НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ ГРУЗИНСКОЙ ССР

На правах рукописи

H. Н. ТОПУРИДЗЕ

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук по методике математики.

Научный руководитель—кандидат педагогических наук доцент М. Г. Кониашвили

Тбилиси 1955

Изучение преобразования иррациональных выражений является важной задачей преподавания математики в средней школе. Характер его изучения зависит от общей точки зрения, лежащей в основе преподавания математики в школе. Как известно, в настоящее время преподавание математики в средней школе подвергается изменению в том направлении, чтобы развить в учащихся умение рассматривать величины и явления в их движении, динамичности, во взаимосвязи и взаимной обусловленности.

Основным понятием, опираясь на которое можно осуществить эту задачу, является понятие функциональной зависимости. „Ни одно из других понятий не отражает явлений реальной действительности с такой непосредственностью и с такой конкретностью, как понятие функциональной зависимости, в котором воплощены и подвижность реального мира, и взаимная обусловленность реальных величин“1.

Следует опираться на понятие функциональной зависимости и при изучении тождественных преобразований иррациональных выражений. А это значит, что иррациональное выражение должно рассматриваться как определённая функция входящих в него букв—аргументов, а его преобразование должно происходить в связи с допустимыми значениями этих букв-аргументов.

В представленном труде показано, что преподавание преобразования иррациональных выражений в средней школе в том виде, в каком оно протекает в настоящее время по установленным традициям и учебнику алгебры А. Киселёва, не даёт положительных результатов. Оно характеризуется узостью и бедностью содержания: все дело сводится лишь к выработке у учащихся механических

1 А. Хичнин, Основные понятия математики в средней школе, журн. „Математика в школе“, 1939, № 5, стр. 3.

навыков преобразований, вместо того, чтобы изучение преобразования иррациональных выражений способствовало развитию функционального мышления.

Целью диссертации является установление объема знаний, навыков и понимания, необходимого для окончивших курс средней школы, для того, чтобы они могли сознательно и свободно преобразовать иррациональные выражения.

В диссертационном труде обосновано, что в настоящее время страдает недостатком и преподавание решения иррациональных уравнений. Оно не способствует развитию мышления учащихся и носит механический характер. В труде показано, каким образом должны быть внесены элементы исследования в изучение решения иррациональных уравнений и как уяснить на основании преобразования иррациональных выражений некоторые вопросы решения иррациональных уравнений, недостаточно ясно освещающиеся в школе.

Методическая разработка вопросов, данных в диссертации, практически проверялась в Тбилисской 1-й мужской средней школе имени Сталина (где автор сам преподавал) в течение 1952/53 и 1953/54 учебных годов, а также в Тбилисской 4-й средней школе (препод. А. Какауридзе).

На заседаниях метод-объединений преподавателей математики Тбилисской 1 мужской средней школы вопросы, поставленные в диссертационном труде, рассматривались каждый в отдельности.

Отдельные главы диссертационной работы в виде докладов были прочитаны на IV и V научных аспирантских конференциях Научно-исследовательского института педагогических наук Министерства просвещения Грузинской ССР и на заседании секции математики преподавателей школ г. Тбилиси.

Некоторые части труда печатались в ежемесячном педагогическом журнале Министерства просвещения Грузинской ССР „За коммунистическое воспитание" („о^Эд-

Диссертация состоит из введения и трёх глав.

Первая глава—Иррациональные выражения и иррациональные уравнения в учебно-методической литературе (краткий исторический обзор).

Вторая глава — Тождественные преобразования иррациональных выражений.

Третья глава—Преподавание решения иррациональных уравнений.

В конце диссертации даётся список использованной литературы.

I

В первой главе даётся краткий исторический обзор вопроса: иррациональные выражения и иррациональные уравнения в отечественной учебно-методической литературе и на основе анализа этой литературы обосновывается необходимость новой методической разработки данной темы, соответствующей современным требованиям математической науки.

Иррациональные выражения и иррациональные уравнения в русской учебной литературе встречаются с XVIII века—в первых учебниках алгебры: Н. Муравьёв „Начальное основание математики“, 1752; Н. Курганов „Универсальная арифметика“, 1757; Л. Эйлер „Универсальная арифметика“ 1768-69.

Из этих учебников в диссертации особое внимание уделяется „Универсальной арифметике“ Л. Эйлера, книге, которая „явилась прототипом учебников элементарной алгебры, пожалуй, не в меньшей степени, чем „Начала“ Эвклида были прототипом учебников элементарной геометрии“1.

Исходным пунктом действий над иррациональными числами Эйлер берет соотношение:

(Иррациональное число в „Универсальной арифметике“ представляется только как корень из целого или дробного числа).

1 П. С. Александров, Научное содержание школьного курса алгебры, журн. „Математика в школе“, 1946, № 4, стр. 6.

Имея в виду приведённое соотношение, Эйлер пишет: „Вышеупомянутое понятие о сих неизвлекомых числах, ведёт нас на путь, каким образом делать употребительные с оными выкладки“1.

Об умножении радикалов Эйлер даёт правило V~a-V b =Vab и считает его справедливым и тогда, когда а и б отрицательные. Этот неправильный вывод, как это видно и из учебной литературы, в дальнейшем был источником многих недоразумений.

Дальше нами даётся анализ учебников первой половины XIX века. Н. Н. Фусс „Начальные основания алгебры, выбранные из алгебры Леонарда Эйлера,; С. Ф. Лакроа „Начальные основания алгебры“; Беллявен „Курс чистой математики“, в переводе П. Н. Погорельского, с дополнениями и изменениями; Н. И. Лобачевский „Алгебра или вычисление конечных“.

Учебник гениального русского математика Н. И. Лобачевского был издан в Казани, в 1834 г. В гимназиях Казанского учебного округа преподавание алгебры велось преимущественно по этому учебнику.

В „Алгебре или вычисление конечных“, выражение V а рассматривается, как предел определённой последовательности.

В учебнике даётся образец решения иррационального уравнения с применением вспомогательного неизвестного.

Из учебников алгебры второй половины XIX века в диссертации рассматриваются „Начальная алгебра“ А. Тихомандрицкого, „Начальная алгебра“ Н. Сомова, „Начальная алгебра“ А. Давыдова, „Руководство алгебры“ Малинина и Буренина, „Курс алгебры и собрание алгебраических задач“ Н. Шапошникова.

У Тихомандрицкого уже встречаемся с понятием арифметического корня. В его учебнике даётся и образец решения иррационального уравнения в том же виде, в каком это практикуется в школах и ныне.

1 Л. Эйлер, Универсальная арифметика, т. I, СПБ. 1787, стр. 82.

В „Начальной алгебре“ Сомова (первое издание 1860 г.) большое место уделяется иррациональным уравнениям. Здесь высказывается общее предложение о том, что уравнения, содержащие радикалы, всегда могут быть преобразованы в рациональные уравнения, и это показано на примерах. В четвёртом издании упомянутого учебника (1875) даётся общее доказательство этого предложения.

Вопроса появления посторонних корней Сомов не касается.

Одним из популярнейших учебников алгебры второй половины XIX века является „Начальная алгебра“. А.Давыдова. Понятие иррационального числа Давыдов вводит не в связи с извлечением корня, а в связи с измерением. Он старается создать правильное представление об иррациональном числе, но так как иррациональные выражения и действия над ними рассматриваются им до введения иррационального числа, то ясно, что в целом вопрос об иррациональных выражениях в учебнике разработан формально.

В диссертации, естественно, особое внимание уделяется учебнику А. П. Киселёва „Алгебра“, который и сегодня является стабильным учебником наших школ.

Впервые учебник А. П. Киселёва „Алгебра“ был издан в 1838 году. Общеизвестны те качества, которые определили первенствующую роль учебника А. П. Киселёва среди других учебников. Что касается вопроса преобразования иррациональных выражений, он разработан у Киселёва недостаточно. То же самое можно сказать и о вопросе решения иррациональных уравнений. Материал, данный в учебнике по этому вопросу, слишком мал.

В диссертации даётся обзор периодической педагогической прессы 900-ых годов, откуда видно, что в это время в школьной практике ещё не были установлены определённые правила действия над радикалами, причиной чего считается неудовлетворительное изложение в учебниках вопроса о знаках перед корнями чётной степени.

Подробно излагаются и критически рассматриваются высказывания Н. Д. в статье „О знаках корней чётной

степени“, Педагогический сборник, издаваемый при главном управлении военно-учебных заведений, июнь, 1900 г.; С. Шохор-Троцкого в статье „К вопросу о знаках радикалов чётной степени“, Педагогический сборник, 1900 г., сентябрь; Гр. Лепнёва —„По поводу вопроса о двойном знаке перед радикалами чётной степени“. Несмотря на разногласия о путях улучшения преподавания в школе действий над радикалами все эти высказывания сходятся к выводу: „в наших даже лучших и наиболее распространенных учебниках алгебры теория вопроса о знаках перед радикалами чётной степени излагается настолько кратко и неопределённо, а иногда с таким отступлением от установившихся в математике понятий, что не только не предостерегает учащихся от недоразумений и ошибок, но сама по себе поселяет в умах учеников порядочную путаницу и нередко прямо располагает к ошибкам“1.

С высказываниями о неудобствах в связи с употреблением знака радикала встречаемся в педагогической литературе и в дальнейшем. Например, в 1915 году Д. А. Граве в своём учебнике „Начала алгебры“ писал: „Радикал есть знак, слабая сторона которого состоит в том, что неизвестно, какое из нескольких его значений имеется в виду. Это такой знак, что, если он написан, то надо словами добавить, которое из значеней радикала рассматривается“.

Вопрос о радикалах и действиях над ними не раз ставился и в условиях советской школы. Проф. И. И. Жегалкин и доц. М. И. Слудская в учебнике для высших педагогических учебных заведений (1935 г.), останавливаясь на понятии арифметического корня, особенно отмечают тот случай, когда под корнем стоит выражение, из которого „извлекается, как говорят, точный квадрат“.

„Пусть имеем выражение Va2.

Будет чрезвычайно глубокой ошибкой, — которую, к сожалению, часто делают,— написать равенство Va2 =а.

1 Н. Д.. О знаках корней четной степени, Педагогический сборник, 1900, июнь, стр. 497.

Равенство Va2 =а справедливо только тогда, когда а положительно. Если же а отрицательно, то оно должно быть заменено равенством

Но если а положительно, то

и M =а

Напротив,

\а\ = — а

если а отрицательно. Поэтому каково бы ни было, а всегда

Vä*= И“1

В журнале „Математика в школе“ был опубликован целый ряд статей о радикалах и действиях над ними: М. Горнштейна, Б. Лурье, И. С. Плужникова, К. С. Барыбина, П. А. Буданцева, Н. Я. Депмана.

В статье И. С. Плужникова приводятся примеры, показывающие, что в высшей школе на первом же курсе из года в год неизменно приходится встречаться с некоторыми типичными ошибками, обнаруживающими неумение правильно пользоваться радикалом, правильно производить действия над радикалами“2.

Один из примеров, приведенных И. С. Плужниковым, таков: исследовать на возрастание и убывание функцию

Окончившие среднюю школу, образуя первую производную, упрощают её, выполняя необходимые алгебраические преобразования следующим образом:

1 Проф. И. И. Жегалкин и доц. М. И. Слудская, Введение в анализ, 1935, стр. 24.

2 И. С. Плужников, О некоторых недоразумениях, связанных с употреблением радикала, журн. «Математика в школе“ 1941, № 4, стр. 6.

Отсюда получается, что данная функция должна быть убывающей во всём интервале своего существования, что противоречит действительности.

При правильном выполнении преобразований радикалов, получается

„Теперь /*>0 во всей области своего существования, следовательно, заданная функция (v=arccos—) действительно, оказывается возрастающей на всём интервале своего существования“ (стр. 8).

И. С. Плужников указывает, что „до настоящего времени в математической учебной литературе и в педагогической практике не всё благополучно с употреблением радикалов“ (стр. 7).1

В конце первой главы диссертации указывается на „Алгебру“ и „Специальный курс элементарной алгебры“ С. И. Новоселова, которые дают хороший материал для разработки методики преподавания преобразования иррациональных выражений и решения иррациональных уравнений.

II

Вторая глава диссертации — основная глава. Она состоит из трёх разделов: 1. Основные понятия.

1 И. С. Плужников, О некоторых недоразумениях, связанных о употреблением радикала, журн. „Математика в школе“ 1941. № 4, стр. 6.

2. Тождественные преобразования алгебраических иррациональных выражений.

3 Радикалы при преподавании тригонометрии.

В первом разделе разработаны те вопросы, полное и сознательное владение которыми необходимо для изучения преобразования иррациональных выражений с функциональной точки зрения:

абсолютное значение числа (§ 1); понятие арифметического корня (§ 2); некоторые алгебраические неравенства (§ 3); преобразование буквенных выражений, содержащих абсолютные значения (§ 4); основное понятие школьного курса алгебры — понятие функции (§ 5).

§ 1. В стабильном учебнике А. Киселёва „Алгебра“, до последнего времени давалось неприемлемое определение абсолютного значения числа. В издании 1952 года это исправлено; дано следующее определение:

„Абсолютной величиной положительного числа называется само это число. Абсолютной величиной отрицательного числа называется противоположное ему положительное число. Абсолютная величина нуля есть нуль". Но § 13, где дано это определение, оставлен без изменения, поэтому содержание этого параграфа не соответствует определению, которое даётся в конце его.

Понятие абсолютного значения числа одно из основных понятий. В диссертации приведены упражнения, предназначенные для усвоения этого понятия учащимся. Особенное внимание уделяется упражнениям с буквенными выражениями.

§ 2. С понятием арифметического корня ученик знакомится уже в VIII классе1, а широкое применение его при действиях над арифметическими корнями происходит в IX классе.

В диссертации, наряду с численными примерами, даются примеры с буквенными выражениями на определение арифметического корня (Va2 —\à\; V(a—|а—b] и т. д.).

1 в диссертационном труде распределение материала по классам дается в соответствии с программами на 1954/55 учебный год для средних школ Грузинской ССР-

§ 3. В VIII классе, как это предусматривается ныне действующей программой, изучается неравенство с одним неизвестным первой степени. Это даёт возможность в IX классе исследовать допустимые значения букв некоторых подкоренных выражений.

В учебнике А. Киселёва дана теория решения неравенств первой степени, но она предусматривается для выпускного класса. В диссертации даётся разработка упомянутой темы для VIII класса.

В IX классе, после прохождения квадратного трёхчлена и исследования корней квадратного уравнения по дискриминанту и коэффициентам, целесообразно и изучение решения неравенства второй степени, которые сейчас изучаются в XI классе. Это даст возможность внести элементы исследования в целом ряде преобразований. В частности, расширяется возможность исследования допустимых значений букв под знаком радикала.

§ 4. Иррациональные выражения, содержащие под знаком радикала буквенные выражения, при преобразованиях дают выражения, которые содержат абсолютные значения. Поэтому ясно, что выполнение разных действий над радикалами требует определённых навыков в преобразованиях буквенных выражений, содержащих абсолютное значение.

В IX классе перед тем, как перейти к радикалам и действиям над ними, даются упражнения на преобразование буквенных выражений с модулями.

Например:

Для кружковой работы учеников IX класса предусмотрены уравнения различных видов, содержащие абсолютные величины, а для классных работ учащихся XI класса—неравенства, содержащие абсолютные величины.

§ 5. В труде подчёркивается мысль о том, что идея функциональной зависимости является одной из основных идей в школьном курсе математики. Эта идея, также как и другие понятия современной математической науки, может занять должное место в школе, но нужно произвести необходимые изменения в освещении некоторых вопросов, с целью поднятия их изучения на должную высоту. Одним из таких является вопрос преобразования иррациональных выражений. Изучение преобразования иррациональных выражений с функциональной точки зрения играет значительную роль в дальнейшем преподавании математики. Преподаватель ни в коем случае не сможет достигнуть желаемого результата в изучении преобразования иррациональных выражений с функциональной точки зрения, если он не подготовил соответствующую почву в течение предыдущих лет обучения математики.

Второй раздел II главы («Тождественные преобразования алгебраических иррациональных выражений“) содержит методическую разработку самого преобразования алгебраических иррациональных выражений с функциональной точки зрения.

Здесь показано, как выглядят теоремы об извлечении корня из произведения, дроби и степени, когда для букв-аргументов подкоренного выражения предусматриваются все допустимые значения; показано также, как разработать эти теоремы в классе; кроме того, говорится об основном свойстве корня с его следствиями.

Формулировка теоремы об извлечении корня из произведения является следующей:

1) Для извлечения арифметического корня чётной степени из неотрицательного произведения достаточно извлечь корень той же степени из абсолютной величины каждого сомножителя и перемножить полученные результаты;

2) Для извлечения корня нечётной степени из произведения достаточно извлечь корень той же степени из каждого отдельного множителя и перемножить полученные результаты.

Аналогичное правило и для случая извлечения корня из дроби:

Правило извлечения корня из степени:

Если m чётное, знак модуля излишен.

Некоторые примеры из сборника Ларичева, содержащие под знаком радикала буквенные выражения, рекомендуются для решения с предусмотрением всех допустимых значений букв.

Примеры, преобразование которых потребовало бы сложных выкладок и было бы довольно трудно для учащихся, лучше решать, налагая определённые ограничения в отношении букв, входящих в выражение. Например, с таким ограничением—буквы, входящие в подкоренное выражение, обозначают положительные числа, а разность a—b рассматривается в случае, когда a>ô. Но в таких случаях учащимся хорошо должно быть осознано, что он

выполнил преобразование в узких рамках, и что полученный им ответ не будет годен для всех возможных значений букв, входящих в выражение.

Разработан вопрос вынесения из под знака радикала рационального множителя и внесения его под знак радикала. Наряду с численными примерами рассмотрены и примеры с буквенными выражениями, например:

1) ^V$ä?F

Здесь учащийся выясняет, что допустимые значения с — с^О, а а может обозначать любое число. После вынесения рационального множителя из под знака радикала, он будет иметь

b[a\cVT

2) 2mVmnl рациональный множитель следует внести под знак радикала.

В этом примере m может быть ^0, а также вместе с л<0.

Основное свойство корня Ку a=Van Л кроме арифметического корня, остаётся в силе и в том случае, когда а<0 a m и п нечётные, a когда а<0, m нечётное, а п чётное

Целесообразно показать учащимся эти случаи сначала на числовых примерах. Тут же даны примеры для упражнения на сокращение показателя корня и показателей степени подкоренного выражения.

На основании рассмотренных теорем можно выполнить все действия под иррациональными выражениями. В этой главе показаны примеры, которыми желательно заполнить упражнения в IX классе. Внимание обращается главным образом на такие примеры, где числа выражены буквами и, следовательно, окончательный вид ответа за-

висит от различных допустимых значений букв. Даются примеры с методической разработкой на приведение радикалов к простейшему виду, сложение-вычитание, умножение-деление, кроме того, примеры, целью которых является выработать у учащегося способность видеть численное содержание (смысл) иррационального выражения, например:

1) Выяснить знак разности х — Vx — 15.

2) Определить возможные значения х в выражении

^12 — 1/д~1>6 и др.

Постольку, поскольку иррациональное выражение представляет запись иррациональной функции, а для изучения функций большое значение имеют графики, в специальном параграфе II-ой главы (§ 9) для 9 и 10 классов подобраны иррациональнее функции, построение графиков которых вполне доступно учащимся и помогает им разобраться в том, насколько зависит значение радикалов от значений букв, входящих в подкоренное выражение.

В IX классе в третьей четверти предусматривается построение графиков следующих функций:

А для индивидуальных заданий и кружковой работы:

В X кл. во II четверти при прохождении темы „Обобщение понятия показателя степени“ следует построить графики функций:

Построение иррациональных выражений делает их осязаемыми.

В IX кл. программой предусмотрено построение квадратных иррациональностей x = Vab\ x=Va2 + Ь2.

Желательно ввести также построение выражений типа х=^a-\-V b . Необходимость его построения преподаватель показывает на задаче: постройте квадрат равновеликий с прямоугольником со сторонами: (V 3-{-Vr2 ) и VJ.

Следует показать также: 1) построение двух отрезков, находящихся друг с другом в соотношении V 2 : УЪ 2) построение отрезка x = V2 и др.

Далее, отмечая, что за последние годы учение о последовательности чисел заняло должное место в нашей школе, в диссертации считается целесообразным рассмотрение в X кл. последовательности, состоящей из иррациональных выражений:

В труде обосновывается необходимость ознакомить учащихся IX класса с формулой преобразования двойного радикала.

Они будут пользоваться этой формулой для представления решения биквадратного уравнения в виде суммы двух квадратных радикалов, когда это возможно. Кроме того, этой формулой можно пользоваться в X классе для исследования, например, такой функции, как

В X кл. на уроках геометрии с помощью формулы

учащиеся для стороны, скажем, правильного двенадцатиугольника, вписанного в г радиусный круг, получают выражение r^ï—V'i, которое с помощью формулы двойного радикала преобразовывают в более простое выражение

Приведены примеры на использование формулы двойного радикала и из тригонометрии. Например, формула двойного радикала даёт возможность увидеть, что

тоже самое, что выражение

Для XI класса в связи с решением уравнений высшей степени рекомендуется преобразование некоторых кубических радикалов в виде суммы квадратных радикалов. Например,

Для того же класса, когда учащиеся упражняются в вводе вспомогательного неизвестного с целью облегчения

решения уравнений, даны упражнения, которые с помощью другого неизвестного рационально выражают неизвестный, входящий под радикал; например: выразить Vx-f-8 и Vx-уЪ с помощью у рационально.

отсюда

к концу второго раздела II-й главы даются исторические сведения о введении иррациональных выражений в математику.

Здесь говорится о том общеобразовательном и воспитательном значении, которое имеет внесение элементов историзма при преподавании математики в средней школе.

В связи с иррациональными величинами даются исторические сведения, которые обязан знать преподаватель, а также указывается на то, какие из них можно передать учащимся и в какое время.

Неизмеримые величины (а не числа) впервые были открыты греческим философом и геометром Пифагором и его школой, в VI—V в. до нашей эры.

Ещё в VI в. до нашей эры учителю Платона Федору Киренскому было известно, как доказать несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной. Ученик Федора Киренского, известный математик своего времени, Теэтет кладёт основу учению иррациональных величин. Это учение развивает и разрабатывает Эвклид в своих „Началах“ (III в. до н. э ). X книга „Начал“ всецело посвящена рас-

смотрению иррациональных величин. В диссертации приводятся некоторые характерные места из этой книги.

После Эвклида теория иррациональных величин не получила заметного сдвига ни в Греции, ни в Индии (V—XII в. в.), ни в Аравии (VIII—XV в.в), у индусов и у арабов особенно замечательно то, что у них теория иррациональных величин стала свободна от геометрической формы и иррациональная величина предстала в виде числа. Арабский математик Алкарх (X—XI в. в,) рассматривает иррациональные радикалы как числа и производит над ними действия. Например, /54 — V 2 —V 16 (он это излагает словесно, без специальной символики).

Наследство арабских математиков переходит к европейским математикам. У Леонардо Пизанского (XII—ХШ вв) встречаемся с такими примерами:

Он даёт также формулу:

У итальянского математика Лука Пачиоло (XV в.), который сыграл значительную роль в истории математики, даются примеры на освобождение знаменателя от иррациональности, например:

С XVI в., который считается в математике, так же, как и в других отраслях культуры, переломной эпохой, в первую очередь следует упомянуть итальянского математика Франческо Мавролико (1494—1575), затем Кардано (1501 — 1576) и их заслугу в области дальнейшего развития теории иррациональных величин.

Среди математиков XVI—XVII вв Стевину принадлежит большая заслуга в признании иррациональных чисел, как равноправных наряду с рациональными числами (под иррациональными числами Стевин подразумевает числа, выраженные радикалами). Он открыто выступает против тех, кто считает иррациональные числа абсурдными. Он не одобряет терминов: „неправильные“, „глухие“, которые ставят иррациональные числа в какую-то особую категорию.

Теория иррациональных чисел получила твёрдое научное обоснование лишь во второй половине XIX в. в трудах Вейерштрасса, Кантора и Дедекинда.

Из упомянутого материала для ознакомления учащихся IX класса предусмотрены некоторые сведения о школе Пифагора, а также об Эвклиде и десятой книге его „Начал“.

В XI классе учащиеся ознакомятся с вопросом арифметизации теории иррациональных величин Эвклида и узнают о том, что окончательное обоснование теории иррациональных чисел произошло в XIX в.

Во время кружковых работ упомянутые вопросы должны быть освещены шире.

Последний раздел II главы посвящается преобразованию иррациональных выражений, встречающихся в курсе тригонометрии.

Здесь развивается мысль, что при изучении тригонометрии должно быть соблюдено то условие, что знак радикала обозначает арифметическое значение радикала. Выражение Vi — cos'a так как оно обозначает арифметический корень, имеет всегда положительный знак. То же самое и в формулах, выражающих, sin -Цр cos-^J- ntg-|-; sinT|==V/LZ2°-* 3 sinT равняется д/Ц^ со знаком плюс или минус, смотря по тому, в какой четверти заканчивается-^-. Ввиду того, что учащиеся встречаются с абсолютными величинами тригонометрических

функций, они должны иметь ясное представление о том, что представляет собой, скажем, выражение |sin#| и отличать его от выражений »in [х\ и sin*. Этому будет способствовать рассмотрение графика каждой из этих функций.

Приводятся примеры преобразования выражений, содержащих иррациональные функции, которые успешно выполнялись учащимися X класса Тбилисской I мужской средней школы (где работал сам автор).

Затем, смотря по тому, в какой четверти заканчивается а, учащиеся получали ответ 4 или—4.

2) Выразим функцию

При помощи ctg*.

(Эти примеры взяты из книги С. И. Новоселова „Спец. курс тригонометрии“, гл. I § 17, примеры №№ 10, 11).

Здесь же рассмотрены и другие примеры, всестороннее рассмотрение которых ещё больше разовьёт у учащихся функциональное мышление.

Высказывается мысль, что в средней школе лучше не давать понятия многозначной функции. В частности, в связи с обратными тригонометрическими функциями: вся область определения тригонометрической функции делится на промежутки, где данная функция является монотонной и в этом промежутке происходит обращение функции,

Обучая учащихся обратным тригонометрическим функциям, надо подчеркнуть, в каком промежутке определяется каждая функция. Так, например, когда учащийся выражает aresin* с помощью arecos*, то он должен различать случай 0^дг^1 от случая— 1^х<0

То же самое и для других обратных тригонометрических функций. Приведены примеры на доказательство тождеств, которые хорошо выполняли учащиеся XI кл. Тбилисской 1 мужской средней школы, используя свойства арифметического корня и обратных тригонометрических функций.

Доказать:

Здесь, в том случае, когда учащиеся брали синусы углов обеих частей равенства, получали арифметический корень, правильное определение значения которого давало им возможность видеть, что на сегменте 0<!Я<1 тождество 2arcsin m ==ar ccos(l—2m*) справедливо.

III

В главе „Преподавание решения иррациональных уравнений" условия, при которых мы совершаем преобразования иррациональных выражений, применяются плодотворно 1) при решении вопроса, имеет ли данное иррациональное уравнение корень, 2) при определении в каких пределах находится корень уравнения, 3) при выяснении вопроса равносильности уравнений, 4) при решении иррациональных уравнений с параметрическими данными.

В начале главы высказывается мнение, согласно которому предпочтение отдаётся определениям равенства, тождества и уравнения, данным в учебнике алгебры П. С. Александрова и А. Н. Колмогорова1. „Два алгебраических выражения, соединённых знаком равенства, называются просто равенством“.

„Равенство, верное при любых значениях, входящих в него букв, называется тождеством“.

Понятие тождества в таком виде даётся учащимся ещё в VI классе. В VII классе это понятие расширяется следующим образом: „Равенство двух рациональных выражений называется тождеством, если оно справедливо для всех значений, входящих в него букв, кроме тех исключительных случаев, когда одна сторона равенства (или обе вместе) теряют смысл“.

Вопросу тождественных преобразований должно быть уделено внимание в IX классе, когда учащиеся изучают иррациональные выражения и действия над ними. В конце курса IX класса при повторении целесообразно дать определение тождества, пользуясь уже функциональной терминологией: выражения у(х) и çpt(x) называются тождественными, если они равны для любых допустимых значений аргумента.

В XI классе при итоговых занятиях определение тождества, содержащего несколько аргументов, формулируется так: „Тождеством называется равенство

которое справедливо для всех допустимых значений системы аргументов“.

Определение уравнения и его корня, данное в учебнике П. С Александрова и А. Н. Колмогорова таково:

„Каждое равенство, в котором одно число, выраженное буквой, считается неизвестным, а значения остальных букв (если они имеются) считаются известными, называются уравнением с одним неизвестным“.

„Решением, или корнем уравнения с одним неизве-

1 П. С. Александров и А. Н. Колмогоров, Алгебра, ч. I, Учпедгиз,

стным называется каждое такое число, от подстановки которого вместо неизвестного уравнение превращается в верное равенство“.

В диссертации приводятся соображения в пользу этих определений.

В соответствии с широким пониманием тождественного преобразования определение корня уравнения должно быть уточнено следующим образом: корнем уравнения называется каждое допустимое значение неизвестного, подставление которого в уравнении вместо неизвестного, превратит уравнение в верное равенство.

При повторении курса в IX классе уравнение должно быть рассмотрено и с функциональной точки зрения» Учащиеся должны знать, что уравнение представляет собой равенство двух функций, а корень уравнения— значение аргументов, для которых значение данных функций равны,

Теоремы о равносильности уравнений в том виде, в каком это даётся в учебнике А. Киселёва, для большинства учащихся VIII класса трудны для усвоения.

В „Алгебре“ П. С. Александрова и А. Н. Колмогорова этот вопрос изложен более доступно для учащихся VIII класса.

В XI классе должно быть уделено внимание вопросу выяснения допустимых значений неизвестного. Если уравнение содержит неизвестное в знаменателе, то тогда для неизвестного недопустимы те значения, которые превращают знаменатель в нуль. Множество допустимых значений неизвестного не изменяется при умножении обеих частей уравнения на общий знаменатель. Оно изменяется в результате последующего тождественного преобразования - сокращения, т. к. пссле сокращения в полученном уравнении множество допустимых значений неизвестного расширяется.

Рассматривается пример:

(1)

из допустимых значений *-а исключается ± 1.

После приведения к общему знаменателю и умножения на (х2—1) учащийся получает:

Из допустимых значений х вновь исключается ± I, после сокращения получается 4— 2х=х2— Зх-\-2.

В этом уравнении для х уже допустимы все значения. Корнями его являются xt=2; х2 =—1.

Для данного уравнения корень х2 = — 1 является посторонним.

В IX классе должны быть рассмотрены случаи, когда к обеим частям уравнения прибавляются или из них вычитываются выражения, содержащие неизвестный.

Пример: X — Ух — 5 = 3 — Vx — 5

Это уравнение не имеет корня (в IX классе речь идёт о поле действительных чисел); если к обеим его частям добавим Ух — 5 получим уравнение х=3, корнем которого является число 3. Таким образом прибавлением выражения, содержащего неизвестный, получалось уравнение, неравносильное данному.

При изучении решения иррациональных уравнений особенное значение имеет значение II свойства уравнений.

Обе части уравнения можно умножить на одно и то же число, не равное нулю; корни уравнения от этого не изменятся;

Но при умножении обеих частей уравнения на целое выражение, содержащее неизвестное, получается новое уравнение, сохраняющее все корни первоначального уравнения, но имеющее иногда и новые корни.

В труде даны примеры иррациональных уравнений, при решении которых учащиеся выясняют, что получение посторонних корней обуславливается именно умножением обеих сторон уравнения на выражение, содержащее неизвестный.

Там же приводятся примеры на такие иррациональные уравнения, для решения которых обе стороны уравнения умножаются на выражения, содержащие неизве-

стный, но это не производит посторонних корней. В этих примерах посторонний корень возникает в результате тождественных преобразований.

Пример: 1-/2*-9 —2 = 0 (1)

Уравнение имеет корень аг = 5.

Умножением обеих сторон уравнения на выражение Ух—1 -У2х— 9+2, учащийся получит:

(Ух^1 • /2^9)2-4 = 0. (2)

Выражение Ух — 1'У2х— 9 + 2 не будет равняться нулю ни для одного значения .г—а, так что (2) уравнение не будет иметь корня, являющегося для (1) посторонним.

На левой стороне уравнения (2) в результате выполнения тождественных преобразований получается:

(х — 1)(2х — 9)- 4 = 0 Корнями этого уравнения являются х1 — 5;х% = ^

Корень *а = ~- является посторонним как для (1), так и для (2) уравнений. Он возник в результате того, что тождественное преобразование

(У7^)\У2^)=(х-1)(2х - 9)

расширило множество допустимых значений аргумента.

Целесообразно, чтобы в XI кл. приблизительно в конце II четверти на основании материала, накопленного в предыдущих классах, а также на основании того материала, который получают учащиеся в результате решения тригонометрических уравнений, углублённо был проработан вопрос равносильности уравнений.

Изучение вопроса равносильности уравнений сопутствует школьному курсу математики с VIII кл. до XI кл. Этот вопрос постепенно обогащается фактами и углубляется с ростом математической культуры и способности абстрактного мышления учащихся.

При изучении решения иррациональных уравнений

должно быть обращено внимание на то, что специфически характерно именно для иррациональных уравнений и что (как показывает практика) создаёт определённые трудности для учащихся.

Переходя на изучение решения иррациональных уравнений, преподаватель в первую очередь должен подчеркнуть то обстоятельство, что квадратный радикал (вообще, радикал чётной степени) должен быть взят с его арифметическим значением. Приведены примеры, обращающие на это внимание учащихся. Эти примеры такого характера, чтобы учащийся без их решения, опираясь на свойства арифметического корня, пришел к выводу имеет ли уравнение действительный корень.

Например:

Весьма полезно также, чтобы учащийся научился и без решения уравнения в некоторых случаях указать в каких границах находится корень уравнения. Здесь приведены соответствующие примеры.

В IX классе, наряду с численными иррациональными уравнениями, должны решаться и простые иррациональные уравнения с буквенными коэффициентами. Решение уравнений с буквенными коэффициентами без специального исследования допустимых значений букв—параметров было бы недопустимым формализмом, а нужное исследование без специального подбора простых примеров трудно преодолимо для учащихся IX класса.

Вот, например, тип уравнения х -f V2ax-\-x* — а, с которым допустимо иметь дело в IX кл.

Здесь учащийся для случая, когда а>0 получает

а

и выясняет, что этот корень является посторонним для данного уравнения, когда а<о; в этом случае корень принадлежит уравнению

Рассматривается и случай, когда а = 0. При а = 0 уравнение удовлетворяется для всех значений х < 0.

Для XI кл. в связи с уточнением вопросов исследования и равносильности уравнений подобраны уравнения с параметрическими данными; отмечено, что характерная ошибка, допускаемая учащимися при решении таких уравнений заключается в том, что они не принимают во внимание знак коэффициента, выраженного буквой и в связи с этим неправильно берут арифметическое значение корня. С подобными ошибками встречаемся и в некоторых сборниках.

По вопросу о решении иррациональных уравнений содержащих параметр, автор держится взгляда: уравнения, содержащие параметр, несмотря на то, что их изучение весьма полезно для развития математического мышления учащегося, не должны рассматриваться в классах где низок уровень математического развития. В этом случае преподаватель должен прибегнуть к методу индивидуальной работы с сильными учащимися, которым достаточно будет давать отдельные указания, а в нужных случаях и более обстоятельные консультации. Иррациональные уравнения, содержащие параметр, могут служить темой и для кружковой работы.