ИНСТИТУТ ПСИХОЛОГИИ АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

НА ПРАВАХ РУКОПИСИ

В. Л. ЯРОЩУК

ПСИХОЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЕШЕНИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

АВТОРЕФЕРАТ ДИССЕРТАЦИИ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ КАНДИДАТА ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК (по психологии)

1951 ГОД

ГЛАВА 1

ЗАДАЧИ И МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ

§ 1

Общие задачи исследования

1. Перед советской школой стоит задача не только сообщить учащимся фактические знания и привить умения применять эти знания в практической жизни, но и воспитать у них самостоятельное, творческое мышление, необходимое строителям коммунистического общества.

В развитии такого мышления заметную роль должно сыграть преподавание арифметики и особенно решение арифметических задач. В объяснительной записке к программе по арифметике указано, что: «При решении задач развивается математическое мышление учащихся, их сообразительность»1. Но успех развития этих качеств, очевидно, зависит от того, как будут работать над решением задачи.

Советские методисты и учителя, ведя борьбу с формализмом и зубрежкой, добились определенных успехов в методике обучения решению задач, поставленных перед нашей школой. Эти успехи были бы еще большими, если бы педагогическая психология могла вооружить методику арифметики такой теорией мышления, которая указала бы его особенности и ход развития у школьников.

Однако мы еще такой теорией не располагаем. Для построения такой теории необходимо тщательно изучить мышление учащихся при выполнении конкретных учебных задач. Советские психологи начали работу в этом направлении, но таких исследований еще мало и они не охватывают всего многообразия мыслительных процессов.

Одним из основных звеньев в воспитании мышления в процессе обучения является работа над понятием. Поэтому

1 «Программы начальной школы» (арифметика). Учпедгиз, 1949 г., стр. 48.

разработкой вопроса об усвоении понятий занялись методистп (И. В. Гиттис, M. Н. Скаткин, Н. Г. Шаповаленко) и группа психологов (А. М. Орлова, В. И. Зыкова, Е. Н. Меллер, А. 3. Редько), работающих под руководством Н. А. Менчинской. Однако, среди работ, направленных на изучение процесса усвоения понятий по отдельным учебным предметам, мало уделено внимания исследованию арифметических понятий. Специально вопрос о формировании обобщений при решении типовых задач был исследован Н. А. Менчинской1 (в экспериментальном обучении отдельных учащихся) и 3. И. Калмыковой2 (в практике школьного обучения). В этих исследованиях авторы показали основные ступени формирования понятий о типовых особенностях задач, но не раскрыли содержания и структуры понятий о различных типах арифметических задач.

2. Классики марксизма-ленинизма определяют «понятие», как мысленное отражение вещей. По учению Энгельса в понятиях обобщаются данные опыта об окружающем мире, «...результаты, в которых обобщаются данные опыта, суть понятия»3.

В свете этих основных положений научного материализма определяется понятие в психологии. Но в психологической литературе обращает на себя внимание прежде всего двойственность в трактовке термина «понятие». Иногда понятием называют то, что надо усвоить. Иногда то, что в данный момент усвоено. Говоря об основных синтаксических понятиях, как например «подлежащее», А. М. Орлова имела в виду то, что надо усвоить. «На изучение процессов усвоения этих основных синтаксических понятий и направлены наши исследования, часть которых, относящаяся к понятию «подлежащее», и излагается в настоящей статье. Грамматические понятия во многих отношениях весьма своеобразны, и изучение процесса их усвоения представляет большой психологический интерес“4. Когда же А. 3. Редько5 говорит о том, что понятия учащихся раб и рабовладелец еще бедны по своему содержанию, то ясно, что здесь речь идет о том, что в данный момент усвоено этими учащимися. Авторы работ, помещенных в 28 номере «Известий Академии Педагогических наук РСФСР», употреб-

1 Журнал «Сов. педагогика», № 1, 1940.

2 «Известия АПН», № 42, 1947.

3 Фридрих Энгельс. Анти-Дюринг, 1948, стр. 14.

4 Известия Академии педагогических наук РСФСР, вып. 28, 1950 г. стр. 17.

5 Там же, стр. 67-113.

ляют термин «понятие» как в первом, так и во втором смысле, но не разграничивают этих двух значений термина «понятие».

Мы считаем необходимых отграничить эти два понимания термина «понятие», так как они относятся к совершенно различным планам. «Понятие» как то, что должно быть усвоено в ходе обучения относится к плану философскому или идеологическому. «Понятие» в этом смысле, как результат опыта прошлых поколений, существует так же, как существует наука. «Понятие» имещееся в голове определенного человека на данном этапе его развития, относится к плану психологическому. Оно существует как относительно устойчивое образование в мозгу данного человека.

Необходимо то и другое из этих двух значений термина «понятие». Если понимать термин «понятие» только в первом смысле, то изучать понятия должна лишь логика. Для психологии «понятия» в этом первом значении не могут явиться предметом изучения. Психология может изучать лишь «понятия» во втором значении этого термина. Но если понимать термин «понятие» только во втором смысле, то проблема усвоения понятий тем самым снимается; ведь усвоение предполагает наличие чего-то, что должно быть усвоено, но в данный момент еще не усвоено. Например, когда ученик приступает к изучению, например, арифметики, то у него никакого понятия о типах задач еще нет; но эти понятия существуют в арифметике, т. е. в науке, и ученик должен усвоить эти понятия. Арифметические понятия выступают для ученика как предмет изучения. Если бы этих понятий не было в науке, то учащиеся не могли бы их усвоить. Несомненно, что проблемы усвоения понятий принадлежат к числу важнейших проблем психологии. Изучать процесс усвоения определенного понятия, не имея в виду того, что должно быть усвоено, конечно, невозможно. Следовательно, психология, изучая «понятия» во втором значении этого термина, необходимо должна иметь в виду «понятия» в первом значении этого термина.

Итак, когда будет итти речь об усвоении понятий, то надо понимать термин «понятие» в первом смысле, т. е. (иметь в виду то, что надо усвоить) в идеологическом плане. Когда же будет итти речь о понятии, которое в данный момент есть у ученика (о том, что он уже усвоил), то надо понимать термин «понятие» во втором смысле или в психологическом плане.

3. Характеризуя общие понятия, с психологической точки зрения, необходимо исходить из ленинского положения о единстве субъективного и объективного в понятии. «Понятия, — говорит Ленин,—не есть «только вещь сознания », но понятие

есть сущность предмета, есть нечто «само по себе»1. И в другом месте: «Человеческие понятия субъективны в своей абстрактности, оторванности, но объективны в целом, в процессе, в итоге, в тенденции, в источнике»2. Следовательно, понятия не только субъективны, но и объективны. Далее В. И. Ленин указывает на единство частного и общего в понятии: «Общее существует лишь в отдельном, через отдельное. Всякое отдельное есть (так или иначе) общее. Всякое общее есть (частичка или сторона или сущность) отдельного»3.

Таким образом, общие свойства вещей не существуют отдельно от единичных. И, наоборот, нет такого отдельного предмета, в котором не было бы ничего общего с другими предметами.

Далее при изучении понятия в психологическом плане нужно исходить из положения Ленина о том, что «Понятия— высший продукт мозга, высшего продукта материи»4. Отсюда вытекает необходимость изучать понятия в связи с павловским учением о высшей нервной деятельности. Универсальным фактом высшей нервной деятельности И. П. Павлов считал временные связи. По учению Павлова временные связи лежат в основе мышления и обучения. «Все обучение,—говорил он,—заключается в образовании временных связей, а это есть мысль, мышление, знание»5.

4. До сих пор при исследовании усвоения понятий, еще не ставился вопрос, какие временные связи образуются на том или ином этапе усвоения понятия или какие временные связи составляют психологическую структуру понятия того или иного уровня. В нашем исследовании мы и поставили перед собой задачу изучить временные связи, входящие в состав уже сформированного понятия и в процессе усвоения понятия.

5. Исследования Н. А. Менчинской, 3. И. Калмыковой, а также наши наблюдения и пробные эксперименты показали, что очень большое количество учащихся не умеют решать типовых задач. Вместе с тем типовые задачи занимают очень важное место в практике обучения арифметике. Но до сих пор ни в методической литературе, ни среди учителей-практиков нет единого мнения о том, как надо обучать учащихся решению типовым задачам и в частности, какие понятия о типах задач должны иметь учащиеся. Причина этого заключается,

1 В. И. Ленин. Философские тетради, 1947, стр. 263.

2 Там же, стр. 180.

3 В, И. Ленин. Философские тетради, 1927, стр. 329.

4 Там же, стр. 143.

5 «Павловские среды», т. II, стр. 580.

конечно, в том, что процесс усвоения понятий о типах задач еще очень мало изучен.

Исходя из только что сказанного, мы избрали предметом нашего исследования понятия, относяищеся к типовым задачам.

6. Из практики обучения известно, что учащиеся затрудняются решать задачи с абстрактным содержанием, поэтому мы решили иметь в виду не только сюжетные задачи, но и числовые.

§ 2

Материалы исследования и испытуемые.

Экспериментальный материал

В нашей работе мы употребляем термин «математическая структура задачи». Под этим термином следует понимать взаимоотношения между величинами, указанными в условии задачи. В математическую структуру задачи не входят: а) наименования величин (например, карандаши, гектары, килограммы и т. д.); б) числа, входящие в условие (12, 5, 13 и т. д. г, в нее входят лишь взаимоотношения между этими числами и взаимоотношения этих чисел с искомым числом.

Для того, чтобы выяснить поставленные перед исследованием вопросы, надо было взять такие типовые задачи, которые удовлетворяли бы следующим требованиям:

1. Чтобы их можно было представить в двух вариантах (в виде сюжетной и числовой).

2. Чтобы по характеру содержания и решения они были близки к задачам, которые учащиеся решали в школе и дома.

3. Чтобы эти задачи были нескольких типов, так как явления, наблюдаемые при решении одного типа задач, могли не наблюдаться в другом типе.

4. Чтобы в материал входили задачи сходные друг с другом по математической структуре, так как известно, что такие сходные задачи часто учащиеся не отличают друг от друга.

5. Чтобы эти задачи можно было представить не только в простой, но и в несколько усложненной форме, которая вызывает затруднения у учащихся, как при подведении задачи под тип, так и при решении ее. Исходя из предъявленных требований, мы составляли задачи парами. Каждая пара состояла из сюжетной задачи и числовой, которые имели одну и ту же математическую структуру и требовали одинакового процесса решения.

В дальнейшем сюжетную и числовую задачу, которые составляют пару, мы будем называть спаренными задачами.

Всего нами было составлено 5 пар задач, которые удовлетворяли вышеизложенным требованиям.

Первая пара состояла из задач «на нахождение чисел по их сумме и разности».

Вторая пара из задач, на нахождение чисел по их сумме и кратному отношению.

Третья пара состояла из усложненных задач «на нахождение чисел по их сумме и кратному отношению».

В четвертую пару были включены задачи «на нахождение числа по его дроби».

Пятая пара была составлена из задач, в каждую из которых входили две более простые задачи двух различных типов, а именно «на нахождение двух чисел по их сумме и разности» и «на нахождение двух чисел по их сумме и кратному отношению».

Для того, чтобы решить задачи 1-ой, 2-ой и IV-ой пар достаточно было их верно подвести под тип и уметь применять типовой прием в простейших условиях.

Решение задач 3-ей пары требовало небольшого видоизменения типового приема. Для того, чтобы решить задачи V-ой пары, необходимо было сочетать применение двух типовых приемов (1-ой и 2-ой пар).

Задачи были составлены по аналогии с имеющимися в задачниках для IV-ых классов (Н. С. Попова. А. С. Пчелко, 1941, и Н. И. Никитина, Г. Б. Поляк, Л. Н. Володина, 1945) и в методических пособиях (А. С. Пчелко, Методика преподавания арифметики в начальной школе, М. 1945).

Испытуемые. В качестве испытуемых были взяты учащиеся IV-ых классов 26-ой средней женской школы г. Одессы. IV-ые классы мы избрали исходя из того, что они уже прошли интересующие нас типы задач. В IV-ых классах можно было более широко применять различные вариации задач, чем в III-ьих, где типовые задачи только начинают решать и то в- простейшей их форме.

Чтобы на полученных нами результатах не сказались специфические условия обучения у определенного учителя, мы брали учащихся из четырех параллельных классов, где вели арифметику различные учителя.

Из каждого IV-го класса мы взяли по 5 девочек: 1 с отличной оценкой по математике и 4 хорошо успевающих по математике.

Всего в эксперименте участвовало 20 девочек. Каждая испытуемая решила по 10 задач (5 сюжетных и 5 числовых). Таким образом, наше исследование опирается на материалы 200 протоколов.

§ 3

Конкретные задачи исследования

Исходя из цели нашего исследования, мы поставили перед собой задачу выяснить следующие вопросы:

1. Возможны ли такие случаи, когда учащиеся владеют понятием, позволяющим решить сюжетную задачу, но не позволяющим решить числовую задачу с той же математической структурой?

2. Если такие случаи возможны, то каковы причины этого расхождения?

3. Какие существуют типы подхода к задаче?

4. В частности, какие временные связи характерны для каждого из этих типов?

§ 4

Методика проведения эксперимента

Все испытуемые были распределены на 4 группы. В первой группе было 6 девочек, во второй и третьей по 5 и в четвертой 4 девочки. Такое неравномерное распределение испытуемых по группам получилось в силу того, что по различным причинам из второй и третьей группы выбыло но одной девочке, а из четвертой две.

Каждая группа испытуемых решала задачи в определенном порядке, что дало возможность выяснить какая из задач (сюжетная или числовая) решается легче и при каких условиях.

Испытуемые первой группы решали вначале сюжетную задачу, а вслед за ней числовую с такой же точно математической структурой.

Второй группе испытуемых сначала давалась числовая задача, а непосредственно за ней такая же сюжетная.

Таким образом, первая и вторая группы решали задачи парами, но в первой — сюжетная задача каждой пары предшествовала числовой, а во второй числовая—сюжетной.

Третья группа решала сюжетную задачу определенной пары, затем числовую какой-либо другой пары и еще несколько различных задач, а потом снова числовую спаренную с первой сюжетной (например, 1 сюж., 2 числ., 3 сюж., 4 числ., 5 сюж., 1 числ.). Таким образом, здесь числовая задача решалась не непосредственно за спаренной с ней сюжетной, а через несколько задач других пар.

Четвертой группе вначале давалась числовая задача той или иной пары, затем сюжетная какой-либо другой пары и только спустя несколько задач снова сюжетная спаренная с указанной числовой. Следовательно, здесь, как и в третьей группе, пары задач разбивались.

Таким образом, первая и третья группы решали вначале сюжетную задачу, а затем числовую, а вторая и четвертая раньше числовую, а потом сюжетную, но первая и вторая группы решали задачи парами, а для третьей и четвертой групп пары задач разбивались.

Для того, чтобы уравновесить условия, мы всем испытуемым давали одни и те же задачи.

Чтобы исключить влияние положений, т. е. влияние решения предыдущих пар задач на последующие, мы давали пары задач в различной последовательности для каждой испытуемой. Например:

1 2 3 4 5 — для первой испытуемой

2 1 4 5 3 —для второй испытуемой

3 5 12 4 — для третьей испытуемой

4 3 5 1 2 —для четвертой испытуемой

5 4 2 3 1 — для пятой испытуемой

1 3 2 5 4 —для шестой испытуемой

Эксперимент проводился в течение 21/* месяцев (со второй половины марта до конца мая месяца 1950 года). Занятия мы проводили через день между 9 и 13 часами утра (до занятий в школе). Длительность каждого занятия была от 45 до 60 минут.

Задачи предлагались всем испытуемым в письменном виде на отдельных листах бумаги. Эксперимент проводился с каждой испытуемой по отдельности.

Решение каждой задачи доводилось до конца. Если испытуемая не могла решить задачу самостоятельно, то ей помогал экспериментатор. В одних случаях эта помощь заключалась в наводящем вопросе, в других—в напоминании типа задачи или конкретной задачи с такой же математической структурой, в третьих—в обстоятельном объяснении условий задачи или решении ее, а иногда того и другого.

Перед экспериментом испытуемым давалась такая инструкция: решать задачу самостоятельно, рассуждать вслух (говорить все, что приходит в голову во время чтения задачи и в процессе решении ее); при решении задачи надо рассуждать не так подробно, как этого требует учительница при ответе у доски, а так, как обычно рассуждают про себя при выполнении домашнего задания по арифметике; не торопиться и не

тратить зря времени. Всю работу (черновую и чистовую) выполняйте на «этом» листе бумаги.

Для того, чтобы лучше уяснить процесс, протекающий в голове испытуемого, экспериментатор задавал в соответствующие моменты те или иные вопросы. Например: «решала ты уже такие задачи?» «Что это за задача?» «Какого это тина задача?» и т. п. Если испытуемая отвечала, что она уже такие задачи решала, ее спрашивали—когда она их решала и с кем (с экспериментатором или с учителем школы). Эти вопросы задавались в различное время в зависимости от того, как решалась задача. Если испытуемая, прочитав задачу, не приступала немедленно к решению ее, вопрос ставился сразу же после прочтения задачи. Когда решение следовало немедленно за чтением задачи, вопросы задавались во время пауз (если они были) или после окончания решения. Если исыптуемая говорила о сходстве или называла тип в конце решения, ее спрашивали, когда она установила сходство или тип, в процессе его или после окончания решения.

Для того, чтобы установить как испытуемая установила сходство задачи со спаренной с ней или типовые особенности задачи, ее спрашивали, что она вспомнила, прочитав задачу (или в процессе чтения) и насколько подробно она может рассказать о том, что она вспомнила. Если испытуемая называла тип или конкретную задачу нужного нам типа, мы спрашивали может ли испытуемая рассказать нам типовой прием решения этого типа задач, не оперируя величинами, указанными в данной задаче или (когда речь шла о сходстве) указать на черты сходства сравниваемых задач или охарактеризовать (перечислить) типовые особенности! этих задач. В ряде случаев мы просили испытуемых рассказать как они будут решать эту задачу, не глядя на ее условие.

ГЛАВА II

Процессы решения сюжетных и числовых задач

При анализе наших материалов мы опирались на действия, выполненные испытуемыми, и высказывания испытуемых, а также на сопоставление этих действий и высказываний с условием решаемой задачи. Приводим основные результаты анализа.

I.

1. Наши испытуемые успешнее решали сюжетные задачи, чем числовые. Так, независимо от математической структуры задачи и условий работы экспериментальных групп ими было

самостоятельно решено 72°/о сюжетных задач и только 56% числовых.

2. Решив самостоятельно сюжетную задачу, ученицы не всегда могли решить спаренную с ней числовую. В среднем числовых задач после решения сюжетных с той же математической структурой было решено 58°/о.

3. Числовые задачи решались успешнее тогда, когда они следовали непосредственно за спаренными с ними сюжетными, чем в тех случаях, когда они давались после задач с другой математической структурой, Так, в первом случае было решено 63,3°/о числовых задач, а во втором только 48%.

4. Сюжетные задачи после решения спаренных с ними числовых (даже если оно совершалось со значительной помощью экспериментатора) наши испытуемые решали самостоятельно во всех 100°/о случаев, когда они следовали непосредственно за числовыми с той же математической структурой.

5. Если сюжетная задача подавалась не сразу за спаренной с ней числовой (т. е. если сюжетной задаче непосредственно предшествовала задача с другой математической структурой), то ее решали только в 75% случаев.

6. Из данных, приведенных в двух предыдущих пунктах видно, что как сюжетная, так и числовая задачи успешнее решаются тогда, когда они даются непосредственно за спаренными с ними, чем после задач с другой математической структурой.

7. Сравнение общих данных по парам задач показывает, что 1) наименьшее расхождение между количеством решенных сюжетных и числовых задач наблюдается по IV-ой паре (из 20 задач не решили одну сюжетную и 3 числовых); 2) в тех случаях, где больше решено сюжетных задач, успешнее решались и числовые.

2.

Далее мы будем говорить о подведении задачи под тип. О подведении задачи под тип мы судили по названию типа испытуемыми, а также по прямому или косвенному указанию их на тип задач.

1. Сюжетные задачи подводятся под тип гораздо легче числовых. Всего было верно подведено под тип 81°/о сюжетных задач и 59°/о числовых.

2. Сюжетные задачи подводятся под тип успешнее тогда, когда они решаются после спаренных с ними числовых, чем тогда, когда они идут до числовых. Наши испытуемые, решавшие сожетные задачи после числовых, подвели под тип

(2-ая группа), и 85°Ч (4-ая группа), всего количества задач, а когда эти же задачи шли перед числовыми—то их было подведено под тип 66,6°/о— 1-ой группой и 80%—3-ей группой.

3. Предварительное решение сюжетной задачи оказывает положительное влияние на подведение под тип числовой только при решении задач парами (т. е. когда числовая задача дается непосредственно за сюжетной с такой же математической структурой) и то незначительное. Например, 1-ая группа испытуемых, которая решала числовые задачи после сюжетных, подвела под тип 60% числовых задач, а II-ая, решавшая числовые задачи до сюжетных—56°/».

4. Наименьшее расхождение в подведении под тип сюжетных и числовых задач наблюдалось по IV-ой паре, наши испытуемые верно подвели под тип 19 сюжетных задач этой пары и 18 числовых.

3.

1. Сравнение результатов данных по успешности решения и подведения под тип сюжетных и числовых задач показывает, что решение и подведение под тип обусловлены одними и теми же причинами (видами задач, парами и порядком подачи их). Иначе говоря, существует определенная зависимость между успешностью решения и подведения под тип.

2. Подведение задачи под тип либо предшествовало решению, либо сливалось с ним. Следовательно, успешность решения обуславливается подведением задачи под тип. В нашем эксперименте верное подведение задачи под тип приводило к правильному решению ее в 123 случаях из 200. В 55 случаях отсутствовало и верное подведение под тип и верное решение. Только в 17 случаях верное подведение под тип не дало верного решения; но это относится к усложненным задачам, решение которых требовало гибкого применения типового приема. В 5 случаях задачи были верно решены без явного подведения под тип; но есть основание предполагать, что и в этих случаях было подведение под тип, не неотчетливое.

3. Верное подведение под тип той или иной задачи обеспечивало решение ее в силу того, что типовые особенности условия задачи, выделяемые испытуемыми при подведении этой задачи под тип, были связаны у испытуемых с типовым приемом решения.

4. В преобладающем большинстве случаев после верного подведения под тип числовая задача решается так же, как и сюжетная. Только в отдельных случаях решая числовую задачу испытуемые затруднялись поставить вопросы (решение без вопросов осуществлялось верно).

Следовательно, причину различия в успешности решения сюжетных и числовых задач надо искать не в самом процессе решения, а в процессе подведения под тип.

4.

5. Подведение под тип есть не что иное как актуализация временной связи, первым членом которой является то или иное сознавание типовых особенностей условия задачи, а вторым членом—или название типа, или мысль о типовом приеме решения.

6. Надо различать две разные совокупности признаков, которые мысленно выделяются при подведении условия задачи под тип. В первую совокупность входят только взаимоотношения между числами (в том числе и искомыми), о которых идет речь в задаче. Мы обозначили эти взаимоотношения буквой А. Во вторую совокупность кроме А входит и пространственная локализация каких либо предметов, о которых идет речь в условиях задач. Эту пространственную локализацию предметов мы обозначили буквой а. При этом нередко (А + а) образуют такое единство в котором А, как нечто особое не выделяется.

А содержится в условиях числовых задач и сюжетных. (А + а ) содержится только в условиях сюжетных задач.

7. У некоторых испытуемых была временная связь между А и названием типа и они умели выделить А в условиях как числовой, так и сюжетной задачи. Такие испытуемые одинаково хорошо подводили под тип и числовую и сюжетную задачу той же пары. У других испытуемых была лишь временная связь между (А + а) и названием типа. Такие испытуемые подводили под тип сюжетную задачу и затруднялись подвести под тип числовую задачу той же пары.

8. Более успешное решение сюжетных задач после числовых в сравнении с решением числовых задач после сюжетных объясняется опять таки тем, что у некоторых испытуемых была лишь временная связь (А +а ) с названием типа и не было временной связи А с названием типа.

9. В процессе обучения решению типовых задач необходимо: а) решать не только сюжетные задачи, но и числовые, б) простые и усложненные, в) особое внимание нужно уделить последовательности сюжетных и числовых задач.

ГЛАВА III

Различные типы процессов решения

Нами было обнаружено б типов подхода к задаче или 6 типов процессов решения.

A, Первый тип процессов решения обладает следующими особенностями:

1. Испытуемые воспринимали задачу как совершенно незнакомую или малознакомую (т. е. она вызвала у испытуемых неясное чувство знакомости).

2. Самостоятельно испытуемые не подводили задачу под тип.

3. Наименование типа испытуемые не называли.

4. Решить задачу испытуемые не могли. Если же были попытки решения, то последнее совершалось путем проб (испытуемые манипулировали случайными арифметическими действиями) .

5. Испытуемые не могли решить задачу и тогда, когда экспериментатор называл тип и указывал его особенности.

Б. Второй тип процессов решения характеризуется такими чертами:

1. Самостоятельное подведение задачи под тип отсутствует.

2. Испытуемые самостоятельно решить задачу не могут.

3. Но когда экспериментатор называет тип—сразу применяют типовой прием решения, соответствующий названному экспериментатором типу.

4. Следовательно, здесь уже имеется временная связь, первым членом которой является наименование типа, а вторым определенная совокупность арифметических действий, составляющих типовой прием решения.

5. Первый член связи (название типа) при чтении задачи не возникает, его должен вызвать экспериментатор. Отсюда следует, что у этих испытуемых наименование типа еще не связано с особенностями условия.

6. Верное решение задачи после наименования ее типа экспериментатором показывает, что испытуемая уже усвоила типовой прием или определенную совокупность действий и последовательность их.

7. Но понятие о типовых особенностях данного типа отсутствует. Если бы оно имелось у испытуемых, они или смогли бы подвести задачу под тип, или, по крайней мере, учесть ее характерные особенности.

B. Третий тип процессов решения характеризуется следующими особенностями:

1. Задача воспринимается как хорошо знакомая.

2. Читая задачу, испытуемая видит в ней лишь те особенности, которые являются общими для двух сходных типов.

3. Эти общие особенности связаны у испытуемой с названиями обоих типов. При чтении задачи у испытуемой может возникнуть любое из этих названий, так как первый член связи расширен.

4. Решение задачи вполне соответствует названию независимо от того, верным или ошибочным является это название. То есть существует временная связь между названием типа и типовым приемом решения.

5. Эти временные связи актулизируются сразу после восприятия задачи, но в одних случаях (когда задача верно подводится под тип) это дает верное решение, а в других (при ошибочном подведении под тип)—неверное.

6. Актуализация связи с расширенным первым членом, приводящая к ошибочному решению, сразу после указания экспериментатора на ошибку, заменяется верной.

7. Но даже после верного подведения задачи под тип (вернее после верного наименования типа) понятие о типовых особенностях задачи остается родовым (охватывающим два типа), т. е. испытуемые после верного наименования типа задачи и решения ее не могут выделить специфических черт каждого из двух смешиваемых типов.

Г. Четвертый тип процессов решения обладает такими особенностями:

1. Испытуемые воспринимали задачу как хорошо знакомую.

2. Знали наименования двух (или более) типов задач и сами называли тип задачи. Но иногда называли ошибочно.

3. Выполняли решение, соответствующее названному типу. Следовательно у испытуемых была связь между наименованием типа и приемом решения.

4. Испытуемые имели понятие о типовых особенностях задач на части и понятие о типовых особенностях задач на сумму и разность, но при первом чтении условия задачи испытуемая еще не может выделить этих особенностей.

5. У испытуемой есть связь между типовыми особенностями двух типов задач и двумя названиями. Но эта связь не обладает определенностью. Задачу любого (из двух) типа испытуемый может назвать любым (из двух) названий.

6. Поэтому актуализация имеющихся связей в одних случаях приводит к ошибочному решению, в других к верному.

7. Актуализация связи, приводящая к ошибочному решению, после обращения внимания на ошибку (экспериментато-

ром или самой испытуемой), заменяется актуализацией верной связи.

8. После осознания ошибки, типовые особенности условия задачи осознаются отчетливо. Первый член связи сужается и становится действенным только для одного типа задач. Теперь уже выделяются не только общие, но и специфические черты того или иного типа.

Д. Пятый тип процессов решения

Для этого уровня характерны такие свойства.

1. Задача воспринимается как хорошо знакомая и похожая на задачи такого же типа.

2. Подведение под тип совершается быстро, уверенно и правильно. Если требуется, указываются типовые черты.

3. Наименование типа испытуемые знают, но не всегда называют его. Чаще после прочтения задачи сразу приступают к решению.

4. Знают типовой прием или всю совокупность действий (и их последовательность), необходимую для верного решения задачи, но применяют один (ранее усвоенный) шаблон решения к задачам типа «на части» независимо от специфики условия задачи. Поэтому задачи с усложненным условием решаются с ошибками.

5. Между осознанием типовых особенностей задачи, наименованием типа ее и совокупностью действий, направленных на решение задачи установились временные связи. Но эти связи не обладают гибкостю, необходимой для решения усложненных задач.

6. Достаточно указать испытуемой на ошибку, как она немедленно делает необходимое умозаключение и верно решает задачу путем актуализации связей.

Е. Шестой тип процессов решения можно характеризовать следующими особенностями:

1. Задача воспринимается как очень хорошо знакомая.

2. Подведение под тип совершается немедленно (еще в процессе чтения условия).

3. Наименование типа испытуемые знают, но называют тип в одних случаях во время чтения условия, в других в процессе решения задачи, в третьих после окончания решений. Одни испытуемые называют тип сами, другие по просьбе экспериментатора.

4. Решение задачи выполняется моментально без задержки и рассуждений. Проговаривание вопросов задачи совпадает с решением их.

5. У испытуемых этой группы образовались временные связи двух видов: у одних осознание особенностей условия.

связалось с названием типа, а последнее с действиями, направленными на решение задачи, у других же осознание особенностей условия находится в непосредственной связи с совокупностью действий, необходимых для успешного решения задачи. Причем у некоторых испытуемых наименование типа было связано с решением (решив задачу, они называли тип ее), а у отдельных испытуемых (наиболее успешно решивших задачу) наименование типа как-то выпадало, они называли тип только по просьбе экспериментатора. Таким образом, наименование типа, которое являлось необходимой опорой в решении на низших уровнях, потеряло свою значимость на наиболее высоком уровне.

6. Образовавшиеся временные связи являются достаточно гибкими и актуализация их приводит к верному решению как простых, так и усложненных задач.

ВЫВОДЫ:

1. Обнаруженные нами типы процессов решения представляют собой ступени перехода от неумения решать задачи к умению или путь усвоения понятия о каком-то типе задач.

2. В процессе овладения понятием о типе вначале усваивается типовой прием решения, а затем наименование типа и в последнюю очередь типовые особенности условия задачи определенного типа.

3. В процессе усвоения этих компонентов понятия между ними образуются временные связи. Вначале с наименованием типа связывается определенная совокупность действий, направленных на решение задачи. Затем образуется связь между особенностями условия задачи и наименованием типа, а также между особенностями типа и типовым приемом решения.

4. При решении сюжетных задач преобладали случаи более высокого уровня подхода к задаче, чем при решении числовых. Так VI-ой тип процессов решения был обнаружен в 71 случае, при решении сюжетных задач и только в 51 случае при решении числовых, а 1-ый тип процессов решения — в 5 случаях при решении сюжетных задач и в 13 при решении числовых. Следовательно числовой характер условия задачи снижает тип процессов решения.

5. Решение более простых задач давало больше случаев более высокого уровня подхода к задаче, а решение усложненных задач—больше случаев низших уровней. Так, при решении задач IV-ой пары обнаружено 90% случаев VI-го уровня, II-ой—72%, I-ой—%. При решении же задач III-ей пары VI-ой

уровень был обнаружен только в 35% случаев. В 35% случаев здесь был обнаружен V-ый уровень подхода и в 27,5% 1-ый.

6. Наши испытуемые неодинаково подходили к задачам с различной математической структурой и формой условия (сюжетной или числовой)- Испытуемая, давшая высший тип процесса решения на задачах одной или нескольких пар, могла дать низший тип решения на других парах задач. Решив очень успешно задачи одних типов, испытуемые могли не решить задачи других типов. Усвоив полностью понятие об одном или нескольких типах, испытуемые могли обнаружить усвоение только некоторых компонентов понятия о другом типе и полное отсутствие понятия о третьем типе. Отсюда вытекает необходимость специального формирования у учащихся понятия о каждом типе задач в отдельности.

7. Формируя понятие о типе, нужно добиваться, чтобы у учащихся сразу возникла связь между типовыми особенностями условия задачи и типовым приемом решения ее.

Характеризуя типы процессов решения мы показали, что понятие о типовых особенностях условия связывается с наименованием типа и с типовым приемом решения. Возникшее единство этих трех моментов мы назвали понятием о типе задачи. Наличие у учащихся такого понятия о типе обеспечивает успешное решение задачи в подавляющем большинстве случаев.

Обладание же понятием о типовых особенностях является гарантией решения задачи только тогда, когда оно связано с типовым приемом решения. Если такой связи нет, то это понятие является недейственным, стало быть и говорить о нем нет никакого смысла.