МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМ. В. И. ЛЕНИНА

На правах рукописи

Вишняцкая И. Г.

ВВЕДЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ 6-7 КЛАССОВ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

/ 732 — методика преподавания математики /

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

МОСКВА. — 1969

Работа выполнена в Московском ордена Трудового Красного Знамени Государственном педагогическом институте имени В.И. Ленина.

Научный руководитель — кандидат педагогических наук, доцент Е.С. Еерезанская.

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук, профессор Г.Б.Гуревич кандидат педагогических наук, доцент Н.Г. Федин

Автореферат разослан 1969 г.

Защита диссертации состоится 1969 г.

на заседании Совета по присуждению ученых степеней по математике и методике ее преподавания Московского ордена Трудового Красного Знамени Государственного педагогического института имени В.И.Ленина /Москва, Давыдовский пер.. 4/.

Отзывы направлять по адресу: Москва Г-435, Малая Пироговская, 1, МПМ им. В.ИЛенина. Научная часть»

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Ученый секретарь Совета

В настоящее время, как в нашей стране, так и за рубежом, прилагаются немалые усилия для изменения содержания школьного курса математики путем введения в школу в доступной форме идей и методов современной математики. При этом значительное внимание уделяется также обновлению системы изложения основных традиционных тем курса математики в школе.

В новой программе по математике для средней школы вводятся некоторые элемента векторной алгебры, начиная с седьмого класса.

До недавнего времени понятие вектора, которым учащиеся оперируют на уроках физики, считалось слишком трудным для изучения в школьном курсе математики. В отечественной литературе вопрос о введении элементов векторного исчисления в программу математики средней школы ставился и обсуждался в течение продолжительного времени; понятие вектора проникало в курс математики средней общеобразовательной школы через тригонометрию. Но для тригонометрии было вполне достаточно введение понятия вектора и некоторые свойств проекций век-

тора на ось. При этом, очевидно, ни о каком исчислении векторов речь не шла. Кроме того, за короткое время, отведенное в школьном курсе этому вопросу, учащиеся не успевали приобрести достаточных умений и навыков, связанных с векторам, которые можно было бы использовать при обучении в дальнейшем. Только когда возник вопрос об использовании понятия вектора в курсах алгебры к геометрии, назрела потребность в изучении в школе элементов векторной алгебры. За последние годы в отечественной печати появился ряд работ (работы В.Г.Болтянского и И.M.Яглома, К.Ф.Михайлова, И.В.Баума, У.С.Давыдова, М.В.Еремеевой, Р.С.Черкасова и др.), показывающих преимущества использования элементов векторной алгебры в изложении многих вопросов алгебры, геометрии и тригонометрии.

Большое внимание изучению векторной алгебры в старших классах средней школы уделяется за рубежом. Особенно это относится к французской учебно-методической литературе.

В настоящее время необходимость использования элементов векторной алгебры в старших классах средней юколы для упрощения и большей строгости изложения ряда разделов школьной математики у большей части педагогической общественности как в нашей стране, так и за рубежом не вызывает сомнения.

Однако введение элементов векторной алгебры только на последних годах обучения в средней школе не позволяет использовать всех возможностей этого аппарата при изложение всего курса математики в средней школе.

Вопрос же об использовании элементов векторной алгебры на более ранней стадии обучения до последнего времени в нашей стране практически не обсуждался, исключение составляют работы К.Ф.Михайлова и некоторые другие.

В основном этот вопрос ставился в зарубежной литературе. Благодатным материалом для введения элементов векторной алгебры на ранеей стадии обучения (возраст учащихся 12 лет) для многих зарубежных акторов, в особенности французских, служила тема "Относительные числа". Следует отметить, что по вопросу о последовательности изучения векторов на прямой существовали два мнения. Ряд авторов, например, А.Бенуа и Р.Канапаль, К.Бурле, В.Эрбье предлагали вводить понятие вектора на прямой после изучения темы "Относительные числа", тогда как в работе ф.Браше и др. так же как и в учебнике А.Н.Глаголева изучались векторы на прямой, а также сложение и вычитавие векторов до прохождения темы "Относительные числа". Изучение же этой темы авторы строили на основе полученных учащимися знаний о векторах на прямой.

В настоящей работе, подводящей итог экспериментальному исследованию, выполненному автором в 1964-1968 гг., рассматривается один из возможных путей введения элементов векторного исчисления на ранней стадии обучения математике в средней школе - в 6 классе. Представляемая работа состоит из введения, 5-ти глав и заключения.

В I главе рассматриваются и анализируются работы и приемы, связанные с введением элементов векторного

исчисления в старших классах и на ранней стадии обучения.

II глава посвящается изложению математических основ, на которых базируется представленная работа.

В III клаве излагается разработанная автором методика введения элементов векторной алгебры на прямой и ее использование при изложении темы "Рациональные числа" в 6 классе общеобразовательной школы.

В IV главе рассматриваются вопросы методики введения векторов на плоскости в 6 классе.

В V главе описан проведенный эксперимент.

Целью настоящей диссертации является последовательная разработка методики и учебных материалов для введения элементов векторной алгебры на прямой и на плоскости в 6 классе (частично в 7) общеобразовательной школы. Эффективность предлагаемой методики вытекает из проведенного эксперимента, результаты которого приводятся в диссертации.

В связи с тем, что в представляемой работе вводимые элементы векторного исчисления впервые начинают "работать" при изучении темы "Рациональные числа", в I главе дан анализ изложения этой темы в учебной и методической литературе. Не случайно авторы многих учебных пособий, пытаясь изложить тему "Рациональные числа" так, чтобы новые числа, действия над ними и законы этих действий были наглядно представлены и осмыслены учащимися, интерпретируют операции над числами как соответствующие операции над векторами на прямой.

Известно, что этот раздел является одним из самых трудных для усвоения учащимися. Трудность его обуславливается тем, что учащиеся, сталкиваясь с новыми понятиями, не имеют постоянной базы для интерпретации этих понятий и формально воспринимают излагаемый материал. Отсюда и целая серия ошибок, которые допускают учащиеся при изучении этой темы.

Недостатки существующего и общепринятого метода изложения рациональных чисел отмечал в свое время проф. И.В.Арнольд, который, в частности, писал:х/ "в обычном изложении конкретное истолкование отрицательных чисел и их арифметическая теория не вполне согласованы между собой - примеры носят слишком частный характер и меняются от случая к случаю.

Так, схема точек на числовой прямой хорошо иллюстрирует расположение чисел по величине, но при рассмотрении действий сложения и вычитания приходится переходить к направленным отрезкам, перемножение которых для иллюстрации правила знаков лишено того прямого и ясного смысла, который свойственен сложению и вычитанию".

Нам представляется целесообразным преодолеть существующие недостатки в изложении и трудности в усвоении темы "Рациональные числа" на основе использования некоторых элементов векторной алгебры на прямой.

х/ Арнольд И.В. Отрицательные числа в курсе алгебры. Пособие для учителя. Изд. АПН, Москва-Ленинград, 1947, стр.

Кроме того, изучение элементов векторной алгебры на ранней стадии обучения открывает большие возможности для повышения математической культуры учащихся, достижения более современного стиля изложения материала, упрощения многих рассуждений и доказательств, повышения наглядности в преподавании ряда разделов математики, а также создания математической базы на ранней стадии обучения физике.

Во II-ой главе диссертации дается изложение совокупности понятий, определений и теорем векторной алгебры, на которых основывается разрабатываемая в последующих главах методика и учебные материалы для введения элементов векторной алгебры.

В § 3 этой главы дается обоснование действий над рациональными числами, которые истолковываются кок векторы на прямой. Такое истолкование, очевидно, является частным случаем общепринятого истолкования комплексных чисел в виде векторов на плоскости (в заданной системе координат), когда аргумент комплексного числа равен О или .

Исходными в изложении являются следующие определения: На прямой выбираются точки О и А. Отрезок OA считается отрезком единичной длины.

Определение 1. Направление от 0 к А считается положительным, а противоположное ему - отрицательным.

Определение 2. Каждое положительное рациональное число -Я I где м и к. - натуральные числа, изображается вектором положительного направления, длина которого ^ . Число О изображается нуль-вектором. Число, которое изображается вектором, имеющим отрицательное направление и длину » называется отрицательным.

Определение 3. Равные векторы изображают равные числа.

Определение 4. Два рациональных числа называются противоположными, если они изображаются противоположными векторами.

Определение 5. Суммой двух рациональных чисел а и £ называется рациональное число С % которое изображается векором ~с* , представляющим собой сумму векторов о* и £ .

Определение 6. Произведением двух рациональных чисел о и £ называется число С , которое изображается вектором, полученным в результате умножения вектора & на число ê .

На основе этих определений вычитание и деление рациональных чисел определяются как действия, обратные сложению и умножению, а также доказываются основные теоремы.

III глава посвящена разработке вопросов методики введения элементов векторной алгебры на ранеей стадии обучения в средней шкоде (в 6-ом классе).

В работе рассматривается ряд путей введения элементов векторной алгебры в 6 классе:

а) при изучении основных понятий на первых уроках геометрии провести работу пропедевтического характера, доведя до сознания учащихся идею направленности величин на примере геометрических фигур и объектов. Далее на уроках алгебры, используя известное учащимся понятие направленного отрезка (вектора на прямой), изучить простейшие операции над векторами: сложение, вычитание, умножение на число и применить знание этих операций для интерпретации действий над рациональными числами, Несколько позже на уроках геометрии после изучения темы "Параллельные прямые" ввести понятие вектора на плоскости, указав, что векторы на прямой, есть частный случай коллинеарных векторов;

б) без пропедевтики на уроках геометрии ввести понятие вектора на прямой на уроках алгебры до введения отрицательного числа. И изучение операций над векторами на прямой проводить параллельно изучению операций над рациональными числами. Дальнейшее изучение векторов продолжить на уроках геометрии, как и в а);

в) после изучения темы "Рациональные числа" использовать звания учащихся о положительных и отрицательных числах, а такке действиях над ними, для того, чтобы дать понятие вектора на прямой, алгебраической меры вектора, операций сложения и вычитания векторов на прямой. Векторы на плоскости, как и в а) и б) можно ввести после изучения темы "Параллельные прямые".

Первый и второй пути практически равноценны. Сведения о направленных величинах, полученные учащимися на первых уроках геометрии, дают возможность быстрее изучить векторы на прямой. Однако это происходит за счет дополнительного времени, которое требуется учителю на уроках геометрии, чтобы провести пропедевтику векторов.

Первые два пути выигрывают по сравнению с третьим, так как изучая векторы, как предлагается в а) и б), одновременно можно облегчить учащимся усвоение такой трудной темы как "Рациональные числа" без дополнительной затраты времени; тогда как при следовании третьему пути тема "Рациональные числа" изучается традиционно, а, следовательно, с привлечением интерпретаций, которые в дальнейшем нигде не работают, изучение же векторов на прямой требует дополнительного времени, хотя и меньшего, чем в а) и б), так как при этом используются знания учащихся о положительных и отрицательных числах.

В данной главе подробно разработана первая часть варианта б). Изложение в соответствии о избранным вариантом отроится по следующей программе:

1. Понятие вектора на прямой (2 часа)

2. Равенство векторов. Противоположные векторы (2 часа)

3. Положительные и отрицательные числа. Абсолютное значение рационального числа (2часа)

4. Сравнение рациональных чисел.

Знаки неравенства. (1 час)

5. Сложение и вычитание векторов на прямой (2 часа)

6. Сложение и вычитание рациональных чисел (3 часа)

7. Умножение вектора на число (2 часа)

8. Умножение и деление рациональных чисел (3 часа)

9. Возведение в степень (1 час)

10. Упражнения (2 часа)

11. Контрольная работа (1 час)

При введении понятия вектора необходимо довести до сознания учащихся, что в природе существует много величин, для характеристики которых недостаточно задать только их численное значение, необходимо знать и их направление. Таковыми являются известные учащимся величины: сила, перемещение тела из одного положения в другое, скорость.

При этом рекомендуется подбирать как можно больше примеров из жизни (сила ветра, путь, пройденный учеником в школу и обратно и т.п.). Они способствуют формированию у учащихся представлений о направленной величине.

На основании рассмотрения этих примеров вводится понятие вектора, употребляемого для графического изображения направленной величины. Не чертеже вектор изображается в виде отрезка прямой со стрелкой, показывающей направление; в записи векторы обозначают или малой латинской буквой жирного шрифта или малой латинской буквой со стрелкой наверху: а или двумя большими латинскими буквами, обозначающими точки его начала и конца: АВ.

Далее вводятся специальные обозначения для одинаково и противоположно направленных векторов (*fî " и "Hn), а также для длины вектора (" f | "), например, ( \М>} * 3 см. Последнее обозначение оказывается очень удачным, так как используется в дальнейшем для обозначения абсолютного значения рационального числа и вызывает у учащихся полезные ассоциации.

При рассмотрении вопроса о равенстве векторов внимание учащихся предлагается обращать на следующее: на прямой можно построить (отложить) сколько угодно (бесконечное множество) векторов, равных между собой. Начало вектора можно переносить, не изменяя ни его длины, ни направления в любую точку одной и той же прямой. В этой же главе приводятся упражнения, которые исключают возможность путаницы у учащихся понятий: равенство отрезков и равенство векторов.

Закрепление понятия "противоположные векторы" осуществляется на примерах, известных учащимся из курса физики (равные и противоположно направленные силы).

Полученные знания о векторах сразу получают применение. Учащиеся узнают, что любому из известных из арифметики чисел на числовом луче соответствует вектор, имеющий длину, равную заданному числу, и направление, совпадающее с направлением луча; числу нуль соответствует нуль-вектор (точка). Особо следует подчеркнуть, что одному и тому же числу соответствует на числовом луче бесконечное множество равных между собой векторов. В каждом отдельном случав рассматривается тот из них,

который наиболее удобен. В ходе упражнений учащиеся совершенно естественно сталкиваются с вопросом: "Если все известные числа вида т£ изображаются векторами, направления которых совпадают с положительным направлением прямой, то какие числа изображаются векторами, направления которых противоположны этому направлению прямом, а длина - j; ? Таким образом учащиеся сами "открывают" новые числа, которые и называют "отрицательными" в отличие от ранее известных ("положительных"). Такое введение отрицательного числа позволяет дать понятию абсолютного значения числа (достаточно трудному для учащихся) простое и наглядное толкование как длины вектора, соответствующего данному числу. Так как длина любого вектора, кроме нуль-вектора есть положительное число, то, очевидно, абсолютное значение рационального числа, не равного нулю, всегда есть число положительное. Длина вектора, соответствующего числу нуль равна нулю, и абсолютное значение числа О равно О. Понимание учащимися этих простых соображений позволяет добиться сознательного усвоения определения абсолютного значения рационального числа.

После введения рационального числа и его интерпретации с помощью вектора предлагается перейти к изучению действий над векторами на прямой и на этой основе -к действиям над рациональными числами.

Вполне доступно и понятно для учащихся правило нахождения суммы двух векторов: "чтобы получить сумму двух векторов начало второго вектора совмещают с кон-

цом первого и берут вектор, началом которого служит начало первого вектора, а концом - конец второго.

Разность двух векторов определяется кал операция, обратная сложению. Особо обращается внимание учащихся на то, что операция вычитания векторов на прямой всегда выполнима. Четкое знание этого факта в дальнейшем облегчает учащийся понимание, того, что операция вычитания рациональных чисел всегда выполнима.

Звания учащихся об операциях сложения и вычитания векторов находят сразу применение при изучении действий сложения и вычитания рациональных чисел, которые истолковываются как соответствующие операции над векторами. Это дает возможность зиять ряд трудностей, связанных с рассмотрением вопроса о вычитании из меньшего положительного числа большего, так как выполнимость вычитания для векторов была показана ранее. Утверждение: "вычесть число значит прибавить его о противоположным знаком", получается как следствие соответствующей теоремы для векторов.

Чтобы облегчить учащимся усвоение определения умножения векторе на число, целесообразно ввести правила, смысл которых вполне понятен учащимся: Правило 1. Чтобы вектор умножить на целое положительное число 'ь , ( <Z>1)% надо, не меняя направления, увеличить длину вектора в cl раз. Для большей наглядности выражение "увеличить длину вектора" можно заменять таким: "растянуть вектор".

Правило 2. Чтобы вектор умножить на одну H -ую долю единицы ( 7Г )» надо, не меняя направления, уменьшить его длину в п раз (или "сжать вектор"). Правило 3. Чтобы умножить вектор на -1, надо, не меняя длины вектора, изменить его направление.

Так как изложенные правила отражают в доступной для учащихся форме строгое определение умножения вектора на число, то на наш взгляд методически оправдано сообщение учащимся 6 класса, что умножение вектора на произвольное целое число является следствием правил 1 и 3, умножение вектора на положительное дробное число - следствием правил I и 2, на отрицательное дробное число - правил 1, 2, 3.

Специально следует уделить внимание умножению вектора на число О и нуль-вектора на произвольное рациональное число.

Изучение умножения рациональных чисел целиком опирается на знания учащихся об умножении вектора на число.

Учащимся предлагается сообщить, что если множимое рассматривать в виде соответствующего ему вектора, то произведению двух рациональных чисел будет также соответствовать некоторый вектор.

В связи с этим известное правило умножения двух рациональных чисел предлагается формулировать несколько иначе, чем это принято в традиционном изложении: "произведение двух рациональных чисел равно произведению их абсолютных значений, взятому со знаком множимого, если множитель положительное число, и с противополож-

ным знаком, если множитель - отрицательное число". Такой подход дает возможность учащимся наглядно убедиться, что "минус на минус дает плюс" только потому, что у вектора отрицательного направления, соответствующего множимому, происходит смена направления на противоположное, то есть положительное.

В IV главе диссертации, посвященной методике изложения элементов векторной алгебры на плоскости в 6 классе подробно разработаны вторая часть варианта б), а также первая часть варианта а)х/, а именно: введение элементов векторной алгебры на плоскости в курсе геометрии 6 класса и использование полученных знаний при решении задач и доказательство теорем в курсе геометрии 7 класса; а также вопросы пропедевтики понятия вектора при изложении первых уроков геометрии.

Изучение векторов на плоскости предлагается начать в 6 классе на уроках геометрии в виде самостоятельной темы после изучения темы "Параллельные прямые". Изучение векторов на прямой, проведенное ранее в курсе алгебры, оказывает при этом большую помощь. Действия с коллинеарными векторами фактически уже известны учащимся, так как они сводятся к ранее изученным операциям над векторами на прямой.

Глава У посвящена описанию педагогического эксперимента по введению элементов векторной алгебры в 6-7 классах средней школы.

х/ см.стр.8, 9, 10.

Эксперимент по предложенной в III главе методике изложения темы "Рациональные числа" на векторной основе проводился:

в 1964-65 учебном году

1) в двух 6х классах 17 спецшколы Первомайского района г, Москвы (преподаватель Голанджан Т.Э.);

2) в двух 6х классах 1000 школы Моокворецкого района г. Москвы (преподаватель Суворова С.Б.);

3) в 6 классе "а" 110 школы Свердловского района г. Москвы (преподаватель Этко A.A.)

в 1965-66 учебном году

1) в двух 6х классах 42 спецшколы Москворецкого района г. Москвы Преподаватель Вишняцкая И.г.);

2) в пятых классах 4-ой школы г. Рязани (преподаватель Холопова И.Ф.);

3) в шестых классах 36 школы г, Рязани (на занятиях математического кружка);

4) в шестых классах 44 школы г. Рязани (на занятиях математического кружка;.

в 1967-68 учебном году

1) в шестых классах 42 спецшколы Москворецкого района г. Москвы (преподаватель Зайцева З.М.);

2) в шестых классах 4 и 12 школ г. Бийска (преподаватели: Попова Р.И., Кретинина М.И., Жидких О.И., Трофимова М.В.).

Эксперимент преследовал цель показать, что понятие направленного отрезка (вектора), а также простейшие операции о векторами на прямой (сложение, вычитание, умножение на число) доступны учащимся 6 класса, и что

использование знаний о векторах на прямой облегчает учащимся сознательное усвоение основных операций над рациональными числами.

Для того, чтобы более объективно оценить результаты изучения темы "Рациональные числа" по выше изложенной методике, успеваемость учащихся по этой теме, определяемая средним баллом за письменные работы, сравнивалась:

а) со средним баллом по письменным работам за год в экспериментальном классе;

б) со средним баллом по письменным работам при изучении других тем в этом же классе;

в) со средним баллом по этой теме в контрольном классе или со средним баллом по этой теме в нескольких шестых классах за другие годы, для которых также сравнивалась средняя успеваемость по всем темам курса, включая тему "Рациональные числа", изучаемую по обычной методике.

В нижеследующей таблице приведены данные по экспериментальным и контрольным классам школ г. Москвы. Буквой к - отмечены контрольные, э - экспериментальные классы.

Из приведенных в таблице данных видно, что успеваемость учащихся при изучении темы "Рациональные числа" по предлагаемой методике выше, чем при изучении по обычной методике, причем она превышает средний балл по сравнению с успеваемостью по другим темам. Успеваемость же учащихся при изучении темы "Рациональные числа" по обычной методике во всех контрольных классах ниже среднего значения.

Как видно из приведенных в пятой главе результатов оценки средней успеваемости и высказываний учителей, проводивших эксперимент, изложение элементов векторной алгебры на прямой и темы "Рациональные числа" на этой основе -материал вполне доступный усвоению учащихся. Как отмечают учителя, учащиеся практически самостоятельно выводят правила действий над рациональными числами, используя знания о действиях над векторами на прямой. По свидетельству учителей наглядный образ постоянно сопутствует учащимся при освоении действий над рациональными числами, существенно облегчая им устранение ошибок.

Эксперимент по введению элементов векторной алгебры на плоскости явился продолжением эксперимента по введению элементов векторной алгебры на прямой.

Он был проведен в 1964-65 учебном году на занятиях матоматических кружков 6-х классов школы № 1000 г. Москвы (на занятиях присутствовало от 15 до 25 человек) и 7-х классов спецшколы № 17 (на занятиях присутствовало в среднем 15 человек), а также на уроках геометрии в двух 6-х классах спецшколы № 42 в 1965-66 учебном году и в 6-ом классе той же школы в 1967-68 учебном году.

Цель эксперимента - изучить возможность введения понятия вектора на плоскости и простейшие операций над векторами (сложение, вьчитание, умножение на число), проверить доступность этого материала учащимся 6-го и 7-го классов, а также сравнить восприятие его учащимися, которым уже известно понятие вектора на прямой (6-ые классы 1000 школы 1864-65 учебный год, 6-ыо классы спецшколы № 42 1965-66 учебный год, 6-ой класс 42 спецшколы 1967-68 учебный год) и учащимся, на год старше их по возрасту, для которых понятие "вектор" является совершенно новым (7-ые классы 17 спецшколы 1965-66 учебный год).

Учитывая различный уровень подготовки учащихся по курсу геометрии (у учащихся 7-х классов естественно выше, чем у 6-х и различный уровень знаний о векторах (у учащихся 7-х классов таковых не было вообще), были составлены программы работы кружков.

Программа работы кружка 6-х классов, которую мы ниже приводим, была использована в дальнейшем для работы на уроках геометрии в 6-х классах (42 спецшколы г. Москвы 1965-66 учебный год и 1967-68 учебный год).

Занятие 1. Задание вектора на плоскости; коллинеарные и неколлинеарные векторы. Векторы одинакового и противоположного направления. Равенство векторов.

Занятие 2. Векторы, симметричные относительно прямой.

Занятие 3. Сумма двух векторов на плоскости. Сумма нескольких векторов на плоскости.

Занятие 4. Разность двух векторов.

Занятие 5. Некоторые вопросы, связанные с умножением вектора на число.

Занятие 6. Решение задач. Контрольный опрос.

Проведенный эксперимент показал, что изучение элементов векторной алгебры на плоскости в 6-ом классе вслед за изучением элементов векторной алгебры на прямой позволяет осуществить достаточно полное изложение элементов векторной алгебры на плоскости на ранней стадии обучения, Из опыта проведения кружковых занятии, а также работы на уроке с учащимися с различной успеваемостью, видно, что указанный материал доступен учащимся этого возраста и воспринимается ими живо и с большим интересом. Повышенный интерес у учащихся вызывает установление ранее известных им фигур новых свойств, связанных с введением направления отрезков, составляющих эти фигуры: отрезки, симметричные относительно прямой - равны; векторы симметричные относительно прямой, в общем случае не равны; стороны в равностороннем треугольнике равны: рассматриваемые как векторы они не равны, сторона в треугольнике всегда меньше суммы двух других сторон; если стороны треугольника рассматривать, как векторы, то сумма векторов, составляющих две стороны, равна вектору, составляющему третью сторону.

Следует подчеркнуть, что ответы учащихся, предложенные ими решения задач и задаваемые вопросы свидетельствовали о существенном росте их математического кругозора, развитии способностей к проведению аналогий, установлению общих и различных свойств у разных и одинаковых математических об"ектов.

В заключительной части диссертации указывается, что проведенная методическая работа, результаты осуществленного педагогического эксперимента, а также опыт, накопленный автором и другими преподавателями на основании разработок

автора за последние годы по введению элементов векторной алгебры на ранеей стадии обучения математике, дают основание сделать следующие выводы:

1) используя векторы на прямой в качестве интерпретации рациональных чисел, можно отказаться от многочисленных трактовок рационального числа, которые имеют место при традиционном преподавании, а именно:

а) при введении отрицательных чисел - число - точка на числовой прямой (конец некоторого отрезка с началом в точке 0);

б) абсолютная величина рационального числа трактуется как длина пути, пройденного некоторым телом;

в) при сложении рациональных чисел - числа рассматриваются либо как направленные, отрезки с незакрепленным началом (хотя об этом нигде четко не говорится), либо используется представление об изменении температурь, которое, понятно-, нигде в дальнейшем не работает;

г) при изучении умножения рациональных чисел приходится привлекать понятие будущего и прошедшего времени, которое чаще всего не упрощает, а усложняет рассмотрение вопроса и учащиеся так до конца и не могут "почувствовать", почему "минус на минус дает плюс";

2) повысить уровень математической культуры на ранней стадии обучения:

а) при параллельном изучении рациональных чисел и векторов на прямой учащиеся вплотную сталкиваются с понятием соответствия;

б) учащиеся обнаруживают, что действия можно производить не только с числами (под буквами в алгебре они очень

долго понимают конкретные числа, но с об"ектами другой природы - векторами;

в) начинают чувствовать необходимость введения новых определений; (в самом деле: что понимать под суммой двух векторов? Под произведением вектора на число? Здесь уже интуиция не может заслонить сути вопроса, как это бывает в действиях над числами. Почти каждого ученика 10-го классе затрудняет вопрос; почему ^ * ~л ~ )

3) преподавание математики окажет квалифицированную помощь преподаванию физики.

Итак, введение элементов векторной алгебры и их использование в преподавании традиционного раздела "Рациональные числа" позволит более современно преподавать математику в школе.

Основные результаты работы доложены:

1) На секции методики математики XXIII научно-методической конференции математических кафедр педвузов Уральской зоны в феврале 1965 года, в г. Тюмени.

2) На секции учителей математики Москворецкого района г. Москвы в августе 1967 года.

3) На заседании учебно-методического семинара при кафедре методики математики МГПИ им.В.И.Ленина в сентябре 1965 года в декабре 1967 года.

Опубликованы статьи:

1) Опыт изложения темы "Рациональные числа"

а) Математика в школе", 1966 г. № 3

б) Matematika ve shkole ve lko£?_ , 1966 г. № 4 (Чехословакия)

2) О применении геометрических образов при изучении рациональных чисел в средней школе (из зарубежного опыта) "Математика в школе", 1967 г. № 2.

3) О геометрическом представлении рациональных чисел "Математика в школе", 1969 г. № 2.