АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ОБЩЕГО И ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

На правах рукописи

И. С. ЗБАРСКИЙ

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ЗАВИСИМОСТИ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Научный руководитель — кандидат педагогических наук И. А. Гибш

Москва — 1961

«Закон об укреплении связи школы с жизнью и о дальнейшем развитии системы народного образования в СССР» требует решительного улучшения математической подготовки учащихся, тесной связи обучения с жизнью, с производством, с практикой коммунистического строительства.

Почти в каждой области современного производства используются различные способы геометрического представления функциональной зависимости и графические приемы расчетов. Следовательно, нужно, чтобы сведения о геометрическом представлении функций, которые изучаются в средней школе, носили не только теоретический, но и прикладной характер.

Между тем изучению этих вопросов в средней школе в указанном направлении уделяется еще недостаточное внимание.

Программы, учебники и сборники упражнений и задач по математике для средней школы построены так, что обычно изучение функций и их графиков проводится в отрыве от изучения остальных разделов математики и от других предметов естественного цикла (физики, химии).

В практике обучения весьма недостаточно применяются графики для решения различных вопросов математики и смежных дисциплин. В результате этого состояние знаний, умений и навыков учащихся в области построения, чтения и применения графиков функций нельзя признать удовлетворительным.

Рассмотрению идеи функции в школьном курсе математики посвящен ряд работ (методических статей, диссертаций). Но в этих работах рассматриваются лишь отдельные вопросы, относящиеся к геометрическому представлению функциональной зависимости.

До настоящего времени в литературе нет достаточно развернутой разработки вопроса о приведении геометрического представления функциональной зависимости в органическую связь с изучением школьного курса математики; не выявлены пути практического представления функциональной зависимости; не раскрыта возможность установления тесной взаимосвязи между математикой и смежными предметами школьного курса; не разработана методика обучения построению

графиков функций, обеспечивающая указанную выше межпредметную взаимосвязь.

Настоящая диссертация посвящена разработке именно этих вопросов. Автор диссертации поставил перед собой следующие задачи:

I. Разработать методику обучения построению графиков функций, обеспечивающую приведение геометрического представления функциональной зависимости в органическую связь с изучением курса математики в старших классах.

При практическом решении этой задачи диссертант пришел к выводу о методической целесообразности не сосредоточивать изучение функций и графиков в одной теме, а органически связывать его с изучением всего школьного курса математики.

II. Разработать систему упражнений по применению графиков функций к решению и иллюстрации различных вопросов математики в связи с изучением их в соответствующих курсах.

Эти упражнения могут быть разделены на 4 группы:

1. Упражнения в построении и применении различных шкал, в целесообразном выборе масштабов на осях координат и в применении сдвинутых осей носят явно технический характер, содействуют установлению и осуществлению осмысленного плана построения графика и облегчают этот процесс. Выполнение этих упражнений приближает технику построения графиков функций, применяемую в школе, к той, которая используется на практике в смежных дисциплинах и в обстановке производства.

2. Упражнения в графическом решении уравнений, систем уравнений и неравенств, в графическом исследовании уравнений и задач с параметрическими данными, в графической иллюстрации идеи равносильности уравнений и систем уравнений вносят особенную ясность и определенность в теорию этих вопросов и вместе с тем имеют самостоятельное значение при выполнении практических задач и лабораторных работ.

3. Упражнения, содействующие выработке у учащихся умений и навыков в исследовании функций, построены на предположении, что графики функций рассматриваются в той последовательности, в которой эти функции изучаются, и что при этом в пропедевтическом плане устанавливаются их основные свойства. Этим достигается тот эффект, что учащиеся постепенно приобретают сведения по вопросам: об областях определения и изменения функций; о промежутках монотонности и экстремальных значениях функций; о четности и не-

четности функций и связанной с этим симметрии их графиков; о поведении графиков относительно осей координат и их асимптотах; о периодичности функций.

4. Упражнения в применении графиков к решению геометрических задач имеют как практическое, так и немалое теоретическое значение, содействуя более сознательному и глубокому усвоению теории.

III. Разработать систему упражнений по применению графиков к решению прикладных задач (главным образом, из физики) и методику их решения.

Указанные группы задач I, II, III обусловили следующую структуру диссертации:

Глава I. Вопрос о геометрическом представлении функциональной зависимости в учебной и методической литературе.

Глава II. Методика обучения построению графиков функций.

Глава III. Применение графиков к решению различных вопросов математики в связи с их изучением в соответствующих курсах.

Глава IV. Применение графиков к решению прикладных задач (из области физики).

Глава V. Описание школьного эксперимента.

ГЛАВА I

Вопрос о геометрическом представлении функциональной зависимости в учебной и методической литературе

В соответствии с задачами диссертации проводится анализ, главным образом, той учебной и методической литературы, в которой уделяется определенное место вопросу о геометрическом представлении функциональной зависимости.

При анализе этой литературы прежде всего исследовались следующие вопросы:

1. Как вводится понятие о графике функции; дается ли определение графика функции; обращается ли внимание на различие в построении графиков функций, заданных на промежутке и на дискретном множестве.

2. Какова техника построения графиков:

а) на какой бумаге построен график;

б) как выбирается и используется масштаб для построения графиков.

3. Применяются ли графики для решения различных вопросов математики.

4. Применяются ли графики для решения прикладных задач.

Результаты исследования указанных вопросов показали, что в учебной и методической литературе уделяется мало внимания технике построения графиков, графики редко применяются для решения различных вопросов математики и прикладных задач и почти не привлекаются к изучению геометрического материала.

ГЛАВА II

Методика обучения построению графиков функций

1. Шкалы.

В практике любого производства используются различные измерительные приборы, а почти каждый измерительный прибор имеет одну или несколько шкал.

В диссертации показывается, что для привития учащимся прочных навыков в чтении и построении различных шкал многое можно сделать не только на уроках физики, но и на уроках математики.

На конкретных примерах учащиеся V — VI классов знакомятся с равномерными и сопряженными шкалами, а учащиеся VII—IX классов — с неравномерными, неравномерными сопряженными и логарифмическими шкалами.

2. Выбор масштабов на осях.

В диссертации устанавливается, что возможность использования графика функции в значительной степени зависит от рационального выбора масштабов на осях координат.

На примере графического решения системы уравнений

(1)

(2)

показывается, что если выбрать один и тот же масштаб на осях координат, то точность решения системы будет крайне низкой, так как прямая (1) и парабола (2) пересекаются под углом, близким к нулю. Изменение масштаба дает возможность увеличить угол между линиями и тем самым повысить точность решения системы.

В школе почти не практикуется применение сдвинутых осей (нанесение шкал на прямые, параллельные осям координат). На конкретных примерах показывается, как при помощи сдвинутых осей построить график функции в данном интервале в более крупном масштабе и достигнуть более высокой точности.

В диссертации разрабатывается: применение логарифмической шкалы для нанесения полулогарифмической и логарифмической сеток; применение этих сеток для изображения на небольшом куске бумаги величин, изменяющихся в очень широком масштабе; использование полулогарифмической и логарифмической бумаги для изменения вида графика и другие ее практические применения.

3. Построение графиков функций по точкам с предварительным исследованием их

В процессе установления методики построения графиков функций по точкам с предварительным исследованием их рассматривались следующие вопросы: чтение графиков; нахождение точек пересечения графика с осями координат; установление области определения функции; определение области изменения функции; пропедевтическое изучение понятий о возрастании и убывании функции; научное определение понятий возрастания и убывания функции; нахождение экстремальных значений функции; нахождение осей и центров симметрии графика; нахождение вертикальных и горизонтальных асимптот графика; установление периодичности и периода функции.

При разработке этих вопросов особенное внимание уделялось практическому приложению полученных сведений к исследованию хода изменения функций и построению их графиков.

4. Применение геометрических преобразований

В диссертации устанавливается, что применение геометрических преобразований (параллельного перенесения и растяжения) должно быть положено в основу построения графиков квадратной, дробно-линейной и тригонометрических функций.

Параллельное перенесение графиков показывается на примерах построения параболы, гиперболы и синусоиды, а растяжение графика вдоль осей координат — на примере построения синусоиды или косинусоиды.

В целях экономии времени при осуществлении параллельного перенесения графиков применяются готовые модели (шаблоны) параболы, гиперболы и синусоиды.

Методика обучения геометрическим преобразованиям и их применению позволила научить учащихся не только решать отдельные примеры, но и делать соответствующие выводы.

Например, после построения по точкам графиков функций у = x2 и у = (х — 3)2 учащиеся самостоятельно пришли к вы-

воду о том, что график функции у= (х — а)2 может быть получен посредством перенесения графика функции у = х2 параллельно оси Ох на а единиц масштаба.

ГЛАВА III

Применение графиков к решению различных вопросов математики в связи с их изучением в соответствующих

курсах

1. Иллюстрация идеи равносильности уравнений.

Понятие о равносильности уравнений является одним из наиболее важных в теоретическом и практическом отношении понятий алгебры.

В диссертации устанавливается, что графическая иллюстрация равносильности уравнений дает возможность наглядно показать учащимся основную идею равносильности: уравнения изменяются, а их решения не изменяются.

Работа по иллюстрации идеи равносильности уравнений была начата в VII классе в связи с изучением уравнений первой степени с одним неизвестным и продолжалась в старших классах при изучении каждого вида уравнений и систем уравнений.

Применение графиков для иллюстрации идеи равносильности уравнений содействует закреплению навыков учащихся в построении графиков и повторению графических приемов решения уравнений.

Применение графиков к решению иррациональных уравнений дает возможность наглядно иллюстрировать тот факт, что возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень может привести к уравнению, не равносильному данному.

Иллюстрация равносильности показательных и логарифмических уравнений содействует предупреждению грубых ошибок, допускаемых при решении этих уравнений.

2. Геометрическое истолкование решения уравнений.

Программой по математике графическое решение уравнений второй степени отнесено на конец курса алгебры VIII класса.

В диссертации предлагается несколько иной порядок рассмотрения этого вопроса.

Как известно, графическое решение уравнения

сводится к построению графиков уравнений

т. е. к построению параболы и прямой.

Построение графика линейной зависимости изучается в VII классе, а построение графика зависимости у = х2 — в начале курса алгебры VIII класса (в связи с изучением таблиц квадратов чисел). Поэтому представляется возможным вслед за аналитическим решением каждого вида квадратного уравнения дать наглядное геометрическое истолкование решения этого уравнения.

Исследование корней квадратного уравнения по его дискриминанту также целесообразно сопровождать наглядным геометрическим представлением.

Для этого в каждом из 3 случаев (D>0, D = 0, D<0) приводят уравнение к виду х2=—рх—q и строят графики уравнений у = x2 и у = — рх — q, которые в случае D < 0 не пересекаются, в случае D> 0 пересекаются в двух точках, а в случае D = 0 касаются.

3. Графическое решение неравенства.

Графическое решение неравенства первой степени с одним неизвестным является естественным продолжением работы по решению систем линейных уравнений с двумя неизвестными и органически связано с курсом алгебры VII класса.

К графическому решению неравенств можно приступить после небольшой подготовительной работы, состоящей в следующем:

1) повторяют построение графиков уравнений

2) выясняют на конкретных примерах, что прямая y=ax+b делит координатную плоскость на две полуплоскости, в одной из которых расположены точки с координатами, удовлетворяющими неравенству у> ax + b, а в другой — точки с координатами, удовлетворяющими неравенству у < ах + b.

После этого графически решаются неравенства вида:

Для решения неравенства а) строят графики уравнений

Для решения неравенств б)—графики уравнений

у = ах+b и у = a1x+b1.

Графическое решение указанных неравенств имеет не столько практическую ценность, сколько образовательное значение, так как позволяет объяснить учащимся геометрический смысл неравенства, сопоставляя его с соответствующим уравнением.

После изучения неполных квадратных уравнений можно дать понятие о графическом решении неполных неравенств второй степени.

Графическое решение этих неравенств сводится к построению графиков уравнений у = х2, у = кх и у = b.

В связи с изучением графического решения полного квадратного уравнения дается понятие о графическом решении неравенства ах2 + bх + с>0, которое при а > 0 равносильно неравенству

Для графического решения последнего достаточно построить параболу у = х2 и прямую у =

При этом способе решения неравенств второй степени также могут быть рассмотрены три случая: D<0, D = 0, D>0 и установлены промежутки, в которых трехчлен второй степени ах2 + bх + с имеет в каждом из этих случаев определенный знак.

4. Неравенства, содержащие абсолютные значения функций от неизвестных.

Решение вопросов, относящихся к выражениям, содержащим абсолютные значения функций от неизвестных, вызывает большие затруднения у учащихся, а между тем операрации с выражениями, содержащими абсолютные значения функции, существенным образом входят в различные разделы математики.

В ряде случаев умение записать соотношение с помощью знака абсолютного значения или раскрыть и использовать такую запись является необходимым элементом математической грамотности.

Графическое решение уравнений и неравенств, содержащих абсолютные значения функций, дает возможность:

1) наглядно представить и облегчить их аналитическое решение;

2) познакомить учащихся с построением графиков функций, содержащих абсолютные значения переменных.

В диссертации разработана методика решения различных неравенств, содержащих абсолютные значения функций от неизвестных.

5. Применение графиков к исследованию решений задач с параметрическими данными.

Алгебраический метод исследования решений задач с параметрическими данными в ряде случаев может быть заменен графическим, сущность которого заключается в том, что, рассматривая один из параметров как функцию неизвестной х, строят график этой функции и по графику устанавливают, для каких значений параметра прямые, параллельные оси Ох, пересекают график в n точках, т. е. при каких значениях параметра задача имеет n решений.

На примерах задач №№ 505—507, 510—514 (П. А. Ларичев. Сборник задач по алгебре, ч. II, Учпедгиз, 1959) показано применение этого метода в курсе алгебры VIII класса.

Применение графического метода к исследованию геометрических задач и к решению тригонометрических уравнений содержащих параметры, показывается в диссертации на ряде примеров.

6. Графическое решение уравнений.

Программа средней школы по математике предусматривает изучение, главным образом, таких уравнений, которые имеют точные решения. Однако решение некоторых практических задач и задач элементарной математики приводит к более сложным уравнениям, которые не могут быть решены аналитическими методами, изучаемыми в средней школе.

Но такие уравнения в ряде случаев могут быть решены графическим методом, которым следует вооружить учащихся старших классов.

В диссертации графический метод применяется к решению трансцендентных уравнений и уравнений высших степеней.

При этом нередко посредством рационального выбора масштаба на осях и применения сдвинутых осей удается достигнуть повышения точности результата.

Особое внимание обращается на проверку и уточнение корней уравнения. В диссертации излагается элементарный способ уточнения корней, дающий хорошие результаты.

7. Применение графиков к изучению геометрии.

Анализ учебной и методической литературы (см. гл. I) показывает, что в средней школе графики почти не применяются для решения геометрических задач. Между тем привлечение графиков к изучению геометрии, с одной стороны, дает возможность наглядно представить функциональную зависимость между геометрическими величинами, а с другой — содействует усилению взаимосвязи между алгеброй и геометрией.

На примере решения 20 планиметрических задач иллюстрируется использование графиков при изучении геометрического материала в VIII и IX классах. Эти задачи охватывают почти все виды функций, изучаемые в этих классах.

Часть задач знакомит учащихся с функциями, заданными системой формул (на различных промежутках), а также с функциями, заданными на дискретных множествах.

ГЛАВА IV

Применение графиков для решения практических задач (из области физики)

Опыт показывает, что применение графического метода в процессе преподавания физики и математики с использованием графиков физических закономерностей оказывает плодотворное влияние на улучшение знаний учащихся как по физике, так и по математике. Между тем в учебниках и сборниках задач по математике графические упражнения с физическим содержанием представлены весьма слабо. Подбор и составление таких упражнений и задач требуют от учителя значительного труда.

Настоящая глава содержит примеры графических упражнений и задач с физическим содержанием, которые предлагались учащимся экспериментальных классов на уроках математики и физики.

При подборе физических задач для решения на уроках математики предполагалось, что сущность физических явлений или физических закономерностей, рассматриваемых в этих задачах, уже известна учащимся. Например, при изучении в VIII классе линейной функции предлагались только такие задачи, для решения которых у учащихся имеется необходимый запас знаний по физике. Но ряд физических законов, выражающихся линейной зависимостью, изучается на уроках физики также в IX и X классах. Поэтому часть таких упражнений выполнялась на уроках математики в IX и X классах

после изучения соответствующего физического материала с целью повторения графиков линейной функции, а часть — на уроках физики при изучении соответствующих тем.

В педагогической литературе нередко поднимался вопрос о необходимости установления более тесной взаимосвязи между преподаванием физики и математики. Решение графических упражнений с физическим содержанием и является одним из звеньев, связывающих преподавание математики и физики в средней школе.

Эта связь в экспериментальных классах была осуществлена следующим образом.

В начале учебного года учителя физики и математики совместно рассмотрели предложенные диссертантом графические упражнения с физическим содержанием и распределили, какие из этих упражнений будут решаться на уроках физики и какие — на уроках математики.

При распределении упражнений исходили из того, что упражнения, решение которых сводится к построению более сложных графиков, решаются на уроках математики, а остальные — на уроках физики. Такое распределение упражнений дало возможность, с одной стороны, на уроках физики попутно с изучением программного материала повторить некоторые темы (построение и применение графиков функций) школьного курса математики, а с другой стороны — на уроках математики закрепить знания основных физических законов и дать их наглядное геометрическое представление.

Из методических соображений задачи классифицированы по отделам физики и по виду функциональной зависимости, к которому они относятся.

В диссертации приводятся подробные решения большей части задач, в которых особое внимание уделяется технике построения графиков.

ГЛАВА V

Описание школьного эксперимента

Изложенная в настоящей работе методика обучения построению графиков функций и система упражнений по применению графиков к различным вопросам математики и физики разрабатывались автором в течение 15 лет его работы в средней школе.

Экспериментальная проверка методических положений диссертации проводилась лично автором настоящей работы в VI—X классах Павлово-Покровской школы гор. Павлово-Посада в 1950—1957 гг. и в Филимоновской средней школе

Ногинского района; кроме того, для большей объективности учителя Мишина М. Д. (школа № 3) и Костина А. И. (школа № 18 г. Павлово-Посада) в 1954—1956 гг. проводили проверку тех же методических положений на своих уроках. Эта проверка имела целью:

1) выявить качества предлагаемой системы упражнений и методов ее проведения;

2) установить доступность изучаемого материала для учащихся данного класса;

3) выявить, какие практические навыки приобретают учащиеся в результате выполнения каждой группы упражнений;

4) установить, какое влияние оказывает усвоение данного материала на изучение остальных разделов математики и физики;

5) выполнить отбор упражнений и задач.

Проверка проводилась следующим образом: подбирались два параллельных класса, в которых уроки математики вел один и тот же учитель. В одном классе преподавание велось обычным путем, а в другом, экспериментальном классе, преподавание велось по разработкам диссертанта. Каждый урок в том и другом классах и занятия математических кружков подробно фиксировались автором и учителем, проводившим урок, а потом подвергались разбору. Результаты разбора и сравнения уроков также фиксировались, В V главе излагаются результаты обработки и анализа указанных материалов.

Наблюдения за работой учащихся, анализы устных ответов, письменных работ говорят о том, что все графические упражнения посильны для учащихся и выполняются ими с большим интересом.

Особый интерес проявляют учащиеся экспериментальных классов к графическому методу решения уравнений, неравенств, физических и геометрических задач, к изготовлению моделей (шаблонов) различных графиков и шкал.

Широкое использование изготовленных учащимися моделей, графиков и шкал дало возможность в значительной мере сократить время на выполнение графических упражнений как на уроках, так и во внеурочное время.

Например, в IX классе логарифмические шкалы использовались не только на уроках алгебры при изучении логарифмической линейки, но и на занятиях математического кружка для изучения логарифмической и полулогарифмической систем координат.

Изучению этого материала было посвящено три занятия. На первом занятии учащимся была предложена задача.

Построить на одной странице ученической тетради диаграмму скоростей улитки (1,5 мм/сек), человека (5 км/час), автомашины (60 км/час), самолета (1000 км/час) и света (300 000 км/сек).

Эта задача вызвала большой интерес у учащихся, но решить ее никто не сумел, причем было высказано несколько суждений о том, что задача не может быть решена.

Интерес, вызванный задачей, создал хорошую обстановку для объяснения сущности логарифмической и полулогарифмической систем координат, которые были построены при помощи логарифмических шкал. После этого учащиеся с большим удовлетворением решили указанную задачу.

На втором занятии строились графики степенной функции на логарифмической бумаге и показательной функции на полулогарифмической. Третье занятие было посвящено составлению эмпирических формул. Ознакомление учащихся с устройством, свойствами и применением логарифмической и полулогарифмической бумаги не потребовало большой затраты времени, оказалось доступным учащимся IX классов и позволило показать им еще одно практическое приложение логарифмов.

Программой не предусматривается изучение графического решения неравенств в VII—VIII классах, но работа в экспериментальных классах показала, что графическое решение неравенств в большой мере содействует вполне сознательному и глубокому усвоению всего учения о неравенствах и доступно учащимся этих классов.

Оказалось, что учащиеся вполне подготовлены к записи решений неравенств на основании построенных графиков.

Анализ уроков, на которых использовались графики для решения геометрических задач, позволяет заключить, что решение этих задач помогло глубже раскрыть сущность геометрических теорем, наглядно показать зависимость между элементами геометрических фигур, осуществить взаимосвязь между алгеброй и геометрией.

Экспериментальная проверка методических положений диссертации позволяет сделать достаточно обоснованные выводы:

1) более широкое и целеустремленное использование в школьном курсе математики геометрического представления функциональной зависимости дает возможность: усилить взаимосвязь между школьными предметами; привить учащимся прочные навыки в построении и исследовании графиков функций; применять графики для иллюстрации ряда теоретических

и практических вопросов при изучении математики и смежных дисциплин;

2) предоставление такого места изучению и использованию графиков в значительной мере содействует активизации работы учащихся, повышению их интереса к предмету и работоспособности и в связи с этим их подготовке в области математики и физики;

3) предложенная в настоящей работе методика вполне осуществима, а система графических упражнений посильна для учащихся соответствующих классов, тесно связана с программным материалом и содействует политехническому обучению учащихся.

Материалы диссертации опубликованы в статье «Вопросы методики обучения построению графиков и исследованию функций», напечатанной в сборнике «Из опыта работы учителей математики. Алгебра, тригонометрия», изд. АПН РСФСР, М., 1959 г.

A 104783 17/Х 1961 г. Тип. Госкомитета по судостроению, зак. 2028