АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ МЕТОДОВ ОБУЧЕНИЯ

На правах рукописи

В. Н. ШИШЛЯННИКОВА

ИЗМЕРЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ФИГУР ПРИ ИЗУЧЕНИИ ГЕОМЕТРИИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

АВТОРЕФЕРАТ ДИССЕРТАЦИИ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ КАНДИДАТА ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК ПО МЕТОДИКЕ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

МОСКВА - 1954

Задачи коммунистического воспитания в процессе обучения требуют повышения идейно-научного уровня каждого предмета, в том числе и геометрии.

Настоящая работа посвящена методике преподавания одного из сложных в научном и методическом отношении вопросов геометрии меры — измерению площадей в средней школе. Изучение этой темы в курсе геометрии советской школы должно соответствовать научным принципам преподавания геометрии.

Нужно научить учащихся понимать значение этой темы. Преподавать эту тему нужно так, чтобы в процессе ее освоения развивалось логическое мышление учащихся.

При изучении этой темы надо выяснить ее практическое значение, научить учащихся применять приобретенные при изучении этой темы знания в жизни.

Преподавание темы «Площади фигур» в средней школе пока еще не отвечает указанным требованиям. Изложение правил измерения площадей в систематическом курсе геометрии носит рецептурный характер. Это изложение состоит из множества догматических частных указаний, настолько не связанных с научной теорией измерения площадей, что начинает казаться, что эта часть темы никакого отношения к теории не имеет и как бы существует сама по себе.

Как известно, Эвклид оперировал самими площадями, а не числами, измеряющими эти площади.

В теории площадей у Эвклида представление о площади как о величине было интуитивным.

Только в тридцатых годах прошлого столетия была доказана теорема о равносоставленности двух равновеликих многоугольников, а позже, в 1881 году, теорема о равносоставленности двух площадей — данной и другой, полученной из данной перестановкой отдельных ее частей. Эти теоремы давали уже возможность сделать заключение о единственности числа, соответствующего данной площади.

Однако доказательства того, что каждой площади соответствует определенное число, все еще не было; это положение постулировалось. В 1885 году отечественным математиком С. О. Шатуновским была впервые предложена новая

научно обоснованная теория измерения площадей. (Эта теория была сообщена Шатуновским Новороссийскому Обществу естествоиспытателей, а в 1898 году IX съезду Русских естествоиспытателей и врачей. Позднее, в 1889 году, эта теория была дана в книге Гильберта «Основания геометрии»).

Эта работа дала возможность научно обосновать всю теорию измерения площади.

Между тем, изучение теории измерения площадей в средней школе все еще подменяется механическим заучиванием правил измерения площадей без попытки научно обосновать вывод этих правил.

Таким образом, вопрос о пересмотре содержания, а вместе с тем и методов преподавания темы «Площади фигур» в курсе геометрии в средней школе, давно назрел.

Данная работа и ставит своей целью разработать рациональную методику преподавания темы «Площади фигур» в средней школе так, чтобы максимально удовлетворить это преподавание научным принципам преподавания геометрии и вместе с тем в наибольшей мере устранить формализм при ее изложении и применить приобретенные при изучении этой темы знания к жизни.

В методике математики еще не разделяют геометрию на геометрию положения, где изучаются фигуры и тела, и геометрию меры, где занимаются измерением геометрических величин.

В геометрию меры систематического курса входит измерение следующих геометрических величин: отрезков и углов, дуг, площадей, поверхностей и объемов.

В настоящее время в средней школе при изложении вопросов геометрии меры нет единства в методах изложения.

В данной работе автор исходит из того, что центральным понятием геометрии меры является понятие величины, а особенность изложения вопросов геометрии меры заключается в инвариантности геометрических величин относительно движения.

Если учесть это, то методика изложения каждого из разделов геометрии меры должна содержать в себе два таких вопроса: методику введения в средней школе самого понятия о данной геометрической величине и методику изложения инвариантности данной геометрической величины относительно движения.

Впервые более углубленное знакомство учащихся в средней школе с понятием геометрической величины может быть сделано при изучении измерения площадей. Больше того, понятие геометрической величины в средней школе нужно вводить

только в связи с изучением площадей1, потому что при изучении отрезка — это еще рано (учащимся надлежит овладеть целым рядом трудностей и особенностей темы, которые при неупотреблении слова «величина» все-таки не исчезают), а при изучении объемов в X классе — это уже поздно (ибо учащиеся должны уже оперировать понятиями и применять их не только к двухмерной области, но и к трехмерной). Цель настоящей работы — показать:

1) что из современной научной теории площадей и как надо излагать в систематическом курсе геометрии средней школы, чтобы устранить разрыв между теорией измерения площадей в науке и научным уровнем излагаемых вопросов в средней школе;

2) что можно и необходимо после изучения измерения отрезков измерение площадей излагать через понятие ВЕЛИЧИНЫ (когда у учащихся уже будет некоторый опыт изучения измерения величин, на который при изучении площадей и объемов можно ссылаться и делать обобщения);

3) что с введением понятия величины и с расчленением понятий величины и числа учащиеся уясняют ГЕОМЕТРИЧЕСКУЮ СУЩНОСТЬ изучаемых вопросов геометрии меры; выявление геометрической сущности изучаемого вопроса углубляет знания и дает возможность учащимся быстрее ориентироваться в геометрических задачах и служит радикальным средством для предотвращения ошибок у учащихся в основных определениях: объема, меры объема, отрезка, длины отрезка, меры площади, площади и т. д.;

4) что способы и приемы изучения измерения площадей и объемов (а при повторении и измерения отрезков) имеют общие черты, позволяющие учащимся глубже понять и усвоить изучаемое и установить связь между отдельными вопросами геометрии меры.

При попытках решить эти вопросы приходится констатировать следующее положение.

Измерение площадей в средней школе изучается три раза:

1) в 5-м классе в пропедевтическом курсе геометрии;

2) в 8-м классе в систематическом курсе геометрии — «Площади прямолинейных фигур» (14 часов) и

3) в 9-м классе — измерение площади круга и его частей. Методика изучения измерения площадей в пропедевтическом курсе геометрии 5-го класса дана проф. А. М. Астрябом.

1 Эта тема изучается в четвертой четверти учебного года в VIII классе средней школы, а измерение отрезков — в первой четверти учебного года в VIII классе. Рекомендуется, однако, понятие величины, как основное понятие геометрии меры, вводить только с изучением измерения площадей.

Методика изучения измерения площади круга и его частей в систематическом курсе геометрии в средней школе дана доцентом И. Е. Шиманским в его диссертации (1946 г.), где на основе введения в школьную практику концепции системы совместных приближений даются методы вычисления длины окружности и площади круга. Эта работа пока вполне удовлетворительно разрешает вопрос о нахождении наиболее удачного алгорифма измерения площади круга в систематическом курсе средней школы.

Таким образом, главное содержание настоящей работы — изучение площади прямолинейных фигур в систематическом курсе геометрии в средней школе, что является одним из важных элементов в теории измерения площадей, входящих в геометрию меры.

Предлагаемая работа состоит из введения, 4-х основных глав и добавления.

I глава посвящена теории площади фигур и измерению площадей в следующем порядке: а) понятие о величине и площади-величине; б) учение о площади фигур в основаниях геометрии; в) площади и функции.

В основу изложения этой главы взято следующее:

«Математика — это наука о величинах; она исходит из понятия величины. Она дает последней скудную, недостаточную дефиницию и прибавляет затем внешним образом, в качестве аксиом, другие элементарные определенности величины, которые не содержатся в дефиниции, после чего они выступают как недоказанные и, разумеется, также недоказуемые математически. Анализ величины выявил бы все эти аксиоматические определения как необходимые определения величины»1.

При рассмотрении понятия величины взято следующее:

«Величина — свойство совокупности объектов (геометрических — отрезков, площадей, углов или физических — тел, сил), по отношению к которому установлены критерии их сравнения, т. е. признаки их равенства или неравенства»2.

Поскольку свойства существуют только в определенных отношениях, постольку они соотносительны. Но из этого следует, что свойства можно сравнивать. В математике понятие величины выявляется в совокупности независимых друг от друга положений, так называемых постулатов сравнения.

За систему независимых постулатов сравнения в работе взята система, предложенная отечественным математиком

1 Энгельс. «Диалектика природы», 1950, стр. 205.

2 Б. С. Э., том 9, стр. 790, отв. за математический отдел В. Ф. Каган

С. О. Шатуновским. Восемь допущений, предложенных Шатуновским, суть постулаты количественного сравнения или постулаты скалярного расположения. В системе независимых друг от друга положений содержится понятие «одно больше, меньше или равно другому»; соотношения «больше», «меньше» или «равно» отличаются от всех других соотношений тем, что удовлетворяют восьми постулатам, а поэтому, Шатуновский полагает возможным считать эти соотношения математическим определением величины1.

Частный случай сравнения величин, когда одно из сравниваемых значений величин принимается за единицу, есть измерение величины. При измерении величины определяется количественное выражение ее. Количественное выражение представляется числом.

«Не следует смешивать понятия числа с понятием величины. Число всегда отвлеченно, так как получается в результате индивидуального измерения... Напротив, величина конкретна, так как является качеством предмета...»2.

Но числа (скалярные) — количественные характеристики величин являются тоже величинами, так как они удовлетворяют системе независимых постулатов сравнения величин.

Дальше рассматриваются величины геометрические, из которых потом выделяются площади.

Учение о площади фигур в основаниях геометрии изложено преимущественно по книге Гильберта «Основания геометрии», М.-Л., 1948 и по учебнику профессора А. С. Смогоржевского «Основания геометрии», Киев, 1947 г.

При рассмотрении площадей и функций площади определялись как мера Жордана.

II глава—Измерение площадей в пропедевтическом курсе геометрии

Отмечая значение измерения площадей в пропедевтическом курсе геометрии для систематического курса геометрии средней школы, рассматривается история этого вопроса в отечественной школе и даются методические указания и замечания к изложению площадей в V классе.

III глава—Измерение площадей в систематическом курсе геометрии

При выяснении целей и задач изучения измерения площадей фигур в систематическом курсе геометрии устанавливается,

1 С. О. Шатуновский. «Введение в анализ», Одесса, Матезис, 1923.

2 Н. Н. Лузин. «Дифференциальное исчисление», 1949, стр. 26.

Что изложение площадей многоугольников в средней школе еще не отвечает научным принципам преподавания геометрии.

Отмечается, что определения понятия площади в имеющейся учебной и методической литературе можно, в основном, разбить на три группы: площадь, как часть плоскости (Давыдов, Извольский, Малая Советская Энциклопедия, том VI, стр. 608; Мазинг, Лакруа); площадь, как число (Глаголев, Долгушин, Брадис, Перепелкина и Новоселов «Геометрия и тригонометрия для Учительских институтов»); площадь, как величина (Адамар, Богомолов, Лежандр, Бескин, Киселев, Кутузов).

По мнению диссертанта, понятие площади в курсе геометрии следует определять через понятие величины. Фиксируется факт, что даваемые ныне в школе определения площади: определение в учебнике Глаголева «Элементарная геометрия», Учпедгиз, Москва, 1949 г.1, или определение по стабильному учебнику Киселева «Геометрия», ч. I, 1949, Учпедгиз2.

При определении площади по учебнику Глаголева (через число) учащиеся считают ПЛОЩАДЬЮ то ЧИСЛО, которое получается после измерения площади фигуры, и говорят об измерении площади, не определив еще, что такое ПЛОЩАДЬ3.

Определение площади по стабильному учебнику Киселева дается с употреблением слова «величина», однако

1) разъяснения понятия величины в учебнике вообще не встречается;

2) определяя площадь как величину (т. е. отнеся понятие «площади» к определенному роду понятий), необходимо еще и описать, какими ОСОБЕННОСТЯМИ обладает эта величина, присущими ей одной и.отличающими ее от других величин (т. е. нужно перечислить существенные признаки ВИДА понятия) — этого в определении площади в учебнике Киселева нет.

Признаки, определяющие понятие площади среди других величин в «Геометрии» Киселева, изложены позже в отдельном

1 § 252. «Площадью простого многоугольника называется ЧИСЛО, определяющее размер части плоскости, ограниченной этим многоугольником».

2 § 243. «Величина части плоскости, заключенной внутри многоугольника или какой-нибудь другой плоской замкнутой фигуры, называется площадью этой фигуры».

3 Если в математическом анализе, вообще говоря, допустимо сразу определять ПЛОЩАДЬ через число, так как всякая величина, а значит и площадь, имеет количественную характеристику — величине можно отнести число, — и условно позволительно вместо ПЛОЩАДЕЙ брать МЕРЫ ПЛОЩАДЕЙ — числа, то при первичном установлении этих понятий в средней школе должно считаться с различием этих понятий.

параграфе в виде ОСНОВНЫХ ДОПУЩЕНИЙ О ПЛОЩАДЯХ.

Эти «основные допущения о площадях» являются существенной частью определения понятия площади, а потому отрывать их, как это делается в учебнике Киселева, от определения понятия площади нельзя признать методически оправданным. «Основные допущения о площадях» Киселев относит не к площадям, а к числам, измеряющим эти площади (следовательно, здесь совершенно не отражены вопросы о соответствии между площадями и числами).

Кроме того, эти существенные признаки, определяющие понятие площади, выраженные даже в такой форме, в изложении Киселева имеют следующие существенные недостатки:

1) не выясняется необходимость их введения;

2) на эти требования в дальнейшем изложении учения об измерении площадей Киселев нигде не ссылается;

3) эти «допущения» ни в какой мере не выявляют ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ СУЩНОСТИ вопроса о площадях: учащимся, знакомящимся с теорией измерения площадей, трудно увидеть, в «первом допущении о площадях» ИНВАРИАНТНОСТЬ площади относительно движения в ПРОСТРАНСТВЕ, а во «втором допущении» — ИНВАРИАНТНОСТЬ площади при ВЗАИМНОЙ ПЕРЕСТАНОВКЕ ЕЕ ЧАСТЕЙ1.

В дальнейшей части главы III делается попытка построить теорию измерения площадей в систематическом курсе геометрии, опираясь на особенности геометрии меры и учитывая познавательные возможности учащихся. А именно, при сообщении учащимся этой темы необходимо дать разъяснение и определение понятия величины2.

Сначала на конкретных примерах нужно выявить учащимся понятие величины, подчеркивая на каждом примере, что величина это есть свойство, присущее данному классу предметов. Например, вес — это есть свойство материальных тел, тела можно сравнивать (т. е. устанавливать «больше», «меньше» или «равно») «по весу»; протяженность тоже есть свойство материальных тел, причем тела можно сравнивать между собой по протяженности или, как говорят, по их длине; все тела имеют объемы, нет тела без объема, значит объем выступает как свойство тела, причем такое свойство, по

1 В «Геометрии» Киселева по такому же плану излагается теория измерения объемов тел, изучаемая в 10 кл. средней школы.

2 Сравнить — это значит установить, что больше, меньше или равно. ВЕЛИЧИНОЙ называется все то, что можно сравнить. (Примерами приводить не только величины геометрические, но и физические).

отношению к которому тела можно сравнивать между собой, т. е. объем есть величина тела; фигуры имеют площади, площадь выступает как свойство фигур, причем по отношению к этому свойству фигуры можно сравнивать между собой, значит площадь фигуры есть величина фигуры.

Разъясняя учащимся понятие величины, следует указать им, что для определения понятия площади недостаточно назвать площадь величиной, что нужно еще выяснить особенности этой величины, отличающие ее от других величин и, подготовляя учащихся таким образом, в конце концов дать такое определение площади:

«Площадью фигуры1 называется величина фигуры, которая имеет две главные особенности:

I — площадь фигуры не зависит от положения фигуры в пространстве;

II — фигура, состоящая из суммы нескольких фигур, имеет площадь, равную сумме площадей этих фигур»2.

Это определение площади фигуры в систематическом курсе геометрии соответствует ранее данному определению площади фигуры (в результате разбора понятий величины, математической величины, геометрической величины):

«Площадью фигуры называется геометрическая величина фигуры, обладающая инвариантностью относительно движения и аддитивностью».

При изучении этих особенностей величины площади особое внимание уделяется инвариантности площади фигуры относительно движения и приводится ряд примеров величин, не имеющих этих особенностей3.

Второе свойство площади можно толковать и так:

Площадь фигуры НЕ ЗАВИСИТ ОТ ПОЛОЖЕНИЯ частей этой фигуры на ПЛОСКОСТИ, если части ее не накладываются друг на друга.

При выяснении этих двух особенностей площади фигуры нужно подчеркнуть ГЕОМЕТРИЧЕСКУЮ СУЩНОСТЬ ИХ.

1 «Геометрической фигурой называется совокупность каких бы то ни было точек, линий, поверхностей или тел, расположенных известным образом в пространстве». Киселев «Геометрия», Учпедгиз, 1949, ч. I, Введение. Также Кутузов «Геометрия», М., 1950. В основаниях геометрии при изучении площадей фигур имеют в виду плоские фигуры и даже простые многоугольники. В систематическом курсе геометрии при изучении площадей фигур это тем более имеется в виду.

2 «Сумма» фигур — совокупность фигур, не покрывающих друг друга.

3 См. III главу, § 4 основной работы, или протокол № 1 в добавлении, или статью «Понятие площади в систематическом курсе геометрии» в журнале «Математика в школе», 1952, № 6.

Для закрепления в сознании учащихся понятия о площади как величине диссертант рекомендует на следующем этапе, при изучении темы «Площади фигур» в систематическом курсе геометрии, обратить особое внимание учеников на СРАВНЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ.

На конкретных примерах учащиеся должны убедиться в том, что понятия «равно», «больше» и «меньше» применительны к площадям, что площади можно сравнивать между собой как величины БЕЗ ЧИСЕЛ. Здесь важно не только наглядно убедить учащихся в том, что площадь есть геометрическая величина, но и установить различие понятий «равенство», «равносоставленность», «равновеликость» площадей и взаимную СВЯЗЬ между этими понятиями.

В учебно-педагогической литературе нет определенного единства в освещении вопроса СРАВНЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ.

В существующих учебниках вопрос о сравнении площадей излагается по-разному. В одних учебниках он просто ОПИСЫВАЕТСЯ, в других изложение сопровождается ДОКАЗАТЕЛЬСТВАМИ. Кроме того, есть еще и такие учебники, в которых этот вопрос вовсе не излагается (к числу последних относится и стабильный учебник «Геометрия» Киселева).

Дальше в работе дается методика изложения вопроса о сравнении площадей фигур. Подчеркивается, что при сравнении должно быть взято не менее двух ФИГУР, двух многоугольников, которые могут быть ОДНОИМЕННЫМИ, а могут быть и РАЗНОИМЕННЫМИ.

В этой части изложения темы «Площади фигур» (за исключением простейших — треугольника и параллелограмма) сравнение площадей разноименных многоугольников пока еще не имеет места в учебно-педагогической литературе; в тех учебниках, где этот вопрос до некоторой степени освещается, он не охватывает раздел о превращениях равновеликих фигур. (Раздел о превращении фигуры в равновеликую ей обычно расположен после вопроса ИЗМЕРЕНИЯ площадей).

Для того, чтобы раздел сравнения площадей был методически построен более правильно, чтобы цели и задачи, стоящие перед ним, были выполнены и разрешены более четко и глубоко, предлагается вопросы сравнений площадей и превращений равновеликих фигур не разделять один от другого, а рассматривать в связи друг с другом, один вслед за другим.

Нужно изучение сравнения площадей в средней школе разбить на два этапа.

На первом этапе, кроме введения понятий равносоставленности и равновеликости фигур, установить:

1) что параллелограммы, имеющие равные основания и высоты, равновелики;

2) что площадь всякого треугольника есть половина площади параллелограмма;

3) что треугольники с общим основанием и равными высотами равновелики.

На втором этапе нужно сравнивать площади ПРОИЗВОЛЬНЫХ фигур, используя (при превращении прямолинейных фигур в иные фигуры, им равновеликие) прием, предложенный Извольским1 (на основании известного построения Эвклида).

Этот способ диссертант рекомендует сделать ОСНОВНЫМ.

При сравнении площадей учащиеся должны придти к выводу, что измерение площадей выполняется на основании сравнения площадей, когда одна из сравниваемых фигур ПРИНИМАЕТСЯ за единицу; что площадь фигуры — это ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕЛИЧИНА; что число получается после измерения этой геометрической величины; что число есть МЕРА ПЛОЩАДИ, а не площадь.

Изучение вопроса об измерении площадей в систематическом курсе средней школы в работе расчленяется на две части:

в первой части рассматривается соответствие между площадью и числом, причем соответствующее число называется МЕРОЙ ПЛОЩАДИ;

во вторую часть входит методика изложения теорем об изме рении площадей отдельных видов фигур.

Знакомство учащихся с вопросом о соответствии между площадью и числом рекомендуется начать с указания о соответствии числа более простой геометрической величине — отрезку; учащимся следует напомнить, что отрезкам соответствуют числа и что эти числа и есть ДЛИНЫ отрезков (меры отрезков); нужно напомнить, КАК получаются эти числа (имеется в виду конструктивный способ измерения отрезка; с аксиоматическим способом желательно познакомить учеников только в 10 классе при изучении объемов тел).

Базируясь на сравнении площадей, следует предложить ученикам одну из сравниваемых фигур принять за единицу измерения площадей. После введения единицы измерения — квадрата нужно напомнить учащимся из пропедевтического курса

1 Многоугольники превращаются в равновеликие им треугольники, каждый из которых преобразуется в равновеликий ему прямоугольник. Один из полученных прямоугольников принимается за основной, тогда остальные прямоугольники нужно превратить в прямоугольники с основаниями, равными данному, основному (на основании известного построения Эвклида). Из сравниваемых прямоугольников больше (или меньше) по площади те, высоты которых больше (или меньше).

геометрии, КАК подсчитывать единичные квадраты сетки, наложенной на измеряемую фигуру.

Затем следует обратить внимание учащихся на то, что данной площади соответствует ЧИСЛО единичных квадратов и что для данной площади это число — единственное и постоянное.

Надлежит показать (не доказать) учащимся, что число единичных квадратов, соответствующее площади, не зависит ни от положения накладываемой на площадь сетки, ни от положения фигуры.

Нужно проверить и вторую особенность площади. После этого можно придти к выводам:

1) Равные площади имеют равные МЕРЫ ПЛОЩАДЕЙ.

2) МЕРА ПЛОЩАДИ суммы нескольких площадей фигур равна сумме МЕР ПЛОЩАДЕЙ этих площадей фигур.

Далее при изложении вопроса об измерении площадей рекомендуется сообщить ученикам косвенные способы нахождения мер площадей, т. е. измерение площадей не путем накладывания сетки единичных квадратов, а посредством измерения некоторых ЛИНИЙ фигуры.

Центральная методическая идея, вокруг которой объединяется измерение площадей всех фигур, сохраняется та же самая, что и в пропедевтическом курсе геометрии; измерение площадей прямолинейных фигур приводится тем или иным перекраиванием одной фигуры в другую (чаще всего к треугольнику), а по существу сводится к измерению площади прямоугольника.

Измерение площади прямоугольника со сторонами, которые выражаются рациональными числами1, рассматривается в 8-м классе средней школы; случай, когда стороны выражаются иррациональными числами, целесообразнее рассматривать в 9-м классе после знакомства учащихся с системой совместных приближений, перед вычислением площади круга.

Порядок измерения площадей в систематическом курсе геометрии может быть сообщен учащимся в двух вариантах.

Один вариант: после измерения площади прямоугольника перейти к выводу формулы для измерения площади прямоугольного треугольника2, потом — произвольного треугольника, за-

1 Предлагается случай, когда стороны прямоугольника выражаются дробными числами, рассматривать и в общем виде.

2 Можно отметить два приема: 1) прямоугольник разбивается диагональю на два конгруентных треугольника; 2) произвольным перпендикуляром разбить прямоугольник на два новых прямоугольника, один из концов перпендикуляра соединить с вершинами противоположной стороны прямоугольника, нетрудно доказать — полученный треугольник составляет половину прямоугольника.

тем к выводу формул для измерения площади параллелограмма, ромба, трапеции и, наконец, многоугольника.

Другой вариант: после измерения площади прямоугольника перейти к выводу формулы для измерения площади параллелограмма, дальше — произвольного треугольника, а потом всех других фигур и многоугольника.

Выбрав одну из этих схем, преподаватель в конце этой темы должен сообщить и другую схему для систематизации теорем об измерении площадей прямолинейных фигур.

При доказательстве теорем об измерении площадей отдельных фигур необходимо опираться на две главные особенности величин-площадей (приведены примеры, как это проводить).

При сообщении материала об измерении площадей прямолинейных фигур рекомендуется не опускать следующее:

1) при измерении площади параллелограмма рассмотреть случай, когда основанием параллелограмма служит меньшая из его смежных сторон;

2) при измерении площади трапеции обратить внимание учащихся на то, что можно произвести это несколькими способами (после навыка в перекройке фигур, приобретенного учащимися при сравнении площадей, эти способы усвоятся ими быстро) ;

3) при выводе формулы для измерения площади трапеции желательно включить элементы исследования этой формулы, указав при этом на связь между формулами для измерения площадей трапеции, треугольника и параллелограмма;

4) при измерении площади многоугольника следует указать учащимся варианты способов вычисления такой площади (можно пять основных).

Предлагается следующий план изучения этой темы в 8-м классе средней школы:

1. Знакомство с понятием величины.

Определение площади. Конгруэнтные, равносоставленные и равновеликие фигуры.........1 урок.

2. Сравнение площадей и превращение равновеликих фигур ........... 3 урока

3. Измерение площадей (теоретическая часть) . 1 урок

4. Измерение площадей отдельных фигур и решение задач...........8 уроков

5. Контрольная работа........1 урок

Всего: 14 уроков1.

1 14 уроков на измерение площадей прямолинейных фигур в VIII классе предусмотрено программой по математике на 1953/54 г.

Для осуществления такого изложения этой темы в средней школе в III главе даны конспекты первых пяти уроков для преподавания измерения площадей прямолинейных фигур в VIII классе средней школы (по конспектам уроков проводились уроки в школах гор. Киева).

В III главе уделено внимание измерению площади круга при помощи системы совместных приближений (по приему И. Е. Шиманского), причем для установления соответствия между принятой системой и содержания изложения измерения площадей в 8-м классе и системой изложения измерения площади круга с помощью системы совместных приближений внесено изменение к определению площади круга. Кроме того, рассмотрен случай измерения площади прямоугольника, стороны которого выражены иррациональными числами, с помощью системы совместных приближений.

IV глава посвящена методике решения задач на измерение площадей в систематическом курсе геометрии.

В ней, прежде всего, подчеркивается, что решение задач в курсе геометрии средней школы является важным этапом в процессе обучения для основательного усвоения теоретических знаний, для приобретения практических навыков и применения этих приобретенных знаний и навыков к конкретным вопросам практической жизни.

В геометрии существуют методы и способы решения отдельных групп задач, принадлежащих к определенным отделам геометрии, но методики обучения этим методам решения задач еще нет. В работе также рассматривается вопрос о такой методике обучения решению задач, при которой подчеркивались бы характерные особенности не только геометрического материала (измерение площадей фигур в систематическом курсе геометрии), но и особенности процесса обучения решению задач по геометрии в данном классе средней школы.

Для углубленного усвоения темы измерения площадей в средней школе приводится примерная типизация и подбор задач на вычисление, доказательство и построение задач на измерение площадей, причем особое место отводится измерительным работам на местности.

При составлении своей системы в решении задач и установлении последовательности в способах и методах решения их на тему «Площади фигур» диссертант исходил из собственного педагогического опыта, а также из опыта работы других преподавателей средних школ.

О целесообразности такой точки зрения (нужна методика обучения методам и способам решения задач, а не

только эти одни методы и способы) можно судить по тому результату, который удалось получить автору в 1941 году — учащиеся школы № 8 гор. Комсомольска-на-Амуре после трехлетнего обучения их по такой системе в 8, 9 и 10 классах (при тщательной проверке и контроле краевой комиссии) по способам и методам решения задач заняли первое место в Хабаровском крае1.

Добавление

К диссертации даны такие приложения.

По конспектам уроков, разработанным автором, проводились уроки в школе № 7 (8-а и 8-6 классы, проводил преподаватель математики Козачинский Е. И.), в школе №33 и в школе № 145 (в классах 8-6 и 8-г Шишлянникова В. Н.).

Методика преподавания измерения площадей прямолинейных фигур с предложенным содержанием и с предложенной системой были проверены на 214 учащихся.

Приложение к диссертации содержит в себе 12 протоколов уроков в 8-м классе, данных по разработанной автором методике.

Уроки в 8-х классах были проведены со 2-го апреля 1951 г. по 30-ое апреля 1951 г. в школе № 7 (классы 8-а и 8-6) гор. Киева и в школе № 33 (классы 8-6 и 8-г).

Имеется два протокола уроков (конспекты уроков разработаны автором), проведенных по решению задач на площ.адь круга и его частей в 9-м классе (9-6 класс школы № 33 г. Киева) и протокол по решению задач на вычисление площадей фигур в 5-м классе (школы № 7 г. Киева, преподавательница— Радзивон Н. С).

В приложении, кроме того, даются отдельные работы учащихся школ № 7, № 33, № 51, № 145 г. Киева на измерение и сравнение площадей фигур.

Выводы

В результате работы сделано следующее:

I. Дан анализ определения понятия площади в учебно-педагогической литературе. Этот анализ показал, что из всех видов определения площади в систематическом курсе геометрии нужно отдать предпочтение определению понятия площади через понятие величины.

II. Дан критический анализ содержания и системы учебного расположения материала и методических приемов изложения

1 См. об этом журнал «Народный учитель», Хабаровского края, 1941, № 3, «О математической грамотности учащихся Хабаровского края» (авторы статьи — научные сотрудники Хабаровского Крайоно).

измерения площадей прямолинейных фигур в учебниках, где затрагиваются вопросы определения площади через понятие величины и сравнения площадей фигур.

III. С учетом этого анализа установлены содержание, система и методика преподавания измерения площадей прямолинейных фигур в систематическом курсе геометрии.

IV. Произведена проверка предложенной системы, содержания и методики преподавания измерения площадей прямолинейных фигур в систематическом курсе геометрии в VIII классах средней школы.

V. Проверкой установлено, что:

1) Ввести в школьную практику определение понятия площади через понятие величины вполне возможно и необходимо: учащиеся дают четкие осознанные ответы на предлагаемые вопросы, в то время как в классах, где опыт не проводился, учащиеся, определяя площадь фигуры по учебнику (Глаголева или Киселева), не могли объяснить смысл отдельных частей этих определений.

2) Выявление инвариантности площади относительно движения после примеров неинвариантности относительно движения некоторых физических величин вызывает у учащихся большой интерес к изучаемому.

3) Понятие равносоставленности фигур органически связано со 2-ой особенностью определения площади, в то время, как в классах, где опыт не проводился, понятие равносоставленности фигур давалось как определение, ни на что не опирающееся и ни откуда не вытекающее.

4) Сравнение площадей усваивается учащимися совершенно легко, при этом преобразование фигур в равновеликие фигуры воспринималось учащимися как неотделимая часть при сравнении площадей. В классах, где эксперимент не проводился, вопрос о преобразовании фигур ставился изолированно после измерения площадей. Главным же оказалось то, что учащиеся научились так «перекраивать» фигуры, что при прохождении измерения площадей тут же на уроке предлагали свои способы вывода формул измерения площадей отдельных фигур.

5) При изложении измерения площадей (теоретические сведения) ставился вопрос не только о том, как найти число единичных квадратов, имеющихся в данной площади данной фигуры, но еще и о том, что это число, соответствующее площади данной фигуры — единственно1 (т. е. было показано, что первая особенность площади, как величины, имеет место и для числа, измеряющего эту площадь).

1 Единственность числа, соответствующего площади фигуры, была учащимися показана (а не доказана).

Сообщалось также и то, что вторая особенность площадей имеет место для чисел, измеряющих площади.

При таком изложении теории измерения площадей в систематическом курсе геометрии учащиеся четко различали понятие величины (здесь площадь), которая подлежала изучению и измерению, и числа (мера площади), которое соответствовало этой величине. Расчленив эти понятия, учащиеся глубоко понимали связь между ними.

6) Такое принципиальное подчеркивание существенных сторон геометрии меры при изложении измерения площадей в систематическом курсе средней школы повышает активность учащихся при усвоении изучаемого материала.

Дальнейшее изучение измерения площадей (вывод формул, решение задач) прошло с большим интересом; этот интерес и внимание к изучаемому позволили учащимся значительно быстрее (по сравнению с параллельными классами, где этот опыт не проводился) усвоить дальнейший материал по программе.

7) Специальный подбор задач облегчил учащимся усвоение методов решения задач на сравнение площадей, преобразование фигур в фигуры равновеликие и измерение площадей фигур.

VI. Сделаны некоторые дополнения к методике преподавания темы «Площади фигур» в наглядном курсе геометрии.

VII. Для установления соответствия между принятой системой и содержанием изложения измерения площадей прямолинейных фигур в VIII классе и системой изложения измерения площади круга, предложенной доцентом Е. И. Шиманским в IX классе средней школы, внесено изменение: определение площади круга с помощью системы совместных приближений принимать только за алгорифм вычисления площади круга, считая, что определение площади круга, как всякой фигуры, имеется уже при изложении определения площади в VIII классе.

VIII. Разработан вопрос об обучении методам решения задач на измерение площадей фигур в систематическом курсе геометрии.

IX. Предложена система и приемы проведения землемерных работ (землемерные работы предусмотрены программой по математике, но указаний на объем и содержание их применительно к теме измерения площадей в ней не имеется) ; подобраны задачи, указана их последовательность и способы их выполнения.

Л 01513. Сдано в набор 8/II 1954 г. Подписано к печати 5/II 1954 г.

Объем 1 иеч. л. Тираж 100 экз. Заказ № 367.

Типография Министерства дорожного и транспортного хозяйства РСФСР.