АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

Научно-исследовательский институт методов обучения

Г. П. СЕННИКОВ

МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ В VI—VIII КЛАССАХ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации, представленной на соискание ученой степени кандидата педагогических наук по методике математики

Научный руководитель— ст. научный сотрудник института методов обучения АПН РСФСР кандидат педагогических наук

А. И. ФЕТИСОВ.

Москва -Горький 1953 г.

В эпоху дальнейшего развертывания строительства коммунизма советская общеобразовательная школа вступила в новый, весьма ответственный период своего развития.

Основные задачи этого периода определены известными директивами XIX съезда КПСС о школе.*) Огромная армия учителей, работников народного образования и деятелей педагогической науки с энтузиазмом приступила к выполнению исторических директив.

Особо ответственной задачей школы является осуществление политехнического обучения.

Политехническое обучение в школе строится, в соответствии с Постановлением ЦК партии от 5 сентября 1931 г., на основе систематического и прочного усвоения наук, особенно физики, химии и математики.

В связи с этим имеет большое значение разработка вопросов и разделов курса математики, имеющих прямое отношение к проблеме политехнического образования. Сюда относятся, в частности, геометрические построения.**)

Уровень изучения геометрических построений в школе остается низким. Геометрические задачи на построение, которые вместе с задачами на доказательство должны составлять основной материал для упражнений, зачастую игнорируются и заменяются более „удобными" задачами на вычисление.

Изучение обширной литературы, наблюдения за работой учителей и личный опыт автора позволяют сказать, что низкий уровень изучения геометрических построений в школе объясняется в основном двумя причинами:

во-первых, недостаточным знакомством значительной части учителей с теорией и практикой геометрических построений;

во-вторых, отсутствием четкой, основательно разработанной методики изучения геометрических построений в школе.

Исходя из сказанного автор и предпринял попытку создать методику обучения решению задач на построение в VI—VIII классах.

Таким образом, указанная проблема во всей ее широте выдвинута практикой работы школы.

Место поставленной проблемы в обще-методической проблематике геометрии определяется следующим.

*) См. директивы XIX съезда партии по пятому пятилетнему плану развития СССР на 1951—1955 г.г., раздел IV, п. 5.

**) Под геометрическими построениями понимают в основном задачи на построение.

Предметом советской методики геометрии является исследование таких четырех проблем: для чего учить (цель и задачи преподавания геометрии), чему учить (учебный предмет-геометрия и его содержание), как учить (преподавание и его приемы) и как учатся учащиеся (процесс учения).

Проблема обучения геометрическим построениям конкретизирует вторую и третью проблемы методики геометрии и, конечно, связана с остальными двумя.

Исследуемая проблема имеет прямое отношение к общим задачам педагогической науки, а именно к таким, как:

усовершенствование учебного плана в соответствии с требованиями научности, высокой идейности и доступности изучаемого материала, задачами политехнического обучения и подготовки учащихся к практической работе, а также достижения прочности и сознательности усвоения учебного материала учащимися;

методы обучения, предупреждающие неуспеваемость учащихся по геометрии и обеспечивающие повышение идейного уровня образования и качества подготовки учащихся к практической деятельности.*)

Сказанное определяет и актуальность поставленной проблемы.

Для реализации проблемы необходимо разработать теорию и методику проведения этапов анализа и исследования в решении задачи на построение, как наиболее трудных для учителя и учащихся.

Трудности в обучении анализу объясняются в основном двумя причинами:

а) так называемые методы решения задач на построение для анализа в школе используются мало, между тем они-то и являются средствами анализа;

б) в связи с этим недочетом оказывается, что учитель и учащиеся не имеют руководящей идеи в анализе, что вынуждает школьников запоминать „анализ" (вернее, „рецепт" решения, готовый план построения) и делает ученика беспомощным перед каждой новой задачей.

Не справляясь с анализом, учащиеся, естественно, не могут провести и исследования.

Эти соображения и личный опыт автора позволили выдвинуть следующую гипотезу, как возможный путь решения поставленной проблемы.

*) См. С. Г. Шаповаленко. К вопросу о предмете и методе исследования, Известия АПН, вып. 43, 1952, стр. 20.

Все методы решения задач на построение, имеющие отношение к школе, целесообразно рассматривать как единую систему средств аиализа.

Это объединение можно осуществить на основе идеи того из методов, который находит наибольшее применение в школе (метод геометрических мест). Идею этого метода можно сделать руководящей в анализе, единой для всех школьных задач.

Именно: мысль учащегося в анализе всякий раз надо направлять на решение трех вопросов: какие точки искомой фигуры решают построение и еще неизвестны (установление искомых точек)? Какими геометрическими свойствами обладают искомые точки? К каким геометрическим образам надо отнести искомые точки на основании этих свойств?

В тех случаях, когда выяснение свойств искомых точек невозможно без применения некоторого геометрического преобразования (или алгебры),—в употребление логически мотивированно войдет соответствующий метод решения задачи на построение—метод преобразования (или алгебры).

Все это позволит четко сформулировать план построения и выполнить самое построение.

Станет совершенно ясной и идея исследования: отыскание всех характерных случаев взаимного расположения геометрических образов, которым принадлежат искомые точки. Останется лишь отыскать принципы и приемы исследования, применимые в школе.

Такова в общих чертах гипотеза, положенная в основу разработки методики обучения решению задач на построение.

Методологическую основу исследования гипотезы составили основные положения диалектического материализма, учения И. П. Павлова и советской педагогики.

Для исследования выдвинутой гипотезы были применены следующие методы: наблюдение за ходом урока и работой учителя и учащихся, изучение ученических работ, беседа с учащимися и учителями и особенно—педагогический эксперимент (см. ниже).

Не претендуя на полноту изложения, автор стремился дать учителю как теоретические основы обучения геометрическим построениям, так и, главным образом, методику такого обучения.

При этом задачи на построение рассматриваются автором не как самоцель, а как средство достижения прочных и содержательных знаний по геометрии, как метод изучения отдельных вопросов курса.

Особо выясняется значение задач на построение для воспитания у учащихся диалектического способа мышления, в частности, для развития логического мышления.

В различных аспектах рассматривается роль геометрических построений в решении задачи политехнического обучения.

Результаты исследования поставленной проблемы изложены в диссертации, состоящей из введения и следующих шести глав:

Глава I. Геометрические построения, их значение и место в курсе геометрии VI—VIII классов.

Глава II. Этап анализа в решении задачи на построение.

Глава III. Построение и доказательство в решении задачи на построение.

Глава IV. Этап исследования в общей схеме решения задачи на построение.

Глава V. Методика обучения решению задач на построение в VI—VIII классах.

Глава VI. Результаты опытной проверки методики обучения решению задач на построение в VII классе.

К первому экземпляру диссертации приложена соответствующая документация по исследованию.

Теоретический и методический материал, накапливавшийся в ходе исследования, систематически доводился автором до учительской массы на „Педагогических чтениях"*), на страницах журнала „Математика в школе"**) и в специальных лекциях на курсах при Горьковском и Московском областных институтах усовершенствования учителей (за 1951 — 1953 г.г. охвачено около 380 слушателей).

ГЛАВА I

Геометрические построения, их значение и место в курсе геометрии VI—VIII классов.

Краткий обзор основных источников, главным образом, в отношении их методических достоинств, показывает, что в достаточной мере методические вопросы рассматриваются лишь в одном из современных руководств.***)

*) Весной 1951 г. на центральных .Педагогических чтениях" автор доложил результаты разработки теории и методики этапа исследования в задачах на построение. Доклад отмечен похвальной грамотой.

**) См „Математика в школе", 1952 г., № 2,

***) Д. И. Перепелкин. Геометрические построения в средней школе, M.—Л., 1947 г.

Существующий уровень постановки задач на построение в седьмых классах характеризуется автором на основании изучения ученических работ, полученных во время одного из выборочных обследований, регулярно проводимых Институтом методов обучения АПН. Обследованием (весна 1951 г.) было охвачено десять седьмых классов разных школ девяти различных областей РСФСР.

Способ получения материалов делает практически ничтожной вероятность влияния субъективных моментов на выводы, сделанные автором.

Изучение работ показало, что лишь 15,6 проц. учащихся обследованных классов справились с весьма несложными задачами (например, задача 1 варианта—построить треугольник по основанию, высоте на основание и углу, прилежащему к основанию). Анализ, доказательство и исследование не проведены ни одним из учащихся.

В § 3 главы излагаются некоторые общие положения. Определяются понятия „задача на построение", „решение задачи на построение" (с помощью циркуля и линейки).

Автор вводит новое понятие чертежа-задания как геометрического выражения условия задачи. Чертеж-задание выделяет из основных элементов плоскости (точек, прямых, окружностей) данные элементы. При этом возможны два случая:

1. Данные элементы не могут быть перемещаемы по плоскости (т. е. они определены по положению); тогда и требуемая задачей фигура должна занимать определенное положение на плоскости.

2. Данные элементы определены лишь по величине, но не определены по положению на плоскости; требуемая фигура тоже может занимать произвольное положение на плоскости.

В соответствии с этим существуют два вида задач на построение: задачи положения и метрические задачи.

Автор вводит далее понятие определяющих элементов фигуры. Так называются элементы, построение которых достаточно для построения фигуры. Например, определяющими элементами прямой являются две ее точки, а также точка и заданное направление. Определяющими элементами треугольника являются его вершины или три прямые, не пересекающиеся в одной точке и т. д.

Чертеж-задание разделяет все определяющие элементы на две категории: известные и неизвестные (искомые).

Отыскание искомых элементов и составляет суть решения всякой задачи на построение.

Далее характеризуется, как единый комплекс, общая схема решения задачи на построение.

Вводятся условные обозначения, в числе которых несколько новых символов для краткой записи анализа.

В § 4 выясняется значение и место геометрических построений в курсе геометрии VI—VIII классов в свете задач политехнического обучения.

Показывается, что геометрические построения представляют диалектическое единство глубокого теоретического содержания с широкими практическими приложениями.

Геометрические построения играют огромную роль в диалектическом процессе формирования абстрактных геометрических понятий, конкретизируя эти понятия. Поэтому геометрические построения являются одним из действенных средств для достижения сознательного и прочного усвоения геометрии. Отсюда вытекает также, что они представляют собой важный метод изучения геометрии.

К вопросу, рассматриваемому в § 4, автор возвращается в III главе (см.).

В последнем параграфе I главы характеризуются общие основы методики обучения решению задач на построение.

ГЛАВА II

Этап анализа в решении задачи на построение.

В первом разделе дается общая характеристика анализа как метода научного исследования, определяются основные вопросы анализа в решении задачи на построение, выясняется,, как эти вопросы решены в литературе.

Анализ есть метод исследования, состоящий в расчленении целого на составные элементы. Но точно так же, как в действительности развитие материального мира состоит столько же в разложении, разъединении предметов на части, сколько и в их объединении в целое, так и мышление в процессе познания не может ограничиться одним анализом. Мышлению в одинаковой степени присущ и синтез.

Диалектическое единство анализа и синтеза впервые доказано классиками марксизма-ленинизма. Передовое естествознание подтверждает закон об единстве анализа и синтеза. И. П. Павлов указывал, что „в действительности анализаторная и синтезирующая работа нервной системы постоянно встречаются и переплетаются между собой".*)

*) И. П. Павлов. Полное собрание трудов, АН СССР, 1947 г., т. 4, стр. 102.

В оценке значения анализа и синтеза следует исходить из указания Энгельса, который, решая спор о том, что является непогрешимым методом, индукция или дедукция, писал: „Вместо того, чтобы односторонне превозносить одну из них до небес за счет другой, надо стараться применять каждую на своем месте, а этого можно добиться лишь в том случае, если не упускать из виду их связь между собой, их взаимное дополнение друг друга".*)

Используя анализ и синтез для исследования вопроса, необходимо применять каждый из этих методов на своем месте, никогда не забывая об их диалектическом единстве. Всякий действительный анализ сопровождается синтезом, переходит в синтез и завершается им. С другой стороны, синтез готовит почву, основу для продолжения анализа на более высоком уровне.

Сказанное позволяет решить вопрос о соотношении анализа и синтеза в решении задачи на построение.

Мнение, что будто бы есть задачи, которые решаются „одним построением",—в корне ошибочно и для школы неприемлемо.

Конечно, центральным вопросом задачи является построение**) требуемой фигуры. Но прежде, чем строить фигуру, надо знать, как ее строить, надо иметь план построения.

Построение есть синтез, но именно поэтому должен быть и предшествующий ему анализ. Кажущееся отсутствие анализа в некоторых задачах объясняется либо тем, что анализ в них протекает весьма быстро, „незаметно", вследствие наличия у решающего задачу богатого опыта, либо тем, что по ошибке не признается за анализ выбор и оценка известных геометрических фактов, обобщением которых является построение.

Теоретическую и методическую ценность представляет вся схема решения задач на построение в целом, ибо она диалектически соединяет анализ и синтез, логическое и конструктивное и является поэтому, как отмечает проф. Н. Ф. Четверухин, „прекрасной школой исследования в решении проблем в области точных наук".

Известно, однако, что наибольшие трудности в решении задач на построение связаны с проведением этапа анализа, а также исследования. Единственно в силу такого обстоятельства в диссертации более подробно рассматриваются именно эти два этапа.

*) Ф. Энгельс. Диалектика природы, Госполитиздат, 1952 г., стр. 181.

**) Вообще говоря, не обязательно выполненное действительными инструментами.

Автор выдвигает следующие три вопроса, без решения которых невозможна разработка теорий и методики анализа в задачах на построение:

а) указание цели анализа;

б) определение руководящей идеи и принципа анализа;

в) указание основных моментов анализа.

Изучение литературы показывает, что эти вопросы еще далеко не решены.

Ряд авторов стоит на позициях полного или частичного отказа от анализа (В. Фурсенко, А. Дрокин и др.), другие подменяют анализ синтезом, излагая под заголовком „анализ" план построения (А. Киселев, Н. Глаголев, И. Мисюркеев и многие др.), третьи навязывают читателю мысль, что анализ в задачах на построение есть что-то произвольное, не поддающееся контролю даже „для умов наиболее проницательных" (И. Александров, Г. Рябков, К. Рашевский).

Наконец, имеются авторы, выдвигающие некоторые принципы анализа. Среди них—Е. Семенов, предлагающий отыскивать фигуру по ее „элементам жесткости".*) Эта идея — верна, хотя она и не является геометрической в полном смысле.

Вопросами анализа (и только анализа) в задачах на построение занимается также Олифер Г.**)

Олифер вводит принцип отыскания „вспомогательного треугольника", у которого возможно большее число вершин совпадает с вершинами искомого многоугольника. При этом делается попытка доказать возможность „установления общих для всего класса задач методических принципов, независящих от основных методов геометрических построений" (стр. 125, подчеркнуто нами.— Г. С).

Такие попытки создать „сверхметоды", минуя выработанные теорией и практикой геометрических построений методы решения задач на построение, ненаучны и наносят вред школе.

Еще Адлер указывал, что методы геометрических построений являются средствами анализа, наполняют этот этап содержанием. В своей известной книге***) А. Адлер писал об этапе анализа: „Предполагают искомую фигуру уже известной и с помощью методов (подчеркнуто нами.—Г. С), к рассмотре-

*) Е. М. Семенов. К вопросу о проведении анализа в задачах на построение в курсе геометрии 6-го и 7-го классов, Материалы VIII научно-методической конференции математических кафедр пединститутов Урала, Молотов, 1951 г.

**) Г. М. Олифер. К вопросам о методике обучения решению геометрических задач на построение, Материалы первой научно-практической конференции преподавателей математики Ставропольского края, Ставрополь, 1952 г. (см. также „Математика в школе", 1952, № 2).

***) А. Адлер. Теория геометрических построений, Л., 1940 г., стр. 13.

нию которых мы сейчас приступим, изучают фигуру до тех пор, пока не станет ясным тот путь, по которому задача может быть решена предложенными средствами решения".

В следующем разделе II главы излагаются основные методы решения задач на построение. Рассматриваемые методы составляют единую систему средств анализа, объединяясь вокруг идеи метода геометрических мест.

В третьем разделе II главы решаются поставленные выше вопросы анализа. Дается обоснование того, что руководящей в анализе может быть идея метода геометрических мест.

Руководствуясь этой идеей, анализ в задаче на построение можно всякий раз проводить следующим образом.

Установив определяющие элементы фигуры, которую требуется построить, указав среди них искомые элементы, стараются выяснить геометрические свойства этих элементов. Соответственно свойствам искомые элементы относятся к тем или иным геометрическим местам, общие точки последних (если такие точки имеются) могут дать (но могут и не дать) искомые элементы.

В этом заключается применение метода геометрических мест.

Однако часто свойства искомых элементов невозможно установить по первоначальному чертежу-наброску.*) В таком случае применяется то или иное геометрическое преобразование, т. е. для решения употребляется соответствующий „метод преобразований", до конца реализующий идею метода геометрических мест. С этой же целью может быть применен и алгебраический метод.

Таким образом, основным принципом анализа является принцип установления искомых элементов требуемой фигуры и отыскания этих элементов по их геометрическим свойствам.

Следование идее геометрического места обеспечивает выполнение т. н. „принципа полноты" анализа, который гласит, что правильно проведенный анализ должен гарантировать отыскание всех решений задачи, какие она имеет.

ГЛАВА III

Построение и доказательство в решении задачи на построение.

Осуществление этапов построения и доказательства обычно не вызывает затруднений у учителей. Поэтому в главе рассматриваются лишь некоторые вопросы, относящиеся к тому и другому этапу.

*) Чертеж для анализа.

Сюда в первую очередь надо отнести основной вопрос методологии геометрических построений—отношение теории геометрических построений к практике.

Основное направление развития конструктивной геометрии определяется практикой.- Это видно хотя бы из тех проблем, которые решает данная наука за последнее столетие: проблема „мощности" чертежных инструментов (Г. Мор, Л. Маскерони, Я. Штейнер), проблема точности построений (X. Винер), геометрографическая проблема (Е. Лемуан), проблема геометрических построений на ограниченной части плоскости и т. п.

В свою очередь, теория геометрических построений обслуживает практику, в частности, дает обоснование чертежной практике.

Однако основная практическая ценность геометрических построений заключается в том, что при их помощи достигается материальная реализация абстрактных геометрических образов.*)

В § 2 главы этап построения рассматривается в свете задачи политехнического обучения. Основная мысль, которая здесь проводится, заключается в том, что, обучая построениям при решении конструктивных задач, учитель геометрии в содружестве с учителем черчения должен стремиться к повышению графической культуры учащихся.

Кратко рассматриваются вопросы, относящиеся к третьему этапу—доказательству.

Логическое содержание этого этапа состоит, как указывает Д. И. Перепелкин, в доказательстве следующего предложения: если некоторая фигура получена из данных элементов таким-то и таким-то построением, то она действительно удовлетворяет поставленным условиям.

Необходимость в доказательстве такого предложения следует из того, что решение всякой задачи на построение может быть проведено не одним способом. Однако, практически такая необходимость возникает лишь тогда, когда планом построения непосредственно не отражена некоторая часть условия задачи. Чаще всего это бывает при решении задач методами преобразований или алгебры.

Тем не менее, из педагогических соображений доказательство в задачах на построение пропускать не рекомендуется.

*) См. Н. Ф. Четверухин. Вопросы методологии и методики геометрических построений в школьном курсе геометрии, Известия АПН, вып. 6, 1946 г.

ГЛАВА IV

Этап исследования в общей схеме решения задачи на построение.

Этап исследования в решении задачи на построение завершает решение, обеспечивает его полноту, выясняет все его случаи.

Проведение исследования в задачах на построение имеет и большое образовательное значение. „В задачах более сложных „исследование44 затрагивает иногда настолько тонкие вопросы и требует такой математической строгости в рассуждении, что становится для учащихся как бы первым подходом к научному изучению математических проблем".*)

В процессе исследования вскрываются наиболее глубокие взаимосвязи заданных элементов, их взаимная обусловленность. Здесь полностью нарушается статичность, проявляется мощное влияние движения, изменения элементов, на окончательный результат решения.

Это показывает, что исследование в задачах на построение есть одно из средств воспитания у учащихся диалектического способа мышления.

Основными вопросами исследования в конструктивных задачах являются:

а) определение цели исследования;

б) выяснение идеи и принципов исследования;

в) указание основных моментов исследования.

Эти вопросы в литературе по существу не решены.

Главная причина затруднений в исследовании состоит в том, что не учитывается органическая связь этого этапа и этапа анализа.

Идея исследования должна вытекать из идеи анализа.

Целью исследования является установление для данных элементов соотношений или взаимных положений, при которых (разрешимая указанными средствами) задача: а) не имеет решений, б) имеет конечное множество (и сколько именно) решений, в) имеет бесконечное множество решений.

Идея исследования состоит в установлении всех характерных, отвечающих задаче, случаев взаимного расположения двух геометрических образов, которым принадлежит искомый элемент.

В работе выдвигается первый принцип исследования—принцип варьирования данных.

*) Н. Ф. Четверухин. Методы геометрических построений, М., 1952 г., стр. 3.

Для задач метрических изменяются размеры одного из данных элементов (должным образом выбранного) и графически, на чертеже выясняются все характерные случаи взаимного расположения интересующих нас геометрических образов. Изменяемый элемент получает название параметра исследования.

При этом существенным является установление границ изменения параметра, для чего путём испытаний, на чертеже, выясняются критические значения параметра, переход через которые ведет к новому случаю в решении. Эти критические значения параметра устанавливаются с помощью некоторых элементов чертежа для исследования, которые автор называет критическими элементами исследования.

Сказанное поясняется здесь чертежом № 1, на котором изображается исследование задачи: построить треугольник по двум сторонам а и в и углу, противолежащему стороне в.

Здесь в—параметр, его критические значения устанавливаются с помощью отрезков CK и ВС. Это — критические элементы (в данном случае— отрезки). Пять существенно различных случаев в изменении параметра определяются неравенствами:

1) в < CK; 2) в = CK; 3)'СК < в < ВС; 4) в= ВС; 5) ВС < в.

При другом варианте решения этой задачи (т. е., прежде всего, при другом варианте анализа) параметром может стать отрезок а. Соответственно, будут иными и критические элементы.

В некоторых задачах параметрами (а очевидно и критическими элементами) являются углы.

В задачах положения, чтобы не вводить усложнений, принцип варьирования данных понимается в смысле варьирования чертежа-задания, когда меняется взаимное расположение данных фигур, с помощью чего и устанавливаются все харак-

терные случаи взаимного расположения геометрических мест,, содержащих искомые точки.

Вторым принципом исследования является принцип подсчета числа решений.

В задачах положения всякие две фигуры считаются различными решениями, если они нетождественны и удовлетворяют требованию задачи.*)

В этом месте точка зрения автора совпадает с высказанными в некоторых источниках замечаниями в отношении задач положения (Д. И. Перепелкин, А. И. Фетисов, А. В. Дрокин).

Что же касается метрических задач, то здесь вводится новый принцип, который, по мнению автора, более полно отвечает и геометрической теории и практике.

В метрических задачах искомая фигура неопределена по положению на плоскости, т. е. может мыслиться перемещаемой по плоскости. Очевидно, что фигура, отвечающая условию задачи, будет новым решением только в том случае, если она при таком перемещении не совмещается ни с одной из ранее построенных фигур.

Точнее говоря, две фигуры считаются различными решениями, если не существует движения I рода, переводящего одну из этих фигур в другую.

Таким образом, здесь различными решениями оказываются и равные, но противоположно ориентированные (зеркально-равные) фигуры, например, являющиеся взаимным отражением от прямой (если фигуры не имеют осей симметрии).

В случае, когда взаимно отраженные от прямой фигуры имеют хотя бы по одной оси симметрии, они, по определению симметрии, допускают переориентацию, т. е. могут рассматриваться собственно-равными, а потому при перемещении в плоскости совместимы и означают одно решение.

ГЛАВА V

Методика обучения решению задач на построение в VI—VIII классах.

Главы II—IV являются, по существу, развитием гипотезы, выдвинутой автором в начале исследования.

В опыте, осуществленном автором, удалось уточнить основные черты методики обучения решению задач на построение в основном по VII классу. Методика по VI и VIII классам сложилась в результате содружества автора с учителями школы № 13 (г. Горький) А. П. Мишиной и Е. С. Никольской, с учётом передового опыта, изложенного в литературе.

*) Это правило распространяется и на случай, когда решением является точка.

Глава V составляет более одной трети диссертации. О содержании главы можно судить по следующему перечню ее разделов и параграфов.

Раздел 1. Обучение решению задач на построение в VI классе.

§ 1. Элементарные построения и элементарные задачи.

§ 2. Основные построения.

§ 3. Изучение геометрических мест.

§ 4. Задачи на построение в VI классе. Обучение анализу и графическому приёму исследования.

§ 5. Некоторые замечания по методике работы с классом

Раздел 2. Обучение решению задач на построение в VII классе.

§ 6. Примерное распределение геометрических построений по разделам и темам курса геометрии VII класса.

§ 7. Обучение анализу задач на построение в VII классе.

§ 8. Обучение исследованию в задачах на построение в VII классе.

§ 9. Методический разбор задач на построение для VII класса.

Раздел 3. Задачи на построение для кружков VI и VII классов.

§ 10. Примерный перечень задач для кружка VI класса.

§11. Задачи для кружка VII класса.

Раздел 4. Решение задач на построение в курсе геометрии восьмого класса.

§ 12. Решение задач методом подобия.

§ 13. Решение задач алгебраическим методом.

§ 14. Задачи для кружковой работы в VIII классе.

Раздел 5. О связи задач на построение и практических работ на местности в курсе геометрии VI—VII классов.

Точка зрения автора в отношении принципиальных вопросов методики геометрических построений видна из следующих пояснений к приведенному перечню.

Первоначально в обиход VI класса входит построение и элемент исследования. Начиная с основных построений*) вводится элемент анализа и доказательства. Восемь—десять задач на построение треугольников по основным элементам составляют весь объем метрических задач для VI класса, эти задачи решаются с анализом. Восемь—десять несложных задач положения служат цели закрепления понятия геометрического ме-

*) Автор ограничивает список основных построений семью задачами включая построение прямой, параллельной данной и проходящей через данную точку.

ста. Всего вместе с основными построениями в VI классе (на уроках и дома) решается не более 25—30 задач, не считая элементарных построений и элементарных задач (построение суммы, разности отрезков и т. п.).

На этом минимуме необходимо к концу VI класса научить школьников решению несложных задач по полной схеме (исключая подсчет числа решений в метрических задачах). Отсюда ясно, что геометрические построения, начиная с основных,, должны сопровождаться анализом, учить которому надо исподволь, постепенно.

Изучение геометрических мест становится первостепенной задачей, т. к. при обучении анализу используется описанная выше руководящая идея—идея метода геометрических мест.

Определение геометрического места вводится после длительной предварительной подготовки. Затем следует закрепление понятия путем решения задач на построение.

При обучении исследованию шестиклассники знакомятся лишь с графическим приемом, устанавливая факт отсутствия или наличия решений, без их подсчета (в метрических задачах).

Термины „анализ", „построение", „доказательство", „исследование" вводятся постепенно, полная схема появляется лишь в конце года.

В седьмом классе объем геометрических построений резко увеличивается, однако в разработке методики автор исходит из минимума геометрических построений. В VII классе за год, в порядке классной и домашней работы, учащиеся решат лишь 45—50 задач, включая указанные в программе.

Большое внимание в VII классе уделяется изучению геометрических мест.

Анализ проводится по известной учащимся идее. Автор рекомендует проверенную на опыте краткую запись анализа при помощи наглядной, легко запоминающейся символики.

Рассуждения, которые проводятся при решении задач на построение еще с VI класса, обобщаются в метод геометрических мест лишь в III четверти в VII классе.

Учащиеся знакомятся с методом параллельного переноса и т. н. „спрямлением", и, таким образом, выясняется, что „чистый" метод геометрических мест не всегда приводит к цели.

Этап исследования осваивается в VII классе почти полностью (исключая аналитическое выражение его результатов). С принципом подсчета числа решений в метрических задачах ученики знакомятся на опыте, проверяя совместимость или несовместимость построенных фигур при помощи модели одной из них, перемещаемой в плоскости чертежа.

В V главе подробно разобрано свыше 100 задач на построение.

ГЛАВА VI

Результаты опытной проверки методики обучения решению задач на построение в VII классе.

Педагогический эксперимент был осуществлен в двух видах.

Во-первых,—созидающий педагогический эксперимент, осуществлявшийся автором в качестве учителя математики в VII классе женской школы № 13 г. Горького в 1951—1952 учебном году. В ходе этого эксперимента создавался новый опыт, формировалась гипотеза, создавались и проверялись основные моменты методики. Эта работа проводилась при участии учителей указанной школы Е. С. Никольской и А. П. Мишиной.

Во-вторых, был организован классный обучающий эксперимент как повторная проверка разработанной методики. Эта часть исследования проводилась весной 1953 года в VII классах „Г" и »Б" мужской школы № 310 Куйбышевского района Москвы. В работе принимала участие учитель математики в этих классах Н. П. Цесарцева.

Уже в итоге работы автора в VII классе А школы № 13 удалось выяснить, что разрабатываемая методика обеспечивает прочные знания и навыки в решении задач на построение.

Спустя 8 месяцев после того, как ученицы VIII класса А (бывшего VII А) прекратили систематическое решение задач на построение, в декабре 1952 года в восьмых классах А и Д (контрольный класс) была проведена контрольная работа*) по решению-такой задачи: построить треугольник по основанию, высоте на основание и углу, прилежащему к основанию.

Результаты контрольной работы следующие:

VIII кл. А (эксперим.)

VIII кл. Д (контр.)

Соответств. данные по материалам ИМО

(В процентах)

1. Фактически не приступили к решению . . .

23,5

39,7

2. Неполностью оформили чертеж-задание ....

13,9

17,6

81

*) Оба класса с осени 1952 г. повела опытная учительница математики Е. С. Никольская. К моменту проведения контрольной работы оба класса имели примерно одинаковую подготовку.

VIII кл. А (эксперим.)

VIII кл. Д (контр.)

Соответств. данные по материалам ИМО

3. Не имеют чертежа-наброска ........

6

67

4. Провели анализ . . .

77,8

0

0

5. Правильно выполнили построение ......

80,6

15,4

20,9

6. Провели доказательство

79,3

7,7

0

7. Провели исследование .

80,6

3,8

0

Из таблицы видно, что подавляющее большинство учащихся экспериментального класса решило задачу по полной схеме, с чем далеко не справились ученицы VIII Д, обучавшиеся решению задач на построение традиционно.

В марте—апреле 1953 года автор провел в VII классе Г московской школы № 310 шесть уроков по решению задач на построение (в соответствии с планом учителя). В VII классе Б задачи на построение решались учителем по традиционной методике.

Контрольная работа была проведена в конце апреля 1953 года по той же задаче, которая предлагалась горьковским ученицам и учащимся школ, обследованных сотрудниками Института методов обучения.

Результаты работы видны из следующей таблицы:

VII класс Г (эксперим.)

VII класс Б (контр.)

Соответств. данные по материалам ИМО

1. Фактически приступили к решению......

2. Неполностью оформили чертеж-задание ....

100

3,7

100

60,3 81

VII класс Г (эксперим.)

VII класс Б (контр.)

Соответствен, данные по материалам ИМО

3.

Не имеют чертежа наброска .......

67

4.

Провели анализ ....

85,2

13,2

0

5.

Правильно выполнили построение ......

100

81,5

20,9

6.

Провели доказательство

92,6

63

0

7.

Провели исследование .

96,3

21

0

Совершенно очевидно, что ученики VII Г в подавляющем большинстве овладели всей схемой решения задачи. Они хорошо решали задачи на построение и во время переводных экзаменов по геометрии, чего далеко нельзя было сказать про учащихся VII кл. Б.

Выводы.

В результате исследования поставленной проблемы автор приходит к следующим выводам:

1) Подчинение процесса решения задач на построение в школе одной общей идее вполне возможно и целесообразно.

2) Такую общую идею, глубокую по смыслу и плодотворную по содержанию, дает метод геометрических мест. Вокруг идеи метода геометрических мест могут быть объединены в единую систему средств анализа остальные методы решения задач на построение, применяющиеся в школе.

3) Решение задач на построение по полной схеме вполне возможно, начиная с VII класса.

4) Разработанная в результате исследования методика обучения решению задач на построение, как показала проверка, является достаточно эффективной.

МЦ 05276. Типография Горькоблисполкома. Зак. 1065. Тир. 100.