МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ УССР

КИЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени А.М.ГОРЬКОГО

На правах рукописи

А.П.ВОЙЦЕХОВСКИЙ

СИСТЕМА ИЗУЧЕНИЯ УЗЛОВЫХ ВОПРОСОВ ПРОПЕДЕВТИЧЕСКОГО КУРСА АНАЛИЗА В ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЕ

/по специальности №732-методика преподавания математики/

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Киев-1968

Работа выполнена на кафедре математики Винницкого государственного педагогического института им.К.Островского.

Научный руководитель- профессор Н.А.ЧАЙКОВСКИЙ.

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, профессор З.Я.СКОРОБОГАТЬКО

Кандидат педагогических наук, доцент З.И.СЛЕПКАНЬ

Высшее учебное заведение, дающее отзыв о диссертации-Ивано-Франковский государственный педагогический институт, кафедра математики.

Автореферат разослан 1969г.

Защита диссертации состоится 196 г.

на заседании Ученого Совета Киевского государственного педагогического института им.А.М.Горького/Киеа-30, Бульвар Шевченко 22, 24/.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Ученый секретарь совета

Повышение качества преподавания математики является одной на наиболее важных задач советской школы.Эта задача приобретает особое значение в свете последнего постановления Центрального Комитета КПСС и Совета Министров СССР "О мерах дальнейшего улучшения работы средней общеобразовательной школы" /ноябрь 1966г./, обязывающего повысить уровень учебной и воспитательной работы общеобразовательной школы, привести их в соответствие с возросшими требованиями жизни.

Известно, что повышение качества преподавания математики в школе в значительной степени должно осуществляться при помощи недавно введенных в программу начальных сведений из математического анализа. Однако, как показал опыт, преподавание начал анализа в рамках действующей программы и при помощи существующих пособий еще не обеспечивает надлежащего понимания учащимися основных идей и методов анализа, поэтому актуальными вопросами современной методики являются вопросы дальнейшего усовершенствования методики преподавания этого важного раздела.

Вопросам, которые связаны с преподаванием элементов математического анализа в средней школе, посвящено уже несколько диссертаций. Подробно освещены вопросы истории введения элементов высшей математики в курс средней школы и дан обзор учебно-методической литературы по этим вопросам. Обоснована необходимость введения элементов математического анализа в курс современной средней школы.Сделаны первые попытки разработки методических приемов преподавания начал анализа в школе. В частности, обстоятельно разработаны некоторые вопросы о функции, вопросы методики преподавания пределов/для переменной с непрерывным изменением/, методика введения производной, методика доказательства некоторых теорем о производных, методика геометрической трактовки применений производной к исследованию функций, методика введения интеграла как предела интегральных сумм и некоторые частные вопросы.

Однако немало еще. важных вопросов методики преподавания начал анализа, касающихся, главным образом, усовершенствования содержания и разработки наиболее целесообразной системы изложения, остаются нерешенными, тем более в свете новой программы

/1968г/, явно ориентирующей на разработку именно этих методических проблем.Еще слабо разработана методика использования приобретенных учащимися знании по анализу при изучении смежных дисциплин и во внеклассной работе.Не разработана методика использования простейших понятий к обозначений математической логики и теории множеств при изложении начал анализа, предусмотренных новой программой.

Данная диссертация посвящена разработке системы изучения узловых вопросов пропедевтического курса математического анализа в общеобразовательной школе.

В ней делается попытка разрешить такие задачи:

1.Уточнить объем и усовершенствовать содержание пропедевтического курса математического анализа для современной советской общеобразовательной средней школы,

2.Разработать целесообразную систему изучения его узловых вопросовгфункции.предела.производной и интеграле.

3.Предложить систему упражнений, необходимую для основательного усвоения учащимися основных идей и методов анализа.

4.На основе экспериментальной проверки дать научно обоснованные рекомендации к изложению наиболее важных его вопросов .

3 основу работы положено изучение литературы по методике преподавания математического анализа в школе и вузе, изучение опыта преподавания элементов анализа в школах, а также многолетний опыт автора в преподавании математического анализа в высшей и средней школе.

Диссертация состоит иэ введения и пяти глав.

Во введении дано обоснование необходимости изучения данной темы, изложены задачи и методика исследования.

3 первой главе сделан обзор и анализ отечественной и некоторой зарубежной учебно-методической литературы по математическому анализу.Этот анализ показал, что содержание пропедевтического курса анализа для современной общеобразовательной школы и методика изложения его узловых вопросов еще надлежащим образом не разработаны.

Тот факт, что действующая программа вернулась к изучению пределов на базе последовательности, мы считаем положительным, ибо в IX классе геометрические и алгебраические приложения пределов требуют именно такого подхода. Кроме того, понятие предела последовательности допускает уже на этом этапе обучения строгое аналитическое оформление, в то время как этого нельзя

сказать о понятии предела переменной с непрерывным изменением.

Но, как показал опыт, непосредственное изучение предела последовательности учениками IX класса вызывает у них большие трудности и мало эффективно.

Опыт отечественной средней школы/М.Г.Попруженко, К .Лебединцев , А .П.Киселев и др./ и высшей школы/М.П.Кравчук, Е.Я.Ремез, А.Я.Хинчин, Г.М.Фихтенгольц, И.Е.Шиманский и др./ показывает, что понятие бесконечно малой позволяет легче сделать первые шаги лицам, начинающим изучать математический анализ, и поэтому это понятие наиболее целесообразно положить в основу школьного учения о пределах.

Проф.Д.Д.Мордухай-Болтовской считал изучение бесконечно малых в школе абсолютно необходимым, если мы хотим, чтобы в элементарную математику вошли не формальные операции, а идеи высшей математики.

Мы также считаем, что пренебрегать понятием бесконечно малой не целесообразно, так как это понятие ценно в историческом аспекте, облегчает усвоение самого понятия продела последовательности , заметно упрощает доказательства основных теорем о пределах и технику отыскания пределов, наконец, такие важные понятия анализа как непрерывность, производная, дифференциал.интеграл также связаны с понятием бесконечно малой и в школе не стоит оставлять это совершенно без внимания.

Известно, что изучение уже производной требует ознакомления учащихся с понятием предела функции непрерывного аргумента, которое с методической точки зрения представляет собой одно из наиболее трудных для, усвоения математических понятий.

Цель изучения темы "Предел функции"-рассмотреть такое определение предела, которое кратчайшим и сравнительно доступным для учащихся путем позволило бы распространить на пределы функций все предложения, доказанные ранее для пределов последовательностей, и этим подготовить необходимую почву для введения производной.

Как известно, понятие предела функции можно определить по Коши и по Гейне. Какое из этих определений наиболее целесообразно приспособить к школьному преподаванию еще окончательно не -решено. Мы склонны думать, что для этой цели более подходит второе из этих определений.

Опыт отечественной школы и школ ряда зарубежных стран свидетельствует о целесообразности изучения в школе, с чувством меры, понятия непрерывности функции, которое, не будучи труднее понятия предела функции, содействует более глубокому пониманию

самого предела и заметно облегчает доказательства многих теорем .делая их наиболее естественными, краткими и общими.На это неоднократно указывал в своих методических статьях академик А.Н.Колмогоров.

Опыт русской дореволюционной школы и современный опыт школ некоторых зарубежных стран/а частности.Румынской Социалистической Республики и Франции/ подтверждают целесообразность того, чтобы в основу применений производной положить теорему Лагранжа.общеобразовательное и практическое значение которой чрезвычайно велико.В некоторой степени подобную мыс/ высказывали и некоторые наши современные математики и методисты, как например, профессора Я.С.Дубнов и Д.А.Райков.

Мы склонны думать, что задача методистов должна состоять не в стремлении обойти теорему Лагранжа.а в поисках приемлемой методики ее изложения.

Опыт отечественной школы показал, что при первоначальном ознакомлении учащихся с интегралом целесообразно ограничиться освещением его только с одной точки зрения.Но, по нашему мнению, проф.Д.А Райков правильно считает, что рассматривать в школе определенный интеграл как предел интегральных сумм педагогически нецелесообразно, так как при таком подходе, во-первых, используется более сложное понятие предела, чем то, которым пользовались до этого, а, во-вторых, такой подход фактически необходим только для доказательства интегрируемости того или другого класса функций, что, естественно, выходит за рамки школьной программы.Поэтому мы также склонны думать, что в школе достаточно ограничиться рассмотрением интеграла черев первообразную. Именно такая точка зрения отражена в новой программе .

Во второй главе мы пытаемся усовершенствовать систему изучения первооснов анализе в соответствии с данным этапом развития советской общеобразовательной средней школы.

В первом параграфе мы несколько углубляем и приводим в систему пройденный материал о функциях и этим самым готовим базу для исследования функций с помощью производной.Учитывая важность графических навыков при изучении начал анализа, рассматриваем применение простейших преобразований графиков известных функций к построению графиков функций.

Во втором параграфе мы разрабатываем систему изучения пределов в IX классе по следующей методической схеме:бесконечно малая последовательность-предел последовательности-основные теоремы о пределах последовательностей.

Такой подход к изучению пределов в школе мы предпочитаем по следующим соображениям.

Бесконечно малая последовательность является простейшим типом сходящейся последовательности и поэтому учащиеся усваивают это понятие легче, нежели непосредственно понятие предела последовательности.Кроме того, новая школьная программа явно указывает на необходимость рассмотрения этого понятия в школе.

При формировании понятия бесконечно малой существенную роль у нас играет простейшая бесконечно малая , призванная служить в сознании учащихся определенным эталоном этого понятия.Рассматривая более сложные бесконечно малые, как например X , JL 9 ^JL- , мы простым сравнением их/в общем случае-их модулей/ с эталоном убеждаем учеников в том, что и эти последовательности бесконечно малы.Наконец, рассмотрение основных свойств бесконечно малых и их связи с бесконечно большими позволит учащимся свободно обращаться со всеми необходимыми для школьного преподавания бесконечно малыми.

Понятие предела последовательности определяется при помощи бесконечно малой последовательности.Такое определение привлекает своей простотой и имеет ряд преимуществ.Во-первых, оперировать с равенствами легче, чем с неравенствами, да еще с абсолютными величинами/это важно, в частности, при доказательстве основных теорем о пределах, которые издавна входят з программу средней школы/.Во-вторых, свободное владение необходимыми бесконечно малыми позволяет избежать нелегкой на данном этапе отвлекающей работы по данному положительному числу <f отыскивать соответствующий номер N. В-третьих, такое определение понятия предела последовательности превращает его в эффективный рабочий инструмент для учащихся при решении ряда важных вопросов геометрии и алгебры.

Как показал опыт, такой подход к изучению пределов обеспечивает более основательное понимание учащимися учения о пределах последовательностей а целом и этим самым они будут лучше подготовлены к восприятию в дальней тем более сложного понятия предела функции.

Так как действующая программа по математике не предусматривает изучения теоремы о существовании предела у монотонной ограниченной последовательности, то мы показываем, как в доступной для учащихся форме целесообразно излагать важные геометрические вопросы о длине окружности и площади круга при

помощи леммы Гурьева.

Учитывая интересы учеников математических клаосов, мы, пользуясь десятичной записью действительного числа и понятием бесконечно малой, в доступной форме рассматриваем доказательство теоремы о существовании предела у монотонной ограниченной последовательности.которую обычно используют для доказательства существования длины окружности и площади круга.Отметим , что в этом не будет нужды, если воспользоваться понятием иррационального числа по Е.Я.Ремезу.Методика такого изложения подробно разработана проф.К.Е.Шиманским.

В третьем параграфе мы делаем попытку разработать систему, изучения предела функции на основании предела последовательности:

*/è называют пределом функции /(л) при , если для любой последовательности значений аргумента ягл-* <х и Х^Фа соответствующая последовательность значений функции f(x*)-+<&.

Это определение мы предпочитаем по следующим соображениям:

а/ оно корректно в научном отношении;

б/ сравнительно легче как для запоминания, так и для усвоении/так как не требует введения нового понятия окрестности точки, установления связи между окрестностью и неравенствами, , свободного владения неравенствами о модулями/;

в/ сравнительно легче для восприятия и с точки зрения анализа мышления учащегося, так как строится на основании закрепления и дальнейшего развития теории пределов для последовательностей, которая уже изучалась учениками;

г/ легко иллюстрируется графически/ученики наглядно представляют выделенные последовательности значений аргумента и соответствующие последовательности значений функции, а поэтому нетрудно воспринимается сам факт стремления функции к пределу;

д/ объединяет в себе как случаи, когда а* и -чиола, так и случаи, когда Cl и есть одним из символов

е/ более подходит в школьном преподавании не только для доказательства отсутствия предела, а и для фактического вычисления предела/так как для этой цели подключает всю теорию пределов для последовательностей/;

ж/ позволяет корректно кратчайшим и сравнительно доходчивым для учащихся путем распространить изученные ранее предложения о пределах последовательностей на пределы функций и

этим самым подготовить фундамент для введения производной.

Правда, в этом определении трудным для понимания местом является идея "любой последовательности •2Г*-»-а"|но и в определении предела функции через .f - £ фактически фигурирует одна произвольная окрестностью другая "найдется некоторая", что с логической стороны является более сложным.

Проведенный нами сравнительный метод экспериментального последования также подтвердил наше мнение.

Предел отношения синуса бесконечно малого аргумента к аргументу устанавливается с использованием геометрического принципа:хорда короче дуги, а дуга короче объемлющей ломаной. Это подводит учащихся к пониманию геометрического смысла результата: отношение длины хорды к длине дуги стремится к единице при стягивании дуги в точку.CdMO доказательство упрощается и за счет того, что предел tùncosjc - d устанавливается с использованием неравенства * -/s&lxJ4 cosjc , равносильного геометрическому утверждению:сторона треугольника больше разности двух других его сторон.Наконец, использование теоремы о пределе промежуточной функции избавляет нас от формальных длинных рассуждений, делая доказательство кратким и доходчивым.

Хотя современная программа не предусматривает ознакомления с. понятием асимптоты кривой, мы все же считаем целесообразными чувством меры, познакомить учащихся с понятием горизонтальной и вертикальной асимптоты.Эти понятия при корректном изложении обойти нельзя/ведь упомянутые асимптоты имеют графики функций jC~n9 а*, &Ут* . fa*> càf*> a*cépjc, a*ccfyc/. Рассмотрение их проиллюстрирует еще одно существенное применение предела к изучению поведения функции вблизи тех точек, где она неопределена, и при достаточно больших по модулю значениях аргумента.Наконец, доступность этих понятий, как показывает. на;ч эксперимент, не вызывает сомнений.

Понятие непрерывности функции рассматривается как через бесконечно малые приращения, так и в предельной форме.Для более осмысленного понимания этого важного понятия мы частично касаемся его противоположности, т.е.разрыва непрерывности, и простейшим путем показываем, что при известном ограничении рациональные операции над непрерывными функциями приводят снова к непрерывным функциям.

Наконец, пытаемся доходчиво рассмотреть понятие сложной функции и выяснить ее непрерывность, касаемся понятия элементарной функции и обращаем внимание на то, что каждая элемента^-

ная функция непрерывна в своей области определения.

В третьей главе делается попытка усовершенствовать -методику изучения учения о производной и доступным для учащихся путем обосновать применения производной.В этом же разделе рассматривается ряд вопросов для внеклассной работы по математике , которые заметно обогащают ее содержание.

В первом параграфе сначала рассматривается ряд понятий из смежных наук.точный смысл которых раскрывается при помощи производной, Это помогает учащимся основательнее понять само понятие производной и представить его широкое практическое применение.

Чтобы помочь учащимся до конца понять суть задачи о касательной и упростить решение многих задач на касательную, имеющихся в школьном учебнике, в доступной форме выводится уравнение касательной к графику функции у~/(эс) в точке л» по значению производной в этой точке /л(Хь)\

Так как к этому времени ученики еще не знакомы с принципом математической индукции, то для обоснования формулы производной от степенной функции/с натуральным показателем/ используется формула суммы членов геометрической прогрессии.

далее пытаемся в доходчивой для учащихся форме рассмотреть правило дифференцирования сложной функции и иллюстрировать его важность не только с точки зрения знакомства с общим методом дифференцирования функций, но из точки зрения упрощения выводов ряда формул.

Во втором параграфе мы, чтобы свести к минимуму число недоказываемых предложений, лежащих в основе применений производной, в доступной для учащихся форме рассматриваем теорему Лагранжа.

Содержание этой теоремы доступно для учащихся, так как она допускает простое геометрическое и механическое истолкование. Общеобразовательное и практическое значение этой теоремы чрезвычайно велико, ибо она наиболее полно раскрывает мощность средств дифференциального исчисления при решении разнообразных математических задач и позволяет избежать ряда искусственных громоздких доказательств.

Суть предлагаемого доказательства теоремы Лагранжа состоит в следующем.Рассматривается простейшая вспомогательная функция

очевидно, имеющая экстремум во внутренней точке отрезка [c*, ù] /существование наибольшего и наименьшего значений у непрерывной на отрезке функции ранее постулируется/, и к ней применяется необходимый признак существования экстремума.

Далее теорема Лагранжа используется для нахождения интервалов постоянства, возрастания и убывания функции направления выпуклости кривой, доказательства теоремы о производной сложной функции, оценки точности приближенных вычислений, доказательства неравенств и существования нулей производной.

Исследование функция на экстремум проводится с помощью первой и второй производной.

Рассматривается вопрос об использовании производной в приближенных вычислениях.При этом из определения производной получаем приближенное равенство /foc+AX.)^:/(Х)+/'(х)дх и рассматриваем наиболее употребительные его частные случаи.

3 третьем параграфе выводятся формулы для объемов и поверхностей геометрических тел, устанавливается закон движения по заданному закону скорости, находится закон скорости по заданному закону ускорения и на конкретном прямолинейном движении отыскивается закон движения по заданному закону ускорения.Рассмотрение этих вопросов на нужном уровне стало возможным благодаря изучению непрерывности функции и теоремы Лагранжа.

Ценность учебных материалов этого параграф состоит в том, что ими может воспользоваться учитель уже теперь, когда в школе еще не изучают сведений об интеграле.

Четвертый параграф посвящен вопросам внеклассной работы.Сначала мы рассматриваем применение производной к вычислению конечных сумм одинаковых степеней натуральных чисел, образующих арифметическую прогрессию.

Идея метода, предложенного нами для вычисления сумм вида

состоит в следующем. Рассматривается функция

Отсюда

Диференцируя это тождестве к раз и полагая ac=a<? .получаем

где Ал (О) равно сумме (i) .

Конечно, существуют другие способы/и в том числе элементарные/ установления рекурентных формул типа (Z) .Однако этот метод, как нам кажется, представляет для школы несомненный интерес.

Наряду с интуитивным подходом к числу £ , рассматриваем кратчайшее, доступное и строгое обоснование существования этого числа.С этой целью рассматривается последовательность

Учитывая, что

и неравенство

заключаем, что

т.е. последовательность £<Хп} убывает.Ее ограниченность снизу очевидна.

Корректно вычисляются первые и вторые производные для логарифмической и показательной функций, тангенса, котангенса, , обратных тригонометрических функции и общей степенной функции /что важно для исследования на монотонность этих функций и установления выпуклости их графиков/.

Ряд важных неравенств, позволяющих с наперед заданной точностью вычислять значения синуса, косинуса и любых радикалов, доказываются совершенно элементарно использованием монотонности разностей функции и соответствующих многочленов, пред-

Неравенство (4^^Л>У^л^л^де^ непосредственно следует ив формулы суммы геометрической прогрессии -cZf-f+C'+t при ^/, если в правой части ф заменить на 1.

ставляющих на самом деле отрезки ряда Тейлора этих функций.

Рассматриваем простейшие дифференциальные уравнения/в том числе уравнения, предусмотренные новой программой/:

Решение их проводится лишь на основании полученных знаний о производной.Это позволит познакомить учащихся с интересными и важными приложениями анализа к геометрии, физике к технике.

Наконец, рассматриваются некоторые простые, но важные алгебраические применения анализа/доказательство существования действительного корня некоторых типов уравнении и приближенное вычисление его, выделение кратных корней алгебраического уравнений и установление числя действительных корней любого уравнения/.

Все это убедит учащихся в том, что они располагают весьма эффективным общим методом решения разнообразных математических задач.

В четвертой глазе мы ограничиваемся рассмотрением понятия интеграла как приращения первообразной на отрезке интегрирования и только с этой единственной точки зрения разрабатываем методику преподавания его важнейших приложений.

В первом параграфе на конкретном примере параболического сегмента мы знакомим учащихся с различными подходами к задаче о площади криволинейной трапеции.Рассматриваем понятие первообразной функции к неопределенного интеграла, некоторые простейшие формулы и свойства интегралов, интуитивно доказываем существование первообразной для непрерывной функции.Вводим вышеупомянутое определение интеграла и рассматриваем простейшие его свойства.

Во втором параграфе мы рассматриваем вычисление площадей плоских фигур, объемов геометрических тел, работы переменной силы, давления жидкости и массы стержня.При этом применения интеграла базируются на том, что площадь криволинейной трапеции , которая рассматривается как функция абсциссы крайней ординаты, есть первообразная этой ординаты.Объем тела-первообразная площади его поперечного сечения.Работа-первообразная силы, которая ее выполняет.Давление жидкости-первообразная произведения ширины вертикальной пластины на глубину ее погружения. Масса стержня-первообразная его плотности.

В пятой главе рассматривается организация и постановка эксперимента, а также выводы, к которым пришел автор в результа-

те эксперимента.

В первом параграфе выясняется цель и задача эксперимента, его содержание, методика проведения и результаты,

Во втором параграфе описывается личный опыт программированной проверки знаний учащихся по школьным темам анализа.

В третьем параграфе анализируются типичные ошибки и затруднения, которые естественно возникают при изучении начал анализа в общеобразовательной школе.

Опыт преподавания начал анализа в школе изучался нами в течение последних тринадцати лет.

По составленному автором плену в 1956-57 уч.году был проведен предварительный эксперимент в школе №25 г.Винницы. Автср лично проводил внеклассную работу по математике с целью обучения учащихся элементам дифференциального исчисления.

Следующий эксперимент проводился в 1959-60 уч.году, как автором, так и по его поручению многими учителями школ г. Винницы и области, с целью апробации написанного автором пособия по преподаванию элементов математического анализа.

Основной эксперимент проводился в 1965-66 учебном году, когда впервые начала анализа изучались во всех общеобразовательных школах нашей страны.Автор проводил уроки в X-XI классах Винницкой школы №3, а учителя математики этой школы систематически посещали эти уроки и затем обсуждали на заседаниях предметной комиссии.

Параллельно с автором, по его плану и под его руководством, аналогичные уроки проводили учителя той же школы и других школ.

3 течение 1965-66 уч.года автор руководил постоянно' действующим семинаром учителей математики школ г.Винницы, который был организован областным институтом усовершенствования квалификации учителей.На этом семинаре, в частности, обсуждались различные методические пути изложения наиболее важных вопросов анализа, которые затем апробировались учителями в своих школах и результаты этих апробаций обсуждались на очередном заседании семинара.Это позволяло отобрать наиболее совершенные методические схемы и побуждало нас к дальнейшей их разработке.

Мы стремились не столько обучить дифференцированию и интегрированию функций.сколько показать математический анализ в обучении, чтобы такие предметы как геометрия, алгебра, физика получили от него весомую пользу.Такой подход побуждает учащихся лучше прочувствовать необходимость мобилизации своих уси-

лий на усвоение его основных идей и методов.

В процессе проведения эксперимента одни методические положения пришлось уточнить.другие совсем отбросить.

В целом результаты эксперимента показали, что изучение узловых вопросов анализа по разработанной автором системе и методике оправдывает себя и что такое изучение может быть успешно реализовано в общеобразовательной школе.

Автор пришел также к выводу, что некоторое расширение программы начал анализа за счет установления связи между отдельными ее вопросами не ведет к перегрузке программы, а лишь приводит ее в надлежащий порядок и делает более содержательными ее разделы.Важно, что эту расширенную программу можно изучать уже в рамках отведенного действующей программой времени, если геометрические приложения производной изучать за счет часов предусмотренных на изучение в геометрии объемов, часть предложений рассматривать у виде задач, а часть-за счет сокращения времени, отведенного для проверки знаний учащихся/что вполне осуществимо с помощью программированной проверки знаний/.

Хотя объем, содержание, структура.глубина и методика изложения школьного пропедевтического курса анализа были предметом исследования автора еще задолго до появления новой программы по. математике для общеобразовательной школы, однако разработанная в диссертации система изучения узловых вопросов анализа в основном соответствует духу этой программы и, как нам кажется, содержит ряд конструктивных рекомендаций как относительно фактической реализации новой программы, так и ее дальнейшего усовершенствования.

По нашему мнению, предлагаемая методика изложения ряда вопросов будет полезной и для математических классов, школ физико-математического направления и для проведения факультативных занятий, узаконенных последним постановлением Партии и Правительства о дальнейшем развитии общеобразовательной школы.

Автор надеется, что выполненная им работа окажет определенную помощь учителям математики в борьбе за прочные осмысленные и действенные знания учащихся и этим самым поможет в осуществлении задач, поставленных перед школой историческими решениями XXIII съезда КПСС.

Материалы диссертации обсуждались на семинаре руководителей школьных методических объединений районов Винницкой области, на августовских и январских конференциях учителей/1965-

-1968/, на отчетных научных сессиях кафедр Винницкого пединститута , кя заседаниях математических кафедр этого же института,

Республиканской конференции по вопросам прораммированного обучения в школах и педагогических учебных заведениях/24-27 мая 1967г., г. Одесса/, на Республиканском научно-методическом семинаре /29 мая 1963г., г.Киев/.

Список опубликованных работ имеющих отношение к содержанию диссертации

1. Елементи математичного аналізу з загальноосвітній школі, Наукові записки Вінницького педінституту, т.15, 1958, 1-188.

2.Вступ до математичного аналізу/збірник задач і вправ с розв"язуваннями/, Вінницький педінститут, 1960, 1-55.

3. Математичний аналіз і теорія функцій, Методичний посібник для підготовки до державних екзаменів студентів-заочкиків фізико-математичних факультетів педагогічних інститутів, "Радянська школа", К., 1965, 1-68.

4.Посібник з математичного аналізу для педвузів, ж. "Радянська школа" , К. , 1967, № , 107-106/совм.с Б.Н.Белым, И.Я.Винером и П.Н.Глушковым/.

5.До методики викладання вузлових питань аналізу в загальноосвітній школі, Реслубліканський науково-методичний збїрник "Методика викладання математики", 4, "Радянська школа", К., 1968, 109-118.

6.Вступ до математичного аналізу, Посібник для студентів-заочників фізико-математичних факультетів педагогічних інститутів."Радянська школа", г., 1968, 1-92.

7.Об использовании дфференцирования к нахождению некоторых конечных сумм, ж."Математика в школе", К., 1968, №2, 34-87 /совм.с И.я.Винером/.

Находятся в. печати:

1.До методики викладання границь в IX класі, Республіканський науково-методичний збірник "Методика викладання математики" , 5, "Радянська школа", К..1969.

2.Математичний аналіз, ч.I, Контрольні роботи та методичні вказівки до їх виконання для студентів-заочників І і II курсів фізико-математичних факультетів педагогічних інститутів ."Радянська школа" , К. , 1969.

3.Математичний аналіз, ч. III, Контрольні роботи та методичні вказівки до їх виконання для студентів-заочників III-IV курсів фізико-математичних факультетів педагогічних інститутів, "Радянська школа", К., 1960/совм.с H.H.Глушковым/.

SC 01002 28» 12.68 1.усл.п.л. Зак. £об т. 150

Ротапринт Винницкого пединститута