МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М. В. ЛОМОНОСОВА

Философский факультет

КАФЕДРА ЛОГИКИ

На правах рукописи

Н. И. СТЯЖКИН

ИЗ ИСТОРИИ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ в XIX веке

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата философских наук

Научный руководитель — профессор доктор физико-математических наук С. А. ЯНОВСКАЯ

Москва — 1959

Формой развития математической логики в XIX в. была так называемая алгебра логики.

В современной научной литературе термин «алгебра логики» понимается, по крайней мере, в следующих трех значениях: а) исчисление высказываний (в этом смысле алгебра логики рассматривается, например, в [1]), в) обобщение дедуктивной теории классической аристотелевой логики [2], с) специальная математическая дисциплина, именуемая булевой алгеброй, имеющая и общелогическое значение ([3], [4]).

Результаты, полученные в алгебре логики, широко используются сейчас в логике классов (объемов понятий) и высказываний, в технике (в теории релейно-контактных электрических схем и устройств [1]), в биологии (при формализации систем таксономии и теории эволюции [17], [18]) и в других областях. Развитие алгебры логики, как и математической логики вообще, вызвано, в основном, потребностями математики в точном обосновании и строгом изложении, особенно же теми трудностями, которые связаны с решением ряда важных задач математики. В ходе работы над разрешением этих задач выяснилась необходимость уточнить вопросы общелогического характера в связи с общими методами решения задач и доказательства теорем. Отличительной особенностью работ пионеров алгебры логики Дж. Буля, А. Моргана, С. В. Джевонса, Э. Шредера, П. С. Порецкого является математическая обработка дедуктивной части классической аристотелевой логики. Исторически первоначальный эффект методов алгебры логики состоял не столько в том, что с их помощью решались какие-либо конкретные математические проблемы, сколько в том, что с их помощью была существенно уточнена и обобщена проблематика классической логики. Так, исчисление классов Буля было обобщением силлогистики Аристотеля. Оно явилось аналогом известных алгебраических исчислений Виета и Декарта, в которых употреблялись два вида выражений, из которых одни обозначали предметы, а другие суждения, предикаты или отношения. При подстановке имен постоянных,

индивидуальных предметов на место соответствующих переменных в выражения второго вида получались предложения, характеризующиеся признаками истинности или ложности. С предложениями, записанными на искусственном «языке» буквенного исчисления, оказалось возможным оперировать по определенным достаточно, простым правилам, весьма напоминающим законы арифметической алгебры.

Хотя направление, начатое трудами Буля, и не было непосредственно связано с потребностями современной ему математики, представителями этого направления все же были получены отдельные ценные научные результаты; к их числу можно, например, отнести существенный вклад в разработку общей теории отношений (с точки зрения их объема), тонкий логический анализ свойств некоторых операций, строгую формулировку принципа двойственности Шредером, создание основ алгебры логики Булем, Шредером, и другие результаты. В недрах этого направления фактически вызревало также чрезвычайно плодотворное понятие современной науки — понятие дистрибутивной структуры, с которым приходится иметь дело не только в логике и математике, но и в теоретической физике, квантовой механике и других науках и само появление которого было фактически связано с весьма глубоким проникновением в сущность логических и математических операций.

Настоящая диссертация посвящена рассмотрению некоторых недостаточно изученных в литературе вопросов истории развития математической логики в XIX веке. Основные результаты работы связаны главным образом с 1-й главой диссертации, в которой автор предлагает свой способ оправдания логических методов Дж. Буля с помощью обоснования употребляемой последним, по аналогии с арифметикой, операции деления и выясняет таким образом секрет успеха методов одного из пионеров математической логики. Отсутствие монографий по истории алгебры логики в России побудило диссертанта предпринять специальное изучение этого вопроса, посвятив ему 2-ю главу диссертации. Особое место занимает приложение к диссертации, в котором речь идет в основном об одном из возможных способов формализации семантических парадоксов, встречающихся в средневековой логике. Это приложение вовсе не претендует на сколько-нибудь полный анализ средневекового логического наследия. Помещение приложения вызвано тем обстоятельством, что диссертант стремился хотя бы кратко охарактеризовать исторические предпосылки появления систем алгебры логики в XIX в.

Специально-логические проблемы, рассматриваемые в диссертации, находятся в тесной связи с философскими вопросами логики. Поэтому в диссертации уделяется должное внимание ряду философских вопросов, возникающих в связи с характером затронутой темы. Так, в § 2 гл. 1 анализируются методологические взгляды Дж. Буля, в § 2 гл. 2 раскрываются, в частности, материалистические и антиметафизические предпосылки теории логики П. С. Порецкого, и т. д.

ПЕРВАЯ ГЛАВА подразделяется на пять параграфов. В § 1 дается очерк истории попыток построения логических исчислений до Буля, поскольку идеи Буля в этой области имели определенные исторические предпосылки. В заключении параграфа кратко суммируются следующие основные черты, характеризующие эту раннюю стадию в развитии идей символической логики:

а) Трактовка основоположниками математической логики законов, определяющих логические операции, лишь как некоторых аналогов соответствующих законов математических операций и связанная с этой трактовкой необоснованная экстраполяция математических методов в логику, в) Несвязанность исследований в области логики с решением каких-либо конкретных задач математики.

c) Тенденции к дальнейшему развитию результатов классического аристотелевого формализма.

d) Разработка исчисления высказываний не была еще отдифференцирована от изучения отношений между классами.

Анализируя историю возникновения и развития математической логики, можно лишний раз убедиться в справедливости мысли К. Маркса о том, что на первоначальных ступенях своего развития наука занимается иногда «строительством жилых этажей здания еще до того, как она заложила его фундамент» (К. Маркс. К критике политической экономии. М., 1952, стр. 46). В этом смысле ранняя история математической логики безусловно носит ряд черт, сходных с подмеченными К. Марксом чертами в его блестящем анализе генезиса теорий политической экономии.

Отмеченные выше признаки (а) — (d) ярко проявились и в логических исследованиях Джорджа Буля (1815—1864).

Буль исходил из идеи аналогии между алгеброй и логикой. Он стал рассматривать логику как алгебру с нулем и единицей, в которой существуют все четыре операции арифметической алгебры (сложение, умножение, вычитание и деление). Современная Булю алгебра занималась в основном решением уравнений. Верный своему основному допущению,

Буль заключил отсюда, что и центральная проблематика логики должна определяться вопросами:

1) О решении так называемых логических уравнений относительно неизвестных терминов. Эта проблема решения булевых уравнений равносильна вопросу о сведении их к возможно более простой канонической форме.

2) Об исключении каких-либо термов из заданных логических уравнений (проблема элиминации). Сущность этой проблемы состоит в следующем: пусть имеется какое-нибудь соотношение, содержащее некоторые классы а, в, с... Требуется вывести из этого соотношения новое соотношение, эквивалентное конъюнкции всех таких следствий из данного соотношения, которые содержат только какие-нибудь определенные из классов а, в, с..., т. е. установить, что можно сказать о соотношении между такими-то классами на основании сведений, содержащих, помимо этих, также и другие классы.

Исчисление классов Буля фактически предполагает систему понятий обычной содержательной логики, таких, как «логическое следствие», «вывод» и др. Трактуя алгебру как науку о равенствах, Буль и в исчислении классов также записывает логические выражения в виде равенств. Он стремится давать полные явные определения вида x = f(t), из которых можно было бы вывести все свойства определяемого объекта. Говоря современным языком, это соответствует попытке заменить аксиоматические определения явными.

Основными операциями у Буля являются:

1) Сложение, которое обозначается знаком «+»; в исчислении классов булевой формуле х-\-у соответствует объединение классов X и у с обязательным исключением их возможной общей части; в исчислении высказываний — так называемая строгая дизъюнкция.

2) Умножение, обозначающиееся знаком «.»; в исчислении классов этой операции соответствует пересечение, в исчислении высказываний — конъюнкция.

3) Дополнение до единицы, обозначавшееся записью 1—х; в исчислении классов формула 1—х означает дополнение к классу х\ в исчислении высказываний — отрицание X.

Включение класса х в класс у выражается любой из следующих формул: х = ху; х — ху = 0\ х-\-ху = 0; х{\—у) = = О, которые эквивалентны между собой в силу аксиом и правил системы. С помощью введенных Булем правил преобразования оказалось возможным формализовать модусы аристотелевой силлогистики. Изучая логические функции и операции с ними, Буль вывел, в частности, формулу разло-

жения таких функций: (I) f(x) = /( 1 )л: —|— /(0) (1—х), где 1—символ универсального, 0 — нулевого класса. «Наиболее общая проблема логики,— пишет Буль,— может быть сформулирована так: задано некоторое логическое уравнение, содержащее символы х, у, z, w\ требуется найти логически интерпретируемое выражение для выяснения отношений класса, обозначенного через w, к классам, обозначенным через х} yt z» [12]. Требуемое выражение для w найдется, если предварительно разложить заданное уравнение по w, получая каноническое равенство вида (II) Pw -f- Q(l—w) = = 0, где Р и Q функции, зависящие от от х, у, г и не содержащие w. Буль решает (II) алгебраически по w, получая: (III) w = ——. Далее правая часть (III) разлагается по X, у, z по формуле (I) разложения логических функций. Каждый из коэффициентов у членов этого разложения может принимать какое-либо одно из всех возможных значений, представленных в ряде: (IV) -; -; -; -; -; -; -; -, где т и п суть целые положительные или отрицательные числа. Затем Буль предлагает ряд правил для преобразования разложенного выражения в логическую функцию. Все члены этого разложения, коэффициенты которых отрицательны, дробны или равны нулю, отбрасываются; в конечном выражении удерживаются лишь члены с коэффициенттами — и — .

Из изложенного явствует, что Буль вводит операцию деления в логику совершенно формально, без каких-бы то ни было попыток его обоснования. Очевидно, что Буль иногда попросту «подгонял» логические операции под арифметические, не вскрыв подлинного секрета успеха своих методов и не разобравшись в том, в какой мере и почему имеют место использованные им аналогии.

В § 2 после изложения биографии Буля и раскрытия философского аспекта его системы, формулируется и доказывается основной результат всей 1-й главы, а именно предпринимается попытка обосновать логические методы Буля. Существует мнение, что попытка оправдания методов Буля должна идти по линии применения к ним понятий многозначной логики (см., например, [5] и [6]), используя с этой целью следующие модусы: «достоверно», «ложно», «невозможно» и «неопределенно». Не оспаривая в принципе правомерности такого подхода (который, кстати сказать, не дове-

ден До получения конкретного результата), диссертант, однако, считает, что можно идти и по другому, более простому (в смысле используемых средств) пути, не требующему ни выхода за рамки двузначного формализма, ни расширения так называемого булева кольца. Заметим, что если так называемая булева алгебра (читателю следует иметь в виду, что «булева алгебра» и «алгебра логики Буля» — разные формальные системы, отнюдь не совпадающие по содержанию друг с другом) вложена в кольцо вычетов по модулю два И. Н. Жегалкиным [9] и М. Стоном [10], то вложение в кольцо алгебры логики в том виде, в каком она представлена у самого Буля (использующего, в частности, операцию деления), являлось до сих пор нерешенной задачей. В § 5 как раз и сделана попытка решить эту задачу. Как выяснилось, булевы процедуры могут быть оправданы с помощью элиминации, употребляемой Булем формально (по аналогии с арифметикой) операции деления (выполнимой, как во всяком кольце, лишь при некоторых условиях). В полученном диссертантом соотношении (которое здесь, в целях экономии места, приводится без подробного обоснования) :

(при N^M(N и M — функции алгебры логики) и где знак < есть символ отношения включения для классов, = означает: «то же самое, что и ...», -\--знак так называемой симметрической разности, соответствующей в исчислении высказываний строгой дизъюнкции, v — знак произвольного класса, «—» знак логического вычитания)—ключ к разгадке булевых процедур*.

Применяя формулу разложения логических выражений на конституенты (т. е. формулу, согласно которой имеет место равенство: f(x)=f(\) x-\-f{0) (1—х)) к правой части

* Наметим кратко лишь путь обоснования соотношения (V). Рассматривается уравнение в кольце (IX) Mx = N. Выясняется, что необходимым и достаточным условием его разрешимости является соотношение (X) N < М. Легко показать, что одним из корней (IX) является выражение N. Допустим теперь, что (IX) имеет два различных решения Х\ и *2, т. е. что выполняются следующие два равенства: (XI) N = Мхх и (XII) N — Мх2. Сложив почленно (XI) и (XII), имеем: 0 = М(х\-\-Х2) (XIII). Поскольку один корень уравнения (IX) уже известен, положим x\ = N\ х-2 = х. Итак, 0 = M(N + х), откуда (N + *)<(1—M), что равносильно с x = N-\-v(\—M). Этим и оправдывается соотношение (V). Выражение N-\-v(\—M) не является функцией в обычном смысле этого слова, но заключает в себе все (бесчисленное) множество корней уравнения (IX).

соотношения (V), а именно к выражению N + и(1—М), получаем:

(VI) 1 - MN + ( 1 + V) MqN -f 0• MN{) +vM0N„ где символ вида х0 вводится как сокращение для разности 1—X и где булевому коэффициенту — соответствует выражение \-\-v (M0N = Of так как должно выполняться 7V< M); булев же коэффициент — , согласно нашему определению операции деления, есть не что иное, как:

(VIII) -jj- = 0-f-ü(l—0), т. е. в точности v. Отметим одно существенное удобство, связанное с соотношением (V). Именно, в выражении N-\-v(\—M) «числитель» N и «знаменатель» M из «дроби» — разделены друг от друга, а поэтому отсюда вытекает возможность осуществлять в M и N подстановки различных постоянных порознь. Это оправдывает, в частности, булев способ подстановки постоянных в выражения вида _, когда сначала полагают Лг = 1, М=\, получая -J- , затем N=l, M = 0, образуя коэффициент —, и т. д.

Итак, процедуры Буля оправданы, а секрет его успеха достаточно ясен. Отметим лишь необходимость ввести ряд коррективов в булевы правила интерпретации для разложенного выражения. Именно Буль напрасно ввел в рассмотрение коэффициенты, отличные от 1 и 0. Читатель легко поймет, почему в предложенном диссертантом способе оправдания методов Буля коэффициентов, отличных от 1 и 0, вообще не появится. Буль не должен был бы отбрасывать конституенты при коэффициентах вида — и — при четном п (точно так же как и при коэффициентах — и — при нечетном /2*). В самом деле, пусть л: = — ; N = z\ M = t\ + /2, тогда: х =--— ~ z + v(l -f tl + t2). В разложении z + V ( I -f- t\ + t2j обязательно должен появиться член

* Здесь п — натуральное число.

Zot\t2, но тогда 0 + и (I + 1 + \)zQt\t2 — vz0t\t2, а Буль же по своим правилам напишет — - Zot\t2 и выбросит конституент z0t\t2 из разложенного выражения. Поэтому ему приходится допускать, что U • t2 — 0 (иногда такого рода допущения специально оговариваются в его задачах, но иногда и не оговариваются). Таким образом, в этих «критических» случаях Буль фактически решает не ту задачу, которую он перед собой ставит, а на самом деле совсем другую, поскольку он вынужден принимать соответствующие дополнительные посылки, утверждающие о несовместности определенных классов*.

ВО ВТОРОЙ ГЛАВЕ диссертации анализируются в основном результаты, принадлежащие П. С. Порецкому (1846— 1907) и выясняется их влияние на развитие современной формы алгебры логики. Это влияние сильнее всего обнаруживается в докторской диссертации А. Блэйка «Канонические выражения в булевой алгебре», защищавшейся в Чикаго в 1937 году (литографирована в 1938 году). Соотечественник А. Блэйка, известный логик и математик Мак-Кинси в рецензии на эту диссертацию замечает, что приемы Блэйка опираются на «таблицу следствий Порецкого, предназначенную для нахождения всех следствий булевого уравнения» [11]. Основные понятия А. Блэйка — «силлогистический многочлен» и «упрощенная каноническая форма», по его собственному справедливому замечанию, «основаны на комбинировании методов Буля и Шредера с методом Порецкого» [7]. Авторы, использующие канонические формы булевой алгебры, и в настоящее время обращаются непосредственно к работам Порецкого, в которых тонкий логический анализ связан с материалистическими установками.

Как материалист, П. С. Порецкий утверждал, что любая аксиоматически построенная формальная логическая система лишь в том случае имеет право на существование, если все доказуемые в ней предложения становятся содержательно истинными в применении к какой-нибудь области объективной действительности. Материалистический характер логической теории Порецкого проявляется еще и в том, что он неизменно исходит из анализа содержания при изучении формально-логических правил вывода.

* Читателю предлагается убедиться в этом, разобрав решение логической задачи Булем в [13, стр. 103—104], а затем сделать ее по нашему методу. Указание: булеву «дробь» - ~ ^ в этой задаче перевести в линейную запись по формуле (V), а полученное после этого выражение разложить на конституенты.

Творчески восприняв все то положительное, что имелось у его предшественников, П. С. Порецкий, вместе с тем, весьма критически отнесся к некоторым утверждениям Дж. Буля и Э. Шредера. Так, он совершенно справедливо отмечал «эмпиризм теории логических равенств Буля» [14], философскую подоплеку которого он усматривал в «смешении свойств количества и качества» [15]. В оценке Порецким метода Шредера имеются два различных аспекта: а) методологический, философский и в) алгоритмический. Он протестует против шредеровской трактовки логических аксиом лишь как «чисто формальных» [16]. Формализм Шредера Порецкий усматривает еще и в том, что Шредер, построив определенный, разрешающий некоторую массовую проблему алгоритм, часто не замечает возможности более простого решения применительно к одной, отдельно взятой, конкретной проблеме*. Порецкий выясняет далее, что алгоритмы Шредера достаточны лишь для решения проблемы элиминации, но, совершенно недостаточны для исчерпывающей характеристики класса всех заключений (определенного вида), которые могут быть выведены из заданной системы посылок. Любопытно, что оценка эффективности алгоритмов Шредера Порецким по существу совпадает с соответствующей оценкой методов Шредера современными логиками (см., например, [7]).

В разделе IV § 2 рассматривается та часть теории логики Порецкого, которая посвящена вопросам вывода следствий из данных посылок. Дело в том, что при решении этой проблемы П. С. Порецкий не ограничивается употреблением совершенной конъюнктивной (двойственной дизъюнктивной) нормальной формы для логических выражений, чем ограничивается, как известно, Д. Гильберт и В. Аккерман в [4]. Соответствующий прием Порецкого был использован А. Блэйком в [7].

Анализ логической системы Порецкого завершается выяснением возможности использования его сокращенных нормальных форм для упрощения структурных формул релейно-контактных схем слабого электрического тока.

Характеризуя теорию логики П. С. Порецкого в целом, следует признать, что результаты Порецкого еще не выходят за пределы булевско-шредеровского направления в логике — направления, навеянного примером арифметической алгебры и недостаточного для логического исследования ма-

* Следует отметить, однако, что в своих дальнейших работах, и прежде всего в «Лекциях по алгебре логики», Э. Шредер в значительной мере преодолел этот правильно подмеченный Порецким недостаток своих ранних исследований.

тематики бесконечного, прежде всего математического анализа. Однако Порецкому принадлежат оригинальные и очень простые алгоритмы, решающие для исчисления классов и так называемого комбинированного исчисления высказываний и одноместных предикатов задачи об отыскании всех следствий определенного вида из заданной системы посылок и всех гипотез определенного вида относительно логических оснований для данных следствий.

В § 3 дается краткая характеристика исследований по алгебре логики после Порецкого и в Одесской математической школе и, в частности, некоторых идей и научных достижений Е. Л. Буницкого и С. О. Шатуновского. Специально рассматриваются взгляды Шатуновского на роль и значение, а также сферу применимости закона исключенного третьего.

В § 4 изучается вопрос о влиянии идей символической логики на проблематику и исследования в области общей формальной логики в России. В частности, приводится ряд наиболее ярких примеров плодотворности воздействия некоторых идей и результатов математической логики на определение общего объема и направлений специфически формально-логических изысканий. В этом смысле очень плодотворным было, например, влияние основного логического принципа С. В. Джевонса на логическое учение М. И. Каринского, в частности на трактовку последним логических умозаключений.

В ПРИЛОЖЕНИИ к диссертации (включение его обусловлено стремлением хотя бы кратко указать на предысторию алгебры логики XIX в.) дается анализ некоторых элементов аглебры логики и теории семантических парадоксов в средневековой логике. Оно имеет целью ознакомить советских читателей с рядом идей и приемов математической логики в трудах таких крупных мыслителей схоластической эпохи, как Дуне Скотт, Вильям Оккам, Иоанн Буридан и некоторых других, и оно носит, в сущности, обзорный характер. В приложении специально рассматривается теория семантических парадоксов у Альберта Саксонского и предлагается способ формализации некоторых из них, поскольку в существующей литературе нет строго логического анализа этих парадоксов. Примечательно, что идеи математической логики в подавляющем большинстве случаев формировались в работах ученых, занимавших как умеренные, так и крайние, близкие к материализму номиналистические позиции. Исследования ученых этого направления получили высокую оценку у классиков марксизма-ленинизма. Известно, в частности, как высоко ценили они научные заслуги

Дунса Скотта. Так, в своей статье «Дебаты о свободе печати» Маркс замечает:

«Двадцать огромных фолиантов Дунса Скотта (существенную часть которых занимает логический анализ. — Н. С.) поражают ...как готическое здание», от них веет... «реальным чувством величия» (К. Маркс и Ф. Энгельс. Соч., т. I, изд. 1. М.—Л., 1928, стр. 140).

В другом месте основоположник научного коммунизма пишет:

«Материализм — прирожденный сын Великобритании. Уже ее схоластик Дуне Скотт спрашивал себя: «Не способна ли материя мыслить?» (К. Маркс и Ф. Энгельс. Соч. т. 2. М., 1955, стр. 142).

Выражение «дунс — скоттовские контроверзы» (К. Маркс и Ф. Энгельс. Соч., т. 12, ч. II. М., 1934, стр. 274) было для Маркса синонимом высокой культуры научной полемики.

В заключение приложения анализируется теория элиминации семантических антиномий, принадлежащая Буридану (умер в 1358 г.), и предлагается способ ее формализации. Рассуждение Буридана с способе элиминации семантического парадокса с формальной точки зрения может быть передано так. Пусть р есть некоторое парадоксальное высказывание (например, типа «все, что написано в данном фолианте, ложно»). Для устранения возникающей в этом случае антиномии Буридан предлагает к р присоединить вспомогательную посылку Ар, где Ар означает, что предложение р действительно было высказано кем-нибудь, например Сократом. Из конъюнкции р&Др выводимо предложение р. Но из р на основании значения р, т. е. собственных слов этого выражения, выводится предложение ро. Итак, из р&Др получены два предложения р и р0, т. е. явное формальное противоречие. Но если из данного суждения следует противоречие, то оно (данное суждение) ложно, т. е. формула (р& Др)0 истинна. Но из (р& Др)0 следует, что d -+ (Ар) о, где « -> » есть сокращение для словосочетания «если ... то». Итак, из предположения, что р истинно, следует только, что Сократ не мог его произнести. Заметим, что из (р&Дро) следует также, что Ар ро, т. е. из того, что Сократ произнес р, вытекает ложность р. Таким образом парадокса не получается. Другой способ формализации идей Буридана, на наш взгляд, излишне модернизирующий и усложняющий эти идеи, читатель может найти в [8].

В приложении, наконец, выявляются следующие причины того тупика, в котором оказалась средневековая логика:

а) общественно-производственная практика Средневековья не могла направить логику к тому, к чему стимулирова-

ла ее общественно-производственная практика эпохи поднимающегося капитализма;

в) математика и техника той эпохи не могли в достаточной степени влиять на ее развитие, сами еще не выработали эффективной символики и алгоритмов;

с) непродуктивность используемых мнемонических средств создавала дополнительные трудности при попытках систематизации и закрепления уже полученных результатов.

Для удобства читателя в конце каждой главы диссертации приводится список необходимых источников или первоисточников, причем ссылки в тексте на литературу (за исключением приложения) для сокращения отмечаются арабскими цифрами, заключенными в квадратные скобки. Эти цифры соответствуют номерам источников или первоисточников, приводимых в конце глав.

_*_

Содержание работы отражено в следующих опубликованных в печати статьях:

I. Стяжкин Н. И. К вопросу о вкладе П. С. Порецкого в развитие математической логики. Вестн. МГУ, 1956, №1, сер. экономики, философии и права, стр. 103—109.

II. Стяжкин Н. И. К характеристике ранней стадии в развитии идей математической логики. «Научные доклады высшей школы», философские науки, 1958, № 3, стр. 95—101.

III. Стяжкин Н. И. Элементы алгебры логики и теории семантических антиномий в поздней средневековой логике. Сб. «Логические исследования», ИФ АН СССР, 1959, стр. 20—32. Эта статья относится к проблематике, с которой связано приложение к диссертации.

IV. Стяжкин Н. И. Упрощение П. С. Порецким некоторых алгоритмов классического исчисления высказываний. Сб. «Логические исследования». ИФ АН СССР, 1959, стр. 33—47.

ЛИТЕРАТУРА К АВТОРЕФЕРАТУ

1. Маркс К. К критике политической экономии. М., 1952, стр. 46.

2. Маркс К. и Энгельс Ф. Соч., т. 2. М., 1955, стр. 142.

3. Маркс К. и Энгельс Ф. Соч., т. I. изд. I. М.—Л., 1928, стр 140.

4. Маркс К. и Энгельс Ф. Соч., т. 12, ч. II. М., 1934, стр. 274.

СПЕЦИАЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

[1] Гаврилов М. А. Теория релейно-контактных схем. М.—Л., 1950.

[2] De Morgan A. Formal logic or the calculus of inference Necessary and probable. London, 1847.

[3] Биркгоф Г. Теория структур. M., 1952.

[4] Гильберт Д. и Аккерман В. Основы теоретической логики. ИЛ, М.. 1947.

[5] Rhees R., Note in Editing. Collected logical works of G. Boole. Chicago and London, 1940, pp. 9—43.

[6] Feys R. Proc. Royal Irish Acad., 1955, vol. 57, No. 6, pp. 107—112.

[7] Blake A. Canonical expressions in Boolean algebra. Chicago, 1938, pp. 2, 22, 23, 38.

[8] Moody E. Truth and consequence in mediaval logic. Amsterdam, 1953.

[9] Жегалкин И. И. Математ. сб., т. 35, 1928, стр. 311—317.

[10] Stone M. Proc. Nat. Acad. Sei., vol. 21, 1935, pp. 103—105.

[11] The Journal of Symbolic logic, 1938, vol. 3, No. 2, p. 93.

[12] Boole G. An Investigation of the Laws of Thought. London, 1854, p. 101.

[13] Boole G. Collected logical works, vol. 2. Chicago and London, 1940.

[14] Порецкий П. С. Решение общей задачи теории вероятностей при помощи математической логики. Казань, 1886, стр. 83.

[15] Порецкий П. С. О способах решения логичских равенств и об обратном способе математической логики. Казань, 1883—1884, стр. 181.

[16] Schroder Е. Der Operationskreis des Logikkalküls. Leipzig, 1877, S. 4.

[17] Woodger J. H. Axiomatic method in biology. Cambridge, 1937.

[18] Woodger J. H. Biology and language. Cambridge, 1952.

Л119799 21/VII 1959 г. Объем 1 п. л. Заказ 820 Тир. 150

Типография Издательства МГУ, Москва, Моховая 9