ИНСТИТУТ ПСИХОЛОГИИ АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

А. В. СТЕПАНОВ

К ВОПРОСУ О ПСИХОЛОГИЧЕСКОЙ ПРИРОДЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ ШКОЛЬНИКА

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук (по психологии)

МОСКВА 1952

Основная задача, стоящая перед учителем математики в средней школе, заключается в том, чтобы, сообщая учащимся те или иные математические знания, воспитывая у них необходимые навыки и умения, учить применять эти знания на практике, всемерно повышать математическое развитие учащихся, воспитывать у них творческое мышление.

Имеет ли наша школа достижения в решении этой задачи? Бесспорно имеет. Но большинство этих достижений все же еще является «продуктом таланта, с одной стороны, и большого, но неосознанного опыта, с другой».1

Существенное значение для построения научной методики имеет разрешение вопросов психологии мышления школьника, его мыслительной деятельности в условиях учебной работы в школе.

К сожалению, широко разработанной психологии мышления школьника мы еще не имеем. В настоящее время в этой области имеется лишь несколько важных и интересных работ (П. А. Шеварева, Н. А. Менчинской и их сотрудников). В ходе исследовательской работы только накапливается необходимый материал для построения этой важнейшей части педагогической психологии.

К ней относится и наше исследование.

Глава I. Предмет исследования

Работая со студентами 1-го курса физмата пединститута, мы часто встречались с фактом неподготовленности выпускников средних школ к успешному усвоению вузовского математического материала. Особенно большого труда требует усвоение математического анализа на первом семестре 1-го курса. Затруднения здесь испытывают даже те студенты, которые успешно окончили среднюю школу, с увлечением занимаются

1 П. А. Шеварев. «Процессы мышления в учебной работе школьника». «Советская педагогика» № 3, 1946 г., стр.. 94.

математикой в высшей школе и имеют для этого, казалось бы, соответствующие данные. В чем здесь дело? Вопрос этот давно занимал педагогическую мысль. Принципиальное разрешение этого вопроса возможно только в результате раскрытия психологической природы того, что практика обучения именует математическим развитием школьника.

Обычно авторы методических руководств связывают математическое развитие с общим развитием мышления и упоминают об этом вскользь, в связи с изложением какого-либо другого вопроса. По существу о математическом развитии пока говорится лишь только то, что человек, обладающий им в высокой степени, способен решать математические задачи повышенной трудности, легче воспринимать новый математический учебный материал, в частности, материал ВУЗовский. Для повышения математического развития рекомендуется решать самостоятельно больше математических задач «на соображение», т. е. задач с элементами математического творчества. Основной же вопрос о содержании понятия «математическое развитие» остается неясным, не говоря уже о научной разработке эффективных методов повышения математического развития.

Психология этой проблемой вовсе не занималась. Наша работа ставит своей задачей в известной мере восполнить этот пробел.

Конечно мы не предполагаем дать исчерпывающую разработку поставленной проблемы. Мы рассматриваем нашу работу как начало ряда исследований по умственному и, в частности, математическому, развитию. Вместе с тем необходимо подчеркнуть, что успех в этом деле, как и в разработке ряда других проблем, вытекающих из практики работы нашей школы, будет обеспечен только в случае совместной работой психологов и методистов.

В решениях объединенной сессии Академии наук СССР и Академии медицинских наук СССР, посвященной проблемам физиологического учения И. П. Павлова, содержится совершенно четкое указание на то, что, только опираясь на идеи И. П. Павлова, психология сможет стать на путь творческого развития. В соответствии с этим и в психологических исследованиях мыслительных процессов у учащихся мы должны принять за основу учение И. П. Павлова о временных связях.

Обучая школьника, мы осуществляем замыкание определенных временных связей. «Нужно считать, — говорил

И. П. Павлов, — что образование временных связей, т. е. этих «ассоциаций», как они всегда назывались, это и есть понимание, это и есть знание, это и есть приобретение новых знаний». И далее — «Все обучение заключается в образовании временных связей, а это и есть мышление, знание».1

В процессе школьного обучения у учащегося образуется, очевидно, огромное многообразие временных нервных связей. Причем это многообразие связей носит динамический характер: на всем протяжении обучения система связей изменяется, между отдельными компонентами ее происходит сложное взаимодействие.

Совершенно ясно, что задача исследования в области психологии обучения заключается прежде всего в изучении многообразия связей и их образования.

Некоторые попытки изучения связей, лежащих в основе усвоения школьных знаний и навыков, делались в последние годы в работах П. А. Шеварева и Н. А. Менчинской. П. А. Шеварев установил связи, лежащие в основе «свернутых умозаключений», имеющих место при решении алгебраических примеров, и, кроме того, дал анализ ошибочного возникновения связей такого типа при некоторых условиях. Подобные же связи позднее были обнаружены Н. А. Менчинской и при изучении школьниками арифметики.

Связи, образующиеся при изучении геометрии, и в частности, при решении геометрических задач, были исследованы в диссертационной работе Н. Ф. Талызиной (выполненной под руководством П. А. Шеварева).

Чрезвычайно важным и ценным результатом ее исследования было открытие двух типов временных связей. К связям первого типа Н. Ф. Талызина относит те связи, актуализация которых приводит к выяснению особенностей, присущих данным фигурам и их элементам. К связям второго типа она относит связи, актуализация которых приводит к действию, нужному для решения задачи.

Как ни важно решение вопроса о типах временных связей и о способах их образования в обучении, для нашей темы этот путь исследования не мог дать нужных результатов.

1 «Павловские среды» т. II, стр. 579—580.

Мы уже указывали, что критерием математического развития школьника служит умение решать задачи повышенной трудности, т. е. задачи с элементами математического творчества. Изучение мыслительных процессов при решении таких задач естественно представляется нам изучением вопроса о том, как происходит у учащегося актуализация связей в новых условиях и замыкание новых связей на основе актуализации старых связей. При этом нас интересует, что представляет собой многообразие связей у учащихся, вырабатываемых на математическом учебном материале именно с указанных двух точек зрения: во-первых, насколько легко ранее замкнувшиеся связи актуализируются в новых условиях, во-вторых, насколько эти связи подготавливают к замыканию новых связей. Необходимо при этом заметить, что, говоря о новых связях, мы имеем в виду не связи, замыкающиеся при работе школьника с учебным материалом в классе, а именно о замыкании связей при самостоятельной работе учащихся над задачами. Для психологии обучения вообще одинаково важно, как изучение процессов образования связей, так и изучение процесса их актуализации. Путь изучения актуализации временных связей сближает нашу работу с рядом работ, выполненных под руководством H. Н. Волкова в связи с изучением художественного развития.1

В данной работе мы ограничились изучением актуализации ранее замкнувшихся связей в новых условиях и замыканием на этой основе новых связей у учащихся 8-х классов при решении геометрических задач.

В соответствии с поставленными вопросами все исследование, разбито на две части (две серии экспериментов).

Задачей первой серии экспериментов явилось выяснение того, что представляет собой система связей у учащихся, выработанных на геометрическом материале, насколько легко они актуализируются в новых условиях и насколько выработанная система подготовлена к замыканию новых связей.

Во второй серии экспериментов сделана попытка выявить процесс замыкания новых связей и создания условий для актуализации ранее замкнутых связей.

1 См. диссертацию В. С. Сергеевичева: «Динамика представлений в зависимости от задачи воспроизведения» или его статью «Формирование и изменение зрительных представлений», «Советская педагогика» № 5 за 1952 г.

Глава II. Методика исследования

В первой серии экспериментов мы предлагали учащимся задачи повышенной трудности, не являющиеся типовыми. Так как нам важно было, чтобы эти задачи были интересны с точки зрения их геометрического содержания, мы использовали задачи на доказательство. При этом учитывалось, чтобы объем теоретического материала, проработанного по программе учащимися, был вполне достаточен для их решения.

Во второй серии экспериментов мы старались давать задачи, приближающиеся к тем, с которыми испытуемые часто встречаются в школьном обучении. Здесь были задачи на доказательство и на вычисление, однако все же такие, чтобы каждая из них представляла известный геометрический интерес, чтобы геометрическое содержание их не оттеснялось на второй план вычислениями.

Опыты были проведены с ученицами 8-х классов двух средних школ г. Москвы. Для проведения первой серии экспериментов была создана экспериментальная группа из шести учениц одной из школ, где автор для лучшего проведения экспериментов имел нормальную педагогическую нагрузку по математике.

Ученицы были подобраны так: одна ученица с отличной успеваемостью по математике, две с хорошей успеваемостью, две с посредственной успеваемостью (одна из них была со слабо развитой речью) и, наконец, одна с переменной успеваемостью по математике, но хорошо и отлично успевающая по другим дисциплинам.

Для проведения второй серии экспериментов в двух школах было создано несколько экспериментальных групп, в которые вошли учащиеся, имевшие преимущественно среднюю и пониженную успеваемость по математическим дисциплинам.

Основной метод исследования — индивидуальный педагогический эксперимент.

Перед опытами учащимся сообщалось, что их работа будет заключаться в решении геометрических задач повышенной трудности. Затем указывалось, что это будет способствовать развитию умения решать сложные геометрические задачи, лучшему усвоению теоретического материала. В заключение говорилось, что работа в группах не предусматривает домашней работы, что вся она будет проходить на занятиях в школе и, наконец, что она ни в коем случае не будет учитываться при оценке знаний по геометрии.

Последующие занятия проходили в определенные дни и часы в обычной школьной обстановке.

Как протекало каждое экспериментальное занятие?

Ученица получала задачу одновременно с блокнотом, хорошо заточенным карандашом, линейкой и циркульной ножкой. В инструкции говорилось: «Решайте задачу так, как Вы решаете всегда дома, но все необходимые записи и построения делайте только в тетради».

Если самостоятельно решать задачу девочки не могли (в первой серии экспериментов это было совершенно естественно), мы приходили им на помощь, беседуя по определенному плану, системой вопросов пытаясь содействовать актуализации и замыканию нужной для решения связи. Ответы или действия учащихся, являвшиеся показателем замыкания или актуализации связей, отмечались в протоколе, в котором фиксировались все .высказывания учениц и вопросы экспериментатора.

В целях большей эффективности исследования нами применялась (в первой серии при решении всех задач, а во второй серии — при решении контрольных задач) методика срезов. Она заключалась в следующем: под верхний листок блокнота, на котором проводилось решение, подкладывался лист копировальной бумаги, и все движения карандаша отражались на втором листе. Листок этот выдергивался, когда кончался ход мыслей ученицы. В результате сочетания нескольких листков получалась последовательная картина хода решения. Срезы, характеризующие решение задач, присоединялись к протоколам. Такая двойная регистрация решения задач давала возможность исключить использование показаний испытуемых о ходе решения задач, которые в обычных экспериментах собирались по окончании этапа решения или всего решения и естественно плохо отражали объективный ход решения. Эксперименты проводились во втором полугодии 1950/51 уч. года и во втором полугодии 1951/52 уч. года.

Глава III. Изучение системы связей у учащихся 8-ых классов на геометрическом учебном материале.

(1-ая серия экспериментов)

В первой серии экспериментов мы преследовали цель выяснить, что представляет собой многообразие связей у учащихся, выработанных на геометрическом материале в целом, насколько легко эти связи актуализируются в новых условиях

и насколько выработанная система подготавливает к замыканию новых связей. Для этого была составлена группа из шести следующих задач:

1. В остроугольном треугольнике ABC на основании АС построены равносторонние треугольники АВД и ДЕС. Середины отрезков АЕ и ВС (точки М и Р) соединены между собой и с точкой Д. Требуется доказать, что треугольник МДР равносторонний.

2. Доказать, что в прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит пополам угол между медианой и высотой, опущенной на гипотенузу.

3. а) Доказать, что сумма расстояний всякой точки внутри равностороннего треугольника до его сторон есть величина постоянная, б) Доказать, что сумма расстояний всякой точки основания равнобедренного треугольника до его боковых сторон есть величина постоянная.

4. Доказать, что высоты остроугольного треугольника служат биссектрисами внутренних углов того треугольника, вершинами которого будут основания высот данного треугольника.

5. Доказать, что радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, может быть выражен в функции сторон этого треугольника.

6. Даны две концентрических окружности. Требуется доказать, что сумма квадратов расстояний любой точки окружности большего диаметра до концов любого диаметра другой окружности есть величина постоянная.

В результате проведенных экспериментов мы получили 36 протоколов со срезами решений, которые и были подвергнуты анализу. Исходя из этого анализа, можно утверждать следующее:

1) Связи, образовавшиеся у учащихся в процессе изучения геометрии, не представляют собой единой монолитной системы. Мы говорим условно, что это совокупность «кустов» связей.

Что мы понимаем под «кустом» связей? — Под «кустом» связей мы понимаем систему связей, соответствующую программному делению геометрического материала. Характерными кустами связей, которые имеются у учащихся восьмого класса, являются, например, такие три системы связей, относящиеся к трем разделам программы: «Подобие фигур», «Правильные многоугольники», «Площади фигур». Существенно важно то, что связи, которые должны были бы объединять эти

кусты в единую систему, назовем их межкустовыми связями, почти совершенно отсутствуют у учащихся. Даже те межкустовые связи, которые замыкаются в процессе изучения теоретического материала, далеко не всегда актуализируются в новых, специфических для данной задачи условиях.

Эта разобщенность кустов связей сразу же обращает на себя внимание при анализе протоколов и срезов решений экспериментальных задач. Оказывается, учащимся очень трудно оперировать всем богатством связей, вырабатываемых при работе с геометрическим материалом. Приведем несколько характерных фактов:

а) При решении первой задачи учениц прежде всего интересовал один вопрос: «На какой материал задача?» Оказывается, ответ на этот вопрос имел большое значение. Лишь указание, «на какой материал задача», давало толчок к актуализации связей определенного типа, т. е. связей, принадлежащих к соответствующему кусту. Если же этого указания не было, то не актуализировались и связи. Заголовок отпела программы объединял связи куста в единую систему. Сам же процесс актуализации связей куста напоминал процесс элективной иррадиации, описанный А. Г. Ивановым-Смоленским. В дальнейшем указание, «на какой материал задача», ученицы пытались найти сами. В одних случаях они находили это указание, базируясь на чисто внешних данных условия задачи без всякого анализа его, в других—такое указание давал им чертеж, построенный нередко без учета условия задачи.

б) Во многих случаях было трудно вызвать замыкание связи, объединяющей разные кусты связей. Такое замыкание осуществлялось лишь при активном вмешательстве экспериментатора, использующего для этого наводящие вопросы, наглядность, а иногда и прямое указание.

в) Связи, относящиеся к кустам более позднего образования, актуализировались у учащихся в первую очередь. При этом обычно имела место актуализация всей системы связей, составляющих данный куст, хотя многие из этих связей были явно излишни для решения задачи.

2. Разобщенность кустов связей у учащихся является основным препятствием в решении задач повышенной трудности.

В ходе анализа материалов эксперимента выяснилось большое значение межкустовых связей для решения подобных задач.

Актуализация ранее выработанной или замыкание новой межкустовой связи является кульминационным пунктом всего процесса решения задачи, после чего сразу же решение направляется по правильному пути.

3. Общее развитие испытуемых не является решающим в ходе процесса замыкания и актуализации межкустовых связей.

Таковы те выводы, которые нам удалось сделать в результате анализа протоколов и срезов решений первой серии экспериментов.

В ходе тех же экспериментов выяснились, кроме того, некоторые условия, необходимые для успешного решения задач повышенной трудности. Такими условиями является:

а) наличие единой системы связей, объединяющих весь программный геометрический материал;

б) актуализация связей в различных условиях;

в) такое взаимодействие обеих сигнальных систем, когда мы имеем строгое подчинение наглядности (чертеж) слову (условие задачи).

Можно думать, что перечисленные условия в значительной мере характеризуют собой математическое развитие школьника. Все эти условия достигаются в результате процесса замыкания и актуализации межкустовых связей.

Как показано в диссертации, трудность в замыканий и актуализации межкустовых связей объясняется исключительно существующей в школе системой изучения геометрии и особенно той частью ее, которая посвящена решению геометрических задач. Задачи с чисто геометрическим содержанием, т. е. задачи на доказательство и построение, предоставляющие широкие возможности для развития межкустовых связей, почти совсем вытеснены из школьной практики задачами на вычисление, которые составляют основное содержание стабильного задачника Н. Рыбкина. Как известно, задачи на вычисление чрезвычайно удобны для закрепления теоретического материала, т. к. они легко поддаются типизации. Но закрепление отдельных теоретических положений и выработка навыков их применения с помощью решения этих задач отодвигает на второй план связи между теоретическими положениями различных разделов программы. Вследствие этого даже и замкнувшиеся при изучении теоретического материала межкустовые связи не только не закрепляются должным образом, а угасают. В результате, мышление учащихся не может выйти за пределы определенного круга математических предложе-

нии (в соответствии с кустом связей). Естественно возникает вопрос о том, как же все-таки вырабатывать межкустовые связи, и создавать предпосылки для их легкой актуализации в новых условиях.

Для этого необходимо только на самом первоначальном этапе обучения решать строго типизированные задачи, направленные на выработку кустовых связей. В дальнейшем же необходимо закреплять кустовые связи в процессе решения тех задач, которые дадут возможность одновременно укреплять уже замкнувшиеся при изучении теории межкустовые связи и замыкать новые связи этого типа. При повторении пройденного материала необходимо учитывать непрерывный рост математического развития школьников. При повторении школьникам следует давать ранее не решавшиеся, новые задачи, направленные на выработку новых связей или на актуализацию ранее замкнувшихся связей в новых условиях.

Глава IV. Процесс выработки у учащихся новых межкустовых связей и создания условий для легкой актуализации уже имеющихся связей этого типа

(Вторая серия экспериментов)

Во второй серии экспериментов нами была сделана попытка разрешить вопрос о том, как же именно осуществлять выработку межкустовых связей в процессе решения задач. Идея эксперимента состояла в том, чтобы, во-первых, выработать у учащихся межкустовые связи, которые при прохождении геометрического материала в школе у них еще не замкнулись, (например: а) «Площадь всякого треугольника равна полупериметру, умноженному на радиус вписанной в него окружности», б) «Если данные прямоугольные треугольники имеют общую гипотенузу, то на этой гипотенузе как на диаметре можно описать окружность, на которой будут находиться все вершины этих прямоугольных треугольников»), и, во-вторых, добиться того, чтобы межкустовая связь (например, «Если сумма противоположных углов четырехугольника равна двум прямым, то около него можно описать окружность»), уже имеющаяся у учащихся, актуализировалась в любых новых условиях. Для осуществления этой цели было составлено 3 группы задач, отвечающих следующим условиям:

1. Теоретический материал, проработанный учащимися, вполне достаточен для их решения.

2. Все задачи интересны с точки зрения своего геометрического содержания.

3. Являясь различными по своему геометрическому содержанию, все задачи, входящие в одну группу, имеют общим то, что могут быть решены при замыкании или актуализации соответствующей этой группе задач межкустовой связи.

Эксперимент проводился в 8-ых классах двух средних школ г. Москвы.

1. Первая группа задач

Составляя первую группу задач, мы ставили перед собой цель добиться того, чтобы актуализация у учащихся межкустовой связи («Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 2d, то около него можно описать окружность») осуществлялась в любых новых условиях. В связи с этим в группу вошли следующие задачи:

1. Доказать, что в остроугольном треугольнике высоты служат биссектрисами внутренних углов того треугольника, вершинами которого будут основания высот данного треугольника.

2. Биссектрисы EF и GH углов, образованных противоположными сторонами четырехугольника, будут взаимно перпендикулярны, если сумма противоположных углов четырехугольника равна 2d.

3. Если через точку А — середину дуги ВАС окружности провести две произвольные хорды АД и АЕ, пересекающие хорду ВС в точках F и G, то полученный таким образом четырехугольник flFGE может быть вписан в круг.

4. К продолженному радиусу OA восставляют перпендикуляр ДЕ, потом через точку А проводят секущую ABC и касательные СД, BE. Доказать, что АЕ = АД.

5. Требуется доказать, что около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Первые четыре задачи являлись основными, пятая — контрольной. Она была выбрана так, что актуализация указанной межкустовой связи почти непосредственно приводила к ее решению. Кроме того, имелись две запасных задачи:

а) Произведение расстояний какой-либо точки окружности от 2-х противоположных сторон вписанного четырехугольника равно произведению расстояний Той же точки от 2-х других сторон его.

б) Показать, что перпендикуляр, опущенный из произволь-

ной точки M окружности на некоторую хорду AB, есть средняя пропорциональная между перпендикулярами, опущенными из той же точки на касательные к окружности, проведенные в точках А и В.

Эти задачи были предназначены для того случая, если бы оказалось, что учащимся известна какая-нибудь из основных задач. В эксперименте участвовало 23 ученицы. К концу эксперимента нужная межкустовая связь актуализировалась у каждой из них. Но выработалась она не у всех одинаково быстро. В этом отношении всех учениц можно разбить на 4 группы:

а) Первая группа состояла из 2-х учениц, у которых вырабатываемая связь актуализировалась уже при решении 2-й задачи. Обе ученицы имели хорошо выработанные кустовые связи, и, кроме того, у них быстро осуществлялся переход со связей одного куста на связи другого. Следовательно, у них были созданы предпосылки к достаточно легкому замыканию новых и актуализации ранее замкнувшихся межкустовых связей. Помимо этого у них наблюдалось такое взаимодействие в работе обеих сигнальных систем, что наглядность (чертеж) была строго подчинена слову (условие задачи). Обе ученицы являются отличницами по геометрии.

б) Во вторую группу входило 10 учениц. Отрабатываемая межкустовая связь актуализировалась у них самостоятельно при решении 3-й задачи. Здесь наметились две подгруппы. К первой из них относились ученицы с почти угасшими кустовыми связями раннего происхождения, но достаточным развитием кустовых связей более позднего происхождения и со сравнительной легкостью перехода со связей одного куста на связи другого. Особенностью этой подгруппы учениц явилось то, что у них решение задач часто было очень запутанным, сбивалось с правильной линии, чертеж не контролировался условием задачи.1

Вторая подгруппа учениц отличалась хорошо выработанными кустовыми связями, чертеж использовался в соответствии с условием задачи, но переход у них со связей одного куста на связи другого был затруднен.

1 На использование чертежа в отрыве от условия задачи как источник ошибок указывает в своем исследовании «Оперирование понятиями ори решении геометрических задач» и В. И. Зыкова. Известия АПН РСФСР, выпуск 28.

И в первую и во вторую подгруппу входили ученицы, хорошо успевающие по геометрии.

в) В третью группу входили 4 ученицы. У них отрабатываемая связь актуализировалась при решении 4-ой задачи. Эта группа с интересующей нас точки зрения очень похожа на вторую.

г) Последняя, четвертая группа состояла из 7-ми учениц. Отрабатываемая связь актуализировалась у них при решении 5-ой контрольной задачи. Здесь выделились две подгруппы, аналогичные подгруппам второй группы.

Таким образом, мы установили тот факт, что степень скорости выработки новых связей может быть одинаковой при разном сочетании особенностей ранее выработанных связей: их прочности и легкости перехода со связей одного куста на связи другого. Достаточная прочность связей при затрудненном переходе со связей одного куста на связи другого, может дать тот же результат, что и недостаточная прочность кустовых связей. Прочность знаний и уровень математического развития, следовательно, могут не совпадать, хотя несомненно прочные знания лежат в основе математического развития.

Вторая и третья группы задач

После того как принцип выработки межкустовых связей был установлен, большой интерес представил вопрос о том, какое влияние оказывает процесс выработки межкустовой связи на последующее замыкание связей этого же типа. При помощи второй и третьей групп задач мы попытались выяснить, какое влияние оказывает межкустовая связь, отработанная при решении первой группы задач (будем называть ее первой межкустовой связью) на выработку новых межкустовых связей, если: а) вторая межкустовая связь не имеет общих членов с первой, б) третья межкустовая связь имеет общий второй член с первой.

В качестве второй межкустовой связи мы взяли следующую: «Площадь всякого треугольника равна полупериметру, умноженному на радиус вписанной в него окружности». Она объединяет связи кустов: «площади фигур» и «окружность».

Для выработки этой связи мы выбрали следующие задачи:

1. Определить расстояние точки пересечения биссектрис прямоугольного треугольника до его сторон, если известно, что гипотенуза его равна с, а один из катетов равен в.

2. Окружности радиусов т1г г2 и г;} касаются друг друга. Определить радиус г окружности, проходящей через точки касания.

3. Окружность касается прямой Д в точке М. Из некоторой точки А проводят к ней касательные; пусть они встречают прямую Д в точках В и С. Доказать, что произведение отрезков MB • MC остается постоянным, когда точка А перемещается по прямой, параллельной линии Д.

4. Высоты треугольника равны ha,hB nhc. Определить радиус вписанной в треугольник окружности.

В качестве третьей межкустовой связи мы взяли связь «Если данные прямоугольные треугольники имеют общую гипотенузу, то значит на гипотенузе как на диаметре можно построить окружность, на которой будут находиться все вершины этих прямоугольных треугольников».

Легко видеть, что вторые члены первой и третьей межкустовых связей одинаковы.

Для выработки третьей межкустовой связи мы выбрали следующие задачи:

1. Если в остроугольном треугольнике соединить основания всех трех высот, то образовавшиеся при этом три треугольника у вершин данного подобны ему.

2. Дан четырехугольник АВСД. Диагонали его АС и ВД пересекаются в точке О, причем, АС _!_СД, а ВД |— AB. Отрезок АО = a, J\0 = e и сторона АД =1. Найти стороны и диагонали четырехугольника.

3. Доказать, что основания трех перпендикуляров, опущенных из произвольной точки окружности на стороны вписанного в эту окружность треугольника, лежат на одной прямой.

4. Найти геометрическое место середин хорд, сходящихся в одной точке окружности.

В составленной группе задач третья задача была подобрана так, чтобы для ее решения потребовалась актуализация как первой так и третьей межкустовых связей.

Всего в эксперименте принимали участие 15 учениц, решавших ранее задачи первой группы.

При анализе материалов, полученных в результате эксперимента, мы установили следующее:

а) Обе новые межкустовые связи выработались у подавляющего большинства испытуемых.

б) Весь процесс выработки новых межкустовых связей у испытуемых в целом протекал интенсивнее, чем это было при

отработке первой межкустовой связи. При рассмотрении протекания этого процесса у отдельных испытуемых мы убедились, что они либо переходят в группу, характеризуемую большей скоростью выработки новых связей, либо остаются в старой группе, но не переходят в группу, характеризуемую меньшей скоростью выработки новых связей. К сожалению мы не располагаем достаточным материалом, чтобы указать причину этого факта, однако есть серьезные основания считать, что выработка одних межкустовых связей создает предпосылки для более успешного замыкания последующих межкустовых связей, для повышения интенсивности этого процесса. Это, как нам кажется, вытекает из того, что в основе замыканий межкустовых связей лежит высоко развитая системность работы коры больших полушарий головного мозга.

в) Своеобразно протекал процесс выработки третьей межкустовой связи. У нескольких учениц актуализация вырабатываемой связи осуществилась при решении 2-ой задачи, однако при решении 3-ей задачи эта связь не актуализировалась. Здесь мы встретились с тем фактом, что -актуализация первой, лучше закрепленной межкустовой связи, затруднила актуализацию связи, имеющей с ней общий второй член. Можно предположить, что физиологической основой этого явления служит процесс торможения, развивающийся в силу закона взаимной инукции нервных процессов. В результате мы можем сказать, что не следует при выработке межкустовых связей включать задачи, для решения которых необходима актуализация межкустовых связей, имеющих общий второй член с вырабатываемой связью. Таковы результаты решения задач второй и третьей группы.

В заключение следует отметить, что специальная проверка показала прочность выработанных нами межкустовых связей и легкость их актуализации в любых новых условиях. В итоге рассмотрения результатов второй серии экспериментов, мы можем констатировать следующее:

1) Актуализация связей, замывающихся при работе с геометрическим материалом, зависит от способа выработки их (закрепления), которая происходит не при усвоении теории, а при решении геометрических задач (на практике).

2) Развитие у учащихся межкустовых связей можно осуществить в процессе решения соответствующим образом подобранных групп задач, причем, сами задачи могут быть направлены на закрепление связей, относящихся к различным разделам программы (кустовых связей).

3) Интенсивность протекания процесса выработки новых межкустовых связей зависит от сочетания различных особенностей ранее выработанного у учащихся многообразия связей. К числу таких особенностей относятся прежде всего: прочность ранее выработанных связей и легкость перехода со связей одного куста на связи другого.

4) Систематическая работа по замыканию межкустовых связей создает предпосылки для более интенсивного протекания процесса выработки новых межкустовых связей и для процесса их актуализации в новых условиях и служит основой математического развития школьника.

В дополнение к сказанному остановимся кратко на некоторых данных наблюдения, которое производилось над участниками наших экспериментов в повседневном педагогическом процессе.

Наблюдения наши личные и преподавателя математики (Е. А. Ганчевой) показывают, что работа в экспериментальных группах способствовала: а) более прочному усвоению теоретического материала, связыванию отдельных разделов его и более свободному владению им, б) повышению у учащихся чувства уверенности в своих силах — этого чрезвычайно важного фактора в деле успешного обучения, в) резкому повышению интереса к геометрии, особенно к решению геометрических задач. Наконец, надо отметить целесообразность эпизодического применения методики срезов, которая, по нашему мнению, может быть хорошим подспорьем в повседневной работе учителя, т. к. дает возможность выяснить, какие меры нужно применять для устранения недостатков в работе отдельных учащихся. Мы находим, что применение ее принесло бы большую пользу в практике школьного обучения.

ВЫВОДЫ

В результате нашего исследования можно констатировать следующее:

1) Решение задач повышенной трудности предусматривает наличие у учащихся, во-первых, связей, соответствующих програмному делению материала (мы их условно назвали кустовыми) и, во-вторых, легкости замыкания и актуализации связей, объединяющих отдельные разделы программы (межкустовые связи).

2) Главную роль при решении задач повышенной трудности играют межкустовые связи. Следовательно, можно считать, что легкость их замыкания и возможность актуализации в новых условиях лежат в основе математического развития школьника.

3) В результате существующей системы преподавания геометрии в школе связи второго типа почти не вырабатываются, и поэтому многообразие связей у учащихся, выработанных на геометрическом материале, имеет недостаточно цельный, кустовой характер. Это является основным фактом, тормозящим математическое развитие школьника. Для устранения разобщенности связей необходима специальная выработка межкустовых связей.

4) Выработка межкустовых связей, т. е. создание условий для успешной актуализации ранее замкнутых при изучении теории межкустовых связей и замыкание новых связей этого типа, осуществляется в практике решения соответствующим образом подобранных групп задач, причем, сами задачи могут быть направлены на укрепление связей, относящихся к различным разделам программы (кустовых связей).

5) Интенсивность протекания процесса выработки новых межкустовых связей зависит от сочетания различных особенностей ранее выработанного у учащихся многообразия связей. К числу таких особенностей относятся прежде всего: прочность ранее отработанных связей и легкость перехода со связей одного куста на связи другого.

Л — 20/VIII—52 г. Зак. 1250. Тир. 100

Типография Гормашучета. Москва, Б. Черкасский пер., 9.