Гиршвальд Л. Я. История открытия логарифмов. — Харьков : изд-во Харьк. гос. ун-та им. А. М. Горького, 1952. — 32 с.

Л. Я. ГИРШВАЛЬД

ИСТОРИЯ ОТКРЫТИЯ ЛОГАРИФМОВ

ИЗДАТЕЛЬСТВО ХАРЬКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА имени А. М. ГОРЬКОГО

Л. Я. ГИРШВАЛЬД

ИСТОРИЯ ОТКРЫТИЯ ЛОГАРИФМОВ

ИЗДАТЕЛЬСТВО ХАРЬКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА имени А. М. ГОРЬКОГО

Харьков 1952

Отв. редактор проф. Г. Я. Дринфельд Корректор 3. В. Пухкаленко

Подписано к печати 23/1V 1952 г. Печатных листов — 1,64. Учетно-издат. листов —1,7. Формат бумаги 84x 108 см. I/a. БЦ 10021. Зак. 2512. Тираж 30000.

Отпечатано в типографии Изд-ва Харьковского Государственного Университета им. А. М. Горького Харьков. Университетская, 16.

Известно, какую неоценимую услугу оказывают таблицы логарифмов инженеру и технику любой специальности, штурману, артиллеристу и особенно астроному, вообще каждому, кому приходится вести большие вычисления- Математик Лаплас выразился, что «изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлило ему жизнь».

Располагая таблицей логарифмов, мы всякое (положительное) число представляем степенью числа десять. Например, 47,60= 101'6776; 2,230 = 100'3483.

Показатели степеней (1,6776 и 0,3483), которые называются десятичными логарифмами взятых чисел (47,60 и 2,230), мы и находим в таблицах. Правда, в таблицах указаны лишь дробные части (мантиссы) логарифмов, целые же части (характеристики) легко подыскиваются в уме. Для этого достаточно сообразить, что, например, 47,60 заключено по величине между 10 и 100, а 2,230 —между 1 и 10, так что 101< 47,60 < < 102; 10° < 2,230 < 101. Так как показатели степени растут вместе с самой степенью, то отсюда и видно, что логарифм числа 47,60 заключен между 1 и 2, а логарифм числа 2,230 между 0 и 1. Теперь, пользуясь полученным представлением

47,60= 101,6776 2,230= 100,3483

можно заменить умножение этих чисел сложением их логарифмов.

В самом деле, формула умножения степеней ат а11 = z~am+n, очевидная при целых показателях m и /г, остается справедливой и при любых их значениях. Поэтому 47,60 • 2,230= 101'6776 ■ 10°'3483 = 101'6776 + 0,3483 = 102'0259.

Снова обращаясь к таблицам, найдем: IQWB9= 106,1. Итак, 47,60-2,230=106,1.

Подобным образом деление чисел сводится к вычитанию их логарифмов. Например:

а возведение в степень—к умножению:

Приведенные примеры показывают, насколько упрощаются вычисления при пользовании логарифмами. Это упрощение становится еще более заметным, когда приходится производить много действий с большими числами, а также делать вычисления, связанные с тригонометрическими функциями.

Мы предполагаем, что читатель умеет пользоваться таблицами логарифмов, и не будем останавливаться на технике вычислений. Мы имеем в виду изложить, как возникла идея логарифмов, как были впервые составлены логарифмические таблицы, и к каким новым математическим понятиям и методам привели поиски этих способов, упрощающих вычисления.

Изучая ту или иную науку, мы познаем ее глубже и полнее, если знакомимся с ее историей. Важно не только усвоить готовые положения науки, а и знать, как и почему возникли ее основные идеи, какие условия вызывали развитие тех или иных ее отраслей, какие заблуждения и ложные представления приходилось преодолевать, какие открытия прокладывали новые широкие пути для дальнейших исследований. Подобно этому биолог, изучая какое-либо растение или животное, должен знакомиться не только с его строением, но и с историей развития вида и влиянием окружающей среды (почвы, климата, ухода). Лишь такое полное изучение позволяет сознательно влиять на изменение свойств растения или животного в сторону, полезную для человека.

Обратимся же к истории логарифмов. Основная их идея возникла еще в глубокой древности. Так, в сочинении «Псаммит» древнегреческого математика Архимеда (287—212 гг. до нашей эры) мы читаем: «Если будет дан ряд чисел в непрерывной пропорции, начиная от 1, и если два его члена перемножить, то произведение будет членом того же ряда, настолько удаленным от большего

множителя, насколько меньший удален от единицы, и одним членом меньше против того, насколько удалены оба множителя вместе».

Здесь под «непрерывной пропорцией» Архимед разумеет геометрическую прогрессию, которую мы записали бы так:

1, а, а2, ...

В этих обозначениях правило, формулированное Архимедом, будет выражено формулой

атап = ат + п.

Отсюда мы видим, что Архимед вполне ясно владел понятием степени с целым показателем и той связью, какая имеется между действиями со степенями и действиями с показателями. Однако от установления этой связи до использования ее в логарифмических вычислениях было еще очень далеко. Во времена Архимеда алгебраическая символика совершенно отсутствовала. Это препятствовало обобщению понятия степени на случай нецелых показателей. Кроме того, греческая нумерация была настолько примитивна, что письменный счет в ней был невозможен. Не было и речи и о каких-либо вычислительных таблицах. Но и достигнутое античной наукой было надолго похоронено под развалинами Римской империи.

Натуральное хозяйство и господство религиозной догмы, характерные для эпохи раннего средневековья (V—XI вв.), привели к глубокому застою в развитии науки, и в частности, математики. Потребности даже в элементарном счете были весьма ограниченны. Лишь развитие средиземноморской торговли, начиная с XII—XIII столетия, усилило в итальянских торговых республиках интерес к вопросам счета. В это время европейцы узнали от арабов индусскую цифровую систему. Европейцам становятся известными и успехи арабских астрономов.

XV век отмечен значительным расцветом науки и искусства в городах Италии, а затем Германии и Франции. Но эта новая наука развивалась не в университетах, которые оставались оплотом богословия, а в частных кружках передовых, образованных людей, в мастерских художников и ремесленников. В сочинениях по арифметике того времени мы встречаем такое же сопоставление

арифметической и геометрической прогрессий, какое видели у Архимеда. Немецкий математик Михаил Стифель (1486—1567) в своей «Всеобщей арифметике» пользуется уже степенями с отрицательными и дробными показателями, хотя и в очень неудобных обозначениях.

Еще более крупные успехи в развитии счета мы видим несколькими десятилетиями позже в Нидерландах, освободившихся уже от испанского владычества и выходивших тогда на историческую арену. Ученый инженер Симон Стевин (1548—1620) издал таблицу сложных процентов, т. е. значений чисел (l-J-r)'2 при различных г: г = 0,05, г= 0,04, ...

При этом следует отметить, что все вычисления он производил в десятичных дробях, им же открытых. Уже тогда он высказал мысль и о создании десятичной системы мер.

Заметим кстати, что десятичные дроби были открыты еще за 150 лет до Стевина узбекским математиком по имени Гияс-ад-Дин Джемшид ибн-Масуд, одним из сотрудников знаменитого астронома Улугбека, но это открытие тогда не дошло до Европы.

Сам Стевин имел в виду применение составленных им таблиц лишь в торгово-финансовых расчетах. Но, повидимому, знакомство с этими таблицами привело современника Стевина швейцарца Иоста Бюрги (1552—1632) к составлению таблиц, которые были пригодны для облегчения всевозможных вычислений. Бюрги пришлось заниматься большой вычислительной работой, так как он, состоя в должности придворного часовщика и мастера по астрономическим инструментам, работал в Праге одновременно со знаменитым астрономом Иоганном Кеплером и помогал ему в астрономических наблюдениях и вычислениях.

Бюрги подобно Стевину составил таблицу степеней 1 -|~ г) Составление такой таблицы принципиально нетрудно. Полагая, например, г =0,01, мы должны будем последовательно придавать к каждому уже полученному числу таблицы его сотую часть. Так:

Но при составлении таких таблиц возникает следующая трудность. Если при последовательном умножении сохранять все знаки, то их число неимоверно возрастет. Получаемые числа необходимо округлять, но округление это следует вести осторожно, чтобы при дальнейших вычислениях не накопилась погрешность в оставляемых цифрах. Кроме того, чтобы такие таблицы были практически применимы, надо число г взять очень малым. В самом деле, при г= 0,01 разница между двумя последовательными числами таблицы будет равна 0,01 предыдущего числа. Например, 1,01е5=1,909 (округленно), а 1,01е6 =1,909 + 0,01 • 1,909=1,909 + 0,019 = 1,928.

Разница между этими числами составляет 0,019. Эта разница будет еще значительней при более высоких степенях я—таблица становится все «реже». Пусть теперь надо умножить 5,19 на 1,87. Этих чисел в таблице степеней числа 1,01 нет; тогда придется брать вместо этих чисел ближайшие: для 5,19—5,165 или 5,216, а для 1,87—1,872. Найденным числам соответствуют показатели 165 или 166 и 63. Тогда произведение

5,19-1,87

заменим таким:

5,165- 1,872 = 1,01165- 1,01ю—1,01я8

или

5,216- 1,872= 1,01166- 1,0163 = 1,01229.

По показателям 228 и 229 в таблицах найдем два числа — 1,Ol228 =9,668 и 1,01229 = 9,765, между которыми должно заключаться искомое произведение. Действительно, перемножив, непосредственно получим:

5,19- 1,87 = 9,7053.

Можно было бы получить это произведение точнее, взяв полусумму найденных по таблицам границ --= 9,716. Но и то мы получим расхождение уже в сотых. Погрешность вычисления станет меньше, если таблицы сделать «гуще».

Для этого следует взять основание \~\-r возможно ближе к 1. Бюрги взял г = ~~^4" и составил таблицу чисел 108 • (1,0001)", придавая показателю п последовательно значения 10, 20, 30,...

Показатели он называл «красными» числами, а степени «черными»; при издании таблиц эти числа и были отпечатаны соответствующей краской. «Черные» числа вычислены с 9 знаками и доведены до 109 = 1 000 000 000. Это число Бюрги называет «полным» черным числом. Ему отвечает «полное» красное число 230 270 022, так как 1,0001230270022- 108 = 109.

Итак, Бюрги пришлось произвести свыше 230 миллионов последовательных умножений на 1,0001, следя при этом за возможным накоплением погрешностей округления. Его труд не мог быть облегчен инструментами, так как приборов, подобных современному арифмометру, тогда не было. Поэтому неудивительно, что Бюрги потратил на составление своих таблиц 8 лет жизни (1603— 1611). По обычаю того времени автор дал своему труду выразительное, но несколько длинное название: «Таблицы арифметической и геометрической прогрессии с обстоятельным наставлением, как пользоваться ими при всякого рода вычислениях».

Труд Бюрги был издан в Праге лишь в 1620 г. Своим появлением в свет он обязан настояниям Кеплера, оценившего значение этих таблиц для астрономических вычислений. Оригинал рукописи Бюрги хранился в Пулковской обсерватории.

Таблицы Бюрги сыграли известную роль в развитии вычислительных средств, но пользование ими осложнялось тем, что они являлись лишь таблицами антилогарифмов. Если «черные» числа Бюрги разделить на 108, то получим антилогарифмы «красных» чисел по основанию 1,0001.

Неудобство таблиц Бюрги состояло в том, что при пользовании ими приходилось прибегать к интерполяции, подобной той, какую мы показали выше на примере. Однако уже эти таблицы давали значительное преимущество перед тем способом, каким пользовались до того при умножении и делении больших чисел. Этот способ назывался «простаферезис» (сложения и вычита-

ния). Он основан на следующих формулах тригонометрии:

Для тригонометрических функций тогда уже были составлены подробные таблицы, находившие широкое применение в астрономии. Синусы и косинусы выражались целыми числами, так как синус 90°, называемый «полный синус», принимался равным какому-либо большому числу, например, 108. Тогда два заданных множителя можно было найти в таблицах среди значений синуса или косинуса. По ним определялись соответственные углы а и р. Беря разность а— ß и суммуа-f-ß этих углов, снова с помощью таблиц находили косинусы этих углов. Полуразность или полусумма найденных значений тригонометрических функций и давали искомое произведение. До составления своих таблиц Бюрги сам широко пользовался и пропагандировал этот метод.

Однако изобретению Бюрги не пришлось получить широкого распространения, так как за несколько лет до выхода в свет его таблиц в Англии в 1614 г. были опубликованы значительно более совершенные таблицы. Их автором был шотландец Джон Непер (1550—1617). Он тоже не был математиком по профессии. Получив хорошее образование у себя на родине и в Голландии, он занимался астрономией и математикой как любитель, добившись некоторых важных результатов. И теперь еще его именем называют ряд формул и правил сферической тригонометрии.

В предисловии к своему сочинению Джон Непер говорит: «Я всегда старался, насколько позволяли мои силы и способности, отделаться от трудности и скуки вычислений, докучность которых обыкновенно отпугивает многих от изучения математики». Задача, поставленная Непером, была чрезвычайно своевременна и в Англии. Годы жизни Непера относятся к той эпохе, когда Англия захватывала пути заокеанской морской торговли. Английские мореплаватели предъявляли большой спрос на астрономические таблицы, составление которых требовало сложных вычислений.

К решению поставленной задачи Непер подошел очень глубоко и оригинально. При описании таблиц Бюрги мы видели, что, приближая к единице знаменатель геометрической прогрессии, можно сгустить составляющие ее числа, но все же остаются промежуточные числа, которые не войдут в прогрессию и для которых мы не сможем непосредственно указать логарифма.

Хотя во времена Непера математики еще не владели методами изучения непрерывных процессов, он совершенно правильно дал идею построения непрерывной шкалы логарифмов, при помощи которой для каждого положительного числа мог быть вычислен его логарифм. Свою идею Непер представил в следующей образной форме:

Чертеж 1

По двум осям ОХ и ОУ движутся точки А и В. Из начальных пунктов О и О' своего пути они выходят с одинаковой скоростью V . Точка В сохраняет эту скорость v все время, т. е. движение ее равномерно. Движение же точки А замедленно: ее скорость непрерывно убывает пропорционально расстоянию х=АМ, какое ей еще осталось пройти до некоторой точки A4, фиксированной на оси ОХ. Характеризуя этим числом х = АМ положение точки А в некоторый момент времени и обозначая через у расстояние Oß, пройденное к этому времени точкой ß, найдем связь между этими числами. Именно покажем, что при одинаковой разности двух значений величины у будет одинаково отношение соответствующих значений величины х. Соответствующими значениями величин X и уу понятно, мы называем те значения, которые определяют положение точек А и В в один и тот же момент времени.

Указанную связь Непер и имел в виду, назвав числа у логарифмами чисел х. Слово логарифм состоит из двух греческих слов: «логос» — отношение, «аритмос» — число, так что буквальный смысл названия указывает на то, что логарифмы являются как бы вспомогательными числами, измеряющими отношения тех чисел, к каким

Джон Непер (1550—1617)— изобретатель и составитель первых таблиц логарифмов.

они относятся. При установлении овязи между числами X и у затруднение заключается в том, что скорость точки Л, т. е. скорость, с какой уменьшается расстояние ху убывает непрерывно одновременно с убыванием самого расстояния.

Для облегчения рассуждений заменим движение, определенное Непером, движением, в котором скорость точки Л изменяется не непрерывно, а скачками через малые промежутки времени, оставаясь постоянной в течение этих промежутков. Для наглядности будем вести рассуждение на примерных числовых данных. Примем прежде всего расстояние ОМ=а численно равным скорости V точки В, а скорость точки Л, равной расстоянию до точки М. Пусть скорость V и расстояние а выражаются каким-либо большим числом, например, 108. Для этого можно принять за единицу длины, например, 1 .миллиметр. Время будем измерять в часах.

Назовем «мгновением» тот весьма малый промежуток времени (равный — , т. е. одной стомиллионной доле часа), за который точка В продвинется по оси О У на 1 мм. Тогда за некоторое число к «мгновений» точка В удалится от начального положения на Ук = к . Каково же будет в это время положение точки Л? В течение первого «мгновения» ее скорость будет такая же, как и у точки ß, т. е. V = 108 мм/нас. Поэтому за это «мгновение» она пройдет тоже 1 мм, и ее расстояние от точки M сократится на 1 мм, т. е. станет равным

Тогда, по предположению, этим же числом v\l — —j будет выражаться скорость точки Л в течение второго «мгновения», длительность которого равна —. Поэтому за второе «мгновение» точка Л пройдет расстояние v\l--I.—=1--. Вычитая это расстояние из

Xi, получим расстояние х2у на котором находилась точка А по истечении двух «мгновений»:

Вообще расстояние^., на котором находилась точка А по истечении к «мгновений» с начала движения, численно равно скорости движения в течение следующего /с+ 1-го «мгновения». Поэтому за к + 1-ое «мгновение» точка А приблизится к M на расстояние, равное произведению хк • — — хк • 10 скорости хк мм/час. на время — 10 часа. Таким образом, расстояние хк+1 точки А от M через к-\-1 „мгновение" с начала движения станет равным хк+1 = хк — хк . 10~8 = хк (1—10~8).

Итак хк+г —хк . qy где q равно числу 1—10~"8 — 1 ~ ~> чуть меньшему единицы. Полученное равенство показывает, что расстояние точки Л от M с каждым «мгновением» убывает в геометрической прогрессии со знаменателем д. Так как начальное расстояние ОМ мы приняли равным х0 = V = то для любого tf-ro „мгновения" будем иметь

Теперь легко найти отношение расстояний точки А от M через к-\-п и ^„мгновений" с начала движения. Очевидно,

Таким образом, это отношение определяется разностью п чисел к + п и к и не зависит от значений самих чисеч хк И1К+П, Но в принятых нами единицах измерения числа к и к-\-п как раз являются ло-

Титульный лист сочинения Непера .Описание чудесных таблиц логарифмов", изданного в Эдинбурге в 1614 г. (с экземпляра, хранящегося в Центральной научной библиотеке Харьковского университета).

гарифмами ук и ук + п чисел хк и хк + п. Поэтому окончательно

Итак, высказанное ранее утверждение доказано. Сделанное нами упрощаюшее предположение о скачкообразном изменении скорости движения точки А лишь незна-

Первая страница сочинения Непера .Описание чудесных таблиц логарифмов".

чительно искажает картину, ввиду произвольной малости тех интервалов времени («мгновений»), в течение которых мы считали скорость точки А неизменной. Формула xK = v 11 —— 1, определяющая связь между числами хк и их логарифмами к, как их определил Непер, показывает, что связь между числом и его логарифмом Непер попрежнему рассматривал как связь между арифметической и геометрической прогрессией. Для него логарифмы, так же как сами числа, были целыми числами.

Употреблению в качестве показателей любых вещественных чисел, возможно, препятствовало и то обстоя-

тельство, что во времена Непера десятичные дроби еще не получили достаточно широкого распространения.

Доказанное нами свойство логарифмов Непера позволяет вывести правила «логарифмирования», которые будут незначительно отличаться от употребляемых нами. В самом деле, пусть с = ab. Это равенство можно переписать в виде пропорции:

а ~ 1 '

По доказанному, если отношения двух чисел равны отношению двух других, то разность логарифмов первых двух чисел равна разности логарифмов двух других. Поэтому из полученной пропорции имеем Le — La = Lb — LI.

Откуда

Lc = La + Lb — LI,

т. е. логарифм произведения двух чисел равен сумме логарифмов сомножителей, уменьшенной на логарифм единицы. Отсюда же получаем

Lb = Le— La-j-Ll,

т.е. логарифм частного b =~~£ равен разности логарифмов делимого и делителя, увеличенной на логарифм единицы. Входящий в эти формулы логарифм единицы LI не может быть опущен, так как по Неперу нулю равен не логарифм 1, а логарифм числа ^ = 108; между тем логарифм единицы Ll=y может быть приближенно определен из равенства:

То, что у Непера LI ф О создавало, как видим, излишние осложнения при пользовании таблицами. Другим еще более серьезным неудобством таблиц Непера было то, что L10 =т^= 1, и потому при перемещении запятой изменялась не только целая, но и дробная часть логарифма. Правда, последний недостаток мог не казаться Неперу особенно существенным, так как он составлял свои таблицы для тригонометрических величин.

Вычислив сперва значения чисел хк =v (1 — v) к при v=\0 и последовательных целых значениях к, Непер

затем составил таблицы логарифмов синусов углов от 0° до 90°. Таблицы Непера имели следующий вид.

Сверху и снизу страницы указано число градусов, в первой и последней колонке дано число минут. В следующих колонках даны с семью знаками значения

синусов, причем синус 90° принят за 10е. В одной строке стоят синусы дополнительных углов. В столбцах третьем слева и третьем справа даны с восемью знаками логарифмы приведенных значений синусов. Наконец, в средней колонке приведены разности логарифмов, стоящих в одной строке, т. е. разности логарифмов синусов дополнительных углов. Эти разности равны логарифмам тангенсов.

Эти таблицы были изданы Непером в 1614 году под названием «Описание чудесных таблиц логарифмов», а в 1619 г., уже после его смерти, вышло другое сочинение: «Устройство чудесных таблиц логарифмов». В этом посмертном сочинении Непер дает теорию построения созданных им логарифмов. В нем же высказана идея создания десятичных логарифмов. К осуществлению этой идеи Непер приступил совместно со своим другом профессором Лондонского университета Генри Бриггом (1556 — 1630). Уже в год смерти Непера Бригг издал таблицы, содержавшие логарифмы чисел до 1000.

В 1620 г. вышли составленные Бриггом 14-значные таблицы десятичных логарфимов чисел от 1 до 20 000 и от 90 000 до 100 000. Десятичные логарифмы и теперь иногда называют Бригговыми.

Интересен способ, каким Бригг вел вычисления своих логарифмов. Этот способ основан на следующих соображениях. Если из любого числа извлекать корень все более и более высокой степени т, то этот корень будет становиться все ближе и ближе к 1. Если принять, что m = 2Л, то извлечение корня степени m сведется к л-кратному последовательному извлечению квадратного корня. Пусть, например,

Тогда, возводя обе части равенства в квадрат, получим:

При достаточно большом значении п а можно считать столь малым, что его двадратом будем пренебрегать.

Тогда в пределах принятого приближения можно считать, что

Умножая обе части этого равенства на 2п+ 1 , получим:

Это приближенное равенство говорит о том, что при весьма больших значениях показателя п выражение

получает значение, почти не изменяющееся при дальнейшем увеличении п. Если теперь обозначить

то по обычному определению логарифма тогда

С определенной степенью приближения можно считать, что к тому же числу х> весьма близкому к 1, можно прийти, последовательно извлекая достаточное число раз квадратный корень из любого числа; обозначая это число через а, получим:

логарифмируя это равенство, выразим logeas через log10a:

Подставим теперь полученные выражения для х и logi0x в равенство (*). Тогда оно примет вид

Отсюда

Это равенство показывает, что отыскание десятичного логарифма любого числа может быть сведено к многократному последовательному извлечению квадратного корня из данного числа и из 10.

Таков приблизительно был путь, каким Бригг вычислил логарифмы основных чисел. Дальнейшее составление таблицы было произведено, как он выражался, «искусственным путем», объяснение которого было бы довольно сложным. Какие вычислительные трудности пришлось преодолеть Бриггу, можно судить хотя бы по тому, что ему потребовалось 54 раза последовательно извлекать квадратный корень из 10, при этом он получил результат 33 цифрами:

Работа, начатая Бриггом, была закончена голландцем Адрианом Влакком, который в 1628 г. выпустил 10-значные таблицы логарифмов чисел от 1 до 100 000. Тот же Влакк закончил и другую работу, начатую Бриггом,— составление таблицы десятичных логарифмов тригонометрических функций.

Таблицы, изданные Влакком, быстро вошли во всеобщее употребление в Европе. Преимущество десятичных логарифмов при практических вычислениях было столь очевидно, что они сразу вытеснили Неперовы логарифмы. Заметим еще, что теперь под Неперовыми, или натуральными логарифмами, понимают не те логарифмы, которые были вычислены самим Непером. Как мы виде-

ли, у Непера логарифмы отличались тем, что в них, во-первых, LI ф 0, во-вторых, эти логарифмы убывали с возрастанием числа и, в-третьих, Непер выражал логарифмы целыми числами. Теперь же под натуральными логарифмами разумеют логарифмы, в основании которых лежит число е, позже названное Неперовым. Оно может быть приближенно вычислено по формуле £~ I 1-J—— I, где число п должно быть весьма велико. Конечно, по идее эти логарифмы весьма близки к Неперовым. Если, как и выше, логарифмы Непера обозначать си^олом L, а натуральные логарифмы символом In, то связь между ними выразится формулой

При этом еще следует обратить внимание на то, что у Непера не было идеи основания логарифмов.

Таблицы натуральных логарифмов чисел были вычислены англичанином Джоном Спейделем и изданы им много раз (в 1620, 1621, 1623, 1624, 1627, 1628 гг.).

Но, как мы уже сказали, эти натуральные логарифмы быстро уступили место десятичным. В 1620 г. профессор Лондонского университета Эдмунд Гюнтер издал таблицы десятичных логарифмов тригонометрических величин. Гюнтер является изобретателем и логарифмической шкалы, явившейся прообразом современной счетной линейки.

Как видим, открытие Непера быстро получило признание и распространение. Это указывает на то, что потребность в новых вычислительных средствах тогда уже вполне назрела.

Изобретение Непера высоко оценил Кеплер. Он и сам издал в 1624 г. таблицу логарифмов, подобную Неперовой, и широко использовал логарифмы в своих колоссальных астрономических вычислениях. В 1650 году вышел трактат о логарифмах в Китае. Его автором был астроном Ши Фонг-тзу, ученик польского ученого иезуита Яна Смоголенского (1611—1656), жившего и работавшего в Китае.

В России таблицы логарифмов были изданы впервые в 1703 г. и затем переизданы в 1719 г. В основу их были положены таблицы Влакка; изданы они под названием

«Таблицы логарифмов и синусов, тангенсов и секансов тщанием и за освидетельствованием математических и навигацких школ учителей Андрея Фархвардсона, Стефана Гвина и Леонтия Магницкого». Последний из упомянутых составителей этих таблиц — Леонтий Магницкий был автором первой русской «Арифметики», вышедшей в свет в том же 1703 году.

В 1730 году вышла в свет «Книжица о сочинении и описании сектора, скал обыкновенной и гунтерской со употреблением оных инструментов в решении различных математических проблем». Как указывает заглавие, в этой книжице» находится и описание логарифмической шкалы. Эти первые русские пособия по математике были широко использованы русскими моряками и геодезистами XVIII в. в их замечательных морских экспедициях и сухопутных путешествиях.

Нам остается рассказать еще об одном важном в истории логарифмов открытии. Способы вычисления логарифмов, которые применяли Непер и Бюрги, были чрезвычайно громоздки и требовали колоссального труда. Немного позже, в 1647 г. французский математик Сен-Винсен нашел замечательное соотношение между логарифмами и некоторой кривой — равнобочной гиперболой

Тогда докажем, что площади Sa и Sa< криволинейных четырехугольников A Bab и А'В'а'Ь' будут равны между собой.

Чертеж 2

Он доказал следующие ее свойства: 1. Пусть А, В, А', В' — четыре точки, расположенные на гиперболе у=— так, что их абсциссы а, о, а\ V пропорциональны: а' = = aq, b'=bq (чертеж 2).

Для доказательства разделим интервалы (а, Ь) и (а', Ь') на произвольное число п равных частичных интервалов, вставив между а и Ь, а' и Ъ' промежуточные числа:

Понятно, что вставленные числа хк и х). так же, как и их разности

относятся как данные числа a, by а', Ь'\

На каждом из полученных интервалов строим „входящие" и „выходящие" прямоугольники (чертеж 3).

Их площади, которые обозначим через ок и о'к} будут соответственно равны ак = — и °к =-. Так как, по предыдущему, числители и знаменатели этих дробей пропорциональны:

то площади этих прямоугольников соответственно равны ^к = ак- Площади Sa и 5^ криволинейных трапеций заключены между суммами Sn и Sn, и S'n площадей входящих и выходящих прямоугольников

Но *к = *к* потому Sn = Sn и Sn = Sn9

т. е. суммы, заключающие площади 5^ и S^f > равны между собой. Поэтому эти площади различаются между собой меньше, чем заключающие их суммы входящих и выходящих прямоугольников:

Среди выходящих прямоугольников, составляющих сумму имеются все, составляющие сумму Sn> кроме ап, но сверх того в Sn входит а0, которое не входит в S^ÎU Поэтому

Вычисляя з0 и сПУ получим:

Чертеж 3

Поэтому

Так как это неравенство справедливо при любом числе (п) частей, на которые будут разделены интервалы ab и а' Ъ\ то

что и требовалось доказать.

2. Только что доказанное свойство гиперболы можно выразить в несколько более общей форме.

Возьмем точки оси ОХ, абсциссы которых^ составляют геометрическую прогрессию

*о = 1, х\ = (1у x2 = q2,..., xk = q\...

Тогда, по только что доказанному, площади

öX0 » °Xi > • • • I ÖXK

криволинейных трапеций, построенных на образовавшихся отрезках, будут равны между собой. Общее значение этих площадей обозначим через S:

Обозначим теперь через 5/. площадь криволинейной трапеции, построенной на отрезке (1, хк) : Sjc = SlK. Эта площадь, как видим, состоит из к, равных по площади, полос, и потому

8k = kS.

Если, при движении точки по гиперболе, эта точка последовательно занимает положения, абсциссы которых образуют геометрическую прогрессию

1, <7. ?2,..-, Л—

(с произвольным знаменателем q), то площади S/c криволинейных трапеций, ограниченных гиперболой, осью абсцисс и ординатами движущейся точки в ее начальном и одном из последовательных положений, образуют арифметическую прогрессию

О, S9 2$, SSI. •. I hS j.. •

3. Обозначим теперь через S(X) — S* площадь под гиперболой, построенную на произвольном отрезке (1, х), где X >1.

Обозначим через е такое число, что S[ë) = \. Если за знаменатель геометрической прогрессии, рассмотренной в предыдущем пункте, принять число q == у е = еп>

(где п — любое целое положительное число), то по доказанному

S(qn) = nS(q). (*)

Но так как q1l = e и S (qn) — S(e) = l, то написанное равенство примет вид

или

Полагая теперь в предыдущем равенстве {*) q = en и заменяя число п любым другим натуральным m, получим

Это равенство выражает факт фундаментального значения. Замечая, что при х = е п дробь—является логарифмом числа х по основанию е, т. е. — — iogex, мы можем прочитать доказанное равенство так: площадь 5(л') под гиперболой у=— , над отрезком (1,л*) оси абсцисс равна логарифму абсциссы х конца этого отрезка. Основанием логарифмов при этом служит некоторое число е, для которого S[e)=l. Итак,

S {x)=-\ogex.

Но это равенство пока доказано лишь для случая, когда логарифм числа х является рациональным числом. Нетрудно, однако, освободиться от этого ограничения. Для этого прежде всего надо обратить внимание на то, что следует разуметь под числом е*, когда / есть любое вещественное, предполагая известным, что при натуральных m и п : е п = Vет. Для числа / можно найти при-

ближенные рациональные значения с любой степенью точности, т. е. при любом натуральном п можно найти такое натуральное т, что

Между значениями, какие принимают е и е п при всех натуральных п, заключено единственное вещественное число, так как при достаточно больших ne п и е п отличаются произвольно мало. Это число и принимают за é. Итак, если

Так как при смещении крайней ординаты вправо площадь под гиперболой возрастает, то при прежних условиях

Но по доказанному

Тогда

Так как это неравенство справедливо при любом натуральном nt и единственным вещественным числом, заключенным при этом между — и —-—, является то

iL iL

Обозначая x = ef, а потому t = \ogex, мы и получаем

4. Теперь нам остается выяснить, что представляет собой число е, для которого S[e) = 1.

Для этого подразделим интервал (1,е)на п частей, вставив числа хк

так, чтобы они составили геометрическую прогрессию. Тогда, обозначая знаменатель этой прогрессии через q, получим

e = xn = qn.

Откуда

По доказанному в п. 3 площади S хк ] криволинейных трапеций, построенных на каждом из частичных отрезков [хк_г, хк), равны между собой, и так как сумма этих площадей равна S(e) = l, то каждая из них

Построим на первом отрезке (1, = le п ) входящий и выходящий прямоугольники (чертеж 4). Длина их общего основания равна е — 1, а высоты равны — = —г = е их0 = 1.

Тогда, сравнивая площади этих прямоугольников с площадью под гиперболой, получим:

или

Чертеж 4.

Из этих неравенств мы желаем получить границы, в каких заключено число е. Из правого неравенства имеем

а значит

а из левого неравенства :

или

Переходя к обратным числам, получим:

Так как п произвольно, то заменим его через л+1 , тогда

или

значит,

Сопоставляя это неравенство с полученным выше, имеем:

Разность между крайними частями неравенства

при достаточно большом п может стать произ вольно малой. Поэтому каждое из выражений! 1 -|— I и + —I при больших значениях п можно рассматривать как приближенные зна.чения числа е, т, е.

Таким образом мы установили, что число е, при котором площадь под гиперболой S (е) = 1, является ничем иным, как уже знакомым нам «Неперовым» числом.

Установленная выше связь между логарифмами по основанию е и площадью под гиперболой дала повод называть эти логарифмы гиперболическими. Их принято обозначать не logger, а 1пх, имея в виду их обычное название «натуральные» логарифмы.

Открытие Сен-Винсена было использовано Николаем Меркатором (1620— 1687). Он был голштинец родом, эмигрировавший в Англию, где занимался математикой и был избран в члены Лондонского королевского общества. В 1667 г. Николай Меркатор опубликовал свое сочинение «Логарифмотехника», в котором дал новый, более совершенный способ вычисления логарифмов, основанный на открытиях Сен-Винсена.

Возьмем гиперболу у —~~и заменим в ее уравнении X через l+ATjT. е. станем обозначать через х не расстояние точки кривой от ее вертикальной асимптоты, а расстояние от прямой, параллельной прежней, проходящей на 1 правее. Тогда уравнение примет вид у = —\—• Площадь S* (х) над отрезком (О, х) (чертеж 5) в новых координатах будет равна.

S*(jc) = ln(l +х).

Ординату „_ .-{- можно приближенно представить

в виде многочлена, который получим, деля 1 на 1+*, до некоторой степени хп~1. Полученный при этом остаток ± хп будет произвольно мал при достаточно высоких степенях пу если IXI < 1. Тогда

Еще предшественники Меркатора, математики Паскаль, Ферма, Валлис умели вычислять площади под кривыми, определяемыми уравнениями

Чертеж 5

При помощи этих приемов можно было получить, что площадь под кривой, определяемой уравнением

от точки X = 0 до некоторой точки х будет выражаться формулой

Это выражение при|х| < 1 и даст приближенное значение площади под гиперболой

Итак,

где остаток Rn при достаточно больших значениях п произвольно мал.

Полученное Меркатором выражение для 1п(1 -{-х) позволяет непосредственно вычислять логарифмы с любой степенью точности*).

Дальнейшее, завершающее развитие теория логарифмов получила в трудах знаменитого петербургского академика Леонарда Эйлера (1707—1783). Ему принадлежит общее определение логарифмической функции, как функции обратной показательной (он ввел обозначением для Неперова числа) и распространение понятия логарифма на случай логарифмов от комплексных чисел.

Мы проследили за развитием понятия и способов вычисления логарифмов. Мы видели, что это понятие было создано для удовлетворения потребностей вычислительной практики асторонома-наблюдателя. Дальнейшее развитие этого понятия не только дало мощное вычислительное средство, но и само послужило к развитию новых методов математического анализа. История логарифмов служит одним из бесчисленных подтверждений мысли о взаимоотношении теории и практики, блестяще выраженной великим русским математиком П. Л. Чебышевым: «Практика предлагает вопросы существенно новые для науки и, таким образом, вызывает на изыскание совершенно новых метод. Если теория много выигрывает от новых приложений старой методы или от новых развитии ее, то она еще больше приобретает открытием новых метод, и в этом случае науки находят себе верного руководителя в практике».

*) В самом деле: любое положительное число z может, быть представлено в виде z = -, где х = ——у- является правильной (положительной или отрицательной) дробью. Например, при z = 1,5 х=0. 2. Умея вычислить In (1 + ж), а потому и In (1 — х) при (х)< 1, мы вычислим и In z = In _ = In (1 + x) — In (1 — x).