АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ МЕТОДОВ ОБУЧЕНИЯ

Е. В. ВАНДЫШЕВА

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Научный руководитель — член-корреспондент АПН РСФСР, проф. В. М. БРАДИС.

Москва 1956

XIX съезд КПСС указал советской школе дальнейшие пути развития, поставив перед общеобразовательной средней школой важнейшие задачи перехода ко всеобщему среднему образованию и осуществления политехнического обучения.

Чтобы решить эти задачи, необходимо внести существенные изменения в содержание и методику преподавания изучаемых в школе предметов и в том числе—математики.

В курсе алгебры средней школы значительное место занимают вопросы, составляющие содержание учения о показательной и логарифмической функциях. Однако в учебно-методической литературе этим вопросам до сих пор не уделено должного внимания, и постановку преподавания в средней школе раздела о показательной и логарифмической функциях нельзя считать удовлетворительной. Дело в том, что изучение этого раздела часто проходит на низком идейно-теоретическом уровне, учителя не знакомят учащихся с практическими приложениями показательной и логарифмической функций, за исключением применения логарифмов к нахождению Числовых значений алгебраических выражений, что до сих пор является самоцелью при изучении всей темы «Показательная функция и логарифмы» в средней школе. При этом внимание, которое уделяется вычислениям с помощью таблиц логарифмов в средней школе, далеко не соответствует практическому значению этих вычислений.

В связи с этим может возникнуть вопрос о том, нужно ли изучать в средней школе показательную и логарифмическую функции, не следует ли совсем исключить их из программы, заменив таблицы логарифмов счетной логарифмической линейкой?

Однако такое решение вопроса было бы совершенно неприемлемым. Во-первых, сознательное усвоение основных принципов устройства и употребления счетной логарифмической линейки невозможно без знания основных свойств логарифмической функции, тесно связанных со свойствами обратной ей показательной функции.

Во-вторых, изучение показательной и логарифмической функций существенно расширяет и углубляет сведения уча-

щихся о свойствах функций и имеет поэтому важное образовательное значение.

В-третьих, показательная и логарифмическая функции имеют большое применение в естествознании и технике, и с некоторыми из них необходимо познакомить учащихся средней школы, тем более, что с отдельными процессами, математическое выражение которых связано с показательной функцией, учащиеся встречаются в курсе физики.

Цель диссертации состоит в том, чтобы показать, каким образом можно улучшить преподавание разделов школьного курса алгебры, содержащих изложение свойств элементарных трансцендентных функций.

Предложения об улучшении преподавания этих разделов даются, в основном, в направлении:

1) повышения идейно-теоретического уровня преподавания их в школе;

2) практических применений элементарных трансцендентных функций.

Диссертация состоит из двух частей. В первой части дается анализ русской учебно-методической литературы в отношении рассматриваемого в диссертации вопроса, а во второй части изложена методика преподавания учения об элементарных трансцендентных функциях в средней школе.

ЧАСТЬ I.

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ, ИЗУЧАЕМЫЕ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ, В РУССКОЙ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЕ

Глава первая. Элементарные трансцендентные функции в учебниках алгебры дореволюционной русской средней школы

Анализ программ по математике и учебников алгебры, принятых в средней школе в XIX веке, показывает, что понятие о функции отсутствовало в программах и в большинстве учебников. Однако программы и учебники содержали некоторые вопросы, относящиеся к элементарным трансцендентным функциям, —например, понятие о логарифме числа, основные свойства логарифмов, сложные проценты и др., причем логарифмы рассматривались как вспомогательное средство вычислений и теория их не приводилась в связь с идеей функциональной зависимости.

Возникшее в Росси в середине XIX века прогрессивное движение за реформу преподавания математики к концу XIX

века уже приняло общественный характер. Это движение было вызвано крайним отставанием школьного курса математики от развития математики как науки. Представители этого движения требовали перестройки всего курса математики средней школы и, прежде всего, включения в этот курс идеи функциональной зависимости.

Следует отметить, например, таких представителей этого движения, как Сердобинский, В. П. Шереметевский, С. И. Шохор-Троцкий, М. Г. Попруженко и др.

Движение за реформу преподавания математики широко развернулось во всех культурных странах. Горячим сторонником этого движения являлся знаменитый немецкий математик Ф. Клейн. Можно назвать еще таких сторонников реформы преподавания математики в школе как Юнг (Америка), Симон (Германия), Ж. Таннери (Франция) и др.

Это движение оказало большое влияние на содержание учебников математики для средних учебных заведений, в том числе и учебников алгебры. Все учебники, которые употреблялись в дореволюционной средней школе XX века, уже содержали понятие о функции, а также исследование простейших алгебраических функций. Однако элементарным трансцендентным функциям (общей степенной, показательной и логарифмической) не уделялось в них должного внимания, и логарифмы попрежнему рассматривались только как вспомогательное средство вычислений.

В 1906 году в программу VII класса реальных училищ были включены элементы высшей математики, что явилось большим шагом вперед, хотя этот курс имел существенные недостатки (чрезмерная перегруженность материалом, отсутствие связи с программой предыдущих лет обучения). В числе других вопросов изучались такие, например, свойства показательной функции у=ах , как неограниченное возрастание функции при неограниченном увеличении аргумента (при а>1), непрерывность показательной функции и др.

Однако в программу гимназий не было включено даже понятие о функции.

Глава вторая. Изложение материала об элементарных трансцендентных функциях в учебниках алгебры советской средней школы

Сразу же после Великой Октябрьской социалистической революции была проведена реформа средней школы и изданы новые программы, в которых значительное место занимала идея функциональной зависимости. Наряду с изучением свойств других функций в программу и учебники включается

также изучение свойств показательной и логарифмической функций. Но в большинстве случаев авторы учебников не приводят аналитических доказательств свойств этих функций, а ограничиваются лишь графической иллюстрацией этих свойств.

В период действия комплексных и комплексно-проектных программ (1925—1930) изучение показательной и логарифмической функций вообще было исключено из программы. В ней оставались только те сведения о логарифмах, которые были нужны непосредственно для применения логарифмов к вычислениям.

Исторические постановления ЦК ВКП (б) о школе от 5.IX.1931 г. и 25.VIII.1932 года открыли новый этап развития советской школы. В программу по алгебре IX класса 1933 года вновь было включено изучение показательной и логарифмической функций и их свойств. Материал, относящийся к этим функциям, содержался в программе в том объеме, который, в основном, сохранился и до настоящего времени.

В качестве стабильного учебника была принята «Алгебра» А. П. Киселева, которая уже содержала аналитические доказательства свойств показательной и логарифмической функций, хотя эти доказательства и нельзя считать безупречными.

Директивы XIX съезда КПСС указали советской школе дальнейшие пути развития. На очередь дня поставлена задача введения всеобщего десятилетнего обучения и перехода к политехническому обучению. Чтобы решить- новые задачи, поставленные, перед нашей школой XIX съездом КПСС, необходимо перестроить всю работу школы, пересмотреть программы и учебники. В частности необходимо внести соответствующие изменения и в изучение разделов школьного курса алгебры, относящихся к изучению показательной и логарифмической функций.

В диссертации рассматриваются основные изменения, которые желательно внести в программу и учебники по этим разделам.

Глава третья. Советская методическая литература об изучении элементарных трансцендентных функций в курсе алгебры средней школы

Методике введения понятия о функции в средней школе, а также изучению простейших алгебраических функций посвящено немало книг и статей в журнале «Математика в школе». На эту тему написана не одна диссертация. Хотя об изучении элементарных трансцендетных функций в курсе алгебры средней школы написано значительно меньше, но все-таки вопро-

сы, относящиеся к изучению этих функций, также рассматриваются в методической литературе. В третьей главе дается анализ методической литературы, посвященной исследуемому вопросу. Рассматривается изложение материала, относящегося к общей степенной, показательной и логарифмической функциям, в следующих книгах: И. И. Чистяков «Методика алгебры»; С. С. Бронштейн «Методика алгебры»; В. М. Брадис «Методика преподавания математики в средней школе»; И. В. Арнольд «Показатели степени и логарифмы в курсе элементарной алгебры»; В. Л. Гончаров «Вычислительные и графические упражнения с функциональным содержанием в старших классах средней школы»; А. И. Фетисов, И. Н. Шевченко, В. Л. Гончаров, И. А. Гибш «Преподавание математики в свете задач политехнического обучения»

Кроме того, рассмотрена рукопись кандидатской диссертации Г. К. Остапова «Логарифмы, показательная функция и методика их преподавания в средней школе», а также некоторые статьи, напечатанные в журнале «Математика в школе».

ЧАСТЬ II.

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИИ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

Глава первая. Состояние изучения элементарных трансцендентных функций в курсе алгебры средней школы в настоящее время.

Настоящая глава написана на основании многолетнего опыта работы автора в средней школе, а также наблюдений, проводившихся в течение десяти лет в сельских школах Свердловской области и школах г. Н-Тагила и г. Калинина. Кроме того, использованы статьи о результатах приемных экзаменов в вузы, напечатанные в журнале «Математика в школе».

В этой главе указаны основные недостатки, имеющиеся в преподавании тех разделов школьного курса алгебры, которые относятся к изучению элементарных трансцендентных функций. Эти недостатки состоят в следующем:

1) Определяя степень а' числа а при а>1 с положительным иррациональным показателем а как число, удовлетворяющее неравенству:

аг1 <а« <аг2, (1)

где ri и г2—любые приближенные рациональные значения иррационального числа и , взятые соответственно с недос-

татком и с избытком, не доказывают существования этого числа и чаще всего даже не ставят вопроса о необходимости этого доказательства. Кроме того, указанное выше определение степени с иррациональным показателем можно давать только в том случае, если предварительно доказано, что при а>1 для любых рациональных показателей т\ и г2 удовлетворяющих неравенству ri<j2, имеет место неравенства а1“1 <Саг-\ чего в средней школе не делается, хотя в стабильном учебнике это доказательство имеется (часть II, § 99).

2) В большинстве случаев основные свойства показательной функции учитель излагает наспех (нередко за один урок) ; поэтому о сознательном усвоении их учащимися не приходится и говорить.

3) Логарифмическая функция вводится как функция, обратная показательной; на основании свойств показательной функции доказываются и свойства логарифмов чисел. Однако понятия об обратной функции нет ни в программе, ни в учебнике, и это является существенным недостатком.

4) Совсем не ставится вопрос о непрерывности показательной и логарифмической функций. Между тем свойством непрерывности функции приходится часто пользоваться. Даже построение графика функции (соединение отдельных точек непрерывной кривой) не является обоснованным без учета свойства непрерывности.

5) Обходят молчанием в школе и вопрос о существовании логарифма. Зато все внимание обычно обращается на привитие практических навыков в действиях над десятичными логарифмами и в нахождении числовых значений алгебраических выражений, превращая это в самоцель. Однако в знаниях учащихся даже по этому как будто бы так тщательно проработанному вопросу имеется большой недостаток. Он состоит в том, что учащиеся оперируют с логарифмами как с точными, а не приближенными числами. Учащиеся всегда записывают окончательный ответ в таком виде, в каком он получается в результате вычислений, не учитывая степени точности его.

6) Учителя не знакомят учащихся с практическими приложениями показательной и логарифмической функций, что противоречит одному из основных принципов политехнического обучения.

7) Плохо обстоит дело с изучением счетной логарифмической линейки. В большинстве школ она не изучается совсем, а в некоторых школах учащиеся знакомятся с ней на занятиях математических кружков, которые охватывают только часть учащихся. А так как счетными логарифмическими линейками школы обеспечены плохо, то более или менее твер-

дый навык работы с линейкой получают лишь отдельные учащиеся, имеющие собственные линейки.

Таким образом, постановку изучения элементарных трансцендентных функций в курсе алгебры средней школы в настоящее время нельзя считать удовлетворительной. Для того, чтобы выправить положение, необходимо внести соответствующие изменения и в программу и в учебники.

Глава вторая. Какие знания об иррациональном числе, о функциях и о пределах предполагаются у учащихся к началу изучения элементарных трансцендентных функций.

В данной главе не только описывается современное состояние изучения указанных в названии главы вопросов, но также даются конкретные предложения в отношении того, какой материал и в каком объеме желательно подвергнуть изучению. Здесь также имеются и методические указания к изложению некоторых вопросов.

Включение в диссертацию этой главы вызвано двумя причинами.

Во-первых, улучшение преподавания элементарных трансцендентных функций в немалой мере зависит от постановки преподавания вопросов, изложенных во второй главе. Во-вторых, приходится делать ссылки на нее при изложении методики изучения элементарных трансцендентных функций.

В VIII классе учащимся дается понятие об иррациональном числе как о числе, изображаемом бесконечной десятичной непереиодической дробью.

В IX классе, после того как учащиеся усвоят понятие предела, надо доказать, что иррациональное число а является общим пределом последовательностей (an) и (an) где an и an — приближенные рациональные значения иррационального числа а, взятые соответственно с недостатком и с избытком с точностью до 10 “~п . В дальнейшем этот факт можно использовать при введении понятия о степени с иррациональным показателем.

Определение функции дается учащимся общее, основанное на идее соответствия значений двух величин. Здесь же дается понятие об области определения функции и о множестве значений функции.

Желательно также дать учащимся VIII класса в доступной для них форме понятие о непрерывности функции. Однако научное понятие непрерывности функции связано с понятием предела и недоступно учащимся VIII класса. Поэтому в

порядке пропедевтики можно дать им геометрическое представление о непрерывности функции, связанное с понятием непрерывности ее графика, т. е. считать функцию непрерывной в некотором промежутке в том и только в том случае, если ее график можно начертить в этом промежутке, не отрывая карандаша от бумаги.

В диссертации дается обоснование возможности замены — в порядке пропедевтики—точного определения непрерывности функции только что приведенным определением.

Глава третья. Понятие остепени с иррациональным показателем. Общая степенная функция.

Чтобы ликвидировать указанную выше нестрогость введения понятия о степени с иррациональным показателем, нужно сначала установить основные свойства степени с любым рациональным показателем и дать доступное для учащихся доказательство существования и единственности числа, удовлетворяющего определению степени с иррациональным показателем (или, по крайней мере, поставить вопрос о необходимости этого доказательства), а затем уже вводить определение. В третьей главе разработана методика изложения этих вопросов в средней школе.

Степень аа с положительным иррациональным показателем сс определяется как общий предел последовательностей азп } и { аап }, где ап и ап“ —рациональные приближенные значения иррационального числа а, взятые соответственно с недостатком и с избытком с точностью до 10 ~п. В доступной для учащихся форме приводится доказательство существования и единственности этого предела.

После введения понятия о степени с иррациональным показателем желательно познакомить учащихся с понятием об общей степенной функции (т. е. о функций у=хя , где а . — любое действительное постоянное число), которая служит естественным обобщением степенной функции с рациональным показателем и при иррациональном показателе а является трансцендентной.

Глава четвертая. Показательная функция.

При рассмотрении показательной функции особое внимание обращается на функцию у=10* , любое значение которой легко получить, если известны ее значени для значений, удовлетворяющих неравенству 0 < х < 1.

Учащиеся знакомятся со способом вычисления приближенных значений этой функции для дробных значений аргумента путем использования таблиц квадратов, квадратных корней, кубов и кубических корней.

Рассматривая функцию у= 10х , желательно использовать ее график для нахождения значений этой функции при заданном значении аргумента, а также для решения обратной задачи. Последняя задача имеет большое значение не только для закрепления понятия показательной функции, но также и для пропедевтики учения о логарифмах.

Желательно, чтобы при изучении функции у= 10 х учащиеся познакомились с четырехзначной таблицей значений этой функции (таблицей десятичных антилогарифмов) и научились пользоваться этой таблицей.

Помимо пользы практического характера, которую принесет употребление этой таблицы, ознакомление с ней учащихся имеет и образовательное значение. Действительно, пользуясь таблицей антилогарифмов для нахождения числа по его логарифму, учащиеся обычно даже и не подозревают, что таблица антилогарифмов это не что иное как таблица значений показательной функции.

Желательно, чтобы в связи с изучением функции у=10х учащиеся рассмотрели свойство непрерывности показательной функции и ознакомились с определением непрерывной функции, доступным им, и по своему содержанию близким к научному. Это определение можно сформулировать в следующем виде:

Функция f(х) называется непрерывной в точке х0, если можно выбрать такие приближения значений аргумента к хо, что для этих приближений, а также для любых более точных приближений аргумента к хо, приближения значений функции к значению f(xo) получаются с заданной степенью точности, какая бы степень точности ни была задана.

Определение функции, непрерывной на отрезке (в интервале), уже не должно затруднить учащихся, если они усвоили понятие непрерывности функции в точке. Свойство непрерывности функции позволяет соединять построенные отдельные точки графика непрерывной кривой (не отрывая карандаша от бумаги).

Ввиду того большого теоретического и практического значения, которое имеет число е, желательно познакомить учащихся с этим числом, если не на уроке, то на занятиях математического кружка.

В связи с задачей введения политехнического обучения большое значение следует придавать ознакомлению учащихся с практическими приложениями показательной функции. В диссертации рассмотрена возможность выполнения этого еще до введения понятия логарифма, причем приводятся примеры задач практического характера, при решении которых рекомендуется использовать в качестве вспомогательного средства вычислений таблицы квадратов, кубов и др.; а также графики функций. Кроме того, приводятся примеры задач практического характера как для случая, если учащимся дано понятие о числе е, так и для случая, когда оно им неизвестно.

Глава пятая. Логарифмическая функция

Так как логарифмическая функция является обратной по отношению к показательной, то прежде, чем переходить к изучению логарифмической функции, желательно дать учащимся определение обратной функции, пояснив его на примерах более простых функций. В диссертации изложены некоторые соображения о методике введения понятия обратной функции в средней школе.

Желательно указать, какая зависимость имеет место между графиками двух взаимно обратных функций (в случае одинаковых масштабов на осях координат) и использовать эту зависимость для построения графика логарифмической функции по графику показательной функции. Для этого можно использовать очень простое наглядное пособие (его описание дано в диссертации), иллюстрирующее переход от графика показательной функции к графику логарифмической функции.

Как было указано выше, некоторый пробел в теории логарифмов, излагаемой в средней школе, состоит в том, что совсем не ставится вопрос о существовании логарифма любого положительного числа при положительном основании. Вследствие этого определение логарифма является недостаточно строгим, так как давать определения можно только тем понятиям, для которых существуют объекты, характеризуемые этими понятиями.

В диссертации предлагается доказательство существования десятичного логарифма положительного числа свести к вычислению логарифма, показав учащимся, что десятичный логарифм любого положительного числа можно вычислить с любой степенью точности. Далее, используя модуль перехода от одной системы логарифмов к другой, легко показать и существование логарифма любого положительного числа при любом положительном основании.

При доказательстве теорем о логарифме произведения, частного, степени и корня полезно использовать графическую иллюстрацию этих теорем. В связи с этим необходимо отметить некоторые особенности таких, например, функций, как y=logx2 и y=21ogx и др.; эти особенности нужно учитывать при логарифмировании и потенцировании алгебраических выражений.

В связи с изучением свойств десятичных логарифмов очень полезно для их иллюстрации использовать график функции y=logiox. Графиком можно пользоваться также и для нахождения приближенных логарифмов чисел.

Крайне желательно также, чтобы учащимся были даны краткие сведения из истории логарифмов. В диссертации приводится примерный текст краткого исторического очерка о логарифмах, который может быть использован учителем.

Глава шестая. Применение логарифмов к нахождению значений алгебраических выражений

Учитывая, что вычисления с помощью логарифмов являются приближенными вычислениями, желательно научить учащихся делать оценку погрешности полученного в результате логарифмических вычислений ответа, обратив их внимание на разницу при оценке погрешности в случае точных и приближенных данных. В шестой главе разработана методика изложения этого материала, причем оценку погрешности предлагается делать по способу границ.

Большое внимание должно быть уделено счетной логарифмической линейке, так как последняя имеет гораздо большее практическое значение, чем таблицы логрифмов. Поэтому учащиеся должны не только знать основные принципы устройства логарифмической линейки и правила выполнения с ее помощью действий, но и приобрести твердый навык работы с ней. Желательно, чтобы учащиеся использовали счетную логарифмическую линейку при решении задач не только по математике, но и по физике и химии.

Глава седьмая. Применение логарифмической и полулогарифмической бумаги

В диссертации рассмотрены возможности использования в средней школе логарифмической и полулогарифмической бумаги.

В связи с тем, что на логарифмической бумаге график степенной функции изображается прямой линией, а на полулогарифмической бумаге прямой линией изображается график показательной функции (если равномерную шкалу принять на

оси абсцисс), а также логарифмической функции (если равномерную шкалу принять на оси ординат), логарифмическая и полулогарифмическая бумага оказывается очень удобной для построения графиков этих функций. А так как решение различных практических задач нередко приводит к использованию степенной, показательной и логарифмической функций, то логарифмическая и полулогарифмическая бумага приобретает большое практическое значение; поэтому необходимо познакомить учащихся с ней. В частности, рекомендуется использовать логарифмическую и полулогарифмическую бумагу для составления эмпирических формул.

Глава восьмая. Приложения показательной и логарифмической функций в естествознани и и технике

Дальнейшее и более широкое ознакомление учащихся с практическими приложениями показательной функции рекомендуется отнести на то время, когда учащиеся научатся применять логарифмы к вычислению значений простейших алгебраических выражений.

При решении задач практического характера с использованием показательной и логарифмической функций учащиеся неизбежно встретятся с простейшими показательными и логарифмическими уравнениями. Тем самым они увидят применение этих уравнений на практике, что окажется весьма ценным.

Для характеристики многих процессов, происходящих в природе и технике, употребляется показательная функция с основанием е. Поэтому желательно дать учащимся понятие о числе е как о пределе последовательности

Если класс хорошо успевает по математике, то учащимся можно дать вывод некоторых формул, связанных с приложениями показательной и логарифмической функций в естествознании и технике. Если же на уроке сделать это не представится возможным, то придется ограничиться включением готовых формул в условия задач; при этом рекомендуется вводить их постепенно, не выделяя в особый раздел. В качестве примерных задач, которые могут быть предложены учащимся после того, как они научатся применять логарифмы к вычислению значений алгебраических выражений, приводится 11 задач, связанных с практическими приложениями показательной и логарифмической функций.

В диссертации дан элементарный вывод некоторых формул, относящихся к практическим приложениям показательной и логарифмической функций.

Глава девятая. Описание школьного эксперимента

Главной целью школьного эксперимента являлась опытная проверка основных положений диссертации. Проверка эта проводилась по трем основным направлениям: 1) выяснялась доступность материала для учащихся данного возраста; 2) устанавливалось, каким образом усвоение данного материала влияет на ход дальнейших занятий по изучению настоящей темы; 3) выяснялось, какие практические навыки приобретали учащиеся, изучая тот или иной материал.

Использовались следующие способы проведения школьного эксперимента: 1) изложение учителями материала на уроке по плану, предложенному автором диссертации; 2) изучение материала на занятиях математических кружков.

В настоящей главе дается подробное описание школьного эксперимента.

Кроме того, при работе над диссертацией автор использовал десятилетний опыт своей работы в старших классах средней школы.

Школьный эксперимент показал, что основные положения диссертации являются правильными и могут быть осуществлены.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В «Заключении» приводится примерный проект тех изменений, которые желательно внести в программу по данному разделу.

Включение в программу некоторых вопросов, изучение которых диктуется требованиями жизни, должно идти, в основном, за счет:

1) сведения к минимуму числа решаемых примеров чисто тренировочного типа на логарифмирование и потенцирование алгебраических выражений;

2) значительного сокращения числа примеров на нахождение числовых значений алгебраических выражений с помощью таблиц логарифмов;

3) уменьшения числа решаемых примеров на показательные и логарифмические уравнения.

Предлагаемый проект разделов программы, относящихся к элементарным трансцендентным функциям, проверен на практике. Он содержит гораздо больше материала, непосредственно связанного с практическими приложениями показательной и логарифмической функций, и поэтому в большей мере удовлетворяет требованию введения политехнического обучения, чем программа, действующая в настоящее время.

Л101076 Объем 1 п. л. Тираж 100 Заказ 68

Типография Минавтотрансшосдор РСФСР.