АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ОБЩЕГО И ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

НА ПРАВАХ РУКОПИСИ

Л. И. ЖОГИНА

ПОСТРОЕНИЕ ИЗЛОЖЕНИЯ УЧЕНИЯ О ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук.

Научный руководитель — старший научный сотрудник, кандидат педагогических наук И. А. ГИБШ.

ИЗДАТЕЛЬСТВО ГАЗЕТЫ «ГРОЗНЕНСКИЙ РАБОЧИЙ»

I. СОСТОЯНИЕ ПРЕПОДАВАНИЯ В ШКОЛЕ УЧЕНИЯ О ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ

В «Законе об укреплении связи школы с жизнью и о дальнейшем развитии системы народного образования в СССР» указывается, что «Главной задачей советской школы является подготовка учащихся к жизни, общественно полезному труду, дальнейшее повышение уровня общего и политехнического образования, подготовка образованных людей, хорошо знающих основы наук».

Решение этой задачи в значительной мере зависит оттого, как будет проходить в школе перестройка преподавания цикла естественных наук, к числу которых относится и математика.

Математическая наука в последнее время проникла в самые различные отделы знаний. Учащиеся, не овладевшие основами математической науки, в настоящий период могут оказаться во многих случаях неподготовленными к практической деятельности.

Осуществление политехнического образования в области математики должно проводиться в таком направлении, чтобы приобретенные учащимися знания могли быть широко использованы ими при решении и исследовании не только теоретических, но и практических вопросов. Для достижения этой цели должна быть проявлена особая забота о глубоком и прочном усвоении учащимися учения о функциях, так как в понятии функции с очень большой полнотой отражаются явления реальной действительности.

По этим соображениям весьма большое значение приобретает вопрос о построении всего курса математики на идее функциональной зависимости.

Перестройка содержания всего школьного курса математики на основе идеи функциональной зависимости оказала непосредственное влияние на преподавание тригонометрии.

В настоящее время прочно установилась та точка зрения, что тригонометрию надо рассматривать как учение о тригонометрических функциях. Однако этот взгляд не получил еще достаточно полного и последовательного осуществления в имеющейся учебно-методической литературе по тригонометрии и в преподавании этого предмета в школе. Поэтому учащиеся, оканчивающие школу, имеют весьма недостаточное представление о тригонометрических функциях как о функциях, определяемых на множестве действительных чисел, не в состоянии рационально привлекать сведения о свойствах основных тригонометрических функций для решения теоретических и практических вопросов, выполнять тождественные преобразования выражений, содержащих тригонометрические функции, не умеют в нужных случаях использовать графики тригонометрических функций.

2. ЗАДАЧА И СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ

В соответствии с указанным основная задача данного исследования состояла в разработке такой структуры и методики изложения теории тригонометрических функций, которые в наибольшей степени допускали бы сочетание научности изложения с доступностью его и основывались бы на рациональных способах сообщения учебного материала учащимся.

Для этого оказалось необходимым:

1) выбрать такую геометрическую основу учения о тригонометрических функциях, которая являлась бы наиболее выгодной и плодотворной при построении их определений и при изложении теории и обеспечила бы естественные пути для обобщений;

2) установить объем и содержание сведений о тригонометрических функциях угла (дуги), подлежащих изучению в VIII и IX классах, и разработать систему изложения этого материала, пригодную для преподавания в школе;

3) разработать методику преподавания учения о тригонометрических функциях действительного числа в курсе алгебры и элементарных функций IX—X классов.

В диссертации предлагается система изложения, в которой тригонометрические функции вводятся как новый класс функций, определяемых на множестве действительных чисел и обладающих теми же свойствами, что и функции, изучаемые в алгебре, а также другими, специально им присущими свойствами.

В диссертации рассматриваются все принципиальные вопросы, относящиеся к учению о тригонометрических функциях, а именно: а) определение тригонометрических функций; б) изучение свойств тригонометрических функций и построение их графиков; в) равенства и неравенства, содержащие тригонометрические функции, и их роль в решении теоретических и практических вопросов.

Диссертация состоит из введения, в котором описывается постановка проблемы и краткое содержание диссертации, глав I — VI и общих выводов.

Глава I. Решение проблемы о системе курса тригонометрии в учебно-методической литературе и особенности системы, предлагаемой автором.

Глава II. Сведения о векторах, углах и дугах, на которых строится изложение теории тригонометрических функций в IX—X классах.

Глава III. Тригонометрические функции числового значения угла в курсе геометрии VIII класса и в курсе алгебры IX класса.

Глава IV. Тригонометрические функции действительного числа в курсе алгебры IX класса.

Глава V. Равенства и неравенства, содержащие тригонометрические функции.

Глава VI. Описание экспериментальной проверки основных положений диссертации.

3. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

1°. В качестве геометрической основы построения теории тригонометрических функций в курсе математики IX—X классов взяты сведения из учения о векторах. При этом имелось в виду достигнуть наибольшей «экономии» в отборе этих сведений, в связи с чем вводились лишь основные понятия и предложения и притом те, которые могли бы найти применение в смежных дисциплинах (в геометрии, в физике и в др.).

Вместе с тем при формировании понятий из учения о векторах учителю представлялась возможность использовать некоторые знания учащихся, полученные ими на уроках геометрии и физики.

Сведения, взятые из учения о векторах, обеспечили научное и в то же время вполне доступное учащимся изложение теории тригонометрических функций.

2°. В предлагаемом изложении сначала в качестве аргумента тригонометрических функций рассматривается угол, а не дуга; это делается по тем соображениям, что в практических приложениях учащиеся встречаются прежде всего именно с тригонометрическими функциями угла. Кроме того, вращение луча вокруг одной из своих точек является более естественным и легче воспринимаемым видом движения, чем движение точки по окружности, поэтому понятие угла допускает легче осуществляемое обобщение, чем понятие дуги. К тому же общее понятие об угле учащиеся могут получить прежде всего в геометрии, в физике.

За меру угла в тригонометрии принимается действительное число, абсолютное значение и знак которого вполне характеризуют то вращение, посредством которого образован угол. Это число а называется алгебраическим значением угла.

Вслед за понятием об алгебраическом значении угла вводится понятие об алгебраическом значении дуги, которое используется и при изображении действительных чисел точками окружности.

3°. Имея в виду как можно раньше ознакомить учащихся с применением тригонометрии к решению широкого круга задач практического характера и преодолеть трудности, связанные с расширением области определения тригонометрических функций, автор предлагает уже в VIII классе рассмотреть понятие о тригонометрических функциях числового значения угла, принадлежащего промежутку [0°, 180°}, с тем чтобы в IX классе ввести сначала понятие о тригонометрических функциях любого угла (дуги), а затем о тригонометрических функциях действительного числа.

Понятия о тригонометрических функциях угла в VIII классе устанавливаются из рассмотрения не прямоугольного треугольника, а отношений отрезков, каждое из которых вполне определяет данный угол. Это позволяет подготовить плавный переход к понятию о тригонометрических функциях любого угла и затем к понятию о тригонометрических функциях действительного числа.

4°. Учение о тригонометрических функциях угла (дуги) в системе, предлагаемой диссертацией, представляет органическую часть учения о тригонометрических функциях действительного числа. В основу обеих частей учения о тригонометрических функциях положена, идея функции. Каждая триго-

неметрическая функция вводится как новый вид функции. Это имеет своим следствием расширение и углубление представлений учащихся о функции.

Для задания тригонометрической функции указывается, как обычно, область ее изменения, но закон соответствия значений функции значениям независимой переменной выражается в новой форме, отличной от ранее практиковавшейся.

Тригонометрические функции сначала определяются на множестве значений углов (дуг), измеренных в угловых (дуговых) единицах. На этом этапе ход изменения тригонометрической функции учащиеся могут установить самостоятельно опытным путем: все свойства тригонометрических функций могут быть добыты ими из геометрических соображений.

5°. На втором этапе даются определения тригонометрическим функциям действительного числа, для чего вводится понятие о числовой окружности как об аналоге числовой оси.

При изображении действительного числа точкой числовой окружности абсолютное значение этого числа рассматривается как длина дуги окружности.

За единицу измерения дуг на числовой окружности может быть взята любая дуга, но по ряду теоретических и практических соображений за эту единицу обычно принимают дуговой радиан.

С помощью введения числовой окружности между множеством точек числовой окружности и множеством действительных чисел устанавливается соответствие, в силу которого каждое действительное число однозначно изображается точкой числовой окружности. Теперь каждому действительному числу, используя его изображение на числовой окружности, оказывается возможным отнести систему чисел, называемых синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом данного действительного числа. Этим путем в качестве аргумента функции вводится не переменный угол, а переменное действительное число.

6°. На основе определений тригонометрических функций действительного числа доказываются те их свойства, которые являются общими свойствами функций. С общими свойствами функций учащиеся знакомятся в курсе алгебры. На примерах элементарных функций, изучаемых в VIII классе, представляется возможность ввести понятия об области значений функции, об ее наибольшем, наименьшем и нулевом значени-

ях. Понятия о промежутке знакопостоянства и о возрастающих й убывающих функциях естественнее всего- дать в IX классе в связи с рассмотрением неравенств, а понятия о четной и нечетной функции — при изучении в том же классе степенной функции.

При исследовании свойств тригонометрических функций в IX классе учащиеся узнают новое для них свойство функций — их периодичность.

Таким образом, изучение свойств тригонометрических функций действительного числа в IX классе состоит в исследовании, имеющем целью установить наличие у них тех свойств функций, которые были рассмотрены в курсе алгебры VIII и IX классов, в результате чего приходят к выводу: тригонометрические функции представляют собою класс функций, обладающих теми же свойствами, что и другие функции, а также новыми свойствами.

7°. Обычно свойства функций в VII и VIII классах находятся по их графикам. В IX—X классах наряду с использованием графиков применяется аналитическое исследование свойств функций.

Учащимся нелегко перейти от исследования свойств функций на основе изучения графиков к аналитическому методу исследования. Тем не менее в старших классах аналитический метод исследования свойств функции должен сделаться по принципиальным соображениям основным.

В соответствии с этим, при исследовании тригонометрических функций, мы исходили из определений этих функций, а не из рассмотрения их графиков. В основу определений тригонометрических функций диссертации положены сведения о направленных отрезках (векторах) и их проекциях на оси; поэтому рассуждения, проводимые при исследовании свойств тригонометрических функций, в определенной степени связываются с некоторыми геометрическими представлениями.

Доказательства свойств тригонометрических функций вообще сводятся к решению соответствующих тригонометрических уравнений и неравенств.

Графики тригонометрических функций предлагается в диссертации строить на основе установленных свойств их, так, что каждое свойство этих функций получает геометрическое истолкование. Это содействует сознательному использованию учащимися графиков тригонометрических функций для решения различного рода задач.

8°. Свойства тригонометрических функций в настоящем исследовании рекомендуется рассматривать в таком порядке:

1) область значений функций;

2) четность, нечетность функций; 3) периодичность функций;

4) нули и промежутки знакопостоянства функций;

5) возрастание и убывание функций.

Каждое из свойств устанавливается одновременно для всех тригонометрических функций. Такой порядок изучения свойств тригонометрических функций дает возможность выявить путем сравнения все их сходные и отличные черты. Кром того, при одновременном изучении каждого свойства для всех тригонометрических функций легче выделяются вопросы, которые могут быть самостоятельно решены учащимися, что, конечно, активизирует процесс обучения.

9°. При традиционном изложении тригонометрии в школе тригонометрические тождества (все формулы гониометрии) доказываются для тригонометрических функций угла. В диссертации предлагается рассматривать доказательство всех формул гониометрии для тригонометрических функций действительного числа. Это способствует формированию в сознании учащихся представления о тригонометрических функциях как о функциях, определяемых на множестве действительных чисел.

В школьном курсе тригонометрии изучаются основные тождества:

(1)

и некоторые следствия из них. Тождества (1) и следствия из них представляют собою алгебраические соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.

Но кроме этой группы тригонометрических тождеств в диссертации рассматриваются в качестве тождеств и те соотношения, которые выражают свойства периодичности и четности и нечетности тригонометрических функций, а также все остальные формулы приведения и равенства, выражающие теоремы сложения и следствия из них. В каждой из групп тождеств можно выделить некоторое число независимых друг от друга соотношений. В группе формул, выражающих алгебраические соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента, такими являются формулы

(1), а в группе формул приведения — тождества, выражающие свойства периодичности и четности и нечетности тригонометрических функций, к которым необходимо присоединить формулу:

(2)

В третьей группе тождеств в качестве основного можно принять теорему сложения для функции cosx.

Формула (2) и теорема сложения для функции cosx доказываются на основе теорем о проекциях вектора на ось, 10°. В диссертации приведены виды упражнений по тригонометрии, имеющие целью повысить интерес учащихся к предмету, предупредить формальное усвоение вопросов теории.

Исследования показали, что достижению этой цели содействуют упражнения следующих видов:

1) Целенаправленные упражнения на тождественное преобразование выражения, составленного из тригонометрических функций посредством алгебраических операций.

В диссертации даны примеры упражнений на тождественные преобразования с целью исследования свойств функций, построения их графиков и с целью решения тригонометрических уравнений и неравенств.

2) Упражнения по тригонометрии, решаемые способом алгебраизации.

Приведены примеры решения тригонометрических уравнении и исследования функции посредством применения способа алгебраизации.

3) Задачи, сводящиеся к решению тригонометрических уравнений), неравенств и к доказательству тригонометрических тождеств.

Приведены примеры задач практического характера.

4) Упражнения на применение тригонометрических функций к решению задач по геометрии.

Приведены задачи на вычисление, на доказательство, на построение и на нахождение экстремума.

4. ОПЫТНАЯ ПРОВЕРКА ПОЛОЖЕНИЙ ДИССЕРТАЦИИ

Рекомендуемое в диссертации изложение теории тригонометрических функций в средней школе добыто автором в результате его многолетней педагогической работы, а также

наблюдений и эксперимента, проводившихся им в школах и в педагогическом институте города Грозного.

Начиная с 1957 года выполнялась экспериментальная работа по преподаванию отдельных вопросов и всего курса тригонометрии в школе.

В это время в школе был введен новый учебник по тригонометрии С. И. Новоселова.

Учащиеся с большим трудом усваивают IV главу учебника, посвященную рассмотрению тригонометрических функций действительного числа. Изучая в течение длительного времени (в VIII—IX классах) тригонометрические функции угла, учащиеся привыкают к тому, что аргументом этих функций служит всегда угол и поэтому встречают с некоторым недоумением введение понятий о тригонометрических функциях действительного числа.

Учителю удается только в редких случаях рассеять это недоумение и создать у учащихся представление о тригонометрических функциях как о функциях, определяемых на множестве действительных чисел. Достигнуть этого в полной мере не удалось на первых порах и в экспериментальных классах. Хотя в них применялись разнообразные приемы преподавания, направленные на преодоление психологических затруднений, возникающих у учащихся в связи с введением понятий о тригонометрических функциях действителного числа.

Проанализировав результаты первого этапа (1957—1958 гг.) экспериментальной работы, автор пришел к заключению о необходимости не только совершенствования приемов преподавания, но и изменения самого построения изложения материала по тригонометрии, подлежащего изучению в школе.

На втором этапе (с 1958 по 1962 гг.) экспериментальной работы в школе автор подверг опытной проверке разработанную им новую систему изложения учения о тригонометрических функциях в VIII—X классах. К этой работе привлекались учителя-математики школ города Грозного и студенты-практиканты IV—V курсов пединститута.

Выяснилось:

а) содействует ли предлагаемое изложение учения о тригонометрических функциях достижению такого уровня знаний учащихся, который отвечал бы современным требованиям, предъявляемым к средней школе;

б) допускает ли эта система рациональные приемы сообщения учебного материала.

По каждому вопросу устанавливались объем материала, формы и методы его преподавания, содержание и система упражнений, содействующих вполне сознательному усвоению теории, развитию инициативы и творчества учащихся.

Результаты эксперимента выяснились посредством наблюдений за деятельностью учащихся на уроках, а также анализа их самостоятельных и контрольных работ.

В диссертации дано описание наиболее интересных результатов эксперимента.

Экспериментальные исследования убедили автора в следующем:

1) учащиеся VIII класса без особого труда воспринимают учение о тригонометрических функциях не только острого, но и тупого углов. Это дает возможность ввести уже в VIII кл. теоремы синусов и косинусов, которые учащиеся охотно и сознательно применяют для решения задач по физике и геометрии. В силу чего решение задач упрощается;

2) изучение тригонометрических функций любого угла в IX классе в объеме, предлагаемом в настоящей работе, является достаточным для подготовки учащихся к сознательному восприятию теории тригонометрических функций действительного числа и к решению прикладных вопросов из области техники, геодезии, астрономии и т. д.;

3) изучение свойств тригонометрических функций любого угла в IX классе в форме лабораторной работы активизирует процесс обучения. Учащиеся сами «открывают» особенности хода изменения каждой тригонометрической функции, благодаря чему свойства тригонометрических функций воспринимаются не формально, а глубоко сознательно и затем применяются ими к решению теоретических и практических задач;

4) использование одних и тех же геометрических образов при изложении теории тригонометрических функций угла и затем теории тригонометрических функций действительного числа облегчает учащимся усвоение материала;

5) выполнение упражнений по тригонометрии в соответствии с системой, предлагаемой в диссертации, содействует углублению теории, а также активизирует мышление учащихся, развивает у них элементарные творческие способности в области математики.

Рекомендуемое автором построение учения о тригонометрических функциях и результаты опытной проверки его преподавания в школе обсуждались:

а) на семинаре по вопросам методики преподавания математики, организованном кафедрой элементарной математики педагогического института г. Грозного;

б) на республиканских педагогических чтениях;

в) на научно-методической конференции преподавателей математики педагогических институтов Юга страны.

5. ОБЩИЕ ВЫВОДЫ

Результаты проведенного исследования дают автору основание сформулировать следующие выводы:

1) разработанная в диссертации система изложения в VIII—X классах учения о тригонометрических функциях в научном и методическом отношениях оказалась вполне приемлемой и практически, оправдала себя;

2) эта система допускает такие приемы сообщения учебного материала, которые активизируют мыслительную деятельность учащихся;

3) предлагаемое построение изложения теории тригонометрических функций позволяет достигнуть необходимой плавности при обобщении и постепенном углублении всех основных понятий тригонометрии;

4) рассмотрение тригонометрических функций, как одного из видов функций, изучаемых в математике, содействует формированию у учащихся научного понятия о функциях и расширению их сведений об общих свойствах функций.

Это подготовляет учащихся к усвоению элементов высшей математики, изучение которых предусматривается в XI классе.

ПО МАТЕРИАЛАМ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ:

1). Статья «Об изучении тригонометрических функций числового аргумента в школе», помещенная в Ученых записках Чечено-Ингушского Государственного педагогического института. (Физико-математическая серия, №15, выпуск IV). г. Грозный, 1962.

2). Брошюра «Тригонометрические функции в курсе математики средней школы». Изд. Чечено-Ингушского Государственного (педагогического института и Института усовершенствования учителей Чечено-Ингушской АССР, г. Грозный, 1962.

Технический редактор Бейлис А. И. Корректор Гирина Е. Ф.

СФ04358. Объем 1 п. л. Тираж 210. Заказ 7831

БЕСПЛАТНО.

Грозный, типография из-ва «Грозненский рабочий»