БИБЛИОТЕКА УЧИТЕЛЯ

В. БЕЛЛЮСТИН

КАК ПОСТЕПЕННО ДОШЛИ ЛЮДИ ДО НАСТОЯЩЕЙ АРИФМЕТИКИ

1941

УЧПЕДГИЗ

БИБЛИОТЕКА УЧИТЕЛЯ

В. БЕЛЛЮСТИН

КАК ПОСТЕПЕННО ДОШЛИ ЛЮДИ ДО НАСТОЯЩЕЙ АРИФМЕТИКИ

Под редакцией А. П. Юшкевича

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО НАРКОМПРОСА РСФСР

МОСКВА • 1940

ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр.

Источники по истории арифметики...... 3

Предисловие редактора . . 4

От автора......... —

Начало арифметики ..... 5

Первые ступени счисления . 6

Начальные числительные имена.......... 9

Различные системы счисления ........... 10

Предел чисел ....... 14

Счетные приборы..... 19

Цифры различных народов . 25

Происхождение наших цифр. 41

Распространение индусских цифр в России..... 48

Выговаривание цифр и чисел 52

Виды чисел........ 54

Число и порядок действий, знаки и определения . . 60

Сложение целых отвлеченных чисел........ 65

Вычитание целых отвлеченных чисел........ 69

Таблица умножения .... 75

Развитие нормального приема умножения....... 78

Деление.......... 98

Австрийский способ деления 104

Стр.

Испанский способ деления . 105

Римский способ деления . . 113

Поверка действий ..... 119

Происхождение мер .... 122

Метрическая система мер. . 125

Русские меры....... 129

Обыкновенные (простые) дроби.......... 133

Сокращение дробей и приведение к одному знаменателю 141

Действия над простыми дробями .......... 144

Шестидесятиричные дроби . 151

Десятичные дроби..... 152

Непрерывные дроби .... 160

Пропорции, прогрессии и извлечение корней . . 161

Тройное правило...... 164

Правило пропорционального деления......... 171

Правило процентов..... 173

Цепное правило ...... 178

Итальянская практика . . . 179

Фальшивое правило .... 181

Прочие правила: смешения, девичье и другие .... 180

Добавочные статьи арифметического курса..... 191

История алгебры...... 198

ИСТОЧНИКИ ПО ИСТОРИИ АРИФМЕТИКИ.

Мы для своей работы воспользовались следующими источниками:

1. М. Sterner. Geschichte der Rechenkunst. 1891. Стр. 633. Это самая лучшая книжка в своем роде, мы ее порекомендовали бы всякому, кто хочет узнать историю арифметики; она очень доступна, обстоятельна и изложение в ней чисто литературное.

2 W. Adam. Oeschichte des Rechnens und des Rechnunterrichts. Zum Gebrauch an gehobenen und höheren Lehranstalten, sowie auch bei der Vorbereitung auf die Mittelschullehrer und Rektoratsprüfung. 1892. стр. 182. Составлена по программе, изданной для учителей средних учебных заведений. Книжка Адама невелика, конспективна; хотя она и написана простым языком, ио изложение в ней суховато: много перечислений и мало обобщений.

3. М. Kantor. Vorlesungen über Geschichte der Mathematik Zweite Auflage. 1894. Стр. 883+863. Громадная работа и чрезвычайно авторитетный источник по истории математики. М. Кантор — общепризнанный специалист по своему предмету.

Изложение у него доступное, хотя, по самому характеру книги, содержит много подробностей и тонких исследований.

4. H. Hankеl. Zur Geschichte der Mathematik in Alterthum und Mittelalter. 1874. Стр. 410. Ряд хороших очерков по истории математики.

5. О. Friedlein. Die Zahlzeichen und das elementare Rechnen der Griechen und Romer und des christlichen Abendlandes vom 7 bis 13 Jahrhundert. 186Э. Стр. 164. Для своих отделов эта книжка хороша; правда, она написана несколько специально, с цитатами и мелкими подробностями, но в общем доступна.

6. Р. Тreutlein. Das Rechnen im 16 Jahrhundert. 1877. Стр. 100. Хорошая картина XVI в., того самого века, когда стали обрисовываться основы нашей арифметики.

7. F. Ungеr. Die Methodik der praktischen Arithmetik in historischer Entwickelung vom Ausgange des Mittelalters bis auf die Gegenwart. 1888. Стр. 240. Работа Унгера неудобна для того, кто желал бы начать с нее знакомство с историей арифметики. Унгер слишком гоняется за подлинными выписками, даже такими, которые не представляют большого интереса, и слишком окрашивает свои очерки в колорит специально немецкой школы. У него много замечаний относительно методики, однако и их гораздо интереснее читать по Штернеру.

Из французских авторов мы могли воспользоваться.

8. О. Libri. Histoire des sciences mathématiques en Italie, depuis la renaissance des lettres jusqu'a la fin du dix-septième siècle. 1835 — 1865. Стр. 456+530+ +444+492. Это довольно старая книжка, и в ней трудно найти что-нибудь новое, сравнительно с теми пособиями, какие перечислены выше.

На русском языке пользуются известностью труды профессора Московского университета В. В. Бобынина, который с 1883 г. читал лекции по этому предмету. Мы в особенности обязаны сведениями следующим интересным очеркам:

9. В. В. Бобынин. Очерки истории развития физико-математических знаний в России. XVII в. 1886 г. Стр. 123.

10. В. В. Бобынин. Очерки истории донаучного периода развития арифметики, 1896 г. Стр. 48.

11. В. В. Бобынин. Очерки истории развития математических наук на Западе. 1896 г. Стр. 30+129.

После выхода в свет 1-го издания, автор познакомился еще с такими трудами:

12. Boyer. Histoire des mathématiques.

13. Г. Зутер. История математических наук. СПБ. 1905. Цена 1 руб. Пер. с немецкого П. Федорова1.

1 На русском языке существует весьма богатая фактическим материалом книга по истории элементарной математики: Ф. Кеджори „История элементарной математики с указаниями на методы преподавания“ — пер. с прим. и под ред. И. Ю. Тимченко, Одесса, 1917. Кроме того многие сведения читатель найдет у Г. Цейтена: „История математики в древности и в средние века“, пер. П. С. Юшкевича, М. 1938 и „История математики в XVI—XVII вв.“, пер. С. Новикова под ред. М. Выгодского, М. 1938. Древневосточной математике посвящены „Лекции по истории античных математических наук“, О. Нейгебауера (пер. С. Я. Лурье, М. 1937). А. Ю.

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА.

Книга известного в свое время педагога и методиста В. Беллюстина, предназначенная для любителей арифметики — учителей и учащихся — впервые вышла в 1907 г., а затем переиздавалась в 1922 г. Госиздатом. В популярной и занимательной форме автор рассказывает в ней о том, как возникли и развивались системы нумерации, какие формы принимали в разные времена действия арифметики над целыми числами и дробями, как появились десятичные дроби, как, наконец, видоизменялись отдельные арифметические правила: тройное, пропорционального деления, цепное, процентов, фальшивое. Свое изложение автор сопровождает критическими замечаниями о методах преподавания, нередко удачными, иногда субъективными; при чтении их следует иметь в виду, что В. Беллюстин пишет всякий раз о современней ему школе начала нынешнего века. Большим достоинством книги является то внимание, которое автор уделяет истории арифметики в России, излагая старинные наши счет и меры, приводя многочисленные отрывки из математических рукописей XVII в., из Магницкого, Румовского и других составителей учебников XVIII в.

Книга Беллюстина, думаю, будет с интересом и пользой прочитана советскими школьниками — любителями математики. Она поможет учителю оживить уроки и ознакомит его с рядом педагогических высказываний автора о способах обучения четырем действиям и т. п. Она даст также обильный материал для докладов в школьных математических кружках.

В прежних изданиях имелись довольно многочисленные фактические ошибки исторического порядка; я постарался их исправить. Кроме того, я дополнил кое в чем материал автора на основании новых исследований (например по истории арифметики в Египте и Вавилоне). Поправки, вставки или купюры в тексте этого общедоступного сочинения оговоривать мне представлялось излишним.

5 мая 1939 г.

ОТ АВТОРА.

Всякому, кто любит свой предмет, бывает интересно знать, как он начался, каким путем он развивался и как он принял свой современный вид. В этой книжке изложена история арифметики, и очерки ее назначены для тех, кто чувствует расположение к математике. Юпым математикам я прежде всего назначаю свой труд. Но он может пригодиться и для педагога: для учителя крайне важно, чтобы расширился его кругозор, чтобы он мог критически отнестись к настоящему положению преподавания и чтобы исторические данные оживили обучение и осветили его.

НАЧАЛО АРИФМЕТИКИ.

Кто положил начало арифметике и кто первый из людей „изобрел“ счет, на это ответить нельзя. Мы можем назвать лицо или же лиц, которые изобрели телескоп, или книгопечатание, или паровую машину; нас может интересовать, какой народ открыл магнит или приготовил писчую бумагу; но никак нельзя решить вопроса, кто положил начало счету. Уменье считать, по крайней мере в небольших пределах, а также и потребность считать присущи всякому мыслящему существу. Подобно тому как живой человек непременно дышит и питается, так точно и человек, живущий сознательной жизнью, мыслит, говорит и, между прочим, считает.

Итак, не может быть и речи о каком-то особом изобретателе счета. Начало арифметики тонет в тех же беспредельных глубинах отдаленных веков, как и начало человечества. Между тем наивные авторы старинных учебников во что бы то ни стало желали указать лицо или народ, которым счет обязан своим началом. Так, например, в славянских рукописях времен царя Алексея Михайловича (т. е. середины XVII в.) эта честь приписывалась „древле эллинскому мудрецу Пифагору, сыну Аггинанорову“, или же „Сиру, сыну Асинорову“, написавшему „численную сию философию (т. е. арифметику) финическими письменами“. Византийские историки средних веков шли еще дальше и сообщали о прямо чудесном происхождении арифметики: ее-де обнародовал на земле некто Феникс, внук бога Нептуна.

Все это, конечно, фантазия; но на чем-нибудь должна же она быть основана. Такое основание можно видеть в тех важных математических открытиях, которые приписывались издавна греческому философу и математику

Пифагору (VIII в. до н. э.). Греческие авторы, с другой стороны, сообщают, что арифметику изобрели финикийцы, развитые, образованные и промышленные представители древнего мира, отважные мореплаватели, объезжавшие на своих кораблях берега Средиземного моря. Финикийцам приписывается также изобретение букв алфавита.

ПЕРВЫЕ СТУПЕНИ СЧИСЛЕНИЯ.

Как считали наши предки, жившие в отдаленные времена, за многие тысячелетия до н. э. — об этом прямо и достоверно судить нельзя: письменных свидетельств не сохранилось, да их и не могло быть, потому что развитие письменного счета зависит от общего развития образования, а наши древнейшие родичи находились, очевидно, на низших ступенях образованности. Судить о первых шагах арифметики мы можем только по догадкам, сравнительно; средством же для сравнения являются те нецивилизованные народы, затерявшиеся в укромных уголках внутренней Африки, южной Америки и т. д., которые в настоящее время едва выходят из первобытного состояния.

Займемся американскими индейцами и африканскими неграми1. Индейцы Таманаки пользуются при счете пальцами рук и ног. Вместо „один“ они говорят „палец“ и при этом обязательно протягивают палец; вместо „два“ — „два пальца“, „три“ — „три пальца“. Пять у них зовется „рука“, 6—„палец на другой руке“, 7 — „два пальца на другой руке“, 10—„две руки“. Покончивши с руками, они переходят к ногам, и так как обувь не закрывает их ног, то продолжают считать наглядно: 11 — „палец на ноге“, 12—„два пальца на ноге“, 15—„нога и две руки“, 16—„палец на другой ноге“. Но вот подходит дело к 20, использованы, следовательно, и руки и ноги, тогда является на помощь „человек“. 20 называется „человек“, так как у него 20 пальцев; как же выразить, например, 27? Это будет — „2 пальца на другой руке другого человека“. Сотня заменяется у них пятью человеками, а выше сотни индейцам Таманаки едва ли и приходится считать, потому что у них нет ни потребности в том, ни доста-

1 Здесь и ниже речь идет, разумеется, лишь о племенах нецивилизованных. Нижеописанные способы счета — особенность отнюдь не расовая, а особенность всех народов, стоявших или стоящих на низкой ступени культуры. А. Ю.

точного развития. Кстати сказать, и эскимосы, обитатели холодных стран Северной Америки, вместо „20“ говорят „человек“и вместо „100“ пять человек.

Караибы на Антильских островах и по реке Ориноко дают первым четырем числам особые имена, но 5 у них заменяется словами „четыре и один“, 6—„рука и один“, 7 — „рука и два“, 20 — „столько, сколько руки и ноги“, 30—„столько, сколько руки и ноги, и еще 2 руки лишних“.

Удивительна склонность индейцев и негров не довольствоваться одним словесным счетом, а всячески дополнять его выразительными жестами. Говоря „шесть“, они протягивают 6 пальцев. Дойдя до 20, они расставляют ноги, вытягивают руки и растопыривают пальцы.

Зулусы в Южной Африке пользуются очень похожим обычаем. Они обходятся без ног и ведут расчеты на одних руках. Счет они начинают с мизинца левой руки. Когда окончат первый десяток, то второй десяток ведут уже с мизинца правой руки. Если, например, на правой руке протянуты мизинец и безыменный палец, то это означает 12. После каждого десятка они хлопают рукой об руку. Чтобы выразить, например, число 35, им надо трижды хлопнуть рукой об руку и протянуть 5 пальцев правой руки.

Таким образом пальцы для того человека, который едва умеет считать, являются неоцененным и удобнейшим пособием. Это мы можем проследить во всех странах земного шара и у всех людей. Для счета на первых порах им нужно наглядное пособие, а какое же пособие ближе к человеку, как не его собственные пальцы? Особенно их любят дикари и малые дети.

Теперь является вопрос: как быть с числами, которые включают в себе десятки и сотни? Как их выразить при помощи пальцев? Ответить на это могут некоторые племена Южной Африки, которые для единиц берут одного счетчика, для десятков другого, а для сотен третьего. Как только первый счетчик насчитает по пальцам десять, второй сейчас же замечает это у себя на пальцах, т. е. протягивает мизинец. Когда второму придется протянуть все 10 своих пальцев, то третий замечает получившуюся сотню одним пальцем своей руки.

Дикари, подобно малым детям, не нуждаются в больших числах. Толчок к развитию счета дается лишь возникновением торговли и промышленности. Самая нехитрая

торговля—меновая, когда покупатель дает один товар, а продавец взамен того—другой. Меновая торговля сама уже приводит к мысли, что счет можно вести на каких угодно предметах. И каких только предметов при первоначальной меновой торговле не берется простодушными торговцами в пособие для счета! Например, негритянские купцы постоянно носят с собой мешочек с маисовыми зернами, иногда и с камешками. Как только дело подходит к расчету, они сейчас же высыпают зерна и пользуются ими, как очень удобным пособием. И с каким искусством, с какой ловкостью этот неграмотный торговец подводит итоги, высчитывает прибыль и убыток при помощи своих зернышек! Он не станет втупик даже и при составных именованных числах, так как для каждой меры у него в запасе есть особый сорт зернышек. Конечно все подобные хитросплетения покажутся нам, знающим арифметику, наивными и незамысловатыми. Так, например, сторговавши несколько кусков материи, негры кладут против каждого куска столько камешков, сколько монет надо отдать за кусок, и потом все это сосчитывают.

Трудно даются первые шаги счета мало образованным народам. Также и детям нашим нелегко приходится, когда они начинают счисление. Необходимо нужны наглядные пособия. Всякий человек и все народы прибегали к ним и прибегают, потому что потребность в наглядности лежит в природе человека. Кроме камешков, зернышек и т. д., можно пользоваться зарубками, чертами, крестиками. Так, индеец делал зарубку на дереве всякий раз, как он добывал скальп. В старой, дореволюционной России, среди неграмотных в массе крестьян, черточки и зарубки были также в большом употреблении: сельский староста отмечал ими поступление податей, плотник порядок бревен, молочница выданное молоко. Ацтеки, старинные обитатели Мексики, предпочитали обозначать числа точками, причем они располагали точки не как придется, а в виде правильных фигур, вроде тех, какие теперь у нас рисуются на игральных картах. Когда у счетчиков накапливалось много камешков, шариков или косточек, то чтобы их не растерять, они нанизывали их на шнурочки или прутья. Этим был дан толчок к изобретению счетных приборов, из которых прежде всего нужно упомянуть русские торговые счеты и китайский инструмент „сван-пан“, очень похожий на наши счеты.

НАЧАЛЬНЫЕ ЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ИМЕНА.

Рука об руку с развитием счисления идет и образование числительных имен. Филологи, знатоки языков, не мало и с большим успехом потрудились над вопросом, как образовались слова, выражающие числа: „один“, „два“ и т. д.? Они признали, что, вероятно, первые числительные имена взяты от тех вещей, которые встречаются всегда в определенном количестве, и именно в таком, каково само число. Так, у индусов слово „два“ созвучно со словом „глаз“; у малайцев (на острове Яве) слово пять обозначает в то же время руку. И это понятно: глаза обыкновенно встречаются в количестве двух, а пальцы руки в количестве пяти. И в славянском языке „пять“ созвучно с „пядь“, а под пядью разумелась длина, которая равна расстоянию между растопыренными крайними пальцами руки.

Но само собой разумеется, что от сходства слов может произойти смешение и сбивчивость понятий. Поэтому у образованных наций давно, с незапамятных времен, выработались особенные числительные имена, которые не сходны с именами каких бы то ни было предметов. Что это случилось очень давно, мы можем видеть на примере так называемых индоевропейских языков, в группу которых входят языки славян, немцев, французов, индусов, греков. Легко просле-

дить, что первые числительные имена очень сходны и созвучны во всех индоевропейских языках, а из этого мы вправе вывести, что эти числительные имена выработались еще в ту отдаленную эпоху, когда не было великого расселения народов, и когда вся индоевропейская семья жила вместе и пользовалась общим языком.

На 9 странице дана таблица, в которой представлены латинскими буквами числительные имена из 5 иностранных языков и из нашего русского — цифрами.

РАЗЛИЧНЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ.

Почти все цивилизованные народы древнего и нового мира ввели у себя десятичную систему счета. Именно, они считали и считают единицами до десяти, десятками — до сотни, сотнями — до тысячи и т. д. Иначе сказать: десять единиц составляют десяток, десять десятков — сотню, десять сотен тысячу и т. д. Откуда же произошло такое удивительное согласие всех людей? Почему у всех одна система счета? Немыслимо ведь допустить, что обитатели различных точек земного шара устроили нечто в роде совещания, на котором и постановили принять одну общую систему. Разгадка, очевидно, заключается в следующем. Отвлеченный счет, как мы знаем уже, начался у всех народов с предметного, наглядного, а лучшим пособием для счета, как наиболее доступным и удобным, являются для человека его пальцы. Что ближе пальцев, проще и дешевле?

Впрочем, прибегая к пальцам, мы могли бы выработать не только десятичную систему, но и пятиричную, двадцатиричную. Если пользоваться одной рукой, то будет пятиричная система, двумя — десятичная, руками и ногами двадцатиричная. В таком случае мы стали бы считать пятками, 5 пятков соединять в новую группу, 5 таких групп в еще большую новую и т. д. Это мы и видим у некоторых африканских народов, которые считают пятками и вместо „шесть“ говорят „пять один“, вместо „семь“ — „пять два“ и т. д. По примеру многих народов,— например, феллахов, индейцев, можно судить, что пятиричная система является очень древней и, может быть, даже более древней, чем десятичная, так что отсюда можно предположить, что люди считали некогда пятками и уж позднее перешли к счету десятками.

Что касается двадцатиричной системы, то во всей чистоте она, правда, не встречается, но в смешении

с десятичной ее можно проследить во многих случаях. Так, индейцы Майя в Юкатане пользовались в начале н. э. особыми словами для чисел 20, 400 (20 раз по 20), 8000 (20 раз по 400) и 160000 (20 раз по 8000). У ацтеков в Мексике были особые слова для чисел 20, 400, 8000. Остатки двадцатиричной системы заметны и во французском языке: quatre vingt = 80, т. е. четырежды 20; six-vingt (120), quinze vingt (300). Также и в датском языке слово шестьдесят (tresindstyve) выражает трижды двадцать, а слово восемьдесят (firsindstyve) — четырежды двадцать.

Пальцевые системы — самые старинные и древние, и самые распространенные. Но, кроме них, есть и другие, из которых прежде всего мы назовем счет дюжинами, или двенадцатиричную систему. Это очень распространенный счет. Мы тоже нередко считаем дюжинами, например, посуду, перья, карандаши, белье. Откуда взялось такое обыкновение мы не знаем; знаем только, что оно в особенном ходу было у римлян. При счете дюжинами мы идем до 12 дюжин, так что 12 дюжин составляют новую единицу— „гросс“; в каждой коробке перьев, обыкновенно, бывает ровно „гросс“; также и карандаши связываются в большие пачки по гроссам, счет гроссами идет до 12, а 12 гроссов дают уже новую единицу — „массу“. Счет дюжинами, гроссами и массами очень удобен и даже мог бы быть удобнее счета десятками и сотнями, но он привился слабо, и все наши числительные имена применены к десятичному счету, а не к дюжинному; язык, конечно, переделать нельзя, и это очень жаль, потому что при дюжинном счете много облегчилось бы вычисление, сравнительно с десятичным; например, особенно употребительные доли у, —, -i-, -g- было бы гораздо проще брать от дюжин, потому что 12 делится на 2, 3, 4, 6, между тем 10 разлагается только на 2 и на 5. Особенно широко применяли число 12 в своей системе дробей римляне. Двенадцатые доли назывались у них унциями. Это были двенадцатые части какой угодно величины, так например, Vi2 хлеба называлась унцией хлеба, б/12 капитала составляли 5 унций капитала. В настоящее время унции остались только в „латинской кухне“,1 т. е. в аптекарском весе, именно, унция составляет 712 аптекарского, иначе сказать,

1 Ныне они вышли из употребления и в этой области. А. Ю.

римского фунта (римский фунт на 7в меньше русского). В древности эти доли были в повсеместном употреблении до того, что, например, вместо 78 писали 1г/2 унции; для Via» 2/i2» 8/i2; для n/i2 имелись особые значки, вроде цифр, и особые названия; вообще двенадцатые доли напоминали собой скорее именованные числа, чем действительные дроби.

Мы рассмотрели счет дюжинами. Теперь займемся счетом группами по 60. Так считали еще за 2—3 тысячелетия до н. э. древние вавилоняне. Числа выше 60 вавилоняне разлагали на 60 и на остаток; например, чтобы выразить 87, они говорили 60 и 27. Число 60 имело у них свое особое название „soss“; также и 3600, равное 60X60, специально называлось словом „sar“. Работы вавилонян по астрономии были выдающимися в древнем мире. Неудивительно поэтому, что их влияние чувствуется и в позднейшей науке; отсюда проистекает то предпочтение, которое дается числу 60 в астрономии и, в частности, деление окружности на 360 равных частей или градусов, градуса на 60 минут, а минуты на 60 секунд.

Вавилонские же астрономы пришли постепенно к разделению дня и ночи на 12 (двойных) часов, каждый из которых имел по 60 (двойных) минут; минута в свою очередь делилась на 60 (двойных) секунд. Ниже мы еще вернемся к шестидесятиричной системе вавилонян.

Вот мы поименовали самые употребительные системы счета; из них самая распространенная и развитая — десятичная: счет десятками можно проследить у всех народов, не исключая даже и тех, которые предпочитали пользоваться пятками и дюжинами или же группами по 20 и по 60.

Впрочем, существовали и другие, хотя и мало распространенные системы счета, так например, новозеландцы считали группами в 11, и у них имелись особые коренные слова для 11, 121 (=11Х11), 1331 ( = 11 X 11 X 11); на их языке 12 заменялось одиннадцатью одним, 13 — одиннадцатью двумя, 22 — дважды одиннадцать, 33 трижды 11 и т. д.

Вспомним, кстати, что наши предки тоже считали иногда при помощи особых своеобразных единиц — сороков, говорили, например, сорок сороков церквей, пять сороков соболей; следовательно, у них единицей счета служила группа в сорок.

Итак, почти у всех народов идет счет десятками, сотнями, тысячами и т. д. Как же из этих групп или из этих сложных единиц образуются многозначные числа? В нашем русском языке для этого обыкновенно существует один путь: сложение и повторение. Что значит, например, тринадцать? три-на-десять, т. е. 10-(-3, здесь мы видим сложение; что значит тридцать? тридцать — трижды десять: здесь встречаем мы повторение, иначе сказать умножение 10X3; в выражении „триста двадцать“ содержится два повторения „три-ста“, „два-десять“— и одно сложение — „триста двадцать“. Но не так просто решается этот вопрос в других языках. В них для образования многозначных чисел берутся и другие два действия, — вычитание и деление. Например, по-латыни восемнадцать будет duo- deviginti, что значит, двадцать без двух, девятнадцать — undeviginti, что значит, двадцать без одного. По-санскритски 95 выражается через pantchonangsatam, что значит сто без пяти. Что касается деления, то с его помощью иногда образуются числа и у нас, например, вместо „пять десят“ говорят часто полсотни. В датском языке 60 выражается через трижды двадцать (tresindstyve) — об этом мы говорили выше, а 50 через 2!/2 раза по 20 — halvtresindstyve, — здесь уже применено деление. Но вообще говоря, чем система счета развитее, тем более приближается она к десятичной и тем яснее проявляется образование чисел при помощи сложения и умножения. У нас, например, в русском языке числа от 11 до 20 словесно выражены не очень ясно, например, „пятнадцать“ вместо „десять и пять“, но, начиная с 21, состав чисел уже гораздо яснее, и мы встречаем такие выражения: „двадцать пять“, „тридцать шесть“ и т. п., в которых десятки отчетливо разграничены с единицами; подобно этому десятки в пределе ста выражены не совсем ясно: „тридцать“ вместо „три десятка“, сотни выражены уже яснее: „триста“ вместо „три сотни“, а тысячи совершенно ясно: „три тысячи“. Нашим детям, которые начинают учиться арифметике, легче в этом случае, чем, например, немецким; там для чисел 11 и 12 употребляются такие слова, из которых не видно разложения их на десяток и единицы; кроме того, в двухзначных числах в немецком языке выговариваются сперва единицы, а потом уже десятки, т. е. как раз обратно тому, как числа обозначаются письменно.

ПРЕДЕЛ ЧИСЕЛ.

Каков предел чисел, иначе сказать: до какого самого большого числа доходил тот или другой народ при счете и вычислении?

Живут в настоящее время два диких племени, Жури и Каирири, которые считают только по одной руке и таким образом доходят до пяти. Есть еще хуже. Некоторые племена Бразилии считают обыкновенно по суставам пальцев и добираются этим путем только до трех. Все, что выше двух, они выражают общим словом „много“. В древнейшие времена даже некоторые цивилизованные народы, как евреи и китайцы, не заходили в счете слишком далеко. В еврейских памятниках почти не встречается упоминания о миллионе. В библии есть, правда, выражения „тысяча тысяч“ и „тысяча раз по десяти тысяч“, однако, под ними никак нельзя разуметь определенных чисел, скорей же это картинное обозначение каких-то громадных, неизмеримых количеств. Недаром и славяне позднее принимали десять тысяч за „тьму“, как за что-то туманное и неясное, до чего нельзя и досчитаться. Еще сильнее и характернее употреблявшееся у них выражение „неведие“; в старинных рукописных славянских арифметиках оно обозначало сотню тысяч. Древнейший культурный народ Азии, китайцы, видели в тысяче и десяти тысячах венец всех чисел: друзьям они желали жить тысячу лет, а императору—десяток тысяч. Впрочем, ученым специалистам древнего Востока не были чужды представления об очень больших числах. Вавилонские математики, как видно из составленных ими математических таблиц, легко оперировали числами, доходившими до наших триллионов, выражая их при этом по своей шестидесятиричной системе. Так, в одной таблице приведены делители числа 608+10.607. Мы не находим следов подобных вычислений у египтян, но, во всяком случае, знаки для миллиона и 10 миллионов у них существовали, а для образного выражения огромного периода времени в их священной „книге мертвых“ говорится, почти как и в библии, о миллионах миллионов лет. Но, разумеется, в общежитии и в широких кругах даже образованных по тогдашним понятиям людей довольствовались первыми 4 разрядами и дальше тысяч в счете не шли.

Особенный интерес и пристрастие к большим числам проявили индусские ученые, горячие поклонники арифме-

тики. Уменье обращаться с громаднейшими числами считалось у них признаком чрезвычайной смышленности и ставилось в высокую заслугу. Даровитый математик так же был славен в Индии и достигал такой же популярности, какая ныне обычно выпадает чаще на долю героя, артиста, писателя. Интересна легенда об основателе индусской религии Бодисаттве (Будде). Бодисаттва стал свататься за одну девушку, которую отец соглашался отдать за него замуж только в том случае, если юноша докажет особое искусство в письме, единоборстве, беге, арифметике и т. д. По требованию будущего тестя, Бодисаттва дает названия громадным числам, кончая единицей 54-го разряда, т. е. оказывается в состоянии прочесть число, выраженное длинной строкой в 54 цифры и, что всего поразительнее, умеет выговаривать числа не по одному способу, а по нескольким, по 6 или 7. В заключение ему предложили указать число элементарных частиц, составляющих в длину одну „иоану“. Он назвал и указал 108 470 495 616 000 индусской меры длины.

Бодисаттва начал так: элементарная частица составляет седьмую часть тончайшей пылинки; 7 тончайших пылинок составляют одну небольшую пылинку; из 7 небольших выходит такая, которую кружит ветер; их 7 дают одну, пристающую к ноге зайца, 7 подобных последней дают одну, пристающую к ноге барана; 7, пристающих к ноге барана, образуют одну, пристающую к ноге буйвола; 7 пылинок буйвола составляют маковое зернышко; 7 маковых зернышек дают горчичное зерно, 7 горчичных — ячменное, 7 ячменных дают длину сустава пальца, из 12 суставов получается пядь, из двух пядей — локоть, 4 локтя составляют лук и, наконец, 4000 луков дают индусскую меру длины иоану. Таков переход от этой меры к самой малой доле и такова дробь, выраженная по-нашему, в квадрилионных частях.

В древне-греческой математике мы не встречаем вообще подобного интереса к грандиозным числам и выкладкам с ними. Сама нумерация греков, о которой еще будет рассказано далее, не благоприятствовала легкой записи и выражению больших чисел. Но эллинские ученые все же попытались создать такую классификацию чисел, которую можно было бы продолжить сколь угодно далеко. Первый образец ее предложил, повидимому, знаменитый Архимед (287—212 до н.э.) в сочинении „Псаммит“ или „Исчисление

Рис. 1.

песчинок“1. Архимед (рис. 1) поставил себе задачу высчитать число песчинок, которое могло бы поместиться в пространстве всей вселенной, и решил ее так. Пусть, говорит он, вся вселенная образует шар с центром на Солнце и с радиусом, равным расстоянию от Солнца до так называемой сферы неподвижных звезд. Диаметр этого шара он исчисляет, примерно, в 100 мириад мириад мириад стадии2. Пусть вся вселенная состоит из песчинок и притом из таких мелких, что десять тысяч песчинок равны маковому зерну. Предположим, что 40 маковых зерен, уложенные в ряд, образуют дюйм длины. При этих условиях, по вычислению Архимеда, число песчинок во вселенной менее числа, обозначаемого нами единицей с 63 нулями. Интересно, как же выговорить такое громадное число, или как его представить в наглядном и

1 См. Архимед — „Исчисление песчинок“, перевод Г. Н. Попова, М, —Л. 1932. А Ю.

2 Мириада — греческий термин для 10000. Стадия — линейная мера, равная 9600 дюймам, о которых говорится ниже. А. Ю.

доступном виде? Архимед идет таким путем: числа до „октады“, мириады мириад (108), имевшие у греков определенные названия, он называет „первыми“, а саму мириаду мириад—единицей„вторых“ чисел. Считая новыми единицами, он мириаду мириад их, т. е. 102*8 называет единицей чисел „третьих“; 103*8 будет единицей „четвертых“ чисел. Так Архимед доходит до „мириадо-мириадных“ чисел, единицей которых служит Ю8^108“^. Все эти числа он объединяет в „первый период“, единицей же „второго периода“ берет последнее число первого, т. е. 108*10в. Показав, как продолжить далее такую номенклатуру, он сам останавливается на 10108'М0в. Для выражения же числа песчинок в пространстве вселенной оказывается достаточным уже тысячи мириад чисел „восьмых“.

Подобную систему, позволяющую выражать громадные количества, встречаем мы в старинных рукописных славянских арифметиках (XVI — XVII в. н. э.). Она носит название „числа великого словенского“ и представляет собой нумерацию, развитую подробно, остроумно и своеобразно. Не без влияния на эту нумерацию осталась польская ученость, которая во времена, предшествовавшие Петру I, явилась одним из передаточных путей, по которым в Россию проникали из Западной Европы идеи светской образованности. Польская наука заимствовала в свою очередь все содержание и силу из Западной Европы. Европа многому научилась у арабов, арабы же ряд арифметических знаний приобрели у индусов.

Такая длинная цепь переходов и ступеней нужна была для того, чтобы арифметика индусов сделалась собственностью русских! И времени для этого потребовалось не мало, — целые столетия: что в Индии известно было в середине первого тысячелетия, а в Западную Европу проникло в XIII в., то в Россию прибыло в XVII столетии. Вот таблица „числа великого словенского“, употреблявшаяся в том случае, „коли прилучался великий счет и перечень“ (число), и содержавшая в себе 50 счетных единиц: 1) един, 2) десять, 3) сто, 4) едина тысяча, 5) десять тысяч, 6) сто тысяч, 7) едина тьма, 8) десять тем, 9) сто тем, 10) тысяча тем, 11) десять тысяч тем, 12) сто тысяч тем, 13) един легион, 14) десять легионов, 15) сто легионов, 16) тысяча легионов, 17) десять тысяч легионов, 18) сто тысяч легионов, 19) тьма легионов, 20) десять тем легионов, 21) сто тем легионов, 22) тысяча тем легионов, 23) десять тысяч тем легионов, 24) сто

тысяч тем легионов, 25) един леодр, 26) десять леодров, 27) сто леодров, 28) тысяча леодров, 29) десять тысяч леодров, 30) сто тысяч леодров, 31) тьма леодров, 32) десять тем леодров, 33) сто тем леодров, 34) тысяча тем леодров, 35) десять тысяч тем леодров, 36) сто тысяч тем леодров, 37) един легион леодров, 38) десять легионов леодров, 39) сто легионов леодров, 40) тысяча легионов леодров, 41) десять тысяч легионов леодров, 42) сто тысяч легионов леодров, 43) тьма легионов леодров, 44) десять тем легионов леодров, 45) сто тем легионов леодров, 46) тысяча тем легионов леодров, 47) десять тысяч тем легионов леодров, 48) сто тысяч тем легионов леодров, 49) вран, 50) колода. „Сего числа нет больши“, прибавляют рукописи в заключение.

Кроме того у русских XVI — XVII в. была еще другая система счета, так сказать, обиходная, будничная. Это — „малое число“. По этой системе единицами счета являются: единица простая, десяток, сотня, тысяча, тьма =10 000, легион = 100 000 и леодр = 1000 000.

Замечательно, что и средневековые китайские ученые доводили нумерацию до 53-го разряда. И совпадение предела, и некоторые другие исторические факты приводят к вероятному предположению, что в те времена Китай не был так уединенно замкнут, как в долгий ряд столетий от путешествий Марко Поло (1254—1323) до середины прошлого века, и что индусская ученость, в пору расцвета своей силы, т. е. лет тысячу тому назад, проникла и к китайцам.

Чтобы закончить выяснение предела чисел, мы остановимся еще немного на любопытном предании о той награде, которую изобретатель шахматной игры будто бы пожелал получить от шаха Шерама. Гласит оно следующее. Шах Шерам так был восхищен только что изобретенной шахматной игрой, что предложил ее творцу назначить самому себе награду.

Тот и назначил: „положи“, говорит, „шах, мне на первую клетку доски 1 пшеничное зернышко, на вторую 2, на третье 4, на четвертую 8 и т. д., на каждую последующую вдвое больше, чем на предыдущую“. Клеток в доске 64. Шах охотно согласился, но когда стали высчитывать количество зерен, то оказалось, что получается нечто необъятное, и что столько зерен нечего и думать набрать, хотя бы со всей земли. Число это, именно, равно 18 446 744 073 700 551 615.

СЧЕТНЫЕ ПРИБОРЫ.

Всякий отдельный человек и всякий отдельный народ на первых ступенях своего развития бывает склонен к предметному счету. Как детям, так и дикарям свойственно начинать счет с пальцев. От пальцев они переходят робкими попытками и с большой нерешительностью к счету на других предметах, обыкновенно на близких им и обиходных, например, на черточках, зарубках, крестиках, костяшках и т. п. Они еще далеки в этом случае от устного счета и от письменных вычислений. Продолжая развивать средства наглядного счета, человек доходит до сложных систем, специальных счетных приборов и аппаратов. Впоследствии в этом же направлении начинает действовать и другой стимул: стремление механизировать и ускорить счетные операции.

Мы прежде всего остановимся на счете по пальцам и притом не на простом способе постепенного загибания пальцев, а на оригинальных приемах, изобретенных римлянами. Римляне путем разгибания и загибания пальцев, а также путем вытягивания и складывания рук, умели выражать числа от 1 до миллиона. При этом 3 пальца левой руки, начиная с мизинца служили у них в различных комбинациях для простых единиц, остальные пальцы левой руки — для десятков, большой и указательный пальцы правой руки для сотен, а прочие для тысяч. Чтобы выразить, например, простую единицу, они загибали мизинец, чтобы выразить 2, пригибали 4-й и 5-й пальцы к ладони, для 3-х — 3-й палец; число 90, например, обозначалось указательным пальцем, пригнутым к ладони; для обозначения десятков тысяч они клали левую руку на грудь, бедро, для сотен тысяч пользовались таким же образом правой рукой; складывание рук крест-накрест соответствовало миллиону.

Римляне не только могли замечать на пальцах большие числа, но они умели производить при помощи пальцев некоторые действия. Пальцевый счет был распространен также в Греции и на Востоке; он применялся широко в средневековой Европе. И сейчас еще румыны и южные французы нередко быстро и искусно проделывают на пальцах умножение чисел первого десятка, превосходящих 5, пользуясь таблицей умножения, доходящей лишь до 4X4.

Положим, дано умножить 6 на 8; тогда протягиваем

на одной руке 1 палец, т. е. ровно столько, на сколько первый множитель больше пяти, а на второй руке протягиваем 3 пальца, потому что, согласно такому же расчету, 8 больше 5 на три; количества протянутых пальцев складываем, и это будет число десятков — 4; количества же пригнутых пальцев перемножаем: 4X2 = 8, тогда получим единицы произведения; наконец 4 десятка+ -|-8 = 48. Еще пример: 8X9; так как 8 больше 5 на 3, а 9 на 4, то надо протянуть на первой руке 3 пальца, а на второй — 4, тогда останется согнутых пальцев на первой руке 2, на второй 1; теперь мы складываем количества протянутых: 3-{-4 = 7, и перемножаем количества согнутых:

1X2 = 2, ответ 72.

На чем же основан этот остроумный и быстрый прием, которым так любили пользоваться школьники, особенно средних веков, когда им не давалась полностью многотрудная таблица умножения. Основание его лучше всего можно выяснить алгебраической формулой, и для тех, кто владеет алгеброй, мы ее сообщаем. Она имеет вид тождества:

а . Ь = (а — 5 + b — 5). 10 + [5 — (а—5)]. [5 — (Ь — 5)].

Из формулы видно, что, если не пользоваться отрицательными числами, то она применима только для тех случаев, когда множители больше 5.

Пальцевым счетом можно воспользоваться также и при умножении двузначных чисел, не превосходящих 20. Чтобы показать это на примере, умножим этим способом 13 на 14. Для этого 3 да 4 складываем, будет 7, столько десятков; эти же числа, т. е. 3 и 4, перемножаем, будет 12, столько единиц, к полученным ответам добавляем еще сотню; тогда всего получается: 100 -f- 70+ 12= 182 — ответ совершенно верный. Кто знает алгебру, тот без труда составит формулу для объяснения этого приема:

(10-f а) - (10 + £) = 100 + а64-10.(а + *).

Покончивши с вопросом о самом первом, близком и употребительном пособии, о пальцах, мы переходим к тому разряду пособий, который нашел себе представителя в русских торговых счетах (рис. 2). Русские счеты! Как они распространены среди продавцов, счетоводов, бухгалтеров, статистиков! Их издавна любило и русское

торговое сословие. Это дало повод думать некоторым, что счеты изобретение исключительно русское. Ничуть: приборы, похожие на счеты, мы встречаем у многих народов, особенно в древнем мире, например, у римлян, греков, китайцев, вавилонян и у всех народов, которые приходили с ними в соприкосновение. Столь широкое распространение и популярность счетов естественны. На счетах имеются костяшки или закругленные камешки: это наглядно и удобно для всех, что-нибудь лучше их трудно и придумать; по крайней мере, заостренные, неотшлифованные предметы не так удобны для рук, как круглые. Далее, костяшки надеваются на проволоки, но они могли бы надеваться на стержни и шнуры или могли бы класться в желобки; цель, очевидно, та, чтобы они не рассыпались; это мы наблюдаем также у многих народов. Наконец, этот счетный прибор содержит не один ряд костяшек, а несколько, что соответствует более высокой ступени счета, когда имеется несколько разрядов единиц как простых, так и сложных. Проволоки, шнуры и колонны для различных разрядов могли бы располагаться как горизонтально, так и вертикально; в русских счетах проволоки расположены горизонтально, у римлян же колонны для шариков располагались вертикальными рядами.

Русским торговым счетам можно указать параллель и предшественника в китайском сван-пане (рис. 3). Изобретение его относится, вероятно, к глубокой древности, хотя первые сведения о нем относятся к XII в. н. э. Надо полагать, что сван-пан получил свое начало не сразу, а преобразовался из зачаточного, грубого прибора постепенно, многими поправками и улучшениями,

Рис. 2.

Рис. 3.

пока не получил свой настоящий вид. Признаком его древности служит то, что он содержит в себе смесь пятиричной системы с десятичной, — следовательно, он был изобретен тогда, когда народ еще пользовался пятиричной системой и не перешел к чистой десятичной.

Объясним устройство сван-пана. Представьте себе деревянную раму, вроде такой, какая имеется в русских торговых счетах; поперек этой рамы горизонтальными рядами натянуты шнуры, вместо наших медных проволок. На каждом шнуре только 7 шариков, а не 10. Как же управляться с 7 шариками и почему их именно 7, а не другое число? А вот как: вдоль всех счетов, вертикально сверху вниз, пересекая шнуры, идет перегородка, сквозь которую шнуры и продеваются. При этом по одну сторону перегородки остается шариков пяток, а по другую пара. Пяток назначается для отдельных единиц, и с ним ведется дело, так же, как у нас с косточками на торговых счетах. Что же касается пары, то назначение ее сложнее: каждая из составляющих ее косточек равна по значению 5 единицам соответствующего разряда. Поэтому, как только мы наберем 5 косточек на нижней проволоке, мы этот пяток должны сбросить и заменить одной из тех косточек, которые входят в состав пары. В свою очередь, как только наберется этих пятерных косточек две, они сбрасываются и заменяются одной простой косточкой на следующей высшей проволоке. Из этого мы видим, что на нижней линии кладутся единицы и пятки, на 2-й — десятки и полсотни, на 3-й — сотни и полутысячи и т. д. Всего в сван-пане 10 линий, т. е. шнуров. Отдельных линий для долей в нем вовсе нет, не так, как в русских счетах.

В греческом и римском мире был свой вид счетов. Он назывался абаком. Многие ученые полагают, что греческое слово „абак“ происхождения еврейского и значит пыль. Дело в том, что римляне и греки пользовались досками, на которых был насыпан мелкий песок: на них расчерчивался ряд вертикальных параллельных

Рис. 4.

линий, в промежутках между начертанными линиями сам собой появлялся ряд полос или колонн (рис. 4), из которых крайняя справа назначена была для простых единиц, вторая для десятков, третья для сотен и т. д. Как же обозначалось на таком абаке число единиц, десятков, сотен и т. д.? Для этого имелось несколько способов, причем в разные времена попеременно выдвигался на первый план то тот способ, то другой. Первоначально на полосы клали нужное количество костяшек или камешков, или же на них чертили столько черточек, крестиков или кружков, сколько хотели обозначить единиц; это самый немудрый, примитивный способ. Позднее начали пользоваться вторым приемом, именно в полосах на песке стали писать не крестики и черточки, а особые значки для чисел от 1 до 9 и, наконец, в замену этого приема явился третий: стали употреблять костяшки или „марки“, с награвированными цифрами, так что вместо письма в колоннах на песке начали класть костяшки с цифрами. Вместо доски, посыпанной песком, употребляли иногда доски из камня, дерева или металла с желобками, в которые и клали марки. Чисто римский абак (рис. 5), в отличие от абака греческого и от позднейших видов этого же инструмента, отличался двумя подробностями. Во-первых, сбоку у него имелись небольшие колонки для долей: половин, третей, четвертей и унций, т. е. двенадцатых долей, иногда для 1/2i, lliQ9 !/72; потребность в вычислениях с дробями давала себя чувствовать в обширной и практически разносторонней деятельности римлян. Во-вторых, так как римляне дольше всех народов примешивали к десятичной системе пятиричную, то их абак, подобно родственному ему сван-пану, был применен к счету пятками. Надо заметить, что римляне, мало занимавшиеся математикой, которая интересовала их более всего в части, связанной с землемерием и торговлей, не представляли себе ясно всех преимуществ счета десятками без всякой примеси пятков. Лишь ученый представитель позднейшей римской образованности Боэций, умерший в 524 г. н. э., отбросил, наконец, доба-

Рис. 5.

вочные грани для пятков, и у него мы видим чистый счет десятками. Абак Боэция содержал в правой колонне единицы, в соседней с ней—десятки, в следующей — сотни и т. д.; вместо отдельных костяшек в них клались, повидимому, камешки с нанесенными на них знаками первых 9 чисел, так называемыми апексами; если какой-нибудь разряд отсутствовал, то колонна оставалась незаполненной. Как близко, казалось бы от такого способа обозначения до нашего порядка записывания чисел! Стоило бы стереть черты колонн, да обозначить как-нибудь места пропущенных разрядов, и получилась бы наша система. Но введение нуля никоим образом не может считаться заслугой римлян; оно принадлежит индусам.

Счет на абаке являлся долгое время господствующим и в средневековой Европе. В X—XI вв. ему было посвящено немало сочинений, среди которых особенно известна была „Книга о вычислениях на абаке“ француза Герберта, умершего в сане римского папы Сильвестра II в 1003 г. Правда, в результате ознакомления с арабско-индусской нумерацией европейские арифметики начали понемногу перенимать более удобную позиционную систему. С ее помощью было не так трудно производить вычисления на бумаге, без абака, как с помощью господствовавшей до того римской нумерации. Среди сторонников нового счета, так называемых „алгорифмиков“ (о происхождении этого слова будет сказано ниже), некоторые были вообще против употребления абака. Однако, счеты отнюдь не потеряли своего значения и тогда — в кипучую, горячую пору открытий, изобретений, развития торговли и мореплавания позднего средневековья.

В XIV—XVI вв. торговля Западной Европы сильно оживилась, появилась потребность в конторах, банках и т. д., и вот купцы, менялы, банкиры стали усиленно применять абак, как инструмент сравнительно простой и легкий. Застрельщиками при этом явились итальянские торговцы: Италия второй половины средних веков достигла хозяйственного расцвета ранее других стран и находилась в более оживленной связи с Востоком. Итальянские менялы и ростовщики, между прочим, сперва производили свои операции на площадях за прилавками, покрытыми зеленым сукном, а так как по-итальянски стол, стойка-скамья называется „banca“, то легко понять, откуда взялись слова „банк“, „банкир“.

В русской арифметической литературе XVII в. тоже описывается счет на „абаке“, под именем счета „костьми“ или „пенязи“. Целью этого пособия было „великий счет считати“. Наш абак отличался только одной особенностью, именно, он разлиневывался поперек на несколько частей, и в нем отводились специальные места для слагаемых и сумм. Счет „костьми“ употреблялся, когда нужно было „класть костьми сошную кладь“, т. е. высчитывать земельные налоги, „а вытная и хлебная потому ж“, т. е. более мелкие подати. Кроме единиц, десятков и т. д. при счете костьми употреблялись доли, трети, полутрети, половино-полутрети, малые трети (24-я доля) чети, т. е. четверти, получети, половино-получети, малые чети (32-я доля). Для всех этих дробей были внизу доски особые места. Что счет костьми был происхождения иноземного, на это, между прочим, указывает и присутствие пятков, полсотен и т. д., как в сван-пане и старинном римском абаке.

Скажем еще несколько слов о русских торговых счетах. Первоначальная их форма на Руси—так называемый „дощаный счет“, т. е. доска или рама с „четками“ (шариками), надетыми на шнуры или веревки. Дощаный счет, подобно нынешним торговым счетам, употреблялся в народе часто: „им всякий торговый счет сочтет и сошной и померной и весчей и денежной всякой счет по всяким статьям и в долях“. Русские торговые счеты, или, как называют их немцы, „русская счетная машина“, сделались известными за границей очень недавно и по такому случаю. Один французский математик, состоявший офицером наполеоновской армии, Понселе, в 1812 г. был взят в плен и поселен в Саратове; после кампании он вернулся на родину в Мец и ознакомил там соотечественников с оригинальным и удобным прибором, который захватил с собой из Саратова. С тех пор счеты распространились в иностранных школах в виде наглядного пособия, но далеко не так повсеместно, как в наших.

ЦИФРЫ РАЗЛИЧНЫХ НАРОДОВ.

Немного есть наук, которые свое начало вели бы от столь отдаленных времен, как арифметика. Хотя цифры не так древни, как крайние зачатки арифметики, но мы их встречаем уже в самую седую историческую старину. Так, цифры у египтян мы видим за 1800 лет до н, э.

в папирусе Райнда, у вавилонян за 2000 лет до н. э. в табличках Сенкере. Много есть разных сортов цифр; они отличаются друг от друга и происхождением, и начертанием, в зависимости от того, когда они получили начало и у какого именно народа.

Наверное, читатель, вам приходилось не раз замечать, что малые ребята с особенной охотой рисуют дома, людей, животных, т. е. все то, что прямо перед глазами, и лишь впоследствии берутся за условные рисунки, т. е. значки, планы и чертежи. Так точно и народы древности изображали цифры в виде рисунков тех или иных предметов1. Особенно заметно это в письме древних египтян, хотя и у других народов мы можем указать подобные следы. Такое письмо носит название гиероглифического; к сожалению, мы не можем объяснить происхождение египетских обозначений с уверенностью. Повидимому, рисунок шеста или кола обозначал единицу; символом сотни было изображение измерительной рулетки, так что этот знак относился сперва к некоторой мере длины; фигура человека, изумленно поднявшего руки, обозначала миллион.

Такими гиероглифами пользовался Египет для выражения всех чисел. Подобная система имелась в свое время и у вавилонян. У римлян цифра V также напоминает своей формой кисть руки. Но очевидно, писать при помощи рисунков крайне медлительно и неудобно, в частности потому, что каждый из рисунков необходимо было повторять по многу раз. Так, чтобы выразить число хоть 30 270, египтянин 3 раза рисовал знак 10000, 2 раза знак 200 и 7—знак десятка. Гиероглифы надо было упростить, придать им удобную форму. В результате попыток создать скоропись вместо фигур стали чертить особые знаки, в которые выродились прежние рисунки. Кроме того, писать один и тот же знак помногу раз невыгодно, и египтяне для некоторых чисел, например 4, создали специальные значки, которые давали им возможность избегать длинного и утомительного повторения цифры 1.

Следы гиероглифического письма, как сказано уже выше, мы видим у вавилонян. Но и они оставили эту систему и выработали вместо нее новую, очень последо-

1 Гиероглифы применялись в Египте не только для записи чисел, но и для письма вообще, которого мы здесь, понятно, не касаемся.

вательную и простую, так называемое клинообразное письмо. Чтобы обозначить единицу, вавилоняне выдавливали на глиняных дощечках с помощью особых палочек вертикальную черту с заостренным нижним краем и толстым расщепленным верхним — клин. Десяток -< означался сходным „угловатым крючком“, но только в положении горизонтальном и с острием, обращенным влево. Для выражения чисел первого десятка повторялся столько раз знак единицы, сколько их содержится в данном числе. Так, например, чтобы выразить 7, они писали 7 раз знак единицы. Таким же образом они писали и десятки. Сотню они обозначали помощью двух клиньев у, .

Для чисел, состоящих из полных сотен, порядок видоизменялся: именно, при знаке сотни столько раз писали единицу, сколько имеется сотен в заданном числе. Для тысячи вавилоняне не имели особенной цифры, и они обозначали ее, как десять сотен

Следует тут же подчеркнуть, что главной основой приведенных египетской и вавилонской нумераций (рис. 6, вавилонские цифры) было наличие знаков для единиц различных десятичных разрядов и составление знаков прочих чисел по так называемому „принципу сложения“. Рядом записанные в должном числе знаки единиц просто складывались, например 385 египтяне записали бы: ÇCCnnnnIIIII* Эта система требовала для обозначения больших чисел знаков все более высоких разрядов, и, кроме того, отличалась чрезвычайной громоздкостью. Вавилоняне пошли далее и присоединили еще так называемый „принцип умножения“: для обозначения 5000 рядом со знаком 1000 ставился знак 5. Но самое замечательное нововведение вавилонян в математику заключалось в создании, наряду с изложенной, еще другой системы нумерации, гораздо

Рис. 6.

более совершенной и более близкой в существе своем к нынешней. О ней еще будет речь впереди.

Такого же происхождения как египетские были цифры китайцев. В первоначальной своей форме они напоминают картины тех шнуров и косточек, которые употреблялись при наглядном счете. Впоследствии эти цифры сильно изменились и приняли несколько видов. У китайцев есть разные цифры: древнекитайские, торговые, научные и для правительственных актов. Цифры древнекитайские очень фигурны и замысловаты [рис. 7 А), старинные, В) современные и С) научные цифры] и весьма возможно, что они явились изменением начальных гиероглифов; они писались на листках не в строчку, а вертикальным столбиком, располагаясь сверху вниз. Наоборот, цифры торговые писались горизонтальными строками и шли слева направо; при этом числа разлагались на разряды, так что разряд писался за разрядом. Чтобы прочесть число, китайцы прямо говорили те слова, какие соответствуют написанному ряду цифр; согласно их выговариванию, тридцать— три десять, тринадцать —десять три, девяносто — девять десять. Итак, у египтян, вавилонян и китайцев мы видим цифры древнейшего происхождения, которые напоминают собой гиероглифы, или картины тех предметов, которые стоят в связи с данным числом. Другим основным корнем, давшим начало цифрам, являются числительные имена, Это уже цифры более позднего происхождения, так

Рис. 7.

как для их изображения необходимо было развиться буквенному алфавиту. У некоторых народов, как например у финикиян, нередко выписывались числительные имена сполна, через посредство букв и слов. Иногда такой же способ применяли и греки, а затем арабы. Существовал учебник по арифметике араба Алькархи (в XI в. н. э.), где числа были выражены словами и словесно же выполнялись все вычисления, даже довольно сложные. Но очевидно, что подобное выписывание числительных имен крайне неудобно и утомительно. В силу этого числительные имена стали подвергаться сокращению, и цифрами стали считаться начальные буквы числительных имен. Примеров этому мы видим много у греков и у римлян, у индусов и у арабов (в их позднейших цифрах). Греческие слова, „пять“ (πέντε), десять (δεκα), тысяча (χιαιοι), десять тысяч (μιριοι) начинались с букв π,δ,χ, m, поэтому именно такие буквы явились у греков первоначально знаками для чисел 5, 10, 1000, 10000, так что число пять имело цифру п, десять δ, тысяча χ и, наконец, десять тысяч м. Подобный счет был описан византийским грамматиком Геродианом (около 200 г. н. э.), и этот сорт греческих цифр называется геродиановыми цифрами.

Следующей стадией развития был такой порядок, когда цифрами служили буквы в последовательности алфавита. Так, например, греческий алфавит содержит по порядку буквы: α, β, γ, δ, е, ввиду этого и числа обозначались: единица — а, два — β, три — γ, четыре — δ, пять — е. Буквы, начиная с ι обозначали десятки (т. е. 10 — t, 20 — κ, 30 — λ ит. д.), а начиная с ρ — сотни (т. е. 100 — р, 200 — σ, 300—τ и т. д.). Греки стали обозначать таким образом числа приблизительно за полтысячелетия до н. э., а до этого они прибегали к геродиановым цифрам. Вследствие этого буква δ или Δ стала обозначать уже не десять, как начальная буква греческого слова δεκα, что значит, десять, но четыре, как четвертая буква алфавита. Эта позднейшая нумерация сравнительно с „геродиановой“ имела то преимущество, что позволяла записывать большие числа гораздо короче, хотя она значительно менее удобна нашей, позиционной.

Подобную же систему мы видим у евреев, а позднее у арабов и славян: последние два народа заимствовали ее, несомненно, у греков.

Повторим вкратце еще раз, что цифры всех рассмотренных до сих пор народов распределяются на три

разряда: 1) цифры, получившие начало от гиероглифов и обратившиеся в условные знаки; 2) цифры, образовавшиеся от букв алфавита и представляющие собой начальные буквы числительных имен и 3) цифры в порядке букв алфавита. Вторая категория цифр тоже изменилась, подобно первой, в некоторых случаях до неузнаваемости, так что из букв образовались условные знаки.

Теперь мы сообщим некоторые подробности о цифрах отдельных народов.

Египтяне. Египет представлял собой страну высоко развитой рабовладельческой культуры уже за 4000 лет до н. э. Периодические разливы Нила рано побудили их заниматься землемерием, так как каждую весну приходилось им снова размерять, расчислять и делить поля, затянутые илом могучей реки; нужды торговли (меры весов, денег и т. д.) и государственные потребности содействовали развитию арифметики.

В 1872 г. в тайниках одной из многочисленных египетских пирамид нашли сверток пергамента, так называемый по фамилии первоначального владельца — папирус Райнда, в котором разобрали рукопись арифметического содержания. Автор ее — египтянин Амес, живший, примерно, в XIX в. до н. э. Из рукописи можно усмотреть, что автору доступны были довольно сложные задачи замысловатого характера не только в целых числах, но и с дробями.

У египтян были три системы письма: а) гиероглифическая (рис. 8), б) гиератическая, или письмо жрецов (рис. 9) и в) простонародная (рис. 10). Письмо гиератическое является ничем иным, как скорописным упрощением гиероглифов, и в этом смысле его можно считать нормаль-

Рис. 8.

ным переходом к цифрам. О принципе египетской нумерации уже говорилось выше; здесь я добавлю, что, быть может, в гиератическом письме пользовались еще отчасти „принципом умножения“; например, чтобы обозначить 10000, они писали рядом 10 и 1000. Письмо простонародное преподавалось в школах и применялось в обиходной жизни, в торговле, письмах, в гражданских документах. Оно имело, в свою очередь, не мало разных видов; один из них нами показан на рисунке 13. Когда египтяне имели дело с большими числами, то высшие разряды они писали слева, а низшие направо, т. е. точь-в-точь, как мы.

Финикияне. Они были моряками и купцами древнего мира. Им приписывается изобретение буквенного алфавита и успешное развитие арифметических знаний. Алфавит финикиян состоял из 22 букв, возникших на основе египетских гиероглифов и вавилонской клинописи. Финикияне либо записывали сполна слова, выражающие числа, либо же пользовались особыми, специальными цифрами. Из этих цифр и составлялись обозначения чисел,

Рис. 9.

Рис. 10.

причем рядом стоящие цифры иногда являлись множителями друг друга, иногда же они подлежали сложению. Числа от 1 до 9 обозначались соответственным количеством вертикальных черточек. Горизонтальная черта, встречавшаяся также и в искривленном виде, обозначала число 10. Для обозначения чисел от 11 до 19 налево (а не направо, как написали бы мы) от знака 10 располагали 1,2, 3 и т. д. вертикальных черты. Так, например, |||| — обозначало четырнадцать. Чтобы обозначить два десятка, финикияне писали две параллельных черты в виде H или И . Для 100 был тоже особый знак, именно KI или 1,1.

Из Тира и Сидона, древних финикийских городов, расположенных на берегу Средиземного моря, центров тогдашней торговли, процветавших с XIV до VIII века до новой эры, распространилось счетное искусство по финикийским колониям, которые были рассеяны по берегу Северной Африки (крупнейшей был знаменитый Карфаген) и южным полуостровам Европы.

Вавилоняне. Под этим названием понимают различные народы, жившие в южной части долины рек Тигра и Ефрата. В древнейшие времена ее населяли сумерийцы, а начиная с третьего тысячелетия до н. э. сумерийцев стали вытеснять аккадяне, около 2000 г. до н. э. окончательно овладевшие областью Двуречья. Возникшая в результате этого напластования народов культура пришла в упадок лишь за 500 лет до н. э. Еще сумерийцы употребляли для письма палочки с острыми концами, с помощью которых выдавливали на глиняных дощечках иероглифические знаки, понемногу упрощавшиеся и в конце концов у аккадян превратившиеся в так называемое „клинописное письмо“. Цифры вавилонян хорошо изучены, благодаря счастливой находке, которую удалось сделать в развалинах древнего знаменитого города Ниневии. Там под грудой мусора, пыли и пепла археологи открыли целую сохранившуюся залу, по нашему сказать, библиотеку, устроенную по приказанию царя Сарданапала за 7 столетий до н. э. Это была публичная библиотека. Вот еще когда и вот еще в каких странах открывались публичные библиотеки! Но книг в ней не было, а были целые ряды тонких глиняных плиток, обожженных и прочных, расписанных иногда красками и содержавших тексты самого разнообразного характера. Есть среди них и таблицы арифметического содержания.

Обширная торговля, вместе с развитием ремесел, нужды землемерия, заставили вавилонян заняться довольно сложными практическими вычислениями, а затем и перейти к некоторым более отвлеченным вопросам арифметики.

Ниже мы отметим и некоторые важные алгебраические открытия вавилонян. Наряду с этим мы уже здесь встречаем зародыши „мистической арифметики“, появление веры в какие-то скрытые, таинственные свойства чисел, гадание, волхование на числах, которым приписывалось особое символическое значение. Вероятно, именно вавилоняне оказали влияние на развитие таких же мистических идей у так называемых пифагорейцев. Астрология, предсказание судеб по положению звезд и планет также зародились в Вавилонии. Несмотря на борьбу с подобными лжеучениями со стороны более просвещенных ученых, в которую изредка вмешивалось и государство, слава и влияние халдеев были заметны еще в средние века в Западной Европе, и им даже приписывались особые кабалистические цифры, употреблявшиеся в астрологии.

Выше мы познакомились с вавилонскими клинописными знаками и их десятичной системой исчисления, построенной, примерно, на тех же началах, что и египетская. Мы упоминали и о том, что наряду с десятичной системой в Вавилоне издавна, более чем за 2000 лет до н. э., существовала еще шестидесятиричная система. Последняя заслуживает того, чтобы на ней остановиться отдельно. В шестидесятиричной системе, как и в десятичной, числа до 59 писались по принципу сложения, т. е. для обозначения, скажем, 35, трижды помещались рядом знак 10 и пять раз знак единицы ууу • Но следующие за 59 числа выражались уже на основе другого, гораздо более высокого принципа, согласно которому одна и та же цифра может выражать различные числовые разряды в зависимости от места, занимаемого ею в записи числа. Именно, число 60 снова выражалось знаком единицы, т. е. У, так что, например, W =64, У«У =60 + 21=81 и т. п. Таким образом, шестидесятиричная система, подобно нашей современной, о происхождении которой еще будет рассказано, носила позиционный характер.

Однако, для полного совершенства вавилонской системе кое-чего недоставало. Дело в том, что в ней, как мы видели, какой-нибудь числовой знак, допустим У, мог означать сам по себе не только 1, но и 60, и вообще

любую целую степень шестидесяти 60* = 3600,6е = 216000 и т. п., т. е. любой шестидесятиричный разряд. Например, запись <<< могла означать и 30, и 30 * 60 = 1800, и даже или и т. п. Вавилонской системе не было свойственно абсолютное поместное значение числовых знаков, как в нашей, где 1 сама по себе выражает только единицу и 10, 100 и т. д. обозначаются добавлением должного числа нулей, показывающего десятичный разряд, характеризуемый знаком 1. Поэтому точное значение записи вроде VVyV, которая могла обозначать, вообще говоря, 60п + 4 • 60™, где пит целые числа, выяснялось из связи с другими числами задачи или текста. Если, скажем, она встречается в таблице квадратов натуральных чисел рядом с числом 8, то ясно, что речь идет именно о 64, а не о 602 + 4-60 или 602 + 4 и т. п. Таким образом, эта незавершенность шестидесятиричной системы объяснялась отсутствием знака нуля.

В позднейшие времена, впрочем (не позднее III в. до н. э.) появился знак для недостающих разрядов внутри числа, имевший вид ^ . Но он не употреблялся в конце числа, так что запись Y^Vyy выражала бы 60Л + 4 • 60п~а, т. е. могла означать и 64^, и 602 + 4, и 608 + 4-60, но не 602 + 4 -60 и т. п. Знак для недостающих разрядов внутри числа имелся и у греческого астронома Птолемея (около 150 г. н. э.), несомненно следовавшего в этом за вавилонскими учеными.

Как же возникла вавилонская система, с ее позиционным характером, и откуда взялось в ней в качестве основного числа 60? Точных данных об этом, к сожалению, не имеется. Наиболее вероятным объяснением является то, которое дал крупнейший знаток древневосточной математики О. Нейгебауер. Он полагает, что эта система была постепенно перенесена в арифметику из вавилонской системы мер, в первую очередь весовых и денежных, с которыми арифметические расчеты были связаны особенно тесно. В давние времена в Вавилонии существовали различные группы больших и малых мер, менявшиеся от одной местности к другой. Единицы этих мер образовывали десятичную структуру внутри групп, т. е. в каждой из групп имелись меры 1, 2..., 10. Тогда единственной была еще десятичная система чисел, опери-

ровавшая, впрочем, лишь сравнительно небольшими числами, и из дробей знали лишь простейшие У8, Va» %, llv Потребности торговли, возраставшей вместе с установлением более прочных связей между отдельными городами и областями и объединением их в единое государство, потребовали создания единой системы мер. Естественнее всего было произойти этому так, чтобы высшие единицы мер могли содержать в себе по 2 и по 3 раза основные единицы низших мер, ибо половина и треть были конечно наиболее употребительными долями. Для этого, единица группы больших мер должна была быть шестикратной по отношению к единице меньших мер. А если эта низшая единица была в своей группе в 10 раз больше некоторой другой, то понятно, что отношение между единицей высших мер и малой мерой меньших мер получалось в виде 60:1. Изучение вавилонских мер веса (о них см. стр. 124) на разных стадиях их развития хорошо согласуется с гипотезой Нейгебауера. С мер веса шестидесятиричное отношение перешло, естественно, на денежную систему, ибо деньги представляли собой куски драгоценных металлов определенного веса, а затем распространилось и на счет.

Существенным пунктом этой гипотезы служит, между прочим, то обстоятельство, что развитие системы мер в Вавилоне происходило в столь ранние времена, когда первоначальная десятичная структура получила еще весьма малое развитие.

Позиционный принцип появился далее следующим образом. Сперва для меньшей единицы веса и большей единицы употреблялся один и тот же знак У, только писавшийся во втором случае побольше. При объединении групп мер в одну знак У стал обозначать меры, одна из которых была в 60 раз больше другой. В записи он стал понемногу приобретать одинаковые размеры, а значение получал в зависимости от места в написании составного именованного числа. Понятно, что первоначально отсутствовал здесь знак для отметки отсутствующих мер и лишь в процессе дальнейшего арифметического развития в систему счета ввели необходимое дополнение, знак, отмечавший отсутствовавшие внутри числа разряды.1

1 См. О. Нейгебауер — „Лекции по истории античных математических наук“, т. I, М.—- Л., 1937.

Греки. Древнейшие цифры греков мы указали выше. Позднейшими цифрами, примерно, за 500 лет до н. э. стали служить буквы алфавита в их нормальном порядке. Единицы, десятки и сотни обозначаются по этой системе так: 1=з, 2 = ß, 3 = ?, 4 = 8, 5 = е, 6= S, 7 = С, 8 = т), 9 = 6, 10 = t, 20 = х, 30 = Х, 40 = щ 50 = v, 60 = 5, 70 = о, 80 = тт, 90 = Q, 100 = р, 200 = а, 300 = х, 400 = о, 500 = <р, ,600 = х, 700 = <Ь 800 = о), 900=^. Тут, как видно, всего цифр 27, а букв у греков в алфавите имеется только 24; поэтому для обозначения 6, 90 и 900 добавили к ним еще 3 буквы старинных, давно уже вышедших из практики, так называемые стигма, коппа, сампи.

Чтобы отличить число от слова греки проводили обыкновенно над цифрами черту, так например, te = 15, pxß = 122. Для обозначения тысяч они пользовались опять 9 первыми знаками, ставя слева внизу небольшой знак ударения, например, /а = 1000, /ß = 2000, ,4 = 3000, /<*pbe= 1575, ,еттс = 5380, Л)о)|аХ 9843, /yXv8 = 3654. Десяток тысяч составлял новую употребительную единицу счета — мириаду. Греки пользовались мириадами, подобно тому, как мы применяем тысячи и миллионы; можно сказать, что в греческом счислении класс состоял из четырех разрядов, а не из трех как в нашем, так что при выговаривании больших чисел они прежде всего указывали мириады, а после них тысячи и остальные все разряды. Знаком мириад был M или Mo. Две мириады, т. ^20000 обозначались трояко: через ßM, Muß или же Mo. Согласно этому Mo, aXir= 141 680. Как видно, цифры здесь располагаются от левой руки к правой, но это было не всегда, и мы встречаем кое-где отклонения от общепринятого порядка: в Сицилии и у малоазиатских греков можно было писать от правой руки к левой и при выговаривании чисел сперва произносились единицы, затем десятки, сотни, тысячи и высшие разряды.

Эта система нумерации, более выгодная, чем система геродиановых знаков, хотя и несколько труднее усваиваемая, не была все же удобна для обозначения очень больших чисел. Выше мы видели, как Архимед построил свою всеобъемлющую классификацию чисел.

Сирийцы. Их цивилизация относится к более поздним временам, чем финикийская, вавилонская и египет-

екая. Сирийцев можно назвать в некотором роде приемниками финикиян. По крайней мере, в III в. н. э. мы встречаем у них цифры, которые очень похожи на те, какие были в Финикии за много столетий до н. э. Позднее эти цифры были оставлены, и, начиная приблизительно с VII в. н. э., сирийская литература содержит буквы алфавита вместо цифр. Здесь мы находим то же, что и в Греции. Сирийский алфавит, как и еврейский, содержит 22 буквы. Для выражения простых единиц, круглых десятков и сотен от 100 до 400, букв алфавита было достаточно, как видим мы и у евреев. 500, 600 и далее до 1000 сирийцы означали при помощи сложения, так что 500 = 400+100, 600 = 400 + 200 и т. д. Круглые тысячи они писали как простые единицы, только внизу направо приставляли значок вроде запятой. Единицы и десятки увеличивались в 10000 раз при помощи маленькой горизонтальной черточки, которой подчеркивались цифры. Для записи миллиона приставлялись две запятые, обыкновенно,— одна слева, а другая справа.

Евреи, как греки и сирийцы, употребляли вместо цифр буквы алфавита (рис. 11). Точно сказать, когда именно евреи перешли к такой системе цифр — нельзя. Быть может, этот способ нумерации они заимствовали у греков. На еврейских монетах такие цифры встречаются не ранее 137 г. н. э., но возможно, что возникли они у евреев ранее.

Числа от 1 до 9 выражались у евреев первыми девятью буквами алфавита, круглые десятки (20, 30...90) девятью следующими буквами, затем круглые сотни —100, 200, 300, 400 четырьмя остальными. Так как в еврейском алфавите было всего 22 буквы, то для остальных сотен букв недоставало. Первоначально этот недостаток пополнялся тем, что вместо 500 писали 400+100, 600 = 400 + + 200 и т. д. Позднее эти сотни стали обозначаться теми формами, которые пять еврейских букв, обозначавших в обычном виде 20, 40, 50, 80, 90, принимают в середине или в конце слов (Капх, Мем, Нун, Пхе, Тцаде). Различие формы буквы в начале и конце слова читатель наверное встречал, если занимался немецким языком (два вида готического „эс“).

Рис. 11.

Тысячи обозначались опять при помощи букв алфавита, над которыми ставились тогда две точки, и так можно было писать числа до миллиона. Для выделения чисел в тексте применялся специальный значок, ставившийся у последней цифры. Цифры писались от правой руки к левой, в порядке уменьшающейся величины значений. Как известно, вообще у всех народов, так называемого, семитического корня, т. е. евреев, вавилонян, арабов, финикиян, абиссинцев, ассириян, письмо шло противоположно нашему, т. е. от правой руки к левой.

Славяне. Составитель славянского алфавита, Кирилл (827—869), заимствовал систему цифр целиком у греков. Для славян была составлена алфавитная таблица цифр, сходная даже до мелочей с греческой. Например,- почему 2 обозначается по-славянски через „веди“, а не через „буки“? Потому что в греческом языке нет отдельных звуков „б“ и „в“, a есть для них общая буква „вита“ или „бета“. Почему „фита“ обозначает девять, хотя ей место в самом конце алфавита? Потому что в греческом языке ей соответствует буква 6, которая и стоит здесь на своем месте, а не в конце алфавита. Червь, обозначающий 90, поставлен вместо коппы, так как по-гречески нет звука „ч“ совсем, а по-славянски нет коппы. Вот ряд славянских цифр:

Тысячи обозначались теми же буквами, что единицы, но с добавлением значка, который ставился налево от цифр, выражающих количество тысяч. Вообще, повторяю, славянская система — полнейшая копия греческой: так же берутся буквы алфавита, похоже обозначаются тысячи, и даже есть наклонность к счету мириадами, т. е. десятками тысяч. Впрочем, большие числа в старинных рукописных славянских сборниках встречаются не очень часто. На рисунке 12 приведены обозначения больших количеств: тьмы, легиона, леодра, вранов. Эти изображения встречаются в старинных рукописях, но грамматических, а не арифметических, так как в арифметических рукописях XVI—XVII столетия предпочитали пользоваться цифрами обыкновенными, которым мы даем название арабских.

Римляне. Их система цифр не принадлежит к числу удобных и разработанных, свидетельством чего служит то обстоятельство, что в ней сильны остались следы старой пятиричной системы счета.

Свои цифры римляне, вероятно, получили от этрусков— древнейших обитателей Италии.

Римские цифры таковы: 1=1; V = 5; Х = 10, L = 50, С = 100, D = 500, M = 1000. Из этих семи знаков легко можно составить обозначения всех чисел. Тысяча иногда обозначалась не через M, а через (I), т. е., она обозначалась единичной чертой среди 2 скобок. Согласно этому десяток тысяч имел знак ((I)), сто тысяч (((I))), для миллионов брали оо.

При помощи раздваивания 3 последних знаков можно образовать 3 новых цифры: I)) = 5000, I))) = 50 000, 0] = = 500000. Отсюда можно представить себе, как получилось D для пятисот; это — тысяча (I), разделенная пополам,— правая часть взята, а левая откинута.

Значения отдельных знаков при письме чаще всего складывались, например 111 = 3, XIII = 13, MDCCCLXVI = = 1866. Но если высший знак стоял правее низшего, то это выражало отнимание, так например, IV = 4, IX = 9, XG = 90. Вычитать обыкновенно можно было не больше одного знака, а прикладывать — не больше трех однородных. Кроме того, прежде чем писать число, его разлагали на единицы, десятки, сотни и т. д., и чтобы написать хотя бы 990, писали сперва 900, затем уже 90, т. е. СМХС, а не отнимали прямо от тысячи десяток. Бывали, впрочем, изредка и исключения: ИХ = 8, вместо

Рис. 12.

VIII; Villi = 9, вместо IX; последняя фигура (Villi) была употребительна на памятниках и плитах, быть может во избежание недоразумений, ведь если подойти к плите с другой стороны, то IX покажется не 9, а 11 (XI).

Применение „принципа вычитания“ при нумерации, т. е. отнимание низшего знака от высшего, встречается довольно редко у других народов. Однако, мы все же находим его, например, у вавилонян.

Но лишь у римлян „принцип вычитания“ получил широкое употребление. Он отразился в самом латинском языке, на котором число 18, например, называется, как мы уже писали, „двадцать без двух“ (duodeviginti). Только в случае тысяч низший знак показывал умножение и, например, десять тысяч можно было писать через ХМ = = 10X1000, а сто тысяч через СМ; в последнем случае являлась полная возможность смешать 100000 с 900, потому что не видно было, надо ли 1000 взять сто раз или же отнять 100 от 1000.

Точно так же писали иногда ММ, и в этом случае опять не видно было, сколько тысяч обозначено этой формулой: две ли тысячи (М + М), или тысяча тысяч (М X М); и то и другое чтение можно было считать в принципе правильным; в каждом отдельном случае приходилось догадываться по смыслу, какое число имеется в виду. Чтобы избежать сомнений и ошибок римляне стали употреблять еще новый прием, обозначая тысячи горизонтальной линией вверху; по этому способу 1000 пишется Г, 100000= С, 1000 000 =М, равным образом СС = 200000, CLX= 160000. Знак П над цифрами придавал им значение сотен тысяч, так например |XVIl| = = 1 700000, |м| = 1000 - 100 000= 100000000. Знаменитый ученый и естествоиспытатель Плиний (в I веке н. э.) ввел для обозначения тысяч точку, следовательно, L«D = 50500. Встречаем и еще обозначение: Vm = 5000.

Мы видим, что в нумерации римлян существовала известная непоследовательность, которая могла даже приводить к различным толкованиям какой-либо числовой записи.

Вероятно, от римлян пошло обыкновение писать сумму денег в разных векселях, расписках и т. д. не только цифрами, но и словами. Для римлян это было очень важно и настоятельно необходимо, потому что все эти черточки при цифрах легко можно стереть, продолжить

и пополнить. История передает нам случай, когда из-за неясности написанного ряда цифр произошел большой спор относительно завещанного наследства. Гальба получил от Ливии Августы по завещанию 50 млн. сестерций (приблизительно 5 млн. руб.), но Тиверий, главный наследник, сумел доказать, что под этими цифрами надо разуметь только 500 000 сестерций; ему это удалось тем легче, что сумма денег не была написана словами.

При выговаривании больших чисел у римлян не было в распоряжении других слов, кроме тысячи. Поэтому 1000000000 они читали так: тысячью тысяча раз по тысяче.

Относительно происхождения римских цифр существует много различных мнений и догадок. Некоторые полагают, что начало этим цифрам дано буквами старинного алфавита. Другие объясняют так: первые три цифры I, II и III само собой понятны: они произошли от счета линий; цифра V образовалась из рисунка руки, т. е. пяти пальцев, потому что, если бы очертить кисть руки с раздвинутыми пальцами, то и получилась бы фигура, напоминающая цифру V; цифра десять своей формой косого креста разлагается на 2 пятка, приложенных друг к другу острыми концами; С, которое обозначает сто, является первой буквой числительного „Centum“, что значит сто; M — тысяча, это начальная буква латинского слова „Mille“ (тысяча). О том, как получился знак пятисот D, нами уже сказано выше. Так же можно объяснить и знак пятидесяти L, именно сто С а 50 = L, т. е. знак ста раздвоен на две половины, из которых нижняя взята, а верхняя половина отброшена.

ПРОИСХОЖДЕНИЕ НАШИХ ЦИФР.

Те цифры, которые употребляются в настоящее время почти всеми образованными народами и которыми пользуемся также и мы, называются обыкновенно арабскими; но это название они получили вовсе не потому, что обязаны своим происхождением арабам: правда, европейцы заимствовали их у арабов, но начало им дали, по всей вероятности, индусы.

Древнейшие арабские цифры не имеют никакого отношения к тем, которыми мы пользуемся теперь. Едва ли до VII в. н. э. были у них вообще какие-нибудь цифры. Только со времен Магомета (умер в 632 г. н. э.), когда

сразу был дан чрезвычайный толчок развитию арабского могущества и образованности, стало у них процветать и письмо. Первоначально арабы выражали числа, выписывая полные числительные имена; с течением времени они перешли от этого к первым буквам числительных имен; кроме того, подобно грекам и евреям они стали применять свои буквы в алфавитном порядке.

В конце VIII в. арабы начали употреблять индусскую систему цифр и обозначать числа так, как индусы. Сделать это было тем более легко и естественно, что Индия граничила с владениями халифов и между соседями постоянно были близкие отношения и торговые, и научные.

Заслуга индусов в развитии арифметики громадна и неисчислима. Во-первых, они сильно уменьшили количество цифр и довели его до 10, считая в том числе и нуль; между тем, у греков, у евреев, у сирийцев и т. д. цифр было не менее 27; правда, римляне умели обходиться 7 цифрами, но и у них был ряд дополнительных мелких значков. Во-вторых, в индусской нумерации господствуют необыкновенная простота, точность и единство; каждый разряд выражается обязательно одной цифрой, а не несколькими; значение цифры легко узнать по месту, которое она занимает, и не надо задумываться ни над сложением, ни над вычитанием соседних знаков, как это бывает в других системах; кроме того, десятки, сотни, тысячи и миллионы и высшие разряды пишутся, точно так же, как простые единицы, почему не надо изобретать особенных правил или значков для высших разрядов, а можно бесконечно прилагать одно и то же правило. Все эти выгоды настолько ясны и бесспорны, что все народы после ознакомления со способом индусов, меняли свои системы на индусскую. Так было и с арабами, и с Западной Европой, и с нами, русскими.

Главное преимущество индусской системы заключается в ее позиционном характере, т. е. в том, что значение каждой цифры вполне определяется ее местом. Если, например, цифра стоит на четвертом месте, справа, она выражает тысячи, и, следовательно, чтобы написать тысячу, надо только поставить цифру 1 на четвертое место, а не переменять ее форму или же приписывать какое-нибудь особенное слово или значок. В глубокой древности мы встретились с шестидесятиричной позиционной системой вавилонян. Быть может, вавилонская математика какими-либо путями повлияла на развитие индусской ну-

мерации. Но индусы сделали два важнейших нововведения. Они применили позиционный принцип к десятичному счету и ввели систематически знак нуля. Тем самым запись чисел приобрела полную определенность. В самом деле, вавилонское V могло обозначать и 1 и 60 и 60п, наша же запись 1 обозначает лишь единицу, а для того чтобы написать десять или сто, знак 1 должно поставить на втором (10) или третьем (100) месте, отмечая отсутствие единиц или десятков и единиц знаком нуля. Теперь идея поместного значения цифр и замены отсутствующих в числе разрядов знаком нуля кажется простой. Мы, пожалуй, удивляемся, что в ней трудного и как же было не дойти до нее древним ученым.

Но жизнь доказывает лучше всяких слов, что самые простые и общие идеи всегда и самые мудреные. Вот что говорит относительно этого известный французский математик прошлого столетия Лаплас: „Мысль выражать все числа 9 знаками, придавая им, кроме значения по форме, еще значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно понять, насколько она удивительна. Как нелегко было прийти к этой методе, мы видим ясно на примере величайших гениев греческой учености, Архимеда и Аполлония, для которых эта мысль осталась скрытной“.

Цифры индусов произошли, наверное, от первых букв числительных имен; это тем более возможно, что 9 первых числительных имен в их древнем языке (санскритском) все начинаются с различных букв. Индусская система расстановки цифр от правой руки к левой по разрядам ведет начало с III столетия н. э. Арабы, вероятно, ее переняли в VIII столетии и принесли в Европу в IX в., но до XIII. в. она распространялась в христианских государствах очень слабо, потому что сначала, как и все новое, была встречена с недоверием и с трудом проникала не только в широкие массы, но и в ученые круги. Нулем индусы стали пользоваться позже, около VII или VIII в. н. э. и во всяком случае не ранее начала V в. Определенное известие о нуле мы встречаем в первый раз в 738 г. К сожалению, мы совершенно не знаем, каким путем пришли индусы к созданию знака нуля. Возможно, что и в этом отношении влияние вавилонской математики здесь сказалось через посредство позднегреческих авторов.

Наши цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 получили, как признает большинство ученых, начало от индусов, но

это вовсе не значит, что цифры индусов имели именно такой вид, какой они имеют у нас.

В течение веков, переходя от народа к народу и от ученого к ученому, изменяясь при переписке, под влиянием характера письма, они успели почти совершенно потерять свою прежнюю форму и вылиться в новую, непохожую: от старинных первоначальных индусских цифр остались только слабые намеки в цифрах 1, 5, 8, да и то последняя цифра писалась в горизонтальном положении, вместо вертикального. Можно проследить, как из первоначальных фигур постепенно получались дальнейшие; и вот это-то сравнение формы знаков и убеждает нас в том, что цифры получили начало у индусов. В XIII столетии, когда индусская система сделалась известной всем европейским математикам, мы встречаем знаки 1, 3, 6, 8, 9, 0 почти в той самой форме, в какой они употребляются и теперь; остальные четыре цифры были не похожи на наши нынешние. В XV столетии окончательно выработались цифры 2 и 4, но 7 еще писали в виде ижицы или угла. 5 дольше всех не получало нынешнего облика и продолжало изображаться схоже с 4-мя. Едва в XVI столетии можно в первый раз встретить систему 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 в ее нынешнем, всем нам известном, виде. Эту изменчивость внешнего вида цифр легко объяснить тем, что до 1471 г., когда было отпечатано в первый раз математическое сочинение типографским шрифтом, все книги переписывались ручным способом, и влияние переписчиков на изменение форм цифр могло быть громадным. Кроме того, надо принять во внимание, что развитие цифровых фигур шло в течение многих сотен лет, и в нем принимали участие почти все образованные народы того времени. И если в наши дни, когда образование достигло высокой степени объединения, когда печатные шрифть получили устойчивую форму, все-таки замечается разнообразие в печатных буквах и в различных почерках, то тем более оно должно было проявляться в средние века, когда произволу переписчиков открывались самые широкие просторы (образцы различных типов цифр мы помещаем на рисунке 13).

Так, постепенно из индусских цифр образовались наши нынешние. Однако же, не все ученые согласны с тем, что дело шло именно так, а не иначе. Некоторые из них обратили внимание на то, что первые 4 цифры

древних египтян, которые выражают порядковые числительные, и, кроме того, цифра 9 сильно напоминают индусские цифры. Быть может, поэтому первыми изобретателями прообразов наших цифр скорее надо счесть египтян, а не индусов. Подобное предположение очень возможно, тем более, что есть в истории намеки на какой-то древнейший полумифический народ — кушитов, обитателей Эфиопии и Южной части Аравии; они могли бы быть посредниками между Египтом и Индией и передать цифры от египтян к индусам.

Другие полагают, что истинным посредником в переносе индусских цифр в Европу можно считать греческого философа, ученого Пифагора, жившего за 500 лет до н. э. В таком случае изобретение цифр отодвигается очень далеко. Это предположение не имеет под собой никакой почвы и не поддается никакой проверке, ибо сведения о жизни Пифагора, его путешествиях на Восток, в частности, в Египет и Вавилон, носят совершенно легендарный характер. Более основательно иное предположение, именно, что цифры индусов заимствовал не Пифагор, а его далекие философские последователи, так называемые, новопифагорейцы, жившие в Александрии, в Египте, во II — III столетии н. э. Через них согласно этому предположению индусские цифры распространились на берегах Северной Америки и в южной части Испании, входивших, как и Египет, в состав Римской Империи. Арабы познакомились с ними в первую очередь, и уже от арабов их взяли европейцы.

Последняя догадка, касающаяся наших цифр и, надо сказать, очень неосновательная, хотя и распространенная, заключается в том, что каждая цифра образовалась будто бы из стольких точек или черточек, сколько

Рис. 13.

в этом числе единиц. Если так, то цифра 4 состоит из '-It цифра 8 изх, цифра 7 из “{. Фактически, в отношении индусских цифр — это чрезвычайная натяжка и одна только игра остроумия. Таким путем можно всякую цифру привести к стольким черточкам или точкам, к скольким угодно. Цифру 3, например, можно заменить J { и тогда вышло бы, что она выражает собой число 6. Конечно, единица подходит под эту гипотезу, и римские цифры I, II, III, IIII совершенно соответствуют ей, но с индусскими цифрами ничего не сделать. Лучшим же доказательством ее несообразности является историческое развитие цифр, при котором они много, много раз меняли свою форму, делались неузнаваемыми, походили одна на другую. Только точное исследование историков могло разобраться и показать, как из первоначальной формы вылилась окончательная, путем многих и долгих преобразований.

Как сказано уже нами выше, цифры индусов попали в Европу в IX в. н. э., но до XIII в. они распространялись очень слабо. Причиной этого, как тоже упоминалось, было недоверие, с которым ученые средних веков встретили новинку. Средневековая школьная ученость (схоластика), правда, не гнушалась светскими науками, но в то же время она слишком высоко ставила латинский язык и римскую цивилизацию.

Западная Европа явилась преемницей и носительницей научных идей древнего Рима, подчинившего своей власти значительную часть ее территории и веками насаждавшего на ней свою культуру. Понятно, что средневековая арифметика пользовалась исключительно римским абаком (см. стр. 28) и римскими цифрами; хотя едва ли римляне оставили другое более неудачное и несовершенное наследие, чем их система арифметики. Во всяком случае косность и приверженность авторитетам римской учености долго не позволили многим и многим математикам средних веков из „абацистов“, т. е. последователей римской арифметики, превратиться в „алгоритмиков“, сторонников арабского счета. Робко и тайком, боясь навлечь на себя страшное обвинение в еретичестве, пробирались сильные умом и волей ученые монахи в Испанию, чтобы там, в центрах мавританского просвещения, Барселоне и Толедо, напитаться открытиями свежей и новой, чуждой

им, образованности. Так сделал известный уже нам Герберт, выдающийся ум своего времени, достигший папского престола под именем Сильвестра II (ум. 1003). Крестовые походы, с их передвижением огромных человеческих масс из стран Европы в государства Азии, много содействовали усвоению науки греческой, арабской, персидской и индусской. Можно сказать, что арифметика едва ли в такой степени обязана своим развитием другому историческому движению, в какой она обязана Крестовым походам.

Замечательно, что итальянцы, эти первые посредники в сношениях Европы с Азией, в частности почти монополизировавшие торговлю с государствами, созданными на Востоке крестоносцами, явились в то же время и лучшими математиками того времени. Индусы дали зерно настоящей арифметики, а итальянцы его вырастили. Это объясняется вполне естественно. По роду своих занятий, прикосновенные к морской торговле и мореплаванию (недаром Христофор Колумб был родом итальянец), итальянцы особенно нуждались в арифметике для коммерческих вычислений, применяли ее в банках, конторах и т. п. (отсюда возник термин „итальянская бухгалтерия“). А оживленные коммерческие связи итальянских купцов с Востоком познакомили их с арабской нумерацией, быстро привлекшей их своим удобством и простотой. И как раз ученым купцам, которые руководились практическими соображениями, арабские цифры обязаны своим распространением, наталкивавшимся на сопротивление абацистов.

Еще несколько слов об индусах: им мы так обязаны усовершенствованием арифметики. Индусы явились изобретателями даже не одной, а многих арифметических систем. Так, например, индус Ариабгатта, ученый V в. н. э., брал 25 согласных букв очень богатого сложными звуками, почти не отличимыми для европейского слуха, и буквами санскритского алфавита и ими выражал все числа, начиная с единицы и оканчивая 25, особыми же буквами обозначал он и полные десятки до 100; а чтобы обозначить сотни, тысячи и т. д., он к предыдущим знакам придавал гласные буквы, причем особая гласная служила для выражения сотен, особая для тысяч и т. д. Например, *gau значит три, „gi“ = 300, „gw“ =30000, „ge“ = 30000000 000, mgau* 3 с 16 нулями. Математики Южной Индии для каждого из однозначных чисел имели по нескольку особых значков — букв, также имелось

несколько особых знаков в виде букв и для нуля. И вот, когда им приходилось обозначать количества разрядов какого-нибудь длинного числа они старались ставить буквы-цифры так, чтобы из них составилось какое-нибудь слово, имеющее смысл. Мало того, когда им приходилось запоминать не одно число, а несколько, то они ряд чисел заменяли целой фразой, которая опять-таки имела смысл. И, наконец, что всего удивительнее, при длинном ряде чисел, когда из них составлялось несколько фраз, индусы ухитрялись сочинять целые стихи и таким образом запоминать длинные таблицы; для этого, конечно, нужна большая сноровка и многолетние упражнения. И в наше время среди индусов встречаются такие виртуозы, что в уме совершают головоломнейшие вычисления, не прибегая к помощи цифр. Эти вычислители с помощью таких таблиц запоминают все промежуточные результаты устного счета, не теряют их и не сбиваются, как это непременно случилось бы с нами, кроме того, конечно, они пользуются различными искусственными сокращенными приемами.

Народ высокой культуры вообще и математической в частности, индусы многое сделали и в области алгебры, о чем мы скажем еще несколько слов в свое время.

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ИНДУССКИХ ЦИФР В РОССИИ.

Какие были цифры у наших предков до введения христианства? Вернее всего никаких. Для своих небольших расчетов, надо полагать, они пользовались или пальцами, или нарезками на палочках, иначе сказать, бирками, которыми и после еще веками пользовалось крестьянство. Знакомство с греками, введение христианства и перевод греческих книг—в первую голову, конечно, служивших для нужд религиозного культа — на славянский язык привели к тому, что в России появилась своя славянская система цифр, как простая копия и сколок греческой системы. Нерадостна и незавидна была первоначальная участь арифметики в средневековой России. Нужды в ней особой не чувствовалось по отсутствию образованности и слабому развитию торговли и применять ее необходимо было разве для вычисления пасхалии, т. е. для определения дня Пасхи и других переходящих праздников. Наоборот, надо сказать, на арифметику многие смотрели косо, неласково и с подозрением; она была на замечании

вместе с „Остронумеей“, еже есть „звездочётье“, и „волховованием“.

Однако в XVI—XVII вв. интерес к арифметике у нас, как и на Западе, только с некоторым отставанием, начинает расти и появляется переводная литература, особенно богатая задачами коммерческого содержания.

По мнению проф. Бобынина, появление в России первых арифметических рукописей должно быть отнесено к началу XII в. Среди них самая известная: „Кирика диакона и доместика Новгородского Антониева монастыря учение, имже ведати человеку числа всех лет“. Подлинники старинных рукописей, к большому сожалению для науки, утерялись постепенно в течение столетий.

Так, во время пожара Москвы в 1812 г. погибла древнейшая арифметика (XVI в.). „Сия книга рекома по-гречески Арифметика, а по-немецки Алгоризма, а по-русски Цифирная Счетная мудрость“. Самой замечательной из сохранившихся рукописей Бобынин признает арифметику (XVII в.) с таким характерным предисловием: „Пятая мудрость в семи великих мудростех нарицается Арифметика. Начало мудростем: Грамматика, Геометрия, Астрономия, Музыка. Те 4 мудрые книги. Сия мудрость есть изыскана древними философи остропаримого разума, нарицается арифметика, сиречь счетная-арифмос по-гречески счет толкуется. Без сея мудрости ни один философ, ни доктор не может быти. По сей мудрости гости по государствам торгуют и во всяких товарех и в торгех силу знают, и во всяких весах и в мерах, и в земном верстании, и в морском течении. Сия мудрость есть многих в прикупех корысти сподобляет и честь дарует и ум человеческий высокопарив творит, и память укрепляет, и острых острее творит в разум. И сего ради слыши сию мудрость и вонми, яже глаголет Арифметика. Аз есмь от Бога свободная мудрость высокозрительного и остромысленного разума и добродатное придарование человеческое. Мною человек превосходит безсловесное неразумие. Аз бо есмь своима легкима крылома парю выспрь под облаки, аще и несть мя тамо. Аз заочные, невидимые и предъочные дела объявляю; в солнечном же и в лунном течении разум многим подаваю; и в морском плавании и в земном верстании наставляю и меру указую; и в купеческих вещех, и во всяких числех недоумение разрешаю. И всего ради отъидите от меня иже меламколиею обдержаны суть, и у которых мозги

с черною желчью смешаны, а моим учеником достоит имети суптильный чистый и высокий разум“.

Такие пышные предисловия составляют характерную черту арифметик этого периода. Текст в них писан славянскими буквами, но цифры употребляются в большинстве арабско-индусские. В печатных сочинениях на славяно-русском языке индусские цифры появились первоначально при нумерации страниц в славянских книгах, изданных в Венеции в 1611 г. В 1647 г. в Москве издали книгу под заглавием: „Учение и хитрость строения пехотных людей“, в ней цифры на чертежах и относящемся к ним тексте были уже новые, а не старые — церковнославянские. В „Юрнале об осаде Нотебурга“ (1702 г.) половина экземпляров имела „числа русские“, т. е. славянские цифры, а другая „цифирные“.

Классический и знаменитый труд по части арифметики— „Арифметика, сиречь наука числительная. С разных диалектов на славянский язык преведеная, и во едино собрана и на две книги разделена. В лето от сотворения мира от Рождества Бога Слова ^Д$Г. Сочинися сия книга чрез труды Леонтиа Магницкого“. Это известная арифметика Магницкого (1703 г.), по которой учились все во времена Петра Великого; по ней работал самоучкой и наш великий Ломоносов. Это книга большого формата, напоминающая своей формой и шрифтом церковное „Евангелие“ или скорее „Апостол“. В ней более 600 страниц. Весь шрифт и обозначение страниц — славянские (на рис. 14 воспроизведена одна из страниц арифметики Магницкого), вычисления же производятся на индусских цифрах. Нумерация прямо и решительно к ним и переходит, минуя совершенно старые славянские знаки. „Что есть нумерацио: нумерацио есть счисление еже совершенно вся числа речию именовати, яже в десяти знаменованиях или изображениях содержатся и изображаются сице: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0“.

Во времена после-петровские совершенно исчезают славянские цифры и славянский текст. Книги принимают такие шрифт и форму, какими мы пользуемся и теперь. Напоминает лишь о старых временах тяжелый слог и неупотребительные в настоящем литературном языке выражения. Вот выдержка из написанного Эйлером руководства к арифметике „для употребления гимназии при императорской академии наук“, переведенного в 1740 г. с немецкого языка „чрез Василья Адодурова, академии

Рис. 14.

наук адъюнкта“: „Всякое число, как бы оно велико ни было, изъявляется весьма коротко и способно следующими знаками: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, которых знаменование, когда оные порознь рассуждаются, довольно известно, и того ради никакого изъяснения больше не требует“. Почти то же самое говорится и в „Сокращении математики“ С. Румовского (1760 г.): „При счислении чисел больше не употребляется, как десять следующих знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, которых знаменование всякому известно“. Замечательно, что у Румовского совершенно то же выражение, что и у Адодурова: „которых знаменование довольно известно“. Вот как любят авторы черпать один у другого не только доказательства и мысли, но и случайные фразы. Неудивительно потому, что в современных школах часто все еще по традиции решают такие арифметические задачи, какие были в сборниках тысячу лет тому назад.

Приведем еще небольшие выписки. „Знаки, употребляемые в исчислении, суть следующие: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9“. (Курс математики. Сочинение господина Безу. Перевод Василья Загорского, 1806 г.). В руководстве к арифметике, для употребления в народных училищах Российской Империи, изданном „от Главного училищ правления“, 1825 г., говорится так: „Знаки чисел суть следующие: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. К сим еще принадлежит знак единицы 1, и знак 0, который по себе ничего не значит и потому нулем называется. Все сии знаки цифрами именуются“. Как видим, в этой книжке новшество, именно знак 1 стоит отдельно. Объяснить такой факт можно влиянием некоторых математиков, которые согласно с древним Пифагором учили, что единица сама по себе не есть число, но только образует другие числа. Впрочем, подобное „новшество“ скоро опять пропадает, и уже в 1834 г. в арифметике, составленной Павлом Цветковым, мы читаем совершенно попросту и без затей: „Всевозможные числа изображаются десятью знаками или цифрами: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Каждая из сих цифр означает определенное и постоянное число единиц“.

ВЫГОВАРИВАНИЕ ЦИФР И ЧИСЕЛ.

Прежде всего, что значит слово „цифра“? Могу поспорить с вами, читатель, что, не особенно задумываясь, вы быстро решите этот вопрос и скажете: слово „цифра“

значит знак (а может быть, вы скажете — знак числа). Но это совершенно неверно. Слово „цифра“ имеет совсем другое значение и притом довольно неожиданное: по-русски это будет „ничто“. Как же так „ничто“? ведь это нуль, а кроме нуля есть еще и значащие цифры, к которым уж совсем нельзя применить смысла „ничто“? Объясним все это недоразумение подробно.

Изобретатели нуля индусы дали ему название „суниа“ (Sunya), что значит „пустое“, и этим указали на смысл нуля, заменяющего пустые разряды. Арабы, перенявши нуль и применяя его в своей арифметике, перевели кстати и индусское слово „пустое“ на свой язык: по-арабски пустое будет ас-сифр. И долго, очень долго сохранялся первоначальный смысл этого термина, так что цифрой называли только кружок, т. е. нуль. Сравнительно недавно окончательно оставили за цифрой нуль ее латинское имя (nullus по-латыни значит, никакой, ничтожный, пустой), арабский же термин распространили на все 10 знаков индусской системы. Даже в арифметике Магницкого, о которой мы говорили на предыдущих страницах, под цифрой разумеется только нуль, кружок, или как его называли в XVII в. „он“ (буква о). Вот как говорит Магницкий: „Вся числа в десяти знаменованиях или изображениях содержится, из них же девять назнаменовательны суть, последнее же 0 (еже цифрою или ничем именуется) егда убо [т. е. оно] едино стоит, тогда само о себе ничто же значит, егда же коему оных знаменований приложено будет, тогда умножает в десятеро“. Как видите, читатель, здесь вместо слова цифра употребляется знаменование, а цифрой называется один только нуль. А по-английски слово „cipher“ и сейчас имеет значение и цифры, и нуля.

Таково происхождение слова „цифра“. Чтобы перейти к выговариванию чисел, прежде всего скажем, что всякий народ, какой бы системой счета он ни пользовался, всегда делил многозначные числа, для удобства выговаривания и письма, на классы. Греки в основу класса полагали 4 разряда: у них был счет мириадами. Римляне же составляли класс из 3 разрядов. Наш настоящий порядок, во всей его основе, применяться стал с XVI столетия, причем в некоторых странах класс составляется не из 3, а из 6 разрядов, подразделяющихся в свою очередь на два подкласса, по 3 разряда в каждом. Подобная система в 6 разрядов ведет свое начало от

голландского математика Альберта Жирара (1629 г.). Кстати можно вспомнить, что и у греков было нечто в этом роде. Например, великий математик Архимед, в своей оригинальной системе классификации больших чисел, считал в каждом классе по 8 разрядов, вместо 4.

Классы отделялись друг от друга при письме различно: то между ними ставили черточки, то оставляли промежутки, иногда пользовались дугами, точками. В старинных немецких учебниках можно чаще всего встретить точки, и при том между 1 и 2 классом ставилась одна точка, между 2 и 3—две, и т. д., все больше и больше. Это помогало выговариванию. С 8 октября 1877 г. в Германии было принято (и даже утверждено Союзным советом), чтобы класс от класса отделялся промежутком, но никак не точкой, запятой и черточкой. С тех пор во многих математических книгах стали пользоваться именно этим порядком.

Названия больших чисел, начиная с миллиона, стали вырабатываться прежде всего в Италии, которая в начале новых веков справедливо могла считаться колыбелью математики. Так, термин „миллион“ появился там в XIV в. Слово „миллиард“, в смысле тысячи миллионов, образовалось во Франции в первой половине XIX в. „Биллион“ и „триллион“ впервые встречается в рукописи француза Н. Шюкэ (1484); при этом они обозначали у него квадрат и куб миллиона. Деление чисел на периоды по три цифры, вместо шести, начало входить в обычай с середины XVII в., сперва —во Франции. К новым терминам привыкали очень медленно, и поэтому в XVI в. можно было натолкнуться на такое чтение: 23 раза по тысячью тысяче тысяч, 456 раз по тысяче тысяч, 345 тысяч 678: все это равно числу 23 456 345 678.

ВИДЫ ЧИСЕЛ.

Какую цель преследует арифметика в наших школах? Очевидно, она желает научить действиям и решению практических задач. Но не всегда эта цель такой и была, потому что в различные века и при разных научных системах она то суживалась, то расширялась, то уклонялась в сторону. Она суживалась до вычисления одной только пасхалии в средневековых христианских школах; она расширялась до изучения алгебры у индусов и арабов, до извлечения корней в недавнее время и до пропорций

в наши лни; между т.ем извлечение корней и теория пропорции почти так же чужды арифметике в нынешнем ее понимании, как „разделение ветров во оризонте“ и „изображение кумпаса“, приютившиеся в „Арифметике“ Магницкого. Но самым уродливым уклонением нашей науки от ее истинного пути было то, что вместо вычислений и действий ряд ученых некогда занимался метафизической классификацией чисел и „открытием“ их таинственных свойств. Стремление к таким занятиям не раз прорывалось наружу, особенно у последователей мистических воззрений. Среди них первое место занимала школа греческого философа Пифагора. Она возникла, примерно, за 500 лет до н. э. в то самое время, когда, приблизительно, жили и действовали основатели новых религий: Зороастр в Персии, и Конфуций в Китае. Пифагорейцы ревностно разрабатывали числовую мистику, ища в числах и их сочетаниях сокровенный внутренний смысл. Выше всего ставилось число 36, как символ „всей вселенной“, на том основании, что число 36 равно сумме первых четырех четных и первых четырех нечетных чисел: 36 = 1+3 + + 5 + 7 + 2 + 4 + 6 + 8; числом 36 пользовались ученики Пифагора, как формулой торжественной клятвы. Число 9 было у них символом постоянства, так как кратные 9 имеют суммой цифр опять-таки 9, именно: у дважды девяти, т. е. у 18, сумма цифр 1 + 8 = 9, у трижды девяти, т. е. у 27, 2 + 7 = 9, у 36-ти 3+6 = 9 и т. д. до 81. Число восемь было символом смерти, потому что кратные 8, т. е. 16, 24, 32, 40 имеют все меньшую и меньшую сумму цифр: 7, 6, 5, 4. Единица обозначала дух, из которого проистекает весь видимый мир. Из единицы происходит двойка, символ материального атома. Принимая в себя опять единицу, двойка, или материальный атом, становится тройкой или подвижной частицей. Это символ живого мира. Живой мир плюс единица, следовательно, четверка, образует целое, т. е. видимое и невидимое. Так как 10= 1+ 2 + 3+4, то оно выражает собой „Все“. Пифагорейцы провозглашали число началом и основанием всех вещей, так как, по их словам, природа числа не допускает никакого обмена, она закономерна и неизменна, она проникает в неизвестное.

Такими-то хитросплетенными умствованиями занимались пифагорейцы; они не были в этом случае одинокими, потому что известно немало и других любителей таинственной, символической арифметики. Прежде всего

назовем египтян, у которых бог Озирис представлялся числом 4, богиня Изида числом 3, а „Время“ числом 5, и все это чертилось в виде прямоугольного треугольника со сторонами 3, 4, 5, в котором квадрат гипотенузы, 5 • 5 = 25, равен сумме квадратов катетов: 3 • 3 -f- 4 • 4. Числовые бредни вавилонских жрецов доставили им славу волшебников; каждый халдейский бог, от 1-го до 60-го, имел свое особое число, ему посвященное; даже и духи не были обижены, потому что и им были посвящены числа, но только похуже — дробные. Мистическое учение евреев, так называемая каббала (отсюда „каббалистические“, т. е. таинственные знаки) возникло за два века до н. э. и развивалось вплоть до XIII столетия и далее. Первые десять чисел считались у них „путями премудрости“.

Христианская средневековая Европа тоже не лишена была стремлений к таинственному, символическому толкованию чисел. Епископ майнцский Рабан Мавр в IX в. решал вопрос, почему Моисей и Илия постились ровно 40 дней? „А потому“ — отвечает Рабан, — что 40 состоит из 4 десятков и этим знаменует временную жизнь, ибо 4 выражает время, а в 10 можно распознать Бога и его творения“. Алькуин, друг императора Карла Великого, заинтересовался численной задачей: почему апостол Петр поймал 153 рыбы? не больше и не меньше, а ровно 153? Алькуину казалось, что он нашел решение:

153 = 1+2 + 3 + 4 + 5+6+7+8+9+ 10+ 11+12 + -j-13 + 14 + 15 + 16 + 17,

т. е. число 153 равно сумме первых 17 чисел. Но почему же именно 17? На это Алькуин ничего не отвечает.

Сколько времени и энергии тратилось на эти бессмысленные изыскания, переплетавшиеся с исследованием глубин числовых отношений! Правда, нельзя сказать, что эти труды были лишены всякого значения и пропали без всякой пользы. Связанное отчасти с ними изучение свойств целых чисел содействовало теории арифметики и, так называемой, теории чисел. Но вся эта мистическая и мистификаторская чепуха по существу являлась болезненным наростом на здоровом стволе арифметического знания.

Деление чисел на четные и нечетные известно было еще в древнем Египте: оно же было вполне известно и пифагорейцам, потому что уже во времена создания

их школы была в ходу игра „в чет и нечет“. Кроме того, пифагорейцы разделили числа на первоначальные (мы говорим „простые“) и составные; первоначальными они называли, подобно нам, такие числа, которые делятся только на единицу и само на себя, а составными те, которые можно представить в виде произведения двух множителей. Греки, любители и поклонники геометрии, геометрически представляли ряд арифметических понятий. Так, они придумали называть простые числа прямолинейными, а составные, являющиеся произведением двух сомножителей, плоскими, так как прямоугольные площади выражаются произведением сторон. Аналогично, произведения трех сомножителей, называли пространственными числами (отсюда же названия квадрат и куб для чисел вида аа и ааа, выражающих, соответственно, площадь квадрата и объем куба со стороной а).

Еще пифагорейцы выделили треугольные числа и квадратные: треугольное число то, которое представляет собой половину произведения двух соседних чисел, например, 6 будет треугольным числом, потому что его можно образовать умножением 3 на 4 и делением на 2; вот примеры треугольных чисел:

Другими словами, треугольные числа — это суммы чисел натурального ряда, т. е. арифметической прогрессии, первый член и разность которой равны единице и, в общем случае, имеют вид —Свое название они получили потому, что выражают число точек треугольной фигуры, первый ряд или вершины которой образует одна точка, второй ряд — две точки, третий—три и т. д., т. е. фигуры

Что значит четыреугольные или же квадратные числа, легко догадаться: то число, которое составлено из двух равных множителей; квадратные числа следующие: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 и т. д.

Эти числа в свою очередь давали число точек квадратных фигур вида

Аналогично вводились пяти-, шести-, вообще /г-угольные числа.

Кроме того у греков были „совершенные числа“. Под этим именем разумелись такие, которые равны сумме всех своих делителей, считая единицу; самые простые примеры совершенного числа 6 и 28, потому что 6=1 + + 2 + 3, а 28 = 1+2 + 4 + 7+14; другим примером может служить число 496; если сложить всех его множителей, считая и единицу, то в сумме получим опять 496; множители следующие: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248.

Наряду с совершенными числами греки рассматривали так называемые „содружественные“. Два числа называются содружественными, когда каждое из них равно сумме делителей другого; примером таких чисел могут служить 220 и 284; у первого из них делители 1, 2, 4, 5, 10,11, 20, 22, 44, 55, 110 дают вместе 284, а у второго делители 1,2,4, 71, 142 дают в сумме число 220. Мистики использовали по-своему содружественные числа. Приведем один курьез. Некий Эль-Мадшрити, умерший в Мадриде в 1007 году н. э., в своем сочинении о целях мудреца пытается уверить, что содружественные числа могут сыграть роль талисмана или приворотного зелья; а способ для этого очень простой: надо написать на 2 бумажках, на одной число 220, на другой — 284, сжечь их и пепел выпить с водой, большее число самому, а меньшее тому, кого желательно к себе расположить. Известный арабский ученый XIV в. Ибн-Халдун подтверждает, что действительно эти числа имеют значение талисманов, и что многие на деле это испытали и уверились; и он сам, Ибн-Халдун, на своем опыте в этом же уверился. Все изложенное выше принадлежит, главным образом, грекам, потому что все эти подразделения и все формулы разрабатывались в школе Пифагора и уже от позднейших его учеников перешли к арабам.

Мы обратимся теперь к некоторым подробностям римского счета. Вычисляли они, как выше уже сказано, все больше по пальцам и даже ухитрялись замечать на пальцах довольно большие числа, при этом единицы отмечались пальцами, а десятки до сотни — суставами пальцев, именно:

1 — мизинец согнут,

2 — четвертый и пятый пальцы согнуты,

3 — третий палец согнут и т. д.

10—верхний сустав указательного пальца прижат к нижнему суставу большого пальца.

20 — указательный палец протянут; большой палец приближается к нижнему суставу указательного.

30—верхние суставы большого и указательного пальцев сближены и т. д.

Подобная наклонность считать все по пальцам отразилась и на разделении чисел. Простые единицы до 10 назывались у римлян пальцевыми (digiti), круглые десятки назывались суставными (articuli), и, наконец, все остальные числа носили название сложных или сочиненных (compositi).

Когда христианство распространилось из Рима на всю Западную Европу, вместе с этим разлилась волна и римской образованности. Скудна была римская арифметика, но, за неимением лучшей, она царила безраздельно во всей Европе до XIII — XIV в. со своим абаком, римскими цифрами и пальцевым счетом. Скудна и бедна была теоретическая часть арифметики, но она ценилась тем выше, чем была беднее. Вследствие этого и разделение чисел на пальцевые, суставные и сочиненные бережно хранилось, как что-то священное и чрезвычайно важное, и передавалось от одного ученого к другому, даже тогда, когда Европа ознакомилась с индусской нумерацией и счетом, и дошло почти до наших дней. По крайней мере, оно проявляло признаки жизни в XVIII в., когда исчезли абак и пальцевый счет. Римские цифры оказались еще более живучими, так что помещаются в наших арифметиках и проходятся в школах по сегодняшний день. Мы видим пальцевые, суставные и сочиненные числа и в „Арифметике“ Магницкого (1703 г.).

В ней говорится: „Персты: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Сия изображения от многих называются персты, а толико их числом, елико и перстов есть по разумению некоторых. Составы: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200. Сия числа именуются составы, зане цифрою 0 всегда в десятеро составляют. Сочинения: 11,13,15,17,19,21,23, 25,27. Сия числа сочинения называются, понеже они из перстов и составов сочиняются“. Как видим, эти объяснения мало убедительны и исторически не верны. Впрочем, автор добавляет еще объяснение, которое, пожалуй, не столько уясняет, сколько запутывает дело: „Умствовати

же вышеобъявленная перстовая, суставная и сочиненная числа, в сотни, в тысящы и вящще, сочинение от правые руки к левой исчисляя впредь в десятеро“.

ЧИСЛО И ПОРЯДОК ДЕЙСТВИЙ, ЗНАКИ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ.

На вопрос, сколько существует арифметических действий, теперь всякий может ответить, что их — четыре: сложение, вычитание, умножение и деление. Но не всегда было так; прежде действий насчитывали больше: 5, 6, 7 и даже 9. Откуда же их столько брали?

Во-первых, нумерацию принимали за особое действие и таким образом насчитывали 5. Во-вторых, долгое время у большинства писателей выделялись еще в особые правила удвоение и раздвоение. Выходит действий семь. К ним иногда присоединяли возвышение чисел в степень и извлечение корня, и получалось 9.

Происходила эта путаница от того, что авторы никак не могли согласиться, что разуметь под действием. Мы разумеем под ним составление нового числа по данным числам и потому не считаем нумерацию за действие.

Удвоение числа и деление пополам исстари, с глубокой древности, еще со времен египтян, считалось особым действием. Дело в том, что египтяне не знали общей операции умножения; заменой его у них служили последовательные удвоения и сложения результатов. Например, чтобы умножить 6 на 7, они составили произведения:

6X1= 6, 6X2=12, 6X4 = 24

и, складывая результаты, получали искомое 42. Точно так же египтяне не знали общей операции деления, а для нахождения частного удваивали последовательно делитель, и если нужно делили его пополам, а затем смотрели, какие промежуточные результаты нужно сложить, чтобы получить делимое. Таким образом, ими про-

изводилась еще операция „раздвоения“. Так, чтобы разделить 19 на 8, составляли табличку:

Здесь слева стоят множители 8, справа результаты удвоений и раздвоений, а черточками отмечены те числа, суммой которых и будет искомое частное, т. е. 2 -J- */4 + Vs«

Удвоение от египтян переняли не столько римляне, сколько арабы. Поэтому в борьбе новой арабской арифметики со старой римской, когда в XIII — XV вв. столкнулись латинская схоластика с индусской математикой, удвоение и раздвоение стояли на знамени новой науки и усиленно рекомендовались в качестве очень полезной и важной меры для лучшего усвоения действий. Ученый англичанин Сакро-Боско (это латинизированная форма его фамилии — Голивуд), живший в XIII в., рекомендовал начинать деление пополам справа, т. е. с низших разрядов, подобно сложению и вычитанию, а удвоение — слева, с высших разрядов, как это делал он и в умножении вообще и в делении. Сейчас нам совершенно непонятно, какие удобства могли бы представиться, если бы начинать деление справа, а умножение слева; мы, по крайней мере, стали бы производить эти действия совершенно наоборот. Наверное, такие же причины заставили и средневековых математиков поглубже вдуматься, есть ли, действительно, польза от того, чтобы удвоение и раздвоение отличать от простого умножения и деления; пришлось сознаться, что это только частные случаи главных действий; первый, кто авторитетно заявил об этом, был итальянец Лука Пачиоло (около 1500 г.). Он перешел к нашему обыкновенному способу деления.

Возвышение чисел в квадрат и куб и извлечение корней считалось необходимой принадлежностью арифметики почти до самого последнего времени. Эти два правила помещались в учебниках арифметики до 50-х и даже 60-х годов прошлого столетия. Теперь их пропускают, так как, чтобы их выяснить толково, надо

знать алгебру, и, следовательно, лучшее им место в алгебре.

Арабский математик Магомет бен Муса Аль-Ховаризми (около 830 г. н. э.), по имени которого вся система арабской арифметики получила у европейских переводчиков на латынь название „алгоритма“, не считал нумерацию за действие и принимал только следующие шесть: сложение, вычитание, деление пополам, удвоение, умножение и деление. Последовательность действий у него, как видим, очень оригинальная, хотя ей нельзя отказать в большой доле целесообразности, в смысле перехода от легкого к более трудному. Когда удвоение и раздвоение были оставлены, многие математики начали после сложения проходить прямо умножение, а потом уже вычитание с делением. И они поступали в этом случае основательно, потому что умножение опирается на сложение, а деление может приводиться к повторительному вычитанию делителя из делимого.

В минувшем XIX в. некоторые немецкие педагоги придумали из одного деления образовать два действия, первое производится когда требуется разделить число на несколько равных частей, а второе, когда надо узнать, сколько раз одно число содержится в другом. Такое разделение надо признать излишним, тут вовсе нет двух различных действий, а есть только два вида одного действия, причем в первом виде отыскивается множимое по произведению и множителю, а во втором — множитель по произведению и множимому. Отдельные знаки для этих двух видов мы также полагали бы лишними: делим ли мы, например, на пятерых или делим на пятки, и тут, и там мы все равно делим, поэтому и можно удовольствоваться одним знаком.

Поговорим теперь о знаках арифметических действий и прежде всего отметим, что потребность в знаках начала чувствоваться также давно, как и потребность в цифрах. Как цифрами первоначально служили наглядные фигуры и буквы алфавита, так и знаки образовались из чертежей и букв. Еще древние египтяне и вавилоняне употребляли при сложении и вычитании особые знаки. В IV в. н. э. Диофант Александрийский, знаменитый греческий арифметик, ввел вместо знака равенства букву t, начальную букву слова „tooi“, что значит „равны“, и у него же имелся знак для вычитания, похожий на перевернутую букву ф. Складываемые величины Диофант, а вслед за

ним и арабы, просто писал рядом и, действительно, здесь можно подразумевать сложение само собой. Вычитание у арабов обозначалось целым словом, которое, в переводе на русский язык, значит „без“. Вычитаемое арабы ставили налево, а уменьшаемое направо, — ведь они располагали слова от правой руки к левой. Знаком равенства у позднейших арабов XV в. была буква „lâm“ — последняя буква арабского слова „равняется“. Наш настоящий знак равенства введен в алгебру англичанином Робертом Рекордом в 1557 г. Косой крест при умножении был предложен англичанином же Оутредом в 1631 г. Но и до него этот знак употреблялся очень частой считался очень удобным, потому что он указывал не только действие, но и порядок действия. Именно, старинный употребительный способ умножения был способ „крестика“, в таком роде Х- Чтобы умножить 26 на 34, брали 4 отдельных произведения: 20 X 4, 6 X 30, 6 X 4, 20 X 30, из них два вертикально и два крест-накрест. Этот способ иначе называется хиазмом, потому что косой крест походит на греческую букву х (хи), и самый знак умножения назывался иногда „хи“. Замечательно, что он же продолжительное время служил и знаком деления дробей, так как в этом случае тоже приходится выполнять действие крест-накрест: числителя одной дроби помножать на знаменателя другой. Христиан Вольф в XVIII в., вслед за Лейбницем (1646—1716), предложил обозначать умножение точкой. Наши знаки плюс и минус в их нормальной форме встречаются в первый раз около 1489 г. в арифметике лейпцигского профессора Видмана. С 1600 г. уже во всех четырех действиях можно видеть настоящие знаки.

Теперь мы обратимся к определениям действий. Что показывает определение? Оно указывает смысл действия и его сущность. Так, например, определением умножения целых чисел служит следующее: „умножением называется такое арифметическое действие, в котором составляется сумма стольких слагаемых, равных первому данному числу, сколько единиц заключается во втором данном числе“. Надо сказать, что определения в первоначальной арабской арифметике были короткими и понятными и употреблялись только тогда, когда в них действительно являлась надобность, т. е., когда действие без определения пред-

ставлялось неясным и смешивалось с другим. Но, в противоположность этому, средневековая школьная ученость (так называемая схоластика) начала придавать словесным определениям слишком большое значение, начала требовать определений даже и в тех случаях, когда и без них понятия ясны, просты и не смешиваются. К этому еще присоединилось увлечение мнимонаучным языком, когда стремились нарочно выражаться туманно, тяжеловесно, нагромождая фразу на фразу, и все это с целым рядом придаточных предложений, в груде которых нередко было трудно дойти до истинного смысла.

Излишние и тяжело выраженные определения не мало мучили учащихся; средневековая варварская латынь и хитроумная риторика ложились тяжелым бременем на умственные силы учеников, и мало содействовали уяснению основных математических понятий. И в наши дни заметно еще некоторое влияние средневековой схоластики, особенно в немецкой школе. Недаром знаменитый русский педагог Ушинский говорит: „Для немца недостаточно понимать вещь, но ему непременно нужно определить ее и дать ей место в системах своих знаний. Определениями пустейших и ничтожнейших предметов набиты кипы немецких учебников. Без определения для немца и вещь не вещь“.

Приведем несколько примеров, которые доказывают, как иногда трудны и бесполезны бывают определения. В русской арифметике Румовского (1760 г.) относительно деления сказано так: „Деление есть способ из данных двух чисел D и M находить третье Е, в котором бы столько раз содержалась единица, сколько раз одно из данных двух чисел D в другом данном M содержится“. Как это мудрено и непонятно, хотя с научной точки зрения и правильно! Можно думать, что автор нарочно, с целью, так затемнил смысл ясного действия деления; ведь пятилетние ребята, если им дать яблоко и велеть разделить поровну, например, пополам, поймут, чего от них хотят, и с удовольствием решат задачу, но автор этой арифметики, должно быть, думал, что трудный слог содействует научности; напрасно: научность состоит в глубоких мыслях, а не в туманных фразах. Вот еще определения Генриха Шрайбера или, как он называл себя по-латыни, Грамматеуса (XVI в.): „Сложение, или суммирование, показывает сумму нескольких чисел. Умножение, или увеличение, описывает, как умножать

одно число на другое или увеличивать. Вычитание, или отнимание, открывает, как число вычитать, или как одно число отнимать от другого, чтобы видеть остаток“. Здесь только тавтологическая замена слов, ничуть не помогающая уяснению определяемых действий.

СЛОЖЕНИЕ ЦЕЛЫХ ОТВЛЕЧЕННЫХ ЧИСЕЛ.

Это действие бесспорно и без всякого сомнения занимает первенствующее место в ряду четырех действий, потому что без сложения не обойтись нигде. „Что есть аддицио или сложение?“ спрашивает учебник арифметики Магницкого и отвечает: „Аддицио, или сложение, есть дву или многих чисел во едино собрание, или во един перечень совокупление“. И продолжает сейчас же за этим: „Удобнейшего же ради, и скорого сложения, подобает прежде предложенную таблицу имети в разуме твердо, да всяких числ сложение творити имаши скоро и известно, без всякого забвения и лжи“. Табличку надо было выучить непременно наизусть и помнить ее твердо, твердо, иначе все арифметическое здание могло бы рушиться, потому что в старинные времена оно гораздо больше основывалось на чистом запоминании, чем на суждении и выводе. Учителя крепко убеждают помнить табличку, и вот даже стихи в той же арифметике:

„К двум един то есть три, Два же к трем, пять смотри, Так и все назирай, Таблицу разбирай. Хотяй же не лгати, Похвально слагати, Да тщится познати, Изустно сказати".

В наших нынешних учебниках арифметики таблица сложения начинается с 1 + 1 и кончается 9 + 9. Но прежде было иначе. Например, в арифметике Леонардо Пизанского, иначе прозывавшегося Фибонначи (около 1200 г.), первом европейском учебнике, составленном по арабскому образцу, рекомендуется заучить не только таблицу единиц, но и целую таблицу десятков от 10+10 до 90 + 90. Здесь, конечно, видна непоследовательность: если учить десятки, то отчего же не учить сотни, тысячи и все остальные разряды. В противоположность такой большой таблице, русские учебники XVII в. дают

таблицу маленькую, суммы которой кончаются всего на всего числом 11, и до 18 не доходят. Заглавие этой таблицы такое: „Граница изустная счетная к разуму хотящему разумети благая и полезная“. Подобных высокопарных выражений целая тьма в старинных арифметических пособиях.

Сложение больших чисел, особенно же многозначных чисел, издавна производилось гораздо чаще на счетных приборах, чем письменно. Разные наглядные пособия для счета и придумывались, главным образом, для того, чтобы помочь сложению. У китайцев,— сван-пан, у греков и римлян — абак, у нас, русских, торговые счеты, да, кроме того, еще несколько видоизменений этих приборов — все это служило целям отыскания суммы. И надо сказать, что привычка складывать на приборах очень укоренилась почти во всех странах, настолько сильно, что, например, римский абак употреблялся для сложения в Западной Европе спустя столетия 3—4 после введения индусской системы.

Способом, переходным от абака к нашему настоящему, является такой. Положим, даны нам два числа: 666 и 144; подписавши 144 под 666 и определив сумму единиц 10 мы стираем 6 у верхнего слагаемого и пишем вместо него 0, а так как сумма единиц дала десяток, то и цифру десятков 6 стираем и пишем 7, теперь слагаемые изменились: 670 и 140; десятков в сумме получится 11, следовательно, стираем 7 и заменяем через 1 и также вместо 6 сотен пишем 7; теперь нам остается только сложить 7 сотен с 1, будет 8, эта цифра пишется вместо 7 сотен, и весь ответ получается на месте первого слагаемого в виде 810. Пять раз нам приходилось стирать прежде чем добраться до верного ответа. Несомненно, таким путем трудно действовать на бумаге, но он был уместен на абаке, покрытом песком; можно употреблять его еще на грифельной доске, но эти постоянные стирания надоедают; почему же они применялись и на бумаге? ведь от них нет никакой выгоды и одно только неудобство? А потому, что прежняя метода обучения стремилась обратить человека в машину, не полагалась на его личную сообразительность и предписывала все отмечать на абаке, но никак не удерживать в уме. Мы теперь запоминаем десятки или сотни, получившиеся от единиц или десятков, а тогда все мелочи необходимо было писать, чтобы их не утерять.

Механический характер цифрового сложения, без всякого пособия устного счета, ясно проглядывает у большинства средневековых писателей. Позднейший арабский ученый Бега Эддин (1547—1622), как и мы, подписывает слагаемые одно под другим и складывает единицы, но когда из них образуется десяток, он до поры до времени записывает его над десятками; далее ведет сложение десятков и, только получив их сумму, он вспоминает про десяток, образовавшийся из единиц и тут его прикладывает. Сложение других разрядов идет подобным же образом. Пример:

Вот каково недоверие к устному счету и какая подробная механизация счета письменного!

В этом роде, иногда с небольшими улучшениями, составлен ряд учебников по арифметике в XVI—XVII вв. В них даются пространные правила, как надо располагать слагаемые и как замечать цифры. Эти правила нисколько не объясняются, и вычисляющий должен работать с ними, как машина. Например, Шрейбер — Грамматеус, в своем учебнике XVI в. дает три таких правила: 1-е: Смотри тщательно, чтобы цифры стояли как раз одна над другой так, чтобы 1-я стояла над 1-й, 2-я над 2-й и т. д.; проведи под этим линию, под которой и надо писать сумму. 2-е правило: Начинай с правой руки, сложи все числа, которые стоят на первом месте; если получатся от сложения две цифры, то первую напиши, а вторую удержи в уме, с тем, чтобы прибавить ее к следующей; так же поступай и со всеми остальными. 3-е правило: В конце ничего не надо держать в уме, но все надо писать: Все время употребляй слово „и“ или „да“, например, три да четыре — семь.

В настоящее время способ сложения тот же, что и в старину. Правда, мы всегда начинаем действие с правой руки, когда вычисляем письменно, в старину же делали и с левой. Кроме того, мы обучаем наших школьников совершенно сознательно относиться к действию и понимать, что и для чего делается. Но в общем характер

сложения не изменился с тех самых пор, как установилась индусская система с ее нулем и поместным значением цифр.

Некоторые особенности можно отметить только в следующих трех приемах, которые принадлежат индусам, арабам и грекам.

Арабский ученый Алькальсади из Андалузии (XV в.) советует писать сумму над слагаемыми, а те цифры, которые мы обыкновенно держим в уме, помещать внизу. Например, дано сложить 48 с 97. Получится такое вычисление:

Такая запись довольно неудобна, потому что при ней необходимо вперед приготовить место для суммы.

Греческий монах Максим Планудес (XIV в.), один из немногочисленных представителей научной математики византийского государства и к тому же ученый не самостоятельный, а черпавший свои приемы из арабских источников, предлагает записывать сумму над слагаемыми, а не под ними, в остальном же его способ сходен с нашим.

Индусы, более всего расположенные к устному счету, вводили в сложение, сравнительно с другими народами, менее механических приемов и старались развивать в учениках сообразительность, быстроту вычислений и уменье упрощать действие. При многозначных числах они писали слагаемые в строку и складывали их по разрядам. 365 + 867+992 индусы вычисляли так: 5 + 7 + 2= 14, 6 + 6 + 9 = 21, 3 + 8 + 9 = 20; всего 2224. Так идет дело у индусского писателя Баскары (XII в. н. э.).

Заканчивая эту главу, упомянем еще о терминах сложения, т. е. о названии действия и об именах данных и искомых при нем чисел. Средневековая арифметика вводила массу терминов. Так вместо „сумма“ говорилось еще: агрегат, коллект, продукт. Вместо „сложить“ итальянский ученый Тарталья (1499—1557) приводит целых 12 терминов. В старинных русских арифметиках, наряду со „слажением“ применялось еще латинское слово „аддицио“, слагаемые назывались перечнями, а сумма — исподним большим перечнем (числом), очевидно потому что принято было писать ее внизу, под малыми перечнями.

ВЫЧИТАНИЕ ЦЕЛЫХ ОТВЛЕЧЕННЫХ ЧИСЕЛ.

Мы знаем 5 основных способов письменного вычитания многозначных чисел, считая в том числе и тот, который у нас общепринят теперь. Начнем с него. Мы производим письменное отнимание от правой руки к левой, чтобы удобнее было занимать, а это приходится делать всякий раз, когда какой-нибудь разряд вычитаемого больше соответствующего разряда уменьшаемого. В противоположность такому порядку, встречавшийся уже нам арабский математик Магомет Аль-Ховаризми, живший при дворе халифа Аль-Мамуна в IX в., настаивал на вычитании с высших разрядов, т. е. от левой руки к правой; причины он не объяснял, а просто говорил: „так полезнее и легче“: Вовсе не легче, прибавим мы от себя, потому что, если случается занимать, то нужно бывает перетирать цифры. Впрочем, весьма возможно, что Аль-Ховаризми вычислял на песке, на абаке, и ему ничего не стоило переменить лишний раз цифру; но очень нерасчетливо поступают те авторы, которые ведут вычисления на бумаге, а правила дают такие, какие хороши только для абака; ведь на абаке все можно стереть и все заменить новым, а на бумаге постоянные перечеркивания приводят к путанице, сбивчивости и к лишним усложнениям. Вот пример, взятый из одного немецкого сборника XIII в. Дается вычесть 144 из 810; отнимаем 4 от 810, получится 806; при этом цифры 1 и 0 мы заменяем цифрами 0 и 6. Далее, вычитаем 4 десятка из 0, надо занять сотню, остаток будет всего 766; при этом цифры 8 и 0 заменялись другими: 7 и 6. Когда, наконец, вычтем 100 из 766, то получим ответ 666. Таким путем после трех изменений цифр, приходим мы к ответу 666. Максим Планудес (XIV в.) вычитает, точно так, как мы, но пишет все вычисления гораздо подробнее, ибо не надеется на устный счет и приводит все дело к механическому записыванию. Если бы потребовалось вычесть 26158 из 35 142 по Планудесу, то, во-первых, мы должны были бы остаток записать вверху над чертой (как и сумму он рекомендует разность писать вверху над слагаемыми):

Во-вторых, над уменьшаемым появился бы какой-то странный ряд цифр 24031. Объясняется он так. Когда мы начинаем действие справа и хотим вычесть 8 из 2, то, конечно, нам вычесть нельзя, и мы должны к 2 единицам еще занять 1 десяток из 4; вот этот-то занятый десяток и пишется над цифрой единиц и образует вместе с ней 12; 8 из 12 = 4, следовательно, простых единиц в ответе 4. Вычитая далее десятки, мы должны считать их в уменьшаемом не 4, а 3, так как один десяток раздроблен в простые единицы; и вот, чтобы не сбиться, Планудес ставит над цифрой десятков 4 новую цифру 3 и точно так же продолжает находить ответы для сотен, тысяч и десятков тысяч. Из этого видно, что ряд цифр 24031 представляет собой исправленные разряды числа, когда в них произошло занимание.

Во всех разобранных примерах, начиная с Аль-Ховаризми, проявляется, несмотря на видимое разнообразие подробностей, один и тот же основной прием — очевидно, тот самый, который применяется и в нашем способе вычитания. Не важно, с какой руки начинать действие, и где записывать цифры, которые мы привыкли держать в уме; важно, как производится занимание, потому что оно составляет самое трудное и сбивчивое место во всем вычитании. Во всех примерах, взятых выше, занимание производилось нормальным путем: если, например, единиц внизу больше, чем вверху, то берется десяток, прикладывается к единицам, и таким образом действие становится возможным. Ввиду одинаковости способа занимания, мы относим все предыдущие примеры к одному виду, который и называем первым способом вычитания.

Чтобы объяснить второй способ, берем пример: 5975—497. Так как 7 из 5 не отнимается, то отнимаем 7 из 15, будет 8. Но вычитая 7 из 15, а не из 5, мы этим к уменьшаемому прибавляем лишний десяток, так как в нем простых единиц всего только 5, а мы говорим 15. Не будем занимать этого десятка отдельно в десятках уменьшаемого, — таким путем мы опять пришли бы к 1-му способу; вместо того, мы отнимем этот занятой десяток от 7 десятков уменьшаемого тогда, когда будем отнимать десятки вычитаемого, и нам вместо 9 придется отнять 10 десятков; так как 10 из 7 не вычитается, то надо занять сотню: ее мы опять-таки не будем занимать отдельно и не будем отнимать прямо от 9 сот уменьшаемого, а вы-

Рис. 15.

чтем вместе с 400. Тогда, отнявши от 9 сот 5 сот, получим 400. Теперь легко понять, чем отличается второй способ вычитания от первого. По второму способу тот десяток или та сотня, которые мы занимаем, не отнимаются сейчас же от десятков или сотен уменьшаемого, а придаются к десяткам или сотням вычитаемого, и тогда уже вычитаются вместе с ними; следовательно, не цифры уменьшаемого понижаются на единицу, а, наоборот, цифры вычитаемого повышаются на единицу, если только, конечно, из соответствующего разряда занимают. Вот еще пример: 1236—879. Решение: 9 из 16 будет 7, 8 из 13 будет 5, 9 из 12 будет 3, всего 357. Чтобы отметить, какие цифры вычитаемого повышаются, над ними ставят точки. Этот второй способ получил начало уже давно, еще со времен М. Планудеса и ранее, применяется же он теперь иногда во французских школах. В нем видят даже некоторое удобство, сравнительно с нашим приемом, потому что в нем занятая единица всегда прикладывается, а у нас отнимается, прикладывать же вообще проще и естественнее, чем отнимать; — сама арифметика начинается с элементарного прикладывания, т. е. счета по единице. Но, разумеется, эта выгода довольно призрачна, и все дело зависит от привычки: нас приучали с малых лет ставить точку над уменьшаемым, а не над вычитаемым, и это нас не затрудняет, а даже кажется более легким.

Третий способ, предложенный Адамом Ризе, немецким арифметиком и педагогом XVI в. (1492—1559), примыкает к первому (на рис. 15 титульный лист арифметики Ризе). Объясним его на примере: 85322—67876. Ведем вычитание с простых единиц. По обыкновенному приему надо бы 6 вычесть из 12, а мы по этому третьему способу вычтем 6 не из 12, а из 10, и этот 1 десяток занимаем у 2 десятков уменьшаемого. 6 из 10 — составит 4, да 2 единицы имелись в уменьшаемом, всего будет 6. Далее вычитаем десятки. Так как 7 не вычитается из 2, или вернее из 1, потому что один десяток мы уже заняли, то надо нам занять сотню и раздробить ее в десятки; сотня дает 10 десятков, вычтем из них 7, тогда получим в разности 3; да еще в уменьшаемом 1 десяток, итого накопится в остатке 4. Так же поступаем и с остальными разрядами: 10—8 = 2, да 2, всего 4 сотни; 10—7 = 3, да 4 тысячи, всего 7 тысяч; 10—6 = 4, да 7, всего 11 десятков тысяч; но из этих 11 десятков тысяч надо исключить 1 сотню

тысяч; ведь мы ее как бы заняли, а между тем занять-то было не у чего и потому мы ее теперь и счеркиваем у остатка, и окончательно находим 17446. Вывод относительно третьего способа получается следующий. Он основан на отнимании каждого разряда вычитаемого от 10 и прибавлении к получающимся разностям разрядов уменьшаемого. Так как разность между каким-нибудь однозначным числом и десятью называется дополнением этого числа до 10, то можно сказать, что в способе Адама Ризе к разрядам уменьшаемого прикладываются дополнения разрядов вычитаемого до 10. Еще пример:

Решается он так: 4, дополнение 6 до 10, да 1, будет 5; 10 дополнение нуля до 10, да 8, потому что 1 занята, составит 18, из них 8 пишем, а 1 сотню отбрасываем, потому что, когда мы брали дополнение, то для этого нам необходимо было иметь сотню, а так как мы ее не занимали в уменьшаемом, то и счеркиваем ее в остатке. Так же поступать надо и в других подобных случаях, именно когда дополнение вычитаемого вместе с разрядом уменьшаемого даст более 10, то десяток счеркивается. Способ Адама Ризе был знаком его современникам, но особого развития и распространения он не получил. Он очень напоминает новый, пятый способ, который помещаем ниже.

Четвертое правило вычитания принадлежит уже знакомому нам Алькальсади (XV в.). Чтобы, например, вычесть 287 из 573, надо сперва 7 простых единиц вычесть из 3. Конечно, 7 из 3 не вычитается, но прежде чем занимать десяток, Алькальсади задается вопросом: много ли недостает к трем, для того чтобы из них можно было вычесть семь? Оказывается, недостает четырех. И вот мы занимаем теперь десяток из 7 десятков, раздробляем его в единицы и вычитаем столько, сколько нехватало, т. е. 4, в остатке будет 6. Таким же образом идет вычисление и с десятками, и с сотнями: 8 из 6, недостает двух, вычитаем 2 из 10, будет 8 десятков; наконец, 2 сотни из 4 сотен дадут 2 сотни, всего 286.

Связь между способами первым, третьим и четвертым мы представим для ясности еще раз на двузначных числах. Возьмем 41—27. По первому способу необходимо 7 вычитать из 11, по третьему, 7 вычитается из десяти, и к полученному прибавляется 1, а по четвертому — из 10 вычитается недостаток единицы против 7. Что касается второго способа, то в нем, как и в первом, 7 вычитается из 11, но зато потом, когда идет отнимание десятков, не 2 десятка отнимается из 3, а 3 из 4.

Пятый и последний способ сходен по своей основной мысли со способом Адама Ризе. В нем прибавляется к разрядам уменьшаемого дополнение разрядов вычитаемого, причем дополнение берется то до 10, то до 9: до 10 тогда, когда над цифрой уменьшаемого не стоит точки, которая бы показывала, что здесь единица занята, а до 9, когда стоит точка. Пример: 731—264. Чтобы произвести это вычитание по пятому способу, прибавляем к одной простой единице уменьшаемого 6, т. е. дополнение 4 единиц вычитаемого до 10; получится 7. Далее берем десятки: 3 да 3 составит 6, причем вторая тройка представляет собой дополнение 6 десятков вычитаемого до 9, а до 9 потому, что над десятками уменьшаемого должна стоять точка, как знак занимания. Наконец, определяем сотни: 7 да 7 будет 14, 4 берем, а 1 скидываем. Окончательный ответ будет 467. Теперь надо объяснить, почему мы так делаем, и на чем основан этот способ. Нам требовалось отнять 264, а мы не только не стали отнимать, но даже начали прикладывать и приложили всего 7 сотен 3 десятка 6 единиц. На сколько же мы ошиблись, благодаря тому, что вместо отнимания 264 прибавили 736? Очевидно, на 736 + 264, т. е. ровно на тысячу.

Эту свою ошибку мы и исправляем в самом конце, отчеркивая у ответа тысячу. Если бы нам дан был пример 34985 322 —12467 876, то вычисление получилось бы такое: 2 + 4 = 6, 2 + 2 = 4, 3+1=4, 5 + 2 = 7,8 + 3 = 11, из этого левая единица скидывается: 9 + 6=15, 4+8= = 12, 9 + 3=12, все левые единицы скидываются. Если нужно действие производить поскорее, то лучше точки ставить не над уменьшаемым, а над вычитаемым. И вообще этот пятый способ напоминает собой второй способ тем, что занимаемую единицу можно считать приложенной к вычитаемому, а не отнятой от уменьшаемого.

ТАБЛИЦА УМНОЖЕНИЯ

Твердое знание таблицы умножения издавна требовалось от учеников и считалось совершенно необходимым. Составителем таблицы легенда называет Пифагора.

Впервые встречается такая таблица, расположенная в форме шахматной доски с 100 клетками у неопифагорейца Никомаха (I в. н. э.). Эта таблица могла бы служить таблицей умножения, хотя у Никомаха, видимо, она служила для изучения некоторых числовых отношений.

Таблица умножения имелась в сочинении Боэция (V в. н. э.). В средние века ни один автор не забывает напомнить, что преимущественно перед всем следует хорошо знать такую таблицу. Авторы старинных русских математических сборников также помещают таблицу, или „границу умножалную“ под титулом „граница изустная большему счету разум подает хотящему в нея зрети“; они тоже требуют заучивания: „надобе сии изустные слова памятовати и в памяти крепко держати, всегда во устех обносити, чтобы во уме незабыты были“. Вот стихи из Магницкого:

„Аще кто не твердит, Таблицы и гордит Не может познати, Числом что множати. И во всей науки,

Не свобод от муки. Колико ни учит Туне ся удручит. И в пользу не будет, Аще ю забудет“.

В римских школах таблицу заучивали хором на распев. В наших современных учебниках по арифметике таблица умножения содержит в себе обыкновенно произведения всех однозначных чисел, начиная с 2X2 и кончая 9 X 9. В средние века смотрели на это дело иначе; тогда и в арифметике, и в других науках давали большой простор памяти, а поэтому заучивание применяли широко; требования в этом отношении простирались так далеко, что ученики иногда обязаны были запоминать произведения всех первых сорока чисел на однозначных множителей, следовательно, 360 произведений (среди них, правда, 36 повторяющихся), кроме того, квадраты всех чисел, выраженных полными десятками, кончая 90 X 90, и произведения всех однозначных чисел на полные десятки, кончая 9X90. Всего набирается более 400 произведений. И такую-то массу должна была поглотить память уча-

щихся! Сколько же труда и сколько времени надо было истратить на это! Ведь учили прямо наизусть, без всяких разъяснений и в громадном большинстве случаев без всякого понимания. Трудно бывает и теперь ребятам, если их заставляют заучивать таблицу умножения, не напрактиковавши их и не показав, как она составляется; но неизмеримо труднее приходилось ученикам средневековой школы, в которой требовали гораздо больше, а давали гораздо меньше1.

Римляне, чтобы облегчить себе перемножение чисел, содержащих много разрядов, пользовались длиннейшими таблицами умножения, в которых множителями служили все числа до известного предела. С такими таблицами — их, конечно, не заучивали, а только держали под рукой— римляне довольно быстро вычисляли сложные и трудные произведения.

Письменно таблица представляется в различных формах. Из них самая общеизвестная — „Пифагорова“ таблица; ее мы не помещаем, она есть в каждом учебнике. Но есть еще фигура треугольника:

Французский математик Н. Шюке (1484 г.) представляет таблицу умножения в такой форме:

1 Бельдоманди, итальянский математик (около 1380—1428), помещает в своей рукописной арифметике таблицу умножения всех чисел в пределе 22. По его словам, надо было пойти и дальше, да листа нехватает.

Про то, как составляется обыкновенная таблица умножения, в большинстве учебников подробно объяснялось несколькими, иногда многими способами. Но пропускался самый главный и простой способ, когда таблицу составляют последовательным сложением, или набиранием. Вместо него приводились такие запутанные и искусственные приемы, что, действительно, гораздо легче было выучить таблицу наизусть, не понимая ее, чем запомнить эти приемы и особенно понять их; они представляли собой словесно изложенные алгебраические формулы и помещались, как видно, больше, для того, чтобы придать курсу серьезную, научную окраску. Между прочим, встречаем в старых арифметиках такое правило: „умножь первого производителя на 10 и вычти отсюда произведение того же первого производителя на дополнение второго производителя до десяти“; это яснее видно на примере: чтобы составить, например, 4X7, надо 4 умножить на 10, будет 40, потом 4 на 3, потому что 3 служит дополнением 7 до 10, будет 12, и, наконец, из 40 вычесть 12, тогда остаток 28 и составит произведение 4 на 7. Все эти лишние хлопоты, очевидно, опять-таки, имели целью обойтись без полной таблицы умножения и ограничиться ее знанием до 5X5. Это — один из случаев, встречавшегося уже нам „дополнительного умножения“.

РАЗВИТИЕ НОРМАЛЬНОГО ПРИЕМА УМНОЖЕНИЯ.

Нам, привыкшим к определенному порядку умножения, представляется чем-то странным, что могут существовать еще другие способы, настолько мы сжились со своим.

А между тем их очень много, и ни в каком другом действии не встречается такого большого разнообразия, как в умножении. В старину всякий автор выбивался из сил, чтобы придумать, какое-нибудь изменение или улучшение. Мы приведем 26 способов, не ручаясь, конечно, за то, что здесь собраны все без остатка; весьма возможно, что есть и другие, скрытые в тайниках книгохранилищ, разбросанные в многочисленных, главным образом, рукописных сборниках. Мы начнем с современного нормального способа и постепенно перейдем к тем, которые более всего от него уклоняются (на рис. 16 воспроизведены различные способы умножения из одной арифметики XV в.).

1. Автором нашего нормального способа умножения многозначного числа на многозначное следует считать Адама Ризе (XVI в.). В его руках он получил последнюю отделку и завершение, и теперь он считается самым удобным. Характерная черта способа Адама Ризе заключается в том, что одинаковые разряды всех чисел и множимого, и множителя, и произведения стоят один под другим

Рис. 16.

в одном вертикальном столбце; благодаря этому сразу видно, к какому разряду принадлежит известная цифра, и, следовательно, сбиться в этом почти нельзя. Между тем, расстановка разрядов бывает самым трудным местом при умножении, в чем вы, читатель, убедитесь, когда просмотрите остальные способы. Среди них есть и более скорые, но нет ни одного такого, который представлял бы меньше возможности сбиться. Примера на первый способ мы проделывать не будем, так как всякий сумеет его придумать и решить. Скажем еще раз: наш настоящий нормальный порядок умножения более всего напоминает вычисление по колоннам абака, настолько выдержано в нем подписание одних и тех же разрядов в вертикальном столбце.

2. Первый способ непосредственно образовался из второго, от которого отличается такой особенностью: мы теперь не пишем лишнего нуля у второго неполного произведения, двух нулей у третьего и т. д., потому что ставим десятки под десятками, сотни под сотнями, и не боимся сбиться; но прежде все эти лишние нули писались аккуратно. Мы теперь ясно видим, что нули бесполезны, но математики до Адама Ризе не решались их отбрасывать и считали их по большей части совершенно необходимыми. Этот второй способ имел почему-то у итальянских математиков название „per castellucio („маленьким замком“). Пример:

Для начинающих учиться умножению не худо и теперь приписывать нули к произведениям множимого на десятки, сотни и т. д. Тогда детям понятнее будет, что для умножения, в нашем случае на 90, необходимо умножить на 9 и считать полученное число за число десятков. А потом, когда дети поймут это и несколько привыкнут, можно нули выпускать и пользоваться чистым первым способом.

3. Третий прием составлен Петценштейнером, немецким математиком XV в. В нем множимое и произведение пишутся по-нашему, а множитель выходит из верти-

кальных колонн и ставится сбоку, справа наискось. Расположение такое:

Какой смысл и какая цель в подобном подписывании множителя сбоку? Об этом догадаться не трудно. У нас в примере взято двузначное число 97, а иногда случается вместо него брать трехзначное, четырехзначное и т. д.; тогда легко бывает забыть, на какие цифры мы уже умножали, и на какие осталось умножать; чтобы не забыть, Петценштейнер и пишет каждую цифру при своем произведении. Еще ранее его Радульф Лаонский (умер 1131) предлагал употреблять, впрочем на абаке, особенные кружки из дерева или из камня, чтобы приставлять их к тем разрядам множимого и множителя, которые перемножаются. Надо сознаться, что Адам Ризе уступает Петценштейнеру в его заботах о множителе, и наши школьники, действуя по способу Адама Ризе, нередко пропускают, особенно на первых порах, цифры множителя. Для них тоже не мешало бы на первое время, когда они еще учатся умножать, пользоваться чем-нибудь вроде бумажки, чтобы они могли закрывать те разряды, на которые еще не умножали.

4. Четвертый способ принадлежит Кебелю, немецкому ученому XVI в. Множимое и множитель пишутся, так же, как и у нас, но в произведении порядок подписывания нарушается, и единицы отступают вправо, вместо того чтобы им стоять под единицами. Зачем это понадобилось Кебелю, и понять нельзя: нет в этой форме ни удобства, ни вообще какой-нибудь заметной цели; единственно, что тут можно думать, это, что Кебель захотел изобрести свой способ и изобрел довольно неудачный.

Впрочем, на способе Кебеля учащиеся могут убедиться в том, что неполные произведения можно подписывать как угодно, и не под разрядами производителей,

лишь бы только выполнялось условие, что единицы скла» дываются с единицами, десятки с десятками и т. д.

5. Пятый способ отличается еще большей свободой в подписывании: в нем и отдельные произведения располагают прямо друг под другом, не обращая внимания на то, что единицы оказались наискось от единиц и десятки наискось от десятков. Разумеется, для ответа безразлично складывать ли разряды вертикально или наклонно, лишь бы только не сложить единиц с десятками; и в этом способе есть много оригинальности и, пожалуй, изящества, но мало удобства. Название его „per quadrilatero“ и, если перевести это выражение с итальянского языка на русский, то оно будет значить „способ четырехугольника“.

Прежде всего чертится прямоугольная решетка; потом в ней располагаются отдельные произведения так, что их крайние цифры стоят друг под другом вертикально; сложение разрядов идет наискось, и цифры произведения размещаются вправо и внизу; читать их надо слева. Все это очень интересно, но для практического применения мало годится. Это скорей арифметическое украшение, забава.

6. Все предыдущие пять способов требуют такого же основного порядка умножения, какой и мы применяем всегда у себя; разница только в подписывании данных чисел и искомых: в то время как мы стремимся все расположить в вертикальных колоннах, Петценштейнер выносит множителя на сторону, Кебель отступает с произведением вправо, а по способу „четырехугольника“ разряды пишутся в диагональном направлении, т. е. наискось; но везде умножение начинается неизменно с низших разрядов. Теперь мы обратимся к случаям, когда оно начинается с высших разрядов, а не с низших. Это бы-

вает и у нас, но только при том условии, если не приходится перечерчивать и исправлять написанных цифр. А цифр не пишут, во-первых, при устном счете, и, во-вторых, при выкладках на счетах. Поэтому в обоих этих случаях удобно начинать умножение с высших разрядов, тем более, что и выговаривание чисел и откладывание их на счетах идет все с высших разрядов. Но письменное умножение начинать с левой руки неудобно, потому что, если, например, мы умножим десятки, запишем результат и потом перейдем к единицам, то от умножения единиц могут получиться еще десятки, и нам придется написанную цифру десятков стирать и заменять новой.

Далеко не безразлично, с каких разрядов множимого начинать письменное действие, с высших или низших. Последнее удобнее. Что касается множителя, то в сущности одна привычка заставляет нас начинать с единиц, потому что можно с таким же правом умножать сперва на высшие разряды множителя и потом постепенно переходить к низшим, лишь бы верно подписывать произведения, т. е. десятки под десятками, а единицы под единицами. Покажем это на примере:

Еще виднее сказанное в примере с многозначным числом:

7. Седьмой способ принадлежит Вейдлеру (XVII в.) и отличается от шестого единственно тем же самым, чем второй от первого, именно лишними нулями на

месте десятков, сотен и т. д. Если вписать эти нули, то 33 X 4567 изобразится в таком виде:

8. Восьмой способ, устный, встречается у Брамагупты, ученого индуса, жившего в VII в. н. э. Он совершенно сходен с нашим устным приемом. Это естественно, потому что индусы, главным образом, изобретали и совершенствовали устный счет, они были первыми специалистами в этом роде вычислений; они вычисляли отдельные произведения в уме, писали их строкой и потом складывали. Лишним, на наш взгляд, могло бы показаться разве то, что множимое переписывается несколько раз, именно столько раз, сколько разрядов во множителе.

9. Девятым приемом умножение производится тоже сначала на десятки, а потом на единицы, и если бы были сотни, то, конечно, сперва на сотни. Умноживши на десятки, произведение подписывают, точно так же, как это сделали бы и мы, но с единицами идет иначе.

Когда мы умножим 456 на 7, то получим 3192. Из них 319 десятков помещаем внизу, во второй строке, под теми цифрами, какие соответствуют им по значению, а 2 единицы вверху, рядом с 4 десятками, прямо под единицами множителя, ввиду того, что это место ничем не занято. Подобная система писать цифры как можно выше, на свободных местах, проявляется у многих авто-

ров, как это мы увидим впоследствии; порядок этот довольно безвредный, потому что, где бы ни писать, лишь бы написать верно под своим разрядом: но он может оказаться и неудобным, если счетчик собьется; тогда будет очень трудно разобраться в ряде цифр, найти, какая из них принадлежит к какому произведению, и исправить ошибку. Этот девятый способ приписывается немецкому математику Петеру Апиану (XVI в.).

10. В предыдущих 4 способах действие начиналось с высших разрядов множителя, и в этом только, главным образом, и заключалась их особенность; цифры подписывались, почти так же, как у нас, и вообще большого изменения против нормального порядка не было. Теперь мы перейдем к более грубым и старым приемам, в которых уклонений от нашего уже гораздо больше. Отличием их является полная механичность, отсутствие всякого вычисления в уме; составители этих приемов держатся слишком невысокого мнения о понятливости и сообразительности своих учеников, ничего не доверяют устному счету и рекомендуют все записывать, даже до мелочей, и притом по определенным, точно установленным формам. Например, когда умножаются десятки, то к их произведению нельзя прямо прибавить тех десятков, которые получились от единиц; последние десятки надо написать отдельно и приложить их к первому произведению в самом конце, когда все мелкие умножения будут выполнены. Эти тяжеловесные, громоздкие способы в настоящее время всеми оставлены, и никому в голову не придет ими воспользоваться. Но в XV—XVII вв., в эпоху усиленной работы над арифметикой, когда индусская система лишь проникала и в народ, и в школу, эти способы были ходячими и общепринятыми. Сейчас они не имеют никакой цены, потому что требуют много лишнего письма и лишнего времени для вычислений, мы же их приводим с целью показать, из каких первоначальных и несовершенных форм образовались наши более совершенные.

Вот способ Штейнмеца (XVI в.). Пример:

Шестью семь 42, так и пишем; пятью семь 35, пишем 5 десятков под 4 десятками, а три сотни вверху под сотнями, потому что там место есть свободное; четырежды семь 28, пишем 8 сотен под 3, а две тысячи на свободном месте тысяч в верхней строке. Вообще стараемся писать цифры как можно выше, где только есть свободное место для известного разряда. Отдельные произведения располагаются, как видим, строками, которые, чем ниже, все короче, и получается фигура, похожая на треугольник, так что и самый способ носит название треугольника. Последние его следы встречаются в учебниках еще в XVII в.

11. Умножение треугольником имеет не одну форму, а несколько, в зависимости от того, начинать ли действие с высших разрядов, или низших, или даже каких-нибудь промежуточных, писать ли цифры как можно выше, или как можно ниже. Если начинать умножение с высших разрядов, то образуется такая фигура:

12. По двенадцатому способу умножение треугольником начинается с какого-нибудь среднего разряда. Конечно, это безразлично для произведения, если только мы не собьемся в порядке цифры, не пропустим чего-нибудь и не возьмем лишнего. Умножим сперва 5 десятков на 97, потом 4 сотни и, наконец, 6 единиц.

Треугольник можно бы повернуть основанием вниз и вершиной вверх. Тогда фигура получится красивее.

Особенно она хороша при длинных многозначных числах, когда очертание треугольника выделяется яснее.

13. Стоило только математикам попасть на одну геометрическую фигуру, на треугольник, и они принялись изобретать всевозможные формы: угол, ромб и т. д. Наперерыв, один перед другим, школьные педагоги в Германии и Италии XVI—XVII вв. стали предлагать хитроумные, фигурные способы, в которых не имелось в виду удобства, а требовалось только представить что-нибудь новое и замысловатое. Даже знаменитый алгебраист Тарталиа учил 8 способам; стольким же учил и Лука Пачиоло (1498 г.); но вычислять они рекомендовали по одному или двум способам и приводили остальные только по установившемуся обычаю, с пренебрежением отзываясь о страсти к изобретению все новых и новых форм.

Расположение углом достигалось благодаря тому, что произведение простых единиц отодвигалось вправо, а остальные разряды писались симметрично вверху и внизу. Вот форма угла при умножении 456 на 97:

Первое произведение 36 составилось из множителей 4 и 9, второе — из 5 и 9, третье — из 6 и 9. Таким образом, мы помножили на десятки и начали действие в этом случае с сотен множимого; далее умножаем на единицы, но ведем уже в обратном порядке, именно начинаем с единиц множимого и постепенно добираемся до его сотен.

14. Четырнадцатый способ — ромба. Он еще замысловатее, чем предыдущие. Нужна особенная внимательность, да и знание секрета, как составлять ромб. Если помножить 457 на 397, то ромб может получиться следующим путем. Вверху пишется произведение 4 сотен на 7 единиц, под ним произведение 5 десятков на 3 сотни и на 7 единиц; в длинной строке помещается 4 сот. X 3 сот., 5 дес. X 9 дес. и 6 ед. X 7 ед.; далее располагаются и остальные произведения. Все это очень сбивчиво и неудобно, дает массу ошибок в вычислении, которые найти потом так нелегко, что лучше все бросить и сделать снова. С непривычки дело долго не клеится, ответ не выходит, но зато в конце ученик имеет право похвастать: у него получился ромб.

15. До сих пор мы подписывали отдельные произведения внизу под множимым и множителем, и на это, конечно, у нас была причина, потому что все люди начинают писать с верхней стороны листа и постепенно спускаются книзу, где место свободное, неисписанное. Но ответ получится одинаково верный и в том случае, если, не жалея бумаги, мы начнем действие пониже и оставим место для отдельных произведений выше производителей. Получится у нас так:

Способ этот указал Глареан (собственно Генрих Лорити из швейцарского кантона Гларуса) в XVI в. Вычисление начинается справа, с низших разрядов, ответ в самом низу.

16. Шестнадцатый способ очень сходен с предыдущим и является его предшественником по времени, так как образовался в XV в. Его дал араб Алькальсади. Особенность в нем та, что множимое переписывается несколько раз и притом столько раз, сколько цифр во множителе. И еще есть особенность: множитель не стоит под множимым, а располагается выше его; кроме того, отдельные произведения рассеяны по разным строкам.

Множимое, повидимому, передвигается затем, чтобы не сбиться, какой разряд множить на какой. Впрочем, выгоды от этого передвижения особенно не представляется.

17. В высшей степени искусственная запись встречается у Баскары, индусского автора, жившего в XII в. Это, примерно, та же решетка, что и в 5-м способе, но только со всеми отдельными произведениями всех разрядов. У итальянцев она называлась „gelosia“, по образцу решетчатых ставень-жалюзи, помещавшихся часто на окнах средневековых домов и имевших целью воспрепятствовать прохожим видеть сидящих у окна женщин (gelosia — значит, по-итальянски ревность).

Множимое 456 мы пишем вверху, множителя 97 с левой стороны. Каждый разряд числа 456 множится на каждый разряд 97. Всего образуется 6 отдельных произведений. Их мы пишем полностью по клеткам так, чтобы всякое произведение стояло против тех разрядов, от которых оно получилось; например шестью семь 42, ставим это число под 6 и притом в верхней строке, потому что множитель 7 стоит в этой строке с левой ее стороны, 2 помещаем в верхнем правом углу клетки, а 4 десятка — в нижнем левом. Так же ведем действие и с остальными разрядами. Чтобы получить ответ, стоит только сложить числа в диагональном порядке наискось: 2 единицы сносим, 5 + 4 + 4=13 десятков, из них 3 пишем; 8 + 3 + 5 + 5 + + 1=22 сотни, 2 пишем; тысяч будет 2 + 6 + 4 + 2=14, 4 пишем и, наконец, десятков тысяч 3+1, всего 4.

Искомое произведение выразится пятью цифрами: 44 232, Способ этот, как видно, очень сложный, фигурный и сбивчивый. Надо твердо помнить и хорошо привыкнуть к тому, как чертится решетка, как пишутся производители, где помещаются отдельные произведения, и как читается ответ: стоит только немного не остеречься, забыть, и тогда все разряды перепутываются и никак нельзя будет отличить, где единицы, где десятки, и что складывать с чем. Вообще это вовсе не деловой способ и не школьный, а скорее плод математической изобретательности и своего рода развлечения.

18. Араб Альнасави из Хорасана (начало XI в.) учил умножать еще более чуждым для нас приемом. Он тоже не допускал устного счета и тоже подписывал все цифры сполна, но сверх того и в сложении у него было отличие, потому что отдельные разряды складывались не в конце всего действия, а постепенно, по мере того как они получались.

Множитель 97 пишется над множимым 456 так, что его высший разряд 9 десятков, стоит над простыми единицами числа 456. Вычисление начинается слева: 4 X 9 = 36,

пишем 6 над четырьмя, а 3 рядом налево; 5 X 9 = 46, из них 5 пишем рядом с 6, а не подписываем над б, как это делали в способе треугольника, но прибавляем к 6, будет 10, прибавляем к 30, будет 40, эти цифры помещаем над 36. Ведем умножение далее: 6 X 9 = 54, из этого 4 пишем над 9, потому что нижнее место занято, а 5 прибавляем к 5, получится 10, нуль пишем над пятью, единицу—над нулем, именно тем нулем, который принадлежит числу 40. Таким-то образом сложение идет рука об руку с умножением, и когда все умножения окончатся, то окончится и сложение, и ответ представился самыми высшими цифрами в каждом вертикальном столбце. Как видно, Альнасави допускает особенность и в множимом, именно он его еще раз подвигает и не только горизонтально, но так, что крайний разряд переставляется в следующую высшую строчку. Цель перемещения та, чтобы единицы множимого всегда приходились под тем разрядом множителя, на какой умножаем.

Альнасави заимствовал свой прием у индусов: индусы же предпочитали устный счет письменному, не любили лишних цифр и, во всяком случае, не стали бы вычислять так растянуто, как это делает Альнасави. У какого же индуса он его заимствовал? Или он сам его так изменил? Объяснить это можно так. Индусы вычисляли на песке и сейчас же стирали те цифры, которые им не нужны, поэтому им было так легко передвигать множимое или множитель: они стирали прежнее и писали новое. Поэтому и мелкие сложения и умножения они писали только на одну минуту; и если им цифра не нужна, они ее сейчас заменяли новой; так что, действительно, индусы не сбивались в длинных рядах цифр и не запутывались, тем более, что их работе много помогал устный счет. Но арабы и Западная Европа переняли способы индусов, а применять их стали чаще всего на досках и на бумаге, где цифры перетирать совершенно неудобно; от этого и получилась масса лишнего письма, сбивчивость и трудности в вычислениях. Не скоро поняли европейские математики, что недостаточно перенести чужой прием к себе, но надо еще применить его к своим условиям, и тогда он будет пригодным и удобным.

19. Во всех разобранных нами 18 способах, как они ни сложны и ни разнообразны, существенный порядок действия все время остается тот же, везде даются 2 числа, множимое и множитель, и первое число, т. е. множимое,

помножается так или иначе на отдельные разряды множителя, сперва на его единицы, потом на десятки, сотни и т. д., или же, наоборот, раньше на сотни, а потом уже на десятки и единицы. Вот еще один прием. Будем умножать не целое множимое на отдельные разряды множителя, а отдельные разряды множимого на целого множителя. Так учил индусский автор Брамагупта (VII в. н. э.).

Ответ у него помещается в самом верху, данные числа—внизу. Множитель переписывается столько раз, сколько цифр во множимом. Начинаем умножать 4 сотни на 97, получится 388 сотен, их пишем над сотнями. Так же поступаем с десятками и единицами.

20. Самыми старыми первоначальными способами умножения надо считать те, в которых умножение заменяется сложением. Умножение, конечно, и есть в существе дела сложение, но только сокращенное, благодаря таблице и вследствие равенства слагаемых. Чтобы, например, умножить 9 на 27, можно бы 9 выписать 27 раз и потом последовательно складывать: 9 + 9=18, 18 + 9 = 27, 27 + 9 = 36 и т. д. до 243. Но такое сосчитывание было бы слишком продолжительным, и вот здесь является на помощь таблица умножения, которая значительно сокращает работу; из таблицы нам известно, что 9X2=18, а следовательно 90X2= 180, да 9X7=63, всего составится 180 + 63 = 243. Таким образом мы заменили набирание 27 слагаемых более простыми действиями, именно двумя умножениями и одним сложением. Не сразу выработала арифметика простой и легкий путь замены сложения равных слагаемых умножением. На первых ступенях ее развития, при наглядном счете и при выкладках на разных счетных приборах, преобладало чистое сложение, а умножение появлялось только урывками и проблесками. Едва к концу средних веков оно вполне вступило в свои права.

Приведем образец вычислений на римских цифрах. Из него хорошо видно, насколько сложение преобладало над умножением и заменяло его. Требуется, положим, CXXXXIIII умножить на XXX. Тогда действие располагается следующим образом:

Так как множитель XXX состоит из Х + Х + Х, то достаточно повторить множимое сперва X раз, потом еще X раз, и, наконец, еще X раз и полученные ответы сложить. Но когда мы начнем повторять X раз, то множимое, в свою очередь, разложится на отдельные слагаемые: С + Х + Х + Х + Х + IIII; и придется нам каждое слагаемое первого числа помножать на каждое слагаемое второго.

21. Двадцать первым способом будет, так называемый, „per aschapezza“ (scapezzare — срезать, отрубать).

В переводе с итальянского языка, — способ чаще других применяли итальянцы, — это значит, способ „разложения“. Пример: 44 X 26. Для этого 26 разлагаем на какие-нибудь легкие слагаемые, обыкновенно однозначные, вроде 3+4 + 5 + 6 + 8, и составляем пять произведений: 44 -3, 44 • 4, 44 -5, 44 • 6, 44 • 8. Все их можно легко найти устно, и в этом заключается преимущество подобного умножения. Но иногда, забывая о главном условии удобства, применяли этот способ и тогда, когда он не дает никакого выигрыша ни во времени, ни в письме. Хорошим примером такого теоретического пользования разложением может служить помещенный у Брамагупты: 235 X 288, с разложением числа 288 на 9 + 8 +151 +120. Очевидно Брамагупта, выбирая такие неудобные слагаемые, не только не упростил действия, а скорее усложнил и затруднил; но он, наверное, и не задавался целью упростить и облегчить вычисление, а желал только представить новую форму умножения.

22. Как мы уже сказали, замена умножения сложением является самым легким и простым приемом и в то же время самым старым и испытанным. Египтяне за много

столетий до н. э. умели с большим искусством, чрезвычайно свободно и остроумно пользоваться этой заменой. Мы уже говорили, что общего действия умножения они не знали. Если, например, им требовалось умножить на 17, то они сперва складывали множимое само с собой и получали таким образом двойное число: его тоже складывали само с собой, получали четверное число; четверное складывали с четверным, получали восьмерное; восьмерное с восьмерным, получится 16 слагаемых, а так как их задано набрать 17, то остается добавить только одно слагаемое и ответ будет найден. Подобным же образом они могли, например, вычислять 466 • 13. Они составляли 466-2 = 932, 932-2 = 1864, 1864-2 = 3728, затем складывали восьмерное число с четверным и с простым и получали 466- 13 = 3728 + 1864 + 466 = 6058. Таким путем египтяне умели добираться до сложных результатов, хотя и медленно, но верно и успешно. Из всех умножений у них было только одно удвоение; они не знали даже нашей таблицы умножения. Не отсюда ли возникла мысль выделить удвоение в особое действие, мысль, которая прожила очень долго и была оставлена едва в XVI в., когда удвоение вошло в состав вообще умножения.

Остановимся на египтянах и не будем уходить далее в глубь веков1. Подведем итоги всему, что сказали об умножении. Оно начинается со сложения равных слагаемых и в этом случае не пользуется никакими особенными правилами, сокращениями и удобствами. Затем, благодаря практике, начинает выделяться удвоение, образующее фундамент нового действия — умножения: по образцу удвоения легко могли возникнуть другие подобные расчеты, и удвоение натолкнуло на то, чтобы находить тройное число, четверное, десятерное и т. п. Все эти употребительные случаи, повторяясь часто, привели к таблице умножения и выделили окончательно действие умножения из массы случаев сложения. Тогда же начинается письменное производство этого действия, сначала в грубой и несовершенной форме, при помощи абака и других похожих на него пособий, с многочисленными стираниями и изменениями цифр; сложение отдельных произведений сначала

1 О вавилонянах заметим лишь, что им умножение вовсе не было чуждо. Для этого действия они пользовались большими и подробными таблицами произведений, содержавшими последовательные кратные различных чисел и приспособленными к их шестидесятиричной системе нумерации. Многие такие таблицы уцелели до наших дней. А. Ю.

шло попутно, вместе с умножением разрядов, но потом его начали относить на самый конец и производить тогда, когда уже все произведения найдены. В старинных способах умножения устный счет почти не допускался, все получающиеся цифры писались без пропуска, и в уме ничего не удерживалось, так, по крайней мере, было в Западной Европе в средние века. Ближе к нашему времени стали применять и устный счет, начали помогать письму, удерживая некоторые цифры в уме, и таким-то образом развился и принял окончательную отделку наш современный нормальный способ умножения.

23. Индусы, а затем Адам Ризе и итальянцы XVI в. часто разлагали множителя на производителей. У итальянцев это называлось „per repiego“ (repiego — значит выход, уловка). Чтобы, например, умножить на 15, можно данное число умножить на 5 и полученное вновь умножить на 3. Чтобы умножить на 121, можно умножить на 11 и опять на 11. Еще лучше у Адама Ризе: если ему надо какое-нибудь число взять слагаемым 46 раз, то он умножает данное число на 9, полученный результат — на 5 и ко всему этому прикладывает еще одно, 46-е слагаемое. Хорошо бы и нам пользоваться почаще такими сокращениями и приучать к ним своих детей. Есть, правда, во многих школах, особенно в начальных, специальные занятия по устному счету, но, во-первых, очень жаль, что они в средней школе глохнут и не продолжаются, и, во-вторых, они ведутся, обыкновенно, по шаблону и не столько развивают личную сообразительность детей, сколько приучают их к готовым формулам.

24. Другим хорошим способом, который тоже может развивать сообразительность и помогать вычислению, является следующий. Множитель заменяется новым числом, которое больше его в несколько раз или на несколько единиц, и притом гораздо удобнее для действия, чем сам данный множитель. Например, если нам задано умножить какое-нибудь число на 25, то мы вместо этого умножим на 100—так гораздо легче — и полученное от этого умножения число разделим на 4. Точно так же, чтобы умножить на 98, мы можем умножить на 100 и из этого произведения вычесть двойное множимое, потому что мы его взяли лишних 2 раза. Оба эти приема хороши для устных вычислений, они придуманы давно, еще индусами, но все еще не имеют того применения на практике, какого заслуживают по своей легкости и удобству.

25. Есть еще метод умножения многозначных чисел, очень интересный и оригинальный. Он исходит из совершенно иной руководящей мысли, чем наш настоящий метод. Мы теперь интересуемся множимым и множителем, старательно подписывая их друг под другом или рядом, разлагаем их на разряды и рассуждаем, с которой стороны лучше начать; так что порядок вычисления у нас определяется множимым и множителем, и наши заботы мало касаются произведения, которое выходит как-то само собой, из сложения частных результатов. Наоборот, способ „крестиком“, о котором мы будем сейчас говорить, обращает свое внимание исключительно на результат умножения и строит порядок действия в соответствии с составом произведения. В способе „крестика“ надо сперва вычислить единицы произведения, потом его десятки и притом сразу все, какие только могут оказаться, чтобы затем к десяткам более не возвращаться; потом надо вычислить сотни произведения, опять-таки все, какие только могут в нем быть; и так мы идем последовательно от одного разряда к другому.

Возьмем пример сперва двузначный: 56 X 97 и поставим такой вопрос: откуда могут получиться единицы произведения? Очевидно, только от перемножения простых единиц, потому что от умножения десятков будут десятки, от сотен будут сотни и т. д.; 6 X 7 = 42, следовательно, простых единиц в ответе будет две, не больше и не меньше. Итак, одну цифру мы нашли, она будет обязательно 2. Решаем теперь второй вопрос: откуда получаются десятки произведения? Во-первых, от умножения десятков множимого на единицы множителя, во-вторых, от умножения единиц множимого на десятки множителя и, кроме того, несколько десятков образовалось от перемножения простых единиц. Больше ни откуда десятков получиться не может, так как умножение десятков на десятки даст во всяком случае сотни. Вычисляем десятки: 5X7 = 35, 9 X 6 = 54, да 4 десятка осталось от единиц, всего составится их 93; из этого 9 сотен пока заметим, а 3 десятка можем записать спокойно: это уж цифра окончательная. Высчитываем сотни. В нашем примере они могут получиться еще только от умножения десятков на десятки и их будет 45, да 9 сотен от десятков, всего 54 сотни. Пишем их в окончательном ответе и получаем: 56X97 = 5432. „Крестик“ мы здесь применяли, когда составляли десятки произведения, потому что в этом

случае мы умножали крест-накрест 5 на 7 и 6 на 9. Все действие можно изобразить такой фигурой:

Чтобы читателю был яснее виден ход вычисления, разберем еще трехзначный пример. Возьмем 467 X 893. Низшим разрядом в произведении будут простые единицы, а высшим—десятки или сотни тысяч, потому что сотни, умноженные на сотни, дают десятки или сотни тысяч; всего, следовательно, в произведении будет 5 или 6 разрядов. Определяем их постепенно. Прежде всего запишем данные числа так, чтобы цифры стояли пореже и между ними были свободные промежутки, а зачем, — это будет понятно далее.

Простые единицы образуются от перемножения простых же единиц: 7X3 = 21, единицу пишем и 2 в уме. Десятки образуются от умножения десятков на единицы и единиц на десятки и дадут: 6 X 3 = 18, 9 X 7 = 63, да 2, всего 83, три пишем и 8 замечаем. Но мы пишем 3 десятка не под десятками, а в промежутке между единицами и десятками: цель здесь та, чтобы сохранить полную симметрию в расположении цифр и строгий порядок, который не допустил бы нас сбиться; действительно, как у нас образовалась цифра единиц и где она подписана?

Она образовалась от единиц и подписана под ними:

Как образовалась цифра десятков и где ее лучше всего подписать? На это ответим мы такой схемой

Цифра 3 стоит симметрично под теми цифрами, от которых она

получилась. Вот далее схемы для сотен, тысяч и десятков тысяч:

Сотни высчитываются так. Они получаются от умножения сотен на единицы, единиц на сотни и десятков на десятки будет: 4 • 3 = 12, 7 • 8 = 56, 6 • 9 = 54, да от умножения десятков осталось 8 сотен, всего их составится 130, нуль пишем под чертой, а 13 тысяч пока держим в уме. Отыскиваем теперь тысячи нашего произведения: они получаются тогда, когда сотни множатся на десятки и десятки на сотни, следовательно, 4X9 = 36, 6X8 = 48, да еще замеченных 13 и составится их всего 97. Цифру 7 пишем под чертой. Легко, наконец, определить и десятки тысяч: их будет 41.

Таким же образом можно умножать и всякие многозначные числа, до пятизначных, шестизначных и выше. Симметрия руководит нами во всех этих примерах и не позволяет сбиться. Поэтому, если во множимом и во множителе цифр не поровну, например, четырехзначное число берется с двузначным, то лучше всего приписать пару лишних нулей и получить опять симметричную фигуру

Индусы были в восхищении от этого способа, часто им пользовались и умели умножать по этому способу очень быстро, за что и прозвали его „молниеносным“. Он вовсе не труден, если только научиться быстро складывать двузначные числа; что он не нуждается в большом письме и дает выигрыш во времени, в этом, конечно, нечего и сомневаться. Этот прием знали и итальянцы. Им восхищался Лука Пачиоло (1494 г.), описавший его под названием „crecetta sine casella“ („крестик без клеток“). Вот как выглядит запись 416X253 у Пачиоло:

Как было бы хорошо, если бы этот почти забытый способ получил доступ в наши школы, распространился в народе и оправдал свое название „молниеносного“.

26. Закончим нашу беседу об умножении объяснением последнего, в высшей степени оригинального приема, который незнающего наблюдателя может даже поразить. Передают, будто, один немецкий школьный учитель показал детям это умножение, а потому иногда приводил в удивление посетителей быстротой устного счета своих учеников. Учитель: „83X87!“ Ученик: „80X90 = 7200 да трижды семь 21, всего 7221е. — Учитель: „24X26!“ Ученик: „20X30 = 600, да четырежды шесть 24, всего 624“.—Учитель: „92 X 98!“ —Ученик: „90 X 100 = = 9000, да дважды восемь 16, всего 9016“. Секрет, как видно, заключается в том, что не всякий пример годится для этого правила, а только такой, где бы десятки в обоих множителях были одинаковыми, а единицы составляли в сумме десять: так что, если взять один множитель, например 41, то парным к нему множителем обязательно должен быть 49. Правило для подобных примеров следующее: надо десятки помножить на следующие десятки (40 X 50 = 2000), а единицы просто перемножить (1X9 = = 9) и все сложить: 2000 + 9 = 2009. Правило это дал итальянец Тарталья (XVI в.), большой изобретатель разных способов, и письменных, и устных.

Объясним последний пример: 41 X 49. Как бы мы попросту стали его вычислять? Сперва 40 помножили бы на 40, потом 40 на 9, потом 1 на 40 и, наконец 1 на 9. Нам пришлось бы 40 повторить 40 раз и 9 раз и еще 1 раз, потому что 1 X 40 все равно, что 40 X 1; таким образом 40 надо помножить на 50, да 1 на 9, всего 2009.

Подобные приемы, действительно, представляют, при устном счете, громадную выгоду и удобство. Смело рекомендуем их вниманию любителей арифметики.

ДЕЛЕНИЕ.

„Dura cosa е la partita“—звучит старинная итальянская поговорка, которая значит в русском переводе: „трудная вещь—деление“. Не даром Лука Пачиоло (1494 г.) утешает начинающих учиться юношей и говорит, что „кто умеет делить, тому все остальное пустяки, потому что все заключается в делении“. И наш Магницкий не отстает

в этом случае и тоже, кончивши деление, вздыхает свободно и назидает своих „мудролюбивых отроков“ стихами:

Первую часть докончивше И вся в целых изучивше, Их в памяти твердо держи И за та вся Бога блажим. Что даде нам без напасти Зрети конец первой части.

Трудно деление школьникам и в настоящее время. Но неизмеримо, бесконечно труднее было оно в старинные времена и особенно в начале средних веков. Тогда из столкновения римской и арабской учености не успело еще выработаться сколько-нибудь сносной системы, да кроме того, сам характер преподавания, которого держались в монастырских школах, был сух, бессердечен, неприноровлен к силам детей и требовал от них нечеловеческого напряжения. Тот, кто оказывался в состоянии понимать деление, признавался чуть не гением и ему давали почетный титул — „доктора абака“, в роде нашего — „доктора математики“ или —„доктора медицины“. Нормальным, заурядным детям нечего было и мечтать о таком трудном, мудреном действии, и они скромно ограничивались сложением и вычитанием, с придачей таблицы умножения. Вот что значило неуменье преподавать, отсутствие понятных учебников и усложненность вычислений. Вот откуда пошло вредное поверье, будто для математики надо родиться со специальными способностями, и что кто не рожден математиком, тот не будет в ней успевать, несмотря на свое старание и на искусство учителя. Смешно теперь слышать, что средневековые педагоги требовали прирожденных способностей для умножения и деления: ведь, в наше время с ними удачно справляется всякий мальчик и всякая девочка; но курьез сохраняется и в наши дни, когда с авторитетным видом заявляют, что для алгебры и геометрии нужны какие-то особые, исключительно математические способности. Они, конечно, нужны, но лишь в такой мере, в какой и для каждого учебного предмета, и виной неуспеха следует признать, как правило, не плохие способности, а плохое преподавание, особенно вначале, когда разрабатываются элементы, основы предмета, и когда зарождается расположение к нему. Стоит только вместо расположения и понимания возбудить отвращение и непонимание, и дело пропало, притом пропало более, чем в каком бы то ни было другом

предмете, потому что в математике все последующее вытекает из предыдущего, и если только зародыш слаб, то и весь организм будет хилым.

1) Перейдем теперь к способам деления и разберем их по порядку.

Объяснение деления начнем с нашего способа и прежде всего заметим, что в средние века его именовали „золотым“ способом за его удобства и „французским“, потому что французы предпочитали его более всего. Первые намеки на него мы можем видеть у Аль-Ховаризми. В более ясной форме он встречается у индуса Баскары (XII в. н. э.). В немецкой литературе можно указать на одну рукопись, найденную в мюнхенской библиотеке и принадлежащую к XII в. В ней вычисления располагаются колоннами, причем вверху колонн подписано римскими цифрами их значение, так что в сущности здесь идет вычисление на абаке. Пример: 100000:20 023 = 4 и ост. 19908.

Порядок действия, как видим, такой: подписавши делителя и его высший разряд, помещаем под ним делимое 100000 и задаемся цифрой частного; она не будет 5, потому что в делителе кроме 20 000 есть еще другие разряды. Следовательно, цифра частного будет 4; так как 2X4 = 8, а 10 — 8 = 2, то остаток после высшего разряда делителя, умноженного на частное, составит 2; далее множим на частное десятки делителя, их всего 2; 2 X 4 = 8, но чтобы вычесть 8 дес. из 20000, надо сперва 20000 заменить через 19 900+100 и тогда легко становится

отнять 80 от 100, остаток будет 20; наконец, 3X4== 12, вычитаем 12 из 20, получаем 8, а всего после деления имеем в остатке 19 908. Частное пишется в самом низу. Вообще во всем этом примере мы наблюдаем ход действия, такой же, как и у нас, но в подробностях много особенного: не пишется нулей, потому что места цифр достаточно указываются надписями над колоннами; не по-нашему расположены делимое, делитель и частное, умножение идет с высших разрядов; вычитание производится постепенно, разряд за разрядом, как только они образуются.

2) Следующий раз мы встречаемся с этим способом уже в XV—XVI вв. А как же вычисляли в промежутке между XII и XVI вв.? Кстати, как вычисляли до XII в.; ведь, очевидно, и тогда было деление? Конечно, вычисляли, но только не по-нашему приему, а совсем по-другому, непохожему, который развивался и удерживался вплоть до XIX в. и в начале его исчез; о нем речь будет впереди, теперь же приведем образец нашего деления, который встречается у Луки Пачиоло. Разделить требуется 97 535 876 на 9876, получится в частном 9876. Расположение то же, что и у нас, только делитель и частное пишется вверху, а не сбоку. 3) В знаменитом труде по арифметике, который у арабов считается образцовым, классическим, и который принадлежал Бега-Эддину (1547— 1622), встречается такое расположение (97 5741:53 = 18 410, в остатке 11): Частное пишется в самом верху. Цифры делимого не сносятся вниз, но вместо этого чертятся, для удобства, колонны, чтобы не сбиться в цифрах. Оба разряда делителя, 5 дес. и 3 ед., помножаются отдельно на частное и отдельно же вычитаются. Делитель переписывается столько раз, сколько разрядов в частном. Здесь повторяется опять то же, что мы видели и в умножении, где множитель переписывался

несколько раз. Причина опять та же, что и в умножении, и заключается она в следующем. Способ Бега-Эддина получил начало, очевидно, еще тогда, когда вычисления шли на абаке, покрытом песком, и когда, следовательно, легко было делителя стереть и переписать снова, расположивши снова под теми разрядами, которые делятся; с течением времени абак был оставлен, математики стали пользоваться бумагой, а между тем по традиции переписывание все еще сохранялось, приводя к большим неудобствам, к затрате лишнего труда, к потере времени и места. Вот что значит инерция, не просветленная лучами разума!

4) Апиан в XVI в. дает такое расположение, какое дали бы и мы, но только он подписывает числа не разряд под разрядом, а просто крайнюю цифру под крайней. Разделим 97535376 на 9876; сперва пишется делимое, под ним делитель, а частное сбоку. Буквами а, с отмечены остатки, получающиеся в процессе деления:

5) Изобретательный Тарталья, учивший не только по старине, но и предложивший много оригинальных и удобных приемов, для большей ясности расчленяет действие на ряд отдельных вычислений, смотря по тому, сколько цифр в частном.

Вот как он выполняет деление 2596860019 на 38748

Частное 67019, остаток 7807. При этом Тарталья говорит, что хорошо бы перед делением заготовлять произведения делителя на все однозначные числа, тогда виднее было б какой цифрой задаваться в частном, да и не нужно составлять отдельно произведений делителя на цифры частного, так как они уже есть, и останется прямо вычитать.

6) Хр. Клавиус (1537—1612) вводит наш знак деления (при помощи угла), но числа при делении располагает не по-нашему.

Пример: 1902 942: 2978 = 639.

7) Вендлер, немецкий педагог XVII в., употребляет почти наш прием, с той только разницей, что делитель (486) и частное (464) у него ставятся по обеим сторонам делимого

Кроме того цифры делимого не сносятся, а остаются на своем прежнем месте вверху.

8) Пешек в XVIII в. вычисляет, так же, как и Вендлер. Пешек дает нашему способу название французского.

9) Барт в XVIII в. пишет делителя под делимым при всяком частном делении, следовательно, столько раз, сколько значащих разрядов в частном. 66734:325 =

10) В русских математических рукописях XVII столетия встречаются, как и следовало ожидать, те же самые приемы, какие выработала Западная Европа. Чаще всего в это время встречается способ Апиана (см. выше, 4). У Магницкого, стр. к на обороте, представлено деление в таком виде:

Здесь делимое 5175 помещено во второй строке, частное справа, делитель 15 переписывается в третьей и пятой строках, четвертая и шестая строки отведены частным произведениям (45, 60, 75), а верхняя — остатку 6 от первого вычитания 15X3 = 45. Из этого видно, что цифры расположены довольно несистематично и неудобно, так что сбиться в них очень легко. Но Магницкий очень доволен этим способом и одобряет его, как остроумный, в следующих выражениях: „Мнози убо делят перечни сицевым образом: егда делителем емлют, из числ делимого, и написавши за чертою, умножают им весь делитель, и, подписавши вычитанием, вычитают из делимого. И нам видится, сицевым образом есть удобнейше, но тем иже слабейшее разумение и тщание имут: зане не толикого есть домышления, и остроты“. Далее у Магницкого идет способ, похожий на Барта (см. выше, 9), и способ Вендлера (выше, 7).

АВСТРИЙСКИЙ СПОСОБ ДЕЛЕНИЯ.

Под именем австрийского разумеется способ, который хотя и похож на наш обыкновенный, но отличается от него большим применением устного счета. Австрийский способ можно считать шагом вперед сравнительно с нашим способом; в нем меньше письма и самое действие совершается вследствие этого гораздо быстрее; правда, есть в нем и неудобство: именно, человек, мало-мальски невнимательный, легко в нем сделает ошибку и собьется. Для примера возьмем 167535:365. Первая цифра частного будет 4; составляем произведение 365 на 4, начиная с низших разрядов, но не подписываем этого произведе-

ния под делимым, а вычитаем каждый разряд его, как только он получится, и пишем прямо остаток: 4X5 = 20, следовательно, в остатке 5; 4 X 6 = 24, да 2, 26, 6 из 7 = 1, следовательно, в остатке 1; далее 3X4=12 да 2 = 14, 14 из 16 дает в остатке 2; всего получится после вычитания 215, сносим следующую цифру 3 и делим новое число 2153, так же как и предыдущее, т. е. одновременно производим умножение и вычитание.

Австрийский метод стал выдвигаться на первый план сравнительно недавно, с средины XIX в., но зачатки его простираются вплоть до XVII в.; еще Вендлер делает образец такого сокращенного деления.

Кебель (1470—1533) дает более грубую форму этого способа, так как он начинает умножение с высших разрядов, а не с низших, и ему приходится лишний раз изменять цифры. Вот как у него идет деление 135531 на 21:

Наконец, Маурахер (XVIII в.) пользуется таким расположением вычисления:

При этом частное 12 345 помещается внизу, а делитель 8 слева от делимого 98760.

ИСПАНСКИЙ СПОСОБ ДЕЛЕНИЯ.

Это была самая употребительная, самая распространенная форма деления. Теперь ее уже нет в учебниках, и о ней не вспоминают, но почти в течение тысячи лет, с IX в. до XIX, она являлась общеизвестной и популяр-

ной формой. Начало ей положили арабы; через Испанию она была принесена в Западную Европу и потому получила название „испанского“ способа. Участь его можно сравнить с той, которую пришлось испытать обучению грамоте по методу: „буки аз ба“. Теперь этот метод отжил свой век и скоро о нем наверное, забудут, а в свое время он пользовался общепризнанным авторитетом, и на нем воспитывался длинный ряд поколений: наши деды, прадеды и прадеды наших прадедов. То же случилось с испанским делением. Сколько над ним старались, сколько хлопотали над его усовершенствованием, а сейчас его забыли. Правду сказать, горевать об этом не приходится, потому что — то было деление длинное, сбивчивое и обильное всякими недоразумениями. Надо думать, что корень его скрывается в индусской математике, судя по тому, что вычислять подобным образом очень удобно было на песке, как то было принято у индусов. Когда же этот способ стал применяться на бумаге, то получилось нечто несообразное по основной идее: цифры, которые следовало стирать, оставались нетронутыми (иногда зачеркивались), нагромождались друг на друга и давали массу лишнего и бесполезного письма. Приведем примеры.

1) Пример Альховаризми (IX в.). Требуется 46468 разделить на 324, частное 143, остаток 136.

Как видно, делимое стоит в средине, под ним помещается делитель и притом переписывается столько раз, сколько цифр в частном; такое передвижение осталось, конечно, от вычислений на песке, когда так легко было стирать цифры и писать их еще раз в более удобном положении; первая цифра частного будет 1, первый остаток 140 пишется над частным; теперь надо делить 1406 на 324, в частном будет 4; умножение 324 на 4 идет с высших разрядов и одновременно же происходит вычи-

тание. Вот где, между прочим, основание для австрийского способа, разобранного нами выше. Так как 3X4=12, то вычитаем 12 из 14 и получаем 2, которое и пишем над 4; далее 2X4 = 8, 8 из 10 будет 2, следовательно, над нулем надо поместить 2, а прежнюю цифру десятков 2 надо заменить новой 1, написавши эту 1 над двумя. Так действие идет до самого конца, т. е. умножение производится с высших разрядов и сопровождается вычитанием, причем измененные цифры переписываются выше.

2) Альнасави, арабский писатель XI в., несколько упрощает письмо и дает хоть небольшой простор устному счету. Деление 2582 на 12 он делает так:

Интересно отметить, как Альнасави изображает частное. Целое число 237 он пишет вверху, под ним остаток, а под ним уже делитель; все это считается обозначением смешанной дроби 237-^2-.

3) Византийский монах Максим Планудес дает еще более легкий образец деления, но, конечно, Планудес потому так легко справляется с ним, что пример-то сам по себе не замысловат. 4865:5 = 973. Вычисление идет так:

4) Алькальсади, живший в XV в., хотя и является заключительным звеном в блестящей цепи арабских математиков, но все-таки не обходится без того, чтобы не переписать делитель несколько раз даже в легком примере. 924:6 у него представляется в таком виде:

Частное в самом низу, трижды повторенный делитель над ним, еще выше делимое и, наконец, в самой верхней строке последовательные остатки.

5) Уже известный нам немецкий педагог Петценштейнер (XV в.) нисколько не изменяет основного хода действия и всего только вводит ту подробность, что пишет частное справа за чертой. Дано разделить 467 на 19.

Получается довольно красивое расположение, с ясной наклонностью к симметрии. Начиная с этих пор, математики обращают внимание на то, чтобы груда цифр не представляла собой чего-то беспорядочного и несимметричного, а образовывала изящную фигуру, построенную по известной идее. Особенно любили изощряться над построением фигур итальянцы, и надо отдать им справедливость, что они много успели в этой бесполезной и даже вредной игре; ведь всякая погоня за ненужным и посторонним вредит, в конце концов, главной и существенной цели; так и здесь, один автор перед другим старались придумать что-нибудь оригинальное, красивое и стройное, по внешнему виду, но забывали главное достоинство, т. е. быстроту вычислений, удобство и верность.

6) Лука Пачиоло ухитрился представлять деление фигурой корабля с трюмом, рулем, мачтами и парусами („galea vel batello“, галера или судно).

Дальше этого итти уже трудно, и путь всевозможных ухищрений можно считать исчерпанным. Хорошо еще, что педагоги тогдашнего времени большей частью не неволили учеников непременно строить эти изящные фигуры; они обыкновенно предпочитали только хвастаться друг перед другом, кто сколько знает способов и кто сколько изобрел.

Как видим из фигуры, частное 9876 стоит с правой стороны у знака деления (угла); левее, в одной с ним строке, располагается делимое; что же касается делителя 9876, то он помещен четыре раза; первый раз под делимым, второй раз он расчленен на 987 и 6, третий раз на 98, 7 и 6, и, наконец, в последний раз на 9, 8, 7 и 6, причем 9 стоит в самом низу, 8 во второй строке снизу, 7 в третьей снизу и 6 в четвертой, под делимым, на самом правом месте. Действие начинается с того, что 97 535 делится на 9876, в частном получается 9; теперь надо 9876 умножить на 9 и полученное произведение вычесть из 97 535, причем умножение начинается с высших разрядов, вычитание производится одновременно с ним. 9X9 = 81, 8 из 9 = 1, 1 пишем над 9-ю, 1 из 7 = 6, пишем 6 над 7-ю; далее 8 X 9 = 72, вычитаем 7 из 16-ти, получается 9, пишем эти 9 над 6, а над единицей пишем 0; так продолжаем вычисление все далее и далее, до тех пор, пока не кончим его.

Требуется большая, можно сказать, необыкновенная внимательность, чтобы не сбиться, и не спутать в таком ряде вычислений. Положим, что передвижение делителя помогает разбираться скорее и вернее в разрядах, но все-таки избежать ошибок очень трудно, а между тем, стоит только допустить ошибку, и все кончено: все надо переделывать снова, потому что выделить верное от неверного нельзя.

Если же еще вспомнить, что при делении легко попасть на цифру частного, которая слишком велика или слишком мала, то мы вполне себе представим, сколько попыток и при том каких отчаянных попыток стоило верное вычисление частного. Современники передают, что для решения примера на деление требовались сутки времени. Не даром Герберт (папа Сильвестр II), живший, правда, несколько ранее рассматриваемого периода, считал возможным преподавать арифметику только особенно одаренным ученикам. Католический святой Бонифаций пишет, что „при одной мысли о математических науках у меня от страха захватывает дыхание. Перед ними вся грамматика, риторика и диалектика — просто детская забава“.

7) Французский математик Ла-Рош (в XVI в.) понял, что выгоднее начинать умножение с низших разрядов, потому что тогда будет легче вычитать; но и от старого приема он не решается отказаться, поэтому дает и то и другое расположение, начиная в первом случае умножение с низших разрядов, а во втором с высших. Пусть будет делимое 7985643, делитель 1789, тогда в частном получается 4463.

Ла-Рош стремится, очевидно, к тому, чтобы получить красивую фигуру треугольника: он не прочь, подобно Луке Пачиоло, пожертвовать удобством вычислений в пользу второстепенной цели — изящества.

Бешенштейн и Ризе, немецкие педагоги XVI в., дают подобные приемы деления (выписываются над делимым последовательно исправляемые остатки; сперва вычитаются произведения на старший разряд делителя, затем на младший).

8) Штифель и французский математик Пьер де Рамэ или, в латинизированной форме, Рамус (1515—1575) делают попытки помочь вычислению и предлагают: Штифель — вычитать частные произведения сразу, после того как они уже составлены, а не по отдельным разрядам, как только они получаются; Рамус — заготовлять заранее произведения делителя на все однозначные числа. „Правда, это кропотливо, — говорит он, — но зато полезно“.

9) Изложенный способ деления, испанский, как называет его Пешек, отличается той характерной чертой, что все промежуточные вычисления пишутся выше делимого. Поэтому он получил у немецких математиков название деления „вверху“ — „ueberwärts“ или „uebersich“ — „dividieren“, в противоположность нашему приему, которому придали название деления „внизу“, на том основании, что все вычисление сосредоточивается ниже делимого.

Деление „вверху“, как мы уже упоминали, являлось самой распространенной и употребительной формой вплоть до начала XIX в. К этому времени были осознаны, наконец, его неудобства, и оно мало-помалу стало уступать свое место нормальному, практикуемому в настоящее время приему. В русских арифметиках XVII в. находим такой пример деления: 5692597 :3625

В сущности, тот же ромб, что и выше. У Магницкого вычисление идет в этом же роде, причем частное располагается с правой стороны и отделяется скобкой. 9649378:5634=1712

Выпишем кстати из Магницкого объяснение, которое он проводит на примере 1952:32. „Подобает ведати, яко егда делитель имеет не едино число, но два 32 или три 4 3 2, и тогда такожде подписуются числа делителя, под болшая себе, делимого сице 1952. И умствуется тако:

яко елико первым числом делителя, емлеши из верхних числ делимого толикожде бы взяти, и другим числом делителя, из тех же числ делимого, якоже зде:

Из 19 взяти на 3, по 6: по толику же бы взяти, и из 15, на 2: и останется из 15, 3, еже напиши над 5-ю, а прочая похерь сице [все цифры, кроме 3, 2 и 6, перечеркиваются].

Потом напиши первое число делителя, против остаточных 3-х делимого, а другое делителя в ряд к правой руке яко зде:

И умствуй 3 делителя из 3-х делимого, и будет 1: и сей 1 напиши подле 6 за чертою, а другим числом делителя 2-мя возьми из 2 делимого 1, который уже за чертою написан сице:

10) В заключение приведем из Магницкого „ин изящнейший образец деления, зане во едином сем образце сугубое действо, сиречь с делением и поверение: яко же явлено есть.

В этом примере требуется 598 432 разделить на 678: в частном получится 882 и в остатке 436. Делитель 678 пишется только один раз и в этом обстоятельстве мы должны видеть большой успех. Первым неполным делимым является число 5984: когда его разделим на 678, то получим в частном 8. Составляем теперь произведение 678 на 8, причем умножение ведем с низших разрядов: это опять-таки полезная подробность: восемью восемь 64, 4 из 4 будет 0, пишем 0 над 4; семью восемь 56, да 6, будет 62, вычитаем 2 из 8, будет 6, пишем 6 над 8; шестью восемь 48, да 6, будет 54, вычитаем 54 из 59, останется 5.

Таким путем ведем мы действие до самого конца и находим в ответе 882. Что касается „поверения“, то оно состоит в перемножении делителя и частного, причем 678 . 8 = 5424, 678 . 8 = 5424, 678 . 2 = 1356, к этому присоединяется остаток от деления, который равен 436, и всего составится 598 432.

РИМСКИЙ СПОСОБ ДЕЛЕНИЯ.

Мы уже встречались с римским способом обозначения чисел, близких к 10 или 100, с помощью чисел, дополняющих их до 10 или 100 (19 = двадцать без одного, XIX; 90 = ХС и т. п.). Мы видели также применявшийся римлянами способ „дополнительного умножения“, позволявший с помощью дополнений до 10 чисел, больших 5, обходиться таблицей умножения до 5X5. Аналогичный прием, опиравшийся на дополнение до 10 или другого удобного круглого числа, был употребляем (и, вероятно, изобретен)

римлянами для деления. Деление 668 на 6 производится по этому римскому способу следующим образом. Делим неполное делимое 600 не на 6 равных частей, а на 10, тогда в каждой части будет по 6 дес. Но ведь мы взяли 4 лишних части, а в каждой по 6 дес, всего, следовательно, отняли лишнего 24 дес, этот лишек надо приложить опять к 68, оставшейся части делимого, будет 308. Делим теперь 30 дес на 10, будет в каждой части по 3 дес, и так как лишних частей взято опять 4, то они составят 12 дес,а поэтому всего осталось поделить число 128. Из этого 12 дес при делении на 10 дадут в каждой части по 1 дес и отнятого лишка образуется 4 дес. Всего мы, следовательно, набрали в частном 6 дес. + 3 дес. +1 дес. = 10 дес. или 100. Теперь надо 68 = 40 + 28 делить на 6. Продолжаем это делать тем же самым приемом, каким вели и до сих пор. Именно: 60:10 дает 6 ед., лишек 4 X 6 = 24, да 8, всего 32; делим 30 на 10, будет по 3, лишек ЗХ 4=12, всего 14; делим 10 на 10, будет 1 единица; лишек 4, да 4 дадут 8; теперь число уже не делится на 10 и поэтому остается только вспомнить про настоящего делителя 6 и разделить на него, будет в частном 1 и в остатке 2. Подсчитаем итог, сколько мы набрали всего единиц: 6 + 3 + 1 + 1 = 11, и в остатке 2; десятков мы выше насчитали 10 и, следовательно, окончательный ответ представится в виде 100 + 11, т. е. 111 и остаток 2. Аналогично осуществлялись деления и на многозначные числа, для чего, скажем, 16 рассматривали как 20 — 4, 78 как 80 — 2. Какой длинный и кропотливый был этот путь! Он составляет характерную принадлежность римской арифметики, особенно же времен упадка Рима и перехода римской цивилизации к народам Западной Европы. Подробно разработан был этот способ у ученого римского патриция и государственного деятеля Боэция (около 480 — 524 н. э.) и у Герберта (папы Сильвестра II, около 1000 г.). Наш пример принадлежит Бернелину, одному ученику Герберта. После Герберта этот способ стал все более и более вытесняться арабскими приемами, т. е. такими, которые близки к нашему нормальному делению. Не даром с этих пор стали называть способ Боэция „железным правилом“, в отличие от „золотого“, под которым чаще всего разумели „деление вверху“ (см. на стр. 1111),

1 Впрочем, и Герберт, и другие абацисты наряду с этим способом дополнительного деления, знали и излагали прямые приемы. А Ю.

Труден и очень труден был римский способ, значительно труднее, чем „деление внизу“ и „деление вверху“.

Обременительность его зависела прежде всего от его сложности, но, кроме того, еще и от того, что педагоги и составители учебников или не умели, или не хотели объяснить дело, как следует. Высоким, ученым слогом, без обращения к чему-нибудь наглядному и понятному, они вели беседу так, как будто перед ними находились тоже ученые люди или педагоги, а не малые дети: тогдашняя школа мерила все на аршин учителя и не применялась к возрасту и развитию ученика.

Вот выписка из книжки Сперанского („Очерки по истории народной школы в Западной Европе“, стр. 118, заимств. из S. Günther, „Geschichte der Mathematik", т. I, 1908): При делении 5069 на 4, действия располагаются следующим образом. Мы имеем: 10 — 4 = 6,

Образуем теперь произведение

откуда мы получаем 600 + 800=1400. Точно так же 600 + 400=1000. Пользуясь все тем же приемом, вычисляем произведение

Двигаясь тем же путем далее мы получим

Затем на ходим

эта сумма, подобно делителю, является уже числом меньшим 10. Таким образом оказывается, что остаток от деления равен 1. Искомое частное 1267 есть, таким образом, сумма частных, поставленных нами в скобки, т. е.

+ 10 + 10 + 6 + 3+1+2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1. Первоначально римский способ применялся на абаке, при помощи римских цифр; но с течением времени, когда в Европу проникли арабские цифры, он стал применяться и на них и долго не уступал своего места новым приемам. Теперь он уже совершенно оставлен и решительно нигде не встречается. А между тем и у него есть некоторое удобство, которое возвышает его в этом отношении: именно легкое угадывание цифр частного. В нашем нормальном делении иногда случается задаваться не той цифрой какая нужна, а большей или меньшей; здесь же это могло случаться гораздо реже, потому что делителем всегда служило круглое число и было легко найти, сколько раз оно содержится в делимом.

Приведем образцы письменного расположения по этому способу. Примеры: 672:16 = 42 и 3276:84 = 39, где 16 берется в виде 20 — 4, а 84 в виде 100—16.

ДРУГИЕ СПОСОБЫ ДЕЛЕНИЯ.

1) Самым простым, общедоступным путем деления, правда, длинным и утомительным, является замена деления вычитанием. Поэтому все народы, которые находятся на низших ступенях развития, производят деление при помощи вычитания. Полезно было бы давать и малым

детям несколько упражнений на последовательное вычитание, прежде чем переходить с ними к делению. Примеров замены деления вычитанием можно указать много у разных народов, особенно же среди мало образованных людей. Так, в средневековой Германии в ремесленных и торговых кругах употреблялся счет на марках, т. е. на костяшках, — костяшки эти клались в колонны, в особую колонну для каждого разряда, — в таком случае делитель откладывался от делимого столько раз, сколько можно, и число отложенных делителей показывало величину ответа, потому что разделить — значит, узнать, сколько раз делитель содержится в делимом.

2) Замена деления умножением несколько труднее, чем замена его вычитанием; она не так доступна, понятна и наглядна; ее мы встречаем на тех ступенях развития науки, когда совершается переход от простонародных приемов вычисления к точным научным приемам. Так, например, у индусов до выработки нормальных способов деления мы видим массу попыток привести его к умножению; при этом и само умножение совершалось таким искусственным порядком, какой встречался еще в глубокой древности у египтян, распространен был среди всех народов и пользуется до сегодня популярностью среди самоучек и немудрых счетчиков. Для пояснения берем пример у греческого писателя VI в. н. э. Евтокия.

Требуется разделить 6152 на 15. Для этого Евтокий составляет ряд чисел, кратных 15: 15, 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 270, 300, 600, 900, 1200, 1800, 2100, 2400, 2700, 3000, 6000. Ряд этот, как видим, содержит не все кратные числа, но только пролагает путь к тому, чтобы увидеть, что 6000 кратно 15, и что в 6000 содержится 15 четыреста раз. Остается теперь разделить 152 на 15. Для этого Евтокий снова составляет подобный же ряд: 15, 30, 60, 90, 150 и выводит, что 15 в 150-ти содержится 10 раз. Всего в ответе получится 410 и 2 в остатке.

3) Следующей попыткой к упрощению деления является расчленение делителя на производителей; оно и теперь применяется с большим успехом, особенно при устном счете; именно, чтобы разделить, например, на 8, можно разделить данное число пополам, полученный ответ опять пополам и вновь полученный ответ еще раз пополам. Для письменного вычисления такой порядок особенно рекомендовался итальянцем Леонардо Пизанским (около

1200 г.); при этом, в случае дробного частного, у него получался ряд дробей с возрастающими знаменателями.

Оригинальный прием, основанный на той же идее, дал Апиан (XVI в.), который подошел при этом к чему-то вроде десятичных дробей, хотя в его время теория десятичных дробей находилась в самом зачаточном состоянии.

Положим, ему надо разделить 11664 на 48. Апиан сперва вычисляет 11664:6, а потом от каждого полученного разряда берет восьмую долю, — это легко достигается тем, что каждый разряд помножается на 0,125 (ведь 1:8 = 0,125). Все действие можно представить в таком виде:

Объясняется это вычисление следующим образом. Делим 11 тыс. на 6, получаем 5 в остатке и 1 в частном; 5 пишем над 1, а единицу частного умножаем на 0125 и пишем прямо под чертой. Далее, 56 сот.: 6 = 9 сот. и 2 сотни в остатке; остаток помещаем над 6, а 9 надо умножить на 0125; для этого Апиан множит отдельно 0125 на 5 и на 4, получает 0625 и 05; при записывании цифра 5 у числа 0625 подвигается вправо за черту, потому что это будут уже не целые единицы, а только десятые доли. Теперь 26 десятков надо делить на 6, будет в частном 4 дес; помножив 4 на 0125, получится 5 простых единиц, которые и запишем. Наконец, 24:6 = 4, 4X0125 = 5, это будут десятые доли, и их следует написать за чертой вправо. Остается сложить все отдельные частные, и тогда получится общий ответ 243.

4) Все три предыдущих способа уступают нашему, которым мы, обыкновенно, пользуемся: они труднее и длиннее нашего. Но вот метод Тиллиха, предложенный им в 1806 г. Он уже вытекает из нормального приема и стремится еще более его усовершенствовать. Суть его состоит в следующем. При делении на однозначное число, например на 3, не сносят остатков к следующему низшему разряду, а стараются разделить каждый разряд

вполне, хотя бы для этого пришлось воспользоваться и дробным частным. Согласно этому, действие 56 789:3 располагается так:

Прежде всего делится 5 дес. тыс. на 3; на каждую часть придется по 12/3 дес. тыс.; из этого 1 дес. тыс. сносится в частное, а 2/3 дес. тыс. пока оставляются. Затем делим 6 тыс, на 3; будет 2 тыс.; их так и пишем в частном. Точно таким же образом 7 сот. :3 = 273 сотни, 8 дес. :3 = 22/3 дес. и, наконец 9:3 = 3. При этом все целые ответы сносятся в частное, а дроби пока оставляются. Дроби эти приводятся к нормальному виду следующим путем: 2/3 дес тыс. дадут 6 тыс., и 2/3 тыс.; эти 2/3 тыс. составят 62/3 сот., да у нас еще Vs сот-, всего получится 7 сот., их так и пишем. Останется только перевести 2/3 дес. в единицы, будет 62/8. Окончательный ответ составит 18 9292/3.

В иных примерах можно разбивать делимое на группы в 2 разряда, и это представляет немалое удобство. Так, V4 от 339 765 Тиллих советует находить делением 33 дес. тыс. на 4, 97 сот. на 4 и 65 единиц на 4, Тогда форма вычисления получится следующая:

ПОВЕРКА ДЕЙСТВИЙ.

В чем состоит поверка действий, и чем она вызывается? Поверить действие, значит, произвести такое дополнительное вычисление, которое вселило бы некоторую уверенность, что данный нам пример решен правильно. В наши времена поверка применяется не очень часто, и даже начинающие школьники настолько бывают уверены в своих силах и в своем уменьи вычислять, что избегают поверки.

Это, с одной стороны, вредно, так как дети приучаются с малых лет искать опоры не там, где надо бы, т. е. не в своем искусстве и уменьи, а на стороне: они надоедают учителю вопросами „так-ли?“ и постоянно

засматривают в задачники, сходится ли их решение с ответом. Этим наша школа в некотором отношении расслабляет детей, вместо того чтобы помогать им становиться на ноги.

Совсем иное место поверка занимала ранее. В средневековой школе какое-нибудь деление многозначных чисел требовало массы времени, настойчивости, терпения и т. п. Понятно, что затративши много труда и положивши не мало сил, счетчику интересно было убедиться, хорошо ли он исполнил работу, и годится ли результат. Этим и вызывалась потребность поверки. Еще индусы, творцы новой арифметики, любили пользоваться поверкой. Впрочем, у них была на то своя особенная, специальная причина; именно, они, как уже упоминалось не раз выше, вели все вычисления на песке и стирали все лишние цифры, по мере того как подходили к концу, так что в самом конце у них оставались только данные числа и ответ. Вследствие этого им нельзя было просмотреть действие еще раз и убедиться, на сколько верно оно сделано; и в результате они изобрели несколько особенных способов поверки.

Самым употребительным способом, не только у индусов, но и вообще во всей школе до XVIII в. была поверка числом 9. Она основана на следующем. Если мы возьмем 2 слагаемых, например, 370 и 581 и разделим каждое из них на 9, затем сложим остатки от деления, то эта сумма остатков (или же, в свою очередь, остаток от деления этой суммы на 9) будет такой же, как если бы мы прямо разделили на 9 сумму данных чисел.

Действительно, остаток от 370:9 будет 1, от 581 остаток будет 5 и от суммы данных чисел, т. е. от 951 остаток будет тоже 5 + 1 =6- Если бы слагаемыми были 375 и 581, то сумма остатков составила бы 11, а остаток суммы равнялся бы 2, т. е. 11—9. Эти числа 1, 5, 6 или б, 5, 2 носят название поверочных чисел, следовательно, 6 будет поверочным числом для 375, 5—для 581 и 2 — для 956. Отсюда вытекает правило: поверочное число суммы равно сумме поверочных чисел всех слагаемых. Точно так же при вычитании: поверочное число разности соответствует разности поверочных чисел уменьшаемого и вычитаемого; или иначе, поверочное число уменьшаемого равно сумме поверочных чисел вычитаемого и разности. При умножении правило такое: поверочное число произведения равно остатку от деления на 9 произведе-

ния поверочных чисел множителей; и, наконец, при делении поверочное число делимого соответствует таким же образом произведению поверочных чисел делителя и частного.

За исключением сложения, при каждом действии имеется 4 поверочных числа, и они, обыкновенно, располагались так, что получалась фигура косого креста. Пример: 525 разделить на 15, получится в частном 35. Тогда поверка представляется следующим крестом:

Математики знали, впрочем, что поверка числом 9 не безупречна и может повести к ошибкам. Зависеть они могут от таких причин. Во-первых, различные по величине числа, но только отличающиеся друг от друга на целое число девяток, имеют поверочные числа одинаковые; например, числа 172 и 1081. Во-вторых, этой поверкой нельзя открыть пропуска нулей или же излишка нулей; числа 105, 1050, 15 дают одинаковые поверочные числа. В-третьих, перестановка цифр точно так же не может быть открыта этой поверкой, так как, например, числа 78932 и 87 932 дают одинаковые поверочные числа. Итак, поверка числом 9 не дает полной гарантии. Поэтому, некоторые авторы XVI—XVII вв. рекомендовали еще поверку числом 7. Она основана на том же, на чем и предыдущая и, следовательно, при ней из данных и искомых чисел выкидывают возможное число семерок, а с остатком поступают точно таким же образом, как и при поверке числом 9. В этом случае уже можно обнаружить и перестановку цифр, и пропуск нулей.

Казалось бы, что вполне достаточно поверки числом 9 и числом 7 для того чтобы можно было успокоиться и убедиться, что ответ верен. Но нет, Рудольф и Апиан (XVI в.) объясняют, что поверять можно таким же путем, как и выше, еще с помощью чисел 8, 4, 6.

Фишер (в 1559 г.) проверяет свои вычисления числами 5, 6, 7, 8, 9, 11.

Но такое большое количество искусственных поверок приводило многих авторов прямо к отрицанию их необходимости и пользы. Пьер де Рамэ, известный французский ученый и математик (умер 1572 г.), говорил,

что все эти ухищрения излишни и ненужны, и что если кому требуется поверить действие, то пусть он переделает его снова и больше ничего; так будет лучше и в том отношении, что, переделывая снова, мы можем не только открыть присутствие ошибки, но и исправить ее.

Лука Пачиоло смотрел на дело хладнокровнее. Он не отрицает совершенно проверки, но только советует делать ее, по возможности, проще. Именно, он указывает для этого 2 способа. Во-первых, можно то же действие произвести еще раз и только изменить его порядок, например, если при сложении нескольких чисел мы сперва складывали сверху вниз, то потом надо пересложить снизу вверх. Во-вторых, всякое действие поверяется своим обратным: вычитание сложением, деление умножением и т. п.

ПРОИСХОЖДЕНИЕ МЕР.

В вычислениях нет места произволу и очень малый простор для вариации тех или иных приемов; все совершается в конце концов по общим законам, отражающим количественные соотношения действительных вещей в действительном мире. История знает, далее, лишь несколько числовых систем, из которых, к тому же восторжествовала одна — десятичная. Не то мы видим в существовавших ранее, да и теперь, системах мер. Вот уже именно „что город, то норов, что деревня, то обычай!“. Каждое маленькое государство, каждый хоть немножко самостоятельный народ, каждый город, каждый уголок стремился измерять своими мерами, да и те еще успевал переменить несколько раз с течением времени. Проследим вкратце эту изменчивость мер и постараемся извлечь из нее те немногие руководящие основания, которым подчиняется выбор мер, а для этого возьмем от каждого народа то, что более всего примечательно.

Древний мир признавал египтян творцами системы мер. Еще в доисторические времена египтяне принимали 365 дней в году; в 238 г. до н. э. при царе Птолемее Эвергете была сделана попытка реформировать календарь, введя високосный год в 366 дней через каждые 3 простых.

Однако, эта попытка не осуществилась и лишь в 46 г. до н. э. Юлий Цезарь, привлекший к этому делу египетских астрономов, ввел этот календарь во всем римском государстве. При Августе, юлианский календарь был введен

и в Египте. В 1582 г. при папе Григории XIII был введен новый календарь, весьма постепенно принятый всеми странами.1

В этом календаре на каждые 4 столетия приходится лишь 97 високосных лет (столетние годы, в которые число столетий не делится на 4, вроде 1700, 1800, 1900 не считаются високосными). Все эти реформы имели целью приблизить в среднем гражданский год к астрономическому, солнечному и современный календарь отвечает этой цели вполне удовлетворительно. Счет по неделям и по месяцам был известен еще вавилонянам; в Римской империи недели были введены в начале IV в. н. э.

Источником первых линейных мер были части человеческого тела. Так, мерой длины у египтян, вавилонян, евреев и у многих народов не только древнего, но и нового мира служили ширина пальца, ладони или пяди, и локоть, между которыми устанавливались приближенно целочисленные отношения. Так, вавилоняне считали пядь за 15 пальцев, а локоть за 2 пяди или 30 пальцев. Локоть у различных народов несколько колебался в размерах, в пределах от 40 до 55 см. Размер локтя определялся, примерно, длиной локтевой кости от плеча до пальцев. Употребление его в качестве меры длины подтверждает нам, что люди всегда искали мер среди самой природы. Наряду с этими малыми мерами имелись и большие, исходной единицей которых служила примерная длина шага, или длина пути, проходимого за некоторую единицу времени (например, вавилонский „час ходьбы“, равный 60X30 „гар“, где 1 гар = 12 локтям, т. е. около 6 л).

У римлян вместо локтя употреблялся фут — „pes“ (около 30 см), который представлял собой длину ступни взрослого мужчины. И у германцев была в употреблении эта же самая мера, и слово „фут“ германского происхождения и значит, собственно „нога“, т. е. ступня. Подобного же происхождения славянская мера „пядь“. Это, собственно говоря, пространство между раздвинутыми мизинцем и большим пальцем, на наши меры будет около 18 см. Римляне нередко также измеряли расстояния шагами (миля —1000 двойных шагов; двойной шаг, passus =5 римским футам).

Относительно мер поверхности мы ограничимся немногими замечаниями. У нас они приведены в единую связь

1 У нас лишь после Великой Октябрьской Революции. А. /О.

с мерами длины. Не так обстояло дело в глубокой древности. Например, вавилонские меры поверхности первоначально получились как мера посевной площади. Меры, обозначавшие величину поля, выражались через количество веса зерна, потребного, чтобы засеять ту или иную площадь. В установившихся под конец соотношениях этих вавилонских мер мы встречаем любопытное сочетание десятичной и шестидесятиричной систем. Наименьшая мера поверхности, обозначаемая „ше“ (ше, she, по сумерийски обозначало „зерновой хлеб“), составляла Vs шекеля, 60 шекелей давали 1 „сар“, 100 саров 1 „ику“, 6 „ику“— „эшэ“. С линейными мерами связь, разумеется, установилась, но лишь в результате длительного процесса; так 1 cap представлял собой площадь, равную квадрату со стороной в 1 гар = 12 локтей.

В мерах веса вавилонян мы замечаем полное господство шестидесятиричной системы. 60 шекелей составляли мину, а 60 мин — талант. Позднее, в ассирийскую эпоху, стали различать „тяжелые“ и „легкие“ веса, причем первые были вдвое тяжелее вторых. Двойной талант весил около 60 кг, обыкновенный около 30 кг. Эти меры веса имели особенное значение потому, что в весе металлов, главным образом серебра, выражались деньги. Существует, между прочим, гипотеза, согласно которой все вавилонские меры оказались приведенными в единственную стройную систему. Так, для жидкостей служили меры 1 бат = 3 сатонам = 6 гинам = 18 ка = 72 лога. Лог воды весил 1 мину и истечение логи воды из особого сосуда служило мерой двойной минуты.

Вавилонские меры веса через Финикию и Карфаген оказали влияние на меры европейских народов древности. Обыкновенный греческий талант, состоявший из 60 мин или 6000 драхм или 6 X 6 000 = 36 000 оболов, весил около 20^2 кг. Постепенно и у вавилонян и у следовавших за ними в метрологии народах денежные меры, отделились от весовых и начали самостоятельное существование. Талант, как денежная мера, претерпел ряд изменений, соответственно изменению стоимости драгоценных металлов. Так, у вавилонян талант серебра стоил около 2400 зол. руб.; аттический же — лишь около 1300 руб. Как золотая монета талант появился в Греции весьма давно и упоминается еще у Гомера. Вес золотой монеты — таланта был равен весу шекеля (около 17 г), а стоимость составляла около 10 руб. золотом,

Римский фунт сохранил некоторое применение, почти до наших дней, в виде так называемого нюренбергского или аптекарского фунта (376 г), который равен 7/в русского фунта, или 84 золотникам. По образцу римского фунта употреблялись фунты в Англии, Германии, Австрии, Швеции и т. д. Эти веса несколько колебались от страны к стране. Английский фунт был почти равен нюренбергскому, шведский фунт на 15 г тяжелее русского, германский — на 90 г, а австрийский — на 150, т. е. почти на 8/в русского фунта.

Все эти меры теперь вытеснены почти полностью метрическими.

Аптекарский фунт издавна делился на 12 унций; 1 унция = 8 драхмам, 1 драхма = 3 скрупулам, 1 скрупул =20 гранам. Деление на унции было чрезвычайно распространено в древнем Риме и отчасти в средние века. Его применяли даже во многих таких случаях, которые не имели ничего общего ни с весом, ни с фунтом. Например, Via У римлян большей частью называлась унцией, хотя бы то было Vi2 листа бумаги или 1\п капитала, или */i2 времени.

МЕТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА МЕР.

На последнюю четверть XVIII в. приходится самая важная реформа в области мер — введение одной основной метрической единицы.

Меры времени у всех народов Земли были всегда почти одинаковы, потому что они зависят от тех размеров, которые предустановлены самой природой, но остальные все меры были чрезвычайно разнообразны и произвольны. Германия, раздробленная до 1870 г. на многое множество отдельных мелких государств и в то же время достигшая высокой степени экономического развития, служила наглядным образцом обилия мер. В каждом княжестве и почти в каждом большом городе был свой локоть или свой фут; меры вместимости при одном названии иногда имели разный объем; центнер (употребительная мера веса, около 6 пудов; в метрической системе принята за 100 кг), давал, смотря по месту, разницу фунтов в 20. В Швейцарии каждый кантон чеканил свою монету, устанавливал меры и вес.

Во Франции во вторую половину XVIII в. применялось свыше 50 различных мер веса, вместимости и длины.

Все это разнообразие чрезвычайно дезорганизовывало и внутреннюю и внешнюю торговлю государств.

Купцам приходилось иметь дело с тысячами различных цен и мер. При переходе от одних мер к другим, они часто могли вычислять только приблизительно, потому что и самые отношения мер подвергались колебаниям. Кроме того, нормальных образцов и мер, с которыми можно было бы сверить и сравнить прочие, обыкновенно нигде не хранилось и разрешать сомнения и споры не было по чему. Кстати, и в учебниках допускались относительно мер неточности и даже ошибки. По всем этим основаниям вполне понятно стремление коммерсантов и вообще всех людей, так или иначе прикасавшихся к купле и продаже, объединить меры в твердую единую систему. В этом же направлении шли пожелания ученых — астрономов, географов, геодезистов, в среде которых издавна выдвигались предложения создать одну общую систему мер, положив в основу ее какую-нибудь неизменную величину, наблюдаемую в природе.

В средние века некоторые государи и городские управления пытались установить определенные законом величины мер. В городской ратуше в Регенсбурге хранились металлические образцы мер: фут, шестифутовая сажень и локоть; всякий желающий мог осматривать эти образцы и сравнивать с ними свои меры. Многократно издавались в различных государствах предписания, чтобы меры вместимости и длины приготовлялись „с запасом“, т. е. с некоторым прибавком к своей величине, очевидно, во избежание злоупотреблений со стороны купцов.

Однако все эти старания долго оставались втуне. Только французская революция 1789 г., принявшаяся с энергией за создание условий для беспрепятственного развития буржуазного общества, сумела положить начало новой системе мер. Уже в 1789 г. состоялось собрание депутатов множества городов, обсуждавшее вопрос о единой системе мер.

В заседании учредительного собрания 8 мая 1790 г., по предложению Таллейрана, было решено выработать, совместно с Англией, такую систему, которая годилась бы для всех народов земного шара. Предполагалось при этом за единицу длины взять длину секундного маятника под 45° широты.

Однако ненависть английского правительства ко все углублявшейся революции во Франции и переход его

в лагерь военных врагов революции, не позволили организовать совместную работу. Англичане установили у себя свою систему, в которой единицей был принят ярд, заимствованный от длины секундного маятника в Гринвиче; ярд = 3 футам = 0,91 439 м. Франция, таким образом, осталась одна и принялась за работу.

Прежде всего нужно было решить, какую же величину принять за единицу линейной меры. Длина секундного маятника, по мнению комиссии, не годилась: эта длина изменяется с географической широтой, а также со временем. Другие предложенные величины (величина ячейки пчелиных сот, расстояние между зрачками взрослого человека, видимый диаметр Солнца) были отвергнуты как неустойчивые или слишком произвольные. Комиссия, в которую вошли крупнейшие ученые — Лагранж, Монж, Лаплас, Борда, Кондорсе, по предложению Бонне, решила принять за основание одну десятимиллионную часть четверти парижского меридиана или, иначе сказать, сорокамиллионную долю окружности земного шара.

26 марта 1791 г. Национальное собрание одобрило предложение комиссии. Для определения новой единицы длины необходимо было произвести новое измерение дуги меридиана, которое поручили Деламбру и Мешену.

В исключительно тяжелых условиях гражданской войны и борьбы с интервентами эти ученые справились с порученным им делом, измерив 10-градусную дугу между Барселоной и Дюнкирхеном. К 1799 г. все измерения и их разработка в основном были закончены целой группой ученых под руководством знаменитого математика Лапласа. Приготовлено было 2 нормальных платиновых образца, совершенно равных друг другу, и им было дано название „метр“ от греческого слова jiitpov, что значит, мера. В этом случае с особенной целью было выбрано слово греческое, а не французское, т. е. слово языка отжившего, международного, чтобы не обидеть самолюбие всех тех государств, которые пожелали бы ввести у себя метр. Чтобы образовать долю метра, а также чтобы получить кратные метра, воспользовались исключительно десятичной системой. Десятую часть метра назвали дециметром, сотую — центиметром, тысячную — миллиметром; точно так же декаметр составляет 10 м, гектометр —100, километр 1000 и мириаметр —10000.

Десятичная система была выбрана потому, что на ней основана вся наша нумерация, и она дает наибольшие

выгоды для расчетов. Латинские слова: деци, центи, милли и греческие: дека, гекто, кило, мириа, которые обозначают соответственно: 10, 100, 1000, 10000, были выбраны опять-таки потому, что этим путем ничей патриотизм не затрагивался, и система могла быть признана вполне международной. От мер длины легко было произвести меры поверхностей, вместимости, веса и кубические. Так, площадь квадрата с десятиметровой стороной принята была за единицу под именем ара, от латинского слова „area“, что значит поверхность. Единицей объемов был взят кубический метр, который стал называться стером, когда применялся, например, к измерению объема угля, дров и т. п. Греческое слово „стереон“ и значит „объем“, — от него между прочим, производится и слово „стереометрия“, т. е. измерение объемов тел. Для объемов жидкостей стала употребляться более мелкая мера — литр, составляющий 1 кубический дециметр. Единицей веса был принят грамм, равный весу кубического центиметра чистой воды, взятой при температуре наибольшей плотности т. е. 4° Цельсия. Слово „грамм“ — греческого корня и означает, собственно говоря, гравировку или штемпель, который должен класться на гирьке; в буквальном переводе слово грамм значит, „написанное“ и поэтому оно состоит в связи со словами грамматика, грамота.

Метрическая система отличается простотой, потому что в ней только один исходный пункт — метр, и все остальные меры вытекают из него; большим упрощением является и то, что при помощи 12 слов составляются названия для всех решительно единиц этой системы, которые обнимают собой все ее отделы и не дают повода к смешению с какими бы то ни было другими старинными мерами.

Метрическая система была введена во Франции законом 1800 г. Однако, даже на своей родине она укоренилась не сразу. Лишь cl января 1840 г. во Франции было окончательно декретировано исключительное употребление метрической системы. В других государствах она была узаконена еще позднее.

1 января 1872 г. метрическая система была введена в Германии. Несколько ранее этого ее приняла Италия и Швейцария1.

1 В СССР метрическая система была введена Совнаркомом 14 сентября 1918 г. К 1926/27 г. сна вытеснила старую систему мер окончательно. Англия, США и некоторые другие страны еще не ввели у себя обязательной метрической системы. А Ю.

Следует заметить, что при измерении длины меридиана Лапласу и его сотрудникам не удалось избежать некоторой, хотя и небольшой, ошибки, а потому нормальный метр, образец которого сохраняется в Париже, не равен в точности одной сорокамиллионной доле истинной длины меридиана. Именно, по новейшим исследованиям оказывается, что принятый во всем свете метр короче того, какой бы следовало иметь, почти на 1/10 мм. Точно так же, например, нормальные образцы, хранящиеся у нас, не совсем равны изготовленному в 1872 г. Международной Метрической комиссией эталону; один из них больше его, а другой меньше на 0,0005 мм, так что лишь среднее из них точно равно нормальному метру. Не совсем точно равен килограмму и вес кубического дециметра чистой воды при температуре наибольшей плотности. Хотя, таким образом, совершенно точного целочисленного соотношения между ныне принятым метром и длиной меридиана не имеется, изменять эталон метра на основе новых измерений нужды нет никакой и вряд ли скоро возникнет потребность в изменении общепринятой системы мер.

РУССКИЕ МЕРЫ.

Меры времени. Мы начинаем с них потому, что в них все народы более согласны, чем в каких бы то ни было других. Везде принят солнечный год, содержащий 12 месяцев или 36572 суток, и только в очень немногих странах (например, в Турции1) пользуются лунным годом, продолжительностью в 354 дня 8 час. 45 мин. 5 сек. Поэтому представляется вполне естественным, что уже в арифметике Леонтия Магницкого меры времени были совершенно те же, что и у нас:

год имеет 12 месяцев,

месяц имеет 4 седмицы,

седмица имеет 7 дней,

день имеет 24 часа,

час имеет 60 минут,

а весь год имеет 365 У* дней.

1 Напомним, что книга писалась тридцать лет назад. Ныне в Турции принят общий международный год. А. Ю.

Лет за сто перед Магницким существовали оригинальные деления часа:

Большой час имеет 5 первых дробных часов, 1-й дробный час—5 других дробных часов, другой дробный час — 5 третьих дробных часов, и т. д. до 6-го, шестой дробный час — 5 часов седьмых малых дробных.

„Боле же сего не бывает, т. е. не рождаются от седьмых дробных“. Заметим еще, что у Кирика, новгородского диакона, жившего в XII в., век принимается за 1000 лет, вместо наших ста.

Меры длины. Фут никогда не признавался исконной русской мерой; он введен был в России при Петре Великом и вывезен им из Англии. Не даром и сейчас он иногда называется для точности английским футом, и в нем содержится 12 английских дюймов. Старинная русская мера — аршин, состоящий из 4 четвертей. Он подобно локтю и футу возник, вероятнее всего, из длин связанных с человеческим телом; по крайней мере, его четвертая доля — „четверть“, примерно, равна расстоянию между раздвинутыми большим и указательным пальцами взрослого человека.

В русских сборниках XVII в., кроме известных нам сажени, аршина и вершков, упоминается еще локоть, и определен он так, что 2 аршина равны 3 локтям, следовательно, локоть выходит длиной в 10% вершка.

Земельные меры. В Московской Руси было 3 главным земельные меры: соха, четверть и десятина. Соха подобно многим другим мерам того времени, не отличалась постоянством и зависела от качества земли, а также от принадлежности ее тому или другому владельцу. Соха хорошей („доброй“) поместной или вотчинной земли составлялась из 800 четвертей, средней из 1000 и худой из 1200; для монастырских земель, соответственно, из 600, 700 и 800. Она делилась на доли, причем названия долей бывали иногда довольно длинные, так, например, 1/24 выражалась так: „пол-пол-пол-треть сохи“.

Другая земельная мера — четверть. Чему, примерно, она равна на наши меры, — трудно сказать: одни утверждают, что полдесятине, другие увеличивают ее размер до полутора десятин. Деления четверти простирались до

мельчайших долей, так что в расчеты вводилась доля под именем „пол-пол-пол-пол-пол-пол-пол-пол-пол-пол-третник“. Вероятно, под четвертью разумелось встарину такое количество земли, на которое приходилось высевать четверть меры зернового хлеба. Подобно этому осьмина земли соответствовала осьмине хлеба.

Наконец третья земельная мера — десятина. Она и в настоящее время очень употребительна. Различают десятину казенную в 2400 кв. саж. и хозяйственную в 3200 кв. саж. Каково происхождение десятины и что она обозначала в своей первоначальной форме? Слово „десятина“ звучит знакомо для нас и имеет очевидную связь со словом „десять“ или вернее с выражением „десятая часть“. Владиславлев в статье „Происхождение десятины, как земельной меры“ („Журнал Министерства Народного Просвещения“, 1895, II) объясняет происхождение десятины следующим образом. В старину крестьяне брали землю у помещиков и нередко пользовались ею с таким условием, чтобы обработать в пользу владельца известную долю того участка, который они арендуют. Обыкновенно этой долей служила десятая часть — десятина. Предположим теперь, что земельный участок, необходимый для прокормления одной семьи, отличался постоянством, т. е. был приблизительно одинаков в разных местностях, тогда, значит, и десятая доля его, десятина, получает довольно определенное значение и начинает играть роль земельной меры. Вот как объясняет это дело Владиславлев, приводя в доказательство писцовые книги, изданные Географическим Обществом.

Бобынин держится другой точки зрения. Возьмем, говорит он, такой квадрат, чтобы сторона его содержала десятую часть версты, т. е. 50 сажень, площадь этого квадрата будет иметь 2500 кв. саж.; остается теперь только допустить, что с течением времени эта площадь уменьшалась и обратилась в 2400 кв. саж., в таком случае ясно будет, чем была десятина: квадратной площадью со стороной, равной десятой части версты.

Кроме перечисленных нами трех мер, были в употреблении еще такие: а) выть, это 5—10 десятин крестьянской пашни, б) новгородская соха, или сошка, в 10 раз меньше московской; в сохе 3 обжи, в обже 5 коробьев. Особые земельные меры существовали, повидимому, в Тверском княжестве. В монгольский период в юго-западной России

были земельные меры: уволока, морг и прут; в уволоке 30 моргов, в морге 30 прутов. Морг на наши меры составляет приблизительно полдесятины (все эти сведения заимствованы из сочинения Бобынина „Состояние физико-математических знаний в России в XVII в.“).

Меры вместимости. В старину они представляли гораздо более сложную таблицу, чем теперь. Вот меры зерновых хлебов в XVII в.

Оков — 4 чети,

четверток — 2 чети,

четь — 2 меры или 2 осьмины,

осьмина или мера — 2 полуосьмины или 2 полумеры полмеры — 2 четверика,

четверик — 2 получетверика.

Из этого видно, что четверть являлась четвертой долей окова, а четверик четвертой долей меры, причем последняя считалась осьминой, т. е. восьмой частью окова.

Меры веса. В XVII и XVIII вв. встречаются большей частью знакомые нам: берковец (10 пудов), пуд, фунт. Но наряду с ними перечисляется целая масса иностранных мер, и старинных, и современных. Знание их было очень необходимо тогдашнему торговому человеку, потому что все обороты шли через „иноземных гостей“: голландцев, англичан, венгров и т. д. У Магницкого приведены меры латинские (асе, унция и их доли), греческие (талант, мина, драхма и др.) польские, прусские, литовские, краковские, голландские и много других; перечисление их занимает несколько страниц в его „Арифметике“, а для ясности приложены сравнительные таблицы, довольно длинные.

Меры стоимости. Уже ко времени Ярослава Мудрого существовала на Руси монета „гривна“. В ней было 20 ногат, или 50 резан. Различаются гривны кунные, серебряные и золотые; из них кунные готовились из низкопробного серебра и стоили вчетверо дешевле настоящих серебряных; предполагают, что из серебряной гривны образовался в Новгороде к XV в. рубль; золотая гривна была в 127г раз дороже серебряной и весила около 20 золотников. С петровских времен стали чеканиться монеты „гривенники“.

Рубль получил свое название от слова „рубить“ и представлял собой отрубленный кусок серебра весом около полуфунта. Он принадлежал, главным образом,

к новгородским монетам, но попадались и московские рубли, которые были вдвое меньше новгородских. В рубле, содержалось 10 гривен, или вернее, гривенников. Гривенник равнялся 10 новгородкам, т. е. новгородским мелким серебряным (XV в.) монетам, или 10 копейкам, т. е. московским монетам. Происхождение слова „копейка“ объясняется так. Это была небольшая серебряная монета, на которой изображался великий князь верхом на коне; в руках он держал копье, а так как монета была невелика, то копье было очень маленькое, и прозвали его копейком; отсюда получилось название самой монеты — копейка. По крайней мере, во временике (летописи) XVI в. прямо говорится: „оттоле прозваша деньги копейные“. Серебряные копейки весили около 10 долей. При Алексее Михайловиче стали чеканить медные копейки.

Алтын — татарского происхождения; „алты“ по-татарски значит шесть: алтын содержал 6 денег, т. е. 6 полукопеек. При Петре I чеканились серебряные алтыны.

Деньга равнялась половине копейки. До XVI в. она чеканилась из серебра, а потом ее стали готовить из меди. С 1829 г. переименовали ее в денежку. Ее нельзя смешивать с полушкой, иначе сказать, с полуденьгой, которая равна */4 копейки. Это была уже самая мелкая монета на Руси. Впрочем, известный историк прошлого века Карамзин приводит еще другие доли: в полушке 2 полуполушки, в полуполушке 2 пирога, в пироге 2 полупирога, в полпироге 2 четверти пирога.

ОБЫКНОВЕННЫЕ (ПРОСТЫЕ) ДРОБИ.

Необходимость дробей должна чувствоваться всяким человеком, который желает хоть немного выйти за пределы начальных вычислений. И в практической жизни, и при первых же шагах науки дроби совершенно необходимы, и без них обойтись нельзя. Поэтому и в самых древних в самых коротких арифметических рукописях встречаются непременно заметки о долях.

Прежде всего наталкивает на необходимость дробей деление с остатком. Интересны попытки, которые делались старинными авторами, для того чтобы как-нибудь обойтись без дробей и провести все дело легко и спокойно, т. е. в целых числах. Так, в арабской рукописи 12 века н. э.

решается вопрос „разделить 100 фунтов между 11 человеками поровну“; как видно, здесь получается остаток — — 1 фунт, его предлагают променять на яйца, которых по существующим ценам придется 91 штука; тогда на каждого человека можно дать по 8 яиц и еще 3 яйца в остатке; что делать с ними ? их автор рекомендует отдать тому, кто делил, за его труды, или же променять на соль к яйцам. Так же поступает представитель римской монастырской учености IX—X вв. Одо Клюнийский. Требуется ему разделить 1001 фунт на 100, остаток 1 он дробит в унции, драхмы и т. д. до тех пор, пока не получает доли в числе большем 100, затем делит и т. д. И так как в конце концов еще получается маленький остаток, то его Одо предлагает совсем бросить и не брать в счет. Но при этом ведь происходит ошибка, хотя и небольшая, и автору ничего иного не остается, как объяснить остающиеся дробные доли несовершенством всех искусств и для большей убедительности привести латинские стихи.

Rérum véro parens qui solus cuncta tuetur

Cum sit cunctipoténs perfectus solus habetur

Лишь создатель вещей, который один охраняет все, Овладевая всем, может почитаться совершенным.

Из них авторитетно вытекает, что только небесное свободно от ошибок и обладает совершенством.

Понятна та осторожность и та боязнь, с которой в старину относились к дробям. Это был труднейший и запутаннейший отдел арифметики. Не даром и сейчас у немцев сохранилась поговорка — „попасть в дроби“ (in die Bruche gerathen), что совершенно равносильно нашему „стать в тупик“, т. е. зайти в такой проулок, выход из которого застроен. Трудность увеличивалась и осложнялась, главным образом, тем, что не принято было давать никаких объяснений, и вся старательность ученика направлялась на заучивание правил, без всякого понимания того, откуда эти правила вытекают. Кстати, и самая глава о дробях была мало разработана и представлялась неясной даже для составителей учебников, В понятиях о действиях над дробями была большая путаница, особенно, в вопросе об умножении и делении, да и в наши дни этот туман не рассеялся; например, первые 2-3 года, пока ребенок учит целые числа, ему толкуют, что умножить, значит увеличить в несколько раз, а потом, когда он перейдет к дробям, его начинают убеждать, что умно-

жить вовсе не значит увеличить. Между тем как легко было бы устранить все это, если бы взглянуть на дело попроще и согласиться, что умножить в целых числах значит взять слагаемое несколько раз, а в дробях — взять долю числа. Трудны были дроби прежде, нелегки они и теперь, а так как изучение их очень полезно и необходимо, то преподаватели старались и в прозе и в стихах ободрить своих учеников и побудить их пересилить трудности.

Знаменитый римский оратор Цицерон (I в. до н. э.) счел долгом сказать свое авторитетное слово по этому случаю: „sine fractionibus arithmetices peritus nemo esso potest“; это значит: „без знания дробей никто не может признаваться сведущим в арифметике“. То же самое встречаем у нашего Магницкого в таких стихах:

Но несть той арифметик, Иже в целых ответник, А в долях сый ничтоже, Отвещати возможе. Темже о ты радеяй, Буди в частях умеяй.

Особенное уважение к дробям свидетельствует автор одной славянской рукописи XVI в. Именно, рассуждая о тройном правиле, он говорит: „Несть се дивно, что тройная статия в целых, но есть похвально, что в долях“.

Рассмотрим теперь подробно, как развилось учение о дробях у различных народов.

Древние египтяне чрезвычайно оригинально пользовались только основными дробями, у которых числитель непременно единица, к ним присоединялась лишь дробь 2/3. Других дробей они просто не имели, т. е. в кратных основной дроби вида 5 они не видели единых числовых понятий и не имели для них специального единого символа. Для умножения дробей на числа они пользовались известным уже нам процессом удвоения и специальными таблицами значений 2-^, приводившими эти произведения к суммам основных дробей. Там, где нам потребовалось бы произвести какое-нибудь действие над дробями, египтянин оперировал заменяющими эти дроби основными. Решительно все преобразования, которые требовалось при этом

делать, совершались при помощи обширных упомянутых таблиц. Вот как начинаются эти таблицы:

и т. д. до

Здесь между долями подразумевается, очевидно, сложение, так что -g- =“§“+ ß • С дробями, у которых числитель больше двух, точнее говоря, с произведениями основных дробей на числа больше двух, приходилось немало хлопотать, и составителям таблиц, вероятно, пришлось немало потрудиться, например, над разложением дроби Ход вычислений, по мнению М. Кантора, мог быть такой:

При помощи таких таблиц египтяне умели, как это будет видно ниже, обходиться без приведения дробей к одному знаменателю.

Как составлялись подобные таблицы? Точного ответа дать сейчас по состоянию известного нам материала нельзя. Можно догадываться, что едва ли все строки принадлежат одному составителю, вернее всего отдельные результаты тщательно собирались в общий свод, так что на некоторые ответы приходилось наталкиваться случайно, при каких-нибудь других вычислениях.

Так как египтяне пользовались только основными дробями, т. е. с числителем, равным единице, то они вовсе и не писали числителя, а только подразумевали его, писали же одного знаменателя; но чтобы не смешать дробь с целым числом, они над цифрами знаменателя ставили точку. Из производных же дробей рассматривалась только -g, у которой был свой знак, так что эта дробь принималась за какую-то особенную величину, не стоящую в прямой связи ни с целыми числами, ни с дробями.

Вавилоняне пользовались шестидесятиричными дробями, напоминающими наши десятичные, т. е. дроби представлялись в виде ^+5^ + ебз, так, например, у них выражалось как В соответствии с их системой нумерации они для обозначения половины писали только числитель, 30; как мы помним запись 30 могла означать 30-60±п и лишь по тексту видно было, о каком точно числе идет в нем речь. Особый знак имелся, как и в Египте, лишь для дроби 2/8. Для вычислений с дробями вавилоняне составили обширнейшие таблицы, выражавшие в шестидесятиричных дробях основные дроби. Например, и т. п. Деление на п сводилось тогда к умножению на —.

Арабы, между прочим, разделяли дроби на „выговариваемые“ и „невыговариваемые“. Такие термины встречаются, например, в VIII — IX вв. н. э. Выговариваемыми дробями были те, у которых числитель единица, а знаменатель от 2 до 9; они назывались так потому, что для них были особенные названия, вроде наших „половина“, „треть“ и т. д. Невыговариваемыми дробями были все остальные и, например, ~ выражалась описательно так: одна из тринадцати долей; 4 так: шестая часть одной пятой.

Древние греки часто вводили в вычисления дроби. Обозначали они их так: сперва писали числителя и сверху справа ставили значок вроде запятой, потом дважды повторяли знаменателя и приписывали каждый раз значок в виде 2 запятых. Например, 5Т = т'r*<*'W, так как у греков if обозначает 3, а единицу, х двадцать. Однако, чаще всего греки, как и египтяне, пользовались основными долями и при этом обыкновенно пропускали числителя, а знаменателя писали с присоединением 2 черточек, и выходило, например, что ^—-ы“- Если несколько основных дробей писалось подряд, то это значило, что их надо сложить. Особенные знаки были для половины: [см. рис- 48] (старинная греческая буква сигма) и для двух третей омегообразные со.

Индусы, в лице одной из древнейших своих отраслей — доисторического племени Тамулов, выражали все доли при помощи только Va» xlv lUv V40» Veo» Vwo» для которых у них были особенные названия и знаки. Все другие дроби они старались привести к шести указанным и это им в большинстве случаев удавалось порядочно.

У индусского математика Брамагупты (в XI в. н. э.) имеется довольно развитая система дробей. У него встречаются различные дроби: и основные, и производные от них с любым числителем. Числитель и знаменатель писались так же, как у нас, но только без горизонтальной черты, а просто ставились один под другим. Целое число помещалось выше числителя. И выходит по индусскому порядку 7, а по нашему—57/8-

Представители позднейшей арабской учености (XI в.) копировали индусский порядок. Если целых не было, то они вверху помещали нуль. Вот изображение yj восточно-арабскими цифрами Д ; отсюда видно, что нуль у восточных арабов писался в виде точки. Итальянец Леонардо из Пизы, следуя манере восточных народов писать справа налево, помещает, в случае смешанных чисел, справа целое число, а левее — дробь, но читает написанное общепринятым европейским порядком, т. е. сперва целое число, а потом уже дроби.

Своеобразную систему дробей наблюдаем мы у римлян, заменявших отвлеченные доли подразделениями употребительных мер. Они остановили свое внимание на мере веса — фунте (асе, в настоящее время аптекарский фунт), означавшем также и меру стоимости. Асс делился на 12 частей — унций. Из них составлялись все дроби со знаменателем iz, т. е. fj* J2' Ï2* Ï3* Ï2* Ï2* Ï2* 12* ТЗ' у?|, j^; при этом каждая из таких дробей выражалась особенным знаком и особенным словом; любую величину можно было выражать посредством унций, например, вместо того чтобы сказать: „я прочитал ~ книги“, говорили „я прочитал 5 унций книги“. Римляне выражали с помощью унций и дроби вроде !/8, говоря 1~ унций,— для нас такое выражение, т. е.-j^, представляется, конечно, более сложным. Таким образом, асе являлся и именованной единицей, и в то же время отвлеченной, так как его долями выражались всевозможные дроби.

Эта римская система дробей держалась в школах Западной Европы вплоть до тех пор, когда принесенная через Испанию арабская — вернее сказать индусская — арифметика стала вступать в свои права и получила силу и перевес. Это относится к XV — XVI вв. В эти века учение о дробях уже получает настоящий облик, знакомый нам теперь, и формируется, приблизительно, в те же самые отделы, которые встречаются в наших настоящих учебниках. Но все это было еще очень мудрено, туманно и трудно для начинающих учиться. О происхождении дробей тогда часто не говорили или же говорили очень мало. Вместо того прямо начинали с выговаривания дробей и с их письменного обозначения. Вот цитата из Грамматеуса-Шрейбера, немецкого автора XVI в.: „следует заметить, что всякая дробь имеет 2 цифры, вверху и внизу линии. Верхняя цифра называется числителем, нижняя — знаменателем. Выговаривают дроби так: сперва называют верхнюю цифру, затем нижнюю, с прибавлением слова „части“. Например у — две пятых части“.

В русских математических рукописях XVII в. мы видим то же самое. „Статия численая о всяких долях указ“ начи-

нается прямо с письменного обозначения дробей и с указания числителя и знаменателя. При выговаривании дробей интересны такие особенности: четвертая доля называлась четью, доли же со знаменателями от 5 до 11 выражались словами с окончанием „ина“, так что 111 — седмина, Vr,— пятина, Vio—десятина; доли со знаменателями, большими 10, выговаривались с помощью слова „жеребей“, например, 6/i3 —пять тринадцатых жеребьев. Нумерация дробей была прямо заимствована из западных источников, как указывал сам автор рукописи: „буди ти ведомо, како ся пишут доли в цифирном счете, по немецким землям, в латине и во французской земли“. Числитель назывался верхним числом, а знаменатель исподним.

У Магницкого („Арифметика“ 1703 г.) можно найти яркий пример того, как смутно вырисовывалась глава о дробях в представлении самих авторов учебников. Первый раз упоминает о дробях Магницкий совершенно неожиданно, когда у него идет деление с остатком. На стр. 17 решается пример 130:3, и в конце решения говорится так: „И умствуй из 10 3-х: и придет 3, еже напиши за чертою. А осталось из 10,1, иже есть общий всем трем и пишется последи сице V8“. Больше никаких разъяснений нет совершенно. Следующий пример деления с остатком приведен на стр. 21, и тут уже прямо подписан ответ 77446399:2864 = 27041978/2864. Затем встречается еще немало примеров деления с остатком, и во всех в них остаток подписывается именно таким образом, т. е. в виде числителя дроби, у которой делитель служит знаменателем. Трудно сказать, что хотел изобразить этим Магницкий: хотел ли он представить ответ в виде целого числа с дробью, или же это была вовсе, по его мнению, не дробь, а только своеобразное обозначение деления с остатком. Если это дробь, то лучше было бы отложить ее запись до полного рассмотрения дробей, или в крайнем случае, подробно все объяснить; если же это не дробь, и если черта не отделяет числителя от знаменателя, то какая же сбивчивость и неясность должна была возникать для ученика, когда он начинал изучать дроби и видел, что они пишутся почему-то, точно так же, как и остаток с делителем при делении с остатком. Почему все это так? Едва ли ум ученика был в состоянии переварить этот вопрос и, вероятно, приходилось ему, бедному, просто запомнить и затвердить, не мудрствуя сверх сил.

На стр. 42 начинается у Магницкого вторая часть арифметики, в которой говорится „о числах ломаных или с долями“. „Что есть число ломаное?44 — „Число ломаное ничто же ино есть, токмо часть вещи, числом объявленная, сиречь полтина есть, половина рубля, а пишется сице 72 рубля или четь V41 или пятая часть 7б или две пятые части 2/б и всякие вещи яковые либо часть, объявлена числом, то есть ломаное число“. Затем идет „нумерацио“, или „счисление в долях“, т. е. дается ряд дробных примеров и указывается, как их выговаривать.

Полезно еще здесь объяснить, что значат старинные русские выражения „полтретья“, „полпята“ и т. п. Полпята вовсе не значит половина пяти, но 472, потому что, по нашему говоря, это половина пятого, т. е. 4 целых и от пятого половина. Точно так же полтретья значит, половина третьего, т. е. 272. У нас осталось и сейчас выражение полтора: оно произошло от полвтора, т. е. половина второго, т. е. один с половиной, 172. Теперь понятна задача из Магницкого на стр. pci: „купил полторажды полтора аршина, дал полтретьяжды полтретья гривны, колико дати за полдевятажды полдевята аршина, придет 20 рублей 2 алтына и 37/s полуденьги“.

СОКРАЩЕНИЕ ДРОБЕЙ И ПРИВЕДЕНИЕ К ОДНОМУ ЗНАМЕНАТЕЛЮ.

Уменье сокращать дроби восходит довольно далеко и встречается у математиков, живших еще до н. э. Самым простым способом был тот, который практикуется и у нас, т. е. деление числителя и знаменателя на одно какое-нибудь небольшое число, вроде 2, 3, 5 и т. д. Эвклид (за 300 лет до н, э.) в совершенстве знал способ последовательного деления, в котором большее число делится на меньшее, меньшее на первый остаток, первый — на второй и т. д. до тех пор, пока не будет найден общий делитель. Боэций (VI в. н. э.) рекомендовал последовательное вычитание, как средство для сокращения дробей; при этом, схоже с процедурой Эвклида, меньшее число отнимается от большего столько раз, сколько можно; первый остаток отнимается от меньшего числа, второй остаток от первого и т. д., до тех пор, пока не будет найден общий делитель, на которого затем и остается разделить числителя и знаменателя. Кроме того, в средние

века составлялись довольно длинные таблицы для сокращения дробей; в них выписывалось подробно, на каких именно производителей может разлагаться каждое из составных чисел. Применялся такой своеобразный способ. Требуется, положим, сократить 14/21. Для этого помножаем числителя и знаменателя дроби на такое число, чтобы новый числитель содержал в себе прежнего знаменателя; в нашем примере достаточно помножить 14 на 3, получится 42, делим это число на 21, будет 2, а весь ответ составит 2/3. Этот способ может и теперь иногда пригодиться, например, в устном счете.

В старинных русских арифметиках сокращение называлось так: „уменьшение долям“. Это выражение неправильно потому, что величина дроби при сокращении не изменяется и, следовательно, не уменьшается, а уменьшаются только числитель и знаменатель; таким образом, здесь сама дробь смешивается с ее членами, а это вовсе не одно и то же. Подобный неправильный термин встречается еще и сейчас в немецкой литературе: verkleinern — уменьшение, вместо слова сокращение1.

Приведение дробей к одному знаменателю встречалось еще у древних епиптян, хотя они предпочитали обходиться без него. Общим знаменателем у них не всегда было наименьшее кратное число; например, чтобы привести к одному знаменателю дроби 13/,б и 7/go, они не брали обязательно числа 60 и не заменяли данных дробей через и 21/60; они пользовались знаменателем и 120 и 300 и т. п.; выражали предыдущие дроби через 104/i2o и 42/i20, 260/sooî 10б/воо« Мало того, знаменателем выбиралось иногда такое число, которое вовсе не делилось на данных знаменателей. Попытаемся, например, привести дроби l8/i5 и 7/го к общему знаменателю 30, тогда получится 26/30 и 1072 тридцатых, так как тридцатые доли в полтора раза мельче двадцатых. Таким образом, мы видим, что древние египтяне не стеснялись формой числителя и допускали дробных числителей. Это указывает на значительное понимание ими свойств дробей; они, следовательно, вникали в их смысл, умели обращаться с ними свободно и уверенно и применяли их, смотря по удобству, к раз-

1 Этот же упрек можно в равной мере отнести к термину „сокращение“, ведь сокращается, т. е. уменьшается, не дробь, а ее числитель и знаменатель. А. Ю.

личным особенностям задач1. Средневековая арифметика уступает в этом отношении древней. В ней гораздо больше механизма, заученных правил, строго очерченных приемов, и поэтому гораздо меньше свободного соображения. Это обусловливается общим отпечатком средневековой науки, как исключительно ремесленной, сухой, не позволяющей вникать в суть и обращающей внимание лишь на форму. В XVI в. н. э. учебники относительно приведения к общему знаменателю говорили кратко и внушительно: „перемножь крест-накрест, затем перемножь знаменателей!“. Косой крест считался знаком приведения дробей к одному знаменателю, потому что он лучше всего указывал порядок вычисления: достаточно числителя первой дроби помножить на знаменателя второй, а числителя второй дроби на знаменателя первой,—это будут числители, общим же знаменателем будет произведение данных знаменателей. У других авторов косой крест служил и знаком деления дробей, потому что и при делении надо множить крест-накрест, т. е. числителя одной дроби на знаменателя другой.

Механическое правило, по которому дроби приводятся к одному знаменателю, касалось не только двух дробей,

1 Толкование, даваемое автором египетским вычислениям, современные исследователи отвергают. Сам автор указывал выше, что египтяне пользовались только основными дробями с числителем единица (кроме а/8), —и совершенно справедливо; теперь он вступает в противоречие с самим собой, находя у египтян даже дробных числителей. По нынешним воззрениям египтяне с помощью особых приемов обходились без приведения к одному знаменателю. Например, чтобы разделить 37 на дробь 1 + 2/в + V2 + 77 они не приводили задачу к делению 37 на а применяя удвоения и раздвоения, а также пользуясь таблицей удвоенных дробей 2~, сперва получали, что 16 — кратное этой дроби есть 36 + 2/з + Vi + V»- Затем, с помощью особого приема (который равносилен, но не тождественен вовсе с приведением к общему знаменателю) находили, что до 37 недостает 2 сорок вторых; число 1 + 2/3 +1/2 + 77 содержит 97 сорок вторых нолей. Таким образом, оставалось удвоить ^ [по-нашему ^ : (1 + 2/з + + Va+ Vi) =2 :97] с помощью таблицы, где можно было найти, что ^ §7 = 6^9 Î7E ' Таким образом частное имело вид 16-f ^ + + + Подробнее см. у Нейгебауера, цит. соч., гл. IV, § 3. А. Ю.

но и нескольких. Дано, например, выразить в одинаковых ддлях Vi6, 7/ао1 0/аб- Тогда составляли сперва произведение 15 на 20 и приводили первые две дроби в такой вид: 80/8оо, 10б/зоо- Потом составляли произведение 300 на 25 и получали общим знаменателем число 7500, так что 3 данных дроби превращались уже в 2000/7боо, 262б/?бсо. 2700/7боо. Знаменатель, как видим, возрос до значительной величины, и все оттого, что математики не пользовались наименьшим кратным данных знаменателей. У Магницкого дроби 2/3, 8А, б/в, 4/б приведены к знаменателю 360, вместо 60; у него получаются такие ответы: 240/8в0, 270/8е0» 9001ж* 288/з<ю и это после ряда длинных вычислений, занимающих целую страницу книги. Даже у Степана Румовского (1760 г.) дроби V3 и 2/о приводятся к общему знаменателю 27, а не 9, как это сделали бы мы. Из всего этого видно, что правило, по которому общим знаменателем должно служить наименьшее кратное, твердо вошло в обиход вычислений не так уж давно, а прежде общий знаменатель составлялся прямо перемножением данных знаменателей.

ДЕЙСТВИЯ НАД ПРОСТЫМИ ДРОБЯМИ.

В настоящее время принято во всех учебниках, чтобы действия над дробями шли в таком порядке: сложение, вычитание, умножение и деление. Прежде было иначе; старинные авторы предпочитали начинать с умножения и деления, и потом уже переходили к сложению и вычитанию; при этом они руководствовались тем, что для умножения и деления не надо приводить к общему знаменателю и, следовательно, эти два действия гораздо легче тех двух.

Мы будем держаться общепринятого порядка и поэтому скажем сперва несколько слов о сложении. Из его особенностей отметим только ту, которая касается сложения нескольких дробей. Для этого, обыкновенно, складывали сперва только две дроби, сумму их сокращали, если только она сокращается; потом к ней прикладывали третью дробь и сумму опять сокращали, если только можно, и т. д. вели сложение до последней дроби. В XVI в. н. э., впрочем, складывали несколько дробей сразу, но принимали за общий знаменатель произведение всех знаменателей. Для облегчения сложения придумывались особенные таблицы, в которых были помещены суммы наиболее употребительных долей. Например, Леонардо

Пизанский (XIII в.) дает в своем учебнике таблицу сложения дробей, у которых знаменателем служат числа: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10.

Вычитание. Древние египтяне заменяли вычитание дробей сложением. Вместо того чтобы привести дроби к одному знаменателю и потом вычесть числителей, они задавались вопросом: какое число надо прибавить к меньшему данному числу, чтобы получить большее данное?

Например, сколько недостает до единицы у j + *g“+^+ + ^) + £5? Этот вопрос они решали следующим образом: общий знаменатель 45, складываем П1/^ 51/*, Vs, 472, IV2» 1, будет всего 231/* */* Vsî Д° 2/з нехватает б-g- сорок пятых долей, или 5 сорок пятых да 1 ^ сорок пятых, т. е. У9 и 1/40; всего до 1 нехватает ^з, 7Ô, Uo —это есть ответ.

Умножение. Умножить какое-нибудь количество на правильную дробь значит, найти такую долю этого количества, какая выражается множителем. Это так ясно и понятно. Тем не менее нахождение частей числа почему-то отделялось и отделяется от умножения и принимается за какое-то особенное вычисление, которое должно якобы предшествовать 4 арифметическим действиям. Почему все это так, и где кроется корень недоразумения, — объяснить трудно, так как история арифметики не дает надежного ключа к разгадке. Но любопытно сопоставить это дело с другим недоразумением, которое несколько веков тому назад особенно авторитетно выставлялось на первый план, считаясь чем-то непреложным, — в настоящее время оно оставлено и забыто. Касается оно следующего.

В вычислениях с дробными числами, кроме чисел целых и дробей, встречались еще, так называемые, доли от долей; это были длинные выражения, состоящие из огромного ряда дробей, которые не подлежали упрощению и в сыром виде входили в действие. Лучше всего пояснить это на примере: сложить 2/8 от 4/б от б/6 с 7/з от 9/ю, или еще из 10 вычесть 32/3 от 211% от 4/б- Ясно, что здесь невычисленные выражения, и что прежде чем складывать или вычитать, надо привести слагаемые или же уменьшаемое с вычитаемым в обработанный вид. Получится, что

есть

480 = 32' теперь эти дроби возможно сложить, и в сумме будет 288= 1 2g§. Так же и во втором примере приведем сперва вычитаемое к должному виду и тогда уже произведем действие: 32/3 X 2х/2 Х4/б = ^туг^ = у = 7V3, 10 — 7У3,= 22/3. Совершенно нельзя понять, к чему требовалось математикам затруднять сложение и вычитание дробей особенными правилами, как обращаться с долями долей, а между тем эти правила рассматривались на ряде страниц, требовали большого количества упражнений и приносили только вред, так как на них без пользы уходило много времени и труда. Теперь уже наши дети не изучают отдельных правил, как складывать или вычитать доли долей, и в этом отношении им легко. Будем же надеяться, что подобно этому отделу исчезнет в учебниках и другой лишний отдел — нахождение частей целого, перейдя туда, где ему настоящее место, т. е. к умножению дробей.

Заметим, что вычисления с долями долей очень древнего происхождения, они ведут свое начало, по меньшей мере, от греческого математика Герона (II в. до н. э.). Были выработаны специальные обозначения для частей дробного числа. Например, у арабов | j j j g должно было обозначать 4/б от 8/7 от 5/8, т. е. окончательно 8/14.

У Леонардо Пизанского (XIII в.) выражение Oy -jj- -^22 равно, согласно нашему порядку, 22-j-y-g- т. е. 22gg, равно +T + T- 9 + 3'ïT Вот какая путаница вносилась этим отделом совершенно без всякой нужды. Также и в русских математических сборниках XVI—XVII вв. этот отдел приводил к немалой путанице. Он назывался „вынимание дробовое“ или „вычитание доли из долей“. Его нельзя было смешивать с другим действием, которому придавалось созвучное заглавие, с „вычитанием в долях“, где рассматривается наше вычитание дробных чисел. Составителю учебника приходилось не мало разъяснять, чтобы предостеречь ученика от смешения вычитания и нахождения части, так что перед вычитанием помещено было отдельное разъяснение „о разумении, что есть доли из долей“.

Обратимся теперь к чистому умножению дробей, как отдельному действию. Ясно обособляться оно стало только в средние века, и тогда ему придано было название „умножение". У Бернелинуса, ученика Герберта (XI в.) умножение Узе на V3 совершается по римским образцам следующим образом: Vse обращается в доли фунта; в фунте 12 унций, следовательно, унция равна V12, а так как в унции 24 скрупула, то дробь xlw обратилась в 8 скрупулов: V3 равна */3 фунта, т. е. 4 унциям; множим теперь Уд фунта на V3 унции, т. е. на 8 скрупулов, и получается 1/9 унции, иначе сказать 22/3 скрупула, а так как 2 скрупула составляют особую меру, которая называется „emisescla“, то окончательный ответ представится в виде Р/8 „emisescla“. Да, можно сказать, что способ Бернелинуса очень и очень нелегок.

Леонардо Пизанский под влиянием арабских и индусских образцов производит вычисления не с унциями, а просто с отвлеченными долями. Он пользуется таким способом. Сперва он перемножает числителей, а потом получившееся число делит на первого знаменателя и, затем, уже это частное делит на второго знаменателя.

Пьер де Рамэ (Рамус), знаменитый французский математик и философ XVI в., дает в главе о дробях, как и в других отделах математики, много свежих и новых мыслей. Он особенно настаивает на том, что ученикам надо объяснять правила, а не только принуждать выучивать их наизусть, и что правила надо выводить, а не только применять готовые к примерам. Однако, сам Рамус, вследствие той туманности, которую придавали арифметике его предшественники, не всегда одинаково ясно и удачно ведет свое изложение, так что в случае умножения дробей мы находим у него такой запутанный вывод: „дано умножить 3/4 на2/3; это значит, найти 8/4 части от дроби 2/3; рассуждаем по тройному правилу: 1 относится к 3, как 2 к 6, и 1 относится к 4, как 3 к 12, следовательно, ответ будет 6/12: это и есть произведение 2/3 на 8/4а.

Русские математики XVII и XVIII вв. следовали в главе об умножении западно-европейским образцам. Они рассматривали 3 случая: а) умножение дроби на целое, б) умножение дроби на дробь и в) умножение смешанных чисел. В конце, в так называемой „строке генераль“, давалось общее правило перемножения дробей. Неизменяемость произведения при перестановке производителей объяснялась в таких выражениях: „ведай доли

из доли умножение, как */з из lU умножай придет V12, також 1l4t из */з тож Vu*- Знак при умножении дробей всегда употреблялся такой: одна горизонтальная черта проводилась от числителя к числителю, а другая от знаменателя к знаменателю, и это служило хорошим знаком действия, так как этим обозначался порядок вычисления.

Замечательно место у Магницкого, в котором он трактует об умножении простых дробей. Здесь явственно вылилась вся нетребовательность по отношению ко всяким выводам и объяснениям. Достаточно сообщить правило, а кроме него что же еще надо? Так, наверное, думает Магницкий, и мы не можем отказать себе в том, чтобы не привести отрывка из его арифметики. Стр. 54: „Мултипликацио или умножение в долях. Что в сем пределении достоит ведати. Впервых подобает ведати яко во умножении несть потреба да сравнявши доли к единакому знаменателю: но яковы доли дадутся, таковы и умножати числители чрез числители, и знаменатели чрез знаменатели, якоже 8/8 чрез V*. 3 чрез 1 будет 3, а 8 чрез 4, будет 32, и еже от числителей произыдет напиши над чертою, а от знаменателей произведеное напиши под чертою и будет 8/8аа. Итак, в арифметике дается только правило, без вывода, зато после правила идет целый ряд примеров, всего 60 номеров, с ответами, и предлагается заняться проделыванием этих примеров, чтобы, так сказать, набить руку в этом правиле.

Преемники Магницкого, т. е. составители русских учебников XVIII и даже XIX вв. не оказались счастливее его в этом случае. Они тоже или не дают никаких объяснений умножения дробей, или дают объяснения спутанные и трудные. Так, в арифметике Эйлера, переведенной Адодуровым (1740 г.), умножение дробей объясняется на 29 страницах, причем объяснение дано очень растянутое, многословное и малоубедительное. У Румовского (1760 г.) перед дробями расположены пропорции, и умножение дробей выводится из общего свойства пропорций, именно, что произведение крайних членов равно произведению средних членов. И сами пропорции являются для учеников темным местом, а уж про вывод из них и говорить нечего, особенно когда они излагаются в буквенной форме, как у Румовского. Порядочное изложение встречаем мы у Безу (перевод Загорского, 1806 г.), но уже у Павла Цветкова (1834 г.) опять тянется старая песня: „Как множится дробь на дробь?“ — спрашивает он, и отвечает:

„При умножении дробей на дроби надлежит множить числителей на числителей, а знаменателей на знаменателей“. Этим заканчивается § 34, и автор уже более не желает возвращаться к подобному скучному вопросу, которому, вдобавок, никак еще не придумать подходящего объяснения. И это в то время, когда Цветков для более легкого вопроса, для умножения дроби на целое, находит нужным и возможным дать толковое объяснение.

Да, умножение на дробь и в старину, и еще теперь является одним из самых больных мест начальной арифметики.

Деление. Деление дробей шло все время правильным путем, без скачков и отклонений в сторону. Еще древние египтяне вполне ясно понимали, что деление обратно умножению и что поэтому его можно привести к умножению. По своей привычке к основным дробям, т. е. с числителем, равным единице, они и деление рассматривали с точки зрения этих дробей. Пример: 2 разделить на 1 7з V4- Здесь египтяне ставили вопрос: на какое число надо помножить выражение 1 7з 4V иначе сказать, 1 + 7з + + 7i, чтобы получить в произведении 2 ? Для этого, помножаем количество 1 7з lU на 2/e Is Ve Vis и получаем 285 сто сорок четвертых; при этом множимое число отдельно помножается на 2/д, на 7з, на 7в и на Via* с таким расчетом, чтобы каждое следующее произведение было вдвое меньше предыдущего, т. е. чтобы применялся знакомый уже нам египетский прием деления на два. Так как 285 сто сорок четвертых отличается от данного числа 2 на 3 сто сорок четвертых, т. е. на772 Vm, то остается решить вопрос: на какое число надо умножить 1 7s 7*, или 228 сто сорок четвертых, чтобы получить сперва Очевидно, на Чтобы получить 772» наА° умножить на Vnr Таким образом, после довольно запутанного вычисления получается итог: 7з Ve Via Viu 7г88» составленный из основных дробей (напомним, что дробь 2/3—единственная из дробей с числителем, отличным от единицы, существовавшая у египтян).

Римский способ деления дробей напоминает собой римский же способ деления целых чисел. Вот пример Бернелинуса (XI в.). Разделить 28 на 1 8/4. Делится 28 не на 1 8/4, а на 2, т. е. делитель дополняется до целого числа, 28:2=14; теперь надо составить лишек, который следует возвратить делимому; так как на каждую часть взято лишнего по 7*, то на все 14 частей пришлось 3 7* делим 3 7з на 2, будет в частном 1, в остатке 1 сдачи

возвратится */4, всего составится в делимом 18/4; делим это количество на 18/4 и получим в частном 1; таким образом, весь искомый результат будет 14 —j— 1 -j- 1 = 16.

Иордан Неморарий, математик средних веков (около 1200 г.) пользуется для деления аналогией с умножением и дает следующий искусственный прием. Задано разделить 2/3 на 4/б. Тогда числитель и знаменатель первой дроби увеличивается каждый в 4X5 раз и затем применяется правило: числителя разделить на числителя, а знаменателя на знаменателя, подобно тому, как в умножении дробей множатся числитель на числителя и знаменатель на знаменателя. Получается формула:

Леонардо Пизанский советовал приводить дроби к одному знаменателю и потом уже делить, пользуясь аналогией с именованными числами, так как там, обыкновенно, меры раздробляются в одинаковое наименование, и затем полученные числа делятся. Пример у Фибонначи следующий:

В XVI в. на сцену вышло новое правило деления дробей: надо делимое помножить на обращенного делителя. Пример: 8/4 :2/3. Для решения его множим 8/4 на 8/2, получим 9/8, это и будет верным ответом. В объяснение этого правила, равно как и всех других, авторы учебников входить не любили. Они только ограничивались тем, что приводили самое правило и потом несколько примеров с решением. Ученики же запоминали правило и практиковались в применении его к вычислениям.

Знаком деления до XVIII в. являлись, обыкновенно, две перекрещивающихся черты, которые шли от числителя первой дроби к знаменателю второй и от знаменателя первой к числителю второй. Только с развитием алгебры, когда потребовался общий знак деления и для целых чисел и для дробей, стали обозначать это действие так же в дробях, как и в целых числах, т. е. двумя точками.

“Приведем еще небольшой интересный отрывок, который хорошо показывает, к каким хитростям прибегали средневековые ученые, когда им давался трудный пример с дробями. В Зальцбургском (Австрия) сборнике, отно-

сящемся к XII в., надо было вычислить земной диаметр по окружности Земли. Известно, что окружность в З1/, раза больше своего диаметра, и поэтому, чтобы получить диаметр Земли, достаточно ее окружность разделить на 22/7. Принимая окружность за 252 000, составитель находит 7/22 этого числа, т. е. умножением на 7/22 заменяет деление на 22/7. Умножение же он ведет так. Сперва вычисляет 1/22 всего числа, получится 11454*/2 V22» затем вычитает эту величину из 252 000, будет 240 5441/2 21/22. Треть этого числа и составит искомый ответ, т. е. земной диаметр, так как 21/22: 3 = 7/22-

ШЕСТИДЕСЯТИРИЧНЫЕ ДРОБИ.

Древние вавилоняне издавна любили считать по копам, т. е. группами по 60. Почему они остановились именно на этом числе, — говорилось уже выше. Выбор этот надо считать чрезвычайно удачным, так как число 60 обладает массой делителей и, следовательно, реже приводит к дробям, чем например 10, или 12, и позволяет делать много упрощений. Вавилоняне применяли шестидесятиричный счет везде: и в торговых делах, и в научных выкладках, особенно же в любимой своей науке, которая многим обязана их трудам, — в астрономии. Употребление числа 60, как основного, само собой перешло и на дроби, и вот у вавилонян появились, как мы уже видели, шестидесятиричные дроби, т. е. со знаменателями, представлявшими степени числа 60. Все простые дроби обыкновенно приводились в шестидесятые доли и хотя, например, для 2/3 сохранился от давних времен особый знак, но даже х/з выражалась через ю/^, а четверть через 15/60. Эти дроби применены были в астрономии к делению времени, так что час стал делиться на 60 равных частей (минут), а минута на 60 секунд.

От вавилонян шестидесятиричные доли перешли к грекам, индусам и арабам, у которых, применялись, впрочем, только в научных целях, но не в общежитии. Особенно они были разработаны греческими учеными, жившими в Александрии в первые века н. э., в частности, знаменитым астрономом Клавдием Птолемеем (II в. н. э.), замечательная система мира которого продержалась более тысячи лет, пока ее не сменила более совершенная система Коперника Птолемей писал, обыкновенно, подобно вавилонянам, шестидесятиричные дроби без знаменателя.

Для этого он целые числа подчеркивал горизонтальной чертой, 60-е доли отмечал значком', 3600-е значком“, 216000-е значком'“ и т. д., смотря по их разряду. Так делалось не только при измерении времени и выражении частей дуг окружности, но при выражении длин отрезков.

Так Птолемей выражает сторону правильного вписанного десятиугольника через—37 4'55“ при диаметре круга, равном 120. Это значит, что если диаметр составляет 120, то сторона равняется 37^ таких же единиц (по современному, в десятичных дробях, при диаметре, равном единице, эта сторона равна 0,30902).

Горизонтальная черта, которой подчеркивались целые числа, была заменена, впоследствии, знаком °, а самим долям были присвоены названия: минуты, секунды, терции и т. д. Что значат эти слова? Минута значит, по-латыни „доля“, и долго после Птолемея, более тысячи лет, всевозможные доли всегда назывались минутами (minutae). К слову минута присоединялось, обыкновенно, слово прима (prima, первая) и выражение „minuta prima“ обозначало первые доли, иначе сказать, доли первого порядка, т. е. со знаменателем 60. Далее шли доли со знаменателем 3600, они назывались минутами секундами (minutae secundae), т. е. долями второго порядка, так как 3600 = 60. 60. Потом следовали минуты терции, доли третьего порядка, у которых знаменатель 60. 60. 60.

Шестидесятиричные дроби стали терять свое значение для геометрии и астрономии только тогда, когда начали вводиться десятичные дроби, приблизительно около XVI в.

ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ.

Намеки на десятичные дроби можно встретить у творцов арифметики —индусов. Они получали дроби со знаменателем, бывшим степенью 10 при извлечении квадратных корней, в тех случаях, когда корень не извлекается точно; именно, они приписывали к данному числу столько пар нулей, сколько желательно иметь лишних знаков в корне. Индусы писали десятичные дроби со знаменателями, и они не распространили общей десятичной нумерации также и на дроби. Между 1130 и 1150 г. появилось в Толедо сочинение „Практическая арифметика алгоризма“, принадлежащее еврейскому математику Иоанну Севильскому. В извлечении квадратных корней он близко при-

мыкал к индусам и, соответственно, пользовался дробями с десятичными знаменателями.

После Иоанна Севильского мысль об удобстве действий над дробями со знаменателем, представляющим степень 10, проскальзывает то у одного, то у другого автора, не находя долгое время претворения в жизнь. Так, мы встречаем довольно развитое изложение этой идеи у одного еврейского ученого XV в., жившего во Франции; мы находим ее и у Кардана (XVI в.). Понемногу такие дроби начинают употребляться в отдельных случаях: так, стали ими пользоваться при делении с остатком, чтобы выразить ответ точнее и дать в частном не только целые числа, но и ряд долей с десятичными знаменателями. Грамматеус в 1523 г. советует применять такие дроби в случае, если например, требуется сравнить б/8 с 2/8 и узнать, которая величина больше. Тогда мы к каждому числителю приписываем нули, иначе сказать, — раздробляем в десятые доли и, деля на знаменателя, получаем 62^2 и 662/8, следовательно, вторая величина более первой.

Одновременно происходило постепенно вытеснение шестидесятиричных дробей в тригонометрии. Появляются таблицы тригонометрических линий — синусов, секансов, тангенсов, — выраженных не в шестидесятиричной системе, а в десятичной, принимая радиус за 105. Это не были десятичные дроби, но это расчищало почву и подготовляло условия для их появления и успешного распространения.

Честь действительного введения десятичных дробей в математику и их толкового объяснения принадлежит Симону Стевину из Брюгге (в Бельгии), жившему с 1548 по 1620 год. Заглавие его сочинения, содержавшего всего 7 страниц, было такое: La disme enseignant faciliment expédier par nombres entiers sans rompuz tous comptes se rencontrans aux affaires des hommes“. („Десятая, обучающая легко производить все расчеты, встречающиеся в людских делах с помощью целых чисел, без дробей“, 1585). Вместо нынешней запятой, отделяющей целые числа от долей, это сочинение рекомендует еще ставить нулик, заключенный в кружок. Точно так же и у долей был при каждом разряде значок, например, 34,7605 писалось следующим образом: 34® 7® 6® 0® 5®* В таком обозначении десятичные дроби входили и

в действия. Положим, требовалось умножить 0,0426 на 0,28; тогда вычисление располагалось так:

Сочинение Стевина появилось первоначально в 1585 г. на фламандском языке, а потом уже оно было переведено и на французский. Десятые, сотые и т. д. доли назывались долями первыми, вторыми и т. д. (primes, secondes). Стевин ясно видел, что десятичные дроби были бы особенно полезны в том случае, если бы везде была принята десятичная система мер; поэтому он энергично настаивал на введении десятичной системы всех мер. Этим объясняется выпуск его сочинения не на распространенной тогда среди ученых латыни, а на живых языках: оно обращалось к широким деловым кругам (на рис. 17 дана одна из страниц книги Стевина). Впрочем его сочинение не сразу сделалось известным за пределами отечества и, возможно, что И. Г. Бейер (1565— 1625), опубликовавший в 1603 г. книжку „Logistica decimalis“ („Десятичная арифметика“), пришел к их открытию независимо. Бейер, во всяком случае, утверждал, что нашел их самостоятельно.

Бейер, таким образом, излагает путь, которым он дошел до мысли о десятичных дробях: „в свободное от своей службы (Бейер был врачом) время любил я иногда заняться астрономией и математикой; и я обратил внимание на то, что техники и ремесленники, когда измеряют какую-нибудь длину, то очень редко и лишь в исключительных случаях выражают ее в целых числах одного наименования; обыкновенно им приходится или брать мелкие меры, или обращаться к дробям; точно так же астрономы измеряют величины, не только в градусах, но и в долях градусов, т. е. в минутах, секундах и т. д.; но мне кажется, что их деление на 60 частей не так удобно, как деление на 10, на 100 частей, потому что в последнем случае гораздо легче складывать, вычитать и вообще производить арифметические действия; мне кажется, что десятичные доли, если бы

их ввести вместо шестидесятиричных, пригодились бы не только для астрономии, но и для всякого рода вычислений“. Для наглядности Бейер делит прямую линию на 10 равных частей и называет каждый отрезок примой, т. е. первой долей первого порядка; каждая прима делится в свою очередь на 10 равных частей и дает 10 секунд, т. е. долей второго порядка; из секунды получается 10 терций и т. д. Таким образом, Бейер воспользовался для десятичных дробей теми же названиями, какие были в употреблении в шестидесятиричных дробях. Такое же заимствование сделал он и в записывании дробей, потому что, например, 123, 459 872 Бейер пишет так:

Рис. 17.

т. е. приводя доли в трехразрядные классы, или же, наконец, 123 459872, отмечая римской цифрой VI только последний разряд. По этой системе 0,000054 пишется так: 54. Для умножения дается такое правило: поставь над последним справа разрядом ответа такой значок, который равнялся бы сумме значков множимого и множителя, стоящих над ними с правого края; все остальные разряды произведения определятся по этому крайнему разряду. Пример: 124. 385 умножить на 643; умножив 124385 на 643, получим в ответе 79979555, и остается только поставить над последней цифрой справа значок X, потому что VI-fIV = X. Результат можно прочитать так: 79979555 десятого порядка (десятых скрупулов, по выражению Бейера). Для деления дается такое правило: сделай так, чтобы в делимом было столько же знаков, сколько и в делителе, или даже больше; если в делимом мало знаков, то припиши столько нулей, сколько тебе нужно, и это не изменит величины дроби. Потом произведи деление, как будто бы это были целые числа, и у последнего разряда ответа поставь справа такой значок, который бы равнялся разности значков делимого и делителя. Если при делении получится остаток, и если надо частное найти точнее, то можно приписывать к делимому нуль за нулем, сколько угодно раз, и в результате получатся разряды, которых номер постепенно понижается на единицу. В конце своей брошюры Бейер говорит подробно о том, как из десятичных дробей можно получить шестидесятиричные, и наоборот; также о том, как применять десятичные дроби к решению задач.

Десятичными дробями заинтересовался вскоре знаменитый изобретатель логарифмов Дж. Непер, изложивший их в сочинении „Rabdologia“. В этой книжке (1617 г.) дробь пишется так: 28° 6' 7“ 5'“, что читается 28 целых, 6 прим, 7 секунд, 5 терций. Кроме того, разряды иногда у него разделяются двоеточиями; 27°:0':5“ и т. п. Сложение и вычитание идет у него обыкновенным порядком, так же, как и у нас; вот пример сложения:

При умножении не считается необходимым, чтобы цифры одинаковых разрядов стояли друг под другом; надо умножать так, как будто бы это были все целые числа, и потом следует отсчитать с правой стороны столько разрядов сколько их вместе в обоих производителях; это будут скрупулы — десятичные доли. Примеры:

В первом примере множимое раздроблено в десятые доли, множитель в сотые, произведение поэтому содержит 2671 целую единицу, 6 десятых, 9 сотых и 5 тысячных. Во втором примере мы видим запятую между целыми и десятыми. Введение ее приписывается швейцарцу И. Бюрги (1552—1632) и знаменитому астроному И. Кеплеру (1571—1630).

Правило деления следующее: делить надо, как целые числа, и кроме того надо вычесть из значка делимого значок делителя, тогда остаток определит собой значок частного. Пример: разделить 5“ 7“ на 8° 6' 5“ 6'“. Решение:

В арифметике Беклера (1661 г.) десятичные дроби применяются только к мерам длины, поверхности и объема; поэтому им дается название геометрических долей. Целые

отделяются от долей запятой или черточкой; кроме того, употребляются еще отметки: для сажени 0, для фута 1, Для дюйма 2 и для линии 3; у последней доли ставится значок, который определяет ее разряд, и отделяется этот значок скобкой. Пример: 123, 6543 (4; это значит, 123 сажени, 6 футов, 5 дюймов, 4 линии и 3 точки. Как видно, Беклер проектирует ввести десятичную зависимость между мерами, т. е. считать в сажени 10 футов, в футе 10 дюймов и т. д. Сочинение англичанина Уингета (1668 г.) еще более приблизило теорию десятичных дробей к тому виду, какой она имеет сейчас. Он применяет десятичные дроби к тригонометрии, к вычислению сложных процентов и к действиям с именованными числами. Он хорошо видит всю громадную пользу, которая получилась бы для науки, если бы все меры были приведены к десятичной системе, иначе сказать, всякая мера содержала бы в себе ровно 10 следующих низших Разряды десятичных дробей идут, по мнению Уингета, так же беспредельно, как и разряды целых чисел, так что за десятыми долями, сотыми, тысячными идут десятитысячные, стотысячные, миллионные и т. д.—до бесконечности. Знаменатели десятичной дроби вполне возможно не писать, если только условиться отделять целое число от десятых долей точкой или запятой. Уингет пишет по-нашему 285,82 или 285.82, но у него вместо 0,5 встречается 5 и вместо 0.25 пишется 25, следовательно, целых он в этом случае не пишет. Три первых действия он проходит совершенно аналогично с нами, а для деления у него взят такой порядок: к делимому можно приписать сколько угодно нулей и потом произвести действие так, как если бы это были целые числа; чтобы определить значение первой цифры частного, по которой уже можно рассчитать и все остальные разряды, стоит только подписать делителя под теми же разрядами делимого, которые были отчеркнуты для первого деления; под каким разрядом делимого находятся единицы делителя, таков и будет высший разряд частного. Пример: 2.34:52,125. Делим 23400000 на 52125 и получаем 448. Теперь подписываем 52,125 под 2,34 так, чтобы делитель стоял под тем числом, которое на него делилось в первый раз, 2,34000 именно kg 125 и так как единицы делителя оказались под сотыми долями делимого, то первая цифра частного 448, т. е. 4, выражает собой сотые доли и, следовательно,

результат действия должен быть таков: 0,0448. Иногда нужно бывает при этом способе приписать с левой стороны делимого несколько нулей, потому что иначе делитель не может поместиться под делимым. Пример — 0,0758:0,000064, тогда для удобства мы напишем так: 0000,0758 и выведем из этого, что при делении на 0,000064 высший разряд частного составит тысячи, так как единицы делителя оказались под тысячами делимого. И действительно, если произвести вычисление, то получится в ответе 1184,375.

Если сопоставить все способы, какими писались десятичные дроби в математических работах XVII в., то получится пять видоизменений, и если по-нашему пишется 0,784, то у Бейера было 784, у Непера 0° 7' 8“ 4'“, у Уингета .784, у Беклера 784 (3 и у Валлиса 0 [ 784:

Мы рассмотрели до сих пор, кем и как было положено начало десятичным дробям, и какие успехи они сделали в XVII в. В следующем веке, в XVIII, шестидесятиричные дроби исчезают, и их место занимают десятичные дроби. Например, в арифметике немецкого педагога Парициуса, в первом издании, которое вышло в 1706 г., рассматриваются дроби шестидесятиричные, но во втором издании этой же арифметики они уже заменены десятичными. Впрочем Парициус, подобно Беклеру, применяет десятичные дроби только к мерам длины. Самое трудное из действий — деление он производит по такому правилу: надо делить, как целые числа, а чтобы узнать номер разряда частного, надо из номера делимого вычесть номер делителя. Вот пример: 4269342 (5:321 (2 (согласно нашему обозначению это было бы 42,69342 :3,21).

При таком приеме получаются в ответе две дроби:

десятичная 0,300 и обыкновенная 0,0^2], так как в остатке получилось 42. Чтобы частное состояло только из одной

десятичной дроби, Парициус советует приписывать к делимому постепенно нули до тех пор, пока, наконец, деление не выйдет без остатка. Если же оно без остатка никак не выходит, то Парициус рекомендует совсем бросить небольшой остаток, по латинской пословице, „minima non curat praetor,“ т. е. „о пустяках не стоит толковать“.

Периодические дроби разрабатывали впервые Дж. Валлис (1616—1703), Иог. Ламберт (1728—1777) и Л. Эйлер (1707—1783). В учебниках арифметики они почти не встречались.

НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ.

Еще у римлян встречали мы дроби, у которых числитель не целое число, а сам представляет собой дробь, например, ^ унции, т. е. 1 двенадцатую и еще */2 двенадцатой, т. е. всего Таким образом и в древнем мире идея непрерывных дробей была ясна и доступна: дроби эти основаны на том, что числитель может быть не только целое число, но и смешанное.

По мнению ряда историков математики — греческий математик Архимед применял непрерывные дроби к извлечению квадратного корня из 3, заключая искомую величину корня между теми числами, которые мы называем „подходящими частными“. У арабского ученого Алькальсади (XV в.) встречались восходящие непрерывные дроби; он применял их к делению с остатком и обозначал ими дробное частное. Например, требуется разделить 253 на 280. Так как 280 разлагается на производителей 5, 7 и 8, то мы сперва делим 253 на 8, будет 31б/в» потом полученное делим на 7, будет

и, наконец, делим на 5, будет

а это, обыкновенно, теперь представляется так:

и составляет восходящую непрерывную дробь. Нисходящей же дробью была бы такая:

или, если написать ее яснее, то вычи-

слить ее можно так:

В Средневековой Европе непрерывные дроби в зачаточном виде встречаются у Р. Бомбелли (1572 г.). Их употреблял при извлечении квадратных корней П. Катальди, в 1613 г., представивший j/l8 = y/424-2, как

(правда, не в этом современном обозначении). Почти одновременно идея замены дробей с большим числителем и знаменателем с помощью подходящих непрерывных дробей разрабатывалась Д. Швентером (1617 г.).

Лорд Бруннер, англичанин, представил (1655 г.) в виде непрерывной дроби величину — = 0,78539316... (тс означает отношение длины окружности к длине ее диаметра). Гюйгенс в 1682 г. дал подробное объяснение того, как с помощью непрерывных дробей можно приводить к легким числам трудные несократимые дроби. Полную теорию непрерывных дробей дал Леонард Эйлер.

ПРОПОРЦИИ, ПРОГРЕССИИ И ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЕЙ.

Не только в одной арифметике, но и почти во всех других науках идет постоянная разработка вопроса, что должно служить их содержанием, и из чего должен слагаться их материал. В зависимости от способов исследования и от приемов обучения содержание учебного предмета то увеличивается, то уменьшается, то заменяется другим. Арифметика за свою многовековую жизнь потерпела не мало изменений. Началась она с вычислений над целыми числами, потом к ней присоединились дроби и именованные числа, затем ряд других отделов и среди них пропорции, прогрессии и извлечение корней. Поговорим о них в отдельности.

Пропорции первоначально заняли особенно видное место в геометрии, где применялись в отделе подобия фигур. Разработка теории пропорций является заслугой греческих геометров, в первую очередь Эвдокса (IV в.

до н. э.), а вслед за ним Эвклида. Знаменитейший геометр Эвклид (III в. до н. э.), система которого более 2000 лет вдохновляла позднейших геометров, и европейских, и азиатских, и труды которого считаются классическими по настоящее время, дал среди других искусно разработанных отделов своих „Начал“—отдел о пропорциях.

Влияние Эвклида на последующие поколения было громадно, и оно дает себя чувствовать и теперь. Вкратце по отношению к арифметике его можно охарактеризовать тем, что пропорциям отводится в арифметике более высокое место, чем они заслуживают, и на них более обращают внимания, чем это должно было бы вызываться содержанием арифметики и ее целями. Всякий, кто проходил арифметику в школе и изучал пропорции, вспомнит наверное, что этот отдел вызывал в нем недоумение, казался каким-то чуждым и даже трудным. И действительно, пропорции надо бы, по-настоящему, исключить из курса элементарной арифметики и ввести в состав буквенной, общей арифметики, т. е. теории чисел. Пропорции не учат вычислениям, которые одни только и составляют материал элементарной арифметики, а излагают некоторые общие свойства, которые, в силу своей общности, подлежат арифметике не вычисляющей, а обобщающей, т. е. теории чисел, и алгебре: там их естественное и законное место. Надо пожелать, чтобы глава о пропорциях была исключена из арифметического курса средней школы. В геометрии она необходима, там она пусть останется, и пусть геометрическое учение о пропорциях послужит началом для алгебраического, как более наглядное должно служить фундаментом для отвлеченного. Напрасно думают иные, что пропорции нужны для задач на тройное правило, на правило процентов и т. д. Все эти задачи могут прекрасно обойтись без пропорций и решаться приведением к единице, а еще лучше — различными искусственными упрощающими приемами, которые скорее ведут к цели и могут более изощрить мышление учеников. Кстати замечу, что жизнь иногда сильно суживает непосредственное применение пропорций, не лишая, конечно, их практического значения вообще. Например, бывают в арифметике задачи: „1 аршин стоит 2 руб. Сколько стоят 1000 аршин?“ Но известно, что оптовые цены больших партий товара отличаются от розничных и ниже последних, так что 1000 аршин в торговой практике стоят не 2000 руб.,

а несколько дешевле. Подобных задач, где механический перенос арифметических соотношений на задачи житейской практики бессмысленен, можно привести массу. Поэтому не удивительно, если при некоторой неосторожности ученики вместо полезных выводов получают от пропорций нечто сумбурное и несообразное, доходящее даже до известных курьезов, вроде: „один человек пройдет весь путь во столько-то времени, сколько времени потребуется, если пойдут вместе два человека“. Мы, конечно, смеемся над несообразительностью маленького ученика, но мы несправедливы, когда возлагаем при этом вину только на ученика; нет, виноваты и мы, потому что заставляем изучать в арифметике отдел ей чуждый, отвлеченный, не вытекающий из предыдущих отделов.

Прогрессии. Прогрессией, как известно, называют ряд чисел, расположенных в определенном порядке уменьшения или увеличения. Например, ряд 2, 4, 6, 8, 10 и т. д. составляет прогрессию, потому что входящие в него числа все увеличиваются на 2; точно так же прогрессией будет называться и ряд такой: 4, 2, 1, У2, V4» Ve» Vie» и так далее, потому что помещенные здесь числа постепенно все уменьшаются вдвое. В старинных учебниках арифметики прогрессии считались необходимой главой и помещались в них всегда; это продолжалось до середины прошлого, XIX в. При этом изложение часто отличалось неясностью и сбивчивостью, так что, например прогрессия смешивалась с пропорцией, как у Магницкого (на стр. 179) po“<J). .Что есть прогрессио: Прогрессио есть пропорцио, или подобенство числ к числам в примножении или во уменьшении яковых либо перечнев и разделяются на три вида, иже суть: арифметическое, геометрическое и армоническое. О армоническом или мусикийском несть треба нам глаголати. Во арифметическом прогрессии в примножительном егда к первому числу приложиши разнство тогда исполнится другое, егда же ко другому числу тожде разнство приложиши, тогда будет третие число. А во умалительном прогрессии аще вычтеши разнство от первого числа останется другое, а от другого третье и прочая“ и т. д.

В иных старинных арифметиках к прогрессиям еще присоединялось вычисление рядов. Так, например, арабский математик Алькархи (в XI в. н. э.) дал правило, как вычислять сумму кубов ряда последовательных чисел,

начиная с единицы. Примеры на правило Алькархи (которое, впрочем, он получил от греческих авторов, живших на тысячу лет ранее), можно привести такие:

В настоящее время прогрессии и ряды не встречаются в учебниках арифметики и не входят в школьную программу по этому предмету. Теперь признано, что для полного объяснения этих отделов нужна общая количественная наука, а не частная, числовая, т. е. не арифметика, а алгебра.

Извлечение корней до самого последнего времени входило в состав арифметики и содержалось даже в некоторых учебниках 60-х годов прошлого столетия; например, в русском задачнике, изданном департаментом народного просвещения, имелись задачи на квадратные и кубические корни. Этот отдел, действительно, вполне числовой, и процесс извлечения корня очень подходил бы к курсу арифметики, но только в том беда, что трудно провести хорошее объяснение этого действия без помощи алгебры, поэтому теперь извлечение корней признается, обыкновенно, частью алгебры. Греческие ученые, а также индусские и арабские математики, умели извлекать квадратные и кубические корни и, в случае, когда корень нацело не извлекается, находить его приближенно. Впрочем, приближенное извлечение квадратного корня было известно еще вавилонской науке.

ТРОЙНОЕ ПРАВИЛО.

Нет такого достаточно сильного выражения, на которое поскупились бы составители средневековых арифметик, чтобы похвалить тройное правило. „Та строка тройная похвальная и лучшая строка изо всех иных строк“. „Ее философы зовут золотой строкой“. В немецких учебниках о нем отзывались, как о таком, которое „выше всех похвал“, оно — „ключ купцов“. Так же и у французов оно слыло под именем règle dorée — золотого правила. Оно противополагалось целой науке — алгебре.

За что же воздаются такие неумеренные похвалы отделу, который в наше время привык занимать уже

более скромное место? Выяснить это очень интересно, и мы позволяем себе вернуться немного назад и дать краткую характеристику целей, которые преследовала арифметика средних веков.

Всякая наука вызывается к жизни практическими потребностями и стремится, в свою очередь, им удовлетворить. Затем, в зависимости от условий, при которых она развивается, наука иногда скорее, иногда более медленно принимает теоретическую окраску, начинает подвергать анализу, отбору, систематизации множество накопленных правил и приемов. Древность и арабско-индусская наука оставили в наследие европейскому средневековью и ряд практических вычислительных рецептов и некоторые отделы теоретической арифметики.

Как мы уже упоминали, первый живой интерес к сколько-нибудь более сложным приемам арифметики возник в Европе XIII—XV вв. на почве задач торговой и предпринимательской практики, и прежде всего в среде купцов и ремесленников. Понятно, что в первую голову стали разрабатываться и распространяться те отделы, которые позднее назвали общим именем коммерческой арифметики. Занимались и некоторыми более отвлеченными вопросами, но они тонули в массе задач чисто прикладного содержания. При этом главной целью было научить тех, кто в том нуждался, приемам вычисления и решения деловых задач. Широкие круги читателей арифметических трактатов желали ранее и более всего приобрести навык в решении каждодневно встречавшихся вопросов, мало интересуясь, да при тогдашнем уровне образования и не имея возможности интересоваться теоретической базой коммерческой арифметики. Тогда в пору было ограничиться прикладной частью, достаточно было только выучить „как делать“, а не „почему так делать“. Да и в ученых кругах не сознавали ясно, какое важное практическое значение имеет теоретическое исследование, упрощающее решения, систематизирующее разрозненные частные правила, ориентирующее в исследовании внешне несходных, а по существу однотипных случаев.

Позднее, когда стали более глубоко изучать теорию арифметики и возникла современная алгебра, обучение арифметике все же продолжало веками сохранять прежний характер, ибо целью его оставалось сообщить учащемуся лишь практическую сноровку в узкой области профессиональных вопросов, а не заложить глубокий

общеобразовательный фундамент. Кроме того, алгебре в школах не обучали и приходилось давать тяжеловесные арифметические суррогаты алгебраического метода решения задач. Такая практическая окраска осталась за арифметикой на долгое время, почти до наших дней, и вместе с тем изучение ее было узко-механическим: без выводов, разъяснений, без углубления в основания; повсюду в учебниках встречалось „так делай“, .делать надо так“, и ученику оставалось только затверживать и применять к делу сообщаемые рецепты. У нашего Магницкого тоже встречается ряд характерных выражений „зри сице“, „зри изобретения“. Положим, среди этих выражений у него есть „умствуй и придет“, но как именно умствовать, на то дается очень мало намеков. Сообразно практическому значению арифметики, в ней особенно выделялось и ценилось все, что может принести непосредственную выгоду, доставить заработок. „Хто сию мудрость знает“, говорится в русской арифметике XVII в. „может быть у государя в великой чти и в жалованьи: по сей мудрости по государствам торгуют и во всяком товарех и торгех силу знают и во всяких весех и мерах и в земном верстании и в морском течении зело искусни, и счет из всякого числа перечню знают“.

Но какая же часть арифметики может более дать практических, непосредственно приложимых навыков, как не самое решение задач? Поэтому все старания средневековых авторов направлялись к тому, чтобы собрать как можно больше задач и притом самого разнообразного житейского содержания. Тут были задачи и о продаже, и о покупке, о векселях и о процентах, о смешении, об обмене; пестрота была ужасная, и разобраться во всей массе задач не представлялось никакой возможности. Чтобы хоть несколько сгруппировать и ввести некоторую систему и порядок, пытались распределить все задачи по отделам или типам. Эта мысль, конечно, хорошая, но выполнялась она, обыкновенно, очень неудачно, и задачи распределялись не по способам их решения, как бы следовало, а по их содержанию, т. е. по внешнему виду; например был особый вид задач о собаках, догоняющих зайца, о деревьях, о девицах и т. п.

Решение задач с разделением их по содержанию не приносило почти никакой пользы, потому что нисколько не помогало тому, чтобы лучше понимать решение. Да и понимать-то, по мнению старинных авторов, едва ли нужно

было. „Это ничего“, — утешал бывало наставник своих питомцев: — „что ты ничего не понимаешь, ты и впереди также многого не будешь понимать“. Вместо понимания рекомендовалось не заноситься, а выучивать наизусть все, что задают, и потом стараться применять это к делу, т. е. к примерам, и вся сила понимания сосредоточивалась не на том, чтобы уяснить вывод правила, а на более скромном — на том, как применить общее правило к примерам.

И вот тройное правило являлось выдающимся и заслуживающим особенного внимания во многих отношениях. Во-первых, круг его задач довольно обширен, во-вторых, самое правило выражается довольно просто и ясно, и в-третьих, применить это правило было сравнительно нетрудно. За все эти достоинства ему и дали название „золотого“, „ключа купцов“ и т. п.

Тройное правило получило начало у индусов, там его задачи решались большей частью приведением к единице. Арабский ученый Аль-Ховаризми (IX в. н. э.) включил его в свое сочинение по алгебре. Леонардо Пизанский, итальянец XIII в. посвятил тройному правилу особый отдел под названием: ad majorem guisam (по большему способу), где даются задачи на вычисление стоимости товаров. Пример: 100 rotuli (пизанская мера) стоят 40 лир, что стоят 5 rotuli? Условие записывалось так:

Правило предписывало решать эту задачу следующим порядком: произведение 40 на 5 делить на 100.

Особенное внимание стали уделять тройному правилу с XVI в., т. е. с тех пор как европейская торговля и промышленность резко двинулись вперед, благодаря важным изобретениям и открытию новых стран. Но это не мешало разрабатывать эту главу совершенно неудовлетворительно, по крайней мере, с нашей точки зрения. Прежде всего определялось правило чисто внешним образом: „задача состоит из трех чисел и дает собой четвертое число, подобно тому как если поставить три угла дома, то этим самым уже определится 4-й угол, второе число надо умножить на третье, и что получится,

то разделить на первое число“. Такое определение не могло не вести к сбивчивости, и прежде всего являлся вопрос: что считать первым числом, и всякие ли задачи с тремя данными числами можно решать тройным правилом? Этот вопрос не получил ясного и детального разрешения в тогдашних учебниках. Кроме того, решались задачи не только с целыми числами, но и с дробями, и в иных арифметиках они располагались так непоследовательно, что задачи с дробными числами на тройное правило помещались раньше главы о дробях, потому что и все тройное правило шло раньше арифметики дробных чисел.

После тройного правила с целыми числами и дробями излагалось особое правило „сократительное“, в котором разъяснялось, как можно сокращать некоторые данные числа, а потом уже шло правило „возвратительное“; это был очень сбивчивый отдел, к которому принадлежали вопросы с обратной пропорциональностью, и авторы учебников долгое время не разграничивали отчетливо задач, относящихся к этой группе; не объясняли своеобразных черт, отличающих их от задач, решающихся по прямому тройному правилу.

Ученикам приходилось приобретать навык, решая примеры, и опираться на вырабатывающееся при этом чутье. В XV и XVI вв. объяснение давалось вроде следующего: „Если мера зерна стоит V/2 марки, то на одну марку дают два пуда хлеба; сколько пудов хлеба дадут на марку, если мера зерна стоит 18/4 марки; решаем тройным правилом, получится 2*^4 =21/8; но понятливый смекнет, что, когда зерно вздорожает, то хлеба будут давать меньше, а не больше, поэтому вопрос надо перевернуть, будет-^з^ = 16/7W. В подобном духе трактует вопрос и Магницкий (1703 г.). „Правило возвратительное есть, егда потреба бывает в задании третий перечень поставляти вместо первого: потребно же сие в гражданских частых случаях, яко же рещи на приклад: некий господин призвал плотника и велел двор строити, дав ему двадцать человек работников: и спросил, в колико дней построить той его двор; он же отвеща, в тридцать дней; а господину надобно в 5 дней построити весь, и ради того спросил паки плотника, коликих человек достоит ти имети, дабы с ними ты построил двор в 5 дней,

и той плотник недоуменен вопрошает тя арифметиче: колико человек ему достоит имети, чтобы построить ему той двор в 5 дней, и аще ты начнеши творити по чину тройного правила просто; то воистину погрешиши; но подобает ти не тако: 30 — 20 — 5, но сице превратив:

5 — 20 — 30; 30X20 = 600; 600:5 = 120“.

За тройным правилом шло пятерное, за ним семерное. Легко догадаться, что это частные случаи сложного тройного правила, именно, когда по 5 или 7 данным, находящимся между собой в пропорциональной зависимости, отыскивается 6-е или 8-е им соответствующее число, иначе сказать: пятерное правило требует двух пропорций, а семерное — трех. Пятерное правило объяснялось в XVIII в. так: „им производятся такие вычисления, которых нельзя произвести по другому правилу; в нем дается 5 чисел, и по ним отыскивается шестое искомое число; например, некто пустил в оборот сто руб. и они принесли ему прибыли 7 руб., спрашивается, сколько прибыли он получил бы с 1000 руб. на 5 лет; решается так: 100—1—7 —1000 — 5, перемножь два левых числа, а также перемножь 3 правых числа и последнее произведение раздели на первое, будет в ответе 350, столько рублей прибыли даст 1000 руб. в течение 5 лет“.

Простое и сложное тройное правило распределялось обыкновенно в XVI — XVIII вв. на массу мелких отделов, которые носили очень замысловатые названия, в зависимости от содержания задач. Вот эти названия по Магницкому: а) „тройное торговое правило“, т. е. вычисление стоимости купленного товара; б) „тройное торговое о куплях и продажах“ — то же, что и предыдущее, но только посложнее; в) „тройное торговое в товарных овощах и с вывеской“, когда приходится делать вычет за посуду и вообще оболочку; г) „о прибыли и убытке“; д) „статья вопросная в тройном правиле“, содержащая задачи очень разнообразного содержания, по большей части с обратной пропорциональностью; е) „статья вопросная со временем“, где спрашивается высчитать продолжительность работы, пути и т. п.

В начале XIX в. было предложено Базедовым еще изменение в тройном правиле и опять в ту же самую сторону машинального, бессознательного навыка. Этот немецкий педагог задался целью еще более упростить

решение задач на тройное правило тем, чтобы еще сильнее уменьшить рассуждение при их решении и заменить его писанием готовой формулы. Он советует располагать данные числа двумя столбцами: в левом пишется неизвестное количество и все те числа, которые должны войти в числителя формулы, а в правом — все множители, составляющие знаменателя. Пример: для продовольствия 1200 человек в течение 4 месяцев требуется 2400 центнеров муки; на сколько человек 4000 центнеров выйдет в 3 месяца? Пишем два столбца: ? —1200

и получаем формулу ответа

Почему числа 1200, 4000 и 4 вошли в числитель, а 2400 и 3 — в знаменатель? На это можно ответить таким правилом: в числитель входит число, однородное с искомым, т. е. в нашем случае число 1200; кроме того в него же входят все те числа второго условия (4000), которые прямо пропорциональны искомому; если же они обратно пропорциональны, как в нашем примере число 3, то они заменяются соответствующими числами первого условия (4).

Вот все, что мы можем сообщить об историческом развитии тройного правила. Из сказанного можно сделать заключение, которое годится для нашего времени. Средневековая арифметика, с ее стремлением давать только правила и пропускать выводы, с ее механическим решением вопросов, имела слишком большое влияние на всю последующую школьную жизнь, и настолько большое, что следы его проявляются на каждом шагу и в наше время. Как бы мы ни старались отряхнуться от традиции, освободиться от привычки, но они слишком тесно нас охватили и слишком крепко к нам приклеились, чтобы их можно было отбросить без остатка. Наша школа все еще повинна в механическом заучивании арифметики, без достаточного участия сознательности. Тройное правило служит хорошим доказательством этого. Нередко забывают наша средняя и низшая школы, что они призваны давать общее образование, а не готовить специально бухгалтеров, счетчиков и т. п. Между тем ремесленные приемы коммерческой арифметики старых времен, часто превращавшие человека в счетную машину, применяются иногда и теперь, К чему все эти правила: тройное, сме-

шения и т. д.? Какой цели они должны удовлетворять? Они должны являться выводом из решенных задач, а не предшествовать решению задач; вредно решать задачи по предварительно усвоенному правилу; надо стараться доходить до ответа свободным личным соображением. Одним словом, правило не надо понимать в виде рецепта, который достаточно запомнить, чтобы по нему приготовлять разные мудреные решения, но им следует дорожить только как выводом, к которому приходит ученик; если ученик не может сделать этого вывода, то это значит, что задач взято мало, или они расположены не систематично, и эту ошибку надо поправить более систематическим расположением задач; если ученик делает не такой полный и обстоятельный вывод, какой хотелось бы учителю, то лучше удовольствоваться им, чем заставлять разучивать правило, навязанное учебником: оно скоро забудется и не окажет развивающего действия, так как необходимым качеством математического вывода должна быть самостоятельность, а необходимым условием сознательности должно быть тесное связывание во едино всех частей курса, почему и не должно иметь места механическое задалбливание и вдалбливание отдельных разрозненных кусков предмета.

ПРАВИЛО ПРОПОРЦИОНАЛЬНОГО ДЕЛЕНИЯ.

Пропорциональное деление с давних времен прилагалось тогда, когда требовалось разделить завещанный капитал между наследниками. Поэтому в сборниках, обыкновенно, помещалось несколько задач этого рода. Вот задача из сборника Магницкого: „Некий человек имяше жену и три сына и дщерь едину; той человек при смерти своей написа в завете своем последи себе разделити пожитки, жене осмую часть всего имения, сыном же всякому их вдвое при дщери своей, из тех 7/s всего имения, по смерти же его обретеся имения на 48000 рублев, и ведательно есть, колико кому досталось из того его всего имения; придет: жене 6000 рублев, детям мужеску полу 12000 рублев, а дщери 6000 рублев:

В прежнее время авторы учебников давали очень замысловатые вопросы касательно завещаний. Например, они рассчитывали доли так, что сумма их не составляла единицы, и тут приходилось много мудрить, прежде чем притти к сносному решению. Действительно, если осталось три наследника, и первому отказана 1/а имения, второму */з и последнему 1Ji9 то как же тут поступить? Ведь эти доли образуют вместе больше, чем целое наследство, именно 18/12 наследства; в таких случаях брали, обыкновенно, отношение частей и по ним делили; в нашем примере Vq • Ve: Vi= 6:4:3, следовательно, старшему сыну надо дать 6/18, второму Vis» третьему 8/13 всего наследства.

Любопытную задачу в этом роде дал знаменитый римский юрист Сальвиан Юлиан, живший при императорах Адриане и Антонине Пие (во II в. н. э.). „Некто, умирая, оставил беременную жену и завещал: если у меня родится сын, то пусть ему дано будет 2/3 имения, а жене остальная 7з» если же родится дочь, то ей 1/8, а жене остальные */8; родилась двойня, — сын и дочь, как же теперь разделить имение?“ Сальвиан предложил сыну дать 4 части, жене — 2 и дочери — 1. Задача считалась очень интересной и даже вошла в пандекты, византийский сборник законов. Эта же задача, только изложенная в других числах, встречается в одном сборнике, составленном, по мнению ряда ученых, Алькуином (735—804), придворным ученым Карла Великого (сохранившаяся рукопись относится, примерно, к 1000 г.). Здесь сыну завещано8^ и вдове — Vi» дочери—7/i2 и вдове — б/12. К задаче приложено решение, с которым согласиться нелегко: чтобы удовлетворить сына и мать, надо 12 долей, чтобы дочь и мать — также 12, а всего 24 доли; по первому условию сын получает 9 долей, мать — 3, по второму условию мать получает 5 и дочь 7, всего приходится матери £±- = 1/8, сыну -|г = 8/8» дочери 7/24.

Все задачи на завещания решались тройным правилом и относились к той группе, которая в старинных русских арифметиках озаглавливалась статья деловая в тройном

правиле“, т. е. статья, где производится дележ, — дележ заработка, награды и т. п. За ней шла „торговая меновая в тройном правиле,“ т. е. статья об обмене, которая также приводилась к тройному правилу. Потом „статья торговая складная и делительная“, где прибыль делилась соответственно вложенному капиталу. Затем „статья торговая складная с прикащики и с людьми их“, в ней нужно было выделить кроме прибыли еще жалование приказчикам. И, наконец, шла „торговая складная со времены“: здесь принимался во внимание не только капитал, вложенный каждым компаньоном в предприятие, но и время оборота каждого капитала.

Задачи на пропорциональное деление решались, обыкновенно, тройным правилом; при этом не уделялось места ни сокращениям, ни упрощениям и не давалось простора личной сообразительности ученика. Обыкновенно, сперва помещалось условие вопроса, потом тут же решение, ученик все это заучивал и впоследствии старался это прилагать, когда встречал вопрос, похожий на заученный.

ПРАВИЛО ПРОЦЕНТОВ.

Взимание процентов практиковалось еще в древние времена, но в различных государствах к нему относились различно, и вообще это дело было совершенно не урегулировано.

У римлян допускались только простые проценты, они высчитывались не более, чем по одному в месяц и выплачивались по истечении каждого месяца. Брать сложные проценты было у них запрещено законом. В средние века, особенно в XII—XIV вв. взимание процентов при ссудах официально воспрещалось церковью и государством, но фактически этот запрет обходили с помощью всяческих ухищрений; кроме того отдача в рост денег не запрещалась евреям. Особенно порицались и преследовались во многих государствах сложные проценты.

Поэтому в арифметических сборниках такие задачи попадались редко, хотя они встречались уже у индусских и арабских авторов. В русском обществе до 18 в. начисление процентов, очевидно, тоже не пользовалось официальным покровительством, и у Магницкого (1703 г.) очень мало задач на вычисление роста, и самое слово „процент“ у него не употребляется.

В XV—XVI в. в Западной Европе под давлением нужд возросшего торгового и денежного оборота проценты

были узаконены, и пытались лишь ограничивать допускаемый максимальный процент. Среди различных коммерческих вычислений стало пользоваться вниманием и вычисление сложных процентов. Математикам того времени стоило большого труда решать эти вопросы: не было десятичных дробей и логарифмов, да кроме того, меры стоимости были во всяком государстве свои, и переводить их из одной системы в другую считалось нелегкой операцией. Итальянский математик Тарталья дает 4 способа вычисления сложных процентов: 1) Определяется наращенный капитал в конце первого года, затем в конце второго и т. д., ответ находится при помощи тройного правила. 2) Применяется правило, соответствующее известной алгебраической формуле aqn, которая, впрочем, буквально не приводится. 3) Прирост капитала выражается его долей щ ^алгебраически и находится эта доля сперва от начального капитала, потом от первого наращенного, затем от второго наращенного и т. д.; эту долю прибавляют, когда нужно, к первому капиталу, ко второму и т. д. 4) Берется произвольная сумма, обыкновенно сто рублей, и для нее находится ответ, т. е. капитал вместе с процентными деньгами, потом конечный ответ помножается на то число, которое показывает, сколько сотен в данном первоначальном капитале. На этом способе основано и нынешнее пользование таблицами сложных процентов.

Чтобы избежать трудных дробных выкладок, немецкий математик Рудольф (XVI в.), еще до введения системы десятичных дробей, с ее специальными обозначениями и правилами действий, пользовался некоторым их подобием. Он производил деление на 100, 1000 и т. п., отделяя запятой столько цифр, сколько нулей в делителе. Его пример такой: во что обратится сумма в 375 флоринов через 10 лет по 5%? Решение:

375 фл. начальный капитал

В связи с процентами стоит учет векселей, т.е.

оплата обязательств уплатить определенную сумму денег в некоторый срок, при продаже этих обязательств до истечения срока, в сумме, меньшей чем та, которая обозначена в обязательстве. Правило учета было известно еще римлянам. Например, римский математик Секст Юлий Африкан, написавший свои сочинения по арифметике и геометрии при императоре Александре Севере (222— 235 г.), рассматривал так называемое interesurium, по-нашему— коммерческий учет векселей. От римлян он перешел к народам Западной Европы, где мы его видим в XIII в. у итальянцев, которые первые надумали устраивать коммерческие банки (первые итальянские банки относятся к XII в. н. э.). Самый старинный вексель, дошедший до нас, помечен 1325 годом и писан был в Милане, а получить по нему следовало в Лукке. В XIII и XIV вв. в Германии встречались векселя совершенно примитивной формы, но зато исключавшие возможность всякой подделки: бралась бирка (длинная палочка), и на ней графили такие зарубки, которые могли бы точно выражать вексельную сумму; затем эта бирка кололась по длине на 2 палочки, и одна из них вручалась должнику, другая— заимодавцу; подделать такой вексель было невозможно, потому что иначе палочки друг к другу не подойдут. На учет векселей смотрели в древние века очень косо, и дурная слава утвердилась за ними потому, что маклера не брезгали большими процентами; довольно обыкновенным размером было 33%, и маклер, учитывавший из 20%, считался милостивым.

Коммерческий учет называется в настоящее время иначе учетом Пинкарда или Карпцова (1646—1716), по имени составителя и издателя таблиц этого учета. По этому способу скидка делается с суммы, обозначенной в векселе, так называемой валюты; например, при учете векселя в 3600 руб. за восемь месяцев до срока по 5%, скидка или учет равняется 3600 ХщХ-^' т* е* ^ РУ^* Существует другой, практически не употребительный „математический“ учет, называемый иначе учетом Гоффмана (около 1731 г.), при котором скидка делается не с валюты векселя, а с валюты, увеличенной на учетный процент. В нашем примере скидка b-j^- руб.—3-^ руб. делается здесь не со 100 руб., а со 103v8 руб., т. е. с 3600 руб.

она равнялась бы

Третий способ учета предложен был знаменитым Лейбницем (1646—1716). В нем есть сходство с математическим учетом, но проценты на уплачиваемую сумму начисляются сложные. Объясним это алгебраически. Пусть плата будет X, валюта А, число процентов р, срок п лет, тогда

х O+ïoô)“ = Al 0ТС1°Да * = i4:(1~^ïoo)n

и скидка или учет по векселю составляет

Постепенное погашение государственных долгов, устройство лотерей, покупка капитала путем периодических взносов, различные виды страхования и другие банковские и коммерческие операции требуют вычислений, основанных на правиле сложных процентов и на теории вероятностей. Эти вычисления составляют предмет, так называемой политической (коммерческой) арифметики (термин „политическая арифметика“ был в большом ходу во второй половине XVIII в.).

В XIX в. самое понятие процента расширилось благодаря введению его в статистику. Теперь уже отброшено старое определение процента, как прибыли или убытка на сто рублей капитала, и вместо того говорят, что процент просто сотая доля количества. Это определение принимается, обыкновенно, во всех новейших учебниках.

Скажем теперь несколько слов о правиле, называемом по-немецки „Terminrechnung“, а по-русски „вычисление сроков платежей“. Оно применяется тогда, когда несколько капиталов, отданных на разные сроки и по разному числу процентов, надо заменить общим капиталом, с тем, чтобы он уплачивался в общий срок. Расчет должен быть основан на том, чтобы ни заимодавец, ни должник не терпели убытка. Пример можно взять такой: я обязан уплатить 1000 руб. через 2 года по 5%, 2500 руб. через 3 года по 4% и 3000 руб. через 1 год по 6%. В какой общий срок я могу отдать эти деньги сразу? Уже в XVI в. итальянскими учеными было предложено два совершенно верных пути для решения подобных вопросов. Лука Пачиоло рассуждал следующим образом. Положим, что должник платит все деньги в первый срок, тогда он платит напрасно процентные деньги с остальных капиталов, которым срок

еще не наступил, а именно платит за время между первым сроком и остальными; высчитаем эту лишнюю сумму процентных денег, высчитаем также, в какое время эту сумму принесут все капиталы, тогда мы и получим средний срок. Тарталья и Видманн пользовались несколько иным приемом, который несколько короче приема Пачиоло. В нем, именно, вместо прибыли вводятся произведения капиталов на число дней или лет. Если zv z2...,— выплачиваемые суммы, tv £2...— времена, в которые они подлежат уплате, отсчитываемые от одного общего срока, то искомое время Г=» Щ^^^- — - Это тот самый прием, какой употребляется в настоящее время.

Наконец, правило процентов, отчасти с вексельными операциями, применяется к так называемому переводу платежей. Обороты по переводу платежей вошли в обыкновение давно. Так как купцам различных наций, ведшим между собой торговлю, необходимо было одни монеты разменивать на другие, то для этого имелись меняльные конторы; их всегда можно было встретить на рынках больших городов. Что касается письменных переводов, то они первоначально появились в Италии, центре европейской торговли с Востоком и раннего средневековья. Перевоз денег в те времена, когда на больших и малых дорогах царил грабеж, был далеко небезопасен. Торговцы старались объединяться в путешествиях большими группами, ездили часто вооруженными, с охраной. В связи с этим и возник обычай письменного перевода денежных сумм.

Впоследствии новый порядок проник в Амстердам, а оттуда распространился уже по всей Европе. Около 1315 г. Иоанн, герцог Лотарингский, дал ганзейцам привилегию на производство в Брабанте денежных переводов. В 1445 г. мы видим переводы в Нюренберге. Денежные письменные переводы доставляли еще то большое удобство и выгоду, что избавляли от лишних трудов и издержек; кроме того, при них было меньше риска, что деньги потеряются. К тому же надо заметить, что нередко бывали случаи, когда в иных государствах запрещалось вывозить местную монету за границу, под страхом конфискации. Все операции по переводу находились в средние века в начальной стадии своего развития; они ограничивались вычислением сумм по курсу, комиссионные же проценты не упоминаются, и значит, обыкновение отчислять процент за перевод принадлежит новейшему времени.

ЦЕПНОЕ ПРАВИЛО.

Начало цепного правила можно проследить у индусов, оно содержится в сочинении Брамагупты, относящемся к VII в. н. э. В Италии оно было известно в существенных чертах Леонардо Пизанскому, Пачиоло, Тарталье; в Германии — Видману и Адаму Ризе (в XVI в.). Распространению его особенно способствовал голландец Ван-Реес (род. 169Q), по имени которого и правило часто называлось правилом Рееса, немецкое его название — Kettenregel, французское — Règle conjointe, английское chain — rule (цепное правило) или conjoined proportion (сложная пропорция).

Прямой целью, для которой и придумано цепное правило, является перевод мер одной системы в меры другой, при посредстве мер еще какой-нибудь третьей системы. Возьмем такую задачу: сколько флоринов стоит 8 центнеров, если в центнере 100 фунтов, в фунте 32 лота, каждые 6 лотов стоят 42 крейцера, 60 крейцеров стоят один флорин? Конечно, эту задачу можно решить простыми делениями и умножениями, можно ее решить через пропорции, но изобретатели цепного правила не довольствовались этим и хотели дать такой прием, по которому человек мог бы работать, как машина, почти не рассуждая и не давая себе отчета. По цепному правилу задача пишется так:

Затем пишется прямо формула ответа. Для этого достаточно перемножить числа правого ряда и сделать это числителем, а произведение левых чисел сделать знаменателем; тогда

В XIII в. и позже в Италии условия подобных задач располагались иначе, именно не двумя вертикальными столбцами, а двумя горизонтальными строками; получается такое расположение:

Затем проводилась ломаная линия между множителями числителя той дроби, которая должна выражать ответ, и такая же линия между множителями знаменателя:

Получается подобие цепи, благодаря чему самое правило было названо цепным.

Совершенно справедливо замечают противники Ван-Рееса, что цепное правило не только не полезно для начального обучения, но даже вредно. Оно, подобно многим правилам, стремится внести механичность и уничтожить свободное суждение при выборе способа; оно пригодно, пожалуй, для специалистов-вычислителей, которым часто надо переводить меры из одной системы в другую, но неуместно в общеобразовательной школе.

ИТАЛЬЯНСКАЯ ПРАКТИКА.

Странное название, чуждое нашим учебникам! Что же это за прием, до XIX в. обязательно присутствовавший во всех арифметиках? Как показывает самое заглавие, итальянская практика обязана была своей разработкой итальянцам. Происхождение ее следующее. Хотя средневековая арифметика старалась изо всех сил напичкать ученика всевозможными готовыми правилами, по которым, как по шаблону, можно было решать любой вопрос, не затрудняя себя придумыванием способов, природная человеческая сметливость и естественная пытливость искали себе все же применения и находили его в изобретении оригинальных приемов, которые более соответствовали характеру каждого вопроса, облегчали и упрощали его. Таким образом, итальянская практика — это собрание упрощающих приемов, отчасти письменных, иногда устных, нередко простонародных. Эти приемы естественно возникали в развитии арифметики; итальянцы несколько опередили в разработке их другие народы только потому, что раньше принялись за коммерческие вычисления.

Тарталья различает простую итальянскую практику и искусственную. Простой практикой решаются вопросы неособенно сложные, которые относятся, главным образом,

к простому тройному правилу. Первый пример: 8 кг саго стоят 3,80 марок, что стоят 12 кг саго? Для решения мы сперва высчитаем стоимость 4 кг, а для этого достаточно 3,80 марок разделить пополам, потому что 4 кг составляют половину 8, и следовательно, цена их составляет половину 3,80 марок, затем складываем стоимость 8 кг и 4 кг, получаем искомую цену 12 кг;

Приведем еще пример, в котором удобнее не складывать, а вычитать: 15 аршин материи стоят 16,80 руб., что стоят 10 арш. материи?

Искусственная итальянская практика состоит в следующем. Если в задаче встречается какой-нибудь сложный множитель, то разбивают его на слагаемые и эти слагаемые подбирают так, чтобы самое большое являлось кратным остальных, или вообще одно слагаемое содержало в себе другое; когда нам удалось так разложить, то мы умножим данное число на большее слагаемое, а все остальные произведения получим делением, и именно воспользуемся свойством, что во сколько раз меньше множитель, во столько же раз меньше и произведение. Пример: сколько прибыли получится с 9000 руб. по 4% за 1 год 2 мес. 24 дня? В этом случае вычисляем сперва прибыль за 1 год, потом за 1/в года, т. е. за 2 мес, для этого делим годовую прибыль на 6, потом вычисляем за 20 дней — они составляют */з двух мес., потом за 4 дня, т. е. за 1\ь двадцати дней; в конце все полученные прибыли складываем. Тарталья дает подобным задачам такое расположение:

Еще пример: найти прибыль с 6000 руб. по 4% за 1 год 7 мес 9 дней.

Из этих примеров можно понять, чем отличается итальянская практика от тройного правила: в тройном правиле идет приведение к единице или, точнее сказать, к простой единице, здесь же вопрос приводится к сложной единице, т. е. к группе единиц. Это виднее на таком примере: 22 фунта стоят 10 руб., сколько стоят 33 фунта? По итальянской практике не надо приводить этого вопроса к 1 фуц., а удобнее привести прямо к кратной части всего количества, к 11 фун.; получим их стоимость = 5 руб., а потом остается 5 руб. повторить 3 раза.

В последнее время задачи на приведение к кратной части и на сложение кратных частей стали встречаться в некоторых задачниках, особенно для начальной школы. Это очень хорошо, потому что такие вопросы развивают сообразительность, дают простор выбору и обсуждению способов и вообще соответствуют истинной цели арифметики, как общеобразовательного учебного предмета, имеющего в виду развить ум, а не только снабдить ученика навыками счета.

ФАЛЬШИВОЕ ПРАВИЛО.

Существовало и такое правило, и не только существовало, но пользовалось громадным вниманием. У Магницкого особая 4-я часть его арифметики была посвящена правилам „фальшивым или гадательным“, в то время как в 1-й части шли действия над целыми числами, во 2-й — над дробями, в 3-й — помещалось тройное правило, а в 5-й и последней части говорилось о „прогрессии и радиксах (т. е. корнях) квадратных и кубичных“. Что же это за фальшивое правило, и почему у него такое странное название? Магницкий как бы предвидит подобный вопрос и потому объясняет успокоительно: „фальшивая правила, сиречь не истинная положения, зане чрез

Рис. 18а.

два не истинная положения изобретает самое оно желаемое истинное число“.

Объясним это правило на общеизвестной задаче о гусях, — кстати она и помещена у Румовского (1760 г.), как пример фальшивого правила. Задача такая: „летело стадо гусей, на встречу им летит один гусь и говорит, здравствуйте, сто гусей, а те ему отвечают: нет, нас не сто гусей, а если бы нас было еще столько, сколько есть, да еще пол-столька, да четверть-столька, да еще ты один гусь с нами, тогда нас было бы ровно сто гусей. Сколько их было?“. (На рис. 18 а, б приведен текст и дано решение совершенно сходной задачи у Магницкого). Решение такое: положим, во-первых, что гусей было хоть двадцать; сочтем теперь, что составит столько, да пол-столько, да четверть-столько, да еще один, и выйдет всего гусей 20 + 20 4-10 + 5+1=56; а их надо 100, следовательно недостает 44. Положим теперь, во-вторых, что гусей было 24, и сосчитаем опять итог, выйдет24 +24 +12 + 6+1 = 67, до 100 недостает33. Итак, первое предположение было 20, недостаток 44, второе предположение 24, недостаток 33. Теперь следует

Рис. 18б.

перемножить накрест и из большого произведения вычесть меньшее, т. е. 44 • 24—20 • 33 = 1056 — 660 = = 396 и этот остаток 396 разделить на разницу между обоими недостатками 44 — 33, получится 396:11 =36, верный ответ задачи.

Общее правило выражается так: надо принять для вопроса задачи какое-нибудь произвольное значение, высчитать тот результат, который получится, когда поставим в задачу это произвольное число, затем высчитать погрешность; точно так же берется второе произвольное значение и вычисляется второй результат и вторая погрешность; тогда

Фальшивое правило было известно еще индусам. Из одной латинской рукописи Парижской библиотеки видно, что она представляет перевод арабского перевода индусского сочинения, относящегося к этому предмету. Перевел его на арабский, вероятно, испанский еврей Авраам бен-Эзра (1093—1168). У арабских писателей фальшивое правило пользовалось широким распространением под названием способа „чашки весов“.

Авраам бен-Эзра дает следующий пример: „найти такое число, что если отнять от него */8 и 1)А его, то в остатке будет 8й; положим, что число будет 12, тогда остаток вышел бы 5, вместо 8, т. е. на 3 меньше; пусть число 24, тогда остаток оказался бы больше настоящего на 2, теперь в формуле решения нам придется сложить 2 произведения, о которых говорилось выше в правиле, а не вычесть одно из другого, и это потому, что в задаче один ответ больше настоящего, а другой меньше его (24-3 + 12-2):(3 + 2)=191/б. Запись у Авраама бен-Эзра имела бы, примерно, такой вид:

Известная величина помещалась над точкой опоры, на „чашки весов“ клались произвольно принятые значения искомой величины, а соответствующая погрешность

писалась над чашкой, если результат был больше истинного, и под чашкой в противном случае. О фальшивом правиле много говорит также Леонардо Пизанский. В русских математических рукописях XVII в. это правило известно под таким именем: „статья циферная именуется вымышленная или затейчивая. Высокого остропамятного разума и умного приложения ее же неции фальшивою строкою нарекоша, иже ни малым чем погрешается“.

Сущность фальшивого правила лучше всего объясняется алгебраически. Возьмем одно уравнение первой степени с одним неизвестным: ах-{-Ь = 0. Примем х равным произвольному количеству kt\ подставив kv вместо х, пусть мы получим во второй части вместо нуля пи так что акх-\-Ь=*пх% т. е. ошибка оказалась во второй части на nv Дадим х другое произвольное значение £2, и пусть вторая часть обратится в п2, так что ошибка во второй части уравнения будет п2. Теперь мы получаем такую систему:

откуда

но так как

то образуется следующее выражение для неизвестного:

Из этой формулы выходит: ntx — n2x = nik^ — n2klt или п^х — k2)=n2{x — Äj), откуда получается пропорция: п1:п2 = (х — к^:(х — k2), т. е. ошибки неизвестных пропорциональны ошибкам уравнений. Этой пропорцией и устанавливается связь между фальшивым правилом и способом пропорций.

Наряду с приведенным приемом, носящим название фальшивого правила двух положений, применялось аналогичное правило одного положения. Оно возникло гораздо ранее. У индусов оно встречалось не позднее VII в.; возможно, что им пользовались еще египтяне. Сущность его легко уяснить себе из приводимого Авраамом бен-Эзра решения той же задачи при допущении лишь одного произвольного значения искомой величины. Пусть, — говорит он, — неизвестная есть 12, тогда остаток

будет 5. Во сколько раз надо увеличить 5, чтобы получить 12? В 22/б. Поэтому следует 8 умножить на 22/б, что даст 197б« Нетрудно перевести этот прием пропорционального изменения принятого значения неизвестного в уравнения ах = Ь на язык алгебры.

Пусть ах = Ь, положим, что взято значение хА и что

Фальшивое правило, особенно двух положений, вводилось во все учебники арифметики до начала XIX в. и считалось необходимой их частью и одним из самых важных отделов. Оно встречается, между прочим, в арифметике Безу, переведенной на русский язык В. Загорским в 1806 г. В настоящее время это правило совершенно исключено из арифметического курса, и его нигде найти нельзя. Две причины содействовали его исключению. Во-первых, сколько-нибудь удобопонятный вывод его может быть сделан только алгебраически и, следовательно, в арифметике он не может быть объяснен ученикам и требует от них прямого заучивания; во-вторых, никакой учебник не разграничивал, какие задачи можно решать фальшивым правилом, и каких нельзя им решать; а, между тем, это существенно важно, потому что, если применить правило к тому, к чему оно неприменимо, то выйдет, конечно, одно печальное недоразумение. На самом деле это правило дает точный результат только для задач, приводящихся к уравнениям первой степени.

ПРОЧИЕ ПРАВИЛА: СМЕШЕНИЯ, ДЕВИЧЬЕ И ДРУГИЕ.

Правило смешения было в употреблении, очевидно, очень давно, так как потребность в смешении лекарств и каких-нибудь составов, а также в сплавлении металлов имела место еще в древнем мире. Формулы смешения были найдены, вероятно, отчасти путем опыта, отчасти путем арифметических рассуждений; потом они были перенесены в практическую арифметику, запоминались учениками и применялись к решению задач.

В древности такую задачу мы встречаем у Архимеда, определившего состав короны, сделанной из сплава золота и серебра.

Леонардо Пизанский в начале XIII в. дает приемы,

которые надо признать совершенно механическими; и вся забота его направлена только к тому, чтобы расположить данные числа, как следует; задачи у него разделяются на 2 вида, тех самых, какие сейчас и у нас: в первом виде узнается, какого достоинства выйдет смесь, если известно количество смешиваемых веществ и их достоинство; во втором виде надо определить, сколько следует взять каждого вещества, чтобы получить смесь требуемого достоинства. У Леонардо встречаются задачи на смешение нескольких сортов, и есть примеры более отвлеченного характера, в таком роде: „Стоимость 30, количество 30, стоимость единицы — 3, 2, у; решение; 1:111=1:4; 11:111 = 1:2, положим на I с III всего 15 единиц, из них 3 на I, 12 на III; на II с III кладем тоже 15 единиц, из которых 5 на II, и 10 на III; всего тогда получится на 1=3, на 11=5 и на 111=22“. Эта задача, как видно, неопределенная.

Если обозначить количества х, у, г, то в условии даны два уравнения с тремя неизвестными: x+^ + ^ = 30, 3^ + 2^;+~“ = 30. Леонардо, в переводе на язык современной алгебры, разбивает z на сумму z1-\-z2 так, что ;с + 21 = 15; тогда и y-\-z2=l5. Для определенности он полагает еще, что x:z1=*l:4, и так как x-\-zl = \b, то х = 3, zl=a\2. При этом дополнительном условии второе исходное уравнение дает 23/ +у =15, и так как y-{-z2 = 15,.то у— ~ = 0, т. е. у: z2 = 1: 2, что вместе cy-\-z2 = 15, даст ^ = 5, 22=10. Итак, л; = 3, у = 5, z = 22. Наша система имеет еще бесчисленное множество решений, но даваемое Леонардо есть единственное возможное решение в целых положительных числах.

В XV—XVI вв. задачи на смешение решались несколько иначе, чем мы их решаем; они приводились к тройному правилу, и для каждого неизвестного составлялась отдельная строка, отдельная пропорция.

В русских учебниках XVII в. правилу смешения соответствовала „статья о нечисти во всяких овощах и товарех“, в ней говорилось о смешении чистого товара с нечистым и о сплаве золота, серебра и меди. У Магницкого статья „третья надесять“ в тройном правиле,

под заглавием „о соединении вещей“, начинается прямо с задачи, без всякого предисловия и объяснения: „Некий винопродавец имяше четыре разные вины, их же продавше разною ценою, по 10 алтын, по 8 алтын, по 6 алтын и по 5 алтын по 2 денги галенок, и хощет от тех разноценных вин бочку налияти в 80 галенок, чтобы галенок был ценою в б алтын 4 денги, и ведательно есть, колико галенков которого вина влияти достоит во ону бочку, придет 16,8,16,40. Зри како изобретати:

По толику галенков таковых разных вин в бочке оной вина его же цена по 20 коп. галенок“.

Для понимания решения этой задачи, напомним читателю, что алтын = 3 коп., а копейка = 2 денгам.

Понятно, зачем Магницкий помещал задачи на смешение, и зачем они были в старинных арифметиках: учебник считался тогда сборником всевозможных правил, пригодных для разных житейских случаев; к нему, как к какому-нибудь справочнику и обращались за указаниями и искали практического ответа. Теперь же техника и ремесла, равно как и гражданская жизнь, настолько развились и расширились, что нечего и думать сообщить ученику запас предписаний на всевозможные житейские случаи. Кроме того, смешение не настолько часто распространено в практике отдельных людей, чтобы можно было считать его общеупотребительным действием и приучать к нему учащихся. Таким образом, практическое значение правила смешения можно считать в настоящее время за нуль, особенно, если иметь в виду задачи второго рода. Но и образовательное, развивающее его значение тоже очень не велико, потому что те же задачи второго рода, по самой своей сущности, принадлежат

алгебре, с большим удобством и пониманием решаются в ней, в арифметике же они являются каким-то оторванным куском и потому не могут быть проработаны вполне сознательно. Гораздо лучше было бы и для учеников и для науки, если бы задачи второго рода на смешение были отнесены к алгебре.

Девичье правило. Оригинальное и странное название это получилось оттого, что прежде (впрочем, бывает это и теперь) задачи располагались и назывались не по способам их решения, а по внешнему виду. К девичьему правилу относились задачи, в которых говорилось о девицах. Правда, все они в старых сборниках приурочивались к одному типу, именно к отделу неопределенных задач. Типической задачей может служить следующая, заимствованная из учебника Адама Ризе (XVI в). .26 персон издержали вместе 88 марок, причем мужчина издерживал по 6 марок, женщина по 4 и девушка по 2; сколько было мужчин, женщин и девушек?“ Адам Ризе учит решать таким образом: пусть, говорит он, все 26 персон были бы девушки, тогда они издержали бы 2 • 26=52 марки, следовательно, остается —88—52 = 36 марок. Разложим теперь 36 на такие два слагаемых, чтобы одно состояло из четверок, другое из пар, например, 8 четверок и 2 пары, или 5 четверок-f-8 пар, или еще 2 четверки +14 пар; такое расположение удобно тем, что 32 марки в первом случае мы отнесем на долю мужчин и 4 марки на долю женщин и расчислим так: мужчина тратит больше девушки на 4 марки, их можно принять всего 8 человек, так как 32:4 = 8; женщина тратит больше девушки на 2 марки, и женщин можно полагать 2, потому что 4:2 = 2; следовательно, получается в ответе 8 мужчин, которые заплатят вместе 48 марок, 2 женщины—8 марок и 16 девушек — 32 марки, всего 88 марок. Другой ряд ответов можно бы получить, с помощью этого же способа, такой: 5 мужчин, 8 женщин и 13 девушек; и много других решений, так как эта задача неопределенная.

Первая неопределенная задача на латинском языке из тех, которые дошли до нас, содержится в сборнике, приписываемом Алькуину (VIII в. н. э.) и выражается так: ,100 шеффелей разделить между 100 людьми: мужчинами, женщинами и детьми и дать при этом мужчине по 3 шеффеля, женщине по 2 и ребенку у.2 шеффеля.“ У Алькуина — без всякого вывода — дано одно из решений в целых числах: 11, 15, 74.

Кроме названия „девичье“, это правило имело иногда титул „слепого“ правила и опять по той же самой причине, именно, в неопределенных задачах этого рода упоминалось о слепцах. Кстати скажем, что были и другие курьезные правила, в роде правила „крокодилов“, правила „рогов“ и т. п., и назывались они по той своей особенности, что в задачах, которые являлись характеристичными, упоминалось про крокодилов, рога и т. д.

Множество тех задач, которыми наполняются современные нам сборники, идут из глубокой древности, пережили многие тысячелетия и терпеливо переписываются одним составителем из другого.

Например, известная задача о бассейнах, которые наполняются трубами, и из которых вода выливается, пользовалась вниманием уже во времена Герона Александрийского (во II в. до н. э.). Метродор, живший, повидимому при императоре Константине Великом (273—337), дает задачу с 4 трубами, из которых первая может наполнить бассейн в день, вторая — в 2, третья — в 3 и четвертая—в 4 дня. Эту же задачу мы видим и у индусов, во времена математика Ариабгатты (V в. н. э.). Она же встречается в русских старинных арифметиках, и она же помещается во всех новейших сборниках. Известная задача о собаке, догоняющей зайца, имеется уже в сборнике, приписываемом Алькуину. Заяц находится вначале впереди собаки на 150 футов, и скачет на 7 футов, в то время, как собака на 9; чтобы узнать число прыжков, в которое собака настигнет зайца, предлагается 150 разделить пополам.

Решение арифметических задач всегда было несвободно от разных недочетов, которые имеют место в наше время и объясняются исторически. Во-первых, даются ученикам иногда такие задачи, которые пережили самих себя и утеряли смысл, потому что времена изменились; примером может служить задача о курьерах; теперь уже везде телеграфы, телефоны, сообщения по железным дорогам и по воздуху, и поэтому нет никакой надобности посылать конных курьеров, это было 50—100 лет тому назад, а сейчас это анахронизм. Во-вторых, решение задач никак не может освободиться от того элемента механичности, который сжился с ним в течение многих сотен лет. Прежде всякая школа была, главным образом, школой специальной и имела в виду сообщить ученику навыки и уменья, пригодные ему для известной отрасли

жизненной деятельности. Теперь, наоборот, школа проникла в массу народа, сделалась общедоступной и должна быть поэтому общеобразовательной, развивающей душевные силы детей и воспитывающей.

С этой точки зрения не так важно количество задач, и не так важны их отделы, как важен путь их решения. Надо, чтобы решение задач основывалось на соображении и развивало сообразительность, а не строило свою опору только на привычке и простом запоминании.

Все внимание составителей сборников должно сосредоточиваться на том, чтобы расположить работу строго последовательно и систематично, с переходом от простого к сложному и от наглядного к отвлеченному, без резких скачков от легкого к трудному. Если так расположить задачи, то ученик сам, своим личным мышлением будет доходить до решения все более и более сложных задач. В таком случае учителю не придется на каждом шагу наставлять ученика и помогать ему; все дело учителя сосредоточится на подборе материала, расположенного целесообразно. Метод самостоятельного вывода — идеальный метод в преподавании математики, и ему в ней предстоит будущность.

Между тем, в последние годы, отчасти под влиянием строгих экзаменационных требований, вошло в моду деление арифметических задач на мелкие типы1. Это вредное увлечение. Оно ведет к выучке и встряхивает опять те порядки, которые стали затягиваться пылью седой старины2. Не дробление на типы, главным образом по внешнему виду, но строго постепенный подбор сослужит службу при решении задач; установление же общего типа задач — дело ученика, и тот, кто снимает с него эту работу мысли, тем самым лишает его значительной части той пользы, какая проистекает от занятий математикой.

ДОБАВОЧНЫЕ СТАТЬИ АРИФМЕТИЧЕСКОГО КУРСА.

Если взять десяток-другой учебников арифметики, изданных в последние годы на русском языке, то увидим,

1 Следует иметь в виду, что эти слова писались в 1908 р. А. Ю.

2 Изобретением всевозможных типов и многочисленных правил отличился еще в средине века германский педагог Видманн. С него пошли эти порядки.

что все они очень похожи друг на друга. Если просмотреть учебники на разных языках за последнее столетие, то увидим разницу в материале и в его объяснении. Но эта разница сделается резко очевидной, если сопоставить учебники древнего времени с учебниками нового. О характере объяснений в старинное время или, вернее, об отсутствии объяснений мы уже упоминали. Но самое содержание арифметики сейчас далеко не то, каково оно было прежде. Приведем несколько подробностей.

В арифметике, составленной Павлом Цветковым (1834 г.), есть отдел об извлечении квадратных и кубических корней. Этот отдел исключен из арифметики вообще около средины XIX в. Корни извлекаются у Цветкова из отвлеченных чисел и из именованных. Например, корень квадратный из 4 дней 302 час. 369 мин. квадратных составляет 2 дня 3 часа 3 мин., при этом вводится квадратный день, в котором 576 квадр. час. и квадр. час в 3600 квадр. минут — все это несообразности.

До второго десятилетия XIX в. вставлялись в арифметику логарифмы, и это начали делать с самого их применения к математике, т. е. с XVII в. У Безу (в переводе Василия Загорского, 1806 г.) логарифмы подробно объяснены, и к ним приложены таблицы; в этих таблицах содержатся логарифмы чисел до 10000 с семью десятичными знаками.

В „Начальных основаниях арифметики“, первом отделе его „Сокращения математики“ Степана Румовского (1760 г.), помещены прогрессии, которые мы встречаем у всех его предшественников. У Магницкого в его „Арифметике, сиречь науке числительной“, которая „с разных диалектов на славенский язык переведена, и во едино собрана, и на две книги разделена“, вся вторая книга, т. е. вторая половина содержит такие отделы, которые сейчас у нас не признаются арифметическими и ни в каком случае не помещаются в учебниках арифметики. Это, во-первых, арифметика алгебраика, т. е. алгебра, с ее нумерацией и действиями и с извлечением высоких степеней корней, старинные названия которых приводят теперь в недоумение: корень биквадрат или зензизензус — корень 4-й степени, солидус или сурдесолидус — 5-й степени, квадратокубус или зензикубус — 6-й степени, бисурдесолидус или бисолидус — 7-й степени, триквадрат или зензизензус от зенза — 8-й степени, бикубус, кубокубус, сугубый кубус — 9-й степени; квадрат солида, зенсурдесолид—10-й

степени, кубосурдесолид, терсолид—11-й степени; биквадратокубус— 12-й степени. За этими корнями, которые, впрочем, более страшны своими названиями, чем процессом извлечения, идет арифметика-логистика или астрономская „како в градусах, минутах и секундах, и в прочих колес сечениях действо и чин арифметика содержит“,— здесь просто-напросто показывается, как делать вычисления с градусами, минутами и секундами. Потом идет еще приложение, и на этот раз геометрического характера жо геометрических через арифметику действуемых“, где решаются примеры на вычисления площадей и объемов и даже сообщаются сведения из тригонометрии. В заключение идет глава „о земном размерении и яже к мореплаванию прилежат“, тут есть таблицы широт и долгот, описание ветров и т. п. Какое разнообразие содержания! Можно сказать, что арифметика Магницкого — это целая энциклопедия; в ней собраны всевозможные случаи, где только может пригодиться вычисление: и из хозяйства, и из ремесл, и из гражданской и военной жизни. Сочинитель заботится, чтобы его книга всех удовлетворила и ни одного вопроса не оставила без ответа, чтобы она всецело соответствовала требованиям практики.

Эта пестрота и этот набор всевозможного материала, который складывается в одну кучу, на всякий случай, авось пригодится где-нибудь в жизни и хозяйстве, эта пестрота и случайность еще более проскальзывают в старинных сборниках XVI-XVII в. Чего-чего только там нет. Как Плюшкин тащил в свою груду всякий ненужный хлам и рухлядь, и как любитель-коллекционер добывает и вставляет в свое собрание всякие мелочи и подробности, так и авторы старинных учебников собирали в арифметику все, что хоть сколько-нибудь подходит к ее практическим требованиям и может дать ответ на какой-нибудь числовой вопрос.

Доходило дело до таких курьезов и странностей: „Есть убо человек, яко же поведают, на главе имея 3 швы и на углы составлены; женская же глава имеет один шов, кругом обходя главу; да по тому знамению и в гробех знают, кая мужеска, кая-ли женска“. „Хощь сыскати тварей обновление небу и земле, морю и звездам, солнцу и луне, и индикту“. Оказывается, небо поновляется в 80 лет, а земля в 40 лет, море в 60 лет.

В состав средневековых арифметик входили еще так называемые математические развлечения. Трудно и скучно

было тогдашним ученикам. Сухое изложение, мудреный язык, масса научных терминов, отсутствие объяснений1 — все это приводило к тому, что учение обращалось в долбление, и только более счастливые, т. е. более сильные умы могли справляться с материалом, перерабатывать и понимать. Вот когда появились поговорки: „корень учения горек“ и „лучше книги не скажешь“. Чтобы хоть несколько оживить учеников, утешить и ободрить, их назидали, во-первых, увещательными стихами, где воспевалась вся сладость подвига и вся ценность результатов, которых имеет достигнуть „мудролюбивый“ отрок.

О любезный арифметик, Буди наук не отметник, Тщися еще быти усерд, Да будешь в них силен и тверд, В сметах каких дел купецких И во всяких иных свецких. Темже в Бога уповая, И на помощь призывая, Потрудися в них охотно, Аще будет и работно.

Во-вторых, давались задачи с остроумным содержанием и требовавшие особенной изворотливости и догадки. Вот задача все из того же сборника, приписываемого Алькуину. „Два человека купили на 100 сольдов свиней и платили за каждые 5 штук по 2 сольда. Свиней они разделили, продали опять каждые 5 штук по 2 сольда и при этом получили прибыль. Как это могло случиться? А вот как: на 100 сольдов приходится 250 свиней, их они разделили на 2 равных стада, и из первого стада, в которое вошли более жирные, продали 120 штук по 2 свиньи на 1 сольд, а из второго, с более тощими свиньями, тоже 120 по 3; так они получили 60 сольдов за свиней первого стада, 40 за свиней второго, всего 100 сольдов; 5 же штук из каждого стада осталось в прибыли“.

В сборнике Алькуина содержится известная загадка о волке, козе и капусте, которых надо поочередно перевезти через реку, с таким условием, что оставлять на берегу волка с козой и козу с капустой вместе нельзя, потому что первые в отсутствии перевозчика съедят вторых.

1 Оддо, педагог XI в. н. э., быть может, впрочем, тождественный с вышеупомянутым Одо из Клюни, очень затрудняется в объяснениях и оправдывает себя тем, что „все это гораздо легче объяснить устно, чем письменно“.

Прекрасный сборник задач-загадок издал француз Баше де Мезириак в 1612 г., заглавие его такое: „Problemes plaisants et délectables qui se font par les nombres.“ („Приятные и занимательные задачи, решаемые с помощью чисел“). В нем помещены многие из тех задач, какие встречаются и сейчас в сборниках этого рода, например, о задуманных числах, о работнике, которого нанимает хозяин с условием платить ему за рабочие дни и вычитать за прогульные и т. д.

В старинных русских арифметиках можно отметить такие интересные задачи: „I. Пришел християнин в торг и принес лукошко яиц. И торговцы его спрашивали: много ли у тебя в том лукошке яиц? И християнин молвил им так: яз, господине, всего не помню на перечень, сколько в том лукошке яиц. Только яз помню: перекладывал яз те яйца из лукошка по 2 яйца, ино одно яйцо лишнее осталось на земли; и яз клал в лукошко по 3 яйца, ино одно же яйцо осталось; и яз клал по 4 яйца, ино одно же яйцо осталось; и яз клал по 5 яиц, ино одно же яйцо осталось и яз их клал по 6 яиц, ино одно же яйцо осталось; и яз клал по 7 яиц, ино все посему пришло. Ино, сколько яиц в том лукошке было, сочти ми? Придет было 721.

II. Лев съел овцу одним часом, а волк съел овцу в 2 часа, а пес съел овцу в 3 часа. Ино, хощешь ведати, сколько бы они все три: лев, волк и пес овцу съели вместе вдруг и сколько бы они скоро ту овцу съели, сочти ми1?

III. О деньгах в куче ведати. Аще хощеши в куче деньги ведати, и ты вели перевесть по 3 деньги. А что останется от 3-х—2 или 1, и ты за 1 клади по 70. Да опять вели перевести по 5, и что останется — 4 или 3, или 2, или 1, и ты за 1 клади по 21. Да опять вели перевести по 7, и что останется — 6 или 5, или 4, или 3, или 2, или 1, и ты тако же за всякий 1 клади по 15. Да что в остатках перечни родились, и те перечни сочти вместо, а сколько станет и ты из того перечню вычитай по 105, и что останется из сто пяти или сама сто пять, то столько в куче и есть“.

Немаловажной статьей среди математических развлечений были магические квадраты. Что такое магический квадрат? Это ряд последовательных натуральных чисел,

1 Эта задача встречается у Видманна, германского педагога XV в., у него она выделена в особое правило — „правило о льве, волке и собаке, съедающих овцу“.

начиная от 1, размещенных по клеткам квадрата так, что сумма чисел по диагоналям и по сторонам остается постоянной. Вот примеры, взятые из сборника Алькуина:

Магические квадраты встречаются в сочинениях секты „Чистых братьев“, существовавшей в X в. н. э., в г. Аль-Бассра. Эта секта приписывала магическим квадратам особенную таинственную силу, например, верили, что они способны облегчить рождение младенца.

В конце одной арабской арифметики, переведенной на латынь и, может быть, переработанной при этом Иоанном Севильским (середина XII в.), тоже приведен магический квадрат

Объяснения не дано, только помещены те же самые черточки, какие и на этом чертеже.

ИСТОРИЯ АЛГЕБРЫ.

Хотя народы древнего мира не знали нашей алгебры, но это не мешало им заниматься такими вопросами, которые принадлежат, собственно говоря, алгебре. Еще у египтян в древнейшей рукописи — папирусе Райнда — решаются задачи, приводящиеся к уравнениям первой степени с одним неизвестным. Вот пример такой задачи: „2/9 целого числа вместе с его Va и 1/1 и с этим же целым числом дают 33, найти неизвестное". Для решения число 12/3 V2 lli последовательно умножается при помощи известного процесса удвоения (при пользовании постоянно основными дробями) до тех пор, пока не получается 33; это дает для неизвестного значение в виде

Вавилоняне за 2000 лет до н. э. решали

задачи, приводящиеся к уравнениям второй степени. При этом для определения искомой величины они производили совершенно те же действия над известными, которые производим и мы, т. е. их правило совпадало с обычной формулой. Только они не знали ничего об отрицательных решениях.

Греческие ученые занимались вопросами алгебры в период времени с VI в. до н. э. и кончая V в. н. э. Они разработали несколько отделов ее, но их труды шли преимущественно в направлении геометрического исследования алгебраических соотношений. Тождество (a -f- b)* = — a?-j- 2ab -f- b\ например, доказывалось чертежом и выражалось словесно и в геометрических терминах: квадрат, построенный на сумме отрезков, равен сумме квадратов, построенных на каждом из них вместе с удвоенным прямоугольником, построенным на этих отрезках.

Греки создали и специальный аппарат операций над площадями, позволявший решать геометрические задачи, приводящиеся к уравнениям второй степени.

Впрочем, греческая математика подошла и к созданию первых начатков буквенной алгебры. В этом отношении большие услуги оказал ее развитию Диофант, живший в Александрии в III в. н. э. Диофант первый, повидимому, ввел специальные знаки для одной неизвестной величины и ряда ее степеней, возникшие из сокращения соответствующих слов. У него же теоретическая разработка задач алгебры приняла совершенно негеометрический числовой характер греческих слов. Ему обязана своей разработкой глава об уравнениях, именно об уравнениях первой степени со многими неизвестными, и о полных квадратных уравнениях. Вот пример из Диофанта, переданный в современных обозначениях. Сумма неизвестных

равна 10, сумма их квадратов — 68. Обозначим одно х-\-Ь, тогда другое будет 5 — х и(л: + 5)2 + (5 — л:)2 = 68, т. е. х2 -j- 25 = 34, х = 3; одно число будет 8, а другое 2.

Диофант занимался также решением в рациональных числах неопределенных уравнений первой и второй степени, и сильно продвинул вперед исследования этих проблем. Его труды были далее развиты 1500 лет спустя французом Ферма (1601—1665), швейцарцем Д. Эйлером, работавшим в Петербургской академии наук (1707—1783), и французским математиком и механиком Лагранжем (1736—1813).

Существенный шаг вперед алгебра сделала у индусов. Индусы называли неизвестные величины, которые мы теперь обозначаем через х, у, z и т. д., черной величиной, голубой, желтой, зеленой, красной и обозначали их первыми буквами тех слов, которые выражают эти цвета. Индусские математики VI—XII в. н. э. применяли иррациональные числа, не признававшиеся греками, знали, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения: положительное и отрицательное, и толковали отрицательные числа как долг, в противовес положительным—имуществу. Они с успехом занимались квадратными уравнениями. Баскара (XII в.) принялся за простейшие кубические уравнения. Вот его пример:

вычтем по

Арабские ученые переняли от индусов начала алгебры и перенесли в Европу, где ею занялись прежде всего итальянцы. Лукка Пачиоло (XV в.) решал те уравнения четвертой степени, которые приводятся к квадратным. Сципион дель Ферро (1465—1526), Н. Тарталья (1500— 1570) и Дж. Кардан (1501—1576) разработали решение общего кубического уравнения и дали аналитическую формулу для его корня, а Людовико Феррари (1522—1565) дал общий прием решения уравнения четвертой степени.

Эти открытия явились подлинным триумфом алгебры

и первым серьезным шагом вперед в сравнении с античной и индусской алгеброй.

Параллельно шло развитие алгебраической символики. Появились знаки операций, ряд авторов различных стран стал вводить символы неизвестной величины и ее степеней. Француз Виета (1540—1603) положил начало общей арифметике тем, что стал обозначать буквами не только искомые количества, но и данные; до него же буквами обозначались только те количества, которые требовалось определить; по способу Виета известные величины в уравнениях обозначались согласными буквами латинского алфавита, а неизвестные — гласными. Благодаря этому открывалась возможность записывать в виде общих формул алгебраические выражения, например корни квадратного уравнения и т. п. Однако, в целом символика Виеты была очень сложна и недостаточна.

После Виеты учение об алгебраических уравнениях пошло вперед быстрыми шагами. Англичанин Гарриот (1560—1621) нашел, что уравнения высших степеней получаются в виде произведений уравнений низших степеней, что между коэфициентами и корнями уравнения есть некоторая зависимость; он ввел знаки неравенства и предложил писать буквенных множителей рядом, без всякого знака; коэфициент он отделял от буквы точкой и степени обозначал повторением количества, т. е. вместо 5а8 писал 5 ааа.

Знаменитый французский философ Р. Декарт (1596— 1650) в своей „Геометрии“ (1637 г.) придал алгебраической символике и, в частности, обозначению неизвестных и данных величин и их степеней современную форму. Он первый стал писать все члены уравнения с одной стороны от знака равенства и высказал ряд важных теорем алгебры. В частности, вслед за голландцем А. Жираром (1629 г.) он утверждал, что всякое алгебраическое уравнение имеет столько корней, каковы его степени (это основное предложение алгебры удалось доказать лишь в 1799 г. двадцатидвухлетнему Гауссу (1777—1855).

Декарт же, одновременно с П. Ферма (1601—1665) положил начало аналитической геометрии. Книга Декарта сыграла огромную роль в истории алгебры и получила чрезвычайно широкое распространение. На ее основе, отправляясь от поставленных в ней проблем, последующие ученые развивали алгебру далее. Упомянем еще, что великий творец небесной механики и один из созда-

телей высшего математического анализа Исаак Ньютон (1642—1727) ввел дробные степени и обобщил формулу бинома на любые степени, и что шотландец Непер (1550— 1617) изобрел логарифмы, не совсем справедливо называемые натуральными или гиперболическими, ибо основанием последних служит число £ = 2,7182818, между тем как у неперовых логарифмов основанием является 1:e.

Вскоре после издания таблиц Непера (1614 г.) английский профессор Бригг (1561—1630) вычислил логарифмы чисел до 1000 при основании 10 (1617 г.).

Однако связь логарифмов, определявшихся в те времена иначе, чем ныне, с алгеброй долгое время оставалась не раскрытой. Эйлер первый отчетливо установил, что логарифмирование есть второго рода обратное действие по отношению к возведению в степень (из уравнения ах = Ь ищется не а, основание по показателю степени х, но х по а). Таким образом получилось 7 действий общей арифметики: сложение, вычитание, умножение, деление, возвышение в степень, извлечение корня, логарифмирование, к которым иные присоединяют еще восьмое действие— нахождение числа по логарифму.

Ответ. редактор С. В. Филичев.

Тираж 25 000 экз. Подписано к печати 27/II 1941 г. А 27682. Печати, лист. 12,5. Авт. лист, 11,28. Тип. знаков в 1 печ. л. 36000. Цена 1 р. 80 к., переплет 85 к. Заказ № 2923.

4-а типография ОГИЗа РСФСР треста «Полиграфкнига» им. Евгении Соколовой. Ленинград, пр. Красных Командиров, 29.