ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени А. И. ГЕРЦЕНА

Кафедра методами математики

В. Г. СОБОЛЕВА

ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО В КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ VI—VII КЛАССОВ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ ПРИ ПОВТОРЕНИИ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

ЛЕНИНГРАД 1953

В большой и разносторонней деятельности советской школы нет таких областей, которые не озарялись бы светом великих идей коммунизма, не испытывали бы их могучей силы.

Открытый товарищем Сталиным основной экономический закон социализма, сталинские программные положения об условиях перехода к коммунизму требуют неуклонного роста советской культуры. Перед советской школой, признанной сыграть ведущую роль в деле поднятия культурного уровня советского народа, ставятся новые грандиозные задачи. Как на важнейшую из них XIX с'езд Коммунистической Партии Советского Союза указал на задачу осуществлению в средней школе политехнического обучения.

Однако осуществление политехнического обучения возможно лишь на прочном фундаменте знания основ наук, особенно таких, как физика, химия, математика. Поэтому вооружение учащихся сознательными и прочными теоретическими знаниями всегда было и в настоящее время остается одной из основных задач советской школы.

Необходимым условием успешного осуществления политехническою обучения в школе является умение учащихся применять теоретические знания на практике. Но это умение не вытекает автоматически из понимания и хорошего знания школьниками теоретического материала. Умение применять знания нужно привить учащимся, этому надо их учить.

В школьном курсе математики первым шагом на пути к воспитанию умения применять знания на практике является решение задач. Так, в об'яснительной записке к ныне действующей программе по математике указывается: «По геометрии следует систематически решать задачи на вычисление, построение и доказательство во всех классах в связи с изучением каждого раздела курса»1).

1) Программы средней школы. Математика. Учпедгиз, 1(952 г., стр. 14.

Темой настоящего исследования является решение геометрических задач на доказательство.

Задачей на доказательство мы называем любое геометрическое предложение, требующее доказательства и не вошедшее в число теорем при данном построении систематического курса. К этим задачам отнесем также всякий геометрический вопрос, для ответа на который недостаточно воспроизвести теорему или определение, а необходимы некоторые рассуждения.

Задачи на доказательство тесно связаны с другими видами геометрических задач. При решении большинства задач на вычисление мы сталкиваемся с необходимостью доказывать -некоторые геометрические утверждения. Существенной частью решения каждой задачи на построение является доказательство того, что построенная фигура удовлетворяет требованиям, указанным в условии задачи. Поэтому умение решать задачи на доказательство — необходимое условие полноценного решения всех видов геометрических задач.

Особая ценность задач на доказательство заключается в том, что при их решении удачно сочетаются интересы овладения математической теорией и развития умения применять теоретические знания на практике.

Громадное образовательное и воспитательное значение задач на доказательство давно привлекало к ним внимание передовых педагогов. Однако в программе по математике для средней школы указание о необходимости решения задач на доказательство при изучении геометрии впервые встречается лишь в 1944 году. До этого времени указывалось только на необходимость решения задач на вычисление и построение.

С каждым годом задачи на доказательство все шире применяются при изучении геометрии, но и в настоящее время эти задачи не заняли еще в практике преподавания геометрии подобающее им место.

Наблюдения, проведенные нами в школе, анализ контрольных работ, беседы с учителями, ответы выпускников -средних школ на приемных экзаменах на физико-математический факультет Ленинградского государственного педагогического института имени А. И. Герцена показали, что с задачами на доказательство учащиеся справляются плохо.

До некоторой степени это об'ясняется трудностью таких задач для учащихся.

Основная же причина заключается в том, что многие учителя не уделяют должного внимания решению задач на дока-

зательство. Они не оценили ещё это важное средство борьбы за улучшение качества знаний учащихся, за повышение их математической культуры.

Широкому внедрению в практику преподавания задач на доказательство мешает также отсутствие необходимого числа таких задач в стабильном задачнике по геометрии. Причем в задачнике совсем нет легких задач на доказательство, которые можно было бы решать с первых же шагов изучения! систематического курса.

Немаловажное значение имеет и тот факт, что вопрос о решении задач на доказательство недостаточно разработан в методической литературе. Опыт передовых учителей по применению задач на доказательство мало еще изучен, слабо обобщен.

Хотя в последние годы в журнале «Математика в школе» появился ряд статей, посвященных задачам на доказательство (статьи М. С. Бернштейна, Н. А. Арсеньев.а, И. И. Гольденблат, Ф. А. Андреева), но авторы их уделяют мало внимания вопросам методики решения задач на доказательство, ограничиваясь самыми общими указаниями и перечнем задач, рекомендуемых ими для решения по той или иной теме.

В настоящем исследовании поставлены задачи:

1. Разработать некоторые вопросы методики решения задач на доказательство в курсе VI—VII классов, а именно:

а) раскрыть образовательное и воспитательное значение этих задач;

б) рассмотреть различные фарады задания и способы решения задач на доказательство, выработанные школьной практикой;

в) определить место задач на доказательство в учебном процессе (где и с какой целью они могут быть использованы).

2. Разработать вопрос о применении задач на доказательство при повторении учебного материала.

3. Дать набор задач на доказательство по курсу геометрии VI—VII классов в качестве дополнительного пособия для учителя.

Диссертация выполнена на основе трехлетней работы над данной темой в школе.

Внимательно изучался нами опыт работы учителей школ г. Ленинграда Е. П. Лебедевой (ср. ж. шк. № 017), М. А. Скляр (ср. ж. шк. № 221), М. В. Муравлянцевой (ср. м, шк. № 30), Л. Ф. Никитиной (ср. ж. шк. № 239), А. П. Тиходеева (ср. м. шк. № 210) и других.

Наряду с наблюдениями, проводимыми на уроках, мы вели индивидуальные занятия, а также математический кружок для учащихся 7 классов по решению задач на доказательство. На этих занятиях мы имели возможность тщательно проследить, как протекает процесс решения задачи на доказательство у учащихся 6—7 классов, выяснить затруднения, которые у них при этом возникают, проторить эффективность отдельных приемов обучения.

В настоящей работе сделана попытка обобщить передовой опыт учителей по применению задач на доказательство. Из отдельных весьма удачных и оправдавших себя в школьной практике средств мы пытались создать определенную систему, базирующуюся на научном педагогическом основе.

Изложенное в диссертации проверено на личном опыте работы в школах № 217 и № 221, а также на опыте работы учительницы Л. Ф. Никитиной (школа № 239) и учителей математики школы № 217.

Диссертация состоит из введения и трех глав. Во введении обосновывается актуальность темы, дается небольшой критический обзор литературы, излагаются задачи и методика исследования.

В первой главе рассматриваются некоторые вопросы методики решения задач на доказательство. Во второй главе, обосновав необходимость широкого применения задач на доказательство ори повторении геометрии з 6 и 7 классах, мы подробно рассматриваем вопрос об использовании задач на доказательство при различных видах повторения. Изложение сопровождается конкретными примерами. Третья глава содержит набор задач на доказательство по курсу геометрии 6—7 классов, расположенных в определенной последовательности. Задачи снабжены методическими указаниями для учителя.

II.

Геометрия, как известно, обладает большими возможностями для умственного воспитания учащихся, для развития их логического мышления.

Важнейшей стороной работы по развитию логического мышления является воспитание умения правильно рассуждать и обосновывать свои суждения. Это умение приобретается учащимися при изучении теорем школьного курса геометрии. Но изучение теорем — лишь начало большой и кропотливой работы по развитию умения рассуждать последовательно и чет-

ко, обосновывая каждое свое суждение. Чтобы работа эта шла успешно и принесла свои плоды, необходимо постепенно от изучения готовых доказательств переходить к решению задач на доказательство, требующих самостоятельного проведения рассуждений. Систематическое решение таких задач, приучая школьников рассуждать последовательно и точно, развивая ц совершенствуя их речь, служит эффективным средством развития логического мышления учащихся.

Одной из основных задач школьного обучения является формирование у учащихся научных понятий. Усвоение школьниками научных понятий — длительный и сложный процесс. Общеизвестно, что лучшем средством наиболее полного овладения понятием является усвоение этого понятия в процессе его применения. Решение задач на доказательство, требуя применения изученных геометрических понятий, является одним из видов упражнений, содействующих более глубокому и сознательному их усвоению. Большое достоинство многих из этих задач заключается в том, что их решение способствует усвоению системы понятий.

Например, при решении задачи:

«Определить вид четырехугольника, вершинами которого служат середины сторон:

1) произвольного четырехугольника, 2) прямоугольника, 3) ромба, 4) квадрата, 5) равнобедренной трапеции»;

учащиеся прочнее усваивают взаимоотношение между параллелограммом, ромбом, прямоугольником и квадратом, яснее предстает перед ними связь этих понятий между собой, их общие признаки выступают наиболее рельефно. (Вместе с тем отчетливее выделяются характерные отличительные признаки каждой из этих геометрических фигур.

Одно из важнейших достоинств задач на доказательство заключается в том, что они способствуют более глубокому и сознательному усвоению методов и приемов геометрических доказательств, развивают умение применять их.

Навык самостоятельного проведения рассуждений, приобретаемый школьниками при решении задач на доказательство, оказывает значительное влияние ада степень их мыслительной активности при изучении геометрии. Учащиеся перестают быть пассивными слушателями и активно участвуют в «создании» новых теорем и их доказательстве.

Процесс приобретения знаний с физиологической стороны, согласно учению И. П. Павлова, представляет собой не что иное, как установление новых временных связей в коре боль-

ших полушарий головного мозга. На успешность образования этих связей, как показали работы И. П. Павлова и его учеников, сильное влияние оказывает степень активности коры головного мозга. Поэтому применение задач на доказательство, повышая мыслительную активность учащихся, значительно улучшает качество усвоения учебного материала.

Решение задач на доказательство имеет большое значение для воспитания графической грамотности учащихся, составляющей важный элемент политехнического обучения.

Решение соответственно подобранных задач на доказательство служит хорошим подготовительным упражнением к проведению практических работ на местности. Такие упражнения повышают сознательность выполнения практических работ и раскрывают значение геометрической теории для решения возникающих в жизни задач.

Велика роль задач на доказательство и в деле подготовки учащихся к будущей практической деятельности. Задачи эти могут быть направлены на теоретическое изучение простейших инструментов и механизмов, способствуя более глубокому пониманию принципов их устройства. Решение таких задач явится хорошей подготовкой к изучению в дальнейшем принципов устройства и действия более сложных механизмов и машин.

Решение задач на доказательство имеет большое воспитательное значение. Такие задачи развивают самостоятельное мышление школьников, их творческие способности и инициативу, прививают навыки аккуратности и самоконтроля при выполнении работы.

Когда учащиеся впервые приступают к решению задач на доказательство, перед ними сразу встает несколько трудностей. Эти трудности связаны с усвоением условия задачи, с чертежом, с процессом доказательства и с оформлением решения задачи. Весьма важно организовать работу так, чтобы не все эти трудности вставали перед учащимися одновременно. Осуществлению этого требования помотает применение различных видов задания задач.

Так, если задача предлагается на готовом чертеже с записанным в математической форме условием, то исключается трудность, заключающаяся в выполнении чертежа. Значительно облегчается и усвоение условия задачи, так как здесь четко выделено, что дано и что требуется доказать. Внимание учащихся может быть полностью сосредоточено на преодолении трудностей, связанных с процессом доказательства.

В диссертации рассматриваются следующие виды задания:

1) Задача предлагается на готовом чертеже с записанным в математической форме условием. Особо выделяется задание: решить несколько задач на одном и том же чертеже.

2) Задача задается на готовом чертеже, но условие ее не записано в математической форме, а либо формулируется словесно, либо учащиеся должны «прочесть» его по чертежу, на котором одним условным цветом помечено то, что дано, другим — то, что требуется доказать.

3) Задача формулируется в виде условного предложения.

4) Задача формулируется в категорической форме.

5) Задача предлагается в виде некоторой проблемы.

6) Задача представляет собой требование обосновать устройство какого-нибудь простейшего инструмента или прибора.

Переходя от одного вида задания к другому, учитель получает возможность фиксировать внимание учащихся на все новых и новых элементах процесса решения задачи, учит их преодолевать одну трудность за другой.

Учитывая цель решения задачи, место -ее в учебном процессе, учитель может применять следующие способы решения задач на доказательство:

1) Устное решение. Этот способ состоит .из двух видов:

а) выполняется чертеж, отвечающий условию задачи, все рассуждения проводятся устно;

б) задача решается без выполнения чертежа (учащиеся должны мысленно его себе представить).

2) Полуписьменное решение.

Учащиеся выполняют чертеж, отвечающий условию задачи, записывают, что дано и что требуется доказать, выполняют дополнительные построения, при этом все рассуждения они ведут устно.

3) Письменное решение:

а) с краткой записью,

б) с полной записью.

Краткая запись отражает только ход рассуждения, последовательность отдельных этапов его, все обоснования проводятся устно. Полная запись включает в себя, кроме этого, запись обоснований для каждого этапа рассуждения. В диссертации рассматриваются различные формы записи, приводятся их образцы.

Анализ опыта работы некоторых учителей математики школ г. Ленинграда показал, что задачи на доказательство могут

применяться на всех этапах работы по изучению геометрического материала: при первичном изучении материала, при закреплении его, при повторении.

При первичном изучении материала задачи на доказательство могут быть использованы как для подготовки учащихся к сознательному восприятию нового материала, так и для повышения сознательности и глубины усвоения изучаемого материала.

Это мы и показываем подробно на примере темы «Четырехугольники».

Задачи на доказательство — одно из лучших средств закрепления материала. Они могут применяться:

а) для устных и письменных упражнений, проводимых в классе,

б) при опросе учащихся,

в) для самостоятельным (как классных, так и домашних), а также для контрольных работ,

г) для индивидуальных заданий хорошо успевающим учащимся.

III.

Особенно широкое применение должны найти задачи на доказательство при повторении учебного материала в 6 и 7 классах.

Известны трудности, которые возникают у школьников в начальный период изучения систематического курса геометрии, когда ребенок из мира конкретных образов попадает в мир довольно отвлеченных понятий и «идей.

Чтобы облегчить этот переход, следует при первичном изучении геометрического материала в 6, да и в 7 классах, уделить особое внимание конкретному восприятию свойств изучаемых геометрических образов.

Необходимость этого обусловливается закономерностями деятельности нервной системы. Качественной особенностью высшей нервной деятельности человека, согласно учению И. П. Павлова, является возможность образования временных связей с помощью слова. «Слово, благодаря всей предшествующей жизни взрослого человека, связано со всеми внешними и внутренними раздражениями, приходящими в большие полушария, все их сигнализирует, все их заменяет и потому может вызвать все те действия, реакции организма, которые обусловливают те раздражения»1).

1) И. П. Павлов. Полное собрание сочинений, 1951 г., том IV, стр. 429.

Отсюда становится ясным, что для того, чтобы слово могло играть свою роль «замыкателя» связей, вести к. образованию новых связей, в мозгу ребенка должны быть установлены прочные евши между словом и ощущением, слоном «и восприятием, словом и представлением.

Но если при первичном изучении материала в 6 классе особое внимание следует уделить конкретному восприятию свойств изучаемых геометрических образов, то при повторении упор должен быть сделан на выявление внутренних логических связей между изучаемыми понятиями, на доказательство самых разнообразных геометрических предложений, на более глубокое изучение методов доказательств. Осуществление этих требований возможно только путем решения при повторении достаточного числа задач на доказательство.

Широкое использование задач на доказательство при повторении повышает мыслительную активность учащихся, способствует более глубокому и сознательному усвоению ими геометрической теории.

Решение достаточного числа задач на доказательство при повторении позволяет поднять изучение материала на более высокую ступень логической строгости и стройности. Вместе с тем решение таких задач дает возможность проверить действенность знаний учащихся, умение их активно владеть полученными знаниями, выбирать из всей совокупности своих знаний те, которые помогут решить данный конкретный вопрос, данную задачу.

Каждый новый вопрос, изучаемый в систематическом курсе геометрии, основывается на ранее пройденном материале. Поэтому учитель, прежде чем перейти к новому материалу, восстанавливает в памяти учащихся те моменты из пройденного, которые необходимы для сознательного восприятия нового материала. Решение для этой цели соответственно подобранных задач на доказательство позволяет повторить не только определения и теоремы, но, что особенно важно, методы и приемы доказательств.

При подборе задач для этого вида повторения учителю следует проанализировать подлежащий изучению материал с двух точек зрения: 1) какие из известных уже учащимся геометрических предложений, методов и приемов доказательств нужно знать для сознательного восприятия нового материала; 2) какие трудности как логического, так и психологического) характера могут возникнуть у школьников при его изучении.

Задачи, предлагаемые учащимся с целью подготовки их

к сознательному восприятию нового, должны содержать по возможности лишь те моменты из пройденного, на которые опирается подлежащий изучению материал.

В задачу повторения входит, как известно, углубление и обобщение полученных знаний, их систематизация. Ясно, что повторение, связанное с изучением нового материала, лишь в небольшой степени может служить этой цели. Поэтому передовые учителя наряду с повторением, непосредственно связанным с изучением нового материала, ведут систематическое повторение ранее пройденного материала.

Подбирая задачи для систематического повторения, следует стремиться, чтобы решение их обеспечило более глубокое и прочное усвоение основных определений, теорем, методов и. приемов доказательств данной темы. В первую очередь, конечно, должны решаться задачи, способствующие закреплению наиболее трудных для учащихся разделов пройденного материала.

Например, при повторении первых тем систематического курса геометрии особое внимание следует обратить на формулировку и доказательство обратных теорем, на задачи, при решении которых используется метод доказательства от противного.

Большее место по сравнению с первичным изучением должны занять задачи практического характера. Например: «Желая проверить все ли углы вырезанного из папки четырехугольника прямые, переплетчик убеждается в равенстве его диагоналей. Достаточна ли такая проверка? Что еще следовало бы измерить в четырехугольнике, если не измерять ни сторон, ни углов?».

В конце каждого учебного года непременно проводится заключительное (итоговое.) повторение материала пройденного за год, а в выпускных классах — за несколько лет.

Для итогового повторения следует подбирать такие задачи, которые, во-первых, охватывают большой по об'ему материал и, во-вторых, требуют для своего решения применение знаний, полученных при изучении различных разделов курса. Шире должны привлекаться задачи, развивающие навыки исследования, способствующие систематизации знаний учащихся. Совокупность задач, решенных при итоговом повторении, должна обеспечивать повторение всех важнейших вопросов курса.

Цели, стоящие перед каждым из видов повторения, оказывают определенное влияние на форму задания и на способ решения задач. При повторении, предшествующем изучению

нового материала, наибольшее распространение имеет решение задач, предложенных на готовых чертежах; при систематическом повторении — решение задач, данных в виде условного или категорического предложения. При итоговом повторении предпочтение должно быть отдано формулировке задач в виде некоторой проблемы.

При повторении, предшествующем изучению нового материала, задачи решаются в основном на уроке в виде устных упражнений, предлагаемых всему классу или отдельным учащимся при опросе. При систематическом повторении центр тяжести переносится на домашние задания. При итоговом повторении опять значительно возрастает роль классной работы. По если при повторении, предшествующем изучению нового материала, задачи решаются в основном устно, то при итоговом повторении значительная часть задач решается письменно. Это вызвано содержанием самих задач, предлагаемых обычно при итоговом повторении: они довольно сложны, требуют длительных рассуждений и серьезных обоснований.

IV.

Из всего сказанного следует, что вооружение учащихся сознательными и прочными геометрическими знаниями, развитие у них умения применять полученные знания на практике невозможно без решения достаточного числа задач, Если же учесть ограниченность отводимого для этого времени, то ясным становится, какое важное значение имеет правильный подбор задач, предлагаемых учащимся для решения.

В третьей главе диссертации подобраны и расположены в определенной последовательности 123 задачи на доказательство по курсу 6—7 классов. Причем наряду с простыми задачами, для решения которых требуется лишь понимание смысла геометрического предложения, приводятся задачи более или менее сложные.

Мы старались подобрать задачи так, чтобы совокупность их обеспечивала закрепление основных методов и приемов доказательств, изучаемых в 6—7 классах. Подбирая задачи, мы учитывали затруднения, которые встречаются у школьников при изучении геометрического материала, а также типичные ошибки, допускаемые ими при доказательствах. Для преодоления этих затруднений и предотвращения возможных ошибок нами включены специальные задачи.

Выбирая ту или иную задачу из числа задач, однотипных

по употребляемым приемам доказательств, мы учитывали прежде всего их образовательное и воспитательное значение. Предпочтение отдавали задачам, в наибольшей мере способствующим развитию геометрических представлений учащихся, расширяющим их геометрический кругозор.

Однотипных задач мы пытались избежать, но в некоторых случаях считали полезным привести и такие задачи для того, чтобы дать возможность учителю использовать их при опросе, а также в самостоятельных и контрольных работах. В этих случаях они помещены под одним номером. Задачи распределены по темам курса. Дается набор по темам: «Углы», «Треугольники», «Параллельные прямые», «Четырехугольники» и «Окружности». В пределах каждой темы порядок расположения задач подчинен системе изучения теоретического материала, принятой в нашей школе. Каждая задача или группа аналогичных задач сопровождается методическими указаниями для учителя. B этих указаниях обращается внимание читателя на ценность той или иной задачи, на педагогическую цель, которая преследуется при ее решении, а также на затруднения, которые могут возникнуть у учащихся в процессе ее решения. Даны указания, когда и в каком месте учебного процесса целесообразно решить ту или иную задачу. Руководствуясь этими указаниями и учитывая конкретные условия, учитель определит, какую задачу и когда он может наиболее выгодно применить.

M301Ö4 16/VIII-53 г. Тип. «Сталинец» зак. 3601 т. 100