АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ МЕТОДОВ ОБУЧЕНИЯ

Е. М. ВАСИЛЬЕВА

ГРАФИЧЕСКИЕ РАБОТЫ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ VI—VII КЛАССОВ

автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук.

Научный руководитель член-корреспондент АПН РСФСР, доктор физико-математических наук профессор В. Л. ГОНЧАРОВ

МОСКВА — 1955

1. О ГРАФИЧЕСКИХ УПРАЖНЕНИЯХ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ VI—VII КЛАССОВ

Идея функции и ее графического изображения является одной из основных и плодотворных идей школьного курса математики. Она представляет собой стержень, вокруг которого группируются многие разделы школьного курса алгебры, геометрии и тригонометрии. Понятие функциональной зависимости имеет огромное значение для формирования диалектико-материалистического мировоззрения учащихся и для показа практических приложений математики. Особое значение приобретает идея функции и ее графического представления в связи с введением в программу средней школы понятия о производной.

Глубокое понимание функции и ее графического изображения не может быть достигнуто на нескольких специально выделенных уроках. Для усвоения круга этих понятий нужна длительная и систематическая работа. Небольшая тема «Функции и их графики», изучаемая в VIII классе, не должна служить началом изучения функций и их графиков в школе. Цель этой темы обобщить и систематизировать то, с чем учащиеся ознакомились раньше, и дать в явном виде функциональную терминологию и обозначения. Объяснительная записка к программе по математике подчеркивает, что: «Понятие о функции и ее графическом представлении должно быть подготовлено изучением математики в V—VII классах»1. Это общее указание детализируется в той части объяснительной записки, которая посвящена алгебре. Оно подкреплено включением в программу VI—VII классов ряда вопросов, направленных на ознакомление учащихся с простейшими функциями и их графиками.

Диссертация не рассматривает построение графиков функций как самоцель. Но для удобства рассмотрения она выделяет вопрос о графических упражнениях. Такое выделение оправдано тем, что графические представления составляют одну из основных частей функционального начала в курсе алгебры.

1 Программа средней школы на 1955—56 учебный год. Математика Учпедгиз. 1955, стр. 12.

Значение графических упражнений, рассматриваемых в курсе алгебры в VI—VII классах, состоит в следующем.

1. Они создают запас конкретных представлений, на основе которых формируется понятие о графике функции, и придают наглядность изучению функциональной зависимости.

2. С их помощью выясняются такие трудные для понимания учащихся VII классов вопросы как особые случаи решения системы линейных уравнений и существование приближенного квадратного корня из числа, не являющегося точным квадратом.

3. Составление таблиц способствует закреплению и развитию вычислительных навыков и в частности навыка в округлении результатов действий.

4. Графические упражнения связывают преподавание алгебры с геометрией, физикой и химией, что имеет большое значение для политехнического обучения.

5. Построение графиков вносит разнообразие в уроки алгебры, возбуждая интерес учащихся и повышая их работоспособность.

Несмотря на большое общеобразовательное и политехническое значение внедрения идеи функции и ее графического изображения в курс алгебры VI—VII классов и несмотря на прямые указания программы, в школьной практике этому вопросу уделяется мало внимания. Состояние знаний, умений и навыков учащихся неудовлетворительное. В большинстве школ в VI—VII классах преимущественное внимание уделяется формально-логическому направлению преподавания алгебры. При этом игнорируется указание объяснительной записки о том, что составление таблиц значений алгебраических выражений и построение соответствующих графиков (по точкам) «... приучит видеть в алгебраических выражениях не только определенную комбинацию букв и чисел, но и функцию от этих букв». На вопросы, связанные с развитием функционального начала, в том числе и на графические упражнения, отводится минимальное количество времени. Учащимся сообщаются некоторые сведения, но у них не вырабатывается умение и навык связывать с теми или иными математическими фактами их графические представления.

В диссертации выясняются следующие причины такого состояния графических упражнений в курсе алгебры VI—VII классов.

1. Многие учителя математики все еще недооценивают значения функционального начала в курсе алгебры.

2. Не разработана методика внедрения идеи функции и ее графического представления в курс алгебры VI—VII классов.

Вопрос о проникновении функционального начала в курс алгебры младших классов ставился еще в дореволюционной

школе. Он имеет свою историю, подробно описанную в ряде диссертаций. В условиях советской школы, периода после постановления ЦК ВКП(б) от 25 августа 1932 г., проблема практического внедрения функционального начала в курс алгебры VI—VII классов снова была поставлена проф. В. Л. Гочаровым. В статье «Арифметические упражнения и функциональная пропедевтика»1, в книге того же названия, вышедшей в 1947 г., и особенно в экспериментальных учебниках по алгебре для VI и VII классов проф. В. Л. Гончаров определил содержание и наметил в общем виде систему работ, направленных на развитие идеи функции и ее графического представления в курсе алгебры VI—VII классов.

После того, как в 1948 г. в программу по алгебре VI—VII классов были включены некоторые элементы ознакомления с простейшими функциями и их графиками, в печати появилось несколько брошюр и статей методического характера. Одни из них посвящены общим вопросам внедрения функционального начала в преподавание алгебры и не уделяют внимания графическим работам; другие носят характер поурочных разработок. Но пока не разработана методически обоснованная система упражнений, не проведен анализ специфических трудностей, возникающих при выполнении графических работ.

Эти соображения обусловили выбор темы диссертации. Диссертация состоит из следующих частей.

Введение.

Глава I. Диаграмма и график.

Глава II. Некоторые вопросы обучения построению графиков.

Глава III. Система графических упражнений.

Общие выводы.

Библиография.

II. ЗАДАЧИ ДИССЕРТАЦИИ

Основная задача диссертации состоит в том, чтобы разработать содержание, систему и методику графических работ, направленных на внедрение идеи функции в курс алгебры VI—VII классов.

Для решения этой основной задачи потребовалось решить ряд частных задач.

1. Изучить учебную и методическую литературу в плане сравнения современной советской литературы с литературой двадцатых годов, в основном определяемой методическими

1 Гончаров В. Л. Арифметические упражнения и функциональная пропедевтика, Известия АПН № 6, 1946, стр. 29.

идеями, сложившимися еще в дореволюционный период (К. Ф. Лебединцев и А. П. Киселев) и с литературой зарубежных стран (Германской Демократической Республики, Англии, США).

2. Отделить материал, подлежащий изучению в курсе арифметики, от материала, которым следует заниматься в курсе алгебры, и определить критерий этою деления.

3. Анализируя процесс выполнения графических работ, установить специфические трудности, характерные именно для графических упражнений, и дать методику их преодоления.

4. Дать систему графических работ, направленных на внедрение функциональною начала в курс алгебры VI—VII классов, и показать ее выполнимость.

5. Разработать методику проведения графических работ в курсе алгебры VI—VII классов.

ГЛАВА I

ДИАГРАММА И ГРАФИК

В первой главе диссертации дается обоснование деления графических представлений на диаграммы и графики. Диссертация делит графические представления количественных отношений, изучаемые в курсе математики средней школы, на графические представления сравнения величин и графические представления изменения величин.

Столбчатые диаграммы (также как плоскостные и объемные) — являются графическими представлениями сравнения таких значений величины, которые независимы друг от друга и не переходят одно в другое. Структурные диаграммы (секторные и прямоугольные) являются графическими представлениями сравнения частей одного и того же целого. Перечисленные виды диаграмм представляют собой графические представления сравнения величин и они рассматриваются на уроках арифметики в V—VI классах.

Существенное значение для внедрения функционального начала в курс алгебры VI—VII классов имеют графические представления изменения величин. В диссертации эти графические представления разбиты на 2 категории: линейные диаграммы — графические представления функций, определенных, на дискретных множествах, и графики — графические представления функций, определенных на непрерывных множествах.

Если функция определена на дискретном множестве, ее графическое представление— линейная диаграмма, есть система изолированных точек или вертикальных отрезков — ор-

динат. Линейная диаграмма отражает процесс дискретного изменения. В диссертации проведена мысль о том, что линейные диаграммы следует рассматривать на уроках арифметики в V—VI классах и на уроках алгебры в старших классах, когда у учащихся уже сложилось представление о графике непрерывной функции. Для построения линейных диаграмм на уроках арифметики выбираются такие определенные на дискретных множествах функциональные зависимости, которые заданы таблицами, например, диаграмма выпуска продукции. В старших классах при изучении последовательностей линейные диаграммы наглядно представляют такие определенные на дискретных множествах функциональные зависимости, которые заданы уравнениями, например, у = а + d(n — 1) при п = 1; 2; 3; . . .

Если функция определена на промежутке или на нескольких промежутках, то ее графическое представление, график, есть линия, непрерывная или состоящая из отдельных частей (отрезков и изолированных точек). Графики рассматриваются на уроках алгебры.

Диссертация показывает, что при изучении математики учащиеся VI—VII классов не раз встречаются с разрывными функциями, определенными на промежутках. Но построение графиков этих функций методически нецелесообразно. В VI— VII классах графики строятся «по точкам», т. е. учащимся предлагается соединить плавной кривой намеченные точки. Графики разрывных функций нарушают это условие. В VI— VII классах, где только начинается построение графиков, нецелесообразно вводить упражнения, в которых нужно было бы предварительно решать вопрос о правомерности соединения намеченых точек. Поэтому построение графиков разрывных функций следует исключить из графических упражнений в VI—VII классах.

В диссертации рассмотрены два способа создания представления о графике непрерывной функции. Один из них связан с движением точки на координатной плоскости; им пользуются при первых графических упражнениях в VI классах, при построении графиков зависимости между конкретными величинами. Второй путь создания представления о графике связан с геометрическим местом точек, координаты которых удовлетворяют закону соответствия y = f(x). Такая трактовка графика менее конкретна, но она имеет большее значение как для школьного курса алгебры, так и для высшей математики.

Эти две трактовки: график зависимости и график уравнения, в диссертации не противопоставляются друг другу, хотя отмечается, что на первых порах в VI классах целесообразнее представление о графике связывать с движением точки на плоскости.

ГЛАВА II

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ОБУЧЕНИЯ ПОСТРОЕНИЮ ГРАФИКОВ

Графические упражнения, связанные с проникновением функционального начала в курс алгебры VI—VII классов, требуют значительной затраты времени. Вторая глава диссертации рассматривает некоторые детали построения графиков, на которые обычно не обращают внимания и которые позволят учителю уменьшить время, затрачиваемое на проведение графических упражнений, и облегчат учащимся их выполнение.

При построении графиков объяснение учителя лучше воспринимается учащимися, если оно сопровождается показом всех последовательных этапов построения на доске, разграфленной в клетку. Наличие такой доски значительно сокращает время не только на построение на доске, но и на объяснение учителя. Таблица, изображающая готовый график, не заменит клетчатую доску, т. к. при обучении построению графиков показ процесса построения имеет большее методическое значение, чем показ результата построения.

Одной из основных проблем второй главы диссертации является выяснение возможности использовать клетчатую бумагу как математический инструмент и разработка методики использования клетчатой бумаги при построении графиков Под термином «клетчатая бумага» подразумевается бумага покрытая сетью равных квадратов, например, обычная клетчатая бумага тетрадей «в клетку» и миллиметровая бумага. В диссертации показано, что существенное использование линий разлиновки клетчатой бумаги не искажает идеи прямоугольной системы координат. Если оси координат расположить по линиям разлиновки, то сеть клеток, покрывающая лист бумаги, представит собой координатную сетку. Применение клетчатой бумаги упрощает построение системы координат и нанесение масштаба на оси. Помимо этого оно значительно облегчает нанесение точек на координатную плоскость и чтение координат точек, уже нанесенных на координатную плоскость. Причем вспомогательные перпендикуляры к осям проводятся лишь в нескольких первых упражнениях, затем их проведение заменяется активным использованием линий разлиновки.

Диссертация выделяет три последовательно усложняющиеся случая использования клетчатой бумаги при построении графиков: искомая точка лежит на двух линиях разлиновки; искомая точка лежит на одной линии разлиновки; искомая точка лежит между линиями разлиновки. Диссертация показывает, что для успеха обучения необходимо не ограничиваться первым наиболее легким случаем, что наличие готовой координатной сетки облегчает нанесение точек и в тех случаях, когда они лежат на

одной линии разлиновки или вне линии разлиновки. При этом учащиеся приобретают навык в оценке «на глаз» десятых долей таких отрезков как 5 мм и 1 см (одна «клетка» и две «клетки»). В ходе таких упражнений у учащихся вырабатывается умение определять степень точности, с которой нужно округлять данные готовой таблицы или которая нужна при заполнении таблицы.

Миллиметровая бумага позволяет производить отсчеты с большей точностью, чем обычная клетчатая бумага тетрадей «в клетку». Но для ознакомления с принципами построения графиков и для графических упражнений, направленных на выяснение влияния параметров на положение графика, обычная клетчатая бумага удобнее миллиметровой, т. к. наличие многочисленных тесно расположенных линий разлиновки затрудняет для учащихся понимание вопроса.

В работах, связанных с получением числового ответа путем отсчета по готовому графику, клетчатая бумага используется как на всех этапах обучения, так и в практической работе с графиками и номограммами. В графических работах, цель которых дать наглядное представление об изменении функции, клетчатая бумага используется, главным образом, при обучении. В VI—VII классах, где происходит накопление конкретных представлений, учащиеся строят по точкам графики функций с конкретными числовыми значениями параметров. Эту работу всегда следует проводить на клетчатой бумаге. Но умение строить графики по точкам на клетчатой бумаге не самоцель. Это путь к умению в старших классах сделать схематический набросок хода изменения какой-либо конкретной функции, например, у = ах2, у = ах и т. п. В свою очередь это умение необходимо для формирования понятия о графике функции y = f(x), как о некоторой кривой.

В связи с построениями на клетчатой бумаге возникает вопрос о выборе масштаба. Диссертация показывает, что наглядность графика и степень трудности его построения зависят от выбора масштаба. Изменение масштаба на одной оси меняет форму графика, при этом кажется, что изменяется быстрота возрастания или убывания функции. Этим обстоятельством пользуются в методических целях.

В графических работах, выясняющих влияние параметров, входящих в уравнение, на график уравнения, обычно берут одинаковые масштабы на осях. Особенно важно сохранение одинаковых масштабов на обеих осях при изучении линейной функции в VII классе, т. к. при этом условии учащиеся получают более наглядное представление о «наклоне» прямой.

При построении графиков эмпирических функций на осях часто устанавливают различные масштабы. Выбор масштаба

должен удовлетворять некоторым требованиям технического характера; главные из них:

а) график должен помещаться на отведенном месте,

б) должно быть обеспечено рациональное использование клетчатой бумаги. Это значит, что одна клетка должна содержать 1; 2; 4; 5; 10; 20; 50; 100 и т. д. единиц длины, чтобы удобно было «на глаз» оценивать доли клетки.

Цифры при осях, масштабные пометки, ставятся достаточно далеко друг от друга (через 2; 4 или 5 клеток) ; это предупреждает типичные ошибки на смещение масштаба.

Диссертация рекомендует в VI классах сокращенно записывать масштаб, используя для этого значок = заменяющий слово «соответствует», как это принято, например, в немецких учебниках.

ГЛАВА III СИСТЕМА ГРАФИЧЕСКИХ РАБОТ

В начале главы рассматривается графическая интерполяция, т. е. нахождение по графику, путем непосредственного отсчета, значения одной переменной по данному значению другой переменной. Графическая интерполяция как составная часть входит во многие графические упражнения.

В учебной литературе обращается внимание на практическое значение графической интерполяции. Для учащихся эта практическая значимость является единственным основанием для введения графической интерполяции; но с методической точки зрения, значение графической интерполяции не исчерпывается ее практическим применением. Графическая интерполяция как бы заполняет весь график точками, изображающими пары значений переменных. Она служит созданию конкретного представления о графике как о геометрическом месте точек. В диссертации приводится несколько интересных и связанных с практикой задач на построение графиков, удобных для объяснения практического применения графической интерполяции. Эти задачи, по мнению автора диссертации, хороши как первые графические упражнения в VI классе.

Диссертация показывает, что систематическое включение вопросов по графической интерполяции приучает к аккуратному и точному выполнению работ. Для исследования хода изменения функции иногда бывает достаточно не очень точного, примерного схематического наброска; но для успеха проведения графической интерполяции учащемуся нужно точно и аккуратно наметить график.

Обучение учащихся графической интерполяции развивает у них навык в оценке на глаз десятых долей отрезка. Постепенное развитие этого навыка связано с тремя различными спосо-

бами использования клетчатой бумаги. В диссертации показан переход от более простого способа к сложному как в пределах одного упражения, так и в пределах системы упражнений.

Упражнения по графической интерполяции позволяют подвести учащихся к ознакомлению с простейшими номограммами. Диссертация ограничивается рассмотрением этого вопроса в рамках классной работы. Из номограмм различных видов выделяются сетчатые номограммы, состоящие из прямолинейных графиков, как наиболее соответствующие программе и возрастным особенностям учащихся.

В диссертации рассмотрен вопрос о том, когда следует познакомить учащихся с такими номограммами, и приведены данные опытной проверки, подтверждающие доступность этого материала.

В просмотренных автором английских и американских учебниках (издания 1927—1952 гг.) номограммы не рассматриваются. Но в учебниках немецкой школы (издания 1949—1954 гг.) учащихся рано знакомят с простейшими сетчатыми номограммами. Причем такие номограммы помещены в учебнике VII класса в разделе «Проценты»1 и в специальных таблицах2 типа наших четырехзначных таблиц В. М. Брадиса.

В сответствии с делением, которое дает проф. В. Л. Гончаров3, диссертация рассматривает 2 периода ознакомления учащихся средних классов с функциями и их графиками. Первый или «подготовительный период» включает в себя упражнения, которые проводятся до явного введения системы координат во II четверти VII года обучения. Его цель — подготовить учащихся к мысли, что каждому уравнению с двумя неизвестными соответствует график, который можно построить по точкам. Второй период развития идеи функции и ее графического представления, «период накопления фактов и навыков», включает в себя упражнения, проводимые в VII и VIII классах до изучения темы «Функции и их графики». Его цель подвести учащихся к мысли: вид графика зависит от типа уравнения и от входящих в уравнение параметров. В VII классе эта мысль выясняется на примере линейного уравнения (в VIII классе — на примере квадратной функции).

Развивая и методически разрабатывая вопрос разумного проникновения функционального начала в преподавание алгебры, диссертация показывает, что в подготовительный период следует, включить последовательное построение следующих графических представлений:

а) диаграмм прямой и обратной пропорциональности;

1 Lehrbuch der Mathematik für die Grundschule. 7. Schuljahr, Berlin, 1951, стр. 22, 37.

2 Zahlentafeln für die Grundschule, Berlin, 1953, стр. 29.

3 Гончаров В. Л. Функции и графики. Рукопись, стр. 124.

б) графиков эмпирических функций;

в) графиков функций, заданных условием текстовой задачи;

г) графиков функций, заданных алгебраическим выражением.

Построение диаграмм прямой и обратной пропорциональности необходимо для лучшего уяснения этих важнейших в арифметике зависимостей и для восстановления навыков в выполнении графических работ на клетчатой бумаге, которые были приобретены учащимися к концу V года обучения.

Упражнения на построение графиков эмпирических функций, графиков функций, заданных условием текстовой задачи, и графиков функций, заданных алгебраическим выражением, являются ступенями, которые ведут учащегося от конкретного к абстрактному. Обоснование необходимости упражнений всех этих видов, порядок их следования и методика их проведения составляют основное содержание параграфа, посвященного системе графических упражнений в VI классе. Предлагаемая в диссертации система упражнений начинается с наглядного изображения изменения длины столбика ртути в термометре в зависимости от времени и заканчивается графиком изменения числового значения алгебраического выражения в зависимости от изменения значения буквы, в него входящей. Время, затраченное на проведение этой системы графических работ в VI классе, не превышает того времени, которое затрачивает учитель, интересующийся графиками, на выполнение соответствующих упражнений из стабильного сборника задач. В диссертации дано описание опытной проверки этого материала.

Логически введение системы координат, как аппарата для установления соответствия между парами чисел и точками плоскости, должно предшествовать построению графиков. С методической точки зрения, абстрактная идея соответствия между произвольной парой чисел и точкой плоскости, независимо от того, какая функция рассматривается и рассматривается ли функция вообще, может быть глубоко и прочно усвоена учащимися только после построения достаточного количества графиков. Поэтому явно система координат вводится в VII классе. Устанавливая место явного введения системы координат, диссертация показывает пути научного обоснования расположения этого материала в программе. По данному вопросу в диссертации дается решение, отличное от того, которое рекомендовано многими методическими статьями и некоторыми диссертациями. Например, дисертации Б. П. Бычкова и Н. Г. Федина предлагают ввести систему координат до построения первого графика, т. е. в VI классе.

По предлагаемой в диссертации системе, учащиеся VII класса убеждаются в прямолинейности графиков у = ах и у =ах+в из опыта. Поэтому до формулировки правила о прямолинейности, учащиеся строят достаточное количество этих графиков по

точкам. Диссертация показывает, что в VII классе при построении графиков уравнений у = ах и у = ах + в по точкам, целесообразно ввести понятие «наклона» прямой (а = m : п),числа, показывающего на сколько клеток вправо (п) и вверх (m) нужно подвинуться от одной точки, лежащей в вершине сетки клеток, до следующей такой точки, также лежащей в вершине сетки клеток. Введение такой трактовки «наклона» прямой создает у учащихся конкретные представления о приращениях аргумента и функции. Опытная проверка показывает, что понятие «наклона» прямой вполне доступно для учащихся и используется ими при построении графиков.

В диссертации проведена мысль о том, что рассмотрение системы линейных уравнений не следует начинать с графических представлений. В этом случае наглядное (точка пересечения двух прямых) служит подтверждением отвлеченного (единственности решения системы уравнений) не непосредственно, а через посредство еще недостаточно прочно освоенных учащимися принципов системы координат. Для учащихся VII класса аналитическое решение несложной системы «нагляднее» ее графическою решения. Но геометрическое истолкование уже решенных алгебраическими способами систем нужно, т. к. оно служит еще одним средством уяснения и закрепления идеи адэкватности уравнения и его графика. Кроме того, оно помогает уяснить смысл особых случаев решения системы.

«Графическое решение» системы линейных уравнений, как способ получения приближенных значений неизвестных, занимает небольшое место в предлагаемой диссертацией системе графических работ. Причины этого лежат в том, что общеобразовательное значение графиков для решения систем уравнений может быть достаточно полно выявлено геометрической интерпретацией решения системы; практическое же значение графиков выявляется в вопросах, связанных с графической интерполяцией, яснее, чем при «графическом решении» систем линейных уравнений.

При работе над диссертацией были использованы наблюдения за работой учителей г. Кемерова и Кемеровской области; описание опыта лучших учителей РСФСР; материалы педагогических чтений; учебно-методическая литература советской школы, русской дореволюционной, немецкой, английской и американской школ; личный опыт работы диссертанта в качестве преподавателя школы, методиста областного института усовершенствования учителей и преподавателя пединститута.

Опытная проверка методических положений диссертации была проведена в школе № 24 г. Кемерова в 1953—54 учебном году и в школах № 315 и № 364 г. Москвы в 1954—55 учебном году.

Проведенные во время эксперимента контрольные и самостоятельные работы показали доступность предлагаемой сис-

темы графических упражнений. Учителя, проводившие эксперимент, отмечали, что проведенные графические работы были доступны и интересны для учащихся, помогали уяснению прямой и обратной пропорциональной зависимости, имели воспитывающее значение. Учительница VII классов школы № 315 M. М. Зюзина, имеющая большой стаж работы, в своем отзыве пишет: «Проведенная система графических работ безусловно облегчит изучение соответствующих разделов алгебры в VIII классе».

Содержание и выводы диссертации были сообщены в виде докладов на городских и районных методических объединениях учителей математики г. Кемерова, в городском институте усовершенствования учителей г. Москвы и на методических объединениях учителей математики школ № 315 и № 364 г. Москвы. II и III главы диссертации послужили материалом семинара, проведенного автором диссертации с учителями математики V—VII классов Москворецкого района г. Москвы. Учителя проявили интерес к изложенному материалу и указали на его непосредственную пользу в преподавании алгебры.

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ

Содержание графических упражнений и методика их проведения, разработанные в диссертации, позволяют дать учащимся VI—VII классов такую систему знаний и навыков, которая повышает идейно-теоретический уровень преподавания алгебры, подготавливает прочную основу для изучения функций в старших классах, способствует осуществлению политехническою обучения и повышает интерес к урокам алгебры.

По сравнению с другими методическими работами, рассматривающими вопросы введения функционального начала в курс алгебры, диссертация содержит некоторые элементы нового. Она устанавливает четкое и целесообразное, с точки зрения школьной практики, деление графических представлений различных функциональных зависимостей. В ней впервые последовательно разобран вопрос об обучении рациональному использованию клетчатой бумаги при построении графиков и разработана методика этого обучения. Оставаясь, в основном, в рамках программы и объяснительной записки к ней, диссертация дает стройную и методически обоснованную систему графических работ, при этом по-новому решается ряд методических вопросов (последовательность построения графиков эмпирических функций, график изменения алгебраического выражения, значение графической интерполяции для формирования понятия графика, место введения системы координат).

Л 41 100. Объем 1 п. л. Тираж 100. Заказ 3559.

Типография Минавтотрансшосдор РСФСР