СЕРИЯ

Новое в жизни науке технике

математика кибернетика

1969

12

II Международный Конгресс математиков

1900

проблемы Гильберта

С. С. Демидов

С. С. Демидов

Проблемы Гильберта

Издательство «ЗНАНИЕ»

Москва 1969

51(09) Д 30

2-2-1

СЕРГЕЙ СЕРГЕЕВИЧ ДЕМИДОВ

ПРОБЛЕМЫ ГИЛЬБЕРТА

Редактор В. Ю. Иваницкий Художник Л. П. Ромасенко Художественный редактор Е. Е. Соколов Техн. редактор Г. И Качалова Корректор Н. И. Яшина

А 01932. Сдано в набор 27/VIII 1969 г. Подписано к печати 3/Х 1969 г. Формат бумаги 60×90/16. Бумага типографская № 3. Бум. л. 1,0. Псч. л. 2,0. Уч.-изд. л. 1,87. Тираж 35 800 экз. Издательство «Знание». Москва, Центр, Новая пл., д. 3/4. Заказ 2149. Типография изд-ва «Знание», Москва, Центр, Новая пл., д. 3/4. Цена 6 коп.

ПРЕДИСЛОВИЕ

В брошюре «Проблемы Гильберта» автор возвращается к событиям почти семидесятилетней давности. Чем это вызвано? Разве нет в математике более свежих вопросов, о которых следовало бы рассказать нашим читателям, и почему из множества международных математических конгрессов выбран лишь второй? Более того, в брошюре речь идет лишь об одном из прочитанных на этом конгрессе докладов.

Международные математические конгрессы по установившейся традиции созываются обычно раз в четыре года и проходили они в следующих городах:

1897 г. — Цюрих, Швейцария; 1932 г. — Цюрих, Швейцария;

1900 г. —Париж, Франция; 1936 г. — Осло, Норвегия;

1904 г. — Гейдельберг, Германия; 1950 г. — Кембридж, США;

1908 г. — Рим, Италия; 1954 г. — Амстердам, Нидерланды;

1912 г. — Кембридж, Великобритания; 1958 г. — Эдинбург, Великобритания;

1920 г. — Страсбуог, Франция; 1962 г. — Стокгольм, Швеция;

1924 г. —Торонто, Канада; 1966 г. —Москва, СССР.

1928 г. — Болонья, Италия;

1970 г. Очередной конгресс должен состояться в Ницце, Франция.

На каждом из конгрессов читались замечательные доклады, в которых говорилось о найденных решениях глубоких и трудных вопросов и закладывались основы новых значительных теорий. Однако второй конгресс, состоявшийся в 1900 году, и доклад замечательного математика Давида Гильберта явились из ряда вон выходящими событиями, оказывающими на развитие математики заметное влияние до сих пор.

Д. Гильберт в своем докладе подвел итоги развития математической науки и сформулировал те задачи, которые, по его мнению, являлись центральными для того времени и от которых зависел ее дальнейший прогресс. Поставленные им задачи привлекли внимание ряда выдающихся исследователей и их постановка способствовала прямо и косвенно консолидации усилий математиков всего мира на решении труднейших вопросов этой науки. Большой вклад в решение поставленных проблем был внесен и учеными нашей страны.

Само собой разумеется, что математика развивалась не только в тех направлениях, которые были отмечены Гильбертом. Требования практики—физики, экономики, биологии, организации производства, управления процессами, а также самой математики — способствовали появлению многих новых перспективных путей математического творчества. Предвидеть их было невозможно. Однако проблемы, сформулированные Гильбертом, оказали очень большое влияние на формирование интересов многих математиков, и решение каждой из проблем Гильберта рассматривалось и рассматривается как выдающееся событие в жизни математики. Вот почему брошюра С. С. Демидова, несомненно, будет полезна, и читатели нашей серии, можно надеяться, с интересом и пользой для себя познакомятся с ней.

Б. В. ГНЕДЕНКО, действительный член АН УССР

I

Весной 1900 года после некоторого перерыва в Париже вновь открылась Всемирная выставка. Парижане, провинциалы, приехавшие из разных уголков Франции, иностранные туристы заполняли выставочную площадку, раскинувшуюся вдоль берегов Сены между мостами Согласия и Иены и в Венсенском лесу. Главный вход выставки со стороны площади Согласия представлял собой грандиозное сооружение в виде триумфальной арки высотой 35 метров, увенчанной шестиметровой статуей Свободы, которая по вечерам освещалась тремя с лишним тысячами разноцветных электрических лампионов — зрелище, восхищавшее непривычных к такому «великолепию» современников. Посетителя, заплатившего довольно высокую входную плату, ожидали вытянувшиеся вдоль Сены национальные павильоны, из которых наибольшим вниманием пользовались самый богатый павильон Германии и павильон Трансвааля. Эта страна вела в то время тяжелую войну с Великобританией и поэтому пользовалась особой популярностью в континентальной Европе. Среди новых сооружений, выстроенных специально к выставке 1900 года, выделялись сохранившиеся и поныне здания Большого и Малого дворцов и мост Александра III на реке Сене, названный в честь российского императора.

Центральная часть выставки — Марсово поле. Вокруг заново окрашенной Эйфелевой башни размещались «зал празднеств» на 25 000 человек, освещаемый 45 000 электрических лампочек (!), дворец оптики и электрический дворец с аллегорической фигурой «гения Электричества, стоящего на колеснице, ведомой гиппогрифами с пылающими факелами прогресса», наконец, одна из самых больших достопримечательностей выставки — «гигантское колесо» диаметром 93 метра, подобные тем, которые ныне украшают уголок аттракционов любого парка. Посетители выставки могли совершить также морскую прогулку в так называемой мареораме, любоваться панорамой «Путешествие вокруг света», при этом демонстрировались различные экзотические сцены, в том числе схватка мангусты с коброй. «Говорят, что для обновления этого зрелища сделан очень большой запас гадов, — писалось в путеводителе по выставке [14, стр. 65], — чем, конечно, оказана добрая услуга бедным индусам, тысячи которых гибнут ежегодно от укушения разных ядовитых змей». Внимание посетителей привлекали также гигантский телескоп Делонкля, громадный двойной глобус Галерона, на нижней террасе которого давал органные концерты Сен-Санс, наконец, уголок средневекового Парижа с городом чудес, движущиеся тротуары, электрическая железная дорога и пр.

В этой праздничной сутолоке совершенно неприметно выглядело неподалеку от моста Альма низковатое здание с прямоугольными широкими окнами, отделанными тяжеловесными украшениями. Широкая терраса, служившая зданию крышей, была украшена рядом высоких позолоченных флагштоков с постоянно развивающимися на них флагами. Это был Дворец политической экономии и конгрессов. За время Всемирной выставки в этом здании было проведено около 130 различных конгрессов, посвященных самым разным вопросам — общественным работам и страхованию, воздухоплаванию, земледелию, альпинизму, автомобилям, железным дорогам, химии, электричеству, сушению плодов, участию в барышах, прикладной механике, философии и т.д. В этом же здании 6 августа 1900 года открылся II Международный конгресс математиков. На фоне многолюдного медицинского и шумного студенческого конгрессов, происходивших одновременно с ним, он выглядел скромно и почти не замечался прессой. Тем не менее роль его в истории развития математики оказалась весьма значительной.

Президентом конгресса был избран знаменитый французский математик Анри Пуанкаре, почетным президентом — отсутствовавший Ш. Эрмит (1822—1901), вице-президентами— Э. Чубер (Вена), К. Гейзер (Цюрих), П. Гордан (Эрланген), А. Гринхилл (Лондон), Л. Линделефф (Гельсингфорс), Ф. Линдеман (Мюнхен), М. Г. Миттаг-Леффлер (Стокгольм), отсутствовавший Э. Мур (Чикаго), М. А. Тихомандрицкий (Харьков), В. Вольтерра (Турин), Г. Цейтен (Копенгаген), секретарями конгресса — И. Бендиксон (Стокгольм), А. Капелли (Неаполь), Г. Минковский (Цюрих), И. Л. Пташицкий (Петербург), отсутствовавший А. Уайтхед (Кембридж). Генеральным секретарем конгресса был избран Э. Дюпорк (Париж).

В работе конгресса приняли участие 226 человек1, в том числе 90 человек из Франции, 25 — из Германии, 17 — из Соединенных Штатов, 15 — из Италии, 13 — из Бельгии, 9 — из России, по 8 — из Австрии и Швейцарии, по 7— из Англии2 и Швеции, 4 — из Дании, по 3 — из Голландии, Испании и Румынии, по 2 — из Сербии и Португалии, 4 — из Южной Америки, по одному делегату прислали Турция, Греция, Норвегия, Канада, Япония и Мексика. Основными языками конгресса были английский, французский, немецкий и итальянский.

В день открытия конгресса было прочитано два часовых

1 Интересно в связи с этим заметить, что число участников последнего математического конгресса, проходившего в 1966 году в Москве, превышало 4000 человек.

2 Малочисленность английской делегации объясняется непопулярностью во Франции политики Великобритании в связи с англо-бурской войной.

доклада — известным немецким историком математики Морицем Кантором «Об историографии математики», содержавший обзор работ по истории математики, начиная с Ж. Монтюкла и Г. Либри, и известным итальянским математиком В. Вольтерра о научной деятельности Э. Бетти, Ф. Бриоски и Ф. Казорати и ее влияния на развитие теории функций.

На следующий день заседания были перенесены в Сорбонну и проходили по секциям. Таких секций было шесть:

— арифметики и алгебры (председатель Д. Гильберт, секретарь Э. Картан);

— анализа (председатель П. Пенлеве, секретарь Ж. Адамар);

— геометрии (председатель Г. Дарбу, секретарь Б. Нивенгловский);

— механики и математической физики (председатель Ж. Лармо, секретарь Т. Леви-Чивита) ;

— истории и библиографии (председатель принц Роланд Бонапарт, секретарь М. Окань);

— преподавания и методологии (председатель Мориц Кантор, секретарь Ш. Лезан).

Ввиду небольшого количества историко-математических сообщений пятая и шестая секции заседали совместно (сравнительно слабая активность историков математики объясняется в значительной мере тем, что незадолго перед этим закончился Международный конгресс по истории науки, на котором докладам по истории физико-математических наук было отведено важное место).

Всего на конгрессе было сделано 46 сообщений, в том числе такими известными математиками, как Л. Диксон, США («Известные системы простых групп и их интеризоморфизм»), М. Г. Миттаг-Леффлер, Швеция («Об аналитической функции и аналитическом выражении. Об одном распространении формулы Тейлора»), Ж. Адамар, Франция («О характеристиках дифференциальных уравнений с частными производными») А. Капелли, Италия («Об основных операциях арифметики»), И. Фредгольм, Швеция («Обращение определенных интегралов и его применение к вопросам математической физики»), И. Бендиксон, Швеция («О кривых, определенных дифференциальными уравнениями»), В. Вольтерра, Италия («О теореме Пуассона для гиперболического случая») и др.

Харьковский профессор М. А. Тихомандрицкий был единственным из русских ученых, сделавших сообщение — «Об исчезновении функции H нескольких переменных». Единственный представитель Японии Р. Фуджизава выступил с сообщением об истории японской математики.

Повышение интенсивности и численный рост математических исследований, наблюдавшийся к концу века, значи-

тельное изменение и расширение их тематики — все это нашло свое отражение в содержании сообщений, сделанных на конгрессе, в направленности дискуссий. Из четырех основных докладов, прочитанных на пленарных заседаниях конгресса, три относились к истории математики (упомянутые доклады М. Кантора и В. Вольтерра и доклад М. Г. Миттаг-Леффлера, о котором речь пойдет ниже) и один к ее философии (доклад А. Пуанкаре, о котором мы еще упомянем). В этом, безусловно, отражалось то положение, в котором оказалась математика на рубеже XIX—XX веков — сказывалось стремление осмыслить ход развития этой науки, проникнуть в сущность ее методов.

Так проходил конгресс, на котором 8 августа 1900 года на совместном заседании пятой и шестой секций великий немецкий математик Д. Гильберт прочитал доклад «Математические проблемы», ставший впоследствии знаменитым.

II

Давид Гильберт родился в 1862 году в Кенигсберге. По окончании школы он поступил в университет этого же города, где слушал лекции и участвовал в семинаре известного математика Г. Вебера. Лекции эти наряду с работами другого известного математика Л. Кронекера оказали большое влияние на все дальнейшее творчество Д. Гильберта. Но, пожалуй, самое большое значение для формирования личности Гильберта как ученого имела многолетняя, начавшаяся со студенческих лет дружба его с Г. Минковским и А. Гурвицем.

В 1895 году известный немецкий математик Ф. Клейн пригласил Гильберта в Геттинген на должность ординарного профессора математики. С тех пор вся деятельность Гильберта была связана с Геттингенским университетом. К 1900 году он был уже широко известен своими работами по теории инвариантов и теории алгебраических чисел. В 1899 году вышел в свет его знаменитый труд «Основания геометрии», составивший эпоху в основаниях математики. Удивительная разносторонность и обобщающая сила дарования Гильберта позволяли ему легко ориентироваться в самых различных областях математики, причем почти в каждой из них он получил выдающиеся результаты и поставил ряд важных проблем.

«Кто из нас не хотел бы приоткрыть завесу, за которой скрыто наше будущее, чтобы хоть одним взглядом проникнуть в предстоящие успехи нашего знания и тайны его развития в ближайшие столетия? Каковы будут те особенные цели, которые поставят себе ведущие математические умы ближайшего поколения? Какие новые методы и новые факты

будут открыты в новом столетии на широком и богатом поле математической мысли? — такими словами Д. Гильберт начал свой доклад. — История учит, что развитие науки протекает непрерывно. Мы знаем, что каждый век имеет свои проблемы, которые последующая эпоха или решает, или отодвигает в сторону как бесплодные, чтобы заменить их новыми. Чтобы представить себе возможный характер развития математического знания в ближайшем будущем, мы должны перебрать в нашем воображении вопросы, которые еще остаются открытыми, обозреть проблемы, которые ставит современная наука, и решения которых мы ждем от будущего. Такой обзор проблем кажется мне сегодня, на рубеже нового столетия, особенно своевременным. Ведь большие даты не только заставляют нас оглянуться на прошедшее, но и направляют нашу мысль в неизвестное будущее»1.

Далее Гильберт говорит о большой роли, которую играли и играют проблемы для развития науки вообще и математики в частности, о том, что такое «хорошая математическая проблема» («математическая проблема должна быть настолько трудной, чтобы нас привлекать, и в то же время не совсем недоступной, чтобы не делать безнадежными наши усилия»), о том, из каких источников математика черпает свои проблемы — одни проблемы представляют «свободное достижение чистого разума» (проблема Ферма, например), другие выдвигаются естествознанием и необходимы «для познания простейших основных явлений природы» (проблема трех тел). «Несомненно, — говорит Гильберт, — что первые и самые старые проблемы каждой математической области знания возникли из опыта и поставлены нам миром внешних явлений... При дальнейшем развитии какой-либо математической дисциплины человеческий ум, обнадеженный удачами, проявляет уже самостоятельность; он сам ставит новые и плодотворные проблемы, часто без заметного влияния внешнего мира, с помощью только логического сопоставления, обобщения, специализирования, удачного расчленения и группировки понятий и выступает затем сам на первый план как постановщик задач». Затем Гильберт говорит об основном требовании, которое должно быть предъявлено к решению математической проблемы, — требовании абсолютной строгости в доказательстве, о трудностях, которые могут встретиться при ее решении, из их числа Гильберт выделяет следующие: 1) «мы не овладели еще достаточно общей точкой зрения, с которой рассматриваемая проблема представляется лишь отдельным звеном в цепи родственных проблем», 2) «еще не разрешены или неполностью решены более простые и легкие проблемы, чем данная», и, наконец, 3) «мы

1 Все цитаты из доклада Гильберта даются в переводе М. Г. Шестопал и А. В. Дорофеевой.

добиваемся ответа при недостаточных предпосылках, или идя в неправильном направлении».

Каждый математик, продолжает Гильберт, обладает уверенностью в том, что всякая «определенная математическая проблема неизменно должна быть доступна строгому решению или в том смысле, что удается получить ответ на поставленный вопрос, или же в том смысле, что будет установлена невозможность ее решения и вместе с тем доказана неизбежность неудачи всех попыток ее решить».

Далее Гильберт предлагает вниманию слушателей несколько проблем из различных областей математики, «исследование которых может значительно стимулировать дальнейшее развитие науки»:

1. Проблема Кантора о мощности континуума.

2. Непротиворечность арифметических аксиом.

3. Равенство объемов двух тетраэдров с разновеликими основаниями и разными высотами.

4. Проблема о прямой как о кратчайшем соединении двух точек.

5. Понятие о непрерывной группе преобразований Ли, без предположения дифференцируемости функций, определяющих группу.

6. Математическое изложение аксиом физики.

7. Иррациональность и трансцендентность некоторых чисел.

8. Проблема простых чисел.

9. Доказательство наиболее общего закона взаимности в любом числовом поле.

10. Задача о разрешимости диофантова уравнения.

11. Квадратичные формы с произвольными алгебраическими числовыми коэффициентами.

12. Распространение теоремы Кронекера об абелевых полях на произвольную алгебраическую область рациональности.

13. Невозможность решения общего уравнения седьмой степени с помощью функций, зависящих только от двух аргументов.

14. Доказательство конечности некоторой полной системы функций.

15. Строгое обоснование исчислительной геометрии Шуберта.

16. Проблема топологии алгебраических кривых и поверхностей.

17. Представление определенных форм в виде суммы квадратов.

18. Построение пространства из конгруэнтных многогранников.

19. Являются ли решения регулярной вариационной задачи необходимо аналитическими?

20. Общая задача о граничных условиях.

21. Доказательство существования линейных дифференциальных уравнений с заданной группой монодромии.

22. Униформизация аналитических зависимостей с помощью автоморфных функций.

23. Развитие методов вариационного исчисления.

Первые шесть проблем относятся к обоснованию различных математических дисциплин, следующие девять (7—15)—к более специальным вопросам алгебры, алгебраической геометрии и теории чисел, остальные восемь (16—23) — к теории функций, дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению. Некоторые из этих проблем были поставлены задолго до Гильберта. Так, первая в списке проблема поставлена Г. Кантором в 1878 году, вопросы, относящиеся к третьей проблеме, обсуждались еще К. Гауссом в его переписке с Герлингом. Что касается вопросов, составляющих содержание восьмой проблемы, то один из них — гипотеза о нулях дзета-функции — был поставлен Б. Риманом в 1859 году, другой, именуемый гипотезой Гольдбаха, еще раньше — в 1742 году в его письме к Л. Эйлеру; наконец гипотеза, сформулированная в двадцать первой проблеме, была выдвинута Б. Риманом в 1857 году. Проблемы, о которых говорил Гильберт в своем докладе, составляют лишь часть задач, поставленных к тому времени знаменитым математиком. Это обстоятельство подчеркивает особый характер выбора проблем, перечисленных в докладе, они не составляют простого набора задач, которые Гильберт в достаточном количестве мог предложить своим коллегам и ученикам. Это были именно те наиболее важные проблемы, которые стояли тогда перед математикой. Постановка этих проблем, как считал Гильберт, могла помочь «представить себе возможный характер развития математического знания в ближайшем будущем».

Проблемы, сформулированные Гильбертом и относящиеся к различным областям математического знания, не потеряли актуальности до сегодняшнего дня. Решением их занимались очень многие талантливые математики. Разработка идей, связанных с постановкой данных проблем, определила в значительной мере развитие математики XX века. Рассказать в краткой брошюре о всех этих проблемах не представляется возможным. Дело здесь не только в небольшом объеме данного очерка, но, что весьма важно, в сложности математических теорий, затронутых в докладе. Мы расскажем лишь о нескольких проблемах — о первой, второй, третьей, седьмой, восьмой и тринадцатой. Такой выбор в основном определился тем, что, во-первых, эти проблемы возможно описать на языке, для понимания которого не требуется специальных математических знаний, во-вторых, на примере истории решения этих проблем можно, по нашему мнению,

хотя бы в небольшой мере оценить глубину того влияния, которое оказали гильбертовские задачи на математику наших дней.

III

В качестве проблемы номер один Гильберт поставил проблему континуума, исследование которой составило одну из самых замечательных страниц истории математики. Впервые сформулированная в 1878 году Г. Кантором, она стала предметом исследования многих и очень многих математиков, среди которых были и знаменитости, чьи имена известны всему математическому миру, и множество безвестных неудачников, бесплодно потративших многие свои годы на ее решение. Эта проблема относится к теории множеств — области математики, возникшей во второй половине прошлого века -после опубликования трудов известного немецкого математика Георга Кантора1.

В жизни нам постоянно приходится сталкиваться с понятием, которое мы называем словом множество. Множество печатных знаков на данной странице, множество автомобилей, находящихся в данный момент на улицах Москвы (при этом нужно точно определить ее границы и указать, какие объекты мы будем считать автомобилями), множество точек на прямой. Первые два примера из указанных обладают тем свойством, что каждый из них состоит из определенного конечного числа элементов (причем если в первом случае его легко определить, то во втором это сделать значительно труднее). Такие множества, состоящие из конечного числа элементов, называются конечными, множества, число элементов которых бесконечно, бесконечными. Примером бесконечного множества может служить третье из названных множеств. Конечные множества можно сравнивать по числу входящих в них элементов. Так, если мы имеем два конечных множества, то, подсчитав количество элементов в каждом из них, мы всегда можем сказать, в каком множестве элементов больше (может оказаться, что число их одинаково). Сравнивая множества, можно поступать иначе — каждому элементу одного множества (обозначим его А) сопоставлять некоторый единственный элемент другого (обозначим его В) таким образом, чтобы разным элементам множества А сопоставлялись разные элементы множества В, При этом могут возникнуть следующие ситуации:

— элементы одного множества (предположим множества В) окажутся исчерпанными, в то время как в другом множе-

1 Существует другая точка зрения, согласно которой появление теории множеств связывается не только с трудами Г. Кантора, но и с работами Р. Дедекинда и других математиков. См. [7].

стве (А) останутся «свободные» элементы, которым не найдется пары — множество А содержит больше элементов, чем множество В;

— каждому элементу множества А найдется пара из множества В и все элементы множества В окажутся исчерпанными— множества А и В содержат одинаковые количества элементов;

— каждому элементу множества А найдется пара из множества В, но при этом в множестве В найдутся «свободные» неиспользованные элементы — множество А содержит меньше элементов, чем множество В.

Такой метод сравнения множеств по запасу содержащихся в них элементов использовался еще первобытными людьми, не обладавшими искусством счета. Для сравнения количеств обмениваемых предметов их выкладывали в ряды, друг против друга. Дж. Морган так описывает обмен угрей на коренья между племенами аборигенов на юго-востоке Австралии [15, стр. 15]: двое мужчин, по одному из каждого племени, приносят один угрей, другой коренья на длинных кусках коры. Затем они переносят их с одной стороны на другую, пока все количество не будет обменено. Таким образом, устанавливается соответствие между множеством угрей, предлагаемых одним племенем, и множеством эквивалентов для обмена, состоящих из некоторого определенного количества кореньев. Причем это соответствие обладает следующим свойством: каждому элементу одного множества (в нашем -примере — угорь) соответствует один и только один элемент другого множества (эквивалент в кореньях), и обратно. Такое соответствие называется взаимнооднозначным. Два множества, между которыми можно установить взаимнооднозначное соответствие, называются эквивалентными или равномощными. Нетрудно заметить, что два конечных множества эквивалентны тогда и только тогда, когда они содержат одинаковое количество элементов1.

Понятие взаимнооднозначного соответствия оказывается особо важным при сравнении бесконечных множеств, ибо в этом случае невозможно выразить количество входящих в них элементов каким-либо натуральным числом. Например, множества всех целых положительных чисел (1, 2, 3, ...) и целых отрицательных чисел (—1, —2, —3, ,..) эквивалентны в указанном выше смысле, ибо между элементами этих множеств можно установить взаимнооднозначное соответствие по правилу 1,2, 3, n, ...

1 Об основных понятиях теории множеств можно прочитать, например, в книгах [5], [6].

Множества всех целых положительных чисел и всех положительных четных чисел также эквивалентны; соответствие между ними устанавливается по правилу:

Из последнего примера видно, что множество может быть эквивалентно своей части или подмножеству, не совпадающему с самим множеством (множество B1 называется подмножеством множества B, если каждый элемент множества B1 является элементом множества B, например, множество положительных четных чисел является подмножеством множества всех целых положительных чисел; в частности, само множество В является подмножеством самого себя). Такая ситуация возможна, разумеется, лишь в случае бесконечных множеств.

Множество, эквивалентное множеству всех натуральных чисел 1,2, 3, n, или, иначе, множество, все элементы которого можно перенумеровать всеми натуральными числами, называется счетным множеством. Так, рассмотренное ранее множество четных положительных чисел счетно.

Каждое бесконечное подмножество счетного множества счетно. Действительно, элементы этого подмножества можно заново перенумеровать в порядке их следования в исходном множестве. При этом ввиду бесконечности рассматриваемого подмножества, для нумерации придется использовать все натуральные числа. Таким образом, счетные множества— первые бесконечные множества, следующие непосредственно за конечными в том смысле, что любое подмножество счетного множества либо конечно, либо счетно.

Оказывается, и это нетрудно показать, что множество всех рациональных чисел счетно, т. е. в известном смысле рациональных чисел «ровно столько же», сколько натуральных. Это на первый взгляд парадоксальный результат.

Если некоторое множество А эквивалентно некоторому подмножеству B1 множества B, не совпадающему со всем множеством, и не эквивалентно всему множеству B, то говорят, что мощность множества В больше мощности множества А. Естественно, возникает вопрос: существуют ли множества, состоящие из действительных чисел, и имеющие большую мощность, чем счетное множество, или, другими словами, существуют ли такие бесконечные множества действительных чисел, элементы которых нельзя перенумеровать натуральными числами? В 1874 году Кантор доказал следующую теорему: множество всех действительных чисел не является счетным. Множества, эквивалентные множеству всех действительных чисел, назвали множествами мощности кон-

тинуума. Таким образом, теорема Кантора устанавливала, что множество всех действительных чисел (множество мощности континуума) имеет большую мощность, чем счетное множество.

«Исследования..., осуществленные Кантором, — говорил Гильберт, — делают весьма вероятной справедливость предположения, доказательство которого, однако, никому еще до сих пор не удалось получить, несмотря на самые настойчивые усилия. Содержание, этого предположения заключается в следующем: ... с точки зрения эквивалентности возможны только два типа бесконечных числовых множеств — счетное множество и континуум. Из этого предложения вытекало бы немедленно, что мощность континуума есть ближайшая мощность к мощности счетного множества».

Эта гипотеза, которая носит название континуум-гипотезы, составляет содержание первой проблемы Гильберта. Над ее доказательством долго и безуспешно работал Г. Кантор. Ему много раз казалось, что он уже обладает ее решением, он неоднократно давал обещания его опубликовать в одной из следующих своих статей, однако каждый раз это решение ускользало от него. Это обстоятельство, а также яростные нападки противников, и, наконец, выявившиеся к «концу столетия парадоксы теории множеств, о которых речь пойдет ниже, — все это наряду с большим умственным перенапряжением привело к обострению душевной болезни, долгое время мучившей Кантора, и в конечном итоге привело к. трагическому финалу, положившему конец творческой жизни выдающегося ученого: после опубликования своей последней работы он прожил еще 21 год и умер в психиатрической лечебнице в 1918 году.

Едва зародившись, теория множеств1 сразу приобрела горячих приверженцев и, несмотря на нападки ряда математиков, теологов и философов, завоевывала все большее и большее число сторонников. Первое официальное признание теории множеств принес I Международный конгресс математиков в Цюрихе (август 1897 г.). Доклад, прочитанный на пленарном заседании А. Гурвицем, сообщение Ж. Адамара, выступление С. Пинкерле были проникнуты идеями теории множеств. Все более ощутимой становится ее роль в вопросе обоснования теории функций действительного переменного и топологии. Положение теории множеств в современной математике можно сравнить с фундаментом, на котором возводится все здание этой науки. Однако вскоре после создания этой теории оказалось, что фундамент будто бы дал трещину— в теории множеств обнаруживаются парадоксы. Первый парадокс в теории множеств был обнаружен около 1895 года самим Г. Кантором и сообщен им в письме к

1 Об истории теории множеств в XIX в. можно прочитать в книге [7].

Д. Гильберту. Спустя два года Бурали-Форти независимо от Кантора приходит к открытию того же парадокса и опубликовывает сообщение о нем в одном из итальянских математических журналов. В 1899 году Кантор в письме к Р. Дедекинду сообщает о другом открытом им парадоксе. Наконец, в 1905 году известный английский математик и философ Бертран Рассел обнаруживает еще один парадокс, о котором мы расскажем здесь подробнее.

Пусть рассматриваются множества, не являющиеся элементами самих себя. Пусть M — множество всех таких множеств. Является ли M элементом самого себя?

Допустим, что M — элемент самого себя, согласно этому допущению M является элементом множества всех множеств, не содержащих самих себя в качестве элемента, следовательно, M не содержит М. Это противоречит допущению, что M — элемент самого себя. Следовательно, исходное предположение неверно и M не содержит самого себя в качестве элемента. Зафиксируем этот результат и продолжим наши рассуждения.

Коль скоро M — не элемент множества всех множеств, которые не являются элементами самих себя, иными словами M — не есть множество, которое не содержит само себя в качестве своего элемента, то M — множество, которое является элементом самого себя. Итак, мы получили два утверждения, противоречащие друг другу. В этом и заключается содержание парадокса Рассела. Б. Рассел, популяризируя свой парадокс, предлагает рассмотреть следующую ситуацию: деревенский парикмахер бреет всех тех и только тех жителей деревни, которые не бреются сами. Вопрос: бреет ли он самого себя?

Появление парадоксов теории множеств, с одной стороны, ставило под сомнение ценность всех теоретико-множественных построений, с другой — вызывало естественный вопрос: не может ли случиться так, что рано или поздно мы натолкнемся на какое-нибудь противоречие в классических математических теориях, таких, как геометрия или арифметика? Непротиворечивость арифметики имела тем большее значение, что для доказательства непротиворечивости многих классических теорий, таких, как, например, геометрия, прибегали к построению арифметических моделей. И коль скоро арифметика оказывалась непротиворечивой, непротиворечивой оказывалась и геометрия. Как мы уже писали, проблема непротиворечивости арифметики является второй из проблем, поставленных Гильбертом.

Выход из создавшегося положения Д. Гильберт и его последователи видели в применении аксиоматического метода. Сущность его сводилась к аксиоматизации математических теорий и к доказательству их непротиворечивости средствами, которые Гильберт считал надежными. Примером систе-

мы аксиом, достаточной для построения арифметики натуральных чисел, может служить система аксиом Пеано (1891), которая может быть представлена в следующем виде:

— 1 есть натуральное число;

— всякому натуральному числу n однозначно соответствует непосредственно следующее за ним натуральное число n',

— всякое натуральное число n, за исключением единицы, непосредственно следует за одним и только одним натуральным числом;

— аксиома полной индукции — если предположение S доказано для единицы и если из допущения, что оно верно для натурального числа n, следует, что оно верно для непосредственно следующего натурального числа n', то предположение S верно для всех натуральных чисел.

«Из многочисленных вопросов, которые могут быть поставлены относительно системы аксиом, мне хотелось бы прежде всего указать на важнейшую проблему, — говорил Гильберт, формулируя вторую проблему своего доклада, — на доказательство того, что система аксиом непротиворечива, т. е. что на основании этих аксиом никогда нельзя с помощью конечного числа логических умозаключений получить результаты, противоречащие друг другу». Доказательство непротиворечивости аксиоматики арифметики составляет содержание второй проблемы Гильберта. При этом Гильберт подвергает сомнению правомерность использования при доказательстве непротиворечивости некоторых классических методов доказательства, он предлагает вести доказательство в рамках специального учения, созданного им и получившего в математике наименование «финитизма Гильберта», Основной принцип, которым пользовался Гильберт при создании этого учения1, — отказ от использования методов, содержащих сомнительные стороны теоретико-множественного характера, в первую очередь таких, которые некритически, по мнению Гильберта, воспринимают идею актуальной бесконечности, в частности отказ от закона исключенного третьего, который используется в рассмотренных выше парадоксах.

С большим энтузиазмом, несмотря на некоторое недоверие и даже насмешки со стороны многих математиков (например, А. Пуанкаре), Гильберт сам взялся за дело и уже в 1904 году на III Международном конгрессе математиков выступил с докладом о возможных путях решения этой задачи. Совместно с группой сотрудников (В. Аккерман, П. Бернайс, Д. Нейман, Ж. Эрбран) он намечал пути и методы, способные привести к окончательному решению задачи.

1 Подробнее об этом учении можно прочитать во введении к книге П. С. Новикова [8].

Основная идея состояла в следующем. Математические предложения, равно как и логические законы, записываются в виде формул, без использования словесных выражений. Из этих формул по строго сформулированным правилам (правилам вывода) можно конструировать новые формулы. При этом нас совершенно не интересует, какой смысл имеет та или иная формула, предстающая перед нами в виде цепочки символов. Задача непротиворечивости такой теории сводится к доказательству того, что, используя сформулированные правила вывода из заданных аксиом, нельзя получить формулу, изображающую противоречие.

Гильберт и его ученики доказывали непротиворечивость некоторых частных теорий, включающих часть арифметики. Более того, у них возникла уверенность, что им удалось доказать непротиворечивость всей арифметики. Однако их надеждам не суждено было оправдаться, знаменитый результат К. Гёделя (1931) положил конец этому направлению исследований в вопросах обоснования арифметики. Из доказанной К. Гёделем теоремы следовало, что вопрос о непротиворечивости арифметики не может быть решен в рамках «финитизма Гильберта».

Тем не менее оказалось возможным доказать непротиворечивость арифметики при отказе от некоторых ограничений, накладываемых Гильбертом в его работах (Г. Гентцен, 1936; П. С. Новиков, 1943).

Несмотря на то что основная задача, ради которой строилась и разрабатывалась гильбертовская теория доказательств, оказалась в рамках этой теории неразрешимой, работа, проведенная Гильбертом и его учениками, не оказалась бесплодной — она оказала стимулирующее влияние на развитие современной математической логики.

Вернемся теперь вновь к проблеме континуума. Как мы уже отметили, появление парадоксов теории множеств поставило под сомнение истинность ее выводов. Выход из создавшегося положения многие математики, в том числе и Гильберт, видели в аксиоматизации теории. Само собой разумеется, что такая теория должна была включать по возможности основные результаты теории Кантора и в то же время исключать появление всякого рода «парадоксальных» множеств. Первый пример такой аксиоматизации был представлен в 1908 году Цермело. Уточненная Френкелем, эта система — система Цермело — Френкеля — является в настоящее время наиболее известной из всех подобных систем. А таких к настоящему моменту имеется несколько. Среди них отметим так называемую «теорию типов» Рассела и Уайтхеда и систему Неймана1.

Из полученных в 1920 году Т. Сколемом результатов сле-

1 Об аксиоматических системах теории множеств см. [9].

довало, что континуум-гипотезу следует рассматривать по отношению к аксиоматизированной теории множеств. В 1940 году крупнейший современный логик К. Гёдель доказал, что континуум-гипотеза совместима с аксиомами системы Цермело — Френкеля. Продолжая исследования в этом направлении, молодой американский математик П. Коэн в 1963 году показал, что континуум-гипотеза независима по отношению к системе аксиом Цермело — Френкеля. Получилась ситуация, аналогичная положению с неэвклидовой геометрией: может существовать аксиоматическая теория множеств, в которой континуум-гипотеза, включенная в качестве дополнительной аксиомы, верна и может существовать система, в которой континуум-гипотеза будет отрицаться.

За этот результат П. Коэн в 1966 году был удостоен международной Филдсовской премии. История этой премии такова. В 1924 году на Международном математическом конгрессе в Торонто его президент, профессор Филдс предложил, чтобы на каждом математическом конгрессе (а такие проходят раз в четыре года) вручались две золотые медали за наиболее выдающиеся результаты в математике. Им же был основан для этой цели специальный фонд. Первое вручение филдсовских медалей состоялось на конгрессе з Осло (1936), затем в Гарварде (1950), Амстердаме (1954), Эдинбурге (1958) и Стокгольме (1962). На последнем математическом конгрессе, состоявшемся в 1966 году в Москве, вместо двух медалей было вручено четыре. Одну из них за выдающиеся исследования о континуум-гипотезе получил П. Коэн.

Результатом Коэна в некотором смысле завершились1 исследования по первой проблеме Гильберта, тесно связанные со многими другими задачами самой теории множеств, математической логики и оснований математики, в том числе с задачей о непротиворечивости аксиоматики арифметики, составлявшей содержание второй проблемы. Эти исследования в конечном итоге привели к решению, которое никак не мог предположить ни Кантор, ни сам Гильберт,

V

Третья проблема Гильберта относится к области стереометрии. Прежде чем ее сформулировать, дадим несколько определений и скажем несколько слов о ее предыстории.

Два многоугольника называются равносоставленными, если можно, разбив один из них на некоторое число (непре-

1 На самом деле положение значительно сложнее, ибо встает ряд вопросов, связанных с полнотой и непротиворечивостью системы Цермело — Френкеля и пр.

менно конечное) многоугольников, составить из этих частей, складывая их по-иному, второй многоугольник. Например, две фигуры, изображенные на рис. 1, а и б, — квадрат ABCD и равнобедренный треугольник MLN — равносоставлены, так как треугольник MLN можно получить из квадрата ABCD, если разрезать последний по диагонали АС и поворачивать треугольник ABC вокруг точки С до совпадения ВС с CD.

Очевидно, что равносоставленные многоугольники имеют одинаковую площадь.

Два многоугольника называются равнодополняемыми, если, прикладывая к одному и другому равные многоугольники (конечное число их) можно получить одинаковые фигуры. Так, фигуры, изображенные на рис. 1, являются равнодополняемыми, так как прикладывая к каждой из них треугольник, равный треугольнику ABC, мы можем получить фигуру, изображенную на рис. 2.

Очевидно, что равнодополняемые многоугольники имеют одинаковую площадь. Возникает вопрос, а верны ли обратные утверждения, т. е. будут ли многоугольники, имеющие равные площади, равносоставленными и равнодополняемыми?

Почти одновременно и независимо друг от друга венгерским математиком Фаркашем Бойяи (1832), отцом великого Я. Бойяи — одного из создателей неэвклидовой геометрии, и немецким офицером и любителем математики Гервином (1833) было доказано следующее: два многоугольника, имеющие равные площади, равносоставлены.

Из теоремы Бойяи — Гервина вытекает: два многоугольника, имеющие равную площадь, равнодополняемы.

Рис. 1

Рис. 2

Таким образом, для многоугольников на плоскости равносоставленность и равнодополняемость означают то же самое, что равновеликость. Возникает вопрос: можно ли обобщить теорему Бойяи — Гервина на пространственные фигуры — многогранники?

Важность такого обобщения очевидна: в случае, если оно будет доказано, открывается путь для построения стереометрии многогранников без использования предельного перехода (в качестве иллюстрации можно сослаться, например, на вывод формулы объема пирамиды, когда используется предельный переход — знаменитая «чертова лестница»!).

Еще К. Гаусс в своих письмах к Х. Герлингу сокрушался по поводу того, что многие теоремы стереометрии доказываются методами, использующими предельный переход, например, теорема Эвклида о том, что объемы двух треугольных пирамид с равными высотами относятся как площади их оснований.

Гильберт справедливо полагал, что доказательство некоторых стереометрических теорем без использования предельного перехода невозможно. В число таких теорем Гильберт включил и данную теорему Эвклида. Невозможность ее доказательства без использования предельного перехода была бы установлена, «если бы удалось указать такие два тетраэдра с равными основаниями и равными высотами, которые никаким способом не могут быть разложены на конгруэнтные1 тетраэдры, и которые также не могут быть дополнены конгруэнтными тетраэдрами до таких многогранников, для которых разложение на конгруэнтные тетраэдры возможно».

В 1901 году молодой немецкий математик М. Ден ответил на вопрос, поставленный Гильбертом, положительно, построив искомые тетраэдры. В 1903 году русский математик В. Ф. Каган сократил и упростил доказательство М. Дена.

V

Рассмотрим теперь две проблемы (седьмую и восьмую), относящиеся к теории чисел. Седьмая проблема относится к теории трансцендентных чисел.

Число а называется алгебраическим, если оно является корнем уравнения.

где ai (i=0, 1, 2, n) — целые рациональные числа. Примерами алгебраических чисел могут служить рациональные

1 Две фигуры называются конгруэнтными, если одна из них может быть переведена в другую с помощью движения.

числа p/q, так как они являются корнями уравнения qx—p = 0; числа вида |/, так как они удовлетворяют уравнению qxn—р = 0; число |/—1, так как оно представляет собой корень уравнения х2 + 1=0.

Возникает вопрос: а существуют ли вообще трансцендентные числа, быть может, каждое действительное число является корнем многочлена указанного выше типа?

Доказательство существования трансцендентных чисел было дано лишь в 1851 году Ж. Лиувиллем. Однако ни одного примера трансцендентных чисел не имелось до тех пор, пока Ш. Эрмит в 1873 году ни доказал трансцендентность числа е1. Разбивая метод Эрмита, немецкий математик Ф. Линдеман в 1882 году доказал трансцендентность числа π, решив тем самым знаменитую проблему квадратуры круга.

Проблему квадратуры круга, известную со времен античности, можно сформулировать следующим образом: можно ли превратить круг в равновеликий ему квадрат, употребляя только циркуль и линейку. В трактате Архимеда «Об измерении круга» доказывалась теорема о том, что каждый круг равновелик прямоугольному треугольнику, у которого один катет равен радиусу, а другой — выпрямленной окружности круга, т. е. Sкруга = 1/2ru, где r — радиус, a u = π∙2r — длина окружности данного круга. Таким образом, возможность квадратуры круга зависела от того, можно ли при помощи циркуля и линейки по данному отрезку 2r построить отрезок π∙2r. Принимая для простоты 2r = 1, убеждаемся, что для положительного решения задачи необходимо при помощи циркуля и линейки построить отрезок, содержащий к единиц длины. Можно показать, что необходимым условием для построения некоторого отрезка при помощи циркуля и линейки является алгебраичность числа, выражающего длину его. В 1767 году Ламберт показал, что число я не является рациональным. Доказательство трансцендентности числа я, данное Линдеманом, закрыло историю проблемы квадратуры круга, в течение длительного времени занимавшую умы как первоклассных математиков, так и всякого рода дилетантов, спасаясь от которых Парижская академия наук в 1775 году приняла следующее решение: «Академия постановила не рассматривать отныне представляемых ей разрешений задач уд-

1 Число е, являющееся основанием натуральных логарифмов, определяется как предел функции

воения куба, трисекции угла, квадратуры круга, а также машин, долженствующих осуществить вечное движение» (цит. по книге [17], стр. 20).

Таким образом, мы видим, что запас конкретных трансцендентных чисел к 1900 году был невелик, в то время как доказательство Кантора о существовании трансцендентных чисел (1874) показывало, что совокупность всех трансцендентных чисел составляет множество мощности континуума, в то время как все алгебраические числа образуют лишь счетное множество. Седьмая проблема Гильберта поставлена следующим образом: доказать, что числа вида при алгебраическом а^=0, 1 и алгебраическом иррациональном ß всегда трансцендентны или по крайней мере иррациональны.

Следует заметить, что постановка этой задачи восходит еще к Л. Эйлеру, который в 1748 году в книге «Введение в анализ» утверждал, что при рациональном основании а логарифм любого рационального числа b, не являющегося рациональной степенью а, не может быть даже числом иррациональным (в современной терминологии алгебраическим).

В 1929 году известный советский математик А. О. Гельфонд дал частичное решение проблемы Гильберта: при алгебраическом а число а (а =£0, 1; р — положительное, рациональное и не является полным квадратом) будет числом трансцендентным. В 1930 году Р. О. Кузьмин сумел усилить результат А. О. Гельфонда: при алгебраическом а число аУр (а=£0, 1; р— положительное, рациональное и не является полным квадратом) также будет числом трансцендентным. Наконец, в 1934 году А. О. Гельфонд совершенно новым методом окончательно решил проблему, показав трансцендентность всего рассматриваемого класса чисел. В том же 1934 году Т. Шнейдер дал иное доказательство результата А. О. Гельфонда. Крупных успехов в теории трансцендентных чисел добился А. Б. Шидловский, развивая метод, предложенный К. Зигелем. Таким образом, гипотеза, высказанная Д. Гильбертом в седьмой проблеме, полностью подтвердилась.

Восьмая проблема — совокупность задач теории простых чисел. Одним из основных вопросов теории простых чисел является изучение их распределения в ряду натуральных чисел. Уже в «Началах» Эвклида приводится удивительно изящное доказательство бесконечности множества простых чисел: доказательство проводится от противного — предположив, что множество этих чисел конечно и состоит из чисел p1, p2, ..., pn. Эвклид составляет число р1∙р2 ... pn +1. Это число, с одной стороны, должно обладать хотя бы одним делителем pi (i=1, 2, n), так как по предположению оно не является простым. С другой стороны, оно, очевидно, не может делиться ни на одно из этих чисел. Обозначив через

п(х) число простых чисел, не превосходящих действительного числа X, мы можем теорему Эвклида выразить следующим образом:

Следующий важный шаг в этом направлении после Эвклида сделал Л. Эйлер (1707—1783), который дал новое аналитическое доказательство бесконечности множества простых чисел, основывающееся на рассмотрении введенной им дзета-функции

где s — действительное число, большее 1 (рассматриваемый ряд в этом случае сходится). Одной из основных задач, волновавших математиков XIX века, была задача нахождения аналитической функции f(x), наилучшим образом приближающей функцию л(х) при больших X, точнее — нахождение такой аналитической функции f(x), чтобы

Гаусс и Лежандр на основании исследования таблиц простых чисел нашли эмпирические формулы для приближенного представления л(х). Решающий шаг в этом направлении был сделан в 1849 году П. Л. Чебышевым, который доказал, что если к(х) : —— имеет предел при х-+∞, то этот предел равен единице. При доказательстве этого П. Л. Чебышев воспользовался приведенной выше дзета-функцией.

Глубокому изучению свойств дзета-функции были посвящены исследования Б. Римана (1859), рассмотревшего эту функцию при комплексном 5. Он показал, что дзета-функция может быть распространена на комплексную плоскость без точки S=1 как функция комплексного переменного s=0+/t.

В полуплоскости а>1, Çfsj^О. При а<0 дзета-функция обладает лишь так называемыми тривиальными нулями, равными —2, —4, —6, —2n,... Таким образом, все нули, кроме тривиальных, должны лежать в полосе 0<;<m< 1, Б. Риман выдвинул гипотезу, что все эти нули лежат на прямой а= — В 1896 году Ж. Адамар и Ла Валле Пуссен, независимо друг от друга, установили, что дзета-функция не имеет нулей на прямых 0=1 и а = 0. Это позволило им доказать, что предел я (x): — при х-+∞ существует, и тем самым завершить доказательство так называемого «асимптотического закона распределения простых чисел». Гильберт

полагал, что доказательство гипотезы Римана, которую он формулировал в качестве основной задачи в тексте восьмой проблемы, приведет к более полному решению задачи распределения простых чисел.

Из результатов, связанных с доказательством гипотезы Римана, кроме указанных выше результатов Адамара и Ла Валле Пуссена, выделим следующие.

В 1914 году Г. Харди установил, что на прямой ог=1/2 лежит бесконечное число нулей t,(s). Усилиями Н. Г. Чудакова (1936), И. М. Виноградова (1958) и Н. М. Коробова (1958) удалось несколько расширить часть полосы 0<;а<A, заведомо не содержащей нулей дзета-функции. Вычисления, проведенные различными математиками (последние результаты принадлежат Н. А. Меллеру, получившему их на быстродействующей машине «Стрела» в Вычислительном центре АН СССР в 1958 году) показали, что нули, мнимая часть которых не превосходит по абсолютной величине довольно большой константы, лежат на прямой ог=-~-.

Однако, несмотря на настойчивые усилия талантливейших математиков, решение проблемы до сих пор не получено.

В зависимости от успешного разрешения гипотезы Римана, Гильберт ставит также вторую задачу из числа сформулированных в восьмой проблеме — проблему, содержащуюся в письме Х. Гольдбаха к Л. Эйлеру от 7 июля 1742 года. Эта проблема выглядит следующим образом:

А. Всякое целое число, большее или равное 6, может быть представлено в виде суммы трех простых чисел.

Это утверждение эквивалентно следующему:

Б. Каждое четное число, большее 2, представимо в виде суммы двух простых чисел.

Действительно, если верна гипотеза A, то 2n = p1+p2+p3 для n>3, где р1, р2, p3 — простые числа. При этом заметим, что одно из pi (например, р1) равно 2, так как иначе сумма трех простых чисел была бы числом нечетным. Следовательно, 2n = 2 + р2 + р3 или 2n — 2 = р2 + p3, причем 2n — 2>4, откуда следует выполнимость гипотезы Б, а из гипотезы Б очевидным образом следует выполнимость гипотезы А.

Многие математики проверяли истинность гипотезы на примерах. Однако какие-либо конкретные сдвиги в решении проблемы долгое время не удавалось получить, что дало повод известному немецкому специалисту по теории чисел Э. Ландау для пессимистических высказываний о проблеме Гольдбаха на Международном конгрессе математиков в 1912 году. В 1923 году Г. Харди и Дж. Литлвуд, используя обобщенную гипотезу Римана, показали, что каждое достаточно большое нечетное число представимо в виде суммы

трех простых чисел. Для четных чисел, используя обобщенную гипотезу Римана, был получен такой результат: если числа, для которых Б неверно, и существуют, то их бесконечно мало по сравнению с теми, для которых Б выполняется. В 1930 году Л. Г. Шнирельман (при помощи созданного им оригинального метода) доказал следующий результат: каждое натуральное число N, кроме единицы, есть сумма не более чем С простых чисел, где С от N не зависит. Вот результаты дальнейшего продвижения в этой области исследований:

С=800 000 (Л. Г. Шнирельман, 1930),

С=2 208 (Н. П. Романов, 1935),

С=67 (Д. Риччи, 1936),

С=20 (Г. Шапиро и Д. Варга, 1950),

Решение гипотезы Гольдбаха для нечетных чисел было получено в 1937 году выдающимся советским математиком И. М. Виноградовым. Используя созданный им чрезвычайно сильный метод, он доказал утверждение Харди и Литлвуда вне зависимости от гипотезы Римана; он показал, что существует такое число N0, что любое нечетное число N>N0 имеет A(N)>0 представлений в виде суммы трех простых чисел. Для A(N) И. М. Виноградов получил приближенное значение. Метод, созданный И. М. Виноградовым, впоследствии успешно применялся советскими (Н. М. Коробов, Ю. В. Линник, Н. Г. Чудаков и другие) и зарубежными математиками (Хуа Ло-ген, Хейльброн, Ван-дер-Корпут и другие) во многих других задачах теории чисел. В 1946 году Ю. В. Линник дал другое доказательство теоремы Виноградова с привлечением методов теории функций комплексного переменного.

Из достижений, связанных с гипотезой Б, следует отметить результат, полученный независимо друг от друга Н. Г. Чудаковым (1937), Т. Эстерманом (1938) и И. Ван-дер-Корпутом, из которого следовала правильность утверждения Б почти для всех четных чисел.

В прямую зависимость от успехов в доказательстве гипотезы Римана Гильберт ставил также третью задачу, из числа поставленных в восьмой проблеме, — проблему близнецов: бесконечное ли число близнецов, т. е. простых чисел, разность между которыми равна двум? Примерами таких чисел могут служить 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19, наконец, 8004 119 и 8004 121, 10006427 и 10006429. Проблема эта до сегодняшнего дня не разрешена. Следует отметить результат норвежского математика В. Бруна, полученный в 1919 году: ряд из величин, обратных близнецам, либо обрывается, либо сходится. В. Брун также показал, что для до-

статочно больших N число близнецов, не превышающих N, не больше К ⋅ ——1.

Мы видим, что проблематика теории простых чисел уходит своими корнями в далекое прошлое. Выделяя ряд задач теории простых чисел в число первоочередных проблем, Гильберт как бы подчеркивал особую важность для дальнейшего развития математики этого классического и не балующего частыми удачами раздела математики, раздела, в котором каждый новый серьезный результат является важным событием для всего математического мира. Таким образом, хотя со времени появления доклада Гильберта теория простых чисел обогатилась целым рядом весьма существенных результатов (результаты И. М. Виноградова, Л. Г. Шнирельмана, В. Бруна, Г. Харди и других), однако окончательного решения всех задач, поставленных в восьмой проблеме, до сих пор не получено.

V

Тринадцатая проблема относится к вопросу о представлении функций от нескольких переменных посредством суперпозиций функций от меньшего числа переменных. В чем сущность этой проблемы?

Пусть имеются две функции от двух переменных u(х, у) и u(у, z). Рассмотрим некоторую функцию w[u(x, у), v(y,z)], которая, в свою очередь, зависит уже от трех переменных. Эта функция трех переменных называется однократной суперпозицией, составленной из трех функций двух переменных. Например, функцию w=xy+yz+x2 от переменных x, у, z можно рассматривать как однократную суперпозицию, составленную, из трех функций v = xy+x2, u=yz и w = u + v, каждая из которых является функцией двух переменных.

Возникает вопрос: а не являются ли все функции трех переменных суперпозициями (возможно более сложными, чем указанная выше2) функций только двух переменных. Оказывается, если рассматриваются не только непрерывные, но и разрывные функции, то на этот вопрос следует ответить утвердительно — всякая функция трех переменных может быть представлена в виде следующей суперпозиции функций (вообще говоря, разрывных) только двух переменных f(x, у, z)=yp(y(x, у), z). При этом функции φ и φ опреде-

1 Желающим подробнее ознакомиться с методами и результатами теории чисел мы можем рекомендовать книги [10], [11], [12].

2 Например, функция f(x, у, z)=xy+yz+zx может быть представлена в виде двукратной суперпозиции w(u[p(x, у), q(y, z)], v[r(y,z)t s(z, x)]} функций двух переменных w(u, v) = u + v, u(p, q)=p+q, P(x, y) = xy, q(y, z) = yz, v(r, s)=s, s(z, x)=zx.

ляются следующим образом: функция u = φ(х, у) задает взаимнооднозначное отображение плоскости (x, у) на прямую и (такая функция, вообще говоря, разрывная, непременно существует по той причине, что множество пар (х, у) и чисел и имеют одинаковую мощность — мощность континуума). Функция |р(и, z) определяется следующим образом: каждому u* в соответствии, задаваемом функцией и = у(х, у), поставлена пара (х*, у*). Тогда функция ||) определяется равенством.

Гильберта при постановке тринадцатой проблемы интересовал вопрос о представлении функций трех переменных посредством суперпозиции достаточно «гладких» (например, аналитических) функций от меньшего числа переменных. Ясно, что всякая рациональная функция1 является суперпозицией, составленной из следующих шести функций не более чем двух переменных:

Все так называемые элементарные функции являются суперпозициями, составленными из указанных выше функций, а также некоторых специальных функций одного переменного:

и т. д.

Рассмотрим квадратное уравнение относительно переменной f с коэффициентами х, у, z.

является функцией коэффициентов, которую очевидным образом можно представить в виде суперпозиции элементарных функций не более чем двух переменных. Аналогично обстоит дело с корнями уравнений третьей и четвертой степени. Корни уравнений пятой и шестой степени также можно выразить через коэффициенты при помощи суперпозиции аналитических функций (правда, более сложных) не более чем двух переменных. Однако для уравнения седьмой степени

1 Функция вида где m и n — целые неотрицательные, ai и bi — действительные числа.

которое с помощью преобразования Чирнгаузена сводится к виду

такое представление получить не удалось.

Гильберт выдвинул гипотезу, составляющую содержание тринадцатой проблемы, что решение f(x, у, z) уравнения

нельзя представить как суперпозицию непрерывных (а следовательно, и более гладких) функций только двух переменных.

В случае если бы гипотеза подтвердилась, оказывалась решенной более важная и сложная задача о возможности представления аналитических функций трех переменных посредством суперпозиции достаточно гладких функций меньшего числа переменных— такое представление в общем случае оказывалось бы невозможным.

Самой несчастливой из 23 проблем назвал немецкий математик Л. Бибербах тринадцатую проблему. Действительно, в данном случае число 13 оправдало свою дурную славу— проблема долго не поддавалась решению. Сам Бибербах, потративший на нее немало сил, вынужден был испытать горечь разочарования — полученное им решение оказалось неверным. В 1954 году А. Г. Витушкин показал, что все l раз непрерывно дифференцируемые функции трех переменных нельзя представить в виде суперпозиции [2/3l]1 раз дифференцируемых функций двух переменных, все частные производные порядка [2/3l] от каждой из которых удовлетворяют так называемому условию Липшица.

Этот результат, а также ряд других результатов, полученных в этом направлении, косвенно подтверждали гипотезу Гильберта. Поэтому совершенно неожиданным оказались результаты, полученные в 1956 году выдающимся советским математиком А. Н. Колмогоровым и его учеником, тогда студентом В. И. Арнольдом2, опровергающие гипотезу Гильберта. Было показано, что всякая непрерывная функция трех переменных представляет собой сумму девяти функций, каждая из которых является однократной суперпозицией функций двух переменных.

Тем не менее круг вопросов, связанных с тринадцатой проблемой Гильберта, все еще окончательно не исчерпан.

1 Символ [а] означает целую часть числа а, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее а.

2 Ныне профессор, лауреат Ленинской премии

Неизвестно, например, можно ли представить решение уравнения f7+xf3+yf2 + zf + 1=0 в виде суперпозиции достаточно гладких функций. Самыми сильными в этом направлении остаются отрицательные результаты А. Г. Витушкина.

VI

Не все гипотезы, высказанные Гильбертом в докладе, оправдались— не подтвердилась гипотеза относительно тринадцатой проблемы, ошибочным оказалось предположение, сформулированное в виде четырнадцатой проблемы. Это доказано результатами, полученными японским математиком М. Нагата (1958); ошибочна одна из гипотез, высказанных в восемнадцатой проблеме (результат К. Рейигардта, 1928). Ряд задач, сформулированных Гильбертом, получил такое решение, которого знаменитый немецкий математик не мог даже предполагать, — например, упоминавшиеся нами результат Коэна, касающийся континуум-гипотезы, и результат Гёделя по второй проблеме. Некоторые из поставленных в докладе задач не решены и сегодня, среди них можно отметить восьмую и десятую проблемы, один из вопросов, поставленных в шестнадцатой.

Мы коснулись лишь небольшой части тех вопросов, которые Гильберт затронул в своем докладе, но даже это частичное рассмотрение позволяет представить силу того влияния, которое оказали гильбертовские проблемы на математику сегодняшнего дня. Решению проблем Гильберта посвящены работы крупнейших математиков, развитие идей, связанных с их содержанием, составило важную часть сегодняшней математики, решение многих из них заставило по-новому взглянуть на некоторые классические области математического знания, подчас полностью изменило традиционные концепции.

Несколько слов о вкладе отечественных математиков в разработку идей доклада Гильберта. Мы уже упоминали результаты П. С. Новикова о непротиворечивости аксиоматики арифметики (вторая проблема), А. О. Гельфонда по седьмой проблеме, И. М. Виноградова и Л. Г. Шнирельмана по восьмой, А. Н. Колмогорова, В. И. Арнольда и А. Г. Витушкина по тринадцатой, отметим также работы Л. С. Понтрягина по пятой проблеме, С. Н. Бернштейна и А. Н. Колмогорова по шестой, И. Р. Шафаревича по девятой, И. Г. Петровского и О. А. Олейник по шестнадцатой, С. Н. Бернштейна, И. Г. Петровского, О, А, Ладыженской и Н. Н. Уральцевой по девятнадцатой и двадцатой, наконец, значительный вклад советских математиков в развитие вариационного исчисления (двадцать третья проблема).

VIII

Заканчивая свой доклад, Гильберт сформулировал последнюю проблему, носящую очень общий характер, проблему развития методов вариационного исчисления — математической дисциплины, которой он придавал особое значение и которая действительно пережила в нынешнем столетии эпоху необычайного расцвета. В заключение Гильберт говорил о силе общих математических методов, о едином характере математики, обусловленном внутренним существом этой науки («ведь математика — основа всего точного естествознания»). «А для того чтобы в совершенстве выполнить это высокое назначение, пусть в грядущем столетии она обретет гениальных мастеров и многочисленных, пылающих благородным рвением приверженцев».

Доклад с интересом был принят аудиторией. Ряд присутствовавших высказали замечания по поводу того, «что некоторые из перечисленных Гильбертом задач вполне или отчасти разрешены ими» [16]. (Это позволяет предположить, что первоначальное число проблем превышало 23).

В субботу, 11 августа 1900 года в Сорбонне состоялось последнее пленарное заседание. На этом заседании Г. Миттаг-Леффлер прочитал доклад «Страницы из жизни Вейерштрасса», в котором рассказал о последних годах жизни великого немецкого математика (по письмам Вейерштрасса к Софье Ковалевской). Второй доклад «О роли интуиции и логики в математике» сделал президент конгресса Анри Пуанкаре, только накануне выступивший на физическом конгрессе, а незадолго до этого принимавший деятельное участие в работе конгресса философов.

В воскресный день 12 августа состоялся заключительный банкет. На следующий день участники, в большинстве своем преподаватели учебных заведений, стали разъезжаться по домам. Отбыли домой делегаты мощных тогда математических держав — Германии, Италии и Великобритании, делегация нарождающейся математической державы — Соединенных Штатов Северной Америки, делегаты стран, в которых математические исследования только начинались, и стран, обладавших признанными математическими школами, среди них делегация России — страны Лобачевского и Чебышева, которой еще предстояло занять свое место среди крупнейших математических держав, уехал и единственный представитель далекой Японии, давшей впоследствии миру целый ряд замечательных математиков.

Многое из того, о чем говорилось на конгрессе, получило дальнейшее развитие в собственных исследованиях участников конгресса, а также в исследованиях их коллег и учеников, дало толчок к зарождению идей, оказавших определяющее влияние на все дальнейшее развитие математики.

Особое место в этом принадлежит, безусловно, математическим проблемам Гильберта, сразу оказавшимся в центре внимания всего математического мира. Уже нет в живых ни одного участника Парижского конгресса, более четверти века прошло со дня смерти самого Гильберта (он умер в 1943 году). Померкла слава геттингенской математической школы, но влияние проблем Гильберта на развитие математической мысли ощущается и поныне, спустя почти три четверти века, наполненных революциями и опустошительными войнами.

ЛИТЕРАТУРА

О развитии идей, связанных с содержанием проблем Гильберта, можно прочитать в следующих статьях и книгах:

1. Проблемы Гильберта. М., «Наука», 1969.

2. С. С. Демидов. К истории проблем Гильберта. — Историко-математические исследования, вып. XVII. М., «Наука», 1966.

Сборник (1) содержит полный перевод доклада Гильберта. Доступное изложение содержания и истории решения третьей и тринадцатой проблем можно найти в работах:

3. В. Г. Болтянский. Равновеликие и равносоставленные фигуры. М., Гостехиздат, 1956.

4. В. И. Арнольд. О представлении функций нескольких переменных в виде суперпозиции функций меньшего числа переменных. — «Математическое просвещение», 1958, № 3, стр. 41—61.

Литература по первой и второй проблемам:

5. П. С.Александров. Введение в общую теорию множеств и функций. М. —Л., Гостехиздат, 1948.

6. Г. Е. Шилов. Математический анализ. Спец. курс. М., Физматгиз, 1961.

7. Ф. А. Медведев. Развитие теории множеств в XIX веке. М., «Наука», 1965.

8. П. С. Новиков. Элементы математической логики. М., Физматгиз, 1959.

9. Ван Хао и Р. Мак-Нотон. Аксиоматические системы теории множеств. М., Изд-во иностр. лит., 1963.

Литература по седьмой и восьмой проблемам:

10. И. М. Виноградов. Основы теории чисел. М. —Л., Гостехиздат, 1949.

11. И. В. Арнольд. Теория чисел. М., Учпедгиз, 1939.

12. А. О. Гельфонд. Трансцендентные и алгебраические числа. М., Гостехиздат, 1952.

Литература, на которую в тексте сделаны ссылки:

13. Путеводитель по Парижу. Описание Всемирной выставки 1900 г. СПб, 1900.

14. М. А. Орлов. Всемирная парижская выставка 1900 года в иллюстрациях и описаниях. СПб, 1900.

15. Э. Кольман. История математики в древности. М., Физматгиз, 1961.

16. Д. Синцов. Второй международный математический конгресс. — «Физико-математические науки в ходе их развития» (вторая серия журнала «Физико-математические науки в их настоящем и прошедшем»), 1901, т. 1, № 5, стр. 129—137.

17. О квадратуре круга. М. —Л., Гостехиздат, 1934.

6 коп.

Индекс 70096

ИЗДАТЕЛЬСТВО «ЗНАНИЕ»

Москва 1969