ТОМСКИЙ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИНЖЕНЕРОВ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

Н. А. ТРОИЦКАЯ

КАЧЕСТВО МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗНАНИЙ УЧАЩИХСЯ, ОКОНЧИВШИХ СРЕДНЮЮ ШКОЛУ И ПОСТУПАЮЩИХ ВО ВТУЗЫ

АВТОРЕФЕРАТ ДИССЕРТАЦИИ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ КАНДИДАТА ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК

ТОМСК — 1950

Вопрос о повышении качества знаний учащихся средней школы и о согласовании школьного курса математики с требованиями вузов и, в частности, втузов—вопрос принципиально важный.

Повышение требований к молодым специалистам, оканчивающим советские втузы, обусловленное быстрым развитием культуры, науки и техники нашей страны, неизбежно влечет за собой повышение требований к поступающим во втузы.

Хорошая подготовка по элементарной математике является одним из необходимых условий, обеспечивающих успешное обучение во втузе.

Цель настоящей работы—проанализировать недочеты в подготовке по математике учащихся, оканчивающих средние школы, и причины, порождающие эти недочеты; конкретизировать требования втузов к качеству знаний по элементарной математике и указать, опираясь на опыт лучших учителей и школ, пути повышения уровня математической подготовки учащихся средней школы.

Работа содержит 12 глав (487 стр.), в конце (на 10 страницах) дается список использованной литературы (130 названий). В тексте приводится до 200 примеров и задач, которые могут быть использованы преподавателем в его практической работе. Значительная часть этих задач составлена автором.

В первой главе изложена общая характеристика неуклонного улучшения качества математической подготовки учащихся, с одной стороны, и рассмотрены основные недостатки в знаниях по математике учащихся средней школы, с другой. Как достижения, так и недостатки в математической подготовке учащихся средней школы характеризуются на основе исторических решений ЦК ВКП(б) о школе.

Автором обработано свыше 1500 экземпляров письменных работ и около 300 устных ответов на экзаменах на аттестат зрелости. Материалы собраны в течение 1944—1949 гг. преимущественно в школах г. Томска. Кроме того, автор проанализировал более 2000 письменных работ и до 600 устных ответов на приемных экзаменах в Томский электромеханический институт инженеров железнодорожного транспорта за 1945—1949 годы.

Сопоставив данные анализа этих письменных работ и устных ответов с материалами, опубликованными в разное время (1934— 1949 гг.) в журналах „Высшая техническая школа“, „Математическое просвещение“, „Математика в школе“, „Вестник высшей школы“, „Известия АПН РСФСР“, „Народное образование“ и „Учительской газете“, а также с отчетами экзаменационных комиссий втузов Томска и отчетами представителей вузов в школьных государственных экзаменационных комиссиях, автор пришел к выводу, что наиболее типичными недостатками математической подготовки учащихся, оканчивающих средние школы, являются следующие:

1. Наличие элементов формализма в математических знаниях.

2. Слабое овладение идеей функциональной зависимости и неудовлетворительность навыков в применении графического метода к решению и исследованию различного рода задач.

3. Серьезные пробелы в развитии логического мышления.

4. Недостаточное умение, а иногда и беспомощность, в нахождении рациональных методов решения задач, тождественных преобразований и арифметических вычислений. (Этот недостаток усугубляется тем, что многие учащиеся не обращают внимания на внешнее оформление письменных работ).

5. Слабое развитие пространственных представлений и пространственного воображения.

То обстоятельство, что перечисленные выше недостатки в математической подготовке учащихся указываются вузами различных профилей и, в первую очередь, втузами, что они повторяются из года з год и имеют место и в настоящее время, говорит о том, что они являются коренными недостатками математической подготовки учащихся, оканчивающих средние школы, и устранение этих недостатков является одной из первоочередных задач средней школы.

Экзамены на аттестат зрелости и вступительные экзамены во втузы обнаружили также крайне недостаточное знакомство учащихся с вопросами истории математики, в особенности русской и советской.

Во второй главе дается анализ наиболее типичных ошибок студентов втузов по элементарной математике при изучении высшей математики и затруднений, которые они при этом испытывают.

Изучение этих ошибок и затруднений производилось автором на протяжении б лет (1943—1949 гг.) работы в Томском электромеханическом институте инженеров ж. д. транспорта. Помимо личных наблюдений автор использовал и обобщил наблюдения других преподавателей высшей математики томских втузов и использовал материалы журналов и газет.

Анализ показал, что большая часть ошибок по элементарной математике и затруднений при изучении высшей математики обусловлена в основном теми же недостатками в математической подготовке, которые были указаны в первой главе:

1. Наличие элементов формализма в знаниях логарифмов, теории эквивалентности уравнений и других разделов является причиной многочисленных ошибок и затруднений при изучении диференциальных уравнений, рядов, при раскрытии неопределенностей и т. д.

2. Слабое овладение идеей функциональной зависимости осложняет изучение функций в курсе анализа. Непонимание свойств простейших функций, рассматриваемых в средней школе, затрудняет изучение поведения более сложных функций и является причиной различного рода ошибок при построении математических кривых.

3. Следствием недостаточности логической подготовки учащихся являются логические ошибки в формулировке определений, теорем, выводов, неумение находить отправные точки в рассуждениях, неумение обосновывать свои заключения, решать задачи, содержащие элементы исследования, и задачи на доказательство (приводятся конкретные примеры).

4. Отсутствие умения находить рациональные приемы решения задач, тождественных преобразований и арифметических вычислений является причиной того, что большинство задач не доводится до конца: не упрощаются результаты диференцирования, подинтегральные функции при интегрировании преобразуются таким образом, что интегралы усложняются и т. п. При арифметических вычислениях не используются приемы, облегчающие эти вычисления.

5. Недостаточные пространственные представления осложняют изучение аналитической геометрии в пространстве и кратных интегралов.

Студенты затрудняются, например, представить, а тем более изобразить на чертеже, положение плоскостей и прямых по отношению к выбранной системе координат при некоторых частных значениях коэфициентов, линию пересечения тела плоскостью, линию пересечения двух поверхностей, тело, образованное пересекающимися поверхностями, и т. д.

Кроме того установлено:

1) Незнание частью студентов некоторых операций элементарной математики, необходимых при изучении высшей математики (выделение целой части из неправильной алгебраической дроби, выделение полного квадрата из квадратного трехчлена, уничтожение иррациональности в числителе дроби, действия с факториалами).

2) Незнание формул тригонометрии в том виде, в каком, они наиболее часто встречаются при интегрировании.

3) Недостаточное понимание радианного измерения углов. Серьезные затруднения студенты испытывают вследствие слабых навыков самостоятельной работы, недостаточного умения работать с учебной литературой, конспектировать лекции, а также вследствие недостатка настойчивости и упорства при выполнении сложных заданий, в доведении работы до конца.

В главе III освещаются итоги изучения преподавателями томских втузов недостатков в подготовке по элементарной математике, затрудняющих изучение технических дисциплин (сопротивление материалов, электротехника, теплотехника, начертательная геометрия и др.).

Преподаватели технических дисциплин настойчиво подчеркивают, что кроме недостатков, отмеченных в первых двух главах, изучение технических дисциплин серьезно затрудняется:

а) почти полным незнакомством студентов с практикой приближенных вычислений;

б) слабыми вычислительными навыками;

в) незнанием логарифмической линейки;

г) недостаточными чертежными навыками;

д) неумением доводить выкладки до числового результата. В этой же главе формулируются требования к подготовке по элементарной математике с точки зрения втузов, исходя из целей и задач изучения высшей математики во втузах и потребностей специальных дисциплин в хорошей подготовке студентов как по элементарной, так и по высшей математике.

Обоснованием этих требований послужили выводы, сделанные при изучении математической подготовки учащихся, оканчивающих средние школы, и студентов втузов. Большая часть требований является общей с требованиями других вузов; сюда относятся требования:

1. Повышение идейно-теоретического уровня математической подготовки учащихся.

2. Повышение общей математической культуры учащихся.

3. Устранение недостатков, отмеченных в I и II главах.

Наряду с требованиями, общими для всех вузов, формулируются требования втузов с учетом специфики их учебных программ и планов.

При формулировке этих требований имелось в виду, что средняя школа готовит контингент учащихся для всех вузов без учета специализации. Поэтому в число требований к подготовке по элементарной математике включались только такие, которые не идут вразрез с интересами других вузов, а именно:

1) улучшение общих чертежных навыков и навыков построения пространственных чертежей, в частности;

2) знакомство с приемами приближенных вычислений;

3) знание логарифмической линейки и умение ею пользоваться при различного рода вычислениях;

4) улучшение вычислительной техники;

5) умение доводить математические выкладки до числового результата;

6) знакомство с тригонометрическими функциями числового аргумента, углубление понимания радианного измерения углов.

В главе IV устанавливаются основные причины недостатков в математической подготовке учащихся. К числу таких причин автор относит:

1. Недостаточную научную и методическую подготовку некоторой части учительства.

2. Недостаточную связь высшей школы со средней;

3. Несовершенство учебных программ и учебников.

Автор дает критику программ, действовавших до 1948 г., и программ издания 1948 г. Вносит конкретные предложения относительно некоторых изменений и уточнений в программе по математике, исходя из требований втузов к подготовке по элементарной математике, в частности, указывает на необходимость: а) изменения порядка изучения вопроса о функции, б) более ранней постановки вопроса об исследовании решений задач, в) введения пункта о решении задач во всех темах программы, г) введения элементов приближенного вычисления, д) введения в программу X класса заключительного раздела, обобщающего и систематизирующего материал по всем вопросам изученного курса.

В главе V делается попытка указать пути и средства повышения идейно-теоретического уровня подготовки по элементарной математике.

...„Для диалектического и, вместе с тем, материалистического понимания природы необходимо знакомство с математикой и естествознанием—говорит Энгельс.

Из этого следует, что преподавание математики должно всемерно содействовать развитию диалектико-материалистического мировоззрения учащихся.

Показ связи науки и, в частности, математики с человеческой практикой, их взаимной обусловленности, привитие правильного взгляда на происхождение математики «... из потребностей человека: из измерения площадей земельных участков и вместимости сосудов, из исчисления времени и механики“ (Энгельс), указание на то, что, несмотря на абстрактность методов, математика имеет своим объектом пространственные формы н количественные отно-

шения реального мира, что развитие математики в конечном итоге обусловливается развитием производительных сил, что применимость математики к реальному миру, использование ее в технике объясняется именно ее реальным содержанием,—все это должно служить целям формирования правильного, т. е. диалектико-материалистического миропонимания учащихся.

Уже в V—VI классах можно и нужно на конкретных примерах демонстрировать связь математики с повседневной жизнью, с практикой социалистического строительства. В VII—X классах эта работа может быть продолжена и усложнена. При изучении функциональной зависимости, например, следует показать, что математические кривые отражают процессы и явления природы, характеризуя их с количественной стороны (приводятся примеры).

Школьный курс математики дает обильный материал, позволяющий наглядно подводить учащихся к пониманию основных черт марксистско-диалектического метода (автор показывает, как практически можно использовать классические примеры Энгельса, приведенные им в его произведениях „Диалектика природы“ и „Анти-Дюринг“, иллюстрирующие закон перехода от постепенных количественных изменений к изменениям качественным, коренным, закон взаимного проникновения противоположностей и другие).

Учащиеся хорошо осознают смысл указаний Энгельса на относительность многих математических суждений, на исчезновение различий в математических действиях (замена вычитания сложением, деления- -умножением) и т. д.

Осуществление требования повышения идейно-теоретического уровня математической подготовки учащихся немыслимо без повышения научного уровня преподавания математики. Строгость и научность определений, формулировок теорем, доказательств как самим учителем, так и учащимися, является необходимым условием правильной организации преподавания математики.

Одним из эффективных средств воспитания коммунистической сознательности, твердости характера, воли является ознакомление учащихся с борьбой великих русских и советских математикой за создание передовой математической науки.

В главе VI рассматривается вопрос о формализме в преподавании математики и путях борьбы с ним.

Выясняется различное значение слова „формализм“; а) формализм в математике, б) формализм в школьном преподавании математики, в) формализм в общеупотребительном значении.

Дается краткая характеристика формализма в математике как идеалистического течения конца XIX и начала XX века.

Наиболее полно и правильно содержание понятия „формализм в школьном преподавании математики“ вскрывает действительный член Академии педагогических наук РСФСР проф. А. Я. Хинчин.

Основной причиной формализма в школьном преподавании математики является неумение некоторой части учительства провести ученика от живого созерцания к абстрактному мышлению, а от него к практике.

Отсюда следует, что борьба с формализмом математических знаний должна вестись по трём основным направлениям:

1. Усиление наглядности в преподавании математики (особенно в младших V—VII классах).

2. Усиление раввития абстрактно-логического мышления (особенно в старших VIII—X классах).

3. Усиление связи теории с практикой.

В главе VII указываются пути развития логического мышления учащихся. Содержание главы охватывает следующие вопросы: 1) формальная и диалектическая логика, 2) формирование и обобщение понятий, 3) определения, 4) аксиомы и теоремы, 5) прямое и косвенное доказательство, 6) силлоги!мы в геометрии, 7) взаимоотношения между общими и частными суждениями, 8) логические ошибки, 9) математические софизмы, 10) утвердительные и отрицательные суждения, 11) методы доказательства теорем, 12) задачи на доказательство и вычисления.

В курс школьной математики входит учение о постоянных я переменных величинах, и поскольку математика постоянных величин движется внутри границ формальной логики, постольку основные положения формальной логики и ее законы должны быть использованы при изучении математики в средней школе.

Но формальная логика становится недостаточной и даже приводит к противоречиям, когда наряду с конечными величинами начинают рассматриваться величины бесконечные. Эти противоречия могут быть разрешены только при помощи диалектической логики— более совершенного и всеобъемлющего метода познания.

Педагогическая ошибка многих учителей заключается в том, что формирование понятий часто подменяется простым ознакомлением с новыми понятиями, в результате чего содержание этих понятий со временем почти совсем выветривается из сознания учащихся. Формирование нового понятия должно заключаться в закреплении в памяти и сознании учащихся существенных признаков этого понятия, что достигается неоднократным раскрытием содержания его в новых связях и отношениях. (Приводятся примеры упражнений, способствующих развитию умения отличать более общие понятия от менее общих, расширять и ограничивать понятия).

Умение давать правильные определения приобретается учащимися в результате практического освоения ими правил, которым подчиняются правильные определения. Путем систематических упражнений (примеры упражнений приводятся) учащиеся приучаются понимать логическую конструкцию определения, отличать правильные определения от неправильных, приучаются видеть разницу между определением и описанием, характеристикой, сравнением и другими приемами, заменяющими определения.

Опыт показал, что в шестых классах нет смысла рассматривать связь между теоремами (прямой, обратной, противоположной прямой, противоположной обратной), так как возрастные особенности и развитие учащихся не обеспечивают сознательного усвоения этих вопросов, но совершенно необходимо добиться прочного знания структуры каждой изучаемой теоремы, умения четко отделять условие от заключения, равно как и умения самостоятельно формулировать теорему, обратную данной.

В старших классах, наоборот, следует добиться полного понимания связи между теоремами, умения отличать необходимые условия от достаточных и формулировать прямую и обратную теоремы в виде необходимого и достаточного условия. (Приводится ряд упражнений, которые систематически предлагались автором учащимся старших классов (шк. № 6 г. Томска) и которые давали, по его мнению, положительный результат).

Из практики известно, что первые теоремы стереометрии в IX классе плохо усваиваются учащимися, несмотря на их простоту. Представление доказательства некоторых теорем в явно силлогической форме помогает более полному осмысливанию учащимися доказательства теорем и лучшему их усвоению.

(Приводятся примеры доказательств теорем путем представления их в виде силлогизмов).

Изучение логических ошибок учащихся приводит к выводу, что наиболее типичными являются ошибки дедукции. Из ошибок индукции наиболее характерны поспешные обобщения.

Чтобы предостеречь учащихся от очень распространенной ошибки—на основании частных фактов делать общие заключения,— следует на простых и доходчивых примерах (примеры приводятся) показать учащимся взаимоотношения между общими и частными суждениями.

Успех развития логического мышления учащихся во многом зависит от метода доказательства теорем.

Работая в течение ряда лет с параллельными классами и пользуясь в одном классе преимущественно синтетическим методом, а в другом—аналитическим, автору представлялась возможность сравнить результаты и сделать некоторые выводы:

1) Для того чтобы учащиеся не только запоминали логические схемы доказательств, а самостоятельно строили логические цепи умозаключений, т. е. учились самостоятельно доказывать теоремы, нужно пользоваться аналитическим методом.

2) Это не исключает применения синтетического метода. Анализом нужно намечать отправные точки рассуждений, задача синтеза—облечь эти рассуждения в строго логическую форму (аналитико-синтетический метод).

3) При методически правильной организации преподавания аналитико-синтетическим методом учащиеся приобретают неплохие навыки самостоятельного доказательства теорем. (Приводятся образцы ученических доказательств теорем аналитическим методом на математической олимпиаде, проходившей по школам города Томска в 1944 г.).

Развитие логического мышления учащихся не может быть обеспечено без решения достаточного количества задач на доказательство. (Описывается личный опыт автора в привитии учащимся навыков самостоятельного доказательства теорем).

Особо серьезное значение в развитии логического мышления учащихся имеет решение трудных задач.

В главе VIII рассматривается вопрос о преподавании и усвоении учащимися учения о функции.

Ознакомление с опытом преподавания учения о функции лучшими учителями, обобщение собственной пятнадцатилетней практики обучения, изучение литературных источников—все это позволяет заявить, что идея функциональной зависимости легко и прочно усваивается учащимися, если воплотить ее в сотни реальных примеров, связанных с повседневной жизнью и наблюдениями, если начинать знакомить учащихся с этой идеей с младших классов.

Автор показывает, как, в какой последовательности, на каких примерах и задачах следует прививать учащимся и укреплять идею функциональной зависимости и изучать свойства простейших, функций, входящих в программу средней школы, чтобы обеспечить прочное и сознательное усвоение этих свойств учащимися и облегчить им последующее обучение во втузе.

Систематическое изучение вопроса о функциях и их графиках в VIII классе дает положительный результат, отвечающий требованиям втузов, только в том случае, если учащиеся:

а) начиная с 5-го класса будут систематически приучаться анализировать связи между величинами, встречающиеся в арифметике, алгебре, физике и других предметах, сначала наиболее простые, а затем постепенно усложняющиеся;

б) в VI классе будут подведены к пониманию функциональной природы буквенного выражения через практику составления таблиц его числовых значений, будут планомерно приучаться к построению диаграмм и графиков и приобретут умение видеть в них один из способов выражения связи между величинами;

в) в VII классе научатся определять положение графиков (предусмотренных программой) относительно осей координат в зависимости от коэфициентов и приобретут умение строить графики при различных значениях этих коэфициентов, в частности, при нулевых; графическим решением различного рода задач, в особенности задач на движение, закрепят навыки сознательного применения графиков и достигнут полного понимания геометрического истолкования решения системы уравнений I степени с двумя неизвестными.

В основу определения функции в VIII классе должна быть положена идея соответствия.

Определение функции и способы ее задания удобнее давать не в конце учебного года, куда отнесено изучение темы „Функции и их графики“, а значительно раньше—при изучении темы по геометрии „Тригонометрические функции острого угла“.

Изучение тригонометрии в IX классе должно иметь отчетливо выраженное функциональное начало.

Возраст, общая и логическая подготовка учащихся IX класса обеспечивают возможность ознакомления учащихся с понятием области определения функции. Учащиеся должны уметь находите область определения всех изучаемых ими функций.

Одним из средств, обеспечивающих хорошее знание свойств тригонометрических функций, является более широкое использование графического изображения этих функций (определение промежутков возрастания и убывания, корней тригонометрических функций; иллюстрация зависимости между тригонометрическими функциями дополнительных углов, связи между значениями функций положительного и отрицательного аргумента, влияния кратности аргумента на период и т. д.).

Развитие умения представлять тригонометрические формулы в различных видах в соответствии с характером поставленной задачи является подготовкой необходимого в дальнейшем навыка выбирать нужные формулы тождественных преобразований при изучении высшей математики и, главным образом, при интегрировании тригонометрических диференциалов.

Понимание того, что аргументом тригонометрической функции могут быть не только углы, но и произвольные числа, обспечивается хорошим усвоением идеи радианного измерения углов, с одной стороны, и достаточным количеством

упражнений с тригонометрическими фунцкиями числового аргумента, с другой.

Укрепление идеи функциональной зависимости в X классе достигается дальнейшим расширением области применения графического метода исследования и фактических сведений о функциях:

а) При изучении теоремы Безу и ее следствий учащиеся знакомятся со степенной функцией, строят графики степенных функций, анализируют свойства этих функций при четном и нечетном показателе, сопоставляют свойства степенной функции со свойствами показательной. (Это предохранит учащихся в дальнейшем от очень грубой и распространенной ошибки—смешения показательной функции со степенной при интегрировании).

б) При изучении геометрии дается понятие об иррациональной функции (выражение радиуса круга из формул поверхностей и объемов круглых тел, выражение стороны основания правильной пирамиды из формулы объема этой пирамиды и т. д.).

в) Производится ознакомление с словесным заданием функции.

г) При повторении материала рассматриваются функции, область определения которых разбита на несколько промежутков или указана, исходя из технических или иных соображений.

Упражнения в заключительной части учения о функции в средней школе, восстанавливая в памяти учащихся сведения об изученных функциях, должны требовать от них уже сравнительно зрелого функционального мышления (приводится список 38 таких упражнений).

В IX главе даются методические указания к преподаванию тех разделов элементарной математики, в знании которых, по свидетельству втузов, имеются значительные пробелы.

Здесь рассмотрены такие вопросы, как рационализация вычислений, приближенные вычисления в средней школе, преподавание логарифмов, теории эквивалентности уравнений, уравнений высших степеней, ознакомление с некоторыми операциями элементарное математики, необходимыми при изучении высшей математики.

Указывается порядок прохождения материала, даются примеры упражнений, определяются способы закрепления материала и т. д.

Умение выбирать наиболее рациональные методы решения задач, тождественных преобразований и арифметических вычислений достигается систематической тренировкой в решении задач, допускающих различные решения, критической оценкой этих решений, энергичными поисками изящных решений, упражнениями в решении задач повышенной трудности, воспитанием привычки к самоконтролю, к оценке на-глаз ожидаемого результата.

(Автор разбирает большое количество примеров из арифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии, на которых практически зыгодно и удобно прививать навыки рационализации вычислений).

Для успешного изучения во втузе технических дисциплин учащимся средней школы должны быть привиты следующие навыки и умения в области приближенных вычислений:

а) умение выбирать нужную точность при производстве различного рода измерений;

б) умение получить практически пригодный результат при действиях с приближенными данными;

в) умение определять абсолютную и относительную погрешность вычислений;

г) знание правил подсчета цифр, позволяющих по числу цифр в приближенных данных заключить о числе надежных цифр в искомом результате;

д) умение производить вычисления с наперед заданной точностью;

е) умение оперировать с табличными данными.

Глава X посвящена вопросу развития пространственных представлений учащихся.

Самым мощным средством развития пространственных представлений является решение геометрических задач на построение. Практика показывает, что очень полезно время от времени (в старших классах чаще по сравнению с младшими) оформлять решение задач на построение в виде математических сочинений, в которых подробно представлены все моменты решения (анализ, построение, доказательство, исследование).

Средняя школа все еще не дает учащимся умения фактически решать стереометрическую задачу на проекционном чертеже, что отрицательно сказывается на учебе студентов во втузах.

Автор выражает согласие с профессором Четверухиным, выдвинувшим и обосновавшим требование—учить в средней школе способам решения стереометрических задач на проекционном чертеже. Опыт преподавателей математики школ г. Москвы показал, что решение задач на проекционном чертеже, являясь сильньм средством развития пространственного воображения, вызывает большой интерес учащихся к этому методу и дает возможность проявиться их творческим силам.

В главе XI выясняются некоторые особенности организации учебной работы в X классе.

Вузы, в том числе и втузы, предъявляют студентам требования уметь самостоятельно работать над учебной и дополнительной литературой, планировать свое время, слушать и конспектировать лекции, целесообразно использовать консультации и т. д. Однако уча-

щиеся X классов не только недостаточно приучаются к этому, но часто совсем не получают указаний на особенности работы в вузе.

Опыт работы лучших школ и учителей, а также личная практика автора дают возможность указать на некоторые конкретные приемы преподавания в X классе, облегчающие учащимся впоследствии переход к вузовским методам работы.

1. Целесообразно ознакомить учащихся с лекционным методом преподавания. Можно лекционно изложить такие, например, вопросы, как „Метод математической индукции“, „Формула бинома Ньютона“, а тему „Комплексные числа“ пройти полностью вузовским способом (дается подробный план лекций по этой теме, практических занятий и домашних заданий).

2. Повысить удельный вес самостоятельной работы учащихся (доказательство теорем по учебнику или рекомендованной литературе без предварительного объяснения учителя, самостоятельное решение задач, самостоятельное исследование решений, самостоятельная подготовка к докладам и т. д.).

3. Чаще организовывать выступления учащихся перед классом с докладами, рефератами, с сообщениями о найденных оригинальных решениях задач или доказательствах теорем (приводятся конкретные примеры).

4. Систематически приучать учащихся самостоятельно находить неточности и ошибки, громоздкость и нерациональность методов решения задач или доказательства теорем, нелогичность рассуждений как в своих работах, так и в работах и ответах товарищей,

5. Уделять более серьезное внимание математическим сочинениям учащихся (приводятся примерные темы математических сочинений).

6. Шире практиковать решение задач повышенной трудности.

7. При учете знаний проверять не только фактическое усвоение материала, но и умение самостоятельно работать, логически— правильно мыслить, производить анализ и исследование решений и применять знания на практике.

8. Полнее и шире освещать факты из истории математики, из истории русской и советской науки.

9. В конце учебного года ввести обзорные занятия по алгебре, геометрии и арифметике (указывается содержание этих занятий).

Глава XII посвящается вопросам наиболее целесообразной, с точки зрения втузов, организации внеклассной работы по математике в средней школе.

Здесь определяются как содержание этой работы, так и наиболее рациональные способы ее организации.

Приводится значительное количество задач для кружковой работы. Очень серьезное значение придается ознакомлению с русскими

и советскими математиками. Указывается, например, как в доступной форме познакомить учащихся с открытиями великого русского математика Н. И. Лобачевского.

Содержание этой главы охватывает следующие вопросы:

1. Математический кружок в школе.

2. Лекции и доклады научных работников по математике для учащихся средней школы.

3. Чтение математической литературы.

4. Участие учащихся в конкурсах по решению задач.

5. Математические альбомы и газеты.