Академия педагогических наук РСФСР

Научно-исследовательский институт методов обучения

На правах рукописи

О. И. СМИРНОВА

Элементы высшей математики в курсе русской общеобразовательной средней школы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук по методике математики

Научный руководитель доцент H. Н. ШЕМЯНОВ.

Москва 1953.

XIX съезд партии поставил большие задачи перед советской школой. Она призвана готовить всесторонне развитых, образованных, хорошо владеющих основами наук, смелых и мужественных, честных и принципиальных строителей коммунистического общества. Советская школа должна создавать своим воспитанникам условия для свободного выбора профессий.

Товарищ Сталин в своем гениальном труде „Экономические проблемы социализма в СССР“ показал, что одним из основных предварительных условий подготовки перехода к коммунизму является культурный рост общества.

„Необходимо, в-третьих,—пишет товарищ Сталин, — добиться такого культурного роста общества, который бы обеспечил всем членам общества всестороннее развитие их физических, и умственных способностей, чтобы члены общества имели возможность получить образование, достаточное для того, чтобы стать активными деятелями общественного развития, чтобы они имели возможность свободно выбирать профессию, а не быть прикованными на всю жизнь, в силу существующего разделения труда, в одной какой-либо профессии“.1)

XIX съезд КПСС в директивах по пятому пятилетнему плану направил среднюю школу на осуществление политехнического обучения и предложил „провести мероприятия, необходимые для перехода к всеобщему политехническому обучению“.2)

При современном состоянии техники, при высокой электрификации, механизации, автоматизации производства от обслужи-“

1) И. Сталин. Экономические проблемы социализма в СССР, 1952, стр. 68-69.

2) Директивы XIX съезда партии по пятому пятилетнему плану развития СССР на 1951—1955 годы, 1952, стр. 28.

вающего ее персонала требуется всестороннее образование с политехническим обучением.

В настоящее время нельзя достаточно глубоко изучить ни одной области техники без знакомства с основами математического анализа, т. к. на дифференциальное и интегральное исчисления опирается большинство наиболее серьезных и важных применений математики к технике и естествознанию.

Поэтому автору представляется, что средняя школа, выполняя задачи политехнического обучения, должна расширить свою программу по математике в части элементов высшей математики введя в нее дополнительно хотя бы понятие о производной с некоторыми практическими ее приложениями.

1. Обзор уже известных учащимся из общего курса сведений по высшей математике и

2. Понятие о производной с практическими ее приложениями должны составить содержание небольшого отдельного курса элементов высшей математики в старшем классе средней школы.

Такое расширение элементов высшей математики в курсе средней школы, во-первых, позволит более корректно излагать курс элементарной математики, повысит его научный уровень; во-вторых, будет способствовать развитию у учащихся диалектико-материалистического мировоззрения, в-третьих, повысит научность изложения школьного курса физики, в частности, отдела о движении; в-четвертых, до некоторой степени облегчит работу первых курсов физико-математических факультетов и технических вузов; в-пятых, поможет глубже изучить и понять существо технических процессов и необходимость применения для этого общего математического метода.

Все эти соображения и послужили поводом для выбора темы диссертации.

Автор поставил перед собой цель изучить возможно подробнее историю вопроса о включении начал аналитической геометрии и анализа в курс средней школы; опыт как дореволюционной, так и советской средней школы по постановке преподавания этих дисциплин, использовав следующие источники:

1) труды классиков марксизма-ленинизма;

2) постановления партии и правительства о школе;

3) литературу по истории математики;

4) пособия по истории средней школы;

5)-материалы, относящиеся к истории исследуемого вопроса;

а) труды съездов, совещаний, комиссий, заседаний математических кружков и математического отделения при Петербургском педагогическом обществе;

б) школьные программы;

в) учебники но высшей математике для средней школы и рецензии на них;

г) методические работы;

д) журнальные статьи;

е) анкету среди бывших реалистов.

Первая часть диссертации (две главы) лает исторический, с экскурсами в область методики, очерк по вопросу о введении в курс средней школы элементов высшей математики.

Вторая часть содержит описание работы автора в школьных математических кружках г. Ярославля и наблюдения над работой учащихся Ярославского химико-механического техникума, а также составленное с учетом опыта прошлого содержание небольшого специального курса высшей математики с методическими к нему указаниями.

* * *

Во введении дается обоснование выбора темы; краткая история возникновения и развития аналитической геометрии и анализа бесконечно малых, значение которых Энгельс охарактеризовал следующим образом: „Из всех теоретических успехов знания вряд ли какой-нибудь считается столь высоким триумфом человеческого духа, как изобретение исчисления бесконечно малых во второй половине XVII века“1) и дальше „Лишь дифференциальное исчисление дает естествознанию возможность изобразить математически процессы, а не только состояния, движение“2).

Во введении кратко характеризуется различие между элементарной и высшей математикой и обосновывается необходит мость введения последней в курс средней школы.

1) Ф. Энгельс. Диалектика природы, 1948, стр. 216.

2) Там же, стр. 220.

* * *

I глава. „Борьба за введение элементов высшей математики в курс средней школы в досоветский период“ посвящена историко-методическому очерку вопроса о введении элементов высшей математики в курс средней школы в период с конца XVIII века до 1917 годя.

В конце XVIII века в развитии математического образования в России весьма значительную и почетную роль сыграли военные школы, которые в этот период в известной мере можно отнести к общеобразовательным средним учебным заведениям, так как они готовили не только офицеров, но и гражданских чиновников. В частности, в Сухопутном шляхетном кадетском корпусе учились в свое время словесности и иностранным языкам вытребованные из Ярославля комедианты во главе с купеческим сыном Федором Валковым.

Первые русские гимназии: петербургская при Академии Наук, московская (дворянская и разночинская) при университете, казанская ставили своей целью подготовку молодых людей к поступлению в университет.

В „Исторической записке о 1-й казанской гимназии“1) указывается, что в ней при возобновлении занятий в 1799 году наряду с арифметикой, алгеброй и геометрией полагалось проходить „высшие части чистой математики“, на которые было (назначено 3 часа в неделю. (§ 1).

Начало XIX века в области просвещения ознаменовалось учреждением Министерства народного просвещения (1802 год) и изданием гимназического устава 1804 года, в учебный план которого входил полный курс математики чистой и прикладной (18 часов в неделю).

Никаких программ Министерство не рассылало, они составлялись учителями применительно к тем руководствам, которые употреблялись в той или иной гимназии.

В исторических записках гимназий указываются следующие учебники по математике: „Курс математики Тимофея Осиповского, изданный от комиссии о учреждении школ“ Спб. 1801; Н. Фусс

1) Владимиров В. Историческая записка о 1-й казанской гимназии. XVIII столетие, часть 1-я. Казань. 1867, стр. 35, 46, 59.

„Начальные основания чистой математики“, изданные от главно? го правления училищ. Спб. 1817 и переводные „Начальные основания математики Кестнера (ч. 1-я и 2-я Спб. 1792—1794, переведенные акад. Иноходцевым и Дуре математики“ Безу в переводе Вас, Загорского. М. 1801, 1803.

Эти учебники и употреблявшиеся несколько позднее руководства Франкера „Полный курс чистой математики“ Спб. 1827 и частично (до общего исследования кривых 2-го порядка) учебник Н. Д. Брашмана „Курс аналитической геометрии“ M. 1836 рассмотрены автором со стороны содержания, последовательности изложения и трактовки основных понятий в той их части, где сообщаются элементы аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчислений. (§ 2).

Приведенный обзор учебников позволяет судить об объеме материала, проходившегося в гимназиях но элементам высшей математики.

Мрачный режим „аракчеевщины“ второй половины царствования Александра 1 сказался и на школе, в частности, на программах преподавания, откуда изгоняется ,,гибельный материализм“. В 1819 году наряду с науками политическими и философскими из преподавания были исключены начала дифференциального и интегрального исчисления.

§ 144 устава 1828 года определяет объем преподавания математики до конических сечений включительно.

15 декабря 1845 года циркулярным предложением об ограничении преподавания в гимназиях математики были исключены из курса аналитическая и начертательная геометрия,

Начиная с 1846 года, элементы высшей математики не вводились в курс общеобразовательной средней школы вплоть до 1906 года, когда они были включены в программу реальных училищ.

После реформы 1861 года развитие промышленности в России пошло довольно быстро, что вызвало острую потребность в кадрах хорошо обученных специалистов.

Перед средней школой в 60-е годы встал вопрос о ее характере: о классическом или реальном ее направлении. И с этого времени вся ее история наполнена борьбой прогрессивной педа-

гогической общественности за реальное образование, как наилучшим образом отвечающее запросам промышленности.

Крупнейшие русские математики М. В. Остроградский и П. Л. Чебышев, а вслед за ними и передовые педагоги и методисты В. II. Шкляревич, С. И. Шохор-Троцкий, В. Е. Сердобинский, В. П. Шереметевский высказываются за повышение научного уровня преподавания школьной математики, за реальное ее содержание, за включение в программу средней школы элементов высшей математики. К ним восходят истоки развернувшегося в начале XX века международного движения за реформу преподавания математики в средней школе.

Оттого, что курс средней школы не включал элементов высшей математики, для большинства образованных людей, заканчивающих в ней свои занятия математикой, по образному выражению Шереметевского,1) „главная центральная часть величественного здания, где в светлых переходах и смелых аркадах так много простора и света, остается на недосягаемой высоте“.

Указывая на громадную роль высшей математики в развитии техники, Шереметевский пишет: „Выть может никогда не чувствовалось такой настоятельной потребности разобраться в громадном материале все нарастающего экспериментального знания путем его теоретической, а, следовательно, и математической разработки, как в настоящее время — в конце доживаемого нами XIX века“.

Эти мысли, высказанные Шереметевским, не потеряли своей ценности и во второй половине XX века. Нашему государству требуется большое количество специалистов, занимающихся исследованиями как в области теоретической, так и прикладной математики. В этом отношении статья Шереметевского созвучна с брошюрой виднейшего представителя математической науки в нашей стране академика А. Н, Колмогорова „О профессии математика“ М. 1952, в которой автор высказывает сожаление о том, что в курсе средней школы нет элементов дифференциального и интегрального исчисления (§ 4),

Конец XIX века характеризуется быстрым движением России

1) Шереметевский В. П. Математика как наука и ее школьные суррогаты. „Русская мысль“, 1895, № 5, стр. 105—106.

вперед по пути развития капиталистической промышленности^ в связи с чем усиливается борьба за реальную школу, возрастает общественный интерес к педагогическим вопросам вообще и к вопросам преподавания математики в частности.

Для этого периода характерно возникновение в различных городах математических отделений при педагогических и научных обществах и самостоятельных математических кружков: „Секция физико-математических наук Общества естествоиспытателей при императорском Казанском университете“ (1880—1890 гг.), которая в 1890 году была преобразована в особое физико-математическое общество при университете; Киевское физико-математическое общество (1889); Математическое отделение Педагогического общества при Московском университете (1898), Варшавский кружок преподавателей физики и математики (1899); Математический кружок при Московском обществе по распространению технических знаний (ОРТЗ) (1902). Последний кружок и московское математическое отделение подготовили своей деятельностью организацию в 1905 году московского математического кружка под председательством Б. К, Млодзеевского. Позднее математические кружки возникают и в других городах (§5).

Московский математический кружок и организованный еще в 1864 году Педагогический музей военно-учебных заведений в Соляном городке, в Петербурге, объединявшие вокруг себя передовых педагогов-математиков, на своих заседаниях обсуждали актуальные вопросы того времени.

В частности, уже в 1895 году в математическом отделении педагогического музея состоялось совещание с вопросом: „Об изменении курса математики в средних учебных заведениях“ (докл. К. В. Фохт). В предложенном докладчиком кратком перечне вопросов, которые можно сообщать учащимся, указывались: понятие о системе координат, уравнение прямой, круга, эллипса, гиперболы к параболы.

Работа этих кружков отражалась в ряде журналов. Еще с 1864 года начинает выходить журнал военно-учебных заведений, „Педагогический сборник“, с 1886 года издается журнал „Вестник опытной физики и элементарной математики“; позднее большую роль в улучшении преподавания математики сыграл журнал

„Математическое образование“, издававшийся московским математическим кружком с 1912 года.

Быстрое развитие промышленности и усиление в связи с этим общественного интереса к педагогическим вопросам поставили в конце XIX и начале XX века вопрос о реформе средней школы вообще, и о реформе преподавания математики, в частности.

Характерной особенностью этого периода является то, что вопросы реформы выносятся на обсуждение учебных округов и специальных комиссий при Министерстве народного просвещения.

Автор подробно рассматривает материалы московских совещаний, происходивших в 1899 году, и труды комиссий при министре народного просвещения Н. П. Боголепове, в частности, материалы математической подкомиссии, работавшей под председательством педагога Н. И. Билибина.

Рассмотрен действовавшие в то время программы гимназий и реальных училищ, эта подкомиссия постановила „исключить из курса те статьи, которые... не заключают в себе общеобразовательного элемента“, заменив их новым материалом, „который расширяя и обогащая математические представления, способствовал бы дальнейшему развитию геометричности ума“. В программу VIII класса гимназии дополнительно было включено „описание некоторых систем координат и представление некоторых зависимостей кривыми б различных системах координат (прямая линия, архимедова спираль, круг, эллипс, гипербола, парабола и некоторые другие)“. В программу второго типа школы—восьмиклассного реального училища кроме этого предлагалось включить основания учения о пределах.

Известный киевский педагог К. М. Щербина1) в свое время расценила эти программы, как одно из наиболее крупных завоеваний во взглядах на преподавание математики в общеобразовательной средней школе.

Но как этот проект, так и последовавшие за ним проекты других министров, сменявшихся почти ежегодно, не были проведены в жизнь.

Развернувшееся в начале XX века международное движение:

1) Щербина К. М. „Математика в русской средней школе“. Киев, 1908.

за реформу преподавания математики усилило это движение и в России; причем прогрессивные идеи развивались у нас во многом вполне самостоятельно, независимо от запада.

В педагогических журналах „Педагогический сборник“, „Русская школа“ и в „журнале Министерства народного просвещения“ печатается ряд статей, в которых авторы высказываются за обновление курса средней школы введением в него элементов высшей математики и составляют свои программы как по общему курсу математики, (основным понятием которой выдвигается понятие о функции), так и в части элементов высшей математики, в содержание которой предлагаются: понятие о функции и функциональной зависимости; метод координат, уравнения прямой линии и кривых 2-го порядка, дифференциальное и интегральное исчисления.

Довольно ценные соображения общего порядка содержит статья Т. Э. Фризендорфа „О преподавании математики в средних учебных заведениях“, где автор пишет, что включение некоторых вопросов из высшей математики поможет установить связь математики с другими предметами, в частности, о физикой, которая от этого включения много выиграла бы, „так как только имея понятие о производной от функции, можно правильно понять движение, а на движении основана ведь вся физика“ (§6).

Большое влияние на полигику Министерства народного просвещения оказала революция 1905 года, которое сказалось в ряде уступок министерства. Одной из них явилась программа реальных училищ 1906 года, когда в учебный план 7-го (дополнительного) класса был включен „Специальный курс“ (элементы аналитической геометрии и дифференциального и интегрального исчисления).

И этим открывается новая страница в истории вопроса- о введении элементов высшей математики в курс средней школы.

В § 7 нашей работы рассматривается содержание программы „Специальног курса“, его достоинства и недостатки и отзывы о нем современников, а также помещены результаты анкеты, проведенной автором среди бывших реалистов Ярославского и Владимирского реальных училищ.

Воспоминания бывших реалистов говорят в пользу введения элементов высшей математики в курс средней школы. „Специальный курс“ усваивался учащимися неплохо, имел для них определенный интерес и был полезен при изучении ими математических дисциплин в высшей школе.

Все опрощенные автором вопрос о трудности усвоения курса высшей математики связывают с умением учителя излагать его; все они придают большое значение приложениям теории к практике.

Так как в 1906 году элементы высшей математики были включены лишь в программу реальных училищ, то Киевское физико-математическое общество и Варшавский кружок преподавателей физики и математики составили свои проекты программ для мужских гимназий, в содержание которых вошли и элементы высшее математики. Причем во втором проекте предлагался обособленный курс анализа и аналитической геометрии, к тому же и более обширный, чем курс реальных училищ. Оба проекта подверглись обсуждению на страницах печати.

Вопросы, связанные с введением и преподаванием начал высшей математики, живо обсуждались на заседаниях Московского математического кружка, где особо нужно отметить доклад К. Ф. Лебединцева „Программа и метод преподавания алгебры в средней школе“.

Передовая педагогическая мысль была занята вопросом повышения уровня преподавания математики не только в мужской средней школе, но и в женских гимназиях.

Но прогрессивные мысли передового учительства России не были подхвачены и одобрены ни Министерством народного просвещения, ни либеральной буржуазией, поддерживавшей правительство в годы реакции после декабрьского вооруженного восстания 1905 года.

Хотя кадетские корпуса в это время и не являлись общеобразовательными учебными заведениями, однако, автор нашел необходимым остановиться на их программе 1911 года, имея в виду ценные соображения методического характера, касающиеся и общеобразовательной средней школы, таких опытных педагогов как M. Г; Попруженко, Б. Б. Пиотровский, П. Самохвалов., С И. Шо-

хор-Троцкий и др., высказанные ими в „Педагогическом сборнике“ и на заседаниях математического отделения при петербургском педагогическом музее. (Отчеты о заседаниях помещены в „Кратких обзорах деятельности педагогического музея военно-учебных заведений“). (§ 8).

В борьбе за реальное образование большую роль сыграли также преподаватели коммерческих училищ, в программу которых в 1914 году были включены элементы аналитической геометрии. Автор рассматривает как программу, так и историю вопроса этого включения, связанную с деятельностью известного педагога А. Н. Страннолюбского. (§ 9.)

Введение в программу средней школы элементов высшей математики поставило перед педагогами-математиками задачу выработать учебники, задачники и методические руководства по этим дисциплинам. Как она была решена, раскрывают §§ 10 и 11 нашей работы.

В § 10 дается краткий критический анализ учебников по аналитической геометрии и анализу бесконечно малых, приводятся отзывы о них современников. К лучшим во всех отношениях учебникам нужно отнести „Начала анализа“ М. Попруженко и учебник А. Киселева. Они и современниками были встречены весьма одобрительно. Несмотря на некоторые недостатки всех учебников, они ..стоят в общем на правильном пути, —заявил на I Всероссийском съезде преподавателей математики М. Попруженко, и позволяют надеяться на то, что со временем у нас выработаются хорошие руководства“.

В § 11 приводится содержание работы М. Попруженко „Материалы по методике анализа бесконечно малых в средней школе“, статьи П. Самохвалова „К постановке курса анализа бесконечно малых в кадетских корпусах“ и статьи С. Балдина „О Преподавании аналитической геометрии в кадетских корпусах“.

Методические руководства содержат довольно правильные и ценные указания как общего, так и частного характера: о содержании, построении, методике сообщения основных понятий высшей математики, об органической связи курса элементарной математики с высшей, о построении его на основе понятий о функции, об усилении практических приложений высшей математики

к задачам не только математическим, но физическим и механическим.

В вопросе о включении элементов высшей математики в курс средней школы видное место занимают два Всероссийских съезда преподавателей математики (1911—1912 учебный год и 1913—1914 уч. год), в работах которых (и особенно первого) было уделено ему большое внимание. На съездах заслушан ряд докладов и выступлений по ним, посвященных обоснованию необходимости включения элементов анализа и аналитической геометрии в курс средней школы всех типов. Правильно разрешался вопрос о пересмотре всей программы по математике, о насыщении ее идеями высшей математики с целью обеспечить органическую связь последней со всем курсом школьной математики, а также родственных ей предметов, в частности, физики.

В целях же, способствующих этому сближению, предлагалось пересмотреть учебники и задачники по анализу и аналитической геометрии как в отношении метода изложения материала, так и в смысле обогащения их достаточным количеством задач из разных областей знания. В вопросе же о внутреннем содержании программ по высшей математике участники съезда единодушно отстаивали преимущества идейной стороны перед технической, выступали против увлечения техникой дифференцирования и интегрирования. (§ 12).

Опыт дореволюционной школы показывает, что при надлежащей подготовке учителей, учебников, методических руководств включение высшей математики в курс средней школы имеет положительное и прогрессивное значение.

Революционный подъем 1912 — 1914 годов сказался на поведении и политике либеральной буржуазии, настроенной в это время оппозиционно к самодержавию. Школьная политика ее, став несколько прогрессивнее, нашла свое воплощение в реформах графа П. Н. Игнатьева 1915 года.

В § 13 нашей работы рассматриваются проекты программ по математике, выработанные комиссией при министерстве народного просвещения весной 1915 года и отзывы о ней передовых педагогов в лице членов московского математического кружка.

Проект Игнатьева, подвергся критике с разных сторон, с

различных позиций: помещичье-дворянские круги и реакционное правительство нападали на него за либерализм; передовая часть педагогической общественности, наоборот, критиковала его за недостаточно смелое решение вопроса, за ее половинчатость.

В дореволюционный период лишь партия большевиков во главе с В. И. Лениным и И. В. Сталиным, разоблачая царскую политику в области народного просвещения, а также и шатания либеральной буржуазии в этом вопросе, твердо проводила подлинно революционную борьбу за школу и просвещение, отстаивая интересы трудящихся масс.

В главе II-й «Элементы высшей математики в советской средней школе> дается характеристика первых программ и учебников советской школы по элементам высшей математики.

Первые программы по математике, составленные в 1918 — 1919 учебном году естественно-математическим подотделом по реформе школы при Народном комиссариате по просвещению «Проект примерного плана занятий по математике Единой трудовой школы-коммуны», были чрезвычайно перегружены материалом. Элементы высшей математики входили в программу школы 2-й ступени в объеме, далеко превосходившем объем программы реальных училищ.

В программу, составленную для физико-технической группы, включены без всякой системы элементы теории рядов, дифференциального и интегрального исчислений, дифференциальные уравнения; функции 2-х переменных; кратные интегралы.

В объяснительной записке к ней указывается, что содержание предмета определяется главным образом потребностями физики, отсюда и главная задача его научить практически пользоваться анализом для вычислений.

Но уже следующие «Примерные программы Единой трудовой школы», составленные математической комиссией ленинградских и московских специалистов в 1920 году, разработаны значительно лучше как по объему, так и по расположению содержавшегося в них материала.

Во вводной статье к ним указывается на необходимость от-

хода от условного деления математики на элементарную и высшую и пересмотра всего курса математики с целью исключения из него некоторых вопросов (сложное тройное правило, цепное правило, неопределенный анализ и др.) и включения основ анализа бесконечно малых и аналитической геометрии. Последние должны быть тесно связаны с предыдущим материалом, для чего в программу, начиная уже с первого класса 2-й ступени, вводятся понятия о системе координат и функциональной зависимости с постепенным их расширением.

По объему включенного в них материала по элементам высшей математики они очень близки к программам реальных училищ. Автором рассматривается учебник А. Киселева «Элементы алгебры и анализа» ч. 2. Характерной чертой его является стремление автора изложить материал конкретно, наглядно,

Таким образом, первые программы советской школы содержали в себе элементы высшей математики. Применительно к ним были изданы и учебники по аналитической геометрии и анализу бесконечно малых. Но эти программы не получили своего дальнейшего развития по ряду причин: 1) массовый учитель был не подготовлен к работе по ним; 2) не было достаточно учебников, методических руководств; 3) составители программ не всегда учитывали реальные возможности школы, программы были перегружены. (§ 1).

Введение в школу с 1924—25 учебного года программ ГУСа, по которым математика подчинялась изучению общих комплексных тем, наряду с порочными методами преподавания: Далтон—план, лабораторно-бригадный метод, метод проектов нанесли математическому образованию большой вред.

Постановления ЦЕ партии о школе от 5 сентября 1931 года и от 25 августа 1932 года вскрыли недостатки программ и направили советскую школу по пути улучшения их.

Программы средней школы (городской и сельской) 9—10 классы, утвержденные коллегией НКП РСФСР 16 мая 1933 года, включали в курс 10-го класса элементы аналитической геометрии и анализа бесконечно малых. Соответственно с этим признавалось необходимым включение в программу педвузов по методике математики вопросов по преподаванию этих дисциплин.

Однако, программа в части элементов высшей математики в жизнь проведена не была, а в программе 1934 года их уже не было. (§ 2),

Основная цель, поставленная перед школой, заключалась в том, чтобы обеспечить наилучшую подготовку учащихся по элементарной математике.

Но жизнь, практика, развитие техники настоятельно потребовали пересмотра программ и вновь выдвинули проблему включения элементов высшей математики в курс средней школы.

§ 3 второй главы работы и посвящен рассмотрению вопроса о том, как эта проблема решается в наше время.

Положительно решить ее необходимо по ряду причин, высказанных автором выше.

* * *

Во второй части диссертации, состоящей из трех глав, автор поставил своей целью предложить содержание небольшого отдельного курса элементов высшей математики и дать методические к нему указания.

В разрешении вопроса о введении в курс средней школы элементов высшей математики нужно предусматривать два момента:

Во-первых, возможно раннее знакомство учащихся в курсе элементарной математики с идеей функциональной зависимости и методом координат, более широкое изучение элементарных функций и их графиков, уравнений прямой линии и некоторых теорем теории пределов

Во-вторых, школьный курс математики нужно дополнить введением отдельного небольшого заключительного курса элементов высшей математики.

Таким образом, элементы высшей математики должны проходить через весь курс школьной математики с тем, чтобы отдельный курс их не был бы каким-то к нему придатком, а чтобы он был органически с ним связан.

Отдельный курс необходим, т. к., во-первых, имея его в перспективе, будет значительно лучше поставлено преподавание уже имеющихся сейчас элементов высшей математики в общем курсе школьной математики, повысится научный уровень ее пре-

подавания (а важность и необходимость этого никем не отрицается); во-вторых, этот курс будет служить своего рода „мостиком“ от средней школы к высшей школе.

Объем, содержание предложенного нами курса определяется вышеуказанными целями его введения. При установлении его объема необходимо учесть опыт дореволюционной школы, не повторить ее ошибок и исходить из следующих соображений:

1) Прежде всего курс не должен представлять собой вузовскую программу в миниатюре.

2) В малое число часов, отводимое на него в средней школе, нужно вложить основные идеи, способствующие развитию диалектико-материалистического мировоззрения учащихся, такие идеи и понятия, которые бы дали возможность учащимся почувствовать силу и общность методов высшей математики, ее значение для естествознания и техники.

Автор предлагает следующее содержание курса:

I. Обзор уже известных элементов высшей математики с расширением этих сведений.

1. Понятие о функции.

2. Способы задания функции.

3. Бесконечно большие и бесконечно малые величины.

4. Пределы.

5. Непрерывность функции.

II. Производная

1. Производная как скорость изменения функции.

2. Непосредственное дифференцирование функций.

3. Техника дифференцирования. Теоремы дифференцирования.

4. Геометрический смысл производной.

5. Максимум и минимум.

6. Исследование функций и построение их графиков.

По мнению автора на весь курс потребуется примерно 35 часов.

Излагать этот материал желательно наглядно, конкретно, но вместе с тем ни в чем не допускать противоречий научности содержания,

В преподавании всегда нужно помнить слова В. И. Ленина

„От живого созерцания к абстрактному мышлению, и от него к практике,— таков диалектический путь познания истины, познания объективной реальности“1).

Руководствуясь этими указаниями В. И. Ленина, можно избежать коренного зла в преподавании математики—формализма: отрыва теории от практики, формы от содержания.

Правильное применение принципа наглядности позволит на практике осуществить ленинскую формулу диалектического познания истины, ее первую ступень —живое созерцание. Большое значение в повышении интереса к изучаемому предмету, а, следовательно, и в более прочном и сознательном его усвоении имеет включение в курс элементов историзма.

При изучении первой темы большую роль играет иллюстрация вводимых понятий большим количеством примеров. Немаловажное значение имеет применение таблиц и графиков. Автор в своей работе разбирает эти вопросы более или менее подробно.

В самом начале желательно сообщить хотя бы кратко сведения но истории возникновения и развития современной математики, желательно показывать учащимся портреты великих ученых, о которых рассказывает учитель.

В теме о функции полезно указать, что впервые современное определение этого понятия было дано Н. И. Лобачевским.

В теории пределов можно сообщить теорему С. Е. Гурьева о пределе функции, значения которой заключены между значениями двух функций, имеющих один и тот же предел.

Главная трудность здесь заключается в том, что учащиеся формально заучивают определения, не понимая их сущности. Поэтому каждое вновь вводимое понятие, каждое определение нужно проиллюстрировать на достаточном количестве примеров.

Изложение темы „Производная“ нужно начать с ос основания необходимости и важности этого понятия, для чего привести ряд примеров, где требуется применение предела (собрание таких примеров - задач дано автором в приложении II).

Только после этого можно перейти ко второй ступени диалектического познания истины - к абстракции, дать математическое определение производной функции от данной функции.

1) В. И. Ленин. Философские тетради, 1947, стр. 146—147.

Техника дифференцирования и теоремы дифференцирования занимают в курсе весьма скромное место.

Геометрический смысл производной можно наглядно иллюстрировать на модели превращения секущей в касательную или при помощи стробоскопа (В работе дается их описание).

Далее следуют практические приложения производной к решению задач на максимумы и минимумы (Собрание таких задач дано автором в приложении II); к исследованию функций и построению их графиков.

В последнем вопросе возможно использование модели, демонстрирующей изменение хода кривой (описание дано).

В изложении всех вопросов этой темы большую роль играют графики.

По этой программе автор провел занятия в математических кружках школ № 33 и № 54 г. Ярославля в течение ноября — марта 1952/53 учебного года.

Эксперимент дал хорошие результаты. Учащиеся с интересом занимались в кружке по изучению элементов высшей математики, освоили понятие производной и приобрели навык в исследовании функций, построении их графиков и в решении задач на максимумы и минимумы. (Эксперимент описан в приложении III), Результаты занятий, а также наблюдения за работой учащихся 2-х групп 2-го курса Ярославского химико-механического техникума показали, что в предложенном автором содержании курса нет ни одного вопроса, недоступного пониманию среднего ученика.

Если элементы высшей математики будут включены в курс средней школы, то потребуется прежде всего подготовить учебники, методические руководства и предварительно проверить их в опытном порядке.

Вторая часть настоящей работы представляет собой весьма скромную попытку в этом направлении.

ЯК 02248 Тип. им. Сталина г. Тутаев Яр. обл. т. 1С0 з. 436