Министерство просвещения РСФСР Казанский государственный педагогический институт

На правах рукописи.

В. Г. ЗАХАРОВА

ПСИХОЛОГИЧЕСКИЕ КОРНИ ЛОГИЧЕСКИХ ОШИБОК УЧАЩИХСЯ ПРИ ИЗУЧЕНИИ АЛГЕБРЫ В VI—VII КЛАССАХ

Автореферат диссертации, представленной на соискание ученой степени кандидата педагогических наук по методике преподавания математики

Научный руководитель — заслуженный деятель науки Татарской АССР, доктор педагогических наук, профессор Б. В. БОЛГАРСКИЙ.

Казань — 1964

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

Профессор, доктор физико-математических наук Б. Л. КРЫЛОВ.

Доцент, кандидат педагогических наук В. М. БЕРКУТОВ.

Защита состоится в Казанском государственном педагогическом институте, Казань, Лево-Булачная, 44,

„_“___1964 г.

Автореферат разослан „_“__1964 г.

В практике работы преподаватель часто встречается с характерными ошибками, которые допускают учащиеся при решении задач. Этому вопросу посвящен ряд статей в журналах: «Математика в школе», «Советская педагогика», «Известия АПН РСФСР». Однако, как правило, в них большое внимание уделяется методической стороне вопроса предупреждения ошибок и недостаточно рассматривается психологическая сторона развития логического мышления учащихся.

Задача нашей работы — определить психологические корни логических ошибок учащихся и наметить пути их устранения в процессе обучения. Диссертация написана на основе анализа фактического материала. Этот анализ свидетельствует, что в большинстве школ учащиеся усваивают основные разделы программы по математике, в основном, знают законы, правила, умеют применять их к решению задач. Но наблюдаются и серьезные пробелы в знаниях учащихся по отдельным разделам курса алгебры, связанные с освоением понятий буквенных выражений, действий над целыми алгебраическими выражениями, по формулам умножения и деления и т. п.

Ошибки, допущенные учащимися при решении задач по алгебре, имеют чаще всего определенный закономерный характер. Материалы десятилетнего руководства педагогической практикой студентов четвертых курсов в гг. Йошкар-Ола, Казани и Магнитогорске позволяют сделать выводы о причинах возникновения ошибок у учащихся. В решении ряда задач учащиеся допускают одни и те же ошибки логического характера, связанные с нарушением закона тождества. Причина состоит в том, что решение задач на начальном этапе обучения осуществляется в школе без определенной системы и последовательности, без учета законов и положений современ-

ной психологии. При решении задач мы встречаемся с разнообразными сочетаниями, зависимостями различных объектов-раздражителей головного мозга. Раздражитель — это сигнал, часть информации, а совокупность этих раздражителей — (информация. Головной мозг — приемник, где происходит переработка поступающей информации. Переработка информации связана с выработкой временных связей — рефлексом. Новейшие исследования (работы П. К. Анохина и др.) в физиологии внесли существенные уточнения в вопрос о структуре рефлекса. Рефлекс протекает не по принципу дуги, а кольцеобразно: раздражитель — мозговая работа — ответная деятельность организма — новая мозговая работа — новые уточненные «приказы» исполнительным органам и так далее.

Новые достижения физиологии и кибернетики позволяют объяснить причины искажения информации. В соответствии с перерабатываемой информацией по линии «обратной» связи — по нервным волокнам должна передаваться именно та, а не другая информация. Переработанная информация, вообще говоря, носит искаженный характер. Показателем искажения информации является коэффициент искажения. Он высок у учащихся по математике, особенно в том случае, когда они выполняют решение так называемых задач противоположного характера.

Нами ставится задача определения тех условий, которые способствуют понижению коэффициента искажения. Эти условия выясняются с помощью:

1) изучения и обобщения опыта работы передовых учителей;

2) анализа личного педагогического опыта и экспериментальной проверки его в процессе преподавания алгебры в VI и VII классах школ №№ 24, 60 г. Казани, № 31 г. Магнитогорска, № 11 г. Йошкар-Ола;

3) детального изучения и анализа учебно-методической литературы, трудов И. П. Павлова, новейших достижений математики, физиологии;

4) проведения опытных уроков учителями г. Казани в школах №№ 24, 60, 81, г. Магнитогорска в школе № 31 по методическим разработкам автора;

5) сравнительного анализа устных ответов учащихся при опросе на уроках, а также изучения их письменных контрольных работ в опытных и обычных классах.

Структура диссертации, ее краткое содержание и выводы

Диссертация содержит пять глав:

ГЛАВА. I. Логические ошибки учащихся при изучении начала алгебры.

ГЛАВА II. Изучение темы: «Разложение многочленов на множители».

ГЛАВА III. Выполнение действий с алгебраическими дробями.

ГЛАВА IV. Решение задач на составление уравнений первой степени с одним неизвестным.

ГЛАВА V. Решение задач на составление систем уравнений первой степени с двумя неизвестными.

Каждая глава диссертации завершается краткими выводами.

В первой главе, исходя из учения И. П. Павлова о временных связях, автор показывает на примерах, как зависит коэффициент искажения от физиологических законов, и дает вытекающие отсюда методические рекомендации. Законы иррадиации и концентрации, закон взаимной индукции тесно связаны друг с другом, они взаимно ограничивают, уравновешивают и укрепляют друг друга и этим обусловливают точное соотношение деятельности организма с условиями внешней среды. Учителю важно не допускать усиления действия одного из законов по отношению к другому, поддерживать определенное соотношение указанных законов, учитывать их действия и построить процесс обучения так, чтобы коэффициент искажения свести до минимума. В диссертации показывается, как добиться снижения коэффициента искажения при решении той или другой задачи.

В § 1 этой главы рассматриваются примеры на запись и чтение буквенных выражений, в которых учащиеся допустили ошибки, а затем приводится обоснование возникновения этих ошибок, их психологическая обусловленность.

Пример 1. Записать тремя способами выражение

Некоторые учащиеся в контрольной работе выполняют это требование следующим образом:

Пример 2. Записать тремя способами выражение

В письменных работах, которые мы отбирали для анализа, учащиеся городов Казани, Йошкар-Ола, Магнитогорска допустили около 20% ошибок такого вида. В обоих примерах мы встречаемся с ошибками логического характера: учащиеся представили члены выражений —2 b3с, —3 c2d, в виде алгебраической суммы неверно, т. е. —2 b3с = —b3с+ b3с, — 3 c2d =—c2d + c2d + c2d. В данном случае они допустили ошибку логического характера в смешении утверждений. При записях выражений без коэффициентов учащиеся в большинстве случаев имели дело с выражениями вида 2 а3b +3 c2d, т. е. суммой двух или нескольких чисел и реже встречались с выражениями вида 2a3b — 3c2d. Такого рода ошибки происходят в результате недостаточного сравнения выражений, установления их сходства и различия,,что и влечет за собой неправильную аналогию между 2 а3b + 3 c2d и 2 а3b — 3 c2d.

Допущение большого числа ошибок в записи объяснимо с физиологической точки зрения. Знак плюс записывается учащимися неверно вследствие тормозного состояния коры головного мозга, основной причиной которого является решение большого количества однообразных задач. Стабильный задачник1) также содержит недостаточное количество выражений, представляющих собой разность чисел, которые следует записать без коэффициентов (2 примера из 15, предложенных на стр. 13). Для исправления рекомендуются примеры:

Располагая различным образом члены со знаком минус, мы добивались ослабления действия закона взаимной индукции. Сопоставление выражений друг с другом, а также чле-

1) П. А. Ларичев. Сборник задач по алгебре, ч. 1, Учпедгиз, 1959.

нов, входящих в математическое выражение, в отношении сходства и различия способствует правильному выводу и развитию логического мышления у учащихся, так как при этом происходит не только восстановление определенных знаний, но и их дифференциация.

В § 2 нами рассмотрены ошибки учащихся на действия с рациональными числами.

Пример № 1.

Пример № 2.

Пример № 3.

При решении предложенных задач учащиеся П. и А. школы № 31 г. Магнитогорска проводили только отождествление рациональных чисел с положительными числами в способах вычисления, но не рассмотрели их различие. Игнорирование этого факта приводит к искажению информации.

Пример № 4.

Пример № 5

В примерах №№ 4 и 5 некоторые учащиеся школы № 31 г. Магнитогорска перемножили два числа верно, но при дальнейшем умножении они сосредоточили внимание только на технику вычисления, не обращая внимания на знак. При выполнении действий с рациональными числами школьники имеют дело с числами противоположными положительным числам в арифметике. Они в большинстве случаев опираются

на сходство: действия, технику вычисления и т. д., но совершенно не обращают внимания на различие, которое является составной частью сравнения.

При решении задач метод сравнения оказывает плодотворное влияние в том случае, если одновременно с отождествлением учащиеся приводят различия между положительными и отрицательными числами, так как такое сравнение способствует ослаблению действия закона отрицательной индукции. Решение противоположных задач содействует упрочению обратных связей, при этом происходит соединение прямых и обратных связей в замкнутую, кольцеобразную связь, что влияет на переработку информации.

Аналогичные вышеприведенным ошибки можно было наблюдать и у других учеников при решении подобных задач.

Третий параграф посвящается анализу ошибок при изучении темы: «Действия над целыми алгебраическими выражениями». Ошибки, которые мы наблюдали у учащихся при выполнении действий над рациональными числами, встречаются и при выполнении действий над целыми алгебраическими выражениями.

Пример.

Сопоставляя решения учащихся из разных школ, мы замечаем, что некоторые из них допустили одну и ту же ошибку в знаках. При выполнении действия с рациональными числами учащимся приходится на протяжении всего процесса решения проводить отождествление и отличие. Если учащиеся применяют только отождествление или только различие, то они неизбежно будут совершать ошибки в решении задач. Такого рода ошибки можно встретить при решении подобных задач.

Например, упростить и вычислить при а = 0,5; b = — 1.

Заметим и то обстоятельство, что количество информации, содержащихся в исходном и полученном выражениях приближенно равно 4,95 битам и 3,90 битам. Выражение ^3—о3, которое должно быть получено после упрощения, содержит в себе около log23= 1,56 бит. Отсюда следует, что рациональное верное преобразование выражений снимает неопределенность задачи, ведет к снижению коэффициента искажения информации.

В § 4 приводится психолого-педагогическое обоснование и типизация ошибок, допущенных учащимися при выполнении действия умножения многочлена на многочлен, умножения по формулам. Анализируя решения задач на тождественные преобразования над алгебраическими выражениями: умножение многочленов, возведения в степень, умножение по формулам, можно часто встретить у учащихся ошибки логического характера.

Пример.

Упростить и вычислить выражения

Ученики Ю. и М. школа № 3 г. Борисоглебска выполняют так: а2—2а — 4а + 8 + а2 — 3а — a+ 3. Аналогичную ошибку допустили и другие учащиеся, например, при решении уравнения: (3х — 7) (2х + 1 ) — 2(5х — 1 ) (х + 1 ) + (х + 2) (4x — 5) = 1. Некоторые учащиеся школ №№ 3, 47 г. Борисоглебска решили его так: 6х2 + 3 х — 14 х — 7—10 x2 +10х — 2 х+ 4x2 + 5х + 8x—10=1. Ряд учащихся, раскрывая скобки, как в выражении (а — 4) (а —2), так и в выражении — (а— 1) (а — 3), не проводят различения, не замечают, что у последнего имеется множитель — 1, а у первого + 1. Неверное сравнение двух выражений привело учащихся к неверному выводу, к искажению информации. Следует отметить еще и то, что на стр. 67—691) имеется 11 примеров типа (3x—1) (2х + 7) — (х+1) (6х — 5) = 16, т. е. таких, в которых была бы разность произведений многочленов, а 66 примеров типа (х2 + 2ху — 5у2) (2х2—3y), (х+1)(x + 2) + (х+3) (x+4). Так как действие раздражителей носило однообразный характер, то закон отрицательной индукции оказал сильное воздействие на замыкание новых связей, на переработку информации.

1) П. А. Ларичев. Сборник задач по алгебре, ч. 1, Учпедгиз, 1959.

Выполняя тождественные преобразования — умножение по формулам, учащиеся допускают значительное число ошибок, в основном в перепутывании знаков + и —, в неверном умножении показателей степени и неправильном возведении в степень какого-либо сомножителя.

Вот примеры ошибочного решения;

Анализируя решения задач, мы замечаем, что учащиеся допустили различные разновидности одной и той же логической ошибки — подмены утверждений, т. е. они нарушили основной закон логики — закон тождества. При возведении в степень одночлена учащиеся чаще всего возводят не каждый его сомножитель в отдельности, однако при умножении степеней одного и того же числа показатели степеней перемножают. Ошибки такого типа наблюдаются во многих школах и составляют от 20% до 40%. В школе № 24 г. Казани из 37 учащихся — 16 допустили ошибки на основные формулы умножения, в том же классе школы № 60 из 36 учащихся — 9 допустили эти ошибки. Нарушение требования ясности утверждения приводит к нарушению закона тождества. Ясность в мышлении состоит в том, чтобы правильно различать само по себе различное и рассматривать тождественным то, что на самом деле тождественно. В данном случае речь идет о том, что, какие бы числа (выражения) ни представляли члены двучлена, которые нужно возвести в куб, к нему должна быть применена одна из основных формул умножения, например:

В задачнике1) на стр. 77 насчитывается 35 примеров, в которых двучлен имеет вид: (m+n)3 и (2а3—3 62)3, т. е. каждый член двучлена содержит один буквенный множитель. Такие выражения по внешнему виду ближе всего подходят к основным формулам (a + b)3. Выражения, которые нужно умножить по основным формулам, представляют собой комп-

1) П. А. Ларичев. Сборник задач по алгебре, ч. 1, Учпедгиз, 1959.

лексные раздражители, и одни из них оказывают более сильное воздействие на отдельные пункты коры головного мозга, чем другие. Вот почему при возведении в куб числа bm2n некоторые учащиеся возводят только коэффициент 3, множитель /г, а второй множитель m2 — не возводят. Аналогично объяснимо и то, почему учащиеся перемножают показатели степеней при умножении степеней одного и того же числа.

При выполнении тождественных преобразований над выражениями, в которых встречаются произведения вида: (a + b)(a2 — ab+b2) и (а — b) (а2 +ab + b2), учащиеся допускают такие ошибки, как, например: (m2—5)(m4 + 5m2+ 25) — (m2 + 3) (m4—3 m2 + 9) = (m4—25) — (m4 + 9) = mA — 25 — m4—9 = — 34. Во многих школах учителя предлагают учащимся в основном те задачи, которые имеются в стабильном задачнике. На стр. 77—79 задачника1) насчитывается 17 примеров, к выражениям которых нужно применить формулы суммы или разности двух чисел; причем в трех примерах мы встречаем числа вида a2, m2, х2у a в четырнадцати примерах вида а, х, — 2, 1, 2а и т. д., т. е. числя в первой степени. В связи с решением более сложных выражений происходит и раскрытие самого вопроса о применении формул умножения. Только в практической деятельности при решении разнообразных задач путем сравнения, сопоставления членов выражений вырабатывается у учащихся необходимая логическая определенность в мышлении.

Во второй главе рассматриваются ошибки учащихся при решении задач на разложение многочленов на множители.

Пример № 1. Разложить на множители выражение:

Решение ученицы А. (Чигашевская школа ТАССР). Выражение 2а2—b2 не представляет собой разности квадратов двух чисел, но к нему была применена формула сокращенного умножения. Сравнивая выражение 2а2 — b2 с основной формулой умножения а2 — b2 ученица усмотрела только сходные элементы, но не обратила внимание на их различие. Числа а2 и b2 оказались более сильными раздражителями, и поэтому некоторые учащиеся не замечали других особенностей рассматриваемого выражения, в данном случае коэффициента 2.

*) П. А. Ларичев. Сборник задач по алгебре, ч. 1, Учпедгиз, 1959.

Наряду с упражнениями, которые имеются в задачнике на стр. 99—100, в школе № 24 г. Казани мы предлагали учащимся такие упражнения. Выяснить, какие из нижеуказанных двучленов разложимы:

Чтобы решить эти задачи, учащийся должен тщательно провести анализ каждого члена выражения, сравнить одно выражение с другим. Выражение 2а2 — b2 является как бы обратным по отношению к выражению а2— b2, так как первое разложимо в области рациональных чисел, другое — неразложимо. Решение задач противоположного характера, их анализ служит важным средством не только актуализации определенных знаний, но и их дифференциации, замыкания прямых и обратных связей, а это связано с переработкой информации.

Разновидность логической ошибки — подмену утверждений можно наблюдать у учащихся других школ. Так при решении задачи bх2—20у2 = (bх + 4 у) (х — 5у) была допущена ошибка. Ученица М. (школа № 60 г. Казани) распространила формулу разности квадратов двух чисел на случай, когда числа не являются квадратами. Она недостаточно вдумчиво сравнила члены двучлена bх2—20у2 с основной формулой умножения а2 — b2, не установила различия между их членами, что и привело к неправильной аналогии. Логическая ошибка — смешение утверждений — возникла вследствие сосредоточения внимания на буквенных сомножителях х2 и у2, ибо ученица не обратила внимание на числовые коэффициенты, которые не представляют собой квадраты чисел. Появление логической ошибки подмены- утверждений вызывается тем, что ученики встречают в задачнике Ларичева1) около 112 задач на применение формулы разности квадратов двух чисел. Временные связи, возникающие при этом, оказываются настолько прочными, что они препятствуют другим компонентам войти в новую прочную связь. Для актуализации и превращения прямых и обратных связей в замкнутую связь важным средством является умение потребовать от учащихся применения

1) П. А. Ларичев. Сборник задач по алгебре, ч. 1, 1953, стр. 99—100.

метода сравнения. Отождествелние и различение непосредственно связаны с закономерностями нервно-психологической отражательной деятельности мозга. Для предпуреждения формальных навыков, учащимся было предложено несколько задач вида:

Решая данные задачи, учащиеся выясняют, что коэффициенты не представляют квадраты чисел, и замечают, что у них есть общие множители. В результате такого сравнения, в коре больших полушарий отдифференцируются временные связи и происходит замыкание их в новых сочетаниях.

Автор в конце главы анализирует ошибки при решении задач на разложение многочленов способом группировки, с помощью формулы разности квадратов двух чисел. На основании приведенного исследования, автор делает вывод, что показ изучаемого явления в новом положении, выяснение особых оттенков его — важный фактор ослабления действия закона отрицательной индукции, способствующий правильной переработке информации. Это и является важным моментом развития логического мышления.

В третьей главе диссертации — «Выполнение действий с алгебраическими дробями» — автор стремится исследовать наиболее распространенные и грубые ошибки учащихся в сокращении дробей, в знаках, в нахождении общего знаменателя, в применении формул сокращенного умножения.

В § 1 «Логические ошибки при сложении и вычитании алгебраических дробей» основными причинами допущенных ошибок автор считает:

1. Неглубокий анализ выражений, в данном случае, знаменателей дробей, при их сравнении и сопоставлении.

2. Недостаточно прочные знания учащихся об арифметических и алгебраических дробях.

3. Одной из причин появления указанных ошибок является и то, что в задачнике Ларичева1) (стр. 121—125) отсутству-

1) П. А. Ларичев. Сборник задач по алгебре, ч. 1, Учпедгиз, 1959.

ют дроби, знаменатели которых содержали бы четыре и более члена.

4. Учащиеся сосредоточивают внимание на одном выражении, на одном члене, забывая о других. Концентрация внимания учащихся на одном выражении, члене происходит в силу одностороннего сравнения, отождествления, без выяснения различия других элементов.

Вот пример и его решение ученицей 3.

Ученица 3. допустила ошибку в разложении двучлена a2 + b2 на множители a + b и а—b. Она отождествила не тождественные выражения а2 + b2 и а2—b2. В задачнике Ларичева (стр. 119—125) не имеется ни одной дроби со знаменателем, представляющим собой сумму квадратов двух чисел, а 26 дробей имеют знаменателями разность квадратов двух чисел. Последнее обстоятельство послужило для некоторых учащихся «благоприятным условием» образования прочной временной связи на комплексный раздражитель, т. е. на совокупность знаменателей вида а — b, а + b, а2 — b2. Когда учащимся предложили задачу ——----, в которой даны три дроби, причем знаменатель третьей дроби — сумма квадратов двух чисел, то некоторые из них не отличили а2+ b2 от а2 — b2.

Знаменатель а2 — b2 оказался более сильным раздражителем по сравнению с a2 + b2.

Эффективными методами борьбы с подобными ошибками автор считает:

1) определенный подбор задач, осуществленный с учетом их разнообразия и определенной сложности по числу информаций;

2) самостоятельное выполнение ряда задач;

3) анализ предлагаемого выражения.

В § 2: «Все действия с дробями» констатируется тот факт, что с усложнением алгебраических выражений увеличивается и количество ошибок у учащихся, т. е. коэффициент искажения информации возрастает. Сложность задач на все действия с дробями по сравнению с задачами на сложение и вычитание дробей по числу информаций больше приблизительно в 1,4 ра-

за. Автором рассмотрены примеры на все действия с дробями и проведен тщательный анализ ошибок учащихся.

В конце главы даются общие заключения и предложения. Вот отдельные из них:

1. Чтобы учащиеся не допускали логических ошибок при выполнении действий с алгебраическими дробями, следует особо обратить их внимание на всесторонний анализ знаменателей дробей, ибо последнее является важнейшим, первоначальным фактором, обусловливающим правильный выбор общего знаменателя и умение найти дополнительные множители.

2. Во избежание выработки формальных навыков, учащиеся должны решать задачи разнообразные по своей структуре, причем следует соблюсти постепенное нарастание их сложности. Также необходимо учитывать количественное соотношение в решении различных примеров, имея в виду физиологические законы — отрицательной индукции, иррадиации, концентрации.

3. Чтобы развить творческую мысль учащихся по теме «Действия над алгебраическими дробями» и добиться прочных знаний, учитель должен выяснить с учащимися сходство и различие алгебраических и арифметических дробей.

4. Учителя должны систематически содействовать развитию самостоятельной мыслительной деятельности учащихся, так как она способствует сознательному и прочному усвоению знаний и критическому отношению к результатам своей деятельности. Следует вносить элементы нового не только на каждом уроке, но и при решении каждой задачи.

В IV главе «Решение уравнений первой степени с одним неизвестным» автор анализирует ошибки логического характера, допускаемые учащимися при составлении уравнений по условию задач. Учащиеся допускают ошибки в выделении понятий, суждениях и в умозаключениях. Они, не сообразуясь с реальными соотношениями между величинами (расстоянием, скоростью и временем; выполненной работой, производительностью труда и временем), приступают к составлению математических выражений, а затем и к составлению уравнений.

Приведем пример ошибочного решения задачи: «Из деревни в город вышли два пешехода. Первый приходит в город двумя часами позже, чем второй. Скорость первого 4 км в час, а скорость второго 6 км в час. Определить расстояние между деревней и городом»1).

1) П. А. Ларичев. Сборник задач по алгебре, ч. 1, 1953, № 1608.

Ученица Т. школы № 85 г. Казани в контрольной работе дает следующее объяснение: «Пусть х (км) — расстояние между деревней и городом;

— расстояние, которое пройдет первый пешеход;

— расстояние, которое пройдет второй пешеход.

Составим уравнение

Ученица Т. рассуждает, что — (км) — расстояние, которое пройдет первый пешеход и — (км) — расстояние, которое пройдет второй пешеход, а в умозаключении мыслит о времени. Она в данном случае подменяет один предмет мысли другим и тем самым допускает ошибку логического характера в нарушении закона тождества. Подобные ошибки учащихся встречаются и при решении других задач.

Автор уделяет большое внимание решению задач противоположного характера, которые способствуют упрочению обратных связей, превращению прямых и обратных связей в кольцеобразную связь, что связано с циркуляцией информации, т. е. переработкой поступающей информации. Учитель должен научить учащихся активно размышлять над решением задач, думать. Чем больше развернутых положений, тем прочнее логические связи и проторенность между связями можно считать оптимальной.

Противоположные задачи:

Задача № 1. «Пассажир, ехавший в поезде со скоростью 40 км в час, заметил, что встречный поезд прошел мимо него за 30 сек. Определить скорость встречного поезда, если известно, что длина его 75 ж».

Задача № 2. «Велосипедист, находившийся в последнем ряду колонны пехоты, двинулся в путь вместе с ней и обогнал ее за 24 мин. Во время стоянки колонны он с той же скоростью проехал от начала до конца колонны за 15 мин. Какова длина колонны и с какой скоростью ехал велосипедист, если колонна двигалась со скоростью 4,5 км в час».

Педагогические рекомендации:

1. При разборе задач учащиеся должны в первую очередь выделить величины — части информации, которые находятся между собой в определенной зависимости. Величины и их соотношения являются комплексным раздражителем, действующим на клетки больших полушарий, вследствие чего, как указывал И. П. Павлов, в коре головного мозга возникают новые связи на основе имеющихся.

2. Выделение посылок из условия задач, использование посылок для составления выражений.

3. Подбор задач, их вариация.

4. Графическое решение задач.

Выполнение этих требований может служить благоприятным условием для развития творческого мышления учащихся, которое включает такие качества, как самостоятельность, активность, умственное напряжение, применение теории к практике.

В последней, V главе диссертации описываются и разбираются логические ошибки при решении задач на составление систем уравнений первой степени с двумя неизвестными.

При решении задач на составление систем уравнений с двумя неизвестными обстоятельства еще более усложняются. В условии задачи содержится больше объектов, которые находятся между собой в определенных отношениях, количество поступающей информации увеличивается. На составление систем уравнений с двумя неизвестными учащиеся допускают ошибки так же в определении понятий, в суждениях и умозаключенях.

В данной главе диссертации рассматривается несколько типичных задач, в которых учащиеся допустили логические ошибки при записи математических выражений и при составлении уравнений.

Например: «Две колхозные бригады, работая вместе, обрабатывают участок земли за 4 дня. Если же обе бригады проработают вместе только два дня, то второй бригаде для окончания работы понадобится еще 6 дней. За сколько дней сможет обработать этот участок каждая из этих бригад?»1).

Некоторые учащиеся (школа № 24 г. Казани, школа № 31 г. Магнитогорска) дают такое пояснение к решению этой задачи:

1) П. А. Ларичев. Сборник задач по алгебре, ч. I, Учпедгиз, 1959.

«За X дней — возьмем первую бригаду за 1 день;

За у дней — возьмем вторую бригаду за 1 день;

4 X — первая бригада, работавшая 4 дня;

4 у дней — вторая бригада, работавшая 4 дня;

2 X дней — первая бригада, работавшая 2 дня;

8 у — вторая бригада, работавшая 2 дня и еще 6 дней».

Далее ученица пишет, что количество дней работы первой бригады и количество дней работы второй бригады в сумме составляют 1. Учащиеся при составлении систем уравнений первой степени с двумя неизвестными допустили ошибку логического характера — нарушили основной закон мышления— закон тождества. Они приравняли различные величины: количество дней и объем работы. Причины, которые способствовали нарушению требования ясности в суждениях при составлении уравнений первой степени с одним неизвестным, имели место и при составлении системы уравнений первой степени с двумя неизвестными. Учитель должен научить учащихся в процессе решения задач выделять величины, посылки и заключения из условия задач, так как пропуск одной из посылок ведет к затруднению в решении задачи, к искажению информации. При анализе задач автором был отмечен несколько однообразный характер тех из них, которые помещены в стабильных задачниках. Так, в разделе на составление систем уравнений первой степени многократно повторяются задачи, в которых нужно определить время работы бригад, рабочих, машин и т. д. В разделе «Задачи на повторение»1) помещено десять задач, в которых нужно определить время. Ни в одной из двух рассматриваемых глав не встречаются задачи на определение производительности труда.

Автором подчеркивается тот факт, что поскольку величина — производительность труда — во многих задачах ясно не выражена, то она выступает для учащихся в роли скрытого слабого раздражителя. Раздражители различной силы, как известно, вызывают в клетках больших полушарий очаги возбуждения различной интенсивности. Более сильный очаг возбуждения, создавая вокруг себя зону торможения, затушевывает пункт приложения действия слабого компонента, в результате чего слабый раздражитель не может вступить в новую или вступает в более слабую временную связь, что и при-

1) П. А. Ларичев. Сборник задач по алгебре, ч. 1, Учпедгиз, 1959.

водит к искажению информации. При решении однообразных задач учащиеся обращают внимание только на определенные величины, которые явно выражены в условии задачи, и забывают про величины, которые получаются в результате промежуточных умозаключений. Они стремятся без анализа задачи сразу получить математические выражения, пропуская при этом посылки и заключения промежуточных умозаключений, что служит основной причиной допущенных учащимися ошибок. Решение задач на составление системы уравнений первой степени с двумя неизвестными представляет собой богатейший материал, способствующий развитию логического мышления учащихся. В пятой главе большое место отводится также графическому способу решения задач. Решение задач графическим способом предостерегает учащихся от распространенных случаев нарушения законов логики, облегчает решение более сложных задач и способствует развитию логического мышления.

В заключении главы автор ставит себе целью выяснить значение задач противоположного характера на развитие логического мышления. Автор устанавливает, что преодоление ошибок в большей степени зависит от того, насколько творчески поставлена работа над изучением величин как аналитически, так и графически.

В данной диссертации мы остановились на отдельных, основных темах курса алгебры. Учитель, зная физиологические законы, опираясь на новейшие достижения советской психологии, математики — теорию информаций, может построить каждый урок так, чтобы эффективно вести обучение учащихся решению разнообразных задач.

Результаты исследований докладывались на XVI и XVII научно-методических конференциях Уральской зоны с участием учителей гг. Кирова, Оренбурга и преподавателей педагогических институтов (1958 и 1959 гг.); на секции конференции учителей-математиков г. Магнитогорска (1960); на заседании кафедр математического анализа, алгебры и геометрии Казанского государственного педагогического института (1963) и получили одобрение. Основные положения диссертации опубубликованы в статьях:

1. Психологические корни логических ошибок при изучении темы «Разложение многочленов на множители». Ученые записки Магнитогорского государственного педагогического института. Выпуск ХП(1), Магнитогорск, 1961 (стр. 93—111).

2. Логические ошибки учащихся при выполнении действия с алгебраическими дробями и пути их устранения. Ученые записки Магнитогорского государственного педагогического института. Выпуск XII (1). Магнитогорск, 1961 (стр. 112—145).

ПФ07170. Подписано к печати 14/V-1964 г. Формат бумаги 60×841/16. Количество печатных листов 1,2. Заказ № 5790. Тираж 150.

Магнитогорская типография Челябоблуправления по печати.