АКАДЕМИК РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ ОБРАЗОВАНИЯ

Юрий Михайлович КОЛЯГИН

АКАДЕМИК РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ ОБРАЗОВАНИЯ

Юрий Михайлович Колягин

К 80-летию со дня рождения

УДК 51 ББК 22.1 А 38

Печатается по решению редакционно-издательского совета Орловского государственного университета

Редакционный совет: Авдеев Ф. С, Авдеева Т. К., Тарасова О. В.

Академик Российской академии образования Юрий Михайлович Колягин (к 80-летию со дня рождения). - Орел.: ООО Полиграфическая фирма «Картуш», 2007. - 113 с: ил.

Книга посвящена Ю. М. Колягину академику РАО, заслуженному деятелю науки РФ, доктору педагогических наук, профессору, выдающемуся математику-методисту, педагогу, исследователю истории отечественного образования, автору учебников математики. В неё вошли материалы биографического характера, воспоминания известных учёных, учеников, единомышленников Ю. М. Колягина. Представлены фотодокументы, в том числе из семейного архива.

Для широкого круга читателей, интересующихся историей отечественной науки и образования.

УДК 51 ББК 22.1 А38

ISBN 978-5-9708-0087-4

Компьютерная вёрстка - Тарасова О.В.

© Орловский государственный университет, 2007 © Авторы статей, 2007

Поздравляем с юбилеем Юрия Михайловича Колягина!1

25 апреля 2007 г. исполняется 80 лет со дня рождения академика РАО, заслуженного деятеля науки РФ, доктора педагогических наук, профессора Юрия Михайловича Колягина.

Имя Ю. М. Колягина известно разным поколениям жителей России, стран ближнего и дальнего зарубежья. Современным школьникам и учителям Юрий Михайлович известен как автор учебников математики. Более двадцати пяти лет в школах России и ближнего зарубежья дети учатся по учебникам алгебры, автором которых является Ю. М. Колягин, а студенты вузов - по его учебникам математики и методики преподавания математики.

Ю. М. Колягиным разработана концепция обучения математике в профильной средней школе, выявлены его особенности в условиях конкретного профиля, разработаны и изданы соответствующие учебники математики и их методическое обеспечение. Особое место занимают программы для начального обучения математике, созданные при его ведущем участии, учебно-методический комплект по математике для гимназий, монографии «Задачи в обучении математике» (ч. I, ч. II) и др.

Более десяти изданий выдержали учебники математики для начальной школы, титульным редактором которых является Ю. М. Колягин. Он же — автор учебников математики для подготовительных классов национальных школ. Под руководством и при участии Ю. М. Колягина в Орловском государственном университете постоянно совершенствуется подготовка будущих учителей начальных классов и математики, в том числе для сельской школы.

Обладая энциклопедическими знаниями, Юрий Михайлович по праву стал автором раздела о математике в Российской педагогический энциклопедии, а его монография «Русская школа и математическое образование», неоднократно издаваемая «Просвещением», стала выдающимся событием в истории России, привлекшим всеобщее внимание.

Дорогой Юрий Михайлович!

Поздравляем Вас с юбилеем. Желаем Вам здоровья и успехов в творчестве на долгие годы. Мы гордимся общением с Вами - человеком, кому дорога судьба России, будущее которой определяют воспитание, обучение и развитие наших детей.

Ученики и последователи Ю. М. Колягина - преподаватели школы и вуза, защитившие кандидатские и докторские диссертации под его руководством, обогащенные личным творческим общением с Учителем, развивают научную школу, созданную Юрием Михайловичем, отстаивая

1 Статья опубликована в журнале «Начальная школа». 2007. №4.

его принципиальные позиции, связанные с видением прошлого, настоящего и будущего отечественной системы образования в целом и обучения математике в частности.

Результаты научно-педагогической деятельности видного ученого, методиста, заслуженного учителя РФ Ю. М. Колягина, отраженные в его многочисленных научных трудах и публикациях, число которых приближается к тремстам, являются выдающимся вкладом в развитие педагогической науки и практики России. Его работы переведены на многие иностранные языки.

В трудах Юрия Михайловича аккумулирован жизненный и профессиональный опыт талантливого ученого и педагога. Более пятидесяти лет отданы Юрием Михайловичем народному образованию. Вот этапы его славного пути: учитель сельской, затем городской школы; ассистент, доцент, профессор педагогического вуза; заведующий сектором обучения математики, заместитель директора по научной работе НИИ школ МО РФ; член-корреспондент АПН, академик РАО; член Экспертного совета ВАК; заместитель председателя научно-методического совета Министерства образования РФ по средней школе; член научных советов по защите докторских и кандидатских диссертаций; член редколлегий журналов «Математика в школе», «Начальная школа». И это только часть его необычайно широкой научной и просветительской деятельности.

Незаурядность академика Ю. М. Колягина и в том, что он, известный математик и методист, является активным собирателем и ценителем книг, знатоком искусства.

Юрий Михайлович обладает прекрасными качествами; он -надежный друг и коллега, добрый, открытый, бескорыстный человек, замечательный наставник и Учитель, который дарит ученикам и коллегам идеи, поддерживает их практическим участием, вселяет оптимизм, веру в творческие успехи и победы на жизненном пути.

Министерство образования и науки Российской Федерации,

редакция, редколлегия и редакционный совет

журнала «Начальная школа»,

Орловский государственный университет,

коллеги и ученики из всех регионов России

Материал подготовлен главным редактором журнала «Начальная школа» С. В. Степановой

Дорогой Юрий Михайлович!

Примите мое горячее поздравление с Вашим юбилеем.

Мы, Юрий Михайлович, давно уже с Вами работаем по руководству Школьным Отделом Научно-Методического Совета по Математике Министерства Образования РФ, преобразованного теперь в Министерство Науки и Образования РФ.

В нашей работе по Школьному Отделу имели место большие трудности, потому что в последнее время влиятельные круги, занимающиеся школьным образованием, придавали недостаточное значение преподаванию математики в школе. В результате уменьшалось количество учебных часов, отводимых на математику, и соответственно сокращались учебные планы и программы по математике. Это, конечно, приводит к понижению математического (логического) уровня нашей молодежи, что не может не сказаться на развитии технического прогресса в нашей Отчизне.

Мы, Юрий Михайлович, делали все, что возможно в рамках Школьного Отдела, чтобы противодействовать этой тенденции. В этих трудных вопросах мы с вами, Юрий Михайлович, всегда имели единое мнение и помогали друг другу, и это поздравление подводит итоги нашим многолетним дружеским и деловым контактам.

Мне хочется еще отметить, что Вы, Юрий Михайлович, глубоко проникли в детали истории нашей школьной математики. К тому же, Вы обладаете замечательным красноречием и являетесь тонким знатоком русского языка, поэтому Ваши доклады на исторические темы на научно-педагогических конференциях всегда привлекают к себе широкую аудиторию учительства.

Крепкого здоровья и всяческого благополучия Вам и Вашим близким, дальнейших успехов в Вашей научно-педагогической деятельности я желаю.

Искренне Ваш

(С. М. Никольский, академик РАН)

Часть 1.

Рядом и вместе с Учителем

Методико-математическая школа Юрия Михайловича Колягина на Орловщине

Ф. С. Авдеев

г. Орел

Орловщина это не только отряд учеников и последователей Юрия Михайловича Колягина, но и Родина его учителя Ивана Козьмича Андронова.

Иван Козьмич Андронов родился в селе Корсаково Новосильского уезда Орловской губернии 21.05 (02.06) 1894 года в многодетной семьбе. Тяжелая болезнь отца рано заставила Ивана Козьмича начать свой трудовой путь. Вот как в своей книге «Русская школа и математическое образование. Наша гордость и наша боль» Юрий Михайлович Колягин характеризует своего учителя.

«Многим из нас - учеников Ивана Козьмича - вспоминается чуть глуховатый, но выразительный голос Учителя, говорящего: «Что есть арифметика? - Арифметика, или числительница, есть художество честное, независтное и всем удобопонятное, многополезнейшее...» «Оцените,- говорил Иван Козьмич, краткость и точность характеристики сей науки, которую дал Леонтий Филиппович Магницкий». И обязательно добавлял: « ... годы жизни от 1669 до 1739». А мы все удивлялись тому, как учитель может помнить имена, даты жизни всех русских педагогов (и не только педагогов-математиков); более того, как часто Иван Козьмич добавлял: «Сочинение, том такой-то, год издания, страница абзац... сверху».

Первое, что бросалось в глаза каждому, кто беседовал с нашим учителем,- его широкая эрудиция и феноменальная память.

А это была малая толика достоинств, присущих нашему Учителю. Трудно выразить словами ту глубину профессиональных знаний, которыми он обладал; ту щедрость души, которую он проявлял на каждом шагу; ту строгость, которую он часто лишь «напускал на себя», хотя всегда был требователен к себе и другим.

Каждый понедельник в 19.00 Иван Козьмич собирал у себя аспирантов (и местных и приезжих) и до полуночи обсуждал со всеми нами актуальные проблемы методики обучения математике. Как много мы открывали для себя в этих беседах с Учителем; как, не замечая того сами, мы многому учились. И речь идет не только о пополнении наших знаний, но и о формировании качеств ума, присущих опытным педагогам: педагогическом предвидении, проникновение в сущность педагогических идей, понимании неоднозначности оценок результатов обучения и т.д. Учитель не раз внушал всем нам: главное не феномен (явление), а ноумен (его сущность). Разнообразие проблем, обсуждаемых на этих еженедельных встречах с Учителем, определялось многообразием тем исследований, проводимых каждым из нас, и поэтому чрезвычайно расширяло наш кругозор.

В кабинете Ивана Козьмича было место для дивана, стула и письменного стола; все остальное место занимали открытые книжные стеллажи. Доставая ту или иную нужную для него книгу, Иван Козьмич своей ладошке и говорил отворачивающимся ученикам: «Не отворачивайтесь. Эта пыль не простая; она -ученая, вдыхайте ее и умнейте». Мы все сидели между двумя крайними стеллажами - в линейку. Знаменитая библиотека Учителя, в которой было более 40 тыс. книг, придавала этим встречам особый колорит. В этой библиотеке хранились, например, все издания (а их было более 40) школьных учебников А.П. Киселева. В кабинете Ивана Козьмича (обычно по вечерам) всегда кто-то был. Мне и моим однокашникам посчастливилось общаться там со многими известными методистами-математиками (К.С. Барыбиным, Б.В. Болгарским, В.М. Брадисом, И.С. Бровиковым, И.Я. Депманом, М.И. Качановским, Н.М. Матвеевым, СИ. Новоселовым, В.В. Репьевым, И.Ф. Тесленко). С другими известными педагогами можно было также неоднократно общаться и на семинаре «Передовые идеи в преподавании математики в СССР и за рубежом», которым Иван Козьмич руководил начиная с 1959 г. Под руководством И.К. Андронова защитили диссертации более 110 человек, многие из которых стали докторами наук, профессорами - преподавателями университетов, педагогических институтов, технических вузов.

Основным местом работы И.К.Андронова стал Московский областной педагогический институт (ныне - Московский педагогический университет). С 1931 года Иван Козьмич становится в нем заведующим кафедрой высшей алгебры, элементарной математики и методики математики; эту кафедру он возглавлял до конца своей жизни (1975г.).

Те, кому посчастливилось слушать лекции Ивана Козьмича, помнят, каким блестящим лектором он был. Как артистично читал он лекции по истории математики, имитируя часто голосом и жестом тех или иных исторических личностей, о которых шла речь (Б. Паскаль, И. Кеплер и т.д.), цитируя по памяти целые куски из их сочинений! Как скрупулезно выписывал он на доске все формулы, все выкладки, читая теорию чисел, теорию вероятностей, высшую алгебру! Вместе с А. К. Окуневым он практически создал современный курс элементарной математики, начало которому было положено в учебных пособиях С. И. Новоселова и И. Д. Перепелкина. Итогом этой работы была не только официальная программа по элементарной математике для педагогических институтов, но и ряд работ самого Ивана Козьмича: «Арифметика натуральных чисел» (1951), «Арифметика натуральных чисел и основных величин» (1955), «Арифметика. Развитие понятия числа и действий над числами» (1962), «Математика действительных и комплексных чисел» (1975).

Перу Ивана Козьмича принадлежат и школьные учебники: «Арифметика, 5-6 кл.» (совместно с В. М. Брадисом, 1962), «Математика, 4 кл.» (совместно с Ю. М. Колягиным, Е. Л. Мокрушиным, Е. С. Беляевой, 1969).

Нельзя не упомянуть его курс единой математики для техникумов (1965), в котором была осуществлена попытка объединения традиционных математических дисциплин с выходом на прикладную ориентацию курса математики. В целом же И. К. Андроновым было опубликовано более 100 печатных трудов.

И. К. Андронов был хорошо знаком с постановкой преподавания математики и в зарубежных странах. Он участвовал в Международных конгрессах по математическому образованию, был лично знаком с зарубежными педагогами - математиками (С. Крыговская, Ж. Папи, Г. Фройденталь и др.). Тем не менее Иван Козьмич был патриотом своего Отечества, справедливо считая, что уровень отечественной математики - науки и уровень отечественного математического образования всегда был и остается весьма высоким. Предлагая каждому сдающему кандидатский минимум по методике преподавания математики изучить около 100 книг, Иван Козьмич обязательно указывал среди них труды I и II Всероссийских съездов преподавателей математики 1912-1913), работы Н. Н. Извольского, К. Ф. Лебединцева, С. И. Шохор-Троцкого и других; требовал ознакомиться с педагогическими взглядами Н. И. Лобачевского, М. В. Остроградского, П. Л. Чебышева, Н. Н. Лузина и других математиков. Не раз мы убеждались в том, что «всякое новое хорошо забытое старое», о чем неоднократно говорил нам наш Учитель, приводя при этом убедительные примеры.

Да, наш Учитель был весьма требователен к нам, не принимал опозданий, невыполнения заданного им самим или порученного дела; был иногда суров в разговоре, но он был добр, он любил всех нас своих учеников: студентов, аспирантов, учителей, преподавателей; он старался сделать каждого из нас высококвалифицированным, образованным и честным педагогом».

Во многом Юрий Михайлович Колягин повторил путь своего Учителя: это и педагогическая деятельность сначала в школе, а затем в вузе -Московском областном педагогическом институте им. Н. К. Крупской, где принял кафедру от своего Учителя, и Орловском государственном университете; это и плодотворная работа над созданием школьных учебников математики в течении последних 30 лет. Выпущен учебник математики для техникумов (в соавторстве) и в этом Юрий Михайлович развил идею И. К. Андронова. Это и обращение к истории математического образования и как результат - несколько изданий книги Ю. М. Колягина «Русская школа и математическое образование. Наша гордость и наша боль»; это и многочисленные труды по проблемам математического образования, учебники по методике преподавания математики, которые и по сей день вне конкуренции, это и его постоянные публикации в журналах «Математика в школе», «Начальная школа» по актуальным проблемам школы. И, конечно, его многочисленные выпускники: студенты, аспиранты, учителя школ,

которые живут в разных уголках России, а теперь и ближнего зарубежья. В этой статье мы расскажем об учениках-орловцах.

Судьбе было угодно, чтобы у Юрия Михайловича было два дома: в Москве - маленькая однокомнатная квартира и домик в деревне с поэтическим названием Ржавец в Покровском районе Орловской области.

Для нас - орловцев Теплый Стан в Москве воспринимается так же как библиотека им. В. И. Ленина или педагогическая библиотека имени К. Д. Ушинского, потому что из родственников, проживающих в Москве -только Колягины. «Однокомнатная» это понятие относительное, во-первых оно включает в себя библиотеку, в которой более 20 тыс. изданий, здесь вы найдете литературу по математике, по методике преподавания математики, по истории, множество альбомов живописи, стихи, шедевры отечественной и зарубежной литературы и др. Это и кабинет, в котором периодически собираются авторские коллективы по написанию учебников математики, для обсуждения своих проблем.

Это место, где нас «иногородних» всегда ждут, где дадут совет, где Юрий Михайлович прочитает твое творение и обязательно «причешет» его; куда можно приехать даже семьей с двумя детьми и расположиться на ночлег. А в дни празднеств и торжеств эта квартира усаживала за столом и до 20 человек. Вероятно, здесь не в квадратных метрах дело, а в том, что Юрий Михайлович и Любовь Петровна Колягины люди большой души. И никто не уезжал из этой семьи, не получив подарков для своих домочадцев в Орле.

Летом, когда Юрий Михайлович и Любовь Петровна в деревне, у нас не возникает вопроса, где провести свободное время, конечно, - Ржавец; это и отдых, и ни с чем несравнимое общение: рождение новых идей, обсуждение проблем наболевших.

И как учитель, беря класс, ведет его к определенному рубежу, так и Юрий Михайлович ведет своих учеников по ступеням жизни, у одних они измеряются учеными званиями, но у всех профессиональным взрослением: переходя от звания аспиранта к почетному - коллега.

Знакомство с Орлом (не считая Ивана Козьмича Андронова) у Юрия Михайловича началось с Владимира Владимировича Ветрова, профессора, заведующего кафедрой геометрии и методики преподавания математики Орловского государственного университета, который выступал оппонентом по его кандидатской диссертации.

Семья Авдеевых: Федор Степанович, ректор Орловского государственного университета, доктор педагогических наук, профессор в сотрудничестве с Юрием Михайловичем занимается проблемами сельской малокомплектной школы и вузовского педагогического образования; Татьяна Константиновна, доктор педагогических наук, доцент кафедры геометрии и методики преподавания математики, защитила под руководством Ю. М. Колягина и кандидатскую, и докторскую диссертации.

Шалева Людмила Борисовна, профессор, кандидат педагогических наук, декан факультета педагогического образования и документоведения, защитила диссертацию под руководством Юрия Михайловича и их сотрудничество продолжается почти 20 лет в плане математической подготовки учителей начальных классов.

Будучи членом ГЭК на защите дипломных работ выпускников физико-математического факультета ОГУ, Юрий Михайлович обратил внимание на Оксану Викторовну Манину-Тарасову, пригласил её на собеседование, где предложил свое руководство её дальнейшей научной работой. Интуиция не подвела Учителя, способная ученица защитила кандидатскую диссертацию, а затем и докторскую диссертацию на тему «Становление и развитие геометрического образования в дореволюционной средней школе России» (2006).

Баранова Лариса Николаевна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры алгебры и математических методов в экономике ОГУ, защитила под руководством Юрия Михайловича диссертацию на тему «Геометрические задачи на построение в основной школе» (2000).

Чернобровкина Ирина Ивановна работает на одной кафедре с Л. Н. Барановой, под руководством Ю. М. Колягина изучала особенности обучения математике в американской школе, успешно защитила диссертацию, в настоящее время кандидат педагогических наук, доцент.

Бровичева Анна Валентиновна разработала под руководством Юрия Михайловича адаптационный курс математики для студентов факультетов по подготовке учителей начальных классов. В настоящее время работает в Московском государственном педагогическом университете (бывший Московский областной педагогический институт им. Н. К. Крупской, который закончил Ю. М. Колягин, а затем много лет преподавал в нем).

Проблемой функциональной пропедевтики в начальном курсе математики занималась под руководством Юрия Михайловича Зарубина Анна Александровна, которая в настоящее время кандидат педагогических наук, преподаватель Орловской региональной академии государственной службы.

Выше мы перечислили лишь учеников-орловцев, которые выросли на научном поприще Юрия Михайловича Колягина.

Развиваются идеи, заложенные Учителем, в трудах его учеников. Считается, что жизнь человека удалась, если он посадил дерево, построил дом, вырастил сына. Следуя этому критерию, Юрий Михайлович воспитал двоих своих сыновей, старший Сергей Юрьевич пошел по стопам отца -преподает математический анализ в Московском педагогическом государственном университете; плодоносит сад, посаженный в Ржавце, стоит маленький домик, который стал близким десяткам учеников Ю. М. Колягина.

Поздравляя Юрия Михайловича с 80-летием, желаем ему крепкого здоровья, долгих лет жизни, творческих успехов и достойных учеников.

Учителю

Т. К. Авдеева

г. Орел

Знакомство. Так построена наша жизнь, что мы находимся в постоянном общении с близкими, окружающими, друзьями и т.д. Одни встречи мимолетны, другие имеют чисто профессиональный характер, третьи - судьбоносны. Именно к последней я отношу свою встречу с Юрием Михайловичем Колягиным, когда в 1979 году будучи ассистентом кафедры методики преподавания математики Горьковского государственного педагогического института им. М. Горького, была направлена на стажировку в НИИ школ МП РСФСР.

Юрий Михайлович в то время заместитель директора этого института, руководитель авторского по написанию учебников математики, профессор кафедры высшей алгебры, элементарной математики и методики преподавания математики Московского областного педагогического института им. Н. К. Крупской, нашел время и для меня. Сейчас сознаю, как было нелегко ему руководить далекой от науки, вчерашней учительницей.

Несмотря на высокие звания академика РАО, доктора педагогических наук, заслуженного деятеля науки РФ, Юрий Михайлович по своей натуре Учитель и, поэтому, вероятно, он больше всего гордится званием «Заслуженный учитель школы».

Время стажировки 1979 г. сейчас вспоминается как бег на марафонскую дистанцию: это и ликбез (по большому счету знания были в объеме институтского курса) от звонка до звонка в библиотеке, постижение педагогического мастерства Учителя в МОПИ им. Н. К. Крупской (благо были вечерники), консультации, которые указывали на то, что следует переделать и что еще предстоит освоить.

Увидев мою настойчивость и упорство в работе, видимо, интуитивно почувствовав, что у меня может что-то получиться, Юрий Михайлович предложил мне поступать в аспирантуру. Был май месяц и чиновники из министерства ассистенту из недалекой от Москвы провинции сказали, что поезд уже ушел...

Юрий Михайлович, несмотря на свою занятость, сам пошел в министерство и, потеряв не один день, добился целевого места в аспирантуре для Горьковского педагогического института.

Совместная работа. Трудно отыскать в методике преподавания математики вопросы, которые бы были незнакомы Юрию Михайловичу: будь то содержание математического образования (им написаны десятки

учебников математики для школы, техникума) или методика преподавания математики (до сих пор пользуются популярностью его учебники «Методика преподавания математики в средней школе», I часть - общая методика, II часть - частная методика). Глубокое осмысление в работах Ю. М. Колягина получили математические задачи и их роль в обучении; этой теме посвящена его докторская диссертация. Позднее было издано пособие «Учись решать задачи» полезное и для учителей и для учащихся, в котором на конкретных задачах, в большинстве своем нестандартных, показана методика обучения поиска их решений.

Работа над проблемой повторения учебного материала, завершилась защитой моей кандидатской диссертации «Оптимизация процесса повторения учебного материала на уроках алгебры в восьмилетней школе» (1985), где, в частности, разработаны принципы построения методической системы математических задач для повторения, исходя из целей, стоящих на различных этапах обучения математике. Таким образом, классификация задач, описанная Ю. М. Колягиным в работе «Задачи в обучении математике», получила еще одну интерпретацию.

Работая доцентом кафедры геометрии и методики преподавания математики Орловского государственного университета, профессиональные и дружеские контакты с Юрием Михайловичем не прекращались, он был неизменным рецензентом моих работ, статей и всегда учителем, который советовал что-то прочесть и не позволял стоять на месте и результатом этой работы стала защита докторской диссертации «Профессиональная подготовка и нравственное воспитание будущего учителя математики на трудах классиков математического образования» (2005).

Судьба распорядилась так, что, учась в аспирантуре, я встретила свою вторую половину - Федора Авдеева, тогда аспиранта кафедры математического анализа МОПИ им. Н. К. Крупской. С благословения Юрия Михайловича образовалась наша семья.

Две семьи: Колягины и Авдеевы. Вы не задумывались над вопросом: когда человек может полностью отдаваться работе? Вероятно, только тогда, когда у него надежный тыл - семья.

Любовь Петровна Добролюбская - вторая половина Юрия Михайловича Колягина, его любовь, надежда, опора, залог счастья и благополучия, и как он отметил в своей книге «Русская школа и математическое образование. Наша гордость и наша боль», «неизменный помощник».

Большую часть жизни Юрий Михайлович посвятил подготовке учителей математики, повышению их квалификации, а рядом с ним по жизни шел идеальный учитель математики, любимый наставник и классная мама будущих капитанов дальнего плавания, студентов речного техникума, а позднее морской академии - его жена Любовь Петровна.

Большими праздниками были для нас приезды Юрия Михайловича и Любовь Петровны в Орел, незабываемы часы общения.

Наши дети Ваня и Коля сразу признали в их лице бабушку и дедушку, по сей день у них сохранились поистине родственные отношения. При всей своей занятости Юрий Михайлович находил время для внуков: то проверял у них уроки, то решал с ними задачи на смекалку, когда появились кассеты с видео фильмами, дед был для ребят первым консультантом. Зато теперь Ваня, аспирант мехмата МГУ, консультирует деда по всем компьютерным вопросам.

Младший Коля первый вестерн и «Рассказы по истории» С. Ф. Платонова получил от деда, а любовь к приключениям и истории остались по сей день.

На фотографиях орловского периода Юрий Михайлович всегда либо в кругу своих учеников, либо вместе с внуками - детьми учеников.

Быстро летит время, наступил 2007 год, год 80-летия Юрия Михайловича Колягина на этот юбилей соберутся и коллеги, и ученики, и благодарные учителя математики, те, для кого он работал всю свою сознательную жизнь.

Дорогой Юрий Михайлович, примите наши лучшие поздравления в свой адрес с пожеланием крепкого здоровья, долгих лет жизни и больших творческих успехов на благо процветания русской школы и математического образования.

Юрию Михайловичу Колягину - 80?

Л. М. Короткова, Н. В. Савинцева

г. Москва

Как говорил один из великих театральных режиссеров, а именно Константин Сергеевич Станиславский: «Не верю!» Глядя на Юрия Михайловича, в это действительно, не то, что трудно, а просто невозможно поверить. Может быть, в паспорт закралась ошибка? Иногда и такое случается. А трудно поверить вот почему. Не секрет, что годы и время властны над нами всеми. Но есть прекрасное исключение из данного неизвестно кем установленного правила. Именно им и стал наш юбиляр.

Любовь к делу всей своей жизнь Юрий Михайлович унаследовал от своих учителей, первым из которых стал дед Иван Иванович Никитин. Ивана Никитина дипломированного выпускника физико-математического факультета Петербургского университета ждала блестящая карьера. Но он, по принципиальным соображениям отказавшись от диплома (учился не ради документа, а ради знаний) уехал в Сибирь, где на протяжении четверти века работал учителем математики. В старших классах внук стал учеником деда. Дед поблажек не делал. Благодаря ему, Юрий Михайлович поступил на заочное отделение физмата МОПИ им. Крупской и по примеру деда стал работать учителем математики в сельской школе.

Так начался его путь на ниве просвещения. Потом была аспирантура, где « к моему счастью, я оказался учеником крупнейшего отечественного методиста-математика Ивана Козьмича Андронова. Именно этому Учителю я обязан своим становлением как ученый» - часто любит вспоминать Юрий Михайлович.

«Учиться следует для приобретения знаний, а не бумажки» - дедовский девиз стал основным всей жизни Юрия Михайловича.

Учиться у него - удовольствие. Работать с ним - удовольствие. Общаться - опять удовольствие. Много вы знаете таких людей? Лично мы нет. Опять же Юрий Михайлович редкое исключение из опять-таки неизвестно кем установленного правила. Его ученики (на протяжении долгого времени Юрий Михайлович преподавал в МОПИ им. Крупской) разбросаны если не по всему миру, то по бывшему Советскому Союзу точно. Во всех бывших союзных республиках преподают в школах и вузах, пишут учебники и пособия, имеют правительственные награды. Учителя, преподаватели вузов, кандидаты педагогических наук, доктора педагогических наук, доценты, профессора... И все - его ученики, «Птенцы гнезда Колягина».

Юрий Михайлович многих собирает под свое могучее крыло. Или крылья. Собирает, окружает и самое ценное, окрыляет. Вселяет надежду и уверенность. В то, что все мы - его ученики - самые, самые, самые... Умные, талантливые... Продолжение, что называется, следует. К нужной мысли подводит настолько деликатно, что у человека создается впечатление: сам додумался. Это важно. И очень ценно. Снобизма и амбиций - ноль. Что в научном мире встречается крайне редко. Притягивает людей. Завораживает. Умом, талантом, тактом, мудростью.

Если собрать всех, кто его любит - Красной площади не хватит. Но ведь собирает. Не всех. По очереди. В своей маленькой однокомнатной квартирке. Аспиранты, докторанты, авторские коллективы, соискатели кандидатских, докторских... Кто за чем приходит. Кто за консультацией, кто за отзывом на автореферат, кто за отзывом на диссертацию... Все счастливчики. А кто приходит работать - вдвойне. Не работа, а удовольствие. Самые лучшие учебники и пособия пишутся именно здесь - в небольшой однокомнатной квартирке. «Мозговой штурм» длится пять - шесть часов -без пауз. И так изо дня в день. На протяжении многих лет. «Главное - не навреди» - девиз Юрия Михайловича. Сам его придерживается и своим ученикам рекомендует. Не навязывает, а именно рекомендует. И в жизни пригодится, а в науке - тем более.

С каждым годом учеников прибавляется. Они не слушают лекции, не сдают экзамены и зачеты, но учатся-то по учебникам Юрия Михайловича. Его личным, или написанным в соавторстве. Не только под его руководством, а именно в соавторстве. Многие из академиков или член-корров могут подобным похвастаться? Думается, нет. А академик Колягин Ю. М.

может. Только не будет он этого делать. Характер не тот. Не умеет он хвастаться. Ему присуще другое чувство. Гордости. За своих учеников, студентов, соавторов, аспирантов... Родных и близких. Друзей и просто знакомых.

А нас всех он не перестает удивлять. Изо дня в день уже на протяжении многих лет. Своей жизнерадостностью, оптимизмом, желанием все познать, изучить, суметь найти применение. В работе. Опять же, чтобы ученикам уже 21 века было проще осваивать точные науки. 21 век - век компьютеров, Интернета, электронной почты, и всего, что с этим связано. Юрий Михайлович не только освоил новейшие технологии, но и нашел им достойное применение. Сейчас под руководством Юрия Михайловича вовсю идет работа над электронным образовательным комплексом по математике для учащихся 5-6 классов. Главное назначение - создание целостной и единой системы развивающего обучения математике с активной компьютерной поддержкой во всех классах - от первого до выпускного. Важная деталь - нынешние дети родились и растут в компьютерном веке. И для того, чтобы идти в ногу с этим временем и был создан подобный комплекс.

Юрий Михайлович и здесь следует своему девизу - главное не навредить. В пособии нет заумных и нудных фраз, язык изложения материала точен, лаконичен и доступен каждому школьнику. Объем содержания обучения - оптимальный, а это значит, что каждый ребенок им заинтересуется и, безусловно, захочет его освоить. Современные дети не любят, чтобы их «грузили». Изучаемый материал в первую очередь должен вызывать интерес у учащихся - очередная заповедь нашего юбиляра. «Изюм в булочку!»

И еще один очень важный штрих к портрету ...КЮМа. Сам он утверждает, что, вряд ли бы он стал тем, кем мы его знаем, если бы не Любовь Петровна Добролюбская. Его жена, неизменная помощница во всех делах и самое важное(!) - начинаниях. На протяжении долгих лет совместной жизни он изо дня в день чувствует ее поддержку, любовь и заботу. А вместе с ним и все мы, кто имеет счастье бывать в их теплом и очень гостеприимном доме.

Так, все-таки, неужели уже восемьдесят? Пусть так и нет никакой ошибки в паспорте. Тогда не «уже», а «только еще». Потому что впереди еще очень много не сделанного, не написанного. Новые ученики ждут лекций, пособий, учебников. И самое главное - сколько еще желающих стать «птенцом гнезда Колягина»!

А мы - ученики, друзья, соратники Юрия Михайловича, кто его любит и знает, утвердились в непреложной истине: важно в жизни не только то, что мы делаем, и даже не то, что из этого получается, а то, с кем и как мы общаемся.

Нам выпало счастье общаться с Юрием Михайловичем Колягиным. И мы очень хотим, чтобы наше счастье не кончалось. Так что, Юрий Михайлович, здоровья Вам на долгие годы!

Ученицы, друзья и счастливые соавторы Ю. М. Колягина - Лидия Короткова и Наталья Савинцева.

Подарок судьбы

И. П. Костенко

г. Краснодар

Скажу сразу, - знакомство и общение с Юрием Михайловичем считаю подарком судьбы. Началось оно своеобразно. В 1998 г. я послал в журнал “Начальная школа” статью “Теоретико-множественный ”подход“ к первокласснику”, не очень надеясь на публикацию. В ней довольно жёстко критиковался псевдонаучный, антипедагогический принцип преподавания математики и задевались важные персоны.

Статья долго лежала в портфеле журнала. И вот, в один из приездов в Москву звоню в редакцию и мне сообщают, что статья вышла в №4 за 1999 г. и приглашают получить гонорар. Весьма приятно. Но ещё более приятно было увидеть рядом со своей статьёй поддержку академика Ю. М. Колягина. Он очень тактично развил основной мотив, дополнил его своим опытом и мудро адресовал призыв к молодым учителям: “Не повторяйте ошибок!”

Я попросил в редакции телефон Ю.М., позвонил ему и поблагодарил за поддержку. Сказал, что для меня особенно ценно встретить единомышленника, это сегодня так редко, ибо “нас мало”. В ответ услышал неожиданное. “Нет, нас много!” И вдруг осознал глубокую правоту его слов. Да, нас, болеющих за русское образование, много, но мы разобщены. “Не нас”, разрушающих наше образование очень мало, но эти “не мы” спаяны, как члены одной преступной шайки, обладают властью и деньгами, хорошо знают свою цель и методы её достижения, настойчиво, цинично и жестоко действуют.

Ю.М. пригласил меня домой. И вот, волнуясь, еду в Тёплый Стан. Дверь открывается, и я вижу перед собой поразительное по благородству женское лицо - Любовь Петровна, жена и друг Ю.М. Невольно вырвалось: “Какое у Вас хорошее лицо!” В глубине комнаты стоит, улыбаясь, сам Ю.М. Не помню точно, но мне сейчас кажется, что мы обнялись. Сразу возникло ощущение родства душ. Вот это, действительно, великая редкость. И ощущение это никогда далее не покидало меня.

Незабываем этот вечер. Маленькая комнатка, без просветов заполненная книгами, картинами, фотографиями, иконами. Маленький столик, с трёх сторон которого мы сидели. Простое и вместе с тем изысканное у го-

щение, в котором чувствовалась душа хозяйки. И упоительные разговоры, - о школе, образовании, истории, учителях, о современности и её тайных силах, о Родине. Я был очарован и ловил каждое слово Ю.М. История реформ, участником которых он был, оживала в лицах, фактах, осознавалась в трезвых и точных суждениях. Я впервые ощутил и понял ничем незаменимую ценность живых, личностных (не книжных!) свидетельств истории, связывающих поколения и передающих традицию. Ведь Ю.М. был учеником Ивана Козьмича Андронова, воспитанного дореволюционной русской педагогикой и культурой.

Как хорошо, что Ю.М. запечатлел эту традицию в письменном слове. Книга “Русская школа и математическое образование” должна быть настольной книгой не только каждого учителя и педагога, но и каждого истинно русского человека, осознающего своё национальное достоинство и стремящегося положить свой труд на благо Родины. Это не книга, а поэма, по сказочно прозрачному, лёгкому, ясному русскому языку. И вместе с тем, это энциклопедия русской школы - масса фактов истории и культуры, богатые персоналии, точный документированный анализ развития математического образования в контексте развития всей культуры, начиная с Кирика Новгородского (XII в.). И, главное, - это возвышенная патриотическая поэма, одухотворённая авторским сердцем, болеющим за Родину и гордящимся ею, несмотря на все её беды.

Дорогие друзья, прочтите эту книгу, и она вам всё скажет о Юрии Михайловиче.

Ю. М. Колягин и формирование российской научной школы по истории математического образования

В. П. Кузовлев, О. А. Саввина

г. Елец

Юрий Михайлович Колягин -замечательный человек, неординарная личность, истинный патриот России, непрестанно ищущий учёный и неподражаемый научный руководитель. Он автор около 300 работ, в том числе учебников, монографий и статей по широкому спектру проблем преподавания математики. Одну из граней научных увлечений Ю. М. Колягина представляет история отечественного математического образования.

Интерес к истории математического образования в русском научно-методическом мире начал проявляться еще до революции. Несомненно, он имел определенное место и в советское время, но наибольший размах получил лишь в последнее десятилетие.

Первым общепризнанным русским исследователем истории математики и математического образования в России являлся Виктор Викторо-

вич Бобынин. Его работы преимущественно отражали состояние математических знаний самого раннего периода (от Киевской Руси до начала XIX в.). Вторым представителем в этой немногочисленной славной когорте дореволюционных исследователей-математиков следует назвать Дмитрия Дмитриевича Галанина, областью научных интересов которого была история отечественных методических идей по арифметике.

После Октябрьской революции 1917 г. исследования по истории образования, в том числе математического, приостанавливаются, а в 1930-50-е годы постепенно оживляются. Сразу после Великой Отечественной войны выходят работы Б. В. Гнеденко «Очерки по истории математики в России» (1946 г.) и А. П. Юшкевича «Математика и ее преподавание в России XVII-XIX вв.» (1947-1948 гг.), в которых на фоне истории самой математики в России содержатся некоторые сведения из истории её преподавания в XVII- XVIII вв.

В 50-70-е годы исследования по истории математического образования постепенно выделяются в самостоятельное направление и приобретают более масштабный характер. Так, удачная попытка исторического анализа отечественных математико-методических идей была предпринята в 1951 г. профессором А. В. Ланковым в монографии «К истории развития передовых идей в русской методике математики». В 1960-х гг. публикуются работа Б. В. Болгарского, посвященная казанской школе математического образования, и книга Н. В. Метельского, в которой содержится подробный анализ материалов I и II Всероссийских съездов преподавателей математики 1911-1914 гг. Ряд любопытных историко-методических фактов приводится в книгах, посвященных персоналиям, и прежде всего педагогам-математикам (см. работы И. К. Андронова, В. Е. Прудникова и др.). Богатый опыт преподавания математики в средней школе советского периода освещается в публикациях И. К. Андронова, Н. Н. Никитина и в коллективной монографии «История математического образования в СССР».

На рубеже XX-XXI вв. в области истории математического образования в России начинается становление научных школ, в котором несомненное лидерство принадлежит группе единомышленников, возглавляемых академиком РАО Юрием Михайловичем Колягиным.

По признанию самого Юрия Михайловича, он «впитал» интерес к истории математического образования еще от своего научного руководителя - Ивана Козьмича Андронова. Уже в кандидатском исследовании тогда еще начинающего ученого Колягина был дан анализ истории преподавания арифметики. После защиты кандидатской диссертации траектория его исследований сместилась в область изучения теории и практики обучения школьников решению математических задач. Особенно активное участие ученый принимал в разработке учебников и учебных пособий (широкую известность получили учебники алгебры для неполной средней школы, алгебры и начал анализа для старшеклассников, одним из авторов ко-

торых являлся Ю.М. Колягин). Однако вольно или невольно, но вкус к изучению истории математического образования у нашего сегодняшнего юбиляра не только не ослабевал, но и продолжал развиваться. В вышедшей в 1970-х годах и переизданной в 1980-х «Методике преподавания математики», представляющей сегодня классику научно-методической мысли России, с легкой руки Ю.М. Колягина появились интересные исторические экскурсы.

В конце XX века, имея целью подвести определенные итоги, ученый решил написать книгу, которая, с одной стороны, была «для души», с другой - для пользы Отечества. В 1996 г. в Орле вышла такая книга под названием «Русская школа и математическое образование: наша гордость и наша боль». Она получила огромную популярность, а потому вполне закономерным стало ее переиздание в 2001 г. в издательстве «Просвещение». Выход книги вызвал широкий резонанс у педагогической и научной общественности. Учителя и ученые делились впечатлениями от прочитанного на страницах журналов «Математика в школе», «Начальная школа» (см., например, [2], [3], [5], [7]). Похвальные отзывы книга получила от Нобелевского лауреата, известного писателя А. И. Солженицына, легендарного математика, академика РАН С. М. Никольского и многих других солидных ученых. Но что показательно, она не оставила равнодушными и молодых. Вот как её оценивает начинающий московский исследователь В. Бусев:

«... Удивительно точно выбран жанр. Эта книга — именно лекции, а не учебник. Даты и факты искусно перемежаются с оценками автора, который не просто излагает материал, но и оценивает, вопрошает, восклицает — словом, душевно беседует, не навязывая, однако, своего мнения. Книга замечательна еще и тем, что в ней дается интересный взгляд на историю математического образования советского периода. Важно, что Ю. М. Колягин сам был свидетелем и участником многих событий минувшего, это нашло свое отражение на страницах книги» [7].

Присоединяясь к мнению В. Бусева, нельзя не отметить, что труд Ю.М. Колягина представляет огромную научную ценность. В нем осмыслено огромное количество реальных событий, высказано много неординарных, но в то же время объективных оценок. Причем написан он действительно мастерски. Изложение материала продумано до мелочей. Каждая лекция разбита на несколько коротких и самодостаточных тематических пунктов, что позволяет не утомлять читателя и пропускать тот материал, который для него в данный момент представляет наименьший интерес. Ю.М. Колягину удалось избежать казенщины и сухости повествования. Удивительное сочетание увлекательности и научности изложения делает привлекательной книгу как для специалистов, так и для рядовых читателей. Живо и оригинально названы пункты, многие из которых афористичны. Приведем лишь некоторые примеры: «Что нами потеряно и что найдено», «Хорошо ли рушить старые традиции», «Замыслы прогрессивные»,

«Политика - политикой, а просветители трудятся», «Идеи Ф. Клейна на русской почве», «Педагогическая лихорадка. Дорогу комплексам». Сам автор о своем труде говорит так: «За последнее время нередко слышишь или читаешь резкую критику нашей отечественной системы народного образования, критику, во многом несправедливую. Факты — упрямая вещь, а исторические факты весьма убедительно свидетельствуют о том, что наша школа (начальная, средняя и высшая) была, есть и, надеюсь, останется одной из лучших в мире. Сказанное касается и системы отечественного математического образования, эволюция которого рассматривается в этой книге на фоне развития всей системы школьного обучения в России, начиная от времен Петра I до наших дней.

Школа переживала взлеты и падения, но всегда оставалась школой, обеспечивающей высокий уровень обучения, воспитания и развития учащихся. И сегодня она переживает тяжелый период, но изложенная здесь ее история говорит о том, что в будущее русской школы следует смотреть с оптимизмом. Нам есть чем гордиться и есть о чем сожалеть, когда мы говорим об истории отечественной системы образования» [1].

Книга Ю. М. Колягина - это гимн российскому математическому образованию, в котором есть не только мажорные, но и минорные оттенки. В ней впервые историко-методические факты раскрываются не в рамках развития самой математики, а на фоне истории нашего государства. Многие факты являются новыми и неожиданными, но в то же время они вскрывают глубинные проблемы отечественного образования. Одной из таких проблем является стартовавший в эпоху Петра I раскол общества на две части с различными культурными архетипами и несхожими идеалами (примата материального над духовным и примата духовного над материальным). Лейтмотивом работы является доказательство того обстоятельства, что все отечественные достижения (в образовании, науке, культуре, экономике и пр.) напрямую связаны с преподаванием родного языка и математики. Именно усиленное внимание к этим предметам обеспечивало стабильность и успешность отечественной системы образования.

Сейчас автор делает все возможное и невозможное, чтобы вышло третье издание, дополненное и уточненное. Пожелаем ему успеха на этом поприще и с нетерпением будем ждать новое переиздание «книги, которую полезно прочитать каждому» [2].

В заключение отметим, что изучение истории математического образования вышло в конце XX - начале XXI века на новый уровень - о чем свидетельствуют защиты докторских диссертаций Т. К. Авдеевой, Т. С. Поляковой, О. А. Саввиной, О. В. Тарасовой и др. И все эти ученые, каждый по-своему, связан своей судьбой с Ю. М. Колягиным и его научным творчеством. Кто-то является его учеником непосредственно, у кого-то он выступал оппонентом, кому-то дал ценнейшие консультации. Роль

академика Ю. M. Колягина в судьбе любого исследователя истории математического образования трудно переоценить. Именно благодаря его мудрым советам, конструктивным критическим замечаниям и простой человеческой отзывчивости состоялись и наши труды (см., например, [4]).

Сегодня мы наблюдаем настоящий расцвет исследований по истории математического образования. И огромная заслуга в этом, несомненно, принадлежит нашему строгому и проницательному наставнику - Юрию Михайловичу Колягину.

Литература:

1. Колягин Ю. М. Русская школа и математическое образование: наша гордость и наша боль. - М: Просвещение, 2001. - 318 с.

2. Луканкин Г. Л. Книга, которую полезно прочитать каждому // Начальная школа.-2001. - №8.-С. 98.

3. Мартынов И. Образование, которое мы можем потерять ... // Начальная школа. - 2003. - №1. - С.105-108.

4. Методика обучения высшей математике в средней школе России: история становления. Хрестоматия: Для студ. физико-мат. фак. пед. вузов / Сост. Р.З. Гушель, В. П. Кузовлев, О. А. Саввина. - Елец: ЕГУ им. И. А. Бунина, 2002. - 144с.

5. Осколкова Т. И. Учитель все равно работает по-своему // Математика в школе. 2002. - №6. - С. 61-63.

6. Тарасова О. В. Становление и развитие геометрического образования в дореволюционной средней школе России. Автореф. дис. ...д-ра пед. наук. - Елец, 2006. -43с.

7. Математическое образование: прошлое и настоящее. Сайт В. Бусева. http://www.mathedu.ru

К восьмидесятилетию академика Российской академии образования Юрия Михайловича Колягина

С. М. Никольский, Т. К. Авдеева, В. М. Монахов, Н. Х. Розов, А. А. Русаков, Г. Н. Яковлев

г. Москва, г. Орёл

25 апреля 2007 года отмечает свой восьмидесятилетний юбилей доктор педагогических наук, академик Российской академии образования, заслуженный деятель науки Российской Федерации, заслуженный учитель школы Российской Федерации Колягин Юрий Михайлович.

Как титульный редактор учебников математики для начальной школы, автор действующих в России учебников алгебры и алгебры и начал анализа для средней школы, автор учебников математики для техникумов, автор методики преподавания математики - учебного пособия для пединститутов в 2-х томах, автор научно-популярных книг по математике, методических пособий по математике для учителей и др., Юрий Михайлович

известен не только в России, но и за рубежом. Работы Ю.М. Колягина переведены на английский, испанский, японский, болгарский, польский, афганский языки и языки народов ближнего зарубежья. Яркий, жизнерадостный, необычайно плодотворный, профессиональный математик-методист, так много сделавший для совершенствования образовательного пространства нашей страны, Юрий Михайлович Колягин начинал свою педагогическую деятельность учителем математики в сельской школе.

Родился Юрий Михайлович в г. Красноярске. Его родители (отец -бухгалтер, мать - учитель музыки) разошлись, когда мальчику было 10 лет, он сначала жил с мамой, затем уехал к отцу, но так и не ужился с новыми семьями родителей. По его собственному признанию, родителей ему заменяла бабушка - Вера Владимировна Никитина, окончившая в свое время царскую гимназию с серебряной медалью, знающая прекрасно французский язык и многому научившая внука. В 16 лет он уехал к тетке в г. Бийск, где жил практически один и учился в вечерней школе, зарабатывая себе на хлеб грузчиком в порту. В вечерней школе учителем математики был его дед, который очень строго с него спрашивал, даже на выпускном экзамене настаивал поставить ему тройку, игнорируя мнение других учителей, членов экзаменационной комиссии, считавших, что он достаточно хорошо отвечал.

Затем был год учебы в Новосибирском институте военных инженеров транспорта, но военная дисциплина была слишком строгой для него. Вернулся в Бийск, а вскоре уехал опять к отцу, который в то время жил в Риге. Там он работал художником по росписи ткани в художественном производственном комбинате и одновременно заочно учился в Рижской сельскохозяйственной академии на факультете механизации сельского хозяйства. Был активным комсомольским работником. Женился. Но вскоре заболел и по рекомендации врачей уехал из Риги, для лечения необходимо было сменить климат.

Некоторое время Ю. М. Колягин с женой прожили в колхозе в Раменском районе Подмосковья, где его жена, окончившая Рижскую сельскохозяйственную академию, работала агрономом, а сам Юрий Михайлович заведовал избой-читальней. Из деревни в 1951 году, когда родился сын, он вместе с семьей переехал в Москву.

В 1953 году по совету бабушки и деда поступил в МОПИ им. Н. К. Крупской. Но, чтобы учиться там заочно, требовалось преподавать в школе. И с 1953 года Юрий Михайлович начал учительствовать в сельской школе (Бутовская средняя школа рабочей молодежи) преподавая математику.

В это время значительное влияние на развитие педагогического мастерства Ю. М. Колягина оказал его дед Иван Иванович. Частые беседы с ним, ироничные вопросы деда заставляли над многим задумываться мо-

лодого учителя, искать новые подходы к преподаванию математики, совершенствовать математические знания.

Потом были первые публикации в журнале «Математика в школе», выпускные экзамены в вузе - на «отлично», аспирантура. После окончания аспирантуры Юрий Михайлович остался работать на кафедре элементарной математики и высшей алгебры МОПИ им. Н. К. Крупской.

Еще один человек сыграл значительную роль в профессиональном становлении методиста Ю. М. Колягина. Это его научный руководитель Иван Кузьмич Андронов, благодарность к которому и теплые воспоминания о нем были духовной составляющей жизни Юрия Михайловича (работа на кафедре, которой заведовал И. К. Андронов, методический семинар по методике обучения математике в школе и в вузе, который Иван Кузьмич иногда проводил у себя на дому, выполненное под его руководством диссертационное исследование, завершенное успешной защитой).

В 1963 году Ю. М. Колягин защитил кандидатскую диссертацию по теме «К вопросу о реформе преподавания математики и новой постановки преподавания арифметики в советской школе». В 1971 году - заведующий сектором обучения математике, далее заместитель директора по научной работе НИИ школ МО РФ. В 1977 году - защитил докторскую диссертацию по методике преподавания математики «Роль и место задач в обучении математике». Один из авторов данной статьи, выступивший официальным оппонентом по докторской диссертации Ю.М. Колягина, вспоминает как мужественно, аргументировано, с огромным достоинством и в то же время интеллигентно Юрий Михайлович отстаивал на Ученом Совете НИИ содержания и методов обучения АПН СССР свою методическую концепцию. В то время это было событие союзного значения.

В 1982 году Ю.М. Колягину присвоено ученое звание профессора. В 1985 году Юрий Михайлович - член-корреспондент Академии педагогических наук, в 1993 - академик Российской Академии образования.

В течение ряда лет Юрий Михайлович Колягин работал экспертом в Совете ВАК, входил в редакционный совет журнала «Начальная школа», редколлегию журнала «Математика в школе», активно работал в школьном отделе по математике Научно-методического совета по математике Министерства образования и науки РФ.

Педагогическая деятельность академика Российской Академии образования Ю.М. Колягина отмечена высокими наградами: заслуженный учитель РФ (1987 г.), заслуженный деятель науки РФ (2002 г.), медаль К. Д. Ушинского, отличник народного просвещения РСФСР, отличник народного просвещения СССР, медаль «В память 850-летия г. Москвы».

Юрий Михайлович Колягин - выдающийся педагог, незаурядная личность. В том, насколько плодотворен, сделанный им в российскую систему образования, вклад убедительно свидетельствует школьная практика. Так учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений «Алгеб-

ра и начала анализа», написанный авторским коллективом: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Сидоров Юрий Викторович, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, получивший широкую апробацию и распространение, выдержал уже 14 изданий. При непосредственном участии Ю. М. Колягина и под его руководством коллективом авторов разработан учебно-методический комплект по математике, получивший высокую оценку научных и практических работников образования, учащихся и их родителей. Комплект включает в себя программу по математике для 5-9 классов, учебники по математике для 5-6 классов, рабочие тетради по математике для учащихся 5-6 классов, методические рекомендации для учителей, учебники по алгебре для 7-9 классов, программы довузовской подготовки по математике для 10-11 классов, спецкурсы для профильных классов.

Блестящий педагог, Ю.М. Колягин, глубоко исследовал развитие школьного математического образования от истоков до наших дней, находя и высвечивая в своих работах стержневые моменты ее истории на фоне эволюции всей отечественной образовательной системы. Недаром одну из своих книг он назвал: «Русская школа и математическое образование: Наша гордость и боль». «Школа переживала взлеты и падения, - делится с нами наболевшим Юрий Михайлович, - но всегда оставалась школой, обеспечивающей высокий уровень обучения, воспитания и развития учащихся. И сейчас она переживает тяжелый период, но изложенная в этой книге ее история говорит о том, что в будущее русской школы следует смотреть с оптимизмом. Нам есть чем гордиться и есть о чем сожалеть, когда мы говорим об истории отечественной системы образования».

Яркий педагогический талант Юрия Михайловича, его ораторское мастерство и широчайшая эрудиция, его личные качества - трудолюбие, отзывчивость, простота в общении, внимание к людям, постоянная готовность помочь, самоотверженность в любимом деле - собирают на его лекциях широкую аудиторию не только его многочисленных аспирантов и докторантов, но и учителей-практиков, руководителей образовательных учреждений со всей России, а также школьников.

От всей души поздравляя с юбилеем, искренне желаем Вам, Юрий Михайлович, крепкого здоровья, счастья, радости в кругу близких и друзей, творческих сил на долгие годы в продуктивных трудах на благо отечественного образования.

Методическая школа Ю. М. Колягина

Е. Н. Перевощикова

г. Нижний Новгород

В 1976 году я поступила в аспирантуру МОПИ им. Н. К. Крупской (ныне МОПУ) и моим научным руководителем стал Ю. М. Колягин. Эта была самая прекрасная пора в моей жизни: молодость, новый круг общения и друзей-аспирантов, жизнь в общежитии, работа в библиотеке с утра до позднего вечера, трепетное ожидание встречи с научным руководителем...

Юрий Михайлович в те годы работал заместителем директора НИИ школ и руководил лабораторией в этом институте. Он был очень занятой человек, но при этом всегда находил время для общения с аспирантами, оставаясь доброжелательным, тактичным и внимательным. Ожидая встречи с ним, я испытывала тайный страх показаться перед этим умным и красивым мужчиной глупой, недостойной такого научного руководителя. И каждый раз забывала свои страхи и переживания, встречаясь с доброжелательной улыбкой Юрия Михайловича. Он спокойно выслушивал все мои изыскания по теме исследования и начинал рассуждать вслух, забывая усталость. Увлекаясь новой проблемой, Юрий Михайлович демонстрировал мне, как может идти ход познания, в каком направлении следует вести поиск. Эти размышления ученого позволяли взглянуть на изучаемую проблему с иной точки зрения, понять ее глубину и неисчерпаемость. Красота и изящность рассуждений, кажущаяся простота найденных решений поражали мое воображение. Вот ради этих встреч и минут общения с большим ученым и прекрасным учителем и стоило учиться в аспирантуре.

Мы с подругой В. П. Ремянниковой (аспиранткой В. А. Оганесова) были счастливы, когда нам «доверяли» вносить исправления в текст рукописи учебного пособия «Методика преподавания математики. Частные методики», и книги «Учись решать задачи», успевая по ночам их читать и конспектировать ценные мысли. Мы тогда не догадывались, что эти книги станут для нас и для многих поколений учителей математики настольными книгами.

Существенное влияние на мое становление в научном плане оказал фундаментальный труд Ю. М. Колягина «Задачи в обучении математике». Идея Юрия Михайловича о строении различных задач по математике, об основных элементах задачи, их комбинациях и взаимосвязях при конструировании задач оказалась настолько близкой моему типу мышления, что она стала «путеводной звездой» в моих дальнейших исследованиях. В кандидатской диссертации эта идея стала ведущей при построении циклов задач, обеспечивающих реализацию в обучении внутрипредметных связей в курсе алгебры, а также связей между алгеброй и геометрией. Работа над докторской диссертацией по теме «Теоретико-методические основы под-

готовки будущего учителя математики к диагностической деятельности» показала, что замена основных компонентов задачи (А, В, С, Р) неизвестными позволяет использовать, выделенные Юрием Михайловичем закономерности, и при конструировании диагностических заданий и даже учить этому студентов - будущих учителей. Я благодарна Юрию Михайловичу за то, что он всегда верил в меня, помогал во всем, за неоценимую помощь в подготовке и защите докторской диссертации.

Благодаря Юрию Михайловичу за годы обучения в аспирантуре мне удалось съездить в Киев, познакомиться с Ф. И. Тесленко, выступить на семинаре перед украинскими коллегами по теме диссертации. И лишь спустя годы, я поняла, что забота и внимание ко мне - аспирантке, - это доброе и уважительное отношение к моему научному руководителю Ю. М. Колягину.

Я горжусь тем, что была одной из первых аспирантов, защитивших кандидатскую диссертацию под руководством Ю. М. Колягина. Но мне кажется, что во время учебы в аспирантуре я не смогла выразить словами свое безграниное восхищение мудростью своего научного руководителя, глубиной и многогранностью его таланта. Не даром говорят, - «большое видится на расстоянии». Только став сама научным руководителем поняла всю тяжесть и ответственность этого труда. Но смею надеяться, что в своей профессиональной деятельности смогла реализовать многие теоретические и методические положения своего научного наставника и учителя.

С именем Юрия Михайловича связан новый период в реформировании школьного математического образования - переход от теоретико-множественной концепции построения школьных учебников к теоретико-числовой в построении курса алгебры. Этот методический подход нашел воплощение в учебниках по алгебре для 7-9 классов, написанных Юрием Михайловичем в соавторстве с Ш. А. Алимовым, Ю. В. Сидоровым, М. И. Шабуниным. Апробацию, тогда еще пробных учебников, осуществлял Городецкий район Нижегородской области. Наша кафедра методики обучения математике Нижегородского государственного педагогического университета активно участвовала в работе с учителями математики по внедрению этих учебников. Сейчас можно сказать, что более 20 лет учебники алгебры для 7-11 классов Ю. М. Колягина наиболее востребованы в Нижегородской области и по ним работает большинство школ города Нижнего Новгорода и области.

Педагогическое мастерство, с которым Юрий Михайлович читал лекции по методике преподавания математики, проводил семинары для учителей и преподавателей педагогических вузов, высокая общая и педагогическая культура, глубокие исследования, проводимые Ю. М. Колягиным в области истории методической мысли, всегда покоряли его слушателей, оказывали влияние на формирование профессиональных качеств коллег и учителей.

Педагогический талант и широкая эрудиция, трудолюбие и доброжелательность характеризуют Ю. М. Колягина как личность. Его значительный вклад в развитие и становление теории и методики обучения математике свидетельствует о том, что он талантливый ученый. Бесспорны его организаторские способности. Он способен увлечь коллег своей творческой и неиссякаемой энергией. Юрий Михайлович стоял у истоков многотрудного дела - издания и совершенствования школьных учебников и методических пособий для учителей-практиков. Уже много лет он возглавляет коллектив авторов школьных учебников по алгебре. Многие специалисты в педагогических вузах России учились у него в аспирантуре и защищали докторские диссертации, считают себя его учениками и последователями. Все сказанное выше, скорее всего, не исчерпывает всех человеческих и профессиональных качеств нашего любимого юбиляра, но позволяют утверждать, о том, что в России существует Методическая школа Юрия Михайловича Колягина.

Желаю Юрию Михайловичу крепкого здоровья, тепла и любви, творческих успехов во всех его начинаниях.

Весомый вклад в подготовку научных кадров по теории и методике обучения математике

В. Д. Селютин

г. Орёл

В 1995году, благодаря активному содействию Юрия Михайловича Колягина, при Орловском государственном университете был создан диссертационный совет по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата педагогических наук по специальности 13.00.02 - теория и методика обучения и воспитания (математика в системе начального, среднего и высшего образования). В течение почти 12 лет Юрий Михайлович является заместителем председателя совета, в котором защищено 56 кандидатских диссертаций исследователями из разных регионов России. Среди защитившихся диссертантов — преподаватели и аспиранты Орловских вузов и учителя школ Орловской области, преподаватели и учителя из Пензы, Комсомольска-на Амуре, Пскова, Брянска, Калуги, Самары, Чебоксар, Архангельской области, Воронежской области, Нижегородской области, Краснодарского края, Адыгеи, Дагестана, Мордовии, Карачаево-Черкессии. Один из соискателей ученой степени кандидата педагогических наук по методике математики в Орле — гражданин Турции.

Рассмотренные в совете диссертационные работы затрагивают широкий спектр современных проблем теории и методики обучения математике и вносят существенный вклад в развитие педагогической науки.

Автором самой первой диссертации, защищенной в нашем диссертационном совете в январе 1996 года, была Аблова В. С. (г. Орел). Её работа посвящена созданию научно-обоснованного варианта методики обучения начальному курсу математики, ориентированной на формирование логико-алгоритмической культуры младших школьников.

Затем защищался Садовников Н. В. (г.Пенза, 1996 г.), который в своем диссертационном исследовании выделил пути совершенствования профессиональной подготовки учителя математики в педвузе через решение задач.

Тарасова О. В. (г. Орел, 1997 г.) посвятила кандидатскую диссертацию приведению в должное соответствие содержания, форм и методов профессиональной подготовки будущего учителя с содержанием, формами и методами начального обучения в современной массовой школе. Ею теоретически обоснована, разработана и экспериментально проверена система вузовских курсов по математической подготовке учителя начальных классов, предложены методические рекомендации по их изучению. В кандидатской диссертации Самсоновой С. А. (г. Коряжма, 1997 г.) дано научно-методическое обоснование путей повышения эффективности профессиональной подготовки учителей математики в педвузе на основе использования стохастики. Ею выделена система профессиональных умений, которые необходимо формировать при обучении студентов педвуза стохастике, выявлены теоретически и проверены экспериментально условия и возможности повышения фундаментальной подготовки, вероятностно-статистической культуры будущих учителей математики, развития их познавательной самостоятельности. Михеевой А. А. (г. Орел, 1997 г.) предложена методическая система функциональной пропедевтики, которая устраняет затруднения учащихся 1-3 классов при выполнении заданий функционального содержания и формирует умения выделять в математических объектах признаки сходства и различия, наблюдать за происходящими изменениями, устанавливать причинно-следственные связи и делать обобщения.

В диссертации Шумилиной Н. Г. (г. Орел, 1997 г.) определены теоретические основы, разработаны концептуальные положения и построена методическая система изучения аксиоматического материала в 7-9 классах. Исследование Бровичевой А. В. (г. Орел, 1997 г.) посвящено проблеме повышения качества профессиональной подготовки студентов - будущих учителей начальной школы в процессе изучения вузовских курсов математики и методики обучения математике, выясняются психолого-педагогические условия адаптации к изучению математики в педвузе. Шамановой Л. И. (г. Карачаевск, 1997 г.) разработаны теоретические основы взаимосвязи школьной математики и спецдисциплин в педвузе. Диссертация Алексеевой С. В. (г. Арзамас, 1998 г.) посвящена проблеме организации углубленного изучения курса геометрии 8-9 классов на основе внутри-

классной дифференциации. В диссертационной работе Овсянниковой Т. Л. (г. Орел, 1998 г.) рассматривается проблема формирования систематичности знаний студентов при изучении аналитической геометрии на основе уровневой дифференциации. Исследование Локтионовой Э. А. (г. Орел, 1998 г.) посвящено проблеме прикладной направленности преподавания математике при подготовке специалистов экономического профиля.

Дивногорцевой С. Ю. (г. Арзамас, 1998 г.) рассмотрена проблема развития геометрического видения учащихся 1-6 классов при обучении математике. Диссертация Гусевой Н. В.(г. Арзамас, 1999 г.) посвящена проблеме поиска эффективных путей раскрытия эстетического потенциала математики при обучении в 5-6 классах средней школы. Научная работа Кожухова С. К. (г. Орел, 1999 г.) направлена на выявление возможностей тестирования в процессе обучения математике в классах с углубленным изучением данного предмета. Диссертация Гайдамакиной И. В. (г. Комсомольск-на Амуре, 2000 г.) посвящена проблеме формирования и использования приёмов учебной деятельности школьников в процессе обучения математике. В диссертации Коротченковой А. А. (г. Орел, 2000 г.) разрешена задача укрепления межпредметных связей математики и информатики при подготовке специалистов экономического профиля. Зубова И. И. (г. Орел, 2000 г.) исследовала проблему реализации прикладной направленности обучения математике через систему задач физического содержания.

Исследование учителя Никольского Е. В. (г. Арзамас, 2000 г.) посвящено проблеме визуализации функциональных зависимостей компьютерными средствами при обучении математике через систему способов и приемов учебной деятельности учащихся. В диссертации Аксёнова А. А. (г. Орел, 2000 г.) исследованы возможности реализации внутрипредметных связей посредством решения задач в процессе обучения математике в классах с углублённым изучением данного предмета. Дьяченко С. А. (г. Орел, 2000 г.) выявила дидактические возможности интегрированной символьной системы Mathematica в процессе обучения высшей математике и на этой базе построила методическую модель обучения. Байдак В. Ю. (г. Орел, 2000 г.) исследовала адаптацию выпускников средних учебных заведений, ставших первокурсниками, к изучению математики в вузе. Исследование Барановой (Зубковой) Л. Н. (г. Орел, 2000 г.) посвящено проблеме поиска эффективных путей повышения качества геометрической подготовки школьников, ее теоретического и практического уровня на основе широкого использования конструктивных задач.

Митяевым В. В. (г. Орел, 2001 г.) разработаны научно-методические основы использования компьютерных обучающих программ в ходе проведения занятий по курсу алгебры в классических университетах и педагогических вузах. В диссертации Чернобровкиной И. И. (г. Орел, 2001 г.) осуществлен целостный, системный научно-методический анализ

содержания, методов и организации обучения математике в американской средней школе на протяжении XX века; выявлены традиции и основные особенности развития среднего математического образования в массовой школе США, установлены дидактические возможности применения положительного американского опыта в отечественной школе. Диссертационное исследование Есиповой Н. Д. (г. Орел, 2001 г.) посвящено проблеме создания условий, способствующих развитию логического мышления младших школьников. Шепель Л. А. (Адыгея, 2001 г.) осуществила поиск эффективных средств формирования и развития продуктивного мышления учащихся при обучении геометрии в начальной школе. В диссертации Саватеевой Е. С. (г. Орел, 2002 г.) разработана модель построения курса высшей математики при подготовке учителей начальных классов в условиях информатизации образования. Учитель Тихонова Л. В. (г. Чебоксары, 2002 г.) исследовала направления развития функционально-графического мышления учащихся в процессе изучения алгебры.

Диссертация учителя Саволиковой С. В. (г. Москва, 2002 г.) вносит вклад в разработку идеи пропорциональности величин в школьном курсе математики. В ней обоснована методика опережающего, пропедевтического изучения пропорциональных величин. Диссертационная работа Чирковой О. И. (Коряжма, 2002 г.) посвящена проблеме поиска эффективных путей реализации идеи опережающего ознакомления при обучении доказательствам теорем. В диссертации Шкильменской Н. А. (Коряжма, 2002 г.) дано теоретическое обоснование различным вариантам углубленного изучения алгебры в 8-9 классах средней школы на основе внутренней дифференциации и проведена их сравнительная эффективность.

В научной работе Горшковой А.В. (г. Брянск, 2003г.) реализация требований дифференцированного подхода осуществлена на основе анализа базовых профилей изучения геометрии (гуманитарного, углубленного, инженерного) и развитие их специфики в рамках поисковой дифференциации с учащимися среднего звена. Османова И. М. (Дагестан, 2003 г.) разработала модель формирования коммуникативных умений и навыков будущих учителей математики на базе курса методики преподавания математики. В диссертации Гавазы Т. А. (г. Псков, 2003 г.) разработана модель построения профессионально-направленного курса математики для гуманитарных факультетов педвуза, спроектирован учебно-методический комплекс обучения математике будущих учителей гуманитарных специальностей. В диссертационном исследовании Егулемовой Н. Н. (г. Коряжма, 2003 г.) впервые целостно охарактеризованы возможности видоизменений учащимися геометрических задач в процессе их решения как эффективного средства развития познавательного интереса к геометрии.

На основе деятельностного подхода в диссертационном исследовании Антоновской В. В. (г. Котлас, 2004 г.) установлено, что реализация принципов профессионально-педагогической направленности обучения

математическим дисциплинам в педвузе является эффективным средством развития профессиональных мотивов студентов, что способствует повышению качества профессиональной подготовки учителей математики. Паниной Н. В. (г. Орел, 2004 г.) впервые доказана возможность воздействия на процесс формирования экономического мышления студентов посредством прикладной направленности обучения теории вероятностей и определены пути ее реализации. В диссертации Кириченко О. Е. (г. Орел, 2004 г.) обоснована возможность использования межпредметных связей курса математики и смежных дисциплин в качестве средства профессиональной подготовки студентов технического вуза связи.

В диссертационном исследовании Лихачевой Л. В. (г. Арзамас, 2004 г.) теоретически обоснованы аспекты, способы и средства использования коллективной учебно-исследовательской деятельности студентов при обучении математике в средних специальных учебных заведениях. Диссертация Елизаровой Н. А. (г. Москва, 2004 г.) посвящена обучению функциональным понятиям, обращённых к личному опыту учеников гуманитарных классов профильной школы, позволяющих задействовать логический и образный компоненты мышления школьников. Васильевой М. В. (г. Москва, 2004 г.) предприняты попытки выявления эффективности применения методического обеспечения при обучении началам математического анализа в профильных классах, основанного на их общеобразовательной значимости и специальной значимости в условиях уровневой дифференциации. В диссертационной работе Мурашко С. А. (г. Славянск-на-Кубани, 2004 г.) предложена модель самостоятельной работы при подготовке будущих учителей математики на примере обучения стохастике, функционирующая на основе технологии рейтинг-контроля. В диссертации Ашкын Суата (Турция, 2004 г.) исследованы новые информационные технологии в обучении математике на факультативе в старших классах средней школы.

Исследование Крюковой В. Л. (Мордовия, 2005 г.) посвящено совершенствованию школьного математического образования посредством развития идеи интеграции алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств в классах с углубленным ее изучением. В диссертации Александровой Е. В. (г. Орел, 2005 г.) впервые разработаны теоретические основы профессиональной направленности изучения раздела «Теория вероятностей и элементы математической статистики» в сельскохозяйственном вузе с позиции компонентного строения процесса обучения и педагогических образовательных технологий, включающих компьютерные технологии. Кузнецовым А. В. (г. Арзамас, 2005 г.) предпринят поиск путей и средств обучения школьников методам исследований математических зависимостей с использованием компьютера, реализующих богатые вычислительные, графические и визуализационные возможности ЭВМ. Окуневой Е. О. (г. Борисоглебск, 2005 г.) разработана инновацион-

ная модель организации учебного процесса при изучении геометрического материала в 4-6-х классах средней общеобразовательной школы.

Диссертация Кваша О. В. (г. Брянск, 2006 г.) посвящена исследованию проблемы организации учебной диагностики с позиций личностно ориентированного обучения, выраженных в обеспечении включения учащегося в процесс диагностики в качестве субъекта обучения и собственного развития. Проблема использования методических задач в предметной подготовке студентов физико-математических факультетов педвузов исследована Ковтуновой Т. И. (г. Калуга, 2006 г.). Корогодиной И. В. (г. Орел, 2006 г.) впервые теоретически обоснована и экспериментально подтверждена возможность и целесообразность интеграции в преподавании математики с физикой на фузионистской основе, выявлены дидактические функции стохастики в процессе взаимосвязанного обучения, определено и введено в научный оборот новое научное понятие - стохастическое содержательно-методологическое ядро. Мацур Ф. К. (г. Чебоксары, 2006 г.) обоснованы научные основы методики повышения математической подготовки специалистов химического профиля, построена методическая модель обучения высшей математике на химическом факультете.

В диссертации Новикова В. С. (г. Орел, 2006 г.) выявлены дидактические возможности использования компьютерных сетевых технологий как средства управления внеаудиторной самостоятельной работой студентов. Работа Вахрушевой Н. В. (г. Коряжма, 2006 г.) посвящена исследованию проблемы профессиональной направленности обучения математике студентов экономических специальностей вузов с позиции деятельностного подхода к обучению, выраженного в использовании цепочек взаимосвязанных профессионально ориентированных задач в учебном процессе. В исследовании Наземновой Н. В. (г. Пенза, 2006 г.) разработана методическая система обучения старшеклассников аналитическим методам распознавания геометрических образов, предложены методические рекомендации по изучению аналитических методов в школьном курсе геометрии. Ромащенко Т. Ю. (г. Орел, 2006 г.) исследовала проблему формирования информационно-статистической культуры у студентов социогуманитарных факультетов вузов в процессе обучения математике. В диссертации Бунтовой Е. В. (г. Самара, 2006 г.) предложены научно-обоснованные направления осуществления самостоятельной работы при изучении теории вероятностей студентами сельскохозяйственных вузов, изложены методические требования к самостоятельной работе студентов и методика их реализации.

Присуждение ученых степеней придало новый импульс исследовательской деятельности диссертантов. Они активно продолжают творческие изыскания, стали авторами статей в ведущих научных журналах. Самсонова С. А. и Тарасова О. В. успешно завершили и защитили докторские диссертации. Высшая аттестационная комиссия на основании решения дис-

сертационного совета при Орловском государственном университете о присуждении ученой степени кандидата наук выдала гражданину Турции Ашкыну Суату диплом доктора философии международного образца.

Все диссертанты глубоко осознают ту высокую роль, которую сыграл академик РАО, заслуженный деятель науки РФ, заслуженный учитель РФ, доктор педагогических наук, профессор Юрий Михайлович Колягин в становлении диссертационного совета, в активизации педагогических научных исследований на Орловщине. Они искренне выражают ему огромную благодарность и почтение.

Преемственность в преподавании школьной геометрии

И. М. Смирнова

г. Москва

В 2001 году в издательстве «Просвещение» вышла книга Ю.М. Колягина ««Русская школа и математическое образование: Наша гордость и наша боль», которая стала значительным событием для всего образовательного сообщества и оказала большое влияние на многих и многих исследователей в области методики преподавания математики в средней и высшей школах, в том числе и на вашу покорную слугу. В этом произведении очень красиво рассказывается о многих поколениях наших соотечественников, которые создавали славу российскому образованию. Обращение к прошлому опыту особенно актуально в настоящее время, в период больших преобразований. Автор убедительно говорит о том, что для того чтобы успешно проводить современные реформы образования, не должно забывать о наследии наших великих предшественников. Российской методической науке есть, чем гордиться, ею накоплен уникальный опыт решения самых разнообразных проблем преподавания. Успех проводимой в настоящее время модернизации школьного образования невозможен без преемственности, которая должна стать одним из основополагающих принципов всех преобразований.

Привлеку ваше внимание только к одной стороне этой многогранной проблемы, а именно, к преемственности в области преподавания курса геометрии, который, по праву, считался и считается наиболее трудным разделом школьной математики, и представить один из первых российских учебников и один из первых российских задачников по элементарной геометрии.

Историки математики считают, что школьный российский учебник по геометрии начался с книги С. Е. Гурьева «Опыт об усовершенствовании элементов геометрии». В этом большом труде, опубликованном в 1798 году, автор изложил свой собственный план построения школьного курса геометрии. Это был принципиально новый учебник по геометрии, в нем

автор: 1) отошел от «Начал» Евклида (по ним работала школа в тот исторический период), которые считал несовершенными с педагогической точки зрения; 2) определил основную цель преподавания геометрии - воспитание общей культуры мышления; 3) отобрал содержание учебного материала; 4) распределил его по темам; 5) ввел порядок изложения, провел систематизацию понятий, теорем; 5) предложил метод изложения - метод методической целесообразности.

Главными своими задачами автор ставил распределение учебного материала «по предметам» (в частности, четкое выделение геометрического материала) и изменение порядка его изложения. Из двух способов распределения геометрических вопросов, а именно: а) строго логического, подчиняющегося только дедуктивному построению курса геометрии; б) логически обоснованная систематизация понятий и теорем, которая осуществляется на основе методической целесообразности, - Гурьев выбрал второй и в соответствии с этим предложил свой курс геометрии. При этом он утверждал, что строгость и точность не затрудняют и не обременяют ум, в математике нецелесообразно ставить вопрос о предпочтении точности и удобства. «Совсем напротив, чем вывод строже, тем он ко разумению удобен, ибо строгость состоит в приведении всей целости к началам наипростейшим».

Сказанное С. Е. Гурьев осуществил в своем курсе, разбив его на четыре книги: 1. О сопряжении прямых с прямыми. (Заметим, что сопряжение, говоря современным языком, это пересечение.) 2. О сопряжении круга с прямыми. 3. О сопряжении плоскостей с прямыми и плоскостей с плоскостями. 4. О сопряжении трех простейших поверхностей - цилиндра, конуса и шара, - с прямыми и плоскостями.

Эта работа произвела на современников большое впечатление из-за оригинальности содержания, где рассматривались не только чисто геометрические вопросы, но и философия математики. В своих работах, посвященных педагогическим взглядам, С. Е. Гурьев (Рассуждения о математике и ее отраслях - СПб.; 1809), а вслед за ним и Н. И. Лобачевский (О важнейших предметах воспитания. - Казань; 1828) ярко говорили о том, что математику, в частности геометрию, нужно изучать не для того чтобы использовать ее в быту, а для того чтобы формировать определенный стиль, определенную культуру мышления, без которых человек не сможет быть полезен обществу, своей Отчизне.

Идеи, заложенные в этой первой книге С. Е. Гурьева по геометрии, нашли воплощение в следующей его работе «Основания геометрии», написанной в 1804 году. Очень содержательно предисловие к этому произведению, в котором автор излагает свои уже сформировавшиеся методические взгляды. Например, интересно следующее его высказывание по поводу преподавания геометрии: «Система элементарной геометрии может быть двоякой: или соображенной с началами, или соображенной с предме-

тами. Откуда рождается вопрос, какая из сих систем есть полезнейшая и превосходнейшая? Для решения оного надлежит быть может самих людей разделить на два рода: на способных изобретать новые истины и не более способных токмо понимать уже изобретенные. Первым полезна система, соображенная с началами, а другая - соображенная с предметами». Другими словами, здесь Гурьев говорит о системе преподавания, отвечающей индивидуальным склонностям и запросам самих учеников.

К сожалению, он не смог в полной мере осуществить все начатое и задуманное, прожив короткую жизнь (1764-1813). Однако поднятые им вопросы нашли яркое продолжение в работах его учеников. Например, непосредственный его ученик А. Н. Ильинский, преподаватель Петербургского горного корпуса, опубликовал в 1825 году «Основания геометрии, составленные по системе императорской Санкт-петербургской Академией наук академика С. Е. Гурьева». В предисловии автор подчеркивает взгляды Гурьева на четкое и ясное построение курса элементарной геометрии, на то, что ученики должны получить впечатление, что геометрия это не случайный набор каких-то фактов и теорем, которые нужно заучить, а это стройная система, где теоремы объединены в определенные группы, имеющие свои названия. «Кто же не пленится сими качествами, - говорит Ильинский, - кто не отнесет их к совершенству учебной книги; кто не согласится, что при разборе истин, разбросанных без порядка, учащийся должен почти в одно и то же время заниматься многими и разнообразными предметами, которые, поступая один за другим в память его, или тут же изглаживаются, или смешиваются один с другим так, что сосредоточить понятие о них весьма трудно».

Таким образом, этот первый этап становления и развития российского учебника по элементарной геометрии характеризуется тем, что была: а) признана нецелесообразность использования «Начал» Евклида в качестве школьного учебника по геометрии; б) обоснована необходимость строго дедуктивного метода ее изложения; в) определена структура и последовательность предлагаемого учебного геометрического материала; г) предложен круг вопросов по методике преподавания геометрии, в частности, сделан серьезный вывод о том, что учебник геометрии не может быть простым сборником научных статей по геометрии, изложение должно быть доступным для понимания учеников и соответствовать их индивидуальным и возрастным особенностям, уровню развития и целям преподавания.

Наряду с учебниками по геометрии, стали издаваться и специальные сборники задач, считалось, что в геометрии теория и задачи две важные равновеликие части предмета, которым нужно уделять одинаковое внимание.

Одним из первых значительных отечественных задачников по элементарной геометрии стала книга «Собрание геометрических теорем и задач» (первое издание вышло в 1869 году) Е. М. Пржевальского (брата зна-

менитого путешественника H. M. Пржевальского). В рассматриваемом сборнике представлена самая известная теперь классификация геометрических задач, в которую вошли задачи на: доказательство, построение и вычисление. Причем автор специально подчеркнул, что в геометрии большее значение имеют задачи на доказательство и на построение, именно этому призвана служить школьная геометрия.

Учебный материал сборника разделен на восемь разделов, первые пять посвящены планиметрии, три последние - стереометрии. Приведем их названия. Теоремы и задачи на: 1) прямую, углы, треугольники, перпендикуляры и наклонные, параллельные прямые и многоугольники; 2) дуги, хорды, касательные и секущие; касание и пересечение окружностей; вписанные и описанные многоугольники; 3) пропорциональность прямых, подобие треугольников и многоугольников и пропорциональность линий в круге; 4) правильные многоугольники и окружность круга; 5) площади прямолинейных фигур, круга и частей круга; 6) прямые и плоскости в пространстве; углы, образуемые прямыми и плоскостями; 7) многогранники; 8) круглые тела и сферические треугольники. В каждом разделе сначала идут задачи на доказательство, потом на построение и, наконец, на вычисление.

Отметим одну характерную и важную черту данного пособия, а именно, давать целый блок, или цикл, задач, объединенных по некоторой фигуре, понятию, методу решения и т.п. Приведем пример. Задача 1 (на доказательство). Докажите, что точка пересечения средних линий произвольного выпуклого четырехугольника делит пополам отрезок, соединяющий середины диагоналей данного четырехугольника. (Заметим, что в то время было понятие средней линии произвольного четырехугольника, это отрезок, который соединяет середины противоположных сторон.) Задача 2 (на построение). Постройте выпуклый четырехугольник по четырем его сторонам а, Ъ, с, d и отрезку m, соединяющему середины его диагоналей. Задача 3 (на вычисление). Найдите площадь выпуклого четырехугольника, если даны его диагонали к, I и средние линии m, п.

Эта книга получила широкое распространение в России и оказала существенное влияние на понимание особенностей задачной литературы: последовательность упражнений, построение их системы, направленность на лучшее усвоение теории.

Если Вы, действительно, хотите серьезно разобраться в методической теории математических задач, читайте Ю. М. Колягина (Задачи в обучении математике. Часть I. Математические задачи как средство обучения и развития учащихся. Часть II. Обучение математике через задачи и обучение решению задач) и все поймете сами.

У Юрия Михайловича много дорогих моему сердцу учеников и коллег (Ф. С. Авдеев, Т. К. Авдеева, Л. М. Короткова, Г. Б. Лудина, Г. Л. Луканкин, О. А. Саввина, Н. В. Савинцева, Ю. В. Сидоров,

О. В. Тарасова, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин и многие другие). Ю. М. Колягин сыграл и в моей жизни большую роль, возможно, и не подозревая об этом. Он рекомендовал мою докторскую диссертацию (1995) к защите. Исследование было посвящено преподаванию школьной геометрии в условиях профильной дифференциации обучения. Ведь именно Ю. М. Колягин со своими сотрудниками одним из первых выступил с Концепцией профильной дифференциации обучения (математике) на старшей ступени общего образования (см. //Математика в школе. - 1990. -№ 4).

От всей души поздравляю многоуважаемого Юрия Михайловича Колягина со славным юбилеем! Желаю всего самого хорошего, доброго, интересного! Будьте здоровы! Многие Вам лета! Спасибо!

Уроки жизни и уроки мудрости Ю. М. Колягина

О. В. Тарасова

г. Орёл

Долго собиралась с мыслями. Никогда не писала воспоминаний, возраст ещё не тот. Понимаю, что было с нами ещё минуту назад - это уже история. Её не вернёшь назад, остаётся только вспоминать, осознавая полученные уроки.

Всё быстротечно в нашем мире, кажется, ещё вчера бежала за Юрием Михайловичем по лестнице на четвёртый этаж родного физмата Орловского университета. Прошло с тех пор уже или ещё 13 лет. Но всё по порядку.

Конец весны 1993 года. Физико-математический факультет. Защита дипломных работ по методике математики. Молоденькие девчонки волнуются, ведь в государственной комиссии помимо наших любимых и хорошо знакомых преподавателей, академик РАО, доктор педагогических наук, профессор Юрий Михайлович Колягин. Знаком он нам был как автор учебников по методике преподавания математики в средней школе. Очень волновалась на защите: хотелось и не потерять наметившийся красный диплом, и не подвести руководителя - учителя высшей категории Владимира Константиновича Володина.

Получив заветную пятёрку, затем красный диплом, собиралась по распределению на Орловский сталепрокатный завод работать математиком- программистом. Но судьба распорядилась иначе. В один из летних дней позвонила к нам домой Людмила Борисовна Шалева и предложила работу на факультете начальных классов. Спасибо ей за это! Спасибо и за то, что познакомила с человеком-легендой - Геннадием Лавровичем Луканкиным, который любезно согласился взять меня в аспирантуру. Но во-

лею судьбы, после разговора двух мэтров методики математики, в 1994 году я поступила в аспирантуру к Юрию Михайловичу.

К огромному сожалению, Геннадия Лавровича теперь нет с нами. Я с благодарностью вспоминаю время общения с ним. Спасибо Геннадию Лавровичу за оппонирование кандидатской диссертации, за помощь, добрый совет при защите докторской. Буду помнить Вас всегда добрым словом! А ещё я теперь точно знаю, что такое Дружба на всю жизнь. Она есть на Земле! Без злобы и зависти, без культа денег и лжи, без подлости и лицемерия! Это урок, данный всем нам Ю. М. Колягиным и Г. Л. Луканкиным.

Зима 1993/94 учебного года. Известие: Ю. М. Колягиным приехал в очередной раз в Орёл и хочет встретиться. Ура! Бегу на физмат к назначенному времени и догоняю Юрия Михайловича, идущего в сопровождении Татьяны Константиновны Авдеевой, на лестнице. Не буду вдаваться в подробности первого разговора, но было ощущение, что догнала то, чего желала, к чему бессознательно стремилась. Вот он - Академик, настоящий, сильный, умный. Учёный! После разговора получила задание, которое надо было выполнить к определённому сроку. И пошло: кандидатские экзамены, поездки в Москву в библиотеку, первые годы работы на факультете начальных классов, проведение педагогического эксперимента по программе, разработанной под руководством Ю. М. Колягина. Начилась новая жизнь...

Работа над кандидатской диссертацией близилась к завершению. А потом вдруг - тяжёлая травма у Юрия Михайловича, сложнейший перелом. Трудные для него с Любовь Петровной дни, недели, месяцы, годы. Время борьбы, борьбы не просто за жизнь, а за активную жизнь, жизнь в движении. Я получила один из первых уроков от Учителя и далеко не последний. Жизненная мощь поражает, удивляет и завораживает.

«Сироткой» защищала кандидатскую диссертацию. Юрий Михайлович не мог присутствовать, но я всегда ощущала Учителя рядом, знала о его поддержке. Часовые разговоры по междугородке. Юрий Михайлович лежал и только-только пытался ходить. У меня грудной сын. Было трудно, но Учитель опять демонстрировал мне урок стойкости и несгибаемой твёрдости характера.

После защиты Юрий Михайлович сказал: «Решишь отдохнуть годок, потом будет очень трудно включиться в работу». И опять потянулись чередой нескончаемые поездки в библиотеки Москвы и Санкт-Петербурга, на конференции.

Юрий Михайлович активно продолжал работать над вторым изданием уникальной книги «Русская школа и математическое образование. Наша гордость и наша боль». Теперь я знаю, как работают люди увлечённые, талантливые и трудолюбивые! Это ещё один урок моего Учителя.

Первоначально я не мыслила себя вне методики математики. Однако интересы постепенно менялись и расширялись благодаря влиянию двух истинных патриотов нашего Отечества - Колягина Юрия Михайловича и моей дорогой подруги доктора педагогических наук, профессора Саввиной Ольги Алексеевны.

Не могу не сказать о своих поездках в Москву. Поехать в Москву -это означает поехать к Любови Петровне и Юрию Михайловичу. Их добрый радушный дом, благодаря удивительной Любови Петровне, всегда встречал теплом и нежностью. Работа над диссертациями никогда не заканчивалась разговорами только по теме исследования. Общение за обедом, пожалуй, моё самое любимое время в поездке. Тебя всегда не просто вкусно и сытно накормит хозяйка, но Учитель обязательно расскажет много интересного из своей жизни, вместе обсудим последние новости и в образовании, и в политике. Юрий Михайлович и Любовь Петровна зачастую читают наизусть стихи, которые всегда трогают душу. Во время таких бесед формируется чёткое представление о добре и зле, об истине и лжи. Юрию Михайловичу я доверяю всецело, начиная от проблем на работе, заканчивая проблемами в личной жизни. При этом твёрдо знаю, что все разговоры не выйдут за пределы ставшей уже родной московской квартиры. Юрий Михайлович всё знает наперед, поможет, рассудит, даст незаменимый совет, преподаст очередной и далеко не последний урок жизни и урок мудрости.

Многое в этой жизни познаешь не сразу, оцениваешь со временем, и как хорошо, что это было и есть в моей жизни.

Я благодарна Юрию Михайловичу за огромную поддержку, за счастливую возможность слушать, слышать, говорить и быть понятой.

Свою первую монографию в 2004 году подписала Учителю с обращением - «Лучшему из людей...». И убеждена, что это действительно так! Спасибо дорогому Учителю за Уроки жизни и Уроки мудрости, за пример беззаветного служения Отечеству.

Мне повезло с судьбой учёного. Всю жизнь буду с гордостью говорить: «Я - ученица Юрия Михайловича Колягина»!

Ю. М. Колягин и совершенствование школьного математического образования

М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин

г. Москва

Реформа математического образования 70-х годов прошлого века выявила несостоятельность теории построения курса математики средней школы на теоретико-множественной основе. Задача возвращения к традициям отечественного математического образования с учетом всего поло-

жительного, что принесла реформа, была поставлена руководством страны перед Академией Наук и органами образования России и страны в целом. Руководить разработкой программы и созданием учебников в России поручили Юрию Михайловичу Колягину, тогда еще доктору наук, профессору, заместителю директора Научно-исследовательского института школ Министерства образования Российской Федерации (НИИ школ МО РФ).

Начинался 1979 год. Коллектив, в который вошли ведущие ученые МГУ, МФТИ, МГПИ им. Ленина (теперь МПГУ) Ш.А.Алимов, Л. С. Атанасян, Э. Г. Позняк, Ю. В. Сидоров, М. И. Шабунин под руководством Ю. М. Колягина и научным руководством выдающего математика академика А. Н. Тихонова приступил к работе по созданию учебников алгебры и геометрии для средней школы. С целью проверки создаваемых учебников и помощи учителям, проверяющим качество учебников непосредственно в школе, в Центральном институте усовершенствования учителей (ЦИУУ) МО РФ была создана группа опытных учителей математики, составивших кабинет математики института. В НИИ школ организуется группа ученых-методистов, осуществляющих научное руководство экспериментальной проверки учебников. Для проведения эксперимента выделяются шесть районов: Киевский район г. Москвы, Куйбышевский район г. Ленинграда, Бологовский район Калининской области, Городецкий район Горьковской области, Чамзинский район Мордовской АССР. В районах, где проводился эксперимент, выделяются методисты для помощи учителям и обобщения опыта их работы.

Юрий Михайлович стоял во главе всего этого большого коллектива ученых, методистов и учителей. Авторы писали учебники, методисты ЦИУУ и сотрудники НИИ школ ездили в районы, где проходил эксперимент, и вели наблюдение за его ходом. Читались лекции учителям, проводилось тестирование учащихся на разных этапах обучения, глубоко анализировались контрольные работы полугодовые и итоговые за год, отчеты и отзывы учителей о каждом параграфе каждого учебника. Выводы, которые делались по результатам всей этой огромной работы, обсуждались дважды в год на коллегиях Министерства образования. Авторы дорабатывали книги по замечаниям, ездили по школам, выступали перед учителями.

Учителя, не стесняясь, говорили о трудностях при изучении той или иной темы. И Юрий Михайлович не считал зазорным давать уроки по этим темам, чтобы либо убедить учителей в возможности иного прочтения учебника, либо убедиться самому в том, что данный материал нужно давать в учебнике по другому. Всем членам огромного коллектива, работающего над книгами, было приятно сознавать, что автор сам стоит у доски и на себе проверяет возможность изучения самых трудных тем курса. А ученики школы очень гордились тем, что профессор и доктор наук работает с ними, как хороший школьный учитель.

Сначала эксперимент, а затем опытная проверка уже и в новых регионах России (присоединились Хабаровский край, Свердловская, Ростовская, Омская области) показали, что учебники состоялись. На Всесоюзном конкурсе учебников в 1988 году учебники и алгебры и геометрии, которые создавались под руководством и при непосредственном участии Юрия Михайловича Колягина, получили призовые места и вошли в число победителей.

Но работа на этом не закончилась. Постоянное общение с учителями и методистами, собственное критичное прочтение учебников, изменяющаяся обстановка в стране и, соответственно, новые требования к математическому образованию, заставляли постоянно работать над книгами. Под руководством Юрия Михайловича создавались новые учебники для профильной школы тогда, когда об этом широко не говорили в стране. Ощущение необходимости перемен, глубокое знание школы подсказали необходимость разработки учебников для гуманитарных классов и классов, где математика будет необходима учащимся в их будущей профессии. Еще в 1995 году издательство «Просвещение» выпустило книги «Математика-10», «Математика - 11» авторов Бутузова В. Ф., и др. для классов гуманитарных профилей. Идейным вдохновителем и одним из авторов этих учебников был Юрий Михайлович. Многие тогда говорили об отсутствии необходимости в подобных книгах, а теперь они становятся нужными тысячам школьников, которые в рамках профильной школы придут в гуманитарные классы. С тех пор были написаны, издавались и изучались школьниками учебники для профильных классов, для экономических классов. Переработаны учебники по алгебре и началам анализа для общеобразовательных учреждений. Создавались книги для учителей и рабочие тетради для учащихся. Никогда Юрий Михайлович не отказывался ни от какой, казалось бы, самой непрестижной работы.

Началась эпоха профильной школы. И вновь Юрий Михайлович впереди. В издательстве «Просвещение» подготовлен к изданию учебно-методический комплект для 10 и 11 классов общеобразовательных учреждений авторов Ю. М. Колягина, М. В. Ткачевой, Н. Е. Федоровой, М. И. Шабунина под редакцией А. Б. Жижченко. В комплекте представлен курс алгебры и начал анализа, соответствующий как базовому, так и профильному уровням стандарта математического образования 2004 г, книга для учителя и дидактические материалы для учащихся, обучающихся по профильному уровню стандарта. Так же, как и все предыдущие работы, данный комплект создавался в соответствии с тщательно разработанной концепцией.

Комплект обладает свойством преемственности со всеми действующими учебниками алгебры основной школы. Наилучшим образом преемственные связи установлены с комплектом учебников алгебры для 7-9 классов авторов Алимова Ш.А., Колягина Ю.М. и др.

Содержание учебников (отдельно для 10 и 11 классов) призвано

• у всех учащихся старших классов сформировать представление о математике как о части человеческой культуры, как о средстве моделирования различных явлений природы, жизни и деятельности человека;

■ у учащихся, планирующих свою дальнейшую, профессиональную деятельность связать с естественными науками, техническими, экономическими знаниями сформировать представление о широком применении математических методов в решении различных теоретических и практических задач; широкие и глубокие знания, прочные умения, позволяющие в дальнейшем использовать математику для освоения своих профессиональных знаний;

■ учащимся, интересующимся математикой, продемонстрировать образцы строгого обоснования различных научных фактов, а также предоставить широкий спектр разнообразных сложных задач по всем разделам курса.

Содержание и структура учебников таковы, что их изучение возможно как в общеобразовательных или гуманитарных классах (при 4-х часовой недельной нагрузке), так и в различных профильных классах (при 5-6-ти часовой недельной нагрузке). Для удобства работы учителя и учащихся специальными знаками выделены тексты, предназначенные для изучения только в профильных классах, а также материалы, адресованные учащимся с повышенным интересом к математике. Специальные знаки сопровождают и упражнения, что позволит учителю организовать дифференцированную работу с учащимися.

Содержание учебников структурировано по главам, выстроенным в определенную систему. Каждая глава разделена на параграфы. Параграф состоит из теоретической части и практической (задач и упражнений, а также вопросов и задач для самопроверки в конце каждой главы).

Логика организации учебного материала продиктована как дидактическими требованиями к учебникам математики, так и концептуальными особенностями данного курса, которые состоят в следующем:

■ В связи с возрастными особенностями учащихся традиционный курс алгебры, связанный с элементарным функциям и их исследованием методами элементарной математики, предшествует рассмотрению элементов математического анализа, изучение которого начинается только в 11 классе.

■ Ведущей линией курса является числовая линия, что позволяет с самого начала строить курс с опорой на свойства действительных чисел. В частности, это объясняет тот факт, что основное содержание курса в профильных классах начинается с изучения теории делимости чисел. Числовая линия свое логическое завершение получает в главе «Комплексные

числа», рассматриваемой в конце 11 класса. В классах, в которых обучение идет по базовому уровню стандарта, изучение курса начинается с главы «Степень с действительным показателем», где обобщается понятие действительного числа и вводится степень с действительным показателем. Развивается числовая линия параллельно функциональной, но с некоторым опережением по времени: новые виды функций и их свойства рассматриваются после изучения соответствующих числовых понятий и алгебраических операций. Простейшие уравнения решаются с опорой на свойства числовых равенств, а после изучения определенного класса функций решаются более сложные показательные, логарифмически, иррациональные, тригонометрические уравнения (уже с опорой на свойства функций). Решения неравенств практически всегда рассматриваются после изучения соответствующего класса функций. Новая для отечественной школы стохастическая линия представлена в учебнике для 11 класса главами «Комбинаторика» и «Элементы теории вероятностей».

■ Ведущим дидактическим принципом курса является оптимальная взаимосвязь научности и доступности содержания. Этому способствует разумная простота терминологии, а также понятный учащимся язык изложения учебного материала. Для учащихся базового уровня изложение материала ведется конкретно-индуктивным методом с опорой на практические задачи, мотивирующие значимость вводимых понятий и иллюстрирующие основу математических абстракций, а также демонстрирующие построение математических моделей реальных процессов и явлений. Применение теоретического материала иллюстрируется примерами и задачами, решения которых в тексте учебника разбираются достаточно подробно. Изложение теоретического материала для учащихся профильного уровня ведется с преобладанием дедуктивного подхода.

■ Естественным образом выстраиваются внутрипредметные связи курса: вводимые понятия и теоремы являются первоначально предметом изучения, затем достаточно долго - средством изучения новых математических понятий и теорий. Рассмотрение отдельных понятий происходит в разных разделах с разных точек зрения (так, например, бином Ньютона рассматривается и в теории многочленов, и в разделе «Комбинаторика»), что усиливает мировоззренческую составляющую курса. Везде, где возможно, демонстрируются межпредметные связи курса алгебры и начал анализа с другими учебными предметами.

■ Необходимость систематического повторения курса алгебры основной школы реализуется в первой главе учебника. Здесь в сжатом виде повторяется традиционное содержание курса, что позволит учителю эффективно организовывать повторение математики, максимально используя самостоятельную деятельность учащихся (при чтении текстов и решении задач из этой главы). В этой же главе дается краткое изложение элементов теории множеств, логики, стохастики - вопросов, включенных в

содержание нового стандарта математического образования для основной школы.

■ Большое внимание уделяется практической направленности курса. Система упражнений учебника имеет выделенные 4 уровня сложности:!) обязательный базовый; 2) продвинутый базовый; 3) профильный; 4) углубленный профильный (для интересующихся математикой). По количеству упражнений система избыточна: заданий примерно в два раза больше, чем в традиционных учебниках для общеобразовательных классов. Система задач для профильных классов усилена заданиями, формирующими высокие графические, вычислительные, алгоритмические навыки; иллюстрирующими прикладные аспекты математики в астрономии, физике, технике, экономике, а также в гуманитарных науках. Упражнения приведены в конце каждого параграфа, в конце каждой главы (упражнения для тематического повторения), а также в конце учебника 11 класса (для итогового повторения курса, систематизации и обобщения знаний). К каждой теме (главе) имеются вопросы для проверки усвоения теоретических знаний и практические задания в рубрике «Проверь себя!» для самоконтроля (на базовом и профильном уровнях).

■ В конце каждой главы приводятся краткие исторические сведения по соответствующему разделу математики.

Юрий Михайлович член президиума Научно-методического совета по математике при Министерстве образования и науки России и продолжает много и продуктивно работать по совершенствованию школьного математического образования.

Творческая деятельность Юрия Михайловича Колягина продолжается и им будет создано еще много работ на благо отечественной школы.

Часть 2.

Современные проблемы математического образования

Геометрические построения в обучении математике в школе

Л. Н. Зубкова

г. Орёл

Традиционно в системе математического образования в отечественной средней школе решается триединая задача обучения математическим знаниям, приемам и методам, развития мышления школьников средствами математики, воспитания их математической культуры. В практике современного обучения математике в отечественной школе решению задач отведена первостепенная роль, более половины учебного времени школьники затрачивают на решение задач. Именно при решении математических задач они сознательно овладевают системой математических знаний, умений и навыков, приёмами эффективной умственной деятельности, направленной на развитие их мышления, формируют мировоззрение, воспитывают творческую активность.

Процесс решения математических задач являлся одним из основных объектов целого ряда психологических исследований 20-го столетия. Сами математические задачи исследовались многими учеными-методистами в самых различных аспектах. Математическая задача как средство обучения и развития явилась объектом рассмотрения и изучения в работах выдающегося ученого, методиста Ю. М. Колягина. В своей книге «Задачи в обучении математике» он затрагивает вопросы психологических особенностей математического мышления в процессе решения задач, рассматривает различные подходы к трактовке самого термина «задача», описывая свое видение этой проблемы и представляя свою классификацию задач. При этом основной акцент Ю. М. Колягин делает на использование задач как средства воспитания и развития учащихся в процессе обучения математике, продолжая традиции отечественного математического образования - обучения через задачи.

Объективно, одним из средств, позволяющих достигнуть высокого уровня математической подготовки учащихся, является их деятельность по решению математических задач, в том числе, геометрических задач на построение. Действительно, геометрические построения являются неотъемлемой частью элементарной геометрии, органически сочетаясь с ее систематическим курсом. Конструктивные геометрические задачи составляют одну из содержательных линий школьного курса геометрии, являясь важным средством создания у школьников конкретных геометрических представлений, поскольку помогают им переносить свое внимание со словесной формулировки геометрического предложения на реальные геометрические соотношения, которые за этими предложениями скрываются. Эти задачи отличаются широкими возможностями выбора методов их решения и связаны практически со всеми разделами курса геометрии, что позволяет использовать их как средство повторения, обобщения и систематизации

изученного геометрического материала. Задачи на построение обладают той дидактической ценностью, что могут предлагаться учащимся в учебном процессе систематически.

Геометрические задачи на построение дают широкие возможности иллюстрировать систематически на большом числе примеров понятие постоянных и переменных величин. В особенности это относится к конструктивным задачам, предлагаемым в общем виде, когда длины сторон, величины углов, расстояния между параллельными прямыми и т.п. могут варьироваться. Особенно ярко это проявляется на этапе исследования полученного решения, когда требуется установить полноту найденного решения и исследовать особые (предельные) случаи. Фактически любая задача на построение содержит в себе подзадачу на доказательство существования искомого геометрического объекта, то есть выполняет пропедевтическую функцию для изучения учащимися в будущем курса стереометрии, где большинство первых теорем являются теоремами существования и имеют конструктивное доказательство, то есть геометрические построения обучают конструктивному методу в геометрии. Эта особенность геометрических задач на построение позволяет использовать их в роли проблемных задач при рассмотрении нового материала, в частности, при введении новых геометрических фигур, рассмотрении их свойств.

Геометрические построения отличаются разнообразными приложениями в практической деятельности, богатыми межпредметными и внутрипредметными связями, особенно с курсами черчения и физики. Среди конструктивных геометрических задач достаточно обширную группу составляют задачи с практическим содержанием, задачи прикладного характера, с занимательной и интересной фабулой. Это, например, задачи о делении фигур на равновеликие части, задачи на “перекраивание” фигур, задачи с недоступными точками.

Традиционная методика решения конструктивных задач в школе предусматривает четкое выделение таких этапов решения как анализ (поиск плана решения), построение, доказательство и исследование, то есть геометрические построения объединяют в себе и задачи на доказательство и проблемные задачи; иногда они даже включают в себя и задачи на вычисление. Это говорит о том, что конструктивные геометрические задачи аккумулируют в себе обучение поисковой и конструктивной деятельности, приемам логического мышления, формирование исследовательских умений и навыков у учащихся. Такие задачи играют важную роль в развитии мышления школьников, его логического, пространственного, интуитивного компонентов, в формировании навыков и умений геометрических построений, графической культуры школьников, что подтверждается рядом фундаментальных исследований в области педагогической психологии.

Геометрические построения являются важнейшим средством эстетического воспитания школьников. Выполняя конструктивную деятель-

ность по созданию геометрической фигуры (ее образа), учащиеся наблюдают форму создаваемого ими геометрического объекта, ее изменение в процессе этого создания (построения), открывая для себя отдельные свойства, например, симметрию, равенство отдельных элементов конструируемой фигуры. Отдельные конструктивные задачи напрямую связаны с эстетикой формы, например, задача построения “золотого сечения” или построение правильных многоугольников. Кроме того, при решении конструктивной геометрической задачи, выполняя каждый его этап, учащиеся открывают для себя эстетику математического рассуждения, его последовательность, обоснованность, устанавливают общность приемов и методов решения таких задач, их взаимосвязь с другими математическими задачами, например, алгебраическими, красоту и внутреннее единство математики.

Таким образом, в процессе обучения геометрии можно выявить следующие дидактические функции конструктивных задач: развитие логического мышления школьников; развитие их пространственных представлений, пространственного воображения и мышления; развитие математической интуиции; формирование практических умений и навыков, связанных с использованием чертежных инструментов; более глубокое усвоение теоретического материала, расширение теоретических знаний; повторение, обобщение и систематизация знаний учащихся; реализация проблемного обучения через задачи; эстетическое воспитание школьников, подготовка к математическому моделированию практических задач; реализация межпредметных и внутрипредметных связей.

Исходя из дидактических функций конструктивных геометрических задач, психологических особенностей процесса их решения, учитывая их роль и значимость в евклидовой геометрии, а также опыт и традиции их преподавания в отечественной школе и некоторых зарубежных школах отметим ряд основных принципов построения методики обучения решению таких задач в курсе планиметрии основной школы: принцип целостности, принцип дедукции и индукции, принцип анализа и синтеза, принцип межпредметных и внутрипредметных связей, принцип прагматизма, принцип моделирования, принцип эволюционного развития.

Принцип целостности (возможной полноты) означает возможное более полное привлечение содержательной и процессуальной сторон конструктивных задач в процессе обучения геометрии в основной школе на доступном учащимся уровне. Реализация этого принципа затрагивает вопросы объема и типологии конструктивных геометрических задач, предлагаемых в основной школе с учетом их дидактических функций, а также по возможности более полное проведение всех этапов решения таких задач с учетом психологических особенностей самого процесса их решения.

Принцип дедукции и индукции в обучении учащихся конструктивным геометрическим задачам означает использование их как средства раз-

вития индуктивных и дедуктивных умений учащихся, как средства дедуктивно-индуктивного подхода к изучению курса планиметрии, например, при обосновании с помощью геометрических построений тех или иных выводов и утверждений геометрической теории, выполненных чисто логическими средствами, при доказательстве теорем существования, при изучении экстремальных задач (тех задач, где требуется построить геометрическую фигуру, которая, например, имеет наибольший (наименьший) периметр, площадь и т.п.).

Принцип анализа и синтеза в процессе обучения решению конструктивных геометрических задач предполагает развитие аналитического и синтетического мышления учащихся в их взаимосвязи. И здесь особое значение имеет организация процесса поиска решения задачи подобным процессу исследования, творческого поиска в математике на уровне, доступном уровню мыслительной деятельности учащихся, а конструктивные геометрические задачи выступают одним из особенно удобных средств, в силу психологических особенностей процесса их решения.

Принцип межпредметных и внутрипредметных связей в обучении учащихся геометрическим задачам на построение означает формирование у школьников целостного представления о внутреннем единстве математики и ее роли в других науках, в частности, о роли геометрических построений в чертежной практике, в физике, например, в геометрической оптике, об общих методах и приемах решения геометрических и алгебраических задач. Внутрипредметные связи конструктивных планиметрических задач с задачами стереометрии определяются использованием конструктивного метода (для доказательства существования геометрических объектов) и планиметрической теории для решения стереометрических задач.

Принципы прагматизма и моделирования в обучении учащихся геометрическим построениям означают их использование как средства усиления прикладной, практической направленности обучения геометрии; как средства изучения геометрии с модельной точки зрения, средства формирования у школьников умений и навыков математического моделирования практических задач. Кроме того, многие конструктивные геометрические задачи имеют вид текстовых задач, и при их решении широкое применение находят аналитические модели (например, уравнения или их системы).

Принцип эволюционного развития в построении целостной методической системы обучения решению конструктивных геометрических задач в основной школе означает обеспечение более качественной геометрической подготовки школьников, не ломая традиционной методики обучения.

Наибольшей эффективности в развитии мышления, повышении уровня теоретических знаний и практических умений и навыков учащихся в системе конструктивных планиметрических задач можно достичь посредством реализации всех указанных принципов. Одним из оптимальных

путей такой реализации является эволюционное изменение системы планиметрических задач в школьных учебниках геометрии.

Об исследовании функций на чётность-нечётность

С. Г. Манвелов, Н. С. Манвелов

г. Армавир

Мы благодарны судьбе за предоставленную возможность сотрудничать с нашим научным руководителем — классиком математического образования, академиком Юрием Михайловичем Колягиным. Для нас Юрий Михайлович и его супруга Любовь Петровна значат неизмеримо больше, чем просто наставники. Вся наша семья почитает их как своих родителей. С их поддержкой, мы проводили все свои исследования, в том числе касающиеся конструирования современного урока математики и системы заданий по математике на развитие самоконтроля. Полученные при этом результаты опубликованы и в книгах для учителей ([2] и [3]), выпущенных в издательстве «Просвещение». Итоги же нашей новой работы, посвященной решению проблемы построения корректных алгоритмов исследования произвольных функций на чётность-нечётность, мы представляем в настоящей статье и посвящаем её нашему любимому юбиляру - Юрию Михайловичу Колягину.

Области применения алгоритмов, предлагаемых для выявления свойств чётности-нечётности функций в действующих учебниках математики для различных видов образовательных учреждений, вообще не оговариваются. Проведённые же нами исследования [1] позволили в этой связи установить следующее.

Приводимые в этих учебниках поясняющие примеры исчерпывающе представляют только соответствующие классы ненулевых функций (т.е. функций, области значений которых содержат хотя бы одно отличное от нуля число), которые могут быть только:

- чётными,

- нечётными,

- не являться ни чётными, ни нечётными.

Однако, даже в процессе аттестаций по математике, при выявлении свойств чётности-нечётности функций учащиеся порой сталкиваются и с нулевыми функциями (т.е. функциями, области значений которых включают только число нуль), которые, в свою очередь, подразделяются на два класса:

- являющихся и чётными, и нечётными,

- не являющихся ни чётными, ни нечётными.

Кстати, существование функций, являющихся и чётными, и нечётными, в этих учебниках, как правило, не отражено.

Учитывая же возможное появление сбоев при применении обсуждаемых алгоритмов, следует конкретизировать границы их применения. Для этого надо в таком случае исключить из рассмотрения нулевые функции. Иначе говоря, эти алгоритмы пригодны только для исследования ненулевых функций. Кстати, для того чтобы выяснить, является ли данная функция f ненулевой, достаточно показать, что для какого-либо х существует соответствующее значение f(x), отличное от нуля.

При этом алгоритм исследования ненулевых функций на чётность-нечётность (*) можно представить в следующем виде.

1. Найти область определения ненулевой функции y=f(x).

2. Проверить её область определения D(f) на симметричность относительно начала координат. Если D(f) несимметрична относительно нуля, то сделать вывод о том, что функция f не является ни чётной, ни нечётной.

3. Если же её область определения D(f) симметрична относительно начала координат, то проверить, какой из следующих трёх случаев возможен:

3.1) если для любого xeD(f) верно равенство f(—x)=f(x), то функция f является чётной;

3.2) если для любого xeD(f) верно равенство f(—x)=—f(x), то функция f является нечётной;

3.3) если для какого-либо xeD(f) неверно равенство f(—x)=f(x) и для какого-либо xeD(f) неверно равенство f(—x)=—f(x), то функция /не является ни чётной, ни нечётной.

Алгоритм же исследования нулевых функций на чётность-нечётность (**) можно представить в следующем виде.

1. Найти область определения нулевой функции у=f(х).

2. Проверить, если её область определения D(f) несимметрична относительно начала координат (или для какого-либо xeD(f) неверно хотя бы одно из равенств f(—x)=f(x) или f(—x)=—f(x)), то сделать вывод о том, что функция f не является ни чётной, ни нечётной.

3. Если же её область определения D(f) симметрична относительно начала координат (или для любого xeD(f) верно хотя бы одно из равенств f(—x)=f(x) или f(—x)=—f(x)), то сделать вывод о том, что функция f является и чётной, и нечётной.

Заметим, что для выяснения вопроса о том, является ли исследуемая функция нулевой, достаточно найти, например, её область значений.

Таким образом, чтобы корректно провести исследование произвольной функции на чётность-нечётность, можно сначала выяснить, является она ненулевой или нулевой, а затем воспользоваться соответствующим алгоритмом (*) или (**).

Тем самым были вскрыты возможности корректного построения единого алгоритма исследования произвольной функции на чётность-нечётность. Их реализация приводит к нижеследующей формулировке такого алгоритма.

1. Найти область определения функции у=f(х).

2.Проверить, если её область определения несимметрична относительно начала координат, то сделать вывод о том, что функция f не является ни чётной, ни нечётной.

З.Если её область определения симметрична относительно начала координат, то выяснить, является ли она нулевой или ненулевой функцией. В случае, если она нулевая, сделать вывод о том, что функция f является и чётной, и нечётной.

4.Если же функция f является ненулевой с симметричной относительно начала координат областью определения, то проверить, какой из следующих трёх случаев возможен:

4.1) если для любого xeD(f) верно равенство f(—x)=f(x), то функция f является чётной;

4.2) если для любого xeD(f) верно равенство f(—x)=—f(x), то функция f является нечётной;

4.3) если для какого-либо xeD(f) неверно равенство f(—x)=f(x) и для какого-либо xeD(f) неверно равенство f(—x)=—f(x), то функция f не является ни чётной, ни нечётной.

К тому же оказалась возможной при этом корректная реализация и третьего подхода к построению алгоритма выявления свойств чётности-нечётности произвольной функции - с использованием её графика:

1) если график функции симметричен и относительно оси ординат, и относительно начала координат, то следует сделать вывод о том, что функция является и чётной, и нечётной; в противном случае проверить:

2) если график функции симметричен только относительно оси ординат, то сделать вывод о том, функция является чётной; в противном случае проверить:

3) если график функции симметричен только относительно начала координат, то сделать вывод о том, что функция является нечётной; в противном случае проверить:

4) если график функции несимметричен ни относительно оси ординат, ни относительно начала координат, то сделать вывод о том, что функция не является ни чётной, ни нечётной.

Рассмотрим теперь на конкретном примере, как полученные результаты исключают проблемы, которые могут возникнуть в практике обучения при исследовании функций на чётность-нечётность.

Пусть, например, требуется проверить на чётность-нечётность функцию у = Vcosjc-1.

Область определения этой функции можно найти, решив неравенство cos х—1>0. Оно равносильно уравнению cos х=1, поскольку -l<cos х<1. Отсюда следует, что х=2жк, где £eZ. Легко заметить, что это множество симметрично относительно начала координат. Кроме того, рассматриваемая функция является нулевой, потому как на всей области определения у = Vcosx-1 = VÏ-Ï = 0.

Следовательно, в соответствии с алгоритмами, реализующих идеи первых двух подходов, можно сделать вывод о том, что эта функция является и чётной, и нечётной. Заметим, что мы получим такой же результат, пользуясь и алгоритмом, реализующим идеи третьего подхода, поскольку график этой функции симметричен и относительно оси ординат, и относительно начала координат.

Применение же в данном случае предлагаемых в действующих учебниках математики алгоритмов выявления свойств чётности-нечётности функций приводит учащихся к неверному выводу о том, что функция у = Vcosx-1 является чётной.

Подводя итоги изложенного, можно сформулировать общий вывод, который сводится к тому, что рассматриваемые в действующих учебниках математики для образовательных учреждений алгоритмы исследования функций на чётность-нечётность нуждаются в корректировке. Её осуществление возможно на различных уровнях:

- от минимального - путём ограничения их области применения, поскольку использовать эти алгоритмы можно только для исследования ненулевых функций на чётность-нечётность;

- до полноценного - посредством использования представленных в данной статье корректных алгоритмов исследования произвольных функций на чётность-нечётность.

Литература

1. Манвелов С. Г. Построение уточнённых алгоритмов исследования функций на чётность-нечётность // Тенденции и проблемы развития математического образования: Научно-практический сборник. Вып. 4. - Армавир: РИЦ АГПУ, 2007. - С. 13-23.

2. Манвелов С. Г. Конструирование современного урока математики: Книга для учителя. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 2005. - 175 с.

3. Манвелов С. Г., Манвелов Н. С. Задания по математике на развитие самоконтроля учащихся V-VI классов: Книга для учителя. - М.: Просвещение, 2005. - 159 с.

О методическом обеспечении спецкурса «История отечественного школьного математического образования»

Н. И. Мерлина, С. А. Ярдухина

г. Чебоксары

На математическом факультете Чувашского государственного университета была в 1997 году открыта кафедра методики преподавания математики и соответствующая ей специализация. Студенты, получающие указанную специализацию, слушают следующий цикл дисциплин:

- методика преподавания математики;

- история и методология математики;

- история отечественного школьного математического образования;

- содержание программ и учебников по математике;

- содержание внеклассной работы по математике;

- современные педагогические технологии;

- новые информационные технологии;

- школьная математика на английском языке;

- геометрические задачи на построение;

- конструирование задач по элементарной математике;

- бриллианты элементарной геометрии.

Здесь мы коснемся одной из этих дисциплин - спецкурса: «История отечественного школьного математического образования». Этот курс читается на 3-м курсе в V семестре.

Цели изучения курса.

Курс истории отечественного школьного математического образования, как одного из курсов, обеспечивающих профессиональную подготовку студентов, должен:

-раскрыть значение математического образования в истории Российского государства на различных этапах его развития;

- помочь студентам овладеть системой знаний об основных этапах истории отечественного школьного математического образования и темпах его развития на каждом из них, образовательных системах и образовательных институтах; поколениях учебников и учебных пособий, обеспечивавших изучение математики; проникновении и функционировании в школьном математическом образовании основных педагогических и методических идей;

- формировать у студентов профессиональные творческие умения и навыки по использованию нестандартного историко-методического материала в процессе школьного обучения математике;

- оказывать влияние на формирование у студентов математической, педагогической и методической культуры;

-способствовать культурному, профессиональному и гражданскому самоопределению личности студента;

- воспитывать у студентов гордость за достижения своего отечества (в том числе и своей малой родины);

-развивать историческую память учителя математики, образно-ассоциативный компонент его мышления.

По мнению авторов в лекционном курсе необходимо заложить основы исторических методико-математических знаний, показать динамику и движущие силы развития математического образования в нашей стране на различных этапах ее истории, влияние на него математических, педагогических и методических идей, а также выдающихся персоналий. В заключение лекционного курса для устранения дисбаланса между исторической ретроспективой и нацеленностью в будущее необходимо кратко раскрыть перспективы отечественного математического образования в XXI в.

На семинарских занятиях:

- детально изучаются нормативные документы, регламентирующие обучение математике в школе (учебные планы, программы), или анализируются причины их отсутствия, поколения отечественной учебной математической литературы каждого из этапов развития школьного математического образования в России, древнерусская система счисления;

- анализируются старинные методы решения задач в сравнении с современными;

- большое внимание уделяется персоналиям: обсуждаются биографические сведения, влияние, оказанное соответствующей личностью не только на развитие математики и школьного математического образования в России, но и на другие грани интеллектуальной отечественной истории и др.

-особо рассматривается национальная (чувашская) нумерация и история возникновения математических терминов в чувашском языке, а также специфические «крестьянские» математические задачи.

Приведем краткое содержание лекций и тем семинарских занятий:

Темы лекционных занятий.

1. Основные этапы развития отечественного школьного математического образования.

2. Математическое образование на Руси в допетровский период.

3. Математическое образование в России в эпоху Петра I.

4. Леонард Эйлер и математическое образование в России.

5. Математическое образование в России второй половины XVIII в.

6. Создание российской модели классической системы школьного математического образования в XIX в.

7. Движение за реформацию российской модели классической системы школьного математического образования конца XIX - начала XX вв.

8. Реформирование советской модели классической системы школьного математического образования 60-х - начала 80-х гг. XX в.

9. Современное состояние школьного математического образования.

Темы семинарских занятий.

1. Математика и математическое образование периода Киевской Руси. Древнерусская нумерация. Первый русский математик Кирик Новгородец.

2. Содержание отечественного математического образования XVII в. Сведения о математических рукописях XVI в. Арифметические рукописные учебники XVII в. Рукописный учебник геометрии И. Елизарьева.

3. Учебные математические книги петровской эпохи. «Арифметика» Л. Ф. Магницкого. Первые учебники геометрии и тригонометрии. Л. Ф. Магницкий.

4. Методическая школа Леонарда Эйлера. Методическая школа Л. Эйлера как уникальное явление отечественной интеллектуальной истории и фундаментальный фактор развития математического образования XVIII в. Л. Эйлер: жизнь, творчество, служение России. Ученики и последователи Л. Эйлера: Н. И. Фусс, Н. Г. Курганов, С. К. Котельников, С. Я. Румовский, М. Е. Головин.

5. Содержание гимназического математического образования первой половины XIX в. Проблема единых программ по математике для гимназий в первой половине XIX в. Гимназические учебники математики первой трети XIX в. «Курс математики» Т. Ф. Осиповского, «Начальные основания чистой математики» Н. И. Фусса. Комплект учебных пособий по математике для школ ведомства народного просвещения Ф. И. Буссе, учебные математические руководства В. Я. Буняковского. Ф. И. Буссе. Ф. И. Симашко. Руководства для гимназического курса математики 60-80-х гг. XIX в. А. Ф. Малинин.

6. Развитие отечественных традиций патронажа математики как науки над математическим образованием выдающимися учеными-математиками XIX в. Жизнь и деятельность Н.И. Лобачевского. М.В. Остроградский. П.Л. Чебышёв.

7. Комплект учебников математики российской модели классической системы школьного математического образования. Международная классическая система школьного математического образования, ее российская модель. Программа по математике 1890 г. как завершающий этап становления программ гимназического преподавания математики. Учебники арифметики А. Ф. Малинина, К. П. Буренина и А. П. Киселева, другие руководства по арифметике и приближенным вычислениям. Учебные пособия по алгебре А. П. Киселева, Н. А. Шапошникова и Н. К. Вальцова, отражение функциональных идей в учебниках алгебры. Учебник геометрии А. П. Киселева, задачник H.A. Рыбкина, влияние новых идей на учебные

пособия по геометрии. Учебные пособия по тригонометрии Н. А. Рыбкина. А.П.Киселев. Ведение в 1906г. элементов высшей математики в программу реальных училищ.

8. Патерналистские традиции отечественного школьного математического образования в XX в. А. Н. Колмогоров и А. И. Маркушевич во главе реформы советской модели классической системы школьного математического образования 60-х - начала 80-х гг. Программа и учебники математики, созданные под руководством А. Н. Колмогорова. А.Н. Колмогоров как педагог-математик.

9. Чувашские числовые знаки. История возникновения математических терминов в чувашском языке. Арифметика чувашских крестьян. Крестьянские задачи. Жизнь и деятельность И. Н. Ульянова. И. Я. Яковлев как просветитель чувашского народа.

В соответствии с целями курса для его ведения необходима литература разного рода направлений: история математики как науки, история математического образования, биографии математиков-ученых и педагогов, а также политических деятелей России, учебные планы и нормативные документы. В качестве основной литературы нами рекомендованы учебные пособия [1-5].

Книга Ю. М. Колягина «Русская школа и математическое образование: Наша гордость и боль» [1] отражает стержневые моменты истории школьного математического образования на фоне эволюции всей отечественной образовательной системы. Эта книга - плод многолетних изысканий автора, его жизненная позиция по отношению к проблемам современного образования, нашедшая отражение на ее страницах. Блестящий педагог, Ю.М. Колягин, глубоко исследовал развитие школьного математического образования от истоков до наших дней. Взаимосвязь развития отечественной педагогики и методики математики с развитием математики-науки и отечественной культуры прослеживается через персоналии людей, чей вклад в науку, просвещение и культуру составил славу нашего Отечества.

Кроме того, книга Ю. М. Колягина содержит выдержки из нормативных документов (учебных планов и программ по математике, постановлений министерства народного просвещения и т.п.), таблицы (к примеру, иллюстрирующие структуру общеобразовательной школы), автор дает собственные оценки происходившему и происходящему в системе образования - не слишком эмоционально, но и не сухо. Материал изложен кратко и содержательно (разбит на 25 лекций), что делает его удобным для использования студентами в качестве основного учебного пособия.

Литература

1. Колягин Ю.М. Русская школа и математическое образование: Наша гордость и наша боль. - М.: Просвещение, 2001. - 318 с.

2. Полякова Т.С. История отечественного школьного математического образования. Два века. Кн. I: век восемнадцатый. - Ростов н/Д: Изд-во Рост. пед. ун-та, 1997. -288 с.

3. Полякова Т.С. История отечественного школьного математического образования. Два века. Кн. II: век девятнадцатый. Первая половина. - Ростов н/Д: Изд-во Рост, пед. ун-та, 2001.-208 с.

4. Полякова Т.С. Историко-методическая подготовка учителя математики: Методический аппарат. - Ростов н/Д: Изд-во РГПУ, 1997. - 64 с.

5. Мерлина Н.И., Яковлева М.В. История математики: Счет и фольклорные математические задачи чувашей: Учеб. пособие для учащихся 5-11 классов. - Чебоксары: Руссика, 2004. - 64 с.

Элементы исследовательской деятельности при обучении математике в общеобразовательной школе

Ю. В. Михеев, А. А. Никитин, М. Г. Пащенко

г. Новосибирск

Известно, что в профессиональной исследовательской деятельности возникающие задачи решаются далеко не сразу. Прежде чем появляется окончательный итог, приходится экспериментировать, делать те или иные попытки в различных направлениях, терпеть неудачи, и так до тех пор, пока не возникнет окончательное решение. Как правило, решение проблемы представляет из себя многоступенчатое рассуждение, состоящее из нескольких элементов, и не ограничивается применением какого-то одного соображения и единственного инструментария. Молодежь следует целенаправленно готовить к активной исследовательской деятельности в стремительно развивающемся современном мире, включая в процесс обучения не только приобретение новых фактических знаний, но и технологии самостоятельного поиска новых результатов. Развитие и совершенствование технологий исследовательского подхода в изучении школьных предметов создает объективные предпосылки для подготовки молодежи. Достигается это далеко не сразу, при непременном условии систематического включения в учебный процесс элементов творческой деятельности.

Одним из источников задач для развития исследовательских навыков можно считать текстовые задачи, и в особенности на начальной и средней ступени обучения. Прежде всего, такие задачи уже на начальной стадии выбора для решения неизвестных предполагают элементы моделирования рассматриваемых процессов, а это означает, что могут получаться как удачные, так и не очень удачные модели. Далее, при составлении соотношений, связывающих введенные неизвестные, может оказаться, что число соотношений меньше числа введенных неизвестных, и в этом случае приходится придумывать, как получить ответ на поставленный в задаче вопрос, не находя значений всех введенных неизвестных или переменных.

Наконец, в отдельных случаях приходится учитывать особенности некоторых из введенных переменных, за счет чего получать дополнительные отношения между переменными. В частности, такими особенностями отличаются задачи, в которых некоторые переменные являются натуральные или целые числа. Приведем несколько интересных примеров.

Задача 1. На углу «Встречной» и «поперечной» какой-то разиня оставил грабли. На них за час наступило от 92,5% до 97% прохожих. Каким может быть наименьшее число прохожих?

Решение этой задачи можно свести к неравенству < ж -^f-, где m - общее число прохожих, п -число наступивших на грабли. Что делать с этим неравенством? Прежде всего, следует вспомнить, что неизвестные -натуральные числа. После этого можно рассмотреть упорядоченный перебор по одной из переменных, пока не получим наименьшее число прохожих. Заметим, что решение можно значительно упростить, если начинать поиск с числа прохожих, не наступивших на грабли, которых из условия задачи не больше 3% и не меньше 7,5%.

Задача 2. К кормушке напрямик с постоянными скоростями без остановок бегут цыпленок, за ним курица, а следом петух. Когда курица догнала цыпленка, петух отставал от них на 6 метров, а когда цыпленка догнал петух, курица опережала их на 2 метра. Петух и курица прибежали к кормушке одновременно. На каком расстоянии от кормушки в этот момент был цыпленок?

В принципе, задача по формулировке довольно стандартная. Однако, если для ее решения в качестве неизвестных вводить скорости петух, курицы и цыпленка и составлять между ними соотношения в соответствии с условием, то возникает непростая техническая задача. Как показали эксперименты, далеко не все способны с этой работой справиться. Решение существенно упрощается, если перейти в систему отсчета, связанную с цыпленком.

На примере текстовых задач можно продемонстрировать еще один из элементов исследовательской деятельности, который состоит в интерпретации полученного результата. После составления модели и решения соответствующей математической задачи получаются некоторые наборы нужных неизвестных, и, вообще говоря, всегда следует проверять их соответствие физическому смыслу, отражающему реальности нашего мира. В некоторых случаях сделать это не совсем просто, потому что приходится обращать внимание на все величины, имеющие отношение к задаче. Приведем два примера.

Задача 3. Мальчик и девочка, войдя в парк, отправились по двум различным дорожкам к фонтану и достигли его одновременно. Девочка прошла весь путь длиной 160 метров с постоянной скоростью. Мальчик преодолел путь длиной в 294 метра, причем в течение первой минуты он бежал по прямолинейному участку дорожки со скоростью 2,4 раза боль-

шей, чем скорость девочки, а оставшуюся часть пути до фонтана он прошел со скоростью 90 метров в минуту. Найти скорость девочки.

Обозначив через А место начала движения, через В конечную точку движения, через С ту точку, в которой мальчик перешел с бега на шаг, и вводя необходимые неизвестные скорости, нетрудно составить математическую задачу, решение которой приводит к двум возможным положительным значениям для скорости девочки. Однако, если после этого в каждом из вариантов рассчитать длины участков пути АС, AB и ВС, то получится, что в одном из вариантов длина прямолинейного участка АС больше суммы длин участков AB и ВС. Но этого не может быть, потому что длина любого пути из А в С не может быть меньше длины пути из А в С по отрезку АС, что является следствием из неравенства треугольника.

Один из важных источников для развития исследовательских навыков общедоступен. Это теоретический материал школьных учебников по математике. Например, на этапе изучения решения линейных уравнений рассматривается задача нахождения корней уравнения ах = Ь с двумя параметрами. Соответственно, и сам процесс исследования этого уравнения нельзя считать простым, так как приходится рассматривать несколько возможных случаев значений параметров, и в некоторых из них вместо алгоритмических рецептов решения приходится обращаться к здравому смыслу. В частности, при а = 0 рассматриваемое уравнение принимает вид 0 • X = Ъ, и снова для решения возникающей задачи также приходится рассматривать два существенно различающихся по своим итогам случая: Ъ ф 0 и 6 = 0.

Не проще обстоит дело и при изучении в общем виде квадратных уравнений, квадратных неравенств, систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными, и т.п.

Если повнимательнее осмыслить приведенные обстоятельства, то можно прийти к выводу, что содержащиеся в литературе задачи с параметрами чаще всего являются упрощенными вариантами теории, изучаемой в школьном курсе математики. Без сомнения, задачи с параметрами нельзя считать простыми, но они являются важным дополнением к процессу изучения теоретического материала, часто отличаются неожиданностью итогового результата и служат хорошей основой для развития навыков исследовательской деятельности. Приведем несколько примеров.

Задача 4. Исследовать, каково множество системы уравнений в зависимости от значении параметров a, b, c, d.

Ответ. Если а*0, с^О, то при любых b,deR решение единственное.

Если а = 0, Ъ ф 0, то при любых c9d eR множество решений пусто. Если с = 0, d ф 0, то при любых a,beR множество решений пусто.

Если а = О, Ъ = О, с = О, d = О, то решением является каждая пара чисел

Заметим, что в последнем случае на координатной плоскости множество решений системы изображается как множество всех точек плоскости.

Задача 5. При каждом значении параметра а решить уравнение

2 • |jc — а| = х + 2а .

Ответ. Если а < О, то корней нет.

При а = О единственный корень х0 = 0.

При а > О два корня х, = 0 и х2 = 4а.

Задача 6. При каждом значении параметра а решить неравенство

(а - \)х2 + ах + (а +1) > 0.

Ответ. Множество решений пусто, если а < —1= ;

Особо обращаем внимание на то, что в записи этого ответа никаких опечаток нет!

Иногда в задачах с параметрами не требуется находить сами решения, а нужно найти ответ на вопрос относительно решений, поставленный в условии. В этих случаях возможны совсем другие подходы к решению, поиск которых - также элемент исследовательской деятельности. Приведем два элементарных примера.

Задача 7. Найти, при каком условии уравнение ах1 + Ьх + с = 0 имеет два корня разных знаков.

В этом случае для получения ответа можно применить теорему Виета, и тогда нужное необходимое и достаточное условие удается представить в виде ас < 0.

Задача 8. Найти число корней уравнения ех = ах в зависимости от параметра а.

В этом случае для решения можно воспользоваться графическими представлениями. При этом для полноценного обоснования ответа необхо-

димо так или иначе сослаться на выпуклость вниз графика функции

fix) = е\

Ответ. При а < О и а = е корень один. При 0 < а < е корней нет. При а > е два корня.

В этой задаче следует отметить, что найти эти корни можно только численно, так как в общем случае задача не разрешима в элементарных функциях. Но определить количество корней удается не выходя за рамки школьной программы по математике.

В последние десятилетия много дискуссий ведется относительно тестов и их роли в отношении контроля качества усвоения учебного материала. Авторы считают, что тестам можно придавать и другую направленность, связанную с процессом обучения, в том числе и развитием творческих способностей. Дело в том, что наряду с одновариантными тестами, предполагающими выбор одного из приводимых вариантов ответа, иногда используются тесты, в которых верными являются несколько из приводимых вариантов ответа. Это связано с тем, что в некоторых задачах правильный ответ объективно может записываться в разными способами. Например, производная от функции tgx может записываться как так и tg2x + \. Первый из этих ответов является наиболее компактной записью производной, но при этом второй более употребим, как минимум, при интегрировании. Кроме того, возможны и совсем экзотические записи этой производной: cos^+1. В тестах первого вида вероятность угадывания ответа довольно велика, в тестах второго вида — значительно меньше. В результате для получения верного ответа в тестах второго вида приходится осмысливать каждый из предлагаемых вариантов, прежде чем производить выбор. Приведем некоторые примеры тестов со многими вариантами выбора.

Тест 1.Чему равна длина пути конца часовой стрелки за 300 часов, если ее длина равна 1,5 см.?

1) 25 07гмм. 2) 757Г см. 3) 25я см. 4) 0,757г м. (Правильные варианты: 2, 4)

Тест 2. Найдите выражения, которые равны выражению cosx + cos3x при всех допустимых значениях переменной.

Правильные варианты: 1, 2, 3.

Тест 3. Какие из указанных множеств являются множеством всех

корней уравнения

Правильные варианты: 1, 2, 3, 4.

Тест 4.При каких из указанных условий уравнение вида logх f (х) = logх g(x) равносильно уравнению f(х) = g(x) ?

1) Когда уравнение f(x) = g(x) имеет только корни, большие единицы;

2) Когда уравнение f(х) = g(x) не имеет отрицательных корней;

3) Когда уравнение f(х) = g(x) имеет только положительные корни;

4) Когда уравнение f(х) = g(x) имеет только положительные корни, отличные от единицы.

Правильные варианты: 1, 4.

Тест 5. Какому из указанных выражений равно значение выражения

Правильные варианты: 1, 2, 3.

Тест 6. Две сферы радиусов /?/=8 и R2=12 касаются одной плоскости. Каким может быть расстояние между центрами этих сфер? 1)0,2; 2)2; 3)20; 4)200.

Правильные варианты: 3,4.

Тест 7. Если для треугольной призмы существует сфера, которая касается всех ребер, то:

1) основания призмы правильные треугольники;

2) в призму можно вписать сферу;

3) боковые грани призмы квадраты;

4) вокруг призмы можно описать сферу; Правильные варианты: 1,3.

Тест 8. Сколько корней может иметь уравнение

зависимости от параметра а ?

1) Ни одного; 2) Один; 3) Два; 4) Три.

Правильные варианты: 1,2.

Тест 9. В каких случаях два указанные неравенства равносильны?

Правильные варианты: 1.

Тест 10. Вершины А, В, С параллелограмма ABCD удалены от некоторой плоскости а на расстояния 1, 2, 3 соответственно. Каким может быть расстояние h от вершины D до плоскости а ?

1) /2 = 0; 2) h = 2; 3) h = 4; 4)h = 6.

Правильные варианты: 1, 2, 3, 4.

В результате многолетнего опыта преподавания математики в физико-математической школе и Специализированном учебно-научном центре Новосибирского государственного университета, работы над созданием трехуровневых учебников по математике для 10-11 класса [1-3] установлено, что одним из важных элементов воспитания творческих способностей являются особые задачи, которые можно охарактеризовать как мини-исследования.

Это, как правило, задачи, которые по тематике в значительной степени связаны с текущим изучаемым материалом, но для своего решения требуют рассмотрения различных возможностей и вариантов, поиска нескольких этапов логических рассуждений, основанных не только на текущем, но и на ранее изученном материале [1]. В результате работа учащегося над мини-исследованием превращается в цельный процесс поиска решения поставленной задачи, приближенный к реальной исследовательской деятельности.

Важно понимать, что основной целью мини-исследований является выработка навыков самостоятельного получения новых, иногда заранее неизвестных результатов. В связи с этим можно выделить несколько направлений, по которым целесообразно формировать задачи для мини-исследований. Перечислим их, приводя некоторые примеры.

1. Повторное решение с изменением параметров и начальных условий задачи (действия по аналогии).

Мини-исследование

Теорема. Пусть

Тогда

Приводится доказательство этой теоремы, использующее первое определение предела функции в точке («на языке последовательностей») и сводящее утверждение теоремы к известному факту из теории пределов последовательностей.

В качестве мини-исследования предлагается провести доказательство теоремы, основанное на втором определении предела функции («на языке £-3»), и, тем самым, независимое от теории пределов последовательностей.

Мини-исследование

При изучении графиков числовых функции рассматриваются некоторые общие свойства. В качестве исследования предлагается установить следующие свойства.

1. Известно, что график функции f(x) симметричен относительно прямых х = а и х = Ь, причем схфЪ. Доказать, что эта функция периодическая.

2. Известно, что график функции f(x) симметричен относительно точек А(т;0) и В(п;0), причем тФп. Доказать, что эта функция периодическая.

Мини-исследование

Рассматривается задача о касании сферы с гранями двугранного угла.

Предлагается рассмотреть две плоскости и выяснить, где может находиться центр сфер, одновременно касающихся данных плоскостей.

Отметим, что при исследовании этой задачи приходится особо выделять случай параллельных плоскостей.

2. Проведение рассуждений в измененной ситуации по схеме, аналогичной рассмотренной.

Мини-исследование

Приводится алгоритм приближенного извлечения квадратного корня из положительного числа, основанный на рекуррентной формуле

Предлагается по аналогии изучить алгоритм извлечения кубического корня из положительного числа а, основанный на рекуррентной формуле для приближений: Для этого:

а) установите, что воспользовавшись неравенством среднего арифметического и среднего геометрического для трех положительных чисел

б) установите, что

в) установите, что существующий по теореме Вейерштрасса предел р последовательности (xj является корнем уравнения р3 =а.

3. Самостоятельное получение некоторых теоретических результатов на основе предлагаемой схемы.

Мини-исследование

Пусть в пространстве выбраны четыре точки А, В, С, D. Соединяя эти точки отрезками AB, ВС, CD, AD, получаем пространственную фигуру, которую часто называют пространственным четырехугольником.

Предлагается исследовать касание сферы со сторонами пространственного четырехугольника.

1. Показать, что если существует сфера, касающаяся всех сторон пространственного четырехугольника AB CD, то:

а) выполняется равенство AB+CD=BC+AD;

б) точки касания сторон четырехугольника со сферой лежат в одной плоскости.

2. На примерах проверить, что если существует сфера, касающаяся сторон пространственного четырехугольника, то существует бесконечно много различных сфер, также касающихся всех сторон четырехугольника.

Мини-исследование

Попробуйте найти формулу п-го члена последовательности Фибоначчи, действуя по следующей схеме.

1. Пусть две последовательности (ап) и (Ьп) задаются теми же рекуррентными соотношениями, что и последовательность чисел Фибоначчи:

(*)

Показать, что тогда и сумма этих последовательностей (an+bn) задается тем же рекуррентным соотношением (*).

2. Найдите две геометрические прогрессии со знаменателями qx и q2, начинающиеся с 1 и удовлетворяющие рекуррентному соотношению (*).

3. Получите последовательность чисел Фибоначчи как сумму двух прогрессий определив а и ß из условий:

Мини-исследование

Обычно при построении математической теории стараются вводить как можно меньше аксиом. Однако, последовательное построение теории на основе минимального числа аксиом может оказаться сложным. Поэтому иногда в процессе обучения для удобства в качестве ак-

сиом выбирают большее число утверждений, чем это нужно на самом деле, лишь бы они не противоречили друг другу. Обычно рассматривается избыточная система аксиом геометрии, которая равносильна системе аксиом Гильберта. В частности, как аксиома часто формулируется утверждение:

каждая плоскость р делит множество не принадлежащих ей точек пространства на две части, называемых полупространствами с границей р. Отрезок с концами в одном полупространстве не пересекает плоскость р, а отрезок с концами в разных полупространствах, пересекает плоскость р.

Предлагается на основе аксиом связи доказать это утверждение как теорему по следующей схеме:

- доказать, что если отрезок с концами А и В не пересекает плоскость р и отрезок с концами В и С не пересекает плоскость р, то отрезок с концами А и С также не пересекает плоскость р;

- доказать, что если отрезок с концами А и В пересекает плоскость р и отрезок с концами В и С пересекает плоскость р, то отрезок с концами А и С не пересекает плоскость р;

- доказать, что если отрезок с концами А и В пересекает плоскость р, а отрезок с концами В и С не пересекает плоскость р, то отрезок с концами А и С пересекает плоскость р;

- определить полупространство как множество всех точек пространства таких, что отрезок с концами из этого полупространства не пересекает плоскость ;

- доказать, что все пространство состоит из плоскости и двух задаваемых этой плоскостью полупространств.

4. Построение схемы доказательств по аналогии с известными схемами (самостоятельный выбор одной из схем).

Мини-исследование

В планиметрии рассматриваются и доказываются многие утверждения. В стереометрии часто можно сформулировать аналогичные утверждения. Однако если такое утверждение относится к плоским геометрическим фигурам, расположенным в разных плоскостях, то с логической точки зрения получаем новое математическое утверждение, которое требует доказательства. В частности, к таким утверждениям относятся признаки равенства треугольников в пространстве.

Предлагается найти доказательство третьего признака равенства треугольников:

если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны, по следующей схеме:

если треугольники расположены в одной плоскости, то это утверждение доказано в курсе планиметрии;

если треугольники расположены в разных плоскостях, то, применяя теорему косинусов, в каждой из плоскостей вычислить косинусы углов;

из равенства косинусов двух углов доказать равенство этих углов, установив соответствие между точками углов, при котором расстояния между парами соответствующих точек равны.

Мини-исследование

1. Показать, что

где к - натуральное число, х > О.

2. Используя предыдущее равенство доказать, что

3. С помощью предельного перехода получить следующее равенство:

4. Придумать другие интересные соотношения с арктангенсами.

5. Обобщение задачи (исследование класса задач).

Мини-исследование

Вычисляя синус от суммы двух арксинусов, имеем следующее:

Если при этом известно, что то приходим к равенству

Однако, указанные неравенства выполняются не всегда.

В качестве исследования предлагается доказать следующее общее соотношение.

где

Мини-исследование

Пусть члены последовательности (ап) положительны, и выполняется условие

1. Докажите, что последовательность (ап) является бесконечно малой.

2. Установите, что последовательности с общим членом ап = —, являются бесконечно малыми.

6. Выявление задач с интересными и неожиданными результатами (в частности, установление границ применимости теоретических результатов, построение контрпримеров и т.д.).

Мини-исследование

Для того, чтобы установить периодичность некоторой всюду определенной функции f(х), достаточно найти такое число Т ф О, что f(x + T) = f (х) при любом действительном значении х.

Предлагается на примерах функций

найти несколько способов доказательства того, что некоторая функция не является периодической.

Мини-исследование

Как известно, из каждой точки, лежащей вне окружности, к ней можно провести две касательных. Выяснить, существует ли такая замкнутая плоская фигура, что из любой точки, лежащей вне этой фигуры, к ней можно было бы провести три или более касательных. Какого максимального количества касательных можно достичь?

Подсказка: Ромашка.

Мини-исследование

Выяснить, имеются ли точки, в которых дифференцируема функция

7. Эквивалентная замена задачи в виде серии более узких задач (перебор случаев).

Мини-исследование

Если возьмем трапецию ABCD с прямыми углами при вершинах боковой стороны AB и определим пространственную фигуру как мно-

жество всех точек пространства, получающихся из точек трапеции ABCD поворотом вокруг прямой AB, то получается часть конуса. Образующуюся фигуру называют также усеченным конусом.

Попробуйте провести исследование и выяснить на основе приведенных примеров пространственных фигур, какие фигуры могут получаться при вращении вокруг прямой некоторых известных плоских фигур:

а) вращается остроугольный треугольник вокруг стороны;

б) вращается прямоугольный треугольник вокруг средней линии, параллельной одному из катетов;

в) вращается остроугольный треугольник вокруг одной из его средних линий;

г) вращается прямоугольник вокруг одной из его диагоналей;

д) вращается тупоугольный треугольник вокруг средней линии, которая параллельна его меньшей стороне.

Мини-исследование

Предположим, что мы взяли лист бумаги, вырезали равносторонний треугольник и согнули этот листок по средним линиям треугольника. Тогда легко убедиться в том, что при склеивании частей получается треугольная пирамида - правильный тетраэдр.

Предлагается проделать аналогичные эксперименты с треугольниками другого вида, и на основании наблюдений высказать гипотезу насчет того, в каких случаях данная конструкция позволяет сделать пирамиду, а в каких нет.

Мини исследование.

Требуется установить в каких случаях сечения тетраэдра и шара любой плоскостью, параллельной заданной плоскости а имеют одинаковую площадь.

Предлагается следующая схема исследования:

1. Существуют две крайние плоскости параллельные плоскости а и имеющие общие точки с тетраэдром, поэтому, если существует шар, удовлетворяющий условию, то он также расположен между этими двумя плоскостями и его диаметр равен расстоянию между ними. Обозначим диаметр шара d. Поскольку пересечения крайней плоскости с шаром состоит из одной точки и имеет нулевую площадь, то и тетраэдр пересекается с крайней плоскостью по вершине или ребру.

2. Пусть тетраэдр пересекается с крайней плоскостью а\ только в вершине. Тогда сечения тетраэдра плоскостями достаточно близкими к плоскости а\ являются подобными треугольниками, причем коэффициент подобия пропорционален расстоянию от плоскости а\. Площадь сечения в этом случае находится по формуле S = А • х2, где х — расстояние от плоско-

сти а\9 а А — некоторый коэффициент, зависящий от тетраэдра. Сечением шара является круг, площадь которого, в свою очередь определяется по формуле п • X • (d - х). Очевидно, что они не могут быть равны при всех значениях X и, следовательно, крайняя плоскость может пересекаться с тетраэдром только по ребру.

3. Как установлено в предыдущем пункте на каждой крайней плоскости лежит две вершины и все сечения тетраэдра являются параллелограммами, стороны которых параллельны двум скрещивающимся ребрам тетраэдра. Обозначим а, Ъ — длины этих ребер и у - угол между ними. Проверьте, что если absmy = я • d2 то все сечения одинаковы.

8. Эквивалентная замена задачи в форме частного случая более широкой задачи (специализация задачи).

Мини-исследование

Значение определенного интеграла можно вычислять как предел некоторых последовательностей интегральных сумм. С другой стороны, это же значение можно находить по формуле Ньютона - Лейбница. Поэтому в том случае, когда значение определенного интеграла известно, этот результат можно использовать для вычисления пределов некоторых последовательностей сложной структуры.

Например, для функции f(x) = 4x при разбиении отрезка [0; 1] на п равных частей можно составить следующие интегральные суммы:

Так как по формуле Ньютона - Лейбница

то можно сделать вывод, что

Предлагается на основе вычисляемых определенных интегралов составить несколько интересных задач на пределы последовательностей.

Мини-исследование

Основная часть тригонометрических формул верна при всех значениях переменных. Исключение составляют формулы, содержащие тангенс и котангенс. Предлагается выяснить, при каких условиях определены следующие формулы:

Наконец, серьезным источником для развития исследовательских навыков являются непростые математические задачи, которые требуют для своего решения значительного времени, привлечения дополнительного материала, изобретательности и упорства в достижении цели. Материалом для поиска таких задач могут служить популярные лекции по математике, статьи и задачи из журналов «Квант», некоторые задачи из курсов высшей математики. Иногда проблемы возникают как видоизменение некоторых известных задач. Приведем несколько примеров.

Задача 9. На плоскости задан квадрат А^А2А3А4. Последовательность точек (Ап) строится таким образом, что при \<п<4 точки совпадают с вершинами квадрата, а при каждом п > 4 точка Ап строится как середина отрезка Ап_ААп_ъ. Установить положение предельной точки для этой последовательности.

Решение этой задачи нетривиально и может быть найдено в статье [2].

Задача 10. Зададим на плоскости две точки А и В в указанном порядке и исключим из множества всех точек плоскости точки прямой AB и точки серединного перпендикуляра к прямой AB. Затем для каждой точки M из оставшегося множества Р точек плоскости определим точку М, как точку пересечения прямой AM с прямой, которая симметрична прямой MB относительно прямой AB. В результате определяется преобразование точек множества Р. Исследовать свойства этого преобразования. В частности, показать, что каждая прямая плоскости переходит в прямую (точнее, прямая с исключенными точками, которые не входят в множество Р, также переходит в некоторую прямую с исключенными точками).

Задача 11. Вершины треугольника выбираются из вершин заданного я-мерного единичного куба. Найти, сколько среди них попарно неравных треугольников.

Задача 12. Для каждого 0<х<л- определим последовательность (aJ по следующему правилу: ах = sinx, ап+] =sinafl при каждом п>\. Доказать, что

Приведя примеры мини-исследований и проблемных задач, отметим, что для преподавателя поиск подобных задач становится интересным творческим процессом. При этом приходится использовать различные источники, создавать задачи по аналогии с имеющимися, приспосабливать для мини-исследований часть теоретического материала, уметь представлять решения в виде последовательности относительно простых и доступных для учащихся этапов, и т.д.

Литература:

1. Никитин А.А., Белоносов В.С., Вишневский М.П., Войтишек В.В., Зеленяк Т.И., Мальцев А.А., Марковичев А.С., Михеев Ю.В., Саханенко А.И., Смирнов Д.М.. Математика-11. Учебник для десятых классов специализированных учебно-научных центров. Новосибирск: РИЦ НГУ, 2001, 374 с.

2. Никитин А.А., Белоносов В.С., Вишневский М.П., Войтишек В.В., Зеленяк Т.Н., Мальцев А.А., Марковичев А.С., Михеев Ю.В., Саханенко А.И., Смирнов Д.М.. Математика-11. Учебник для одиннадцатых классов специализированных учебно-научных центров. Часть I. Новосибирск: РИЦ НГУ, 2003, 358 с.

3. Никитин А.А., Белоносов В.С., Вишневский М.П., Войтишек В.В., Зеленяк Т.Н., Мальцев А.А., Марковичев А.С., Михеев Ю.В., Саханенко А.И., Смирнов Д.М.. Математика-11. Учебник для одиннадцатых классов специализированных учебно-научных центров. Часть II. Новосибирск: РИЦ НГУ, 2003, 286 с.

4. Никитин А.А., Алешин В.Д., Марковичев А.С, Михеев Ю.В., Пащенко М.Г. Мини-исследования как элемент воспитания в системе профильного обучения учащихся. Вестник НГУ, серия: Педагогика. Том 7. Выпуск 1. 2006.с.29-36.

5. Михеев Ю.В. Математика - единая наука. Вестник НГУ, серия: Педагогика. Том 2. ВыпускГ 2001.с.26-32.

Задачи в математике и информатике

А. В. Пантелеймонова

г. Москва

Обучение решению задач является одним из важнейших элементов методики преподавания математики и информатики. Существуют различные подходы к классификации задач. Ю. М. Колягин выделяет следующие виды задач: стандартные, учебные, поисковые, творческие. При этом само понятие задачи рассматривается в самом широком смысле: упражнение, текстовая задача, доказательство, построение чертежей и графиков функций и др.

Ю. М. Колягин выделяет основные элементы математической задачи: условие (У), вопрос (В), решение и ответ (Р) теоретическое обоснование (Т). К стандартным задачам относятся те, у которых известны все элементы (УВРТ), к учебным - задачи, у которых неизвестен один элемент (УВР*, УВ*Т, У*РТ, *ВРТ). Поисковые задачи содержат только два неизвестных элемента (УВ**. У**Т, у*р*5 **рт, *В*Т, *ВР*), а творческие -только один известный элемент (У***5 *в**, **р*5 ***т). Здесь под стандартной задачей понимается задача, решенная учителем у доски при изучении нового материала. Все ее элементы представляются ученикам в готовом виде. Среди учебных задач наибольшее распространение находят задачи, у которых неизвестно решение и ответ, а другие разновидности в учебниках и задачниках по математике встречаются редко. Поисковые и творческие задачи при традиционном типе обучения встречаются еще ре-

же. А между тем решение именно таких задач способствует реализации цели развития учащихся.

Основными линиями школьного курса информатики являются следующие: информация и информационные процессы, представление информации, компьютер, формализация и моделирование, алгоритмизация и программирование, информационные технологии. Школьные курсы математики и информатики имеют общие вопросы: системы счисления, элементы теории множеств, элементы комбинаторики, элементы математической логики, бинарные соответствия и отношения, элементы теории графов, численные методы решения задач, алгоритмы и др. Рассмотрим виды задач в информатике, согласно приведенной выше классификации.

Стандартные задачи рассматриваются при изучении новых тем и разделов школьного курса информатики. Например, при изучении логических операций над высказываниями учитель разбирает решение типовой задачи: составить таблицу истинности высказывания (A&B)VB. Аналогичные примеры можно привести и для других тем курса, общих с математикой.

Важнейшей особенностью школьного курса информатики является систематическая работа школьников на компьютере. По объему и характеру использования ЭВМ выделяют следующие виды учебных фрагментов: демонстрация, лабораторная работа, практикум.

Стандартные задачи рассматриваются в процессе демонстрации учителем новых объектов и приемов работы с ЭВМ на демонстрационном экране. Например, при изучении текстового редактора учитель демонстрирует примы форматирования: выделение текста, установка параметров страницы, выбор размера и начертания шрифта, стиля, установка параметров абзаца. Далее ученики выполняют лабораторную работу по форматированию текста, следуя по шагам предложенной учителем инструкции:

1. Установить поля: Файл - Параметры страницы - Поля: верхнее, нижнее -2,5; правое - 3; левое - 1,5.

2. Установить шрифт: Выделить текст - Формат - Шрифт. Выбрать шрифт Times New Roman. Начертание - обычный, размер - 14.

3. Установить параметры абзаца: Формат - Абзац. Выравнивание - по ширине. Отступ - 1,25. Интервал - полуторный.

Это учебная задача. В классификации задач Ю. М. Колягина ее можно отнести к виду УВ*Т. Анализ большого числа задач и инструкций для лабораторных работ показывает, что таких задач в школьном курсе информатики большинство. Подробное объяснение теории, демонстрация процесса выполнения задания, пошаговое описание работы дают школьнику образец для дальнейшей работы. Частое использование этого типа заданий гарантирует обязательное достижение школьниками результата, но приводит к снижению активности и самостоятельности в изучении материала, способствует привычке выполнять все по готовой инструкции, не

думая, мешает переносить полученные знания на новую тему (программу, задачу).

Для успешного усвоения материала и формирования умения решать задачи, по мнению Ю. М. Колягина, необходимо решать учебные задачи других видов. Рассмотрим некоторые из них. В качестве задачи типа У*РТ можно предложить обратную: даны два файла с одинаковым текстом, какими приемами форматирования пользовались при преобразовании текста первого файла, чтобы получить второй файл? Приведем примеры обратных задач из других разделов школьного курса информатики.

1. Таблица истинности какого составного высказывания приведена?

2. Дан одномерный массив из 10 элементов. Как он будет преобразован в результате работы программы (язык Турбо Паскаль)

program massivl;

var A: array [1..10] of integer;

i: integer; Begin For i:=l to 10 do Begin Readln (a[i]); If a[i]<0 then a[i]=-a[i]; writeln (a[i]); end; End.

В качестве примеров задач с неизвестным условием (*ВРТ) можно предложить следующие варианты составления заданий: при изучении программирования можно предложить фрагмент программы и потребовать описать переменные, которые в нем используются; при изучении информационных технологий продемонстрировать базу данных, ее работу и предложить учащимся определить, какая информация обрабатывается в ней; при изучении систем счисления представить решение примера и предложить записать условие и др.

Задачи с неизвестным теоретическим обоснованием (УВР*) рассматриваются обычно в начале изучаемой темы с целью формирования мотивации для ее изучения. Например, при знакомстве с графическим редактором Photo Shop учитель показывает исходную фотографию, выполняет обработку и получает изображение того же объекта на другом фоне. Неизвестная технология и интересные результаты активизируют внимание учащихся при дальнейшем изучении теоретических основ обработки изображений.

Задачи и задания поискового характера (когда неизвестны два элемента задачи) применяются на лабораторных работах и практикумах по информатике. В таких заданиях, как правило, формулируется условие и требование (УВ**). Инструкция содержит краткие теоретические сведения и примеры выполнения отдельных этапов работы. В приведенном ниже примере инструкции теория представлена через гиперссылки.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5

Решение уравнений методом половинного деления Теория.

1. Этапы приближенного решения уравнения с одним неизвестным.

2. Отделение корней. Графическое отделение корней.

3. Условие применения метода половинного деления.

4. Алгоритм метода половинного деления.

5. Условие окончания процесса деления при заданной допустимой погрешности.

Задача.

Отделите корни данного уравнения и уточните их методом половинного деления с точностью до s = 0,0001 Задание по вариантам

1 Вариант х2 + ех = 2

Порядок выполнения работы.

1. Отделите графически все корни уравнения f(x) = 0 так, чтобы на отрезках изоляции корней функция удовлетворяла условиям метода половинного деления.

2. Запишите формулы для уточнения корней методом половинного деления.

3. Выполните один шаг метода для одного из корней вручную и проверьте условие окончания вычислений.

4. Подготовьте расчетную таблицу и проведите расчеты для каждого корня с заданным уровнем точности.

5. Ответы занесите в итоговую таблицу (промежуток отделения корня, корень с верными значащими цифрами)

К выполнению этой лабораторной работы ученик должен подготовиться: выучить теорию, выписать необходимые формулы, разработать таблицы для отделения и вычисления корней, подготовить итоговую таблицу. Если данная работа выполняется при изучении программирования, то необходимо разработать блок-схему и написать программу, а если при изучении табличного редактора, то следует подготовить таблицы.

Заметим, что поисковые задания для лабораторных работ повышают активность учащихся при изучении материала, способствуют формированию у них умения самостоятельно работать: составлять инструкцию (план) выполнения работы, самостоятельно осуществлять все шаги решения, устанавливать связи между теоретическим и практическим материалом. Это так же влияет на уровень переноса полученных знаний и умений на аналогичные задания. Однако, здесь никто не застрахован от ошибок и неполного выполнения работы.

Задания поискового характера, в которых неизвестны другие элементы (У**Т, у*р*, **рт, *В*Т, *ВР*) встречаются в школьном курсе информатики редко. Хотя на наш взгляд такие задания несложно подготовить. Например, в разделе “Информационные технологии” можно предложить учащимся следующие задания: имеется информация о книгах в картотеке школьной библиотеки и изучены теоретические сведения об информационных системах и базах данных, как можно обработать эту информацию (У**Т); представлена готовая база данных, необходимо опреде-

лить какую информацию и как она обрабатывает (**РТ); поставлен вопрос применения в управлении предприятием базы данных регистрации и учета документов, необходимо разработать систему учета и анализа документооборота (*В*Т) и дт.

Творческие задачи и задания применяются при разработке учебных проектов в курсе информатики. Например, при изучении векторного графического редактора на этапе закрепления материала предлагается ученикам подготовить свой мультфильм (***Т). Здесь ученик сам определяет, с какими объектами работать, какие приемы анимации использовать, последовательность создания мультика и д.т. А при изучении Html предлагается создать свою Интернет-страничку. Задания типа У*** можно представить как набор информации об учениках, расписании уроков и оценках необходимо определить как представить эту информацию, для каких целей, как ее использовать. Здесь потребуется выбрать программное средство, условия доступа к информационной системе и др.

Другой вариант применения заданий творческого типа - создание кружка по изданию школьной газеты (*В**). Подбор материала для публикации, подготовка графики, текстов, разработка макета газеты, использование фотографий, сканированного изображения и др. потребует изучения и применения новых программных средств и оборудования.

Для процесса решения творческих задач характерна высокая степень активности и самостоятельности ученика при изучении материала и реализации разработанного проекта. Основным мотивом ученика становится не получение зачетов и оценок, а овладение программным продуктом и техникой на профессиональном уровне. Здесь учитель участвует в постановке проблемы, указывает направления в изучении теории, оказывает направляющую помощь в освоении программных средств.

Ю. М. Колягин указывает, что в школьном курсе математики необходимо рассматривать задачи разных типов и видов (согласно приведенной классификации). Это позволит сформировать достаточно прочные знания и умения учащихся, развить их мышление и умение самостоятельно решать задачи. Эта мысль как нельзя лучше отражает требования и к задачам школьного курса информатики.

К вопросу об актуальности изучения опыта работы американской школы

И. И. Чернобровкина

г. Орёл

Российская школа имеет свои глубокие традиции. Как известно, до недавнего времени, обучение математике в средней российской школе стояло на достаточно высоком уровне. Но Россия живет и развивается в

мировом сообществе, а значит в школы и ВУЗы страны неизбежно проникнут элементы различных общих и частных методик обучения. Особенно остро встала проблема изучения опыта работы зарубежной школы на сегодняшний день. Это связано с вхождением России в болонский процесс.

Отечественная система образования всегда считалась одной из лучших в мире. Вместе с тем, в западной школе, в частности - американской, существует немало интересных традиций.

Сейчас, пожалуй, опыт США представляет наибольшую ценность, поскольку эта страна, создав мощнейший научно-технический потенциал, занимает лидирующее положение в мире в области науки, техники и производства. Зарубежный опыт все чаще становится объектом доброжелательного и в то же время критического анализа в советской периодике.

На протяжении всего XX века русская школа пристально следит и часто применяет американский педагогический опыт: в организации учебных занятий, в содержании школьного образования, в методах обучения и формах контроля знаний учащихся. Но слепое копирование часто приводило к плачевным результатам. Поэтому на сегодняшний день проблема изучения американского опыта как средства совершенствования отечественной методики математики остается вполне актуальной.

В поиске более эффективных средств и методов обучения не лишне обратиться к американскому опыту. Но делать это надо осознанно, отбирая лишь то, что может быть использовано в русской школе, применительно к нашим условиям. При этом необходимо обращать внимание на те устоявшиеся традиции американской педагогики, которые проявили себя с хорошей стороны и дают положительные результаты на протяжении уже многих лет.

Изучению опыта работы американской школы была посвящена диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук «Эволюция школьного математического образования в США в XX веке», выполненная под руководством заслуженного учителя РФ, доктора педагогических наук, академика РАО, профессора Ю. М. Колягина. Работа была защищена в 2001 году. Приведем основные результаты и выводы, полученные в процессе исследования.

Американская школа находится в существенно более выгодных условиях для существования и развития, нежели наша, отечественная, школа. Она хорошо финансируется, результатом чего является хорошая оснащенность американских школ современной техникой, оборудование кабинетов для занятий всем необходимым, наличие богатых различной литературой библиотек, высокое полиграфическое качество учебников и т.д. Несмотря на это, общее образование (и в частности - математическое), которое дает американская школа, оставляет желать лучшего.

Основной традиционной особенностью американской школы является ее прагматическая направленность, в том числе в обучении математи-

ке. Следствием этой традиции является невысокий уровень общеобразовательной подготовки школьников США, в том числе и их уровень математической подготовки.

Обучение в средней школе США с самого начала XX века тесно связано с трудовым обучением и воспитанием, что является положительной традицией.

В начале XX века произошла ранняя профессионализация школы США, но уже во второй половине XX века профессионализация уже не носит столь ярко выраженный характер, хотя на практических профилях в старшей средней школе изучаются профессиональные курсы (автодело, машинопись и т.д.).

Имеет место традиционная альтернативность школьного обучения: ученику старшей средней школы предоставляется возможность широкого выбора изучаемых предметов (элективных курсов), регулируемого достижением необходимого количества баллов, которое в свою очередь определяется штатом и выбранным для продолжения образования вузом.

Для современной массовой школы США характерно противоречие, связанное с сочетанием гуманитарной (личностной) парадигмы и декларируемой необходимостью существенного улучшения качества естественнонаучного образования.

В результате изучения системы математического образования в США выявлены следующие методические особенности преподавания математики: прикладная направленность школьного курса математики; невысокий теоретический уровень учебного материала; высокая степень уровневой и профильной дифференциации в процессе обучения математике; в основном тестовая форма учета и контроля математических знаний; автономность изучаемых курсов со значительным концентризмом в изложении учебного материала, что нарушает целостность и систематичность математических знаний; систематическое изучение теории вероятностей и статистики.

Американская методика обучения математике характеризуется отсутствием единых требований к уровню математических знаний у выпускников школ (что наблюдалось до введения стандартов). Это во многом явилось результатом характерной для школы США децентрализации образовательной системы.

Хотя на протяжении всего XX века в школах фактически декларировался примат развития над обучением, но конкретных результатов по развитию математического мышления получено не было.

Как можно видеть, многое из того, что традиционно присуще системе математического образования в США в средней школе в настоящее время внедряется, а что-то уже широко применяется в школах России.

Американская педагогика и методика преподавания математики оказывала (и продолжает оказывать) существенное влияние на отечествен-

ную школу. Поэтому очень важна педагогическая оценка и критический анализ опыта работы школы США, который предполагается заимствовать. Применяя опыт американской школы, необходимо учитывать ее недостатки и «заимствовать» лишь перспективные направления.

Некоторые размышления о подготовке учителя для начальной школы

Л. Б. Шалева

г. Орёл

Педагогическая профессия является одной из самых массовых профессий в мире. Значимость этой профессии для нормального развития общества и государства трудно переоценить. Именно профессионалы-педагоги и учителя являются главными посредниками передачи знаний и опыта от поколения прошлого к поколению настоящему и будущему. От того, насколько успешной окажется эта эстафета, зависит состояние всех отраслей народного хозяйства и культуры. От успешности передачи нравственных принципов, составляющих воспитательный инвариант педагогической эволюции, во многом зависит духовное здоровье общества.

Каждая профессия предполагает, что человек, стремящийся ею овладеть, должен, по меньшей мере:

• проявлять к ней интерес;

• иметь о ней пусть поверхностное, но правильное представление;

• иметь соответствующую базовую образовательную подготовку;

• обладать должными психическими, личностными качествами;

• стремиться к профессионализму и т.д.

Во многих профессиях склонности, способности и таланты детей достаточно рано заявляют о себе и, как правило, получают поддержку со стороны родителей и педагогов. Склонность к профессии педагога выявить достаточно трудно. (Хотя на сегодня и предлагаются диагностики). Так, например, родители, замечая, что их дочка охотно играет в куклы и сопутствующие этому игры, могут решить, что их ребенок - хороший будущий воспитатель детей. Однако, чаще всего этим выражается инстинктивная склонность к материнству, присущая каждой женщине; причем нередко ребенок в своей игре имитирует поведение родителей.

В советское время педагогические склонности обычно проявлялись в ходе той или иной общественной деятельности школьника (пионервожатая, староста класса и т.п.) И здесь речь шла не столько о политическом воспитании школьника, сколько о способе организации их на выполнение

полезных (или псевдополезных) дел. Сейчас эти общественные институты в школах, к сожалению, отсутствуют. Им на смену пришли так называемые педагогические классы, педагогические училища, и педагогические колледжи. Однако прием детей в такого рода классы и школы почти всегда осуществляется формально. Ни поступающие, ни принимающие детей преподаватели не знают, по каким параметрам осуществлять этот выбор и отбор. Чаще всего отбор опирается на педагогический опыт осуществляющего его учителя, во многом он субъективен. Школьник, выбирающий педагогическую профессию, чаще всего апеллирует к собственной памяти -нередко один талантливый и любимый школьный учитель определяет склонность своих учеников к педагогической профессии и при этом узкоориентированной. На поверку оказывается, что желаемое не совпадает с действительным. И происходит отсев (фактический или скрытый). Сказанное полностью относится к любому педагогическому вузу, отбирающему абитуриентов из общеобразовательных школ. Более того, при поступлении в пединститут или педуниверситет ведущей причиной становятся не педагогические способности и успехи поступающих. Так, например, при наборе абитуриентов на физико-математический факультет главным критерием выступает уровень математических знаний абитуриента, а не его желание делиться этими знаниями со своими товарищами - старшими или младшими.

Самое удивительное то, что при поступлении на факультет начальных классов, у абитуриентов такое качество, как любовь к детям, не проверяется.

В процессе обучения будущего учителя начальных классов в педагогическом вузе основное внимание так же уделяется знаниям, умениям и навыкам, которыми в соответствии с программами, должен овладеть учитель. Но учитель начальных классов - это вторая (а иногда и первая) мама ребенка. И первое, чему ее надо бы учить - это быть матерью - наставницей. Выбирая педагогическую профессию, абитуриент нередко заведомо знает, что в школе он работать не будет: он выбирает престижные факультеты вуза: юридический, экономический, психологический и т.п., справедливо полагая, что полученный диплом даст ему возможность работать в любом месте. Можно себе представить, сколько вреда принесет такой учитель, если ему придется работать в школе.

А сколько вреда приносит школе посредственный, не любящий свое дело учитель, сумевший протянуть нить посредственности от школы через педвуз в школу. Эти факты печальны, но объяснимы: профессия учителя в нашей стране не престижна, низко оплачивается, а по характеру деятельности очень сложна. Массовость учительской профессии заставляет выбирать из разных зол «меньшее», принимать и тех, кого бы принимать не следовало. В научном исследовании невозможно предложить меры по повышению престижа учительской профессии, а тем более по повышению

учительской зарплаты, но возможно главное: разработать такую систему непрерывного педагогического образования от младших классов школы до институтов усовершенствования учителей, которая обеспечивала бы минимум потерь педагогически одаренных людей: детей, студентов, учителей, максимум возможной поддержки им, своевременность выявления педагогических талантов, целенаправленное развитие такого таланта и т.д.

На факультете документоведения и педагогического образования (бывший начфак) Орловского государственного университета накоплен определенный многолетний опыт подготовки учителя для начальной школы (по заказу региона) в системе непрерывного образования (колледж -вуз, начальная школа - средняя школа), защищены несколько кандидатских диссертаций.

Современная школа и стохастическое образование

С. В. Щербатых

г. Елец

Свою позитивную роль в процессе модернизации общества система образования может сыграть только в том случае, когда в нём целостно и комплексно представлены ценности духовной и материальной культуры, основы наук и ведущие сферы искусства, экономическая культура и культура труда, политическая и правовая культура, коммуникативная культура и культура семейных отношений, физическая и экономическая культура.

Образование - это «общественно организуемый и нормируемый процесс постоянной передачи предшествующими поколениями последующим социально значимого опыта, представляющий собой в онтогенетическом плане процесс становления личности в соответствии с генетической и социальными программами» [3, С.24].

Под термином «образование» понимают как процесс усвоения изучаемого материала и развития обучающихся, так и результат обучения и овладение основами наук [3].

Под стохастическим образованием будем понимать овладение обучающимися научными знаниями, практическими умениями и навыками в области комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики, развитие их умственно-познавательных и творческих способностей, а также мировоззрения и нравственно-эстетической культуры, вследствие чего они приобретают определённый личностный облик (образ человека, умеющего грамотно анализировать поступающую извне информацию, делать на основе этого соответствующие выводы) и индивидуальное своеобразие.

Стохастика встречается и используется в повседневной жизни, следовательно, определённые стохастические навыки нужны каждому челове-

ку. Поэтому основы этой науки необходимы для ориентации в окружающем мире.

Стохастические знания и навыки необходимы практически во всех профессиях, прежде всего, конечно, в тех, что связаны с естественными науками, техникой и экономикой. Стохастика является языком естествознания и техники, и потому профессия естествоиспытателя и инженера требует серьёзного овладения многими профессиональными сведениями, основанными на этой науке. В настоящий момент несомненна необходимость применения стохастических знаний врачу, лингвисту, историку, биологу и трудно оборвать этот список, настолько важно стохастическое образование для профессиональной деятельности в наше время. Следовательно, стохастика и стохастическое образование необходимы для подготовки к будущей профессии.

Философское постижение мира, его общих закономерностей и основных научных концепций также не возможно без стохастики. И потому наука о случайном необходима для формирования мировоззрения.

Ещё одной важнейшей задачей стохастического образования является воспитание в человеке способности понимать смысл поставленной перед ним задачи, умение правильно, логично и рассуждать. Каждому необходимо научиться анализировать, отличать гипотезу от факта, критиковать, понимать смысл поставленной задачи, схематизировать, отчётливо выражать свои мысли и т.п., а с другой стороны - развить воображение и интуицию (пространственное представление, способность предвидеть результат и предугадать путь решения и т.д.). Иначе говоря, стохастика нужна для интеллектуального развития личности [6].

Основная цель изучения элементов стохастики в средней школе определена в конце 60-х годов XX века академиком Б. В. Гнеденко: это ознакомление школьников со статистическими закономерностями - закономерностями более широкого типа, чем те, которые составляют классический детерминизм [1; 5, С. 10].

Мы же считаем, что цели обучения стохастике в основной общей и средней (полной) школах на современном этапе должны быть различными.

Так, в основной общей школе целью обучения стохастике является знакомство школьников со стохастическими закономерностями, на основе которых учащиеся овладевают способами получения и обработки поступающей извне информации.

В средней (полной) школе основная цель обучения стохастике должна состоять в иллюстрации многогранных связей науки о случайном с естествознанием, техникой и гуманитарными дисциплинами, что создаёт предпосылки для более фундаментального изложения основных курсов традиционных школьных дисциплин [7].

Основываясь на результатах работ Г. С. Евдокимовой, Д. В. Маневича, В. Д. Селютина и других о необходимости изучения сто-

хастики в школе, можно указать на те качества, которые могут быть сформированы у учащихся с помощью данной составляющей [2; 4; 5]:

- научно правильное и в то же время целостное понимание своеобразия отражения стохастикой явлений окружающего мира;

- умение применять стохастические знания для решения практических задач;

- умение строить математические модели простейших реальных явлений и процессов;

- владение стохастическим аппаратом исследования некоторых видов математических моделей;

- понимание сущности элементарных методов, применяемых в стохастических исследованиях, и первичные умения владения этими методами;

- достаточные знания истории развития комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики;

- некоторые представления о современных проблемах и идеях стохастики;

- достаточные умения использовать стохастические знания при изучении других учебных предметов и для самообразования.

Таким образом, необходимость введения в школьный курс математики элементов стохастики, играющей важную роль в развитии мышления учащихся и формировании их мировоззрения, очевидна, и не раз предлагалось расширить в нём элементы высшей математики за счёт включения одной из основных, принципиальных математических моделей - стохастической, в основе которой лежит понятие о стохастической взаимосвязи переменных [2, С. 162-164].

Литература:

1. Гнеденко, Б.В. Формирование мировоззрения учащихся в процессе обучения математике [Текст] / Б.В. Гнеденко. - М.: Просвещение, 1982. - С.52-71.

2. Евдокимова, Г.С. Теория и практика обучения стохастике при подготовке преподавателей математики в университете [Текст]: дис. ... докт. пед. наук: 13.00.02 / Евдокимова Галина Семёновна. - М., 2001. - 415 с.

3. Леднев, В.С. Содержание образования: сущность, структура, перспективы [Текст] / В.С. Леднев. - 2-е изд. перераб. - М.: Высшая школа, 1991. - 224 с.

4. Маневич, Д.В. Совершенствование содержания общего среднего образования на основе теории вероятностей и статистики [Текст]: дис. ... докт. пед. наук: 13.00.01 / Маневич Давид Вульфович. - Ташкент, 1990. - 416 с.

5. Селютин, В.Д. Научные основы методической готовности учителя математики к обучению школьников стохастике [Текст]: автор, дис. ... докт. пед. наук: 13.00.02 / Селютин Владимир Дмитриевич. - М., 2002. - 35 с.

6. Тихомиров, В.М. О некоторых проблемах математического образования [Электронный ресурс] /В. М. Тихомиров // http://www.mccme.ru

7. Щербатых, С.В. Прикладная направленность обучения стохастике в старших классах средней школы [Текст]: дис. ... канд. пед. наук: 13.00.02 / Щербатых Сергей Викторович. - Елец, 2006. - 228 с.

Материалы к биографии и статьи Ю. М. Колягина

Биография Юрия Михайловича Колягина

Родился 25.04.1927 в г. Красноярске. В 1959 году закончил физико-математический факультет МОПИ им. Н. К. Крупской; 1962 г. - аспирантуру в МОПИ. Под руководством проф.И. К. Андронова в 1963 г. защитил кандидатскую диссертацию по теме: «О реформе математического образования и новой постановке преподавания арифметики в средней школе». В 1977 г. - защитил докторскую диссертацию по теме: «Роль и место задач в обучении математике и развитии мышления школьников». С 1980 г. - профессор. С 1953 по 1959 гг. - учитель математики средней школы селе Борисово (Московской обл.). С 1960 г. по 1970 г. - учитель математики средней школы № 352 г. Москвы и одновременно доцент кафедры высшей алгебры, элементарной математики и методики математики МОПИ. С 1971 г. - в НИИ школ МП РСФСР, зав. сектором обучения математики; 1975-1990 гг. - заместитель директора по научной работе; с 1990 г.- главный научный сотрудник НИИ ОО МО (теперь ФИРО Минобрнауки). В 1985 г. избран член-корр. АПН СССР, в 1993 г. - академиком РАО.

Ю. М. Колягин - один из авторов программ и учебников математики для средней школы и для учащихся техникумов, студентов педагогических институтов и учителей. В методических работах Ю. М. Колягина представлены различные методы изучения в школе ведущих математических понятий, освещен российский и зарубежный опыт; разработана методика обучения математике на «задачах», в том числе оригинальная методическая модель дестандартизации учебных задач, которая позволяет учителю на базе любой задачи самостоятельно конструировать ее аналог, имеющий поисковый или проблемный характер. Школьные учебники математики для 7-11 классов, подготовленные при его участии, действуют в средних школах России с 1978 года по настоящее время. С 2003 года реализуется концепция создания учебно-методических комплексов для средней общеобразовательной школы с компьютерной поддержкой (на примере Электронного образовательного комплекса по математике для 5-6 кл.), проходящего экспериментальную проверку в школе.

Ю. М. Колягин подготовил более 30 учеников, кандидатов и докторов наук

Им (кроме школьных учебников) опубликовано: более 300 научных и методических работ, в том числе: «Основные понятия школьного курса математики» (1975), «Задачи в обучении математике» (1977), «Методика преподавания математики» (1977, 1980), «Математика. Алгебра и элементарные функции. Часть 1» (1999), «Алгебра и начала анализа. 10-11 классы» (1999, 2002), «Математика. Учебное пособие для гуманитарных 10-11 классов средней школы» (2001), «Русская школа и математическое образование» (2001), «Математика для техникумов» (3 изд., 2005).Многие его работы переведены на иностранные языки. Совместно с методистами Болга-

рии опубликована методика обучения математике для болгарских учителей (1993, 1995);совместно с методистом Южной Кореи там опубликовано пособие «Обучение решению задач»(2003).

Ю. М. Колягин - Заслуженный учитель (1987), Заслуженный деятель науки РФ (2002). Награжден медалью К. Д. Ушинского, знаками Отличник народного просвещения РСФСР, Отличник народного просвещения СССР, медалью «В память 850-летия г. Москвы».

О функциональных уравнениях1

Ю. М. Колягин

Московская обл. с. Ленино

При изучении различных функций существенное значение имеют так называемые функциональные уравнения. При исследовании элементарных функций школьного курса математики изучаются свойства чётности, нечётности, периодичности и т. д. Эти свойства можно толковать, как способность функции удовлетворять некоторым функциональным уравнениям

f (_х) ~ f (х) (свойство четности)

f(~х) - ~f (х) (свойство нечетности)

f(x + a) = f (а) (свойство периодичности)

В процессе более глубокого изучения раздела «функции» естественна постановка вопроса об определении функции как решения некоторого функционального уравнения. Очевидно, что вышеприведенные уравнения не определяют конкретную функцию, так как представляют весьма широкий класс функций.

Так, уравнение f (~х^ ~ f ^ имеет бесконечное множество частных решений, среди которых находятся изучаемые в школе функции f(x) = ax2 f(x) = ax2+c f(x) = cosx и многие другие функции, например ®(х \ c^)(cosx)h т.д., где Ф- произвольная функция.

На занятиях математического кружка полезно поставить вопрос об определении элементарных функций (изучаемых в школе) функциональными уравнениями, познакомить учащихся с понятием функционального уравнения, с некоторыми методами решения этих уравнений. Полезно также научить учащихся применять функциональные уравнения для характеристики свойств изучаемых функций, для более легкого построения графиков. Работа в кружке по этой теме углубит знания учащихся по такому важному разделу, как «Функции и их графики» и безусловно будет способствовать повышению интереса учащихся к математике. Кроме того; тема «Функциональные уравнения» изобилует творческими возможностями как для ученика, так и для самого учителя математики. Эти мотивы и побудили автора написать настоящую статью.

I. Определения и примеры

Функциональным уравнением называется соотношение, выражающее определенное свойство, которым обладает некоторый класс функций (некоторая функция).

Простейшими примерами функциональных уравнений могут служить:

f ~ f (х) уравнение чётности (1)

f(x +1) - f(х) уравнение периодичности (2)

(3) (4)

и так далее.

Функция f(х) называется решением данного функционального уравнения, ес-

1 Первая статья Ю.М. Колягина. Опубликована в журнале «Математика в школе». - 1959. - №5. - С.4-8.

ли она удовлетворяет ему при всех значениях в области ее определения. Например, функции (5) являются решениями уравнений (1, 2, 3, 4) соответственно, в чем легко убедиться подстановкой.

Относительно общности получаемых решений условимся в следующем:

1. Функция называется частным решением функционального уравнения, если содержит произвольные постоянные (или не содержит их совсем).

2. называется общим решением, если она содержит произвольные функции.

3. называется полным решением, если доказано, что она включает в себя любое общее или частное решение. Функцию f ^ можно также считать полным решением функционального уравнения (при некоторых дополнительных условиях), если доказана его единственность.

Так, функции (5) суть частные решения уравнений (1, 2, 3, 4) соответственно.

, где Ф произвольная функция, суть общие решения уравнений (2, 1, 4). И наконец f(x^ ах является полным решением уравнения (3), при условии своей непрерывности. Очевидно, что полнота решения (3) в этом случае весьма условна и f(x^ ~ ах, точнее, следует называть полным непрерывным решением (3).

Если в выражении некоторой функции ^(х) взять ^(х) вместо х, то получим <^[<^(х)] = (р2 (х) _ ВТОруЮ итерацию функции ^(х) или, как её иначе называют, функцию 2-го порядка.

Так, например, если

В соответствии с этим различают порядок функциональных уравнений. Так, уравнения 1 порядка содержат только функции 1 порядка и т. п.

Функциональные уравнения различают также по степени, в которой в них входит искомая функция. Таким образом порядок и степень функционального уравнения определяются наивысшим порядком и степенью входящих в него функций.

Так уравнение

есть уравнение 1-й степени 2-го порядка.

уравнение 2-й степени и 2-го порядка.

Функциональные уравнения различаются также по числу переменных. Так, уравнения (1, 2, 4) - уравнения с одним переменным. Уравнение (3) с двумя переменными и т. п.

II. О возникновении теории функциональных уравнений

Решение функциональных уравнений, их теория, является одним из самых старых и до сих пор одним из самых малоразработанных вопросов анализа. Несмотря на большой промежуток времени от начала изучения функциональных уравнений до наших дней (около 200 лет), нет единой теории функциональных уравнений, имеется очень мало общих методов их решения, нет критерия существования и единственности решений. Мало того, многие отдельные функциональные уравнения остаются до сих пор нерешенными.

Это объясняется тем, что вопрос о решении функциональных уравнений очень сложен, ввиду их большого разнообразия и общности. Примеры функциональных урав-

нений встречаются уже в трудах таких математиков, как Д'Аламбер, Эйлер, Лагранж. Более общим представлением этой теории мы обязаны известному французскому математику Г. Монжу, который в 1773 г. [1], встретившись с необходимостью решения функциональных уравнений в теории кривых поверхностей, старался свести решение этих уравнений к решению уравнений в конечных разностях, теория которых была в то время в некоторой степени разработана. В том же году появилась работа П. С. Лапласа, который распространил метод Монжа на весьма широкий класс уравнений.

Особый интерес к функциональным уравнениям стал проявляться с 1821 года, когда О. Коши [2] нашел «общее» решение функционального уравнения

(6)

к которому Д Аламбер привел в 1769 году обоснование закона сложения сил (см. статью [13]). С именем Коши связано введение и решение многих функциональных уравнений. Так, например, Коши ввел и решил уравнения

(7) (8) (9)

и другие.

Решения уравнений (7, 8, 9) соответственно суть

Одно из уравнений Коши было использовано Лобачевским. Лобачевский определил угол параллельности

как решение функционального уравнения

(10)

Ряд важнейших функциональных уравнений был решен в 1826-1827 гг. норвежцем Абелем, который привел их решение к решению дифференциальных уравнений [3]. В более позднее время к теории функциональных уравнений стали применять методы теории функций комплексного переменного.

Много внимания уделили функциональным уравнениям Вейерштрасс, Бебедж, Пинчерле, Ливенцов, Синцов и в наше время Колмогоров и Ацель [8]2.

III. Методы решения

Решить функциональное уравнение, это значит установить, имеет ли оно решения, и найти эти решения, если они имеются. Характер отыскиваемого решения (частное, общее или полное) определяется как поставленной целью, так и имеющейся возможностью.

Решение функциональных уравнений с помощью различных разделов анализа (дифференцирования, операции предельного перехода, методов теории функций комплексного переменного и конечных разностей) налагает весьма серьезные ограничения на природу искомых функций и, очевидно, является весьма искусственным путем отыскания этих решений. Так, например, уравнение , . , ,

2 В работе последнего, опубликованной недавно, в 1956 г., изложены общие методы решений некоторых классов функциональных уравнений и дано решение (с помощью функциональных уравнений) шести различных проблем, относящихся к разным разделам математики.

в предположении непрерывности искомой функции имеет единственное решение

f(x) = ax

но если опустить это условие (не пользоваться непрерывностью при решении), то, как показал в 1905 г. Хамел, можно найти разрывную функцию, удовлетворяющую этому уравнению.

Поэтому, естественно, что решения, найденные своим «функциональным» методом, будут представлять весьма широкий класс функций, а потому и окажутся более ценными. Вопросы разработки методов решения функциональных уравнений, обоснования существования, общности или единственности этих решений ждут еще серьезных исследований (см. работу [6]).

Рассмотрим теперь на примерах некоторые основные методы, которые применяются для решения функциональных уравнений.

1. Метод Коши

Этот метод состоит в том, что решение функционального уравнения отыскивается постепенно для всех натуральных, целых, рациональных, а затем и для действительных значений аргумента. Этот способ ограничивает природу решения требованием непрерывности.

Пример. Решить уравнение

(11)

Положиму=х, 2х..., получим:

(12)

Справедливость (12) легко устанавливается по индукции.

Действительно, считая, что это равенство справедливо для п, для п+1 имеем (используя 11, 12):

Таким образом, равенство (12) верно для любых действительных х и произвольного натурального п. Положив в (12) х = 1, имеем:

Считая f ^ с> имеем для натуральных х

(13)

Положив в (12)

получим:

откуда

(14)

Таким образом, для рациональных положительных х, решением (11) будет также (13).

Предполагая функцию J V 'непрерывной, из (14) получим при п f{x)-c , для положихельных иррациональных х ; решение (11) есть таким образом для положительных действительных х- Положим теперь в (11) ' получим:

откуда или

Полагая в (11) у х' найдем:

Итак, для любого действительного х имеем непрерывные решения

2. Метод дифференцирования

Этот способ состоит в том, что данное функциональное уравнение приводят к дифференциальному, решение которого дает искомую функцию.

Очевидно, здесь природа решения ограничена требованием дифференцируемости.

Пример. Решить уравнение Лобачевского.

(15)

Дифференцируя сначала по х, а затем по у, найдем

Разделив почленно первое из этих равенств на второе, получим:

Ввиду произвольного выбора х и у

Интегрируя дифференциальное уравнение (16), найдём

откуда

Этот способ (в несколько иной форме) применял еще Абель. Желающим познакомиться с методом, которым Абель приводил функциональное уравнение к дифференциальному, рекомендуем работу [3].

3. Метод подстановок

Этот метод ограничивает область определения искомой функции (к ней должны принадлежать используемые подстановки), но является безусловно более «функциональным». Он заключается в том, что, применяя вместо х (или у) различные подстановки и комбинируя полученные уравнения с исходным, получают (обычно путем исключения) уравнение алгебраическое относительно искомой функции, решить которое не представляет труда. Характер подстановок, для различных функциональных

уравнении, различен.

Пример 1. Решить уравнение

(17)

Заменим хна х получим:

(18)

Исключив из (17, 18)

найдем:

Здесь данную подстановку подсказал тот факт, что функция

обладает свойством

Пример 2. Уравнение (19) решается последовательными подстановками

Вычитая из суммы первых двух уравнений третье, найдем:

4. О методе приведения к уравнениям в конечных разностях Одним из часто применявшихся ранее методов является метод приведения функциональных уравнений к уравнениям в конечных разностях.

Желающим ознакомиться с этим методом можно рекомендовать прочитать последовательно работы [12], [7]. Здесь изложены основные (конечно, далеко не все) методы решения функциональных уравнений.

IV. Задание функций функциональными уравнениями

С функциональными уравнениями тесно связан так называемый аксиоматический метод определения функций. Задавая характеристическое свойство некоторой функции функциональным уравнением определенного вида и принимая ряд условий, обеспечивающих единственность решения данного функционального уравнения, получают (уравнение и условия) некоторую систему аксиом. Эта система аксиом определяет функцию как решение заданного уравнения.

Все свойства определенной таким образом функции выступают как следствия из принятой системы аксиом.

Так, например, линейную функцию

f(*)=

можно задать такой системой аксиом (или теоремой).

Функция, удовлетворяющая условиям:

1. Область определения Л* - все действительные числа.

2 - монотонна

3. удовлетворяет уравнению f(x + у) = f(х)+ /\у) (3) есть функция f(x^ = ах, где а любое вещественное число.

Эта теорема будет доказана, если при условиях 1, 2 будет найдено единственное решение уравнения (3) в форме /{х)~ах t для любых действительных х. Используя раздел 3 (метод 1) настоящей статьи, читатель легко может доказать теорему самостоятельно.

Оставив условия 1, 2 неизменными (или определенным образом их изменив), а вместо (3), приняв поочередно

(здесь 1 условие, очевидно, меняется)

(в последних двух примерах изменяется условие 2), можно таким способом задать функции

соответственно.

Советуем читателю определить эти функции самостоятельно. Подробности по этому вопросу можно найти в литературе [9], [10], [13].

ЛИТЕРАТУРА

[1] I. Monge, Mémoires des Savants. Etrangers Paris, 7, 1773, 37, 305.

[2] Cauchy, Cours d'analyse de Г Ecole Polyt, 1 Analyse aigebrique Paris, 1821, 103. Oeuvres (2), 3, (1897), 98-105, 220.

[3] N. H. Abel, Oeuvres t.I (1, 61, 389), t. II (36). Christiania, 1881.

[4] C. Babbage, philosophical Trancactions of London, 1816. Part II (XXIII). An essay towards the calculus of functions.

[5] S. Pincherle, Equations et operations fonctionnelles, Encyclopédie des sei. math. II5 (1, 11, 26). Paris -Leipzig, 1912.

[6] Д. М. Синцов, Заметки по функциональному исчислению. Известия Казанского ун-та [2], 13, (1903) 48-72.

[7] А. И. Ливенцов. Опыт систематического изложения функционального исчисления с 1 переменным. - М., 1876.

[8] Я. Ацель. Некоторые общие методы в теории функциональных уравнений 1-го порядка и новые применения функциональных уравнений. Успехи матем. наук, т. XI В 3(69), 1956, 1-68.

[9] С. И. Новоселов. Специальный курс элементарной алгебры. - М.,1958, 463-

468.

[10] С. И. Новоселов. Специальный курс тригонометрии.- М., 1957, 405-440.

[11] Делоне и Райков. Аналитическая геометрия. - М., 1949, 125-131,1 том. [12] А. О. Гельфонд, Исчисление конечных разностей. - М., 1952.

[13] «Математика в школе», 1953 (4), (1-7). Ю. М. Гайдук, К вопросу об аналитическом и геометрическом определении тригонометрических функций.

Размышления о некоторых проблемах начального обучения математике3

Ю. М. Колягин

Взяться за перо меня побудило, прежде всего, тяжелейшее положение, в которое попала наша отечественная школа. Не считаю нужным говорить здесь об общеизвестных бедах нашей школы: невыплатах зарплаты учителям, ухудшающемся здоровье детей, ненормальном положении с учебниками, ветшании школьных зданий и т.д. Многие из этих бед упираются в экономику, главным тезисом которой стало пресловутое «Денег нет и в ближайшем будущем не предвидится». Поэтому сейчас первоочередным является вопрос о том, как выжить отечественной школе, как сохранить традиционное для нее достаточно высокое качество обучения и воспитания. Такой разговор нужно начать со школы начальной, так как именно эта школа есть начало начал образования. В основном речь пойдет о проблемах обучения математике, хотя некоторые из этих проблем встают и перед начальным обучением в целом. Не все обсуждаемые ниже вопросы равнозначны, но все значимы для начальной школы.

Перейдем теперь к изложению некоторых из них, не обращая внимания на их иерархию, т.е. не указывая, какая из проблем более важна, чем другая.

Сразу же сделаю одну важную оговорку: хотя все высказываемые далее мною соображения опираются на известные мне факты, на мои знания и многолетний педагогический опыт, я не считаю каждое из них бесспорным. Моя главная цель - привлечь внимание читателей к актуальным проблемам начального обучения математике, вызвать дискуссию. Итогом этой дискуссии должна стать действенная помощь учителю, укрепление его в мнении о том, когда он поступает правильно, а когда нет; разъяснение того, когда учитель помогает сохранению уровня достигнутого нашей школой, а когда (часто не отдавая себе отчета в этом) способствует ее разрушению.

Начнем с обсуждения важнейшей проблемы - стабильности содержания, форм и методов обучения.

В период нестабильности нашей жизни учителю с лихвой хватает забот материальных. Вряд ли следует к этим заботам добавлять заботы другие: резко перестраивать содержание и методику обучения математике, переводить детей на новые системы обучения, вводить в школу плохо проверенные практикой (пусть и модные) новшества и т.д. Тем более, что учебный предмет «Математика» стабилен по своему существу и, к счастью, не зависит от политической конъюнктуры, хотя нередко зависит от конъюнктуры административной.

Первое возражение, которое напрашивается, звучит так: «Как же быть с педагогическим новаторством, так называемыми авторскими школами, новыми методическими приемами, новыми средствами обучения и т.п.?» Ответ, на наш взгляд, достаточно прост: если кому-либо из учителей удается, работая по-новому, добиваться бесспорных успехов в обучении и воспитании детей, то это можно только приветствовать. Однако горький опыт нашей школы свидетельствует о том, что «тиражирование новизны», широкое распространение чьего-то «передового опыта» обычно приводит к плачевным результатам. Это происходит прежде всего потому, что педагогические достижения, как правило, весьма индивидуальны, во многом зависят от личности учителя и условий обучения. Непродуманные новации не только нарушают стабильность обучения детей, но и нередко разрушают сложившуюся и проверенную опытом систему работы самого учителя, вводят его в заблуждение. Ограничимся лишь парой примеров: неудачей от административного распространения так называемого Липецкого опыта

3 Журнал «Начальная школа». - 1997. - №4. - С.83-88.

активизации обучения и крахом (причем во всем мире) теоретико-множественной концепции построения курса математики для массовой школы. Читатель без труда может продолжить перечень таких непродуманных новаций, часто потрясающих нашу школу. Между тем стабильность системы образования и, особенно, стабильность содержания обучения является весьма важным позитивным фактором. Именно в условиях стабильности содержания обучения учитель получает возможность глубоко осмыслить учебный материал, оценить достоинства и недостатки действующих учебников, выработать свою систему методических приемов и средств обучения, определяющих его собственную эффективную методику. Более того, именно в условиях стабильности программ и учебников возможно обобщение и распространение опыта лучших учителей, так как каждый учитель имеет возможность оценить, что из такого опыта приемлемо именно для него.

История математического образования в России свидетельствует о том, что такие периоды стабильности были крайне редки, но в то же время весьма плодотворны.

Ярким примером тому явился период времени от 1932-1935 гг. до 1952-1955 гг., когда в течение двух десятков лет действовала стабильная программа по математике, согласованная с потребностями школьной физики.

Весь этот двадцатилетний (!) период программа по математике лишь систематически уточнялась и совершенствовалась на основе опыта школы, не претерпевая существенных изменений. В ней была реализована общая концепция школьного курса математики как курса элементарной математики, эффективность которого была проверена многолетним опытом отечественной дореволюционной школы. Воспользоваться этим опытом не побоялась советская власть, чтобы вывести школу из кризиса, в котором она оказалась в результате революционных изменений всей школьной системы (правды ради отметим, что этот возврат к прошлому естественно не афишировался).

Правительственными постановлениями 1931-1935 гг. в советской школе восстанавливается классно-урочная система обучения, определяются стабильные программы и учебники. В частности, определяются и стабильные учебники математики: для начальной школы - Н. С. Поповой; для средней школы - А. П. Киселева, И. Г. Попова.

Кроме того, математические умения и навыки отрабатываются по стабильным задачникам: для начальной школы - Н. С. Поповой и А. С. Пчелко, для средней школы - Н. А. Шапошникова и Н. К. Вальцова, Н. А. Рыбкина.

В объяснительной записке к программе 1933/34 учебного года подчеркивалась необходимость последовательного и систематического изучения курса математики с должной преемственностью его с курсом арифметики начальной школы.

Предполагались не только прочное усвоение школьниками учебного математического материала, но и выработка у них твердых математических навыков, в первую очередь - вычислительных.

Осуществленная сверху «контрреформа» советской школы пошла ей на пользу. Свидетельством тому являются и превращение СССР в могучую индустриальную державу, и победа в Великой Отечественной войне, и запуск первого искусственного спутника Земли, и полет Ю. А. Гагарина в космос, и многое, многое другое.

Да и в наше время прекрасной иллюстрацией преимущества стабильности служат учебники математики для начальной школы авторского коллектива, возглавляемого Марией Игнатьевной Моро. Эти учебники, вошедшие в школу в 1969 г. как стабильные, в целом охранили свою структуру и содержание (хотя естественно подверглись некоторым изменениям и усовершенствованиям, продиктованным жизнью и опытом работы массовой школы). Переходя в 5-й класс, школьники, занимавшиеся по этим учебникам, успешно изучают математику по любому из имеющихся в 5-6 классах аль-

тернативных учебников математики (Н. Я. Виленкина и др., Э. Р. Нурка и А. Э. Тельгмаа, И. В. Барановой и 3. Г. Борчуговой и т.д.) Следует особо подчеркнуть, что в это стабильное двадцатилетие в начальной школе изучался курс арифметики с элементами наглядной геометрии.

Остановимся подробнее на характеристике этого курса, надеясь на то, что это будет для нынешнего учителя и интересным, и поучительным.

Этот курс был достаточно богатым по содержанию. Арифметический материал располагался концентрически: первый десяток, второй десяток, первая сотня, первая тысяча, числа любой величины (практически - включая класс миллиардов). Изучались именованные числа и метрические меры. Была предусмотрена пропедевтика обыкновенных дробей (включая запись и преобразование простейших долей, сложение и вычитание дробей вида 4 4 и 5 10 ) Рассматривалось нахождение части числа и числа по его части, нахождение процента числа. Вопросы наглядной геометрии включали: построение и измерение отрезков; построение прямых углов с помощью угольника и линейки; построение квадрата и прямоугольника, ознакомление с их свойствами; измерение и вычисление площади прямоугольника и квадрата, объема куба и прямоугольного параллелепипеда. Предусматривалось проведение работ на местности (провешивание прямой; измерение расстояния на глаз, шагами, рулеткой; построение прямого угла и прямоугольного участка; вычерчивание простейшего плана).

Важнейшим элементом курса арифметики того времени было решение текстовых тип синтетическому методу их решения, записывая решение конкретной задачи по действиям или с помощью числовой формулы. В то время решение текстовых задач «арифметическим» способом считалось важнейшим средством обучения школьников математике и действенным средством их математического развития. Увы, в наше время такие задачи в начальной школе (и даже в 5-6 классах) очень редки. Более того, ставя такую задачу перед учащимися начальной школы, учитель стремится решить ее алгебраическим способом. Немногие учителя понимают, что решение текстовой задачи арифметическим способом (т.е. по действиям, с постановкой вопросов к каждому действию или с его пояснением) учит детей особому способу мышления - синтезу (от данных - к искомому), в то время как «алгебраический» способ решения задачи учит анализу (от искомого к данным). Если иметь в виду, что в курсе алгебры основной школы учащиеся длительное время решают текстовые задачи только алгебраическим способом, т.е. составлением уравнения (или системы уравнений), и тем самым учатся мыслить аналитически, становится ясно, что исключение текстовых задач, решаемых арифметически, из практики обучения в начальной школе (и в 5-6 классах) не только обедняет само обучение математике, но и лишает детей разностороннего математического развития. Более того, при решении текстовых задач арифметическим способом идет обучение детей не только синтезу (зная..., можно узнать), но и анализу (чтобы узнать..., нужно знать), когда идет поиск решения задачи.

Мне могут возразить: в обычной школе текстовые задачи решаются арифметически, т.е. по действиям. Но разве можно назвать задачей задание типа: «На первом складе лежит 250 т картофеля, на втором складе 230 т картофеля, а на третьем складе -275 т картофеля. Сколько всего картофеля лежит на трех складах?» Такая задача - это всего лишь оформленное текстом упражнение в сложении натуральных чисел.

Конечно, детей нужно учить складывать числа и, конечно же, полезно использовать разнообразные формы обучения сложению чисел. Но напрягать свои мысли школьнику здесь не нужно - ход решения очевиден. Так называемые типовые задачи и призваны были заставлять школьников думать, соотносить ту или иную задачу с тем или иным типом задач, а значит - с тем или иным способом ее решения.

Конечно же, и доброе дело можно довести до абсурда. Типовые задачи можно со школьниками решать, а можно разучивать способы решения задач каждого типа, «натаскивать» учеников на решение той или иной типовой задачи. Ясно, что в этом случае вреда будет больше, чем пользы. И все же не напрасно дореволюционная русская школа, впоследствии - и советская уделяли значительное внимание решению текстовых задач арифметическим способом не только в начальной школе, но и при изучении арифметики в 5-6 классах. По сравнению с дореволюционной школой, в советской школе исключили рассмотрение задач, связанных с неметрическими системами мер (верстами, милями и т.п.), а также задач на учет векселей; все другие типы задач до середины 60-х годов в нашей школе рассматривались. Затем типовые задачи «были преданы анафеме» и практически исчезли из начальной и средней школы. Пользуясь популярной в свое время книгой известного методиста-математика Я. Ф. Чекмарева4), познакомим читателя с примерами типовых задач, решаемых в начальной школе в указанный период стабильности. Намеренно не будем указывать, к какому типу принадлежит та или иная задача (желающий может обратиться к первоисточнику), но приведем примеры всех задач рассматриваемых в то время типов.

Задача 1. «20 м проволоки весят 960 г. Сколько весят 6 м этой проволоки?»

Задача 2. «Станок изготовил 279 деталей за 9 минут. Во сколько времени он может изготовить 868 деталей?»

Задача 3. «Из 6 кг муки выходит 8 кг печеного хлеба. Сколько печеного хлеба выйдет из 30 кг муки?»

Задача 4. «Из 100 кг ржи получает 80 кг муки. Сколько муки получится из 175 кг ржи?»

Задача 5. «Турист проехал 2200 км, причем на пароходе проехал вдвое больше, чем на лошадях, а по железной дороге в 4 раза больше, чем на пароходе. Сколько километров турист проехал отдельно на пароходе, на лошадях и по железной дороге?»

Задача 6. «Двое рабочих получили 540 руб. Один работал 3 дня по 8 часов, другой 6 дней по 6 часов. Сколько заработал каждый, если за час работы они получали поровну?»

Задача 7. «В двух классах вместе 85 учеников, в одном на 7 учеников больше, чем в другом. Сколько учеников в каждом классе?»

Задача 8. «Желая определить расстояние от дома до школы, ученик измерил его шагами: в первый раз получилось 196 шагов, во второй - 187, в третий - 201, в четвертый - 198 и в пятый - 203. Сколько в среднем шагов до школы?»

Задача 9. «Рабочий выиграл по облигации займа 5000 руб. Четвертую часть этой суммы он истратил на одежду, три пятых положил в сберкассу, остальные деньги употребил на поездку с семьей на пароходе во время летнего отпуска. Сколько стоила эта поездка?»

Задача 10. «Вес сливок составляет одну пятую веса молока. Из какого количества литров молока можно получить 461 кг 250 г сливок? 1 л молока весит 1025 г.»

Задача 11. «Совхоз имеет 1400 га земли; 32% ее занято рожью; 35% - пшеницей, 22% - овсом, остальное - клевером. Сколько гектаров земли под рожью, пшеницей, овсом и клевером отдельно?»

Задача 12. «Два поезда прошли с одинаковой скоростью: один - 961 км, другой - 248 км, причем первый был в пути на 23 часа больше второго. Сколько часов был в пути каждый поезд?»

Задача 13. «На швейной фабрике на 24 пальто и 45 костюмов пошло 204 м материи, а на 24 пальто и 30 костюмов 162 м. Сколько материи шло на один костюм и сколько на одно пальто?»

4 Чекмарев Я.Ф. и Снегирев В.Т. Методика преподавания арифметики. - М, Учпедгиз, 1950, С.81-93.

Задача 14. «Из города M в город Д навстречу друг другу вышли два поезда. Один проходил по 50 км, а другом по 30 км в час. Они встретились через 8 часов. Вычистить расстояние между городами».

Задача 15. «Два пешехода вышли одновременно в одном направлении из двух мест, находящихся на расстоянии 10 км одно от другого. Первый шел по 3 км в час, второй по 5 км. Через сколько часов второй догонит первого?»

Задача 16. «Для разгрузки баржи, вмещающей 3 224 ООО кг хлеба, нанято было 40 рабочих, из которых каждый выгружал в день 10 400 кг хлеба. Через 4 дня к ним прибавили еще 10 человек, работавших так же, как и первые. Во сколько дней баржа была разгружена?»

Предоставим читателю возможность самому оценить сложность и полезность задач каждого типа для младших школьников. Решив каждую из приведенных задач, учитель может выяснить, какие из них он решал с учащимися, занимаясь по стабильным учебникам М. И. Моро и др. Если он обнаружит среди названных те задачи, которые он не использовал в обучении, то, слегка обновив фабулу задачи, он может поставить их перед школьниками в соответствующем месте курса математики, при этом никак не нарушая своей системы обучения!

Содержание обучения математике в начальной школе с двадцатилетнего периода стабильности, а также характер рассматриваемых в то время текстовых задач могут помочь учителю оценить меру устойчивости учебников М. И. Моро и др., по отношению к тем резким реформам, которые сотрясали нашу школу в период с 1968 по 1978 гг.

Предвижу возражение кого-либо из читателей. Стоит ли пользоваться столь давним опытом работы нашей школы? Своевременно ли это и современно ли это? Ответ прост. Позитивные образовательные традиции долго не стареют. Не зря говорят, что «всякое новое - это хорошо забытое старое». Как не вспомнить эту поговорку, слыша и читая о широком внедрении в практику работы сегодняшней начальной школы систем развивающего обучения Л. В. Занкова и В. В. Давыдова, спустя много лет повторно ставших «новыми» и модными. Поражает не столько то, что каждая из них более 30-ти лет тому назад проверялась экспериментально в школах и показала свою несостоятельность для массовой школы. Поражает размах рекламы этих систем обучения и способы их внедрения в практику работы школы, преимущественно «сверху». Учителям, как сообщает «Педагогический вестник» (№1, 1997) со ссылкой на газету «Первое сентября», соглашающимся работать по любой из этих систем, предлагают повысить квалификационный разряд до наивысшего учительского - 14-го! Недостатка в снабжении школ соответствующими учебниками и методическими пособиями в этих случаях также не наблюдается. Вместе с тем известно, что учителя математики основной школы стремятся отказаться вести те классы, который обучались в начальной школе по названным системам. А Министерство образования РФ (ныне, правда, реорганизованное) всемерно поддерживало широкое внедрение.

Не буду оценивать каждую из этих систем обучения (включающих и систему обучения математике) по существу не потому, что у меня нет обоснованных возражений, а по иной причине. Можно ли говорить об эффективности этих систем, если они не способны ее подтвердить? И системе Л. В. Занкова, и системе В. В. Давыдова (и иным близким к ним или далеким от них новым системам обучения) присуще главное негативное качество: все они замыкаются рамками начальной школы. Ни одна из этих систем ни разу не была продолжена до окончания детьми основной школы (не говоря уже о средней). Неужели авторам и последователям этих систем начального образования детей безразлично, как дальше будут обучаться их выпускники начальной школы, смогут ли они вписаться в традиционную массовую систему школьного обучения? Ут-

верждение, что недостаток фактических знаний восполняется у этих детей якобы повышенным развитием, бездоказательно и опровергается практикой. Попутно скажу о том, что неоднократно наблюдал, бывая в школах. Отечественный учитель начальных классов не так прост, как некоторые думают. Многие из учителей, официально работая по какой-либо системе развивающего обучения, держат в «загашнике» (у себя и у детей) проверенный стабильный учебник математики и некоторым образом выводят своих учащихся из тяжелого положения. Хорошо это или плохо - предоставим судить читателю.

Как уже было отмечено, наша начальная школа оказалась наиболее устойчивым звеном в системе советского образования, вовлеченного в радикальную реформу на рубеже 60-70-х годов. Эта реформа, проникшая к нам из-за рубежа, проходила под лозунгами «Повысить научный уровень школьного обучения; приблизить содержание учебного предмета к современному состоянию соответствующей науки». В области математического образования она опиралась на теоретико-множественную концепцию построения курса математики «снизу-доверху». Реформа проводилась спешно, без достаточной экспериментальной проверки. Введенная приказным порядком сверху, эта реформа была характерна тем, что новые учебники и методические пособия готовились на ходу; так же скоропалительно проходила и подготовка учителей. Переход обучения математике на новую систему был начат в 1968/69 учебном году одновременно с двух ступеней: с пятых и седьмых классов. Главным проводником реформы стали Министерство просвещения СССР и АПН СССР. Начальная школа России в то время находилась в ведении республиканского Министерства просвещения, возглавлял которое уже много лет мудрый и авторитетный министр А. И. Данилов. Руководство республиканского министерства весьма настороженно отнеслось к столь радикальной реформе школы и, как показали дальнейшие события, - не ошиблось. Далее отдельных экспериментов, проходивших под лозунгом «развитие - первично, обучение - вторично», а также мелких нововведений (например, рассмотрения в начальной школе простейших уравнений, усиления так называемой предчисловой арифметики и т.п.) дело не пошло. Правда, учебный предмет получил название «математика», однако арифметика осталась главной, стержневой линией курса, вокруг которой строится алгебраическая и геометрическая пропедевтика. Сказанное характерно и для современных учебников М. И. Моро и др. Буквенная символика и наглядная геометрия по-прежнему служат в качестве важных средств изучения арифметики чисел и действий над ними; оживляют арифметический учебный материал, связывают изучение математики с жизненной практикой.

Заметим, что в 1979 году крупнейшие математики страны - члены Академии наук СССР - практически единодушно осудили эту реформу школьного обучения, признав неудовлетворительными все программы по математике и все учебники математики (исключая программу и учебники для начальной школы). С этого времени началась контрреформа (со знаком «плюс»), направленная на возрождение позитивных отечественных традиций в содержании и методах школьного обучения математике. Самое обидное заключается в том, что неудача теоретико-множественного подхода к построению обучения математике в массовой школе на Западе (в США, Канаде, Германии и т.д.) обнаружилась еще тогда, когда мы только начинали эту реформу, т.е. в начале 70-х годов. Западная школа начала отходить на исходные рубежи, а наша школа - повторять чужие ошибки! Цена этой «реформы» была велика. Многие выпускники школы оказались на грани математической неграмотности, не умея, например, сложить — и —.

Некоторые методисты в последнее время вновь стали высказываться за проникновение теории множеств в школу, и даже - в начальную школу. Уже написаны и

соответствующие учебники, по которым ведется экспериментальное преподавание (хорошо еще, не сразу - массовое внедрение).

Некоторые методисты, к сожалению, не отличают рассмотрение в начальной школе элементов теории множеств от использования «предметных» множеств (кубиков, шариков, кружков, квадратиков и т.п.) при изучении натуральных чисел и арифметических действий над ними. Использование этих вспомогательных средств было присуще школе всегда, еще в прошлом веке. Собирая вместе, в одну кучку, квадратики и кружки, ребенок осознает, что узнать, сколько всего предметов в кучке, можно двумя способами: пересчитать их или вычислить сумму двух чисел (числа квадратиков и числа кружков). И вряд ли стоит эти понятные ребенку вещи заменять знакомством с объединением конечных множеств, не имеющих общих элементов (т.е. пересечение которых пусто), и говорить о числовой характеристике полученного множества.

Но будем надеяться, что экзотические вопросы теории множеств не заменят в начальной школе добротной арифметики, которую К. Ф. Гаусс назвал «царицей математики». Однако не все благополучно в этом отношении в высшем педагогическом образовании. На педагогических факультетах вузов, готовящих будущих учителей начальной школы до сих пор действует программа по математике, в которой вопросы арифметики занимают второстепенное место, а главное место занимают разделы, посвященные теории множеств, математической логике, теории бинарных отношений.

Сложилось парадоксальное положение: в массовой школе, учитель работает по одной математической идеологии (обучает преимущественно арифметике), а готовится к этой работе совсем по другой идеологии, которая отвергнута даже средней школой. Попытки изменить это положение предпринимаются (о чем внимательный читатель может прочитать на страницах нашего журнала), однако в практике работы вузов энтузиазма в этом отношении не наблюдается - трудно отказаться от привычного (даже если понимать, что нужны изменения).

Весь опыт отечественной школы свидетельствует о том, что революции в образовании (как, впрочем, и в общественной жизни) обычно к добру не ведут. В образовании полезны лишь эволюционные, постепенные перемены. Работающему, творчески настроенному учителю полезно следовать принципу «изюм - в булочку»; узнал о новом интересном приеме обучения, обнаружил интересную задачу - используй на практике; получилось неудачно - «вынь эту изюминку из булочки» («всю булочку печь заново не нужно»).

Конечно, поднятые здесь мною проблемы, касающиеся обучения математике в начальной школе, не исчерпывают весь круг актуальных проблем, стоящих перед ней. Если мои размышления окажутся полезными читателям журнала, вызовут конструктивную дискуссию на его страницах, я готов продолжить как обсуждение уже названных, так и других проблем, о которых я пока умолчал, или - тех вопросов, которые поставят читатели журнала.

Хочу убедить работающего учителя в важности обучения детей тому, что он хорошо знает сам, что проверено его собственным опытом и многолетней практикой работы отечественной школы.

Сейчас важно не столько приобрести что-то еще, сколько сохранить имеющееся. И тем самым помочь нашей школе выжить. А совершенствоваться будем потом.

Традиции и новации в содержании и методах обучения математике5

Ю. М. Колягин

Что нам нужно, чтобы добиться успеха? Ничего не уничтожать и совершенствовать имеющееся.

Н. И. Лобачевский

Ошибка сапёра видна сразу, а ошибка в образовании -только через поколение.

Народная мудрость

За последнее время школьные учителя и многие методисты успели устать от различных, спускаемых, как правило, сверху реформации, модернизаций, реорганизаций, новаций, инноваций и других «ций». Реже, но все же, начинают понимать и полезность традиций. Вспоминают, правда, тогда, когда теоретически вроде бы безупречные новейшие технологии обучения обнаруживают свою практическую импотенцию в массовой школе. Один из педагогов г. Воронежа В. Варава правильно отмечает: «Засилье инновационных технологий - серьезная болезнь современного образования» и далее -«...Чем ничтожнее педагогическая мысль, тем больше она обращается к инновациям, тем дальше она от живой души школьника, ...чем значительнее педагогическая мысль, тем она более традиционна, обращена к великим идеям и личностям». И с этим трудно не согласиться, так как на страже традиций всегда находится опыт. Однако жизнь меняется и потому определенные перемены в образовании неизбежны, а значит неизбежны и новации. И понятно, что не всякую новацию следует встречать в штыки. Вместе с тем, в ее насущной необходимости, ее полезности (а главное, в ее безвредности) должны быть убеждены не только министерские чиновники и ученые-педагоги, но и учителя, и родители, и учащиеся. Поэтому и важно каждому из нас уметь отличать хорошее от плохого, новое от старого, полезное от вредного и вместе с тем понимать, что во взаимосвязи и взаимопротиводействии новаций и традиций идет развитие. И помнить при этом следующие афоризмы: «Всякое новое - хорошо забытое старое» или «Лучшее - враг хорошего».

Наша школа переживает сейчас трудные времена. Нелегкие времена наступили и для школьной математики, и для тех, кто ее преподает. При этом новации в преподавании математики не сводятся только к изменениям в содержании обучения (к тому, например, что в школьном курсе математики появляются элементы теории вероятностей и математической статистики, непонятно, правда, за счет чего) или к изменению учебного плана (число часов на математику стремятся уменьшить, непонятно почему). Конечно, эти изменения важны. Но за ними стоят изменения более глубокие. Чтобы оценить их, важно видеть лес за деревьями, сравнить то, что стало с тем, что было, вспомнить о традициях отечественной школы и прочувствовать те новации, которые характерны для школы сегодняшней. Посмотреть, органически ли вписывается новое в традиционное или противоречит ему, и ответить себе на вопрос: «Что такое хорошо и что такое плохо?».

Ныне вся наша школа, как и преподавание математики, находится в плену традиций и новаций, качаясь как маятник то в одну, то в другую сторону. Бывает и так, что традиции и новации так тесно переплетаются в реальном процессе школьного обучения, что для начинающего учителя они просто неразличимы.

Коснемся теперь важного педагогического вопроса о задачах отечественного народного просвещения. В традиционной триединой задаче нашей школы - обучение, воспитание и развитие - в российской школе всегда отдавался приоритет воспитанию, - и прежде всего, воспитанию нравственному, эстетическому; обращалось особое вни-

5 Газ. «Математика». Прилож. к газ. «Первое сентября». -2004. - №21.

мание на формирование у школьников интереса к учебе и уважения к труду. Еще в 1837 году министр народного просвещения России граф С. С. Уваров писал о том, что важно «внушить юношеству, что на всех ступенях жизни умственное совершенствование без совершенствования нравственного мечта и мечта пагубная». Итак, для отечественной школы традиционными были душепопечителъство и душеустройство. В противовес этому во второй половине XX века, и прежде всего в математическом образовании школьника, был отдан приоритет развитию. Была предпринята попытка, попытка неудачная, осуществлять развитие ребенка вне процесса обучения, перед обучением. Отголоски этой, ставшей уже старой, новации можно усмотреть сейчас в некоторых системах обучения, проникающих в школу под лозунгом развивающего обучения (можно подумать, что добротное традиционное обучение школьника не развивало). Воспитанию нравственному пришло на смену воспитание рыночное. Рекомендуется обучаться лишь тому, что будет полезно и пригодится в жизни. Только никто не знает, что будет полезно и что пригодится конкретному ребенку. Сказанное имеет отношение и к обучению математике. С высокой трибуны уже говорят, что знание формулы sin2ör почти никому не нужно, а вот научиться в школе заполнять налоговую декларацию важно. Изучать в русской школе русский язык - нужно, но в татарской школе следует уделить большее внимание татарскому языку. А вот английский язык нужно хорошо изучить в каждой школе (теперь уже начиная со второго класса). Таковы воспитательные новации. Именно рыночное воспитание привело к тому, что число учащихся, поступающих в финансово-экономические вузы, все время растет, а по официальным данным найти работу по специальности смогут только 37,1%; где будут работать остальные 62,9% выпускников - мало кого волнует (с чего они будут платить налоги?). Правда, в последнее время громко заговорили о необходимости возрождения некоторых традиций - о важности воспитания учащихся, особенно патриотического воспитания (спасибо нашему президенту, указавшему на этот пробел).

Продолжим сравнение традиций и новаций по ключевым вопросам школьного обучения, имеющим, правда, отношение не только к преподаванию математики, но и к преподаванию других учебных предметов.

1. По традиции отечественная средняя школа была общеобразовательной. Учебный план был единым для всех школ России. Дифференциация обучения осуществлялась обычно на старшей ступени (гимназии и реальные училища - до революции, техникумы и СПТУ - в советское время) или же через систему математических кружков, факультативов и спецклассов. Теперь же старшая ступень средней школы становится профильной (математические кружки практически исчезли). Учебный план поделен на отдельные компоненты (федеральный, федерально-региональный, региональный, школьный и ученический). Предполагается, что такой учебный план якобы обеспечивает инициативу и свободу выбора содержания обучения на местах, по существу же он негативно сказывается на изучении многих учебных предметов и не способствует единому общеобразовательному пространству России. Так, в соответствии с новыми учебными планами (газета «Первое сентября» от 30 марта 2004 года) на региональный компонент отводится: по начальной школе - 24% всего учебного времени, по основной школе - 16%, по профильной (включая время на порой сомнительные элективные курсы) - 17% драгоценного для всех учебного времени. Не здесь ли кроется причина дефицита учебного времени на многие учебные предметы?

2. Традиционными ведущими учебными предметами русской и советской школы были русский язык и литература и математика. На их изучение в средней школе отводилось более 50% всего учебного времени (например, в учебном плане 1950 года). Теперь же математика и русский язык, хотя и отнесены к федеральному компоненту, на их изучение отводится не более 1/3 всего учебного времени (и то, после непрерывной

пятилетней борьбы научной и педагогической общественности с неореформаторами, трудившимися по заказу нашего министерства). Более того, математика и русский язык перестали быть ведущими учебными предметами общеобразовательной школы. Такими предметами становятся обществоведение (включая начала экономики), информатика и иностранный язык; еще, кстати по указанию президента, - и физкультура. Попробуйте сами оценить эту новацию.

3. В советское время средняя общеобразовательная и средняя профессиональная школа были бесплатными; с 1959 года было введено всеобщее обязательное восьмилетнее образование, а в 1976 году наша школа перешла на всеобщее обязательное среднее образование. Нынешняя девятилетняя (основная) школа по Конституции объявлена бесплатной. Утверждается, что и средняя школа и часть высшей школы так же является бесплатной. Однако это далеко от истины. По свежим данным ГУ ВШЭ нынешние родители тратят на обучение своих детей вдвое больше, чем выделяет на эти цели государственный бюджет. Комментарии, как говорится, излишни.

4. Как и учебные планы, по традиции, до последнего десятилетия были едиными и учебные программы. Когда наша школа работала не в период модернизации математического образования, то есть не в период с 1967 по 1980 годы, то школьная программа по математике была стабильной. Однотипным было и тематическое планирование, что давало возможность устранить нестыковки при переходе ребенка из одной школы в другую.

По математике в каждом классе до 1987 года действовал один стабильный учебник; с 1987 года, по итогам Всесоюзного конкурса, были введены три альтернативных и равноправных учебника математики, в которых одно и то же содержание обучения излагалось в рамках лишь методических различий (речь идет об учебниках Ю. Н. Макарычева и др. и А. В. Погорелова или учебниках Ш. А. Алимова и др. и Л. С. Атанасяна и др. и т.д.). В настоящее время альтернативность учебников математики переходит, на наш взгляд, все разумные границы: сейчас в федеральном списке утвержденных учебников математики 97 названий (35 комплектов) по средней школе и 245 названий (7 комплектов) по начальной школе. Важно иметь в виду, что в последние годы советской власти (начиная с 1978 года) школы снабжались учебниками бесплатно и к тому же школьные учебники всегда стоили копейки. Сейчас же за школьные учебники нужно платить. Директор издательства «Просвещение» А. М. Кондаков привел недавно показательный пример: издательская стоимость «Азбуки» В. Г. Горецкого 37 рублей, а на Дальнем востоке страны ее продают за 125 рублей. Исключение тому -столичные регионы. Но здесь бесплатным становится лишь один учебник (причем здесь альтернативность?). К тому же школы многих регионов снабжаются учебниками не регулярно. Целый ряд регионов в течение многих лет вообще не закупает учебники -нет денег на закупку. Выручают старые учебники и родители.

5. До школьных реформ 90-х годов прошлого века система форм и методов обучения математике была устоявшейся: классно-урочная форма занятий как основная форма в массовой школе (а какой она может быть здесь иной?), вопросно-ответный (эвристический) метод обучения и т.д. К концу прошлого века стали возникать авторские школы (Л. А. Лысенкова, Н. Ф. Шаталов, Р. Г. Хазанкин и др.). Педагогика вроде бы оживилась, однако в массовой школе новации не привились. Да они и не могли быть пригодными всюду: то, что получается хорошо у одного учителя, не получается у другого, - и это естественно. Тем не менее, многие новации упорно внедряются в школу, несмотря на их сомнительный характер или заведомую непригодность. Так, например, в Самарской области пытаются возродить и распространить «новацию» - американский «метод проектов», которому уже исполнилось более 100 лет и который в нашей стране себя не оправдал (еще в 20-е годы прошлого века). Некоторые системы так называемо-

го развивающего обучения (например, В. В. Давыдова или Л. В. Занкова) выдаются за новые, хотя им исполнилось почти 50 лет и в свое время они так же приживались с трудом в массовой школе.

6. Как ни пытаются реформировать традиционную пятибалльную систему школьных оценок (предлагая двенадцатибалльную, стобалльную), пока это, к счастью, не удается. Зато, увы, удалось другое - уменьшилось число экзаменов в школе под благовидным предлогом заботы о здоровье детей. Мало кто знает, что до 60-х годов в нашей стране, начиная с 4-го класса, проводились ежегодные экзамены по математике, не считая выпускных из неполной средней и средней школы. На выпуске из основной школы (восьмилетки) было два экзамена - алгебра (письменно) и геометрия (устно). Были заведомо известны типы экзаменационных задач по алгебре, а по геометрии -тексты экзаменационных билетов. На выпуске из средней школы по математике был письменный экзамен по геометрии с применением тригонометрии, с обязательным описанием построения чертежа, теоретическим обоснованием хода решения задач и вычислением (с помощью логарифмической линейки или таблиц В. М. Брадиса). На моей памяти школьного учителя экзамены проходили в торжественной обстановке, с морем цветов на столах у учителей. И никто не жаловался на перегрузку. Сейчас все проще и суше. Школьники сдают только один письменный экзамен по алгебре в 9-м классе и по алгебре и началам анализа в 11-м классе. Правда, появилось важное новшество - ЕГЭ (итоговый и вступительный экзамен одновременно). Под видом эксперимента (результаты которого умело скрываются от общественности) ЕГЭ уже внедрился в половине школ России. Форма его не обычна для наших школьников: в его основе лежат тесты с выбором готового ответа; задания последней группы, более привычные, не под силу обычному школьнику, а некоторые из них с ходу не решит и учитель. Учителям проведение ЕГЭ не доверяют, а школьник может направить свои результаты в любой вуз (в десятки или в сотни экземпляров) и ждать положительного ответа из каких-либо вузов. О каком призвании можно в этом случае говорить, да и вузы принимают кота в мешке.

Говорят, что репетиторству придет конец, но уже каждому ясно, что меняется лишь его характер - репетиторы будут натаскивать на ЕГЭ, да и школьного учителя толкают к тому же. Традиционное репетиторство хотя бы содержательнее и полезнее: учат решать, например, сложные логарифмические неравенства или тригонометрические уравнения, строить графики и т.п.

7. Как уже отмечалось, развитие интереса к математике и поощрение талантов ранее осуществлялось через весьма разветвленную систему внеклассной и внешкольной работы. Сейчас сохранились лишь спецклассы и олимпиады. За эту традицию мы держимся крепко; теперь победителей даже региональных математических олимпиад будут принимать в МГУ без экзаменов. Вместе с тем, в основном в Москве и Санкт-Петербурге, возникли элитные лицеи или гимназии (частные и ведомственные). В них обучаются, наряду с отдельными талантливыми детьми, vip-дети или дети из обеспеченных семей.

Труднее стало работать учителю математики. Зарплата традиционно осталась низкой (к тому же по России не всегда вовремя выплачиваемой), а стоимость учебно-методической литературы и предметных журналов резко возросла. Да и времени у учителя массовой школы стало намного меньше. В советский период учитель мог иметь нагрузку лишь до 1,5 ставки. Теперь же нередки случаи, когда (по своей необходимости или по просьбе школы) ему приходится вести до 40 уроков в неделю. Появился и новый термин - учитель-трудоголик.

Итак, к сожалению, многие новации не обогатили позитивные традиции, а сломали их. Хорошо, что многие полезные традиции живы и обнаруживают сегодня ус-

тойчивую тенденцию к их возрождению. И это радует.

8. Не хочется создавать у вас впечатление о том, что все сегодняшнее плохо, а все вчерашнее хорошо. Вот пример важной и неизбежной новации, которая врывается в школьное обучение и воспитание независимо от нас, но уже от нас зависит, сделать ее полезной и эффективной. Речь идет о компьютеризации школьного обучения. Учителям математики это особенно близко. По традиции прошлого века главным рабочим инструментом учителя математики были мел и тряпка. Были, правда, и таблицы, и слайды, но это не было главным. Сейчас в нашем распоряжении и аудио- и видеотехника, разнообразные учебные компьютерные программы и Интернет. Однако уже известно, что электронные носители информации вытесняют бумажные. Для школьного обучения и семейного воспитания этого допускать нельзя. Во всем мире (да и у нас - в самой когда-то читающей стране) дети разучились, да и не любят читать, не говоря уже о серьезных негативных последствиях этого для каждого ребенка. Учитель математики не сможет научить школьника решать математические задачи, если тот не понимает смысла, не умеет прочитать текст условия задачи. Отсюда следует очевидное - будущее не за учебным компьютером, не за электронным учебником, а за педагогически грамотно компьютерно оснащенным обычным (печатным) учебником, за методикой обучения математике, активно и эффективно использующей компьютер в классе и дома. И, конечно же, - за живым словом учителя, которого никогда не заменит даже самый совершенный компьютер. Подведем некоторый итог. Выскажем свои соображения о том, как следует осуществлять модернизацию школьного математического образования.

1. Любая модернизация обучения математике должна опираться на опыт работы отечественной школы в прошлом и настоящем; сохранять все позитивные традиции и достижения отечественной школы, заимствовать из зарубежной школы лишь лучшее и пригодное в наших условиях. Все предлагаемые новации должны быть теоретически обоснованы и практически проверены (поначалу по принципу изюма в булочку). Обновление должно быть эволюционным, причем таким, чтобы учитель был убежден в необходимости и полезности намеченных изменений и был готов к их проведению. В том же должны быть убеждены и широкая научная и педагогическая общественность, родители школьников. Заранее должны быть подготовлены и широко обсуждены роль и место математики в учебном плане школы, учебные программы и рекомендуемые учебно-методические пособия.

2. Математика, наряду с русским языком и литературой, должна оставаться приоритетным учебным предметом основной общеобразовательной школы. Она должна быть обеспечена должным числом учебных часов в неделю, необходимым и достаточным для основательной базовой математической подготовки. Это означает, что разгрузка школьников может осуществляться за счет устранения многопредметности, освобождения программы от второстепенного учебного материала, за счет совершенствования методики преподавания, в том числе и за счет широкого использования компьютерных технологий.

3. Обучение математике в начальной школе призвано сформировать у детей начальную математическую грамотность: знание начал курса арифметики, необходимые вычислительные навыки, умение проводить простейшие рассуждения в ходе решения текстовых задач, первичные навыки математической речи и письма. Тем самым начальная школа должна обеспечить подготовку детей к успешному изучению систематических курсов математики.

4. Обучение математике в основной школе должно оставаться фундаментальным, создающим равные условия всем школьникам для продолжения образования в старшем звене средней школы, независимо от избранного профиля. Это означает, что

школьные курсы арифметики, алгебры и геометрии должны оставаться самостоятельными, систематическими, конкретно-дедуктивными и взаимосвязанными (по горизонтали и вертикали). Наряду с формированием системы математических знаний должно осуществляться развитие у всех школьников логического мышления, пространственного воображения и интуиции.

5. Старшая профильная школа должна иметь следующие основные профили: общеобразовательный (для тех школьников, которые не определили своих интересов), гуманитарный, естественно-технический, экономический и физико-математический. Каждый из этих профилей должен быть обеспечен своей программой и своими учебниками математики. Вместе с тем математика в профильной школе должна иметь устойчивое ядро, инвариантное по отношению к профилю и позволяющее каждому школьнику перейти с одного профиля на другой при минимальной предварительной подготовке. Это означает, что курс математики в профильных классах должен иметь достаточное число учебных модулей, в которых представлены те или иные темы, рекомендуемые для изучения в классах данного профиля или по выбору.

6. Новые разделы школьного курса математики (элементы теории множеств и математической логики, начала комбинаторики и теории вероятностей, элементы математической статистики) в основной школе должны вводиться пропедевтически, постепенно и может быть неявно, через задачи и упражнения, получая обобщение частичное в конце года, а итоговое - к концу обучения в основной школе. Систематическое их изучение должно быть отнесено к профильной школе. При этом следует определиться, за счет сокращения какого программного материала возможно изучение этих новых разделов. В частности, не следует ли отказаться в средней школе от изучения начал математического анализа, предоставив такое изучение в вузе?

7. Содержание школьного курса математики на всех его степенях должно четко определяться в образовательном стандарте и находиться в полном соответствии с тем временем, которое отводится на его изучение учебным планом. Реальные возможности удовлетворения всех предметников тем учебным временем, которое отводится на изучение данного учебного предмета содержится, на наш взгляд, в отказе от деления учебного плана на отдельные компоненты, в возрождении единого учебного плана для общеобразовательной школы России. Необходимые дополнения могут проводиться за счет системы факультативных занятий.

Наши авторы

Авдеев Фёдор Степанович - доктор педагогических наук, профессор, ректор Орловского государственного университета

Авдеева Татьяна Константиновна - доктор педагогических наук, доцент кафедры геометрии и методики преподавания математики Орловского государственного университета.

Зубкова Лариса Николаевна - кандидат педагогических наук, доцент кафедры алгебры и математических методов в экономике Орловского государственного университета.

Короткова Лидия Михайловна - доктор педагогических наук, профессор, зав. лабораторией естественно-математического образования Федерального института развития образования Министерства образования и науки РФ (г. Москва).

Костенко Игорь Петрович - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Высшая математика-1» Ростовского государственного университета путей сообщения (Краснодарский филиал) (г. Краснодар).

Кузовлев Валерий Петрович - доктор педагогических наук, профессор, ректор Елецкого государственного университета им. И. А. Бунина, академик Международной академии наук педагогического образования, член-корреспондент MAC (Москва), член-корреспондент Петровской академии наук и искусств (Санкт-Петербург).

Манвелов Николай Сергеевич - кандидат педагогических наук, доцент, декан информационно-технического факультета Черноморской гуманитарной академии (г. Сочи).

Манвелов Сергей Георгиевич - доктор педагогических наук, профессор Армавирского государственного педагогического университета, заслуженный учитель Российской Федерации, академик Международной академии наук педагогического образования.

Мерлина Надежда Ивановна - доктор педагогических наук, профессор, зав. кафедрой методики преподавания математики Чувашского государственного университета (г. Чебоксары).

Михеев Юрий Викторович - учёный секретарь Института педагогических исследований одаренности детей РАО (г. Новосибирск).

Монахов Вадим Макариевич - доктор педагогических наук, профессор, член-корр. РАО (г. Москва).

Никитин Александр Александрович - доктор физико-математических наук, профессор, директор Института педагогических исследований одаренности детей РАО, академик РАО (г. Новосибирск).

Никольский Сергей Михайлович доктор физико-математических наук, профессор, советник РАН, действительный член РАН, заслуженный профессор Московского университета.

Пантелеймонова Анна Валентиновна - кандидат педагогических наук, доцент кафедры вычислительной математики и методики преподавания информатики Московского государственного областного университета.

Пащенко Михаил Георгиевич - кандидат физико-математических наук, заместитель директора Института педагогических исследований одаренности детей РАО (г. Новосибирск).

Перевощикова Елена Николаевна - доктор педагогических наук, профессор, декан факультета математики, информатики и физики Нижегородского государственного педагогического университета.

Розов Николай Христович - доктор физико-математических наук, профессор, декан факультета педагогического образования МГУ, член-корр. РАО.

Русаков Александр Александрович - профессор, действительный член Академии информатизации образования, зав. кафедрой высшей математики Московского гуманитарного университета им. М. А. Шолохова, зав. лаборатории «Методики и методологии преподавания математики и информатики Специализированного учебно-научного центра МГУ им. М. В. Ломоносова, школы им. А. Н. Колмогорова.

Саввина Ольга Алексеевна - доктор педагогических наук, профессор, зав. кафедрой математического анализа и элементарной математики Елецкого государственного университета им. И. А. Бунина.

Савинцева Наталья Викторовна - кандидат педагогических наук, доцент кафедры теории и методики обучения математике в школе Московского городского педагогического университета.

Селютин Владимир Дмитриевич - доктор педагогических наук, профессор кафедры алгебры и математических методов в экономике Орловского государственного университета.

Смирнова Ирина Михайловна - доктор педагогических наук, профессор кафедры элементарной математики Московского педагогического государственного университета.

Степанова Светлана Вячеславовна - кандидат педагогических наук, главный редактор журнала «Начальная школа».

Тарасова Оксана Викторовна - доктор педагогических наук, профессор кафедры методики начального обучения Орловского государственного университета.

Ткачева Мария Владимировна - доктор педагогических наук, профессор, главный научный сотрудник Федерального института развития образования Министерства образования и науки РФ (г. Москва).

Федорова Надежда Евгеньевна - кандидат педагогических наук, доцент кафедры теории и методики обучения математике в школе Московского городского педагогического университета.

Чернобровкина Ирина Ивановна - кандидат педагогических наук, доцент кафедры алгебры и математических методов в экономике Орловского государственного университета.

Шабунин Михаил Иванович - доктор педагогических наук, профессор кафедры высшей математики МФТИ.

Шалева Людмила Борисовна - кандидат педагогических наук, профессор кафедры методики начального обучения Орловского государственного университета, декан факультета документоведения и педагогического образования, зав. кафедрой методики начального обучения.

Щербатых Сергей Викторович - кандидат педагогических наук, старший преподаватель кафедры математического анализа и элементарной математики Елецкого государственного университета им. И. А. Бунина.

Яковлев Геннадий Николаевич - доктор физико-математических наук, профессор, член-корр. РАО (г. Москва).

Ярдухина Светлана Александровна - ассистент кафедры методики преподавания математики Чувашского государственного университета (г. Чебоксары).

Содержание

Славный юбилей учёного

Поздравление журнала «Начальная школа» .. .3

Поздравление академика РАН С. М. Никольского ...5

Часть 1. Рядом и вместе с Учителем .. .6

Авдеев Ф. С.

Методико-математическая школа Юрия Михайловича Колягина на Орловщине ...7

Авдеева Т. К.

Учителю ...12

Короткова Л. М., Савинцева Н. В.

Юрию Михайловичу Колягину - 80? ... 14

Костенко И. П.

Подарок судьбы ... 17

Кузовлев В. П., Саввина О. А.

Ю. М. Колягин и формирование российской научной школы по истории математического образования ... 18

Никольский С. М., Авдеева Т. К., Монахов В. М., Розов Н. Х., Русаков А. А., Яковлев Г. Н.

К восьмидесятилетию академика Российской академии образования Юрия Михайловича Колягина ... 22

Перевощикова Б. Н.

Методическая школа Ю. М. Колягина .. .26

Селютин В. Д.

Весомый вклад в подготовку научных кадров по теории и методике обучения математике .. .28

Смирнова И. М.

Преемственность в преподавании школьной геометрии .. .34

Тарасова О. В.

Уроки жизни и уроки мудрости Ю. М. Колягина .. .38

Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.

Ю. М. Колягин и совершенствование школьного математического образования ...40

Часть 2. Современные проблемы математического образования .. .46

Зубкова Л. Н.

Геометрические построения в обучении математике в школе .. .47

Манвелов С. Г., Манвелов Н. С.

Об исследовании функций на чётность-нечётность ... 51

Мерлина Н. П., Ярдухина С. А.

О методическом обеспечении спецкурса «История отечественного школьного математического образования» ...55

Михеев Ю. В., Никитин А. А., Пащенко М. Г.

Элементы исследовательской деятельности при обучении математике в общеобразовательной школе ... 5 9

Пантелеймонова А. В.

Задачи в математике и информатике ... 74

Чернобровкина И. И.

К вопросу об актуальности изучения опыта работы американской школы .. .78

Шалева Л. Б.

Некоторые размышления о подготовке учителя для начальной школы ... 81

Щербатых С. В.

Современная школа и стохастическое образование ... 83

Материалы к биографии и статьи Ю. М. Колягина ...86

Биография Юрия Михайловича Колягина ... 87

Колягин Ю. М.

О функциональных уравнениях ... 89

Колягин Ю. М.

Размышления о некоторых проблемах начального обучения математике .. .96

Колягин Ю. М.

Традиции и новации в содержании и методах обучения математике ... 103

Наши авторы ... 109

Содержание ...112

Для заметок

АКАДЕМИК РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ ОБРАЗОВАНИЯ

Юрий Михайлович Колягин

К 80-летию со дня рождения

Печатается по решению редакционно-издательского совета Орловского государственного университета

Редакционный совет: Авдеев Ф. С, Авдеева Т. К., Тарасова О. В.

Компьютерная вёрстка - Тарасова О.В.

Подписано в печать 16.02.2007 г. Формат 60x80 1/16

Печать ризография. Бумага офсетная Объем 7,25 усл. печ. л. Тираж 100 экз. Заказ № 291

Редакционно-издательский отдел ГОУ ВПО «Орловский государственный университет» 302026, г. Орел, ул. Комсомольская, 95

Лицензия ПД № 8-0023 от 25.09.2000 г. Отпечатано с готового оригинал-макета в ООО Полиграфическая фирма «Картуш» г. Орел, ул. Васильевская, 138. Тел./факс (4862) 74-11-52.

Иван Козьмич Андронов И.К. Андронов на лекции

И.К. Андронов на заседании кафедры в МОПИ им. Н.К. Крупской

Кафедра высшей алгебры, элементарной математики и методики преподавания математики (МОПИ им. Н.К. Крупской, 1967 г.) Сидят (слева направо) П.В. Стратилатов, Л.С. Розенкнот, И.К. Андронов, В.Ф. Ноздрев (ректор), Ю.М. Колягин, Н.И. Сырнев.

Друзья, единомышленники, коллеги — Г.Л. Луканкин, Ю.М. Колягин

Ю.М. Колягин, 1978 г.

На страницах финской печати, 1978 г.

С болгарскими коллегами за работой над «Методикой».

Слева направо: И. Ганчев, Ю. М. Колягин, И. Кучинов, Л. Потев, г. София

Ю.М. Колягин на государственном экзамене в МОПИ им. Н.К. Крупской, 1986 г.

Юрий Михайлович, Любовь Петровна, г. Ленинград, 1978 г.

Юрий Михайлович, Любовь Петровна и Ивайло. Болгария.

Юрий Михайлович Колягин, 1979 г.

Н.Е. Федорова, Ю.М. Колягин, Н.В. Савинцева, Л.Б. Шалева, Антон Ткачёв. После лекции в институте усовершенствования учителей, г. Орёл

Э.Г. Позняк, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин. Конгресс по математическому образованию. Венгрия, 1988 г.

Юрий Михайлович с внуками: Ваней Авдеевым и Антоном Ткачёвым, д.Ржавец Орловской обл.

Начало летнего сезона. Л.П. Добролюбская, Ю.М. Колягин, Ф.С. Авдеев, д.Ржавец Орловской обл, 2000 г.

Единомышленники: Ф.С. Авдеев, Ю.М. Колягин г. Орёл, 1995 г.

Любовь Петровна и Юрий Михайлович с Ваней и Колей Авдеевыми

Юрий Михайлович, Любовь Петровна, 2000 г.

Ю.М. Колягин в своём кабинете, 2001 г.

На презентации книги «Русская школа и математическое образование», 2001 г.

Ю.М. Колягин отвечает на вопросы учителей, 2002 г.

Ю. М. Колягин, М. И. Зайкин, А. И. Курнаков, г. Орёл, 2002 г.

Ю. М. Колягин, С. М. Никольский, В. П. Громов, О. В. Тарасова, г. Орёл, 2002 г.

С учениками. Слева направо: О. В. Тарасова, Ю. М. Колягин, Л. Б. Шалева, А. В. Пантелеймонова, г. Орёл, 2002 г.

Ю. М. Колягин с учениками

Московский педагогический марафон, 2003 г.

А.А. Никитин, О.А. Саввина, Ю.М. Колягин, Л.П. Добролюбская, О.В. Тарасова. Защита докторской диссертации О.А. Саввиной, 2003 г.

На даче, 2003 г.

В перерыве заседания. Л. М. Короткова, Ю. М. Колягин, Л. П. Добролюбская, Н. В. Савинцева, 2005 г.

А. А. Никитин и Ю. М. Колягин на заседании РАО.

Защита докторской диссертации Т. К.Авдеевой, 2005 г.

На юбилее С. М. Никольского в МГУ, 2005 г.

На юбилее С. М. Никольского в МГУ, 2005 г. Слева направо: Ю. М. Колягин, В. Ф. Бутузов, М. И. Шабунин, С. М. Никольский, А. А. Русаков, А. Г. Ягола, В. А. Треногин

На юбилее С. М. Никольского в МГУ: Л. П. Добролюбская, Ю. М. Колягин, Г. Л. Луканкин, 2005 г.

В. А. Треногин и Ю. М. Колягин

Слева направо: Г. Л. Луканкин, Л. Д. Кудрявцев, Ю. М. Колягин, В. Ф. Бутузов

Ю. М. Колягин и Н. А. Тихонов, 2006 г.

Слева направо: Ю. М. Колягин, Г. Н. Яковлев, В. А. Ильин

Юрий Михайлович, Любовь Петровна, 2005 г.

На заседании Научно методического совета по математике Министерства образования и науки РФ, 2005 г.

Г. Л. Луканкин, Ю. М. Колягин, Л. П. Добролюбская (жена Ю. М. Колягина) на конференции «Современные проблемы преподавания математики и информатики», посвященной 100-летию С. М. Никольского

В кабинете

Ю.М. Колягин читает лекцию, 2005 г.

На заседании Научно-методического совета по математике Министерства образования и науки РФ в зале № 1 РУДН

Сергей Юрьевич — старший сын Ю.М. Колягина

В домашней обстановке

Ю. М. Колягин, Т. К. Авдеева, Ф. С. Авдеев

Андрей Юрьевич - младший сын Ю.М Колягина с семьёй

Юрий Михайлович и Любовь Петровна