Московский Городской Педагогический Институт имени В. П. Потемкина

На правах рукописи

Г. В. ВОРОБЬЕВ

ФОРМИРОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ НА ОСНОВЕ ВОСПРИЯТИЙ И ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

(На учебном материале 6-х классов)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук (по психологии)

Москва-1954

I. Тема и задачи исследования

В свете современных задач советской школы о политехническом образовании, обучения учащихся применению знаний в практической жизни и воспитания у учащихся самостоятельного теоретического мышления вопрос о формировании математических понятий и, в частности, геометрических понятий, занимает важное место.

Понятия составляют основную часть научных знаний, в них резюмируются результаты познавательного процесса, всякий мыслительный процесс совершается в понятиях. Вопрос формирования геометрических понятий требует не только методического исследования, но также и исследования с точки зрения педагогической психологии, поскольку последняя изучает закономерности развития математического мышления учащихся в соответствии с их возрастными особенностями понимания пространственных отношений и, тем самым, дает научную основу методики преподавания геометрии.

Как указывается в объяснительной записке программ по математике, преподавание геометрии имеет целью систематическое изучение учащимися основных свойств фигур на плоскости и в пространстве, овладение системой научных понятий, развитие логического мышления и пространственного воображения и умения применять полученные знания к выполнению практических работ и задач. Однако, как показывают наблюдения на уроках в школе, беседы с учителями, изучение документальных материалов (в частности, опыта приемной экзаменационной комиссии МГПИ им. В. П. Потемкина), анализ контрольных работ,— знания учащихся часто носят формальный характер, практически они ими воспользоваться не могут.

В связи с этим встает вопрос об изучении психологических закономерностей формирования геометрических знаний, опираясь на которые возможно было бы создать условия для успешного овладения учащимися системой геометрических понятий.

В советской педагогической психологии проведен ряд весьма важных исследований процесса математического мышления учащихся (работы П. А. Шеварева, Н. А. Менчинской, В. И. Зыковой, Е. Н. Меллер, Н. Ф. Талызиной и др.) по различным учебным дисциплинам и разделам математики. Однако, многие

вопросы остаются еще не изученными. В частности, важный вопрос, который должен явиться предметом исследования, был поставлен Н. А. Менчинской в статье, посвященной обобщению целого ряда работ о психологии усвоения понятий1). Н. А. Менчинская выдвинула общую психолого-педагогическую проблему: установить, при каких условиях и как должны быть усвоены научные понятия для того, чтобы они могли эффективно применяться на практике.

Совещание по вопросам психологии в Москве в 1952 году так же указало на необходимость изучения мыслительных процессов учащихся в учебной деятельности и подчеркнуло важность „иследования формирования и развития познавательной деятельности на основе марксистско-ленинской теории отражения и в свете павловского учения об аналитико-синтетической деятельности коры головного мозга“2).

Мы полагаем, что тема настоящей диссертации—„Формирование геометрических понятий на основе восприятий и представлений“ (на учебном материале в б-х классах) является важным вопросом указанной выше проблемы. Исследование этого вопроса имело целью изучение самого процесса формирования понятий, начиная с его чувственной основы—восприятий и представлений. Вместе с тем, опираясь на закономерности образования систем условных связей, каковые лежат в основе образования понятий, ставилась задача определить материальные условия (наглядность в учебном процессе, методические приемы преподавания и пр.), при которых достигается действенное овладение учащимися основами геометрической науки.

Данная диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Введение посвящается обоснованию актуальности темы и определению задачи исследования. В 1-й главе излагаются вопросы марксистско-ленинского учения о понятии. 2-я глава содержит обоснование вопросов исследования в свете павловского учения об образовании условно-рефлекторных связей и работы 1-й и 2-й сигнальных систем. Из постановки проблемы с необходимостью вытекают как методика действенного формирования геометрических понятий в обучающем эксперименте, так и методика проверки его путем сравнения экспериментального класса с контрольными. В 3-й главе излагаются: 1) результаты предварительных наблюдений и экспериментов, давших материал для постановки проблемы и 2) методика и изложение проведения самого процесса экспериментального обучения. Параллельно дается психологический анализ данных наблюдения на уроках в экспериментальном и контрольных классах. 4-я глава содержит данные сравнения и анализа письменных работ учащихся экспериментального и контрольных классов, проведенных

1) См. Известия АПН РСФСР, 1950, № 28.

2) Известия АПН РСФСР, 1953, № 45 стр. 279.

после экспериментального обучения. В заключении подводятся итоги данного исследования.

II. Методологические основы проблемы

Поскольку предметом психологического исследования является познавательный процесс, а именно процесс формирования понятий, относящийся к теории познания, возникла необходимость изучить взгляды классиков марксизма-ленинизма на особенности, специфические черты понятия как особой формы отражения. На основе этого изучения мы предлагаем следующее определение термина „понятия“. Понятие есть опосредованная форма обобщенного отражения в мозгу человека сущности предмета, проявляющаяся в языковой природной материи слове. Под сущностью предмета мы понимаем систему необходимых и достаточных существенных признаков предмета—таких признаков, которые позволяют человеку практически овладевать предметом.

Опираясь на данное определение термина .понятие“ мы кладем в основу диссертации следующие положения марксистско-ленинской теории познания:

1. Процесс познания, процесс формирования понятий начинается с „живого созерцания“1), понимая под последним отражение человеком объективной действительности в условиях практического отношения к предметной и общественной среде.

2. Процесс познания, не останавливаясь на чувственной ступени, но опираясь на нее, идет к более глубокому и полному познанию действительности, познанию сущности предметов посредством абстракции и обобщения, в результате чего предметы действительности отражаются в нашем мозгу опосредованно в форме понятий.

3. Диалектический материализм рассматривает практику как материальную основу процесса познания —и живого созерцания и абстрактного мышления и конкретной проверки применимости научных понятий в человеческой деятельности. Вместе с тем, применение научных понятий на практике является для каждого отдельного человека проверкой действенности его знаний, показателем его способности правильно разбираться в объективных связях между предметами и явлениями в соответствии с конкретными условиями поставленной задачи.

4. Определения научных понятий раскрывают содержание понятий, в сжатой форме передают самое основное. Определение понятия вскрывает диалектическое единство отдельного, особенного и общего.

1) Ленин В. И. „Философские тетради“ 1947, стр. 146.

III. Постановка проблемы в свете учения И. П. Павлова о закономерностях образования условных связей

Источником, приведшим к постановке проблемы, явились данные предварительных наблюдений на уроках и предварительных экспериментов, проведенных в 5, 6, 8 и 9 классах 103 и 114 мужских школ.

Рассматривая формирование понятий как образование системы ассоциаций, И. П. Павлов указывал на их значение как постоянного критерия жизни1). Пользование словами есть пользование объективно значимыми понятиями, вследствие чего все сигналы первой сигнальной системы оказываются связанными с языком, т.е. формами общественного сознания. По выражению И. П. Павлова, слова вносят новый принцип в условия образования систем временных связей. Этот принцип заключается в том, что слово, ассоциируясь с целой группой сходных в определенном отношении предметов, все их сигнализирует и, соединяясь с другими словами в предложения, регулирует и управляет чувственным познанием и практической деятельностью человека. „Именно слово,—указывает И. П. Павлов,—сделало нас людьми“2).

1. Согласно учению И П. Павлова о высшей нервной деятельности, образование условных связей закономерно предопределяется объективной значимостью одного из ассоциируемых компонентов раздражителей, в силу чего другой и получает значение. Поэтому, рассматривая геометрическое понятие как систему условных связей, мы считаем, что для успешного, действенного овладения основами геометрии, необходима объективная значимость геометрических образов и понятий. Эта значимость, их сигнальное значение должны заключаться в доведении до сознания учащихся, что геометрические образы и понятия суть отражения особых свойств предметов материальной действительности.

Учитывая, что в 6-м классе учащиеся впервые приступают к изучению систематического курса геометрии, предварительным условием замыкания указанных условных связей является активизация сознания учащихся путем: а) показа учащимся, что геометрические понятия и образы (чертежи) возникли на основе человеческих потребностей овладения предметами природы; б) воспитания у самих учащихся потребности применения геометрических знаний.

2. Ориентировочно-исследовательская деятельность, направленная на выяснение характера и структуры объективной связи между раздражителями, предшествует замыканию условной связи, прочному усвоению соответствующего знания. Поэтому необходима специальная организация и проведение с учащимися анализа и синтеза структуры геометрических образов, выясне-

1) См. И. П. Павлов. „Павловские среды“, т. III, стр. 321.

2) И, П. Павлов. „Условный рефлекс“, собр. соч., 1950, т. III. кн. 2 стр. 386.

ние их составных элементов на предметах материальной действительности. Необходимо сознательное понимание учащимися этой структуры с точки зрения употребления данной формы, выполнения предметом данной формы определенных функций.

3. Физиологической основой процесса обобщения данных анализа и синтеза является рефлекс на отношение раздражителей. Суть этого учения И. П. Павлова заключается в том, что на систему раздражителей, различающихся по своему качеству, но одинаковых по своей структуре построения, следует одинаковая реакция, обобщенно отражающая действие раздражителей. Следовательно, необходим показ учащимся однотипного многообразия предметов реальной действительности той или иной изучаемой геометрической формы, отличающихся как по своему употреблению, так и по своим свойствам.

4. И. П. Павлов указывает, что специализация условного раздражителя, дифференцировка внешних агентов может итти двумя приемами1):

а) только многократное повторение дифференцируемого условного раздражителя, с постоянным подкреплением.

б) Противопоставление дифференцируемого раздражителя, постоянно подкрепляемого—другим раздражителям, сходным с первым, но не подкрепляемых.

В результате исследований И. П. Павлов устанавливает несравнено более высокую эффективность второго приема перед первым2).

Исходя из этого положения И. П. Павлова, необходимо добиваться дифференцировки геометрических образов и на этой основе дифференцировки соответствующих понятий путем противопоставления правильного образа неправильному (контробразу). Контробраз должен строиться из расчета возможных, наиболее часто допускаемых учащимися ошибок. Этот прием должен употребляться как в процессе изложения нового материала учителем, так и при опросе учащихся при определении геометрических понятий.

IV. Методы исследования и методика проведения обучающего эксперимента

Основным психологическим методом проведения данного исследования явился естественный эксперимент, проведенный в рамках школьного обучения. Для получения фактического материала использовались также методы наблюдения на уроках и анализа письменных работ учащихся.

Из постановки проблемы вытекала и методика организации обучающего эксперимента. В качестве экспериментального класса

1) См. Павлов И. П., собр. соч., 1951, т. IV, стр. 129.

2) Там же.

был взят 6 „в“ 110 мужской сред, школы г. Москвы в полном составе (39 учащихся). Экспериментальное обучение продолжалось 14 уроков в течение 1-й четверти 1952/53 учебного года. В качестве экспериментального материала был взят целый раздел программы, представляющий собою систему геометрических понятий: „Предмет геометрии. Геометрические фигуры. Геометрическое тело, поверхность, линия, точка. Плоскость. Прямая, луч, отрезок. Сложение и вычитание отрезков. Углы, измерение углов“ и т. д включительно до понятия „многоугольник“ —всего около 40 понятий.

Для учащихся экспериментального класса были специально разработаны и организованы экскурсии: 1) выход в поле для производства маршрутной съемки на местности; 2) экскурсия в музей архитектуры на тему „Геометрия в архитектуре“; 3) экскурсия в политехнический музей на тему „Геометрия в технике“.

В диссертации дается изложение методики проведения этих экскурсий. Обучение на уроках опиралось на опыт учащихся, накопленный в этих экскурсиях. По мере возможности и необходимости наглядный материал давался также и на уроках.

Среди методических приемов, применявшихся для формирования у учащихся геометрических понятий, отмечаем следующие:

1. Активное участие учащихся в абстрагировании геометрических образов и понятий от значимой для них предметной действительности,

2. Исследование учащимися под руководством преподавателя структуры геометрических образов, анализ ее составных элементов.

3. Показ учащимся, что та или иная геометрическая форма предмета связана с выполняемой им функцией, практическими задачами и потребностями человека.

4. Показ учащимся качественного многообразия предметов, сходных по своим геометрическим свойствам.

5. Дифференцировка геометрических образов и понятий посредством методического приема контробразов, применяемого как в процессе изложения нового материала, так и в процессе опроса учащихся1).

Для сравнения процесса формирования геометрических понятий и результатов экспериментального обучения были взяты три контрольных класса: 1) основной контрольный класс 6„б" той же 110 мужск. ср. шк. (37 учащихся); 2) дополнительный контрольный класс 6„д“ 114 мужск. ср. шк. (32 учащихся); 3) второй дополнительный контрольный класс 6„а“ 103 мужск. ср. шк. (37 учащихся). В контрольных классах преподавание гео-

1) Подобный методический прием указывается также у Н. М. Бескина. См. его „Методику геометрии“,1947, стр. 58, 62—64.

метрии проводилось в обычном отвлеченном виде. Учебник для всех классов был единым-А. П. Киселева. В процессе обучения во всех классах проводилось наблюдение и тщательное протоколирование хода урока. В контрольных классах на прохождение того же отрезка программы было затрачено: в 6„ба 110 школы —19 уроков; в 6„д“ 114 школы —12 уроков.

Преподавание геометрии в контрольном классе 6„д“ 114 школы отличалось двумя особенностями: 1) широко практиковалось вырезание из бумаги геометрических фигур и исполнение чертежей этих фигур на ватманских листах по заданным размерам; 2) в процессе опроса учащихся применялся методический прием контробразов.

После изучения указанной части программы, во всех четырех классах были проведены по три письменных работы, которые в общей сложности содержали 21 вопрос и задачи с охватом всего пройденного программного материала. Выполнение каждой письменной работы учащимися не ограничивалось во времени и фактически оказалось следующим: 40—65 минут в контрольных классах и 35—50 в экспериментальном. Работы были заготовлены на отдельных листах с оставлением места для ответа с целью экономии времени и не допущения учащимися ошибок при переписывании текста.

В диссертации дается анализ ответов учащихся на 9 вопросов и задач, достаточных для выяснения поставленной проблемы, поскольку анализ других вопросов приводит к повторению сделанных выводов.

V. Результаты исследования

А. Данные наблюдения на уроках

1. Наблюдения на первых уроках геометрии показывают, что первоначальные геометрические представления учащихся связаны с непосредственным наблюдением ими действительности и ограничены узким кругом предметов. Такое представление выявилось для понятий точки, прямой, плоскости. Ученик отвечает:—„Отрезком называется прямая линия, ограниченная с двух сторон". Уже в предварительных экспериментах было выявлено, что у учащихся прочно закрепился образ прямой линии в таком виде, как он дается каждому человеку в конкретно практических условиях восприятия и использования. Прямая линия представляется большим или меньшим отрезком конечных размеров, на котором в представлении учащихся выделяются или его собственные конечные точки (А,В), или новые точки (С, Д), ограничивающие собою собственно определяемый отрезок. Точно также,

Рис. 1.

по мнению учащихся, точка при ее приближении „увеличивается“, линия при своем движении образует „полосу“ „прямая линия может быть разной величины“, перпендикулярность линий связывается с их вертикальным и горизонтальным положением.

Отвлеченное преподавание геометрии в отрыве от ее практического приложения, недостаточность анализа геометрической формы предметов реальной действительности обедняет знания учащихся и закрепляет подобные представления на долгое время. Так, например, учащиеся контрольного класса на протяжении всей четверти в качестве примера прямой линии постоянно приводили два книжных примера: „туго натянутая нить“ и „луч света, выходящий из маленького отверстия“.

2. Наблюдения показывают, что преподавание геометрии вне ее связи с практической применимостью затрудняет усвоение геометрических понятий и аксиом, в частности, аксиомы о прямой линии.

Как показали наблюдения, для учащегося представляет чрезвычайные трудности оперирование отвлеченными геометрическими понятиями, не сообразуя их при этом с какой-то конкретной практической деятельностью.

Та же самая аксиома, которая была поставлена перед учащимися на маршрутной съемке как задача для отыскания направления прямолинейного движения от одного ориентира к другому, решенная учащимися с помощью преподавателя, вызвала у них чувство радости и удовлетворения. На базе решенной задачи легко и сознательно была усвоена и сама аксиома как общее положение геометрии.

Понятия точки, луча, отрезка, смежных углов также приобретали свое объективное значение в связи с использованием соответствующих геометрических образов в измерительной практической работе:—отрезки —суть этапы пройденного пути; углы — суть величины поворота, изменения направления движения и т. д.

3. Отвлеченное преподавание геометрии в 6-х классах вызывает трудности в дифференцировке геометрических образов и тем более в адекватной передаче их в словесной описательной характеристике. Так, учащиеся „точку“ называют геометрическим телом. Представление о предмете геометрии весьма неясно: „это измерение всех фигур“ или „измерение земли“. В контрольном классе преподаватель, добиваясь четкой дифференцировки геометрических образов и понятий, вынужден был к одной и той же теме обращаться несколько раз: на темы „Отрезки и действия над ними“ и „Углы и их измерение“ было затрачено по пять уроков на каждую.

Вследствие недостаточной ориентировочно-исследовательской деятельности, подготавливающей образование условных связей, геометрические образы сплошь и рядом не имели правильного отражения в плане второй сигнальной системы. Обобщение с самого начала шло по неправильному пути: неверно указывались более общие родовые понятия. Имела место и ге-

нерализация понятия и связь их с несущественными признаками, указывающая на чрезмерно узкую дифференцировку. Дифференцировка второсигнальных компонентов должна строиться на дифференцировке геометрических образов. Последняя же достигается, согласно, учению И. П. Павлова, посредством известной системы подкреплений. Этой системой подкреплений должна являться значимость геометрических образов.

В экспериментальном классе 6 „в“ темы „Отрезки“ и „Углы“ были пройдены за 2 и 3 урока. Активность учащихся на уроках оказалась возможной благодаря специальной организации анализа структур геометрических образов на предметах значимой действительности с последующим решением сюжетных задач. Работа учащихся в классе носила характер сознательного оперирования геометрическими образами и понятиями. Значимость объекта и исследование его геометрической структуры обеспечили надлежащую дифференцировку: точное различение структуры геометрических образов и содержания понятий.

4. Как показывают наблюдения на уроках в экспериментальном классе, методический прием контробразов, используемый в формировании определений понятий у учащихся, дал положительные результаты.

В контрольном классе исправление ошибочных определений проходило, главным образом, путем опроса других учащихся или поправок со стороны преподавателя, что ставило ученика, допустившего ошибку, в положение пассивного слушателя. В экспериментальном же классе, преподаватель, исходя из наличия дифференцированного представления геометрических образов у учащихся, предъявлением контробраза включал его в активное и самостоятельное исправление допущенной ошибки. При этом следует отметить также активность всего класса: внимание учащихся сосредотачивается на допущенной ошибке. Пример:

Учитель: Что называется хордой?

Ученик: Линия, проведенная от одной точки окружности к другой.

Учитель: Значит, это хорда?

Ученик: Нет хорда—это прямая линия.

Учитель: Вот тебе прямая линия. Будет ли она хордой?

Ученик: Нет, хорда—это отрезок прямой линии, соединяющей две точки окружности.

В приведенном примере преподавателю дважды пришлось прибегнуть к контробразам: в первом случае был опущен при-

Рис 2.

знак, что хорда есть отрезок прямой линии; во втором-случае—что не вся прямая линия, а лишь ее часть, ограниченная точками окружности. В обоих случаях понятие неправомерно расширялось, но благодаря активному привлечению прошлого опыта к формированию определения понятия, учащийся сам осознал свои ошибки, что и показывает данное им самим правильное определение.

Ситуация складывалась таким образом, что учащийся вынужден был обратить внимание на свое правильное представление и вместе с тем осознать, дифференцировать значение каждого сказанного им слова. Это и привело его к самостоятельному, с заметным эмоциональным подъемам введению в определение недостающего существенного, признака. Выражаясь словами А. Г. Иванова-Смоленскрго, объясняющими это явление, здесь происходит следующее: „Отраженный в мозгу в виде старой ассоциации прежний опыт как бы вклинивается между раздражителем и реакцией, а вместе с тем связывает данный раздражитель с такой реакцией, с какой он никогда ранее не был связан“1).

Однако, здесь этот прошлый опыт действует не непосредственно, а проходит стадию актуализации в сознании учащегося с помощью контробраза, после чего он и „вклинивается“ между первосигнальным компонентом; и реакцией (ответ учащегося), определяя ее содержание.

Б. Данные анализа письменных работ учащихся

1. Анализируя материалы письменные работ учащихся, мы исходили при этом из тех же методологических и психолого-педагогических посылок, которое были положены в основу методики обучающего эксперимента. Учащимся были предложены следующие вопросы и задачи: 1. Приведите 6 примеров ломаной линии из жизни, из них: 3 примера на замкнутую ломаную линию и 3 примера на незамкнутую ломаную линию.

2. Путь от деревни А до станции Е представляет ломаную линию АВСДЕ. а) Найти построением, насколько путь по пря-

1) Иванов-Смоленский А. Г., „Об изучении совместной работы первой и второй сигнальных систем мозговой коры“. Журн. высшей нервной деятельности им. И. П. Павлова. М., 1951, т. I, вып. I, стр. 59.

мой между А и E короче пути по ломаной АВСДЕ; в) углы (изменения направления пути в точках В, С, IX равны соответственно 70, 50, 90 градусам. Определить смежные с ними углы. 3. Построить отрезок: Х~ 2а—Зв.

Рис. 4.

4. Выразить в градусах углы, составленные северным концом стрелки компаса с направлениями: восток, юг, запад, северо-запад, северо-восток, юго-восток, юго-запад. Указание: отсчет углов вести по ходу часовой стрелки.

5. Опустите из точек А, В, С> Д перпендикуляры на соответствующие прямые а, в, с, d.

Рис. 5.

6. Какие углы называются смежными?

7. Если один из смежных углов уменьшается, то что будет происходить с углом с ним смежным? Объяснить почему.

8. Дайте определение понятия прилежащих углов. 9. Подпишите под чертежами, какие пары углов являются прилежащими углами и какие пары углов не являются прилежащими углами:

Рис. 6.

2. Анализ ответов учащихся на первый вопрос показывает следующее. У учащихся контрольных классов (6 „б“ и 6 „д“) было 50—53% требуемых примеров на ломаную линию; они ограничивают их выбор предметами повседневного употребления: рамка портрета, крышка парты, „печатная буква „М“. Для обоих контрольных классов характерно преобладание „абстрактных примеров“ („из жизни!“ —как сами говорят учащиеся): называют или чертят квадраты, прямоугольники или произвольные ломаные линии.

Рис 7

На замкнутую линию примеров больше чем на незамкнутую. Даже имеются такие учащиеся, которые прямо заявляют, что „на незамкнутую линию примеров нет“. Дифференцировка геометрических образов во второй сигнальной системе неудовлетворительна. Так, в качестве примера ломаной линии учащийся указывает „поверхность треугольника „поверхность куба

Ответы учащихся экспериментального класса (81%) указывают на их активное участие в абстрагировании геометрических образов от многообразной предметной действительности. Приводимые примеры сопровождаются зарисовками, показывая какие именно линии в данном объекте рассматриваются как ломаные, что свидетельствует о сознательном понимании существа вопроса.

Благодаря предшествующей работе, геометрические понятия, отражая действительность, приобрели для учащихся, в соответствии с указаниями И. П. Павлова, значение подлинно многообъемлющих словесных раздражителей, поскольку одно слово оказывается связанным с многообразием предметов реальной действительности.

3. Если первая задача на действия с отрезками (путь от деревни до станции) требовала самостоятельного воспроизведения этой реальной ситуации, то вторая—построить отрезок Х—2а — 3.5 была чисто отвлеченного порядка, не выходила, за рамки обычных школьных упражнений и являлась контрольной по отношению к первой.

Учащиеся контрольных классов встретили серьезные затруднения в приложении понятий отрезка и действий над ними в условиях задачи с конкретным содержанием. 21 учащийся из 36 (6 „б“ класс) задачу не решили. Главное в задаче—сам процесс построения, т. е. сложение и вычитание отрезков уча-

щимися игнорируется. Состав действия и порядок их выполнения не анализируется. У некоторых учащихся есть лишь слабая попытка развернуть ломаную линию: начерчена прямая линия, но никаких отметок, свидетельствующих о действии над отрезками, нет. Вторую половину задачи —нахождение величины смежных углов не решил никто. Причем, одна половина класса 6 „б“ вообще не пыталась взяться за решение этого вопроса; другая—решала задачу вне ее конкретных условий. Были начерчены три пары смежных углов. Один из углов каждой пары брался указанной величины, величина другого угла у одних учащихся указана, у других нет. Учащиеся предствляют себе стандартный чертеж смежных углов, который давался им на доске в классе. С этим чертежом связано и само понятие смежных углов: учащиеся не могут перенести это понятие на конкретные условия действительности. Конечно, в задачу вводится новый термин: угол изменения направления движения. Казалось бы, что пройденного программного материала и собственного повседневного опыта достаточно для решения подобной задачи, для понимания ее сущности. Однако, знания, полученные в условиях только одной классной работы, без активного участия учащихся в абстрагировании и обобщении геометрических понятий от предметной действительности, без живого созерцания в виде активного исследования структуры геометрического образа и систематизации их собственного опыта,—оказываются формальными. Очевидно, что практическое применение знаний возможно тогда, когда оно само, в свою очередь, черпается из практики. Такие знания, пройдя ступень теоретического обобщения, легко могут быть перенесены для решения задач в иных конкретных условиях. Только после того, как учащиеся на собственном опыте убедятся в практическом значении изучаемых понятий,—последние становятся их достоянием. Об этом свидетельствуют результаты экспериментального класса: первую часть задачи решило—33 учащихся; вторую—30 (из 39). Успешное решение задачи было возможно именно потому, что от конкретного дифференцированного представления реальных действий в этой ситуации (поскольку эти действия уже были предметом их чувственной практики), учащиеся смогли путем абстракции выделить существенное, т. е. состав собственно геометрических действий, и решить эту задачу в терминах и обозначениях геометрии. Однако, если в примерах на ломаную линию учащиеся не только давали правильные образы, но и правильное словесное их описание (что в контрольном классе было не всегда), то в решении задачи само действие над отрезками и углами, будучи правильно выполнено, не всегда находило адекватное словесное выражение.

Рис. 8.

В качестве контрольного вопроса к предшествующей задаче на действия с отрезками, был предложен отвлеченный пример; построить отрезок Х—2а—Ъв, типичный для классной работы. Отвлеченное действие над отрезками снимало дополнительные трудности предшествующей задачи и потому эти действия выглядели, так сказать, в чистом виде. Сравнивая результаты решения обеих задач, мы получили следующие цифры (в % %):

Удовлетворительное решение

Контрольный класс 6 „б“

Контрольный класс 6 „д“

Экспериментальный класс 6 „в“

По первой задаче (отрезки)......

41

33

87

По первой задаче (углы).......

0

0

77

Отвлеченный пример, построить отрезок Х=2а—Зб..........

46

48

95

Учащиеся контрольных классов, как правило, отдельно находят две суммы, сам же процесс наложения (т. е. вычитания) не производится, а только лишь подсчитывается количество клеточек на бумаге в каждом новом отрезке и устанавливается разность. В большинстве же других работ вычитание и в таком виде отсутствует; нередко вместо вычитания производится сложение. Характерными являются неправильные обозначения, произвольная запись производимых действий, отступления от заданной величины отрезков. Например, встречаются такие записи О—С—Х; 2а=\-1; 2а—3.5=1-1 и т. д. Геометрические образы еще не получили у учащихся своей специфической словесно-буквенной символической передачи. Как указывают данные таблицы, положительные результаты несколько выше по второй задаче чем по первой, однако, и они являются весьма низкими. Интересно отметить, что эти результаты при близительно одинаковы для обоих контрольных классов, хотя количество времени, затраченное на прохождение этой темы в 6 „б“ в два раза превышает это время, затраченное в б „д“ При одинаковой отвлеченной мегодике изучения темы отрезков в обоих контрольных классах, но при удвоенном количество времени в 6 „б“, учащиеся 6 „б“ не получили каких-либо существенных преимуществ в прочности и действенности овладения соответствующими понятиями. В экспериментальном же классе где формирование понятий, рассматриваемое как образование системы ассоциаций, опиралось на представление реальных действий, подкреплялось их практическим значением, результаты решений обеих задач оказались значительно выше. Причем сами понятия отрезка, обозначений и действий над отрезкам оказались более обобщенными: решив сюжетную задачу, учащиеся столь же успешно решили и отвлеченную задачу.

4. Весьма кратко остановимся на результатах анализа других заданий. Успешное решение 4-й задачи можно было ожидать в том случае, если учащиеся, кроме обычного изучения понятия угла в классе, приобрели какие-то практические знания об угловых величинах в реальной действительности. Если 67% учащихся экспериментального класса дали удовлетворительное решение, то ответы учащихся контрольных классов показывают, что это понятие усвоено ими формально. Понятие угла не связывается с конкретными условиями поставленной задачи, с реальной действительностью. Рисуются углы с произвольным расположением сторон. Величины этих углов также указываются произвольно: 48°, 140°, 60°, 30°, 150°. 120°, 37°, 55°, 146°, 41°, 7°, 100° и т. д. Один учащийся указал величину углов даже, с точностью до минут и секунд: 15°16' и 110°2'6.“ Все это является показателем крайнего формализма знаний учащихся об углах и их измерении. Общий результат удовлетворительных решений: 6 „б“ —0%; б „д“ —21%; 6 „в“—67%. Наличие положительных решений в 6 „д“, несмотря на то, что времени на тему „Углы“ было затрачено в 1,5 раза меньше чем в 6 „б“, следует отнести за счет специальных упражнений по вырезыванию и вычерчиванию геометрических фигур и, в частности, углов по заданным величинам.

Результаты построения перпендикуляра в 5-й задаче характеризуются следующими данными: % правильных построений для экспериментального 6 „в“—91, для контрольного 6 „б“ — 31. В предложенных четырех вариантах построения перпендикуляра варьировались три особенности— „трудности- этого построения. Это позволило произвести типизацию ошибок учащихся в плане понимания ими существенности и несущественности тех или иных признаков для понятия перпендикуляра. Обнаружены следующие типы ошибок: 1) проведение перпендикуляра из данной точки к „середине“ прямой линии; 2) игнорирование данной точки и выбор последней над „серединой“ прямой линии; 3) проведение перпендикуляра из данной точки в вертикальном положении, независимо от положения данной прямой до пересечения с ней. А там где это пересечение невозможно,—построение не производится; 4) не производится построение перпендикуляра в случае, если прямая требует продолжения.

Подобные ошибки могли возникнуть в силу недостаточной аналитико-синтетической деятельности, направленной на установление существенных особенностей структуры образа, вследствие чего понятие перпендикуляра связывалось с каким-либо частным случаем построения, либо с каким-то вообще случайным признаком, принимаемым за общий и существенный.

5. Для психологического анализа определений понятий перед учащимися были поставлены две пары вопросов (6, 7, 8, 9), каждая из которых давала возможность соотнести качество определения и применение этого определения учащимися к гео-

метрическому образу: в первом - случае—смежные углы, во-втором — прилежащие углы. Разница между этими парами следующая: во втором случае существенные видовые признаки могли быть применены непосредственно путем усмотрения соответствующих элементов в геометрическом образе, представленного в работе готовыми чертежами т. е. подвести частный случай под общее понятие. В первом же случае чертеж к поставленному вопросу не давался, а существенные видовые отличия опосредованным образом соотносились с представлением учащегося о смежных углах, опираясь при этом на общее свойство (сумма смежных углов =180°), которое не входит в состав определения, но которое с необходимостью вытекает из него.

В диссертации дается сравнительный анализ качества определений учащихся контрольных и экспериментального классов с точки зрения правильного указания рода и системы видовых отличий. Благодаря методике контробразов, качество определений данных учащимися, в классах, где применялась эта методика, оказалось значительно выше. Так, для определения понятия смежных углов получились следующие даннные: 6„в“ — 70%, 6„д“— 63% против 27%— 6„б“. Однако, возможности действенного применения данного определения к контрольному вопросу, с указанием соответствующего обоснования (суммам 180°) оказались выше только для 6„в“ (51% против 14%— 6„д“ и 11% 6„б“). Учащиеся могли только тогда подойти к вышеуказанному свойству, когда они не только знали о нем, но и сознательно связывали это свойство с системой существенных признаков данного понятия.

Результаты анализа ответов по второй паре вопросов показывают приблизительно те же пропорции правильных определений понятия прилежащих углов (6„в“—55%, 6„д“ — 53% против 16%—6„б“), что свидетельствует о положительном значении методики контробразов. В неправильных определениях обнаруживаются те же ошибки: расширение и сужение понятия, неправильное указание ближайшего рода. Нередко учащиеся рассматривают прилежащие углы (так же как и смежные) как особую разновидность угла.

Применение определения в узнавании прилежащих углов на чертеже дало более высокий результат, чем в первой паре вопросов, поскольку оно было непосредственным и опиралось на восприятие фигуры. Однако, сравнивая результаты узнавания по классам, необходимо отметить более высокий процент в экспериментальном классе, что явилось следствием проведенной в этом классе специальной работы по выяснению структуры геометрических образов. Соотнесение правильного и неправильного определения с правильным и неправильным подведением под него частных случаев геометрического образа, позволяет выделить четыре типа возможных отношений между

геометрическим образом и определением учащимся соответствующего понятия.

6. Общие результаты по всей системе вопросов и задач всех трех письменных работ, оцененные в пятибальной системе с точки зрения успеваемости учащихся, оказались следующие (дается % положительных оценок: „отлично“, „хорошо“, „посредственно“ общей суммой):

1-я работа

2-я работа

3-я работа

6„б“

основной контр, класс ..........

80

76

81

6„д“

дополнит, контр, класс..........

69

86

73

6„а«

дополнит, контр, класс..........

78

71

57

6„В“

эксперимент, класс ...........

95

95

97

Приводя эти средние итоги, следует указать на состав положительных оценок: если в контрольных классах хорошие и отличные оценки получили от 17 до 35%, то в экспериментальном классе отличные и хорошие оценки получили от 54 до 77% учащихся.

VI. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Процесс формирования понятия как образование системы ассоциаций между восприятиями реальных предметов, отвлеченными геометрическими образами и словами подчиняется определенным объективным закономерностям, требует определенных условий для своего успешного развития.

1, Первым важнейшим таким условием является значимость—общественно-практическая и предметная значимость одного из компонентов ассоциируемой пары, в силу чего он и получает сигнальное значение. Значимость геометрических образов и понятий определяется практическим отношением к предметам реальной действительности, отражениями которых они являются. Особенно это необходимо для учащихся 6-го класса, впервые приступающих к изучению систематического курса геометрии. Недостаток преподавания заключается в том, что учащихся не знакомят с материальным источником происхождения геометрических образов и понятий. Начало изучения геометрии рассматривается как вхождение в мир новых вещей и в связи с этим учитель и автор учебника фактически выступают перед сознанием учащихся как творцы этих понятий. Надо показать учащимся, что они изучают не новый мир вещей, а новые свойства предметов окружающего мира. Условно-рефлекторные связи потому и образуются, что один компонент приобретает сигнальное значение для другого. Недостаточно предъяв-

ления..одних общественных требований коллектива в школьном обучении,—кроме этого необходима личная активность учащихся. Эта активность сознания состоит в активном участии учащихся в процессе абстрагирования геометрических форм и обобщения их в понятия от предметов реального мира в условиях общественной практики, доступных пониманию учащихся. Необходимо показать, что выделение тех или иных форм и образование геометрических понятий возникло в связи с потребностями человеческой деятельности, воспитывая при этом у самих учащихся потребность применения полученных знаний на практике. Чем яснее объективная связь между раздражителями, тем скорее между ними устанавливаются ассоциации. Согласно учению И. П. Павлова, самым важным в условной связи является не раздражитель сам по себе, а его связь с другим—подкреплением. И следовательно, прочность условных связей определяется не столько числом повторения, сколько значимостью подкрепления.

2. Получение продуктов абстракции в виде геометрических образов опирается на аналитико-синтетическую деятельность. Под руководством преподавателя учащиеся выделяют геометрическую форму предмета, выясняют составные элементы структуры геометрического образа, устанавливая между ними существенные определяющие связи. Дробление предмета, как указывал И. М. Сеченов, есть средство раскрытия его свойств. Важно активное участие учащихся в этой аналитико-синтетической деятельности посредством выполнения зарисовок геометрических форм с натуры, выполнения определенной измерительной работы. Полезно связывание структуры геометрического образа с функцией предмета, имеющего данную форму.

Анализированная и синтезированная геометрическая форма, рассмотренная на многообразии предметов, различных по своим качествам, ассоциируется со словом и последнее приобретает для учащегося определенное понятийное содержание. Процесс обобщения происходит по принципу рефлекса на отношение раздражителей, различных по своим качествам, но одинаковых по своей структуре. Следовательно, для формирования геометрических понятий необходимо абстрагировать последние от многообразной предметной действительности. Вследствие этого слово, как природная языковая основа понятия и становится, по выражению И. П. Павлова, многообъемлющим раздражителем.

3. Существенное значение для формирования логически правильных определений геометрических понятий имел методический прием контробразов и в процессе изложения преподавателем нового материала и в тех случаях, когда сформировавшееся представление геометрического образа не отражается всеми своими существенными особенностями в словесном определении. Необходимым предварительным условием успешного воздейст-

вия контробраза на учащегося (в случае чрезмерного расширения понятия) для установления правильного отношения второсигнальных и первосигнальных компонентов, является наличие точной дифференцировки геометрических образов. Контробраз, будучи противопоставлен недостаточному определению, способствует актуализации правильного представления. Последнее вносит коррективы в словесное определение в виде добавления недостающих существенных признаков.

Случай чрезмерного сужения понятия свидетельствует о чрезмерно узкой дифференцировке геометрического образа учащимся, т. е. представление этого образа связывается с каким-то несущественными, случайными признаками. Поэтому в данном случае контробраз строится, из расчета разрушения сложившейся системы связей. Такой контробраз правильно отражая действительность, будучи противопоставлен узкому определению, дает возможность учащемуся самостоятельно обнаружить ошибку и исключить случайные признаки из данного определения. Если исправление неправильного определения самим преподавателем или путем опроса других учащихся делают ученика, допустившего ошибку, пассивным слушателем, то методический прием контробразов дает возможность активно включить учащегося в отыскание своей собственной ошибки и формирование правильного определения. Не менее важное влияние этот прием оказывает на внимание всего класса: допущенная ошибка становится предметом осознания всех учащихся.

Проведение обучающего эксперимента в первой четверти шестого класса показало полную возможность правильного усвоения геометрических понятий учащимися в условиях тесной связи их с практической деятельностью. Это в данном частном случае подтверждает важность постепенного введения политехнического обучения.

Л 76120 6/Ш 1954 г. Зак. 103. Тир. 100