ЛЬВОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

И. Ф. ТЕСЛЕНКО

На правах рукописи

АВТОРЕФЕРАТ

к диссертационной работе

„О НЕКОТОРЫХ МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ В КУРСЕ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ“

(МЕТОД ИНВЕРСИИ)

ПРЕДСТАВЛЕННОЙ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ КАНДИДАТА ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК

ЛЬВОВ-1950

АВТОРЕФЕРАТ

к диссертационной работе И. Ф. ТЕСЛЕНКО

„О некоторых методах решения геометрических задач на построение в курсе элементарной геометрии (метод инверсии)“

Решая вопросы общего образования и коммунистического воспитания молодежи, средняя школа должна всемерно содействовать развитию индивидуальных наклонностей и способностей учащихся.

в частности, школа должна дать возможность юным математикам глубже изучить основы математической науки. Этой цели служит организация систематической внеклассной работы с учениками в специальных математических кружках.

Математические кружки—одно из важнейших средств развития творческого интереса учащихся к математике и общего повышения математической культуры в школе.

Как бы ни была обширна школьная математическая программа для любознательного юного математика всегда будет заманчивым выйти из её пределов, изучить кое-что из того, чего нет в учебнике, решить занимательные задачи, не предлагавшиеся в классе.

Настоящая работа имеет, в частности, целью дать в руки преподавателей математики весьма интересный и полезный материал по геометрии для проработки в школьных математических кружках.

Геометрия, как и всякая наука, изучаемая в школе, должна давать учащимся, не только полезные практические навыки, но и широкие общие идеи, могущие оказать влияние на мировоззрение человека, могущие приблизить его к пониманию важнейших вопросов современной математической науки.

Такой идеей для геометрии является идея преобразования. Геометрические преобразования являются, в сущности, ни чем иным, как обобщением обычного понятия функции. Это та же функциональная зависимость, только выраженная геометрическим языком, дающая уменье находить законы связей между геометрическими объектами.

В основе изучения школьного курса геометрии лежит простейший класс точечных геометрических преобразований, изображаемых линейными функциями, а именно: перемещение, симметрия и гомотетия.

В этих преобразованиях каждой точке (как элементу пространства) ставится в соответствие некоторая другая точка (того же пространства).

Такого рода точечные преобразования лежат в основе известных методов решения задач на построение в курсе элементарной (метрической) геометрии.

Всё дело в том, чтобы учащийся научился быстро находить соответствующее преобразование, нужное ему для решения той или иной задачи на построение.

Одним из элементарных точечных преобразований, играющих огромную роль в математике и её приложениях, является преобразование инверсии.

С ним весьма полезно познакомить любознательных учащихся на занятиях математического кружка.

Надо иметь в виду, что преобразования подобия параллельного перенесения, симметрии можно представить как результат некоторой последовательности нескольких определённых инверсий.

Инверсные преобразования —детище XIX века. Непосредственным поводом для создания преобразования инверсии были известные тангенциальные задачи на построение (Аполлония, Паппа, Мальфатти и друг.), проблемы преобразования кругового движения в прямолинейное—в технике, проблемы физики электромагнитного поля и др.

Особую популярность приобрели инверсные преобразования после весьма удачного применения их к решению практических задач по картографии, физике, технике, теории функций комплексного переменного и др.

Инверсия является одним из конформных преобразований, весьма широко применяемых в задачах современной техники.

Возникновение инверсного преобразования было подготовлено всем ходом развития метрической геометрии.

Возьмём, например, задачу построения отрезка среднего пропорционального к данным двум отрезкам. Когда-то, ещё во времена Евклида, её решали только математики-специалисты; в наша время её решает каждый ученик VIII класса средней школы. Эта задача имеет прямое отношение к инверсному преобразованию.

В третьей четверти учебного года в VIII классе изучаются метрические соотношения в треугольнике и окружности. В числе первых теорем этого раздела рассматриваются теоремы об отрезках, средних пропорциональных между двумя данными отрезками (катеты и высота прямоугольного треугольника, перпендикуляр, опущенный из какой-либо точки окружности на диаметр, касательная).

Однако достаточно ввести движение и несколько изменить формулировки указанных теорем, как немедленно обнаруживается прямая связь их с инверсным преобразованием.

Издавна известно преобразование с помощью взаимных поляр, в котором каждой точке одной фигуры соответствует прямая линия в другой фигуре. Это преобразование существенно отличается от точечного инверсного преобразования. И всё же есть основание утверждать о наличии связи между обоими этими преобразованиями.

В работе великого геометра древности Аполлония («Конические сечения“) мы находим следующую теорему: „Если через точку пересечения двух касательных к коническому сечению проведем секущую, встречающуюся с кривой в двух точках и с прямой, соединяющей точки прикосновения, в третьей точке, то эта третья точка, с точкой пересечения касательных будут соответственными гармоническими относительно первых двух.“ (Кн. 3, теорема 37).

Инверсные точки также гармонически делят диаметр основной окружности, следовательно, легко установить, что геометрическим местом их будут инверсные кривые.

Свойства инверсий, рассмотренные в работе, позволяют утверждать, что:

а) совокупность прямых и окружностей плоскости преобразуется инверсией в совокупность прямых и окружностей той же плоскости, причем прямые и

окружности будут пересекаться под теми же углами, что и в данной совокупности;

б) если какая-либо точка данной совокупности была, например, вершиной угла, то в инверсной совокупности она остается точкой, являющейся также вершиной угла, равного данному, но противоположно направленного (инварианты инверсии).

Инверсией удобно пользоваться при решении геометрических задач на построение в тех случаях, когда построение инверсной фигуры проще, чем искомой. Построение же инверсных фигур во многих случаях можно упростить подходящим выбором полюса инверсии.

К числу задач, решаемых с помощью инверсии, принадлежат задачи о проведении окружностей, касательных к данным прямым и окружностям, а также задачи на построение окружностей, пересекающих данные прямые и окружности под данными углами. Сюда же относятся задачи о криволинейных треугольниках, стороны которых суть дуги окружностей.

В известных задачниках по геометрии Александрова, Петерсена, Адлера отведено весьма скромное место задачам на построение с помощью метода инверсии, при чём полностью отсутствуют задачи технического характера.

В нашей работе даётся почти исчерпывающий сборник геометрических задач на построение, разрешаемых методом инверсии, а также элементарных технических задач, когда-либо опубликованных в печати.

Все задачи (за исключением простых) снабжены чертежами (их в работе 135); это в большой мере облегчит читателю овладение методом инверсии. В частности, дается общее решение методом инверсии классических задач Аполлония, Паппа, Кастельяно и Мальфатти.

Отдельно рассматриваются задачи о треугольниках, сторонами которых являются дуги окружностей. Криволинейные треугольника в том случае, когда сумма их внутренних углов меньше двух прямых, могут быть использованы для доказательства соответствия некоторых теорем геометрии Лобачевского и геометрии Евклида и, таким образом, могут служить для конкретного истолкования геометрии Лобачевского в смысле Пуанкаре.

В нашей работе, на основе использования метода инверсии, показано также, что свойства упомянутых криволинейных треугольников остаются в силе и для сферических треугольников.

Далее в работе показана связь инверсии с другими преобразованиями элементарной геометрии: гомотетией, осевой симметрии, параллельным перенесением, вращением и полярным преобразованием.

Связь между этими преобразованиями в каждом отдельном случае иллюстрирована задачами.

Весьма почётной известностью в области изобретений механизмов пользуется знаменитый русский геометр XIX века П. Л. Чебышев. Его изобретения относились преимущественно к шарнирно-рычажным механизмам, преобразующим круговое движение в прямолинейное; изобретённые им механизмы этого рода уже нашли разнообразное применение в практике.

Преобразование инверсии в пределах одной плоскости приводит к изящному решению проблемы направляющего механизма или „прямила“. Эта проблема является чрезвычайно элементарной и широко применяется в технике.

Механизм, осуществляющий построение инверсных фигур, носит название инверсора.

В работе изложена геометрическая теория инверсоров различных типов, в том числе инверсоров, изобретенных нашими отечественными учеными П. Чебышевым, Л. Липкиным и другими. В частности, дано подробное описание инверсоров Л. Липкина,—инверсоров, которые в большинстве руководств, трактующих эти вопросы, незаслуженно обходятся молчанием.

Автор работы даёт свою конструкцию инверсора, преобразующего круговое движение также в круговое.

В работе рассмотрено большое количество задач, могущих быть использованными для построения новых инверсоров.

Метод инверсии может быть применен для решения некоторых общих вопросов в математике.

В частности, в работе широко освещен вопрос о том как можно, пользуясь методом инверсии, доказать, что геометрическая задача второй степени может быть решена одним лишь циркулем.

В связи с этим в работе подробно рассмотрены и иллюстрированы задачами построения основных четырех операций, к которым приводится решение всякой задачи второй степени, с помощью только циркуля.

В приложении к работе дан обзор всех различных методов решения задач, известный в математической литературе под названием задачи Мальфатти.

Эта задача относится к тангенциальным проблемам элементарной геометрии; ею занимались многие математики прошлого столетия. Весьма остроумные, интересные в конструктивном отношении, решения её заслуживают популяризации среди нашей учащейся молодёжи.

В работе использованы 35 литературных источников, посвященных решению задач Мальфатти и дается изложение всех известных решений задачи, (в количестве 32) аналитическим, геометрическим и тригонометрическим методами. Особый интерес для учащихся представит исследование решений задачи.

* * *

Можно надеяться, что диссертационная работа даст почти энциклопедические сведения по вопросам, связанным с преобразованием инверсии и его приложениями в области элементарной математики.

Это позволит интересующимся обойтись без кропотливых поисков источников, особенно затруднительных в отношении иностранной литературы.

Диссертационная работа может быть использована учителями математиками средней школы для углубления своих математических знаний; она же может послужить в качестве пособия для студентов физико-математических факультетов, учительских и педагогических институтов при изучении курса элементарной математики.

Наконец, в большей своей части она даст материал для занятий математических кружков учащихся средней школы.

БГ010ЭЗ Тип. „Сталинское знамя“ Зак. 1092 т. 100