ 24, 25, 26. Тогда логарифмами чисел исходного ряда будут соответственно числа 0, 1,2, 3, 4, 5, 6. Вводятся следующие обозначения для логарифмов: «лог. числа 32» или просто «лог. 32». По какому основанию ищутся логарифмы, говорится в условиях рассматриваемых задач. Затем Курганов приводит основные свойства логарифмов. В завершении книги он объясняет, как работать с таблицами логарифмов.

Труд Курганова представлял собой первое русское общедоступное руководство по математике, основанное на доказательствах. Этот учебник использовали не одно десятилетие в школах. Хотя в «Числовнике» отсутствовали неопределённые уравнения, тем не менее он представлял собой замечательное руководство с обильным содержанием практических задач с решениями.

В 1740 г. вышло в свет сочинение Леонарда Эйлера (1707— 1783), которое задало новое направление в отечественной учебной литературе. Это было «Руководство к арифметике» для гимназий [6]. Оно оказалось превосходным учебником для начального обучения, в котором на русском языке арифметика впервые была изложена систематически.

В 1768—1769 гг. произошло важное для российского математического образования событие: на русском языке было издано двухтомное сочинение Леонарда Эйлера под традиционным названием «Универсальная арифметика» [7]. Это был перевод с немецкого оригинала, который назывался «Полное введение в алгебру» ("Vollständige Anleitungzur Algebra") и вышел в свет

позднее, в 1771 г. Это сочинение сразу заняло особое место в учебной литературе XVIII в. и оказало влияние на учебники XIX в. «Введение» многократно переиздавалось практически на всех языках Европы.

«Универсальная арифметика» состоит из двух частей. Первая часть, в которой излагается элементарная алгебра, подразделяется на четыре отделения:

1.«О различных способах исчисления простых количеств». Здесь Эйлер определяет основные математические понятия и рассматривает арифметические операции над целыми и дробными числами. Затрагивается также вопрос о числах, «неизвлекомых из-под знака корня», т.е. об иррациональных и мнимых величинах. Заканчивает первое отделение теория логарифмов. Эйлер определяет логарифм следующим образом: «Взяв уравнение аь = с, вместо а берётся некоторое произвольное число, и сия приданная корню величина навсегда сохраняется; показателю Ъ придаётся такая величина, чтобы степень et была равна данному числу с, тогда показатель Ъ называется логарифмом числа с». В своей книге Эйлер говорит только о десятичных логарифмах и объясняет правила их сложения, вычитания и переноса показателя степени за знак логарифма.

2. Это отделение посвящено «сложным количествам», под которыми понимаются многочлены. Эйлер приводит правила арифметических действий над ними и правила сокращённого умножения. Далее он рассматривает разложение дробей в бесконечные ряды, производя деление 1 на 1 ± а:

Помимо возведения в степень «сложных количеств», Эйлер даёт способ извлечения квадратного и кубического корней двучленов. Например,

В конце второго отделения предлагаются правила возведения «сложных количеств» в степень выше третьей, которые основаны на формуле бинома Ньютона.

3. «Об отношениях и пропорциях». Здесь идёт речь об арифметической и геометрической прогрессиях, а также о пропорциях. Выводятся основные формулы суммы первых членов и общего члена прогрессии. Эйлер излагает также теорию непрерывных дробей, которые он назвал десятичными дробями. Показан механизм обращения обыкновенной дроби в бесконечную десятичную, и наоборот. В конце излагается «теория исчисления денежного роста», суть которой состоит в вычислении процентов от некоторого числа.

4. «Об алгебраических уравнениях и о решении этих уравнений». В этом отделении Эйлер излагает теорию уравнений до 4-й степени включительно. Здесь описаны способы решения линейных и квадратных уравнений. Кубические уравнения решаются «методом Кардано», а уравнения 4-й степени — по «правилу Бомбелли», состоящему в приведении к кубическому уравнению, а также путём исключения куба и через приближения.

Вторая часть «Универсальной арифметики» посвящена диофантову анализу.

Таким образом, сочинение Эйлера содержит полный курс алгебры начиная с самых элементарных понятий и заканчивая различными подходами к решению уравнений до четвертой степени включительно. Эйлер старается как можно тщательнее объяснить основные понятия и ход действий. Стиль изложения прост, структура и язык ясны, а объяснения логичны. Поэтому «Универсальная арифметика» Эйлера стала прототипом для всех последующих учебников алгебры.

Список использованной литературы

1. Галанин Д. Д. Леонтий Филиппович Магницкий и его «Арифметика». М, 1914. 211 с.

2. Курганов Н. Г. Арифметика, или Числовник, содержащий в себе все правила цыферного вычисления, случающегося в общежитии, в пользу всякого учащегося, Воинского, Статского и Купеческого Юношества. 4-е изд. Ч. 1—2. СПб., 1791.

3. Магницкий Л. Ф. Арифметика, сиречь наука числительная. М., 1703.

4. Муравьев Н. Е. Начальное основание математики. Ч. 1. СПб., 1752. 164 с.

5. Мурашова Н. В., Мыслина Л. П. Дворянские усадьбы Санкт-Петербургской губернии: Лужский район. СПб. : Петербургский писатель : Блиц, 2001. 351 с.

6. Эйлер Л. Руководство к арифметике для употребления гимназии Императорской Академии наук. СПб., 1740. 302 с.

7. Эйлер Л. Универсальная арифметика г. Леонгарда Эйлера. Переведенная с немецкого подлинника Академии наук адъюнктом Петром Иноходцевым и студентом Иваном Юдиным. Т. 1—2. СПб. : Имп. АН, 1768—1769.

И. В. Игнатушина

Реформы отечественного высшего математического образования в XX столетии

В системе отечественного высшего образования к концу XIX века насчитывалось более 60 учебных заведений почти с 30 тыс. студентов; из них женщин — около 4%. К началу 1914 г. высших учебных заведений насчитывалось уже 98, а число студентов в них выросло до 121,7 тыс. Подавляющая часть вузов (60%) находилась в Москве и Петербурге [1, с. 457].

После Октябрьской революции 1917 г. новое правительство во главе с В. И. Лениным отчётливо понимало важность подготовки специалистов всех отраслей знаний. Были поставлены задачи ликвидации безграмотности населения, общедоступности образования, его унификации (идея единой школы), контроля со стороны государства (идея государственного образования) [2]. Кроме того, школу и преподавателей большевики рассматривали как инструмент политического влияния. «Судьба русской революции прямо зависит от того, как скоро учительская масса встанет на сторону советской власти», — говорилось в документах VIII съезда Российской коммунистической партии (большевиков) (РКП(б)), прошедшего 18—23 марта 1919 г.

В связи с этим были предприняты определённые меры по реорганизации всей системы образования и высшего в частности. 8 ноября 1917 г. создан Народный комиссариат просвещения (Наркомпрос), комиссаром назначен А. В. Луначарский, а его заместителями стали видные деятели РКП(б) Н. К. Крупская и M. Н. Покровский.

Следует отметить, что в нашей стране развитие дидактики средней и высшей школы вплоть до середины XX столетия было обусловлено идеями Н. К. Крупской, С. Т. Шацкого, А. В. Луначарского, А. С. Макаренко, В. А. Сухомлинского, предопределившими ее путь усвоением общечеловеческих и национальных ценностей: гуманизма, народности, гражданственности, долга и пр. Педагоги и общественные деятели советского периода в России руководствовались, в основном, марксистко-ленинской теорией коммунистического воспитания и определяли цель высшей школы как сочетание глубокого профессионального образования с всесторонним и гармоничным развитием личности. [3, с. 38].

2 августа 1918 г. В. И. Ленин издал декрет, согласно которому, всем трудящимся предоставлялось право на поступление в высшие школы вне зависимости от образовательного ценза. В решении VIII съезда РКП(б), были сформулированы принципы построения высшей школы: «Открытие широкого доступа в аудитории для рабочих; привлечение к преподавательской деятельности в высшей школе всех, могущих там учить; устранение всех и всяческих искусственных преград между свежими научными силами и кафедрой; материальное обеспечение учащихся с целью дать фактическую возможность пролетариям и крестьянам воспользоваться высшей школой» [4, с. 49].

Очевидно, что эти меры, несмотря на благие цели, носили утопический характер, поскольку любой абитуриент, не имеющий соответствующей образовательной базы, не сможет учиться в высшей школе. Для выхода из сложившейся ситуации при высших учебных заведениях были организованы рабфаки, основное назначение которых состояло в обеспечении овладения всеми желающими суммой знаний, необходимых для слушания курсов в высшей школе.

Значительно расширилась и география высших учебных заведений. Университеты, педагогические и технические вузы организовывались в разных регионах страны. Высшие школы открылись в Свердловске, Иркутске, Владивостоке, Нижнем Новгороде, Ташкенте, Ереване, Минске, Смоленске и многих других городах.

Часть вновь организованных высших учебных заведений оказалась недостаточно жизнеспособной, так как не имела ни базы, ни соответствующих педагогических кадров. Ощущалась острая нехватка учебных помещений, оборудования, общежитий, учебников и учебных пособий. Некоторые из созданных университе-

тов, например, Смоленский, Северо-Кавказский, Симферопольский, второй Московский, просуществовали несколько лет и затем были преобразованы в педагогические институты. Но в дальнейшем многие из них развились настолько, что им снова был присвоен статус университета.

Дополнительные трудности создавало необдуманное экспериментирование с методами преподавания. В двадцатые годы XX столетия в методике учебного процесса высшей школы центр тяжести переносился на самостоятельную работу студента, осуществляемую под руководством преподавателя-консультанта. Лекционную форму преподавания пытались заменить так называемым «активным методом преподавания», суть которого состоит в том, что учебный материал студенты изучают самостоятельно, а затем приходят на консультацию, где преподаватель отвечает на их вопросы. При этом проявлять инициативу и давать наводящие вопросы преподаватель-консультант не имел права. В моде были различные варианты бригадно-лабораторного метода, согласно которому все студенты делились на бригады и коллективно отчитывались о результатах своей самостоятельной работы. Фактически за всю бригаду отчитывался один человек — бригадир, а остальные члены бригады механически получали зачет. Все перечисленное, естественно, не способствовало повышению качества учебы. Указанные нововведения нашли отражение в циркуляре «О лабораторно-групповом методе в вузах», изданном 20 декабря 1924 г. Использование таких методов в преподавании считалось большим достижением в педагогике высшей школы того времени.

К 1925 г. по ряду отраслей промышленности был достигнут довоенный уровень развития. Страна взяла курс на индустриализацию. Решение этой задачи было немыслимо без выполнения соответствующих научно-технических исследований. На июльском Пленуме Центрального Комитета Всероссийской Коммунистической Партии большевиков (ЦК ВКП(б)) 1928г. [5, с. 111— 118], указывалось на необходимость внедрения в производство достижений науки и техники. Поскольку дефицит специалистов был очень велик, июльский Пленум ЦК ВКП(б) потребовал решительного перелома в темпах и методах подготовки квалифицированных кадров. Таким образом, был поставлен вопрос о продолжении реформы высшей школы.

Было принято решение организовать несколько высших учебных заведений нового типа, особенно для дефицитных спе-

циальностей с сокращением срока обучения в них с 6—8 до 3—4 лет. На базе некоторых техникумов и профессиональных школ открывались высшие технические учебные заведения узкого профиля; многие университеты и политехнические институты были разукрупнены, и на их основе созданы специализированные институты. Каждый втуз прикреплялся к соответствующему предприятию.

В 1929 г. ноябрьский Пленум ЦК ВКП(б) отметил, что темп перестройки высшей школы значительно ниже темпов индустриализации и социалистического переустройства сельского хозяйства, а работа по обеспечению народного хозяйства кадрами поставлена совершенно неудовлетворительно и проходит без сколько-нибудь обоснованных планов [6]. Пленум обязал Госплан, Высший Совет Народного Хозяйства (ВСНХ), Наркомзем СССР и наркомпросы союзных республик разработать в трехмесячный срок пятилетний план подготовки специалистов высшей и средней квалификации и создания новых вузов и техникумов в соответствии с потребностями отраслей народного хозяйства. К середине 1931 г. были составлены новые учебные планы и программы, в которых значительно увеличено количество часов по естественнонаучному блоку, в том числе и по математике. Таким образом, завершился первый этап реорганизации высших учебных заведений.

Чрезмерное дробление специальностей и недостаточное внимание к качеству образования вызвали снижение квалификации выпускников вузов. В постановлении Центрального исполнительного комитета СССР «Об учебных программах и режиме в высшей школе и техникумах» от 19 сентября 1932 г. указывалось на необходимость нового пересмотра учебных планов и программ с тем, чтобы на все общенаучные, общетехнические и специальные предметы в вузах и втузах было отведено не менее 80—85% учебного времени (без производственной практики), непрерывную производственную практику считать составной частью всего учебного процесса. Кроме того в этом документе, а также в постановлении Совета народных комиссаров (СНК) СССР и ЦК ВКП(б) от 23 июня 1936 г. «О работе высших учебных заведений и о руководстве высшей школой» бригадно-лабораторный метод был признан неудовлетворительным, как снижающий индивидуальную ответственность студентов, обезличивающий учебную работу, и в конечном итоге негативно влияющий на уровень подготовки специалистов. В качестве основных видов учебной работы в вузе предлагались следующие:

1) лекции, проводимые профессорами и доцентами;

2) практические занятия, проходящие под руководством профессоров, доцентов и ассистентов;

3) производственная практика под руководством выделенных кафедрой лиц.

Серьезное внимание было уделено научной работе на кафедрах, без которой «не может осуществляться высшими учебными заведениями подготовка специалистов на уровне требований современной науки и немыслима подготовка научно-преподавательских кадров и повышение их квалификации» [7, с. 280].

С указанных постановлений по существу начался новый этап в реорганизации высшей школы. Были восстановлены ранее расформированные университеты, путем слияния мелких вузов созданы крупные институты по отраслям промышленности. Эта реорганизация весьма благотворно отразилась на преподавании математики в университетах и педагогических институтах, где она была предметом, определяющим специальность, а также в высших технических учебных заведениях, где она была важнейшим общенаучным предметом.

21 мая 1936 г. при СНК был создан Всесоюзный комитет по делам высшей школы, на который возлагалась обязанность утверждать учебные планы, программы и методы преподавания в вузах, а также осуществлять контроль за ходом учебной работы в них.

Постановлением СНК СССР от 5 сентября 1938 г. был утвержден «Типовой устав высшего учебного заведения», согласно которому ликвидировался разнобой в вопросах организации форм и методов учебного процесса; в преемственности начальной, средней и высшей школы достигнуты определенное единство и стабильность, которые положительно отразились на дальнейшем развитии высшей школы.

В июне 1941 г. началась Великая Отечественная война. К сожалению, не все высшие школы западных и центральных районов страны успели эвакуироваться на Восток. На территории, оккупированной немецко-фашистскими войсками, все вузы были закрыты, а их имущество и ценности разграблены. Количество высших учебных заведений и контингент учащихся в них сократились: в 1942 г. в стране насчитывалось всего 460 вузов, в то время как в начале 1941 г. их было 817; студенческий контингент соответственно сократился с 811,7 тыс. до 227,4 тыс. Культуре и науке Советского Союза был нанесен колоссальный урон,

зачастую невосполнимый. Несмотря на сложные условия военного времени, все действующие высшие учебные заведения страны не ослабляли подготовку специалистов и не прекращали научно-исследовательскую работу.

Существенные изменения внесла война в организацию учебного процесса. Учебные планы и программы были пересмотрены с целью сокращения сроков обучения — до 3,5 лет обучения для вузов с пятилетним сроком обучения и 3 лет для вузов с четырехлетним сроком обучения. Был введен ряд новых учебных курсов, ориентированных на требования фронта. Учитывая, что большинство студентов совмещало учебу с работой на предприятиях, директорам вузов предоставлялось право освобождать их от обязательного посещения лекций и семинаров, однако, практические и лабораторные занятия оставались для всех обязательными.

Обучение студентов по сокращенным планам носило временный характер. Постановлением СНК СССР от 18 июня 1942 г. вузы вернулись к учебным планам довоенного времени. В 1943/44 учебном году возобновили занятия реэвакуированные вузы, в 1944/45 учебном году начались занятия в вузах Литвы, Латвии, Эстонии, Белоруссии, западных областей Украины и Молдавии.

После окончания Великой Отечественной войны все усилия были направлены на восстановление разрушенного народного хозяйства. Одновременно расширялась и сеть высших учебных заведений.

В апреле 1946 г. было создано союзно-республиканское Министерство высшего образования СССР, в непосредственное ведение которого переданы все высшие учебные заведения, находившиеся прежде в подчинении многих министерств и ведомств. Постепенно упорядочивалась постановка учебного процесса в вузах. В 1946—47 гг. была разработана новая, более совершенная номенклатура специальностей, позволявшая организовать подготовку молодых кадров на более высоком теоретическом и практическом уровне. В соответствии с ней пересматривались учебные планы и программы. Появилось немало новых учебников и учебных пособий, написанных ведущими учеными-педагогами.

Важное значение в деле усовершенствования учебного процесса в вузах имело постановление Совета Министров СССР от 30 августа 1954 г. «Об улучшении подготовки, распределения и использования специалистов с высшим и средним специальным образованием». В нем отмечалось, что качество подготовки

выпускников вузов все еще отстает от современных требований и уровня развития техники; студенты перегружены обязательными учебными занятиями и большим количеством экзаменов и зачетов, некоторые учебные курсы дублируют один и тот же материал; по многим дисциплинам отсутствуют учебники и учебные пособия или они слабо освещают достижения науки и техники того времени; чрезмерная дробность специальностей и специализации затрудняет использование специалистов и искусственно увеличивает потребность в них; во время прохождения производственной практики большинство студентов не работает непосредственно на рабочих местах, многие молодые специалисты слабо подготовлены для работы на производстве; не обеспечен контроль за персональным распределением выпускников вузов [6, с. 103].

Постановлением был утвержден новый перечень специальностей, предусматривавший подготовку специалистов более широкого профиля. Это повлекло переработку учебных планов и программ, включающую устранение дублирования в разных курсах, перевод отдельных дисциплин из обязательных в разряд факультативных и увеличение времени для самостоятельной работы студентов. Большое внимание уделялось дальнейшему развитию в высших учебных заведениях научно-исследовательской и методической работы, подготовке молодых научных кадров, улучшению учебной работы. Был поставлен вопрос о развитии в стране заочного и вечернего обучения.

Некоторое время после войны, как и в довоенный период, заочные и вечерние отделения работали в отрыве от стационара. Они имели свои управления, но не имели постоянного преподавательского штата. Естественно, что такое положение отрицательно сказывалось на качестве учебного процесса. Особенно остро вопрос об организации заочного и вечернего образования был поставлен на XX (февраль 1956 г.) и XXI (январь—февраль 1959 г.) съездах КПСС, которые указывали на необходимость развития обучения без отрыва от производства. На основе этих указаний в вузах страны был проведен ряд мер, направленных на устранение недостатков в системе заочного и вечернего обучения. Было установлено единое руководство всеми видами обучения. Учебные предметы распределялись между преподавателями независимо от форм обучения. Кафедры составляли для заочников методические разработки сложных курсов и другие учебные пособия.

В середине 50-х годов была восстановлена конкурсная система комплектования профессорско-преподавательского состава вузов, что положительным образом повлияло на качество учебного процесса и выполнение научно-исследовательских работ в высших учебных заведениях.

Основной для всех видов высших учебных заведений нашей страны являлась и является курсовая система обучения в отличие от высшей школы ряда зарубежных стран, где принята так называемая предметная система обучения. Эта традиция ведет свое начало от системы высшего образования дореволюционной России. Курсовая система строится в соответствии с графиком учебного процесса, в котором отражено распределение всех дисциплин учебного плана, учебной, педагогической и производственной практики, а также зачетов и экзаменов по курсам (годам обучения) и семестрам. Она предполагает обязательное посещение обучающимися всех лекций и занятий. Предметы, изучаемые по выбору студентов, а также факультативные дисциплины распределяются по курсам в зависимости от научных интересов учащихся, внутренней логической связи и преемственности между учебными дисциплинами. Курсовая система позволяет установить определенные сроки приема абитуриентов в вузы и выпуска специалистов, длительность обучения, сроки педагогической и производственной практики. Эта система дает возможность планировать выпуск молодых специалистов, оканчивающих вузы, и их распределение на работу. Таким образом, курсовая система обучения целиком и полностью согласовывалась с плановостью всего народного хозяйства того периода. Да и сейчас в условиях рыночной экономики она остается наиболее конкурентоспособной.

Вторая половина XX столетия характеризуется процессами, получившими название научно-технической революции. Одной из ее особенностей явилось то, что наука превратилась в непосредственную производительную силу и оказывала определяющее влияние на развитие экономики страны.

В связи с возросшим значением науки возникла необходимость в дальнейшем развитии и усовершенствовании системы образования. В сентябре 1956 г. Министерство высшего образования СССР направило ректорам высших учебных заведений инструктивное письмо, в котором были поставлены насущные задачи по перестройке работы вузов: значительное увеличение объема и повышение уровня научной работы кафедр; совершенствование организации учебного процесса и повышение качества подго-

товки специалистов; развитие инициативы кафедр, деканов и всех преподавателей по совершенствованию методов научной работы и обучения студентов; создание объективных условий для развития подлинно самостоятельной работы студентов с одновременным преодолением элементов натаскивания и «школярства» в их обучении [8]. В письме указывались конкретные пути решения этих задач.

Например, разрешалось на усмотрение и ответственность кафедр сокращать лекционную часть курсов, особенно при наличии учебников и хороших учебных пособий по данной дисциплине, а также излишние практические занятия (упражнения), проводимые под руководством преподавателя, в первую очередь на старших курсах, заменяя их различными видами самостоятельной работы. Отмечалось, что лекции по-прежнему должны играть организующую и направляющую роль в учебном процессе, призваны знакомить студентов с основами изучаемой науки, развивать у них способность и потребность к самостоятельной работе в лабораториях, на семинарах, на учебной и производственной практике и т.д. В лекциях следует освещать важнейшие стороны программного материала, определяющие основу подготовки специалистов, детали же могут быть опущены и изучены в процессе самостоятельной работы студентов. В связи с этим кафедрам рекомендовано разработать научные основы каждого курса.

Сокращение обязательных учебных занятий дало возможность расширить факультативные курсы и курсы по выбору студентов, позволяющие дифференцированно подходить к удовлетворению их научных запросов. Наряду с уменьшением количества обязательных аудиторных занятий, предлагалось сократить количество домашних заданий, обеспечивая более высокий научно-теоретический уровень выполнения каждого из них. От кафедр министерство потребовало отобрать разумный минимум наиболее типичных работ, обеспечивающий овладение основой учебной программы и установившимися методами работы, не допуская излишнего дублирования задач, а также не осложняя их обильными вычислениями, доведение которых до конца не всегда оправдано с педагогической точки зрения. Это ни в коей мере не означало отказа от выполнения достаточно сложных расчетов и вычислений, которым студент должен научиться в вузе. Речь шла лишь об устранении излишних, не отвечающих учебным целям, расчетов.

В 1958 г. вышел в свет «Закон об укреплении связи школы с жизнью и о дальнейшем развитии системы народного образования в СССР» (1958 г.), на основании которого была проведена одна из масштабных реформ всего образования 1958—1964 гг.

Закон признал необходимым укреплять связь науки с производством. В связи с этим продолжительность обучения в средней школе была увеличена с 10 до 11 лет, чтобы после получения всеобщего обязательного восьмилетнего образования каждый из старшеклассников в рамках учебного процесса освоил одну из рабочих профессий. В высшей школе в основу новых форм и методов обучения студентов было положено органическое сочетание теоретического обучения с производственным трудом в промышленности, сельском хозяйстве и области культуры. В постановлении Совета Министров СССР «О формах и сроках обучения в высших учебных заведениях и о производственной работе и практике студентов» (август 1959 г.) указывалось, что производственное обучение должно носить целевой характер, быть органически связанным с учебным планом и соответствовать специализации студентов.

В сентябре 1959 г. Совет Министров СССР принял постановление «Об участии промышленных предприятий, совхозов и колхозов в комплектовании вузов и техникумов и подготовке специалистов для своих предприятий», предоставившее предприятиям, учреждениям, совхозам и колхозам, заинтересованным в молодых специалистах, самим отбирать и направлять на учебу рабочую и сельскую молодежь с тем, чтобы по окончании учебы использовать их по месту прежней работы. Абитуриенты по такому целевому набору пользовались правом первоочередного внеконкурсного зачисления в высшие и средние специальные учебные заведения.

Большое внимание в законе уделялось вечернему и заочному обучению, как основным формам подготовки специалистов без отрыва от производства. Постановление Совета Министров СССР «О льготах для студентов вечерних и заочных вузов и учащихся вечерних и заочных специальных заведений» (июль 1959 г.) оказало дополнительное влияние на развитие этих форм обучения.

На XXII съезде КПСС перед высшей школой была поставлена задача по дальнейшему расширению и улучшению подготовки молодых научных кадров с тем, чтобы прочно занять «ведущее положение в мировой науке по всем основным направлениям» [9, с. 418].

Итогом этой реформы стало повышение общеобразовательного уровня в стране. Но к середине шестидесятых годов XX в. были выявлены ее неэффективность в ряде ключевых моментов. В 1965 г. пришлось вернуться к 10-летнему сроку обучения в школе, поскольку затраты на профессиональную подготовку в средней школе превысили ее отдачу. В вузах при поступлении были сокращены льготы студентам по целевому набору, для подготовки молодой научной элиты приоритетной была признана дневная форма обучения.

Основным в реформе 1965—1972 гг. стал переход к всеобщему среднему образованию. Это значительно расширило доступ к высшему образованию, но и явилось причиной понижения уровня подготовки абитуриентов вузов, что зачастую оборачивалось понижением качества подготовки квалифицированных специалистов.

В 1966/67 учебном году при университетах были открыты факультеты повышения квалификации преподавателей с четырехмесячным сроком обучения. Вначале их было 9, через год стало 30, в настоящее время такого рода факультеты действуют в каждом университете. Основными их задачами являются повышение научно-теоретического и научно-методического уровня преподавателей, разработка и внедрение в учебный процесс научных методов и технических средств обучения, информирование слушателей по вопросам психологии и педагогики высшей школы, а также методологическим проблемам науки. Каждый преподаватель высшей школы обязан раз в пять лет пройти курсы повышения квалификации.

Преобладающей формой работы на факультетах повышения квалификации преподавателей вузов является чтение лекций. В большинстве случаев читаются избранные главы или разделы с учетом интересов слушателей. К работе на таких факультетах привлекаются лучшие силы вузов и научно-исследовательских учреждений.

При университетах успешно функционирует система стажировок специалистов. На стажировку ежегодно принимается большое количество преподавателей вузов и работников научных учреждений. Она преследует различные цели. Одна часть стажеров, обучающихся от полугода до полутора лет, готовится для поступления в аспирантуру; другая (будущие преподаватели вузов) — в течение года или двух лет совершенствуют свои знания по одной из кафедр. Кафедра выделяет научного руководителя,

обеспечивает консультантов со смежных кафедр, составляет индивидуальный план прохождения стажировки, включающий посещение лекций по выбранным дисциплинам, практических и семинарских занятий. Такая форма подготовки специалистов высшей квалификации по конкретному направлению играет важную роль для формирования молодых преподавательских кадров высшей школы. Большую помощь в этой работе оказывают старейшие университеты страны.

Основной формой подготовки научных работников и преподавательского состава высшей квалификации остается аспирантура и докторантура. В настоящее время по различным математическим направлениям они имеются в большинстве университетов.

Реформа образования, объявленная в 1984 г. постановлением Верховного Совета СССР «Об основных направлениях реформы общеобразовательной и профессиональной школы», предполагала дополнить всеобщее среднее образование всеобщим профессиональным, нацелив молодежь на получение рабочих профессий, и перераспределить материальные ресурсы в пользу системы профессионально-технического образования за счет высшей школы. Перестройка высшей школы понималась как ее децентрализация и демократизация. Эта линия должна была стать центральной в «Государственной программе развития высшего образования», разработка и осуществление которой были прерваны распадом СССР (1991 г.).

Сфера образования постсоветской России находится пока в стадии становления, поэтому оценивать ее результаты еще рано. Можно только охарактеризовать некоторые ее основные моменты.

Новый этап и новая реформа были связаны с принятием в 1992г. закона РФ «Об образовании», важнейшим положением которого было допущение в образовательное пространство, наряду с государственными, негосударственных учебных заведений. Такие меры должны были при отсутствии бюджетных средств на развитие образования в стране в короткий срок обеспечить негосударственное финансирование этой сферы.

В законе РФ «О высшем и послевузовском профессиональном образовании» (1996 г.) впервые цель образования была сформулирована исходя из потребностей личности: удовлетворение потребностей личности в интеллектуальном, культурном и нравственном развитии; развитие наук и искусств посредством научных исследований и обучения [2].

Закон устанавливал следующую структуру системы высшего образования в РФ:

• Государственные образовательные стандарты;

• Образовательные программы;

• Научные, проектные и культурно-просветительские учреждения, ведущие научные исследования и обеспечивающие функционирование и развитие высшего образования;

• Органы управления высшим образованием;

• Различные высшие образовательные учреждения: университеты, институты, академии.

Статус высшего учебного заведения определяется в зависимости от его вида, организационно-правовой формы, наличия или

отсутствия государственной аккредитации и включается в его наименование.

В 90-х годах XX в. в отечественном высшем образовании начала возрождаться многоуровневая система обучения, которая нашла отражение в концепции непрерывного образования [10]. «... Смысл непрерывности заключается в постоянном удовлетворении развивающихся потребностей личности и общества в образовании, всеохватывающем по полноте, индивидуализированном по времени, темпам, направленности, в предоставлении каждому возможностей реализации собственной системы получения образования» [11, с. 3]. Многоуровневое обучение подразумевало организацию многоэтапного образовательного процесса, обеспечивающего возможность достижения на каждом этапе образования того уровня, который соответствует возможностям и интересам человека. При этом каждый образовательный уровень имеет свои цели, сроки обучения и характерные особенности [12, с. 20].

В 2000 г. была принята Национальная доктрина образования в Российской Федерации до 2025 г. [13], которая стала организационной основой государственной политики Российской Федерации в области образования и определила стратегию приоритетного развития системы образования и меры ее реализации. В частности, она способствовала разработке и принятию Концепции модернизации российского образования на период до 2010 г., утвержденной распоряжением Правительства Российской Федерации 29 декабря 2001 г. [14]

19 сентября 2003 г. в Берлине Россия присоединилась к Болонской декларации. Принятие этого политического решения было направлено на сближение образовательных систем в Европе и повлекло за собой новый этап реформирования российской системы высшего образования. От вузов она потребовала осмысление и решение проблем совместимости учебных планов, образовательных структур и практики преподавания. При этом широкое распространение получил компетентностный подход в подготовке выпускников вузов.

Таким образом, в высшей профессиональной школе начался постепенный сдвиг от гностического подхода в образовании к деятельностному. При гностическом подходе основной образовательной задачей считается формирование у учащихся, студентов прочных систематизированных знаний, при этом умения и навыки выступают второстепенными компонентами по отношению к знаниям. При деятельностном подходе знания из самоцели превращаются в средство развития личности, поскольку цель образования рассматривается как формирование у учащихся способности к активной деятельности, к труду во всех его формах, в том числе к творческому профессиональному труду [12, с. 29].

С 2009 г. квалификации бакалавра и магистра стали основными для поступающих в российские вузы. Другими словами, отечественная система высшего образования перешла на двухуровневую систему обучения.

С 1 сентября 2013 г. вступил в действие новый закон «Об образовании в Российской Федерации» [15], одобренный Советом Федерации 29 декабря 2012 г. Им устанавливаются правовые, организационные и экономические основы образования в Российской Федерации, основные принципы государственной политики Российской Федерации в сфере образования, общие правила функционирования системы образования и осуществления образовательной деятельности, определяет правовое положение

участников отношений в сфере образования. Одним из требований этого закона является информационная открытость образовательной организации.

Список использованной литературы

1. Джуринский А. Н. История педагогики и образования. М, 2011. 675 с.

2. Луков В. А. Реформы образования: перспективы в XXI веке [Электронный ресурс // Высшее образование для XXI века. М, 2009. № 11. URL: http://www.zpu-journal.ru/e-zpu/2009/1 1/Lukov/

3. Черниченко В. И. Дидактика высшей школы. История и современные проблемы. М., 2007. 136 с.

4. КПСС в резолюциях и решениях съездов, конференций и пленумов ЦК. М, 1970. Т. 2.

5. КПСС в резолюциях и решениях съездов, конференций и пленумов ЦК. М, 1970. Т. 4.

6. Штокало И. З. История математического образования в СССР. Киев, 1975. 382 с.

7. КПСС в резолюциях и решениях съездов, конференций и пленумов ЦК. М, 1970. Т. 5.

8. Инструктивное письмо Министерства высшего образования СССР от 15 сентября 1956 г. // Бюллетень Министерства высшего образования СССР. М., 1956. № 19. С. 8—13.

9. Материалы XXII съезда КПСС. М., 1961.

10. Концепция непрерывного образования. Одобрена Государственным комитетом СССР по народному образованию и Всесоюзным советом по народному образованию на совместном заседании 18 марта 1989 г. // Бюллетень Государственного комитета СССР по народному образованию. Серия: Высшее и среднее специальное образование. 1989. № 7. С. 9—20.

11. Концепция непрерывного образования // Народное образование. 1989. № 10. С. 3—12.

12. Скоропуд Ю. В. Педагогика высшей школы. Ростов-на-Дону, 2011.541 с.

13. Национальная доктрина образования в Российской Федерации до 2025 года. М., 2000.

14. Концепция модернизации российского образования на период до 2010 года // Народное образование. 2002. № 4. С. 254—257.

15. Федеральный закон «Об образовании в Российской Федерации» [Электронный ресурс]. URL: http://минобрнауки.рф/документы/2974.

И. В. Игнатушина

Развитие дифференциальной геометрии в отечественной математике XX столетия

На формирование любой математической дисциплины, изучаемой в вузе, огромное влияние оказывают, с одной стороны, реформы в системе высшего образования, с другой — развитие самой математики. Например, развитие дифференциальной геометрии как науки не могло не отразиться на ней как на предмете преподавания. Новые результаты и методы излагались сначала на специальных и факультативных курсах, на которые выкраивалось время в рамках учебного плана. Затем учебный план и программа менялись: применение новых математических методов (например, векторного и тензорного исчисления) позволяло сократить время на изложение старого программного материала и, таким образом, высвобождались часы для изучения материала, который ранее входил в спецкурсы и факультативы. Другими словами, этот материал становился обязательным для изучения, а сам учебный предмет «Дифференциальная геометрия» расширялся по содержанию.

Рассмотрим некоторые основные моменты развития дифференциальной геометрии в нашей стране в XX столетии. Этот период характеризуется возникновением целого ряда крупных отечественных геометрических школ, объединяющих большие коллективы исследователей. Работы по дифференциальной геометрии представляют необычайное разнообразие направлений. Среди тем, привлекавших исследователей, назовём следующие: изгибание поверхностей, прежде всего изгибание на главном основании; проективно-дифференциальная теория конгруэнций, в особенности теория расслояемых пар конгруэнций (здесь была создана не только проективная, но и метрическая теория); переход от классических методов Гаусса и Дарбу к методу внешних форм и подвижного репера Картана; тензорная дифференциальная геометрия; риманова геометрия и её различные обобщения; вопросы геометрии «в целом» и др. [2, 4, 7, 12, 15]. Многочисленные конкретные результаты по дифференциальной геометрии, полученные отечественными математиками в указанный период, опираются на достаточно сложный аппарат и поэтому не могут быть изложены в нескольких словах.

Примерно в середине 1920-х гг. в отечественной математике появилось и стало быстро развиваться новое диффренциально-геометрическое направление — тензорная дифференциальная геометрия. Развитие её было вызвано потребностями физики, главным образом теории относительности. Основателем и руководителем тензорной дифференциально-геометрической школы в СССР был Вениамин Фёдорович Каган (1869—1953) [11].

В 1892 г. В. Ф. Каган экстерном окончил Киевский университет. В 1894 г. он приехал в Петербург и приступил к сдаче магистерских экзаменов. Мощная петербургская математическая школа оказала на него большое влияние. Направляемый А. А. Марковым, А. И. Коркиным и К. А. Поссе, В. Ф. Каган приобрёл глубокие знания по анализу и на всю жизнь сохранил любовь к алгоритмической математике. Однако в области своих геометрических изысканий, связанных с потребностью глубоко проникнуть в логические основы геометрии, он оставался на тот момент одинок. Единомышленников в этом направлении (И. В. Слешинского, С. О. Шатуновского и др.) Вениамин Фёдорович встретил позднее в Одессе, где в 1897 г. получил должность приват-доцента Новороссийского университета. Здесь он читал тензорное исчисление и геометрические дисциплины. В 1908 г. В. Ф. Каган защитил диссертацию на степень магистра чистой математики.

В 1922 г. В. Ф. Каган избирается профессором Московского университета и становится действительным членом Научно-исследовательского института математики и механики МГУ, созданного в 1923 г. Эта новая форма научного объединения резко повлияла на рост творческой продуктивности и подготовку аспирантов. Математики стали чувствовать, что их научная деятельность представляет государственное дело, успехи которого интересуют общественность. Организация института принесла с собой элементы планирования научной работы, а это во многом помогло созданию крупных математических направлений и проведению масштабных исследований.

В 1927 г. под руководством В. Ф. Кагана в МГУ был организован научный семинар по векторному и тензорному анализу, который издавал свой журнал «Труды семинара по векторному и тензорному анализу с их приложениями к геометрии, механике и физике». Издание это продолжает выходить и в настоящее время.

С 1933 по 1952 г. Вениамин Фёдорович заведовал созданной на механико-математическом факультете МГУ кафедрой дифференциальной геометрии.

В 1934 г. по инициативе В. Ф. Кагана в Московском университете была проведена первая международная конференция по тензорной дифференциальной геометрии и её приложениям с участием крупнейших учёных. Она сыграла огромную роль в дальнейшем развитии этой области математики и на долгие годы определила её основные научные направления.

С 1935 по 1950 г. Вениамин Фёдорович руководил отделом тензорного анализа и многомерной геометрии научно-исследовательского института математики в Москве. Некоторые результаты своего исследования по тензорной дифференциальной геометрии В. Ф. Каган опубликовал в большом двухтомном труде «Основы теории поверхностей в тензорном изложении» (1947—1948) [9]. Одним из направлений школы В. Ф. Кагана было применение методов тензорного анализа к решению задач классической дифференциальной геометрии поверхностей — сети Чебышева, одевание поверхностей [5]. Школа В. Ф. Кагана подготовила целую плеяду замечательных геометров: П. К. Рашевского, А. П. Нордена [1], В. В. Вагнера, Г. М. Шапиро, Я. С. Дубнова, А. М. Лопшица и др. [14]. П. К. Рашевский организовал научную школу в Москве, А. П. Норден — в Казани, В. В. Вагнер — в Саратове.

Почти одновременно со школой В. Ф. Кагана в Казани Петром Алексеевичем Широковым (1895—1944) была создана другая крупная школа тензорной дифференциальной геометрии.

Выпускник Казанского университета 1919 г. П. А. Широков был продолжателем математических традиций профессоров этого университета: Фёдора Матвеевича Суворова (1845—1911), Александра Васильевича Васильева (1853—1929) [6], Николая Николаевича Парфентьева (1877—1943). После сдачи магистерских экзаменов и защиты диссертации в 1923 г. он получил право преподавать на кафедре математики Казанского университета.

В 1933 г. Пётр Алексеевич организовал геометрический семинар при Казанском университете. Благодаря этому, а также замечательным лекциям П. А. Широкова из студентов университета выделилась группа геометров: Б. Л. Лаптев, А. 3. Петров, И. П. Егоров, А. П. Заборская, П. И. Петров, В. Г. Копп, Г. С. Бархин и др. [10].

В послеоктябрьский период больших успехов достигла московская школа классической дифференциальной геометрии, основанная ранее К. М. Петерсоном и Б. К. Млодзеевским. Наиболее выдающимся её представителем того времени является Сергей Павлович Фиников (1883—1964).

После окончания Московского университета в 1906 г. Сергей Павлович был оставлен в нём для приготовления к профессорскому званию. В 1910 г. он сдал магистерские экзамены и стал приват-доцентом. В 1918 г. защитил магистерскую диссертацию, посвящённую изгибанию поверхности на главном основании, и получил звание профессора. В 1925—1926 гг. С. П. Фиников стажировался в Италии и Франции, где подружился с французским математиком Эли Жозефом Картаном (1869—1951). В трудах С. П. Финикова и Э. Ж. Картана теория подвижного репера была разработана до такой степени, что её применение приобрело алгоритмический характер не только для исследования кривых и поверхностей, но и гораздо более сложных геометрических образов.

В 1920-е годы С. П. Фиников возглавил в Москве группу математиков, которая занялась изучением метода Картана, его приложениями и распространением на всё более широкие области дифференциальной геометрии. Эта работа вылилась в организацию в 1933 г. семинара по классической дифференциальной геометрии, которым С. П. Фиников руководил в течение 30 лет. Его постоянными участниками были Г. Ф. Лаптев, Д. И. Перепёлкин, С. В. Бахвалов, С. С. Бюшгенс, С. Д. Россинский, К. Н. Тихоцкий, В. М. Прокофьев, Н. И. Алексеев и др. На базе этого семинара выросла известная дифференциально-геометрическая школа С. П. Финикова. В ней наряду с дифференциальной геометрией метрического пространства основным предметом исследований являлись проективно-дифференциальная геометрия, аффинная, конформная геометрия, иначе говоря, геометрия однородных пространств, т.е. пространств, обладающих фундаментальной группой.

В 1952—1964 гг. С. П. Фиников заведовал кафедрой дифференциальной геометрии Московского университета. Преподавал также в Высшем техническом училище, Институте путей сообщения, Институте инженеров связи, Московском пединституте. Свой научный и педагогический опыт по преподаванию дифференциальной геометрии Сергей Павлович отразил в ряде учебников: «Теория поверхностей» [18], «Проективно-дифференциальная геометрия» [17], «Изгибание на главном основании и связанные с ним геометрические задачи» [16], «Дифференциальная геометрия. Курс лекций» [15]. Изданные им монографии объединили, упорядочили и сделали доступными многие результаты мировой геометрии, оформили соответствующие разделы науки. Его современники вспоминали о нём как о выдающемся воспитателе научной молодёжи, «который привлекал её не только своим

талантом и глубоко содержательными лекциями, но и всей своей цельной личностью» [8, с. 290].

В XX столетии был создан новый раздел геометрии — дифференциальная геометрия «в целом». Само понятие геометрии «в целом» возникло из противопоставления геометрии «в малом», где геометрический образ исследуется в произвольно малой области, как это делается в классической дифференциальной геометрии. Геометрия «в целом» объемлет достаточно разнообразные задачи и пользуется также разнообразными методами. В ней применяются и чисто геометрические построения, и топология, и разные методы анализа, начиная от классических и кончая аппаратом общей теории меры и т.п. Поэтому дать общую характеристику её развития в столь кратком обзоре весьма затруднительно. Здесь отметим лишь, что в отечественной математике указанного периода данное направление было широко представлено в научных школах Александра Даниловича Александрова (1912— 1999) в Ленинграде, Николая Владимировича Ефимова (1910— 1982) в Москве и Алексея Васильевича Погорелова (1919—2002) в Харькове.

А. Д. Александров окончил в 1933 г. физическое отделение физико-математического факультета Ленинградского государственного университета (ЛГУ), где одним из его учителей был замечательный математик и педагог Борис Николаевич Делоне (1890—1980). Благодаря ему Александр Данилович заинтересовался теорией выпуклых многогранников, от которой в дальнейшем перешёл к исследованию общих выпуклых тел и их поверхностей. Им был введён метод исследования метрики поверхности при помощи аппроксимации её метриками многогранников. Докторская диссертация А. Д. Александрова, которую он защитил в 1937 г., посвящена одной из областей теории выпуклых тел — теории смешанных объёмов. В 40-е годы он создал теорию многообразий ограниченной кривизны, которая и сейчас остаётся одной из наиболее развивающихся областей современной геометрии «в целом» [13]. Дифференциальную геометрию он дополнил методами функционального анализа и теории мер.

Вся жизнь А. Д. Александрова была связана с его альма матер. На механико-математическом факультете ЛГУ он преподавал с 1933 г. (с 1944 г. — в должности профессора). С 1953 по 1960 г. заведовал кафедрой геометрии, с 1952 по 1964 г. был ректором. А. Д. Александров так сформулировал свой педагогический и административный принцип: «В Университете всё должно

служить студенту. Студент — не сосуд, который надо наполнить, а светильник, который необходимо зажечь». В университете он организовал семинар, из которого в дальнейшем выросла его научная геометрическая школа [3].

С 1964 по 1986 г. А. Д. Александров жил в Новосибирске, где заведовал отделом обобщённой римановой геометрии в Институте математики Сибирского отделения АН СССР и преподавал в Новосибирском университете. В 1986 году вернулся в Ленинград на должность заведующего лабораторией геометрии и топологии Ленинградского отделения Математического института АН СССР (ЛОМИ).

В Ленинграде и в Новосибирске у А. Д. Александрова были многочисленные ученики: А. В. Погорелов, Ю. Г. Решетняк, И. Я. Бакельман, Ю. Ф. Борисов, Ю. Д. Бураго, Ю. А. Волков, В. А. Залгаллер, А. М. Замарзаев, В. А. Топоногов, С. 3. Шефель, Г. Я. Перельман и др.

Николай Владимирович Ефимов — ученик выдающегося математика, педагога и методиста Дмитрия Дмитриевича Мордухая-Болтовского (1876—1952). В 1931 г. Николай Владимирович окончил Северо-Кавказский государственный университет (ныне Южный федеральный университет). В 1934—1941 гг. работал в Воронежском университете (с 1940 г. — профессор), в 1941— 1943 гг. — в Воронежском авиационном институте, в 1943— 1953 гг. — в Московском лесотехническом институте, а с 1946 г. преподавал в Московском университете.

Н. В. Ефимов является автором ряда работ по теории деформации поверхностей и теории поверхностей отрицательной кривизны. Его кандидатская диссертация «Изгибание поверхностей с параболическими точками» (1934) и докторская диссертация «Инвариантные характеристики некоторых сетей и поверхностей» (1940) были посвящены важным вопросам в этой области геометрии. Н. В. Ефимов исследовал изгибание куска поверхности вблизи «точки уплощения», т.е. точки, где кривизны всех сечений поверхности равны нулю. Он показал, что существуют аналитические поверхности, неизгибаемые в сколь угодно малой окрестности такой точки. Решил обобщённую проблему Гильберта о поверхностях отрицательной кривизны, доказав, что в трёхмерном евклидовом пространстве не существует полной регулярной поверхности с отделённой от нуля отрицательной гауссовой кривизной. Нашёл канонические формы основных уравнений теории поверхностей в случае отрицательной кривизны.

Рассмотренные факты показывают, что отечественная дифференциальная геометрия в XX столетии достигла значительных успехов. Наши учёные-геометры внесли существенный вклад в отечественную и мировую науку.

Список использованной литературы

1. Александр Петрович Норден, 1904—1993 / ред. и сост. М. А. Малахальцев, В. В. Шурыгин. Казань : Изд-во Казан, ун-та, 2002. 40 с.

2. Александров А. Д. Геометрия «в целом» // Математика в СССР за тридцать лет, 1917—1947. М. ; Л., 1948. С. 919—938.

3. Александров А. Д. Геометрия в Ленинградском университете // Вестник Ленинградского университета. Л., 1947. № 11. С. 124—148.

4. Александров П. С. Геометрия // Математика и естествознание в СССР. Очерк развития математических и естественных наук за двадцать лет. М. ;Л., 1938. С. 62—78.

5. Александров П. С, Гнеденко Б. В., Степанов В. В. Математика в Московском университете в XX в. (до 1940 г.) // Историко-математические исследования. М., 1948. Вып. 1. С. 9—42.

6. Бажанов В. А. Александр Васильевич Васильев, 1853—1929: учёный, организатор науки, общественный деятель. Казань : Изд-во Казан, ун-та, 2002. 32 с.

7. Васильев А. М., Норден А. И., Фиников С. П. Дифференциальная геометрия // Математика в СССР за сорок лет. 1917—1957. М., 1959. Т. 1. С. 899—924.

8. Васильева М. В. Сергей Павлович Фиников (к столетию со дня рождения) // Историко-математические исследования. М., 1985. Вып. 29. С. 285—293.

9. Каган В. Ф. Основы теории поверхностей в тензорном изложении : в 2 ч. М., 1947—1948. Ч. 1. 407 с. ; Ч. 2. 520 с.

10.Лаптев Б. Л. Пётр Алексеевич Широков // Пётр Алексеевич Широков (человек и учёный). Казань : Казан, фонд «Математика», 1995. 90 с.

11. Лопшиц А. М., Рашевский П. К. Вениамин Фёдорович Каган. М., 1969. 44 с.

12. Рашевский П. К. Тензорная дифференциальная геометрия // Математика в СССР за тридцать лет. 1917—1947. М. ; Л., 1948. С. 883—918.

13. Решетняк Ю. Г., Кутателадзе С. С. Воспоминания об А. Д. Александрове. Новосибирск, 2000. 20 с.

14. Розенфельд Б. А. Воспоминания о советских математиках // Историко-математические исследования. М., 1995. Вып. 36(1). С. 114—151.

15. Фиников С. П. Дифференциальная геометрия. Курс лекций. М. : МГУ, 1961. 158 с.

16. Фиников С. П. Изгибание на главном основании и связанные с ним геометрические задачи. М. ; Л., 1937. 176 с.

17. Фиников С. П. Проективно-дифференциальная геометрия. М. ; Л., 1937. 263 с.

18. Фиников С. П. Теория поверхностей. М. ; Л., 1934. 205 с.

19. Фиников С. П. Дифференциальная геометрия трёхмерного пространства // Математика в СССР за тридцать лет. 1917—1947. М. ; Л., 1948. С. 861—882.

И. В. Игнатушина

Изменения в содержании и методах изложения курса «Дифференциальная геометрия» в отечественных университетах на протяжении XX века

Первый этап перестройки системы отечественного высшего образования, начавшейся после Октябрьской революции, привёл к появлению учебных планов для университетов, составленных и опубликованных в 1922—1924 гг. Они были рассчитаны на трёхлетний срок обучения и имели резко выраженный производственный уклон. Так, математическое отделение должно было готовить статистиков, финансистов, страховых работников и т.д. Была введена летняя производственная практика студентов, которая должна была показать тесную связь обучения с жизнью. Но поскольку такая практика в большинстве случаев не учитывала теоретическую подготовку студентов, она не выполняла своего основного предназначения и оставалась чистой формальностью. Кроме того, в планах 1922—1924 гг. научно-исследовательская работа студента была полностью упущена. Направленность на узкую специализацию выпускников вступила в конфликт с сущностью университетского образования. Это потребовало пересмотра учебных планов университетов.

Новые учебные планы, введённые в университетах в 1926 г., были в некоторой степени освобождены от чрезмерного количества прикладных предметов. За счёт укрупнения специальностей сократилось их число. Срок обучения был увеличен до 4,5 лет. Восстановилось значение научно-исследовательской работы, специализация студентов начиналась не с первого, а со второго курса. Эти планы были составлены для физико-математических факультетов Ленинградского, Первого Московского, Казанского

и Томского университетов. Во всех остальных университетах страны физико-математические факультеты в 1922 г. были преобразованы в педагогические.

На математическом отделении Ленинградского университета были установлены два цикла: математический со специальностями математика, механика, статистика и астрономо-геодезический со специальностями астрономия и геодезия. Одним из общих курсов для всего отделения был математический анализ, который читался в течение первых трёх лет. В этом курсе демонстрировались и приложения дифференциального исчисления к исследованию кривых. С третьего курса начиналась специализация, в которой, в частности, излагались дополнительные главы математического анализа, включающие и геометрические приложения. На специализацию отводилось 8 часов лекций и столько же семинарских занятий. На четвёртом курсе для математиков одним из специальных предметов была теория поверхностей.

Учебный план Первого Московского университета отличался от плана Ленинградского университета по количеству часов и по характеру специализации. Математический цикл физико-математического факультета Первого МГУ имел три специальности: чистую математику, прикладную математику и статистику. Здесь дифференциальная геометрия являлась обязательной дисциплиной для студентов второго курса. Теоретические сведения студенты получали на лекциях, а затем на практических занятиях закрепляли этот материал. Кроме того, студенты математического цикла работали в семинаре по дифференциальной геометрии (1 час в неделю). На третьем курсе для специальности чистая математика среди предметов специализации читалась теория поверхностей и проводился семинар по геометрии. Для этой же специальности на четвёртом курсе дифференциальная геометрия продолжалась как один из специальных предметов.

В первой половине 1920-х годов в Первом МГУ дифференциальную геометрию вёл Д. Ф. Егоров. В 1922 г. в составе Московского университета был открыт Научно-исследовательский институт математики и механики, директором которого стал Б. К. Млодзиевский. Д. Ф. Егоров и Б. К. Млодзиевский явились инициаторами новой формы работы со студентами — научных семинаров. Одним из направлений работы такого семинара стала дифференциальная геометрия.

В 1923 г. в Москву приехал Вениамин Фёдорович Каган (1869—1953) [15], научные интересы которого относятся к осно-

ваниям геометрии и к дифференциальной геометрии. С этого времени в МГУ появилось новое направление в области дифференциальной геометрии — многомерная дифференциальная геометрия и тензорный анализ. В. Ф. Каган организовал преподавание этих разделов математики, а с 1927 г. руководил научным семинаром по тензорному исчислению.

Научная деятельность В. Ф. Кагана всегда была тесно связана с его преподавательской работой. Его лекции отличались особым стилем: «негромкая, внутренне взволнованная речь, перемежающаяся паузами, в течение которых лектор, кажется, не столько обдумывает следующую фразу, сколько мысленно возвращается к общему плану своего изложения, снова и снова проверяя его значимость для аудитории; стремление сделать выпуклым самый замысел теории и наряду с этим любовное изложение тщательно подготовленной сложной выкладки, приводящей к архитектурно стройной формуле — глубокому следствию исходных посылок» [15, с. 10]. Университетские курсы, которые Вениамин Фёдорович читал в Первом и Втором5 МГУ с 1922 г., содержали подчас абсолютно новые научные взгляды, ещё не нашедшие должного места в устоявшейся системе преподавания. Примером одного из таких курсов было «Тензорное исчисление и риманова геометрия». Талантливым, увлекательным изложением новых курсов В. Ф. Каган добился того, что они были включены в учебные планы многих вузов. Это относится и к тензорному построению курса дифференциальной геометрии.

С особой настойчивостью стремился В. Ф. Каган ввести преподавание векторного исчисления, в том числе и при изложении дифференциальной геометрии. Отметим, что в 20-е годы прошлого столетия векторное исчисление не входило в учебные планы и программы вузовской математики. На физико-математическом факультете Московского университета Вениамин Фёдорович прочитал первый обязательный курс векторного исчисления, нашедший потом отражение в созданной им учебной литературе.

Одновременно с этим В. Ф. Каган начал широкую пропаганду нового тогда тензорного направления в области дифференциальной геометрии. Вениамин Фёдорович читал лекции по тензор-

5 Второй МГУ имел более определённую педагогическую направленность. Впоследствии он был преобразован в Московский государственный педагогический институт им. В. И. Ленина, ныне это Московский педагогический государственный университет.

ному анализу и его приложению к дифференциальной геометрии, делал доклады, а также выступал в печати. Как отмечалось ранее, это новое направление в московской математической школе было создано В. Ф. Каганом, а затем развито его многочисленными учениками и последователями. Учебная литература, написанная впоследствии учениками Вениамина Фёдоровича, сохранила следы влияния его лекционных курсов.

На физико-математическом отделении физико-математического факультета Казанского университета имелось пять циклов: математика, механика, физика, геофизика, астрономия. Цикл математики включал три специальности: геометрию, математический анализ и математическую статистику. Рассмотрим особенности учебного плана этого университета по изложению дифференциальной геометрии.

Для всех специальностей физико-математического отделения дифференциальная геометрия преподавалась на втором курсе. На третьем курсе студенты, обучающиеся по специальности «Геометрия», слушали курс по теории поверхностей. На четвёртом курсе они изучали геометрию n-мерных пространств, а также посещали спецкурсы по выбору и семинар по геометрии, где имели возможность познакомиться с последними достижениями в области дифференциальной геометрии.

Ведущим профессором математики в Казанском университете с 1917 по 1929 г. был Николай Николаевич Парфентьев (1877—1943), который принимал активное участие в создании новых учебных планов. Помимо основных курсов он читал разнообразные спецкурсы и содействовал формированию у студентов научных интересов в области математики. В университете по старой традиции продолжало развиваться геометрическое направление.

Физико-математический факультет Томского университета открылся 1 июля 1917 г. и имел два отделения: физико-математическое и естественнонаучное. На физико-математическом отделении были организованы три кафедры: чистой математики, теоретической и прикладной механики, астрономии и геодезии. Среди первых профессоров Томского университета был выпускник Дерптского университета Фёдор Эдуардович Молин (1861— 1941) [2, 3]. В Томском университете Ф. Э. Молин организовал ряд математических семинаров, в том числе и геометрический, а его труды положили начало исследованиям томских математиков по дифференциальной геометрии.

В 1926 г. физико-математическое отделение было разделено на два цикла: математический и физический. Здесь дифференциальная геометрия, так же как в Московском и Казанском университетах, читалась на втором курсе. Кроме того, для цикла математики проводился спецсеминар по дифференциальной геометрии. На третьем и четвёртом курсах вопросы дифференциальной геометрии излагались в рамках спецкурсов.

Ознакомление с учебными планами математических специальностей отечественных университетов показывает, что в 1920-е годы преподавание дифференциальной геометрии сохраняло индивидуальный характер в каждом из этих высших учебных заведений. Такое положение во многом определялось составом педагогических кадров в каждом из университетов.

Помимо учебной работы преподаватели вузов занимались научными исследованиями, в том числе и по дифференциальной геометрии. В целях организации научной работы, повышения её эффективности и воспитания кадров молодых учёных в составе многих университетов создавались научно-исследовательские институты, в частности институты математики и механики.

В первые годы советской власти одной из важнейших задач в развитии высшей школы было создание учебной литературы, которой катастрофически не хватало. Почти каждый университет издавал небольшими тиражами курсы лекций по отдельным предметам, а также задачники к ним. Среди учебных пособий по дифференциальной геометрии в то время были изданы: «Геометрические приложения дифференциального исчисления. Дифференциальная геометрия» (1919) Д. М. Синцова и «Дифференциальная геометрия» (1923) Д. Ф. Егорова.

Индустриализация страны поставила по-новому вопрос о положении университетов. Так, в 1929 г. на совещании Главпрофобра было решено приблизить профиль физико-математических факультетов университетов к техническим институтам и выпускать инженеров для промышленности. В 1930 г. Главпрофобр разработал новые учебные планы, согласно которым все дисциплины должны носить прикладной характер, а теоретические курсы, такие как чистая математика, теоретическая физика и т.п., следовало исключить. В это же время из университетов были выделены педагогические факультеты с физико-математическими отделениями и на их базе созданы педагогические институты.

Особое внимание обращалось и на методику преподавания в вузах. В начале 1930 г. были ликвидированы лекции как основная

форма организации учебной работы; их место занял упоминавшийся «активный метод преподавания» — вариант бригадно-лабораторного метода. Но уже в 1932 г. ЦИК СССР в соответствующем постановлении потребовал вернуться к лекционной системе преподавания, укрепить индивидуальную работу студентов, отменить систему коллективных зачётов и экзаменов, ввести два раза в год зачётно-экзаменационные сессии, ввести дифференцированную форму оценок успеваемости и обеспечить ответственность каждого студента и преподавателя за качество учёбы.

В 1934 г. для физико-математических отделений всех университетов РСФСР был разработан типовой учебный план. В соответствии с этим планом дифференциальная геометрия в объёме 90 часов для всех специальностей велась на втором курсе. Кроме того, математики слушали векторный анализ (50 часов) и дополнительные главы дифференциальной геометрии (40 часов). На третьем курсе читались специальные и факультативные курсы (160 часов), одним из направлений которых была дифференциальная геометрия. На четвёртом курсе планом предусматривались различные специализации, в том числе и по геометрии, различные спецкурсы (120 часов), спецсеминары (150 часов) и факультативные курсы (90 часов). В это время при изложении дифференциально-геометрического материала начал активно использоваться векторный метод и применяться тензорный анализ. Пятый курс целиком отводился на выполнение дипломной работы, которая нередко превращалась в научное исследование, так как требовала самостоятельного решения выбранной студентом или сформулированной руководителем математической задачи. Тематика этих работ нередко относилась к дифференциальной геометрии.

Профессора университетов принимали активное участие в составлении учебных программ. Так, в МГУ на механико-математическом факультете в 1938 г. В. Ф. Каганом была составлена программа курса «Дифференциальная геометрия» [11], который вёлся в третьем семестре. Программа включала три блока: учение о плоских кривых, учение о пространственных кривых (о кривых двоякой кривизны) и учение о поверхностях. Для объяснения материала начиная со второго блока применялось векторное исчисление. На этот курс на очном отделении отводилось 60 часов лекций и 30 часов практических занятий, на заочном отделении уменьшалось только количество практических занятий, объём которых составлял 20 часов. В качестве

основного пособия предлагалось использовать один из следующих учебников:

• Егоров Д. Ф. «Дифференциальная геометрия» (1923), в котором наибольшее внимание было уделено исследованию плоских и отчасти пространственных кривых. О поверхностях здесь сообщаются только первоначальные сведения.

• Бюшгенс С. С. «Дифференциальная геометрия» (1932), освещающий следующие темы: исследование плоской кривой по её уравнению, соприкосновение плоских кривых и кривизна на кривой, пространственные кривые, поверхности, кривизна поверхностей, метод подвижного репера для поверхностей. Кроме того, книга содержит большое количество упражнений и задач, сопровождающихся либо полными решениями, либо достаточными указаниями для проведения этих решений.

• Фиников С. П. «Дифференциальная геометрия» (1936) [10], в котором изложены основные вопросы приложения дифференциального исчисления к геометрии методами векторного анализа. Здесь содержится девять разделов: введение, формулы Френе, теория огибающих, общая теория поверхностей, теория кривизны поверхности, внутренняя геометрия поверхности, основные уравнения теории поверхностей, определение поверхности двумя квадратичными формами, приложения.

• Фиников С. П. «Теория поверхностей» (1934), представлявший собой наиболее полный и современный курс на русском языке, в котором был ясно изложен кинематический метод.

• Гурса Э. Курс математического анализа, т. 1 (1934) [29], содержащий основные сведения о приложении анализа к геометрии.

• Смирнов В. И. Курс высшей математики, т. 2 (1934) [7], излагающий основные вопросы приложений дифференциального исчисления к геометрии с применением операций векторного анализа.

Для практических занятий рекомендовался систематический сборник задач по основным разделам дифференциальной геометрии В. И. Милинского «Задачи по высшей геометрии. Дифференциальная геометрия» (1937) [28].

Одним из методов работы со студентами в университетах являлись научные семинары. Так, в 1930-е годы в МГУ П. С. Фиников вёл научный семинар по классической дифференциальной геометрии, В. Ф. Каган — тензорные методы в геометрии, Павел Сергеевич Александров (1896—1982) — топологию. В это время

в Ленинградском университете работали свыше 10 семинаров. В их числе семинары по топологии (А. А. Марков), дифференциальной геометрии «в целом» и многомерной дифференциальной геометрии (С. Э. Кон-Фоссен (1902—1936) и О. К. Житомирский (1891—1942)). В Казанском университете работал научный семинар (П. А. Широков), на котором обсуждались вопросы тензорной дифференциальной геометрии.

К концу 1930-х годов в Советском Союзе было 28 университетов, составлявших мощную базу подготовки научных кадров. По ряду научных направлений, в частности и в некоторых областях дифференциальной геометрии, страна вышла на ведущие позиции в мире.

В годы Великой Отечественной войны на физико-математических факультетах университетов в учебные планы были введены четыре цикла специальных военных дисциплин, один из которых изучался по выбору студентов. Артиллерийский цикл включал внешнюю и внутреннюю баллистику, теорию стрельбы и приборы управления огнём; «Аэродинамика самолёта» — теорию крыла и пропеллера, конструкцию самолётов, динамику полётов и устойчивость самолётов, экспериментальную аэродинамику и аэродинамический расчёт самолёта; «Расчёт на прочность конструкций» — расчёт авиаконструкций, прикладную теорию упругости и теорию колебаний; «Авиационные приборы» — механику машин, детали механизмов, прикладную теорию упругости. Введение этих дисциплин и сокращение общего срока обучения до 3—3,5 лет потребовало уменьшения часов на другие дисциплины. Так, курс дифференциальной геометрии в МГУ сократился до 51 лекционного часа [17]. Разработанная программа по данной дисциплине состояла из четырёх блоков: вектор-функция скалярного аргумента (6 часов), плоская кривая (13 часов), пространственная кривая (12 часов), поверхности (20 часов). Изложение материала сразу велось в векторной форме.

Из учебных пособий рекомендовался только «Курс дифференциальной геометрии» П. К. Рашевского [24]. Этот учебник включает сведения о кривых на плоскости, по теории плоских и пространственных кривых и применениям к ней дифференцирования вектор-функций, а также первоначальные сведения по теории поверхностей с изложением свойств и применений линейчатых и развёртывающихся поверхностей и внутренней геометрии поверхностей. Следует отметить, что в третьем издании данного курса (1950) был добавлен краткий очерк по истории дифферен-

циальной геометрии, завершающийся описанием развития советской дифференциально-геометрической научной школы в первой половине XX века.

Через короткое время вузы вернулись к учебным планам довоенного времени. Кроме обязательных дисциплин, студенты начиная с шестого семестра, как и сейчас, слушали специальные курсы по выбору и участвовали в научных семинарах. Эти курсы и семинары играли важную роль в формировании будущих специалистов. В рассматриваемый период одной из узких специальностей в университетах была геометрия с топологией, включающая углублённую подготовку по дифференциальной геометрии.

В 1949 г. Министерство высшего образования СССР разработало новые учебные планы и программы с учётом задач послевоенного строительства. Однако до 1955 г. они изменялись ещё несколько раз. Основной недостаток всех учебных планов послевоенного времени — чрезмерная перегрузка студентов. Недельная нагрузка составляла на первом курсе 38 часов, на втором — 40, на третьем и четвёртом — 42, а иногда и более. Министерству высшего образования СССР было указано на недопустимость учебной перегрузки и предложено пересмотреть учебные планы вузов, сократив недельную нагрузку до 36 часов.

В университетах страны на очных и заочных отделениях физико-математических и механико-математических факультетов в период с 1949 по 1961 г. использовались учебные программы по дифференциальной геометрии, составленные профессором МГУ П. К. Рашевским [25]. Программа состояла из следующих разделов: введение, теория кривых, основы теории поверхностей. Во введении предлагалось познакомить студентов с предметом и методом дифференциальной геометрии, а также важнейшими этапами её развития. Теория плоских и пространственных кривых излагалась с применением вектор-функции и её дифференцирования. Векторный метод выступал в качестве основного и для изложения основ теории поверхностей. Учебный материал, представленный в программе, завершался формулировкой теоремы об определении поверхности двумя квадратичными формами. В программах 1949—1954 гг. присутствовала ещё геометрия Лобачевского на псевдосфере.

Пётр Константинович Рашевский (1907—1983) был воспитанником геометрической школы В. Ф. Кагана. В 1929 г. он окончил Московский университет, в 1938 г. стал его сотрудником. В этом же году защитил докторскую диссертацию, посвя-

щённую метрической двойственности, где в основу берутся пространства линейных элементов и из них выделяются те, которые обладают двойственностью в измерении расстояний и углов. С 1964 г. П. К. Рашевский возглавлял кафедру дифференциальной геометрии на механико-математическом факультете МГУ. После его смерти кафедра временно была слита с другим коллективом и была вновь восстановлена в 1992 году под названием «Кафедра дифференциальной геометрии и приложений» (заведующий А. Т. Фоменко). Эта кафедра активно развивается, причём в огромной степени благодаря тем задачам и идеям, которые были поставлены и высказаны П. К. Рашевским [26].

Научные результаты П. К. Рашевского относятся к различным отраслям современной геометрии. Много лет под его руководством работал известный семинар «Тензорный анализ и его приложения». Пётр Константинович является автором ряда учебников и монографий, среди которых работы и по дифференциальной геометрии: «Введение в риманову геометрию и тензорный анализ» (1936), «Курс дифференциальной геометрии» (4-е изд., 1956), «Риманова геометрия и тензорный анализ» (1953).

В 50-е годы XX века в Ленинградском университете курс «Дифференциальная геометрия» читал Александр Данилович Александров (1912—1999). По воспоминаниям его бывших студентов, Александрова отличала артистичная манера преподавания: В. А. Залгаллер считал его «лектором от науки, от творчества, а не от рутинного преподавания», а Ю. Ф. Борисов отмечал, что его лекции и доклады были пропитаны «неравнодушностью» к тому, о чём шла речь.

С осени 1945 года на матмехе ЛГУ под руководством Александрова начал работать геометрический семинар, на котором он благодаря своей исключительной научной щедрости дарил его участникам темы и перспективные идеи для исследований, в том числе и по дифференциальной геометрии. Так, В. А. Залгаллер вспоминал: «Александр Данилович постоянно внушал нам самоценность познания и единство всей науки. Он заражал нас интересом к широкой тематике» [14]. А. М. Вершик, характеризуя А. Д. Александрова — молодого профессора и ректора университета, писал: «Тогда ему было всего сорок лет и он был окружён не просто уважением, но обожанием студентов. Необычностью и «необщностью взгляда» дышало каждое его появление перед студентами, отчего и возникало ожидание какого-то интеллектуального сюрприза, который будет вскоре преподнесён, или будет

услышано что-то необычное, будоражащее мысль. Тогда, студентами, мы ещё не могли вполне правильно оценить его математическую мощь, но охотно верили старшим, говорившим, что геометрия в Ленинграде — это Александров» [1].

А. Д. Александров активно занимался философией, историей и популяризацией науки. Так, в книге «Математика, её содержание, методы и значение» (1953, 1956) [4], помимо вводной главы «Общий взгляд на математику», в которой был дан анализ общефилософских проблем математики и её истории, он написал специальную главу «Кривые и поверхности», где, не сбиваясь на узкопрофессиональные нюансы, изложил основные вопросы дифференциальной геометрии. Книга стала одной из вершин методологии математики и получила признание среди широкого круга читателей.

В послевоенной математической жизни Казанского университета весьма положительную роль сыграло приглашение на кафедру геометрии профессора Александра Петровича Нордена (1904—1993), заведовавшего до этого кафедрой математики в Новосибирском институте инженеров транспорта. А. П. Норден был воспитанником Московского университета (1930 г.), учеником В. Ф. Кагана и С. П. Финикова. В 1937 г. в Москве он защитил докторскую диссертацию «О внутренней геометрии поверхностей проективного пространства».

В 1945 г., после смерти заведующего кафедрой геометрии Казанского университета П. А. Широкова, А. П. Нордена пригласили заведовать этой кафедрой. Поскольку научные интересы А. П. Нордена были близки к направлению исследований П. А. Широкова и его учеников, он возглавил группу казанских геометров, активно включился в университетскую жизнь и работу в Казанском физико-математическом обществе. В Казани А. П. Норден становится одним из выдающихся советских геометров, создаёт свою научную школу. Вместе со своими учениками ему удалось получить решение многих важных вопросов теории поверхностей и сетей [16].

Исследовательская работа А. П. Нордена сопровождалась талантливой педагогической деятельностью, в которой проявилось его умение отыскивать оригинальные простые пути в изложении учебного материала, его стремление ввести слушателей в круг проблем современной геометрии [5]. Свой опыт преподавания курса «Дифференциальной геометрии» А. П. Норден отразил в кратком, но богатом содержанием учебнике «Дифференциаль-

ная геометрия» (1948) [13] и в сложившейся на основе читанных им спецкурсов монографии «Теория поверхностей» (1956) [22], в которой представлено тензорное изложение этой теории, а также большой оригинальный материал по теории сетей, скалярных и векторных полей на поверхностях.

К имевшейся учебной литературе по дифференциальной геометрии в указанный период добавились следующие пособия:

• Выгодский М. Я. «Дифференциальная геометрия» (1949) [21]. По содержанию материала эта книга в основном совпадает с другими руководствами по дифференциальной геометрии, но в ней преобладает синтетический метод изложения. Это позволяет идти от условия вопроса к его решению прямым путём, выполняя геометрические построения и вычисления, внутренне связанные с исследуемыми объектами. Таким образом, сама геометрическая фигура всё время находится в поле зрения учащегося.

Синтетический метод исследования применялся в дифференциальной геометрии с самого момента её возникновения. Но в учебной литературе она излагалась преимущественно аналитически, т.е. исследуемые геометрические объекты относились к некоторой системе координат, что позволяло решение геометрического вопроса свести к исследованию соответствующих уравнений, связывающих координаты. Плодотворность аналитического метода общеизвестна, однако, как отмечает М. Я. Выгодский, «он имеет и свою обратную сторону. Именно, в течение всего процесса исследования геометрические объекты и, что важнее всего, их внутренние связи оттесняются на задний план и остаются в тени. Вследствие этого утрачивается наглядность, а вместе с тем и психологическая убедительность» [6, с. 8]. Поэтому при изложении материала М. Я. Выгодский умело сочетает аналитические и синтетические рассуждения.

• Погорелов А. В. «Лекции по дифференциальной геометрии» (1955) [23]. В основу этой книги положены лекции автора, которые он читал на физико-математическом факультете Харьковского университета. Несмотря на сравнительно небольшой объём, она охватывает все разделы курса дифференциальной геометрии для математических специальностей университетов и пединститутов. Автор даёт строгое изложение основ дифференциальной геометрии и типичных для неё методов исследования, не нарушая при этом значительно устоявшихся традиций. Следует отметить, что данное учебное руководство было одним из первых, где основные понятия «кривая» и «поверхность» вводятся с

применением языка топологии. Каждый из теоретических разделов богато снабжён упражнениями и задачами повышенной трудности.

• Кон-Фоссен С. Э. «Некоторые вопросы дифференциальной геометрии в целом» (1959) [12]. В книгу включены все основные статьи известного немецкого геометра С. Э. Кон-Фоссена, эмигрировавшего в 1934 г. в СССР. По тематике они относятся в основном к дифференциальной геометрии «в целом». Многие теоремы этой области наглядны, формулируются в общеизвестных терминах, и доказательства их часто оказываются доступными для понимания без специальной подготовки. Наглядность изложения является одним из привлекательных качеств этой книги, позволивших рекомендовать её в качестве учебного пособия по данному разделу дифференциальной геометрии.

• Моденов П. С. «Сборник задач по дифференциальной геометрии» (1949) [18]. Настоящий сборник был составлен для физико-математических факультетов педагогических институтов. Однако, как считал сам автор, это пособие можно использовать и студентам механико-математических, физических и физико-математических факультетов университетов. Задачник прошёл серьёзную апробацию. Помещённые в сборнике задачи П. С. Моденов сначала предлагал на практических занятиях по дифференциальной геометрии, которыми он руководил с 1932 г. на физическом факультете МГУ. Имея в виду в основном будущего учителя, автор подбирал задачи, стремясь их разнообразить и со стороны содержания и со стороны методов решения. Так, например, в сборник были включены задачи, связанные со смежными дисциплинами: с математическим анализом, физикой, теоретической механикой (задачи, связанные с движением материальной точки под действием центральной силы, движение электрона в магнитном поле, задачи о рулетках, о равновесии нити, задачи о каустике, некоторые вопросы плоскопараллельного движения и т.д.).

В 60-х годах прошлого века роль университетов в общей системе народного образования в нашей стране значительно возрастает. Увеличивается общее количество университетов, а вместе с ним и факультетов математического профиля.

В 1959 г. в составе Сибирского отделения Академии наук СССР, созданного в мае 1957 г., был открыт Новосибирский университет. Он рассматривался как важная составная часть научного центра, как учебное заведение, готовящее специалистов на базе академических институтов и в тесной связи с ними. Для ра-

боты сюда были приглашены научно-педагогические кадры высшей квалификации. Студенты старших курсов принимали непосредственное участие в исследованиях, проводимых в научных учреждениях, и сотрудники этих учреждений вели педагогическую работу на всех курсах университета. В 1961 г. в университете был организован механико-математический факультет, реорганизованный в 1967 г. в математический с отделениями математики и инженерной математики. По уровню математической подготовки студентов Новосибирский университет встал в один ряд с ведущими вузами страны.

Лекции по дифференциальной геометрии на мехмате с 1968 по 1986 г. читал А. Д. Александров. Они резко контрастировали с лекциями других профессоров. По словам его слушателей, эти лекции были «непривычны: много говорилось, комментировалось, показывалось на пальцах или с помощью листка бумаги и очень мало писалось на доске. Выкладки приводились самые простые, а в случае длинных вычислений слушатели отсылались к учебнику А. В. Погорелова. Студенты... были заворожены манерой изложения материала: перед ними открывалась сущность дифференциальной геометрии, освобождённой от излишних формул, от сухости формальной трактовки математики, которая вошла в моду благодаря книгам Николы Бурбаки. Над А. Д. Александровым в аудитории незримо витал дух Ленинградской геометрической школы» [8, с. 9]. В итоге в Новосибирске этим учёным была создана мощная школа дифференциальной геометрии.

В 1959/60 учебном году университеты начали работать по новым учебным планам, которые были составлены с учётом требований вышедшего закона «Об укреплении связи школы с жизнью и о дальнейшем развитии системы народного образования в СССР». Новые учебные планы явились результатом большой творческой работы научно-педагогических коллективов университетов. При их составлении был учтён положительный опыт, приобретённый за все предыдущие периоды. Главная особенность этих планов заключалась в том, что они вводили, по существу, новую учебную систему, построенную на сочетании учебной деятельности студентов с их трудом на производстве при значительном усилении общенаучной и специальной подготовки. В учебные планы по математике добавлялись дисциплины, связанные с вычислительной математикой и техникой, включая практикум по вычислительным машинам. Было увеличено и ко-

личество часов, отводимых на курс «Дифференциальная геометрия»: 82 часа — лекции, 26 часов — практические занятия.

Предусматривалась широкая система специальных курсов и семинаров; на спецкурсы отводилось 290 часов, на семинары — 200 часов. Целью небольших по объёму (30—70 часов) спецкурсов и семинаров было углублённое изучение студентами более узкой области науки, ознакомление с новейшими достижениями в этой области. Кроме того, учебный план предусматривал выполнение курсовой работы и учебную практику на вычислительных машинах в течение четырёх недель. Курсовые работы были направлены на подготовку студентов к научно-исследовательской деятельности. В процессе их выполнения учащиеся приобретали навык поиска и использования научной информации. В конце обучения каждый студент защищал результаты выполненной им дипломной работы.

Советам факультетов предоставлялось право изменять количество часов по дисциплинам учебного плана и последовательность их изучения, обеспечив необходимый минимум знаний, определяемый учебными программами, без превышения 36-часовой недельной нагрузки.

При изложении дифференциальной геометрии в университетах всё чаще применяется тензорное исчисление. Этот процесс ясно отражён в учебной программе 1962 г. по курсу «Дифференциальная геометрия и тензорный анализ», составленной для специальности «Математика» университета Дружбы народов им. Патриса Лумумбы (учреждённого в Москве в 1960 г.) [27]. Наряду с основами тензорного анализа и его приложениями к дифференциальной геометрии в программе нашли отражение новые научные результаты дифференциальной геометрии XX столетия. Например, при изложении данного учебного курса рассматриваются различия между задачами изучения поверхности «в малом» и в «целом».

В августе 1964 г. утверждён новый учебный план, в котором перечень математических дисциплин был изменён в целях улучшения теоретической и практической подготовки будущего специалиста. Так, в рассматриваемый учебный курс добавлены элементы теории поля [20]. Общая трудоёмкость этого курса составляла: для специальности «Математика» — 70 часов лекций и 40 часов практических занятий, для специальности «Механика» — 54 часа лекций и 18 часов практических занятий.

К учебному плану прилагался примерный перечень факультативных курсов и курсов по выбору. Их тематика, как правило, определялась основными научными направлениями кафедр и в какой-то мере характеризовала научную направленность университета. Например, в перечне специальных курсов Харьковского университета значились геометрия в целом и риманова геометрия; Киргизского университета — многомерная дифференциальная геометрия; Калининградского университета — метод внешних форм Картана, дифференциальная геометрия погруженных многообразий, общая теория связностей, расслоение пространства и дифференцируемые многообразия.

Учебные планы вечерних и заочных отделений включали те же обязательные и факультативные дисциплины, что и на стационаре, однако в них несколько сокращено количество лекций и практических занятий. Для заочных отделений физико-математических факультетов многие вузы использовали учебные программы по дифференциальной геометрии, составленные П. К. Рашевским, рассчитанные на 18 часов лекций и 10 часов практических занятий. Появляются рабочие планы по дифференциальной геометрии [9], в которых указывается общая трудоёмкость дисциплины, план каждой лекции, темы практических занятий, содержание самостоятельной работы студентов, рекомендуемая учебная литература по каждой теме и порядок работы с ней. Методические пособия такого рода способствовали грамотной организации самостоятельной работы студентов при изучении курса дифференциальной геометрии и позволяли экономить аудиторное время.

Механико-математические факультеты некоторых университетов (Московского, Ленинградского, Киевского и Новосибирского) получили право работать по индивидуальным планам. Такие планы составлялись самими факультетами с учётом накопленного ими опыта, а также научных направлений, получивших наибольшее развитие на данном факультете. Индивидуальные планы позволяли отразить в учебном процессе научные достижения сложившихся на факультетах научных коллективов и способствовали ускорению процесса их внедрения в практику.

Следует отметить, что учебные планы, и типовые и индивидуальные, не были чем-то незыблемым. Научно-педагогические коллективы университетов непрерывно работали над их усовершенствованием. К этой работе привлекались и представители тех учреждений и организаций, где впоследствии должны были рабо-

тать выпускники-математики, — институтов математики Академии наук СССР и союзных республик, вычислительных центров и т.д. Например, программа 1978 г. курса «Дифференциальная геометрия» для государственных университетов по специальности «Математика» была составлена членом-корреспондентом АН СССР, профессором Сергеем Петровичем Новиковым (р. 1938). Большое внимание в ней уделялось изложению вопросов n-мерной дифференциальной геометрии в тензорном исчислении. Рекомендовалось «внедрять эту программу постепенно в течение двух-трёх лет, чтобы преподавательский состав университетов мог достаточно продумать предлагаемые изменения» [19].

Важным фактором развития математического образования в СССР явилось введение в университетах специализации по вычислительной математике и счётно-решающим устройствам. Деятельность математика-вычислителя сводится в первую очередь к разработке математических методов решения задач в различных областях науки и техники. Некоторые из этих методов давала дифференциальная геометрия, поэтому данный курс был включён в учебный план для специальности «Вычислительная математика» в качестве одного из основных. Кроме того, расширить свои знания в этой области студенты могли на соответствующем курсе по выбору.

С 70-х годов XX века во многих вузах страны были объединены курсы дифференциальной геометрии и топологии, что позволило использовать знания по топологии при определении таких понятий, как «линия», «поверхность», «геометрическое тело» и т.д. Новый курс был рассчитан на 144 часа, из них 90 часов лекций и 54 часа практических занятий [19].

После 1960 г. появилась обширная учебная литература по различным вопросам дифференциальной геометрии.

Накопленный в XX столетии опыт преподавания дифференциальной геометрии в университетах создаёт прочную базу для построения указанного курса в настоящее время.

Список использованной литературы

1. Академик Александр Данилович Александров: Воспоминания. Публикации. Материалы. (Учёные России. Очерки, воспоминания, материалы) / отв. ред. Г. М. Идлис, О. А. Ладыженская. М. : Наука, 2002. 399 с.

2. Александров А. Д. Геометрия в Ленинградском университете // Вестник Ленинградского университета. Л., 1947. № 11.С. 124—148.

3. Александров И. А., Крылов П. А. Ф. Э. Молин — учёный и педагог // Вестник Томского государственного университета. Томск, 2011. №3(15). С. 6—11.

4. Вершик А. М. Неравенство Александрова. Александр Данилович, каким я его знал // Санкт-Петербургский университет. СПб., 2004. 8 февр. (№ 3—4). С. 36—40.

5. Вишневский В. В., Копп В. Г., Лаптев Б. Л., Широков А. П. О новых работах Александра Петровича Нордена (К восьмидесятилетию со дня рождения) // Труды геометрического семинара. Казань, 1984. Вып. 16. С. 5—8.

6. Выгодский М. Я. Дифференциальная геометрия. М. ; Л., 1949. 512 с.

7. Гурса Э. Курс математического анализа / пер. с фр. А. И. Некрасова. М., 1934. Т. 1.694 с.

8. Гуц А. К. Машина времени Геделя и проблема Александрова // Математические структуры и моделирование. Омск, 2002. Вып. 10. С. 9—12.

9. Кабанов Н. И. Рабочий план по дифференциальной геометрии для студентов заочного отделения механико-математического факультета Саратовского государственного университета. Саратов, 1964. 7 с.

10. Каган В. Ф. Программа курса «Дифференциальная геометрия». М, 1938.2 с.

11. Канунов Н. Ф. Фёдор Эдуардович Молин. М., 1983. 111 с.

12. Кон-Фоссен С. Э. Некоторые вопросы дифференциальной геометрии в целом. М. : Физматгиз, 1959. 303 с.

13. Лаптев Б. Л. Математика в Казанском университете за 40 лет (1917—1957) // Историко-математические исследования. М., 1959. Вып. 12. С. 11—58.

14. Литвинов Г. Л., Фоменко А. Т. Вспоминая Петра Константиновича Рашевского : доклад на заседании Московского математического общества, посвященном 100-летию со дня рождения П. К. Рашевского, 27 ноября 2007 года [Электронный ресурс]. URL: http://dfgm.math.msu.su/ rashevski.htm.

15. Лопшиц А. М., Рашевский П. К. Вениамин Фёдорович Каган. М., 1969. 44 с.

16. Математика, её содержание, методы и значение : в 3 т. / под ред. А. Д. Александрова, А. Н. Колмогорова, М. А. Лаврентьева. М., 1956.

17. Милинский В. И. Задачи по высшей геометрии. Дифференциальная геометрия // Житомирский О. К., Львовский В. Д., Милинский B. И. Задачи по высшей геометрии. М. ; Л., 1937. Ч. 2. 296 с.

18. Моденов П. С. Сборник задач по дифференциальной геометрии. М., 1949. 240 с.

19. Новиков С. П. Программа курса «Дифференциальная геометрия» для государственных университетов. Специальность: 2013 Математика. М., 1978.4 с.

20. Новиков С. П., Фоменко А. Т. Программа курса «Дифференциальная геометрия и элементы теории поля». М, 1977. 7 с.

21. Норден А. П. Дифференциальная геометрия. М, 1948. 216 с.

22. Норден А. П. Теория поверхностей. М, 1956. 260 с.

23. Погорелов А. В. Лекции по дифференциальной геометрии. Харьков, 1955. 148 с.

24. Программа курса дифференциальной геометрии / отв. ред. Д. Н. Насилов. М. : МГУ, 1944. 1 с.

25. Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии. М. ; Л., 1938.336 с.

26. Рашевский П. К. Программа по дифференциальной геометрии (для физико-математических и механико-математических факультетов государственных университетов). Специальности — математика и механика. М., 1949. 4 с. ; 1950. 4 с. ; 1951. 2 с. ; 1952. 2 с. ; 1954. 2 с. ; 1955. 2с; 1957.2 с; 1960.4 с

27. Рыжков В. В. Программа по дифференциальной геометрии и тензорному анализу для специальности математика. М., 1962. 3 с.

28. Смирнов В. И. Курс высшей математики. М., 1934. Т. 2. 656 с.

29. Фиников С. П. Дифференциальная геометрия. М., 1936. 236 с.

И. В. Игнатушина

Особенности преподавания дифференциальной геометрии в педагогических институтах после 1917 года

В России до 1917 г. существовало 150 учительских семинарий, готовивших учителей начальных школ, 19 учительских институтов, выпускники которых имели право работать в городских училищах, и только два высших педагогических института для подготовки учителей средней школы. Поэтому после Октябрьской революции в стране, где развёртывалась сеть школ, возникла острая потребность в педагогических кадрах.

Поначалу вся работа по преобразованию учительских институтов в высшие учебные заведения и по организации новых высших педагогических учебных заведений проводилась непосредственно на местах, стихийно и без учёта местных возможностей. Но уже в середине 1919 г. этот процесс взял под свой контроль Народный комиссариат просвещения РСФСР.

В августе 1919 г. Второй Всероссийский съезд по просвещению вынес решение об организации сети единых высших педаго-

гических учебных заведений — институтов народного образования. К концу 1920 г. в РСФСР было уже 59 таких институтов и в большинстве из них имелись математические и физические отделения. Учителей готовили и университеты, в которых были организованы педагогические факультеты с физико-математическими отделениями. Существовали также практические институты народного образования, которые в дальнейшем были реорганизованы в педагогические техникумы, а затем в педучилища.

В 20-е годы прошлого века в педагогических институтах широко применялся бригадно-лабораторный метод. Практика показала всю несостоятельность этого метода, и в 1932 г. он был отменён.

В феврале 1924 г. в Москве состоялась первая Всероссийская конференция по педагогическому образованию, на которой были определены направления и содержание подготовки учителей и принят примерный учебный план педагогического вуза. Следует отметить, что в этом плане очень мало внимания уделялось специальным научным дисциплинам — они занимали всего 38% общего времени.

В 1927 г. были утверждены новые учебные планы высших педагогических учебных заведений, в которых специальные предметы были представлены несколько шире. Срок обучения на физико-математическом факультете увеличился до пяти лет.

Согласно этому плану, специальная математическая подготовка включала курс математического анализа, в котором излагались и вопросы дифференциальной геометрии. Так, на физико-математическом отделении педагогического факультета Северо-Кавказского государственного университета дифференциальная геометрия изучалась на третьем курсе как раздел математического анализа. Этот факт отражён в сборнике программ педагогического факультета на 1927/28 учебный год [10]. В данном разделе освещалась теория кривых на плоскости и в пространстве, а также теория поверхностей в достаточно полном объёме. В заключение рассматривались проблемы построения географических карт. При этом использовались только средства математического анализа без привлечения векторного и тензорного исчислений. В качестве учебных пособий рекомендовалось использовать «Дифференциальную геометрию» Д. Ф. Егорова и «Курс анализа» К. А. Поссе.

В начале 1930-х годов дифференциальную геометрию в Северо-Кавказском университете вёл выпускник Киевского универ-

ситета профессор Владимир Петрович Вельмин (1885—1974), который сыграл большую роль в становлении ростовской математической школы. Лекции он читал искусно, с элементами историзма и глубокого анализа проблемы, с большим вниманием относился к молодёжи, которая отвечала ему любовью.

Растущая сеть средних и высших школ остро нуждалась в преподавателях-математиках. В связи с этим в 1932 г. повсеместно начинается организация физико-математических факультетов в педагогических институтах.

В 1934 г. были изданы первые программы по математическим дисциплинам для педагогических институтов. Согласно этой программе дифференциальная геометрия изучалась как раздел математического анализа. Помимо векторной алгебры и векторного анализа, с которыми студенты здесь знакомились впервые, в него входили вопросы, относящиеся к изучению плоских и пространственных кривых. Учение о поверхностях было представлено лишь одним пунктом, освещающим такие вопросы, как касательная плоскость и нормаль к поверхности, квадрат линейного элемента.

С середины 30-х годов начинают издаваться учебники по математике, специально предназначенные для студентов педагогических институтов. К таким учебным пособиям относится «Дифференциальная геометрия» (1936) С. П. Финикова [11].

Научная общественность постоянно проявляла интерес к учебной деятельности в педагогических институтах. Так, профессор МГУ Александр Яковлевич Хинчин (1894—1959) в докладе 1939 г. на заседании Московского математического общества, посвященном преподаванию математики в школе, предложил в педагогических институтах широко развивать сеть факультативных курсов, семинаров и кружков. Семинары, указывал он, играют важную роль в подготовке будущих учителей к творческой деятельности; специальные курсы позволяют студентам познакомиться с проблемами современной математики. Во многих педагогических высших учебных заведениях на семинарах и спецкурсах рассматривались вопросы дифференциальной геометрии.

В 1938 г. дифференциальная геометрия в педагогических институтах становится уже самостоятельной дисциплиной. Она изучалась в четвёртом или пятом семестре. 2 ноября 1938 г. Всесоюзным Комитетом по делам высшей школы при СНК СССР была утверждена программа по дифференциальной геометрии, разработанная С. П. Финиковым специально для физико-математических факультетов педагогических институтов [12].

Согласно этой программе свойства кривых на плоскости изучались только методами математического анализа, векторное исчисление начинали применять при исследовании пространственных кривых и плоскостей. Рекомендовалось при изложении пространственных кривых принимать за параметр длину дуги, а изложение теории поверхностей вести в ортогональной системе координат. Всё это позволяло выяснить геометрические свойства рассматриваемых образов, используя более простой аппарат формул.

Обязательным пунктом рассматриваемой учебной программы был исторический обзор дифференциальной геометрии. Он знакомил студентов с происхождением каждого из её разделов, причинами их возникновения и особенностями развития, а также с деятельностью учёных, сыгравших важную роль в этом процессе. Это, с одной стороны, способствовало лучшему усвоению данной дисциплины, с другой — позволяло продемонстрировать студентам на примере изучения дифференциальной геометрии эффективный методический приём использования элементов историзма в обучении математике.

На практических занятиях при решении задач студентов знакомили с кривыми и поверхностями, имеющими приложения в технике. Программа была обязательной по объёму, но по усмотрению преподавателя отдельные её вопросы могли быть изложены в изменённом порядке. В качестве учебных пособий использовались курсы дифференциальной геометрии С. П. Финикова, А. П. Нордена, С. С. Бюшгенса, П. К. Рашевского и задачники В. И. Милинского, П. С. Моденова, Н. М. Гюнтера и Р. О. Кузьмина.

Программа по дифференциальной геометрии С. П. Финикова с некоторыми изменениями и дополнениями использовалась в большинстве педагогических вузов вплоть до 60-х годов XX века. Наряду с ней разрабатывались и другие учебные программы по данной дисциплине. Так, в Московском областном педагогическом институте, основанном в 1931 г., дифференциальную геометрию преподавали в соответствии с учебной программой, составленной в 1947 г. заведующим кафедрой геометрии, профессором Сергеем Владимировичем Бахваловым (1898—1963), который являлся учеником С. П. Финикова [12].

Отличительной особенностью этой учебной программы является то, что в ней исключён раздел о плоских кривых. Предлагалось вопросы учения о плоских кривых рассматривать как частные случаи учения о пространственных кривых (например,

длина дуги, кривизна, понятие об особых точках и т.п.). Построение плоских кривых и анализ их формы по уравнениям производились на основе прочитанного материала на практических занятиях. Такой подход позволял сэкономить Уз бюджета времени и перераспределить оставшиеся часы на более основательное изучение других разделов.

Особое внимание уделялось учению о поверхностях, как наиболее способствующему геометрическому развитию и эрудиции будущих учителей, в частности доступным вопросам о построении геометрии на поверхности. Для изложения материала использовалось векторное исчисление.

Расчёт времени по основным разделам программы дан в таблице 1.

Таблица 1

Название темы или раздела

Рекомендуемое число часов

Из них

лекции

практические занятия

1. Учение о кривых

30

21

9

2. Учение о поверхностях

38

30

8

Итого

68

51

17

Рекомендовалось использовать в качестве основной учебной литературы курс С. П. Финикова и задачник В. И. Милинского, в качестве дополнительной — учебники С. С. Бюшгенса и П. К. Рашевского.

В Ленинградском педагогическом институте им. А. И. Герцена дифференциальную геометрию в 1957 г. ввели в состав курса высшей геометрии, включавшего также проективную геометрию и основания геометрии. Программа этого курса была разработана профессором Ильей Яковлевичем Бакельманом (1928— 1992), возглавлявшим кафедру геометрии. В соответствии с этой программой И. Я. Бакельман издал учебник «Высшая геометрия» для студентов педагогических институтов [4]. В нём освещались следующие разделы дифференциальной геометрии: основы теории кривых, основы теории поверхностей, внутренняя геометрия поверхности. Краткий и чёткий язык изложения, достаточное число иллюстраций позволили сделать эту книгу полезным и доступным пособием для студентов как очных, так и заочных педагогических институтов.

В 1954 г. Министерство высшего образования СССР утвердило новые учебные планы по специальности «Математика» для педагогических институтов с четырёхлетним сроком обучения (квалификация — «учитель математики и физики средней школы», «учитель математики средней школы»). Согласно этим планам было сделано некоторое перераспределение часов на математические курсы. Так, в учебном плане, по которому осуществлялась подготовка учителей математики и физики, прежде обязательный курс дифференциальной геометрии был переведён в разряд факультативных. В учебном плане для специальности «Учитель математики средней школы» курс дифференциальной геометрии остался обязательным.

Для студентов-заочников физико-математических факультетов педагогических институтов к курсу «Дифференциальная геометрия» разрабатывались специальные методические указания, которые позволяли организовать самостоятельную работу по его изучению. В них описывался порядок знакомства с данной дисциплиной, указывалась соответствующая учебная литература, приводились примеры решения базовых задач, а также список вопросов для самоконтроля и задачи для самостоятельного решения. Одно из таких методических пособий было разработано в 1954 г. П. С. Моденовым [8]. Изложение материала автор начинает с указания роли и значения дифференциальной геометрии. Он отмечает, что дифференциальная геометрия имеет большое значение для понимания теории относительности в физике и необходима для освоения теоретической механики и физики. Курс, который будет изучен, поможет студенту хорошо понять геометрию Н. И. Лобачевского и современную проблему о геометрической структуре нашего реального пространства.

Отметим, что в 40-х годах XX века значительная часть преподавателей готовилась в стенах учительских институтов. В 50-х годах эти институты, как правило, были преобразованы в педагогические с четырёхлетним сроком обучения, что привело к качественному изменению высшего педагогического образования. Начавшаяся в середине 50-х годов научно-техническая революция поставила перед отечественной педагогической высшей школой новые, более сложные задачи.

Развитие математики существенным образом влияло на содержание учебных планов и программ. Новые разделы математики появлялись сначала в виде специальных и факультативных курсов, а затем переносились в основной курс. Применение но-

вых методов позволяло изложить старый программный материал в более сжатые сроки и высвободить время для изучения новых разделов. Это влекло за собой перераспределение часов и изменение программ. С середины 50-х годов этот процесс происходит на физико-математических отделениях тех педагогических вузов, которые получили право работать по учебным планам, разработанным своими математическими кафедрами. Такая картина наблюдалась в Московском педагогическом институте им. В. И. Ленина, Московском областном педагогическом институте им. Н. К. Крупской, Ленинградском педагогическом институте им. А. И. Герцена и в Ивановском педагогическим институте.

В 1954—1959 гг. Математическая комиссия при Министерстве просвещения под руководством профессоров Московского государственного педагогического института им. В. И. Ленина Алексея Ивановича Маркушевича (1908—1979) и Виктора Иосифовича Левина (1909—1986) разработала учебный план и программы для математических факультетов и отделений педагогических институтов. В этих документах в значительной степени нашла отражение практика упомянутых четырёх институтов. В учебный план был введён ряд математических предметов, отражавших особенности научно-технической революции.

Эти планы начали внедряться в 1962/63 учебном году, когда педагогические институты перешли на подготовку выпускников по специальности «Учитель математики средней школы» с четырёхлетним сроком обучения. Наряду с этим во многих вузах сохранилась подготовка по специальности «Учитель математики и физики средней школы» с пятилетним сроком обучения.

Были пересмотрены и усовершенствованы учебные программы по математическим курсам. Так, в курс математического анализа из дифференциальной геометрии перенесён ряд геометрических приложений (кривые на плоскости и в пространстве). Сам курс дифференциальной геометрии был объединён с курсами оснований геометрии и проективной геометрии в единую учебную дисциплину — высшую геометрию. Сюда же был включён новый раздел «Элементы топологии замкнутых поверхностей». Введение единого курса позволяло дать стройное логическое изложение высшей геометрии.

В тех педагогических вузах, где учебный план был рассчитан на пять лет, дифференциальная геометрия продолжала читаться как самостоятельный курс. Подтверждением этому служит программа для педагогических институтов по дифференциальной

геометрии, вышедшая в 1962 г. под редакцией Левона Сергеевича Атанасяна (род. в 1921 г.) — профессора Московского государственного педагогического института им. В. И. Ленина [9]. Курс «Дифференциальная геометрия» вёлся в пятом семестре и содержал два раздела.

Первый раздел знакомил студентов с теорией кривых на плоскости и в пространстве. В этом разделе с помощью векторной функции скалярного аргумента изучались свойства кривых и вводились основные инварианты — кривизна и кручение. При изложении этого раздела рекомендовалось ознакомить учащихся с элементарными приложениями изучаемой теории к некоторым разделам теоретической механики. С этой целью использовали кинематический способ изложения теории кривых.

Второй раздел курса был посвящен общей теории поверхностей. Здесь рассматривались различные способы задания поверхности, определялись касательная плоскость и нормаль, вводились в рассмотрение первая и вторая кривизны поверхности, изучались кривые на поверхности, в частности, замечательные линии. Изложение теории поверхностей завершалось доказательством теоремы об определении поверхности при помощи двух квадратичных форм.

Для сокращения вывода основных уравнений поверхности предлагалось использовать метод внешних форм, основы которого изложены в книге С. П. Финикова «Дифференциальная геометрия».

В конце курса рекомендовалось дать исторический очерк развития дифференциальной геометрии, в котором следовало обратить внимание на роль отечественных учёных в развитии этой науки.

В связи с отсутствием практических занятий по данному курсу ведущая кафедра должна была разработать систему заданий по основным его разделам, организовывать систематические консультации и приём заданий.

С переходом к всеобщему среднему образованию возросли требования к уровню подготовки учительских кадров. В связи с этим Министерство просвещения СССР при участии научно-педагогической общественности разработало новый учебный план по специальности «Математика» с четырёхлетним сроком обучения. В плане нашли отражение современные требования к учителю средней школы. Работать по нему педагогические вузы начали в 1970 г.

В основе указанного учебного плана лежала идея создания объединённых курсов по трём основным дисциплинам: математическому анализу, алгебре и теории чисел, геометрии. Обеспеченные достаточным количеством часов, они позволяют логически стройно изложить все разделы соответствующих дисциплин и привить студентам аналитическую, алгебраическую и геометрическую культуру. Кроме того, такое построение учебного плана позволяло в случае необходимости вносить коррективы в те или иные разделы указанных дисциплин без изменения всего учебного плана.

Курс геометрии включал аналитическую, проективную и дифференциальную геометрию, основания геометрии и элементы топологии. Постановка единого курса геометрии в педвузе должна обеспечить будущему учителю достаточно широкий взгляд на геометрию и вооружить его конкретными знаниями, дающими ему возможность преподавать геометрию в средней школе по новой программе и квалифицированно вести факультативные курсы по геометрии. Программа по геометрии была разработана профессором Московского государственного педагогического института им. В. И. Ленина Вячеславом Тимофеевичем Базылевым (1919—1989) и профессором МГУ Владимиром Григорьевичем Болтянским (р. 1925). Редактором программы выступил профессор И. Я. Бакельман [3].

Сведения по дифференциальной геометрии сообщались в разделе «Линии и поверхности в евклидовом пространстве. Элементы топологии», который читался в четвёртом семестре по 2 часа в неделю. При определении линий, поверхностей, поверхностей с краем и т.д. использовались знания по топологии. Плоские кривые рассматривались как частный случай пространственных, и вся теория излагалась сразу для пространственных кривых, что позволяло сократить время на изучение теории кривых. Изложение теоретического материала заканчивалось рассмотрением внутренней геометрии поверхности и демонстрацией реализации в малом геометрии Лобачевского на поверхности постоянной отрицательной кривизны. На практические занятия отводилось 16 часов. По данному разделу предусматривалось проведение двух контрольных работ.

Следует отметить, что программа позволяла преподавателю выбирать метод для изложения материала по своему усмотрению, исходя из уровня подготовленности слушателей, а также переставлять отдельные темы курса.

В учебной программе тех же авторов 1977 г. [2] изложение вопросов дифференциальной геометрии предполагалось вести с применением векторного исчисления. Для этого были введены следующие темы: «Векторные функции одного и двух скалярных аргументов и их дифференцирование», «Понятие линии и гладкой кривой в евклидовом пространстве, их параметризация с помощью вектор-функции», «Гладкие поверхности, их параметризация с помощью вектор-функции».

В качестве учебных пособий по данному разделу геометрии рекомендовалось использовать «Краткий курс дифференциальной геометрии» А. П. Нордена, «Дифференциальную геометрию» А. В. Погорелова, «Введение в дифференциальную геометрию в целом» И. Я. Бакельмана, А. Л. Вернера, Б. Е. Кантора [5].

Указанная учебная программа по геометрии с небольшими изменениями использовалась до конца XX столетия почти во всех педагогических вузах для подготовки по специальностям «Математика», «Математика и физика». Отметим только, что в учебной программе 1987 г. из раздела, посвящённого дифференциальной геометрии, были исключены понятие о натуральном уравнении кривой и вопрос о реализации в малом геометрии Лобачевского на поверхности постоянной отрицательной кривизны. Этот вопрос перенесли в раздел «Основания геометрии с элементами геометрии Лобачевского», который изучался позднее.

Для подготовки по специальности «Физика и математика» использовали программу, составленную в 1982 г. В. Т. Базылевым и Константином Ивановичем Дуничевым [1]. По учебному плану для специальности «Физика и математика» на изучение геометрии отводилось меньшее количество часов, чем для специальности «Математика». В связи с этим программа была несколько сокращена. Сокращение коснулось и раздела «Линии и поверхности в евклидовом пространстве», посвящённого вопросам дифференциальной геометрии. Например, из программы был удалён вопрос о второй квадратичной форме поверхности. Содержание остальных вопросов было значительно упрощено.

Несмотря на то, что подавляющее большинство педагогических вузов нашей страны в XX столетии работало по государственному учебному плану и только немногие использовали индивидуальный учебный план, направления научной работы в каждом из них, а следовательно, и учебной деятельности были различными и зависели от преподавательского коллектива. Практически во всех педагогических вузах возникли научные школы

по разным направлениям. Естественно, что это положительным образом повлияло на преподавание математики. В учебный план были введены специальные и факультативные курсы, а также специальные семинары, на которых студенты имели возможность узнать о современном состоянии некоторых отраслей науки. Во многих педагогических вузах вопросы дифференциальной геометрии были избраны для изложения на таких занятиях. Например, в Московском государственном педагогическом институте им В. И. Ленина — теория поверхностей, геометрия Римана и многомерные пространства, геометрия погруженных многообразий, в педагогическом институте им. А. И. Герцена — дифференциальная геометрия в целом, риманова геометрия, в Ивановском педагогическом институте — заполнения и покрытия пространств высших размерностей, геометрия точечных решёток, в Куйбышевском педагогическом институте — дополнительные вопросы теории поверхностей, в Горьковском педагогическом институте им. А. М. Горького — проективно-дифференциальная геометрия линейчатых пространств, в Ростовском педагогическом институте — теория поверхностей, дополнительные главы дифференциальной геометрии поверхностей.

Следует отметить, что между программами по математике, в том числе и по дифференциальной геометрии, классических университетов и педагогических институтов существовал значительный разрыв. Если в педагогических институтах вплоть до середины 50-х годов на семинары и спецкурсы отводилось 80 часов, то в университетах — в четыре раза больше. Это позволяло университетам при наличии соответствующих преподавательских кадров поддерживать на достаточно высоком уровне творческую работу студентов в конкретных областях математики. Педагогические институты, за исключением некоторых, не имели в этом отношении больших возможностей. Однако со временем удельный вес этих форм учебной работы повышается и в педагогических институтах.

К концу XX столетия ряд педагогических институтов достиг университетского уровня преподавания математики. Доказательством этого является тот факт, что начиная с 90-х годов XX века многие педагогические институты были преобразованы в педагогические университеты, первым из которых стал Московский государственный педагогический университет.

В настоящее время все вузы страны работают по индивидуальным учебным планам и программам, составленным на основе

государственных стандартов высшего профессионального образования. Это позволяет не только преподавателям, но и вузам выстроить индивидуальную траекторию образовательной и научной деятельности с учётом запросов времени и собственных возможностей.

В большинстве педагогических вузов вопросы дифференциальной геометрии излагаются в общем курсе геометрии. При этом для определения понятий «линия», «поверхность» и т.п. используется язык топологии.

В качестве учебных руководств некоторые преподаватели рекомендуют свои в той или иной степени оригинальные учебные пособия, которые в условиях провинциальных учебных заведений издаются небольшим тиражом. Во многих случаях такие пособия оставляют желать лучшего. Наряду с этим выходят учебные пособия по указанному разделу геометрии, сочетающие доступность изложения с математической строгостью. Среди них учебное пособие А. Н. Чалова «Дифференциальная геометрия» (2003) [13], рекомендованное для студентов физико-математических факультетов педагогических университетов и институтов. В нём автор уделил серьёзное внимание развитию пространственного воображения у учащихся при решении дифференциально-геометрических задач. Изложение теоретического материала, где это возможно, ведётся синтетическим методом. В пособии приведены тесты, позволяющие студенту осуществить самоконтроль за уровнем овладения пройденным материалом.

Как видно из представленного материала, подготовительная работа по знакомству с приложениями дифференциального исчисления к геометрии начиналась ещё в курсе математического анализа. В некоторых учебных программах даже предлагалось полностью перенести в курс математического анализа раздел «Кривые на плоскости и в пространстве». Это, с одной стороны, позволяло показать одно из практических приложений дифференциального исчисления, с другой стороны, подготавливало прочный фундамент для дальнейшего изучения курса «Дифференциальная геометрия». При этом изложение указанного материала в курсе математического анализа велось в координатной форме, которая является наиболее простой и понятной для восприятия студентов, и только после его усвоения для дальнейшего знакомства с дифференциальной геометрией использовалось векторное исчисление, метод подвижного репера, квадратичные формы и другой аналитический аппарат. Однако в настоящее

время указанная пропедевтическая работа практически сведена на нет, что создаёт определённые трудности для студентов при изучении данного раздела геометрии.

На всем протяжении XX столетия наблюдается конверсия научных знаний из дифференциальной геометрии в соответствующий учебный предмет. Сначала о каком-либо новом научном факте по дифференциальной геометрии сообщается на научном семинаре или конференции, где ведётся обсуждение среди учёных — специалистов в этой области. Все присутствующие получают возможность познакомиться с указанным научным фактом и принять участие в обсуждении. Таким образом, они становятся носителями соответствующего научного знания. Затем некоторые из них в своей преподавательской деятельности используют полученные новые знания при составлении программ спецкурсов и спецсеминаров, и новый научный факт проникает в учебную программу вуза. В течение нескольких лет на основе организованных спецкурсов и спецсеминаров происходит поиск наиболее адаптированных приёмов и форм по знакомству студентов с этим новым научным знанием и в конечном итоге выстраивается методика изложения соответствующего учебного материала. Потом этот материал переносится в программу основного курса. При этом преподаватели продолжают вести работу по совершенствованию методики его изложения и формированию соответствующего методического обеспечения обновлённой учебной дисциплины. Данный процесс продолжается и в наше время. Разрабатываются конкретные методические системы по преподаванию курса «Дифференциальная геометрия». Один из вариантов такой системы представлен в докторской диссертации В. И. Глизбург «Методическая система обучения топологии и дифференциальной геометрии при подготовке учителя математики в аспекте гуманитаризации непрерывного математического образования» (2009) [7].

Организация двухуровневой системы высшего образования и введение магистратуры призваны осуществить более качественную подготовку выпускников, так как магистратура ориентирована на конкретный, достаточно узкий профиль подготовки и позволяет направить все силы магистранта на изучение выбранной им области. Существование похожей системы образования в дореволюционной России делает актуальным описанный опыт по преподаванию дифференциальной геометрии в процессе модернизации современных высших учебных заведений.

Список использованной литературы

1. Базылев В. Т., Дуничев К. И. Геометрия // Программы педагогических институтов. М, 1982. Сб. № 4. 10 с.

2. Базылев В. Т., Болтянский В. Г. Программы педагогических институтов для специальности № 2104 «Математика» и «Математика и физика». Геометрия. М., 1977. 13 с.

3. Базылев В. Т., Болтянский В. Г. Программы педагогических институтов. Геометрия (для специальности № 2104 «Математика»). М., 1970. 14 с.

4. Бакельман И. Я. Высшая геометрия : учеб. пособие для пед. ин-тов. М., 1967. 368 с.

5. Бакельман И. Я., Вернер А. Л., Кантор Б. Е. Введение в дифференциальную геометрию «в целом». М., 1973. 440 с.

6. Бахвалов С. В. Программа по курсу «Дифференциальная геометрия» для физико-математического факультета педагогических институтов. М., 1947. 6 с.

7. Глизбург В. И. Методическая система обучения топологии и дифференциальной геометрии при подготовке учителя математики в аспекте гуманитаризации непрерывного математического образования : дис. ... д-ра пед. наук: 13.00.02. М., 2009. 437 с.

8. Моденов П. С. Методические указания к курсу «Дифференциальная геометрия» для студентов-заочников физико-математических факультетов. М., 1954. 51 с.

9. Программы педагогических институтов. Дифференциальная геометрия / ред. Л. С. Атанасян. М., 1962. 5 с.

10. Сборник программ педагогического факультета на 1927/28 уч. г. Ростов-на-Дону, 1928. Вып. 1. Физико-техническое отделение. 78 с.

11. Фиников С. П. Дифференциальная геометрия. М., 1936. 236 с.

12. Фиников С. П. Программы педагогических институтов. Дифференциальная геометрия. Для физико-математических факультетов. М., 1939.3 с.

13. Чалов А. Н. Дифференциальная геометрия : учеб. пособие. Ростов-на-Дону, 2003. 157 с.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ В ОРЕНБУРГСКОМ КРАЕ

И. В. Прояева

Об образовании Оренбургского учебного округа

В Оренбургском крае первые образовательные учреждения стали появляться с начала его освоения. В феврале 1736 года, через год после основания Оренбурга, было принято решение о строительстве соборной церкви и открытии при ней славянолатинских школ. Это первые школы в Оренбургском крае, о которых сообщают исторические источники [1].

В 1744 году в Оренбурге открылась школа «татарских учеников», а через год — инженерная школа, в которой преподавались арифметика, геометрия, фортификация и инженерное дело.

Значительную часть населения Оренбургского края того времени составляли ссыльные и члены их семей. В 1748 году в Оренбурге была открыта школа для детей ссыльных. Наряду с государственными учреждениями в Оренбурге в этот период открывались также частные школы для обучения детей состоятельных родителей. Это первые образовательные заведения, действовавшие на территории Оренбургского края.

С течением времени ситуация с организацией учебного процесса и с профессиональной подготовкой педагогических кадров значительно изменилась. Это было связано с учреждением в России 8 сентября 1802 года Министерства народного просвещения. Однако без подведомственных ему исполнительных структур министерство мало что могло сделать. Для облегчения управления учебными заведениями Российской империи по указу императора Александра I от 24 января 1803 года были созданы учебные округа.

Первоначально было решено разделить всю территорию России на шесть учебных округов: Санкт-Петербургский, Московский, Виленский, Харьковский, Казанский, Дерптский. В каждом округе управление учебными заведениями должны были

осуществлять попечитель и местный университет. Гимназии подчинялись университету, уездные училища — директорам гимназий, приходские училища — смотрителям уездных училищ. Попечитель должен был проживать в Петербурге, входить в Главное училищ правление и регулярно (не реже одного раза в два года) проводить ревизии территорий, подведомственных округу в учебном отношении. Попечитель отвечал за благоустройство всех училищ своего округа. Совет университета отвечал за общее руководство всеми училищами округа.

25 июня 1835 года принято новое положение об учебных округах. В соответствии с ним попечитель должен был проживать на территории округа и осуществлять все функции, связанные с его руководством. При попечителе образовывались совет и канцелярия, учреждалась должность инспектора училищ. Все обязанности и права университетов по управлению учебными заведениями передавались в руки попечителей. Попечитель решал вопросы обеспечения учебных заведений кадрами, утверждая кандидатуры учителей, предлагаемые ему руководителями учебных заведений и инспекторами народных училищ. Он же увольнял их от службы. В полномочия попечителя входило также утверждение сметы расходов подведомственных ему учебных заведений в определённых законом размерах; доведение решения Министерства народного просвещения до учебных заведений; осуществление лично и через своих помощников ревизии подведомственных ему учебных заведений и т.д.

Первоначально территории округов были огромными. Так, Казанский учебный округ включал в свою сферу учебные заведения, находящиеся в Казанской, Вятской, Пермской, Кавказской, Оренбургской, Симбирской, Тобольской, Иркутской губерниях. По мере появления всё новых и новых учебных заведений с целью улучшения работы с ними осуществлялось разукрупнение округов, и к началу XX века их было уже 15.

Территория Оренбургской губернии относилась к Казанскому учебному округу. Местом пребывания попечителя этого округа был определён центр учебного округа — город Казань. В Казани находился училищный комитет, в обязанности которого входил подбор и подготовка учительских кадров. При Казанском университете и Казанской гимназии работали специальные комиссии, где можно было сдать экзамен на право стать учителем.

Впервые вопрос об учреждении особого Оренбургского учебного округа был поставлен в 1865 году после разделения

Оренбургской губернии, административным центром которой была Уфа, на Уфимскую и Оренбургскую. При этом в последней губернским городом был определён Оренбург, получивший теперь право на открытие гимназии.

Анализируя предысторию образования Оренбургского учебного округа, необходимо указать на возникновение условий, сделавших возможным учреждение учебно-образовательного центра в городе Оренбурге. С одной стороны, это был регион с неустойчивыми границами, с многонациональным составом населения. С другой — регион с обширными свободными землями, огромными запасами полезных ископаемых, леса. Земледелие, горнодобывающая промышленность, металлургическое производство, торговля, банковская сфера требовали квалифицированных кадров.

Попечитель Казанского учебного округа статский советник Шестаков вошёл в Министерство народного просвещения с ходатайством об учреждении в Оренбурге мужской гимназии. По этому вопросу он обратился к Оренбургскому генерал-губернатору Н. А. Крыжановскому (1818—1888), командировав в Оренбург одного из окружных инспекторов Казанского учебного округа статского советника Сахарова. Генерал-губернатор немедленно составил под своим личным предводительством комиссию для обсуждения вопросов, касающихся учебного дела в Оренбургском крае. В состав комиссии вошли: директор Неплюевского кадетского корпуса генерал-майор Домерщиков, исполняющий должность Оренбургского губернатора полковник Боборыкин, управляющий областью Оренбургских киргиз флигель-адъютант полковник Баллюзек, статский советник Сахаров, инспектор Неплюевского кадетского корпуса полковник Корватовский и депутаты от Оренбургского казачьего войска: подполковник Чернов и войсковой старшина Чернев.

На первом заседании, 29 октября 1865 года, генерал-губернатор ознакомил членов комиссии с обращением к нему попечителя Казанского учебного округа по поводу предположения устроить в Оренбурге гимназию. Он заявил, что «основная мысль в организации воспитательных заведений в Оренбургском крае должна состоять в обобщении воспитанием всех разнородных элементов, населяющих этот край» [3, с. 2]. В своём докладе Н. А. Крыжановский предложил учредить отдельный Оренбургский учебный округ. К докладу был приложен и проект положения о новом учебном округе.

В проекте указывались следующие основания для учреждения Оренбургского учебного округа:

1. Казанский учебный округ слишком велик. Он занимал пространство в 28 ООО кв. миль (втрое больше территории Франции), количество обучающихся составляло 16 млн. человек.

2. Образование в Оренбургском крае зависело от двух центров: Оренбурга и Казани, что представляло большие неудобства. В проекте говорилось: «Только в Оренбургском крае местопребывание высшей административной власти не совпадало с местопребыванием попечителя. За двадцать пять лет не посетили Оренбурга не только ни один попечитель, но даже ни один окружной инспектор» [3, с. 3].

3. Оренбургский край «принимал образование охотнее, чем иные части Казанского учебного округа» [3, с. 4].

Указывалось на «готовность населения Оренбургского края к распространению в своей среде образования, благодаря чему этот далёкий и, по памятям многих, дикий край занимает в учебном отношении едва ли не первое в империи место после столичных губерний» [3, с. 4]. Отмечалась недостаточность женских училищ, что имело место в империи в целом. Так, в Пензенской губернии в 1863 г. было только одно женское училище, причём в губернском городе, и притом 2-го разряда. В уездных городах не только о заведении их нельзя было думать, но даже мужские уездные училища стали закрываться.

В Оренбургском же крае положение было иным. Здесь, как говорилось в проекте: «И высшая власть, и общество умели сознавать всю важность образования женщины и создать по городам столько же женских училищ, сколько было мужских: где была гимназия (в Уфе), там появилось и перворазрядное женское училище, ныне переименованное уже в Мариинскую женскую гимназию; где были уездные училища (мужские), там легко и скоро образовались женские училища 2-го разряда. Число училищ возрастает; все эти заведения обеспечены, имея капиталы, а некоторые и собственные помещения» [3, с. 5]. Далее перечислялись другие учебные заведения Оренбургского края: башкирский девичий пансион в Бирске (впоследствии переведён в Уфу, а затем закрыт), женское епархиальное училище в Уфе, институт (женский) в Оренбурге, кадетский корпус и военные училища в Оренбурге.

Затем Н. А. Крыжановский указывает на то, что Уфимская мужская гимназия и большинство уездных училищ Министерства

народного просвещения, а также учебные заведения других ведомств (Государственных имуществ и уделов) обставлены очень хорошо. Он отмечает, что в обществе «заметна энергичная деятельность по распространению образования и среди низших классов народа». В Оренбурге, например, открывается уже четвёртое приходское училище. Наконец, «инородцы Оренбургского края (особенно киргизы) обнаруживают и охоту и способности к учению» [3, с. 5]. Генерал-губернатор задаёт вопрос: «...если всё это сделалось при весьма малом участии управления учебного округа, то чего же можно будет ожидать, когда к местным интересам образования это управление будет присматриваться не издалека, как теперь, и когда к учебной власти примкнёт сильная административная власть?» [3, с. 5].

4. Казанский округ имел первоначально две задачи: общую, административно-учебную, и свою частную, «цивилизационно-миссионерскую». По словам Н. А. Крыжановского, «цивилизационная роль» Казанского учебного округа заканчивается с того времени, когда в октябре 1854 года от Казанского университета был отделён факультет восточных языков. С этого времени передовым постом русской цивилизации является далеко не весь Казанский округ. Пределы русской цивилизации заходят даже и за Оренбург. Поэтому Казанскому округу нужно было перейти на общее положение с другими округами империи, «цивилизационную» же задачу предоставить новому, Оренбургскому округу. В этом случае «нужно местное управление устроить на одинаковых с Кавказом и Сибирью» условиях [3, с. 6]. Другими словами, необходимо если не отделить управление учебной деятельностью от Министерства народного просвещения, как на Кавказе, то хотя бы поставить её так же, как в Сибири, где она была вверена генерал-губернаторам, управляющим на правах попечителей.

Будущему единому начальнику учебной власти в Оренбургском крае автор намечает следующие задачи: «Положение о народных училищах 14 июня 1864 года требует двух училищных советов, Оренбургского и Уфимского; нужно ожидать вместе с тем возникновения новых школ; многочисленные (до 600) татарские школы необходимо направить в пользу русской грамотности и более здравых идей; полезно создать для башкир и киргиз особые училища, между прочим и женские; следует положить начало школам для раскольников» [3, с. 6].

Учитывая все эти обстоятельства, оренбургский генерал-губернатор и попечитель Казанского учебного округа 27 февраля

1873 года обратились к министру народного просвещения Д. А. Толстому с ходатайством об открытии Оренбургского учебного округа. Император Александр II подписал Указ об этом 18 мая 1874 года [4, с. 1], а 1 января 1875 года состоялось открытие нового округа. С этого момента на содержание и управление Оренбургского учебного округа ежегодно отпускалось из государственного казначейства 27 409 рублей 60 копеек в год, в том числе 8000 рублей на содержание попечителя [2, с. 2].

С этого же числа Высочайшим приказом Императора Александра II первым попечителем Оренбургского учебного округа был назначен П. А. Лавровский (1827—1886), филолог по образованию, учёный, имевший научные труды по славянской филологии и опыт педагогической и организаторской работы. Новый попечитель прибыл в Оренбург 14 марта 1875 года, а 15 марта уже приступил к своим обязанностям.

Задачей учебного округа было формирование сети образовательных учреждений, контроль над их функционированием, оказание помощи в обеспечении учебных заведений педагогическими кадрами, учебно-методическими пособиями и т.п.

Состав управления Оренбургского учебного округа несколько отличался от управлений других учебных округов. Во-первых, в целях уменьшения издержек казны Д. А. Толстой ходатайствовал о том, чтобы во главе нового округа стояло лишь одно лицо попечителя, без особого при нём помощника. Это ходатайство было удовлетворено.

Но если в составе управления Оренбургского учебного округа не был предусмотрен помощник попечителя, зато в состав его необходимо было ввести особого инспектора татарских, башкирских и киргизских школ. Впервые эта должность была учреждена 28 октября 1871 года при Казанском учебном округе. Её учреждение было вызвано теми мерами, которые правительство предприняло по отношению к образованию инородцев округа с целью сближения их с коренным населением империи. Появилась необходимость в человеке, который был бы хорошо знаком как с татарским языком, так и с нравами и обычаями татар, киргиз, башкир. В обязанности такого руководителя входило «действовать на них путём убеждения и устраивать школы там, где нужно давать школам надлежащее направление, и руководить учительскими школами, и наконец, что считалось чрезвычайно важным, принять на себя составление и просмотр книг, необходимых как для училищ татар, так и для народного чтения, с целью распростра-

нения в среде этих племён правильных взглядов, нравственных убеждений и вообще образования» [3, с. 21].

Попечитель Казанского округа обратился в Министерство народного просвещения с ходатайством об учреждении при округе должности инспектора татарских, киргизских и башкирских школ. Министерство разделило мнение попечителя о необходимости такой должности.

Впоследствии в своём представлении в Государственный Совет относительно учреждения Оренбургского учебного округа министр Д. А. Толстой указывал, что двухлетний опыт существования должности инспектора татарских, башкирских и киргизских школ дал весьма существенные доказательства полезности этой меры для сближения татар с русским населением. С этого времени открытие школ для татар с обучением русскому языку и русских классов при медресе могло принять и более обширные размеры. Привлечение татар в устраиваемые для них школы и ведение для них преподавания представляло огромные затруднения и потребовало со стороны инспектора особого такта и сметливости. Большие затруднения возникли как при выборе должностных лиц в татарские учительские школы, так и внутреннего порядка мероприятий. Наконец, необходимость составления большого числа учебников на различных языках с русским переводом потребует ещё много труда и новых преподавательских кадров. Ходатайство Д. А. Толстого об учреждении ещё одной должности особого инспектора башкирских, татарских и киргизских школ при Оренбургском учебном округе было вызвано некоторым разногласием между Министерством народного просвещения и оренбургским генерал-губернатором по вопросу о распространении между киргизами первоначального образования и русской грамотности и подготовки народных киргизских учителей. Министерству были необходимы данные, основанные на непосредственном ознакомлении с образовательными потребностями мусульманского населения. Однако просьба Д. А. Толстого была отклонена.

Кроме упомянутых выше лиц, в состав управления Оренбургского учебного округа вошли два окружных инспектора, канцелярия попечителя (в составе правителя, двух столоначальников и двух их помощников), попечительский совет, испытательный комитет и архитектор.

При составлении попечительского совета Оренбургского учебного округа также пришлось на первых порах допустить не-

которые особенности, отличавшие его некоторое время от попечительских составов других учебных округов.

На основании положений об учебных округах 1835 и 1860 гг. в состав советов попечительских там, где есть университеты, должны были входить следующие лица: попечитель (в качестве председателя), его помощник, ректор университета, директора лицеев, гимназий и дворянских институтов, инспекторы казённых училищ, два декана факультетов и 6 профессоров, всего до 13 лиц. Но так как в Оренбурге не было ни помощника попечителя, ни университета, ни лицея, ни дворянского института, то первый попечитель нового округа П. А. Лавровский по прибытии в Оренбург встретился с затруднением при образовании личного состава попечительского совета. В него вошли, кроме попечителя, лишь директор гимназии, директор народных училищ и два окружных инспектора. Кроме того, попечитель предполагал приглашать к участию в совете на правах членов и директоров других гимназий округа во время их пребывания по делам службы в Оренбурге.

За пять лет нахождения на должности попечителя (1875— 1880 гг.) П. А. Лавровскому удалось создать множество новых учебных заведений [4, с. 148]. После него эту должность занимали В. Н. Даль (1880—1882), X. П. Сольский (1882—1885), Д.С.Михайлов (1885—1889), И. Я. Ростовцев (1889—1904), Н. Ч. Зайончковский (1904—1906), Н. А. Бобровников (1906— 1908), С. В. Кузнецов (и.о., 1908), А. В. Никитский (1908—1910), Ф. Н. Владимиров (1910—1913), Н. И. Тихомиров (1913—1917), В. А. Гордлевский (1917).

Канцелярия учебного округа первоначально находилась в Оренбурге, а 21 марта 1907 года последовало Высочайшее соизволение о перенесении управления округом при сохранении его названия в г. Уфу [5, с. 123]. Перенос управления округом был осуществлён в июле-августе 1907 года, где оно временно расположилось в здании Уфимского реального училища. В 1911 году дебатировался вопрос о переносе правления округа в Екатеринбург. Однако эти планы не были реализованы.

С 1875 года регулярно выходили печатные органы округа: «Циркуляр по Оренбургскому учебному округу» (1875—1911) и «Вестник Оренбургского учебного округа» (1912—1915). В 1910, 1911, 1913 и 1915 гг. выпускались «Памятные книжки по ОУО».

Упразднение учебных округов произошло 21 января 1918 года в соответствии с постановлением Наркомата просвещения

РСФСР. 16 января 1919 года Главный начальник Уральского края своим приказом попытался восстановить Оренбургский учебный округ, его управление должно было разместиться в Екатеринбурге. Однако уже с 1 июня 1919 года, в соответствии с указом А. В. Колчака, управления учебных округов были упразднены, а вместо них учреждены должности уполномоченных Министерства народного правительства, назначение на которые осуществлялось Верховным правителем.

Список использованной литературы

1. Болодурин В. С. Образование и педагогическая мысль в Оренбуржье. Страницы истории (1735—1940 годы). Оренбург : Оренб. кн. изд-во, 2001.320 с.

2. Циркуляр по Оренбургскому учебному округу. Год первый. Оренбург, 1875. № 1.

3. Исторический очерк народного образования в Оренбургском учебном округе за первое 25-летие его существования (1875—1899 гг.). Оренбург, 1901. 299 с.

4. Смирнов С. В. Отечественные филологи-слависты середины XVIII — начала XX в. : справочное пособие. М. : Флинта, 2001. 334 с.

5. Фархшатов М. Н. Народное образование в Башкирии в пореформенный период. 60—90-е годы XIX в. М. : Наука, 1994. 144 с.

Г. П. Матвиевская

Оренбургский вольный университет начала XX века

Летом 1916 года оренбургская общественность оживлённо обсуждала вопрос о необходимости открыть в Оренбурге высшее учебное заведение. Поводом послужил правительственный проект, согласно которому предполагалось открыть в России несколько новых университетов. О своём праве иметь у себя высшее учебное заведение заявили многие города. Не остался в стороне и Оренбург. Этот вопрос рассматривала городская дума, о нём писали газеты. Был создан специальный комитет, по поручению которого краевед, член Оренбургской учёной архивной комиссии Л. А. Словохотов составил доклад «Исторические права Оренбурга как целого края на высшее учебное заведение», опубликованный в 1917 году [1].

Всё это говорит о том, что в начале XX века в Оренбурге потребность в высшем учебном заведении уже назрела и требовала удовлетворения [2]. Подтверждением может служить малоизвестный факт успешной деятельности в 1904—1909 гг. оренбургских высших курсов, организованных преподавателем мужской гимназии математиком А. О. Киселёвым.

Сведения об Александре Онуфриевиче Киселёве сохранились в документах, находящихся в Государственном архиве Оренбургской области (ГАОО). Из его формулярного списка [3] следует, что он родился в 1867 году и происходил из дворянской семьи, проживавшей в Красноярске. Учился он на математическом факультете Московского университета, который окончил с дипломом 1-й степени. По предложению попечителя Оренбургского учебного округа А. О. Киселёв 19 октября 1892 года был определён преподавателем математики и физики в Екатеринбургскую гимназию, где работал до 1895 года, когда был перемещён на ту же должность в Троицкую гимназию. В 1901 году он переехал в Оренбург, получив назначение в Оренбургскую киргизскую учительскую школу преподавателем математики, но оставался здесь недолго: с 1 сентября 1902 года он был «приказом главного инспектора училищ Восточной Сибири назначен учителем математики и физики Красноярской мужской гимназии». Через год А. О. Киселёв вернулся в Оренбург: 1 августа 1903 года он был — «согласно прошению» — уволен в отставку и тогда же на таком же основании по предложению попечителя Оренбургского учебного округа определён преподавателем математики в Оренбургское реальное училище. Ещё через год, 1 июля 1904 года, он был перемещён в Оренбургскую мужскую гимназию. В 1906 году получил чин статского советника и награждён орденом св. Станислава 3-й степени [4].

В сентябре 1904 года А. О. Киселёв обратился к попечителю Оренбургского учебного округа с просьбой разрешить ему «прочесть в форме лекций полный курс опытной физики и элементарной математики в объёме средних учебных сведений» для тех, кто, не получив по разным причинам среднего образования, хочет пополнить свои знания [5]. Его прошение было удовлетворено.

Несколько позже к А. О. Киселёву присоединились другие преподаватели гимназии: Н. И. Бутовский начал читать лекции по русской словесности, И. А. Кузменко-Кузмицкий — по физике, Г. А. Кастанье — по французскому и Е. Н. Ососкова — по немецкому языку [6].

9 июля 1905 года ими был представлен директору гимназии напечатанный в Оренбургской губернской типо-литографии «Отчёт о систематических лекциях по опытной физике, элементарной математике, истории русской литературы, немецкому и французскому языкам, читанные в Оренбурге с 11 ноября 1904 г. по 10 апреля 1905 г.» [7]. В отчёте указано, что «цель лекций — дать возможность желающим за небольшую плату прослушать курс наук, преподаваемых в средней школе». Относительно программы обучения говорится, что «количество сообщаемого материала не было меньше указанного в официальной программе гимназии», но «каждый лектор мог, смотря по своим силам и составу аудитории, делать разного рода дополнения и изменения».

Занятия начались 11 ноября 1904 года. Лекции читались в помещении мужской гимназии с 5 часов вечера, каждая продолжалась 40 минут. В отчёте приводятся подробные сведения о количестве прочитанных лекций, составе слушателей, плате за обучение, данные о пройденном материале по каждому предмету.

Число слушателей курсов достигло 622 человек и, как отмечено в отчёте, их «было достаточно: аудитория не переполнялась, но и не пустовала». Большую часть (341 человек) составляли учителя, так что «постороннему посетителю могло показаться, что он находится на учительских курсах». Учащихся реального училища, духовной семинарии, городских училищ и гимназисток было всего десять.

Занятия по математике и физике строились так, что «преподавание было не только теоретическое, — оно сопровождалось и практическими упражнениями». К этой фразе в отчёте даётся разъяснение: «Пройдя известный раздел математики, выяснив какое-нибудь правило, лектор сначала сам решал несколько примеров и задач, а затем приглашал желающих. И только тогда начинал объяснять далее, когда убеждался, что пройденное понято и желающих упражняться больше нет. По физике делались многочисленные опыты с приборами, находящимися в физических кабинетах мужской гимназии и юнкерского училища. Физику до февраля читали двое: А. О. Киселёв и И. А. Кузменко-Кузмицкий. Они помогали друг другу. Когда читал Киселёв — помогал ему проводить опыты Кузменко-Кузмицкий и наоборот. Показывались световые картины, где это было удобно. Вместо того чтобы выполнять от руки какой-нибудь сложный чертёж, его обыкновенно проектировали на экране». Далее сообщается, что «с 8-го февраля И. А. Кузменко-Кузмицкий, к общему сожале-

нию, вышел из состава лекторов, так как был назначен инспектором гимназии и не имел свободного времени. Освободившиеся 2 лекции взяты были Киселёвым».

Вначале читалось по 10 лекций в неделю: 4 по физике и по 2 лекции по геометрии, алгебре и тригонометрии. Позднее по просьбе слушателей в расписание были внесены изменения: в неделю по физике, алгебре и тригонометрии назначалось по три лекции в неделю, а по геометрии — только одна.

По физике в течение года были пройдены следующие темы: «Введение. Механика. Простые машины. Учение о движении, работе и энергии. Учение о жидкостях и газах. Свет. Магнетизм и статическое электричество. Гальванизм (до химического действия тока)».

Преподавание математики было ориентировано на программу мужских гимназий, но к ней «делались большие дополнения». По геометрии была пройдена вся планиметрия, что соответствовало программам 4-го и 5-го классов гимназии, а по алгебре — курсы 3-го, 4-го и 5-го классов; по тригонометрии прошли полный курс с дополнением теории логарифмов.

Как отмечено в отчёте, «по геометрии и алгебре наибольшее количество слушателей было до тех пор, пока проходился материал, необходимый лицам, желающим держать экзамен на классный чин и т.п. Как только лектор пошёл далее, все такие слушатели отпали».

По истории русской литературы были пройдены темы: «Понятие о словесности, литературе, истории литературы. Значение изучения истории литературы. Народная словесность, былины, исторические песни, духовные стихи. Деятельность Кирилла и Мефодия. Изобретение славянской азбуки. Направление древнерусской словесности. Остромирово евангелие. Начальная русская летопись. Хождение игумена Даниила. Слово митрополита Илариона о ветхом и новом завете».

По истории русской литературы «лектор, — читаем в отчёте, — объяснив значение какого-либо памятника устной или письменной литературы, обыкновенно читал этот памятник весь или делал выдержки, рассказывая пропускаемое своими словами. И нужно было видеть, с каким вниманием и интересом слушатели следили за лектором! Нередко можно было наблюдать, как слушатели наиболее важное записывали в тетрадях, показывая этим свой интерес к делу».

Изучение языков для слушателей оказалось трудным: «По французскому языку начали с букв, чтения и письма. Переводили лёгкие статьи и упражнялись в разговорах. По немецкому языку начали сразу переводить лёгкие статьи. Курс оказался по силам только лицам, прошедшим 1—2 класса гимназии».

В конце отчёта приводится план на будущее, из которого видно, что авторы предполагали значительно расширить свою деятельность. Со следующего года открывались два курса — младший и старший. На младшем обучение должно было вестись с самого начала, а на старшем — продолжаться. Предполагалось увеличить число изучаемых предметов, добавив латинский и английский языки, популярную астрономию, физическую геологию, естествознание и историю.

Действительно, в 1906 году приказом по Оренбургскому учебному округу «лекторами на оренбургских высших курсах A. О. Киселёва» были утверждены преподаватель немецкого языка мужской гимназии А. Ю. Бемер, инспектор гимназии B. С. Максимов, а также преподаватели других учебных заведений (Неплюевского кадетского корпуса, реального училища, духовной семинарии, духовного училища, киргизской учительской школы) — Шляков, С. С. Никольский, Ф. Г. Гаврилов, А. Колокольцев, Ю. П. Сен-Лоран и др. В списке значится также домашняя наставница Л. Н. Величкина, преподавательница французского языка [8].

В 1907 году отдельной брошюрой вышло «Обозрение преподавания наук на Оренбургских высших курсах А. О. Киселёва», которые здесь названы уже Оренбургским вольным университетом [9].

Это значит, что А. О. Киселёв относил свои курсы к числу неправительственных высших учебных заведений, называвшихся вольными университетами, которые в конце XIX — начале XX века появились во многих городах России [10]. Подтверждением этому служит письмо А. О. Киселёва оренбургскому городскому голове, написанное в конце лета 1906 года, которое было опубликовано краеведом Т. В. Судоргиной [11].

В письме говорится: «Правила Оренбургских высших курсов, или Оренбургского вольного университета, утверждены. Так как курсы есть частное высшее учебное заведение, то Оренбург становится университетским городом. Покорнейше прошу Вас поддержать высшие курсы. Для Оренбурга они весьма полезны, так как дают возможность всем желающим, не

стесняясь никакими формальностями и оставаясь на службе, получать образование. Курсы эти со временем будут преобразованы в настоящий университет. Поддержка города могла бы выразиться в принятии расходов на электрическое освещение четырёх аудиторий ремесленного училища, любезно уступленных инспектором училища для помещения высших курсов, на счёт города».

Эти пожелания были выполнены: депутаты оренбургской думы «признали возможным отпускать электрическую энергию для освещения аудиторий при чтении лекций бесплатно».

В Оренбургском вольном университете значились три отделения:

1) отделение общественных наук;

2) общеобразовательное отделение;

3) народное отделение.

На первом отделении преподавание велось по университетской программе: читались лекции по истории новой русской литературы, истории философии, истории культуры и уголовной антропологии.

Программа общеобразовательного отделения соответствовала программе мужских гимназий, и обучение продолжалось два года. На первом курсе изучались русский язык и история русской литературы, французский, немецкий и латинский языки, арифметика, алгебра, геометрия, физика, история и природоведение, а на втором наряду с теми же предметами — тригонометрия, космография, психология, логика и законоведение.

На народном отделении «читались в самой популярной форме лекции по различным областям знания».

К преподаванию на курсах А. О. Киселёва привлекались не только преподаватели. Так, в июне 1907 года попечитель Оренбургского учебного округа писал к губернатору: «Директор Оренбургских высших курсов А. О. Киселёв просит об утверждении лекторами на означенных курсах инженер-технолога, заведующего городской электрической станцией Б. К. Яновского и присяжного поверенного кандидата права Я. Д. Горчакова. Предварительно утверждения названных лиц лекторами на означенных курсах, я имею честь покорнейше просить Ваше Превосходительство уведомить меня, не встречается ли к тому каких-либо препятствий с Вашей стороны» [12].

Работа высших курсов А. О. Киселёва успешно продолжалась и в 1909 году, о чём свидетельствует его просьба назначить лекто-

ром преподавателя мужской гимназии В. В. Тележникова, о чём попечитель учебного округа сообщал директору гимназии [13].

Оренбургские высшие курсы так и не стали, однако, учебным заведением университетского типа. Большинство из вольных университетов действовало в крупных центрах (Москве, Петербурге, Казани, Киеве, Одессе и др.), где были сконцентрированы серьёзные научные силы и имелась развитая научно-исследовательская база. В Оренбурге в то время этих условий недоставало, и поэтому достичь университетского уровня здесь не удалось.

Список использованных источников

1. Словохотов Л. А. Исторические права Оренбурга как целого края на высшее учебное заведение // Труды Оренбургской учёной архивной комиссии. Оренбург, 1917. Вып. 34.

2. Вертоусова Е. Г. «Свет книжный, скорее чем огонь ружейный...» // Оренбургский край. Архивные документы. Материалы. Исследования. Оренбург : Изд-во ОГПУ, 2011. Вып. 5. С. 16—19.

3. Государственный архив Оренбургской области (ГАОО). Ф. 82. Оп. 1. Д. 183 (Личное дело А. О. Киселёва).

4. ГАОО. Ф. 79. Оп. 1. Д. 116 (Переписка с попечителем Оренбургского учебного округа). Л. 24, 27.

5. ГАОО. Ф. 79. Оп. 1. Д. 106 (Переписка с попечителем Оренбургского учебного округа за 1905 г.). Л. 122—123 об.

6. ГАОО. Ф. 79. Оп. 1. Д. 96 (Отчёт о состоянии Оренбургской гимназии за 1905 г.). Л. 33.

7. ГАОО. Ф. 79. Оп. 1. Д. 108-а (Переписка с попечителем Оренбургского учебного округа по учебно-воспитательной работе за 1905 г.).

8. Циркуляры по Оренбургскому учебному округу на 1906 г. № 8— 9. С. 564.

9. Оренбургский вольный университет. Обозрение преподавания наук на Оренбургских Высших курсах А. О. Киселёва в осеннем полугодии 1906 г. и в весеннем полугодии 1907 г. Оренбург, 1907.

10. Иванов А. Е. Высшая школа в России в конце XIX — начале XX века. М. : Ин-т истории АН СССР, 1991.

11. Судоргина Т. В. «В видах поощрения к высшему образованию...» // Вечерний Оренбург. 2011. 26 янв. (№ 4).

12. ГАОО. Ф. 10. Оп. 1. Д. 283 (О назначении лекторов в учебные заведения). Л. 89.

13. ГАОО. Ф. 79. Оп. 1. Д. 149 (Переписка с попечителем Оренбургского учебного округа). Л. 26, 27.

И. В. Игнатушина

Очерк истории кафедры математического анализа и методики преподавания математики Оренбургского государственного педагогического университета

В 1919 г. был создан Оренбургский институт народного образования (ОИНО). Преподавателями физико-технического отделения института стали квалифицированные педагоги, ранее работавшие в учебных заведениях Оренбурга, Константин Александрович Торопов (1860—1933) [1—4], Александр Прокопьевич Токмаков (1881—1962) [2], Иван Михайлович Чубинский (1887—?).

Первым заведующим физико-техническим отделением был Иван Михайлович Чубинский [5]. Он окончил Петербургский университет и много лет преподавал в мужской гимназии, в здании которой в 1932 г. был размещён наш вуз (в настоящее время — учебный корпус № 1, ул. Советская, 19).

Здание 1 учебного корпуса ОГПУ (ул. Советская, 19), построенное в 1869 году, второй и третий этажи надстроены в 1934—1937 гг.

Эти преподаватели позднее перешли в созданный в 1930 г. педагогический институт, который получил название Татаро-

башкирского агропедагогического института, а в 1935 г. стал называться Оренбургским государственным педагогическим институтом (ОГПИ).

В 1930 г. была организована кафедра математики, которая вошла в состав физико-технического отделения. Её возглавил первый штатный профессор института Константин Александрович Торопов (1860—1933). В 1883 г. он окончил Петербургский университет, где защитил магистерскую диссертацию, а с 1910 по 1919 г. являлся директором Оренбургского реального училища.

В августе 1934 г. структура института была перестроена по факультетскому принципу. Организованы три факультета, среди которых и физико-математический факультет.

С 1934 по 1938 г. обязанности декана физико-математического факультета исполнял Шариф Мухамедзянович Еникеев (р. 1903), совмещая эту работу с заведованием кафедрой математики (1934—1936 гг.). Он был аспирантом Уфимского института народного образования. В нашем институте вёл математический анализ, общую теорию дифференциальных уравнений, высшую алгебру, методику математики. В 1940 г. мобилизован в армию.

С 1936 до 1938 г. кафедрой математики заведовал профессор Владимир Степанович Чудинов (р. 1894). Читал высшую алгебру, векторный анализ, специальный курс элементарной математики и другие курсы.

К. А. Торопов

С 1938 по 1941 г. на посту декана физико-математического факультета работала преподаватель физики, кандидат физико-математических наук, доцент Клара Бенционовна Котляровская. Она окончила Горьковский пединститут в 1932 г. и аспирантуру в 1936 г. В нашем институте работала до начала войны, а затем уехала в связи с переводом мужа военнослужащего.

В 1938/39 учебном году были образованы две математические кафедры — кафедра математического анализа и кафедра геометрии и алгебры. Такое положение длилось не долго, и в начале войны (1941 г.) кафедры объединились. В этот период кафедрой математического анализа руководил кандидат физико-математических наук, доцент Николай Александрович Головкин (1909—1943), а кафедрой алгебры и геометрии — Николай Иванович Колесин (1905—1949).

Николай Александрович Головкин окончил физико-математический факультет института им. К. Либкнехта в 1930 г. и там же аспирантуру при кафедре математического анализа. Читал в основном общий курс математического анализа и теорию аналитических функций. По инициативе Н. А. Головкина и при его непосредственном руководстве в 1938 г. была проведена первая общегородская олимпиада для школьников. В 1941 г. Н. А. Головкин ушёл на фронт и погиб в 1943 г.

Николай Иванович Колесин (р. 1905) окончил педагогический институт им. А. И. Герцена в 1930 г. и там же в 1937 г. аспирантуру по теории групп. Вёл диссертационное исследование на тему «Равновесие упругих систем, имеющих форму треугольника». С 1941 по 1944 г. работал деканом физико-математического факультета, а с 1944 по 1949 г. снова заведовал кафедрой математики. Вёл курсы математического анализа, теории функции действительного и комплексного переменного.

В 1941—1943 гг. кафедру математики возглавлял кандидат физико-математических наук, доцент Пётр Евгеньевич Дюбюк (1903— 1980). В 1925 г. он окончил Казанский университет, а в 1940 г. аспирантуру при Московском университете. Защитил диссертацию на тему «Об автоморфизмах групп». В нашем институте читал лекции по общему курсу математического анализа и руководил научным семинаром по теории групп. В 1943 г. уехал из Оренбурга. Впоследствии возглавил кафедру Московского института радиотехники, электроники и автоматики (МИРЭА), выросшего из заочного отделения Московского электротехнического института [6, с. 116].

С 1943 по 1944 г. заведующим кафедрой математики был доцент, кандидат физико-математических наук Б. А. Шехтер, защитивший диссертацию «Линейный элемент в гиперболическом пространстве трёх измерений».

Во втором семестре 1943/44 учебного года Н. И. Колесина из-за его серьёзной болезни на посту декана заменила Мариам Хамадовна Сайфутдиноеа (р. 1906). В 1931 г. она окончила Казанский государственный педагогический институт, а в 1935 г. — аспирантуру при кафедре физики. В нашем институте работала с 1935 по 1956 г.

С 1944 по 1961 г. деканом физико-математического факультета был Илья Ефимович Хациревич (12.03.1905—15.09.1963), участник Великой Отечественной войны.

Он окончил Саратовский университет в 1930 г., аспирантуру в Ленинградском пединституте им. А. И. Герцена в 1937 г. В начале 1950-х годов защитил диссертацию «Плоская задача теории упругости для круга» и получил учёную степень кандидата физико-математических наук, а вскоре — учёное звание доцента. Преподавал курсы математического анализа и теории функций действительного переменного. В 1961 г. избран заведующим вновь созданной кафедры элементарной математики.

Вся кафедра математики состояла из 11 человек.

Доцент Иван Михайлович Чубинский (р. 1887) читал лекции по математическому анализу, аналитической геометрии, высшей алгебре и теории чисел.

И. Е. Хациревич

Курс астрономии вёл старший преподаватель Александр Прокопьевич Токмаков (1881—1962). В 1910 г. он окончил физико-математический факультет Казанского университета и там же в 1933 г. аспирантуру [7]. Успешно работал по теме своей кандидатской диссертации «Методика преподавания астрономии в средней школе». Помимо астрономии преподавал курсы высшей геометрии, элементарной математики, методики преподавания математики.

Старший преподаватель Анна Александровна Зырянова (1886—1957), прекрасный педагог, много времени уделяла подготовке ассистентов к преподаванию математики и педпрактике. В 1924 г. она окончила Первый Московский университет [8]. В нашем институте читала в основном курсы по геометрии, а также вела занятия по математическому анализу. После смерти К. А. Торопова некоторое время исполняла обязанности заведующего кафедрой.

Петр Алексеевич Буданцев (11.06.1911—1990) [9], выпускник нашего института 1935 г. Работал в ОГПИ с 1936 по 1961 г., сначала ассистентом, затем старшим преподавателем. Преподавал элементарную математику и методику преподавания математики.

П. А. Буданцев сыграл огромную роль в истории кафедры математики и всего института. Он был широко известен как специалист по методике преподавания математики не только в

П. А. Буданцев

Оренбурге, но и в других городах нашей страны. Часто выступал с докладами и сообщениями на конференциях и Всесоюзных совещаниях математиков. Был избран депутатом областного совета, где возглавлял комиссию по народному образованию.

В 1961 г. переехал из Оренбурга в Тулу и ещё долгие годы работал в Тульском государственном педагогическом институте им. Л. Н. Толстого.

Геннадий Иванович Жотиков (р. 1915), участник Великой Отечественной войны, выпускник МГУ 1937 г. В 1937—1939 гг. был в аспирантуре при Научно-исследовательском институте математики и механики Московского государственного университета на кафедре геометрии.

С 1946 г. работал на кафедре математики ОГПИ, с 1948 г. — старший преподаватель. Вёл курс высшей геометрии. В 1952 г. окончил аспирантуру Саратовского государственного университета по специальности «Геометрия» и защитил кандидатскую диссертацию «Теория поля локальных поверхностей». В 1953 г. покинул Оренбург.

Курс черчения и начертательной геометрии на кафедре математики вёл старший преподаватель Леонид Максимович Краснов (р. 14.06.1886). В 1910 г. окончил Пензенское художественное училище.

На кафедре математики ОГПИ работал с 1944 по 1961 г. Награждён значком «Отличник народного просвещения».

Г. И. Жотиков

Л. M. Краснов

Занятия по аналитической геометрии с 1945 по 1947 г. на кафедре математики вёл ассистент Борис Григорьевич Серебряков (р. 1905). В 1934 г. он окончил физико-математический факультет Московского университета, а в 1936 г. — аспирантуру при Всесоюзной Академии соцземледелия. В 1947 г. уволился из нашего вуза в связи с переездом.

Лекции и практические занятия по математическому анализу вела старший преподаватель Ираида Михаиловна Вакулюк (Казарина) (01.01.1922—22.02.2004) — выпускница нашего института 1944 г., ветеран труда, Отличник народного образования СССР, награждена медалью «За доблестный труд в годы Великой Отечественной войны».

В 1950 г. должность заведующего кафедрой заняла кандидат физико-математических наук Ираида Владимировна Фролова (р. 24.07.1923).

И. В. Фролова

В 1945 г. она окончила физико-математический факультет Саратовского государственного педагогического университета им. Н. Г. Чернышевского. В 1948 г. там же защитила кандидатскую диссертацию на тему «Геометрия четырёхмерной и трёхмерной поверхности на изотропном гиперконусе в шестимерном полуметрическом пространстве и её приложения к вариационному исчислению» [6, с. 131—132]. В нашем институте читала лекции по важнейшим курсам геометрии.

В 1950 г. на кафедре начал работать и был её заведующим с 1954 по 1955 г. доцент Николай Андреевич Столяров (р. 1913), участник Великой Отечественной войны. В 1935 г. он окончил Ленинградский педагогический институт.

Н. А. Столяров

В 1950 г. при Казанском университете им. В. И. Ульянова-Ленина защитил диссертацию на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук «К теории одного обобщённого интеграла Стилтьеса», а в 1953 г. — диссертацию на соискание учёной степени кандидата педагогических наук. Вёл курсы математического анализа, теории функций действительного переменного, спецкурсы и спецсеминары по математическому анализу. В 1956 г. переехал в г. Куйбышев.

В 1955 г. кафедру математики возглавил доцент Василий Яковлевич Славянович (9.08.1918—2012), сыгравший важную роль в истории физико-математического факультета.

Он окончил механико-математический факультет МГУ в 1941 г., с октября 1941 по май 1945 г. был на фронте, демобилизовался в 1946 г. и с этого времени работал на кафедре математики. В 1955 г. защитил кандидатскую диссертацию по гидродинамике.

В. Я. Славянович

Вёл курсы теоретической механики, методов математической физики, математического анализа, теории функций комплексного переменного, спецкурсы и спецсеминары по уравнениям математической физики. Кроме того, занимался вопросами геологоразведки залежей нефти. Ему принадлежат исследования, касающиеся решения задачи Коши — Пуассона в трёхмерном случае. Заведовал кафедрой с 1955 по 1972 г. [10].

В конце 1950-х — начале 1960-х гг. в связи с увеличением набора студентов возникла необходимость в расширении педагогического состава [11]. Был принят на работу доцент Борис Липович Кауфман (1913—1990) — выпускник Варшавского университета, кандидат физико-математических наук, успешно работавший над темой «Суммирование рядов».

Б. Л. Кауфман

Преподавателями стали Тамара Николаевна Копытина (1934—1988) из Саратовского университета, Василий Карпович Кочегура (р. 14.01.1906, окончил физико-математический факультет Днепропетровского института народного образования, в нашем вузе работал с 1950 по 1969 г., с 1953 г. — старший преподаватель, вёл курсы аналитической геометрии и алгебры), Тамара Сергеевна Тулянская (р. 24.03.1923, в 1946 г. окончила физико-математический факультет Куйбышевского государственного педагогического института и там же аспирантуру в 1950 г., на кафедре работала в должности старшего преподавателя с 1950 по 1959 г., в 1959 г. перешла в Оренбургское высшее военное авиационное училище штурманов), Михаил Давыдович Чернявский (03.01.1931—2013, кандидат педагогических наук с 1976 г., доцент с 1999 г.); выпускники разных лет нашего вуза: Галина Алексеевна Бажанова (Серебрякова) (р. 28.12.1931, ветеран труда), Степан Васильевич Байцур (1918—1997), Эллионора Ивановна Бочкарёва (Островерхова) (р. 27.11.1938, на кафедре работала с 1964 по 1974 г.), Ильсияр Садыковна Валеева (р. 14.02.1933, кандидат педагогических наук с 1967 г., доцент с 1971 г.), Марина Тимофеевна Виноградова (Останко) (р. 07.12.1931, в 1956 г. начала работать на кафедре математики, с 1964 г. старший преподаватель, в 1966 г. поступила в аспирантуру по кафедре геометрии Горьковского института, по окончании которой стала работать в Оренбургском высшем зенитно-ракетном командном училище), Исаак Залманович Гоз (13.01.1923—15.06.1992), Эрик Ефимович Гуревич (р. 05.05.1933, на кафедре работал с 1956 по 1961 г., в 1961 г. поступил в очную аспирантуру Ленинградского государственного педагогического института), Галина Михайловна Звонарева (Щербакова) (р. 1925, на кафедре работала с 1947 по 1959 г., с 1954 г. — старший преподаватель, вела курсы элементарной, проективной и начертательной геометрии, в 1959 г. перешла работать в Оренбургский сельскохозяйственный институт), Тамара Степановна Измайлова (р. 3.12.1944, кандидат физико-математических наук с 1972 г., доцент с 1981 г.), Маргарита Сергеевна Кирьянова (р. 25.11.1930, ветеран труда, имеет награды Министерства просвещения СССР), Валентина Александровна Коротина (Пухова) (р. 18.04.1939, кандидат педагогических наук с 1977 г., доцент с 1982 г.), Раиса Гавриловна Лизнева (Дегтярева), Раиса Григорьевна Носик (р. 1938, кандидат педагогических наук, доцент с 1965 г., в 1996 г. уехала из Оренбурга), Нина Евгеньевна Нестеренко (р. 29.11.1940, на кафедре работала с 1966 по

1975 г., в 1975 г. освобождена от занимаемой должности в связи с избранием по конкурсу во Всесоюзный заочный финансово-экономический институт), Ольга Петровна Падурова (р. 12. 07.1946, на кафедре работала с 1969 по 1971 г., в 1971 г. уехала из Оренбурга), Клавдия Ивановна Пожарова, Павел Стефанович Попов (1924—1997), Лариса Петровна Соболева (Тычинина) (р. 8.10.1948), Римма Фёдоровна Тарасова (р. 22.03.1938), Людмила Алексеевна Тырсина (Стенюшкина) (р. 3.03.1937), Маргарита Александровна Шлейникова (Соловьёва) (16.09.1937— 31.07.2004, кандидат физико-математических наук с 1971 г., доцент с 1974 г.), Людмила Ивановна Шубная (р. 01.12.1944, на кафедре работала в 1967—1968 гг., в 1968 г. перешла на кафедру математики и физики Оренбургского высшего зенитно-ракетного командного училища) и др.

В 1961 г. кафедра математики была разделена на две: кафедру математического анализа (заведующий — В. Я. Славянович) и кафедру элементарной математики и методики преподавания (заведующий — И. Е. Хациревич).

В 1963 г. после смерти И. Е. Хациревича кафедрой элементарной математики и методики преподавания стал заведовать Геннадий Никитич Макеев (р. 01.01.1927) — выпускник МГУ. В 1963 г. защитил кандидатскую диссертацию по геометрии.

Г. К Макеев

Читал лекции и вёл практические занятия по аналитической, проективной, начертательной и дифференциальной геометрии, а также семинар по геометрии для преподавателей ОГПИ. В 1968 г. Г. Н. Макеев переехал в г. Горький, где позже возглавил кафедру

алгебры и геометрии Горьковского педагогического института им. А. М. Горького [12, с. 235].

В 1968 г., после отъезда Г. Н. Макеева, заведовать кафедрой элементарной математики стала кандидат педагогических наук, доцент Илъсияр Садыковна Валеева (р. 14.02.1933).

И. С. Валеева

В 1954 г. окончила физико-математический факультет ОГПИ, в 1959 г. — аспирантуру при Ташкентском педагогическом институте и с тех пор работает на кафедре. В 1967 г. она защитила диссертацию на соискание учёной степени кандидата педагогических наук «Роль эксперимента в преподавании геометрии как средство повышения эффективности обучения» и в 1971 г. избрана на должность доцента. Читала лекции и вела практические занятия по высшей геометрии, позже — по методике преподавания математики, теории вероятностей. С 1968 по 1972 г. заведовала кафедрой элементарной математики и методики преподавания, с 1972 по 1978 г. — кафедрой математического анализа. В течение 16 лет являлась депутатом Ленинского райсовета, председателем постоянной комиссии по народному образованию. Была членом комиссии по проверке институтов РСФСР, членом редакционной коллегии Республиканского сборника по методике преподавания математики. Является организатором методического семинара для преподавателей кафедры.

С 1955 г. на кафедре элементарной математики работал Павел Стефанович Попов (1924—1997), участник Великой Отечественной войны. Он занимался вопросами элементарной математики, математической логики, истории математики. Его научную работу высоко оценивала профессор МГУ С. А. Яновская.

П. С. Попов

Преподаватели кафедры математического анализа и кафедры элементарной математики и методики преподавания, 1968 г. Верхний ряд (слева направо): М. Д. Чернявский, С. И. Киселёв, Р. Ф. Тарасова, Н. Е. Нестеренко, Н. В. Ривкус, В. А. Коротина, И. 3. Гоз, П. С. Попов, М. С. Кирьянова, И. И. Меньшикова, М. А. Шлейникова, К. И. Пожарова, Р. И. Хациревич, Л. А. Тырсина; нижний ряд: Б. Л. Кауфман, И. С. Валеева, С. В. Байцур, Р. Н. Зак, В. Я. Славянович, Р. Г. Лизнева

Розалия Наумовна Зак (1917—2008) с отличием закончила физико-математический факультет Неженского пединститута на

Украине. Затем приехала в Оренбург и всю жизнь работала бессменным лаборантом на кафедре. Благодаря ей на кафедре был собран уникальный учебно-методический фонд, в который, в частности, вошли все выпуски журнала «Математика в школе».

В 1971 г. физико-математический факультет переехал с ул. Советской, 19 в новый, только что построенный корпус на пр. Гагарина, 1, где и располагается по настоящее время (учебный корпус № 2).

Здание второго учебного корпуса ОГПУ на проспекте Гагарина, 1, построенное в 1971 году

В конце 1960-х годов вернулся из аспирантуры при кафедре геометрии Московского государственного педагогического института (МГПИ) им. В. И. Ленина Виктор Сергеевич Болодурин (р. 1.01.1944). В 1968 г. защитил диссертацию на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук «Проективно-дифференциальная геометрия точечных соответствий между гиперповерхностями». В 1972 г. избран на должность заведующего кафедрой математического анализа.

С 1986 по 2011 г. Виктор Сергеевич был ректором нашего университета. В 1991 г. ему присвоено звание профессора. В 2002 г. защитил диссертацию на соискание учёной степени доктора педагогических наук «Становление и развитие образования и педагогической мысли в Оренбуржье (1735—1940)».

В. С Болодурин

В. С. Болодурин является заслуженным работником высшей школы РФ, награждён за достигнутые успехи и многолетнюю плодотворную деятельность медалью ордена «За заслуги перед Отечеством» II степени.

В 1972 г. кафедра элементарной математики и методики преподавания была ликвидирована и вместо неё образована кафедра алгебры и геометрии. Учебная нагрузка по методике преподавания математики стала относиться к кафедре математического анализа. Заведующим кафедрой математического анализа была назначена И. С. Валеева. Новой кафедрой — алгебры и геометрии — продолжил руководить В. С. Болодурин, а затем (в 1974 г.) в связи с его отъездом на работу в Аденский университет (Республика Южный Йемен) — Тамара Степановна Измайлова (р. 3.12.1944, кандидат физико-математических наук с 1972 г., доцент с 1981 г.).

Т. С. Измайлова В. А. Коротина

С 1979 по 1994 г. кафедру возглавляла Валентина Александровна Коротина (р. 18.04.1939, кандидат педагогических наук с 1977 г., доцент с 1982 г.), с 1994 по 1998 г. — вновь Т. С. Измайлова. В 1998 г. кафедра алгебры и геометрии разделилась на две кафедры: кафедру алгебры и кафедру геометрии. Кафедрой геометрии продолжила (до 2003 г.) руководить Т. С. Измайлова. С 2003 по 2012 г. кафедру геометрии возглавлял В. С. Болодурин.

Кафедрой алгебры с 1998 по 2000 г. заведовала Марина Евгеньевна Дедловская (р. 2.01.1966, кандидат физико-математических наук с 1997 г., доцент с 1998 г.), с 2000 по 2004 г. — Александр Семёнович Ракитянский (р. 25.01.1963, кандидат физико-математических наук с 2000 г., доцент с 2004 г., в настоящее время декан физико-математического факультета ОГПУ), с 2004 по 2011 г. — Галина Павловна Матвиевская (р. 13.07.1930, доктор физико-математических наук с 1968 г., профессор с 2001 г., почётный работник высшей школы, лауреат многих премий в сфере литературы, науки и техники) [13].

Г. П. Матвиевская

В 2012 г. две кафедры — геометрии, алгебры и истории математики снова слились в одну. Возглавил объединённую кафедру Алексей Николаевич Колобов (р. 1976, кандидат технических наук, доцент).

С 1978 по 1994 г. кафедрой математического анализа заведовал кандидат педагогических наук, доцент Михаил Давидович Чернявский (1931—2013). В 1953 г. он окончил математико-

механический факультет Ленинградского государственного университета, на кафедре работал с 1959 г. В 1967 г. закончил аспирантуру при Московском государственном педагогическом институте, в 1976 г. защитил диссертацию по вопросам методики преподавания математического анализа на соискание учёной степени кандидата педагогических наук. Доцент с 1999 г. Читал лекции и вёл практические занятия по математическому анализу, спецкурсы и спецсеминары.

С 1994 по 2003 г. кафедру математического анализа возглавляла кандидат физико-математических наук, доцент Маргарита Александровна Шлейникова (16.09.1937—31.07.2004). В 1958 г. окончила физико-математический факультет ОГПИ, в 1968 г. — аспирантуру при кафедре математического анализа Московского государственного заочного педагогического института (МГЗПИ).

М. А. Шлейникова

В 1971 г. защитила диссертацию «Представления класса 1 группы SU(p,1) относительно SU(p), обобщённая гипергеометрическая функция» на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук. В 1974 г. ей присвоено звание доцента. На кафедре работала в 1960—1984 гг. и в 1989—2004 гг. С 1958 по 1960 г. трудилась на кафедре математики и физики военного зенитно-артиллерийского училища г. Оренбурга, с 1984 по 1989 г. заведовала кафедрой высшей математики в политехническом институте. Она была талантливым математиком и эрудированным, всесторонне образованным преподавателем. Читала лекции, вела практические и другие виды занятий по математическому анализу, теории функций действительного и комплексного переменно-

го, дифференциальным уравнениям и высшей математике, спецкурсы и спецсеминары. Являлась руководителем семинара по теории представлений групп, а также методологического кафедрального семинара. Кроме глубокого знания предмета, она обладала прекрасными организаторскими способностями.

В 2000 г. кафедра математического анализа была переименована в кафедру математического анализа и методики преподавания математики.

Коллектив кафедры насчитывал 19 человек.

Старший преподаватель Римма Фёдоровна Тарасова (р. 22.03.1938) читала лекции и вела практические занятия по математическому анализу и высшей математике. В 1960 г. она окончила физико-математический факультет ОГПИ, в 70-е годы стажировалась на кафедре математического анализа МГЗПИ. В нашем вузе работала с 1962 по 2008 г., в должности старшего преподавателя с 1972 г.

Р. Ф. Тарасова

Выйдя в 2008 г. на заслуженный отдых, Римма Фёдоровна продолжает делиться своим педагогическим опытом с преподавателями младшего поколения. Многие члены кафедры не раз обращались к ней за советом по поводу улучшения качества преподавания курса математического анализа.

Александр Семёнович Ракитянский (р. 25.01.1963) в 1984 году окончил физико-математический факультет ОГПИ, в 1994 — аспирантуру при Тамбовском государственном педагогическом институте, в 2000 г. защитил диссертацию на степень кандидата физико-математических наук «Максимально вырожденные серии

представлений группы SL(n; R)». На кафедре работал с 1989 по 2000 г. Читал лекции и вёл практические занятия по математическому анализу, теории вероятностей и математической статистики, спецкурсы и спецсеминары. В настоящее время является деканом физико-математического факультета нашего университета.

Александр Александрович Аносов (20.11.1960—3.10.2009). В 1982 г. окончил физико-математический факультет ОГПИ, в 1990 г. — аспирантуру при МГЗПИ. В 2007 г. защитил диссертацию на тему «Развитие естественнонаучного образования в Оренбургской губернии (XIX — начало XX в.)».

А. А. Аносов

На кафедре работал с 1990 г., старший преподаватель с 1998 г. Читал лекции и вёл практические занятия по математическому анализу и высшей математике, спецкурсы и спецсеминары. Был человеком необычайной эрудиции и обладал глубокими знаниями во многих областях физико-математических наук.

Светлана Викторовна Грекова (Гуревич) (р. 08.10.1970). В 1992 г. окончила физико-математический факультет ОГПИ, в 1997 г. — аспирантуру при МГПУ им. В. И. Ленина, в 1998 г. защитила диссертацию на степень кандидата педагогических наук «Методика построения чертежа как геометрической задачи при изучении геометрии, основанном на идее фузионизма». На кафедре работала с 1992 по 2007 г., доцент с 2000 г. Читала лекции, вела практические и лабораторные занятия по методике преподавания математики, высшей математике, спецурсы и спецсеминары. Долгое время являлась руководителем курсов повышения квалификации учителей.

С. В. Гуревич

С 2003 по 2008 г. кафедру математического анализа и методики преподавания математики возглавлял кандидат физико-математических наук, доцент Гафур Мустафоеич Гузаиров (р. 6.11.1962). В 1984 г. окончил физико-математический факультет ОГПИ, в 1990 г. — очную аспирантуру при МГЗПИ, в 1998 г. защитил диссертацию на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук «Представление группы Лоренца (некоторые соотношения для гипергеометрических функций и интегральные преобразования)».

Г. М. Гузаиров

На кафедре работает с 1990 г., доцент с 2000 г. Читает лекции и ведёт практические занятия по математическому анализу и высшей математике, спецкурсы и спецсеминары, возглавляет заочную физико-математическую школу для школьников, является организатором многих межвузовских олимпиад по математике для студентов.

С сентября 2008 по май 2013 г. руководителем кафедры был доктор технических наук, профессор Иван Алексеевич Акимов (р. 1944), переехавший в Оренбург из Башкирии. В 1964 г. он окончил Белебеевское государственное педагогическое училище, а в 1972 г. — физико-математический факультет Башкирского государственного университета.

И. А. Акимов

В 1999 г. защитил диссертацию на степень кандидата физико-математических наук «Исследование тепло-массообмена в многослойных конструкциях с фазовыми переходами», а в 2007 г. — докторскую диссертацию на соискание учёной степени доктора технических наук «Математическое моделирование процессов многослойных конструкций с фазовыми переходами». И. о. профессора с 2007 г. Читает лекции и ведёт практические занятия по теории дифференциальных уравнений, операционному исчислению, специальным и обобщённым функциям, математическому моделированию, спецкурсы и спецсеминары. С 2008 г. под его руководством на факультете начали действовать научно-исследовательский семинар и аспирантура по специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ».

В настоящее время кафедру возглавляет кандидат физико-математических наук, доцент Инесса Васильевна Игнатушина (Прокина) (р. 19.12.1975). В 1997 г. она окончила физико-математический факультет ОГПУ, в 2003 г. — аспирантуру при ОГПУ под руководством доктора физико-математических наук, профессора Г. П. Матвиевской.

И. В. Игнатушина

В 2004 г. защитила диссертацию на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук на тему «Роль Леонарда Эйлера в разработке основ математического анализа: теория гамма- и бета-функций в его печатных и неопубликованных работах». На кафедре работает с 1997 г. Читает лекции и ведёт практические занятия по математическому анализу, теории функций действительного и комплексного переменного, теории вероятностей и математической статистике, основам математической обработки информации, спецкурсы и спецсеминары. Является учёным секретарём межвузовского семинара при ОГПУ по истории математики и математического образования, руководителем методологического семинара кафедры. На протяжении многих лет Инесса Васильевна ежегодно организует проведение недели математики на физико-математическом факультете, в рамках которого проходит большой историко-математический вечер для студентов и преподавателей вуза.

В настоящее время на кафедре работают 11 преподавателей.

Наталья Михайловна Новак (р. 19.04.1951). В 1973 г. окончила физико-математический факультет ОГПИ, в 1979 г. — аспирантуру при МГЗПИ, в 1994 г. защитила диссертацию на степень кандидата педагогических наук «Алгоритмический подход к изучению математического анализа в вузе». На кафедре работает с 1979 г., доцент с 1997 г. Читает лекции и ведёт практические занятия по методике преподавания математики, теории вероятностей, высшей математике, спецкурсы и спецсеминары. Является руководителем педагогической и учебной практик студентов.

Н. М. Новак

Наиль Амирович Мунасыпов (р. 19.07.1965). В 1989 г. окончил физико-математический факультет ОГПИ, в 1996 г. — аспирантуру при МПГУ им. В. И. Ленина, в 1997 г. защитил диссертацию на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук на тему «Оптимизационные и игровые задачи распределения ресурсов в системах распознавания». На кафедре работает с 1996 г., доцент с 2000 г. Читает лекции и ведёт практические занятия по математическому анализу, теории вероятностей, исследованию операций, теории игр, теории вероятностей и математической статистике, спецкурсы и спецсеминары.

Старшие преподаватели

Людмила Алексеевна Тырсина (Стенюшкина) (р. 03.03.1937). В 1961 г. окончила физико-математический факультет Государственного педагогического института Ростова-на-Дону, в 1983 г. окончила аспирантуру по дифференциальным уравнениям при Куйбышевском государственном пединституте, имеет ряд работ по теории дифференциальных уравнений. На кафедре работает с

1963 г., старший преподаватель с 1970 г. Читает лекции и ведёт практические занятия по математическому анализу, теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных.

Л. А. Тырсина

Валентина Ивановна Каширина (Афанасьева) (р. 09.08.1950). В 1971 г. окончила физико-математический факультет ОГПИ, в 1981 г. — аспирантуру при МГЗПИ. На кафедре работает с 1973 г., старший преподаватель с 1992 г. Читает лекции и ведёт практические занятия по математическому анализу, функциональному анализу, дифференциальным уравнениям, теории функций действительного и комплексного переменного, спецкурсы и спецсеминары. Выступает с лекциями перед учителями города и области по различным вопросам элементарной математики и методики преподавания математики.

В. И. Каширина

Людмила Николаевна Курбатова (р. 06.06.1957). В 1978 г. окончила физико-математический факультет ОГПИ, в 1984 г. — аспирантуру при МГЗПИ, занимается диссертационным исследованием на тему «Педагогические условия индивидуализации обучения школьников». На кафедре работает с 1984 г., старший преподаватель с 1989 г. Читает лекции и ведёт практические занятия по методике преподавания математики, математическому анализу, спецкурсы и спецсеминары. Являлась руководителем курсов повышения квалификации учителей математики, а также педагогической и учебной практик студентов.

Л. Н. Курбатова

Наталья Анатольевна Спиридонова (Поваляева) (р. 24.06. 1947). В 1969 г. окончила физико-математический факультет ОГПИ. На кафедре работает с 2003 г., старший преподаватель с 2003 г. Читает лекции и ведёт практические занятия по математическому анализу, дифференциальным уравнениям, теории функций действительного и комплексного переменного, спецкурсы и спецсеминары.

Н. А. Спиридонова

Является групповым руководителем педагогической практики студентов. Выступает с лекциями перед учителями города и области на проблемных курсах.

Василий Владимирович Попов (р. 01.10.1976). В 1999 г. окончил физико-математический факультет ОГПУ, в 2003 г. — аспирантуру при ОГПУ и защитил диссертацию на соискание учёной степени кандидата педагогических наук «Организационно-педагогические условия инновационного потенциала педагогов в УДОД». На кафедре работает с 2000 г., старший преподаватель с 2003 г. Читает лекции и ведёт практические занятия по математическому анализу, теории разностных схем, методам оптимизации, спецкурсы и спецсеминары.

В. В. Попов

Владимир Юрьевич Шадрин (р. 10.09.1962). В 1983 г. окончил физико-математический факультет ОГПИ, в 1994 г. — аспирантуру при Московском государственном областном педагогическом университете (МГОПУ).

На кафедре работает с 1994 г., ведёт практические занятия по высшей и элементарной математике. Является руководителем летней физико-математической школы и организатором ряда математических олимпиад и турниров для школьников. На факультете ведёт кружок по решению олимпиадных задач для студентов.

С 1987 г. лаборантом (техником I категории) на кафедре работает Люция Гумеровна Богдалова (р. 16.04.1960). Она стала достойной преемницей Р. Н. Зак.

Заседание кафедры математического анализа и методики преподавания математики (сентябрь 2013 г.). Первый ряд: Е. А. Каноныхина, И. В. Игнатушина, И. А. Акимов, В. Ю. Шадрин. Второй ряд: В. И. Каширина, Г. М. Гузаиров, Л. Н. Курбатова. Третий ряд: Н. М. Новак, Л. А. Тырсина

За свою многолетнюю историю кафедра математического анализа и методики преподавания математики вносила и вносит серьёзный вклад в дело подготовки высококвалифицированных учителей математики, а также инженеров по специальностям «Прикладная математика» и «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем». Трудом нескольких поколений преподавателей, сотрудников и студентов создавался и продолжает расти её научный и учебный потенциал. Основные результаты работы различных направлений на кафедре нашли отражение в научных и методических публикациях преподавателей, разработанных учебно-методических комплексах, курсовых и дипломных проектах студентов, выпускных квалификационных работах, а также в итогах участия преподавателей и студентов в научных конференциях, семинарах, методических объединениях школ города и области, олимпиадах разного уровня.

Список использованных источников

1. Игнатушина И. В. Константин Александрович Торопов (к 150-летию со дня рождения) // Вестник Оренбургского государственного университета. 2010. № 9. с. 160—163.

2. Игнатушина И. В. Константин Александрович Торопов и математическое образование в Оренбурге // Математическое образование в Оренбургском крае. История и современность. Оренбург : ОГПУ, 2011. С 106—130.

3. Игнатушина И. В. Из истории математического образования в Оренбурге: Константин Александрович Торопов // Всеобщая история. М. : Научтехлитиздат, 2011. № 2. С. 46—57.

4. Столяров Н. А. Константин Александрович Торопов // Математика в школе. 1955. № 1. С. 70—71.

5. Личное дело Чубинского Ивана Михайловича // Архив Оренбургского государственного педагогического университета. Ф. 971. Оп. 23. Д.1095.

6. Розенфельд Б. А. Воспоминания о советских математиках // Историко-математические исследования. М., 1995. Вып. 36(1). С. 114—151.

7. Воспоминания Токмакова Георгия Александровича о его отце Александре Прокопьевиче Токмакове // Учебно-методический кабинет истории народного образования Оренбургской области при ОГПУ. Ф. 9. Оп. 1. Д. 15. 12 с.

8. Личное дело Анны Александровны Зыряновой // Архив Оренбургского государственного педагогического университета. Ф. 971. Оп. 23. Д. 321.

9. Коротина В. А. Пётр Алексеевич Буданцев. К 100-летию со дня рождения // Математическое образование в Оренбургском крае. История и современность. Оренбург : ОГПУ, 2011. С. 167—174.

10. Славянович В. Я. Воспоминания о работе на кафедрах математики. Оренбург : Изд-во ОГПУ, 1999. 23 с.

11.Кауфман Б. Л. Из истории кафедр математики Оренбургского педагогического института. Рукопись. 1980. 32 с. // Музей ОГПУ.

12. Штокало И. 3. История математического образования в СССР. Киев, 1975. 382 с.

13. Материалы к биобиблиографии учёных. Галина Павловна Матвиевская / сост. И. В. Игнатушина. Оренбург : ОГПУ, 2005. 45 с.

14. Болодурин В. С. Образование и педагогическая мысль в Оренбуржье. Страницы истории (1735—1940 годы). Оренбург : Оренб. кн. изд-во, 2001. 320 с.

15. Оренбургский государственный педагогический университет / отв. ред. В. С. Болодурин. Оренбург : Оренб. кн. изд-во, 1999. 256 + 8 с.

В. А. Коротина, Н. В. Ривкус

Кафедра алгебры, геометрии и истории математики физико-математического факультета Оренбургского государственного педагогического университета в прошлом и настоящем

Становление кафедры неразрывно связано с историей создания и развития физико-математического факультета Оренбургского государственного педагогического института, а затем — Оренбургского государственного педагогического университета.

Физико-математический факультет берёт начало с отделения математики, организованного в 1919 году в Оренбургском институте народного образования, а с 1935 года — в Оренбургском государственном педагогическом институте. Прародителями кафедры алгебры, геометрии и истории математики были кафедры математики, математического анализа, элементарной математики.

С 1955 года кафедру математики возглавлял Василий Яковлевич Славянович — выпускник механико-математического факультета МГУ. С октября 1941 по май 1945 года был на фронте, демобилизовался в 1946 году и был принят на работу в Оренбургский педагогический институт на кафедру математики. В 1955 году защитил кандидатскую диссертацию в МГУ на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук. На кафедре работал с 1946 по 1994 год; а с 1955 по 1972 год заведовал кафедрой математики, затем — математического анализа.

В. Я. Славянович — высокообразованный человек, преподаватель широкой математической культуры, прекрасный лектор и методист. Студенты, которые слушали его лекции, учились у него, получили пример высокого служения делу организации и постановки высшего математического образования, подготовки учительских кадров, в первую очередь — учителей математики.

В 1961 году кафедра математики была разделена на две кафедры: математического анализа (зав. кафедрой В. Я. Славянович) и элементарной математики (зав. кафедрой И. Е. Хациревич). После некоторых реорганизаций в 1972 году на физико-математическом факультете образованы кафедра математического анализа и кафедра алгебры и геометрии.

Преподаватели кафедры алгебры и геометрии. 1976 г.

Первым заведующим кафедрой алгебры и геометрии был Виктор Сергеевич Болодурин — выпускник ОГПИ. Окончил аспирантуру Московского государственного педагогического института им. В. И. Ленина по специальности «Геометрия и топология» с представлением диссертации, которую успешно защитил в 1968 году. Научным руководителем В. С. Болодурина был профессор Макс Айзикович Акивис. В. С. Болодурин — кандидат физико-математических наук, ныне — доктор педагогических наук, профессор.

В связи с отъездом В. С. Болодурина на работу в Йемен (1974—1976 гг.) на должность заведующей кафедрой алгебры и геометрии была приглашена преподаватель политехнического института Тамара Степановна Измайлова — выпускница ОГПИ, окончившая аспирантуру кафедры геометрии МГПИ им. В. И. Ленина (научный руководитель — профессор М. А. Акивис), кандидат физико-математических наук. Т. С. Измайлова заведовала кафедрой алгебры и геометрии с 1974 по 1979 год.

В течение последующих 15 лет, с 1979 по март 1994 года, кафедрой алгебры и геометрии руководила Валентина Александровна Коротина — выпускница ОГПИ, окончившая аспиранту-

ру при Московском государственном заочном педагогическом институте (кафедра математического анализа, научный руководитель Наум Яковлевич Виленкин) по специальности «Методика преподавания математики», кандидат педагогических наук.

С 1994 по 1998 год кафедру алгебры и геометрии вновь возглавляла Т. С. Измайлова. В 1998 году кафедру разделили на две: кафедру алгебры и кафедру геометрии. Заведующей кафедрой алгебры назначили Марину Евгеньевну Дедловскую — выпускницу ОГПИ, которая к этому времени защитила кандидатскую диссертацию по алгебре в МГПИ им. В. И. Ленина. Она руководила кафедрой вплоть до своего отъезда на новое место жительства в Америку в 2000 году.

Руководство кафедрой в 2000—2004 годах осуществлял Александр Семёнович Ракитянский — выпускник ОГПИ, кандидат физико-математических наук (математический анализ), старший преподаватель кафедры математического анализа.

В 2001 году кафедра алгебры переименована в кафедру алгебры и истории математики. С 2004 по 2011 год заведующей кафедрой алгебры и истории математики являлась академик АН Узбекистана, действительный член Международной Академии истории науки, доктор физико-математических наук, профессор Галина Павловна Матвиевская — выпускница математико-механического факультета Ленинградского университета, окончившая аспирантуру Ленинградского отделения Института истории естествознания и техники АН СССР (научный руководитель академик Владимир Иванович Смирнов), защитившая в 1968 году диссертацию на соискание учёной степени доктора физико-математических наук. В 1959—1994 гг. была сотрудником Института математики Академии наук Узбекской ССР, заведующим отделом математического анализа. В её научном багаже более 300 публикаций, в том числе 30 монографий. Она имеет звания «Женщина года» и «Человек года», присвоенные ей Кембриджским университетом соответственно в 1992 и 1997 годах.

С 2011 по 2012 год кафедрой снова заведовал А. С. Ракитянский, доцент с 2004 года. В настоящее время является деканом физико-математического факультета ОГПУ.

В 2012 году кафедра алгебры и истории математики объединилась с кафедрой геометрии. Объединённую кафедру алгебры, геометрии и истории математики возглавил Алексей Николаевич Колобов — выпускник ОГПУ, кандидат технических наук, доцент.

С 1985 года в программы школьного и вузовского образования в масштабах страны введён новый предмет — основы информатики и вычислительной техники. С 1986 года все педагогические вузы начали подготовку учителей информатики. Кафедре алгебры и геометрии поручили курировать эту работу. К этому времени при кафедре действовала учебная вычислительная лаборатория. Цикл дисциплин по информатике и вычислительной математике был передан кафедре алгебры и геометрии. Стало совершенно очевидным, что необходимо и целесообразно создание новой кафедры соответствующего направления. В 1988 году от кафедры алгебры и геометрии отделилась кафедра информатики и вычислительной техники. Становление последней прошло долгий и сложный путь. Первым её заведующим был Сергей Васильевич Охитин — выпускник Московского государственного университета, а затем аспирант МГУ (кафедра алгебры), кандидат физико-математических наук, алгебраист; научные интересы — искусственный интеллект.

В связи с переездом в Ульяновск С. В. Охитин недолго исполнял обязанности заведующего кафедрой информатики и вычислительной техники. С 1990 по декабрь 2005 года (15 лет) заведовала кафедрой Галина Фёдоровна Лозенко — выпускница ОГПИ, окончившая аспирантуру по теоретической физике, кандидат физико-математических наук (научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор, ныне академик РАН, лауреат Государственной премии Л. А. Грибов).

В настоящее время в Оренбургском государственном педагогическом университете две математические кафедры: кафедра алгебры, геометрии и истории математики; кафедра математического анализа и методики преподавания математики.

В разные годы на кафедре алгебры и геометрии, алгебры, алгебры и истории математики, алгебры, геометрии и истории математики работали следующие преподаватели: И. М. Чубинский, Л. Ф. Сайгакова, В. А. Коротина, Н. В. Ривкус, Л. П. Соболева, И. И. Меньшикова, Л. А. Овчинникова, Л. Е. Пучихина, В. Н. Мысенко, С. В. Охитин, И. Л. Невоструева, М. И. Черемисина, М. Е. Дедловская, А. С. Ракитянский. Они осуществляли алгебраическую подготовку студентов по таким дисциплинам, как высшая алгебра, теория чисел, числовые системы, элементарная математика и практикум по решению алгебраических задач, научные и современные основы школьного курса математики.

В настоящее время кафедру пополнили молодые специалисты: А. Н. Колобов, А. В. Опимах, В. В. Аллай, К. А. Дридгер.

Геометрическую подготовку студентов в разные годы осуществляли преподаватели В. К. Кочегура, Г. А. Бажанова, Т. Н. Копытина, В. С. Болодурин, Т. С. Измайлова, О. А. Вахмянина, С. А. Герасименко, Л. А. Сазонова, О. М. Гомжина, Н. Н. Щипкова, А. Д. Сафарова, И. И. Ченцова, М. А. Ускова, И. В. Прояева.

Направление вычислительной техники и вычислительной математики разрабатывали П. С. Попов, М. С. Кирьянова, A. Г. Щёлков, Г. Ф. Лозенко, О. Б. Полищук, Н. В. Майстренко, С. М. Коннова.

Курс истории математики вели П. С. Попов и Н. В. Ривкус, а с 1994 года по настоящее время — Г. П. Матвиевская.

Сотрудниками учебной вычислительной лаборатории (УВЛ), которая в 1985 г. была организована при кафедре алгебры и геометрии, являлись А. Е. Шапуленков, Р. Д. Ковзалова, Л. П. Дружинина, А. И. Демидович, И. В. Латышева, Я. И. Фридман.

Первым руководителем УВЛ был А. Е. Шапуленков, в прошлом военнослужащий. Сменил его на этой должности Я. И. Фридман, который до этого работал в Оренбургском политехническом институте (ныне Оренбургский государственный университет). Он возглавлял УВЛ с 1987 по 1992 год. Сотрудники УВЛ совместно с преподавателями кафедры приняли активное участие в становлении информационно-вычислительного направления и создали фундамент для выделения самостоятельной кафедры информатики и вычислительной техники (1988 г.).

На кафедрах алгебры и геометрии, алгебры, алгебры и истории математики, алгебры, геометрии и истории математики в разные годы работали лаборантами Р. Е. Лосева, В. П. Рубцова, B. В. Аллай, Л. Ф. Молочаева, А. А. Учукеева, Ю. В. Тыщенко. Имея высшее математическое образование, все они понимали суть организации и проведения учебного процесса в высшей школе и являлись незаменимыми помощниками заведующих кафедрой: грамотно вели протоколы заседаний научно-методического семинара и всю документацию кафедры, никогда не отказывали в помощи преподавателям в оформлении текущих документов и публикаций. За их добросовестное отношение к делу кафедра всегда была и остаётся им благодарной.

В настоящее время (октябрь 2013 г.) на кафедре работают:

1. Колобов Алексей Николаевич, кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой.

2. Матвиевская Галина Павловна, доктор физико-математических наук, профессор.

3. Болодурин Виктор Сергеевич, доктор педагогических наук, кандидат физико-математических наук, профессор.

4. Ракитянский Александр Семёнович, кандидат физико-математических наук, доцент.

5. Коротина Валентина Александровна, кандидат педагогических наук, доцент.

6. Черемисина Марина Ивановна, кандидат педагогических наук, доцент.

7. Прояева Ирина Владимировна, кандидат физико-математических наук, доцент.

8. Опимах Андрей Владимирович, кандидат физико-математических наук, доцент.

9. Сафарова Алия Дамировна, кандидат педагогических наук, доцент.

10. Дридгер Клавдия Александровна, кандидат педагогических наук, доцент.

11. Аллай Вероника Витальевна, кандидат педагогических наук, старший преподаватель.

12. Соболева Лариса Петровна, старший преподаватель.

13. Невоструева Ирина Львовна, старший преподаватель.

14. Ускова Марина Анатольевна, старший преподаватель.

15. Вахмянина Ольга Андриановна, ассистент.

16. Тыщенко Юлия Владимировна, документовед.

Научно-исследовательская работа кафедры алгебры, геометрии и истории математики велась и ведётся по настоящее время по ряду основных направлений. Дадим краткую характеристику каждого.

Научно-теоретическими исследованиями по избранным вопросам истории математики руководит Галина Павловна Матвиевская, доктор физико-математических наук, профессор, академик АН Республики Узбекистан, действительный член Международной Академии истории науки.

Укажем лишь некоторые направления многогранной научно-исследовательской деятельности профессора Г. П. Матвиевской: исследование неопубликованных рукописей Леонарда Эйлера по теории чисел (материалы Санкт-Петербургского филиала Архива РАН); написание научных биографий математиков разных эпох (Абд ар-Рахман ас-Суфи, Улугбек, Альбрехт Дюрер, Петрус Рамус, Рене Декарт, В. И. Романовский, В. И. Смирнов); изучение истории

математики и математического образования в России. Г. П. Матвиевская, придя на кафедру, сумела создать школу единомышленников по изучению истории математики. На кафедре действует аспирантура, которой она руководит. Её аспиранты (В. Д. Павлидис, И. В. Прояева, И. В. Игнатушина, Е. В. Шухман) после окончания аспирантуры успешно защитили диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук.

Теоретические исследования по избранным вопросам современной математики в разные годы вели В. А. Коротина, Н. В. Ривкус, В. С. Болодурин, Т. С. Измайлова, С. В. Охитин, В. Н. Мысенко, И. Л. Невоструева, М. Е. Дедловская, А. С. Ракитянский, Л. П. Соболева, М. И. Черемисина, И. В. Прояева, А. Н. Колобов, А. В. Опимах.

Перечислим основные направления теоретических исследований сотрудников кафедры:

1. Классификация. Алгебра и логика классификации. Классификация и линейная алгебра (В. А. Коротина).

2. Искусственный интеллект (Н. В. Ривкус, С. В. Охитин).

3. Проективно-дифференциальная геометрия точечных соответствий между гиперповерхностями (В. С. Болодурин).

4. Деформирующие коммутирующие направления в пространстве Z — Z матриц (А. В. Опимах).

5. Абелевы группы без кручения ранга 2. Подпрямые и прямые суммы без кручения (В. Н. Мысенко).

6. Краевые задачи для некоторых дифференциальных уравнений третьего порядка в трёхмерном евклидовом пространстве. Краевые задачи в трёхмерном евклидовом пространстве (И. Л. Невоструева).

7. Активизация интеллектуального развития студентов гуманитарных специальностей университета в процессе обучения математическим дисциплинам (И. Л. Невоструева).

8. Изотопы и гомотопы некоторых классов правоальтернативных колец. Гомотопы (-1, 1) алгебр от двух порождающих (М. Е. Дедловская).

9. О подходе к определению стандарта математической подготовки будущих учителей математики. Классификационная характеристика как прообраз образовательных стандартов (М. И. Черемисина).

10. Фузионизм в математике (Л. П. Соболева).

11. Гармонический анализ на однородных пространствах (А. С. Ракитянский).

12. Исследование записных книжек Л. Эйлера по фотокопиям (А. Н. Колобов).

13. Некоторые вопросы геометрии в трудах и записных книжках Л. Эйлера (И. В. Прояева).

14. Развитие математического творчества студентов (В. В. Аллай).

Преподаватели кафедры работают и над проблемами совершенствования профессиональной подготовки будущего учителя математики. Работа велась по различным направлениям:

1. Совершенствование методики преподавания математики по дисциплинам кафедры (Г. П. Матвиевская, А. С. Ракитянский, В. А. Коротина, Н. В. Ривкус, Л. П. Соболева, М. И. Черемисина, И. Л. Невоструева, В. С. Болодурин, Т. С. Измайлова, О. А. Вахмянина). Результаты исследований преподаватели докладывали на научных конференциях разного уровня (международных, республиканских, региональных, внутривузовских). Были подготовлены и опубликованы учебные и учебно-методические пособия по дисциплинам кафедры, которые оказывали действенную помощь студентам в изучении специальных дисциплин.

2. Научно-методический семинар кафедры.

Работа семинара, систематически действовавшего на кафедре в течение многих лет, способствовала выявлению новых тенденций и технологий в организации образовательного процесса

Заседание научно-методического семинара кафедры

на кафедре и улучшению качества математического образования, повышению математической культуры. Подготовленные учебно-методические пособия почти по всем разделам курса алгебры, теории чисел, геометрии, вводному курсу, а также курсу элементарной математики и ПРЗ всегда обсуждались на заседаниях кафедры или методического семинара кафедры. Это способствовало выработке правильного подхода в организации и проведении профессионально-педагогической деятельности в процессе изучения математики будущими учителями математики. Долгие годы руководителем методического семинара кафедры была Н. В. Ривкус. Заседания методического семинара под её руководством проходили регулярно, живо, интересно, с конкретными рекомендациями по улучшению учебно-методической деятельности.

3. Работа по республиканской теме в рамках постоянно действующего Всероссийского семинара. Многие годы кафедра является соисполнителем всероссийской темы НИР «Профессионально-педагогическая направленность математической подготовки будущих учителей», которая разрабатывалась по поручению Министерства образования России с 1986 года (научный руководитель — доктор педагогических наук, профессор Александр Григорьевич Мордкович, г. Москва). Организованный А. Г. Мордковичем Всероссийский семинар преподавателей математики педвузов России, работающий с 1986 г., занимается изучением новых тенденций в развитии математического образования в педвузах и школах, выработкой рекомендаций по совершенствованию профессиональной подготовки будущих учителей математики, разработкой государственных образовательных стандартов, учебных планов и программ по математике. Эти же вопросы были приоритетными в работе сотрудников и методического семинара кафедры. Постоянным участником Всероссийского семинара является доцент В. А. Коротина. Будучи в статусе заведующей кафедрой алгебры и геометрии (1979—1994 гг.), председателя методической комиссии физико-математического факультета, члена методической комиссии института, В. А. Коротина уделяла самое пристальное внимание организации и совершенствованию процесса обучения студентов по вновь вводимым специальностям «Математика и информатика», «Математика и физика», «Физика и математика».

Результаты исследований по кафедральной теме «Совершенствование методики преподавания дисциплин алгебраического цикла в педвузе» систематически докладывались на различного

ранга научных и научно-методических конференциях, а также на методическом семинаре кафедры.

Особое внимание уделялось следующим вопросам:

• Государственный образовательный стандарт высшего педагогического образования и подготовки учителя математики в двухступенчатой системе «Высший педагогический колледж — педагогический институт» (доц. В. А. Коротина);

• Государственный образовательный стандарт высшего педагогического образования и блок математических дисциплин при разработке экспериментального учебного плана и учебных программ по специальностям «Математика и информатика», «Математика и физика» (доц. В. А. Коротина, ст. преподаватель Н. В. Ривкус, доц. Г. Ф. Лозенко).

Роль кафедры в организации и совершенствовании учебного процесса. Учебная работа на кафедре нацелена на подготовку высококвалифицированных учителей математики, учителей-исследователей, способных ставить и решать научные и творческие задачи, организовывать и проводить педагогический эксперимент, внедрять в школьную практику свои разработки.

Кафедра алгебры, геометрии и истории математики осуществляла и осуществляет подготовку по следующим математическим специальностям: «Математика», «Математика и информатика», «Математика и физика», «Информатика и математика», «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем», «Прикладная математика», а также по специальностям «Физика», «Информатика», «Физика и информатика». Богата палитра дисциплин, закреплённых за кафедрой: алгебра, геометрия, теория чисел, числовые системы, вычислительная математика, математическая логика, топология и дифференциальная геометрия, математические методы в управлении, конструктивная геометрия, дискретная математика, современные основы школьного курса математики, научные основы школьного курса математики, элементарная математика и практикум по решению алгебраических задач, спецкурсы, спецсеминары, руководство педагогической практикой студентов, курсовыми и выпускными квалификационными работами, а также курс истории математики.

Вопросы совершенствования учебной деятельности, повышения качества подготовки будущего учителя математики всегда были приоритетными в работе кафедры алгебры, геометрии и истории математики.

Анализ урока проводит старший преподаватель Г. А. Бажанова. 1977 г.

Основные направления творческого поиска: разработка новых профессионально ориентированных спецкурсов и спецсеминаров, корректировка учебных планов и программ согласно ФГОС; совершенствование методики преподавания дисциплин, читаемых на кафедре; активное участие в разработке учебных планов и программ двухуровневого обучения; разработка дидактических материалов для проведения контроля знаний студентов по всем дисциплинам кафедры на каждом курсе. Научно-методическая работа по улучшению качества математической подготовки молодого специалиста проводится в рамках темы «Повышение качества преподавания спецдисциплин в свете профессионально-педагогической направленности обучения математике». Кафедра участвует в разработке республиканской темы «Профессионально-педагогическая направленность математической подготовки будущих учителей», научным руководителем которой является заслуженный деятель науки, профессор Московского педагогического университета А. Г. Мордкович.

На кафедре сложились хорошие традиции по оказанию ведущими преподавателями научно-методической помощи молодым специалистам и работы методического семинара кафедры.

Связь кафедры алгебры, геометрии и истории математики с органами народного образования. Коллектив кафедры осуществляет свою педагогическую деятельность в тесном сотрудничестве с органами народного образования, институтом

повышения квалификации работников образования. Преподаватели работают непосредственно в школах г. Оренбурга (Л. П. Соболева, В. А. Коротина, О. А. Вахмянина, М. И. Черемисина, М. А. Ускова и др.).

На педпрактике в школе № 5 г. Оренбурга. Руководитель практики Н. В. Ривкус и методист кафедры педагогики А. М. Колесов. 1978 г.

В педагогическом колледже № 3 (ныне педагогический колледж им. Н. К. Калугина г. Оренбурга), который являлся первой ступенью профессионального образования при ОГПУ, научно-методическую помощь в организации и проведении подготовки студентов-математиков по алгебре оказывала В. А. Коротина. Большинство преподавателей осуществляет научно-консультационную помощь учителям, участвует в районных, городских, областных и региональных программах по внедрению отечественного опыта школьного образования, в обсуждении и внедрении базовых учебных планов и образовательных стандартов в школу, в аттестации учителей математики школ города Оренбурга и области. Преподаватели кафедры систематически выезжают в районы области для чтения лекций учителям математики. Сейчас особенно востребованы лекции по вопросам подготовки учащихся к единому государственному экзамену.

Почти все преподаватели кафедры активно работают со школьниками в рамках НОУ: читают в школах спецкурсы, гото-

вят учащихся к олимпиадам всех уровней, руководят их научными работами, занимаются индивидуально с одарёнными детьми в летней математической школе. Благодаря этому учащиеся занимают призовые места в олимпиадах и конкурсах научных работ, поступают в престижные вузы.

Работа по подготовке будущих учителей математики ведётся с разными школами города в период проведения педагогической практики. Преподаватели кафедры, как правило, работают в качестве методистов-руководителей педпрактики. Часто кафедра организовывала встречи ведущих учителей школ города и области со студентами старших курсов. Эти встречи учили студентов вести профессиональный разговор о своей будущей работе учителя математики.

Отметим некоторые другие виды работы кафедры со школьниками города и области и студентами: воскресный математический лекторий, факультет будущего учителя, заочная математическая школа, математические недели для студентов, студенческие математические кружки и др.

С 1 декабря 1999 года в Оренбургском областном институте повышения квалификации работников образования впервые была организована кафедра математических и естественных дисциплин. Заведовать этой кафедрой была приглашена доцент В. А. Коротина, которая в этой должности работала до 2002 года.

Встреча студентов III курса с лучшими учителями города и области. 1980 г.

Кружок по алгебре и его руководитель Л. Ф. Сайгакова. 1976 г.

Подробные биографические сведения о большинстве сотрудников кафедры изложены в выпущенной авторами настоящей статьи к 90-летию ОГПУ брошюре «Очерк истории становления и развития кафедры алгебры и истории математики Оренбургского государственного педагогического университета» (2006) [3, с. 22—39]. Полагаем уместным привести ниже сведения о тех преподавателях, которые пополнили ряды сотрудников кафедры после опубликования «Очерка».

Ирина Владимировна Прояева (р. 1973) окончила среднюю школу № 10 г. Оренбурга в 1990 году. В этом же году поступила на физико-математический факультет ОГПИ, который с отличием окончила в 1995 г. По окончании института И. В. Прояева остаётся работать ассистентом в Оренбургском государственном педагогическом институте на кафедре алгебры и геометрии.

Осенью 1995 г. Ирина Владимировна поступает в очную аспирантуру, открытую в 1994 г. доктором физико-математических наук, профессором кафедры алгебры, геометрии и истории математики, академиком Академии наук Узбекистана, действительным членом Международной Академии истории науки Галиной Павловной Матвиевской. В 2000 г. защищает диссертацию на

соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 07.00.10 «История математики» на тему «Учение о правильных многоугольниках в историческом развитии».

С осени 2000 г. И. В. Прояева продолжает работать, но уже старшим преподавателем на кафедре алгебре и геометрии Оренбургского государственного педагогического университета. С апреля 2004 г. по конкурсу переходит на должность доцента кафедры геометрии Оренбургского государственного педагогического университета

Во время работы в ОГПУ И. В. Прояева вела и продолжает вести все основные курсы по геометрии: аналитическая геометрия, проективная геометрия, методы изображений, топология, дифференциальная геометрия, основания геометрии, элементарная геометрия, избранные вопросы геометрии, частные методы решения геометрических задач, геометрические преобразования. Ею также читаются спецкурсы, ведутся спецсеминары «Различные системы аксиом евклидова пространства», «Построение правильных многоугольников в историческом развитии».

С 2007 по 2011 г. работала в высшем педагогическом колледже № 3 (в настоящее время № 2) г. Оренбурга, который в то время являлся первой ступенью высшего педагогического образования по специальности «Математика» ОГПУ.

С 2005 по 2011 г. Ирина Владимировна работала по совместительству доцентом кафедры дидактики и частных методик ИПК и ППРО. С 2009 г. является экспертом работ ЕГЭ по математике школьников Оренбургской области.

На протяжении своей педагогической деятельности И. В. Прояева поддерживает связь с органами школьного образования: работает в заочной физико-математической школе при ОЦНТТУ, является руководителем секции алгебры и геометрии научно-практической конференции «Горизонты науки и образования XXI века» в МОБУ «Лицей № 3» (директор Т. А. Игнатьева).

Профессиональные интересы И. В. Прояевой сосредоточены на истории математического образования в Оренбургском крае в XVIII—XIX вв. Ею опубликовано 56 работ, в том числе статей — 28, учебно-методических пособий — 17, подготовленных учебных программ и УМК — 11.

Алексей Николаевич Колобов родился 19 мая 1976 г. в селе Ефремово-Зыково Пономарёвского района Оренбургской области. В 1983 г. пошёл в первый класс, а в 1993 г. окончил Ефремово-Зыковскую среднюю школу и поступил в Оренбургский государственный педагогический университет.

В 1998 г. с отличием окончил физико-математический факультет Оренбургского государственного педагогического университета по специальности «Математика и физика». С 1998 по 2001 г. обучался в очной аспирантуре по специальности «История науки и техники». С 1998 по 2005 г. работал ассистентом кафедры алгебры и истории математики. С 2005 г. избран на должность старшего преподавателя кафедры алгебры и истории математики Оренбургского государственного педагогического университета.

В 2010 г. защитил кандидатскую диссертацию и в 2011 г. ему присуждена учёная степень кандидата технических наук. В 2011 г. избран доцентом кафедры алгебры и истории математи-

ки. С 2012 г. — заведующий кафедрой алгебры, геометрии и истории математики.

Им опубликовано 23 статьи, три из них в центральной печати, изданы методические указания, учебные пособия, зарегистрировано одно электронное учебное пособие, получены два патента на изобретение и одно свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Общий стаж научно-педагогической работы составляет 15 лет. Читаемые курсы: математика, математическая логика, дискретная математика, алгебра, элементы абстрактной и компьютерной алгебры, элементарная математика. Профессиональные интересы: математическое моделирование технических систем, информационные технологии в образовании. Им опубликовано 43 работы, из них 23 статьи, 5 учебно-методических пособий, подготовлено 15 учебных программ и УМК.

Андрей Владимирович Опимах родился в г. Оренбурге в 1977 г. В 1994 г. окончил среднюю школу № 18, последние три года обучался в физико-математическом классе. В том же году поступил на физико-математический факультет ОГПУ и в 1999 г. окончил его с отличием. Сразу поступил в очную аспирантуру Тамбовского государственного университета им. Г. Р. Державина по специальности 01.01.01 — математический анализ. В 2002 г. окончил аспирантуру и начал работать ассистентом кафедры алгебры и математического анализа Тамбовского государственного педагогического университета. В 2006 г. вернулся в Оренбург. Заочно поступил в аспирантуру голландского университета UA Amsterdam под руководством профессора Г. Ф. Хельминка по специальности «математическая физика». С 2006 г. работает а ОГПУ в должности старшего преподавателя кафедры алгебры и истории математики. В 2011 г. в университете Амстердама защитил докторскую диссертацию на тему «Деформирующие коммутирующие направления в пространстве Z — Z матриц» и в 2012 г. получил учёную степень кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.03 «Математическая физика» в России. С 2012 г. работает в должности доцента кафедры алгебры, геометрии и истории математики ОГПУ. Является лауреатом премии губернатора Оренбургской области по теоретической физике (2012 г.).

Область научных интересов: теоретическая физика, гармонический анализ на однородных пространствах, интегральные системы. Опубликовано 13 научных работ, из них 9 статей в рос-

сийских и зарубежных изданиях, 2 монографии, 2 учебно-методических пособия.

Клавдия Александровна Дридгер (р. 1983). Обучалась в средней общеобразовательной школе № 2 г. Кувандык Оренбургской области в классе физико-математического профиля, окончила школу с золотой медалью в 2000 г. и в этом же году поступила на физико-математический факультет ОГПУ, который окончила в 2005 г. и получила диплом с отличием по специальности «Учитель математики и информатики».

На последнем курсе обучения в университете работала учителем математики и физики в МОУ «Степановская средняя общеобразовательная школа» Оренбургского района.

В 2005 г. избрана ассистентом кафедры алгебры и истории математики ОГПУ, в 2010 г. принята на должность старшего преподавателя.

С 2007 по 2009 г. обучалась в очной аспирантуре ОГПУ по специальности «Общая педагогика, история педагогики и образования» (13.00.01) под руководством доктора педагогических наук, профессора Насыровой Мусфиры Бадиковны. 3 февраля 2010 г. защитила кандидатскую диссертацию «Развитие принципа народности воспитания в педагогике России второй половины XIX — начала XX века», в апреле 2010 г. ей присвоена учёная степень кандидата педагогических наук, а в июле 2012 г. она получила должность доцента.

В 2009—2012 гг. К. А. Дридгер исполняла обязанности куратора в группах по специальностям «Математическое обеспечение и автоматизация информационных систем» и «Прикладная математика».

Сфера научных интересов: история педагогики и образования, математическое образование в вузе, дискретная математика. Является автором 33 научных публикаций.

Читаемые дисциплины: алгебра, дискретная математика, математическая логика, количественные методы в гуманитарных исследованиях.

Вероника Витальевна Аллай родилась в г. Кумертау (Башкирская АССР) в 1980 г. В 1997 г. окончила среднюю школу с серебряной медалью и в том же году поступила на физико-математический факультет ОГПУ. После окончания университета принята на кафедру алгебры и истории математики на должность ассистента. С 2003 по 2006 г. обучалась в аспирантуре при кафедре общей педагогики ОГПУ. В 2008 г. защитила кандидат-

скую диссертацию «Развитие математического творчества студента в образовательном процессе».

В 2007 г. избрана на должность старшего преподавателя. Читает лекции по математической логике, дискретной математике, основам математической обработки информации, финансовой математике, количественным методам в гуманитарных исследованиях, вычислительным методам решения задач линейной алгебры, математическим моделям в экономике; ведёт практикум по решению линейных уравнений. Автор 28 научных работ.

* * *

Кафедра алгебры, геометрии и истории математики вносила и вносит серьёзный вклад в дело подготовки высококвалифицированных учителей математики, ищет новые пути повышения качества математического образования, уровня алгебраической культуры, воспитывает стремление познать исторические корни математической науки.

Трудом нескольких поколений преподавателей, сотрудников и студентов создавался и продолжает расти научный и учебный потенциал нашей кафедры. Ценная информация о различных направлениях работы кафедры заключена в научных работах преподавателей, в курсовых работах и дипломных проектах студентов, в выпускных квалификационных работах, в итогах участия преподавателей и студентов в научных конференциях и олимпиадах.

В последние десятилетия новые возможности совершенствования профессиональной деятельности кафедры открылись с появлением компьютеров на факультете и вхождением их в глобальную сеть Интернет.

Особая роль в становлении и развитии кафедры алгебры, геометрии и истории математики принадлежит её ветеранам. Именно они создавали кафедру, делали своё благородное дело, преодолевая трудности — материальное неблагополучие, посягательство на свободу мысли и духа, социальные катастрофы, превратности личной судьбы.

Дальнейшее успешное развитие кафедры алгебры и истории математики напрямую зависит от её молодых преподавателей и сотрудников. Научные школы, лучшие традиции кафедры создали ветераны, но развиваются они трудом молодых — аспирантов, юных кандидатов, молодых докторов наук.

Список использованных источников

1. Оренбургский государственный педагогический университет / отв. ред. В. С. Болодурин. Оренбург : Оренб. кн. изд-во, 1999. 256 + 8 с.

2. Славянович В. Я. Воспоминания о работе на кафедрах математики. Оренбург : Изд-во ОГПУ, 1999. 23 с.

3. Коротина В. А., Ривкус Н. В. Очерк истории становления и развития кафедры алгебры и истории математики Оренбургского государственного педагогического университета. Оренбург : ОГПУ, 2006. 44 с.

4. Игнатушина И. В. Из истории кафедры математического анализа и методики преподавания математики ОГПУ // Вестник Оренбургского государственного педагогического университета. Оренбург, 2008. № 2. С. 7—11.

5. Материалы архива Оренбургского государственного педагогического университета.

И. К. Зубова

Из истории кафедры математического анализа Оренбургского государственного университета

Кафедра математического анализа Оренбургского государственного университета возникла на базе кафедры высшей математики, которая создавалась постепенно в процессе формирования этого вуза.

История Оренбургского государственного университета начинается 14 сентября 1955 года, когда приказом № 910 Министерства высшего образования СССР в Оренбурге было создано вечернее отделение Куйбышевского индустриального института. В результате дальнейшего развития и последующих преобразований это учебное заведение стало сначала политехническим институтом, а позже — университетом. Стоит, однако, заметить, что идея создания в Оренбурге технического вуза появилась уже в 1917 г. В 1919 г. в городе был создан политехнический техникум, который через год был преобразован в институт. Этот институт существовал недолго и был закрыт в 1923 г. В 1923— 1925 гг. в городской прессе обсуждалась возможность создания в городе многопрофильного высшего учебного заведения, которое со временем могло бы превратиться в университет. Таким образом, Оренбургский государственный университет имеет довольно богатую предысторию.

В 1960 г. в филиале Куйбышевского индустриального института была организована кафедра общетеоретических дисциплин (приказ министра высшего и среднего образования РСФСР № 279 от 12.04.1960 г.) под руководством кандидата физико-математических наук, доцента Капитолины Дмитриевны Поярковой (1920—2009).

К. Д. Пояркова родилась в г. Ржев Калининской области. В 1939 г. окончила среднюю школу и поступила в Московский текстильный институт на химико-технологический факультет. Однако в 1940 г. она перевелась в Ржевский учительский институт на физико-математический факультет и окончила его в 1941 г. После этого работала учителем в Иркутской области. В 1946—1950 гг. училась на физико-математическом факультете Московского областного педагогического института, затем в аспирантуре по специальности «Теоретическая механика». В 1953 г. защитила диссертацию на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук и до 1959 г. работала на кафедре теоретической физики Московского областного педагогического института. Затем была переведена на работу в г. Оренбург.

На кафедре общетеоретических дисциплин оренбургского филиала Куйбышевского индустриального института в тот период работало восемь преподавателей, в том числе и преподаватели математики. К 1964/65 учебному году в составе кафедры общетеоретических дисциплин находилось три преподавателя высшей математики и теоретической механики, семь преподавателей математики и один преподаватель теоретической механики.

В 1967 г. кафедра общетеоретических дисциплин разделилась на две (приказ министра высшего и среднего образования РСФСР от 30.03.1967 г.): кафедру высшей математики и теоретической механики (зав. кафедрой — канд. физ.-мат. наук, доц. К. Д. Пояркова) и кафедру физики и химии.

18 апреля 1969 г. на базе Оренбургского филиала Куйбышевского политехнического института им. В. В. Куйбышева был создан Оренбургский политехнический институт (постановление Совета Министров СССР № 290 и приказ министра высшего и среднего специального образования РСФСР от 23 мая 1969 г. № 243).

В 1976 г. кафедра высшей математики и теоретической механики Оренбургского политехнического института преобразуется в две кафедры: кафедру высшей математики и вычислительной техники и кафедру теоретической механики (приказ по Орен-

бургскому политехническому институту от 16.11.1976 г. № 118). Заведующим кафедрой высшей математики и вычислительной техники становится кандидат физико-математических наук, доцент Лев Михайлович Невоструев.

Л. М. Невоструев (1935—2009) окончил в 1958 г. физико-математический факультет Орского педагогического института, а в 1963 г. — аспирантуру Куйбышевского педагогического института. В 1967 г. был принят на работу в Оренбургский филиал Куйбышевского политехнического (индустриального) института и в этом же году защитил диссертацию на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук. Впоследствии опубликовал более 50 научных работ по дифференциальным уравнениям в частных производных смешанного типа.

Лев Михайлович руководил кафедрой до 1984 г. с небольшим перерывом, когда во время его творческого отпуска обязанности заведующего исполняла Галина Андреевна Ивашкина.

Г. А. Ивашкина родилась в 1933 г. в г. Витебске Белорусской ССР. В 1941 г. приехала в Оренбург с семьёй, эвакуированной вместе со станкостроительным заводом. В 1951 г. окончила среднюю школу, а в 1955 г. — физико-математический факультет Оренбургского педагогического института. Два года работала учителем математики в Медногорске. С 1957 по 1970 г. преподавала в Оренбургском сельскохозяйственном институте. В 1970 г. перешла на должность старшего преподавателя Оренбургского политехнического института. В 1979 г., окончив аспирантуру Ленинградского государственного университета, защитила диссертацию на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук на тему «Краевые задачи со смещением и задачи типа Бицадзе — Самарского». В 1984—1989 гг. работала в Оренбургском государственном педагогическом институте. С 1989 г. по настоящее время Г. А. Ивашкина вновь преподаёт в Оренбургском политехническом институте (ныне — Оренбургский государственный университет).

В 1982 г. кафедра высшей математики и вычислительной техники Оренбургского политехнического института снова была реорганизована. Она разделилась на две: кафедру высшей математики (заведующий кафедрой — канд. физ.-мат. наук, доц. Л. М. Невоструев) и кафедру вычислительной техники (приказ по Оренбургскому политехническому институту № 83 от 17.08.1982 г.).

С 1984 по 1989 г. кафедрой высшей математики заведовала кандидат физико-математических наук Маргарита Александров-

на Шлейникова (1937—2004). M. А. Шлейникова в 1958 г. окончила физико-математический факультет Оренбургского педагогического института, а в 1968 г. — аспирантуру при кафедре математического анализа Московского государственного заочного педагогического института. В 1971 г. защитила диссертацию на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук. Областью её научных интересов была теория представления групп. С 1958 по 1960 г. М. А. Шлейникова работала на кафедре математики и физики военного зенитно-артиллерийского училища г. Оренбурга, с 1960 по 1984 г. и с 1989 по 2004 г. — на кафедре математического анализа Оренбургского государственного педагогического института, где с 1994 по 2003 г. заведовала кафедрой математического анализа. И, как указано выше, с 1984 по 1989 г. М. А. Шлейникова руководила кафедрой высшей математики в Оренбургском политехническом институте.

В 1989 г. заведующим кафедрой высшей математики этого института вновь стал Л. М. Невоструев.

Приказом Государственного Комитета Российской Федерации по высшему образованию от 25 октября 1994 г. № 1049 Оренбургский политехнический институт был переименован в Оренбургский государственный технический университет, а двумя годами позже — в Оренбургский государственный университет (приказ Государственного Комитета Российской Федерации по высшему образованию от 25 января 1996 г. № 160).

В 2000 г. кафедра высшей математики Оренбургского государственного университета была разделена (приказ № 383 от 30.10.2000 г. по Оренбургскому государственному университету) на кафедру высшей математики для инженерно-технических специальностей (зав. кафедрой — канд. физ.- мат. наук, доц. Л. М. Невоструев) и кафедру высшей математики для экономических специальностей (зав. кафедрой канд. техн. наук, доц. И. П. Болодурина, с 2004 г. — доктор технических наук, с 2009 г. — профессор).

В июле 2001 г. кафедра высшей математики для экономических и естественнонаучных специальностей была переименована в кафедру прикладной математики (приказ № 325 от 17.07.2001 г. по Оренбургскому государственному университету). В этом же году в Оренбургском государственном университете был создан физико-математический факультет (приказ № 298 от 10.07.2001 г. по Оренбургскому государственному университету, декан —

канд. физ.-мат. наук, доц. Т. П. Петухова). В состав факультета входило пять кафедр, в том числе три кафедры, предназначенные для обучения студентов математическим дисциплинам: кафедра прикладной математики, кафедра высшей математики инженерно-технических специальностей и кафедра математических методов и моделей в экономике (зав. кафедрой — канд. техн. наук, доц. А. Г. Реннер).

Впоследствии, в 2005 г., факультет разделился на два — математический и физический (приказ № 197 от 16.06.2005 г. по Оренбургскому государственному университету). С ноября 2009 г. деканом математического факультета является кандидат физико-математических наук, доцент С. А. Герасименко.

В 2002 г. кафедра высшей математики для инженерно-технических специальностей была разделена на две кафедры (приказ № 248 от 19.06.2002 г. по Оренбургскому государственному университету): кафедру математического анализа (зав. кафедрой — канд. физ.-мат. наук, доц. Л. М. Невоструев) и кафедру алгебры и геометрии (зав. кафедрой — канд. пед. наук В. В. Липилина).

Таким образом, с 2002 г. в Оренбургском государственном университете работает кафедра математического анализа. С 1 ноября 2006 г. по настоящее время ею руководит доктор технических наук Юрий Григорьевич Полкунов.

Ю. Г. Полкунов родился в 1954 г. в г. Макеевка Донецкой области. В 1954 г. окончил математический факультет Кемеровского государственного университета, работал инженером, с 1982 по 2004 г. преподавал в Кузбасском политехническом институте (Кузбасском государственном техническом университете). В 1986 г. защитил кандидатскую, а в 2004 г. — докторскую диссертацию. Область научных интересов: математическое моделирование методами граничных интегральных уравнений разрушения сплошных и дискретных структур геоматериалов. С 2004 г. Ю. Г. Полкунов — профессор кафедры прикладной математики Оренбургского государственного университета, а в 2006 г. перешёл на должность заведующего кафедрой математического анализа.

В настоящее время на кафедре работает 13 человек, из них один доктор и один кандидат технических наук, четыре кандидата физико-математических наук, два кандидата педагогических наук. Семь доцентов, пять старших преподавателей и один преподаватель.

Список использованной литературы

1. Верещагин Ю. Ф. До столетия ОГУ осталось бы немного... // Университет. 2010. 14 сент. (№ 33 (1039))

2. Герасименко С. А., Зубова И. К., Петухова Т. П. Математический факультет: история, настоящее, будущее // Вестник Оренбургского государственного университета. 2010. № 9. С. 4—9.

3. Кафедра математического анализа и методики преподавания математики Оренбургского государственного педагогического университета (Очерк истории) / сост. И. В. Игнатушина. Оренбург : Изд-во ОГПУ, 2006. 30 с.

4. Оренбургский государственный университет в лицах : сб. Оренбург : ИПК ГОУ ОГУ, 2006. 358 с.

В. А. Коротина

Наум Яковлевич Виленкин — видный советский учёный и педагог и его роль в совершенствовании математического образования в Оренбуржье

В жизни каждого специалиста, который связан с математикой, есть Учитель, профессиональная деятельность которого, блестящая математическая эрудиция, творческая работоспособность, сочетающаяся с большой любовью к точности изложения математического материала, принципиальность и требовательность к себе и внимание к окружающим являются примером восхищения и подражания. Таким учителем в моей профессиональной деятельности был Наум Яковлевич Виленкин.

Известный советский математик и педагог, доктор физико-математических наук, профессор Н. Я. Виленкин родился в Москве 21 октября 1920 г. в семье служащего.

В 1942 г. окончил с отличием механико-математический факультет МГУ, в 1945 г. — аспирантуру при НИИ математики МГУ, защитил кандидатскую диссертацию на тему «Прямые разложения топологических абелевых групп». За эту работу был удостоен премии Московского математического общества для молодых математиков. В 1949 г. защитил докторскую диссертацию на тему «Исследования по теории топологических абелевых групп», высоко оценённую известными алгебраистами А. Г. Курошем и А. И. Мальцевым. В 1951 г. Н. Я. Виленкин утверждён в

звании профессора по кафедре высшей математики. Любое его выступление, будь то лекция, доклад на семинаре или отзыв на научную работу, всегда отличается одновременно высоким теоретическим уровнем и доступностью изложения.

Моё знакомство с ним состоялось в 1972 г. Я приехала в Москву на собеседование по поводу предстоящего поступления в аспирантуру Московского заочного педагогического института (МЗГПИ) на кафедру математического анализа по специальности «Математика». Заведовал этой кафедрой профессор Наум Яковлевич Виленкин. Его научные интересы лежали в области топологической алгебры, функционального анализа, теории представления групп.

Мой реферат был посвящён избранным вопросам теории абелевых групп и получил положительную (высокую) оценку. Наум Яковлевич рекомендовал меня к поступлению в аспирантуру по специальности «Математика» (алгебра). Я была допущена к сдаче вступительных экзаменов. Казалось бы, все идёт хорошо. Но жизнь распорядилась так, что я не смогла воспользоваться предоставленной мне возможностью поступления в очную аспирантуру по математике по объективным семейным обстоятельствам. По этому поводу мне очень трудно было начать разговор с Наумом Яковлевичем. Но я была уверена, что учиться в аспирантуре по математике вне Москвы, без возможности слушать еже-

Наум Яковлевич Виленкин (1920—1991), доктор физико-математических наук, профессор

недельно лекции по специальным дисциплинам и спецкурсам, без возможности участвовать в спецсеминарах невозможно.

К моему удивлению и радости, Наум Яковлевич понял мою ситуацию и сказал, что, тем не менее, хотел бы видеть меня среди своих аспирантов. Он подробно расспросил меня о моей профессиональной деятельности. К тому времени у меня был трёхлетний стаж работы в школе и пятилетний вузовский на кафедре математического анализа. Он уточнил, по каким курсам я вела занятия (алгебра, геометрия, математический анализ, практикум по решению задач, педпрактика в школе). К этому времени Наум Яковлевич активно включился в разработку вопросов методики преподавания математики, в работу по написанию школьных учебников. Он предложил мне поступить в заочную аспирантуру по методике преподавания математики. Выразил надежду, что его первая аспирантка по методике преподавания математики оправдает его ожидания. Я обещала его не огорчать. После меня ежегодно Наум Яковлевич брал аспирантов не только по математике, но и по методике преподавания математики.

Наум Яковлевич был не только выдающимся исследователем но и учителем многих математиков. Он обладал даром вовлекать молодёжь в научные исследования, оказывать большую помощь молодым математикам постановкой задач. Училась я в аспирантуре с большим желанием и интересом. Ежегодно (2—3 раза в год) ездила в Москву с отчётом о проделанной работе и для работы в библиотеках (имени К. Д. Ушинского, имени В. И. Ленина, иностранной литературы). Во время командировок всегда старалась попасть на лекции к Науму Яковлевичу. Лектор он был замечательный, аудитория всегда с восхищением и большим интересом слушала его лекции и активно работала на них. Я смогла посетить лекции Наума Яковлевича по различной тематике, в частности прослушать курс «Введение в математику», который впервые разработал Наум Яковлевич и подготовил по нему учебное пособие. Оно было полезным для многих молодых специалистов педагогических вузов. Этот курс и сейчас не потерял свою актуальность.

Не только математика и методика её преподавания входили в круг интересов Наума Яковлевича. Он хорошо знал литературу и поэзию, классическую музыку, был большим знатоком истории математики, имел познания в философии и психологии. Он всегда говорил мне, что, находясь в Москве и работая в библиотеках, надо не забывать об обязательном посещении театров, музеев,

концертов классической музыки. Давал конкретные советы: какие спектакли посмотреть, на каких концертах побывать и адреса книжных магазинов, которые обязательно нужно посетить, так как там есть очень интересные книги не только по математике, но и литература по другой тематике (художественная, искусство, живопись и т.д.). Я всегда внимательно относилась к советам и рекомендациям Наума Яковлевича. Они позволяли мне открыть для себя Москву.

Москва, Наум Яковлевич, МГЗПИ, защита диссертации, первое в Москве заседание семинара профессиональной направленности по обучению математике в педвузе — всё это незабываемые вехи в моей профессиональной деятельности.

Научно-методические идеи Н. Я. Виленкина благотворно влияют на организацию и проведение учебного процесса на физико-математическом факультете Оренбургского государственного педагогического института (ОГПИ). Его ученики — аспиранты МГЗПИ, научным руководителем которых он был и которые являлись преподавателями нашего факультета, несли эти идеи на факультет, на кафедры математического анализа и методики преподавания математики, алгебры и геометрии. В разные годы аспирантами Наума Яковлевича были Маргарита Алексан-

Московский заочный педагогический институт (МГЗПИ), кафедра математического анализа, заведующий кафедрой Н. Я. Виленкин с коллегами на открытии компьютерного класса

дровна Шлейникова (кандидат физико-математических наук, доцент, заведующая кафедрой математического анализа и методики преподавания математики); Гафур Мустафоеич Гузаиров (кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой математического анализа и методики преподавания математики); Алексей Александрович Руднев и Людмила Николаевна Курбатова (старшие преподаватели). Соискателем была Лариса Петровна Соболева, которая успешно сдала кандидатский экзамен и работала по теме «Фузионизм в математике».

Наум Яковлевич приезжал в Оренбург, выступал с лекциями перед студентами и преподавателями, а также на объединённом заседании научно-методического семинара кафедр. Консультировал своих аспирантов и отвечал на вопросы преподавателей о состоянии математического образования в стране и перспективах его совершенствования и развития. Это были интересные и познавательные встречи.

Н. Я. Виленкин был организатором и первым руководителем постоянно действующего научно-методического семинара для преподавателей математики педагогических вузов нашей страны «Профессионально-педагогическая направленность обучения математике в педвузах». Этот семинар действует по настоящее время. Ежегодно проводятся заседания семинара или конференции в разных городах России (Москва, Красноярск, Самара, Челябинск, Улан-Удэ, Казань, Орск, Пермь, Ярославль и другие города России). Многие наши преподаватели принимали участие в работе этих семинаров и конференций. На них всегда выступал Наум Яковлевич с интересными докладами, активное участие он принимал и в прениях. Его выступления всегда были яркими, содержательными, с интересными примерами и убедительной аргументацией. Преподаватели нашего института брали на вооружение идеи Наума Яковлевича по организации учебного процесса и использовали их в профессиональной деятельности, обсуждали на методическом семинаре.

Кафедра математики всегда старалась поддерживать научные связи с МГЗПИ, с его математическими кафедрами и учёными этих кафедр, в первую очередь с Н. Я. Виленкиным и А. Г. Мордковичем, которые известны не только в нашей стране, но и за рубежом, являются авторами учебников по математике для высшей и средней школы.

Учебное пособие Н. Я. Виленкина «Современные основы школьного курса математики» оказало большую помощь мне как

заведующей кафедрой в организации и постановке этого нового курса в пединституте. Для меня и преподавателей кафедры пособие было одной из настольных книг, необходимых для профессиональной деятельности. Его было трудно приобрести, в магазинах его быстро раскупали. Но на нашей кафедре алгебры и геометрии оно появилось раньше, чем у других. Когда я была в командировке в Москве, Наум Яковлевич подарил мне экземпляр с дарственной надписью. Поэтому книга представляет для нас двойную ценность.

Первым лектором и разработчиком данного курса на нашем физико-математическом факультете была Наталья Владимировна Ривкус — старший преподаватель кафедры алгебры и геометрии, заместитель декана по учебной работе, в прошлом аспирантка Московского государственного педагогического института им. В. И. Ленина.

Многие моменты профессиональной деятельности связывали МГЗПИ и ОГПИ. Поэтому вполне естественно было участие нашего института в праздновании 60-летнего юбилея Н. Я. Виленкина в 1980 году. Оренбургский сувенир и почётный адрес были вручены лично Науму Яковлевичу представителями нашего института. До сих пор на кафедре хранится текст адреса:

Доктору физико-математических наук, профессору НАУМУ ЯКОВЛЕВИЧУ ВИЛЕНКИНУ г. Оренбург Октябрь, 1980

Многоуважаемый Наум Яковлевич!

Ректорат, научная часть, кафедры математики Оренбургского государственного педагогического института им. В. П. Чкалова горячо и сердечно поздравляют Вас с 60-летним юбилеем!

Мы знаем Вас как талантливого учёного-математика, всемирно известного специалиста в области общей алгебры (топологические абелевы группы, группы Ли), топологии, теории функций действительного переменного, функционального анализа, комбинаторики; страстного пропагандиста математических знаний, человека, отдающего много сил и энергии делу постановки математического образования в нашей стране.

Ваши школьные учебники по математике, методические пособия для учителей, популярные книги для учащихся средних школ, большое количество статей по вопросам улучшения преподавания математики в средней школе известны не только в нашей стране, но и за рубежом. Они помогают нам в деле воспитания квалифицированных учителей математики.

Ваши бывшие аспиранты, ныне кандидаты наук, успешно работающие в нашем институте, а также те преподаватели, которые обучаются у Вас в настоя-

щее время, искренне признательны Вам за постоянное внимание и поддержку, которые Вы бескорыстно оказываете им.

Слушать Ваши прекрасные лекции по математике, по педагогике высшей школы, по методике преподавания математики в средней школе — истинное удовольствие для специалиста. Слушая Вас, всегда испытываешь чувство восхищённого удивления перед широтой и многообразием Ваших знаний, перед талантом, способным выразить мысли в прекрасной форме и показать поэзию математики.

Для нас Вы — замечательный учёный, олицетворение жизнелюбия, добра и благородства.

Спасибо Вам за тёплое внимание и помощь нашему институту. Желаем Вам доброго здоровья, счастья, дальнейших творческих успехов и надеемся, что творческое содружество наших математических кафедр с Вами, с МГЗПИ будет и дальше успешно развиваться.

Всего Вам самого наилучшего в жизни!

Ректор института: (Н. И. Сайгин)

Проректор по HP: (Л. И. Футорянский)

Проректор по УР: (В. С. Болодурин)

Проректор по 30: (А. В. Пономарёва)

Зав. кафедрой алгебры и геометрии: (В. А. Коротина)

Зав. кафедрой математического анализа: (М. Д. Чернявский)

Члены математических кафедр:

Наума Яковлевича нет с нами, но его идеи и дела продолжаются в деятельности его учеников. Кафедру математического анализа МГЗПИ и научное руководство постоянно действующим семинаром «Профессионально-педагогическая направленность обучения математике в педвузах» принял преемник Наума Яковлевича — Александр Григорьевич Мордкович. Однажды на очередном семинаре Наум Яковлевич мне сказал: «Александр Григорьевич — талантливый математик и методист, очень добропорядочный человек, к нему всегда можно обратиться за советом и помощью». Действующий по настоящее время семинар, объединяющий все педвузы России и педвузы некоторых стран ближнего зарубежья, — подтверждение этих слов Наума Яковлевича.

Самые светлые воспоминания о моем Учителе, Научном руководителе Науме Яковлевиче Виленкине всегда хранит моя память.

В. А. Коротина

Познавательно-исследовательская учебная деятельность студентов в процессе изучения дисциплин алгебраического цикла как фактор совершенствования профессиональной подготовки будущего учителя математики (к вопросу о реализации научно-методических идей Н. Я. Виленкина)

Под познавательно-исследовательским обучением мы понимаем обучение, которое направлено на стимулирование самостоятельной учебной деятельности студента для получения новых фактов, понятий и утверждений, а также на проверку их истинности, отыскание границ применения. В математике проводятся, как правило, теоретические исследования. Поэтому студенты в процессе изучения алгебры должны овладеть приёмами построения обобщений, классификации понятий и утверждений, построения дедуктивных доказательств, новых предложений при помощи аналогий, научиться анализировать, синтезировать, видоизменять условия задания, систематизировать материал.

Приведём примеры.

1. Изучив основы теории систем линейных уравнений, студенты должны уметь самостоятельно с теоретическим обоснованием составить систему линейных уравнений с пятью неизвестными, которая имеет бесконечно много решений, зависящих от двух параметров.

В данном случае суть познавательно-исследовательской учебной деятельности студента состоит в следующем. Студент должен:

• провести анализ условия задачи;

• теоретически обосновать, что ранг системы равен трём;

• видоизменить условия задачи и перейти к равносильной системе трёх линейных уравнений с пятью неизвестными;

• указать методику составления левых частей каждого уравнения исходной системы (линейные комбинации пяти неизвестных);

• указать методику нахождения свободных членов каждого уравнения исходной системы (назначить любой пятимерный арифметический вектор в качестве одного из частных решений

исходной системы, с его помощью найти свободные члены исходной системы);

• решить равносильную систему, ранг которой равен трём;

• записать общее решение исходной системы;

• сделать проверку путём подбора таких значений для параметров, которые позволяют получить ранее фиксированное частное решение.

2. Зная теорию однородных систем линейных уравнений (ОСЛУ), студент сможет построить ОСЛУ, множество решений которой описывает некоторое трёхмерное подпространство в пятимерном арифметическом пространстве.

Проведя теоретическое исследование, он укажет алгоритм решения, а именно:

• составить произвольную систему линейных уравнений (ПСЛУ), имеющую бесконечно много решений, зависящих от трёх параметров;

• составить соответствующую однородную систему линейных уравнений и теоретически обосновать, почему она также имеет бесконечно много решений, зависящих от трёх параметров;

• указать один из фундаментальных наборов решений однородной системы линейных уравнений (ФНР ОСЛУ);

• пояснить, почему множество решений однородной системы линейных уравнений является подпространством (вспомнить свойства решений однородной системы линейных уравнений и признак подпространства) в пространстве R5;

• сформулировать определения базиса и размерности арифметического линейного векторного пространства и обосновать, почему один из фундаментальных наборов решений ОСЛУ можно считать базисом линейного подпространства пространства R5.

Эти примеры показывают, что в творческой математической и в познавательно-исследовательской деятельности студента эвристический и исследовательский методы обучения применяются вместе. При этом под эвристическим обучением понимаем такую его сторону, которая направлена на подведение студентов к самостоятельным открытиям новых для них закономерностей в процессе познавательной деятельности, причём по правилам, аналогичным научному творчеству. Эвристическое обучение рассматривает общие способы подхода к решению данных заданий.

Исследовательский метод даёт правило формулирования правдоподобных результатов в виде соответствующих утвержде-

нии, предполагает последующую их проверку в соответствии с данными условиями.

Учебная работа студента в вузе может и должна быть исследовательской уже на лекции. Анализ преподавателем различных точек зрения по важнейшим проблемам курсов алгебры и теории чисел, привлечение аудитории к формулированию проблем курса, активным поискам их решения — важнейшие средства активизации мыслительной деятельности студента. Так, владея понятием отношения эквивалентности, студенты должны самостоятельно по заданному отношению эквивалентности на множестве строить фактор-множество. Например, строить фактор-множество классов целых чисел по отношению сравнимости по модулю m (множество классов вычетов по модулю т); на множестве систем линейных уравнений с отношением «быть равносильными» — классы равносильных систем; классы подобных треугольников на множестве всех треугольников плоскости с отношением подобия треугольников; классы концентрических окружностей; классы подобных матриц и т.д. При этом студенты должны чётко понимать, что классы эквивалентности являются непустыми, непересекающимися, в объединении дают исходное множество и не зависят от выбора представителя.

Или другие примеры. Изучив теорему Эйлера в курсе теории чисел, активно мыслящий студент сможет самостоятельно указать типы задач, решаемые с помощью этой теоремы: найти остаток при делении степени ап на число т, где (а, т) = 1, п е N , и a, m g Z, т>0; найти последнюю цифру указанной степени сР и др.

Владея понятием корня многочлена, зная теорему Безу, её следствие и понимая схему Горнера, студент самостоятельно сможет указать методику нахождения корней многочлена, кратности каждого корня; разложения многочлена в произведение неприводимых многочленов, а также методику разложения многочлена f(x) по степеням линейного двучлена х-а с использованием формулы Тейлора.

Самостоятельная работа студентов будет успешной, если вузовское преподавание дисциплин алгебраического цикла сопровождается постоянным повышением требований к уровню теоретической подготовки студентов и совершенствованием методов преподавания. Объясняем это тем, что в высшей школе студенту приходится мыслить более сложными понятиями — классами

объектов. Например, студент должен чётко уметь построить конечное множество — = b (mod m), элементами которого являются бесконечные множества, и ответ свой теоретически обосновать (множество классов вычетов по модулю m, m g Z , т>0).

Лекционная форма преподавания не всегда обеспечивает управление усвоением знаний в вузе. Полагаем, что усвоение знаний достигается в большей мере за счёт интенсификации труда студентов в свободное от занятий время. При этом остаются практически мало исследованными резервы, связанные с интенсификацией труда студентов в ходе прослушивания лекций и участия в практических занятиях, при выполнении домашних заданий.

Вопрос об эффективности усвоения новых знаний в теоретическом плане решён психологической теорией усвоения (работы П. Я. Гальперина, Н. Ф. Талызиной и др.).

Важнейшим условием успешного усвоения знаний является понимание студентами того, какой материал подлежит усвоению и каким образом следует оперировать этим материалом.

Одним из средств повышения качества алгебраической подготовки является модульная система организации учебного процесса. Модульная организация процесса обучения дисциплинам алгебраического цикла осуществляется нами для студентов специальностей «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем», «Информатика», «Прикладная математика». Основными модулями алгебраической направленности являются:

• Введение в алгебру (основные понятия теории множеств, математической логики, бинарные соответствия и отношения, отношения эквивалентности и порядка, метод математической индукции).

• Арифметическое n-мерное векторное пространство. Система линейных уравнений.

• Матрицы и определители.

• Алгебраические системы. Группы, кольца, поля. Комплексные числа.

• Линейные пространства. Евклидовы пространства. Линейные операторы.

• Теория чисел: основы теории делимости в кольце целых чисел. Числовые функции. Конечные цепные дроби. Сравнения и их приложения.

• Многочлены над числовым полем Р. Многочлены над полями Q, R, С.

Модульная организация процесса обучения дисциплинам алгебраического цикла направлена прежде всего на повышение качества аудиторной и самостоятельной работы студентов в течение семестра. Формирование модулей проводится на основе образовательного стандарта учебной дисциплины. Количество внутрисеместровых модулей определяется ведущим лектором.

Для каждого модуля определяются формы контроля: самостоятельная работа, в которую включены теоретические вопросы и задачи; творческая домашняя контрольная работа; итоговая домашняя контрольная работа, коллоквиум. Контрольная работа содержит задания повышенного уровня сложности, а также задания с элементами творчества.

Модульная система обучения способствует повышению качества усвоения алгебраического материала, предоставляет студенту возможность выбора уровня усвоения содержания курса (базового или повышенного); даёт возможность целенаправленного повышения качества алгебраической подготовки, а также уровня сформированности у студентов математической компетенции и повышения качества их подготовки к профессиональной деятельности. При этом под математической компетенцией будущего специалиста мы понимаем систему математических (в частности, алгебраических) знаний, умений и навыков, позволяющих каждому выпускнику вуза применять их к исследованию конкретных профессиональных ситуаций.

Напомним, что решение задач является одним из важнейших средств обучения, контроля и оценки знаний, развития познавательно-исследовательской деятельности студентов. Поэтому постановка, роль и место задач в обучении дисциплинам алгебраического цикла занимают ведущее место в учебном процессе.

Обращаем внимание на необходимость и целесообразность постановки задач:

- мотивирующих изучение новой темы или нового раздела алгебры и теории чисел;

- мотивирующих изучение новых алгебраических понятий;

- развивающих у студентов потребность в обосновании математических суждений;

- иллюстрирующих возможность приложения новых понятии и теорем в самой математике и её приложениях в рамках алгебраической подготовки;

- формирующих умения пользоваться тем или иным общим методом;

- формирующих эффективные навыки работы с алгебраическим материалом.

На практических занятиях по алгебре и теории чисел студенты знакомятся с поисковыми методами обучения, самостоятельно разрабатывают задания проблемного характера.

Приведём фрагмент одного из практических занятий по алгебре на первом курсе. Студенты получили задание: составить квадратное уравнение, дискриминант которого меньше нуля. Найти корни уравнения в поле комплексных чисел. Понятно, что методика решения этой задачи будет эффективной, если решать задачу с «конца», предполагая, что корни квадратного уравнения уже найдены.

Пусть корни уравнения

следовательно,

/(z) = {z-zx )(z - z2 ), f(z) = z2 + (-3 + 21) z + (5 - /) = 0 .

Тогда формулировка задачи выглядит так: «Найти корни квадратного уравнения z2 + (-3 + 2ï)z + (5 - /) = 0 в поле комплексных чисел». С этого момента решение — стандартное:

где

то есть

Полученный результат совпал с первоначальными предположениями о значениях корней. Следовательно, задача теоретически грамотно составлена и решена верно.

Проверка уровня усвоения систем важнейших понятий, идей с помощью специально разработанных заданий, тестов показывает, что совершенствование только содержания алгебраического образования ещё не решает проблему подготовки высококвали-

фицированного специалиста. Необходимо совершенствование методов обучения и организационных форм, которые определяются дидактическими принципами.

Выпускник вуза с достаточно развитой познавательно-исследовательской активностью должен находиться не только на уровне осведомлённости, т.е. способности точно и полно воспроизводить изученный материал, но на более высоком уровне — обладать умением строить логические выводы, соотносить новые и усвоенные знания, применять новые знания при решении учебных и профессиональных задач, пополнять свои знания. Всё это может стать показателями уровня качества образованности молодого специалиста.

В. А. Коротина

Совместная работа кафедры алгебры, геометрии и истории математики Оренбургского государственного педагогического университета и школы № 27 г. Оренбурга

Профессиональная подготовка будущего учителя невозможна без проведения педагогической практики, которая позволяет создать наиболее благоприятные условия и возможности для успешного развития педагогических умений и способностей студентов — будущих учителей математики, для формирования их профессиональных навыков и личностного отношения к выбранной профессии.

Кафедра алгебры, геометрии и истории математики ежегодно принимает участие в проведении педагогической практики в школах и средних учебных заведениях города и области. Одной из таких школ является школа № 27 г. Оренбурга (ныне МОБУ «Лицей № 7). Немного об истории становления школы.

Школа построена в 1976 году. Первым директором был Борис Евдокимович Рогов, который работал в этой должности с 1976 по 1983 г. Завучами школы были Раиса Григорьевна Ягофарова (учитель английского языка), Валентина Владимировна Кравченко (учитель физики, Отличник народного просвещения, награждена Почётной грамотой Министерства просвещения РФ). С 1983 по 1997 г. директором школы была Анна Кирилловна

Полькина, с 1997 по 2006 г. — Ирина Ивановна Голова, завучем — Вера Александровна Семушкина. С 2006 г. директором школы № 27, а с 2008 г. — лицея № 7 является Наталья Геннадьевна Пушкарёва — почётный работник среднего профессионального образования. Большая, серьёзная работа по развитию школы позволила придать учебному заведению статус лицея. В целом у педагогического коллектива высокий творческий потенциал и уровень профессиональной подготовки.

Организация педагогической практики на базе школы № 27 (лицея № 7) направлена на наиболее полное раскрытие творческого потенциала студентов и приобщение их к инновационной деятельности.

Администрация школы, учителя математики, классные руководители, все сотрудники других подразделений (библиотекарь, психолог, социальный педагог, работники столовой и т.д.) — все, кто имеет отношение к проведению педагогической практики студентов, — специалисты высокой квалификации, с большим чувством ответственности к порученному делу. Студенты это понимают и ценят. Большое внимание студентам уделяли завучи — Валентина Владимировна Кравченко и Вера Александровна Семушкина. Они посещали студенческие уроки, хорошо знали каждого студента, помогали им советами и методическими рекомендациями, что способствовало активизации профессиональной деятельности практикантов.

Учителя математики и классные руководители, как правило, доброжелательно относились к студентам, давали им возможность творчески работать, конструировать урок самостоятельно, но при этом деликатно подсказывали наиболее эффективные пути решения возникающих проблем. Особые слова признательности и благодарности учителям математики: Нине Ивановне Тереховой, Валентине Павловне Баженовой, Вере Станиславовне Бондаренко, Лидии Васильевне Сафоновой, Елене Ивановне Астионовой, Надежде Ивановне Сероватовой, Галине Васильевне Склонюк, которые долгие годы передают студентам секреты профессионального мастерства.

Учителя других предметов (русского языка, химии, биологии, иностранного языка, географии, истории и т.д.), являясь классными руководителями, давали ценные советы по организации деятельности коллектива учащихся, способствующей развитию творческого потенциала личности. Особая благодарность классным руководителям: Розе Григорьевне Соломоновой, Алле

Михайловне Головиной, Ирине Олеговне Демешко, Галине Дмитриевне Самарцевой, Антонине Владимировне Бобошко, Антонине Леонидовне Котловцевой, Татьяне Николаевне Колбасиной, Людмиле Николаевне Костадиновой, Наталье Борисовне Лошмановой, Галине Борисовне Савинковой, Валентине Петровне Молодых, Жанне Ивановне Сафроновой, Ольге Евгеньевне Тесля, Лидии Ивановне Нестерович, которые долгие годы работают со студентами.

В период педпрактики важная роль отводится работе библиотеки. Заведующая библиотекой Людмила Александровна Канова, по возможности, обеспечивала наших студентов учебно-методической литературой и специальной литературой для внеклассной работы.

Условиями организации и проведения педпрактики на базе данной школы студенты всегда были довольны. Совместная работа кафедры и школы продолжается по настоящее время.

Остановимся подробнее на профессиональной деятельности учителей математики, которые долгие годы работают с нашими студентами в период педагогической практики.

Нина Ивановна Терехова закончила Орский педагогический институт в 1971 году по специальности «Математика и физика». Педагогический стаж работы — 39 лет, в данной школе — 34 года, квалификационная категория — высшая. В межаттестационный период проходила курсы базового повышения квалификации к аттестации на высшую категорию учителей математики (144 часа) при ИПК и ППРО ОГПУ (2011 г.).

Нина Ивановна награждена значком «Отличник народного просвещения» (1995 г.), Почётной грамотой управления образо-

вания администрации г. Оренбурга (2003 г.), Почётной грамотой министерства образования Оренбургской области (2009 г.), Почётной грамотой Министерства образования и науки Российской Федерации (2010 г.), Почётной грамотой Министерства образования и науки России как победитель конкурса лучших учителей в рамках приоритетного национального проекта «Образование» (2011 г.).

Н. И. Терехова успешно реализует программы профильного обучения с учётом принципов индивидуализации и дифференциации и целенаправленно обновляет методические и дидактические материалы, использует самостоятельно разработанный элективный курс «Развитие продуктивного мышления на уроках геометрии методом нестандартных математических ситуаций».

Высокий уровень профессиональной деятельности подтверждается, в частности, высоким средним баллом ЕГЭ её выпускников 2010 г. — 60 баллов (это на 16 баллов выше, чем по России, и на 15 выше, чем по Оренбургской области и городу Оренбургу за этот год). А по итогам 2012 г. выпуск Нины Ивановны Тереховой занял 4-е место в г. Оренбурге.

Среди учеников Нины Ивановны 28 обладателей золотых и 26 — серебряных медалей. Её воспитанники являются призёрами олимпиад и конкурсов различного уровня: Всероссийского дистанционного конкурса «Смекай. Считай. Отгадывай» — диплом 3-й степени (2010 г.); муниципального этапа Всероссийской олимпиады по математике — 1 место (2008 г.), 3 место (2009 г.), 2 место (2010 г.); XII городского турнира математиков «Математическая карусель» (команда 9 классов) — диплом III степени (2010 г.).

Педагог ведёт большую консультационную работу с учителями лицея, округа, города: провела мастер-класс как победитель конкурсного отбора учителей в рамках приоритетного национального проекта «Образование» для районного методического объединения учителей математики Южного округа (2010 г.), выступала на семинарах-практикумах для руководителей образовательных учреждений Южного округа по проблеме «Организация ситуаций успеха на уроке с личностно ориентированной направленностью (2007 г.), «Роль моего предмета в будущей жизни ученика» (2008 г.).

Н. И. Терехова — эксперт практической деятельности учителей, аттестующихся на I и высшую квалификационные категории, рецензент работ на первую квалификационную категорию,

эксперт предметной комиссии по проверке работ выпускников по математике на ЕГЭ, член жюри городской олимпиадной комиссии по математике и конкурса профессионального мастерства «Учитель года-2009».

Нина Ивановна — учитель-методист высокого уровня. Работая со студентами-практикантами, она искренне передаёт им свои лучшие наработки по совершенствованию математического образования в средней школе. Студенты высоко ценят время общения со специалистом столь высокого ранга. Её уроки всегда чётко выстроены, грамотны и увлекательны. По совместительству она работала и на кафедре алгебры и геометрии Оренбургского государственного педагогического института. Успешно вела практические занятия по геометрии, принимала коллоквиумы, зачёты, активно участвовала в научных конференциях. В 1983 г. на IX научно-методической конференции преподавателей ОГПИ на секции алгебры и геометрии Нина Ивановна выступила с сообщением «Активизация познавательной деятельности на уроках математики». Своё выступление она иллюстрировала примерами из собственной профессиональной деятельности, чем вызвала повышенный интерес слушателей. В 1985 г. на X научно-практической конференции преподавателей ОГПУ успешно выступила на той же секции с сообщением «О методических особенностях преподавания геометрии-2 на 030».

Валентина Павловна Баженова — учитель высокой математической культуры, Отличник народного просвещения РСФСР. Её уроки служат примером реализации принципа научности, методически грамотно построены. Каждый ученик — в поле её зрения.

Валентина Павловна по совместительству работала на кафедре алгебры и геометрии: вела занятия по алгебре, школьному курсу математики, практикум по решению олимпиадных задач и задач повышенной трудности. Студенты отмечали её занятия как интересные, содержательные, важные для будущей профессиональной деятельности.

Принимала участие в научной работе кафедры — сама выступала с докладами и готовила студентов к выступлению на научных конференциях ОГПУ как научный руководитель. В 1985 г. на секции алгебры и геометрии X научно-методической конференции ОГПИ В. П. Баженова выступила с сообщением «Профориентационная работа при обучении математике в свете реформы школы», в котором приведены интересные примеры

организации математической деятельности для разных групп учащихся с учётом выбора ими будущей профессии.

Валентина Павловна неоднократно участвовала в творческих встречах со студентами-математиками старших курсов, на которых интересно рассказывала о творческой профессии учителя, о её значимости и тревогах за российское образование. С удивительным педагогическим мастерством она могла увлечь математикой класс истинных гуманитариев.

Вера Станиславовна Бондаренко — учитель высокой математической культуры, широкой эрудиции, больших душевных человеческих качеств, с величайшим чувством ответственности за порученное дело, истинный воспитатель молодого поколения — учеников школы и студентов физико-математического факультета в период прохождения ими педпрактики на базе школы № 27 (лицея № 7).

Бондаренко Вера Станиславовна и Баженова Валентина Павловна на заключительном педсовете по подведению итогов педагогической практики студентов-математиков

Вера Станиславовна работает в школе № 27 г. с 1987 года, куда она пришла уже обладая значительным педагогическим стажем и опытом: до этого, будучи супругой военнослужащего,

ей довелось поработать в различных местах нашей страны и за рубежом: в восточной средней школе Акбулакского района, почти 10 лет трудилась учителем математики и завучем в г. Кагане Бухарской области Узбекистана, учителем математики в г. Александрия (Украина), учителем математики и завучем в школе № 90 в г. Калоча (Венгрия, Южная группа войск). Работа в разных педагогических коллективах помогла педагогу перенять полезный опыт, отбирая по крупицам всё самое ценное.

В школе № 27 сразу же включилась в работу со студентами ОГПИ, проходившими практику. Вера Станиславовна использовала в работе с практикантами современные достижения педагогики, стремилась показать студентам методически грамотно выстроенный урок. Особого напряжения требовали открытые уроки для группы студентов, на которых нужно было чётко показать все этапы урока, эффективные методы и приёмы, заставляющие детей мыслить, обратить внимание студентов на создание положительного психологического микроклимата урока. Особое внимание уделялось ею индивидуальной работе с каждым студентом при подготовке к самостоятельным урокам. Обсуждались все этапы урока, выбирались наиболее оптимальные методы и приёмы работы, оформления записей на доске, виды самостоятельных работ.

Вера Станиславовна вспоминает: «Было очень приятно наблюдать, как от урока к уроку студенты становились всё увереннее, как они воплощали всё задуманное, запланированное на уроке, грамотнее становилась их речь, правильно строились взаимоотношения с учащимися. И когда эти же студенты приходили на практику в старшие классы, то приятно было видеть, что твоя кропотливая работа не пропала даром... Была гордость за то, что ты не только научила их математике, но и заставила полюбить предмет настолько, что они тоже захотели учить других».

Совместная работа педагога с методистами и преподавателями ОГПИ помогала добиваться лучших результатов в работе. Например, ученик В. С. Бондаренко Алёша Глухов в 2001 г. стал победителем областной олимпиады, а в 2002 г. после блестящей защиты его работы по математике на общероссийской ученической конференции в Москве получил возможность без экзамена по математике поступить в МФТИ. Об успехах педагога свидетельствуют и высокие средние баллы ЕГЭ по математике — 73.

Надежда Ивановна Сероватова многие годы плодотворно работала в средней школе № 27 г. Оренбурга. В период педагоги-

ческой практики много внимания уделяла студентам. Её ценные советы по организации и проведению уроков, внеклассных занятий способствовали успешному прохождению педпрактики. Надежда Ивановна обладает прекрасной математической подготовкой, она грамотный методист, человек высокой культуры общения и педагогического такта. Студенты-практиканты всегда выражали Надежде Ивановне слова глубокого уважения и благодарности за предоставленную возможность прохождения педпрактики, более глубокого понимания профессии учителя.

Не только учителя математики серьёзно работали со студентами в период прохождения ими педпрактики в школе № 27. Много ценных советов по вопросам организации и воспитания школьного коллектива давали классные руководители.

Роза Григорьевна Соломонова — учитель русского языка и литературы, один из лучших классных руководителей, работающих со студентами-практикантами. Роза Григорьевна — человек высокообразованный, использующий в своей профессиональной деятельности лучшие психолого-педагогические методики воспитания не только своих учеников, но и студентов в период педпрактики.

С 1977 года она ежегодно работает со студентами. Её широкая эрудиция, глубокое знание литературы, умение чётко излагать свои мысли с помощью красивых, логически выстроенных

Р. Г. Соломонова зачитывает характеристику на студента-практиканта как классный руководитель

предложений всегда восхищали и удивляли студентов. Педагогический такт, умение вести диалог не только со школьниками, но и с их родителями, коллегами служили для студентов ярким примером высокого профессионализма, образцом того, к чему надо стремиться будущим учителям и воспитателям.

На педсовете по итогам педпрактики администрация школы, учитель математики и классный руководитель давали развёрнутую характеристику деятельности студента как учителя математики и классного руководителя — организатора и воспитателя классного коллектива. В обсуждении принимали участие все студенты, учителя-предметники и классные руководители.

Доброй традицией стало то, что после окончания педагогической практики студенты дарят школе подарки, отражающие результаты их работы: дидактические материалы и наглядные пособия, подготовленные в период прохождения педпрактики, математические газеты, материалы к внеклассной работе по математике и общевоспитательного характера, фотоальбом «Наша педпрактика».

Л. Н. Курбатова

Илья Ефимович Хациревич о методике изучения предела числовой последовательности в средней школе

Илья Ефимович Хациревич (12.03.1905—15.09.1963), участник Великой Отечественной войны, окончил Саратовский университет в 1930 г., аспирантуру в Ленинградском пединституте им. А. И. Герцена в 1937 г. В начале 1950-х годов защитил диссертацию «Плоская задача теории упругости для круга» и получил учёную степень кандидата физико-математических наук. С 1944 по 1961 г. являлся деканом физико-математического факультета.

Илья Ефимович, будучи блестящим математиком, придавал большое значение методике изложения материала, добиваясь удивительного сочетания абстрактности и наглядности, научной строгости и доступности. Примером такого подхода к изложению математических истин являются его методические рекомендации учителям по изучению начал математического анализа в школе.

Понятия числовой последовательности и её предела Илья Ефимович предлагал вводить конкретно-индуктивным способом, широко используя знаковую наглядность и геометрическую интерпретацию изучаемых понятий.

Перед введением понятия числовой последовательности учёный считал необходимым повторить геометрический смысл модуля числа и неравенств, содержащих модули; определение функции и такие её свойства, как монотонность, ограниченность, непрерывность. При этом учителям он предлагал строгую, логически завершённую теорию вопроса с доказательствами сформированных утверждений, учащихся же рекомендовал знакомить с основными положениями на конкретных примерах. Так, теорема «Неравенство |аг|<с равносильно двойному неравенству

-с<а<с [1, с. 286], где с>0» сопровождалась доказательством для учительства:

1. Пусть I а I < с. Докажем, что -с < а < с .

Если а > 0 , то | а| = а < с (по условию). С другой стороны, а > -с , ибо положительное число больше всякого отрицательного числа. Объединяя эти результаты, получим: -с < а < с .

Если а < 0 , то I ог| = -or < с (по условию), а потому а > -с .

С другой стороны, а<с, ибо отрицательное число меньше всякого положительного числа. Объединяя эти результаты, снова получим: -с < а < с .

Если а = 0 , то предложение очевидно.

2. Пусть теперь дано: -с < а < с . Докажем, что | а \ < с.

Если а>0,то |а| = а<с (по условию). Следовательно, I а\ < с .

Если а<0, то |ог| = -ог. По условию, а >-с, а поэтому -а < с . Следовательно, | а \ = -а < с, т. е. снова | а \ < с. Если а = 0,то I 0| = 0 < с .

Геометрически неравенство | а \ < с означает, что расстояние а от О меньше с, независимо от того, лежит ли а левее или правее О, то есть а содержится в промежутке с центром в точке О длиной 2с единиц [1, с. 286—287].

Рис. 1

С учащимися эту теорему рекомендовалось рассмотреть на примерах:

Здесь роль нуля играет ß :

Актуализация знаний о функциях позволяет естественным образом ввести следующее определение числовой последовательности:

Числовой последовательностью называется множество значений функции f (п), определённой на множестве всех натуральных чисел 1, 2, 3, п, расположенных в порядке возрастания аргумента [1, с. 292].

Такая трактовка числовой последовательности позволяет перенести на это понятие многие свойства функций. Например, рассматривать различные способы задания числовых последовательностей (и отдать приоритет аналитическому, позволяющему записать последовательность в свёрнутом и развёрнутом виде, указать любой член последовательности с заданным номером, восстановить формулу общего члена последовательности по из-

Рис. 2

Рис. 3

вестным нескольким первым её членам), исследовать последовательности на ограниченность и неограниченность, монотонность, рассматривать графическое изображение числовой последовательности.

Если поставить перед учащимися задачу: «определить стоимость выпущенных в продажу тетрадей, если каждая тетрадь стоит 12 коп.» [1, с. 290], то, решая её, получаем выводы:

• существуют числовые последовательности, определённые не на всём множестве натуральных чисел, а на конечной его части, например, при изменении п от 1 до N. Такие последовательности называются конечными;

• геометрически (по аналогии с функцией) последовательность может быть задана как совокупность точек плоскости: у = \ 2х, где x — количество выпущенных в продажу тетрадей.

Вместе с тем, спроектировав полученные точки графика последовательности на ось Oy (а саму ось для удобства расположив горизонтально), получим числовую ось с отмеченной на ней совокупностью точек, соответствующих числам последовательности.

Определение возрастающей (убывающей), ограниченной последовательности учащиеся могли дать самостоятельно.

Учитель должен был обратить их внимание на то, что монотонные, т.е. только возрастающие или только убывающие, последовательности могут быть ограниченными, например:

эта последовательность убывающая, но ограниченная; все её члены находятся меж-

Рис. 4

ду числами 1 и 2; или последовательность

(возрастающая, но ограниченная; все её члены находятся между числами -1 и 0) [1, с. 298].

И. Е. Хациревич считал понятие предела числовой последовательности основным в этой теме, как имеющее широкое применение в математике. Предлагал, отталкиваясь от геометрической трактовки понятия предела, проводить с учениками исследование последовательностей, члены которых определённым образом «скапливаются» около одной точки.

Так, последовательность

ограниченна, все её члены содержатся между -— и 1. Если изобразить члены этой последовательности на числовой прямой, то в глаза бросится «скопление» их около точки О:

Чтобы исследовать, каким образом происходит это «скапливание» точек около нуля, Илья Ефимович предлагал рассмотреть различные промежутки (интервалы) с центром в точке О и заполнить таблицу 1.

Учащимся необходимо продемонстрировать, что никакая точка, отличная от 0, не обладает свойством «скапливать» около себя таким же образом члены последовательности. Действительно, возьмём любое число между и 1, отличное от 0, пусть . Можно так подобрать интервал с центром в этой точке, что в нём не будет ни одного члена последовательности, например

Рис. 5

Таблица 1

Учащимся предлагалось провести аналогичное исследование для последовательностей с общими членами уп-- и zn = самостоятельно, после чего формулировалось определение предела последовательности: постоянное число а называется пределом числовой последовательности уп, если для всякого выбранного нами положительного числа s найдётся такой номер N, что все члены последовательности, у которых номер п> N , будут находиться от а на расстоянии, меньшем, чем s, т. е. I уп I < s начиная с С, или, что всё равно, все члены последовательности уп, у которых номер С, будут содержаться в интервале с центром в точке а длиной 2s.

Рис. 6

Отвлекаясь от геометрических терминов, можно это определение сформулировать ещё и так: постоянное число а называется пределом последовательности уп, если для каждого выбранного нами положительного числа s найдётся такой номер N, что все значения последовательности уп, у которых номер п> N, удовлетворяют неравенству | уп - а\ < s, или, что всё равно, неравенству a-s <уп < я + £ [1, с. 302 — 303].

Илья Ефимович давал учителю важные методические рекомендации:

1. Практика показывает, что добавление слов «сколь угодно малого» относительно выбранного положительного s приводит к путанице терминов «сколь угодно малого» и «бесконечно малого», а на разобранных примерах учащиеся сами убедятся в нецелесообразности брать s большим.

2. После определения предела последовательности следует на примерах показать, что не все числовые последовательности (даже ограниченные) имеют предел. Так, его нет у ограниченной последовательности 1, 0, 1, О,

Для закрепления введённого определения предела числовой последовательности предлагалось использовать задания двух видов:

1) доказать, что данная последовательность имеет пределом число а\

2) найти предел последовательности.

Первая из задач решалась по алгоритму:

• Выбираем произвольное положительное число s.

• Решаем неравенство | уп - а\ < s .

Если окажется, что оно выполняется для всех членов последовательности начиная с некоторого номера n, то, по определению, а и будет пределом последовательности. Иначе говоря, решая это неравенство, мы по выбранному s находим конечное число /V такое, что при всех п > N неравенство выполняется, или устанавливаем, что такого числа N нет. В последнем случае а не будет пределом последовательности [1, с. 305].

Решение второй задачи начинали с того, что, придавая п несколько конечных достаточно больших значений, находим значения уп, по которым иногда можно было догадаться, какое а, возможно, будет пределом, например, для последовательности

Так как

то видно, что «скопление» членов последовательности происходит около 1.

Однако это ещё не значит, что 1 будет обязательно пределом последовательности. Наиболее вероятным следует считать, что если эта последовательность имеет предел, то он будет равен 1 [1, с. 307].

Таким образом, дальнейшее решение второй задачи сводится к решению первой. В рассмотренном примере требуется доказать, что предел последовательности уп =- равен 1.

Теоремы о пределах числовых последовательностей существенно упрощают нахождение пределов, поэтому с ними учащихся следует познакомить обязательно, но, по мнению И. Е. Хациревича, «не все их следует и не все возможно доказывать учащимся. Более того, по нашему мнению, не следует увлекаться здесь доказательствами. Лучше всего добиться, чтобы учащиеся правильно формулировали теоремы, понимали их сущность и научились правильно применять. Сущность многих из них можно и нужно пояснить геометрически» [1, с. 308].

Так, теорема о том, что всякая возрастающая ограниченная последовательность имеет предел, могла быть проиллюстрирована следующим образом:

Пусть уп — монотонно возрастающая ограниченная последовательность. Геометрически это значит, что все члены последовательности находятся в промежутке конечной длины, т.е. на числовой прямой будет существовать такая точка В, правее которой не найдётся ни одного члена последовательности, а переход от одного члена к другому происходит передвижением вправо по числовой прямой.

Точка В является преградой, через которую члены последовательности перешагнуть не могут.

Рассмотрим отрезки [у1з в\ [у2, В\ \у„, в].

В отрезке [у,, в] находятся все члены последовательности.

В отрезке [у2? Щ находятся все члены последовательности, кроме у}.

В отрезке \уп, в] находятся все члены последовательности, кроме уъ у2, jvi, ит.д.

Рис. 7

Итак, на каждом отрезке находится бесконечное число членов последовательности, кроме конечного их числа. Поэтому «скопление» членов последовательности будет происходить около некоторой точки А, расположенной левее В, или совпадающей с нею. Следовательно, число а, соответствующее этой точке А, и будет пределом последовательности.

Илья Ефимович предлагал познакомить учащихся со следующими теоремами:

Теорема 1 (единственности). Если последовательность имеет предел, то он — единственный.

Теорема 2. Если последовательность имеет предел, то она ограниченна.

Обратная теорема не верна, то есть не всякая ограниченная последовательность имеет предел.

Теорема 3. Всякая возрастающая (или убывающая), но ограниченная последовательность имеет предел.

Теорема 4. Если члены некоторой последовательности zn заключены между соответствующими членами двух последовательностей хп, уп, сходящихся к одному пределу, то и эта последовательность сходится к тому же пределу.

Теорема 5. Предел постоянной последовательности равен этому постоянному.

Теорема 6. Если две последовательности хп и уп равны между собой, т.е. соответствующие их члены равны между собой: хп = уп (п = 1,2, 3, п, ...), — и предел первой последовательности существует и равен а, то уп имеет предел, равный а.

Теорема 7. Если каждый член сходящейся последовательности не превосходит соответствующего члена другой сходящейся последовательности, то и предел первой не превосходит предела второй.

Теорема 8. Предел суммы (разности) двух последовательностей, имеющих пределы, существует и равен сумме (разности) их пределов.

Теорема 9. Предел произведения двух последовательностей, имеющих пределы, существует и равен произведению пределов сомножителей.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Следствие 2. Предел целой положительной степени последовательности, имеющей предел, равен той же степени предела последовательности.

Теорема 10. Предел частного двух последовательностей, имеющих пределы, равен частному пределов этих последовательностей, если предел знаменателя не равен нулю.

Заключительным аккордом в этой теме, по мнению И. Е. Хациревича, является вывод формулы суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Для бесконечной геометрической прогрессии a, aq, aq2, ... , aq"~\ ... (аФО) рассмотрим последовательность её частичных сумм:

Перепишем Sn в виде:

2) Если \q\ > 1, то предел qn не существует, следовательно, предел Sn не существует.

3) Если q = -\, то

Предела Sn не существует.

4) Если q = 1 , то Sn=na . Sn — неограниченна, а поэтому предела не имеет. Положив, по определению, что суммой бесконечной геометрической прогрессии является предел последовательности её частичных сумм, получим:

существует тогда и только тогда, когда

При этом

Список использованной литературы

1. Хациревич И. Е. Числовая последовательность. Предел числовой последовательности // Учёные записки Чкаловского государственного педагогического института им. В. П. Чкалова. Сер. физико-математических наук / под ред. Н. А. Столярова. Чкалов, 1956. Вып. 9. С. 285—322.

Л. Н. Курбатова

Из методического наследия Петра Алексеевича Буданцева

Длительное время (с 1945 по 1961 г.) в Оренбургском государственном педагогическом институте им. В. П. Чкалова работал замечательный педагог, методист П. А. Буданцев. Он преподавал студентам элементарную математику и методику её преподавания в школе. Кроме того, Пётр Алексеевич заведовал кабинетом математики Оренбургского института усовершенствования учителей. Он оказывал большую методическую помощь учительству, живо откликаясь на самые злободневные проблемы школьной математики. Одной из них был вопрос о теории и практике решения систем неравенств («неуравнений», как называет их Пётр Алексеевич) в школе.

В 50-е годы XX века в школьных учебниках рассматривался лишь графический способ решения систем неравенств.

Геометрическая интерпретация найденных решений педагогически весьма целесообразна, — соглашается Буданцев, — однако она не может заменить аналитического решения, дающего ответы в форме, позволяющей оперативно находить решения системы неравенств с произвольной точностью и по определённым формулам.

Графически частные решения могут быть найдены лишь приближённо, а в случае систем, содержащих три и более неизвестных, графический метод в школе неприменим. Как теория, так и примеры решения систем неравенств вполне элементарны и могут быть рассмотрены с учащимися выпускных классов во внеклассной, а, быть может, частично и в классной обстановке, — подчёркивает учёный.

Пётр Алексеевич предлагает не определять понятия системы и совокупности неравенств, а просто использовать известные

учащимся обозначения для них. Однако целый ряд понятий он предлагает определить для учащихся.

Определение 1. Решением системы уравнений называется решение п уравнений системы.

Определение 2. Решением совокупности п уравнений называется каждое решение каждого п уравнения совокупности.

Определение 3. Решить систему (совокупность) п уравнений, не содержащую параметров, — значит найти все её решения или установить, что их нет.

Определение 4. Решить систему (совокупность) п уравнений, содержащую параметры, — значит для каждой допустимой системы значений параметров найти все её решения или установить, что их нет.

Определение 5. Две системы (совокупности) п уравнений, рассматриваемые на их общей области допустимых значений, называются равносильными, если они не имеют решений или имеют одни и те же решения.

Педагог считает целесообразным знакомство старшеклассников с теорией равносильности п уравнений.

Теорема 1, выражающая свойство транзитивности равносильности систем (совокупностей) неравенств. Две системы (совокупности) неравенств, порознь равносильные третьей, — равносильны между собой.

Теорема 2. Если неравенства двух систем (совокупностей) попарно равносильны, то и системы (совокупности) этих неравенств равносильны.

Доказательства этих теорем аналогичны доказательствам теорем для систем и совокупностей уравнений и могут проводиться учащимися самостоятельно.

Теорема 3. Система неравенств

(1)

равносильна совокупности систем неравенств:

(1')

Система неравенств

(2)

равносильна совокупности систем неравенств:

(2')

Эта теорема имеет следствия.

Следствие 1. Система неравенств

равносильна

совокупности систем неравенств:

Следствие 2. Система неравенств

равносильна

совокупности систем неравенств:

Теорема 4. Система неравенств

(3)

равносильна выводной системе:

(4)

Доказательства третьей и четвёртой теорем должны быть проведены учителем. Так, четвёртая теорема имеет следующее доказательство:

1 ) Пусть

решение системы (3), то есть

откуда следует, по свойству тождественных неравенств, afx(a, (заметим, что П. А. Буданцев наряду со знаком тождественного равенства « = » использует знак и понятие тождественного неравенства « » »). Значит, решение

является также решением системы (4).

2) Пусть

решение системы (4), то есть

откуда следует, что решение

есть также решение системы

(3).

Следствия из теорем также должны даваться с доказательствами. Приведём доказательство следствия из четвёртой теоремы.

Следствие. Системы

равносильны.

В самом деле, последовательно имеем:

(теорема 2)

(теорема 4):

(теорема 2) или

Решение закрепляющих упражнений должно проводиться с опорой на изученную теорию, и каждый шаг решения должен обосновываться. Например, решить систему неравенств:

Решение.

(следствие теоремы 4)

Рассмотренная теория позволяет учителю проводить вместе с учащимися математические исследования, особенно в задачах с параметрами. Рассмотрим пример. Решить квадратное уравнение относительно cosx: cos2 х + 2/?cosx + q = О, где х, р, q— любые действительные числа.

1)При <7>/? нет решений.

2) При q< р1 получим:

Первое уравнение совокупности имеет решения при условии:

а второе — при условии:

Решим последнюю систему неравенств:

Рассмотрим случаи, когда р<-\, -1 < р < 1 и р > 1. 1. В случае /?<-1 в иррациональных неравенствах обе части положительны, возведение в квадрат даёт:

(теорема 2);

(теорема 4);

решений нет.

В итоге получим:

2. В случае -\<р<\ обе части первого иррационального неравенства положительны, а второе выполняется тождественно, поэтому, возвысив первое в квадрат и опустив второе, получим:

3. В случае р > 1 неравенство

решений не имеет, а поэтому не имеет решений и система.

Аналогичным образом, решая первую систему, получим следующий ответ:

Пётр Алексеевич Буданцев был широко известен не только учителям города и области, но и всей страны по статьям в журнале «Математика в школе». Методические идеи талантливого педагога не утратили своего значения до сих пор.

Одной из стержневых линий школьного курса математики является линия уравнений, решения которых базируются на теории равносильности. В современных школьных учебниках математики о равносильности уравнений и даже о равносильности высказывательных форм говорится только в старших классах [6,9, 7, 8, 10]. В 1960-е годы тема начинала изучаться в 7-м и продолжалась в 8-м классе.

П. А. Буданцев считал вопрос о равносильности уравнений очень важным и несколько раз возвращался к нему в своих работах [2, 3]. Он не соглашался с определениями равносильных уравнений, данными в школьном учебнике алгебры [1] и в учебнике методики преподавания математики [10], где два уравнения считались равносильными, если всякий корень одного из них являлся корнем другого, и наоборот, или если они совсем не имели корней. Причём корни каждого уравнения искали в области допустимых значений этого уравнения.

Действительно, школьники затруднялись определить, при каком преобразовании уравнения сделан неравносильный переход. Процитируем П. А. Буданцева:

«Возьмём пример из школьного учебника алгебры А. Н. Барсукова, в котором предлагается решить следующее уравнение:

(1)

Здесь общий знаменатель х1 -4 (причём хф2 и хф-2). Умножив на него обе части уравнения, получим:

(2)

(3) (4) (5)

Уравнение (2) имеет корень 2, а уравнение (1) не имеет корней. По определению, данному в учебнике, следует, что уравнения (1) и (2) не равносильны. Удастся ли ученику установить, в каком звене произошёл разрыв цепи равносильных уравнений? Думаю, что не удастся.

Рассматривая каждое уравнение в своей области (точка зрения автора учебника алгебры), надо бы установить, что уравнения (1) и (2) — не равносильные. Однако второе уравнение получено из первого путём умножения на выражение х2 - 4, которое отлично от нуля при допустимых значениях неизвестного, а потому должно получиться уравнение, равносильное первому. Оно так и есть: исходное уравнение равносильно уравнению

полученному после умножения на х -4ф0.

Далее производятся тождественные преобразования (сокращение дробей), и вот тут происходит нарушение равносильности. Этот вопрос в учебнике не выяснен, поэтому ученики не знают, могут ли тождественные преобразования нарушить равносильность уравнений и когда именно».

В книге С. И. Новосёлова [11] равносильные уравнения рассматриваются над общим числовым полем, с чем также не соглашается П. А. Буданцев. Ему представляется более естественным рассматривать множество корней не как подмножество какого-либо числового поля, а как подмножество общей области допустимых значений. Пётр Алексеевич аргументирует свою точку зрения так:

«Рассмотрим уравнения:

с позиции ученика 8-го класса.

Неизвестное х здесь может обозначать лишь неотрицательные числа, отличные от единицы, так как при других значениях х выражение

не определено.

Корни уравнения — это допустимые значения неизвестного, поэтому естественно, что ученик может искать корни уравнений (значения х) лишь среди этих неотрицательных чисел, отличных от единицы (общая область допустимых значений х), а не среди всего множества действительных чисел (поле действительных чисел)».

Поэтому П. А. Буданцев предлагает следующее определение равносильных уравнений: «Два уравнения, рассматриваемые в общей области допустимых значений входящих в них букв, называются равносильными, если они имеют одни и те же корни или совсем их не имеют (кратность корней не учитывается)».

Этот подход оправдывает себя, так как позволяет рационализировать формулировки теорем. Например, в школьном учебнике

№ = <р(х) (1)

и

f(x) + R(x) = ç>(x) + R(x) (2)

считаются равносильными лишь при условии, что R(x) — многочлен относительно неизвестного, тогда как достаточно было ввести более слабое ограничение, а именно, что R(x) имеет числовое значение при допустимых значениях уравнения (1) или хотя бы при его корнях.

П. А. Буданцев в своих публикациях знакомит учителей с доказательствами теорем теории равносильности.

Теорема. Если обе части исходного уравнения возвести в одну и ту же нечётную степень, то получим выводное уравнение, равносильное исходному.

Пусть мы имеем исходное уравнение:

/(*)=?(*) (1)

и выводное:

f"-\x) = ç2"-\x). (2)

Требуется доказать, что (1) и (2) — равносильные.

1 случай. Уравнение (1) имеет корни.

1. Пусть а — корень уравнения (1), то есть f(a) = ç>(a).

Отсюда следует тождество: f2n~\a) = ç2n~\a) на основании соответствующего свойства тождества. Из последнего тождества следует, что а — корень уравнения (2).

2. Пусть ß — корень уравнения (2), то есть f2n~\ß) = (p2n~x(ß), отсюда на основании теоремы о том, что если ab>0 и ап =Ъп , то а = Ъ (эта теорема изучалась в курсе 8-го класса в разделе тождественных преобразований иррациональных выражений), откуда следует, что f(ß) = (p(ß). Следовательно, ß — корень уравнения ( 1 ).

2 случай. Уравнение (1) не имеет корней. Легко доказать методом от противного, что и уравнение (2) тоже не имеет корней. Вывод. Уравнения (1) и (2) равносильные.

Теорема. Если уравнение (исходное) f(x) = ç>(x) (1) рассматривается в области тех значений, при которых f(x) и (р(х) — одного знака, то есть f(x)-(p(x)>0, то при возвышении обеих частей уравнения (1) в одну и ту же степень п получим уравнение (выводное): fn(x) = cpn (х) (2), равносильное исходному^) (где п — натуральное число).

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству предыдущей.

Для учеников подобные рассуждения Пётр Алексеевич считал слишком сложными и предлагал учителю рассматривать в классе эти теоремы на конкретных примерах.

Пример 1. Уравнения 2х-\ = х-2 и (2х-1)3 = (х-2)3 — равносильные и имеют корень х = -1.

Пример 2. Уравнения 2х-\ = х-2 и (2х-1)2 = (х-2)2 в области значений х, удовлетворяющих условию (2х-\)(х-2) > О — равносильные, оба имеют корень х = -\. Однако в области всех действительных чисел эти уравнения не равносильны, так как выводное ещё имеет корень х = 1 .

Пётр Алексеевич посещал со студентами многочисленные уроки математики в школе. Работал методистом в институте усовершенствования учителей, поэтому его статьи представляли собой подробные, содержательные методические рекомендации работающему в школе учителю.

П. А. Буданцев был чрезвычайно увлечён математикой и методикой её преподавания. Он, как магнит, привлекал к себе людей. С ним сотрудничали профессора и доценты вузов, школьные учителя, участники математических олимпиад. Результатом такого сотрудничества, как правило, бывали статьи в журналах «Математика в школе», брошюры для учительства, посвящённые злободневным вопросам методики.

Так, понятие функции в математике является одним из важнейших, оно прошло в истории развития человечества непростой путь. Пётр Алексеевич в соавторстве с Григорием Михайловичем Щипакиным предложил свою оригинальную методику изучения этого понятия.

Различные определения функции могут быть разделены на два класса.

Первый из них включает в себя определения, возникавшие по мере развития понятия функции и опирающиеся на понятия переменной величины, аналитического выражения, закона (правила) нахождения значений выражения. Подобные определения принято называть классическими (историческими).

Во второй класс логических (современных) определений функции принято относить те из них, которые опираются на понятия отображения, соответствия, отношения, множества пар, не содержащих пар с одинаковыми первыми компонентами, т.е. имеющие теоретико-множественную основу.

В большинстве российских школьных учебников математики до 60-х годов XX века понятие функции давалось с помощью классического определения. Так, в знаменитом учебнике алгебры для 8—10 классов средней школы А. П. Кисилёва читаем:

«Та из двух связанных между собой переменных величин, которой можно придавать произвольные числовые значения, называется независимой переменной или аргументом.

Та переменная величина, числовые значения которой изменяются в зависимости от числовых значений другой, называется зависимой переменной или функцией этой другой переменной величины» [8].

Уже в 50-е годы XX столетия российское методическое сообщество стало склоняться к возможности и даже необходимости замены классической трактовки понятия функции в школе на логическую. Все настойчивее раздавались голоса, критикующие традиционное изложение материала в школе. Так, учебник А. П. Кисилёва упрекали, подчас справедливо, за полное отсутствие функциональной пропедевтики в первой части учебника, за ограниченность определения функции (у = с, где с — постоянная величина, по данному определению нельзя считать функцией) и даже за то, что «в этом определении не упоминается о соответствии между значениями двух величин, т.е. не отражён тот признак, который входит в современное научное определение» [8].

В учебнике алгебры для 6—8 классов А. Н. Барсукова, пришедшем в 1956 году на смену учебнику А. П. Кисилёва, сначала определялось понятие функциональной зависимости и лишь затем функции:

«Если две переменные величины связаны между собой так, что каждому значению одной из них соответствует определённое значение другой, то говорят, что между этими переменными существует функциональная зависимость...» [1].

«...Если две переменные находятся в функциональной зависимости, то та из них, которая может принимать произвольные (допустимые) значения, называется независимой переменной или аргументом.

Другая переменная, значения которой зависят от значений аргумента, называется зависимой переменной или функцией этого аргумента» [1].

Переход школы на обучение по новому учебнику алгебры вызвал необходимость оказать методическую помощь школьному учителю. Такая помощь учителям Оренбуржья была оказана П. А. Буданцевым в сотрудничестве с Г. М. Щипакиным.

В статье «Функции и их графики» в курсе 8 класса авторы дают следующее определение понятия функции:

«Функциональным соответствием, или функцией, называется такое соответствие между значениями двух величин, когда каждому допустимому значению одной величины (аргумента) соответствует одно вполне определённое значение другой величины» [5].

Итак, авторы трактуют функцию как функциональное соответствие. Следует согласиться с Г. В. Дорофеевым, что «безусловное достоинство теоретико-множественного подхода к понятию функции — в его математической, логической строгости... представляется, однако, что это чисто логическое достоинство теоретико-множественного подхода является фактически его единственным более или менее существенным преимуществом перед остальными подходами к определению функции...» [7].

Заметим, что в статье талантливого педагога П. А. Буданцева в дальнейшем, когда элементарные функции становятся объектом исследования, их теоретико-множественное происхождение практически исчезает, причём функции описывают реальные процессы, их свойства позволяют решать уравнения и неравенства, графики функций применяются в приближённых вычислениях.

Авторы считают необходимым напомнить учителю, что в курсах математики 5—7 классов разбросаны сведения о функциях пропедевтического характера. При изучении прямой и обрат-

ной пропорциональности величин, геометрического материала, при нахождении числовых значений алгебраических выражений необходимо подчёркивать зависимость одной переменной величины от изменений других.

Работу над понятием «функция», по мнению авторов, надо начинать с понятий постоянных, переменных величин и соответствия каждому допустимому значению одной переменной величины единственного вполне определённого значения другой переменной величины. В качестве примеров рассматривается зависимость:

1) количества теплоты, выделяемой при сгорании какого-либо топлива, от его веса и теплотворности;

2) стоимости товара от его количества;

3) суммы внешних углов выпуклого многоугольника от числа его сторон;

4) числа общих точек прямой и окружности от расстояния между центром окружности и прямой;

5) между квадратами целых чисел и самими числами. Рассмотрев такого рода примеры, дают определения:

«Постоянной величиной в данных условиях рассматриваемого явления (процесса) называется такая величина, которая принимает одни и те же значения в этих условиях.

Переменной величиной называется такая величина, которая в данных условиях может принимать различные допустимые значения (из области вещественных чисел).

Таким образом, постоянная величина может рассматриваться как такая переменная, которая принимает одни и те же значения» [5].

Замечательно то, что в разобранных зависимостях соответствие в пятом примере — не функция; в третьем — постоянная функция; в четвёртом — функция, принимающая в промежутках (0; R) и (R; оо) постоянные значения 2 и 0 соответственно и лишь когда аргумент достигает значения R, непрерывно возрастая или убывая, функция, изменяясь скачкообразно, принимает своё третье возможное значение — 1.

На этапе закрепления введённых определений авторы советуют наряду с примерами функций одного аргумента, предложенных учителем и приведённых самими учащимися, обязательно привести примеры функций двух и более аргументов (площадь прямоугольника как функция его сторон; путь при равномерном движении как функция скорости и времени; объём

прямоугольного параллелепипеда как функция трёх его измерений и т.п.).

Область определения функции трактуется как множество допустимых значений аргумента, а область значений функции — как множество соответствующих значений другой переменной. При этом напоминается, что сама вторая переменная также именуется условно функцией.

Из способов задания функций для восьмиклассников выделены табличный, аналитический и графический.

Среди функций, заданных аналитически, авторы выделяют те, которые задаются с помощью нескольких аналитических выражений, подводя учащихся к ним через анализ задач.

Задача. Автомобиль из пункта А движется в пункт В, отстоящий от А на расстоянии 10 км. Первый километр своего пути автомобиль двигался равномерно ускоренно. Следующие 9 километров автомобиль двигался с постоянной скоростью в 20 км, которой он достиг в конце первого километра от А. Достигнув В, автомобиль резко затормозил и быстро остановился. Выразить скорость движения автомобиля v в зависимости от расстояния х между автомобилем и пунктом А.

Данная задача, проанализированная и решённая в классе, приведёт к функции

Четвёртый пример, из рассмотренных выше, даёт функцию

Методический интерес имеет точка зрения авторов на изложение графиков функций. Определение они предлагают дать только после построения по точкам нескольких графиков, причём определение звучит так: « ...Графиком функции называется множество всех тех и только тех точек плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента, а ординаты — соответствующие значения функции» [5].

Школьникам предлагаются задачи, приводящие к функциям, заданным одним и тем же аналитическим выражением, но на различных числовых множествах:

1.Цена одной чернильницы 2 руб. Выразить зависимость между количеством чернильниц, купленных для школы, и их стоимостью. Построить график этой зависимости.

2. Основание прямоугольника равно 2 см. Выразить зависимость между высотой х и площадью^ прямоугольника.

3. Пусть задана функция у = 2х , где х — любое действительное число. Построить график этой функции.

Во всех трёх случаях зависимость выразится формулой у = 2х , но если в третьем случае графиком является прямая линия, проходящая через начало координат, то во втором — полупрямая (луч), не имеющая начальной точки, а в первом — дискретное множество точек с целочисленными неотрицательными координатами.

Решение таких заданий позволяет учителю сделать важный вывод о том, что функция считается заданной, если заданы область её определения, область её значения и закон, по которому для каждого числа из области определения функции ставится в соответствие ему единственное число из области значения.

Заметим, что в таком дидактическом комплексе связываются воедино все три способа задания функции.

Схема изучения функции в средней школе, по мнению П. А. Буданцева и Г. М. Щипакина, должна включать следующие пункты:

1. Определение данной функции.

2. Область определения функции.

3. Область значения функции, наибольшее и наименьшее значения функции.

4. Ограниченность и неограниченность функции.

5. График функции.

6. Возрастание и убывание функции (монотонность).

7. Чётность и нечётность функции.

8. Периодичность функции.

9. Выпуклость и вогнутость функции.

При этом каждый пункт сопровождается определением, пояснением и графической иллюстрацией. Например, «функция называется ограниченной, если абсолютное значение её при любых значениях аргумента не превосходит какого-либо положительного числа, или иначе f(x) — ограниченная функция, если

I /(х)| < M > О при любом X.

...График ограниченной функции целиком расположен в полосе между прямыми у = M и у = -М » [5].

Авторы настаивают на том, что, изучая с детьми элементарные функции, необходимо учить их «читать» графики, выдвигать гипотезы, но затем их обязательно доказывать. Показателен в этом смысле пример исследования функции у = ах2 на выпуклость и вогнутость, приведённый в работе:

« ...Графики показывают, что функция у = ах2 выпуклая при а < 0 и вогнутая при а > 0.

Доказательство. Так как

то при

Следовательно, интуитивное заключение из графиков о выпуклости и вогнутости функции у = ах2 верно...» [2].

Приведённая методическая концепция: через целесообразно подобранные задачи перейти к наглядным графическим образам, выдвинуть гипотезы и обосновать их с помощью логических доказательств — позволяла учителю развивать у детей функциональное мышление, так необходимое при изучении математики в дальнейшем.

Список использованной литературы

1. Барсуков А. Н. Алгебра : учебник для VI—VIII кл. / под ред. С. И. Новоселова. 9-е изд., доп. и перераб. М. : Гос. уч.-пед. изд-во Мин-ва просвещения РСФСР, 1964. 296 с.

2. Буданцев П. А., Щипакин М. Г. Квадратные и иррациональные уравнения // Учёные записки. Сер. физ.-мат. наук / Чкалов, гос. пед. ин-т им. В. П. Чкалова. Чкалов, 1956. Вып. 9.

3. Буданцев П. А. К вопросу о равносильности уравнений // Учёные записки. Сер. физ.-мат. наук / Чкалов, гос. пед. ин-т им. В. П. Чкалова. Чкалов, 1957. Вып. 11.

4. Буданцев П. А. К вопросу о теории и практике решения систем неуравнений // Учёные записки. Сер. физ.-мат. наук / Чкалов, гос. пед. ин-т им. В. П. Чкалова. Чкалов, 1957. Вып. 11.С. 147—165.

5. Буданцев П. А., Щипакин Г. М. Функции и их графики в курсе 8-го класса// Учёные записки. Сер. физ.-мат. наук / Чкалов, гос. пед. ин-т им. В. П. Чкалова. Чкалов, 1957. Вып. 11.С. 3—50.

6. Дорофеев Г. В. Алгебра и начала анализа. 10 кл. М, 2003.

4. Дорофеев Г. В. Понятие функции в математике и школе // Математика для каждого / предисл. Л. Д. Кудрявцева. М. : Аякс, 1999. С. 145—177.

8. Кисилёв А. П.. Алгебра, ч. 2 : учебник для 8—10 кл. ср. шк. 27-е изд. М. : Гос. уч.-пед. изд-во Мин-ва просвещения РСФСР, 1950. 232 с.

9. Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Фёдорова Н. Е., Шабонин М. И. Алгебра и начала анализа. 10—11 кл. М, 2007.

10. Ляпин С. Е., Гастева С. А., Квасникова 3. Я., Крельштейн Б. И. Методика преподавания математики. Часть 2 : пособие для учителей математики 8—10 кл. ср. шк. Л. : Гос. уч.-пед. изд-во Мин-ва просвещения РСФСР, Ленингр. отделение, 1956. 654 с.

11. Новоселов С. И. Специальный курс элементарной алгебры. М. : Советская наука, 1951. 548 с.

В. Ю. Шадрин

О некоторых формах работы с математически одарёнными детьми в Оренбурге

Проблема социально-педагогической поддержки одарённых детей в России тесно связана с другими проблемами нашей страны, в частности с «утечкой мозгов» и демографическими проблемами. Этой теме уделяется много внимания в исследованиях по методике преподавания математики, в педагогике и психологии. Однако эти разработки учёных и педагогов недостаточно внедряются в практику. Тем не менее начинает складываться система, целенаправленная образовательная политика по поддержке одарённых детей.

В городе Оренбурге и области постепенно складывается, как нам кажется, определённая система по поиску одарённых детей, работе с ними и их социально-педагогической поддержке.

Основной формой учебной работы с такими детьми являются развивающие уроки математики, которые обязательны для посещения в гимназиях и школах с математическим уклоном. Такие занятия очень похожи на обычные уроки, так как ведёт их учитель, преподающий в этом классе, ученики сидят на своих обычных местах, но решают задачи повышенной сложности и олимпиадного характера. Эти уроки проводятся по специальным программам, которые разрабатывает учитель для данного класса.

Польза таких уроков заключается в том, что ученик, не всегда осознающий, что именно ему интересно в математике, решая нестандартные задачи, постепенно увлекается предметом. Это особенно важно в младшем и среднем школьном возрасте, когда ребёнок наиболее восприимчив к новым знаниям.

Основной формой внеклассной работы с одарёнными детьми является математический кружок. Обычно он проводится один-два раза в неделю. Оптимальным считается, когда на занятии кружка примерно половина времени посвящена одной теме, а в остальное время решаются задачи, не связанные с данной темой. Это позволяет ученикам самим находить пути решения задач, а не настраиваться на использование какой-то одной темы. Главная цель кружковой работы — развитие логического и эвристического мышления учащихся, которое может проявиться в результатах математических олимпиад, конкурсов и т.д.

Математические кружки могут проводиться и вне школьных стен. Так, в 2009 году в г. Оренбурге начал работу Центр физико-математического образования (ЦФМО) «Архимед», где школьники занимаются в кружках по олимпиадной математике, программированию, робототехнике. Центр работает на коммерческой основе, но неизменно пользуется популярностью среди учащихся 4—11 классов школ города.

Ученики, проявляющие интерес к математике, имеют возможность развивать свои способности и получать новые знания и вне стен школы, например в летнем физико-математическом лагере. В Оренбургской области летняя физико-математическая школа (ЛФМШ) для одарённых детей работает с 1989 года. Она была организована по инициативе заведующего кафедрой математического анализа и методики преподавания математики М. Д. Чернявского. Ежегодно в лагере собирается до ста учащихся из различных районов области. Преподавателями и воспитателями работают сотрудники и студенты ОГПУ. Ценность такой формы работы заключается в том, что ученики совмещают занятия по математике, физике и информатике с активным отдыхом. Занятия в ЛФМШ проводятся в форме лекций и практических занятий, различных конкурсов, олимпиад по предметам. Лекционный и практический материал выходит за рамки школьной программы, что очень важно для сельских школьников. Многие слушатели ЛФМШ впоследствии стали студентами ОГПУ.

Следует отметить что, благодаря областным органам народного образования содержание ЛФМШ оплачивается из

бюджетных средств. К сожалению, с введением единого государственного экзамена основной акцент в этой школе делается на подготовку к ЕГЭ, а не к решению олимпиадных задач. В связи с этим практически все учащиеся летней физико-математической школы — из районов области и почти нет детей из областного центра. Таким образом, первоначальная идея работы с одарёнными детьми области сузилась до подготовки сельских школьников к ЕГЭ.

Летние физико-математические школы есть и в других городах, например, Кирове, Белорецке, Санкт-Петербурге, Казани, Челябинске, где существуют свои многолетние устоявшиеся традиции. За время своего существования эти школы приобрели большой опыт работы и всероссийское значение. Многие ученики нашей области в течение многих лет повышают свой математический уровень в летних математических школах города Казани «Дилемма» и «Спектр». Однако их пребывание оплачивается в основном родителями, в отличие от других регионов, где заботу об одарённых школьниках обычно полностью берут на себя органы образования, как, например, в Татарстане.

В 2010 году в г. Оренбурге был организован первый и пока единственный в регионе физико-математический лицей на базе средней общеобразовательной школы с углублённым изучением математики № 30. Такие учебные заведения обеспечивают более высокий уровень изучения различных разделов математики, физики, информатики и т. д., так как там работает коллектив единомышленников, тогда как в физико-математических классах средних школ, гимназий математику ведёт один учитель. Это приводит к тому, что ученики нашей области, обучающиеся в физико-математических классах школ, гимназий, лицеев, добиваются серьёзных результатов на олимпиадах в 8—9 классах на региональном уровне, но впоследствии не могут конкурировать со сверстниками из других городов, которые учатся в физико-математических лицеях. С открытием физико-математического лицея положение заметно улучшилось. Талантливые дети из других школ имеют возможность продолжать обучение в учебном заведении, которое специализируется на углублённом изучении физики и математики.

Специализированный учебно-научный центр (СУНЦ) при МГУ — ещё один из вариантов продолжения обучения математически одарённых детей. Туда ежегодно после 9—10 классов уезжают 3—4 одарённых ученика нашего региона.

Важно не только научить ученика решать задачи, но и поддержать дальнейший интерес к изучению математики, предоставляя возможность участвовать в различных математических конкурсах, олимпиадах, турнирах.

С 2001 года в области проводится международный конкурс «Кенгуру (Математика для всех)», центром проведения которого в России является Санкт-Петербург. Ежегодно этот конкурс собирает десятки тысяч учеников области со 2 по 10 класс. Он проводится в форме тестирования, где нужно выбрать один правильный ответ на вопрос задачи из предложенных 5 вариантов. В течение 75 минут ученики решают 30 задач различной трудности. Международным авторским коллективом подбираются новые, оригинальные, интересные для учащихся задачи. Проверка работ и подведение итогов осуществляется с помощью компьютера, что обеспечивает максимальную объективность. Конкурс «Кенгуру» является самым массовым и популярным в области среди прочих детских мероприятий.

С 2001 года в городе Оренбурге по инициативе городского центра детского творчества и коллектива педагогического университета начали проводиться городские олимпиады для учащихся 5—8 классов в учебном корпусе ОГПУ. Проверку работ осуществляют преподаватели и студенты физмата. Особенностью проведения олимпиад является обязательный разбор предложенных задач с учениками, подведение итогов и награждение победителей в день написания работ. Награждение призёров проводят школьники-победители областных олимпиад, являющиеся почётными членами жюри. Участие студентов в проведении городских олимпиад повышает их математический уровень, а также методическую подготовку как будущего учителя.

С 2004 года в программу городского турнира юных математиков для учеников 5—8 классов, кроме личных олимпиад, описанных выше, включается командный конкурс «Математическая карусель». В конкурсе участвуют команды школ из 6 человек, которые совместно решают задачи и должны дать правильный ответ без обоснования решения. Этот вид состязания даёт возможность ученикам за короткое время решить много задач, за которые начисляются баллы, а жюри — в течение получаса подвести итоги и выявить лучшие школьные команды. Другим важным достоинством данного конкурса является его командный характер, так как это воспитывает дух коллективизма, чувство гордости за свою школу, ответственности за выступление

команды и умение работать в коллективе. В последние годы Городской турнир юных математиков проводится для учеников 4—10 классов.

Среди участников городских и областных математических олимпиад для школьников большинство участников составляют мальчики, юноши, и чем выше ранг олимпиады, тем ярче прослеживается данная тенденция. Однако, по нашему мнению, чтобы и мальчики, и девочки хорошо решали олимпиадные задачи, нужно больше внимания уделять обучению девочек, потому что именно они в дальнейшем придут работать в сферу образования и будут обучать мальчиков. Так поддерживаются традиции олимпиадного движения. Для реализации этой идеи организован математический турнир им. С. Ковалевской, который проводится на базе ОГПУ ежегодно в марте для учениц 10—11 классов оренбургских школ. Он является одним из элементов профориентационной работы с целью привлечения интереса к математике и профессии учителя. К проведению турнира привлекаются студенты физико-математического факультета педагогического университета, что является для них хорошей практикой, так как они получают навыки работы с одарёнными детьми, необходимые в будущей профессии.

Другим командным состязанием является «математический бой». Больше 12 лет проводятся Уральские турниры юных математиков для учеников 6—8 классов, в которых оренбургские школьники регулярно участвуют с 1999 года. Большинство победителей областных олимпиад получили опыт решения олимпиадных задач именно на этих турнирах. Турнир обычно состоит из трёх-четырёх боев, личной олимпиады, командной олимпиады и «математической карусели». Математический бой состоит из командного решения нескольких задач, а затем устного рассказа об их решении оппоненту команды противника. Баллы получают докладчик и оппонент. Команда гимназии № 1 в 2005 году заняла первое место в высшей лиге Уральского турнира юных математиков, который проходил в г. Белорецке.

«Математические бои» проводятся и для старшеклассников, например турнир им. А. Н. Колмогорова. Так, в 2007 году сборная команда городов Ижевска, Ульяновска и Оренбурга, в составе которых были два оренбуржца — С. Горбань и М. Матдинов, завоевала Малый кубок турнира им. А. Н. Колмогорова в финальном математическом бою, победив сильнейшую команду из лицея № 239 Санкт-Петербурга, считавшуюся «фаворитом».

Складывающаяся система социально-педагогической поддержки математически одарённых детей в г. Оренбурге даёт определённые результаты. До 2000 года в течение многих лет оренбургские школьники не имели достижений по математике выше областного уровня. С началом активной работы с одарёнными детьми, т.е. с 2000 года, наши ученики неоднократно становились призёрами зональных олимпиад по математике и неоднократно награждались почётными грамотами и дипломами зональных и заключительных этапов всероссийских олимпиад. Так, оренбуржец Марсель Матдинов дважды — в 8 и 9 классах — становился победителем заключительного этапа Всероссийской математической олимпиады школьников. В 2008 году он поступил в СУНЦ при МГУ и в 2009 и 2010 годах стал победителем международных математических олимпиад.

У школьников и студентов, участвующих в подобных состязаниях, заметно повышается интерес к математике, вырабатывается умение решать оригинальные, нестандартные задачи, появляется опыт участия в соревнованиях, развивается математическое творчество, повышается математическая культура.

Опыт работы с одарёнными детьми показывает, что необходимо дальнейшее развитие системы социально-педагогической поддержки одарённых детей. Следует уделить особое внимание кружковой работе, которую бы проводили педагоги-профессионалы со специальной подготовкой, осуществляя, в том числе, и тьюторскую подготовку.

Краткие сведения об авторах

Зубова Инна Каримовна — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа Оренбургского государственного университета.

Игнатушина Инесса Васильевна — кандидат физико-математических наук, доцент, зав. кафедрой математического анализа и методики преподавания математики Оренбургского государственного педагогического университета.

Максютова Екатерина Александровна, ассистент кафедры математического анализа и методики преподавания математики Оренбургского государственного педагогического университета.

Коротина Валентина Александровна — кандидат педагогических наук, доцент кафедры алгебры, геометрии и истории математики Оренбургского государственного педагогического университета.

Курбатова Людмила Николаевна — старший преподаватель кафедры математического анализа и методики преподавания математики Оренбургского государственного педагогического университета.

Матвиевская Галина Павловна — доктор физико-математических наук, профессор кафедры алгебры, геометрии и истории математики Оренбургского государственного педагогического университета.

Прояева Ирина Владимировна — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры, геометрии и истории математики Оренбургского государственного педагогического университета.

Ривкус Наталья Владимировна, старший преподаватель кафедры алгебры, геометрии и истории математики Оренбургского государственного педагогического университета.

Шадрин Владимир Юрьевич, старший преподаватель кафедры математического анализа и методики преподавания математики Оренбургского государственного педагогического университета.

Научное издание

История математического образования в России XVIII—XX вв.

Сборник научных статей и очерков

Ответственный редактор Г. П. Матвиевская

Редакторы И. Н. Рожков, Е. С. Рожкова Компьютерная вёрстка Е. С. Рожковой

Подписано к печати 21.11.2013 г. Усл. печ. л. 13,4 Тираж 100 экз. Заказ 145

ФГБОУ ВПО «Оренбургский государственный педагогический университет». 460014, г. Оренбург, ул. Советская, 19