АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ МЕТОДОВ ОБУЧЕНИЯ

На правах рукописи

А. И. ЖАВОРОНКОВ

ИЗУЧЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

АВТОРЕФЕРАТ ДИССЕРТАЦИИ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ КАНДИДАТА ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК

МОСКВА - 1955

Настоящая работа имеет своей целью выяснить содержание и разработать методику преподавания элементарных алгебраических функций в средней школе.

Элементарные алгебраические функции учащиеся изучают в курсе алгебры 7—10-х классов. Изучение их является одной из составных частей ознакомления учащихся с идеей функциональной зависимости.

В советской методике преподавания математики признается, что идея функциональной зависимости в курсе математики средней школы является одной из наиболее важных. В то же время содержание и методика изучения функций в средней школе разработаны недостаточно. Как отмечает действительный член АПН РСФСР проф. Маркушевич А. И.: «Вопрос о функции, столь простой и ясный с точки зрения математики, нельзя считать окончательно решенным с точки зрения методики преподавания».1.

Дальнейшая разработка методики изучения функций в средней школе необходима еще и потому, что:

1. Работы, которые имеются по этой теме, не могут удовлетворить тех запросов, которые предъявляются к преподаванию математики в средней школе в настоящее время.

2. Актуальность этой темы значительно повысилась в связи с решениями XIX съезда КПСС о внедрении политехнического обучения в средней школе.

3. Изучение функций в средней школе поставлено все еще неудовлетворительно.

В нашей работе выяснены наиболее существенные недостатки, которые встречаются при изучении элементарных алегбраических функций в средней школе (стр. 8—10). Основные причины, порождающие эти недостатки, на наш взгляд, таковы: а) недостаточно разработана методика ознакомления учащихся с идеей функциональной зависимости; б) ныне действующий стабильный учебник по алгебре А. П. Киселева не содержит многих важных вопросов учения о функциях, с которыми нужно знакомить учащихся. Кроме того, освещение многих вопросов о функциях в этом учебнике не удовлетворяет требованиям, предъявляемым к преподаванию математики в настоящее время; в) беден подбор упражнений для изучения функций в стабильном задачнике по алгебре П. А. Ларичева; г) слабо разработаны содержание и методика проведения подго-

1 А. И. Маркушевич. «Понятие функции», журнал «Математика в школе», 1947 г., № 4.

товительной работы к изучению функций в младших классах средней школы. Серьезные недостатки современного изучения элементарных алгебраических функций в средней школе и причины, порождающие их, приводят к выводу, что в ближайшие годы предстоит проделать большую работу для исправления положения.

При выполнении настоящей работы были поставлены следующие конкретные цели:

1. Рассмотреть постановку изучения элементарных алгебраических функций в средней школе дореволюционной России и в советской средней школе в прошлом.

2. Изучить состояние преподавания элементарных алгебраических функций в средней школе по ныне действующей программе.

3. Наметить конкретные пути для улучшения изучения элементарных алгебраических функций в связи с новыми задачами, стоящими перед средней школой.

4. Рассмотреть содержание и методику подготовительной работы к изучению функций в 5 — 8 классах средней школы.

5. Установить систему изучения элементарных алгебраических функций в средней школе.

6. Разработать содержание и методику изучения каждой из элементарных алгебраических функций, рассматриваемых в средней школе, и некоторых общих вопросов учения о функциях.

7. Подобрать и составить упражнения для изучения этих функций.

8. Выяснить, какие наглядные пособия необходимы для изучения элементарных алгебраических функций.

9. Разработать систему внеклассных занятий по изучению элементарных алгебраических функций в школе.

Источниками для разработки нашей диссертационной темы служили:

1. Труды классиков марксизма-ленинизма, постановления ЦК КПСС о школе, решения XIX съезда партии.

2. Учебная и методическая литература по теме, включая и учебные руководства для высших школ.

3. Основные руководства по педагогике и психологии.

4. а) Изучение опыта работы учителей математики школ г. Кирова в течение 1950— 1953 г.; б) анализ ответов абитуриентов на приемных экзаменах в Кировский государственный педагогический институт им. В. И. Ленина и другие институты; в) наблюдения за изучением математического анализа, аналитической геометрии и высшей алгебры студентами первых курсов физико-математического факультета Кировского государственного педагогического института имени В. И. Ленина; г) обсуждение некоторых вопросов темы на секции учителей математики г. Кирова, д) проведение занятий на курсах повышения квалификации учителей при Кировском институте усовершенствования учителей в 1953 и в 1954 гг.; е) проведение занятий на сессии заочников по методике математики в Кировском государственном педагогическом инсти-

туте имени В. И. Ленина в 1953 г.; ж) обсуждение докладов, сделанных нами по диссертационной теме, на секции учителей математики г. Кирова, для учителей математики семилетних и средних школ Кировской области, на кафедре математического анализа Кировского государственного педагогического института им. В. И. Ленина и на заседании сектора методики математики института методов обучения АПН РСФСР.

5. Экспериментальная работа по исследуемой теме, проведенная в следующих школах г. Кирова № 14, 16, 21, 22, 24.

6. Личный опыт преподавания математики в течение 1949 — 1954 г. в V—IX классах средней школы № 14 г. Кирова.

7. Внеклассная работа, проведенная автором в течение 1952 — 53, 1953 — 54 учебных годов с учащимися школы № 14 г. Кирова.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и двух приложений.

Глава I.

Из истории вопроса и методики его преподавания

Для того чтобы правильно разработать содержание и методику изучения элементарных алгебраических функций в средней школе нужно знать, как развивалось понятие функции в науке, как из множества функций выделилось подмножество алгебраических функций, какую роль играют в математике и ее приложениях алгебраические функции, а также следует выяснить, какой путь развития прошли содержание и методика изучения элементарных алгебраических функций в средней школе.

При разрешении этих вопросов мы должны руководствоваться теорией марксизма-ленинизма: «Самое надежное в вопросе общественной науки и необходимое для того, чтобы действительно приобрести навык подходить правильно к этому вопросу с точки зрения научной, это — не забывать основной исторической связи, смотреть на каждый вопрос с точки зрения того, как известное явление в истории возникло, какие главные этапы в своем развитии это явление проходило, и с точки зрения этого его развития смотреть, чем данная вещь стала теперь»1.

Эти указания В. И. Ленина имеют значение не только для наук об обществе. Они применимы, в частности, к выяснению вопроса об изучении элементарных алгебраических функций в средней школе.

В первом параграфе этой главы даны краткие сведения из истории развития понятия функции.

Во втором параграфе выяснено, как из множества функций выделилось подмножество алгебраических функций, а также какую роль они играют в математике и ее приложениях.

В следующем параграфе кратко рассмотрена постановка изучения элементарных алгебраических функций в средней школе дореволюционной России.

1 В. И. Ленин. Соч., т. 29, изд. 4, стр. 436.

В первой половине XIX века основной целью преподавания математики в средней школе считали развитие мышления ученика. Преподавание математики было поставлено так, что практические приложения ее либо совсем не показывались, либо показывались неудовлетворительно. Имелся большой разрыв между школьной математикой и математикой-наукой, а также между школьной математикой и потребностями практической деятельности людей. Такое преподавание математики, с сильным преобладанием в нем формальной стороны, не удовлетворяло многих преподавателей математики. Поэтому они искали средства, способствующие улучшению преподавания математики в средней школе. Одним из таких средств, способствующих как повышению научного содержания школьного курса математики, так и приближению алгебраического аппарата к решению практических задач, передовые преподаватели и методисты XIX века считали введение идеи функциональной зависимости в школьный курс алгебры.

Приоритет в постановке вопроса о введении идеи функциональной зависимости в курс математики средней школы продолжительное время приписывали немецкому математику Ф. Клейну. В действительности же этот вопрос впервые был поставлен в России во второй половине XIX века. М. В. Остроградским и его учеником B. Н. Шкларевичем. В последующие годы XIX века за введением понятия функции в школьный курс математики высказывались многие методисты-математики: П. А. Шифф (1888—89 г.), C. И. Шохор-Троцкий (1891 г.), В. Е. Сердобинский (1892 г.), В. П. Шереметевский (1895— 1898 г.), С. П. Виноградов (1900 г.).

Примерно в это же время этот вопрос был вынесен на обсуждение русской математической общественности, а на Западе он начал широко пропагандироваться позднее (1905 г.).

Однако в популярных учебниках по алгебре для средней школы конца XIX и начала XX веков («Руководство по алгебре» А. Ф. Малинина и «Начальная алгебра» А. Давидова) вопросы учения о функциях не рассматривались.

В распространенном учебнике «Элементарная алгебра» А. П. Киселева некоторые вопросы учения о функциях были напечатаны лишь во 2-м издании (1890 г.) и то в конце, в виде приложения. В последующих изданиях (начиная с 3-го) в этой книге об элементарных алгебраических функциях ничего не говорилось. Эти вопросы были включены в «Элементарную алгебру» А. П. Киселева лишь в 1922 г. (31 издание).

Таким образом, можно считать, что первый период (до 1906 г.), в отношении изучения функций, был в основном периодом пропаганды необходимости включения в программу по математике для средней школы идеи функциональной зависимости.

После рассмотрения второго периода (1906— 1911 г.) в работе указывается, что отличительными особенностями его в отношении изучения функций следует считать такие: 1) Значительно повышается интерес к постановке математического образования, осо-

бенно, к введению идеи функциональной зависимости в курс средней школы; 2) Вводятся новые программы по математике в реальных училищах, в некоторых кадетских корпусах и в ряде других средних учебных заведений (вводятся элементы высшей математики). 3) Выпускаются новые учебники по алгебре, содержащие разделы, посвященные функциям. 4) Разрабатываются вопросы методики изучения функций.

Из учебной литературы этого периода рассмотрены книги:

A. Н. Глаголев «Элементарная алгебра», ч. I и II, изд. 1907 г., К. Лебединцев «Курс алгебры для средних учебных заведений», ч. I и II, изд. 1910 г.

Для выяснения особенностей изучения функций в третьем периоде (1911 — 1917 г.) кратко рассмотрены некоторые доклады, прочитанные на I и II Всероссийских съездах преподавателей математики, три проекта программы по математике для средней школы 1915 и 1916 годов, а также рассмотрена следующая учебная литература: А. П. Киселев «Графическое изображение некоторых функций рассматриваемых в элементарной алгебре», изд. 1911 г.; В. Г. Фридман «Концентрический учебник алгебры», изд. 1912 г.; С. В. Виноградов «Повторительный курс алгебры», изд. 1914 г.; К. Ф. Лебединцев «Учение о простейших функциях, их графиках, и теория пределов», изд. 1916 г. В заключении указаны особенности рассматриваемого периода в отношении изучения функций.

Развитие советской школы в отношении изучения функций можно разбить также на три периода (с 1917 г. по 1924 г., с 1924 г. по 1931 г. и с 1931 г. по настоящее время).

Для выяснения особенностей этих периодов рассмотрены:

а) программы по математике для средней школы 1918—1919, 1920 — 21, 1924 — 25, 1931 — 32, 1953 — 54 учебных годов,

б) учебная и методическая литература по математике: 1) Б. Б. Пиотровский «Изучение простейших функций и их графиков в средней школе»1; 2) Я. С. Безикович «Курс алгебры», 1927 г.; 3) Д. Д. Державин «Элементарная алгебра», 1926 г.; 4) А. П.Киселев «Алгебра», ч. II; 5) И. И. Чистяков «Методика алгебры», 1934 г.; 6) С. С. Бронштейн «Методика алгебры», 1937 г. 7) В. М. Брадис «Методика преподавания математики в средней школе», 1951 г.

Для каждого из этих периодов указываются особенности его в отношении изучения элементарных алгебраических функций.

Заканчивается первая глава некоторыми выводами о выявленных тенденциях в отношении изучения функций и рассмотрением того, что должно быть сделано для улучшения изучения функций в средней школе в свете задач осуществления политехнического обучения.

1 Статья в журнале «Математика в школе» под редацией Грацианского И. И., издательство книжного сектора ГубОНО, 1924 г., Ленинград.

Глава II.

Подготовительная работа к изучению функций (5 — 8 кл.)

В начале главы выяснен вопрос о необходимости проведения пропедевтики функциональной зависимости в младших классах средней школы.

Далее рассмотрены содержание и методика подготовительной работы к изучению функций в 5 — 8 классах. Рассмотрение вопроса о содержании подготовительной работы к изучению функций приводит к выводу, что проводить ее нужно в трех основных направлениях:

1. Подготовительная работа к выяснению понятия функции. Сюда включаются упражнения на выяснение понятий: а) величина и ее свойство принимать числовые значения, постоянные и переменные величины, допустимые значения величины, входящей в задачу или в алгебраическое выражение, зависимости между величинами; б) множество и соответствие между двумя числовыми множествами.

2. Подготовительная работа к усвоению способов выражения функциональной зависимости. Здесь имеются в виду упражнения: на составление формул, выражающих зависимости между величинами, на составление таблиц значений связанных между собою величин, на построение диаграмм и графиков, на использование таблиц часто встречающихся функций. Например:

ъх, }/~х, X2, -jSinx, tgx и т. д.

3. Подготовительная работа к элементарному исследованию функций. Предлагаются упражнения на «исследование буквенных выражений, на «чтение» диаграмм и графиков.

Здесь же подчеркивается, что всю подготовительную работу к изучению функций нужно проводить так, чтобы учащиеся видели практические применения приобретаемых знаний и навыков в технике, физике, химии и упражнялись бы в них.

Следующие три параграфа посвящены выяснению содержания и методики проведения подготовительной работы к изучению функций в курсах арифметики, алгебры и геометрии. В этих параграфах приведено достаточное число таких упражнений, которые необходимо выполнять с целью функциональной пропедевтики, и изложена методика рассмотрения их.

В последнем параграфе рассмотрены вопросы усвоения учащимися функциональной терминологии.

Содержание и методика проведения подготовительной работы к изучению функций, изложенные в этой главе, проверены нами в нескольких классах школы № 14 г. Кирова и одобрены учителями семилетних и средних школ, обучавшимися на курсах повышения квалификации при Кировском институте усовершенствования учителей в 1953 и в 1954 годах.

Глава III

Изучение элементарных алгебраических функций в 8—10 классах средней школы

В первом параграфе этой главы выясняется вопрос о содержании работы по изучению элементарных алгебраических функций. При этом указывается, что при осуществлении политехнического обучения в средней школе учащиеся должны получать более широкие, глубокие и действенные знания по элементарной теории функций, чем получали их до сих пор.

Это в первую очередь относится к изучению элементарных алгебраических функций. Мы считаем поэтому необходимым наряду с теми функциями, которые изучаются в настоящее время в средней школе, познакомить учащихся также с функциями у = ах3, у = х4, у =— , у = ]/ ах и у — У ах . В диссертации дано обоснование такого решения этого вопроса.

Мы считаем также, что естественным завершением изучения функций у=а, у=х, у=х2, у—х*, у—х\ у=х“\ у = х~\ у=х2 у=х 3 должно быть введение понятия о степенной функции. Это необходимо для того, чтобы систематизировать знания учащихся о частных случаях функции у = х а .

С большей полнотой и обстоятельностью, чем это делается в настоящее время, должны изучаться в школьном курсе алгебры многочлены от одного переменного.

Наконец, мы выясняем, почему в средней школе целесообразно познакомить учащихся с понятием неявной функции и функциями многих переменных.

Включение этих вопросов в курс математики средней школы повысит общий уровень математического развития учащихся и даст им более основательную подготовку к практической деятельности1.

В следующем параграфе установлена и обоснована система изучения элементарных алгебраических функций в средней школе.

Далее устанавливается, что при изучении элементарных алгебраических функций нужно:

1. Вести это изучение так, чтобы учащиеся уяснили, что элементарные алгебраические функции отражают закономерности окружающего нас мира.

2. Научить учащихся строить графики этих функций.

1 Изучение элементарных алгебраических функций следует продолжить на внеклассных занятиях по математике (см. приложение 2).

3. Особое внимание уделить исследованию функций (аналитически, графически).

При выполнении этих основных условий изучение функций в средней школе будет иметь большое образовательное, практическое и воспитательное значение.

Чтобы учащиеся поняли, что элементарные алгебраические функции отражают закономерности окружающего нас мира, следует изучение каждой функции начинать с задачи, решение которой приводит к данному типу функций. Затем нужно привести другие примеры применения рассматриваемой функции в физике, в технике и т. д. После выяснения особенностей функции, построения и рассмотрения ее графика придется еще раз разобрать несколько примеров применения этой функции в науке и технике. Все это заставляет тщательно продумать содержание и систему упражнений, относящихся к учению об элементарных алгебраических функциях. При подборе упражнений должны быть учтены запросы физики и других учебных предметов.

Как же строить графики элементарных алгебраических функций в средней школе? В настоящее время графики функций в школе принято строить «по точкам». Но этот прием осуждается некоторыми математиками-методистами, которые считают, что в основу построения графиков функций следует положить исследование свойств данной функции. Наша экспериментальная работа в школе показала, что графики элементарных алгебраических функций следует строить «по точкам» с использованием некоторых свойств рассматриваемых функций. По заданному аналитическому выражению функции исследуются те свойства ее, которые, во-первых, доступны для понимания учащихся, во-вторых, могут быть выяснены на данной ступени овладения алгебраическим аппаратом.

В настоящее время при изучении функций в средней школе монопольное положение занимает вычерчивание графиков их. Это приводит к тому, что учащиеся средней школы не получают достаточных навыков элементарного исследования функций. Мы пришли к выводу, что одной из основных задач изучения функций в средней школе должно быть элементарное (аналитическое и графическое) исследование их. Это исследование, начиная с 8-го класса, должно включать: а) отыскание области определения функции, б) установление области значений функции, в) нахождение корней функции, г) отыскание областей положительных и отрицательных значений функции, д) установление характера изменения функции при изменении аргумента (возрастание, убывание), е) определение наибольших и наименьших значений функции. Такое исследование функций, опирающееся на «чтение» формулы и графика, уместно в 8 — 9 классах, а в 10-м классе главную роль при изучении функций должна играть производная.

Исследование элементарных алгебраических функций необходимо для повышения идейного уровня школьного курса математики и, в частности, сознательного изучения многих разделов самой ма-

тематики (уравнения, неравенства и т. д.), смежных с ней дисциплин и для более широких и плодотворных практических приложений этих функций. Нельзя не учитывать и тот факт, что такое исследование функций является хорошей подготовкой к усвоению начатков математического анализа в средней школе.

Понятие об исследовании функций на четность, нечетность в периодичность удобно ввести в 9-м классе.

В обучении учащихся исследованию свойств элементарных функций целесообразны четыре этапа.

Первый этап заключается в исследовании некоторых свойств элементарных алгебраических функций по их графикам («чтение» графика).

Второй этап сводится к тому, что при изучении функций вида у=кх в 8-м классе выясняются сначала особенности этих функций по их графикам, а затем учащимся показывается, как отыскать особенности заданных функций по их аналитическим выражениям.

Третий этап заключается в том, что сначала находим некоторые свойства заданной функции по ее аналитическому выражению (элементарно), а затем уже рассматриваются свойства этой функции по ее графику.

Наконец, четвертый этап характеризуется тем, что особенности заданной функции по ее аналитическому выражению выясняются с привлечением производной.

В § 4 рассматриваемой главы выясняется вопрос об определении понятий функции в курсе математики средней школы.

Каким должен быть общий план изучения отдельных функций в 8-м классе, покажем на примере функции у = —.

1. Повторить и уточнить то, что уже известно учащимся об этой функции.

2. Привести примеры, показывающие практические применения функции у = —.

3. Вывести общую формулу обратно пропорциональной зависимости.

4. Построить график функции у — — при заданном значении к.

Перед построением графика следует провести исследование свойств этой функции по аналитическому выражению ее (элементарно).

5. Построив график функции у = - , показать особенности ее по графику.

6. Выяснить, воспользовавшись таблицами с графиками этой функции, влияние коэффициента к на расположение и вид графика на координатной плоскости.

7. Отметить, что эта функция часто задается табличным способом (у = — , у=-и т. д.).

8. Выполнить упражнения на исследование этой функции и вычерчивание ее графика. При этом особое внимание нужно уделить упражнениям, показывающим практические применения рассматриваемой функции. Полезно пользоваться различными обозначениями аргумента и функции, в частности, принятыми в физике (v, t, s, I, d и т. д.).

Методика изучения других функций в 8-м классе должна быть, примерно, такой же, что и функции у = — . Отметим лишь некоторые особенности ее:

1. Доказательство прямолинейности графика функции у = кх нужно проводить несколько иначе, чем это сделано в учебнике алгебры А. П. Киселева. Доказательство этой теоремы, предложенное в нашей работе, проведено более четко и обеспечивает более глубокое усвоение учащимися понятия графика функции.

2. При выяснении влияния коэффициента а на график функции у = ах2 необходимо опереться на рассмотрение вопроса о преобразовании графиков (растяжение, сжатие).

3. При рассмотрении функций у = ах2 + с и у = ах2 + Ьх + с сначала следует выяснить, что графиками их будет парабола у = ах'% перенесенная в другое место. |(Для этого необходимо иметь таблицы). А затем уже нужно выяснять особенности этих функций и строить их графики.

4. Экспериментальная работа в школе показала, что в 8-м классе нужно рассматривать квадратный трехчлен не в общем виде, а с конкретными числовыми коэффициентами. Исследование же квадратного трехчлена в общем виде следует провести в 10-м классе. При построении графика квадратного трехчлена должны быть найдены координаты вершины параболы (выделением полного квадрата), являющейся графиком его, точки пересечения графика с осями ох и оу и еще несколько точек, принадлежащих ему, и учтен знак коэффициента при х2.

Изучение элементарных алгебраических функций у — ах*% у = х\ у=—у у=уг ах^ у_ Y* ах )В g классе мы предлагаем проводить также, как изучались алгебраические функции в 8-м классе. Отметим некоторые особенности изучения их:

1. Мы пришли к выводу, что перед изучением функций у — \^ах и у = \fax полезно ввести понятие обратной функци и выяснить вопрос о взаимном расположении графиков прямой и обратной функций. А затем показать, что функции: а) у = х3 и у -]/Г X, б) у = х2 и у= }/ X при 0 <х< œ являеся взаимно обратными.

2. При введении понятия о степенной функции и систематизации знаний учащихся о ней должны быть использованы таблицы. Эти таблицы разработаны нами и приведены в данной диссертации.

При изучении квадратного трехчлена в 10-м классе нужно сначала повторить и систематизировать материал, известный учащимся о квадратном трехчлене из 8-го класса. Далее следует выяснить вопрос о графическом изображении квадратного трехчлена, во-первых, установить геометрический смысл корней квадратного трехчлена, т. е. установить как расположен график квадратного трехчлена относительно оси Ох когда корни его действительные различные, действительные равные, мнимые; во-вторых, приводя квадратный трехчлен ах2 + ех + с с помощью тождественных преобразовании к виду а \х -f- —J + —-—установить, что вершина параболы, являющейся графиком квадратного трехчлена ах2 -j- вх -4- с имеет координаты: xQ~ — и у0 - . Необходимо обратить внимание учащихся на то, что ординату уо можно определить иначе, а именно: найти значение квадратного трехчлена соответствующее л0. Здесь же целесообразно показать второй способ нахождения х0: х0—*!2 х* , где Xi и хг — корни квадратного трехчлена. Особое внимание должно быть обращено на то, что чтобы учащиеся быстро научились строить «схематические» графики квадратных трехчленов (зная координаты вершины параболы, точки пересечения параболы с осями Ох и Oy и знак коэффициента при хг). После этого должны быть рассмотрены следующие вопросы:

1. Установление наибольших (наименьших) значений квадратного трехчлена и решение практических задач такого вида; 2) Отыскание промежутков возрастания и убывания квадратного трехчлена; 3) Исследование корней его; 4) Исследование знака квадратного трехчлена. Закончить изучение квадратного трехчлена можно объединением различных моментов исследования его в единое целое, для чего в работе приведена общая схема исследования квадратного трехчлена. При исследовании квадратного трехчлена нужно шире применять графический метод.

Экспериментальная работа в школе, проведенная нами, показала, что в X классе целесообразно рассмотреть следующие вопросы о многочленах:

1. Понятие многочлена одного переменного и числового значения ее.

2. Нахождение остатка от деления многочлена / (х) на х + а и на ах + в. Перед доказательством теоремы об остатке от деления ц. р. ф. f(x) на X — а удобно познакомить учащихся со схемой Горнера. Учащиеся убедятся, что нахождение частного и остатка от деления многочлена f (х) на х — ас помощью схемы Горнера дает большую экономию времени.

3. Понятие корня многочлена и нахождение корней некоторых видов многочленов.

Сначала следует показать, как находить целые корни многочислена вида / (х)=хп + а, хп~~1 .+ ...+ &п_х х+ап, где аь... п целые числа и п — натуральное число. После этого рассматривается, как познакомить учащихся с основной теоремой высшей алгебры, как доказать, что многочлен а0хп+а}хп 1 + ••• -f- ап„\х + ап можно представить в виде произведения а0(х — Xi) (х — х2) — (х — X^_1 ) (х — х^), где хь х2, хп_],хп—корни данной многочлен и как разъяснить учащимся, сколько корней имеет многочлен, п-ой степени во множестве комплексных чисел.

Мы пришли к выводу, что учащимся целесообразно сообщить некоторые сведения о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах. Учащиеся будут иметь представление о том, как решаются алгебраические уравнения степени выше второй с одним неизвестным, а также почему мы решаем уравнения степени выше второй с одним неизвестным в средней школе особыми приемами (испытанием делителей свободного члена, разложением на множители, введением вспомогательного неизвестного и др.). Такое пояснение имеет и воспитательное значение. В диссертации рассмотрены содержание и методика изучения этого вопроса в X классе.

Мы считаем также, что следует показать учащимся два способа приближенного нахождения действительных корней многочлена: а) графический способ; б) с помощью теоремы Коши: Если функция f (х) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [а, Ь] и на концах этого промежутка принимает значения разных знаков, тогда между а и b необходимо найдется точка с, в которой функция обращается в нуль: f(c) = 0 (а<Сс<СЬ).

Наконец, устанавливается, что нужно сообщить учащимся по вопросу приближения трансцендентных и иррациональных функций многочленами, одного переменного и как это сделать.

Необходимость приближения функций многочленами одного пеного можно кратко изложить так: При решении теоретических и практических вопросов нередко рассматриваемые функции приходится заменять многочленами одного переменного. В одних случаях это необходимо потому, что нам известен закон изменения интересующей нас функции лишь с некоторой погрешностью. В этом случае мы можем дать то или иное математическое выражение, лишь приближенно определяющее нашу функцию (приводятся примеры такого вида функций). В других случаях нам может быть известно аналитическое выражение функции, но оно слишком сложно для вычислений, поэтому появляется потребность заменить его с необходимой точностью более простой для вычислений приближающей

функцией. Наиболее простым для вычислений является многочлен одного переменного (приводятся примеры таких функций).

В работе приведены примеры приближенного представления трансцендентных и иррациональных функций многочленов одного переменного. Для некоторых примеров построены графики данной функции и приближающих ее многочленов.

Экспериментальная работа привела нас к выводу, что в X классе необходимо обобщить знания учащихся о функциях. Поэтому в диссертации дан развернутый план обзорной лекции на эту тему.

В предпоследнем параграфе III главы показывается, как при преподавании математики раскрыть учащимся средней школы функциональную природу уравнений и неравенств. Особо обращается внимание на то, как решать уравнения, системы уравнений и неравенства графическим способом.

Заканчивается эта глава рассмотрением вопроса об использовании кино и таблиц при изучении элементарных алгебраических функций в средней школе. В диссертации приведено 30 таблиц, которые необходимы для изучения элементарных алгебраических функций. Многие из них разработаны нами. Здесь же указаны темы учебных кинофильмов, посвященных учению об элементарных алгебраических функциях, и кратко намечено содержание их.

Глава IV.

Экспериментальная работа по вопросам диссертационной темы

Экспериментальная работа преследовала две главные цели:

1. Изучить состояние преподавания элементарных алгебраических функций.

2. Проверить на практике разработанные нами содержание и методику изучения элементарных алгебраических функций в средней школе.

С целью изучения состояния преподавания элементарных алгебраических функций в средней школе нами было сделано следующее:

1. В течение 1950—1953 годов проводилась экспериментальная работа по выяснению состояния преподавания элементарных алгебраических функций в семи школах г. Кирова (№ 14, 16, 24, 28, 39, 22, 25). Мы посетили в этих школах свыше 80 уроков математики в 6-х—10-х классах и часто беседовали с учителями математики данных школ о том, как они изучают элементарные алгебраические функции и что затрудняет их при подготовке к урокам.

2. В беседах с учителями физики средних школ № 14, 16, 21 мы стремились выяснить, какие знания и навыки об элементарных алгебраических функциях необходимы учащимся для успешного изучения физики в 8—10-х классах.

3. Для выяснения знаний и навыков учащихся указанных выше средних школ по элементарным алгебраическим функциям мы просматривали классные тетради и контрольные работы учащихся,

присутствовали на экзаменах на аттестат зрелости в средней школе № 14 и беседовали с учащимися 6—10-х классов.

4. В течение 1950—1953 годов нами проводилась экспериментальная работа по выяснению знаний и навыков учащихся об элементарных алгебраических функциях на приемных экзаменах по математике на физико-математическом факультете Кировского государственного педагогического института имени В. И. Ленина.

Наконец, мы проводили наблюдения за изучением математического анализа, аналитической геометрии и высшей алгебры студентами первых курсов физико-математического факультета Кировского пединститута им. В. И. Ленина путем посещения занятий, бесед с преподавателями и студентами, а также путем просмотра некоторых контрольных работ, проведенных по математическому анализу.

На основании изучения учебной и методической литературы и наблюдения за состоянием преподавания элементарных алгебраических функций в средней школе нами были разработаны содержание и методика изучения их в связи с новыми задачами.

Для проверки на практике выдвигаемых нами положений по содержанию и методике изучения элементарных алгебраических функций в средней школе мы детально разработали 32 урока. Разработки этих уроков были размножены и вручены учителям математики тех школ, где. предположено было провести экспериментальную работу.

Кроме поурочных разработок учителям давались некоторые методические указания к проведению отдельных уроков.

Наряду с поурочными разработками нами были составлены самостоятельные работы для учащихся, которые охватывали основные вопросы диссертационной темы. Всего было составлено 11 работ по четыре варианта каждая. Эти работы составлены были так, что для выполнения каждой из них, кроме работы № 4, требовалось не более 10—20 минут. Работа № 4 была рассчитана на один урок.

Учителям, проводившим экспериментальную работу, даны были указания о выполнении самостоятельных работ учащимися.

Предложенные нами самостоятельные работы были проведены. Из всех школ мы получили и проверили 1276 работ. Правильно выполнено 1219 работ, что составляет 95,53% от всего числа, проверенных работ.

В диссертации приведен краткий анализ выполненных учащимися работ.

Проведенные самостоятельные работы дают основание утверждать, что предлагаемая нами методика изучения элементарных алгебраических функций обеспечивает достаточно высокий уровень функциональной подготовки учащихся. Об этом же говорят положительные отзывы учителей, проводивших экспериментальную работу.

При этом другие разделы школьного курса математики (уравнения, неравенства, вычислительная техника) не ущемляются, а наоборот, сознательное усвоение их облегчается. Об этом свидетель-

ствует успеваемость учащихся по алгебре в тех классах, в которых проводилась экспериментальная работа.1.

Для сопоставления функциональных знаний и навыков учащихся средних школ, в которых проводилась нами экспериментальная работа, со знаниями и навыками учащихся средних школ, в которых такая работа не проводилась, нами были проведены одинаковые контрольные работы. Контрольные работы были проведены в апреле 1954 г. з 8—10-х классах школы № 14 и в 10а классе школы № 21 г. Кирова, а также в 8—10-х классах школы № 35 г. Кирова и Оричевской средней школы Кировской области (в двух последних школах экспериментальная работа не проводилась).

В диссертации приведена количественная и качественная характеристика выполнения каждой такой работы.

Из рассмотрения приведенных в диссертации данных видно, что функциональные знания и навыки учащихся средних школ, в которых не проводилась экспериментальная работа, значительно хуже, чем у учащихся средних школ, в которых такая работа проводилась.

Из ответов учащихся на обзорных лекциях о функциях в средних школах № 14, 15, 21 г. Кирова видно, что знания и навыки учащихся школ № 14 и 21 о функциях значительно полней и глубже, чем у учащихся школы № 15.

В первом приложении к диссертации даны упражнения, необходимые при изучении элементарных алгебраических функций. Здесь приведены 233 упражнения. Большинство приведенных упражнений проверено на практике при проведении экспериментальной работы в школе.

Во втором приложении описана внеклассная работа по изучению функций, проведенная нами с учащимися 8—10-х классов средней школы № 14 г. Кирова в 1952—53 и 1953—54 учебных годах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В итоге проведенного исследования мы пришли к следующим основным выводам:

1. Следует расширить круг элементарных алгебраических функций, изучаемых в средней школе.

2. В курсе математики семилетней школы должны быть включены некоторые вопросы функциональной зависимости. Учащихся семилетней школы следует подготовить к систематическому изучению функций.

3. Система изучения элементарных алгебраических функций в основном может быть сохранена.

4. Изучая элементарные алгебраические функции, учащиеся должны видеть применение приобретаемых знаний и навыков о функциях в самой математике, в технике, физике, химии и т. д. и упражняться в них.

1 В работе приведены данные об успеваемости учащихся тех классов, в которых проводилась нами экспериментальная работа.

5. Порядок изучения каждой функции должен быть таким: а) рассмотрение задач, приводящих к данному типу функций, и примероз применения ее в физике, технике, и т. д.: б) выяснение особенностей функции в общем виде, построение и «чтение» ее графика; в) выполнение упражнений на исследование этой функции и вычерчивание ее графика. При этом особое внимание нужно обратить на выполнение упражнений, показывающих практические приложения рассматриваемой функции.

6. Построение графиков функций не должно быть самоцелью. Их следует использовать для наглядного обозрения особенностей рассматриваемых функций. Строить графики нужно «по точкам» с использованием некоторых свойств изучаемых функций, устанавливаемых с помощью рассмотрения аналитических выражений.

7. Важное место при изучении элементарных алгебраических функций должно занимать элементарное (аналитическое и графическое) исследование их.

8. В курсе алгебры постоянно следует заботиться об установлении необходимых связей функционального материала со многими разделами школьной математики (уравнения, неравенства и др.), смежных с математикой дисциплин (физика, химия и др.) и использовать эти связи для более успешного изучения как функций, так и указанных выше дисциплин.

9. Полней и обстоятельней, чем это делается в настоящее время, должны изучаться в 10 кл. многочлены одного переменного и квадратный трехчлен.

10. Изучение элементарных алгебраических функций нужно продолжить на внеклассных занятиях. Для успешного проведения таких занятий необходимы научно-популярные книги о функциях.

11. В X классе необходимо обобщить знания учащихся о функциях.

12. Все определения, с которыми учащиеся встречаются при ознакомлении с идеей функциональной зависимости, должны быть сохранены и в других школьных курсах, где ими приходится пользоваться.

13. Принятый в средней школе учебник алгебры А. П. Киселева в отношении изложения в нем вопросов учения о функциях, как и во многих других отношениях, не удовлетворяет современным требованиям. Поэтому в ближайшее время этот учебник должен быть заменен другими учебниками, реализующими новые требования.

14. Следует пересмотреть подбор упражнений, относящийся к изучению элементарных алгебраических функций, в стабильном задачнике по алгебре П. А. Ларичева.

15. Необходимо добиться, чтобы школы имели нужные им таблицы с графиками функций. Желателен также выпуск нескольких фильмов о функциях для школьного кино.

Л 101924. Объем 1 печ. л. Тираж 100 экз. Заказ № 3049.

Типография Минавтотрансшосдор РСФСР.