ИНСТИТУТ ПСИХОЛОГИИ

АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

Н. Ф. ТАЛЫЗИНА

УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ ПРИ РЕШЕНИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата педагогических наук (по психологии)

Москва — 1950

I. ПОСТАНОВКА ВОПРОСА

В программе средней школы по математике указано, что «Целью преподавания математики в средней школе является сообщение учащимся фактических знаний в области математики и воспитание у них необходимых навыков и умений для применения полученных знаний в различных практических вопросах»1.

В решении этих двух задач наша школа имеет неоспоримые достижения. Но эти достижения, несомненно, были бы еще более высокими, если бы методика математики могла опереться на развёрнутую теорию мышления, указывающую и общие его особенности и ход его развития в начальной и средней школе.

Однако, такой теории в педагогической психологии до сих пор нет; и в настоящее время ещё нельзя построить такую теорию, так как процессы мышления учащихся при выполнении конкретных учебных заданий изучены ещё очень мало. Необходимо широко развернуть работу по тщательному изучению этих процессов. В области математики прежде всего необходимо изучить мыслительные процессы, протекающие при решении задач, так как решение задачи требует самостоятельного применения полученных знаний и так как математические знания ценны лишь в той мере, в какой они применяются при решении задач.

Настоящее исследование посвящено изучению процессов мышления при решении геометрических задач. Из всего многообразия этих процессов в качестве предмета изучения мы избрали процессы умозаключений, которые при решении задач играют важнейшую роль.

Теоретической основой нашей работы является учение И. П. Павлова о временных связях. Фактам временных связей в области мышления Павлов придавал огромное значение, считая, что они лежат в основе мышления и в основе обучения. «Всё

1 «Программы средней школы» (математика), Учпедгиз, 1948 г.

обучение, — говорил Павлов, — заключается в образовании временных связей, а это есть мысль, мышление, знание»1.

В советской психологической литературе исследованию умозаключений при решении математических задач в плане изучения временных связей посвящены работы П. А. Шеварева, проведенные на алгебраическом материале, интересные наблюдения сделаны также Н. А. Менчинской в области арифметики. Эти работы показали, что в процессах решения алгебраических и арифметических примеров существеннейшую роль играют свёрнутые умозаключения, особенности которых таковы:

а) испытуемый действует в полном соответствии с определённым общим положением (например, правилом) или приходит к выводу, вытекающему из этого общего положения; но он не осознаёт этого общего положения.

б) Процесс, протекающий в голове испытуемого, есть активизация определённой временной связи. Первая часть процесса (первый член связи) по содержанию равнозначна меньшей посылке полного2 умозаключения; вторая часть (второй член связи) — заключению (выводу).

в) Действующая в этом случае связь имеет, во-первых, обобщённый характер. Обобщённость связи заключается в том, что она актуализируется не в единичном случае, а в целом ряде случаев, обладающих определёнными общими чертами. Во-вторых, эта связь носит правилосообразный характер. Это значит, что вывод, к которому испытуемый приходит путём актуализации этой связи, может быть получен как следствие, вытекающее из определённых правил (общих положений).

г) При некоторых условиях могут возникать ошибочные временные связи, приводящие при их актуализации к неверным результатам.

Учитывая всё изложенное, мы направили наше исследование на разрешение следующих вопросов:

1) Когда учащиеся средней школы решают геометрические задачи, то всегда ли выполняемые ими умозаключения являются полными; если нет, то как часто у испытуемых разных классов имеют место свёрнутые умозаключения? Иначе говоря, всегда ли учащихся, решая геометрические задачи, сознают те общие положения (определения, теоремы и т. п.), которые входят в логический состав умозаключений; если не всегда, то как часто испытуемые разных классов не сознают этих общих положений?

2) Если в процессах решения геометрических задач хотя бы иногда имеют место свёрнутые умозаключения, то являются ли они

1 «Павловские среды», т. II, стр. 580.

2 В противоположность свернутым умозаключениям, где испытуемый не осознает тех общих положений, в соответствии с которыми действует или приходит к определенным выводам, в полных умозаключениях испытуемый осознает эти общие положения.

актуализацией определённых временных связей? Каковы особенности этих связей, если они действительно имеют здесь значение?

3) Если в процессах решения геометрических задач имеют место и полные и свёрнутые умозаключения, то каковы их функции в процессе решения задачи?

II. МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ

Испытуемые. Испытуемыми были учащиеся VI—X классов 156-ой средней женской школы и 69-ой средней мужской школы г. Москвы и взрослые. Из каждого класса мы взяли по 4 человека: одного по успеваемости в математике сильного, двух — средних и одного —слабого. Всего в экспериментах участвовало 40 учащихся: 20 девочек и 20 мальчиков. Взрослых испытуемых было двое. Они оба имеют высшее образование и состоят сотрудниками Института Психологии.

Экспериментальный материал. Из вопросов, поставленных перед исследованием, вытекают следующие требования к экспериментальным задачам:

а) они должны быть по характеру содержания и решения близки к задачам, решаемым в школе; б) они должны содержать моменты, вызывающие затруднения у учащихся; в) затрудняющие моменты должны быть включены в задачи разной сложности; г) решение экспериментальной серии в целом должно требовать применения различных геометрических положений (теорем, определений и т. д.); д) должны быть подобраны такие задачи, которые могут быть предъявлены всем испытуемым.

Эти требования были реализованы следующим образом. Путём предварительного эксперимента мы установили, что для учащихся на первых этапах изучения геометрии наиболее трудным является: 1) необходимость изменения задачи, т. е. перехода к новой задаче, из решения которой вытекает решение данной задачи (например, переход от задачи: «доказать равенство отрезков» к задаче: «доказать равенство треугольников, в которые искомые отрезки входят в качестве соответственных элементов»). 2) Необходимость вычленения из чертежа элементов, нужных для решения задачи. Первую из этих трудностей мы положили в основу подбора задач; вычленение нужных элементов из чертежа было варьирующим признаком. Задачи были взяты из задачника Гуля, изданного в качестве дополнения к стабильному задачнику для средней школы. Выбранные нами задачи соответствуют программному материалу 1-го полугодия VI-го класса. Все они являются задачами на доказательство. Взятые в целом, они требуют применения всех основных положений, изучаемых в первом полугодии VI-го класса.

Экспериментальная серия содержала 8 задач. Из них 6 основных и 2 вспомогательных. Из числа основных одна задача использовалась и в качестве вспомогательной к другим задачам основной серии. Вспомогательные задачи мы давали тогда, когда испытуе-

мый затруднялся решить основную задачу. Вспомогательные задачи позволяли точней установить причины затруднений.

Проведение исследования. Исследование проводилось в порядке индивидуального эксперимента. Задачу испытуемый получал в письменном виде вместе с чертежом. Перед решением задачи мы просили испытуемого говорить нам всё, что будет ему приходить в голову при решении задачи. После первого чтения задачи, в процессе решения и после окончания решения мы испытуемому задавали ряд вопросов. Вопросы были направлены на выяснение следующих моментов: а) воспроизводил или нет испытуемый общие положения, которые он самостоятельно использовал при решении данной задачи; б) если воспроизводил, то ч т о именно воспроизводил из этих общих положений; в) на какие части и особенности чертежа испытуемый обращал внимание; г) о чём он подумал перед тем или иным утверждением, высказанным в процессе решения задачи.

Всё, что говорил и писал испытуемый и что говорил экспериментатор, протоколировалось (от руки). Эксперименты были проведены в течение октября—января 1949/50 учебного года.

III. АНАЛИЗ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

Установить, осознавал или нет испытуемый определённое общее положение, в соответствии с которым он решал задачу, оказалось возможным в 594 случаях. При анализе этих случаев мы опирались, во-первых, на высказывания испытуемых и, во-вторых, на сопоставление этих высказываний со всем ходом решения и с условием задачи. Анализ показал, что в одних случаях испытуемые осознавали общие положения, в соответствии с которыми они действовали, в других — осознавание этих положений отсутствовало.

1. Случаи, когда испытуемые осознавали общие положения

1. Таких случаев всего было 176. Анализ их, прежде всего, вскрыл следующие закономерности:

а) Испытуемые, которые самостоятельно решали данную им задачу, как правило, осознавали только те общие положения, которые были нужны для решения этой задачи, и только в отдельных редких случаях эти испытуемые осознавали общие положения, не имеющие отношения к решению стоящей задачи.

б) В подавляющем большинстве случаев (в 155) испытуемые сознавали не всё положение, а только часть его; при этом они всегда сознавали именно ту часть положения, из которой вытекали выводы, продвигающие решение задачи. Не было ни одного случая, где бы испытуемый осознавал часть общего положения, не обладающую этим свойством (например, в определении биссектрисы всегда осознавалось то, что она «делит угол пополам», и никогда не осознавалось то, что это «прямая»).

Обе эти закономерности говорят о том, что решение (в тех случаях, когда оно осуществляется на основе сознавания общих положений и притом вполне самостоятельно) является целенаправленным и строго детерминированным процессом. Оно ни в какой мере не является цепью случайных проб и ошибок.

2) Далее анализ относящихся сюда случаев показал, что положения, осознавание которых входило в процесс решения, резко1 распадаются на две группы: а) в одних случаях это были определения, аксиомы, теоремы и т. п.; б) в /других случаях это были особые положения, указывающие, что надо делать в определённой ситуации (например, такое положение: «чтобы доказать, что данные прилежащие углы суть углы смежные, надо доказать, что их сумма равна 180°»).

Положения, входящие в первую группу, указывают особенности, присущие тем или иным геометрическим фигурам и их частям (Например, «углы равны»). В этих положениях, конечно, ничего не говорится ни о целях, ни о средствах к их достижению. В положениях, входящих во вторую группу, всегда говорится о той или другой цели и указывается средство к её достижению (Например, «чтобы доказать равенство отрезков, надо доказать равенство треугольников, в которые они входят в качестве соответственных элементов»). Конечно, каждое положение, входящее во вторую группу, опирается на соответствующее положение, входящее в первую группу; но, тем не менее, оно принципиально отлично от этого положения. (Так вышеуказанное положение второй группы опирается на следующее положение первой группы: «В равных треугольниках все соответственные элементы равны»).

Положения, входящие в первую группу, мы будем в дальнейшем называть геометрическими положениями (каковыми они и являются); положения, входящие во вторую группу, будем условно называть практическими положениями.

3. Эксперименты показали, что испытуемые, которые не владели соответствующими практическими положениями и пользовались при решении только геометрическими положениями, с задачами в подавляющем большинстве случаев не справлялись. Правда, в отдельных случаях эти испытуемые решение находили, но происходило это случайно: перебирая все особенности, присущие данным фигурам, и получая из этих свойств постепенно всё, что можно было из них получить, испытуемый иногда «наталкивался» как раз на то, что нужно было для решения задачи. Но такие случаи были очень редки.

Оказалось, что практическими положениями не владеет значительный процент испытуемых. В общей сложности испытуемые не справились с 1/4 экспериментальных задач. Особенно велика часть нерешённых задач в первых двух классах: в VI-ом классе — 2/3, в VII — около 2/5. В подавляющем большинстве этих случаев причиной того, что учащиеся не смогли самостоятельно решить задачу, было то, что они не владели практическими положениями.

Следовательно, владение практическими положениями является основой умения решать геометрические задачи. Между тем, в школьной практике при обучении геометрии главное внимание обычно направляется только на усвоение геометрических положений. Необходимо принять меры к тому, чтобы учащиеся знали и умели применять при решении задач практические положения.

4. У части испытуемых некоторые признаки понятий, не входящие в их определение, но постоянно применяемые при решении задач, связанных с этими понятиями, заменили собой некоторые признаки, указанные в определении. Такая замена наблюдалась в определениях, в которых не указаны признаки, непосредственно важные для решения задачи; замещающий признак был в таких случаях равнозначен признаку, указанному в определении. (Так в определении смежных углов, которое гласит: «Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие стороны составляют продолжение одна другой», признак «две другие стороны составляют продолжение одна другой» наши испытуемые заменяли признаком: «в сумме равны 180°»). У некоторых испытуемых этот новый признак становился единственным признаком, входящим в практически важное определение. Признаки же, указанные в определении, эти испытуемые осознавали с трудом даже в том случае, когда мы просили их определить интересующее нас понятие.

Следует заметить, что такое видоизменение понятий, возникшее из практики решения задач, является вместе с тем и одним из важнейших компонентов умения решать задачи. Поэтому там, где это возможно, в определения понятий надо включать те признаки, которые непосредственно применяются при решении задач.

2. Случаи, когда осознавание общих положений отсутствовало

1. Случаи этой группы представляют собой следующее: испытуемый в процессе решения задачи приходит к осознанию некоторого положения С. Это положение является, вообще говоря, следствием из двух посылок А и В; причём А — большая посылка, В — меньшая. Но испытуемый приходит к осознаванию С после осознавания только В, осознавание же А отсутствует.

Но В не является достаточным основанием для С. Следовательно, во-первых, испытуемый получил С не путём полного умозаключения, а как-то иначе. Осознаванию С предшествовало только осознавание В, т. е. только В могло в данных условиях вызвать С. Следовательно, во-вторых, мы имеем здесь дело со связью В и С; связью, наличие которой выражается в том, что осознавание В влечёт за собой осознавание С. Первым членом этой связи является осознавание В, вторым — осознавание С.

В протоколах наших экспериментов имеется 418 случаев этого типа.

2. Анализ показывает, что связи, действующие в этих случаях, распадаются на две группы:

A. Связи, замещающие собой такие полные умозаключения, которые приводят к осознаванию особенностей, присущих данным фигурам и их элементам.

B. Связи, замещающие собой такие полные умозаключения, которые приводят к осознанию действия, нужного для решения (конечной или промежуточной) задачи.

Связи первого типа замещают полные умозаключения, в которых большей посылкой являются геометрические положения. Связи второго типа замещают полные умозаключения, в которых большей посылкой являются практические положения.

3. Связи первого типа характеризуются следующими особенностями:

а) И первый и второй члены связей имеют обобщённый характер.

Первым членом связи является сознавание того факта, что данная фигура (или элемент фигуры) обладает определёнными общими особенностями (Например, изображённый на чертеже треугольник ABC является равнобедренным). Вторым членом — сознавание того факта, что эта фигура (элемент) обладает некоторыми другими общими особенностями. (Например, углы А и С при основании треугольника ABC равны). При этом сознавание первой группы1 особенностей влечёт за собой сознавание второй группы особенностей. Общими особенностями здесь называются особенности, присущие не только данной фигуре (элементу), но и множеству других фигур (элементов). (Например, равнобедренность). Однако, человек, у которого актуализируется связь, имеет в виду лишь тот факт, что особенности, о которых идёт речь, присущи данной фигуре (элементу).

б) Первые члены всех связей этого типа — двухкомпонентные. Содержание одного из этих компонентов — наглядно-воспринимаемые на чертеже образы фигур или их элементов. Второй компонент содержит некоторые признаки, указанные в условии или полученные испытуемым в ходе решения задачи.

4. В зависимости от той роли, какую играют связи этого типа в процессах решения задач, они распадаются на три подгруппы:

а) В эту подгруппу входят связи, первым членом которых является подведение изображённой на чертеже фигуры (или её элементов) под понятие, указанное в условии данной задачи. (Например, осознавание воспринимаемого на чертеже треугольника ABC, согласно условию задачи, как равнобедренного треугольника). Вторым членом является осознавание наличия у этой фигуры (или у её элементов) тех или иных свойств, входящих в содержание этого

1 «Группа» особенностей может, вообще говоря, состоять всего лишь из одной особенности.

понятия (Например, осознавание того, что углы при основании (А и С) данного равнобедренного треугольника ABC равны).

В одних случаях во второй член связи входят признаки, указанные в определении данного понятия (равенство сторон у данного равнобедренного треугольника), в других—признаки, не указанные в определении и взятые из какой-либо теоремы, относящейся к предмету данного понятая (равенство углов при основании данного равнобедренного треугольника). Наконец, в ряде случаев во второй член входили и признаки, содержащиеся в определении данного понятия, и признаки, не содержащиеся в нём (например, испытуемый одновременно осознавал, что в данном равнобедренном треугольнике боковые стороны равны и углы при основании равны).

Всего случаев, где испытуемые актуализировали связи этого подтипа, оказалось 114.

б) В эту подгруппу входят связи, первым членом которых является восприятие на чертеже геометрической фигуры (или её элемента), содержащее в себе сознавание определённых свойств этой фигуры (элемента). Вторым членом является подведение этой фигуры (элемента) под определённое понятие («углы вертикальные», «треугольники равны»).

Свойства, входящие в содержание первого члена, иногда бывают указаны в условии задачи, иногда — становятся известными в результате тех или иных рассуждений, исходящих из того, что дано в условии. Эти свойства сознаются испытуемым как свойства фигуры, изображённой на чертеже.

В ряде случаев испытуемые опирались только на зрительное впечатление (Например, линию, по зрительному впечатлению прямую, испытуемые осознавали как прямую линию)1. Объясняется это тем, что в практике решения задач у испытуемых не было случаев, когда учёт только наглядно данного в этих условиях приводил бы к ошибке.

Всего случаев, где испытуемые актуализировали связи этого подтипа, оказалось 71.

в) В эту подгруппу входят связи, первым членом которых является восприятие на чертеже геометрических фигур (например, углов), содержащее в себе осознание определённых признаков этих фигур. Вторым членом рассматриваемых связей является осознавание наличия у этих же фигур некоторых других признаков, входящих в то же понятие. При этом признаки, входящие в содержание первого члена, являются признаками, указанными в определении этого понятия, а признаки, входящие в содержание второго члена, в определении данного понятия не содержатся.

Как видим, содержание первого члена этих связей такое же, как и содержание первого члена второй подгруппы. А содержание

1 Испытуемые при этом должны были бы еще осознать, что данная линия согласно условию прямая.

второго члена такое же, как содержание второго члена первой подгруппы.

Всего случаев, где испытуемые актуализировали связи этого подтипа, в наших протоколах 22.

Таким образом, испытуемые при осознавании особенностей, присущих данным фигурам (или их элементам), опирались на целую систему различных связей. Все эти связи образуются в процессе обучения геометрии, главным образом — в процессе решения соответствующих геометрических задач.

Отсюда вытекает важность подбора задач, важность последовательности, в которой учащиеся должны решать эти задачи. Особо следует указать на роль чертежа, который, как было сказано, при неверном подборе задач может вытеснить из содержания первого члена некоторые существенные признаки, что в конечном итоге приводит к образованию ошибочной связи.

5. Связи, путём актуализации которых испытуемые приходили к действию, нужному для решения задачи, характеризуются следующими особенностями:

а) Оба члена этих связей имеют обобщённый характер. Обобщённость их заключается в том же, что и обобщённость членов связей первого типа.

б) В состав первого члена всех связей этого типа входит осознавание определённой цели. (Например, установить, являются ли данные прямые взаимноперпендикулярными).

в) Вторым членом всех связей этой группы является установка на действие определённого типа, посредством которого эта цель может быть достигнута (Например, установка на выделение пары углов и решение вопроса о том, равны они друг другу или не равны).

6. В зависимости от особенностей первого члена все связи этой группы распадаются на д в е подгруппы:

а) В первую из них относятся связи, в первый член которых входит осознавание стоящей в данный момент задачи (цели). В одних случаях в состав первого члена входит только осознавание задачи, в других — осознавание цели сочетается с зрительным восприятием фигур (или их элементов) на чертеже.

Следует отметить, что актуализация связей, в содержание первого члена которых входит зрительное восприятие некоторых фигур (или их элементов), изображённых на чертеже, в значительной мере зависит от вычленения этих фигур (или их элементов). У ряда испытуемых одна и та же связь актуализировалась в случаях, где вычленить фигуру было легко, и не актуализировалась в случаях, когда вычленить нужную фигуру было трудно. (Например, испытуемые легко переходили от доказательства равенства отрезков к доказательству равенства соответствующих треугольников в случае, когда на чертеже были даны только эти треугольники, и не могли сделать указанный переход в случае, когда нужные треугольники были даны в целой системе других треугольников, пересекающихся с ними).

Отсюда вытекает необходимость упражнять учащихся в умении вычленять нужные фигуры (их элементы) на чертеже.

Всего случаев, где испытуемые актуализировали связи данной подгруппы, оказалось 77.

б) Во вторую подгруппу относятся связи, в состав первого члена которых, кроме осознавания цели, входит сознавание того факта, что воспринимаемая фигура (элемент) обладает определёнными особенностями (Например, цель «установить, равны ли друг другу два треугольника», сочетается с сознаванием того факта, что две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого).

Всего случаев, где испытуемые актуализировали связи этой подгруппы, 44.

Учитывая, что в большинстве случаев наших испытуемых затрудняло именно определение нужного действия, необходимо особо подчеркнуть важность связей второго типа.

Следует также иметь в виду, что при определённых условиях у учащихся могут возникать ошибочные связи этого типа. Так, если испытуемый решает задачи, в которых требуется узнать, будут ли углы смежными, и при этом в условии постоянно указывается, что данные углы прилежащие, то у испытуемого может образоваться ошибочная связь. Первым членом её будет осознавание задачи: «будут ли углы смежными», вторым — установка на решение вопроса, равна ли сумма этих углов 180°. Признак же «прилежащие» упускается из виду. При решении задач указанного типа актуализация этой связи приводит к верным результатам. Но в случаях, когда данные углы не являются прилежащими, наличие такой связи может привести к ошибке.

Из сказанного следует, что в обучение геометрии должна войти планомерная выработка у учащихся связей второго типа.

6. Все обнаруженные нами связи характеризуются следующими особенностями:

а) Они имеют обобщённый характер.

б) Они формируются в процессе обучения.

в) Формируются не на основе правил, а на основе определений, теорем и т. п. положений, не содержащих в себе указаний на действия.

г) В большинство связей входит зрительное восприятие фигур (или их элементов).

Как было уже сказано, всего случаев, где испытуемые не осознавали общих положений, в соответствии с которыми они действовали, было 418. Таким образом, в 418 случаях умозаключения замещались актуализацией охарактеризованных выше связей. И только в 176 случаях имело место воспроизведение общих положений. Иначе говоря, только в 176 случаях испытуемые выполняли полные умозаключения, а в остальных 418 — свёрнутые умозаключения.

Нижеследующая таблица1 показывает, как часто эти два вида случаев встречались у испытуемых, обучающихся в разных классах.

№ п/п

Испытуемые

Количество случаев, где выяснялся вопрос осознавания общих положений.

Количество случаев, где имело место осознавание общих положений.

Количество случаев, где осознавание общих положений .отсутствовало.

% случаев, где имело место осознавание общих положений, от числа случаев, где выяснялся вопрос осознавания.

% случаев, где осознавание общих положений отсутствовало, от числа случаев, где выяснялся вопрос осознавания.

1

VI класс

50

36

14

72,00/в

28,00/0

2

VII класс

90

36

54

40,00 о

60,00/o

3

VIII класс

142

44

98

31,0%

69,0%

4

IX класс

149

31

118

20.&0/0

79,2“lo

5

X класс

127

27

100

21,3»/о

78,70/q

6

Взрослые

36

2

34

5.60/0

94,40/0

Таблица говорит о следующем:

1) Процент случаев, когда имело место осознавание общих положений, уменьшается (в целом) при переходе от испытуемых из младших классов к испытуемым из старших классов.

2) Большинство тех случаев (около 2/3), в которых имело место осознавание общих положений, падает на испытуемых первых трёх групп (VI—VIII классы).

3) Учащиеся VI-го класса прибегали к осознаванию общих положений почти в 13 раз чаще, чем взрослые.

Следующая таблица показывает, как часто два вида случаев, о которых идёт речь, встречались у отличников, у средних и у слабых учащихся.

Испытуемые

Количество случаев, где выяснялся вопрос осознавания общих положений.

Количество случаев, где имело место осознавание общих положений.

Количество случаев, где осознавание общих положений .отсутствовало.

% случаев, где имело место осознавание общих положений, от числа случаев, где выяснялся вопрос осознавания.

% случаев, где осознавание общих положений отсутствовало, от числа случаев, где выяснялся вопрос осознавания.

Слабоуспевающие

91

45

46

49,5 о/о

50,50/о

Среднеуспевающие

294

99

195

33,70/0

66,30/0

Отличники

173

29

144

16.80/0

83,20/о

Взрослые

36

2

34

5,60/0

94.40/0

1 Число случаев, где осознавание общих положений отсутствовало, не равно числу актуализированных связей, так как во многих случаях связь замещала собой не одно умозаключение, а два и больше.

Как мы видим, слабые учащиеся почти в три раза чаще прибегают к осознаванию общих положений, чем отличники.

Из всего сказанного следует, что осознавание общих положений в процессе решения геометрических задач характерно для низших этапов овладения умением решать геометрические задачи. На высших же этапах овладения этим умением умозаключения замещаются актуализацией соответствующих связей.

7. В отдельных случаях связи формировались у наших испытуемых в ходе эксперимента, после решения одной-двух задач соответствующего рода. Но есть основания предполагать, что для образования прочной связи необходимо решение большего числа задач. При этом большую роль играет осознавание особенностей задач, вычленение у них того общего, что позднее обеспечивает актуализацию соответствующей связи во всех этих задачах.

8. Какие связи актуализируются при наличии определённых данных, зависит не только- от этих данных, но и от задачи, стоящей перед испытуемым. При наличии одних и тех же геометрических фигур, но данных в условиях разных задач, испытуемые актуализировали разные связи из числа тех, которые имели отношение к этим фигурам.

Следовательно, и в тех случаях, когда решение задачи осуществляется (посредством актуализации связей, процесс решения является целенаправленным и строго детерминированным.

ВЫВОДЫ.

Исследование показало:

1) В процессе решения геометрических задач испытуемые выполняли как полные, так и свёрнутые умозаключения.

2) К полным умозаключениям в среднем испытуемые прибегали в 2,5 раза реже, чем к свёрнутым.

3) Свёрнутые умозаключения представляют собой актуализацию определённых временных связей.

4) Замена полных умозаключений актуализацией соответствующих временных связей характерна для более высоких этапов овладения умением решать геометрические задачи.

5) Как путём выполнения полных умозаключений, так и путём актуализации временных связей испытуемые приходили или к осознаванию особенностей, присущих данным фигурам, или к осознаванию действия, необходимого для решения стоящей задачи.

6) Полные умозаключения, с помощью которых испытуемые приходили к осознаванию определённого действия, и замещающие их временные связи в корне отличны от полных умозаключений, с помощью которых испытуемые приходили к осознаванию определённых особенностей данных фигур, и замещающих их временных связей.

7) Полные умозаключения, приводящие к действию, и замеща-

ющие их временные связи лежат в основе геометрических умений.

8) При некоторых условиях у учащихся могут образоваться ошибочные временные связи.

9) В тех случаях, когда испытуемые решали задачу самостоятельно, как правило, они осознавали только те общие положения (или актуализировали только те временные связи), которые были необходимы для решения стоящей перед ними задачи.

10) В случае полных умозаключений в подавляющем большинстве случаев испытуемые осознавали только те части общих положений, из которых следовали выводы, продвигающие решение задачи. Части, непосредственно не имеющие практического применения, испытуемые или не осознавали, или заменяли их другими, из которых следовали выводы, непосредственно важные для решения задачи,

11) В процессе обучения геометрии необходимо:

а) Систематически формировать у учащихся верные связи как первого, так и второго типов. Образованию связей второго типа уделять особое внимание. Для этого должен быть специальный подбор задач, должна быть определённая последовательность их решения.

б) Там, где это возможно, в определения понятий надо включать те признаки, которые непосредственно применяются при решении задач.

А06740 24/VIII-1950 г.

Объем 1 п. л.

Зак. 1583 Тир. 100

Типография издательства МГУ, Моховая, 9.