КИШИНЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

В. Б. ЗЕЛЬЦМАН

ИДЕЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук по методике математики (на правах рукописи)

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор Я. С. Дубнов

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ МОЛДАВСКОЙ ССР

КИШИНЕВ * 1953

ИДЕЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

Идея преобразования, рассматриваемая с самой общей точки зрения, является одной из главных идей марксистско-ленинской диалектики. Ведь диалектика изучает объекты окружающей нас действительности не в их окаменелом, застывшем состоянии, а в их преобразовании из одной формы в другую. Эта идея проникла во все ветви советской науки.

Что касается геометрии, то идея геометрического преобразования1 имеет, во-первых, большое методическое и воспитательное значение, так как она вводит в изложение геометрии подвижность и динамичность, дает возможность рассматривать преобразование одних геометрических образов в другие по определенным законам, способствует выяснению взаимосвязей между фигурами (квадрат — параллелограм, окружность — эллипс), и тем самым ослабляет элементы формализма в изложении этого учебного предмета.

Во-вторых, идея геометрического преобразования лежит в основе современной геометрии. Действительно, понятие группы преобразований играет большую роль при современной научной классификации геометрии, намеченной немецким математиком Ф. Клейном в его „Эрлангенской программе“2 еще в 1872 году. По Клейну каждая геометрическая система опирается на некоторую группу преобразований пространства; изучение

1 Простейший класс геометрических преобразований представляют собой точечные преобразования, состоящие в том, что жаждой точке А (прообраз) многообразия ставится в соответствие по известному закону другая точка Л' (образ) того же многообразия. Можем сказать, что точечные преобразования представляют собой, в сущности, геометрическую реализацию понятия функции.

2 Ф. Клейн, Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований, пер. Д. Синцова, Казань, 1896.

свойств геометрических фигур, инвариантных относительно преобразований этой группы, и является предметом соответствующей геометрии. В частности, все конгруэнтные преобразования, преобразования подобия, а также и преобразования, которые могут быть из них составлены, образуют по Клейну так называемую главную группу пространственных преобразований. Основными инвариантами этой группы преобразований являются: величина угла, отношение площадей, отношение отрезков и т. д.

Геометрия, соответствующая главной группе пространственных преобразований, названа Ф. Клейном метрической геометрией.

Определение геометрии как науки, изучающей свойства геометрических фигур, неизменные при преобразованиях соответствующей группы преобразований, сыграло важную роль в развитии науки. Изучение геометрии с точки зрения теории групп преобразований дает возможность выявить связь между различными разделами геометрии, а также указать их место в общей системе геометрии.

К сказанному следует добавить, что расширение в школьном курсе круга изучаемых геометрических преобразований существенно обогащает содержание этого предмета, а также приближает геометрию к разрешению практических задач. Отсюда в дальнейшем будут сделаны выводы относительно того, каковы должны быть роль, место и удельный вес геометрических преобразований в школьном курсе геометрии.

Представляемая нами работа состоит из двух частей.

В первой части, не рассматривая всех вопросов преподавания геометрии в целом, мы ставим своей основной задачей проследить и изучить важнейшие этапы в развитии идеи геометрического преобразования в школьном преподавании геометрии со времени Евклида до Великой Октябрьской социалистической революции. Под этим углом зрения нами подвергнуты анализу и оценке те учебники геометрии, которые сыграли значительную роль в школьном преподавании геометрии на протяжении рассматриваемого исторического пути развития этой важной математической науки.

Эта часть состоит из двух глав.

В первой главе нами подвергнут анализу под

углом зрения идеи геометрического преобразования первый систематический курс геометрии — „Начала“ Евклида, и рассмотрены важнейшие этапы в развитии идеи геометрического преобразования во Франции, Англии, Италии и Германии.

„Начала“ Евклида ни в коем случае нельзя рассматривать как школьный курс геометрии, о чем свидетельствует и тот факт, что в „Началах“ полностью отсутствуют упражнения; они представляют собой теоретический курс геометрии, доступный для хорошо подготовленного читателя, имеющего навыки к логическому мышлению. Однако этот научный трактат служил в качестве учебника геометрии в течение двух тысячелетий. По „Началам“ учились и знаменитые русские геометры XIX столетия.

В вопросе об отношении Евклида к идее движения имеет место полная непоследовательность. В самом деле, допуская в 7-й аксиоме книги I существование движения, при котором не изменяются формы и размеры геометрических фигур, Евклид не вводит в число аксиом никаких свойств движения. Однако в дальнейшем Евклид; пользуется методом наложения и вращением вокруг прямой. В других же случаях, стараясь не прибегать к движению, он сильно усложняет решение довольно элементарных задач.

Следует отметить, что если Евклид и пользуется в скрытой форме движением, то он, как и его последователи, смотрели на движение не как на геометрическое преобразование, а как на абстракцию, возникающую из физического явления движения материального, твердого тела.

Равным образом, подобие фигур Евклид рассматривал не как геометрическое преобразование, переводящее данную фигуру в новую, ей подобную, а статически: как некоторое соотношение между данными фигурами.

Отрицательное отношение Евклида к идее движения и его способ изложения учения о подобии наложили отпечаток на большинство учебников геометрии всех последующих веков, не исключая и XX в.

„Начала“ Евклида подверглись впервые большому пересмотру со стороны французских математиков Петра Рамуса (во второй половине XVI в.) и Антуана

Арно (во второй половине XVII в.). Однако и они, под влиянием Евклида, избегали метода наложения и вообще идеи движения.

В 1741 г. во Франции выходят знаменитые „Элементы геометрии“ Клеро. Исходя, как и Рамус, из практических проблем землемерия, Клеро резко выступает против системы Евклида. В предисловии к своему учебнику Клеро критикует те курсы геометрии, которые начинают свое изложение с определений, аксиом и „предварительных правил“, а затем приступают к изложению и доказательству теорем, в большинстве случаев трудно усвояемых и не возбуждающих интереса к этому предмету у начинающих его изучение.

Желая сделать свой учебник геометрии доступным, интересным и избежать указанных недостатков, Клеро старается изложить основные понятия геометрии в соответствии с их естественным происхождением. Однако и он, часто пользуясь движением для описания геометрических фигур, крайне редко обращается к методу наложения для доказательства геометрических предложений, а подобие фигур трактует в духе Евклида.

Во второй половине XVIII в. во Франции назревала буржуазная революция. Издававшаяся в то время (1751 — 1780 гг.) в Париже Дидро и Даламбером „Энциклопедия“ отражала новые идеи эпохи просвещения в области народного образования, направленные на его расширение и придание ему более естественного и конкретного характера. В своей статье „Геометрия“, помещенной в VII томе „Энциклопедии“, вышедшем в 1757 г., Даламбер высказывает мысль о том, что при составлении учебника геометрии не следует придерживаться плана и метода Евклида. Учебники геометрии, по мнению Даламбера, должны быть трех типов — для начального обучения, ставившего перед собой узко практические цели, для школ повышенного типа (имелась в виду средняя школа) и для учащихся, готовящихся к более углубленному изучению геометрии.

Даламбер, в противоположность Евклиду, предлагает широко пользоваться геометрическим движением, в частности наложением, как основным методом геометрического доказательства.

Статьи Даламбера оказали большое положительное влияние на дальнейшее преподавание геометрии.

В конце XVIII в. выходят три получивших широкое распространение учебника геометрии: „Курс“ Безу (1770), „Элементы геометрии“ Лежандра (1794) и „Элементы геометрии“ Лакруа (1799). Эти сочинения в разной мере представляют собой те три типа учебников геометрии, о которых говорил Даламбер.

Учебники Безу, Лежандра и Лакруа сыграли большую роль в деле реформирования „Начал“ Евклида и оказали большое влияние на дальнейшее преподавание геометрии.

Наряду с переиздававшимися „Элементами“ Лежандра, в 1867 г. выходят „Элементы геометрии“ Руше и Комберусса, представляющие собой школьный курс геометрии. В вопросах, касающихся нашей темы, авторы учебника не пошли дальше Лежандра.

В 1898—1901 гг. вышла „Элементарная геометрия“ французского математика Ж. Адамара.

Это сочинение представляет собой энциклопедию элементарной геометрии. Оно предполагает уже знание школьного курса геометрии. Здесь получили соотстветвующее освещение следующие виды геометрических преобразований: симметрия, поступательное перемещение, вращение, гомотетия и общий случай подобия, теория полюсов и поляр относительно окружности, инверсия и расширение.

В начале XX в. во Франции проводится реформа преподавания математики, которая была тесно связана с общей реформой средней школы.

В области реформы преподавания геометрии во Франции большую роль сыграло известное сочинение „Новые начала геометрии“ Шарля Мерэ (1874), которое обратило на себя большое внимание только в начале XX в.

Основными идеями Мерэ являются: максимальное слияние планиметрии со стереометрией (фузионизм) и, в противоположность Евклиду, широкое применение идеи движения, как основы построения всего курса геометрии. Движение, а также подобие (включая и гомотетию) трактуются как точечные преобразования.

В подробном анализе учебника Мерэ мы показали,

что параллельное перенесение приводит у Мерэ к понятию параллелизма прямых и плоскостей, а вращение вокруг оси — к понятию взаимной перпендикулярности прямых и плоскостей. Угол здесь рассматривается как мера вращения. Изложение главы о гомотетичных и подобных фигурах Мерэ начинает с рассмотрения гомотетии. Отправной точкой в изучении гомотетии, как геометрического преобразования любых фигур, является параллелизм соответственных прямых, с помощью которого вводится само понятие гомотетичных фигур.

Принципы построения геометрии, основанные на понятии движения, выдвинутые и развитые Мерэ в его курсе, были узаконены во Франции учебными планами 1905 г.

Идеи Мерэ оказали большое влияние на авторов французских учебников, Бореля („Геометрия“, 1905) и Бурле („Элементы геометрии“, 1908 и „Сокращенный курс геометрии“, 1908), которые упростили построение Мерэ, при более полной разработке его основной идеи — широкого внедрения в школьный курс геометрии идеи движения.

В Англии „Начала“ Евклида остаются вплоть до XX в. основным руководством по преподаванию геометрии. Однако уже в конце XIX в. здесь появляется ряд геометрических пособий, стремящихся сократить и упростить евклидов текст.

Значительно более радикальным было другое реформистское движение, возглавляемое английским инженером Джоном Перри. Сторонники этого движения были решительным образом настроены против формально-логического подхода к изучению математики, в частности, стремились построить все преподавание геометрии только на основе наглядных представлений. В геометрию был введен так называемый лабораторный метод.

Такое исключительное подчеркивание наглядности эксперимента и явная недооценка роли теории не могли отвечать задачам средней школы. Однако идеи Перри и его сторонников способствовали введению в преподавание геометрии пропедевтического курса, который должен предшествовать дедуктивному изложению.

В Италии с начала XIX столетия и до 1867 г.

основным учебником геометрии были „Элементы геометрии“ Лежандра. В 1867 г. итальянский геометр Л. Кремона выступил со своей знаменитой „Запиской“, согласно которой образцом в школьном преподавании рекомендовались „Начала“ Евклида. Постановлением итальянского правительства, вынесенным в том же году, пожелания Кремоны были осуществлены: геометрию в классических гимназиях стали преподавать по Евклиду.

Вслед за этим в Италии выходит ряд учебников геометрии, представляющих большой интерес с точки зрения идеи геометрического преобразования: „Начала геометрии“ Санниа и Д'Овидио (1869), „Начала геометрии“ Р. Паолиса (1884), „Элементы геометрии“ Лаццери и Бассани (1891), „Элементы геометрии“ Веронезе (1897), „Элементы геометрии“ Энриквеса и Амальди (1903) и др.

Санниа и Д'Овидио во главу системы геометрии выдвигают понятие о движении твердого тела, формулируя ряд аксиом движения. Этим самым здесь устраняется та непоследовательность, которая имела место в начале первой книги Евклида, на которую мы выше указали.

Паолис, примыкая к идеям Гельмгольца, постулирует движение неизменяемой (жесткой) фигуры и дает определение равенства фигур, согласно которому равными называются фигуры, могущие быть совмещены в результате движения. В этом руководстве, как и в предыдущем, аксиомы движения находят широкое применение. Учебник Паолиса имел задачей показать, что изложение, построенное на идее движения, совместимо с логической строгостью.

Лаццери и Бассани трактуют вопросы, касающиеся преобразования фигур: симметрия относительно точки, прямой и плоскости, инверсия, гомотетия и подобие.

В основу теории конгруэнтности в упомянутых итальянских учебниках положена идея движения.

Веронезе ставит своей методической задачей достичь более высокой степени строгости в трактовке основ геометрии, чем это сделано в упомянутых итальянских учебниках и в „Началах“ Евклида. Так, желая изложить теорию конгруэнтности, понимая последнюю как

некоторое точечное соответствие, автор исходным геометрическим образом выбирает отрезок прямой, рассматривая его как систему точек, удовлетворяющих определенным условиям, а в качестве первоначального понятия вводит (без определения) конгруэнтность отрезков.

При помощи конгруэнтности, опираясь на определенную систему постулатов, он вводит два вида преобразований: симметрию относительно прямой и симметрию относительно точки, сочетание которых дают движения плоскости во всей их общности.

Говоря о новых геометрических идеях XIX в., имеющих непосредственное отношение к нашей теме, следует указать на крупный вклад в науку — „Барицентрическое исчисление“ Мёбиуса, в котором впервые проводится подразделение геометрии по видам геометрических преобразований: конгруэнтные преобразования, сводящиеся к движениям, преобразования подобия, аффинные и преобразования перспективы.

Идеи Мёбиуса оказали влияние прежде всего на преподавание геометрии в Германии. Так, в 1844 г. выходит учебник Бретшнейдера „Курс низшей геометрии“, предназначенный для преподавания в гимназиях и реальных школах, в котором основой служит идея геометрического преобразования.

На идее геометрического преобразования базируется и „Учебник элементарной геометрии“ Генрици и Трейтлейна, вышедший в трех частях в 1882—1883 гг. В этой книге авторы, подобно Мёбиусу, производят подразделение геометрии по видам геометрических преобразований и широко пользуются движением.

В дальнейшем это направление отразилось на так называемом „реформистском движении“, возникшем в начале XX в., во главе с выдающимся немецким математиком Ф. Клейном.

С 1925 г. в учебных программах по математике во всех прусских средних школах понятия функции и преобразования были положены в основу и школьного преподавания.

В 1929 г. в Германии вышла „Элементарная геометрия“ В. Швана, посвященная только геометрии на плоскости. Автор рассматривает основные геометрические преобразования элементарной геометрии на плос-

кости с точки зрения группы преобразований (группа движений, группа преобразования подобия), уделяя при этом большое внимание вопросам обоснования геометрии.

Вторая глава представляет собой исторический очерк развития идеи геометрического преобразования в русской дореволюционной школе. Здесь рассматриваются учебники геометрии, которыми пользовалась русская средняя школа начиная с выхода первой печатной работы по математике (1682 г.), с включением сюда и педагогической литературы рассматриваемого периода. При этом мы отмечаем и переводные учебники геометрии, которые служили учебными руководствами и в русской школе.

В 1726 г. при Академии наук в Петербурге была открыта гимназия, где преподавание проводилось по книге Хр. Вольфа „Auszug aus den Anfangsgründen aller mathematischen Wissenschaften“ (1713), по „Краткому руководству к теоретической геометрии“ академика Г. В. Крафта (1748) и по „Сокращениям математики“ академика С. Румовского (1760). Ни в одном из этих трех учебников нет упоминания о каком-нибудь виде геометрических преобразований. Однако следует отметить, что Г. Крафт широко пользуется движением для описания как плоских, так и пространственных фигур.

В народных училищах,которые были открыты в 1782 г., геометрию изучали по „Краткому руководству“ академика М. Е. Головина (1786). Головин допускает движение, что вытекает хотя бы из четвертой аксиомы его учебника: „Величины, взаимно себя покрывающие, бывают равны между собой“, которая, как видим, родственна 7-й аксиоме Евклида. Автор широко пользуется движением и при определении фигур.

XIX в. был для русской математики веком величайших научных открытий, во главе которых стояли такие великие русские ученые, как Н. И. Лобачевский, М. В. Остроградский и П. Л. Чебышев.

В тесной связи с мощным ростом русской математической науки находилось развитие учебной литературы по геометрии в XIX в.

Большую роль в деле улучшения постановки преподавания элементарной геометрии сыграли педагоги-

ческие идеи академиков М. В. Остроградского и С. Е. Гурьева. В 1798 г. вышло большое сочинение по общим вопросам методики геометрии С. Е. Гурьева „Опыт о усовершении элементов геометрии“, которое оказало большое положительное влияние на характер и метод построения учебников геометрии XIX в.

Руководствуясь передовыми научными и педагогическими идеями лучших русских ученых и педагогов и учитывая опыт передовой французской школы, составители учебников геометрии добились больших успехов, в особенности во второй половине XIX в. В течение этого периода времени выходит целый ряд оригинальных руководств по геометрии, среди которых назовем учебники: М. В. Остроградского, А. Ю. Давидова, А. Н. Глаголева, М. Е. Ващенко-Захарченко, А. П. Киселева, В. И. Беренса и др.

Идея геометрического преобразования все больше проникает в русские учебники геометрии XIX в. При этом русские геометры предлагают ряд удачных нововведений в преподавание геометрии, стремясь привести изучение этого предмета в соответствие с новыми требованиями науки.

Уже в сочинении „Геометрия“1 Н. И. Лобачевский, в большой мере, чем его предшественники, пользуется движением, в частности наложением, как основным методом геометрического доказательства. Это находит свое отражение почти в каждой главе его сочинения. Правда, Лобачевский не описывает свойства движения.

Лобачевский предназначал свою „Геометрию“ в качестве руководства для студентов, которым он читал лекции в Казанском Университете, а потому она не представляет собой учебника геометрии. Поэтому мы это сочинение рассмотрели отдельно, после чего перешли к анализу учебно-педагогической литературы XIX в., ведя этот анализ по отдельным видам геометрических преобразований. Мы показали:

1. Большое значение приобрел метод наложения в России начиная с конца XVIII в. Академик С.Е.Гурьев в своем „Опыте“ рекомендовал применение „правила

1 Рукопись „Геометрия“ была закончена в 1823 г.

наложения“ при доказательстве предложений о равенстве фигур. Он считал, что способ наложения составляет „главное начало и источник наших познаний в геометрии“.

Настойчиво пропагандируют „способ наложения“ авторы учебников второй половины XIX в., как A. Ю. Давидов (1864;, П. Ф. Фандер-Флит (1868), Н. Сенигов (1870), А. Андреев (1876) и др.

Проникновение геометрического движения в русскую школу можно усмотреть не только в широком распространении метода наложения. Движением пользуются для описания геометрических фигур (линии, поверхности, плоскости, геометрического тела, поверхностей вращения и др.). Движение все чаще применяется для доказательства геометрических предложений.

Начиная со второй половины XIX в. делаются попытки аксиоматизировать движение. Сюда относятся учебники М. Е. Ващенко-Захарченко (1883), А. Н. Глаголева (1895), С. И. Шохор-Троцкого (1891) и др.

2. В учебниках геометрии русской школы XIX в. твердо устанавливается различие между понятиями „равенства“ в смысле „конгруэнтности“ и „равновеликостью“ (равенством площадей или объёмов).

3. Вопросы симметрии были введены в учебники геометрии России во второй половине XIX в. Следует указать, что и во второй половине XIX в. эти вопросы содержатся только в некоторых учебниках. Сюда относятся учебники А. Давидова, В. И. Беренса (1872), B. Воленса (1872), А. П. Киселева (1892), А. Н. Глаголева и учебники, переведенные с французского: Бобилье (1863), Лежандра (1879)1, А. Босса и М. Ребьера (1892, 2-е изд.) и др.

Мы показали, что в XIX в. симметрия уже рассматривалась как преобразование в скрытой форме, переводящее данную фигуру (точку, прямую, плоскость и т. д.) в новую, ей симметричную относительно центра, оси или плоскости симметрии (В. Беренс, А.Давидов). Однако авторы большинства учебникоз не считали изу-

1 В этой главе идет речь о русском издании 1879 г. учебника Лежандра с дополнениями и изменениями м. А. Бланшэ, причем будем иметь в виду только эти дополнения, принадлежащие не Лежандру, а Бланшэ.

чение вопросов симметрии обязательным при первоначальном изучении геометрии, в силу чего учение о симметрии печаталось мелким шрифтом, как предназначенное лишь для более подготовленных учащихся, и не закреплялось соответствующими упражнениями. Свойствами симметрии почти не пользовались при доказательстве предложений. Исключение представляет собой учебник А. Н. Глаголева, в котором имеются указания об использовании учения о симметрии для доказательства геометрических свойств фигур и о применении метода симметрии при решении задач на построение. Указания о применении метода симметрии при решении задач на построение имеются и в учебнике А. П. Киселева. Метод симметрии получил широкое применение в „Методах решения геометрических задач на построение“ И. И. Александрова (1883), в „Методах“ Ю. Петерсена (1883), в „Алгебраическом методе решения задач на построение“ П. А. Некрасова (1891) и в „Методах решения вопросов элементарной геометрии“ Веры Шифф (1894).

4. Учение о параллельном перенесении и вращении около точки начало проникать в учебники геометрии только в конце XIX в. (А. Н. Глаголев),

А. Н. Глаголев применяет методы „параллельного перемещения“ и вращения около точки к решению задач на построение, к преобразованию фигур, а также для вывода свойств различных геометрических фигур, показывая тем самым, какое большое значение имеет учение о параллельном перенесении и вращении около точки.

Характеристика метода параллельного перенесения имеется и в учебнике А. П. Киселева, з упомянутых выше книгах Ю, Петерсена, И. Александрова (начиная со второго издания—1885 г.), П. Некрасова и Веры Шифф. Метод вращения около точки рассматривается и в книгах Ю. Петерсена, И. Александрова (1885) и П. Некрасова. В „Методах“ Веры Шифф рассматривается вращение вокруг прямой.

5. Рассматривая изложение учения о подобии, мы показали, что в учебниках геометрии XIX в. не раскрываются признаки, общие всем подобным фигурам, а рассматривается частный случай: подобие плоских прямолинейных фигур. При этом подобие все еще

трактуется не как геометрическое преобразование, переводящее данную фигуру в новую, ей подобную, а как некоторая зависимость между элементами данных фигур.

От всех рассмотренных нами учебников выгодно отличаются сочинение Дюгамеля „Методы геометрии“ (1880) и учебники Ващенко-Захарченко, Босса и Ребьера, которые рассматривают подобие как геометрическое преобразование.

Вопросы гомотетии начали вводиться в учебники геометрии только во второй половине XIX в. Они освещены в учебниках: Бобилье, Давидова, Беренса, Мазинга (1879, 2-е изд.), Лежандра (1879), Ващенко-Захарченко, Шведера (1890), Босса и Ребьера, А. П. Киселева, А. Н. Глаголева и др. Так как в большинстве этих учебников изучение гомотетии не было обязательным при первоначальном прохождении геометрии, то эта часть текста печаталась мелким шрифтом.

Характеристика „метода подобия“ при решении задач на построение приводится в учебниках А. Киселева и А. Глаголева, а также в книгах Ю. Петерсена, И. Александрова, П. Некрасова и Веры Шифф.

6. Сведения об инверсии стали излагаться в учебниках геометрии только начиная со второй половины XIX в. (Бобилье, Давидов). Только с 80-х годов XIX в. учение об инверсии начало проникать в русскую учебно-педагогическую литературу. Мы имеем в виду элементарное изложение теории инверсии, которое дается в „Методах“ Ю. Петерсена, коллективную статью „Обратные фигуры“ В. Студенцова, А. Болятинского, Н. Извольского и В. Кагана, помещенную в 1887 г. в „Вестнике опытной физики и элементарной математики“ (№№ 13, 15), параграф „Обратные фигуры“ в книге П. А. Некрасова и, наконец, раздел „Преобразование при помощи взаимных радиусов-векторов“, помещенный в „Методах“ Веры Шифф. Мы показали, что в этих сочинениях метод инверсии играет большую роль при решении геометрических задач на построение.

7. Теория полюсов и поляр начала проникать в учебники геометрии во второй половине XIX в. (А. Давидов, Сиродд, Бобилье, Лежандр, русское изд. 1879), играя там роль дополнительной статьи.

И, наконец, мы показали, что к концу XIX в. в на-

ших педагогических кругах сложилось течение в пользу реформы преподавания школьного курса математики (Сердобинский, В. П. Шереметевский). Эта реформа должна была выразиться в значительном развитии идеи функциональной зависимости в каждохм из предметов школьного курса математики. Таким образом, своими передовыми и очень ценными идеями педагогическая мысль России опередила движение за реформу преподавания математики в Западной Европе. В частности, B. П. Шереметевский опередил на девять лет вдохновителя „Меранской программы“ Ф. Клейна, который на съезде естествоиспытателей и врачей в г. Бреславле (1904) в основном высказал те же руководящие идеи.

Далее мы переходим к рассмотрению учебно-педагогической литературы с начала XX в. и до начала Великой Октябрьской социалистической революции. В течение рассматриваемого периода времени был издан (на русском языке) ряд учебников геометрии, из которых многие, с точки зрения идеи геометрического преобразования, не внесли ничего нового по сравнению с лучшими учебниками геометрии XIX в. (А. Ю. Давидова, А. Н. Глаголева, А. П. Киселева и др.). Те учебники и задачники геометрии XIX в., которые переиздавались и в XX в., как, например, А. Ю. Давидова, А. П. Киселева, И. И. Александрова и др., рассматриваются только в связи с теми добавлениями и изменениями, которые были внесены в их издания в течение рассматриваемого отрезка времени. В силу сказанного, изложение этого параграфа мы считали более целесообразным вести, по мере возможности, в хронологическом порядке.

Мы показали, что общая идея движения и отдельные ее виды: симметрия, параллельное перенесение и вращение, а также и гомотетия все больше проникают в новые русские учебники геометрии. Так, например, C. Шубин в своей „Элементарной геометрии“ (1906) рассматривает линию, поверхность и геометрическое тело как след движущейся соответственно точки, линии и поверхности; допускает, что прямая может скользить вдоль самой себя, а плоскость может скользить сама по себе в любом направлении; пользуется „поступательным движением“ при введении определения па-

раллельности двух прямых; говорит о вращательном движении около точки и т. п. К. H. Рашевский в своей „Элементарной геометрии“ (1909) рассматривает параллельное перенесение, вращение около точки и гомотетию, трактуя последнюю как геометрическое преобразование.

Большой интерес представляет „Геометрия пространства“ Б. А. Марковича (1910).

В предисловии автор показывает, что общепринятые доказательства нередко основаны на скрытых аксиомах движения и приходит к выводу: „Вопрос об основах курса геометрии мне представляется в следующей альтернативе: или ничего не нужно базировать на аксиомах движения, или открыто признавать эти аксиомы и на них обосновать соответственные части курса“.

Курс геометрии Марковича делится на две части: „Книга учащегося“ и „Книга преподавателя“. В пятом отделе второй части автор показывает приложение вращательного движения около оси к выводу теорем и построению теоретических отделов планиметрии и стереометрии.

Маркович употребляет термин „фигура“ в общем его значении, понимая под этим словом и неограниченные геометрические места точек.

Последнее дает нам основание утверждать, что Б. А. Маркович рассматривает во второй части своего учебника осевую симметрию как геометрическое преобразование в широком смысле слова.

Мы видели, что большое внимание уделялось инверсии в конце XIX в. и в начале XX в. Кроме книги „Теория геометрических построений“ Адлера (1910), в которой приводится элементарное изложение теории инверсии и рассматривается приложение метода инверсии к решению геометрических задач на построение, в журналах „Вестник опытной физики и элементарной математики“ и „Математическое образование“ появляются статьи Д. Шора, А. Филиппова и И. Александрова, посвященные методу инверсии, причем инверсия трактуется всеми этими авторами как геометрическое преобразование; методу инверсии ими придавалось большое значение для решения задач на построение.

Реформистские идеи В. П. Шереметевского достигли своего расцвета в начале XX в.

Первый Всероссийский съезд преподавателей математики, который состоялся в Петербурге с 9 по 16 января 1912 г., подвел итоги большим методическим исследованиям русских педагогов и ученых математиков.

Центральным вопросом съезда был вопрос о внедрении в школьное преподавание идеи функциональной зависимости.

На этом же съезде был сделан доклад А. В. Годневым „Об упрощении построения курса геометрии и расширении ее содержания“, где предлагается:

„Для упрощения построения геометрии и расширения ее содержания следует:

а) рассматривать движение геометрических элементов, коим образуются геометрические фигуры, не как неизбежное зло при построении геометрической науки, а как вспомогательное орудие построения, логически вполне законное и в высшей степени важное.

б) для получения сплошного, а не отрывистого построения геометрических фигур ввести аксиомы: как непрерывности фигур, образуемых движением непрерывных геометрических элементов, так и соответствующей непрерывности измеряющих фигуры чисел“.

Преподавательница одной из женских гимназий г. Петербурга Н. А. Тамамшева сделала доклад на тему „О реформе преподавания математики. Общие положения и программы. Содержание курса математики за первые шесть лет обучения“. Докладчик указал на необходимость введения в геометрию понятия движения и замены статического изучения геометрии динамическим.

С 8 по 16 января 1914 г. состоялся в Москве 2-й Всероссийский съезд преподавателей математики.

Председатель Оргкомитета проф. Б. К. Млодзеевский, открывая съезд, в своей речи указал: „идея преобразования, как основной операции, обнимающей не только математические, но и другие, более широкие отношения, проникла во все отделы нашей науки и сделалась важнейшим основанием систематизации“.

Съезды преподавателей математики, несомненно, отразили новые, прогрессивные идеи, связанные с реформой преподавания математики в средней школе России, сыграв, в целом, положительную роль в деле конкретизации задач этой реформы. Однако передовые

педагогические идеи прошедших двух съездов преподавателей математики не нашли своего осуществления в русской дореволюционной школе.

Вторая часть работы посвящена отражению идеи преобразования в элементарном курсе геометрии в советский период.

В первой главе подвергнуты критическому обзору программы по геометрии советского периода и объяснительные записки к ним.

Великая Октябрьская социалистическая революция коренным образом изменила условия жизни нашего народа. Претворяя в жизнь решения партии Ленина — Сталина и Советского правительства, органы народного образования проделали большую работу по реорганизации школы на новой, социалистической основе. Определились система, основные принципы обучения и воспитания в советской школе, а также и задачи, стоящие перед ней.

Вместе с ростом и развитием нашей школы была проделана большая работа по разработке учебных программ по всем учебным дисциплинам и по геометрии, в частности.

Идея геометрического преобразования получила значительное освещение в „Примерных программах“ 1918 и 1920 гг., которые в определенной мере отражали ряд передовых идей, нашедших свое освещение в работах I и II Всероссийских съездов преподавателей математики. Большое значение здесь придавалось усвоению учащимися идеи одно-одозначного соответствия между точками конгруэнтных, симметричных и подобных фигур; подчеркивалось значение симметрии в деле изучения геометрических свойств фигур и тел, а также как орудия для доказательства теорем. Идея движения должна была найти применение в ряде вопросов геометрии, в том числе и при изучении параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей. Подобие и гомотетия трактовались как геометрические преобразования (только прямолинейных фигур). Авторы „Примерных программ“ призывали порвать с традицией слепого следования за Евклидом и считали необходимым построение курса геометрии, который ввел бы в изучение ряд новых идей, как движение, симметрия и др.

Можно было ожидать, что внедрение всех этих

важных и передовых идей современной геометрии будет постепенно усиливаться в программах последующих лет. Однако ни период прожектерства в педагогике и связанное с ним снижение общеобразовательного уровня преподавания школы, ни последовавший за этим периодом в виде реакции возврат к дореволюционным учебникам, а вместе с тем и к старому содержанию школьного курса математики, не благоприятствовали такому ходу развития. Следует признать, что, при общем повышении качества подготовки учащихся в средней школе, программа по геометрии все еще не соответствует современным требованиям. В частности, идея геометрического преобразования не заняла должного места. В программу по геометрии, по которой в настоящее время работает наша средняя школа, вошли только два вида преобразований—симметрия и подобие прямолинейных фигур, причем ни один из них не трактуется как геометрическое преобразование, а как некоторое формальное соотношение между элементами данных фигур. В последнее время из программы исключены такие важные понятия, как коэффициент подобия, преобразование подобия (VIII класс) и центральная симметрия (VI класс). Другие геометрические преобразования: параллельное перенесение, вращение и гомотетия, знакомство с которыми повышает идейное содержание курса геометрии средней школы, не получили никакого отражения в ныне действующей программе.

Мы полагаем, что при составлении новых программ по геометрии одной из основных задач, подлежащих разрешению, должно быть повышение идейно-научного уровня преподавания геометрии. В частности, необходимо стремиться к широкому внедрению идеи геометрического преобразования в школьное преподавание.

Во второй главе изучается учебно-педагогическая литература советского периода под углом зрения идеи геометрического преобразования.

Большое распространение получила в советской школе „Элементарная геометрия“ А. П. Киселева. Автор чутко прислушивается к голосу русской педагогической общественности и на протяжении ряда изданий совершенствует свой учебник. Характерные черты учебника Киселева: точность формулировок, сжатость и ясность

изложения. Однако идея движения недостаточно подчеркивалась, а симметрия и гомотетия излагались мелким шрифтом и в преподавание не входили.

После Великой Октябрьской социалистической революции А. П. Киселев перерабатывает свой учебник геометрии, стараясь привести его в соответствие с новыми программами.

Учебник геометрии Киселева был временно вытеснен „Систематическим курсом геометрии“ Ю. О. Гурвица и Р. В. Гангнуса, который с 1933 по 1937 гг. являлся стабильным учебником геометрии в нашей средней школе.

Математическая научно-педагогическая общественность осудила учебник Гурвица и Гангнуса, как „образец халтуры“ и рекомендовала учебник геометрии А. П. Киселева в переработке Н. А. Глаголева в качестве „временного“ стабильного учебника геометрии.

Начиная с 1938 г. и по настоящее время учебник геометрии Киселева выходит под редакцией и с дополнениями Н. А. Глаголева. Этот учебник полностью заменил учебник Гурвица и Гангнуса и стал стабильным учебником геометрии в нашей средней школе.

Далее показывается, что переработка Н. А. Глаголева значительно усилила элементы геометрических преобразований в курсе геометрии средней школы. Если учесть и то горячее одобрение, которое встретил со стороны нашего математического мира и учительства выход в свет учебника геометрии самого Н. А. Глаголева, где элементы геометрических преобразований еще более усилены, то у нас будет полное основание заключить, что наша математическая научная и педагогическая общественность одобрила усиление элементов геометрических преобразований в курсе геометрии средней школы.

Мы являемся свидетелями того факта, что учебник А. П. Киселева, в переработке Н. А. Глаголева, введенный в 1938 г. в качестве стабильного учебника геометрии в средней школе, на срок в 3 — 4 года, продолжает выполнять эту роль и по сей день. Однако одним из крупных недостатков учебника геометрии А. П. Киселева все еще является его несоответствие умственному развитию учащихся V—VII классов, не говоря уже о том, что в нем недостаточно отра-

жена современная научная точка зрения на геометрию.

Далее мы подробно остановились на двух, заслуживающих внимания, учебниках:

1. „Курс элементарной геометрии“ Н. Душина (1923 г.),

2. „Элементарная геометрия“ Н. А. Глаголева (1944-45 гг.), которые нами не рассматриваются как учебники, вошедшие уже в среднюю школу, а как руководства, направленные на реформу преподавания геометрии в нашей средней школе. В этих двух учебниках имеет место значительное усиление элементов геометрических преобразований и потому они представляют для нас большой интерес.

Далее рассматривается „Курс элементарной геометрии“ Д. И. Перепелкина (1948 — 1949 гг.), где одной из руководящих идей является идея геометрического преобразования, которая нашла себе место на многих страницах этого труда.

В этом сочинении дается современное, научное определение равенства двух фигур; движение трактуется как точечное преобразование плоскости (соотв. пространства); отражение от прямой рассматривается как один из видов движения (второго рода), а следовательно, как один из видов геометрических преобразований; отражение от прямой кладется в основу определений других видов движения: параллельного перенесения, отражения от точки и вращения1; подобие и гомотетия трактуются как геометрические преобразования, причем здесь дается самое общее определение подобия; большое внимание уделяется инверсии, которая трактуется как точечное преобразование плоскости (соотв. пространства); в качестве примера неточечного преобразования рассматривается преобразование расширения.

„Курсу“ Д. И. Перепелкина противопоставляется „Геометрия“ (систематический курс) С. А. Богомолова (1949 г.). Из этого курса полностью изгнана идея движения; идея геометрического преобразования, которая

1 Аналогичным образом поступает автор и во второй части своего курса, только с той разницей, что в основу определений различных видов движений (в пространстве) кладется отражение от плоскости.

играет в современном истолковании геометрии первостепенную роль, нашла себе место лишь на немногих страницах этой книги. Автор рассматривает только два вида преобразований: гомотетию и инверсию, причем инверсия изложена в приложении I к книге.

Эта глава заканчивается рассмотрением отражения идеи геометрического преобразования в методической литературе (книги H. М. Бескина и В. М. Брадиса, кандидатские диссертации А. Р. Кулишера, А. И. Фетисова, А. Н. Григорянц) и в педагогических журналах (ст. ст. Н. Ф. Четверухина, Я. С. Дубнова, Н. А. Глаголева, А. И. Фетисова и П. С. Моденова).

Третья глава посвящена выводам, относящимся к современному преподаванию геометрии.

Изучение советской учебно-методической литературы, а также и наш личный опыт работы в школе дают нам возможность заключить, что для устранения основных недостатков в преподавании геометрии прежде всего необходимо осуществить следующие мероприятия:

1. Заменить систематический курс геометрии VI—X классов изучением;

а) пропедевтического (начального) курса геометрии— V—VII классах и

б) систематического курса геометрии—в VIII—X классах.

2. Заменить существующий в настоящее время стабильный учебник геометрии А. П. Киселева двумя современными учебниками геометрии для изучения соответственно пропедевтического и систематического курсов геометрии. Новые учебники должны быть составлены с учетом возрастных особенностей учащихся.

3. Привести преподавание элементарной геометрии в соответствие с требованиями математической науки. При этом идея геометрического преобразования должна играть существенную роль при построении систематического курса геометрии средней школы.

4. Подвергнуть ныне действующую программу переработке с учетом задач, сформулированных в предыдущих трех пунктах.

Далее мы останавливаемся на выяснении места идеи геометрического преобразования, в частности идеи движения, в школьном курсе геометрии, а также на ме-

тодике преподавания различных видов движения (включая и симметрию) и преобразования подобия в пропедевтическом и систематическом курсах геометрии.

Считаясь с уровнем умственного развития и математической подготовки учащихся V—VII классов, мы полагаем, что идея геометрического преобразования не может быть положена в основу преподаваемого курса геометрии в этих классах. Здесь не может быть речи о постановке в общем виде вопроса о преобразованиях, так как для учащихся этих классов доступны лишь отдельные проявления идеи преобразования1. В противоположность этому систематический курс геометрии VIII—X классов должен существенным образом опираться на идею геометрического преобразования. При этом, из методических соображений, определение геометрического преобразования фигуры, как перехода от данной фигуры к другой фигуре по определенному закону, следует, на наш взгляд, впервые ввести в начале изложения учения о подобии (систематического курса геометрии VIII-X классов), как и поступает Н. А. Глаголев, а затем следует указать, что рассмотренные ранее симметрия, параллельное перенесение и вращения также представляют собой геометрические преобразования.

Отрицательное отношение Евклида к идее движения оказало свое влияние на авторов учебников геометрии в течение веков, в том числе и на автора нашего стабильного учебника геометрии—А. П. Киселева. В действительности же понятие движения играет большую роль в школьном курсе геометрии. В самом деле, движение служит одним из основных методов при доказательстве многих предложений геометрии, причем доказательства, построенные на применении движения, более доступны и наглядны, а также с большей непосредственностью отражают действительность, чем доказательства евклидовского типа. Пользуясь в своих доказательствах движением, мы тем самым заменяем статическое исследование свойств геометрических фигур динамическим, а это находится в полном согласии с требованиями современного естествознания.

1 В нашей работе показано, в чем должны выражаться эти проявления.

Идея движения может быть положена в основу построения значительной части курса элементарной геометрии1. При этом следует подчеркнуть, что таким построением курса геометрии мы способствуем единству хода доказательств. Так, например, если при обычном изложении признаков конгруэнтности треугольников приходится прибегать к различным методам, то при изложении, построенном на основных свойствах осевой симметрии, все основные признаки конгруэнтности треугольников выводятся одним способом: нужно приложить данные треугольники друг к другу одной из равных сторон, после чего следует определить ось симметрии полученной четырехугольной фигуры.

Значительную часть доказательств в планиметрии можно построить на использовании свойств вращения около точки и параллельного перенесения. Почти вся планиметрия может быть построена на широком применении свойств осевой симметрии2.

Образование некоторых геометрических фигур и тел посредством движения приводит к большой наглядности и тем самым облегчает понимание построения этих образов. Поэтому можно сказать, что движение приводит нас к более ясным понятиям, иногда—к более отчетливым определениям, а также к более естественным методам доказательства предложений геометрии. Столь важное понятие о геометрическом месте также тесно связано с понятием движения. Наконец, заметим, что изучение движения развивает пространственные представления учащихся.

В силу всего сказанного, мы полагаем, что движению следует представить самое широкое поле как при описании геометрических образов, так и при доказательствах.

Как известно, при обосновании учения о конгруэнтности существуют два равноправных направления.

Первое состоит в том, что за точку отправления принимается движение, которое вводится как первона-

1 Примером такого построения может служить хотя бы названный нами учебник Б. А. Марковича, где многие вопросы геометрии достаточно строго обоснованы на свойствах вращательного движения (осевая симметрия).

2 Опыт такого построения приведен в кандидатской диссертации А. И. Фетисова.

чальное (без определения) понятие при помощи системы аксиом1, составленной на основе наших интуитивных представлений о движении твердых тел. Вместо этого можно исходить из арифметического пространства (точка — упорядоченная тройка чисел) и определять движение как геометрическое преобразование, устанавливающее такое взаимно однозначное соответствие между точками пространства, при котором расстояние (определяемое известной формулой) между каждыми двумя данными точками А, В равно расстоянию между точками Л', В', в которые они переходят.

В таком случае конгруэнтные фигуры определяются как такие, которые могут быть преобразованы одна в другую при помощи движения или, как говорят в элементарной геометрии, которые могут быть совмещены наложением. Это направление, идущее от Гельмгольца и С. Ли, у нас представлено В. Ф. Каганом („Основания геометрии“, 1905).

Второе направление характеризуется тем, что за первоначальное понятие принимается не движение, а конгруэнтность, которая также соответствующим образом аксиоматизируется. В этом случае движение определяется как геометрическое преобразование пространства, переводящее каждую данную фигуру F в новую фигуру F, конгруэнтную данной. Имеются различные системы этого направления (Паша, Веронезе, Гильберт), в которых первоначальным понятием служит соответственно—конгруэнтность любых фигур, конгруэнтность отрезков, конгруэнтность отрезков и углов.

При втором направлении можно обойтись и вовсе без понятия о движении (Гильберт).

Каждое из этих двух направлений приводит к вполне логически совершенной системе геометрии. Однако, учитывая, во-первых, что геометрическое движение, которое в случае первого направления служит основной характеристикой геометрического пространства, психологически предшествует понятию конгруэнтности, и, во-вторых, что принятие движения как основного и первоначального понятия геометрии приближает построение системы геометрии к построению, опирающемуся

1 Такое изложение можно найти в „Основаниях геометрии“ В. И. Костина (М.-Л., 1946).

на одну из наиболее плодотворнейших идей современной геометрии — идее геометрического преобразования, мы подчеркиваем значительное преимущество первого направления перед вторым.

Из сказанного выше следует, что при следовании первому направлению движение служит основой построения геометрической системы.

Мы полагаем, что все вышеизложенное дает нам право заключить, что идея движения и изучение отдельных видов движений имеет большое общеобразовательное значение при изучении геометрии; широкое внедрение этой идеи значительно повысит идейное содержание курса геометрии, расширит сам предмет изучения и даст возможность приблизить преподавание курса элементарной геометрии к современному состоянию математической науки.

Исходя из роли и значения идеи движения в изучении школьного курса геометрии, мы полагаем, что идея движения должна быть введена с самого начала изучения геометрии. Уже такие понятия как линия, поверхность и тело должны быть восприняты учащимися как геометрические образы, получаемые движением соответственно точки, линии и поверхности.

Нам кажется полезным рассматривать плоский и двугранный углы как образы, возникшие соответственно при вращении луча около своего начала (вершины) и полуплоскости вокруг прямой (ребра). Следовательно, в этом случае угол определяет меру поворота (соответственно луча и полуплоскости). Такое истолкование угла ценно не только потому, что оно более наглядно и связано с динамикой геометрических образов, но хотя бы и в том отношении, что оно подготовляет почву для ясного понимания (в старших классах) отрицательных углов, а также и для введения углов, больших полного оборота (тригонометрия). Это даст возможность не переучивать учащихся в старших классах.

Мы также полагаем, что окружность целесообразно рассматривать как кривую, которую описывает каждая точка луча в результате его полного оборота около своего начала.

С представлением о движении неразрывно связан метод наложения, который должен найти широкое

применение в геометрических доказательствах школьного курса геометрии.

Все эти вопросы, кроме вопроса об истолковании двугранного угла, должны найти свое отражение уже в самом начале пропедевтического курса геометрии. Эти вопросы в основном уже получили такое освещение на первых страницах „Планиметрии“ Н. А. Глаголева.

Принимая во внимание уровень умственного развития учащихся, мы считаем, что в V—VII классах следует сохранить интуитивное представление о движении. В систематическом лее курсе VIII—X классов, в целях повышения идейно-научного уровня преподавания геометрии в средней школе, целесообразно ввести „движение“ как первоначальное (без определения)понятие и привести примеры аксиом, определяющих важнейшие свойства этого понятия.

Удачный, на наш взгляд, опыт такого изложения в стереометрии приведен в статье Н. А. Глаголева — „Роль движения в курсе элементарной геометрии“1.

При изучении систематического курса элементарной геометрии широкое применение должны получить простейшие виды движения, каковы симметрия, параллельное перенесение и вращение. В частности, эти виды движения должны стать привычными рабочими способами при доказательстве предложений, связанных с конгруэнтностью и подобием фигур2.

Каждый из этих видов движения должен в известный момент обучения трактоваться как соотвествующее геометрическое преобразование3. Это должно быть прежде всего отражено в самих определениях различных видов движения.

Далее переходим к рассмотрению методики изложения отдельных видов движения, а также учения о параллелизме и перпендикулярности прямых и плоскостей в систематическом курсе геометрии.

1 „Ученые записки Московского городского педагогического института им. В. П. Потемкина“, вып. 2, т. II, 1948.

2 При этом мы считаем целесообразным в начале изучения планиметрии сопровождать эти движения фактическим движением вырезанных из картона или бумаги моделей.

3 О месте введения самого понятия геометрического преобразовании говорилось выше.

Учение о подобии имеет большое практическое значение, так как по свойствам фигуры, подобной другой, можно судить о свойствах последней. На этом основывается использование географических карт, планов зданий, фотографий, скульптур, различных моделей и т. д.

Так называемый „метод подобия“ с успехом применяется к решению геометрических задач на построение. Здесь, используя некоторые данные задачи, строим сначала фигуру, подобную искомой, а затем, реализуя остальные данные задачи, при помощи преобразования гомотетии, получаем искомую фигуру.

Мы показываем, что для школьного курса геометрии, как с научной, так и с методической точек зрения, больше всего подходит определение подобия любых фигур при помощи гомотетии: „Две фигуры называются подобными, если одна из них может быть преобразована при помощи гомотетии в фигуру, конгруэнтную второй“.

Такое изложение учения о подобии с ясно поставленной целью дает возможность обойтись без предварительного определения подобных прямолинейных фигур, делает все учение о подобии более общим, стройным, логичным, естественным.

Мы подробно останавливаемся на методике изложения учения о преобразовании подобия в пропедевтическом и систематическом курсах геометрии.

Мы считаем целесообразным ввести в систематический курс геометрии средней школы изучение осевого сжатия и растяжения, в связи с чем приводим элементарное изложение этого геометрического преобразования, связывая его с гомотетией, которую можно рассматривать как центральное сжатие или растяжение.

Мы полагаем, что инверсия является поучительным примером точечного преобразования, при котором нарушается прямолинейное расположение точек (коллинеарность). Как одну из тем, мы рекомендуем для школьных математических кружков старших классов средней школы изучение преобразования инверсии на плоскости. С этой целью приводим элементарное изложение этого геометрического преобразования.

Преобразование расширения отличается от других, перечисленных выше, тем, что оно не является точечным

преобразованием. Оно входит в школьный куре геометрии в неявном виде: применяется при решении геометрических задач на построение и, в частности, при построении общих касательных к двум данным окружностям. Мы полагаем, что учитель геометрии старших классов средней школы должен быть знаком с этим видом преобразования. Для этого рекомендуем „Курс элементарной геометрии“ Д. И. Перепелкина (ч. I, стр. 324 — 335). Что же касается учащихся, то мы не предлагаем знакомить их с этим видом преобразования; на наш взгляд, можно ограничиться тем, чтобы при решении задач на касание окружностей между собою или с прямыми преподаватель указал на целесообразность в некоторых случаях одновременного изменения радиусов окружностей на одинаковую величину, сопровождаемого соответствующим параллельным перенесением прямых.

Работа заканчивается кратким заключением, в котором дается сжатое изложение предложений автора и выражается надежда, что его скромный труд будет способствовать делу повышения идейно-теоретического содержания курса геометрии в советской школе, выращивающей активных строителей коммунистического общества.

По конспектам уроков, разработанным диссертантом, с 8 октября по 23 декабря 1952 г. проводилось (преподавание темы «Подобное преобразование фигур» в VIII классе школы №3 г. Кишинева преподавателем математики В. К. Ветер. В основу этого опыта было положено изложение этой темы в учебнике Н. А. Глаголева (ч. 1). Некоторые небольшие отступления от программы Министерства просвещения РСФСР 1952 г. для средних школ, допущенные нами при изложении материала, вызваны соображениями методического характера, а также требованиями, вытекающими из новой трактовки этой темы и из задач политехнического обучения в средней школе. Здесь подобие фигур излагается с точки зрения перспективно-подобного преобразования, в отличие от сохранившейся со времен Евклида трактовки подобия, как некоторого взаимоотношения между элементами данных фигур. Идеей геометрического преобразования пронизано изложение всей темы, включая и решение геометрических задач на построение методом подобия.

Цели проведенного эксперимента подробно изложены в «Приложении» к диссертации, состоящем из 125 страниц машинописи и представляющем собой подробные записи хода проведенных 20 уроков.