МОСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ Н. К. КРУПСКОЙ

На правах рукописи

В. В. ЗОРИН

ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Москва — 1967

Официальные оппоненты:

1. Доктор физико-математических наук профессор В. В. Рыжков.

2. Кандидат педагогических наук доцент А. К. Окунев.

Защита диссертации состоится в Московском областном педагогическом институте имени Н. К. Крупской (Москва, ул. Радио, 10а) « . . »..... 1967 г.

Автореферат разослан «24» IV . 1967. г.

Секретарь Ученого Совета И. Л. Холодова

Объем работы 12 печатных листов. Она является расширенным и переработанным вариантом книги с тем же названием, изданной в 1965 и в 1966 годах общим тиражом 220 000 экземпляров (издательство «Высшая школа», г. Москва, объем 7,8 печатных листа).

В настоящем виде рукопись утверждена Министерством высшего и среднего специального образования СССР и рекомендована ко второму изданию в качестве учебного пособия для поступающих в вузы.

Рассматриваемый вариант пособия полностью включает в себя весь материал, опубликованный в первом издании (частично переработанный), а также сохраняет неизменной структуру первого издания. Поэтому в настоящем реферате мы не будем подробно говорить о содержании той части пособия, которая была опубликована, а ограничимся краткой характеристикой пособия в целом, более подробное изложение дадим здесь лишь тем вопросам, включенным во второе издание, которые не содержатся в первом издании.

I. Характеристика пособия в целом

Пособие предназначено для тех, кто имеет среднее образование и готовится к конкурсным экзаменам по математике при поступлении в высшие учебные заведения.

Содержание пособия обусловлено тремя следующими факторами:

1) программой вступительных экзаменов в вузы, утвержденной МВ и ССО СССР;

2) степенью трудности и характером задач, опубликованных за последние годы в многочисленных сборниках конкурсных задач, предлагавшихся на вступительных экзаменах в вузы, которые отражают фактическое содержание вступительные экзаменов по математике;

3) характером и уровнем той фактической подготовленности по математике, которую имеют выпускники средних школ.

При написании пособия автор видел свою главную задачу в том, чтобы из большого количества вопросов, содержащихся в программе вступительных экзаменов, отобрать наиболее

важные и, не выходя за рамки требований программы, дать им такое изложение, которое в наибольшей степени соответствует их современному пониманию.

Пособие призвано организовать повторение разделов математики в такой последовательности и так, чтобы сосредоточить главные усилия учащихся на узловых, принципиальных вопросах программы.

Основное внимание в нем уделено разъяснению тех понятий, которые имеют решающее значение в формировании математической культуры учащихся и являются существенно необходимыми для успешного изучения курса математики высшей школы. Оно также знакомит читателя с характером задач и уровнем требований, предъявляемых по математике к поступающим в вузы.

Автор стремился представить наиболее выпукло следующие центральные темы программы: тождественные преобразования алгебраических и тригонометрических выражений, уравнения, неравенства, функции и их графики.

Вся программа разбита на семь разделов, к каждому из которых рекомендованы примеры и задачи для самостоятельных упражнений. По каждому пункту программы указаны соответствующие параграфы школьных учебников.

В каждый из разделов включена, по возможности, лишь одна из центральных тем, на которой должно быть сосредоточено внимание учащихся. Упражнения в технике тождественных преобразований, поскольку они требуют длительной практики, распределены по всему курсу: сначала на алгебраическом материале (разделы I—V), затем в тригонометрии (главным образом). Этим, в частности, объясняется разрыв в повторении тригонометрии (она отсутствует в III, IV и V разделах, а в разделы I и II включены лишь те начальные сведения из тригонометрии, которые существенно понадобятся в следующих разделах, в основном — в теме «Функции и их графики»).

При пользовании пособием рекомендуется следующий порядок работы. Повторение каждого из семи разделов программы следует начинать с изучения указанных параграфов школьных учебников. Затем нужно прочитать пояснения, содержащиеся в пособии и после этого переходить к выполнению рекомендуемых по задачникам упражнений. В конце каждого раздела помещены контрольные упражнения. Они предназначены для самоконтроля за усвоением основных вопросов повторяемого материала. Их следует выполнить в заключение работы над разделом.

Часть примеров, содержащихся. в пособии, взята из различных руководств — в основном из сборников конкурсных задач, предлагавшихся на вступительных экзаменах в вузы.

При этом, разумеется, присутствовало стремление избегать как слишком слабых, так и чрезмерно трудных примеров, например, таких, которые требуют виртуозности, изощренности в технике тождественных преобразований; предпочтение отдавалось примерам и задачам, которые вместе с навыками в технике тождественных преобразований развивают также и в идейно-математическом смысле.

В конце пособия помещены два приложения:

1) формулы для справок, охватывающие всю программу вступительных экзаменов, и

2) список рекомендуемой литературы — основной и дополнительной.

II. Дополнения к первому изданию

Наиболее существенными являются следующие дополнения:

1) «Неопределяемые и определяемые понятия. Аксиомы и теоремы» (§ 1, раздел I).

Параграф начинается так: «Какие понятия математики считаются определяемыми и какие неопределяемыми, и что значит определить то или иное понятие в математике? Какие истины математики должны быть доказаны, а какие принимаются без доказательства, и в чем состоит сущность доказательств в математике»?

В качестве ответа на эти вопросы в пособии говорится о сущности дедуктивного метода в математике: дается понятие о системе аксиом и требованиях к ней — непротиворечивости, независимости, полноте.

Как пример, приводится аксиоматика Пеано для натурального ряда чисел.

Далее на простых примерах из арифметики отмечаются различия между строго логическим изложением математики как науки и ее фактическим изложением как учебного предмета в школе.

2) «Прямая, обратная, противоположные теоремы. Эквивалентные теоремы» (§ 2, раздел I).

Вводятся понятия обратной и противоположной теорем, а также понятие эквивалентности теорем. Приводятся примеры, подтверждающие тот факт, что для взаимно обратных теорем возможен один из трех мыслимых случаев: обе эти теоремы верны; обе неверны; одна из них верна, а другая не-

верна. Далее доказывается эквивалентность теорем прямой и противоположной обратной, а также теорем обратной и противоположной. Затем рассматривается пример на применение попарной эквивалентности указанных теорем.

В заключение параграфа вскрывается сущность метода доказательств от противного: при доказательстве этим методом доказывают не саму теорему, а эквивалентную ей противоположную обратной теорему.

3) «Необходимые и достаточные признаки» (§ 3, раздел I).

Даются определения понятий «необходимый признак», «достаточный признак», «необходимый и достаточный признак»; приводятся примеры формулировок теорем с использованием этой терминологии. При изложении вводится знак => (знак логического следования).

4) Параграфы 6, 7, 8 раздела III посвящены геометрическому истолкованию решений систем уравнений, систем неравенств и смешанных систем с одним и с двумя неизвестными, что делается следующим образом.

В § 8 вводится понятие области решений системы, относящееся как к смешанным системам, так и к системам, сотоящим только из уравнений или только из неравенств с одним или с двумя неизвестными.

Областью решений любой из этих систем называется множество всех тех точек координатной плоскости хоу, координаты каждой из которых удовлетворяют всем условиям системы.

Если система состоит из одного уравнения и одного неравенства, то область ее решений есть множество точек пересечения графика уравнения с областью решений неравенства.

Если система состоит только из уравнений, то область ее решений содежит лишь те точки, каждая, из которых принадлежит графикам всех уравнений этой системы. Если система состоит только из неравенств, то область ее решений есть общая часть областей решений всех входящих в нее неравенств.

Область решений произвольной смешанной системы находится как общая часть тех областей, которые соответствуют каждому из условий в отдельности. Если область решений системы содержит хотя бы одну точку, систему называют совместной.

Если область решений системы пуста, то систему называют несовместной или противоречивой. Далее дается понятие эквивалентности смешанных систем: две или несколько си-

стем называются эквивалентными, если они имеют только общие решения. Системы, каждая из которых не имеет решений, считаются эквивалентными. Эквивалентные системы имеют одну и ту же область решений.

Введенные понятия области решений смешанной системы и эквивалентности систем являются обобщениями рассматриваемых в школе соответствующих понятий, относящихся к уравнениям, неравенствам, системам уравнений и системам неравенств. Одно и то же множество точек координатной плоскости хоу может быть задано при помощи различных систем условий (уравнений и неравенств); и независимо от того, каковы эти условия — уравнения или неравенства — мы называем такие условия эквивалентными.

Так, плоскость хоу можно задать, например, как область решений неравенства

или как область решений уравнения

х + У = У + х (**),

а значит неравенство (*) и уравнение (**) эквивалентны друг другу. Системы

также эквивалентны друг другу, так как областью решений каждой из них является множество всех внутренних точек первой координатной четверти плоскости хоу. Системы

эквивалентны, так как каждая из них является несовместной, т.е. не имеет ни одного решения.

смешанных систем и все другие из рассматриваемых понятий иллюстрируются многими примерами (на материале функций и уравнений, графики которых изучаются в средней школе). Область решений смешанной системы, эквивалентность 5) Для иллюстрации определения функции по Дирихле — Лобачевскому в параграфе «функция и ее график» (§ 4, раздел III) рассмотрены заданные словесными определениями функции

и функция Дирихле. Рассмотрение функции у = sgnx позволяет дать еще одно, не традиционное для школьного преподавания определение абсолютной величины действительного числа:

Все изменения текста, внесенные в рукопись второго издания, сделаны, в основном, с целью усиления логической четкости изложения.

Например, при рассмотрении систем уравнений и систем неравенств (а также и в других случаях) более систематически, чем в первом издании, используются понятия «соединение множеств», «общая часть», или «пересечение» множеств, «пустое множество», «часть множества» или «подмножество».

ТО-2899.

Объем 0,75 п. л.

Подписано к печати 21/IV-67 г.

Тираж 200 Заказ 217

Типография МИСИ им. В. В. Куйбышева.