АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ МЕТОДОВ ОБУЧЕНИЯ

На правах рукописи

А. Д. СЕМУШИН

ПОСТРОЕНИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ В КУРСЕ СТЕРЕОМЕТРИИ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

АВТОРЕФЕРАТ ДИССЕРТАЦИИ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ КАНДИДАТА ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК ПО МЕТОДИКЕ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

Научный руководитель действительный член АПН РСФСР, доктор физико-математических наук, профессор Н. Ф. ЧЕТВЕРУХИН

МОСКВА — 1955

I. ЗНАЧЕНИЕ И СОСТОЯНИЕ ОБУЧЕНИЯ ПОСТРОЕНИЮ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Значение обучения построению изображений. Почти в каждой области человеческой деятельности приходится прибегать к выполнению изображений вещей материального мира и их различных образов. Для нас, советских людей, роль хорошо развитых навыков в построении изображений возрастает в связи с бурным развитием науки, социалистической промышленности, сельского хозяйства.

1) Чертеж-изображение давно стал неотъемлемой частью организации производственного процесса. Для инженера и техника, архитектора и строителя, конструктора и изобретателя, для широких слоев рабочих умения и навыки в выполнении и понимании изображений стали необходимой принадлежностью их специальности, средством исполнения повседневных обязанностей, осущестления их творческих замыслов.

Вместе с тем необходимость обучения учащихся построению изображений не ограничивается только удовлетворением потребностей производственной практики.

2) Хорошие навыки в построении изображений геометрических тел необходимы для успешного изучения курса стереометрии.

3) Обучение построению изображений играет важную роль для пополнения запаса пространственных представлений учащихся, для развития их пространственного воображения.

4) Обучение учащихся построению изображений в средней школе необходимо для успешного продолжения образования в высшей школе.

5) Важное значение имеет обучение построению изображений для установления связи в преподавании геометрии и черчения. На отсутствие такой связи, как на один из существенных недостатков работы школы, указывалось еще в постановлении ЦК ВКП (б) от 25 августа 1932 года.

Из изложенного выше видно, что обучение построению изображений в средней школе имеет важное значение в деле осуществления политехнического обучения.

Состояние обучения построению изображений. Основная масса людей в нашей стране получает знания о

построении и применении изображений через среднюю школу. Роль школы в этом вопросе поэтому трудно переоценить. Однако в этой области школьного преподавания наблюдается серьезное неблагополучие.

Обучению учащихся построению изображений не уделяется достаточного внимания. С приемами построения изображений учащиеся знакомятся от случая к случаю. Эта работа чаще всего не планируется учителем, хотя на построение изображений затрачивается значительная часть учебного времени.

Как в школьной практике, так и в учебно-методической литературе мирятся с ошибками, допускаемыми в изображении геометрических тел. Большое число ошибок в изображении шара и реже в изображении многогранников содержит почти вся учебно-методическая литература.

В методике не найдены еще пути преодоления недочетов, имеющих место в этой области преподавания. Не решен еще вопрос, на какой из известных принципиальных основ должно быть построено обучение учащихся построению изображений.

В течение последних 50—60 лет широко разрабатывались и используются в школьной практике по настоящее время различные варианты построения изображений в кабинетной и в других частного вида параллельных проекциях. Традиционная методика сложилась в систему с подчеркнуто рецептурным характером обучения учащихся. Ее несоответствие задачам школьного курса математики начинает признаваться широкими слоями учителей.

Впервые проблема простроеия изображений в условиях педагогического процесса была определена в работах проф. Н. Ф. Четверухина. С исчерпывающей полнотой это было сделано в книге «Чертежи пространственных фигур в курсе геометрии», опубликованной в 1946 г.

Вместе с тем необходимо иметь в виду, что книга «Чертежи пространственных фигур в курсе геометрии» написана не непосредственно для школы, в ней не только не решена, но даже и не ставилась задача о разработке методики обучения построению изображений. В этой книге решена проблема построения изображений в условиях педагогического процесса вообще. Последняя же проблема значительно шире, чем проблема построения изображений в средней школе. Это обстоятельство создало серьезные затруднения для применения идей проф. Н. Ф. Четверухина в средней школе.

Несмотря на отмеченные трудности, новый подход к построению изображений вызвал живой интерес в учительской среде. За короткое время вышел ряд работ, в которых наметились пути применения идей проф. Н. Ф. Четверухина в школьном курсе геометрии, и эти идеи стали проникать в школу. Однако новая методика не сложилась еще в систему, не найдены пути ознакомления учащихся с ос-

новными принципами нового подхода к построению изображений.

Приведенные выше соображения указывают на настоятельную необходимость разработки теории и практики построения изображений в средней школе. С этой целью написана настоящая диссертация, состоящая из шести глав и библиографии.

Глава I. Вводная глава.

Глава II. Построение изображений в параллельной проекции.

Глава III. Полнота и метрическая определенность изображения.

Глава IV. Построение изображений в ортогональной проекции.

Глава V. Основные этапы обучения построению и применению изображений в школьном курсе математики.

Глава VI. Опытная проверка основных положений диссертации.

Общие выводы.

Библиография.

II. ЗАДАЧИ И СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ

Основная задача исследования заключалась в том, чтобы, используя накопившийся опыт, разработать систему, содержание и методику обучения учащихся построению и применению изображений в курсе геометрии IX—X классов.

Для решения этой задачи потребовалось решить ряд частных вспомогательных задач. Наиболее важными из них являются следующие:

1) Изучить состояние обучения учащихся построению изображений в русской дореволюционной и советской средней школе.

Результаты этого изучения изложены в «Очерке о состоянии обучения построению изображений в средней школе» (гл. I, § 2).

2) Выявить возможность достаточно строгого изложения вопросов, относящихся к построению изображений в произвольной параллельной и, в частности, произвольной ортогональной проекции, на основе школьного курса геометрии.

Решение этой задачи, послужившей основой всей диссертации, было найдено, однако изложение его представлено в диссертации не в отдельном виде, а вместе с освещением решения задач 3 и 4.

3) Установить возможность изложения вопросов, относящихся к обучению учащихся построению изображений, на основе школьного курса геометрии и одновременно с изучением этого курса.

4) Разработать методику обучения учащихся построению изображений.

Решению двух последних задач посвящены главы II, III, IV и V.

5) Выявить практическую возможность осуществления в рамках школьного курса геометрии VIII—X классов намеченного в диссертации плана обучения построению и применению изображений.

Освещение решения последней задачи излагается в гл. V и VI. Таким образом в главах II, III и IV представлено систематиче-

ское изложение вопросов теории и практики построения изображений в средней школе. В этих главах в целом определилась система, содержание и методика обучения учащихся построению изображений. Содержание этого материала может и должно быть доведено до каждого учащегося. Что же касается системы изложения материала и методики обучения учащихся, то в этой части возможны, а в ряде случаев и необходимы отклонения от системы и методики, освещенных в главах II, III и IV.

Один из вариантов распределения материала, подлежащего изучению в школе, представлен в V главе. В этой главе рассматриваются также самые важные вопросы методики изложения материала на наиболее ответственных этапах обучения учащихся построению и применению изображений.

Рассмотрим принципы, положенные в диссертации в основу обучения учащихся построению и применению изображений.

III. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ, ПОЛОЖЕННЫЕ В ОСНОВУ ОБУЧЕНИЯ ПОСТРОЕНИЮ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Разработка поставленной проблемы строилась так, чтобы возможно полнее содействовать решению общих задач, стоящих перед преподаванием геометрии в средней школе. Из всех возможных подходов к решению как общих, так и частных задач выбирался тот, который наилучшим образом содействует развитию пространственного воображения учащихся, их логического мышления, созданию у учащихся умений применения полученных знаний к решению практических задач.

1) Развитие пространственного воображения у учащихся представляет одну из самых трудных задач в курсе математики средней школы. Учителя постоянно жалуются на плохое развитие пространственного воображения учащихся, приступающих к изучению стереометрии. В то же время для преодоления этой трудности в школе не используется в достаточной мере такое сильное и активное средство воспитания пространственного воображения, как обучение построению изображений. В диссертации выдвигается конкретный план проведения работы по пополнению запаса пространственных представлений и развитию пространственного воображения учащихся.

Работа по развитию пространственного воображения становится возможной на базе достаточного запаса пространственных представлений. В диссертации серьезное внимание уделяется созданию у учащихся такого запаса представлений путем непосредственного знакомства с различными материальными реализациями изучаемых геометрических образов.

Для наиболее полного достижения последней цели в ходе работы над диссертацией было создано семь новых наглядных пособий,

а также найдено новое применение ряда наглядных пособий из обязательного комплекта наглядных пособий школьного математического кабинета.

Работе по развитию пространственного воображения содействует постоянно поддерживаемая связь между оригиналом и изображением. В диссертации указывается на широкие возможности и настоятельную необходимость постоянного обращения к различным материальным реализациям изображений, используемых при изучении стереометрии.

2) Обучение построению изображений строится так, чтобы возможно успешнее содействовать развитию логического мышления учащихся. Этому требованию не отвечает, например, рецептурный подход ознакомления учащихся с приемами построения изображений, широко распространенный в школе до настоящего времени. Такой подход обременяет память учащихся, нередко приводит к неосознаваемым учащимися ошибкам, не развивает их мышление. Это несовместимо с задачами советской школы вообще и задачами политехнического обучения в частности.

Вопросы обоснования практики построения изображений в диссертации решаются по-разному.

Часть предложений, относящихся к обоснованию построения изображений, рекомендуется доказывать и требовать от учащихся не только усвоения содержания изучаемого материала, но и проводимых доказательств. К таким предложениям относятся, например, свойства проекций, некоторые свойства изображений (первая теорема существования1, некоторые свойства ортогональных проекций.

Другая часть материала излагается учителем без последующего повторения содержащихся в ней доказательств учащимися. При таком подходе к изложению материала главное внимание обращается на раскрытие содержания и на убеждение учащихся в истинности высказываемых утверждений. В школе, как и в вузе, должен быть определен круг такого материала. В диссертации на примере обучения построению изображений осуществляется первая попытка в этом направлении.

Незначительную часть материала предполагается вводить без доказательств (вторая теорема существования — теорема Польке-Шварца; доказательство существования осей эллипса и др.). Однако и в этих случаях серьезное внимание уделяется отысканию средств убеждения учащихся в истинности высказываемых утверждений.

3) Наконец, обязательным условием при разработке вопросов, относящихся к обоснованию изображений, было доведение

1 См. стр. 7.

каждого положения до применения к решению практических задач. Материал, который не мог быть использован для этой цели, не рассматривался в диссертации.

IV. ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ

В диссертации излагается построение изображений в произвольной параллельной проекции. При таком подходе к построению изображений наперед не фиксируются ни направление проектирования, ни размеры проектируемого оригинала, ни его положение относительно картинной плоскости (плоскости проекций, плоскости изображений). Для построения изображений шара и его комбинаций с другими геометрическими телами принята произвольная ортогональная проекция, в которой при фиксированном направлении проектирования заранее не задаются ни размерами проектируемого тела, ни его положением относительно плоскости изображений.

Принятый подход к построению изображений позволяет наилучшим образом достигать верности, наглядности и удобовыполним ости (свободы выполнения) изображений.

Обоснование принятого подхода к построению изображений в школе выполнено в разделе «Проблема обучения учащихся построению изображений в средней школе» (гл. I, § 2, п. 1). В этом же пункте показана нецелесообразность обучения в школе построению изображений в какой-нибудь одной параллельной проекции частного вида (в том числе и в кабинетной).

Таким образом, в диссертации определяются пути внедрения в школу нового подхода к построению изображений, разработанного проф. Н. Ф. Четверухиным.1 Однако изложение материала в диссертации ведется так, что не предполагается знакомство читателя ни с афинной, ни с проективной геометрией; изложение материала в диссертации ведется без обобщений, выходящих за рамки потребностей школы, как это имеет место в упомянутой книге проф. Н. Ф. Четверухина.

Вместе с тем в диссертации излагается первая попытка систематического применения основных идей книги «Чертежи пространственных фигур в курсе геометрии» к обучению учащихся построению изображений. Так, в диссертации последовательно проводится новый подход к построению изображений, намечены пути ознакомления учащихся с понятиями полноты и метрической определенности изображения, пути внедрения в школу эффективных методов решения задач на построение в стереометрии.

Разработка принципов построения изображений нашла в диссертации следующее решение.

1 Н. Ф. Четверухин. Чертежи пространственных фигур в курсе геометрии, М., 1946 г.

Достаточно строгое и в то же время доступное для учащихся изложение всех вопросов, относящихся к теории и практике построения изображений, стало возможно после явного и четкого разделения понятий «проекция» и «изображение». В книге «Чертежи пространственных фигур в курсе геометрии» разделение этих понятий проведено неявно. В других же работах, посвященных этому вопросу, понятия «проекция» и «изображение» не разделяются, а потому создается путаница при обучении учащихся построению изображений.

В диссертации принято обычное определение понятия «проекция». «Изображением» же оригинала называется проекция геометрического тела, подобного данному геометрическому телу. Различие между проекцией и изображением состоит, таким образом, в том, что каждая проекция данного геометрического тела есть изображение, но, наоборот, не всякое изображение есть проекция данного оригинала.

Разделение понятий «проекция» и «изображение» привело к необходимости разделять свойства проекций и свойства изображений.

К основным свойствам проекций, как и в книге «Чертежи пространственных фигур в курсе геометрии», отнесены следующие свойства 1°—4°:

1°. Проекция точки, принадлежащей данной линии оригинала, принадлежит проекции этой линии.

2°. Проекцией прямой является прямая.

3°. Проекции параллельных прямых параллельны.

4°. Проекция точки, делящей отрезок оригинала в данном отношении, делит проекцию отрезка в том же отношении.

Основные свойства изображений представлены в диссертации в виде первой и второй теорем существования.

Первая теорема существования. За изображение любого наперед заданного треугольника оригинала может быть принят любой треугольник картинной плоскости.1

Вторая теорема существования (теорема Польке-Шварца). За изображение любого наперед заданного тетраэдра на картинной плоскости может быть принят любой четырехугольник вместе с его диагоналями,2

1 В диссертации не рассматриваются вырождающиеся случаи изображений треугольников.

2 В диссертации не рассматриваются вырождающиеся четырехугольники (например, четырехугольники, три вершины которых лежат на одной прямой), так как в школе нет необходимости подниматься до такой ступени абстракции истолкования геометрических понятий.

В то же время надо иметь в виду, что некоторые вырождающиеся четырехугольники могут быть приняты за изображение -наперед заданного тетраэдра.

Для удобства применения теорем существования в практике построения изображений вводятся понятия базисных точек, базиса оригинала, базиса изображения.1.

Три не лежащие на одной прямой точки планиметрического оригинала и их изображения, удовлетворяющие условию первой теоремы существования, называются, соответственно, базисными точками плоского оригинала и базисными точками изображения. Треугольники, вершинами которых служат базисные точки, называются, соответственно, базиснымы треугольниками оригинала и изображения.

Четыре точки, не лежащие в одной плоскости оригинала, и их изображения, удовлетворяющие условию второй теоремы существования, называются, соответственно, базисными точками пространственного оригинала и базисными точками изображения. Тетраэдр, вершинами которого служат базисные точки оригинала, называется базисным тетраэдром, а его изображение на картинной плоскости базисным четырехугольником.

Базисные точки оригинала называются базисом оригинала; базисные точки на картинной плоскости называются базисом изображения.

Первая теорема существования совместно со свойствами проекций позволяет обоснованно строить изображения любых плоских оригиналов. Вторая теорема существования в совокупности со свойствами проекций позволяет обосновать способ построения изображения любого пространственного оригинала.

Для построения изображения плоской или пространственной фигуры фиксируют базисы в оригинале и на картинной плоскости. Изображение остальных точек оригинала после этого строят только на основе свойств проекций.

Таким образом, на основе понятия базиса изображения и теорем существования решается вопрос об определении границ произвола при построении изображений.

В диссертации последовательно проведен принцип обоснования приемов построения изображений на основе перечисленных выше свойств проекций и свойств изображений.

Сначала в диссертации доказываются свойства проекций и первая теорема существования. Затем раскрываются их многочисленные приложения как для построения изображений плоских оригиналов, так и для изучения ряда важных свойств изображений этих

1 Рассматриваемое в диссертации понятие «базиса изображения» не совпадает с понятием «точечного базиса изображения», введенного проф. Н. Ф. Четверухиным в книге «Чертежи пространственных фигур в курсе геометрии».

оригиналов. При этом серьезное внимание уделяется построению изображения окружности и изучению свойств эллипса.

Доказательство второй теоремы существования так же может быть выполнено в школе. Для ее доказательства необходимо было бы познакомить учащихся с ниже приводимыми и доказываемыми в диссертации свойствами изображений:

а) Четырехугольник картинной плоскости служит изображением четырехугольника оригинала, если диагонали четырехугольника картинной плоскости делятся точкой их пересечения в том же отношении, в котором делятся точкой пересечения диагонали четырехугольника оригинала.

б) В эллипсе существует пара сопряженных и взаимно перпендикулярных диаметров (оси эллипса).

в) Эллипс есть ортогональная проекция окружности.

г) Базисный треугольник плоскости проекций есть ортогональная проекция базисного треугольника оригинала.

д) Базисный треугольник плоскости проекций есть изображение базисного треугольника оригинала при любом наперед заданном направлении проектирования.

е) Изображение плоского оригинала может быть получено при любом наперед заданном направлении проектирования.

Перечисленные вопросы рассматриваются во II главе.

В III главе «Полнота и метрическая определенность изображения» обобщен предшествующий материал. На основе обобщений вводятся понятия о видах изображений (полного и неполного, метрически определенного и метрически неопределенного) и о видах задач (позиционные и метрические), решаемых на изображении. На этой основе определен вопрос о границах произвола при выполнении построений в задачах, решаемых на изображении.

Обоснование построения изображений шара и его комбинаций с другими геометрическими телами рассматриваются в главе IV «Построение изображений в ортогональной проекции».

В основу методов построения изображений в ортогональной проекции положены следующие доказываемые в диссертации теоремы.

Теорема 1. Ортогональной проекцией окружности служит эллипс, большая ось которого равна диаметру окружности, и, обратно, эллипс представляет собой ортогональную проекцию окружности, диаметр которой равен большой оси эллипса.

Теорема 2. Ортогональной проекцией окружности радиуса г с перпендикуляром г, восставленным к плоскости окружности в ее центре, служит эллипс, большая ось которого равна 2r, а проекция перпендикуляра к плоскости окружности перпендикулярна к большой оси эллипса.

Теорема 3. При ортогональном проектировании окружности радиуса г с перпендикуляром г, восставленным к плоскости окружности в ее центре, имеет место условие г°=гы + гп (частный случай теоремы Гаусса), где 2г^ — длина большой оси эллипса, изображающего окружность, 2г м — длина его малой оси, гп — длина проекции перпендикуляра к плоскости окружности.

Теоремы 2 и 3 представляют собой необходимые признаки ортогональной проекции. Доказывается также, что в совокупности они составляют достаточный признак ортогональной проекции.

Использование перечисленных свойств ортогональных проекций оказалось сильным средством для отыскания способов построения изображений шара и его комбинаций с другими геометрическими телами. Эти свойства позволили создать несколько новых удобовыполнимых приемов построения изображений, упростить ранее известные.

Новое обоснование получил способ построения изображения оси шара по заданному экватору или по заданной параллели, а также способ построения экватора или параллели по заданному изображению оси шара. Для получения всех необходимых размеров воспроизводится геометрическая картина в сечении шара проектирующей плоскостью, проходящей через ось шара.

Идея рассматриваемого в диссертации способа построения полюсов, экватора и параллелей впервые была высказана П. А. Долгушиным (Систематический курс геометрии для средних учебных заведений, Киев, 1912). Однако приведенное в учебнике обоснование метода средствами начертательной геометрии затрудняло его применение в школе, и способ не получил распространения. В книге проф. Н. Ф. Четверухина «Чертежи пространственных фигур в курсе геометрии» обоснование этого метода связывается с вращением меридиана, лежащего в проектирующей плоскости, около диаметра очертания. В диссертации А. А. Панкратова «Связь преподавания геометрии и черчения в средней школе» (М., 1953) этот метод связывается с построением профильной проекции шара. Способ обоснования метода, представленный в нашей диссертации, является четвертым.

Таким образом, усвоение учащимися принципов построения изображений обеспечивается в основном следующим:

а) В диссертации отобрана совокупность теорем, необходимых для обоснования практики построения изображений в курсе стереометрии средней школы.

б) Доказательство этих теорем выполнено на основе запаса знаний в объеме курса математики средней школы.

в) Ознакомление учащихся с доказываемыми положениями облегчено последовательно проведенным разделением понятий «проек-

ция» и «изображение», свойств проекций и свойств изображений, введением понятий «базиса изображения» и «базиса оригинала».

г) В диссертации определены пути ознакомления учащихся с границами произвола при построении изображений и при решении задач на изображении.

V. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ ПОСТРОЕНИЮ И ПРИМЕНЕНИЮ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Основная трудность в разработке методики обучения состояла в том, что для изложения курса стереометрии с первых же уроков приходится прибегать к изображениям изучаемых объектов. В то же время для обоснования приемов построения изображений необходимо знакомство с рядом положений, доказываемых в курсе стереометрии.

Значительную трудность при обучении учащихся построению изображений представляет также овладение понятием «параллельная проекция» одновременно с изучением начал курса стереометрии.

В качестве выхода из создавшегося положения в диссертации предлагается следующий подход к обучению учащихся построению изображений.

Прежде всего в порядке пропедевтики понятия параллельной проекции ряд теорем, изучаемых в VII—VIII классах, рекомендуется формулировать в терминах проекций. Еще в курсе планиметрии предлагается знакомить учащихся не только с ортогональной, но и с произвольной параллельной проекцией. Для закрепления этих понятий в диссертации приводится набор упражнений.

Доказательство первых теорем курса стереометрии рекомендуется проводить с возможно более широким привлечением моделей.

К обоснованию, выполнения чертежей рекомендуется приступить сразу же после ознакомления учащихся с параллельностью прямых. Проведение такой работы начинается с определения параллельной проекции в пространстве и доказательства ее свойств. Ознакомление с этими свойствами заканчивается после изучения параллельности плоскостей.

Одновременно с изучением свойств проекций рекомендуется доказать первую теорему существования и применять ее для обоснования приемов построения изображений плоских фигур.

Предполагается, что ознакомление учащихся с приемами построения изображений будет распределено на все время прохождения курса стереометрии.

К концу IX класса приемы построения изображений обобщаются до разработанного в диссертации «принципа соответственных построений». Согласно этому принципу отыскание приема построения изображения геометрической фигуры нераз-

рывно связывается с предварительным воображаемым или эффективным построением оригинала.

Из всех приемов построения одного и того же оригинала отыскивается такой, который с последующим применением свойств изображений и проекций предопределяет последовательность (прием) выполнения изображения. Необходимое построение оригинала, помимо построения базисного треугольника или базисного тетраэдра, должно опираться только на те свойства оригинала, которые остаются неизменными при параллельной проекции.

Таким образом, отыскание приема построения изображения в значительной степени опирается на знания и ранее отработанные навыки учащихся в решении задач на построение и становится в руках учащихся средством для самостоятельного отыскания приемов построения изображений по всему курсу стереометрии.

Сначала принцип соответственных построений формулируется для плоских фигур, а затем обобщается и для построения изображений пространственных фигур.

Первое ознакомление учащихся с этим принципом проводится на материале обучения построению изображения окружности, центра эллипса, его диаметра, сопряженных направлений, касательной к эллипсу. Для облегчения освоения с перечисленными понятиями рекомендуется использовать классные и индивидуальные шаблоны эллипсов.

Доказательство первой теоремы существования предлагается провести со всей обстоятельностью, принятой в школе. Учащиеся должны усвоить не только ее содержание, но и доказательство; на ее примере должна быть раскрыта постановка задачи на построение изображений. Такое ознакомление с первой теоремой существования облегчает учащимся понимание содержания второй теоремы существования.

Для ознакомления со второй теоремой существования доказывается, что при построении изображений стереометрического оригинала произвольно может быть построено изображение не более четырех точек оригинала. Интуиция (после знакомства с первой теоремой существования) подсказывает учащимся, что произвольно может быть построено изображение не менее трех точек оригинала. Тот же факт, что любые четыре по три не лежащие на одной прямой точки картинной плоскости могут быть приняты за изображение четырех точек, не лежащих в одной плоскости оригинала, принимается без доказательства. Содержание этого факта раскрывается с привлечением моделей, на примере применения этой теоремы для построения изображений пространственных фигур.

С понятиями полноты и метрической определенности изображения учащиеся знакомятся без введения в школу терминологии «пол-

ного», «неполного», «метрически определенного» и «метрически неопределенного» изображений. Ознакомление учащихся с содержанием этих понятий проводится в порядке уточнения структуры оригинала как при построении изображений, так и при решении задач на изображении.

В связи с обучением учащихся построению изображений шара вводится понятие очертания и доказываются теоремы 1, 2, 3, приведенные выше. В диссертации детально рассмотрена методика использования для обучения построению изображений шара геометрической картины в сечении шара проектирующей плоскостью, проходящей через ось шара. Для создания у учащихся прочных представлений этой картины и облегчения работы воображения — на двух моделях воспроизведены все необходимые геометрические элементы, расположенные в этом сечении шара.

Ознакомление учащихся с основной массой материала, представленного в диссертации, предполагается проводить, главным образом, в процессе решения задач. В диссертации, кроме того, указываются пути более широкого включения в курсе стереометрии задач на построение (решение задач на проекционном чертеже), в связи с решением которых удается знакомить учащихся с отдельными вопросами, относящимися к обоснованию изображений. И лишь для изложения основных вопросов, связанных с обоснованием практики построения изображений, выделяются специальные часы.

Наконец, предполагается, что построение изображений в тетрадях и на классной доске при соблюдении их верности выполняется приближенно. Это замечание, в первую очередь, относится к выполнению вспомогательных построений (деление отрезков в заданном отношении, проведение параллельных и др.). Выполнение этих построений «на глаз», «от руки» развивает у учащихся ценные для практики навыки. Для ознакомления учащихся с точными построениями рекомендуется выполнение 3—4 форматок на построение изображений.

Осуществление разработанной в диссертации методики обучения построению и применению изображений в основном обеспечивается следующим:

а) Обучение учащихся построению изображений строится так, что ознакомлению с приемами построения изображений предшествует ознакомление с предложениями, их обосновывающими.

б) Доказательство предложений, необходимых для обоснования практики построения изображений, в соединении со средствами убеждения в истинности этих предложений создает у учащихся запас знаний, достаточный для обоснования приемов построения изображений по всему курсу стереометрии.

в) Осознанное овладение свойствами проекций и изображений, понятием базиса, принципом соответственных построений дает в руки учащихся средство для самостоятельного отыскания приемов построения изображений.

г) Создание комплекта моделей облегчает учащимся понимание и применение обоснованных в диссертации принципов построения изображений.

VI. ОПЫТНАЯ ПРОВЕРКА ОСНОВНЫХ ПОЛОЖЕНИЙ ДИССЕРТАЦИИ

Доступность выдвигаемого в диссертации подхода к обучению учащихся построению изображений, возможность его осуществления в рамках ныне действующей программы подверглась опытной проверке. В ходе опытной проверки изучалось также влияние обучения построению изображений на общий уровень знаний учащихся.

Опытная проверка диссертации проводилась в основном в средней школе № 327 (Москва) с 1947 по 1954 г. Некоторые из предложений, относящиеся к курсу черчения, проверялись в 1953—1954 учебном году преподавателем черчения Я. В. Владимировым в средней школе № 528 (Москва).

За этот период в. школе № 327 состоялось пять выпусков учащихся (в 1949, 1951, 1952, 1953 и 1954 гг.), обучение которых проводилось в соответствии с предложениями, изложенными в диссертации. В школе № 528 был выпущен один десятый класс.

В IX—X классах выпусков 1949, 1951 и 1953 гг. преподавание математики велось диссертантом. В IX—X классах выпуска 1952 г. преподавание велось учителем В. В. Бакакиным. В одном из X классов выпуска 1954 г. изложение материала диссертации на уроках математики велось преподавателем математики Л. А. Диким, а на уроках черчения диссертантом. В двух других X классах выпуска 1954 г. учителем Л. А. Диким также был использован материал диссертации.

Опытная проверка показала доступность учащимся предлагаемых в диссертации методов построения изображений, возможность обучения учащихся построению изображений по системе, разработанной в диссертации, в рамках ныне действующей программы.

Опытная проверка показала также, что обучение учащихся построению изображений по предлагаемому в диссертации плану способствует глубокому и прочному усвоению курса стереометрии. Этот вывод в диссертации сделан на основе анализа ряда контрольных

работ, проведенных в опытных и контрольных классах, а также на основе наблюдений за работой учащихся опытных классов.

Польза разработанной системы обучения построения изображений для изучения курса стереометрии признавалась учителями Красногвардейского и Куйбышевского районов г. Москвы, учителями Автозаводского района г. Горького, учителями г. Кирова, перед которыми диссертант выступал с докладами.

Целесообразность защищаемой системы обучения для продолжения образования в высшей школе неоднократно признавалась выпускниками 327 средней школы. В своих выступлениях в школе они заявляли, что в институте им легче, чем выпускникам других школ, даются геометрические предметы, облегчено понимание курса черчения.

VII. ОБЩИЕ ВЫВОДЫ

Разработанные в диссертации содержание и методика обучения учащихся построению изображений позволяют дать учащимся такую систему знаний, умений и навыкав, которая отвечает потребностям практики, обогащает научно-практическое значение этого раздела, школьного курса стереометрии, способствует осуществлению политехнического обучения.

В диссертации разработана система обучения учащихся построению изображений в произвольной параллельной и, в частности, произвольной ортогональной проекции, разработана методика обучения.

Применительно к потребностям школы в диссертации по-новому решаются основные вопросы построения изображений (разделены понятия проекция и изображение, свойства проекций и изображения; существенно изменен подход к построению изображений в ортогональной проекции; в методике сформулирован принцип соответственных построений и др.); найдено новое решение или новые доказательства ряда частных вопросов, представляющих практический интерес для школы (создан комплект наглядных пособий; найдены новые приемы построения изображений и др.).

Длительная опытная проверка и постоянное общение с выпускниками школы, в которой проводилась опытная проверка, позволяют сделать также и следующие выводы:

а) Предлагаемая система обучения доступна для усвоения учащимися.

б) Она содействует глубокому и прочному усвоению курса стереометрии.

в) При ее осуществлении преподавание стереометрии получает прочную наглядную основу.

г) Она содействует активному пополнению запаса пространственных представлений учащихся, развивает их пространственное воображение.

д) Она обеспечивает подготовку учащихся к применению полученных знаний в повседневной практической деятельности и к пониманию геометрических курсов, изучаемых в высшей школе.

е) При ее осуществлении облегчается понимание учащимися школьного курса черчения.

Л 40595. Объем 1 печ. л.__Тираж 100 экз._Заказ № 3009.

Типография Минавтотрансшосдор РСФСР.