МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

МОСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

На правах рукописи

М. В. ЖВИРБЛИС

МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ И ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИЙ И РЕШЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Научный руководитель — профессор М. А. ЗНАМЕНСКИЙ

Москва — 1954

Настоящая работа посвящена методике изучения в средней школе показательной и логарифмической функции, а также решению показательных и логарифмических уравнений, включая знакомство учащихся с принципом вычисления десятичного логарифма любого положительною числа.

Мало можно назвать тем, которым по программе средней школы было бы отведено столько же часов, сколько отводится для изучения показательной и логарифмической функций.

Весь курс алгебры девятого класса, начиная от прогрессий, которые тесно связаны с показательной функцией, почти целиком посвящен этой теме. Указанный факт не случаен. Трудно перечислить все области науки и хозяйства, где специалистам приходится сталкиваться в той или иной степени с показательной функцией или с логарифмами.

Изучение законов природы все время наталкивает нас на такие величины, зависимости между которыми выражаются показательной или логарифмической функцией.

Примером этого является возрастание количества различных органических веществ (дрожжей, ферментов, микроорганизмов и т. д.) в зависимости от времени, распад радиоактивных веществ, поглощение света или газа, зависимость давления воздуха от высоты, скорость химической реакции и так далее. При этом раздел функциональных зависимостей, которые могут быть здесь названы, может быть намного увеличен, так как показательной функцией выражается зависимость между такими величинами, изменение которых за определенные промежутки времени пропорционально исходному значению этой величины в начале процесса. А таких величин очень много.

Невозможно представить себе инженера, штурмана, астронома, геодезиста, физика и другого специалиста, производящего много вычислений, который бы не умел пользоваться логарифмической линейкой и таблицами логарифмов.

Учащиеся же очень часто, уходя из школы, даже умея хорошо пользоваться таблицами, совершенно не знают каким путем самому вычислить десятичный логарифм того или иного положительного числа. Когда учитель говорит, что lg2 ^ 0,30103 и это означает jqo/30103^2, ученик, никогда не встречавшийся с тем, что кто-либо 2 получал таким путем, приходит к выводу, что математика занимается изучением таких вещей, которые никогда в жизни не встречаются. Это, конечно, приносит огромный вред.

Бывают случаи, когда учащиеся, хорошо решая шаблонные показательные и логарифмические уравнения, где обе части могут быть приведены к одному основанию, затрудняются в решении уравнений путем логарифмирования и графическим способом, не понимают функциональной природы показательной и логарифмической функции и связь между их графиками. Очень часто учащиеся не понимают символического определения логарифма положительного числа N при данном основании а > о и а ^ 1 и не умеют пользоваться этим определением для вывода правила логарифмирования произведения, частного и степени.

В средней школе большое время уделяется решению показательных и логарифмических уравнений, носящих чисто тренировочный характер. Это, конечно, необходимо, но нужно заботиться о том, чтобы эта тренировка не превратилась в натаскивание, а имела целью закрепление основных технических навыков и теоретических положений.

Здесь очень большую помощь может оказать решение, хотя бы нескольких задач, с физическим и химическим содержанием, зависимость между компонентами которых характеризуется показательной функцией. Включение таких задач в упражнения, кроме помощи в усвоении курса физики и химии, улучшит понимание теории показательной и логарифмической функции и вызовет у учащихся интерес к математике, как к науке, имеющей применение к решению разнообразных водросов науки и техники.

Этот вопрос совершенно не освещен в литературе, поэтому не только учащиеся, но и в ряде случаев, учителя даже не подозревают о тех зависимостях, которые встречаются в природе и выражаются показательной функцией.

Собственные наблюдения, анализ работы ряда школ и других учебных заведений, а также печатные выступления экзаминаторов в высших учебных заведениях подтверждают, что очень часто у учащихся именно в этой теме складываются неправильные представления.

Все это показывает актуальность выбранной темы. Предлагаемая методика изложения указанной темы прежде всего стремится подчеркнуть для учащихся справедливость слов Ф. Энгельса «Как и все другие науки, математика возникла из практических нужд людей».

В первой главе дается краткий исторический очерк открытия логарифмов. Изучая ту или иную науку, каждому человеку, а тем более преподавателю, важно не только усвоить готовые положения науки, но и важно знать как возникли те или иные идеи, и какие трудности приходилось преодолевать исследователям этой науки.

В 1-м параграфе указывается как, в связи с изучением «сложного отношения» — одного из характерных учений классической теории отношений, древние греки подошли к понятию «логарифма». Идею сопоставления геометрической и арифметической прогрессий

мы наблюдаем уже у Архимеда, а затем в измененном виде у более поздних математиков, например у французского математика Орезма, которого можно считать, до некоторой степени, предшественником логарифмического вычисления, причем он говорил не только о рациональных логарифмах отношений, но и о приближенном представлении отношений, не имеющих рациональных логарифмов.

Эта же мысль о связи арифметической и геометрической прогрессии, сыгравшей большую роль в возникновении теории логарифмов, более отчетливо выявлена у французского математика Щюке, немецкого математика Штифеля и итальянского математика Тарталья.

* * *

В первой главе указывается каким образом произошло открытие таблиц логарифмов. Первые таблицы, хотя и составленные только для целых значений п, принадлежат голландскому ученому Стевину.

Это были таблицы сложных процентов, составленные автором для использования их в торгово-финансовых расчетах. Данные таблицы с успехом могли применяться и к логарифмическим вычислениям, но у самого Стевина об этом не было речи. Эти таблицы, вероятно, оказали большую помощь современнику Стевина швейцарцу И. Бюрги — одному из первых изобретателей таблицы логарифмов.

Потребность в облегчении труда и сокращении времени при производстве вычислений к началу XVI столетия стала совершенно необходимой.

Путешествие Христофора Колумба в конце XV века, первое кругосветное путешествие Магеллана в начале XVI столетия, экспедиции, направленные на исследование и освоение открытой Америки и других стран, требовали больших знаний по астрономии, которая в свою очередь зависела от соответствующего развития тригонометрии и тригонометрических таблиц.

Применение в качестве вспомогательных средств для облегчения вычислений таблиц натуральных значений тригонометрических величин, а также таблиц квадратов, четвертей квадратов, произведений двухзначных и трехзначных чисел на трехзначные и четырехзначные было уже недостаточно. Развивающаяся астрономия и другие науки предъявляли все большие требования к математике. Вычислительная техника отставала от новых требований.

Снятием этого противоречия и является выход в свет таблиц логарифмов тригонометрических величин и чисел, что дало возможность более сложные операции умножения и деления свести к сложению и вычитанию.

§ 2 посвящен работам первых изобретателей логарифмов — двум ученым — шотландцу Д. Неперу и швейцарцу И. Бюрги. Подготовительные работы этих ученых, насколько известно, протекали почти одновременно, совершенно независимо друг от друга и раз-

личными методами, но Непер первый опубликовал свои логарифмы, причем им же была развита теоретическая сторона этого вопроса и указаны способы вычисления логарифмов.

Бюрги долго держал в тайне свои методы, его таблицы были менее совершенны и вышли в свет спустя шесть лет после выхода Неперовских таблиц, которые в то время уже стали общим достоянием и оказали большое влияние на развитие других областей математики.

В таблицах антилогарифмов Бюрги речь идет о дискретном ряде чисел как в арифметической, так и в геометрической прогрессии.

Основная заслуга Непера заключается в том, что он перешел к непрерывному изменению в обоих параллельных рядах. В дальнейшем в 1-й главе рассматривается как осуществляется Бриггом и Влакком переход к десятичным таблицам логарифмов и как постепенно уменьшается число знаков при вычислении логарифмов чисел.

§ 3 первой главы посвящен дальнейшему историческому развитию теории логарифмов в связи с зарождением исчисления бесконечно малых, приведших к квадратуре известных кривых. Вопросы о квадратуре кривых, рассматривались еще древними геометрами, в особенности Архимедом. В XVII столетии, уже после того как логарифмы были вычислены и вошли во всеобщее употребление была замечена связь между ними и квадратурой гиперболы, откуда затем были выведены знаменитые логарифмические ряды — первые ряды, которые встретились в истории математики после геометрической прогрессии.

После этого открытия совершенно изменились способы вычисления логарифмов и само понятие логарифмов претерпело дальнейшую эволюцию, а логарифмическая функция стала рассматриваться как функция обратная показательной.

Эти открытия, главным образом, связаны с именами французского математика Г. Винсена и голштинца Н. Меркатора.

В дальнейшем вопросом развития теории показательной и логарифмической функции занимались также английские математики И. Ньютон и Б. Тейлор.

В 1703 году в России выходят первые таблицы логарифмов, составленные Магницким, Фархварсоном и Гвином.

Из работ русских ученых в области теории логарифмической и показательной функции в 1-й главе отмечаются работы Л. Эйлера, М. В. Остроградского, Н. И. Лобачевского и Н. В. Верещагина.

В трудах знаменитого Петербургского академика Л. Эйлера теория логарифмов получила свое дальнейшее развитие. Ему принадлежит общее определение логарифмической функции как функции обратной показательной, и распространения понятия логарифма на случай логарифмов комплексных чисел.

Знаменитый русский математик М. В. Остроградский занимался выяснением понятия логарифма и установлением существования логарифма всякого положительного числа. Он указывает вычисли-

тельной алгорифм и доказательство существования соответствующего объекта он сводит к доказательству сходимости алгорифма.

Н. И. Лобачевский в своей книге «Алгебра или вычисление конечных» дает общую теорию логарифмов и их приближенные вычисления.

Из других работ, обмеченных в 1-й главе, интересно сочинение Н. В. Верещагина, посвященное этому вопросу. В введении Верещагин пишет: «Я уверен, что славные Российские математики одобрят труд известного познаниями своими в науках человека и в самом классическом онаго введении окажут свое содействие к славе отечества, что не одни иностранцы могут излагать математические творения, коих содержания столь важно и полезно».

Во второй главе даётся изложение теории показательной и логарифмической функций, пользуясь теорией пределов и понятием иррационального числа как бесконечной десятичной непериодической дроби.

Не давая строгой теории показательной и логарифмической функции, как это сделано в курсах анализа, что совершенно недоступно учащимся, в диссертации предлагается преподавателю такая разработка этого вопроса, которую он мог бы предложить учащимся на кружковых занятиях, выбирая для этого отдельные, интересующие его вопросы, как пример доказательства тех предложений, которые в средней школе принимаются без доказательств.

Первый параграф второй главы посвящен обобщению понятия степени в действительной области, причем это обобщение рассматривается в следующем порядке: в начале в функции: у = а г обобщается основание степени, то есть «а» рассматривается как любое действительное положительное число, а «х» — как любое целое число, затем рассматривается «х» как любое рациональное или иррациональное число.

В работе приводится элементарное доказательство теоремы: если «а» любое положительное число, a m“ натуральное число большее или равное единицы, то уравнение \т“ = а имеет единственный положительный корень, который принимается по определению, за арифметический корень степени «m» из числа «а».

В этом же параграфе вводится понятие значения показательной фунции: у = а* для иррационального показателя: х = <х так, чтобы значение «С$> было промежуточным между теми значениями функции, которые отвечают рациональным показателям Т\ меньшим значениям <х, и рациональным показателям г2 большим а, установив перед этим монотонность показательной функции для рациональных значений аргумента. После этого дается элементарное доказательство того, что это требование при всяком данном <х определяет единственное действительное число, которое и принимается по определению, за значение показательной функции у = ал при иррациональном показателе х = à.

§ 2 второй главы посвящен общим свойствам показательной функции у=ах с любым действительным показателем «х» и действиям над степенями с любыми показателями. В этом же параграфе рассматривается такая зависимость функции от своего аргумента, при котором равным абсолютным приращениями аргумента отвевечают равные относительные изменения функции из расчета изменения в отношении а : 1, и доказывается, что аналитическим выражением такого рода зависимости является показательная функция y = N.ax в которой «х» принимает любые действительные значения. Это свойство показательной функции наиболее часто встречается в приложениях, так как характеризует очень многие процессы, встречающиеся в природе. Например, этим законом характеризуется процесс органического роста, при котором за каждый промежуток времени определенный процент вещества принимает активное участие в образовании прироста.

В средней школе при прохождении этой темы необходимо указать, что все процессы, которые характеризуются тем, что скорость их в каждый данный момент пропорциональна значению у в этот момент, выражается показательной функцией: у у0 . а х . При этом не следует вводить натурального основания е, а достаточно принять за основу характеристики этих процессов свойство постоянства относительных приращений «у» для одинаковых приращений «х», и формулу: у = уо . а* с соответствующим основанием «а», определяемым отношением, в котором изменяется «у» при изменении «х» на единицу.

§ 3 второй главы посвящен логарифмической функции. В нем дается элементарное доказательство теоремы, что функция у = ах где а >о и а Ф I, может иметь значение равное любому положительному числу, то-есть дается элементарное доказательство теоремы существования логарифма любого положительного числа, которое будет интересно для учащихся.

Затем рассматриваются свойства логарифмической функции и разбирается связь логарифмов с площадью гиперболы.

§ 4 посвящен рассмотрению вопросов предельных значений величин, получаемых из сравнения чисел с их натуральными логарифмами и трансцендентности показательной и логарифмической функции.

В § 5 дается общая схема решения некоторых задач физического и химического содержания, требующие применения учения о логарифмической и показательной функциях и приводятся примеры процессов, в которых эта зависимость осуществляется.

* * *

Третья глава диссертации посвящена методике изложения показательной и логарифмической функции и показательных и логарифмических уравнений в дореволюционной русской школе и советской средней школе, и содержит в себе анализ основных работ и учебников, посвященных методике преподавания этой темы в средних:

учебных заведениях России как до Великой Октябрьской Социалической революции, так и после нее.

В § 1, кроме отмеченных в 1-й главе работ Л. Эйлера, Н. В. Верещагина, Н. И. Лобачевского и М. В. Остроградского, в диссертации имеется анализ разделов учебников, посвященных указанной теме, наиболее распространенных в русской средней школе.

Так, разбирается изложение этой темы в учебниках: «Основания алгебры» Д. М. Перевощикова, «Начальная алгебра» А. Ю. Давидова, «Руководство алгебры и собрание алгебраических задач для гимназий, реальных училищ и учительских институтов» А. Ф. Малинина и К. П. Буренина и в «Курсе алгебры и собрании алгебраических задач» Н. А. Шапошникова. Особенно подробно разбирается методика изложения этой темы в учебнике H. Н. Маракуева под названием «Элементарная алгебра — курс систематической в двух частях», так как это самый полный из всех, имевшихся тогда, курсов алгебры.

После этого дается подробный анализ этой темы в разных изданиях «Элементарной алгебры» А. П. Киселева, первое издание которой вышло в 1888 году.

Анализ предыдущих учебников и особенно учебника А. П. Киселева показывает, как с течением времени пробивает себе дорогу в математике новое направление, заключавшееся в том, что оно требовало обновления содержания курса математики в соответствии с содержанием науки, с требованиями жизни и практических приложений, введения в курс алгебры понятия о функции, изучения процесса изменения простейших алгебраических функций, с отведением одного из главных мест графическому методу изображения функциональной зависимости. Это же направление требовало сближения различных отделов школьного курса математики и приближения курса математики к курсам физики, химии, естествознания и так далее. Если в первых 22-х изданиях «Элементарной алгебры» А. П. Киселева совершенно не рассматривалась ни показательная, ни логарифмическая функция, то-есть идея функциональной зависимости совершенно отсутствовала, то в последующих изданиях эта идея постепенно прочно завоевывает себе место.

Из переводных книг и отдельных работ, посвященных указанной теме, в диссертации рассматривается «Алгебра» Ж. Бертрана, статья В. Шидловского «Об образовательном значении учения о логарифмах, и роли математики, как основе промышленного, технического и культурного прогресса человечества» и ряд других. Также разбираются разделы ряда учебников, посвященных этому вопросу. Например: «Элементарная алгебра» А. Н. Глаголева, «Курс алгебры для средних учебных заведений» К. Ф. Лебединцева и несколько задачников, где даны логарифмические и показательные уравнения и способы их решения, а также переводной учебник «Элементарной математики» французского математика Ж. Бореля.

В третьей главе рассматриваются также вопросы, относящиеся к изучению показательной и логарифмической функции, разбираемые

на 1 Всероссийском съезде преподавателей математики, который остро поставил перед преподавателями вопрос о введении идеи функциональной зависимости в средней школе.

§ 2 третьей главы посвящен методике преподавания теории показательной и логарифмической функции в Советской средней школе. В диссертации разбираются разделы, посвященные этому вопросу в лучших учебниках, появившихся еще до революции, и изданных затем в переработанном виде в советское время. Такими учебниками являются: «Руководство алгебры» К. Ф. Лебединцева, «Начала алгебры» Д. Граве, и «Элементарная алгебра» Рашевского.

В данной работе также дается подробный анализ послереволюционных изданий «Элементарной алгебры» А. П. Киселева, совершенно переработанных согласно программам советской школы, где большое место теперь уделяется функциональной зависимости величин и их графическому изображению.

В § 2 третьей главы разбирается также другая книга А. П. Киселева «Элементы алгебры и анализа», а также книга Филиппова «Логарифмы».

Второй отдел этого параграфа посвящен изложению теории показательной и логарифмической функции в современном стабильном учебнике алгебры, причем указан ряд епо недостатков.

Прежде всего в учебнике имеется логическая ошибка, заключающаяся в том, что при определении иррационального показателя ссылаются на монотонность показательной функции для рационального показателя, которая доказывается позже. В учебнике совершенно не дается понятия о методах вычисления логарифмических таблиц, в то время как любой вычислительный алгорифм десятичного логарифма любого положительного числа служил бы одновременно и косвенным доказательством теоремы существования.

Вместо ясной формулировки показательной функции и обратной к ней, учебник дает представление о двух действиях обратных по отношению к возвышению в степень: извлечение корня и логарифмирование. Такая точка зрения неверна, так как извлечение корня является обратным лишь для операции возведения в степень с натуральным показателем. При такой ограниченной трактовке понятия степени, не удается ввести понятие логарифма в полном объеме. Эта точка зрения типична для всех старых учебников, куда еще не проникала идея функции.

Кроме этого указывается еще ряд недостатков учебника: не даётся связь между графиками показательной и логарифмической функции, нет символического определения логарифма любого числа N > О при любом основании а > О, а Ф I и ряд других. В этом же параграфе имеется анализ разделов задачников, посвященных показательным и логарифмическим уравнениям: (задачник Шапошникова и Вальцева, Ларичева, Бондаревского, Моденова и другие).

§ 3 этой главы посвящен постановке преподавания этой темы в настоящее время, с указанием типичных ошибок, наиболее часто встречающихся у учащихся, и содержит собственный опыт работы

автора диссертации, а также анализ печатных выступлений, посвященных этому вопросу.

* * *

В четвертой главе предлагается новая методика преподавания теории показательной и логарифмической функций, устанавливаются типы показательных и логарифмических уравнений для средней школы, с указанием аналитических и графических методов их решения. Кроме этого четвертая глава содержит также решения задач физического и химического содержания.

Предлагаемая методика изложения этой темы, учитывает указание данное объяснительной запиской, о необходимости более твердого усвоения учащимися символического определения логарифма, то-есть тождества: N=aIogaN.npn помощи этого тождества доказываются основные правила логарифмирования выражений и модуль перехода от логарифмов положительных чисел при одном основании к логарифмам этих чисел при другом основании, что помогает и усвоению этого тождества и упрощает изложение.

Предлагаемая методика уничтожает логический круг, который имеется в учебнике при определении иррационального показателя степени и указывает один из элементарных способов объяснения учащимся устройства таблиц, что намного способствует более прочному и сознательному усвоению ими этой темы.

Новый проект программы средней школы по математике, предложенный Академией Педагогических наук РСФСР, как проект для обсуждения, на изучение показательной и логарифмической функции, включая понятие о степени с иррациональным показателем, отводит 40 часов, примерно столько же, сколько в ныне действующей программе. Новым являтся требование обязательного изучения модуля перехода от системы логарифмов при одном основании к системе логарифмов при другом основании, что является, с точки зрения автора, необходимым, а также требование изучения устройства и употребления логарифмической линейки, знакомство с которой также очень нужно учащимся.

Предлагаемая методика изложения указанной темы полностью согласуется с новым проектом программы.

Четвертая глава состоит из трех параграфов.

Параграф 1 посвящен понятию о степени с иррациональным показателем и показательной и логарифмической функции. Прежде чем вводится понятие о степени с иррациональным показателем, предварительно доказывается монотонность показательной функции для рациональных показателей, а 'затем, используя теорему Вейершрассе, которая должна быть, хотя бы без доказательства, известна учащимся, вводится понятие степени с иррациональным показателем.

После этого дается определение показательной функции и рассматриваются ее свойства, включая разъяснение для учащихся того факта, что при любом а > о и ъф\ для всякого числа N > О можно

найти такое рациональное число С, что ас или в точности будет равно N, или будет отличаться от него как угодно мало.

В параграфе 1 обращается внимание на то, что при понижении степени выражения, стоящего под знаком логарифма, относительно неизвестного, при логарифмировании этого выражения может произойти потеря корней, а при потенцировании, наоборот, могут появляться посторонние корни, поэтому при решении логарифмических уравнений проверка решений путем подстановки, найденных корней, и установлением по условию задачи области значений искомого неизвестного, является существенным моментом.

В диссертации логарифмическая функция определяется как функция обратная показательной и строится ее график как по точкам, так и путем зеркального отображения графика показательной функции относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов и рассматриваются ее свойства. Затем даются доказательства правила логарифмирования произведения, частного степени и корня и модуль перехода от системы логарифмов при одном основании к системе логарифмов при другом основании, которые строятся на использовании символической записи определения логарифма любого положительного числа.

В заключение в параграфе 1 рассматриваются свойства десятичных логарифмов и предлагается один из способов объяснения нахождения десятичных логарифмов любого положительного числа.

§ 2 четвертой главы посвящен наиболее часто встречающимся типам показательных и логарифмических уравнений, изучаемых в средней школе.

При этом подчеркивается, что основание степени может быть только положительным.

В параграфе 3 рассматриваются конкретные задачи физического и химического содержания, зависимость между компонентами которых выражается показательной функцией.

Предлагаемая методика изучения этой темы полностью согласуется с количеством часов, отведенных на прохождение этой темы в школе по ныне действующим программам, и проверялась в ряде школ, главным образом в школе № 401 Молотовского района и в военном подготовительном училище, программа которого такая же как в средней школе. Анализ качества знаний учащихся по этой теме производился также в Академии им. Ворошилова и в Военном институте при двухмесячной подготовке и приеме экзаменов.

Разработка темы показательной и логарифмической функции и решений показательных и логарифмических уравнений в таком плане дала неплохие результаты на практике и вызывает одобрение со стороны педагогов математики всего училища.

В приложении к диссертации даются следующие материалы:

1. План прохождения в средней школе темы «показательной и логарифмической функции и решения показательных и логарифмических уравнений».

2. Протоколы отдельных уроков и анализ контрольной работы учащихся на эту тему.

3. Отзыв преподавателей математики училища о предложенной методике этой темы.

4. Характеристика со стороны училища.

Л-109658. Подл, к (печ. 11 /IX—^54 г. Объем 1 .п. л. Тир. 100. Зак: 5449 Типография «Красная звезда», Верхняя Масловка, 73