ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ УЧЕНЫЕ МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

С.В. БАХВАЛОВ

Нил Александрович ГЛАГОЛЕВ

1961

ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Нил Александрович Глаголев (1888—1945)

С. В. БАХВАЛОВ

Нил Александрович ГЛАГОЛЕВ

28

Издательство Московского Университета 1961

ПЕЧАТАЕТСЯ ПО ПОСТАНОВЛЕНИЮ РЕДАКЦИОННО-ИЗДАТЕЛЬСКОГО СОВЕТА МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ:

проф. С. Б. БЕРНШТЕЙН.проф. Г. Д. ВОВЧЕНКО (председатель и ответственный редактор) проф. |д. Г. ВИЛЕНСКИЙ,] проф. Д. И. ГОРДЕЕВ (зам. председателя), проф. Н. К. ГУДЗИЙ, проф. П. А. ЗАЙОНЧКОВСКИЙ, проф. С. Ф. КЕЧЕКЬЯН, кандидат наук К- П. МЕЛЬНИКОВА (секретарь), прэф. Ф. Я. ПОЛЯНСКИЙ, проф. К. А. РЫБНИКОВ, акад. С. Д. СКАЗКИН, доц. А. Н. СОЛОВЬЕВ

ОТ АВТОРА

2 июля 1960 года исполнилось 15 лет со дня смерти крупнейшего русского геометра Нила Александровича Глаголева.

Нил Александрович Глаголев широко известен благодаря его выдающимся работам в области геометрии.

Наибольший интерес представляют его работы по проективной геометрии и номографии как теоретической, так и прикладной.

С именем Нила Александровича связан расцвет номографии в СССР.

Он возглавлял первый в Советском Союзе научный центр по номографии — научно-исследовательский семинар при МГУ. Нил Александрович был не только организатором и руководителем семинара, но и создателем целого ряда интересных и важных работ по номографии.

Н. А. Глаголев написал ряд учебников как для средней школы, так и для высшей. Его «Проективная геометрия» является первым учебником на русском языке, написанным в синтетическом изложении.

Его «Курс номографии» и «Теоретические основы номографии», небольшие по объему, в то же вре-

мя содержат полное изложение основных методов номографирования.

В настоящем очерке рассмотрены основные работы Н. А. Глаголева.

Автор приносит глубокую благодарность Прасковии Никитичне Поповой-Глаголевой и Александре Александровне Глаголевой, сообщившим ряд биографических сведений о Ниле Александровиче.

НИЛ АЛЕКСАНДРОВИЧ ГЛАГОЛЕВ

Нил Александрович Глаголев родился в Москве 21 ноября (3 декабря н. ст.) 1888 г. Его отец, Александр Николаевич Глаголев (1853—1906 гг.), уроженец г. Пскова, окончил физико-математический факультет Московского университета и всю свою жизнь посвятил любимому делу — преподаванию математики. Это был человек необычайно яркого педагогического таланта и редких душевных качеств. Александр Николаевич преподавал в 6-й мужской гимназии, в учительском институте и других учебных заведениях.

В 1898 г. Московское общество распространения коммерческого образования открыло в различных районах Москвы вечерние торговые классы для лиц, состоящих на службе в торгово-промышленных учреждениях.

В качестве заведующего торговыми классами А. Н. Глаголев работал до конца дней, отдазая этому делу много энергии и любви.

А. Н. Глаголев был одним из главных основателей и первым директором двух коммерческих училищ в Москве — мужского и женского. Преподавание в этих училищах было построено на новых педагогических началах. Здесь нашли применение и блестящий педагогический талант Александра

Николаевича, и его организаторские способности, и его необыкновенные доброта и сердечность.

Александру Николаевичу выпало счастье, которое до революции не часто выпадало на долю русских общественных деятелей, особенно педагогов, еще при жизни видеть общественное признание своих заслуг.

Умер А. Н. Глаголев 53 лет в расцвете своей педагогической и общественной деятельности от наследственной болезни—грудной жабы.

Александр Николаевич Глаголев являлся автором ряда учебников и задачников для средней школы по арифметике, алгебре и геометрии. Особенно популярными были его учебник «Элементарная геометрия», выдержавший пять изданий, и «Сборник геометрических задач на построение» (три издания).

Интересно отметить, что и дед Нила Александровича губернский землемер Николай Васильевич Глаголев интересовался математикой и после себя оставил в рукописях «Курс геометрии» и попытки решения в радикалах уравнения 5-й степени.

Мать Нила Александровича — Евгения Михайловна (1859—1934 гг.) окончила с золотой медалью гимназию в г. Калуге, где ее отец был профессором словесности духовной академии и главным редактором газеты «Калужские ведомости». Она прекрасно владела тремя европейскими языками и, предполагая поступить на медицинские курсы в Петербурге, изучила латинский язык и выдержала экзамен за мужскую гимназию. Замужество помешало ее поступлению на медицинские курсы.

Интересуясь специальностью мужа, Евгения Михайловна изучила под его руководством основы высшей математики. Она обладала необычайной трудоспособностью, сама дала начальное образование всем своим детям (12 человек) и руководила их занятиями, когда они учились в гимназии. Принципиальная, честная, она создала крепкую дружную семью, в которой авторитет родителей был непоколебим. Из двенадцати детей только

один умер в юности, все остальные получили высшее образование.

Участие отца в общественной жизни отражалось и на быте семьи, в доме почти всегда были посторонние лица: педагоги, ученики, лица, ищущие работы.

Нил Александрович был шестым ребенком в семье. До десятилетнего возраста он учился дома. Первыми его учителями были старшие сестры и брат, а потом мать сама готовила его к поступлению в гимназию. В то время для поступления в гимназию требовалось грамотное письмо и знание арифметики целых чисел. В десятилетнем возра-

Александр Николаевич Глаголев (1853—1906)

сте он поступил в первый класс Московской 6-й классической гимназии. Живой, прямой, общительный, он быстро приобрел много товарищей, сохранивших с ним дружбу на долгие годы.

Учился он хорошо. Проявляя наибольшую склонность к математике, он в то же время любил и интересовался историей, литературой и эту любовь сохранил до конца своих дней. Его продолжали занимать вопросы русской истории и тогда, когда он был уже известным профессорам математики и вел большую педагогическую и научную работу. Часто в кругу близких людей он рассказывал с интересными подробностями о многих исторических фактах и лицах. С неослабевающим интересом относился Нил Александрович также и к русской литературе, знатоком и тонким ценителем которой он оставался всю жизнь. Любимыми писателями его были Толстой и Достоевский.

С детских лет Нил Александрович увлекался театром. Он сам несомненно имел большие актерские данные. У него была прекрасная дикция, богатство интонаций, он обладал изумительной способностью улавливать и воспроизводить характерные особенности голоса, интонации, жестов встречающихся ему людей. Позднее, когда он был студентом, скульптор Голубкина, близко знавшая семью Глаголевых, неоднократно приглашала его вступить в любительскую труппу в городе Зарайске, но он не решился выступать на сцене.

Нил Александрович был в 8-м классе гимназии, когда семью постигло большое горе — скоропостижно скончался отец.

Материальное положение семьи резко изменилось, и Нил Александрович вынужден был зарабатывать на свое содержание.

Окончив гимназию, он поступил на физико-математический факультет Московского университета. На протяжении всех лет учебы он давал частные уроки. Некоторые уроки продолжались и летом, а иногда ему приходилось в каникулярное время уезжать из Москвы вместе с семьей ученика.

О том, с каким интересом работал Нил Александрович над университетскими курсами математики, свидетельствуют его студенческие тетради, бережно хранимые семьей. Переработанные лекции по математическому анализу и геометрии тщательно переписаны и снабжены художественными чертежами.

Н. А. Глаголев активно участвовал в студенческом кружке по математике и в семинарах, которые в то время имелись в университете. Он делал доклады по геометрии и по математическому анализу.

Нил Александрович Глаголев в студенческие годы

В доме у них в то время царила «математическая атмосфера». Старшая сестра и два брата тоже были математиками, и по вечерам велись на математические темы беседы, переходившие нередко в горячие споры.

В 1911 г. за участие в студенческих волнениях Нил Александрович был исключен из университета, ему было запрещено проживать в Москве. Пришлось временно выехать к товарищу в Тульскую губернию. В 1912 г. по одновременному ходатайству его матери и физико-математического факультета ему было разрешено держать выпускные экзамены экстерном. Он выдержал эти экзамены и был оставлен профессором Д. Ф. Егоровым при университете для подготовки к профессорскому званию. В то же время он слушал лекции в Народном университете им. Шанявского и участвовал там в семинаре по геометрии, организованном профессором Б. К. Млодзеевским.

Сразу же после окончания университета началась интересная педагогическая работа. Проф. А. К. Власов, заведовавший в то время кафедрой высшей математики в коммерческом институте, пригласил Н. А. Глаголева туда в качестве преподавателя.

С большим волнением шел Нил Александрович на свое первое занятие со студентами. Он относился к нему как к чему-то очень большому, ответственному и в то же время праздничному. Такое отношение к своей педагогической работе он сохранил на всю жизнь. Никогда он не воспринимал ее как будни. Уже в зрелые годы, будучи крупным профессором, блестящим лектором, он всегда испытывал некоторое волнение перед лекцией. Он уходил из дома с таким расчетом, чтобы хоть часть пути пройти пешком. Это ему было необходимо, чтобы лучше сосредоточиться.

Коммерческий институт был переименован впоследствии в институт Карла Маркса, а затем в институт народного хозяйства имени Г. В. Плеханова.

В этом институте Н. А. Глаголев работал на технологическом и электротехническом факультетах до 1934 г. сначала в качестве ассистента, затем доцента, профессора и заведующего кафедрой. С 1930 г. он сотрудничал в МЭИ, отделившемся от института в самостоятельный втуз. Здесь он заведовал кафедрой математики на теплоэнергетическом и теплотехническом факультетах. При кафедре велась интересная научная и методическая работа.

При этой кафедре Н. А. Глаголев организовал семинар по номографии как для преподавателей МЭИ, так и для преподавателей других втузов. Необходимость в этом семинаре была большая. В учебный план втузов была введена номография, в то время как на русском языке почти не былс учебной литературы по этому предмету.

На заседаниях этого семинара, всегда многолюдного и очень оживленного, Нил Александрович излагал некоторые главы своей будущей книги. Участники семинара делали доклады по капитальным сочинениям по номографии Оканя (d'Ocagne) и Соро (Sorreau), а в дальнейшем некоторые доклады содержали изложение оригинальных результатов. Участниками семинара был выпущен номографический атлас под редакцией Н. А. Глаголева, а Д. И. Перепелкиным был сделан перевод книги Швердта «Практическая номография».

С 1916 г. Нил Александрович начал работать в Московском университете и прошел в нем путь от ассистента до профессора, доктора физико-математических наук. В университете он читал лекции по аналитической, начертательной, проективной геометрии, специальные курсы по геометрии, руководил семинаром по синтетической геометрии и номографии, был консультантом в номографическом бюро.

Н. А. Глаголев очень внимательно относился и к оформлению лекций. Курс лекций Нила Александровича по геометрии всегда отличался стройностью, свежестью, простотой и изяществом изло-

жения, прекрасным языком и сопровождался демонстрацией художественно сделанных чертежей.

С большим интересом Нил Александрович относился к преподаванию в средней школе. В начале своей педагогической деятельности он преподавал в реальном училище, директором которого в то время был профессор Л. К- Лахтин.

Позднее Н. А. Глаголев много работал по подготовке педагогических кадров для средней школы, читал лекции и вел семинары в городском педагогическом институте, в институте усовершенствования учителей.

Он читал популярные лекции для учителей и для учащихся выпускных классов. Он был одним из инициаторов математических олимпиад, председателем оргкомитета олимпиады, научным руководителем школьного кружка, был членом комиссии Наркомпроса, вырабатывающей программы для средней школы, и председателем математической секции УМС Наркомпроса.

Много внимания, энергии и времени отдал Н. А. Глаголев делу повышения образования рабочих. Еще студентом он бесплатно преподавал математику на Пречистенских рабочих курсах.

Нил Александрович был одним из преподавателей и организаторов преподавания математики на рабфаке им. К- Маркса, в Замоскворецком рабочем университете. Вместе с проф. А. К. Власовым он работал в Замоскворецком рабочем политехникуме.

Какова бы ни была аудитория, перед которой приходилось выступать Нилу Александровичу, он всегда находил правильный подход к ней. Лекции его всегда воспринимались с необычайным, все нарастающим интересом. Он умел заставить слушателей работать над читаемым курсом.

С большим мастерством читал Н. А. Глаголев и эпизодические лекции и доклады для разных аудиторий, по радио. Он очень хорошо чувствовал аудиторию, и в зависимости от аудитории его до-

клады о Лобачевском, например, читанные им в университете, в ученом совете горпединститута, для московских школьников и по радио, были различны по содержанию, по форме и по языку.

Личная жизнь Н. А. Глаголева сложилась удачно. В 1926 г. он женился на Прасковье Никитичне Поповой, ученице проф. Б. К- Млодзеевского по Высшим женским курсам. У Нила Александровича и Прасковьи Никитичны было двое детей — сын и дочь.

В лице своей жены он нашел не только верного друга, но и чуткого товарища по работе. Научные интересы супругов близко соприкасались. Прасковья Никитична преподавала геометрию в высшей школе и работала по своей специальности под руководством профессора С. П. Финикова.

Осенью 1930 г. Нил Александрович был командирован Институтом математики Московского университета в Германию для ознакомления с состоянием там прикладной математики. Для него представлял особый интерес вопрос о состоянии номографии. Работа по прикладной математике была сосредоточена в Берлине в математическом институте, возглавляемом Мизесом (Mises). Сам Мизес— специалист по теории вероятностей. Работа по номографии в институте велась, но она не получила в то время еще большого развития.

По приглашению Мизеса Нил Александрович сделал в институте доклад о методе построения номограмм при помощи созданной им теории вурфов. На этом докладе присутствовал известный немецкий геометр Шур. Доклад был принят очень хорошо. Нилу Александровичу предложили напечатать доклад целиком в «Zeitschrift für angewandte Mathematik».

В Геттингене Нил Александрович познакомился с крупнейшими немецкими математиками Гильбертом, Курантом, Ландау и Вейлем. Гильберт читал курс для всех факультетов об общих принципах науки и мысли, Ландау — основания геометрии, Вейль—курс аксиоматики. Лекции последнего пред-

ставляли для Н. А. Глаголева особый интерес. В свою очередь Вейль был очень заинтересован работами Нила Александровича, и между ними состоялось несколько плодотворных научных бесед.

Нил Александрович обладал большим талантом организатора, который проявлялся и в его работе заведующего кафедрой, и в номографическом бюро, и особенно в общественной работе.

В тяжелое время Отечественной войны Н. А. Глаголев возглавлял работу жилищно-бытовой комиссии обкома профсоюза работников высшей школы и научных учреждений. Им было очень много сделано для улучшения снабжения научных работников, для организации специальных столовых и магазинов, налаживания в них работы.

Отличительные черты характера Н. А. Глаголева — прямота, доброжелательное отношение к людям, большой природный юмор и редкая жизнерадостность — привлекали к нему искренние симпатии окружающих, внушали горячую привязанность его многочисленным ученикам и оставили по нем неувядаемую память среди его близких и друзей.

Нил Александрович глубоко любил родину, любил русскую природу, особенно природу родной ему средней полосы. Он не понимал, зачем люди едут отдыхать в Крым и на Кавказ, когда так разнообразна и так богата природа родного Подмосковья, где он обычно проводил свой летний отдых. Ему нравилась русская осень, грустная красота увядающих лесов, медленное течение спокойных рек.

Скончался Нил Александрович в 1945 г. в возрасте 56 лет от наследственной грудной жабы в расцвете творческих сил. Задуманная им большая работа по созданию целого ряда учебников для высшей и средней школы осталась незавершенной.

НАУЧНЫЕ РАБОТЫ Н. А. ГЛАГОЛЕВА

Научные работы Н. А. Глаголева относятся к различным областям геометрии. Во всех этих

работах он показал себя талантливым исследователем и получил ряд выдающихся результатов.

Наибольший интерес представляют его работы по проективной геометрии и номографии как теоретической, так и прикладной.

Работы по начертательной геометрии

В одной из работ по начертательной геометрии «Обобщение теоремы Польке» Н. А. Глаголев дает обобщение известной теоремы, лежащей в основе всей аксонометрии.

Развивая мысль Мёбиуса (Möbius) относительно родства двух поверхностей независимо от родства пространства, содержащего эти поверхности, Н. А. Глаголев показывает, что из двух поверхностей, находящихся в аффинном родстве, каждую можно привести в перспективно-параллельное расположение с поверхностью, подобной другой.

Применяя эти рассуждения к тетраэдрам, Нил Александрович показывает, что теорема Польке— Шварца является предельным случаем общего свойства двух родственных тетраэдров.

Работы по дифференциальной геометрии

Французский геометр Дарбу (Darboux), развивая идею Бельтрами о геодезическом отображении поверхности, расположенной в трехмерном пространстве, на плоскость, получил общий вид первой квадратичной формы поверхности:

где АС—В2 — дискриминант квадратичной формы ар относительно dx, dy.

Н. А. Глаголев, отправляясь от этой квадратичной формы Дарбу в работе «Римановы многообразия проективного типа» получает все проективно-различные геометрии.

Приравняв нулю квадратичную форму ds2, получает уравнение Клеро (Claireau), определяющее линии нулевой длины.

Особый интеграл уравнения Клеро напишется в виде:

Этот особый интеграл как огибающая прямых нулевой длины является абсолютом геометрической системы, имеющей место на данной поверхности.

Дарбу показывает, что для формы ds2 с положительным дискриминантом возможны лишь три вида абсолюта, соответствующие трем типам поверхностей постоянной кривизны.

Н. А. Глаголев отмечал, что при рассмотрении общих многообразий двух измерений нельзя ограничиваться случаем положительного дискриминанта, так как среди проективных многообразий существуют и такие, в которых линии нулевой длины действительны. Для таких многообразий дискриминант формы ds2 отрицателен.

Отсюда Н. А. Глаголев заключает, что для получения всех возможных видов квадратичной формы ds2, соответствующих различным плоским геометрическим системам проективного типа, достаточно рассмотреть проблему геодезического отображения двумерных многообразий самого общего вида, не налагая никаких ограничений на знак дискриминанта формы ds2.

Хотя Дарбу при своих исследованиях предполагал, что знак квадратичной формы положителен, но данный им вывод не содержит никаких предположений о знаке дискриминанта. Поэтому форма

представляет наиболее общий вид квадратичной формы, при которой линейная зависимость между х и у сообщает интегралу С ds экстремальное значение. Далее Н. А. Глаголев рассматривает различные случаи уравнений

абсолюта ^{dx, dy, ydx—xdy) = 0 в тангенциальных координатах и AC—В2 = 0 в точечных координатах.

Приведенное Н. А. Глаголевым исследование геодезически отображаемых многообразий 2-х измерений устанавливает тождественность этих многообразий с проективными системами Мюнтца (Müntz).

В § 2 той же работы Глаголев рассматривает многомерные многообразия, однотипные с Евклидовым пространством.

Под многообразием Евклидова типа понимают такое, для которого линейный элемент определяется формой вида

(Если \tt \ = lt = I , то многообразие совпадает с Евклидовым.) Линии нулевой длины в этом случае определяются дифференциальным уравнением:

(2)

Это уравнение допускает прямолинейные интегралы.

Полагая xt = aLt + Ci , имеем dxi = atdt и предшествующее уравнение сводится к следующему

Прямые, удовлетворяющие этому уравнению, есть интегральные прямые уравнения (2).

Через каждую точку пространства проходит оол-1 интегральных прямых, составляющих (п—1)-мерный конус 2-го порядка, который является интегральной гиперповерхностью уравнения (2). Все эти интегральные конусы, соответствующие оол

точкам л-мерного пространства, конгруентны между собой и могут быть совмещены один с другим переносным движением.

Следовательно, все эти конусы пересекают бесконечно-удаленное (п—1) -мерное пространство Мп-\ по одному и тому же (п—2)-мерному пространству Мп-2 второго порядка.

В работе «О геодезическом отображении многообразий» Н. А. Глаголев решает ту же задачу для /г-мерного многообразия и получает различные геометрии пространства Евклида п измерений.

Работы по проективной геометрии

В ряде работ по проективной геометрии Н. А. Глаголев разработал теорию вурфов и дал применение ее к номографии.

В работе «Применение проективного исчисления к построению номограмм» он дает исчерпывающее решение задачи Штаудта.

С выдающимся успехом Нил Александрович разрешил общую задачу построения всех алгебраических коммутативных тел, элементами которых являются точки или группы точек пространства, причем арифметические действия выполняются при помощи проективных преобразований.

Мы рассмотрим эту задачу для пространства 3-х измерений.

Под вурфом Н. А. Глаголев понимает совокупность шести точек, рассматриваемых в определенной последовательности. Два вурфа называются равными, если 6 точек первого вурфа можно коллинеарно преобразовать в 6 точек другого вурфа.

Так как 5 точек вурфа можно коллинеарно преобразовать в 5 фиксированных точек пространства, то вурфы будут определяться положением шестых точек. Таким образом, в пространстве 3-х измерений имеется оо3 различных вурфов.

Далее Н. А. Глаголев рассматривает такие группы коллинеации, каждая коллинеация

из которых определяется заданием только двух соответствующих точек.

К таким коллинеациям относятся группы коллинеации с 4 двойными точками или группы гомологий, центры которых находятся в плоскости гомологии.

Пусть Е — фиксированная точка пространства, называемая модулем проективного действия. Проективное действие

соответствующее группе Н, Н. А. Глаголев определяет как такую коллинеацию группы Я, которая точку Е переводит в А\ тогда В переходит в С. Эта коллинеация обозначается На- Точку С называют результатом проективного действия.

На коллинеации группы H накладываются следующие требования:

(1)

(2)

Путем простых ,и изящных рассуждений Н. А. Глаголев показывает, что все коллинеации группы H имеют общие двойные точки. К таким группам коллинеации могут быть отнесены лишь коллинеации с 4 общими двойными точками или гомологии, центры которых принадлежат плоскости гомологии.

Н. А. Глаголев доказывает также и обратное предложение, то есть проективные действия, определяемые группами коллинеации с 4 двойными точками или группами гомологий, плоскости которых содержат центры гомологий этой группы, обладают свойством

Далее Н. А. Глаголев требует, чтобы одно проективное действие подчинялось распределительному закону по отношению к другому, то есть

Н. А. Глаголев показывает, что в этом случае действие со определяется группой коллинеации с 4 двойными точками Рь Р2, Ргу Р4, а действие а — группой гомологий, при этом три двойные точки Pu Р2, Рз действия со принадлежат плоскости группы гомологий; 4-я двойная точка Ра группы со не принадлежит этой плоскости и является модулем проективного действия а.

При этом возможны следующие случаи:

Таким образом, Н. А. Глаголев получает 4 вида умножения и один вид сложения.

Далее он изучает системы гиперкомплексных чисел, соответствующих 4 указанным выше случаям расположения двойных точек. Эта работа помещена в учебнике Н. А. Глаголева «Проективная геометрия», ОНТИ, 1936 г.

Рассмотрим пример одной системы гиперкомплексных чисел.

Пусть О — модуль сложения и Е — модуль умножения. Тогда

где плюс обозначает действие сложения в рассмотренном выше смысле, а точка — знак умножения.

Таким образом, модуль сложения О играет роль 0, а модуль умножения Е — роль единицы. Все точки M двойной плоскости а всех коллинеации, определяющих сложение, играют роль бесконечно больших проективных чисел, так как для каждой точки M этой плоскости

Различным типам умножения соответствуют различные системы гиперкомплексных чисел.

Рассмотрим одну из них, соответствующую первому типу умножения.

Возьмем тетраэдр, одна вершина которого лежит в точке О и три другие Мь М2, М3 в плоскости а.

Проективное число, представляемое произвольной точкой M пространства, можно рассматривать как сумму трех проективных чисел, определяемых точками А\, А2, А3 на ребрах ОМи ОМ2, ОМ3.

Действительно, проведем через ребра М2М3, М3Ми М{М2 тетраэдра плоскости М2М3А, МзМ\А, М\М2А. Эти плоскости пересекут ребра OMh ОМ2, ОМ3 в точках A\A2A3m

Определяя по правилу проективного сложения сумму А \ + Л2 + А3у получим точку Л.

Аналогичным образом точку Е (модуль действия умножения) можно заменить точками Е\, Е2, Е3 на ребрах тетраэдра так, чтобы

Таким образом, на каждом ребре тетраэдра получим систему линейных вурфов О, Ejy Mj и, следовательно,

(«)

и каждое проективное число может быть разложено на сумму трех слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение действительного числа at на некоторую точку Ei ребра OMi

Такое представление проективных чисел дает возможность производить сложение и умножение этих чисел чисто алгебраическим путем. Пусть

два действительных числа; тогда на основании дистрибутивности умножения

Но Еi-Ekможет быть представлено так:

Внося это выражение Ei-Ek в равенство (ß), мы А - В представим в виде (а):

Произведение ErEk (основных единиц) определяется типом умножения, имеющего место в данной системе, а также расположением двойных точек Pi, Р2, Рз группы коллинеации умножения относительно тетраэдра ОМхМ2Мг.

Рассмотрим группу коллинеации с 4 действительными двойными точками О, Р\, Р2, Рз- Пусть точка О совпадает с началом декартовой системы координат, a Pi, Р2у Рз суть бесконечно удаленные точки координатных осей ОХ, ОУ, OZ.

Пусть модулем умножения служит точка Е (1; 1; 1). Тогда в декартовых координатах уравнения группы коллинеации с указанными двойными точками напишутся в виде:

Пусть

Умножение А - В выполняется коллинеацией, переводящей точку Е (1; 1; 1) в точку A (ai; а2\ аз). Следовательно, ai — a, а2 = в, аз = с и

Но эта коллинеация переводит точку В (ßr,ß2*,ß3) в точку А • В (уьУ2;уз).

Таким образом,

и

Сравнивая это равенство с равенством (ß), находим

Эти равенства можно заменить более наглядной таблицей

Значительно ранее Н. А. Глаголев рассмотрел эту задачу на плоскости в работе «Общая задача исчисления плоскостных вурфов» (Изв. ассоциации научно-исследовательских институтов при физико-математическом факультете МГУ 1929 г.).

В 1937—1938 гг. он опубликовал статью: «Sur le problème générale du calcul projectif». В этой работе Н. А. Глаголев рассматривает ту же общую задачу проективного исчисления для пространства n измерений.

Когда эта работа была отправлена во Францию для напечатания в одном из французских журналов, один из крупнейших геометров Франции писал в Москву: «Эта работа делает большую честь московской геометрической школе, и мы с удовольствием печатаем ее во Франции».

В 1926 г. В. Н. Депутатов в работе «К вопросу о природе плоскостных вурфов» рассмотрел пятиточечные плоскостные вурфы, соответствующие комплексным числам.

Работы по аксиоматике

Несколько работ Н. А. Глаголева посвящено вопросам аксиоматики геометрии. В работе «Sur une conception des axiomes du premiere groupe de la géométrie projective» Н. А. Глаголев показывает, что полагаемая обычно в основу проективной геометрии симметричная система аксиом соединения Энриквеса недостаточна для построения на ней проективной геометрии, и дает пример такой геометрической системы, в которой все аксиомы Энриквеса имеют место, но не имеют места дальнейшие геометрические предложения: так, прямая, имеющая две общие точки с плоскостью, может и не принадлежать этой плоскости. Н. А. Глаголев указал путь исправления этой системы аксиом, дав новую систему.

Эта система аксиом приводится в учебнике Н. А. Глаголева по проективной геометрии.

В работе «Sur les axiomes d'appartenance de la géométrie euclidienne» он дает новую концепцию аксиом первой группы геометрии Евклида. Аксиомам 2-й группы предпосылает так называемые аксиомы принадлежности, данные им ранее для проективной геометрии. Кроме того, к аксиомам 1-й группы присоединяется аксиома параллельности в усиленной форме. При такой концепции аксиомы Гильберта 1Ъ, h, h и первая половина аксиомы U становятся доказуемыми предложениями: общее число аксиом 1-й группы при этом сокращается.

Требование существования точек на прямой становится при такой концепции излишним, так как их существование может быть доказано.

Работы по номографии

Французский академик Окань является основателем номографии. Он предложил метод «из выравненных точек».

В дальнейшей разработке общей теории номо-

графии принимали участие крупнейшие номографы: Соро, Кларк, Швердт и др., а также русские ученые Н. М. Герсеванов, А. К. Власов.

А. К. Власов показал, что если производить на коническом сечении одновременно операции сложения и умножения вурфов, то получается номограмма первого жанра канонического уравнения четвертого номографического порядка Коши.

В Советском Союзе разработка теоретических и практических вопросов номографии началась в тридцатых годах настоящего столетия, и за короткий промежуток времени были получены большие результаты.

Расцвет советской номографии, как уже говорилось, связан с именем Н. А. Глаголева. Он возглавил первый в Советском Союзе научный центр по номографии — номографический семинар при научно-исследовательском институте математики Московского университета. Н. А. Глаголев являлся не только организатором и руководителем этого семинара, но и автором целого ряда интересных и важных работ по номографии.

Развивая идеи А. К- Власова, Н. А. Глаголев показал, что все проективное исчисление целиком совпадает с задачей номографирования уравнения третьего номографического порядка, при этом трем каноническим формам этих уравнений соответствуют три проективных действия: сложение, умножение и действие, определяемое проективитетом с двумя мнимыми точками.

В номографическом семинаре много внимания уделялось вопросу приведения номограмм к виду, удобному для их использования.

Н. А. Глаголев дает интересное экспериментальное решение этой задачи путем проектирования данной номограммы эпидиаскопом на косой экран и определения на нем четырех контрольных точек, определяющих искомое преобразование. Н. А. Глаголев рассматривает новый полярный метод построения номограммы. Ученики Н. А. Гла-

голева получили также ряд ценных результатов как в области теоретической, так и в области практической номографии.

М. В. Пентковский получил ряд результатов в вопросе проективного преобразования номограмм. И. А. Вильнер дал полное решение вопроса номографирования аналитических функций комплексного переменного в предположении, что шкалы переменных а, в (z = a-{-ei) прямолинейные. И. В. Денисюк указал метод приближенного номографирования уравнения.

П. В. Николаев рассматривает вопрос анаморфозы алгебраических уравнений, устанавливая единственность анаморфозируемости уравнения Массо с точностью до коллинеации.

Ряд интересных работ, относящихся к проблеме анаморфозы, принадлежит X. А. Битнер, А. И. Молдавер и другим.

Н. А. Глаголев и его ученики И. Н. Денисюк, М. В. Пентковский, Б. А. Невский и другие много внимания и сил уделяли практической номографии в Советском Союзе, внедрению номографии в различные области промышленности и техники. Ими разработаны методы, дающие возможность упростить и ускорить процессы разработки, расчета и вычерчивания номограмм.

Номографическое бюро при научно-исследовательском институте Московского университета, руководимое Н. А. Глаголевым, выполнило много заданий различных учреждений и научно-исследовательских институтов.

Номограммы, конструкции которых были подготовлены Н. А. Глаголевым и его учениками, применялись в военно-морском флоте, зенитной артиллерии, оборонявшей Москву в 1941 —1942 гг.

Н. А. Глаголевым и его учениками создана большая литература по номографии. Самому Нилу Александровичу принадлежат книги: «Теоретические основы номографии», «Курс номографии», а под его редакцией вышли «Справочник по номографии» и «Учебный атлас по номографии».

Работы Нила Александровича и его учеников в области номографии получили высокую оценку в научном мире.

Н. А. Глаголев в Советском Союзе известен не только как крупный ученый и университетский деятель, но и как автор целого ряда учебников. Достаточно указать на учебники по начертательной геометрии, проективной геометрии, номографии, курс элементарной геометрии для средней школы и другие.

Книга по геометрии для средней школы отличается от написанных до Нила Александровича учебников следующими особенностями.

Вопрос измерения длин отрезков, как и все вопросы измерения, изложен в соответствии с современными научными взглядами на измерение величин. Н. А. Глаголев пользуется аксиомой Архимеда и основными законами измерения отрезков (площадей).

I. Длины равных отрезков равны (при одной единице измерения).

2. Если данный отрезок разбит на несколько произвольных частей, то длина всего отрезка равна сумме длин этих частей.

В вопросе измерения площадей Н. А. Глаголев пользуется понятием равносоставленности параллелограммов и прямоугольников.

В книге помещено свыше 700 задач. По содержанию эти задачи разделяются на следующие 4 группы.

1. Задачи на доказательство.

2. На определение геометрических мест.

3. На построение.

4. На вычисление и другие особенности,

В учебниках, созданных Н. А. Глаголевым, не только рассматриваются известные аксиомы, определения и предложения; в них отображена научная деятельность Нила Александровича. В учебнике по проективной геометрии изложены вопросы аксиоматического определения проективного пространства и общая теория проективного исчисления;

много собственных результатов Нила Александровича вошло в его книгу по номографии. В главе II этой книги дано полное исследование аналитических условий возможности анаморфозы Декартова абака. В главе IV дано применение полярного преобразования для перехода от системы намеченных линий к системе намеченных точек.

В приложениях к книге проективные методы весьма интересно применены к построению номограмм. В главе V изложен весьма простой графический метод построения модулей радиантных номограмм для функции с 4 и более переменными. Заметим, что этот курс Н. А. Глаголева является первым теоретическим курсом номографии на русском языке.

СПИСОК НАУЧНЫХ РАБОТ Н. А. ГЛАГОЛЕВА

1. Задача о кратчайшей линии в проекциях с числовыми отметками. Математический сборник, 31, 319—323, 1924.

2. Применение функциональных шкал к решению уравнений. Физ.-мат., сборник, № 2, 1922.

3. Римановы многообразия проективного типа. Математический сборник, 32, 1, 1925.

4. О геодезическом отображении многообразий. Математический сборник, 32, 2, 1925.

5. Обобщение теоремы Польке. Математический сборник, 32, 3, 1925.

6. Новые применения плоскостных вурфов (резюме). Тр. Всерос. матем. съезда. ГИЗ, 1928.

7. Sur les groupes des espaces projectives (резюме). Отчет Моск. матем. о-ва, № 1, 1926.

8. Общий метод исчисления и приложения плоскостных вурфов. Изд. ассоц. научно-исслед. ин-тов при физ.-мат. ф-те МГУ, 1—2, 1928.

9. О работах Бианки по многомерной геометрии. Труды геометрического кружка при НИИМ МГУ. ГИЗ, 1930.

10. Родство фигур и аффинное соответствие двух плоскостей. Математическое образование № 7—8, 1929.

11. Об одном классе прямолинейных конгруэнций. Тр. Второго Всес. съезда математиков. Л., 1934.

12. Применение проективного исчисления к построению номограмм. Номографический сборник. М.—Л., 1935, стр. 13—23.

13. Полярный метод построения номограмм. Доклад на семинаре по синтетической геометрии при НИИМ МГУ (вошел в состав книги «Теоретические основы номографии». ГТТИ. 1934).

14. Метод светового номографирования. Доклад на научной конференции НИИМ МГУ (вошел в состав книги «Теоретические основы номографии». ГТТИ, 1934).

15. Теоретические основы номографии. ГТТИ, 1936; 2-е изд., 1938.

16. Sur une conception des axiomes du premiere groupe de la géométrie projective. Periodico di matematica, Serie IV, V, XIV, n. 3, 1935.

17. Sur les axiomes du premiere groupe de la géométrie euclidienne. Compt. rend. Acad. Sci., No. 2, 201, 1935.

18. Sur le problème général der calcul projectif. Journal de mathématiques pures et appliques. IX série, Paris, 1937—1938.

19. Sur les axiomes d'appartenanee de la géométrie euclidienne. Математический сборник, 6/48, 2, 1939.

20. О безмерных геометрических образах. Тр. каф. математики МГПИ, 1, 1940.

21. Проективная геометрия. ОНТИ, 1936.

22. Начертательная геометрия. ОНТИ, 1936; 2-е изд., 1944; 3-е изд. 1953.

23. Начертательная геометрия. Статья в технической энциклопедии, 2-е изд., т. 14.

24. Номография. Статья в технической энциклопедии, 2-е изд., т. 14.

25. Геометрия. Статья в технической энциклопедии, 2-е изд., т. 5.

26. Морис Окань (некролог). Успехи матем. наук, вып VII.

27. Геометрия. Статья в сб. «Математика в СССР за 15 лет» (совместно с С. П. Финиковым). М.—Л., 1932.

28. О научной работе в области номографии. Уч. зап. МГУ, вып. 28, 1939.

29. Теория площадей в курсе средней школы. Сб. «Математика в школе». НКП, 1944.

30. Ньютон как геометр. Сб. «Московский университет памяти Ньютона», 14, 1946.

31. Роль движения в курсе геометрии. Уч. зап. Гор. пед. ин-та, вып. 2, физ.-мат. ф-т, 1948.

32. Курс номографии для университетов. Гостехиздат, 1943.

33. Элементарная геометрия. Учебник для средней школы. Учпедгиз. Планиметрия, 1944; Стереометрия, 1945.

34. Геометрические преобразования в начертательной геометрии. Сб. «Вопросы современной начертательной геометрии», под ред. Н. Ф. Четверухина. Гостехиздат, М.—Л., 1947.

35. Научные проблемы в области номографии. Фронт науки и техники, № 5—6, 1934.

36. О проективных вопросах линейной конгруэнции. Тр. Второго всес. матем. съезда. Л., 1934, стр. 72.

37. Справочник по номографии. ОНТИ, 1937.

38. Учебник геометрии для педучилищ (подготовлено к печати).

39. Переработка книги А. К- Власова «Курс высшей математики» и дополнения. Учпедгиз, 1938 (Собствен. текст свыше 16,5 п. л.).

40. Переработка учебника геометрии А. Киселева и дополнение. Учпедгиз, 1937.

41. Высшая математика для промакадемий (Редактирование и соавторство). Изд-во Промакадемии, 1940.

СОДЕРЖАНИЕ

От автора ............ 3

Нил Александрович Глаголев ....... 5

Научные работы Н. А. Глаголева...... 14

Работы по начертательной геометрии .... 15

Работы по дифференциальной геометрии . . . .15

Работы по проективной геометрии..... 18

Работы по аксиоматике........ 24

Работы по номографии......... 24

Список научных работ Н. А. Глаголева .... 29

Сергей Владимирович Бахвалов

«Нил Александрович Глаголев»

Редактор Г. С. Гольденберг Технический редактор Г. И. Георгиева

Сдано в набор 11/II-1961 г.

Подписано к печати 5/VI-1961 г. Л-28222. Формат 84х1087з2.

Печ. л. 1.+ 1 вклейка. Привед. печ. л. 1,68. Уч.-изд. л. 1,22. Изд. № 1452. Заказ 33. Тираж 1 500 экз. Цена 8 коп.

Издательство Московского университета, Москва, Ленинские горы Тип. изд-ва МГУ, Москва, Ленинские горы