ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. А. И. ГЕРЦЕНА

КАФЕДРА ПСИХОЛОГИИ

А. Д. ВИНОГРАДОВА

Понимание и усвоение школьниками IV—VI класса математической функциональной зависимости

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук (по психологии)

ЛЕНИНГРАД 1953

I.

Одним из основных законов объективного мира природы и общества является закон взаимосвязи и взаимообусловленности предметов и явлений. «Диалектика, — пишет И. В. Сталин, — рассматривает природу не как случайное скопление предметов, явлений, оторванных друг от друга, изолированных друг от друга и не зависимых друг от друга, — а как связное, единое целое, где предметы, явления органически связаны друг с другом, зависят, друг от друга и обусловливают друг друга»1).

Взаимосвязи предметов и явлений действительности многообразны. Явления и предметы природы и общества находятся в причинно-следственных, временных, пространственных и других связях и отношениях.

Одним из видов объективно существующих связей является математическая функциональная зависимость.

Понятие функциональной зависимости является одним из основных понятий всей математики, в том числе и элементарной. Если одна величина стоит в зависимости от. другой, то при изменении последней (независимого переменного), первая (т. е функция) будет изменяться по известному закону; таким образом, каждое частное значение независимого переменного вполне определяет соответствующее значение функции.

Наша школа пропедевтике функциональной зависимости придает огромное значение. В программе по математике говорится о необходимости развивать у учащихся идею функциональной зависимости: «Понятие о функции и ее графическом представлении, в явной форме появляющееся впервые в VIII кл., должно быть подготовлено изучением математики в

1) И. В. Сталин. О диалектическом и историческом материализме, 1950 г., стр. 5.

V—VII кл. Уже в V—VI кл. при изучении арифметики, а в дальнейшем алгебры и геометрии, необходимо обращать внимание учащихся на зависимость одних величин от других, знакомить с вычерчиванием диаграмм, графиков»1).

Пропедевтика функциональной зависимости начинается уже с IV класса, когда учащиеся знакомятся с зависимостью между компонентами и результатами арифметических действий.

От того, насколько успешно будет проведена работа с учащимися IV—VII кл. по овладению идеей функциональной зависимости, во многом зависит успех работы ученика над функциями в старших классах.

Основной задачей настоящего исследования является изучение закономерностей развития понимания и усвоения математической функциональной зависимости школьниками IV—VI классов в процессе школьного обучения.

Эта общая задача исследования осуществлялась решением следующих конкретных задач:

1. В исследовании проводилось изучение закономерностей понимания школьниками (математической функциональной зависимости в развитии как в плане вскрытия (возрастных особенностей, так и в плане установления закономерностей усвоения зависимости от ее элементарных к более сложным видам.

В решении этой задачи мы исходили из учения И. П. Павлова о том, что временные связи в процессе мыслительной деятельности школьников в учении образуются «...как в элементарном виде, так и в сложнейших комплексах»2).

2. Понимание и усвоение математической функциональной зависимости ссответственно связано с формированием у школьников особенных, специфических закономерностей их мыслительной деятельности.

Одновременно с развитием особенных закономерностей в процессе, учения у школьников формируются и развиваются некоторые и общие закономерности их мыслительной деятельности.

В связи с этим настоящим исследованием ставилась задача изучить процесс формирования и развития некоторых общих и особенных в их взаимосвязи закономерностей мысли-

1) «Программы средней школы» (математика). Учпедгиз, 1951 г., стр. 6.

2) И. П Павло в. Полное собрание сочинений. 1951 г., т. III, кн. 2, стр. 326.

тельной деятельности учащихся при изучении ими математической функциональной зависимости.

3. Функциональная зависимость в разных видах ее выражения изучается в школе различными методическими приемами. Изучение закономерностей понимания и усвоения ее школьниками проводилось нами также различными методическими приемами.

В связи с этим в исследовании изучалась психологическая сторона и педагогическая ценность методических приемов исследования обучения .

Исследование и анализ его результатов строились в свете учения И. В. Сталина об единстве языка и мышления, а также на основе павловской физиологии высшей нервной деятельности.

Решение поставленных задач осуществлялось на изучении учащимися в ходе экспериментального исследования двух тем школьного курса математики: а) «Зависимость между результатами и компонентами арифметических действий»—IV класс и б) «изменение площади геометрической фигуры при изменении одного или более компонентов, входящих в ее выражение» — VI класс. Некоторые вопросы второй темы под руководством экспериментатора изучались также школьниками IV и V классов.

По каждой теме проводилось пробное и основное исследование.

Зависимость между элементами арифметических действий изучалась каждым из испытуемых в индивидуальном порядке под руководством экспериментатора один раз, затем второй, третий, — так до полного овладения ею. В конце исследования-обучения давалась в индивидуальном порядке контрольная работа.

Изучение зависимости между элементами геометрических фигур проводилось в течение нескольких уроков. Сначала учащиеся знакомились с простейшими случаями зависимости между площадью и стороной прямоугольника при постоянной величине смежной стороны. Затем — с зависимостыо между сторонами и площадью квадрата. И, наконец, со школьниками велись занятия-исследования по обучению их пониманию и усвоению зависимости между основанием, высотой и площадью прямоугольника, параллелограмма и треугольника при постоянной величине суммы их основания и высоты.

Все занятия проводились в индивидуальном порядке: В конце исследования-обучения в индивидуальном же порядке давалась контрольная работа.

По теме «Зависимость между компонентами и результатами действий» работа проводилась с тремя экспериментальными группами испытуемых следующим образом.

Первая группа изучала материал в таком порядке: изменение суммы, затем — изменение произведения, далее — изменение разности и, наконец, — изменение частного.

Вторая труппа изучала материал в том же порядке, но в одновременном противопоставлении изменению компонентов изменения результатов действий.

Третья группа изучала материал в следующем порядке: изменение суммы, затем— изменение разности, далее — изменение произведения и, наконец, — изменение частного.

Для изучения зависимости между изменением площади и изменением входящих в ее выражение компонентов были созданы экспериментальные группы, работавшие:

Первая группа — с графиками.

Вторая группа — с графиками + наглядное изображение образа меняющейся фигуры в тетради. Третья группа — с диаграммами.

Четвертая группа — с наглядным изображением образа меняющейся фигуры в тетради.

В работе участвовали 92 ученика с III по VIII класс 217, 222, 260 женских и 264 мужской школ г. Ленинграда. Исследование проводилось в 1951 —1952 гг.

II.

В изучении зависимости между элементами действий (IV класс) ученик пользуется конкретным примером. Он постепенно переходит от использования данного единичного примера, как необходимого в выражении зависимости, к использованию его, как возможного для выражения разбираемой зависимости.

В активной деятельности с вариативным использованием примеров ученик в процессе обучения доходит до понимания и усвоения обобщенного характера изменения зависимых величин, от «живого созерцания» он поднимается к «абстрактному мышлению» и затем конкретизирует обобщенные знания в практическом применении. Все это связано с совершенствованием анализа и синтеза в совместной деятельности первой и

второй сигнальных систем при ведущей роли второй, словесной системы мозговой коры.

При решении задач в первое время ученики не осмысливали их на базе заключенной в них функциональной зависимости, за внешним оформлением не вскрывали сущности изученной уже в принципе ими зависимости. Обобщающая и конкретизирующая деятельность реализовалась лишь применительно к заданиям — примерам. Она не переносилась на решение задач. Развитие умения переосмысливать (решение примеров на основе функциональной зависимости в дальнейшей работе ученика, в связи с совершенствованием избирательной иррадиации и развитием подвижности мозговых процессов, переносилось и на решение задач.

В исследовании обнаружилось смешение школьниками разностных и кратных изменений, происходящих в зависимых величинах. Это обусловливалось тем, что на предыдущих этапах обучения изучение этих изменений проводилось без надлежащего использования сравнения, особенно сравнения в виде противопоставления.

Изучение разностного и «кратного изменений в одновременном перемежающемся противопоставлении приводило к четкой дифференциации этих понятий, что объясняется законами деятельности коры «больших полушарий головного мозга. «...Перемежающееся противопоставление этого определенного, постоянно подкрепляемого, условного раздражителя, — писал И. П. Павлов, — с близким к нему агентом, но не сопровождаемым безусловным раздражителем... несравнимо скорее приводит «к цели дифференцировки агентов»1).

При изучении обратной, зависимости изменения ученики обычно на первых занятиях обратную зависимость подменяли прямою, а количественное изменение устанавливали подбором. Выработанный стереотип понимания отношений между величинами прямого изменения переносился на выполнение задания с обратным изменением. В процессе дальнейшей систематической работы понимание обратной зависимости учениками совершалось от частичного привнесения обратного изменения в прямую зависимость к полной замене прямой зависимости обратной.

Формирование понимания зависимости происходило только в непосредственной деятельности с заданием. Часто первичное

1) И. П. Павлов. Полное собрание сочинений. 1951 г., т. IV, стр. 129—130.

восприятие задания приводило к ошибочному его выполнению. Дальнейшая работа над заданием раскрывала перед учеником существенные связи, сначала им незамеченные.

Понимание зависимости между изменением одного компонента и изменением результата действия совершается сначала в динамике качественного изменения. Количественная отдифференцированность изменения происходит позднее, причем в изменении разности и частного она носит более сложный характер и требует для понимания больше усилий, чем в изменении суммы и произведения. Это первая ступень в понимании зависимости между компонентами и результатами действия.

Затем школьники поднимаются к пониманию и усвоению зависимости между изменением обоих компонентов и изменением результата действия. На этой второй ступени в понимании зависимости школьники проходят несколько этапов.

На первом этапе работы все задание по установлению зависимости между тремя элементами выполнялось школьниками обычно неверно. Они не могли еще осмыслить полностью одновременное изменение трех величин.

Понимание зависимости начиналось с выяснения качественного характера изменения величин.

Понимание изменений в сложении и умножении наступало раньше, чем в вычитании и делении.

Обратная зависимость на этом этапе работы не понималась.

На втором этапе этой ступени в отличие от первого этапа заданные изменения понимались учеником как проявление функциональной зависимости. Выполнялись все предложенные изменения не как арифметические действия над заданными числами, а как результативные изменения величин, зависимых от заданных изменений других величин.

Однако на этом этапе работы обнаружился ряд трудностей, специфичных для понимания сложного характера изменения элементов вычитания и деления, в силу чего качественное и количественное изменения элементов этих действий нередко определялось неверно.

На следующем этапе наступало понимание вариативности изменения между качественным характером поведения зависимых величин и их количественным выражением. Для действий сложения и вычитания расхождений не обнаруживалось.

При изучении вариативных изменений в действиях умножении и делении характер изменения иногда отрывался учени-

ком от количественного выражения, и, обычно уменьшение выполнялось вычитанием, а увеличение — сложением.

На важность изучения вариативных изменений при овладении понятиями указывают в своих работах Н. А. Менчинская, В. И. Зыкова, Е. Н. Кабанова-Меллер и др.

В действиях вычитания и деления обнаружился отрицательный перенос изменения последнего компонента на изменение результата действия. Старые связи, отношения, образовавшие стереотипную систему изменений в сложении и умножении, тормозили понимание новых отношений и формирование новых связей.

Наконец, на третьей ступени школьники начинали понимать обратный характер зависимости между элементами арифметических действий. Понимание обратной зависимости для каждого действия шло через использование прямого характера изменения. Понимание обратной зависимости для всех арифметических действий при решении примеров и задач происходило медленнее, чем понимание прямой зависимости.

Овладение зависимостью между компонентами и результатами действий выразилось в развитии у школьников тесной связи абстрагирующей и конкретизирующей мыслительной работы. Сформировавшиеся обобщенные, понятийные знания о зависимости между элементами действий школьники начинали умело применять к решению новых примеров и задач, к самостоятельному составлению примеров и задач на заданную зависимость. Школьники начинали понимать рациональное значение применения понятийного знания зависимости к решению конкретных арифметических задач.

III.

При изучении зависимости между элементами геометрических фигур (VI класс) ученик стремился представить себе наглядный образ изменяющейся фигуры. Но ввиду ограниченности геометрические знаний образ фигуры оказывается у него неподвижным, статическим, лишенным изменений.

На начальных этапах изучения зависимости между величинами геометрической фигуры понимание ее происходило не через соотношение элементов конкретного, разбираемого образа. Сначала зависимость в ее понятийном содержании понималась через известный и более простой математический материал, через активизацию знаний и прошлого опыта. Затем по-

лученное понятийное знание зависимости соответственно выражалось в наглядных образах.

Привлечение наглядною образа играет двоякую роль: оно может и помогать, облегчать установление заключенной в задаче зависимости, а может мешать, заслонять ее. Отрицательная роль наглядных образов проявляется тогда, когда они говорят ученику лишь об отдельных частных случаях разбираемой зависимости.

При изучении различных отношений, в которые вступают одни и те же величины, ярко обнаружилась инертность в мыслительной деятельности школьников. Так, в выражение полупериметра и площади прямоугольника входят Одни и те же значения двух смежных его сторон. Однако от того, какие между ними устанавливаются отношения, результаты будут различными. Для нахождения полупериметра прямоугольника ученик складывает, значения двух смежных сторон, для нахождения площади этого прямоугольника ученик должен перемножить те же самые значения. Задание: «Пусть полупериметр прямоугольника равен 8 см и не меняется. Если менять одну ив сторон постепенно, что в это время будет происходить с другой ею стороной?» Ученик Позднеев (VI кл. 264 шк.) выполняет правильно. Ему ставится далее вопрос: «А что при таком изменении сторон происходит с площадью?»

Уч-к Позднеев отвечает: «Площадь прямоугольника остается такой же. Ведь, если увеличим основание на сколько-то, то высота уменьшится на столько же, п. ч. их сумма одна и та же. Ну, а площадь не изменится».

Это характерный случай смешения произведения двух величин с суммой тех же величин. Эта особенность мыслительной деятельности была настолько устойчивой, что даже после нескольких занятий с решением подобных задач она проявлялась в мыслительной деятельности школьников.

Выработка новою стереотипа происходит в постоянных «сшибках» со старым стереотипом. И нередко еще старый стереотип занимает место нового, тогда ученик дает тот же неверный, ошибочный ответ. Ошибочное утверждение о неизменяемости площади продолжало упорно существовать при изучении зависимости на ряде фигур (прямоугольнике, треугольнике, параллелограме).

При работе над усвоением зависимости между элементами геометрических фигур у школьника должно сформироваться понимание динамического характера изменения сторон прямо-

угольника, его площади и соответствующей динамической зависимости между изменением сторон и соответствующим изменением площади. Одновременно с этим., должно развиться умение из процесса всей зависимости выделять отдельные статические случаи. Это необходимо для установления правильности понимания зависимости между изменением элементов, величин геометрической фигуры при рассмотрении отдельных случаев изменения.

В исследовании — обучении у школьников формировалось понимание функциональной зависимости в единстве динамики ее изменения и статических случаев ее выражения, совершенствовалась связь анализирующей и синтезирующей деятельности их мышления.

Однако на начальной стадии изучения зависимости иногда целостное восприятие взаимного изменения превалирует над умением выделить отдельные случаи из всего процесса изменения.

Встречались также случаи отрыва понимания динамики от понимания статики в изменении величин.

Понимание школьником рассматриваемой зависимости между элементами геометрических фигур проходило в своем развитии несколько ступеней.

Начальная ступень мыслительной деятельности характеризуется образованием минимума связей и выражается в понимании зависимости между двумя величинами, элементами.

На следующей ступени происходит обогащение существующих связей новыми, формирующимися на основе понимания минимума связей. Эта мыслительная деятельность выражается в понимании перехода от зависимости двух величин к зависимости трех величин.

На дальнейшей ступени происходит расширение объема и углубление старых связей через формирование понимания качественно новых отношений между элементами зависимости. Ученики начинают понимать и усваивать прямую зависимость между тремя одновременно меняющимися величинами.

Наконец, последняя ступень характеризуется наступлением достаточно полного понимания данной зависимости, — школьники усваивают прямой и обратный характеры ее изменения.

В понимании и усвоении зависимости между элементами геометрических фигур учениками IV—VIII кл. обнаружены некоторые возрастные особенности. Так, мышление школьников IV класса при изучении доступных для них соотношений между элементами геометрических фигур характеризовалось ярко-

стью наглядного образа, с опорой на который и совершалось понимание зависимости между величинами, элементами геометрических фигур. Школьники IV класса могли определить динамическую качественную и количественную характеристики изменений двух величин. Но они затруднялись в осмысливании сложного одновременного изменения трех зависимых величин.

Ученики VI класса овладевали функциональной зависимостью между элементами геометрических фигур при выражении ее через какой-либо способ наглядности. Вскрывали ее обратимость, динамичность и четко вычленяли количественную определенность как всею процесса изменения, так и некоторых статических состояний изменяющихся величин.

При изучении функциональной зависимости на этом материале учениками VII—VIII кл. обнаруживалось правильное и глубокое понимание обобщенного характера изменяющихся величин, быстро вырабатывалась способность свободно переносить изменения с одной фигуры на другую и устанавливать самостоятельно обобщенный характер функциональной зависимости безразлично к геометрическому образу фигуры. Школьниками этих классов выполнялись сложные практические задачи с использованием изученной зависимости.

IV.

В овладении функциональной зависимостью безотносительно к конкретному содержательному ее выражению ученик идет через использование наглядности.

Но привлечение наглядности в связи с -ее характером может тормозить или помогать пониманию зависимости.

Отрицательная роль наглядного образа выступала в начальных занятиях ученика, когда ему приходилось впервые знакомиться с новыми наглядными взаимоотношениями между элементами образа.

Когда ученик овладевал пониманием динамики- элементов наглядного образа, тогда привлечение непосредственного образа помогало более осознанному пониманию разбираемой зависимости.

Понимание школьниками функциональной зависимости начиналось с вычленения самой выпуклой, рельефной ее черты: динамического качественного изменения. Затем понимание расширялось до вскрытая количественной определенности изменений зависимых величин в результате более сложной ана-

литико-синтетичеекой деятельности. Однако первоначально схватывались самые общие неправильные значения и границы количественного выражения изменения величин. Дальнейшая работа приводила к сужению охватывающего кору мозга возбуждения, к выработке более тонкой дифференцировки и точному количественному выражению изменения величин.

В работе ярко обнаружился перенос в мыслительной деятельности й знаниях учеников при усвоении учащимися функциональной зависимости. Так, например, когда школьники рассматривали после изучения зависимости в действии вычитании зависимость в действии делении, то они узнавали качественно одинаковый характер обоих изменений, переносили опыт своей мыслительной деятельности и прошлые знания и успешно усваивали зависимость в действии делении.

В самом деле, зависимость между элементами действия вычитания понимается и усваивается учеником в процессе вскрытия динамики и специфики происходящих изменений при решении разнообразных примеров и задач. В выполнении этой работы у школьника вырабатываются определенные системы связей, приобретаются определенные знания. Мыслительная деятельность совершается в речи. В словесном мышлении знания приобретают отвлеченный и обобщенный характер.

В силу необычайной пластичности коры мозга, генерализации и избирательной иррадиации процессов возбуждения в ней при работе над новым материалом, имеющим сходные моменты с прошлыми знаниями и опытом мыслительной работы, происходит перенесение закономерностей мыслительной деятельности и прошлых знаний в новые условия работы.

Перенесение совершается как при непосредственном следовании различных частей изучаемого материала друг за другом, так и при отсроченном изучении второй его части по сравнению с первой изученной частью.

Но по своему характеру перенос может совершаться как с одного частного случая на другой, так и с частных случаев на общие (в процессе обобщения) и, обратно, с общего на частные случаи (в процессе конкретизации).

Развитие и совершенствование положительного перенесения создает почву для лучшей возможности осуществления политехнического образования, для умения практически использовать теоретические знания.

Перенесение в мыслительной деятельности совершается в единстве с перенесением знаний. Переносятся не только мыслительные закономерности, приобретенные на ранее изученном

материале, выражающем функциональную зависимость, но переносятся и знания о функциональной зависимости.

Функциональная зависимость является выражением объективно существующей связи между предметами и явлениями действительности.

В некоторых случаях функциональная зависимость перекрещивается с причинно-следственной зависимостью, является ее математическим выражением.

В. И. Ленин, критикуя Маха, пытавшегося «заменить понятие причины понятием функции», указывает, что только зависимость, находящаяся «ори известных условиях», может являться функциональной зависимостью. В. И. Ленин говорит: «понятия порядок, закономерность и т. п. могут быть выражены при известных условиях математически определенным функциональным соотношением!»1)

Использованная нами в исследовании функциональная зависимость представляет собою тот случай, когда она является математическим выражением причинно-следственной зависимости.

При изучении понимания и усвоения математической функциональной зависимости в исследовании установлены такие закономерности мыслительной деятельности учащихся, как развитие понимания зависимости в единстве ее качественных и количественных выражений, в единстве динамики и статики, в прямой и обратной зависимости (обратимости). Они являются особенными, специфическими закономерностями.

Но всякое отдельное, особенное есть так или иначе общее. Общее проявляется и развивается через развитие особенного, отдельного. Тем самым, в процессе развития указанных особенных закономерностей мыслительной деятельности учащихся при усвоении математической функциональной зависимости совершается развитие и общих закономерностей нахождения причинно-следственных связей и отношений.

В самом деле, развитие понимания обязательного количественного выражения зависимости, способствует развитию у школьников установления возможных количественных выражений любых причинно-следственных связей и отношений. Развитие понимания функциональной зависимости в единстве ее динамики и статических выражений является в то же самое время развитием общей закономерности причинного мышления школьников, заключающейся в установлении причинно-следст-

1) В. И. Ленин. Сочинения, т. 14, изд. 4, стр. 146.

венных связей и отношений в единстве процесса их изменения с тем или иным его выражением в каждый данный момент. Наконец, развитие понимания обратимости функциональной зависимости в то же самое время есть развитие умения устанавливать ее в тех случаях причинно-следственной зависимости, в которых она действительно имеется.

Таким образом, в процессе усвоения математической функциональной зависимости у школьников развивается мышление в его общих и особенных закономерностях, что является одним из элементов формирующегося у советских школьников диалектико- материалистического мышления.

В результате анализа экспериментального материала и психологической стороны различных методик исследования по изучению зависимости между результатами и компонентами арифметических действий в IV классе обнаружилась следующая педагогическая ценность отдельных методических приемов исследования.

Изучение школьниками зависимости между компонентами и результатами действий проходило успешнее после изучения ими всех арифметических действий.

При изучении изменений, происходящих в различных арифметических действиях, в последовательности, дающей возможность установить наилучшим образом сравнительное сходство и различие этих изменений, то есть при изучении сначала зависимости между элементами сложения и умножения, а затем — вычитания и деления, усвоение материала учениками оказалось эффективнее, чем при изучении его в каком-либо ином порядке. Такая последовательность предостерегала учеников от механического, формального заучивания многочисленных, разрозненных случаев изменений.

Особенно успешно школьниками усваивалась зависимость между компонентами и результатами всех действий тогда, когда изучение ее проводилось методом одновременного перемежающегося противопоставления прямых и обратных изменений.

Результаты нашего исследования по изучению зависимости между некоторыми элементами геометрических фигур показали, что учащимся VI класса доступно понимание изображения функциональной зависимости величин на графике.

Из всех примененных нами наглядных способов изображения зависимости наилучшим оказался графический способ. Это объясняется тем, что график с большой четкостью выражает качественный и количественный динамический характер

изменения зависимых величин, помогает быстро установить соответствующие значения зависимых величин в каждом отдельном случае и ярко демонстрирует обратимый характер их изменения.

Более полное и успешное понимание и усвоение зависимости между величинами фигуры и умение одновременно представить изменение ее образа достигалось в том случае, когда графический способ изучения зависимости дополнялся иллюстрированием изменения образа рассматриваемой геометрической фигуры. Такое сочетание абстрактного понятия зависимости соответственно меняющихся величин с представлением конкретного образа меняющейся фигуры оказалось наилучшим. При этом методе овладения зависимостью процесс вычленения и абстрагирования существенных черт изучаемой школьником зависимости происходил с одновременной конкретизацией формирующегося понятия в ощутимо изменяющемся образе фигуры. Обобщение в слове всего процесса изменения элементов фигур и формирование понятийного знания зависимости совершалось совместно с выражением ее в обобщенном (график) и индивидуально-конкретном (зарисовка отдельных статических состояний изменяющейся фигуры) образном виде.

М310ВЭ tO-V-бЗ т. Тип. «Сталинец» зак. 2563 т. 100