Гнеденко Б. В. Очерки по истории математики в России. — 1946
Гнеденко Б. В. Очерки по истории математики в России. — М. ; Л., : Гостехиздат, 1946. — 247 с., [2] л. вкл. — Библиогр.: с. 246—247 (37 назв.).

Б. В. Гнеденко

ОЧЕРКИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В РОССИИ

Б. В. Гнеденко

ОЧЕРКИ ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В РОССИИ

ОГИЗ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

МОСКВА 1946 ЛЕНИНГРАД

АННОТАЦИЯ

Предлагаемая книга, принадлежащая перу члена-корреспондента Академии наук УССР проф. Б. В Гнеденко, содержит очерк основных этапов развития математической культуры, которые прошла наша страна с древнейших времён вплоть до наших дней. Книга рассчитана на широкий круг читателей.

Редактор Д. А. Райков. Техн. редакторьс С. Н. Ахтмоп и И, А. Тумаркина. Подписано к печати 11/1X 1946 г. А 09 743. 15,5 печ. л. 1 вклейка, 14,7 уч.-изд. л. 14,1 уч-авт. л. 38 000 тип. зн. в печ. л. Тира-к 50 000 зкз. Цена книги б р., переплёт 1 р. 50 к. Зак. N° 1649.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Мысль о создании книжки, дающей возможность широкому кругу читателей составить общее представление о тех основных этапах развития математической культуры, которые прошла наша страна с древнейших времён и до наших дней, меня интересует уже почти десять лет. Трудность этой задачи отпугивала меня от того, чтобы взяться за её решение. Однако годы шли, а такой книги наш читатель не получал, хотя потребность в ней назрела очень давно. В настоящее время, когда к истории родной страны и развитию её культуры проявляется повышенный интерес, эта потребность ощущается особенно остро. Библиотеки же, а тем более книжные магазины буквально ничего не могут предложить своему потребителю по указанному вопросу. Последнее обстоятельство заставило меня отказаться от сомнений и приняться за работу над этой книгой.

В процессе обдумывания и писания мне пришлось познакомиться с большим числом произведений и в большей или меньшей мере использовать их содержание. Я не считал нужным указывать каждый раз источники, которые освещали мне тот или иной вопрос; исключение сделаю сейчас только в отношении прекрасных исследований проф. В. В. Бобынина и особенно его сочинения «Очерки по истории физико-математических знаний в России XVII столетия», послуживших одним из важнейших источников при написании первой главы.

Ранее появившиеся книги и исследования, сделавшиеся теперь, как правило, библиографической редкостью, преследовали более ограниченные цели, чем те, которые ставит перед собой настоящая книга. Действительно, произведения Бобынина, Галанина, Райнова и многие другие

затрагивают историю математических знаний в России только до второй четверти XVIII века, т. е. до момента организации Академии наук. А ведь именно с этого момента начинается большой и богатый научными событиями период развития математики: основание университетов, появление и творчество великих русских математиков, создание математических обществ, издание журналов и пр. Отдельные моменты из истории зтого периода освещены в ряде журнальных статей и книг. Особенно в этом отношении повезло первому и величайшему русскому математику—«Копернику геометрии»—Н. И. Лобачевскому. Я знаю также одно сводное произведение этого рода—книгу проф. А. В. Васильева «Математика», в которой изложены краткие биографические и научные сведения о наиболее видных представителях русской математики XVIII и первой половины XIX века, кончая «русским Гауссом»— П. Л. Чебышевым. Дальнейший мощный подъём математического творчества, связанный с именами академиков Маркова, Ляпунова, а также ныне живущих учёных, не нашёл отражения в какой-либо сводной работе. Поэтому предпринятая мною попытка нарисовать общую картину развития математических познаний в России с древнейших времён до наших дней, да ещё вдобавок на небольшом числе страниц, повидимому, является первой. Это обстоятельство должно извинить автора за целый ряд промахов и неудач, которые, несомненно, имеются в работе. Мне самому ясно, что большим недостатком книги является то, что в ней всё ограничивается (в первой главе) описанием математической культуры только русского и украинского народов, математические же знания народов Прибалтики, Кавказа, Средней Азии, а также навыки многочисленных племён Сибири не нашли вовсе своего отражения. Ознакомление же с древними культурами указанных частей Советского Союза представляет значительный интерес как общеобразовательный, так и научный. Ведь хорошо известно, какое огромное влияние на развитие алгебраических представлений в Европе оказали среднеазиатские математики средних веков и в особенности Мухаммед ибн Муса Альхорезми (IX век). Несомненно, что древне-армянская и древне-грузинская культуры, сложившиеся под воздействием древней Греции, Рима

и мусульманского мира, также представляют интереснейший объект для ознакомления.

Другой, ещё более серьёзный дефект этих очерков состоит в том, что в них многие прекраснейшие достижения русской и советской математики не нашли отражения по причине их крайней неэлементарности.

Я не желал эту книжку превращать в калейдоскоп имён и названий и поэтому ограничился упоминанием сравнительно небольшого числа математиков. Понятно, что в произведённом выборе неизбежно сказались личные научные вкусы автора, хотя я и старался, по мере возможности, быть при этом объективным.

В заключение считаю своим приятным долгом поблагодарить всех тех, кто своими советами и вниманием облегчал мою работу: в особенности благодарю доктора исторических наук проф. В, Н. Бочкарёва, докторов физико-математических наук проф. Д. Д. Галанина и проф. А. П. Юшкевича, познакомившихся с книгой в рукописи и сделавших мне ряд важных замечаний.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ГЛАВА I

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОЗНАНИЯ В РОССИИ ДО НАЧАЛА XVIII ВЕКА

§ 1. Математические познания до XVII века „....... 11

Первичные представления. Международные связи. Объём знаний. Сочинение монаха Кирика. Роль духовенства. Влияние крещения Руси, Славянская нумерация. «Русская Правда». Иные источники. Церковные запрещения. Состояние науки на Западе.

§ 2. Математические познания в XVII веке......... 24

Общие замечания о рукописях. «Устав ратных дел». «Книга сошного письма». Другие геометрические рукописи. Отношение к арифметике в XVII веке. Содержание рукописей. Характерные особенности рукописей. Арифметические действия: статья торговая; «статья о нечести во всяких овощах и товарах»; «статья меновая в торгу»; статья складная торговая. Математические развлечения: о плотниках; о льве, волке и псе; о яйцах; о хождении юношей. Правило ложного положения. Склонность к сложным вычислениям. Счёт костьми или пенязи. Досчатый счёт. Замечание о коммутативности умножения. Таблицы.

§ 3. Организация школ................. 48

Духовные академии. Необходимость светского обучения. Навигацкая школа. Цифирные школы. Гарнизонные школы.

§ 4. «Арифметика» Магницкого.............. 53

Значение «Арифметики». Магницкий. Стиль книги. Определение арифметики. Наименования чисел. Содержание книги. Терминология книги. Форма изложения. Прикладная тенденция. Прогрессии. Алгебраическая часть книги. Послесловие.

ГЛАВА II

НАУЧНАЯ РАБОТА В РОССИИ В XVIII и XIX ВЕКАХ

§ 5. Основание Академии наук.............. 69

Потребность России в науке. Эпизод с вечным двигателем. Избрание Петра I в Парижскую академию. Организация Академии наук. Академические гимназия и университет. Первый русский научный журнал.

§ 6. Эйлер....................... 72

Научное наследство. Биографический очерк. Приезд в Россию. Переезд в Берлин. Возвращение в Петербург. Несколько слов об эпохе. Работы, вызванные развитием транспорта. Работы в области артиллерии. Работы в области оптики. Работы по математическому анализу. Работы в области теории чисел. Нестрогость доказательств. Источники творчества.

§ 7. Организация университетов............. 83

Академия наук после Эйлера. Значение университетов для науки. Первые годы Московского университета. Проект создания новых университетов. Реформы Сперанского.

§ 8. Николай Иванович Лобачевский........... 87

«Коперник геометрии». Геометрия Эвклида. Врождённость идеи пространства по Канту. Попытки доказательства Лобачевским пятого постулата. Идея новой геометрической системы. Отношение современников к геометрии Лобачевского. Признание идей Лобачевского. Взгляды Лобачевского на геометрию. Критика

Канта. Исследования Лобачевского вне геометрии. Педагогические взгляды. Административная деятельность. Биографические сведения.

§ 0. Петербургская математическая школа......... 100

Особенности Петербургской школы. Влияние французской математической школы. В. Я. Буняковский. Представители математической физики. Представители теории чисел.

§ 10. Михаил Васильевич Остроградский.......... 105

Научные заслуги Остроградского. Биографические сведения. Предмет исследований. Лекции Остроградского. Влияние Остроградского на уровень преподавания в университетах. Остроградский как педагог.

§11. Пафнутий Львович Чебышев............ 112

Значение Чебышева для науки. Биографические сведения. Чебышев как педагог. Общая характеристика научного творчества. Вопросы практики в творчестве Чебышева. Работы в области теории механизмов. Теория наилучшего приближения функций. Работы в области теории чисел. Работы по теории вероятностей. Последействие идей Чебышева.

§12. Андрей Андреевич Марков............. 125

Биографические сведения. А. А. Марков как гражданин. Круг научных интересов. Первый период рабог по теории вероятностей. Второй период исследований по теории вероятностей. Последействие идей Маркова.

§ 13. Александр Михайлович Ляпунов........... 133

Биографические сведения. Научные интересы. Фигуры равновесия. Устойчивость движения. Педагогическая деятельность. Отношение к науке. Вопросы средней школы.

§ 14. Софья Васильевна Ковалевская........... 143

Детство. Фиктивный брак. Годы учения. Самостоятельные исследования. Жизнь в России, страсть к спекуляциям. Второй творческий период. Педагогическая и литературная деятельность. Заключение.

§ 15. Московское математическое общество........ 154

Н. Д. Брашман. Организация общества. Математический сборник. Научное мировоззрение.

ГЛАВА III РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИКИ В XX ВЕКЕ

§ 16. Особенности развития математики в XX веке..... 158

Массовость науки. Влияние Великой Октябрьской социалистической революции. Математические институты. Академик Владимир Андреевич Стеклов. Трудности изложения. Необходимость ограничения материала книги.

§ 17. Математические центры Советского Союза...... 165

Увеличение числа математических центров. Старые математические центры. Киевская математическая школа. Грузинская математическая школа. Математика в Ташкенте. Одесса, Саратов, Томск, Горький, Свердловск.

§ 18. Московская математическая школа.......... 173

Исходные математические идеи. Измеримые множества и измеримые функции. Возникновение Московской математической школы. Первое поколение учеников Лузина. Лузитания. Второе поколение учеников Лузина. Расширение интересов Московской математической школы. Топология. Заключение.

§ 19. Советская школа теории чисел ........... 184

Особенность теории чисел. Распределение простых чисел. Проблема Варинга. Проблема Гольдбаха. Лев Генрихович Шнирельман. Метод Шнирельмана. Седьмая проблема Гильберта. Проблема Гаусса. Теоремы Хинчина.

§ 20. Советская школа теории вероятностей........ 198

Обыденные представления о случайных событиях. Примеры случайных событий. Характерная особенность современных научных представлений. Роль русской науки в развитии теории вероятностей. Отношение к теории вероятностей на Западе в XIX и начале XX века. Содержание теории вероятностей до Чебышева. Первые исследования по теории вероятностей в России. Роль академика С. Н. Бернштейна. Исследования В. И. Романовского и его школы. Возникновение Московской школы теории вероятностей. Закон больших чисел. Аксиоматика. Теория стохастических процессов. Процессы без последействия. Стационарные процессы. Влияние на классическую проблематику. Исследования по математической статистике.

Дополнения:

Дополнение 1. Славянская нумерация ..... ..... 228

Дополнение 2. Линия, ограничивающая максимальную площадь ....................... 230

Дополнение 3. Полиномы, наименее уклоняющиеся от нуля . 232

Дополнение 4. Понятие множества............ 239

Использованная литература ............... 246

ГЛАВА ПЕРВАЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОЗНАНИЯ В РОССИИ ДО НАЧАЛА XVIII ВЕКА

§ 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОЗНАНИЯ ДО XVII ВЕКА

Первичные представления. Трудно сказать, когда появились у того или иного народа первичные математические представления. Нужно думать, что потребность в счёте предметов, а также в сравнении расстояний относится к самым ранним стадиям развития человеческого общества. Сомнительно, чтобы какой-либо определённый народ впервые изобрёл искусство счета, или искусство измерения и затем путём общения передал своё изобретение другим народам. Повидимому, каждый народ самостоятельно проходил этот первый этап своего развития. Эта стадия человеческой культуры теряется в глубине тысячелетий и имеет, должно быть, не меньшую давность, чем выработка речи и использование простейших орудий труда.

Другое дело—развитие абстрактных понятий, разработка правил действий над числами, создание правил для вычисления площадей и объёмов. Здесь заимствование неизбежно, и более развитые народы являются источником таких более квалифицированных познаний. Это обстоятельство заставляет пристально изучать те нити, которыми связывались различные народы и которые могли служить путями передачи интеллектуальных богатств. Естественно, что и нам придётся обращать внимание на то, с какими странами торговали, воевали и общались наши предки.

Международные связи. В давным-давно минувшие времена поселились славянские племена на территории, занимаемой ныне Европейской частью Советского Союза, образовали свою государственность и завязали тесные торговые отношения не только с ближайшими соседями, но и с далеко живущими народами. Мы не говорим уже о давних и хорошо известных связях с Византией, а упомянем о других, менее известных и более отдалённых. По свидетельству арабских писателей IX века, славянские купцы со своими товарами (мехами, мечами и пр.) посещали страны, расположенные по берегам Чёрного и Каспийского морей, и добирались даже до Багдада.

Мы не располагаем славянскими письменными памятниками тех времён; первые известные нам летописи принадлежат лишь к X—XI векам. Однако, и эти дошедшие до нас сведения только в слабой степени помогают судить о культурности наших предков, об их быте, их международных связях и пр. Несравненно больше данных дают результаты археологических изысканий. И эти изыскания полностью подтверждают сообщения арабских писателей: в местах раскопок находят монеты из Средней Азии, Ирана, Месопотамии, а также некоторые предметы обихода, произведённые в тех местах. Полученные таким образом данные позволили учёным составить представление о том живом общении, в котором находились наши предки с народами указанных стран, стоявших в те времена на весьма высоком культурном и техническом уровне развития.

Объём знаний. Раскопки древних городищ говорят нам, в частности, и о том, что элементарные математические познания пользовались весьма широким распространением на Руси уже в IX—X веках. Эти познания носили, конечно, чисто утилитарный характер и ничего общего с систематическим школьным курсом математики нашего времени не имели. Это были скорее навыки, чем знания, и их приобретение осуществлялось в процессе, главным образом, торговой деятельности. Такие навыки передавались, повидимому, устным путём. К числу указанных первичных познаний следует отнести представления о целых числах, а также действиях сложения, вычитания, умножения и деления целых чисел. Вероятно, в это время ши-

роко использовались простейшие дроби. За это говорит хотя бы тот факт, что при торговых расчётах употребляли куски драгоценных металлов, которые рубили в случае надобности на необходимое число частей. Отсюда, как известно, возникло и наше слово рубль. Позднее, начиная с XV века, стали пользоваться мерой площади земли «соха»*), а также дробными частями этой меры: пол-сохи, треть-сохи, четь-сохи (пол-пол-сохи), пол-треть-сохи, полчеть-сохи (пол-пол-пол-сохи), пол-пол-треть сохи, пол-полчеть сохи, пол-пол-пол-треть сохи, пол-пол-пол-четь сохи и т. д.

Несомненно, что в древности был хорошо известен циркуль, так как орнамент из окружностей постоянно встречается на украшениях и предметах обихода; многие раскопки доставляют нам костяные гребни и металлические застёжки с такого рода орнаментом.

Далеко не всё, что было бы нам нужно для восстановления по возможности более полной картины математической культуры наших предков, было ими записано или нашло отражение в предметах их обихода. Но даже и то немногое, что подверглось записи, дошло до нас в очень неполном виде: многие рукописи погибли от стихийных бедствий, от небрежности и невнимания к ним со стороны современников и последующих поколений, ещё большая часть погибла в результате войн. К тому же, несомненно, некоторая часть первоисточников ещё не найдена. Дело будущего—найти, изучить их и тем самым уточнить и пополнить наши знания о прошлом родной страны.

Сочинение монаха Кирика. Наиболее древнее математическое произведение, известное нам теперь, принадлежит новгородскому монаху Кирику и написано в 1134 г. Полное наименование этого произведения таково: «Кирика диакона и доместика**) Новгородского Антониева монастыря учение им-же ведати человеку числа всех лет». Посвящено оно было арифметико-хронологическим расчётам, состояло из 19 параграфов и повторяло о календаре всё то, что можно было найти в греческих церковных кни-

*) В сохе считалось 800 четвертей доброй земли; четверть десятины.

**) Уставщика.

гах. В частности, Кирик, повидимому, умел рассчитывать дни Пасхи; эту задачу он не решал в своей книге, но предлагал решить другим числолюбцам. Интересно заметить, что впоследствии, спустя три с половиной века после Кирика, вычисление таблиц, по которым можно было бы указывать пасхальные дни, так называемых пасхалий, превратилось в большую церковно-государственную проблему, так как во всей Руси не нашлось человека, способного произвести нужные расчёты. Расчёты же произвести было необходимо, ибо в 1492 г. кончались таблицы, унаследованные от византийской церкви. Пришлось организовать специальную экспедицию на Запад (в Рим) за источниками, а быть может, и за готовыми таблицами. Организатором этой экспедиции был весьма просвещённый новгородский архиепископ Геннадий Гонзов. При нём были составлены таблицы дней Пасхи на 70 лет вперёд, однако, в точности их не очень-то был уверен и сам Геннадий, а поэтому рекомендовал пастырям своей епархии пользоваться ими только на ближайшие 20 лет, если «Бог благоволит ещё миру стояти». Последняя оговорка для тех лет была весьма актуальна, так как в 1492 г. исполнялось, согласно церковной легенде, семь тысяч лет от сотворения мира, и многие ждали, что эта дата совпадёт с концом мира. Таких опасений не был лишён и сам архиепископ. Однако, мир устоял, и таблицы пригодились.

Вернёмся всё же к содержанию труда Кирика. Значительная его часть посвящена вычислению времени (месяцев, дней, часов), прошедшего от сотворения мира. Так, в § 2 он подсчитал, что от сотворения мира до написания книги прошло 79728 месяцев (в рукописи сохранилась только часть числа, а именно 9728); в § 3 он вычислил число недель, протекших от той же даты, а в § 4—число дней. Это последнее оказывается равным 24 неведиям (сотням тысяч) и 6721. В § 5 подсчитывалось, что с момента сотворения мира прошло уже 200 неведий и 90 неведий и 1 неведия и 652 часа. В процессе этих расчётов Кирик, конечно, употреблял действие умножения целых чисел.

Для того, чтобы ориентировать читателя в тех вычислениях, которые произвёл Кирик, заметим, что в древней Руси счёт лет шёл от сотворения мира. В момент написа-

ния Кириком его трактата шёл 6642 г. по славянскому летоисчислению. Лёгким подсчётом читатель проверит, что либо Кирик ошибся на 24 месяца (должно быть 79 704) при умножении, либо его сочинение было написано в 6644году (1136 г. н. э.).

Помимо задач на сложение и умножение, Кирик привёл пример геометрической прогрессии, возникающей от деления двенадцатичасового дня на часы, а часов на «дробные часы». Членами этой прогрессии являются дроби с числителями, равными единице, и знаменателями, равными 12, 60, 300, 1500, 7500, 37 500, 187 500, 937 500.

Дальше Кирик не пошёл, заявив, что «более сего не бывает» и «не рождаются от седмых дробных».

Рель духовенства. Конечно, не случайно то, что автором первой математической рукописи было духовнее лицо. Хорошо известно, что духовенство было в то время наиболее образованной частью общества и, должно быть, обладало не только религиозной, но и общей культурой. Вспомним то, что для воспитания духовных лиц после крещения Руси были созданы специальные школы, и то, что существовали княжеские постановления, поручавшие церкви особенно ответственную деятельность. Как известно, уже во времена Олега и Игоря монетой служили куски серебра определённого веса. Следить за весом было ответственной государственной обязанностью. В 996 г. князь Владимир поручил заведывание весами духовенству и повелел «пискупу блюсти без пакости, ни умаляти, ни умножати; за всё то дата ему (богу—Б. Г.) слово в день суда великого, якоже и о душах человеческих». Ясно, что такое поручение было бы не под силу духовенству, не обладавшему запасом хотя бы элементарных математических, главным образом, арифметических познаний.

Таким образом, мы можем с уверенностью сказать, что в этот сравнительно ранний период жизни русского государства элементарные арифметические знания были довольно широко распространены среди населения; в стране имелись числолюбцы, и, во всяком случае, среди духовенства Кирик был не одинок.

Интересно заметить, что уже в эти годы арифметика являлась не только средством удовлетворения утилитарных потребностей, но также средством удовлетворения

чисто духовных запросов. Мы не раз столкнёмся впоследствии с подобными же явлениями.

Нам неизвестны другие письменные памятники математических знаний того времени. Нужно думать, что они не исчерпывались рукописью Кирика и не ограничивались задачами религиозного содержания. Ведь нельзя забывать, что светская жизнь в ту пору протекала в атмосфере тесного общения со многими странами Азии, а также Северной, Западной и Южной Европы. Известно, что тогда киевские князья породнились с английскими, французскими, датскими и другими западноевропейскими королями. Киевская Русь находилась уже долгое время в самых близких отношениях с Византией. И нет сомнений в том, что Русь времён Владимира и Ярослава Мудрого находилась на столь же высоком уровне культуры, как и большая часть остальной феодальной Европы. В зтом, конечно, не малую роль сыграло крещение Руси.

Влияние крещения Руси. В эпоху крещения вместе с церковной литературой была воспринята также светская и церковно-светская греческая и болгарская литературы. Византийская культура в то время находилась на склоне, но всё же она обогатила нашу родину такими переводными произведениями религиозно-научного содержания, как «Шестослов», «Шестоднев» и др., знакомящими наших читаталей с учением великого философа древности Аристотеля, правда, в искажённом виде. В свою очередь, появились и русские произведения, созданные по образцу эллинских, например, «Толковая Палея».

Математическое содержание всех этих произведений весьма невелико; пожалуй, только одно место «Шестоднева» Иоанна Экзарха*) заслуживает нашего внимания. В этом месте он даёт описание размеров Земли, Солнца и Луны. Согласно Иоанну Экзарху, основывавшемуся на данных греческого учёного Эратосфена (III век до н. э.), длина окружности Земли равна 250000 стадий**), а диаметр Земли равен 80000 стадий. Для Луны он оценивал

*) Экзарх—глава болгарской церкви. Иоанн Экзарх жил в X веке, его «Шестоднев» рано (XI—XIII век) проник в Киевскую Русь.

**) Стадия—греческая мера длины, равная 9600 дюймам (приблизительно 1/А километра).

окружность приблизительно в 120000 стадий; для Солнца Иоанн Экзарх указал только величину диаметра, считая её равней 50000 стадий. В «Толковой Палее», воспроизводившей это место «Шестоднева», диаметр Солнца определён уже в 300 тем (3 000 000) стадий и тем самьм лучше, чем Иоанном Экзархом, хотя всё же неправильно, оценивалось соотношение размеров Солнца и Земли.

Нас должно интересовать не столько то, что размеры Солнца и спутника Земли даны совершенно ошибочно, сколько то, что в это время на Руси уже существовали произведения, в которых довольно точно оценивалось соотношение между длиной окружности и её диаметром. Действительно, если исходить из размеров диаметра Земли и длины её окружности, указанных Иоанном Экзархом, то для числа я мы получим значение

отличающееся не слишком сильно от найденного за много веков перед тем великим Архимедом числа = 3,142..., известного теперь каждому школьнику.

Славянская нумерация. На математическое развитие древней Руси огромное влияние оказало введение*) славянского алфавита, основанного на греческом, и перенос к нам греческой системы нумерации. В греко-славянской системе нумерации буквы алфавита служили одновременно и числовыми знаками, только при этом над буквой ставили знак ~ (титло). Каждая буква обозначала одно и то же число, независимо от её местоположения. Буквы от «а» до «i» обозначали персты (единицы), от «i» до «п»—десятки, от «п» до «ю»—сотни.

Те же буквы обозначали также числа высших разрядов, но для обозначения тысяч перед каждой буквой ставили значок^; для десятков тысяч(тмы, или тьмы) те же буквы ставили в кружок (10 000=®), для сотен тысяч (легионов, неведий)—в кружке из точек (Q), для миллионов (леодров)—в кружке из чёрточек (О).

*) Конец X века (см. Дополнение \ в конце книги).

Приведём примеры записи чисел в славянском начертании:

число 156 по-славянски записывается так: р jj §,

» 12 » » » » g Ï,

» 7002 » » » » % % g,

Систем наименований чисел в славянском языке было две. Первая, так называемая малое число, не шла дальше миллиарда. Во вторую систему «коли прилучался великий счёт и перечень», называвшуюся великим числом, а иногда числом великим словенским, входили числа до 1048, а иногда даже до 1049. После этого прибавлялось: «и боле сего несть человеческому уму разумети». Названия, употреблявшиеся в малом числе, переносились на великий счёт, но с другим смыслом. Так, тьма означала уже не десять тысяч, а миллион (тысячу тысяч), легион-тьму тем (миллион миллионов); леодр—легион легионов (1024); дальше говорилось—десять леодров, сто леодров,..., и, наконец, сто тысяч тем легион леодров (1047); леодр леодров (1048) назывался ворон и, наконец, 1049—колода.

Следует заметить, однако, что с большими числами нашим предкам приходилось иметь дело не часто. В самом деле, слова «тьма» и «неведие» говорят сами за себя: столь большие числа были темны и неведомы. Заметим, кстати, что и современному человеку большие числа не слишком-то привычны; даже при составлении государственных бюджетов пока не требуется чисел, превышающих 100— 200 миллиардов. Широко распространён взгляд, что астрономы привычны к большим числам. Это не совсем так. Им действительно приходится иметь дело с колоссальными расстояниями, но для того, чтобы не обращаться с большими числами, астрономы вводят более крупные единицы измерения—световой год, парсек.

«Русская Правда». Совершенно своеобразные арифметические расчёты приведены в древнейшем русском юридическом сборнике, известном под названием «Русская Правда». Создание «Русской Правды» связывают с именем Ярослава Мудрого, однако, не подлежит сомнению, что значительное число записанных в «Русской Правде» законов уже раньше существовали и действовали на Руси. Некоторые статьи «Русской Правды» определяют цену,

которую обидчик должен выплатить обиженному; другие— условия дачи денег взаймы. Среди этих правил имелись, на наш взгляд, и курьёзные. Так, если заём был меньше трёх гривен, то такой заём должник обязан вернуть и в том случае, если он получил его без свидетелей. Если же заём превышает указанную сумму, то должник вправе был сказать заимодавцу: «пропали твои деньги, зачем давал без свидетелей?».

С течением времени, а также в зависимости от уклада жизни, сложившегося в различных областях нашей Родины, «Русская Правда» видоизменялась, к ней добавлялись различные новые статьи. Так, в Новгородской летописи, известной под названием «Софийского временника», профессор Бобынин насчитал 17 статей с арифметическим содержанием, которых нет в других экземплярах «Русской Правды»*). Эти статьи посвящены подсчёту приплода от скота, пчёл, количеству стогов сена, количеству зерна, собранных с определённого участка земли. Все эти подсчёты относятся к девяти или двенадцатилетнему периоду и, как считают некоторые исследователи, предназначены для подсчёта процентов, которые следует получить за приплод от ссуженного скота и пчёл. Вот для примера текст двух таких статей:

«а от двадцати овець и от двою приплода на 12 лет, 90000 овець и 100 овець и 12 овець, а баранов 90000 и 100 и 12 баранов, а всего баранов и овець на 12 лет 180000 и 200 и 24...».

«а от трёх свиней приплода на 12 лет 70000 и 3090 и 700 и 20 и 8 свиней...».

Интересно провести подсчёты и оценить, насколько правильны указанные в статьях цифры приплода.

Если исходить из предположения, что каждая овца ежегодно приносит по паре ягнят (овце и барану), каждый ягнёнок-овца через год способна давать приплод, и весь приплод, а также старые овцы выживают, то читатель легко найдёт, что через 12 лет одна овца принесёт приплода 212—1=4095 овец и такое же количество баранов, и значит 22 овцы принесут 90090 овец и такое же

*) Быть может, эти статьи представляют собой позднейшую чужеродную вставку.

количество баранов; всего же окажется по истечении 12 лет 90112 овец и 90090 баранов. Наши результаты не совпадают с расчётами составителей «Русской Правды» только в отношении числа баранов (в задаче не указано, что вначале уже было 22 барана).

Если провести подобный же подсчёт для приплода свиней, то окажется, что в этом случае азторы «Русской Правды» дали заведомо преуменьшенные цифры приплода. При этом нужно помнить, что свиньи отличаются огромнейшей плодовитостью и могут приносить по два помёта в год, каждый раз по 10—20 поросят.

Приведённые статьи «Русской Правды» едва ли имели какое-либо практическое значение, так как, во-первых, указанные в них цифры приплода назначены довольно произвольно, а во-вторых, и в те времена никто не согласился бы взять тройку свиней, с тем чтобы через 12 лет вернуть хозяину их стадо почти в 80000 голов. Сомнительно, чтобы кто-либо согласился на это даже исполу. Очевидно, что к этим статьям должно быть иное отношение: они удовлетворяли духовные интересы числолюбцев, в том числе интересы авторов указанных статей, их склонности к чистому расчёту безотносительно к его хозяйственным применениям.

Иные источники. За существование некоторых арифметических навыков у русских людей того времени говорят также различные международные договоры. Так, ещё Олег заключил с греками договор о взаимном выкупе из плена граждан обеих стран по обусловленной цене. Целый ряд торговых договоров (новгородцев с немцами— 1270 г., Смоленска с Ригою—1229 г. и др.) содержит пункты о весе, говорящие как о взаимосвязи различных мер, так и о плате весовщику за взвешивание.

Так, в договоре 1270 г. Новгорода с немцами сказано: «Гость платит весовщику 9 векшей с капи... капь должна заключать в себе весу восемь ливонских фунтов».

Взвешиванием, как уже видел читатель, занимались специальные должностные лица, называвшиеся вначале весцами, а впоследствии весовщиками, или также пудовщиками. Понятно, что эта категория лиц также должна была владеть элементарно-математическими познаниями.

Интересно отметить, что счёт и употребление славянской нумерации пользовались, повидимому, весьма широким распространением. За это говорит тот факт, что в Историческом музее находятся листы с кровли Успенского собора во Владимире, построенного в 1158—1161 гг. при Андрее Боголюбском, пронумерованные славянскими цифрами. Наличие славянской нумерации явно говорит за то, что русские мастера умели ею пользоваться и что среди них она имела распространение.

Церковные запрещения. Длительный и тяжёлый застой страны и её культуры был вызван монгольским владычеством. Татарское иго повлекло разрыв почти всех связей как с Европой, так и с мусульманским Востоком, которые так бурно развивались в предыдущие века. Завоевание турками-османами Константинополя и уния византийской церкви с католической в значительной мере ослабили существенную духовную связь с более просвещенной Византией. Терзаемая завоевателями, а также внутренними почти непрекращающимися войнами между отдельными княжествами, русская земля, ее государственность и культура приходили в упадок. Грамотность населения падала с ужасающей быстротой. И не только простой деревенский и городской люд, но и привилегированное сословие—боярство—нередко не владело элементарной грамотностью.

От общего состояния не отличалось и духовенство. Духовные школы, организованные и руководимые греческим духовенством при крещении Руси, почти прекратили своё существование. Источники для пополнения кадров священнослужителей иссякали с катастрофической быстротой. Дело дошло до того, что нехватало грамотных людей для посвящения в духовный сан. В этом отношении характерно свидетельство уже упомянутого нами новгородского епископа Геннадия: «Приведут ко мне мужика (ставиться в попы или диаконы—Б. Г.), я велю ему Апостол читать, а он и ступить не умеет; велю Псалтырь дать,—и по тому еле бредёт...». То же самое подтверждает через полвека (1551 г.) и Стоглавый собор: «Если не посвящать безграмотных,—говорится в Стоглаве (постановлениях Стоглавого собора),—церкви будут без пения и христиане будут умирать без покаяния».

Службы совершались часто только по памяти; о религиозных воззрениях подчас даже нельзя было говорить, так как зачастую они сводились к простой обрядности: выполнению положенных постов, выстаиванию положенных служб. До какой степени упадка дошли собственно религиозные верования на Руси, говорит хотя бы тот факт, что на Западе некоторые лица начали выражать сомнение в том, что московиты являются христианами. Достаточно сказать, что в 1620 г. один учёный-богослов, швед Иоанн Ботвид, защищал в упсальской академии диссертацию на тему «Христиане ли московиты». Не так существенно то, что после целого ряда учёных богословских справок и хитроумных рассуждений он решил вопрос положительно и признал московитов христианами, как то, что могла возникнуть возможность его постановки. Ведь понятно, что представители католицизма, только искавшие повода, широко использовали возможность сомнений в принадлежности огромного народа к христианству для обращения его к «истинной» вере. Католическое духовенство проявляло огромную духовную агрессию, за которой шла или которой предшествовала территориальная агрессия.

Православное духовенство в ту пору не могло противопоставить католической экспансии такую же казуистическую выучку, какой обладала противоположная сторона. Приходилось итти по пути запрещения внимать католической пропаганде. Вместе с запрещением книг религиозного содержания подверглись запрещению и светские книги, идущие с Запада. Математические книги не были исключением—они были запрещены также. Интересно заметить, что в одном древне-русском поучении того времени говорится: «Богомерзостен перед Богом всякий, кто любит геометрию; а се душевные грехи учиться астрономии и эллинским книгам; по своему разуму верующий легко впадает в различные заблуждения; люби простоту больше мудрости, не изыскуй того, что выше тебя, а какое дано тебе от Бога учение, то и держи».

Духовенство в конце XIV и начале XV века зачислило в число отречённых книг, в которые не должен заглядывать доброверующий христианин, астрономию, звездочётье и землемерье. Таким образом, православная религия

на довольно большом участке нашей истории выступала в качестве яростного врага распространения математической культуры в России. Немудрено поэтому, что до XVI—XVII веков математические книги не появлялись и не распространялись с стране, а на людей, проявляющих интерес к математике, продолжали косо глядеть ещё долго после освобождения от татарского ига.

Достаточно вспомнить, что, например, в 1676 г. боярину Артамону Матвееву было предъявлено обвинение в колдовстве и чернокнижии на основании найденной у него «книги чёрной—лечебнике, что писаны многие статьи цифирью».

Однако такое положение не могло продолжаться до бесконечности; потребности самой жизни понуждали к воспитанию лиц, знакомых с элементами геометрии и арифметики.

Состояние науки на Западе. Полезно заметить, что в описываемый период времени не только в России математическая культура находилась на весьма низком уровне. Вся Западная Европа находилась примерно в таком же состоянии. Недаром в Европе VII века чудом учёности считался монах Беда только за то, что он был одним из немногих людей, понимавших и умевших применять четыре правила арифметики. Остатки высокой культуры древней Греции и древнего Рима сохранялись ещё в Византии, но и там даже в ничтожной степени не проявлялась былая мощь творческого гения древних греков. Люди потеряли даже способность понимать большую часть науки древних.

Пробуждение Европы от глубокого сна, в котором находилась мысль, связано с проникновением арабского влияния и относится уже к средним векам*). Возникновение серьёзного интереса к математике, и в первую очередь к арифметике, следует отнести к началу XIII века, когда Леонардо Пизанский (или, иначе, Леонардо Фибоначчи) попытался сообщить «латинской расе» сведения из математики, необходимые для коммерческих расчётов.

Понятно, что одно математическое произведение не изменило и не могло изменить общего положения: мате-

*) Я сильно схематизирую возрождение науки на Западе. На самом деле этот процесс проходил более сложный путь.

лютика не стала достоянием всех тех, кому она была нужна в их практической деятельности. Но с этого времени начался прогресс математической науки в Западной Европе. Этот прогресс уже не прекращался и сравнительно быстро привёл не только к восприятию того, что было создано древними, но и к работе собственной мысли. Мы видели что Россия в этот важный период жизни Европы причинами исторического порядка была выключена из семьи европейских народов.

§ 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОЗНАНИЯ В XVII ВЕКЕ

Общие замечания о рукописях. Исследователи-историки редко бывают избалованы обилием и полнотой материалов, по которым они могли бы без всяких затруднений воссоздать картину прошлого. Именно в таком затруднительном положении находятся специалисты по истории математики, когда хотят судить о состоянии математических знаний на Руси в XVI веке. Имеются весьма веские основания считать, что в XVI веке, а быть может, и в конце XV века потребности в измерении земель привели к необходимости создания рукописей геометрического содержания. Однако до наших дней дошли математические рукописи только XVII века. Тем не менее, историки XVIII века утверждают, что они имели в своих руках рукописи XVI века. Так, Татищев, историк XVIII века, утверждает, что у него был наказ, данный в 1556 г. при Иване IV (Грозном) писцам о том, как следует измерять землю. Этот наказ, по его словам,—«с приложением землемерных начертаний, которые, видимо, некто, знающий геометрию с вычетами плоскостей сочинил».

После Татищева наказа никто не видел, он бесследно пропал; не подлежит, однако, сомнению, что если только он существовал, то носил характер рецептов, разъяснённых на числовых примерах, которым следовало подражать при фактическом измерении земель. К заявлению Татищева следует отнестись с весьма большим доверием, так как известно, что Иван Грозный предложил Стоглавому собору в 1551 г. привести в известность размеры вотчинных и поместных владений, а также произвести новую развёрстку с тем, чтобы каждый получил по досто-

инству. Тогда же было предложено завести вотчинные книги, в которые должны были заноситься измерения вотчинных владений, а также указания на количество в них пашен, лугов, лесов и иных угодий. Собору было объявлено, что царь решил послать писцов описать и смерить государство. Понятно, что без специального наказа с этой задачей справиться было бы невозможно. К тому же в то время в России бурно начала развиваться артиллерия, и артиллерийские расчёты потребовали серьёзных арифметических и геометрических познаний.

Заметим теперь же, что судьба, подобная судьбе рукописи Татищева, постигла математические рукописи XVII века, принадлежавшие известному историку Карамзину; рукописи Карамзина были им кратко описаны, а затем бесследно исчезли.

Заведомо погибли для науки рукописи, принадлежавшие московскому профессору Баузе,—они сгорели во время пожара Москвы в 1812 г. Среди ценностей этого собрания находилась, повидимому, древнейшая из известных нам русских арифметик. Вот что по поводу этой рукописи было сказано в каталоге собрания рукописей Баузе: «№ 189. Арифметика. «Сия книга рекома по гречески Арифметика, а по Немецки Алгоризма, а по Русски Цыфирная счетная мудрость» писана, сколько по всему догадываться можно, в XVI веке, и есть, без сомнения, старейшая из всех математических рукописей, которые находятся или найтись могут на Российском языке».

В настоящее время известно небольшое количество (2—3) рукописей XVII века, посвященных одному предмету (арифметике или геометрии); значительно больше математических сборников, излагавших не только арифметико-геометрические, но также и естественно-научные сведения, и, наконец, всего две общеобразовательные энциклопедии, называвшиеся «Азбуковниками».

«Устав ратных дел». В 1775 г. при разборе Оружейной Палаты в Москве был обнаружен «Устав ратных, пушечных и других дел, касающихся до воинской науки», создание которого относится к 1607 и 1621 гг. По распоряжению Потёмкина рукопись «Устава» была напечатана и, таким образом, стала доступной для обозрения. Интересно

отметить судьбу подлинника: он пропал, не то заложенный другими документами, не то уничтоженный после издания. Для нас «Устав» представляет тот интерес, что в нём излагаются некоторые геометрические сведения. Эти сведения сводятся преимущественно к рецептам для решения задач на определение расстояний; никаких доказательств правильности предлагаемых правил не приводится. Некоторые правила изложены в «Уставе» настолько темно и непонятно, что они, явно, были непонятны и самим составителям. Для примера рассмотрим пару задач, решение которых изложено в «Уставе».

Требуется измерить расстояние от точки Я до точки Б (фиг. 1 ). С этой целью предлагается в точке Я поставить вертикально жезл, размером приблизительно в человеческий рост; к вершине жезла Ц приложить угольник так, чтобы вершина его прямого угла совпала с точкой Ц, а продолжение одного из катетов проходило через точку Б. Другой катет продолжается до пересечения с землёй (точка 3). Далее следует такое приказание: «Возьми выше именованный жезл, и меряй тое далину или ширину во всем подлинно, и сколь много такая статья достанет, и то раздели во весь жезл равными долями. И ты прямую далину от слова Я до слова Б обрящеши». Читатель легко поймёт это правило, рассмотрев подобные прямоугольные треугольники БЯЦ и ЦЯЗ, из которых следует равенство

Фиг. 1.

Это равенство позволяет нам более понятно сформулировать правило «Устава» следующим образом: расстояние Б Я во столько раз больше длины жезла, во сколько раз длина жезла больше длины отрезка ЯЗ. Для удобства измерения жезл был разделён на 1000 равных частей. Указанное правило в «Уставе» иллюстрировалось примером, в котором jj-ç,=0,003.

Далее, требуется определить длину недоступного отрезка ЕВ (фиг. 2). С этой целью употреблялся жезл с делениями, на который надет малый жезлик, длины, равной длине одного деления большого жезла.

«Устав» предлагает наблюдателю, глаз которого находится в точке Я, установить малый жезл ЦД так, чтобы лучи, исходящие из точки Я и проходящие через Ц и Д, проходили бы также через точки 0 и Е. Затем малый жезл перемещается по большому на одно деление, и наблюдатель вместе с большим жезлом перемещается так, чтобы лучи Я'Ц' и Я'Д' проходили через точки 0 и £. Тогда «и сколько найдешь в далину меж первого и второго стояния именито меж двух статей Г и /, и ты имеешь прямую далину G£». Действительно, читатель легко найдёт из рассмотрения двух пар подобных треугольников (ЕвЯ и ДЦЯ, с одной стороны, а также ЕВ Я' и Д'Ц'Я\ с другой), что £0=ЯЯ'.

«Книга сошного письма». Следующая по времени геометрическая рукопись относится к 1629 г.; она входила в так называемую «Книгу сошного письма» и носила название «О земном верстании, как земля верстать». Рукопись содержит множество описок, и это, так же как и ряд других обстоятельств, заставляет предполагать, что сама статья о земном верстании была написана значительно раньше и впоследствии подвергалась целому ряду копирований.

Естественно, что все геометрические сведения, изложенные в названной рукописи, относились к вычислению площадей. Фигурами, к которым приводились все возможные очертания полей, являлись треугольник, равнобочная трапеция, квадрат и прямоугольник. Площадь

Фиг. 2.

прямоугольника определялась правильно, хотя, как мы увидим далее, и с ненужными усложнениями, но площади треугольника и трапеции вычислялись по заведомо ошибочным правилам. Так, для вычисления площади треугольника рекомендовалось умножать половину меньшей стороны на большую и получившееся произведение считать площадью треугольника. Площадь равносторонней трапеции в указанной рукописи считается равной произведению полусуммы оснований на большее основание. В более поздних рукописях даётся ошибочный, но всё же более осмысленный приём: площадь равнобочной трапеции равна произведению полусуммы оснований на длину боковой стороны («хобот»).

Повидимому, указанные методы вычисления площадей появились в результате искажения переписчиками правильных приёмов при копировании византийских или каких-либо других рукописей.

Понятно, что ни о каком теоретическом осмысливании излагаемых правил авторы рукописи и не думали. Изложение велось догматически, каких-либо формул не предлагалось, всё ограничивалось рассмотрением действий, рекомендуемых для вычисления площадей, на числовых примерах. Так, вычисление площадей прямоугольников иллюстрируется рассмотрением прямоугольника со сторонами 40 сажен и 53V3 сажени. Если судить по тексту рукописи, который мы приведём дальше, то площадь вычислялась не путём перемножения сторон, а путём выделения полного квадрата и подсчёта площади оставшейся части; помимо этого, рекомендовалось производить добавочные измерения противоположных сторон прямоугольника (фиг. 3):

«И ты мери первую сице: с аза на буки, и тут 40 сажен, да с аза же на глаголь и тут 40 сажен, мери же с веди на буки и також 40 сажен; и тут стало четверть севу; вымери же сколько сажен осталось от четверти поперёк, и тут стало 13 сажен с третью сажени, и тут станет три (нужно треть—Б. Г.) четверти, всего поля станет четверть с третью четверти севу».

Фиг. 3.

Репродукция стр. 256 из старо-русской рукописи, хранящейся в Отделе Рукописей библиотеки им, В. И. Ленина под шифром RN 23.

В рукописи нигде не говорится о том, как следует производить измерение прямых углов; повидимому, рекомендовалось делать это на-глаз.

Другие геометрические рукописи. Подобно тому, как «Устав ратных дел» и «Книга сошного письма» сообщали геометрические сведения только в той мере, в какой это необходимо для непосредственных приложений, так и другие геометрические рукописи содержат только то, что может потребоваться читателю в его повседневной деятельности. Правила измерения площадей, расстояний и объёмов простейших тел, изложенные на рассмотрении значительного количества числовых примеров,—вот примерное содержание этих рукописей. Много ошибочного в этих правилах, однако простейший их анализ показывает, что они явились результатом не полного произвола, а лишь недостаточно обоснованного переноса правил, верных или приблизительно верных в каких-либо частных случаях, на общий случай.

Так, например, измерение расстояния между пунктами А и В, при условии, что известны их расстояния до пункта С, рекомендуется производить во всех случаях так, как будто треугольник АБС прямоугольный. Для иллюстрации приведём отрывок подлинного текста одной из рукописей.

«Хошь узнати промежь какими местами, не ходя и не меревь что будет промежь вёрст, или сажен, или аршин. И ты сице познавай : как ходил будто к Троице в Сергиев монастырь и тут 32 версты. Ходил же в Воскресенский монастырь, и тут будто 24 версты. Что будет промежь теми монастырями скажи, не меревь и в которую сторону сколько будет вёрст? И те числы с таких же числ умножь, И те оба перечни сложи вместе и раздели на радикс. И что из делу выдет столько будет промежь теми местами вёрст или что-нибудь». Далее шли чертёж (фиг. 4) и следующие вычисления:

Приведём текст другой подобной же задачи. «Ходил с Москвы в Новгород и тут 600 вёрст. Ходил в Шуйский городок и тут 500 же вёрст. Что будет промежь теми городами зри (781 верста)».

Читатель легко проверит, что ответ, данный автором рукописи, получен посредством применения теоремы Пифагора.

Интересно заметить, что в правилах измерения площадей подчеркивается та заведомо ошибочная мысль, что все фигуры с равными периметрами ограничивают равные площади.

Сравнительно много места рукописи уделяли вычислению объёмов житниц цилиндрической и параллелепипедной формы, а также бочек. Объём параллелепипеда определялся правильно; при вычислении объёма цилиндра считалось, что тс=3; в остальном ошибок не было. Объём бочек определялся следующим путём. Сначала бочка, имеющая диаметры нижнего, среднего и верхнего сечений, соответственно равные Д19 Д2 и Д3, заменялась цилиндром с диаметром основания, равным -j {Дх + 2Д.2 + Д3). Далее объём бочки принимался равным объёму этого цилиндра.

Отношение к арифметике в XVII веке. Наши рукописи XVII века приписывали изобретение арифметики то «остропоримого разума» древним философам, то «древне эллинскому мудрецу Пифагору», то «Сиру, сыну Асинорову написавшему сию философию (арифметику—Б. Г.) финическими (финикийскими—Б. Г.) письменами». Заметим, что и позднее, уже в XVIII веке, Магницкий в своей «Арифметике» также приписывал Пифагору изобретение этой науки. Только научно-исторические исследования XIX, а отчасти и XVIII века положили, как у нас, так и повсюду заграницей, конец подобным необоснованным представлениям о возникновении не только арифметики, но и других наук.

Следуя западноевропейским образцам, наши авторы подразделяли науки на семь свободных мудростей—Грамматику, Диалектику, Риторику, Музыку, Арифметику,

Фиг. 4.

Геометрию и Астрономию. В связи с этим подразделением давалось и определение арифметики : «Арифметика, еже есть счётная мудрость, в седми мудростях пятая, свободная перед Богом». «Та мудрость едина из больших из семи мудростей...». «Без сея мудрости ни един философ, ни доктор не может быти. По сей мудрости гости по Государствам торгуют и во всяких товарех и в торгех силу знают и во всяких вещах и в мерах, и в земном верстании, и в морском течении».

В предисловии к другой рукописи автор не скупится на описание тех возможностей, какие дает обучение арифметике. «Аз есмь арифметика, везде угодна и многим любезна и всем потребна и ко всякому человеку приятна. Аще убо учением люботрудна, но умением златоструйна. Еллино-греческим одилаектом арифметика нарицаюся, а сладчайшим ми славенороссийским языком численница именуюся, понеже многочисленные науки разумети научаю и правого сочетания разсказывати наставляю, и вскоре о всяком числе великих статей и малых обретати сотворяю, и везде всяко число ведомо учиняю и на высоту восперяю и талю в превыспренняя, и считаю и заочныя дела исправляю, и по широте земли простираюся, и шаровным окружением землю размеряю, и во глубину моря снисхожду и водныя пучины прямо измеряю и путное шествие по морям излагаю, и по ветром течения корабленного хождения хиромерно угадываю. Аз есмь во всех на вселенней государствах всякия вещи царския и болярския, купеческия и поселянския, великия и малыя, честныя и последния, и всякия дела недоуменкыя своим досужеством расправляю, и всё чиновное—числа, меры, поставы, весы, счиняю и украшаю и правое мерило во всём исполняю; и перечни громадные совокупляю и паки разделяю, и по свойству коемуждо уставляю, и статью с статьей слагаю, и статью в статью прилагаю, и со статьями статьи счиняю и исполняю, и на доли разделяю, и долю к долям прилагаю, и доли из долей вычитаю, и дроби всяко раздробляю, и ни которая мудрость, яже в сочетании нашем от седми любовных ми сестёр, кроме моея меры и числа не бывает».

Содержание рукописей. Интересно отметить тот факт, что, повидимому, все рукописи имели один общий источ-

ник, из которого авторы их заимствовали содержание своих произведений вплоть до переписывания целых предложений. Это обстоятельство освобождает нас от необходимости давать характеристики каждой из них в отдельности и позволяет дать общее описание их содержания. Во всех этих рукописях даются правила действий с целыми числами и дробями, излагается тройное правило, затем да5тся большое число статей (параграфов), отвечающих потребностям торгового люда. Для примера приведём выдержки из оглавления одной рукописи:

«Первая статья от числа. Нумерасия или считание словесом и начертание числом цифирным.

Другая статья. Адитсие или считание. Статья именуется сюстряксие, по-русски — вынимание или вычитание...

Статья о весах и о мерах немецкие земли брабанские, городов Гановерна и Норенсборхе.

Статья французские земли и о денежном счёте ливонском, виницейском и Флоренском...

Статья численная о всяких долях указ...

Статья тройная в целых и в долях всяких...

Статья торговая... Статья ростовая и добыточная...

Статья торговая складная с прикащики... Статья фальшивая с прикащики и с людьми их торговая.

... О плотниках (задача). О яйцах (задача). О хождении юношей (задача)...».

Характерные особенности рукописей. Краткий перечень статей, стоящих в оглавлении, показывает с полной определённостью, что арифметические рукописи в XVII столетии имели не общеобразовательный, а чисто утилитарный характер. В непосредственной связи с их назначением стоит и способ изложения преподносимых в них истин: правила даются в форме предписания или рецепта. Откуда взялось то или иное правило, почему следует поступать так, а не иначе, ниоткуда не было видно, ниоткуда не следовало. Правила закреплялись большим количеством достаточно подробно рассмотренных примеров. Очень часто примеры предшествовали правилу, и тогда после их рассмотрения следовала «строка генераль», в которой рекомендовалось поступать так же и во всех аналогичных случаях.

Репродукция стр. 7 из старо-русской рукописи, хранящейся в Отделе Рукописей библиотеки им, В. И. Ленина под шифром RN 12.

Нередко изложение прерывалось общими рассуждениями о значении того или иного правила, об его качествах. Особенный восторг вызывало тройное правило, и буквально все рукописи оценивают его примерно такими словами: «та строка похвальная и лучшая изо всех иных строк. Философы её зовут золотою строкою, потому что она ставится в три перечня рожает собой четвёртый перечень...».

Все рукописи пользуются арабской (индийской) системой обозначения чисел, принятой теперь на земном шаре повсеместно. Славянская нумерация встречается только при рассмотрении некоторых примеров практического содержания, имеющих дело с именованными числами.

Арифметические действия. Порядок изложения четырёх арифметических действий был таков: сложение, умножение, вычитание и деление. Этим подчёркивались связи, существующие между сложением и умножением, а также между вычитанием и делением. С тех пор мало что изменилось в том, как выполнялись вычисления и как они располагались. Исключение составляет только деление, для которого существовали три довольно близких приёма. Мы опишем два из них, наиболее распространенных.

Первый состоял в том, что делитель подписывался каждый раз под той частью делимого, которая на него делилась в данный момент. Остатки писались над делимым. Остатки, части делимого и делителя, уже побывавшие в действии, немедленно зачёркивались. Частное писалось справа от делителя и отделялось от него чертой. Для иллюстрации приведём примеры деления числа 45672 на 6, рассмотренные в одной из рукописей (при этом мы ничего не зачёркиваем):

а также числа 546 на 8:

Интересно заметить, что всегда в рукописях производилось сокращение дробей, несмотря на то,что при делении целых чисел правила действия с дробями ещё не были известны.

Второй способ отличался от первого лишь записью действий; употреблялся он в том случае, когда делитель был многозначным числом. Частное в этом способе помещалось между делимым и делителем и отделялось от них горизонтальными чертами. Для иллюстрации рассмотрим деление числа 5692597 на 3625:

Заметим, что математическая терминология рукописей XVII столетия значительно отличается от привычной современному читателю. Так, слагаемые назывались перечнями, их сумма—исподним большим перечнем, уменьшаемое—заёмным перечнем, вычитаемое—платежным перечнем, разность—остатком; сомножители и их произведение особых наименований не имели; делимое называлось большим перечнем, делитель—деловым перечнем, частное—жеребейным перечнем и остаток—остаточной долей.

Содержание статей, излагающих правила действий с целыми числами или дробями, не требует каких-либо пояснений, так как оно мало изменилось с тех пор. Зато статьи с сугубо утилитарными наименованиями должны быть разъяснены, ибо современные курсы арифметики их не содержат.

Статья торговая. Статья торговая состоит из большого количества примеров, посвященных вычислению цены товара, прибыли от продажи и пр. Для того, чтобы составить представление о характере этих задач, приведу одну из них с полным решением.

«Гость купил 8664 овчины, а сторговал 100 овчин по 1*Л Рубля; да и продал те овчины, ино ему сходилося со 100 овчин по 8 овчин прибыли. Ино, сколько тот гость за овчины денег платил и что у овчин принял денег, сочти ми».

Репродукция стр. 105 из старо-русской рукописи, хранящейся в Отделе Рукописей библиотеки им. В. И. Ленина под шифром N 681 из собрания Ундольского.

«Станет денег за овчины платил 129 рублёв 32 алтына*), а принял у овчин 10 рублёв 13 алтын с деньгою да 9/2ъ деньги. А считай сице. Постави на строку, да молви: 100 овчин даст Vj2 рубля, что даст 8664 овчины.

Умножи 8664 с 172> придёт 12996; 12996 дели на 100, придёт 129 щ рублёв; и ты остатки переведи в новогородки, как 96 умножи со 100; придёт 9600. Дели же те 9600 опять на 100; придёт 96 новогородок. Те новогородки сведи в алтыны, дели на 3 потому что по 3 новогородки походит в алтыне; ино придёт 32 алтына. Столько он платил за все овчины и всего станет 129 рублёв 32 алтына. Столько он платил за все овчины. Да опять молви: 100 овчин даст ми прибыли 8 овчин, что даст 8664 овчины. Придёт 693^53 овчин. Да молви: 100 овчин даст Р/я рубля, что даст 693^• Считай на строку:все перечни переведи во свои доли |-да —т^- ; и ты прежде умножи 100 с 2, придёт 200; да опять умножи 200 с 25, придёт 5000, тем делити будет. Да умножи 17328 с 3-мя придёт 51Ç84; тот перечень на дел постави: дели-ж на 5000, придёт 10 Рублёв. Разведи-ж остатки S новогородки, как 1984 умножи со 100, придёт 39^, ино всего станет у овчин 10 рублёв 13 алтын да 1^ деньги».

«Статья о нечести во всяких овощах и товарах» соответствует правилу смешения. В ней решались задачи на вычисление цены смесей, а также расчёты со сплавами золота, серебра и меди.

«Статья меновая в торгу» определяет количество товара известной стоимости, которое следует отдать при обмене на известное количество другого товара также известной стоимости.

Вот для примера одна из таких задач:

«Два гостя хотят товары менятися. Один даёт 12 пудов

*) Алтын = 3 копейкам, деньга =г/2 копейки, новогородка = копейке.

инбирю, пол-третие пуда даёт по 3 рубля и по 8 гривен. А другой за весь инбирь даёт сахаром по 9 денег фунт сахару. Ино, сколько сахару надобе за тот инбирь, сочти ми».

Статья складная торговая. Содержание статей складных торговых вполне соответствует правилу товарищества, обычно помещавшемуся в дореволюционных учебниках арифметики. Для примера приведём одну задачу из «статьи складной торговой с прикащики гостей».

«Четыре гостя сложилися торговати. Первый положил 266 рублёв, другой положил 388 рублёв, третий положил 490 рублёв, четвертый положил 590 рублёв. И приняли к себе торговца прикащика, кого им отпустити с теми деньгами на иной город торговати. А посулили ему за его службу, что ни приторгует, ино изо прикупа ему взяти четь. И прикащик так у них и приторговался, да тут же из своих денег в торг приложил 344 рубля. И приторговал прикащик на все деньги 489 рублёв. Ино почему которому гостю по их складу прикупу досталося и что прикащик за службу взял, сочти ми.»

Математические развлечения. В заключение арифметические рукописи приводили задачи, являющиеся, так сказать, математическими развлечениями. Задачи эти преимущественно западного происхождения и заимствованы, в значительной своей части, из сочинения Баше де Мизерака, вышедшего во Франции в 1612 г. и получившего в Западной Европе широкое распространение. В большинстве своём эти задачи хорошо известны и нашим школьникам. Приведём для ознакомления несколько образцов.

О плотниках. «Четыре плотника у некоего гостя нанялись двора ставити. И говорит первый плотник так: только б де мне одному тот двор ставити, я яз-бы де его поставил един годом. А другой молвил: только бы де мне одному тот двор ставити, и яз-бы де его поставил в два года. А третий молвил : только бы де мне одному тот двор ставити, и яз-бы де его поставил в три годы. А четвёртый так рек: только бы де мне одному тот двор ставити, и яз-бы де его поставил в четыре года. Ино все те четыре плотника учали тот двор ставити вместе. Ино, сколь долго они ставили, сочти ми.»

Предложенное в рукописи решение весьма просто:в двенадцать лет каждый плотник в отдельности сумеет по-

Репродукция стр. 221 из старо-русской рукописи, хранящейся в отделе библиотеки им. В. И. Ленина под шифром RN 23.

Репродукция стр. 125 из старо-русской рукописи, хранящейся о Рукописном отделе библиотеки им. В. И. Ленина под шифром RN 23.

строить: первый—двенадцать дворов, второй—шесть, третий—четыре и четвёртый—три. Таким образом, за 12 лет ими может быть построено 25 дворов. Следовательно, один двор все вместе они сумеют поставить за

О льве, волке и псе. «Лев съел овцу одним часом, а волк съел овцу в два часа, а пёс съел овцу в три часа. Ино хощешь ведати сколько бы они все три—лев и волк и пёс—овцу съели вместе вдруг и сколько бы они скоро ту овцу съели, сочти ми.»

Для решения задачи, оставив в стороне логическую сообразность и реальную возможность, автор заставляет льва, волка и пса съедать положенных им овец в течение двенадцатичасового рабочего дня.

О яйцах. «Пришёл христианин в торг и принёс лукошко яиц. И торговцы его спрошали: много ли у тебя в том лукошке яиц? И христианин молвил им так: яз, господине, всего не помню на перечень, сколько в том лукошке яиц. Только яз помню: перекладывал яз те яйца из лукошка по два яйца, ино одно яйцо лишнее осталось на земли; и яз клал в лукошко по 3 яйца, ино одно же яйцо осталось; и яз клал по 4 яйца, ино одно же яйцо осталося; и яз их клал по 5 яиц, ино одно же яйцо осталось; и яз их клал по б яиц, ино одно же яйцо осталося; и яз клал по 7 яиц, ино все по сему пришло. Ино сколько в том лукошке яиц было, сочти ми? Придёт было 721 яйцо.»

Составитель рукописи, очевидно, не был знаком с понятием наименьшего кратного и потому дал не наименьшее возможное решение (301), а следующее по величине.

О хождении юношей. «Юноша некий пошёл с Москвы к Вологде. А идёт на всякий день по 40 вёрст. А другой пошёл после его на другой день. А идёт на всякий день по 45 вёрст. Ино во сколько дней тот юноша постиг прежнего юношу, сочти ми? Придёт в восьмой день на един ночлег сошлися.»

Правило ложного положения. Для того, чтобы закончить краткую характеристику арифметических рукописей XVII века, нам нужно сделать несколько замечаний.

Первое состоит в том, что все рукописи для решения задач, сводящихся к решению линейных уравнений, использовали особый метод—правило ложного положения. Это правило излагалось на примерах в «статье фальшивой». Состоит оно в следующем. Пусть нужно решить уравнение

ах+Ь=--0.

Выбираем произвольные хг и х2 и вычисляем:

}'2 = ях2 + 6.

Читатель легко проверит, что искомое значение х будет равно

Склонность к сложным вычислениям. Второе замечание относится к стремлению авторов рукописей подбирать задачи с большими числами и сложными вычислениями. Так, например, статья об умножении целых чисел иллюстрируется, помимо прочих, следующей задачей: «Был некий град каменный кругом 30 вёрст. Высота его 5 сажен, широта 2 сажени. Кругом же его 10 башен с ворота, 20 башен глухих. А кругом башни с ворота по 20 сажен, а глухие по 16 сажен; высота всем по 8 сажен, а в широту 2 сажени. А у 10 башен врата в высоту и широту 3 сажени, а у глухих башен проходные двери в высоту и широту в сажень. А кирпич делан был в длину поларшина, в широту в четверть аршина, в толстоту 2 вершка, ино много ли того града в стены и башни кирпичей пошло?».

Предлагаем читателю провести вычисления в предположении, что стена, которой обнесён город, имеет форму прямоугольника, а башни—форму параллелепипедов.

Счёт костьми или пенязи. Для облегчения счёта в России с давних пор употреблялся особый наглядный способ, называвшийся счётом костьми или пенязи. Употреблялся он, как говорилось в наиболее древних рукописях, для того, чтобы «великий счёт считати»; излагался же непосредственно за статьями о действиях над целыми числами.

В кратких чертах счёт костьми состоял в следующем. На столе чертилось мелом несколько продольных и перпендикулярных к ним линий. Самая правая колонка в про-

цессе действий оставалась свободной, и в ней отмечался окончательный результат.

Число продольных полос определялось числом разрядов, содержащихся в наибольшем из данных чисел; число перпендикулярных полос определялось характером действия. Так, для сложения проводилась только одна линия, отделявшая результативную колонку; при умножении их проводилось столько, сколько нужно было писать частных произведений. Данные числа откладывались следующим способом: в самой нижней графе помещалось столько камешков, сколько единиц содержалось в числе, в следующей графе таким же образом отмечались десятки, и т. д. Если в результате действий в какой-либо графе оказывалось более десяти костей, то десяток заменялся одной костью в следующем разряде. Собственно, даже пять костей заменялись одной, помещавшейся на линии, отделяющей данный разряд от последующего. При умножении, чтобы «ти не измешатися», рекомендовалось «держать перст» около той цифры множителя, на которую в данный момент производилось умножение. «А иное станешь умножати и ты перст перенеси к тому числу, которым умножаешь, или к кости, а без перста забудешь».

Счёт костьми или пенязи употреблялся для всех четырёх действий с целыми числами. В более древних редакциях излагалось ещё другое употребление «класть костьми сошную кладь» (т. е. вычислять земельные налоги), а также более мелкие налоги («а вытная и хлебная потому ж»). С этой целью производились добавочные подразделения доски для откладывания трети, полутрети, половино-полутрети, малые трети (^), чети, получети, половино-получети, малые чети (^).

Откладывание пятков заставляет предполагать, что «счёт костьми или пенязи» был заимствован из Византии или из Рима, так как и для греков и для римлян характерным был счёт пятками.

Досчатый счёт. Помимо описанного счёта костьми, на Руси употреблялся так называемый «досчатый счёт». Прибор, употреблявшийся при этом, состоял из бичёвок с нанизанными на них костяшками. В этом ясно видно

сходство древнего прибора с современными русскими счётами. Повидимому, все описания действий «досчатым счётом» утеряны; сохранилось только весьма неясное описание орудия счёта. Досчатый счёт употреблялся часто, так как в сохранившемся описании прибора сказано: «им всякий торговый счёт сочтёт и сошный и померной и весчей и денежной всякой счёт по всяким статьям и в долях».

Замечание о коммутативности умножения. Интересно отметить, что, несмотря на всю утилитарность арифметических рукописей, несмотря на полное отсутствие желания осмыслить правила действий и хотя бы наметить их теорию, в них имеется одно важное наблюдение. А именно, в статье о действиях над дробями на примере указывается неизменность произведения при перемене мест сомножителей. «Ведай доли из доли умножение как из -j умножай придёт ^ також * из ^ тож j^».

Таблицы. Для завершения рассказа об арифметических рукописях XVII века следует ещё сказать о таблицах сложения и умножения, которые постоянно прилагались к ним, а порой и составляли предмет содержания особых книг. Так, в 1682 г. в Москве была напечатана брошюра под названием «Считание удобное, которым всякий человек купующий и продающий, зело удобно изыскати может, число всякие вещи». Содержание этой брошюры—таблица произведений всех целых чисел от 1 до 100 обычно употребляемого и в настоящее время типа. Предисловие, в котором описывался способ пользования таблицей, заканчивалось словами: «А если мера или цена превзойдет число счёта, который положен в сей книжке и тому возможно по сему же счёту, меру и цену умножая, хотя многие тысячи счести. Здравствуй и о трудящихся в сем деле моли Бога».

§ 3. ОРГАНИЗАЦИЯ ШКОЛ

Духовные академии. Мы уже говорили о том, что монгольское иго отбросило нашу родину на многие десятки лет назад в смысле культурного развития. Школы, получившие начало в Киевской Руси, почти прекратили

своё существование. Знания передавались устно редкими грамотеями. Как такое положение сказалось на духовном облике страны, в том числе на облике основной культурной силы того времени—духовенстве, мы имели случай упомянуть раньше. Интенсивной миссионерской деятельности католического духовенства, особенно сильной на юге России, православие не могло противопоставить значительного числа лиц, достаточно изощрённых в вопросах богословия, логики, риторики, диалектики. Необходимость в специальной выучке духовных пастырей была осознана, и это привело к созданию в Киеве в самом конце первой четверти XVII века первого на Руси высшего учебного заведения—Киевской духовной академии. Интересно заметить, что программы, а также преподавательский состав этого учреждения, ставившего своей первоочередной целью борьбу с католицизмом, были заимствованы у иезуитов.

В 1687 г. было открыто второе учебное заведение такого же рода—Славяно-греко-латинская академия в Москве. Воспитанниками этой Академии были Л. Ф. Магницкий, автор известного учебника «Арифметика», а также великий учёный и русский просветитель М. В. Ломоносов.

Непосредственного влияния на развитие математической культуры два указанных учреждения не оказали, так как преподавание математики в Москве отсутствовало вовсе, а в Киеве ограничивалось арифметикой и начатками геометрии и велось не в виде самостоятельного предмета, а в рамках физики и естественной истории.

Необходимость светского обучения. И в то же время необходимость в широком распространении математических знаний была велика. «... Купцы не учатся даже арифметике, и иноземцы во всякое время беспощадно их обманывают...»—так писал известный публицист панславист Юрий Крижанич в своём труде «Разговоры о владетельстве», описывая в нём состояние России. Эти слова были написаны ещё в царствование Алексея Михайловича Романова, однако принципиальные сдвиги в деле развития светского образования были достигнуты только при Петре I. На первых же порах своей государственной деятельности, направленной к коренной реорганизации страны, он

столкнулся с ужасающим отсутствием знающих, образованных людей. Приходилось принимать срочные меры для заполнения зияющей пустоты. Одной из таких мер подготовки, и притом самой срочной подготовки, специалистов военного, корабельного, горного, металлургического дела и пр. в первые годы царствования Петра I была посылка значительного количества молодых людей заграницу. Казалось, что этот путь является кратчайшим для обучения ремёслам, военному делу, наукам и прочим «иноземным хитростям». Однако результаты таких путешествий не всегда оказывались столь блестящими, как заграничные скитания самого Петра. Русский человек» лопав в новую, необычную для себя обстановку, нередко терялся и не знал, что делать: «не то языкам учиться, не то наукам».

Другая мера—печатание заграницей книг для России, в частности учебников по математике—также себя не оправдала. Голландские предприниматели, взявшие у Петра на откуп это дело, потерпели убытки: в России не нашлось достаточного количества потребителей их продукции, да и качество этих книг было невысоким.

Все эти мероприятия не исключали, а только временно заменяли тот основной путь, который был намечен Петром,—путь создания широкой сети общеобразовательных и специальных школ и училищ.

Навигацкая школа. С такой целью ещё в 1698 г. Петр пригласил в Москву профессора Абисрдинского университета англичанина Фарварсона для преподавания математики и морских наук. Вскоре после его приезда (1701 г.) в Москве была основана и начала работу «математических и навигацких, т. е. мореходно-хитростных наук школа». Помещалась она в Сухаревой башне (снесённой в тридцатых годах нашего века). В ней-то Фарварсон вместе с некоторыми «природными русскими, а не немчинами» занялся обучением русских юношей «добровольно хотящих, иных же паче и со принуждением».

Фарварсон развил энергичную деятельность: он участвовал в разработке программ навигацкой школы, ввёл в них арифметику, алгебру, геометрию, тригонометрию плоскую и сферическую, сам преподавал их, а также писал учебники. В частности, под редакцией Фарварсона у нас

были предприняты перевод и издание нескольких книг «Начал» Эвклида в переработке Такэ.

В 1715 г. на базе навигацкой школы была создана и переведена в Петербург Морская академия.

Цифирные школы. В год перевода навигацкой школы из Москвы в Петербург Пётр распорядился разослать в губернии по два ученика этой школы, выучивших геометрию и географию, «для науки молодых ребяток из всяких чинов людей». Эти школы получили название цифирных, так как в них обучали геометрии и арифметике и на эти предметы было обращено особое внимание.

Нельзя сказать, чтобы население охотно отпускало своих детей в школы: слишком уж резко приходилось порывать со стариной, да и режим в школах был суров. Посадские люди первые стали челом бить о разрешении их детям не посещать школ, так как «детей надо к ремеслу приучать, за прилавком сидеть». Просьба была удовлетворена. Далее Синод потребовал, чтобы дети духовенства были переведены в епархиальные школы, также организованные при Петре. Требование Синода также было удовлетворено. В результате в четырнадцати цифирных школах учеников не осталось, и преподаватели из провинции вернулись в навигацкую школу. Интересную таблицу приводит в своей книге*) П. Н. Милюков. Из 2000 первоначально набранных в 1716 — 1722 гг. в цифирные школы учеников в 1727 г. осталось только 500. Куда девались остальные—ясно из таблицы:

1. Выбыли посадские и духовные 572

2. Бежали, отпущены в дома и не явились 322

3. Выучено и отпущено 302

4. Безграмотных, неспособных и идиотов 233

5. Взяты в разные должности 93

Итак, 15% учащихся бежали из цифирных школ. И это—несмотря на то, что за неявку в школу нередко сажали в тюрьму, на цепь.

Любопытно посмотреть, что делалось в школе того времени. Идеальным порядком в классе считалось такое положение, когда каждый зубрил свою часть предмета

*) Очерки по истории русской культуры, ч. II, стр. 298.

вслух. Учитель, уверенный, что все заняты делом, мог спокойно отдаться собственным занятиям. Согласованного хора при этом быть не могло, так как учащиеся одного класса проходили разные части одного предмета и даже разные предметы. Так, например, в арифметическом классе рязанской цифирной школы (1727 г.) 11 школьников учились счислению, 5—сложению, 1—вычитанию, 3—умножению, 5—делению, 3—тройному правилу, 1—десятичным дробям, 1—циркульным приёмам, 1—плоской тригонометрии, тангенсам. Можно представить себе, что творилось в классе!

Забегу несколько вперёд и расскажу о судьбе цифирных школ после смерти Петра I.

Цифирные школы состояли в распоряжении Адмиралтейской коллегии, так как учителей они получали из Морской академии. Адмиралтейство попыталось освободиться от них, объединив их с церковными и подбросив Синоду. Однако Синод решил, что «передавать ученикам одну арифметику и геометрию без связи с богословскими науками—дело светское, а не духовное». Цифирные школы просуществовали до 1744 г.; к тому времени из 42 школ, бывших в 1722 г., осталось только 8. Три самые большие из них были слиты с так называемыми гарнизонными, учреждёнными в 1737 г.

Гарнизонные школы. В гарнизонных школах преподавателями были офицеры и унтер-офицеры; создавались они при полках и содержались на полковые средства. Преподавали в них, помимо грамоты, солдатскую экзерцицию, арифметику, артиллерию и инженерство.

Гарнизонные школы сыграли значительную роль в распространении элементарной грамотности, в том числе и арифметической, так как многие учителя второй половины XVIII века получали своё образование именно в них. Напомним читателю Цифиркина, старого солдата-учителя Митрофанушки, так красочно обрисованного Фонвизиным в «Недоросле».

Не станем перечислять другие открытые при Петре специальные школы, так как это были по преимуществу военные школы; объём знаний по математике в них давался не больший, чем в Морской академии, а влияние их на просвещение в России было неизмеримо меньшим.

§ 4. «АРИФМЕТИКА» МАГНИЦКОГО

Значение «Арифметики». Мы переходим теперь к характеристике одной из самых замечательных математических книг, созданных русскими авторами в течение XVIII века. Я имею в виду «Арифметику» Магницкого, впервые напечатанную в 1703 г. в Москве и почти сразу после выхода в свет ставшую основным математическим учебником России на долгие годы. Научные, педагогические и литературные достоинства книги привели к тому, что даже спустя многие десятки лет после её написания, после того как появились книги, более соответствующие состоянию науки, «Арифметика» Магницкого продолжала пользоваться успехом как у составителей учебников, так и у обучающихся математике. Да и теперь авторы задачников с большой охотой включают в текст задачи Магницкого.

Многие поколения образованных русских людей обучались по «Арифметике» Магницкого; трудно поэтому переоценить её роль в деле развития культуры нашей родины. Знаменитый наш соотечественник Михаил Васильевич Ломоносов высоко ценил эту книгу за её стремление пробудить у учащегося интерес к познанию окружающего мира числом и мерою; недаром он назвал её «вратами учёности». Интересно заметить, что сам Ломоносов не только изучил «Арифметику» Магницкого, но, как рассказывают его биографы, даже знал её наизусть.

Название книги—«Арифметика»—значительно уже её содержания, так как, помимо арифметических сведений, в ней давались также значительные алгебраические, геометрические, тригонометрические, метеорологические, астрономические, а также навигационные сведения. Таким образом, произведение Магницкого являлось скорее энциклопедией математических знаний, чем простым учебником арифметики.

Магницкий. Леонтий Филиппович Магницкий (1669— 1739) был одним из самых выдающихся людей России петровскою времени как по своему общему образованию, так и по своим математическим познаниям. Первоначальное образование Магницкий получил в Московской славяно-греко-латинской академии. Там он изучил латин-

ский и греческий языки, а затем уже самостоятельно голландский, немецкий и итальянский. Самостоятельно же он изучил и математику, притом в объёме, значительно большем, чем сообщалось в русских арифметических, астрономических и геометрических рукописях XVII века. Несомненно, что Магницкий в полной мере был знаком с современной ему европейской учебной литературой, а также с произведениями греческих и латинских авторов. Собственно это утверждение содержится уже в тексте и даже на титульном листе книги, на котором приведено полное её название. Мы ограничимся выпиской только начала текста титульного листа:

«Арифметика, сиречь наука числительная. С разных диалектов на славянский язык переведённая, и во едино собрана, и на две книги разделена...». Указание на то, что произведение Магницкого является переводом на славянский с разных языков, было поводом для ряда недоразумений. Исследование Д. Д. Галанина убедительно показало, что под переводом Магницкий понимал любое компилятивное сочинение, повидимому, желая этим подчеркнуть то обстоятельство, что русский народ ещё не принял творческого участия в развитии математики. В остальном, однако, «Арифметика» является вполне самостоятельным произведением: расположение материала, пояснительные тексты, общефилософские рассуждения, примеры, методические приёмы—всё это является плодом серьёзной работы мысли самого автора.

Стиль книги. Для нашего времени несколько необычен внешний стиль этого учебника: наряду с систематическим изложением курса математики, в нём значительное внимание уделяется общим рассуждениям, изложенным в стихотворной форме; необычны для нас также символические картинки, помещённые в тексте. Так, на обороте титульного листа изображён букет из неведомых цветов, окружённый виньеткой со словами: «Тако цветёт человек, яко цвет сельный». Под виньеткой же помещено стихотворение, дающее возможность судить об отношении автора к арифметике как к науке, помогающей человеку во всей его практической деятельности, позволяющей проникнуть в подлинную сущность вещей и потому дающей возможность избирать правильный образ действий.

Титульный лист «Арифметики» Магницкого.

Репродукция стр. «Арифметики» Магницкого.

Приведём это стихотворение почти целиком.

«... Арифметике любезно учися, в ней разных правил и штук придержися.

Ибо в гражданстве к делам есть потребно, лечити твой ум аще числит вредно.

Та пути в небе, решит и на море, ещё на войне полезна и в поли.

Общее всем людям образ даёт знати, дабы исправно в размерах ступати».

Я не буду останавливаться на последующих стихотворениях, в которых изложено в кратких чертах содержание книги, описан герб*) книги, изложены деяния Петра и пр. Для нас важнее отметить суждение автора о том, что и «от твари творец познавает и удивляем паче бывает», являющееся ответом отцам церкви, запрещавшим изучение наук, в частности, математики.

Определение арифметики. Собственно изложение предмета Магницкий начинает только на 37-й странице с вопроса «что есть арифметика» и довольно курьёзного, на наш взгляд, ответа: «Арифметика или числительница есть художество честное, независтное, и всем удобопонятное, многополезнейшее и многохвальнейшее, от древнейших же и новейших, в разные времена живших изряднейших арифметиков изобретённое и изложенное».

Такое определение арифметики впервые появляется в русской литературе. Мы уже видели, что рукописи XVII века определяли эту науку как большую из семи мудростей. Магницкий определяет ее как художество, т. е. как искусство на деле справляться с задачами счёта и вычисления. В этом определении отчётливо сказываются взгляды Магницкого на науку: наука должна служить не только потребностям своего внутреннего развития, но перед ней также всегда должна стоять благородная цель познания мира и практики в самом широком смысле слова.

Наименование чисел. Далее Магницкий вводит понятие о десятичной системе счисления, о записи чисел с помощью цифровых знаков и названия для чисел. Он

*) Картина, изображающая двуглавого орла с Георгием Победоносцем, поражающим дракона; Пифагора с весами, товарами, мешком денег и цифрами, а также Архимеда с темным шаром, кораблём и др. предметами, характеризующими мощь науки.

говорит преимущественно об арабской системе нумерации, лишь вскользь разъясняя латинскую и упоминая о славянской. Значащие цифры он называет знаменованиями, оттеняя их тем самым от нуля, который в его терминологии попросту зовётся цифрою.

Эта терминология удержалась в наших учебниках до конца XVIII века. Все числа первого десятка он называет перстами, числа вида единицы с нулями (например, числа 20, 700...)—суставами и все остальные числа (например, 11, 208, 342)—сочинениями. Далее целая страница занята числами вида 10н (п—целое положительное) и их наименованиями. Таблица таких чисел доведена до 10,<4\ после чего следует стихотворение, указывающее на неограниченность числового ряда:

«Число есть бесконечно, умом нам недотечно.

И ни кто знает конца, кроме всех Бога творца...».

Интересно указать на происхождение указанной терминологии Магницкого. Индусы, впервые предложившие современную систему записи чисел с помощью десяти знаков, дали нулю название суниа, что в переводе на русский означает пустое. Арабы, заимствовавшие у индусов их арифметические познания, перевели слово суниа на свой язык; по-арабски это будет ас-сифр. Арабы, завоевавшие в средние века огромные территории в Азии, Африке и Европе, явились основным каналом, по которому полились знания с Востока на Запад. Они же познакомили европейские народы с математическими знаниями индусов. Слово ас-сифр без перевода привилось в Европе повсюду, претерпев лишь небольшое искажение. Так народилось слово «цифра». Первоначальный свой смысл оно сохранило и у нас, и заграницей примерно до конца XVI11 века, после чего приобрело значение, известнее теперь каждому школьнику, а знак 0 приобрёл привычное нам наименование, заимствованное из латинского языка,—нуль.

Подразделение чисел на персты, суставы и сочинения заимствовано у древне-римских авторов, у которых оно было обусловлено способом счёта посредством пальцев. При этом способе счёта единицы изображались пальцами (перстами), а десятки—суставами пальцев.

Содержание книги. Интересно теперь посмотреть на общий план построения учебника. Он разделён на две

книги. Первая из них посвящена изложению собственно арифметики, а также прогрессиям и корням (квадратным и кубичным).

Помимо этого, между частью первой, посвященной целым числам и действиям над ними, и частью второй, посвященной дробям (числам ломаным), Магницкий помещает большую главу, посвященную описанию древних весов и монет, сравнению их с существующими, а также денег, весов и мер «Московского государства и окрестных некиих». Далее идут—третья часть, в которой излагается тройное правило; добавление под названием «О различных к гражданству потребных действованиях через прешедшие части», часть четвёртая «О правилах фальшивых и гадательных» и часть пятая «О прогрессии и радиксе квадратных и кубических».

Книга вторая подразделяется на следующие три части: (ч. I) «Арифметика алгебраика»; (ч.II) «О геометрических через арифметику действуемых»; (ч. III) «Обще о земном размерении и яже к мореплаванию принадлежа», и дополнение «О толковании проблемат навигацких различных через вышеиоложенныя таблицы локсодромические».

Терминология книги. Поскольку во времена Магницкого математическая русская терминология ещё не была разработана, все действия носят два названия—латинское и русское: нумерацио или счисление, аддицио или сложение, субстракцио или вычитание, мультипликацио или умножение, дивизио или деление. Заметим, кстати, что нумерацию Магницкий выделяет в особое действие. Многие из названий и обозначений, употреблявшихся в «Арифметике», не привились и не дошли до нашего времени. Так, корень у Магницкого обозначался буквой R и назывался бок или радикс; третья степень обозначалась буквой С и называлась кубус или кубик.

Форма изложения. В книге строго и последовательно проводилась одна форма изложения: каждое новое правило начиналось с простого примера, затем давалась его общая формулировка и, наконец, оно закреплялось большим количеством задач, по преимуществу практического содержания. К каждому действию присоединялось правило проверки—«поверение». Так, в отношении сложения автор поясняет, что «поверение ничто иное есть, током сви-

детельство сложения, аще истинно сложил без погрешения или в чём погрешил: а поверяется сице: из всех верхних перечней порядком вычитай по 9. Оставшсе же напиши особо. А потом вычти из исподнего перечня по 9 же: и что останется, того смотри, аще толикое же число осталось, елико и в верхних перечнях оставшее, и ссобно написанное. И по тому знай, ако право, и без погрешения сложен перечень. Аще же не будет согласен остаток с первым остатком, убо не добре сложил еси».

Проверка числом 9, рекомендуемая Магницким, была весьма распространена до XVIII века также в школах Западной Европы. Своё начало она ведёт ещё от математиков древней Индии. Состоит этот способ в том, что отдельные слагаемые делят на 9, складывают получившиеся при этом остатки. Если сумма остатков (или остаток от деления её на 9) совпадает с остатком от деления суммы слагаемых на 9, то действие считается произведённым правильно. Впрочем, такой способ проверки не обладает универсальностью, так как уловить ошибку нельзя, если произошла ошибка в целом числе девяток или пропущены (добавлены) нули в записи числа, или же, наконец, если перепутаны местами разряды. Магницкий об этом не упоминает.

Для того чтобы ясно представить себе характер изложения, я приведу небольшой отрывок из текста «Арифметики». «Ино сложение в три перечня. Егда же случится тебе сложити три перечня во един, како же 578, 402, 396 и ты постави такожде перечень под перечень прямо, число 578 против чисел 402 и прочертив под ними черту, и рцы 8,2 и 6 итого 16 :и ты десять во уме держи за один, а 6 напиши под чертою под 6: 402 гли же един, что в уме и 7 верхнего перечня, и 9 нижнего, и соберётся всего 17: о них же 7 напиши подле 6 к левой руке под 9-ю 402, а десяток

паки во уме держи за един какоже и прежде и собери паки во едино: един, что во уме, 5 верхнего перечня, четыре среднего, 3 нижнего: всего будет 13: о них же 3 напиши подле 7, к левой руке под 3, а десяток един напиши в ряд подле 3, к левой же руке :

и будет всего сложено из трёх перечней 1376».

После этого формулируется «правило общее», годное для сложения не только трёх перечней, но «сколько случится».

Прикладная тенденция. Магницкий ясно сознавал, что арифметика на Руси того времени была нужна в первую очередь как орудие практической деятельности. Это обстоятельство оказало существенное влияние на характер изложения. Все основные понятия излагаются в «Арифметике» так, что они ассоциируются у читателя с привычными житейскими образами. Так, на вопрос «что есть число ломаное» он отвечает: «Число ломаное ничто же иное есть, токмо часть вещи, числом объявленная, сиречь полтина есть половина рубля, а пишется сице ~ рубля или j, или пятая часть g- или две пятые части -g- и всякий вещи яковые либо часть, объявлена числом, то-есть ломаное число».

Эта тенденция продолжается в примерах; именно, почти каждая задача облекается им в практическую или просто интересную форму. Так, например, извлечение квадратного корня он иллюстрирует задачами вроде следующей:

«Некий генерал хочет с 5000 человек баталлию учинить и чтобы та была в лице вдвое нежели в стороне и ведательно есть колико оная баталлия имети будет в лице и в стороне человек».

А вот решение этой задачи: «Раздели на 2 все 5000, будет 2509, из него же извлеки квадратный радикс, будет 50 человек в стране и сие умнож через 2, придёт 100».

«Некогда в Констаитинеграде 20 человек мылись в бане. В них же были христиане, турки же и евреи, а заставлено имать за баню с турка по полденьги, а с христианина по деньге, с еврея же по 3 деньги. Но всех бывших в бане есть 20 человек. Дали банщику от всех 20 денег. И ведательно есть знать колико было христиан, турок и евреев».

«Некий купец, купил колокол, весом 2546 пудов. А за всякий пуд дати, по 550 копеек, и восхотев ведати, колико цена за весь колокол будет».

«Купил 112 баранов старых и молодых, дал 49 рублёв 20 алтын, за старого платил по 15 алтын и по 2 деньги, а за молодого по 10 алтын, и ведательно есть колико старых и молодых баранов купил он.

Придёт: старых 100, а молодых 12, а изобрети сице:

копеек за старого за молодого

Вся цена

бери через 16 : 100 тол и ко старых».

В последней задаче я привёл полностью также и решение, данное Магницким.

Магницкий идёт значительно дальше в удовлетворении запросов основного потребителя арифметических познаний—купечества и помещает целый большой раздел, самые заголовки глав которого не могут возбудить сомнения в их назначении.

«Тройная торговая в товарных овощах и с вывескою».

«Статья меновая в торгу».

«Торговая складная со времены».

«Описание древних монет и весов еврейских, греческих, римских и сравнение их с нынешними итальянскими, испанскими, французскими и голландскими и иных земель от многих авторов собрано и предложено здесь ради пользы читателю».

Подчеркнув то обстоятельство, что Магницкий, учитывая потребности своего времени, значительную часть

Репродукция стр. «Арифметики» Магницкого.

своей книги посвятил разъяснению приёмов использования теоретического материала в вопросах деятельности., «потребной гражданству», я не хочу утверждать, что «Арифметика» является курсом прикладных знаний. Отнюдь нет. «Арифметика» в первую очередь является общеобразовательным курсом и не носит характера рецептурного справочника. Только изложение автор проводил так, чтобы читатель в любой момент чувствовал, что сообщаемые ему теоретические знания необходимы в его настоящей или будущей деятельности. Многие сведения, сообщаемые Магницким, вообще впервые появляются в русской литературе: десятичные дроби, прогрессии, квадратные уравнения и пр.

Параграфы, отнесённые Магницким к дополнению практического содержания, содержат только рассмотрение примеров.

Прогрессии. Некоторое недоумение у современного читателя может вызвать включение учения о прогрессиях, а также учения о квадратных и кубических корнях в раздел арифметики, а не алгебры. Это недоумение разрешает сам автор, сказав в предисловии к разделу «прогрессии», что его содержание имеет «и во гражданстве потребными же приклады». А так как алгебра трудна и доступна только особо «тщаливейшим», а не «общенародному человеку», то Магницкий и поместил этот раздел в арифметику.

Никаких общих формул в этом разделе не даётся, изложение идёт путём рассмотрения ряда числовых примеров. Вот для иллюстрации два примера Магницкого: первый— на арифметическую, второй—на геометрическую прогрессию.

«В некоей единой мельнице была трои жерновы, и едины жерновы в нощеденствие могут смолоти 60 четвертей, а другие в толикое же время могут смолоти 54 четверти, третьи же в толикое же время могут смолоти 48 четвертей, и некий человек даде жита 81 четверть желая в скорости оно смолоти и насыпа на все три жерновы, и ведательно есть в колико часов оно жито может смолотися и колико на всякие жерновы достоит мельнику насыпати?».

«Некий человек продае коня за 156 рублёв, раскаявся же купец нача отдавати продавцу глаголя: яко несть мне лепо взяти сицевого коня недостойного таковые высокие

цены. Продавец же предложи ину куплю глаголя: аще те мнится велика цена сему коню быти, убо купи только гвоздие их же сей конь имать в подковах своих ног, коня же возьми за тою куплею в дар себе. А гвозди во всякой подкове по шести и за един гвоздь даждь ми полушку, за другой же две полушки, а за третий копейку, и тако все гвозди купи. Купец же видя столь малую цену и коня хотя в дар себе взяти, обещая тако цену ему платити, чая не больше 10 рублей за гвоздие дати. И ведательно есть: колико купец проторговался?».

Магницкий не дал полного решения этой задачи, а привёл только окончательный результат—41787033/4 копейки.

В изложении геометрической прогрессии у Магницкого обстоит далеко не всё гладко; повидимому, здесь не всё было ясно ему самому. Так, по аналогии с арифметической прогрессией он считает, что для определения знаменателя прогрессии по её крайним членам ах и ап следует отношение последнего члена к первому поделить на число членов без одного, т. е. он считает верным равенство

Это обстоятельство указывает на то, что Магницкий, повидимому, в период писания «Арифметики» ещё не был знаком с учением о логарифмах. Однако в год выхода «Арифметики» из печати он уже принимает участие вместе с англичанами в составлении таблиц логарифмов, которые были напечатаны в том же 1703 г.

Алгебраическая часть книги. Начиная изложение алгебры, Магницкий говорит: «знаменоваиие алгебраики ничто же иное есть токмо литеры гласные полагаемые за количество непознанное чисел, или о нём же взыскание есть також де и согласные полагаемые за количество данных чисел или познанных».

Характер изложения алгебры совершенно такой же, как и арифметики; Магницкий часто для иллюстрации тех или иных положений обращается к первой части своей книги—арифметике и проводит аналогии.

Интересно отметить причины, которыми руководствовался Магницкий при присоединении к собственно ариф-

метическому материалу первой книги алгебраических, геометрических и прочих сведений второй книги. Повидимому, этими добавлениями он хотел приспособить свой курс к требованиям навигацкой школы. Сам автор, однако, в предисловии указывает на две другие цели, которые он имел ввиду. Первая из этих целей—та, что через алгебру «арифметика чин свой, и во всём потребный нам, конец и совершение примет». Вторая—та, что сведения, сообщаемые во второй части, необходимы для очень многих специальностей и в особенности для мореплавания.

Я не буду останавливаться на содержании второй книги «Арифметики»; скажу только, что в ней Магницкий приводит правила решения уравнений квадратных, биквадратных, начала плоской и сферической тригонометрии, сведения о вычислении площадей фигур и объёмов тел. Квадратные уравнения решаются только в трёх частных случаях, а именно:

ах2 + Ьх = с, ах2 = Ьх + с, ах2 + с=-Ьх,

где величины а, Ъ и с—положительные числа.

Послесловие. Современный читатель, несомненно, найдёт не мало недостатков в изложении Магницкого, в первую очередь—догматизм. Нам покажется странным, например, то, что он различает два уравнения ах2 + Ьх=с и с=ах2 + Ьх и решение их рассматривает отдельно. Не будем, однако, так строго относиться к произведениям того времени. По сравнению с книгами XVII века «Арифметика» Магницкого представляла несомненный прогресс.

В течение XVIII века русская математическая учебная литература непрерывно пополнялась как оригинальными, так и переводными произведениями. Элементарно-математические сведения становились достоянием всё более и более широких кругов населения. Нередко, правда, школьное обучение давало только формальное удостоверение в получении таких познаний, а на деле не прививало их учащимся. Характерны в этом отношении воспоминания знаменитого поэта XVIII века Г. Р. Державина о том, что в гимназии они обучались геометрии «без правил и доказательств», а потому, когда они столкнулись с необходимостью снять план города Чебоксары, то «стали в пень». Однако гораздо важнее, чем эти отдельные недостатки в

преподавании, то, что потребность в математических познаниях стала ощущаться всё сильнее и сильнее. Реорганизация армии, организация флота, создание промышленности и другие мероприятия требовали людей, владеющих широкими знаниями, в том числе и математическими. В воспитании этих людей, как мы уже говорили, «Арифметика» Магницкого сыграла выдающуюся роль. Мы не должны также забывать и то, что в России впервые познакомились с целым рядом разделов математической науки, с элементами её теории именно по книге Магницкого. Эти причины и побудили нас отвести столь значительное место его произведению.

Мы не будем останавливаться на характеристике позднейших учебников как оригинальных, так и переведённых, так как в эпоху Петра Россия вплотную подошла к следующему более высокому этапу развития математической культуры—научному творчеству. Этот этап тесно связан с организацией научного центра страны—Академии наук. К краткому изложению обстоятельств её создания мы теперь и переходим.

ГЛАВА ВТОРАЯ

НАУЧНАЯ РАБОТА В РОССИИ В XVIII И XIX ВЕКАХ

§ 5. ОСНОВАНИЕ АКАДЕМИИ НАУК

Потребность России в науке. Далеко задуманное Петром I дело реорганизации всей жизни страны не могло, конечно, ограничиться реформами только в военной и хозяйственной областях, так как одно начинание влекло за собой ряд других.

Мы видели, что уже в первые годы царствования Пётр I ощутил огромную потребность в большом числе образованных людей, которые были бы способны осуществлять его планы, руководить вновь образуемыми учреждениями, служить в новой армии, во флоте, работать в промышленности и пр. Эта потребность вызвала к жизни цифирные, а также специальные технические и военные школы. Но Пётр видел дальше и понимал, что для закрепления результатов его трудов, для позднейшего развития его начинаний России нужна наука, нужны учёные. Он видел, что без собственной развитой науки Россия рано или поздно станет придатком других, более образованных, более культурных стран. Он ясно видел, как велико прямое и косвенное значение науки в деле развития производительных сил страны, повышения её военной мощи, развития судостроения и пр. Это сознание, а также целый ряд сопутствующих обстоятельств привели к созданию в России Академии наук. Ближайшая наша задача состоит в изложении некоторых эпизодов, предшествовавших возникновению учреждения, которому

суждено было стать центром научной и культурной деятельности России.

Эпизод с вечным двигателем. В 20-х гг. XVIII века в немецких газетах появилось сообщение, что некоему Орфиреусу удалось построить вечный двигатель. Это сообщение возбуждающе подействовало на Петра I—ему захотелось поскорее завести «вечный двигатель» у себя. С этой целью Пётр поручил доверенным людям осмотреть изобретение и, в случае хорошего действия, купить. Переговоры велись несколько лет, но Орфиреус стойко стоял на своём—не соглашался произвести испытания в присутствии учёных и говорил примерно так: «Заплатите 100 тысяч ефимков*), тогда получайте машину и делайте, что хотите». Пётр I начал переписку с германским философом и математиком Вольфом относительно правильности сообщения Орфиреуса. На это Вольф ответил уклончиво, выразив только предположение, что если бы это открытие перешло в руки разумных математиков, то его можно было бы усовершенствовать. Царь пригласил Вольфа приехать в Россию на любых условиях, лишь бы он взялся за усовершенствование изобретения Орфиреуса. Но тот в ответных письмах писал, что для такой страны, как Россия, гораздо полезнее не развивать науки, а распространять их. Для этого же не нужно знаменитых учёных, а следует пригласить профессорами начинающих молодых людей.

Избрание Петра I в Парижскую академию. Примерно в то же время Пётр был избран членом Парижской академии наук. «Изобретение» Орфиреуса и это избрание заставили его вспомнить предложение Лейбница (1712— 1716 гг.) о создании Академии наук в России. В ответ на своё избрание он писал в Парижскую академию: «Мы ничего больше не желаем, как чтоб через прилежность, которую мы будем прилагать, науки в лучший цвет привесть, себя яко достойного вашей компании члена показать».

Пётр воспользовался и советами Вольфа и сохранил мысль об учреждении Академии «для славы среди иностранцев».

*) Ефимок —русское название немецкого талера. В XVII и начале XVIII века талер имел хождение в России наравне с русскими деньгами по цене 42 копейки.

Организация Академии наук. 24 января 1724 г. последовал Указ об организации Академии наук, а при ней университета и гимназии. Объединение ряда функций в одном учреждении мотивировалось в Указе тем, что «таким бы образом одно здание с малыми убытками, тое же бы с великою пользою чинило, что в других государствах три разные собрания чинят».

При ближайшем участии Вольфа были приглашены на пять лет профессора. Подбор профессоров по отделу математических наук оказался поразительно удачным. Приехали: Герман, ученик Якова Бернулли, с 1707 г. профессор университета в Падуе, а затем во Франкфурте на Одере; два сына знаменитого Иоганна Бернулли—Николай и Даниил Бернулли, и Христиан Гольдбах. В 1727 г. к ним присоединился один из самых замечательных математиков всех времён—Леонард Эйлер.

Приехавшие в Петербург профессора по уставу должны были читать лекции,—но кому? Слушателей в университете не было. Пришлось выписать из Западной Европы не только профессоров, но и студентов. Было приглашено и приехало 8 слушателей, но профессоров было, как никак, вдвое больше (17). Волей неволей пришлось профессорам ходить друг к другу на лекции. Устав, таким образом, был выполнен.

Насколько в то время для России наука была чужеродным телом, говорит хотя бы тот факт, что не было ещё в русском языке привычного нам слова «студент». Академия наук называлась «Сиянс-Академи», студенты академии— «елевами».

Академические гимназия и университет. Для гимназии учащиеся нашлись в самой России, так что выписывать из-за границы и гимназистов не пришлось. Но всё же правительство было вынуждено прибегнуть к методу вербовки детей солдат, крепостных, мастеровых. Впоследствии, однако, оказалось, что из гимназии выходит слишком мало лиц, подготовленных к университету. Были учреждены стипендии, а стипендиаты вытребованы из славяно-греко-латинской Академии (в их число попал и Ломоносов). Для пополнения довольно редких рядов академических студентов приходилось и впоследствии прибегать к принудительным наборам. Академический

университет был закрыт в 1783 г. президентом СиянсАкадеми княгиней Дашковой. Во всём университете тогда на трёх факультетах—философском, юридическом и медицинском—было только гва студента.

Первый русский научный журнал. Тотчас же после приезда в Россию первых русских академиков начал издаваться журнал «Комментарии Санкт-Петербургской Академии»—первый научный журнал, издававшийся в Рсссии. Блестящий состав академиков обеспечил успех новому журналу. В первом томе был напечатан ряд статей, посвященных интегрированию дифференциальных уравнений, впервые в истории математики рассматривавшихся независимо от геометрических или механических задач. В третьем томе появился знаменитый мемуар Иоганна Бернулли о колебании струны, в котором впервые решение давалось тригонометрическим рядом. Со второго тома начал печататься Эйлер, и позднее, кажется, не выходило ни одного тома «Комментариев» без его статей.

Я не буду входить в рассмотрение того, что было сделано каждым из первых русских академиков, так как, во-первых, их исследования нисколько не характеризуют состояние математики в России того времени, а во-вторых, влияние их на направление исследований европейских, в том числе и русских, математиков не может итти ни в какое сравнение с тем влиянием, какое оказал Эйлер. Позднее потербургские математики считали, что они являются продолжателями традиций Эйлера, и гордились этим.

§ 6. ЭЙЛЕР

Научное наследство. «Читайте, читайте Эйлера—это учитель нас всех»,—так говорил Лаплас. В этих словах знаменитого французского математика, механика и астронома сказывается то уважение, которое оказывалось Эйлеру ближайшими к нему по времени математиками; в этих словах ясно звучит высокая оценка научного и педагогического мастерства его произведений. И действительно, при изложении Эйлер много раз возвращался к одному и тому же вопросу, постепенно отделывая его решение и тем

Репродукция титульного листа «Комментариев Санкт-Петербургской Академии наук».

самым вводя читателя в лабораторию математического творчества.

Значение Эйлера для развития математики, механики и многих других наук так велико, и его работы, прокладывающие новые творческие пути, так многочисленны, что немыслимо даже кратко их охарактеризовать в таком небольшом очерке, как этот.

Хотя бы поверхностное представление о колоссальном наследстве, оставленном Эйлером, даёт количество его литературной продукции. В настоящее время известно 865 его сочинений, из них отдельных многостраничных сочинений—43 тома.

Швейцарским обществом естествоиспытателей по международной подписке до войны 1914—1918 гг. было начато издание полного собрания сочинений Эйлера. По первоначальным предположениям это издание должно было содержать 40 томов. Но после того, как было издано 23 тома, оказалось, что потребуется по меньшей мере ещё 46. Печатанье мемуаров Эйлера, неопубликованных при его жизни, продолжалось до 1862 г. Это в четыре раза перекрывает его собственные предположения оставить академии материалы для печатания на 20 лет после его смерти.

Естественно, что мне придётся здесь ограничиться лишь упоминанием о некоторых областях, в которых Эйлер работал и, следовательно, получил результаты фундаментального значения. Изложение я начну с биографического очерка, так как это нам даст возможность понять, хотя бы в малой степени, колоссальную разносторонность Эйлера и странно уживающееся в нём стремление познать явления внешнего мира с сугубо религиозно-идеалистическим миросозерцанием.

Биографический очерк. Эйлер родился в 1707 г. в семье пастора в Швейцарском городе Базеле. Его отец, ученик знаменитого Якова Бернулли, знавший и ценивший математику, начал приготовлять мальчика к духовному званию и вместе с тем обучать математике.

В базельской гимназии, в которой Л. Эйлер получал среднее образование, у него оставалось много времени, так как он облагал изумительной памятью. Он начал посещать в университете лекции известного математика Иоганна Бернулли, Последний вскоре заметил талант вольнослу-

шателя и стал с ним заниматься отдельно. Под его руководством и с его помощью Эйлер одолел в подлинниках труды самых знаменитых в то время математиков.

В 16 лет Эйлер сдал испытания на степень магистра искусств, произнеся речь, в которой он сравнивал философии Ньютона и Декарта, после чего по настоянию отца занялся богословием. Однако эти занятия его не удовлетворяли, и он перешёл исключительно к изучению математики под руководством И. Бернулли. Дружба с сыновьями учителя—Николаем и Даниилом—надолго определила жизнь молодого математика.

В 1725 г. оба брата Бернулли были приглашены и уехали в только что учрежденную Академию в С.-Петербурге. Эйлер же деятельно начал заниматься медициной и в то же время не оставлял занятий математикой. Он выступил кандидатом на свободную кафедру физики в Базельском университете и одновременно послал в Парижскую академию сочинение о расположении мачт на корабле. Это сочинение было напечатано и получило почётный отзыв. Профессором в Базеле Эйлер не стал,—результаты жеребьёвки оказались для него неблагоприятными.

Приезд в Россию. «Безработный» Эйлер был спешно приглашён братьями Бернулли в Петербург на кафедру физиологии и приехал туда в 1727 г. в день смерти Екатерины I. Казалось бы, это последнее обстоятельство не должно было иметь значения, однако, после смерти Екатерины I Академия, лишившись её покровительства, пришла в упадок. Денежные средства перестали своевременно отпускаться, руководителями её были назначены лица, не имевшие даже малейшего представления о научной работе. Академиками стали назначаться лица, способные писать немецкие вирши на иллюминации и фейерверки, а также сочинять аллегории и надписи. «Покровительство» временщика Бирона сказалось только в том, что Академия получила двух новых членов—его секретаря и учителя его детей.

Эйлер подумывал о переходе на службу во флот, куда его пригласил адмирал Сивере. Другие академики совсем не выдержали нового режима и уехали на родину. Это последнее обстоятельство спасло Эйлера для математики. В 1729 г. освободившееся место профессора физики за-

нял Эйлер, а с 1730 г. он занял кафедру математики. С тех пор каждый том «Комментариев Академии» заполняется произведениями Эйлера. В некоторых томах бывало по десятку его статей.

С 1735 г. ему было поручено совмещать основную работу с работой над географическими картами. Сколь нужна и ценна эта работа, говорит хотя бы отрывок из письма Эйлера секретарю Академии Шумахеру (29/111 1746 г.):

«Я уверен, что география российская через мои и г. профессора Гейнзиуса труды приведена в гораздо исправнейшее состояние, нежели география немецкой земли».

В 1740 г. Эйлер подал прошение с просьбой освободить его от ряда работ, так как перегрузка скверно влияет на его здоровье и из-за неё он уже ослеп на один глаз. Лишился глаза он в 1736 г. Рассказывают, что это случилось при следующих обстоятельствах. Эйлер закончил какие-то срочные расчёты, необходимые правительству, в три дня, тогда как другие академики требовали на эту работу несколько месяцев. Перенапряжение сказалось. Глаз был потерян.

Переезд в Берлин. В 1741 г. Эйлер уехал из Петербурга в Берлинскую академию. Причину своего отъезда из России он объяснял тем, что «после кончины достославной императрицы Анны, при последовавшем тогда регентстве, дела (в России—Б. Г.) стали почти плохо».

И, действительно, в эту эпоху и к науке и к её представителям относились с величайшей подозрительностью. Так, на Мюллера за его рукописную тетрадь по русской истории, в которой говорилось о татарском иге, был донос в оскорблении императорского величества. В научной же работе чинились всякие препятствия.

За 13 лет, проведённых Эйлером в России, в академических изданиях было напечатано около 70 его работ. Вообще же в академических изданиях находится 473 мемуара Эйлера.

Но писанием мемуаров не ограничивалась его работа. В то же время Эйлеру поручалось написать рассуждение о чувствительности весов для взвешивания монет, от него требовалось мнение о том, как поднять большой колокол на одну из московских церквей, дать заключение о качестве пожарного насоса; он назначался в комиссию

для проверки «машинных дел подмастерья» в знании «машинного дела», и т. д. Эйлер, кажется, только однажды отказался от порученной ему «работы»: от предложения составить гороскоп для царевича Ивана Антоновича.

Уехав в Берлин, Эйлер не порвал связи с Петербургом и продолжал печатать часть своих мемуаров в записках Академии (за берлинский период жизни он опубликовал в Берлине 119 мемуаров, а в «Комментариях С. П. Б. Академии»—109 мемуаров). Кроме того, он прислал в Россию двухтомную «Морскую науку» и «Дифференциальное исчисление». В Пруссии же, помимо работы по прикладной и теоретической математике, он использовался Фридрихом II и для чисто инженерных поручений. Так, например, ему поручалось осмотреть канал между Гавелем и Одером и указать недостатки и необходимые исправления; ему было поручено исправление водоснабжения в Сан-Суси и т. д.

В 1747 г. Эйлер написал трактат в защиту христианства от атеистов. Богословская выучка была слишком крепка в Эйлере, её не могли сломить ни общественные сдвиги, происходившие в Европе, ни английские и французские материалисты и просветители, ни его собственные научные занятия.

Возвращение в Петербург. В 1766 г. Эйлер снова вернулся в Россию и жил в ней безвыездно до смерти. Вскоре после приезда в Петербург он потерял и второй глаз. Однако, это не лишило его энергии и трудоспособности. Он продолжал работать, диктуя статьи и фолианты сыну и ученикам. 17 сентября 1783 г. во время отдыха от занятий он, как прекрасно выразился его современник Кондорсе, «прекратил вычислять и жить».

Несколько слов об эпохе. Для того, чтобы понять причины появления основных работ Эйлера, нам необходимо познакомиться с состоянием производительных сил в его время, с проблемами, которые ставила житейская практика науке.

Развитие мануфактур в эпоху Возрождения вызвало значительное расширение торговли, специализацию городов в выработке товаров. Это, в свою очередь, повлекло за собой развитие путей и средств сообщения.

Работы, вызванные развитием транспорта. Самым экономическим, а порой и единственно возможным видом транспорта являлся водный транспорт, как речной, так и морской. Включение стран Нового света в деловую жизнь Европы предъявило к мореплаванию много серьёзных требований. В первую очередь это было требование разработки надёжного метода для ориентировки в открытом море, т. е. для определения широты и долготы положения судна. Эта проблема являлась насущнейшей проблемой практики в течение нескольких веков. Возникли и требовали разрешения проблемы устойчивости судов, их быстроходности и пр. Учёный такого масштаба, как Эйлер, не мог пройти мимо этих задач. Отсюда его работы по гидродинамике, оптике, астрономии, отсюда его «Морская наука» и прочие работы, имеющие непосредственное практическое значение.

Правительства, торговые компании, позднее Академии объявляли конкурсы на решение задач, которого с таким нетерпением ждало судоходство.

Развитие торговых сношений вызвало необходимость в создании и развитии гидростатики, гидродинамики, небесной механики, так как они были необходимы для решения великого множества технических задач, связанных с мореплаванием. Сюда относится, прежде всего, проблема улучшения плавательных свойств судна—увеличение устойчивости, скорости и способности к лавированию, грузоподъёмности и пр. Сюда относятся проблемы, относящиеся к улучшению способов ориентировки на море, проблемы изучения приливов и отливов в зависимости от местоположения Луны. Две последние крупные проблемы требовали знания аномалий в движении Луны и наблюдений за небесными светилами. Последние, в свою очередь, требовали оптических инструментов, что вызывало усиленное развитие оптики.

Все эти проблемы не потеряли своей остроты и во времена Эйлера, и он, как сын своего времени, энергично взялся за их разработку. Его «Теория движения Луны» была доведена до практического применения. На основании этой теории были составлены лунные таблицы. В 1765 г. английский парламент за эту работу присудил Эйлеру премию в 300 фунтов стерлингов из сумм, выделенных

еще в 1715 г. на премирование изобретений по определению географических долгот на море.

Работы в области артиллерии. Не меньшие требования предъявляла к науке промышленность, в частности военная. Развитие артиллерии приводило к тому, что старые рецепты в теории стрельбы уже не позволяли извлечь из неё того, на что она была способна. Проблемы баллистики не переставали интересовать исследователей. Отсюда возникли задачи изучения траектории брошенного тела в пустоте и в сопротивляющейся среде; отсюда исследования Иоганна Бернулли о траекториях бросаемых тел при различных условиях сопротивления среды. Однако исследования Бернулли не получили практического применения, так как его результаты были слишком сложны, а в некоторых случаях аналитический аппарат не позволял довести решение до конца. Задача определения истинного закона сопротивления среды не сходила с повестки дня, тем более что уже в 1716 г. опытным путём было установлено, что теория полёта снаряда, основанная на пренебрежении сопротивлением воздуха, совершенно неудовлетворительна. Робинс с помощью рационально поставленных опытов получил ряд ценных результатов в этой области и опубликовал их в сочинении по теории полёта снаряда. Эйлер, не оставлявший без внимания почти ни одной основной математической проблемы, выдвигаемой практическими потребностями, конечно, не мог пройти мимо задач баллистики.

В 1745 г. Эйлер предпринял перевод трактата Робинса по артиллерии. Фактически это был не перевод и даже не простое писание новой книги, а создание науки. В этой переделке трактата Робинса Эйлер исследовал траекторию снаряда в пустоте и сопротивляющейся среде, дал формулу зависимости сопротивления воздуха от скорости полёта снаряда и т. д. В результате перевода книга Робинса сделалась настолько ценной, что тотчас же по выходе из печати она была включена в число учебных руководств артиллерийской школы в Париже.

Работы в области оптики. Я уже упоминал, что развитие мореплавания предъявило значительные требования к оптике в отношении построения оптических инструментов. Это в свою очередь не могло не вызвать повышения интересов исследователей к общим проблемам оптики. Именно

в эту эпоху появились различные теории света: Гюйгенса,. Ньютона. Эйлер не остался и в этой области безучастным зрителем. Он и здесь после себя оставил колоссальное наследство—свыше 60 работ по оптике. Прежде всего он занялся идеей изготовления ахроматических стёкол, отсутствие которых привело к тому, что рефракторы были вытеснены громоздкими зеркальными рефлекторами. Он нашёл путь к изготовлению ахроматических стёкол; его идея была осуществлена Доллондом. Затем ему удалось уменьшить размеры инструментов без изменения их оптических качеств. Все это непосредственно касалось практики и было необходимо практике. Естественно, что Эйлер не мог обойти молчанием и знаменитый спор о природе света. Здесь он— ярый противник ньютоновской теории истечения и сторонник воззрения на свет как на колебания упругого эфира.

Работы по математическому анализу. Великое разнообразие больших проблем, которые возникли и встали перед наукой XVII—XVIII веков, требовало существенно иных математических приёмов по сравнению с приёмами, разработанными древними греками. Основное, что и явилось отличительной чертой математики того времени, было в том, чтобы научиться изучать переменные величины и зависимости между переменными величинами. Понятия функции, производной и интеграла после работ, главным образом, Ньютона и Лейбница сделались основным аппаратом изучения технических и природных явлений. Оказалось, что законы движения тел могут быть записаны в виде дифференциальных уравнений, т. е. соотношений, связывающих искомые функции и их производные. Механика, физика и другие науки предъявляли огромные требования к математике в отношении разыскания приёмов интегрирования дифференциальных уравнений, т. е. определения функций, удовлетворяющих этим уравнениям. Эйлер, как сын своего века, не мог стоять в стороне от этой основной задачи математики и сделал очень многое для развития теории дифференциальных уравнений. Приёмы и методы решения уравнений, предложенные Эйлером, до сих пор излагаются во всех учебниках математического анализа.

Я укажу ещё только на одно достижение в области анализа, именно—на фактическое создание им так назы-

ваемого вариационного исчисления. Постараюсь в нескольких словах охарактеризовать те задачи, которые стоят и решаются в этой науке. Предположим, что некоторая величина изменяется в зависимости от выбора функции, или, как часто говорят иначе, является функцией от линии. Так, например, время, затраченное на передвижение между двумя точками, является функцией от выбора пути, или же площадь, заключённая внутри замкнутой плоской линии данной длины, зависит от выбора этой линии. Мы не увеличиваем числа иллюстрирующих примеров, так как читатель сам без труда может придумать их. Вопрос, который заинтересовал математиков, состоял в том, чтобы определить, при каком выборе функции (линии) величины такого рода достигают своего наибольшего или наименьшего значения. Так, скажем, во втором приведённом нами примере спрашивается: какая линия данной длины ограничивает наибольшую площадь?*). Первая задача указанного рода была поставлена швейцарским математиком Иоганном Бернулли и решена одновременно тремя математиками того времени: Ньютоном, Яковом Бернулли и Лопиталем. Это—так называемая задача о брахистохроне; вот как она ставится: среди всех кривых, соединяющих две данные точки А и Б, найти ту, по которой тяжёлая точка, двигаясь из точки А под действием силы тяжести с начальной скоростью, равной нулю, попадает в В в кратчайший срок. Решение даётся особой кривой-циклоидой, являющейся следом какой-либо точки окружности круга, катящегося по прямой линии.

Эйлер уловил всю важность и интерес такого рода задач и, создав общий метод их решения, собственно, создал новую науку—вариационное исчисление.

Мы не будем останавливаться на других весьма важных исследованиях Эйлера в области математического анализа, а перейдём к другой области математики, в которой он много работал и добился серьёзных успехов,—к теории чисел.

Работы в области теории чисел. Интерес к задачам теории чисел был пробуждён у Эйлера его общением с одним

*) В Дополнении 2 мы приводим элементарное решение этой задачи, правда, не имеющее отношения к общим методам Эйлера.

из первых русских академиков—Христианом Гольдбахом. Переписка между этими учёными, посвященная вопросам интересующей их науки, продолжалась до смерти Гольдбаха. Две задачи, сформулированные в одном из писем Гольдбаха к Эйлеру, приобрели особенную известность; о них мы будем иметь повод сказать впоследствии.

Научная продукция Эйлера по теории чисел чрезвычайно велика: известно свыше 100 его работ, посвященных различным ее задачам. Значение этих работ не исчерпывается только тем, что в них были даны решения изолированных задач; они важны и тем, что в них были разработаны методы, использование которых помогло и помогает в исследованиях другим учёным. Приступающий к изучению теории чисел на первых же порах знакомится с понятиями, введёнными Эйлером, и с доказанными им теоремами.

Мы приведём только два результата Эйлера по теории чисел. Первый интересен своей простотой и доступностью понимания и проверки для каждого, кто знаком с арифметикой, второй—своими глубокими научными последствиями.

Вопрос о расположении простых чисел среди всех натуральных (т. е. целых положительных чисел) с давних времён волновал математиков; в частности, в XVII— XVIII веках учёные пытались найти формулы, которые давали бы исключительно простые числа. Эйлер дал большое количество формул в виде многочленов, значения которых представляют целые числа при подстановке в них довольно большого числа первых целых чисел. Так, например, многочлены

2л2 + 29, х2 + х + 41, х2-79х+ IC01

дают: первый 29, второй 41 и третигй 80 простых чисел при подстановке в них вместо х в первый—чисел 0, 1,2..., 28; во второй—чисел 0,1,2,..., 40; в третий—чисел О, 1,2,..., 79.

В то же время Эйлер доказал, что ни один многочлен относительно х с целыми коэффициентами

не может для всех без исключения целых значений х принимать значения, равные простым числам.

В качестве второго результата приведём знаменитое числовое тождество, найденное Эйлером. Пусть s —какое-нибудь число, большее 1,.2, 3, 5,...—последовательность всех простых чисел; тогда бесконечное произведение

равно единице, делённой на бесконечную сумму

распространённую на все целые положительные числа.

Нестрогость доказательств. Масса свежих и важных идей, методов, фактов находится в научном наследстве Эйлера. Ещё многие годы изучение его трудов будет вызывать полезные ассоциации, наводить на интересные мысли исследователей. Нам нужно отметить ещё другое обстоятельство, свойственное произведениям Эйлера,— недостаточную строгость, с точки зрения современной математики, его рассуждений. По этому поводу нам следует, однако, сказать, что неясное и, если угодно, таинственное представление о природе бесконечно малых является уделом почти всех математиков XVIII века. Новый метод давал блестящие результаты как в самой математике, так и в своих приложениях к исследованиям явлений природы и техники; жизнь требовала новых фактов—метод их давал. Логическая природа вопроса, конечно, интересовала как математиков, так и философов, и последние обвиняли первых в их абсолютной нестрогости. Но нельзя было требовать с первых же шагов новой науки ее безупречной логической чистоты. Обоснования науки и очищение понятий от ненужного, путаного и неясного возникают не на первой стадии её развития, а после, когда она уже приобретёт достаточно большой запас фактов, когда её дальнейшее развитие начинает тормозиться неопределённостью понятий.

Приходится поражаться той интуиции, с которой схватывались верные положительные результаты в науке, несмотря на тот непрочный фундамент, на котором эта наука строилась.

Источники творчества. Практика, безусловно, толкала Эйлера на многие исследования, и ей он обязан тем, что

он начал создавать механику сплошной среды, что он получил существеннейшие результаты и в механике точки, и в механике системы точек, и в механике твёрдого тела. Требованием практики в широком смысле слова объясняется и то, что он занялся вариационными задачами и создал вариационное исчисление как науку; этим же объясняется его работа в области интегрирования дифференциальных уравнений и пр.

§ 7. ОРГАНИЗАЦИЯ УНИВЕРСИТЕТОВ

Академия наук после Эйлера. Со смертью Эйлера Академия наук в области математики надолго потеряла своё научное значение. После себя Эйлер не оставил ни одного ученика, способного заменить его хотя бы в малой степени. Восемь его учеников—Головин, Иноходцев, Крафт, Лексель, Котельников, Румовский, Н. Фусс, А. Эйлер— все ставшие впоследствии академиками, были учёными далеко не первой величины. Некоторое время они ещё продолжали научные исследования, выражавшиеся, главным образом, в доделке мелочей, оставшихся незавершёнными от их великого предшественника, но постепенно и такие работы сошли на-нет. Основная их деятельность проходила в области преподавания; и здесь их заслуги весьма велики. Написанные ими учебники долгое время пользовались успехом; по ним знакомились с наукой наши гениальные математики, да и до сих пор эти учебники не потеряли своей свежести. Одного этого достаточно для того, чтобы мы с благодарностью вспомнили имена их авторов. Мы должны также назвать имя ещё одного академика, не бывшего учеником Эйлера, но много сделавшего для улучшения математического преподавания,— Гурьева.

Значение университетов для науки. Оживление научной жизни тесно связано в России с организацией университетов. В них к середине XIX века сосредоточилась серьёзная научная работа, связанная в то же время с воспитанием молодёжи. И в настоящее время, несмотря на то, что наиболее сильные математики сконцентрированы большей частью в Академии наук Союза и в Академиях союзных республик, весьма большая доля ценной творческой

деятельности сосредоточена в университетах. Всегда нужно помнить, что преподавание, процесс передачи научных фактов, подчас совсем свежих, только что полученных лектором, влияет не только на слушателей, но и на лектора. Общение с молодёжью, со всей страстью молодости вбирающей в себя знания, с неподдельным энтузиазмом отдающей все свои силы служению науке, невольно заставляет и профессора непрерывно совершенствовать себя и свою науку.

Первые годы Московского университета. Для развития математики первые сто лет существования Московского университета, основанного в 1755 г. великим русским учёным и просветителем М.В.Ломоносовым, дали не очень много, но они были необходимым этапом развития культуры нашей страны. Без этих лет, носящих подготовительный характер, не могло быть и речи о воспитании гениальных учёных—П. Л. Чебышева, Н. Е. Жуковского и многих других.

Университет был открыт в составе трёх факультетов— юридического, медицинского и философского. При университете были созданы две гимназии: одна для дворян, другая для разночинцев, чтобы дворянские дети не соприкасались с людьми «подлого звания». Однако, несмотря на наличие двух гимназий, университет постоянно страдал от недостатка слушателей. Бывали случаи, когда на всех курсах того или иного факультета оставался всего один студент (в 1765 г.—на юридическом, в 1768 г.— на медицинском факультете). Для увеличения контингента слушателей уже в 1758 г. была открыта и придана университету гимназия в Казани.

Преподавание математики в первые годы существования университета было поставлено очень слабо. До 1760 г. не было даже кафедры математики. Почти целое полустолетие объём математических знаний, сообщаемых в университете, ограничивался арифметикой, началами алгебры и геометрией с элементами тригонометрии. Чтение этого курса вскоре же после учреждения университета было поручено воспитаннику Академии наук и преподавателю академической гимназии Барсову. Математику Барсов преподавал в Москве только пять лет, а затем перешёл на кафедру словесности. Настолько чужда ему была

математика как наука. А насколько нетребователен к своим преподавателям был в то время университет, говорит хотя бы следующий факт: в 1758 г. конференцией профессоров университета было решено начать преподавание прикладной математики. Чтение этого курса предложили взять Барсову, характеризуя его в протоколе как «человека, весьма заслуживающего рекомендации по причине его знаний, его скромности, его трезвости, его ума и тысячи других свойств». Несмотря на такую лестную характеристику, Барсов всё же от курса отказался, выразив сомнение в своих силах. Курс был поручен Росту, ранее преподававшему английский язык.

Медленно, очень медленно шла эволюция преподавания в университете. Научный уровень читаемых в нём курсов нередко был ниже, чем в технических учебных заведениях. Только в начале XIX века в нём начали преподавать дифференциальное и интегральное исчисления, а далее постепенно прибавлялось чтение других математических курсов. Серьёзная реформа в преподавании, а также некоторое оживление научной мысли в Московском университете приходятся на вторую четверть XIX века. Проводником новых идей явился профессор Н. Д. Брашман, о котором мы будем иметь повод сказать впоследствии.

Проект создания новых университетов. Начало XIX века совпало с организацией в России новых университетов, каждый из которых сделал крупные вклады в культурное строительство страны, воспитал много первоклассных учёных, а в их числе математиков большого масштаба.

Ещё при Екатерине II обсуждался план организации университетов в Пензе, Пскове и Чернигове в составе тех же трёх факультетов, из каких состоял Московский университет. Французская революция 1789 г., в подготовке которой такую роль сыграли французские просветители и которой так помогли учёные и инженеры—воспитанники учреждённых революционным правительством высших учебных заведений, повредила этим планам: царское правил тельство стало думать не о развитии наук, а о борьбе с тем «тлетворным влиянием», которое оказывает на умы образование. Однако сознание того, что высшее образова-

ние и наука явились великой военной, технической и административной силой, силой, служившей одинаково хорошо и республике и империи Наполеона, в конце концов должно было развеять прежние опасения и направить правительство на путь развития просвещения. Так оно и случилось. В начальный период царствования Александра I был проведён ряд реформ, связанных с именем Сперанского, давших серьёзный толчок росту школ, а вместе с тем и университетов.

Реформы Сперанского. Получение образования до этих реформ казалось многим ненужным ни для одного сословия. Дворяне предпочитали записывать своих детей на службу ещё в раннем возрасте. Дети, числясь на службе и живя дома, подобно пушкинскому Гринёву, с летами приобретали чины. Те же, кто учился в гимназии, а затем в университете, оказывались в невыгодном положении, отставая от сверстников в чинах.

Реформа Сперанского была направлена к тому, чтобы поощрить и даже принудить чиновников и дворян к получению образования. Лица, оканчивающие университеты, автоматически получали обер-офицерский чин. В 1803 г. было постановлено, что через пять лет никто не может поступить на государственную службу, требующую специальных знаний, без диплома казённого или частного училища. В 1809 г. вышел указ об экзаменах на чин. Сперанский в этом указе отметил, что дворянство мало заботится о школьном обучении своих детей, так как имеется «удобность достигать чинов не заслугами и отличными познаниями, но одним пребыванием и счётом лет службы». Потребность в образовании возросла. Понятно, что все эти мероприятия потребовали новых источников подготовки преподавателей. Выход был в создании университетов. К единственному Московскому университету прибавились университеты, открытые в Казани и Харькове в 1804 г., в Петербурге—в 1819 г. и в Киеве—в 1834 г. Одновременно в 1804 г. был выработан новый университетский устав, согласно которому университеты подразделялись уже не на три, а на четыре факультета; к трём ранее указанным добавился физико-математический факультет. На организацию нового факультета, несомненно, серьёзное влияние оказали победы французской революции,

убедительно показавшие, какое значение для страны имеют люди, владеющие физико-математическими знаниями.

Мы переходим теперь к краткому описанию того вклада, который был сделан воспитанниками университетов в развитие математики.

§ 8. НИКОЛАЙ ИВАНОВИЧ ЛОБАЧЕВСКИЙ

«Коперник геометрии». Русский народ, в силу целого ряда исторических причин, поздно вступил на путь математического творчества, но первый же шаг на этом пути оказался столь крупным, что без всякого преувеличения можно сказать, что в значительной степени он определил дальнейшее развитие не только математики, но даже и физики. Этот первый шаг был сделан воспитанником Казанского университета, а впоследствии его профессором и ректором Николаем Ивановичем Лобачевским. Как высоко оценивают современные учёные результаты нашего великого соотечественника, говорит хотя бы то, что, с лёгкой руки английского математика Клиффорда, за Лобачевским укоренилось наименование «Коперника геометрии».

Геометрия Эвклида. Первой математической наукой, достигшей высокой степени совершенства, была геометрия. Начатки геометрических знаний, перешедшие примерно за шесть веков до н.э. из Египта и стран Ближнего Востока в Грецию, получили в пей мощное развитие, завершив-

H, И. Лобачевский.

шееся созданием замечательно стройной логической системы изложения в одном из величайших произведений человечества—«Началах» Эвклида, написанных им за три столетия до нашего летоисчисления. В этой геометрической системе каждая последующая истина была логическим следствием предыдущих; эти последние, в свою очередь, были следствиями ещё более ранних и т. д. В результате всё здание геометрии было построено, как на фундаменте, на небольшом числе первоначальных утверждений, принимавшихся за истинные без доказательств. Эти утверждения, так называемые аксиомы или постулаты, описывали свойства основных понятий (точки, прямой, плоскости) и казались настолько неизбежными и непосредственно очевидными, что не вызывали сомнений ни у современников, ни у последующих поколений математиков. Исключение составлял один, так называемый пятый, постулат, иначе—аксиома Эвклида о параллельных, который вызывал неудовлетворение и стремление вывести его из остальных аксиом в качестве теоремы.

Выпишем аксиомы и постулаты Эвклида для того, чтобы дальнейшее изложение не было беспредметным.

Аксиомы

1. Две величины, порознь равные третьей, равны между собой.

2. Если к равным прибавить равные, то суммы будут равны.

3. Если от равных отнять равные, то разности будут равны.

4. Если величины могут быть совмещены, то они равны.

5. Целое больше своей части.

Постулаты.

1. Две точки можно соединить единственной прямой,

2. Отрезок прямой можно продолжить по прямой в обе стороны.

3. Из любой точки, как центра, можно описать окружность любым радиусом.

4. Все прямые углы равны.

5. Если в данной плоскости находятся прямая и точка, не лежащая на этой прямой, то через данную точку можно провести единственную прямую, не пересекающую данной прямой (т. е. параллельную прямую).

Повидимому, психологические причины, состоящие в том, что все аксиомы и постулаты, кроме пятого, имеют дело с конечными объектами, а пятый один—со всей бесконечной прямой, вызывали непрерывные попытки доказательства пятого постулата из предыдущих аксиом и постулатов в качестве следствия. Эти попытки продолжались в течение более двух тысяч лет. Крупнейшие учёные всех народов потратили на это много сил, изобретательности и труда; многие отдали этому увлечению всю свою жизнь, но безрезультатно. Во всех предложенных доказательствах оказывались логические дефекты, сводившие на-нет хитроумные построения.

Врожденность идеи пространства по Канту. Учёные были уверены в логической необходимости пятого постулата, были уверены, что возможна только одна геометрия-геометрия Эвклида. Возможность совместного существования иной, столь же логически безупречной геометрической системы, в которой с такой же неизбежностью одни предложения вытекали бы из предыдущих, а эти последние из им предшествующих, не приходила даже в голову. Все мысли были сосредоточены на доказательстве пятого постулата. Эта уверенность в единственности геометрии Эвклида нашла отражение в философских системах и наиболее полно и последовательно—в известной философии Канта. Согласно Канту, пространство абсолютно, и его идея вложена в наше сознание до всякого опыта. Аксиомы геометрии Эвклида необходимо верны, и нет иного пространства, которое обладало бы свойствами, не выраженными аксиомами эвклидовой геометрии. По Канту, пространство есть априорная трансцендентная категория, врождённая форма воззрения.

Попытки доказательства Лобачевским пятого постулата. Лобачевский, подобно многочисленным предшественникам, также начал с попыток доказательства пятого постулата. Он сам впоследствии увидел ошибочность своих рассуждений и нигде их не опубликовал.

Интерес к элементам геометрии был пробуждён у Лобачевского поручениями от факультета по чтению курса элементарной геометрии, который он читал сначала(в1812 г.) на курсах для чиновников (для подготовки к экзаменам на производство в чин), а затем студентам университета. Интерес, возникший по такому, чисто внешнему, поводу, сделался для Лобачевского делом всей его жизни. Попытки, так сказать, с налёта доказать пятый постулат окончились для него неудачей. Тогда он предпринял другой, более сложный путь—начал развивать систему геометрии, исходящую из противоположного постулату Эвклида утверждения. К 1826 г. построение такой своеобразной системы было далеко продвинуто, и 11 (23) февраля указанного года он выступил с докладом на тему «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных линиях».

Рукопись этого доклада утеряна. Его содержание нам в полной мере не известно, поэтому остаётся неясным, что было в нём : построение ли новой геометрии и тем самым доказательство невозможности вывести пятый постулат из остальных первичных предложений Эвклида, или же ещё одна попытка его доказательства. Впрочем, как указывает сам Лобачевский в работе «О началах геометрии», опубликованной в 1829 г. в университетском журнале «Казанский вестник», в первой её трети приведены извлечения из этого доклада.

Извлечение, сделанное Лобачевским, содержит построение геометрической системы, исходящей из предположения, что прямых, параллельных данной прямой, через не лежащую на ней точку можно провести не одну, а бесконечное множество. Неизвестным осталось только то, какое применение сделал в 1826 г. из- своего построения автор. Возможно, что он усмотрел в какой-либо из доказанных им теорем противоречие и тем самым—доказательство постулата Эвклида. Возможно, впрочем, что уже тогда Лобачевский видел логическую непротиворечивость создаваемой им науки.

Идея новой геометрической системы. Так или иначе, но к 1829 г. Лобачевский уже пришёл к убеждению в том, что геометрия Эвклида является не единственной мыслимой, что столь же логически совершенной является иная

геометрия, названная им «воображаемой», а теперь называемая неэвклидовой геометрией Лобачевского или просто геометрией Лобачевского. Как я уже говорил, Лобачевский положил в основу своего построения все аксиомы и постулаты Эвклида, помимо пятого; этот же последний он заменил следующим:

Если в данной плоскости находится прямая и не лежащая на ней точка, то через эту точку можно провести бесконечно много прямых, не пересекающих данную прямую.

Все прямые, проходящие через данную точку и не пересекающие данную прямую, заполняют некоторый угол. Стороны этого угла Лобачевский назвал прямыми, параллельными данной прямой.

Из своей системы аксиом Лобачевский начал выводить следствия, выделив сначала те предложения, которые не опираются на аксиому о параллельных. Понятно, что эти предложения одинаковы для обеих геометрий—и геометрии Лобачевского, и геометрии Эвклида. Совокупность таких предложений называют иногда «абсолютной» геометрией. В качестве примеров теорем абсолютной геометрии приведём хотя бы следующие: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, во всякий треугольник можно вписать окружность, и др.

Однако геометрия Лобачевского не исчерпывается предложениями абсолютной геометрии. Все теоремы, опирающиеся на аксиому Лобачевского о параллельных, с точки зрения геометрии Эвклида представляются парадоксальными. Примерами таких предложений могут быть, скажем, следующие:

1. Сумма углов треугольника всегда меньше двух прямых и, вообще говоря, меняется от треугольника к треугольнику.

2. Описать окружность можно не около всякого треугольника.

3. Подобных фигур нет (в частности, отсюда следует, что в геометрии Лобачевского треугольники равны, если три угла одного равны соответственно трём углам другого).

Мы не станем указывать дальнейших сведений, так как геометрия Лобачевского вызвала обширную литературу и читатель может познакомиться с его системой,

а также с дальнейшим развитем его идей по целому ряду прекрасных книг. В 1943 г. страна отмечала 150-летний юбилей со дня рождения великого геометра. К этому юбилею были изданы три книги, каждую из которых можно рекомендовать для ознакомления*).

Отношение современников к геометрии Лобачевского. Идеи Лобачевского настолько опередили свой век, что не могли дойти до сознания даже самых крупных математиков того времени. Современники не поняли, что они являлись свидетелями революции в науке, и встретили эти новые идеи одни—полным молчанием, другие—оскорбительной критикой.

В 1834 г. в «Сыне Отечества» появился отзыв, точнее пасквиль, на работу «О началах геометрии». Авторы этого отзыва не стеснялись в выражениях и обвиняли Лобачевского в невежестве, наглости, отсутствии здравого смысла и пр.

Лобачевский тяжело переживал такую критику, тем более, что его ответ, посланный в редакцию «Сына Отечества», так и не увидел света.

Лобачевского не поняли, усомнились в его умственных способностях. Он счёл, что это произошло потому, что первая работа была написана слишком сжато, недостаточно ясно и почти без доказательств. Он не думал, что причиной этого, в первую очередь, явилась новизна и неожиданность его идей, не думал о том, что людям, даже очень талантливым, трудно бывает отказаться от истин, освящённых тысячелетней давностью, хотя бы и не доказанных. Для того, чтобы порвать с привычным, с освящёнными временем традициями, нужен не талант, а гений, нужна огромная сила воли. Лобачевский этим обладал в полной мере.

Резкие отзывы не остановили его; он стремился сделать свои мысли достоянием человечества и с этой целью публиковал один мемуар за другим как в Казани, так и заграницей. Всё напрасно,—его попытки остались непонятыми, он наталкивался на непреодолимую стену непонимания и прямого недоброжелательства.

*) Книги Александрова и Колмогорова, Кагана и, наконец, Лаптева, Широкова и Чеботарёва. См. указатель литературы в конце книги.

Какая же сила характера, какая же убеждённость были нужны, чтобы продолжать отстаивать свои идеи и развивать их, находясь в атмосфере полного научного одиночества, недоброжелательства и насмешек!

Только Гаусс*) в частной переписке (опубликованной лишь после его смерти) одобрительно отозвался о работах Лобачевского. При жизни же он ограничился тем, что по его предложению Лобачевский был избран членом-корреспондентом университета в Геттингене, сам же Гаусс принялся за изучение русского языка с целью изучения работ Лобачевского в оригинале.

Признание идей Лобачевского. В 1855 г. умер Гаусс. В конце пятидесятых годов начали издавать его переписку. В одном из писем, датированном 1840 г., Гаусс даёт восторженный отзыв о работе Лобачевского «Геометрические исследования с теорией параллельных», изданной в том же 1840 г. в Германии. К каждому слову Гаусса в математическом мире прислушивались с огромным вниманием. Работы Лобачевского стали изучать; теперь его идеи были усвоены и вызвали живой интерес. Появились переводы его сочинений на западноевропейские языки, о нём заговорили на родине. Но—насмешка судьбы—автор этих работ не увидел своего триумфа: за несколько лет до этого он умер.

Геометрической системе Лобачевского, посвящалось всё большее и большее количество исследований. Среди них особенный интерес вызвала одна работа итальянского математика Бельтрами, который обнаружил в эвклидовом пространстве поверхности, на которых осуществляется как раз геометрия Лобачевского. Работы позднейших математиков и, главным образом, Клейна, Пуанкаре, Римана, Гильберта показали, что геометрия Лобачевского свободна от противоречий в такой же мере, как и геометрия Эвклида. Точнее, они показали, что всякое противоречие в геометрии Лобачевского немедленно влечёт за собой соответствующее противоречие в геометрии Эвклида.

Взгляды Лобачевского на геометрию. Для Лобачевского основная цель науки состояла не в развитии ото-

*) Один из крупнейших математиков первой половины XIX века.

рванных от жизни понятий, а в изучении природы. Недаром он в качестве эпиграфа к своей знаменитой речи «О важнейших предметах воспитания» выбрал замечательные слова Бекона: «Оставьте трудиться напрасно, стараясь извлечь из разума всю мудрость; спрашивайте природу, она хранит все истины и на вопросы ваши будет отвечать вам непременно и удовлетворительно».

Лобачевский считал, что соответственным способом поставленный опыт может показать, какая геометрия имеет место в природе.

Вот подлинные слова самого Лобачевского: «Всем известно, что в геометрии теория параллельных до сих пор оставалась несовершенной. Напрасное старание со времён Эвклида, в продолжение двух тысяч лет, заставило меня подозревать, что в самых понятиях ещё не заключается той истины, которую хотели доказывать и которую проверить, подобно другим физическим законам, могут лишь опыты, каковы, например, астрономические наблюдения».

С целью проверки он предпринял измерение углов треугольника с вершинами в неподвижных звёздах. Эти измерения дали настолько малое уклонение суммы углов от двух прямых, что оно вполне укладывалось в возможные ошибки измерений.

Мы не можем удержаться от приведения ещё одной цитаты из «Новых начал геометрии с полной теорией параллельных», особенно ярко и интересно рисующей воззрение Лобачевского на геометрию.

«В природе мы познаём, собственно, только движение, без которого чувственные впечатления невозможны. Все прочие понятия, например, геометрические, произведены нашим умом искусственно, будучи выявлены в свойствах движения, а потому пространство само собой, отдельно, для нас не существует».

Критика Канта. Если угодно, последние слова являются утверждением, прямо противоположным кантовскому представлению априорного пространства. Действительно, геометрические понятия, по Лобачевскому, существуют не сами по себе, а являются лишь свойствами движения. Ещё более определённо Лобачевский высказывает своё отношение к кантовскому представлению о врождённо-

сти идеи пространства в целом ряде других мест. Приведу ещё два отрывка на этот счет.

«Первые данные без сомнения будут всегда те понятия, которые мы приобретаем в природе посредством наших чувств. Ум может и должен приводить их к самому меньшему числу, чтобы они служили потом твёрдым основанием науке».

«Первые понятия, с которых начинается какая-нибудь наука, должны быть ясны и приведены к самому меньшему числу. Только тогда они смогут служить прочным и достаточным основанием учения. Такие понятия приобретаются чувствами, врождённым же не должно верить».

Таким образом, Лобачевский неоднократно обращается к критике кантовского учения об априорных знаниях, так распространённого в ту пору. Но совершенно уничтожающим аргументом для теории Канта являются не отдельные слова, а построение всей геометрии Лобачевского, так же свободной от противоречий, как геометрия Эвклида.

Исследования Лобачевского вне геометрии. Построением своей геометрии Лобачевский сделал такой крупный вклад в науку, всё значение которого начинает сказываться только в наше время. Идеи теории относительности стали возможными только потому, что Лобачевский сломил силой своего гения тысячелетние привычки, вступил в борьбу с научной косностью, не боясь всех тех последствий, которые влечёт такая борьба. Всем этим он завоевал бесспорное право на бессмертие. Однако следует помнить, что и в других областях математики он не остался безучастным зрителем. В них он не только стоял на уровне современной ему науки, но и опубликовал ряд работ по математическому анализу, алгебре, теории вероятностей, механике, физике и астрономии. Не всё открытое им дошло до современников. Многое позднее было найдено другими и связывается с именами других учёных. Мы, его соотечественники, не должны забывать об этом. Здесь я ограничусь указанием только на то, что определение функции, обычно связываемое с именем Дирихле, за несколько лет перед тем было дано Лобачевским. Вот, что говорит Лобачевский по поводу понятия функции в статье «Об исчезании тригонометрических строк», напечатанной уже в 1834 г.

«... это общее понятие требует, чтобы функцией от X называть число, которое даётся для каждого х и вместе с X постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подаёт средства испытывать все числа и выбирать одно из них, или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной».

До какой степени совершенства он понимал наиболее тонкие места в математике, показывает хотя бы его замечание, сделанное в статье 1835 г., посвященной вопросам сходимости рядов, относительно необходимости различать непрерывные (постепенные по Лобачевскому) и дифференцируемые (непрерывные по Лобачевскому) функции. Широкие круги математиков только во второй половине прошлого века пришли к такому различению, после того, как Вейерштрасс построил пример непрерывной, но нигде не дифференцируемой функции.

Лобачевский, как мы уже говорили, интересовался астрономией и физикой. Так, в течение ряда лет он наблюдал за температурой почвы и даже изобрёл термометр своей конструкции. Он предложил свою теорию света. Он участвовал в экспедиции по наблюдению полного солнечного затмения, результатом чего явилась его теория происхождения солнечной короны. Это явление он объяснял отражением света от верхних слоев атмосферы.

Педагогические взгляды. Служение науке не было единственным призванием Лобачевского. Много времени, сил и забот он отдавал задачам воспитания юношества. Он многого требовал от своих воспитанников, и прежде всего, чтобы они становились гражданами своей родины, требовал, чтобы «высокими познаниями» они составляли «честь и славу своего отечества». Одновременно он считал необходимым укреплять организм физическими упражнениями. Недаром, будучи ректором университета, он содействовал введению занятий гимнастикой в гимназии.

Много мыслей о воспитании разбросано в речи Лобачевского, произнесённой им 5(17) июля 1828 г.,—через год после вступления на пост ректора,—и опубликованной позднее под названием «О важнейших предметах воспитания». С большим, пафосом он говорил в ней о тех боль-

ших задачах, которые должны стоять перед человеком, какие чувства и эмоции следует развивать у юношества, а также, какое направление должно получить преподавание. Вот несколько отрывков из этого поистине замечательного произведения.

«Жить—значит чувствовать, наслаждаться жизнью, чувствовать непрестанно новое, которое бы напоминало, что мы живём ... Будем же дорожить жизнью, пока она не теряет своего достоинства. Пусть примеры в истории, истинные понятия о чести, любовь к отечеству, пробуждённая в юных летах, дадут заранее то благородное направление страстям и ту силу, которая дозволяет нам торжествовать над ужасом смерти».

Воспитание должно пробуждать в человеке «все способности ума, все дарования, все страсти», ибо только при этом условии он поистине живёт.

«...Но вы, которых существование несправедливый случай обратил в тяжёлый налог другим, вы, которых ум отупел и чувство заглохло, вы не наслаждаетесь жизнью. Для вас мертва природа, чужды красоты поэзии, лишена прелести и великолепия архитектура, незанимательна история веков. Я утешаюсь мыслью, что из нашего университета не выйдут подобные произведения растительной природы; даже не войдут сюда, если, к несчастью, родились с таким назначением. Не войдут, повторяю, потому, что здесь продолжается любовь славы, чувство человеческого и внутреннего достоинства».

Учить нужно не всему. Он говорит: «Здесь, в это заведение вступивши, юношество не услышит пустых слов без всякой мысли, одних звуков без всякого значения. Здесь учат тому, что на самом деле существует, а не тому, что известно одним праздным умам».

Сам Лобачевский твёрдо придерживался изложенных им принципов. Он стремился возбудить у своих слушателей и интерес к предмету, и творческую мысль, и стремление к сознательному усвоению предмета. Как лектор он был, повидимому, превосходен; в своих воспоминаниях ученики говорили: «он мог быть по мере необходимости глубоким и увлекательным, но всегда оставался точным и строгим». Он знал дорогу к студенческим сердцам и, несмотря на его неумолимую строгость и горячность, он

пользовался горячей любовью студенчества и имел непререкаемый авторитет.

Административная деятельность. Облик Лобачевского будет далеко не полным, если мы не скажем ничего об его деятельности в качестве администратора. В 1818 г. Лобачевский был назначен членом училищного комитета, через год к этим обязанностям прибавилось поручение по приведению в порядок университетской библиотеки. К этой обязанности, как и ко всякой другой, выпадавшей на его долю, он относился со всей присущей ему добросовестностью. С 1819 г. он, помимо этого, декан физико-математического факультета.

В 1822 г. при университете организуется строительный комитет. Лобачевский становится членом этого комитета, а с 1825 г. он—его председатель. Лобачевский не хочет быть только фигурой на этом посту, и для того, чтобы вполне квалифицированно справляться с возложенными на него поручениями, он основательно изучил строительное дело и архитектуру. Это обстоятельство дало ему возможность стать действительным вдохновителем и руководителем строительства. И многие из университетских зданий, в том числе библиотека, являются осуществлением строительных замыслов великого геометра.

С середины 1827 г. он становится ректором университета и переизбирается на этот пост несколько раз, непрерывно оставаясь на нём в течение девятнадцати лет. Энергией, распорядительностью и заботами Лобачевского университет достиг за эти годы блестящих успехов и развития.

Биографические сведения. Нам остаётся вкратце изложить некоторые биографические сведения о Лобачевском. Биографы не установили точно дату его рождения. Одни считают, что он родился 20 ноября (2 декабря) 1792 г., другие же датой его рождения считают 22 октября (3 ноября) 1793 г.

В 1797 г. Лобачевский лишился своего отца. Семья осталась без всяких средств к существованию. Приходится удивляться энергии его матери, которой удалось без средств и связей добиться поступления всех своих трёх сыновей в казанскую гимназию в 1802 г.

Через пять лет будущий знаменитый геометр был перечислен из казанской гимназии в университет. По счаст-

ливому совпадению в только что открытый провинциальный университет в 1808—1810 гг. приехали из-за границы профессора, оказавшие на Лобачевского существенное влияние (Бартельс, Бронер, Реннер, Литтров). Особенное влияние на него оказал Бартельс, который скоро заметил превосходные математические способности ученика и взял его под своё покровительство. А оно было тем более необходимо, что живой и изобретательный студент постоянно вызывал недовольство своим творчеством в отношении проказ и проделок. Позднее он был обвинён в гораздо более серьёзных проступках, именно «в признаках безбожия и многих ложных понятиях». Только защита Бартельса и других иностранных профессоров спасла его на этот раз от очень серьёзных последствий.

В 1811 г. Бартельс так рекомендовал Лобачевского Совету университета: «Лобачевский оказал столько успехов, что даже во всяком немецком университете он был бы отличным». Лобачевский был зачислен магистром и начал подготовку к научной деятельности под руководством Бартельса. Лобачевский попал в хорошие руки: Бартельс был уважаем в математическом мире; хотя он и не оставил после себя каких-либо научных трудов, но зато обладал большой эрудицией.

С 1819 г. для Казанского университета началась мрачная эпоха, связанная с именем М. Л. Магницкого. В этом году Магницкий был послан ревизором в Казань с правами попечителя. В отчёте о ревизии он обвинял университет в растрате казённых денег и в безбожном направлении преподавания. В качестве борьбы с распространением ереси им была предложена радикальная мера: разрушить торжественно самое здание университета. Такая мера высшими органами, а также царём, однако, одобрена не была; вместо этого Магницкому была поручена, как нельзя более подходящая для него, миссия преобразования университета. Сущность преобразования, по его определению, заключалась в искоренении вольнодумства и основании преподавания всех наук на базе благочестия. Профессора всех факультетов и кафедр были обязаны проповедывать преимущество священного писания перед наукой. Результат не замедлил сказаться: 11 профессоров были уволены тотчас же по назначении Магницкого,

многие сочли за благо уехать, в их числе и Бартельс. Наука была законсервирована и разогнана; недаром Магницкий утверждал, что «одна религия есть предмет, предохраняющий науки от гниения».

На прямого и гордого Лобачевского эта эпоха наложила неизгладимый отпечаток: из живого и общительного он превратился в мрачного и нелюдимого.

В 1826 г. университет, наконец-то, был спасён от «спасителя». Новая ревизия вскрыла полное падение учебного и научного дела в Казани и крупную денежную растрату. На имения Магницкого был наложен арест, а сам он отстранён от должности.

Дальнейшие обстоятельства жизни Лобачевского нам известны из предыдущего изложения.

12 (24) февраля 1856 г. Лобачевского не стало,—он умер разбитым физически, слепым стариком, но с неугасшей верой в правоту и важность своих идей.

§ 9. ПЕТЕРБУРГСКАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ШКОЛА

Особенности Петербургской школы. В то время, когда в Казани Лобачевский в полном одиночестве создавал геометрические теории непреходящего научного значения, в далёком Петербурге закладывался фундамент большой научной школы, сыгравшей и играющей значительную роль в развитии математики. Эта школа по имени города, в котором она возникла и работала, получила название Петербургской. Три большие раздела математики—теория чисел, математическая физика и теория вероятностей— сделались основными объектами приложения талантов и усилий основателей и продолжателей этой школы. За более чем столетие своего существования в ней создались и окрепли прекрасные традиции; в первую очередь к ним мы относим умение увязывать математическую проблематику с принципиальными вопросами естествознания, мастерство в решении трудных конкретных задач, виртуозность в аналитических выкладках, доведение результатов до числа и тем самым до возможности практических применений и экспериментальных проверок разработанных теорий.

Интерес петербуржцев к двум первым из указанных направлений исследований до некоторой степени был

навеян великим Эйлером; мы, в самом деле, видели, что задачи теории чисел, а также задачи исследования явлений природы и техники посредством математических методов были в центре его внимания.

Влияние французской математической школы. С другой стороны, интерес к двум последним направлениям работы был навеян французской математической школой, выросшей и оформившейся в бурные годы буржуазной революции. Целая плеяда первоклассных математиков и в их числе Лагранж, Лаплас, Пуассон, Коши, Фурье трудились над разработкой и совершенствованием теории дифференциальных уравнений — основного аппарата математического исследования процессов, совершающихся в природе. Этот метод, восходящий ещё к Ньютону, в XVIII веке принёс астрономии невиданный расцвет. Оказалось, что движение небесных тел с поразительной точностью описывается посредством дифференциальных уравнений. И не раз впоследствии учёные пожинали плоды творческих усилий прошлого. Достаточно вспомнить открытие молодым французским астрономом Леверье новой планеты Нептун посредством расчётов, проведённых в тиши кабинета. В предсказанном месте, в назначенный срок планета была обнаружена. Аналогичный случай произошёл почти через сто лет с планетой Плутон, открытой в 1930 г. американскими астрономами.

Этот метод, так блестяще оправдавший себя при исследовании движения тел огромных размеров, был применён Лапласом к исследованию молекулярных явлений. Почин оказался удачным. С этих пор проблемы оптики, электро-магнитных явлений, распространения тепла, упругих свойств тел и др. стали в центре внимания французских математиков. При этом французы придерживались так называемой феноменологической точки зрения, которая стремится описать явления, предсказывать их течение, не пытаясь вникнуть в их причины. Вот что говорит по этому поводу один из виднейших представителей французской школы—Фурье : «Первопричины явлений нам неизвестны, но они подчиняются простым и постоянным законам, которые можно открыть путём наблюдений». Как мы уже говорили, основным методом, с помощью которого ведётся изучение всех возникающих здесь проблем,

являются дифференциальные уравнения, несколько шире— математический анализ. И представители французской школы считали, что «рассматриваемый с этой точки зрения математический анализ столь же обширен, как сама природа» (Фурье). Но этот метод имеет настоящую цену только тогда, когда он доведён до численных расчётов. И Фурье продолжает: этот «метод не оставляет в решениях ничего туманного и неопределённого: он доводит их до последних численных приложений, необходимого условия всякого исследования, без которого мы не получили бы ничего, кроме бесполезных преобразований».

На тот же период приходится большое увлечение французских математиков теорией вероятностей, а также её приложениями к различным разделам естествознания и социальным наукам. Мы не станем здесь говорить о том, что в пылу увлечения многое принималось и использовалось без обоснований. Это вызывало заслуженную критику и впоследствии привело к тому, что увлечение сменилось крайним пессимизмом и полным отрицанием возможности использования теории вероятностей в качестве метода научного познания.

В. Я. Буняковский. В этот период развития французской школы, когда чуть ли не каждый день её работы приносил крупные успехи не только математике, но и физике, в Париже учились, вбирали в себя увлекательные идеи два молодых русских математика: Остроградский и Буняковский. После возвращения в Россию оба математика сделались горячими пропагандистами идей французской математической школы, сами продолжали работать в том же направлении и побуждали к этому других. Остроградский, которому мы посвящаем следующий параграф, продолжал работать главным образом в области математической физики и механики; Буняковский же посвятил себя почти исключительно приложениям теории вероятностей к статистике народонаселения и явился родоначальником русской демографии. Помимо этого, Буняковскому принадлежит ряд работ по математическому анализу, геометрии (посвященных пятому постулату Эвклида), учебников, в частности, первый русский учебник теории вероятностей, стоявший на уровне науки того времени. В области математического анализа особенно ценными являются работы

Буняковского по теории неравенств. Среди целой серии интересных и важных неравенств, обнаруженных им, содержится одно из самых замечательных, до сих пор постоянно применяющихся в самых различных разделах математики. Это неравенство несправедливо связывают с именем Шварца, хотя Шварц открыл его только в 1875 г., тогда как Буняковский опубликовал его на 16 лет раньше (в 1859 г.). Напомним, в чём состоит это неравенство Буняковского-Шварца, как его следует называть для восстановления исторической справедливости.

Если uv и,,..., ипи vv i?t,..., Гд—какие-нибудь числа, то*)

Заметим, что Буняковский не понял величайших открытий Лобачевского: они прошли мимо него, и в своём обширном обзоре попыток доказательства постулата Эвклида он не нашёл места не только для изложения этих свежих идей, но даже для подстрочного замечания о наличии работ Лобачевского.

Представители математической физики. Как мы уже говорили, задачи математической физики для представителей Петербургской математической школы стали одним из основных направлений их исследований. Мы, естественно, не можем рассмотреть здесь всё то, что было ими сделано за сто с лишним лет, не можем даже вкратце рассказать о самих учёных и их характерных особенностях.

*) Здесь знак ^ означает сумму п слагаемых, например:

Для читателей, знакомых с понятием интеграла, приведём неравенство Буняковского-Шварца в интегральной форме;

Нам придётся ограничиться лишь перечислением нескольких имён, без всякой претензии на полноту приводимого списка, для того, чтобы подчеркнуть непрерывность и преемственность исследований в области механики и математической физики, которые так удачно были начаты Остроградским. Вот эти имена: Сомов И. И. (1815—1876), Сонин Н. Я. (1847—1915), Ляпунов А. М. (1857—1918), Стеклов В. А. (1863—1926), Гюнтер Н. М. (1871—1941), Граве Д. А. (1863—1939), Крылов А. Н. (1863—1945) и др. Нельзя не упомянуть также ныне работающих учёных—Смирнова В. И. (род. 1887) и Соболева С. Л. (род. 1908), весьма много сделавших для развития науки.

Представители теории чисел. Значительное расширение интересов петербургских математиков связано с именем одного из величайших математических умов прошлого века—Чебышева П. Л. Краткому обзору работ этого учёного, за разносторонность, глубину исследований и силу математического таланта названного «русским Гауссом», мы посвящаем один из следующих параграфов. Впоследствии мы увидим, что влияние Чебышева на всю современную, в частности, советскую, математику чрезвычайно велико; мы увидим, что, собственно, вся современная теория вероятностей, большой раздел теории функций, теория чисел и даже теория механизмов ведут своё начало от него. Сейчас же мы только укажем на то, что начало теоретико-числовых работ в Петербурге связано с ним и с его учениками: Марковым А. А. (1856—1922), Золотарёвым Е. И. (1847—1878), Коркиным А. Н. (1837—1908), Вороным Г. Ф. (1868—1908), а также с продолжателем его традиций, одним из наиболее сильных современных математиков—Виноградовым И. М. (род. 1891). Мы, к сожалению, не можем здесь кратко и элементарно рассказать о замечательных исследованиях названных ученых, и в особенности, о работах Маркова, Золотарёва и Вороного. Скажем только, что каждый из них, помимо блестящих результатов, внёс в науку новые идеи. С именем Золотарёва связано создание так называемой теории идеалов—одной из важнейших глав современной алгебры, являющейся обобщением понятия делимости чисел. С именем Вороного связаны блестящие результаты в области геометрии чисел; многие специалисты считают его одним из самых сильных математи-

ческих умов начала XX века. Трагическая смерть постигла обоих названных учёных в полном расцвете их математического таланта, когда не была осуществлена и малая доля их научных замыслов.

§ 10. МИХАИЛ ВАСИЛЬЕВИЧ ОСТРОГРАДСКИЙ

Научные заслуги Остроградского. В истории математики одно из почётных мест принадлежит видному русскому учёному—академику Михаилу Васильевичу Остроградскому. Острый и смелый ум, широкое математическое образование, а также владение современным ему естествознанием позволили ему получить результаты первостепенного значения в механике и различных частях математики. Ряд его научных результатов вошёл в учебники, но многие его крупнейшие достижения, как это часто случалось с работами русских учёных, не дошли до широких научных кругов Запада и позднее были заново получены другими. Однако, несмотря на то, что лишь относительно небольшая часть его исследований стала достоянием современной ему европейской науки, его имя получило широкое признание далеко за пределами России. За то, что уже современники признали в нём одного из крупнейших математиков того времени, говорит хотя бы тот факт, что Остроградский был избран академиком не только Российской, но также Туринской, Римской, Американской Академий

М. В. Остроградский.

и членом-корреспондентом наиболее сильной по составу и научному весу Парижской Академии наук. Ещё более значительны его заслуги в деле как развития научных исследований по математике в России, так и приближения уровня её преподавания к западноевропейскому. Эти заслуги трудно преувеличить. О том, сколь велика была слава Остроградского в России, можно судить хотя бы по тому, что когда молодые люди отправлялись учиться в высшие учебные заведения, то друзья и родные напутствовали их словами: «становись Остроградским».

Биографические сведения. Остроградский родился 12 (25) сентября 1801 г. в семье помещика Полтавской губернии Кобелякского уезда. На девятом году жизни он был определён в пансион при Полтавской гимназии, называвшийся домом для воспитания бедных детей. Гимназического курса обучения он не закончил и по желанию отца вышел из третьего класса гимназии. Отец хотел видеть сына военным; это было в то же время сильнейшим желанием мальчика. В 1816 г. Остроградского повезли в Петербург для определения в один из гвардейских полков, но не довезли туда, круто изменив решение по совету одного из родственников, горячо настаивавшего на определении юноши в университет. Это случайное обстоятельство определило дальнейшую судьбу Остроградского: в 1817 г. его отдали учиться в Харьковский университет.

Остроградский ещё долго мечтал о военной службе не сочувствовал своей гражданской карьере и учился плохо. Он готов был расстаться с мыслью о блестящем мун. дире гвардейца и помириться с положением провинциального пехотного или артиллерийского офицера. Лишь в конце второго года университетской жизни образ его мыслей резко изменился; он начал работать и сразу же ощутил в себе призвание к математике. Поводом для этого послужило то обстоятельство, что он тогда перешёл жить на квартиру университетского преподавателя математика Павловского. Последний своими беседами сумел пробудить сначала интерес, а затем и страстную любовь Остроградского к науке. С жаром принявшись за ученье, Остроградский через два месяца поражал Павловского своими успехами. Математический талант давал Остроградскому возможность налету схватывать прочитанное и подмечать

промахи и ошибки изложения. К концу года он сдал экзамены за курс университета.

В 1820 г. Остроградский захотел оформить окончание университета. Для этого следовало сдать экзамены. Он их блестяще сдал. Ректор университета Осиповский, просвещённый и деятельный профессор, предложил присудить Остроградскому первую учёную степень—кандидата наук. Однако острая политическая борьба, существовавшая среди харьковской профессуры, привела к тому, что её реакционная часть добилась лишения Остроградского диплома об окончании университета, мотивируя это его вольнодумством и непосещением лекций по богословию.

Эта обида не сломила Остроградского, а скорее побудила его к дальнейшей настойчивой работе. В 1822 г. он отправился в Париж и там с жадностью начал впитывать высокую послереволюционную культуру французской математической школы, слушая лекции выдающихся математиков и физиков того времени: Ампера, Коши, Лапласа, Пуассона, Фурье. Вскоре он начал пробовать свои силы и на пути самостоятельного творчества. Уже в 1825 г. Коши в одном из мемуаров с похвалой отозвался об исследованиях Остроградского, посвященных вычислению интегралов. В следующем году Остроградский представил Парижской академии свой первый мемуар «О волнообразном движении жидкости в цилиндрическом сосуде», впоследствии напечатанный в её трудах.

Денежные затруднения заставили Остроградского заняться педагогической работой в колледже Генриха IV, куда он поступил по рекомендации своих учителей.

В 1828 г. Остроградский вернулся в Россию. Сохранились документы, согласно которым стало известно, что он тотчас же по возвращении был взят под надзор полиции.

Репутация талантливого учёного, приобретённая Остроградским в Париже, раньше его донеслась до России и доставила ему немедленно по приезде в Петербург звание адъюнкта Академии наук, а через два года и звание академика по прикладной математике.

В Петербурге Остроградский продолжал свои научные изыскания и со страстью отдался педагогической работе. Он преподавал в Главном педагогическом институте, в Институте путей сообщения, в Морском корпусе, в Михайлов-

ской артиллерийской академии; долгое время был главным наблюдателем за преподаванием математики в кадетских корпусах. В своей педагогической деятельности Остроградский стремился познакомить слушателя с высокой математической культурой французской школы и в своих лекциях сообщал о последних достижениях науки. Так, например, в Институте путей сообщения он рассказывал о работах Абеля по алгебраическим функциям, об исследованиях Штурма по отделению корней уравнений и пр. Насколько уровень преподавания Остроградского в технических учебных заведениях был выше уровня преподавания в университетах, мы увидим немного далее.

В 1856 г. Парижская академия наук избрала Остроградского своим членом-корреспондентом в награду за его научные заслуги, а через пять лет его не стало,—он умер в Полтаве по дороге из своего поместья в Петербург.

Предмет исследований. Годы, проведённые Остроградским в Париже в период блестящего развития там математических наук, оказали огромное влияние на всю дальнейшую его научную деятельность. Научные связи, завязанные им в Париже, он сохранил до последних дней жизни. Математическая физика, аналитическая и небесная механика, а также смежные области математики, для расцвета которых так много сделала французская математическая школа, стали также предметом исследований Остроградского. И он, подобно другим научным представителям французской математической школы, с одинаковым успехом работал во всех этих областях. Он чувствовал, какие вопросы созрели для решения, и разрабатывал их, часто опережая своих европейских коллег.

В механике Остроградский оставил крупный след, установив независимо от Гамильтона одно из важнейших её положений, так называемый принцип наименьшего действия, а также записав в наиболее общем виде начало возможных перемещений, устранив в работах создателя этого предложения Лагранжа ненужные ограничения и исправив допущенные этим последним ошибки в выводе уравнений динамики. В близкой связи с работами Остроградского по механике находятся исследования по вариационному исчислению. Сколь существенны полученные им результаты, можно судить хотя бы по тому, что его

мемуар о вычислении вариаций кратных интегралов,, напечатанный в 1834 г. в изданиях нашей Академии наук, появился в 1861 г. в полном переводе как приложение к книге английского математика и историка математики Тотгентера, посвященной истории развития вариационного исчисления. Любопытно отметить, что в 1840 г. Парижская Академия наук объявила премию за решение проблемы, уже решённой за шесть лет до этого Остроградским в указанном мемуаре. Эта премия была присуждена французскому математику Саррюсу за сочинение, содержавшее, кстати сказать, ошибочные заключения. В том же мемуаре 1834 г. Остроградским была дана важнейшая формула кратного интегрирования, позволяющая вычисление п-кратного интеграла сводить к вычислению (л—1)-кратного. Эта формула в частном случае при л=3 известна каждому изучавшему мало-мальски полный курс математического анализа или же изучавшему задачи математической физики. Исследования Остроградского по математической физике касаются весьма разнообразных вопросов: распространение тепла, распространение волн на поверхности жидкости, теория удара» уравнения движения упругого тела. Всюду, следуя складу своего ума, он стремился к получению наиболее общих разультатов и давал широкие обобщения.

Несколько работ Остроградского посвящены баллистике. Эти последние, а также исследования по небесной механике, привели его к работам в области приближенных вычислений, где им даны важные формулы. Значительный интерес Остроградский проявил к теории алгебраических функций и опубликовал в этом направлении ряд своих исследований. Интересно заметить, что метод выделения алгебраической части интеграла от рациональной функции, приводимый теперь в учебниках, был найден Остроградским в связи с разработкой теории алгебраических функций. О том, что три работы Остроградского посвящены теории вероятностей, я только упомяну для того, чтобы подчерктнуть разносторонность его интересов, но не для того-чтобы на них показать силу его таланта. Это—рядовы, работы. Полезно только заметить, что по поводу одное из них Остроградский в введении говорит, что она можей иметь практическое применение при браковке принимае-

мых материалов. Это замечание характерно для всей деятельности Остроградского, который привык считать, что прогресс теоретической науки неразрывно связан с развитием приложений её результатов к человеческой практике.

Лекции Остроградского. В начале настоящего очерка мы уже говорили, что в развитие математической культуры в России Остроградский внёс крупный вклад, значение которого трудно переоценить. Недаром он считается одним из основателей русской математической школы. Сохранились сведения о том, что по его указаниям вели научную деятельность не только находящиеся под его непосредственным влиянием лица, но и математики, работавшие в других городах. Так, например, профессор Московского университета Брашман написал по мысли Остроградского работу «Примечание к общей теории наибольших и наименьших величин функций многих переменных» (Московские учёные ведомости, т. VIII, 1835 г.), в которой он исправил неточность, допущенную Лагранжем при разборе достаточных условий экстремума функций от трёх переменных. Своими публичными лекциями Остроградский способствовал приобщению России к высокой культуре Запада, в особенности французской. Свои лекции он читал просто и ясно; при изложении сложных и трудных мест, заметив, что у слушателей могут встретиться затруднения, он немедленно предлагал другое доказательство, часто импровизируя его тут же у доски. Прочитанные им в 1836— 1837 гг. публичные лекции по высшей алгебре, напечатанные под названием «Лекции алгебраического анализа», пользовались большим успехом. В этих лекциях он изложил предмет в полном согласии с состоянием его в то время, включив туда и доказательство Абеля о невозможности общего решения уравнений выше четвёртой степени в радикалах и способ Гаусса для решения двухчленных уравнений*). В лекциях по небесной механике, прочитанных s заседаниях Академии наук в течение нескольких месяцев, он не только изложил состояние этой науки, но и улучшил самое изложение, заполнив этот курс как своими

*) Т. е. уравнений вида

доказательствами ряда предложений, так и более принципиальными идеями.

Влияние Остроградского на уровень преподавания в университетах. Для того, чтобы лучше оценить заслуги Остроградского в деле русского просвещения, полезно сказать несколько слов о застое в преподавании, который существовал в первой четверти XIX века.

Если во вновь открытых университетах—Казанском и Харьковском—уровень преподавания был достаточно высок (в первом по причине приезда культурных профессоров, приглашённых из-за границы, а также наличия Лобачевского, а во втором—благодаря стараниям ректора-профессора математики Осиповского), то в Москве он был ниже всякой критики. Достаточно сказать, что в составе профессоров этого университета были совершенно случайные люди. Так, кафедрой химии ведал некий профессор Рейс, сам толком не знавший предмета и попавший на занимаемое им место по анекдотической причине: на кафедру был приглашён его дядя, но старик отказался поехать в далёкую Москву и ограничился рекомендацией своего племянника. С 1813 г. в течение почти двадцати лет механику в Московском университете читал профессор Ф. И. Чумаков. Он, по словам Герцена, читал свой предмет, «подгоняя формулы к тем, которые были в курсе Пуансо, с совершенной свободой помещичьего права прибавляя, убавляя буквы, принимая квадраты за корни и х за известное». Средний тип профессора университета первой четверти XIX века имел очень невысокую квалификацию; интересовали его не научные исследования и даже не ознакомление с современным состоянием науки, а лишь погоня за чинами и повышениями по службе. Насколько отличался от этого среднего профессорского состояния Остроградский и как несравнимы были его курсы лекций даже в технических учебных заведениях с курсами лекций для специалистов-математиков в университетах! Это не могло пройти бесследно, и, действительно, многие ученики Остроградского сами впоследствии стали профессорами университетов, технических и военных учебных заведений и имели уже несравненно более высокий культурный уровень, чем это было до Остроградского. Да и профессора других университетов должны были подтягиваться

к этому более высокому уровню, установленному Остроградским.

Остроградский как педагог. Для характеристики Остроградского как педагога полезно отметить, что способных студентов он поощрял к занятиям, но для слабых и бездарных он был грозой, и на экзаменах эти последние прятались, под предлогом болезни ложились в лазарет и откладывали экзамены до более подходящего случая.

Остроградский интересовался также преподаванием элементарной математики. С целью его улучшения им были написаны учебник элементарной геометрии и конспект по тригонометрии. Значительный интерес представляют также идеи о преподавании математики в школе, развитые им в брошюре, изданной совместно с профессором Блюмом. Эти мысли во многом перекликаются с идеями нашего времени. Так, Остроградский восстаёт против абстрагирования преподавания в первых классах, считая, что это может вызывать только отвращение к предмету у учащихся. На этой ступени развития следует исходить из наглядных представлений, занятий лепкой, работать в мастерских и лабораториях и получать сведения в ведении счёта.

Такова, в кратких чертах, многосторонняя деятельность нашего знаменитого соотечественника. В последние годы в память об его заслугах Академия наук предприняла издание полного собрания его сочинений. Завершение этого издания явится лучшим памятником для учёного, так много поработавшего на пользу науки и просвещения.

§ 11. ПАФНУТИЙ ЛЬВОВИЧ ЧЕБЫШЕВ

Значение Чебышева для науки. Пафнутий Львович Чебышев оставил неизгладимый след в истории мировой науки и в развитии русской культуры.

Многочисленные научные труды почти во вех областях математики и прикладной механики, труды, глубокие по содержанию и яркие по своеобразию методов исследования, создали П. Л. Чебышеву славу одного из величайших представителей математической мысли. Огромное богатство идей разбросано в этих работах, и, несмотря на то, что пятьдесят лет прошло со дня смерти их творца, они не потеряли ни своей свежести, ни актуальности,

и их дальнейшее развитие продолжается в настоящее время во всех странах земного шара, где только бьётся пульс творческой математической мысли.

П. Л. Чебышев был доступен для всех, кто хотел научно работать и имел для этого данные; он щедро делился своими идеями. Благодаря этому он оставил после себя большое число учеников, ставших впоследствии первоклассными учёными; среди них: А. М. Ляпунов, А. А. Марков, сведения о которых помещены в следующих параграфах. От него идут истоки многих русских математических школ—теории вероятностей, теории чисел, теории приближения функций, теории механизмов, с успехом продолжающих работу и в наши дни.

Биографические сведения. Жизнь Пафнутия Львовича Чебышева небогата внешними событиями. Родился он 26 мая 1821 г. в сельце Окатове Боровского уезда Калужской губернии. Первоначальное образование и воспитание он получил дома; грамоте его обучила мать Аграфена Ивановна, а арифметике и французскому языку —двоюродная сестра Сухарева, девушка весьма образованная и, повидимому, сыгравшая значительную роль в воспитании будущего математика. В 1832 г. семейство Чебышевых переехало в Москву для подготовки Пафнутия Львовича и его старшего брата к поступлению в университет. Шестнадцатилетним юношей он стал студентом Московского университета и уже через год за математическое сочинение на тему, предложенную факультетом, был награждён серебряной медалью. С 1840 г. материальное положение семьи Чебышевых пошатнулось, и Пафнутий

П. Л. Чебышев.

Львович был вынужден жить на собственный заработок. Это обстоятельство наложило отпечаток на его характер, сделав его расчетливым и бережливым; впоследствии, когда он уже не испытывал недостатка в средствах, он не соблюдал экономии в их расходовании только при изготовлении моделей различных приборов и механизмов, идеи которых часто рождались в его голове.

Двадцатилетним юношей П. Л. Чебышев окончил университет, а через два года опубликовал свою первую научную работу, за которой вскоре последовал ряд других, всё более и более значительных и быстро привлекших к себе внимание научного мира. Двадцати пяти лет П. Л. Чебышев защитил в Московском университете диссертацию на степень магистра, посвященную теории вероятностей, а ещё через год был приглашён на кафедру Петербургского университета и переселился в Петербург. Здесь началась его профессорская деятельность, которой П. Л. Чебышев отдавал много сил и которая продолжалась до достижения им преклонного возраста, когда он оставил лекции и отдался целиком научной работе, продолжавшейся буквально до последнего мгновения его жизни. В двадцать восемь лет он получил в Петербургском университете степень доктора, причём диссертацией служила его книга «Теория сравнений», которой затем в течение более полустолетия студенты пользовались как одним из самых глубоких и серьёзных руководств по теории чисел. Тридцати двух лет Академия наук избрала П. Л. Чебышева адъюнктом по кафедре прикладной математики, а тридцати восьми—ординарным академиком. Год спустя он был избран членом-корреспондентом Парижской Академии наук, а в 1874 г. та же Академия удостоила его весьма редкой чести избрания своим иностранным сочленом.

8 декабря 1894 г. утром Пафнутий Львович Чебышев умер, сидя за письменным столом. Накануне был его приёмный день, он сообщал планы своих работ ученикам и наводил их на мысли о темах для самостоятельного творчества.

Чебышев как педагог. К этой внешней канве жизни П. Л. Чебышева надо добавить оставленную современниками и учениками характеристику его как педагога и научного воспитателя. Тот вес, который приобрела в истории

математики созданная им научная школа, уже показывает с максимальной объективностью, независимо от персональных отзывов, что П. Л. Чебышев умел зажигать научный энтузиазм своих учеников. Основной чертой этой школы, которую принято называть Петербургской математической школой, было стремление тесно связать проблемы математики с принципиальными вопросами естествознания и техники. Раз в неделю у П. Л. Чебышева был приёмный день, когда двери его квартиры был открыты для каждого, кто хотел о чём-либо посоветоваться по поводу своих исследований. Редко кто уходил, не обогатившись новыми мыслями и новыми планами. Современники и, в частности, ученики П. Л. Чебышева говорят о том, что он охотно раскрывал богатство своего идейного мира не только в беседах с избранными, но и на своих лекциях для широкой аудитории. С этой целью он иногда прерывал ход изложения, чтобы осветить своим слушателям историю и методологическое значение того или иного факта или научного положения. Этим отступлениям он придавал существенное значение. Они бывали довольно длительными. Приступая к такой беседе, П. Л. Чебышев оставлял мел и доску и усаживался в особое кресло, стоявшее перед первым рядом слушателей. В остальном ученики характеризуют его как педантически точного и аккуратного лектора, никогда не пропускавшего, никогда не опаздывавшего и никогда не задерживавшего аудиторию ни на одну минуту долее положенного срока. Интересно отметить ещё характерную особенность его лекций: всякой сложной выкладке он предпосылал разъяснение её цели и хода в самых общих чертах, а затем проводил её молча, очень быстро, но настолько подробно, что следить за ним было легко.

Общая характеристика научного творчества. На фоне этой размеренной, благополучной, не отмеченной никакими внешними потрясениями жизни, в тиши спокойного кабинета учёного совершались великие научные открытия, которым суждено было не только изменить и перестроить лицо русской математики, но и оказать огромное, в течение ряда поколений неизменно ощущающееся влияние на научное творчество многих выдающихся учёных и научных школ за рубежом. П. Л. Чебышев не был одним из

тех учёных, которые, облюбовав какую-нибудь более или менее узкую ветвь своей науки, отдают ей всю свою жизнь, сперва создавая её основы, а потом тщательно дорабатывая и совершенствуя её детали. Он принадлежал к числу тех «кочующих» математиков, которых знает наука среди своих величайших творцов и которые видят своё призвание в том, чтобы, переходя от одной научной области к другой, в каждой из них оставить ряд основных идей или методов, разработку следствий или деталей которых они охотно предоставляют своим современникам и грядущим поколениям. Это не значит, конечно, что такой учёный ежегодно меняет области своих научных интересов и, опубликовав в выбранной им области одну-две статьи, навсегда её оставляет. Нет, мы знаем, что П. Л. Чебышев занимался, например, всю жизнь разработкой всё новых и новых задач своей знаменитой теории приближения функций, что к основным задачам теории вероятностей он обращался трижды—в начале, в середине и в самом конце своего творческого пути. Но характерным является то, что таких избранных областей у него было много (теория интеграции, приближение функций многочленами, теория чисел, теория вероятностей, теория механизмов и ряд других) и что в каждой из них его привлекало по преимуществу создание основных общих методов, а не логическое завершение путём тщательной отделки всех деталей. И почти невозможно указать такую область, где брошенные им семена не дали бы обильных и мощных всходов. Его идеи подхватывались и разрабатывались блестящей плеядой учеников, а затем становились достоянием и более широких научных кругов, в том числе и зарубежных, и везде с успехом вербовали себе последователей и продолжателей. Были среди этих идей и такие, всё методологическое значение которых не могло быть в достаточной мере осознано современниками и раскрывалось во всей полноте лишь в исследованиях последующих поколений учёных,—это тоже характерная черта в творчестве гениально одарённого ума.

Вопросы практики в творчестве Чебышева. В качестве другой важнейшей особенности научного творчества П. Л. Чебышева нужно отметить его неизменный интерес к вопросам практики. Этот интерес был настолько велик,

что, пожалуй, им в значительной мере определяется своеобразие П. Л. Чебышева как учёного. Без преувеличения можно сказать, что большая часть его лучших математических открытий навеяна прикладными работами, в частности, его исследованиями по теории механизмов. Наличие этого влияния нередко подчёркивалось самим Чебышевым как в математических, так и в прикладных работах, но наиболее полно идея плодотворности связи теории с практикой была им высказана в статье «Черчение географических карт». Мы не станем пересказывать мысли великого учёного, а приведём его подлинные слова :

«Сближение теории с практикой даёт самые благотворные результаты, и не одна только практика от этого выигрывает; сами науки развиваются под влиянием её: она открывает им новые предметы для исследования, или новые стороны в предметах давно известных. Несмотря на ту высокую степень развития, до которой доведены науки математические трудами великих геометров трёх последних столетий, практика явно обнаруживает неполноту их во многих отношениях; она предлагает вопросы существенно новые для науки и, таким образом, вызывает на изыскание совершенно новых метод. Если теория много выигрывает от новых приложений старой методы или от новых развитии её, то она ещё более приобретает открытием новых метод, и в этом случае наука находит себе верного руководителя в практике».

Среди огромного количества задач, которые ставит перед человеком его практическая деятельность, особенную важность имеет одна: «Как располагать средствами своими для достижения по возможности большей выгоды». Именно поэтому «большая часть вопросов практики приводится к задачам наибольших и наименьших величин, совершенно новым для науки, и только решением этих задач мы можем удовлетворить требованиям практики, которая везде ищет самого лучшего, самого выгодного».

Приведённая цитата для П. Л. Чебышева являлась программой всей его научной деятельности, была руководящим принципом его творчества.

Многочисленные прикладные работы П. Л. Чебышева, носящие далеко не математические названия—«Об одном механизме», «О зубчатых колёсах», «О центробежном урав-

нителе», «О построении географических карт», «О кройке платьев» и многие другие,—объединялись одной основной идеей—как располагать наличными средствами для достижения наибольшей выгоды.

Так, в работе «О построении географических карт» он задаётся целью определить такую проекцию карты данной страны, для которой искажение масштаба было бы минимальным. В его руках эта задача получила исчерпывающее решение. Для Европейской России он довёл это решение до численных подсчётов и выяснил, что наивыгоднейшая проекция будет давать искажение масштаба не более 2%, тогда как принятые в то время проекции давали искажение не менее 4—5%.

Работы в области теории механизмов. Значительную долю своих усилий он потратил на конструирование (синтез) шарнирных (суставчатых, как говорил Чебышев) механизмов и на создание их теории. Особенное внимание он уделял усовершенствованию параллелограмма Уатта—механизма, служающего для превращения кругового движения в прямолинейное. Дело заключалось в том, что этот основной для паровых двигателей и других машин механизм был весьма несовершенен и давал, вместо прямолинейного движения, криволинейное. Такая подмена одного движения другим вызывала вредные сопротивления, портившие и изнашивавшие машину. Семьдесят пять лет прошло со времени открытия Уатта. Сам Уатт, его современники и последующие поколения инженеров пробовали бороться с этим дефектом, но, идя ощупью, путём проб, существенных результатов добиться не могли. П. Л. Чебышев взглянул на дело с новой точки зрения и поставил вопрос так: создать механизмы, в которых криволинейное движение возможно меньше отклонялось бы от прямолинейного, и определить при этом наивыгоднейшие размеры частей машины*).

* С помощью специально разработанного им аппарата теории функций, наименее уклоняющихся от нуля, он показал возможность решения задачи о приближенно

*) Часть очерка, касающаяся работ П. Л. Чебышева по теории механизмов и отмеченная в начале и конце звёздочками, принадлежит члену-корреспонденту Академии наук СССР И. И. Артоболевскому.

прямолинейном движении с любой степенью приближения к этому движению.

На основе разработанного им метода он дал ряд новых конструкций приближенно-направляющих механизмов. Некоторые из них до сих пор находят себе практическое применение в современных приборах.

Но интересы П. Л. Чебышева не ограничивались рассмотрением только теории приближенно-направляющих механизмов. Он занимался другими задачами, являющимися актуальными и для современного машиностроения.

Изучая траектории, описываемые отдельными точками звеньев шарнирно-рычажных механизмов, П. Л. Чебышев останавливается на траекториях, форма которых является симметричной. Изучая свойства этих симметричных траекторий (шатунных кривых), он показывает, что эти траектории могут быть использованы для воспроизведения многих важных для техники форм движения. В частности, он показывает, что можно шарнирными механизмами воспроизвести вращательное движение с различным направлением вращения около двух осей. Один из таких механизмов, получивший в дальнейшем название парадоксального, является до сих пор предметом удивления всех техников и специалистов. Передаточное отношение между ведущим и ведомым валами в этом механизме может меняться в зависимости от направления вращения ведущего вала.

П. Л. Чебышев создал ряд так называемых механизмов с остановками. В этих механизмах, широко применяемых в современном автомотостроении, ведомое звено совершает прерывистое движение, причём отношение времени покоя ведомого звена к времени его движения должно изменяться в зависимости от технологических задач, поставленных перед механизмом. П. Л. Чебышев впервые даёт решение задачи о проектировании таких механизмов. Ему принадлежит приоритет в вопросе создания механизмов «выпрямителей движения», которые в самое последнее время получили применение в целом ряде конструкций современных приборов и таких передач, как прогрессивные передачи типа Вазанта, Константинеску и другие.

Используя свои механизмы, П. Л. Чебышев построил знаменитую переступающую машину, имитирующую

своим движением движение животного. Он построил так называемый гребной механизм, который имитирует движение вёсел лодки, самокатное кресло, дал оригинальную модель сортировальной машины и других механизмов. До сих пор мы с изумлением наблюдаем за движением этих механизмов и поражаемся богатой технической интуиции П. Л. Чебышева.

П. Л. Чебышеву принадлежит свыше 40 различных механизмов и около 80 их модификаций. В истории развития науки о машинах нельзя указать ни одного учёного, творчеству которого принадлежало бы столь значительное количество оригинальных механизмов.

Но П. Л. Чебышев решал не только задачи синтеза механизмов. Он на много лет раньше других учёных вывел знаменитую структурную формулу плоских механизмов, которая только по недоразумению носит название формулы Грюблера—немецкого учёного, открывшего её на 14 лет позднее Чебышева.

П. Л. Чебышев независимо от Робертса доказывает знаменитую теорему о существовании трёхшарнирных четырехзвенников, описывающих одну и ту же шатунную кривую, и широко использует эту теорему для целого ряда практических задач.

Научное наследство П. Л. Чебышева в области теории механизмов содержит такое богатство идей, которое рисует облик великого математика подлинным новатором техники. *

Теория наилучшего приближения функций. Для истории математики особенно важно то, что конструирование механизмов и разработка их теории послужили П. Л. Чебышеву исходной точкой для создания нового раздела математики—теории наилучшего приближения функций многочленами. Здесь П. Л. Чебышев явился пионером в полном смысле этого слова, совершенно не имея предшественников. Это—область, где он работал больше, чем в какой-либо другой, находя и решая всё новые и новые задачи и создав совокупностью своих исследований новую обширную ветвь математического анализа, продолжающую успешно развиваться и после его смерти. Первоначальная и простейшая постановка задачи имела началом исследование параллелограмма Уатта и заключалась в том,

чтобы найти многочлен данной степени, который меньше» чем все остальные многочлены той же степени, уклонялся бы от нуля в некотором заданном промежутке изменения аргумента. Такие многочлены П. Л. Чебышевым были найдены; впоследствии их назвали «полиномами Чебышева»*). Они обладают многими замечательными свойствами и в настоящее время служат одним из наиболее употребительных орудий исследования во многих вопросах математики, физики и техники.

Общая постановка задачи П. Л. Чебышева связана с принципиальными проблемами приложения математических методов к естествознанию и технике. Известно, что понятие функциональной зависимости между переменными величинами является основным не только в математике, но и во всех естественных и технических науках. Вопрос о вычислении значений функций для каждого данного значения аргумента встаёт перед каждым, кто изучает связи между различными величинами, характеризующими тот или иной процесс, то или иное явление. Однако непосредственное вычисление значений функций может быть произведено лишь для очень узкого класса функций: многочленов и частного двух многочленов. Поэтому уже давно возникла задача о замене вычисляемой функции близко к ней подходящим многочленом. Особенный интерес всегда возбуждала задача интерполяции, т. е. нахождения многочлена п-й степени, принимающего в точности те же значения, что и данная функция при л+1 заданных значениях аргумента. Формулы, предложенные знаменитыми математиками: Ньютоном, Лагранжем, Гауссом, Бесселем и другими, решают эту задачу, но обладают рядом недостатков. В частности, оказывается, что добавление одного или нескольких новых значений функции требует переделки всех вычислений заново, и, что еще важнее, увеличение числа п, т. е. числа совпадающих значений функции и многочлена, не гарантирует неограниченного сближения их значений при всех значениях аргумента. Более того, оказывается, что существуют такие функции, для которых при неудачном выборе значений аргумента, при которых значения функции и

*) См. Дополнение 3.

многочлена совпадают, может даже получиться удаление многочлена от приближаемой функции.

П. Л. Чебышев не мог примириться с такими серьёзными недочётами в вопросе, играющем выдающуюся роль и для теории и для практики, и подошёл к нему со своей точки зрения. В его постановке задача интерполяции преобразилась так: среди всех многочленов данной степени найти тот, который даёт наименьшие абсолютные величины разностей значений функции и многочлена при всех значениях аргумента в заданном интервале его изменения. Эта чрезвычайно плодотворная постановка оказала исключительное влияние на работы последующих математиков. В настоящее время существует огромная литература, посвященная развитию идей П. Л. Чебышева; в то же время расширяется круг задач, в которых методы, разработанные П. Л. Чебышевым, приносят неоценимую пользу.

Мы остановимся на краткой характеристике достижений П. Л. Чебышева ещё только в двух областях—теории чисел и теории вероятностей.

Работы в области теории чисел. Трудно указать другое понятие, столь же тесно связанное с возникновением и развитием человеческой культуры, как понятие числа. Отнимите у человечества это понятие и посмотрите, насколько обеднеет от этого наша духовная жизнь и практическая деятельность: мы потеряем возможность производить расчёты, измерять время, сравнивать расстояния, подводить итоги результатам труда. Недаром древние греки приписывали легендарному Прометею, среди прочих его бессмертных деяний, изобретение числа. Важность понятия числа побуждала виднейших математиков и философов всех времён и народов пытаться проникнуть в тайны расположения целых чисел. Особенное значение уже в древней Греции получило исследование простых чисел, т. е. чисел, делящихся без остатка лишь на себя и на единицу. Все остальные числа являются, следовательно, произведениями простых чисел, и, значит, простые числа являются теми элементами, из которых образовано каждое целое число. Однако результаты в этой области получались с величайшим трудом. Древне-греческой математикой был открыт, пожалуй, только один общий результат о простых числах, известный теперь под названием теоремы Эвклида.

Согласно этой теореме в ряду целых чисел имеется бесконечное множество простых. На вопросы же о том, как расположены эти числа, сколь правильно и как часто, греческая наука не имела ответа. Около двух тысяч лет, прошедших со времени Эвклида, не принесли сдвигов в эти проблемы, хотя ими занимались многие математики и среди них такие титаны математической мысли, как Эйлер и Гаусс. Эмпирические подсчёты, произведённые Лежандром и Гауссом, привели их к выводу, что в пределах известных им таблиц простых чисел среди всех первых л чисел приблизительно в In л*) раз меньше, чем число п. Точнее Лежандр установил, что в пределах первого миллиона число простых чисел, меньших чем л, приблизительно равно

а далее предположил, что это соотношение имеет место и при больших, чем миллион, значениях л. Это утверждение оставалось чисто эмпирическим фактом, установленным лишь для чисел в пределах первых десятков тысяч. Переносить его на большие значения л не было никаких оснований, путей же для строгого доказательства не было видно. В сороковых годах прошлого века французский математик Бертран высказал о характере расположения простых чисел ещё одну гипотезу: между п и 2л, где л— любое целое число, большее единицы, обязательно находится по меньшей мере одно простое число. Долгое время эта гипотеза оставалась лишь эмпирическим фактом, для доказательства которого пути совершенно не чувствовались.

Разбор научного наследства Эйлера пробудил интерес Чебышева к теории чисел и дал возможность проявиться здесь силе его математического таланта. Занявшись теорией чисел, П. Л. Чебышев совершенно элементарными методами установил ошибку в гипотезе Лежандра и исправил её. Вскоре П. Л. Чебышев доказал предложение, из которого постулат Бертрана вытекал немедленно как простое следствие, употребив при этом совершенно элементарный и исключительный по остроумию приём. Это

*) 1пл означает логарифм при основании е = 2,71828. ..

был величайший триумф математической мысли. Один английский математик того времени сказал, что для получения дальнейших сдвигов в вопросе распределения простых чисел требуется ум, настолько превосходящий ум Чебышева, насколько ум Чебышева превосходит ум обыкновенного человека. Мы не будем останавливаться на других результатах П. Л. Чебышева в теории чисел; уже сказанное в достаточной мере показывает, насколько мощен был его гений.

Работы по теории вероятностей. Мы перейдём теперь к тому разделу математической науки, в котором идеи и достижения П. Л. Чебышева получили решающее значение для всего дальнейшего его развития, определив на многие десятилетия, вплоть до наших дней, направление наиболее актуальных в нём исследований. Этот раздел математики называется теорией вероятностей. К теории вероятностей тянутся нити буквально от всех областей знания. Эта наука занимается изучением случайных явлений, течение которых нельзя предсказать заранее и осуществление которых при, казалось бы, одинаковых условиях может протекать совершенно различно, в зависимости от случая. Два основных закона этой науки— закон больших чисел и центральная предельная теорема—это те два закона, вокруг которых до самого последнего времени группировались почти все исследования и которые продолжают составлять собою предмет усилий большого числа специалистов в наши дни. Оба эти закона в их современной трактовке ведут своё начало от П. Л. Чебышева. Мы не станем останавливаться на предметном содержании этих законов. Созданный Чебышевым знаменитый элементарный метод позволил ему доказать с изумительной легкостью закон больших чисел в столь широких предположениях, какие не могли осилить даже несравненно более сложные аналитические методы его предшественников. Для доказательства центральной предельной теоремы П. Л. Чебышев создал свой метод моментов, продолжающий играть значительную роль и в современном математическом анализе, но доказательства до конца он довести не успел; его завершил позднее академик А. А. Марков (см. следующий параграф). Пожалуй, ещё более важное значение, чем фактические результаты Чебышева, для теории

вероятностей имеет то обстоятельство, что он возбудил интерес к ней своих учеников и создал школу своих последователей, а также то, что именно он впервые придал ей лицо настоящей математической науки. Дело в том, что в эпоху, когда П. Л. Чебышев начинал своё творчество, теория вероятностей как математическая дисциплина находилась в младенческом состоянии, не имея собственных, достаточно общих задач и методов исследования. Именно П. Л. Чебышев впервые создал ей недостававший идейный и методологический стержень и научил своих современников и последователей относиться к ней с той же суровой требовательностью (в частности, и в отношении логической строгости её выводов) и той же тщательной и серьёзной внимательностью и заботливостью, как ко всякой другой математической дисциплине. Такое отношение, в настоящее время разделяемое всем научным миром к даже единственно мыслимое, было для прошлого столетия новым и необычайным; и зарубежный мир научился ему от русской научной школы, в которой оно со времени Чебышева стало незыблемой традицией.

Последействие идей Чебышева. Мировая наука знает немного имён учёных, творения которых в различных отраслях их науки оказали бы такое значительное влияние на ход её развития, как это было с открытиями П. Л. Чебышева. В частности, подавляющее большинство советских математиков до сих пор благотворно ощущает на себе влияние П. Л. Чебышева, доходящее до них через посредство созданных им научных трацидий и направлений исследований.

§ 12. АНДРЕЙ АНДРЕЕВИЧ МАРКОВ

Биографические сведения. Развитие классических работ знаменитого русского математика Пафнутия Львовича Чебышева по теории вероятностей и создание нового, в настоящее время основного, направления исследований в этой науке тесно связаны с именем другого русского математика—Андрея Андреевича Маркова.

Андрей Андреевич Марков родился 14 июня 1856 г. в Рязанской губернии. Его отец сначала был сельским диаконом, но затем переехал в Петербург, где, получив

звание частного поверенного, успешно занимался адвокатской практикой.

Среднее образование А. А. Марков получил в гимназии. Он не был в числе лучших учеников; напротив, из гимназии неоднократно поступали жалобы на его неудачи по всем предметам за исключением математики. Были предупреждения отцу, что эта неуспеваемость может повести к исключению сына из учебного заведения. Впрочем, в последних классах самому Маркову занятия в гимназии были настолько тягостны, что он подумывал об оставлении её и переходе в техническое учебное заведение. Особенно досаждали ему древние языки.

Увлечение математикой у Маркова началось в гимназические годы. Уже тогда он приступил к самостоятельному изучению высшей математики. Эти занятия, как ему казалось, привели его к открытию нового метода интегрирования линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Метод, найденный, Марковым, был, однако, не нов в науке, но это первое самостоятельное открытие привело к знакомству с университетскими профессорами и навсегда определило его дальнейшие занятия.

Восемнадцати лет Марков окончил гимназию и поступил в Петербургский университет. В то время там читал лекции великий русский математик П. Л. Чебышев. Влияние Чебышева на развитие и направление научных интересов молодого студента оказалось решающим.

А. А. Марков.

Университет Марков окончил в 1878 г. с золотой медалью за научную работу «Об интегрировании дифференциальных уравнений при помощи непрерывных дробей». Через два года после этого он защитил магистерскую диссертацию и начал преподавать в Петербургском университете, сначала в качестве приват-доцента, а с 1886 г.— в качестве профессора.

Педагогическая деятельность Маркова была пронизана желанием дать предельно ясное и одновременно безупречно строгое изложение предмета без загромождения его материалом. Теорию он иллюстрировал мастерски подобранными примерами, разбираемыми, как правило, до числовых расчётов. Об этих особенностях Маркова-педагога мы можем судить не только по рассказам его учеников, но также по написанным им учебникам: «Исчисление конечных разностей» и «Исчисление вероятностей». Математические и литературные достоинства этих книг столь велики, что почти немедленно после появления их русского издания последовало издание их иностранных переводов. Что эти книги принадлежат перу настоящего мастера, вложившего в них много труда и любви, показывает и то обстоятельство, что, спустя десятилетия после их написания, они поражают свежестью и богатством заключённых в них идей. Нередко и теперь к книгам Маркова обращается как новичок, впервые приступивший к изучению науки, так и зрелый учёный, имеющий за своими плечами многолетний опыт научной деятельности. Педагогической работы Марков не прерывал до последнего года жизни, но с 1905 г. значительно сократил количество читаемых им курсов, вышел в отставку и продолжал преподавание лишь в качестве приват-доцента.

Уже через восемь лет после опубликования Марковым первой научной работы его научные заслуги были настолько велики, что по предложению П. Л. Чебышева Академия наук избрала его в 1886 г. адъюнктом; через четыре года он был избран экстраординарным академиком, а ещё через шесть лет—ординарным академиком.

Дальнейшая жизнь Маркова целиком посвящена науке. Свой последний мемуар он представил Академии наук всего лишь за несколько месяцев до смерти. Тяжё-

лый недуг свалил его в постель, и 20 июля 1922 г. он умер.

А. А. Марков как гражданин. А. А. Марков был не просто учёный, ничего не видящий за пределами своих узких интересов, это был учёный-борец. Всю свою жизнь он вступал в яростную борьбу со всем, что шло в разрез с его научными принципами. Его при этом не останавливали ни лица, против которых ему приходилось выступать, ни возможные последствия для его собственной карьеры. В этом отношении любопытна его многолетняя дискуссия с профессором Московского университета П. А. Некрасовым, в молодости не плохим математиком, а впоследствии реакционером и мистиком. Некрасов занимал крупные служебные посты и имел тесные связи с руководящими кругами Министерства народного просвещения. Именно эти годы служебных удач совпадают с деградацией его научного творчества и, вместе с тем, колоссальным увеличением его печатной продукции. Некрасов, будучи попечителем одного из учебных округов, а также автором учебников, имел серьёзное влияние на преподавание. Марков многократно и резко выступал устно и письменно, в печати и путём личной переписки против Некрасова, вскрывая не только вздорность учёных потуг последнего, но и вред всей его «просветительской» деятельности.

Не менее характерны для Маркова и другие эпизоды его жизни: отказ от чинов и орденов, резкие протесты против исключения М. Горького из числа членов Российской Академии наук, письмо в Синод с требованием отлучения его, Маркова, после того, как от церкви был отлучён Л. Н. Толстой, й пр.

Круг научных интересов. Научное творчество Маркова весьма разнообразно. Первые годы он интересовался теорией чисел, дифференциальными уравнениями, теорией функций и другими вопросами; позднее он целиком занялся теорией вероятностей. Результаты, полученные им в каждой из названных областей, способны были создать ему имя крупного учёного. Многие его работы воспринимаются и теперь как классические произведения математики и всё ещё продолжают питать идеями, методами и постановками задач новые поколения исследователей. Однако самые значительные достижения Маркова при-

надлежат теории чисел и теории вероятностей и, пожалуй, в первую очередь—последней из них, так как если в теории чисел он способствовал развитию одного-двух её разделов, то в теории вероятностей его труды привели не только к значительному прогрессу существовавших до него направлений, но и к коренному преобразованию всей этой науки. Эти работы принесли ему всемирную известность не только среди математиков, но и среди физиков, техников, естествоиспытателей. Именно здесь во всей полноте вскрылись сила, разносторонность и своеобразные черты его дарования. Именно эти исследования дали толчок к созданию и последующему бурному развитию основного в настоящее время раздела теории вероятностей— теории стохастических процессов—раздела математики, играющего крупную роль в современной теоретической физике, а также в математической обработке многих технических и естественно-научных теорий.

Первый период работ по теории вероятностей. Первые работы А. А. Маркова по теории вероятностей являются непосредственным продолжением и завершением исследований П. Л. Чебышева и относятся, во-первых, к установлению наиболее общих условий, при которых имеет место закон больших чисел, и, во-вторых, к доказательству центральной предельной теоремы теории вероятностей. П. Л. Чебышев сформулировал эту теорему, дал набросок метода её доказательства (метод моментов), но сам строгого доказательства не дал. Маркову удалось осуществить идеи П. Л. Чебышева и дать безупречное доказательство указанной теоремы в весьма широких условиях. Марков шёл очень сложным и остроумным путём через разложение в непрерывную дробь интеграла особого вида. В 1900—1902 гг. эти результаты Маркова были перекрыты академиком А. М. Ляпуновым, шедшим своим собственным путем, отличным от идей П. Л. Чебышева. При этом казалось, что теорема, сформулированная в таком виде, уже не может быть доказана методом Чебышева. Несколько лет Марков размышлял о том, каким способом можно восстановить честь метода моментов, и, наконец, нашёл исключительное по силе, простоте и изяществу доказательство теоремы А. М. Ляпунова. Это доказательство помещено в качестве дополнения к книге

Маркова «Исчисление вероятностей». Идея рассмотрения вместо заданных случайных величин других, почти совпадающих с ними, заложенная в этом доказательстве, до сих пор часто и плодотворно используется учёными в самых разнообразных случаях.

У читателя, далёкого от математики и её приложений, может возникнуть вопрос : какова же роль этих предложений, потребовавших так много труда и изобретательности от целого ряда первоклассных математиков, какое приложение они имеют за пределами узких интересов теории вероятностей?

Закон больших чисел состоит в следующем: среднее арифметическое очень большого числа случайных величин, принимающих свои значения независимо друг от друга, с практической достоверностью равно постоянной величине.

Для иллюстрации значения этого закона приведём два примера. Известно, что, как бы тщательно ни производилось какое-либо измерение, невозможно получить абсолютно точный результат, неизбежны ошибки. Поэтому в результате многократно повторяемых измерений мы получим ряд значений, вообще говоря, отличающихся друг от друга. Какое же из них считать истинным? Как его найти в этом ряду значений? Закон больших чисел как-раз и утверждает, что среднее арифметическое результатов отдельных измерений практически не будет отличаться от истинного значения измеряемой величины. В качестве другого примера рассмотрим давление газа на стенку сосуда. Это давление есть результат ударов о стенку отдельных молекул газа, двигающихся со скоростями, имеющими случайные значения. Таким образом, давление в каждой части поверхности сосуда должно быть подвержено случайным колебаниям, так как число и сила ударов являются делом случая. Но опыт учит, что давление на стенки сосуда распределяется равномерно. В чём же здесь причина? Закон больших чисел даёт нам на это ответ: так как давление складывается из огромного количества ударов отдельных частиц, то среднее арифметическое этих отдельных давлений (а значит, и всё результирующее давление) с практической достоверностью является постоянной величиной. Закон больших чисел, таким

образом, даёт нам представление о суммарном действии большого числа случайных величин.

Установить, в каких условиях справедлив закон больших чисел,—значит дать всему естествознанию и технике надёжную основу для применения этого важного закона. Это и сделал Марков. Но он сделал и дальнейший шаг.

Результаты отдельных измерений, отдельные значения случайных величин, вообще говоря, сильно отличаются от их среднего значения. Возникает вопрос: как часто случайная величина, имеющая различные значения, будет иметь какое-либо определённое значение? Так, например, какая часть мелекул газа, заключённого в сосуд, обладает данной скоростью?

Ответ на такие вопросы даёт центральная предельная теорема теории вероятностей. Она показывает, что независимо от природы случайных величин вероятности принимаемых ими значений подчиняются одному и тому же вполне определённому закону.

Благодаря этому артиллеристы овладели законом рассеяния снарядов и уверенно ведут стрельбу, несмотря на то, что тысячи случайных причин отклоняют снаряд от цели. Благодаря этому физики могут с непоколебимой уверенностью указать, какая доля из мириада молекул обладает той или иной скоростью, и т. д.

Дать доказательство этой теоремы—значит дать естествознанию и технике возможность предвидеть там, где господствует слепой случай и где, кажется, царит хаос.

Таково в общих чертах значение указанных теорем для естествознания.

Указанные исследования Маркова и всё, что делалось до него, относилось к так называемой схеме последовательности независимых случайных величин. Общая идея, заложенная в этой схеме, состоит в том, что случайные колебания рассматриваемых величин представляются как суммы взаимно независимых случайных величин. Она находит многочисленные приложения в различных вопросах естествознания и техники и остаётся одним из интереснейших объектов исследования в математике. Такие представления принесли огромную пользу, например, в целом ряде физических теорий (диффузия, броуновское движение и др.).

Второй период исследований по теории вероятностей.

Однако изложенная схема не в состоянии отобразить всего многообразия физических явлений. Огромное количество явлений физики, естествознания и техники протекает по более сложным законам. Так, например, нельзя считать независимыми крепости двух соседних отрезков пряжи, так как эти отрезки связаны между собой общими волокнами. Или же численности некоторых колоний бактерий за два близкие момента времени, конечно, нельзя считать независимыми, так как численность колонии в начальный момент оказывает значительное влияние на её дальнейшее развитие.

Математическую теорию, способную описать более сложные явления, начал строить и это строительство далеко продвинул Марков. Он предложил изучать с точки зрения теории вероятностей схемы, в которых предыдущие состояния системы влияют на состояние системы в последующие моменты. Если вероятность перехода системы из одного состояния в другое зависит только от этих состояний и не зависит от предыдущей истории развития системы, то такие переходы системы от состояния к состоянию Марков предложил называть простыми цепями. Если же эти вероятности зависят от предыдущих состояний, то он их назвал сложными цепями. Марков обнаружил, что основные теоремы, полученные для схемы независимых случайных величин, могут быть доказаны и для схемы сложных цепей. Это было колоссальным завоеванием науки.

В честь творца теории описанная схема названа «схемой цепей Маркова». Создавая свою теорию, он не имел перед собой каких-либо конкретных физических образов, а строил только новую математическую теорию. Поэтому, когда он захотел проиллюстрировать на примерах свои результаты, то обратился не к каким-либо физическим или техническим задачам, а исследовал зависимость в чередовании гласных и согласных в первых главах «Евгения Онегина» и «Детских годах Багрова-внука». Прошло, однако, немного лет, и «цепи Маркова» нашли широкие физические приложения в работах Планка, Эйнштейна и других учёных. Эти работы вызвали, в свою очередь, бурное развитие математических исследований в этой области. Видней-

шие учёные у нас и заграницей начали создавать новый раздел теории вероятностей—теорию случайных процессов.

Последействие идей Маркова. Каждая наука имеет свою армию энтузиастов-строителей. Одни из них скромно вкладывают отдельные кирпичики в здание, создаваемое по чужим проектам, другие же в грандиозном полёте мысли создают идеи новых строек и кладут основы их фундамента. Их ученики и продолжатели стремятся к завершению начатого ими строительства. Наш народ вправе гордиться своими зодчими в науке, одним из которых является и А. А. Марков. Мы можем гордиться тем, что в здании, создаваемом по его проекту, ужились в прекрасном содружестве интересы различных наук.

Лучшим памятником для учёного является развитие его исследований. А. А. Маркову такой памятник создан: его работы как в теории чисел и теории вероятностей, так и в других частях математики продолжают жить и развиваться спустя много лет после смерти их автора.

§ 13. АЛЕКСАНДР МИХАЙЛОВИЧ ЛЯПУНОВ

Биографические сведения. Краткий очерк о дореволюционном периоде Петербургской математической школы и наиболее выдающихся её представителях того времени мы закончим изложением жизни и деятельности гениального ученика Чебышева—Александра Михайловича Ляпунова. Вся сознательная жизнь этого учёного прошла в бескорыстном служении науке; вне науки для него не было жизни. И это служение, сопряжённое с годами упорного, настойчивого труда, полными самоотречения и бессонных ночей, насыщенными горечью неудач и радостью успехов, принесло плоды непреходящего научного значения.

А. М. Ляпунов родился 25 мая 1857 г. в Ярославле, куда перевелся незадолго перед тем его отец из Казани. Его отец много лет работал в Казанском университете астрономом и директором астрономической обсерватории; в Ярославль он приехал на пост директора Демидовского лицея. Начальное образование Ляпунов получил дома и в гимназию поступил только в 1870 г. сразу в третий класс. В гимназии он был в числе лучших учеников и окончил

её в 1876 г. с золотой медалью. В том же году он поступил на физико-математический факультет Петербургского университета. Профессорский коллектив факультета в то время был исключительно сильным по составу: в нем работали бессмертный Чебышев, академик Сонин, профессор Коркин, весьма культурный и знающий механик Бобылёв и др. Преподавание велось на уровне последних достижений науки. Профессора стремились возбудить интерес у учащихся к предмету; ежегодно факультет предлагал темы для самостоятельных научных работ. В 1880 г., будучи студентом четвёртого курса, Ляпунов за такое студенческое сочинение был награждён факультетом золотой медалью и оставлен при университете для подготовки к профессорскому званию по механике.

Вполне естественно, что Ляпунов в студенческие годы находился под сильным влиянием Чебышева. По собственному его признанию, с особенным увлечением он слушал лекции и пользовался советами великого учёного. Более того, вся дальнейшая научная жизнь Ляпунова протекла под влиянием идей и проблем, волновавших Чебышева; первые пять послеуниверситетских лет, а также последние семнадцать лет жизни были употреблены Ляпуновым на решение задачи, поставленной ему учителем.

В 1884 г. Ляпунов защитил магистерскую диссертацию, а через год был приглашён на кафедру механики Харьковского университета. Первые год-два харьковского периода его жизни ушли на подготовку конспектов лекций, и интенсивность его научной деятельности поэто-

А. М. Ляпунов.

му ослабла. Однако уже начиная с 1888 г. стала появляться серия его замечательных работ, посвященных проблемам устойчивости движения.

Исследования были настолько ценны,что могли составить предмет блестящей докторской диссертации, но Ляпунов был чрезвычайно строг к себе и отказывался от защиты диссертации, так как видел, насколько далеки его результаты от намеченных им целей. Предложение факультета утвердить его в звании и. о. профессора он отверг, хотя это увеличило бы его заработок вдвое. Он продолжал оставаться в должности доцента, тогда как его коллеги пользовались указанной возможностью улучшить своё материальное положение. Только в 1892 г. он предложил физико-математическому факультету Харьковского университета свою диссертацию «Общая задача устойчивости движения», доставившую ему всемирную известность.

В 1900 г. Ляпунов был избран членом-корреспондентом Академии наук, а через год—и действительным её членом. После избрания он переехал в Петербург и, бросив преподавание, целиком отдался научной работе.

Позднее он был избран членом Академии в Риме и членом-корреспондентом Парижской Академии наук. События последних семнадцати лет его жизни—японская и германская войны, революции — сильно волновали Ляпунова, бывшего не только учёным, но и страстным патриотом.

Последний период его жизни насыщен научными открытиями первостепенной важности, исключительными по яркости руководящих идей, виртуозности аналитических выкладок и тонкости употреблённых методов.

В 1917 г. Ляпунов уехал в Одессу с целью поправить здоровье жены, болевшей туберкулёзом. Однако эта поездка больной облегчения не принесла, и её состояние с каждым днём ухудшалось. В то же время пришло известие, что его имение и находившаяся в нём богатая библиотека сгорели. Сообщение с Петербургом было прервано. Возможность продолжать научную работу, в связи с необходимостью ухода за женой, полностью исчезла. Душевное состояние учёного вышло из равновесия и привело к катастрофе: в день смерти жены он выстрелил в себя. Рана была тяжелой, и принятые меры уже не могли спасти

его. Через три дня, 3 ноября 1918 г., в день похорон жены, он скончался.

Научные интересы. Мы перейдём теперь к краткому описанию тех областей математики, в которых работал Ляпунов.

Его магистерская диссертация, а также все работы, написанные им начиная с 1901 г., посвящены одной единственной задаче—построению теории фигур равновесия однородной вращающейся жидкости. Эту задачу ему поставил Чебышев, предупреждая его при этом о тех нечеловеческих трудностях, которые должны встретиться на пути её решения. Всё же Чебышев рекомендовал взяться за неё, убеждая его, тогда ещё молодого человека, только приступавшего к научной деятельности, в том, что заниматься следует лишь серьёзными и сложными вопросами, если он действительно способен к научному творчеству. Только на преодолении препятствий, перед которыми отступили другие, только на разыскании путей, которых не смогли найти другие, можно проявить человеку свой талант. Но, по Чебышеву, не любая трудная задача должна становиться делом жизни учёного. Силы, время и способности учёный может и должен тратить на решение только тех задач, которые актуальны в науке, которые действительно продвигают её вперёд. Ляпунов твёрдо усвоил убеждения учителя и в своей дальнейшей работе ни на шаг не отходил от них.

Другой большой темой, поглотившей на свою разработку добрый десяток лет его жизни, было создание общей теории устойчивости движения, до Ляпунова, можно сказать, совершенно не существовавшей.

К харьковскому же периоду жизни относятся его работы в области математической физики, а также в области теории вероятностей. Одни они способны создать немеркнущую славу Ляпунову, а ведь не они составляют основные результаты его творческой деятельности.

В теории вероятностей Ляпунову удалось доказать центральную предельную теорему, о которой мы говорили в предыдущем параграфе, в исключительно широких условиях. Собственно говоря, условие Ляпунова было более чем достаточным для всех возможных практических приложений. Двадцать лет понадобилось для того, чтобы

результат Ляпунова был перекрыт! Однако эти позднейшие работы не внесли существенно новых идей, которые позволили бы ещё подробнее вскрыть причины, в силу которых существует для случайных величин такая общая закономерность. Эта предельная теорема теории вероятностей теперь носит имя Ляпунова и излагается во всех курсах теории вероятностей и математической статистики.

Для доказательства этой замечательной теоремы Ляпунов разработал новый метод, явившийся зародышем современного, очень мощного метода теории вероятностей—метода так называемых характеристических функций.

В математической физике Ляпунов исследовал так называемую задачу Дирихле, к которой сводятся основные проблемы движения жидкости, электричества и др. Эти его результаты получили всеобщее признание и вошли во все полные учебники и трактаты по уравнениям математической физики. В процессе доказательства своих результатов ему пришлось ввести понятие об особых поверхностях, которые получили в науке название поверхностей Ляпунова.

Интересно заметить, что работы Ляпунова как в математической физике, так и в теории вероятностей были стимулированы необходимостью подготовки к прочтению соответствующих предметов студентам университета.

Фигуры равновесия. Вопрос о фигурах равновесия жидкой однородной вращающейся массы, все частицы которой притягиваются по закону Ньютона, возник ещё во времена Ньютона. Важность этой задачи диктуется запросами астрономии, стремящейся разобраться в процессах, совершающихся во вселенной. Как образовались планеты, откуда и как произошла солнечная система?—Вот два вопроса из огромного числа задач, возникающих перед исследователем. Ответ на эти вопросы в значительной степени зависит от решения задачи о фигурах равновесия.

Несмотря на то, что ко времени Ляпунова эта задача насчитывала уже почти двухсотлетний возраст и ею занимались выдающиеся математики—Маклорен, Лаплас, Лагранж, Якоби и др., она была далека от решения. Более того, в ней имелись только отдельные строго доказанные факты, отдельные догадки и нестрого

установленные результаты. Было, в частности, известно, что возможны фигуры равновесия, являющиеся эллипсоидами вращения (эллипсоиды Маклорена). Общей теории фигур равновесия не существовало.

Чебышев, сам не занимаясь проблемами математической физики, серьёзно ею интересовался. Вопрос о фигурах равновесия он глубоко обдумал и предлагал в качестве темы работы ряду учёных—Золотарёву, Ковалевской и др., находившимся в сфере его влияния. На его призывы откликнулся только Ляпунов.

Задачу Чебышев сформулировал так: пусть при некоторой скорости о) вращающейся однородной жидкости эллипсоид является возможной фигурой равновесия. Какие фигуры равновесия возможны при несколько большей скорости ü) + o, где s невелико?

Два года (1882 и 1883) Ляпунов усердно работал над задачей Чебышева, получил уравнения для первых приближений, из этих уравнений сделал ряд выводов и мог по ним судить о характере явления. Эти исследования явились предметом его магистерской диссертации (1884 г.). В это же время знаменитые английские физики Томсон (лорд Кельвин) и Тэт выпустили новое издание своего трактата по физике, в котором поместили резюме результатов пятнадцатилетних размышлений по этому же вопросу. Их результаты составляли лишь часть результатов диссертации Ляпунова, а ведь своими результатами Ляпунов был совсем недоволен, считая, что самой задачи Чебышева он не решил. Согласно Ляпунову, только полное решение, а не первые приближения к нему, способно дать настоящий ответ на вопросы естествоиспытателя, и по этой причине он не стал публиковать всей своей диссертации, а опубликовал лишь часть её. Исследования Ляпунова остались известными только узкому кругу лиц и не стали всеобщим достоянием. Лишь двадцать лет спустя француз Le Davaut перевёл магистерскую диссертацию Ляпунова на французский язык и напечатал её в одном из крупнейших и старейших французских журналов—«Annales de Toulouse». Несколько позднее Ляпунова часть его результатов получил, тогда ещё молодой, французский ученый Анри Пуанкаре (1854—1912 гг.); не заботясь о строгости доказательств, а порой пользуясь только до-

гадками и интуицией, он опубликовал их. Труд Пуанкаре вызвал научную сенсацию, и за него он немедленно был избран членом Парижской Академии наук, получил золотую медаль английского Королевского общества (Английская Академия наук) из рук его президента. А ведь результаты Пуанкаре были лишь частью результатов магистерской диссертации Ляпунова.

Только в 1901 г. Ляпунов взялся вновь за задачу Чебышева и в ряде мемуаров чрезвычайно тонкими и сложными приёмами добился её решения, но на это он потратил семнадцать лет своей жизни. И потратил их не напрасно. Теперь для всех бесспорно, что большая часть того, собственно, почти все, что известно человечеству о фигурах равновесия движущихся жидких масс, является делом таланта и настойчивости в достижении цели, проявленных Ляпуновым.

Многим может показаться, что погоня Ляпунова за строгостью была прихотью чудака-математика. Во всяком случае награды, полученные Пуанкаре, показывают, что наука приближённые результаты оценила чрезвычайно высоко. Время же показало, что Ляпунов было прав,— наука не терпит неточных решений на-глаз.

В начале XX века один из выдающихся сыновей великого естествоиспытателя Дарвина, астроном Дарвин (1845— 1912 гг.), выступил с космогонической теорией, выводы которой опирались на нестрогие результаты Пуанкаре о том, что жидкие вращающиеся массы грушевидной формы устойчивы. Точные подсчёты Ляпунова показали, что исходная предпосылка Дарвина ложна. Спор продолжался ряд лет и закончился полной победой Ляпунова.

Устойчивость движения. Гениальность учёного проявляется не только в том, что он способен найти пути там, где его предшественники отступали перед непреодолимой сложностью проблемы, но также и в том, что результаты и методы, разработанные им по какому-либо частному поводу, впоследствии оказываются необходимой предпосылкой развития целого ряда новых областей науки. Ляпунов в полной мере обладал обоими этими качествами.

Интерес к построению теории устойчивости движения, несомненно, в значительной мере был пробуждён у Ляпу-

нова его исследованиями по теории фигур равновесия. В этой области Ляпунов почти не имел предшественников, были только разрозненные попытки приближенных построений для доказательства устойчивости движения в различных частных случаях, принадлежавшие уже названным английским учёным Томсону и Тэту, французскому математику А. Пуанкаре, а также русскому механику Жуковскому. Общей теории не существовало.

В ряде мемуаров 1888—1892 гг. Ляпунов дал такую теорию в предпосылках, вполне достаточных во всех наиболее важных для практики случаях. А что практика, притом практика нашего времени, нуждается в такой теории, читатель легко увидит на следующем примере. Часто говорят, что мы живём в век авиации. И это верно,—авиация играет огромную роль в нашей жизни, без неё мы уже не мыслим себе дальнейшего прогресса человечества. Так вот, прежде чем выпустить самолёт не только в эксплоатации), но и в производство, необходимо его рассчитать во всех деталях. Немаловажной деталью является его устойчивость в полёте. Ведь что было бы, если бы самолёт в полёте был неустойчив, а в процессе своего движения был непослушен пилоту, по любому ничтожному поводу выходил бы из равновесия и двигался бы путём, который невозможно заранее предсказать. Очевидно, что это означало бы практическую невозможность полетов, практическое отсутствие авиации. И история авиации знает не мало примеров, когда отсутствие предварительных расчётов конструкции на устойчивость приводило к катастрофам. В настоящее время каждая новая конструкция рассчитывается на устойчивость в полёте. В этих расчетах теории Ляпунова отводится решающее место.

Понятно, что в настоящее время дальнейшая разработка теории устойчивости привлекает внимание большого числа учёных, и, таким образом, наука, построенная Ляпуновым, живёт и развивается, хотя со времени появления его докторской диссертации прошло уже свыше пятидесяти лет. Многие области естествознания и техники (радиотехника, теория механизмов и пр.) пользуются её результатами.

Педагогическая деятельность. Ляпунов был в первую очередь учёным, преподавание не было его стихией; тем не менее, и на этом поприще он имел огромный успех.

Как и ко всякой своей обязанности, он относился к чтению лекций и ведению практических занятий со студентами с исключительной строгостью к себе. Недаром первые годы его преподавательской деятельности в Харькове ушли на составление конспектов и записок для студентов. На все предложения издать эти произведения, обладавшие несомненными достоинствами, Ляпунов отвечал неизменным отказом,—работа, написанная для себя и для узкого круга учеников, казалась ему недостаточно обработанной. На большую дополнительную трату времени с целью её отделки он не мог итти, так как это вновь надолго оторвало бы его от основного призвания—науки.

Молодёжь всегда обладает исключительной чуткостью и за несовершенной формой сразу способна угадать исключительное содержание, если только оно существует. На первых порах своей преподавательской деятельности Ляпунов не производил эффектного впечатления: первую лекцию он читал тихим голосом, заикаясь, да, вдобавок, он почти не отличался по возрасту от своих слушателей. Однако, с первой же лекции студенты разгадали в нём большого учёного, преданного своему делу и желающего раскрыть перед ними всё богатство, содержавшееся в предмете; и он занял в жизни студентов совершенно исключительное место. Вот, что писал один из учеников Ляпунова— академик В. А. Стеклов—в некрологе, посвященном памяти учителя.

«А. М. занял совершенно особое положение в глазах студентов: к нему стали относиться с исключительно почтительным уважением. Большинство, которому не чужды интересы науки, стали напрягать все силы, чтобы хоть немного приблизиться к той высоте, на которую вёл А. М. своих слушателей. Развился особый стыд перед ним за своё незнание, большинство не решалось даже заговаривать с ним единственно из опасения обнаружить передним своё невежество. Благодаря этому получилась даже довольно своеобразная организация: курс выдвинул как бы одного уполномоченного, к которому товарищи обращались со всеми своими недоразумениями, а это одно лицо должно было уже от себя лично вести беседы с А. М., приняв на себя обязанность за всех краснеть от стыда в случае какого-либо явного промаха.

Впоследствии же А. М. с наивным удивлением спрашивал у меня, почему так мало студентов обращаются к нему за различными научными разъяснениями».

Отношение к науке. Мы уже говорили о том, что для Ляпунова целью всей его жизни было служение науке. Этой цели он отдавал всего себя. Работал он целый день и засиживался до 4-5 часов ночи, а порой обходился и вовсе без сна.

Внешне он производил впечатление замкнутого, хмурого человека. Поглощённый своими размышлениями, он не видел и не слышал окружающих. Нередко, находясь в обществе, он душой был у себя в кабинете и не замечал своего собеседника. Такого рода рассеянность свойственна в той или иной степени многим людям науки; не станем их упрекать за неё, так как часто ум, направленный на разрешение той или иной проблемы, находит недостающие звенья доказательства или даже путь решения совсем не в те часы, которые отведены для размышлений. Всем, кто хотя бы немного работал творчески, известна эта направленность, концентрация мысли на определённом объекте изучения. Для настоящего творца нет строго очерченного времени работы, он не выносит духа канцелярии. Недаром известно много случаев, когда работа мысли продолжается и ночью. Долгие месяцы исканий во многих направлениях оканчивались неудачами, а ночью неожиданно решение являлось с полной ясностью: на утро оставалось его только записать.

Мы уже видели, что Ляпунов не терпел нестрогих доказательств и считал, что если что-либо доказано не полностью, то это совсем не доказано. Интересно следующим словам А. Пуанкаре: «можно сделать много возражений, но в механике нельзя требовать такой же строгости, как в чистом анализе», сказанным по поводу его упоминавшихся исследований, противопоставить высказывание Ляпунова. В работе «О проблеме Чебышева» он писал: «Непозволительно пользоваться сомнительными суждениями, коль скоро мы решаем определённую задачу, будь то задача механики или физики — всё равно, как только задача поставлена совершенно определённо с точки зрения математики, она становится тогда задачей чистого анализа и должна трактоваться как таковая».

Заметим, вдобавок, что, как уже мы видели на эпизоде с защитой докторской диссертации, на науку Ляпунов не смотрел как на источник материального благополучия.

Вопросы средней школы. Как мы уже говорили, Ляпунов вопросы преподавания в университете не считал для себя основными; тем более это справедливо по отношению к вопросам преподавания в средней школе. Однако с необходимостью продумать кое-что и в этой области он столкнулся, будучи избранным в комиссию по обсуждению некоторых вопросов, касающихся преподавания математики в средней школе, созданной при Академии наук. Эта комиссия в составе академиков Ляпунова, Маркова и Стеклова и членов-корреспондентов Бобылёва, А. Н. Крылова и Цингера была создана для того, чтобы дать отпор проектам профессора П. А. Некрасова, о котором мы имели случай сказать в предыдущем параграфе. Предложения Некрасова нашли в её лице резкий отпор. Вот как сформулировали своё отношение к ним члены комиссии: «Взгляды П. А. Некрасова давно известны математикам, но, пока они находили место лишь в специальных математических журналах, их можно было считать безвредными». С тех же пор, как автор проектов начал пропагандировать их на страницах более распространённых изданий, молчать о них стало нельзя. И комиссия заявила, что с проектами Некрасова «... связана попытка воздействовать при помощи математики на нравственно-религиозное и политическое миросозерцание юношества в наперёд заданном направлении. Комиссия полагает, что вышеупомянутые заблуждения и ошибочные толкования основ науки и злоупотребления математикой с предвзятой целью превратить чистую науку в орудие религиозного и политического воздействия на подрастающее поколение, проникнув в жизнь школы, принесут непоправимый вред делу просвещения».

§ 14. СОФЬЯ ВАСИЛЬЕВНА КОВАЛЕВСКАЯ

Детство. Софья Васильевна Ковалевская родилась в Москве 15 января 1850 г. в семье артиллерийского генерала Корвин-Круковского, занимавшего должность начальника арсенала. Через восемь лет после этого её отец вышел

в отставку и поселился с семьёй в своём имении Палибино (Витебская губерния), в котором и прошло всё детство Ковалевской. Родители мало интересовались воспитанием детей, предоставив заботы об этом нянькам и гувернанткам —сначала француженке, а затем англичанке. Быть может, последней Ковалевская обязана тем, что в ней воспитались поразительная работоспособность, усидчивость и аккуратность, так мало вязавшиеся с помещичьей деревенской жизнью.

Под влиянием своего дяди, интересовавшегося поверхностно всем, без системы много читавшего, она пристрастилась к чтению; с утра забиралась в библиотеку и запоем читала романы, журналы, научные книги, пренебрегая наказаниями, накладываемыми гувернанткой за чтение неразрешённой ей литературы. Дядя пристрастил её и к занятиям математикой, увлекательно рассказывая о квадратуре круга и о некоторых понятиях современной математики. Развитию этих интересов, как вспоминала Ковалевская, способствовало следующее обстоятельство. При ремонте дома не хватило обоев; для того, чтобы не обращаться в далёкий Петербург, было решено оклеить её комнату какой-либо бумагой. На оклейку пошёл курс дифференциального и интегрального исчислений известного математика М. В. Остроградского, лекции которого в молодости слушал генерал. Часами простаивала девочка около стен, пытаясь понять смысл формул и чертежей, а также сопоставить их с рассказами дяди. Впоследствии, когда она с разрешения родителей брала по зимам частные уроки у прекрасного петербургского преподавателя А. Н. Странолюбского, этот последний поражался той быстроте, с какой

С. В. Ковалевская.

ученица схватывала новые понятия и теоремы. Порой ему казалось, как он говорил, что она «наперёд их знала». И дело, действительно, было в том, как вспоминала Ковалевская, что в ту минуту, «когда он объяснял мне эти понятия, мне вдруг живо припоминалось, что всё это стояло на памятных мне листах Остроградского, и самое понятие о пределе показалось мне довольно знакомым».

Увлечение математикой было настолько сильным, что девочка забывала обо всех остальных предметах. Отец сначала хотел наложить запрет на это увлечение дочери, но затем, по совету своего друга профессора физики Морской Академии Тыртова, нашедшего у девочки исключительные математические способности, отменил своё решение.

С тех пор эта страсть Ковалевской поощрялась домашними и составляла их гордость; именно тогда ей и разрешили брать частные уроки у Странолюбского.

Фиктивный брак. Однако о настоящем дальнейшем образовании Ковалевская мечтать не могла: в России, а также почти всюду на Западе доступ в высшие учебные заведения женщинам был запрещён. Ни страстное желание учиться, ни таланты не способны были сломить убеждений того времени о вреде женского образования, о том, что оно ни к чему хорошему повести не может. Положение замужней женщины было несколько свободнее: она могла поехать заграницу, в Цюрихский (Швейцария) политехнический институт, куда допускались женщины. Девушка же была крепко привязана к родителям, и её отъезд из дома считался несмываемым позором. Наиболее смелые из девушек шли на всё, лишь бы отвоевать себе право учиться. Одним из довольно широко практиковавшийся приёмов завоевания себе свободы были фиктивные браки, на которые в шестидесятых-семидесятых годах была настоящая эпидемия. Софья Ковалевская пошла именно по этому пути и в 18 лет фиктивно вышла замуж за Владимира Онуфриевича Ковалевского, ставшего впоследствии одним из основателей современной палеонтологии.

Через год молодые уехали заграницу—жена в Гейдельберг (Германия), а муж—в Вену (Австрия).

Годы учения. Добиться разрешения на посещение лекций, даже в качестве вольнослушательницы, в Германии было не легче, чем в России. Проректор отказался взять на

себя смелость выдать «такое неслыханное разрешение». Всё же, благодаря усилиям спешно вызванного из Вены В. О. Ковалевского, сославшегося на своего старшего брата, учёного (зоолога) с европейским именем, удалось получить разрешение на посещение лекций двух-трёх профессоров. Со всей страстью Ковалевская отдалась любимой науке. Вскоре она почувствовала потребность в более серьёзном руководстве. Её мысли стремились в Берлин, где работал один из крупнейших германских математиков того времени—Карл Вейерштрасс (1815—1897).

В 1871 г. Ковалевская покинула Гейдельберг, но в Берлин попала не сразу: ей и её мужу с опасностью для жизни пришлось пробираться в Париж, только что взятый войсками Тьера, и спасать от расстрела старшую сестру Ковалевской (бежавшую из дома) и её фактического мужа Жаклар, одного из видных деятелей Парижской Коммуны, организовав им побег из тюрьмы.

В Берлинский университет Ковалевскую даже не допустили. Казалось, что все надежды рушились. Но это не остановило Ковалевскую. Она отправилась на дом к Вейерштрассу и со всей присущей ей горячностью просила, чтобы тот согласился заниматься с ней частным образом. Вейерштрасс, желая отвязаться от посетительницы, предложил ей очень трудные задачи. Каково же было его изумление, когда эти задачи были быстро решены. Он убедился в незаурядных способностях Ковалевской и согласился на её просьбу. Повидимому, велико было впечатление от таланта посетительницы: ведь известно, что Вейерштрасс был одним из самых ярых противников женского образования и ратовал за недопущение женщин в германские университеты. Он, как и многие другие выдающиеся учёные, считал, что «женщины нашего времени, независимо от расы и национальности, не годятся для выдающихся научных работ». Скоро, по крайней мере по поводу одной из женщин, ему пришлось изменить своё мнение; он писал: «Что касается математического образования Ковалевской, то могу заверить, что я имел очень немногих учеников, которые могли бы сравниться с ней по прилежанию, способностям, усердию и увлечению наукой». В 1874 г. эта оценка нашла своё реальное осуществление, когда по ходатайству Вейерштрасса Геттингенский уни-

верситет присудил Ковалевской степень доктора философии.

Самостоятельные исследования. К этому времени Ковалевская успела испытать свои творческие силы: она закончила три серьёзных работы, принятые к печати в лучшие математические журналы того времени. Понятно, что в выборе тем исследований, а также в методах и приёмах работы сказывалась школа Вейерштрасса, но это влияние учителя вполне естественно. О разнообразии же математических интересов и широте познаний Ковалевской лучше всего расскажут названия её работ: «О форме колец Сатурна», «О приведении некоторого класса Абелевых интегралов к эллиптическим интегралам», «К теории дифференциальных уравнений в частных производных».

Безусловно, наиболее значительной была третья из названных работ, про которую Вейерштрасс говорил, что это—«труд, который будет принадлежать к самым интересным работам десятилетия». Оценка Вейерштрасса оправдалась в полной мере, и теорема Ковалевской о системах дифференциальных уравнений излагается теперь во всех курсах по теории дифференциальных уравнений в частных производных. Задача состояла в установлении таких достаточно широких условий, при которых система линейных дифференциальных уравнений имеет решение.

Для приложений эта задача чрезвычайно важна, так как мы уже не раз отмечали, что большинство физических и технических задач сводится в своей математической части к решению одного или системы нескольких дифференциальных уравнений. Но спрашивается: всегда ли полученная система имеет решение, т. е. всегда ли можно найти такие функции, которые при подстановке в уравнение обращают его в тождество? Мы из элементарной математики хорошо знаем, что не всякие уравнения могут быть решены, и, например, система уравнений

sin X + cos у = 2, 2 sin х cos у = 1 не имеет решения*).

*) В этом легко можно убедиться следующим образом: из данных уравнения следует, с одной стороны, что

Это исследование Ковалевской не потеряло своего значения и до наших дней: оно вошло во все современные учебники теории дифференциальных уравнений в частных производных в виде одной из важнейших глав под названием «системы Ковалевской».

Как высоко оценивал Вейерштрасс указанную работу, говорит одно место из его писем к Ковалевской: «Твоё замечание об уравнениях с частными производными много объяснило мне в этом вопросе и служило мне побуждением к интересным исследованиям. Я желаю, чтобы в будущем моя дорогая ученица этим путём вознаграждала своего учителя и друга».

Такая похвала особенно ценна в устах нелюдимого, замкнутого математика, чьё «интеллектуальное превосходство»— по словам современников—«скорее подавляло его слушателей, чем привлекало их на путь самостоятельного творчества».

Жизнь в России, страсть к спекуляциям. Годы учения остались позади. Приехав в Германию молодой 19-летней девушкой, полной только одним желанием учиться и познавать, Ковалевская через пять лет превратилась в хорошего учёного, владеющего методами современной ей науки, имеющего у себя за плечами труды, которыми мог гордиться любой крупный математик. Ковалевские вернулись в Россию и поселились в Петербурге. Но на родине знания, таланты, научная страстность Ковалевской не могли найти в ту пору никакого применения: ведь если женщины не допускались в высшие учебные заведения даже в качестве вольнослушательниц, то разве мог кто-нибудь представить себе женщину в качестве профессора? В лучшем случае ей могли поручить занятия по арифметике с восьми-двенадцатилетними девочками. Живая преподавательская и научная карьера в России для неё была закрыта. Ковалев-

но, с другой стороны,

(sin X + cos у)2 — 2 siп х cos у = sin2 х + cos2y;

отсюда должно быть

sin2 x + cos2y = 3.

Однако при любых вещественных х и у sin2 х< 1, ces2у < 1; поэтому предыдущее равенство невозможно.

екая со всей присущей ей страстностью бросилась в другую крайность: покончила с научными занятиями и увлеклась ролью светской дамы. В те годы Россия переживала бурную промышленную и строительную горячку; представители самых различных слоев населения с увлечением отдавались спекулятивным махинациям. Состояния росли на глазах у всех. Соблазн быстрого и лёгкого обогащения преследовал многих; моральные принципы, призвание к научной деятельности—всё приносилось в жертву жажде богатства. Ковалевская не была исключением. Она увлекла мужа идеей обогащения. Всё это только ещё больше отдаляло Ковалевскую от науки. Переписка с Вейерштрассом, регулярная в первое время петербургской жизни, прекратилась с её стороны. Напрасно пытался старый учитель вновь пробудить в ней любовь к науке, к знанию. Одного из своих учеников, шведского математика Миттаг-Леффлера, Вейерштрасс попросил заехать в Петербург и вновь воскресить Ковалевскую для науки. Всё напрасно. Ковалевская приняла его неохотно, так как «мысленно уже порвала с математиками».

Не могли разбудить научные интересы Ковалевской и старания Чебышева, предлагавшего ей и прекрасные темы исследований и пригласившего её выступить с докладом на всероссийском съезде естествоиспытателей.

Честность Ковалевского, его неприспособленность к тёмным махинациям принесли ему только неудачи, потери, долги. В 1880 г. Ковалевские решили уйти от несвойственной им спекулятивной жизни, переехали в Москву с целью отдаться научной деятельности. Но было уже поздно, вскоре спекулятивная горячка вновь овладела Ковалевским, он попал в руки тёмных дельцов, запутался в расставленных ими сетях и в 1883 г. нашёл для себя единственный выход в самоубийстве.

Надежда Ковалевской получить в Москве разрешение на сдачу магистрантских испытаний провалилась. Министр народного просвещения Сабуров на просьбу московских профессоров разрешить Ковалевской сдачу экзаменов ответил, примерно, так: не только Ковалевская, но и её дочь успеют состариться, прежде чем женщин будут допускать в университет. В России для женщины исключительного таланта, исключительной энергии места

не нашлось, и в 1881 г. она порвала с прошлым, уехав в Берлин.

Второй творческий период. Житейские бури, связанные со смертью мужа, приведением в порядок его дел прошли. Ковалевская оправилась от потрясений организма, полученных ею при попытке после смерти мужа покончить счёты с жизнью путём самоубийства. Постепенно к ней вернулись силы и желание настоящей большой работы. В 1883 г. она принялась за исследование явления прохождения света через кристаллы с двойным преломлением. Эту свою работу она доложила на VII съезде русских естествоиспытателей и врачей, состоявшемся в Одессе. Мысль об этой работе возникла у неё при просмотре очередных номеров математических журналов, где она встретилась со статьёй французского физика Ламе, посвященной той же теме. Математическая трактовка вопроса и выдвинутые автором предпосылки её не удовлетворили, и она взялась за создание собственной теории этого явления. С точки зрения математики это были те же системы дифференциальных уравнений, для которых следовало найти решение и сделать из них физические выводы.

Нужно заметить, что путь, который привёл Ковалевскую к теме её исследования, является общим для всех исследователей: ознакомление с работами других учёных наводит на новые мысли, вызывает свежие ассоциации, помогает проводить параллели между далёкими вопросами науки. И нельзя найти ни одного крупного учёного, который бы придумывал темы своих работ из головы. Все действительно крупные научные события возникают из глубокого изучения науки. Плох тот учёный, который перестал следить за текущей литературой, перестал творчески её осмысливать; с этого момента он перестал быть учёным.

Однако сила таланта Ковалевской в наибольшей степени проявилась в другой её работе, принесшей ей всемирную известность. Работа касалась исследования движения твёрдого тела вокруг неподвижной точки. Величайшие учёные Л. Эйлер, Лагранж (1736—1813), Пуансо (1777—1852) занимались этим вопросом и указали отдельные частные случаи его решения. Многие годы упорного труда крупнейших математиков не принесли дальнейшего сдвига. Французская Академия наук дважды объявляла конкурс на исследова-

ния, которые принесли бы развитие этому важному вопросу механики. Всё напрасно—серьёзных успехов не достигал ни один из участников конкурсов, премии не присуждались никому. Недаром Ковалевская писала, что «в истории математики не много вопросов, которые, подобно этому, заставляли бы так сильно желать своего решения и к которым было бы приложено столько лучших сил и упорного труда, не приводивших, в большинстве случаев, к существенным результатам. Не даром среди немецких математиков он носит название математической русалки».

На 1888 г. Парижская Академия наук объявила очередной конкурс на ту же тему. На этот раз премия была присуждена работе под девизом «Говори, что знаешь; делай, что обязан; будь, чему быть». Это сочинение было признано «замечательным трудом», значительно продвинувшим науку вперёд; его автору присудили премию, увеличенную с 3000 до 5000 франков. Каково же было удивление членов комиссии, когда оказалось, что победителем конкурса оказалась женщина—С. В. Ковалевская.

«Можно себе представить,—писала она,—как я была счастлива, когда мне удалось достигнуть действительно крупного результата и сделать в решении столь трудного вопроса важный шаг вперёд».

Конечно, успех Ковалевской не был случайностью: всей своей предыдущей работой она подготовила его; она привыкла выбирать для себя действительно серьёзные проблемы науки и тратить свои силы на них, а не на лёгкие упражнения.

Задолго до конкурса в письме к одной из своих знакомых Ковалевская писала: «Новый математический труд, недавно начатый мною, живо интересует меня теперь, и я не хотела бы умереть, не открыв того, что ищу. Если мне удастся разрешить проблему, которою я занимаюсь теперь, то имя моё будет занесено среди имён самых выдающихся математиков».

Вскоре за дальнейшее исследование в этой же области Шведская Академия наук присудила ей премию в 1500 крон. Дальнейшим её планам, о которых виднейшие математики отзывались, как о гениальных, осуществиться не удалось: в расцвете сил она заболела воспалением лёгких и 10 февраля 1891 г. умерла.

Педагогическая и литературная деятельность. Мы уже говорили, что в России Ковалевская не могла найти в то время применения своим талантам. В связи с этим Миттаг-Леффлер несколько раз делал попытку привлечь её к преподаванию сначала в Гельсингфорс, а затем во вновь открытый (в 1878 г.) шведский университет в Стокгольме. Ковалевская решилась на это только в январе 1884 г. Первый её курс прошёл с большим успехом. Скептики были уничтожены. Основываясь на этом, Миттаг-Леффлер добился для неё штатной профессуры в Стокгольме. Ковалевская в Швеции пользовалась большой популярностью, и многие называли её «наш профессор Sonya». В России же, даже после всех её научных успехов, места и дела ей всё же не нашлось. Интересно привести высказывание президента Императорской Санкт-Петербургской Академии наук великого князя Константина Константиновича о возможности привлечения Ковалевской, находившейся тогда в зените славы, к работе в России. Вот оно: «Так как доступ на кафедры в наших университетах совсем закрыт для женщин, каковы бы ни были их способности и познания, то для г-жи Ковалевской в нашем отечестве нет места столь же почётного и хорошо оплачиваемого, как то, которое она занимает в Стокгольме».

Однако математики иначе ценили её заслуги, и в 1889 г. по предложению Чебышева её избрали членом-корреспондентом нашей Академии. В связи с этим Чебышев послал Ковалевской телеграмму следующего содержания: «Наша Академия наук только что избрала Вас членом-корреспондентом, допустив этим нововведение, которому не было до сих пор прецедента. Я очень счастлив видеть исполненным одно из моих самых пламенных и справедливых желаний».

Интересы Ковалевской не замыкались в круге идей науки: много сил, энергии и страстности она отдавала литературной деятельности. Её романы и драматические произведения пользовались значительным успехом; она писала недурные стихи. Это её увлечение для многих никак не вязалось с её успехами в математике. Ковалевская несколько раз отвечала в письмах к знакомым на их недоумения. Нельзя пройти мимо одного из таких ответов и не привести его почти целиком: «Многие, которым никогда не представлялось случая более узнать математику, сме-

шивают её с арифметикой и считают наукой сухой. В сущности же это наука, требующая наиболее фантазии, и один из первых математиков нашего столетия говорит совершенно верно, что нельзя быть математиком, не будучи в то же время и поэтом в душе. Только, разумеется, чтобы понять верность этого определения, надо отказаться от старого предрассудка, что поэт должен сочинять несуществующее, что фантазия и вымысел одно и то же. Мне кажется, что поэт должен только видеть то, чего не видят другие, видеть глубже других. Что до меня касается, то я всю жизнь не могла решить: к чему у меня больше склонности, к математике или к литературе. Только что устанет голова над чисто абстрактными спекуляциями, тотчас начинает тянуть к наблюдениям над жизнью, к рассказам, и, наоборот, в другой раз вдруг всё в жизни начинает казаться ничтожным и неинтересным, и только одни вечные, непреложные, научные законы привлекают к себе. Очень может быть, что в каждой из этих областей я сделала бы больше, если бы предалась ей исключительно, но тем не менее я ни от одной из них не могу отказаться совершенно».

Остаётся добавить к этому ту страстную борьбу за эмансипацию женщин, которую всю жизнь вела Ковалевская, те побеги девушек из родительских домов, которые она помогала устраивать, чтобы во весь рост перед нами встала эта удивительная, полная кипучей энергии женщина.

Заключение. Более пятидесяти лет прошло со дня смерти Ковалевской, но она попрежнему продолжает вызывать удивление своими талантами, настойчивостью, разносторонностью. Нашим девушкам не нужно преодолевать теперь тех нелепых рогаток, которые стояли на пути Ковалевской, перед ними широко открыты двери в искусство, промышленность, науку. Многие женщины уже успели проявить себя в любых областях деятельности. Значительный вклад внесён ими и в математику. На кафедрах наших высших учебных заведений теперь не редкость встретить женщину-профессора. Ещё большее число девушек только вступает на путь научной деятельности. Пусть опыт Ковалевской покажет им, что женщина должна и может победить в себе робость, воспитанную тысячелетними привычками; пусть не забывают, что женщина способна не только познавать созданное другими, но и творить.

Насколько смешными кажутся теперь следующие слова историка-математика, жившего в конце XVIII—начале XIX века — Монтюкла, сказанные им по поводу одной итальянки, изучившей курс математического анализа: «Нельзя видеть без удивления особу пола, так мало подходящего, чтобы бороться с шипами науки, проникшую столь глубоко во все части анализа...».

Козалевская не мало способствовала тому, что эти слова для нас звучат теперь попросту дико. Ведь, как сказал Н. Е. Жуковский: «не мало она способствовала и прославлению русского имени».

§ 15. МОСКОВСКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЩЕСТВО

Н. Д. Брашман. В то время, когда в Петербурге со второй четверти XIX века вновь начала возрождаться серьёзная математическая работа, создавались научные традиции и оформлялась сильная школа учёных, в Москве жили ещё по-старинке и о научной работе не помышляли. Более того, даже преподавание математики на физико-математическом факультете университета не находилось на уровне науки того времени.

Некоторое оживление математического творчества, а, главное, подъём математики как предмета преподавания связан в Москве с именем профессора Николая Дмитриевича Брашмана. Уроженец Моравии, воспитанник университета в Вене, всю свою остальную жизнь он провёл в России, сначала в Казани, а с 1834 г. в Москве. Внимательно следя за успехами науки, Брашман находился в курсе всех её событий. Это обстоятельство, понятно, приводило к тому, что лекции Брашмана были содержательны, интересны и находились на уровне лучших западно-европейских курсов. Не будучи в самостоятельном творчестве оригинальным, он умел находить среди своих учеников одарённых людей и вдохновлять их на научные подвиги. Ученики высоко ценили своего учителя; недаром в день, когда исполнилось сорок лет его профессорской деятельности в России, были произнесены слова, звучавшие глубокой искренностью:

«Вы составили себе, Николай Дмитриевич, многочисленную семью, разбросанную по всей земле русской.

Сорок лет тому назад вступили Вы на поприще профессорской деятельности и с самого начала вложили в исполнение своих обязанностей то тёплое чувство, ту строгую добросовестность, которые одни только служат ручательством верного успеха. Вы не довольствовались одним чтением лекций; в своей аудитории вы постоянно искали молодых людей прилежных и способных, из которых могли бы выйти достойные учёные... Вы лелеяли их, как своих родных детей, Ваш дом был их домом, Ваш стол— их столом, Ваши книги принадлежали им; в нужде и неудаче они постоянно находили в Вас совет и опору».

Уместно вспомнить, что П. Л. Чебышев на всю жизнь сохранил глубокое уважение к своему учителю и до конца дней последнего поддерживал с ним переписку.

Выйдя в 1864 г. в отставку, Брашман не захотел порывать связи с университетом. Прежде всего он выхлопотал разрешение на организацию премии из собственных средств за лучшую работу по математике; затем, по его мысли,у него на квартире стали собираться бывшие ученики и сослуживцы для обмена своими мыслями, а также для реферирования того, что появлялось в иностранных журналах.

Организация общества. На заседании 15 сентября 1864 г. было решено частный кружок математиков, собиравшихся у Брашмана, превратить в регулярно действующее научное общество. Помимо «взаимного содействия в занятиях математическими науками», вновь организованное общество развернуло широкую популяризаторскую и просветительскую деятельность. Члены общества брали на себя обязательство в определённые сроки заканчивать и оформлять работы, регулярно следить за определённым разделом науки. Были организованы публичные лекции для широкой публики, тематика которых была весьма разнообразна: «О среднем человеке», «О пространстве и времени», цикл лекций «О машинах» и др.

Математический сборник. Вскоре накопилось большое количество докладов и сообщений разного рода, возникла мысль об их издании, и уже в апреле 1865 г. решено было издавать журнал под названием «Математический сборник» ежегодно по два выпуска. Через год вышел из печати первый том этого нового и первого в России чисто математического журнала. За почти восемьдесят лет своего сущест-

вования «Математический сборник» значительно изменил свой характер. И если в начальный период своего существования он имел небольшое распространение, был совершенно неизвестен за рубежом, то теперь он является одним из руководящих математических журналов мира. Но и с самого начала в журнале появляется целый ряд самых первоклассных работ, в частности, в одном из первых номеров была напечатана знаменитая работа Чебышева, в которой давалось доказательство закона больших чисел.

Малая известность «Математического сборника»в первые десятилетия его существования в значительной мере определена тем, что статьи в нём печатались исключительно на русском языке, никаких резюме к ним на каком-либо из распространённых западно-европейских языков не полагалось. Только в 1896 г. было допущено некоторое послабление: оглавление стало печататься сразу на двух языках—русском и французском. В вопросе о выборе языка журнала решающую роль сыграл Н. В. Бугаев, член общества с 1865 г. и президент его с 1889 по 1904 г. В период обсуждения характера журнала, его внешнего оформления и других организационных вопросов по поводу языка, на котором должны печататься статьи, мнения разделились. Одни считали, что следует писать на одном из иностранных языков для того, чтобы сделать русские работы доступными заграничным коллегам. Бугаев, тогда совсем ещё молодой человек, энергично восстал против такого мнения. Он настаивал на том, чтобы русские учёные внимательно следили за иностранной литературой, но от иностранцев и самих русских требовал уважения и внимания к русскому языку. Он говорил, что «кто не уважает своего родного языка, тот самого себя не уважает и не заслуживает уважения других. Когда на русском языке станут печататься серьёзные работы, то иностранцы сами начнут заниматься нашим языком, если же они этого не сделают, то в потере будут они, так как мы будем знать больше их». Эта традиция была нарушена только в 1924 г., когда было решено допускать статьи и на основных европейских языках с резюме на русском, а к статьям на русском языке требовать иностранное резюме. Такое нововведение сделало «Математический сборник» доступным не только русскому читателю; и теперь, как мы уже говорили, этот журнал

стоит в ряду наиболее серьёзных и распространённых периодических изданий по математике на земном шаре.

Научное мировоззрение. Философские взгляды членов математического общества, их мировоззрение, конечно, не оставались неизменными, но главное для учёного—его взгляд на цели науки—для основной массы московских математиков почти не подвергался изменениям. Эти цели были сформулированы одним из учредителей общества профессором А. Ю. Давыдовым, автором довольно распространённых учебников по элементарной математике в дореволюционной России. В одной из речей, напечатанной ещё в 1869 г., он сказал: «Хотя, конечно, цель всяких знаний состоит в их полезном применении, но тем не менее нельзя ограничить науку этими пределами. Кто при своих научных исследованиях руководствуется исключительно мыслью о практической пользе, тому редко удаётся видеть старания свои увенчанными успехами. Единственной целью науки может быть только исследование законов природы».

Такая направленность взглядов московских математиков на цели науки не могла не повлиять на вновь подрастающие поколения учёных. И, несомненно, крупнейшие представители русской механики Н. Е. Жуковский (1847— 1921) и С. А. Чаплыгин*) (1869—1942) многим обязаны этой идейной направленности, которой жили Московское математическое общество и его представители.

Серьёзный взлёт математической мысли в Москве и дальнейшее уже непрерывное её развитие относятся к годам, непосредственно предшествующим Великой Октябрьской социалистической революции и главным образом к послереволюционным годам; но об этом—в следующей главе.

*) Мы не касаемся в наших «Очерках» работ обоих этих учёных, так как их труды относятся, главным образом, к механике. Читателя, интересующегося обстоятельствами жизни и научной деятельностью Жуковского и Чаплыгина, отсылаем к книгам В. В. Голубева.

ГЛАВА ТРЕТЬЯ

РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИКИ В XX ВЕКЕ

§ 16. ОСОБЕННОСТИ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИКИ В XX ВЕКЕ

Массовость науки. Подразделение всякой книги на главы означает какие-то новые моменты в жизни героя. Герое.м нашей книги является математика в России; нам нужно объяснить, чем вызвано подразделение её жизни на три периода. Сомнений не вызывает первый рубеж, отделяющий период робкого заимствования элементарно-математических познаний от периода творческой работы гениальных учёных, так много внесших в сокровищницу науки. Но в чём же отличие этого второго периода жизни русской математики от выделенного нами третьего—современного? Ведь и теперь, как и в прошлом веке, математики работают, творят, тем самым обогащают и развивают свою дисциплину. Разницу я вижу в том, что наука стала массовой; в том, что на смену гениальным одиночкам, работавшим, как правило, оторванно от своих коллег, пришли мощные математические коллективы, совместными усилиями преодолевающие трудности творческого пути. Само сообщество математиков стало более обильным, и теперь уже почти невозможно указать крупных учёных, возле которых не группировались бы ученики и последователи.

Влияние Великой Октябрьской социалистической революции. Несомненно, что на весь характер научной деятельности в нашей стране решающее влияние оказали идеи великих революционных сдвигов, которые были вызваны событиями Октября 1917 г. Если до того официальные пра-

вительственные круги относились безразлично, а иногда и враждебно к развитию науки в России (достаточно вспомнить слова одного из царских министров о том, что наука в России не нужна, а если она и понадобится, то её всегда можно привезти из Германии), то после Октябрьской революции страна предъявила к науке огромные требования. Россия начинала жить заново. Рассчитывать во всём, в том числе и в науке, можно было только на свои силы. Вся страна покрылась огромной сетью высших учебных заведений. Все они потребовали математиков высшей квалификации, способных вести самостоятельные научные исследования и оказывать консультационную помощь работникам промышленности, сельского хозяйства и других областей науки. Немногочисленные дореволюционные университеты*) не способны были справиться со всё возрастающим спросом на специалистов общенаучных квалификаций, в том числе и на математиков. К тому же пробудилась среди самых широких масс населения тяга к знанию. Во многих городах стихийно возникли народные университеты. Многие из них просуществовали недолго, но всё же велико было их значение: они показали, как назрело время для свободного доступа к науке народа, как велика в нём жажда знания. В первые же годы после революции число высших учебных заведений государственного значения существенно выросло. Особенно же сильный рост произошёл в тридцатые годы, годы интенсивного промышленного развития Советского Союза. К университетам, основанным до революции, добавились и окончательно укрепились университеты в Баку, Тбилиси, Ташкенте, Ереване, Петрозаводске, Воронеже, Горьком, Днепропетровске, Минске, Алма-Ате, Молотове, Свердловске, Ростове, Иркутске. Выросла огромная сеть педагогических институтов, на физико-математических факультетах которых математика также является основным предметом изучения. Университетов

*) К моменту Великой Октябрьской социалистической революции на территории России их было только одиннадцать: Московский, Казанский, Харьковский, Юрьевский (Дерптский), Петербургский, Вильненский, Киевский, Новороссийский (Одесский), Варшавский, Томский и Саратовский (последний без физико-математического факультета). Но из них три (Варшавский, Вильненский и Юрьевский) оказались после революции за пределами страны.

стало больше, они стали многолюднее и, что особенно важно, в них резко изменилась организация педагогического процесса. Если раньше, в прошлом веке и самом начале нашего века, преподавание по преимуществу сводилось к чтению обязательных курсов, то теперь в наиболее мощных университетах центр тяжести научной подготовки перешёл на специальные и факультативные курсы, а также специальные семинары, в которых участники знакомятся с наукой нашего дня, а нередко и сами участвуют в её продвижении. Руководитель такого семинара или лектор, ведущий специальный курс, считает своим долгом знакомить слушателей с тем, что в данный момент его занимает, какие проблемы стоят в порядке дня в разрабатываемой им области. Интерес к самостоятельному исследованию у начинающей молодёжи постоянно развивается и поддерживается хорошо продуманными мероприятиями.

Математические институты. Этот дух научного коллективизма сказывается также в организации специальных научно-исследовательских математических институтов. Такие институты существуют при Всесоюзной, Украинской, Грузинской, Узбекской Академиях наук, при Московском, Ленинградском, Казанском, Томском и некоторых других университетах. Их организация резко повлияла на рост творческой продуктивности. Математики стали чувствовать, что их изыскания не являются только узко личным делом, но имеют большое общегосударственное значение, являются огромной созидательной силой в жизни человечества. Организация институтов во многом способствовала созданию крупных направлений исследований, касающихся всего обширного здания математики.

Одновременно с научными исследованиями в математических институтах сосредоточена важнейшая деятельность по подготовке молодых учёных. После окончания университетов наиболее способные и склонные к научной деятельности студенты поступают в аспирантуру, в которой они под руководством крупных специалистов совершенствуются в избранной ими области математики. Через аспирантуру прошли почти все ныне работающие математики. Их успехи во многом обязаны тому духу коллективизма и научного горения, который господ-

ствовал в годы их аспирантских занятий в исследовательских институтах.

Академик Владимир Андреевич Стеклов. Говоря о том колоссальном росте научных учреждений, который произошёл после Октябрьской революции, мы не должны забывать о совершенно исключительных трудностях их организации и налаживания их работы, особенно на первых порах строительства новой жизни. Именно поэтому мы должны вспомнить об одном крупном учёном, с первых же дней революции отдавшем все свои силы, знания, авторитет делу развития науки в молодой Советской республике, об академике Владимире Андреевиче Стеклове (1863—1926). Начав честно работать для нового строя, он потянул за собой на сторону советской власти многих крупных специалистов.

Уже сразу после февральской революции Стеклов вместе с другими передовыми академиками встал во главе «свободной ассоциации развития и распространения положительных знаний», ставящей своей целью как пропаганду научных и технических знаний в рабочей среде, так и организацию в России научно-исследовательских институтов.

Являясь с 1919 г, вице-президентом Академии наук, он много своей энергии и изобретательности отдал организационной и административно-хозяйственной деятельности. Восстановление сети сейсмологических станций, налаживание печатания книг и научных журналов, приобретение литературы заграницей, организация физико-математического института*)—вот далеко неполный перечень того, чем он занимался в Академии. Помимо этого он был членом Комитета науки при Совнаркоме, членом комиссии по изучению производительных сил страны при Госплане. И всюду проявлялся его деятельный, инициативный характер.

Но главным в его жизни была и оставалась наука, которой он занимался непрерывно, пока в его силах было держать в руках карандаш. Об его научных интересах мы скажем позднее, а сейчас напомним читателю одно

*) Физико-математический институт в настоящее время разделён на три научных учреждения; одно из них—Математический институт—носит имя своего организатора и первого руководителя— Стеклова.

место из воспоминаний М. Горького о Ленине, имеющее отношение к содержанию нашего рассказа.

«Помню, я был у него (Ленина—Б. Г.) с тремя членами Академии Наук. Шёл разговор о необходимости реорганизации одного из высших научных учреждений Петербурга. Проводив учёных, Ленин удовлетворённо сказал:

—Это я понимаю. Это—умники. Всё у них просто, всё сформулировано строго, сразу видишь, что люди хорошо знают, чего хотят. С такими работать—одно удовольствие. Особенно понравился мне этот...

Он назвал одно из крупных имён русской науки, а через день уже говорил мне по телефону:

—Спросите С.*), пойдёт он работать с нами?

И когда С. принял предложение, это искренне обрадовало Ленина, потирая руки, он шутил:

—Вот так, одного за другим, мы перетянем всех русских и европейских Архимедов; тогда мир, хочет не хочет, а перевернётся».

Будучи учеником по Харьковскому университету такого выдающегося математика, каким был А. М. Ляпунов, Стеклов, естественно, воспринял от учителя его отношение к науке. И, действительно, решение больших, трудных проблем, вызванных научными и практическими приложениями, становится делом всей жизни Стеклова. Задачи теории упругости, гидродинамики и математической физики (распространение тепла, равновесие жидкой вращающейся массы, задачи электростатики)—вот те основные направления исследований, в которых не малая доля результатов принадлежит Стеклову и связана с его именем. Его идеи о том, что для физика основную роль должны играть не функции точки, а функции области, так как в реальном эксперименте всегда приходится, например, измерять температуру тела не в данной точке, а среднюю температуру некоторой его части (области), получили, в частности, в руках ленинградского математика H. М. Гюнтера дальнейшее развитие.

Трудности изложения. Мы должны теперь же отметить, что нарисовать перед неспециалистом-математиком достаточно полную картину современного состояния математики

*) Разговор шёл о Стеклове.

представляет собой задачу, неразрешимую для намеченного нами объёма книги. Какие же затруднения возникают перед нами на этом пути? Их много; отметим лишь некоторые из них. В первую очередь это—колоссальный рост математики, вызванный как накоплением огромного материала от прошлых времён, так и текущими исследованиями целой армии ныне работающих математиков. Наука разрослась так сильно, что учёным пришлось специализироваться на отдельных, часто узких, её отделах, но зато в них в совершенстве владеть всем как старым, так и вновь появляющимся.

Времена Эйлера, когда один человек способен был вместить в себя не только всю современную ему математику, но и активно во всех её разделах работать и к тому же уделять внимание исследованиям в области физики, географии и пр., прошли. Лишь немногие учёные способны видеть теперь перспективы развития науки в целом, видеть значение самых абстрактных её глав не только для самой математики, но также для естествознания и прикладных наук.

Возникающее как бы отчуждение математиков, разрабатывающих различные вопросы науки, усугубляется ещё тем, что результаты их исследований печатаются преимущественно в виде отрывочных статей, рассчитанных на немногих специалистов, работающих в том же круге идей, и не содержат даже намёка на связь с более широкими вопросами науки.

Далее—многое из того, что сейчас делается, что волнует зрелых математиков и математическую молодёжь, находится ещё только в процессе становления, не оформилось, не приобрело своего окончательного лица,ещё не устоялось и потому не может получить вполне объективной оценки. Субъективные моменты здесь особенно сильны, и более правильную, более объективную оценку современные математические произведения найдут только после того, как пройдёт некоторое время. Для суждения о научной ценности отдельных теорий, научных направлений учёных нужна историческая перспектива. Её мы не имеем и, понятно, не можем пока иметь.

Необходимо отметить также трудность, связанную с характером развития математики в нашем веке. Если

в XVIII, а отчасти и в XIX веке стоящая перед учёным математическая задача имела нередко яркий естественнонаучный смысл или прикладную предисторию—исследование уравнений движения твёрдого тела, равновесие вращающихся жидких масс и пр.,—то теперь большая часть актуальных математических проблем оторвалась от своего непосредственного источника—практики. Это не означает, безусловно, прекращения развития прикладной математики. Нет, наоборот, математика охватывает своим влиянием всё более и более широкие области науки. Но дело в том, что сами методы этой прикладной математики развиваются, как правило, оторванно от частных практических задач; математики стремятся к развитию общих теорий, которые имели бы значение для решения целой группы часто разнородных прикладных задач.

Абстрактный отвлечённый характер современной математики представляет одну из наиболее сильных её сторон, хотя бы в силу только что указанной возможности приложения её результатов не к решению какой-либо одной изолированной задачи, но к большому числу далёких, по содержанию не связанных друг с другом задач. Но в этом же состоит и огромная трудность для изложения перед широким кругом читателей тех проблем, которые стоят в настоящее время перед математикой : большие и важные проблемы лицам, далёким от математики, покажутся чересчур абстрактными, чересчур оторванными от насущных и неотложных запросов жизни, увлекательность и актуальность постановки их не всегда будет ясна.

Необходимость ограничения материала книги. Из всего сказанного не следует, однако, делать того вывода, что раз перед автором стоят такие трудности, то не стоит теперь и писать о современности. Не следует думать, что сейчас мы можем говорить только о прошлом, а для рассказа о настоящем должны ждать того времени, когда настоящее станет прошлым и окончательно определится то, что представляет основную научную ценность, созданную нашим временем. Мы сделаем из этого другой вывод: не имея возможности говорить обо всём, скажем лишь о немногом. Мы оставим в стороне мощное развитие в нашей стране таких прекрасных и важных глав современной математики, как теория функций, дифференциальные и интегральные уравнения,

функциональный анализ, алгебра, геометрия и др., а ограничимся в §§ 19 и 20 изложением только некоторых направлений исследований в теории вероятностей и теории чисел.

Понятно, что при этом мы лишаем себя возможности говорить о прекрасных достижениях советских учёных, как внутри самой математики, так и в её приложениях. Известно, например, какое огромное значение в теоретической аэродинамике, науке о полёте самолёта, получил метод теории функций комплексного переменного. Многие наши учёные, и среди них академик С. А. Чаплыгин, В. В. Голубев, М. В. Келдыш, M. А Лаврентьев и др., следуя пути, проложенному замечательным учёным— отцом русской авиации—Николаем Егоровичем Жуковским, добились важнейших результатов по развитию теории полёта самолёта. Математический анализ, геометрия, в том числе новая её отрасль—топология, занимающаяся изучением общих свойств геометрических фигур, получившая особенно мощное развитие в руках советской топологической школы, руководимой П. С. Александровым и Л. С. Понтрягиным,—всё это останется, как мы уже сказали, вне рамок нашей книги.

§ 17. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЦЕНТРЫ СОВЕТСКОГО СОЮЗА

Увеличение числа математических центров. Творческая мысль, с трудом пробивавшая себе дорогу в немногочисленных университетских городах России прошлого века, в нашем веке дала бурные всходы на всём протяжении необъятной нашей страны. И уже не только в старейших её университетских центрах—Ленинграде, Москве, Казани и Харькове—мы можем быть свидетелями больших математических событий: крупных открытий и кропотливого труда, подготавливающего эти открытия. Во многих университетских городах появились лица, способные объединить вокруг себя математическую молодёжь. Некоторые же города, как, например, Тбилиси, превратились в крупнейшие математические центры, играющие решающую роль в математической жизни Союза. Весьма разнообразна работа этой армии учёных: они изучают тончайшие свой-

ства множеств, функций и др. математических понятий и в то же время разрабатывают сами или помогают разработке проблем физики, химии, сейсмологии, военного дела, техники и пр.

Старые математические центры. Москва и Ленинград— вот те два основных центра Советского Союза, объединяющие по меньшей мере три четверти всех творчески работающих в нём математиков, в которых каждый, какой бы он областью математики ни занимался, найдёт видного специалиста, способного дать ему консультацию. Роль Москвы особенно повысилась начиная с 1934 г., в связи с переводом Академии наук и сопутствовавшим этому переездом ряда крупных математиков—академика И. М. Виноградова, академика С. Л. Соболева, члена-корреспондента Академии наук Б.Н. Делоне и др.—из Ленинграда. Всемирно известная Московская математическая школа, которой мы посвящаем следующий параграф,пополнилась учёными, воспитанными в более классических традициях Петербургской школы. Вызванное этим обстоятельством личное общение двух различных научных направлений*) значительно способствовало сближению присущих им точек зрения.

Ленинградская математическая школа, несмотря на потерю целого ряда крупнейших своих представителей, перебравшихся в Москву, продолжает оставаться весьма мощным научным объединением. Математический анализ (акад. В. И. Смирнов, Л. В. Канторович (род. 1912 г.) и др.), теория чисел и алгебра (Б. А. Венков, Ю. В. Линник и др.), теория функций (Г. М. Фихтенгольц и др.) продолжают находиться в центре интересов ленинградцев. Но, помимо этих областей математики, культивировавшихся в Ленинграде со времён Остроградского и Чебышева, современная теоретико-множественная математика также появилась в круге интересов представителей Ленинградской школы. Топология, теория множеств, функциональный анализ сделались такими же полноправными обла-

*) Московского стремления к решению проблем во всей их общности, к созданию общих методов, годных для решения не только данной проблемы, но также и многих других, и ленинградского стремления к решению конкретных трудных задач, стоящих перед современной наукой.

стями исследования, как и классические ветви математики. А. А. Марков*), А. Д. Александров, Л. В. Канторович—вот основные ленинградские представители новых математических теорий.

В Казани после Лобачевского научная работа по математике почти не замирала, но наибольший её расцвет связан с послереволюционными годами и переездом в Казань крупного математика Николая Григорьевича Чеботарёва (род. 1894 г.), сумевшего не только сделать крупные вклады в науку, в особенности в алгебру, но и воспитавшего значительную группу молодых талантливых алгебраистов— И. Д. Адо, В. В. Морозов, H. Н. Мейман и др.

Помимо этого в Казани П. А. Широковым (1895—1943) культивировались серьёзные исследования по геометрии и Б. А. Гагаевым—по теории функций.

Математическая жизнь в Харькове не замерла с отъездом оттуда акад. А. М. Ляпунова и его ученика В. А. Стеклова. Большой и насыщенный первоклассными математическими событиями период связан с именем одного из крупнейших советских математиков—академика, действительного члена Всесоюзной и Украинской Академий наук, члена-корреспондента Парижской Академии наук— Сергея Натановича Бернштейна (род. 1880 г.).

Его творчество можно рассматривать как продукт счастливого сочетания традиций Петербургской школы с воздействием Французской школы математического анализа и теории функций (Пикар, Адамар, Валле-Пуссен). Три больших раздела математики стали предметом творчества Бернштейна: теория дифференциальных уравнений в частных производных, теория функций и теория вероятностей. В каждом из этих разделов им были достигнуты принципиальные сдвиги.

Уже в первой своей работе 1903 г. С. Н. Бернштейн разрешил проблему, которая за три года перед этим в качестве одной из двадцати самых трудных и важных в современной математике была выдвинута на Парижском международном съезде математиков Давидом Гильбертом. Через пять лет Бернштейн решил ещё одну из проблем

*) Сын академика А. А. Маркова, которому мы посвятили § 12 наших «Очерков».

Гильберта*). Ещё через пять лет появилась его докторская диссертация «О наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов данной степени», продолжавшая исследования в духе идей Чебышева. С этих пор различные проблемы теории наилучшего приближения функций многочленами сделались основным полем деятельности целого поколения харьковских математиков (В. Л. Гончаров, Я. Л. Геронимус, Е. Я. Ремез и др.). В основе всего творчества Бернштейна лежало и лежит убеждение в том, что математический метод призван пронизать современное естествознание и что в этом границ для математики не существует.

Киевская математическая школа. Расцвет математического творчества в Киеве связан с именами почётного академика Всесоюзной и действительного члена Украинской Академии наук Дмитрия Александровича Граве (1863—1939), а также действительного члена Всесоюзной и Украинской Академий наук Николая Митрофановича Крылова (род. 1879 г.).

Д. А. Граве—воспитанник Петербургского университета и непосредственный ученик П. Л. Чебышева—воспринял лучшие традиции Петербургской математической школы и в первую очередь умение ставить и решать до конца трудные конкретные задачи. Весьма разнообразны были его научные интересы—математический анализ, алгебра, теория чисел, теория машин и др.

Докторская диссертация Граве была посвящена задаче развития математической теории построения географических карт, волновавшей умы учёных в течение нескольких сотен лет. Как ученик Чебышева, он, естественно, примкнул к идеям своего учителя и довёл до конца их развитие.

Точная формулировка стоявшей перед Граве задачи звучит так: найти всевозможные проекции шара на плоскость, при которых сохраняются площади, а меридианы и параллели переходят в окружности или прямые. В руках Граве

*) Для читателей, знакомых с математическим анализом, заметим, что первая из названных работ разрешала 19-ю проблему Гильберта относительно аналитичности решений уравнений в частных производных эллиптического типа, а вторая—20-ю проблему Гильберта, касающуюся обобщения задачи Дирихле.

зта задача получила исчерпывающее решение. Он доказал, что различных проекций с указанными свойствами существует только одиннадцать, все их обнаружил и детально изучил.

Помимо этого Граве удалось доказать теорему, для которой Чебышев дал только формулировку, но не дал даже намёка на её доказательство. Теорема касается свойств наивыгоднейших проекций карт. Формулировка её исключительно проста. Наивыгоднейшая проекция для изображения какой-нибудь части земной поверхности на карте есть та, в которой на границе изображения масштаб сохраняет одну и ту же величину.

Не меньшее значение, чем научные труды Граве, имеют его книги—как учебники, так и учебные пособия—по теории чисел, алгебре, анализу. Сотни молодых математиков с увлечением знакомились по этим произведениям с элементами науки.

Необходимо также отметить тот такт и талант, с которым юн умел находить среди студентов недюжинные математические способности и зажигать их научный энтузиазм. Эта сторона деятельности Граве щедро вознаграждена тем, что среди его учеников имеются такие крупные учёные, как академик О. Ю. Шмидт (род. 1891 г.), члены-корреспонденты Академии наук СССР Б. Н. Делоне (род. 1890 г.) и Н. Г. Чеботарёв, член-корреспондент Украинской Академии наук Н. И. Ахиезер и др.

Проблемы анализа и математической физики с успехом разрабатываются в Киеве академиком H. М. Крыловым, а также его учеником членом-корреспондентом Украинской Академии наук Николаем Николаевичем Боголюбовым (род. 1908 г.). Математические способности Боголюбова проявились ещё в раннем детстве, были замечены H. М. Крыловым и затем тщательно и любовно воспитывались последним.

Уже первые самостоятельные исследования Боголюбова, относившиеся к вариационному исчислению, произвели значительное впечатление на математический мир, хотя они и были выполнены четырнадцатилетним юношей.

Грузинская математическая школа. Серьёзная математическая работа в Грузии началась почти непосредственно после Октябрьской революции, когда был осно-

ван Тбилисский Государственный университет, ныне носящий имя тов. Сталина. В университете с самого начала образовалась немногочисленная, но сильная группа математиков: Н. И. Мусхелишвили*), А. М. Размадзе (1890—1929), Г. Н. Николадзе, А. К. Харадзе.

Безвременная смерть геометра Николадзе и аналитика Размадзе не дала им возможности закончить проводившиеся ими важные исследования. Работы воспитанника Московского университета Размадзе посвящены разысканию разрывных решений вариационных задач. Вопрос состоит в следующем: как мы знаем, задача вариационного исчисления состоит в определении функции, дающей наибольшее (или наименьшее) значение числу, зависящему от выбора функции (как говорят математики,— функционалу). Методы, разработанные Эйлером и позднейшими учёными, годятся лишь для решения тех задач, в которых результат достигается с помощью непрерывных (и даже более — дифференцируемых) функций. Однако оказывается, что многие важнейшие задачи теории и приложений при этом ограничении не имеют решения, тогда как по смыслу задачи решение должно быть. Секрет в том, что оно даётся разрывной функцией. Целый ряд учёных у нас и заграницей продолжает заниматься исследованиями в этой области, в которую серьёзный вклад сделан грузинским учёным.

Особенно широкий размах математические исследования в Грузии получили после основания по инициативе акад. Н. И. Мусхелишвили Института математики и механики при Тбилисском университете—ныне Математического института Академии наук Грузинской ССР.

В настоящее время основные интересы грузинских математиков лежат, по преимуществу, в области дифференциальных и интегральных уравнений математической физики (акад. Мусхелишвили и его ученики). Всемирную известность получили замечательные исследования акад. Мусхелишвили в области теории упругости. Итог первому периоду этих работ был подведён им

*) Ныне президент Академии наук Грузинской ССР (основана в 1941 г.) и действительный член Всесоюзной Академии наук.

в книге «Некоторые основные задачи математической теории упругости», ставшей настольной для целого поколения математиков, занимающихся теорией упругости. Направление исследований, начатое в теории упругости акад. Мусхелишвили, продолжает развиваться не только в Тбилиси, но и в других городах Союза. Это обстоятельство позволяет говорить о советской школе теории упругости, возглавляемой акад. Мусхелишвили.

Из более молодых математиков Грузии отметим, в первую очередь, члена-корреспондента Академии наук Грузинской ССР И. Н. Векуа, получившего первоклассные результаты в области так называемых интегральных уравнений и дифференциальных уравнений эллиптического типа. В настоящее время И. Н. Векуа и сам имеет многочисленных учеников.

В последние годы в круг интересов грузинских математиков попала и теоретико-множественная математика: топология (Г. С. Чогошвили) и теория функций действительного переменного (В. Г. Челидзе).

Математика в Ташкенте. После революции крупным математическим центром стала также столица другой братской республики—Ташкент. Вначале вся научная деятельность была сосредоточена в Ташкентском университете, открытом почти немедленно после Октябрьской революции. Теперь, после учреждения Академии наук Узбекской ССР (в 1943 г.), значительная доля творческих математических сил сосредоточена в созданном при ней математическом институте.

Вся математическая жизнь Ташкента за последние двадцать пять лет связана с именем ученика академика А. А. Маркова—Всеволода Ивановича Романовского (род. 1880 г.). Он явился организатором Ташкентского физико-математического общества, был бессменным руководителем физико-математического института при Ташкентском университете, в первые годы революции фактически на своих плечах выносил всю тяжесть преподавания на Физико-математическом факультете. Много сил, стараний и педагогического такта отдал Романовский воспитанию учёных из среды узбеков.

О работе ташкентских математиков в области статистики мы будем ещё иметь повод сказать позднее в пара-

графе, посвященном советской школе теории вероятностей.

Помимо теории вероятностей и математической статистики в Ташкенте культивируется также математический анализ, в исследованиях Н. Н. Назарова и В. И. Романовского.

Одесса, Саратов, Томск, Горький, Свердловск. В Новороссийском (Одесском) университете задолго до революции прекрасный педагог и учёный С. О Шатуновский (1859— 1929) объединил вокруг себя большое количество учеников; эта группа учёных ставила своей целью строго логическое обоснование математики. Значительное количество воспитанников школы Шатуновского, обладающих широким и глубоким образованием, разбросано сейчас по Советской стране и с успехом руководит кафедрами различных вузов. Велики заслуги научные, педагогические и организационные профессора Вениамина Фёдоровича Кагана (род. 1869), создавшего в дореволюционной Одессе большую геометрическую школу, продолжающего руководить ею (в Москве) и теперь, организовавшего и руководившего единственным в дореволюционной России специализированным физико-математическим издательством «Матезис».

В настоящее время в Одессе руководящую роль играет первоклассный математик Марк Григорьевич Крейн (род. 1909 г.), разносторонне образованный и с большим творческим диапазоном. Алгебра, теория функций, анализ и современная теоретико-множественная математика одинаково успешно разрабатываются им. Блестящий лектор, он создал вокруг себя прекрасное математическое молодёжное окружение, с успехом продолжающее его творческие начинания.

Весьма ценные исследования по теории функций принадлежат другому крупному одесскому математику Б. Я. Левину.

Физико-математический факультет в Саратове сразу же с момента своей организации привлёк крупных учёных— Владимира Васильевича Голубева (род. 1884 г.) и Ивана Ивановича Привалова (1891—1941). Являясь одними из савых видных специалистов в области теории функций комплексного переменного, они быстро высоко подняли науч-

ный авторитет Саратовского университета. В настоящее время в Саратове серьёзно представлены теория функций учеником Голубева Г. П. Боевым, геометрия—В. В. Вагнером и теория чисел— Н. Г. Чудаковым.

Томск, ставший университетским городом ещё в конце прошлого века, занимает роль руководящего математического центра Сибири. В Математическом институте Томского университета проводятся серьёзные прикладные и теоретические работы по математике. Геометрия, теория функций комплексного переменного и теория чисел— вот те математические дисциплины, которые наиболее серьёзно представлены в Томске.

В Горьком и Свердловске, только после революции ставших университетскими городами, также ведётся серьёзная творческая работа по математике. В первом— по дифференциальным уравнениям—А. А. Андронов, и по теории функций—И. Р. Брайцев, а во втором—по дифференциальным уравнениям—И. Г. Малкин, Е. А. Барбашин и по алгебре—П. Г. Конторович, С. Н. Черников.

§ 18. МОСКОВСКАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ШКОЛА

Исходные математические идеи. Мы видели в прошлой главе, что в Москве творческая математическая жизнь началась довольно поздно—лишь со второй половины XIX века. Однако, решающих сдвигов в математике работы москвичей того времени не произвели, если не иметь в виду замечательных геометрических исследований Карла Михайловича Петерсона (1828—1881) по так называемой теории изгибания поверхностей, дальнейшему развитию которой до сих пор посвящаются работы московских геометров (С. С. Бюшгенс, С. П. Фиников и др.).

Интерес к определённой, сначала узкой, области науки у целого поколения математиков пробудился лишь в годы, непосредственно предшествовавшие Великой Октябрьской социалистической революции. Математической идеей, зажёгшей научный энтузиазм как молодёжи, так и некоторых представителей старшего поколения учёных, была идея множества и связанная с ней широкая перспектива изучения основного понятия математики—функции.

В ту пору теория множеств и создаваемая на её базе теория функций были ещё совсем молодыми науками, только, только получившими во Франции в руках Бореля, Лебега, Бэра серьёзный толчок к развитию.

Введённые этими учёными понятия меры множества и измеримой функции оказались исключительно продуктивными; они как бы открыли в математике новую необычайно мощную золотоносную жилу, разработка которой требовала научной отваги, талантов, смелых искателей новых идей и истин. Теперь эта область математики далеко продвинута вперёд, её идеи проникли буквально во все разделы математики, и дальнейшее их развитие уже немыслимо без серьёзного владения методами теории множеств и построенной на её базе теории функций. Доля Московской математической школы в этом значительном шаге науки к прогрессу весьма существенна. Имена её виднейших представителей — H. Н. Лузина, А. Я. Хинчина, П. С. Александрова, А. Н. Колмогорова, В. В. Степанова, Д. Е. Меньшова, Л. С. Понтрягина, М. А. Лаврентьева и многих других — широко известны во всём математическом мире

Измеримые множества и измеримые функции. Прежде чем переходить к изложению обстоятельств возникновения и развития Московской математической школы, мы должны познакомить читателя с понятиями измеримых множеств и функций, постоянно используемыми в современной математике.

Мы будем предполагать, что интуитивное понятие множества точек на прямой имеется у каждого читателя. Каково это множество,—зависит от условий задачи. Так, нам может встретиться необходимость рассмотреть множество всех рациональных дробей, меньших единицы, или же всех корней квадратных уравнений с рациональными коэффициентами и т. д.

В геометрии основное значение имеет измерение, т. е. сравнение размеров длин отрезков, площадей, фигур и пр. Спрашивается: можно ли сравнивать длины, протяжённости множеств точек, расположенных на прямой линии? В дальнейшем излагается процесс измерения длин множеств, предложенный французским математиком Лебегом. Мы ограничимся рассмотрением множеств, расположенных

на отрезке от 0 до 1. Читатель без труда увидит, как этот процесс осуществить для любого множества.

Пусть на отрезке от 0 до 1 расположено некоторое множество точек, которое мы обозначим буквой St. Для определения длины множества St мы употребим следующий процесс, который вполне можно сравнить с ловлей бабочек сачком. Разница будет только в том, что вместо сачка мы станем употреблять отрезки, будем ловить не бабочек, а точки, и употреблять станем сачки не стандартных, а все более и более малых размеров.

Будем накидывать на наше множество 91 отрезки (вообще говоря, в бесконечном числе) так, чтобы всякая точка множества попала хотя бы в один из отрезков, отрезки бы не перекрывались, а, быть может, только соприкасались (фиг. 5, верхние отрезки). Путь m — нижняя грань суммы длин всех отрезков каждой такой системы.

Поступим подобным же образом с дополнением к множеству 81, т. е. с множеством точек отрезка (0,1), не содержащихся в множестве St. Пусть для дополнения нижняя грань сумм длин покрывающих отрезков равна числу j*. Если числа m и р. удовлетворяют равенству

ш + р.= 1,

то множество 9t называется измеримым, а число m—его мерой. В дополнении 4, в котором мы рассмотрим несколько теорем о множествах, мы увидим, что множество всех точек с рациональными координатами имеет меру 0.

В середине прошлого века в отношении понятий функции произошёл коренной перелом. До этого времени под функцией понимали только зависимость, для которой существует аналитическое выражение. Развитие математики показало, что такое представление о функции страдает неопределённостью: для целого ряда зависимостей, которые не считались функциями, удалось найти аналитические выражения. Особенно важная роль в этом принадлежит французскому математику первой половины XIX

Фиг. 5

века—Фурье, указавшему регулярный приём, посредством которого каждую периодическую функцию, удовлетворяющую весьма общим условиям, можно представить в виде суммы бесконечного ряда тригонометрических функций

—так называемого ряда Фурье. Ряды Фурье уже в руках своего творца представили очень действенное орудие при решении задач математической физики.

Приблизительно в то же время, как мы видели раньше, Лобачевский предложил изменить определение понятия функции и рассматривать её как, вообще говоря, произвольный способ отнесения чисел различным значениям аргумента. Позднее такое же определение было дано немецким математиком Дирихле и в настоящее время известно под его именем.

Это понятие функции чрезвычайно широко, и, понятно, далеко не все функции играют в математике одинаково существенную роль. Оказалось, что наиболее важное значение принадлежит так называемым измеримым функциям, понятие о которых было введено Борелем и Лебегом. Говорят, что функция у = /(х) измерима, если при любом M множество значений аргумента, при которых f(x)меньше, чем М, измеримо. Оказывается, что определённый таким образом класс функций весьма широк и включает в себя, как часть, все непрерывные функции.

С понятием множества и измеримой функции связаны появление и расцвет Московской математической школы, по праву завоевавшей себе ведущее положение в мировой науке.

Возникновение Московской математической школы тесно связано с именами двух крупных математиков—Дмитрия Фёдоровича Егорова (1869—1930) и Николая Николаевича Лузина (род. 1883).

Егоров начал свою работу в геометрии и получил в ней ряд ценных результатов. Однако основная его заслуга состоит в том, что он был организатором семинара по анализу, посвящавшегося из года в год различным областям математики, и начал культивировать в Москве современную тео-

рию функции. Многие математики впервые столкнулись с наукой именно в этом семинаре. Широкое математическое образование Егорова и глубина читаемых им курсов привлекали к нему многочисленных учеников; из них выдвинулся ряд талантливых учёных, среди которых мы назовём академика H. Н. Лузина, В. В. Голубева, И. И. Привалова, В. В. Степанова (род. 1889).

Приблизительно в 1910 г. Д. Ф. Егоров заинтересовался теорией множеств и теорией функций, бурно развивавшимися в ту пору. Основное новое понятие измеримой функции казалось настолько широким, обладающим настолько большим количеством особенностей по сравнению с гладкими (непрерывными и дифференцируемыми) функциями математического анализа XVIII и XIX веков, что казалось несомненным, что новое понятие очень далеко отстоит от старых привычных непрерывных функций. Но вот в 1911 г. Егоров, а вслед за ним Лузин доказали две замечательные теоремы, которые очень глубоко проникли в суть этого нового понятия. Согласно теореме Лузина, все измеримые функции могут быть превращены в непрерывные, если только их значения изменить на множестве сколь угодно малой меры. Понятно, что это множество меняется от функции к функции, зависит от её свойств. Нам важно, что теорема Лузина позволила вполне разобраться в строении измеримых функций и показала, что все измеримые функции с точки зрения меры являются, так сказать, испорченными непрерывными, но испорченными на множествах сколь угодно малой меры. Мы не останавливаемся ни на подробной формулировке теоремы Лузина, ни даже на общем рассказе о содержании теоремы Егорова*). Скажем только то, что обе эти теоремы стали ценнейшими орудиями исследования в руках последующего многочисленного поколения московских математиков.

Первое поколение учеников Лузина. Ряд математиков-студентов и среди них П. С. Александров (род. 1896), Д. Е. Меньшов (род. 1892), М. Я. Суслин (1894—1919), А. Я. Хинчин (род. 1894), участников семинара Д. Ф. Его-

*) См., например, книгу Александрова П. С. и Колмогорова А. Н. «Введение в теорию функций действительного переменного».

рова, с осени 1914 г. начали работать под руководством H. Н. Лузина и образовали первое поколение его учеников. В 1916 г. к ним присоединился П. С. Урысон (1894—1924). В центре внимания этой группы молодых математиков, естественно, было то новое направление в теории функции, о котором мы только что говорили; при этом Меньшов и Хинчин интересовались той частью теории функций, которая опирается на понятие меры множества, а Алескандров и Суслин—другой её частью, обходящейся без этого понятия. Первая носит название метрической теории функций, а вторая—дескриптивной.

В начале 1916 г. почти одновременно в докладах Парижской Академии наук были напечатаны три студенческие работы. Это были работы Александрова о мощности так называемых борелевских множеств, Меньшова—о тригонометрических рядах и Хинчина—об интеграле. В следующем году за ним последовала замечательная работа Суслина, в которой были построены основы теории так называемых А-множеств, явившейся предметом дальнейших исследований Лузина и ряда советских, а также иностранных, главным образом польских, учёных.

Каждая из четырех перечисленных работ была творением замечательного мастера, в которой тонкий анализ объекта изучения удивлял не меньше, чем окончательный результат. Мы в двух словах остановимся только на результате Меньшова. Он построил пример тригонометрического ряда

сумма которого всюду, за исключением множества меры нуль, равна нулю, несмотря на то, что коэффициенты ак и bk (fc = l,2,3, ...) не все равны нулю. Этот пример явился полной неожиданностью для всех математиков, работавших в области теории функций, и был источником большого числа позднейших работ как советских, так и иностранных учёных.

Перечисленными работами Егорова, Лузина, Александрова, Меньшова, Суслина и Хинчина было положено начало длинному и непрерывному ряду исследований

московских математиков в области теории функций. Это был большой поток блестящих произведений, скоро завоевавших Москве мировое первенство в этой области математики как изумительной тонкостью производимого в них анализа, так и неожиданностью результатов, а также богатством заложенных в них идей. Но всё это произошло уже после революции.

В тяжёлые первые революционные годы, в условиях гражданской войны, разрухи, голода большая группа молодых математиков в Московском университете испытывала подлинный и безграничный научный энтузиазм. Это научное горение не могли погасить никакие трудности и тяготы, обрушившиеся на плечи граждан молодой республики.

1919 г. принёс и непоправимую потерю только что возникшему коллективу: от сыпного тифа умер один из талантливейших его представителей—Суслин. Он принадлежал к числу самобытных русских талантов, вышедших из крестьянской среды (он был родом из крестьянской семьи, жившей в Саратовской губернии). Недолго продолжалась его научная жизнь—всего два года, но за этот короткий срок он сделал столь замечательные открытия, что его имя до сих пор не сходит со страниц математических журналов, его именем назван широкий класс множеств, его идеи не погибли вместе с автором, а стали увлекательным и важным полем деятельности большого числа математиков.

Лузитания. В начале двадцатых годов большинство московских студентов-математиков, занимавшихся наукой, чувствовало себя учениками Лузина и высоко ставило научный авторитет Егорова, поддерживавшийся его разносторонним и глубоким пониманием разнообразнейших отделов математики.

Лузин был неисчерпаемым источником свежих математических идей в такой увлекательной для всех молодых математиков области, как теория множеств и теория функций. И это соединялось у него с блестящим лекционным талантом, с умением увлечь молодёжь, зажечь её идеей научного подвига и привить ей веру в собственные силы. Немудрено, что всё это поколение было безгранично увлечено и лекциями и беседами Лузина.

Чрезмерное увлечение теорией функций и теорией множеств имело и свою теневую сторону: в студенческой среде появилось пренебрежительное отношение к классическому анализу, многие его разделы получили шутливые названия. Так уравнения с частными производными назывались уравнениями с несчастными производными, конечные разности—разными конечностями, теория вероятностей— теорией неприятностей и т. д.

Кружок лиц, группировавшихся около Лузина, получил в то время особое наименование «Лузитании». Лузитанцы систематически встречались, с азартом молодости обсуждали математические проблемы и настойчиво добивались самостоятельных успехов. Лузин для своих учеников устраивал «среды», во время которых в неофициальной обстановке рождались новые проблемы, новые методы подхода к старым ещё нерешённым задачам.

Семинар, который вёл у себя на квартире Лузин, был основан на весьма интересной идее. Все участники одновременно занимались одним и тем же вопросом, еженедельно в час семинара получали консультацию у руководителя, получали указания дальнейшей литературы, сопоставляли прочитанное с новыми работами. Затем к концу года приготовляли все вместе один доклад, представлявшийся руководителю в письменном виде. Одному из участников поручались литературная обработка этого доклада и прочтение его на семинаре. Избранный был горд таким доверием и отделывал своё произведение с величайшей тщательностью. Понятно, что такая организация работы заставляла всех участников работать над всем материалом целиком и не оставляла возможности получения лоскутных знаний. Описанная организация семинарской работы существенно отличается от принятой теперь традиции еженедельного устного доклада различными лицами.

Второе поколение учеников Лузина. После Великой Октябрьской социалистической революции, открывшей двери университета и для женщин, школа Лузина пополнилась рядом талантливых математиков, в числе которых были и девушки. Среди них на первом месте следует назвать Нину Карловну Бари (род. 1901) и Людмилу Всеволодовну Келдыш (род. 1904), немало способствовавших умножению славы советской женщины.

Помимо названных двух имён второе поколение учеников Лузина обогатило науку такими первоклассными математиками, как А. Н. Колмогоров (род. 1903), М. А. Лаврентьев (род. 1900), Л. А. Люстерник (род. 1898), П. С. Новиков (род. 1901) и др., также воспитавшимися в духе идей теории множеств и теории функций действительного переменного.

Расширение интересов Московской математической школы. По мере расширения научного коллектива, по мере научного роста каждого отдельного его члена, росли и разнообразились его научные интересы. Теория функций уже перестала быть единственным предметом внимания и работ молодых московских математиков. На сцену появляются другие, существенно новые области исследования. В самом начале двадцатых годов А. Я. Хинчин начал интересоваться метрическими вопросами теории чисел, а также теорией вероятностей. В 1925 г. к нему присоединились в теоретико-вероятностных исследованиях А. Н. Колмогоров, а позднее Н. В. Смирнов, В. И. Гливенко и др. Таким образом создалась Московская школа теории вероятностей.

Ещё раньше, в самые первые годы возникновения Московской математической школы, теория множеств и теория функций действительного переменного вдохновили московских математиков на исследования в области теории функций комплексного переменного. Хронологически первой работой в этом направлении была диссертация В.В. Голубева (1916 г.). Вслед за ней последовали исследования И. И. Привалова, H. Н. Лузина, Д. Е. Меньшова, В. С. Фёдорова, а затем М. А. Лаврентьева, А. О. Гельфонда, М. В. Келдыш, А. И. Маркушевича и др.

В начале же двадцатых годов О. Ю. Шмидт, ученик Д. А. Граве, начал культивировать в Москве работу в области теории групп. Постепенно алгебраические интересы участников организованного Шмидтом семинара росли и захватывали всё более и более широко все разделы современной алгебры. Значительную роль в приобщении московских математиков к идеям современной алгебры сыграл также приезд в Москву на зиму 1928/29 г. одной из создательниц современной абстрактной алгебры профессора Геттингенского университета Эмми Нётер (1882—1935). В результате к настоящему моменту в Москве работает очень сильная

и многочисленная алгебраическая школа, возглавляемая О. Ю. Шмидтом и содержащая в своём составе таких крупных математиков, как А. Г. Курош (род. 1908), А. И. Мальцев (род. 1909) и др. Идеи современной алгебры глубоко проникли и в другие области математики—топологию (П. С. Александров, Л. С. Понтрягин), функциональный анализ (И. М. Гельфанд) и собственно математический анализ (И. Г, Петровский).

Математический анализ не имел в Московском университете таких традиций, какие существовали в Петербурге. Хорошие, но изолированные исследования в области дифференциальных уравнений и вариационного исчисления эпизодически появлялись в Москве (П. А. Некрасов, Д. Ф. Егоров, В. В. Голубев), систематическая же, широко задуманная работа в этой области ведёт своё начало только от Московской школы теории функций. Прежде всего здесь следует отметить работы Л. А. Люстерника по вариационному исчислению и дифференциальным уравнениям. Далее необходимо указать на широкие и уже далеко продвинутые планы И. Г. Петровского (род. 1901) по созданию общей теории систем дифференциальных уравнений в частных производных. Результаты этого цикла исследований сулят большие перспективы не только в развитии самой математической теории, но также и в её неограниченных возможностях приложений к различным задачам механики и физики.

Детальное изучение уравнения теплопроводности было предпринято А. Н. Тихоновым (род. 1905), его исследования нашли немедленные и многочисленные применения в физике и геофизике.

Большое и важное направление исследований возглавляется В. В. Степановым и В. В. Немыцким в области так называемой качественной теории дифференциальных уравнений, занимающейся выяснением общих свойств решений по виду дифференциального уравнения. Эта теория ведёт своё начало от астрономических работ Анри Пуанкарэ и её дальнейшее развитие также связано с требованиями к математике, предъявляемыми физикой, астрономией и другими областями естествознания.

Топология. В 1921 г. Павел Самуилович Урысон начал заниматься топологией—современной весьма важной ветвью геометрии. В следующем году к нему присоединился

П. С. Александров. Этим было положено начало советской топологической школе. Сейчас весьма уместно сказать несколько слов об её основателе и одном из самых крупных топологов нашего века.

Научная жизнь П. С. Урысона началась с работ по экспериментальной физике, выполненных им в 15-летнем возрасте под руководством академика П. П. Лазарева. В 1918—1919 гг. он выполнил несколько математических работ и с этих пор не прерывал своих занятий в этой отрасли науки. За очень короткий срок—в пять лет (1919— 1924) —он напечатал свыше 30 работ, создавших ему славу одного из самых блестящих математиков. Жизнь Урысона и его работы были оборваны нелепым случаем: он был убит ударом волны о скалу во время купания в бурную погоду в Атлантическом океане у берегов Бретани. Свою последнюю работу он закончил за четверть часа до смерти.

Несомненно, что огромный математический талант Урысона не успел в полной мере проявить себя, и, не прервись его жизнь так рано, он сумел бы серьёзно обогатить самые различные разделы математики открытиями первостепенного значения.

Идеи Урысона, казавшиеся многим вначале чересчур абстрактными и общими, при дальнейшем развитии математики оказались в центре её внимания. Его теория размерности явилась источником для многих общих идей современной теоретико-множественной математики. Введённое им совместно с П. С. Александровым понятие бикомпактного пространства стало одним из самых основных понятий современной математики, значение которого далеко выходит за пределы тех специальных топологических проблем, в которых оно зародилось.

В 1925 г. молодые топологи объединились в топологический кружок, председателем которого был избран П. С. Александров. Целый ряд молодых математиков и среди них А. Н. Тихонов, Л. А. Люстерник, Л. Г. Шнирельман, В. В. Немыцкий стали членами этого кружка и с успехом разрабатывали разнообразные проблемы топологии. Вскоре к этой группе топологов присоединились одни из самых блестящих топологов и математиков вообще — Л. С. Понтрягин (род. 1908) и А. Н. Колмогоров (род. 1903).

Значительные успехи советской топологической школы нашли отражение на Первой международной топологической конференции, созванной по инициативе Математического института Московского университета в сентябре 1935 г. Эта конференция, привлекшая большое количество участников как из пределов Союза, так и из-за границы, не только подвела итоги плодотворному периоду развития топологии последних 10—15 лет, но и наметила те основные пути, по которым движется сейчас развитие этой науки.

Заключение. Московская математическая школа, выросшая в стенах Московского университета, свои основные достижения ведёт от работ, казалось бы, в узкой области математики—теории множеств и теории функций действительного переменного. Но мы видели, что на этой почве возникло грандиозное научное сооружение, которое может быть кратко охарактеризовано как теоретико-множественный анализ. Это сооружение, охватывающее и теорию функций, и топологию, и алгебру, и анализ, и теорию вероятностей, объединило и связало тесно, на первый взгляд весьма далёкие разделы науки. Понятно, что такие связи и взаимодействия в дальнейшем будут развиваться, углубляться и содействовать развитию объединяющих всю математику новых больших идей.

Теоретико-множественная математика, характеризуясь общностью и часто неразрывно связанной с ней отвлечённостью своих методов, принадлежит к числу наиболее теоретических наук и, казалось бы, недостаточно связана с практикой. Однако это не так: в настоящее время её идеи через анализ, теорию вероятностей влияют на естествознание и через него на технику. Кроме того, абстрактная закалка, получаемая воспитанниками Московской школы, оказывается прекрасным средством для подготовки их к работе в самых разнообразных областях математики, механики и даже техники: это воспитание приучает к быстрой ориентировке в совершенно новых и необычных условиях.

§ 19. СОВЕТСКАЯ ШКОЛА ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

Особенность теории чисел. Трудно найти какую-либо другую область математики, з которой так просто, так элементарно звучали бы постановки задач и так трудно давалось бы их решение, как в теории чисел. От постановки не-

которых задач теории чисел часто проходят сотни лет, прежде чем эти задачи получают решение. Многие же задачи до сих пор остаются даже без всякого подхода к их решению.

Так, например, не решена задача, широко известная под именем великой теоремы Ферма*), хотя ею и занимались крупнейшие математики XVIII и XIX столетий, а в XX веке сотни тысяч любителей, узнав о её существовании, бросились добывать себе славу, часто не сознавая стоящих на пути трудностей.

Мы остановимся здесь на рассмотрении нескольких таких, так сказать, бородатых задач, полное решение или по меньшей мере серьёзное продвижение в решении которых принадлежит советским математикам.

При этом мы не станем стремиться ни к тому, чтобы попытаться при изложении истории этих проблем набросать общее представление о всех разделах современной теории чисел, ни к тому, чтобы охватить всё наиболее существенное из сделанного у нас.

Распределение простых чисел. В параграфах, посвященных Эйлеру и Чебышеву, мы указывали на то, что вопрос о характере расположения простых чисел со времени Эвклида волнует человеческую мысль. Экспериментальные наблюдения над таблицами всех простых чисел, содержащихся в первых одиннадцати миллионах, показывают исключительную иррегулярность в их расположении. С одной стороны, на всём протяжении таблиц встречаются так называемые близнецы, т. е. простые числа, разность между которыми равна двум, например, 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19, 29 и 31,41 и 43, 71 и 73,..., 10006 427 и 10 006 429. С другой стороны, легко можно показать, что в натуральном ряде существуют сколь угодно длинные интервалы, свободные от простых чисел. Действительно, каково бы ни было л, мы можем указать п последовательных чисел, среди которых нет ни одного простого. С этой целью возьмём произведение всех простых чисел, не превышающих л+1, которое

*) Задача состоит в том, чтобы доказать невозможность решения в целых числах х, у, г уравнения

xn + yn = zn

при целых п>2.

мы обозначим буквой Q:

Q —2 - 3 • 5 • 7 ... р,

где р—наибольшее простое число, не превосходящее п + 1. Рассмотрим далее последовательные числа

Q + 2, Q + 3, Q + 4,...,Q + n+l;

все они будут составными, так как вторые слагаемые в них имеют с Q по меньшей мере одного общего делителя.

После того как ещё в XVIII веке было выяснено, что обозримых закономерностей для расположения простых чисел на конечных участках не существует, стали искать асимптотические (т. е. выполняющиеся только в пределе) закономерности их расположения. Мы уже говорили о том, что Чебышев первый доказал два важных предложения на этот счёт. Позднее целый ряд математиков занимался уточнением его результатов. В частности, француз Адамар и бельгиец Валле-Пуссен в 1896 г. показали, что функция л (х), дающая число простых чисел, не превосходящих х, удовлетворяет предельному соотношению: прих—>оо

Желание составить более точное представление о характере расположения простых чисел привело к необходимости изучения разности

*) Заметим, что П. Л. Чебышев ещё в 1850 г. доказал, что

а до этого, в 1848 г., что если предел отношения п (х) к rjj-j существует, то он равен единице.

Для читателей, знакомых с понятием интеграла, заметим, что в теории чисел обычно предпочитают пользоваться другим, несколько более удобным соотношением:

Оценке этой разности было посвящено большое количество исследований, начиная с уже упомянутой работы Валле-Пуссена 1896 г. Наилучшие результаты в этом направлении были достигнуты воспитанником Московского университета профессором Саратовского университета Николаем Григорьевичем Чудаковым (род. 1905) в 1936 г., основывавшимся на теоремах академика Ивана Матвеевича Виноградова, дающих оценки некоторых тригонометрических сумм.

Внимательное изучение таких сумм привело Виноградова к созданию очень мощного метода доказательства целого ряда предложений теории чисел. Мы только что указали на то, что этот метод Чудаковым был применён к изучению проблемы распределения простых чисел, но самим Виноградовым и его учениками он был использован в решении других проблем. В первую очередь здесь следует указать на задачи Варинга и Гольдбаха, о которых будет итти речь далее. В качестве следствий своих результатов Чудаков получил многочисленные уточнения известных теорем. Ограничимся указанием на одно из таких следствий. Одним из существенных вопросов, касающихся распределения простых чисел, является оценка величины разности

между двумя соседними простыми числами. В 1930 г. удалось доказать, что порядок этой разности не превышает ; через три года удалось понизить оценку до . Наконец, в 1936 г. Чудаков показал, что действует лучшая оценка, а именно , где е—любое положительное число.

Проблема Варинга. В 1770 г. английский математик Варинг (1736—1798) сформулировал задачу, решение которой не поддавалось усилиям многих учёных почти 150 лет. Задача формулируется исключительно просто: доказать, что при любом целом положительном л всякое целое число N может быть представлено в виде суммы ограниченного числа л-ных степеней целых чисел. Ещё в XVIII веке частный случай этой теоремы при л = 2 был доказан Лагранжем. Теорема Лагяранжа доказываете совершенно элемен-

тарно и формулируется так: всякое натуральное число представляется в виде суммы не более чем четырёх квадратов. Читатель легко экспериментальным путём проверит*) эту теорему для небольших чисел; для примера укажем несколько равенств:

Позднее удалось доказать, что всякое число может быть представлено в виде суммы не более чем восьми кубов, з виде суммы не более чем семнадцати четвёртых степеней. Однако, несмотря на все старания, в целом, проблема Варинга не поддавалась усилиям вплоть до 1909 г., когда немецкий математик Д. Гильберт очень сложным путём пришёл к исчерпывающему её решению. Решение было настолько запутанными неясным, что известный французский математик Анри Пуанкарэ сказал после ознакомления с ним, что выяснение движущих пружин доказательства Гильберта позволит как из рога изобилия получать новые теоретико-числовые факты.

Спустя, приблизительно, десять лет после Гильберта академик И. М. Виноградов разработал свой поистине замечательный метод теории чисел—метод тригонометрических сумм, о котором мы упоминали в предыдущем пункте. Этот метод прежде всего был применён его автором к изучению проблемы Варинга. Он оказался исключительно мощным: проблема не только получила совершенно прозрачное решение, но при этом удалось также указать весьма точную оценку для числа необходимых слагаемых.

Метод Виноградова основан на использовании очень тонких средств математического анализа; поэтому для неспециалиста-математика ознакомление с ним чрезвычайно сложно. В теории чисел уже давно стремятся к отказу от чуждых методов анализа и к разысканию элементарных

*) Доказательство же её можно найти хотя бы в книге И. В. Арнольда «Теория чисел». Учпедгиз, 1939.

приёмов доказательств. Это удаётся пока с большим трудом. Каждая проблема требует для себя особого подхода. Для проблемы Варинга такое элементарное решение в 1942 г. было найдено молодым ленинградским математиком Ю. В. Линником (род. 1915); он использовал при этом лишь такие сведения, которые хорошо известны или легко могут быть поняты школьниками 10-го класса. Правда, нужно сказать, что хотя решение Линника элементарно,— оно совсем не просто и требует от читателя значительного внимания и напряжения.

Проблема Гольдбаха. В 1742 г. академик X. Гольдбах в письме к Л. Эйлеру высказал предположение, что каждое целое число, большее трёх, может быть разложено на сумму не более чем трёх простых чисел. Эйлер тут же заметил, что для доказательства этого предложения достаточно обнаружить, что каждое чётное число может быть разложено на сумму двух простых. Многочисленные попытки доказать гипотезу Гольдбаха заканчивались неудачей.

Конечно, не было недостатка и в попытках путём экспериментальной проверки натолкнуться на противоречащий пример. Сначала Г. Кантор проверил все числа до 1000, Обри продолжил исследование до 2000, Миле в 1911 г. довёл изучение всех чисел до 9 000 000. Всё напрасно—противоречащих гипотезе Гольдбаха примеров не находилось. Вместе с тем, в деле доказательства этого предложения никаких продвижений всё же не получилось: ведь проверено было только конечное число чисел, а бесконечное множество их, основная их масса так и осталась нерассмотренной.

Из всех этих безуспешных начинаний был сделан довольно безутешный вывод: «Проблема Гольдбаха превосходит силы современной математики». Эти слова были сказаны в 1912 г. на Международном математическом конгрессе в Кембридже одним из лучших знатоков теории чисел начала нашего века—Ландау.

Первый крупный успех в решении проблемы Гольдбаха был достигнут в 1930 г. молодым советским математиком Львом Генриховичем Шнирельманом (1905—1938). С помощью особого разработанного им приёма, о котором мы скажем позднее, ему удалось показать, что всякое целое

число может быть представлено в виде суммы не более чем, примерно, 800000 простых чисел. Принципиальный шаг был сделан, оставалось улучшать изобретённый метод и уменьшать полученную оценку. На этот путь и встали многие математики как у нас, так и заграницей. В 1935 г. воспитанник Московского университета, томский математик Н. П. Романов (род. 1905), уточнив некоторые неравенства в методе Шнирельмана, показал, что число необходимых слагаемых не превосходит 2208. Через год целая группа математиков—Гельбронн, Ландау и Шерк, улучшив оценки Шнирельмана-Романова, уменьшили верхнюю границу для числа необходимых слагаемых до 71. Наконец, в 1937 г. итальянский математик Ричи уменьшил это число ещё на 4, доведя его до 67.

Понятно, что такое понижение верхней границы для числа слагаемых могло бы продолжаться и дальше и продлилось бы ещё неизвестно сколько лет. Ведь если бы и дальше удалось ежегодно снижать её на 4 единицы, то и тогда работы хватило бы на 16 лет. Положение было изменено новым привходящим обстоятельством. В том же 1937 г. академику Виноградову удалось, улучшив свой метод тригонометрических сумм, показать, что всякое нечётное число, большее некоторого числа JV0, является суммой не более чем трёх простых. Отсюда для чётных чисел немедленно вытекало, что они являются суммой не более чем четырёх простых. Результат Виноградова быстро облетел математический мир и ещё выше поднял славу советской математики. В обзорных докладах, прочитанных в математических обществах Франции, Англии и других стран, специалисты называли теорему Виноградова одним из самых блестящих проявлений человеческого гения в XX веке, Лондонское Королевское общество*) избрало Виноградова своим членом.

Лев Генрихович Шнирельман принадлежит к наиболее блестящим и глубоким математическим дарованиям нашего времени. Его исследования отличаются богатством идей, простотой и вместе с тем изумительной глубиной исходных точек зрения. Он родился в семье учителя в г. Гомеле в 1905 г. Уже 12-летним мальчиком он обнаруживал

*) Английская Академия наук.

необыкновенные математические способности и предпринял самостоятельные исследования в области алгебраических уравнений. 16-летним юношей Шнирельман поступил в Московский университет, в два с половиной года закончил его и затем поступил в аспирантуру Научно-исследовательского института математики при том же университете. За время аспирантуры он много и плодотворно работал совместно с Л. А. Люстерником (род. 1898) в области геометрии и вариационного исчисления. Тогда ими совместно была решена знаменитая и долго не поддававшаяся решению проблема о трёх замкнутых геодезических, поставленная ещё в конце прошлого века французским математиком А. Пуанкарэ.

В 1929 г. Шнирельман окончил аспирантуру и в качестве профессора математики уехал в Новочеркасск. Там он натолкнулся на изумительно простую и смелую идею рассматривать общие свойства произвольных числовых последовательностей. На этом пути ему удалось сделать первый шаг в решении проблемы Гольдбаха, продвинуть и уточнить решение проблемы Варинга и других задач, а также выдвинуть важные гипотезы, сделавшиеся на долгие годы предметом работы многих крупных математиков как советских, так и иностранных. Осенью 1930 г. Шнирельман вернулся в Москву, через три года был избран членом-корреспондентом Академии наук СССР, а ещё через пять лет нелепая смерть оборвала его жизнь, вырвав из рядов советских математиков одного из самых ярких их представителей.

Работы Шнирельмана сравнительно немногочисленны, так как он чрезвычайно строго относился к своим исследованиям; но именно поэтому каждый его мемуар, являвшийся произведением блестящего таланта и глубокого ума, был крупным математическим событием.

Метод Шнирельмана. Мы хотим теперь в нескольких словах описать тот приём, с помощью которого Шнирельман доказал свою замечательную теорему о представлении произвольных натуральных чисел посредством сумм простых. Этот приём основывается на понятии плотности последовательности. Под этим разумеется следующее.

Пусть

— некоторая последовательность целых чисел. Обозначим через N (х) число чисел этой последовательности, отличных от нуля и не превосходящих х. Совершенно очевидно, что при любом х отношение N (х) к х не больше чем 1. С другой стороны, это отношение может принимать только неотрицательные значения. Рассмотрим теперь наибольшее из тех чисел а, для которых отношение N (х) к X остаётся при любых х большим чем а. Эта верхняя граница чисел а и называется плотностью последовательности. Если плотность последовательности равна 1, то ясно, что последовательность содержит все натуральные числа.

Шнирельман ввёл далее понятие о сумме двух (и нескольких) последовательностей. Пусть {m} и {mi}*)—две последовательности. Под суммой этих последовательностей мы понимаем новую последовательность, составленную из всех чисел вида ni+mj. При этом, как оказывается, плотонсть суммы последовательностей положительной плотности больше плотности каждого из слагаемых и, если плотности слагаемых не убывают слишком быстро до нуля, то, взяв достаточно большое число слагаемых последовательностей, можно добиться того, что плотность суммарной последовательности будет как угодно близка к единице.

Ясно, что проблема Гольдбаха может быть сформулирована теперь так: показать, что плотность суммы трёх последовательностей простых чисел равна единице. Шнирельману удалось доказать более слабое предложение: что последовательность, состоящая из всех простых чисел, хотя и имеет плотность, равную нулю, но, просуммированная сама с собой, даёт последовательность уже положительной плотности. Отсюда и вытекает высказанное ранее предложение Шнирельмана о разложении натуральных чисел на ограниченное число простых слагаемых.

Совершенно очевидно, что только что изложенный подход применим также к проблеме Варинга. Для этого нужно только показать, что последовательность, составленная из чисел 0, 1п, 2П, Зп,..., сложенная сама с собой достаточно

*) Значком { щ У мы для краткости обозначаем последовательность

большое, но ограниченное (зависящее от числа п) число раз, даёт последовательность плотности единица. Этот приём был использован как самим Шнирельманом, так впоследствии и Линником при элементарном доказательстве проблемы Варинга.

Седьмая проблема Гильберта. На Международном математическом съезде в 1900 г. один из крупнейших математиков начала XX века Д. Гильберт выступил с докладом о труднейших проблемах современной математики, ждущих своего решения. Таких проблем он перечислил 23, среди них под номером 7 находилась следующая проблема арифметического характера. Известно, что алгебраическим числом называется число, которое может быть корнем какого-либо уравнения

а0хп + а1хп~1 + ...+ал = 0

с целочисленными коэффициентами û0, av...,an (л>1). Всякое неалгебраическое число называется трансцендентным. В Дополнении 4, познакомившись с понятием множества, мы увидим, что трансцендентных чисел неизмеримо больше, чем алгебраических. Однако конкретных примеров трансцендентных чисел известно очень немного. Первые примеры таких чисел были указаны в 1851 г. французским математиком Лиувиллем. Затем в 1873 г. французскому математику Эрмиту удалось установить трансцендентность важного для математического анализа числа г.Через девять лет, опираясь на результат Эрмита, Линдеманн доказал трансцендентность числа те. Этим была окончательно доказана невозможность решения задачи о квадратуре круга с помощью циркуля и линейки. Указание новых классов трансцендентных чисел, естественно, представляет значительный интерес. Гильберт в своей седьмой проблеме высказал следующее предположение: всякое число вида а?, где а и ß — алгебраические числа, причём 0фаф19 a ß иррационально, есть число трансцендентное.

В этой задаче всё было неизвестно, неизвестно было даже, рациональны, трансцендентны или иррациональны, но алгебраичны хотя бы такие простые числа, как е™ и 2^ в

Проблемы Гильберта после их опубликования вызвали огромный интерес, но решению поддавались с большим трудом. В течение тридцати лет седьмая проблема так и ос-

тавалась проблемой, бросая вызов учёным. Лишь в 1929 — 1930 гг. первая брешь в этой проблеме была пробита московским математиком Александром Осиповичем Гельфондом (род. 1906). Он показал, что если а—алгебраическое число, отличное от 0 и 1, a ß—квадратическая мнимая иррациональность, то число аР трансцендентно. В том же 1930 г. ленинградский математик Р. О. Кузьмин (род. 1891) показал, что в теореме Гельфонда можно освободиться от требования мнимости показателя. Этими исследованиями, в частности, решался вопрос о трансцендентности упомянутых выше чисел ет**) и 2^—доказывалось, что они трансцендентны.

Через четыре года совсем иным методом, использующим очень тонкие приёмы математического анализа, А. О. Гельфонд полностью разрешил проблему Гильберта.

Проблема Гаусса. Мы остановимся ещё только на одной проблеме, имеющей весьма почтенный возраст. Относится она к совершенно особой области теории чисел, находящейся в весьма близкой связи как с теорией вероятностей, так и с теорией множеств.

В различных частях математики важную роль играют так называемые цепные или, как чаще их называют, непрерывные дроби. Пусть мы имеем некоторое число а. Будем осуществлять следующий процесс: выделим из а наибольшее содержащееся в нём целое число (целую часть числа а). Пусть это будет а0 (а0 может быть и нулём). Запишем а в следующем виде:

По определению числа а0 число- должно быть или нулём, или меньшим единицы положительным числом. Поэтому, если -- отлично от нуля, то ах должно быть числом, большим единицы. Обозначим через ах наибольшее целое число

*) Читатель, знакомый с формулами Эйлера, легко убедится в том, что eT' = i~2\ где i = — \ и, значит, является числом рассматриваемого типа.

(целую часть), содержащееся в ах, и запишем аА в виде

В том случае, если — не равно нулю, мы выделим из а2 целую часть û2, запишем а2 в виде

и будем продолжать этот процесс далее. В результате всех этих действий мы получим, что всякое число а может быть представлено в виде конечной (если наш процесс обрывается на каком-либо шаге) или бесконечной (если описанный процесс продолжается бесконечно) дроби

Такие-то дроби и называются цепными или непрерывными. Они обладают многими замечательными свойствами, в частности, позволяют очень быстро и с прекрасной степенью точности вычислять приближённые значения иррациональных чисел.

Будем рассматривать дробные части знаменателей, т. е. числа

Один из величайших математиков прошлого века Карл Гаусс (1777—1855) в письме к Лапласу высказал относительно этих чисел без доказательства следующую гипотезу, сформулировав её на языке теории вероятностей: вероятность того, что у наудачу взятого числа а дробная часть гп окажется меньшей, чем х (0<х<1), при п, стремящемся к бесконечности, стремится к функции

Для читателей, познакомившихся с Дополнением 4, мы сформулируем гипотезу Гаусса иначе. Обозначим через

тп (х) меру множества тех чисел а отрезка (0, 1), для которых

тогда

Десятки лет, прошедшие со времени написания Гауссом указанного письма, не сделали его гипотезы математической теоремой. И только в 1928 г. ленинградский математик Р. О. Кузьмин нашёл исчерпывающее доказательство предложения Гаусса.

Теоремы Хинчина. Только что изложенный результат Гаусса-Кузьмина позволил Александру Яковлевичу Хинчину установить ряд исключительно изящных теорем. Мы отметим лишь три из них и при этом сохраним обозначения предыдущего пункта. Все результаты, о которых пойдёт речь, относятся не ко всем, а лишь спочти ко всем» вещественным числам. Иначе говоря, они могут не выполняться лишь для чисел множества меры нуль.

Подсчитаем прежде всего, как часто будет встречаться то или иное число, например 5, при разложении произвольного числа а в цепную дробь. Для того, чтобы подсчитать, сколько раз среди первых л величин аг, а%9...9 ап встречается число к (например, число 5), мы поступим следующим образом. Введём функцию

/(г) = 1, если r = fc и /(г) = 0, если гФк.

Очевидно, что сумма

даёт нам как раз количество повторений числа к среди ах, al9...f ап. Плотностью числа к во всём ряде чисел а19 а„ а3... естественно назвать предел

И вот, оказывается, что для почти всех чисел а и для каждого к эта плотность сохраняет своё особое значение, равное

Так, например,

Любопытно отметить, что чем меньше целое число, тем чаще оно должно встречаться в разложениях в цепные дроби.

Рассмотрим снова числа а19 я,,..., яп,..., и построим средние геометрические первых л из них, т. е. числа

Хинчин доказал, что для почти всех чисел а эти средние геометрические с ростом п до бесконечности приближаются всё более и более к абсолютной постоянной, равной

Рассмотрим снова разложение числа а (0 < а < 1) в цепную дробь

Дроби

называются подходящими дробями. Очевидно, что все подходящие дроби являются рациональными числами. Запишем их в виде правильных дробей:

где Pu Qi—целые числа:

Как показал Хинчин, для всех чисел а, за исключением множества меры нуль, последовательность чисел

сходится к абсолютной постоянной, равной р 2 .

Мы закончим на этом наш краткий очерк достижений русских учёных в области теории чисел, хотя мы и не коснулись в нём весьма важных исследований советских математиков Б. Н. Делоне, Б. А. Венкова, Н. Г. Чеботарёва и др., относящихся к другим разделам этой науки.

§ 20. СОВЕТСКАЯ ШКОЛА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Обыденные представления о случайных событиях. Мы перейдём теперь к краткому описанию того, что сделано советскими учёными в области науки о случае, ставшей со времени Чебышева как бы национальной русской наукой. Её успехи, пожалуй, более чем какой-либо другой части математики, являются успехами русских и советских учёных.

В обыденной речи каждый слышал и сам нередко употреблял выражения вроде следующего: «наша встреча была делом случая», «чистая случайность, что он выжил». Всякий раз при употреблении подобных выражений вкладывается в них тот смысл, что случайные события представляют собой нечто идущее в разрез с установившимся порядком вещей. При таком представлении о значении случая естественно спросить себя о пользе науки, занимающейся его изучением. Мы начнём с ответа именно на этот вопрос и покажем, что ходячее представление об исключительности случайных явлений ничего общего не имеет

с действительным положением вещей. На самом же деле, оказывается, случай проявляет себя повсеместно, каждое мгновение. Огромное количество явлений, закономерный характер которых для нас не вызывает сомнений чуть ли не с первых лет нашей более или менее сознательной жизни, в действительности представляет собой не что иное, как проявление законов случая. Рассмотрим несколько примеров.

Примеры случайных событий. Если кто-либо из читателей ежедневно ездит на работу или в учебное заведение трамваем, то он прекрасно знает, что трамвая иногда приходится ждать очень долго, а иногда удаётся попасть в него сразу без всяких ожиданий. Иногда трамвай переполнен, а иногда в нём удаётся проехать со всеми мыслимыми удобствами. Все эти колебания, изменения условий поездок читателю приходится испытывать на себе каждый день, хотя они и носят случайный характер; они не представляют собой ничего из ряда вон выходящего, наоборот, эти случайные колебания составляют неотделимую принадлежность нашего каждодневного житейского опыта.

Возьмём другой пример. При стрельбе по некоторой цели одним и тем же стрелком, из одного и того же оружия наблюдается так называемое явление рассеивания снарядов. Случайные уклонения снарядов от цели не представляют собой какие-то исключительные явления, наоборот, теория стрельбы считается с ними, как с одним из основных факторов стрельбы, тщательно их изучает и результатами этого изучения пользуется для выработки правил стрельбы.

Известно, что механизмы собираются из деталей, при изготовлении которых невозможно добиться того, чтобы все они имели точно заданные размеры: неизбежны случайные уклонения от номинала (нормальных размеров). Сборщик механизмов вынужден считаться с этим уклонением не как с чем-то исключительным, а как с повседневным явлением производства.

При страховании посевов, скота, имущества от гибели никто не может предсказать, что случится в течение года с тем или иным гектаром посева, с той или иной лошадью, коровой, с тем или иным домом и пр. Страховые органы как-то должны учитывать влияние случая. И на этом-то все

стороннем учёте влияния случая построено всё страховое дело. Без умения правильно оценить шансы бедствий страховые органы сами могли бы оказаться перед перспективой бедствия—разорения и гибели.

По современным физическим воззрениям всякий газ состоит из огромного числа отдельных частиц—молекул, находящихся в непрестанном хаотическом движении. Состояние газа—его давление, температура, вязкость и пр.—является проявлением совместного действия этих хаотически движущихся частиц. Так, давление газа определяется числом молекул, ударившихся в единицу времени о стенку сосуда, в который заключён газ, и скоростями, с которыми произошли эти соударения. То и другое—дело случая. Таким образом, давление газа отдано во власть случая и вполне мыслимо, что в разные моменты времени оно будет сильно колебаться: например, все молекулы станут двигаться в сторону одной стенки и давление на неё будет максимальным, в то время как на другие—минимальным. Опыт учит обратному: давление газа одинаково во все стороны и при постоянной температуре постоянно. Читатель, без сомнения, помнит закон, открытый на этот счёт Паскалем. Чем же объяснить это наблюдающееся постоянство давления, не идёт ли оно в разрез случайному характеру движения молекул? Оказывается, что нет, и основные законы теории вероятностей дают возможность предсказать это. Более того, с этой точки зрения многие законы физики и химии—законы Бойля-Мариотта, Дальтона и др.—являются проявлением тех принципов, которые устанавливает наука о случае—теория вероятностей.

Характерная особенность современных научных представлений. Нужно сказать, что вообще характерной особенностью развития научной мысли в последние десятилетия является бурный рост статистических концепций в различных областях естествознания. За эти годы с полной определённостью выяснилось, что привлечение методов теории вероятностей к изучению принципиальных вопросов физики, астрономии, химии, биологии, а также техники стало неизбежностью. Современные естественно-научные представления, связанные с развитием статистической физики, квантовой механики и др., привели к представлению о том, что все законы природы носят статистический

характер, обусловленный огромностью числа частиц, из которых составлена материя. Именно в этих представлениях о процессах природы лежит причина того действительно серьёзного прогресса, который достигнут теорией вероятностей в сравнительно короткий срок; именно этим следует объяснить то значительное повышение интереса к науке о случае, которое наблюдается во всех странах в наши дни.

Роль русской науки в развитии теории вероятностей.

Как мы уже говорили, роль русской математики в развитии теории вероятностей чрезвычайно велика, и без всякого преувеличения можно сказать, что почти все основные идеи этой дисциплины, волновавшие учёных в последние десятилетия и волнующие их теперь, берут своё начало и получают широкое развитие в нашей стране. Традиции серьёзного, строго математического отношения к проблемам теории вероятностей, созданные Чебышевым, бережно хранятся советскими учёными. Это обстоятельство позволило русской науке избежать тех разочарований, которые в начале прошлого века сменили на Западе бурное увлечение теорией вероятностей.

Отношение к теории вероятностей на Западе в XIX и начале XX века. Там, вслед за Лапласом и Пуассоном, большое число исследователей делало огромное количество попыток приложения её результатов к самым разнообразным областям естествознания и человеческой деятельности. Но многие из них были настолько мало обоснованы, что впоследствии воспринимались как математический скандал. Эти неудачи повлекли за собой смену повышенного интереса полным неверием в возможность использования теории вероятностей как метода познания. Среди математиков Западной Европы приобрёл господство взгляд на теорию вероятностей, как на науку второсортную и даже скорее как на своеобразное математическое развлечение, едва ли заслуживающее серьёзного внимания. Этим, повидимому, объясняется то обстоятельство, что в известном историческом обзоре «Развитие математики в XIX веке» Феликса Клейна совсем не нашлось места для описания достижений теории вероятностей. Успехи теории вероятностей в её приложениях к различным областям естествознания—теории ошибок, кинетической теории газов и пр.—

долго не могли сломить уже установившихся ошибочных взглядов. И только, приблизительно, после первой мировой войны дальнейшее игнорирование науки о массовых явлениях стало невозможным. В ряде стран, в первую очередь во Франции, Италии, Швеции и США, отдельные учёные и группы учёных всерьёз взялись за разработку проблем теории вероятностей. Советские учёные и в условиях этого неизмеримо выросшего научного соревнования с учёными других стран не сдали своих позиций и попрежнему идут в авангарде науки о случае.

Содержание теории вероятностей до Чебышева. Для того, чтобы лучше оценить вклад русских учёных в развитие интересующей нас науки, следует, хотя бы в нескольких словах, охарактеризовать её состояние к середине XIX века, когда появились первые исследования Чебышева, положившие начало дальнейшим многочисленным работам у нас и заграницей.

В самом начале XVIII века швейцарским учёным Яковом Бернулли была открыта замечательная теорема, которую, без преувеличения, можно считать началом существования теории вероятностей как науки. Содержание этой теоремы состоит в следующем. Пусть наступление некоторого события зависит от случая; производится последовательность независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления этого события сохраняет постоянное значение р. Тогда, если через ^ обозначить число появлений события среди п первых из этих испытаний, то с вероятностью, сколь угодно близкой к единице (или, как говорили раньше, к достоверности), разность р— £ становится по абсолютной величине меньше любого положительного е, если только л достаточно велико.

Значение теоремы Бернулли определяется тем, что она даёт возможность установить связи между результатами эксперимента и теоретическим коэффициентом—вероятностью и, в частности, по результатам эксперимента позволяет судить о величине вероятности р, когда она неизвестна.

Однако, число р зависит от случая, и поэтому возможные уклонения £ от р могут достигать и заметных значений.

На естественный вопрос о том, с какими вероятностями эта величина принимает те или иные значения, французские математики Моавр и Лаплас дали ответ, ставший вторым основным предложением теории вероятностей. Оказалось, что для больших значений п вероятность неравенства

почти не зависит от п и р и при п—>оо приближается к некоторой определённой функции Ф(х), которая впоследствии получила название нормальной функции распределения, или закона Гаусса*).

В начале XIX века известный французский математик Пуассон показал, что теорема Бернулли можеть быть получена в качестве следствия более общего предложения, названного им законом больших чисел. Теорема Пуассона состоит в следующем. Если вероятность появления некоторого события зависит от номера испытания и для к-го испытания равна рк, то число р появлений этого события при п независимых испытаниях с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, удовлетворяет неравенству

где е—любое положительное число, лишь бы п было достаточно большим.

Этим же математиком было показано, что при малых р в схеме Бернулли вероятность равенства p.=fc для больших значений п приближенно равна -^у— , где Х=пр.

Большой раздел теории вероятностей был связан с теоремой Бейеса, позволяющей вычислять вероятности того, в каких условиях наступило событие, если эксперимент показал, что оно произошло. На её базе возникла также огромная литература, посвященная вычислению вероятно-

*) Функция Ф (х) определяется формулой:

стей различных социальных явлений, в частности, правильности судебных приговоров,—литература, не оказавшая положительного влияния на развитие науки.

Важная для приложений глава была создана исследованиями Котса, Лапласа, Лежандра, Гаусса и др., положивших начало теории ошибок. Известно, что как бы хорошо ни были организованы измерения, невозможно получить абсолютно точного результата, всегда неизбежны ошибки измерений, зависящие от случая. Относительно них Лаплас и Гаусс показали, в частности, что если принять принцип среднего арифметического, то ошибка измерения подчиняется нормальной функции распределения. Принцип средней арифметической состоит в том, что при любом числе измерений наиболее вероятным значением измеряемой величины считается среднее арифметическое из результатов измерений.

В связи с задачами об азартных играх и определением безобидных игр возникло понятие математического ожидания случайных величин. Если xv х2,...,хп означают всевозможные значения, принимаемые случайной величиной £, a pv р2,..., Рп—вероятности, с которыми принимаются эти значения, то математическим ожиданием величины 5 называется сумма

Символом Е мы станем обозначать математическое ожидание и в дальнейшем.

К середине XIX века основные свойства математических ожиданий были достаточно хорошо известны.

Первые исследования по теории вероятностей в России. Научные исследования в области теории вероятностей начались в России с момента основания Академии наук и приезда в неё первых академиков, братьев Даниила и Николая Бернулли, приглашённых из Швейцарии. Однако их работы были для России лишь чисто внешним событием и не имели никакой связи с состоянием науки в стране. Позднее интерес к теории вероятностей проявляли все виднейшие представители русской математической мысли. Так, Лобачевский в своей работе «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных» с целью экспериментального установления геометрической системы, гос-

подствующей во вселенной, разработал теорию ошибок при измерениях на сфере; позднее тому же вопросу он посвятил специальную статью. Остроградский написал три статьи по теории вероятностей. Значительное число работ по теории вероятностей и в особенности по её применениям к вопросам демографии России было написано академиком Буняковским. Им же был создан первый учебник по теории вероятностей, стоявший на уровне науки того времени.

Однако все указанные исследования не внесли в теорию вероятностей ни существенно новых идей, ни новых проблем и не послужили толчком к созданию школы исследователей, хотя и пробудили к ней интерес в России.

Новый шаг, как мы говорили, был сделан Чебышевым. Он начал систематически изучать последовательности взаимно независимых случайных величин. Им самим и Марковым был доказан, как мы уже видели раньше, закон больших чисел*) в весьма общих условиях. И, наконец, Чебышев, Марков и Ляпунов доказали, что при весьма общих условиях для последовательности независимых слагаемых имеет место центральная предельная теорема**).

Позднее Марков ввёл понятие о цепях Маркова и доказал для них ряд теорем, в частности, закон больших чисел,

*) Т. е. следующее утверждение: при п->оои любом е>0

Символ Р { ... } означает вероятность события, указанного в скобке.

**) Т. е. следующее утверждение! при я—»оо и любом вещественном X

где для краткости обозначено

центральную предельную теорему и одну важную теорему о предельном поведении вероятностей перехода из состояния Ai в состояние А/, послужившую прототипом для позднейших, так называемых эргодических теорем.

Мы теперь в общих чертах знакомы с состоянием теории вероятностей к моменту Великой Октябрьской социалистической революции.

Роль академика С. Н. Бернштейна. Весьма насыщенный большими общими идеями и фактическими результатами период развития теории вероятностей связан с именем академика С. Н. Бернштейна.

Мы говорили о том, что до середины прошлого века теория вероятностей не успела сложиться в математическую науку. Её приложения к изучению явлений природы были довольно слабо обоснованы и вызывали резкую, заслуженную критику, нашедшую особенно блестящее выражение в курсе французского математика Бертрана. Неопределённость в основных понятиях науки о случае приводила к целому ряду парадоксов. Правда, эти обстоятельства мало смущали естествоиспытателей, и уже тогда даже наивный теоретико-вероятностный подход в различных областях науки приводил к крупным успехам. Время шло, науки развивались и предъявляли к своему математическому аппарату—теории вероятностей—более строгие требования. Возникла потребность систематически изучить основные понятия теории вероятностей и выяснить условия, в которых можно пользоваться её методами и результатами. Вот почему особенно важное значение приобрело формальнологическое обоснование теории вероятностей. Первая попытка такого рода обоснования относится к 1917 г. и принадлежит академику С. Н. Бернштейну. Наряду с желанием привести в порядок основы теории вероятностей Бернштейн поставил перед собой гораздо более широкую цель: на базе создаваемой им системы аксиом теории вероятностей построить логически безупречную теорию математической статистики и продемонстрировать, как можно совершенно строго и точно изучать важнейшие проблемы естествознания. Для того, чтобы лучше оценить позиции, с которых была осуществлена эта попытка, я приведу подлинные слова автора (доклад на Всесоюзном съезде математиков в Москве в 1927 г.):

«Чисто математическая теория вероятностей может не интересоваться тем, имеет ли коэффициент, называемый математической вероятностью, какое-нибудь практическое значение, субъективное или объективное. Единственное требование, которое должно быть соблюдено, это—отсутствие противоречий, а именно: различные способы вычисления указанного коэффициента при данных условиях и соблюдении принятых аксиом должны приводить к одному и тому же значению.

Кроме того, если мы хотим, чтобы выводы теории вероятностей были не простой игрой ума, а допускали эмпирическую проверку, то необходимо рассматривать только такие совокупности предложений или суждений, относительно которых возможно фактически установить истинны они или ложны. Познавательный процесс, необратимый по существу, в том именно и заключается, что те или иные из признаваемых нами предложений становятся истинными, т. е. осуществляются, и тогда отрицания их в то же время становятся ложными или невозможными.

Таким образом, построение теории вероятностей, как единого познавательного метода, требует, чтобы истинность предложения однозначно без всяких исключений характеризовалась определённым максимальным значением математической вероятности, которое принимается равным единице, а ложность предложения должна быть адэкватна наименьшей вероятности, приравниваемой нулю...».

Эти основные идеи явились источником для целого ряда работ Бернштейна как математических, так и естественнонаучных, в особенности посвященных теоретическим проблемам биологии. Они же вдохновили их автора на создание одного из лучших произведений мировой литературы по теории вероятностей—книгу «Теория вероятностей». Книга начинается с изложения системы аксиом, основных понятий этой науки и рассмотрения примеров вычисления вероятностей посредством различных приёмов. Дальше автор переходит к изложению классических и собственных результатов относительно закона больших чисел, теоремы Лапласа, выборочного метода, кривых распределения, теории корреляции и пр. Особую свежесть и ценность книге придают постоянные дискуссии автора о практической ценности того или иного результата теории, а также о гра-

ницах его применимости. Это обстоятельство значительно содействовало широкой известности книги не только среди математиков, но и среди работников естественно-научных, экономических и технических дисциплин.

Собственно-математические работы первого периода исследований Бернштейна по теории вероятностей представляют собой блестящее завершение исследований Чебышева, Маркова и Ляпунова по предельным теоремам для сумм случайных величин. Доказательство основной предельной теоремы для случая независимых величин в его руках получило такую общность, что наложенные при этом ограничения оказались впоследствии не только достаточными, но и необходимыми. В то же время были установлены весьма широкие условия, при выполнении которых предельная теорема сохраняется и для суммы зависимых слагаемых.

Впервые Бернштейном было предпринято исследование условий, в которых имеет место двумерная предельная теорема. Проиллюстрируем постановку задачи простым для восприятия, но важным примером. При стрельбе по некоторой цели А, находящейся на земной поверхности, снаряды не попадают, вообще говоря, точно в точку прицеливания, а рассеиваются. Возникает задача определения вероятности того или иного уклонения снаряда от центра цели. Если выбрать оси координат с началом в центре цели, то вопрос заключается в том, чтобы указать вероятность каждого возможного уклонения (х, у) снаряда от цели—возможных координат снаряда.

Исходя из гипотезы, что уклонение снарядов от цели является результатом суммарного воздействия огромного количества зависящих от случая причин,каждая из которых лишь ничтожно мало влияет на результат, Бернштейн показал, что оно подчиняется особому закону распределения вероятностей—двумерному нормальному закону. Часто говорят в этом случае, что х и у нормально коррелированы.

Фиг. 6.

Этот общий математический результат, описанный нами на частном примере, Бернштейн приложил к биологическим исследованиям. Среди прочих результатов этого рода заслуживает быть отмеченным важный и неожиданный для специалистов факт, что закон Гальтона о наследовании количественных признаков не противоречит гипотезе Менделя, а при весьма общих естественных предположениях вытекает из неё.

Исследования В. И. Романовского и его школы. Как мы уже говорили в § 17, с 1922 г. в Ташкенте началась серьёзная работа по теории вероятностей и математической статистике. Первоначально она велась единолично профессором В. И. Романовским, а затем им самим и целым рядом его учеников, среди которых мы отметим М. И. Эйдельнанта и Т. А. Сарымсакова—наиболее крупного современного математика-узбека.

Начав свои исследования в области математической статистики, Романовский работал в ней под сильным влиянием английской школы, созданной известным статистиком Карлом Пирсоном. Однако в выборе методов для решения стоявших перед ним задач он следовал за Чебышевым. Являясь учеником академика А. А. Маркова, Романовский воспринял от него традиции школы Чебышева и среди них математическую строгость рассуждений и логическую щепетильность в построениях. Этого как раз недоставало английским статистикам, от работ которых, как мы говорили, отправлялся Романовский.

За почти двадцатилетний промежуток деятельности Романовский не только охватил своими исследованиями буквально все части математической статистики (кривые распределения, теория выборок, распределение статистических характеристик, критерии случайности, разыскание скрытых периодичностей и пр.), но и занимался деятельной пропагандой статистических методов. С этой целью им был создан ряд книг, много способствовавших подъёму статистической культуры и развитию интереса к ней. Среди этих книг мы отметим в особенности его «Элементарный курс математической статистики» и фундаментальное произведение «Математическая статистика».

Многочисленные работы Романовского в области теории вероятностей были посвящены распространению основ-

ной предельной теоремы Ляпунова на многомерные случайные величины, цепям Маркова и построению важных схем зависимых случайных величин, обобщающих цепи Маркова. Мы не станем здесь описывать прекрасные результаты, относящиеся к так называемым бициклическим цепям, введённым им впервые в рассмотрение, а отметим лишь два его фундаментальных мемуара, посвященных цепям Маркова с конечным и непрерывным множеством состояний.

Изучение цепей Маркова с конечным числом состояний Романовский связал с алгебраическим аппаратом—матрицами. При этом ему пришлось детально разработать и отдельные вопросы теории матриц. Метод Романовского является в настоящее время одним из основных в теории цепей Маркова и широко используется многими специалистами в дальнейших исследованиях.

Случай цепей Маркова с непрерывным множеством состояний был связан Романовским с теорией интегральных уравнений.

В заключение отметим, что, помимо многосторонней исследовательской работы, профессор В. И. Романовский вёл и проводит постоянную и серьёзную консультационную работу со специалистами сельского хозяйства и промышленности, а также непрестанно заботится о воспитании новых многочисленных кадров математиков-исследователей. Его многогранная деятельность, в том числе по воспитанию учёных из среды узбеков, неоднократно отмечалась советской общественностью и правительствами Союза и Узбекской ССР.

Возникновение Московской школы теории вероятностей. Идеи теории множеств и теории функций, культивировавшиеся Лузиным и его учениками, определили характер первоначальных исследований московских математиков в теории вероятностей. Внимательное изучение основных понятий теории вероятностей,—случайного события, вероятности, независимости событий, случайной величины, среднего значения и др.,—а также операций со случайными событиями показало, что между ними и основными понятиями теории множеств и метрической теории функций можно провести далеко идущие аналогии. Эти связи между столь различными науками позволили по-ино-

му осветить логические основы теории вероятностей, обогатить её содержание новой проблематикой и методами исследования, а также довести до конца решение классических задач.

Начало создания Московской школы теории вероятностей было положено в 1923 г. исследованием Александра Яковлевича Хинчина, посвященным совершенно своеобразному обобщению и усилению закона больших чисел. Открытая им при этом закономерность получила впоследствии название закона повторного логарифма. Эта работа Хинчина стала источником дальнейших исследований в указанном им направлении как советских (Колмогоров, Хинчин, Гнеденко), так и зарубежных математиков (Cramer, Cantelli, P. Levy, W. Feller и др.). О содержании этого закона мы расскажем впоследствии, когда будем говорить о законе больших чисел.

Приблизительно в то же время Евгений Евгеньевич Слуцкий (род. 1880) начал создавать методами теории функций действительного переменного новую главу теории вероятностей—теорию случайных функций, т.е. теорию случайных величин, зависящих от непрерывно изменяющегося параметра. Им были введены и исследованы понятия стохастических (относящихся к случайным величинам) предела, производной, интеграла, измеримости и пр.

Вскоре в работу по теории вероятностей включился тогда ещё молодой учёный, а теперь один из самых разносторонних и крупнейших математиков современности Андрей Николаевич Колмогоров (род. 1903). Первое его исследование в этой области науки было выполнено совместно с А. Я. Хинчиным и посвящалось выяснению сходимости рядов из взаимно независимых случайных величин tv £2,..., £п,... Оказалось, что ряд

+ +*«+•••

может сходиться (т. е. иметь определённую сумму) к некоторой величине (вообще говоря, случайной) только с крайними вероятностями 0 и 1.

Позднее Колмогоров дал очень широкие условия, при которых события, зависящие от бесконечного множества случайных величин, могут наступать лишь с вероятностью 0 или 1. Эти московские исследования также нашли

значительный отклик в работах западно-европейских математиков.

Классическая проблематика, интересовавшая Чебышева и Маркова, сделалась и для москвичей увлекательным полем деятельности. Среди всех исследований этого рода особенное значение приобрели работы по выяснению условий, в которых имеет место закон больших чисел, а также по уточнениям этого закона. При этом оказалось, что методы и понятия теории функций дают возможность найти окончательные условия (необходимые и достаточные), в которых имеют место классические теоремы.

Однако очень скоро, оттолкнувшись от проблем Чебышева и Маркова, московские математики выдвинули совершенно новый круг проблем, ставших наиболее быстро развивающейся и увлекательной частью современной теории вероятностей. С этими новыми постановками задач мы познакомимся позднее, когда будем говорить о так называемых стохастических процессах.

Закон больших чисел. В параграфе, посвященном академику А. А. Маркову, мы говорили о том основном значении, которое имеет закон больших чисел для приложений математических методов к естествознанию и практическим наукам. Это обстоятельство и было причиной всё возрастающего интереса к установлению всё более и более широких границ его применимости. Конечной целью, понятно, было разыскание окончательных (необходимых и достаточных) условий, в которых имеет место закон больших чисел. Крупнейшие математики на протяжении нескольких десятилетий тратили на это свои усилия. И задача стоила того. В самом деле, установление таких условий сразу давало бы возможность ответить на вопрос: можно ли использовать этот закон и его следствия при данных конкретных обстоятельствах или нельзя? Долголетние усилия увенчались успехом только в 1926 г., когда эти условия были найдены А. Н. Колмогоровым.

Мы говорили о том, что исследования московских математиков в теории вероятностей начались с работы А. Я. Хинчина, в которой был открыт так называемый закон повторного логарифма. Познакомимся, хотя бы в общих чертах, с его содержанием. При этом мы ограничимся простейшим частным случаем схемы Бернулли.

Согласно теореме Бернулли, число р появлений события при л независимых испытаниях, в каждом из которых оно появляется с постоянной вероятностью р, при любом е>0 удовлетворяет соотношению: при л—>оо

Геометрически это можно представить себе так: возьмём оси координат, по оси абсцисс станем откладывать л, а по оси ординат—величину у=р—пр. Теорема Бернулли утверждает, что при достаточно больших л величина у=р— —лр почти достоверно будет заключаться между прямыми у=ел и у=—ел, значит, почти достоверно не превзойдёт этих границ. Но не слишком ли велики эти границы? Нельзя ли указать более точные пределы для возможных изменений этой разности? Оказывается, что можно. Хинчин путём очень тонких рассуждений нашёл их. При этом оказалось, что, каково бы ни было е>0,для всех достаточно больших л почти достоверно разность у=р—пр заключается между границами

Более того, если взять кривые

Фиг. 7.

то разность у почти наверняка бесконечно много раз выйдет за границы области, ограниченной этими кривыми.

Мы видим, таким образом, что теорема Хинчина даёт очень глубокий анализ возможного поведения разности Р—пр.

Аксиоматика. К двадцатым же годам, годам господства идей метрической теории функций, относятся исследования Колмогорова по основаниям теории вероятностей. Начиная с 1926 г. он занимался оформлением идей Московской школы в стройную логическую систему. Завершением этой работы явилась монография «Основные понятия теории вероятностей» (1933 г.). В ней была последовательно проведена идея включения математических основ теории вероятностей, науки ещё недавно столь своеобразной, в ряд общих понятий математики. До создания и широкого развития метрической теории функций такая задача была почти безнадёжна. Теперь же были вскрыты аналогии между мерой множества и вероятностью события, интегралом и математическим ожиданием, ортогональностью функций и независимостью случайных величин и пр., и назрела необходимость аксиоматизировать теорию вероятностей, исходя из теоретико-множественных представлений.

В основу построений Колмогорова положено множество £ элементарных событий. Что представляют собой элементы этого множества—для логического развития теории вероятностей совершенно безразлично. Поэтому теория вероятностей допускает большое число различных интерпретаций, в том числе и таких, которые не имеют к понятию случайного никакого отношения. Понятно, что это обстоятельство только увеличивает поле возможных областей приложения теории вероятностей.

Рассматривается далее множество fjf подмножеств из <ß; элементы этого множества нызываются случайными событиями. Мы видим, таким образом, что понятие случайного события у Колмогорова строится, исходя из более элементарных понятий, тогда как С. Н. Бернштейн берёт само это понятие за исходное. Случайные события и их вероятности подчиняются далее следующим аксиомам:

1. Если случайные события А и В входят в состав у, то события А или В, и А и В, не А и не В также содержатся в

2.3' содержит в качестве элементов множество £ и все отдельные его элементы.

3. Каждому элементу А из У поставлено в соответствие неотрицательное вещественное число Р(Л), называемое вероятностью события А.

4. Р(<£) = 1.

5. Если А и ß несовместимы и принадлежат fjf, то

Р{А или В} = Р{А} + Р{В}.

Для бесконечных множеств & предполагается также выполненной следующая аксиома:

6. Если пересечение последовательности событий АзАрА3З..ОЛ„з...*) пусто, то

lim Р(Лп)=0.

Для конечных множеств эта аксиома является следствием первых пяти.

На основании приведённых аксиом Колмогоров дал построение начал теории вероятностей. Это его исследование немало способствовало тому, что теория вероятностей окончательно определила себя как математическая наука. В настоящее время оно получило широкую известность и всеобщее признание, а изложенные там идеи стали руководящими во всех современных работах, посвященных теории вероятностей.

Теория стохастических процессов. Совершенствование физической статистики, а также ряда областей техники поставило перед теорией вероятностей большое число совершенно новых проблем, не укладывающихся в рамки классических схем. В то время как физика интересовало изучечение случайных процессов, т. е. величин, претерпевающих случайное изменение в зависимости от одного или нескольких непрерывно изменяющихся параметров—времени, координат и пр., математик мог ему предложить только приёмы, годные для дискретных последовательностей, т. е. того случая, когда параметр меняется скачкообразно, принимая лишь целые значения. Ряд физиков (Планк, Смолу-

*) Запись A ZD В означает, что множество В есть часть множества А.

ховский, Эйнштейн, Фоккер и др.), биологов (Фишер) и некоторые техники (Фрай) были вынуждены стать на путь самостоятельного построения теоретико-вероятностных схем по различным частным поводам. Остро чувствовалась необходимость в создании единой математической теории, которая позволила бы дать общую трактовку всего круга возникших проблем и схем течения случайных процессов. Первая попытка такого рода была предпринята французским математиком Башелье около 1900 г., но эти исследования прошли незамеченными, да и математический уровень их был невысок. В 1931 г. появилась работа Колмогорова «Об аналитических методах в теории вероятностей» (русский перевод— в «Успехах математических наук», вып. V), в которой было дано первое систематическое и строгое изложение основ теории стохастически определённых процессов без последействия. Приблизительно в то же время Хинчин начал разработку теории другого важнейшего класса стохастических процессов—так называемых стационарных процессов. Многочисленные математические результаты, широкие возможности приложений к естествознанию, а также преобразование классической проблематики, связанное с теорией стохастических процессов, привели к тому, что эта теория ознаменовала новый этап в развитии теории вероятностей и в настоящее время стала основным полем приложения творческих усилий математиков-вероятностников как у нас, так и заграницей.

Процессы без последействия. Постараемся теперь вкратце охарактеризовать эту новую главу теории вероятностей. Для начала я приведу выдержку из только что цитированной работы Колмогорова, посвященную проведению аналогии между задачами теории стохастических (случайных) процессов и задачами классической механики.

«Желая подвергнуть математической обработке явления природы или социальной жизни, необходимо, предварительно, эти явления схематизировать; дело в том, что к исследованию процесса изменения некоторой системы математический анализ применим лишь в том случае, если предположить, что каждое возможное состояние этой системы может быть вполне определено с помощью известного математического аппарата, например, при помощи значений, принимаемых известным числом параметров; такая мате-

матически определимая система есть не сама действительность, но лишь схема, пригодная для описания действительности.

Классическая механика пользуется лишь такими схемами, при которых состояние у системы для момента времени t однозначным образом определяется её состоянием х в любой предшествующий момент t0; математически это выражается формулой

У = /(Х, 'о. О-

Если такая однозначная функция / существует, как это всегда предполагается в классической механике, то мы говорим, что наша схема есть схема вполне детерминированного процесса. К числу вполне детерминированных процессов можно было бы отнести, кроме того, процессы, в которых состояние у не вполне определяется знанием состояния X для единственного момента времени t09 существенным образом завися ещё от характера изменения этого состояния X перед моментом t0. Однако обычно предпочитают избегать такой зависимости от предшествующего поведения системы, для чего расширяют само понятие состояния системы в момент времени / и, соответственно этому, вводят новые параметры (например, в классической механике, помимо координат точек системы, рассматриваются также компоненты их скоростей).

Вне области классической механики, наряду со схемами вполне детерминированных процессов, часто рассматривают и такие схемы, где состояние х системы в некоторый момент времени /0 обусловливает лишь известную вероятность для наступления возможного состояния у в некоторый последующий момент />/„• Если при любых заданных t0, t>U их существует определённая функция распределения вероятностей для состояний у, мы говорим, что наша схема есть схема стохастически определённого процесса. В общем случае эта функция распределения представляется в виде

P{t0, X, U £},

причём <$ обозначает некоторое множество состояний у* а Р есть вероятность того, что в момент t окажется реализо-

ванным одно из состояний у, принадлежащих этому множеству».

Читатель без труда заметит, что процессы, рассмотренные Колмогоровым, представляют собой дальнейшее развитие схемы цепей Маркова. Для нас важно то, что Колмогоров не только предложил идею Маркова распространить со случая конечного числа состояний на случай произвольного множества состояний и на непрерывное время, но и установил те общие законы, которыми управляются такие процессы. Найденные им дифференциальные уравнения, которым подчинены вероятности Р{/0, х, t, £}, получили название уравнений Колмогорова.

Работа Колмогорова явилась источником для большого числа исследований по теории случайных процессов как у нас,так и заграницей; мы отметим лишь некоторые из них.

Для теории колебаний при наличии особых случайных возмущений весьма важно было изучить предельные закономерности при стремлении к нулю коэффициентов при вторых производных в уравнениях Колмогорова. Ряд результатов в этом направлении был получен А. А. Андроновым, Л. С. Понтрягиным и др.

Из других применений следует указать на работы Колмогорова и М. А. Леонтовича о броуновском движении, Леонтовича по теории бимолекулярных реакций, а также Колмогорова по теории скученности в связи с эксплоатации телефонных сетей и пр.

В работах И. Г. Петровского и А. Я. Хинчина получила точное обоснование и дальнейшее развитие в свете стохастических процессов математическая теория диффузии; крупным событием в этом круге идей явилась монография Хинчина «Асимптотические законы теории вероятностей» (1933 г.). В ней был рассмотрен ряд задач, связанных с проблемами блуждания (диффузии) частицы по прямой и в плоскости. Эти задачи в простейших случаях сводятся к хорошо известным схемам сумм случайных величин.

В 1933 г. в работу по теории стохастических процессов включился С. Н. Бернштейн. Исходя из уравнений, которым удовлетворяют вероятности приращения случайных величин за конечный промежуток времени А/, он доказал ряд важнейших результатов относительно их предельного поведения при А/, стремящемся к нулю. Далее он подверг

глубокому анализу уравнения Колмогорова с целью установления условий, при которых они действительно дают решения, удовлетворяющие требованиям теории вероятностей.

В работах W. Feller'a, В. М. Дубровского, следующих идеям Колмогорова, развивалась теория чисто разрывных процессов, т. е. таких процессов, изменение которых происходит не непрерывно, а лишь в отдельные, случайно разбросанные моменты времени. Мы не станем останавливаться на указании тех весьма многочисленных примеров, как радиоактивный распад, капитал страховой компании и пр., которые являются объектом приложения развиваемой ими теории.

Стационарные процессы. Процессы без последействия, только что рассмотренные нами, ни в коем случае не исчерпывают всех запросов естествознания к математике. В самом деле, ведь в многочисленных явлениях прошлые состояния системы оказывают весьма сильное влияние на вероятности её будущих состояний, и пренебрегать этим воздействием прошлого нельзя даже при приближённой трактовке вопроса. Во многих случаях положение может быть исправлено изменением понятия состояния системы путём введения новых параметров. Так, например, если бы изменение положения частицы в явлениях диффузии или броуновского движения мы стали рассматривать как процесс типа Колмогорова, то это означало бы, что мы при этом не принимаем в расчёт её инерцию. Введение в понятие состояния помимо координат частицы её скорости исправило бы в этом примере положение. Однако существуют многочисленные случаи, когда положение не может быть исправлено, сколько бы новых параметров ни вводилось в определение состояния системы в данный момент. В первую очередь здесь следует указать на статистическую механику, в которой указание положений точки в той или иной ячейке даёт только вероятностное суждение о будущем её положении. При этом ознакомление с предыдущими положениями точки существенным образом меняет наши суждения об её будущем.

Хинчин выделил важный класс процессов с последействием, так называемые стационарные процессы, однородно ведущие себя во времени. Мы скажем, что процесс

х(/) стационарен, если распределения вероятностей для двух конечных групп переменных {х(/х),х(/,),..., х(/п)} и {х(^ + т)>х(^ + т),--->:5С('п + т)} совпадают (и значит не зависят от т). Числа л и х, а также моменты tl9 /а,..., tn могут быть при этом выбраны совершенно произвольно.

Понятно, что таких стационарных процессов, играющих важную роль в различных областях знания, можно указать сколько угодно. Отметим сейчас же, что наиболее глубокое понимание многих акустических (скажем шума) и световых явлений, а также разыскание скрытых периодичностей, так интересующее геофизиков и метеорологов, возможно только в рамках стационарных процессов.

В любом установившемся технологическом процессе внимательный глаз также легко найдёт явления, представляющие собой стационарные процессы. Рассмотрим для примера процесс прядения. Значительная неоднородность свойств прядильных материалов (длина волокон, их крепость, поперечное сечение и пр.), колебания в скорости и равномерности подачи продукта на машинах в различные этапы процесса прядения и многие другие причины приводят к тому, что свойства пряжи меняются от одного сечения к другому. При этом оказывается, что знание того или иного свойства пряжи в какой-либо одной части мотка не даёт нам полного знания её свойств в другой части. Но в силу того, что процесс прядения можно считать установившимся, не меняющимся со временем, вероятностные свойства любой части пряжи остаются одними и теми же, представляют собой стационарный процесс.

Важность такого рода процессов была подмечена ещё до исследований Хинчина. Относительно их отдельные результаты были получены Е. Е. Слуцким, В. И. Романовским и др., в частности некоторыми геофизиками. Однако общее определение стационарных процессов и доказательство важнейших их свойств принадлежат Хинчину.

Позднее многие математики и среди них Слуцкий, H. Wold, А. М. Обухов, А. Н. Колмогоров и др. дали дальнейшее развитие теории Хинчина. Одни из этих работ имели своей целью получение чисто математических результатов, другие же ставили своей конечной задачей исследование конкретных задач естествознания (метеорологии, гидродинамики и др.) и техники.

Влияние на классическую проблематику. Помимо значительного расширения науки о случае, теория случайных процессов иначе осветила центральную классическую задачу относительно предельных законов для сумм случайных величин. Оказалось, что основные законы распределения, которые раньше получались как асимптотические, в теории стохастических процессов играют роль точных решений соответствующих дифференциальных уравнений. На этой почве возник ряд исследований, начатых А. Н. Колмогоровым и широко развитых С. Н. Бернштейном, А. Я. Хинчиным и др., благодаря которым центральная предельная теорема теории вероятностей воспринимается теперь как частный случай единой общей теории. Исследования классической схемы последовательности случайных величин в связи с теорией стохастических процессов получили значительный толчок. Исходным моментом для этого цикла работ явилось исследование Колмогорова об однородных случайных процессах с независимыми приращениями, относительно которых он установил, что все такие процессы управляются так называемыми безгранично делимыми законами*), и нашёл аналитическое представление этого класса законов.

Если до этого интерес исследователей был сосредоточен на определении наиболее широких условий, при выполнении которых имеет место сходимость функций распределения сумм независимых слагаемых к нормальному закону, то теперь возник новый круг проблем, естественность и важность постановки которых для нас теперь не представляет сомнений. Прежде всего была поставлена задача о разыскании всех тех распределений вероятностей, которые могут выступать как предельные для сумм независимых случайных величин. Иными словами, если имеется последовательность случайных величин, каждая из которых представляет собой сумму независимых слагаемых, и функции распределения вероятностей сумм сходятся к предельной функции распределения, то что можно сказать о природе последней? Так обще поставленная задача

*) Закон распределения называется безгранично делимым, если он при любом п может быть представлен как закон распределения суммы п независимых одинаково распределённых слагаемых.

приводит к тривиальному решению—любая функция распределения может быть предельной в этом смысле. Однако в теории вероятностей всегда вводится ограничение, к которому приводят многочисленные задачи статистики и естествознания,—о малой роли отдельных слагаемых в сумме. При этом предположении предельное распределение вероятностей уже перестаёт быть произвольным. Колмогоровым была высказана гипотеза, что класс предельных в этом смысле законов совпадает с классом безгранично делимых законов. Эта гипотеза Колмогорова была доказана в 1935 г. его учеником Г. М. Бавли, безвременно погибшим в 1941 г. во время бомбардировки Москвы, для того случая, когда дисперсии сумм, т. е. величины E(sn—Esn)2, ограничены константой, не зависящей от п. Через год Хинчин дал полное её доказательство без всяких дополнительных ограничений, наложенных msn (в том числе не требуя существования конечных дисперсий у sn). Приблизительно в то же время (1935 г.) были найдены необходимые и достаточные условия для центральной предельной теоремы одновременно тремя авторами: Хинчиным, П. Леви и В. Феллером. Итоги этому плодотворному циклу исследований Московской школы теории вероятностей были подведены монографией Хинчина «Предельные законы для сумм независимых случайных величин» (1938 г.).

В связи с этими исследованиями, естественно, возник вопрос об условиях существования предельного закона для сумм, а таже об условиях сходимости к каждому данному предельному закону. Полное решение этой задачи было дано в 1937 г. Б. В. Гнеденко, Развитый им общий метод доказательства предельных теорем для сумм независимых случайных величин позволил ему единообразно и с малым количеством вычислений изложить все накопившиеся в этой области факты, в том числе относящиеся к закону больших чисел (A.A. Бобров, А. Н. Колмогоров, Д. А. Райков, В. Феллер, А. Я. Хинчин) и центральной предельной теореме, а также получить ряд новых результатов.

Мы видим, что теория предельных законов приобрела по сравнению с совсем недавним прошлым значительную общность и что центральные задачи классической теории вероятностей вошли в неё как простейшие частные случаи. Однако эта же общая точка зрения с полной отчётливостью

позволила выяснить ту фундаментальную роль закона Гаусса, которая и обусловила то, что в течение почти двух столетий именно он был в центре внимания всех исследователей. Оказалось, что в то время как условия сходимости к закону Гаусса носят совершенно общий характер, не зависящий от природы отдельных слагаемых, в формулировки сходимости к другим законам входят требования, носящие весьма специфический характер.

Исследования по математической статистике. Исследования по математической статистике не получили в России того размаха, которого заслуживает эта область науки. Здесь русские учёные до сих пор ещё не заняли руководящих позиций, и их вклад в развитие математической статистики состоит, преимущественно, не в создании новых концепций, а в открытии отдельных фактов. Многие из этих фактов, несомненно, принадлежат к числу лучших достижений науки и займут почётное место в курсах математической статистики.

Конечно, многие из теоретико-вероятностных исследований имеют основное значение для статистики, как, например, закон больших чисел, центральная предельная теорема и др., но не они составляют ядро статистики и поэтому не изменяют данной нами характеристики состояния статистики в СССР.

Число лиц, занимавшихся разработкой общих вопросов статистики, весьма невелико, хотя в области различных конкретных применений статистических методов имеется значительное количество исследователей, получивших ценные результаты.

Мы ограничимся рассмотрением лишь некоторых основных результатов. В соответствии с этим читатель найдёт здесь далеко не все имена, способствовавшие распространению и усовершенствованию статистических методов. Мы не касаемся здесь также работ, относящихся к разработке вопросов конкретной статистики—сельскохозяйственной, демографической, финансовой, промышленной и пр.

Мы начнём с изложения замечательного цикла исследований, начатого В. И. Гливенко и А. Н. Колмогоровым и широко развитого Николаем Васильевичем Смирновым. Эти исследования относятся к решению основной задачи статистики—установлению неизвестной функции распре-

деления по результатам наблюдений, а также характера сближения эмпирической функции распределения с теоретической. Пусть некоторая случайная величина £ имеет F(x)=P{i<x} своей функцией распределения, и Ъ19 С,,..., £п—результаты п независимых наблюдений над 6. Эмпирическая функция распределения определяется формулой

где к (х)—число наблюдённых значений величины с, меньших чем X.

Первый общий факт, обнаруженный в этом направлении, был доказан в 1933 г. В. И. Гливенко. Оказалось, что если случайная величина £ имеет непрерывную функцию распределения, то с достоверностью можно утверждать, что при п -> оо Fn (х) стремится к F(x). Понятно, насколько важно для практики это утверждение.

Другой общий факт был обнаружен в том же году А. Н. Колмогоровым. Именно: если функция F(x) непрерывна, то функции распределения величин

при л —> оо стремятся к некоторой функции распределения Ф(Х), не зависящей от F(x), а именно:

Приведённая теорема Колмогорова может быть использована в качестве критерия оценки согласия эмпирического и теоретического распределений. Идея этого критерия состоит в следующем: пусть из эксперимента мы установили, что при гипотезе распределения случайной величины £ по закону F(x) величина Dn приняла значение X, и вероятность Ф(Х), т. е. вероятность не равенства Dn<X, велика. Отсюда мы заключаем, что вероятность неравенства Dn>X мала и что, значит, осуществилось маловероятное событие. По принципу практической невозможности маловероятных событий мы должны считать, что получившееся расхождение Dn не случайно и что наша гипотеза

должна быть подвергнута сомнению. Существенным преимуществом этого метода оценки согласия сделанной гипотезы с опытом является то, что вероятность Ф(^) не зависит от вида функции F(x) (ведь функция F(x) нам неизвестна!). Для практического применения рассмотренного критерия были вычислены под руководством Н. В. Смирнова таблицы функции Ф(Х).

Как выяснилось позднее из исследований Н. В. Смирнова, распределение Ф(Х), найденное Колмогоровым, играет основную роль в целом ряде задач статистики. Среди значительного количества проблем, решённых Н. В. Смирновым в только что рассмотренном направлении, укажем одну. Пусть

*i> и yl9yt,...,yn%

представляют результаты независимых наблюдений над случайными величинами S и т\. Для статистики играет существенную роль установление правил, позволяющих судить о том, одинаково или различно распределение величин Е и ij. Для того, чтобы оценить важность постановки этой задачи, достаточно рассмотреть такой пример: для определения влияния некоторых агрономических мероприятий на урожай произведены две серии опытов; первая без применения, а вторая с применением этих мероприятий. Как же обнаружить, случайны или не случайны расхождения в результатах опыта? Такая же задача возникает, скажем, при сравнении урожайности различных сортов. Мы не умножаем примеров, так как читатель может их привести бзз труда сам из разнообразных областей человеческой практики.

Пусть Fni (х) и Fn2(x) обозначают эмпирические функции распределения для двух указанных серий наблюдений. Смирнов за меру их расхождения предложил принять величину

Если эта величина превзойдёт некоторые границы, то расхождение считается существенным, и гипотеза о тождественности законов распределения величин, наблюдён-

ных в обеих сериях, ставится под сомнение. Эта задача полностью решается следующим предложением:

Если объёмы nL и п2 выборок неограниченно возрастают так, что отношение т = — остаётся постоянным, то

P{D(nlt п2)<Х}->Ф(Х),

где Х>0, Ф (X)—определённая в предыдущей теореме функция.

Три приведённые теоремы в достаточной мере характеризуют то новое направление в статистике, которое началось и разрабатывается в Москве. Другой важный цикл работ, проводившихся в Москве, принадлежит Е. Е. Слуцкому и посвящен исследованию процессов, носящих циклический характер.

Многочисленные явления природы, экономики, техники протекают во времени так, как будто бы им свойственны периодические изменения; максимумы и минимумы довольно правильно чередуются, но ни длины волн, ни величины ординат не повторяются в точности. Такие явления были предметом исследования многих учёных, исходивших из той предпосылки, что на правильные колебания наслаиваются случайные влияния, создающие неправильности в течении процесса. Во многих случаях эта точка зрения, однако, оказалась несостоятельной. Значительный сдвиг в изучении таких процессов был произведён Е. Е. Слуцким, исходившим из задач геофизики и экономики. Им был установлен тот основной факт, что такого рода псевдо-периодическая повторяемость может быть не следствием лежащей в основе явления периодичности, а результатом действия случайных причин. Пусть Elf £2,..., Çn,.. .—последовательность взаимно независимых случайных величин с одним и тем же законом распределения и а19 а2,..., ак—некоторые постоянные; рассмотрим стационарную последовательность случайных величин у\19 т)2, ..., у\п9..., образованных по правилу

Чп = öl*/. + a£n+i + • • • +

Указанный процесс образования последовательностей связанных случайных величин из независимых Слуцкий

предложил называть подвижным суммированием. Оказалось, что последовательности такого рода способны имитировать процессы периодического характера. Более того, Слуцкий показал, что при некоторых условиях с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, на сколь угодно большом участке члены таких последовательностей не больше чем на s отклоняются от соответствующих ординат синусоиды. Этот результат Слуцкого был впоследствии обобщён В. И. Романовским. Очевидно, что зти результаты Слуцкого близко соприкасаются с задачей определения периодичности. Развивая идей, заложенные в этом исследовании, он изучил ряд конкретных примеров—периодичность солнечных пятен, ряд Бевериджа (300-летний ряд индексов цен на пшеницу в Европе) и др. и показал, что путём построения моделей рядов указанного типа можно с большой надёжностью в некоторых случаях ставить под сомнение гипотезу периодичности, в других случаях получать её подтверждение.

ДОПОЛНЕНИЯ

ДОПОЛНЕНИЕ 1

СЛАВЯНСКАЯ НУМЕРАЦИЯ

Церковно-славянская письменность была создана в середине IX века для южно-славянских народов, среди которых византийское духовенство вело интенсивную миссионерскую деятельность. Её авторами были братья Константин (в монашестве Кирилл, ум. в 869 г.) и Мефодий (ум. в 885 г.), уроженцы гор. Солуни (Салоники), сыновья византийского вельможи. Предложенный ими алфавит, так называемая кириллица, в своей основе имел греческие буквенные символы. Вместе с церковными книгами в конце X века этот алфавит проник в Киевскую Русь.

Как мы уже говорили в основном тексте книги, буквы церковно-славянской письменности одновременно служили и числовыми знаками. При этом, правда, были допущены искажения в отношении алфавитного следования букв. Так, два обозначалось не буквой «буки», как это было бы естественно, а буквой «веди»; девять обозначалось «фитой», тогда как эта буква помещалась в самом конце алфавита; точно так же «червь» обозначал девяносто, хотя место этой буквы было в самом конце алфавита. Во всех этих неполадках сказалось греческое влияние: система числовых знаков по возможности точно воспроизводила греческую, а алфавиты славянский и греческий не совпадали.

Для ознакомления приводим табличку славянской нумерации.

Приведём также полную таблицу числа великого словенского:

1=един, 10=десять, 100=сто, 1000=едина тысяча, Ю000=десять тысяч, Ю0000=сто тысяч, 1 000000=едииа тьма, 107 = десять тем, 10' =сто тем, Ю9 = тысяча тем, Ю10=десять тысяч тем, Ю11=сто тысяч тем, Ю1'=един легион, Ю11=десять легионов, 1014^-сто легионов, Ю,5=тысяча легионов, Ю10=десять тысяч легионов, Ю17=сто тысяч легионов, 1019=тьма легионов, Ю19=десять тем ::е ионов, 102°=сто тем легионов, Ю2,=тысяча тем легионов, Ю22=дссять тысяч тем легионов, 1028=сто тысяч тем легионов, 1024=един леодр, 10*5=десять леодров, Юм«=сто леодров, Ю27=тысяча леодров, 102,=десять тысяч леодров, Ю29=сто тысяч леодров, Ю'°=тьма леодров, 10 1=де:г.ть тем леодров, 10S2=CTO twm леодров, Юп=тысяча тем леодров, Ю:4=десять тысяч тем леодров, 105=vTO тысяч тем леодров, Ю"=едг:н пеги он леодров, Ю'7=десять легионов леодров, 1С3,=стэ легионов леодров, 10 9=тысяча легионов леодров, Ю*°=десять тысяч легионов леодров, Ю41=сто тысяч легионов леодров,

1042=тьма легионов леодров, 1043=десять тем легионов леодров, 1041=стэ тем легионов леодров, Ю15=тысяча тем легионов леодров, 1040=дссять тысяч тем легионов леодров, Ю47=сто тысяч тем легионов леодров, 1043=гран, Ю40=колода, <Сего числа больше нет».

Для полной стройности системы наименований колодой следовало бы назвать не 1049, а 109в.

ДОПОЛНЕНИЕ 2

ЛИНИЯ, ОГРАНИЧИВАЮЩАЯ МАКСИМАЛЬНУЮ ПЛОЩАДЬ

Для того, чтобы дать читателю хотя бы некоторое представление о задачах вариационного исчисления, мы приведём здесь решение так называемой задачи Дидоны, пользуясь при этом, однако, совершенно элементарными средствами. Заметим ещё раз, что приводимое нами решение ничего общего не имеет с общими аналитическими приёмами, разработанными великим Эйлером.

Задача Дидоны формулируется так: из всех плоских замкнутых линий данной длины найти ту, которая ограничивает максимальную площадь.

Прежде всего убедимся в том, что искомая линия должна быть выпуклой. Действительно, если бы это было не так, то на ней нашлись бы две точки Л и С такие, что обе её дуги ABC и ADC, соединяющие эти точки, оказались бы по одну сторону от прямой АС (фиг. 8). Заменив одну из этих дуг, например, ABC, её зеркальным отражением АВ'С относительно прямой АС, мы получили бы тогда новую замкнутую линию AB'С DA, ограничивающую большую площадь, нежели линия ABCDA, между тем как длины обеих линий равны.

Назовём теперь диаметром любую прямую, делящую пополам длину нашей линии, и докажем, что каждый диаметр делит на две равные части также и площадь. В самом деле, если бы это было не так, то нашёлся бы диаметр Aß, делящий площадь на две неравные части St и S2 (фиг. 9). Пусть для определённости S^S^. Рассмотрим зеркальное отражение АСВ дуги ACß, ограничивающей большую площадь, относительно диаметра AB. Ясно, что линия АСВС'А ограничивает большую площадь, чем линия ACBDA, хотя их длины и одинаковы.

Фиг. 8.

Искомая линия обладает ещё следующим свойством: прямые, соединяющие любую её точку С с концами любого её диаметра AB, образуют прямой угол (фиг. 10). Предположим обратное, т. е., что для некоторой точки С и некоторого диаметра AB угол /_АСВ оказывается не прямым. Покажем, что в этом случае линия АСВА не может ограничивать максимальной площади. С этой целью заметим, что площадь, ограниченная дугой АСВ и диаметром AB, разбивается на следующие части: треугольник ABC и сегменты ACD и СБЕ, прилежащие к сторонам АС и ВС треугольника. Заменим треугольник АСВ прямоугольным с катетами, равными сторонам АС и ВС. Приложим к катетам сегменты ACD и СБЕ и отразим зеркально около гипотенузы получившуюся фигуру. Мы получим в результате новую линию той же длины, что и первоначальная, но с большей площадью. Действительно, площади этих фигур отличаются только площадями треугольников; из формулы же элементарной тригонометрии следует, что треугольник с заданными сторонами АС и ВС достигает максимальной площади при прямом угле £ACB* Докажем, наконец, ещё одно свойство искомой линии: все диаметры равны между собой и делят друг друга пополам. Действительно, пусть AB и CD—какие-нибудь два диаметра (фиг. 11). Согласно только что доказанному, все углы 2.АСВ> ZCBD, /ßDA, Z.DAC—прямые. Следовательно, фигура ACBD—прямоугольник. Это дока-

Фиг. 9. Фиг. 10. Фиг. 11.

зывает наше утверждение. Так как; далее, па только что доказанному все диаметры пересекаются в одной точке, то ясно, что искомая линия является окружностью.

Итак, среди всех линий данной длины окружность ограничивает максимальную площадь.

ДОПОЛНЕНИЕ 3

ПОЛИНОМЫ, НАИМЕНЕЕ УКЛОНЯЮЩИЕСЯ ОТ НУЛЯ

В этом Дополнении читатель познакомится с так называемыми полиномами, наименее уклоняющимися от нуля, и их простейшими свойствами. Открытие П. Л. Чебышевым этого интереснейшего математического объекта, как мы уже говорили, связано с постановкой и решением некоторых задач прикладной механики. Однако, и независимо от своего первоисточника, полиномы Чебышева играют серьёзную роль в современной математике.

Известно, что полиномом степени п относительно х называется функция следующего вида:

f(x)=a0xn + alxn-1+...+a„

где коэффициенты û0, av..., ап представляют собой независящие от X величины. в системе координат (х, у) функция у=/(х) изображает некоторую линию (фиг. 12). Понятно, что изменение хотя бы одного коэффициента а (т. е. а0 или av ... или ап) изменяет форму графика функции у=/(х). Чебышев поставил перед собой и решил следующую задачу: из всех полиномов п-й степени с коэффициентом при старшей степени, равным единице, т. е. из всех полиномов вида

/ (X) - хп + ахх^ + а2хп" +...+ап

найти тот, который в промежутке изменения аргумента х от —1 до 1 даёт наименьшее уклонение от нуля.

Фиг. 12.

Более подробно зта задача может быть изложена следующими словами: рассмотрим какой-нибудь полином указанного вида и найдём те значения х, при которых /(х) принимает значения, по абсолютной величине большие окружающих. Такие значения на фиг. 13 отмечены точками с абсциссами —1, xv х2, х3, 1. Пусть m означает самую большую из всех этих величин, т. е.

Фиг. 13.

Нам нужно найти такой полипом /0(х), для которого соответствующее число

m = т0

было бы меньше, чем для всех остальных полиномов я-й степени с коэффициентом а0=1.

Напомним, что корнем полинома f{x) называется такое число х0, при котором /(х) обращается в нуль, т. е.

/(^) = x? + ö1xr1+ ...+fln = 0.

В силу теоремы Безу, если х0 является корнем полинома /(х), то /(х) можно записать в виде произведения разности х-xQ на полином (п —1)-й степени.

Число х0 называется корнем f(x) кратности fc, если

где 9(х)—полином степени п — к, причём <?(х0)Ф0.

Если хх, х2,..., Ху— все корни полинома / (х) кратностей соответственно равных к19 &2,..., кр (fcx-{-A:2+Лр=п), то, как это следует из теоремы Безу,

/ (X) = (X - хО*! (X - хг)ь*... (X - хр)**>.

После этого напоминания перейдём к обнаружению и доказательству свойств полиномов Чебышева (т. е. полиномов, наименее уклоняющихся от нуля при —1 <х<1).

Свойство 1. Полином Чебышева п-го порядка в интервале—\<х<1 имеет п различных вещественных корней.

Доказательство. Предположим обратное, т. е. что наименее уклоняющийся от нуля полином п-й степени /о (х) имеет только р (р<п) различных вещественных корней в интервале —1 <х< 1. Пусть х,, х2>..., хр—эти корни. Отберём из них корни нечётной кратности,—так как нумерация корней в нашем распоряжении, то пусть это будут xv х2,..., xq (q<p),—и построим полином

<Р (х) = (х - хх) (X - х2)... (X - уч).

Заметим, что полиномы /0(х) и <р(х) либо при всех значениях X (—1<х<1) принимают значения одного знака, либо при всех указанных значениях х—значения противоположных знаков. Действительно, /0(х) можно записать в виде

где ф(х)—полином порядка п — 2(s1+s2 + - ■ •s+Sp)—?» не имеющий вещественных корней в интервале —1<х<1, a si9 52,..., sp—целые неотрицательные числа. Так как множитель

(x-xj* ■ (Х-Х,)'* . . . (Х-Хр)25Я,

очевидно, неотрицателен, а множитель ф(х) не может менять знак в интервале —1 <х< 1*), то наше утверждение относительно знаков полиномов /0(х) и ср (х) доказано. Положим теперь

и рассмотрим полином

где X—любое число, заключённое между Он ^ а знак перед вторым слагаемым берётся противоположным знаку /0(х). Ясно, что /х(х) является полиномом я-й степени с коэффициентом 1 при старшем члене. Так как, в силу

*) Иначе полином ^(х) имел бы в этом интервале вещественный корень.

построения полинома fx (х) и сделанного выше замечания о знаках полиномов /0(х) и <р(х)

то мы пришли к противоречию: нашёлся полином, уклоняющийся от нуля меньше, чем /0(х). Таким образом, предположение, что р < п, невозможно.

Свойство 2. ß интервале — 1 <х< 1 все максимальные уклонения полинома /0 (х) 0/п нуля равны между собой.

Доказательство. Предположим, что это не так и при некотором х' (—1 <х'< 1) функция |/в(х)| достигает максимума, но

/Я' = |/0(Х')|</Я0.

Пусть Х!<х2< ... <хп—корни полинома /0(х), расположенные в порядке их возрастания. Если хЛ<х'<х/с+1, то рассмотрим полином

ф (X) = (X - X,) ... (X - ХЛ_Х) (X - х*+2). . . (X - X«).

Легко видеть, что значения функций /0 (х) и <J>(x) всюду, за исключением интервала x/c<x<xft+i, имеют одинаковые знаки*), а в этом исключительном интервале их знаки противоположны. Пусть

М= max |ty(x)|.

Строим полином

где X—любое число, заключённое между 0 и ш^Гт. Ясно, что всюду, за исключением интервала Xk<x<Xk+j9

в интервале же

*) Если х< xÄ, то и х-xft и х-х*+1 отрицательны; если же x>xÄ+1, то обе разности х—х* и х —х*+1 положительны; в обоих случаях произведение (х—х)(х—x*+i) положительно.

Таким образом, полином /2 (х) уклоняется от нуля меньше, чем полином /(х). Это противоречит нашему предположению. Свойство доказано.

Примечание. Если бы максимум, отличный от т0, достигался на одном из концов интервала —1<х< 1, т. е. при X =—1 или при х =1, то вместо полинома <1>(х), употреблённого нами в доказательстве, следовало бы рассмотреть либо полином (х — х2) (х — х3)... (х — хп), либо, соответственно, полином (х — х^(х — х2)...(х — х,^).

Свойство 3. Существует единственный полином Чебышева п-го порядка.

Доказательство. Предположим, что это не так. Пусть /о(х) и ft(x)—два различных наименее уклоняющихся от нуля полинома. Полином

/М = ~[Ш+Мл)]

уклоняется от нуля не более, чем каждый из полиномов /0(х) и Д (X) и, значит, также является полиномом, наименее уклоняющимся от нуля. Но так как, в силу предыдущего свойства, все максимальные уклонения такого полинома должны быть равны между собой, то все максимальные уклонения полиномов /0(х) и Д(х) должны достигаться при общих значениях аргумента*). Но таких значений существует л+1: я—1 максимальное уклонение достигается между корнями полинома и два—на конце интервала — 1<х<1. Таким образом, два полинома п-го порядка совпадают при л+1 значении аргумента и, следовательно, совпадают при всех значениях X**).

Свойство 4. Если полином /0(х) обладает свойствами 1 и 2, то он является полиномом, наименее уклоняющимся от нуля.

*) Иначе хотя бы одно из максимальных уклонений f(x) будет меньше т0 иг г-начит, в силу свойства 2, можно будет построить полином, уклоняющийся ст нуля меньше, чем /0(х).

**) Для определения коэффициентов а{,а2* • • -, ап полинома /0 (х) ua'lxû'2, • • -î On полинома /х (х) получаются уравнения типа/0(х*) =/i(x), где xÄ—значения х, при которых |/0(x)j имеет максимальную величину.

Доказательство. Предположим, что некоторый полином fix) уклоняется от нуля ещё меньше, чем /о(х). Так как /(х) можно записать в виде

где ф(х)—полином не более чем (л—1)-го порядка, то ясно, что /(х) может уклонятся от нуля меньше, чем /о(х), только в том спучае, если значения <р(х) при всех Xt где 1/о(х)| достигает максимума, имеют знак, противоположный знаку /о(х). Но /0(х) меняет знак при переходе через каждый корень, т. е. л+1 раз. Функция же <р(х) не может менять свой знак более чем л раз. Следовательно, /(х) не может быть полиномом, наименее уклоняющимся от нуля, если только <р(х)фО.

Остаётся найти полином, обладающий указанными двумя свойствами. Покажем, что функция

является искомым полиномом.

При изменении х от — 1 до +1 arccosx изменяется от —те до О, и, следовательно, аргумент косинуса меняется от —пк до О. В этом интервале косинус обращается в нуль ровно л раз (при arccosx = —, fc = l, 2,..., л). Максимальные уклонения от нуля эта функция имеет при тех значениях х, при которых косинус обращается в плюс или минус единицу. В интервале —1 <х<1 максимальные значения достигаются л+1 раз (при arccosx=— — ,/с=0, 1, 2,..., л); все они равны между собой по абсолютной величине:

Остаётся обнаружить, что /0 (х)—полином л-го порядка с коэффициентом 1 при хп.

В силу известной формулы Эйлера,

Но согласно формулам Эйлера

поэтому

Фиг. 14.

Фиг. 16.

Фиг. 15. Фиг. 17.

Таким образом,

Отсюда мы видим, что /0(х) в самом деле является многочленом степени п. Остаётся подсчитать коэффициент при хп. Он равен, как легко сообразить,

Но нетрудно заметить, что

и, значит, искомый коэффициент равен единице.

В качестве примера приведём графики нескольких полиномов Чебышева при малых значениях п; мы ограничимся случаями л=1, 2, 3, 4 (фиг. 14—17).

Заметим, что в честь Чебышева (в французской транскрипции—Tschebicheff) его полиномы обозначаются символом Гп(х), где п—порядок полинома.

ДОПОЛНЕНИЕ 4

ПОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА

Под множеством понимают объединение отдельных вещей—элементов множества,—природа которых может быть совершенно безразлична. Так, можно говорить о множестве букв, из которых состоит настоящая книга, о множестве различных арабских цифр, о множестве всех треугольников, о множестве простых чисел и т. д. При внимательном рассмотрении приведённых примеров мы замечаем, что они могут быть разбиты на два резко отличные типа: на множества, состоящие из конечного числа элементов (первые два примера) и на множества, состоящие из бесконечного числа элементов (два следующие примера).

Первое систематическое изучение свойств бесконечных множеств было предпринято уроженцем Петербурга профессором Кенигсбергском университета математиком Георгом Кантором (1845—1918). Не побоявшись борьбы с предрассудками, предубеждением философов и великих математиков, Кантор развил теорию множеств,

вскоре сделавшуюся основой всей современной математики.

Мы увидим, что бесконечные множества таят в себе удивительные свойства, на первый взгляд представляющиеся парадоксальными. Велика заслуга того, кто не убоялся этих кажущихся противоречий и нашёл правильный путь, приведший к триумфу его идеи,

Для бесконечных множеств в первую очередь возникает вопрос : все ли они одинаково насыщены элементами или же среди них имеются более и менее мощные? Мы увидим, что существуют множества разных мощностей. Нам следует уточнить понятие мощности множества. Мы скажем, что два множества имеют одинаковую мощность, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, т. е. если каждому элементу первого множества можно поставить в соответствие один единственный элемент второго и обратно—* каждому элементу второго множества сопоставить единственный элемент первого.

Простейшее бесконечное множество, с которым постоянно имеют дело в математике,—это множество всех целых положительных чисел:

1, 2, 3, 4, 5,..«

На примере этого множества мы убедимся в том, что любая его бесконечная часть содержит в некотором смысле столько же элементов, сколько и всё множество. В самом деле, например, множество квадратов всех целых чисел

1,4, 9, 16, 25,.,,

может быть перенумеровано путём приписывания числу п* номера п, так что в нумерации примут участие все целые числа. Такой нумерацией мы достигаем того, что каждому квадрату ставится в соответствие натуральное число и каждому целому положительному числу — один единственный квадрат.

Читатель без труда может убедиться в том, что между элементами множества всех простых чисел, всех нечётных чисел, всех чисел, кратных трём, с одной стороны,

и числами натурального ряда, с другой, можно установить взаимно однозначное соответствие. Таким образом, все эти множества имеют ту же мощность, что и множество всех натуральных чисел, как говорят, мощность счётного множества.

Мы покажем дальше, что все рациональные числа (целые, дробные, положительные и отрицательные) имеют также мощность счётного множества. Для доказательства расположим все рациональные числа в следующем порядке: сначала дроби, у которых сумма числителя и знаменателя равна единице, затем те, у которых сумма числителя и знаменателя равна двум, трём, четырём и т. д. При этом мы станем считать, что каждое целое число имеет знаменатель, равный единице, а также что числитель и знаменатель каждой дроби представляют собой взаимно простые числа. Вот как выглядит множество рациональных чисел, расположенное в указанном порядке:

Теперь совершенно ясно, что множество всех рациональных чисел может быть пронумеровано.

Мы докажем сейчас ещё большее—что множество всех алгебраических чисел имеет мощность счётного множества.

Напомним, что число а называется алгебраическим, если оно является корнем полинома п-й степени с рациональными коэффициентами; иными словами, если при некотором целом положительном п и некоторых рациональных а0, av а2,..., ап имеет место равенство

Заметим, что, не ограничивая общности рассуждений, мы можем считать коэффициенты а0, alt ап целыми числами (так как предыдущее равенство не изменится при умножении на наименьшее кратное знаменателей всех чисел а0, ах, ап). Заметим далее, что всякое уравнение п-й степени имеет не более, чем п различных корней.

Нам нужно доказать, что корни всех полиномов с целыми коэффициентами можно пронумеровать. С этой целью мы расположим все такие уравнения в следующем порядке: сначала те из них, для которых сумма

достигает значения два, затем три, четыре и т. д. Вот эти уравнения в указанном порядке:

и т. д.

При каждом h число корней всех уравнений с этим h конечно, поскольку конечно число соответствующих ему уравнений. Начнём теперь нумеровать корни в том порядке, в каком выписаны уравнения, нумеруя при этом только те корни, которые не встречались ранее. Очевидно, что каждое алгебраическое число рано или поздно встретится и получит свой номер. Этим наше утверждение доказано.

Мы уже свыклись с тем парадоксальным явлением, характерным для всех бесконечных множеств, что целое эквивалентно своей правильной части. Само это явление настолько парадоксально, что немедленно возникает вопрос о законности введения в математику понятий, противоречащих всем привычным нашим представлениям. Ведь для конечных множеств никогда не нарушается известное правило: целое больше своей части. Но при этом не следует забывать, что бесконечные множества представляют собой совершенно новый объект, наделённый своими особыми свойствами, к которому нельзя подходить с при-

вычной нам арифметической меркой. Изгнание же из математики понятия бесконечного множества приведёт к исключительному обеднению её содержания: ведь при этом потеряет смысл говорить о натуральном ряде чисел, говорить о том, что прямая линия составлена из точек, и пр. Такое фундаментальное для современной математики понятие, как понятие функции, при этом также должно быть изгнано из математики, так как при определении функции приходится обычно устанавливать её значения при бесконечном множестве значений аргумента. Я уже не буду говорить о том, что бесконечные множества представляют собой огромный мир, наделённый многими замечательными свойствами, позволивший вскрыть новые факты и лучше осмыслить старые, принадлежащие классической математике.

Мы остановились на совершенно поразительном факте: если собрать все числа, с которыми обычно имеют дело в школе, т. е. все рациональные числа, все корни из них, все конечные комбинации рациональных чисел и этих корней, все корни из этих комбинаций и т. д., то окажется, что их все можно пронумеровать, т. е. что в некотором смысле их имеется столько же, сколько имеется целых положительных чисел.

В курсе средней школы, правда, встречается одно число, не входящее в семейство алгебраических, а именно число те. Все неалгебраические числа называются трансцендентными. Интересно знать, сколько же существует таких особенных чисел. Оказывается, что их—подавляющее большинство, и собственно, следовало бы алгебраические, а не трансцендентные числа рассматривать как исключительное явление.

Что мощность множества всех чисел больше, чем мощность счётного множества, доказать нетрудно. Мы это сделаем с помощью часто употребляющегося приёма, называемого диагональным процессом. Для простоты рассуждений ограничимся рассмотрением только чисел, больших 0 и меньших 1.

Предположим, что множество всех чисел, находящихся в промежутке от 0 до 1, счётно, т. е. что его можно пронумеровать. Выпишем их в виде бесконечных десятичных дробей, приписывая справа, в случае необходимости

(если число записывается конечной десятичной дробью), нули. Пусть

—эти дроби. Буквы (/=1, 2, 3,..л=1, 2, 3,..) в нашей записи могут принимать значения 0, 1, 2, 3,..., 9.

В этой последовательности каждое число должно найти своё место; при некотором /, например, в ней встретится число 0,5. Для этого числа а(/)=5, а<'>=а<'>= .. .=0. Покажем, что существуют, однако, числа, не вошедшие в нашу последовательность. Для этого рассмотрим число

0.РА--

в котором Рх^аф, ft.=£a<J>,..., $пфо/#9... Ясно, что этого числа (вернее, всех этих чисел) нет в нашей последовательности, так как оно не может быть ни первым (^фя™), ни вторым (ß2=£a<*>), ни любым другим (ßn¥=st(,7) её элементом. Полученное противоречие и доказывает наше утверждение.

Для того, чтобы оценить, как много неалгебраических, г. е. трансцендентных чисел имеется в интервале 0 <х < 1, мы поступим следующим способом. Известно, что все вещественные числа могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие с точками прямой линии (в этом состоит идея координатного метода!). Числам х, заключённым от 0 до 1, соответствуют точки интервала от 0 до 1 оси Ох. Окружим первую алгебраическую точку (число) хг интервалом очень малой длины у, вторую алгебраическую точку х2—интервалом длины третью—интервалом длины ^, четвёртую —интервалом длины g-, и т. д.

(фиг. 18). Таким путём все алгебраические точки будут покрыты маленькими интервальчиками, часть которых будет налегать друг на друга, а порой и целиком со дер-

жаться в интервалах с меньшими номерами. Общая протяжённость всех интервалов равна

Таким образом, они закрывают лишь часть отрезка 0 < х < 1 длины, не большей чем 2-р В остальной же части интервала 0<х<1, имеющей меру, большую, чем 1—2у, не будет ни одной алгебраической точки. Так как у произвольно, то мы заключаем, что протяжённость (мера) множества всех алгебраических чисел равна нулю, а протяжённость (мера) всех трансцендентных чисел равна единице.

Заметим, кстати, что подобным же способом легко доказать, что мера любого счётного множества точек, расположенных на прямой линии, равна нулю.

Мы не станем продолжать изложение теорем о бесконечных множествах. Читатель хотя бы на примере последней теоремы имел возможность убедиться в том, что изучение свойств множеств даёт возможность глубоко проникать в сокровенные тайны строения множества всех чисел. С дальнейшими более глубокими результатами теории множеств читатель может познакомиться хотя бы по книге Александрова и Колмогорова «Введение в теорию функций действительного переменного».

Фиг. 18.

Научно-исследовательский институт методов обучения Академии педагогических наук РСФСР

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА