МОСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

На правах рукописи

Ф. А. ЦВИД

ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕЛИЧИН В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ В СВЯЗИ С ЗАДАЧАМИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ОБУЧЕНИЯ В ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЕ

(на материале алгебры старших классов)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук по методике математики

Научный руководитель профессор И. К. Андронов

МОСКВА — 1955

Девятнадцатый съезд КПСС вынес решение об осуществлении политехнического обучения в средней общеобразовательной школе и о проведении мероприятий, необходимых для перехода к всеобщему политехническому обучению1.

Известно, что математика как наука возникла на основе практической деятельности человеческого общества и что она имеет теснейшую связь с другими естественными науками, с техникой и с инженерным делом. Значит, преподавание математики в общеобразовательной политехнической школе не должно находиться в стороне от политехнического обучения. Как же увязать преподавание математики с политехническим обучением в нашей школе? Этот вопрос еще не получил должного ответа в методике математики. В связи с этим необходимы теоретические разработки методики преподавания математики в свете задач политехнического обучения и соответствующие экспериментирования на уроках в школе. Естественно начать решение этой проблемы с узловых вопросов школьной математики. Одним из таких важных вопросов следует считать включение в курс математики средней школы элементов номографии.

Дело в том, что в настоящее время номография является одним из эффективных средств повышения производительности вычислительного труда. При современном состоянии науки и техники каждый инженер, техник и квалифицированный рабочий должен уметь читать номограмму, связанную с его профессией.

Необходимо, чтобы это чтение было сознательным. Вот почему общеобразовательная школа с политехническим обучением не может Пройти мимо этого явления.

В дореволюционное время номография не могла войти в курс математики средней школы потому, что, во-первых, тогда еще не ощущалось в этом настоятельной практической потребности, так как не было высоко развитой тяжелой индустрии и, следовательно, почти совершенно отсутствовало серийное производство, и, во-вторых, сама номографическая наука была еще слабо развита.

В диссертации мы поставили своей целью дать методическую разработку преподавания элементов номографии, завершающей графический метод в курсе математики средней школы. Вместе с тем, ставится задача оказать помощь в создании такой методики преподавания математики, которая кладет идею функциональной

1 Резолюции XIX съезда КПСС, Гос. изд. полит, лит., 1952, стр. 29.

зависимости в основу школьного курса математики. Одновременно с этим мы стремимся сблизить теорию с практикой.

Диссертация состоит из пяти глав и построена преимущественно на материале элементарной алгебры старших классов средней школы. Общие и частные вопросы методики, разработанные в диссертации, проверялись на уроках в базовой школе № 9 и в школе № 5 города Благовещенска, а также в школе № 348 города Москвы.

I. В первой главе на примерах работы предприятий и учреждений показывается, как вошла в практику графическая математика и вообще функциональная зависимость величин. В качестве примеров мы пользуемся данными работы железнодорожного транспорта, расчетами нормировщиков на промышленных предприятиях, материалами планирующих организаций и другими источниками.

В частности, имеется задача, в которой по данным себестоимости изготовления деталей на различных станках (токарном, револьверном и автоматическом), требуется определить, при каком количестве изготовляемых деталей экономичнее применять тот или иной станок. Решая эту задачу с помощью линейных функций и их графиков приходим к выводу, что в наших условиях, если нужно изготовить деталей до 1 ООО штук, выгоднее всего применить токарный станок, если же нужно изготовить 2 000 штук, то револьверный, а если свыше 2 ООО штук, то автоматический.

Приводится и такая задача: Нужно построить мостовую ферму параболической формы с пролетом в 30 м и высотой 6 м, имеющей 5 стоек на равных расстояниях. Подсчитать, какой длины нужно изготовить вертикальные стойки и диагональные раскосы. Решение подобной задачи ценно тем, что учащиеся составляют уравнение квадратной функции и строят ее график не по отвлеченным данным, а в связи с решением конкретной задачи из области техники.

Подобными примерами подчеркивается, что окончивший среднюю школу в своей практической деятельности столкнется в той или иной степени с применением функциональной зависимости, в частности, с применением графической математики. Эти примеры могут быть использованы в процессе преподавания математики в средней школе.

Одновременно намечаются такие приемы преподавания математики, которые способствуют формированию соответствующих понятий у учащихся на основе единства теории и практики.

II. Во второй главе освещается история борьбы передовых учителей русской школы за усиление функциональных основ и графического метода в школьной алгебре. Борьба с традиционными методами преподавания алгебры проходила в трех направлениях.

Первое направление было связано с отражением функциональной точки зрения на основные понятия алгебраических выражений, уравнений и неравенств.

Второе направление проявилось в тенденции ввести табличную форму задания функций в школьный курс математики. Такой спо-

соб задания функций ограничивался только таблицами логарифмов,, тригонометрических функций и их логарифмов. В настоящее время многие передовые методисты настаивают на том, чтобы в школьном курсе математики пользовались таблицами квадратных и кубических корней, взаимно обратных чисел и другими. И все-таки, табличная форма задания функций еще не занимает желательного места в преподавании математики. В школьной практике по традиции удержалась односторонняя точка зрения на функцию. Понятие функции раскрывается методом, наталкивающим учащихся на мысль, что всякая функциональная зависимость выражается лишь только с помощью формулы, указывающей те математические действия, которые надо выполнить над каждым данным значением аргумента, чтобы получить соответствующее значение функции.

Третье направление связано с внедрением в школьный курс элементов графической математики. График функции в методическом отношении является средством более глубокого понимания основ функциональной зависимости. Надо обучить учащихся графическому методу так, чтобы они могли с помощью графика быстро обозревать «поведение» функции: возрастание и убывание, скорость изменения, выпуклость и вогнутость, точки поворота, наименьшие и наибольшие значения и пр., т. е., чтобы они могли по графику судить о свойствах функции, отражающей те или иные явления в природе и в технической практике.

Но если имеется столь большая необходимость в графическом методе, то естественно возникает проблема внесения в школьный курс математики номографического исчисления. Это необходимо потому, что номограмма, во-первых, является наиболее простым и удобным «инструментом» при всевозможных сложных вычислениях и, во-вторых, она решает более общий вопрос графического изображения функций, охватывая функцию при всех значениях входящих в нее параметров.

В этой главе и освещается вопрос о борьбе за проникновение идеи функции и графического метода в курс математики средней школы. Раскрыто относительное богатство опыта передовых преподавателей того времени, стремившихся к усилению роли функциональной зависимости в школьном курсе математики. С другой стороны, показано, как эти передовые идеи с большим трудом прививались в школьной практике. Это объясняется тем, что в действовавших тогда программах по математике идея функциональной зависимости не подчеркивалась, да и стабильные учебники не ставили функциональную идею и графический метод на центральное место. В этих учебниках главное внимание уделялось безидейным громоздким тождественным преобразованиям алгебраических выражений. Так, например, в учебнике по алгебре А. П. Киселева элементы функциональной зависимости в их графическом виде представлены были лишь только в отдельных главах 23-го издания. Номографическое исчисление со-

вершенно не входило в курсы математики средней общеобразовательной школы. Опыт преподавания номографии был осуществлен сначала в технических учебных заведениях. И это вполне естественно, так как номография, как наука, возникла, главным образом, в связи с потребностями вычислений в инженерном деле.

III. В тертьей главе мы стремились дать ответы на наиболее сложные вопросы методики математики, возникающие в связи с изменением традиционного опыта преподавания алгебры в средней школе. Подобраны примеры и задачи, связанные в той или иной степени с нашей современностью и имеющие достаточно выраженное политехническое содержание.

Среди задач имеются, например, такие: выразить работу парового поршня с помощью функции и соответствующей диаграммой; изобразить графически функцию, характеризующую работу поршня четырехтактного компрессорного дизеля; построить диаграммы соответствующих показателей, представленных на Всесоюзной сельскохозяйственной выставке и другие.

В настоящее время в школьном курсе математики по традиции рассматриваются лишь такие функциональные зависимости, у которых связь между аргументом и функцией осуществляется оперативно. Между тем, в целях политехнического обучения чрезвычайно важно ознакомить учащихся и с так называемыми эмпирическими функциями,'т. е. с корреляционными зависимостями. Поэтому мы даем методику изучения функциональной и корреляционной зависимостей в их единстве и различии. Нам представляется, что в VIII классе при раскрытии понятия функции нужно на ряде примеров показать существование не только функциональных, но и корреляционных зависимостей. В качестве таких примеров мы приводим, в частности, зависимость урожая от количества заложенного в почву удобрения, зависимость крепости (на разрыв) стали от количества углерода, находящегося в сплаве, и другие. В X классе приводим примеры корреляционных зависимостей и подвергаем их математической обработке, т. е. заменяем приближенно корреляционные зависимости функциональными. В этом разделе подобраны задачи, условием которых является нахождение величин, взятых из области работы предприятий, а также из области планирования народного хозяйства.

Среди рассматриваемых задач имеются:

Задача 1. Установить зависимость фонда зарплаты торговых работников данной области торговли от фонда товарооборота.

При решении этой задачи сначала устанавливаем, что мы имеем не функциональную зависимость, а корреляционную. Теперь ставим задачу о приближенной замене нашей корреляционной зависимости функциональной. С этой целью берем несколько наиболее характерных торгующих групп и составляем для них таблицу зависимости фонда зарплаты от товарооборота:

Группы

Месячный товарооборот В X тыс. руб.

Месячный фонд зарплаты в у тыс. руб.

I

100

8

II

200

15

III

300

22

IV

400

28

V

500

32

VI

600

35

Итого

2 100

140

Данную табличную зависимость изображаем в прямоугольной системе координат пунктирной линией. На графике убеждаемся, что построенная пунктирная линия мало отличается от некоторой прямой линии.

В связи с этим рассматриваемую нами корреляционную зависимость естественно будет заменить линейной функцией y=kx+b, где b — фонд зарплаты управленческого персонала торгующих организаций, который, следовательно, не зависит от товарооборота. Подвергая эту корреляционную зависимость определенной (довольно простой) математической обработке, получаем тк ^0,056 и b — 4,0. Таким образом, корреляционная зависимость заменяется линейной функцией y^-jg-“^.

Построив график (прямую линию) этой функции, учащиеся убеждаются, что в нашем случае корреляционная зависимость мало уклоняется от функции У==-^' + 4.

Задача 2. По данным однородных предприятий корреляционную зависимость издержек производства от выпускаемой продукции надо приближенно заменить функциональной зависимостью.

Так же, как и в предыдущей задаче, сначала устанавливаем, что эта зависимость не функциональная, а корреляционная. Затем ставим задачу о приближенной замене данной корреляционной зависимости функциональной. С этой целью на основе данных ряда однотипных предприятий составляем таблицу:

Группы предприятий

Выпуск продукции предприятием на х тыс. руб.

Издержки предприятия в процентном отношении (у°/0 от х)

I

50

10,0

II

100

8,15

III

200

4,0

IV

300

2,5

V

400

2,25

VI

650

2.1

Итого

1 700

29,0

Таким же методом, как и в предыдущей задаче, находим искомую функцию у = ~ + 1,60. Построив график этой функции, учащиеся убеждаются, что замена корреляционной зависимости функциональной зависимостью выполнена с достаточной точностью1.

Экспериментальная работа по изучению функциональной и корреляционной зависимостей в их взаимной связи проводилась в школе № 348 города Москвы. Важно заметить, что при рассмотрении корреляционной зависимости учащиеся стали глубже понимать и функциональную зависимость, отличали функциональную зависимость от корреляционной зависимости. Кроме того, опыт показал, что учащиеся к такой постановке вопроса о зависимостях проявили исключительный интерес.

При таком прохождении функциональной и корреляционной зависимостей окончившие среднюю школу смогут более успешно применять математические знания в будущей практической деятельности.

В этой же главе рассматриваются общие вопросы изучения тождественных преобразований, уравнений и неравенств на функциональной основе. Причем, все эти вопросы рассматриваются не изолированно друг от друга, а в определенной системе.

IV. В четвертой главе раскрывается частная методика преподавания алгебры на функциональной основе в связи с задачами политехнического обучения. Здесь, прежде всего, рассматриваются вопросы: 1) как начать изучение алгебры на основе функциональной зависимости, 2) в какой последовательности проводить функцио-

1 См. диссертацию, стр. 145—148.

нальную точку зрения в курсе алгебры и 3) как привлекать «живой» материал и материал с политехническим содержанием при раскрытии тех или иных математических понятий, при изучении теории и решении задач, связанных с программой.

В самом деле, какую концепцию мы примем при раскрытии понятия функции? Положим ли мы в основу более общее понятие функции, исходящее из так называемого «соответствия», которое было открыто Н. И. Лобачевским и Дирихле, или мы будем исходить из зависимостей, заданных оперативно?

В школьной практике все еще бытует точка зрения на функциональную зависимость, как на зависимость, непременно выражающуюся соответствующей математической формулой, т. е. точка зрения, идущая от XVIII в. Такое ограниченное понимание функции, во-первых, сковывает свободу подбора задач с политехническим содержанием и, во-вторых, несколько мешает правильному и более глубокому раскрытию понятия трансцендентных функций.

Приведем относящиеся сюда примеры.

В школьном курсе математики понятие функции у = sin х может быть раскрыто лишь только на основе понятия функции как «соответствия»: каждому числу (длине дуги окружности) х поставлено в соответствие определенное число у. Но если ранее было введено понятие функции на основе оперативного выражения, то при определении функции у = sin X учитель вынужден умалчивать о факте, что эта функция задана не с помощью аналитического выражения, а на основании закона «соответствия». Вот почему учащиеся в большинстве случаев на тригонометрические функции смотрят как на алгебраические функции. Они не понимают, что для получения численного значения функции у = sin х при данном значении аргумента X мы не делаем над аргументом х никаких алгебраических операций.

С подобными затруднениями мы встречаемся и при определении обратных круговых функций. Определяя, например, функцию у — Arcsinx, учитель рассказывает, что она является обратной по отношению к функции y=sin х и что при каждом значении аргумента X из промежутка от —1 до 1 у принимает бесчисленное множество значений, иллюстрируя это явление на графике; а затем говорит, что для однозначности функции мы ограничиваем численные значения у в промежутке от — ~5~Д° Нами замечено, что для тех учащихся, которые стремятся проникнуть в существо вопроса, возникает неясность: как можно в функции у = aresin х ограничить промежуток изменения переменного у от — — до —, если «сама формула у = aresin х» такого ограничения не допускает? А это говорит о том, что учащиеся представляют себе функцию у = aresin х заданной оперативно. В этих случаях учитель оказывается в затруднительном

положении. Он вынужден говорить «условимся», «договоримся» и т. д., а существо вопроса учащимся так и не раскрывается. Далее, если учащиеся будут представлять себе, что существуют лишь функции заданные оперативно, то рассматривать, например, функции, выражающие работу парового поршня или работу поршня четырехтактного компрессорного дизеля и многие другие чрезвычайно затруднительно.

В связи с этим в данной главе представлена частная методика введения понятия функции как «соответствия» и раскрытия понятий всех элементарных функций. Кроме того, на функциональной основе рассматриваются тождественные преобразования, уравнения и неравенства.

Введение понятия функции в средней школе проходит две стадии: 1) пропедевтическую (до VII класса включительно), когда вводится понятие о координатных осях и на ряде конкретных примеров создаются простейшие представления о графиках и функциональной зависимости, и 2) основную (начиная с VIII класса и дальше), когда полученные представления обобщаются, создаются необходимые понятия, связанные с идеей функции и даются соответствующие определения. В нашей диссертации пропедевтический курс функциональной зависимости не рассматривается. В ней дается методика изучения функциональной зависимости лишь только в основном курсе, т. е. изучения функциональной зависимости в курсе алгебры VIII, IX и X классов.

В VIII классе, в разделе функции и их графики на ряде конкретных примеров вводится понятие множества, как первичного, исходного понятия. Затем рассматриваются понятия переменной и постоянной величин, где подчеркивается, что одна и та же величина в одном случае может быть постоянной, а в другом, т. е. при другой ситуации, — переменной. Наконец, на конкретных примерах показывается, что в природе вещей и явлений часто бывает так, что каждому числу одного множества поставлено в соответствие определенное число другого множества. В составе приводимых примеров представлены «соответствия», не выраженные оперативно и выраженные оперативно.

Образцы соответственно первых и вторых:

1) каждой высоте (в метрах) над уровнем моря поставлено в соответствие определенное давление воздуха (в миллиметрах ртутного столба) и

2) каждой температуре металлического стержня поставлена в соответствие определенная длина этого стержня.

После таких примеров формулируется определение понятия функции как «соответствия». Эти примеры и определение подводят учащихся к мысли, что в основе понятия функции лежит закон «соответствия», а не алгебраическая формула.

На основе общего понятия функции как «соответствия» глубже раскрывается идейная сторона понимания показательной и логарифмической, тригонометрических и обратных тригонометрических функций. В самом деле, во всех этих случаях, для того, чтобы дать определение той или иной функции, достаточно установить, что каждому числу одного множества поставлено в соответствие определенное число другого множества. Такую методику определения элементарных функций мы и разрабатываем в этой главе.

Введение понятия производной и исследование свойств простейших функций с помощью производной является третьей стадией изучения функциональной зависимости в курсе математики средней школы. В нашей диссертации этот вопрос не рассматривается, так как он требует специального исследования.

V. Центральной частью диссертации (в плане приложения функциональной зависимости) является последняя глава. В ней (разрабатывается методика преподавания элементов номографии в курсе математики средней школы. Здесь, прежде всего, надо было отобрать материал из курса математики средней школы доя номографического исчисления; установить какой материал из элементов номографии надо вводить в школьный курс математики в первую очередь; наконец, надо было предусмотреть и то, чтобы введение элементов номографии не потребовало дополнительного учебного времени, отведенного по плану на школьный курс математики.

Наряду с теоретическими разработками методики преподавания элементов номографии, главное внимание было уделено проверке этих теоретических положений в практике работы школы. Необходимость в столь тщательном экспериментировании вызывалась тем, что элементы номографии в курсе математики средней школы еще никогда не преподавались, а, следовательно, в этой области нет никакого опыта. Экспериментальная работа проходила в школе № 348 города Москвы. На ней мы кратко и остановимся.

Нами были составлены поурочные методические разработки преподавания элементов номографии. Эти разработки размножены и розданы учителям школы. Было организовано два кружка по изучению элементов номографии. Один кружок состоял из семи учащихся IX класса, а другой — из шестнадцати учащихся X класса. Экспериментальная работа проходила на занятиях в кружках и частично в классно-урочной обстановке.

Для номографического исчисления избраны наиболее важные вопросы из курсов математики и физики средней школы, т. е. строили номограммы функций, которые требуют сравнительно громоздких и сложных вычислений. Номограммы затронули разделы курсов алгебры, геометрии, тригонометрии и физики VIII, IX и X классов. Например, рассмотрены номограммы решения квадратных уравнений, вычислений площади круга, площади поверхностей тел вращения, объемов тел вращения, вычисления температуры смеси двух одно-

родных жидкостей, колебания маятника и другие. Кроме того, в качестве примеров приложения номографического исчисления мы построили несколько номограмм из области техники. Например, номограммы расчетов при устройстве городских электрических сетей и при геодезических работах. Изучено всего двадцать семь номограмм.

При изучении номографии (в зависимости от преследуемых целей) могут быть поставлены следующие три задачи:

первая, наиболее простоя задача — это обучить учащихся чтению готовых номограмм; вторая задача уже сложнее, она состоит в том, чтобы обучающийся не только мог читать номограммы, но и разбирался в теории построения рассматриваемых номограмм; наконец, третья, еще более сложная задача, заключающаяся в том, чтобы учащийся мог не только читать готовые номограммы и понимать теорию их построения, но умел и построить по заданной функции номограмму этой функции.

Приступая к экспериментальной работе, мы ставили перед собой только первые две задачи, считая, что третья задача неосуществима или почти неосуществима при современной программе по математике и отведенном на ее прохождение количестве часов. Результаты проверки нашей методики преподавания элементов номографии в школе сверх ожидания оказались исключительно положительными. Учащиеся могли не только читать готовые номограммы и давать теоретическое обоснование их построения, но и самостоятельно строить номограммы. Более тою, некоторые учащиеся предлагали несклько способов пострения номограммы для заданной функции и показывали целесообразность одного из этих способов.

Учащиеся создали индивидуальные альбомы номограмм и общеклассный. В последний вошли предлагаемые нами номограммы из курсов VIII, IX и X классов. Силами же учащихся в фотолаборатории Дома пионеров классный альбом был размножен в таком количестве экземпляров, чтобы обеспечить альбомом на уроке математики каждого ученика. Наконец, эти же номограммы были построены в увеличенном масштабе для математического кабинета.

Предлагаемый нами элементарный курс номографии включает в себя методы построения номограмм с подвижными функциональными шкалами, сетчатых номограмм и номограмм с параллельными логарифмическими шкалами.

Во многих случаях, приступая к построению номограммы для данной функции, мы указывали учащимся, что для этой функции можно построить несколько номограмм различных видов. Далее устанавливали, какая из этих номограмм является наиболее удобной при вычислениях. В частности, приводятся три случая изображения одной функции двумя различными номограммами. Например, для функции у = X. sin X построены сетчатая номограмма и номограмма с параллельными логарифмическими шкалами.

В результате проведенной экспериментальной работы подтверждена возможность успешного освоения учащимися элементов номографии. Можно сравнительно легко обучить учащихся не только чтению готовых простейших номограмм, но и умению теоретически обосновать построение их. На теорию элементов номографии не потребуется дополнительного учебного времени к положенному количеству часов по программе курса математики, так как, во-первых, предлагаемый объем по теории номографии является небольшим, во-вторых, номограммы проходятся не самостоятельным разделом, а в связи с прохождением того или иного вопроса математики по существующей программе; и, в-третьих, вычисления с помощью номограмм ускоряют решения задач настолько, что время, затраченное на теорию элементов номографии, в значительной мере покрывается.

Заметим, что в IX классе после проработки учебного материала о построении нескольких номограмм с параллельными логарифмическими шкалами можно без особой затраты времени ознакомить учащихся с устройством логарифмической линейки и техникой пользования ею.

Экспериментальная работа показала, что элементы номографии нужно безоговорочно включать в программу школьного курса математики, что необходимо издать альбом номограмм основных функций курса математики и физики средней шклы. Этот альбом вместе с учебником, задачником и математическими таблицами (например, В. М. Брадиса) послужит хорошим подспорьем в деле математической подготовки учащихся в политехнической общеобразовательной школе. Учащиеся, усвоив предлагаемый нами курс изучения математики, смогут успешнее применять математические знания в своей будущей производственной деятельности.

Л4О601 от 19/V 1955 г.

Заказ 1640.

2-я типография Медгиза

Тираж 110