МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

МОСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

На правах рукописи

Доцент Ф. Г. ТРУБИН.

УЧЕБНИК АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ ВТУЗ'ов

с приложением «Некоторых методических замечаний к преподаванию аналитической геометрии во ВТУЗ'ах»

АВТОРЕФЕРАТ ДИССЕРТАЦИИ на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Москва — 1953

Диссертация состоит из «Учебника аналитической геометрии для ВТУЗ'ов» (533 стр.) и приложения к нему «Некоторых методических замечаний» (150 стр.)

Учебник состоит из двух частей:

Часть I. Геометрия на плоскости.

Часть II. Геометрия в пространстве.

Задачи данного учебника.

Преподавание высшей математики во ВТУЗ'е должно преследовать две цели:

1) изучение того материала по математике, знание которого необходимо для прохождения общенаучных, общетехнических и специальных дисциплин втузовского курса, а также для практической и научной деятельности инженера;

2) развитие у студентов математического (логического) мышления.

Бурное развитие техники предъявляет все возрастающие требования к математической подготовленности студента ВТУЗ'а. В настоящее время втузовская программа математики весьма насыщена и не соответствует отводимому на ее прохождение времени.

Рассчитывать на увеличение числа часов по математике, за счет числа часов технических дисциплин, не приходится. Отнести часть программного материала по математике на самостоятельную работу студента — нет возможности, во-первых, потому, что подготовленность большинства студентов первых двух курсов ВТУЗ'ов еще недостаточна для самостоятельного изучения отдельных вопросов математики; во-вторых, и бюджет времени студента для занятий вне ВТУЗ'а тоже ограничен.

Помимо заданий по математике, которые студент должен выполнять дома, он имеет еще ряд заданий по другим дисциплинам, в особенности по черчению и начертательной геометрии. Поэтому, вопрос о наиболее рациональной постановке

преподавания математики является злободневным для кафедры высшей математики каждого ВТУЗ'а, а в особенности для ВТУЗ'а вечернего, где число часов на прохождение курса математики еще меньше раза в полтора, а программа та же, что и в соответствующих дневных ВТУЗ'ах. Между тем, XIX партийный съезд на развитие вечернего высшего образования обратил особое внимание.

На страницах «Вестника высшей школы» (1950 г.) по этому поводу высказывались многие профессора — математики.

В основном, их предложения сводятся к следующему:

1. Опустить из программы несущественные вопросы и маловажные детали курса математики.

2. Избегать повторения рассуждений или доказательств, если эти рассуждения или доказательства были сделаны ранее по другому поводу.

3. Доказательства некоторых теорем опустить совсем, а в. некоторых случаях отказаться от излишней строгости доказательства.

4. Ограничиваться в отдельных случаях описательной формой изложения свойств, вводимых в курс новых понятий.

5. Где возможно, ограничиваться описанием хода рассуждений, приводящих к определенному выводу, без приведения подробных рассуждений и выводов.

Не возражая против указанных предложений, считаем, что в деле рациональной постановки преподавания математики во ВТУЗ'е наиболее существенную роль должна играть методическая сторона.

Следует строго продумать методику преподнесения материала курса студентам, дабы изложить его учащимся в наиболее удобопонятной и несложной форме. В науке нет легкого пути, но облегчить этот путь учащимся мы должны, и главное не ставить препятствий на нем.

Между тем, к сожалению, сухостью своего изложения, лишенного примеров, пояснений, иногда, такие препятствия мы ставим и в своем преподавании и в изложении того или другого материала в учебнике, и препятствия настолько большие, что даже достаточно подготовленный, способный студент .начинает терять веру в свои силы.

Правда, часто можно слышать возражения против высказанного подхода к преподаванию вообще и к преподаванию математики в частности.

Говорят, что это «разжевывание», которое освобождает студента от самостоятельной работы.

С этим согласиться нельзя, — для самостоятельной работы студента, особенно по математике, большой простор, например, при решении задач, где приходится проявлять не только самостоятельность, но иногда и творчество.

Ставить же «рогатки» при изучении основ данной дисциплины не следует, дабы учащийся скорее мог войти в курс изучаемой дисциплины.

Автор диссертации считает, что для наибольшей удобопонятности курса нужно рекомендовать следующее:

1. Расположить материал курса, по возможности, так, чтобы был постепенный переход от простого к более сложному.

2. Статьи большие разбивать на более мелкие, перед каждой из них поставить заголовок, дабы легче было учащемуся ориентироваться.

3. «Язык есть средство, орудие, при помощи которого люди общаются друг с другом, обмениваются мыслями и добиваются взаимного понимания» (Сталин).

Следовательно, курс нужно излагать простым, ясным языком. Вообще, язык учебника, по возможности, должен быть живым и ближе подходить к устному слову. Выводы и рассуждения нужно делать подробно.

4. Не давать учащемуся одновременно или почти одновременно двух новых для него понятий, или, как говорят «сразу двух нагрузок», например, в одной и той же главе не излагать понятие о методе координат и теорию проекций.

5. Результаты выводов подкреплять примерами и упражнениями, при чем типичные из них снабжать решениями или указаниями.

6. Примеры и упражнения располагать в известной последовательности и не давать сразу «сложных» задач, где приходится одновременно применять несколько новых для студента теорем или формул.

7. Путем вопросов, поставленных в конце главы или раздела, углублять наиболее важные разделы курса.

8. Особенно тщательно остановиться на том материале, который выясняет идею аналитической геометрии.

Здесь необходимо остановиться подольше на совершенно новой для учащихся идее — «идее текущей точки», а отсюда и на решении задач на «геометрические места».

9. Весьма желательно, конечно, излагать материал в возможно краткой форме, чтобы учащийся мог изучить его в более короткий срок.

Но эта краткость часто идет за счет ясности изложения, а поэтому иногда при такой «краткости» получается результат обратный, — учащийся с большим трудом и с большей затратой времени постигает этот материал.

Поэтому, полагаем, что лучше сказать не так кратко, но достаточно «доходчиво».

10. Рекомендовать учащимся, в особенности заочникам, при первоначальном чтении книги опускать выводы обобщений, (которые в учебнике должны быть особо отмечены), дабы скорее войти в курс изучаемого материала. Например,

опустить выводы обобщений для формул переноса начала координат, изменения направления осей. Поэтому, в книге вертикальной коричневой линией отмечен «мелкий шрифт». В этот мелкий шрифт входят некоторые обобщения, упражнения, их решения, указания и дополнительные вопросы.

11. Обратить внимание учащихся на необходимость решать задачи наиболее рационально, т. е. давать решения наиболее простые, короткие.

На основании высказанных здесь положений, автор и стремился написать свой учебник.

К учебнику приложены «Некоторые методические замечания к преподаванию аналитической геометрии во ВТУЗ-ах».

* * *

Существуют две программы Министерства высшего образования по высшей математике для ВТУЗ-ов, из которых одна — для механико-машиностроительных, строительных, авиационных, горно-металлургических специальностей высших технических учебных заведений. Ответственный редактор, проф. В. И. Левин.

Другая программа—для технологических специальностей ВТУЗ-ов. Ответственный редактор, проф. Н. В. Ефимов.

Эти программы несколько разнятся между собой и в части аналитической геометрии.

Первая программа полнее второй.

Векторная алгебра в обеих программах есть, но во второй программе совсем нет векторных уравнений ни плоскости, ни прямой, тогда как в первой они есть.

Во второй программе совсем нет диаметров и сопряженных диаметров эллипса и гиперболы, а в первой они есть, хотя для прохождения они и не обязательны (помещены они в скобках).

Во второй программе нет полярных уравнений кривых, второго порядка, а в первой они есть.

Определители во второй программе помещены не в программе аналитической геометрии, как в первой программе, а помещены между программами аналитической геометрии и анализа.

Значит, применение определителей в курсе аналитической геометрии для технологов не обязательно.

Касательных совсем нет ни в одной из этих программ по аналитической геометрии. Отнесены они к анализу.

Некоторые особенности учебника.

Наша страна занята таким грандиозным строительством, какого еще не видел мир.

Для строительства нужны большие кадры квалифицированных специалистов, которые мы должны готовить очень

быстро и хорошо. Для этого, между прочим, нужны учебники, написанные простым, ясным языком и на достаточной высоте научной строгости.

Они у нас постепенно улучшаются, но еще весьма далеки от совершенства.

В эту работу, в работу по улучшению качества учебников, и автор хотел внести свою лепту, написав учебник «Аналитической геометрии для ВТУЗ-ов».

Имея 44-х летний педагогической стаж работы, работы упорной над совершенствованием своего педагогического мастерства, автор надеется, что и он эту проблему тоже несколько приблизил к разрешению, т. к. учебник написан им не наспех, а создавался постепенно, годами, проверялся на опыте и давал хорошие результаты.

В основу построения своего курса автор положил все те принципы, которые были перечислены выше (стр. 5).

Кроме того:

1) Автор дал большое число упражнений (572), расположенных в систематическом порядке, и в порядке возрастающей трудности; некоторые из них содержат по несколько вопросов.

К типичным упражнениям, а также к наиболее трудным приложены решения или указания.

При наличии указанных упражнений нужда в задачнике по аналитической геометрии отпадает.

2) К каждому разделу приложен ряд вопросов для углубления понимания излагаемого материала.

3) В тексте дано много чертежей, при чем на чертежах, в которых изображаются пространственные формы, объекты расположены так, что достигается наибольшая наглядность.

4) В конце книги приведена сводка формул (под номерами), выведенных в тексте, чтобы студенту легче было находить формулу, на которую ссылается автор в изложении курса.

В изложении курса отметим следующее:

1. Автор нигде не переоценивал сил студента — первокурсника, только что перешагнувшего порог высшей школы, и старался на первых порах избирать наиболее доступные приемы доказательства теорем, позволяющие сочетать известные из школьной практики методы синтетической геометрии с новыми для него методами аналитической геометрии.

2. В первой главе (Определители), на 16-ти страницах излагаем в весьма простой, и, как показал опыт, всем понятной форме, всю теорию определителей, нужную для студента— втузовца и достаточную для изложения ему аналитической геометрии.

Заметим, что курс аналитической геометрии нами составлен так, что, при желании, определители могут быть изъяты, т. к. соответствующие выводы сделаны и без них.

3. Обычно, в самом начале курса, в главе «Точка на плоскости», излагается теория проекций для того, чтобы с помощью ее выводить некоторые формулы.

Мы же отодвигаем теорию проекций во вторую часть курса, где излагается геометрия в пространстве.

Соответствующие выводы формул делаем без помощи проекций, но довольно просто.

Этим мы достигаем того, что:

во-первых, не даем студенту сразу двух новых понятий (метод координат и теория проекций);

во-вторых, не отодвигаем изложения материала самой аналитической геометрии;

в-третьих, что самое главное, вывод формул, в начале курса, помощью проекций, приводит к формальному усвоению предмета, без полного понимания его.

4. Почти во всех учебниках аналитической геометрии — русских и иностранных, после статьи «Точка на плоскости» излагается большая статья «Линии и их уравнения». В этой статье авторы учебников делают попытку, обычно на сложных кривых, раскрыть студенту — перевокурснику содержание предмета аналитической геометрии и ее метод, позволяющий сводить изучение геометрических свойств линий к изучению аналитических свойств соответствующих им уравнений и обратно.

Мы же убедились, что хотя логически этот путь правилен, но решение задач на геометрические места вызывает у начинающих изучать аналитическую геометрию большие затруднения, а потому к решению их нужно подходить постепенно, — с простейших случаев, каковыми и являются прямые линии.

Ознакомив учащихся с идеей текущей точки, составляем уравнения простейших геометрических мест — биссектрис координатных углов и параллелей к осям, получаем уравнения первой степени, а далее доказываем, что всякая прямая выражается уравнением первой степени, причем в основу доказательства, берем уравнение прямой с угловым коэфициентом, уже знакомым учащимся из школьной практики, между тем как некоторые авторы, вопреки педагогическим соображениям, берут уравнение прямой в нормальном виде.

5. Уравнение прямой в нормальном виде выводим без теории проекций, однако этот вывод достаточно строг и весьма прост и понятен для учащихся.

6. Вслед за главой о прямой линии следует глава «Выражение линий уравнениями и обратно», содержащая:

а. Выражение линий уравнениями (задачи на геометрические места).

б. Выражение уравнений линиями.

в. Пересечение линий. Графическое решение уравнений.

г. Классификация линий.

Перечисленные вопросы по существу уже рассмотрены в предыдущей главе для случая простейшей линии, т. е. прямой и соответствующего ей простейшего алгебраического уравнения первой степени. Поэтому, содержание данной главы естественно воспринимается учащимися, как дальнейшее развитие и обобщение известных им понятий на случай более сложных линий и уравнений.

Тем не менее мы и здесь, в изложении этого материала, проявляем большую методическую осторожность, начинаем решение задач на геометрические места с наиболее простых случаев и постепенно шаг за шагом переходим к случаям более и более сложным.

Особо подчеркиваем, показывая это на примерах, что вид уравнения линии в значительной степени зависит от выбора положения координатных осей, и, что в интересах рационализации работы, мы должны стремиться взять координатные оси так, чтобы уравнение линии приняло наиболее простой вид.

7. К изучению конических сечений (гл. V) мы тоже делаем подход, несколько необычный.

В более полных курсах аналитической геометрии начинают изучение конических сечений или кривых второго порядка с исследования общего уравнения второго порядка.

Изучив вопросы о центре, диаметре и др., дальше путем упрощения общего уравнения 2-го порядка, получают канонические уравнения центральных кривых (эллипс, гипербола) и нецентральных (парабола), выводят основные свойства каждой из этих кривых и продолжают дальнейшее изучение этих линий.

В кратких же курсах аналитической геометрии поступают так. Дают в готовом виде основное свойство каждой из этих кривых (эллипс, гипербола, парабола) и на основании указанного свойства выводят каноническое уравнение соответствующей кривой, а дальше исследуется уравнение эллипса, затем гиперболы и параболы. В заключение дается общее исследование уравнения линии второго порядка.

Первый путь более строгий, более логически выдержанный, но и более длинный и трудный, а потому для краткого втузовского курса он не годится.

Второй же путь проще, короче, но имеет следующие недостатки:

во-первых, он не выводит, а дает в готовом виде основные свойства конических сечений, и для учащихся непонятно,— откуда они появились;

во-вторых, он не раскрывает перед учащимися понятия — почему эти кривые называются «коническими сечениями» (Правда, этого понятия не раскрывает и первый путь). Мы же рекомендуем для преподавания во ВТУЗ'ах следующий путь.

Дать понятие о двуполостном круговом конусе. Далее синтетическим путем рассмотреть все возможные сечения конуса плоскостью, не проходящей через его вершину, и убедиться таким образом, что кривых, получающихся в результате сечения конуса плоскостью, может быть только три вида: эллипс (частный случай — окружность), гипербола и парабола.

Для каждой из этих кривых, скажем для эллипса, сперва синтетическим путем устанавливаем основное свойство точек эллипса, потом это свойство используем для механического построения кривой, затем построенную кривую относим соответствующим путем к осям координат и даем определения фокусов и большой оси.

После этого делаем вывод уравнения эллипса и определяем его малую ось и эксцентриситет.

Этим завершаем первую ступень, на которой рисуем студенту пока крупными мазками объект исследования. На этой ступени исследования используем все доступные нам средства: наглядность, знаковые приемы синтетической геометрии, механическое движение и основной принцип аналитической геометрии — «от кривой к уравнению».

Далее даем подробное изложение статьи об эллипсе аналитическим путем: исследование уравнения эллипса, построение эллипса по точкам, параметрические уравнения эллипса и т. д.

Аналогичным путем изучаем гиперболу и параболу.

Этот путь хотя и дает некоторый дополнительный, чисто геометрический материал, но он несложный, весьма изящный и устраняет оба недостатка, указанные для второго пути.

Последняя глава геометрии на плоскости (VI) — «Исследование общего уравнения линии второго порядка» изложена в возможно простой форме и результаты представлены в виде таблицы, удобной для обозрения и практического использования.

8. Даем простое построение касательной к гиперболе.

9. Геометрию в пространстве начинаем с определения положения точки в прямоугольной декартовой системе координат. Здесь указываем преимущества правой системы координат перед левой; после чего приступаем к изложению векторной алгебры и остальных статей аналитической геомет-

рии в пространстве (плоскость, прямая, поверхности 2-го порядка).

Векторную алгебру мы излагаем в начале курса аналитической геометрии в пространстве, после статьи — «точка в пространстве»,— так как имеем в виду несколько использовать векторы в самом курсе аналитической геометрии, как и полагается по программам втузов.

Однако мы не стремимся пропитать весь курс аналитической геометрии в пространстве векторным изложением, так например, векторные уравнения плоскости и прямой в пространстве не предшествуют выводу соответствующих уравнений в координатах, а, наоборот, помещены позднее, т. е. векторные уравнения плоскости и прямой в начале не являются исходными.

Изложение аналитической геометрии помощью векторов будет изящнее и короче, но не будет легче для понимания студентов втузов, а, напротив — труднее.

Академик Колмогоров поддерживает эту точку зрения, он пишет: «Чрезмерное увлечение чисто векторным изложением аналитической геометрии могло бы привести лишь к чисто формальному усвоению аппарата векторной алгебры, а; не полному пониманию предмета».

Векторное изложение аналитической геометрии возможно и желательно в университете и может быть в педвузе для студентов-математиков, у которых и подготовка по математике вообще лучше, чем у студентов-втузовцев, и число часов, отведенных на изучение аналитической геометрии, значительно больше.

Поэтому, мы только в некоторых случаях считаем возможным векторное изложение делать исходным, это там, где оно для понимания учащихся не вызывает затруднений, так например определение расстояния между двумя точками в пространстве, определение направляющих косинусов, определение угла между двумя прямыми в пространстве, вывод условия, при котором две прямые лежат в одной плоскости.

Вообще же, как правило, поступаем так: делаем вывод в координатах. Затем, делаем соответствующий вывод в векторах1. Выведя в векторах, делаем переход к координатной форме.

Следовательно, в этих случаях возможно было бы начинать прямо с вывода в векторах, а предшествующий вывод в координатах — опустить, так как дальше векторная форма переведена в координатную.

Можно так и поступить, но лишь при достаточно подготовленной аудитории.

1 Выводы в векторной форме должны быть напечатаны мелким шрифтом (в рукописи отмечены вертикальной коричневой линией).

Вообще же, если итти таким путем, то угрожает та опасность, что аналитическая геометрия будет пройдена формально, без достаточного понимания ее основ.

Возьмем пример: «Прямая линия в пространство.

В изложении этого вопроса нужно ясно показать, что прямая линия в пространстве в аналитической геометрии рассматривается как результат пересечения двух плоскостей, а потому она выражается системой двух уравнений первой степени. Это должно явиться исходным моментом.

Поэтому, мы поступаем так: даем сначала общий вид уравнений прямой. Далее показываем, даже на примерах, что одну и ту же прямую можно выразить различными парами уравнений первой степени; тут попутно выводим уравнения прямой в проекциях.

Затем выводим уравнения канонические из геометрических соображений, и, наконец, уравнения параметрические.

После всего этого выводим уравнение прямой в векторной форме, которое далее переводим в координатную форму, а отсюда получаем и канонические уравнения и параметрические и в проекциях.

Конечно, значительно короче — начать с вывода векторного уравнения прямой, а все предварительные параграфы о прямой выпустить.

Это иногда и можно делать, когда аудитория достаточно подготовленная.

В аудитории слабо подготовленной необходимо пройти все этапы, дабы учащиеся поняли не только технику выводов, но и ясно поняли, что прямая линия в пространстве в аналитической геометрии должна выражаться системой двух уравнений первой степени.

В векторной же форме и для прямой в пространстве мы имеем одно уравнение.

Когда же от него перейдем к координатной форме и получим например уравнения

то тут следует подчеркнуть, что равенства (а) представляют собой два уравнения первой степени, из которых каждое выражает собой некоторую плоскость.

Но, самый вывод уравнений (а) из векторного уравнения прямой носит формальный характер и результат для учащихся получается несколько неожиданный (из одного уравнения получилось два), а необходимо стремиться к действительному пониманию, а не формальному выводу.

Совершенно другое дело, когда мы из геометрических соображений придем к заключению, что система 2-х уравне-

нии первой степени вообще выражает собой прямую линию и обратно.

10. Необходимо отметить, что векторная форма уравнений плоскости и прямой требуется программой не всех ВТУЗ-ов, так, например, для технологических специальностей ВТУЗ-зов они совсем не требуются.

Поэтому, для студентов технологических специальностей достаточно ограничиться координатной формой уравнений проскости и прямой.

Пользуясь нашим курсом можно и ограничиться изучением уравнений плоскости и прямой в координатной форме и можно начинать изучение с векторных уравнений плоскости и прямой, а от них перейти к соответствующим координатным уравнениям.

В предисловии к учебнику указаны параграфы, которые нужно опустить, дабы оставить изложение плоскости и прямой в пространстве в координатной форме (для студентов-технологов).

Далее указаны параграфы, которые возможно опустить, когда векторные уравнения плоскости и прямой надо иметь исходными (для студентов-не технологов).

12. Мнемоническое правило.

Считаем весьма полезным приведенное в нашем учебнике мнемоническое правило для запоминания условий параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости, двух плоскостей, двух прямых в пространстве, и плоскости и прямой в пространстве. Приводим таблицу условий параллельности и перпендикулярности.

Условия параллельности

Условия перпендикулярности

I. Две прямые на плоскости

А В Ai~ В,

AAj + BB^O

2. Две плоскости

ABC Аг- Вх Сг

АА, + ВВ, + СС, = 0

3. Две прямые в пространстве

I m п

II *~ т1 щ

lb 4“ nrnij + пщ = 0

4. Плоскость и прямая в пространстве

А1 + Вт + Сп = 0

А _ В _ С_ 1 ~~~ m ' и

Отсюда выводим мнемоническое правило: Если геометрические образы одноименны (т. е. прямая и прямая или плоскость и плоскость), то условие паралелльно-

сти представляется в виде пропорциональности, а условие перпендикулярности в виде суммы произведений; если же геометрические образы разноименны (т. е. плоскость и прямая), то наоборот, (т. е. условие параллельности представляется в виде суммы произведений, а условие перпендикулярности в виде пропорциональности).

Примечание. Объем учебника, кажется, несколько велик, но, если выкинуть из него касательные и нормали (25 страниц), которые в программу аналитической геометрии ВТУЗ-ов не входят (входят в анализ), и сводку формул (24 страницы) и напечатать этот учебник тем же шрифтом (крупным и мелким), как учебник аналитической геометрии Н. В. Ефимова и на листах такого же размера, как у Ефимова, то наш учебник будет больше учебника Ефимова на 10—12 страниц, а если выкинуть еще упражнения и вопросы (у Ефимова их нет), по объем будет даже меньше, чем у Ефимова.

Приложение. К своей диссертации — к учебнику аналитической геометрии, мы даем приложение под названием «Некоторые методические замечания к преподаванию аналитической геометрии во ВТУЗ'ах» (НМЗ). Здесь мы ставим себе весьма скромную задачу:

Указать принципы, на которых построен наш учебник и дать некоторые, по нашему мнению, основанному на опыте, полезные методические замечания; но, совсем не претендуем выставлять эту брошюру, как методическое пособие по аналитической геометрии, о чем и указано в предисловии к Н. М. 3. на стр. 5 следующими словами: «Этими замечаниями мы, конечно, далеко не исчерпываем всех методических вопросов, которые следовало бы рассматреть, а потому и пишем: «Некоторые..........».

Приведем некоторые вопросы и замечания, которые здесь рассмотрены:

1. Аналитическую геометрию мы преподаем студентам 1 курса, т. е. людям незнакомым с методами учебной работы в высшей школе.

Поэтому, свою вводную лекцию, основные положения которой здесь приводим, начинаем с ознакомления студентов с теми звеньями педагогического процесса, которые имеются во ВТУЗ'ах при преподавании высшей математики, причем, говоря об одном из звеньев — лекции, даем указания, — как слушать ее, как ее конспектировать, как ее прорабатывать, даем и ряд других наставлений, полезных для новичков, а за-

тем уже делаем введение к изучению курса высшей математики и к изучению аналитической геометрии.

2. Различие синтетического и аналитического методов.

3. Ограничиваемся ли мы в преподавании аналитической геометрии эвклидовым пространством?

Отвечая подробно на этот вопрос, мы приходим к заключению, что необходимо пополнить эвклидово пространство введением бесконечно-удаленной точки и некоторыми следствиями, отсюда вытекающими. Это понятие можно дать при исследовании решения задачи о делении отрезка в данном отношении или, так, как указано на стр. 89—90 нашего учебника.

4. Учащиеся за ряд лет изучения элементарной (эвклидовой) геометрии привыкли, как при доказательстве теорем, так и при решении задач, в основу своих рассуждений брать чертеж и, опираясь на соответствующие аксиомы и теоремы, делать выводы.

Естественно, эту привычку они целиком переносят и в свои занятия аналитической геометрией; желая решить задачу, они тщательно отмечают на чертеже, в координатной системе, заданные точки, выбрав себе масштаб, и из этого чертежа, число геометрическим путем, пытаются найти ответ на вопрос задачи.

Следует особо подчеркнуть, что задачи аналитической геометрии решают вообще путем аналитическим, путем вычисления. Поэтому чертеж здесь играет не основную роль, а только вспомогательную.

Он, вообще, необязателен, а если же мы его делаем, то обычно делаем схематично, часто даже не отмечая координатных осей. Поясняем примерами.

5. Обращаем особое внимание на то, как нужно пользоваться теоремами элементарной геометрии в аналитической геометрии. (Учебник, стр. 48, 63, НМЗ стр. 29).

6. Мы должны стремиться к наиболее рациональному решению каждой задачи, т. е. к решению наиболее простому, короткому. Для этой цели мы в своем курсе особо подчеркиваем, как, например, найти угловой коэфициент прямой, проходящей через две точки, не составляя уравнения этой прямой, или, как найти угловой коэфициент прямой, выраженной уравнением общего вида, не решая этого уравнения относительно у.

7. Выясняем — можно-ли (в аналитической геометрии) гиперболу рассматривать как совокупность двух линий?

8. Зная параметрические уравнения гиперболы (х = asct, у = btgt) выясняем, — описываются ли обе ветви гиперболы при изменении параметра t; если описываются, то каким образом.

9. Делаем замечания относительно мнимых точек, мнимых линий и мнимых поверхностей и какую роль они играют в аналитической геометрии.

10. Подчеркиваем обычное недопонимание студентами различия уравнений сечения, параллельного координатной плоскости, и уравнения проекции сечения на координатную плоскость (НМЗ — стр. 129—130).

11. Подчеркиваем что необходимо остановиться на распознавании геометрического смысла уравнения по его виду. Приводим примеры вопросов и ответов.

12. Рассмотрев ряд методических вопросов, примеры которых нами приведены, в виде приложения, приводим подробный рабочий календарный план прохождения курса аналитической геометрии на технологических факультетах Московского вечернего металлургического института, где весь курс аналитической геометрии необходимо проходить в весьма короткий срок — 60 часов (15-двухчасовых лекций и 15-двухчасовых упражнений), и как мы это осуществляем.

Л 77767. Сдано в наб. 2/IV—53 г. Под. к печ. 24/IV— 53 г.

Объем 1 п. л. Тираж 100. Бесплатно. Зак. 907.

Типография ЦО МО СССР «Красная звезда», ул. Чехова, 16.