МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

МОСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. Н. К. КРУПСКОЙ

На правах рукописи

ЦАТУРЯН В. А.

К МЕТОДИКЕ ПРЕПОДАВАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

АВТОРЕФЕРАТ ДИССЕРТАЦИИ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ КАНДИДАТА ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК ПО МЕТОДИКЕ МАТЕМАТИКИ

Научный руководитель член-корр. АПН РСФСР, проф. И. К. АНДРОНОВ

Москва — 1958

Московский областной педагогический институт Кафедра высшей алгебры и элементарной математики

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

Доктор физико-математических наук, проф. ЛЕВИН Виктор Иосифович.

Кандидат педагогических наук, доцент ЧЕРКАСОВ Ростислав Семенович.

Защита состоится 1958 г. в Московском областном педагогическом институте им. Н. К. Крупской, Москва ул. Радио, д. 10-а.

Автореферат разослан 25/IX 1958 г.

Ученый секретарь МОПИ

Л 40393 от 19/IX 1958 г.

Тир. 150.

Тип. изд-ва «Советская наука», Неглинная, 29/14. Заказ 134L

Идея введения элементов математического анализа в школьное преподавание не нова. Она пропагандировалась крупнейшими математиками нашей страны М. В. Остроградским, П. Л. Чебышевым, видными методистами математики В. П. Шереметевским, С. И. Шохор-Троцким, В. Е. Сердобинским и др., начиная с середины прошлого столетия. Еще в 1848 г. М. В. Остроградский писал: «фраза: «дифференциальное исчисление есть трансцендентный или высший анализ, доступный весьма немногим», — повторяемая со времени Лейбница, должна же, наконец, устареть. Что может быть проще дифференциального исчисления для читателей, хотя бы несколько знакомых с математическими науками?»1.

В результате широкого обсуждения математической общественностью вопроса о введении элементов математического анализа в школьное преподавание в программы реальных училищ с 1907 г., а в программы кадетских корпусов с 1912 года были включены элементы дифференциального и интегрального исчисления.

Вопросам введения элементов математического анализа в школьный курс было уделено большое внимание на первом и втором Всероссийских съездах преподавателей математики. Делегаты съездов единодушно высказались за включение в программы средних школ элементов дифференциального и интегрального исчисления. В резолюциях второго съезда сказано: «Съезд признает начала анализа необходимым в курсе средней школы всех типов»2.

* * *

Программы советской общеобразовательной школы в разное время содержали элементы дифференциального и интегрального исчисления. Но эти разделы программы фактически не реализовались по следующим причинам:

1) Неимоверная загруженность программ фактическим материалом и недостаток времени, отводимого на изучение традиционного курса элементарной математики, не позволяли осуществить внедрение элементов математического анализа в курсе средней школы;

2) Отсутствие доброкачественных учебников, задачников и методических руководств приводило к тому, что учителя не могли

1 Журнал Мин. народного просвещения, 59, отд. VI, стр. 117, 1848.

2 «Вестник опытной физики и элементарной математики^, №. 1602, 1914, стр. 51.

обеспечить преподавание элементов математического анализа на достаточно высоком научном и методическом уровне;

3) Средние общеобразовательные школы не были обеспечены квалифицированными преподавателями математики, способными осуществить преподавание элементов математического анализа.

Развитие социалистической промышленности и сельского хозяйства с невиданно быстрыми темпами на базе высокоразвитой современной техники требует, чтобы были технически грамотными не только мастера, инженеры и техники, но и рядовые рабочие. Отсюда и возникает необходимость того, чтобы наша молодежь получала реальное образование в средней школе. Поэтому нашей общественностью вновь выдвигается проблема включения элементов математического анализа в программы общеобразовательной средней школы.

Начиная с 1938—1939 гг. этот вопрос пропагандируется на страницах нашей педагогической печати видными математиками, Академией ПН РСФСР и многими методистами математики.

В пользу введения элементов математического анализа в школьное преподавание выдвигались следующие доводы:

1) Понятие функции и методы математического анализа более наглядно, более жизненно, чем школьный курс элементарной математики, отражают явления и процессы реальной действительности в. их взаимной связи и взаимной обусловленности, в их непрерывном изменении во времени и в пространстве. Поэтому элементы математического анализа в большей степени, чем школьный курс элементарной математики, способствуют формированию у учащихся диалектико-материалистического мировоззрения;

2) Введение элементов математического анализа в школьное преподавание способствует повышению идейно-теоретического уровня преподавания элементарного курса школьной математики и приближению его к современным математическим идеям;

3.) Элементы математического анализа позволяют глубже изучить некоторые разделы физики, химии и т. д.

В диссертации рассмотрены и следующие доводы в пользу введения элементов математического анализа в курс средней школы:

1) Перед нашей школой поставлена важнейшая задача: осуществить политехническое обучение. В настоящее время дело политехнического обучения «настолько серьезно и необходимо, что дальнейшая проволочка совершенно недопустима. Полное и разумное решение этой задачи сыграет важную роль в правильном воспитании нашей молодежи, в подготовке каждого юноши и девушки к активному и умелому участию в строительстве коммунизма»1.

Основным математическим методом современного промышленного производства является метод математического анализа. Поэтому введение элементов дифференциального и интегрального ис-

1 К. Е. Ворошилов, Речь на XX съезде КПСС, Госполитиздат, М., 1956 г.

числений в школьный курс содействует успешному осуществлению принципа политехнического обучения;

2) Основные понятия физики и геометрии, а именно: понятия скорости и ускорения неравномерного движения, плотности неравномерно распределенной массы, теплопроводности, электропроводности, работы переменной силы, касательной к произвольной кривой, площади плоской фигуры, объема пространственной фигуры и т. д. не могут быть определены без понятий производной и интеграла. Поэтому для того, чтобы не идти по пути нежелательного упрощения, а четко определить указанные понятия, необходимо чтобы учащиеся средней школы были знакомы с понятиями производной и интеграла;

3) Введение функциональных идей во все преподавание школьной математики и элементов анализа бесконечно малых в программы старших классов средней школы явится весьма эффективным средством борьбы против формализма в преподавании элементарного курса школьной математики;

4) Во многих высших учебных заведениях, так, например, в медицинских, юридических, ветернарных, агрономических и т. п., не преподается высшая математика. Но знакомство с элементами дифференциального и интегрального исчисления весьма полезно и для специалистов этой категории. Так как введение в учебные планы всех вузов курса высшей математики в настоящее время невозможно, то целесообразно, чтобы элементы анализа бесконечно малых входили в программы средней школы;

5) Большинство юношей и девушек, окончивших среднюю школу, в настоящее время идет на работу на фабрики и заводы, колхозы и совхозы, на крупные строительные объекты нашей Родины и продолжает свою учебу в заочных высших учебных заведениях. В целях облегчения и улучшения изучения курса высшей математики в заочных вузах, целесообразно ввести элементы математического анализа в школьное преподавание;

6) Изобретение дифференциального и интегрального исчисления является крупнейшим достижением человеческой культуры.. Это достижение Ф. Энгельс характеризовал следующими словами:

«Из всех теоретических успехов вряд ли какой-нибудь считается столь высоким триумфом человеческого духа, как изобретение исчисления бесконечно малых во второй половине XVII века»1.

В настоящее время можно считать непозволительным, чтобы всесторонне образованная советская молодежь не ознакомилась с основами анализа бесконечно малых — «величайшим завоеванием человеческой культуры»;

7) У нас нет никаких оснований к тому, чтобы не ознакомить наших школьников с основами анализа, когда в средних школах многих зарубежных стран изучаются основы математического анализа в довольно большом объеме;

1 Ф. Энгельс, Диалектика природы, Госполитиздат, М., 1955, стр. 214,.

8) Основные понятия и методы математического анализа могут быть изложены в школе с достаточной логической стройностйю, ясностью и доступностью;

9) Наши средние школы обеспечены квалифицированными преподавателями математики, способными осуществить преподавание элементов анализа бесконечно малых при наличии хороших учебников, задачников и методических руководств.

Таким образом, проблема введения элементов дифференциального и интегрального исчислений является одной из важнейших, стоящих перед нашей школой, требующей своего разумного разрешения.

Академией ПН РСФСР проделана некоторая работа в деле разрешения методических проблем, связанных с введением элементов анализа бесконечно малых в курс средней школы. Однако в методическом аспекте эта проблема еще далека от полного разрешения.

Поэтому автор диссертации поставил своей основной задачей дать более или менее детальную методическую разработку материала по элементам дифференциального и интегрального исчислений, подлежащего включению в программу средней школы.

II.

В основу работы положены следующие главные методические положения:

1) В целях повышения идейного уровня преподавания школьного курса элементарной математики и создания базы для успешного изучения элементов математического анализа необходима функциональная пропедевтика в V—VIII классах школы. Методика этого вопроса разработана в достаточной мере различными авторами;

2) При изучении элементов анализа на первое место должна быть выдвинута идейная сторона предмета. Недопустима вульгаризация научных понятий и фактов;

3) Основные понятия анализа должны войти в школьное преподавание постепенно, находясь в центре внимания учащихся в длительный период времени;

4) Исследование функцией элементарными средствами должно вестись, начиная с VIII класса, систематически, причем рассматриваемые примеры и задачи должны осложняться планомерно в течение длительного промежутка времени;

5) Целесообразно отказаться от того пути изложения элементов теории пределов, который существует в средней школе в настоящее время. Нам представляется наиболее целесообразным ввести в IX классе понятие предела переменной величины на базе понятия бесконечно малой величины наглядно-интуитивным путем и лишь в X классе уточнять и расширять основные понятия о пределе функции;

6) Элементы дифференциального и интегрального исчислений должны излагаться так, чтобы они представляли естественное продолжение учения о функциях, пройденного в течение всего периода обучения в старших классах школы;

7) Понятие непрерывности функции в точке является трудным, требующим большой затраты времени для осмысливания учащимися. Поэтому целесообразно отказаться от введения научного понятия о непрерывности функции, ограничиваясь наглядно-геометрическим представлением. Вследствие этого всю теорию производных и интеграла следует построить, не пользуясь определением понятия непрерывности;

8) При введении понятия производной следует выдвигать на первое место понятие мгновенной скорости различных процессов, ибо по своей сущности производная данной функции есть скорость ее изменения по отношению изменения аргумента;

9) Геометрические истолкования понятий, теорем и задач должны широко применяться в любом вопросе, где это возможно.

10) Должно быть показано широкое применение метода математического анализа к решению задач из физики, химии, геометрии, техники и из других областей знания;

11) Для развития творческой инициативы учащихся целесообразно систематически предлагать им для самостоятельного доказательства посильные теоремы;

12) Элементы историзма в изложении каждого раздела начал анализа должны занимать определенное место.

III.

Диссертация состоит из пяти глав.

В первой главе «Проблема введения элементов математического анализа в общеобразовательную среднюю школу» дается критический обзор того, что известно в связи с борьбой за введение элементов математического анализа в среднюю общеобразовательную школу; дан некоторый обзор состояния этого вопроса в народно-демократических странах Европы.

Здесь обосновывается необходимость введения элементов дифференциального и интегрального исчислений в курс средней школы с политехническим содержанием. В этой же главе исследуется вопрос об объеме и содержании элементов математического анализа, необходимого для введения в школьное преподавание. В частности, показывается необходимость включения в программы средней школы не только понятия производной, но и понятия первообразной функции и определенного интеграла. Как известно, проект новой программы, разработанный АПН РСФСР не содержит элементов интегрального исчисления. Это оправдывается тем, что в настоящее время не имеются достаточные опытные данные, подтверждающие возможность успешного осуществления преподавания понятия производной и понятия интеграла в небольшом промежутке отведен-

ного времени. Но мы убеждены в том, что, после опытной проверки преподавания понятия производной и ее применения к исследованию функций, войдет в школьный курс понятие интеграла и некоторые его приложения к геометрии, механике и др.

Поэтому автор диссертации счел целесообразным высказать свои соображения об объеме материала этого раздела, необходимого для включения в школьное преподавание и дать методическую разработку его.

Предлагается следующий проект программы по этому разделу:

1. Первообразная функция и неопределенный интеграл;

2. Свойства неопределенного интеграла и основные формулы интегрирования.

3. Определенный интеграл как приращение первообразной.

4. Геометрический смысл определенного интеграла.

5. Основные свойства определенного интеграла.

6. Приложения определенного интеграла к геометрии и механике.

На это потребуется не более 25 часов дополнительных учебных занятий, которые можно выделить за счет экономии времени при изучении других разделов, главным образом, за счет рационализации преподавания.

В связи с предстоящей перестройкой средней школы «Удлинение сроков обучения в каждом типе школы дает реальную возможность несколько увеличить время на изучение общеобразовательных предметов»1. Поэтому на изучение элементов анализа в средней школе можно будет выделить несколько больше времени, чем это пред полагает проект программы 1952 года.

Однако введение элементов дифференциального и интегрального исчислений предполагается не за счет перегрузки программы, а, в основном, за счет сокращения программы по элементарному курсу математики. Этот вопрос принципиально решен Министерством просвещения РСФСР.

IV.

В главе второй рассматриваются: «Основные вопросы методики элементарного учения о функциях в VIII и IX классах средней школы». Здесь определяется объем, содержание и методы в элементарном учении о функциях в курсе алгебры средней школы, дается критический анализ того, что известно по этому вопросу.

Не мыслимо ставить вопрос об изучении понятий производной и интеграла и о применении этих понятий к исследованию функций и к решению практических задач, если учащийся не получил достаточно четкого представления о понятии функции, об основных способах функциональной зависимости между величинами и не приобрел простейших навыков в изучении функции элементарными средствами. Поэтому автор ставит в этой главе главной задачей ре-

1 Из доклада Е. И. Афанасенко «Вопросы перестройки школы», «Учительская газета», № 97 (4378), 14 августа 1958 г.

шить вопрос о методике изучения понятия функции и некоторые ее свойства элементарными средствами.

Обращено особое внимание центральному вопросу: формированию у учащихся понятия функции.

В нашей методической литературе нет единого мнения о том, какое определение понятия функции должно быть дано в школьном курсе. Многолетний опыт преподавания и проведенный эксперимент позволяет признать целесообразным принять следующее определение понятия функции в школьном курсе.

Величина у называется функцией от переменной величины х, если имеется закон, который позволяет для каждого значения х из ее области изменения получить определенное значение величины у.

Это определение можно считать достаточно стройным для школьного преподавания; оно не противоречит самому общему понятию о функции, как отображения произвольного множества в произвольное множество. Оно позволяет учителю совершенно четко указать учащимся:

1. Что для определения каждой конкретной функции в ее современном понимании необходимо:

а) указать область ее задания (определения);

б) указать закон, который дает возможность для каждого значения аргумента, взятого из области задания функции, найти вполне определенное значение функции.

2. Что закон, о котором говорится в определении функции, может быть задан в какой угодно форме; формулой, несколькими формулами, словесно, графически, таблицей и т. д.

В диссертации приведено достаточное число примеров функций, заданных словесно, различными формулами в различных промежутках изменения аргумента, вполне доступных для понимания учащимися VIII класса.

Подробно рассматривается частная методика изучения понятия о функциях в VIII классе, на основе опыта, проведенного в средней школе им. 20 лет ВЛКСМ города Кзыл-Орда и в средней школе № 7 города Петропавловска. В частности, показана методика формирования в сознании учащихся понятий возрастающей, убывающей, непрерывной функции и особенности их графиков. Понятие непрерывности вводится в следующей форме: функция называется непрерывной в некотором промежутке, если ее график, соответствующий этому промежутку, является сплошной линией. Очевидно, что такое определение не может претендовать на строгость. Но оно вполне доступно учащимся школы и не противоречит принятому в математическом анализе научному определению.

Принимается без доказательства теорема: если функция f(x) определена и возрастает (или убывает) в промежутке (a, b), а множество значений функции тоже сплошь заполняет некоторый промежуток (с, d), то эта функция непрерывна в промежутке (а, Ь).

Принятые определение и теорема позволяют показать учащимся непрерывность внутри промежутка определения каждой из тех

элементарных функций, которые входят в программу курса алгебры средней школы.

На основе экспериментальной работы, проведенной в IX классах средней школы № 7 им. Горького города Петропавловска Северо-Казахстанской области, дана частная методика формирования у учащихся следующих понятий о функциях: «ограниченные и неограниченные функции», «четные и нечетные функции», «периодические функции».

Все эти понятия рассматриваются не как самоцель, а как средства изучения поведения функций,

Аналитический и графический способы задания функции сочетаются для изучения поведения функции во всем процессе обучения в средней школе.

Приведено большое число примеров на исследование функций элементарными средствами, которые были изучены в средней школе № 7 им. Горького гор. Петропавловска под руководством автора диссертации.

V.

Понятие предела функции является фундаментом, на котором строится все здание дифференциального и интегрального исчислений.

От степени усвоения этого понятия в основном зависит и дальнейшее успешное изучение элементов анализа. Введение понятия предела последовательности через « s- —N» и предела функции непрерывного аргумента через « s — S » встречает серьезные затруднения у учащихся IX класса. Опыт подтверждает, что вследствие того, что в процессе дальнейшей учебы, после прохождения программной темы «предел последовательности», учащиеся IX класса не проводят рассуждения через «е —N» или «s— § ». они быстро забывают тонкости этих рассуждений. В сознании учащихся прочно остается только то, что «переменная величина как угодно близко приближается к своему пределу».

Это обстоятельство побудило автора диссертации проверить на практике иной путь введения понятия предела.

Этому вопросу посвящена третья глава диссертации. Изучение понятия предела разбивается на два этапа. Первый этап ведется в IX, а второй — в X классе.

В IX классе вводится понятие бесконечно малой величины и через бесконечно малую определяется понятие предела переменной величины.

Путем рассмотрения большого числа примеров, доступных учащимся данного возраста, обращается большое внимание формированию у учащихся понятия «бесконечно малой», ибо это понятие является фундаментом дальнейшего построения теории пределов. На этом этапе понятие предела, с точки зрения математической формализации, определяется недостаточно строго; оно нуждается в дальнейшем уточнении. Но на конкретных примерах удается до-

стигнуть понимания учащимися сущности, смысла процесса стремления переменной величины к пределу.

Опыт показывает, что понятие бесконечно малой величины и определение предела переменной через бесконечно малую легко запоминается учащимися, и во втором этапе изучения теории пределов— в X классе — сравнительно легко удается добиться уточнения понятия предела.

Итак, в третьей главе диссертации рассматривается методика изучения теории пределов в средней школе по следующему плану:

1. Бесконечно малые величины.

2. Свойства бесконечно малых величин.

3. Предел переменной величины.

4. Теоремы о пределах.

5. Существование предела монотонной ограниченной переменной величины (на примерах).

6. Уточнение понятия предала в курсе X класса.

7. Предел функции---при х, стремящемся к нулю.

Уделяется особое внимание методике изучения следующих двух теорем:

I. Если значения функции f (х) заключены между значениями двух функций, имеющих общий предел А при х -* а, то функция / (х) имеет тот же предел А при х -+ а.

II. Если для значений х, достаточно близких к числу а, функция f (х) принимает только положительные (отрицательные) значения и

lim f (xi = А, то А>0 «0)

Методика изучения этих теорем рассмотрена подробно потому, что они существенным образом используются при построении теории об исследовании функцией с помощью производной.

Вторая теорема и обратная ей имеют важное значение не только с точки зрения их дальнейшего применения, но полезны и тем, что они вскрывают другие стороны связи между характером переменной величины и ее пределом. Оказывается, что не только характером изменения переменной и множеством ее значений определяется предел, но и предел переменной в некоторой степени определяет сущность переменной величины. Это и есть проявление важнейшего принципа материалистической диалектики. Отсюда ясно, что приведенные теоремы имеют существенное значение для формирования у учащихся диалектико-материалистического мировоззрения.

В целях облегчения понимания учащимися элементов теория пределов рассматриваются многочисленные примеры, взятые из окружающей действительности и из различных областей знания, хорошо известных учащимся, которые наглядно иллюстрируют основные понятия и теоретические положения о пределах.

Четвертая глава посвящена методике элементов учения о производных и первообразных функциях в средней школе.

Понятие производной является основным понятием математического анализа, которое имеет огромное значение в изучении многочисленных практических и теоретических вопросов. Поэтому детально рассмотрен вопрос о введении самого понятия производной. В диссертации исходными задачами, приводящими к понятию производной, избраны задача о мгновенной скорости неравномерного прямолинейного движения и задача о скорости химической реакции.

Нам представляется не целесообразным введение понятия производной на основе задачи о касательной по следующим причинам. Учащиеся школы до введения понятия производной не получают четко оформленного представления о касательной к произвольной кривой. Поэтому для определения производной на базе задачи о касательной приходится одновременно формировать у учащихся два новых понятия: понятие о касательной и понятие производной, что затруднительно для некоторой части учащихся.

Одновременное рассмотрение задачи о касательной и задачи о скорости, приводящих к понятию производной, тем более не может считаться целесообразным в школьном преподавании, ибо в этом случае размышления учащихся, направленные на рассмотрение различных объектов и явлений, будут слишком далеко отвлекаться от формируемого понятия производной. При этом потребуется много времени для глубокого осмысливания нового понятия. А понятия скорости равномерного прямолинейного и средней скорости неравномерного движений хорошо знакомы учащимся из курса физики. Поэтому, как показал наш опыт, выбранный в диссертации путь введения понятия производной является наиболее доступным для учащихся.

После введения определения производной, рассматриваются многочисленные задачи, приводящие к вычислению производной, с тем, чтобы своевременно создавать у учащихся убеждение о том, что метод производных является весьма общим методом, позволяющим решать задачи разнообразного характера, которые не могут быть решены аппаратом элементарной математики. Это возбуждает интерес у учащихся к изучению понятия производной.

В соответствии с проектом программы по элементам математического анализа, разработанным Академией ПН РСФСР, нами рассмотрена методика изучения следующих вопросов:

1) производная суммы;

2) производная произведения;

3) производная многочлена;

4) производная функция sin mx;

5) производная функции cos mx.

Нами также рассмотрена методика изучения производной частного и производной второго порядка, хотя эти вопросы не содержатся в проекте программы.

Автор диссертации убежден в том, что эти факты войдут в программы средней школы в ближайшем будущем, ибо многочисленные весьма интересные задачи технического содержания приводятся к рассмотрению производной частного и производной второго порядка, а введение этих вопросов в школьное преподавание не потребует ни значительного времени, ни больших усилий учащихся для понимания.

Важнейший методический вопрос здесь состоит в том, чтобы при выводе формул производных и доказательстве теорем не пользоваться в явном виде понятием непрерывности.

Эту методическую проблему мы разрешаем различными путями в различных случаях, в зависимости от целесообразности выбранного способа.

Одним из важнейших приложений понятия производной является задача исследования функций на монотонность и на экстремум. Эти приложения, как и другие, имеют большое образовательное значение. Усвоив принципы применения понятия производной к нахождению промежутков монотонности, к нахождению максимумов и минимумов функций, учащиеся с большим интересом относятся к изучению элементов математического анализа.

Усиление интереса учащихся к аппарату анализа можно объяснить, во-первых, тем, что многие задачи физики, геометрии, техники и других наук приводят к отысканию наибольших или наименьших значений функций, которые не могут быть решены аппаратом элементарной математики. Аппаратом же анализа эти задачи в большинстве случаев решаются весьма просто.

Во-вторых, при исследовании функций элементарными средствами учащиеся чувствуют некоторую неудовлетворенность потому, что каждый раз приходится применять весьма частные, искусственные приемы для исследования функций на монотонность и на экстремум. Понятие же производной дает общий аппарат для исследования довольно широкого класса функций.

Из этого следует, что вопрос об исследовании функций с помощью производной представляет методический интерес. Важнейшей проблемой является нахождение пути изложения этой темы без применения теорем Ролля и Лангранжа.

Для решения этой проблемы мы ограничиваемся рассмотрением только таких функций, которые имеют производные в рассматриваемых промежутках, причем производная каждой такой функции имеет конечное число нулей во всяком конечном промежутке, лежащем внутри ее области определения.

Для такого класса функций признаки монотонности доказываются в виде теорем:

1) Если функция f(x) возрастает (убывает) в промежутке (а, Ь), то f'(x) положительна (отрицательна) или равна нулю во всякой точке этого промежутка.

2) Если f'(x)y>0(<Cß) в некотором промежутке, то f(x) возрастает (убывает) в этом промежутке.

Для указанного выше класса функций максимум определяется следующим образом: точка х=а называется точкой максимума, а число f(a) —максимум функции f(x), если существует такой интервал, содержащий точку а, в котором слева от а функция f(x) возрастает, а справа — убывает.

Аналогично определяется минимум функции.

Это (позволяет доказать теоремы, выражающие необходимые и достаточные условия существования экстремума, которые обобщаются в виде следующей теоремы: для того, чтобы функция f(x) имела максимум или минимум в точке а, необходимо и достаточно, чтобы:

1) производная этой функции обращалась в нуль в точке а;

2) производная меняла знак при переходе х через точку а.

Причем f(x) имеет максимум в точке а, если ее производная меняет свой знак с плюса на минус и минимум — в противоположном случае.

Таким образом, мы исключили из рассмотрения такие точки, которые либо являются предельными точками для множества нулей производной данной функции, либо в которых функция не имеет производных. Такие точки тоже могут дать экстремумы функции. Нам представляется, что в школьном курсе изучение на максимум и минимум рассмотренного нами класса функций вполне достаточно.

Кроме того, для этого класса функций удается построить теорию экстремумов вполне доступно для учащихся школы.

В результате проведенного исследования устанавливается еле дующее практическое правило нахождения экстремумов функции.

I шаг. Находим производную функции.

II шаг. Приравняем производную нулю и находим все действительные корни уравнения f'(x)=0, которые и будут стационарными точками.

III шаг. Располагаем стационарные точки хь х2, хя, в возрастающем порядке: а< Xi < х2<\-.<х„< Ь, где а и b—концы рассматриваемого промежутка. Определяем знак производной в каждом из промежутков (a, Xi), (хь х2), (хЛ Ь) (в какой-нибудь точке промежутка ).

Если производная в левом из двух соседних промежутков положительна, а в правом отрицательна, то функция имеет максимум в стационарной точке, являющейся общей границей этих промежутков, если, наоборот, в левом — производная отрицательна, а в правом положительна, то функция имеет минимум в этой стационарной точке.

Если же в двух соседних промежутках производная имеет один и тот же знак, то в стационарной точке, являющейся общей границей этих промежутков, функция не имеет ни максимума, ни минимума.

В работе рассмотрены многочисленные задачи из физики, геометрии, техники и других областей знания, которые решаются пу-

тем исследования функций на монотонность или на экстремум. Задачи подобраны так, чтобы они были доступны для учащихся и способствовали осуществлению принципа политехнического обучения.

VII.

В работе рассматривается следующий путь изучения элементов интегрального исчисления. Вводятся понятия первообразной функции и неопределенного интеграла на базе задачи о восстановлении функции по известной ее производной.

Этот путь является наиболее доступным для учащихся школы потому, что при этом приходится опираться на известные учащимся понятия, формулы и теоремы, а именно: понятие производной, формул производных и т. д., что способствует лучшему пониманию учащимися основных теоретических вопросов об интеграле.

Понятие определенного интеграла определяется как значение приращения любой первообразной данной функции. Такой путь введения понятия определенного интеграла является наиболее целесообразным для средней школы по следующим причинам. Понятие определенного интеграла как предела интегральных сумм является весьма трудным для понимания учащимися школы. Трудность вызвана прежде всего сложностью конструкций интегральной суммы. Кроме того, интегральная сумма не является функцией от величины X (длины наибольшего отрезка разбиения промежутка интеграции). Но тогда предел интегральной суммы при ^0 не может быть рассмотрен как предел функции. Здесь имеется более сложный процесс предельного перехода, полное понимание смысла которого непосильно для значительной части учащихся школы.

Введение же понятия определенного интеграла как приращения первообразной данной функции не требует ни рассмотрения новых сложных понятий, ни сложных конструкций, а опирается на хорошо знакомые учащимся факты и поэтому вполне доступно им.

Однако, в целях более широкого применения понятия интеграла к решению геометрических, физических, технических и других задач рассматривается методика геометрического истолкования понятия определенного интеграла, а также наглядноинтуитивного истолкования определенного интеграла как предела интегральных сумм.

Вопрос о применении понятия интеграла к решению многих вопросов школьного курса стереометрии не рассматривается, так как он достаточно обстоятельно расмотрен в диссертации А. С. Шумова.

Нам представляется наиболее целесообразным показать учащимся различные применения определенного интеграла путем решения конкретных задач, в процессе решения которых учащиеся приобретают практические навыки и постепенно убеждаются в общем характере метода применения определенного интеграла. Достаточное число задач на применение определенного интеграла приведено в пятой главе диссертации.

Известно, что у нас нет сборников задач по элементам математического анализа для общеобразовательной средней школы.

Сборник задач П. А. Ларичева содержит небольшое число тренировочных упражнений и задач по элементам математического анализа, а пробные учебники для 8—10 классов вообще не содержат задач и упражнений. Восполнить этот пробел автор пытается в следующей — пятой главе диссертации.

В этой главе собраны задачи и упражнения, способствующие выяснению идейной сущности каждого понятия анализа, — рассматриваемого в школьном курсе, а также выработке у учащихся навыков в применении аппарата математического анализа к решению практических задач. Большое место занимают задачи политехнического содержания. Задачник рассчитан на 70—75 часов учебных занятий в классе и дома. Задачи расположены по параграфам, соответствующим IV главе диссертации, а внутри параграфа — по возрастающим степеням трудности. К задачам повышенной трудности даны указания.

В последнем параграфе этой главы приведены различные задачи в качестве запасных, которые могут быть решены в классе, если класс сильный по своему составу, или на занятиях математического кружка.

* * *

Диссертация написана на основе 18-летнего опыта работы автора в педагогическом институте и в общеобразовательной средней школе, на основе изучения опыта работы дореволюционных средних школ, опыта работы многих передовых школ и учителей, изучения советской и некоторой зарубежной методической литературы и, наконец, на основе проведенного педагогического эксперимента.

Для проверки материала второй главы была проведена опытная работа в школе имени 20 лет ВЛКСМ города Кзыл-Орда в 1953 году и в школе № 7 города Петропавловска в 1954—1955 учебном году.

По проверке материала III главы автором была проведена экспериментальная работа в средней школе им. Сталина города Кзыл-Орды и в школе № 7 города Петропавловска.

Материал главы IV подвергался опытной проверке на занятиях математического кружка школы № 7 им. Горького города Петропавловска Северо-Казахстанской области.

Подробное описание педагогического эксперимента дается в приложении к диссертации.

Приведена подробная библиография литературы (353 названия).

Диссертация с приложениями и библиографией содержит 371 страницу машинописного текста.

Вторая глава диссертации в сокращенном виде опубликована в «Ученых записках» Петропавловского пединститута (1957 г., выпуск 2), а третья и четвертая главы, также в сокращенном виде, опубликованы в «Ученых записках» МОПИ им. Н. К. Крупской (1958 г., том 63).