Семинары

1. Семинар учебно-исследовательских работ школьников по математике при Московском центре непрерывного математического образования.

«Происходит два вида заседаний: а) семинары для учителей с обзорами тем, обсуждением задач и литературы; б) слушания работ школьников 5-11 классов. Приглашаются учителя, которые хотели бы решать со школьниками исследовательские задачи, но еще не знают, как это делать! От работ школьников НЕ требуется новизна результатов. Требуется самостоятельное решение сложной (для школьника) исследовательской задачи» (http://www.mccme.ru/nir/uir/).

2. Проблемный семинар — научно-исследовательский математический семинар для старшеклассников при Белорусском государственном университете.

«Основная цель семинара —установление научного сотрудничества, поиск путей для взаимовыгодной учебной, исследовательской и научной деятельности между учеными, преподавателями, учителями школ с одной стороны и старшеклассниками — с другой» (http://www.uni.bsu.by/arrangements/psem/index.html).

Периодические издания

1. Журнал «Квант». Задачи исследовательского характера можно найти в статьях по математике и в Задачнике «Кванта». Большинство номеров «Кванта» доступно в Интернете (http: //kvant. mirrorl.mccme.ru/).

2. Журнал «Потенциал» (http://potential.org.ru/). В рубрике «Научная деятельность» регулярно публикуются статьи с введениями в тему, постановками задач, работами учеников.

3. «Сайт Making Mathematics» (на английском языке) (http://www2.edc.org/makingmath/).

Двенадцать тем для исследования для школьников с очень хорошим методическим сопровождением. «In Making Mathematics (1999-2002), middle and high school students of all skill levels explored open-ended mathematics projects, often with the help of their teachers and parents... To develop these mathematical skills, we connected students, teachers, and parents with a professional mathematician who provided advice, encouragement, and resources via electronic mail».

Конференции

1. Летняя конференция Турнира Городов (http://olympiads.mccme.ru/lktg/).

«Одна из целей конференции — приобщить способных школьников к решению задач исследовательского характера. Для этого организаторы предлагают им интересные трудные задачи, часто с выходом на открытые математические проблемы».

2. Московская математическая конференция школьников (http://www.mccme.ru/mmks/).

«Цель конференции — выявление и поддержка школьников, имеющих способности и интерес к математике, приобщение их к научной работе... Математики представляют различные задачи — как новые („научно-исследовательские“), так и малоизвестные, не претендующие на научную новизну („учебно-исследовательские“)».

На сайтах обеих конференций выложены задачи для исследования, собранные за годы работы конференций.

3. Секция математики Всероссийских чтений им. В. И. Вернадского (http://vernadsky.info).

4. Конференция Intel-Династия-Авангард (http://conference-avangard.ru/).

Книги

1. Арнольд В. И. Задачи для детей от 5 до 15 лет. М.: МЦНМО, 2004. «Я глубоко убежден, что эта культура „мышления“ более всего воспитывается ранним самостоятельным размышлением о простых, но не легких вопросах, вроде приведенных ниже».

Несмотря на «детское» название, брошюра весьма содержательна и математически, и методически. В частности, задачи № 33, 35, 41, 45, 46, 47-49, 55 дают хорошие темы для исследования (некоторые из них использованы в этой книге).

2. Васильев Н. Б., Гутенмахер В. Л., Раббот Ж. М., Тоом А. Л. Заочные математические олимпиады. М.: Наука, 1986. «За разрозненными фактами мы старались увидеть контуры важных математических понятий и конструкций, показать, что обобщение сравнительно несложных задач иногда выводит на передний край математики». В книге много интересных и содержательных задач и их обсуждения, обобщения, связи с другими задачами.

3. Летние конференции Турнира городов. Избранные материалы / Сост. Б. Р. Френкин. Вып. 1. М.: МЦНМО, 2009. «...подробно рассмотрен ряд задач, предложенных на Летних конференциях международного Турнира городов, где одаренные школьники из разных стран приобщаются к исследовательской работе в области математики. Приведены решения задач, их обобщения, освещены смежные вопросы. Тематика издания связана с различными областями современной математики».

4. Ландо С. К. Лекции о производящих функциях. М: МЦНМО, 2004. «Упор в изложении сделан не на общих теориях, а на ярких примерах». Книга содержит много красивых и доступных школьникам задач перечислительной комбинаторики (числа Каталана, числа Дика, диаграммы Юнга и т.д.).

5. Звонкин А. К. Малыши и математика. М.: МЦНМО-МИОО, 2006. Прекрасная книга об опыте математического кружка для дошкольников, «учит не математике, а образу жизни».

6. Пойа Д. Математическое открытие. Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание. М.: Наука, 1976; М.: УРСС, 2009. «Обучение математике должно предусматривать ознакомление учащихся (разумеется, в допустимых пределах) со всеми сторонами математической деятельности. Особенно важно, чтобы оно открывало дорогу к самостоятельной творческой работе...» Формулируются общие подходы к решению задач, обсуждается, какие задачи хороши для исследования, приводится множество примеров.

7. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М.: Изд-во Иностр. Лит, 1957; М.: УРСС, 2009. «Будем учиться доказывать, но будем учиться также догадываться». На большом числе примеров демонстрируются основные приемы догадки — индукция

и аналогия. Обе книги Пойа для нашей темы — абсолютная классика.

8. Математика в задачах. Сборник материалов выездных школ команды Москвы на Всероссийскую математическую олимпиаду / Под ред. А.А. Заславского и др. М.: МЦНМО, 2009. «...основу математического образования сильного ученика должно составлять решение и обсуждение задач, в процессе работы над которыми он знакомится с важными математическими идеями и теориями». Многие задачи сборника можно превратить в хорошие темы для исследования.

9. Генкин С. А. и др. Ленинградские математические кружки. Киров: АСА. 1994. Замечательная книга, содержащая кроме прочего подборку исследовательских задач (с. 221-223), «суть которых состоит в последовательном решении цепочки нетрудных лемм, складывающихся в доказательство довольно трудной теоремы». См. также с. 236-239, где описан математический аукцион — соревнование по задачам, допускающим постепенное достижение цели.

10. Шноль Д. Э., Сгибнев А. И., Нетрусова Н. М. Система открытых задач по геометрии. 7 класс. 8 класс. М.: Чистые пруды, 2009 (http://sch-int.ru/intel/index.php/kafmatem). Практически весь курс геометрии 7-8 класса изложен в виде открытых задач, допускающих в обучении элементы исследования.

11. Иванов С. Г., Рыжик В. И. Исследовательские и проектные задания по планиметрии с использованием среды «Живая математика». М.: Просвещение, 2013. В книге собрана 41 геометрическая задача с жизненными формулировками. К каждой задаче даются геометрическая формулировка, наводящие соображения, компьютерный эксперимент, гипотеза, рациональное рассуждение и только потом решение. Благодаря этому можно показать школьнику сам процесс поиска решения, чего почти нет в математической литературе. К каждой задаче есть «расширения», так что можно продолжить работу над задачей самостоятельно. «Мы считаем, что компьютер для математика играет примерно такую же роль, как прибор для физика».

12. Хага К. Оригамика. Геометрические опыты с бумагой. М.: МЦНМО, 2012. Эта книга, как и предыдущая, также развивает подход к геометрии как к экспериментальной науке, только здесь эксперименты ведутся не с помощью компьютера, а с помощью простого листа бумаги, который можно складывать и перегибать.

Автор приводит десять сюжетов, в которых сначала надо сложить определенную конструкцию и пронаблюдать ее свойства, а затем доказать их. Сюжеты хорошо подходят как для самостоятельного исследования, так и для совместного изучения на кружке. А работа руками с листом бумаги хорошо переключит внимание и позволит отдохнуть. «Дать ученику готовое доказательство означает погасить весь интерес, как если сказать, кто является убийцей, до того как человек прочел детектив». Получился хороший детектив.

13. Куланин Е.Д., Шихова Н.А. Исследовательские задания по геометрии. 8-10 классы. М.: Илекса, 2013. Подборка фактов из геометрии треугольника подана в виде практических работ, которые позволяют пронаблюдать свойства треугольников и готовят к доказательствам. «В этой книжке мы изучаем очень простую геометрическую фигуру — четыре точки... Оказывается, даже такая простая конструкция таит в себе множество интересных закономерностей. Открытие этих закономерностей—увлекательное приключение, похожее на работу ученого-экспериментатора».

Статьи

Избранные методические статьи

1. Сгибнев А. И. Как задавать вопросы? // Математика. 2007. № 12. С. 30-41 (http: //www.mccme.ru/nir/uir/vopr.pdf). Приведен ряд способов открыто формулировать задачи.

2. Сгибнев А. И. Экспериментальная математика // Математика. 2007. № 3. С. 2-8 (http: //www.mccme.ru/nir/uir/exp.pdf). Обсуждается роль эксперимента в математике и на уроке математики, приведено много задач индуктивного типа.

3. Ройтберг М.А. Игра в полоску [Электронный ресурс] // Полином. 2009. №1. С. 37-46 (http://www.mathedu.ru/polinom/polinom2009-1.pdf). На примере несложной задачи на изобретение алгоритма высказываются важные соображения о процессе решения исследовательских задач вообще.

4. Скопенков А. Б. Размышления об исследовательских задачах для школьников // Математическое просвещение. 2008. № 12. С. 23-32 (http://www.mccme.ru/circles/oim/issl.pdf). Изложены мысли о научно-исследовательской работе школьников:

подбор задачи, требования к работе, подготовка доклада, выбор конференции, примеры работ.

5. Сгибнев А. И. Что такое исследовательская работа школьника по математике? (http: //www.mccme.ru/nir/uir/vern.pdf). Дается описание, примеры хороших исследовательских работ, предостережения против типичных ошибок.

Избранные статьи, содержащие темы и задачи для исследования

6. Шабат Г. Б., Сгибнев А. И. Простые делители оберквадратов [Электронный ресурс] // Полином. 2009. №1. С.30-36 (http:// www.mathedu.ru/polinom/polinom2009-1-view.pdf).

7. Шабат Г. Б., Сгибнев А. И. Формула Эйлера и теорема Понселе [Электронный ресурс] // Полином. 2009. №2. С.22-27 (http:// www.mathedu.ru/polinom/polinom2009-2-view.pdf).

8. Сгибнев А. И. Исчисление змей для начинающих [Электронный ресурс] //Полином. 2009. №3. С. 63-67 (http://www.mathedu.ru/ polinom/polinom2009-3-view.pdf).

9. Сгибнев А. И. Как решать кубические уравнения, если ты не матшкольник? [Электронный ресурс] // Полином. 2010. №1. С. 23-32 (http://www.mathedu.ru/polinom/polinom2010-1-view.pdf).

10. Сгибнев А. И. Отображения параметрических плоскостей треугольников // Математика. 2011. №11 (http://www.mccme.ru/ mmks/dec10/sgibnev_parameters.pdf).

11. Шабат Г., Сгибнев А. Склейки многоугольников // Квант. 2011. №3. С. 17-22 (http://www.mccme.ru/nir/uir/sklejki-last.pdf).

12. Сгибнев А. И. Задача о кубиках, или Кости Зихермана // Потенциал. 2012. №11. С. 11-18.

13. Арнольд В. Меандры // Квант. 1991. №3. С. 11-14 (http://kvant. mccme.ru/1991/03/meandry.htm).

Кроме того, во всех номерах журнала «Полином» (http://www. mathedu.ru/e-journal/) есть отчеты о семинаре учебно-исследовательских работ [C1] с постановками задач и примерами работ.