МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ АРМЯНСКОЙ ССР

ЕРЕВАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

А. Н. ВОСКАНЯН

ОБУЧЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ЗАВИСИМОСТИ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации, представленной на соискание ученой степени кандидата педагогических наук по методике преподавания математики.

ЕРЕВАН

Ереванский государственный университет направляет Вам автореферат тов. А. Н. Восканяна на тему: «Обучение уравнений в средней школе с точки зрения функциональной зависимости», представленной на соискание ученой степени кандидата педагогических наук по методике преподавания математики.

Диссертация выполнена при Ереванском государственном Педагогическом институте им. X. Абовяна.

Защита диссертации назначена на « года.

Автореферат разослан « 19» /// 1966 года.

Ваш отзыв просим прислать по следующему адресу: г. Ереван—49, ул. Мравяна 1, Ереванский государственный университет.

Ученый секретарь совета ЕГУ

Г. М. МНАЦАКАНЯН.

Восемнадцатый век явился веком огромных достижений в развитии математических наук.

Вопросы, поставленные бурным развитием техники, были решены с исключительной интенсивностью. Движение это неразрывно связалось с математикой, и математика из науки постоянных величин превратилась в науку переменных величин.

По этой причине понятие функциональной связи в математике сделалось господствующим и дало возможность описать во всей полноте количественные изменения объективно изменяющегося мира в их естественном динамическом состоянии.

Это обстоятельство имело, безусловно, величайшее значение для развития всех наук вообще и глубоко повлияло также на преподавание математики, предъявив требование о перестройке школы в том смысле, чтобы приблизить ее к жизни.

Вскоре с особым энтузиазмом приступили к этой работе Феликс Клейн в Германии, во Франции Эмиль Борель, Шереметьевский в России, а в последующие годы пополнились ряды деятелей, работающих в этом направлении.

В России труды С. Н. Бернштейна, Д. М. Левитуса, К. Ф. Лебединцева сыграли значительную роль в укоренении понятия функциональной зависимости в преподавании математики, однако, к сожалению, это понятие не укрепилось. Жизнь выдвинула настоящий вопрос с новым размахом и в новом аспекте в последние десятилетия. У нас вопросами закрепления в школе понятия функциональной зависимости стали заниматься видные ученые, как А. Я. Хинчин, В. Л. Гончаров, А. И. Маркушевич и многие другие, благодаря стараниям которых, понятие функциональной зависимости

окончательно укоренилось в школьных программах по математике.

На первом этапе это движение имело целью обосновать действительную необходимость такого построения преподавания школьной математики, чтобы все ее темы сгруппировались вокруг понятия функциональной связи между величинами и были бы объяснены при ее помощи.

На втором этапе, который схватывает последующий период до наших дней, никто уже не возражает против такой перестройки образования. В данное время вопрос ставится о том, какими средствами и в каком объеме претворить в жизнь задачи, поставленные на первом этапе.

В этом направлении были написаны многочисленные статьи (см. список источников в конце диссертации), защищались диссертации, однако этот вопрос, на наш взгляд, до настоящего времени исчерпывающе не решен, более того, методически не проработан, и потому соответствующий учебник по теории к задачнику Ларичева пока не составлен. До сих пор в действующих программах упоминается отдельная тема «Функции и трафики» и др.

Наша диссертационная работа посвящена методическим вопросам обучения одному из важных разделов математики алгебраическим уравнениям и приводимым к ним трансцендентным уравнениям с точки зрения функциональной зависимости между величинами.

Настоящая работа зиждется на наших многолетних наблюдениях в процессе педагогической работы, а также на многолетнем опыте кафедры элементарной математики и методики ее преподавания при Ереванском государственном педагогическом институте им. X. Абовяна, на ряде опытов и исследований, проведенных кафедрой в ереванских средних школах.

На основании вышеуказанного мы пришли к убеждению, что преподавание темы «Алгебраические уравнения» большей частью выигрывает и осмысляется в том случае, если заранее изучаются функции того типа, при помощи которых выводятся эти уравнения.

В диссертации преподавание темы «Алгебраические уравнения» дается на фоне общей теории соответствующих

алгебраических (или трансцендентных) функций. Так например, вместо темы «Иррациональные уравнения» мы изучаем свойства иррациональных функций, а затем уже связанную с ними тему «Уравнения». Такой подход полностью сливает /в одно целое теоретические вопросы алгебраических уравнений и неравенств, полнее выявляя внутреннюю сущность и содержание этих тем.

Диссертация состоит из следующих глав и параграфов.

Глава I. Исторический обзор

§ 1. История алгебраических уравнений.

§ 2. Алгебраические уравнения в истории развития математической мысли в Армении.

§ 3. Учебники математики на армянском языке, в которых были отражены алгебраические уравнения.

§ 4. Труд Анания Ширакаци «О вопросе и решении».

Глава II. Преподавание алгебраических уравнений в средней школе

§ 1. Методические вопросы систематического обучения алгебраическим уравнениям.

§ 2. Методические вопросы преподавания темы «Уравнения первой степени с двумя неизвестными».

Глава III. Квадратные уравнения

§ 1. Преподавание темы «Квадратные уравнения».

§ 2. Решение квадратных уравнений с буквенными коэффициентами.

Глава IV. Иррациональные уравнения

§ 1. Методические вопросы преподавания темы «Иррациональные уравнения».

§ 2. Функциональные основы темы.

§ 3. Понятие об иррациональном уравнении.

§ 4. Алгебраические методы решения иррациональных уравнений.

§ 5. Другие вопросы решения иррациональных уравнений.

§ 6. Иррациональные уравнения, содержащие параметры.

§ 7. Решение иррациональных уравнений способом введения вспомогательного неизвестного.

§ 8. Уравнения, решение которых сводится к решению квадратного уравнения.

Глава V. Системы уравнений второй степени

§ 1. Вводная часть.

§ 2. Преподавание темы «Системы уравнений второй степени с двумя неизвестными».

§ 3. Системы уравнений, решающиеся особым способом.

§ 4. Системы, решение которых связано с отношениями между обратными выражениями.

§ 5. Системы уравнений, решающиеся при помощи производных отношений.

Глава VI. Вопросы преподавания алгебраических уравнений, связанных с трансцендентными уравнениями

§ 1. Построение показательной функции на множестве рациональных и вещественных чисел.

§ 2. Построение показательной функции на множестве вещественных чисел.

§ 3. Изучение показательных уравнений в курсе алгебры.

§ 4. Внедрение понятия логарифмической функции.

§ 5. Логарифмические уравнения.

Глава VII. Исследование уравнений

§ 1. Исследование уравнений первой степени с одним неизвестным.

§ 2. Исследование системы уравнений первой степени с двумя неизвестными.

§ 3. Исследование квадратных уравнений.

Глава VIII. Уравнения высшей степени

§ 1. Двухчленные уравнения.

§ 2. Трехчленные уравнения.

Глава I

КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР

В первой главе кратко изложена история уравнений от Диофанта (3-ий век нашей эры) до Франсуа Виета (16-ый век), Леонарда Эйлера (17-ый век) и Нильса Абеля (19-ый век).

Излагая историю уравнений, мы, в частности, остановились на работе видного армянского ученого-математика седьмого века Анания Ширакаци «О вопросе и решении» и на основе фактов и логических суждений пришли к тому выводу, что появление понятия об уравнениях в истории отечественной математической мысли можно считать не с девятого века, как это принято, а с седьмого века.

В этой же главе сделан также краткий обзор работ других армянских видных педагогов-математиков, как Григора Магистроса, Ованеса Саркавага, Никогаиоса Артавазда, позднее—Хачатура Сурмеляна, Саака Проняна, Сукиаса Агамалянца и других. В историческом обзоре мы особо подчеркнули роль конгрегации мхитаристов в истории развития математики в армянской действительности.

Затем изложено также реформистское движение в начале 20-го века, появившееся во Франции и Германии и быстро распространившееся в других странах Европы, в том числе и в России.

Целью этого движения было положить в основу школьных программ по математике понятие функций.

Эти идеи не укрепились в России. Свое надлежащее место они заняли в программах по математике только лишь после Великой Октябрьской социалистической революции.

В этом аспекте в диссертационной работе подвергнуты анализу все школьные программы по математике за 1917— 1953 годы.

Глава II

ПРЕПОДАВАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Вторая глава состоит из двух параграфов.

§ 1. Методические вопросы систематического преподавания алгебраических уравнений.

§ 2. Вопросы преподавания уравнений первой степени с двумя неизвестными.

В первом параграфе сделан обзор методической литературы и подробно изложены все трудности, связанные с преподаванием алгебраических уравнений и пути их преодоления, а также замена имеющейся в настоящее время традиционной системы преподавания уравнений преподаванием: с точки зрения функциональной зависимости.

Здесь уравнение рассматривается не как готовый, априорный процесс, а обсуждаются две функции:

у={(х) и у=?(х)

и рассматривается та их общая часть, при которой функция f(x) равна функции <р(х)

f(x) = ср(х).

При составлении алгебраических уравнений данного типа иногда появляется необходимость произвести тождественные преобразования с обеими частями уравнения (правой и левой), при которых могут появиться посторонние корни уравнения, или может иметь место потеря корней, и потому, естественно, необходимо учить детей равносильности и неравносильности уравнений и выделять те корни, которые удовлетворяют не только данному уравнению, но и той задаче, для которой составлено это уравнение.

В диссертационной работе подробно изложены методические вопросы преподавания равносильности уравнений, которые зиждутся на функциональном понятии величин.

Поскольку каждое новое понятие воспринимается полностью в своей противоположности, параллельно с уравне-

ниями первой степени в диссертационной работе обсуждаются и простейшие неравенства.

Во втором параграфе этой главы излагаются также методические вопросы преподавания темы «Уравнения первой степени с двумя неизвестными».

Изучение, проведенное в течение ряда лет при кафедре элементарной математики и методики Ереванского государственного педагогического института имени X. Абовяна, где велось научное руководство данной работой, показало, что преподавание этой темы имеет следующие недочеты:

а) правильно не используется учебник теории алгебры:

б) преподавание теоретического материала не зиждется на понятии функциональной зависимости между величинами.

Графический метод перестает быть основным методом изучения, становясь лишь дополнительным, иллюстративным методом;

в) передача понятия уравнений первой степени с двумя неизвестными не зиждется на обсуждении так называемых целевых задач;

г) учащиеся не усваивают графический метод, и в последующие годы у них не вырабатывается и не закрепляется сущность графического метода;

д) большая часть учащихся, в сущности, упражняется в нахождении решений данной системы, но не имеет ясного представления о том, что означает решить данную систему.

Выправлению указанных недочетов и подробной разработке преподавания уравнений первой степени с двумя и тремя неизвестными посвящен параграф 4 второй главы.

Опираясь на особенности функционального понятия, на первый план выдвинуты сравнительные способы решения уравнений и способы подстановки

Глава III

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

В настоящей главе исследуются вопросы, связанные с преподаванием темы «Квадратные уравнения».

Известно, что в школьных программах по математике вначале дается решение уравнений:

x2-fpx + q=0, ах2 + bx+c=0

и связанные с ними вопросы, а графические исследования функций второй степени—ib конце. При ведении преподавания в таком порядке перед учащимися фактически сущность этой темы ярко не выявляется и весь вопрос сводится к шаблонному применению выводов решения квадратного уравнения. Вследствие этого не выявляется целиком значение дискриминанта уравнения.

Тема «Трехчленная функция второй степени» заменяется темой «Квадратное уравнение», являющейся лишь одной из ее подтем. Графический метод изучения функций превращается в технической чертеж, охватывающий наименьшее содержание понятия.

В диссертации сделана попытка всесторонне разработать систему преподавания, при помощи которой возможно, без вреда во времени, изъять вышеупомянутые недочеты.

В данной главе изложены также все требования, предусмотренные программой по математике в средней школе: решение и исследование квадратных уравнений с буквенными коэффициентами, теорема Виета и ее применение, квадратный трехчлен и его исследования и др.

Другими словами, в основу обучения квадратному уравнению трехчлена у--^= ах2-f-Ьх + с ставятся все случаи исследования и из них выводятся соответствующие уравнения.

Глава IV

МЕТОДИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ ПРЕПОДАВАНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Прежде чем перейти к преподаванию иррациональных уравнений, выясняются функциональные основы темы. С этой целью изучаются функции:

отдельно, а затем совместно составляются их графики пр помощи соответствующих таблиц. Составление таких графиков представляет собой наглядный способ сравнительного исследования закономерностей изменения переменных величин, что имеет определенное образовательное и познавательное значение.

Иррациональное уравнение рассматривается как равенство двух функций, которые в одной и той же точке пересечения имеют одинаковое числовое значение.

Например:

Рис. № 1.

а если между функциями у = х^2 и v=|/ х даже априорно поставить знак равенства, то построив совместные графики, придем к убеждению, что они несовместны (т. е. прямая и кривая не пересекаются).

Рис. № 2.

Затем в диссертационной работе рассматриваются алгебраические способы решения иррациональных уравнений, иррациональные уравнения, содержащие параметры, искусственные способы решения иррациональных уравнений, системы типа

и вообще решение иррациональных уравнений, приводимых к квадратным.

Глава V

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ

В настоящей главе говорится о равенстве двух функций и о том, что из равенства двух функций, как всегда, выво-

дится соответствующее алгебраическое уравнение. Системы уравнений второй степени рассматриваются как взаимное пересечение соответствующих кривых (окружности, элипса, гиперболы, параболы) и прямых или только кривых.

В конце главы подобран для преподавания и усвоения систем учебный материал в соответствующем объеме.

Глава VI

ВОПРОСЫ ПРЕПОДАВАНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ, СВЯЗАННЫХ С ТРАНСЦЕНДЕНТНЫМИ ФУНКЦИЯМИ

Из курса элементарной математики известно, что тему «Показательные и логарифмические функции» учащиеся с трудом усваивают, в особенности, если показатель—иррациональное число. Поэтому необходимо дать представление об иррациональном показателе. В диссертации это делается при помощи последовательности, составленной из разности двух последовательностей. Последнее стремится к нулю. Это и означает, что они имеют общий предел, а этот общий предел рассматривается как степень

Показательная функция вначале строится на множестве рациональных чисел, а затем на множестве иррациональных.

Давая понятие о функции у=f(r) доказывается несколько необходимых теорем у=а'— непрерывна, у=аг —монотонна lim аг—+00, lim аг= 1 и т. д., которые выявляют сущность этой функции. При построении этой функции на множестве вещественных чисел дается понятие о функциях а % а ^ и функциях, составленных при помощи иных иррациональных показателей.

После такого тщательного изучения, ставится вопрос о равенстве двух показательных функций при помощи таблично-графического метода, чем и вводится понятие показательных уравнений.

После показательных уравнений, изучению подвергается логарифмическая функция, а затем и логарифмические

уравнения. Логарифмическая функция наблюдается как функция, противоположная показательной функции. Поэтому вначале рассматривается вопрос существования противоположной функции вообще, а затем, в частности, функция, противоположная у = ах, которая условно записывается x=logay.

В работе подробно излагаются свойства этой функции, и на основании этих свойств осуществляется переход к логарифмическим уравнениям.

Как в разделе показательных уравнений, так и в разделе логарифмических уравнений обсуждается целый ряд таких типичных упражнений, которые, безусловно, создают прочную основу для лучшего усвоения этого раздела алгебры.

Глава VII

ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИИ

Один из вопросов, представляющих трудность при изучении в средней школе (быть может, самый трудный), —это исследование уравнений и их систем. Здесь трудности обусловлены тремя серьезными причинами.

1) По существу вопрос методически как следует и исчерпывающе пока не разработан.

2) В этом направлении имеется немало различных мнений, которые, повторяя друг друга, ничего нового не говорят.

3) С точки зрения программы, не внесена ясность относительно того, в каком объеме должно проводиться исследование в школе.

Об этом свидетельствует целый ряд статей, появившихся в нашей периодической печати и посвященных разъяснению вопроса об исследовании уравнений.

Мы имеем в виду статьи ряда авторов, помещенные в первом номере журнала «Математика в школе» за 1952 г. и различные учебники и брошюры, перечисленные в диссертационной работе.

Часть этих авторов ничего особенно нового не говорит,

другие запутывают изложение вопроса до такой степени, что оно делается непонятным для учеников десятого класса.

Диссертант, выясняя образовательное и воспитательное значение исследования уравнений и их систем, на основе своего многолетнего опыта (около 35 лет), а также опыта целого ряда передовых учителей и кафедры элементарной математики и методики при Ереванском государственном педагогическом институте им. X. Абовяна, в своей диссертации подробно разработал вопрос о месте исследования уравнений, о его роли и объеме в средней школе, что полкостью отвечает на поставленные выше вопросы.

В диссертационной работе при помощи многочисленных конкретных примеров подвергнуто исследованию уравнение первой степени с одним неизвестным, уравнение первой степени с двумя неизвестными, квадратные уравнения и др.

Глава VIII

УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕЙ СТЕПЕНИ

Для того, чтобы методику преподавания уравнений и их систем сделать целостной, в восьмой главе рассмотрена методика преподавания уравнений высшей степени в средней школе, где в особенности отмечены способы и приемы преподавания двухчленных и трехчленных уравнений, которые предусмотрены действующей государственной программой по математике.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Преподавание математики с точки зрения функциональной зависимости имеет огромное познавательное и образовательное значение в деле развития материалистического мировоззрения учащихся, в частности, в твердом усвоении решения и применения уравнений. Для достижения этой цели необходимо внести некоторые изменения как в действующие программы по математике, так и в периодически издаваемые ежегодно учебники и задачники, что коренным об-

разом изменит характер преподавания этого важного раздела математики и явится стимулом его прочного усвоения.

По вопросам, выдвинутым в диссертации, автором были прочитаны лекции слушателям республиканского института усовершенствования учителей, а также на учительских семинарах и сборах, организованных кафедрой элементарной математики и методики Ереванского государственного педагогического института им. X. Абовяна.

Диссертация была издана отдельной книгой Армучпедгизом в 1959 г.

БФ 05256 Заказ 451 Тираж 200

Ереван, типография № 1, ул. Алавердяна, 65.